18200 Exponentialfunktionen 1 demo - mathe-cd.de 5-10/18_Funktionen/18200... · . 18200 Exponentialfunktionen Trainingsaufgaben 4 § 1 Einfache Exponentialfunktionen 1.1 Grundlagen

Exponentialfunktionen Grundlagen

Teil 1

Grundeigenschaften

Behandlung ohne Ableitungen

Ein Trainingsheft für Klasse 10

Datei Nr. 18200

Stand 12. März 2017

Friedrich Buckel

INTERNETBIBLIOTHEK FÜR SCHULMATHEMATIK

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18200 Exponentialfunktionen Trainingsaufgaben 2

Inhalt

§ 1 Einfache Exponentialfunktionen 4

1.1 Grundlagen 4

Schaubilder einiger Exponentialfunktionen 4

1.2 Untersuchung einfacher Exponentialfunktionen 5

Verschiebung in y-Richtung 5

xy 2 2 , xy 2 2 , xy 3 a 5

Verschiebung in x-Richtung 6

x 3y 2 , x 3y 2 6

Spiegelung an der y-Achse 7

xy 2 , x 3y 2 , x 3y 2 7

Weitere Beispiele: 8

x 2y 3 4 (Schnittpunkt mit der x-Achse) 8

x 212y 1

und x 2y 2 1 9

Spiegelung an der x-Achse 10

xy 2 , xy 2 3 (Schnittpunkt mit der x-Achse) 10

xy 5 4 (Schnittpunkt mit der x-Achse) 11

Trainingsaufgaben 1 11

Trainingsaufgaben 2 12

1.3 Untersuchung einfacher Exponentialfunktionen zur Basis e 13

xy e , x 2y e , x 2y e , xy e 2 , xy e 2 13

xy e , x 2y e , x 2y e , x 2y e 2 14

xy 4 e , xy 3 e 15

1.4 Zusammenfassung und Übersicht 16

§ 2 Gestreckte Exponentialfunktionen 18

2.1 Streckung in y-Richtung 18

Streckung der Exponentialkurven xy 2 2 , x12y 2 18

xy 4 2 , xy 2 3 . x 1,37y 4 19

xy 20 1,2 , xy 30 0,8 , xy 50 1 0,05 20

2.2 Streckung in x-Richtung 3xy 2 und x/2y 3 20

2.3 Trainingsaufgaben 3 bis 6 22

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§ 3 Nullstellen von Exponentialfunktionen – Schnittpunkte mit der x-Achse 23

3.1 Berechnung von Nullstellen = Lösen von Exponentialgleichungen 23

Typ 1 (Lösen durch Exponentenvergleich) 23

Typ 2 (Lösen durch Logarithmieren) 25

3.2 Trainingsaufgaben 7 und 8 27

§ 4 Asymptoten von Exponentialkurven 28

§ 5 Aufstellen von Kurvengleichungen 30

5.1 Kurvengleichungen aus Schaubildern erstellen 30

5.2 Anwendungsaufgaben aus dem Wachstumsbereich 34

5.3 Trainingsaufgaben 9 bis 12 37

5.4 Identifikation der Gleichung aus dem Schaubild 38

Das charakteristische Trapez einer Exponentialkurve 38

11 Beispiele 38

Trainingsaufgabe 13 44

§ 6 Zusammenstellung der Trainingsaufgaben 45 – 50

Die Lösungen der Trainingsaufgaben bilden ein eigenes „Heft“ mit der Nummer 18201

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§ 1 Einfache Exponentialfunktionen

1.1 Grundlagen

Als Exponentialfunktionen bezeichnet man Funktionen mit einer positiven Zahl als Basis und der Variablen x im Exponenten. Die einfachste Grundform ist somit xf(x) a= , etwa xf(x) 2= .

Schaubilder einiger „solcher“ Exponentialfunktionen:

Man beobachtet, dass die Funktionen für positive x umso stärker wachsen, je größer die Basis a ist.

In der Oberstufe führt man eine interessante aber nicht einfache Berechnung für die Steigung der Tangente im Punkt ( )Q 0 | 1 durch, durch den alle diese Kurven gehen. Die Kurve, die dort die

Steigung 1 hat, hat als Basis eine Zahl 2,71828…. , die man die Eulersche Zahl e nennt.

Sie ist die wichtigste aller Exponentialfunktionen: f(x) = ex.

Kompliziertere Funktionsterme sehen beispielsweise so aus:

x 1 x 1 xf x 2 2 2 2 2 , xx

1f x 33

, 1 12 2

x xxf x 2 2 2

x110f x 5 , 2t 8f(t) 1,04 -= xf x x e

xf x e 2x 1 2x

xe 1f x3 e

usw.

( ) xf x 1,5=

( ) xf x e=

( ) xf x 3=

( ) xf x 4=

( ) xf x 5=

( ) xf x 2=

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1.2 Untersuchung einfacher Exponentialfunktionen

Verschiebungen und Streckungen

Beispiel 1 ( ) xf x 2=

Die Funktion geht durch ( )Q 0 | 1 und hat für x

den Grenzwert 0: x

xlim 02-¥

= .

Für x gilt: f x , was man neuerdings oft so

schreibt: x

xlim 2

(obwohl die Schreibweise „ “ eigentlich

sinnlos ist.). Dies soll lediglich aussagen, dass f für x

keinen (endlichen) Grenzwert hat.

Die Kurve hat also die negative x-Achse als waagrechte Asymptote.

Definitionsbereich: D R (Man kann alle reellen Zahlen einsetzen.)

Wertmenge: W R (Denn es gibt keine nicht positiven Funktionswerte, daher

schneidet das Schaubild auch nicht die x-Achse. Man merke sich: x2 0 für alle x.

Verschiebung der Kurve y = ax in y-Richtung:

Beispiel 2 ( ) xf x 2 2= + Jetzt wurde y = 2x um 2 nach oben verschoben.

Daher wird die Gerade y = 2 zur waagerechten Asymptote.

Definitionsbereich: D R Wertmenge: 2 , W

Beispiel 3 ( ) xf x 2 2= - Jetzt wurde y = 2x um 2 nach unten verschoben.

Daher wird die Gerade y = -2 zur waagerechten Asymptote.

Definitionsbereich: D R Wertmenge: 2 , W

Beispiel 4 ( ) xf x 3 a= +

Diese Gleichung stellt eine Schar von Exponentialfunktionen dar.

Für a = 0 erhält man die Funktion, deren Schaubild die negative x-Achse als waagerechte Asymptote hat und durch Q 0 | 1 geht.

Für a = 5 erhält man die Funktion, deren Schaubild ganz oben liegt,

also aus dem soeben genannten durch Verschiebung um 5 in

y-Richtung entsteht, für a = -3 erhält man die Verschiebung um

3 nach unten zur untersten abgebildeten Kurve usw.

xy 2 2

xy 2 2

xy 2

Q

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Verschiebung der Kurve y = ax in x-Richtung:

Beispiel 5 ( ) x 3f x 2 -=

Verschiebt man die Kurve mit der Gleichung xy 2 um 3 nach rechts, dann entsteht eine

Kurve mit der Gleichung x 3y 2 -= . Manche meinen, dass es doch x 3y 2 heißen müsste.

Die Erklärung dazu liefern Punktproben:

(a) Auf der „Urkurve“ xy 2 liegt der Punkt Q 0 | 1 , denn für x = 0 folgt Oy 2 1 .

(b) Verschiebt man Q um 3 nach rechts (wie die Kurve), dann ist sein Bildpunkt Q' 3 | 1 .

(c) Ob nun Q’ zur Kurve x 3y 2 -= oder zur Kurve x 3y 2 gehört, findet man so heraus:

Einsetzen von x’ = 3 in x 3y 2 -= ergibt: 3 3 0y ' 2 2 1 .

Einsetzen von x’ = 3 in x 3y 2 += ergibt: 3 3 6y ' 2 2 64 .

Man erkennt, dass Q’ offenbar auf der Kurve x 3y 2 -= liegt.

Ergebnis: Verschiebt man xy 2 um 3 nach rechts, hat die Bildkurve die Gleichung x 3y 2 -= .

Beispiel 6 ( ) x 3f x 2 += Verschiebt man die Kurve mit der Gleichung xy 2 um 3 nach links, dann hat die Bildkurve

die Gleichung x 3y 2 += . Man kann dies wie in Beispiel 5 dadurch überprüfen, dass man

Q 0 | 1 auch um 3 nach links verschiebt zu Q * 3 | 1 . Er liegt auf der Kurve x 3y 2 += ,

was die Punktprobe zeigt: Einsetzen von x* = -3 in x 3y 2 += ergibt: 3 3 0y* 2 2 1 .

Die Abbildung zeigt die Überlegungen zu

den Beispielen 5 und 6.

Zur den Bezeichnungen:

Ich habe Q nach rechts verschoben und

den Bildpunkt von Q mit Q’ bezeichnet.

Die Verwendung desselben Buchstabens

soll die Zusammengehörigkeit andeuten.

Den Bildpunkt von Q bei Verschiebung

nach links habe ich aus dem gleichen

Grund Q* genannt. Das muss aber nicht so sein!

Eigenschaften:

Alle drei Funktionen haben für x den Grenzwert 0: x a

xlim 2 0-

-¥= .

d. h. die negative x-Achse (Gleichung y = 0) ist waagrechte Asymptote der Schaubilder.

Definitionsbereich: D R (Menge der zulässigen x-Werte)

Wertmenge: W R (Menge der entstehenden y-Werte)

Für x gilt: f x : x

xlim 2

. (d. h. es gibt keinen Grenzwert!)

33

x 3y 2 x 3y 2

Q Q'Q *

33

xy 2

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Spiegelung an der y-Achse:

Beispiel 7 ( ) x2f x -=

Das Schaubild dieser Funktion entsteht aus xy 2 durch

Spiegelung an der y-Achse, denn es wird x durch –x ersetzt.

Für den „Aha-Effekt“ setze man P 3 | 8 in xy 2 ein.

Das Spiegelbild von P ist T 3 | 8 , und T liegt auf xy 2 :

Setzt man xT = -3 ein, folgt 3 3Ty 2 2 8 !

Weil xy 2 die negative x-Achse als waagrechte Asymptote hat, besitzt ihr Spiegelbild, also

xy 2 , die positive x-Achse als waagrechte Asymptote, und es gilt x

xlim 2 0-

¥= .

Die Kurve geht durch den Punkt Q 0 | 1 . Er liegt auf der Spiegelachse.

Beispiel 8 ( ) ( )x 3 x 3f x 2 2- - - += = und ( ) ( )x 3 x 3f x 2 2- + - -= =

In den Beispielen 5 und 6 konnte man erkennen, dass x 3y 2 durch Verschiebung um 3

nach rechts entsteht und x 3y 2 durch Verschiebung um 3 nach links.

Jetzt muss man im Exponenten das Minuszeichen ausklammern, um dieselbe Folgerung

ziehen zu können, denn die Ausgangskurve hat die Gleichung xy 2 .

Ersetzt man x durch x – 3, dann geht xy 2 über in x 3 x 3y 2 2 . Und es liegt

wieder eine Verschiebung nach rechts vor.

Ersetzt man x durch x + 3, dann geht xy 2 über in x 3 x 3y 2 2 . Und es liegt

wieder eine Verschiebung nach links vor.

Man kann wie zuvor auch die

Punkte Q, P und R einsetzen

und dann feststellen, zu welchen

Kurvengleichungen sie “passen“.

Alle diese Funktionen haben als Definitionsbereich D R und als Wertmenge W R .

Für x gegen Unendlich besitzen sie den Grenzwert 0: x a

xlim 2 0

.

Ihre Schaubilder haben daher die positive x-Achse als waagerechte Asymptote.

xy 2xy 2

(x 3)y 2 (x 3)y 2

xy 2

33

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Beispiel 9: x 2f x 3 4

Wir analysieren die Funktionsgleichung bzw. die Kurvengleichung x 2y 3 4 .

Grundgleichung ist xy 3 . Diese Kurve wird zweimal verschoben.

Zuerst in x-Richtung, und zwar um 2 nach links, was man dem Exponenten x + 2 entnimmt.

Dann folgt eine Verschiebung in y-Richtung, genauer um 4 nach unten.

Zur Sprechweise: Manche sagen dazu: Verschiebung in die negative x-Richtung um 2 oder

Verschiebung in x-Richtung um -2, bzw. Verschiebung in die negative y-Richtung um 4 oder

in y-Richtung um -4. Dies ist Definitionssache. Wichtig ist nur, dass klar ist, was man meint.

Hinweis:

Um sicher zu gehen, ob man richtig überlegt hat, kann man

wie immer eine Stelle einsetzen und den zugehörigen

Kurvenpunkt berechnen: So ergibt z. B. x = -1 den Wert

1 2 1f 1 3 4 3 4 1 C 1| 1 .

Die Abbildung zeigt wie aus A durch die Verschiebung

um – 2 in x-Richtung B entsteht und daraus durch

Verschiebung um – 4 in y-Richtung C entsteht.

Eigenschaften der Funktion:

Definitionsbereich: D R

Wertebereich: 4 ; W

Verhalten im Unendlichen: x 2

xlim 3 4 4

, x 2

xlim 3 4

.

Eigenschaften des Schaubilds:

Waagerechte Asymptote für x : y 4

Wer schon gelernt hat, mit Logarithmen zu rechnen, kann hier noch den Schnittpunkt der Kurve mit der x-Achse berechnen. Seine x-Koordinate nennt man die Nullstelle:

Bedingung: y 0

d. h. x 23 4 0

4 addieren: x 23 4

Logarithmieren: x 2log 3 log 4

3. Logarithmenregel: x 2 log 3 log 4

Durch log 3 dividieren: Nlog 4 log 4log3 log3x 2 | 2 x 2 0,74

Schnittpunkt mit der x-Achse: S 0,74 | 0 .

xy 3x 2y 3

x 2y 3 4

2

4

Die Funktion hat den Grenzwert- 4, das Schaubild die waagrechte Asymptote mit der Gleichung y = -4.

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Beispiel 10: x 212f x 1

Aus der Kurve x12y

wird durch Verschiebung

um 2 in x-Richtung: x 212y

und daraus durch Verschiebung

um 1 in y-Richtung: x 212y 1

Eigenschaften der Funktion:


Wertebereich: 1; W

Verhalten im Unendlichen: x 212x

lim 1 1

, x 21

2xlim 1

.



Die Kurve schneidet die x-Achse nicht.

Beispiel 11: x 2f x 2 1

Vergleicht man dieses Schaubild mit dem aus

Beispiel 10, dann scheint dieselbe Kurve vorzuliegen.

Dies darf man aber nicht nur der Anschauung entnehmen.

Beweis:

Aus der Potenzrechnung folgt:

x 2x 2 x 21 x 212 2 2 2

Der Vorteil liegt ganz klar bei der Funktion mit der Basis 2, denn bei ihr lassen sich Werte schneller im Kopf berechnen:

x 212f x 1

: 11 12 2f 3 1 1 1,5

2 212f 0 1 2 1 4 1 5

usw.

x 2f x 2 1 : 3 2 1 12f 3 2 1 2 1 1 1,5

2f 0 2 1 4 1 5

MERKE: Jede Exponentialfunktion, deren Basis ein Stammbruch ist, lässt sich durch eine ganzzahlige Basis darstellen:

Beispiele: x 1x 1 x 11 x 113f x 3 3 3

xx x1 x14f x 4 4 4

x 4x 4 x 41 x 4110f x 10 10 10

x12y

x 212y 1

Brüche deren Zähler 1 ist, heißen Stammbrüche: 1 1 12 3 4, , , ...

Die Funktion hat den Grenzwert 1, das Schaubild die waagrechte Asymptote mit der Gleichung y = 1.

x 2y 2 1

y 1

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Spiegelung an der x-Achse

Spiegelt man einen Punkt 1 1 1P x | y an der x-Achse,

dann ist sein Spiegelbild 1 1 1Q x | y .

Für eine Kurve gilt analoges:

Spiegelt man die Kurve K: xy 2 an der x-Achse, gehört zum

gleichen x ein y mit umgekehrtem Vorzeichen: xy 2 .

Funktionseigenschaften:


Wertebereich: ;0 W

Verhalten im Unendlichen: x

xlim 2 0

, x

xlim 2

.


Waagerechte Asymptote für x : y 0 (Negative x-Achse).

Beispiel 12: xf x 2 3

Die Kurve von oben wurde um drei nach oben verschoben:



Wertebereich: ;3 W


xlim 2 3 3

x

xlim 2 3

.


Waagerechte Asymptote für x : y 3 .

Wer schon gelernt hat, mit Logarithmen zu rechnen kann hier noch den Schnittpunkt der Kurve mit der x-Achse berechnen. Diese Stelle auf der x-Achse nennt man die Nullstelle:

Bedingung: y 0

d. h. x2 3 0

x2 3

Logarithmieren: xlog 2 log 3 3. Logarithmenregel: x log 2 log 3

Durch log 2 dividieren: Nlog3log2x 1,58


(Siehe Abbildung).

xy 2

xy 2 3 3

xy 2

xy 2

1P 2 | 4

1Q 2 | -4

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Beispiel 14: xf x 5 4

Zuerst versuchen wir durch eine Abbildungskette das

Schaubild zu bestimmen.

Grundkurve ist: xy 4 .

Gespiegelt an der y-Achse: xy 4

Gespiegelt an der x-Achse: xy 4

Um 5 in y-Richtung verschoben: xy 4 5



Wertebereich: ;5 W


xlim 5 4 5

x

xlim 5 4



Wer schon gelernt hat, mit Logarithmen zu rechnen kann hier noch den Schnittpunkt der Kurve mit der x-Achse berechnen. Diese Stelle auf der x-Achse nennt man die Nullstelle:

Bedingung: y 0

d. h. x5 4 0

x5 4

Logarithmieren: xlog 4 log 5 3. Logarithmenregel: x log 4 log 5

Durch log 2 dividieren: N Nlog5log 4x x 1,16


(Siehe Abbildung).

Trainingsaufgaben 1

Zeichne die Schaubilder der folgenden Funktionen. Überlege dazu wie in Beispiel 14, durch welche

Folge von Abbildungen sie aus einer möglichst einfachen Grundkurve entstanden sind.

Berechne dann vier geeignete Kurvenpunkte für das Schaubild.

Wenn du es schon kannst, berechne den Schnittpunkt mit der x-Achse:

a) x 3f x 3 2 b) xf x 2 4 c) xf x 4

d) x 113f x 2

e) xf x 2,5 4 f) x 2f x 12 3

xy 4xy 4

xy 4

xy 4 5

xy 2

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Trainingsaufgaben 2

Gegeben sind 6 Funktionen und 6 Schaubilder. Ordne sie einander zu.

x1f x 3 2 x

2f x 2 3 x 23f x 2

x 24f (x) 3 2 x 2

5f x 3 3 x 26f x 2 2

K4

K5 K6

K1

K2

K3

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1.3 Untersuchung einfacher Exponentialfunktionen zur Basis e

Beispiel 1 ( ) xf x e=

Die Funktion geht durch ( )Q 0 | 1 und hat für x gegen den Grenzwert 0: x

xlim e 0-¥

= .

Die Kurve hat also die negative x-Achse als waagrechte Asymptote.

Beispiel 2 ( ) x 2f x e -=

Das Schaubild ist die um 2 nach rechts verschobene Kurve y = ex .

Denn an der Stelle 0 erhält man den Wert e-2, der sonst bei x = –2 gefunden wird.

Dies zeigt die Verschiebung um 2 nach rechts.

Beispiel 3 ( ) x 2f x e +=

Hier wurde y = ex um 2 nach links verschoben, denn bei 0 erhält man e2, was sonst erst

bei x = 2 auftritt.

Beispiel 4 ( ) xf x e 2= + Jetzt wurde y = ex um 2 nach oben verschoben.

Daher wird die Gerade y = 2 zur waagerechten Asymptote.

Beispiel 5 ( ) xf x e 2= - Jetzt wurde y = ex um 2 nach unten verschoben.

Daher wird die Gerade y = -2 zur waagerechten Asymptote.

Alle diese Kurven haben

für x eine waagerechte

Asymptote.

xy e=x 2y e +=

x 2y e -=xy e 2= +

xy e 2= -

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Beispiel 6 ( ) xf x e-=

Das Schaubild entsteht aus y = ex durch Spiegelung an der y-Achse. Daher hat es die positive x-Achse als waagerechte Asymptote und es gilt x

nlim e 0-

¥= .

Beispiel 7 ( ) ( )x 2 x 2f x e e- - - += =

Man muss das Minuszeichen ausklammern. Dann erkennt man aus x+2 die Verschiebung um

2 nach links! Dabei ändert sich natürlich die waagerechte Asymptote (x-Achse) nicht.

Beispiel 8 ( ) ( )x 2 x 2f x e e- + - -= =

Man muss das Minuszeichen ausklammern. Dann erkennt man aus x-2 die Verschiebung um

2 nach rechts! Dabei ändert sich natürlich die waagerechte Asymptote (x-Achse) nicht.

Beispiel 9 ( ) ( )x 2 x 2f x e 2 e 2- - - += - = -

Jetzt wurde die Kurve aus Beispiel 7 noch um 2 nach unten verschoben.

Das Schaubild erhält dadurch die waagerechte Asymptote y = -2.

xf x e

x 2f x e x 2f x e

x 2f x e 2 Demo-

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Beispiel 10 ( ) xf x 4 e= -

Da ex für x -¥ gegen 0 geht, nähert sich die Kurve nach links von unten der Geraden

y = 4 (die somit waagrechte Asymptote ist).

Nach rechts entfernt sie sich immer weiter von ihr und krümmt sich nach unten, weil ja ex

zunimmt.

Beispiel 11 ( ) xf x 3 e-= -

Analog zu (10) nähert sich diese Kurve von unten der Geraden y = 3, aber jetzt nach rechts, denn e-x wird 0 für x gegen Unendlich. Daher schreibt man x

x xlim f x lim 3 e 3

.

xf(x) 4 e= -

xf(x) 3 e-= -

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1.4 Zusammenfassung und Übersicht

(1) Die Schaubilder der Funktionen xf x a mit einer Basis a > 1 haben einen ähnlichen

Verlauf, wie dieses Schaubild zeigt:

Man berechnet einige Punkte mittels Wertetafel und zeichnet sie ein. Mit rot sind die Punkte zu x = 1 eingetragen: 1 11,5 1,5, 2 2 usw. Mit blau sind die Punkte zu x = 2 markiert: 2 21,5 2,25, 2 4 usw. Im negativen Bereich wird die Kopfrechnung schwieriger: 1 1

22 0,5 , 221 1

422 0,25

Man sollte folgende Eigenschaften WISSEN: (Es sei jetzt a > 1)

(1) Alle Kurven y = ax gehen durch Q 0 | 1 , weil ao = 1 ist.

(2) ax sind stets positive Werte, also hat jede dieser Funktionen die Wertmenge W R .

(3) Für x gehen die Werte gegen 0,

also ist die negative x-Achse waagrechte Asymptote.

(4) Diese Funktionen wachsen streng monoton, d.h. nach rechts werden die Werte stets

größer, was man so beschreiben kann: Wenn x1 > x2 ist, dann ist auch 1 2x xa > a

(5) Für x gehen die Werte gegen Unendlich.

(6) Die Kurven habe alle Linkskrümmung.

( ) xf x 1,5=

( ) xf x e=

( ) xf x 3=

( ) xf x 4=

( ) xf x 5=

( ) xf x 2=

Punktezu x 1

Punktezu x 2

x

Die Zahl e heißt Eulersche Zahl.Es ist e 2,71828.Die Kurve y=e hat in Q 0 | 1 dieTangentensteigung m = 1.

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(2) Die Schaubilder der Funktionen xf x a mit einer Basis 0 < a < 1 haben diesen Verlauf:

Man sollte folgende Eigenschaften WISSEN: (Jetzt sei 0 < a < 1.

(1) Die Kurven y = ax gehen alle durch Q 0 | 1 , weil ao = 1 ist.

(2) ax sind stets positive Werte, also hat jede dieser Funktionen die Wertmenge W R .

(3) Für x gehen die Werte gegen 0,

also ist die positive x-Achse waagrechte Asymptote.

(4) Diese Funktionen fallen streng monoton, d.h. nach rechts werden die Werte stets

kleiner. D. h. wenn x1 > x2 ist, dann ist 1 2x x<a a

(5) Für x gehen die Werte gegen Unendlich.

(6) Die Kurven habe alle Linkskrümmung.

(7) Spiegelt man die Kurve xy = a an der y-Achse, wird x durch –x ersetzt und es entsteht

die Kurve -xy = a .

x1,5( ) ( ) xx x32

3 2 1,5- -= =

x2( )xx x120,5 2-= =

x3( )x -x13 = 3

( ) xf x 1 1 !!!= =

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§ 2 Gestreckte Exponentialkurven

Hinweis: Wer Abbildungen von Kurven (dazu gehören Verschiebungen, Spiegelungen und

Streckungen) mit Abbildungsgleichungen durchführen soll, sollte dies im Text 21100 ansehen.

2.1 Streckung in y-Richtung

Die Gleichung xy k a stellt eine Exponentialkurve dar, die mit dem Faktor k aus xy a in y-Richtung gestreckt worden ist.

Beispiel 1

Links wird y = 2x mit dem Faktor 2 gestreckt. Rechts werden die Punkte der Kurve xy 2

Aus A 1| 2 wird durch Verdopplung der um -1 in x-Richtung verschoben Aus A 1| 2 .

y-Koordinate A ' 1| 4 , und aus B 2 | 4 wird wird A ' 0 | 2 , und aus B 2 | 4 wird B' 0 | 4 .

B' 2 | 8 . Die blauen und roten Pfeile stellen die Man erkennt, dass diese Verschiebung zur

y-Koordinaten dieser beiden Punkte dar. gleichen Bildkurve führt wie die Streckung.

Der blaue ist jeweils doppelt so lang als der rote. Allerdings mit verschiedenen Bildpunkten.

Die Kurve als Ganzes ist jedoch dieselbe!

Erkenntnis: Die durch Streckung in y-Richtung mit k 2 erzeugte Kurve xy 2 2

kann man auch durch Verschiebung in x-Richtung erzeugen.

Dahinter steht als mathematischer Grund das Potenzgesetz, wonach gilt: x 1 x 1 x2 2 2 2 2

Beispiel 2

Streckung der Exponentialkurve xy 2 in y-Richtung

mit dem Faktor 12k . Es entsteht die Kurve x1

2y 2 .

Die Potenzregel liefert: x

x x 112 1

2y 2 22

.

Daher erkennt man, dass dieselbe Kurve auch durch

Verschiebung von xy 2 in x-Richtung um 1 entsteht.

1

12

xy 2

xy 2 2

xy 2

x 1y 2

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Beispiel 3

Wir strecken die Kurve xy 2 mit dem Faktor k = 4

und erhalten xy 4 2 .

Umformung durch Potenzrechnung:

2 xx 2 x 2 x x 2 x 2y 4 2 2 2 2 2 2 2

Man erinnere sich: Weil im Exponenten –x steht,

muss man das Minuszeichen ausklammern.

In -(x-2) sagt uns die – 2, dass um 2 nach rechts

verschoben wird!

Beispiel 3

Wir strecken die Kurve xy 3 mit dem Faktor k = 2.

Welche Verschiebung in x-Richtung erzeugt dieselbe

Bildkurve?

Die Bildkurve „heißt“ xy 2 3 .

Wenn sie durch eine Verschiebung entstehen soll,

lautet ihre Gleichung x vy 3

Durch Gleichsetzen erhält man:

x v x3 2 3

Umformen: x v x3 3 2 3

Für Gleichheit muss gelten: v3 2

Logarithmieren: vlog 3 log 2

Umformen: v log 3 log 2

log 2v 0,63log 3

Ergebnis: x 0,63 xy 3 2 3

Das heißt: Eine Verschiebung der Kurve xy 3 um etwa 0,63 ergibt dieselbe Kurve, wie wenn man sie in y-Richtung um den Faktor 2 streckt.

Beispiel 4

Die Kurve x 1,37y 4 ist gegeben. Mit welchem Faktor müsste man xy 4 strecken, um die selbe

Kurve zu erhalten?

Lösung:

, also ist 1,37k 4 0,15 x 1,37 x 1,37 x4 4 4 4 k

4

2

xy 2

x 2x 2xy 4 2 2 2

xy 3

xy 2 3

x 0,63y 3

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Noch einige Kurven mit etwas anderem Aussehen:

Beispiel 15 ( ) xf x 20 1,2= ⋅

Wichtiger Wert ist: 0f(x) 20 1,2 20= ⋅ = , denn 1,2O = 1.

Beispiel 16 ( ) xf x 40 0,8= ⋅

Wichtiger Wert ist: Of(0) 40 8,8 40= ⋅ = , denn 0,8O = 1.

Beispiel 17 ( ) xxf 50 (1 0,05 )= ⋅ -

Wichtiger Wert ist: ( ) ( )0f(0) 50 1 0,05 50 1 1 50 0 0= ⋅ - = - = =⋅ ⋅ .

Diese drei Funktionen sind typische „Wachstumsfunktionen“:

(15) beschreibt exponentielles Wachstum,

(16) beschreibt exponentielle Abnahme und

(17) beschreibt beschränktes Wachstum (dabei geht sozusagen der Platz aus).

Und der wichtige Wert f(0) gibt den Startwert an, also den Wert, den die sich verändernde Größe zum Zeitpunkt x = 0 hat. Dies ergibt den Schnittpunkt mit der y-Achse.

Dies wird später behandelt.

( ) xf x 20 1,2= ⋅

( ) xf x 40 0,8= ⋅

( ) ( )xf x 50 1 0,05= -

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2.2 Streckung in x-Richtung.

Auf CD….

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