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Gleichungenim Mathematikunterricht
der Klassen 5 bis 10
Teil II
Didaktik der Algebra (12)
2
Das Erlernen des Lösens von Gleichungen ist ein
langfristiger Prozess, an den die Schüler bereits in der
Grundschule herangeführt werden, z.B.
3+5=__ 5+ __=7 __ +3 =8.
Dabei stehen allerdings nicht Lösungsverfahren im
Vordergrund, sondern es geht um den Aufbau des
Zahlenverständnisses und der Grundrechen-arten.
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Aufgaben der Art 5+ __=7
werden in der Grundschule dabei übersetzt in
„Welche Zahl muss ich zu 5 addieren um 7 zu
erhalten?“
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In Jahrgang 5 werden ebenfalls noch einfache
Gleichungen behandelt, wobei beim Lösen
allerdings verstärkt argumentativ vorgegangen
wird, z.B. durch den Übergang zur Gegen-aufgabe:
Aufgabe: 5 + x = 7,
Gegenaufgabe: 7 - 5 = x.
5
In Jahrgang 6 gibt es für die Gleichungen
Änderungen durch die Zahlbereichs-erweiterung
auf die Bruchzahlen. Es können also Brüche als
Lösung einer Gleichung auftreten.
6
In Klasse 7 ergibt sich durch die Einführung der
negativen Zahlen ebenfalls eine Erweiterung für die
Gleichungen. Auch hier werden Gleichungen
zunächst noch argumentativ gelöst. Dann jedoch
wird im Rahmen der Termumformungen begonnen,
Gleichungen mit Äquivalenzumformungen zu
lösen.
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Bis Klasse 7 entwickeln sich die Gleichungen
angelehnt an die Zahlenbereiche. Sind die
Voraussetzungen für das Rechnen in einem Körper
gegeben, so orientiert sich die weitere
Gleichungslehre an die Entwicklung des
Funktionsbegriffs, d.h. lineare Gleichungen,
quadratische Gleichungen usw..
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Im Folgenden wird ein Überblick über die
Behandlung von Gleichungen in den
verschiedenen Zahlbereichen gegeben.
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Gleichungen und Ungleichungen in N
Gleichungen treten im Zusammenhang mit
den natürlichen Zahlen in Klasse 5 in drei
verschiedenen Arten in Erscheinung:
Formulierung von Rechengesetzen,Formulierung von Rechenaufgaben,Formeln.
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Formulierung von Rechengesetzen
Ein wichtiges Themengebiet in Klasse 5 ist die
Wiederholung und Vertiefung des Rechnens mit
natürlichen Zahlen. Dabei spielen die
Rechengesetze eine wichtige Rolle, die auf
verschiedene Weise dargestellt werden, z.B.
verbal, an Beispielen, mit Variablen oder
anschauliche Darstellungen.
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Formulierung von Rechenaufgaben
Rechenaufgaben haben vor allem die Funktion
des Sicherns und Vertiefens der
Grundrechenarten. Dabei spielt auch das
Rechnen mit Unbekannten eine Rolle.
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Nach und nach wird von dem einfachen
„Bestimme das x“ zu Formulierungen wie „Löse
die Gleichung“ oder „Löse die Ungleichung“
übergegangen und so das Lösen von
Gleichungen durch Lösungs-techniken in den
Vordergrund gerückt.
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Mögliche Lösungstechniken sind:
1) Gedankliches Lösen, z.B.
3·x =12 zu lösen bedeutet die Frage
„Mit welcher Zahl muss ich 3 multiplizieren,
um 12 zu erhalten?“ zu beantworten.
2) Gegenaufgabe, z.B.
3·x =12 über 12 : 3 = x zu lösen.
14
3) Termvergleich, z.B. 3·x + 2 = 14 3·x + 2 = 12 +2 also 3·x = 12
3·x = 3·4 damit x = 4, denn: wenn gleiche Produkte in einem Faktor übereinstimmen, dann ist auch der zweite Faktor gleich.
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3) Gegenoperatoren, z.B. x·3 + 2 = 14
Damit ist x = 4.
14124
233
23:
23
xxx
16
4) Probieren, z.B. x·3 + 2 = 14
Aufgrund des Anwachsens der Werte kann man schließen, dass x=4 die einzige Lösung ist.
x x·3+2 x·3+2=14
2 8 8=14 falsch
3 11 11=14 falsch
4 14 14=14 richtig
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Das Probieren bietet sich vor allem bei Ungleichungen
an, bei denen es mehr als eine Lösung gibt.
Termvergleich und Gegenaufgabe sind nicht als
Vorgriff auf die üblichen Äquivalenzumformungen zu
verstehen! Bei 3·x =12 zu 12 : 3 = x geht es nicht um
eine beidseitige Division durch 3, sondern um die
Äquivalenz von a · b = c
zu c : a = b.
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Ungleichungen bieten sich als Kontrastbeispiele von
Gleichungen an. Sie sind vor allem deshalb
interessant, weil sie mehrere Lösungen haben können.
Außerdem können leicht Umweltsituationen
einbezogen werden, z.B.
„Ein Fahrstuhl ist für bis zu 13 Personen zugelassen“
bedeutet 0 x 13 für die Personenzahl x.
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Bei der Behandlung von Gleichungen sollten auch die
beiden Sonderfälle auftreten, dass keine Lösung
existiert, oder dass jede natürliche Zahl Lösung ist,
z.B. 2 + x = 3 + x bzw. 2·x = x+x.
Die Aufgaben sollten so formuliert sein, dass die
Schüler auf solche Lösungen gefasst sein müssen,
z.B. „Für welche x gilt ...?“ oder „Überlege, ob es
Zahlen x gibt, so dass ... .“
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Gleichungen, für die keine Lösung in N existiert,
sind vor allem darauf zurückzuführen, dass N
gegenüber der Subtraktion und Division nicht
abgeschlossen ist. Gleichungen bieten hier das
adäquate Mittel, diese „Nichtabgeschlossenheit“
auszudrücken und den Schülern das Problem
bewusst zu machen.
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Formeln
Einen ersten Eindruck von Formeln bekommen die
Schüler bei der Ermittlung des Flächen-inhalts eines
Rechtecks. Besteht ein Rechteck aus a Streifen zu je
b Einheitsquadraten, so gilt für den Flächeninhalt A,
dass A = a ·b Quadrate groß ist.
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Gleichungen und Ungleichungen in B
Die im Zusammenhang mit den natürlichen Zahlen
in Klasse 5 behandelten Bereiche von Gleichungen
und Ungleichungen setzen sich bei der Behandlung
der Bruchzahlen fort.
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Die Bruchrechenregeln werden durch Gleichungen
formuliert, z.B.
Probleme bereiten könnte die Tatsache, dass die
Variablen nicht für Brüche, sondern für natürliche
Zahlen stehen. Dies verdeutlich aber andererseits noch
einmal, dass die Bruchzahlen aus den natürlichen
Zahlen aufgebaut sind.
.0,
dbdb
ca
d
c
b
a für
24
Die Rechenregeln, die unabhängig von der
Darstellung der Zahlen sind wie das
Kommutativgesetz o.ä., sollten durch andere
Buchstaben ausgedrückt werden, um mögliche
Irritationen in dieser Alterstufe zu vermeiden.
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Bei Rechenaufgaben zur Bruchrechnung können
zwei Formen von Gleichungen unterschieden
werden. Dies sind die Gleichungstypen
wobei x einmal aus N und einmal aus B ist.
,12
11
6
5
12
9
126
5 x
x und
26
Als Lösungsmethode kommt vor allem das Lösen
durch Gegenoperatoren in Frage:
12
5
4
1
8
3
6
1
3
2
3
2
12
5
6
1
3
2
6
1
3
2:
6
1
3
2
xxx
x
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Die allgemeine Formel für den Flächeninhalt eines
Rechtecks (A = a·b) kann nach der Einführung von
Dezimalbrüchen hergeleitet werden. Dabei können
die Seitenlängen eines Rechtecks gemessen
werden.
Entsprechendes gilt für den Rauminhalt eines
Quaders (V = a·b·c).
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Ungleichungen spielen z.B. eine Rolle bei der
Abgeschlossenheit von B bzgl. der Subtraktion:
r - s B genau dann, wenn s < r.
Auch die Tatsache, dass B dicht ist, lässt sich
mit Ungleichungen zeigen:
.2
srssr
r
für
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Gleichungen und Ungleichungen in Q
Nach der Erarbeitung der rationalen Zahlen sind
die Voraussetzungen gegeben, (lineare)
Gleichungen mit den üblichen Umformungen zu
lösen. Dazu werden zunächst Terme und
Termumformungen behandelt und dann die
notwendigen Begriffe für die Gleichungslehre
eingeführt.
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Ein immer wieder genannter Kritikpunkt an der
Gleichungslehre ist der hohe Begriffs-aufwand
(vgl. Neue Mathematik), der den Blick für das
Wesentliche und Inhaltliche verdeckt. Die
einzuführenden Begriffe sind deshalb auf das
notwendige Minimum zu beschränken.
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Die notwendigen Begriffe sind Gleichung,
Ungleichung, Lösung, Lösungsmenge und
Äquivalenzumformungen.
Äquivalenzumformungen sind dabei als die
Umformungen einer (Un)-Gleichung definiert,
bei der sich die Lösungsmenge nicht ändert.
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Die Begriffe Gleichung, Ungleichung, Lösung,
Lösungsmenge sind für die Schülerinnen und
Schüler schon bekannt oder schnell einsichtig.
Bei der Lösungsmenge stellt sich die Frage
der Notation.
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Gibt es nur eine Lösung, so reicht eine Form
wie z.B. x = 2 aus. Bei mehreren Lösungen
können die weniger oder mehr formalen
Varianten wie 2 x 5 oder
L = { x | 2 x 5 } gewählt werden.
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Nicht erwähnt wurden hier die Begriffe
Aussageform, Aussage, Grundmenge.
Aussageform ist eher ein Begriff der Logik als der
Mathematik. Auf ihn kann verzichtet werden.
Ebenso auf den Begriff Grundmenge, wenn man
immer den gesamten bekannten Zahlbereich als
Grundmenge annimmt.
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Schwieriger ist es mit dem Begriff Aussage.
Aussagen spielen in der Mathematik eine große
Rolle, so dass der Begriff von wichtiger
Bedeutung ist. Andererseits reicht hier auch der
Rückgriff auf den Begriff (wahre/falsche)
Aussage, den die Schüler aus dem Alltag kennen.
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Eine explizite Diskussion des Begriffs Aussage ist
aber im Hinblick auf die Struktur der Mathe-matik
(Definition, Satz, Beweis), die sich auch im
Mathematikunterricht wiederspiegelt, von
Bedeutung. Es muss aber nicht im Rahmen des
Begriffsapparates für die Gleichungslehre
passieren.
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Ziele der Gleichungslehre sind u.a. :
Das sichere Beherrschen der Umformungs-regeln
und Lösungsstrategien,
die Zielsicherheit beim Umformen,
das Beherrschen der Umkehrung der
Umformungen,
das effiziente Lösen von Gleichungen.
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Das letzte Ziel beschreibt dabei die Reduktion der
Schritte bis zur Lösung einer Gleichung. Dabei muss
der Lehrer sehr sensibel und auf die individuellen
Fähigkeiten der Schüler bezogen vorgehen, um nicht
ein Überspringen von Schritten aufzuzwingen oder ein
unökonomisches Vorgehen zu lange zuzulassen.
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Zum Lösen von Gleichungen wird ein allgemeines
Verfahren hergeleitet.
Die Strategie ist dabei, die Gleichung so lange
umzuformen, bis man die Lösungsmenge
unmittelbar ablesen kann.
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Die einzelnen Umformungen dürfen die
Lösungsmenge demnach nicht verändern.
Derartige Umformungen werden Äquivalenz-
umformungen genannt.
Einige Äquivalenzumformungen können mit dem
(bereits diskutierten) Waagemodell erklärt werden.
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Hahn/Dzewas, Mathematik 7, Westermann 1994
42
Es werden zunächst beidseitige Addition und
Subtraktion behandelt und festgestellt, dass es
sich um Äquivalenzumformungen handelt.
Schließlich folgt die beidseitige Multiplikation und
Division mit einer Zahl ungleich Null.
Diese Umformungstypen sollten auch mit
Variablen formuliert werden.
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Bei den Ungleichungen hat man die gleichen
Äquivalenzumformungen. Allerdings muss bei
einer beidseitigen Multiplikation bzw. Division mit
einer negativen Zahl das Ungleichheitszeichen
umgedreht werden! Dieser Sachverhalt sollte
anhand von Beispielen verdeutlicht werden.
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Es bietet sich an, die Schüler aufzufordern, zu
Beginn des Gleichungslösen die
Äquivalenzumformungen und ihre
Lösungsstrategie zu kommentieren, d.h.
anzugeben, warum sie welche Umformung
durchführen.
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Es stellt sich die Frage, ob neben
Äquivalenzumformungen auch einfache Folgerungen
beim Umformen zugelassen werden sollen. In der
Regel wird man sich zunächst an die
Äquivalenzumformungen halten und erst später z.B.
bei Wurzelgleichungen einfache Folgerungen
verwenden.
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Im Folgenden soll auf die verschiedenen
Gleichungstypen in Q eingegangen werden:
lineare Gleichungen und Ungleichungen,
lineare Gleichungssysteme,
Bruchgleichungen und Bruchungleichungen,
Formeln.
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Bei den linearen Gleichungen und Ungleichungen
wird man mit einfachen Fällen beginnen, um nach
und nach komplexere Gleichungen zu bearbeiten.
Von Bedeutung ist jeweils das sichere
Beherrschen der Umformungsregeln und der
Lösungsstrategien.
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Zunächst bieten sich deshalb einfache Aufgaben an,
z.B. von der Form ax +b = c, wobei a,b,c für Zahlen
stehen. Schließlich werden auch Umformungen
behandelt, wo a,b,c Terme sind und deshalb im
Verlauf des Gleichungsumformungsprozesses
verschiedene Termumformungen durchzuführen
sind.
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Zudem sollte eine Beziehung zwischen linearen
(Un-)Gleichungen und linearen Funktionen bzw.
deren Graphen hergestellt werden.
50
Hahn/Dzewas, Mathematik 7, Westermann 1994
51
Lineare Gleichungssysteme werden zumeist in der
9. Klasse behandelt. Begonnen wird dabei mit
zwei Gleichungen und zwei Unbekannten, später
wird dann auf drei Gleichungen mit drei
Unbekannten erweitert.
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Von großer Bedeutung ist, dass die Schülerinnen
und Schüler verstehen, dass die Lösungen
linearer Gleichungssysteme Paare (x;y) bzw.
Tripel (x;y;z) sind.
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Bei linearen Gleichungssystemen mit zwei
Gleichungen und zwei Unbekannten, können die
beiden Gleichungen auch als Geraden dargestellt
werden. Die Lösungsmenge besteht demnach aus
den gemeinsamen Punkten dieser Geraden.
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Auftreten können dabei folgende Fälle:
1) es gibt genau einen Schnittpunkt,
2) es gibt keinen Schnittpunkt, die
Lösungsmenge ist leer,
3) die beiden Geraden fallen zusammen, alle
Werte der Grundmenge sind Lösungen.
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Zur Lösung von linearen Gleichungssystemen wird
man immer die Strategie versuchen, durch
geschicktes Umformen aus zwei Gleichungen mit
zwei Variablen eine Gleichung mit einer Variablen zu
machen. Die zweite Variable muss bei diesen
Umformungen aber mit eingehen.
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Dazu werden in der Regel drei verschiedene
Verfahren eingeführt:
das Gleichsetzungsverfahren,
das Einsetzungsverfahren,
das Additionsverfahren.
57
Hahn/Dzewas, Mathematik 9, Westermann 1991
58Hahn/Dzewas, Mathematik 9, Westermann 1991
59Hahn/Dzewas, Mathematik 9, Westermann 1991
60
Bei drei Gleichungen mit drei Unbekannten wird
man die Gleichungen wie beim Additions-verfahren
umformen, so dass man eine sog. Dreiecksform
erhält (diese entspricht der Zeilenstufenform der
zugehörigen Matrix!).
Das Verfahren lässt sich verallgemeinern zu
linearen Gleichungssystemen mit mehr als drei
Gleichungen bzw. Unbekannten.
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Hahn/Dzewas, Mathematik 9, Westermann 1991
62
Bei Bruchgleichungen tritt das bereits im Rahmen
der Termumformungen diskutierte Problem auf,
dass bestimmte Einsetzungen nicht möglich sind,
d.h. auftretende Bruchterme nicht definiert sind.
Diese Zahlen werden von dem Definitionsbereich
der Bruchgleichung herausgenommen.
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Zur Lösung von Bruchgleichungen können die
auftretenden Bruchterme im ersten Schritt mit dem
gemeinsamen Hauptnenner multipliziert und somit
beseitigt werden. Diese Umformung ist eine
Äquivalenzumformung, da der Hauptnenner
aufgrund des vorher festgelegten
Definitionsbereiches nicht Null sein kann.
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Hahn/Dzewas, Mathematik 8, Westermann 1990
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Bei den Formeln ergeben sich vier verschiedene
Aspekte:
Das Aufstellen von Formeln aus einer
Sachsituation wurde schon diskutiert.
Daneben gibt es noch die funktionalen Aspekte
von Formeln, d.h. die Interpretation von Formeln
mit Hilfe von Funktionen.
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Das Auflösen von und Einsetzen in Formeln sind
schließlich noch zwei weitere Aspekte zum Umgang
mit Formeln.
In der Regel wird man aus einer Aufgaben-stellung
heraus eine Formel aufstellen, sie nach einer
gesuchten Variable auflösen und schließlich
gegebene Werte einsetzen.
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Bei schwächeren Schülern kann es evtl. sinnvoll
sein, schon vor dem Umformen der Formel die
gegebenen Werte einzusetzen und dann nach der
einzig verbleibenden, zu bestimmenden Variable
umzuformen.
Als Aufgabenbereiche bieten sich hier z.B.
Flächenberechnungen , wirtschaftliche
Zusammenhänge o.ä. an.
