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§11 Skalarprodukt. Euklidische Räume

(11.1) Definition: Das euklidische Standard-Skalarprodukt auf dem Vektorraum Rn ist die Abbildung

In einem sehr abstrakten Sinne werden diese Größen durch ein Skalarprodukt auf eine Vektorraum beschrieben. Beispielsweise:

Zur Geometrie gehören unbedingt auch Längen und Winkel.

,: RRR nn

nn332211 yx... yx yx y x: yx, y)(x, für Spaltenvektoren x und y aus Rn mit den Komponenten xk bzw. yk, k = 1,2, ... n .Dieses Skalarprodukt bestimmt die Länge oder Norm von Vektoren x aus Rn durch

1o 2

n

2

3

2

2

2

1 )x(... )x( )x( )(x xx, x)(x,: x

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Kapitel II, §11

x1

x2

x = (x1,x2)T2

2

2

1 )x( )(x x

Abbildung: Die Norm eines Vektors x in R2 oder eines Vektors x = x1v + x2w für Vektoren v,w aus dem Grundraum (Rn bzw. V mit euklidischem Skalarprodukt, vgl. 11.3).

Das Skalarprodukt bestimmt auch den Winkel zwischen Vektoren x und y :

2o Die Distanz zwischen Punkten P und Q aus Rn ist d(P,Q) = . QP

Beginnen wir mit y = (1,0)T und mit einem weiteren Vektor x der Länge 1 in R2 : Ein solcher Vektor hat die Form

sincos x

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Kapitel II, §11

Es gilt also: . cosyx,

mit . 0,2 x = (x1,x2)T

cos

sin

Im Falle von und , also eine

Drehung der Konfiguration um den Winkel

sincos y

)sin()cos( x

Das Additionstheorem des Cosinus liefert nun:

.,sin)sin(cos)cos())cos(( cos yx

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Kapitel II, §11

In beiden Fällen lässt sich aus

0, Winkelder yx,cos

zurückgewinnen (bestimmen).

Das gilt auch für Vektoren beliebiger Länge, wenn die Länge berücksichtigt wird. Daher kommen wir zur Definition:

0, , yx

yx,cos

3o Der Winkel zwischen zwei Vektoren x und y aus V\{0} ist durch die Formel

0,

(Die Funktion cos hat auf dem Intervall eine Umkehrfunktion, cos–1 wie in der Analysisvorlesung in Kürze gezeigt werden wird).

0,

definiert. Beachte (Beweis in 11.6).yxyx,

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Kapitel II, §11

(11.2) Definition: Ein Skalarprodukt auf einem Vektorraum V über R ist eine Abbildung

1o σ ist bilinear, das heißt für alle r,s aus R und für alle x,y,v,w aus V gilt:

RVV:

mit den folgenden Eigenschaften:

σ(rx + sy,v) = rσ(x,v) + sσ(y,v)σ(x,rv + sw) = rσ(x,v) + sσ(x,w) .

3o Es gibt eine Zerlegung V = V+ + V- in Untervektorräume V+

und V- von V mit

σ(x,x) > 0 für x aus V+\{0} und σ(y,y) < 0 für y aus V-\{0}.

2o σ ist symmetrisch, das heißt für x,y aus V gilt stets σ(x,y) = σ(y,x) .

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Kapitel II, §11

(11.3) Beispiele:1o V = Rn. Das übliche euklidische Skalarprodukt:

.yx... yx yx y x: yx, y)(x, nn332211

2o V = R4 . Das übliche Minkowski-Skalarprodukt:

(11.4) Definition: Das Skalarprodukt heißt euklidisch, wenn V+ = V

und V- = {0} gilt, also wenn σ(x,x) > 0 für x aus V\{0}.

.yx yx yx y x: yx, y)(x, 44332211

für Spaltenvektoren x und y mit den Komponenten xk bzw. yk .

Ein Vektorraum über R zusammen mit einem euklidischen Skalarprodukt heißt euklidischer Vektorraum.

(11.3) Beispiel: 3o Der Vektorraum = {x aus F: x ist quadratsummierbar} mit

2

ist ein euklidischer Vektorraum.

0k kkyx:yx,

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Kapitel II, §11

In einem euklidischen Vektorraum V sind Norm bzw. Länge von Vektoren, Winkel zwischen Vektoren und Distanz zwischen Punkten genau wie in 11.1.1o-3o definiert.

xx,)xx,(x

(11.5) Lemma: Sei V ein euklidischer Vektorraum mit Skalarprodukt σ ( ) und der zugehörigen Norm yx,)yx,(

Die Norm erfüllt dann die folgenden Eigenschaften. Für alle x,y aus V und alle r aus R gilt:

1o , 0 x wenndann genau 0x

2o , xrrx

3o (Dreiecksungleichung) . yxyx

. yxyx,

(11.6) Ungleichungen von Cauchy-Schwarz: Sei V ein euklidi-scher Vektorraum mit Skalarprodukt Dann gilt für x,y aus V: . ,

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Kapitel II,§11

Beweis: Ohne Einschränkung der Allgemeinheit sei die Norm von y gleich 1 . Setze

(11.7) Definition: Unter einem euklidischen affinen Raum oder einfach einem euklidischen Raum verstehen wir einen affinen Raum (A,T,t) zusammen mit einem euklidischen Skalarprodukt auf dem R-Vektorraum T .

.yx, r

Es gilt dann

yy,ryx,2rxx,ry-xry,-x0 2,)yx,(yxr2rx 222222

und daraus folgt die Behauptung.