oer.uni-leipzig.de · Web view2017-06-06 · Aufgabenpool „Exponentialfunktionen“ Aufgabenpool „Exponentialfunktionen“ von Universität Leipzig (Gereke, Hofmann, Kranz,

Aufgabenpool „Exponentialfunktionen“

Handreichung zur Stationenarbeit Exponentialfunktionen

Mathematisches Gebiet: Exponentialfunktionen

Zielgruppe: Gymnasium Klasse 10

Vorgeschlagener Einsatzzeitraum: Anwendung von Exponentialfunktion

(Gymnasium: LB 1 „Wachstumsvorgänge und periodische Vorgänge“ bzw.

LB 4 „Funktionale Zusammenhänge“)

Vorausgesetzte Kenntnisse und Fähigkeiten: Exponentialfunktion: Begriff, Funktionsgleichung, Eigenschaften, Parametereinfluss

Logarithmusfunktion: Begriff, Funktionsgleichung, Eigenschaften

Begriff der Umkehrfunktion

Inhalt: Mit der Stationsarbeit lernen die Schülerinnen und Schüler Anwendungsgebiete von

Exponential- und Logarithmusfunktionen kennen. Sie dient der Vertiefung und Übung bereits

gelernten Wissens über derartige Funktionen und soll gleichzeitig ein Bewusstsein für deren

Bedeutung in naturwissenschaftlicher Forschung schaffen.

Das Material umfasst 4 verschiedene Stationen, aus denen die Schülerinnen und Schüler ein

bevorzugtes Themengebiet wählen können. Sie arbeiten dann in den entsprechenden

Gruppen. Die zu bearbeitenden Stationen sind sehr umfangreich, sodass lediglich eine

Station in einer neunzig-minütigen Unterrichtsstunde bearbeitet werden kann. Sollten nicht

alle Materialien für die Stationen in der Schule zur Verfügung stehen, so können auch

einzelne Stationen weggelassen werden. Die Lernenden sollen im Zuge ihrer Arbeit

Protokolle anfertigen. Als Abschluss der Stationsarbeit können sich die Gruppen

beispielsweise ihre Ergebnisse auf Grundlage dieser Protokolle gegenseitig präsentieren.

Die einzelnen Stationen befassen mit der Entladung eines Kondensators, der Vermehrung

von Bakterienstämmen, der Halbwertszeit und dem Frequenzspektrum eines Klaviers.

Die Lernenden sollen weitgehend selbstbestimmt arbeiten sowie in den Gruppen

kommunizieren und argumentieren. Das Material umfasst zu jeder Station auch mögliche

schriftliche Hilfestellungen, die den Lernenden in Umschlägen zur Verfügung gestellt werden

können.

Zu erlernende Kenntnisse und Fähigkeiten: Die Schülerinnen und Schüler…

… können Umwelt- oder Alltagssituationen, in denen Exponential- oder

Logarithmusfunktionen vorkommen bzw. anwendbar sind, aufzählen.

Aufgabenpool „Exponentialfunktionen“ von Universität Leipzig (Gereke, Hofmann, Kranz, Müller, Wagler) ist lizenziert unter einer Creative Commons Namensnennung - Weitergabe unter gleichen Bedingungen 4.0 International Lizenz.

http://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/




… verstehen die Relevanz der Exponentialfunktion für die Wissenschaft und können

diese anhand von Beispielen erläutern.

… wenden ihr Wissen über Exponential- und Logarithmusfunktionen an, um

fächerübergreifende Probleme zu ergründen und zu lösen.

… können den Verlauf einer Exponentialfunktion anhand ihrer Parameter analysieren.

… können Exponential- und Logarithmusfunktionen von anderen Funktionsarten

unterscheiden.

… können einfache naturwissenschaftliche Probleme mathematisch analysieren.

… finden selbst weitere mögliche Einflüsse auf hier idealisierte naturwissenschaftliche

Phänomene und können deren Auswirkungen abschätzend vorhersagen.

… können den Stellenwert der Exponential- und Logarithmusfunktionen in der

Wissenschaft und Natur beurteilen.

… können über Ausmaß und Relevanz von Einflüssen auf meist idealisierte Systeme

urteilen

Materialbedarf: für jede Station Umschläge, gestuften Hilfen und Arbeitsblätter

für Station 1: Stromquelle, Kondensatoren, ohmscher Widerstand, Schalter, Multimeter

mehrere Blätter Millimeterpapier pro Schüler

Benötigte Medien: Computer/Tablet, YouTube-Video

Taschenrechner und Tafelwerk

Smartphones (alternativ Tablets oder PC), Internetzugang für App-Download






Station 1: Das Raumschiff „Unendlich“

Die Crew des Raumschiffs „Unendlich“ musste auf einem fernen Planeten notlanden, weil es

einen technischen Defekt gab. Jetzt stehen sie vor der Aufgabe so schnell wie möglich

wieder aus dieser lebensfeindlichen Welt zu verschwinden, weil sie wieder auf die Erde

möchten. Der erste Offizier schlägt vor, die Systeme einfach alle zu deaktivieren, indem man

sie vom Energiekern trennt. Aber ein kurzes Deaktivieren und wieder Hochfahren der

Systeme hat nicht den erwünschten Erfolg gebracht. Der Maschinist denkt darüber nach,

einfach alles ein wenig länger auszuschalten und erst nach einer bestimmten Zeit wieder zu

aktivieren. Er erinnert sich, dass die Systeme mindestens zur Hälfte entladen sein müssen,

damit sie sich wieder in den Herstellungszustand zurücksetzen. Nur wie berechnen die

beiden nun die Zeit, damit sie nicht zu lange warten müssen, aber die Energie auch nicht

schon zu früh wieder anstellen?

Einige technische Geräte, die keine Batterien oder Akkus besitzen und über ein Netzkabel

funktionieren, leuchten auch noch einen kurzen Moment, nachdem sie vom Stromnetz

getrennt sind. Bei einer Fehlfunktion eines elektrischen Gerätes hilft manchmal ein einfaches

Aus- und wieder Einschalten, hierbei genügt es oft nicht das Gerät nur sehr kurz

auszuschalten, sondern man muss es über einen gewissen Zeitraum ausgeschaltet lassen,

bevor man es wieder aktiviert. Wie lassen sich diese Phänomene erklären?

Aufgaben1. Untersucht experimentell den Zusammenhang zwischen Stromstärke und Zeit beim Entladen

eines Kondensators über einen ohmschen Widerstand.

Hinweis: Die Schaltung darf erst in Betrieb genommen werden, wenn diese von einer

Aufsichtsperson abgenommen wurde.

Achtet beim Aufbau der Schaltung auf die Polung des Kondensators.

2. Modelliert die Systeme des Raumschiffs mit eurem Kondensator und berechnet die Zeit, bis

der Kondensator zur Hälfte entladen ist.

Hinweis: Die Fläche unter der Entladekurve I (t) ist ein Maß für die Ladung Q auf dem

Kondensator. Durch Integration der I (t)-Funktion bekommt man folgende Q(t )-Funktion, die

angibt, wie groß die Ladung Q zu einer bestimmten Zeit t ist:






Q(t )=I 0⋅R ⋅C ⋅e−tR ⋅C

Achtung!Dokumentiert eure Ergebnisse Schritt für Schritt so, dass ein Außenstehender diese

nachvollziehen kann.

Fertigt dazu ein Protokoll an.






Station 1: Gestufte Hilfen mit Lösungen

1. HilfeErinnert euch an die Dinge, die ihr bereits über Kondensatoren wisst.

Lösung

Elektrisches Feld als Energiespeicher

C=QU

Abhängigkeit der Kapazität C eines Plattenkondensators von der Fläche A der Platten,

dem Abstand d der Platten und dem Stoff zwischen den Platten (Permittivität ϵ )

→ C=ϵ ⋅ Ad

2. HilfeÜberlegt euch, welche Bauelemente ihr benötigt, um den Entladevorgang zu untersuchen.

Lösung:

Kondensatoren

ohmscher Widerstand

Schalter

Stromversorgungsgerät

Multimeter zum Messen der Stromstärke

3. HilfeZeichnet den Schaltplan.

Lösung:


A A

V-+





4. HilfeBaut die Schaltung auf. Achtet dabei auf die Polung des Kondensators.

5. HilfeNehmt die Messwerte für die Stromstärke in einem Zeitraum von 0 – 60 s auf (Intervall 5s)

und zeichnet damit die Entladekurve des Kondensators.

6. HilfeWiederholt den Vorgang mit anderen Kondensatoren und Widerständen. Erklärt den

Unterschied zwischen den Kurven.

Lösung:

Unterschiedliche Widerstände R und unterschiedliche Kapazitäten des Kondensators

beeinflussen den Entladevorgang.

7. HilfeStellt eine Funktion für die Entladekurve auf. Überlegt zunächst, von welchen

Einflussfaktoren die Entladung abhängt.

Lösung:

Zeit t

Ohmscher Widerstand R

Kapazität des Kondensators C

Stromstärke zum Zeitpunkt t=0 beträgtI 0=UL

R → I 0=−I 0⋅ e

−tR ⋅C

8. HilfeÜberlegt, wie ihr auf den Anfangswert der Ladung kommt.

Lösung:

C=QU → QA=C ⋅U L






9. HilfeStellt die Funktionsgleichung Q(t ) nach t um.

Lösung:

t=−R ⋅C ⋅ ln ( QR ⋅C ⋅ I 0

)

10. Hilfe

Berechnet die Zeit, bei der Q=12⋅QAist.






Station 2: Kampf der Bakterien

In einem Labor werden zwei verschiedene Bakterienkolonien mit einem jeweiligen

Ausgangsbestand von n0=10.000 Bakterien auf einem Agar-Nährboden gezüchtet. Ziel

dieser Beobachtung soll es sein zu untersuchen, welcher Bakterienstamm sich stärker unter

den gegebenen Bedingungen von 21°C Raumtemperatur und einer Luftfeuchtigkeit von 50%

vermehrt und anschließend durchsetzen wird.

Bakterien vermehren sich durch Zellteilung. Sobald eine Bakterienkultur die dreifache Anzahl

an Bakterien erreicht hat, verdrängt sie die andere vom Nährmedium, sodass dieser

Bakterienstamm verhungert. Dieser Prozess wird auch als Absterbephase bezeichnet.

Folgende Eigenschaften zur Vermehrung sind über die jeweiligen Kolonien bekannt:

Bakterienstamm (1): Helicobacter pylori

Die Anzahl der Bakterien verdreifacht sich alle 30 Minuten.

Bakterienstamm (2): Chlorobaculum tepidum

Der Bestand von Bakterien vermehrt sich nach einer e-Funktion alle 15 Minuten.

AufgabeBestimmt, welche der beiden Bakterienkolonien überleben wird und berechnet den Zeitpunkt

der Ausschaltung sowie das Verhältnis der Bakterienkolonien durch Angabe der Anzahl.


nachvollziehen kann. Fertigt dazu ein Protokoll an.






Station 2: Gestufte Hilfen

Hilfe 1

Teil 1:

Stellt eine Wertetabelle für den ersten Bakterienstamm auf und veranschaulicht eure

Ergebnisse. Bestimmt den funktionellen Zusammenhang in Form einer Funktionsgleichung.

Teil 2:

x = Zeit in Minuten 0 30 60 90 120 150

y = Bakterienanzahl 10 000

Alle 30 Minuten verdreifacht sich die Zahl der Bakterien (1), d.h. die vorhandene Anzahl

muss nach jeweils 30 Minuten mit 3 multipliziert werden.

Formuliert eine Funktionsgleichung für das erste Bakterium.

Teil 3:

Es gilt der folgende Ansatz: f (x)=3x

Beschreibt, wofür f (x) und x stehen. Ermittelt, was der Ansatz ausdrückt und wie die

Funktion für Bakterienstamm (1) richtig lautet.

Hilfe 2

Die MTAs im Labor haben in einer früheren Untersuchung zur Vermehrung von E. Coli –

Bakterien ebenfalls eine Funktionsgleichung aufgestellt. Die Bakterien verdoppeln sich alle

20 Minuten.

Die Anzahl der Bakterien lag zu Beginn der Beobachtungen bei n=1.

Sie haben folgende Funktionsgleichung bestimmt: f (x)=1⋅21

20 x

Hilfe 3

Teil 1:

Für Bakterium (1) gilt folgende Gleichung: f (x)=1⋅104⋅3130 x






Für Bakterium (2) gilt folgende Gleichung: g(x )=1 ⋅104 ⋅e115 x

Stellt eine Vermutung über den „Gewinner“ an. Eine Wertetabelle kann helfen.

Teil 2:

Verwendet das Gleichsetzungsverfahren um das Gleichungssystem zu lösen. Berechnet

zuerst den Zeitpunkt der Ausschaltung des einen Bakterienstamms. Überprüft euer Ergebnis.

Tipp: Verwendet die Formelsammlung.

Teil 3:

x=36,56Minuten

Teil 4:

Nutzt euer anfangs aufgestelltes Gleichungssystem um die Anzahl der Bakterien zu

berechnen, bevor die eine Bakterienkolonie vernichtet wird.

Dazu solltet ihr den Zeitpunkt bereits ermittelt haben.






Station 3: Wahrheit oder Fake?Kapitel 1Auf dem monatlichen Trödelmarkt entdeckt ihr an einem Stand mit Überraschungseifiguren

eine hölzerne Sphinx. Verwundert fragt ihr den Verkäufer über die seltsame, euch

unbekannte Figur aus. Der Verkäufer erklärt euch, dass es sich um eine der ersten

Sammelfiguren handelt, welche aus dem alten Ägypten stammt, und verweist fingerzeigend

auf eine kleine Einkerbung am Boden der Figur. Eine kurze Internetsuche ergibt, dass es

sich bei den Hieroglyphen um einen Datumsstempel handelt, welcher nach heutiger

Zeitrechnung die Figur auf den 27.10.1332 v. Chr. datiert. Ist es möglich, dass Pharao

Tutenchamun bereits mit einer dieser Figuren gespielt oder sie gar gesammelt hat? Etwas

skeptisch schlagt ihr dem Händler einen Deal vor: Er händigt euch die Figur für

wissenschaftliche Nachforschungen aus. Sollte es sich tatsächlich um ein Original der

ägyptischen Sammelfiguren handeln, so überlasst ihr ihm im Tausch jeder euer Smartphone.

Könnt ihr allerdings beweisen, dass es sich um eine Fälschung handelt, erhaltet ihr eure

Smartphones sowie einen kleinen Bonus für eure Arbeit zurück. Der Händler übergibt euch

die Sammelfigur.

Etwas ratlos, wie ihr nachweisen könnt, dass es sich um eine Fälschung handelt, verlasst ihr

den Markt. Wo kann man so etwas denn herausfinden? Ihr kommt zu dem Schluss, dass es

für einen wissenschaftlichen Nachweis handfester wissenschaftlicher Informationen bedarf.

Die UNI! In den Fakultäten für Geschichte und Ägyptologie erhaltet ihr jedoch keinerlei

hilfreiche Informationen. Man könne euch die Richtigkeit eurer Hieroglyphenübersetzung

bestätigen, sie wissen jedoch nichts über solche Figuren. Schon fast verzweifelnd händigt ihr

die Figur zusammen mit einer eurer Adressen einem Doktoranden aus, welcher meint er

hätte eine Idee. Etwa einen Monat später erhaltet ihr unerwartet Post… AUS DER CHEMIE?

AufgabeErmittelt das Alter der Sammelfigur.


nachvollziehen kann. Fertigt dazu ein Protokoll an.











Liebe Hilfesuchende,

auf Bitte eines guten Freundes habe ich mich eurer Sache angenommen. Es gibt eine Möglichkeit das Alter von organischen Materialien zu bestimmen. Ich habe eine 14C - Datierung (auch als Radiokarbonmethode bekannt) an eurer Figur vorgenommen. Leider ist unser Institut krankheitsbedingt derzeit unterbesetzt, sodass es nicht möglich war die Daten auszuwerten. Anbei findet ihr daher das AMS-Protokoll mit den Messergebnissen der Massenspektroskopie. Eine kurze Erklärung zum Verfahren befindet sich auf den Universitätsrechnern als Lehrvideo.

Liebe Grüße und viel Erfolg!






Station 3 – Kapitel 1: Gestufte Hilfen mit Lösungen

Hilfe 1Notiert alle (wichtigen) Informationen, die ihr dem Protokoll und dem Video entnehmen könnt.

Lösung:

Gegeben:

(¹⁴C / ¹²C)a=6,689732 ⋅10−13

(¹⁴C / ¹²C)n=1,001024 ⋅10−12

tH=5730a (Halbwertszeit)

Hilfe 2Interpretiert den Begriff Halbwertszeit mathematisch.

Lösung:

Die Halbwertszeit beschreibt eine exponentielle (Zerfalls-) Funktion zur Basis 12 .

Nach tH=5730a(Jahren) ist somit genau die Hälfte der ¹⁴C- Atome zerfallen.

Hilfe 3Notiert eine allgemeine Exponentialfunktion. Ersetzt die relevanten Parameter mit euch

gegebenen Werten.

Lösung:

y=f (x )=a ⋅b(c ⋅x )+d

y=(¹⁴C / ¹²C)ax=t

a=( ¹⁴C / ¹²C)n b=12 c=

1tH

d=0

Hilfe 4Stellt die Funktionsgleichung zur Berechnung des Alters t (in Jahren) um.






Lösung: t=−tH log2(( ¹⁴C / ¹²C)a( ¹⁴C / ¹²C)n

)

Beschleuniger-Massenspektroskopie (AMS) – Protokoll

Datum: 02.02.2016

Uhrzeit: 16:25 MEZ

Ort: Leipzig

Verwendungszweck: Radiokohlenstoffdatierung

Auftragsnummer: 254.12.4-3

Proben ID: 42320160204-1

Proben ID: 42320160204-2

Größen zur Feldstärkenbestimmung:

Isotopmasse m(¹²C) = 12,00000u

Isotopmasse m(¹³C) = 13,00335u

Isotopmasse m(¹⁴C) = 14,00324u

Messungenauigkeiten: 0,5%

Auswertung Probe 42320160204-1: antikes Holz

Verhältnis ¹⁴C/¹²C: 6,689732 ⋅10−13

Auswertung Probe 42320160204-2: neues Holz (Fällung 01.02.2016)

Verhältnis ¹⁴C/¹²C: 1,001024 ⋅10−12






Kapitel 2Offensichtlich muss es sich tatsächlich um eine Originalfigur aus altägyptischer Zeit handeln.

Nach einigen Meinungsverschiedenheiten, was ihr nun mit der Figur anfangen sollt, steht der

Entschluss fest: Ihr möchtet sie in einem angesehenen Auktionshaus der Stadt versteigern

und euch den Gewinn teilen.

Mit Figur und euren Ausarbeitungen betretet ihr zuversichtlich das Auktionshaus und befindet

euch wenig später im Büro eines Gutachters, dem ihr alles vorlegt und erklärt. Nach einigen

Minuten des stillen Begutachtens sieht euch der Angestellte kopfschüttelnd der Reihe nach

an. Er versichert euch, dass es sich hierbei um eine Fälschung handle. Ein Original dürfe

mehrere Millionen Wert sein, jedoch sei dies (mit Verweis auf die Figur) nur ein Stück altes

Holz, welches allenfalls, wenn überhaupt, ein paar Euro wert ist.

Verzweifelt verlasst Ihr das Auktionshaus. Hat der Gutachter wirklich Recht? Und wie könnt

ihr das dem Standbesitzer auf dem Trödelmarkt erklären, dass es sich um eine Fälschung

handelt, wo ihr doch handfeste wissenschaftliche Fakten vorliegen habt, welche das

Gegenteil nahelegen? Habt ihr wirklich eure Smartphones gegen ein fast wertloses Stück

Holz eingetauscht? Und nun...?

Wie bekommt ihr nur eure Handys wieder?

AufgabeBestimmt Faktoren, die das Ergebnis der Untersuchung beeinflusst haben könnten.

Begründet eure Entscheidungen.

Achtung!Dokumentiert eure Ergebnisse ebenfalls im Protokoll.






ZusatzIhr findet bei euren Recherchen heraus, dass bis heute ein um ca. 20% erhöhter 14C-Anteil in

unserer Umwelt wie noch zu Beginn des 20. Jahrhunderts zu beobachten ist.

AufgabeBerechnet das Alter der Figur unter Berücksichtigung des Konzentrationsanstiegs neu.

Achtung!Dokumentiert eure Ergebnisse ebenfalls im Protokoll.






Station 3 – Kapitel 2: Gestufte Hilfen mit Lösungen

Hilfe 1Findet unter den euch vorliegenden Größen die heraus, welche abhängig von der Probe das

errechnete Alter beeinflussen.

Lösung:

(¹⁴C / ¹²C)a=6,689732 ⋅10−13

(¹⁴C / ¹²C)n=1,001024 ⋅10−12

Hilfe 2Findet Einflüsse, welche durch Natur oder/und Mensch diese Größen verändern können.

Begründet deren Auswirkungen.

Lösung:

Fällung des Baumes

Effekte aus Kernwaffeneinsatz und Kernreaktorunglücken

Schwankung kosmischer Strahlung






Station 4: Der Traum vom Klavier

Ein Klavierbauer aus Österreich möchte sich einen lang ersehnten Traum erfüllen. Er träumt

davon ein Klavier zu konstruieren, welches alle Töne des hörbaren Bereichs mit je einer

Taste hervorbringen kann. Eine Tastatur eines normalen Klaviers ist durchschnittlich 1 m

lang, wobei die weißen Tasten etwa 2 cm breit sind.

AufgabeBerechnet die Länge des Traumklaviers des Klavierbauers.

Bestimmt zunächst mittels App das hörbare Frequenzspektrum (Minimumf minund Maximum

f max). Versucht einen Zusammenhang zwischen den Frequenzen bestimmter Tastentöne

herzustellen.


nachvollziehen kann.






Station 4: Gestufte Hilfen

1. HilfeErmittelt mit Hilfe der Apps auf eurem Handy das hörbare Frequenzspektrum (Minimum f min

und Maximumf max).

2. HilfeErmittelt mit Hilfe der Apps die Frequenzen der verschiedenen Tastentöne eines Klaviers.

Tipp: An manchen Stellen ist es sinnvoll, Werte geschickt zu runden.

3. HilfeEine Oktave besteht aus den folgenden Tönen.

4. HilfeStellt einen Zusammenhang zwischen den Frequenzen bestimmter Tastentöne her.

5. HilfeBei einer Oktave ist die Frequenz des nächsten bzw. vorherigen Tastentons um den Faktor 12√2 höher bzw. tiefer. Nutzt diese Information, um eine Gleichung für die Frequenz

aufzustellen.

6. HilfeUm die Frequenzen aller möglichen Tastentöne der jeweiligen Oktaven berechnen zu

können, geht man von einem Grundton mit der Frequenzf 0 aus.


ais

gisfisdis

cis

cHAGFEDC





Interpretiert diesen Tastenton als „Ton Nummer Null“ (n0=0 ) auf dem Klavier.

7. HilfeAus dem Verhältnis der jeweiligen Tastentöne zueinander und der Frequenz f 0 des

Grundtones erhält man folgende Funktionsgleichung:

f= f (n )= f 0⋅ 2n

12 ¿

8. HilfeBerechnet mit Hilfe eurer Funktionsgleichung und des von euch ermittelten hörbaren

Frequenzspektrums die Tasten nminundnmax.

9. Hilfe

Berechnet nmin und nmax in der umgestellten Funktionsgleichung n=12⋅ log2(ff 0

) für

f=f min und f=f max. Interpretiert das Ergebnis.

10. Hilfe

Ausgehend von eurem Grundton n0 gibt es somit |nmin| tiefere und ¿nmax∨¿ höhere

Tastentöne in Bezug zum Grundton n0.






Station 4: Material

Bitte ladet euch folgende Apps auf euer Smartphone, die ihr für die Bearbeitung der Station

benötigt.

Ihr benötigt insgesamt 2 Smartphones.

IOS – System:Ausgabe von Frequenzen: Tongenerator

virtuelles Klavier: Perfect Piano

Frequenzmessung: Schallanalysator

Android – System:Ausgabe von Frequenzen: Frequenz Sound Generator

virtuelles Klavier: Perfect Piano

Frequenzmessung: Schallanalysator

PC:Ausgabe von Frequenzen: www.szynalski.com/tone-generator/

virtuelles Klavier: Perfect Piano (über Google Play)

Frequenzmessung: Schallanalysator (über Google Play)






Station 1: Erwartungshorizont

Protokoll: Station 1 – Das Raumschiff „Unendlich“Materialien:

Stromversorgungsgerät

2 Steckbretter

8 Kabel

2 Multimeter

Kondensator 1000 μF

Widerstand 24 k Ω

Schalter

Durchführung:

Schaltplan zeichnen

Versuch aufbauen

Linke Masche (siehe Schaltplan) wird geschlossen und somit der Kondensator


A A

V-+





aufgeladen.

Schalter wird umgelegt und die rechte Masche wird geschlossen.

Der Kondensator entlädt sich.

In Abständen von 5 Sekunden wird die Stromstärke vom analogen Amperemeter

abgelesen und in die vorbereitete Wertetabelle eingetragen.

T in s 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60

I in mA 0,34 0,28 0,22 0,18 0,15 0,12 0,1 0,08 0,06 0,05 0,04 0,03 0,03

Beobachtung:

Die Stromstärke nimmt vom Betrag ab und dies zunächst schneller und dann wird die

Abnahme immer langsamer.

Auswertung:

Aufgabe 1:

Stromstärke zum Zeitpunkt t=0 bestimmen:

U A

R¿ I 0

8,2V24 ⋅103Ω

≈ 0,34mA

Werte in vorgefertigtes Diagramm eintragen und Graph zeichnen:


I in mA

T in s

605550454035302520151050

0,4

0,35

0,3

0,25

0,2

0,15

0,1

0,05





Bestimmen der Funktionsgleichung:

I=−I 0⋅ e−( tR ⋅C )

Aufgabe 2:

Gegebene Gleichung nutzen:

Q(t )=I 0⋅R ⋅C ⋅e−( tR ⋅C ) und nach t umstellen

→t=−R⋅C ⋅ ln( QI 0⋅R ⋅C

)

Anfangswert QA der Ladung berechnen:

C ¿ QU

QA ¿ C ⋅U A

QA ¿ 1000 ⋅10−6F ⋅ 8,2VQA ¿ 8,2⋅10−3C

t von Q=12QA berechnen:

t ¿ −24 ⋅103Ω ⋅1000⋅10−6F ⋅ ln( 4,1⋅10−3C0,34 ⋅10−3 A ⋅24 ⋅103Ω ⋅1000⋅ 10−6F

)

t ≈ 16,52 s

Der Kondensator ist nach 16,64 s zur Hälfte entladen und somit muss die Crew mindestens

16,64 s warten bis sie die Systeme wieder hochfahren können.






Station 2: ErwartungshorizontProtokoll: Station 1 – Kampf der BakterienMaterialien:

Wertetabellen mit Millimeterpapier

Formelsammlung

Taschenrechner

Durchführung:

Aufstellen einer Wertetabelle für beide Bakterienstämme

x = Minuten 0 30 60

y = Bakterienzahl 10.000 30.000 90.000

x = Minuten 0 15 30 45 60

y = Bakterienzahl 10.000 27.182 73.890 200.855 545.980

Auswertung:

Graphen zeichnen im Verhältnis 1:10.000







225

Bakterienstamm (1): Helicobacter pylori

f(x)=31

30 x

x

601651501351201059075604530150

200

175

150

125

100

75

50

25






225

Bakterienstamm (2): Chlorobaculum tepidum

f(x)=e115 x

x

601651501351201059075604530150

200

175

150

125

100

75

50

25





Funktionsgleichungen bestimmen

(1) f (x)=1⋅104⋅3130 x (2) f (x)=1⋅104⋅3

115 x

Der Bakterienstamm (2) vermehrt sich schneller.

Gleichungssystem aufstellen um den Zeitpunkt der Ausschaltung von

Bakterienstamm (1) zu ermitteln

(I) 1 ⋅104 ⋅3130 x= y (II) 1 ⋅104 ⋅3

115 x=3 y

Gleichungssystem mit Hilfe des Gleichsetzungsverfahrens lösen

1 ⋅104⋅31

30 x ¿ 13⋅104 ⋅ e

115 x

31

30 x ¿ 13⋅e

115 x

130x ⋅ ln(3) ¿ ln ( 1

3)+ 1

15x

ln(3) x−2x30

¿ ln(13)

3 ⋅10−2 x ¿ ln(13)

x ¿ 36,56

Nach 36,56 Minuten ist Bakterienstamm (1) verhungert.

Wert für x in die Funktionsgleichungen einsetzen

f (x) ¿ 1 ⋅104 ⋅31

30 ⋅36,56

f (x) ¿ 38146

f (x) ¿ 1 ⋅104 ⋅31

15 ⋅36,56

f (x) ¿ 114395






38.146 : 114395 = 1 : 3

Nach 36,56 Minuten hat sich Bakterienstamm (1) auf 38.146 und Bakterienstamm (2)

auf 114.395 vermehrt. Dies entspricht einem Verhältnis von 1:3, sodass

Bakterienstamm (1) verhungert.

Station 3: ErwartungshorizontProtokoll: Station 3 – Wahrheit oder FakeMaterial:

Brief aus der Chemie

¹⁴C-Laborergebnisse

Informationsvideo zur ¹⁴C-Methode (Radiocarbonmethode)

Durchführung:

Informationsvideo schauen (ggf. mehrfach)

Herausschreiben wichtiger zur Berechnung relevanter Informationen aus

Laborbericht und Video

Aufstellen der allgemeinen Exponentialfunktion

Ersetzen der Parameter durch gegebene Werte

Gleichung nach t umstellen

Reflexion des berechneten Alters und Fehlerdiskussion

Beobachtung:

geg.: ( ¹⁴C¹²C

)a=6,689732 ⋅10−13

( ¹⁴C¹²C

)n=1,001024 ⋅10−12

tH=5730a Halbwertszeit, die Zeit nach der die Hälfte des Stoffes zerfallen ist

ges.: t

Auswertung:






Die allgemeine Form der Exponentialgleichung lautet: y=f (x )bx

Diese kann weitere Parameter enthalten: y=f (x )=a ⋅bc⋅ x+dZu betrachten ist eine zeitabhängige Exponentialfunktion, d.h. y=f (t )=a ⋅bc⋅ t+dDie ermittelten Werte entsprechen dabei:

y=( ¹⁴C¹²C

)a

a=( ¹⁴C¹²C

)n,b=1

2, c=1tH

, d=0

Es folgt nach der Einsetzung durch gegebene Größen ( ¹⁴C¹²C

)a=( ¹⁴C

¹²C)n⋅( 1

2)tt H

Um zu berechnen welches Alter die Sammelfigur hat, muss die Gleichung durch

Äquivalenzumformung und Anwendung von Logarithmusgesetzen nach t umgestellt werden.

t ¿ −t H ⋅ log2(( ¹⁴C

¹²C)a

( ¹⁴C¹²C

)n

)

t ¿ −5730a ⋅ log2(6,689732⋅10−13

1,001024 ⋅10−12 )

t ¿ 3331,74aDie Figur ist somit etwa 3330 Jahre alt.

Da es sich um eine Fälschung handeln soll, müssen die Größen

( ¹⁴C¹²C

)a=6,689732 ⋅10−13

oder(¹⁴C¹²C

)n=1,001024 ⋅10−12

fehlerbehaftet sein.

Möglichkeiten für Fehler:

Fehler im Messverfahren bzw. Verunreinigung

Nach Zusätzlichen Informationen der Stationsbetreuung:

Der Baum, aus welchem die Figur gefertigt ist, ist eventuell 3330 Jahre.

Die Figur kann später gefertigt worden sein.

Durch Atomwaffentests und Unglücke Mitte des 20. Jahrhunderts ist der 14C-Anteil in unserer

Umwelt extrem angestiegen. Bis heute ist ein um ca. 20% erhöhter Anteil wie noch zu

Beginn des 20. Jahrhunderts zu beobachten. Da die Vergleichsprobe „neu“ ist, wurde dieser

Faktor hier nicht berücksichtigt.

Zusatz:

Neuberechnung unter Berücksichtigung des 20% Konzentrationsanstieges:






( ¹⁴C¹²C

)N

¿100 ⋅( ¹⁴C

¹²C)n

120¿ ¿ ¿

8,341867 ⋅10−13¿

Eingesetzt in die eben nach der Zeit t umgestellte Gleichung folgt

t ¿ −tH ⋅ log2(( ¹⁴C

¹²C)a

( ¹⁴C¹²C

)N

)

t ¿ −5730a ⋅ log2(6,689732⋅ 10−13

8,341867 ⋅10−13 )

t ¿ 1824,56a

Der Baum, aus welchem die Figur geschnitzt wurde, ist also etwa im Jahre 200 n. Chr.

Gefällt worden. Es handelt sich somit definitiv um eine Fälschung.

Station 4: ErwartungshorizontProtokoll: Station 4 – Der Traum vom KlavierMaterialien:

− Apps (je nach Betriebssystem – siehe Material)

− Taschenrechner

Durchführung:

− Ermittlung des hörbaren Bereichs

− Ermittlung der Frequenzen der jeweiligen Töne

Beobachtung:

hörbarer Bereich: 20 – 20.000 Hz

Ton Frequenz in Hz

c'' 1046,50

H' 987,767

Ais'' 932,328

A'' 880

Gis'' 830,609

G'' 783,991

Fis'' 739,989

F'' 698,456

E'' 659,255

Dis'' 622,254

D'' 587,330

Cis'' 523,251

H' 493,883






Ais' 466,164

A' 440

Gis' 415,305

G' 391,995

Fis' 369,994

F' 349,228

E' 329,628

dis' 311,127

D' 293,665

Cis' 277,183

C' 261,626

Auswertung:

Die Frequenz des Tons a'' ist genau das Doppelte des Tons a'. Die Frequenz des nächst

höheren oder nächst tieferen Tons innerhalb einer Oktave ist um 1/12 höher oder tiefer. Mit

der Anfangsfrequenz von 440 Hz ergibt sich die Funktionsgleichung

f (x)=440 ⋅2x

12

wobei x die „Nummer“ des jeweiligen Tons darstellt, wenn man den Ton a' als „Ton 0“

annimmt.

Ermittlung der Anzahl der Töne aus den Frequenzen des hörbaren Bereichs (Maximum und

Minimum):

f (x) ¿ 440 ⋅2x

12

f (x)440 ¿ 2

x12

log2f ( x)440

¿ x12

12 ⋅ log2f (x)440

¿ x

Minimum: Maximum:

12 ⋅ log220440

¿ x

−53,51 ¿ x

12 ⋅ log220000

440¿ x

66,08 ¿ x

Es gibt ausgehend vom „Ton 0“ 53 Töne, die tiefer sind und 66 Töne, die höher sind.

Inklusive des „Tons 0“ gibt es also 120 Töne. Die für die Länge des Klaviers relevanten

Tasten sind lediglich die weißen, sodass nur 7 Tasten pro Oktave zu betrachten sind.






12012

⋅7 ⋅2=140

Die Tastatur des Klaviers ist 140 cm lang.





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oer.uni-leipzig.de · Web view2017-06-06 · Aufgabenpool „Exponentialfunktionen“ Aufgabenpool „Exponentialfunktionen“ von Universität Leipzig (Gereke, Hofmann, Kranz,