1. Formänderungsenergiewandinger.userweb.mwn.de/HF/v2_1.pdf · 2.1-5 12.09.14 1.1 Grundlagen Räumlicher Spannungszustand: – Untersucht wird die Arbeit, die die an einem Quader

Prof. Dr. Wandinger 2. EnergiemethodenHöhere Festigkeitslehre

2.1-1

12.09.14

1. Formänderungsenergie

1.1 Grundlagen

1.2 Grundlastfälle

1.3 Beispiele


2.1-2

12.09.14

1.1 Grundlagen

● Zugstab:

– An einem am linken Ende eingespannten linear elastischen Stab greift am rechten Ende die Kraft F an.

x

L

FE, A

F

u

F

u

W


2.1-3

12.09.14

1.1 Grundlagen

– Der Stab hat die Länge L, die konstante Querschnittsfläche A und den Elastizitätsmodul E.

– Die Kraft verrichtet die Arbeit:

– Die Normalspannung σ im Stab ist konstant.

– Mit F = σ A folgt:

W=12

F u

W=12

Au=12 ∫0

L d u

dxA dx=

12 ∫

0

L

d

dxu

dudx A dx

=12∫0

L

A dx= 12∫V

dV=EF


2.1-4

12.09.14

1.1 Grundlagen

– Die Größe

heißt Formänderungsenergie und der Integrand

Formänderungsenergiedichte.

– Die von der äußeren Kraft verrichtete Arbeit ist als Formän-derungsenergie im Stab gespeichert:

EF=

12∫V

dV=∫V

eF dV

eF=

12

W=E F


2.1-5

12.09.14

1.1 Grundlagen

● Räumlicher Spannungszustand:

– Untersucht wird die Arbeit, die die an einem Quader mit achsenparallelen Kanten angreifenden Kräfte verrichten.

– Diese Arbeit ist gleich der im Quader gespeicherten Form-änderungsenergie.

– Die gesamte Formänderungsenergie in einem Körper ergibt sich als Integral der Formänderungsenergiedichte über den gesamten Körper.


2.1-6

12.09.14

1.1 Grundlagen

A B

D

CE

F

x

yz f

t(B)

t(F)

t(A)

t(E)

t(D)

t(C)

(xA

, yC

, zE ) (x

B , y

C , z

E )

(xB , y

D , z

E )

(xB , y

D , z

F )

(xA , y

D, z

F )

(xA , y

C , z

F )

u(F)

u(A)

u(C)

u(E)

u(B)

u(D)u


2.1-7

12.09.14

1.1 Grundlagen

– Für die Arbeit W gilt zunächst:

2 W =∫yC

yD

∫zE

zF

t B⋅uB t A⋅u A dz dy

∫x A

xB

∫zE

zF

t D⋅u D t C ⋅uC dz dx

∫x A

xB

∫yC

yD

t F ⋅uF t E ⋅u E dy dx

∫x A

xB

∫yC

yD

∫zE

zF

f⋅udz dy dx


2.1-8

12.09.14

1.1 Grundlagen

– Mit folgt in Komponenten:t=⋅n

2 W =∫yC

yD

∫z E

z F

x BuB xyB v B xz B w B

− x Au A− xy Av A− xz Aw A dz dy

∫x A

xB

∫zE

zF

xy DuD y D v D yz D w D

− xy C u C − y C v C − yzC w C dz dx

∫x A

xB

∫yC

yD

xz F uF yzF v F zF w F

− xzE uE − yzE v E − z E w E dy dx

∫x A

xB

∫yC

yD

∫zE

zF

f x u f y v f z w dz dy dx


2.1-9

12.09.14

1.1 Grundlagen

– Ersetzen der Differenzen durch Integrale ergibt:

2 W =∫x A

xB

∫yC

yD

∫z E

z F

∂ x u

∂ x

∂ xy v

∂ x

∂ xz w

∂ x dz dy dx

∫x A

x B

∫yC

yD

∫zE

zF

∂ xy u

∂ y

∂ y v

∂ y

∂ yz w

∂ y dz dy dx

∫x A

x B

∫yC

yD

∫zE

zF

∂ xz u

∂ z

∂ yz v

∂ z

∂ z w

∂ z dz dy dx

∫x A

x B

∫yC

yD

∫zE

zF

f x u f y v f z w dz dy dx=2∫x A

x B

∫yC

yD

∫zE

zF

eF dz dy dx


2.1-10

12.09.14

1.1 Grundlagen

– Mit der Produktregel ergibt sich daraus für die Formände-rungsenergiedichte:

2 eF=∂ x

∂ x

∂ xy

∂ y

∂ xz

∂ z f xu x

∂u∂ x

∂ xy

∂ x

∂ y

∂ y

∂yz

∂ z f y v x

∂ v∂ y

∂ xz

∂ x

∂ yz

∂ y

∂ z

∂ z f zw z

∂ w∂ z

xy ∂v∂ x

∂u∂ y xz ∂w

∂ x

∂u∂ z yz ∂ w

∂ y

∂v∂ z


2.1-11

12.09.14

1.1 Grundlagen

– Mit den Gleichgewichtsbedingungen und den kinematischen Beziehungen folgt:

– Die Formänderungsenergiedichte ist positiv. Sie ist null, wenn die Verzerrungen null sind, d.h. für eine Starrkörper-bewegung.

eF=

12 x x y y zz xy xy yz yz xz xz

=12

{ }T

{ }=12

{ }T

{S } { }=12

{ }T

{E } { }≥0


2.1-12

12.09.14

1.1 Grundlagen

– Für die Formänderungsenergie gilt:

– Sie ist gleich der Arbeit der äußeren Kräfte:

– Wenn am Körper nur eine einzige Kraft angreift, gilt:

– Daraus lässt sich die Verschiebung u am Lastangriffspunkt ermitteln:

EF=∫

VeF dV =

12∫V

{ }T

{ } dV

W=E F

W=12

F u=12∫V

{ }T

{ }dV

u=1F∫

V{ }

T{ } dV


2.1-13

12.09.14

1.2 Grundlastfälle

● Normalkraft:

– Betrachtet wird ein Stab mit veränderlichem Querschnitt, der durch eine Normalkraft N belastet wird.

– Mit

gilt:

– Wenn Querschnittsfläche und Normalkraft konstant sind, gilt:

σ x=NAund ϵx=

σE

E NF=

12∫V

N 2

E A2 dV =12∫0

L N 2

E Adx

E NF=

12

N 2 LE A


2.1-14

12.09.14

1.2 Grundlastfälle

– Bei Fachwerken muss über alle Stäbe summiert werden:

● Biegemoment:

– Im Hauptachsensystem gilt für die Spannungen in einem Querschnitt:

E NF=

12 ∑k

N k2 Lk

E k Ak

x x , y , z =M y x

I yz−

M z x

I zy


2.1-15

12.09.14

1.2 Grundlastfälle

– Daraus folgt für die Formänderungsenergiedichte:

– Die Formänderungsenergie ergibt sich durch Integration über das Volumen. Mit dV = dAdx und

folgt:

I y=∫A

z2 dA , I z=∫A

y2 dA , I yz=−∫A

y z dA=0

E BF=

12∫0

L

M y2

E I y

M z2

E I z dx

eBF=

12

x2

E=

12

M y2

E I y2 z2

−M y M z

E I y I zyz1

2M z

2

E I z2 y2


2.1-16

12.09.14

1.2 Grundlastfälle

● Querkraftschub:

– Für die Schubspannung in einem Querschnitt senkrecht zur Balkenach-se gilt:

xz=Qz x S y z I y xb z

xy=Q y x S z y

I z x hy

b(z)

y

z

y

z

h(y)

A(z)

A(y)

τxz

τxy

S y z=∫A z

z dA

S z y= ∫Ay

y dA


2.1-17

12.09.14

1.2 Grundlastfälle

– Dabei sind Sy (z) und S

z (y) die statischen Momente der ab z

bzw. y laufenden Fläche.

– Die Formänderungsenergiedichte berechnet sich zu

– Integration über das Volumen ergibt:

eSF=

12 G xz

2xy

2 = 12 G Qz

2 S y2

I y2 b2

Qy2 S z

2

I z2 h2

ESF=∫

V

12 G Qz

2 S y2

I y2 b2

Q y2 S z

2

I z2 h2 dV=∫

0

L1

2G Qz2

I y2 ∫

A

S y2

b2 dAQ y

2

I z2 ∫

A

S z2

h2 dAdx


2.1-18

12.09.14

1.2 Grundlastfälle

– Mit den Schubverteilungszahlen

folgt für die Formänderungsenergie:

k y=AI z

2∫A

S z2

h2 dA , k z=AI y

2∫A

S y2

b2 dA

ESF=

12∫0

L

k z

Qz2

G Ak y

Qy2

G A dx


2.1-19

12.09.14

1.2 Grundlastfälle

– Schubverteilungszahlen:

t « d t « d

ky, k

z

z

y

6/5 ≈ 10/9 2 ≈ 6/5 ≈ 1


2.1-20

12.09.14

1.2 Grundlastfälle

● Torsion:

– Mit den Verdrehungen θA

und θB gilt:

– Damit gilt für die Formän-derungsenergie:

xA B

Mx

Mx

L

2 W=M x B−A =∫x A

xB

M xd

dxdx=∫

xA

xB M x2

G I Tdx

ETF=

12∫0

L M x2

G I Tdx

– Dabei ist IT das Torsions-

trägheitsmoment.


2.1-21

12.09.14

1.2 Grundlastfälle

● Überlagerung:

– Wird ein Träger durch mehrere dieser Grundlastfälle belas-tet, so ergibt sich die gesamte Formänderungsenergie durch Addition der einzelnen Beiträge:

– Bei langen schlanken Balken (L > 5h) kann der Beitrag des Querkraftschubs vernachlässigt werden.

EF=E N

FE B

FES

FET

F


2.1-22

12.09.14

1.3 Beispiele

● Fachwerk:

– Gegeben:● a = 1000mm● E = 210000MPa● A = 250mm2

● F = 10kN– Gesucht:

● Formänderungsenergie● Vertikalverschiebung des Lastangriffspunkts

aa

A B1

2 3

a/2 45°

Fx

y


2.1-23

12.09.14

1.3 Beispiele

– Stabkräfte (mit Knotenpunktverfahren):

– Formänderungsenergie:

N A1=N B1=F2

, N 23=−F , N 12=N 13=F2

, N A2=N B3=−F2

E NF=

a2 E A [N A1

2N B1

2N 23

2

1

2 N A2

2N 12

2N 13

2N B3

2 ]=

a F2

2 E A [ 14

141

1

2 12

12

12

12 ]= a F2

2 EA [ 32

2

2 ]=

a F2

4 E A 32 2


2.1-24

12.09.14

1.3 Beispiele

– Vertikalverschiebung des Lastangriffspunkts:

● Aus folgt:

● Zahlenwert:

● Ein positives Vorzeichen gibt an, dass die Verschiebung in Richtung der Kraft erfolgt.

W =E F 12

F v=EF=

3224

F2 aE A

v= 3222

F aE A

=2,914F aE A

v=2,914⋅10000 N⋅1000 mm

210000 N /mm2⋅250 mm2=0,5550 mm


2.1-25

12.09.14

1.3 Beispiele

● Balkensystem:

– Gegeben:● a = 500mm● E = 210000MPa● A = 480mm2

● Iy = 4·106mm4

● F = 10kN– Gesucht:

● Formänderungsenergie● Horizontalverschiebung des Lastangriffspunkts

2a

a

F

A B

C


2.1-26

12.09.14

1.3 Beispiele

– Schnittlasten:● Normalkraft

N

F

Nx1

x2

A B

C

-aF

Myx

1

x2

My

-aFA B

C

● Biegemoment

BalkenAB : N x1=F

BalkenBC : N x2=0

BalkenAB : M yx1=−a F

BalkenBC : M y x2=−a F 1− x2

a


2.1-27

12.09.14

1.3 Beispiele

– Formänderungsenergie:

● Die Berechnung der Integrale erfolgt am einfachsten mit Hilfe einer Koppeltafel:

● Ergebnis:

● Dabei ist der Trägheitsradius.

EF=12

N 2⋅2 a

E A

12∫A

B M y2

E I ydx

12∫B

C M y2

E I ydx

∫A

B M y2

E I ydx= 2 a3 F2

E I y, ∫

B

C M y2

E I ydx=

13

a3 F2

E I y

EF=

F2 a2 E 2

A2

a2

I y

13

a2

I y =F 2 a3

E I y 76

I y

A a2 = F2 a3

E I y 76

i y2

a2 i y

2=I y/ A


2.1-28

12.09.14

1.3 Beispiele

– Horizontalverschiebung des Lastangriffspunkts:

● Aus folgt:

● Zahlenwert:

● Der Beitrag der Normalkraft ist vernachlässigbar klein.

W =E F u F=2 EF u=

2 F a3

E I y 76

i y2

a2

u=2⋅10000 N⋅5003 mm3

210000 N /mm2⋅4⋅106 mm4⋅ 7

6

130 =3,571 mm

i y2=

4⋅106 mm4

480 mm2 =10⋅502

3mm2 ,

i y2

a2=10⋅502

3⋅502⋅102 =130

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