101. Auflage 1 7 6 5 4 3 | 17 16 15 14 13 Alle Drucke dieser Auflage sind unverändert und können im Unterricht nebeneinander verwendet werden. Die letzte Zahl bezeichnet das Jahr

ISBN 978-3-12-742602 -1

Schnittpunkt Serviceband – der Service für die Vorbereitung und

die Durchführung Ihres Unterrichts!

Der Serviceband ist in drei Teile gegliedert:

– Kommentare (K): Im ersten Teil finden Sie unterrichtspraktische Hinweise,

Kommentare und Anregungen für Ihre Unterrichtsvorbereitung.

– Serviceblätter (S): Der zweite Teil bietet Ihnen rund 80 passgenau auf

das Schülerbuch abgestim mte und direkt einsatzfähige Kopiervorlagen

und die ent sprechenden Lösungen. Sie finden hier Übungen zur Differen

zierung, ansprechende Spiele und Arbeitsblätter, die die Inhalte des

Schülerbuches kumulierend aufgreifen.

– Lösungen (L): Im dritten Teil finden Sie alle Lösungen und Lösungs

hinweise zu den Aufgaben des Schülerbuches.

S

ervi

ceb

and

Schn

ittp

unkt

M

ath

emat

ik

10

SchnittpunktMathematik

Serviceband

10

Rheinland-Pfalz

DO01742602_Umschlag.indd 25.06.2010 11:13:19 Seite: 1 [Farbbalken für Fogra39] CyanDO01742602_Umschlag.indd 25.06.2010 11:13:19 Seite: 1 [Farbbalken für Fogra39] MagentaDO01742602_Umschlag.indd 25.06.2010 11:13:19 Seite: 1 [Farbbalken für Fogra39] YellowDO01742602_Umschlag.indd 25.06.2010 11:13:19 Seite: 1 [Farbbalken für Fogra39] BlacK

MathematikRheinland-Pfalz

Serviceband

Rainer DedlmarGerd DermannBernd-Jürgen FreyNicolas KümmerleManfred PalteRainer Pongs

bearbeitet vonIlona BernhardVolker Müller

Ernst Klett VerlagStuttgart · Leipzig

Schnittpunkt 10

DO01742602_K00_Titelei.indd 27.07.2010 09:43:35 Seite: 1 [Farbbalken für Fogra39] CyanDO01742602_K00_Titelei.indd 27.07.2010 09:43:35 Seite: 1 [Farbbalken für Fogra39] MagentaDO01742602_K00_Titelei.indd 27.07.2010 09:43:35 Seite: 1 [Farbbalken für Fogra39] YellowDO01742602_K00_Titelei.indd 27.07.2010 09:43:35 Seite: 1 [Farbbalken für Fogra39] BlacK

1. Auflage 1 7 6 5 4 3

| 17 16 15 14 13

AlleDruckedieserAuflagesindunverändertundkönnenimUnterrichtnebeneinanderverwendetwerden.DieletzteZahlbezeichnetdasJahrdesDruckes.DasWerkundseineTeilesindurheberrechtlichgeschützt.JedeNutzunginanderenalsdengesetzlichzugelassenenFällenbedarfdervorherigenschriftlichenEinwilligungdesVerlages.Hinweis§52aUrhG:WederdasWerknochseineTeiledürfenohneeinesolcheEinwilligungeingescanntundineinNetzwerkeingestelltwerden.DiesgiltauchfürIntranetsvonSchulenundsonstigenBildungseinrichtungen.FotomechanischeoderandereWiedergabeverfahrennurmitGenehmigungdesVerlages.AufverschiedenenSeitendiesesHeftesbefindensichVerweise(Links)aufInternet-Adressen.Haftungshinweis:TrotzsorgfältigerinhaltlicherKontrollewirddieHaftungfürdieInhaltederexternenSeitenausgeschlossen.FürdenInhaltdieserexternenSeitensindausschließlichdieBetreiberverantwortlich.SolltenSiedaheraufkostenpflichtige,illegaleoderanstößigeInhaltetreffen,sobedauernwirdiesausdrücklichundbittenSie,unsumgehendperE-MaildavoninKenntniszusetzen,damitbeimNachdruckderVerweisgelöschtwird.

©ErnstKlettVerlagGmbH,Stuttgart2010.AlleRechtevorbehalten.www.klett.de

Autoren:RainerDedlmar,Nürtingen;GerdDermann,Ludwigsburg;RolandEberle,Ostfildern;Bernd-JürgenFrey,Altbach;HeidemarieFrey,Altbach;NicolasKümmerle,Leonberg

bearbeitet von:IlonaBernhard,Obermoschel;VolkerMüller,Isenburg

Redaktion:AnnetteThomas,ElkeLinzmaier

Zeichnungen / Illustrationen:Imprint,Zusmarshausen;mediaofficegmbh,Kornwestheim;DorotheeWolters,Köln

DTP / Satz:Imprint,Zusmarshausen;mediaofficegmbh,KornwestheimReproduktion:Meyle+Müller,Medien-Management,PforzheimDruck:CEWECOLORAG&Co.OHG,Germering

PrintedinGermanyISBN978-3-12-742602-1

Schnittpunkt 10, MathematikRheinland-Pfalz

Begleitmaterial:Service-CD(ISBN978-3-12-740304-6)Mathetrainer,Netzlizenz(ISBN978-3-12-114839-4)

BildnachweisUmschlag: GettyImagesDeutschlandGmbHS 47: iStockphoto(KlaasLingbeck-vanKranen)Calgary,Alberta

Nicht in allen Fällen war es uns möglich, den Rechteinhaber der Abbildungen ausfindig zu machen. Berechtigte Ansprüche werden selbstverständlich im Rahmen der üblichen Vereinbarungen abgegolten.

DO01742602_K00_Titelei.indd 2 12.12.2013 13:08:54

Vorbemerkungen III

Das Fachwerk des Schnittpunkt

Mit dem neuen Lehrplan ist der Mathematikunter-richt vielfältigen neuen Anforderungen ausgesetzt. Um Sie im Umgang mit den neuen Aspekten des Unterrichts zu unterstützen und Ihnen die Unter-richtsvorbereitung und -durchführung zu erleich-tern, bieten wir Ihnen neben dem neu entwickelten Schülerbuch ein umfangreiches und differenziertes Begleitmaterial. Das neue Schülerbuch, das nach wie vor die solide Grundlage des Unterrichts dar-stellt, wird ergänzt durch den vorliegenden Serviceband, eine ServiceCD und ein Lösungsheft. Alle vier Materialien sind passgenau aufeinander abge-stimmt und bilden somit ein Gesamtgebäude, das Fachwerk, für den modernen Mathematikunterricht in den mittleren Schulformen.

Das Schülerbuch

In den letzten Jahren hat sich die Sicht auf den Erwerb von Wissen, Kenntnissen und Fähigkeiten verändert. Im Vordergrund stehen – die Kompetenzen, die die Lernenden im Umgang

mit exemplarischen Inhalten erwerben, statt der Inhalte an sich.

– die Vernetzung des Wissens und eine flexible Verfügbarkeit in unterschiedlichen Situationen, statt isolierter Kenntnisse im Detail.

Der Mathematikunterricht soll sich verändern. Dazu trägt der neue Schnittpunkt bei, indem er folgende Aspekte berücksichtigt:– Die Grundlage der Vernetzung von Wissen ist

eine klare Struktur und eine sichere Orientie-rung: Die Struktur des Bandes (Kapitel, Lerneinheiten, innermathematische Struktur) und der sorgfältig durchdachte Lehrgang sichern das Basiswissen und ermöglichen Querverbindungen.

– Sinnstiftendes, verständnisorientiertes Mathe-matiklernen rückt in den Vordergrund: Dazu werden größere thematische Einheiten (in Lerneinheiten und Themenblöcken) geschaffen und – wo sinnvoll – Kleinschrittigkeit (von der Lerneinheit bis in einzelne Aufgaben) aufgelöst.

– Der Erwerb von Kompetenzen und das Metho-denlernen wird übergeordnetes Ziel: Die Schülerinnen und Schüler werden nicht mehr nur zum Algorithmen-Abarbeiten, sondern zur Einsicht, warum welcher Algorithmus und wel-che Methode sinnvoll eingesetzt werden kann, hingeführt (Methodenkästen und Aufgabenstel-lungen).

– Die Eigenverantwortung der Lernenden wird ge-stärkt: Selbstständiges Lernen wird gefördert und unterstützt (schülergerechte Formulierung der Lernziele, Aufgaben mit Selbstkontrolle, Zu-sammenfassungsseiten, Rückspiegel in zwei Niveaus).

– Das Basiswissen wird gesichert: Grundfertigkeiten und -kenntnisse behalten einen hohen Stellenwert (vielfältige Aufgaben, Zusammenfassungsseiten, Rückspiegel).

– Das erworbene Wissen wird innermathematisch und außermathematisch vernetzt: Mathematische Inhalte knüpfen aneinander an und außermathematische Bezüge haben einen Platz im Standardlehrgang (Auftaktseiten, Üben • Anwenden • Nachdenken, Themenblöcke u. Ä., aber auch Standardaufgaben).

Die Elemente des Schülerbuches

Die Kapitel arbeiten ein mathematisches Thema auf und sind in einzelne Lerneinheiten untergliedert.

Der doppelseitige Kapitelauftakt bietet vielfältige Anregungen und Angebote, die Schüler aktiv auf das neue Thema einzustimmen, das Vorwissen zu aktivieren und zu bündeln und einen Ausblick auf die Kapitelinhalte zu geben.

Die Einstiege in die Lerneinheiten beginnen mit einer Einstiegsaufgabe, die anhand verschiedener Fragen und Anregungen auf ein Problem hinführt und Möglichkeiten zum Mathematisieren bietet. Lehrtext und Merkkasten sowie wichtige Beispiele folgen.

Der Aufgabenteil ist entsprechend den Anforde-rungen der neuen Aufgabenkultur gestaltet und prinzipiell nach Schwierigkeitsgrad und Komplexität ansteigend geordnet. Schwierige Aufgaben sind durch eine blaue Aufgabennummer gekennzeichnet.

In den Aufgabenteil der Lerneinheiten sind Kästen mit unterschiedlichen Angeboten integriert:

Thema

Ein Thema wird durch Texte, Bilder und Dia-gramme präsentiert, Aufgaben und Fragen zum Thema regen zum Modellieren an, insbesondere kumulative und komplexere Aufgaben finden hier Platz.


IV Vorbemerkungen

Schaufenster

Hier sind folgende Fenster zu finden:

Knobeln

Information

Spielen

Gedankenexperimente

Die Schaufenster können zur Differenzierung ge-nutzt werden.

Methode

Hier werden fachspezifische Methoden und Situationen, in denen sie sinnvoll genutzt wer-den können, vorgestellt. Die Methoden haben Werkzeugcharakter und vermitteln den Schülern Handlungskompetenz.Methodenkästen des Schülerbuches – Tilgungsplan mit dem Computer

(Schülerbuchseite 105)– Tipps und Tricks bei Diagrammen

(Schülerbuchseite 108)– Diagramme und ihre Wirkung

(Schülerbuchseite 114)– Tabelle statt Baum

(Schülerbuchseite 130)– Verkürzte Baumdiagramme

(Schülerbuchseite 137)

Anstoß

Themen, die zum Entdecken, Weiterfragen und Weiterdenken anregen und sich besonders für eine ausführliche Behandlung im Rahmen eines Projektes eignen.

Am Kapitelende greifen drei Elemente ineinander:– Die Zusammenfassung stellt im Lexikonstil (Be-

griff, Erklärung, Beispiel) die neuen Inhalte des Kapitels dar. Die Seite ist farbig hervorgehoben, um das Nachschlagen zu erleichtern. So können die Schülerinnen und Schüler kleinere Wissens-lücken jederzeit füllen.

– Üben • Anwenden • Nachdenken bietet Aufga-ben zur Sicherung von Basiswissen (Üben), zur Verknüpfung mit außermathematischen Inhalten (Anwenden) und zur weiterführenden Lösung von Problemen (Nachdenken).

– Der Rückspiegel fordert die Schülerinnen und Schüler zu eigenverantwortlichem Lernen auf. Differenziert in zwei Niveaus können sie individu-ell Wissen, Fertigkeiten und Kompetenzen testen sowie Lücken aufspüren und aufarbeiten. Die Lösungen finden sie zur Selbstkontrolle am Ende des Buches.

SammelpunktDie umfassende Aufgabensamlung am Ende des Buches deckt alle Leitideen der Bildungsstandards ab und bietet die Möglichkeit, am Ende der Schul-zeit noch einmal zu überprüfen, inwieweit alle Kom-petenzen erreicht wurden und wo noch Übungsbe-darf besteht. Da die Lösungen zu allen Aufgaben im Anhang stehen, sind die Aufgaben auch zum eigenständigen Wiederholen und Üben geeignet. Die Aufgaben haben bewusst kumulativen Cha-rakter, um auch vernetztes Wissen einzufordern. Sie sind immer der Leitidee zugeordnet, in der sie einen Schwerpunkt haben. Jede Aufgabe hat drei Teilaufgaben in steigendem Niveau.

Der Serviceband

Der Serviceband möchte Ihnen mit seinen Kom-mentaren und Hinweisen, den rund 80 Kopiervor-lagen und den Lösungen des Schülerbuches einen zuverlässigen und weitreichenden Service für Ihren Unterricht bieten und Sie sowohl bei Ihrer Unter-richtsvorbereitung als auch in der Durchführung eines zielgerichteten und den Bildungsstandards entsprechenden Unterrichts entlasten. Entsprechend der unterschiedlichen Nutzen für die Unterrichtsvor-bereitung und -durchführung haben wir den Service-band in drei Teile gegliedert, die durch eine an der Seite sichtbare Griffmarke und eine differenzierte Seitennummerierung leicht zu finden sind.

Im ersten Abschnitt finden Sie den Kommentarteil, der Ihnen wertvolle Hinweise für Ihre Unter-richtsvorbereitung bietet. Der zweite beinhaltet die 83 Serviceblätter mit Hinweisen und den zugehörigen Lösungen. Die Serviceblätter können im Unterricht als Kopiervorlage an die Lernenden verteilt werden. Im dritten Abschnitt finden Sie zur schnellen Kontrolle im Unterricht die Lösungen des Schülerbuches.

Der Übersichtstabelle auf den Seiten VII bis IX kön-nen Sie jeweils die entsprechenden Kommentarsei-ten, Serviceblätter und Lösungsseiten zu der gerade im Unterricht behandelten Lerneinheit entnehmen.


Vorbemerkungen V

Der Kommentarteil (Seite K 1 bis K 81)

Der Kommentarteil ist wie das Schülerbuch struktu-riert. Sie finden zu jedem Kapitel Kommentare, die unterschiedlichen Rubriken zugeordnet sind und Antworten auf die folgenden Fragen geben können:

Kommentare zum Kapitel– Intention und Schwerpunkt des Kapitels Welche Hauptintentionen verfolgt das Kapitel? – Bezug zum Lehrplan Welchen Leitideen und Kompetenzen können die

Inhalte des Kapitels zugeordnet werden? – Weiterführende Hinweise (nicht zwingend vorhanden) Wo finde ich pas-

sende Literatur, was kann ich bei der Bearbei-tung des Kapitels beachten?

Kommentare zur Auftaktseite– Was ist das Ziel der Auftaktseite? Wo wird an

Vorwissen angeknüpft? Wie werden die Inhalte vorbereitet? Welches weiterführende Informati-onsmaterial kann ich mir anschauen? Auf welche Probleme könnten die Lernenden stoßen?

Kommentar zu den Lerneinheiten– Intention der Lerneinheit Was sind die Hauptintentionen der Lerneinheit? – Einstiegsaufgabe Wie bereitet die Aufgabe die Inhalte der Lernein-

heit vor? Was ist zu beachten, was zu fordern? – Alternativer Einstieg (nicht zwingend vorhanden) Bietet sich für mei-

ne Schülerinnen und Schüler in dieser Lernein-heit ein anderer Einstieg als der im Schülerbuch vorgeschlagene an? Warum?

– Tipps und Anregungen für den Unterricht (nicht zwingend vorhanden) Gibt es weiterfüh-

rende Literatur, Internetadressen? Welche < Ser-viceblätter finde ich wo mit welchem Inhalt?

– Aufgabenkommentare Hier finden Sie Kommentare zu ausgewählten

Aufgaben, unter anderem weiterführende Frage-stellungen, mögliche Lösungsstrategien, Hinwei-se auf potenzielle Fehlerquellen, Anregungen für besondere Unterrichtsformen und Verweise auf entsprechende < Serviceblätter. Insbesondere finden Sie auch Hinweise auf die dem Lehrplan zugrundeliegenden Leitideen, die neue Aufga-benkultur (offene, kumulative Aufgaben etc.) und die Niveaudifferenzierung.

Exemplarischer Kommentar

In den Exemplarischen Kommentaren finden Sie detaillierte Beschreibungen und Erläuterungen zu verschiedenen Themen des Lehrplans und der Mathematikdidaktik. Auf die Inhalte dieser Exemplarischen Kommentare wird im weiteren Verlauf des Kommentarteils bei unterschiedlichen Auf-gaben, die das Thema wieder aufgreifen oder ansprechen, häufiger verwiesen.

Neben diesem Sonderelement finden Sie im Kom-mentarteil auch einige Exkurse:

Exkurs

Zu einigen Aufgaben bieten wir mathematische Lösungen, die über die schülergerechten Lö-sungen des Lösungsteils hinausgehen. Außerdem finden Sie in den Exkursen weiterführende Sach-informationen oder didaktische Hinweise zu den auf den Auftaktseiten oder in den Aufgaben an-gesprochenen außer- und innermathematischen Themen.

Eine Aufstellung der Exemplarischen Kommentare und Exkurse findet sich in der Übersichtstabelle auf den Seiten VII bis IX.

Im Kommentarteil wird auf Kommentare in den vor-hergehenden Servicebänden verwiesen:Schnittpunkt Serviceband 5, ISBN 978-3-12-742652-6; Schnittpunkt Serviceband 6, ISBN 978-3-12-742662-5;Schnittpunkt Serviceband 7, ISBN 978-3-12-742672-4;Schnittpunkt Serviceband 8, ISBN 978-3-12-742682-3;Schnittpunkt Serviceband 9, ISBN 978-3-12-742692-2. Die im Kommentarteil aufgeführten Befehle und Screenshots zu MS-Excel® basieren auf MS-Excel® 2000; je nach Version können sie variieren.

Der Serviceteil (Seite S 1 – S 107)

Zu Beginn des Serviceteils befinden sich einige Vorbemerkungen zu den verschiedenen Arten der Serviceblätter und zu ihrem möglichem Einsatzge-biet (vgl. Seite S 1 – S 3). Im mittleren Teil befinden sich die Serviceblätter selbst (Seite S 4 – S 86) und am Ende haben wir die Lösungen der Serviceblätter zusammengestellt (Seite S 87 – S 107).


VI Vorbemerkungen

Der Serviceteil beinhaltet 83 Serviceblätter, von denen 55 direkt den einzelnen Kapiteln des Schü-lerbuches zuzuordnen und auch in einer entspre-chenden Abfolge zu finden sind. Die Serviceblätter wurden im Unterricht erprobt und sind als Erweiterung, Variation und Differenzie-rung der Inhalte des Schülerbuches zu verstehen. Sie finden hier weiterführende Übungen, Spiele, Knobeleien, Bastelanleitungen und viele Aufgaben zur Förderung der Kompetenzen Begründen und Argumentieren. Die meisten Serviceblätter sind selbsterklärend. Der Kommentarteil beinhaltet je-weils einen Verweis auf das Serviceblatt (durch das < Pfeil-Symbol leicht zu finden), der auch einen Hinweis auf den optimalen Einsatz der Kopiervorla-ge bietet. Neben diesen kapitelbezogenen Serviceblättern befinden sich am Ende des Serviceteils auch 28 Kopiervorlagen, die jeweils als Hausaufgaben über den Verlauf einer Woche gedacht sind. In den Vor-bemerkungen des Serviceteils befindet sich eine genaue Aufstellung über den möglichen Einsatz dieser Serviceblätter (vgl. Seiten S 2/3). Am Ende finden Sie die Lösungen derjenigen Ser- viceblätter, die keine Selbstkontrolle (etwa durch ein Lösungswort oder eine Partnerkontrolle) enthal-ten.

Der Lösungsteil (Seite L 1 – L 108)

Der dritte und letzte Teil des Servicebandes bein-haltet alle Lösungen des Schülerbuches. Die Rei-henfolge ist die des Schülerbuches: Aufgaben der Auftaktseite, Einstiegsaufgaben der Lerneinheiten, Aufgaben, Sonderelemente wie Schaufenster und Methodenkästen, Aufgaben der Randspalte. Bei offenen Aufgaben haben wir meist beispiel-hafte Fragen und/oder Lösungen angegeben, die keinen Anspruch auf Vollständigkeit erheben. Bei einigen Aufgaben, die individuelle Lösungen einfor-dern und ermöglichen, haben wir auf die Angabe einer Lösung verzichtet. Der Lösungsteil des Servicebandes ist identisch mit den Inhalten des Lösungsheftes.

Die ServiceCD

Der Einzug des Computers in den Unterricht und die Entwicklung grundlegender Fähigkeiten im Umgang mit neuen Medien ist nicht mehr allein Aufgabe eines speziellen Lehrgangs. Die informa-tionstechnische Grundbildung soll im Zusammen-spiel der verschiedenen Fächer und Fächerverbünde erworben werden. Diesem Ansatz will die Service-

CD als ein weiterer passgenau abgestimmter Baustein des Fachwerks Rechnung tragen. Die CD bietet demzufolge eine Fülle von Materialien, die Sie in der Vorbereitung und Durchführung Ihres Un-terrichts unterstützen können:– Die Serviceblätter: Weitgehend identisch mit

den Serviceblättern, die auch im Serviceband zu finden sind. Auf der CD finden Sie diese jedoch im praktikablen Word-Format, so dass Sie die angebotenen Inhalte nach Ihren Bedürfnissen verändern oder aus vorhandenen Aufgaben neue Kopiervorlagen zusammenstellen können.

– Interaktive Arbeitsblätter in den Datei-Formaten Word, Excel, html oder auf Basis der interaktiven Mathematiksoftware Geonext (im Lieferumfang enthalten). Die Arbeitsblätter sind für den Ein-satz im Unterricht konzipiert und technisch so auf der CD abgelegt, dass sie schnell auch ins Schulnetz überspielt werden können.

– Werkzeuge, die Ihnen beim Erstellen von Vorlagen behilflich sind. So können Sie beispielsweise einen Zahlenstrahl, verschiedene Koordinaten-systeme oder Netzdarstellungen von Körpern erstellen und als Kopiervorlagen aus drucken.

– Simulationen, Animationen und Fotos, die Ge-sprächsanlass bieten, um komplexe Fragestel-lungen anschaulich aufzugreifen.

Bewusst wurde beim Erstellen der Medien auf Mo-dularität einerseits und die Nutzung von Standard-programmen andererseits geachtet, da dies den Einzug von IT-Bestandteilen in den Mathematik- unterricht unterstützen soll.Die Service-CD ist so aufgebaut, dass Sie die Me-dien, die zu der momentanen Unterrichtssituation passen, problemlos und schnell finden können. Eine komfortable Suchfunktion, Vorschaugrafiken auf die Medien und die Nutzung der freigeschalteten Medi-en im Schulnetz runden das Konzept ab.

Das Lösungsheft

Im Sinne des eigenverantwortlichen und selbst-ständigen Lernens bieten wir für die Schülerinnen und Schüler und die Eltern ein Lösungsheft an, das ohne den Schulstempel im freien Verkauf erhältlich ist. Es ist identisch mit dem Lösungsteil des Service-bandes.


Vorbemerkungen VII

Lerneinheit Kommen-tarteil

Exemplarische Kommentare und Exkurse

Serviceblatt Lösungen des Serviceblattes

Lösungen Aufgaben

Die mit K bezeichneten Seiten beziehen sich auf den Kommentarteil, die mit L bezeichneten Seiten verweisen auf den Lösungsteil am Ende des Servicebandes. Alle mit S bezeichneten Seiten definieren den Serviceteil in der Mitte des Buches.

1 Quadratische Funktionen und Gleichungen

K 1 – Didaktische Leitlinien zum Umgang mit Funktionen in der Schule, K 2

< Funktionale Aspekte von Formeln, S 4 S 87 L 1

Immer geradeaus? K 4 L 1

1 Die quadratische Funktion y = x 2

K 5 L 1

2 Die quadratische Funktion y = x 2 + c

K 6 – Typische Fehler bei quadratischen Funkti-onen, K 7

< Normalparabel, S 5 S 87 L 3

3 Die quadratische Funktion y = a x 2 + c

K 7 – Die Kompetenzen „mathematisch Kom-munizieren“ und „argu-mentieren“, K 8

– Die Kompetenz „Ma-thematische Darstel-lungen verwenden“, K 9

L 3

4 Die rein quadratische Glei-chung. Grafische Lösung

K 9 L 7

5 Die rein quadratische Glei-chung. Rechnerische Lösung

K 10 < Nullstellensalat, S 6< Nullstellensalat, Lösungsblatt, S 7

L 9

6 Die gemischt quadratische Funktion y = a x 2 + b x + c

K 11 < Funktionsgraph und Gleichung, S 8< Tandembogen: Funktionen, S 9< Legespiel – Quadratische Funktionen

(1) und (2), S 10 und S 11

L 11

7 Die gemischt quadratische Gleichung. Grafische Lösung

K 12 < Quadratische Funktionen - Partnerarbeitsblatt 1 und 2, S 12 und S 13

L 13

8 Die gemischt quadratische Gleichung. Rechnerische Lösung

K 13 < Gleichungs-Salat, S 14< Typische Fehler bei einfachen

gemischt quadratischen Gleichungen, S 15

< Typische Fehler bei schwierigen gemischt quadratischen Gleichungen, S 16

S 88S 88

S 88

L 18

9 Modellieren K 15 – Die Kompetenz „Mathematisch modellieren“, K 15

– Beispiel einer Model-lierungsaufgabe, K15

L 22

Üben • Anwenden • Nachdenken

K 17 L 24


VIII Vorbemerkungen




Lösungen Aufgaben

2 Potenzen K 18 L 29

Kann es sein, dass … K 19 L 29

1 Potenzen K 19 L 29

2 Potenzen mit gleicher Basis K 20 < Tandembogen: Potenzen mit gleicher Basis, S 17

< Rund um die binomischen Formeln, S 18

S 88

L 30

3 Sehr groß – sehr klein K 20 < Unser Sonnensystem, S 19< Größenvergleiche von 10-12 cm

bis 10 27 cm, S 20

S 88 L 32

4 Potenzen mit gleichen Exponenten

K 22 – Typische Fehler beim Rechnen mit Potenzen, K 22

– Mit symbolischen, formalen und tech-nischen Elementen der Mathematik umgehen, K 23

– Mathematisch argu-mentieren, K 24

< Tandembogen: Potenzen mit gleichem Exponenten, S 21

< Potenzrechnen – Partnerarbeits - blatt 1 und 2, S 22 und S 23

< Mindmap Potenzen, S 24

S 89

S 89

L 33

5 Potenzen mit gebrochenen Exponenten

K 25 L 34

6 Potenzfunktionen K 26 L 35


K 26 < Mindmap Potenzen, S 24< Unser Sonnensystem, S 19

S 89S 88

L 36

3 Wachstumsprozesse K 30 – Pluto, K 28 L 40

Bis ins Unendliche? K 31 L 40

1 Wachstum und Abnahme K 31 L 40

2 Wachstumsfaktor und Wachstumsrate

K 32 < Wachstums-Trimino, S 25 L 41

3 Exponentielles Wachstum K 32 L 43

4 Exponentielle Abnahme K 33 < Tandembogen: Wachstum, S 26 L 44

5 Exponentialfunktion K 34 < Tabelle und Graph, S 27< Exponentialfunktionsdomino, S 28< Wachstumslauf, S 29 bis S 31

S 89 L 46

6 Der Logarithmmus K 36 < Radioaktivität, S 32 S 90 L 49


K 36 L 51


Vorbemerkungen IX




Lösungen Aufgaben

4 Sachrechnen K 38 L 55

Abrechnen – Hochrechnen K 38 L 55

1 Zinsrechnen und Zinseszins K 39 < Zinseszins – Schritt für Schritt: rechne und verstehe, S 33

< Zinseszins – mit dem Computer: einfach genial, S 34

S 90

S 90

L 55

2 Zuwachssparen und Ratensparen

K 40 – Sparformen, K41 < Zuwachssparen – Schritt für Schritt: rechne und verstehe, S 35

< Ratensparen – Schritt für Schritt: rechne und verstehe, S 36

< Ratensparen – mit dem Computer: einfach genial, S 37

S 90

S 91

S 91

L 56

3 Darlehen K 41 < Tilgung – Schritt für Schritt: rechne und verstehe, S 38

< Tilgung – mit dem Computer: einfach genial, S 39

< Tilgungsplan, S 40

S 91

S 91

S 91

L 57

4 Diagrame K 42 L 58

5 Daten auswerten K 43 – Die Kennwerte, K 44 < Daten in Diagrammen darstellen, S 41 S 91 L 60

6 Daten beurteilen K 45 – Boxplots sprachlich umsetzen, K 46

< Qualitätskontrollen, S 42 S 93 L 62


K 47 L 64

5 Zufall K 49 – Kombinatorik, K 49 L 68

Stein – Schere – Papier K 49 L 68

1 Ereignisse K 49 < Ereignisse, S 43 S 93 L 68

2 Zusammengesetzte Ereignisse

K 50 – Vereinbare und unver-einbare Ereignisse, K 51

– Ereignisalgebra, K 51

< Tandembogen – Zusammengesetzte Ereignisse, S 44

< Welches Ereignis passt?, S 45

L 69

3 Zweistufige Zufallsversuche K 52 < Baumdiagramme – Teste dein Wissen, S 46

S 94 L 70

4 Vierfeldertafeln K 54 L 73


K 56 < Pralinendose und Ballwurfmaschine – so ein Zufall!, S 47

< Zufallsversuche – Spielereien, S 48

S 94

S 94

L 76





Lösungen Aufgaben

6 Trigonometrie K 57 – Trigonometrie, K 57 < Trigonometrie mit GEONExT, S 49< Schaubild der Sinusfunktion mit

GEONExT, S 55

S 95 L 81

Treppen K 58 – Treppen, K 58 L 81

1 Sinus. Kosinus. Tangens K 59 – Trigonometrie und Ta-schenrechner, K60

< Trigonometrie mit GEONExT, S 49< Tandembogen - Trigonometrie, S 50

L 81

2 Rechtwinklige Dreiecke berechnen

K 61 – Aristarch von Samos, K 61

L 82

3 Besondere Werte K 65 L 85

4 Allgemeine Dreiecke berechnen

K 67 – Problemlösen in der Geometrie, K 68

< Flächenberechnung beim Dreieck, S 51< Flächenberechnung im

Koordinatensystem, S 52

S 95

S 96

L 87

5 Sinus- und Kosinussatz* K 70 L 88

6 Trigonometrie in Ebene und Raum

K 71 L 90

7 Sinus uns Kosinus am Einheitskreis

K 75 < Trigonometrie am Einheitskreis mit GEONExT (1) - Anleitung, S 53 und S 54

S 98 L 96

8 Sinusfunktion und Kosinusfunktion

K 76 < Schaubild der Sinusfunktion mit GEONExT, S 55

< Sinus- und Kosinusfunktion mit MS-Excel, S 56

S 98

S 98

L 97

9 Eigenschaften der Winkel funktionen

K 77 L 98


K 78 < Flächenberechnung beim Dreieck, S 51

< Flächenberechnung im Koordinatensystem, S 52

< Grundstücksvermessung mit GEONExT, S 57

S 99

S 99

L 101

Kapitelübergreifendes

< Wochenaufgaben 1 – 28, S 58 – S 86 ab S 99


1 Quadratische Funktionen und Gleichungen K 1

1 Quadratische Funktionen und Gleichungen

Kommentare zum Kapitel

Zwischen den quadratischen Funktionen und den quadratischen Gleichungen besteht ein sehr enger Zusammenhang: Die Nullstellen einer quadratischen Funktion mit y = a x2 + b x + c sind auch die Lösungen der zugehörigen quadratischen Gleichung a x2 + b x + c = 0. Um diesen Zusammenhang zu verdeutlichen und ihn auch zu nutzen, ist es eine didaktisch vernünftige Vorgehensweise, quadratische Funktionen und Gleichungen in einer thematischen Einheit zu behandeln. In vielen Curricula findet sich eine getrennte Behandlung von quadratischen Funktionen und Gleichungen. Damit verbinden sich aber kaum lösbare didaktische Probleme: Werden die Funktionen (komplett) zuerst behandelt, ergeben sich zum einen bald Engpässe in hinreichend motivierenden Aufgabenstellungen, zum anderen tauchen über längere Zeit Unzufriedenheiten über die mangelnde Genauigkeit grafischer Lösungen auf. Werden dagegen die Gleichungen (komplett) zuerst behandelt, verkommt die anschließende Behandlung der Funktionen gleichsam zum Appendix und ist schwer zu vermitteln bzw. zu motivieren. Der Aufbau dieses Kapitels verbindet daher die beiden Themen, indem zunächst quadratische Funktionen mit zunehmender Komplexität jeweils anhand interessanter Phänomene betrachtet und ihre Eigenschaften untersucht werden. Im unmittelbaren Kontext werden dann entsprechende Gleichungen zunächst grafisch gelöst, bevor anschließend rechnerische Lösungsverfahren mit erforderlicher Genauigkeit hergeleitet werden. Anschließend werden dann grafische und rechnerische Aspekte bzw. Lösungsverfahren gegenübergestellt, somit können die eingangs angesprochenen Zusammenhänge verdeutlicht werden.Quadratische Funktionen stellen die Weiterführung der linearen Funktionen dar und quadratische Gleichungen bilden den Abschluss der Gleichungslehre in der Sekundarstufe I. Der Einstieg in das Thema „Quadratische Funktionen“ erfolgt über die Betrachtung von Parabeln und ihren Merkmalen, ausgehend von der Normalparabel. Mithilfe von Wertetabellen wird die grafische Darstellung von nichtlinearen Funktionen eingeführt. Quadratische Gleichungen werden über die Berechnung der Nullstellen quadratischer Funktionen thematisiert. Hierbei ist es wichtig, die unterschiedlichen Interpretationen herauszuarbeiten: im Kapitel Wurzeln im 9. Jahrgang wurde die eindeutige Bestimmbarkeit der Quadratwurzel betont, hier steht dies der

Tat sache gegenüber, dass rein quadratische Gleichungen zwei Lösungen haben. Über die Nullstellenbetrachtung in Verbindung mit den zugehörigen Funktionsgleichungen kann dies ebenso deutlich gemacht werden, wie über das Betrachten der beiden linearen Faktoren nach dem Faktorisieren quadratischer Terme in Gleichungen.

Intention und Schwerpunkt des KapitelsDie Schülerinnen und Schüler lernen lineare und quadratische Funktionen grafisch darzustellen, sie auf symbolischer Ebene zu manipulieren und Beziehungen zwischen den einzelnen Funktionen herzustellen. Hauptziel ist jedoch die Kompetenz „funktionales Denken“. Zum Kompetenzbegriff gehören nicht nur die grundlegenden Fertigkeiten, sondern auch die Bereitschaft und die Fähigkeit, diese anzuwenden: Die Lernenden können in passenden Situationen Zusammenhänge funktional erfassen, sie mit den gelernten Verfahren beschreiben und mit diesen Hilfsmitteln Probleme lösen. Im Schülerbuch werden die wichtigen Funktionstypen einzeln vorgestellt. Dabei werden in jeder Lerneinheit die notwendigen mathematischen Fertigkeiten trainiert. Ein besonderer Schwerpunkt ist der souveräne Umgang mit den Darstellungsformen einer Funktion. So werden Funktionen immer in den folgenden vier Darstellungsarten beschrieben:– verbal, durch Schilderung oder durch eine An

wendungssituation;– numerisch, also durch Beschreibung mithilfe

einer Wertetabelle;– grafisch, durch den Funktionsgraphen;– symbolisch, mithilfe eines Funktionsterms.Die Verwendung aller vier Darstellungsarten ermöglicht den Lernenden unterschiedliche Zugänge zu den Inhalten und verschiedene Strategien, auftretende Probleme zu lösen. Eine wichtige Kompetenz ist die Fähigkeit, zwischen diesen Darstellungsarten hin und her wechseln zu können und die für eine Problemlösung geeignete Darstellungsform auszuwählen. Für das Schülerbuch wurden dazu eine Fülle unterschiedlicher Aufgabentypen entwickelt, die möglichst viele dieser Übergänge einfordern und damit die Basis für den Kompetenzerwerb legen. Allerdings beinhaltet gerade die Vielzahl der zu lernenden Verfahren die Gefahr, dass andere, für das Verständnis wichtige Aspekte (vgl. Lerneinheit 10 Modellieren) wegen eines „oberflächlichen Lernens“ von Rechentechniken zu kurz kommen können.

Schülerbuchseite 20 – 51

DO01742602_K01_001_017.indd 27.07.2010 09:24:29 Seite: 1 [Farbbalken für Fogra39] CyanDO01742602_K01_001_017.indd 27.07.2010 09:24:29 Seite: 1 [Farbbalken für Fogra39] MagentaDO01742602_K01_001_017.indd 27.07.2010 09:24:29 Seite: 1 [Farbbalken für Fogra39] YellowDO01742602_K01_001_017.indd 27.07.2010 09:24:29 Seite: 1 [Farbbalken für Fogra39] BlacK

K 2 1 Quadratische Funktionen und Gleichungen

In den Lerneinheiten 7 Die gemischt quadratische Gleichung. Grafische Lösung und 8 Die gemischt quadratische Gleichung. Rechnerische Lösung liegt der Schwerpunkt auf dem Erwerb grundlegender Fertigkeiten im Lösen von quadratischen Gleichungen. Dabei kommt die quadratische Ergänzung zum Umformen eines Terms in ein Binom als Lösungsmöglichkeit zur Anwendung. Auch bisher erlernte Techniken wie das Auflösen und Zusammenfassen von Klammertermen werden wiederholt und geübt. Das Mathematisieren von Texten sowie die Anwendung bei geometrischen Sachproblemen kommen ebenfalls zur Anwendung.

Exemplarischer KommentarDidaktische Leitlinien zum Umgang mit Funktionen in der Schule

1. Vielfältige Grundvorstellungen aufbauen und verknüpfen.2. Früh anfangen – Gelegenheiten für das Erfahren von Abhängigkeit und Kovariation bieten sich schon von Beginn der Grundschule an.3. Funktionen in der Sekundarstufe I als Beschreibungsmittel für reale Zusammenhänge erfahrbar machen. Man könnte dies den „Primat des Modellierungsaspekts“ nennen.4. Bei der Entwicklung von Lerngelegenheiten das Verstehen vor den Kalkül setzen. Hierzu kann vor allem das Betrachten reichhaltiger qualitativer Zusammenhänge dienen.5. Durchgehend verschiedene Darstellungsformen von Funktionen nutzen und den Wechsel zwischen Beispielen als produktiv erlebbar machen.6. Funktionales Verständnis vernetzen mit Alltagsverständnis, aber auch Abgrenzungen vornehmen.

Zu 1. und 2.: Grundvorstellungen, auf die im bisherigen Schülerbuch besonderer Wert gelegt wurde, sind:Zuordnungsvorstellung Sie lässt den Zusammenhang zwischen den beteiligten Größen deutlich werden, z. B.: Einer Menge wird ihr Gewicht zugeordnet.KovariationsvorstellungSie steht für den dynamischen Aspekt einer Funktion. Mit ihr erfasst man, in welcher Abhängigkeit die Veränderung der beteiligten Größen erfolgt, z. B.: Doppelte Menge bewirkt doppeltes Gewicht.Funktionales Denken Dieses erlaubt Zusammenhänge zu erfassen, Probleme zu lösen und mit mathematischen Mitteln zu beschreiben, z. B.: Für proportionale

Funktionen ist der Graph eine Ursprungsgerade. Es darf mit dem Dreisatz gerechnet werden. Zur doppelten Ausgangsgröße gehört die doppelte zugeordnete Größe und es gilt die Funktionsgleichung y = m x .

Zu 3. und 4.: Diese Aspekte werden im Schülerbuch 10 durch die Lerneinheit 9 Modellieren und durch entsprechende Einstiegsaufgaben berücksichtigt.

Zu 5.: Viele Übungsaufgaben trainieren einen Wechsel der Darstellungsformen. Der Effekt wird durch operative Übungen verstärkt.

Zu 6.: Das Schülerbuch greift dazu die Themen „Brücken“ sowie „Bremsen und Bremsweg“ auf.

Die Auftaktseite Immer geradeaus? reaktiviert durch ihr handlungs orien tiertes Vorgehen wichtige Grundvorstellungen aus dem Bereich der linearen Funktionen und bereitet den Übergang zu quadratischen Funktionen vor.Die Lerneinheiten 1 bis 3 und 6 behandeln einzeln die wichtigen quadratischen Funktionstypen:– Lerneinheit 1 Die quadratische Funktion

y = x2

– Lerneinheit 2 Die rein quadratische Funktion y = x2 + c

– Lerneinheit 3 Die rein quadratische Funktion y = a x2 + c

– Lerneinheit 6 Die gemischt quadratische Funktion y = a x2 + b x + c

Lerneinheit 8 Die gemischt quadratische Gleichung. Rechnerische Lösung leitet die Lösungsformel her, betrachtet die drei möglichen Fälle (eine, zwei, keine Nullstelle) und stellt den Zusammenhang zu den quadratischen Gleichungen her.Lerneinheit 5 Die rein quadratische Gleichung. Rech-nerische Lösung führt in das Arbeiten mit Linearfaktoren ein und nutzt sie zum Lösen von Gleichungen.Lerneinheit 7 Die gemischt quadratische Gleichung. Grafische Lösung führt die Normalform ein und nutzt sie zum grafischen Lösen.Lerneinheit 9 Modellieren ermöglicht die Anwendung der gelernten Rechenverfahren. Erst diese baut zentrale Grundvorstellungen auf und verhindert so, dass die gelernten Fertigkeiten „totes Wissen“ bleiben, das rasch vergessen wird.




Bezug zum LehrplanInhaltsbezogene Kompetenzbereiche:Funktionaler Zusammenhang: die Schülerinnen und Schüler können– Quadratische Funktionen: In Sachsituationen

quadratische Funktionen erkennen, von anderen funktionalen Zusammenhängen unterscheiden und nutzen (Tabelle, Graph, Funktionsterm)

– Kennzeichnende Eigenschaften von Graphen quadratischer Funktionen (Parabeln) kennen und in Sachsituationen nutzen (Symmetrie, Nullstellen, Scheitelpunkt, Definitions und Wertemengen)

– Beziehungen zwischen Funktionsterm und Graph einer quadratischen Funktion herstellen (Normalparabel, Verschiebung entlang der Koordinatenachsen, Strecken in yRichtung)

– Quadratische Gleichungen: Die Lösungsmenge einer quadratischen Gleichung bestimmen (grafisch, Lösungsformel)

– Sachaufgaben lösen, die auf quadratische Gleichungen führen

– Fragen der Lösbarkeit quadratischer Gleichungen untersuchen (Diskriminante)

Weiterführende Hinweise– Das Schülerbuch stellt die Untersuchung von

Funktionstypen in den Vordergrund. Dabei müssen die typischen Eigenschaften erkannt und den einzelnen Funktionsarten zugeordnet werden können. Im Unterschied zur Vorgehensweise in den Klassen 5 bis 8 erfolgt eine abstrakte „Funktionenlehre“. Die Voraussetzung hierfür ist, dass im bisherigen Unterricht der semantische Hintergrund geschaffen wurde. Das bedeutet, dass die Lernenden über funktionale Grundvorstellungen verfügen, die sie anhand von Abhängigkeitsuntersuchungen von Größen (z. B. Warenmenge – Preis) erworben haben.

– Eine große Schwierigkeit besteht darin, dass die Schülerinnen und Schüler Vorstellungen, die sie in Situationen aus ihrem Erfahrungsbereich erlangt haben, auf abstrakte Funktionen übertragen müssen. Diese Probleme sind ein Grund, weshalb im Schülerbuch auf eine weitere Schwierigkeit, nämlich auf das Erlernen der „Funktionssprache“, weitgehend verzichtet wurde. Fachtermini wie Funktionswert / Argument, Definitionsmenge sowie die Schreibweise x ¥ f (x) werden nicht verwendet.

– Nach Malle (Malle, Günther: „Funktionen untersuchen – ein durchgängiges Thema“ in Mathematik lehren 103, Seite 4, Erhard Friedrich Verlag, Seelze 2000) versteht man unter einer Funktionsuntersuchung die Untersuchung einer Abhängigkeit zwischen Größen. Der Prozess läuft dabei in

zwei Schritten ab. Zuerst wird die Abhängigkeit dargestellt (Tabelle, Formel oder Graph). Danach erfolgt die Interpretation dieser Darstellung, d. h., aus ihr wird etwas herausgelesen und in der jeweiligen Situation gedeutet. Im Schülerbuch werden beide Aspekte berücksichtigt. In den Lern einheiten 1 bis 8 steht der erste Aspekt im Zentrum. Die Interpretation bildet den Schwerpunkt der Lerneinheit 9 Modellieren.

– Funktionales Denken kann nur mithilfe der realen Welt aufgebaut werden. Wer Funktionen wirklich verstehen will, muss entsprechende Beziehungen zwischen Größen durch Experimente oder die mathematische Analyse von Alltagserfahrungen kennen lernen. Die Einstiegsaufgaben im Schülerbuch berücksichtigen dies. Für den Aufbau der Grundvorstellungen sind jedoch noch weitere solche Aufgaben notwendig. Keinesfalls genügt es, wenn nach der Einstiegsaufgabe die Aufgaben des Übungsteils „abgearbeitet“ werden. Diese trainieren nämlich vorwiegend die notwendigen Rechentechniken und sind zu deren Sicherung (als Hausaufgabe!) gedacht. Solche Aufgaben sind zwar auch unter Kompetenzgesichtspunkten sinnvoll. Denn das Umgehen mit symbolischen, technischen und formalen Elementen ist notwendiger Bestandteil der inhaltsbezogenen Kompetenz funktionale Zu-sammenhänge. Dennoch sind diese Aufgaben nur ein Teil eines sinnvollen Aufgabenspektrums. Einige Aufgaben im Schülerbuch lassen sich daher ohne großen Aufwand in „kompetenzorientierte Aufgaben“ (Aufgaben, die nicht nur technische Fertigkeiten erfordern) umformulieren. In den einzelnen Lerneinheiten wird auf solche Fälle hingewiesen.

– Erfahrungsgemäß sind im zehnten Schuljahr viele Grundvorstellen noch nicht bzw. nicht mehr vorhanden. Ohne einen auf inhaltlichen Vorstellungen beruhenden Zuordnungs und Kovariations aspekt wird jedoch jede Weiterarbeit in einer abstrakten Funktionslehre ein sinnentleertes Handeln und die Inhalte werden entsprechend schnell vergessen. In kritischen Fällen kann der folgende Einstieg über funktionale Betrachtungen bekannter Formeln versucht werden. Wesentliche Voraussetzung zum fehlerfreien und sicheren Lösen komplexer Gleichungen ist die Kenntnis der einzelnen Lösungsschritte in der richtigen Reihenfolge. Dazu ist eine Zuordnung der drei Gleichungsarten (linear, rein quadratisch und gemischt quadratisch) notwendige Voraussetzung.

– Im alternativen Einstieg erfolgt nach der Auftaktseite, aber vor der systematischen Behandlung von Funktionstypen, eine Beschreibung und




Untersuchung von Abhängigkeiten in Formeln mithilfe des Funktionsbegriffs. Eine Formel beschreibt Abhängigkeiten zwischen den in ihr enthaltenen Größen. Diese können mithilfe des Funktionsbegriffs genauer beschrieben werden. Zur Entwicklung einer funktionalen Betrachtungs weise von Formeln müssen die Lernenden Aufgaben bearbeiten, die diese gegenseitigen Abhängigkeiten der Größen aufzeigen. Dies ist umso leichter möglich, je vertrauter die Formeln und die vorkommenden Größen sind. Das < Serviceblatt „Funktionale Aspekte von Formeln“, Seite S 4, enthält geeignete Aufgaben.

Die zugehörigen Überlegungen stammen teilweise aus Malle, Günther: „Didaktische Probleme der elementaren Algebra“, Seite 267 ff, ViewegVerlag, Wiesbaden 1993.

Ausgangspunkt ist die Volumenformel V = p r 2 h. Betrachtet man einen zylinderförmigen Körper mit festem Radius, so hängt das Volumen nur von der Höhe h ab: V (h) = p r 2 h (r = konstant).

Man kann in dieser Formel eine Funktion sehen, die jeder Zylinderhöhe h ein Volumen zuordnet. Dabei ist das Zylindervolumen direkt proportional zur Zylinderhöhe. Die entsprechende Funktion h ¥ V (h) ist eine Funktion des Typs x ¥ c · x.

An diesem Beispiel können die wichtigen, aus Klasse 8 bekannten Techniken wie Tabelle, Graph und Funktionsterm wiederholt werden. Dabei erhalten wichtige Merkmale der proportionalen Funktion (z. B. zur doppelten Ausgangsgröße (h) gehört auch die doppelte zugeordnete Größe (V)) eine anschauliche Grundlage. Die mathematischen Veranschaulichungen der Funktion (Tabelle, Graph) verdeutlichen diesen Zusammenhang und werden so als sinnvoll erfahren.

Werden im Anschluss Zylinder gleicher Höhe, jedoch mit unterschiedlichem Radius betrachtet, wird der Zusammenhang durch eine quadratische Funktion beschrieben. Die Funktion r ¥ V (r) ist vom Typ x ¥ c · x 2 .

Zusätzlich kann anhand dieser Formel auch die antiproportionale Funktion wiederholt werden. Gießt man ein bestimmtes Volumen in zylindrische Gefäße mit unterschiedlicher Grundfläche, so besteht zwischen der Flüssigkeitshöhe und der Größe der Grundfläche der folgende Zusammenhang: h (A) = V _

A (V = const). Die entsprechende Funktion ist vom Typ x ¥ c _

x . Ein möglicher Unterrichtsgang könnte folgender

maßen aufgebaut werden:– Einführung in die Problematik mithilfe der Auf

taktseite im Schülerbuch, Seite 20– Vertiefung anhand des < Serviceblattes „Funk

tionale Aspekte von Formeln“, Seite S 4

– Systematische Behandlung der quadratischen Funktion (Schülerbuch, Lerneinheiten 1 bis 6)

– Behandlung des Lösungsverfahrens einer quadratischen Gleichung mithilfe der quadratischen Ergänzung sowie die grafische Veranschaulichung der Lösungen entsprechend der Lerneinheiten 6 Die gemischt quadratische Funktion y = a x 2 + b x + c; 7 Die gemischt quadratische Gleichung. Grafische Lösung und 8 Die gemischt quadratische Gleichung. Rechnerische Lösung

– Herleitung und Anwendung der Lösungsformel– Modellierungsaufgaben

Auftaktseite: Immer geradeaus?

Die Auftaktseite ermöglicht mehrere methodischdidaktische Vorgehensweisen:– Isolierte Betrachtung und Wiederholung der line

aren Funktion– Beide Funktionsarten werden wie im Schüler

buch, Seite 20, dargestellt und die Unterschiede herausgearbeitet. Anschließend erfolgt die systematische Erarbeitung anhand des Schülerbuchs.

– Ein Vorgehen wie im alternativen Einstieg Wichtig ist in allen Fällen, dass die Funktion mithilfe aller Darstellungsmöglichkeiten (Beschreibung, Tabelle, Graph und Term) betrachtet wird.Auf der zweiten Seite soll ein Rechteck mit gleich großen Quadraten gefüllt werden.Die Erweiterung der einfachen quadratischen Gleichung um das absolute Glied wird in diesem Beispiel durch die geometrische Veranschaulichung erleichtert. Der Schwerpunkt der Lösungsfindung liegt zunächst im inhaltlichen Bereich, denn jede notwendige Rechenoperation kann hier geometrisch interpretiert werden. Um den Flächeninhalt eines Quadrates zu ermitteln, muss zuerst die Summe der Flächeninhalte aller sechs Quadrate gefunden werden. Dazu wird von der Gesamtfläche die Restfläche subtrahiert. Die Division durch 6 führt zur Quadratfläche, anhand derer dann die Seitenlänge leicht errechnet wird. Diese Verbalisierung der einzelnen Lösungsschritte ist notwendig für den Aufbau stabiler Grundvorstellungen. Damit wird der Gegenstandsaspekt der Variablen x stärker betont. Anschließend sollte erneut eine Formalisierung erfolgen. Dabei können die Zusammenhänge zur inhaltlichen Lösung aufgezeigt werden:6 x 2 + 15 = 15 · 11 | – 15 6 x 2 = 150 | : 6 x 2 = 25 | √

__

x = 5 oder x = – 5In den gegebenen Sachkontext kommt nur die positive Lösung x = 5 in Betracht.




Durch den Hinweis, die Fläche mit den Quadraten auszulegen, wird den Lernenden klar, dass die mithilfe eines mathematischen Modells gewonnenen Lösungen stets kritisch hinterfragt und auf ihre Sinnhaftigkeit in Bezug auf die reale Ausgangssituation hin überprüft werden müssen.

15 cm

11 cm

5 cm

5 cm

Anhand der Skizze lässt sich das Lösungskriterium erarbeiten. Im Beispiel passen 15 cm : 5 cm = 3 Quadrate an die Längsseite und 11 cm : 5 cm = 2 Quadrate an die Breitseite. Ingesamt sind es 2 · 3 = 6 Quadrate. Aus dieser Überlegung lässt sich das allgemeine Lösungskriterium ableiten: Haben die Rechteckseiten die Längen a und b und ist x die positive Lösung der quadratischen Gleichung, so passen ë a _

x û · ë b _ x û Quadrate in das Recht

eck.Die Umkehrung der Fragestellung sowie ihre Variation und das Erfinden eigener Aufgaben stellt deutlich höhere Anforderungen. Zum Auffinden von auslegbaren Rechtecken kann die folgende Strategie dienen:1. Quadratgröße wählen (z. B. 5 cm Seitenlänge)2. Die Rechteckseiten festlegen. Die Seiten müssen

dabei ein Vielfaches der Quadratseite sein (z. B. a = 15 cm und b = 10 cm).

3. Die Fläche dieses Rechtecks berechnen (15 · 10 cm2 = 150 cm2).

4. Eine Seite um einen beliebigen Wert verlängern (z. B. b um 1 cm).

5. Rechteckfläche entsprechend vergrößern (150 cm2 + 15 · 1 cm2 = 165 cm2).

1 Die quadratische Funktion y = x 2

Intention der Lerneinheit– Die quadratische Funktion y = x 2 kennen und

wissen, dass ihr Graph die Normalparabel ist.– Die Symmetrieeigenschaften der Normalparabel

untersuchen.– Öffnung und Scheitelpunkt der Normalparabel

untersuchen.

EinstiegsaufgabeDurch die gleichzeitige Betrachtung von Umfang und Flächeninhalt unterschiedlich großer Quadrate wird zum Einen das Vorwissen zu den linearen Funktionen und deren Merkmalen aktiviert, zum Anderen wird das Erstellen einer Normalparabel und deren Untersuchung angeregt. Abgesehen von der Behandlung der Funktionsgraphen antiproportionaler Funktionen in der 8. Klassenstufe haben bislang die linearen Funktionen und damit geradlinige Funktionsgraphen den Schulstoff dominiert. Somit kommt einer eingehenden Betrachtung der Normalparabel große Bedeutung zu, zumal der sichere Umgang mit Parabeln die Grundlage zum graphischen Lösen quadratischer Gleichungen darstellt.

Alternativer EinstiegDas < Serviceblatt „Normalparabel“, Seite S 5, enthält Aufgaben für einen einfachen alternativen Einstig auf konstruktiver Ebene.

Tipps und Anregungen für den Unterricht

Es empfiehlt sich, frühestmöglich eine Schablone für eine Normalparabel selbst erstellen zu lassen. Hierzu bietet sich an, eine Normalparabel im Intervall – 3 < x < 3, gegebenenfalls auch – 4 < x < 4 auf Millimeterpapier zeichnen zu lassen, das Schaubild auf starken Karton zu kleben und die so erhaltene Form ausschneiden zu lassen. Zuvor sollte der Inhalt des Kastens „Die Normalparabel unter der Lupe“ behandelt worden sein, um zu vermeiden, dass beim Zeichnen des Graphen geradlinige Stücke gezeichnet werden.

Die Normalparabel unter der Lupe

Aufgrund der Dominanz der linearen Funktionen im bisherigen Arbeiten mit Funktionen und deren Graphen ist es ein typischer Fehler, die aus einer Wertetabelle gewonnenen Punkte einer quadratischen Funktion geradlinig zu verbinden. Besonders häufig kommt es vor, dass die Punkte (– 1|1) und (0|0) sowie (0|0) und (1|1) jeweils mit einer Strecke verbunden werden, selbst wenn




die weiteren Punkte der Parabel mit einer kurvenförmigen Linie verbunden werden. Um diesen Fehler mit Einsicht zu vermeiden, ist es erforderlich, den Verlauf der Normalparabel insbesondere zwischen den Punkten (– 1|1) und (0|0) sowie (0|0) und (1|1) genauer zu untersuchen. Nachdem die Symmetrieeigenschaft der Parabel bekannt und begründet worden ist genügt es, sich hierbei auf das Intervall 0 < x < 1 zu beschränken. Die Ausführlichkeit in der Vorgehensweise kommt der Zeichengenauigkeit im gesamten weiteren Kapitelverlauf und auch in den Kapiteln 3 Wachs-tumsprozesse und 6 Trigonometrie zugute.

Aufgabenkommentare

Der folgenden Klassifikation liegt der Exemplarische Kommentar: Aufgaben, die das Verständnis fördern, Seite K 5, Schnittpunkt Serviceband 9, zugrunde.Grundaufgaben: A 1; 2Operative Übungen: A 3; 4; 5; 7Kumulative Aufgaben: A 6Problemstellungen: A 8

2 Die Aufgabe dient dem Verständnis, dass die Normalparabel eine Grundform hat, die auch bei Änderung des Ausschnittes des Koordinatensystems erhalten bleibt. Zudem werden die zuvor auswendig gelernten Quadratzahlen aktiviert und gefestigt.

3 Es ist auf die korrekte Handhabung der Vorzeichen beim Quadrieren zu achten.

4 Das Wurzelziehen wird aktiviert.

6 Das Wiederholen der auswendig gelernten Quadratzahlen steht im Vordergrund, ebenso die Vorzeichenregeln.

8 Diese Aufgabe bereitet Erkenntnisse der Lerneinheit 3 Die rein quadratische Funktion y = a x 2 + c vor, indem sie die nach unten geöffnete Parabel mit dem Koeffizienten a = – 1 einführt. Später werden diese Beobachtungen dann systematisiert.

2 Die quadratische Funktion y = x 2 + c

Intention der Lerneinheit– Zu einer verschobenen Parabel die Funktions

gleichung angeben.– Den Funktionsgraphen mit und ohne Schablone

zeichnen.– Die Koordinaten des Scheitels aus der Funktions

gleichung bestimmen.

EinstiegsaufgabeDie Einstiegsaufgabe führt auf die Wertetabelle einer Normalparabel. Mithilfe der bereits anhand der Auftaktseite erarbeiteten Vorstellungen können die Lernenden selbstständig die Funktionsgleichung erkennen und einen passenden Graphen zeichnen.

Alternativer Einstieg Das < Serviceblatt „Normalparabel“, Seite S 5, enthält Aufgaben für einen einfachen alternativen Einstieg.

Tipps und Anregungen für den Unterricht – Wurde die quadratische Funktion gemäß der

Auftaktseite noch nicht dargestellt, kann dies nach dem Ablesen der Werte der Einstiegsaufgabe nachgeholt werden.

– Nach der Behandlung der Funktion y = x 2 in der Lerneinheit 1 Die quadratische Funktion  y = x 2 bieten sich zwei methodische Wege für die Weiterarbeit an:

Å. Man gibt eine verschobene Parabel vor und untersucht anhand von Wertetabellen, wie diese aus der Normalparabel gebildet wurde.

2. Man gibt die Normalparabel vor und verschiebt sie (z. B. wie im Kasten Schülerparabeln vorgeschlagen). Anschließend wird untersucht, welchen Einfluss die Verschiebung auf die zugeordneten Werte und den Funk tions term hat.

Der erste Weg ist eher ein analytisches Vorgehen. Die zweite Möglichkeit ist eher ein konstruktives Vorgehen. Erfahrungsgemäß fällt den Lernenden dieses Vorgehen leichter. Deshalb wird im Schaufenster Experiment dieses Vorgehen vorgeschlagen.

– Im Zusammenhang mit der „Verschiebungswirkung“ des Summanden c bei y = x 2 + c sollte auf die Analogie bei der linearen Funktion y = x + c eingegangen werden.

Wichtig ist der Zusammenhang zum Themenbereich quadratische Gleichungen. Im Schülerbuch wird deshalb dieser Querverbindung eine eigene Lerneinheit (Lerneinheit 4 Die rein quadratische Gleichung. Grafische Lösung) gewidmet. Den Zusammenhang zwischen dem Funktionsgraphen und den Lösungen der entsprechenden quadratischen Gleichung zu sehen, fällt den Lernenden oft schwer. Alternativ zum Vorgehen im Schülerbuch kann deshalb schon anhand der Funktion y = x 2 + c der Zusammenhang zur rein quadratischen Gleichung aufgezeigt werden. Am Graphen wird unmittelbar einsichtig, dass eine rein quadratische Gleichung der Art x 2 = a

• zwei Lösungen für a > 0 hat. • eine Lösung für a = 0 hat.




• keine Lösung für a < 0 hat. Durch diese frühe Behandlung erfolgt die Einbindung der quadratischen Gleichungen nicht nur sukzessive, sondern den Lernenden wird auch früh ein weiterer Sinn dieser grafischen Darstellungen aufgezeigt. Wichtige Eigenschaften des Funktionsgraphen wie

• Achsensymmetrie zu einer Parallelen zur yAchse

• abschnittsweise Monotonie • Existenz eines Extremums

werden nicht anhand des Funktionsterms begründet, sondern nur anhand der gezeichneten Graphen intuitiv erfasst.

– Die „gespiegelte Normalparabel“ y = – x 2 wird in der nächsten Lerneinheit y = a x 2 + c behandelt.

Exkurs Typische Fehler bei quadratischen Funktionen

Fehler Abhilfe

Verwechslung der Begriffe Scheitel und Nullstelle

Begriffe mit Inhalt füllen:Scheitelpunkt ist das Minimum oder Maximum des Funktionsgraphen.An diesem Punkt ändert sich die „Richtung“ der Parabel.Bei einer nach unten geöffneten Parabel liegt der Scheitel so, wie er auf dem Kopf eines Menschen liegt.Nullstellen stehen im Zusammenhang mit den Lösungen der quadratischen Gleichung.

Verschiebung in falscher Richtung, z. B. bei y = (x – 2) 2

Überlegen, für welchen xWert die Klammer null wird. Im Beispiel x = 2 ¥ Scheitel in S (2 | 0).

quadratische Ergänzung beim Umformen in die Scheitelform

Anhand einfacher Zahlenwerte überlegen.Zuerst das Binom notieren und dann die Zeile mit der notwendigen Ergänzung einfügen: y = x 2 + 4 x – 3Überlegung: Die Hälfte von 4 ist 2, damit ergibt sich das „Zielbinom“ zu: y = (x + 2) 2 = x 2 + 4 x + 4.Somit ist die Ergänzung:y = x 2 + 4 x + 4 – 4 – 3.

Verwechslung bzw. vergessen von Wissenselementen (z. B. „Schnittpunkt be din gung“ y = y).

Entwicklung von Grundvorstellungen durch Kopplung an Sachaufgaben.Erstellung einer Mindmap

Rechenfehler bei komplexen Aufgaben ¥ „unmögliche“ Zahlen

Entwicklung von Kontrollmechanismen (z. B. Graphen zur Kontrolle von Schnittpunk ten, Nullstellen usw. zeichnen).

Aufgabenkommentare

Der folgenden Klassifikation liegt der Exemplarische Kommentar: Aufgaben, die das Verständnis fördern, Seite K 5, Schnittpunkt Serviceband 9, zugrunde.Grundaufgaben: A 1Operative Übungen: A 2; 3Problemstellungen – offene Aufgaben situationen: Kasten „Schülerparabeln“

3 Die rein quadratische Funktion y = a x 2 + c

Intention der Lerneinheit– Zu einer verschobenen Parabel die Funktionsglei

chung angeben.– Den Funktionsgraphen mit und ohne Schablone

zeichnen.– Die Koordinaten des Scheitels aus der Funktions

gleichung bestimmen.– Wissen, dass ein Minuszeichen vor dem quad

ratischen Term eine Spiegelung an der xAchse bewirkt.

EinstiegsaufgabeDie Einstiegsaufgabe stellt einen eher abstrakteren Zugang zur Thematik als in der Lerneinheit 2 vor. Nach der Zuordnung der Wertetabellen zu den Funktionsgleichungen müssen die Parabeln gezeichnet werden. Anschließend wird untersucht, wie sie aus der Normalparabel entstanden sind.

Alternativer EinstiegEs gibt mehrere Varianten:– Der Zugang erfolgt wie in Lerneinheit 2; das

heißt, man gibt die Normalparabel vor und verschiebt sie. Anschließend wird untersucht, welchen Einfluss die Verschiebung auf die zugeordneten Werte und den Funktionsterm hat. Dieses eher konstruktive Vorgehen ist für die Lernenden leichter.

– In Analogie zur linearen Funktion werden Gleichungen vorgeben:

a) y = x b) y = x 2

c) y = 2 x + 1 d) y = 2 x 2 + 1

e) y = 1 _ 2 x 2 – 2 f) y = 1 _

2 x – 2

Die Lernenden vermuten den Verlauf der Graphen aufgrund von „Permanenzüberlegungen“ vor dem Hintergrund ihres Wissens über lineare Funktionen. Exakte Zeichnungen mithilfe von Wertetabellen dienen zur Überprüfung der Vermutungen.

– In Anbetracht dessen, dass Verständnis im Bereich Funktionen nur unter Bezug auf Veränderungen in der realen Welt erreicht werden




kann, ist auch ein experimenteller Zugang überlegenswert. Werden Experimente aus dem physikalischen Bereich gewählt, kann dieser zeitaufwändige Zugang mit dem PhysikKollegen abgesprochen werden.

Beispiel: Im Physikunterricht wird die Zuordnung Fahrstrecke ¥ Fahrzeit eines gleichmäßig beschleunigten Wagens betrachtet.

Tipps und Anregungen für den Unterricht – Im Rahmen eines sinnorientierten Unterrichts

sollten frühzeitig Anwendungsaufgaben bearbeitet werden. So bieten sich an dieser Stelle viele der Aufgaben der Lerneinheit 9 Modellieren an, da ihnen der Funktionstyp y = a x 2 + c zugrunde liegt. Die Lernenden müssen behutsam an Modellierungsaufgaben gewöhnt werden. Insbesondere Lernende, die kleinschrittiges Vorgehen gewohnt sind und die Algorithmen auswendig lernen, haben mit dieser Aufgabenart Probleme.

– Der Zusammenhang zwischen quadratischen Funktionen und quadratischen Gleichungen (insbesondere Anzahl der Lösungen) kann durchaus in dieser Lerneinheit mithilfe der Nullstellen aufgezeigt werden.

Aufgabenkommentare

Der folgenden Klassifikation liegt der Exemplarische Kommentar: Aufgaben, die das Verständnis fördern, Seite K 5, Schnittpunkt Serviceband 9, zugrunde.Grundaufgaben: A 1; 2; 5; 6; 8; 9; 10; 12Operative Übungen: A 3; 4; 7; 11; 13; 14; 15; 16; 17Komplexe Aufgaben: A 18

DGS I

Mithilfe des Computers können die Parameter der Funktionsgleichung leicht variiert werden. Die Auswirkungen sind als Veränderung des Graphen sofort beobachtbar. Damit lassen sich Funktionsscharen leicht untersuchen und Fragestellungen, wie sie im Schülerbuch vorgeschlagen sind, schnell beantworten. Insofern ermöglicht der Computer die Entdeckung weiterer Eigenschaften von Funktionstypen und damit eine Vertiefung vorhandener Grundvorstellungen. Trotzdem ist er kein „Allheilmittel“. Das Betrachten sich ändernder Graphen führt nicht notwendigerweise zur Entdeckung wichtiger Eigenschaften bzw. zur Ausbildung von Grundvorstellungen. So spielt z. B. der Zuordnungsaspekt keine Rolle, weil der Graph meist nicht „geplottet“ wird, sondern als Ganzes auf dem Bildschirm erscheint.

Auch für die Vermittlung des Kovariationsaspektes sind die gebräuchlichen Programme wenig geeignet. Sie stellen die Funktionsgraphen abstrakt, das heißt ohne situative Einkleidung dar. Für den Aufbau der Grundvorstellung müssen jedoch Abhängigkeiten inhaltlich deutbarer Größen untersucht werden. Zudem sind die Lernenden oft durch die Technik abgelenkt oder richten ihre Aufmerksam keit auf andere Dinge und erkennen die zentrale Eigenschaft nicht. An einen Computereinsatz sollten somit einige Bedingungen geknüpft sein, wie– präzise Fragestellung,– wichtige Grundvorstellungen müssen schon

vorhanden sein,– Verwendung eines unbekannten (inner oder

außermathematischen) Problems, bei dem der Computereinsatz vorteilhaft ist,

– Notizen zu den Beobachtungen, – abschließender Vergleich, der die Kompeten

zen „mathematisch kommunizieren“ und „argumentieren“ trainiert.

4 Die Aufgabe spricht vor allem die Kompetenzen „mathematisch kommunizieren“ und „argumentieren“ an. Im folgenden exemplarischen Kommentar wird dies verdeutlicht.

10 Durch die offenere Fragestellung: „Durch den Punkt P (1 | 3) verlaufen mehrere Parabeln. Beschreibe einige.“ Kann das Übungsspektrum erweitert werden.

Exemplarischer KommentarDie Kompetenzen „mathematisch kommunizieren“ und „argumentieren“

Diese Kompetenzen umfassen sowohl das Verständnis von Texten und verbalen Äußerungen als auch die Fähigkeit, mathematische Überlegungen verständlich und mithilfe der Fachsprache darzustellen. Finden dabei Argumentationspro zesse zur Erklärung von Lösungswegen, Schlussfolgerungen oder Veranschaulichungen statt, spricht man von Argumentieren. Dies muss nicht unbedingt gegenüber einem Dritten (Mitschüler oder Lehrer) erfolgen, sondern kann auch gegenüber sich selbst erfolgen. Sprachliche Aspekte müssen somit nicht unbedingt eine Rolle spielen. Dagegen ist beim Kommunizieren ein externer Adressat vorhanden. Die Überlegungen bzw. Lösungswege werden dem Lehrenden oder Mitschülern erläutert. Sprache steht somit im Zentrum des Kommunizierens. Die Aufgabe 4




kann demnach sowohl Aspekte des Argumentierens (der Lernende begründet sich die Zuordnungen selbst, z. B. in der Hausaufgabe) als auch des Kommunizierens (der Lernende begründet die Zuordnung seinen Mitschülern beim Vergleich der Hausaufgabe) haben. Dabei erfordert die isolierte Zuordnung nur einfache mathematische Sachverhalte. Die Begründung entspricht damit dem Anforderungsbereich I. Erfolgt die Lösung mithilfe eines mehrschrittigen, cleveren Lösungswegs, der die Auf gabe in ihrer Gesamtheit betrachtet, wird Anforderungsbereich II erreicht.Beispiel: Für y = 3 x 2 scheiden B, F, H aus, weil sie nach unten geöffnet sind. C, D, E scheiden aufgrund ihres Scheitels aus. Vom Rest ist G die einzige Parabel, die steiler als die Normalparabel ist.

14 Die Aufgabe zielt auf die Kompetenz „mathematische Darstellungen verwenden“. Sie lässt sich leicht ausbauen, wie im folgenden exemplarischen Kommentar aufgezeigt wird.

Exemplarischer KommentarDie Kompetenz „Mathematische Darstellungen verwenden“

Diese Kompetenz beinhaltet den souveränen Umgang mit Darstellungsmöglichkeiten wie:Formeln, Graphen, Diagramme, Skizzen, Sprache, Programme (Computer).Souveräner Umgang bedeutet, dass der oder die Lernende sich aktiv mit diesen Darstellungen auseinandersetzt. Typische Tätigkeiten sind z. B.:– die Interpretation einer gegebenen Darstel

lung,– das Erstellen von Darstellungen,– der Wechsel zwischen den verschiedenen Dar

stellungsformen.Gerade der letzte Punkt spielt für das funktionale Denken eine entscheidende Rolle.So wie die Aufgabe 14 im Schülerbuch gestellt ist, entspricht sie dem Anforderungsbereich I und dem Anforderungsbereich II. Eine Standarddarstellung wird interpretiert und in eine andere, vertraute Darstellung überführt.Werden jedoch alle behandelten Darstellungsfor men (Graph, Funktionsgleichung, verbale Beschreibung) eingefordert und zusätzlich bewertet,wird der Anforderungsbereich II erreicht. Erfolgt noch zusätzlich die Zuordnung einer passenden Sachsituation, wird der Anforderungsbereich III erreicht: Problemorientierte Entwicklung einer eigenen Darstellungsform (Sachsituation), Beurteilung der Darstellungsformen vor dem Hintergrund dieser Sachsituation.


15 Die Aufgabe trainiert gezielt die Bedeutung des Minuszeichens. Sie kann jedoch leicht offener gestellt werden. Damit werden weitere Kompetenzen (z. B. kommunizieren) angesprochen:Die Parabel wird an der xAchse gespiegelt. Nimm Stellung.

4 Die rein quadratische Gleichung. Grafische Lösung

Intentionen der Lerneinheit– Die Nullstellen einer quadratischen Funktion als

die Lösung der zugehörigen quadratischen Gleichung interpretieren.

– Eine rein quadratische Gleichung durch Betrachten der zugehörigen Funktion und deren Nullstellen lösen.

– Den Zusammenhang zwischen der Lage der Parabel und der Anzahl der Nullstellen bzw. Anzahl der Lösungen kennen.

EinstiegsaufgabeDie Einstiegsaufgabe führt analytisch auf die Beobachtung des Zusammenhangs zwischen gegebenen verschobenen Normalparabeln und den zugehörigen Nullstellen. Im weiteren Verlauf wird der entsprechende Zusammenhang zwischen rein quadratischen Gleichungen und ihren Lösungen durch Betrachten der Nullstellen der zugehörigen Funktionen geklärt.

Alternativer EinstiegZur Vermittlung der Bedeutung von Nullstellen sind unterschiedliche Zugänge möglich:– Eine Aufgabenstellung wie „Marc behauptet,

dass die Gleichung (x – 3)2 + 2 = 0 keine Lösung hat. Cora meint, dass sie das leicht ohne zu rechnen von jeder dieser Gleichungsarten vorhersagen kann.“ regt zum Experimentieren und Argumentieren an.

– Von einer gegebenen Parabel sind die zugehörigen yWerte der beiden Nullstellen bekannt. Die Lage des Scheitels soll konstruktiv möglichst exakt bestimmt werden.


Es sollte weiterhin die von den Schülern selbst gefertigte Parabelschablone zum Einsatz kommen, wie in Lerneinheit 1 Die quadratische Funktion y = x 2, Aufgabe 1, angeregt. Dazu sei hier verwiesen auf die Ausführungen zum produktorientierten Üben in dem Aufsatz von Heinrich Winter „Begriff und Bedeutung des Übens im Mathematikunterricht“ in



„Mathematik lehren“ Heft 2, Erhard Friedrich Verlag, Seelze 1984.

Aufgabenkommentare

Der folgenden Klassifikation liegt der Exemplarische Kommentar: Aufgaben, die das Verständnis fördern, Seite K 5, Schnittpunkt Serviceband 9, zugrunde.Grundaufgaben: A 1; 2Operative Übungen: A 4Kumulative Aufgaben: A 3

3 Hier ist, insbesondere bei der letzten Teilaufgabe, auf eine sinnvolle Achsenteilung zu achten. Die Aufgabe kann auch gut mit einer dynamischen Geometriesoftware bearbeitet werden, wenn die Ergebnisse in Zweiergruppen besprochen und erklärt werden. Dies ist einem tieferen Verständnis von „Ursache und Wirkung“ sehr zuträglich.

4 Die Lösungen der Teilaufgaben sind alle sehr einfach. Die Schwierigkeit besteht hier darin, die Parabeln trotz der unvertrauten Achseneinteilung (2 Kästchen š 4 Einheiten) richtig zu interpretieren. So stellt 4 a) eine verschobene Normalparabel dar im Gegensatz zu Aufgabe 4 c) – obwohl der optische Eindruck ein anderer ist.

5 Die rein quadratische Gleichung. Rechnerische Lösung

Intentionen der Lerneinheit– Rein quadratische Gleichungen in Linearfaktoren

zerlegen.– Erkennen, wann eine rein quadratische Glei

chung eine Lösung besitzt– Diejenige Einsetzung für eine Variable bestim

men, bei der ein Linearfaktor Null wird. – Wissen, dass eine Einsetzung, bei der ein Linear

faktor den Wert Null annimmt, Lösung der quadratischen Gleichung ist.

EinstiegsaufgabeDer Zugang führt unmittelbar auf eine rein quadratische Gleichung. Durch geeignetes Umformen mit der 3. binomischen Formel entstehen Linearfaktoren. Anhand der seit der 5. Klassenstufe bekannten Regel, dass der Produktwert eines Produktes Null ist, wenn zumindest ein Faktor den Wert Null hat, können die entsprechenden Einsetzungen durch Anwenden der Regel mit der Gegenzahl gefunden werden. Da zwei Linearfaktoren entstanden sind, gibt es also auch (bis zu) zwei Lösungen der Gleichung.

Alternativer EinstiegJede Sachaufgabe, die auf eine rein quadratische Gleichung führt, eignet sich entsprechend. Gleichfalls kann der umgekehrte Weg beschritten werden, indem zunächst Gleichungen gelöst werden, die bereits in Linearfaktoren zerlegt sind.


Die < Serviceblätter „Nullstellensalat“ und „ Nullstellensalat, Lösungsblatt“, Seiten S 6 und S 7, setzen auf spielerische Weise die Inhalte dieser und der vorangegangenen Lerneinheit zueinander in Beziehung. Es müssen die Regeln bekannt und gefestigt sein, nach denen a) ein Produkt gleich Null ist, wenn ein Faktor gleich Null ist und b) jede Summe aus Zahl und Gegenzahl den Wert Null hat.Je nach Form der rein quadratischen Gleichung wird der Vorschlag kommen, die Gleichung zu radizieren, also z.B. x2 = 25 x = 5. Hier muss thematisiert werden, dass das Wurzelziehen keine Äquivalenzumformung ist, sondern die Lösungs menge ändert. Hat z.B. die Gleichung x2 = 25 noch die Lösungsmenge {5; 5}, so hat die Gleichung x = 5 die Lösungsmenge { 5 }. Hier ist Sorgfalt bei den Umformungen geboten.Die Zerlegung in Linearfaktoren eignet sich auch bei bestimmten gemischt quadratischen Gleichungen, und zwar bei den „gemischt quadratischen Gleichungen ohne konstantes Glied“. Eine Gleichung der Form a x2 + b x = 0 kann mittels Division durch a überführt werden in die Gleichung x2 + d x = 0. Diese Gleichung wird nun wie folgt in Linearfaktoren zerlegt: x (x + d) = 0.Wie sich nun leicht ablesen lässt, sind die Lösun gen für diese Gleichung 0 und – d, sie hat also die Lösungsmenge { – d; 0}.Nachdem in Lerneinheit 8 Die gemischt quadrati-sche Gleichung. Rechnerische Lösung die Lösungsformel abgeleitet worden ist, bietet es sich an, jede gemischt quadratische Gleichung zunächst darauf hin zu betrachten, ob sie leicht in Linearfaktoren zerlegbar ist, wodurch sich meist beträchtliche Rechenvorteile nutzen lassen.

Aufgabenkommentare

Der folgenden Klassifikation liegt der Exemplarische Kommentar: Aufgaben, die das Verständnis fördern, Seite K 5, Schnittpunkt Serviceband 9, zugrunde.Grundaufgaben: A 1; 2Operative Übungen: A 3; Kumulative Aufgaben: A 4; 5; 6; 7; 8Komplexe Aufgaben: A 9; 10; 11




8 Wichtig für eine korrekte Lösung ist, dass die Benennung der Variablen dokumentiert wird: Bedeutet x die gesuchte Zahl oder z. B. ihr Quadrat (in Teilaufgabe d)?

9 Bei dieser Aufgabe ist zum einen eine gute und ausführlich beschriftete Skizze sehr hilfreich, zum anderen eine tabellarische Gegenüberstellung von Termen und deren Bedeutung. Unbedingt müssen hier die Terme für die Beschreibung des alten und des neuen Flächeninhalts sorgfältig erstellt und voneinander unterschieden werden.

11 Bei der Teilaufgabe b) gelten die Ausführungen zu Aufgabe 9 analog.

6 Die gemischt quadratische Funktion y = a x 2 + b x + c

Intentionen der Lerneinheit– Die Funktionsgleichung einer gemischt quad

ratischen Funktion mithilfe der quadratischen Ergänzung in die Scheitelform überführen.

– Zu einer gegebenen Funktionsgleichung die Koordinaten des Scheitelpunkts angeben.

– Zu einer verschobenen Normalparabel die Funktionsgleichung angeben.

– Aus einem Parabelpunkt und dem Scheitel punkt die zugehörige Funktionsgleichung bestimmen.

– Aus zwei beliebigen Parabelpunkten die zugehörige Funktionsgleichung bestimmen.

EinstiegsaufgabeDie offen gehaltene Aufgabenstellung regt zunächst zum Probieren an. Durch das Anlegen einer Tabelle kann das Vorgehen systematisiert werden und es können die mathematischen Zusammenhänge verdeutlicht werden. Die Frage nach dem genauen Wert motiviert eine beliebig genaue Bestimmung des Scheitelpunktes. Die aus der Aufgabenstellung resultierende gemischt quadratische Gleichung ergibt sich wie folgt:A (a) = a · b und b = 7 – 2 aA (a) = a · (7 – 2 a) = – 2 a 2 + 7 aHierbei ist b die Zaunseite, die parallel zur Mauer liegt, und a eine der beiden (gleich langen) anderen Seiten. Die Gleichung muss somit in eine entsprechende Funktionsgleichung umgewandelt werden, diese kann dann mithilfe der quadratischen Ergänzung in die Scheitelpunktform gebracht werden, aus der die Koordinaten des Scheitels unmittelbar abgelesen werden können.Viele Schülerinnen und Schüler werden zunächst nur den linearen Zusammenhang zwischen a und b grafisch darstellen. Hier kann ein Hinweis auf den

quadratischen Zusammenhang zwischen a und A bzw. auf dessen Berechenbarkeit die Diskussion weiterbringen.

Alternativer EinstiegDer Zugang ist auch rein innermathematisch möglich, indem zunächst mehrere ausgewählte Funktionsgleichungen der Form y = (x + d)² vorgegeben und die zugehörigen Graphen nach Ergänzen von Wertetabellen untersucht werden. Die Werte für d müssen hier sowohl negativ als auch positiv gewählt werden, am besten auch unter Hinzunahme der Gegenzahl. Dies führt auf die entsprechende Verschiebungsregel parallel zur xAchse. Durch Erweiterung der Funktionsgleichungen mit ausgewählten Konstanten e wird dann auch die bereits bekannte Verschiebung parallel zur yAchse hinzugezogen. Die gemeinsame Betrachtung der Verschiebungen führt dann zur Auffindung des Scheitelpunkts.

Tipps und Anregungen für den Unterricht– Zu beachten ist hier die korrekte Bezeichnung

der Parameter. So darf für die Konstante nicht mehr die Variable c gewählt werden, da sich bei der Herleitung der Scheitelpunktform aus der allgemeinen Funktionsgleichung y = a x 2 + b x + c aufgrund der Division durch a die Variablen b und c ändern in b _

a und c _ a , welche dann vereinfa

chend in d und e umbenannt werden.– Ein entscheidender Vorteil beim Arbeiten mit

Funktionsgleichungen in Scheitelform liegt im schnellen Zeichnen mithilfe des Scheitelpunktes und der Schablone.

– Die < Serviceblätter „Funktionsgraph und Gleichung“, Seite S 8 und das „Legespiel – Quadratische Funktionen (1) und (2)“, Seiten S 10 und S 11 trainieren die Zuordnung zwischen Graphen und Funktionsgleichungen.

– Der Tandembogen auf dem < Serviceblatt „Tandembogen: Funktionen“, Seite S 9 übt die Zuordnung von allgemeiner Form, Scheitelform und Scheitelpunkt einer Parabel.

Aufgabenkommentare

Der folgenden Klassifikation liegt der Exemplarische Kommentar: Aufgaben, die das Verständnis fördern, SeiteK 5, Schnittpunkt Serviceband 9, zugrunde.Grundaufgaben: A1; 2; 3; 4Operative Übungen: A6; 7 Kumulative Aufgaben: A; 5; 8; 10Komplexe Aufgaben: A9; 11




3 Hier wird vertiefend trainiert, dass Äquivalenzumformungen wie die Addition bei Gleichungen stets auf beiden Seiten der Gleichung durchgeführt werden müssen.

4 Bei dieser Aufgabe ist insbesondere auf die Vorzeichen der Koeffizienten d und e zu achten.

7 Diese Aufgabe ist operativ und kumulativ zugleich, da jede Gleichung zunächst in die Scheitelpunktform umgewandelt werden muss.

9 Diese offen angelegte Aufgabenstellung ermöglicht es, zu untersuchen, wann bzw. warum bei bestimmten Fällen mehrere Funktionen gefunden werden können.

10 Alle Aufgaben können sowohl zeichnerisch wie rechnerisch gelöst werden. Wird in Zweiergruppen gearbeitet, wobei ein Schüler rechnerisch, der andere zeichnerisch löst, können sich die Lernenden gegenseitig kontrollieren.

7 Die gemischt quadratische Gleichung. Grafische Lösung

Intention der Lerneinheit– Eine beliebige quadratische Gleichung in die

Normalform überführen.– Die Normalform einer quadratischen Gleichung

in die Scheitelform überführen.– Die Nullstellen einer beliebigen Parabel ablesen.– Wissen, dass die Nullstellen einer beliebigen

Parabel die Lösungen der zugehörigen quadratischen Gleichung sind.

EinstiegsaufgabeDie beiden Abbildungen mit den gegebenen quadratischen Gleichungen und verschiedenen Parabeln führen unmittelbar auf das Problem der Vergleichbarkeit und damit auf die Normalform. Zudem wird der Blick auf die Nullstellen der Parabeln gelenkt und der Zusammenhang zu den quadratischen Gleichungen hergestellt. Dadurch, dass nicht zu jeder Gleichung eine Parabel und nicht zu jeder Parabel eine Gleichung existiert, wird ein sorgfältiger Umgang mit den bisher gelernten Merkmalen von Parabeln ausgelöst.

Tipps und Anregungen für den UnterrichtEs empfiehlt sich, zunehmend die Genauigkeit der graphisch bestimmten Lösungen bzw. Probleme beim Ablesen zu thematisieren, um den Übergang zur Lerneinheit 8 Die gemischt quadratische Glei-chung. Rechnerische Lösung anzubahnen. Eine hier

sehr geeignete Problemstellung findet sich auf der Randspalte Seite 36 des Schülerbandes. Beim gegebenen Ausschnitt des Koordinatensystems gibt es keine Möglichkeit, zuverlässige Aussagen über die Anzahl der Lösungen zu treffen.Die < Serviceblätter „Quadratische Funktionen – Partnerarbeitsblatt 1 und 2“, Seiten S 12 und S 13, üben in operativer Weise das Berechnen von Gleichungen und besonderen Punkten bei verschiedenen Voraussetzungen. Auch das erstellen der Parabelgleichung anhand der Nullstellen wird verlangt und aktiviert so das Wissen über Linearfaktoren.

Aufgabenkommentare

Der folgenden Klassifikation liegt der Exemplarische Kommentar: Aufgaben, die das Verständnis fördern, Seite K 5, Schnittpunkt Serviceband 9, zugrunde.Grundaufgaben: A 1; 2; 3Operative Übungen: A 4 Kumulative Aufgaben: A 5; 6; 7

RandspalteDie Aufgabe verweist auf die Grenzen der grafischen Lösungsmethode. Es tauchen die beiden typischen Probleme solcher Aufgaben auf:1. (Mindestens) eine der Lösungen liegt außerhalb des gezeichneten Bereichs. Ohne ein tieferes Verständnis quadratischer Funktionen (die Steigung wächst mit zunehmendem Abstand vom Scheitelpunkt beliebig an), wie es in der Sekundarstufe I üblicherweise nicht erreicht werden kann, ist den Lernenden in der Regel nicht klar, dass es bei dieser Konstellation einen zweiten Schnittpunkt geben muss.2. Die xWerte der Schnittpunkte lassen sich auch bei sorgfältiger Zeichnung nur begrenzt genau ablesen. Insbesondere wenn eine größere Skala verwendet werden muss (zum Beispiel um den zweiten Schnittpunkt überhaupt zu finden), wird die Bestimmung äußerst vage.Der Einsatz einer Geometriesoftware ist in solchen Fällen sehr motivierend!

DGS II

Auch hier sollten die Lernenden nicht mechanisch die Regler verändern, sondern gezielt Frage stellungen untersuchen. Beispiel:1. Gib deinem Partner eine Gleichung in der Form x 2 + p x + q an, die 2 Lösungen hat. Die Kontrolle erfolgt rasch mit dem Computer. Die Lösungen können zusätzlich noch (näherungsweise) abgelesen werden.




2. Untersuchungen, wie im Experiment vorgeschlagen. Die vorgeschlagene Untersuchung liefert die Berechnung der xKoordinate des Scheitels aus den Nullstellen.

8 Die gemischt quadratische Gleichung. Rechnerische Lösung

Intention der Lerneinheit– Eine beliebige quadratische Gleichung mithilfe

der quadratischen Ergänzung lösen.– Die Lösungsformel für quadratische Gleichungen

ableiten können.– Quadratische Gleichungen in die Normalform

überführen.– Lösungen quadratischer Gleichungen mithilfe

der Lösungsformel bestimmen.– Die Bedeutung der Diskriminante kennen und

mit ihrer Hilfe die Anzahl der Lösungen quadratischer Gleichungen bestimmen.

– Grafische und rechnerische Lösungsverfahren von quadratischen Gleichungen zueinander in Beziehung setzen.

EinstiegsaufgabeDie praxisnahe Sachaufgabe führt unmittelbar zu einer gemischt quadratischen Gleichung. Das Anfertigen einer Skizze mit Teilrechtecken ist hier hilfreich. Mithilfe der quadratischen Ergänzung können die Lösungen bereits bestimmt werden. Je nach Leistungsstärke der Lerngruppe kann der Rechenweg gemeinsam oder in differenzierender Form anstatt mit konkretem Zahlenmaterial mit Formvariablen durchgeführt werden und so die Lösungsformel abgeleitet werden. Ein Vergleich der Anzahl und Komplexität der Rechenschritte beleuchtet die Sinnhaftigkeit der Lösungsformel. Auch können Wettrechnungen den Unterschied verdeutlichen. Die Einführung der Begriffe Normalform und p-q-Formel erleichtert die Kommunikation über die Rechenwege.

Tipps und Anregungen für den UnterrichtZumindest bei den ersten Anwendungen ist es äußerst wichtig, vor dem Einsetzen in die Lösungsformel die Koeffizienten p und q notieren zu lassen, und zwar unter besonderer Beachtung der jeweiligen Vorzeichen. Hier ist der Einsatz von Farben hilfreich.Wichtig ist auch die die Beachtung des doppelten Minuszeichens unter dem Wurzelzeichen, falls der Koeffizient q negativ ist. Es kann den Rechengang beschleunigen und Fehler vermeiden helfen, wenn

herausgearbeitet wird, dass die Terme – p/2 und p2/4 zueinander wie eine Zahl und deren Quadratzahl stehen. Das < Serviceblatt „GleichungsSalat“, Seite S 14 grenzt die Lösungswege und Umformungsschritte für lineare und quadratische Gleichungen gegeneinander ab.Die < Serviceblätter „Typische Fehler bei einfachen gemischt quadratischen Gleichungen“, Seite S 15, und „Typische Fehler bei schwierigen gemischt quadratischen Gleichungen“, Seite S 16, dienen zur Analyse und Vermeidung typischer systematischer Fehler.

Aufgabenkommentare

Der folgenden Klassifikation liegt der Exemplarische Kommentar: Aufgaben, die das Verständnis fördern, Seite K 5, Schnittpunkt Serviceband 9, zugrunde.Grundaufgaben: A 1; 2; 3; 4; 5Operative Übungen: A 9; 12 Kumulative Aufgaben: A 6; 7; 8; 10; 11; 13; 15; 16; 17; 18; 19; 20; 21; 24; 25Komplexe Aufgaben: A 14; 22; 23; 26; 27

3 und 4 Hier finden die unter „Tipps und Anregungen“ gemachten Ausführungen Berücksichtigung.

9 Die Schülerinnen und Schüler können sowohl durch klassisches Lösen der Gleichungen als auch durch Untersuchen der Diskriminanten zum Ergebnis kommen. Letzteres Vorgehen führt wesentlich schneller und sicherer zum Ziel.

12 Die offen gehaltene Aufgabenstellung überlässt es den Lernenden, ob sie mithilfe der Lösungsformel oder aber durch systematisches Probieren die richtigen Zuordnungen treffen.

15 In dieser Aufgabe kommen auch rein quadratische Gleichungen mit konstantem Glied vor. Es ist wichtig, auch die Verwendung anderer Methoden als der Lösungsformel wachzuhalten. Denn das unreflektierte Einsetzen einer einmal gelernten Formel schafft in manchen Fällen mehr Aufwand und ein erhöhtes Fehlerrisiko und steht einem tieferen Verständnis des eigenen Handelns entgegen.

18 Falls die Strahlensätze nicht mehr allen Lernenden präsent sind, empfiehlt es sich, die Wiederholungsaufgaben auf Seite 16 im Schülerbuch zu behandeln.




24 Auch hier können zur Wiederholung des Stoffes die Aufgaben auf Seite 18 im Schülerbuch eingesetzt werden.

Satz von Vieta

Der Methodenkasten thematisiert den Zusammenhang zwischen Koeffizienten und Lösungen einer quadratischen Gleichung. Die Lernenden werden zunächst aufgefordert, eine Tabelle zu untersuchen und die Auffälligkeiten zu beschreiben. Dabei gelingt es den Lernenden meist, den Zusammenhang zwischen Lösungszahlen und p und q anhand der angebotenen Beispiele zu entdecken. Die Formulierung des Satzes kann also von den Schülerinnen und Schülern selbst vorgenommen werden.

Die Überprüfung ihrer Vermutung an schon gelösten Beispielen macht den Schülerinnen und Schülern gleich eine sinnvolle Anwendung des Satzes deutlich. Das Ermitteln der Lösung mithilfe des Satzes (siehe Ausführungen unten) ist eine Zusatzaufgabe für Schülerinnen und Schüler mit gutem Zahlverständnis. Das heuristische Hilfsmittel der Tabelle unterstützt die Lösungsfindung:Beispiel: x 2 + 2 x – 80 = 0

x1 · x2 = q x1 x2 – (x1 + x2) = p

– 80 – 5 Å6 – ÅÅ

– 80 – Å 80 – å9

– 80 Å – 80 å9

– 80 8 – Å0 2

Die Gleichung hat die ganzzahligen Lösungen 8 und – 10.

Der Satz und seine Umkehrung lassen sich vielfältig anwenden:

1. Aufstellen einer quadratischen Gleichung zu vorgegebenen Lösungen

Beispiel:Gesucht ist eine quadratische Gleichung mit den Lösungen x1 = – 2 und x2 = 1:p = – x1 – x2 = (– 2) – 1 = + 1q = x1 · x2 = (– 2) · 1 = – 2Gleichung: x 2 + x – 2 = 0

2. zur Lösungskontrolle

3. Berechnen der Lösungen aus den Koeffizienten p und q

Hierzu dient die Umkehrung des Satzes: Wenn es zu den Koeffizienten p und q zwei Zahlen x1 und x2 gibt mit p = – x1 – x2 und q = x1 · x2 , dann sind diese Lösung der Gleichung.Beispiel: x 2 – 8 x + 15 = 0Es gilt 5 · 3 = 15 und 5 + 3 = 8. Somit sind 3 und 5 die Lösungen.

Der Satz des Vieta lässt sich durch Einsetzen in die Normalform beweisen:

Behauptung: Für x 2 + p x + q = 0 gilt Å. – x1 – x2 = p und 2. x1 · x2 = pDie pqLösungsformel besagt:

x1 = – p _ 2 + √

__ D ; x2 = –

p _ 2 – √

__ D

(D: Diskriminante)

Beweis von 1:

– x1 – x2 = – 2 – p _ 2 + √

__ D 3 – 2 –

p _ 2 – √

__ D 3

= + p _ 2 – √

__ D +

p _ 2 + √

__ D = p

Beweis von 2:

x1 · x2 = 2 – p _ 2 + √

__ D 3 · 2 –

p _ 2 – √

__ D 3

= 2 – p _ 2 3 2 – D | D = 2  p _

2 3 2 – q

= 2 – p _ 2 3 2 – 2  2  p _

2 3 2 – q 3 = 2 –

p _ 2 3 2 – 2  p _

2 3 2 + q

= q

Verschiedene Lösungsverfahren …

Dieser Kasten schließt den Kreis zum gesamten Kapitel. Zu Beginn des Kommentars zum Kapitel wurde auf den sehr engen Zusammenhang zwischen quadratischen Funktionen und Gleichungen hingewiesen. Hier wird nun gegenüberstellend aufgezeigt, dass eine nach unten verschobene Normalparabel zwei Nullstellen hat und somit die zugehörige quadratische Gleichung zwei Lösungen hat, erkennbar an der Diskriminante. Entsprechend hat eine nach oben verschobene Normalparabel keine Nullstellen, die zugehörige Gleichung also keine Lösung, die Diskriminante ist negativ, der Wurzelterm also nicht radizierbar. Eine nur seitlich oder gar nicht verschobene Normalparabel berührt die xAchse in einem Punkt mit den Koordinaten (d|0), daraus resultiert eine Lösung der entsprechenden Gleichung.




9 Modellieren

Intention der LerneinheitReale Situationen mithilfe von Mathematik beschreiben können (modellieren)

Exemplarischer KommentarDie Kompetenz „Mathematisch modellieren“

Die Realität ist meist zu komplex, um mathematische Verfahren direkt anwenden zu können. Beim Modellieren geht es darum, reale Situationen so zu vereinfachen, dass sie durch ein bekanntes mathematisches Modell näherungsweise beschrieben werden können. Modell bedeutet dabei eine vereinfachte Darstellung der Realität, die nur die wichtigsten, für die jeweiligen Frage stellungen relevanten Teilaspekte berücksichtigt. Im Schülerbuch ist eine vereinfachte Kreislaufdarstellung des komplexen Modellierungsprozesses dargestellt. Jeder dort aufgeführte Schritt verlangt von den Lernenden bestimmte Fähigkeiten, die man als Teil kompetenzen bezeichnen kann:– Verständnis eines realen Problems,– Erstellung eines (vereinfachten) Realmodells,– Zuordnung eines geeigneten mathematischen

Modells,– Kompetenzen zur Handhabung des mathema

tischen Modells,– Interpretation der gefundenen mathemati

schen Lösungen in Bezug zur Realität,– Validierung der gefundenen Lösung.Dabei gehört die Berechnung mithilfe des mathematischen Modells nicht zur Kompetenz „Modellieren“, sondern eher zur Kompetenz „mit symbolischen, formalen und technischen Elementen der Mathematik umgehen“. Ebenso erfordert der erste Teilschritt (die Realsituation verstehen) die Kompetenz „mathematisch kommunizieren“. Für das Modellieren charakteristisch sind die Übersetzungsprozesse, die die Lernenden leisten müssen.Das im Schülerbuch angegebene Schema ist insofern idealtypisch, als es häufig nicht vollständig (im Sinne eines Algorithmus) durchlaufen wird. Oft stellt man z. B. schon beim Berechnen fest, dass das Modell nicht geeignet ist, bricht den Prozess ab und beginnt von vorne, das heißt sucht ein geeigneteres Modell.

EinstiegsaufgabeDie Aufgabe hat einen echten Anwendungsbezug. Aller dings betrachtet sie nur einen kleinen Teilaspekt des Modellierens, nämlich das Mathematisieren. Die Höhe des Scheitelpunktes der Parabel

über der Wasseroberfläche ist nicht bekannt und muss von den Lernenden anhand der Skizze sinnvoll überlegt werden.

Tipps und Anregungen für den UnterrichtDie Aufgaben im Schülerbuch trainieren vor allem die für den Modellierungsprozess notwendigen Teilkompetenzen. Für ein Verständnis sollten auch komplexe Aufgaben bearbeitet werden, die ein Durchlaufen des gesamten Prozesses erfordern. Dabei ist es ein Irrglaube, dass zuerst alle Teilkompetenzen geschult werden müssen, bevor der Gesamtprozess geleistet werden kann. Erfahrungen zeigen, dass der Unterrichtserfolg am größten ist, wenn beide Aufgabentypen parallel bearbeitet werden. Dabei dienen Aufgaben, die spezielle Teilkompetenzen trainieren, dazu, bei auftretenden Problemen diese gesondert zu üben. Die folgende Aufgabe ist eine nahezu authentische Aufgabenstellung, an der sich alle Modellierungsschritte verdeutlichen lassen:

Exkurs Beispiel einer Modellierungsaufgabe

Herr Claus wohnt in Andernach. Er fährt an jedem Arbeitstag mit seinem Golf Diesel 13 km zu seiner Arbeitsstelle im Gewerbepark MülheimKärlich. Er überlegt, ob er zum Tanken die örtliche Markentankstelle (1 Liter Diesel = 1,249 €) oder die 6 km entfernte „freie Tankstelle“(1 Liter Diesel 1,199 €) anfahren soll.a) Ab welcher Tankgröße lohnt sich die Fahrt? Begründe mathematisch.b) Wie wird sich Herr Claus entscheiden? Begründe deine Meinung.Im Folgenden werden die notwendigen Teilkompetenzen ausführlich betrachtet:1. Verständnis des realen Problems:Dies ist für die Lernenden kein Problem, da die Aufgabenstellung in ihrem Erfahrungsbereich liegt.2. Erstellung eines (vereinfachten) Realmodells.Die Situation muss vereinfacht, idealisiert und strukturiert werden. Dazu müssen plausible Annahmen gemacht werden: – Tankgröße ca. 50 Liter. Er ist nicht leer gefahren.

Annahme: Herr Claus tankt 40 Liter.– Ölverlust, Reifenabnutzung usw. wird vernach

lässigt.– Der Verbrauch des Golf wird mit ca. 6 Liter

veranschlagt.– „Lohnen“ wird vereinfacht als Kostenersparnis

interpretiert.3. Zuordnung eines geeigneten mathematischen Modells:Funktionsgleichungen, Funktionsgraphen, Gleichungssysteme.

Schülerbuchseite 42



4. Kompetenzen zur Handhabung des mathematischen Modells:Ist im Wesentlichen die Kompetenz „mit symbolischen, formalen und technischen Elementen der Mathematik umgehen“. Eine mögliche Lösung könnte so aussehen:Kosten Markentankstelle: y = 1,249 · x (x = Tankmenge)Fahrtkosten zur Tankstelle bei einem angenommenen Verbrauch von 6 ø / 100 km: 12 · 6

_ 100 = 0,72 ø.

0,72 · 1,199 = 0,86 €Kosten freie Tankstelle: y = 1,199 · x + 0,86Bestimmung, ab welcher Tankgröße die Kosten gleich sind:Das Modell „Graphen zeichnen“ wird vielleicht als Erstes gewählt. Es muss dann jedoch verworfen werden, weil die erforderliche Genauigkeit nicht gewährleistet ist. Es muss ein Wechsel zur algebraischen Schnittpunktbestimmung erfolgen: 1,249 x = 1,199 x + 0,86 x = 17,3 ø5. Interpretation der gefundenen mathematischen Lösungen in Bezug zur Realität:Die Lernenden entscheiden, ob sich der Umweg lohnt. Ab 17,3 ø Tankfüllung ist dies der Fall.6. Validierung der gefundenen Lösung:Zusätzliche Aspekte (z. B. Zeitverlust, ökologische Bedeutung …) müssen berücksichtigt werden. Kosten für 40 Liter:Markentankstelle: y = 1,249 · 40 = 49,96 €Freie Tankstelle: y = 1,199 · 40 + 0,86 = 48,82€Für 1,19 € lohnt sich der Zeitaufwand unter Berücksichtigung zusätzlicher Kosten wie Wertverlust, Reifen und Ölverbrauch (nicht?). Hier erweist sich vor allem die getroffene Vereinfachung „lohnen entspricht einer Kostenersparnis“ als problematisch.Hinweis: Der Modellierungsaufwand kann durch Weglassen von notwendigen Daten (z. B. die Diesel preise) noch erhöht werden, weil dann die Lernenden diese sinnvoll annehmen bzw. recherchieren müssen.

Alternativer Einstieg Als alternativer Einstieg bietet sich das Beispiel aus dem Exkurs oder das ausführliche Lösungsbeispiel aus dem Schülerbuch an, da hier mehrere Teilaspekte betrachtet werden und das Gesamtproblem wesentlich komplexer ist.

Aufgabenkommentare

In den Aufgaben werden nur Teilaspekte berücksichtigt. Die folgende Aufstellung gibt einen Überblick:

1 Handhabung des mathematischen Modells

2 Zuordnung eines geeigneten mathematischen Modells

3 Handhabung des mathematischen Modells

4 a) verlangt nicht nur die Handhabung des Modells, sondern auch noch eine Interpretation (Höhe des Schwerpunktes ungleich Sprunghöhe.)b) Handhabung des Modells (Zuordnungsaspekt)Die Aufgabe lässt sich erweitern:Der Springer möchte 2,60 m hoch springen. Die Fragestellung bedingt nicht nur eine Änderung des additiven Gliedes, sondern auch die Form der Para bel (steilerer Absprungswinkel) muss überdacht und in Beziehung zur Absprungsentfernung gesetzt werden.

5 a), b) trainieren die Handhabung des gegeben mathematischen Modells (Zuordnungsaspekt).c) erfordert eine kleine Modellierung (die Höhe des Autos ist unbekannt)d) erfordert die Interpretation der Graphene) erfordert die Zuordnung und die Handhabung eines mathematischen Modells (Die Nullstellen müssen bestimmt werden.)

6 Zuordnung eines geeigneten mathematischen Modells

7 Handhabung des mathematischen Modellsa), b), c) betrachten vor allem den Zuordnungsaspekt. Teilaufgabe d) erfordert eine gewisse Interpretation des mathematisch errechneten Ergebnisses (Der Gegenspieler kann z. B. hochspringen.)

8 a) erfordert die Zuordnung und die Hand habung eines mathematischen Modells (Die Nullstellen müssen bestimmt werden.)b) Handhabung der gegebenen Funktionsgleichung

DGS III

Hier kann der Computer seine Stärken entfalten. Die Teilkompetenz Zuordnung eines mathematischen Modells kann rasch optimiert werden. Das Problem der mangelnden Passung von mathematischem Modell und realer Situation wird visuell deutlich und fordert eine Interpretation heraus. So kann das Modell Aspekte der Realität wie Luftwiderstand oder sich verändernde Körperhaltungen nicht angemessen berücksichtigen. Die Lernenden können anhand der Interpretation die Gültigkeit bzw. die Grenzen des jeweiligen mathe matischen Modells bewerten, das heißt, das Modell validieren.





d) Ändert sich an diesem „Sicherheitsabstand“ etwas bei nasser Fahrbahn (a = 5,5 m/s 2)? Begründe deine Meinung.e) Gerd meint, dass zwischen Geschwindigkeit und Bremsweg ein proportionaler Zusammenhang besteht. Å) Nimm Stellung. 2) Stelle den Zusammenhang v ¥ Bremsweg s in einem Koordinatengitter dar.f) In der Fahrschule lernt Petra eine einfache „Faustformel“ für den Bremsweg: s = 2  v _

10 3 2 (v in km/h; s in m). Nimm Stellung.

27 Die Forderung nach der Verbalisierung erhöht das Anforderungsniveau deutlich.

28 Hierbei handelt es sich um eine offene Aufgabenstellung, die durch systematisches Probieren richtige (Teil)Lösungen liefert. Das Operieren mit der Variablen a trainiert die Kompetenz Umgang mit symbolischen, formalen und technischen Elementen. Vor allem die Lösung von Teilaufgabe c) erfordert dieses. Die anderen Teilaufgaben können auch mithilfe logischer Argumentationsketten begrün det werden.


Fast alle Aufgaben sind Grundaufgaben bzw. kumu lative Aufgaben, die die im Kapitel gelernten Rechenverfahren festigen und überprüfen. Die Lernen den sollten diese problemlos lösen können. Ausnahmen sind die folgenden komplexen Aufgaben:– Aufgabe 11 verlangt ein erhöhtes Maß an Rechen

technik.– Die Aufgaben 13 und 17 sind kumulative Aufga

ben, die die Anwendung des Satzes von Pythagoras im Koordinatengitter erfordern.

3 Die Aufgabenstellung zielt auf einen typischen Fehler. Das Vorliegen einer Normalparabel wird mithilfe der Schablone ohne Rücksicht auf die Skalierung festgestellt. Durch das Weglassen des Zusatzes „Beachte die Wahl der Einheiten“ können die Schüler zusätzlich zum mathematischen Argumentieren angeregt werden.

Bremsen und Bremsweg

Die Thematik bietet sich aus drei Gründen an:Å. Die verwendeten Formeln sind zumindest teilweise aus dem Physikunterricht bekannt.2. Die Problematik ist authentisch und liegt im Interessenbereich der Altersstufe.3. Authentische Anwendungsaufgaben aus dem Bereich quadratische Funktionen sind selten.Die Aufgabenstellung erfolgte recht eng. Alle zur Berechnung notwendigen Angaben können dem Text entnommen werden. Modellierungsprozesse sind nicht notwendig. Eine selbstständige Bearbeitung (z. B. in der Hausaufgabe) sollte deshalb möglich sein.Die Thematik lässt sich jedoch auch anspruchsvoller behandeln. Durch Weglassen von Daten und veränderte Aufgabenstellung können schöne Modellierungsaufgaben durch die Lehrperson entworfen werden. Beispiel:Herr Meyer fährt auf der Autobahn mit 120 km/h 10 m hinter einem Fahrzeug her. Plötzlich bremst (a = 7 m/s 2 ) dieses Fahrzeug bis zum Stand ab. Herr Meyer besitzt denselben Fahrzeugtyp. Kommt es zum Auffahrunfall?a) Begründe deine Meinung.b) Welchen Abstand hätte er einhalten sollen, damit er rechtzeitig bremsen kann?c) Klaus meint, dass bei halber Geschwindigkeit auch nur die Hälfte an „Sicherheitsabstand“ nötig ist.


K 18 2 Potenzen


2 Potenzen


Der systematische Aufbau der Algebra wurde im siebten Schuljahr begonnen und wird nun weitergeführt. Ausgehend von den in den Klassen 7 und 8 ausgebildeten Grundvorstellungen für die zweite (Flächeninhalt) und dritte Potenz (Volumen) erfolgt eine Systematisierung und daraus resultierend die Formulierung von Potenzrechengesetzen.Methodisch bedient sich der Kapitelaufbau eines typischen Vorgehens bei der Verallgemeinerung eines mathematischen Begriffs: Die in den vorangegangenen Klassen auf anschaulicher Basis gewonnenen Einsichten werden zunächst auf Potenzen mit natürlichen Exponenten übertragen. Die Erweiterung auf ganzzahlige bzw. gebrochene Exponenten erfolgt dann durch Anwendung des Hankelschen Permanenzprinzips.

Intention und Schwerpunkt des Kapitels Potenzen wurden bereits in den vorangegangenen Schuljahren behandelt. Neu ist hier die systematische Betrachtung der einzelnen Gesetze und deren Übertragung auf komplexe Terme. Wichtige Verwendungsweisen der Potenzschreibweise wie beispielsweise die wissenschaftliche Schreibweise (scientific notation) bzw. die technische Notation für sehr große und sehr kleine Zahlen sind zentral in den Lehrgang integriert, um den Realitätsbezug und die Praxis relevanz der Potenzschreibweise hervorzuheben. Die Auftaktseite reaktiviert den Potenzbegriff und verbindet ihn mit passenden Größenvorstellungen. Für das Arbeiten mit Potenzen – insbesondere bei der Darstellung großer und kleiner Zahlen mithilfe der Zehnerpotenzschreibweise – sollte eine Vorstellung von der Größe dieser Zahlen entwickelt werden, da die Größenunterschiede in der Potenzschreibweise für die Lernenden zunächst wenig deutlich werden.Lerneinheit 1 Potenzen wiederholt und vertieft den Potenz begriff für natürliche Exponenten.In Lerneinheit 2 Potenzen mit gleicher Basis werden die Rechengesetze für Potenzen mit gleicher Basis betrachtet. Die drei Gesetze am · an = am + n, am : an = am – n und (am) n = am · n werden erarbeitet. Nega tive Exponenten werden eingeführt.In Lerneinheit 3 Sehr groß – sehr klein steht die wissenschaftliche Schreibweise (scientific notation) im Mittelpunkt. Ebenso werden Maßeinheiten für besonders große und kleine Größen eingeführt.

Lerneinheit 4 Potenzen mit gleichen Exponenten behandelt Potenzen mit gleichen Exponenten: an · bn = (a b) n bzw. an : bn = 2  a _

b 3 n

Lerneinheit 5 erklärt den Zusammenhang zwischen Potenzen mit gebrochenen Exponenten und Wurzeln. Auch die nte Wurzel wird eingeführt.Lerneinheit 6 fasst die Eigenschaften von Potenzfunktionen zusammen und erklärt Wendeparabeln und Hyperbeln.

Bezug zum LehrplanInhaltsbezogene KompetenzbereicheZahl und ZahlbereicheDie Schülerinnen und Schüler können:– Potenzieren und entsprechende Umkehrungen:

Die Erweiterung von Potenzen auf negative Exponenten erläutern und dabei notwendige Definitionen beachten.

– Zahlen in Zehnerpotenzschreibweise darstellen und damit umgehen.

– Potenzgesetze bei Termumformungen anwenden.– Zusammenhänge zwischen Potenzieren und Wur

zelziehen erkennen, interpretieren und nutzen.funktionaler ZusammenhangDie Schülerinnen und Schüler können:– Kennzeichnende Eigenschaften der Graphen von

Potenzfunktionen und Zusammenhänge mit den Funktionstermen beschreiben

– Potenzfunktionen mit natürlichen Exponenten (Symmetrie, Definitions und Wertemenge, Monotonie und Asymptote)

– Beziehungen zwischen Funktionsterm und Graph einer Potenzfunktion der Form f (x) = a (x + b) 2 + c herstellen

Präsentations- und ReferatsthemenSehr groß – sehr klein Die Bedeutung der Thematik Sehr groß – sehr klein (Lerneinheit 3, Schülerbuchseite 59 – 61) lässt sich anhand von Anwendungen in Naturwissenschaft und Technik aufzeigen. Das Schaufenster Maßein-heiten für Riesen und Zwerge (Schülerbuchseite 61) und das Thema Mega und Nano (Schülerbuchseite 72 und 73) bieten hierfür Anregungen.


2 Potenzen K 19


Auftaktseite: Kann es sein, dass …

Unterschiedliche Tätigkeiten vermitteln eine Vorstellung für das typische Wachstum von Potenzfunktionen. Die Wirkung der überraschenden Ergebnisse wird durch den Fragecharakter noch verstärkt. Die Aufgaben reaktivieren in Verbindung mit dem wiederholenden Infokasten die Definition der Potenzschreibweise und führen so direkt zu den Inhalten der folgenden Lerneinheit 1 Potenzen.Die letzte Aufgabe 10 (1010) der Auftaktseite sollte nicht mithilfe des entsprechenden Potenz gesetzes, das den Lernenden noch nicht bekannt ist, gelöst werden. Die Lösung ergibt sich vielmehr durch logisches Schließen. Dabei hilft die Angabe 1010 = 10 000 000 000 im Schülerbuch. 10 (1010) bedeutet somit 1010 000 000 000, also eine 1 mit 10 000 000 000 Nullen. Nach Lerneinheit 2 Potenzen mit gleicher Basis kann die Aufgabe erneut betrachtet werden.

1 Potenzen

Intention der LerneinheitDie Potenzschreibweise ist aus dem früheren Unterricht bekannt. Neu sind Potenzen mit negativer Basis bzw. mit Brüchen als Basis. Schwerpunkte: – die Definition a n = a · a · a … (n Faktoren) ken

nen– die Begriffe Basis, Exponent und Potenz kennen

und anwenden– eine Vorstellung für das Wachstum der Potenz

funktion entwickeln

EinstiegsaufgabeDie Einstiegsaufgabe knüpft an die Überlegungen der Auftaktseite an und führt zur Exponentialfolge der Basis 2. Die Länge der für das 20. Feld notwendigen Multiplikationsaufgabe macht die Vorteile der Potenzschreibweise deutlich.

Tipps und Anregungen für den Unterricht – Die Lernenden sollten bestimmte Potenzwerte

im Hinblick auf das teilweise Wurzelziehen auswendig wissen.

– Der Fall a 0 = 1 wird erst im Infokasten der Lerneinheit 2 Potenzen mit negativer Basis im Rahmen von Permanenzbetrachtungen geklärt.

Aufgabenkommentare

Der folgenden Klassifikation liegt der Exemplarische Kommentar: Aufgaben, die das Verständnis fördern, Seite K 5, Schnittpunkt Serviceband 9, zugrunde.Grundaufgaben: A 1; 2; 3; 4; 5; 6Operative Übungen: A 7; 8; 9; 10; 11Kumulative Aufgabe: A 9Anwendungsaufgabe: A 14Problemstellungen – offene Aufgaben-situationen: A 12; 13; 15; Randspalte

1 Die Aufgabe thematisiert einen typischen Fehler bei der Potenzschreibweise: Multiplizieren und Potenzieren werden verwechselt.

5 Der Aufgabe kommt eine besondere Bedeutung im Hinblick auf die wissenschaftliche Schreibweise zu.

8 Bei den Termen – 33 und (– 3) 3 ist die falsche Informationsaufnahmen aufgrund flüchtiger Betrachtung eine typische Fehlerquelle.

10 und 11 Die Aufgabenstellung macht vor allem das rasche Ansteigen bzw. Fallen der Potenzfunktionen deutlich.

12 Die Aufgaben sollten ohne Taschenrechner gelöst werden, da nur so der Aufbau eines Zahlverständnisses gefördert werden kann. Teilaufgabe b) bereitet zusätzlich die Einführung irrationaler Zahlen im Rahmen der Quadratwurzeln vor. Bei Wurzeln (keine Quadratzahl als Radikand) gibt die letzte Ziffer der Taschenrechneranzeige den Hinweis, dass der angezeigte Wurzelwert nicht exakt stimmen kann. Bsp. √

__ 3 : Die letzte Ziffer ist

eine 8. Dies kann jedoch nicht sein, da sich beim Quadrieren als letzte Ziffer eine 4 und keine Null ergibt. Hinweis: Der Taschenrechner gibt die Lösungen in der noch unbekannten wissenschaftliche Schreibweise bzw. gerundet an.

14 Hier wird eine Überlegung mithilfe der Potenzschreibweise erwartet:– In einer halben Stunde verdoppeln bedeutet

eine Vervierfachung pro Stunde. Nach sechs Stunden ergibt sich somit die Anzahl 700 · 46 = 2 867 200.

– Sechs Stunden sind zwölf halbe Stunden. Somit ergeben sich nach sechs Stunden 700 · 212 = 2 867 200.


K 20 2 Potenzen


Hier kann sich die interessante Fragestellung ergeben, warum 212 = 46 ist. Eine Erklärung kann spätestens nach Lerneinheit 4 Potenzen mit gleichen Exponenten erfolgen:46 = (2 · 2) 6 = 26 · 26 = 212

Allgemein gilt für a = x 2:an = (x · x) n = x n · x n = x 2 n

Teilaufgabe b) kann (noch) nicht mithilfe algebraischer Umformungen, sondern durch systematisches Probieren gelöst werden.

2 Potenzen mit gleicher Basis

Intention der LerneinheitIn dieser Lerneinheit werden die drei Potenzgesetze für Potenzen mit gleicher Basis anhand konkreter Rechnungen entwickelt und anschließend bewiesen. Dabei gelten die Gesetze für die Multiplikation für alle reellen Zahlen als Basis. Bei der Division wird nur der Fall m > n betrachtet.Schwerpunkte: – die Potenzgesetze kennen, formulieren und an

wenden– die Beweise der Potenzgesetze nachvollziehen

EinstiegsaufgabeAnhand der Einstiegsaufgabe und des folgenden Lehrtextes kann eine typische mathematische Verfahrensweise trainiert werden:1. Behauptung anhand von Rechenbeispielen auf

stellen2. Behauptung an weiterem Zahlenmaterial über

prüfen3. Behauptung allgemein mithilfe von Variablen

formulieren4. Behauptung durch algebraische Umformungen

beweisen (im Schülerbuch als Teil des Lehrtextes)

Tipps und Anregungen für den Unterricht – Man sollte nicht alle drei Gesetze in einer Stun

de einführen, sollte aber dennoch auf einen engen zeitlichen Zusammenhang achten (vgl. Exkurs: Typische Fehler beim Rechnen mit Poten zen, Seite K 22).

– Die Lernenden können die Beweise selbst erarbeiten. Meist genügt als Hilfestellung ein kurzer Hinweis auf die Bedeutung der Potenzschreibweise.

– Das < Serviceblatt „Tandembogen: Potenzen mit gleicher Basis“, Seite S 17, bietet einen Tandembogen für erste Übungen.

– Aufgaben zur Wiederholung der binomischen Formeln bietet das < Serviceblatt „Rund um die binomischen Formeln“, Seite S 18.

– Ob der Rechner 5150 berechnen kann, hängt vom verwendeten Rechenprogramm ab. Die meisten aktuellen Schulrechner können bis zu 100 Stellen berechnen und somit näherungsweise noch 5143 = 8,9683 · 1099 bestimmen. Mit MSExcel® können wesentlich höhere Potenzen berechnet werden, z. B. bis zu 5441 = 1,76 · 10308.

Aufgabenkommentare

Der folgenden Klassifikation liegt der Exempla rische Kommentar: Aufgaben, die das Verständnis fördern, Seite K 5, Schnittpunkt Serviceband 9, zugrunde.Grundaufgaben: A 1; 2; 4; 5; 21Operative Übungen: A 3; 6; 9; 10; 11; 15; 22; 23; 25Kumulative Aufgabe: A 12; 16; 17; 18Komplexe Aufgaben: A 4; 5; 14; 19; 20; 24; Schaufenster Potenzen würfelnAnwendungsaufgaben: A 7; 8Problemstellungen – offene Aufgaben-situationen: A 3; 13; 26

3 Die Aufgabenstellung wirkt einer Übergeneralisierung der Regel entgegen. Zusätzlich sollte herausgearbeitet werden, dass es für die Additionsaufgaben keine Regel für das Zusammenfassen gibt.

13 Hier werden unterschiedliche Kompetenzen (Anforderungsniveau II) trainiert. Beispiele für Aufgaben:Mathematisch denken:Zusammenhänge, Ordnungen und Strukturen erkennen und beschreiben: Die Lernenden müssen die Gesetzmäßigkeit erkennen und die Reihe entsprechend erweitern.Mathematisch argumentieren:Einen Lösungsweg begründen und Vermutungen begründet äußern: Anhand eines Beispiels (33 + 33 + 33 = 34) soll die Gesetzmäßigkeit mit der Fachsprache allgemein formuliert (n · n n = n n + 1) und die Gültigkeit mithilfe des entsprechenden Potenz gesetzes begründet werden.Probleme mathematisch lösen:Vorgegebene Probleme bearbeiten, Lösungs und Kontrollverfahren ausarbeiten: Die Gesetz mäßig keit mithilfe von Zahlenbeispielen über prüfen.

3 Sehr groß – sehr klein

Intention der Lerneinheit– die Exponentenschreibweise für sehr kleine und

sehr große Zahlen kennen und anwenden– die Exponentenschreibweise beim Arbeiten mit

dem Taschenrechner verwenden


2 Potenzen K 21


– die zur Exponentenschreibweise passenden Vorsilben (kilo; mega … bzw. milli; mikro; …) kennen und verwenden

EinstiegsaufgabeFür die Bearbeitung der Einstiegsaufgabe empfiehlt sich Partner oder Kleingruppenarbeit, damit weiterführende Diskussionen stattfinden können. Die Lernenden sollten sich Notizen zu den Taschenrechneranzeigen machen, sodass diese im folgenden Unterrichtsgespräch aufgearbeitet werden können.Die Motivation für den Einstieg erfolgt anhand eines Wachstumsvorgangs, der eine Größenvorstellung mit der neuen Schreibweise (scientific notation) verbindet. Nach vier Schritten zeigt der Rechner 65 536 an. Schon im nächsten Schritt erfolgt bei manchen Rechnern der Wechsel in die scientific notation: 4,295 09). Das Weiterrechnen ist noch weitere drei Schritte möglich. Danach wird error angezeigt. Nach dem Vergleich wird zunächst die Exponentenschreibweise für große Zahlen eingeführt. Dies kann in den folgenden Schritten erfolgen:Å. Ausgangspunkt ist die Taschenrechneran

zeige 4,295 09. Zuerst wird der Zusammenhang der Anzeige 09 zu den Stufenzahlen 10; 100; 1000; … hergestellt. Dazu werden diese als Zehnerpotenzen geschrieben.

2. Die Zahl 4,295 · 109 wird als 4 295 000 000 interpretiert.

3. Weitere Zahldarstellungen, die sich bei den Tätigkeiten der Einstiegsaufgabe ergeben haben, werden interpretiert.

4. Die Eingabe solcher Zahlen in den Taschenrechner wird behandelt.

5. Die Rundungsproblematik wird besprochen. Ausgangspunkt ist die Überlegung, dass der Vorgänger (65 536) als letzte Ziffer eine 6 hat. Beim Quadrieren muss sich als letzte Ziffer erneut eine 6 ergeben.

Tipps und Anregungen für den Unterricht – Für das Verständnis der scientific notation ist

eine Vorstellung für die Größe der Zahlen ganz entscheidend, da die Schreibweise Größenunterschiede wenig deutlich werden lässt. Mögliche Aufgabenstellungen dazu sind: Umformen in eine Zahl ohne Potenzen, Veranschaulichung in Sachzusammenhängen, Rechnungen und Überlegungen, die das Vorstellungsvermögen fordern (wie z. B. die Hälfte einer Zahl in der Exponentenschreibweise angeben).

– Vor der Behandlung der Schreibweise für sehr kleine Zahlen sollten erste Übungen die neu gelernte Schreibweise für große Zahlen festigen.

– Bei der Einführung und Behandlung der technischen Notation muss erarbeitet und beachtet werden, dass vor dem Komma eine Zahl mit bis zu drei Ziffern stehen kann.

– Das < Serviceblatt „Größenvergleiche von 10– 12 cm bis 1027 cm“, Seite S 20, vermittelt Stützgrößen für solche extremen Zahlen.

– Das < Serviceblatt „Unser Sonnensystem“, Seite S 19, bietet weitere Anwendungsaufgaben.

Aufgabenkommentare

Der folgenden Klassifikation liegt der Exemplarische Kommentar: Aufgaben, die das Verständnis fördern, Seite K 5, Schnittpunkt Serviceband 9, zugrunde.Grundaufgaben: A 1; 2; 3; 4; 7Operative Übungen: A 5; 8; Schaufenster Nullen zählenKumulative Aufgabe: A 9Komplexe Aufgaben: Infofenster Maßeinheiten für Riesen und Zwerge Anwendungsaufgaben: Infofenster Maßeinheiten für Riesen und ZwergeProblemstellungen – offene Aufgaben-situationen: A 6

9 Die Aufgaben erfordern teilweise ein geschicktes Umformen. Sie trainieren deshalb nicht nur die Eingabe in den Rechner und das Distributivgesetz, sondern vertiefen Einsichten in die neue Schreibweise. Die offene Aufgabenstellung ermöglicht dabei mehrere Varianten. Beispiel für Teilaufgabe g): 0,000 14 · 103 + 8600 · 10–4

1. Möglichkeit: 0,000 14 · 103 + 0,000 86 · 103

2. Möglichkeit: 1400 · 10– 4 + 8600 · 10– 4

Die Lernenden erkennen schnell die Strategie, den Exponenten so umzuformen, dass die beiden Poten zen leicht addiert werden können. Aus diesem Grund sollten auch Umformungen verlangt werden, bei denen beide Zahlen verändert werden:3. Möglichkeit: 0,14 · 101 + 0,86 · 101

Maßeinheiten für Riesen und Zwerge

Die Exponentenschreibweise findet insbesondere in den Naturwissenschaften und der Technik ihre Anwendung. Bei sprachlichen Formulierungen sind vor Maßeinheiten Vorsilben zur Kennzeichnung bestimmter Zehnerpotenzen üblich. Sie werden heutzutage in Zeitungen, Nachrichten und auch in vielen Fächern der Realschule verwendet. Die Lernenden sollten sie deshalb kennen.


K 22 2 Potenzen


Die Veranschaulichung in Sachzusammenhängen verdeutlicht die Größenordnung der Zahlen und ermöglicht die Entwicklung einer Vorstellung für die Dimensionen der Exponentenschreibweise.

4 Potenzen mit gleichen Exponenten

Intention der Lerneinheit– die Potenzgesetze kennen, formulieren und an

wenden– die Beweise nachvollziehen– die Potenzgesetze für vorteilhaftes Rechnen ver

wenden– die Schreibweisen (ab) c und a (bc) unterscheiden

EinstiegsaufgabeDie Einstiegsaufgabe und der Lehrtext ermöglichen das folgende Vorgehen:– Ausgehend von den vorangehenden Lerneinhei

ten ergibt sich die Fragestellung nach weiteren Potenzgesetzen.

– Aufgrund der geometrischen Überlegungen ergibt sich eine Vermutung.

– Das Rechengesetz wird mithilfe von Variablen beschrieben.

– Der „Beweis“ erfolgt – wie im Schülerbuch vorgeschlagen – anhand konkreter Exponenten (erst im Lehrtext).

– Das Gesetz wird für allgemeine Exponenten formuliert.

Tipps und Anregungen für den Unterricht – Bei den Potenzregeln a n · b n = (a · b) n und

a n : b n = (a : b) n wird die Umformung von rechts nach links viel häufiger benötigt als die von links nach rechts. Daher können die beiden Regeln auch als Regeln für das Potenzieren von Produkten ((a · b) n = a n · b n) bzw. Quotienten formuliert werden.

– Als alternativer Einstieg ist ein Zugang über Rechen vorteile (entsprechend der im Schülerbuch vorgeschlagenen Aufgabe 1) möglich.

– Die Beweise können die Lernenden aufgrund ihrer Erfahrungen aus Lerneinheit 2 Potenzen mit gleicher Basis leicht eigenständig finden (Partner arbeit). Die Vorerfahrungen der Lernenden ermöglichen eine Behandlung von beiden Regeln in einer Stunde.

– Das < Serviceblatt „Tandembogen: Potenzen mit gleichen Exponenten“, Seite S 21, bietet einen Tandembogen für erste Übungen in Partnerarbeit.

– Die < Serviceblätter „Potenzrechnen – Partnerarbeits blatt 1 und 2“, Seite S 22 und S 23, können zur Selbstkontrolle der bisher behandelten Regeln

(Lerneinheiten 1 bis 4) eingesetzt werden. Eine Einschätzung der eigenen Lösungskompetenz vor dem Rechnen und nach dem Vergleichen trainiert die Fähigkeit zur Selbsteinschätzung.

– Das < Serviceblatt „Mindmap Potenzen“, Seite S 24, erleichtert die Übersicht über die Vielzahl von Regeln.

Exkurs Typische Fehler beim Rechnen mit Potenzen

Dem Exkurs liegt das Kapitel 7 „Schülerfehler beim Umformen“ in Malle, Günther, Didaktische Probleme der elementaren Algebra, Vieweg Verlag, Wiesbaden 1993, Seite 160 ff, zugrunde.

Vergleiche auch folgende Exemplarischen Kommentare:– Schülerfehler beim Umformen, Schnittpunkt,

Serviceband 7, Seite K 26.– Erkennen von Termstrukturen, Schnittpunkt,

Serviceband 8, Seite K 1.

1. Falsche InformationsaufnahmeDie Lernenden verwechseln häufig das Potenzieren mit dem Multiplizieren, jedoch sehr selten mit dem Addieren. Malle erklärt dies folgendermaßen: „Dass die Potenzierung vorwiegend mit der Multiplikation verwechselt wird, kann damit erklärt werden, dass 23 mehr Ähnlichkeit mit 2 · 3 hat als mit 2 + 3. Bei Variablen ist dies noch deutlicher: ab hat mehr Ähnlichkeit mit a b als mit a + b. Gewisse sprachliche Wendungen können diesen Fehler noch unterstützen, 23 heißt 2 · 2 · 2 also 2 · 3.“ (vgl. Malle, Seite 167)

2. Aufruf eines falschen Schemas– Typisch ist die Verwechslung der Multipli ka

tions mit der Potenzierungsregel: (am) n = am + n.

Dieser Fehler tritt vor allem bei isolierter Betrachtung der Einzelregeln auf. Die Lernenden schauen die Aufgaben nicht genau an und erfassen die typische Termstruktur nicht. Charakteristisch ist dabei, dass die Aufgaben in den einzelnen Abschnitten problemlos gelöst wurden. Die Lernenden wussten, dass in der ersten Phase die Aufgaben durch Addition der Exponenten und in der zweiten Phase durch Multiplikation der Exponenten zu lösen sind. Dies

wird durch Überschriften, Musterlösungen und Aufgabensystematisierungen noch unterstützt.

Abhilfe: Parallele Behandlung aller drei Regeln (wie im Schülerbuch vorgeschlagen) oder Einsatz operativer Übungen, die ein genaues Betrachten der Terme und damit ein Erfassen der typischen Termstruktur voraussetzen.


2 Potenzen K 23


– Bei der Division werden manchmal die Exponenten gekürzt statt subtrahiert:

a 8 b 12 _

a 6 b 10 = a 4 b 6 _

a 3 b 5

Die Ursachen für diesen Fehler ist in dem im achten Schuljahr behandelten und verinnerlichten Aufgaben zu finden:

8 x · 12 y

_ 6 a · 10 b =

4 x · 6 y _ 3 a · 5 b

Koeffizienten dürfen gekürzt werden – dieses Rechenschema wird unzulässig auf Hochzahlen übertragen.

3. Kognitive VerarbeitungDie Erweiterung der Metaschemata führt in der Praxis vor allem bei der Übertragung auf Variablenterme als Exponenten zu Fehlern. Beispiele: a 2 n + 1 : a n – 1 = an statt a n + 2 oder a m + 3 · a 2 = a 2 m + 6 statt a m + 5

Weiterhin können Übergeneralisierungen auftreten. Beispiele: Die binomische Formel (a + b) 2 = a 2 + 2 a b + b2 wird auf den Fall (a · b) 2 ausgedehnt (a 2 · 2 a b · b 2); das Schema (a · b) 2 = a 2 · b 2 wird auf Summen angewendet ((a + b) 2 = a 2 + b 2 oder 32 + 42 = 72).Abhilfe: Klare Regelformulierungen und Einsatz von Aufgaben, die die Grenzen der Regeln aufzeigen (z. B. Schülerbuchseite 63, Aufgabe 3).

4. HandlungRechenfehler sind meist auf komplexe Terme beschränkt. Beispiele: Binomische Formeln werden nicht erkannt bzw. falsch angewendet (a x + 1 · a x – 1); Minusklammern werden nicht beachtet (a m + 4 : a m – 1 = a 3 statt a m + 4 – (m – 1) = a5)

Aufgabenkommentare

Der folgenden Klassifikation liegt der Exempla rische Kommentar: Aufgaben, die das Verständnis fördern, Seite K 5, Schnittpunkt Serviceband 9, zugrunde.Grundaufgaben: A 1; 5; 6Operative Übungen: A 2; 3; 4; 7Kumulative Aufgabe: A 4Komplexe Aufgabe: A 4Anwendungsaufgaben: A 1; 5; RandspalteProblemstellungen – offene Aufgaben-situationen: A 8; 9; 10; 11

1 Die Aufgabe zeigt eine sinnvolle und hilfreiche Anwendung der gelernten Regel.

3 Die Aufgabe grenzt die Regel ab und beugt einer Übergeneralisierung vor.

4 Die Anwendbarkeit der Regel wird erweitert. Einige Aufgaben erfordern trickreiches Rechnen, um im Kopf gelöst werden zu können. Beispiel für Teilaufgabe f): 62 · 54 = 32 · 22 · 52 · 52 = 100 · (3 · 5)2 = 100 · 152 = 22 500

7 Die Aufgabe erfordert die Kompetenzen mathe-matische Darstellungen verwenden und mit symboli-schen Elementen der Mathematik umgehen (vgl. den folgenden Exemplarischen Kommentar).

Exemplarischer KommentarMit symbolischen, formalen und technischen Elementen der Mathematik umgehen

Diese Kompetenz umfasst die Anwendung von mathematischem Wissen bzw. Fertigkeiten. Unter Wissen sind Fakten zu verstehen, die direkt aus dem Gedächtnis abgerufen werden können. Fertigkeiten sind Rechenalgorithmen oder Zeichenroutinen, die automatisiert ablaufen. Die Niveaubandbreite reicht von der reinen Wissenswiedergabe (Anforderungsniveau I) bis zur Bewertung der gefundenen Lösungs und Kontrollverfahren (Anforderungsniveau III). Dies wird im Folgenden anhand von Schülerbuchaufgabe 7 aufgezeigt:Für die Lösung dieser Aufgabe sind neben einfachen Basisfertigkeiten (Multiplikationsregel) auch eine zielgerichtete Probierstrategie bzw. Rückwärtsrechnen notwendig. Sie entspricht somit Anforderungsniveau II.Diese Aufgabenart kann leicht so variiert werden, dass andere Anforderungsniveaus erreicht werden:

Anforderungsniveau I:

x x 2 x 5 x 3

Zur Lösung muss nur ein Routineverfahren im Rahmen einer vertrauten Standarddarstellung angewendet werden. Die rechentechnische Schwierigkeit lässt sich zwar durch Verwendung mehrgliedriger Terme erhöhen, dies führt jedoch nicht zwangsläufig zum nächsthöheren Niveau.


K 24 2 Potenzen


Anforderungsniveau II:Mithilfe von mehrgliedrigen Termen kann ein dem Schülerbuchbeispiel analoges Schema mit deutlich erhöhter Rechenschwierigkeit erstellt werden:

(a 2 b 2) 2

(a6 b 3) 2

a 21 b10

a 2

Eine Erhöhung der Rechenschwierigkeit führt allerdings noch nicht zum Anforderungsniveau III. Dazu muss ein Problem, das über den geübten Standard hinausgeht, bearbeitet und eine stichhaltige mathematische Begründung entwickelt werden.

Anforderungsniveau III:Der oberste Stein beinhaltet den Term x 176. Die Terme in der unteren Reihe sind alle gleich. Bestimme diese Terme und begründe dein Vorgehen.

x176

Eine stichhaltige Begründung könnte folgendermaßen erfolgen:Gesuchter Term in der untersten Reihe: x a

Term in der darüber liegenden Reihe (n = 1): x a · x a = x 2 a

Term in der nächsthöheren Reihe (n = 2): x 4 a = x a · 22

Term in der nten Reihe: x a · 2n

Für das in der oberen Zahlenmauer gegebene Beispiel n = 3 ergibt sich für den Exponenten: a · 23 = 8 a = 176; daraus folgt für die unterste Reihe: a = 22 bzw. x 22.

Die Aufgabe kann auch durch systematisches Probieren gelöst werden. Dafür ist eine wesentlich geringere Kompetenz im Umgang mit formalen Elementen notwendig. Bei einer Aufgabe können somit durch die Wahl der Lösungsstrategie unterschiedliche Anforderungsniveau erreicht werden.

8 Die Schüler werden daran erinnert, dass bei ähnlichen Körpern das Volumen mit der 3. Potenz der linearen Maße wächst. Die Brenndauer ist hauptsächlich von dem Wachsvorrat und damit vom Volumen der Zylinderform der Kerzen abhängig. Aus der Zeichnung lassen sich die Durchmesser und Höhen angenähert entnehmen und vergleichen.

10 Diese Aufgabe schult vor allem die Kompetenz mathematisch Argumentieren. Im folgenden Exemplarischen Kommentar wird dies ausführlich erläutert.

Exemplarischer KommentarMathematisch Argumentieren

Zum mathematischen Argumentieren gehört– das Verbinden mathematischer Aussagen zu

logischen Argumentationsketten.– das Verstehen und Bewerten von Argumen

tationsketten.– die Überprüfung von Ergebnissen.– die verständliche Darstellung der Lösungs

wege mithilfe der Fachsprache.

Das Niveau reicht dabei von der Wiedergabe bekannter Routinenargumentationen (Anforderungsniveau I) bis zur Entwicklung komplexer Beweisketten (Anforderungsniveau III). Die Schüler buchaufgabe 10 b) entspricht Anforderungsniveau II und kann auf unterschiedlichen Darstellungsebenen gelöst werden:

Å. Beispielgebundene Lösung mithilfe der Zahlenwerte aus Teilaufgabe a):Anzahl blauer Würfelchen pro Teilwürfel: 3 · 3 · 3Anzahl blauer Würfelchen in einer Reihe: 3 · 3 · 3 · 3Anzahl blauer Würfelchen in einer Schicht: 3 · 3 · 3 · 3 · 3Gesamtanzahl blauer Würfelchen: 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 = 9 · 9 · 9 = 93.Diese Zusammenfassung ist zahlenunabhängig und gilt offenbar immer.

2. Ikonischer Ansatz: Anhand von anschaulichen Überlegungen am Würfel (ein Teilwürfel besteht aus 3 · 3 · 3 = 33 blauen Würfelchen) ergibt sich 33 · 3 · 3 · 3 = 33 · 33 = 93.

3. Algebraischer Ansatz:x · y (x und y sind Kubikzahlen, also x = a 3; y = b 3)= a 3 · b 3 (Potenzregel)= (a · b) 3 (a · b = z)= z 3 Das Ergebnis ist eine Kubikzahl.

Dieser Ansatz ist wegen der Verwendung von Variablen recht abstrakt. Er zeigt zusätzlich eine hohe Kompetenz im Bereich mit symbolischen, formalen und technischen Elementen der Mathe-matik umgehen auf.


2 Potenzen K 25


4. Durch inhaltliche Überlegungen:Hier erfolgt die Begründung aufgrund bereits erworbener Kenntnisse, meist ohne Verwendung von Variablen. Die Lernenden kennen von der Einstiegsaufgabe die Grundidee 32 · 22 = (3 · 2) 2 = 62 und übertragen diese auf den Würfel: 33 · 33 = (3 · 3) 3 = 93.Diese Umformung gilt offensichtlich für alle Zahlen und ist deshalb allgemeingültig.

Wichtig ist, dass die Aussagekraft einer Argu mentationskette nicht vom Formalisierungsgrad abhängt. Für Schülerinnen und Schüler sind oft die weniger abstrakten Begründungen überzeugender.

5 Potenzen mit gebrochenen Exponenten

Intention der Lerneinheit– Stammbrüche im Exponenten als alternative

Schreibweise für Wurzelterme kennen lernen– die Potenzgesetze auch auf Terme mit gebroche

nen Exponenten anwenden und an Beispielen die Gültigkeit prüfen

EinstiegsaufgabeDie Suche nach der Basis ist in den gegebenen Beispielen durch Kopfrechnen zu schaffen oder durch gezieltes Probieren mit dem Taschenrechner. Dadurch wird das Umgehen mit der nten Wurzel verständnisvoll ausgeführt und anschließend erst in eine Definition gebunden. Die abstrakte Formulierung des Lehrsatzes wird durch die Vorkenntnis verständlich. Die konsequente Anwendung der Potenz gesetze (Permanenzprinzip) führt entlang eines Beispiels zur Gleichwertigkeit eines Wurzelterms mit einer Potenz mit einem Stammbruch als Exponenten. Alle weiteren Aufgaben der Lerneinheit sind Ausformungen und Festigungen dieser Aussage.

Tipps und Anregungen für den UnterrichtIn vielen Lerngruppen kommen unterschiedliche Taschenrechner zum Einsatz, manche davon beherrschen die direkte Eingabe und Verwendung von Brüchen. Die Beispiele auf der Randspalte zeigen die beiden vorherrschenden Varianten. Es bietet sich an, Schüler ihre Rechner untereinander austauschen zu lassen um die verschiedenen Eingaben kennenzulernen und gedanklich zu durchdringen.

Aufgabenkommentare

Der folgenden Klassifikation liegt der Exemplarische Kommentar: Aufgaben, die das Verständnis fördern, Seite K 5, Schnittpunkt Serviceband 9, zugrunde.Grundaufgaben: A 2; 3; 4; 5Operative Übungen: A 1; 6; 7Komplexe Aufgaben: A 13; 14Anwendungsaufgaben: A 6; 7; 8; 9; 10Problemstellungen – offene Aufgaben-situationen: A 11; 12

Wo kommen solche Zahlen vor?

Für die Schülerinnen und Schüler der 10. Klasse sind Potenzen mit allgemeinen Brüchen nur Zwischenstationen in Berechnungen mit Umformungen. Konkrete Bezüge zum Alltag sind kaum mit ihnen verknüpft. Der Kasten zeigt zwei Beispiele auf, die diese Zahlen doch fassbar machen können. Die Berechnung der Oberfläche eines Würfels mit der Kantenlänge a aus der Volumenangabe ist sinnfällig und interpretiert den Term a

2

_ 3

plastisch. Die beiden gewohnten Arbeitsschritte Volumen ¥ Kantenlänge ¥ Oberfläche ergebenin der formelmäßigen Zusammenfassung eine Potenz mit gebrochener Hochzahl. Damit rückt dieser Term in den Bereich der „normalen“ Ausdrücke. Entsprechend verhält es sich bei der Verzinsung. Der herausgehobene Potenzterm repräsentiert zunächst den Rückschluss auf die Verzinsung in einem Jahr und dann die Berechnung der Zinsen für mehrere Jahre.

11 Diese Aufgabe lässt sich sinnvoll in Arbeitsgruppen oder auch mit der ganzen Klasse bearbeiten, denn etliche Regeln sind beim Schätzen zu beachten, die noch nicht im Erfahrungsschatz der Schülerinnen und Schüler verankert sind:– Potenzen von 1 sind konstant 1.– Für Potenzen von Basen zwischen 0 und 1 mit

Exponenten größer als 1 sind die Werte kleiner als die Basis. „Sie werden kleiner.“ Beim Radizieren, also dem Potenzieren mit Exponenten kleiner 1, steigen die Werte.

– Umgekehrt verhält es sich bei Basen größer als 1.Wenn die Zahlen der Gruppe zunächst paarweise verglichen und anschließend geordnet werden, bieten sich anschließend selbst gewählte Aufgabenbeispiele der Schüler für die Einzelarbeit an.


K 26 2 Potenzen


14 Die Aufgabenstellung verführt die Schülerinnen und Schüler zum Verstoß gegen die Vorgabe des Lehrsatzes, da sie mit einer negativen Basis unkritisch rechnen sollen. Die Fortführung führt zu dem vermeintlichen Widerspruch, dass der Term (– 8 )

Å

_ 3

den Wert – 2 hat, während der gleichwertige Term (– 8 )

2

_ 6 zur 6ten Wurzel aus (– 8)2 = 64 führt und

positiv ist. Die Diskussion des Beispiels ergibt die Notwendigkeit der im Lehrsatz festgelegten Einschränkung: Basis > 0.

15 Nur sorgfältiges Anwenden der Potenzgesetze und Berücksichtigung der im Lehrtext wiedergegebenen Definition führt zur Lösung der Aufgabe. Viele naheliegende Fehlerursachen werden angesprochen. Die vorangehende Aufgabe 14 kann die Schülerinnen und Schüler für diese Sichtweise sensibilisieren.

6 Potenzfunktionen

Intention der Lerneinheit– erfahren, dass der Exponent die Form des Gra

phen einer Potenzfunktion bestimmt– Die Klassifizierung der Kurvenformen (Parabel,

Wendeparabel, Hyperbel) in sinnvollen Zusammenhang mit den Exponenten bringen und die Begriffe richtig verwenden

– die Symmetrieeigenschaften der verschiedenen Formen kennen

EinstiegsaufgabeDie Aufgabe präsentiert einen typischen Alltagsvorgang, bei dem die verbleibende Lichtenergie bei Verdopplung des Abstandes auf ein Viertel sinkt. Diese Aufgabe regt zunächst zum Probieren an. Durch das Anlegen einer Tabelle kann das Vorgehen systematisiert werden und es können die mathematischen Zusammenhänge verdeutlicht werden. Hilfreich ist hier eine getrennte Betrachtung des Koeffizienten a und des Exponenten.


Aufgabenkommentare

1 bis 3 Die Aufgaben behandeln den Zusammen hang zwischen gegebenen Funktionsgleichungen und der Form der zugehörigen Graphen. Gleichfalls werden die Symmetrieeigenschaften thematisiert. Einbezogen werden zunächst Funktionen mit positiven geraden Exponenten, danach mit negativen ganzzahligen Exponenten und wechselnden Koeffizienten a.

1 Die Aufgabe zielt auf die Auswirkung des Koeffizienten a bei konstant bleibendem Exponenten auf die Form des Graphen.

2 Die Symmetrieeigenschaften ausgewählter Potenzfunktionen werden untersucht. Zu beachten sind hier Vorzeichen in Klammern.

3 Diese Aufgabe kehrt in operativer Weise die Problemstellung um.

4 und 5 Diese Aufgaben präsentieren einen weiteren Anwendungsbezug aus dem Alltag zu Potenzfunktionen. Die Fragestellung bietet Anlass zur Thematisierung ökologischer Aspekte im Hinblick auf umweltorientiertes Fahrverhalten und Tempolimits bzw. auf Lärmbelästigung und reduktion.

Besondere Punkte

Die Ausführungen zu besonderen Punkten sprechen in erster Linie Schülerinnen und Schüler an, die voraussichtlich die Mainzer Studienstufe besuchen werden. Wesentlicher Inhalt des Mathematikunterrichts der 11. Klassenstufe ist die Differentialrechnung als erster Zugang in die Analysis. Mit dem Betrachten des Differentialquotienten bzw. der Ableitungen von Funktionen eröffnen sich elementare Möglichkeiten zur Bestimmung von zum Beispiel Extremwerten oder Nullstellen und damit zum Lösen vielfältiger Anwendungsaufgaben. Der Infokasten gibt eine erste Einführung in die dort benötigte Terminologie und bietet damit auch die Möglichkeit, die Kommunikation über das Verhalten und die Eigenschaften von Potenzfunktionen zu vereinfachen. Je nach Lerngruppe eignet sich die Behandlung des Infokastens entweder binnendifferenziert im Hinblick auf angehende Schüler der MSS oder auch im Klassenverband. Der Einsatz von Funktionsplottern bietet hier zahlreiche Anlässe für Beobachtungen oder auch zur Lernkontrolle, da die meisten Plotter über die Möglichkeit verfügen, die besonderen Punkte von Funktionen anzeigen zu lassen.


Tipps und Anregungen für den Unterricht Das < Serviceblatt „Mindmap – Potenzen“, Seite S 24, erleichtert die Übersicht über die Vielzahl an Regeln. Hinweis: Als Übung können die Lernenden weitere Zusammenhänge durch das Einzeichnen von zusätzlichen Pfeilen aufzeigen.


2 Potenzen K 27


Aufgabenkommentare

Der folgenden Klassifikation liegt der Exemplarische Kommentar: Aufgaben, die das Verständnis fördern, Seite K 5, Schnittpunkt Serviceband 9, zugrunde.Grundaufgaben: A 1; 2; 5; 6; 10; 16; 17; 18; 21Operative Übungen: A 7; 8; 9; 11; 19Kumulative Aufgaben: A 20Komplexe Aufgabe: A 18Anwendungsaufgaben: A 12; 14; 22; 23; 24; Themenfenster Mega und NanoProblemstellungen – offene Aufgaben-situationen: A 3; 4;13; 15; 20; 21

4 Eine schülergemäße Begründung könnte folgendermaßen lauten:Es ist 2Å = 222 = 423 = 824 = 1625 = 3226 = 64Da die letzte Ziffer eines Produkts durch das Produkt der letzten Ziffern der Faktoren bestimmt ist, müssen sich bei allen weiteren Potenzen die Endziffern 2; 4; 8; 6 in dieser Reihenfolge immer wiederholen. Die Endziffer 4 tritt also bei 22; 26; 210; 214 usw. auf.b) Bei der fünften Potenz bildet die letzte Ziffer der Basis die letzte Ziffer des Potenzwertes: 25 = 32 35 = 243 45 = Å 024 55 = 3 Å25 95 = 59 049ÅÅ5 = Å6Å 05Å

11 Um das Zahlverständnis zu trainieren, sollten die Ergebnisse auch durch Umformung in die Dezimalschreibweise überprüft werden.

15 Die Lösung soll nicht mithilfe der Gleichung 0,000 001 · 2 x = 68 000, sondern durch systematisches Probieren mit der „· 2Taste“ erfolgen. Die Lernenden erhalten so einen Eindruck von der Wachstumsdynamik solcher Funktionen. Die Aufgabe ist unter mehreren Aspekten zu sehen:– Rechenhilfsmittel zum Lösen von Problemstellun

gen einsetzen,– Umwandlung von Flächeneinheiten,– Kontrollverfahren entwickeln – Das gefundene Er

gebnis lässt sich mit der Gleichung leicht prüfen.– Modellieren – Das verwendete mathematische

Rechenmodell muss hinterfragt werden. Es trifft

nur anfangs, bei idealen Ausbreitungsbedingungen zu. Später, wenn die Ausbreitung nicht mehr in alle Richtungen erfolgen kann (z. B. wegen engen Buchten), stellt es die Realität nicht mehr dar.

– Wachstum mithilfe von Gleichungen beschreiben,– Vorstellungen von Wachstum (Funktionen) ent

wickeln. Dieser Aspekt wird in Kapitel 5 Exponen-tialfunktion aufgegriffen und ausgebaut.

20 1,000 000 012 = (1 + 10– 8) 2 = 1 + 2 · 10– 8 + (10– 8) 2. Ein 10stelliger Taschenrechner rundet auf 1 + 2 · 10– 8.Für die linke Seite ergibt dies:

1 + 2 · 10– 8 – 12 __ 100 000 000 1 – 1 = 2 · 10– 8

_

10– 8 = 2

Die rechte Seite liefert den richtigen Wert 2,000 000 01.Hinweis: Bei einem 8stelligen Rechner muss die Aufgabe entsprechend angepasst werden: a = 1,000 000 1.

Mega und Nano

Vergleiche dazu auch den Kommentar zu Maß-einheiten für Riesen und Zwerge, Seite K 21.

Planetenwege sind besondere Wanderwege, bei denen entlang der Wanderstrecke ein maßstabsgerechtes Modell unseres Sonnensystems dargestellt ist. Meist sind sie im Maßstab 1 : 1 Milliarde erbaut. Damit beträgt die Entfernung Erde – Sonne ungefähr 6 km. Die Planeten sind als Miniaturmodelle entlang der Strecke aufgestellt. Der Wanderer erfährt anhand der Wanderzeit, dass die Abstände zwischen den Planeten mehrere zehntausendmal größer als die Planeten durchmesser sind und dass die Planetenabstände mit zunehmender Sonnennähe immer kleiner werden.

Hinweis: Eine Liste und Karte der Planetenwege findet man im Internet unter dem Suchbegriff Planetenwege.Das Thema bietet einen anwendungsbezogenen Hintergrund für vielfältige mathematische Tätigkeiten. Das neu erlangte Wissen über Potenzen wird vernetzt. Grundwissen aus früheren Jahren wie Umwandlungen und Maßstab wird reaktiviert. Zusätzlich müssen Modellierungsprozesse durchgeführt werden.Lässt man die Lernenden die Aufgaben des Themen fensters ohne weitere Tipps bearbeiten, werden sie die Aufgaben mit großem Aufwand möglichst genau bearbeiten. Bei der Besprechung sollte man unbedingt darauf hinweisen, dass dies hier nicht notwendig ist. Die Frage


K 28 2 Potenzen


Exkurs Pluto

Pluto wurde 2006 der Planetenstatus aberkannt. Zur Begründung diente weder seine extravagante Bahn (die ihn inzwischen näher an die Sonne führte als Neptun), noch seine geringe Größe, sondern seine geringe Gravitation. Die anderen Planeten üben so hohe Gravitationskräfte aus, dass kleinere Objekte in ihrer Nähe einverleibt werden und dass sie eine annähernd hügelförmige Gestalt haben. Die Diskussionen begannen, als immer mehr ähnlich große Objekte in der Nähe des Plutos (KuiperGürtel) gefunden wurden. Darunter auch ein größeres im Jahr 2003 (UB 313 mit 2400 km Durchmesser). Dadurch war der Sonderstatus Planet für den Pluto nicht mehr haltbar. Um sich nicht auf eine, auf Dauer vielleicht umstrittene, Mindestgröße einigen zu müssen, wählte man das Kriterium Sauberkeit in der näheren Umgebung. Pluto wird seither als Zwergplanet bezeichnet.

Dualzahlen

Die Dualzahlen wurden bereits in den unteren Jahrgängen eingeführt, um das Stellenwertsystem der Dezimalzahlen durch den Vergleich zu verdeutlichen. Der Kasten führt dies als Wiederholung auf und zeigt, dass die Rechenmethoden in der Struktur identisch sind.Wegen der allgegenwärtigen Präsenz digital arbeitender Maschinen kommen wir im Alltag nicht umhin, die mit ihnen verbundenen Dualzahlen in unsere Umgangssprache einzubeziehen: Etwa wenn wir über die Daten von Notebooks, Musiksamm lungen, über die Übertragungsqualität beim Telefonieren und Fernsehen oder die Über tragungsgeschwindigkeit bei Internetrecherchen sprechen.Menschen „verstehen“ aber die Dualzahlen nicht ohne Hilfsmittel. Größere Dualzahlen sind für uns beim Lesen sehr unübersichtlich. Für unser Gehirn sind die langen Zahlenbilder aus Nullen und Einsen nicht geeignet. Die Basis 10 erzeugt leichter erkennbare Zeichenmuster in dem Zahlbereich, den wir alltäglich brauchen. Da wir Zahlen nur im Zehnersystem flüssig sprechen können, müssen wir Dualzahlen umrechnen können. Auch das gelingt Menschen nur in einem unzureichend kleinen Zahlbereich. Eine sprachlich annähernde Übersetzungsbrücke für die Zahlen beider Systeme durch eine groß zügige Verwendung des Wortes „Kilo“ bietet die Beziehung 103 = 1000 ≈ 1024 = 210.

stellungen lassen sich überschlägig (auch ohne Taschenrechner!) relativ rasch klären. Dazu müssen auch nicht alle Werte in die wissenschaftliche Schreibweise überführt werden:

Wenn man als größte Entfernung die Entfernung zwischen zwei benachbarten Planeten annimmt und nicht – wie im Lösungsteil – die Entfernung zwischen Sonne und Pluto, erhält man folgende Abschätzung (Die auf der Randspalte abgebil dete Skizze hilft.): Neptun (Entfernung von der Sonne): 4,5 · 109 kmUranus (Entfernung von der Sonne): 2,9 · 109 kmEntfernung zwischen den beiden Planeten: 1,6 · 109 kmMit der Forderung, die Entfernung zwischen den beiden entferntesten Planeten auf einen Meter festzulegen, ergibt sich der Maßstab 1 : 1 600 000 000.Dieser Maßstab ist unpraktisch und nicht gebräuchlich. Besonders leicht lassen sich die Werte für den Maßstab 1 : 1 000 000 000 bzw. 1 : 2 000 000 000 (alle folgenden Werte in Klammern) angeben.Größte Entfernung: 1,6 km (0,8 km)Geringste Entfernung: 1,5 · 108 km – 1,1 · 108 = 0,4 · 108 km. Im Maßstab 1 : 1 000 000 000 (1 : 2 000 000 000) 0,4 · 108 : 109 = 0,4 · 10– 1 km = 0,04 km = 40 m (20 m).Größter Durchmesser (Jupiter): 1,4 · 105 km = 1,4 · 108 m. Im Maßstab: 1,4 · 108 m : 109 = 1,4 · 10– 1 m = 0,14 m = 14 cm (7 cm).Kleinster Durchmesser (Pluto): 2,3 · 103 km = 2,3 · 106 m. Im Maßstab: 2,3 · 106 : 109 = 2,3 · 10– 3 = 0,0023 m = 2,3 mm (1,15 mm). Damit liegt die Größe deutlich über der Sichtbarkeitsgrenze. Als kleinste mit bloßem Auge sichtbarere Partikelgröße gilt 0,01 mm2, woraus sich die Kantenlänge mit ca. 0,1 mm ableiten lässt.Somit lassen sich nicht alle Forderungen exakt erfüllen. Kompromisse sind notwendig. Zudem

muss für eine realistische Planung eine Geländekarte als Grundlage dienen. Typische Geländemerkmale (Gewässer, Steilhänge, …) erfordern weitere Kompromisse.Die ungeheuren Entfernungen zwischen Sternen werden deutlich, wenn man den Planetenweg auf den nächsten Fixstern zu erweitern versucht.Das < Serviceblatt „Unser Sonnensystem“, Seite S 19, bietet eine schöne Anwendung zu großen und kleinen Zahlen.


2 Potenzen K 29


Damit lässt sich die technisch notwendige Zahlensprache der Dualzahlen notdürftig durch „PseudoDezimalzahlen“ in fassbare Ausdrücke bringen: Kilobyte (1024 Byte), Megabyte, Gigabyte, Terabyte, …Die Schülerinnen und Schüler gewinnen zugleich eine ausreichende Anschauung für die Größen, die mit diesen Zahlenangaben verbunden sind. „Meine neue Festplatte hat 30 Gigabyte mehr als die alte. Jetzt kann ich 25 % mehr mp3s speichern.“ So lautet ein Pausengespräch in der Mittelstufe.

24 Möchte man die Oberfläche des Blutkörperchens nicht über die Kreisfläche berechnen, kann man wie folgt vorgehen: Die Fläche eines Blutkörperchens setzt sich näherungsweise aus zwei Quadratflächen zusammen:A = 2 · 8 · 10–6 · 8 · 10–6 · 25 · 109 m2 = 3,2 m2 Der Wert sollte mit der Größe der Tafelfläche verglichen und im Hinblick auf die riesige Anzahl der Blutkörperchen interpretiert werden.

25 a) Die Sichtbarkeitsgrenze liegt bei einer Partikelgröße von ca. 0,01 mm2 = 10–2 mm2.Die Schwebeteilchengröße (Annahme: Korn als angenähertes Quadrat mit der Seitenlänge 10 mm) beträgt 10 · 10– 6 · 10 · 10– 6 m2 = 10– 2 · 10– 2 mm2 = 10– 4 mm2. Es genügt also eine 100fache Vergrößerung (10– 4 · 102 = 10– 2).b) Aufgrund der eingeschränkten Kenntnisse muss im Modellierungsprozess ein grobes Modell (Würfel) gewählt werden:VW = a 3 = (1 cm) 3 = (104 mm) 3 = 1012 mm3

VS = a 3 = (10 mm) 3 = 1 000 mm3 = 103 mm3

Daraus folgt 109 Körner = 1 000 000 000 Körner.Die Lösung kann auch ohne Formel durch die folgende Überlegung bestimmt werden:Entlang den Grundkanten des Würfels (Länge 1 cm = 104 mm) haben jeweils 103 (104 : 10) Körner Platz. Die unterste Schicht bilden somit 103 · 103 = 106 Körner. Nach oben haben 103 Schichten Platz ¥ insgesamt 103 · 103 · 103 = 109 Körner.Als Anschauungsmaterial zu Verdeutlichung der Winzigkeit eines Feinstaubkornes kann ein mitgebrachter Kubikzentimeterwürfel dienen.


K 30 3 Wachstumsprozesse


3 Wachstumsprozesse


Das Kapitel Exponentialfunktion baut auf die Potenz rechnung auf und erweitert die linearen und quadratischen Funktionen. Oft dient die Exponentialfunktion als Modell, um Wachstumsprozesse abzuschätzen und zu beschreiben. Dabei ist darauf zu achten, dass die Modellhaftigkeit nicht aus dem Blickfeld gerät und die Lösungen immer wieder auf Sinnhaftigkeit in Bezug auf die Realsituation überprüft werden. Hierdurch wird der prozessorientierte Kompetenzbereich Modellieren geschult, in dem die Schülerinnen und Schüler reale Wachstumsprozesse in das Modell des exponentiellen Wachstums übersetzen. Durch die Darstellung ihrer Ergebnisse sowie durch die Überprüfung und Reflexion ihrer Sinnhaftigkeit werden die prozessbezogenen Kompetenzbereiche des Kommunizierens und Argumen-tierens gefördert. Im Themenbereich der Exponentialfunktion können alle drei Aufgabentypen bearbeitet werden: Die Wiedergabe und Anwendung der Exponentialfunktion in bekannten bzw. abgegrenzten Kontexten (Anforderungsniveau I), Anwendungsaufgaben, bei denen man aus dem Text zu einem Lösungsansatz gelangt, der nach einem bestimmten Schema zu bearbeiten ist (Anforderungsniveau II), oder das Lösen komplexer Probleme mit anschließender Reflexion, Schlussfolgerung bzw. Wertung (Anforderungsniveau III).

Intention und Schwerpunkt des Kapitels Schwerpunkt des Kapitels ist das Kennenlernen exponentieller Zusammenhänge und ihres Nutzens zur Beschreibung vieler Wachstumsprozesse sowie ihre grafische Darstellung. In Lerneinheit 1 Wachstum und Abnahme werden diese Begriffe zunächst insbesondere unter wiederholenden Aspekten (linea res Wachstum bzw. lineare Abnahme) eingeführt. Gleichzeitig wird hier schon auf die Grenzen des bisherigen linearen Modells hingewiesen, da viele Vorgänge nur näherungsweise linear sind. Lerneinheit 2 Wachstumsfaktor und Wachstumsrate bereitet die eigentliche Exponentialfunktion unmittelbar vor, indem hier Wachstumsfaktor und Wachstumsrate eingeführt werden und die Berechnung durch operative Übungen geläufig gemacht wird. Lerneinheit 3 Exponentielles Wachstum und Lerneinheit 4 Exponentielle Abnahme thematisieren das eigentliche exponentielle Wachstum anhand von Sachproblemen zu den Themen Wachstum und Abnahme. In Lerneinheit 5 Exponentialfunktion

wird die Exponentialfunktion sowohl theoretisch als auch eingebunden in Sachzusammenhänge betrachtet (vgl. Exempla rischer Kommentar: Didaktische Leitlinien zum Umgang mit Funktionen in der Schule, Seite K 1).In Lerneinheit 6 Logarithmus wird der Zehnerlogarithmus sowie der Logarithmus zu einer beliebigen Basis eingeführt. Zudem wird abgeleitet, dass jeder beliebige Logarithmus mithilfe von Zehnerlogarithmen berechnet werden kann. Der Zusammenhang zwischen Potenzieren, Wurzelziehen und Logarithmieren wird veranschaulicht.

Bezug zum Lehrplan

Inhaltsbezogener KompetenzbereichZahl und Zahlenbereiche:Schülerinnen und Schüler können– Zusammenhänge zwischen Potenzieren, Wurzel

ziehen und Logarithmieren erkennen, interpretieren und nutzen

funktionaler Zusammenhang:Schülerinnen und Schüler können– in Sachsituationen Exponentialfunktionen er

kennen, von anderen funktionalen Zusammenhängen unterscheiden, durch Funktionsterme beschreiben und nutzen (Wachstumsprozesse, Zerfallsprozesse)

– Kennzeichnende Eigenschaften der Graphen von Exponentialfunktionen und Zusammenhänge mit dem Funktionsterm beschreiben

– in Sachsituationen einfache Exponentialgleichungen lösen (durch systematisches Probieren, grafisches Lösen, Logarithmieren)

Weiterführende Hinweise – Das Kapitel ist hierarchisch aufgebaut und sollte

daher in der vorgegebenen Reihenfolge behandelt werden.

– Mit der Mathematik lassen sich viele Fragen des Alltags beantworten. Im Themenbereich Exponentialfunktion werden in den Aufgabenstellungen sehr häufig reale Situationen dargestellt. Die Übersetzung dieser Realsituationen in die Sprache der Mathematik bereitet den Schülerinnen und Schülern oft Probleme. Das sorgfältige Lesen der Aufgabenstellung, das Herausfiltern der notwendigen Informationen und das Entdecken des mathematischen Modells muss trainiert werden. Es sollte großen Wert darauf gelegt werden, dass die Schülerinnen und Schüler von Anfang an

• Fragestellungen mit eigenen Worten wiedergeben und schriftlich fixieren.


3 Wachstumsprozesse K 31


• notieren, welche Parameter gegeben sind. • überblicken, welche dieser Parameter für die

Bearbeitung der Fragestellung überhaupt relevant sind.

– Funktionales Denken kann nur mithilfe der realen Welt aufgebaut werden. Wer Funktionen wirklich verstehen will, muss entsprechende Beziehungen zwischen Größen durch Experimente oder die mathematische Analyse von Alltagserfahrungen erforschen. Dabei ist es wichtig, die benutzten Modelle und errechneten Ergebnisse kritisch zu hinterfragen.

Auftaktseite: Bis ins Unendliche?

Die Auftaktseite ermöglicht zwei verschiedene methodischdidaktische Herangehensweisen an das Thema Exponentialfunktionen.Die linke Seite orientiert sich an alltagsnahen Situationen, mit denen die Lernenden durch die Medien in Berührung kommen. Die Auseinandersetzung mit dem Diagramm und den Schlagzeilen regt sie zu einer Diskussion über mathematische und reale Betrachtungsweisen der Möglichkeit des unbegrenzten Wachstums an. Sie bietet damit Argumentations und Diskussionsstoff über die Grenzen und Tauglichkeit solcher mathematischen Modelle. Bei der möglichen Diskussion ist darauf zu achten, dass der mathematische Hintergrund der Schlagzeilen bzw. des Diagramms nicht aus dem Blickfeld gerät, dass aber Wachstum in der realen Welt immer begrenzt ist. Nähert sich die abhängige Größe einer kritischen Grenze, so versagt das exponentielle Modell. Mit leistungsstarken und interessierten Schülern können die Nachfolgemodelle – Stagnation, Abnahme oder chaotisches Verhalten – erörtert und so das Bewusstsein auch für die gesellschaftlichen Zusammenhänge gefördert werden.Mittlerweile finden sich auch in den Massenmedien gelegentlich Beiträge zu alternativen Wirtschafts und Geschäftsmodellen, die zum Teil schon in der Realität erprobt werden. Bei entsprechendem Interesse und Leistungsbereitschaft der Lernenden ist daher ein fächerübergreifendes Projekt zwischen Sozialkunde und Mathematik zum Thema „Grenzen des Wachstums – wie verändern sich die Wachstumsmodelle?“ denkbar.Die rechte Hälfte der Auftaktseite bietet einen mathe matischexperimentellen Zugang zum Thema. Das Würfeln mit Heftzwecken lässt sich mit geringem Material und Zeitaufwand im Unterricht realisieren. Wenn die Heftzwecken in einer durchsichtigen Plastikdose mit genügend großer Grundfläche geschüttelt statt geworfen werden, kann das Ergebnis am Overheadprojektor sichtbar gemacht wer

den. Die Unterlegung mit einem groben Karoraster erleichtert das Auswählen bzw. übt das Schätzen.Die grafische Darstellung der dabei entstandenen Wertetabellen zeigt den Graphen einer exponentiellen Zunahme (bei Versuchsumkehrung den einer exponentiellen Abnahme). Die Lernenden erkennen schnell, dass der Graph sich deutlich von ihnen bisher bekannten Funktionsgraphen (linear, quadratisch) unterscheidet. Sie können schon an dieser Stelle einige Unterschiede beschreiben. Verwendet man auch die Versuchsumkehrung, ist es den Lernenden möglich, Gemeinsamkeiten und Unterschiede der beiden Versuchsgraphen zu benennen. Dabei sollte auch auf den Zusammenhang dieser Graphen, nämlich die Möglichkeit der Spiegelung an der Senkrechten durch ihren gemein samen Schnittpunkt, eingegangen werden.

1 Wachstum und Abnahme

Intention der Lerneinheit– die Begriffe Wachstum und Abnahme in ihrer ma

thematischen Bedeutung begreifen– lineares Wachstum bzw. lineare Abnahme er

kennen– Berechnungen der Zeit und des durchschnitt

lichen Wachstums durchführen können– lineares Wachstum grafisch darstellen könnenDie Einheit baut auf Grundkenntnissen über lineare Funktionen aus Klasse 8 auf (siehe Schnittpunkt Schülerbuch 8, Kapitel 7, Lerneinheit 1).

EinstiegsaufgabeDie Einstiegsaufgabe führt den Begriff Wachstum (negatives Wachstum = Abnahme) ein. Für die Lernenden drängt sich förmlich die Folgerung auf, dass es sich um einen nahezu linearen Wachstumsprozess handelt. Gleichzeitig erkennen sie, dass Linearität in der Realität oft nur näherungsweise auftritt.

Tipps und Anregungen für den Unterricht Die einzelnen Elemente der Gleichung yn = y0 + n · d für das lineare Wachstum bzw. die lineare Abnahme sollten den Lernenden möglichst anschaulich verdeutlicht werden. Wenn ihnen dies klar ist, fällt das Heraussuchen relevanter Parameter und die Übersetzung in die Sprache der Mathematik auch im exponentiellen Fall erheblich leichter.




Aufgabenkommentare

Der folgenden Klassifikation liegt der Exempla rische Kommentar: Aufgaben, die das Verständnis fördern, Seite K 5, Schnittpunkt Serviceband 9, zugrunde.Anwendungsaufgaben: A 1; 3; 4Problemstellung – offene Aufgabensituation: A 2

1 Bei dieser Grundaufgabe besteht die größte Schwierigkeit darin, aus den genannten Parametern diejenigen herauszufiltern, die für die Lösung der jeweiligen Teilaufgabe nötig sind.

2 Bei den Überlegungen zu weiteren Beispielen für lineares Wachstum bzw. lineare Abnahme sollte darauf geachtet werden, dass sich die Schülerinnen und Schüler schnell von der „Wasserproblematik“ aus Aufgabe 1 lösen und so auch andere Möglichkeiten suchen und finden können, z. B. Temperaturzunahme, Erdaushub.

4 Die Berechnungen aus den Teilaufgaben a) und b) stellen keine größeren Schwierigkeiten dar. Bei Teilaufgabe c) sollte auf den Unterschied zwischen linearem Wachstum und näherungsweise linearem Wachstum eingegangen werden.

2 Wachstumsfaktor und Wachstumsrate

Intention der LerneinheitIn dieser Lerneinheit wird auf Kenntnisse der Prozent und Zinsrechnung aus Klasse 7 und 8 zurückgegriffen.– die Wachstumsrate mithilfe von altem und neuem

Wert berechnen– mithilfe der Wachstumsrate den Wachstumsfak

tor berechnen und umgekehrt– aus gegebenen Situationen die Wachstumsrate

und den Wachstumsfaktor bestimmen– Prozentangaben in ihrer Abhängigkeit vom

Grundwert einschätzen

EinstiegsaufgabeIm ersten Teil der Einstiegsaufgabe werden zunächst Kenntnisse der Prozentrechnung reaktiviert. Er sollte den Schülerinnen und Schülern daher keine Schwierigkeiten bereiten. Die zweite Teilaufgabe verdeutlicht sehr anschaulich, dass die prozentuale Steigerung abhängig vom alten Wert ist. Außerdem wird klar, dass sie nicht die Summe der Einzelsteigerungen ist. Die Begriffe Wachstumsrate und Wachstumsfaktor ergeben sich für die Schülerinnen und Schüler nicht von selbst, obwohl ihnen die dahinter stehende Mathematik schon geläufig ist.

Tipps und Anregungen für den Unterricht – Die Berechnung der Wachstumsrate sollte an

fangs mit der Prozentformel erfolgen, da so der Übergang zur formalen Berechnung der Wachstumsrate leichter fällt.

– Der Zusammenhang zwischen Prozentzahl, Bruchdarstellung und Dezimalbruch sollte ausführlich wiederholt werden, da dies die Berechnung des Wachstumsfaktors erleichtert.

– Das < Serviceblatt „WachstumsTrimino“, Seite S 25 bietet eine spielerische Übung, um die Zusammenhänge von q (größer oder kleiner als 1) und Wachstum bzw. Abnahme zu festigen. Es kann in Einzel oder Partnerarbeit gelöst werden.

Aufgabenkommentare

Der folgenden Klassifikation liegt der Exemplarische Kommentar: Aufgaben, die das Verständnis fördern, Seite K 5, Schnittpunkt Serviceband 9, zugrunde.Grundaufgaben: A 1; 2Operative Übungen: A 5Kumulative Aufgaben: A 4Anwendungsaufgaben: A 3

3 Bei Teilaufgabe a) führt die Betrachtung der reinen Prozentangaben zu der Annahme, dass die Entwicklungsländer einen erheblich größeren Energieverbrauch haben als die USA, welches ein Trugschluss ist. Mit dem Bearbeiten der weiteren Teilaufgaben wird diese Fehlannahme schrittweise richtig gestellt. Daher sollte nach der Bearbeitung der Teilaufgabe d) noch einmal auf Teilaufgabe a) eingegangen werden und somit auf die Abhängigkeit der Prozentangaben von ihren Grundwerten aufmerksam gemacht werden.

5 Der Graph in Teilaufgabe a) führt zu der Vermutung, dass es sich um näherungsweise lineares Wachstum handelt. Teilaufgabe b) geht noch einmal auf den Zusammenhang von altem Wert und Wachstumsrate ein.

3 Exponentielles Wachstum

Intention der Lerneinheit– die Begriffe Anfangswert, Wachstumsfaktor und

Wachstumsperiode sowie deren Bedeutung in der Wachstumsformel kennen

– den Wert nach n Perioden, den Anfangswert oder den Wachstumsfaktor berechnen können

– wissen, dass Generationszeit den Wachstumsfaktor q = 2 bedeutet

– den Unterschied zwischen linearem, quadratischem und exponentiellem Wachstum kennen




EinstiegsaufgabeDie Einstiegsaufgabe greift die Grundgedanken der Auftaktseite wieder auf. Der Unterschied zu linearem Wachstum ist in Tabelle und Graph deutlich zu erkennen. Schwierig wird für die Lernenden die Einbindung des Wachstumsfaktors und der Wachstums periode (Jahre) in die Formel. Die Überlegungen, welche die Lernenden anstellen, um von der Tabelle zu einer Formel zu gelangen, können im Anschluss an die Einstiegsaufgabe reflektiert werden und somit einen Übergang zum Lehrtext schaffen.

Tipps und Anregungen für den Unterricht – Bei der Behandlung der Formel für exponentiel

les Wachstum ist es wichtig zu verdeutlichen, dass der Exponent n immer für die Anzahl der Wachstumsperioden steht. Eine Periode kann ein Tag, eine Stunde, eine Minute usw., aber auch 15 Sekunden, 20 Tage, 3 Jahre usw. sein. Dies ist für die Schülerinnen und Schüler nicht immer klar.

– Im Zusammenhang mit exponentiellem Wachstum von Geld wird oft auch die Zinseszinsformel verwendet. Den Schülerinnen und Schülern sollte verdeutlicht werden, dass diese keine zusätzliche Formel darstellt, sondern nur eine Variation der Formel für exponentielles Wachstum mit anders gewählten Variablen für das Kapital ist.

Aufgabenkommentare

Der folgenden Klassifikation liegt der Exemplarische Kommentar: Aufgaben, die das Verständnis fördern, Seite K 5, Schnittpunkt Serviceband 9, zugrunde.Grundaufgaben: A 1; 2 a), b)Operative Übungen: A 2 c), d); 3Kumulative Aufgaben: A 4Anwendungsaufgaben: A 5; 6

3 Bei dieser operativen Übung ist darauf zu achten, die Tabelle bei Teilaufgabe a) so anzulegen, dass vor dem eigentlichen Versuchsbeginn noch vier weitere Wachstumsperioden eingetragen werden können. In der Teilaufgabe b) entsteht der charak te ristische Graph der Exponentialfunktion, der in Lern einheit 5 Exponentialfunktion unter funktionalem Aspekt ausführlich behandelt wird. Eine Beschreibung dieses Graphen ist die Vorbereitung für Aufgabe 4; Teilaufgabe c) lässt sich sowohl mithilfe des Graphen als auch durch die Fortführung der Tabelle lösen.

4 Die Aufgabe grenzt exponentielles Wachstum von linearem Wachstum ab. Die Schülerinnen und Schüler erkennen zumeist rasch die entscheidenden Kriterien. Um aber auch schwächeren Schülerinnen und Schülern diese wichtige Klassifikation nahezubringen, sollte die Aufgabe in der Stunde besprochen werden.

5 Die rechnerischen Ergebnisse von Teilaufgabe a) sollten kritisch hinterfragt werden. Damit trägt sie zur Förderung prozessbezogener Kompetenzen, z. B. dem mathematischen Argumentieren und Kommuni-zieren, bei. Hier kann ggf. ein Bezug zur Auftaktseite hergestellt werden, falls dort die Problematik der Grenzen des Wachstums angesprochen wurde.In Teilaufgabe b) müssen die von den Schülerinnen und Schülern berechneten Prozentangaben in eine mathematische Darstellungsform übertragen werden. Dadurch wird die prozessbezogene Kompetenz des Darstellens trainiert. In diesem Zusammenhang bietet sich eine Diskussion über andere Darstellungsmöglichkeiten an, z. B. Kreisdiagramm. An dieser Stelle ist der Einsatz eines Tabellenkalkula tionsprogramms, z. B. MSExcel, sinnvoll.

4 Exponentielle Abnahme

Intention der Lerneinheit– exponentielle Abnahme als negatives Wachstum

erkennen– Berechnungen zur exponentiellen Abnahme

sicher durchführen– die Halbwertszeit als Wachstumsfaktor q = 0,5

kennen– den Unterschied zwischen linearer und exponen

tieller Abnahme beschreiben können

EinstiegsaufgabeDie Bearbeitung der Einstiegsaufgabe führt schon nach wenigen Schritten zu der Erkenntnis, dass es sich nicht um eine lineare Abnahme, sondern wohl um eine exponentielle Abnahme handelt. Den Schülerinnen und Schülern wird schnell klar, dass die Wachstumsrate im Gegensatz zum exponentiellen Wachstum nicht addiert, sondern subtrahiert werden muss. Die Einsicht, dass mathematisch gesehen nie der Endwert null erreicht werden kann, sollte in der Diskussion gefördert werden, da dies eines der wesentlichen Unterscheidungsmerkmale zwischen linearer und exponentieller Abnahme ist.




Tipps und Anregungen für den Unterricht – Exponentielle Abnahme sollte nicht als eigen

ständiger Fall verstanden werden, sondern als exponentielles Wachstum mit negativer Wachstumsrate. Hier bietet sich zur Vertiefung das < Serviceblatt „Tandembogen: Wachstum“, Seite S 26 an.

– Gerade bei exponentieller Abnahme kommen „unhandliche“ Wachstumsperioden (z. B. Halbwertszeit 5 Tage) vor. Hier sollte sehr genau verdeut licht werden, wie man durch Wurzelziehen von solchen Wachstumsperioden auf die Berech nung einfacherer Wachstumsperioden (z. B. 1 Tag) gelangen kann.

Aufgabenkommentare

Der folgenden Klassifikation liegt der Exemplarische Kommentar: Aufgaben, die das Verständnis fördern, Seite K 5, Schnittpunkt Serviceband 9, zugrunde.Grundaufgaben: A 1; 2Operative Übungen: A 4Kumulative Aufgaben: A 5Anwendungsaufgaben: A 3; 6

2 Da bei dieser Grundaufgabe kein Anfangswert gegeben ist, ist es sinnvoll, von 100 % oder 100 g auszugehen. In Teilaufgabe b) gibt es grundsätzlich zwei Möglichkeiten zur Lösung. Zum einen, indem man die Anzahl der im gesuchten Zeitraum liegenden Halbwertszeiten berechnet und zum anderen, indem man den Zerfallsfaktor für einen Tag er mittelt.

3 Zur Lösung der Aufgabe bietet sich ein Anfangswert von 100 % an. Während Teilaufgabe a) noch durch das Fortführen der Wertetabelle zu lösen ist, muss man zur Lösung der Teilaufgabe b) gezielt probieren. Dies fördert die prozessbezogene Kompetenz des Problemlösens.

5 In dieser kumulativen Aufgabe werden lineare und exponentielle Abnahme in den Teilaufgaben a) und b) gegenübergestellt. Die Überlegungen in Teilaufgabe c) geben wesentliche Argumentationshilfen für die Lösung der Teilaufgabe d). Gleichzeitig wird hiermit der prozessbezogene Kompetenzbereich des Argumentierens gefördert.

6 Diese Anwendungsaufgabe zeigt eine praktische Möglichkeit der Anwendung der exponentiellen Abnahme, auch wenn die barometrische Höhenformel erheblich komplizierter ist. In diesem Zusammenhang ist es sinnvoll, auf die Grenzen und den Sinn eines Modells einzugehen.

5 Exponentialfunktion

Intention der Lerneinheit– die wesentlichen Charakteristika der Exponen

tial funktion und der erweiterten Exponentialfunktion kennen

– den Graphen einer Exponentialfunktion zeichnen und wesentliche Merkmale erkennen und beschreiben können

– mithilfe der Funktionseigenschaften aus gegebenen Werte tabellen die Funktionsgleichung entwickeln

– Unterschiede zwischen linearem, quadratischem und exponentiellem Wachstum kennen

– gegebene Graphen der jeweiligen Funktionsgleichung zuordnen können

EinstiegsaufgabeDie Einstiegsaufgabe führt zu den Wertetabellen von vier Exponentialfunktionen. Die Wertetabellen I bis III thematisieren das Wachstum, Wertetabelle IV eine Abnahme. Mithilfe der anhand der Auftaktseite erarbeiteten Vorstellungen können die Schülerinnen und Schüler selbstständig oder nach Anleitung die Funktionsgleichung erkennen und den zugehörigen Graphen zeichnen. Dabei treten Gemeinsamkeiten und Unterschiede deutlich hervor.

Alternativer Einstieg Alternativ kann auch mithilfe einer DGS, wie es zum Beispiel im Schülerbuch auf Seite 87 (Kasten) beschrieben wird, begonnen werden.

Tipps und Anregungen für den Unterricht – Wurde die Exponentialfunktion gemäß der Auf

taktseite noch nicht dargestellt, kann dies nach dem Aufstellen der Wertetabellen nachgeholt werden. Hierzu finden sich auch Übungen auf dem < Serviceblatt „Tabelle und Graph“, Seite S 27. Eine weitere Festigung kann durch Einsatz des < Serviceblattes „Exponentialfunktionsdomino“, Seite S 28 erreicht werden.

– Grundsätzlich gibt es zwei Möglichkeiten: entweder man beginnt mit der etwas komplizierteren, aber den Schülerinnen und Schülern schon aus vorangegangenen Lerneinheiten bekannten, erweiterten Formel y = c · a x oder mit der „einfachen“ Exponentialfunktion y = a x. Zum Herausarbeiten der charakteristischen Eigenschaften bietet sich der Beginn mit der „einfachen“ Exponentialfunktion an.

– Auf den < Serviceblättern „Wachstumslauf“, Seite S 29 bis S 31, findet sich ein Spiel, das alle im Kapitel behandelten Themen aufgreift. So können in Schülergruppen die Begriffe Wachstum, Abnahme, Generationszeit, Halbwertszeit sowie Aufgaben dazu wiederholt werden.




Die letzten beiden Kärtchen setzen eine Behandlung der Lerneinheit 6 Der Logarithmus, Schülerbuchseite 89 – 91, voraus. Ist diese nicht erfolgt, sollten sie von der Lehrperson vor Beginn des Spieles aussortiert werden.

Aufgabenkommentare

Der folgenden Klassifikation liegt der Exemplarische Kommentar: Aufgaben, die das Verständnis fördern, Seite K 5, Schnittpunkt Serviceband 9, zugrunde.Grundaufgaben: A 1; 2Operative Übungen: A 3; 5; 6; 11Kumulative Aufgaben: A 4; 10Komplexe Aufgaben: A 7Anwendungsaufgaben: A 8; 9

3 Die Aufgabe geht auf den Zusammenhang des Faktors q und des Kehrwertes 1 _

q ein. Dieser Zusammenhang muss deutlich hervorgehoben und von den Schülerinnen und Schülern verinnerlicht worden sein, wenn ein tieferes Verständnis der Eigenschaften von Exponentialfunktionen erreicht werden soll. Es bietet sich daher an, die Lernenden selbst solche Aufgaben entwickeln und bearbeiten zu lassen.

4 In dieser Aufgabe werden exponentielles, quadratisches und lineares Wachstum gegenübergestellt. Es werden die prozessbezogenen Kompetenzbereiche Kommunizieren und Argumentieren angesprochen. Teilaufgabe c) dient dazu, die unterschiedlichen Eigenschaften der Funktionen hervorzuheben. Wichtig ist insbesondere die Erkenntnis, dass Aussagen wie etwa „Quadratische Funtionen wachsen immer schneller als lineare Funktionen.“ nicht gelten.Durch ein gleichzeitiges Betrachten verschiedener Funktionstypen wird insgesamt das Verständnis funktionaler Zusammenhänge und Abhängigkeiten unterstützt und gefestigt.Es bietet sich an, die Aufgabe zunächst in Partnerarbeit zu lösen und im Anschluss die Ergebnisse an der Tafel zu sammeln und zu systematisieren.

Exponentialfunktion und DGS

Mithilfe des Computers können die Parameter der Funktionsgleichung leicht variiert werden. Die Auswirkungen sind als Veränderung des Graphen sofort sichtbar. Damit lassen sich Funktionen leichter untersuchen und Fragestellungen, wie sie im Schülerbuch vorgeschlagen sind, beantworten. Insofern ermöglicht der Computer die Entdeckung von Eigenschaften von Funktions

typen und damit eine Vertiefung vorhandener Grundvorstellungen.

Hinweise zur Erstellung der für die Bearbeitung des Kastens Exponentialfunktion und DGS notwendigen Datei mithilfe des Programms GEONExT (Download unter http://www.geonext.de):Å. Zunächst werden zwei horizontale Geraden konstruiert.2. Auf die erste Gerade wird ein in a umbenannter Gleiter gesetzt. Auf die zweite Gerade wird ebenfalls ein Gleiter mit der Bezeichnung c gesetzt. 3. Nun wird die Berechnung der Funktion X(a)^x*X(c) eingegeben.4. Durch das Verschieben der Gleiter a und c lassen sich die Parameter der Exponentialfunktion variieren.

6 Bei dieser operativen Übung besteht der Trick darin, sich auf zwei xWerte, nämlich 0 und 1, zu konzentrieren. Setzt man diese in die Funktionsgleichungen y1 bis y8 ein, ist die Zuordnung der sieben Graphen verhältnismäßig einfach.

7 Die Aufgabe ähnelt in groben Zügen Aufgabe 6. Da hier zwei Punkte gegeben sind, muss die Funktionsgleichung rechnerisch erarbeitet werden. Grundlegende Voraussetzung hierfür sind elementare Kenntnisse der Potenzrechenregeln. Teilaufgabe e) leistet einen wesentlichen Beitrag zur Förderung des prozessbezogenen Kompetenzbereichs Argumentieren, da hier die Schülerinnen und Schüler begründen müssen, warum zwei Punkte zur Bestimmung der Exponentialfunktion ausreichen.Dies ist deswegen der Fall, weil eine (erweiterte) Exponentialfunktion y = c · ax durch die zwei Parameter a und c eindeutig bestimmt ist. Für x = 0 erhält man y = c · a0 = c · 1 = c; für x = 1 erhält many = c · a1 = c · a und kann daraus a berechnen.

9 Bei dieser Aufgabe ist es sinnvoll, von 100 % oder 1 g als Startwert auszugehen.

10 Zur Bewältigung dieser kumulativen Aufgabe sind elementare Kenntnisse der Potenzrechnung notwendig. Eine Begründung der Beobachtung ist nur dann möglich: Verschiebt man den Graphen um 1 nach links (also x + 1 statt x), so verdoppelt sich der Funktionswert an jeder Stelle, denn 2 x + 1 = 2 · 2 x.




11 Ähnlich wie bei Aufgabe 7 a) ist es relativ einfach, mithilfe der xWerte 0 und 1 die Funktionsgleichung für Kultur A und Kultur B zu bestimmen. Wenn die Schülerinnen und Schüler verinnerlicht haben, dass x für die Zeit steht, ist Teilaufgabe b) leicht zu erläutern: x = – 1 ist der Zeitpunkt eine Stunde vor Beobachtungsbeginn, entsprechend x = – 2 .

6 Der Logarithmus

Intention der Lerneinheit– wissen, dass der Exponent zu einer gegebenen

Basis und Zahl Logarithmus heißt– eine Exponentengleichung in eine Logarithmus

gleichung umformen können und umgekehrt– Zehnerlogarithmus und allgemeinen Logarith

mus kennen und unterscheiden– den gesuchten Exponenten in Exponentialglei

chungen mit dem Logarithmus berechnen können

– den Logarithmus zu einer beliebigen Basis mittels Zehnerlogarithmen berechnen können

EinstiegsaufgabeDiese praxisnahe Sachaufgabe bietet unterschiedliche Lösungsansätze. Zunächst kann sie näherungsweise graphisch gelöst werden. Allerdings lassen sich durch weiterführende Fragestellungen höhere Anforderungen an die Genauigkeit der Lösungen stellen. Damit stellt sich die Frage nach einem rechnerischen Lösungsverfahren hoher Genauigkeit. Die Suche nach der Anzahl der Jahre bedeutet, dass der Exponent in einer einfach gehaltenen Exponentialgleichung gesucht ist. Die bisherigen Umformungen führen nicht zu einer Lösung der Gleichung. Nach Einführung des Logarithmus und der zugehörigen ersten Umformungen wird die Gleichung lösbar.

Tipps und Anregungen für den UnterrichtDas < Serviceblatt „Radioaktivität“, Seite S 32 bietet Anwendungsaufgaben zur Berechnung des Logarithmus und zum Ablesen anhand des Funktionsgraphen.Im Umgang mit dieser Rechnung müssen die entsprechenden Tasten auf den in der Lerngruppe vor handenen Taschenrechnern erkundet werden. In zahlreichen Lerngruppen sind unterschiedliche Modelle in Gebrauch. Hier ist es wichtig, die vorkommenden Tastenbezeichnungen zu recherchieren und ihre Bedeutung und Handhabung zu vermitteln. Zu beachten ist, dass im mathematischen Sprachgebrauch der allgemeine Logarithmus mit log abge

kürzt wird und der Zehnerlogarithmus (dekadische Logarithmus) mit lg. Dagegen findet sich auf zahlreichen im Umlauf befindlichen Taschenrechnern die Abkürzung log für den Zehnerlogarithmus. Dies führt leicht zu Verwechslungen, wenn es nicht thematisiert wird. Empfehlenswert ist hier auch der Einsatz eines projizierbaren Taschenrechners (für den Overheadprojektor) falls diese Ausstattung vorhanden ist.Auch die unterschiedlichen Reihenfolgen bei der Eingabe müssen erörtert werden.

Aufgabenkommentare

Der folgenden Klassifikation liegt der Exemplarische Kommentar: Aufgaben, die das Verständnis fördern, Seite K 5, Schnittpunkt Serviceband 9, zugrunde.Grundaufgaben: A 1; 2; 3; 4; 5Operative Übungen: A 6; 7; 8; 9; 10; 11Kumulative Aufgaben: A 12; 13Komplexe Aufgaben: A 14Anwendungsaufgaben: A 12; 13; 14

4 Hier lässt sich die Faustformel zur Verdoppelungszeit einsetzen.

12 und 13 Es bietet sich an, hier vor dem Rechenweg eine Schätzung, möglichst mit Begründung durchführen zu lassen, um die häufigen Fehleinschätzungen exponentieller Prozesse zu thematisieren.

13 Die Unterscheidung zwischen linearer Abnahme um 10 % des ursprünglichen Wertes und exponentieller Abnahme sollte thematisiert werden.


Aufgabenkommentare

Der folgenden Klassifikation liegt der Exemplarische Kommentar: Aufgaben, die das Verständnis fördern, Seite K 5, Schnittpunkt Serviceband 9, zugrunde.Grundaufgaben: A 2; 3; 24; 25Operative Übungen: A 1; 6; 7; 10; 16; 18; 19; 20; 21; 22; 23; 24; 27Kumulative Aufgaben: A 4; 5; 26Anwendungsaufgaben: A 8; 9; 11; 12; 13; 14; 15; 17; Kasten auf Seite 94




4 Diese kumulative Aufgabe dient dazu, lineares von exponentiellem Wachstum abzugrenzen. Teilaufgabe c) lässt sich sowohl mithilfe der Tabelle aus a) als auch mit dem Graphen aus Teilaufgabe b) lösen.

Bevölkerungswachstum – Deutschland

Der Kasten beschäftigt sich mit der Problematik der Wachstumsprognosen. Im Vergleich der errechneten Werte mit den realen Zahlen fallen ein paar markante Stellen auf. Nämlich 1921, 1946, 1986 und 1996. Dabei sollte im Gespräch auf wichtige Faktoren, wie z. B. 1. und 2. Weltkrieg, „Pillenknick“, Wiedervereinigung, eingegangen werden.

8, 10, 12 bis 15 Für die Berechnung der Zeit bieten sich generell zwei Wege an. Zum einen lässt sich die Zeit unter Zuhilfenahme einer Gleichung mit dem Logarithmus berechnen, zum anderen durch gezieltes Probieren mittels einer Tabelle. Wird die Zeit mithilfe des Logarithmus bestimmt, ist es wichtig, auf genaue Formulierungen der Antwort zu achten, da man häufig keine ganzzahligen Ergebnisse hat. Hier sollte das sinnvolle Runden noch einmal thematisiert werden.

11 Die Teilaufgaben a) und b) sind verhältnismäßig einfach mittels Wachstumsformel zu lösen. Lediglich Teilaufgabe c) erfordert ein vertieftes Verständnis über die Bedeutung der Wachstumsperioden und deren Umrechnung.

18 – 20 Diese operativen Übungen erfordern und fördern ein vertieftes Verständnis der charakteristischen Eigenschaften der Exponentialfunktion.


K 38 4 Sachrechnen

4 Sachrechnen

Kommentar zum Kapitel

Mit dem zehnten Schuljahr schließt der Ausbil-dungsabschnitt der Sekundarstufe I. Der Übergang in die berufliche Ausbildung oder eine weiterfüh-rende Schule steht bevor. Die Lerneinheiten des Kapitels Sachrechnen haben das Ziel, die in den Jahren zuvor erarbeiteten Kenntnisse in einem gestrafften Kompendium zur Wiederholung und als eine Art „Fitnesstraining“ für den Abschluss zusammenzufassen. Die Lehrtexte sind kurz gehalten und motivieren. Sie erklären nur wenige neue Begriffe und Inhalte. Sie zeigen statt-dessen effiziente Wege, Standardaufgaben zu bear-beiten. Die Aufgabensammlungen halten sich nicht mit Einstiegsübungen auf, sondern gehen nach we-nigen Standardtypen zu komplexer strukturierten Sachaufgaben über. Etliche davon, besonders in den Lerneinheiten zu Sparformen und Krediten, sind an Problemstellungen orientiert, die den Schüle-rinnen und Schülern im späteren Alltag oder in der Berufsausbildung begegnen. Weniger Aufgaben als sonst dienen der innermathematischen Betrach-tungsweise. Besondere Aufmerksamkeit wird dem Untersuchen und Beurteilen von Daten eingeräumt, das nur zögerlich in die Praxis des Schulunterrichts aufgenommen worden ist. Die Methoden waren den Lehrkräften nicht vertraut und die Relevanz für den beruflichen Alltag wurde erst langsam deutlich. Mittlerweile gehören statistische Argumentations-weisen zum Alltag und haben neben den „traditio-nellen“ Themen ihren Platz im Gebiet Sachrechnen gefunden. Das Kapitel stellt die Bestimmung der wichtigsten Kennwerte in den Mittelpunkt und vermittelt klare Methoden für das Beurteilen der Daten in ihrem Kontext.

Intention und Schwerpunkt des Kapitels Zins- und Zinsrechnung sowie Spar- und Kredit-formen stehen im Mittelpunkt der ersten Kapitel-hälfte. Die bereits in vorangehenden Schuljahren erworbenen Kenntnisse werden in realitätsnahen Aufgabenstellungen wieder aufgegriffen. Der Komplexitätsgrad ist dem Ausbildungsstand ent-sprechend hoch. Die Themen sind so ausgewählt, dass sie bereits auf die Erfahrungswelt der jungen Menschen in der Berufsausbildung zielen. Die zweite Hälfte zum Thema Daten fasst Vorwissen über Verteilungen von Daten zusammen. Die Schü-lerinnen und Schüler trainieren, Datenmengen mit standardisierten Verfahren auf ihre Kennwerte zu untersuchen und verlässliche Aussagen über die Da-tenverteilung und Strukturen machen zu können.

Bezug zum Lehrplan Leitidee Daten und Zufall:Die Schülerinnen und Schüler können– Statistische Daten aus Quellen herauslesen, dar-

stellen und interpretieren

Auftaktseite: Abrechnen – Hochrechnen

Die Auftaktseiten setzen gleich zu Beginn links oben den Impuls (Orientierung): Mathematik kommt im Alltag vor. Aufgezählt werden die häu-figsten Situationen, die auch im Kapitel aufgegrif-fen werden: Rechnungen, Diagramme, Statistiken und Tabellen. Mit Beispielen illustriert die linke Sei-te, welche Inhalte zu den Formen gehören können. Ein Kassenbon mit impulsgebender Aufgabenstel-lung und ein Foto zur sofortigen Erfassung des Be-zugs ordnen das Sachrechnen dem Thema Mobilität zu, das für die Lernenden einen hohen Stellenwert hat. Das darunter platzierte Diagramm vermittelt drastisch den Anstieg der Benzinpreise von 1950 bis 2004. Der darunter zitierte Zeitungs artikel repräsen-tiert das allgemein verbreitete hilflose Jammern mit der Frage: „Wo führt das noch hin?“ Die zumindest vorläufige Antwort gibt der Kassenbon: Benzin wird noch teurer.Der Kassenzettel gibt den Anstoß, das Sammeln von Daten zu untersuchen. Wie Daten gesammelt werden können, die besser gesicherte Aussagen über zukünftige Entwicklungen oder andere Struk-turen zulassen, finden die Schülerinnen und Schüler auf der rechten Hälfte der Auftaktseiten dargestellt. Wieder befinden sich oben die Impulse zur Daten-erhebung, angrenzend daran ein angedeuteter Frage bogen und ein passendes Balkendiagramm, das eine Auswertung anbietet. Kritische Schü-lerinnen und Schüler können überlegen, ob das Diagramm für eine Auswertung der Häufigkeiten besser strukturiert sein könnte und sich für einen anderen Diagrammtyp entscheiden. Zu noch weiter gehenden Interpretationen und Aktionen werden sie durch die anknüpfenden Aufgaben am unteren Seitenrand motiviert.Die Schülerinnen und Schüler erfahren, dass ihnen in diesem Kapitel bereits bekannte mathematische Arbeitstechniken im Zusammenhang mit Alltags-situationen erneut begegnen.



4 Sachrechnen K 39

1 Zinsrechnen und Zinseszins

Intention der LerneinheitDie Zinsrechnung wird anhand typischer Aufgaben-muster wiederholt.

EinstiegsaufgabeDer Unterschied zwischen einmaliger Verzinsung und Zinseszins wird aufgezeigt.

Tipps und Anregungen für den UnterrichtIn Klasse 8 haben die Schülerinnen und Schüler ge-lernt, das Kapital nach einem Jahr (K1) mithilfe des Zinsfaktors q zu berechnen.

Anfangskapital·q Kapital nach

einem Jahr

Dieses Verfahren sollte zunächst wiederholt wer-den, denn der Zinsfaktor ist der Schlüssel zum Ver-ständnis der Zinseszinsrechnung und ihrer Formel. Wird die Multiplikation mehrfach ausgeführt, kann damit das Geldwachstum über mehrere Jahre be-schrieben werden. Die Erweiterung der oberen Visualisierung unter-stützt das Verständnis für die Berechnungen der Zinseszinsrechnung.

Anfangskapital Kapital nach einem Jahr

·q ·q Kapital nach zwei Jahren

Die obigen Ausführungen sind auch Grundlage für das Verständnis und die Erarbeitung der Formeln für das Zuwachs- und das Ratensparen. Das < Ser-viceblatt „Zinseszins – Schritt für Schritt: rechne und verstehe“, Seite S 33 bietet entsprechende Auf-gaben. Das < Serviceblatt „Zinseszins – mit dem Computer: einfach genial“, Seite S 34, zeigt die Vorteile eines Rechenblattes bei der Zinseszinsrechnung.

Aufgabenkommentare

Der folgenden Klassifikation liegt der Exempla-rische Kommentar: Aufgaben, die das Verständnis fördern, Seite K 5 im Serviceband 9 zugrunde.Grundaufgaben: A 1; 4 a); 7 a)Operative Übungen: A 2; 3; 4 b), c); 6; 7 b)Kumulative Aufgaben: A 8Anwendungsaufgaben: A 1; 2; 3; 4; 6; 7; 8Problemstellungen – offene Aufgabensituationen: A 5

1 und 2 Grundaufgaben der Zinsrechnung werden variiert. Die zu vergleichenden Sparverträge von Aufgabe 2 zeigen eine Zahlenspielerei. Erst durch Nachrechnen erschließt sich, dass es sich um iden-tische Angebote handelt.

3 Die Aufgabenstellung hat eine praktische Be-deutung. Die Schülerinnen und Schüler werden darauf aufmerksam gemacht, dass sie alternative Finanzierungsmöglichkeiten suchen und gegen-einander abwägen können. In diesem Fall lohnt sich die Barzahlung mit Skontoabzug deutlich.

4 In Teilaufgabe c) wird zur Bestimmung des Zins-satzes nach der Formelumstellung die vierte Wurzel verlangt.

5 Die Zinserträge in Teilaufgabe a) wären mit 33,8 % und 34,0 % kaum unterschiedlich. Deshalb ist das Entscheidungskriterium die unterschiedliche Anlagedauer. Vor der Berechnung zu Teilaufgabe b) sollten die Schüler den Zinssatz schätzen. Im Anschluss lohnt es sich, die Aufgabe zu variieren und nach dem Zinssatz zu fragen, bei dem sich das Kapital in fünf bzw. 20 Jahren verdoppelt.

6 und 7 Die Grundaufgaben werden in einen kom-plexeren Kontext gestellt. Die Vertragslaufzeiten weichen vom Einjahresrhythmus ab und sind da-durch schwieriger zu vergleichen.

8 Es ist heute üblich geworden, zeitliche Abläufe der Kapitalentwicklung in Rechenblättern von Tabel-lenkalkulationen darzustellen. Die Parameter lassen sich so schnell ändern und die Einflüsse auf die Finan zen überprüfen. Ergänzt durch Diagramme, die sich sofort an veränderte Tabellenwerte anpassen, kann dieses Vorgehen einen besseren Überblick funktionaler Zusammenhänge ermöglichen. Die Schülerinnen und Schüler können die Methoden zur Bestimmung der Verdoppelungszeit mit ihren Be-rechnungen in Aufgabe 5 vergleichen.



K 40 4 Sachrechnen

2 Zuwachssparen und Raten sparen

Intention der LerneinheitZuwachssparen und Ratensparen sind weit ver-breitete, seit langer Zeit bekannte und verlässliche Sparformen. Alle Einzelheiten lassen sich mit den mathematischen Kenntnissen von Zehntklässlern bearbeiten. Mit der Erarbeitung der Besonderheiten trainieren sie mathematische Fertigkeiten, haupt-sächlich der Gleichungslehre und der Potenzrech-nung. Zugleich erwerben sie Kenntnisse, die ihnen helfen, andere Sparformen in ihren Strukturen er-kennen und beurteilen zu können.

EinstiegsaufgabeFür beide Sparformen wird ein Beispiel vergleichend zur Diskussion gestellt. Die Vor- und Nachteile lassen sich anhand der vollständigen Angaben schrittweise ohne weitere Anleitung herausarbeiten.

Tipps und Anregungen für den Unterricht Die Konditionen für Sparformen ändern sich im Verlauf einiger Jahre. Die Banken bieten je nach der Entwicklung des Kapitalmarkts bestimmte Formen stärker an und nehmen andere zurück. Es macht den Unterricht wirklichkeitsnäher, wenn nach der Einführung in das Thema die Schülerinnen und Schüler beauftragt werden, lokale Bank- und Sparkassenfilialen aufzusuchen und sich direkt im Gespräch mit Beratern zu informieren. Die Aufarbei-tung im Unterricht in Arbeitsgruppen und Kurzrefe-raten bleibt für alle Beteiligten spannend. Die Lehr-kräfte erfahren so, wie sich die Argumentationen der Banken von Jahr zu Jahr ändern. Die kritische Einordnung und Bewertung der Angebote schaffen die Arbeitsgruppen nicht immer allein. Die Begriffs-welt der Banken ist sehr differenziert, für schulische Betrachtungen zu überladen. Für die Rückführung auf bekannte mathematische Strukturen und Be-griffe wird die Hilfe der Lehrkraft benötigt.

Aufgabenkommentare

Der folgenden Klassifikation liegt der Exempla-rische Kommentar: Aufgaben, die das Verständnis fördern, Seite K 5 im Serviceband 9 zugrunde.Grundaufgaben: A 1; 5 a)Operative Übungen: A 2; 3; 4, 5 b), c); 6;Komplexe Aufgaben: A 7Anwendungsaufgaben: alle

1 bis 3 Die ersten drei Aufgaben trainieren Berech-nungen für das Zuwachssparen entsprechend dem Lehrtext und dem ersten Beispiel der Lerneinheit. In zusätzlichen Fragen nach gleichwertigen Spar-formen mit festem Zinssatz wird auf die vorange-

hende Lerneinheit zurückgegriffen. Die Aufgaben lassen sich besonders anschaulich mithilfe des < Serviceblattes „Zuwachssparen – Schritt für Schritt: rechne und verstehe“, Seite S 35 bearbeiten. Die Visualisierung über das Operatorschema hilft, die vergleichsweise komplexe Fragestellung zu ver-stehen.

4 Die Zielrichtung dieser Aufgabe zum Zuwachs-sparen, einen bestimmten Betrag zu einem vorge-gebenen Zeitpunkt zur Verfügung zu haben, weicht vom Muster der vorangehenden Aufgaben ab. Sie entspricht aber einer häufigen Problemstellung in der Alltagswelt und sollte deshalb im Unterricht nicht ausgelassen werden.

5 Bundesschatzbriefe vom Typ B sind Zuwachs-sparverträge. Die Zinssätze sind nur Beispiele. Sie werden für jede Ausgabe von der Bundesfinan-zagentur neu festgesetzt. Die Schülerinnen und Schüler können selbst die aktuellen Informationen recherchieren, z. B. unter [www.deutsche-finanza-gentur.de].

6 Wenn die Aufgabe zum Ratensparen mit der Formel bearbeitet wird, ist ein Taschenrechner mit Editierfunktionen sehr nützlich, um den Tipp auf-wand in Grenzen zu halten. Wie am Rand des Schü-lerbuches vermerkt, kann hier sehr gut mit einer Tabellenkalkulation gearbeitet werden. Es empfiehlt sich, hierbei nicht die Formel zu benutzen, sondern iterativ zu arbeiten: Kn = (Kn – 1 + R) · q. Die Tabelle lässt damit schnelle Veränderungen der Anfangs-bedingungen und Vergleiche verschiedener Ange-bote zu. Bei dieser Aufgabe kann das < Serviceblatt „Raten-sparen – Schritt für Schritt: rechne und verstehe“, Seite S 36 zum Einsatz kommen. Auch hier wird mit-hilfe des Operatorschemas visualisiert.Das < Serviceblatt „Ratensparen – mit dem Com-puter: einfach genial“, Seite S 37, bietet wiederum Material zur Erarbeitung am Computer.

7 Hier arbeitet man sinnvoll mit der Formel. Nach der Fertigstellung der Aufgabe ist eine Variation für die Arbeit mit einer Tabellenkalkulation möglich: „Welchen Wert hätte der Zinssatz haben müssen, damit Frau Stahl die Sparsumme bereits nach vier Jahren bei gleicher Sparrate erreicht hätte?“ Diese Frage können Zehntklässler nicht durch Umstellen der Formel lösen. Ein gezieltes Suchen mithilfe der Tabellenkalkulation oder auch mit einem leistungs-fähigen Taschenrechner ist ein angemessener Weg. Durch konsequente Fortsetzung des Verfahrens kann eine vorgegebene Genauigkeit erreicht werden.



4 Sachrechnen K 41

Exkurs Sparformen

Zuwachssparen und Ratensparen sind sehr kon-servative Anlageformen mit geringen Renditen (Zinserträge abzüglich der Kosten, etwa Konto-führungsgebühren). Finanzdienstleister und Banken raten daher immer wieder zur Anlage in Aktienfonds, die in unterschiedliche Aktien und andere Geldanlageformen investieren. Durch die Streuung des Kapitals auf unterschiedliche Aktien wird die Gefahr von Kursverlusten mini-miert, gleichzeitig werden aber auch die höhe-ren Renditen des Aktienmarktes erzielt. Selbst staatlich geförderte Anlageformen (Stichwort Riester-Rente), sehen die Anlage in Aktienfonds bzw. gemischten Fonds vor. Dem Vorteil langfris-tig höherer Renditen steht allerdings immer die Gefahr deutlicher Wertschwankungen, bis hin zu Kapitalverlusten, gegenüber. Das Risiko der Schwankungen ist dann besonders kritisch, wenn auf ein fest datiertes Ziel hin gespart wird, etwa die Ablösung eines auslaufenden Kredites oder die Teilfinanzierung eines Bauvorhabens. Ein starker Einbruch auf den Aktienmärkten, wie z. B. die Immobilienkrise 2007/08 in den USA, die sichauch in Europa zu einer Bankenkrise ausweitete, kann auch bei Aktienfonds innerhalb weniger Wochen zu hohen Wertverlusten führen, die dann in mehreren Jahren erst wieder ausgegli-chen werden – einem Zeitraum, den man etwa bei der Hausfinanzierung nicht zur Verfügung hat. Bei der privaten Rente wird daher dazu geraten, in frühen Jahren risikobewusste, lang-fristige Anlageformen zu wählen und später die erzielten Kursgewinne bzw. das Mindestsparziel in festverzinsliche Anlagen umzuschichten.

3 Darlehen

Intention der Lerneinheit– die Zusammenhänge der Größen bei einer jähr-

lichen Schuldentilgung erkennen und verstehen– die Kalküle zur Erstellung eines Tilgungsplanes

anwenden– einen Tilgungsplan mit einem Tabellenkalkula-

tionssystem erstellen und in verschiedenen Dia-grammen visualisieren

EinstiegsaufgabeDie Schülerinnen und Schüler sollten über die Mög-lichkeiten einer Kreditaufnahme wie über Tilgungs-arten Bescheid wissen. Informationen dazu bieten das Internet, die Banken und die Bausparkassen. Hier sollte aber nicht nur über Zinsen, Laufzeiten

und Tilgungsraten gesprochen werden, sondern auch über tragbare Belastungen und die Gefahren einer Überschuldung.Ein Musteranschreiben an ein Bankinstitut zur Vorbereitung eines Erkundungsauftrags sowie ein Beispiel für einen Erkundungsleitfaden finden sich in mathematik lehren, Heft 134, Erhard-Friedrich-Verlag, Seelze 2006, Mathe-Welt, Seite 13.Ein erster Tilgungsplan kann anhand des < Ser-viceblattes „Tilgung – Schritt für Schritt: rechne und verstehe“, Seite S 38, das eine den Lernenden be-reits bekannte Veranschaulichung bietet, erarbeitet werden.

Tipps und Anregungen für den Unterricht– Mit dem < Serviceblatt „Tilgung – Schritt für

Schritt: rechne und verstehe“, Seite S 38, kann eine Schuldentilgung für die ersten drei Jahre mit den Schülerinnen und Schülern übersichtlich erarbeitet werden. Das Schema erweitert die be-kannten Darstellungen zum Ratensparen und zur Zinseszinsrechnung.

– Vor dem Einsatz eines Tabellenkalkulationspro-gramms < Serviceblatt „Tilgung mit dem Compu-ter: einfach genial“, Seite S 39, sollten Teile eines Tilgungsplanes händisch erstellt werden. Nur so kann das Verständnis über die Zusammenhänge der relevanten Größen (Restschuld, Rückzah-lungsrate, Zinsen, …) gefördert werden.Siehe hierzu das < Serviceblatt „Tilgungsplan“, Seite S 40.

Aufgabenkommentare

Der folgenden Klassifikation liegt der Exempla-rische Kommentar: Aufgaben, die das Verständnis fördern, Seite K 5 im Serviceband 9 zugrunde.Grundaufgaben: A 1; 2; 4 a) und b)Operative Übungen: A 3 a)Kumulative Aufgaben: A 2 a)Komplexe Aufgaben: A 4 d)Anwendungsaufgaben: alleProblemstellungen – offene Aufgabensituationen: A 4 c) und e)

1 bis 4 Das schrittweise Berechnen eines Teils eines Tilgungsplans mit dem Taschenrechner ist Voraussetzung für das Verstehen der mathema-tischen Zusammenhänge.Eine übersichtliche Darstellung in einer Tabelle för-dert das Verständnis. Die Tabelle kann aus einem Tabellenkalkulationsprogramm kopiert und den Ler-nenden zur Verfügung gestellt werden.



K 42 4 Sachrechnen

Tilgungsplan mit dem Computer

Mit dem Werkzeug einer Tabellenkalkulation lassen sich realistische Tilgungspläne auch mit langen Laufzeiten schnell erstellen. Interessante Zusatzfragen können ohne viel Rechenaufwand beantwortet werden, beispielsweise: Wie viel Euro Zinsen müssen insgesamt bezahlt werden?Das < Serviceblatt „Tilgung mit dem Computer: einfach genial“, Seite S 39, unterstützt die Auf-stellung eines Tilgungsplanes und gibt Hinweise zur Erstellung von Diagrammen.

4 Diagramme

Intention der LerneinheitDie fünf wichtigsten Diagrammtypen werden in Erinnerung gerufen und ihre Eigenschaften in Auf-gabenbeispielen gegenübergestellt.

EinstiegsaufgabeDie beiden Beispieldiagramme stehen für die wich-tigste Unterscheidung. Das Kreisdiagramm zeigt die anteilmäßige Verteilung der Karnevalsgegner, Fans und Unentschlossenen. Das Balkendiagramm zum Thema Knabbereien veranschaulicht absolute Werte für den Pro-Kopf-Verbrauch. Die Aufgaben-stellung, alternative Darstellungen zu benutzen, lenkt die Aufmerksamkeit der Lernenden auf diesen Unterschied und spricht weiteres Wissen über un-terschiedliche Diagrammtypen an.

Tipps und Anregungen für den Unterricht Das Gefühl von Unsicherheit, das vermutlich die Mehrzahl der Menschen mit dem Begriff Statistik verbindet, fördert auch eine reichliche Produktion von veröffentlichten Texten. Etliche behandeln das Thema dieser Lerneinheit, den richtigen oder falschen Umgang mit Diagrammen. Ein Klassiker darunter ist die gut lesbare und auch amüsante Abhandlung „So lügt man mit Statistik“ von Walter Krämer. Es ist für interessierte Schüler des 10. Jahr-gangs gut lesbar. Internetbeiträge berichten von erfolgreichen Schulprojekten auf der Grundlage die-ses Taschenbuches.

Aufgabenkommentare

Der folgenden Klassifikation liegt der Exempla-rische Kommentar: Aufgaben, die das Verständnis fördern, Seite K 5 im Serviceband 9 zugrunde.Operative Übungen: A 1; 3; Kasten Tipps und Tricks bei DiagrammenKumulative Aufgaben: A 2; 4; 5Anwendungsaufgaben: A 1; 2; 4; 5

1 Die Unterscheidung von relativen und absoluten Datenangaben wird abgefragt.

2 Zu einer Aufzählung von Ausbildungsberufen gibt die Datentabelle jeweils die Höhe der Aus-bildungsvergütungen für „West“ und „Ost“ an. In dem geforderten Säulendiagramm können die Datenpaare für jeden Beruf als gruppierte Säulen nebeneinander dargestellt werden. Der Tabelle folgend sind die Diagrammeinträge nach der Höhe der Westvergütungen abfallend sortiert. Im fertigen Diagramm fällt deutlicher als in der Tabelle auf, dass die Stellung des Kfz-Mechatronikers im Osten von der im Westen abweicht. Falls dies besonders herausgehoben werden soll, können die Säulendia-gramme durch zusätzlich eingetragene Liniendia-gramme ergänzt werden. Die sich überkreuzenden Linien machen die Abweichung sofort kenntlich.Der Vergleich der absoluten Differenzen lässt sich durch den visuellen Eindruck grob erfassen. Der prozentuale Unterschied ist dem Auge nicht so leicht zugänglich. Für eine verlässliche Information ist die Ergänzung der Tabelle durch die zusätzlich berechneten Angaben und ein neues Diagramm sinnvoll.

3 Etliche Fragen wirft die Umkehrung der Frage-stellung auf: „Habe ich solch einen Graphen schon einmal gesehen?“ bzw. „Kenne ich einen Vorgang, der diesen Graphen erzeugt?“ Die Schülerinnen und Schüler müssen den Graph analysieren, z. B. die Tei-lung der horizontalen Achse feststellen. Eine erste Assoziation zu den Monaten eines Jahres ist mög-lich. Der Verlauf des Graphen ist als unterschiedlich starker Anstieg bis zu einem Hochpunkt und einem schnelleren Abstieg zu beschreiben. Nach dem ma-thematischen Vorgehen folgt die Verknüpfung mit einem realen Vorgang, also eine Art Umkehrung des Prozesses der Modellbildung. Es könnten z. B. die Verkaufszahlen eines neu auf den Markt ge-brachten modischen Artikels dargestellt sein. Die Lernenden sollten Spaß an der Aufgabe haben.



4 Sachrechnen K 43

4 Diese Aufgabe ähnelt Aufgabe 2. Die zu verglei-chenden Datenmengen sind auf unterschiedliche Weise vorgegeben. Sie müssen zunächst in einem gemeinsamen Diagramm dargestellt werden. Ein Säulendiagramm kann dem Muster aus Aufgabe 2 folgen. Für ein Balkendiagramm kann die Form des gegenüberliegenden Balkendiagramms wie in Bei-spiel b) der Seite 106 nützlich sein.

5 Die absoluten Angaben für die bereitgestellten Energiemengen lassen sich aus den Angaben des Kreisdiagramms berechnen, weil im Aufgabentext das Gesamtvolumen angegeben ist. Das nebenste-hende Säulendiagramm schlüsselt die erneuerbaren Energien in die beitragenden Bestandteile auf. Dies sind bereits Prozentangaben. Die Schülerinnen und Schüler müssen sich bewusst machen, dass die Bezugsgröße – der Grundwert – geändert werden muss, um ein gesondertes Kreisdiagramm darstel-len zu können. Deshalb ist es in Präsentationen für den Betrachter manchmal verwirrend, zwei aufeinander bezogene Kreisdiagramme betrachten zu müssen. Die in der Aufgabenstellung gewählte Darstellung ist dagegen eindeutig.

Tipps und Tricks bei Diagrammen

Der erste visuelle Eindruck ist bei der Betrach-tung von Diagrammen entscheidend. Nur wenn anschließend eine genauere Analyse der Darstel-lung folgt, wird ein eventuell voreiliger Eindruck oder sogar Trugschluss zurechtgerückt. Deshalb ist es in nahezu allen Publikationen gang und gäbe, die Achseneinteilung für den optischen Eindruck zu manipulieren. Die Grenze zwischen der Hervorhebung von Details und einer beab-sichtigten Täuschung ist unscharf.Der Kasten unterrichtet die Schülerinnen und Schüler über die Methoden, die Werteachse ziel-gerichtet einzuteilen. Im letzten Beispiel kommt eine Manipulation der Rechtsachse hinzu. Die zunächst in Jahresschritten steigende Skalierung der Achse macht zur letzten Säule einen Sprung von sieben Jahren. Wie die Schülerinnen und Schüler anhand der ersten Daten nachprüfen können, ist die Entwicklung der Reisekosten an-nähernd linear. In diesem Diagramm scheint sie dagegen stark ansteigend zu sein.

5 Daten auswerten

Intention der LerneinheitDatenerhebungen sind den Schülerinnen und Schü-lern aus vielfältigen Beispielen bekannt, z. B. aus Umfragen, Messprotokollen und Tabellen der gesell-schaftskundlichen Fächer. In dieser Lerneinheit wer-den die mathematischen Methoden bereitgestellt, um die Datenmengen unterschiedlicher Quellen nach einheitlichen Kriterien auf typische Merkmale zu untersuchen. Dazu gehören der Zentralwert und die Quartile als Kennwerte der explorativen Da-tenanalyse sowie auch der analytische Begriff des Mittelwerts. Als eine besonders sinnfällige Methode, charakteristische Eigenschaften einer Datenmenge darzustellen, wird der Boxplot vorgestellt. Siehe hierzu auch den Exemplarischen Kommentar: Die Kennwerte, Seite K 44.Die Inhalte der Lerneinheit sind in vorangehenden Schuljahren bereits erarbeitet worden. Hier wer-den sie in einer für ältere Schüler angemessenen Knappheit zusammengeführt und auch auf ty-pische, komplexere Aufgabenstellungen vielfältiger Themenbereiche angewendet.

EinstiegsaufgabeDie Tabelle mit Daten über die Mitgliederentwick-lung eines Sportvereins ist mit einer klaren Aufga-benstellung verbunden. Die in den vorangehenden Schuljahren erarbeiteten Methoden, Datenmengen durch Kennwerte zu beschreiben, werden zusam-mengefasst. In der Gesamtschau, ohne herausge-hobene Strukturkennzeichen, lässt sich die Zahlen-menge nicht sofort sinngebend erfassen. Zunächst wird die Tabelle in Zeilen – Mitgliederbereiche – und Spalten – die Reihung nach Jahreszahlen – auf-gelöst. Jeder einzelne Bereich soll durch bekannte Kennwerte beschrieben werden. Der Anstoß, dass der Verein im Fitnessbereich mit einer angestrebten Mitgliederzahl kalkuliert, führt zum Interpretieren der Kennwerte und Prüfen der Kalkulation. Die Mitgliederzahlen sind im Soll und seit zwei Jahren rückläufig.Vergleiche der Bereiche untereinander werden nicht angesprochen, dafür bietet sich eine Fortsetzung der Analyse an, z. B. anhand einer Veranschauli-chung durch Diagramme wie in der vorangehenden Lerneinheit.

Tipps und Anregungen für den Unterricht – Es gibt unterschiedliche Methoden, die Werte

der Quartile zu bestimmen. Dies ist zu berück-sichtigen, wenn mit graphischen Taschenrech-nern oder Tabellenkalkulationen im Unterricht gearbeitet wird. Die Werte stimmen bei Daten-mengen von geringem Umfang nicht immer



K 44 4 Sachrechnen

überein. Bei großen Datenmengen sind die Unter schiede zu vernachlässigen.

– Die Bezeichnungen Zentralwert und Median ste-hen für denselben Begriff. Die Schülerinnen und Schüler werden in der Anleitung für ihren Taschen-rechner oder bei der Recherche im Internet auf beide Begriffe stoßen.

< Serviceblatt „Daten in Diagrammen darstellen“, Seite S 41.

Exemplarischer KommentarDie Kennwerte

Die Auswertung einer Datenerhebung ist eine Form der Interpretation. Interpretieren heißt in diesem Zusammenhang, eine inhaltliche Aus-sage, eine kontextbezogene Aussage mit den Daten begründet in Verbindung zu bringen. Dazu müssen die Daten zu einer Typisierung durch Kennwerte verdichtet werden. Im Mathematik-unterricht wird eine Anzahl von Kennwerten be-nutzt, mit deren Hilfe zu sehr unterschiedlichen Kontexten verlässliche Aussagen gemacht wer-den können.Maximum, Minimum und Spannweite drücken die Grenzen eines durch die Erhebung erfassten Bereiches aus. Es wird dadurch keine Struktur innerhalb des erfassten Bereiches beschrieben. Diese Kennwerte können von herausragender Be-deutung sein, z. B. wenn bei technischen Neu ent-wicklungen durch Praxiserhebungen heraus ge fun-den werden soll, welchen Tempe ratur schwan kun-gen sie in der Praxis ausgesetzt sein werden. Zentralwert und Mittelwert entstammen unter-schiedlichen Methoden, Mittelungen für eine Stichprobe anzugeben. Der Mittelwert bezeich-net das arithmetische Mittel, bei dem alle An-gaben durch die Größe ihres Wertes gewichtet werden. Eine metrische Anordnung der Daten wird vorausgesetzt. Der Zentralwert bezieht sich nur auf eine geordnete Reihenfolge aller Daten und zeigt den in der Rangfolge mittleren Wert an. Eine metrische Skalierung ist nicht nötig. (Ein Überblick über verschiedene Skalierungen wird im Exemplarischen Kommentar Auf die Skala kommt es an!, Seite K 77, Serviceband 7 gegeben.) Bei Verteilungen ohne hervorste-chende Eigenschaften, z. B. bei Symmetrie oder gleichmäßiger Anordnung, liegen Mittelwert und Zentralwert nahe beieinander. Verteilungen mit deutlichen Ausreißern oder Häufungen von Da-ten am Rande der Verteilung ergeben oft, dass Zentralwert und Mittelwert deutlicher voneinan-der abweichen.

Der Zentralwert ist ein ziemlich stabiler Wert bei singulären Veränderungen. Hinzufügen oder Streichen von wenigen Daten beeinflussen ihn gering. Er kann nur stark schwanken, wenn er an der Schwelle einer Werteveränderung liegt. Der Mittelwert dagegen kann stark schwanken, wenn ein einzelner, aber herausragender Wert zur Erhebung hinzukommt oder gestrichen wird.Der Mittelwert beinhaltet mehr Informationen über die Datenerhebung als der Zentralwert. Aus der Kenntnis des Umfangs der Datenerhebung und des Mittelwerts lässt sich auf den Gesamt-wert schließen. Wenn im Restaurant von einer Gruppe mit zehn Gästen bekannt ist, dass sie durchschnittlich 13,25 € bezahlt haben, muss der Kellner 10 · 13,25 € = 132,50 € zur Kasse bringen. Umgekehrt wird der Gesamtbetrag oft auf die Teilnehmenden umgelegt. Jeder zahlt den Mittel-wert. Allein die soziale Kontrolle sorgt dafür, dass stark ungerechte Belastungen vermieden wer-den. Der Mittelwert allein sagt nichts über die Abweichungen innerhalb einer Erhebung aus.Oberes und unteres Quartil weisen den Bereich für eine mittlere Merkmalsausprägung aus. Sie umfassen mindestens 50 % der erhobenen Werte. Extreme Werte außerhalb fallen dabei nicht ins Gewicht. Mithilfe der Boxplots werden bis auf den Mittelwert alle benutzten Kenndaten eingän-gig visualisiert.

Aufgabenkommentare

Der folgenden Klassifikation liegt der Exempla-rische Kommentar: Aufgaben, die das Verständnis fördern, Seite K 5 im Serviceband 9 zugrunde.Grundaufgaben: A 1; 3; 6; 11Operative Übungen: A 2; 4; 5; 7; 8; 12; 13; 14Kumulative Aufgaben: A 10Komplexe Aufgaben: A 9Anwendungsaufgaben: A 4; 5; 10; 11

1 bis 3 Die Techniken zur Bestimmung der Kenn-werte werden eingeübt und in Aufgabe 2 erste Vergleiche durchgeführt. Aufgabe 3 zeigt den Ler-nenden, dass der Zentralwert meist stabil ist, wenn sich Werte am Rande der geordneten Liste ändern. Der Mittelwert ändert sich ein wenig, Minimum und Maximum sehr stark.

4 Die Aufgabe bringt einen Diskussionsanlass in den Unterricht. Zentralwert und Mittelwert drücken deutlich verschiedene Sichtweisen aus. Die sehr ho-hen Einkommen des Geschäftsführers und der Büro-kauffrau heben den Mittelwert auf einen Betrag, der mit allen anderen Beschäftigten kaum etwas zu



4 Sachrechnen K 45

tun hat. Der Median weist im Gegensatz dazu auf das Minimum der Einkommensskala, da die Mini-jobkräfte in der Mehrheit sind. Letztlich kann man aus der Gesamtheit der vorliegenden Kennwerte erkennen, dass eine außergewöhnliche Verteilung vorliegt, für die weitere Untersuchungen und Be-schreibungen notwendig sind.

5 Die Abweichungen der Tageseinnahmen vom Zentralwert betonen die deutlichen Schwankungen. Für die geforderten Berechnungen für die letzten beiden Tage vor Weihnachten ist der Zentralwert nicht hilfreich. Mithilfe des Mittelwertes ist dieser Aufgabenteil lösbar.

6 bis 8 und 10 Aufgabe 6 zeigt erneut das stabile Verhalten des Zentralwerts bei Änderungen am Rande liegender Werte. Die Sichtweise wird in Aufgabe 7 umgekehrt, indem nach Änderungen der Daten zur gezielten Beeinflussung von Mittel-wert und Zentralwert gefragt wird. Die Lernenden können ihre Erfahrungen aus den vorangehenden Übungen einbringen und durch gezieltes Probieren unterschiedliche Lösungen finden. Wenn z. B. der ursprüngliche Wert 1,5 durch 0,6 ersetzt wird, sind Zentralwert und Mittelwert gleich. Dass dadurch die Reihung der Werte etwas geändert wird, ist ohne Bedeutung. In der ähnlich aufgebauten Aufgabe 8 ist die geforderte Schätzung nur sinnvoll zu bear-beiten, wenn die Lernenden den Kontext erweitern und ihre Kenntnisse der lokalen Kino-Eintrittspreise einbringen. In Aufgabe 10 können sich die Verant-wortlichen auf den Mittelwert verlassen und damit die Zuschauerzahl auf die gesamte Saison hoch-rechnen. Allerdings müssen sie zusätzlich den Zeit-plan mit den lokalen Besonderheiten abgleichen. Wenn es besondere Anlässe gibt, wie z. B. Stadt-feste oder Bauarbeiten, taugt der Mittelwert nicht zur Abschätzung zukünftiger Ereignisse.

9 Die Schülerinnen und Schüler zeigen hier, ob sie die Zusammenhänge zwischen den Strukturen der Verteilungen und den Kennwerten verstanden haben. Routinemäßig bestimmen sie meist den Mit-telwert und, wenn es ihnen nicht zu umständlich ist, auch den Zentralwert. Damit haben sie in den meisten Fällen auch ein aussagekräftiges Werkzeug an der Hand. Für die Daten über die Längen der Schulwege kön-nen kontextbezogen alle Kennwerte etwas aussa-gen. Das Maximum ist sicherlich der entscheidende Wert, wenn Termine für gemeinsame Veranstaltun-gen außerhalb der normalen Schulzeiten gesucht werden. Eine sehr große Spannweite kann ausdrü-cken, dass die Lernenden für schulische Aufgaben zu Hause unterschiedlich viel Zeit zur Verfügung

haben. Für die Monatsumsätze in Teilaufgabe b) ist der Mittelwert landläufig der Vergleichswert, zumal damit indirekt auch das Gesamteinkommen beschrieben wird. Die Anzahl der Wertmarken in Teilaufgabe c) unterliegt so großen Schwankungen, dass nach den Ursachen vor Ort gesucht werden sollte. Die Postleitzahlen in d) dagegen machen auch dem Außenstehenden kenntlich, woher die Mehrzahl der Beschäftigten kommt. Es gibt zwi-schen den Zahlen selbst keine Anordnung, sie las-sen sich aber nach der Häufigkeit ihres Auftretens ordnen.

11 Die Aufgabe übt das Lesen und Vergleichen von Boxplots. Das Zahlenmaterial ist übersichtlich und vielleicht provozierend. Das Thema reizt zur Diskus-sion und kann Anlass für ein Unterrichtsgespräch sein. Der mathematische Anteil der Auseinander-setzung sollte Formulierungen enthalten wie z. B.: „Der Quartilabstand zeigt, dass mindestens 50 % der Mädchen Ausgaben in Höhe von …“ oder „Weniger als 25 % der Jungen …“.

12 Schülerinnen und Schüler, die es sich einfach machen wollen, können sich auf die Bestimmung der Zentralwerte durch Abzählen beschränken. Die weiteren Beschreibungen, untere und obere Quar-tile, gleiche Minima und Maxima lassen sich auch sehr schnell bestimmen.

13 und 14 Die funktionalen Abhängigkeiten der Kennwerte bei Änderungen der Randwerte werden wie in den ersten Aufgaben des Kapitels angespro-chen. Für Aufgabe 14 müssen Sonderfälle betrach-tet werden, wie z. B. dieser: 4; 4; 4; 6; 6; 6.

6 Daten beurteilen

Intention der LerneinheitDie Beurteilung von Daten mithilfe der erarbeiteten Kennwerte rückt in den Mittelpunkt. Die Lerneinheit schließt damit direkt an die vorangehenden Übun-gen an. Die Schülerinnen und Schüler lernen, die Kennwerte auf den Sachverhalt zu beziehen und zu angemessenen konkreten Aussagen zu kommen. Boxplots, die charakteristische Eigenschaften einer Verteilung oft gut darstellen, werden in sprachliche Beschreibungen umgesetzt.Eine Anregung zur Gruppenarbeit sowie die hierzu benötigten Daten finden sich auf dem < Service-blatt „Qualitätskontrollen“, Seite S 42.



K 46 4 Sachrechnen

EinstiegsaufgabeBis auf die auffälligen Ausreißer 0 SMS und 240 SMS in Klasse 10 a erschließen sich die Strukturen der beiden Datenerhebungen nicht auf den ersten Blick. Die Anleitung, Zentralwerte und Mittelwerte zu bestimmen, hilft weiter. Für die Klasse 10 b sind die beiden Werte nahezu gleich, für die Klasse 10 a aber erkennbar unterschiedlich. Weiterhin ist für Klasse 10 a der Mittelwert größer als der Zentral-wert, in der Klasse 10 b ist es umgekehrt. Die gefor-derte Erklärung der Unterschiede wird den Schüle-rinnen und Schülern an dieser Stelle vielleicht noch nicht sofort möglich sein. Ein zweiter Blick und die Erinnerung an den Ausreißer mit 240 SMS und auch noch einen weiteren mit 53 SMS rufen in Erinne-rung, dass Zentralwerte von der Ausprägung der Randwerte wenig abhängen, Mittelwerte dadurch aber sehr beeinflussbar sind. Damit leitet die Ein-stiegsaufgabe zur Beurteilung der Daten durch Kennwerte über.

Exemplarischer KommentarBoxplots sprachlich umsetzen

Dem geübten Auge gibt ein Boxplot auf einen Blick einen umfassenden Eindruck von der Da-tenverteilung. Alle Kennwerte, bis auf den Mit-telwert, sind eingetragen und ihre Relationen zueinander erkennbar. Dem ungeübten oder dem schwächeren Schüler erschließen sich diese Zu-sammenhänge nicht sofort. Ein Leseschema hilft, die wichtigen Zusammenhänge zu formulieren und auf diesem Weg zu Bewusstsein zu bringen. Gleichermaßen ist es geeignet, die Informatio-nen geordnet und verständlich Zuhörern vorzu-tragen, denen die Grafik nicht vorliegt. Ein mög-liches Leseschema kann so aufgebaut sein:– Vorinformationen: Art und Maßeinheiten der

Daten– Bereich der auftretenden Daten: Minimum,

Maximum, Spannweite– Mittelwerte: Zentralwert und, falls zusätzlich

bekannt, das arithmetische Mittel– Lage der Mittelwerte: grobe Einteilung „in

Richtung … verschoben“, „ungefähr in der Mitte“

– Quartile und Quartilabstand: Lage der Quartile, Quartilabstand, Lage und relative Größe des Kernbereichs

– vorläufige statistische Aussagen mithilfe des Kernbereichs: „Mindestens 50 % der … haben die Eigenschaft …“.

– entsprechend Aussagen über die Randbe-reiche: „Höchstens ein Viertel …“.

– falls gewünscht, zum Abschluss eine eigene inhaltliche Interpretation oder Stellungnahme.

Aufgabenkommentare

Der folgenden Klassifikation liegt der Exempla-rische Kommentar: Aufgaben, die das Verständnis fördern, Seite K 5 im Serviceband 9 zugrunde.Grundaufgaben: A 1; 6; 7Operative Übungen: A 2; 3; 5; 8Kumulative Aufgaben: A 4Komplexe Aufgaben: Kasten Diagramme und ihre WirkungAnwendungsaufgaben: A 2; 4; 5; 6

1 und 2 Minimum, Maximum und Quartilabstand werden in den Vordergrund gestellt und ihre Nut-zung als Beurteilungskriterien dargestellt. Der sprachliche Umgang mit diesen Kriterien wird ein-geübt durch Vorgabe der Muster in den Aufgaben-formulierungen: 50 % der Zehntklässler … näher beieinander als …, ein Viertel der Achtklässler …, Daten sind weiter gestreut als …

3 Ein Gegenbeispiel schafft Klarheit: 1; 1; 5; 5; 5; 5; 5; 5. Noch krasser wirkt für Lernende: 5; 5; 5; 5; 5.

4 Die Klassenbildung in Teilaufgabe c) greift ein wichtiges Werkzeug wieder auf, mit dem eine große Datenmenge mit vielen verschiedenen Werten leichter ausgewertet werden kann. Erst durch das Zusammenfassen zu Klassen kann ein Diagramm die spezifischen Eigenschaften erkennbar machen. Dem Betrachter präsentieren die nicht vorberei-teten Daten hingegen ein wenig strukturiertes Bild.

5 und 6 Die Erstellung und Analyse von Boxplots kommt zum Verfahren der Beurteilung hinzu. Die neu erwarteten Beurteilungsschritte werden durch die Teilaufgaben angestoßen. Die bisherigen Krite-rien werden nicht mehr vollständig ausformuliert. Die Schülerinnen und Schüler sollten nun so weit sein, nach einem eingeübten aber nicht zu star-ren Schema die Untersuchungen durchführen und sprachlich angemessen wiedergeben zu können.

7 Das Vergleichen von verschiedenen Datenmen-gen steht im Vordergrund. Diese gehören thema-tisch zusammen und entsprechen einander in der Datenstruktur. Jede Datenmenge muss dazu einzeln nach den bekannten Methoden untersucht werden, bevor ihre Kennwerte miteinander verglichen wer-den können. Die Befragung einer Zielgruppe und der Vergleich mit einer größeren von der ersten un-abhängigen Kontrollgruppe ist ein typisches statis-tisches Verfahren, um verlässliche Kenntnisse über die Zielgruppe zu erhalten. Hier bietet es sich an, die Schülerinnen und Schüler nach Beispielen aus der Praxis recherchieren und berichten zu lassen.



4 Sachrechnen K 47

8 In dieser Aufgabe werden grafische Daten verg-lichen. Kriterien und Methoden unterscheiden sich nicht von den vorangehenden Aufgaben. Die Kenn-werte sind aber leicht zu benennen. Die Aufgabe eignet sich daher besonders gut für Kurzvorträge, um das freie Sprechen über mathematische The-men zu üben.

Diagramme und ihre Wirkung ...

Der Kasten ergänzt die Informationen des Ka-stens „Tipps und Tricks bei Diagrammen“ von Seite 108. Die dargestellten Verzerrungen und Täuschungen sind mittlerweile anscheinend die Regel – nicht die Ausnahme – bei grafischen Darstellungen in den Printmedien. Hier werden die Schülerinnen und Schüler zusätzlich zu Tricks mit den Manipulationen der Achsen besonders auf die Täuschung durch die Vermischung der Dimensionen aufmerksam gemacht. In der Grafik zum CO2-Ausstoß sollen eindimensionale Größen dargestellt werden, die Formen sind aber räum-liche Gebilde. Die Menschen setzen dies intuitiv durch den Vergleich der Volumina um und gewin-nen einen falschen Eindruck. Die unterschiedlich großen Kinderwagen zeigen dies noch etwas drastischer.Die Aufgabe für die Lernenden, eine Werbegra-fik zu erstellen, wird vor diesem Hintergrund zu einer Aufgabe mit offenem Ausgang. Wie sollen die Schülerinnen und Schüler die Aufgabe „rich-tig“ lösen?


Aufgabenkommentare

Der folgenden Klassifikation liegt der Exempla-rische Kommentar: Aufgaben, die das Verständnis fördern, Seite K 5 im Serviceband 9 zugrunde.Grundaufgaben: A 10; 14Operative Übungen: A 7; 8; 11; 12Kumulative Aufgaben: A 9Komplexe Aufgaben: A 13Anwendungsaufgaben: A 1; 2; 3; 4; 5; 6Problemstellungen – offene Aufgabensituationen: A 15; 16

2 Die Teilaufgabe b) zeigt, wie Angebote durch-schaubarer und damit vergleichbarer werden, wenn sie von verwirrenden Konstruktionen, wie hier der Prämienzahlung, befreit werden. Effektiv handelt es sich um eine feste jährliche Verzinsung mit dem Zinssatz 4,25 %.

4 Die Problemstellung macht die Aufgabe inte-ressant. Wie wirkt es sich aus, wenn man auf ein Sparziel hinarbeitet und sich zwischendurch selbst etwas „ausleiht“? Die Rechen-Ergebnisse zeigen, dass durch das zwischenzeitliche Abheben immer-hin 26,25 € Zinsen verlorengehen.

6 Das Thema Sondertilgung ist ein realitätsbe-zogenes Beispiel. Die ersten beiden Teilaufgaben bringen mit ihren Ergebnissen nicht die Erkenntnis, wie sich die Sondertilgung wirklich auf den Kredit-verlauf auswirkt. Erst Teilaufgabe c) zeigt, dass die Sonderzahlung eine deutliche Verkürzung der Kre-ditlaufzeit und auch eine wichtige Verringerung der Kosten erbringt.

7 Die sprachliche Umsetzung von mathema-tischen Inhalten ist nicht erst seit den Bildungs-standards eine zu übende Anforderung im Mathe-matikunterricht. Bei Diagrammen bietet sich eine beschreibende Interpretation geradezu an. Nach der Angabe des Sachthemas und der Nennung der im Diagramm in Relation gebrachten Größen Ben-zinverbrauch und Zeitverlauf in Jahren, sollte auf die Skalierung der Hochachse hingewiesen werden. Wie häufig handelt es sich um einen Ausschnitt der Achse, wodurch der Graph gedehnt wird und steiler erscheint. Der schwankende, aber während der ersten ungefähr sieben Jahre im Mittel eher auf konstanter Höhe verlaufende Graph, erfährt einen jähen Abfall um ca. 25 % des Verbrauchs, beginnend kurz vor der Jahrtausendwende. Die Angaben lassen sich präzisieren, wenn die Grafik näher untersucht wird, wesentlich mehr lässt sich kaum herauslesen. An dieser Stelle hängt der Fortgang davon ab, ob die Schülerinnen und Schüler Kenntnisse über ei-nen Kontext haben.

8 Ebenso wie vorangehende Aufgabe erwartet auch diese eine Übersetzung zwischen Sprache und mathematischer Ausdrucksform, nur wird dieses Mal zur sprachlich-mathematischen Vorgabe eine nichtverbale Form gefordert, ein Diagramm. Die Pressenotiz berichtet von zwei kurzen Zeitreihen, dem Absatz der Zigaretten in Deutschland und dem Anteil der Raucher unter den Jugendlichen, die sich auf denselben Zeitraum beziehen. Die Schülerinnen und Schüler werden dies erkennen und die horizon-tale Achse entsprechend skalieren. Da der Artikel über zwei thematisch zusammenhängende, aber in der Qualität verschiedene Merkmale berichtet, wird die vertikale Achse zwei Skalierungen tragen. Pro-blematisch wird für die Schülerinnen und Schüler die Entscheidung sein, welche Intervalle sie jeweils wählen sollen. Die Positionierung der kurzen Gra-phen und die Steilheit des Verlaufs vermitteln, wie



K 48 4 Sachrechnen

sie aus dem Lehrtext wissen, unterschiedliche Ein-drücke, die nicht durch die Zahlenwerte begründet werden. Dafür sind sie selbst als Ersteller der Grafik verantwortlich.

14 Der Schwierigkeitsgrad dieser Aufgabe liegt etwas über den Übungsaufgaben der Lerneinheiten 5 und 6. Der Tipp hilft über die erste Schwelle hin-weg, eine große Anzahl von Daten auf Kennwerte untersuchen zu können. Die Boxplots zu zeichnen, ist dann keine Schwierigkeit mehr. In der weiteren Aufgabenstellung ist eine sprachliche Falle ver-steckt. Mit den Boxplots ist die standardmäßige Interpretation verbunden, dass die Daten, die im Kernbereich liegen, mindestens 50 % aller Daten umfassen. Der Kernbereich umfasst die Tage mit 2 bis 6 Einsätzen und stimmt nicht mit dem vorgege-benen Bereich der Aufgabe mit 6 bis 8 Einsätzen pro Tag überein. Trotzdem ist die Aussage im Aufga-bentext richtig, wie man durch Addition der Häufig-keiten überprüfen kann. 152 Rettungseinsätze sind mehr als die Hälfte der insgesamt 300 Vorkomm-nisse. Die beiden Aussagen widersprechen sich nicht. Die Angabe des Kernbereichs hat hauptsäch-lich den Zweck, die mittlere Lage einer Verteilung zu beschreiben.

15 Entscheidend ist, wie die 120 Personen ausge-wählt wurden, ob sie als repräsentativ für die Ein-wohner der Stadt gelten. Sonst ist das Ergebnis der Befragung wertlos.

16 Das vorgeschlagene Streitgespräch eignet sich für ein kleines Unterrichtsprojekt. Die Anleitungen, insbesondere die Tipps, lassen schnell eine interpre-tationsfähige Liste entstehen. Dort reichen Unter-suchungen, mit welchen Verspätungen 90 %, 95 % oder 99 % der Bahnreisenden höchstens rechnen müssen. Darüber hinaus sind viele weitere Argu-mentationspunkte für beide Parteien zu finden. Bei den Diagrammen kann es spannend werden, welche zurückhaltenden oder aber auch provozie-renden Schaubilder die Schülerinnen und Schüler erstellen werden. Wenn Protokoll geschrieben wird, lässt sich in einer Rückschau jedes Argument auf seine Stichhaltigkeit überprüfen. Vielleicht sollten die Schülerinnen und Schüler nach der Reflexions-phase in eine zweite Diskussionsrunde gehen?



5 Zufall K 49

5 Zufall


Der im achten Schuljahr begonnene systematische Aufbau der Wahrscheinlichkeitsrechnung wird mit diesem Kapitel fortgeführt. Dabei wird zunächst auf Bekanntes zurückgegriffen: die Ereignisse und deren Wahrscheinlichkeit. Ausgehend von diesen Begriffen werden zusammengesetzte Ereignisse und zweistufige Zufallsversuche betrachtet. Dabei steht das Baumdiagramm mit der Summen- und Produktregel im Vordergrund. Vertiefend werden im Anstoß auf Seite 138 im Schülerbuch auch mehrstu-fige Zufallsversuche behandelt.Da als mathematisches Handwerkszeug lediglich die Addition und Multiplikation von Brüchen erwar-tet wird und das Zeichnen der Baumdiagramme anschaulich sofort verständlich ist, ist das Thema Wahrscheinlichkeitsrechnung gerade bei schwä-cheren Schülerinnen und Schüler oft beliebt. Die Ermittlung der Wahrscheinlichkeit zweistufiger Zu-fallsversuche mittels Baumdiagrammen wird nach kurzer Übung schnell beherrscht. Lediglich bei der Unterscheidung zwischen Zufallsversuchen mit und ohne Zurücklegen können sich Probleme ergeben. Auch das Zeichnen komplexer Baumdiagramme bereitet den Schülerinnen und Schülern erfahrungs-gemäß Probleme, da sie den benötigten Platz oft falsch einschätzen. Deshalb wurde auch dem Zeich-nen verkürzter Baumdiagramme eine Methodenseite (Schülerbuch Seite 137) gewidmet.

Intention und Schwerpunkt des KapitelsDer Schwerpunkt des Kapitels liegt auf der Be-handlung zweistufiger Zufallsversuche. Ein zweiter Aspekt sind die Vierfeldertafeln, die eine natürliche Verbindung zwischen Häufigkeiten und Wahrschein-lichkeiten bilden. Anhand von Vierfeldertafeln lässt sich auch leicht vermitteln, dass es zu jedem zweistufigen Baumdiagramm – vorausgesetzt es handelt sich um „Ziehen mit Zurücklegen“ – eine Umkehrung gibt, indem die erste und zweite Stufe vertauscht werden.

Exkurs Kombinatorik

Die Berechnung der Wahrscheinlichkeit mehrstu-figer Zufallsversuche mithilfe von Baumdiagram-men stößt schnell an ihre Grenzen, da die Baum-diagramme meist explosionsartig anwachsen. Deshalb bedient man sich in diesen Fällen zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit der Kombi-natorik.

Bezug zum LehrplanLeitidee Daten und Zufall: Die Schülerinnen und Schüler können – Wahrscheinlichkeiten bei zweistufigen Zufalls-

experimenten bestimmen (Baumdiagramm, Pfadregeln)

– Statistische Daten aus Quellen herauslesen, dar-stellen und interpretieren (Vierfeldertafeln)

Auftaktseite: Stein – Schere – Papier

Das Kapitel 5 Zufall wird mit einer Fragestellung eröffnet und greift auf das Vorwissen (relative Häu-figkeit – geschätzte Wahrscheinlichkeit) zurück. In dem Spiel „Stein – Schere – Papier“ gibt es drei mögliche gleich wahrscheinliche Ergebnisse (Sieg, Niederlage, Unentschieden). Die Lösung des Pro-blems erfolgt schrittweise mithilfe verschiedener Darstellungsebenen. Enaktives Vorgehen: Die Schülerinnen und Schüler überprüfen durch ihr partnerschaftliches Spiel ihre Vermutungen. Symbolisierung des Sachverhalts: durch Bruch- oder Prozentangabe.Verbalisieren des Sachverhalts: Die relative Häufig-keit bestätigt die Schätzung.

Anschließend wird das Spiel mithilfe des klas-sischen Urnenmodells der Wahrscheinlichkeitsrech-nung simuliert. Dabei wird sukzessive, ausgehend von zwei Urnen auf das endgültige und auch rich-tige Modell mit einer Urne (Fall D) – Ziehen mit Zurücklegen ohne Berücksichtigung der Reihen- folge – hingeführt. Abschließend wird untersucht, mit welchen anderen Zufallsgeräten der Zufallsver-such simuliert werden könnte.Da das Urnenmodell eine zentrale Rolle bei der Bestimmung der Wahrscheinlichkeit mehrstufiger Zufallsversuche spielt, erfolgen die Einstiege der er-sten drei Lerneinheiten über ein Urnenmodell.

1 Ereignisse

Intention der LerneinheitDiese Lerneinheit stellt eine Wiederholung der Wahrscheinlichkeitsrechnung aus Schnittpunkt, Schülerbuch 9 dar. Alle Begriffe wie mögliches Ergebnis, günstiges Ergebnis, Ereignis und die Be-rechnung der zugehörigen Wahrscheinlichkeit sind bereits bekannt.



K 50 5 Zufall

EinstiegsaufgabeUm eine hinreichende Begründung für die Wahl des richtigen Bechers zu geben, müssen die Schü-lerinnen und Schüler die ihnen bekannten Begriffe mögliche Ergebnisse, günstige Ergebnisse benutzen und damit die Wahrscheinlichkeit (Laplace-Wahr-scheinlichkeit) bestimmen. Der Einstieg führt unmit-telbar auf die zu wiederholenden Inhalte.Um handlungsorientiert zu arbeiten, ist es möglich, zwei durchsichtige Becher mit Kugeln, wie im Schü-lerbuch abgebildet, vorzubereiten. Die Schülerinnen und Schüler erhalten Karten, auf denen die zu untersuchenden Ereignisse beschrieben sind. Das < Serviceblatt „Ereignisse“, Seite S 43, enthält ne-ben den im Schülerbuch abgebildeten Ereignissen weitere Ereignisse. Die Schülerinnen und Schüler sollten mindestens zwei Ereignisse erhalten und die Aufgabe in Gruppen- oder Partnerarbeit lösen.

Tipps und Anregungen für den Unterricht– Hinweis: Statt Ergebnis findet man in der Litera-

tur auch die Begriffe Ausgang, Ausfall oder Ele-mentarereignis.

– Im Unterricht ist sauber zwischen Ergebnis und Ereignis zu unterscheiden. Die phonetische und optische Ähnlichkeit dieser beiden Worte führt oft zu Verwechslungen.

Aufgabenkommentare

Der folgenden Klassifikation liegt der Exempla-rische Kommentar Aufgaben, die das Verständnis fördern, Seite K 5, Schnittpunkt Serviceband 9, zugrunde.Grundaufgaben: A 1; 2; 4; 10; 11Operative Übungen: A 3; 5; 7 a), b); 8Kumulative Aufgaben: A 6; 9Komplexe Aufgaben: A 7 c)Anwendungsaufgaben: A 12

1, 2 und 4 Die Aufgaben greifen die gewonnenen Erkenntnisse der Einstiegsaufgabe auf und sichern sowohl den Umgang mit den Begriffen als auch die Fähigkeit, die Wahrscheinlichkeit zu berechnen.Es gilt stets, die Anzahl der günstigen und der mög-lichen Ergebnisse auszuzählen und den Quotienten zu bilden.

3 Wird die Wahrscheinlichkeit in Prozent angege-ben, ist es nicht möglich, auf die Anzahl der mög-lichen bzw. günstigen Ergebnisse zu schließen. Die Prozentangabe liefert lediglich ein Verhältnis dieser beiden Werte. 10 % kann heißen „ein günstiges Ergebnis bei 10 möglichen“ oder „zwei günstige Er-gebnisse bei 20 möglichen“ usw. Durch das Färben des Glücksrades wird dieses Problem umgangen.

10 % von 360° sind 36°. Dennoch könnte bei dieser Aufgabe im Anschluss auf die geschilderte Pro-blematik eingegangen werden und darauf hinge-wiesen werden, dass es z.B. auch möglich ist, zwei Felder mit 18° Winkel usw. zu wählen.

6 Es soll in Teilaufgabe b) deutlich werden, dass die Wahrscheinlichkeit keine sicheren Aussagen für ein Ereignis erlaubt. Die Wahrscheinlichkeit gibt nur an, womit auf lange Sicht zu rechnen ist. Obwohl die Abweichung der absoluten Häufigkeit von dem zu erwartenden Wert immer größer werden kann, kommt die relative Häufigkeit der Wahrscheinlich-keit immer näher.

9 Die drei angegebenen Ereignisse sind stochas-tisch unabhängig und bilden zusammen das sichere Ereignis. Dies sollen die Schülerinnen und Schüler erkennen und mit ihren Worten beschreiben.

10 und 11 Die Schülerinnen und Schüler wiederho-len die Begriffe sicheres Ereignis und unmögliches Ereignis anhand von Beispielen.

12 Es liegt eine komplexe Spielsituation vor, bei der die Schwierigkeit im Finden der möglichen und der günstigen Ergebnisse liegt. In Teilaufgabe b) hat Nadine vier Möglichkeiten, sich zu positionieren. In zwei Fällen ändert sich die Gewinnchance für Ulli nicht, in einem Fall nimmt sie zu, in einem Fall nimmt sie ab.

2 Zusammengesetzte Ereignisse

Intention der LerneinheitDie Summenregel zur Bestimmung der Wahrschein-lichkeit eines Ereignisses (Summe der Wahrschein-lichkeit aller zugehörigen Ergebnisse) wird auf die Zusammenfassung mehrerer Ereignisse übertragen. Dieser Inhalt der Lerneinheit ist den Schülerinnen und Schülern deshalb sofort einsichtig. Ebenso ist die Einführung des Gegenereignisses und die Be-stimmung der zugehörigen Wahrscheinlichkeit eine Anwendung der Summenregel.

Tipps und Anregungen für den UnterrichtEine Übung zu diesen Inhalten bietet auch das < Serviceblatt „Tandembogen – Zusammengesetzte Ereignisse“, Seite S 44. Spielerisch aufgegriffen wird das Thema auf dem < Serviceblatt „Welches Ereignis passt?“, Seite S 45. Für eine Strategieentwicklung ist folgende Überle-gung sinnvoll: Tritt ein Ereignis ein, auf das meh-rere Karten passen (Etwa „Zahl kleiner als 4“ und „Zahl kleiner als 7“, wenn eine 2 geworfen wird),



5 Zufall K 51

so sollte man die Karte nehmen, die das unwahr-scheinlichere Ergebnis beschreibt (hier „Zahl kleiner als 4“). Die andere Karte kann mit größerer Wahr-scheinlichkeit wieder eingesetzt werden.Klar herausgearbeitet werden muss die Tatsache, dass die Ereignisse, die zusammengesetzt werden, sprachlich über „oder“ verbunden sein müssen. Die möglichen Ergebnisse müssen also aus dem ersten oder zweiten Ereignis stammen. Man be-achte dabei, dass dieses „oder“ im Allgemeinen das „einschließende oder“ und nicht das ausschließende „entweder oder“ bedeutet. Bei unvereinbaren Ereig-nissen (siehe Exkurs „Vereinbare und unvereinbare Ereignisse“ ) liegt automatisch das ausschließende „entweder oder“ vor.Die eigentliche Schwierigkeit für die Schülerinnen und Schüler liegt im Textverständnis. Die Begriffe mindestens, höchstens, genau, nichts, keine, wenigs-tens und etwas spielen in der Beschreibung der zu-sammengesetzten Ereignisse eine große Rolle und müssen von den Schülerinnen und Schülern in ihrer mathematischen Bedeutung verstanden sein. Die Unterscheidung zwischen „stochastisch verein-bare und unvereinbare Ereignisse” erfolgt in den Aufgaben zunächst nicht, um die Schülerinnen und Schüler nicht zu verwirren und zu überfordern. In al-len Aufgaben werden die einfach zu handhabenden unvereinbaren Ereignisse betrachtet. Erst der Info-kasten Vorsicht bei zusammengesetzten Ereignissen! (Schülerbuch Seite 126) greift dieses bedeutende Thema auf.

Exkurs Vereinbare und unvereinbare Ereignisse

Ereignisse heißen stochastisch miteinander ver-einbar, wenn sie mindestens ein mögliches Er-gebnis gemeinsam haben. Ist dies nicht der Fall, heißen die Ereignisse stochastisch unvereinbar. Man sagt dann auch: „Die Ereignisse schließen sich gegenseitig aus“. Im Falle stochastischer Vereinbarkeit dürfen die Ereignisse nicht einfach addiert werden, da sonst die gemeinsamen Ergebnisse doppelt gezählt würden. So würde bei einfacher Addition gelten: P (eine Zahl größer 2 werfen oder eine gerade Zahl) = P (eine Zahl größer 2 werfen) + P (eine gerade Zahl werfen) = 2 _

3 + 1 _ 2 = 7 _

6 > 1. Das kann of-fensichtlich nicht sein. Die Wahrscheinlichkeit für die Ergebnisse die beides erfüllen (eine Vier oder eine Sechs würfeln), muss subtrahiert werden: Man erhält 5 _

6 , denn lediglich das Ergebnis „eine Eins würfeln“ passt nicht.

Exkurs Ereignisalgebra

Werden die möglichen Ergebnisse und die zuge-hörigen Ereignisse auf Mengen zurückgeführt, spricht man von der Ereignisalgebra, da man dann wie mit Mengen rechnen kann.– Die möglichen Ergebnisse eines Zufallsversuchs

bilden den Ergebnisraum S. – Jedes Ereignis E ist eine Teilmenge von S. – Ein mögliches Ergebnis ist eine einelementige

Teilmenge von S, das so genannte Elementar-ereignis.

– Das unmögliche Ereignis ist die leere Menge ø.

– Das sichere Ereignis ist der Ergebnisraum S.– Das Gegenereignis E’ ist die Ergänzungsmenge

zu E. Es gilt: E ± E’ = S und E ° E’ = ø. – Zusammengesetztes Ereignis E:

E = E1 ± E2

– vereinbare Ereignisse: E = E1 ° E2 ≠ ø P (E) = P (E1) + P (E2) – P (E1 ° E2)

– unvereinbare Ereignisse: E = E1 ° E2 = ø P (E) = P (E1) + P (E2)

EinstiegsaufgabeIm Einstieg werden die Kenntnisse aus Schnittpunkt 8 (mögliche Ergebnisse, Ereignisse und sicheres Er-eignis) sowie aus der Lerneinheit 1 Ereignisse (Gege-nereignis) aufgegriffen und auf zusammengesetzte Ereignisse übertragen. Im vorletzten Impuls wird das Problem der vereinbaren und unvereinbaren Ereignisse deutlich.

Aufgabenkommentare

Der folgenden Klassifikation liegt der Exempla-rische Kommentar Aufgaben, die das Verständnis fördern, Seite K 5, Schnittpunkt Serviceband 9, zugrunde.Grundaufgaben: A 1; 2; 7; 10 Operative Übungen: A 3; 4; 5; 6Kumulative Aufgaben: A 5; Infokasten Vorsicht bei zusammengesetzten Ereignissen!Komplexe Aufgaben: A 8; 9Problemstellung – offene Aufgabensituation: A 8; 9



K 52 5 Zufall

1 und 2 Einleitende Übungen zu zusammengesetz-ten Ereignissen. Dabei soll insbesondere deutlich werden, dass die günstigen Ergebnisse entweder aus dem einen oder dem anderen Ereignis stam-men. Dies ist wichtig mit Blick auf vereinbare und unvereinbare Ereignisse (siehe Exkurs Vereinbare und unvereinbare Ereignisse, Seite K 51).

3 Übungen zum Textverständnis (wenigstens, etwas, nichts). Erfahrungsgemäß bereitet Schüle-rinnen und Schülern die richtige mathematische In-terpretation dieser Worte große Verständnisschwie-rigkeiten. Das Textverständnis muss diesbezüglich geschult werden.

5 Umstellen der Summenregel. Aus P (Gewinn) = P (freie Auswahl) + P (sonstiger Gewinn) folgt P (sonstiger Gewinn) = P (Gewinn) – P (freie Aus-wahl).

6 Umkehraufgabe. Die Anzahl der günstigen Er-gebnisse ist zu bestimmen. Dies geschieht ähnlich dem Lösen von Gleichungssystemen mit mehr als zwei Variablen rückwärts. Aus P (Trostpreis oder Gutschein) und P (Trostpreis) kann auf P (Gutschein) = 50 % – 35 % = 15 % ge-schlossen werden. Analog dazu folgt P (MP3-Player) = 5 % und P (Fahrrad) = 5 %.

8 Komplexe Umkehraufgabe. In Teilaufgabe a) ist die Anzahl der möglichen Ergebnisse zu bestim-men.In Teilaufgabe b) müssen so viele Kugeln hinzuge-fügt werden, dass die 15 schwarzen Kugeln 60 % der Gesamtheit darstellen. Insgesamt müssen also 25 Kugeln vorhanden sein. Somit sind noch fünf Ku-geln hinzuzufügen. Dabei ist deren Farbe unerheb-lich, sie dürfen nur nicht schwarz sein.

9 Es gilt, geeignete Lösungsstrategien zu finden. Dabei steht die Kompetenz des mathematischen Ar-gumentierens im Vordergrund. Durch die Angabe in Prozent ergeben sich beliebig viele Lösungen. Den Schülerinnen und Schülern ste-hen folgende Lösungsstrategien zur Verfügung:– Lösen durch Versuch und Irrtum,– Lösen durch ein Gleichungssystem mit drei

Variablen. 1. Möglichkeit I. P (Gelb) + P (Rot) = 0,4 II. P (Gelb) + P (Blau) = 0,85 III. P (Gelb) + P (Rot) + P (Blau) = 1

2. Möglichkeit I. P (Gelb) + P (Rot) = 0,4 II. P (Gelb) + P (Blau) = 0,85 Daraus folgt: 2 · P (Gelb) + P (Rot) + P (Blau) = 1,25. Daraus folgt: P (Gelb) = 0,25.

10 Das Gegenereignis richtig zu formulieren, stellt eine große Herausforderung für die Schülerinnen und Schüler dar.

Vorsicht bei zusammengesetzten Ereignissen!

In diesem Informationskasten wird die Problema tik stochastisch vereinbarer und unver-einbarerer Ereignisse schülergerecht vorgestellt (vgl. die Exkurse Vereinbare und unvereinbare Er-eignisse, und Ereignisalgebra, Seite K 51).Vergleicht man die abgebildete Grafik mit der Behauptung von Leo, wird sofort deutlich, dass die Wahrscheinlichkeit der den beiden Ereignis-sen gemeinsamen Ergebnisse von der nach Sum-menregel gebildeten Summe abgezogen werden muss. In den nachfolgenden Aufgaben werden teils vereinbare, teils unvereinbare Ereignisse betrach-tet.

3 Zweistufige Zufallsversuche

Intention der LerneinheitEin großes Teilgebiet der Wahrscheinlichkeits-rechnung sind mehrstufige Zufallsversuche. Um in dieses komplexe Thema behutsam einzusteigen, wird mit zweistufigen Zufallsversuchen begonnen, die aufgrund ihrer geringen Komplexität überschau-bar sind. Da die Kombinatorik den Schülerinnen und Schülern nicht bekannt ist, müssen andere Wege gefunden werden, die Wahrscheinlichkeiten bei zweistufigen Zufallsversuchen zu bestimmen. Das anschaulichste Mittel dazu ist das Baumdia-gramm. Im Infokasten „Ziehen mit und ohne Zurücklegen“ (Schülerbuchseite 129) wird die Thematik des Ziehens ohne Zurücklegen angesprochen.

Tipps und Anregungen für den Unterricht– Erfahrungsgemäß fällt das ordentliche Zeichnen

von Baumdiagrammen den Schülerinnen und Schülern schwer. Sie schätzen häufig den benö-tigten Platz für das Diagramm falsch ein und ha-ben dann auch Schwierigkeiten, die Äste ordent-lich zu beschriften. Diese Schwierigkeit muss im Unterricht vorgestellt und bewusst gemacht wer-


DO01742602_K05_049_056.indd 52 12.12.2013 10:23:23

5 Zufall K 53

den. Dabei sollte auch darauf hingewiesen wer-den, dass Baumdiagramme nicht nur von links nach rechts, sondern auch von oben nach unten gezeichnet werden können. Im Schülerbuch ist dies auf Seite 137 vorgeführt. Im Unterricht sollte das Zeichnen von Baumdiagrammen hinreichend geübt werden, damit die Lernenden ein Gefühl für den Platzbedarf solcher Baumdiagramme entwickeln.

– Es ist wichtig, darauf hinzuweisen, dass das ge-ordnete Paar zwar aus zwei Elementen besteht, jedoch für den zweistufigen Zufallsversuch ein Ergebnis darstellt. Schülerinnen und Schüler un-terliegen schnell der Versuchung, das geordnete Paar als ein Ereignis mit zwei Ergebnissen anzu-sehen.

– Die Produktregel wird häufig auch als Pfadregel bezeichnet. In der Praxis hat sich jedoch heraus-gestellt, dass sich der Begriff Produktregel besser von dem Begriff Summenregel abhebt als der Begriff Pfadregel.

– Das < Serviceblatt „Baumdiagramme – Teste dein Wissen“, Seite S 46, bietet die Möglichkeit, im Selbsttest den Kenntnisstand zu überprüfen.

EinstiegsaufgabeDie Aufgabe führt den zweistufigen Zufallversuch ein und macht deutlich, dass die Ergebnisse eines zweistufigen Zufallsversuchs aus geordneten Paa-ren bestehen. Im letzten Spiegelstrich wird die Summenregel vorbereitet. Außerdem wird bereits ein Blick auf das Ziehen ohne Berücksichtigung der Reihenfolge geworfen. Inwieweit dies weiter pro-blematisiert wird, liegt bei der Lehrperson.

Aufgabenkommentare

Der folgenden Klassifikation liegt der Exempla-rische Kommentar Aufgaben, die das Verständnis fördern, Seite K 5, Schnittpunkt Serviceband 9, zugrunde.Grundaufgaben: A 1; 2; 3; 4; 9Operative Übungen: A 3; 5; Infokasten Ziehen mit und ohne Zurücklegen; 11; 12Kumulative Aufgaben: A 6; 7; Methodenkasten Tabelle statt Baum; 10Problemstellung – offene Aufgabensituation: A 8

1 bis 4 Alle Lösungen sollen mithilfe von Baum-diagrammen gefunden werden. Die gesuchten Wahrscheinlichkeiten sind mithilfe der Produkt- und Summenregel zu finden. Es sollte noch herausge-arbeitet werden, dass die Summe der Wahrschein-lichkeiten aller möglichen Äste einer Verzweigung immer 1 ist. Dies ist sofort klar, da bei jeder Ver-zweigung alle möglichen Ergebnisse vorkommen

und somit in jeder Verzweigung in der Summe das sichere Ereignis abgebildet wird.

5 Umkehraufgabe. Die Erkenntnisse der Aufgaben 1 bis 4 werden genutzt, insbesondere auch die Tat-sache, dass die Summe der Wahrscheinlichkeiten aller möglichen Äste einer Verzweigung immer 1 ist.

Ziehen mit und ohne Zurücklegen

Anhand der Baumdiagramme wird der Unter-schied zwischen „Ziehen mit Zurücklegen “ und „Ziehen ohne Zurücklegen“ sofort klar. Obwohl es gleiche Ergebnisse gibt, unterscheiden sich de-ren Wahrscheinlichkeiten. Mithilfe der nachfolgenden Aufgabe erkennen die Schülerinnen und Schüler, dass sich bei einer großen Anzahl von Kugeln, aus denen relativ wenige gezogen werden, die Wahrscheinlichkei-ten für das Ziehen ohne Zurücklegen den Wahr-scheinlichkeiten für das Ziehen mit Zurücklegen annähern. Da beim Ziehen mit Zurücklegen die Wahrscheinlichkeiten an den Ästen von Stufe zu Stufe gleich bleiben, ist dieser Fall mithilfe eines Baumdiagramms leichter zu bestimmen. Bei ei-ner großen Anzahl von möglichen Ergebnissen pro Stufe und wenigen Stufen wird deshalb die Wahrscheinlichkeit beim Ziehen ohne Zurück- legen oft über die Wahrscheinlichkeit für das Zie-hen mit Zurücklegen angenähert.

7 Bei dieser Aufgabe ist die Reihenfolge zu be-rücksichtigen. Es wird nochmals der Unterschied zwischen dem Ziehen mit und ohne Zurücklegen deutlich. Insbesondere in Teilaufgabe b) kann deut-lich gemacht werden, dass beim Ziehen ohne Zu-rücklegen einige Ergebnisse unter Umständen nicht mehr möglich sind.

8 Der Aufgabenteil a) entspricht den vorange-henden Aufgaben. Die Teile b) und c) fordern zum kreativen Experimentieren heraus, entweder ab-strakt oder durch Demonstration mit geeigneten Gegenständen. Gruppengespräche, Vorträge, Wett-bewerbe, viele Unterrichtsformen bieten sich an. Auch nicht optimale Lösungsvorschläge gehören in die Dokumentation.



K 54 5 Zufall

Tabelle statt Baum

Die Tabelle fasst unter den Vorgaben „zweistu-figer Versuch“ und „alle Ergebnisse gleich wahr-scheinlich“ die möglichen Pfade übersichtlich geordnet zusammen. Jeder Pfad wird als Paar (1. Stufe, 2. Stufe) in ein Tabellenfeld eingetra-gen. Auch die Ergebnisse komplexer Ereignisse lassen sich so leichter markieren und auszählen. Eine besondere Bedeutung nimmt häufig die Hauptdiagonale der Tabelle ein. Die Wahrschein-lichkeiten für die sofortige Wiederholung eines eingetretenen Ergebnisses weichen von den Wahrscheinlichkeiten gemischter Ergebnisse ab.Bei der zweiten Aufgabenstellung wurde be-wusst nach dem Würfeln mit Dodekaeder und herkömmlichem Würfel gefragt. Wird der Dode-kaeder (12seitiger Würfel) durch die Augensum-me zweier sechsseitiger Würfel ersetzt, ändern sich die Wahrscheinlichkeiten! Beim Dodekaeder ist jede Zahl gleich wahrscheinlich, bei zwei Sechserwürfeln ist P (1) = 0, die Wahrscheinlich-keiten für die Zahlen 2 bis 12 binominal verteilt:

P (2) = P (12) = 1 _ 36

P (3) = P (11) = 2 _ 36

P (4) = P (10) = 3 _ 36

P (5) = P (9) = 4 _ 36

P (6) = P (8) = 5 _ 36

P (7) = 6 _ 36

Es besteht die Möglichkeit, zwei Schülergruppen zu bilden und diese Ergebnisse in Experimenten anzunähern. Das Berechnen der Wahrschein-lichkeit für „Die Augensumme zweier Würfel ist durch die Augenzahl eines dritten teilbar“ ist jedoch zu komplex.

9 bis 11 Das gleichzeitige Ziehen von zwei Kugeln oder Losen wird aufgelöst in eine zeitliche Abfolge und damit in ein mehrstufiges Zufallsexperiment. Das ist bei Wahrscheinlichkeitsproblemen meist möglich, aber nicht immer. Diese Problematik sollte hier jedoch nicht diskutiert werden.

12 Die Aufgabe erschließt sich leichter, wenn der Kasten „Ziehen mit und ohne Zurücklegen“ vorher bearbeitet wurde. Obwohl in den Teilaufgaben a) und b) die Anzahl der roten und grünen Topf-lappen gleich ist, ergeben sich unterschiedliche Wahrscheinlichkeiten, ein Paar zu ziehen. Die Schülerinnen und Schüler können erkennen, dass sich die Wahrscheinlichkeiten für das Ziehen einer Farbe ohne Zurücklegen bei kleinen Anzahlen von Topflappen von Zug zu Zug stärker ändert als bei

großen Anzahlen. Zu einer solchen Reflexion wird in c) aufgefordert. Die Aufgabenteile d), e) und f) variieren die Fragestellung für eine unterschiedliche Verteilung der Farben.

Auto oder Ziege?

Das Auto-Ziege-Entscheidungsproblem ist das wohl bekannteste strittige Wahrscheinlichkeits-problem. Die vielen von Experten angebotenen wahrscheinlichkeitstheoretischen Überlegungen überzeugen selten. Deshalb wird hier ausdrück-lich auf einen Erklärungsversuch verzichtet. Durch Simulation (und Nutzung der statistischen Wahrscheinlichkeit) wird das Problem zur Ent-scheidung geführt. Das Ergebnis überzeugt.Neben der Simulation von Zufallszahlen (siehe Schnittpunkt Schülerbuch 8, Seite 112) wird damit zum Kapitelabschluss das für die Wahr-scheinlichkeitsrechnung wichtige Thema Simula-tion noch einmal zum Thema gemacht, und das an einer für Simulationen typischen Situation: für eine wahrscheinlichkeitstheoretisch kom-plexe, schlecht zu überblickende Situation wird durch Simulation empirisch-statistisches Wissen beschafft.

4 Vierfeldertafeln

Intention der LerneinheitVierfeldertafeln bilden eine Schnittstelle zwischen den Themenfeldern „Daten“ und „Zufall“. Sowohl Wahrscheinlichkeiten zweistufiger Zufallsversuche mit je zwei Ausgängen (etwa das zweimalige Wer-fen einer Münze) als auch Häufigkeiten von Daten-erhebungen mit zwei Merkmalen in je zwei Aus-prägungen können übersichtlich in Vierfeldertafeln dargestellt werden. Die Lerneinheit steht daher am Abschluss dieser beiden Themen und bildet so eine Klammer, die deren inhaltliche Nähe aufzeigen hilft.Die Äquivalenz von Baumdiagrammen und Vier-feldertafeln soll herausgestellt werden.

EinstiegsaufgabeDie dargestellte Tabelle enthält Schülerzahlen, sortiert nach männlich/weiblich und blond/dunkel-haarig. Sie wird nicht erklärt, die Schülerinnen und Schüler können sich die Bedeutung jedoch leicht erschließen, wenn sie sie in Beziehung zum Plakat und zum Aufgabentext setzen.Man sollte die Lernenden zunächst ohne weitere Erklärungen experimentieren lassen und dann die Ergebnisse und Fragen sammeln.



5 Zufall K 55

Es muss klargestellt werden, dass für die korrekte Beantwortung der ersten Frage die Zeilensummen gebildet werden müssen. Die zweite Aufgaben-stellung fragt implizit nach einer bedingten Wahr-scheinlichkeit. („Wie wahrscheinlich ist eine weib-liche Gewinnerin unter der Bedingung, dass blond gewinnt?“ Die Antwort lautet 70

_

(70 + 42) = 5 _ 8 , da die

dunkelhaarigen Teilnehmer von vornherein ausge-schlossen werden können.) Dieses Thema ist nicht Teil des Lehrstoffes und sollte daher nicht explizit angesprochen werden. Anhand der vorgegebenen Daten können die Lernenden die Frage jedoch ei-genständig erarbeiten und korrekt beantworten.

Tipps und Anregungen für den Unterricht Häufig sind in den Zeitungen oder Online-Medien Meldungen zu finden, die sich anhand einer Vier-feldertafel auswerten oder prüfen lassen. Insbeson-dere wenn es um Unterschiede zwischen Ost- und Westdeutschland, zwischen Männern und Frauen oder zwischen der so genannten Ersten und Dritten Welt geht, ergeben sich entsprechende Datenlagen. Daher kann die Lerneinheit genutzt werden, um die Schülerinnen und Schüler in Projektarbeit solche Meldungen sammeln, auswerten und präsentieren zu lassen.Hier bietet sich ein Rückbezug auf Kapitel 4, Lerneinheit 6 Daten beurteilen an: Auch bei schrift-licher Darstellung werden oft verfälschende oder tendenziöse Redensarten verwendet, etwa: „Wäh-rend fast ein Drittel der jüngeren Teilnehmer … waren es bei den älteren nur etwas über 30 %.“Sind in den gefundenen Meldungen alle benötigten Zahlen genannt oder können erschlossen bzw. geschätzt werden, bietet sich die Vierfeldertafel als Auswertungswerkzeug an. Eine anschließende Darstellung in Baumdiagrammen, Säulen- oder Kreisdiagrammen ist denkbar, sie kann dann auch als Diskussionsgrundlage dienen.

Aufgabenkommentare

Der folgenden Klassifikation liegt der Exempla-rische Kommentar: Aufgaben, die das Verständnis fördern, Seite K 5, Serviceband 9 zugrunde.Grundaufgaben: A 1; 3Kumulative Aufgaben: A 2; 4; 6; 7Komplexe Aufgaben: Kasten Vierfeldertafeln und BaumdiagrammeAnwendungsaufgaben: A 2; 5

2 Die Aufgabe enthält alle benötigten Angaben zur Erstellung einer Vierfeldertafel. Jedoch wird die Verteilung zwischen Älteren und Jüngeren nicht in absoluten Zahlen angegeben, sondern es wird ge-

sagt, dass es jeweils gleich viele Besucher waren. Die Hauptschwierigkeit besteht daher im sorgfäl-tigen Lesen des Aufgabentextes und der inhalt-lichen Interpretation.

3 Das Umrechnen von absoluten Häufigkeiten in Prozentsätze und umgekehrt ist ein typischer Vor-gang beim Arbeiten mit Vierfeldertafeln. Es sollte daher möglichst häufig geübt werden. Zu beachten ist dabei, dass immer die Summe aller vier Felder 100% ergeben muss und nicht etwa die Spalten- oder Zeilensummen. Dies muss den Lernenden klar vermittelt werden, da es eine der häufigsten Fehler-quellen darstellt und dem Verständnis der Thematik wesentlich entgegensteht.

4 Mögliche Darstellung als zweistufiges Zufallsex-periment:Zunächst wird zufällig eine Maschine ausgewählt, und zwar Maschine A mit 75% Wahrscheinlichkeit, Maschine B mit 25% Wahrscheinlichkeit.In der zweiten Stufe werden die angegebenen Pro-zentzahlen (4% bei Maschine A, 10% bei Maschine B) verwendet, um die falsche bzw. korrekte Abfül-lung der Ware anzugeben.

6 Das Thema Massenscreening schafft es im-mer wieder in die Medien, etwa 2009/2010, als es um das Für und Wider von Brustkrebs-Screenings ging. Die Problematik, dass bei extrem seltenen Krankheiten die Wahrscheinlichkeit einer falschen Positivdiagnose sehr hoch ist, wird denjenigen schmerzlich bewusst sein, die dies schon einmal im näheren Umfeld oder an sich selbst erfahren haben. Die Frage, ob und wie diese schlimmen, letztendlich vielleicht unnötigen Momente der Sorge gegen die Gefahren einer unerkannten Krankheit aufgewogen werden können, kann zu erhitzten Diskussionen führen.Was mit dieser Thematik jedoch bewusst gemacht werden sollte: Eine durch noch so große Zahlen bestätigte Wahrscheinlichkeit lässt niemals verbind-liche Aussagen über Einzelfälle zu und muss daher immer kritisch geprüft, sollte jedoch nicht ignoriert werden.

7 Eine Recherche im Internet ergibt, dass ca. 14% aller Sportler Fußball spielen. Wäre der Anteil bei 30%, so könnte man sagen, dass sich „durchschnitt-lich viele“ Sportunfälle auf dem Fußballfeld ereig-nen. Der Anteil der Unfälle beim Fußball liegt also deutlich über dem Durchschnitt und somit kann man von einer unfallträchtigen oder „gefährlichen“ Sportart reden. Es ist allerdings nichts darüber ge-sagt, wie sich die restlichen 70% der Sportunfälle auf alle anderen Sportarten verteilen. Denkbar ist



K 56 5 Zufall

beispielsweise, dass unfallarme Sportarten (Schach-spielen, Schwimmen) kaum in den Unfallstatistiken auftauchen, dafür aber andere so genannte Risiko-sportarten wie Mountainbiking, Skispringen oder Inlineskaten ein deutlich höheres Unfallrisiko ber-gen als Fußball.Wichtig ist bei dieser Aufgabe weniger eine ver-meintliche Exaktheit in den Daten, als dass die Schülerinnen und Schüler sich bewusst machen, welche Aussagen sie aufgrund der ihnen bekannten Datenlage rechtfertigen können und welche nicht.


Der folgenden Klassifikation liegt der exempla-rische Kommentar: Aufgaben die das Verständnis fördern, Seite K 5, Serviceband 9 zugrunde.Grundaufgaben: A 2; 4; 5; 6; 16Operative Übungen: A 1; 3; 7; 9; 10; 12; 13; 15Kumulative Aufgaben: Methodenkasten Verkürzte Baumdiagramme; A 11; 14Komplexe Aufgaben: A 8; Kasten Mehrstufiger Zu-fallsversuch; A 17; 20Anwendungsaufgaben: A 19Problemstellungen – offene Aufgaben: A 18; 21

2 und 3 Die Aufgaben fordern die Berechnung der Wahrscheinlichkeiten von Ereignissen und üben da-mit die Umsetzung der Definition der Wahrschein-lichkeit. In Aufgabe 3 wird der umgekehrte Weg er-wartet. Zu einer gegebenen Wahrscheinlichkeit und einem beschriebenen Zufallsgerät sollen passende Ereignisse gefunden werden.

4 Die Aufgabe ist rechnerisch einfach: Eine von fünf Kugeln ist rot, der Versuch ist einstufig. Die He-rausforderung besteht darin, dies zu erkennen.

5 Das Erkennen der Gesamtheiten der Ergebnisse bei Zufallsexperimenten und der günstigen Ereig-nisse wird erneut eingeübt.

7 Es wird das Konzept des sicheren Ereignisses thematisiert. Schüler, die das erkennen, müssen in Teilaufgabe a) nur zwei Wahrscheinlichkeiten be-rechnen und erhalten die dritte unter Verwendung des Gegenereignisses durch eine simple Subtrak-tion.

8 Durch die Umkehrung der Aufgabenstellung – die Wahrscheinlichkeiten sind vorgegeben, gesucht ist eine passende Zusammenstellung der Kugeln – sowie die Frage nach Variationen wird das Ver-ständnis vertieft. Die Aufgabe entspricht in ihrer Komplexität Anforderungsniveau II.

9 Durch die Aufgabe werden die Lernenden mit der Tatsache konfrontiert, dass intuitive Erwar-tungen an Wahrscheinlichkeiten auch falsch sein können – natürlich sinkt die Wahrscheinlichkeit einer „6“ für den vierten Wurf nicht, da er von den ersten Würfen unabhängig ist.

10 bis 12 Die Begriffe Gegenereignis, sicheres und unmögliches Ereignis werden wiederholt.

Mehrstufiger Zufallsversuch

Zwei weitere Aufgaben zum dreistufigen Zufalls-versuch, die mithilfe von Baumdiagrammen gelöst werden können, befinden sich auf dem < Service blatt „Pralinendose und Ballwurfma-schine – so ein Zufall!“, Seite S 47.Das < Serviceblatt „Zufallsversuche – Spiele-reien“, Seite S 48, behandelt Spielsituationen, die sich mit mehrstufigen Zufallsversuchen simulieren lassen.

15 Teilaufgabe a) wiederholt den zweistufigen Zufallsversuch mit Zurücklegen. Teilaufgabe b) fragt nach den gleichen Ereignissen, aber diesmal werden die Kugeln nicht zurückgelegt. Die Baum-struktur bleibt gleich, jedoch ändern sich die Wahr-scheinlichkeiten. Eine reizvolle Aufgabe für stärkere Schülerinnen und Schüler, weil sie verdeutlicht, wie wichtig es ist, sich die Struktur eines Experiments jeweils klarzumachen.



6 Trigonometrie K 57

6 Trigonometrie


Die Trigonometrie baut auf den Themengebieten Ähnlichkeit und SatzdesPythagoras aus der 9. Klassen stufe auf und führt diese weiter. In der Trigonometrie rücken zunehmend arithmetische und algebraische Aspekte der Geometrie ins Zentrum – so werden viele geometrische Situationen mithilfe von Gleichungsansätzen und teilweise auch mit Variablen gelöst. Dabei ist darauf zu achten, dass die anschauliche Grundlage nicht verloren geht – die Rückbindung an vorhandene oder zu erstellende Skizzen ist dabei immer wieder hilfreich. Da in der Trigonometrie Lösungen oft auf verschiedenen Wegen erreicht werden können, sollte die Chance genutzt werden, Schülerinnen und Schüler die Auswahl ihres Lösungsweges reflektieren, darstellen und begründen zu lassen. Dies leistet einen Beitrag beim Aufbau der prozessorientierten Kompetenzen „mathematisch argumentieren“ und „Probleme mathematisch lösen“, wobei in der Trigonometrie alle drei Anforderungsbereiche erreicht werden können: Die Wiedergabe und Anwendung trigonometrischer Funktionen in bekannten bzw. abgegrenzten Kontexten (Anforderungsbereich I), das Verknüpfen von Kenntnissen, Fertigkeiten und Fähigkeiten aus verschiedenen mathematischen Gebieten (Anforderungsbereich II) oder das Lösen komplexer Problemstellungen mit anschließender Reflexion, Schlussfolgerung bzw. Wertung (Anforderungsbereich III). Punktuell werden im Hinblick auf die trigonometrischen Funktionen auch Aspekte der Leitidee funktionalerZusammenhang berührt.

Exkurs Trigonometrie

Die (ebene) Trigonometrie ist das Teilgebiet der Geometrie, das sich mit Dreiecken beschäftigt. Die Ursprünge der Trigonometrie liegen in der Lösung von Architekturproblemen (z. B. die inhaltliche Verwendung der Tangensfunktion bei der Angabe einer Flächenneigung durch die Babylonier um 2000 v. Chr.) oder in der Sehnenrechnung der Griechen (wobei hier noch die Idee der rechtwinkligen Dreiecke fehlt). Die europäische Geschichte der Trigonometrie beginnt mit der zunehmenden Beschäftigung mit der Astronomie gegen Ende des Mittelalters. Diese erforderte Kenntnisse der ebenen und sphärischen Geometrie, die aus griechischen, arabischen und indirekt auch aus indischen Quellen übernommen wurden. Die Vorteile, die die Anwendung der Trigonometrie in astronomischen (und nautischen)

Berechnungen erbrachte, ließen sie in der Renaissance an Bedeutung gewinnen. So erschien 1533 das erste eigenständige Lehrbuch der Trigonometrie von Regiomontanus (Johann Müller aus Königsberg in Franken). Bis Kopernikus war die Trigonometrie nur als Bestandteil der Astronomie aufgefasst worden. Die heutige Darstellung und Schreibweise der Trigonometrie wurde schließlich von Leonhard Euler (1707–1783) eingeführt.

Intention und Schwerpunkt des Kapitels Schwerpunkte des Kapitels sind Kenntnis der trigo nometrischen Beziehungen am rechtwinkligen Drei eck und deren Anwendung im Sinne von mathematischen Regeln. Sinus, Kosinus und Tangens werden in Lerneinheit 1 zunächst auf Grundlage der Ähnlichkeit anschaulich eingeführt und mit grundlegenden und operativen Übungen geläufig gemacht. Die Berechnung rechtwinkliger Dreiecke in Lerneinheit 2 wird in Lerneinheit 3 erweitert, in der durch die Einführung der besonderen trigonometrischen Werte Berechnungen an Dreiecken mit Variablen möglich werden. Bei der Berechnung allgemeiner Dreiecke in Lerneinheit 4 kommt die strategische Zerlegung rechtwinkliger Dreiecke zum Tragen, was in Lerneinheit 5 durch den Sinus und Kosinussatz formalisiert wird. Lerneinheit 6 vertieft die gelernten Zusammenhänge durch zunehmend komplexere Aufgaben in Ebene und Raum. Die Behandlung der Trigonometrie am Einheitskreis (Lerneinheit 7) führt direkt zu den trigonometrischen Funktionen und ihren Eigenschaften in den Lerneinheiten 8 und 9.

Bezug zum Lehrplan LeitideeZahl: Die Schülerinnen und Schüler können– trigonometrische Funktionen zeichnen und

Eigenschaften und Extremwerte ablesen.

Tipps und Anregungen für den Unterricht – Der Kapitelaufbau ist – bedingt durch seinen

systematischen Aufbau – hierarchisch und sollte in der vorgegebenen Reihenfolge behandelt werden. Lerneinheit 3BesondereWerte kann auch nach den Lerneinheiten 4, 5 oder 6 behandelt werden, da diese die besonderen Werte nicht voraussetzen. Der unterrichtliche Einsatz der Serviceblätter, die sich auf das Programm GEONExT beziehen (< Serviceblätter „Trigonometrie mit GEONExT“, Seite S 49, „Trigonometrie am Einheitskreis mit GEONExT (1) und (2)“, Seiten S 53 und



K 58 6 Trigonometrie

S 54, „Schaubild der Sinusfunktion mit GEONExT“, Seite S 55 und „Grundstücksvermessung“, Seite S 57), kann prinzipiell als Einzelarbeit erfolgen; bewährt hat sich aber auch der Einsatz in Partnerarbeit, bei dem eine Schülerin bzw. ein Schüler die Anleitung vorliest, während der bzw. die andere die Anweisung im Programm umsetzt.

– Bei der Lösung von Aufgaben in ebenen und räumlichen Kontexten stellt sich die Frage nach dem Umgang mit Zwischenergebnissen. Da die Anzahl der Speicherplätze der verwendeten Taschenrechner in der Regel begrenzt ist und für die teilweise hohe Anzahl zu speichernder Zwischenergebnisse nicht ausreicht, empfiehlt es sich, mit einer Nachkommaziffer mehr zu arbeiten, als im Endergebnis benötigt wird. Vgl. hierzu auch den Exemplarischen Kommentar TrigonometrieundTaschenrechner, Seite K 60.

Auftaktseite: Treppen

Exkurs Treppen

Treppen werden seit jeher in den unterschiedlichsten Formen und architektonischen Gestal tungen verwendet. Die Sicherheit, die Bequemlichkeit und die Funktionstüchtigkeit einer Trep pe kann durch so genannte Treppenformeln beschrieben werden. Die wichtigste dieser Formeln – die Schrittmaßregel 60 cm ≤ 2 s + a ≤ 66 cm (als Maß für einen Schritt beim Treppensteigen), bei der s die Stufenhöhe und a den Auftritt kennzeichnet – stammt im Original von François Blondel (1617–1686), der als Erster die Stufenmaße unter dem Kriterium der Bequemlichkeit erforschte. Weitere Treppenformeln sind die ebenfalls von Blondel entwickelte Sicherheitsregel (45 ≤ a + s ≤ 47) und die Bequemlichkeitsregel (a – s = 12). Alle drei Regeln werden gleichzeitig nur durch das physiologisch günstige Steigungsverhältnis 17/29 erfüllt. Weiterhin lassen sich die Treppenmaße auch noch durch Grenzwerte beschreiben, die durch Deutsche Industrienormen (DIN) festgelegt sind, die allerdings von Zeit zu Zeit an Veränderungen der durchschnittlichen Schrittlänge angepasst werden.

Die Beschäftigung mit der Thematik „Treppen“ stellt einen anschaulichen Einstieg in die Trigonometrie dar. Der Einstieg ist alltagsnah und ermöglicht handelnde Zugänge. Der Variantenreichtum der möglichen Treppen (und insbesondere auch die Unterscheidung für die Messung geeigneter

und ungeeigneter Treppen) sowie die bewusste Verwendung des nicht mathematisch belegten Begriffs „Steilheit“ ermöglichen eine sukzessive Begriffsbildung bei den Lernenden. Mathematisch verwertbarer Hintergrund der alltagsnahen Thematik ist der Quotient aus Stufenhöhe s und Auftritt a bzw. aus Treppenhöhe h und Treppenlänge l, der die Steigung der Treppe beschreibt. Der Begriff der „Steigung“ wird zunächst bewusst durch den Begriff der „Steilheit“ ersetzt, um zuerst ein inhaltliches Verständnis der zugrunde liegenden Thematik zu ermöglichen und diese nicht vorschnell mit einem durch Vorwissen beladenen Begriff zu versehen. Die Verknüpfung mit dem bekannten Begriff der Steigung erfolgt im Schülerbuch unter Hinzunahme der entsprechenden algebraischen Inhalte auf Seite 149. Die beiden Quotienten, aus denen sich jeweils der gleiche Wert für die Steilheit einer Treppe bestimmen lässt, sind durch die zugrunde liegenden ähnlichen Dreiecke begründet. Die aus Klasse 9 bekannte Ähnlichkeit, auf der die Trigonometrie aufbaut, kann an dieser Stelle bewusst im Sinne des Spiralprinzips und des kumulativen Lernens wieder aufgegriffen und durch folgende Skizze visualisiert werden:

h

s

a ø

·k

·k

Die Seitenlängen der beiden ähnlichen Dreiecke sind jeweils um den Faktor k vergrößert. Daraus lässt sich auch die Konstanz der Seitenverhältnisse folgern. Aus k = h _

s und k = l _ a wird h _

s = l _ a s _

a = h _ l

gefolgert, oder direkt durch Anwendung des zweiten Strahlensatzes gewonnen. Beide Quotienten eignen sich zur praktischen Bestimmung der Steilheit einer Treppe. Allerdings ist bei der Bestimmung mittels der Gesamtlänge der Treppe darauf zu achten, dass die Länge des Auftritts mit der Anzahl der Stufen multipliziert wird. Verwendet man stattdessen die Anzahl der Auftritte, sollte darauf geachtet werden, dass nur der unterste oder nur der oberste Auftritt mitgezählt wird.




Die dritte Möglichkeit der Steilheitsbestimmung wird in der dritten Frage durch die Rampe angeregt: Hierbei soll nun der Winkel bestimmt werden, um erstmalig die Verknüpfung von Winkelmaß und Seitenverhältnis zu leisten. Die Messung kann praktisch erfolgen, indem ein Brett oder ein Lineal so auf die Treppe gelegt wird, dass die Steigung nachempfunden wird. Der Winkel kann dann mit einem Geodreieck abgelesen werden.

Die Gegenüberstellung von Seitenverhältnis und Winkel führt zu der Erkenntnis, dass beide Werte geeignet sind, die Steilheit einer Treppe anzugeben, und dass beide voneinander abhängen. Bereits die Auftaktthematik ermöglicht sowohl das Zusammenspiel aller Darstellungsebenen (enaktiv, ikonisch und symbolisch – wobei der Abstraktionsgrad der symbolischen Repräsentationsebene noch nicht zu hoch sein darf, also eher anschaulich mit der Thematik umgegangen werden sollte) als auch die Verknüpfung der mathematischen Themen: Winkelmessung, Verhältnisbestimmung und Ähnlichkeit und bildet so eine adäquate Grundlage für die Einführung der Trigonometrie.

„Bewegung dokumentieren“ Der Zugang auf der rechten Seite stellt den Zusammenhang zwischen der Natur und der Eigenschaft der Periodizität der trigonometrischen Figuren her. Die Hauptaufgabe liegt hierbei im Verständnis der Entstehung des Gesamtbildes.

Messen oder rechnen? Die Aufgabe stellt den Zusammenhang zwischen Winkel und Seitenverhältnis her. Die Seitenverhältnisse bzw. die dadurch ausgedrückten Steilheiten der Hypotenusen in den rechtwinkligen Dreiecken lassen qualitative Rückschlüsse auf die Größe der beteiligten Winkel zu: Je größer das Seitenverhältnis bzw. die Steilheit, desto größer ist auch der entsprechende Winkel.

1 Sinus. Kosinus. Tangens.

Intention der Lerneinheit– Die Abhängigkeit der Seitenverhältnisse im

rechtwinkligen Dreieck allein vom Winkel bzw. die Konstanz der Seitenverhältnisse in ähnlichen rechtwinkligen Dreiecken erfassen.

– Die Begriffe Sinus, Kosinus und Tangens als Bezeichnungen der Seitenverhältnisse in rechtwinkligen Dreiecken kennen lernen.

– Die Seitenverhältnisse in rechtwinkligen Dreiecken bestimmen bzw. berechnen können.

– Die TaschenrechnerEingabefolge zur Berechnung von Winkeln kennen lernen.

– Ikonische und symbolische Darstellungen miteinander verknüpfen können.

– Gleichwertige Seitenverhältnisse zur Bestimmung von Sinus, Kosinus und Tangens eines Winkels in zerlegten rechtwinkligen Dreiecken finden.

– Erste Einblicke in trigonometrische Gesetzmäßigkeiten (zum Beispiel: sin a = cos b) erhalten.

EinstiegsaufgabeÜber den zweiten Strahlensatz können wertgleiche Seitenverhältnisse erstellt werden, die lediglich vom angegebenen Winkel (36°) abhängig sind. Die Aufgabe bietet dadurch den direkten Zugang zum Tangens.

Alternativer Einstieg Mit dem < Serviceblatt „Trigonometrie mit GEONExT“, Seite S 49, ist ein dynamischer Einstieg in die Trigonometrie möglich, bei dem ebenfalls die Konstanz der Seitenverhältnisse an ähnlichen rechtwinkligen Dreiecken handelnd erfahren werden kann. Daraus lassen sich die Definitionen von Sinus, Kosinus und Tangens ableiten. Das Serviceblatt kann aber auch ergänzend zur Einstiegsaufgabe eingesetzt werden.

Tipps und Anregungen für den Unterricht – Zu Beginn der Lerneinheit sollte darauf geachtet

werden, dass die zu lernenden bzw. die zu wiederholenden Begriffe (Hypotenuse, Ankathete, Gegenkathete, Sinus, Kosinus, Tangens) möglichst anschaulich mithilfe der Seitenverhältnisse eingeführt und gesichert werden. Aus diesem Grund ist der anschauliche Einstieg über die Einstiegsaufgabe bzw. die Auftaktseite hilfreich und motivierend. Im weiteren Verlauf des Unterrichts sollte dieser grundlegende Zusammenhang der Seitenverhältnisse immer wieder thematisiert werden und nicht zu schnell zu einer rein formalen Notation allein mit den Seitenbezeichnungen übergegangen werden. Eine zunehmende Va




riation der Lage der Dreiecke und der Bezeichnungen der Seiten sorgt für eine wachsende Geläufigkeit und die Beispielunabhängigkeit der entsprechenden Regeln. Die Geläufigkeit der zugrunde liegenden Begriffe und Regeln kann zusätzlich durch das entsprechende < Serviceblatt „Tandembogen – Trigonometrie“, Seite S 50, gefördert werden.

– Aufgrund der für Schülerinnen und Schüler nicht unbedingt naheliegenden Syntax bereitet die Taschenrechnereingabe im weiteren Verlauf der Trigonometrie manchmal Schwierigkeiten – insbesondere das Drücken des Gleichheitszeichens, bevor ein Rechenergebnis weiter verwendet werden kann. Hier ist es hilfreich, wenn beispielhafte Rechnungen mit den konkreten Taschenrechnereingaben exemplarisch notiert und festgehalten werden. Vergleiche hierzu auch den Exemplarischen Kommentar: TrigonometrieundTaschenrechner, Seite K 60.

Aufgabenkommentare

Der folgenden Klassifikation liegt der Exemplarische Kommentar: Aufgaben,diedasVerständnisfördern, Seite K 5, Schnittpunkt Serviceband 9, zugrunde.Grundaufgaben: A 1; 2; 3; 5Operative Übungen: A 4; 6; 7; Randspalte

1 Die Grundaufgabe trainiert die Bestimmung der trigonometrischen Funktionswerte über die Berechnung der entsprechenden Seitenverhältnisse. Die Gleichheit von sin a und cos b bzw. von cos a und sin b ist bereits beobachtbar, wird aber hier noch nicht thematisiert.

3 Bei dieser Aufgabe werden trigonometrische Berechnungen unter der Leitidee funktionalerZu-sammenhang betrachtet. Durch Variation der Daten können folgende neue Erkenntnisse gewonnen werden:– Es besteht kein linearer Zusammenhang zwi

schen a und sin a, cos a bzw. tan a.– Im vorgegebenen Intervall sind die Werte von

sin a und cos a genau gegenläufig.– Der Zusammenhang sin a = cos b kann hier für

b = 90° – a aufgrund der Winkelsumme im rechtwinkligen Dreieck entdeckt werden. Diese Beziehungen, die hier lediglich an exemplarischen Beispielen entdeckt werden, können später am Einheitskreis und mithilfe der Schaubilder der trigonometrischen Funktionen bestätigt bzw. vertieft werden.

– Die Werte von sin a und cos b bewegen sich – im Gegensatz zu den Tangenswerten – in einem

bestimmten Intervall (zwischen 0 und 1). Diese Beobachtung kann ggf. durch Erweiterung oder Verfeinerung des Intervalls noch vertieft werden.

– Die Tangenswerte steigen bei der Annäherung an 90° sehr stark an.

Diese Beobachtungen, die erst beim Überschreiten des betrachteten Intervalls [0°, 90°] ihren vollen Sinn ergeben, können an dieser Stelle als erste fragmentarische Erfahrungen mit den trigonometrischen Funktionen stehen bleiben. Wie intensiv hier bereits funktionale Zusammenhänge thematisiert werden, bleibt der Lehrerin bzw. dem Lehrer überlassen. Allerdings sollte der nicht lineare Zusammenhang zwischen Winkel und Sinus (bzw. Kosinus und Tangens) deutlich herausgestellt werden, um der Anwendung falscher Muster (z. B.: sin 60° = 2 · sin 30°) vorzubeugen.

6, 7 und RandspalteBei diesen operativen Aufgaben kommt der Aspekt der Assoziativität zum Tragen (vgl. hierzu den Exemplarischen Kommentar: Aufgaben,diedasVer-ständnisfördern, Schnittpunkt Serviceband 9, Seite K 5). Alternative Wege zur gleichen Lösung sollten bewusst beschritten und reflektiert werden.

Exemplarischer KommentarTrigonometrie und Taschenrechner

Der Einsatz des Taschenrechners spielt in der Trigonometrie eine große Rolle, bei der folgende Aspekte zu berücksichtigen sind:– Eingabesyntax und Schülerschwierigkeiten:

Insbesondere der Fall, bei dem der Winkel aus dem Seitenverhältnis berechnet wird, kann Probleme aufwerfen, da von den Schülerinnen und Schülern oftmals nicht erkannt wird, dass hier letztlich eine Gleichung gelöst wird. Daher sollte die genaue Tastenfolge bei der Berechnung mit dem Taschenrechner im Unterricht thematisiert und anhand eines Beispiels exemplarisch festgehalten werden.

– Genauigkeit von Zwischenergebnissen: Idealerweise erfolgt die weitere Verarbeitung von Zwischenergebnissen anhand gespeicherter Zwischenwerte. Da allerdings die im weiteren Verlauf der Unterrichtseinheit zunehmende Anzahl benötigter Zwischenergebnisse die begrenzte Anzahl der Speicherplätze bei den üblichen Schülertaschenrechnern schnell übersteigt, wird bald eine zusätzliche Strategie nötig. Diese erfordert, dass vorausschauend erkannt wird, welche Werte weiter verwendet werden und daher gespeichert werden müssen. Zusätzlich empfiehlt es sich, beispielsweise mit Bleistift hinter den schrift




lich notierten gerundeten Zwischenwerten die Speicherbelegung für die Weiterverwendung des exakten Wertes zu notieren. Da die Ansprüche an die Schülerinnen und Schüler insbesondere bei langwierigen Übungsaufgaben und auch in Überprüfungen diesbezüglich recht hoch sind, empfiehlt es sich, in Zwischenergebnissen mit einer Nachkommaziffer mehr zu arbeiten, als im Endergebnis. Vergleiche hierzu den Exemplarischen Kommentar SinnvollRunden, Schnittpunkt, Serviceband 9, Seite K 19.

RandspalteDer Nachweis der Gleichheit von e und b kann auf drei Wegen erbracht werden:– Logisches Schließen: Der Winkel a ist beiden be

trachteten Dreiecken gemeinsam. Da beide Dreiecke zusätzlich einen rechten Winkel besitzen, müssen e und b gleich groß sein.

– Argumentation über die Ähnlichkeit der beiden betrachteten Dreiecke

– formale Anwendung der Winkelsumme (e = 180° – 90° – a = 90° – a und analog b = 90° – a)

2 Rechtwinklige Dreiecke berechnen

Intention der Lerneinheit– Fehlende Seiten und Winkel in rechtwinkligen

Dreiecken berechnen.– Trigonometrische Beziehungen, den Satz des

Pythagoras und die Winkelsumme im Dreieck zielgerichtet bei Berechnungen anwenden und kombinieren.

– Trigonometrische Beziehungen zur Lösung von Anwendungs und Modellierungsaufgaben verwenden.

EinstiegsaufgabeDie Einstiegsaufgabe thematisiert den historischen Ansatz, mit dem Aristarch von Samos die Entfernung der Sonne von der Erde bestimmt hat. Die Einstiegsaufgabe macht auf anschauliche Weise deutlich, wie trigonometrische Beziehungen zur Berechnung rechtwinkliger Dreiecke verwendet werden, wenn wichtige Größen unbekannt oder nicht zugänglich sind. Zugleich leistet die Einstiegsaufgabe einen Einblick in die Geschichte der Trigonometrie (vgl. hierzu auch den nebenstehenden Exkurs).

Exkurs Aristarch von Samos

Aristarch von Samos (320–250 v. Chr.), der auf der Insel Samos geboren wurde, gelang es, die relativen Entfernungen der Sonne und des Mondes von der Erde zu bestimmen – dies findet man in seiner in einigen griechischen Handschriften überlieferten Abhandlung „Über die Größen und Entfernungen der Sonne und des Mondes“. Aristarch vertrat bereits im 3. Jahrhundert vor Christus das heliozentrische Weltbild, das damals noch im Widerspruch zur Mehrheitsmeinung der Fachleute stand. Aristarch beschreibt in seinem Werk einige überraschende Beobachtungen, Hypothesen und Schlussfolgerungen, von denen einige, die zum vertieften Verständnis der Einstiegsaufgabe dienen, an dieser Stelle erwähnt werden sollen: – Da die Sonne größer ist als der Mond, ist der

Kreis, der den beleuchteten vom unbeleuchteten Teil des Mondes trennt, kein Großkreis: Mond und Kreis haben keinen gemeinsamen Mittelpunkt (s. Abbildung). Aufgrund der großen Entfernung zwischen Sonne und Mond sind die Randstrahlen aber nahezu parallel, sodass die Abweichung gering ist.

Mond

Sonne

– Die von Aristarch beschriebene Konstellation ermöglicht die Feststellung des rechten Winkels beim Mond. Dies ist aus der Tatsache zu folgern, dass die Sonnenstrahlen senkrecht auf der Schnittebene durch den Mond stehen und dass diese Ebene bei Halbmond genau auf den Beobachter weist (s. Abbildung). E

87°

90°3°

SM

– Der von Aristarch mit einer Größe von 87° (oder wie er es beschreibt „um ein Dreißigstel eines Viertelkreises kleiner als ein Viertelkreis“) gemessene Winkel weicht vom heute bekannten Wert von 89,51° zwar auf den ersten Blick nur geringfügig ab, führt aber bei der Bestimmung der gesuchten Entfernung zu einer Abweichung um den Faktor 20.




Für vertiefte Informationen und unterricht liche Anregungen vergleiche Jahnke, H. N.: Sonne, Mond, Erde In: mathematik lehren, Heft 91, Seiten 20–22 und 47–48, Erhard Friedrich Verlag, Seelze.

Tipps und Anregungen für den Unterricht Bei den trigonometrischen Berechnungen in Klassenstufe 10 sollte grundsätzlich ein variabler und zielgerichteter Einsatz der den Schülerinnen und Schülern geläufigen mathematischen Werkzeuge (Trigonometrische Beziehungen, Satz des Pytha goras, Winkelbeziehungen, Symmetrieeigenschaften, …) angestrebt werden. Auch wenn zu Beginn der Unterrichtseinheit der Schwerpunkt auf den neu gelernten trigonometrischen Beziehungen liegt, sollten geeignete kompositorische Aufgaben (z. B. Aufgaben 5 bis 7) dazu genutzt werden, die Beweglichkeit des mathematischen Denkens zu schulen (vgl. hierzu den Exemplarischen Kommentar: Aufgaben,diedasVerständ-nisfördern, Schnittpunkt, Serviceband 9, Seite K 5). Grundsätzlich sollten immer wieder exemplarisch andere Lösungswege und möglichkeiten thematisiert werden, auch wenn die Aufgabe bereits gelöst wurde. Die nachträgliche Betrachtung und Reflexion des Lösungswegs und der zugrunde liegenden Strategie fördert die Problemlösefähigkeit der Schülerinnen und Schüler.Die sich möglicherweise durch den Lehrtext aufwerfende Frage, warum ausgerechnet Dreiecke mit diesen Angaben vollständig berechenbar sind, also welche Dreiecke eindeutig bestimmt sind, lässt sich bei Bedarf mit einem Rückgriff auf die Kongruenzsätze beantworten. Da jeweils der rechte Winkel gegeben ist, kommen die Kongruenzsätze WSW, SWS oder SSW zum Tragen. Andere Dreiecke (mit mehr oder weniger Angaben) sind entweder unter oder überbestimmt. Mit dem Übergang von Grundaufgaben zu operativen Übungen und Anwendungsaufgaben kommt der Identifikation rechtwinkliger Dreiecke und Teildreiecke eine größere Bedeutung zu (vgl. hierzu die folgende Lerneinheit). Es empfiehlt sich, eine geeignete (Teil)Skizze anzufertigen, bei der die gegebenen Größen farbig markiert werden. Bei Aufgaben, bei denen Größen als Zwischenschritte berechnet werden müssen, ist es sinnvoll, diese ebenfalls mit einer (ggf. anderen) Farbe zu markieren.

Aufgabenkommentare

Der folgenden Klassifikation liegt der Exemplarische Kommentar: Aufgaben,diedasVerständnisfördern, Seite K 5, Schnittpunkt Serviceband 9, zugrunde.Grundaufgaben: A 1; 2; 3; 4Operative Übungen: A 5; 8; 9Kumulative Aufgaben: A 6; 10; 11; 12; 13Anwendungsaufgaben: A 7; 14; 15; 16; 17; 18

1 bis 4 Bei allen Teilaufgaben dieser Grundaufgaben sind jeweils drei Rechenschritte nötig. Prinzipiell können alle Berechnungen mithilfe der trigonometrischen Beziehungen erfolgen, allerdings kann die Berechnung des dritten Winkels auch über die Winkelsumme, die Berechnung der dritten Dreiecksseite auch über den Satz des Pythagoras erfolgen. Bei den Aufgaben 3 und 4 empfiehlt sich die Anfertigung einer Skizze bzw. die Betrachtung der Randskizze im Schülerbuch.

5 Soll diese operative (kompositorische) Aufgabe auf dem kürzesten Weg (mit jeweils vier Rechenschritten) gelöst werden, so erfordert sie den flexiblen und zielgerichteten Einsatz von Sinus und Kosinus sowie des Satzes des Pythagoras:a) b)

2,5 cm

Pyth

2,5 cm2,8 cm 2,8 cm

7,0 cm42,9° 42,9°

54,3° 54,3°

xx

5,7

cm

sin

Pyth Pyth

coscos

sin

Pyth

6 Bei gründlicher Analyse der Ausgangsfigur oder bei Rückgriff auf die Randspalte von Seite 145 ergeben sich folgende Beziehungen, die die Lösung der Aufgabe vereinfachen:a = c1; b = c2; c = q + p; die Dreiecke ABC, ADC und DBC sind ähnlich.Bei Aufgaben diesen Typs sollte der Blick für die Teildreiecke und das gesamte Dreieck geschärft werden: In welchem Dreieck wird gerade gerechnet? Welche Größen gelten für mehrere Dreiecke? Welche Größen stehen miteinander in Beziehung (Winkelsumme, Ergänzungswinkel, Teilstrecken, …)?Kumulativ können aber auch der Kathetensatz, der Höhensatz und der Satz des Pythagoras, wie auch die Winkelsumme im Dreieck verwendet werden.




8 Die Lösung der Aufgabe kann in sieben Schritten erfolgen:1. Berechnung von b mit der Winkelsumme im

Dreieck ABC2. Berechnung von a mit cos b3. Berechnung von e mit dem Satz des Pythagoras

oder einer trigonometrischen Beziehung4. Berechnung von b mit sin a5. Berechnung von f mit cos a6. Berechnung von d mit sin a7. Berechnung von c = g + fDer zur Lösung der Aufgabe nicht zwingend erforderliche Rückgriff auf die Ähnlichkeit der Dreiecke ermöglicht ein schnelles Angeben aller Winkel und damit die Verwendung weiterer trigonometrischer Beziehungen in den Teildreiecken.

9 Die Lösung dieser etwas komplexeren operativen Aufgabe erfordert zunächst die Erkenntnis, dass der Winkel a im Dreieck BCE bei B wieder auftritt. Anschließend können die gesuchten Strecken in drei Teilschritten berechnet werden:1. Berechnung von a im Dreieck BCE2. Berechnung von

_

BF im Dreieck BCF3. Berechnung von

_

AE im Dreieck ABEZur Orientierung der Schülerinnen und Schüler kann die explizite Bezeichnung der Teildreiecke, in denen gerechnet wird, hilfreich sein.

10 Durch die Verwendung von Variablen wird diese Aufgabe (wie auch Aufgabe 11) kumulativ, da zur Lösung der Umgang mit Gleichungen erforderlich ist. Die Schwierigkeiten, die der formale Umgang mit dem Ausdruck tan 27,9° in der Gleichung verursacht, können umgangen werden, indem der Ausdruck frühzeitig berechnet und als Dezimalzahl weiter verwendet wird. Allerdings führt das frühzeitige Verwenden von konkreten Zahlenwerten in der Gleichung zu Ungenauigkeiten im Endergebnis.

11 a) Zur Lösung dieser kumulativen Aufgabe können für jedes vorhandene Dreieck nach Ergänzung der fehlenden Winkel zwei Gleichungen aufgestellt werden:Dreieck ABC: sin 35° =

y _ x oder cos 55° =

y _ x

Dreieck BDC: sin 55° = y _ y + 1 oder cos 35° =

y _ y + 1

Dreieck ABD: tan 35° = y + 1

_ x oder tan 55° = x

_ y + 1

Mithilfe einer Gleichung aus dem Dreieck BDC kann y berechnet werden und x im Anschluss durch Einsetzen in eine weitere Gleichung bestimmt werden. Alternativ können Gleichungen aus verschiedenen Dreiecken paarweise kombiniert und mit den entsprechenden Verfahren als lineares Gleichungssystem gelöst werden. Die Lösung von Teilaufgabe b) erfolgt analog.

Vorsicht Steigung!

Das Schaufenster greift den Inhalt der Auftaktseite auf und klärt den Begriff der Steigung präzise. Die Steigung kann aufgrund der beiden Definitionen einerseits als Winkelangabe und andererseits als Zahlenwert (durch die Berechnung des Verhältnisses von Höhendifferenz zum horizontal gemessenen Weg) angegeben werden. Die alltägliche Angabe als Prozentwert erhält man durch Multiplikation des Quotienten mit 100. Die folgenden Aufgaben ermöglichen eine vertiefte Behandlung des Begriffes der Steigung und der zugrunde liegenden mathematischen Inhalte:

Die durch die Prozentzahl angegebene Steigung stimmt mit der durch das schwarze Dreieck dargestellten Steigung nicht überein – bzw. die symbolisierte Steigung wird trotz variabler Prozentangaben nicht angepasst. Außerdem wird – bedingt durch die Form des Verkehrsschildes – nur ein Teil des Steigungsdreiecks gezeigt, bei dem der rechte Winkel anders platziert ist. Dies sollte zur Vermeidung von Missverständnissen thematisiert werden. Hierbei ist auf die genaue Definition der Steigung und die Verwendung der korrekten Skizze zu achten.

Die hier vorgenommene Variation der gleichbedeutenden Steigungsangaben je nach zugrunde liegender Definition ist für die Flexibilität des Definitionsgebrauchs und der Überführbarkeit einer Darstellung in eine andere gleichwertige Darstellung bedeutsam.

In dieser Aufgabe werden funktionale Aspekte des Tangens erforscht (vgl. hierzu auch Aufgabe 3 auf Seite 145 im Schülerbuch).

Die Abgrenzung der Tangensfunktion von proportionalen Funktionen ist bedeutsam, da für kleine Winkel der Schluss auf eine proportionale Funktion aufgrund von Rundungseffekten zunächst naheliegt (vgl. hierzu die in Aufgabe 3 auf Seite 145 berechneten Tangens werte für 10° und 20°).

Bei der Steigungsermittlung anhand einer Landkarte ist eine geeignete Modellierung vorzunehmen. Die Frage, ob die gegebene Kurvenstrecke durch eine direkte Verbindung der beiden Punkte angenähert werden darf, kann mithilfe einer Vergleichsmessung (z. B. auf großen Kopien) überprüft und für diesen konkreten Fall bejaht




werden. Wird die Grafik aus dem Buch zugrunde gelegt, so ist der Einfluss der Messungenauigkeit größer als der einer Modellierung durch einen geradlinigen Streckenzug. Für die Teilstrecken ergeben sich folgende Messwerte:

_

AB = 5,7 cm; _

BC = 4,1 cm; _

CA = 2,2 cm. Der vorgegebene Maßstab erlaubt die Umwandlung von cm in km ohne Umrechnung (1 cm entspricht 1 km). Die durchschnittliche Steigung der Rundfahrt lässt sich unmittelbar ohne Berechnung mit 0 % angeben, da Start und Ziel auf der gleichen Höhe liegen. Beim Versuch, dies mit einer Rechnung zu bestimmen, muss das gewichtete Mittel der Steigung gebildet werden (Gefälle sind hierbei mit negativen Zahlen anzugeben): 5,7 · 12,5 % – 4,1 · 9,5 % – 2,2 · 14,6 % = 0,2 %. Die Abweichung vom erwarteten Wert 0 % ist auf Mess ungenauigkeiten und gerundete Angaben zurückzuführen und bedarf einer entsprechenden Interpretation.

12 und 13 Die beiden kumulativen Aufgaben verknüpfen die Trigonometrie mit linearen Funktionen und leisten somit einen spezifischen Beitrag zum Erwerb der beiden komplementären inhaltsbezogenen Kompetenzen:– geometrische Zusammenhänge mit algebrai

schen Methoden untersuchen– algebraische Probleme geometrisch umsetzen,

interpretieren und anschaulich lösen.Die Angabe der Steigung kann auf zwei Wegen erfolgen:1. Formal mithilfe der ZweiPunkteForm:

m = y2 – y1

_ x2 – x1 = tan a

y

x

O

P2 (x2 | y2)

P1 (x1 | y1)

x2 – x1

y2 – y1

a

a

An dieser Stelle kann durch Rückgriff auf Seite 11 im Schülerbuch eine entsprechende Wiederholung stattfinden.

2. Durch direktes Ablesen der Strecke anhand eines geeigneten Steigungsdreiecks und Bildung des Quotienten (vgl. Tipp auf der Randspalte).

Die für Schülerinnen und Schüler neuen negativen Winkelangaben lassen sich mit der nachfolgenden Skizze erklären. Dabei kann bei vertiefter Betrachtung zusätzlich ein weiterer Einblick in die Periodizität der Tangensfunktion gewonnen werden.

pos. Winkel: a + 180°

neg. Winkel: a

14 Diese Aufgabe mit Modellierungscharakter sollte mithilfe einer Skizze gelöst werden. Die Angabe der gefahrenen Kilometer (also der Hypotenuse im entsprechenden Dreieck) erfordert entweder die Berechnung über den Sinus des Steigungswinkels oder die Ermittlung der horizontalen Strecke (4856,7 m) mit dem Satz des Pythagoras. Der Fehler, die Hypotenusenangabe zur Berechnung des Winkels mit der Steigungsdefinition über den Tangens zu verwenden, kann nur erkannt werden, wenn von den Schülerinnen und Schülern bei der Angabe des gerundeten Winkelergebnisses mehr als eine Nachkommastelle gefordert wird. Teilaufgabe b) macht ggf. auf den Fehler aufmerksam, während Teilaufgabe c) die Reflexion der zugrunde gelegten Modellierung anregt.

RandspalteDie Randspalte thematisiert einen nicht seltenen Verständnisfehler. Die einer Steigungsangabe von 100 % zugrunde liegende Steigung kann formal über die Definition der Steigung (100 % = 1 aus m = 1 folgt a = 45°) oder durch Veranschaulichung mit einem (hier gleichschenkligrechtwinkligen) Steigungsdreieck gewonnen werden. Die Erweiterung der Fragestellung auf die (unendlich große) Steigung einer senkrecht nach oben verlaufenden Klippe kann wiederum einen vertieften Einblick in die Tangensfunktion ermöglichen. Hierbei empfiehlt sich die Annäherung an tan 90° in immer kleineren Teilschritten.

15 Die Berechnung der Flussbreite erfolgt mithilfe von tan 25° und liefert für den Rhein an der abgebildeten Stelle eine Breite von 56 m. Die Übertragung derselben Strategie auf den Amazonas ist problematisch, da der gleiche Peilungswinkel eine Kathetenlänge von über 10 km entlang eines möglichst geraden (!) Uferstücks erfordern würde, während eine vergleichbare Kathetenlänge von 120 m am Amazonas zu einem Peilungswinkel von 88,6° führen würde. Dies hätte zur Folge, dass bereits Abweichungen von einigen Zehntelgrad zu Schwankungen und Abweichungen um bis zu 100 % bei der Flussbreite führen können, da bereits kleinste Win




keländerungen nahe 90° bei der Tangensfunktion zu großen Änderungen führen (vgl. hierzu auch die Einstiegsaufgabe in die Lerneinheit). Im Hinblick auf diese Problematik bietet die Aufgabe wiederum die Möglichkeit, zu einem vertieften Verständnis der Tangensfunktion zu gelangen. In Teilaufgabe b) ist nicht näher spezifiziert, ob mit 4800 km die tatsächliche Länge des Amazonas (also die Hypotenuse des Steigungsdreiecks) oder seine horizontal gemessene Länge gemeint ist – allerdings wirkt sich dies im Ergebnis nicht aus. Der errechnete Winkel von 0,0013° ist nicht vorstellbar und bedarf der Veranschaulichung des entsprechenden Gefälles (2,2 mm) bezogen auf 100 m.

16 Bei dieser Anwendungsaufgabe können in Teilaufgabe b) unterschiedlich komplexe Modellierungen zur Anwendung kommen, bei denen zunächst der Sachverhalt anhand einer Skizze dargestellt werden sollte:

20°

20°

20°

20°50 + y

160

– x

50 me

x

y50

1. Formal kann die Aufgabe gelöst werden, indem zwei Gleichungen für tan 20° aufgestellt werden:

tan 20° = x _ y und tan 20° = 160 – x

_ 50 + y

Um die Komplexität der durch die Gleichungen kumulativen Aufgabenstellung zu reduzieren, sollte der Tangens von 20° zu Beginn berechnet und das Gleichungssystem mit dem gerundeten Wert gelöst werden.

2. Vereinfacht wird die Aufgabe, wenn zum Lösungsansatz das graue Teildreieck herangezogen wird, und daran die Strecke e (e = 50 m · tan 20° = 18,2 m) berechnet wird. Die Entfernung der Fahrtlinie zum linken Ufer ist aufgrund der Symmetrie der entsprechenden Figur mit der Hälfte der verbleibenden Flussbreite anzugeben (70,9 m).

3. Ein enaktiver Zugang ist durch eine Erweiterung von Teilaufgabe c) möglich – zur maßstäblichen Konstruktion des Flusses auf einem Blatt Papier kann eine Auflagefolie mit dem Schiff und seiner Bugwelle im gleichen Maßstab erstellt werden. Durch Verschieben der Auflagefolie bis zum Erreichen der in der Aufgabe beschriebenen Konstellation kann das Ergebnis mit ausreichender Genauigkeit handelnd gefunden werden.


Anmerkung: Bei der Bugwelle handelt es sich nicht um ein mit dem Mach’schen Kegel bei Flugzeugen vergleichbares Phänomen. Der Öffnungswinkel des Mach’schen Kegels eines Flugzeugs ist abhängig von seiner Geschwindigkeit, außerdem addieren sich die zu verschiedenen Zeiten ausgesandten Wellenfronten auf der Begrenzungslinie des Kegels. Der Öffnungswinkel der Einhüllenden (Bugwelle) eines Schiffes beträgt unabhängig von dessen Geschwindigkeit immer ca. 2 · 20° – der Grund hierfür ist das Zusammenspiel von Interferenz und Dispersion. Die einzelnen Wellenfronten sind nicht phasengleich, was auf der Abbildung im Schülerbuch gut zu erkennen ist. (Quelle: Meschede, D.: Gerthsen Physik, Seite 197 ff., Springer, Berlin 2006)

18 Die Modellierungsaufgabe erfordert das allgemeine Bestimmen von Zusammenhängen zur Ermittlung der Teilhöhe e (bis zum Befestigungspunkt des Seils) und der Seillänge s. Hinzu kommt in Teilaufgabe c) das Abschätzen der Teilhöhe e im Vergleich zur Resthöhe des Turms oberhalb des Befestigungspunktes (etwa 2 : 1). Teilaufgabe d) regt die Reflexion der zugrunde liegenden Modellierung an – wenn der Mast und die Befestigung des Seils am Turm und am Boden nicht genau in der fotografierten Bildebene liegen, bleibt nur die Modellierung anhand von Vergleichsgegenständen bekannter Größe.

3 Besondere Werte

Intention der Lerneinheit– geometrische Zusammenhänge mit algebrai

schen Methoden untersuchen– besondere trigonometrische Werte an speziellen

Dreiecken kennen lernen und diese als Vereinfachung in wiederkehrenden Berechnungen und Situationen verwenden

– besondere Dreiecke erkennen und die gelernten Gesetzmäßigkeiten begründet und vorteilhaft anwenden

EinstiegsaufgabeDie Behandlung der Einstiegsaufgabe liefert im grünen Dreieck die Beziehungen sin a = 1 _

2 = cos b sowie sin b = 1 _

2 √

__ 3 = cos a und im gelben Dreieck

die Beziehungen sin a = 1 _ 2 √

__ 3 = cos b sowie

sin b = 1 _ 2 = cos a.

Die Erweiterung der Fragestellung nach den zugrunde liegenden Winkeln liefert durch deren Berechnung aus den Sinus bzw. Kosinuswerten die Identifikation des „halben gleichseitigen Dreiecks“.



Tipps und Anregungen für den Unterricht – Die Verwendung der besonderen Werte kann auf

drei Arten geschehen: formal, indem in die aufgestellte Gleichung für die entsprechenden trigonometrischen Funktionswerte (wie z. B. sin 45°) die besonderen Werte eingesetzt werden; anschaulich durch Identifikation und direkten Schluss auf zu berechnende Seiten in zu bearbeitenden Dreiecken (Hier ist besonders beim „halben gleichseitigen Dreieck“ Vorsicht geboten.) oder dynamisch im Sinne der Merkhilfe durch Multiplikation oder Division der gegebenen Seiten mit den entsprechenden Faktoren. Durch die vorteilhafte direkte Angabe der fehlenden Größen in den besonderen Dreiecken und durch entsprechende Übungen tritt die formale Anwendung der besonderen Werte in den Hintergrund.

– Der in dieser Lerneinheit bedeutsame Umgang mit Wurzeln (z. B. Verwendung von Wurzeln in Gleichungen bzw. Rationalmachen des Nenners durch Erweitern) muss ggf. an einem Beispiel erläutert werden (vgl. Randhinweis auf Seite 151 im Schülerbuch).

– Zur Vermeidung einer Übergeneralisierung bei der Verwendung der besonderen Werte können Gegenbeispiele (Aufgaben, denen keine besonderen Dreiecke zugrunde liegen) zum Einsatz kommen.

Aufgabenkommentare

Der folgenden Klassifikation liegt der Exemplarische Kommentar: Aufgaben,diedasVerständnisfördern, Seite K 5, Schnittpunkt Serviceband 9, zugrunde.Grundaufgaben: A 1Operative Übungen: A 2; 3; 4Kumulative Aufgaben: A 5; 6Problemstellungen – offene Aufgaben: A 7

2 Die operative Aufgabe dient der Automatisierung der Lösungsstrategie und können auf den drei oben beschriebenen Wegen gelöst werden. Die Berechnung von e bei gegebenem Umfang bzw. Flächeninhalt greift den Umgang mit Gleichungen und Äquivalenzumformungen auf.

3 Bei dieser operativen Aufgabe ist die Zerlegung der Flächen nicht gegeben bzw. die geschickte Zerlegung in besondere Dreiecke zunächst zu finden. Die entsprechenden Zerlegungen sollten begründet erfolgen. Dazu ist jeweils über die durch die Zerlegung entstehenden Winkel oder über die Seitenlängen und Seitenverhältnisse zu argumentieren, aber auch Symmetrieaspekte und die Winkelsumme – z. B. bei Teilaufgabe c) – sind zur Begründung nötig.

e

e

e

e

c

c

d

d

a

a b

b

30°

a)

c)

b)

d)

30°

60°

75°

60°

30°

120°

120°

150°

150°105°

105°

135°

e

e· √ __ 3

e· √ __

2

e· √

__

2

Durch den Einsatz einer abgewandelten Aufgabe (z. B. Änderung eines Winkels um 5° oder einer gegebenen Seitenlänge) kann im Unterricht die Übergeneralisierung durch unbegründete Zerlegung thematisiert und vermieden werden.

4 Die Zerlegung der Vierecke in „halbe gleichseitige Dreiecke“ und „halbe Quadrate“ ist durch die Diagonale e jeweils vorgegeben und muss somit lediglich erkannt und genutzt werden.

6 Zur Lösung der kumulativen Aufgabe ist die Identifikation des („halben“) gleichseitigen Dreiecks aufgrund zusätzlicher Informationen (regelmäßiges Sechseck bzw. Kreis) notwendig.

r s

s

ss

Wird zur Bearbeitung dieser Aufgabe eine Formelsammlung herangezogen, sollte berücksichtigt werden, dass die in Formelsammlungen verwendete Darstellung mit dem Umkreis des regelmäßigen Sechsecks und der (nur) dort gültigen Gleichheit von Radius und Sechsecksseite zu Fehlern beim Lösen der Aufgabe führen kann – dem sollte ggf. entgegengewirkt werden.

7 Die komplexe offene Aufgabe erfordert den flexiblen Einsatz von Kenntnissen der Trigonometrie und Lösungsstrategien. Durch die Frage nach dem




Anteil wird die Aufgabe kumulativ. Die Aufgabe erfordert zunächst die Bezeichnung der Quadratseite und die Bestimmung des Flächeninhalts des Quadrates. Anschließend sollte die Figur eingehend analysiert werden. Die Raute entsteht durch Überlappung der beiden kongruenten gleichseitigen Dreiecke. Die beiden kongruenten Restdreiecke sind gleichschenklig und aufgrund der Winkelgrößen jeweils in zwei „halbe gleichseitige Dreiecke“ zu zerlegen. Die Bestimmung der fehlenden Größen eines dieser Dreiecke ist der grundlegende Schritt für zwei mögliche Lösungswege:

sa

60°

60°

60°

60° 60°

60°

30°

60°a

a _ 3 · √__ 3

a _ 6 · √__ 3

a _ 2

1. Direkte Berechnung des Flächeninhalts der Raute: Die Raute wird in zwei gleichseitige Dreiecke zerlegt und die benötigte Seitenlänge eines dieser gleichseitigen Dreiecke durch Differenz

bildung 2 s = a – 2 · a _ 6 √

__ 3 = a 2 1 –

√

__ 3

_ 3 3 3 bestimmt.

2. Verwendung der Differenz der Flächeninhalte der abgebildeten Teilfiguren: Die Summe der Flä

cheninhalte der beiden gleichseitigen Dreiecke 2 jeweils a

2

_

4 √

__ 3 3 und der beiden Randdreiecke

2 jeweils a2

_

12 √

__ 3 3 ergibt nach Abzug der Quadrat

fläche (a2) genau den Flächeninhalt der Raute

mit a2 2  2 _ 3 √

__ 3 – 1 3 ≈ 0,155 a2 und somit ca. 15,5 %

der Quadratfläche.

Randspalte Die sich ergebenden Winkelwerte sind exakt. Ein Nachweis ist im Unterricht weder angebracht noch für die Schülerinnen und Schüler nachvollziehbar.

4 Allgemeine Dreiecke berechnen

Intention der Lerneinheit– fehlende Seiten und Winkel in allgemeinen Drei

ecken berechnen– allgemeine Dreiecke unter Berücksichtigung der

gegebenen Größen sinnvoll in rechtwinklige Dreiecke zerlegen

– trigonometrische Beziehungen, den Satz des Pythagoras und die Winkelsumme im Dreieck zielgerichtet bei Berechnungen anwenden und kombinieren

– Flächeninhalte von allgemeinen Dreiecken mithilfe trigonometrischer Beziehungen berechnen

– trigonometrische Beziehungen zur Lösung von Anwendungs und Modellierungsaufgaben verwenden

– Rechenwege übersichtlich darstellen

EinstiegsaufgabeDie Berechnung des Abstandes zum abgebildeten Schloss kann auf unterschiedlichen Wegen geschehen. Die Verwendung der Formulierung „günstige Stellen“ kann zu einer vertieften Reflexion der gewählten Strategien führen:– Der erste Fall führt, da ein rechtwinkliges Drei

eck gewählt wurde, zu einer Berechnung der fehlenden Kathete über den Tangens des gemessenen Winkels a. Die verwendete Strategie (Verwendung eines rechtwinkligen Dreiecks) stellt einen Rückgriff auf die in der vorangehenden Lerneinheit erworbenen Inhalte dar.

– Im zweiten Fall wird das gegebene Dreieck in zwei rechtwinklige Dreiecke zerlegt. Dies ist unproblematisch, da es sich um ein gleichschenkliges Dreieck handelt und somit durch die Zerlegung keine Informationen verloren gehen. Der Abstand kann mit tan a _

2 bestimmt werden.– Der dritte Fall zeigt ein beliebiges Dreieck, bei

dem sich die Lösung auf den ersten Blick nicht sofort erschließt, da nur der Winkel a und die Seite a des Dreiecks gegeben sind. Der Winkel c’ ist der Wechselwinkel zu c und mit der Winkelsumme kann dann auch b bestimmt werden. Für die Berechnung der Höhe ha muss eine weitere Seite des Dreiecks berechnet werden. Dazu wird das Dreieck z. B. durch die Höhe hb in zwei rechtwinklige Dreiecke zerlegt. Mit dem Sinus wird dann zunächst die Höhe hb, dann die Seite c berechnet. Der Abstand ha kann dann wiede rum mittels Sinus leicht errechnet werden. Der Rechenweg erscheint umständlich und bietet einen Denkanstoß, ob es nicht auch einfacher gelingen könnte, und arbeitet somit schon auf die Einführung des Sinus und Kosinussatzes auf Seite 155 des Schülerbuches hin.

Tipps und Anregungen für den Unterricht Mit zunehmend komplexer und umfangreicher werdenden Aufgaben nimmt die Notwendigkeit der Vorausplanung, der strategischen Überlegungen und der nachvollziehbaren Darstellung zu. Hierbei spielen folgende Überlegungen eine Rolle:




– Bei trigonometrischen Berechnungen gibt es oftmals mehrere Möglichkeiten, wie eine Aufgabe gelöst werden kann. Neben der Reihenfolge einiger Teilschritte können auch die zur Lösung gewählten mathematischen Werkzeuge (Trigonometrische Beziehungen, Winkelbeziehungen, Satz des Pythagoras, …) variiert werden. Dies er fordert zunächst eine Durchdringung der Aufgabe und die grundsätzliche Vorausplanung des Lösungsweges unter Berücksichtigung gegebener und gesuchter Größen (vgl. hierzu die beschriebenen Strategien im nachfolgenden Exemplarischen Kommentar).

– Die Thematik der Flächeninhaltsberechnung bei rechtwinkligen und allgemeinen Dreiecken wird in den < Serviceblättern „Flächenberechnung beim Dreieck“, Seite S 51, und „Flächenberechnung im Koordinatensystem“, Seite S 52, explizit thematisiert und vertieft.

Exemplarischer KommentarProblemlösen in der Geometrie

Komplexere Aufgaben bzw. Problemstellungen, die mithilfe trigonometrischer Beziehungen zu lösen sind, erfordern in der Regel mehrschrittige Lösungswege, bei denen zielgerichtet vorgegangen und das mathematische Repertoire geschickt eingesetzt werden muss. Im Unterricht kann der Aufbau der prozessbezogenen Kompetenz Problemlösen gezielt verfolgt werden. Im Folgenden werden einige hilfreiche Aspekte für den Geometrieunterricht der 10. Klasse aufgeführt:

1. Gezielter Rückgriff auf bekannte mathematische Inhalte (Wissensstruktur)

Zum Lösen von Aufgaben und Problemen in der Tri gonometrie kommt immer wieder das bereits gelernte mathematische Repertoire zum Einsatz – schwerpunktmäßig sind dies:– Eigenschaften von Strecken, Geraden und

Winkeln – Parallelität – Orthogonalität – spezielle Winkel an sich schneidenden Gera

den bzw. Strecken und deren Beziehungen untereinander (Scheitelwinkel, Nebenwinkel, Stufenwinkel, Wechselwinkel)

– Eigenschaften geometrischer Figuren – Eigenschaften besonderer Dreiecke und

Vierecke (Symmetrien, Winkelsumme, Winkel und Seitenbeziehungen, …)

– Eigenschaften besonderer Linien (Höhen, Diagonalen)

– Formeln

– Kongruenzsätze – Identifikation kongruenter Figuren und Teil

figuren – Berücksichtigung der Kongruenzsätze bei

der Frage nach der Berechenbarkeit von Drei ecken

– Ähnlichkeit und Strahlensätze – Satz des Pythagoras, Höhensatz, KathetensatzDer Einsatz dieser mathematischen Begriffe und Regeln sollte an geeigneten Stellen im Unterricht thematisiert werden, um die Verwendung in zukünftigen Situationen zu erleichtern.

2. Aufbau eines heuristischen Repertoires (heuristische Struktur)

Problemlösen kann gelernt werden – von großer Bedeutung beim Aufbau einer heuristischen Denkstruktur sind dabei heuristische Strategien, Prinzipien und Hilfsmittel, die anhand folgender Fragen vor und während des Problemlöseprozesses reflektiert werden können (nach Bruder, R.: „Lernen, geeignete Fragen zu stellen“, In: mathematik lehren, Sammelband Standards 2007, Seite 8, Erhard Friedrich Verlag, Seelze):– Worum geht es in der Aufgabe? (eigene Pro

blembeschreibung)– Wie lässt sich das Problem in meiner eigenen

Sprache formulieren?– Wie kann ich mithilfe bekannter Begriffe das

Problem verständlicher oder sogar einfacher formulieren?

– Wie lässt sich das Problem veranschaulichen oder anders darstellen? (heuristische Hilfsmittel: informative Figur, Tabelle, Gleichung)

– Habe ich ähnliche Probleme bereits gelöst? Wie? (Analogieprinzip)

– In welche Teilprobleme lässt sich das Problem zerlegen? (Zerlegungsprinzip)

– Auf welche bereits gelösten Probleme kann ich Teile des Problems zurückführen? (Rückführungsprinzip)

– Lässt sich die Problemstellung spezifizieren? (Reduktionsprinzip)

– Um welchen Aufgabentyp handelt es sich? Was lässt sich aus den gegebenen Angaben folgern? (Vorwärtsarbeiten)

– Was wird benötigt, um das Gesuchte ableiten zu können? (Rückwärtsarbeiten)

– Wie sieht mein weiteres Vorgehen aus?Auch die Reflexion nach der Problemlösung unterstützt den Aufbau der Problemlösestruktur – hier sind folgende Fragestellungen geeignet:– Was habe ich Neues gelernt?– Welche Wissenslücken habe ich erkannt?




– Welche Lösungsstrategien haben mir weitergeholfen?

– Welche neuen Vorgehensweisen konnte man an dem gelösten Problem erkennen?

– Welcher Lösungsweg eignete sich am besten für das Problem?

3. Beachtung strategischer HilfenFür die Lösung geometrischer Probleme lassen sich folgende Hilfen geben (vgl. hierzu auch: [http://www.matheonline.at/mathint/trig/i.html)]: – Betrachtung der Skizze – ggf. Anfertigen einer

Skizze oder Teilskizze und möglichst sinnvolle Bezeichnung aller wichtigen Größen

– Können Dreiecke gefunden werden, in denen die Verwendung der trigonometrischen Beziehungen oder des Satzes des Pythagoras möglich ist?

– Bevor mit der Rechnung begonnen wird, sollte überlegt werden, mit welcher Strategie das Ziel erreicht werden soll (es gibt oft mehrere Möglichkeiten).

– Führt ein Umweg zum Ziel (z. B. eine Zerlegung oder eine Ergänzung)?

– Wenn eine Zerlegung nötig ist, sollte so zerlegt werden, dass keine wichtigen Informationen verloren gehen (vgl. Schülerbuch, Seite 154, Randspalte).

– Zu beachten ist, dass die Bezeichnungen von Winkeln und Strecken in Anwendungsaufgaben von der gewohnten Bezeichnung abweichen können.

– Die zu einer Berechnung verwendete Beziehung sollte zuerst mit den entsprechenden Symbolen bzw. Variablen aufgeschrieben werden, bevor Zahlenwerte eingesetzt werden – das erleichtert eine eventuelle Fehlersuche. Die Verwendung einer tabellarischen Darstellung wird empfohlen (vgl. Schülerbuch, Seite 153).

– Zwischenergebnisse sollten nicht zu grob gerundet werden. Hier empfiehlt sich die Verwendung des Taschenrechnerspeichers.

– Hilft die Arbeit mit einer DGS oder mit einer Tabellenkalkulation bei der systematischen Untersuchung des Problems weiter?

Für manche Schülerinnen und Schüler kann es eine Hilfe sein, ein Problemlöseheft zu führen, in dem exemplarisch einzelne strategische und inhaltsorientierte Hilfen sowie Erfahrungen mit der Heuristik festgehalten werden.Vergleiche auch den Exemplarischen Kommentar: ProblemorientierterMathematikunterricht, Schnittpunkt Serviceband 7, Seite K 44.

Aufgabenkommentare

Der folgenden Klassifikation liegt der Exemplarische Kommentar: Aufgaben,diedasVerständnisfördern, Seite K 5, Schnittpunkt Serviceband 9, zugrunde.

Grundaufgaben: A 1; 2; 3; 4Operative Übungen: A 5Anwendungsaufgaben: A 6; 7; 8

1 bis 3 Die Grundaufgaben erfordern ein Zerlegen des gegebenen Dreiecks in zwei rechtwinklige Dreiecke – dieses Zerlegen geschieht mithilfe der vorher erlernten Strategie (vgl. Tipp am Rand). Eine exemplarische Reflexion des Lösungswegs im Hinblick auf die zugrunde liegende Strategie und die Abgrenzung zu falschen Lösungswegen (aufgrund ungünstiger Zerlegungen) ist hilfreich im Hinblick auf die folgenden zum Teil operativen Übungen.

4 Durch die Angabe zweier Winkel wird die Grundaufgabe in Teilaufgabe c) operativ und dient der Regelabgrenzung: Der Flächeninhalt berechnet sich aus zwei Seitenlängen und dem eingeschlossenen Winkel.

5 Zur Lösung dieser operativen Aufgabe ist eine Skizze hilfreich. Bei Teilaufgabe 5 a) – d) kommen jeweils zwei mögliche Zerlegungen in Frage, die Konstellation bei Teilaufgabe e) erlaubt nur eine mögliche Zerlegung.

7 Die Anwendungsaufgabe kann kumulativ durch Rückgriff auf die Symmetrie des gleichschenkligen Dreiecks anschaulich gelöst werden. Alternativ kann die Aufgabe durch Verwendung der Flächeninhaltsformel gelöst werden, bei der das halbe Produkt der beiden gleich langen Dreiecksseiten mit dem Sinus des innen liegenden Winkels multipliziert wird.

8 Bei dieser Modellierungsaufgabe erfolgt die Berechnung der benötigten Farbmenge, indem der Flächeninhalt der Giebelwand bestimmt und anschließend durch 5 m2 geteilt wird. Die Bestimmung des Preises sollte nach dem Aufrunden auf den nächsten vollen Liter erfolgen.




5 Sinus- und Kosinussatz*

Intention der LerneinheitAuch wenn der Lehrplan die Verwendung des Sinus und Kosinussatzes nicht mehr explizit vorsieht, bieten beide dennoch einen nicht unerheb lichen Rechenvorteil bei der Berechnung allgemeiner Dreiecke.– Sinus und Kosinussatz als Hilfsmittel zur Berech

nung fehlender Seiten und Winkel in allgemeinen Dreiecken nutzen können.

– Sinus und Kosinussatz, Winkelbeziehungen sowie die Winkelsumme im Dreieck zielgerichtet bei den Berechnungen anwenden und kombinieren können.

– Sinus und Kosinussatz zur Lösung von Anwendungs und Modellierungsaufgaben verwenden.

– Rechenwege übersichtlich darstellen können.– Auf sinnvolle Genauigkeit achten.

EinstiegsaufgabeDie Berechnung der Entfernung zwischen Achtermann und Brocken kann, wie in der Lerneinheit 4 erlernt, durch Zerlegung des Dreiecks in zwei rechtwinklige Dreiecke mit den Winkeln a und b und der Höhe hc als Grundkante erfolgen. Dabei ist darauf zu achten, dass die Lernenden beide Berechnungsmöglichkeiten notieren, um so auf den Zusammenhang im Sinussatz zu stoßen.Der Beweis des Kosinussatzes ist ungleich komplizierter und erfordert mehr Hilfen durch die Lehrperson. Auch hier wird das Dreieck mithilfe der Höhe in zwei rechtwinklige Teildreiecke zerlegt. Es gibt jedoch nicht wie beim Sinussatz nur eine Unbekannte, nämlich hc , sondern auch noch eine zweite, den Winkel a. Die Höhe hc wird ebenfalls mithilfe des Satzes des Pythagoras durch b und x ausgedrückt, um so eine Unbekannte zu eliminieren. Die Unbekannte x wird erst in einem neuen Schritt mithilfe des Kosinus dargestellt und in die entsprechende Gleichung eingesetzt.

Aufgabenkommentare

Der folgenden Klassifikation liegt der Exemplarische Kommentar: Aufgaben,diedasVerständnisfördern, Seite K 5, Schnittpunkt Serviceband 9, zugrunde.Grundaufgaben: A 1; 2; 5Operative Übungen: A 3; 4; 7; 8Kumulative Aufgaben: A 9; 11; 12Anwendungsaufgaben: A 6; 10; 13; 14

1 Diese Grundaufgabe lässt sich mit wenigen Umformungsschritten lösen. Die Berechnung des fehlenden Winkels kann mithilfe der Winkelsumme

im Dreieck, aber auch, wenn auch ungleich komplizierter, mit dem Sinussatz erfolgen.

3 Die Aufgabe ist mithilfe des Sinussatzes und der Winkelsumme im Dreieck leicht zu lösen. Es empfiehlt sich, beim Ansatz darauf zu achten, dass möglichst wenig selbst errechnete Werte benutzt werden, da es sonst zu geringen Abweichungen im Ergebnis kommen kann.

4 Mithilfe des Sinussatzes lässt sich leicht der fehlende Teilwinkel a in Punkt A berechnen. Den Winkel b erhält man mittels der Winkelsumme im Dreieck. Die Länge der Strecke

_

AC kann wahlweise mit Sinus oder Kosinussatz bestimmt werden. Auch der Winkel d im Punkt D ist einfach über die Winkelsumme zu errechnen. Die verbleibenden Strecken lassen sich dann erst mit Sinussatz und anschließend mit dem Sinus oder Kosinussatz berechnen. Bei der Nutzung des Kosinussatzes sollte darauf geachtet werden, dass er so aufgestellt wird, dass möglichst wenig, besser keine Umformungen nötig sind.

6 Die Seitenkanten des Dreiecks sind schnell mithilfe des Sinussatzes berechnet, auch die Giebelhöhe ist einfach mit Sinus, Kosinus oder Tangens zu bestimmen. Im letzten Teil der Aufgabe wird ein zur Berechnung von Flächen und Rauminhalten in Häusern durchaus realistisches Szenario beschrieben. Zur Lösung kann die Differenz des Gesamtvolumens und der beiden abgetrennten kleinen Dreiecksprismen bestimmt werden oder der nutzbare Raum selbst als Prisma aufgefasst werden, bei dem zunächst die aus Rechteck und Dreieck zusammengesetzte Grundfläche bestimmt wird.

7 Bei dieser operativen Übung ist es nötig, sich die fehlenden Winkel mithilfe der Winkelbeziehungen und der Winkelsumme im Dreieck zu verschaffen.

11 Die erste Teilaufgabe ist wieder einfach mit der Winkelsumme im Dreieck und dem Sinussatz zu lösen. Für Teilaufgabe b) gibt es mehrere Lösungsmöglichkeiten. Entweder man nutzt nur das Dreieck BCL oder das Dreieck ACL. Die Berechnung im Dreieck ACL ist jedoch deutlich aufwändiger, da außer den fehlenden Winkeln auch noch die Länge der Strecke

_

AL berechnet werden muss.

12 Diese Anwendungsaufgabe erfordert zunächst die Berechnung einer Höhe und der beiden fehlenden Dreieckseiten in der Grundfläche des Dreiecksprismas. Bei der Berechnung des Flächeninhaltes bleibt die Bodenfläche des Gewächshauses




unberücksichtigt – dies muss beim möglichen Einsatz der Mantelformel des Prismas berücksichtigt werden.

14 Zur Überlegung der Lösungsstrategie ist es sinnvoll zu schauen, welche Strecken nötig sind, um h zu berechnen. Dabei wird schnell deutlich, dass lediglich die Strecke von B zum Lotfußpunkt von h berechnet werden muss. An dieser Stelle wird noch einmal in Erinnerung gebracht, dass man die trigonometrischen Beziehungen, hier den Tangens, im rechtwinkligen Dreieck anwendet. Sicher führt hier auch die Anwendung des Sinussatzes zum Ziel. Sie ist jedoch aufwändiger.

sin 147° = ???

Das Schaufenster thematisiert die in dieser Lerneinheit gelernten Flächeninhaltsformeln und ermöglicht zusätzlich vertiefte Einblicke in die Sinusfunktion unter dem Aspekt des funktionalen Zusammenhangs.

Die erste Aufgabe dient zunächst dazu, die aufgrund die Zeichnung nicht offensichtliche Gleichheit der Flächeninhalte zu erkennen.

Die nähere Untersuchung dieses für Schülerinnen und Schüler überraschenden Phänomens führt im Anschluss zur Entdeckung, dass sich die beiden Winkel a1 und a2 jeweils zu 180° ergänzen und damit zum Zusammenhang sin a = sin (180° – a). Dieser Zusammenhang kann an einer späteren Stelle im Unterricht anschaulich anhand des Schaubilds der Sinusfunktion oder anhand des Einheitskreises gezeigt werden (vgl. Schülerbuch Seiten 165 – 172).

Bei den Übungen zur Flächeninhaltsberechnung stumpfwinkliger Dreiecke können beide Formeln angewandt werden.

Diese Aufgabe führt über eine sukzessive Annäherung zu einer Grenzwertbetrachtung für sin 90°. Die schrittweise Annäherung an den Grenzfall wird mit dem Taschenrechner und anhand eines rechtwinkligen Dreiecks nachvollzogen. Bei der Betrachtung des Dreiecks führt die Annäherung des Winkels a an 90° zu einem gegen 0° strebenden Winkel b und zu den Seiten a und c, die im Grenzfall parallel und gleich lang sind. Somit lässt sich sin 90° über a _

c ¥ 1 auch anschaulich zeigen. Dies kann auch mit einer DGS eindrucksvoll gezeigt werden:

¼BAC = 82,67°

AB = 31,91

AC

= 4,

07

Aa

C

Das Einsetzen von a = 90° in die entsprechende Formel führt dazu, dass der Ausdruck sin a bzw. sin (180° – a) gerade 1 wird und somit zur Berechnung des Flächeninhalts die bekannte Formel für rechtwinklige Dreiecke entsteht, bei der das halbe Produkt der beiden Katheten gebildet wird.

6 Trigonometrie in Ebene und Raum

Intention der Lerneinheit– Seiten, Winkel, Flächeninhalt und Umfang von

Vierecken und anderen Vielecken berechnen– Vierecke und andere Vielecke durch geschicktes

Zerlegen oder Ergänzen mithilfe trigonometrischer Beziehungen berechnen

– trigonometrische Beziehungen und Zerlegungs bzw. Ergänzungsstrategien zur Lösung von Anwendungs und Modellierungsaufgaben verwenden

– trigonometrische Beziehungen zur Berechnung fehlender Größen in räumlichen Figuren anwenden

– rechtwinklige Dreiecke in räumlichen Figuren erkennen und zur Berechnung von Strecken und Winkeln verwenden

– Training der räumlichen Vorstellung

EinstiegsaufgabeDie Einstiegsaufgabe führt die der Lerneinheit zugrunde liegenden Zerlegungs bzw. Ergänzungsstrategien ein. Das Ziel, durch die Zerlegung bzw. Ergänzung berechenbare Figuren zu erhalten, steht zunächst noch nicht im Vordergrund, obwohl dies durch die Festlegung auf rechtwinklige Dreiecke bereits nahe liegt. Die sich ergebenden Berechnungsvorteile können aber im Anschluss an die Einstiegsaufgabe reflektiert werden und somit den Übergang zum Lehrtext schaffen.

Tipps und Anregungen für den Unterricht – Die Berechnung von Vierecken und anderen

Vielecken erfordert neben dem Einsatz der verfügbaren mathematischen Werkzeuge auch zunehmend den vorausschauenden Einsatz




strategischer Elemente wie die vorteilhafte Zerlegung oder Ergänzung – auch hier empfiehlt es sich, an geeigneten Stellen die Verwendung der Strategien vor bzw. nach dem Lösen von Aufgaben explizit zu thematisieren (vgl. hierzu den Exemplarischen Kommentar: ProblemlöseninderGeometrie, Seite K 68).

– Auch das bewusste Abgrenzen vorteilhafter Zerlegungen und Ergänzungen von unvorteilhaften hilft den Schülerinnen und Schülern, diese Strategien auch in neuen Aufgaben zunehmend sicherer einzusetzen. Durch unvorteilhafte Zerlegungen entstehen keine rechtwinkligen Dreiecke bzw. die Dreiecke enthalten nicht genügend bekannte Winkel oder Strecken, weil z. B. bekannte Größen zerlegt werden.

– Um die Übersichtlichkeit und Nachvollziehbarkeit der zunehmend länger werdenden Rechenwege sicherzustellen, wird auch hier die Verwendung von Skizzen und Farben sowie die tabellarische Darstellung der Rechenschritte empfohlen (vgl. hierzu die TippsundAnregungenfürdenUnterricht von Lerneinheit 4AllgemeineDreieckeberechnen, Seiten K 67 – K 69).

– Für alle Schrägbilder im Schülerbuch gelten folgende Festlegungen: Körperkanten sind schwarz gezeichnet, auch wenn sie zu Stützdreiecken gehören. Zur Verbesserung des Raumeindrucks werden Seiten unterbrochen, wenn sie von weiter vorne liegenden Seiten gekreuzt werden. Körperkanten werden gestrichelt, wenn sie nicht sichtbar sind. Rot bzw. blau dargestellte Seiten von Stützdreiecken werden nie gestrichelt.

– Die in dieser Lerneinheit grundlegend wichtige Fähigkeit der räumlichen Vorstellung wird besonders in den Komponenten Veranschaulichung, räumliche Beziehung und räumliche Orientierung gefordert (vgl. hierzu den Exemplarischen Kommentar: KomponentenderRaumvorstellung, Seite K 68 und K 69, Schnittpunkt Serviceband 9). Der Aufbau der benötigten Raumvorstellung kann an geeigneten Stellen im Unterricht durch die enaktive Arbeit mit Realmodellen unterstützt werden, z. B. um rechte Winkel real zu entdecken und mithilfe des Geodreiecks zu messen.

– Das bewusste Identifizieren rechtwinkliger Dreiecke und das Begründen mit der erkannten geometrischen Konfiguration („Warum muss dieser Winkel ein rechter Winkel sein?“) kann wiederum den Aufbau der prozessbezogenen Kompetenzen argumentieren und kommunizieren unterstützen.

– Die kumulativen Aufgaben von Schülerbuchseite 164 dienen der Vernetzung von Stereometrie und Trigonometrie. Hierin werden die trigonometrischen Berechnungen in Teildreiecken eingebettet.

Aufgabenkommentare

Der folgenden Klassifikation liegt der Exemplarische Kommentar: Aufgaben,diedasVerständnisfördern, Seite K 5, Schnittpunkt Serviceband 9, zugrunde.Grundaufgaben: A 1; 11; 23; 26Operative Übungen: A 2; 3; 4; 12; 13; 14; 15; 16; 17; 23; 26Kumulative Aufgaben: A 19; 20; 21; 22; 25Anwendungsaufgaben: A 5; 6; 7; 8; 9; 10; 18; 24

1 Die Grundaufgabe lässt sich mit wenigen Zerlegungs bzw. Ergänzungsschritten lösen. Durch das Thematisieren und Beschreiten alternativer Lösungswege (andere Zerlegungen) wird die Aufgabe operativ, aber meistens auch aufwändiger.

3 und 4 Diese Aufgaben dienen dazu, die Berechnung von Figuren durch Ergänzung zu üben. Da dies bei Aufgabe 3 durch den Tipp nahegelegt wird, ist diese als Vorstufe für Aufgabe 4 bedeutsam, da hier dann die Ergänzung schnell gefunden wird. Die Berechnung des Flächeninhalts erfolgt, indem die ergänzten rechtwinkligen Dreiecke vom entstandenen Rechteck abgezogen werden.

5 Diese Anwendungsaufgabe wird mithilfe einer Modellierung gelöst, die im Anschluss (in der Phase der Bewertung; vgl. hierzu den Modellierungskreislauf auf Seite 42 im Schülerbuch und den Exemplarischen Kommentar: DieKompetenzMathematischmodellieren, Seite K 8) kritisch hinterfragt werden kann. Die vorzunehmende Modellierung verschiebt das Viereck AGPD so, dass der Weg praktisch vernachlässigt wird. Das dadurch entstehende Viereck ABCD lässt sich durch Ergänzung berechnen. Diese Modellierung enthält allerdings einen kleinen Fehler, da die Breite des Waldweges vernachlässigt wird – da die beiden Ränder des Weges nicht gleich lang sind, kommt es durch die Verschiebung beim Viereck ABCD nicht zu einem geschlossenen Streckenzug

_

AB . Vergleiche hierzu die Abbildung mit überdeutlicher Darstellung des Fehlers:

Aufgrund der, bezogen auf die Dimensionen des gesamten Waldstückes, verhältnismäßig klein anzusetzenden Breite des Waldweges, ist der Fehler zwar




zu vernachlässigen, sollte aber nicht übergangen werden. Modellierungen durch Annäherungen sind erlaubt, sollten aber bewusst wahrgenommen werden und nicht unreflektiert als „mathematisch korrekte Strategie“ übernommen werden.

6 Das Grundstück 42.1. kann vollständig berechnet werden, indem man das rechtwinklige Dreieck DGF abtrennt. Die in diesem Dreieck berechenbaren Seiten dienen der Berechnung der Grenzlänge _

EF = _

AD + _

FG und des Flächeninhalts des Grundstückes als Trapez mit Höhe

_

DG . Grundstück 42.2. kann durch das rechtwinklige Dreieck FCH zu einem Trapez ergänzt werden, wobei der Scheitelwinkel µ die Berechenbarkeit des Dreiecks sicherstellt. Die zur Trapezhöhe

_

EH fehlende Strecke _

FH sowie die Seitenlänge

_

HC werden im Dreieck FCH berechnet, die Grund seite

_

EB des Trapezes aus _

AB – _

AE .

90,0°90,0°

A 68,1 m

27,0

m

24,7 m

19,8 m

B

C

mm

H

F

G

E

D

110,7°

7 Folgende Zerlegungen sind zur Lösung der operativen Anwendungsaufgabe denkbar:

90,0°

90,0°

18.1.

19,4

m

19,4 m29,8 m

29,8 m

135,0°

112,5°

112,5°

13,0

m

Diese Zerlegung ermöglicht die Berechnung allein mit dem Satz des Pythagoras und Symmetrieüberlegungen ohne Verwendung trigonometrischer Beziehungen.

90,0°

90,0°

18.1.

19,4

m

19,4 m

29,8 m

29,8 m

135,0°

112,5°

112,5°

13,0

m

Diese Zerlegung erfordert zur Bestimmung der waagerechten Mittellinie die Symmetriebetrachtung im gleichschenkligen Dreieck aus der oberen Zerlegung oder die teilweise Berechnung wie in der folgenden Zerlegung:

90,0°

90,0°

18.1.

19,4

m

19,4 m

29,8 m

29,8 m

135,0°

112,5°

112,5°

13,0

m

Auch die Ergänzung des gesamten Grundstückes zu einem Rechteck durch vier rechtwinklige Dreiecke ist denkbar:

90,0°

90,0°

18.1.

19,4

m

19,4 m

29,8 m

29,8 m

135,0°

112,5°

112,5°

13,0

mDurch den Vergleich verschiedener Zerlegungen werden unterschiedliche Strategien für die Schülerinnen und Schüler erkennbar. Abweichungen der Ergebnisse durch Runden der Zwischenergebnisse sind möglich.

10 Die Querschnittsfläche des Einschnitts lässt sich berechnen, indem zunächst jeweils die fehlende Kathete in den beiden ergänzten Dreiecken berechnet wird. Anschließend kann der Inhalt der Trapezfläche direkt oder durch Subtraktion der beiden Dreiecksflächeninhalte vom Flächeninhalt des gesamten Rechtecks bestimmt werden (s. Abbildung). Der Inhalt der Dammfläche kann durch Ergänzung zu einem Rechteck oder zu einem Trapez bestimmt werden. Durch die Berechnung und den Vergleich der Volumina der beiden Trapezprismen wird die Aufgabe kumulativ.




12 Bei dieser Aufgabe können die Seiten des Dreiecks unmittelbar oder durch Herleitung mit einer Würfelkante a, einer Flächendiagonalen a · √

__ 2

und einer Raumdiagonalen a · √__ 3 angegeben

werden. Der erste Winkel wird mithilfe einer trigonometrischen Beziehung berechnet, der zweite mithilfe der Winkelsumme. In Teilaufgabe b) wird die Aufgabe operativ: Bei Veränderung von a ändern sich zwar die Längen der Dreieckseiten, die Seitenverhältnisse (ausgedrückt durch die trigonometrischen Beziehungen) und damit auch die Winkel bleiben aber konstant, da die konkreten Werte für a jeweils gekürzt werden. Es entstehen ähnliche Dreiecke. Die offene Teilaufgabe c) erfordert eine Abzählstrategie. Bezieht man sich auf die Kanten des Würfels, so ergeben sich zwei kongruente Dreiecke pro Würfelkante, bezogen auf die Würfelflächen sind es jeweils vier. Es ergeben sich also 24 kongruente Drei ecke.

13 Diese operative Aufgabe überträgt die in Aufgabe 12 zu bearbeitenden Inhalte auf den Quader. Der Wegfall der einheitlichen Kantenlänge erfordert die gesonderte Berechnung zweier Dreieckseiten. Die Strategie zur Bestimmung der in Teilaufgabe b) gefragten Anzahl der kongruenten Dreiecke kann sich nun nur auf Kanten gleicher Länge (c) beziehen, daher ergeben sich pro Kante zwei und damit insgesamt acht kongruente Dreiecke. Die beiden Dreiecke in Teilaufgabe c) sind rechtwinklig, da jeweils in E bzw. A die Diagonale der Ebene auf deren Lot trifft.

H G

A B

CD

EF

Dreieck BHE ist zusätzlich gleichschenklig, da _

EB = _

EH = 10 cm, weshalb die beiden 45°Winkel unmittelbar angegeben werden können.

14, 19 und 20 Diese Aufgaben stellen einen Rückgriff auf bereits behandelte Inhalte (vgl. Schnittpunkt 9, Kapitel 6 Pyramide.Kegel.Kugel, Lerneinheit 2 und 3) dar. Alle wesentlichen Schnittdreiecke der quadratischen Pyramide werden wiederholt. Die neuen Lerninhalte werden kumulativ eingebettet.

15 und 16 Diese Aufgaben erfordern ein erhöhtes Maß an räumlichem Vorstellungsvermögen und bauen ähnlich wie Aufgaben 12 und 13 aufeinander auf. Vor der Berechnung der geforderten Größen sollte eine eingehende Analyse der Figur erfolgen: Wo liegen rechte Winkel? (in Aufgabe 15 (1) bei C und in Aufgabe 16 (1) bei A); Können Symmetrien genutzt werden? (Die Dreiecke in Aufgabe 15 (2) und 16 (2) sind gleichschenklig.); Welche Strecken müssen berechnet werden und welche Hilfsdreiecke werden dazu benötigt?

17 Die Berechnung der Dreieckseiten erfolgt jeweils mit dem Satz des Pythagoras. Die Winkel müssen mit dem Kosinussatz berechnet werden. Der dritte Winkel kann mithilfe der Winkelsumme bestimmt werden.

18 Diese Aufgabe ist kumulativ mit früheren Inhalten der Geometrie – es erfolgt ein Rückgriff auf die spezifischen Eigenschaften von Quadrat und Raute, die zur Begründung herangezogen werden. Die Aufgabe ist geeignet, die prozessbezogene Kompetenz argumentieren zu fördern, wenn der Schwerpunkt der Aufgabe stärker auf der qualitativen Argumentation als auf der Berechnung einzelner Strecken liegt.a) Die vier Seiten der Vierecks EICJ sind gleich lang, da ihrer Berechnung jeweils kongruente rechtwinklige Dreiecke 2 mit den Seiten der Länge a und a _

2 3 zugrunde liegen – es handelt sich also um eine Raute. Das Viereck ist allerdings kein Quadrat, da die Längengleichheit der Diagonalen nicht gegeben ist: eine Rautendiagonale ist die Raumdiagonale des Würfels (a √

__ 3 ), die andere ist eine Flächendia

gonale des Schnittquadrates (a √__ 2 ).

b) Da es sich um eine Raute handelt, muss der Winkel nicht berechnet werden – er beträgt 90°.c) Der Winkel

c _ 2 kann auch ohne die Seitenlänge der

Raute bestimmt werden, indem nur auf die halben

Diagonalen zurückgegriffen wird: tan c _ 2 =

_

IJ

_ 2

_

_

EC

_ 2

Alternativ kann der Winkel auch mit sin c _ 2 =

_

IJ

_ 2

_

_

IC

bestimmt werden.d) Auch die Bestimmung des Flächeninhalts kann allein unter Verwendung der Diagonalen erfolgen:A = 1 _

2 · _

IJ · _

EC = a2

_

2 √

__ 6

22 Die nötige Anschauung für die Bearbeitung dieser Aufgabe liefert die Skizzierung der achtseitigen Grundfläche. Die Lage der Schnittlinien für einen Diagonalschnitt (oder auch andere Schnitte) lassen sich aufzeigen. Die Herausarbeitung des gleichschenkligen Teildreiecks mit dem Mittelpunktswinkel a = 360°

_

n (für n = 8) sollte angestrebt werden.




a

7 Sinus und Kosinus am Einheitskreis

Intention der Lerneinheit– Die trigonometrischen Werte für Winkel größer

90° kennen.– Die Vorzeichen der trigonometrischen Funktions

werte in Abhängigkeit von der Winkelgröße erkennen.

– Die Symmetrieeigenschaften von Sinus und Kosinus erkennen.

EinstiegsaufgabeDie Kolbenbewegung der Dampfmaschine stellt auf anschauliche Weise eine Situation dar, die sich leicht auf den Einheitskreis übertragen lässt. Aus der Skizze wird deutlich, dass zu jeder Position des Drehzapfens ein bestimmter Winkel gehört. Der Zusammenhang zwischen Winkel a am Punkt D1 und dem Winkel a an Punkt D2 ist deutlich als 180° – a zu erkennen. Somit bietet dieses Einstiegsbeispiel eine gute Möglichkeit zur Erweiterung der Definition von Sinus und Kosinus für Winkelwerte größer 90°.

Tipps und Anregungen für den Unterricht – Die Einführung der Sinus und Kosinuswerte

am Einheitskreis ist notwendig, um die trigonometrischen Funktionen für Winkel größer 90° verwenden zu können. Dabei ist es wichtig, noch einmal darauf hinzuweisen, dass diese Werte bislang nur für Winkelwerte bis 90° definiert sind. Durch die Erweiterung am Einheitskreis wird diese Beschränkung aufgehoben.

– Zur Verdeutlichung ist es sinnvoll, einige Werte zeichnerisch am Einheitskreis bestimmen zu lassen. Es empfiehlt sich ein relativ großer Radius von 1 dm.

– Besonders eindrücklich ist die Beobachtung der Zusammenhänge mithilfe einer dynamischen Figur. Eine schrittweise Anleitung zur Erstellung der im Schülerbuch auf Seite 165 abgebildeten Figur mit dem Programm GEONExT findet sich auf dem < Serviceblatt „Trigonometrie am Ein heitskreis mit GEONExT (1) – Anleitung“, Seite S 53.

Die Figur kann zu Demonstrationszwecken im Unterricht durch den Lehrer bzw. die Lehrerin oder als Einzel bzw. Partnerarbeit durch die Schülerinnen und Schüler selbst erstellt werden. Das < Serviceblatt „Trigonometrie am Einheitskreis mit GEONExT (2) – Aufgaben“, Seite S 54, bietet Anregungen zur Exploration der Sinus und Kosinusfunktion am Einheitskreis.

Aufgabenkommentare

Der folgenden Klassifikation liegt der Exempla rische Kommentar: Aufgaben,diedasVerständ-nisfördern, Seite K 5, Schnittpunkt Serviceband 9, zugrunde.Grundaufgaben: A 1; 2; 3; 4Operative Übungen: A 5; 6; 9Komplexe Aufgaben: A 7; 8Anwendungsaufgaben: A 10

1 und 2 Diese beiden Grundaufgaben sind einfach zu lösen, wobei hier die Sorgfalt und Genauigkeit der Zeichnung über die mögliche Genauigkeit des Mess ergebnisses entscheidet.

5 Diese operative Übung ist im Prinzip die Umkehrung der Grundaufgabe 3.

6 Nur zu wenigen Winkelwerten gehören übersichtliche Sinus und Kosinuswerte. Diese besonderen Werte lassen sich einfach am Einheitskreis begründen. Ihre Kenntnis hilft dabei, Ergebnisse abzuschätzen und zu beurteilen.

8 Diese komplexe Aufgabe vertieft das Verständnis für die Symmetrieeigenschaften von Sinus und Kosinus. Ohne ein solches Verständnis ist die Lösung der Teilaufgaben b) und c) nicht möglich.

9 Diese operative Übung fördert besonders die Kompetenz des mathematischen Argumentierens. Dazu muss das Verständnis der Zusammenhänge von Winkelgröße und zugehörigen Sinus und Kosinuswerten und die Lage in den jeweiligen Quadranten bereits gefestigt sein.

10 Mit Benutzung des Taschenrechners beinhaltet diese Sachaufgabe keine größeren Schwierigkeiten. Allerdings ist es bei Teilaufgabe b) sinnvoll, zum besseren Verständnis mithilfe des Einheitskreises begründen zu lassen.




8 Sinusfunktion und Kosinusfunktion

Intention der Lerneinheit– Einen vertieften Einblick in den funktionalen

Charakter der trigonometrischen Beziehungen erhalten.

– Charakteristische Eigenschaften der Graphen der Sinusfunktion und der Kosinusfunktion benennen können, z. B. deren Phasenverschiebung.

EinstiegsaufgabeDie Einstiegsaufgabe bietet einen experimentellen Zugang zur Sinusfunktion bzw. Kosinusfunktion, der mit einfachsten Mitteln im Unterricht durchgeführt werden kann. Durch die Drehbewegung des Zylinders entsteht der Eindruck einer permanenten Schwingung. Die sichtbare Kurve ähnelt den Graphen der trigonometrischen Funktionen.

Alternativer Einstieg Alternativ kann mit einer Stimmgabel, einem starren Drahtstück als Verlängerung und einer berußten Glasplatte auf dem Tageslichtprojektor ein einfaches Experiment durchgeführt werden, mit dem man zeigen kann, dass sich Schwingungen in der Akustik mit Sinusfunktionen beschreiben lassen:

Tipps und Anregungen für den Unterricht – Hinweis zur Skalierung der Achsen:

Die Skalierung der Achsen hat Einfluss auf die Darstellung der trigonometrischen Funktionen im Schaubild. Das „Erscheinungsbild“ der entsprechenden Schaubilder hängt davon ab, welchem Winkel auf der xAchse die auf der yAchse verwendete Längeneinheit zugeordnet wird. Die üblicherweise verwendete Skalierung, bei der der Winkel 60° genau einer Längeneinheit entspricht, verleiht dem Schaubildern der jeweiligen Winkelfunktion ihr bekanntes Aussehen. Am Beispiel der Sinusfunktion:

2

1

0

–1

–2

60° 120° 180° 240° 300° 360° 420°

Sinusfunktion

x

y

Wird hingegen der Winkel 45° (oder 90°) einer Längeneinheit zugeordnet, wird das Schaubild entsprechend „verzerrt“. Im Unterricht sollte die übliche Skalierung verwendet werden (vgl. hierzu auch die Darstellung und Erläuterung im Schülerbuch, Seite 167).

Skalierung mit 45° š 1 LE:

2

1

0

–1

–2

45° 90° 135° 180° 225° 270° 315° 360° 405°

Sinusfunktion

x

y

– Zur Verdeutlichung des Nutzens der Sinusfunktion und Kosinusfunktion sollte darauf hingewiesen werden, dass diese zur Beschreibung von Schwingungen aus der Natur und Technik verwendet werden, z. B. Schallwellen, mechanische Wellen, Wasserwellen, elektromagnetische Wellen.

– Wichtig ist auch die Verknüpfung der Sinus bzw. Kosinuswerte aus der vorhergehenden Lerneinheit mit ihrer grafischen Darstellung als Kurve (Graph). Erst so kann der funktionale Charakter verinnerlicht werden.

– Die Behandlung der trigonometrischen Funktionen kann als Chance wahrgenom men werden, auch Aspekte der Leitidee funktionalerZusam-menhang zu vertiefen und damit in besonderem Maße kumulatives Lernen zu ermöglichen. Entsprechende Anregungen hierzu liefern die < Serviceblätter „Schaubild der Sinusfunktion mit GEONExT“, Seite S 55, sowie „Sinus und Kosinusfunktion mit MSExcel“, Seite S 56.




Aufgabenkommentare

Der folgenden Klassifikation liegt der Exempla rische Kommentar: Aufgaben,diedasVerständnisfördern, Seite K 5, Schnittpunkt Serviceband 9, zugrunde.Grundaufgaben: A 1; 2Operative Übungen: A 6; 7; 8; 9; Kasten DGSundSinusfunktionKomplexe Aufgaben: Kasten DieTangensfunktionKumulative Aufgaben: A 3; 4; 5

3, 4, 6 und 7 Diese kumulativen Aufgaben schaffen eine Verbindung zu den Sinus und Kosinuswerten am Einheitskreis. Durch die Kenntnisse über deren grafische Darstellung wird der Zusammenhang zwischen Winkelgröße und zugehörigen Funktionswerten vertieft.

9 Die bisherige Kenntnis über die Sinusfunktion und Kosinusfunktion werden in dieser Übung erweitert und vertieft. Der funktionale Zusammenhang wird noch deutlicher.

Die Tangensfunktion

Mithilfe der Tangensfunktion kann ein weiterer Zusammenhang von Sinus und Kosinusfunktion hergestellt werden. Das Schaubild der Tangensfunktion liefert eine anschauliche Erklärung, warum sich Messfehler im Bereich von 90° viel stärker auswirken als in anderen Bereichen (vgl. Aufgabe 15 in Lerneinheit 2RechtwinkligeDreieckeberechnen, Schülerbuchseite 150 und Aufgabe 13 in Üben•Anwen-den•Nachdenken, Schülerbuchseite 176).Der Begriff der Polstelle kann mit der Tangensfunktion erstmals eingeführt werden. Die Beweisführung, warum die Tangensfunktion an der Stelle a = 90° nicht definiert ist, ist für die Lernenden leicht nachvollziehbar und bietet eine gute Vorbereitung für die Sekundarstufe II.

9 Eigenschaften der Winkelfunktionen

Intention der Lerneinheit– Die trigonometrischen Funktionen (Sinus, Kosi

nus) auch für Winkel > 360° anwenden können.– Sinus und Kosinus für a > 360° als Wieder

holung der Winkel 0° bis 360° erkennen.– Sinus und Kosinus als Möglichkeit zur funktio

nalen Darstellung periodischer Vorgänge erkennen.

– Nullstellen und Extremwerte kennen, ablesen und in allgemeiner Schreibweise notieren.

EinstiegsaufgabeIn der Einstiegsaufgabe wird auf anschauliche Weise verdeutlicht, dass sich Winkel über 360° auch durch Winkel zwischen 0° und 360° darstellen lassen. So gehört z. B. zum Zeitpunkt 45 Minuten eine 1,5fache Drehung, also 540°. Gleichzeitig ist deutlich, dass das Rad nach einer vollen noch eine halbe Drehung vollführt hat. Zu einer halben Drehung gehört der Winkel 180°. Es ist daher offensichtlich, dass sich so a = 540° und auch a = 180° darstellen lässt.

Aufgabenkommentare

Der folgenden Klassifikation liegt der Exemplarische Kommentar: Aufgaben,diedasVerständnisfördern,Seite K 5, Schnittpunkt Serviceband 9, zugrunde.Grundaufgaben: A 1; 2; 3Operative Übungen: A 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12; 13

4 Bei dieser Aufgabe muss besonders sorgfältig vorgegangen werden: Es entstehen die negative Sinus und Kosinuskurve. Bei Verständnisschwierigkeiten kann in einem ersten Auftrag die Sinuskurve nach rechts, die Kosinuskurve nach links verschoben werden, das vereinfacht die Lösung.Auch bietet es sich an, zunächst eine Wertetabelle anzulegen.Mit leistungsstarken Schülerinnen und Schülern kann sogar auf die allgemeinere Funktion sin (a) = a · sin a bzw. cos a = a · cos a und den damit verknüpften Begriff der Amplitude (vgl. Themenkasten DieFunktionf(x)=a·sin(bx) Schülerbuchseite 172) eingegangen werden.

6 bis 8 Die bisherigen Kenntnisse über die Sinus und Kosinusfunktion werden in dieser Übung erweitert und vertieft. Der funktionale Zusammenhang wird noch deutlicher.




9 bis 13 In diesen Aufgaben tritt der funktionale Aspekt der Trigonometrie in den Vordergrund. Darstellungsformen und Eigenschaften von Funktionen werden grundlegend wiederholt, vertieft und erweitert. Gleichzeitig wird das Thema Kurvendiskussion für die Sekundarstufe II vorbereitet, wodurch ein etwaiger Übergang für die Lernenden erleichtert wird.

Die Funktion f (x) = a · sin (b x)

Mit diesem Kasten wird der funktionale Aspekt, der sich wie ein roter Faden durch die linearen Funktionen (y = m x + b), die quadratischen Funktionen (y = a x2 + b x + c), die Potenzfunktionen (y = a x b) und die Exponentialfunktion (y = c a x) zog, für die Sekundarstufe I vervollständigt. Das Variieren der Parameter a und b ist die Lernenden aus den vorgenannten Unterrichtseinheiten bereits geläufig, sodass es ihnen keine besonderen Schwierigkeiten bereitet, die Amplitude und die Periodenlänge anhand des Schaubildes bzw. der Funktionsgleichung abzuleiten.Fächerübergreifend bietet es sich auch an, mithilfe eines Oszillographen die Sinusfunktion visuell darzustellen. Durch das Verändern der Lautstärke ändert sich dabei die Amplitude und durch das Verändern der Tonhöhe die Periodenlänge.


Aufgabenkommentare

Der folgenden Klassifikation liegt der Exemplarische Kommentar: Aufgaben,diedasVerständnisfördern, Seite K 5, Schnittpunkt Serviceband 9, zugrunde.Grundaufgaben: A 1; 5Operative Übungen: A 3; 4; 6; 7; 8; 9; 10; 24; 25Kumulative Aufgaben: A 14; 20; 21; 23; 26Komplexe Aufgaben: A 16; 22Anwendungsaufgaben: A 11; 12; 13; 15; 17; 18; 19Problemstellungen – offene Aufgaben: Kasten EingünstigerKauf?

2 Die Anfertigung einer Skizze wird empfohlen. Beide Teilaufgaben können nach folgendem Schema konstruiert werden:1. Dreieckseite c als Halbgerade mit Punkt A2. Winkel a3. Dreieckseite b mit der Länge 8,2 cm4. Kreis um C mit r = a = 5,3 cmBei Teilaufgabe a) ergeben sich 2 Lösungen (2 Schnittpunkte), bei Teilaufgabe b) keine Lösung (kein Schnittpunkt).

3 Die operative Aufgabe ist eine Umkehraufgabe zur trigonometrischen Flächeninhaltsformel (vgl. Schülerbuch, Seite 154) und erfordert die gezielte Auswahl der benötigten Formel unter Berücksichtigung der gegebenen und gesuchten Größen.

4 Die Angabe eines zweiten Dreiecks mit den (abgesehen vom Winkel) gleichen Werten kann unter Berücksichtigung des in Teilaufgabe a) mit der Formel A = 1 _

2 b c · sin a berechneten Flächeninhalts auf die Frage reduziert werden: Für welchen Winkel a2 gilt: sin a2 = sin a? Diese operative Aufgabenstellung kann auf unterschiedlichen Wegen gelöst werden:– formal, durch den Rückgriff auf den bereits be

kannten Zusammenhang sin a = sin (180° – a)– enaktiv, mithilfe einer Zeichnung, bei der aus den

Angaben Dreiecke mit gleicher Grundseite und Höhe (zur Sicherstellung des gleichen Flächeninhalts) konstruiert werden. Da durch Spiegelung entstandene kongruente Dreiecke keinen Beitrag zur Lösung liefern, ergibt sich auch hier der o. g. Zusammenhang:

– Je nachdem, wie intensiv die Zusammenhänge aus den Lerneinheiten 7 und 8 im Schülerbuch thematisiert wurden, sollte auch eine Argumentation mithilfe des Schaubilds der Sinusfunktion oder mithilfe des Einheitskreises erfolgen.




Ein günstiger Kauf?

Die Lösung der Problemstellung erfordert das Einzeichnen der außen liegenden Höhe, die senkrecht auf der unbemaßten Seite steht. Eine andere Zerlegung ist nicht sinnvoll, da sonst die gegebenen Informationen nicht genutzt werden können (vgl. hierzu den Kommentar zu Lerneinheit 4 AllgemeineDreieckeberechnen, Seite K 67 bis K 69). Der Flächeninhalt des Grundstücks wird aus der Differenz der beiden durch die Höhe gegebenen rechtwinkligen Dreiecke bestimmt. Alternativ können die Winkel der Dreiecke bestimmt werden und die Formel A = 1 _

2 a b · sin c (mit c = 34,8°) angewandt werden. Vergleiche zur Thematik der Flächeninhaltsberechnung auch die beiden < Serviceblätter „Flächenberechnung beim Dreieck“, Seite S 51, und „Flächenberechnung im Koordinatensystem“, Seite S 52.

Grundstücke vermessen

Die Thematik der Grundstücksvermessung berührt einen Bereich des Schüleralltags, da dies sicher schon einmal von etlichen Schülerinnen und Schülern beobachtet wurde. Die Winkelmessung mit einem Theodoliten geschieht mit großer Genauigkeit. Als Peileinrichtung dient ein Fernrohr mit Fadenkreuz, und die Winkelmesser (zur Bestimmung des Differenzwinkels aus zwei Peilungen) werden mit Lupen bzw. Mikroskopen abgelesen. Die Messungenauigkeit liegt hier im Bereich von Hundertstelgrad. Der Themenkasten liefert die zur Durchdringung der Thematik notwendigen mathematischen Hintergründe. Unterrichtspraktische Anregungen zum Messen im Ge lände finden sich in Altemüller, Wolf: Feldmessen – Handbuch für den Lehrer, Stuttgart, 2002 und im Internet. Als Ergänzung zur Vorgehensweise des Themenkastens ist auch die Erstellung entsprechender dynamischer Figuren mithilfe einer DGS oder ein explorativer Zugang möglich, wie ihn das < Serviceblatt „Grundstücksvermessung mit GEONExT“, Seite S 57, anbietet.

11 Die Modellierungsaufgabe thematisiert die Standfestigkeit von Drehstühlen. Maßgeblich für die Standsicherheit ist das Kippen über die Kipplinien – den Verbindungsgeraden der Endpunkte benachbarter Beine. Die physikalischräumliche Situation des Kippens über die Standlinie wird durch die Modellierung auf eine rein mathematischebene Situation begrenzt – der für die Stabilität eines Stuhls durchaus relevante Abstand des

Massenschwerpunkts von der Standebene (Kraftangriffshöhe) sowie der für die Bestimmung des Kippmoments bedeutsame Radius der Auflagefläche auf dem Boden werden – wie auch die weitere Geometrie des Stuhles – vernachlässigt. Für die Modellierung wird somit der Kosinus des Winkels zwischen den Stuhlbeinen als relevantes Merkmal identifiziert.

a

h Beinlänge ø

Kipplinie a

Idealerweise wählt man eine Modellierung, bei der eine große Zahl eine hohe Standfestigkeit bezeichnet (und umgekehrt). Eine Erhöhung der Anzahl der Stuhlbeine (n) führt zu einer Verringerung des Winkels a = 360°

_

2 n – deshalb ist am sinnvollsten der Kosinus zu verwenden, da er im gegebenen Intervall für kleinere Winkel den größeren Zahlenwert liefert. Da der Kosinus das Verhältnis zwischen Dreieckshöhe und Beinlänge darstellt, kann dies im Rahmen des Modells interpretiert und hinterfragt werden. Es ergeben sich folgende Werte:

Anzahl Stuhlbeine (n) Winkel a Kosinuswert

3 60° 0,5

4 45° 0,71

5 36° 0,81

6 30° 0,87

Zu berücksichtigen ist, dass sich der Kosinuswert bei einer Verlängerung (oder Verkürzung) der Stuhlbeine (was die Standfestigkeit des Stuhles durchaus beeinflusst) nicht ändert, da sich Winkel und Seitenverhältnisse bei ähnlichen Dreiecken nicht ändern.Anmerkung: Die Sicherheitsanforderungen für Büroarbeitsstühle im Hinblick auf die Standsicherheit sind in der DIN EN 13352:200208 geregelt.

12 Die Anwendungsaufgabe ermöglicht einen vertieften Einblick in die Sinusfunktion.

13 Die Aufgabe thematisiert einen grundlegenden und wesentlichen mathematischen Aspekt von Anwendungsaufgaben: Messfehler bzw. Messungenauigkeiten. Die Betrachtung der Auswirkungen des Rechnens mit einer oberen und einer unteren Schranke für gemessene Werte führt zu folgenden Erkenntnissen:– Längenfehler fallen nicht so stark ins Gewicht

wie Winkelfehler.




– Bei Winkeln nahe 90° fallen kleine Winkelfehler bereits sehr stark ins Gewicht (Einblicke in diesen Hintergrund kann eine exemplarische Betrachtung des Schaubildes der Tangensfunk tion liefern – vgl. hierzu auch den Kommentar zu Aufgabe 15 in Lern einheit 2RechtwinkligeDreieckeberechnen, Seite K 64).

– Die Berechnung der Masthöhe in Aufgabenteil c) durch Multiplikation zweier fehlerbehafteter Werte mithilfe einer oberen und einer unteren Schranke zeigt die Schwankung des Ergebnisses um ca. 17 m (ca. 10 %). Vertiefende Informationen zum Umgang mit Messungenauigkeiten, zur Anzahl der verlässlichen Ziffern im Ergebnis sowie dem sinnvollen Runden bietet der Exemplarische Kommentar: SinnvollRunden, Schnittpunkt, Serviceband 9, Seite K 19.

14 und 21 Die Schnittbetrachtungen von Parallel und Diagonalschnitt bei der quadratischen Pyramide stellen bezüglich der Raumvorstellung besondere Anforderungen an die Lernenden. Obwohl die Stereometrie bereits im Jahrgang 9 behandelt wurde, sollte hier zur Unterstützung mit Modellen oder sonstigen Anschauungsmaterialien gearbeitet werden.

17 Bei dieser Aufgabe gibt es zwei Lösungswege,die bei genauer Betrachtung gleich sind. Man berechnet die Entfernung Annasand – Möwenlandund Bertaoog – Möwenland am Winkel a. Alternativkann man dies auch am Winkel b tun. Anschließend wird die Entfernung Annasand – Bertaoog mit demKosinussatz errechnet. Bei dieser Berechnung ist es sinnvoll, eine Teilskizze zur Hilfe zu stellen.

18 Hier bieten sich ähnlich wie bei Aufgabe 17 zweiLösungswege an. Beim ersten Ansatz berechnetman die Länge der Strecke

_

BF unter Zuhilfenahme des Dreiecks ABF und anschließend die Länge der Strecke

_

BE mittels des Dreiecks ABE. Beim zweiten Ansatz wird zuerst die Länge der Strecke

_

AF mithilfe des Dreiecks ABF berechnet. Danach kann man leicht die fehlenden Winkel des Dreiecks AFE und somit auch die Brückenlänge berechnen.

19 Die Berechnungen des Böschungswinkels a und der Böschungslänge l stellen kein größeres Pro blem dar. Erst die Berechnung der Böschungslänge s erfordert ein gedankliches Verschieben der Deich höhe. Man erhält dann folgendes Dreieck. Jetzt kann s ohne größere Schwierigkeiten berechnet werden.

ls

Die Deichsohle setzt sich aus drei Teilstücken, der Deichsohlenlänge zur Böschung s, der Deich kronen breite und der Deichsohlenlänge der Böschung l, zusammen.

20 Die kumulative Aufgabe erfordert das geschickte Zerlegen der Figur und die Nutzung der symme trischen Teilfiguren:

A

E

F

f

d

a1

d

a2

B

C

D

Im Drachen und im Trapez entstehen durch die Zerlegung jeweils zwei „halbe gleichseitige Dreiecke“, sodass sich wesentliche Größen auch ohne Rechnung schnell angeben lassen. Lediglich der obere Teil des Drachens muss trigonometrisch und die rote Linie mit dem Satz des Pythagoras berechnet werden.

22 Falls Kosinus und Sinussatz zur Lösung dieser Anwendungsaufgabe nicht zur Verfügung stehen, wird die Anwendungsaufgabe zu einer komplexen Problemstellung, mit aufwändiger Lösung.Es empfiehlt sich die Anfertigung einer Skizze und die sukzessive farbige Markierung der gegebenen und berechneten Größen.

A a = 228,9 cm

b =

219

cm

e f = 299,4 cm h 3

= 19

5,3 cm

h1 = 145,8 cmh 2

= 13

2,9 cm

c = 279,6 cm

f2 = 200,4 cm

f1 = 99 cm

d =

174,

6 cm

a1

b1

c1 d1

a2 b2

c2

d2

B

E

C

41,8° 49,6°

D

23 Die kumulative Aufgabe verknüpft die Trigonometrie mit linearen Funktionen und baut auf den Aufgaben 12 und 13 auf Schülerbuchseite 149 auf. Die rein algebraische Lösung mithilfe von linearen Gleichungssystemen setzt ein hohes Vorstellungsvermögen voraus. Eine Skizze kann hier unterstützend eingesetzt werden. Die Aufgabe lässt




sich auch zeichnerisch lösen, indem die Geraden gezeichnet werden und die wesentlichen Informationen der Zeichnung entnommen bzw. durch die entsprechenden Ergänzungen leicht berechnet werden können:

10

8

6

4

2

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22OA

C

B

x

y

24 und 25 Der funktionale Aspekt der Trigonometrie wird hier vertieft, die Eigenschaften der Funktionen werden für die Oberstufe vorbereitet und der Einfluss der Parameter a und b bei der Funktion f (x) = a · sin (b x) wird ein weiteres Mal geübt (vgl. Themenkasten DieFunktionf(x)=a·sin(bx) von Schülerbuchseite 172).

26 Zur Lösung der kumulativen Aufgabe müssen die Dreieckseiten in verschiedenen Flächen berechnet werden, wobei jeweils die Spezifika der Fläche berücksichtigt werden müssen:1. Bestimmung der Strecke

_

BC = 5 √__ 3 aus der

zweifachen Höhe eines gleichseitigen Dreiecks der Deck fläche

2. Bestimmung der Strecke _

AC = 5 √__ 2 (Diagonale

eines Mantelquadrates)3. Bestimmung der Strecke

_

AB = 5 √__ 5 mit dem

Satz des Pythagoras in der entsprechenden Schnittfläche.

Der Nachweis der für die Berechnung des Flächeninhaltes wesentlichen Rechtwinkligkeit erfolgt rechnerisch (mit dem Satz des Pythagoras) oder argumentativ (Strecke

_

BC ist das Lot auf das vordere Mantelquadrat).



ISBN 978-3-12-742602 -1

Schnittpunkt Serviceband – der Service für die Vorbereitung und

die Durchführung Ihres Unterrichts!

Der Serviceband ist in drei Teile gegliedert:

– Kommentare (K): Im ersten Teil finden Sie unterrichtspraktische Hinweise,

Kommentare und Anregungen für Ihre Unterrichtsvorbereitung.

– Serviceblätter (S): Der zweite Teil bietet Ihnen rund 80 passgenau auf

das Schülerbuch abgestim mte und direkt einsatzfähige Kopiervorlagen

und die ent sprechenden Lösungen. Sie finden hier Übungen zur Differen

zierung, ansprechende Spiele und Arbeitsblätter, die die Inhalte des

Schülerbuches kumulierend aufgreifen.

– Lösungen (L): Im dritten Teil finden Sie alle Lösungen und Lösungs

hinweise zu den Aufgaben des Schülerbuches.

S

ervi

ceb

and

Schn

ittp

unkt

M

ath

emat

ik

10

SchnittpunktMathematik

Serviceband

10

Rheinland-Pfalz

DO01742602_Umschlag.indd 25.06.2010 11:13:19 Seite: 1 [Farbbalken für Fogra39] CyanDO01742602_Umschlag.indd 25.06.2010 11:13:19 Seite: 1 [Farbbalken für Fogra39] MagentaDO01742602_Umschlag.indd 25.06.2010 11:13:19 Seite: 1 [Farbbalken für Fogra39] YellowDO01742602_Umschlag.indd 25.06.2010 11:13:19 Seite: 1 [Farbbalken für Fogra39] BlacK

Documents

101. Auflage 1 7 6 5 4 3 | 17 16 15 14 13 Alle Drucke dieser Auflage sind unverändert und können im Unterricht nebeneinander verwendet werden. Die letzte Zahl bezeichnet das Jahr