11.3 Zwei-Stichproben-Tests - uni-kassel.de · Laufleistung der Reifen von 39.000 km ermittelt, während in Werk II ein Durch-schnittswert von 40.000 km erreicht wurde. Der Reifenhersteller

1

11.3 Zwei-Stichproben-Tests

Zwei-Stichproben-Tests

Wir stellen Tests über die Differenzen von Erwartungswerten, die Differenzen

von Anteilswerten und die Differenzen von Varianzen vor, die in der unten stehen-

den Übersicht aufgeführt sind. Die hier behandelten Tests setzen voraus, dass die

beiden Stichproben unabhängig voneinander entnommen werden.

Übersicht: Arten von Zwei-Stichproben-Tests

Anteilswerte oder

WahrscheinlichkeitenVarianzenErwartungswerte

Doppelter

Gauß-Test

Test von

Welch

F-TestAnteilswert-

differenzentestDoppelter

t-Test

2

Beispiel 11.9:

- In Industriebetrieben erfolgt die Qualitätskontrolle der Erzeugnisse auf Stich-

probenbasis. Im Werk I eines Reifenherstellers wurde eine durchschnittliche

Laufleistung der Reifen von 39.000 km ermittelt, während in Werk II ein Durch-

schnittswert von 40.000 km erreicht wurde. Der Reifenhersteller möchte wissen,

ob auf der Grundlage dieser Stichprobenergebnisse die Hypothese gestützt

wird, dass die Qualität des Produktionsprozesses in beiden Werken gleich ist.

- Eine Stichprobenuntersuchung ergab, dass in einer Stadt A 80 % und in einer

Stadt B 85 % der befragten Haushalte ein Smartphone besitzen. Lässt sich aus

diesen Ergebnissen ableiten, dass der Anteil der Besitzer von Smartphones in

Stadt B höher ist als in der Stadt A?

Null- und Alternativhypothese (zweiseitiger Fall):

211

210

:H

:H

.0:H

0:H

211

210

oder

1: Parameter der 1. Grundgesamtheit

2: Parameter der 2. Grundgesamtheit

3

Test für Erwartungswerte

Varianzen der Grundge-

samtheit bekannt

Varianzen der Grundge-

samtheit unbekannt

Gleiche unbekannte Varian-

zen der Grundgesamtheit

Ungleiche unbekannte Vari-

anzen der Grundgesamtheit

Doppelter Gauß-Test Doppelter T-TestTest von Welch

(Näherungslösung)

Übersicht: Zwei-Stichproben-Tests für Erwartungswerte

Test über die Differenz von Mittelwerten

4

● Doppelter Gauß-Test

1. Schritt Hypothesenformulierung (zweiseitiger Test):

• H0: 1 = 2, H1: 1 2 oder

• H0: 1- 2 = 0, H1: 1- 2 0

2. Schritt Festlegung des Signifikanzniveaus

3. Schritt Prüfgröße und ihre Verteilung:

- bekannte Varianzen

- normalverteilte Grundgesamtheiten oder

- große Stichprobenumfänge (n1>30, n2>30)

4. Schritt Tabellarische Ermittlung des kritischen Wertes:

• zweiseitiger Test: z1-/2

5. Schritt Testentscheidung (zweiseitiger Test):

z0 > z1-/2 H0 ablehnen

z0 z1-/2 H0 beibehalten

2221

21

210

nn

XXZ

22

21 und

)a(

Bei großen Stichproben können die Varianzen der Grundgesamtheit

durch die Stichprobenvarianzen S1² und S2² ersetzt werden.

N(0, 1)

22

21 und

5

Beispiel 11.10:

Ein Marktforschungsinstitut untersucht, ob sich die West- und Ostdeutschen in

ihren Fernsehgewohnheiten unterscheiden.

800 westdeutschen Befragte: durchschn. Fernsehdauer 2 Std.

600 ostdeutsche Befragte: durchschn. Fernsehdauer 1 ½ Std.

Als Standardabweichungen der Fernsehdauer werden 1 Std. (Westdeutsch-

land) und ½ Std. (Ostdeutschland) ermittelt

Zu testen ist, ob zwischen den west- und ostdeutschen Befragten bei der

durchschnittlichen Fernsehdauer signifikante Differenzen bestehen (α = 0,05).

Da der Unterschiede der durchschnittlichen Fernsehdauer zwischen West- und

Ostdeutschland geprüft werden soll, ist ein Mittelwertdifferenzentest bei zwei

unabhängigen Stichproben einzusetzen. Aufgrund der Fragestellung eines

generellen Unterschieds ist ein zweiseitiger Test durchzúführen.


H0: 1- 2 = 0

H1: 1- 2 0

2. Schritt Festlegung des Signifikanzniveaus: = 0,05

Das Signifikanzniveau beträgt 0,05

6

3. Schritt Wahl und Berechnung der Prüfgröße

- große Stichprobenumfänge (n1=800>30, n2=600>30)

Doppelter Gauß-Test

Mit

erhält man die Prüfgröße

4. Schritt Tabellarische Ermittlung des kritischen Wertes ( = 0,05) :

bei zweiseitigem Test: z0,975 = 1.96


z0=-12,255 = 12,255 > z0,975 = 1.96 H0 ablehnen

Da sich der in den beiden Stichproben ermittelte Unterschied der

Fernsehdauer zwischen den west- und ostdeutschen Befragten

nicht durch den Stichprobenfehler erklären lässt, kann auf ein unter-

schiedliches Fernsehverhalten in der Bevölkerung der beiden Ge-

biete geschlossen werden.

.255,12

0408,0

5,0

60025,08001

5,22

2221

21

210

nsns

xxz

2,5xund2x

0,25,0,5sund11s

21

222

221

7

● Doppelter t-Test


• H0: 1 = 2, H1: 1 2 oder

• H0: 1- 2 = 0, H1: 1- 2 0



- unbekannte, aber gleich große Varianzen ( )

- normalverteilte Grundgesamtheiten

Anwendung bei kleinem Stichprobenumfang (n130 oder n230)

Prüfgröße:

Gepoolte Varianz:


• zweiseitiger Test:


H0 ablehnen

H0 beibehalten

.

2n

21

21

210 t~

nn

nnS

XXT

2nn

S1nS1nS

21

222

2112

2α12;nn 21t

2α12;nn0 21tt

2α12;nn0 21tt

222

21

σσσ

8

Beispiel 11.11:

Von Kasseler und Göttinger Studenten wurde das Einkommen pro Monat

erhoben. Bei 10 zufällig ausgewählten Kasseler Studierenden ist ein durch-

schnittliches Einkommen von 551 Euro bei einer Varianz von 22.915,111 Euro²

ermittelt worden. In einer Stichprobe von 18 Göttinger Studenten ergab sich ein

Durchschnittseinkommen von 606 Euro bei einer Varianz von 20.836,706 Euro².

Signifikante Unterschiede in den Varianzen der Einkommen ( F-Test auf

Gleichheit der Varianzen) sind hierbei nicht festgestellt worden.

Sind die Stichprobenergebnisse in Übereinstimmung mit der Hypothese, dass

alle Kasseler und alle Göttinger Studierenden ein gleiches Durchschnittseinkom-

men besitzen (α = 0,05)?

Um diese Hypothese zu überprüfen, ist die Differenz der beiden mittleren Ein-

kommen auf Gleichheit zu testen. Aufgrund der niedrigen Stichprobenumfänge

ist anstelle der Standardnormalverteilung die t-Verteilung als Prüfverteilung zu

verwenden. Da keine signifikanten Unterschiede der Stichprobenvarianzen

festgestellt werden konnten, können die Varianzen der beiden Grundgesamt-

heiten als gleich betrachtet werden. Unter Berücksichtigung der Unabhängigkeit

der beiden Stichproben lässt sich die Differenz der durchschnittlichen Einkom-

men mit dem doppelten t-Test überpüfen, der als zweiseitiger Test durchzufüh-

ren ist, da nicht nach einer Richtung gefragt ist.

9


H0: 1- 2 = 0

H1: 1- 2 0




- Varianzen der beiden Grundgesamtheiten unbekannt

- gleich große Varianzen der GG ( )

- kleine Stichprobenumfänge (n1=10<30, n2=18<30)

Doppelter t-Test

Mit

erhält man die gepoolte Varianz

222

21

σσσ

,706,836.20224.35417

1und111,915.22236.206

9

1 22

21

ss

606xund551x 21

,21.556,15426

354.224206.236

21810

20.836,70611822.915,111110

2nn

s1ns1ns

21

222

2112

10

noch 3.

Schritt

und die Prüfgröße

4. Schritt Tabellarische Ermittlung des kritischen Wertes ( = 0,05, zweiseitig):


H0 annehmen

,0,950

57,907

55

1810

181021.556,154

606551

nn

nns

xxt

21

21

210

2,056ttt 0,97526;20,0512;18102α12;nn 21

2,056t0,950t 0,97526;0

- 2 - 1 0 1 2

0.1

0.2

0.3

0.4

- 2 - 1 0 1 2

0.1

0.2

0.3

0.4

)t(f

t

26t~T0

0,95

0,025

26;975,0t

Annahmebereich [- 2,056;2,056]

0t

0,025

11

● Test von Welch


• H0: 1 = 2, H1: 1 2 oder

• H0: 1- 2 = 0, H1: 1- 2 0



- unbekannte, aber ungleich große Varianzen ( )


Anwendung bei kleinem Stichprobenumfang (n130 oder n230)

Prüfgröße:

Zahl der Freiheitsgrade:

int: Integer-Funktion (ganzzahliger Teil)

mit

.

22

21

σσ

v

2

22

1

21

210 t~

n

S

n

S

XXT

1n

w1

1n

w1intv

2

2

1

2

2

22

1

21

1

21

n

S

n

S

n

Sw

12


• zweiseitiger Test:


H0 ablehnen

H0 beibehalten

.

2α1v;t

2α1v;0 tt

2α1v;0 tt

13

Beispiel 11.12:

Ein Hersteller von Digitalkameras beliefert mit seinen Produkten den Fach-

handel. Da die Fachhändler nicht an die Preisempfehlung des Herstellers

gebunden sind, können die Kamerapreise für die Endkunden differieren. Um

genauere Aussagen über die Preisunterschiede in zwei Verkaufsgebieten zu

erhalten, wurde eine Stichprobenuntersuchung für einen bestimmten

Kameratyp durchgeführt:

Verkaufs-

gebiet

Anzahl der

befragten

Händler

Durchschnitts-

preis (in €)

Standardab-

weichung (in €)

1 22 800 50

2 40 760 30

Die Marktforschungsabteilung wird beauftragt, bei einem Signifikanzniveau

von 5% zu überprüfen, ob sich die durchschnittlichen Endabnehmerpreise in

den Verkaufsgebieten unterscheiden. Dabei wird angenommen, dass die

Preise in den Verkaufsgebieten normalverteilt und die Varianzen in den

Grundgesamtheiten ungleich sind. Damit liegen die Anwendungsvorausset-

zungen des Tests von Welch vor.

14


H0: 1- 2 = 0

H1: 1- 2 0




- Varianzen der beiden Grundgesamtheiten unbekannt

- ungleich große Varianzen der GG ( )

- kleiner Stichprobenmfang n1=22<30 (bei n2=40>30)

Test von Welch

Mit

erhält man die Prüfgröße

22

21

σσ

760,xund800x 21 30sund50s 22

21

3,428

40

30

22

50

760800

n

s

n

s

xxt

22

2

22

1

21

210

15

noch 3.

Schritt

Anzahl der Freiheitsgrade:

mit

4. Schritt Tabellarische Ermittlung des kritischen Wertes ( = 0,05, zweiseitig):


H0 ablehnen

470,8340

30

22

50

22

50

n

s

n

s

n

sw

222

2

22

1

21

1

21

2952,29int

140

8347,01

122

8347,01int

1

1

11intv

22

2

2

1

2

n

w

n

w

2,045ttt 0,97529;20,05129;;v2α1v;

045,2t428,3t 0,97529;0

16

● Test über die Differenz von Anteilwerten und Wahrscheinlichkeiten


• H0: p1 = p2, H1: p1 p2 oder

• H0: p1- p2 = 0, H1: p1- p2 0



- Bernoulli-verteilte Grundgesamtheiten

- große Stichprobenumfänge


• zweiseitiger Test: z1-/2


z0 > z1-/2 H0 ablehnen

z0 z1-/2 H0 beibehalten

)a( N(0, 1)

21

2211

nn

PnPnP

)nn

nnZ

21

210

()P(1P

PP 21mit

222

111

p1p

9nund

p1p

9n

17

Beispiel 11.13:

Ein Institut hat 1.500 Wahlberechtigte nach ihrer Wahlabsicht befragt. Von den

500 Männern gaben 230 an, CDU/CSU wählen zu wollen. Bei den Frauen

präferierten 430 von 1000 die CDU/CSU.

Unterscheiden sich beiden Wähleranteile der männlichen und weiblichen

Befragten bei einer Irrtumswahrscheinlichkeit von 1% signifikant voneinander?

Da die beiden Anteile aus zwei Stichproben stammen, die aufgrund der Unab-

hängigkeitsannahme im Hinblick auf die Auswahl der Stichprobenelemente

selbst als unabhängig voneinander betrachtet werden können, ist der Test über

die Differenz von Anteilswerten einzusetzen. Die Anwendbarkeit Normal-

approximation ist hierzu zu prüfen. Da generell nach einem signifikanten Unter-

schied gefragt ist, nicht jedoch nach der seiner Richtung, ist der Test zweiseitig

durchzuführen.

1.

Schritt1

Hypothesenformulierung (zweiseitiger Test):

H0: p1- p2 = 0

H1: p1- p2 0



18


- Bernoulli-verteilte Grundgesamtheiten

- große Stichprobenumfänge

Test über die Differenz von Anteilswerten (Normalapproximation)

Gepoolter Stichprobenanteilswert:

Wert der Prüfgröße:

46,0

500

230pmit2,36

0,540,46

9

p1p

9500n 1

111

43,0

1000

430pmit7,36

0,570,43

9

p1p

91000n 2

222

0,441000500

0,4610000,46500

nn

pnpnp

21

2211

1029,10272,0

03,0

1000500

100050056,044,0

43,046,00

z

19

4. Schritt Tabellarische Ermittlung des kritischen Wertes ( = 0,01) :

bei zweiseitigem Test: z0,995 = 2,5758


z0=1,1029 < z0,995 = 2,5758 H0 beibehalten

F-Verteilung

Es seien 2v1

und 2v2

zwei unabhängige 2 -verteilte Zufallsvariablen mit v1

und v2 Freiheitsgraden. Dann ist das Verhältnis

222

121

v

vF

F-verteilt mit v1 und v2 Freiheitsgraden.

□

f(f)

f

Exkurs: F-Verteilung

21

● F-Test auf Gleichheit von Varianzen

1. Schritt Hypothesenformulierung (einseitiger Test):

• H0: =

• H1: > (rechtsseitiger Test)




- Mittelwerte 1 und 2 unbekannt

Prüfgröße:

n1-1: Freiheitsgrade des Zählers, n2-1: Freiheitsgrade des Nenners


• rechtsseitiger Test:

5. Schritt Testentscheidung (rechtsseitiger Test):

H0 ablehnen

H0 beibehalten

.

21

22

21

22

²s²smitF~²S

²SF

2121

2

1

1n1,n0

α-1,1n1,n 21F

α-1;1n1,n0 21Ff

α-1,1n1,n0 21Ff

22

Beispiel 11.14:

Ein deutscher Automobilhersteller möchte prüfen, ob es lohnend sein könnte,

in seinem chinesischen Werk die bisherige Fließbandproduktion auf eine

Gruppenfertigung umzustellen. Hierzu ist die Arbeitsproduktivtät für beide

Arten der Produktion gemessen worden:

Produktions-

verfahren

Anzahl

Arbeitstage

mittlere Arbeits-

produktivität

Standard-

abweichung

Fließband 121 280 20

Team 61 290 30

Nicht nur soll ein Vergleich der durchschnittlichen Arbeitsproduktivität bei

beiden Produktionsverfahren vorgenommen werden. Vorab soll überprüft

werden, ob von einer Varianzhomogenität ausgegangen werden kann

oder nicht. Vermutet wird, dass aufgrund der notwendigen Eingewöh-

nungsphase der Arbeitnehmer die Varianz bei der Teamproduktion die

Varianz bei der Fließbandfertigung übersteigt.

51

23

1. Schritt Hypothesenformulierung (rechtsseitiger Test):




- Annahme normalverteilter Grundgesamtheiten

- Mittelwerte 1 und 2 unbekannt

F-Test auf Gleichheit der Varianzen

Stichprobenumfänge: n1=121 und n2=51

Prüfgröße:

Berechnung der Prüfgröße:

1n1,n012

1

2 F~²S

²SF

2,2520

30

s

sf

2

2

21

22

0

24


Stichprobenumfänge: n1=121 und n2=51

• rechtsseitiger Test:

5. Schritt Testentscheidung (rechtsseitiger Test):

H0 ablehnen

46,1FF 550;120;0,9α-1;1n1;n12

46,1F25,2f 0;120;0,9550

=0,05

f50;120;0,95

=1,46

1-

=0,95

f0=2,25

Documents

11.3 Zwei-Stichproben-Tests - uni-kassel.de · Laufleistung der Reifen von 39.000 km ermittelt, während in Werk II ein Durch-schnittswert von 40.000 km erreicht wurde. Der Reifenhersteller