Zentrum für schulpraktische Lehrerausbildung Bocholt

Seminar für das Lehramt an Gymnasien und Gesamtschulen

„Zähmung der Unendlichkeit“ –

Die Nutzung des Beweisverfahrens der vollständigen

Induktion im Kontext der Produktregel mittels „flipped

classroom“

Entwurf zum ersten Unterrichtsbesuch im Fach Mathematik

Ausbildungsschule: Städtisches Ganztagsgymnasium Nepomucenum Holtwicker Straße 8 48653 Coesfeld Datum: Freitag, 15.01.2016

Lerngruppe: Leistungskurs Q1

Anzahl der SuS: 21 (Mädchen: 9, Jungen: 12)

Zeit, Raum: 5. Stunde (11:40 – 12:25 Uhr), Raum 224

Referendar: Julian Hundt

Ausbildungsbeauftragte(r):

Ausbildungslehrer:

Schulleiterin:

Fachleiterin:

Kernseminarleiter:

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1 Längerfristige Unterrichtszusammenhänge

1.1 Thema der Unterrichtsreihe „Produkte, Verkettungen, Exponentialfunktionen oder – ‚wie leite ich eigentlich f(x) = 4x2 * 24x-2 ab?‘ - Differentiation weiterführender Funktionstypen und zusammengesetzter Funktionen.

1.2 Schwerpunktlernziel der Unterrichtsreihe Die Schülerinnen und Schüler (kurz: SuS) erweitern ihre Fähigkeit Funktionen zu differenzieren, indem sie weiterführende Funktionstypen wie Exponentialfunktionen geeignet transformieren und neben der Summen-/Differenz-/ und Faktorregel die Produkt- und Kettenregel bei der Ableitung zusammengesetzter Funktionen nutzen.

1.3 Bezug zum Kernlehrplan Die vierte Unterrichtssequenz der Reihe setzt den Kompetenzschwerpunkt im Bereich der prozessbezogenen Kompetenzen. Die SuS erweitern ihre Argumentationsfähigkeiten, indem sie eigens aufgestellte Vermutungen mittels ihres mathematischen Wissens beispielgebunden bekräftigen und mit Hilfe bekannter Verfahren allgemeingültig beweisen. Inhaltsbezogene Kompetenzen

Prozessbezogene Kompetenzen

Kompetenz-erwartungen

Argumentieren Kommunizieren

Anwendung der Produkt- und Kettenregel zur Ableitung von Funktionen

Vermutungen aufstellen und beispielgebunden stützen

Math. Regeln und versch. Argumentationsstrategien nutzen

Erklären und Rekonstruktion vorgegebener Argumentationen und Beweise

Erläutern math. Begriffe

Fachsprache verwenden

1.4 Einordnung der Unterrichtsstunde in den Kontext der Reihe

1. Sequenz „Verblüffendes exponentielles Wachstum“ – Wiederholung und Vertiefung von Exponentialfunktionen

2. Sequenz „Auf dem Weg zur e-Funktion“ – Entdeckung der natürlichen Exponentialfunktion ex sowie der Euler’schen Zahl mittels Rückgriff bekannter Methoden.

3. Sequenz „Circle of life of x“ – Die Untersuchung der Umkehrfunktion der natürlichen Exponentialfunktion und der Logarithmengesetze

4. Sequenz

1. UE „Ein Faktor kommt selten allein!“ - Die Erarbeitung der Produktregel der Differentialrechnung

2. UE Vermischte Übungen zur Produktregel der Diff’Rechnung / Beispiel zur vollständigen Induktion

3. UE „Zähmung der Unendlichkeit“ – Die Nutzung des Beweisverfahrens der vollständigen Induktion im Kontext der Produktregel mittels „flipped classroom“

4. UE „inducere g ○ f“: Annäherung an die Erarbeitung der Kettenregel mit Hilfe der vollständigen Induktion

5. UE „Chain rule rules“ – Üben der Kettenregel verknüpfter Funktionen und Rückschau zur Umwandlung von Exponentialfunktionen in die natürliche Exponentialfunktion

6. UE Kombination – Vertiefung der Ableitungsmöglichkeiten verknüpfter Funktionen

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2 Planung der Unterrichtsstunde

2.1 Leitgedanken und Ziele der Stunde Der LAA hat sich bei der Planung der Unterrichtsstunde für die Vorgehensweise des „flipped classroom“ (umgedrehter Unterricht) entschieden. Kern dieses Konzepts ist, dass die „Inputphase“ des Unterrichts, die häufig stark lehrerzentriert ist, im Vorfeld Zuhause stattfindet. Die SuS sind in der Verantwortung, diese Phase eigenständig zu durchlaufen. Typischerweise werden dazu Erklärvideos verwendet. Idealerweise kommen die SuS dann vorbereitet in den Unterricht, bei dem die (wertvolle) Unterrichtszeit nun für die Klärung von Verständnisfragen, die Anwendung, Vernetzung, Festigung und Reflexion des Gelernten verwendet wird. Diese Art der Umstrukturierung von Lehr-Lern-Prozessen wird in vielen Bereichen der universitären Bildung, aber auch in Schulen vermehrt eingesetzt. F. Fähnrich und C. Thein unterrichten in Baden-Württemberg die gesamte Kursstufe in diesem Stil, wofür sie von der MNU mit dem 1. Preis im Wettbewerb für innovative Unterrichtsmethoden ausgezeichnet worden sind. [FAE] Es ergeben durch die Umstrukturierung eine Reihe von Vorteilen: SuS haben die Möglichkeit, den Sachverhalt in der Inputphase in ihrer eigenen Lerngeschwindigkeit zu verstehen. Dabei besteht die Option, permanent und individuell etwas zu wiederholen oder pausieren sowie eine weitergehende Recherche. Diese Art des Lernens entspricht zudem der faktischen Art der Aneignung von Wissen und Fähigkeiten vieler Menschen in der Wissensgesellschaft. Gleichzeitig entstehen neue Anforderungen auf Seiten der Lehrenden und Lernenden. Das Anschauen der Videos darf nicht in einem ziellosen Konsum ausarten, bei dem womöglich noch gleichzeitig mit Freunden kommuniziert oder andererseits eine Ablenkung stattfindet. Verpflichtende Begleitaufgaben können hier zu einer höheren Aktivität führen. Allen Beteiligten muss klar sein, dass die Vorbereitung Zuhause Grundlage für eine vertiefende Diskussion im Unterricht ist. Insbesondere findet eine hohe Verantwortungsübertragung auf SuS statt, die i.d.R. auch nur in der Oberstufe zu rechtfertigen ist. Da diese Voraussetzungen in diesem Kurs gegeben sind, hat sich der LAA bewusst für diese Form der Gestaltung der Lehr-Lernprozesse entschieden. Zudem erfährt diese Struktur eine Rechtfertigung als Vorbereitung auf zukünftige Formen der Wissensvermittlung. Naturwissenschaftliche Studiengänge sind besonders prädestiniert für die Umstellung auf das „flipped“-Format.

2.1.1 Gegenstand Beweisverfahren der vollständigen Induktion und Produktregel der Differentialrechnung. Mit Hilfe des Verfahrens der vollständigen Induktion ist es möglich, mathematische Aussagen über natürliche Zahlen allgemeingültig zu beweisen. Damit wird der Begriff der „Zähmung der Unendlichkeit“ verständlich, da das Verfahren genau dies leistet. Mit der Produktregel der Diff‘Rechnung können Produkte von Funktionen abgeleitet werden.

2.1.2 Thema „Zähmung der Unendlichkeit“ – die Nutzung des Beweisverfahrens der vollständigen Induktion im Kontext der Produktregel mittels „flipped classroom“.

2.1.3 Schwerpunktlernziel Die SuS erweitern und vernetzen ihre Kenntnisse im Bereich des Argumentierens, indem sie induktives Schlussfolgern und die Produktregel der Differentialrechnung kombinieren und zur Begründung vermuteter innermathematischer Sachverhalte heranziehen.

Abbildung 1: Flipped Classroom [FAE]

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2.2 Planung des Stundenverlaufs

Name: Julian Hundt Lerngruppe: Q1M2 Mathematik (LK) Datum: 15.01.2016

11:40 – 12:25

STUNDENTHEMA: „Zähmung der Unendlichkeit“ – die Nutzung des Beweisverfahrens der vollständigen Induktion im Kontext der Produktregel mittels „flipped classroom“ ZIEL: Die SuS erweitern und vernetzen ihre Kenntnisse im Bereich des Argumentierens, indem sie das Beweisverfahren der vollständigen Induktion und die Produktregel der Differentialrechnung kombinieren und zur Begründung Sachverhalte heranziehen.

Phasen Unterrichtsgeschehen Did./Meth. Kommentar Sozialform

Medien

Begrüßung/ Organisatorisches

L. stellt Gäste vor L. erkundigt sich nach Unklarheiten

LV SmartBoard (SB) SB-Folie „Dominosteine“:

Einstieg I Aktivierung von Vorwissen Motivierung Ankommen im Lernkontext

Impuls: L. weist auf Reihe aus Dominosteinen hin. L. spielt Video ab. L. „Was sind die wesentlichen Elemente der vollständigen Induktion?“ „Stellt einem Nachbarn eure Ideen zur Aufgabe 2 wechselseitig kurz vor.“ … L. im Plenum: Welche Aspekte sind wesentlich bei der vollständigen Induktion?“ Bei passenden SuS-Antworten Ergänzungsvideo-Clips abspielen. [Eventuell: Vorgehen induktiver Beweis wiederholen (lassen).]

Bezug zur Hausaufgabe (Nr. 1-2) Metaphern als mentale Stütze des Beweisprinzips. Meta-Kommunikation / Reflexion über das (Zuhause!) Gelernte Flipped Classroom TPS-Grundmuster.

Antizip. SuS-Antworten: Induktionsschritt u. Induktionsanfang

Dabei: Klärung offener Fragen & Verständnisproblemen

UG SmartBoard (SB) SB-Folie „Dominosteine“:

SB-Videos: „Dominosteine“ SB-Folie HA Nr. 2:

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Einstieg II Vernetzung Sicherung der HA-Ergebnisse

Aufgabe 3 Präsentation der Lösung(en) [Je nach Bearbeitungsgrad: Zusatzaufgabe Lösung? n= 63. Präsentation der Lösung(en)]

A3: Rekonstruktion u. Versprachlichung einer Argumentation ( Kommunizieren) Offene Fragen klären über Beweisprinzip Optional: Zusatzaufgabe: Anwendung „kleiner Gauß“

UG / Präsentation

Arbeitsblatt (Hausaufgabe) SB-Folie:

Erarbeitung Anfertigung des Lernprodukts Sicherung der HA

L. erklärt Ablauf der folgenden Arbeitsphase „Ihr kennt schon die Ableitung einer Potenzfunktion xn“ Induktiver Beweis möglich! Versucht zunächst alleine, den Beweis selber zu führen. Danach diskutiert in vorgegebenen 3er-Gruppen eure Lösungen. Nutzt die „Tipp-Gläser“ und erläutert die Beweisschritte! und bereitet euch darauf vor, eure Ergebnisse erläutern zu können. L. teilt Arbeitsblatt aus. Startet Uhr. SuS bearbeiten Aufgabe auf AB.

TPS-Grundmuster. Transfer des Gelernten auf neues Problem: Wo u. wie hilft vollständige Induktion? (SuS-Frage) Kraft der Kombination:

1. Vollst. Induktion 2. Produktregel

Rekonstruktion u. Versprachlichung einer Argumentation „Tipp-Gläser“ zur Differenzierung.

EA PA

Arbeitsblatt (neu) SB-Folie:

“Tipp-Gläser“ + Zusatzaufgabe

Sicherung Diskussion des Lernprodukts

Diskussion und Fixierung der Ergebnisse. Verortung der Begriffe Induktionsanfang, -voraussetzung, -schluss. [optional: Reflexion L. „Warum überhaupt ein alternativer Beweis?“]

Kraft der Kombination! Geplantes Stundenende. Zusatzaufgabe als did. Reserve vorhanden.

UG / Präsentation

AB:2 SB-Folie:

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2.3 Hausaufgaben Im Rahmen der Vorgehensweise des „flipped classroom“ wurde die Bearbeitung des Arbeitsblatts „Vollständige Induktion“ als Hausaufgabe aufgegeben. Basis dieser sind zwei Erklärvideos, eines von Prof. C. Spannagel (PH Heidelberg [SPA]); das zweite ist vom LAA angefertigt [HDT].

3 Anhang

3.1 Quellen FAE: Fähnrich, Thein: Internetquelle: www.fliptheclassroom.de (Stand 20.12.2015) SPA: Spannagel et. Al.: Internetquelle: mathe-mocc: www.iversity.org (Stand 27.12.2015) HDT: Hundt, Internetquelle: www.schulinformatik.info (Stand 27.12.2015) MAH: Abschlussarbeit Hundt, Abschnitt 3.3.3: Internetquelle: http://schulinformatik.info/wp-content/uploads/2015/06/Masterarbeit_Projektkurse_Hundt.pdf KLP: Kernlehrplan Mathematik für die Sekundarstufe II Gymnasium/Gesamtschule NRW

3.2 Mögliches Tafelbild

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3.3 Arbeitsmaterialien

3.3.1 Arbeitsblätter Die Bearbeitung des ersten Arbeitsblatts ist Hausaufgabe zur Unterrichtsstunde. Das zweite wird während der Unterrichtsstunde bearbeitet.

3.4 Ergänzendes Material

3.4.1 „Tipp-Gläser“

3.4.2 Zusatzaufgabe

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3.5 Antizipierte Schülerlösungen der Arbeitsmaterialien

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