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Schrecken der Unendlichkeit,der zweite Teil

Analysis

2

Übersicht

Das erste Auftauchen: Zenon

Grenzwerte von Zahlenfolgen

Die Eulersche Zahl e

Kann man unendlich viele Zahlen addieren? Unendliche Reihen

Die geometrische Reihe

Die alten Regeln gelten nicht mehr

0, 9 1

3

Heraclit (etwa 535 – 475 v.Chr.)

• Lebte in Ephesos• Der Philosoph der

Bewegung

• Das einzig Stete ist der Wandel

• Alles fließt• Enormer Einfluss in

der Moderne

4

Die Geographie der Mathematik

5

Zenon (490 – 430 v.Chr.)

• Vorsokratiker• Schüler des

Parmenides• Lebte in Elea (Italien)

• Berühmt durch Paradoxa

6

Die Geographie der Mathematik

7

Zenon: Achill und die Schildkröte

• Ein Paradoxon, das die Alten nicht lösen konnten

• Problem: Ein Wettlauf zwischen Achill, schnellster Läufer der Antike, und einer Schildkröte

8

Zenon: Achill und die Schildkröte

9

Der mathematische Kern: Die Gesamtzeit

Vachill = 10m/s

Vschildkröte = 1m/s

Gesamtzeit = 1 1

10 1 .....10 100

10

Zenons Paradoxon

• Zenon: Achill kann die Schildkröte nicht einholen

• Begründung: Man muss unendlich viele Zeiten addieren und dabei kann nach Zenon nur unendlich herauskommen

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Eine moderne Lösung

12

Eine andere Argumentation:

Gesamtzeit =

1 1 1 10010 1 ..... 11, 1 11

10 100 9 9

13

Der Kern des Problems

• Wie kann man unendlich viele Zahlen addieren? (mit einem plausiblen Ergebnis)

• Die antiken Mathematiker fanden keine allgemeine Lösung

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Die moderne Lösung

Grenzwerte (von Zahlenfolgen, Funktionen,…..)

Der Begriff der reellen Zahl

Viele Überraschungen, auch manche Holzwege!

Einige Protagonisten:

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Newton (1643 – 1727)

• Begründer der modernen Physik

• Einer der Väter der Differential- und Integralrechnung

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Leibniz (1646 – 1716)

• Letzter Universalgelehrter

• Einer der Väter der Differential- und Integralrechnung

17

Euler (1707 – 1783)

• Wichtigster Mathematiker seiner Zeit

• Erforschte unter anderem die Zahl e

18

Cauchy (1789 – 1857)

• Schuf die Grundlagen der modernen Grenz-werttheorie, mit vielen Irrungen und Wirrungen

19

Dedekind (1831 – 1916)

• Brachte den Begriff „reelle Zahl“ zu einem vorläufigen Abschluss

20

Eine einfache Zahlenfolge:

n

n

1 1 1 1 1 1 1a : , , , , , , ,.......

1 2 3 4 5 6 7

1a , n

n

21

an

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19

22

an

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19

23

Eine weitere einfache Zahlenfolge:

n

n+1

n

1 1 1 1 1 1 1b : , , , , , , ,.......

1 2 3 4 5 6 7

( 1)a , n

n

24

bn

-0,5

-0,25

0

0,25

0,5

0,75

1

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19

25

Der Limesbegriff

1 1lim 0, denn: wird kleiner als jede positive Zahl

n n

Dies ist eine Definition!

1Beachten Sie: ist selbst nie 0! Der Grenzwert ist 0.

n

n

26

Der Knackpunkt:

Es gibt keine unendlich kleinen Zahlen auf der Zahlengeraden (in R).

Andere Zahlmodelle sind möglich

0-Punkt

27

Historisches

• Die Entwicklung einer allgemeinen Definition benötigte weit mehr als 100 Jahre.

• Die allgemeine Definition wirkt sehr abstrakt, auf den ersten Blick schwer verständlich.

28

Die genial einfache Idee:

Einsperren der Zahlenfolge beim Grenzwert

a

ε

29

Die exakte Definition des Grenzwerts einer Folge an

nn

n

lim a = a für alle ε > 0 gibt es ein N(ε) mit:

Aus n > N(ε) folgt |a - a| < ε.

30

Ein berühmter Grenzwert:Die Zahl e

History Fiction:

Wie e hätte entdeckt werden können, aus niederen Motiven, aus Geldgier.

So ist es nicht geschehen.

31

Die Geburt der Zahl e aus dem Geist des Kapitalismus

Zinsen, immer mehr ZinsenDie Ausgangssituation:

1 € wird ein Jahr lang zu 100% angelegt.

Nach einem Jahr hat man K1 = (1 + 1) €

Wie kann man mehr erlangen?

32

Unterjährliche Verzinsung

Halbjährlich:

K2 = (1 + ½) (1 + ½) = (1 + ½)2 = 2,25

Dritteljährlich:

K3 = (1 + 1/3) (1 + 1/3) (1 + 1/3) =

(1 + 1/3)3 = 2,37037037….

33

Die Entwicklung der ZinsenEndkapital bei n Perioden pro Jahr: Kn

2

2,1

2,2

2,3

2,4

2,5

2,6

2,7

2,8

1 6 11 16 21 26 31 36 41 46

34

Die allgemeine Situation

Bei n Verzinsungsperioden pro Jahr:

Kn = (1+1/n)n.

35

Einige Werte, mit EXCEL berechnet

k n = 10k Kn

1 10 2,59374246

2 100 2,704813829

3 1000 2,716923932

4 10000 2,718145927

5 100000 2,718268237

6 1000000 2,718280469

7 10000000 2,718281694

8 100000000 2,718281786

9 1000000000 2,718282031

10 10000000000 2,718282053

11 1E+11 2,718282053

12 1E+12 2,718523496

13 1E+13 2,716110034

14 1E+14 2,716110034

15 1E+15 3,035035207

16 1E+16 1

36

Analyse:

EXCEL rechnet falsch:

K3 = (1+1/3)3 = (1+1/3)(1+1/3) (1+1/3) > 2

Kn = (1+1/n)n = (1+1/n)(1+1/n)…(1+1/n) > 2

Was kommt wirklich heraus?

37

Eulers Ergebnis

n1lim (1+ ) = 2,718281828459... = e

nn

38

Einige Eigenschaften von e

e ist kein Bruch, e ist transzendent

ie 1 0

n=1

1 1 1 1 1 1e = 1 + + + + + +.... =

1! 2! 3! 4! 5! n!

39

Berechnung von e

1 1 1 1 1 1e 1 + + + + + + ....

1! 2! 3! 4! 5! n!

3Fehler <

(n+1)!

40

Beispiel: n = 5

1 1 1 1 1 163e 1 + + + + + = 2,716

1 2 6 24 120 60

3 1Fehler < = 0,0042

720 240

41

Die Bedeutung der Zahl e: f(x) = ex

Anwendungen:

Wachstumsprozesse

Zerfallsprozesse

Hintergrund:

(ex)´ = ex

42

Eine Bemerkung zu den Zinsen

So wachsen die Bäume nicht in den Himmel

Aber: Geldgier macht erfinderisch. Man kann mit Zinsen mehr rausholen.

„Vorschüssige Zinsen“

43

Unendliche SummationenBeispiele

1 + 1 + 1 + 1 +……

1 – 1 + 1 – 1 + 1 – 1 + 1 …..

1 + ½ + 1/3 + ¼ + 1/5 + 1/6 + ….

9/10 + 9/100 + 9/1000 + …..

1 + ½ + (½)2 + (½)3 + (½)4 + …..

44

Wie kann man unendlich viele Zahlen addieren?

Eigentlich gar nicht.

Vorschlag: Addiere bis zur 1. 2. 3. n-ten Zahl:

S1, S2, S3, ´… Sn, … („Partialsummen“)

S = lim Sn

45

Entwicklung vonS = 1 + ½ + (½)2 + (½)3 + (½)4 + …..

Sn

0

0,5

1

1,5

2

2,5

1 2 3 4 5 6 7 8

Sn

46

S = 1 + ½ + (½)2 + (½)3 + …..

S1 = 2 – 1 < 2

S2 = 2 – ½ < 2

S3 = 2 – (½)2 < 2

Sn = 2 – (½)n-1 < 2

Der Unterschied zu 2 geht gegen 0!

lim Sn = 2

47

Das 0,9999..-Problem

0,99999…. = 9(1/10 + 1/100 + 1/1000 + ….)

S1 = 9/10 S1 = 1 – 1/10

S2 = 99/100 S2 = 1 – 1/100

Sn = …. Sn = 1 – 1/10n

0,999… = lim Sn = 1

48

Die berühmte Leibnizreihe

Die Reihe:

S = 1 – ½ + 1/3 – ¼ + 1/5 – 1/6 + 1/7 - + …

Die Reihe hat einen Wert („konvergiert“):

49

Die Entwicklung der SummeSn

0

0,25

0,5

0,75

1

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

Sn

50

Welchen Wert hat die Reihe?

Eulers Ergebnis:

S = 1 – ½ + 1/3 – ¼ + 1/5 – 1/6 + 1/7 - + …

= ln 2 = 0,6931……..

51

Schrecken der Unendlichkeit

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1L = 1 - + - + - + - + - + - + ....

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 131 1 1 1 1 1 1

L = + - + - + - ....2 2 4 6 8 10 12Addition:

3L = 1

2

1 1 1 1 1 1 1 1 1 + - + + - + + - + ....

3 2 5 7 4 9 11 6 13

52

Ein unmögliches Ergebnis

3L = L,

21

also: L = 0,2

also: L = 0. Dies ist unmöglich!

53

Wo liegt der Trugschluss?

Die Reihenfolge der Summanden ist

relevant!

Es gilt nicht die Verallgemeinerung von

a +b + c = b + c + a = b + a + c = …..

54

Es kommt noch schlimmer:Der Satz von Riemann

Man kann durch geschicktes Umsortieren jedes Ergebnis erzeugen.

Dies geht allerdings nicht bei allen unendlichen Summen.

55

Bernhard Riemann (1826 – 1866)

Nachfolger von Gauß inGöttingen

Mathematisches Genie

Ohne ihn keine allgemeine Relativitäts-theorie

56

Die Idee von Riemann

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1N = + + + + + + + + + .....

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 = (1 + + ( + )+ ( + + + ) + ( + ......

2 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 (1 + + ( + )+ ( + + + ) + ( + ......2 2 4 4 8 8 8 8 16 16

Also: N =

57

Die Idee von Riemann1 1 1 1 1 1 1 1 1

P = 1 + + + + + + + + + .....3 5 7 9 11 13 15 17 19

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 > + + + + + + + + + .....

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 = (1 + + ( + )+ ( + + + ) + ( + ......

2 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1 1 1 1 1 1 1 (1 + + ( + )+ ( + +

2 2 4 4 8 8

1 1 1+ ) + ( + ......

8 8 16 16

Also: P =

58

Die Idee von Riemann

1 1 1 1 1 1Pos = {1, , , , , , .....}

3 5 7 9 11 13

1 1 1 1 1 1Neg = { , , , , , .....}

2 4 6 8 10 12

Angepeilter Wert: 1

59

Die Entwicklung der SummeSn

0,0

0,5

1,0

1,5

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22

Sn

60

Die Entwicklung der Summe

1 1 1 1 1 11 = 1 + - + - + + - + +

3 5 7 9 11 13

1 1 1 1 1 1 - + + - + +

1 1 1

2 4 6

1 1 1- + + ......

15 17 19 21 23 258 10 12

61

Warum nicht 42 als Beispiel?

Man muss im ersten Schritt zwischen

1035 und 1036 Summanden addieren!

62

Mehr Mathe in Tholey:

Es geht weiter im März 2004.

Entschlüsselte Geheimnisse