Inhaltsverzeichnis

Inhaltsverzeichnis 1

Titelseite 11Vorwort und Gebrauchsanleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

I Mechanik 1

1 Physikalisches Rechnen 21.1 Zehnerpotenzen und Dezimalvorsätze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2 Einheiten umwandeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.3 Genauigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.4 Formalisieren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.5 Darstellung Lösungsweg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2 Kinematik 72.1 Mittlere Geschwindigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.2 Bewegung mit konstanter Geschwindigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.3 Gleichmässig beschleunigte Bewegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.4 Relativbewegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

3 Fallgesetze 143.1 Freier Fall ohne Anfangsgeschwindigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

3.2 Vertikaler Wurf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

3.3 Horizontaler Wurf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

3.4 Schiefer Wurf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

4 Dynamik 204.1 Masse und Dichte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

4.2 Newton’sche Axiome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

4.3 Kraftgesetze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

4.4 Statik und Kinetik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

5 Arbeit, Leistung, Energie 33

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5.1 Arbeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

5.2 Leistung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

5.3 Wirkungsgrad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

5.4 Energie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

6 Impuls 41

7 Kreisbewegung 43

8 Beschleunigte Bezugssysteme 48

9 Astronomie 499.1 Keplersche Gesetze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

9.2 Gravitationskraft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

9.3 Gravitationsfeld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

9.4 Gravitationsenergie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

10 Starrer Körper 5610.1 Hebelgesetz und Drehmoment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

10.2 Schwerpunkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

10.3 Statik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

10.4 Arbeit und Leistung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

10.5 Trägheitsmoment und Rotationsenergie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

10.6 Drehimpuls . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

11 Elastizität 6311.1 Elastitzität und Zugfestigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

11.2 Druck- und Zugspannung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

12 Hydrostatik 6512.1 Druckarbeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

12.2 Schweredruck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

12.3 Auftrieb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

13 Oberflächenspannung 70

14 Hydrodynamik 7114.1 Kontinuitätsgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

14.2 Luftwiderstand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

14.3 Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

14.4 Impulsstrom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

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II Wärmelehre 75

15 Wärmelehre 7615.1 Temperatur und Wärmeausdehnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

15.2 Wärmekapazität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

15.3 Schmelzen und Verdampfen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

15.4 Dampfdruck und Feuchte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

16 Wärmetransport 8416.1 Wärmemitführung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

16.2 Wärmeleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

16.3 Wärmestrahlung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

17 Gasgesetze 8717.1 Stoffmenge und Teilchenzahl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

17.2 Zustandsgleichung des idealen Gases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

17.3 Kinetische Gastheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

18 Thermodynamik 9318.1 Verbrennungswärme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

18.2 Erster Hauptsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

18.3 Wirkungsgrad und Leistungszahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

18.4 Zweiter Hauptsatz und Diverses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

III Elektrizitätslehre 99

19 Elektrostatik 10019.1 Elektrische Ladung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

19.2 Coulombkraft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

19.3 Elektrische Feldstärke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

19.4 Elektrische Spannung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

19.5 Kondensatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

20 Gleichstromlehre 10620.1 Strom und Spannung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

20.2 Leistung und Widerstand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

20.3 Einfache Schaltungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

20.4 Schwierige Schaltungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

20.5 Elektronik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

21 Magnetismus 11621.1 Magnetisches Feld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

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21.2 Magnetische Kräfte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

21.3 Elektromagnetismus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

22 Elektrodynamik 12122.1 Kondensatorentladung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

22.2 Magnetische Induktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

22.3 Selbstinduktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

23 Elektrotechnik 12423.1 Wechselstrom und Wechselspannung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

23.2 Elektromotoren, Generatoren und Transformatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

23.3 Impedanz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

IV Schwingungen und Wellen 129

24 Geometrische Optik 13024.1 Reflexion und Brechung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

24.2 Linsen und Spiegel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

24.3 Abbildungsgesetze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

24.4 Optische Geräte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

25 Schwingungen 13625.1 Pendel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

25.2 harmonische Schwingung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

25.3 Gedämpfte und erzwungene Schwingung, Bewegungsgleichungen . . . . . . . . . . . . . 141

26 Wellen 14426.1 Wellenlänge, Frequenz und Phase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

26.2 Wellengeschwindigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

26.3 Intensität und Polarisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

26.4 Interferenz und Beugung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

27 Akustik 15327.1 Tonleitern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153

27.2 Pfeifen und Saiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153

27.3 Schallstärke und Lautstärke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153

27.4 Dopplereffekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

V Moderne Physik 156

28 Spezielle Relativitätstheorie 15728.1 Zeitdilatation und Längenkontraktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157

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28.2 Transformationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158

28.3 Impuls und Kraft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159

28.4 Energie-Masse-Äquivalenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160

28.5 Gesamtenergie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161

29 Allgemeine Relativitätstheorie 16329.1 Äquivalenzprinzip der ART . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163

29.2 Uhren im Schwerefeld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163

30 Kern- und Teilchenphysik 16530.1 Radioaktivität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165

30.2 Kernphysik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168

30.3 Teilchenphysik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169

31 Quantenphysik 17031.1 Quantenoptik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170

31.2 Materiewellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171

31.3 Atommodelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172

31.4 Unbestimmtheitsrelationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173

31.5 diverses Quantenphysik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173

VI Physikalische Methoden 17431.6 Dimensionsanalyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176

32 Infinitesimalrechnung 17732.1 Differentialrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177

32.2 Integralrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177

33 Praktikum 17833.1 Fehlerrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178

33.2 Ausgleichsrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178

33.3 Diagramme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179

33.4 Berichte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181

VII Lösungen Mechanik 182

34 Lösungen (Physikalisches Rechnen) 18334.1 Lösungen (Zehnerpotenzen und Dezimalvorsätze) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183

34.2 Lösungen (Einheiten umwandeln) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191

34.3 Lösungen (Genauigkeit) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206

34.4 Lösungen (Formalisieren) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213

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34.5 Lösungen (Darstellung Lösungsweg) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223

35 Lösungen Kinematik 23435.1 Lösungen (Mittlere Geschwindigkeit) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234

35.2 Lösungen (Bewegung mit konstanter Geschwindigkeit) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256

35.3 Lösungen (Gleichmässig beschleunigte Bewegung) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273

35.4 Lösungen (Relativbewegung) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302

36 Lösungen (Fallgesetze) 30836.1 Lösungen (Freier Fall ohne Anfangsgeschwindigkeit) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308

36.2 Lösungen (Vertikaler Wurf) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 330

36.3 Lösungen (Horizontaler Wurf) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 347

36.4 Lösungen (Schiefer Wurf) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 359

37 Lösungen (Dynamik) 37437.1 Lösungen (Masse und Dichte) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374

37.2 Lösungen (Newton’sche Axiome) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412

37.3 Lösungen (Kraftgesetze) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 440

37.4 Lösungen (Statik und Kinetik) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 472

38 Lösungen (Arbeit, Leistung, Energie) 51238.1 Lösungen (Arbeit) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 512

38.2 Lösungen (Leistung) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 528

38.3 Lösungen (Wirkungsgrad) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 556

38.4 Lösungen (Energie) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 570

39 Lösungen (Impuls) 605

40 Lösungen (Kreisbewegung) 625

41 Lösungen (Beschleunigte Bezugssysteme) 671

42 Lösungen (Astronomie) 67642.1 Lösungen (Keplersche Gesetze) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 676

42.2 Lösungen (Gravitationskraft) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 693

42.3 Lösungen (Gravitationsfeld) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 717

42.4 Lösungen (Gravitationsenergie) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 730

43 Lösungen (Starrer Körper) 75043.1 Lösungen (Hebelgesetz und Drehmoment) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 750

43.2 Lösungen (Schwerpunkt) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 761

43.3 Lösungen (Statik) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 767

43.4 Lösungen (Arbeit und Leistung) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 769

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43.5 Lösungen (Trägheitsmoment und Rotationsenergie) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 778

43.6 Lösungen (Drehimpuls) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 785

44 Lösungen (Elastizität) 79444.1 Lösungen (Elastizität und Zugfestigkeit) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 794

44.2 Lösungen (Druck- und Zugspannung) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 802

45 Lösungen (Hydrostatik) 80645.1 Lösungen (Druckarbeit) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 806

45.2 Lösungen (Schweredruck) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 817

45.3 Lösungen (Auftrieb) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 843

46 Lösungen (Oberflächenspannung) 862

47 Lösungen (Hydrodynamik) 86947.1 Lösungen (Kontinuitätsgleichung) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 869

47.2 Lösungen (Luftwiderstand) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 876

47.3 Lösungen (Bernoulli) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 897

47.4 Lösungen (Impulsstrom) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 904

VIII Lösungen Wärmelehre 910

48 Lösungen (Wärmelehre) 91148.1 Lösungen (Temperatur und Wärmeausdehnung) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 911

48.2 Lösungen (Wärmekapazität) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 918

48.3 Lösungen (Schmelzen und Verdampfen) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 941

48.4 Lösungen (Dampfdruck und Feuchte) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 979

49 Lösungen (Wärmetransport) 100549.1 Lösungen (Wärmemitführung) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1005

49.2 Lösungen (Wärmeleitung) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1013

49.3 Lösungen (Wärmestrahlung) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1018

50 Lösungen (Gasgesetze) 103550.1 Lösungen (Stoffmenge und Teilchenzahl) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1035

50.2 Lösungen (Zustandsgleichung des idealen Gases) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1048

50.3 Lösungen (Kinetische Gastheorie) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1083

51 Lösungen (Thermodynamik) 109951.1 Lösungen (Verbrennungswärme) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1099

51.2 Lösungen (Erster Hauptsatz) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1126

51.3 Lösungen (Wirkungsgrad und Leistungszahlen) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1136

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INHALTSVERZEICHNIS 8

51.4 Lösungen (Zweiter Hauptsatz und Diverses) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1154

IX Lösungen Elektrizitätslehre 1155

52 Lösungen (Elektrostatik) 115652.1 Lösungen (Elektrische Ladung) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1156

52.2 Lösungen (Coulombkraft) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1162

52.3 Lösungen (Elektrische Feldstärke) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1175

52.4 Lösungen (Elektrische Spannung) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1191

52.5 Lösungen (Kondensatoren) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1210

53 Lösungen (Gleichstromlehre) 121353.1 Lösungen (Strom und Spannung) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1213

53.2 Lösungen (Leistung und Widerstand) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1229

53.3 Lösungen (Einfache Schaltungen) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1253

53.4 Lösungen (Schwierige Schaltungen) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1298

53.5 Lösungen (Elektronik) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1303

54 Lösungen (Magnetismus) 130454.1 Lösungen (Magnetisches Feld) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1304

54.2 Lösungen (Magnetische Kräfte) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1313

54.3 Lösungen (Elektromagnetismus) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1337

55 Lösungen (Elektrodynamik) 135755.1 Lösungen (Kondensatorentladung) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1357

55.2 Lösungen (Magnetische Induktion) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1361

55.3 Lösungen (Selbstinduktion) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1371

56 Lösungen (Elektrotechnik) 137856.1 Lösungen (Wechselstrom und Wechselspannung) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1378

56.2 Lösungen (Elektromotoren, Generatoren und Transformatoren) . . . . . . . . . . . . . . . 1391

56.3 Lösungen (Impedanz) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1401

X Lösungen Schwingungen und Wellen 1410

57 Lösungen (Geometrische Optik) 141157.1 Lösungen (Reflexion und Brechung) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1411

57.2 Lösungen (Linsen und Spiegel) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1431

57.3 Lösungen (Abbildungsgesetze) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1439

57.4 Lösungen (Optische Geräte) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1455

58 Lösungen (Schwingungen) 1458

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INHALTSVERZEICHNIS 9

58.1 Lösungen (Pendel) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1458

58.2 Lösungen (harmonische Schwingung) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1486

58.3 Lösungen (Gedämpfte und erzwungene Schwingung, Bewegungsgleichungen) . . . . . . . 1505

59 Lösungen (Wellen) 152359.1 Lösungen (Wellenlänge, Frequenz und Phase) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1523

59.2 Lösungen (Wellengeschwindigkeit) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1534

59.3 Lösungen (Intensität und Polarisation) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1549

59.4 Lösungen (Interferenz und Beugung) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1557

60 Lösungen (Akustik) 159460.1 Lösungen (Tonleitern) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1594

60.2 Lösungen (Pfeifen und Saiten) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1595

60.3 Lösungen (Schallstärke und Lautstärke) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1601

60.4 Lösungen (Dopplereffekt) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1618

XI Lösungen Moderne Physik 1623

61 Lösungen (Spezielle Relativitätstheorie) 162461.1 Lösungen (Zeitdilatation und Längenkontraktion) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1624

61.2 Lösungen (Transformationen) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1643

61.3 Lösungen (Impuls und Kraft) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1652

61.4 Lösungen (Energie-Masse-Äquivalenz) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1661

61.5 Lösungen (Gesamtenergie) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1682

62 Lösungen (Allgemeine Relativitätstheorie) 169862.1 Äquivalenzprinzip der ART . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1698

62.2 Lösungen (Uhren im Schwerefeld) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1707

63 Lösungen (Kern- und Teilchenphysik) 171663.1 Lösungen (Radioaktivität) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1716

63.2 Lösungen (Kernphysik) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1753

63.3 Lösungen (Teilchenphysik) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1762

64 Lösungen (Quantenphysik) 176464.1 Lösungen (Quantenoptik) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1764

64.2 Lösungen (Materiewellen) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1780

64.3 Lösungen (Atommodelle) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1786

64.4 Lösungen (Unbestimmtheitsrelationen) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1802

64.5 Lösungen (diverses Quantenphysik) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1803

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INHALTSVERZEICHNIS 10

XII Lösungen Physikalische Methoden 1805

65 Lösungen (Heuristik) 180665.1 Lösungen (Dimensionsanalyse) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1806

66 Lösungen (Infinitesimalrechnung) 180866.1 Lösungen (Differentialrechnung) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1808

66.2 Lösungen (Integralrechnung) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1812

67 Lösungen (Praktikum) 181667.1 Lösungen (Fehlerrechnung) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1816

67.2 Lösungen (Ausgleichsrechnung) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1824

67.3 Lösungen (Diagramme) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1828

67.4 Lösungen (Berichte) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1835

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Physikalische Trainingsaufgaben

Martin Lieberherr

15. September 2018

Die aktuellste Version ist zu finden unterhttp://lie.perihel.ch

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INHALTSVERZEICHNIS 12

Vorwort und Gebrauchsanleitung

Dies soll eine Sammlung physikalischer Trainingsaufgaben auf gymnasialem Niveau werden. Die Aufgabensind nicht nach Schwierigkeit sortiert (die einfachen Aufgaben stehen eher am Schluss ) und sie deckennoch nicht alle Themen ab (oder mit genügend einfachen Aufgaben ab). Es sind alte Prüfungsaufgabenoder Fragen, die mich interessierten.

Am Ende jeder Aufgabe erscheint ein farbiger Hyperlink. Wird dieser angeklickt, so wird man zur vollstän-digen Lösung dieser Aufgabe geführt. Bei der Lösung führt ein Hyperlink zurück zur Aufgabe.

Einige Aufgaben enthalten nicht alle benötigten Angaben. Bei diesen muss ein Tabellenwerk (die “FoTa”[1])zu Hilfe genommen werden. Man darf auch nicht davor zurückschrecken, Informationen aus dem Internet zubeschaffen. Aufgaben können überflüssige Angaben enthalten, die zu ignorieren sind. Gelegentlich müssenAngaben geschätzt werden.

Die Aufgaben sollen – sofern möglich – nach folgendem Schema gelöst werden:1. Formale Lösung herleiten. Die Schlussformel enthält nur Variable für gegebene Grössen.2. Gegebene Grössen inklusive Einheiten einsetzen.3. Resultat ausrechnen, runden, mit der üblichen Einheit versehen und doppelt unterstreichen.

Die Genauigkeit kann mit folgender Faustregel abgeschätzt werden: Das Resultat hat ebenso viele signifi-kante Stellen wie die ungenaueste Ausgangsgrösse.

Beispiele:

1. Die Schnecke Sidney gewann 2011 die traditionelle Flachbahn-Weltmeisterschaft in Congham, GB.Sie benötigte 3 min 41 s für 33 cm (13 inch). Berechnen Sie die mittlere Bahngeschwindigkeit. 1

2. Wie lange benötigt der Schall einer Vulkanexplosion um ein Mal die Erde zu umrunden? 2

Lösungen der Beispiele:

1. Lösung von Aufgabe 1

υ =∆s∆t

=0.33 m

(3 · 60 + 41) s= 1.5 mm/s Schnelligkeit oder Bahngeschwindigkeit

Der Weltrekord wurde übrigens von ‘Archie’ im Jahr 1995 aufgestellt (2 min für 13 inch).

2. Lösung von Aufgabe 2

c =∆s∆t⇒ ∆t =

∆sc

=2πrc

=2π · 6.371 · 106 m

344 m/s= 116367 s = 1.16 · 105 s = 32.3 h

Martin Lieberherr, 15. September 2018

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Teil I

Mechanik

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Kapitel 1

Physikalisches Rechnen

Weiterführende Methoden sind im Teil ‘Physikalische Methoden’ VI zu finden.

1.1 Zehnerpotenzen und Dezimalvorsätze

1. Wie wird der Ausdruck 13·10−7 optimal zum Berechnen in den Taschenrechner getippt? 1

2. Welche Kantenlänge hat ein Würfel mit 1.0 pL Volumen? 2

3. Schreiben Sie die Grösse mit passendem Dezimalvorsatz.a) 1.5·107 W b) 0.55·1010 W c) 0.0003 m d) 17·10−11 s 3

4. Wandeln Sie die Grösse in die wissenschaftliche Schreibweise um.a) 37 fW b) 0.88 µm c) 52 TW d) 460 MΩ 4

5. Schreiben Sie es als Fixkommazahl mit SI-Basiseinheit.a) 37 mm b) 5.3·102 kg c) 1.38·107 ns 5

6. Warum sind folgende Grössen nicht in wissenschaftlicher Schreibweise?a) 23.8·105 m b) 5.5·104 km c) 0.47·106 Ω 6

7. Schreiben Sie folgende Angaben aus dem GEO-Magazin über die Milchstrasse (2014) in wissen-schaftlicher Schreibweise mit SI-Basiseinheit:a) Masse der Milchstrasse: 2 510 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 kgb) Masse des schwarzen Lochs im Zentrum: 8 570 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 kgc) Unser Abstand zum Zentrum der Milchstrasse: 257 000 000 000 000 000 kmd) Durchmesser der Milchstrasse: 946 000 000 000 000 000 km 7

8. Wenn man die ganze Menschheit (7.4 Milliarden, 2015/16) auf die Oberfläche der Erdkugel ver-streicht, wie dick wäre dann die Schicht? 8

1.2 Einheiten umwandeln

1. Wie viel sind 109 s, 107 min, 105 h, 104 d, 103 Wochen und 102 Monate in Jahren?Runden Sie auf Zehnteljahre. 1

2. Rechnen Sie die englische Grösse 1.00 inch3 in Deziliter um. 2

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1.3 Genauigkeit 3

3. Welches Volumen hat eine Unze reines Gold?a) in Kubikmetern mit wissenschaftlicher Zahlenschreibweise?b) in Kubikmetern mit passendem Dezimalvorsatz? 3

4. Wie lang ist ein Haar, das Durchmesser 80 µm und Volumen 1.0 µL hat? 4

5. “Am Ende des Winters gibt es in den Ozeanen insgesamt drei Billiarden Liter weniger Wasser als imHerbst – weil auf der Nordhalbkugel viel Wasser in Form von Eis und Schnee gebunden ist.”Wie viel tiefer ist der Meeresspiegel wegen dieses Effekts? 5

6. Aus einem Kalenderblatt: “1 Mio. l Wasser [..] verbraucht der Durchschnittsdeutsche in seinem Le-ben. [..] Das deutsche Durchschnittsleben endet nach genau 2 504 411 136 Sekunden.” (im Jahr 2008)a) Wie gross ist die Kantenlänge eines Würfels von einer Million Liter Volumen?b) Wie lange dauert das ‘Durchschnittsleben’ in Jahren? 6

7. Schreiben Sie die Zahl Eins in einem Dutzend Varianten.Beispiel: 1 m = 100 cm⇒ 1 = 100 cm/m (exakt!) 7

8. Eine sogenannte Transfer-Pipette hat ein Volumen von 0.1 Mikroliter. Wie viel ist das in Kubikmilli-metern? 8

9. Auf einem Bio-Chip wird 100 pL Flüssigkeit deponiert. Wie viele Kubikmikrometer sind das? 2

10. Wie viel ist 237 cm2 in Quadratmetern und Quadratdezimetern? 10

11. Weltweit regnet es täglich 1400 km3 Wasser. Das soll durchschnittlich 57 Tropfen pro Quadratmeterund Minute entsprechen. Welches Volumen hat ein ‘durchschnittlicher Tropfen’ danach? 11

12. Von Starkregen spricht man ab 1 mm/min Niederschlag. Die gemessene Rekord-Regenminute war38 mm/min in Guadeloupe, 1970, der Rekord-Regentag 1870 mm/d auf La Réunion, 1952.a) Wie viel ist 1870 mm/d in Millimeter pro Minute?b) Drücken Sie 38 mm/min in Liter pro Quadratmeter und Minute aus. 12

13. Für ein amerikanisches Rezept werden ‘122 cubic inches’ Milch und ‘20 ounces’ Zucker benötigt.Rechnen Sie das in Liter und Kilogramm um. 13

14. Die Geschwindigkeit auf kalifornischen Freeways ist auf 70 mph (miles per hour) beschränkt. Wieviel ist das in km/h? 14

15. Setzen Sie den ersten, passenden Vergleichsoperator aus der Reihe =, <, >, ,. 15

a) 1 cm2 10−2 m2 b) 7.2 km/h 1.8 m/s c) 1 nL 10−12 m3

d) 17 W/s 17 J e) 4.4 a 4.4 A f) 1 bar 101325 Pa

1.3 Genauigkeit

1. “Nach dem Weltbevölkerungsbericht des United Nations Population Fund wurde die Sieben-Milliarden-Menschen-Marke am 31. Oktober 2011 überschritten.” (wikipedia) Wie genau muss man die Geburts-zeit bestimmen können, damit man sagen kann, dieser oder jener Mensch sei der Siebenmilliardste?Pro Tag werden etwa 380’000 Menschen geboren. 1

2. Wie viele wesentliche Ziffern haben folgende Grössen?a) 37.0 b) 15 km c) 0.03 km d) 1200 s e) 1302 s f) 0.280 m 2

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1.4 Formalisieren 4

3. Runden Sie auf zwei signifikante Stellen.a) 12.81 m b) 12.48 m c) 3.66·104 m d) 99.834 W 3

4. Runden Sie das Resultat vernünftig.a) 236.1 m / (14 s) b) 105 s · 15 m/s d) 56 mm · 2738 m2 e) 18.8-19.2 f) 25 km+25 mm 4

5. Ein Stück Haushalt-Aluminiumfolie ist 30 cm breit, 81 cm lang und 7.88 g schwer. Eine Dickenmes-sung ergibt 0.01 mm. Passen diese Angaben zusammen? 5

6. Warum ist es nicht genauer, sondern falscher, wenn beim Resultat zu viele Stellen notiert werden? 6

7. Warum drücken wir die Genauigkeit mit ‘wesentlichen Ziffern’ und nicht mit ‘Nachkommastellen’aus? 7

8. Warum soll ein Zahlenresultat nicht mit zuwenig signifikanten Stellen angegeben werden. 8

1.4 Formalisieren

1. “Wissen Sie, mit welcher Geschwindigkeit ein Regentropfen auf ihren Kopf prallt? Öffnet der Himmelseine Schleusen, machen sich Regentropfen zum Teil mit der beachtlichen Geschwindigkeit von über30 Stundenkilometer auf den Weg Richtung Erde. Allerdings hängt die Höchstgeschwindigkeit die einRegentropfen entwickeln kann entscheidend von seiner Grösse ab. Diese beträgt zumeist zwischen0,1 und 4,5 Millimeter. Je grösser und damit schwerer ein Tropfen ist, desto schneller ist er auchunterwegs. Die Fallgeschwindigkeit eines Tropfens in Metern pro Sekunde (m/s) errechnet sich ausdem verdoppelten Tropfendurchmesser in Millimetern. Ein grosser Tropfen mit einem Durchmesservon vier Millimetern erreicht so eine Geschwindigkeit von acht m/s, was fast 29 km/h entspricht. Einzwei Millimeter grosser Tropfen ist mit gut 14 km/h nur noch etwa halb so schnell.” (www.bluewin.ch,5. März 2012)Schreiben Sie den Zusammenhang von Fallgeschwindigkeit und Tropfendurchmesser als physikalischkorrekte, reine Formel. Nennen Sie die Werte und Bedeutungen allfällig vorhandener Parameter. 1

2. Ein HP Photoret III Tintenstrahldrucker erzeugt Tröpfchen von 5 pL Volumen. Welchen Durchmesserhat ein Tintentröpfchen? 2

3. Der Weltrekordhalter kann 3850 Wörter pro Minute lesen (und verstehen). In diesem Tempo würde erfür die Bibel nur gut drei Stunden benötigen, wenn er diese Lesegeschwindigkeit so lange durchhaltenkönnte. Wie viele Worte hat die Bibel? 3

4. Im ‘Pschyrembel Klinisches Wörterbuch’ (256. Auflage, de Gruyter Verlag) findet sich folgenderEintrag: “Dubois-Formel (Delafield D., Naturwissenschaftler, New York, 1882-1959): Formel zurBerechnung der Körperoberfläche (O = Körperoberfläche in cm2, P = Körpergewicht in kg, L =

Körpergrösse in cm): O =√

P · L · 167, 2 ”

Was ist unschön an dieser Formel? Schreiben Sie diese Formel physikalisch richtig, d.h. einheiten-mässig korrekt, Variablen und Einheiten getrennt sowie Grössen in SI-Basiseinheiten. 4

5. Schimmelpilzsporen kommen natürlicherweise in der Luft vor mit Konzentrationen von z.B. 3000 m−3.Wie viele Sporen saugen Sie bei einem tiefen Atemzug von z.B. 2.5 L Volumen ein? 5

6. Im Jahr 2010 wurden europaweit 46.4 Megatonnen Plastik verbraucht, der grösste Teil (38 % ) fürVerpackungen. Plastik enthält ähnlich viel Energie wie Erdöl oder Benzin. Weltweit hatte es im glei-chen Jahr 1.015 Milliarden Automobile. Rechnen Sie mit einem Verbrauch von 10 kg pro 100 km(inkl. Lastwagen etc). Wie weit kann jedes dieser Autos im Durchschnitt mit der Energie im Plastikfahren? 6

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1.5 Darstellung Lösungsweg 5

7. Aus einer Champagnerflasche sollen 5 Liter Kohlendioxid entweichen, die 100 Millionen Bläschenmit einer Gesamtoberfläche von 80 m2 bilden. Stimmt die Flächenangabe? 7

8. Ein typischer Regenwurm (Lumbricus terrestris) hat 3.7 g Masse, ist 12 cm lang und hat 0.64 cmDurchmesser. Er absorbiert 0.24 µmol Sauerstoff pro Quadratzentimeter Haut und Stunde und er ver-braucht 0.98 µmol Sauerstoff pro Gramm und pro Stunde. Modellieren Sie den Wurm als Zylinder.Die Endflächen dürfen Sie ignorieren.a) Kann der oben genannte Wurm genügend Sauerstoff aufnehmen?b) Welche Länge könnte der Wurm maximal haben?c) Welchen Durchmesser könnte ein langer Wurm maximal haben? 8

9. Die flächenbezogene Verdunstungsrate von Quecksilber beträgt 0.056 mg/(cm2 · h) bei Zimmertem-peratur. Wie viel mal mehr Quecksilber verdunstet pro Zeit, wenn ein Kügelchen in tausend kleinereKügelchen gleicher Grösse zerschellt? 9

10. Bei der Reynolds- oder Schmiermittelreibung ist die Reibungskraft proportional zur Wurzel aus dermomentanen Bahngeschwindigkeit. Scheiben Sie das Reibungsgesetz als formale Gleichung, die ein-heitenmässig stimmig ist (

√1 m/s ist im SI nicht definiert). 10

1.5 Darstellung Lösungsweg

1. Was ist richtig und was ist falsch an folgendem Lösungsweg? Wie lautet die zugehörige Aufgabe?υ2 = υ2

0 + 2gh = 2 · 9.81 · 2 = 39.24⇒ υ = 6 m/s 1

2. Was ist falsch oder unschön an folgender Lösung, wie könnte man es besser machen und wie könntedie zugehörige Aufgabe lauten? 2

ρ =mV

=m

5.3 m3 = 1886.79 = 1.9 · 103 kg/m3

3. Korrigieren Sie folgenden Lösungsweg: s = v · 8 s = 344 · 8 s = 2752 m 3

4. Verbessern Sie alle Fehler sowie Unsauberkeiten in folgendem Lösungsweg: 4

E = 12mυ2 ⇒ m =

E12υ

2=

E12 · 4 m/s2 = 0.625

5. a) Nennen Sie drei Gründe, weshalb man eine formale Lösung erstellen soll.b) Warum soll man ein Zahlenresultat nicht mit zu vielen Stellen angeben? 5

6. Was ist falsch oder unschön an folgendem Lösungsweg?s = υ · t = υ · 12 = 23.8793 m = 24 6

7. Warum sind folgende Schlussformeln ungünstig? 7

a) υ = g ·

√h

12g

b) a =µGmg

mc) T 2 =

(2π)2lg

8. Verbessern Sie folgende Darstellung einer Rechnung. 8

t =s

155 m/s=

608 m155

= 3.922580645 = 4 m/s

©Martin Lieberherr

1.5 Darstellung Lösungsweg 6

9. Warum soll eine Schlussformel immer vereinfacht werden? 9

10. Nennen Sie drei Gründe, weshalb wir die Grössen mit Zahlen und Einheiten in die Schlussformeleinsetzen. 10

11. Streichen Sie die Fehler in folgendem Lösungsweg an. Was ist falsch oder unschön? 11

s = 35 km/h · t =35 km/h

3.6· 2.1 s = 20.416 m

©Martin Lieberherr

Kapitel 2

Kinematik

2.1 Mittlere Geschwindigkeit

1. Am Do. 13. Okt. 2011 unterbot der britisch-indische Läufer Fauja Singh mit 23.14 s den bestehendenWeltrekord für 100-jährige über 100 m Sprint. An So. 16. Okt. 2011 beendete er als erster Hundert-jähriger einen Marathon. Er lief die 42 195 m in 8 h 11 min 06 s (plus 14 min bis er in der Läufermassedie Startlinie erreicht hatte). Berechnen Sie für beide Rennen die mittlere Geschwindigkeit in m/s undkm/h. 1

2. Ein Kind wächst während der ersten 10 Lebensjahre circa 1.0 m. Berechnen Sie die durchschnittlicheWachstumsgeschwindigkeit in m/s. 2

3. Die bis zu 10 m grossen Gipskristalle (Marienglas) in der Mine von Naica (Mexico) wachsen jedesJahr 0.3 bis 3 Mikrometer (NZZ 28.9.2011). Wandeln Sie die grössere Angabe in m/s um. 3

4. Das Elektromobil “ La Jamais Contente” durchbrach im Jahr 1899 als erstes Strassenfahrzeug mit105.882 km/h die 100 km/h Marke. Wie lange benötigte es für die einen Kilometer lange Mess-strecke? 4

5. Das Schiff “Titanic” ist im Jahr 1912 mit einer Geschwindigkeit von 22 Knoten mit einem Eisbergkollidiert. Wie viel ist das in Kilometer pro Stunde? 5

6. Rechnen Sie die folgenden im Strassenverkehr bedeutsamen Schnelligkeiten in m/s um:a) 30 km/h b) 50 km/h c) 80 km/h d) 120 km/h 6

7. Drücken Sie die Lichtgeschwindigkeit aus in den Einheitena) km/h.b) cm/ns. 7

8. Ein Elektron und ein Proton machen ein Wettrennen um die Erde. Das Elektron bewegt sich mit99.985% der Lichtgeschwindigkeit, das Proton mit 99.983%.a) Wie lange dauert ein Lauf des Elektrons um die Erde?b) Wie viel Rückstand (Länge) hat das Proton dann? 8

9. Die Küstenseeschwalbe Sterna paradisaea hält einen Rekord: Sie legt pro Jahr bis zu 80 000 kmzurück, weil sie zwischen Arktis und Antarktis pendelt. An manchen Tagen legt sie 520 km zurück.a) Berechnen Sie die durchschnittliche Schnelligkeit pro Jahr.b) Wie gross ist die mittlere Schnelligkeit ‘an manchen Tagen’? 9

10. Nathan Adrian gewann die 100 m Crawl in 47.52 s eine Hundertstelsekunde vor James Magnusson(Olymiade 2012 in London). Wie gross war der Vorsprung in Zentimetern? 10

©Martin Lieberherr

2.2 Bewegung mit konstanter Geschwindigkeit 8

11. Riesenbambus kann bis zu 120 cm pro Tag wachsen. Rechnen Sie das in Meter pro Sekunde um.Stellen Sie das Resultat einmal in wissenschaftlicher Schreibweise und einmal mit Dezimalvorsatzdar. 11

12. Hansli kann mit 5.3 m/s rennen und Betli mit 4.8 m/s. Wie viel zeitlichen Vorsprung braucht Betli,wenn Sie gleichzeitig mit Hansli die Ziellinie beim 100 m Lauf überqueren soll? 12

13. Während eines Intervalltrainings rennt eine Sportlerin 10 s mit 8.5 m/s, 20 s mit 5.9 m/s und 40 s mit4.8 m/s. Berechnen Sie die mittlere Geschwindigkeit über die ganze Zeit. 13

14. Der Hockenheimring ist 4.573 km lang. Der Streckenrekord (2004, Formel-1) beträgt 1 min 13.780 s.Berechnen Sie die durchschnittliche Schnelligkeit in m/s und km/h. 14

15. Ein Auto fährt die erste Hälfte der Strecke mit 60 km/h, die zweite mit 80 km/h. Berechnen Sie diedurchschnittliche Geschwindigkeit. 15

16. Die Felswand ist 170 m entfernt. Wie lange dauert es, bis Sie das Echo hören können? 16

17. Der Astronom R. C. Carrington beobachtete 1859 eine heftige Eruption auf der Sonne. Nur 17 Stun-den später traten starke Polarlichter auf. Mit welcher Geschwindigkeit haben sich die Teilchen vonder Sonne zur Erde bewegt? 17

18. Eine Fahrerin legt die erste Teilstrecke von 25 km mit 38 km/h zurück, für die zweite Teilstreckebenötigt sie 43 min mit 31 km/h. Berechnen Sie a) die Zeit und b) die mittlere Geschwindigkeit fürdie ganze Strecke. 18

19. Die erste Teilstrecke von 48 km Länge fährt er mit 50 km/h, das zweite Teilstück mit 80 km/h. Überdie ganze Strecke ist er durchschnittlich mit 63 km/h gefahren. Berechnen Sie die Länge des zweitenTeilstücks. 19

20. Ein Windhund gewinnt ein Rennen über 280.0 Meter in 16,19 Sekunden. Berechnen Sie die Ge-schwindigkeit in Kilometer pro Stunde. 20

21. Der Berner Fabian Cancellara fuhr an der Olympiade 2016 in Rio de Janeiro die 54.6 km lange Rad-strecke in 1:12:14.42 (Goldmedaille im Zeitfahren). Berechnen Sie die mittlere Geschwindigkeit. 21

22. Hansli rennt mit 18.5 km/h zum WC und läuft mit 4.8 km/h wieder zurück.a) Berechnen Sie die durchschnittliche Schnelligkeit über den ganzen Weg.b) Berechnen Sie die durchschnittliche Geschwindigkeit über den ganzen Weg. 22

2.2 Bewegung mit konstanter Geschwindigkeit

1. Die allgemeine Bahngleichung für die gleichmässige Bewegung entlang der Koordinatenachse s lau-tet s = υ · (t − t1) + s1. Ein Ballon startet 07 Uhr 35 auf einer Höhe von 456 m über Meer und steigtmit 60 cm/s.a) Wie gross sind υ, t1 und s1?b) Auf welcher Höhe befindet sich der Ballon um 07 Uhr 38 min?c) In der FoTa steht eine Bahngleichung mit s0. Drücken Sie s0 formal durch υ, t1 und s1 aus undberechnen Sie den Zahlenwert.d) Wann erreicht der Ballon die Höhe 600 m über Meer? 1

©Martin Lieberherr

2.2 Bewegung mit konstanter Geschwindigkeit 9

2. Ein Auto fährt mit 120 km/h von Zürich (0 km) nach Bern. Um 13 Uhr 51 wird es bei 35 km (Lenz-burg) beobachtet und um 14 Uhr 35 in Bern.a) Wann erfolgte der Start in Zürich?b) Wie weit ist die Fahrt von Zürich nach Bern? 2

3. Ein berühmtes Beispiel aus der Antike behandelt ein Rennen von Achill (griechischer Held) gegeneine Schildkröte. Die Schildkröte habe 150 m Vorsprung und renne mit 4.8 km/h. Der schnellfüssigeAchill renne ihr mit 8.3 m/s nach.a) Zeichnen Sie das Ort-Zeit-Diagramm.b) Wie lange ist Achill unterwegs bis er die Schildkröte eingeholt hat?c) Wie weit muss Achilles bis zum Treffpunkt rennen? 3

4. Ein Gepard jagt mit 110 km/h eine Thomsongazelle, die 50 m Vorsprung hat und mit 80 km/h flieht.Der Gepard hält sein Tempo maximal 400 m oder 13 s lang durch. Kann er sie erreichen? 4

5. Ein Mann läuft mit 4.6 km/h auf sein Haus zu, das noch 480 m entfernt ist. Sein Pudel rennt mit9 km/h los bis zum Haus und kehrt dann um.a) Skizzieren Sie das Ort-Zeit-Diagramm dieses Vorgangs (ohne Zahlen).b) Wie lange und wie weit läuft der Mann bis zum Treffpunkt?c) Angenommen, dieser Vorgang wiederhole sich, bis der Mann zuhause angekommen ist. Wie weitist der Pudel dann gelaufen? 5

6. Zwei Autos treffen sich um 10:13 Uhr auf der gleichen Autobahn. Das erste ist um 9:57 Uhr beiKilometer 87 gestartet und fuhr mit konstant +121 km/h. Das Zweite startete um 9:42 Uhr fuhr mit+115 km/h. Wo ist das zweite Auto gestartet? 6

7. Ein Autofahrer sieht 500 m vor sich einen Lastwagen. Das Auto fährt mit 120 km/h, der Lastwagenmit 100 km/h. Wie lange dauert es, bis der Lastwagen eingeholt ist, und wie weit fährt der Lastwagenin dieser Zeit? Zeichnen Sie zuerst das s(t)-Diagramm. 7

8. Zu Beginn ist das Velo bei 380 m und fährt mit +5.6 m/s. 15 Minuten später fährt das Auto beimNullpunkt vorbei und verfolgt das Velo mit +14 m/s.a) Zeichnen Sie ein s(t)-Diagramm (ohne Zahlen, aber sonst vollständig beschriftet).b) Wann und wo wird das Velo eingeholt? 8

9. Ein Bergsteiger steigt mit konstanter Geschwindigkeit in die Höhe. Um 05:00 h ist er 2830 m (überMeer), um 06:30 h auf 3580 m.a) Berechnen Sie die Steiggeschwindigkeit in m/s. (Zahlenresultat in b verwenden)b) Wann erreicht er den Gipfel auf 4164 m? 9

10. Anna und Beat machen ein Wettrennen über 100 m. Anna rennt mit 7.1 m/s, Beat mit 7.0 m/s. Umwelche Distanz liegt Beat zurück, wenn Anna die Ziellinie überquert? 10

11. Hans rennt Adelheid nach. Adelheid hat 18 m Vorsprung und rennt mit 5.8 m/s. Wie schnell mussHans rennen, damit er sie nach 130 Metern einholt? 11

12. Anna und Beat rennen um die Wette: Anna rennt mit 6.3 m/s, Beat mit 5.4 m/s. Anna gibt Beat 15 mVorsprung.a) Zeichnen Sie das s(t)-Diagramm inklusive Bahngleichungen.b) Zu welchem Zeitpunkt wird sie ihn einholen?c) Wie viel Vorsprung hätte sie geben müssen, damit Anna ihn nach 120 m einholt? 12

13. Ich laufe mit 5.3 km/h. 50 m vor mir sehe ich einen Spaziergänger. Nach 63 s habe ich ihn eingeholt.Mit welcher Geschwindigkeit ist er gelaufen? 13

©Martin Lieberherr

2.3 Gleichmässig beschleunigte Bewegung 10

14. Ein Velo fährt mit 25 km/h an einem Töff vorbei. Dieser startet und fährt dem Velo mit 45 km/hnach. Der Töff fährt 130 m, bis er das Velo eingeholt hat. Wie lange nach der Vorbeifahrt ist der Töff

gestartet? Skizzieren Sie das s(t)-Diagramm. 14

15. Ein Lift startet 979 m über Meer und fährt mit 3.1 m/s auf 1132 m über Meer (Hammetschwandlift,Bürgenstock). Auf welcher Höhe ist er 17.0 Sekunden nach Start? 15

16. Cäsar und Daniela rennen auf der 400 m Rundbahn. Wie viel Mal schneller als Daniela müsste Cäsarrennen, wenn er sie in der vorgegebenen Zeit (5.0 min) zwei Mal überrunden will? Daniela rennt mit10.6 km/h. 16

17. Lösen Sie folgende Aufgabe rein formal (keine Zahlen einsetzen oder Zahlen ausrechnen):Anna und Beat rennen um die Wette. Beat darf 5.0 s früher starten. Wann holt Anna ihn ein? 17

2.3 Gleichmässig beschleunigte Bewegung

1. Ein Auto beschleunigt in 4.8 s von Null auf 100 km/h. Berechnen Sie die Beschleunigung. 1

2. Ein Tram beschleunigt mit 1.0 m/s2 aus dem Stand.a) Wie weit kommt es in 2.5 s?b) Welche Geschwindigkeit hat es nach 5.4 s?c) Welche Geschwindigkeit hat es nach 73 m Weg?d) Wie lange benötigt es, um auf 60 km/h zu kommen? 2

3. In der Kinematik der geradlinigen Bewegung wird negative Beschleunigung salopp mit Bremsengleichgestellt. Das trifft zwar in einigen Situationen zu, aber nicht in allen.a) Nennen Sie ein Beispiel, wo die Beschleunigung negativ ist aber trotzdem nicht gebremst wird.b) Nennen Sie ein Beispiel, wo die Beschleunigung positiv ist und der Körper langsamer wird.c) Formulieren Sie die Beziehung mit dem Bremsen und dem Vorzeichen der Beschleunigung korrekt.3

4. Der Lauf des Sturmgewehr 90 der Schweizer Armee ist 528 mm lang. Das Geschoss hat 905 m/s ander Mündung.a) Berechnen Sie die mittlere Beschleunigung im Lauf.b) Berechnen Sie die Dauer der Beschleunigungsphase. 4

5. Zwei Geissböcke stehen sich 2.0 m gegenüber und beschleunigen gleichzeitig mit 1.0 m/s2 auf ein-ander zu.a) Nach welcher Zeit prallen sie aufeinander?b) Mit welcher Geschwindigkeit prallen die Köpfe aufeinander?c) Wie lauten die formalen Ausgangsgleichungen, wenn der zweite Geissbock 0.20 s später startet?(Sie müssen die Gleichungen nicht lösen.)d) Wie lauten die formalen Ausgangsgleichungen, wenn die Böcke verschieden stark beschleunigen?5

6. Ein Velo und ein Töff machen ein Wettrennen: Das Velo startet fliegend mit 13 m/s. Der Töff startet3.0 s später und beschleunigt aus dem Stand mit konstant 5.8 m/s2. Wie lange und wie weit fährt dasVelo bis zum Treffpunkt?a) Skizzieren Sie das s(t)-Diagramm.b) Berechnen Sie den Zeitpunkt.c) Berechnen Sie die Strecke unter Verwendung des Resultats von b) 6

©Martin Lieberherr

2.3 Gleichmässig beschleunigte Bewegung 11

7. Eine Rakete startet aus der Ruhelage und beschleunigt auf einer Strecke von 3.3 m mit 6060 m/s2.Berechnen Sie die Endgeschwindigkeit. 7

8. Ein Töffli beschleunige in 5.6 s von 12 auf 36 km/h. Berechnen Sie die mittlere Beschleunigung. 8

9. Bestimmen Sie möglichst genau a) aus Diagramm 2.1 die Geschwindigkeit zur Zeit t = 1.00 s undb) aus dem Diagramm 2.2 den zurückgelegten Weg. 9

0.0 0.5 1.0 1.5 2.00

2

4

6

8

10

Zeit in Sekunden

Posi

tion

in Z

entim

eter

n

Abbildung 2.1: Ort-Zeit-Diagramm

0 10 20 30 40 500

20

40

60

80

100

t (min)

v (

km

/ h

)

Abbildung 2.2: Geschwindigkeit-Zeit-Diagramm

10. Der Anhalteweg eines Autos besteht aus dem Reakti-onsweg (wo es noch mit konstanter Geschwindigkeitweiterfährt) und dem Bremsweg, wo es gleichmässiglangsamer wird. In Abbildung 2.3 können Sie das s(t)-Diagramm eines solchen Anhaltevorgangs sehen.a) Lesen Sie die Anfangsgeschwindigkeit aus demDiagramm.b) Bestimmen Sie die Beschleunigung mit Hilfe desDiagramms.c) Welche Form hat die Kurve zwischen 2 s und 5 s?Und warum?d) Bestimmen Sie die Geschwindigkeit zur Zeit t =

4.0 s (Resultat von a und b verwenden).e) An welchem Ort kommt das Auto zum Stillstand?(Resultat von a und b verwenden)f) Skizzieren Sie – ohne zu rechnen – das zugehö-rige υ(s)-Diagramm. Beschriften und kommentierenSie die wesentlichen Stellen sowie Verläufe. 10

0 1 2 3 4 5 60

20

40

60

80

Zeit in Sekunden

Ort

in M

eter

n

42 m

Abbildung 2.3: s(t)-Diagramm für den An-halteweg eines Autos.

©Martin Lieberherr

2.3 Gleichmässig beschleunigte Bewegung 12

11. Stellen Sie den Zusammenhang von Tabelle 2.1 durch eine Formel dar. Wel-che Werte haben die konstanten Parameter in der Formel? 11

Tabelle 2.1: Zeiten t in Sekunden und dazu gehörende Positionen s in Me-tern für einen Punkt.

t (s) s (m)0.0 0.11.0 1.12.0 4.13.0 9.14.0 16.1

12. Ein Körper beschleunigt aus dem Stand während 4.0 s und kommt 32 m weit. Berechnen Sie diemittlere Beschleunigung. 12

13. Ein Rennauto fährt mit 280 km/h und bremst auf einer Strecke von 30 m mit einer Bremsverzögerungvon 10.3 m/s2. Berechnen Sie die Geschwindigkeit am Ende dieser Strecke. 13

14. Ein Auto bremst mit -1.0 m/s2 von 50 km/h auf 30 km/h ab.a) Wie lange dauert der Vorgang?b) Wie weit fährt das Auto während dieses Vorgangs? 14

15. Ein Töffli startet am Nullpunkt und beschleunigt konstant mit 0.80 m/s2. Ein Velo fährt 3.0 s späteram Nullpunkt vorbei und versucht, das Töffli einzuholen. Das Velo fährt gleichmässig mit 7.0 m/s.a) Zeichnen Sie das Ort-Zeit-Diagramm dieses Vorgangs (angeschriebene Skizze ohne Zahlen).b) Wann wird das Töffli eingeholt? 15

16. Ein Tram fährt mit 14 m/s und bremst dann mit -1.1 m/s2 gleichmässig bis zum Stillstand ab. ZeichnenSie die Geschwindigkeit als Funktion des zurückgelegten Weges. 16

17. In einem Dragster-Rennen muss aus dem Stand in möglichst kurzer Zeit eine Viertelmeile zurückge-legt werden. Der Rekord stammt aus dem Jahr 2006: 4.428 s für eine Viertelmeile und Endgeschwin-digkeit 527.83 km/h (wikipedia, 2013).a) Berechnen Sie aus der Strecke und Zeit die mittlere Beschleunigung.b) Berechnen Sie aus der Endgeschwindigkeit und Streckenlänge die mittlere Beschleunigung.c) Berechnen Sie die mittlere Beschleunigung aus der Zeit und der Endgeschwindigkeit.d) Passen die Angaben zusammen? Falls ja warum, falls nein warum nicht. 17

18. Ein Velo fährt mit konstant 11.3 m/s an einem startenden Auto vorbei. Das Auto beschleunigt gleich-mässig und holt das Velo nach 23.5 Sekunden ein. Berechnen Sie die Beschleunigung. 18

19. Ein Rennauto beschleunige aus dem Stand mit 8.2 m/s2.a) Wie lange dauert es, bis es 75 m/s erreicht hat?b) Wie weit ist es in dieser Zeit gekommen? 19

20. Fritz startet fliegend und fährt mit konstant 25 m/s. Sabine startet am gleichen Ort aus dem Stillstandund beschleunigt konstant mit 3.8 m/s2. Wann holt Sabine Fritz ein? 20

21. Sie fahren mit 60 km/h und müssen plötzlich auf einer Strecke von 38 m bis zum Stillstand bremsen,weil dort ein Hindernis auftaucht. Berechnen Sie die notwendige Beschleunigung. 21

22. Eine Dame schwimme mit 1.2 m/s und benötige 0.8 s für das Wenden am Bahnende. Berechnen Siedie mittlere Beschleunigung während des Wendens. 22

23. a) Ein Auto beschleunigt gleichmässig auf 20 m/s und bremst in der halben Zeit wieder ab. In wel-chem Verhältnis stehen die Beschleunigungen?b) Ein Auto beschleunigt gleichmässig auf 20 m/s und bremst auf dem halben Weg wieder ab. Inwelchem Verhältnis stehen die Beschleunigungen? 23

24. Ein Auto beschleunigt in 15 Sekunden von 20 auf 30 m/s. Welche Strecke legt es dabei zurück? 24

©Martin Lieberherr

2.4 Relativbewegung 13

25. Gibt es Bewegungen, die beschleunigt sind und trotzdem weder schneller noch langsamer werden?25

26. Ein Mann rennt mit 8 m/s einem Zug nach, der gerade 15 m weiter vorne mit 1.0 m/s2 aus demStillstand startet. Wird der Mann den Zug noch einholen? 26

27. Ein Auto startet aus dem Stillstand und beschleunigt mit 1.9 m/s2. Zum Startzeitpunkt hatte ein Velo280 m Vorsprung und fährt mit 5.2 m/s in derselben Richtung. Wie lange und wie weit fährt das Autobis zum Treffpunkt? Sie dürfen den Zahlenwert der Zeit weiter verwenden. 27

28. Der Gepard soll in drei Sekunden von 0 auf 96 km/h beschleunigen können. Berechnen Sie die Be-schleunigung. 28

29. Ein Velo und ein Töff starten gleichzeitig am gleichen Ort. Das Velo startet fliegend und fährt mit48 km/h. Der Töff beschleunigt aus dem Stand mit 1.3 m/s2.a) Wann undb) wo hat der Töff das Velo eingeholt?c) Welche Geschwindigkeit hat der Töff dann? 29

2.4 Relativbewegung

1. Am 10. Februar 2009 sind zwei erdumkreisende Satelliten (Iridium 33 und Kosmos 2251) in 788.6 kmHöhe unter einem Winkel von 102.2° zusammengestossen. Die Satelliten hatten eine Bahngeschwin-digkeit von je 7.52 km/s. Berechnen Sie die Relativgeschwindigkeit. 1

2. Am Gigathlon 2012 in Olten benötigte Daniel 1 h 26 min für die 9 km lange Schwimmstrecke in derAare. Im Schwimmbecken erreicht er 4.2 km/h. Berechnen Sie die mittlere Strömungsgeschwindig-keit der Aare und ob Daniel flussaufwärts oder -abwärts geschwommen ist. 2

3. Das Wasser eines 28 m breiten Flusses strömt mit 0.73 m/s. Ein Schwimmer bewegt sich mit 1.34 m/srelativ zum Wasser. Er möchte den Fluss direkt, d.h. rechtwinklig zum Ufer, überqueren.a) In welche Richtung muss er schwimmen?b) Wie lange dauert die Flussüberquerung? 3

4. Das Wasser eines Flusses der Breite 19 m strömt gleichmässig mit 0.44 m/s. Ein Schwimmer bewegtsich mit der konstanten Geschwindigkeit 0.98 m/s relativ zum Wasser unter 45° zum Ufer. Wie vielZeit braucht er für die Überquerung? 4

5. Das Wasser eines Flusses der Breite 34 m strömt gleichmässig mit 0.58 m/s. Ein Schwimmer be-wegt sich mit der konstanten Geschwindigkeit 1.21 m/s relativ zum Wasser. Er benötigt 41.5 s für dieFlussüberquerung. In welche Richtung ist er geschwommen? 5

6. Als die Mutter im Lift mit konstant 0.8 m/s an ihm vorbei nach unten wegfährt, fällt Fritzli der Nuggiaus dem Mund. Relativ zu Fritz beschleunigt der Nuggi mit 9.81 m/s2. Wie gross ist die Beschleuni-gung dieses Nuggis relativ zur Mutter? 6

©Martin Lieberherr

Kapitel 3

Fallgesetze

3.1 Freier Fall ohne Anfangsgeschwindigkeit

1. Der Kuckuck rollt ein Ei aus dem Nest. Mit welcher Schnelligkeit schlägt es 7.0 m weiter unten auf?1

2. Ein Apfel fällt aus 3.8 m Höhe vom Baum. Nach welcher Zeit schlägt er unten auf? 2

3. Der Astronaut David Scott liess am 2. August 1971 auf dem Mond eine Vogelfeder fallen. Die Fall-höhe sei 1.2 m.a) Wie lange dauerte der Fall?b) Wie gross war die Aufprallgeschwindigkeit? 3

4. Ein Blumentopf kippt vom Fenstersims und zerschellt mit 19 m/s auf der Strasse. Berechnen Sie dieFallhöhe. 4

5. Sie lassen einen Stein in einen tiefen Brunnen fallen. Nach 2.6 s hören Sie das Echo. Wie tief ist derBrunnen? 5

6. Berechnen Sie das Verhältnis von mittlerer Geschwindigkeit zu Endgeschwindigkeit beim freien Fall.Erklären Sie das Resultat. 6

7. Der Kuckuck lässt ein Ei aus dem Nest fallen. Welche Geschwindigkeit hat es 0.50 s nach Beginn esfreien Falls? 7

8. Der Österreicher Felix Baumgartner stieg am 14. Oktober 2012 bei Roswell, New Mexico (USA)mit einem Heliumballon in die Stratosphäre auf, um mit Schutzanzug und Fallschirm abzuspringen.Damit stellte er fünf Weltrekorde auf: höchste bemannte Ballonfahrt und Absprung: 39 045 m, größteim freien Fall erreichte Geschwindigkeit: 1342,8 km/h (Mach 1,24), längster freier Fall (Höhenun-terschied): 36 529 m, längster freier Fall ohne Stabilisierungsfallschirme: 4 Minuten 20 Sekunden.(wikipedia, 15. Okt. 2012)a) Welche Schallgeschwindigkeit in m/s errechnet sich aus der Machzahl?b) Angenommen, der freie Fall erfolge im Vakuum, nach welcher Zeit und welcher Fallstrecke wirddie Schallgeschwindigkeit erreicht? Rechnen Sie mit 300 m/s und g = 9.8 m/s2

c) Wie lange hätte der ganze Fall ohne Luftwiderstand gedauert? 8

9. Wenn ‘alles gleich schnell fällt’, warum fallen dann Vögel nicht vom Himmel? 9

10. Braucht ein Apfel mehr als eine Sekunde, um vom vier Meter hohen Baum zu fallen? 10

©Martin Lieberherr

3.2 Vertikaler Wurf 15

11. Der Blumentopf braucht 1.414 s, um vom Fenstersims auf die Strasse zu fallen. Wie hoch oben istdas Sims? 11

12. Árni Stefánsson hat 1974 den leeren Krater des Vulkans Thrihnukagigur, der 20 km südlich von Rey-kjavik liegt, entdeckt. Er liess einen Stein in den dunklen Krater fallen. Nach ‘genau’ 4.5 s soll er dasGeräusch des Aufpralls gehört haben. Passt das zu den 120 m Kratertiefe? 12

13. Ein Klippenspringer trifft mit 85 km/h auf das Wasser. Aus welcher Höhe ist er abgesprungen? 13

14. Sie lassen zwei Steine in zeitlich kurzem Abstand ∆t fallen. Rechnen Sie aus, ob der räumliche Ab-stand der zwei Steine während des freien Falls zunimmt, gleich bleibt oder abnimmt. 14

15. Wie viel mal weiter fällt ein Stein, wenn er doppelt so lange fällt? 15

16. Ein Stein fällt aus der Höhe h auf den Boden. Nach welcher Höhe (vom Startort gemessen) ist dieGeschwindigkeit genau halb so gross wie die Aufprallgeschwindigkeit? 16

17. Zwei Äpfel fallen aus den Höhen h1 und h2 auf den Boden. In welchem Verhältnis stehen die Auf-prallgeschwindigkeiten? 17

18. Sie verdoppeln die Fallhöhe. Um welchen Faktor nimmt die Fallzeit zu? 18

19. Wann hat Galileo Galilei gelebt? 19

20. Präzisieren Sie die Aussage “Alle Körper fallen gleich schnell.” 20

21. Zwei Wassertropfen lösen sich in 0.2 s Abstand vom gleichen Hahn. Wie lange muss der zweiteTropfen fallen, bis er 30 cm Abstand vom ersten Tropfen hat? 21

22. Ein Stein wird fallen gelassen. Zu welchem Anteil der Fallzeit befindet er sich im oberen Drittel derganzen Fallstrecke? 22

3.2 Vertikaler Wurf

1. Ein Handball wird mit 10 m/s vertikal nach oben geworfen. Erreicht er die Turnhallendecke 6.0 mhöher oben? 1

2. Ein Schneeball wird mit 8.7 m/s nach oben geworfen.a) Auf welcher Höhe über der Abwurfstelle befindet er sich nach 1.7 s?b) Wie gross ist seine Geschwindigkeit dann?c) Ist der Schneeball dann auf dem Aufstieg oder Abstieg?d) Bis zu welcher Höhe steigt er oder ist er gestiegen?e) Wie gross ist seine Geschwindigkeit 2.7 m über der Abwurfstelle? 2

3. Ein Ball wird vertikal nach oben geworfen. Welcher zeitliche Anteil der Bahn liegt in der oberenHälfte? 3

4. Ein Körper wird aus Höhe h ohne Anfangsgeschwindigkeit fallen gelassen. Gleichzeitig wird einzweiter Körper aus Höhe Null nach oben geworfen. Die Geschwindigkeit des zweiten Körpers ist so,dass er gerade die Höhe h erreicht. Wann und auf welcher Höhe treffen sich die zwei Körper? 4

5. Hansli wirft seiner Mutter den Schlüssel mit 12 m/s nach oben, während die Mutter 5.6 m höher obenihm gleichzeitig das Pausenbrot mit 12 m/s nach unten wirft.a) Zeichnen Sie das Ort-Zeit-Diagramm beider Würfe (ohne Zahlen).b) Auf welcher Höhe über Boden kreuzen sich Pausenbrot und Schlüssel? 5

©Martin Lieberherr

3.3 Horizontaler Wurf 16

6. Mit welcher Anfangsgeschwindigkeit müsste ein Medizinball (3.0 kg) nach oben geworfen werden,damit er die Turnhallendecke (7.2 m höher oben) erreicht? 6

7. Mit welcher Geschwindigkeit muss man einen Stein vertikal werfen, damit er innert 0.50 s den Boden2.0 m weiter unten erreicht? 7

8. Sie werfen einen Stein mit 8.32 m/s vertikal nach oben. Zu welchen Zeitpunkten ist er 3.11 m überder Abwurfstelle? 8

9. Wie gross muss die Anfangsgeschwindigkeit eines vertikalen Wurfs sein, damit sich gegenüber einemfreien Fall ohne Anfangsgeschwindigkeit die Flugzeit halbiert? 9

10. Wenn Sie einen Stein in die Luft werfen, so scheint er zuoberst kurz still zu stehen. Wie lange undwarum so lange? 10

11. Ein vertikaler Wurf hat Anfangsgeschwindigkeit υy0 = 5.50 m/s und Anfangshöhe y0 = 1.70 m.a) Zeichnen Sie die Position y des Wurfkörpers als Funktion der Zeit bis er y = 0 erreicht.b) Berechnen Sie die Koordinaten (tS , yS ) des höchsten Punktes und Zeitpunkt des Aufpralls. 11

12. Ein Stein wird mit 5.50 m/s aufwärts geworfen. Zeichnen Sie die Geschwindigkeit als Funktion derHöhe bis zum höchsten Punkt. 12

13. Wie viel Mal schneller müssen Sie werfen, wenn Sie doppelt so hoch kommen wollen? 13

14. Ein Jongleur wirft einen Ball 98 cm hoch in die Luft. Wie viel Zeit bleibt ihm, bis der Ball auf derAusgangshöhe zurück ist? 14

15. Sie werfen einen Ball mit 7.8 m/s abwärts. Er prallt mit 8.9 m/s auf den Boden.Berechnen Sie a) die Fallzeit und b) die Fallhöhe. 15

16. Mit welcher Geschwindigkeit müssen Sie einen Stein aufwärts werfen, damit er 3.1 s in der Luftbleibt? (bis er wieder auf der Ausgangshöhe zurück ist?) 16

17. Ein Kinderballon hat 5.8 m Starthöhe und steigt konstant mit 0.63 m/s. Sie werfen einen Stein mit12.0 m/s Anfangsgeschwindigkeit nach oben (Starthöhe Null).a) Zu welchen Zeitpunkten ist der Stein auf der gleichen Höhe wie der Ballon?b) Mit welcher Mindestgeschwindigkeit muss man werfen, damit der Stein den Ballon noch erreichenkann? 17

3.3 Horizontaler Wurf

1. Ein Schneeball wird mit 9.3 m/s in horizontaler Richtung von der Aussichtsterrasse eines Bergre-staurants geworfen. Die Abwurfstelle sei der Nullpunkt des Koordinatensystems mit der x-Achse inhorizontaler und der y-Achse in vertikaler Richtung (aufwärts positiv).a) Bei welcher Koordinate ist der Ball nach 1.5 s? Berechnen Sie auch die Geschwindigkeit (x- undy-Komponente, Betrag, Winkel zur Horizontalen) zu diesem Zeitpunkt.b) Der Ball habe sich in horizontaler Richtung 7.3 m bewegt. Zu welchem Zeitpunkt ist er da? Wielautet die zugehörige y-Koordinate?c) Der Ball sei 11.3 m gefallen. Wie lange hat das gedauert? Wie lautet die zugehörige x-Koordinate?Berechnen Sie auch den Betrag der Geschwindigkeit. 1

2. Eine Schneefräse schleudert einen Strahl kompakten Schnees auf 2.5 m Höhe horizontal weg. DerSchnee trifft in 4.5 m horizontalem Abstand auf den Boden.Berechnen Sie a) die Anfangsgeschwindigkeit und b) den Auftreffwinkel. 2

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3.4 Schiefer Wurf 17

3. Mit welcher Geschwindigkeit muss man einen Stein horizontal werfen, damit er 15 m weiter vornund 1.5 m tiefer unten aufprallt? 3

4. Babettli wirft den Nuggi horizontal aus dem Kinderwagen. Der Nuggi landet auf der Strasse in 1.8 m(horizontaler) Entfernung und 90 cm tiefer unten.a) Wie lange hat der Nuggi-Flug gedauert?b) Mit welcher Geschwindigkeit ist er aufgeprallt? 4

5. Ein Stein wird mit 10 m/s horizontal weggeschleudert und prallt mit 20 m/s auf. Berechnen Sie dieFallhöhe und die horizontale Flugdistanz. 5

6. Sie werfen einen Ball mit 5.88 m/s in horizontaler Richtung. Wo ist der Ball nach 1.07 Sekunden undwelche Geschwindigkeit hat er dann? 6

7. Das Nachbarhaus hat Abstand d. Ein Reklameschild daran ist um die Höhe h tiefer als Sie. Mitwelcher Geschwindigkeit υ0 müssen Sie horizontal werfen, damit Sie dieses Schild treffen? (reinformale Aufgabe) 7

8. Sie werfen einen Stein mit 6.3 m/s in horizontaler Richtung von einer Brücke, die 18 m hoch ist.a) Wie weit von der Brücke entfernt prallt der Stein auf den Boden?b) Welche Geschwindigkeit (Betrag) hat der Stein 0.87 s nach Abwurf?c) Welche Bewegungsrichtung hat der Stein 0.87 s nach Abwurf? (Winkel zur Horizontalen) 8

9. Woher weiss man, dass Horizontal- und Vertikalbewegung eines horizontalen Wurfs unabhängig be-handelt werden dürfen? 9

10. Ein horizontaler Wurf startet bei x0 = 0 und trifft bei x = const > 0 auf den Boden.a) Bei welcher Abschusshöhe h ist die Aufprallgeschwindigkeit am kleinsten?b) Unter welchem Winkel prallt das Geschoss auf den Boden?c) Welche Konsequenzen hat das für den Weitwurf? (G. Galilei, “Discorsi”, 1638) 10

11. Kommentieren Sie Abb. 3.1 mit dem Wissen, das Sieüber horizontale Würfe erworben haben. 11

Abbildung 3.1: Abgezeichnet aus“Globis Alpenreise”, Seite 27“Globi geht zufrieden weiter,Vögel füttern stimmt ihn heiter.Er ahnt nicht, dass der Schluss der Schaunoch kommt. Präzis und punktgenau ...! ”

12. Ein Zug fährt mit 15 m/s über eine Brücke. Jemand lässt eine Glasflasche aus dem Fenster fallen.a) Nach welcher Zeit ist die Vertikalgeschwindigkeit gleich gross wie die Horizontalgeschwindigkeitgeworden?b) Geben Sie dann die Bewegungsrichtung der Flasche an (Winkel zur Horizontalen).c) Die Flasche schlägt mit 28 m/s unten auf. Wie hoch ist die Brücke? 12

3.4 Schiefer Wurf

1. Bei welchem Winkel wird die Wurfweite maximal, wenna) Abwurf und Landung auf der gleichen Höhe erfolgen?

©Martin Lieberherr

3.4 Schiefer Wurf 18

b) die Abwurfstelle etwas höher liegt? 1

2. Der Wasserstrahl im Kinderplantschbecken wird unter 60° abgeschossen und kommt 1.1 m weit (aufgleicher Höhe gemessen). Berechnen Sie die Anfangs-Schnelligkeit. 3

3. Kann jede nach unten geöffnete Parabel eine Wurfparabel sein? 3

4. Unter welchem Winkel müssen Sie einen Ball gegen die Wand werfen, damit der Ball möglichst hochoben gegen die Wand prallt? Die Wand sei 4.5 m entfernt. Sie werfen mit 9.1 m/s. Zeichnen Sie dieAuftreffhöhe y als Funktion des Abwurfwinkels α0. Berechnen Sie den optimalen Abwurfwinkel mitDifferentialrechnung, falls Sie diese schon beherrschen. 4

5. Berechnen Sie das Verhältnis von Wurfweite zu Wurfhöhe. Was fällt auf? 5

6. Ein Ball wird mit 8.8 m/s gegen ein Ziel bei xz = 4.4 m und yz = 2.1 m geworfen. Der Abwurf erfolgewie üblich im Nullpunkt eines Koordinatensystems mit horizontaler x- und vertikaler y-Achse.a) Unter welchem Winkel α0 zur Horizontalen muss geworfen werden?b) Mit welcher minimalen Abwurfschnelligkeit υ0 ist das Ziel noch erreichbar? 6

7. Die Wurfparabel wird üblicherweise so dargestellt, dass der Abschuss im Nullpunkt des Koordina-tensystems erfolgt. Schreiben Sie die Gleichung so um, dass der Abschuss bei xA, yA stattfindet. 7

8. Die Wurfparabel wird meistens durch die Anfangsgeschwindigkeit υ0 und den Abschusswinkel α0

parametrisiert, siehe Gleichung 3.1. Es ist aber möglich, diese Parameter gegen Wurfweite xw undWurfhöhe ymax auszutauschen, siehe Gleichung 3.2, oder gegen die Koordinaten des Ziels xz, yz, sieheGleichungen 3.3 und 3.4. Prüfen Sie, ob die Gleichungen 3.2 bis 3.4 korrekt sind, ohne sie selberherzuleiten. (Plausibilitätskontrolle) 8

y = x tanα0 −gx2

2υ20 cos2 α0

(3.1)

y = x · (xw − x) ·4ymax

x2w

(3.2)

y =

υ20

gxz±

√(υ2

0

gxz

)2

− 1 −2υ2

0yz

gx2z

· x ·(1 −

xxz

)+ yz ·

x2

x2z

(3.3)

y = x tanα0 − (xz tanα0 − yz) ·(

xxz

)2

(3.4)

9. Am 18. August 2012 gewann der 18-jährige Finne Ere Karjalainen in Savonlinna die inoffizielle Welt-meisterschaft im Handy-Weitwurf. Sein gebrauchtes Mobiltelefon flog 101.46 m weit. Berechnen Siedie Abwurfgeschwindigkeit und die Flugzeit unter der Annahme, dass der Abwurf unter 45° erfolgtesowie dass Abwurf und Landung auf gleicher Höhe waren (und natürlich ohne Luftwiderstand). 9

10. Mit dem Paris-Geschütz wurde im ersten Weltkrieg die Stadt aus einer Entfernung von 120 km be-schossen (März-August 1918). Das Geschützrohr war 36 m lang. Die Geschosse wogen 94 kg, hatteneine Mündungsgeschwindigkeit von 1.6 km/s und erreichten mit einer Höhe von 40 km als erstemenschengemachte Objekte die Stratosphäre. Die hohe Flugbahn verringerte den Luftwiderstand be-trächtlich. Die Geschosse benötigten 170 s von Abschuss bis Einschlag. Die Geschützrohr-Elevationbetrug bis zu 55 Grad. Die Kanone wurde beim Rückzug verschrottet, die Daten sind nicht ganz si-cher.a) Berechnen Sie für einen schiefen Wurf unter 45° und 120 km Wurfweite die Anfangsgeschwindig-keit und die Flugzeit.b) Berechnen Sie für einen schiefen Wurf der Höhe 40 km und Weite 120 km den Abschusswinkelund die Anfangsgeschwindigkeit. 10

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3.4 Schiefer Wurf 19

11. Unter welchem Winkel muss man werfen, damit die Wand möglichst hoch oben getroffen wird?Abwurfschnelligkeit sei 8.5 m/s , die Wand stehe 5.0 m weiter vorn.a) Lösen Sie die Aufgabe graphisch.b) Bestimmen Sie den Winkel mit Differentialrechnung. 11

12. Sie werfen eine Wurfhantel unter einem Winkel α0 (zur Horizontalen) nach oben. Die Hantel verlässtIhre Hand mit Geschwindigkeit υ0. Wie hoch über die Abwurfstelle wird sie steigen? 12

13. Gilt die Bahngleichung y(x) für die Wurfparabel, die wir im Abschnitt schiefer Wurf hergeleitet hat-ten, auch für den horizontalen Wurf? 13

14. Ein Wurfgeschoss hat υ0 = 8.9 m/s und α0 = 51°.a) Wo liegt der Scheitel (das Maximum) der Bahn? (xS , yS )b) Welche Geschwindigkeit hat das Geschoss im höchsten Punkt? (υx, υy)c) Wird ein Ziel bei xZ = 6.0 m, yZ = 1.6 m getroffen? 14

15. Erklären Sie den Unabhängigkeitssatz für den horizontalen und für den schiefen Wurf mit Hilfe zwei-er Skizzen. 15

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Kapitel 4

Dynamik

4.1 Masse und Dichte

1. Warum tut es weh, wenn man beim Turmspringen mit dem Bauch voran aufs Wasser klatscht? Wasserist doch flüssig und kann ausweichen! 1

2. Ein Metallwürfel wiegt 500.56 g und hat 4.800 cm Kantenlänge. Berechnen Sie die Dichte. Könnte essich um Titan handeln? Die Kanten des Würfels sind leicht gebrochen. 2

3. Eine metallische Platte wiegt 153.22 g und hat Länge 70.00 mm, Breite 30.00 mm sowie Höhe 10.00 mm.Berechnen Sie die Dichte. 3

4. Ein Kupferzylinder wiegt 170.56 g, ist 2.0 cm hoch und hat 3.5 cm Durchmesser. Berechnen Sie dieDichte. Stimmt sie mit dem Literaturwert überein? 4

5. Die Stahlkugel eines Kugellagers wiegt 254.52 g und hat 3.965 cm Durchmesser. Berechnen Sie dieDichte des Kugelmaterials. 5

6. Reines Silber hat Dichte 10.5 · 103 kg ·m−3, die Legierung aus 720 Gewichts-Promille Silber und 280Promille Kupfer 10.0 · 103 kg ·m−3. Legiert man die reinen Metalle, so addieren sich die Massen. Giltdas auch für die Volumina? 6

7. Aus der Zeitung: “Das Urkilogramm hat an Gewicht verloren. (..) [Der Verlust] beträgt inzwischenrund 50 Millionstel Gramm (..) Möglicherweise verliert das Urkilo Gase, die beim Schmelzen ein-geschlossen wurden (..) Nur weil das Urkilo etwas abgenommen hat, heisst das nicht, dass die dickeKatze nun auch leichter ist.” (20min, 24. April 2012)Kommentieren Sie den Textauszug vom Standpunkt einer Physikerin oder eines Physikers. 7

8. In ungefähr sieben Milliarden Jahren verwandelt sich unsere Sonne in einen roten Riesen. Die Sonnewächst, bis sie an die Bahn der Venus heran reicht (die dann verschluckt wird). Berechnen Sie diemittlere Dichte der Sonne in diesem Zustand. 8

9. Ein Körper hat auf der Erde 72 kg. Hat er auf dem Mond a) weniger b) gleichviel c) mehr? 9

10. Eine sogenannte Transfer-Pipette hat ein Volumen von 0.1 Mikroliter. Welche Masse hat die entspre-chende Menge wässrige Lösung? 10

11. Eine zerknüllte Aluminiumfolie ist 10 µm dick und wiegt 4.94 g. Berechnen Sie die Fläche in dm2. 11

12. Ein Wassertropfen hat Radius 1.0 mm. Berechnen Sie seine Masse. 12

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4.1 Masse und Dichte 21

13. Auf einem Küchen-Hohlmass befinden sich die Marken ‘2.7 dL’ und ‘200 g Mehl’ auf derselbenHöhe. Was folgt daraus für die Dichte von geschüttetem Mehl? 13

14. Beschreiben Sie eine Strategie, wie man einen Gewichtsstein von 500.000 g Masse herstellen kann(besser als auf ein Milligramm genau). Zur Verfügung haben Sie das Urkilogramm, eine extrem prä-zise Balkenwaage die nur schwerer/leichter anzeigt, sowie beliebig viel Material und Werkzeug. 14

15. Auf einer Badezimmerwaage, die ich am Strassenrand gefunden hatte, sind zwei Skalen eingezeich-net: Eine Skala ist mit kg beschriftet und die andere mit ‘st’. 140 kg entspricht ungefähr 22 st. Wasfür eine Massseinheit könnte es sein? Tipp: Die Waage trägt die englische Inschrift ‘Not Legal ForTrade’. 15

16. Eine Stahlstange ist 150 mm lang, hat 14.0 mm Durchmesser und wiegt 182 g. Bestimmen Sie dieDichte des Stahls (wie üblich in kg/m3). 16

17. Der silberne Fünfliber (Jahrgänge1931-1967) hatte eine Masse von 15 g. Berechnen Sie das Volumenin Kubikmetern und Kubikzentimetern. 17

18. Nennen Sie drei alltägliche Situationen, wo Trägheit eine Rolle spielt. 18

19. Das Telefonbuch 2013 der Stadt Zürich hat Format A4, wiegt 1140 g, ist 2.30 cm dick und hat 1060Seiten.a) Berechnen Sie die mittlere Dichte des Buchs.b) Berechnen Sie die Papierstärke in g/m2. 19

20. König Rudolf der Reiche und sein Nachbar, König Albert der Arme, bestellen Standbilder von sichaus massivem Gold. Rudolfs Bild soll so gross sein wie er selbst, und Alberts so schwer wie er selbst.Beide Könige seien 1.65 cm gross und 95 kg schwer. Welche Masse hat die Statue von Rudolf undwelche Grösse die von Albert? 20

21. Ein Messbecher wiegt 126.6 g. Gefüllt mit 1.0 Liter trockenem Sand wiegt er 1651.8 g. Man kanndrei bis vier Deziliter Wasser dazu giessen, ohne dass sich das Volumen verändert, weil das Wasserdie Luft aus den Zwischenräumen verdrängt. Der Becher mit 1.0 Liter nassem Sand wiegt 2000.2 g.Berechnen Sie a) das Volumen der Hohlräume zwischen den Sandkörnern sowie b) die mittlere Dichteder Sandkörner. 21

22. Eisen oder Stahl wird oft mit einer 25 bis 150 µm dicken Zinkschicht überzogen, um es vor Korrosionzu schützen. Welche flächenspezifische Masse (in kg/m2) hat eine 40 µm dicke Zinkschicht? 22

23. Ein Zylinder aus Wolfram ist 6.1 m lang und hat 30 cm Durchmesser. Berechnen Sie seine Masse. 23

24. Die Cheops-Pyramide war ursprünglich 147 m hoch und hatte eine quadratische Grundfläche von230 m Kantenlänge. Sie besteht hauptsächlich aus Kalkstein. Berechnen Sie ihre Masse. 24

25. Ein “20-Fuss-Container” hat die inneren Abmessungen 5, 710 m × 2, 352 m × 2, 385 m und kann mitmaximal 21750 kg beladen werden (wikipedia). Dürfte man ihn ganz mit Sand füllen? TrockenerSand hat die Schütt-Dichte 1.6 Tonnen pro Kubikmeter. 25

26. Ein Astronaut auf der internationalen Raumstation drückt Orangensaft aus dem Behälter. Der Saftbildet eine Kugel von 3.5 cm Durchmesser. Berechnen Sie die Masse. 26

27. Berechnen Sie Ihr eigenes Volumen. 27

28. Eine Energiesparlampe mit weniger als 30 Watt Leistung darf in der Schweiz maximal 2,5 mg Queck-silber enthalten. Welchen Durchmesser hätte ein Quecksilberkügelchen dieser Masse? 28

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4.2 Newton’sche Axiome 22

29. Trockeneis hat eine Dichte von 1,56 g/cm3. Unsere Atmosphäre enthält 780 Gt Kohlendioxid. Wiedick wäre die Trockeneisschicht mindestens, wenn das CO2 auf der Erdoberfläche desublimierenwürde? 29

30. Fast 269 000 Tonnen Plastikmüll treiben in den Weltmeeren. (NZZaS, 14. Dez. 2014)Welche Kantenlänge hätte ein Plastikwürfel mit dieser Masse? 30

31. “Die Hose sagt mehr aus, als die Waage. Ein Kilogramm Fett ist dreimal so voluminös wie ein Kilo-gramm Muskeln. Gewisse Resultate sieht man vielleicht nicht auf der Waage, kann aber den Gürteltrotzdem spürbar enger schnallen. ” http://www.bluewin.ch/de/leben/lifestyle/beauty-und-wellness/weniger-stress–weniger-speckroellchen.html (14.8.2015)Stimmt die Aussage mit dem Fett- und Muskelvolumen? 31

32. Von zwei Würfeln hat der zweite doppelte Kantenlänge und doppelte Masse. In welchem Verhältnisstehen die Dichten? 32

33. Eine leere Bierdose der Brauerei Schützengarten ist mit 50 cL angeschrieben, wiegt (15.5± 0.1) g, ist(16.87 ± 0.01) cm hoch und hat (6.59 ± 0.02) cm Durchmesser.a) Berechnen Sie die Wandstärke der Aluminiumdose. Welche Näherungen müssen Sie treffen?b) Passt Ihr Resultat zur gemessenen Wandstärke von (0.10 ± 0.01) mm? 33

34. Der grönländische Gletscher namens Jakobshavn soll in den Jahren 2000-2010 etwa 1 mm zum glo-balen Anstieg des Meeresspiegels beigetragen haben. Berechnen Sie die Eismasse, welcher der Glet-scher pro Tag ins Meer kalbte. 34

35. Sie atmen voll ein und dann ganz aus. Wie viele Prozent schwankt Ihre mittlere Dichte? 35

36. Im Jahr 2015 wurden weltweit 127 Millionen Karat Diamanten gefördert. Wie viele Kubikmeter sinddas? 36

37. Ein Zylinder aus Platin hat einen Durchmesser von 39 mm und 1.000 kg Masse. Berechnen Sie seineHöhe. 37

38. Ein Messbecher enthält 357.2 mL Wasser bei 20 °C. Wie viel enthält er bei 70 °C? 38

4.2 Newton’sche Axiome

1. Sie beobachten, dass sich die Welt ohne sichtbare Ursache um Sie dreht. Was schliessen Sie darausim Lichte des 1. Newtonschen Axioms? 1

2. Befinden Sie sich jetzt gerade in einem Inertialsystem? 2

3. a) Warum ist der Index in ~Fres = m~a nötig?b) Wozu dienen die Pfeile in ~Fres = m~a. Was ist gemeint, wenn man sie weglässt? 3

4. Ein Körper der Masse 5 kg wird mit 8 m/s2 beschleunigt. Berechnen Sie die resultierende Kraft. 4

5. Auf einen Körper der Masse 15.7 kg wirkt eine Kraft von 12.9 kN. Berechnen Sie die Beschleunigung.5

6. Auf einen Körper wirkt eine Kraft von 87 µN, welche ihn mit 76 m/s2 beschleunigt. Berechnen Siedie Masse des Körpers. 6

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4.2 Newton’sche Axiome 23

7. Die NASA hat bei den 1972 und 1973 gestarteten Pioneer-Sonden eine unerklärliche Beschleunigungvon durchschnittlich 8·10−10 m/s2 gegen die Sonne festgestellt. Erst 2011 konnte diese Beschleuni-gung durch Reflexion der Wärmestrahlung aus den Plutoniumbatterien erklärt werden.a) Welche maximale Geschwindigkeitsänderung folgt aus dieser Beschleunigung in 30 Jahren?b) Welche maximale Abweichung von der berechneten Position ergibt sich in derselben Zeitspanne?c) Wie gross ist die Kraft auf die Sonde (m = 260 kg), welche diese Beschleunigung verursacht? 7

8. Ein Computer steht ruhig vor Ihnen auf dem Tisch.a) Was für Kräfte wirken auf den Computer?b) Was sind die Reaktionskräfte und auf wen wirken diese? 8

9. Auf einen Körper der Masse 73 g wirkt eine Kraft von 235 mN. Berechnen Sie die Beschleunigung. 9

10. In einigen Schulbüchern wird das 3. Newtonsche Axiom wie in Abb. 4.1 mit einem Seil, an demzwei Personen ziehen, illustriert. Was ist falsch an dieser Darstellung? Tipp: Zeichnen Sie dieselbeSituation qualitativ, wenn das Seilgewicht nicht vernachlässigbar ist und wenn die zwei Personen aufverschiedenen Höhen ziehen. 10

Abbildung 4.1: Was ist falsch an der Aussage ‘Nach actio=reactio sind die Kräfte F1

und F2 an beiden Enden des Seiles gleich stark und entgegengesetzt gerichtet’ ?

11. Wann und wo hat Isaac Newton gelebt? 11

12. Auf einen Körper der Masse 3.0 kg wirken zwei Kräfte: Die eine Kraft hat Stärke 4.0 N, die zweite5.0 N. In welchem Bereich kann die Beschleunigung liegen? 12

13. Nennen Sie in eigenen Worten den Zweck des 1. Newtonschen Axioms. 13

14. Was ist 237 TN in wissenschaftlicher Schreibweise und SI-Basiseinheiten? 14

15. Die Resultierende habe den Betrag 5.0 N. Sie setzt sich zusammen aus einer Kraft von 6.0 N Stärkeund einer zweiten Kraft. Alle Kräfte haben verschiedene Wirkungslinien. Geben Sie ein Beispiel fürdie Kräfte an, welche diese Bedingungen erfüllen (beschriftete Zeichnung inklusive Betrags- undRichtungsangaben). 15

16. Ergänzen Sie die Formel. Berechnen Sie das Resultat mit der üblichen Einheit. 16

=35 kg ·m/s2

7.0 g=

17. Auf einen Körper von 1.0 kg Masse wirkt eine Kraft von 3.0 N Stärke, worauf der Körper mit 5.0 m/s2

beschleunigt. Wie ist das möglich? 1718. Zerlegen Sie die Kraft F in Abb. 4.2 in die Kompo-

nenten F1 und F2 parallel zu den gestrichelten Linien.Drücken Sie F1 und F2 als Vielfache von F aus.a) zeichnerisch b) rechnerisch. 18

Abbildung 4.2: Eine Kraft F soll in Komponentenparallel zu den zwei angegebenen Richtungen zerlegtwerden: α = 33.0° und β = 73.0°.

19. Ein Maserati wiegt 1955 kg und beschleunigt horizontal mit 5.3 m/s2

a) Wer beschleunigt das Auto (Aktionskraft)?b) Was hat das mit dem Reaktionsprinzip zu tun? 19

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4.3 Kraftgesetze 24

20. Gelten die Newtonschen Axiome für Zeichentrickfilm-Figuren? 20

21. Auf einen Körper der Masse 583 kg wirkt eine Kraft von 1372 N. Der Körper beschleunigt mit1.00 m/s2. Es muss also noch eine zweite Kraft wirken. Bestimmen Sie von dieser Betrag und Rich-tung. 21

22. Nennen Sie das 3. Newtonsche Axiom (drittes Grundgesetz der Mechanik) und geben Sie einen Grundan, weshalb es gelten soll. 22

23. Vanessa schreibt auf die Frage, wie das erste Newtonsche Axiom der Mechanik laute, folgende Ant-wort: “Ein ruhender Körper ist stets in Bewegung.” Lässt sich ein Körnchen Wahrheit in dieser Ant-wort finden? 23

24. Ein Magnet (24 g) übt eine Kraft von 31 N auf ein Stück Eisen (500 g) aus. Wie gross ist die Kraftauf den Magneten und welche Beschleunigung erfährt er? 24

25. Eine elektrische Kraft beschleunigt ein ruhendes Proton auf 8.7325·106 m/s. Die Beschleunigungs-strecke misst 35.82 mm. Berechnen Sie die mittlere Kraft auf das Proton. 25

26. Alle Kräfte auf ein Auto kompensieren sich, aber das Auto bewegt sich trotzdem. Ist das möglich?26

27. Was bedeuten die Fachwörter Dynamik, Statik und Kinetik? In welcher Beziehung stehen Sie zueinander? 27

28. Wenn ein kleiner Smart mit einem schweren Lastkraftwagen zusammenstösst, üben sie gleiche Kräfteaufeinander aus. a) Warum ist das so?b) Warum ist das kein Widerspruch zur Alltagserfahrung? 28

4.3 Kraftgesetze

(Gewichtskraft, Federkraft, Normalkraft, Gleit- und Haftreibung)

1. Welches Gewicht hat exakt 2 L Quecksilber? 1

2. Ein Schneeball von 8.0 cm Durchmesser wiegt 97 g (Lie. 20. 12. 11).a) Berechnen Sie sein Gewicht.b) Berechnen Sie seine mittlere Dichte.c) Der Schneeball wird in 0.2 s von Null auf 8.8 m/s beschleunigt. Berechnen Sie die resultierendeKraft auf den Schneeball. 2

3. Sie nehmen ihre Badezimmerwaage auf den Mars mit. Was würde sie anzeigen? 3

4. Um eine Feder 2.8 cm zu dehnen, muss mit 31 N an ihr gezogen werden. Wie gross ist die Federkon-stante? 4

5. a) Bestimmen Sie die Federkonstante der Feder aus Abbildung 4.3.b) Mit welcher Kraft muss an der Feder gezogen werden, um sie 5 cm zu dehnen? 5

6. Sie kennen verschiedene Reibungskräfte, die zwischen festen Oberflächen wirken. Aufgrund welcherIndizien in der Aufgabe entscheiden Sie, welches Gesetz respektive welche Berechnungsmethodeauzuwählen ist? 6

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4.3 Kraftgesetze 25

Abbildung 4.3: Kraft-Dehnung Diagramm einer Feder.

7. Eine Lokomotive (84 t) ist mit 110 km/h unterwegs, als der Lokführer eine Vollbremsung einleitenmuss. Alle Räder blockieren und rutschen über die Gleise.a) Berechnen Sie die Gleitreibungskraft.b) Berechnen Sie den Bremsweg. 7

8. Der Bremsweg eines Zürcher Trams beträgt 30 m bei einer Anfangsgeschwindigkeit von 40 km/h.Wie gross ist der Reibungskoeffizient unter der Annahme, dass die Räder rutschen? 8

9. Eine Lokomotive (84 t) soll einige antriebslose Anhänger (400 t) mit konstanter Geschwindigkeit eineRampe hinauf ziehen. Welche Steigung ist maximal möglich, falls man die üblichen Reibungsgesetzevoraussetzt? 9

10. An der Pfäffikoner Seegfrörni im Februar 2012 spielten Väter mit ihren Kleinkindern ‘Curling’. DieKleinen wurden angeschoben und rutschten auf dem Glatteis bäuchlings z.B. 4 m weit bis sie nach3 s zum Stillstand kamen. Berechnen Sie den Gleitreibungskoeffizienten. 10

11. Ein Brettchen liegt auf einer um 28 Grad geneigten Rampe. Durch eine kleine Erschütterung setzt essich in Bewegung und wird immer schneller. In welchen Bereichen (grösser/kleiner als) können Haft-und Gleitreibungskoeffizient liegen? 11

12. Ein Schlitten erreicht mit 8.3 m/s den Fuss eines Hangs und kommt auf einer horizontalen Streckevon 22 m zum Stillstand. Berechnen Siea) die Reibungskraft undb) den Reibungskoeffizienten. 12

13. Ein Körper befindet sich auf einer schiefen Ebene. Tragen Sie den Betrag der möglichen Reibungs-kräfte (Haft- und/oder Gleitreibung) gegen den Neigungswinkel der Ebene (0-90 °) ab. Erwartet wirdeine Skizze mit Beschreibung. 13

14. Ein Körper wird entlang einer horizontalen Ebene gezogen. Tragen Sie die möglichen Werte der Haft-und Gleitreibungskraft gegen die Geschwindigkeit ab (Beträge). 14

15. Wenn man mit 2.8 N an einer Feder zieht, so verlängert sie sich um 3.7 cm. Wie viel verlängert siesich, wenn man mit 4.3 N zieht? 15

16. Ein Körper wiegt in Zürich exakt zwei Newton. Wie viel Masse muss man dazu legen, damit er inZermatt ebenfalls exakt zwei Newton wiegt? 16

17. An einer Feder mit Federkonstante D = 400 N/m wird mit 80 N gezogen. Berechnen Sie die Deh-nung. 17

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4.3 Kraftgesetze 26

18. Schätzen Sie das Gewicht des Lehrers ab. 18

19. Sie beginnen, an einer ruhenden Kiste horizontal zu ziehen und steigern langsam die Zugkraft, bis dieKiste rutscht. Skizzieren Sie die Reibungskraft als Funktion der Zugkraft und kommentieren Sie dasDiagramm. 19

20. Einige Federn werden wie in Abbildung 4.4a-d kombiniert. Bestimmen Sie, welche Federkonstanteeine einzelne Feder haben müsste, welche die Kombination gleichwertig ersetzt. 20

Abbildung 4.4: Federn mit Federkonstanten D1, D2 und D3 werden wie in a) bis d) kombiniert.Was ist die resultierende Federkonstante der Kombination, wenn man am schwarzen Griff z.B.nach rechts zieht?

21. Eine Feder zieht mit 35 N, wenn sie 23.8 mm gedehnt wird. Berechnen Sie die Federkraft, wenn sie26.93 mm gedehnt ist. 21

22. Der NASA-Marsroboter ‘Curiosity’ hat eine Masse von 900 kg. Wie stark wird er von Mars angezo-gen? 22

23. Ein Kraftmesser (Federwaage) hat die Markierungen 0 N, 5 N, 10 N, 15 N, etc. in Abständen von12.5 mm. Berechnen Sie die Federkonstante. Wie soll das Resultat gerundet werden? 23

24. Eine Feder hat D = 80 N/m und ist mit 15 N vorgespannt. Wie weit muss sie gedehnt werden, damitdie Federkraft um 20 N steigt? 24

25. Ein Körper bewegt sich mit 3 m/s und erfährt eine Gleitreibungskraft von 12 N. Er wird auf 2 m/sgebremst. Wie gross ist die Gleitreibungskraft dann? 25

26. Stimmt die Gleichung FN = mg immer? Falls ja, warum, falls nein, geben Sie ein Gegenbeispiel. 26

27. Auf einem gusseisernen Dohlendeckel steht “Bruchlast 150 kN”. Wie viel ist das in Tonnen? 27

28. Auf der Verpackung eines dünnen Polypropylen-Seils steht “20 daN, ca. 20 kg”. Aus welchen Grün-den wurde dieser doch eher selten verwendete Dezimalvorsatz gewählt? 28

29. Auf einem Kalenderblatt stand, dass eine bis zu 2.5 kg schwere Kokosnuss aus einer Höhe von 25 bis35 m falle und dabei ein beachtliches Tempo erreiche. Am Ende rausche sie mit einer Gewichtskraft zuBoden, die etwa einer Tonne entspreche: Kein Schädelknochen halte diesem Aufprall stand. Deshalbstürben auch jedes Jahr mehrere Menschen durch fallende Kokosnüsse.a) Formulieren Sie den Text physikalisch korrekt.b) Stimmt das mit der Tonne? 29

30. Ein Traktor möchte ein Auto (1.48 Tonnen) abschleppen. Der Fahrer hat aber vergessen, beim Autodie Handbremse zu lösen, d.h. die Räder können sich nicht drehen. Bei welcher Zugkraft wird sichdas Auto in Bewegung setzen? 30

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4.4 Statik und Kinetik 27

31. Eine Stahlkugel hat 25 mm Durchmesser. Berechnen Sie die einwirkende Gewichtskraft. 31

32. Ein Holzklötzchen liegt auf einem geneigten Holzbrett. Tippt man das Kötzchen an, so setzt es sich inBewegung, bremst aber wieder. Berechnen Sie, in welchem Bereich der Neigungswinkel liegen kann.32

4.4 Statik und Kinetik

1. Zwei Kräfte mit 3.0 N und 4.0 N Stärke greifen unter rechtem Winkel am gleichen Körper mit 10 kgMasse an. Berechnen Sie den Betrag der Beschleunigung. 1

2. Ein rechtwinkliger Keil mit spitzem Winkel α = 19 wird an der Schmalseite mit einer bestimmtenKraft FFuss in einen Türspalt geklemmt, siehe Abbildung 4.5. Ignorieren Sie alle Reibungskräfte unddas Keilgewicht.a) Zeichnen Sie den Lage- und den Kräfteplan.b) Drücken Sie die anderen Kräfte auf den Keil als Vielfache der Fusskraft aus. 2

Abbildung 4.5: Ein Keil wird unter die Tür geklemmt.

3. Eine Skifahrerin (73 kg) rutscht aus dem Stand einen beschneiten Hang mit 17° Neigung hinab. Wel-che Geschwindigkeit hat sie nach 23 m freier Fahrt (entlang der Schräge gemessen), wenn man dieReibung berücksichtigt? 3

4. Betrachten Sie die Anordnung zweier Körper auf der schiefen Ebene mit Rolle in Abbildung 4.6a) Zeichnen Sie den Lageplan und den Kräfteplan der Kräfte auf den ersten Körper.b) Berechnen Sie den Betrag der Normalkraft.c) Berechnen Sie den Betrag der Reibungskraft. 4

Abbildung 4.6: Ein erster Körper der Massem1 = 4.8 kg liegt ruhig auf einer schiefen Ebene,die um α = 19° gegen die Horizontale geneigtist. Über eine reibungsfreie Rolle zieht ein zwei-ter Körper der Masse m2 = 1.37 kg am erstenKörper parallel zur Ebene nach oben.

5. Auf einen Körper der Masse 37 kg wirkt eine erste Kraft von 120 N und eine zweite von 150 N Stärke.Der Körper beschleunige mit 2.37 m/s2. Welchen Winkel schliessen die Kräfte ein? 5

6. Ein Auto der Masse 1.38 t ist auf einer Strasse parkiert, die 9.5 ° gegen die Horizontale geneigt ist.Nennen Sie alle Kräfte auf das Auto und berechnen Sie deren Beträge. 6

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4.4 Statik und Kinetik 28

7. Ein Körper rutsche eine reibungsfreie, schiefe Ebene mit Neigungswinkel α hinab. Der Körper starteaus der Ruhelage.a) Wie weit kommt er in der Zeit t?b) Der Körper starte im Nullpunkt eines Koordinatensystems. Was fällt auf, wenn man die Positionzur Zeit t als Funktion des Neigungswinkels α darstellt?c) Der Körper starte wieder im Nullpunkt eines Koordinatensystems, aber diesmal wirke eine Cou-lomb’sche Gleitreibungskraft. Was ist diesmal der geometrische Ort der Endpunkt? 7

8. Zwei gleiche Massen m sind mit einem Faden verbunden, sieheAbb. 4.7. Dieser Faden ist bei A und B durch die Schlaufen ei-ner Schnur gezogen. Die Schnur ist bei C und D über zwei Nägelin einem Balken gelegt. Der Faden kann reibungsfrei durch dieSchlaufen der Schnüre gleiten, die Schnur kann reibungsfrei überdie Nägel gleiten. Es wird sich ein Gleichgewicht einstellen. Wiegross ist dann der Winkel ABC? 8

Abbildung 4.7: Zwei mit einem Faden verbundene, gleiche Massensind reibungsfrei an einer beweglichen Schnur aufgehängt.

9. Kann es sein, dass zwei Kräfte à je 3 N zusammen nicht 6 N geben? 9

10. Eine Last ist mit Schnüren an eine horizontalen Stange geknüpft,siehe Abbildung 4.8. Mit welcher Kraft ziehen die zwei Schnürean den Stellen A und B? 10

Abbildung 4.8: Ein Körper mit Gewicht FC = 100 N ist anSchnüren vernachlässigbaren Gewichts aufgehängt. Es sei α =

30° und β = 45°.

11. Wie kann ein leichtes Zugfahrzeug mit Hilfe einer Umlenkrolle ein schweres Wrack aus dem Stras-sengraben ziehen? 11

12. Zwei Körper mit Massen m1 und m2 hängen an einem Faden, siehe Abbildung 4.9. Berechnen Sie dieFadenkräfte F1 auf den oberen und F2 auf den unteren Körper, falls

a) die Anordnung in Ruhe istb) der obere Fade so zieht, dass beide Massen mit a nach obenbeschleunigen. 12

Abbildung 4.9: Ein Körper der Masse m1 hängt an einem Fa-den. Unten an diesem Körper ist ein zweiter Faden befestigt, dereinen zweiten Körper mit Masse m2 trägt.

13. Wie müsste der Winkel β in Abbildung 4.10 sein, damit Gleichgewicht herrscht? 13

Abbildung 4.10: Ein Körper mit Gewicht F1 = 51 Nliegt auf einer schiefen Ebene mit Neigungswinkel α =

31°. Er ist mit einem Faden über eine Rolle mit einemzweiten Körper (Gewicht F2 = 22 N) verbunden, derauf einer schiefen Ebene mit Neigungswinkel β liegt.Die ganze Anordnung sei reibungsfrei.

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4.4 Statik und Kinetik 29

14. Abbildung 4.11 zeigt die berühmte Aufgabe ‘freier Fall durch die Sehne’. Wie lange dauert die Be-wegung? 14

Abbildung 4.11: Ein Körper der Masse m bewegtsich reibungsfrei entlang einer Sehne eines vertikalgestellten Kreises. Die Sehne habe Länge s, der Kreishat Radius r. Die Anfangsgeschwindigkeit sei υ0 = 0.Die Sehne ist um den Winkel β gegen die Vertikale ge-neigt.

15. In Abbildung 4.12 rutscht ein Ziegel vom Dach mit Neigungswinkel α. 15

Bei welchem Winkel α erreicht der Ziegel die Dachkante in kürzester Zeit?Die Anfangsgeschwindigkeit am Dachfirst sei Null.

Abbildung 4.12: Das Dach eines symmetrischen Hauses bilde eine rei-bungsfreie, schiefe Ebene für den Ziegel. Das Haus hat Höhe h ohne Dachund Breite b.

16. Sie (56 kg) fahren Lift. Berechnen Sie die Normalkraft des Liftes auf Ihre Füsse, wenna) der Lift mit 0.85 m/s2 nach oben beschleunigt.b) der Lift mit konstanter Geschwindigkeit nach oben fährt.c) der aufwärts fahrende Lift mit 1.05 m/s2 bremst. 16

17. Ein Körper ist wie in Abb. 4.13 gezeichnet an Fäden aufgehängt (α = 61°, β = 43°, FA = 51.5 N).Bestimmen Sie die Kräfte der zwei anderen Fäden auf den Knoten C. Zeichnen Sie den Lageplan undden Kräfteplan. 17

Abbildung 4.13: Ein Körper ist an zwei Schnü-ren aufgehängt. Die Winkel und die Kraft FA aufden Knoten C sind bekannt. Wie gross sind FB

und FC?

18. Ein Klotz von 200 g Masse liegt ruhig auf einer um 45 ° geneigten Ebene. Berechnen Sie die Beträgeder Normal- und Reibungskraft. 18

19. Oberleitungen von Eisenbahnen müssen gespannt werden. Manchmal wird das mit der in Abbil-dung 4.14 dargestellten Vorrichtung gemacht. Beantworten Sie in Worten:a) Warum nimmt man nicht einfach eine Feder, um das Kabel zu spannen?b) Warum ist das Seilstück oben an der beweglichen Rolle stärker geneigt als unter dieser Rolle?c) Wie gross ist die Kraft, mit der die Oberleitung gespannt wird, im Vergleich zur angehängten Last?19

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4.4 Statik und Kinetik 30

Abbildung 4.14: Vorrichtung zum Spannen vonEisenbahn-Oberleitungen (Schema). Die Oberleitungwird mit Hilfe einer beweglichen und einer fixen Rol-le, an die eine Last gehängt wird, gespannt.

20. Eine Kniehebelpresse, siehe Abb. 4.15, besteht aus einem rom-busförmigen Gestänge mit Gelenken. Der Winkel α ist klein.Drückt man zwei Gelenke am ‘Knie’ mit FK zusammen, so übendie Stangen an den spitzen Enden eine Kraft F auf die Endplattenaus. Berechnen Sie F als Funktion von FK und α. Vernachlässi-gen Sie das Eigengewicht. 20

Abbildung 4.15: KniehebelpresseWenn der Winkel α klein ist, wird die Kraft F sehr viel grösserals die Kraft FK . Die ‘Knie’-Gelenke, wo die Kräfte FK wirken,werden üblicherweise mit einer Schraube zusammen gezogen.

21. Ein Seiltänzer (73 kg) steht auf einer Slackline (siehe Abb. 4.16). Die Leine sei leicht und beidseitsauf gleicher Höhe befestigt.a) Berechnen Sie die Kräfte auf das Seilstück, das sich gerade unter dem Fuss befindet, wenn derSeiltänzer in der Mitte steht.b) Stellen Sie die Ausgangsgleichungen für das gleiche Problem auf, wenn der Seitänzer bei 2/3 steht.Sie müssen die Kräfte nicht ausrechnen. 21

Abbildung 4.16: Eine gespannte Slackline, deren Ge-wicht vernachlässigbar sei, ist beidseits auf gleicherHöhe befestigt und unbelastet 12.0 m lang. Das vomSeitänzer belastete Stück gehe 50 cm nach unten.

22. Ein Wagen wird wie in Abb. 4.17 an einer Rampe fest-gebunden. Drücken Sie die Kraft FS des Seils auf denWagen formal durch α, β und das Gewicht FG des Wa-gens aus. 22

Abbildung 4.17: (rechts) Skizze zu Aufgabe 22

23. Eine Strasse ist 8.3° gegen die Horizontale geneigt. Ein Maserati (1955 kg) beschleunige mit 3.8 m/s2

diese Strasse aufwärts.a) Zeichen Sie den Lageplan und Kräfteplan (nicht massstäblich).b) Berechnen Sie die Normalkraft auf das Auto.c) Berechnen Sie die resultierende Kraft auf das Auto.d) Berechnen Sie die Reibungskraft auf das Auto.e) Welche maximale Beschleunigung wäre möglich? 23

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4.4 Statik und Kinetik 31

24. Ein Holzklotz (0.88 kg) liegt ruhig aufeinem horizontalen Holzbrett. Sie ziehenmit einer Schraubenfeder am Klotz, sieheAbb. 4.18, bis die Federkraft stark genuggeworden ist, dass sich der Klotz in Bewe-gung setzt. Berechnen Sie die Beschleuni-gung des Klotzes im nächsten Moment. 24

Abbildung 4.18: Eine Feder beginnt an einem ruhen-den Klotz zu ziehen.

25. Ein Wagen der Masse 180 g steht wie in Abbildung 4.19 aufeiner Schiene, die um α = 18° gegen die Horizontale geneigt ist.Der Wagen wird durch eine Feder im Gleichgewicht gehalten,welche die Federkonstante D = 270 N/m hat.a) Berechnen Sie die Normal- und Federkraft auf den Wagen.b) Wie stark ist die Feder zusammengedrückt? Verwenden Siedas Resultat von a). 25

Abbildung 4.19: Wagen wirddurch Feder gehalten.

26. Ein Holzbklötzchen rutscht abwärts auf einem geneigten Holzbrett. Es wird nicht langsamer und nichtschneller. Berechnen Sie den Neigungswinkel des Bretts. 26

27. Eine Last ist wie in Abbildung 4.20 gezeichnet aufgehängt. In welchem Verhältnis stehen die zweiKräfte? (Berechnen Sie F2 : F1.) 27

Abbildung 4.20: Eine Last ist an drei Schnüren aufge-hängt. Die oberen zwei Schnüre schliessen einen Win-kel α = 150° respektive β = 120° mit der unteren,vertikalen Schnur ein. Die Zeichnung ist – bis auf dieLänge des F2-Pfeils – massstäblich.

28. gegeben: F1 = 50 N, F2 = 23 N. Es gilt ~Fres = ~F1 + ~F2.gesucht: der maximale Winkel zwischen ~F1 und ~Fres, der mit diesen Angaben verträglich ist. 28

29. Ein Körper mit Gewicht 31 N ist wie in Abb. 4.21 an zwei Fäden aufge-hängt. Der linke Faden zieht mit 22 N nach links und schiesst einen Winkelvon 42 Grad mit der Vertikalen ein. Bestimmen Sie Betrag und Richtungder Kraft des rechten Fadens auf den Körper. 29

Abbildung 4.21: (rechts) zu Aufgabe 29

30. Wie zerlegt man eine Kraft von 5 N Stärke in zwei Komponenten von 7 N und 8 N Stärke? (beschrif-tete Konstruktionsskizze) 30

31. Eine Feder wird im Gleichgewicht durch eine angehängte Masse m um die Strecke y gedehnt. Be-rechnen Sie die Federkonstante rein formal. 31

32. Ein beladener Wagen wiegt 470 kg. Sie möchten ihn mit Körperkraft eine Rampe hinaufschieben. Biszu welchem Neigungswinkel der Rampe ist das möglich? 32

33. Zwei Kräfte von 30 N und 40 N Stärke wirken auf einen Körper der Masse 500 g und beschleunigendiesen mit 100 m/s2. Wie sind die Kräfte relativ zu einander gerichtet? 33

34. Ist es möglich, eine resultierende Kraft der Stärke 6 N zu erhalten, wenn man zwei Kräfte von je 6 Nkombiniert? Falls ja, wie, falls nein, warum nicht? 34

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4.4 Statik und Kinetik 32

35. Eine Kiste rutscht mit konstanter Geschwindig-keit eine Rampe hinunter, siehe Abb. 4.22. DieGewichtskraft FG greift am Schwerpunkt S, dersich irgendwo im Kisteninnern befindet, an. DieGleitreibungskraft FR greift irgendwo an derUnterseite an. Sie hat Hebelarm a relativ zumSchwerpunkt. Damit die Kiste nicht in Drehungversetzt wird, muss die Normalkraft FN mit He-belarm b unterhalb des Schwerpunkts angreifen.Berechnen Sie das Verhältnis b/a und interpre-tieren Sie das Resultat. 35

Abbildung 4.22: Auf die Kiste wirken Gewichts-kraft, Normal- und Gleitreibungskraft.

36. a) Zerlege die Kraft F0 in zwei Komponenten F1 undF2, die parallel zu den vorgegebenen Strecken s1 und s2

sind, siehe Abb. 4.23. Ist die Zerlegung eindeutig? Fallsja, geben Sie die Zerlegung an. Falls Nein, geben Siemindestens zwei verschiedene, gültige Zerlegungen an.

b) Zerlege die Kraft F0 in drei Komponenten F1, F2 undF3, die parallel zu den vorgegebenen Strecken s1, s2 und s3

sind, siehe Abb. 4.23. Ist die Zerlegung eindeutig? Falls ja,geben Sie die Zerlegung an. Falls Nein, geben Sie minde-stens zwei verschiedene, gültige Zerlegungen an. 36 Abbildung 4.23: Kraft F0 und 3 Richtun-

gen

37. Ein Skifahrer gleitet mit konstanter Geschwindigkeit auf der Skipiste nach unten. Berechnen Sie dieBeschleunigung, wenn er auf den Gegenhang gerät, der gleich stark in die andere Richtung geneigtist. 37

38. Ein flexibles, masseloses, undehnbares Seil sei asymmetrisch (auf verschiedenen Höhen) aufgehängt.Eine Perle (Massenpunkt) rutsche reibungsfrei auf dem Seil. Sie bewegt sich zum tiefsten Punkt.Das Seil wird zu einem Spitz geformt. Bestimmen Sie aus den Koordinaten der Aufhängung und derSeillänge die Koordinate des Seilspitzes im Gleichgewicht. 38

39. Kann man eine Kraft von 10 N in zwei Komponenten mit 50 N und 55 N zerlegen? 39

40. Ein Flugzeug (54 t) fliegt mit konstanter Geschwindigkeit (200 m/s) auf einer 1.5° abwärts geneigtenBahn auf die Landepiste zu. Berechnen Sie die resultierende Kraft auf das Flugzeug. 40

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Kapitel 5

Arbeit, Leistung, Energie

5.1 Arbeit

1. Wie kann man auf die Idee kommen, dass die Grösse ‘Kraft mal Weg’ wichtig sein könnte? Wie heisstdiese Grösse heute und wie lautet die vollständige Definition? 1

2. Kann die Haftreibungskraft Arbeit verrichten? Falls ja geben Sie bitte ein Beispiel; falls nein begrün-den Sie warum. 2

3. Kann die Normalkraft Arbeit verrichten? Falls ja geben Sie bitte ein Beispiel; falls nein begründenSie warum. 3

4. Eine der weltweit stärksten Strangpressen von SMS Meer kann mit bis zu 150 MN pressen. BerechnenSie die Arbeit, welche beim Pressen eines 60.0 m langen Aluminiumprofils verrichtet wird. 4

5. Wie viel Arbeit muss mindestens verrichtet werden, um einen Lastwagen (28 Tonnen) von 80 auf100 km/h zu beschleunigen? 5

6. Ein linearer Positionier-Antrieb kann mit einer Kraft von 9.2 N einen Gegenstand 120 mm weit schie-ben. Berechnen Sie die verrichtete Arbeit. 6

7. Eine Feder werde gespannt. Für den ersten Zentimeter muss die Arbeit W1 verrichtet werden. Berech-nen Sie formal die Arbeit W2, um die Feder einen weiteren Zentimeter zu spannen. 7

8. Ein Betonwürfel von 85 cm Kantenlänge muss auf eine 37 m hohe Dachterrasse gehoben werden. Wieviel Arbeit muss der Kran verrichten? 8

9. Vom 22.-24. Mai 2012 wurde das historische Gebäude der ehemaligen Maschinenfabrik Oerlikonan einen neuen Standort versetzt. Der 80 m lange Backsteinbau wurde auf Schienen gesetzt und mithydraulischen Pressen innert 17 Stunden 59.5 m weit geschoben. Der neue Standort lag 17 cm höherals der alte. Das Gebäude hatte eine Masse von 6200 t und die Pressen schoben ‘mit 60 t’. Das Hausrollte auf 500 Vollstahlrollen (Walzen) mit 10 cm Durchmesser.a) Berechnen Sie die von den Pressen verrichtete Arbeit.b) Berechnen Sie die Hubarbeit.c) Mit welcher Kraft müssten die Pressen schieben, wenn die Bewegung reibungsfrei wäre?d) Berechnen Sie die mittlere Schnelligkeit des Gebäudes.e) Mit welcher Schnelligkeit bewegten sich die Rollen? 9

10. Willi trinkt eine Stange (330 g Bier). Er hebt das Glas (210 g) 17 mal an seine Lippen (mittlere Hub-höhe 40 cm). Wie viel Arbeit verrichtet er? 10

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5.2 Leistung 34

11. Um die Dehnung einer Feder von y1 auf y2 zu vergrössern, muss die Arbeit W hineingesteckt werden.Berechnen Sie aus diesen Angaben formal die Federkonstante. 11

12. Wie hoch kann man 1.0 Tonnen mit 1.0 kWh heben? 12

13. Eine SBB Lokomotive Re 460 zieht mit 100 kN auf einer Strecke von 300 km. Berechnen Sie dieverrichtete Arbeit. 13

14. Eine Feder mit D = 200 N/m wird 3.0 cm komprimiert. Berechnen Sie die Arbeit. Welche Annahmemussten Sie treffen? 14

15. Ein Schneeball (60 g) werde mit 3.0 m/s geworfen. Welche Beschleunigungsarbeit ist verrichtet wor-den? 15

16. Wie ist es möglich, dass eine Kraft von 10 N entlang eines Weges von 10 m nur 50 J Arbeit verrichtet?16

5.2 Leistung

1. Das Strassenfahrzeug “La Jamais Contente” fuhr 1899 einen Geschwindigkeitsrekord mit 105.9 km/h.Es hatte die Masse 1450 kg und wurde von zwei Elektromotoren mit zusammen 50 kW angetrieben.Wie lange musste es mindestens beschleunigen, bis die Endgeschwindigkeit erreicht war? 1

2. Ein Auto erbringe eine Leistung von 50 kW und kann damit auf horizontaler Strecke maximal mit40 m/s fahren. Berechnen Sie den Fahrwiderstand in Newton. 2

3. Das Limmatschiff “Felix” hat 31.5 Tonnen Masse, eine Motorleistung von 2x58 kW (zweimal 79 PS)sowie eine Geschwindigkeit von 22 km/h.a) Berechnen Sie den Fahrwiderstand.b) Welche Annahmen haben Sie getroffen? 3

4. Die Polybahn vom Central zur ETH Zürich ist eine Doppelpendel-Standseilbahn (der sinkende Wagenzieht den steigenden), die bis zu 50 Personen in 100 s über eine Höhe von 41 m aufwärts transportierenkann. Ist die Polybahn mit 90 kW ausreichend motorisiert? 4

5. Die SGT Slider mit Linearmotor der Firma SwissDrives AG können Gegenstände mit maximal1120 N und 5 m/s über eine Strecke von 2500 mm verschieben.a) Berechnen Sie die verrichtete Arbeit über die ganze Strecke.b) Berechnen Sie die erbrachte Leistung. 5

6. Ein Velofahrer (80 kg) bremst innert 2.5 s von 36 km/h auf Null ab.a) Wie gross ist die kinetische Energie am Anfang?b) Berechnen Sie die mittlere Bremsleistung. 6

7. Ein Förderband transportiere 270 kg Ausbruch pro Minute auf eine 43 m hohe Abraumhalde.a) Welche Leistung erbringt das Förderband?b) Welche Leistung muss es aufnehmen, wenn der Wirkungsgrad 37% beträgt? 7

8. Marcel isst langsam und braucht für einen Teller Tortelloni (650 kcal) eine halbe Stunde. BerechnenSie die mittlere Leistungsaufnahme in SI-Einheiten. 8

9. Die Verkehrsbetriebe Zürich benötigten im Jahr 2011 für ihre Fahrzeuge 79.4 GWh elektrische Ener-gie. Berechnen Sie die durchschnittlich benötigte Leistung. 9

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5.2 Leistung 35

10. Die Verkehrsbetriebe Zürich VBZ benötigten 2010 etwa 83 GWh elektrische Energie.a) Wie gross ist die durchschnittliche bezogene Leistung?b) Der Zervreila-Stausee bei Vals (GR) fasst 101 Mio m3 Wasser, das über ein Gefälle von ca. 1.2 kmmehrfach in Kraftwerken genutzt wird. Wie viel elektrische Energie kann maximal aus dem Stauseebezogen werden? Geben Sie die Energie in Joule und Gigawattstunden an.c) Wie lange würde eine Stauseefüllung für die VBZ maximal reichen? 10

11. Eine Pumpe fördert 2.8 m3 Wasser pro Minute ins 128 m höher gelegene Reservoir. Welche Leistungerbringt sie? 11

12. Das historische Kraftwerk Heimbach (Nordrhein-Westfalen) verwendet Wasser der gestauten Urft106 m höher oben und speist damit zwei Francis-Turbinen mit zusammen 16 MW elektrischer Lei-stung. Berechnen Sie den Wasserstrom. 12

13. Stellen Sie folgenden Ausdruck in der passenden, abgeleiteten SI-Einheit sowie SI-Basiseinheitenund wiss. Schreibweise dar: 3.6 GW · 1.0 ns 13

14. Die Luftseilbahn auf den Säntis ist eine Zweiseil-Pendelbahn, bei der die absteigende Gondel hilft,die aufsteigende hochzuziehen. Eine Gondel wiegt max. 15890 kg brutto (Wanderlast), davon sindmax. 6800 kg Nutzlast. Die Bahn fährt in 6 min 22 s von der Schwägalp auf den Säntis und legt dabeieinen Höhenunterschied von 1122.48 m bei 55.87 % mittlerer Steigung zurück. Der Antrieb hat einemittlere Leistung von 648 kW. (www.saentisbahn.ch, 18. Feb. 2013)a) Welche mittlere Hubleistung muss maximal erbracht werden?b) Wie viel Bewegungsenergie steckt in den Gondeln, wenn sie mit der Maximalgeschwindigkeit von8 m/s fahren?c) Warum ist die kinetische Energie in der Bahn etwa doppelt so gross wie nach b) berechnet? 14

15. Ein Motor benötigt 18 min um eine Arbeit von 71.8 kJ zu verrichten. Berechnen Sie die Leistung. 15

16. Drücken Sie 2.8 TW in SI-Basiseinheiten und wissenschaftlicher Schreibweise aus. 16

17. Ein Fitnessgerät zeigt während einer leichten Übung 540 kcal/h an. Um welche Grösse handelt essich und welchen Wert hätte sie in der üblichen SI-Einheit? 17

18. Eine Kilowattstunde elektrische Energie koste 20 Rappen. Wie viel Energie in Joule können Sie für5.00 Franken kaufen? 18

19. Was passiert mit der Energie einer Feder, wenn sie mit doppelter Kraft gespannt wird? 19

20. Das Elektroauto Model S von Tesla wiegt 2,1 Tonnen, hat einen 421 PS starken Motor und beschleu-nigte auf einer Testfahrt in 4,4 s von Null auf 100 km/h. Passen diese Angaben zusammen? 20

21. Setzen Sie die erste passende Relation aus der Reihe =, <, >,,a) 2.0 m/s 6.9 km/h b) 1.0 kWh 3.6 MW c) 28 µm2 2.8·10−5 m2 21

22. Ein starker Laser erzeugt Pulse von 50 fs Dauer und 6 TW Leistung. Wie viel Energie enthält einPuls? 22

23. Das schwerste Schiffsgeschütz feuerte Granaten von 1.458 Tonnen Masse und 46 cm Durchmessermit 780 m/s aus einem Rohr von 21 m Länge.a) Berechnen Sie die an der Granate verrichtete Beschleunigungsarbeit.b) Berechnen Sie die mittlere Leistung während des Abschusses. (Nehmen Sie eine gleichmässigbeschleunigte Bewegung an.) 23

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5.3 Wirkungsgrad 36

24. Die Elektrizitätswerke des Kantons Zürich nahmen im März 2012 in Dietikon einen Batteriespeicherin Betrieb. Er besteht aus 10’000 Lithium-Ionen-Akkus, die zusammen 500 kWh speichern können.Der maximale Energieausstoss soll 250 kWh in 15 min betragen. Berechnen Sie die mittlere Leistungwährend diesen 15 Minuten. 24

25. Ein Kühlschrank benötigt 121 kWh pro Jahr. Berechnen Sie die mittlere Leistung in Watt. 25

26. Welche Leistung erbringt ein Hebetisch, der ein Auto von 1.4 t Masse in 7.0 s um 1.5 m hebt? 26

27. Das Elektro-Rennauto “Grimsel” hat auf dem Militärflugplatz Dübendorf den Beschleunigungs-Weltrekordfür Elektrofahrzeuge gebrochen: Es beschleunigte in 1.785 s auf weniger als 30 m von 0 auf 100 km/h.Es wiegt nur 168 kg - die Pilotin knapp 50 kg - und hat eine Leistung über 200 PS. (NZZ, 4. Nov. 2014,S. 17)a) Berechnen Sie die mittlere Beschleunigung von 0 auf 100 km/h.b) Berechnen Sie die mittlere, mechanische Leistung des Autos.c) Wie viel sind 200 PS in kW?d) Warum sind die Antworten auf b und c so verschieden? 27

28. Das grösste Kreuzfahrtschiff der Welt, die “Harmony of the Seas”, hat Antriebsmotoren mit insgesamt110 000 PS. Jeden Tag werden 1.8 Millionen Liter Trinkwasser verbraucht.a) Welche Kantenlänge hätte ein Würfel mit dieser Wassermenge?b) Rechnen Sie die PS in Watt mit passendem Dezimalvorsatz um. 28

5.3 Wirkungsgrad

1. Der VW-Motor einer Wasserpumpe für den Zivilschutz benötigt bei Volllast 14 L Benzin pro Stundeund erbringt dabei eine mechanische Dauerleistung von 44 PS. Benzin hat einen Brennwert von z.B.9.5 kWh/L. Berechnen Sie den Wirkungsgrad des Motors. 1

2. Im Kleinkraftwerk St. Hilarien bei Chur werden aus den 8500 L Trinkwasser, die pro Minute 160 min die Tiefe fallen, jährlich 900’000 kWh elektrische Energie generiert (Beilage Tages-Anzeiger, 20.März 2012). Passen diese Angaben zusammen? 2

3. Die Titanic wurde von zwei Kolbendampfmaschinen und einer Dampfturbine mit zusammen 51000 PSangetrieben. Sie benötigte 620 Tonnen Kohle pro Tag (nehmen Sie Steinkohle, Anthrazit). BerechnenSie den Wirkungsgrad des Antriebs. 3

4. Ein Kran hat einen Wirkungsgrad von 37%. Er hebt eine Last von 480 kg in 12 s um 22 m nach oben.Wie viel Energie muss er dazu aufnehmen? 4

5. Eine Handbohrmaschine erbringe eine Leistung von 250 W bei einem Wirkungsgrad von 55 %.a) Wie viel Energie (ohne Wärme) gibt sie ab, wenn Sie 1.5 min läuft?b) Wie viel Leistung nimmt sie auf? 5

6. “Die Energieeffizienz des Glühwürmchens (..) Das Licht entsteht durch eine chemische Reaktionim Körper: Das Biopigment Luciferin reagiert mit dem energiereichen Molekül ATP (Adenosintri-phosphat) und Sauerstoff. Dabei erreichen die Leuchtkäfer eine einzigartige Effizienz: 95 % der freiwerdenden Energie wandeln sie in Licht um, der Rest wird als Wärme abgestrahlt. Zum Vergleich:Eine herkömmliche Glühbirne wandelt nur 5 % der Energie in Licht um, der ganze Rest geht als Wär-me verloren.” (aus dem Kalender ‘Einstein für Quanten-Dilettanten 2012’, 16. Mai 2012)Diskutieren Sie die Wirkungsgrade im Textzitat. Ist der Vergleich gerecht? 6

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5.4 Energie 37

7. Eine AHLSTAR-Pumpe von Sulzer kann mit einem Wirkungsgrad von 93 % 1000 L/s Wasser 25 mhoch fördern. Berechnen Sie die abgegebene und die aufgenommene Leistung. 7

8. Das Kleinkraftwerk Au-Schönenberg (TG) nutzt ein Gefälle der Thur von 5.90 m und einen Durch-fluss von maximal 50 m3/s. Die Turbinen erzeugen maximal 2236 kW. Berechnen Sie den Wirkungs-grad. 8

9. Ein Förderband transportiert 800 Tonnen Abraum pro Stunde auf einen 200 m hohen Abraumhü-gel. Das Transportband habe einen Wirkungsgrad von 30 %. Wie viel Leistung muss das Förderbandaufnehmen? 9

10. Eine Firmenchefin möchte einen Elektromotor mit 22 kW Dauerleistung kaufen. Der erste Motor hatWirkungsgrad 91,3 %, der zweite, teurere hat 94,11 %. Eine Kilowattstunde Energie koste 13 Rappen.Die Motoren sollen fünf Jahre durchlaufen. In dieser Zeit müssen sich die Mehrkosten des teurerenMotors amortisiert haben. Wie viel darf der Aufpreis maximal betragen? 10

11. Ein sog. Synchronreluktanz-Elektromotor der Firma ABB mit 22 kW Leistung bei 3000 U/min er-reichte in einem Test 94,11 % Wirkungsgrad. Berechnen Sie die Verlustleistung. 11

12. Der Ritomsee im Tessin speichert 47.5 Millionen Kubikmeter Wasser, das mit 6.4 Kubikmeter proSekunde in das 850 m tiefer gelegene Kraftwerk der SBB geleitet werden kann. Das Kraftwerk hateine Leistung von 44 Megawatt.a) Wie viel (potentielle) Energie steckt im gefüllten Ritom Stausee?b) Wie viel mechanische Leistung wird während der Entleerung des Sees frei?c) Warum stimmt das Resultat von b) nicht mit der genannten Kraftwerksleistung überein? 12

13. Für das neue Bürgenstock Resort wird Wasser aus dem Vierwaldstättersee für Heiz- und Kühlzweckein ein 500 m höher gelegenes Reservoir gepumpt. Die verwendeten Pumpen haben eine Leistung vonje 560 kW und liefern 78 Liter Wasser pro Sekunde. Berechnen Sie den Wirkungsgrad. 13

14. Ein Netzgerät hat eine Verlustleistung von 12.1 W bei einem Wirkungsgrad von 95.2 %.a) Berechnen Sie die aufgenommene und nutzbare Leistung.b) Wie gross wäre die Verlustleistung bei einem Wirkungsgrad von 91.0 % und gleicher aufgenom-mener Leistung gewesen?c) Wie viele Kilowattstunden spart das bessere Netzgerät im Laufe eines Jahres? 14

5.4 Energie

1. a) Rechnen Sie 200 kWh in Joule um.b) Rechnen Sie 1.37 GJ in Kilowattstunden um. 1

2. Das Geschoss des Sturmgewehr 90 der Schweizer Armee hat 905 m/s an der Mündung sowie einekinetische Energie von 1679 J.a) Berechnen Sie die Masse des Geschosses.Laut Geschosstabelle hat es nach 100 m Flug noch eine Energie von 1346 m/s.b) Berechnen Sie die Bremsarbeit der Luftwidestandskraft.c) Berechnen Sie die Luftwiderstandskraft und vergleichen Sie diese mit dem Geschossgewicht. 2

3. Die Schweizer Firma Geobrugg AG verkauft Steinschlagnetze. Zum zehnjährigen Firmenjubiläumwurde wurde ein Weltrekord aufgestellt: Ein 20 Tonnen Betonwürfel wurde aus 43.5 m fallen gelassenund von einem Netz sicher aufgehalten. Der freie Fall dauerte 2 s, die Aufprallgeschwindigkeit betrug105 km/ und die Aufprallenergie 8000 kJ. Wir wollen kontrollieren, ob diese Angaben aus der NZZ

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5.4 Energie 38

(11. 10. 2011) zusammenpassen. Berechnen Sie aus der Höhea) die Aufprallgeschwindigkeit in km/h,b) die Fallzeit undc) die Aufprallenergie.d) Welche Kantenlänge hatte der Würfel? 3

4. In der Frühzeit der Eisenbahn wurden Stahlfedern als Puffer eingesetzt.a) Welche Federkonstante müssen die Federn zusammen haben, um eine kleine Dampflokomotive(15 t) auf einem Weg von 15 cm von 4.5 km/h auf null abzubremsen?b) Was ist problematisch an der Verwendung von Federn für diesen Zweck? 4

5. Ein Körper der Masse m = 1.5 kg, siehe Abb. 5.1, wird aus der Ruhelage in der Höhe h = 35 cm übereiner entspannten Feder mit Federkonstante D = 240 N/m losgelassen. Wie viel (y) wird die Federzusammengedrückt, bis der Körper zum Stillstand kommt? 5

Abbildung 5.1: Ein Körper fällt auf eine Feder.

6. Eine Skifahrerin (73 kg) rutscht aus dem Stand einen beschneiten Hang mit 17° Neigung hinab. Wel-che Geschwindigkeit hat sie nach 23 m freier Fahrt (entlang der Schräge gemessen), wenn man dieReibung berücksichtigt? Lösen Sie die Aufgabe mit dem Energiesatz. 6

7. Die Feder einer Spielzeugkanone wird doppelt so stark zusammengedrückt. Wie viel Mal höher oderweiter kann man dann schiessen? 7

8. Ein Körper der Masse 45 kg wird auf einer Rampe, die 17° gegen die Horizontale geneigt ist, nachoben gezogen. Der Weg, entlang der Schräge gemessen, ist 2.8 m lang. Die Reibungskraft hat dieStärke 180 N.a) Berechnen Sie den Reibungskoeffizienten.b) Welche Arbeit verrichtet die Reibungskraft?c) Welche Arbeit verrichtet die Normalkraft?d) Wie viel nimmt die potenzielle Energie zu? 8

9. Ein Auto wird mit 400 kg beladen und liegt nachher 5.3 cm tiefer.a) Berechnen Sie die Federkonstante der Federung. Das hookesche Gesetz gelte.b) Wie viel Energie ist in der Federung gespeichert? 9

10. Ein Lastwagen von 27.6 t Masse fährt mit 81 km/h auf der Autobahn. Berechnen Sie seine kinetischeEnergie in Joule und kWh. 10

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5.4 Energie 39

11. a) Warum kommt in der Formel für die Spannarbeit respektive Spannungsenergie einer hookeschenFeder ein Quadrat vor?b) Woher kommt der Faktor 1/2 in der Formel für die Spannungsenergie? 11

12. Stabhochspringer laufen auf den letzten Metern mit bis zu 9.5 m/s. Welche Höhe würden die Springererreichen, wenn sie ausschliesslich kinetische in potentielle Energie umwandeln würden? 12

13. In einem britischen Dokumentarfilm über die Schlacht von Agincourt (1415) wurde behauptet, dassdie Pfeile, die mit dem englischen Langbogen abgeschossen wurden, bei einer Geschwindigkeit von37.9 m/s und einer Masse von 63 g eine Energie von 38 J hätten. Passt das ungefähr zusammen? 13

14. Schwarzpulver setzt bei der Explosion ca. 2.7 MJ/kg Energie (Explosionswärme) frei. Wie viel Schwarz-pulver ist mindestens nötig, um einer Vorderladerkugel (5.9 g) eine Schnelligkeit von 280 m/s zuverleihen? Lösen Sie die Aufgabe schön mit dem Energiesatz. 14

15. Eine Kinderpistole verschiesst Pfeile mit Saugnapf. Um sie zu laden, wird eine Feder 3.5 cm kompri-miert. Die Feder drückt am Schluss mit 29 N. Der Pfeil hat eine Masse von 3.6 g. Schiesst man denPfeil vertikal nach oben, so steigt er 4.5 m hoch. Passen diese Messwerte zusammen? 15

16. Beim Erdbeben 2011 vor Fukushima, welches einen Tsunami ausgelöst hat, soll an der OberflächeGrössenordnung 2 · 1018 J Energie freigesetzt worden sein. Die stärkste Kernwaffe, die jemals zurExplosion gebracht wurde, hatte ein Äquivalent von etwa 50 Megatonnen TNT. Der Sprengstoff TNTsetzt bei einer Detonation ca. 4 MJ/kg Energie frei. Wie vielen dieser Atombomben entspricht alsodas Erdbeben? 16

17. Sie essen einen ‘Big Mac’ mit einem Brennwert von 2073 kJ. Wie hoch müssen Sie Treppen steigen,bis Sie energiemässig auf dem Stand vor der Mahlzeit sind? 17

18. Ein Körper, der sich mit 20 m/s bewegt, hat eine kinetische Energie von 800 J. Berechnen Sie seineMasse. 18

19. Was passiert mit der Dehnung (y) einer Feder, wenn man die Spannungsenergie verdreifacht? 19

20. Das Auto fährt 10 % schneller. Was passiert mit der kinetischen Energie? 20

21. Die Feder wird um 10 % mehr gedehnt. Wie viel Mal mehr Spannungsenergie steckt dann in derFeder? 21

22. Eine Feder mit Federkonstante 830 N/m und 3.7 g Masse wird wird 1.0 cm komprimiert und losge-lassen. Mit welcher Schnelligkeit υ spickt die Feder davon? 22

23. Das Pendel von Abbildung 5.2 erhält im tiefstenPunkt eine kinetische Energie von 0.32 J. Bis zu wel-chem Winkel α steigt es hoch? Das Pendel hat Masse63 g und Länge 92 cm. 23

Abbildung 5.2: (rechts) Wie weit schlägt das Pendelaus?

24. Ein Fadenpendel wird im tiefsten Punkt mit 1.82 m/s angestossen und schlägt bis zu einem Winkelvon 37 Grad aus, siehe Abbildung 5.2. Berechnen Sie die Länge des Fadens. 24

25. Wie gross muss eine Kraft (die einzige) mindestens sein, damit sie einem Körper von 1,1 kg Masseauf einer Strecke von 83 cm die kinetische Energie 34 J verleihen kann? Warum ‘mindestens’? 25

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5.4 Energie 40

26. a) Wie viel kinetische Energie hat ein Auto von 1.3 Tonnen, das sich mit 120 km/h bewegt?b) Wie viel Bremsarbeit müssen die Bremsbacken verrichten, wenn sie das Auto zum Stillstand brin-gen sollen? 26

27. Ein Schlitten rutscht 2.8 m einen vereisten Hang hinab, der 45° gegen die Horizontale geneigt ist. Die2.8 m sind entlang der Schräge gemessen. Bestimmen Sie mit dem Energiesatz die Endgeschwindig-keit. 27

28. Erklären Sie in Worten den Unterschied zwischen W = mgh und Epot = mgh. 28

29. Ein Lamborghini Aventador LP 700-4 hat eine maximale Leistung von 515 kW, kann in 2.9 s vonNull auf 100 km/h beschleunigen, hat eine Maximalgeschwindigkeit von 350 km/h und eine Massevon rund 1.6 Tonnen. (www.lamborghini.com , 8. April 2014).a) Berechnen Sie die kinetische Energie bei der Maximalgeschwindigkeit.b) Berechnen Sie den mittleren Wirkungsgrad bei der Beschleunigung von Null auf 100 km/h.c) Der Tank fasst 90 Liter Benzin mit einem Energiegehalt von ca. 8.6 kWh/L. Berechnen Sie mitdem Energiesatz, auf welche Höhe man das (leere) Auto damit heben könnte. 29

30. Eine gespannte Federkanone hat 2.0 J Energie gespeichert. Wie hoch kann sie eine Stahlkugel von80 g Masse spicken? 30

31. Der Meteor Crater in Arizona soll von einem Eisenmeteoriten mit 20 Megatonnen kinetischer Energie(à 4.184 MJ/kg TNT Explosionswärme) geschlagen worden sein. Der Krater hat 1.2 km Durchmesser.Der Meteorit soll mit 18 km/s eingeschlagen sein.a) Welche Masse und Grösse hatte der Meteorit?b) Wie gross wäre der Krater bei 24 MT Einschlagenergie geworden? (d ∝ E1/4

k ) 31

32. Die erste Feder hat Federkonstante D1, die zweite Federhärte D2. Welche enthält mehr Spannenergie,wenna) die Federn gleich weit gedehnt (y1 = y2) werden respektiveb) gleich stark (F1 = F2) gespannt werden? 32

33. Eine konstante Kraft F soll die kinetische Energie eines Körpers von E1 auf E2 erhöhen. BestimmenSie die Kraft rein formal. Der Vorgang erfolge reibungsfrei. 33

34. Wie schnell müssten Sie rennen, damit Ihre kinetische Energie 1.0 kWh beträgt? 34

35. Wie schnell würden Sie rennen, wenn die Verdauung einer Tafel Schokolade eine Umwandlung vonchemischer in kinetische Energie wäre? 35

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Kapitel 6

Impuls

1. Das Geschoss aus einer Pistole hat 7.5 g Masse und sei mit 406 m/s unterwegs. Es treffe auf einenMann (75 kg) mit kugelsicherer Weste. Welche Geschwindigkeit hat der Mann nach dem Aufprall?Welche Annahmen haben Sie getroffen und wie realistisch schätzen sie diese Annahmen ein? 1

2. Der Lehrer wirf eine Baumnuss (13 g) mit 12 m/s gegen eine Fensterscheibe.a) Warum zerspringt die Nussschale und nicht die Fensterscheibe?b) Berechnen Sie den Impuls der Nuss vor dem Aufprall.c) Schätzen Sie die mittlere Kraft auf die Nuss während des Aufpralls ab. 2

3. Der Treibsatz einer Modellrakete wiegt 200 g, brennt während 1.5 s und erzeugt einen konstanten,mittleren Schub von 246 N.a) Berechnen Sie die Geschwindigkeit, mit der die Brenngase ausgestossen werden.b) Welche ungefähre Endgeschwindigkeit erhält die Rakete mit einer Masse von 2.3 kg bei vertikalemStart? Ignorieren Sie den Luftwiderstand. 3

4. Laut einem Kalenderblatt werden jährlich 150 Personen durch fallende Kokosnüsse getötet (5-10durch Haifische). Kokosnüsse sollen eine Geschwindigkeit von 80 km/h erreichen und beim Aufprall“mehr als 1 t Druck ausüben.”a) Welche Höhe hat eine Palme nach diesen Angaben?b) Was ist am Zitat in den Anführungszeichen zu bemängeln? Was ist wohl gemeint? Und stimmt dieGrössenordnung? Informationen: ungeschälte Kokosnüsse wiegen 1-4 kg, Kokospalmen sind 20-35 mhoch (je nach Quelle). 4

5. Hansli wirft seinem (stehenden) Lehrer einen Schneeball (97 g) mit 14 m/s an den Kopf (3.8 kg).a) Berechnen Sie den Impuls des Schneeballs.b) Ist der Aufprall elastisch oder unelastisch?c) Wir gross wäre die Geschwindigkeit des Kopfes nach dem Aufprall, wenn er nicht befestigt wäre?d) Schätzen Sie die mittlere Kraft während des Aufpralls ab. Der Ball hat 8 cm Durchmesser. 5

6. a) Ändert sich der Impuls, wenn sich die kinetische Energie verändert?b) Ändert sich die kinetische Energie, wenn sich der Impuls ändert? 6

7. Die Ionentriebwerke des Artemis-Satelliten erzeugten einen Schub von 15 mN, indem Xenon-Ionenelektrisch auf 32 km/s beschleunigt und ausgestossen wurden. Mit welcher Rate wurde Masse ausge-stossen? 7

8. Ein grosskalibriger Smith & Wesson 460V Revolver für die Jagd wiegt 1726.5 g und hat eine Mün-dungsgeschwindigkeit von 2100 Ft/Sec (foot per second, www.smith-wesson.com).Das Geschoss wiegt 19 g und hat eine Mündungsgeschwindigkeit von 630 m/s (wikipedia).

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a) Stimmen die Geschwindigkeits-Angaben überein?b) Berechnen Sie aus den 630 m/s die Rückstossgeschwindigkeit υ des Revolvers.c) Der Rückstoss beim Schiessen ist in Wirklichkeit grösser. Was könnte der Grund sein?d) Berechnen Sie aus den 630 m/s die Geschossenergie. 8

9. Ein Luftballon enthält 5 Liter Luft. Lässt man ihn los, entleert er sich in 2 Sekunden und fliegt durchden Raum. Der Schub beträgt etwa ‘30 Gramm’. Berechnen Sie, mit welcher Schnelligkeit das Gasaus dem Ballon entweicht. 9

10. Tintenfische bewegen sich fort, indem sie Wasser durch eine Art Düse blasen. Beschreiben Sie denZusammenhang mit dem 3. Newtonschen Axiom. 10

11. Ein Flugzeug-Düsentriebwerk hat typischerweise eine Effizienz von 2 N/kW. Berechnen Sie aus die-ser Angabe, wie schnell die Gase ausgestossen werden. 11

12. Das kleine Wasserkraftwerk Muslen am Walensee hat ein Wasserrohr von 180 m Gefälle, 0.70 mDurchmesser und 300 m Länge, einen maximalen Volumenstrom von 1.0 m3/s und eine maximaleGeneratorleistung von 1.66 MW.a) Mit welcher Schnelligkeit υ strömt das Wasser im Rohr?b) Wie viel kinetische Energie hat das Wasser im Rohr?c) Wie viel potentielle Energie hat das Wasser im Rohr?d) Welchen Wirkungsgrad hat die Turbinen/Generator-Anlage?e) Das Wasser wird unten durch eine Düse auf die Turbine geschossen. Das Wasser hat nach derDüse eine Schnelligkeit von etwa

√2gh und wird durch die Turbine nahezu auf Null abgebremst.

Berechnen Sie die Kraft des Wassers auf die Turbine mit Hilfe des Zusammenhangs zwischen Kraftund Impuls. 12

13. Was ist der Unterschied zwischen einem elastischen und einem unelastischen Stoss zweier Körper?Wie schreibt man in beiden Fällen den Impulserhaltungssatz? 13

14. Ein Meteorit von 500 km3 Volumen und einer Dichte von 1.6 Tonnen pro Kubikmeter schlage mit42 km/s in die Erde ein. Wie viel verändert sich die Geschwindigkeit der Erde dadurch? 14

15. Sie werfen einen weichen Lehmklumpen (130 g) mit 8.0 m/s gegen eine Wand. Der Klumpen werdein 13 ms abgebremst.a) Ist das ein elastischer oder unelastischer Stoss? (Begründung)b) Berechnen Sie die mittlere Kraft auf die Wand während des Aufpralls. 15

16. Eine konstante, resultierende Kraft von 580 N wirke während 42 ms auf den Körper. Berechnen Siedie Veränderung von dessen Impuls. Welche Art von Impulsveränderung können Sie berechnen undwelche nicht? 16

17. Wie lautet der Impulserhaltungssatz formal und welche experimentelle Tatsache kann man zu seinerBegründung verbal anführen? 17

18. Auf die Frage, wie Impuls und kinetische Energie zusammenhängen, antwortet Jan “ Der Impuls istdie kinetische Energie, welche ein Körper über einen gewissen Zeitraum ∆t erfährt.”Kommentieren Sie seine Antwort. 18

19. Eine Sanduhr enthält 1.6 g Sand, der in 30 Sekunden ins 3,5 cm tiefer gelegene Gefäss rieselt. Be-rechnen Sie die Kraft des Sandes während des Aufpralls. 19

20. Ein Auto (800 kg, 60 km/h) und ein Kleinlaster (1700 kg, 80 km/h) bewegen sich in derselben Rich-tung. Berechnen Sie die Geschwindigkeit des gemeinsamen Schwerpunkts (Massenmittelpunkts).20

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Kapitel 7

Kreisbewegung

1. Stimmen die folgenden Aussagen?a) Bewegt sich ein Körper auf einem Kreis, so zeigt die resultierende Kraft stets zum Zentrum derBahn.b) Auf ein Kind in einem gleichmässig drehenden Kettenkarussell wirkt, von aussen gesehen, dieNormalkraft des Sitzes, die Gewichtskraft und die Zentripetalkraft ein.c) Wenn sich ein Teilchen mit konstanter Schnelligkeit entlang einer Schraubenlinie bewegt, so gibtes keine Zentripetalbeschleunigung, da es keine Kreisbahn ist. 1

2. Die schnellsten Bohrer beim Zahnarzt drehen sich mit bis zu 500’000 U/min. Berechnen Sie dieDrehfrequenz, die Winkelgeschwindigkeit und die Umlaufzeit. 2

3. Die Formel für die Zentripetalbeschleunigung lässt sich leicht herleiten, falls sie vergessen wurden:a) Bilden Sie zwei Sätze ‘Je. . . desto. . . ist die Zentripetalbeschleunigung.’ mit den Begriffen ‘Schnel-ligkeit’ und ‘Kurvenradius’.b) Drücken Sie diese Aussagen möglichst einfach mathematisch aus.c) Kontrollieren Sie die Einheiten und passen Sie die Formeln allenfalls an. 3

4. Ein Velorad hat 36 cm Radius und wird mit 8.8 m/s gefahren.a) Welche Beschleunigung erfährt ein Stück Pneu?b) Mit welcher Winkelgeschwindigkeit rotiert es? 4

5. Relativ zur Erde bewegt sich der Mond ungefähr auf einer Kreisbahn.a) Berechnen Sie die mittlere Winkelgeschwindigkeit dieser Bewegung.b) Berechnen Sie die Beschleunigung des Mondes auf dieser Bahn. 5

6. Tarzan schwingt sich an einer Liane der Länge r über einen Fluss, siehe Abbildung 7.1. Mit welcherKraft muss er sich am tiefsten Punkt der Bahn – nach Fallhöhe r – festhalten? 6

Abbildung 7.1: Tarzan schwingt sich an ei-ner Liane vom Baum.

m

r

r

7. Lesen Sie folgenden Text aus einem Kalenderblatt und beantworten Sie die Fragen im Anschlussdaran:“Warum fällt uns der Mond nicht auf den Kopf?Seit gut 4 Mrd. Jahren verschönert der Mond unseren Nachthimmel. Doch was hält ihn eigentlich dortoben? Anders gefragt: Warum stossen Mond und Erde nicht zusammen, obwohl sie sich gegenseitiganziehen?Tatsächlich unterliegen beide dem Gesetz der Gravitation, wonach sich alle Körper im All gegenseitig

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anziehen: Je mehr Masse sie haben, desto stärker ist ihre Zugkraft. Und da die Erdmasse die desMondes um mehr als das 80-fache übertrifft, müsste der Erdtrabant längst mit uns kollidiert sein.Doch der Mond unterliegt durch seine Bewegung um die Erde auch den Gesetzen der Fliehkraft, dieihn von uns wegdrängt, wie bei einem Hammerwerfer, der die Kugel um sich schwingt. Lässt er los,schleudert die Kugel von ihm weg. Dem Mond droht dieses Schicksal nicht, weil sich Gravitation undFliehkraft die Waage halten.”a) Was ist falsch oder unglücklich formuliert?b) Wie könnte man es besser sagen? 7

8. Das Auto einer Carrera-Modellrennbahn durchfährt einen Looping von 40 cm Radius mit 3.0 m/s. Inwelchem Verhältnis stehen Normal- und Gewichtskraft aufs Auto im obersten Punkt des Loopings? 8

9. Ein junges Pferd (350 kg) wird an einer Longierleine (9.5 m) in leichtem Trab (12 km/h) im Kreisherum geführt.a) Berechnen Sie die Umlaufzeit.b) Berechnen Sie die Winkelgeschwindigkeit.c) Berechnen Sie die resultierende Kraft auf das Pferd.d) Aus welchen Kräften setzt sich die Resultierende zusammen? 9

10. Ein Auto fährt mit 60 km/h über den höchsten Punkt einer Bodenwelle mit 50 m Radius.a) Berechnen Sie die Beschleunigung im höchsten Punkt.b) Wie viel mal leichter fühlt sich die Fahrerin dort? 10

11. Menschen werden bei 10 g Beschleunigung schnell ohnmächtig. Ein Jet fliege mit 1.5facher Schall-geschwindigkeit. Ab welchem Kurvenradius verliert der Pilot das Bewusstsein? 11

12. Bestimmen Sie mit Hilfe von Abbildung 7.2 diea) Umlauffrequenzb) Winkelgeschwindigkeitc) resultierende Kraft auf den Körper. 12

Abbildung 7.2: Ein Körper der Masse 830 kg bewegtsich auf einem Kreisbogen mit Radius 58 m. Die Posi-tionen sind in Abständen von jeweils 2.73 s markiert.

13. Erde und Sonne kreisen um den gemeinsamen Schwerpunkt. Wie gross ist die Bahngeschwindigkeitder Sonne, die von diesem Effekt verursacht wird? 13

14. Ein Punkt bewegt sich mit 2.0 m/s auf einem Kreis. Die Zentripetalbeschleunigung ist 12 m/s. Be-rechnen Sie den Kreisradius. 14

15. Ein Kettenkarussell bewegt die Gondeln auf einem Kreis mit 30 m Durchmesser in 6.5 s einmal her-um. Welchen Winkel mit der Vertikalen schliessen die Ketten, an denen die Gondeln befestigt sind,ein? 15

16. a) Bestimmen Sie T ,ω und f für den Stundenzeiger einer Uhr. Nehmen Sie an, T sei auf eine Sekundegenau.b) Berechnen Sie die Schnelligkeit der Zeigerspitze, wenn der Zeiger 9.0 mm lang ist. 16

17. Stimmen folgende Aussagen?a) Wenn sich ein Körper auf einem Kreis bewegt, so gilt ~Fres = m~az.b) Wenn ~Fres = m~az erfüllt ist, bewegt sich der Körper auf einem Kreis. 17

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18. Ein Körper wird an einem Faden mit 1.0 m/s auf einem horizontalen Kreis bewegt (sog. Kegelpendel,Fadenlänge > Kreisradius). Zeichnen Sie den Lage- und den Kräfteplan der Kräfte auf den Körper.18

19. Wasser strömt mit 7.6 m/s durch einen Schlauch. Der unbefestigte Schlauch liegt flach auf dem Bodenund formt einen Kreis von 47 cm Radius.a) Welche Beschleunigung erfährt das Wasser?b) In Worten: Hat das beobachtbare Konsequenzen? 19

20. Felix sitzt auf der Gigampfi (Wippe) in 3.5 m Abstand von der Drehachse. Auf der anderen Seitesetzt sich Papi drauf und knallt seine Seite der Gigampfi gegen den Boden. Beim Aufprall wird Felix10 cm in die Luft geschleudert. Mit welcher Winkelgeschwindigkeit hat sich der Balken am Schlussungefähr gedreht? 20

21. Ein Fadenpendel der Masse 150 g wird bis zur Horizontalen (ϕ = 90°) ausgelenkt und ohne Anfangs-geschwindigkeit losgelassen, siehe Abbildung 7.3.a) Berechnen Sie mit dem Energiesatz die momentane Bahngeschwindig-keit υ.b) Skizzieren Sie den Lage- und den Kräfteplan der Kräfte auf die Pendel-masse. (ohne Rechnung)c) Berechnen Sie die Anteile der Gewichtskraft parallel und senkrecht zurBahn.d) Berechnen Sie die Bahnbeschleunigung (Komponente parallel zu υ).e) Berechnen Sie die Komponente der resultierenden Kraft in Richtung derSchnur. 21

Abbildung 7.3: Ein Fadenpendel hat eine r = 60 cm lange Schnur. Zumgezeichneten Zeitpunkt ist die momentane Auslenkung ϕ = 30° und dasPendel bewegt sich abwärts.

22. Ein Punkt bewegt sich mit 6.28 m/s respektive 2.00 rad/s auf einem Kreis. Berechnen Sie den Kreis-radius. 22

23. Matthias macht einen zweieinhalbfachen Salto vom 10 m-Sprungturm. Mit welcher mittleren Win-kelgeschwindigkeit muss er sich drehen? 23

24. Die Zentripetalbeschleunigung az wird üblicherweise durch Bahngeschwindigkeit υ und Kreisradius rausgedrückt: az(υ, r) = υ2/r. Sie lässt sich aber auch mit der Winkelgeschwindigkeit ω, der Frequenzf oder der Umlaufzeit T schreiben.a) az(r, ω) =? b) az(r, f ) =? c) az(υ,T ) =? d) az(υ, ω) =? 24

25. Der Stundenzeiger meiner Wanduhr misst 85 mm von der Drehachse bis zur Spitze. Mit welcherBahngeschwindigkeit (Schnelligkeit) bewegt sich die Spitze? 25

26. Ein Körper bewegt sich gleichmässig auf einem Kreis mit 2.0 m Radius und wird dabei mit 3.0 m/s2

beschleunigt. Berechnen Sie die Bahngeschwindigkeit. 26

27. Eine Fräsmaschine hat eine Tourenzahl von 3600/min. Was bedeutet das und was ist die SI-Einheitdieser Grösse? 27

28. Zeigeruhren werden oft ‘mit einem lächelnden Gesicht’, also ungefähr 10 nach 10 - Stellung, verkauft.Wann sind die Zeiger exakt symmetrisch, wenn Stunden- und Minutenzeiger genau und gleichmässiglaufen? 28

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29. a) Warum rechnen wir bei der Kreisbewegung in Radiant?b) Wann muss das Symbol “rad” geschrieben werden und warum manchmal nicht? 29

30. Ein Kettenkarussel besteht – vereinfacht – aus Pendeln, die an einer hori-zontal rotierenden Scheibe befestigt sind, siehe Abbildung 7.4. Stellen Sieeine Gleichung auf, mit der Sie den Pendelwinkel als Funktion der Winkel-geschwindigkeit berechnen könnten. Sie sollen die Gleichung nicht lösen.30

Abbildung 7.4: Ein Pendel der Länge L ist im Abstand r von der Dreh-achse d befestigt. Wenn sich das Karussell mit Winkelgeschwindigkeit ωdreht, bewegt sich der Sitz auf einem horizontalen Kreis um die Drehachserespektive die Kette schliesst einen Winkel ϕ mit der Vertikalen ein.

31. Ein Körper (0.353 kg) bewegt sich mit kinetischer Energie 2.57 J auf einem Kreis mit Radius 1.77 m.Berechnen Sie die Winkelgeschwindigkeit. 31

32. Die Haftreibungszahl für Gummi auf nassem Eis ist 0.10 (etwa). Ein Auto gerät nach einem Eisregenmit 40 km/h in eine Linkskurve mit 13 m Radius. Kommt das Auto noch um die Kurve? 32

33. Beim Talerschwingen wird eine Münze (13.3 g) in einem Becken, dessen Seitenwand 45° geneigt ist,auf einem horizontalen Kreis herumgerollt. Die Umlauffrequenz betrage 1.8 Hz.a) Zeichnen Sie den Kräfteplan der Kräfte auf die Münze massstäblich korrekt.b) Berechnen Sie den Radius der Kreisbahn. 33

34. Eine Steinschleuder sei 53 cm lang und werde vom Schleuderer auf einem vertikalen Kreis bewegt.Das Geschoss wiege 180 g und bewege sich in der Schlaufe der Schleuder mit 30 m/s. Berechnen Siedie Kraft der Schleuder auf den Stein im tiefsten Punkt der Bahn. 34

35. Ein Vespa-Motorroller kann max. mit 91 km/h fahren und hat Räder von ca. 19 cm äusserem Radius.a) Mit welcher Frequenz drehen sich dann die Räder?b) Welche Beschleunigung erfährt ein Stück des Reifenprofils? 35

36. Ein Auto durchfährt eine Kurve mit 60 m Radius auf horizontaler, trockener Asphaltstrasse mit 70 km/h.Welche Bremsverzögerung wäre noch möglich, ohne dass das Auto zu rutschen beginnt? 36

37. Ein Kind treibt die Schaukel bis zur Horizontalen hoch. Berechnen Sie die resultierende Kraft aufdas Kind im tiefsten und höchsten Punkt der Bahn. Die Schaukel sei 2.5 m lang (Aufhängepunkt-Schwerpunkt Kind) und das Kind habe eine Masse von 28 kg. 37

38. Eine Waschmaschine schleudert mit 1600 U/min und hat einen Trommeldurchmesser von 54 cm.a) Berechnen Sie die Drehfrequenz in SI-Einheiten.b) Mit welcher Bahngeschwindigkeit bewegt sich die Trommel-Aussenwand?c) Welche Beschleunigung erfährt ein Wäschestück an der Trommelwand?d) Mit welcher Frequenz muss sich die Trommel mindestens drehen, damit die Wäsche nicht insTrommelinnere fällt? 38

39. Wann nach Mitternacht überholt der Minutenzeiger den Stundenzeiger zum zweiten Mal? 39

40. Berechnen Sie aus der siderischen Umlaufzeit des Mondes seine synodische Umlaufzeit. SchlagenSie die Fremdwörter nach. 40

41. Bei der Herstellung wird Papier zum Glätten mit 1.5 km/min zwischen zwei Walzen mit 1003 mmDurchmesser geführt. Mit welcher Frequenz (in Hz und U/min) drehen sich die Walzen? 41

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42. Wie stark muss eine Kraft sein, die einen Wagen von 1.0 t Masse mit 12 m/s um eine Kurve von 20 mRadius bringt? 42

43. Welchem Breitengrad muss ein Jet mit Schallgeschwindigkeit entlang fliegen, damit die Zeit stehenbleibt? 43

44. Schätzen Sie aus dem Unterschied zwischen Sonnen- und Sterntag die Dauer des irdischen Jahrs ab.44

45. Der Exoplanet Beta Pictoris B rotiert sehr schnell: Ein Punkt auf dem Äquator bewegt sich mit rund100 000 km/h und ein Tag dauert acht Stunden. Berechnen Sie den Äquatorradius. 45

46. In Abbildung 7.5 sehen Sie die räumliche Bahneines geworfenen Steins und ein paar Pfeile.Welche physikalischen Grössen könnten durchdiese Pfeile dargestellt sein? 46

Abbildung 7.5: Bahn eines geworfenen Steinsder Masse m

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Kapitel 8

Beschleunigte Bezugssysteme

1. Unser Sonnensystem ist etwa 26 000 Lichtjahre vom galaktischen Zentrum entfernt und umkreistes in etwa 230 Millionen Jahren. Berechnen Sie die Zentrifugalbeschleunigung im mitrotierendenBezugssystem. 1

2. Ein Flugzeug setzt im tiefsten Punkt mit 170 km/h zu einem Looping an. Das Körpergewicht steigtauf etwa das Dreieinhalbfache. Berechnen Sie den Radius des Loopings. 2

3. An der Hochschule für Technik Rapperswil ist eine Apparatur für Hochgeschwindigkeits-Reibversucheeingeweiht worden: Auf einer Scheibe von 360 mm Durchmesser werden Materialproben montiert.Die Scheibe wird mit bis zu 22 000 min−1 in Rotation versetzt und in Kontakt mit einer reibendenFläche gebracht, um so z.B. Reibung in einer Turbine zu simulieren.a) Mit welcher Bahngeschwindigkeit bewegt sich eine Probe aussen an der Scheibe?b) Berechnen Sie die Zentrifugalbeschleunigung einer Probe. 3

4. Erklären Sie in Worten den Unterschied zwischen der Zentripetal- und Zentrifugalkraft. 4

5. In welchen Situationen sind Scheinkräfte zur Lösung einer Aufgabe mit Kräften notwendig und wannkann man auf sie verzichten? 5

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Kapitel 9

Astronomie

9.1 Keplersche Gesetze

1. Der Asteroid 2012 BX34 ist am 27. Januar 2012 in einem Abstand von 65390 km am Erdmittel-punkt vorbei geflogen. Er war uns also viel näher als der Mond. Da der Asteroid nur die Grösse einesBusses hatte (etwa 8 m Durchmesser), hätte auch im Falle einer Kollision mit der Erde keine Ge-fahr bestanden. Die Bahndaten von 2012 BX34 – berechnet für 14. März 2012 – sind ApheldistanzrA = 1.0336 AE, Periheldistanz rP = 0.49019 AE, grosse Halbachse a = 0.76190 AE, numerischeExzentrizität ε = 0.35661, Umlaufzeit T = 242.91 d (0.67 a) und Bahnneigung 10.535°. Prüfen Sie,ob diese Angaben zusammenpassen, indem Siea) aus der grossen Halbachse a die Umlaufzeit T berechnen sowieb) aus a und ε die Grössen rP und rA bestimmen. 1

2. Ein geostationärer Satellit hat immer dieselbe Position relativ zur Erdoberfläche. Berechnen Sie mitHilfe der keplerschen Gesetze die Grösse der Bahn. 2

3. Ein Satellit wird in 7000 km Entfernung vom Erdmittelpunkt parallel zur Erdoberfläche in eine Um-laufbahn gebracht. Die Startgeschwindigkeit ist so klein, dass der Satellit die Erde im nächsten Punktgerade nicht berührt. Betrachten Sie die Erde als Kugel und vernachlässigen Sie die Atmosphäre.a) Wie gross ist die numerische Exzentrizität der Satellitenbahn?b) Berechnen Sie die Umlaufzeit. 3

4. “Gut zehn Jahre nach dessen Start und nach rund 52000 Erdumrundungen ist der Kontakt zum euro-päischen Umweltsatelliten Envisat (..) abgebrochen.” (NZZ, 14. April 2012, S. 24)Berechnen Sie die Höhe der Umlaufbahn über der Erdoberfläche. 4

5. Ein Himmelsköper bewege sich gleichmässig entlang einer Geraden. Zeigen Sie, dass die Bewegungden Keplerschen Flächensatz bezüglich eines beliebigen Punktes neben der Geraden erfüllt. 5

6. Die internationale Raumstation hat einen Bahnradius (grosse Halbachse) von 6720 Kilometern.a) Nimmt die Umlaufzeit zu oder ab, wenn sich der Bahnradius wegen der Luftreibung auf 6700 kmsenkt?b) Berechnen Sie die prozentuale Änderung der Umlaufzeit. 6

7. Berechnen Sie den grössten Abstand des Merkur von der Sonne. 7

8. Welche beobachtbaren Konsequenzen hat das erste keplersche Gesetz? 8

9. Welche beobachtbaren Konsequenzen hat das zweite keplersche Gesetz? 9

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9.1 Keplersche Gesetze 50

10. a) Bestimmen Sie die Exzentrizität der Planetoidenbahn inAbbildung 9.1.b) Markieren Sie die genaue Position der Sonne. 10

Abbildung 9.1: Massstäbliche Zeichnung einer Planetoi-denbahn mit Haupt- und Nebenachse

11. Die Marsmännchen möchten ihre Antipoden auf der entgegengesetzten Seite desPlaneten mit einem Kanonenschuss treffen.a) Ist eine Geschossbahn wie in Abb. 9.2 korrekt?b) Ist es überhaupt möglich, den Gegenpol mit einer Kanone zu treffen? 11

Abbildung 9.2: Kanonenschuss von Pol zu Gegenpol

12. Am Montag 14. November 2016 findet laut Tages-Anzeiger ein Supermond statt, d.h. Vollmond undPerigäum werden gleichzeitig durchlaufen. Dann soll der Mond einen 14 % grösseren, scheinbarenDurchmesser haben als im Apogäum und deswegen 30 % heller leuchten. Passen die Angaben zu-sammen? 12

13. In Abbildung 9.3 ist die Marsbahn (grün,mit Sonne) eingezeichnet sowie die Bahneines Planetoiden (rot). Form und Grösseder Bahnen sind massstäblich korrekt, aberdie grossen Halbachsen und Bahnebenenwurden zur Deckung gebracht.a) Wurden die Brennpunkte auch zurDeckung gebracht?b) Wie wie gross ist die Umlaufzeit desPlanetoiden? 13

Abbildung 9.3: Mars- und Planetoiden-bahn zu Aufgabe 13.

14. Planetoid Hathor hat eine grosse Halbachse von 0.8422 AE und eine Exzentrizität von 0,4498.a) Kommt sie – Hathor ist eine ägyptische Göttin – der Sonne näher als Merkur?b) Berechnen Sie ihre Umlaufzeit. 14

15. Am Montag 28. Sept. 2015 gab es eine totale Mondfinsternis. Könnte es – für einen Astronauten aufdem Mond – auch eine totale Erdfinsternis geben? 15

16. Warum arbeiten die Astronomen mit grosser Halbachse und numerischer Exzentrizität? Die grosseund kleine Halbachse legen die Ellipse doch fest! 16

17. Asteroid Katharina umkreist die Sonne einmal in 5 Jahren und 82 Tagen. Berechnen Sie die grosseHalbachse. 17

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9.2 Gravitationskraft 51

9.2 Gravitationskraft

1. a) Wie stark werden Sie vom Mond angezogen, wenn dieser direkt über Ihnen steht?b) Wie viel ‘spüren’ Sie davon effektiv? 1

2. Warum ist der Gravitationsparameter (Produkt GM aus Gravitationskonstante G und Masse M desZentralkörpers) wesentlich genauer als die Gravitationskonstante und Masse einzeln? 2

3. Die Satelliten des Global Positioning Systems (GPS) umrunden die Erde in einem halben Sterntag(11 h 28 min). Berechnen Sie den Bahnradius. 3

4. Ein Satellit umkreist die Erde mit 7.2 km/s. Berechnen Sie den Bahnradius. 4

5. Ein Testsatellit des GALILEO-Navigationssystems umkreist die Erde auf einer Bahn mit 30·106 mRadius und hat 523 kg Masse.a) Berechnen Sie die Gravitationskraft der Erde auf den Satelliten.b) Berechnen Sie die Gravitationsfeldstärke (Fallbeschleunigung) der Erde beim Satelliten.c) Berechnen Sie die Umlaufzeit des Satelliten. 5

6. Mars hat weniger Masse als Jupiter, dafür kann er uns näher kommen. Gibt es einen Fall, wo dieGravitationskraft des Mars auf die Erde stärker als die von Jupiter ist? Nähern Sie die Planetenbahnenals Kreise an. 6

7. Romulus ist ein Mond des Planetoiden Sylvia. Er hat eine Umlaufzeit von 3.6450 Tagen und einenBahnradius von 1356 km. Sylvia hat eine grosse Halbachse von 3.486 AE und eine Exzentrizität von0.082.a) Berechnen Sie die Masse von Sylvia.b) Berechnen Sie die Umlaufzeit von Sylvia. 7

8. Die NASA-Sonde ‘Dawn’ schwenkte am 27. September 2011 in eine Bahn um den Planetoiden Ve-sta ein, die 680 km über der Oberfläche des Planetoiden verlief und 12.3 h Umlaufzeit hatte. Am 8.Dezember 2011 hatte Dawn in eine tiefere Bahn mit 210 km Höhe und 4.3 h Umlaufzeit gewechselt.Berechnen Sie aus diesen Angaben a) den mittleren Radius und b) die Masse von Vesta. 8

9. Marsmond Phobos hat einen Bahnradius von 9378 km und eine Umlaufzeit von 0.3189 Tagen. Be-rechnen Sie aus diesen Angaben die Masse des Mars. 9

10. Der Abstand Erde-Mond variiert zwischen Minimum und Maximum um ungefähr 10 %. BestimmenSie die prozentuale Veränderung der Gravitationskraft. 10

11. Jupitermond Leda hat eine grosse Bahnhalbachse von 11.165 Millionen Kilometern. Berechnen Siedie Umlaufzeit. Stimmen die 240.9 Tage aus wikipedia? 11

12. Der Zürichsee hat ein Volumen von 3.9 km3. Mit welcher Kraft wird er vom Mond im Durchschnittangezogen? 12

13. Der Mond Nereide hat eine grosse Halbachse von 5,513 Mio. Kilometer, eine Exzentrizität von 0,7507sowie eine Umlaufzeit von 360,13619 Tagen. (wikipedia)a) Welche Masse hat der Zentralkörper? Um welchen Planeten handelt es sich?b) Berechnen Sie den grössten Abstand vom Zentralkörper.c) Der Mond Thalassa desselben Planeten hat eine grosse Halbachse von 50 075 km. Berechnen Siedessen Umlaufzeit aus den Angaben in dieser Aufgabe. 13

14. Unser Mond wird von der Erde und der Sonne angezogen. Berechnen Sie das Verhältnis FErde : FS onne

der beiden Gravitationskräfte auf den Mond. 14

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9.3 Gravitationsfeld 52

15. Wie viel schwankt Ihr Gewicht, weil die Erde rotiert und sich deshalb die Richtung der Gravitations-kraft des Mondes ändert? Berechnen Sie Fmax − Fmin. 15

16. Die NASA-Sonde “Lunar Prospector” umkreiste in den Jahren 1998/99 den Mond auf einer polarenBahn. Laut wikipedia war die Umlaufzeit 117.9 min, das Periselen 99.45 km, das Aposelen 101.2 kmund die Bahnexzentriziät 0.00046. Passen diese Angaben zusammen? 16

17. Wie stark werden Sie jetzt gerade von der Sonne angezogen? 17

18. Warum ballen sich die Teilchen, welche den Saturnring ausmachen, nicht zu kleinen Monden zusam-men? Die Teilchen ziehen sich doch gravitativ an! 18

19. Wie würde das dritte Keplersche Gesetz zwischen Radius der Kreisbahn und Umlaufzeit lauten, wenndas Gravitationsgesetz FG = Gm1m2/r5 wäre? 19

20. Ein kleiner, fester Mond mit Radius rM umkreise einen Planeten mit Radius rP (Abb. 9.4). Der Mondsei mit einer Schicht Kies bedeckt. In welchem Abstand R vom Planeten löst sich der Kies vom Mondund umkreist den Planeten auf einer eigenen Bahn? (Roche-Grenze).Tipp: Starten Sie bei der Rechnung wie bei der Bestimmung des Lagrangepunktes L1. Verwenden Siefür die Näherungsformeln die Information R rM und ρP ≈ ρM. 20

Abbildung 9.4: Ein Mond umkreist einen Planeten. Wenn Steine auf dem Mond näher als der La-grangepunkt L1 beim Planeten sind, lösen sie sich vom Mond und umrunden den Planeten.

21. Drei Himmelskörper gleicher Masse können den gemeinsamen Schwerpunkt umkreisen, wenn sie eingleichseitiges Dreieck bilden. Wie hängen Bahnradius und Umlaufzeit zusammen? 21

22. Stellen Sie eine Gleichung zur Berechnung des dritten Langrangepunktes im System Erde-Sonne auf.Sie müssen die Gleichung nicht lösen. 22

23. Zwei gleich massive Sterne (m1 = m2 = M) umkreisen sich im Abstand d.a) Skizzieren Sie die zwei Sterne und alle Lagrangepunkte. 3b) Wo auf der Geraden durch die Sterne befindet sich der äussere Lagrangepunkt L2? Stellen Sie nurdie formale Gleichung auf, welche den den Abstand zum Kreiszentrum bestimmt. 23

24. Zwei Himmelskörper der Masse m1 und m2 umkreisen den gemeinsamen Schwerpunkt im Abstandr1 und r2. Berechnen Sie die Umlaufzeit rein formal. 24

9.3 Gravitationsfeld

1. In welchem Abstand vom Erdmittelpunkt hat sich die Gravitationsfeldstärke (bezogen auf den Wertan der Erdoberfläche) halbiert? 1

2. Der Radius des Mars beträgt 53.2 % des Erdradius, die Masse 10,7 % der Erdmasse. Wie viele Prozentder irdischen Fallbeschleunigung wird auf dem Mars gemessen? 2

3. Berechnen Sie die Gravitationsfeldstärke des Mondes am Erdmittelpunkt (mittlerer Abstand). 3

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9.4 Gravitationsenergie 53

4. Wie viel verändert sich die Fallbeschleunigung am irdischen Äquator, wenn der Mond vom Zenit zumNadir wechselt? 4

5. Im Innern einer Hohlkugel verschwindet das Gravitationsfeld, das diese Hohlkugel verursacht. Wieverhält sich also die Gravitationsfeldstärke im Innern einer homogenen Vollkugel als Funktion desAbstandes zum Zentrum? 5

6. In welcher Höhe hat die Gravitationsfeldstärke um ein Promille gegenüber dem Wert auf der Erd-oberfläche abgenommen? Nehmen Sie an, die Erde sei kugelsymmetrisch. 6

7. Wie viel nimmt die Fallbeschleunigung ab, wenn man einen Meter nach oben geht? Nehmen Sie an,die Erde sei kugelsymmetrisch und man starte an der Erdoberfläche. 7

8. Der Radius einer homogenen Kugel werde bei konstanter Dichte verdoppelt. Was passiert mit derGravitationsfeldstärke der Kugel an der Oberfläche? 8

9. Ein Mond umkreist seinen Planeten einmal in 5,876854 Tagen mit Bahnradius 354 759 km.a) Welche Masse hat der Planet? Um welchen Planeten könnte es sich handeln?b) Der Planet hat einen Durchmesser von 49·106 m. Berechnen Sie die Fallbeschleunigung an seinerOberfläche.c) Geben Sie in Worten zwei Methoden an, wie man die Beschleunigung des Planeten auf seiner Bahnum die Sonne berechnen könnte. 9

10. Ein Satellit umkreist einen Zentralkörper. Drücken Sie die Bahngeschwindigkeit υ durch den Bahn-radius r und die Gravitationsfeldstärke g auf der Bahn aus. 10

11. Ein Ballon steige von der Erdoberfläche auf eine Höhe von 40 km. Wie viele Prozent nimmt dieGravitationsfeldstärke ab? 11

12. Drücken Sie die Gravitationsfeldstärke an der Oberfläche eines runden Planetoiden durch seinen Ra-dius und die mittlere Dichte aus. 12

13. Wie gross wäre die Gravitationsfeldstärke an der Erdoberfläche, wenn die mittlere Dichte der Erdejener von Gold entsprechen würde? 13

9.4 Gravitationsenergie

1. Der Asteroid Pulcova war der dritte, bei dem ein Mond entdeckt wurde (2000). Das Möndchen hat800 km Bahnradius. Pulcova hat 1.40·1018 kg Masse.a) Berechnen Sie die Umlaufzeit des Mondes.b) Pulcova hat 137 km Durchmesser. Berechnen Sie die Gravitationsfeldstärke an seiner Oberfläche.Nehmen Sie an, Pulcova sei kugelförmig.c) Berechnen Sie die Fluchtgeschwindigkeit an der Oberfläche von Pulcova.d) Pulcova hat eine grosse Halbachse von 3.1543 astronomischen Einheiten (AE) sowie eine Exzen-trizität von 0.10146. Berechnen Sie den kleinsten Abstand von der Sonne in AE und Meter. Wie heisstdiese Stelle auf der Bahn? 1

2. In der Science Fiction Geschichte “Men of Good Will” (Ben Bova, 1964) wird ein Artilleriegefechtzwischen Russen und Amerikanern auf dem Mond beschrieben. Beschreiben Sie qualitativ die Ge-schossbahnen abhängig von der Abschussschnelligkeit der Granaten und der Abschussrichtung derKanonen. Die höchsten Mündungsgeschwindigkeiten in den 1960-er Jahren betrugen 3.6 km/s. 2

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9.4 Gravitationsenergie 54

3. Im Jahr 2013 verglühte der Gravitations-Satellit Goce am Ende seiner Mission in der Atmosphäre.Aus einer kreisförmigen Umlaufbahn von zuletzt 224 km Höhe sank er täglich rund 1,5 km ab, weilauf ihn eine Lufwiderstandskraft von 10 bis 11 mN wirkte. Der Erdbeobachtungssatellit hatte rundeine Tonne Masse. Passen die Angaben zusammen? 3

4. Ein Satellit umkreist einen Zentralkörper. In welchem Verhältnis stehen potentielle und kinetischeEnergie? 4

5. Warum wird ein erdumkreisender Satellit schneller, wenn er durch die äussere Atmosphäre gebremstwird? Warum wird der Satellit langsamer, wenn er durch ein Triebwerk in Flugrichtung beschleunigtwird? (Satellitenparadoxon). 5

6. Berechnen Sie die Fluchtgeschwindigkeit an der Erdoberfläche. 6

7. Drücken Sie die Fluchtgeschwindigkeit durch die Gravitationsfeldstärke aus. 7

8. Welche mittlere Dichte müsste die Erde haben, damit die Fluchtgeschwindigkeit gleich der Lichtge-schwindigkeit wird? 8

9. Auf welchen Radius müsste man die Erde zusammendrücken, damit die Fluchtgeschwindigkeit gleichder Lichtgeschwindigkeit wird? 9

10. Wie viel Mal grösser müsste die Masse der Sonne sein, damit die Fluchtgeschwindigkeit gleich derLichtgeschwindigkeit wird? 10

11. Mit welcher Geschwindigkeit müsste eine Kanonenkugel senkrecht nach oben geschossen werden,damit sie um einen Erdradius nach oben steigt? Hat diese Geschwindigkeit einen Bezug zur Flucht-geschwindigkeit? 11

12. In der FoTa finden Sie den Gravitationsparameter Gm der Erde sowie die Fluchtgeschwindigkeit.Welcher Erdradius wurde der Berechnung der Fluchtgeschwindigkeit zugrunde gelegt? Ist der Wertvernünftig? 12

13. Wie weit kann sich eine Kanonenkugel, die mit halber Fluchtgeschwindigkeit senkrecht von der Erd-oberfläche nach oben geschossen wird, vom Erdmittelpunkt entfernen? (nur formal) 13

14. Der Wärmestrom aus dem Erdinnern beträgt etwa 40 Terawatt. Mit welcher Geschwindigkeit müsstesich die Erde zusammenziehen, um diesen Wärmestrom alleine zu erklären? Betrachten Sie dazu dieErde als homogene Kugel. 14

15. Ein kreisender Satellit wird entweder gestoppt und fällt auf die Erde oder erhält einen Kick undentflieht ins Unendliche.a) In welchem Fall ist die Änderung der Schnelligkeit grösser?b) In welchem Fall ist die Änderung der kinetischen Energie grösser? 15

16. “So weit ist noch kein Golfball geflogen: 48 Mal soll er die Erde umkreisen. Der KosmonautenMichail Tjurin schlug den Ball von der Internationalen Raumstation aus ab - auf eine wahrschein-lich dreitägige Reise. Durch den Abschlag entgegen der ISS-Flugrichtung verringerte sich die Um-laufgeschwindigkeit des Balls minimal. Dadurch wurde sichergestellt, dass der Ball nach und nachin niedrigere Umlaufbahnen sinkt, bis er schließlich in die Atmosphäre eintaucht und verglüht.”(www.spiegel.de, 23. Nov. 2011)Nehmen Sie an, die ISS bewege sich auf einer Kreisbahn mit 6767 km Radius um die Erde und derGolfball sei mit 20 m/s (langsam!) abgeschlagen worden. Charakterisieren Sie die Bahn des Golfballs(Keplerbahn ohne Luftwiderstand). 16

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9.4 Gravitationsenergie 55

17. Reicht eine Atombombe, um einen Asteroiden zu zerstören? 17

18. Ein kosmischer String ist ein hypothetisches Objekt aus der sog. Stringtheorie. Die Gravitationskrafteines langen, homogenen, geraden Fadens auf eine Probemasse m im Abstand r ist FG = k m/r miteiner Konstanten k. Berechnen Sie formal die potentielle Energie Ep dieser Probemasse im Feld desStrings. Diskutieren Sie die Formel für Ep. 18

19. Vor etwa 160’000 Jahren ist der Twannberg-Meteorit im Berner Jura niedergegangen. Nehmen Siean, es sei ein Eisenwürfel von zehn Metern Kantenlänge gewesen. Weit weg von der Erde sei er mit30 km/s relativ zur Erde unterwegs gewesen. (Vernachlässigen Sie alles andere.)a) Mit welcher Geschwindigkeit wäre er dann eingeschlagen?b) Wie viel Energie hätte der Einschlag frei gesetzt? (in Joule und Megatonnen TNT angeben) 19

20. Angenommen, Sie wären eine homogene Kugel aus Wasser (mit gleicher Masse), wie gross wäredann ihre gravitative Selbstenergie? 20

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Kapitel 10

Starrer Körper

10.1 Hebelgesetz und Drehmoment

1. Leander (24 kg) und Vital (12 kg) sitzen erwartungsvoll an beiden Enden der ‘Gigampfi’ (Wippe).Beide haben 2.5 m Abstand von der Drehachse. Wo muss sich Papi (72 kg) hinsetzen, damit Gleich-gewicht herrscht? 1

2. Unten (Abb. 10.1) sehen Sie ein Bild meiner Schere. Sie ist 18.2 cm lang (von ganz links nach ganzrechts gemessen). Um die Schere zu schliessen, muss ich am obersten Punkt im Bild mit 4.1 N vertikalnach unten drücken. Berechnen Sie das Drehmoment. Beschreiben Sie Vorgehen. 2

Abbildung 10.1: Verkleinertes Bild meiner Schere.

3. a) Warum soll man die Einheit des Drehmoments nicht mit Joule abkürzen?b) Was ist der Hebelarm einer Kraft? 3

4. Eine Kraft F = 53 N greift im Abstand r = 34 cm von der Dreh-achse an. Bestimmen Sie mit Hife der massstäblich korrektenAbb. 10.2 das Drehmoment. 4

Abbildung 10.2: Schraubenschlüssel mit angreifender Kraft

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10.2 Schwerpunkt 57

5. In Abbildung 10.3 sehen Sie ein Brett der Länge 98 cm und Mas-se 1.4 kg, das links bei einem Viertel seiner Länge gestützt wird.Ganz am linken Rand liegt ein Körper der Masse 2.7 kg auf. Wound in welcher Richtung muss eine Kraft der Stärke 28 N angrei-fen, damit das Brett im Gleichgewicht ist? 5

Abbildung 10.3: UnterstütztesBrett mit Last

6. Warum haben wir eigentlich die Grösse Drehmoment eingeführt? 6

7. Bei welchem Winkel ϕ ist der Winkelhebel von Abb. 10.4 imGleichgewicht? 7

Abbildung 10.4: Skizze zu Aufgabe 7.Der rechtwinklige Hebel aus zwei geraden, homogenen Lattenbalanciert im Gleichgewicht auf dem horizontalen Tisch. Der ei-ne Arm ist doppelt so lang und entsprechend doppelt so schwerwie der andere.

8. Bei welcher Stangenlänge `2 ist der Winkelhebel von Abb. 10.5im Gleichgewicht? 8

Abbildung 10.5: Skizze zu Aufgabe 8.Der geknickte Hebel besteht aus zwei verschieden langen Stan-gen, die bei der Drehachse D um 45° gegen einander abgewin-kelt sind. Die Massen der Stangen sind proportional zur Länge.Die Stange mit Länge `1 ist horizontal.

9. Bei welcher Lastmasse mL ist der Winkelhebel von Abb. 10.6 imGleichgewicht? 9

Abbildung 10.6: Skizze zu Aufgabe 9.Der geknickte Hebel besteht aus zwei verschieden langen undschweren Stangen, die bei der Drehachse D um 45° gegen ein-ander abgewinkelt sind. Die Stange mit Länge 2` ist horizontal.

10. Ein Rad soll wie in Abbildung 10.7 über den Randstein ge-schoben werden. Das Rad wird an der Achse mit F1 = 89 Nin Abwärtsrichtung belastet. Wir gross muss die horizon-tale Schubkraft F2 mindestens sein, damit das Rad umdie Bordsteinkante rollen kann? Es sei r = 15 cm undh = 8.4 cm. 10

Abbildung 10.7: Ein Rad soll über einen Randstein ge-schoben werden.

11. In Abb. 10.8 ist eine Roberval-Waage dargestellt (auch Tafelwaage,nach Gilles Personne de Roberval, 1669). Welche Vor- und Nachtei-le bietet diese Konstruktion bezüglich Platzierung des Wägeguts undGenauigkeit? 11

Abbildung 10.8: Roberval-Mechanismus (Schema)

10.2 Schwerpunkt

1. Welchen Abstand vom Erdmittelpunkt hat der gemeinsame Schwerpunkt von Ihnen und der Erde? 1

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10.3 Statik 58

2. Liegt der gemeinsame Schwerpunkt von Sonne und Jupiter innerhalb oder ausserhalb der Sonne? 2

3. Eine volle Getränkedose hat den Schwerpunkt in der Mitte. Beginnt man zu trinken, so sinkt derSchwerpunkt. Ist sie ausgetrunken, so liegt der Schwerpunkt wieder in der Mitte. Wo ist das Mini-mum?a) Zeigen Sie, dass der Schwerpunkt am tiefsten ist, wenn er gerade auf der Flüssigkeitsoberflächeliegt.b) Berechnen Sie mit Hilfe der Information aus der vorangehenden Teilaufgabe die Höhe des Schwer-punkts. Nehmen Sie an, die Dose sei ein mathematischer Zylinder. 3

4. Unten (Abb. 10.9) sehen Sie eine Koordinatenachse mit zwei Punktmassen bei A und B. Der Null-punkt ist eingezeichnet, Punkt C habe Koordinate xC = 135 mm. Die Massen seien mA = 583 g undmB = 333 g. Die Koordinaten von A und B müssen Sie durch abmessen gewinnen. Bestimmen Siedie Koordinate des gemeinsamen Schwerpunkts. 4

Abbildung 10.9: Koordinatenachse (x) mit zwei Punktmassen bei A und B.

5. Eine Hantel bestehe aus zwei Punktmassen m1 und m2, die durch eine masselose Stange der Län-ge d verbunden sind. Die Hantel ist im Gleichgewicht, wenn man sie im Schwerpunkt unterstützt.Berechnen Sie aus dieser Bedingung die Position des Schwerpunkts auf der Verbindungslinie. 5

6. “. . . wenn wir vom Stuhl aufstehen wollen . . . gelingt das nur, wenn wir uns etwas nach vorn beugen.Ansonsten presst uns unser Körperschwerpunkt auf die Sitzfläche . . . ”(Kalender Einstein für Quanten-Dilettanten, 16. März 2016)Was ist hier falsch. Was ist wohl gemeint? Wie könnte man es besser sagen? 6

10.3 Statik

1. Ein Transportwagen, siehe Abb. 10.10, steht auf zwei kleinen, arretierten Rädern A und B auf einerRampe. Die Rampe ist um den Winkel α gegen die Horizontale geneigt. Das Gewicht des Wagens istFG und greift im Schwerpunkt S an. Der Schwerpunkt hat Abstand a vom vorderen (unteren) Rad Aund Höhe b über dem Wagenboden (parallel resp. senkrecht zum Wagenboden gemessen). Der Wagenhat Länge c und Höhe d. Man berechne die Normalkräfte FA und FB sowie die Haftreibungskraft FR

auf die Räder und drücke sie als Bruchteil von FG aus. 1

2. Ein Balken wird ganz am linken Ende und im Abstand x vom rechten Ende unterstützt. Wie grossmuss x sein, damit die rechte Stütze 3/4 des Balkengewichts trägt? (formale Aufgabe) 2

10.4 Arbeit und Leistung

1. Ein bürstenloser Flachmotor erzeugt bei 16 000 U/min ein Drehmoment von 0.60 mNm. BerechnenSie die erbrachte Leistung. 1

2. Der Generator des Kernkraftwerks Leibstadt gibt 1245 MW Leistung ab. Der Generator-Rotor drehtsich mit 3000 U/min. Mit welchem Drehmoment muss der Rotor angetrieben werden? 2

3. Die kompakten Torquemotoren von A-Drive Technology GmbH sind Direktantriebe in Hohlwellen-ausführung (..) mit einer Leistung von bis zu 50 kW, Drehmoment 50’000 Nm und Durchmesser 2.8 m(Aktuelle Technik 12/09). Berechnen Sie die Drehfrequenz in Hertz und Umdrehungen pro Minute. 3

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10.4 Arbeit und Leistung 59

Abbildung 10.10: Ein Transportwagen mit Gewicht FG steht auf einer schiefen Ebene. Wie gross sindNormal- und Reibungskräfte?

4. Eine Bohrmaschine von Metabo hat folgende Kennzahlen: Drehmoment 5 Nm, Nennleistungsaufnah-me 560 W, Abgabeleistung 320 W, Drehzahl bei Nennlast 1700 min−1. Berechnen Siea) den Wirkungsgrad aus den Leistungsangaben undb) das Drehmoment. (Schauen Sie, ob es 5 Nm gibt.) 4

5. Ein ‘Synchronreluktanzmotor’ der Firma ABB hat die Nennwerte 20 kW, 1500 min−1 und 127 Nm.Der Wirkungsgrad dieses Elektromotors wurde zu 92.2 % gemessen. Sind die 20 kW die aufgenom-mene oder abgegebene Leistung? 5

6. Ein Velo-Ergometer zeigt eine Leistung von 196 W bei einer Drehzahl von 95 rpm an. Berechnen Siedas Drehmoment. 6

7. Der Bohrkopf der Tunnelbohrmaschine “Sissi”, die am 15. Okt. 2010 den Durchbruch in der Oströhreim Gotthard-Basistunnel schaffte, hat 9.43 m Durchmesser, dreht sich mit 6 U/min und wird mit über6 000 kNm angetrieben.a) Wie gross ist die Kraft, welche die Drehung des Bohrkopfs bremst, mindestens?b) Rechnen Sie die Drehzahl in Hertz um.c) Wie gross ist die Antriebsleistung mit den genannten Zahlen? 7

8. Betrachten Sie die Kennlinie des Asynchron-Servomotors in Abbildung 10.11.a) Passen die 36 kW zu den anderen Angaben?b) Zeichnen Sie die Leistung als Funktion der Drehzahl. 8

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10.5 Trägheitsmoment und Rotationsenergie 60

Abbildung 10.11: Drehmoment versus Drehfrequenzfür einen Asynchron-Servomotor

Konstantes Drehmoment von 230 Nm bis zur Nenn-drehzahl 1500 min−1, Nennleistung 36 kW, Dreh-moment umgekehrt proportional zur Drehzahl bis3000 min−1, Drehmoment umgekehrt proportional zuf −2 bis zur maximalen Drehzahl 4500 min−1.(nach at 3/2012)

0 1000 2000 3000 40000

50

100

150

200

250

Drehfrequenz ( U/min )

Dre

hmom

ent (

Nm

)

9. Das Motorrad Yamaha R 1M erbringt eine Leistung von 200 PS bei 13 000 U/min. Berechnen Sie dasDrehmoment des Motors bei dieser Tourenzahl. 9

10.5 Trägheitsmoment und Rotationsenergie

1. Ein Fussball hat einen Radius von 11 cm und wiegt 430 g. Er rotiere im Flug mit ω = 10 s−1 undbewege sich υ = 20 m/s.a) Berechnen Sie die Rotationsenergie des Balls.b) Berechnen Sie das Verhältnis der Rotations- zur Translationsenergie. 1

2. Zwei Kugeln mit Massen m1 und m2 sowie Radien r1 und r2 haben Mittelpunktsabstand d. Sie rotierenwie eine Hantel um den gemeinsamen Schwerpunkt. Die Drehachse stehe senkrecht zur Verbindungs-linie der Mittelpunkte. Berechnen Sie das Trägheitsmoment dieser asymmetrischen Hantel. 2

3. Eine Kugel (r) und ein Zylinder (h = d) gleicher Masse und aus gleichem Material rotieren mitgleicher Winkelgeschwindigkeit. Welcher Körper hat mehr Rotationsenergie? 3

4. Ein Ping-Pong Ball rollt über den Tisch. Berechnen Sie das Verhältnis der kinetischen EnergienERotation/ETranslation. 4

5. Das Max Planck Institut für Plasmaphysik betreibt ein zylindrisches Schwungrad von 223 t Mas-se, 2.9 m Aussendurchmesser und 3.9 m Länge. Die Drehzahl liegt zwischen maximal 1650 U/minund minimal 1275 U/min. Die gespeicherte, nutzbare Energie beträgt 1.45 GJ. Das Schwungrad wirdlangsam mit einem Motor aufgeladen und schnell über einen Generator entladen. Die maximale Ent-ladeleistung beträgt 150 MW.a) Stimmen die 1.45 GJ etwa?b) Wie lange dauert die Entladung des Schwungradspeichers etwa?c) Mit welcher Rate dω/dt nimmt die Winkelgeschwindigkeit zu Beginn bei 1650 U/min ab? 5

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10.6 Drehimpuls 61

6. Ein Generator enthalte eine angenähert rechteckige Leiterschleife, sie-he Abb. 10.12, aus Kupfer mit einer längenspezifischen Masse von4.4 kg/m. Die Schleife rotiere mit 50 Hz, habe eine Länge von ` =

4.8 m und eine Breite von b = 1.8 m. Die Rotationsachse liege in derSchleifenebene, sei parallel zur langen Seite und verlaufe durch denSchwerpunkt.a) Berechnen Sie das Trägheitsmoment dieser Schleife.

Tipp: Addieren Sie die Trägheitsmomente der vier Seiten.b) Berechnen Sie die Rotationsenergie für JS = 43 m2 kg. 6

Abbildung 10.12: Recht-eckige Leiterschleife mitLänge ` und Breite b mitRotationsachse

7. Ein schlanker Stab der Masse m und Länge ` dreht sich wie inAbb. 10.13 gezeichnet in der xy-Ebene im Abstand a um denNullpunkt des Koordinatensystems (Drehachse senkrecht zurZeichenebene). Bestimmen Sie das Trägheitsmoment dieses Sta-bes bzgl. dieser Drehachse.a) indem Sie

∫r2dm über den Stab integrieren.

b) indem Sie den Satz von Steiner anwenden. 7Abbildung 10.13: In der xy-Ebene um 0 rotierender Stab derLänge ` und Masse m

10.6 Drehimpuls

1. Gewehre werden in Flinten und Büchsen unterteilt. Eine Büchse hat, im Gegensatz zu einer Flinte, imInnern des Laufs sogenannte Züge (wendelförmige Rillen). Sie verleihen dem Geschoss Drehimpuls,welcher das Geschoss stabilisiert. Ohne Drehimpuls würde das Geschoss zu taumeln beginnen, wasdie Flugbahn weniger vorhersagbar macht.Betrachten Sie das Geschoss als homogenen Bleizylinder von 7.77 mm Durchmesser und 11.3 gMasse, der an der Gewehrmündung 750 m/s schnell ist. Die Züge drehen sich auf 270 mm Lauflängeeinmal um 360°, der Lauf selber sei 520 mm lang.a) Berechnen Sie die Drehfrequenz des Geschosses an der Mündung.b) Berechnen Sie den Drehimpuls des Geschosses.c) Berechnen Sie das Verhältnis von Rotations- zu Translationsenergie für das Geschossd) Welchen Effekt hat der Drehimpuls, wenn das Geschoss sein Ziel trifft? 1

2. Ein Kreisel der Masse 0.20 kg rotiert mit 50 Hz um seine Symmetrieachse und weist dann einenDrehimpuls von 0.16 Js auf. Die Rotationsachse sei 12° gegen die Vertikale geneigt.a) Berechnen Sie das Trägheitsmoment.b) Wegen der Neigung vollführt der Kreisel eine spezielle Bewegung. Wie heisst diese, wie siehtsie aus und weshalb kommt sie zustande? (in Worten und/oder mit Skizzen). Welche Informationbräuchten Sie noch, um die “Geschwindigkeit” dieser Bewegung auszurechnen?c) Der Drehimpuls des Kreisels nehme mit der Rate dL/dt = 2.8 · 10−4 ?? ab. Welche Einheit hat diediese Rate? Welche Bedeutung hat die Rate? Wie schreibt man die Einheit korrekt? 2

3. Wenn man einen rotierende Handbohrmaschine seitlich schwenkt, um ein Loch in die Wand zu boh-ren, so reagiert der Bohrer ‘komisch’. Beschreiben Sie mit Worten, Zeichnungen, Formeln etc. warumdas so ist und wie es sich genau anfühlt. 3

4. Der Satellit Gravity Probe B hat 2004-2005 einen Effekt der allgemeinen Relativitätstheorie nachge-messen. Aufgrund der Raumkrümmung sollte ein Kreisel auf der Satellitenbahn mit 6.6 Winkelsekun-den pro Jahr präzedieren. Als Kreisel dienten vier Kugeln aus Quarzglas von 38.1 mm Durchmesser,

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10.6 Drehimpuls 62

die mit durchschnittlich 72 Hz rotierten.a) Berechnen Sie das Trägheitsmoment einer solchen Quarzkugel.b) Berechnen Sie den Drehimpuls eines solchen Kreisels.c) Wie gross müsste ein Drehmoment mindestens sein, um dieselbe Präzessionsrate zu erzeugen? 4

5. Zwei Kugeln haben dieselbe Winkelgeschwindigkeit und denselben Radius, aber die zweite hat diedoppelte Dichte der ersten. Berechnen Sie das Verhältnis L2/L1der Drehimpulse. 5

6. Drücken Sie die Rotationsenergie durch den Drehimpuls und das Trägheitsmoment aus. 6

7. Welche Bedingung muss erfüllt sein, damit ~L = J · ~ω gilt? 7

8. Zieht eine Eiskunstläuferin für eine Pirouette die Arme an, so falle das Trägheitsmoment von 4.0 auf1.3 kg/m2. Dabei steige die Winkelgeschwindigkeit auf 11 s−1. Wie gross war die Winkelgeschwin-digkeit am Anfang? 8

9. Das Hubble Space Telescope (HST) umkreist die Erde in 457 km mittlerer Höhe. Es hat ein Trägheits-moment von 77 217 kg m2 bezogen auf eine Querachse. Es darf mit maximal 0.00175 rad/s um einesolche Achse gedreht werden, um es auf einen Stern auszurichten. Das HST enthält Schwungräderund Magnetstangen, um Drehmomente zu erzeugen. Ein Schwungrad kann 0.82 N m bei 3200 U/minerzeugen. Eine Magnetstange hat ein magnetisches Moment von 3500 A m2; vier Stangen zusammenerzeugen maximal 0.34 N m.a) Berechnen Sie die Umlaufzeit des HST um die Erde.b) Ist 0.00175 rad/s mehr als die Winkelgeschwindigkeit des Minutenzeigers einer Uhr?c) Wie viel Rotationsenergie trägt das HST maximal?d) In welcher Zeit kann ein Schwungrad das HST auf 0.00175 rad/s beschleunigen?e) Warum kann eine Magnetstange überhaupt ein Drehmoment auf das HST ausüben? 9

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Kapitel 11

Elastizität

11.1 Elastitzität und Zugfestigkeit

1. Eine Nylon-Gitarrensaite hat 65 cm Länge, 0.70 mm Durchmesser und werde ‘mit 6.9 kg’ gespannt.a) Wie viel verlängert sie sich?b) Bei welcher Spannkraft würde die Saite reissen? Kommentar! 1

2. Ein Stahldraht sei 2.8 m lang, habe 1.3 mm2 Querschnittsfläche und sei 2.33 mm gedehnt.a) Mit welcher Kraft wurde der Draht gespannt?b) Wie viel Spannungsenergie steckt dann im Draht? Tipp: Stellen Sie eine Analogie zum Federgesetzund zur Federenergie her. 2

3. Eine Virginal-Messingsaite hat einen Durchmesser von 0.45 mm und soll bis fast zur Zerreissschwellegespannt werden. Unterhalb welcher Spannkraft muss man bleiben? 3

4. Wie dick darf ein Stahldraht maximal sein, damit Sie ihn noch ohne Hilfsmittel mit den Händenzerreissen können? 4

5. Begründen Sie in Worten, weshalb beim hookeschen Gesetz für die Dehnung von Drähten die Quer-schnittfläche vorkommt und nicht der Durchmesser. 5

6. An zwei Drähten aus gleichem Material wird mit gleicher Kraft gezogen. Der zweite Draht ist doppeltso lang und hat den doppelten Durchmesser. Wie verhalten sich die Dehnungen? 6

7. Die Poissonzahl µ ist das Verhältnis von relativer Dickenänderung zu relativer Längenänderung beider elastischen Dehnung eines Stabes: µ = (∆d/d) ÷ (∆`/`)a) Wie gross ist die Poissonzahl, wenn sich der Stabdurchmesser so verändert, dass bei Dehnung dasVolumen konstant bleibt?b) Welche praktische Konsequenz folgt aus der Tatsache, dass Kork eine Poissonzahl von etwa Nullhat? 7

8. Um eine Stahlkugel, z.B. aus einem Kugellager, elastisch zu komprimieren (“leicht flachzudrücken”),ist folgende Kraft nötig:

F =E

3(1 − ν2)

√2ry3 ∼ y3/2 (Heinrich Hertz, 1882).

Darin ist r der Kugelradius, y die Abnahme des Durchmessers, E = 193 GPa der Elastizitätsmodulund ν = 0.30 die Poissonzahl für Stahl.a) Ist die Formel vernünftig?

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11.2 Druck- und Zugspannung 64

b) Berechnen Sie die elastische Energie, analog zur Energie einer gespannten, hookeschen Feder:F = D · y⇒ EF = 1

2 Dy2

Tipp: W = F · ∆y −→ dW = F · dy −→ E =∫

dW =∫

F · dy 8

11.2 Druck- und Zugspannung

1. In der Talstation der Gondelbahn in Scuol, einem profanen Betonbau, steht auf einer Tafel “max.Bodenbelastung 500 kg/m2, max. Einzellast 4 t”.a) Rechnen Sie die Bodenbelastung in einen Druck um und vergleichen Sie mit dem Luftdruck.b) Wie gross wäre der Druck in bar, wenn die 4 t auf einem Quadratmeter stünden? 1

2. Eine Turnerin von 50 kg Körpermasse macht den Handstand einhändig. Welchen Druck erzeugt sie?Die effektive Handfläche sei 100 cm2. 2

3. Welchen Druck erzeugt ein Blatt Papier der Stärke 100 g/m2, wenn es flach auf dem Tisch liegt? 3

4. Wie gross ist die Kraft des Dampfs auf 1.0 cm2 des Deckels eines Dampfkochtopfs, in dem ein Über-druck von 0.6 bar herrscht? 4

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Kapitel 12

Hydrostatik

12.1 Druckarbeit

1. Eine Wasserspritze verrichtet Pumparbeit, die nachher als kinetische Energie des Strahls erscheint.Wie hängen Pumpen(über)druck und Schnelligkeit des Strahls zusammen? 1

2. Eine Feuerwehrpumpe liefert 3200 Liter pro Minute bei einem Druck von 8 bar.a) Berechnen Sie die erbrachte Leistung.b) Wie schnell (m/s) spritzt das Wasser aus dem Schlauch?c) Wie weit kann man maximal spritzen? 2

3. Der Wasserstrahl beim Kinderplantschbecken wird unter 50° abgeschossen und kommt 1.0 m weit(auf gleicher Höhe gemessen). Berechnen Sie den Druck in der (dicken) Zuleitung. 3

4. Wie viel Arbeit wird bei einem Öldruck von 230 bar verrichtet, wenn der Kolben in einem Hydrau-likzylinder von 87 cm2 Querschnitt 66 cm ausfährt? 4

5. Die Pumpe einer offshore-Erdölpipeline ist für 1674 m3/s Volumenstrom und 1000 m Förderhöheausgelegt. Berechnen Sie die erbrachte Pumpleistung in Watt. Nehmen Sie ersatzweise die Dichtevon Heizöl. 5

6. Zuoberst im Treppenhaus eines fünfstöckigen Hauses kann sich im Winter ein Druckunterschied von5 Pa aufbauen, weil der Schweredruck aussen und innen verschieden mit der Höhe abnimmt. Mitwelcher Schnelligkeit strömt oben die Luft, wenn das Fenster geöffnet wird? 6

7. Eine Wasserpistole wiegt leer 25 g. Bei einem Schuss werden durchschnittlich 0.48 g Wasser ausge-stossen. Schiesst man horizontal in 85 cm Höhe, so kommt das Wasser (4 ± 1) m weit. Die Pistolefasst 35 g Wasser.a) Mit welcher mittleren Geschwindigkeit wird das Wasser ausgestossen?b) Welcher Überdruck herrschte in der Pistole während der Schussabgabe? 7

8. Wie viel Energie ist mindestens nötig, um einen Liter Vakuum herzustellen? 8

9. Ein Hydraulikzylinder der Firma Paul Forrer AG (Zürich) hat einen Betriebsdruck von 200 bar undeinen Durchmesser von 50 mm. Der Kolben kann 600 mm ausgefahren werden. Wie viel Arbeit kanner maximal verrichten? 9

10. Geben Sie drei Gründe an, weshalb das “Pumpengesetz” ∆p = 12ρυ

2 korrekt sein könnte, ohne dieBeziehung effektiv herzuleiten, d.h. führen Sie eine Plausibilitätskontrolle durch. 10

11. Wie ist eine hydraulische Presse aufgebaut? Wie hängen die Kräfte auf der Last- und Kraftseite zu-sammen? 11

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12.2 Schweredruck 66

12.2 Schweredruck

1. Wie viel sinkt der Luftdruck etwa, wenn Sie vom Meeresniveau 1.0 km nach oben steigen? 1

2. Das Reservoir befindet sich 80 m über Ihnen.a) Wie gross ist der Schweredruck in der Wasserleitung?b) Wie schnell (m/s) kann das Wasser maximal aus dem Hahn strömen? 2

3. Die Staumauer der Grande Dixence (VS) ist 285 m hoch. Der Stausee ist 5.3 km lang, maximal 227 mtief und hat ein Volumen von 400 Millionen m3.a) Wie hoch ist der Staudruck 1.0 km weiter unten im Kraftwerk?b) Wie viel Energie könnte bei vollkommener Entleerung des Sees maximal gewonnen werden? Ge-ben Sie das Resultat in Joule und kWh an.c) Wie nennt man das Faktum, dass die Grösse des Sees für den Druck keine Rolle spielt? 3

4. Ein Heissluftballon habe 20 m Höhe. Da er unten offen ist, herrscht dort Luftdruck. Die Dichte derheissen Luft im Innern betrage 0.95 kg/m3, die umgebende Luft habe 1.20 kg/m3. Berechnen Sie dieDruckdifferenz pinnen − paussen am obersten Punkt des Ballons. 4

5. Die mittlere Dichte der Luft auf Meereshöhe betrage 1.225 kg/m3. Nehmen Sie an, Luft sei eineinkompressible Flüssigkeit. Wie nimmt der Druck mit steigender Höhe ab und auf welcher Höheverschwindet der Luftdruck? 5

6. Auf wie viel Prozent genau stimmt die Regel, nach der pro zehn Meter Wassertiefe der Druck 1 barzunimmt? 6

7. Die zwei Schenkel eines oben offenen U-Rohrs konstanten Querschnitts sind zu Be-ginn gleich hoch (Höhe h) mit zwei unmischbaren Flüssigkeiten der Dichten ρ1 > ρ2

gefüllt, siehe Abb. 12.1. Dann wird unten der Hahn, der die zwei Schenkel trennt, ge-öffnet.a) Beschreiben Sie in Worten, was passiert.b) Berechnen Sie die neue Höhe h1 der dichteren Flüssigkeit. 7

Abbildung 12.1: U-Rohr mit zwei verschiedenen Flüssigkeiten, die bei anfangs ge-schlossenem Hahn gleich hoch stehen.

8. Das U-Boot ‘Deepsea Challenge’ von J. Cameron erreichte am 26. März 2012 eine Tiefe von 10908 mund war dabei einem Druck von 1104 bar ausgesetzt. (NZZaS, 9. Juni 2013). Welche mittlere Dichteergibt sich aus der Formel für den Schweredruck? 8

9. Wie gross muss eine Fläche sein, damit der Luftdruck mit einer Kraft von 500 N darauf wirkt? 9

10. Am 31. August 2013 wurde um 11:30 an der Wetterstation Mythenquai ein Luftdruck von 975.5 hPagemessen. Die Lufttemperatur betrug 22.7 °C. Die Station liegt 406 m über Meer. Herrscht Hoch-oder Tiefdruck? 10

11. Ein Treppenhaus ist 30 m hoch. Es weist eine Lufttemperatur von 20 °C auf, während draussendie Temperatur am Gefrierpunkt liegt. Wird unten die Tür geöffnet, so ist dort der Druck ausgegli-chen. Oben herrscht wegen unterschiedlicher Luftdichten ein Druckunterschied zwischen drinnen unddraussen. Wie gross ist dieser? Die Luftdichte ist umgekehrt proportional zur absoluten Temperatur(in Kelvin). 11

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12.2 Schweredruck 67

12. Der mittlere Luftdruck auf dem Jungfraujoch (3580 m über Meer) beträgt 653.6 hPa. Berechnen Sieden Luftdruck aus der Höhenangabe. 12

13. Der mittlere Luftdruck in Zürich Fluntern (555 m über Meer) beträgt 950.4 hPa. Berechnen Sie denLuftdruck aus der Höhenangabe. 13

14. Welche Kraft übt die Luft auf die Aussenfläche (2.5 m2) einer Fensterscheibe aus? 14

15. Um die Auflösung eines Flüssigkeitsmanometers zu steigern, kann man eines der Steigrohre schräg-stellen. Nehmen wir an, ein Manometer werde mit Öl (Dichte 0.90 kg/L) betrieben und der eineSchenkel sei 85 ° gegen die Vertikale geneigt. Wie viel bewegt sich die Flüssigkeit entlang der Schrä-ge, wenn der Druck 1.0 mbar steigt? 15

16. Ein Flüssigkeitsmanometer ist mit Petrol gefüllt. Die zwei Flüssigkeitsspiegel im U-Rohr haben38 mm Höhenunterschied. Berechnen Sie den Druckunterschied in den zwei Schenkeln des Mano-meters. 16

17. Ein Taucher misst einen absoluten Druck von 2.8 bar. In welcher Wassertiefe befindet er sich? 17

18. Frisch gefallener Pulverschnee hat eine Dichte von 50 kg/m3. Welchen Druck erzeugt eine Schnee-decke von 12 cm Höhe am Boden? 18

19. An der OLMA 2014 warb ein Verkaufsstand mit einem Staubsauger, der vor den Augen des Publi-kums Wasser 2.5 m hoch hinauf saugen konnte. Welchen Unterdruck produzierte der Sauger? 19

20. Eine Seite eines quaderförmigen, gefüllten Aquariums ist lose. Mit welcher Kraft und auf welcherHöhe muss man die Seite gegen das Aquarium drücken, damit diese Seite bezüglich des Schwere-drucks im Gleichgewicht ist? Betrachten Sie die Kräfte und Drehmomente des Wassers auf die loseSeite. 20

21. Eine Wasser-Injektionspumpe von Sulzer fördert 660 m3/h auf eine Höhe von 840 m. Sie nimmt beieinem Wirkungsgrad von 78 % eine elektrische Leistung von 1875 kW auf.a) Berechnen Sie den Pumpendruck.b) Stimmt die Angabe des Wirkungsgrades? 21

22. Wie hoch kann ein Heber (Abb. 12.2) Wasser heben? 22

Abbildung 12.2: FlüssigkeitsheberDie Flüssigkeit strömt “von selbst” durch das gefüllte Heber-Rohr nach oben und dann nach unten. Der Ausguss muss sichunterhalb des Flüssigkeitsspiegels befinden.

23. Drucksensoren auf dem Meeresboden vor Neuseeland haben im Jahr 2014 eine dauerhafte Druck-abnahme von bis zu 6 hPa registriert, weil die australische Kontinentalplatte durch Subduktion derpazifischen Platte langsam angehoben wurde. Berechnen Sie die Anhebung der australischen Plattein Zentimetern. 23

24. Ende 2016 testeten Forscher des Fraunhoferinstituts für Windenergie und Energiesystemtechnik einenkleinen Hohlkugelspeicher. Fernziel ist es, Energie aus offshore-Windkraftwerken kurzfristig zu spei-chern. Dazu werden Beton-Hohlkugeln mit 30 m Durchmesser in 700 m Wassertiefe versenkt. Wasserwird mit überschüssiger Windenergie aus der Kugel gepumpt. Dieselbe Pumpe arbeitet als Turbine,

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12.3 Auftrieb 68

wenn das Wasser zurück in die Kugel strömt. Eine Kugel soll so 20 MWh speichern können. RechnenSie die 20 MWh nach. 24

25. Wie dick wäre die Erdatmosphäre im Mittel noch, wenn sie verflüssigt würde? Flüssige Luft hat beimSiedepunkt 78.9 K eine Dichte von 874 kg/m3. 25

26. An der Oberfläche des Planeten Venus herrscht eine mittlere Temperatur von 460 °C. Die CO2-Atmosphäre erzeugt einen Druck von 9.4 MPa.a) Berechnen Sie die Dichte der Atmosphäre an der Oberfläche.b) Berechnen sie mit der barometrischen Höhenformel den Druck 1.0 km über der Oberfläche.c) Wie gross ist die Skalenhöhe der Atmosphäre? 26

12.3 Auftrieb

1. Eine Magnumflasche enthält 150 cL Champagner. Ausgetrunken wiegt sie noch 1.74 kg. Wird dieFlasche schwimmen, wenn man die Flasche geleert und verschlossen ins Wasser wirft? 1

2. Eine verschlossene Flasche ‘Jägermeister’ wiegt leer 0.57 kg und ganz mit Wasser gefüllt 1.29 kg. Wieviel Wasser muss man einfüllen, damit die Flasche im Wasser schwebt? Sie müssen das Eigenvolumendes Glases berücksichtigen. 2

3. Sebastian schenkt seinem Bruder Leander eine “Silberkette”. Wird die Kette mit einem Faden an eineWaage gehängt, so zeigt diese in Luft 26.38 g an. Wird die Kette bei Zimmertemperatur in Wassergetaucht, so zeigt die Waage die scheinbare Masse 23.25 g an. Berechnen Sie aus diesen Angaben dieDichte des Kettenmaterials und beurteilen Sie, ob es Silberschmuck sein könnte. 3

4. Ein grosses Containerschiff wiegt 180’000 Tonnen. Es hat einen Dieselmotor von 80 MW Leistungund fährt mit 50 km/h Höchstgeschwindigkeit.a) Wie gross ist die Auftriebskraft des Wassers auf das Schiff?b) Wie gross ist der Fahrwiderstand in Newton maximal? 4

5. Ein Flösser steht auf einem Baumstamm aus Eichenholz (840 kg) im Wasser ohne nasse Füsse zubekommen. Welche Masse kann der Flösser maximal haben? 5

6. Eine dickwandige Hohlkugel aus Stahl soll als besonders robuste Boje dienen. Welches Verhältnisvon innerem zu äusserem Radius darf nicht unterschritten werden, damit die Boje noch schwimmt? 6

7. Das Team vom Mathematisch Naturwissenschaftlichen Gymnasium Rämibühl hat beim “Internatio-nal Young Physicists’ Tournament” 2012 eine Silbermedaille gewonnen. Eine der Medaillen wurdeausgemessen. Bestimmen Sie aus den drei Messungen auf drei Arten die Dichte des Materials undentscheiden Sie, ob es Silber sein könnte.a) Die Medaille wird an eine Federwaage gehängt, welche daraufhin (2.00 ± 0.02) N anzeigt. Wirddie Medaille an einem Faden ganz unter Wasser getaucht, misst die Waage noch (1.78 ± 0.02) N.b) Die Medaille wiegt (204.41 ± 0.02) g. Sie verdrängt (23.9 ± 0.1) g Wasser (23.3 °C).c) Sie hat die Form eines sechseckigen Prismas von 60.0 mm Durchmesser (Abstand gegenüber lie-gender Seiten) und 7.9 mm Höhe. Die Kanten sind gebrochen und es hat einen Schlitz für das Hals-band. 7

8. Ein 6.0 m3-Tank gerate während einer Überschwemmung komplett unter Wasser. Es dringe kein Was-ser in den Tank, der je zur Hälfte mit Heizöl und Luft gefüllt sei. Berechnen Sie die Gewichts- unddie Auftriebskraft auf den Tank. 8

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12.3 Auftrieb 69

9. Für ein Strömungsexperiment wurden Helium-gefüllte Seifenblasen hergestellt, die in der Luft wederstiegen noch sanken. Nehmen Sie an, die Seifenhaut habe eine Dicke von 1.0 µm gehabt. Wir grossmusste der Radius der Blasen sein? 9

10. Ein Luftballon von 5 Liter Volumen wird unter Wasser gedrückt. Berechnen Sie die Auftriebskraft.10

11. Für ein Projekt wurden Flaschen mit so viel Wasser gefüllt, dass sie im Wasser schwebten. Die Fla-schen wogen leer mit Verschluss 0.87 kg. Das äussere Volumen (Flaschenmaterial + Innenraum) mass1.1 Liter. Wie viel Wasser (in kg) wurde hineingegossen? 11

12. Eine Ente (3.5 kg) schläft schwimmend auf dem See. Wie gross ist die Auftriebskraft des Wassers?12

13. Was ist falsch am Lösungsweg zu folgender Aufgabe: Eine Ente (3.5 kg) schläft schwimmend aufdem See. Wie gross ist die Auftriebskraft des Wassers?FA = ρFgVK = ρFgmE/ρE = 1.0 · 103 kg/m3 · 9.81 m/s2 · 3.5 kg/1.0 · 103 kg/m3 = 34 N 13

14. Warum können grosse Schiffe schwimmen? Sie sind doch aus Stahl! 14

15. Ein Forschungsballon ist mit Helium gefüllt und hat ein Volumen von 532 000 m3. Druck und Tem-peratur im Ballon sind wie in der Atmosphäre auf 33 km Höhe (231 K, 7.67 mbar). Die Dichte einesGases ist proportional zum Druck und umgekehrt proportional zur Temperatur. Wie gross ist die Auf-triebskraft auf den Ballon? (g = 8.79 m/s2) 15

16. Zwei britische Physikstudenten sollen abgeschätzt haben, dass die biblische Arche Noah (300 Ellenlang, 50 Ellen breit und 30 Ellen hoch) 50 Millionen Kilogramm hätte tragen können. Wäre dieseAbschätzung vernünftig oder dilettantisch? 16

17. Ein Unterseeboot habe ein Volumen von exakt 16 m3. Es sei untergetaucht in Süsswasser bei 15 °Cexakt ausbalanciert.a) Wie viel verändert sich der Auftrieb, wenn es in Meerwasser mit einer Dichte von 1028 kg/m3

gerät?b) Wie viel verändert sich der Auftrieb, wenn die Wassertemperatur beim Abtauchen auf 4 °C sinkt?17

18. Ein Sektkorken wiegt 9.72 g. Wird er an einer Nadel unter Wassergetaucht, siehe Abbildung 12.3, so zeigt eine Waage 25.6 g mehr fürdas Wasserglas an. Das Wasser hatte Zimmertemperatur.a) Warum ist die Anzeige der Waage gestiegen?b) Berechnen Sie das Volumen und die Dichte des Korkzapfens. 18

Abbildung 12.3: Skizze zu Aufgabe 18.

19. Betrachten Sie dieselbe Boje in Abbildung 12.4 bei Ebbe und bei Flut. Dis-kutieren Sie in beiden Flällen die Kräfte auf die Boje. 19

Abbildung 12.4: Boje bei Ebbe und Flut (Aufgabe 19)

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Kapitel 13

Oberflächenspannung

1. Eine Seifenblase berührt eine nasse Oberfläche und bleibt dort als Halbkugel gleichen Volumenshängen.a) Wie viel Prozent der Oberflächenenergie wird frei?b) Warum gibt es gerade eine Halbkugel und nicht einen anderes Kugelsegment? 1

2. Zwei Wassertropfen von 0.34 mm Radius verschmelzen zu einem grösseren Tropfen.a) Wie viel Oberflächenenergie wird frei?b) Ist das viel? Stellen Sie einen Vergleich an. 2

3. Wie gross muss die Oberflächenspannung sein, damit man wie Jesus übers Wasser laufen kann? 3

4. Wenn ein Luftbefeuchter Wasser mechanisch zerstäubt, wird die Oberfläche des Wassers und damitdie Oberflächenenergie vergrössert.a) Wie viel Energie ist mindestens nötig, um ein Kilogramm (entsp. ein Liter) Wasser in Tröpfchenvon 10 µm Durchmesser zu zerstäuben?b) Bei welchem Tröpfchen-Durchmesser ist diese Zerstäubungsarbeit gleich gross wie die Verdamp-fungswärme? 4

5. Ist die Sonne aus dem gleichen Grund rund wie ein kleiner Wassertropfen in der internationalenRaumstation? 5

6. Eine Dampfblase befinde sich in Wasser von 20 °C. Bei welchem Radius ist der Überdruck, den dieOberflächenspannung erzeugt, gerade gleich gross wie der Sättigungsdampfdruck? 6

7. Wie viel Energie muss wegen der Oberflächenspannung investiert werden, damit aus dem Zürichseeein Tropfen von 1.8 mm Durchmesser herausgelöst werden kann? 7

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Kapitel 14

Hydrodynamik

14.1 Kontinuitätsgleichung

1. Im Kleinwasserkraftwerk Etzli transportiert ein Rohr von 140 mm Durchmesser 15 L/s Wasser zur75 m tiefer gelegenen Turbine. Der Generator erzeugt 7.5 kW elektrische Leistung.a) Wie schnell strömt das Wasser?b) Welchen Wirkungsgrad hat der Generator? 1

2. In der Stadt Zürich wird Trinkwasser durch einen Druckstollen von (über) 2.0 m Durchmesser vonden Werken zu den wichtigsten Reservoiren transportiert. Im Jahr 2011 wurden 55.1·106 m3 Wassergeliefert. Mit welcher mittleren Geschwindigkeit strömte das Wasser im Stollen? 2

3. “Der Pegelstand des Greifensees liegt seit Heiligabend nur wenige Zentimeter unter dem Wert fürHochwasseralarm. [..] Wie die Stadt Uster mitgeteilt hat, sind am Freitag rund 7000 Liter Wasser proSekunde mehr aus dem See als in den See geflossen. Um den Pegelstand um einen Zentimeter zusenken, müssten diese Abflussverhältnisse vier Stunden anhalten, ..” (NZZ, 29. Dez. 2012)Welche Fläche hat der Greifensee? 3

4. Ein BM-Strahlrohr mit einem Mundstück von 16 mm Durchmesser liefert bei einem Wasserdruckvon 5 bar einen Volumenstrom von 400 Liter Löschwasser pro Minute. Der dazu gehörende Feuer-wehrschlauch hat einen Durchmesser von 75 mm.a) Mit welcher Schnelligkeit schiesst das Wasser aus der Düse?b) Welchen Wasserdruck erhält man aus dem Gesetz von Torricelli?c) Wie schnell strömt das Wasser im Schlauch?d) Warum ist der Schlauch nicht auch 16 mm dick? 4

5. Ein Schlauch hat eine Querschnittsfläche von 2.0 cm2 und das Wasser spritzt mit 6.0 m/s heraus.Berechnen Sie den Volumenstrom in Liter pro Sekunde. 5

6. Ein Schlauch hat einen Durchmesser von 12 mm und liefert in 2.3 Sekunden einen Liter Wasser.Berechnen Sie die mittlere Strömungsgeschwindigkeit. 6

7. Ein Patient erhält eine Infusion mit einer wässrigen Lösung (drei Tropfen à 30 mm3 in 10 Sekunden).Der Schlauch habe einen Innendurchmesser von 2.0 mm. Berechnen Siea) den Volumenstrom in Milliliter pro Stunde und darausb) die Strömungsgeschwindigkeit im Schlauch. 7

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14.2 Luftwiderstand 72

14.2 Luftwiderstand

(Strömungswiderstand, viele Aufgaben zu Fw ∼ υ2, wenige zu Fw ∝ υ (Stokes))

1. Ein Softball hat einen Durchmesser von 11.5 cm und werde mit 19 m/s geworfen. Berechnen Sie denLuftwiderstand. (ρL = 1.2 kg/m3) 1

2. Aus der Zeitung: “Bahnen droht Beschränkung auf Tempo 200 (...) Denn der Stromverbrauch nimmtwegen des Luftwiderstands mit steigendem Tempo exponentiell zu.”Was ist falsch im Zitat und wie könnte man es besser sagen? 2

3. Eine Schneeflocke (flacher Schneekristall) von ca. 5 mm Durchmesser wiegt 0.004 g und fällt mitetwa 1 m/s. Berechnen Sie den cW-Wert. 3

4. Der Motorradfahrer beschleunigt auf der Autobahn, wo die Luftwiderstandskraft dominant ist, von120 km/h auf 128 km/h. Um welchen Faktor steigt der Benzinverbrauch bei der höheren Schnellig-keit, wenn alle anderen Grössen konstant bleiben? 4

5. Auf ein Rennvelo mit Fahrer wirkt der Rollwiderstand FR = µRFN mit µR ≈ 0.005 sowie der Luftwi-derstand mit cwA = 0.25 m2. Der Fahrer (m = 75 kg inkl. Velo) beginnt eine Strasse mit 3.7° Neigunghinab zu rollen.a) Bis zu welcher Grenzgeschwindigkeit wird er beschleunigen ohne zu treten?b) Was wäre die Grenzgeschwindigkeit ohne Rollreibung?c) Was wäre die Grenzgeschwindigkeit ohne Luftwiderstand?d) Ab welchem Neigungswinkel ist konstantes Rollen überhaupt möglich? 5

6. Die Luftdichte in 400 km Höhe beträgt ungefähr 7·10−12 kg/m3. Mit welcher Leistung wird ein Satellitgebremst? Nehmen Sie 1.0 m2 als Projektionsfläche und 1.0 als cW-Wert des Satelliten an. 6

7. Das Auto erhöht die Geschwindigkeit um 10 %. Wie verändert sich der Luftwiderstand? 7

8. Zwei Körper gleicher Form erfahren im Windkanal denselben Luftwiderstand, aber der zweite bei14 % höherer Windgeschwindigkeit. Wie verhalten sich die Querschnittsflächen? 8

9. Eine Musketenkugel hat 1.0 cm Durchmesser und fliegt mit 210 m/s. Berechnen Sie den Luftwider-stand. 9

10. Ein Autorennfahrer fährt dieselbe Strecke beim zweiten Mal mit 10 % höherer Geschwindigkeit. Inwelchem Verhältnis steht der Benzinverbrauch? Nehmen Sie an, der Verbrauch sei proportional zurLuftwiderstandskraft. 10

11. Eine Stahlkugel von 2.00 cm Durchmesser fällt frei 1.333 m hinunter. In welchem Verhältnis stehtdie Luftwiderstandskraft zur Gewichtskraft im tiefsten Punkt? 11

12. Das Elektro-Motorrad E1pc der Firma MotoCzysz hat folgende Kennzahlen:Geschwindigkeit 320 km/h, Leistung 150 kW, Akku-Kapazität 12.5 kWh.a) Schätzen Sie cwA im Luftwiderstandsgesetz ab; nehmen Sie 1.2 kg/m3 für die Dichte von Luft.b) Berechnen Sie die Reichweite in Kilometer bei maximaler Leistung. 12

13. Ein Tischtennis-Ball hat 2.35 g Masse und 37 mm Durchmesser.a) Bei welcher Schnelligkeit ist die Luftwiderstandskraft betragsmässig gleich gross wie die Ge-wichtskraft? Rechnen Sie mit einer Luftdichte von 1.14 kg/m3.b) Der Ball werde mit 180 km/h geschlagen. Berechnen Sie die Bremsleistung des Luftwiderstands.13

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14.3 Bernoulli 73

14. Erklären Sie in Worten, wie die Luftwiderstandskraft entsteht. 14

15. Eine Schwimmerin krault 5 % schneller durchs Wasser. Wie viel mal höher ist die Leistung, die sieerbringt? 15

16. Ein Velofahrer fährt mit 30 km/h geradeaus. Er hat einen cW A-Wert von 0.3 m2.a) Wie gross ist die Luftwiderstandskraft?b) Welche Leistung muss der Fahrer erbringen? 16

17. Ein Auto hat cw-Wert 0.29 und fährt mit 120 km/h. Es erfährt eine Luftwiderstandskraft von 410 N.Berechnen Sie seine Querschnittsfläche. 17

18. Ein Pollenkorn von 10 µm Radius bewegt sich mit 1 cm/s relativ zur Luft. Ist die Schwerkraft oderder Strömungswiderstand stärker? 18

19. Ein Luftballon der Masse m mit Querschnittsfläche A wird von einer Windböe erfasst. Wie langedauert es, bis der Ballon die Windgeschwindigkeit angenommen hat? Die Bewegung erfolge in derHorizontalen. Stellen Sie eine Differentialgleichung auf und lösen Sie diese rein formal. DiskutierenSie die Antwort der Aufgabe mit Hilfe der Lösung der Differentialgleichung. 19

20. Wieso ist Feinstaub lungengängig aber grobe Staubpartikel nicht? 20

21. Ein Tennisball wird für den Abschlag nach oben geworfen. Während des Aufstiegs wirken Gewichts-und Luftwiderstandskraft auf den Ball. Stellen Sie die Differentialgleichung für die Geschwindigkeitυ(t) während des Aufstiegs auf und versuchen sie, diese formal zu lösen. 21

14.3 Bernoulli

1. Die höchste Windgeschwindigkeit wurde 1996 beim Wirbelsturm ‘Olivia’ vor der australischen Küstegemessen und betrug 408 km/h. Schätzen Sie den Druckunterschied zwischen Hoch- und Tiefdruck-zone ab. 1

2. Wasser ströme mit 1.3 m/s durch einen Gartenschlauch. Eine Düse verengt den Querschnitt des Was-serstroms auf einen Viertel. Damit verändert sich auch der Druck.a) Berechnen Sie den Druckunterschied vor und nach der Düse.b) Wo ist der Druck gefallen, wo gestiegen? Wie ist das zu interpretieren? 2

3. In einer Champagnerflasche herrscht ein Überdruck von bis zu 5 bar. Der Korkzapfen kann mit bis zu50 km/h wegfliegen. (Kalender “Einstein für Quanten-Dilettanten 2016” 31. Dezember 2016)a) Berechnen Sie mit dem Satz von Bernoulli aus dem Überdruck die Korkenschnelligkeit.b) Verbessern Sie Ihre Rechnung mit der Information, dass 95 % der Energie in den Knall (Schall)und nur 5 % in den Korkenflug gehen. 3

4. Auf der Verpackung meines Haarföhns stand “75 km/h”. Schätzen Sie ab, welchen Überdruck dasGebläse erzeugt. 4

5. Ein Treppenhaus sei 30 m hoch und unten geöffnet. Drinnen habe die Luft eine Dichte von 1.200 kg/m3,draussen 1.293 kg/m2.a) Berechnen Sie den Druckunterschied zwischen innen und aussen im obersten Stock.b) Mit welcher Geschwindigkeit würde die Luft strömen, wenn man oben das Fenster einen Spaltöffnete? Strömt die Luft nach innen oder aussen?c) Draussen herrsche eine Temperatur von 0 °C. Berechnen Sie die Temperatur innen. 5

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14.4 Impulsstrom 74

6. Zeichnen Sie ein Venturi-Rohr und erklären Sie ohne Formeln, wozu und wie man es verwendet. 6

7. Sie wollen mit der grossen Wasserspritze doppelt so hoch kommen.Wie müssen Sie den Pumpendruck anpassen? 7

14.4 Impulsstrom

1. Die Rega fliegt u.a. mit AgustaWestland Da Vinci Helikoptern. Diese verfügen über zwei Pratt &Whitney Turbinen (2 mal 815 PS), haben einen Rotordurchmesser von 10.83 m und fliegen mit einerReisegeschwindigkeit von 260 km/h. Das maximale Abflugmasse beträgt 3175 kg.a) Schätzen Sie die Geschwindigkeit ab, mit welcher der Rotor Luft nach unten drücken muss, damitder voll beladene Helikopter schweben kann.b) Welche Leistung wird dann in den Luftstrom gesteckt? 1

2. Ein Sprinkler liefert 2.3 Liter Wasser pro Sekunde mit einer Geschwindigkeit von 8.2 m/s. Das Rohrlenkt den Strahl 90° ab und erzeugt so den Rückstoss, der den Sprinkler in Rotation versetzt. Berech-nen Sie die Kraft auf die Rohrkrümmung. 2

3. Ein Schlauch liefert 0.85 kg Wasser pro Sekunde bei einem Querschnitt von 3.0 cm2. Eine Düseverengt den Querschnitt auf einen Zehntel der Schauchquerschnittsfläche.a) Berechnen Sie die Strömungsschnelligkeit vor und nach der Düse.b) Berechnen Sie aus der Impulsänderung die Kraft.c) Berechnen Sie mit Hilfe des Gesetzes von Bernoulli den Druck im Schlauch. Nach der Düse bewegtsich der Strahl frei in Luft. 3

4. Wasser spritze mit 28 m/s aus der Düse eines Feuerwehrschlauchs. Der Volumenstrom betrage 300 Literpro Minute.a) Berechnen Sie den Überdruck im Schlauch.b) Angenommen, der Strahl treffe einen Feuerwehrmann. Das Wasser spritze nach dem Aufprallgleichmässig in alle Richtungen. Welche Kraft wirkt dann auf den Feuerwehrmann? 4

5. Ein Gartenschlauch von 1.8 cm2 Querschnittsfläche liefert 1.1 Liter Wasser pro Sekunde. Ein Ab-schnitt wird zu einem Halbkreis mit 29 cm Radius gelegt.a) Berechnen Sie die mittlere Schnelligkeit des Wassers im Schlauch.b) Berechnen Sie mittlere Kraft des Schlauchs aufs Wasser in der Schlauchkrümmung. 5

6. Mein Wasserhahn liefert 1.3 Deziliter Wasser pro Sekunde. An der Stelle, wo er vertikal auf denhorizontalen Boden des Spühlbeckens trifft, hat er einen Durchmesser von 1.0 cm. Das Wasser spritztgleichmässig auf alle Seiten. Berechnen Sie die Kraft des Wasserstrahls auf das Spühlbecken. 6

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Teil II

Wärmelehre

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Kapitel 15

Wärmelehre

15.1 Temperatur und Wärmeausdehnung

1. Zeichnen Sie ein Thermometer (Funktionsschema). Beschreiben Sie, wie es funktioniert und wie esgeeicht wird. 1

2. Ein Massstab von 1000.0 mm Länge aus Eisenblech ist bei 20.0 °C geeicht worden.a) Wie viel ist er bei 5.0 °C geschrumpft?b) Welche Länge hat er bei 0.0 °C? 2

3. Wie viel nimmt das Volumen eines Eiswürfels (35 cm3) aus dem Tiefkühler (-18 °C) zu, wenn er sichauf die Schmelzemperatur erwärmt? 3

4. Jemand soll anhand einer Skizze das Funktionsprinzip eines Flüssigkeits-thermometers erklären und produziert dazu Abbildung 15.1. Was ist pro-blematisch an dieser Skizze? 4

Abbildung 15.1: Fragwürdige Skizze eines Flüssigkeitsthermometers.

5. Beton hat denselben Ausdehnungskoeffizienten wie Eisen. Um wie viel dehnt sich eine 121 m langeBrücke zwischen Winter (-5.0 °C) und Sommer (+30 °C) aus? 5

6. Ein Massstab aus Stahl zeige bei 20.0 °C eine Länge von 883.27 mm an. Welche Länge zeigt er bei23.2 °C an? Die gemessene Strecke verändere sich nicht. 6

7. Ein Tank aus rostfreiem Stahl von 20 000 L Volumen wird bei 20 °C vollständig mit Heizöl gefüllt.An einem Sommertag heizt sich die Anlage auf 25 °C auf. Wie viel Heizöl läuft aus? Rostfreier Stahl(V2A) habe α = 16 · 10−6 K−1, Heizöl extraleicht γ = 7.0 · 10−4 /K. 7

15.2 Wärmekapazität

1. Meine Dusche liefert in acht Sekunden ein Kilogramm Wasser. Das Wasser wird von 4 °C auf 30 °Cerhitzt. Welche Leistung müsste ein Durchlauferhitzer haben, der das liefern kann? 1

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15.2 Wärmekapazität 77

2. Um ein Ei (55 g) hart zu kochen, muss es ausgehend von z.B. 5 °C auf durchschnittlich 68 °C erhitztwerden. Die mittlere spez. Wärmekapazität eines Eis beträgt etwa 3.0 kJ/kgK.a) Wie viel Wärmeenergie ist mindestens nötig?b) Wie viel Energie wird eingesetzt, wenn dazu ein halber Liter Wasser zum Sieden gebracht wird? 2

3. Ein Ristretto (25 g) laufe mit 82 °C aus der Kaffeemaschine in eine leicht angewärmte Porzellantasse(40 °C, 80 g mit cT = 0.80 kJ · kg−1 · K−1). Welche Mischtemperatur (Kaffee+Tasse) stellt sich ein,wenn alle anderen Verluste ignoriert werden? 3

4. Ein unbekanntes Stück Metall von 469 g Masse und 98 °C Anfangstemperatur wird in 383 g Wasservon 21 °C gestellt, worauf sich eine Mischtemperatur von 32 °C einstellt. Berechnen Sie aus diesenAngaben die spezifische Wärmekapazität des Metalles. 4

5. Sie giessen kaltes Wasser (0.853 kg, 4.82 °C) in eine Zinnkanne (0.750 kg, 23.0 °C). Berechnen Siedie Mischtemperatur. 5

6. Wie viel Wärme muss einem Tropfen Wasser (10 mg) entzogen werden, um ihn 10 °C abzukühlen? 6

7. Eine heisse Eisenkugel von 890 g Masse wird in kaltes Wasser geworfen. Die Kugel kühlt 83 °C ab,das Wasser erwärmt sich um 9.4 °C. Wie viel Wasser war vorhanden? 7

8. Ein Motor erzeugt eine Abwärme von 87 kW. Das Kühlwasser soll sich nicht mehr als um 48 °Cerhitzen. Wie viel Wasser wird mindestens benötigt? 8

9. Ein Stoff von 1.5 kg Masse wird bei Zufuhr von 4.5 kJ Energie um 3.0 °C erhitzt. Berechnen Sie diespezifische Wärmekapazität des Stoffes. 9

10. Ein Aluminiumkörper der Masse 150 g mit Anfangstemperatur 5.0 °C wird in Wasser von 28.0 °Cgeschüttet, worauf sich eine Mischtemperatur von 24.0 °C einstellt. Ignorieren Sie alle Verluste. Be-rechnen Sie die Masse des Wassers. 10

11. Was kann mehr Wärme speichern:a) eine Tonne Eisen oder eine Tonne Wasser?b) ein Liter Eisen oder ein Liter Wasser? 11

12. Ein Sportler (60 kg) produziert 1.0 kW Abwärme. Wie stark würde seine Körpertemperatur in 1.0 minsteigen, wenn er die Wärme nicht loswerden könnte? 12

13. Wie viel Energie ist nötig, um einen Menschen (70 kg) um 2.0 °C zu erhitzen? 13

14. Kaltes Wasser (400 g, 12 °C) wird in eine Eisenpfanne (3.1 kg mit Deckel, 22 °C) gefüllt. Dazu wirdMilchschokolade (500 g, 18 °C, 1.46 kJ/(kgK)) gegeben. Welche Mischtemperatur stellt sich ein? 14

15. Schätzen Sie ab, wie viel Wärme an einem Tag im Schulhaus das WC hinab gespült wird. 15

16. Andrea macht Pipi (0.08 kg, 36 °C) ins Plantschbecken (23 °C, 3.6 t). Wie viel steigt die Temperaturim Becken? 16

17. Wie viel Energie ist nötig, um das Wasser für einen Teller Suppe zu erhitzen? 17

18. Die Firma Airlight Energy betreibt in Marokko eine Pilotanlage, die Solarenergie für die Nacht in ei-nem unterirdischen Kiescontainer speichert. (http://www.airlightenergy.com/ait-baha-csp-pilot-plant,24. Feb. 2016) Der Kies wird z.B. von 270 °C auf 570 °C geheizt und beim Abkühlen soll er wäh-rend fünf Stunden Energie für ein 2.0 MW Kraftwerk bereitstellen. Wie viel Kies, z.B. aus Granit mit0.85 kJ/(kg K) und 2.6·103 kg/m3, ist dazu mindestens nötig? 18

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15.3 Schmelzen und Verdampfen 78

19. 10 kg Wasser nimmt 16 kJ Wärme auf. Berechnen Sie die Temperaturerhöhung. 19

20. Ein Klotz Aluminium von 0.253 kg und 68.2 °C wird in einen isolierten Becher mit 0.171 kg Wassergestellt. Becher und Wasser haben zu Beginn 22.0 °C, nachher stellt sich eine Mischtemperatur von27.8 °C ein. Berechnen Sie die Wärmekapazität des Bechers (nicht die spezifische Wärmekapazität).20

21. 400 g Wasser von 18 °C wird mit 850 g Wasser verrührt, wobei sich eine Mischtemperatur von 32 °Ceinstellt. Berechnen Sie die Anfangstemperatur der zweiten Wassermenge. 21

22. Wer gibt im Lauf der Nacht mehr Wärme ab: die Bettflasche oder die Bettgenossin? 22

23. Lösen Sie folgende Aufgabe rein formal: Der Schwimmklub erzeugt 12 mal 1.4 kW Abwärme. Mitwelcher Rate steigt die Temperatur im Becken? 23

15.3 Schmelzen und Verdampfen

1. Ein Motor führt einer Laserschweissanlage Lötdraht von 0.75 mm2 Querschnitt mit 150 mm/s zu.Berechnen Sie die minimale Laserleistung, die zum Aufschmelzen des Lots (reines Zinn) nötig ist. 1

2. Um das 7 Tesla MRI Gerät des Instituts für biomedizinische Technik Uni/ETH vorzukühlen, waren25’000 L flüssiger Stickstoff nötig. Im Betrieb muss etwa 100 L flüssiges Helium pro Monat für dieKühlung der supraleitenden Magnetspulen nachgefüllt werden. Daten am Siedepunkt (1013 mbar):flüssiger Stickstoff: LVN = 198.7 kJ/kg, ρN = 809 g/L, TS = 77.4 Kflüssiges Helium: LVHe = 20.3 kJ/kg, ρHe = 125 g/L, TS = 4.2 Ka) Wie viel Energie wurde dem Gerät durch Verdampfung des Stickstoffs entzogen?b) Welche Kühlleistung wird durch das verdampfende Helium generiert? 2

3. Brasilien produzierte im Jahr 2011 1.44 Mio. t Orangensaftkonzentrat. Der Saft wird unter vermin-dertem Druck bei z.B. 45 °C eingedampft und so auf z.B. 15 % der Ausgangsmasse konzentriert.a) Wie viel Energie benötigen die Verdampfer 2011 mindestens?b) Ein Verdampfer produziere 30 t Konzentrat pro Stunde. Wie viel Öl benötigt er pro Tag? 3

4. 180 g Milch (5 °C) wird durch Einleitung von Wasserdampf (100 °C) auf 40 °C erhitzt. Stellen Sie dieformale Wärmebilanzgleichung (‘Mischungsrechnung’) auf, mit der man die Masse des kondensier-ten Dampfes berechnen kann. Nennen Sie die getroffenen Näherungen. Lösen Sie die Bilanzgleichungnach der Masse des kondensierten Dampfes auf. 4

5. Familie Neureich reklamiert, dass der Pool (200 t Wasser) zu warm sei (32 °C). Der Butler wirft denInhalt der Eismaschine der Hausbar (6.0 kg Eis am Schmelzpunkt) in den Pool und rührt gut um. Umwelchen Wert sinkt die Temperatur des Wassers? 5

6. Ein Becher warmes Wasser (48 °C, 180 g) wird über 2.9 kg Eis von -46 °C geschüttet. Was ist derEndzustand, wenn das System perfekt isoliert ist? 6

7. Der Barista möchte 200 g Milch, die versehentlich zur Hälfte gefroren ist, mit Dampf wieder ganzverflüssigen. Wie viel Dampf von 100 °C muss er einleiten? 7

8. In einer Brauerei wird Dampf von 138 °C in Druckrohren durch einen Sudkessel mit 22 t Maische (≈Wasser) geleitet. Wie viel Dampf muss in den Rohren kondensieren, um die Maische von 62 °C auf75 °C zu erhitzen? 8

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15.3 Schmelzen und Verdampfen 79

9. Ein durchschnittlicher Hurrikan produziert pro Tag etwa 1.5 cm Regen innerhalb eines Radius von665 km. Berechnen Sie die mittlere Leistung, die durch die Kondensation des Wasserdampfs freige-setzt wird und den Hurrikan antreibt. 9

10. In den Rohren eines Destillationsapparats, die durch 110 kg Wasser von 17 °C führen, kondensieren12.3 kg Ethanoldampf. Welche Mischtemperatur stellt sich ein? 10

11. Wie viel Energie ist nötig, um 55 g Eis von −18 °C auf +37 °C zu erhitzen? Beachten Sie, was mitdem Eis passiert! 11

12. In Abbildung 15.2 sehen Sie, wie die Temperatur von 35 g einer Substanz steigt, wenn ihr Wärme zu-führt wird und sie dabei schmilzt. Bestimmen Sie die spezifische Wärmekapazität der festen Substanzund die spezifische Schmelzwärme mit den Angaben in der Abbildung. 12

0 5 10 15 200

20

40

60

80

zugeführte Wärme (kJ)

Tem

pera

tur

( °

C )

schmelzen

Abbildung 15.2: Temperatur einer fiktiven Substanz als Funktion der zugeführten Wärme.

13. Sie giessen 12.8 g flüssiges Paraffin am Schmelzpunkt (60 °C) in 100 g Wasser mit 17 °C. Die spez.Schmelzwärme von Paraffin ist circa 220 kJ/kg, die spezifische Wärmekapazität des festen Paraffinsetwa 2.89 kJ/(kgK). Berechnen Sie die Mischtemperatur. 13

14. Wie viele Kilowattstunden sind nötig, um 10 Tonnen Schnee zu schmelzen? 14

15. Wie viel Wasser kann mit einer Kilowattstunde am Siedepunkt verdampft werden? 15

16. Eis aus dem Tiefkühler (-18 °C) wird zu 280 g Wasser von 23 °C gegeben, worauf sich ein Mischtem-peratur von 4.7 °C einstellt. Wie viel Eis wurde hineingegeben? 16

17. Geben Sie ein Beispiel für eine latente Wärme und ein Beispiel für eine Wärme, die nicht latent ist(Begriffe und Formeln). 17

18. Wie viel Dampf von 100 °C muss in 2.5 kg Wasser von 25 °C kondensieren, damit das Wasser auch100 °C heiss wird? 18

19. Wie viel vom Tee muss verdunsten, damit der Tee (190 g bei 93 °C) auf 48 °C abkühlt? 19

20. Sie nehmen einen Eiswürfel (-18 °C) aus dem Tiefkühler und werfen ihn in ein Glas mit etwas Was-ser (12 °C) in der Küche (20 °C). Zeichnen Sie die Temperatur im Glas als Funktion der Zeit (mitKommentar). 20

21. 0.83 kg Wasser von 75 °C werden zu 22 kg Eis von 0 °C geschüttet. Stellen Sie die formale Wärme-bilanzgleichung auf, mit der man berechnen könnte, wie viel Schmelzwasser entsteht. 21

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15.3 Schmelzen und Verdampfen 80

22. Ein Läufer schwitze 500 g pro Stunde. Berechnen Sie die dadurch verursachte Wärmeabgabe. 22

23. Bei der Verbrennung von einem Liter Benzin werden 31 Megajoule Wärme frei. Damit kann mana) 55 kg Keramik in einem Nachtspeicherofen von Raumtemperatur auf 650 °C erhitzen, b) 78 kgAluminium bei 660 °C schmelzen und c) 54 kg wasserhaltiges Zeolith bei 150 °C in 45 kg trockenesZeolith und 9 kg Wasserdampf umwandeln. (Physik Journal 14 (2015) Nr. 2, Seite 34).

Berechnen Siea) die spezifische Wärmekapazität der Keramik im Speicherofen,b) die spezifische Schmelzwärme des Aluminiums undc) die spezifische Verdampfungswärme von Wasser bei 150 °C. 23

24. Wie viel Eis am Gefrierpunkt ist nötig, um 200 g Wasser von 27 Grad Celsius auf den Erstarrungs-punkt abzukühlen? 24

25. Ist es möglich, Eis zu erzeugen, indem Luft (ϑL > 0 °C) über eine Schale mit anfangs ungekühltemWasser geblasen wird? 25

26. Wie viel Wasser von 15 °C ist nötig, um 600 kg Paraffin am Erstarrungspunkt (60 °C) zum Erstarrenzu bringen? Die Schmelzwärme von Paraffin ist etwa 220 kJ/kg. 26

27. Wie viel Dampf von 100 °C ist mindestens nötig, um 100 g Eis bei 0 °C zu schmelzen? 27

28. Ein Stück Eis von -20 °C wird in etwas flüssiges Wasser von 30 °C geworfen. Der Endzustand istflüssiges Wasser am Schmelzpunkt. In welchem Verhältnis steht die Eis- zur Wassermasse? 28

29. Was braucht mehr Energie: Ein Stück Eisen auf den Schmelzpunkt zu erhitzen oder dieses Stück amSchmelzpunkt zu schmelzen? 29

30. Ein Bub pinkelt (280 g) in den Schnee (0 Grad Celsius). Wie viel Schnee schmilzt? 30

31. Wie tief wird das Loch maximal, wenn man immer auf dieselbe Stelle in den Schnee pinkelt? 31

32. In Kenya werden Holzkohle-Kühlräume für die Landwirtschaft eingesetzt: Ein kleines Häuschen hat10 cm breite Wände aus Holzkohlebrocken, die von Maschendraht zusammen gehalten werden. EinTropfsystem hält die Kohle feucht. Auf diese Weise kann der Innenraum ohne Energiezufuhr um mehrals 10 °C abgekühlt werden.Wie entsteht der Kühleffekt und welchen Zweck hat die Holzkohle? 32

33. Wenn es im Herbst schneit, fallen oftmals Schneeflocken in wärmere Luftschichten und schmelzendort. Wie viel kühlt die Luft dadurch ab? 33

34. Wie viel Dampf von 100 °C ist nötig, um 1.00 kg Eis, das anfänglich Schmelztemperatur aufwies, auf50.0 °C Mischtemperatur zu erhitzen? 34

35. 1.5 kg gefrorener Alkohol (Ethanol) am Erstarrungspunkt (von Alkohol!) werden in 1.2 kg flüssigenAlkohol von 22 °C geworfen. Berechnen Sie die Mischtemperatur. 35

36. Am 1. Mai 2016 war die Prognose, dass von 6 bis 12 Uhr in Zürich 4.1 mm Regen bei einer Tempe-ratur von 7 °C fallen.a) Rechnen Sie die Regenmenge in Liter pro Quadratmeter um.b) Wie viel Kondensationswärme wird freigesetzt? In welchen Einheiten muss man das wohl ange-ben?c) Vergleiche mit der Solarkonstanten. 36

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15.4 Dampfdruck und Feuchte 81

37. Ein supraleitender Magnet für die NMR-Spektroskopie wird mit 300 Litern flüssigem Helium ge-kühlt. Versagt die Supraleitung, wo wird schlagartig Grössenordnung 5.0 MJ magnetische Energiefrei. Die Dichte flüssigen Heliums beträgt 125 kg/m3, die Verdampfungswärme am Siedepunkt beiNormaldruck 20.413 kJ/kg. Reicht die Energie, das flüssige Helium vollständig zu verdampfen? 37

38. Wie viel müssen Sie schwitzen, damit Ihr Körper 2.3 °C abkühlt? Stellen Sie nur die formale Wärme-bilanzgleichung auf. 38

15.4 Dampfdruck und Feuchte

1. Ein Zimmer hat 53 m3 Volumen und 47 % relative Luftfeuchtigkeit bei 20 °C. Wie viel (Gramm,Kilogramm, . . . ) Wasserdampf enthält das Zimmer? 1

2. In der historischen Brauerei Uster steht eine Dampfmaschine des Jahrgangs 1897 mit folgenden Da-ten: 107 PS = 79 kW, 90 U/min, 12 bar Dampf, doppelwirkender Zylinder mit 300 mm Durchmesserund 700 mm Hub.a) Wie hoch ist die Temperatur im Dampfkessel mindestens?b) Welche Leistung erbringt der Dampf im Zylinder? 2

3. Mit jedem Atemzug verdunstet Wasser aus der Lunge.a) Schätzen Sie ab, wie viel Wasser Sie pro Tag dadurch verlieren.b) Schätzen Sie ab, wie viel Energie Sie dadurch pro Tag verlieren.Nehmen Sie 0.5 L Luft pro Atemzug und 20 Züge pro Minute an. 3

4. Die ersten Dampfkochtöpfe, erfunden von Denis Papin um 1681, arbeiteten mit Überdrücken von biszu 12 bar und sind deswegen auch gelegentlich explodiert. Bestimmen Sie die Wassertemperatur imTopf. 4

5. Die relative Luftfeuchtigkeit betrage 37 % bei 24 °C Lufttemperatur. Bestimmen Sie den Taupunkta) zwischen . . . und . . . durch Betrachtung der Tabellenwerteb) mit linearer Interpolation aus den Tabellenwerten. 5

6. Wie viel Wasserdampf (Masse) enthält ein Schulzimmer von 180 m3 Volumen bei einer Temperaturvon 26 °C und einer relativen Feuchte von 73 %? 6

7. Im Reaktor des Kernkraftwerks Gösgen wird Wasser unter Druck auf 325 °C erhitzt, ohne dass essiedet. Wie hoch muss der Druck mindestens sein? Passt das zum Betriebsdruck von 154 bar, der aufder Homepage des KKG genannt wird? 7

8. Zeichnen Sie mit allen Informationen, die Sie in der FoTa finden, ein p(T )− Phasendiagramm vonPropan. 8

9. Schätzen Sie den Dampfdruck von Wasser bei 101 °C mit linearer Interpolation ab. 9

10. Ein Zimmer sei 2.5 m hoch und es herrsche 100 % Luftfeuchtigkeit bei 28 °C. Angenommen, dieganze Feuchtigkeit würde kondensieren, wie viele Millimeter Regen würden dann fallen? 10

11. Ein Raum habe 37 m3 Volumen und sei vollkommen trocken. Welche Temperatur muss der Raummindestens haben, damit darin 2.8 kg Wasser ganz verdunsten können. (mit Interpolation) 11

12. Ein Hallenbad habe eine mittlere Wassertemperatur von 28 °C und ein Luftvolumen von 6000 m3.Wie viel Wasser enthält die Luft? Welche relative Feuchte nehmen Sie sinnvollerweise an? 12

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15.4 Dampfdruck und Feuchte 82

13. Der Luftdruck in der Region Ladakh beträgt noch 513 mbar. Bestimmen Sie die Siedetemperatur desWassers mit Hilfe der Dampfdrucktabelle.a) zwischen . . . und . . .b) mit linearer Interpolation. 13

14. Ein Gefäss enthält eine Pfütze Wasser und darüber viel Dampf. Was passiert mit dem Dampfdruck,wenn ein Kolben das Volumen bei konstanter Temperatur halbiert?Und was, wenn die Temperatur bei gleichem Volumen erhöht wird? (Lösung in Worten) 14

15. Wie hoch ist der Luftdruck, wenn das Wasser bei 98.8 °C siedet?a) zwischen . . . und . . .b) etwas genauer mit linearer Interpolation 15

16. Am 8. July 2003 wurde in Dhahran (Saudiarabien) am persischen Golf der rekordhohe Taupunkt von35 °C gemessen. Die Lufttemperatur betrug 43 °C. Berechnen Sie die relative Luftfeuchtigkeit. 16

17. Bei welchem Luftdruck beginnt unser Blut zu sieden? Behandeln Sie Blut wie Wasser bei 35 °C, d.h.ignorieren Sie die im Blut gelösten Stoffe. Für wen ist diese Rechnung relevant? 17

18. Am 16. August 2013 um 16 Uhr betrug der Luftdruck auf dem Hörnli (1132 m. ü. M.) 892.3 hPa, dierelative Feuchte 52 % und die Lufttemperatur 21.5 °C.Bestimmen Sie a) die Siedetemperatur des Wassers und b) die Taupunkt-Temperatur. 18

19. Ein kaltes Bier erwärmt sich vor allem, weil die Dose beschlägt.a) Um wie viel erwärmt sich ein Bier (≈ 500 g Wasser bei 0 °C), wenn 1.3 g Wasserdampf auf derDose kondensieren?b) Dieser Prozess hört auf, wenn das Bier die Taupunkt-Temperatur erreicht hat. Wo liegt der Tau-punkt bei 28 °C Lufttemperatur und 63.5 % relativer Feuchte? 19

20. Der Luftdruck an der Wetterstation Mythenquai schwankt etwa zwischen 940 und 990 hPa. Wie vielschwankt die Siedetemperatur des Wassers? 20

21. Eine verschlossene Glasflasche (7.5 dL) enthält noch 0.23 g Wasser. Wie heiss (zwischen .. und .. )muss es mindestens werden, wenn alles Wasser in der Flasche dampfförmig sein soll? 21

22. Wie heiss muss eine vulkanische Wärmequelle mindestens sein, wenn 20 m unter dem MeeresspiegelDampfblasen entstehen können? 22

23. Wie viel Energie ist mindestens nötig, um die Luft eines Raums komplett zu entfeuchten? 23

24. Bringt man an einem kalten Wintertag ein Hygrometer aus der Stube auf den Balkon, so steigt dieAnzeige von z.B. 30 % auf 50 % relative Feuchte. Bringt man es wieder zurück, so steigt es erst aufetwa 55 %, bevor es wieder auf 30 % sinkt. Erklären Sie diesen Effekt. 24

25. Die Messung an einem Wäschekorb hat ergeben: leere Wäschezaine: 1.5 kg, Zaine mit trockenerSchmutzwäsche: 7.2 kg, Zaine mit nasser Wäsche: 11.5 kga) Wie viel Energie muss zugeführt werden, um diese Wäsche bei Zimmertemperatur zu trocknen?b) Um welchen Wert steigt die relative Luftfeuchtigkeit in einem Zimmer mit 50 m3 bei 20 °C? 25

26. “Ein Forscherteam untersuchte den isländischen Geysir “Strokkur”, der alle zwei bis sieben Minutenausbricht und sein Wasser über 20 m hoch spuckt. Ein hinabgelassener Temperatursensor zeigte 94Grad Celsius an. In 12 Meter Tiefe kletterten die Werte sogar sprunghaft auf 125 Grad und verharrendort bis zum Ende des Schlots in rund 20 Meter Tiefe. (Der Schlot verengt sich in 12 m Tiefe undbehindert so die Vermischung mit höher oben liegendem Wasser.) ”Bild der Wissenschaft, April 2017, 48-52

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15.4 Dampfdruck und Feuchte 83

In welcher Wassertiefe erwartet man eine Siedetemperatur von 125 °C? Rechnen Sie mit einer mitt-leren Wasserdichte von 960 kg/m3. 26

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Kapitel 16

Wärmetransport

16.1 Wärmemitführung

1. Der Golfstrom transportiert auf dem 38sten Breitengrad 90 Millionen Kubikmeter Wasser pro Se-kunde nordwärts. Er ist dort etwa 100 km breit und 800 m tief. Der Wärmestrom erreicht im Atlantiksein Maximum von etwa 1.3 PW und führt zu einer Klimaerwärmung im Nordatlantik um lokal biszu 10 °C.a) Berechnen Sie die mittlere Strömungsgeschwindigkeit.b) Wie gross müsste beim genannten Volumen- und Wärmestrom der Temperaturunterschied zur Um-gebung sein? 1

2. In kalter Luft haben viele Mühe mit Atmen. Welche Heizleistung müssen Ihre Atmungsorgane er-bringen, wenn Luft von -20 °C eingeatmet wird? Nehmen Sie an, dass pro Minute 30 Atemzüge à 3 Lgemacht werden. 2

3. Die heisseste Thermalquelle der Schweiz – im waadtländischen Lavey-les Bains – liefert jede Minute1200 L Wasser zu 68 °C. Berechnen Sie den Wärmestrom zur 20-grädigen Umgebung. 3

4. Nach intensivem Sport bin ich (72 kg) jeweils sehr erhitzt (39 °C). Wie lange muss ich unter der kaltenDusche (18 °C, 0.10 kg/s) stehen, bis ich auf 36 °C abgekühlt bin? Treffen Sie geeignete Näherungen.4

5. Der Hochleistungsrechner Aquasar wird mit Wasser gekühlt (ETHZ Mai 2010). Das Wasser strömttypisch mit 30 L/min und 60 °C zu den Computerchips und mit z.B. 83 °C wieder heraus. BerechnenSie die Kühlleistung in Watt. 5

6. Eine Heissluftpistole der Firma Einhell nimmt 2000 W elektrische Leistung auf und liefert Luft mitmaximal 550 °C. Berechnen Sie den maximalen Volumenstrom. 6

7. In der Frühzeit der Computertechnologie wurden die Rechner gelegentlich mit Eis gekühlt. Wie vielEis ist nötig, um mit der Schmelzwärme 24 kW Abwärme wegzuführen? Überlegen Sie sich, in wel-chen Einheiten man “wie viel Eis” sinnvollerweise angeben kann. 7

8. Wasser strömt mit 4.4 cm/s und 58 °C in einen Heizkörper, den es mit 31 °C wieder verlässt. DieHeizleistung des Heizkörpers beträgt 980 W. Berechnen Sie die Querschnittsfläche der Rohrleitung.8

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16.2 Wärmeleitung 85

16.2 Wärmeleitung

1. Wie viel steigt der Ölverbrauch der Heizung, wenn Sie im Winter die Temperatur 2 °C höher stellen?1

2. Warum transportiert die Luft zwischen den Haaren die Wärme schlechter als die Luft über einerGlatze? Nennen Sie die relevanten Prozesse. 2

3. Heisses Apfelmus kühlt langsamer ab als heisser Tee. Warum? 3

4. “Die meisten See- und Flussschwimmen finden im Juli und August statt. Doch auch wenn die Luftmeist schwülwarm und die Wassertemperatur zwischen 19 und 25 Grad ist, kühlt der Körper schnellaus. Schuld daran ist die hohe Wärmeleitfähigkeit von Wasser. Gute Vorbereitung ist zwingend”(NZZaS, 26. 6. 2016)Wird der Begriff “Wärmeleitfähigkeit” im Zitat korrekt verwendet? 4

5. Ein modernes Fenster weist einen U-Wert von 0.6 W/(m2K) auf. Die Fensterfläche eines Hausesbetrage 29 m2. Im Haus werde auf 21 °C geheizt, draussen sei es 8.3 °C kalt. Berechnen Sie die Wär-meleistung, die das Haus durch die geschlossenen Fenster verlässt. 5

16.3 Wärmestrahlung

1. Aus welcher Entfernung wirkt eine Taschenlampe gleich hell wie ein Stern? Die Lampe sende 1 Wsichtbares Licht aus. Für den Stern nehmen Sie die Sonne in 10 Lichtjahren Entfernung. Welcheweiteren Annahmen müssen Sie treffen, um zu einer Abschätzung zu kommen? 1

2. Jemand möchte die Terrasse durch Bespritzen mit Wasser kühl halten. Wie viel Wasser (pro Flä-che und Zeit) muss ausgebracht werden, wenn alleine durch Verdunstung die Temperatur im prallenSonnenlicht nicht steigen soll? Welche Annahmen haben Sie für die Abschätzung getroffen? 2

3. Weltweit regnet es täglich 1400 km3 Wasser.a) Berechnen Sie die Kondensationswärme, die in einem Tag freigesetzt wird.b) Wie viel Prozent der eingestrahlten Sonnenenergie ist das? 3

4. Ein ‘grauer Strahler’ absorbiert und emittiert weniger als ein schwarzer Körper. Der Absortions-respektive Emissionskoeffizient ε eines grauen Strahlers ist für alle Wellenlänge gleich. Welche Tem-peratur kann eine graue Oberfläche mit ε = 0.5 im Sonnenlicht maximal erreichen? Die Fläche seinach hinten isoliert und habe 1 AE Abstand von der Sonne. 4

5. Die Solarpanel eines defekten Erdbeobachtungssatelliten seien schwarz. Strahlungsverluste auf derSchattenseite seien vernachlässigbar. Auf der Sonnenseite werden die Panels aufgeheizt. ZeichnenSie die Temperatur als Funktion des Einfallswinkels. 5

6. Wie lange muss die Sonne mindestens scheinen, um eine Schneedecke von 30 cm Höhe (Dichte400 kg/m3, am Schmelzpunkt) zu schmelzen? Nennen Sie Ihre Annahmen. 6

7. Eine graue Betonwand nehme 50 % des Sonnenlichtes auf, strahle aber Wärme wie ein schwarzerKörper ab. Die Wand sei gegen Luftzug und auf der Hinterseite isoliert. Wie heiss (in °C) kann sieim Sonnenlicht maximal werden? 7

8. Ein neuer Sonnenkollektor besteht aus geschwärztem Kupferblech in einem evakuierten Glaskasten.Das Blech absorbiert 90 % des Sonnenlichtes und emittiert nur 7 % im Infraroten. Welche Temperaturkann das Blech im Sonnenlicht maximal erreichen? Ignorieren Sie Verluste der Rückseite. 8

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16.3 Wärmestrahlung 86

9. Eine Oberfläche strahlt bei 4.38 µm Wellenlänge am meisten Wärme ab. Berechnen Sie den Wärme-strom durch Strahlung in Watt pro Quadratmeter. Welche Annahme müssen Sie treffen? 9

10. Die Wendel einer Glühlampe habe eine Temperatur von 3000 K und strahle 40 W Wärme ab.a) Berechnen Sie die effektive Oberfläche der Glühwendel.b) Bei welcher Wellenlänge liegt das Maximum der Wärmestrahlung? 10

11. Eine Kerzenflamme weist Temperaturen bis 1400 °C auf. Betrachten Sie die Flamme als Kugel mit1.0 cm Durchmesser und der genannten Temperatur.a) Wie viel Wärme (in Watt) strahlt sie maximal ab?b) Bei welcher Wellenlänge strahlt sie am meisten ab? 11

12. “Obwohl der Mond eine Million Mal schwächer leuchtet als die Sonne, reicht er ihm [dem MistkäferScarabeus zambesianus] zur Orientierung.” (NZZ Folio, 7/2016, S. 47)Stimmt das mit dem Verhältnis der Beleuchtungsstärke grössenordnungsmässig? 12

13. Aus Kosmos Himmelsjahr 2017, Seite 266: “Da Ceres nur 13 % derjenigen Sonnenwärme erhält, dieauf der Erde eintrifft, erreicht die Tageshöchsttemperatur des Zwergplaneten nur 168 K, das entspricht-105 °C.”a) Stimmt das mit den “13 % Sonnenwärme” ?b) Sind mit den 13 % wirklich 168 K zu erwarten? 13

14. Der Abstand Erde-Sonne variiert im Laufe eines Jahres. Wie viel schwankt deshalb die Sonnenein-strahlung? Berechnen Sie das Verhältnis Maximum zu Minimum. 14

15. Wie viel Sonnenenergie fällt ungefähr während eines sonnigen Tages auf einen Quadratmeter? 15

16. In der FoTa finden Sie die Bestrahlungsstärke der Sonne auf der Erde (Solarkonstante). BerechnenSie daraus die entsprechende Solarkonstante auf dem Mars. 16

17. Ein Solarpanel hat 20 % Wirkungsgrad und 10 m2 Fläche. Wie viel Leistung gibt es maximal ab? 17

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Kapitel 17

Gasgesetze

17.1 Stoffmenge und Teilchenzahl

1. Das Hormon Melatonin wirkt schlaffördernd. Die höchste Konzentration im Blutplasma wird morgensum sechs erreicht und beträgt ca. 60 pg/mL. Melatonin hat molare Masse 232.28 g/mol.a) Drücken Sie die Konzentrationsangabe in SI-Grundeinheiten aus.b) Wie gross ist die molare Konzentration in Mol pro Liter? 1

2. Die Sonne besteht zu 25 % aus Helium und etwa 75 % aus Wasserstoff (gerundete Massenanteile inder Photosphäre). Berechnen Sie die entsprechenden Stoffmengen-Anteile. 2

3. Was ist der Unterschied zwischen 2H und H2 ? 3

4. In welchen ‘Masse’-Tabellen muss man nachschlagen, wenn die Angabe Zinn (Sn) lautet respektiveSn-112? Warum gibt es überhaupt verschiedene Tabellen dafür? Welche Grössen haben wir für denjeweiligen Zweck eingesetzt? 4

5. Welche Masse hat 2.888 888 mol Blei? 5

6. Kochsalz (Natriumchlorid, NaCl) hat eine Dichte von 2.17 g/cm3. Ein grosses Salzkorn habe einVolumen von 1.0 mm3. Wie viele Natriumatome enthält es? 6

7. Wie ist ‘1 mol’ definiert? Wie heisst die Grösse mit dieser Einheit? 7

8. Sie haben exakt einen Liter Benzol bei 20 °C. Berechnen Siea) die Stoffmenge undb) die Anzahl Moleküle. 8

9. Graphen besteht aus einer einzigen Lage Kohlenstoff, in der die Atome ineinem regulären Sechseck-Wabenmuster angeordnet sind, siehe Abb. 17.1.Die Bindungslänge C-C beträgt s = 142 pm. Welche Masse hat ein Qua-dratmeter Graphen? 9

Abbildung 17.1: Graphen besteht aus einer Schicht Kohlenstoffatome, diein einem Wabenmuster angeordnet sind.

10. Was ist der Unterschied zwischen molarer Masse und atomarer Masse? Warum sind die Zahlenwerteso “ähnlich”? Warum steht “ähnlich” in Anführungszeichen? 10

11. “In einem Teelöffel hat es mehr Wasserstoff-Atome als Teelöffel voll Wasser Platz im Ozean hätten.”(www.blickamabend.ch, 14. Juni 2016). Stimmt das?

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17.2 Zustandsgleichung des idealen Gases 88

(Die Ozeane sollen 1.33 Milliarden km3 Wasser enthalten. Als ich zehn Teelöffel voll aus einemBecher schöpfte, hatte ich nachher 35 g Wasser (±4 g). ) 11

12. a) Wie sind “Gewichtsprozent” und “Atompro-zent” in Tabelle 17.1 definiert?b) Warum sind die jeweiligen prozentualen An-gaben so verschieden?c) Versuchen Sie, für Sauerstoff aus den Gew.-%die Atom-% abzuschätzen. 12

Tabelle 17.1: Zusammensetzungdes menschlichen Körpers, zitiertnach nach https://www.chemie.fu-berlin.de/medi/suppl/mensch.html (abgerufenam 5. Aug. 2016)

Elementverteilung im menschlichen Körper

Element Gew.-% a Atom-% b

Sauerstoff (O) 56.1 25.5Kohlenstoff (C) 28.0 9.5Wasserstoff (H) 9.3 63Stickstoff (N) 2.0 1.4Calcium (Ca) 1.5 0.31Chlor (Cl) 1 -Phosphor (P) 1 -Kalium (K) 0.25 0.06Schwefel (S) 0.2 0.05Natrium (Na) - 0.03Magnesium (Mg) - 0.01

a) [SchlagNach1963-251], b) [Römpp9]

13. Welcher Stoffmenge entspricht 41 Gramm Kohlenstoff? 13

17.2 Zustandsgleichung des idealen Gases

(Zustandsgleichung, Einzelgesetze (Boyle-Mariotte, etc.), osmotischer Druck)

1. Wie viele Gasteilchen enthält Ihre Lunge etwa? 1

2. Im Jahr 2010 wurden weltweit 32 Gigatonnen CO2 aus fossilen Brennstoffen ausgestossen. Wie hochwäre dieses Gasvolumen als Schicht über der Erdoberfläche bei Normalbedingungen? 2

3. Ein Feuerlöscher von 3.35 L Volumen enthält 2.5 kg CO2 bei 20 °C.a) Wie gross ist der Druck im Feuerlöscher unter der Annahme, CO2 sei immer noch gasförmig?b) Kontrollieren Sie, ob das Gas kondensiert sein könnte.c) Wie gross wäre das Gasvolumen bei Normalbedingungen? 3

4. Eine leere, trockene Weinflasche wird beim Luftdruck 0.983 bar und Temperatur 21 °C verschlossen.Im Sonnenlicht erhitzt sie sich auf 48 °C. Wie gross ist dann der Luftdruck in der Flasche? 4

5. 1.00 mol Propan befindet sich in einem Gefäss mit 22.4 L Volumeninhalt und 500 K Temperatur. Indiesem Zustand ist Propan gasförmig. Zeichnen Sie den Gasdruck als Funktion der Temperatur, wenndas Gefäss langsam auf 0 K gekühlt wird. Das Gefässvolumen bleibe konstant. 5

6. Quecksilber soll laut internet bei 40 °C einen Dampfdruck von 0.00822 mbar haben. Bei der gleichenTemperatur könne die Luft bis zu 62.7 mg/m3 Quecksilber enthalten. Berechnen Sie aus dem Dampf-druck die Dampfdichte und entscheiden Sie, ob der Dampf aus ein-, zwei- oder dreiatomigen Teilchenbesteht. 6

7. Erdgas Zürich baute 2012 einen Röhrenspeicher in Urdorf: Die Rohre haben 1.4 m Durchmesser, eineGesamtlänge von 4140 m und ein geometrisches Volumen von 6112 m3. Das nutzbare Speichervolu-men beträgt 720 000 Normkubikmeter Erdgas. Berechnen Sie den Druck im Speicher, wenn er vollist. 7

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17.2 Zustandsgleichung des idealen Gases 89

8. 1986 hat der Kratersee Nyos in Kamerun innerhalb weniger Minuten 1.6 Millionen Tonnen Kohlen-dioxid freigesetzt und dadurch 1700 Menschen erstickt. Welches Fläche näme diese Gasblase ein,wenn man 30 m Höhe, 20 °C und Normaldruck annimmt? 8

9. Der Druck in einer Gasflasche beträgt 50 bar bei 27 °C. Bei welcher Temperatur beträgt er 100 bar? 9

10. Wie gross muss der Druck in einer Methangasflasche (50 L) sein, wenn sie 100 mol Gas enthält? DieTemperatur betrage 300 K. 10

11. Ein Ballon enthalte 5.6 Liter Gas bei Normalbedingungen. Wie viele Gasteilchen sind das? 11

12. Der mittlere Luftdruck in Zürich Kloten (426 m über Meer) beträgt 966.5 hPa und die mittlere Tem-peratur 8.5 °C. Berechnen Sie die mittlere Dichte der Luft. 12

13. In der Heliopause trifft der Sonnenwind auf das interstellare Gas. Die Temperatur fällt von 1 MillionGrad auf 6000 Grad Celsius und die Teilchendichte steigt mindestens um den Faktor 80 (auf etwa einTeilchen pro 10 cm3). Der Sonnenwind besteht aus Protonen und Elektronen. Er wird in der Helio-pause von rund 400 km/s auf 150 km/s gebremst. Auf beiden Seiten der Heliopause muss der gleicheDruck herrschen. Stimmt die Angabe mit der Teilchendichte? 13

14. Eine 15-Liter-Flasche Stickstoff weist einen Druck von 137 bar bei 26 °C auf. Sie lassen 23 mol Gasab. Dabei kühlt die Flasche auf 19 °C ab. Wie gross ist der neue Druck in der Flasche? 14

15. Was passiert mit dem Gasdruck in einem geschlossenen Behälter, wenn die Temperatur von 0 auf27 °C steigt? 15

16. Ein Kinderballon enthalte 5 Liter Helium bei 20 °C und 947.8 hPa Druck. Berechnen Sie die Stoff-menge des Heliums. 16

17. Im Oktober 2000 wurden über der Antarktis 150 Dobson-Einheiten Ozon gemessen. Das ist halb soviel wie 1960. Das Ozon nahm v.a. wegen der Luftverschmutzung durch Fluorkohlenwasserstoffe ab.100 Dobson-Einheiten entsprechen einer Gasschicht von 1 mm Höhe bei Normaldruck und Tempera-tur. Wie viele Gramm pro Quadratmeter sind 150 Dobson-Einheiten Ozon? 17

18. Die Dichte trockener Luft bei Normdruck und 20 °C beträgt ρn = 1.205 kg/m3. Berechnen Sie dieDichte ρ f von mit Wasserdampf gesättigter, feuchter Luft bei gleichen Bedingungen. Nehmen Sie dieDampfdruck- und Dampfdichtetabelle zu Hilfe. 18

19. Berechnen Sie die Dichte von trockener Luft bei 20.0 °C und Normaldruck ausgehend von der tabel-lierten Dichte trockener Luft bei 0 °C und Normaldruck. 19

20. Berechnen Sie die Dichte von trockener Luft bei 20.0 °C und 970 hPa (Zürich) ausgehend von dertabellierten Dichte trockener Luft bei 0 °C und Normaldruck. 20

21. Es ist keine leichte Aufgabe, Wasserstoff zu speichern: “Selbst bei 700 Bar Druck benötigen fünfKilogramm Wasserstoff noch 260 Liter” (NZZ, 11. Sept. 2015).Passen diese Angaben aus der Zeitung zusammen? 21

22. Eine “Soda-Club” Gasflasche um kohlensäurehaltige Getränke herzustellen, hat ein Volumen von0.605 L und enthält 0.453 kg CO2.a) Berechnen Sie die Stoffmenge des CO2.b) Berechnen Sie den Druck in der Flasche bei 20 °C.c) Ist das CO2 unter diesen Bedingungen überhaupt gasförmig? 22

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17.2 Zustandsgleichung des idealen Gases 90

23. Aus einer undichten Leitung der Southern California Gas Company strömten während mehrerer Mo-nate 50 Tonnen Methan pro Stunde. Ein Städtchen musste deswegen teilweise evakuiert werden.Welches Volumen nimmt diese Gasmenge bei Normalbedingungen ein? 23

24. Die Zustandsgleichung des idealen Gases kann für Luft auch in folgender Weise geschrieben werden:

p = ρRS T

wobei p der Druck, ρ die Luftdichte, RS = 287 J/(kg K) die massenspezifische Gaskonstante für Luftund T die absolute Temperatur ist. Leiten Sie das Gesetz aus pV = nRT her. 24

25. Wenn ein NMR-Magnet den supraleitenden Zustand verliert, können bis zu 595 m3 Heliumgas durchVerdampfung entstehen (bei Normaldruck und 15 °C gerechnet). Wie viel magnetische Energie warin diesem Gerät gespeichert? Helium hat die spezifische Verdampfungswärme 20 413 J/kg am Siede-punkt bei Normaldruck. 25

26. Die menschliche Expirationsluft enthält 6,2 vol% resp. 47 mmHg resp. 6,27 kPa Wasserdampf.a) Passen die Mengenangaben zusammen?b) Ist die Ausatmungsluft mit Wasserdampf gesättigt? 26

27. Auf der Fahrt von St. Gallen (675 m.ü.M.) nach Zürich (408 m.ü.M.) hatte ich in Sankt Gallen eineleere PET-Flasche (0.5 L) dicht verschlossen. In Zürich war dieselbe Flasche stark eingedellt.a) Erklären Sie diesen Effekt.b) Schätzen Sie die Volumenabnahme des Flascheninnenraums ab. 27

28. Wir sollen mit hoher Wahrscheinlichkeit ein Molekül von Cäsars letztem Atemzug in unseren Lungentragen. Rechnen Sie nach ob das stimmt und nennen Sie ihre Annahmen. 28

29. “Legt man einen leeren Kinderballon auf die Waage, so zeigt diese 1.82 g an. Der mit Luft aufgebla-sene Ballon wiegt 2.05 g. Also enthält der Ballon 0.23 g Luft.”Wo liegt der Denkfehler in dieser Betrachtungsweise? Wie muss man den Unterschied sonst erklären?29

30. Im Jahr 2015 wurden global 36.3 Gt CO2 emittiert. Wie dick wäre die Schicht, wenn das Gas gleich-mässig über der Schweiz läge? Rechnen Sie mit Normalbedingungen und einer Landesfläche von41’285 km2. 30

31. Wasser kann bei 20 °C etwa 8.84 mg/L Sauerstoff lösen. Berechnen Sie den osmotischen Druck dergelösten Sauerstoffmoleküle bei dieser Konzentration. 31

32. Die absolute Temperatur in einem Gasbehälter hat sich verdoppelt und der Druck verzehnfacht. Wasist mit der Teilchenzahl passiert? 32

33. Sie sind Eltern und müssen Ihren betrunkenen Teenager mit 1.5% Alkohol im Blut von der Polizei-wache abholen.a) Rechnen Sie die Promille (Masseanteil) in Mol pro Liter um. Behandeln Sie Blut wie Wasser. (un-ten verwenden)b) Berechnen Sie den osmotischen Druck des Alkohols.c) Was sagen Sie ihrem Kind, wenn es wieder nüchtern ist? 33

34. Berechnen Sie aus den Werten in der Dampfdruck- und -dichtetabelle von Wasser die universelleGaskonstante einmal bei 100 °C und einmal bei 350 °C. Was schliessen Sie aus dem Resultat? 34

35. Eine Pressluftflasche wird befüllt. Der Druck steigt von 2,7 MPa auf 16 MPa, die Stoffmenge von 10mol auf 50 mol. Die Ausgangstemperatur war 296 K.a) Berechnen Sie die Endtemperatur.b) Warum steigt die Temperatur, wenn eine Pressluftflasche schnell gefüllt wird? 35

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17.3 Kinetische Gastheorie 91

17.3 Kinetische Gastheorie

(mikroskopische Bewegung, Diffusion)

1. Welche mittlere Geschwindigkeit haben Wasserdampfmoleküle bei 100 °C? 1

2. Eine Druckflasche enthalte 18.7 mol einatomiges Gas bei 23 °C. Berechnen Sie die innere Energie(‘Wärmeenergie’) des Gases. 2

3. Wie viel ‘Wärmeenergie’ steckt ungefähr in der Schulzimmer-Luft? 3

4. Auf welchen Wert müsste man die Temperatur, ausgehend von 20 Grad Celsius, erhöhen, damit sichdie mittlere Teilchengeschwindigkeit verdoppelt? 4

5. In einem Gas bewegen sich die Teilchen durchschnittlich mit 388 m/s. Die Teilchenmasse betrage17 units. Berechnen Sie die Temperatur. 5

6. Die Temperatur eines Gases nimmt von 293 K auf 312 K zu. Wie viel Mal grösser wird die mittlereGeschwindigkeit der Teilchen? 6

7. Die Hertz-Knudsen Gleichung für Verdampfungsrate (Flussdichte J) lautet

J =α · (ps − pa)√

2πMRT

wobei α eine Zahl zwischen Null und Eins, ps der Sättigungsdampfdruck, pa der tatsächliche Druckdes vorhandenen Dampfs, M die molare Masse, R die universelle Gaskonstante und T die absoluteTemperatur ist. Falls die auf die Oberfläche treffenden Dampfmoleküle alle kondensieren, ist α = 1;prallt ein Teil zurück, so ist α < 1. Im Maximum ist α = 1 und pa = 0 (Verdampfung ins Vakuum).a) Welche Einheit hat J?b) Wie muss man die Formel anpassen, wenn J in Masse pro Fläche und pro Zeit ausgedrückt werdensoll? 7

8. Wasserdampf und Stickstoff in der Luft haben dieselbe Temperatur. In welchem Verhältnis stehen diemittleren Teilchengeschwindigkeiten? 8

9. Die mittlere Geschwindigkeit der Gasteilchen erhöht sich um 10 %. Was ist mit der Temperatur pas-siert? 9

10. In “Raumschiff Enterprise” werden Menschen “weggebeamt”. Eigentlich müssten sie dann ein Lochin der Luft hinterlassen. Wie viel Energie wird frei, wenn die Luft zusammenstürzt und das Lochwieder auffüllt? Können Sie auch die Leistung grob abschätzen? 10

11. Ein Satellit benützt die Abgase seiner Kühlung (einige mg/s Helium bei 1.8 K) für seine speziellenKaltgastriebwerke, die damit einige µN Schub erzeugen. Schätzen Sie für einen Masseausstoss von1 µg/s den Schub ab. 11

12. Die Bindungsenergie von Wasser (Standard-Bildungsenthalpie bei 25 °C) beträgt -286 kJ/mol fürflüssiges Wasser und -242 kJ/mol für Dampf.a) Was bedeutet es, dass die Angabe negativ ist?b) Passen die zwei Angaben zusammen?c) Bei welcher Schnelligkeit ist die Translationsenergie Ek = 1

2mυ2 eines Dampfmoleküls gleich sei-ner Bindungsenergie?d) Bei welcher Temperatur ist die mittlere Translationsenergie gleich der Bindungsenergie? 12

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17.3 Kinetische Gastheorie 92

13. Eine homogene Mauer ist nach 2.0 Monaten zur Hälfte horizontal durchfeuchtet, weil Grundwasserhinein diffundiert. Nach welcher Zeit ist sie ganz durchfeuchtet? 13

14. Sie haben im Unterricht das Experiment zur Papierchromatographie kennen gelernt. Trägt man diediffundierte Distanz als Funktion der Zeit doppelt logarithmisch auf, so liegen die Messwerte auf einerGeraden. Warum ist das so und wie gross ist die Steigung der Geraden? (“Doppelt logarithmisch”heisst, dass auf beiden Achsen die Logarithmen der Messwerte abgetragen werden. 14

15. Welche Schlüsse zieht man heute aus der Existenz der Brown’schen Wärmebewegung von Staubkör-nern oder anderen kleinen Teilchen in Flüssigkeiten? 15

16. Der Ig-Nobelpreis 1999 wurde verliehen für die Theorie, wie man ein Biscuits optimal tunkt (in Tee,denn die Preisträger waren Engländer). Sie fanden

`2 =σd4η· t

Darin ist ` die durchfeuchtete Länge im Biscuit, d der Porendurchmesser des Biscuits, σ die Oberflä-chenspannung und η die Viskosität des Tees sowie t die Tunkzeit.a) Diskutieren Sie jenen Teil der Formel, der Ihnen bekannt vorkommen sollte. Warum gibt es über-haupt eine optimale Tunkzeit? 6b) Was muss man mit einem 50 % dickeren Biskuit tun? 16

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Kapitel 18

Thermodynamik

18.1 Verbrennungswärme

1. Während eines Trinkspiels kippt ein Teenager einen Tequila-Shot (111 kcal) in 0.8 s. Berechnen Siedie Leistungsaufnahme in Watt. 1

2. Der Weltrekord im Bier Ex-Trinken ist eine Mass (1.0 L) in 1.3 s. Eine Mass enthält ca. 40 g Alkohol.Schätzen Sie den Energiefluss in Watt ab. 2

3. a) Der Flug einer Swiss A319 am 22. Juli 2011 von Zürich nach Oslo dauerte 135 min und benötigte5.4 t Kerosin (Auskunft Flugkapitän). Berechnen Sie die mittlere Heizleistung in den Turbinen. Derspezifische Heizwert von Kerosin (Flugpetrol) liegt zwischen Benzin und Heizöl.b) Laut www.swiss.com erzeugen die zwei Triebwerke zusammen einen Schub von ‘20 000 kg’ undermöglichen eine Höchstgeschwindigkeit von 850 km/h. Welche mechanische Leistung ergibt sichaus diesen Angaben?c) Ist da nicht ein Widerspruch zwischen den Resultaten? 3

4. Meine Frau verwendet Gefrierbeutel aus Plastik, die sie nach Gebrauch auswäscht und nochmalsverwendet. Die Beutel (4.69 g Polyäthylen, ca. 20 cm x 20 cm, Heizwert wie Heizöl) fassen ca. 0.5 kgGefriergut. Ist das Auswaschen energetisch sinnvoll? Schätzen Sie ab, wie viel Wasser man mit derVerbrennungswärme zum Sieden bringen könnte, und diskutieren Sie das Resultat. 4

5. Das Bier ‘Feldschlösschen Original’ hat laut Hersteller 38 kcal/dL sowie 4.8 % vol Alkohol. Kannder Brennwert durch den Alkohol alleine erklärt werden? 5

6. Für ein Grillfeuer, das etwa drei Stunden brennt, benötige ich ein Kilogramm Holzkohlebriketts.Berechnen Sie die mittlere Heizleistung. Der Heizwert ist ca. dreissig Megajoule pro Kilogramm. 6

7. Eine Gasflasche enthält 10.5 kg flüssiges Propan. Die Hauptbrenner des ‘Napoleon Gasgrill LE 485Black’ haben eine Gesamtleistung von maximal 14.4 kW. Wie lange reicht die Flasche mindestens? 7

8. Berechnen Sie aus dem (unteren) Heizwert von Propan – C3H8, 46.33 MJ/kg – den spezifischenBrennwert von 50.40 MJ/kg. Beim unteren Heizwert entweicht der Wasserdampf mit den Abgasen,beim Brennwert (oberer Heizwert) wird die Kondensationswärme des Dampfs zurückgewonnen. 8

9. Wie viel Öl müssen Sie mindestens verbrennen, um das Wasser für ein warmes Bad zu erhitzen?(250 kg Wasser um 25 Grad Celsius erwärmen). 9

10. Der pasteurisierte Sauser vom lokalen Grossverteiler enthält 1.5 %vol Alkohol sowie 290 kJ Energie,1 g Eiweiss und 14 g Kohlenhydrate pro 100 g. Kommt die Energie mehrheitlich vom Zucker odervom Alkohol? 10

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18.1 Verbrennungswärme 94

11. Wie vielen Gramm Schokolade entspricht der Energiegehalt von einem Liter Bier? Gehen Sie vonfünf Volumenprozent Alkohol aus. 11

12. Die Firma Biorender AG erzeugt pro Jahr 41’000 MWh Energie in Form von Biogas aus 30’000 tFleischabfällen (25.9.2012, www.biorender.ch). Berechnen Sie den genutzten Energiegehalt der Ab-fälle in J/kg. 12

13. Ein Entrecôte vom Rind enthält 560 kJ pro 100 g bei einem Wassergehalt von 71%. Wird Energiebenötigt oder frei, wenn man das Entrecôte verbrennt? 13

14. Ein Kohlekraftwerk erzeugt 500 MW elektrische Energie bei einem Wirkungsgrad von 30%. Wie vielSteinkohle (Anthrazit) muss es pro Zeit verbrennen? 14

15. In der Zeitung (NZZ, 8. Juni 2013) stand, bei der Explosion einer 100 kg Bombe würden kurzzeitig1000 GW frei. Sprengstoffe sind relativ energiearm (TNT hat eine Explosionswärme von 4 MJ/kg),setzen diese Energie aber in sehr kurzer Zeit frei. Wie lange dauert demnach die Explosion der Bom-be? 15

16. Stellen Sie die Wärmebilanzgleichung (Energiesatz) für folgendes Problem auf: Wie viel Öl mussverbrannt werden, um 3 Tonnen Wasser zum Siedepunkt zu erhitzen und dann zu verdampfen? Siesollen die Gleichung nicht lösen. Welche Bedeutung haben die Variablen? 16

17. Eine äthiopische Familie benötigt bis zu 40 kg Holz pro Tag zum kochen. In einem Pilotprojekt sollein Biogas-Rucksack vertrieben werden, der einen Kubikmeter Biogas (Methan) fasst.a) Wie viele Kilogramm Methan sind das? (Normbedingungen)b) Enthält das Gas mehr oder weniger Energie als das Holz? 17

18. Ein Campinggasbrenner und die Gaskartusche weisen folgende Spezifikationen auf: 190 g Butan/Propan,90 g/h, 1.23 kW, 1 L (Wasser) 5 min 20 s. Was bedeuten diese Angaben und passen Sie im Rahmender Rundung zusammen? 18

19. Ein Bauer erntet 13 t Tonnen Chinaschilf pro Hektare (Trockenmasse mit Heizwert 18 MJ/kg). Wel-cher Menge Heizöl entspricht das? 19

20. Angenommen, die während eines Jahres auf die Erde eingestrahlte Sonnenenergie würde vollkommen“in Erdöl” umgewandelt, wie dick wäre dann die Erdölschicht auf der ganzen Erdoberfläche? Erdölhat etwa dieselben Eigenschaften wie Heizöl. 20

21. “Luzerns Müllverbrennungsanlage wurde 1971 mit zwei Verbrennungslinien mit einer Kapazität vonje 3-4 t/h errichtet.”...“Der Brennstoff ist städtischer Müll sowie Industriemüll mit einem Heizwertvon 10-12 MJ/kg.” Schätzen Sie die Heizleistung eines Verbrennungsofens ab. 21

22. “In Indien gewinnt man fast die Hälfte der in Privathaushalten verbrauchten Energie aus Kuhmist.700 Millionen Tonnen Kuhfladen werden dort unter anderem zum Heizen eingesetzt, das entsprichtdem Brennwert von 64 Millionen Tonnen Steinkohle.” (http://www.news.de/medien/855156101/20-dinge-die-sie-noch-nicht-ueber-scheisse-wussten/1/, Abruf am 5. März 2016).Wie gross ist der Brennwert von Kuhdung? 22

23. Staubexplosionen sind gefürchtet. Schätzen Sie den Druckanstieg ab, wenn sich aufgewirbelter Koh-lenstaub (50 g/m3, Heizwert von Anthrazit) in einem Bergwerk entzündet. Nehmen Sie an, dass wäh-rend der Explosion das Luftvolumen konstant bleibt. 23

24. Um flüssiges Wasser per Elektrolyse in Wasserstoff und Sauerstoff zu spalten, muss mindestens dieBindungsenergie von 286 kJ/mol zugeführt werden. Welcher Masseanteil des Wassers aus dem Stau-see Grand Dixence (Gefälle über 1.8 km) kann mit der potentiellen Energie im Wasser höchstenselektrolysiert werden? 24

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18.2 Erster Hauptsatz 95

25. Die Schweiz produzierte 21 Millionen Tonnen Abfall im Jahr 2012. Darin sollen 120 000 TerajouleEnergie stecken. Welcher Heizwert wurde der Rechnung zu Grunde gelegt? 25

26. “Es gibt zum Laufen eine sehr griffige Faustregel, die vom italienischen Physiologen Rodolfo Marga-ria stammt. Sie lautet, dass man pro Kilometer und pro Kilogramm eine Kilokalorie umsetzt. DieserEnergieumsatz ist weitgehend unabhängig von Lauftempo, Alter und Geschlecht, ja sogar vom Trai-ningszustand.” (Martin Apolin “Physik für echte Männer”, rororo Verlag, 2015, Seite 33)Berechnen Sie mit Hilfe des Zitats und eigenen Recherchen, wie gross der Red Bull Verbrauch (inLitern pro 100 km) eines Menschen wäre. Nehmen Sie Wirkungsgrad 100 % an. 26

27. Die Saturn V Rakete verbrannte ca. 810700 Liter Kerosin in etwa 150 Sekunden. Kerosin hat einespezifische Verbrennungswärme von 34 MJ/L. Berechnen Sie die Leistung. 27

18.2 Erster Hauptsatz

(Energiesatz für abgeschlossene und offene Systeme, adiabatische Expansion, .. )

1. Was ist grösser: die molare Wärmekapazität von Wasser oder Ethanol? Gegeben sei die spezifischeWärmekapazität. 1

2. Das Wasser der Krimmler Fälle in Österreich stürzt 380 m in die Tiefe, an einem bestimmten Tag12 000 Liter pro Sekunde. Beim Aufprall wird ‘Energie in Wärme verwandelt’. Berechnen Sie denTemperaturanstieg. Warum ist der Anstieg schwierig zu beobachten? 2

3. Wenn man ein Gas sehr schnell komprimiert, wird es heiss. Warum? 3

4. Berechnen Sie die molare und die spezifische Wärmekapazität eines idealen, einatomigen Gases. 4

5. Öffnet man einen Softdrink oder einen Schaumwein, der mit Kohlensäure versetzt ist, so hört man eindeutliches Plopp oder der Korken knallt und man kann im Flaschenhals ein Nebelchen beobachten.Warum entsteht dieser Nebel? 5

6. Was ist der erste Hauptsatz der Thermodynamik? Geben Sie ihn in Worten und formal an. 6

7. Peter Pressant möchte 450 g steifgefrorene Suppe aus dem Tiefkühlfach schnell auftauen. Seine Mi-krowelle gibt 650 W ab. Stellen Sie die formale Energiebilanzgleichung auf, mit der man die Wartezeitnäherungsweise berechnen könnte (nicht auflösen). 7

8. Sie kühlen ab, weil Sie schwitzen. Stellen Sie diesen Vorgang mittels des ersten Hauptsatzes derThermodynamik formal dar. 8

9. Berechnen Sie die innere, thermische Energie von 1.00 mol Helium bei 318 K. 9

10. Ein Velopneu enthalte Luft unter einem absoluten Druck von 9.0 bar bei 33 °C. Als der Schlauchplatzt, wird der Pneudruck schlagartig zehnmal kleiner. Auf welchen Wert sinkt die Temperatur?10

18.3 Wirkungsgrad und Leistungszahlen

1. Ein ‘Dometic RF 60’ Campingkühlschrank wird mit Propangas betrieben (265 g pro Tag) oder elek-trisch (110 W respektive 1.9 kWh pro Tag) bei 25 °C. Er kann bis zu 30 °C unter die Umgebungstem-peratur kühlen.

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18.3 Wirkungsgrad und Leistungszahlen 96

a) Stimmen die zwei elektrischen Verbrauchsangaben überein?b) Welche Leistung errechnet sich aus dem Gasverbrauch?c) Berechnen Sie die Leistungszahl aus den angegebenen Temperaturen.d) Wie gross kann die Kühlleistung (in Watt) maximal sein?e) Wie gross ist das Volumen der CO2-Abgase eines Tages? (bei 25 °C und Normdruck) 1

2. “Windenergie in Gas speichern (..) Vor kurzem hat der Hersteller in der Nordsee sechs Windrädererworben mit einer Gesamtleistung von 6,3 Megawatt. (..) Im 3. Quartal 2013 sollen daraus 3900Kubikmeter Methan pro Tag hergestellt werden.” (NZZ 6. 6. 2012, Seite 58)Berechnen Sie aus diese Angaben den Umwandlungswirkungsgrad von Windenergie in ‘Methanener-gie’. Kommentieren Sie die Rechnung. 2

3. Das weltweit erste Elektrizitätswerk mit Gasturbine wurde 1939 in der Schweiz gebaut. Diese Ga-sturbine war als Notstromgruppe der Stadt Neuenburg im Einsatz und besass eine Leistung von 4Megawatt. Die Gasturbine hatte einen thermischen Wirkungsgrad von 0.18, eine Einlasstemperaturvon 810 K und eine Abgastemperatur von 550 K. Welcher Wirkungsgrad errechnet sich aus den Tem-peraturen? 3

4. Das Gas- und Dampf-Kraftwerk in Irsching (D) hatte im Mai 2011 den Weltrekord für Wärkekraft-maschinen geholt: 60.75 % Wirkungsgrad. Die Brennertemperatur vor der Gasturbine betrug 1500 °C.Die (nutzbare) elektrische Leistung war 561 MW.a) Wie hoch lag die Temperatur nach der Dampfturbine maximal oder mindestens?b) Berechnen Sie die Abwärme in Megawatt. 4

5. Moderne Kühlsysteme für MRI-Geräte erreichen 1 W Kühlleistung bei 4 K; dazu benötigen sie 7 kWAntriebsleistung. Welcher Temperaturunterschied errechnet sich aus den Leistungen? 5

6. Ein Gas-Dampf-Kombikraftwerk habe bei einer Umgebungstemperatur von 19.2 °C einen Wirkungs-grad von 60.7%. Berechnen Sie die Temperatur des heissen Pols in Grad Celsius unter der Annahme,dass der Wirkungsgrad maximal sei. 6

7. Es gibt Quarz-Armbanduhren, die Körperwärme nützen können. Angenommen, die Haut habe 30 °Cund die umgebende Luft 20 °C, wie gross kann der Wirkungsgrad der Umwandlung Wärme→ elek-trische Energie maximal sein? 7

8. Nennen Sie drei Gesetze, in denen es wesentlich ist, dass die Temperatur in Kelvin und nicht in GradCelsius eingesetzt wird. 8

9. Die Brauerei Karlsberg in Homburg erzeugt in einem mit Kohle beheizten Kessel Dampf von 52 barDruck. Damit wird eine Dampfturbine betrieben. Nach der Turbine hat der Dampf noch einen Druckvon 3,5 bar und steht für das Brauen zur Verfügung. Schätzen Sie den Wirkungsgrad der Turbine ab.9

10. Im Reaktor des dienstältesten Kernkraftwerks der Welt – Beznau I+II – herrscht eine Temperatur von312 °C. Im Kondensator, wo die Abwärme entzogen wird, herrscht noch 30 °C. Der Aare wird fürbeide Kraftwerksblöcke zusammen 40 t/s Wasser entzogen, das um 10 °C erhitzt wird. Das Kraftwerkgibt zweimal 380 MW an elektrischer Brutto-Leistung ab.a) Bestimmen Sie aus der Temperatur den minimalen Druck im Reaktor.b) Berechnen Sie die Abwärme (Leistung in Megawatt).c) Berechnen Sie aus Abwärme und elektrischer Leistung den Wirkungsgrad.d) Berechnen Sie aus den Temperaturen den Wirkungsgrad.e) Was könnte den Unterschied zwischen c und d verursachen? 10

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18.3 Wirkungsgrad und Leistungszahlen 97

11. Im Kernkraftwerk Beznau I wird Dampf von 55 bar und 270 °C zu den Turbinen geführt. Im Kon-densator nach den Turbinen, der mit Wasser aus der Aare gekühlt wird, herrscht eine Temperatur von30 °C und ein Druck von 0.04 bar. Die abgegebene elektrische Leistung beträgt 380 MW.a) Berechnen Sie den thermodynamischen Wirkungsgrad der Turbine.b) Berechnen Sie die Abwärme in Megawatt.c) Die Aare führt etwa 560 Tonnen Wasser pro Sekunde. Wie viel könnte sie sich maximal durchdiese Abwärme erhitzen?d) Stimmt die Angabe 0.04 bar Druck im Kondensator? 11

12. Ein mobiles Gerät von LOT-QuantumDesign GmbH liefert 22 L flüssiges Helium pro Tag und benö-tigt dazu 7 kWh Energie pro Liter Flüssighelium (2013). Schätzen Sie den Wirkungsgrad ab. 12

13. Eine Demonstrations-Kältemaschine der ZHAW Winterthur hat eine ‘Nennkälteleistung’ von 120 Wund der Verdichter benötigt 35 W elektrische Antriebsleistung. Der heisse Pol beim Verflüssiger hateine Temperatur von 45 °C und der Verdampfer kühlt auf 8 °C hinunter. Passen diese Angaben zu-sammen? 13

14. Ein Sibir-Kühlschrank hat laut Hersteller eine “Gefrierleistung von 2 kg/24 h”. Nehmen Sie an, dasGefriergut (≈Wasser) sei vorgekühlt.a) Welche Kühlleistung (in Watt) muss mindestens erbracht werden?b) Welche Anschlussleistung muss der Kühlschrank mindestens haben? Gehen Sie von einer optima-len Leistungszahl bei 22 °C Umgebungstemperatur aus. 14

15. Ein Sibir-Kühlschrank hat ein Volumen von 255 Litern. a) Wie viel Wärme muss abgeführt werden,wenn beim Öffnen der Tür die gekühlte Luft (5 °C) gegen sommerheisse Luft (28 °C) getauscht wird?b) Wird dafür mehr oder weniger elektrische Energie gebraucht? 15

16. “Juno ist die erste Raumsonde, die am Jupiter ihre elektrische Energie aus Solarzellen bezieht. Mög-lich wurde dies durch die Steigerung des Wirkungsgrades, denn wegen der grossen Entfernung vonder Sonne empfängt die Raumsonde nur noch 4 Prozent des Sonnenlichts im Vergleich zu einer Posi-tion in Erdnähe. Die drei Solarzellen-Panels sind jeweils 9 Meter lang, 2.7 Meter breit und verleihender Sonde das Aussehen einer Windmühle. Dennoch ist die erzielbare Leistung von 400 Watt nichtgerade üppig” (Tages-Anzeiger, 6. Juli 2016, Seite 40)a) Stimmt das mit den 4 % etwa?b) Schätzen Sie den Wirkungsgrad der Solarzellen ab. 16

17. Eine Holzschnitzelheizung mit Heissluftturbine (http://www.schmid-energy.ch/de/heissluftturbine, Ab-ruf 11. Feb. 2017) gibt 500 kW thermische Leistung in Form von Warmwasser und 100 kW in Formvon elektrischer Energie ab.a) Berechnen Sie unter Vernachlässigung weiterer Verluste den Wirkungsgrad der elektrischen Ener-gieerzeugung.b) Nehmen Sie an, die Temperatur des kalten Pols betrage 20 °C und die Anlage funktioniere optimal:Wie gross wäre dann die Temperatur des heissen Pols? 17

18. Eine Kühlkolonne auf einem Flüssiggastanker muss verdampftes Erdgas rückverflüssigen. Eine An-lage von Sulzer kühlt 10 Tonnen Erdgas pro Stunde (zur Hauptsache Methan bei 1 Grad Celsius)bei einem Druck von 5 bar und auf eine Temperatur von -161.5 Grad Celsius, wo es wieder flüssigist. Berechnen Sie die Kühlleistung sowie die mindestens nötige Antriebsleistung des Kühlaggre-gats. (Sulzer Technical Review, März 2017) Flüssiges Methan hat spezifische Verdampfungswärme510.83 kJ/kg bei 1.013 bar. 18

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18.4 Zweiter Hauptsatz und Diverses 98

18.4 Zweiter Hauptsatz und Diverses

1. Passen die biologische Aussage “die Stoffwechselgeschwindigkeit [des menschlichen Körpers] nimmtmit jedem Grad um 13 Prozent zu” und die chemische RGT-Regel “Pro 10 °C erhöht sich die Reakti-onsgeschwindigkeit um den Faktor zwei bis vier” zusammen? 1

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Teil III

Elektrizitätslehre

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Kapitel 19

Elektrostatik

19.1 Elektrische Ladung

1. Berechnen Sie die Ladung eines Sauerstoff-Atomkerns. 1

2. Berechnen Sie die Ladung eines C-12, eines C-13 und eines C-14 Atomkerns. 2

3. Wie gross ist die elektrische Ladung aller Atomkerne in 72 g Aluminium zusammen? 3

4. Elektronen und Protonen sind mit hoher Genauigkeit entgegengesetzt gleich geladen. Nehmen Siean, der relative Unterschied der Beträge der Ladungen sei 10−12, welche Ladung hätte dann eineEisenkugel von 1.00 kg Masse? 4

5. a) Woher stammt das Wort “Elektrizität” ?b) Wer hat die zwei Ladungssorten “positiv” respektive “negativ” genannt? 5

6. Eine Metallkugel von 10 cm Radius wird mit 27 nC belegt. Schätzen Sie den mittleren Abstand derzusätzlichen Elektronen ab. 6

19.2 Coulombkraft

1. Aus welchen SI-Grundeinheiten besteht die Einheit der elektrischen Feldkonstanten ε0? 1

2. In einer verdünnten, wässrigen Lösung von Kupfersulfat habe ein Cu2+ Ion den Abstand 47 nm voneinem SO2−

4 Ion. Mit welcher Kraft ziehen sich diese zwei Ionen an? 2

3. Drei gleich starke Punktladungen mit verschiedenen Vorzeichen liegen auf den Ecken eines Qua-drats, siehe Abbildung 19.1. Sei F23 die Kraft von Ladung 2 auf Ladung 3. Berechnen Sie formal dieresultierende, elektrische Kraft auf Ladung 3 (Richtung und Betrag). 3

Abbildung 19.1: Drei gleich starke Ladungenauf den Ecken eines Quadrats. Wie gross sindBetrag und Richtung der elektrischen Kraft aufLadung 3? Gegeben sei die Kraft F23 von La-dung 2 auf Ladung 3.

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19.3 Elektrische Feldstärke 101

4. Zwei kleine Kugeln von genau 1 kg Masse haben genau 1 m Abstand.a) Wie stark müssen sie geladen sein, damit die Coulombkraft gleich der Gravitationskraft ist?b) Hat das praktische Relevanz? 4

5. Vier gleiche Punktladungen Q befinden sich auf den Ecken eines Quadrats mit Kantenlänge s. Be-rechnen Sie formal den Betrag der elektrischen Kraft auf eine der Punktladungen. Welche Richtunghat diese Kraft? Zeichnen Sie den Lage- und Kräfteplan der elektrischen Kräfte auf diese Ladung. 5

6. In einer Körperzelle habe ein Phosphat-Ion HPO2−4 den Abstand 57.7 nm von einem Kalzium-Ion

Ca2+. Berechnen Sie die Coulombkraft. 6

7. Die Kerne der Wasserstoffatome in einem H2-Molekül haben einen Abstand von 0,74·10−10 m. Be-rechnen Sie die elektrische Kraft zwischen den Atomkernen. Kommentar? 7

8. Wie gross ist die Kraft, die ein Gold-Atomkern auf ein H+-Ion in 573.82 pm Abstand ausübt? 8

9. Drei Punktladungen befinden sich auf den Ecken eines Quadrats mit Kantenlänge a, siehe Abb. 19.2.Es sei Q1 = Q2 = −Q3. Die Ladungen Q2 und Q3 bilden einen Dipol der Länge a. Sei F die Kraft vonQ1 auf Q2.a) Berechnen Sie F für Q1 = 23.8 pC und a = 338 µm.b) Bestimmen Sie Betrag und Richtung der resultierenden Kraft Fres von Q1 auf den Dipol. RechnenSie rein formal und drücken Sie Fres als Vielfaches von F aus. 9

Abbildung 19.2: Skizze zu Aufgabe 9Drei betragsgleiche Punktladungen liegenauf den Ecken eines Quadrates der Kan-tenlänge a. Zwei ungleichnamige Ladun-gen sind zu einem Dipol verbunden. Wiegross ist die Kraft auf den Dipol?

10. Folgendes Experiment wurde 2006 durchgeführt: In der Schwerelosigkeit wurde eine Kugel (1.6 g)elektrisch aufgeladen. Eine zweite Kugel wurde in der Nähe fixiert und ungefähr gleich stark aberungleichnamig aufgeladen. Die erste Kugel umkreiste die fixierte Kugel in etwa 20 cm Abstand inzirka 20 Sekunden (wie bei einer Planetenbewegung). Berechnen Sie die Ladung. 10

11. Zwei Staubkörner von 0.9 µm und 1.7 µm Radius tragen -11 respektive +29 Elementarladungen.a) Berechnen Sie die elektrostatische Anziehungskraft in 19 µm Abstand (Mitte-Mitte).b) Ist diese Kraft grösser oder kleiner als die Erdanziehungskraft auf ein solches Staubkorn? 11

12. Wann hat Charles Augustin de Coulomb gelebt? 12

13. Die elektrostatische Kraft zwischen zwei Protonen betrage 1.0 fN. Wie gross ist die Kraft zwischenzwei 14

6C-Atomkernen bei sonst gleichen Bedingungen? 13

19.3 Elektrische Feldstärke

1. Drei gleiche starke Punktladungen gleichen oder verschiedenen Vorzeichens liegen auf den Eckeneines gleichseitigen Dreiecks. Sei E die Feldstärke in der Mitte des Dreiecks, welche eine einzelnedieser Punktladungen erzeugt. Wie gross ist die resultierende Feldstärke aller drei Ladungen? Disku-tieren Sie alle wesentliche Fälle der Ladungsvorzeichen. 1

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19.3 Elektrische Feldstärke 102

2. Ein langer, geladener Draht ist mit 35 nC/m geladen. Wie schnell muss sich ein Elektron bewegen,damit es um den Draht kreisen kann? Das Elektron habe 27 mm Abstand von der Drahtachse. 2

3. Ein Plattenkondensator mit engem Luftspalt und 4.8 dm2 Plattenfläche hat im Spalt ein elektrischesFeld der Stärke 270 N/C. Berechnen Sie die Ladung auf den Platten. 3

4. Nach einer Hypothese gibt es Neutronensterne (Radius z.B. 10 km, 1.6 Sonnenmassen) die an derOberfläche eine elektrische Ladung von 4·1020 C tragen. Berechnen Sie die elektrische und die gravi-tative Kraft auf ein Elektron nahe der Sternoberfläche. 4

5. a) Mit welcher Kraft ziehen sich die Platten eines geladenen Kondensators an? Tipp: Beim Platten-kondensator sind die Feldstärken Überlagerungen der Feldstärken der Einzelplatten.b) Um den Spalt zu verbreitern, muss Arbeit gegen die elektrische Anziehungskraft verrichtet werden.Berechnen Sie mit dieser Information die elektrostatische Energie, die im geladenen Plattenkonden-sator steckt. 5

6. Die Aufgabe ist in der Legende von Abbildung 19.3 gestellt. 6

Abbildung 19.3: Drei Punktladungen mit Q1 = Q2 = −1 nC undQ3 = +3 nC befinden sich auf den Ecken eines gleichseitigenDreiecks, siehe rechts. Skizzieren Sie die Feldlinien. BeschreibenSie den Verlauf nahe bei sowie weit weg von den Ladungen. Gibtes eine Stelle, wo die Feldstärke verschwindet? (ohne Rechnung)

7. Die elektrische Feldstärke betrage 137 kV/m. Berechnen Sie die elektrische Kraft auf ein Alphateil-chen. 7

8. Eine freistehende Eisenkugel wiegt 890 g und hat 30.1 mm Radius. Berechnen Sie die Feldstärke ander Oberfläche, wenn man jedes tausendste Elektron entfernen könnte. 8

9. Welche Linienladungsdichte darf ein Leiterseil maximal tragen, wenn die elektrische Feldstärke in20 m Abstand den Wert 5.0 kV/m nicht überschreiten soll? 9

10. Eine Ladung Q und eine Ladung 2Q befinden sich an den Ecken eines gleichseitigen Dreiecks. Er-mitteln Sie die Feldstärke bei der dritten Ecke des Dreiecks.a) Bestimmen Sie die Richtung zeichnerisch.b) Berechnen Sie den Betrag formal. 10

11. Drei gleiche Punktladungen liegen auf den Ecken eines gleichseitigen Dreiecks. Skizzieren Sie dieFeldlinien. 11

12. Zwei lange, parallele Leiterseile haben 2.0 m Abstand und sind mit 0.26 µC/m belegt.a) Berechnen Sie die Feldstärke, welche das eine Seil am Ort des anderen erzeugt.b) Wie stark ist die elektr. Kraft auf ein Seilstück der Länge 200 m? 12

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19.4 Elektrische Spannung 103

13. Beschreiben Sie die Bahnkurve y(x) des Elektrons in Ab-bildung 19.4, das sich in einem homogenen, elektrischenFeld der Stärke E bewegt. 13

Abbildung 19.4: Ein Elektron wird im Nullpunkt des Ko-ordinatensystems mit Winkel α0 und Schnelligkeit υ0 abge-schossen. Wie lautet Gleichung für die Bahn y(x) im elek-trischen Feld?

14. Drei Punktladungen der Stärke 1.0 nC sitzen wie in Abb. 19.5 gezeichnet auf den Ecken eines Qua-drats der Kantenlänge 27 cm. Zwei benachbarte Ladungen sind gleichnamig, die dritte nicht.a) Berechnen Sie den Betrag der Feldstärke im Diagonalenschittpunkt des Quadrats.b) Geben Sie irgendwie die Richtung der Feldstärke dort an (quantitativ). 14

Abbildung 19.5: Drei Punktladungen auf den Eckeneines Quadrats, siehe Aufgabe 14

15. Wie muss man den Abstand zu einer Punktladung verändern, wenn sich die Feldstärke halbieren soll?15

16. Eine freistehende Metallkugel wird mit 1.0 µC geladen. Es treten keine Entladungserscheinungenauf. Wie gross ist der Kugelradius mindestens? Die Durchschlagfeldstärke in trockener Luft beträgt3·106 V/m. 16

19.4 Elektrische Spannung

1. Wie ist die elektrische Spannung definiert? 1

2. Für die Versuchsanlage zur Krebstherapie am PSI werden Protonen ab 85 MeV kinetischer Energieverwendet. Berechnen Sie die Geschwindigkeit der Protonen. 2

3. An einem Plattenkondensator mit 8.7 mm Spalt liegt eine Spannung von 1.5 kV an. Ein Elektron löstsich von der negativen Platte. Mit welcher Geschwindigkeit schlägt es auf der anderen Platte auf? 3

4. Welche Beschleunigungsspannung bringt ein O+-Ion auf eine Geschwindigkeit von 800 m/s? 4

5. Der spezifische Brennwert von Methan beträgt 890.8 kJ/mol. Wie viel Energie in Elektronvolt wirdbei der ‘Verbrennung eines einzelnen Moleküls’ frei? 5

6. Um atomaren Wasserstoff zu erzeugen, muss molekularem Wasserstoff (H2) 435.0 kJ/mol zugeführtwerden. Wie gross ist also die Bindungsenergie eines Wasserstoffmoleküls in Elektronvolt? 6

7. Ein Plattenkondensator hat Plattenfläche 2.38 dm2 und einen Luftspalt von 6.39 mm. Es liege eineSpannung von 983 V an.

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19.5 Kondensatoren 104

a) Berechnen Sie die elektrische Feldstärke im Spalt.b) Berechnen Sie die elektrische Ladung auf einer der Platten. 7

8. Die Bindungsenergie eines Wasserstoffmoleküls beträgt 4.52 eV.a) Wie viel ist 4.52 Elektronvolt in Joule?b) Welche Geschwindigkeit hat ein Wasserstoffmolekül mit der kinetischen Energie 4.52 eV?c) Hat Teilaufgabe b irgendeine Bedeutung in Natur, Technik oder Alltag? 8

9. Ein Plattenkondensator hat Plattenfläche 1.87 dm2 und einen 1.73 mm-Spalt. Im Spalt messe man eineelektrische Feldstärke von 53.2 N/C.a) Wie gross ist die Ladung auf einer der Platten?b) Berechnen Sie die elektrische Spannung zwischen den Platten.c) Welche Beschleunigung erhält ein einfach geladenes Be-9 Ion im Spalt?d) Welche Ladung trägt ein Be-9 Atomkern in Coulomb? 9

10. Mit welcher elektrischen Spannung müssen Elektronen beschleunigt werden, damit sie eine Ge-schwindigkeit von 1000 km/s erhalten? Die Elektronen seien anfangs in Ruhe. 10

11. Wenn ein Plattenkondensator mit 40 V geladen wird, trägt er 755 pC Ladung. Die Fläche einer Plattesei 2.34 dm2.a) Berechnen Sie die Feldstärke im Spalt.b) Berechnen Sie die Breite des Spalts. 11

12. Ein Plattenkondensator mit 1.83 mm Luftspalt wird mit 2800 V belegt, was eine Ladung von 3.3 µCauf den Platten zur Folge hat. Berechnen Sie die Feldstärke und die Plattenfläche. 12

13. Ein Proton wird mit einer Spannung von 2.0 V beschleunigt. Welche Energie in Joule bekommt esdadurch? 13

14. Welche Geschwindigkeit erhält ein Alphateilchen, wenn es mit 4 MV beschleunigt wird? 14

15. a) Wie viel ist 3.0 MeV in Joule?b) Wie viel ist 6.4·10−19 J in Elektronvolt? 15

16. Was ist der Unterschied zwischen elektrischer Spannung und elektrischem Potential? 16

17. Setzen Sie das erste passende Ordnungszeichen aus der Reihe =, <, >,,a) 3.6 kWh 1 MJ b) 1.6022·10−13 J 1 MV c) 3.8 mm2 3.8·10−3 m2 17

18. Zwei parallele, zylindrische Leiter haben Radius r0 und Abstand d. Sie seien mit der längenspezifi-schen Ladung λ = dQ/d` belegt und weisen verschiedene Ladungsvorzeichen auf. Berechnen Sie dieelektrische Spannung zwischen den Leitern. Benennen Sie die getroffenen Näherungen. 18

19. Aus welchen SI-Basiseinheiten setzt sich das Volt zusammen? 19

19.5 Kondensatoren

(Der Plattenkondensator erscheint bereits im Abschnitt Elektrische Feldstärke und folgende.)

1. Die Erde kann als riesiger Plattenkondensator (Kugelkondensator) aufgefasst werden: Die eine ‘Plat-te’ wird durch die Oberfläche gebildet, die andere durch die Stratosphäre in 85 km Höhe. Der Konden-sator, an dem eine mittlere Spannung von 250 kV anliegt, wird durch Gewittertätigkeit aufgeladen.Berechnen Sie die elektrische Ladung. 1

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19.5 Kondensatoren 105

2. Wann ist die Oberflächenenergie eines Flüssigkeitstropfens gleich der elektrischen Energie der Ober-flächenladung? Diese Frage ist relevant für Gewitter, Tintenstrahldrucker und Treibstoffeinspritzung,denn wenn die Ladung zu stark wird, wird der Tropfen unstabil. 2

3. Werden die Platten eines Kondensators auseinander gezogen, so wird Arbeit gegen die elektrischenAnziehungskräfte verrichtet, die nachher im Feld gespeichert ist. Die Platten seien mit Ladung Qbelegt und haben Fläche A. Berechnen Sie die Kraft aus der Energie (formale Aufgabe). 3

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Kapitel 20

Gleichstromlehre

20.1 Strom und Spannung

1. Wie ist die elektrische Stromstärke definiert? 1

2. Das Tandem-Massenspektrometer der ETHZ wird für Altersbestimmungen eingesetzt. Ein StückHolz einer Pfahlbauersiedlung liefert einen Strom von 53 14C 4+-Ionen pro Sekunde. Berechnen Siedie elektrische Stromstärke. 2

3. Ein Lithium-Polymer-Akku für ein Mobiltelefon hat die Nenndaten 3.6 V und 1200 mAh. SolcheAkkus sollen schon ‘explodiert’ sein, Videos sind auf dem Internet zu sehen. Welche Leistung wirdfreigesetzt, wenn sich der voll geladene Akkumulator entzündet und in 3.0 s abbrennt? 3

4. Eine AAA Alkaline Batterie (Monozelle) hat die Nennwerte 1.5 V und 1500 mAh. Sie wiegt 11.4 g.Was setzt mehr Energie frei: a) die sorgfältige Entladung der Batterie oder b) die Verbrennung dergleichen Masse an Holz? 4

5. Aus welchen SI-Basiseinheiten setzt sich die Einheit der elektrischen Spannung zusammen? 5

6. Am REX-ISOLDE Beschleuniger des CERN wurde ein Strom von 100 pA an 129Cd30+-Ionen beob-achtet. Berechnen Sie den Teilchenfluss. 6

7. Nennen Sie drei Beweise, weshalb in einem unverzweigten Stromkreis überall dieselbe Stromstärkevorhanden ist. 7

8. Konventionelle Verstärker können elektrische Ströme bis 10−15 A hinab messen. Quantenzähler kön-nen hingegen Teilchenflüsse von einem Elektron pro Stunde feststellen (2012).a) Wie gross ist der Elektronenfluss im konventionellen Verstärker?b) Berechnen Sie die elektrische Stromstärke im Quantenzähler. 8

9. Ein Strahl einfach ionisierter Goldatome von exakt 10 mA Stärke wird in einem Faradaybecher auf-gefangen. Welche Masse hat sich nach einem Tag angesammelt? 9

10. Die beweglichen Ladungsträger in einer Kupfersulfatlösung seien Cu2+-Ionen. Wie viel metallischesKupfer schlägt sich nieder, wenn während 5.0 s ein Strom von 500 mA fliesst? 10

11. Aus einer Probe treten in einer Sekunde 6.25·105 Alphateilchen. Berechnen Sie die Stromstärke. 11

12. Im Beschleuniger LHC des CERN soll der Protonenstrahl eine elektrische Stromstärke von 0.56 Ahaben. Berechnen Sie den Massefluss in kg/s. 12

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20.2 Leistung und Widerstand 107

13. Warum sollte man nicht sagen, dass elektrischer Strom‘Elektronenfluss’ sei? 13

14. Wie viel Energie in Joule wird frei, wenn während 3.8 s eine Ladung von 2.0 C aus einer 24 V Batterieaustritt? 14

15. Ein Elektronenmikroskop werde mit einer Spannung von 300 kV und einer elektrischen Stromstärkevon 10 pA betrieben.a) Welche Leistung wird durch den Elektronenstrahl auf der Probe deponiert?b) Berechnen Sie den Elektronenfluss.c) Welche Geschwindigkeit haben die Elektronen?d) Wie gross ist der mittlere Abstand der Elektronen im Strahl? 15

16. Zwei Schüler haben zum Auftrag, eine Analogie zwischen einem elektrischen Stromkreis und einerVelokette aufzustellen, folgendes geschrieben:a) Jak: “Die Velokette transportiert “Strom” von einem Veloblatt zum anderem, ohne selbst dafürEnergie zu verlieren (An jeder Stelle ist ein Kettenköpfchen aufzufinden). Reisst jedoch die Kettewird der “Fluss” vom übertragen unterbrochen.”b) Kris: “Die Kette dient zum Transport der Energie vom vorderen zum hinteren Zanrad. Oben ist dasPotenzial hoch und unten niedrig. Zerreisst die Kette jedoch, so wird der Stromkreis unterbrochen.”c) Kommentieren Sie die Texte und schreiben Sie einen eigenen. 16

20.2 Leistung und Widerstand

1. Ein Gerät mit Leistung 800 W wird ans Haushaltnetz angeschlossen. Berechnen Siea) den Strom und b) den Widerstand des Geräts. 1

2. Eine Glühlampe habe die Nennwerte UN = 12 V und PN = 50 W. Für Glühlampen gilt in guterNäherung I ∝

√U. Schreiben Sie I(U), P(U) sowie R(I) und als reine Formeln, welche die Nennwerte

(formal) enthalten. 2

3. Eine Glühlampe hat die Nennwerte 0.10 A und 2.0 W. Berechnen Sie den Widerstand. 3

4. Am Ausgang eines Netzgeräts können maximal 80 V und 7.5 A bezogen werden. Welche Leistunggibt es dann ab? 4

5. Wie setzt sich die SI-Einheit ‘Ohm’ aus SI-Basiseinheiten zusammen? 5

6. Ein Kupferkabel für das 110 kV-Netz habe eine Querschnittsfläche von 630 mm2 und sei 5.7 km lang.Es werde kurzzeitig vom Maximalstrom 652 A durchflossen.a) Berechnen Sie den Widerstand des Kabels.b) Welche Spannung liegt am Kabel an?c) Mit welcher Leistung wird es durch den Strom geheizt? 6

7. Ein Kupferleiter von 120 mm2 Querschnitt und 870 m Länge soll durch einen Aluminiumleiter mitgleichem Widerstand und gleicher Länge ersetzt werden. Welcher Querschnitt ist zu wählen? 7

8. Welchen Durchmesser muss ein Golddraht von 5.7 mm Länge haben, wenn der Widerstand unter1.000 MΩ bleiben soll? 8

9. Eine Eisenbahnschiene wiegt 60 kg/m. Berechnen Sie den elektrischen Widerstand pro Länge. Neh-men Sie die Daten für Kohlenstoffstahl (1 % C). 9

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20.2 Leistung und Widerstand 108

10. Ein Hochspannungskabel aus Aluminium hat 1.85 Ω Widerstand bei 20 °C.a) Wie gross ist der Widerstand bei 45 °C?b) Wie gross ist die relative Änderung der Verlustleistung, wenn der Strom konstant bleibt? 10

11. Ein Messingdraht hat 2.87 Ω Widerstand bei 8.73 °C. Wie gross ist der Widerstand bei 20.0 °C? 11

12. Gegeben sei der Temperaturkoeffizient α1 und der Widerstand R1 bei der Referenztemperatur ϑ1.Berechnen Sie den Temperaturkoeffizienten α2 und den Widerstand R2 bei der Referenztemperaturϑ2. Nennen Sie die Annahme, die Sie haben treffen müssen. 12

13. Ein Gerät hat die Nennwerte 270 Ω - 18 W. Berechnen Sie den Strom und die Spannung. 13

14. Ein Kupferdraht sei 87 m lang. Welche Querschnittsfläche darf er haben, wenn der Widerstand nichtunter 100 Ω liegen soll? 14

15. Der Strom durch eine Glühlampe mit Wolframwendel ist 0.34 A bei 220 V. Wie gross ist der Strombei 180 V? 15

16. Wie viele 1.5 V Batterien muss man seriell schalten, damit die Leistung bei einem Strom von 0.53 Amindestens 57.7 W beträgt? 16

17. Ein Aluminiumdraht wiegt 430 g und hat einen Widerstand von 2.85 Ω.a) Berechnen Sie die Länge und Querschnittsfläche des Drahtes.b) Berechnen Sie den neuen Widerstand, wenn sich der Draht von 20 auf 37 °C erhitzt. 17

18. Durch einen ohmschen Widerstand von 125 Ω fliesst ein Strom von 38 mA.a) Berechnen Sie die anliegende Spannung.b) Wie gross ist die vom Widerstand aufgenommene Leistung?c) Berechnen Sie den neuen Strom, wenn die angelegte Spannung 17 % erhöht wird. 18

19. Ein elektrisches Element zeigt die Charakteristikvon Abbildung 20.1.a) Erfüllt dieses Element das ohmsche Gesetzganz, teilweise oder gar nicht?b) Berechnen Sie den elektrischen Widerstandbei 0.10 V und bei 0.40 V.c) Welche elektrische Leistung nimmt das Ele-ment bei 0.30 V auf? 19

Abbildung 20.1: Vereinfachtes Ausgangskenn-linienfeld des Transistors BC 548B. Dargestelltist der Kollektorstrom IC versus die Kollektor-Emitter Spannung UCE bei konstanter Basis-Emitter Spannung UBE von ca. 0.79 V.

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.50

20

40

60

80

100

Spannung in Volt

Stro

m in

Milli

ampe

re

20. Ein Blitz habe eine Stärke von 27 kA und dauere 32 µs. Er fliesse durch einen Stahldraht von 15 mLänge und 0.85 mm2 Querschnittsfläche. Wie viel Energie nimmt der Draht auf? 20

21. Eine Halogenlampe hat eine Leistung von 20 W bei 12 V Spannung. Berechnen Sie den Strom. 21

22. Ein Defibrillator verabreicht einem Herzpatienten laut Datenblatt einen Rechteck-Stromstoss von25 A Stromstärke, 1250 V Spannung, 31250 W Leistung respektive 200 J Energie.a) Stimmt die Leistungsangabe?

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20.3 Einfache Schaltungen 109

b) Wie lange dauert ein Stromstoss etwa?c) Wie gross ist der elektrische Widerstand des Patienten für diese Werte?d) Was ist zur Genauigkeit der Angaben zu sagen? 22

23. Eine Silberoxidbatterie für eine Uhr hat Kapazität 16 mAh sowie Nennspannung 1.55 V und hältGrössenordnung ein Jahr. Berechnen Sie die mittlere Leistung. 23

24. Durch einen ohmschen Widerstand fliesst ein gewisser Strom. Was passiert mit der Heizleistung,wenn dieser Strom um 10 % abnimmt? 24

20.3 Einfache Schaltungen

(Serie- und Parallelschaltung sowie Kombinationen davon)

1. a) Ein 250 Ω und ein 480 Ω Widerstand sind in Serie geschaltet. Durch den ersten Widerstand fliessen93 mA.a) Wie viel fliesst durch den zweiten Widerstand?b) Welche Leistung nimmt der erste Widerstand auf?c) Welche Spannung liegt an der Serieschaltung als Ganzes? 1

2. Ein Widerstand von 120 Ω ist mit einem zweiten parallel geschaltet. Welchen Widerstandswert hatdieser, wenn der Ersatzwiderstand folgende Werte annimmt:a) 80 Ω b) 120 Ω c) 180 Ω 2

3. In einer langen Reihe seriell geschalteter Widerstände ist der Folgende jeweils halb so gross wie derVorangehende. Der Erste habe den Wert R0. Wie gross ist der Ersatzwiderstand? 3

4. In einer langen Reihe parallel geschalteter Widerstände ist der Folgende jeweils 10 % grösser als derVorangehende. Der Erste habe den Wert R0 = 50 Ω. Wie gross ist der Ersatzwiderstand? 4

5. Die Teilnehmer einer Gruppenarbeit behaupten, dass die Leistung, welche eine Batterie mit Innenwi-derstand Ri und Leerlaufspannung U0 an eine angeschlossene Last mit Widerstand RL abgibt, folgen-dermassen zu berechnen sei:

a) P =U0

Ri· RL b) P =

(U0

Ri

)2

RL c) P =

(U0

Ri + RL

)2

RL d) P =U2

0

Ri + RL

Beurteilen Sie die Lösungen, ohne die Aufgabe selber zu lösen. Betrachten Sie die Einheiten und dasVerhalten, wenn für die Parameter spezielle Werte eingesetzt werden. 5

6. Werden zwei Widerstände seriell geschaltet, so ist der Ersatzwiderstand 847 Ω. Werden dieselbenzwei Widerstände parallel geschaltet, so ist der Ersatzwiderstand 132 Ω. Wie gross sind die Wider-stände einzeln? 6

7. In Abbildung 20.2 sei I = 35 mA, R1 = 180 Ω und das Voltme-ter zeige 4.8 V an. Was zeigt das Amperemeter an? Wie grossist die Spannung U0 und der Widerstand R2? 7

Abbildung 20.2: Schaltung mit Spannungsquelle, zwei Wider-ständen, einem Volt- und einem Amperemeter.

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20.3 Einfache Schaltungen 110

8. Berechnen Sie für die Schaltung in Abbildung 20.3a) den Ersatzwiderstand Rres

b) den Gesamtstrom I0

c) den Strom I1 durch den Widerstand R1

d) die Spannung U2 die an R2 anliegte) die Leistung P3 die von R3 aufgenommen wird. 8

Abbildung 20.3: Schaltung mit einer SpannungsquelleU0 = 8.75 V und den vier Widerständen R1 = 120 Ω,R2 = 230 Ω, R3 = 333 Ω sowie R4 = 401 Ω.

9. Zwei Widerstände sind parallel oder seriell geschaltet. Der erste hat 69 Ω, der Ersatzwiderstand 53 Ω.Um welche Schaltung handelt es sich und wie gross ist der zweite Widerstand? 9

10. Drei Elemente mit Widerstandswerten R1, R2 und R3 sind parallel geschaltet. Welche der folgendenGleichungen a) bis f) beschreibt den Ersatzwiderstand Rres korrekt? Leiten Sie die Formel nicht direkther. Prüfen Sie beispielsweise, ob die Terme das richtige Verhalten zeigen, wenn man spezielle Werteeinsetzt, und andere Dinge. 10

a) Rres = R1 + R2 + R3 b) Rres =1R1

+1R2

+1R3

c) Rres =R2

1 + R22 + R2

3

R1 + R2 + R3

d) Rres =R1R2R3

R1 + R2 + R3e) Rres =

R1R2R3

R21 + R2

2 + R23

f) Rres =R1R2R3

R1R2 + R2R3 + R3R1

11. Die Widerstände in Abbildung 20.4 sind alle gleich gross (R). Die Schaltungen enthalten aber auchKurzschlüsse (Überbrückungen). Zeichnen Sie zuerst die Schaltungen ohne die unwirksamen Wider-stände und berechnen Sie dann den Ersatzwiderstand als Vielfaches von R. 11

Abbildung 20.4: Die Widerstände sind alle gleich gross (R). Wie gross ist der Ersatzwiderstand?

12. Siehe Abbildung 20.5 (Bildlegende). 12

Abbildung 20.5: Zeigen Sie, dass die beiden Schaltungen elek-trisch äquivalent sind, d.h. dass sie denselben Ersatzwider-stand haben und dass durch jeden der Widerstände in beidenSchaltungen der jeweils gleiche Strom fliesst.

13. Berechnen Sie (formal) den Strom durchdie Spannungsquelle der Schaltung in Abbil-dung 20.6.13

Abbildung 20.6: Schaltung mit Spannungsquel-le U und vielen, gleichen Widerständen R.

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20.3 Einfache Schaltungen 111

14. Berechnen Sie in der Schaltung von Abb. 20.7folgende Grössen: 14a) I4=?, I5 =?b) Leistungsaufnahme von R4?c) Strom I1 = ?d) Ersatzwiderstand RAB = ?

Abbildung 20.7: In der Schaltung mit Wider-ständen sei I0 = 1.01 A, R1 = 700 Ω, R2 =

800 Ω, R3 = 900 Ω und U4 = 202 V (Spannungüber dem Widerstand R4).

15. Schliesst man einen Widerstand R1 an eine Spannungsquelle, welche U0 = 64 V generiert, an, sofliesst ein Strom von 873 mA.a) Wie gross ist R1?b) Wie gross muss ein zweiter, seriell geschalteter Widerstand R2 sein, der den Strom zusammen mitdem ersten unter 371 mA drückt?c) Welche Spannung liegt dann an R1 an? 15

16. An die Klemmen eines alten Netzgeräts, die mit 6 V angeschrieben sind, wurde ein variabler Wi-derstand angeschlossen. Tabelle 20.1 gibt Klemmenspannung und Strom an, wenn der Widerstandverstellt wird:

Tabelle 20.1: Strom und Spannung aus ei-nem 6 V-Netzgerät.(1 % Messfehler, 1. Juli 2010, Lie.)

I (A) 0.211 0.964 2.022 3.130 5.27 8.30U (V) 6.58 6.51 6.39 6.30 6.09 5.80

a) Zeichnen Sie die Spannung als Funktion des Stromes auf.b) Führen Sie eine lineare Regression U(I) mit dem Rechner durch. Notieren Sie die Werte der Re-gressionsparameter. (Falls Sie das nicht können, zeichnen Sie mit Lineal eine passende Gerade zu denMesswerten und bestimmen von dieser Ordinatenabschnitt und Steigung.)c) Welche physikalischen Bedeutungen und welche Einheiten haben die Parameter der Regressions-geraden?d) Bestimmen Sie die Nullstelle der Geraden. Welche Bedeutung hat sie?e) Wie muss man den variablen Widerstand einstellen, damit das Netzgerät möglichst viel Leistungan ihn abgibt? Wie gross ist diese Leistung? 16

17. Drei gleiche Widerstände R sind wie in Abb. 20.8 zu einem Drei-eck verlötet. Wie gross ist der Ersatzwiderstand zwischen irgend zweiEcken? Ist er grösser, gleich oder kleiner als R? 17

Abbildung 20.8: Widerstandsdreieck

18. Zwei Widerstände, von denen der erste 250 Ω misst, werden seriell an eine Spannungsquelle mit5.00 V angeschlossen, worauf ein Strom von 13.5 mA fliesst. Berechnen Sie den Widerstandswertdes zweiten Widerstandselements. 18

19. Aus einem Draht mit Widerstand R wird ein Ring geformt, siehe Abbildung 20.9.An zwei Punkten A und B mit Zentriwinkel ϕwird ein Ohmmeter angeschlossen.Was wird es anzeigen? 19

Abbildung 20.9: Drahtring mit zwei Abgriffen bei A und B. Wie gross ist derWiderstand zwischen A und B?

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20.3 Einfache Schaltungen 112

20. In Abbildung 20.10 ist I = 1.5 A, R1 = 90 Ω, R2 = 30 Ω und R3 = 50 Ω.a) Wie gross ist der Strom I1 durch R1 ?b) Wie gross ist die Leistung P3, die von R3 aufgenommen wird?c) Wie gross ist das Verhältnis U2/U3 der Spannungen über R2 und R3? 20

Abbildung 20.10: Schaltung mit drei Widerständen und dem Gesamtstrom.

21. Ein Widerstand von 200 Ω ist zu einem zweiten parallel geschaltet. Wie gross müsste der zweite sein,damit der Ersatzwiderstand 300 Ω beträgt? Kommentar? 21

22. In Abbildung 20.11 ist I0 = 0.832 A, R1 = 91.2 Ω und R2 = 102.3 Ω.a) Wie gross sind I1 und I2 ?b) Wie gross ist U0 ?c) Wie gross ist die Leistung, mit der R2 geheizt wird? 22

Abbildung 20.11: Schaltung mit Batterie und zwei seriellen Widerständen.

23. Ein Widerstand von 13.8 Ω wird an eine Spannungsquelle, die 115 V generiert, angeschlossen. Wiegross muss ein zweiter Widerstand sein und wie muss er angeschlossen werden, damit sich die ge-samte Leistung 33 % erhöht? 23

24. Wie gross muss der Widerstand R1 in Relation zu R2

und R3 in Abbildung 20.12 gewählt werden, damit ermaximal geheizt wird? 24

Abbildung 20.12: (rechts)Schaltung zu Aufgabe 24 mit einer idealen Span-nungsquelle und drei ohmschen Widerständen.

25. In der Schaltung von Abb. 20.13 sind die bezeichnetenGrössen gegeben.a) Berechnen Sie den fehlenden Strom und den fehlendenWiderstandswert.b) Welche Spannung liegt am Widerstand R2 an?c) Welche Leistung wird vom Strom I1 transportiert? 25 Abbildung 20.13: Siehe Aufgabe 25.

26. In der Schaltung von Abb. 20.14 (rechts) ist U0 = 5.00 V,R1 = 125 Ω und R2 = 250 Ω; M1 und M2 stellen idealeMultimeter dar.a) M1 sei das Amperemeter und M2 sei auf Spannungsmes-sung eingestellt. Was zeigen die Messgeräte an?b) M1 sei das Voltmeter und M2 das Strommessgerät. Waszeigen die Messgeräte an?c) Beide Multimeter seien auf Strommessung gestellt. Waszeigen sie an? 26

Abbildung 20.14: Siehe Aufgabe 26.

27. Eine Konstantstromquelle schickt den Strom I0 durch die Par-allelschaltung von Abbildung 20.15. Wie gross muss der Wider-stand R1 gewählt werden, damit R1 durch den Teilstrom maximalgeheizt wird? 27

Abbildung 20.15: Zu Aufg. 27.

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20.3 Einfache Schaltungen 113

28. Die Charakteristik eines unbekannten Elements mitsehr grossem Widerstand R soll gemessen werden.Welche der beiden Schaltungen in Abbildung 20.16mit realen Messgeräten ist dazu besser geeignet? Be-gründen Sie Ihre Wahl ausführlich. 28

Abbildung 20.16: (rechts) Siehe Aufgabe 28.

29. Drei Widerstände werden seriell geschaltet und haben Ersatzwiderstand 587 Ω. Werden die drei par-allel geschaltet, so haben Sie Ersatzwiderstand 63.3 Ω. Zwei der drei Widerstände sind gleich. Be-rechnen Sie Wert des dritten Widerstands. 29

30. Das Multimeter in Abb. 20.17 wird von Spannungs- auf Strommessung um-gestellt. Was zeigt es vorher und nachher an? 30

Abbildung 20.17: Zwei ohmsche Widerstände sind seriell geschaltet. Einideales Multimeter M ist parallel zum zweiten Widerstand geschaltet.

31. Zwei Widerstände von 200 Ω und 300 Ω sind seriell geschaltet. Der zweite Widerstand wird von10 mA durchflossen. Berechnen Sie die Gesamtspannung über beiden Widerständen. 31

32. Werden zwei Widerstände seriell geschaltet, so ist der Ersatzwiderstand grösser als wenn dieselbenWiderstände parallel geschaltet werden. Wie viel mal grösser maximal oder minimal? 32

33. Der Leitwert G (mit Einheit Siemens, S) eines elektrischen Elements ist definiert als G = I/U.a) Wie lautet der Zusammenhang von Leitwert G und Widerstandswert R ?b) Wie lauten die Gesetze der Serie- und Parallelschaltung für den Leitwert? 33

34. a) Wächst, bliebt oder sinkt der Gesamtstrom, wenn der SchalterS in Abbildung 20.18 geöffnet wird?b) Berechnen Sie das Verhältnis Inachher ÷ Ivorher. 34

Abbildung 20.18: Schaltung zu Aufgabe 34 mit vier gleichen,ohmschen Widerständen, idealer Spannungsquelle und SchalterS.

35. Zwei Widerstände sind parallel oder seriell geschaltet. Der zweite Widerstand ist 77 % grösser alsder Erste (R1). Wie viele Prozent grösser oder kleiner als R1 ist dann der Ersatzwiderstand in beidenFällen? 35

36. Wird zu einem Widerstand R1 ein zweiter R2 seriell geschaltet, so vergrössert sich der Ersatzwider-stand ausgehend von R1 um 87 %. Wie viel hätte sich der Ersatzwiderstand verkleinert, wenn man R2

parallel zu R1 geschaltet hätte? 36

37. Ein Tauchsieder hat die Leistung 1.0 kW am Haushaltnetz. Wie gross ist die gemeinsame Leistung,wenn man zwei davon in Serie geschaltet an derselben Spannungsquelle betreibt? 37

38. Woher wissen wir, dass sich die Teilspannungen in einer Serieschaltung von Widerständen zur Ge-samtspannung addieren? 38

39. Zwei Widerstände werden parallel geschaltet. Der Ersatzwiderstand beträgt genau 1/3 des ersten Wi-derstandes. Berechnen Sie den zweiten Widerstand rein formal. 39

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20.4 Schwierige Schaltungen 114

40. Zwei Widerstände R1 und R2 werden seriell geschaltet und zusammen mit Spannung U0 belegt. Inwelchem Verhältnis stehen die Teil-Leistungen P2/P1? 40

41. Zwei gleiche Widerstände werden seriell an eine Spannungsquelle angeschlossen, worauf ein Stromvon 0.44 A fliesst. Dann werden dieselben Widerstände parallel geschaltet und an die gleiche Span-nungsquelle angeschlossen. Berechnen Sie den neuen Gesamtstrom. 41

42. Ein Heizdraht nimmt eine Leistung von 450 W auf, wenn 230 V angelegt werden.a) Berechnen Sie den Widerstand des Drahtes.b) Wie gross ist die Leistung, wenn die Spannung auf 214 V sinkt? 42

43. a) Wie gross ist der Strom I2 durch R2 in Abb. 20.19?b) Wie gross ist die Spannung über R1?c) Wie gross muss R4 sein, wenn I4 = 432 mA ist?d) Wie gross ist die Gesamtspannung UAB? 43

Abbildung 20.19: Schaltung mit R1 = 120 Ω = R5,R2 = 350 Ω = R3 und I0 = 567 mA.

44. Aus 1.08 Tonnen Kupfer wird ein Draht mit 1.50 mm2 Querschnittsfläche gezogen. Berechnen Sieden Drahtwiderstand. 44

45. a) Nennen Sie die zwei Arten, wie man das ohmsche Gesetz eindeutig formulieren kann.b) Nennen Sie zwei Ausnahmen vom ohmschen Gesetz. 45

20.4 Schwierige Schaltungen

Lineare Netzwerke und nichtlineare Schaltungen

1. Die unendliche Kette aus Spannungsquellen und Widerständen in Abbildung 20.20 kann durch ei-ne einzige Spannungsquelle mit seriell geschaltetem Widerstand ersetzt werden. Berechnen Sie dieErsatz-Spannung und den Ersatz-Widerstand. 1

Abbildung 20.20: Unendliche Kette aus gleichen,idealen Spannungsquellen und zwei verschiedenen,ohmschen Widerständen.

2. Berechnen Sie die elektrischen Ströme der Schaltung in Abb. 20.21a) mit offenem und b) mit geschlossenem Schalter. Lösen Sie die Auf-gabe allgemein für verschiedene Spannungen sowie Widerstände undspezialisieren Sie dann auf gleiche Widerstände und Spannungen. 2

Abbildung 20.21: Elektrische Schaltung mit zwei Widerständen, dreiSpannungsquellen und einem Schalter (offen gezeichnet).

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20.5 Elektronik 115

3. Berechnen Sie die Ströme im el. Netzwerk von Abb. 20.22.a) Stellen Sie das formale Gleichungssystem auf.b) Lösen Sie das Gleichungssystem mit den ZahlenU1 = 4.9 V, R1 = 0.51 Ω, U2 = 4.8 V, R2 = 0.62 Ω,U3 = 4.7 V, R3 = 3.3 Ω.c) Berechnen Sie die Spannung UCD. 3

Abbildung 20.22: Netzwerk, das drei parallel geschaltete Bat-terien mit Innenwiderständen darstellt, wobei eine Zelle falscheingesetzt ist.

4. a) Stellen Sie für das Netzwerk in Abbildung 20.23das formale Gleichungssystem auf, mit dessen Hil-fe sich die eingezeichneten, unbekannten Ströme be-rechnen liessen.b) Wie gross ist die el. Spannung von b nach e? 4

Abbildung 20.23: Netzwerk zu Aufgabe 4

5. a) Stellen Sie genügend formale Gleichungen zu-sammen, mit denen man die unbekannten Ströme inAbb. 20.24 berechnen könnte.b) Schreiben Sie das Gleichungssystem mit den Zah-len so, dass man es per Computer lösen könnte. (nichtzu viele und nicht zu wenige Gleichungen)c) Berechnen Sie die Spannung von d nach f rein for-mal.d) Welche Leistung geben die Spannungsquellen zu-sammen ab? (formal) 5

Abbildung 20.24: Netzwerk mit U1 = 10 V,U4 = 40 V, R3 = 30 Ω, etc.

20.5 Elektronik

1. Eine Solarzelle ist eine Halbleiterdiode, bei der einfallendes Licht laufend Elektron-Loch Paare ampn-Übergang erzeugt. Warum werden diese Paare getrennt und vereinen sich nicht gleich wieder? 1

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Kapitel 21

Magnetismus

21.1 Magnetisches Feld

1. Wie nennt man fachsprachlich das, was im Alltag ‘magnetische Stoffe’ heisst? Wie sind diese Stoffemikroskopisch charakterisiert? 1

2. Aus welchen SI-Grundeinheiten setzt sich das Tesla zusammen? 2

3. Berechnen Sie die Vertikalkomponente des Erdmagnetfelds in Brig.Welche Richtung hat es? (bitte genauer als ‘vertikal’) 3

4. a) Was ist ein magnetischer Dipol und warum gibt es keine magnetischen Monopole?b) Was ist eine magnetische Domäne (Weiss’scher Bezirk)? Erläutern Sie den Begriff. 4

5. a) Was heisst das, dass es keine magnetischen Monopole gibt?b) Nennen Sie ein magnetisierbares Material (, Eisen).c) Wie kann man feststellen, welche Richtung eine magnetische Feldlinie hat, wenn die Pole desfelderzeugenden Magneten nicht angeschrieben sind? 5

6. Berechnen Sie die magnetische Feldstärke (Flussdichte, mag. Induktion) in Bern. 6

7. Ein Magnet erzeugt ein Feld der Stärke 0.10 T. Was bedeutet ‘T’ und wie kann man das messen? Wiegehen Sie bei der Messung vor? 7

8. Warum sollte man bei einer Magnetnadel vom magnetischen Nordpol sprechen und nicht vom positi-ven Magnetpol? 8

9. Wie wird die magnetische Feldstärke (Flussdichte, magn. Induktion, B) definiert? 9

21.2 Magnetische Kräfte

1. Durch einen geraden Draht fliessen 1.85 A. Er steckt in einem Feld der Stärke 345.2 mT. Die Feldli-nien schliessen einen Winkel von 21.93° mit dem Draht ein. Der Draht erfährt eine magnetische Kraftvon 3 cN. Berechnen Sie die Drahtlänge. 1

2. Durch eine sog. ‘Gradientenspule’ im Innern des 7.0 Tesla MRI Gerät des Instituts für biomedizini-sche Technik Uni/ETH fliesst ein Strom von 500 A. Berechnen Sie die maximale magnetische Kraftpro Leiterlänge auf diese Spule. 2

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21.2 Magnetische Kräfte 117

3. Ein langer Kupferdraht von 1.0 mm2 Querschnittsfläche liegt in einem Feld von 0.82 T.a) Berechnen Sie die minimale Stromstärke, damit der Draht gegen den Einfluss der Schwerkraftangehoben wird.b) Geben Sie alle notwendigen Richtungen an. 3

4. Ein Elektron bewegt sich mit 400 km/s senkrecht zu den Feldlinien in einem Feld der Stärke 500 nT.Berechnen Sie den Radius der Kreisbahn. 4

5. Protonen, die mit 5.83% der Lichtgeschwindigkeit fliegen, sollen auf eine Kreisbahn von 1.83 mRadius gebracht werden. Wie stark müsste das Magnetfeld sein? 5

6. Bestimmen Sie in Abbildung 21.1 das Vorzeichen der Teil-chenladung. 6

Abbildung 21.1: Ein geladenes Teilchen bewegt sich in derNähe eines langen, geraden, stromführenden Drahtes. Drahtund Bahn liegen in der Zeichenebene.

7. Wie stark muss ein Magnetfeld mindestens sein, damit einfach geladene C60-Ionen, die sich mit350 m/s bewegen, auf eine Kreisbahn mit 41.3 cm Radius gebracht werden? 7

8. Ein Draht von 15 cm Länge befindet sich in einem Feld der Stärke 0.82 T. Wie gross muss oder darfder Strom sein, damita) die magnetische Kraft maximal 0.73 N beträgt?b) die magnetische Kraft mindestens 0.73 N beträgt? 8

9. Zwingt die magnetische Kraft geladene Teilchen immer auf Kreisbahnen? 9

10. Ein Rb-87 und ein Sr-87 Ion sind gleich geladen und bewegen sich mit gleicher Schnelligkeit durchdas gleiche B-Feld auf Kreisbahnen. Berechnen Sie den prozentualen Unterschied der Kreisbahnra-dien. 10

11. Ein α, ein β− und ein γ-Teilchen mit 17 keV kinetischer Energie treten senkrecht zu den Feldlinien inein Magnetfeld der Stärke 5.13 mT ein. Berechnen Sie die Bahnradien (mit Kommentar). 11

12. Elektronen treten aus einer Glühkathode und werden mit 283 V beschleunigt. Sie folgen im Magnet-feld einer Kreisbahn mit 10 cm Durchmesser, erkennbar als ‘Fadenstrahl’ in einem verdünnten Gas.Das Magnetfeld wurde durch ein Helmholtz-Spulenpaar mit 25 cm Radius und 144 Windungen proSpule erzeugt, während es von 2.18 A durchflossen wurde. Berechnen Sie mit Hilfe der Elementarla-dung die Masse des Elektrons. 12

13. Ein Draht von 2.0 cm Länge erfährt in einem homogenen Magnetfeld eine maximale Kraft von7.0 mN, wenn er von 10 A durchflossen wird. Berechnen Sie die magnetische Flussdichte. 13

14. In Abb. 21.2 ist die Bahn eines Elektrons im Massstab1:1 abgebildet. Das Elektron hatte einen Impuls von8.7·10−26 Ns. Bestimmen Sie die Stärke und Richtungdes Magnetfelds. 14

Abbildung 21.2: Bahn eines Elektrons

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21.2 Magnetische Kräfte 118

15. Ein Proton p tritt wie in Abb. 21.3 mit Anfangsge-schwindigkeit υ in ein homogenes Magnetfeld ein.Das Proton ist mit 300 V beschleunigt worden unddas Feld hat die Stärke B = 31 mT. Beschreiben undzeichnen Sie die Bahn (auch quantitativ). 15

Abbildung 21.3: (rechts) Proton trifft senkrecht aufvertikale, magnetische Feldlinien.

16. Nennen Sie drei Formeln, die elektrische oder magnetische Kräfte beschreiben. 16

17. Im inneren Van Allen Gürtel fliesst ein Protonen-Ringstrom in West-Ost Richtung um die Erde. ImAbstand 10·106 m vom Erdmittelpunkt in der magnetischen Äquatorebene hat das Feld ungefähr dieStärke 7.7 µT. Welche Geschwindigkeit muss ein Proton haben, damit es wegen der magnetischenKraft die Erde umrunden kann? (Gravitation ignorieren) 17

18. Ein Proton beginnt in einem homogenen Magnetfeld, dessen Feldlinien horizontal liegen, frei aus derRuhelage zu fallen. Skizzieren und diskutieren Sie die Bahn des Protons. 18

19. Das Drehmoment auf einen magnetischen Dipol im Magnetfeld ist M = pmB sinϕ. Berechnen Sierein formal die potentielle Energie als Funktion des Winkels ϕ.Tipps: Energie ist gespeicherte Arbeit. Wenn das Drehmoment variiert, so muss man über kleineSchrittchen integrieren. Erläutern Sie Ihre Rechnung. 19

20. Bestimmen Sie mit Hilfe aller Informationen von Abbildung21.4 die magnetische Kraft auf das Teilchen. Die Zeichnung istmassstäblich. Vergessen Sie nicht, die Richtung der Kraft anzu-geben. 20

Abbildung 21.4: Ein Helium-Ion bewegt sich mit hoher Ge-schwindigkeit durch ein magnetisches Feld.

21. Ein Ion wird auf 20.8 km/s beschleunigt und folgt in einem Magnetfeld der Stärke 188 mT einerKreisbahn mit Radius 372 mm. Welche Masse hat das einfach geladene Ion? 21

22. Eine magnetisierte, stählerne Stecknadel kann als Zylinder mit 0.60 mm Durchmesser, 30.0 mm Län-ge und 67 mg Masse betrachtet werden. Hängt man sie horizontal an einem langen Faden im Erd-magnetfeld auf, so schwingt sie mit T = 1.0 s wie eine Kompassnadel (Messung 25. März 2016,Lie). Berechnen Sie das magnetische Dipolomoment pm der Nadel. Für kleine Amplituden ist dieSchwingungsdauer 22

T ≈ 2π

√J

pmB

23. Ein Elektron bewegt sich mit 1.0·106 m/s durch ein Feld der Stärke 6.0 T. Berechnen Sie die maximaleund minimale Kraft (Betrag) des Feldes auf das Elektron. 23

24. Auf ein gerades Stück Draht von 38 cm Länge wirkt eine magnetische Kraft der Stärke 27 mN, wennein Strom von 2.23 A fliesst.a) Der Winkel zwischen Draht und Feldlinien betrage 49.9°. Berechnen Sie die Flussdichte B.b) Der Winkel zwischen Draht und Feldlinien sei unbekannt. Von welcher Komponente des B-Feldeskann man die Stärke berechnen (tun Sie das) und von welcher nicht? 24

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21.3 Elektromagnetismus 119

21.3 Elektromagnetismus

1. Das 7 Tesla MRI Gerät des Instituts für biomedizinische Technik Uni/ETH enthält einen supralei-tenden Elektromagneten von ca. 2 m Durchmesser und etwa 3 m Länge, der von 150 A durchflossenwird. Wie viele Windungen hat dieser Magnet, wenn man ihn als Zylinderspule betrachtet? 1

2. Sie müssen an einem Punkt eine Feldstärke von 7.5 mT erzeugen. Wie gehen Sie konkret vor? 2

3. Zwei parallele Drähte im Abstand 10 cm werden gegensinnig von 20 A durchflossen.a) Berechnen Sie die magn. Feldstärke (Flussdichte) genau zwischen den zwei Drähten.b) Wie nimmt die Feldstärke in der Mittelebene in grosser Entfernung von den Drähten ab? 3

4. Eine leere Zylinderspule hat Länge (60± 1) cm, Durchmesser (12.0± 0.5) cm sowie 120 Windungen.Fliesst ein Strom von (2.00 ± 0.01) A hindurch, so werden im Zentrum (0.48 ± 0.01) mT Feldstärkegemessen. Passen diese Angaben im Rahmen der Fehlerschranken zusammen, wenn die Spule alsschlank angesehen wird? 4

5. Zwei unendlich lange, gerade Leiter stehen senkrecht aufeinander und haben einen minimalen Ab-stand grösser als Null. Beide werden von einem elektrischen Strom durchflossen. Wirkt eine Kraftzwischen den Leitern und/oder ein Drehmoment? In welche Richtung? 5

6. Wie setzt sich die Einheit der magnetischen Feldkonstanten µ0 aus SI-Basiseinheiten zusammen? 6

7. Eine runde Flachspule mit 18 cm Durchmesser wird von 2.8 A durchflossen. Wie viele Windungenmuss sie haben, wenn im Zentrum ein Feld von 7.13 mT Stärke herrschen soll? 7

8. a) Wer hat wann entdeckt, dass Kompassnadeln in der Nähe eines stromführenden Drahtes ausgelenktwerden?b) Ist es auch möglich, dass eine Kompassnadel in der Nähe eines stromführenden Drahtes nichtausgelenkt wird? 8

9. Die mittlere Stromstärke eines Blitzes beträgt 20 kA. Wie gross ist die magnetische Flussdichte B in20 cm Abstand vom Blitzableiter? 9

10. Zwei parallele Stromkabel sind 5.3 km lang, haben 12.8 m Abstand und werden von 1.7 kA respektive1.9 kA durchflossen.a) Wie stark ist das Magnetfeld, das der erste Strom beim zweiten Kabel erzeugt?b) Wie stark ist die Kraft, welches dieses Feld auf das zweite Kabel ausübt? 10

11. Ein schlankes, leeres Solenoid soll bei einem Strom von 2.38 A eine Feldstärke von 1.04 mT erzeugen.Berechnen Sie die notwendige Windungsdichte (Anzahl Windungen pro cm). 11

12. Was passiert mit der magnetischen Feldstärke, die ein langer Draht erzeugt, wenn man den Abstandzur Drahtachse halbiert? 12

13. Ein Helmholtz-Spulenpaar hat 25 cm Radius/Abstand und 144 Windungen (pro Spule). Welches B-Feld herrscht im Zentrum, wenn die Spulen mit 3.3 A beschickt werden? Gibt es irgendwo in dieserAnordnung noch ein stärkeres Feld? 13

14. Eine quadratische Stromschleife habe Seitenlänge a und werde vom Strom I durchflossen. StellenSie eine begründete Vermutung auf, mit welcher Formel die magnetische Feldstärke im Zentrum derSpule berechnet wird. 14

15. Wie laufen die magnetischen Feldlinien a) in der Umgebung eines langen, geraden Stromleiters undb) im Innern eines schlanken Solenoids? 15

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21.3 Elektromagnetismus 120

16. Was passiert mit der magnetischen Feldstärke im Zentrum eines Kreisstromes, wenn der Radius 1.414Mal grösser wird? 16

17. Ein gerader Stromleiter erzeugt ein Magnetfeld. Was passiert mit der magntischen Feldstärke wennman die Stromstärke 40 % erhöht und gleichzeitig den Abstand verdoppelt? 17

18. Die Erde hat ein magnetisches Dipolmoment der Stärke 7,746·1022 A m2. Es wird durch Ströme imäusseren, flüssigen Erdkern verursacht. Schätzen Sie die Stromstärke ab. Spezifizieren Sie Ihre An-nahmen. 18

19. Ein Elektron bewegt sich momentan mit 498 km/s in 34.5 mm Abstand zu einem Draht parallel zurtechnischen Stromrichtung. Im langen, geraden Draht fliessen 17.8 A.a) Berechnen Sie die Stärke der Kraft auf das Elektron. (ev. unten verwenden)b) Berechnen Sie den momentanen Krümmungsradius der Bahn.c) Skizzieren Sie Draht, Stromrichtung und Bahn, so dass die gegenseitige Orientierung sowie Bewegungs-und Ablenkrichtung eindeutig ist. 19

20. Das Magnetfeld eines Kreisstromes entlang der Rotationsachse (senkrecht zur Kreisfläche, z-Achse)gehorcht laut Internet folgendem Gesetz:

Bz(z) =µ0Ir2

2(r2 + z2)3/2

Geben Sie Argumente an, warum diese Formel stimmen könnte. 20

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Kapitel 22

Elektrodynamik

22.1 Kondensatorentladung

1. Ein Kondensator von 20 µF Kapazität wirddurch einen Widerstand entladen. In Abbil-dung 22.1 ist der Spannungsverlauf überdem Kondensator gezeichnet. BestimmenSie mit Hilfe der Abbildung den Wider-standswert. 1

Abbildung 22.1: (rechts) Kondensatorent-ladung durch einen Widerstand 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

t ( s )

u (

V )

2. Wird die Taste T in Abb. 22.2 kurz ge-drückt, so variiert die Spannung über demKondensator wie in Abb. 22.3.a) Erklären Sie den Verlauf.b) Stellen Sie alle Gleichungen zusam-men, um zu jedem Zeitpunkt t > 0 dieseSpannung auszurechnen. Sie müssen keineSchlussformel erstellen. 2

Abbildung 22.2: zuAufgabe 2 Abbildung 22.3: zu

Aufgabe 2

68

3. Ein Kondensator von 5.0 µF Kapazität wird mit 150 V belegt und über einen 150 Ω-Widerstand ent-laden.a) Wie gross ist die Spannung 0.77 ms nach Start der Entladung?b) Nach welcher Zeit ist die Spannung auf 12 % des Anfangswerts gesunken? 3

4. Ein 43 µF-Kondensator wird über einen 50 Ω-Widerstand entladen. Der Kondensator ist anfangs mit3.7 V belegt. Wie gross ist der elektrische Strom durch den Widerstand 0.777 ms nach Start? 4

22.2 Magnetische Induktion

1. Ein Sonnensturm verursache einen Anstieg der Vertikalkomponente des Erdmagnetfelds von 650 nTin 15 min. Welche Spannung wird in einer Masche des elektrischen Versorgungsnetzes mit Fläche(1390 km)2 induziert? 1

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22.3 Selbstinduktion 122

2. Eine Lokomotive fährt mit 80 km/h bei Zürich nach Norden. Der Schienenabstand beträgt 1,435 m.Welche Spannung zwischen den Schienen wird durch die Bewegung der Lokomotiv-Radachsen imMagnetfeld induziert? 2

3. Ein Jogger rennt mit 12 km/h durch Zürich nach Osten.a) Wird wegen der Lorentzkraft der Kopf eher positiv oder eher negativ aufgeladen?b) Welche Spannung zwischen Kopf und Füssen wird durch die Bewegung induziert? Der Jogger sei1.75 m gross. 3

4. Eine Induktionsspule hat Fläche A pro Windung und N Windungen. Die Spule wird von einem zeit-abhängigen Magnetfeld B(t) senkrecht durchsetzt. Berechnen Sie die induzierte Spannung, wenn dasFeld folgendermassen variiert: a) B(t) = B0 exp(−t/τ) b) B(t) = B cos(ωt) 4

5. Die mittlere Anstiegsgeschwindigkeit für einen Blitz beträgt 7 kA pro Mikrosekunde, entsprechendschnell wächst das zugehörige magnetische Feld (wikipedia). Ein variierendes Magnetfeld kann eineSpannung induzieren. Berechnen Sie für ein geeignet orientiertes Quadrat von 1.0 m2 Flächeninhaltin 1.0 m Abstand vom Blitzableiter die induzierte Spannung. 5

6. Eine gleichmässig im Magnetfeld rotierende Spule generiert eine harmonische Wechselspannung.Wie hängt die Spannungsamplitude von der Drehfrequenz ab? 6

7. Abbildung 22.4 zeigt denmagnetischen Fluss durcheine offene Leiterschlei-fe als Funktion der Zeit.Zeichnen Sie in ein eige-nes Diagramm die Indukti-onsspannung als Funktionder Zeit. 7 0.0 1.0 2.0 3.0

0

1

2

3

4

5

Zeit in Sekunden

mag

netis

cher

Flu

ss in

Vs

Parabel

Abbildung 22.4: Zeitlicher Verlauf des magnetischen Flusses

8. Sie halten Ihren Bleistift (Länge 17 cm) horizontal und bewegen ihn mit 2.8 m/s abwärts. WelcheSpannung wird durch das Erdmagnetfeld zwischen den Enden maximal induziert? Wie muss derBleistift dann orientiert sein? 8

9. Eine einzelne Windung der Sekundärspule eines Transformators werde vom zeitabhängigen, magne-tischen Fluss Φ = a sin(ωt + ϕ0) durchsetzt, wobei a = 1.5 · 10−4 ?, ω = 314 s−1, ϕ0 = 0.83 rad unddie Windungszahl N2 = 300 ist.a) Welche SI-Einheit hat a?b) Berechnen Sie die Sekundärspannung u2(t) formal. 9

10. Welches physikalische Gesetz steckt hinter den Kraftwerks-Generatoren? Warum produzieren dieGeneratoren harmonische Wechselspannung? 10

22.3 Selbstinduktion

(Induktivität, magnetische Energie)

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22.3 Selbstinduktion 123

1. Wenn der Schalter S in Abbildung 22.5 geschlossenist, fliesse der Strom i0 durch die Spule mit Indukti-vität L. Zur Zeit t = 0 werde der Schalter S geöffnet.Dann fliesst nur noch im rechten Kreis mit WiderstandR ein Strom i(t).a) Warum hört der Strom nicht sofort auf zu fliessen?b) Nach welchem Gesetz wird der Strom i(t) abneh-men? 1

Abbildung 22.5: Schaltung mit Span-nungsquelle U0, Widerstand R0, Schalter S,Induktivität L und Widerstand R.

2. Wie gross ist die elektrische und magnetische Energiedichte an der Oberfläche einer Hochspannungs-leitung, z.B. in 2.0 cm Abstand von der Achse einer Leitung, die von 500 A durchflossen wird undeine Spannung von 400 kV gegen Erde aufweist? Betrachten Sie das Leiterseil näherungsweise alsgeladenen Stab in 10 m Höhe um die elektrische Feldstärke via die Spannung zu berechnen. 2

3. Die Primärspule eines Transformators hat eine Induktivität von 0.48 H.a) Wie viel magnetische Energie steckt im Trafo, wenn ein mittlerer Strom (Effektivwert) von 1.3 Ahinein fliesst? (kein Sekundärstrom)b) Die Primärspannung sei u(t) = u cos(ωt). Berechnen Sie formal den primärseitigen, elektrischenStrom i(t). Tipp: integrieren 3

4. Eine Spule von 54 mH und ein Kondensator sind seriell geschaltet. Durch beide fliesst derselbe har-monische Wechselstrom mit Amplitude 237 mA und Frequenz 400 Hz. Die harmonische Wechsel-spannung über dem Kondensator hat eine Amplitude von 34 V.a) Berechnen Sie die Amplitude der Spannung über der Spule.b) Berechnen Sie die Kapazität des Kondensators. Tipp: einmal ableiten 4

5. Eine supraleitende Magnetspule mit Induktivität 14.05 H trägt einen Strom von 19.5 kA. Um denelektrischen Strom herunter zu fahren wird der Strom über einen 2.0 mΩ Leistungswiderstand umge-leitet. (CMS im LHC des CERN)a) Wie viel magnetische Energie speichert die Magnetspule zu Beginn?b) Berechnen Sie die Abklingzeit τ des elektrischen Stroms.c) Mit welcher Leistung wird der Widerstand anfangs geheizt? 5

6. Aus welchen SI-Basiseinheiten setzt sich das Henry (H) zusammen? 6

7. Eine Spule mit Induktivität L1 und eine mit L2 sind seriell über einen Widerstand R und einen Schaltermit einer Gleichspannungsquelle U0 verbunden.a) Stellen Sie die Differentialgleichung für den Einschaltstrom auf.b) Lösen Sie die Gleichung. 7

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Kapitel 23

Elektrotechnik

23.1 Wechselstrom und Wechselspannung

1. a) Messen Sie möglichst genau Schwingungsdauer und Amplitude aus folgender u(t)-Darstellungheraus. Zeigen Sie, wie Sie die gemessenen Strecken in die gesuchten Grössen umwandeln.

0 20 40 60 80 100–50

–25

0

25

50

t (ms)

u(t)

(V)

b) Berechnen Sie mit dem Resultat von a) die effektive Spannung und die Kreisfrequenz. 1

2. Berechnen Sie die Kreisfrequenz des elektrischen Haushaltnetzes. 2

3. Ein ohmscher Widerstand (120 Ohm) wird an ein 50 Hz-Netzgerät mit 31 V Spannungsamplitudeangeschlossen.a) Wie gross ist der Spitzenstrom?b) Wie gross sind die minimale und die maximale, momentane Leistung?c) Wie gross ist die mittlere Leistung? 3

4. Eine gelandetes A320- Flugzeug wird versorgt mit 400 Hz, 115 V, 75 kW Wechselstrom.a) Wie gross ist die Spitzenspannung?b) Wie gross ist der effektive und der Spitzenstrom? 4

5. a) Erklären Sie in Worten, was die Ideen hinter der Definition des Effektivwertes sind.b) Erklären Sie in Worten, woher es kommt, dass Wechselspannung meistens cosinus-förmig ist. 5

6. Die Startphase einer harmonischen Wechselspannung u(t), siehe FoTa, sei ϕ1 = −0.583 rad, die Fre-quenz sei 49.98 Hz und die effektive Spannung 120 V.

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23.2 Elektromotoren, Generatoren und Transformatoren 125

a) Berechnen Sie die Kreisfrequenz.b) Zu welchem Zeitpunkt findet der erste Nulldurchgang der momentanen Spannung statt?c) Berechnen Sie die Spannungsamplitude.d) Wie gross ist der effektive Strom, wenn die Spannung an einem 250 Ω-Widerstand anliegt? 6

7. Eine Wechselspannung u(t) = u cos(ωt + ϕ1) mit u = 117 V, ω = 2513 s−1 und ϕ1 = 1.02 rad wird aneinen 120 Ω-Widerstand angelegt.a) Wie gross ist die momentane Spannung zum Zeitpunkt t = 5.555 ms?b) Wie gross ist die effektive Spannung am Widerstand?c) Wie gross ist die mittlere und die minimale Leistung? 7

8. Wie viel Leistung kann von einer Haushaltsteckdose, die mit 10 A gesichert ist, maximal bezogenwerden? 8

9. Warum ist es unklar oder irreführend, wenn man statt Effektivwert einfach Mittelwert sagt? 9

10. Was bedeutet die englische Bezeichnung ‘rms-voltage’ genau? 10

11. Das US-amerikanische Wechselspannung-Haushaltnetz hat die Nennwerte 60 Hz und 120 V. Berech-nen Sie die Spannungsamplitude, Kreisfrequenz und Schwingungsdauer der momentanen Spannung.11

12. Die Wechselspannung im Haushalt folgt u(t) = u cos(ωt + ϕ1). Geben Sie für alle Parameter – womöglich und sinnvoll – die Zahlenwerte an. 12

13. Eine harmonische Wechselspannung u = u cos(ωt + ϕ1) hatω = 2513 s−1, u = 156 V und ϕ1 = 0.873 rad.a) Berechnen Sie die momentane Spannung zum Zeitpunkt t = 1.372 ms.b) Die Wechselspannung wird an einen Widerstand angelegt, worauf ein Strom Ieff = 0.382 A fliesst.Berechnen Sie den Widerstandswert.c) Zu welchem Zeitpunkt hat der Strom erstmals den Momentanwert 0.0283 A? 13

23.2 Elektromotoren, Generatoren und Transformatoren

1. Ein Aussenläufermotor der Firma ebm-papst hat Nennspannung 48 V, Nenndrehzahl 4000 U/min,Nenndrehmoment 250 mNm, Nennstrom 2.9 A und 105 W Dauerleistungsabgabe. Passen die Anga-ben zusammen? 1

2. Die Rotorspule eines Motors erfährt ein maximales Drehmoment von 17 mNm, wenn sie von 0.94 Adurchflossen wird und sich in einem Feld von 0.13 T dreht. Die eisenlose Spule hat 37 Windungen.Berechnen Sie die Fläche der Spule. 2

3. Was ist der Unterschied zwischen einem Gleichstrommotor und einem Wechselstromgenerator inAufbau und Funktion? Die Geräte sehen ja auf den ersten Blick ähnlich aus. 3

4. Ein Transformator mit N1 = 500 soll 230 V Wechselspannung so transformieren, dass die Sekundär-spannung 3.8 V Spitzenwert hat. Wie viele Windungen hat die Sekundärspule? 4

5. Ein voll belasteter, guter Transformator nimmt primärseitig 230 V und 0.88 kW auf. Die Primärspulehat 600 Windungen. Die Sekundärspannung ist 115 V.a) Wie gross ist der Spitzenwert der Sekundärspannung?b) Wie gross ist der Primärstrom?c) Welche Windungszahl hat die Sekundärspule? 5

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23.3 Impedanz 126

6. Das Netzteil für meine externe Harddisc gibt 12 V und 3.0 A (DC) ab, primärseitig ist es am Haus-haltnetz angeschlossen.a) Wie gross ist die abgegebene Leistung?b) Wie gross ist der Strom primärseitig mindestens? Warum mindestens?c) Der Strom wurde sekundärseitig gleichgerichtet. Wie gross war die Amplitude des Wechselstromesvor der Gleichrichtung? 6

7. Nennen Sie drei Vorteile von Dreiphasen-Wechselstrom gegenüber anderen Elektrizitätsarten. 7

8. Zählen Sie einige Vor- und Nachteile eines Generators gegenüber einer Batterie auf. 8

9. Der neue Rotor eines Generators rotiert doppelt so schnell und er hat zweimal so viel Windungen.Der Rest bleibt gleich. Berechnen Sie das Verhältnis von neuer zu alter Generatorspannung. 9

10. Ein Transformator soll ans Haushaltnetz angeschlossen werden und sekundärseitig eine Spannungvon 12 V abgeben. Die Primärspule habe 500 Windungen.a) Wie viele Windungen hat die Sekundärspule?b) Wie gross ist die Spannungsamplitude sekundärseitig?c) Warum funktioniert ein Transformator nur mit Wechselspannung?d) Fliesst primärseitig auch ein Strom, wenn sekundärseitig gar nichts angeschlossen wird? 10

23.3 Impedanz

1. Durch eine Spule fliesst ein Wechselstrom von 1.8 A, wenn eine Spannung von 222 V mit 50 Hzangelegt wird. Berechnen Sie die Induktivität der Spule. 1

2. In Abbildung 23.1 sehen Sie Strom und Spannung durch ein elektrisches Element.a) Lesen Sie aus dem Bild möglichst genau die Schwingungsdauer heraus.b) Bestimmen Sie die Phasenverschiebung inklusive Fehlerschranke (ohne Vorzeichen).c) Handelt es sich um eine Spule oder einen Kondensator?d) Bestimmen Sie die Impedanz des Elements. (unten verwenden)e) Berechnen Sie die Induktivität oder Kapazität. 2

0 2 4 6 8 10–50

0

50

t ( ms )

u ( V

) od

er i

( mA

) i(t) u(t)

Abbildung 23.1: Siehe Aufgabe 2.

3. Ein Strom von 2.8 A gehe der Spannung von 230 V und 50 Hz eine Fünftelperiode voraus.a) Berechnen Sie die Wirkleistung.b) Berechnen Sie die Impedanz.

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23.3 Impedanz 127

c) Berechnen Sie die Scheinleistung.d) Berechnen Sie die Blindleistung. 3

4. In Abbildung 23.2 sehen Sie eine harmonische Wechselspannung.a) Berechnen Sie die effektive Spannung.b) Bestimmen Sie möglichst genau die Schwingungsdauer inklusive Fehlerschranke.c) Berechnen Sie aus b) die Kreisfrequenz.d) Bestimmen Sie aus Abb. 23.2 die Startphase.e) Die Spannung liege an einer idealen Spule mit 3.3 mH Induktivität an. Berechnen Sie die Strom-amplitude.f) Zeichnen Sie in die Abb. 23.2 den Stromverlauf ein. Beschriften Sie die rechte, vertikale Skala fürdiesen Graphen. 4

0 2 4 6 8 10 12–100

0

100

t ( ms )

u(t)

( V

)

Abbildung 23.2: Harmonische Wechselspannung u(t) = u cos(ωt+ϕ1) mit Spannungs-amplitude u = 80.0 V zu Aufgabe 4.

5. Abbildung 23.3 zeigt Strom und Spannung für eine Serieschaltung eines ohmschen Widerstands undeines weiteren Elements.a) Ist dieses Element eine Spule oder ein Kondensator?b) Bestimmen Sie möglichst genau die Schwingungsdauer, Stromamplitude, Spannungsamplitudeund Phasenverschiebung durch Abmessen in Abbildung 23.3.c) Berechnen Sie die Impedanz.d) Berechnen Sie den Widerstand und die Kapazität oder Induktivität, allenfalls nur formal. 5

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23.3 Impedanz 128

0 50 100 150–30

0

30

t (ms)

u(t) (V)

i(t) (mA)

Abbildung 23.3: Elektrische Spannung u und el. Stromstärke i als Funktion der Zeit t

6. Ein Kondensator und ein ohmscher Widerstand sind seriell geschaltet.a) Bei welcher Kreisfrequenz ω ist die Phasenverschiebung −π/4?b) Wie gross ist die Ersatzimpedanz dann? 6

7. Ein Widerstand, eine Spule und ein Kondensator sind parallel geschaltet. Diskutieren sie den Fre-quenzgang der Impedanz, d.h. diskutieren Sie die Funktion Z(ω) (Nullstellen, Grenzwert ω → ∞,stationäre Stellen). Können Sie die Rechnungsergebnisse in Worten erklären? 7

8. Ein ohmscher Widerstand von 250 Ω und eine Spule von 25 mH sind seriell an eine harmonischeWechselspannungsquelle mit Amplitude 35 V und Frequenz 800 Hz angeschlossen.a) Berechnen Sie die Ersatzimpedanz und die Phasenverschiebung mit Hilfe der FoTa-Formeln. (un-ten verwenden, deshalb die Werte auch ungerundet notieren).b) Bestimmen Sie die Stromamplitude.c) Leiten Sie die Formel für Z via Zeigerdiagramm oder komplexe Zahlen selber her.d) Berechnen Sie die Spannungsamplituden über dem Widerstand und der Spule. Warum ist die Sum-me dieser Spannungen verschieden von 35 Volt?e) Berechnen Sie die Schein-, Wirk- und Blindleistung, welche die Spannungsquelle abgibt. 8

9. Was passiert mit der Impedanz eines idealen Kondensators, wenn die Frequenz der Wechselspannungverdoppelt wird? 9

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Teil IV

Schwingungen und Wellen

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Kapitel 24

Geometrische Optik

24.1 Reflexion und Brechung

1. Licht konnte in einem speziell präparierten Gas auf 17 m/s abgebremst werden (Lene Hau et. al,Nature, 1999). Berechnen Sie den absoluten Brechungsindex dieses Gases. 1

2. Ein Lichtstrahl fällt auf eine Grenzfläche Luft/Glas und wird δ = 1.873 ° aus der ursprünglichenRichtung abgelenkt. Das Glas hat Brechungsindex 1.4829 (relativ zu Luft). Berechnen Sie den Ein-fallswinkel in der Luft. 2

3. Ein Lichtstrahl hat Einfallswinkel 65.3° auf eine Grenzfläche Wasser→Plexiglas. Berechnen Sie denBrechungswinkel im Plexiglas (Acryl). 3

4. a) Welche Relation müssen der Brechungsindex n1 des Einfallsmediums und der Brechungsindex n2

des angrenzenden Mediums erfüllen, damit Totalreflexion überhaupt auftreten kann?b) Welche Bedingung muss der Einfallswinkel α1 erfüllen, damit Totalreflexion auftritt? 4

5. Berechnen Sie den Ablenkwinkel δ in Abbildung 24.1 als Funktion des Winkels α zwischen den zweiSpiegeln. 5

Abbildung 24.1: Zwei Spiegel schliessenden Winkel α ein. Ein Lichtstrahl wird– wie schematisch gezeichnet – zurückge-worfen und schliesst den Winkel δ mit demeinfallenden Strahl ein. Wie hängen α undδ zusammen?

6. Ein Winkelspiegel hat zwei kleine Löcher A und B, siehe Abb. 24.2. Wie verläuft ein Lichtstrahl,der bei A eintritt, zwischen den Spiegeln ein-, zwei- oder dreimal reflektiert wird und bei B wiederaustritt? Zeigen Sie, wie es geht (Konstruktion) oder warum es nicht geht. 6

Abbildung 24.2: Zwei Spiegel schliesseneinen spitzen Winkel (40°) ein. Wie läuft einLichtstrahl von Öffnung A nach B, der vonden Spiegeln einige Male hin und her re-flektiert wird?

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24.1 Reflexion und Brechung 131

7. Ein Lichtstrahl durchquert wie in Abb. 24.3 dargestellt ein Dove-Prisma (trapezförmiges Prisma mitzwei 45°- resp. π/4-Basiswinkeln). Der Einfallsstrahl sei parallel zur Basis.a) Zeigen Sie, dass der austretende Strahl parallel zum einfallenden Strahl ist.b) Kann unten Totalreflexion auftreten für ein Prisma aus Plexiglas? (ohne Schlussformel)c) Warum nennt man das Dove-Prisma auch Umkehrprisma? 7

Abbildung 24.3: Umkehrprisma nach Heinrich Wilhelm Dove.

8. Ein Lichtstrahl fällt wie in Abb. 24.4 unter 48° auf ei-ne vertikale Glasfront und trifft danach auf eine ebeneWasseroberfläche. Berechnen Sie den Brechungswin-kel im Wasser. 8

Abbildung 24.4: Ein Lichtstrahl trifft eine vertikaleFensterfront und wird auf den Teich davor gespiegelt.

9. Mit welcher Geschwindigkeit bewegt sich Licht in Plexiglas? 9

10. In Abbildung 24.5 sehen Sie den Brechungswinkel von Licht, das auf eine Grenzfläche trifft, gegenden Einfallswinkel graphisch dargestellt. Der Brechungsindex n1 des Einfallsmediums sei genau Eins.a) Ergänzen Sie die Achsenbeschriftung und die Legende.b) Bestimmen Sie den Brechungsindex n2. 10

Abbildung 24.5:

0 30 60 900

10

20

30

40

50

Einfallswinkel11. Wie muss der Einfallswinkel gewählt werden, damit gebrochener und reflektierter Strahl senkrecht

auf einander stehen? 11

12. Der Einfallswinkel betrage 31.8°, der Brechungswinkel in Wasser 38.2°.a) Wie gross ist der Brechungsindex des Einfallsmediums?b) Berechnen Sie den Grenzwinkel der Totalreflexion. 12

13. Der Einfallswinkel beträgt 30°, der Brechungswinkel 45°. Berechnen Sie den relativen Brechungsin-dex ohne Taschenrechner. 13

14. Zeichnen Sie den Strahlengang für den Hauptregenbogen. Bezeichnen Sie alle Winkel und sonstigenGrössen, die man benötigt, um den Ablenkwinkel auszurechnen. Notieren Sie alle Beziehungen zwi-

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24.2 Linsen und Spiegel 132

schen den Winkeln und den anderen Grössen, die man benötigt, um den Ablenkwinkel auszurechnen.Sie müssen den Ablenkwinkel nicht ausrechnen. 14

15. Schall kann von Luft in Wasser eintreten (oder umgekehrt) und wird dabei gebrochen.a) Aus welcher Richtung muss der Schall kommen, damit Totalreflexion auftreten kann?b) Wie gross ist der Grenzwinkel der Totalreflexion? 15

16. Als ich in den Ferien eine Freiluftdusche benützte, sah ich zu meinem Erstaunen zwei Regenbögen.Warum? 16

17. Sie messen den Einfallswinkel zu α1 = (58 ± 1)° und den Brechungswinkel zu (29 ± 2)°. Das Ein-fallsmedium sei Luft. Bestimmen Sie den zweiten Brechungsindex mit Fehlerrechnung nach Schema.17

18. Der Ablenkwinkel für Lichtstrahlen, welche den Haupt-Regenbogen bilden, ist δ = 180°+2 arcsin(x)−4 arcsin(x/n), wobei n der relative Brechungsindex des Tropfens und x = b/r angibt, wie gross derAbstand b des einfallenden Strahls von der Zentrale der Kugel mit Radius r ist. Der Regenbogenwin-kel δmin ist bei xmin =

√(4 − n2)/3.

a) Berechnen Sie den Regenbogenwinkel δmin für einen Nebel aus Ethanol.b) Leiten Sie die Formel für xmin her. 18

19. Gelbes Licht einer Natriumdampflampe (NaD) durchläuft ein Prisma aus Glas der Sorte FK3.a) Welche Geschwindigkeit hat das Licht im Glas?b) Der Einfallswinkel in Luft betrage 68.928°. Wie gross ist der Brechungswinkel im Glas?c) Von welcher Seite muss das Licht auf die Grenzfläche Luft-Glas treffen, damit Totalreflexion auf-treten kann? Wie gross ist der Grenzwinkel der Totalreflexion? 19

20. Der Einfallswinkel betrage 45°, der Brechungswinkel 60°. Berechnen Sie den relativen Brechungsin-dex. 20

24.2 Linsen und Spiegel

1. Eine Person muss eine Brille mit -2.5 dpt tragen.a) Wie heisst die Grösse mit Einheit dpt?b) Ist die Person kurz- oder weitsichtig?c) Berechnen Sie die Brennweite der Brillengläser.d) Zeichnen Sie einen Querschnitt durch ein Brillenglas. 1

2. Zwei Linsen haben gleiche Form und Grösse. Die erste besteht aus dem Jenaer Glas FK3, das andereaus Jenaer Glas SF4. In welchem Verhältnis stehen die Brennweiten? (für gelbes Licht, NaD) 2

3. Eine Linse hat Brennweite 3.82 cm in Luft gemessen. Erklären Sie in Worten, was mit der Brennweitepassiert, wenn die Linse vollkommen in Wasser getaucht wird. 3

4. Galileo Galilei hat für sein Fernrohr eine plankonvexe Glaslinse mit ca. 90 cm Brennweite hergestellt.Das Glas habe einen Brechungsindex von 1.555. Welchen Krümmungsradius muss die konvexe Seiteder Linse erhalten? (Tipp: Eine ebene Fläche hat Krümmungsradius unendlich.) 4

5. In Abb. 24.6 sehen Sie einen Hohlspiegel. Bestimmen Sie seine Brennweite. 5

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24.3 Abbildungsgesetze 133

Abbildung 24.6: Sphärischer Hohlspiegel im Querschnitt.

6. Der historische Bamberg-Refraktor steht in der Sternwarte am Insulaner in Berlin. Er wurde 1889gebaut, hat eine Öffnung von 314 mm bei einer Brennweite von 5 m. Möglich sind damit bis zu 700-fache Vergrösserungen. Angenommen, das Objektiv bestehe aus einer symmetrischen Bikonvexlinsemit Brechungsindex 1.50, welchen Krümmungsradius hätten die Oberflächen? 6

7. Siehe Legende zu Abb. 24.7. 7a) Bestimmen Sie mit Hilfe der Abbildungsgleichungen, wo sichder Bildpunkt B befindet.b) Berechnen Sie mit Hilfe des Fermat’schen Prinzips, bei wel-chem Punkt P auf der Parabel die Reflexion effektiv stattfindet.Kommentieren Sie das Resultat und/oder die Aufgabe.

Abbildung 24.7: Ein Parabolspiegel hat Brennweite f =

30 cm = SF. Der Scheitel S befinde sich im Nullpunkt, der FokusF auf der y-Achse eines kartesischen Koordinatensystems. EinGegenstandspunkt G befinde sich bei yG = g = 80 cm. xS

F

G

B

P

y

8. Siehe Legende zu Abb. 24.8. 8

Abbildung 24.8: Ein Glas mit Brechungsindex n weist eine Del-le mit Krümmungsradius r auf, welche für Licht wie eine Lin-se wirkt. Berechnen Sie die Brennweite für einen achsenparalleleinfallenden Strahl s in paraxialer Näherung. Handelt es sichum eine Sammel- oder Zerstreuungslinse?

24.3 Abbildungsgesetze

1. Ein Mikroskop-Objektiv mit Brennweite 4.4 mm soll eine Bildweite von 160 mm (Tubuslänge) haben.Berechnen Sie a) die Gegenstandsweite und b) den Abbildungsmasstab. 1

2. Der Gegenstand steht 29.3 cm vor der Linse, das Bild 43.3 cm dahinter.a) Berechnen Sie den Abbildungsmassstab.b) Handelt es sich um eine Sammel- oder Zerstreuunglinse?c) Berechnen Sie die Brennweite der Linse. 2

3. Was passiert mit dem Bild, wenn die untere Hälfte der abbildenden Linse zugedeckt wird? 3

4. Der Abbildungsmassstab ist 1.00, Gegenstand und Bildschirm haben 956 mm Abstand. BerechnenSie die Brennweite der Sammellinse. 4

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24.3 Abbildungsgesetze 134

5. Ein Objekt steht (7.8±0.3) cm vor einem Objektiv und wird auf einen Bildschirm (158±2) mm hinterdem Objektiv abgebildet.a) Berechnen Sie den Abbildungsmassstab inklusive Fehlerschranke (Rechnung nach Schema)b) Berechnen Sie die Brechkraft des Objektivs. 5

6. Gegenstand und Bildschirm haben 935 mm Abstand. Die Linse mit 142 mm Brennweite wirft einscharfes Bild auf den Schirm. Berechnen Sie die Gegenstandsweite und den Abbildungsmassstab. 6

7. (47.5±0.6) cm vor einer Linse mit (12.3±0.3) cm Brennweite befindet sich ein Gegenstand.a) Berechnen Sie die Bildweite inklusive Fehlerschranke.b) Berechnen Sie den Abbildungsmassstab (ohne Fehlerschranke). 7

8. Die Gegenstandsweite betrage 28.3 mm und der Abbildungsmassstab A = 2.8. Berechnen Sie dieBrennweite der Linse mit Fehlerrechnung. 8

9. Der Gegenstand stehe 1083 mm vor einer Linse mit 273 mm Brennweite. Berechnen Sie die Bildweiteund den Abbildungsmassstab. 9

10. Stellt man den Schirm nicht bei der Bildweite hin, so entsteht kein scharfes Bild. Untersuchen Sie dasunscharfe Bild (Form und Grösse) für einen Gegenstandspunkt auf der optischen Achse. 10

11. a) Gegenstand und Bildschirm haben Abstand d. In welchem Abstand vom Gegenstand muss maneine Linse der Brennweite f > 0 hinstellen, damit sich ein scharfes Bild ergibt?b) Welche Bedingung muss erfüllt sein, damit Teilaufgabe a) eine Lösung hat? 11

12. Die Brennweite des fehlsichtigen Auges betrage 31 mm, ein Normalsichtiges hätte 24 mm. BerechnenSie die Brechkraft der Korrekturlinse (Brillenglas). 12

13. Der Gegenstand sei 1781 mm gross, das Bild 31.2 mm. Die Gegenstandsweite sei 2500 mm. Berech-nen Sie die Brennweite des Photoobjektivs. 13

14. Der Gegenstand steht 284 mm vor der Linse, das Bild ist 1.55 mal grösser als der Gegenstand.a) Berechnen Sie die Bildweite.b) Berechnen Sie die Brennweite der Linse. 14

15. Eine Linse bilde einen Punkt Q auf der optischen Achse scharf auf einen Punkt P ab, siehe Abbildung24.9 Die Linse habe Brennweite f = F1H = HF2, der Punkt Q Gegenstandsweite g = QH und derBildpunkt P Bildweite b = HP. Die Linse habe Radius R.a) Wie wird Punkt P konstruiert?b) Was passiert mit dem Bildpunkt, wenn die Mattscheibe um die Distanz δ falsch hingestellt wird?Es wird eine formale Antwort erwartet. 15

Abbildung 24.9: Ein Punkt Qauf der optischen Achse einerLinse wird scharf auf Punkt Pabgebildet. Was passiert, wennder Bildschirm um die Strecke δverschoben ist? (Aufgabe 15)

16. Eine Linse mit Brennweite 44 mm soll einen Gegenstand zweifach vergrössert abbilden. BerechnenSie die erforderliche Gegenstandsweite. 16

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24.4 Optische Geräte 135

24.4 Optische Geräte

1. Im Jahre 1609 baute Galilei ein holländisches Fernrohr nach und beobachtete damit den Sternenhim-mel. Sein Fernrohr bestand aus einer Objektivlinse mit ca. 900 mm Brennweite und einer Okularlinsemit ca. -50 mm Brennweite. Berechnen Sie die Vergrösserung. 1

2. Um Ihr Make-up zu kontrollieren, können Sie in einen kleinen Schminkspiegel schauen oder dasSmartphone im Selfie-Modus benützen. Was passiert mit dem Bild, wenn siea) den Taschenspiegel weiter weg halten oderb) das Smartphone weiter weg halten? 2

3. Meine Juwelierlupe hat 77 mm Brennweite. Berechnen Sie die Vergrösserung. 3

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Kapitel 25

Schwingungen

25.1 Pendel

(Federpendel, Faden-/mathematisches Pendel, physikalisches Pendel)

1. Berechnen Sie aus der Schwingungsdauer T formal die Kreisfrequenz ω einesa) Federpendels undb) Fadenpendels (bei kleiner Amplitude). 1

2. Ein Körper der Masse m wird an eine Feder mit Federkonstante k gehängt und ohne Anfangsge-schwindigkeit losgelassen. Die Feder sei beim Start entspannt und sie sei viel leichter als der schwin-gende Körper. Charakterisieren Sie die Schwingung, indem Siea) die Bahngleichung y(t) angeben.b) die Amplitude berechnen.c) die maximale Geschwindigkeit angeben.d) die maximale Beschleunigung bestimmen. 2

3. Eine Kinderschaukel ist an 2.5 m langen Seilen aufgehängt, die 10° gegen die Vertikale geneigt sind,siehe Abb. 25.1. Berechnen Sie die Schwingungsdauer. 3

Abbildung 25.1: Kinderschaukel mit schrägen Seilen (nicht massstäblich).

4. Wie viele Promille muss die Länge eines Standuhr-Pendels vergrössert werden, wenn die Schwin-gungsdauer 0.104 % zunehmen soll? 4

5. Ein Fadenpendel hat Länge 998 mm und Schwingungsdauer 2.006 s.a) Wie gross ist die Fallbeschleunigung an diesem Ort?b) Um welchen Faktor muss man die Länge verändern, um daraus ein Sekundenpendel zu machen? 5

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25.1 Pendel 137

6. Ein Pendelkörper von 350 g Masse wird an eine Feder mit Federkonstante 58 N/m gehängt. Dannwird er 4.5 cm aus der Gleichgewichtslage nach unten gezogen und ohne Anfangsgeschwindigkeitlosgelassen.a) Wie gross ist die Anfangsphase? Die Bahngleichung sei y = y sin(ωt + ϕ0).b) Berechnen Sie die Schwingungsdauer T. 6

7. Ein Sekundenpendel hat die Länge (994±2) mm. Berechnen Sie die Fallbeschleunigung inklusiveFehlerschranke. 7

8. Welche Länge hätte das Sekundenpendel auf dem Mond? 8

9. Hängt man einen Körper von 380 g an eine Feder, so schwingt das Federpendel mit einer Frequenzvon 1.83 Hz. Berechnen Sie die Federkonstante der Feder. 9

10. Das Pendel ist 758 mm lang und die Fallbeschleunigung hat den Wert 9.8 m/s2. Berechnen Sie dieSchwingungsdauer dieses Fadenpendels bei kleiner Amplitude. 10

11. Um welchen Faktor muss man die Länge eines Fadenpendels vergrössern, damit sich die Schwin-gungsdauer verdoppelt? 11

12. a) Wie lange ist das Sekundenpendel in Zermatt?b) Welche Schwingungsdauer hat jenes Pendel bei gleicher Länge in Basel? 12

13. Die Schwingungsdauer zweier Fadenpendel unterscheiden sich um 1.67 %. Wie viel unterscheidensich die Pendellängen? 13

14. Ein Fadenpendel schwinge bei uns mit Periode 1.873 s. Berechnen Sie seine Länge. 14

15. Wie gross wäre die Schwingungsdauer eines Fadenpendels an der Erdoberfläche, dessen Länge gleichdem Erdradius ist? Hat das Resultat irgend eine Bedeutung? 15

16. Welche Länge müsste ein Fadenpendel auf der Erde haben, damit die Schwingungsdauer ein Tag ist?Kommentar? 16

17. Eine Schülerin hat Abbildung 25.2 im Internet gefunden, in einem Berichtverwendet und selbst in der Legende dazu geschrieben: “Das Pendel erfährteine Gewichtskraft FG und die Rücktreibende Kraft F.”Was ist falsch oder unglücklich an dieser Beschreibung und inwiefern istdieser Fehler durch die Darstellung provoziert worden? 17

Abbildung 25.2: Nachzeichnung einer Grafik aus dem Internet mit einemFadenpendel und den Kräften.

18. Ein rechteckiger Cantilever für die Rasterkraftmikroskopie ist ein einseitig eingespannter Träger-Balken aus z.B. Silizium. Ein bestimmtes Fabrikat weist eine Federkonstante von 0,1 N/m sowie eineResonanzfrequenz von 30 kHz auf. Berechnen Sie die effektiv schwingende Masse. 18

19. Eine quadratische Platte der Masse m und Kantenlänge a wird an einer EckeD aufgehängt und in Schwingung versetzt, siehe Abb. 25.3. Die Drehachsestehe senkrecht zur Plattenfläche. Berechnen Sie die Schwingungsdauer füra = 19.9 cm und m = 341 g. 19

Abbildung 25.3: Physikalisches Pendel, das um die Achse D schwingt.

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25.2 harmonische Schwingung 138

20. Eine Spielzeugpistole wird geladen, indem man einen Pfeil mit Saugnapf (3.73 g) um 43 mm hinein-stösst und dabei eine Feder mit 31 N komprimiert. Beim Abschiessen entspannt sich die Schrauben-feder und stösst den Pfeil aus dem Lauf. Vernachlässigen Sie die Masse der Feder.a) Wie lange dauert der Abschuss?b) Welche Schnelligkeit erreicht der Pfeil?c) Nach welchem formalen Gesetz nimmt die Geschwindigkeit zu?d) Beschreiben Sie in Worten, warum es für die Rechnung wesentlich ist, dass man die Federmassegegen die Pfeilmasse vernachlässigen darf. 20

21. Betrachten Sie einen Arm als 60 cm langes, mathematisches Pendel, das beim Wandern mit Amplitude30° geschwungen wird. Schätzen Sie die Beschleunigung der Hand ab. Wie stark erhöht sich derBlutdruck dadurch? Kann das die geschwollenen Hände nach einer langen Wanderung erklären? 21

22. Ein Gewichts- oder Pendellot dient der Überwachung von z.B. Talsperren. Es besteht aus einem lan-gen Pendel, das in eine Dämpfungsflüssigkeit taucht. Das Pendel sei 85 m lang. Der 10 kg-Pendelkörperaus Stahl tauche vollständig in das Wasserbad ein.a) Berechnen Sie die Schwingungsdauer unter Vernachlässigung der Dämpfung.b) Ist es gerechtfertigt, die Dämpfung zu vernachlässigen? Die Amplituden seien unter 1 mm. 22

23. Aus zwei mathematischen Pendeln mit Längen `1 und `2 sowie Massenm1 und m2 wird ein starres, gerades Doppelpendel wie in Abbildung 25.4gebildet.a) Berechnen Sie die Schwingungsdauer dieses physikalischen Pendels.b) Wie hängt die Periode des Doppelpendels mit den SchwingungsdauernT1 und T2 der zwei mathematischen Pendel zusammen? 23 Abbildung 25.4: Skizze zu

Aufgabe 23.

24. Was passiert mit der Schwingungsdauer eines Fadenpendels, wenn man dessen Länge vervierfacht?24

25. Ein Pendel besteht aus einer Kugel (r = 1.8 cm, m = 190 g), die an einem dünnen Faden hängt. DerAbstand Aufhängung-Kugelzentrum beträgt 998 mm. Berechnen Sie die Schwingungsdauer diesesphysikalischen Pendels. Ist der Unterschied zu einem mathematischen Pendel signifikant? 25

26. Um welchen Faktor ist die Masse vergrössert worden, wenn sich die Schwingungsdauer eines Feder-pendels (bei gleicher Feder) um den Faktor 1.0389 verlängert hat? 26

27. Eine homogene Stange der Masse m und Länge ` wird an einem Ende aufgehängt und wie ein Pendelangestossen. Berechnen Sie die Schwingungsdauer, vereinfachen Sie die Schlussformel. 27

28. Ein physikalisches Pendel wird – bei gleicher Dichte – allseits doppelt so gross gemacht.Was passiert a) mit der Masse und b) mit der Schwingungsdauer? 28

25.2 harmonische Schwingung

1. Ein Körper von 500 g Masse hängt an einer Feder mit 37 N/m Federkonstante. Der Körper wird+8.3 cm ausgelenkt und mit −73 cm/s losgeschossen.a) Berechnen Sie die Schwingungsdauer.b) Berechnen Sie die Amplitude und Anfangsphase der Schwingung. 1

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25.2 harmonische Schwingung 139

2. Ich übe jeweils mit meinen Klassen, wie man eine Sinuskurve zeichnet. Einige stellen harmonischeSchwingungen y(t) nämlich fälschlicherweise als Abfolge von Halbkreisen dar. Welche Konsequen-zen hätte das bei einer mechanischen Schwingung? 2

3. Ein Körper der Masse 200 g hängt an einer Feder mit Federkonstante 1.38 kN/m und wird mit einerAmplitude von 5.57 mm in Schwingung versetzt.a) Berechnen Sie die Schwingungsdauer.b) Berechnen Sie die momentane Auslenkung eine Drittelperiode nach einem Nulldurchgang.c) Berechnen Sie die Momentangeschwindigkeit eine Viertelperiode nach einem Nulldurchgang. 3

4. In Abbildung 25.5 ist eine harmonische Schwingung y = y sin(ωt + ϕ0) dargestellt.a) Messen Sie möglichst genau Periodendauer, Amplitude und Anfangsphase aus Abb. 25.5 heraus.b) Wie gross ist die Kreisfrequenz dieser Schwingung?c) Bestimmen Sie die maximale Geschwindigkeit der Bewegung. 4

0 1 2 3 4 5 6 7–80

–40

0

40

80

t (s)

y

(mm

)

Abbildung 25.5: Ort-Zeit Diagramm einer Schwingung y = y sin(ωt + ϕ0)

5. Bei einer harmonischen Schwingung y = y sin(ωt +ϕ0) ist die Amplitude 17.3 mm, die Schwingungs-dauer 278 ms und die Startphase +1.095 rad.a) Berechnen Sie die Kreisfrequenz.b) Berechnen Sie den Momentanwert y zur Zeit t = 0.8725 s.c) Zu welchem Zeitpunkt erfolgt der erste Nulldurchgang?d) Wie gross ist die maximale Beschleunigung? 5

6. Ein Pendel besteht aus einer Feder mit Federkonstante D = 83 N/m und einem Pendelkörper mitMasse m = 0.300 kg. Das Pendel wird um y0 = 5.7 cm ausgelenkt und ohne Anfangsgeschwindigkeitlosgelassen. Bekanntlich vollführt es dann eine harmonische Schwingung mit Bahngleichung y(t) =

y cos (ωt + ϕ0). Berechnen Sie die Zahlenwerte aller Parameter in der Bahngleichung. 6

7. Eine harmonische Schwingung y = y sin(ωt + ϕ0) hat die Parameter y = 1.8 cm, ω = 13 s−1 undϕ0 = −0.87 rad.a) Berechnen Sie den Zeitpunkt des ersten (t > 0) Nulldurchgangs.b) Berechnen Sie die Schwingungsdauer.c) Berechnen Sie die maximale Geschwindigkeit.d) Wie gross ist die momentane Phase zur Zeit t = 0.995 s? 7

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25.2 harmonische Schwingung 140

8. In Abbildung 25.6 sehen Sie eine Sinusschwingung.a) Lesen Sie möglichst genau Schwingungsdauer und Anfangsphase heraus.b) Bestimmen Sie über eine Messung die Amplitude inklusive Fehlerschranke.c) Berechnen Sie aus a) und/oder b) die maximale Geschwindigkeit (ohne Fehlerschranke). 8

0 2 4 6 8 10–50

0

50

t ( ms )

y ( µ

m )

Abbildung 25.6: Bahnkurve einer Sinusschwingung (Aufgabe 8).

9. Eine harmonische Schwingung hat einen negativen Momentanwert, der immer noch am abnehmenist. Was kann man über die momentane Phase der Schwingung sagen? 9

10. Eine Feder hat Federkonstante 23.7 N/m. Eine Körper der Masse m wird daran gehängt und eineSchwingung y(t) = y cos(ωt − π) gestartet, wobei y = 3.37 cm und ω = 11.2 s−1 ist.a) Berechnen Sie die Masse des angehängte Körpers.b) Wie ist diese Schwingung gestartet worden?d) Geben Sie eine möglichst einfache Formel für die momentane Geschwindigkeit an und nennen Sieseparat die Werte der Parameter.d) Was passiert mit ω (quantitativ), wenn m um 5.38 % vermindert wird? 10

11. Eine Vertikalpumpe fördert 8250 m3/h Meerwasser, um Wärme zur Verdampfung von Flüssiggasbereitzustellen. Die Förderhöhe beträgt 40 m bei einer Drehzahl von 740 rpm und einer Leistung von1.07 MW. Die Welle einer solchen Pumpe hat bei 11.5 Hz mit einer Geschwindigkeit von 17 mm/s(rms) zu schwingen begonnen. Berechnen Sie die Schwingungsamplitude. 11

12. Wann können wir sicher sein, dass die Überlagerung zweier harmonischer, mechanischer Schwingun-gen wieder eine harmonische Schwingung ergibt? 12

13. Eine harmonische Schwingung y = y sin(ωt +π/4) hat y = 0.50 m und ω = 2.0 s−1. Berechnen Sie diemomentane Geschwindigkeit zum Zeitpunkt t = 0. 13

14. Albert Ahnungslos zeichnet eine Sinusschwingung mit Halbkreisen, siehe Abbildung 25.7.a) Verändern Sie die Darstellung so, dass sie trotz den Halbkreisen physikalisch sinnvoll wird.b) Wie lautet die (physikalisch sinnvolle) Bahngleichung y(t) dann?c) Diskutieren Sie, welche Konsequenzen es hätte, wenn sich ein Körper so bewegen würde. 14

Abbildung 25.7: Schlechte Skizze ei-ner Sinusschwingung (Aufgabe 14).

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25.3 Gedämpfte und erzwungene Schwingung, Bewegungsgleichungen 141

15. In Abbildung 25.8 ist ein Federpendel zu den zwei Zeitpunkten t0 = 0 und t1 = T/4gezeichnet, wobei T die Schwindungsdauer der harmonischen Schwingung darstellt.Die Anfangsgeschwindigkeit sei υ0 = υ(t0) = 0. Zeichnen Sie die Position des Pen-delkörpers an den Zeitpunkte t2 = T/8 und t3 =

√2 · T hinzu. 15

Abbildung 25.8: Der Pendelkörper eines idealen, linearen Federpendels zu zwei ver-schiedenen Zeitpunkten t0 und t1

16. Eine Stimmgabel schwingt mit 440 Hz. Wie gross muss die Amplitude sein, damit die Stimmgabel-zinken stärker als mit g = 9.81 m/s2 beschleunigt werden? 16

17. Berechnen Sie die momentane Geschwindigkeit einer Schwingung y = y sin(ωt + ϕ0), y = 5.0 cm,ω = 2.2 s−1 und ϕ1 = 0.1 rad beim ersten Nulldurchgang in Abwärtsrichtung. 17

18. Geben Sie eine Bahngleichung y(t) an, welche eine Schwingung beschreibt, die nicht harmonisch ist.18

19. Eine harmonische Schwingung y = y sin(ωt + ϕ0) hat y = 8.33 mm, ω = 37.2 s−1 und ϕ0 = π/8.a) Berechnen Sie die Schwingungsdauer.b) Berechnen Sie die Startwerte y0 und υ0. (ϕ0 sei exakt.)c) Wie gross ist die momentane Phase, wenn y = 7.44 mm beträgt? 19

25.3 Gedämpfte und erzwungene Schwingung, Bewegungsgleichun-gen

auch elektrische LC-, LRC-, LCRU-Schwingkreise, Überlagerung von Schwingungen

1. Zeichnen Sie eine Resonanzkurve und erläutern Sie den Verlauf. 1

2. Die Spiegel des Gravitationswellendetektors ‘GEO600’ sind derart reibungsarm aufgehängt, dass eineVibration des Aufhängesystems bei ca. 620 Hz drei Jahre Abklingzeit hat. Zeichnen Sie so gut alsmöglich eine Resonanzkurve. Ignorieren Sie alle Resonanzfrequenzen ausser 620 Hz. 2

3. Stellen Sie die Differentialgleichung der in Abbildung 25.9 dargestellten Bewegungy(t) auf und bestimmen Sie die Schwingungsdauer T . 3

Abbildung 25.9: Eine flexible Kette der Masse m und Länge l wird mit einem Fa-den über zwei Rollen vertikal aufgehängt. Reibung und Trägheit des Fadens und derRollen seien vernachlässigbar. Wird ein Kettenende um y0 nach oben gezogen undlosgelassen, so schwingt es um die Gleichgewichtslage: y(t).

4. Ein RCL-Schwingkreis enthält eine Spule von 9.00 mH und einen Kondensator mit 380 µF. DieSchwingungsdauer wurde zu T = 13.3 ms bestimmt. Berechnen Sie den Widerstand im Schwing-kreis. 4

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25.3 Gedämpfte und erzwungene Schwingung, Bewegungsgleichungen 142

5. In welcher Beziehung stehen Antwort-, Eigen- und Erregerschwingung, wenn Resonanz auftritt? 5

6. Welche Eigenschaften hat die Antwortschwingung, wenn die Erregerfrequenz deutlich über der Re-sonanzfrequenz liegt? 6

7. Die Amplitude einer gedämpften Schwingung nimmt in 23 ms auf 16,3 % des Ausgangswerts ab.Berechnen Sie die Dämpfungskonstante δ. 7

8. Ein ungedämpfter Schwingkreis soll eine Frequenz von 100 kHz und eine Induktivität von 0.90 mHaufweisen.a) Berechnen Sie die Kapazität im Kreis.b) Schätzen Sie ab, von welcher Grössenordnung ein Seriewiderstand im Schwingkreis maximal seindürfte, sodass man im Rahmen der Rundung immer noch sagen könnte, die Frequenz sei 100 kHz.(Nehmen Sie die Kapazität und die Induktivität als exakt an.) 8

9. Wie lautet die Bahngleichung y(t) einer gedämpften Schwingung? Ist die Antwort eindeutig? 9

10. Zwei gleiche, horizontale Achsen (A und B inAbb. 25.10, im Querschnitt gezeichnet) liegen parallelim Abstand d und rotieren gegenläufig mit der Win-kelgeschwindigkeit ω. Ein Brett der Masse m wirddarauf gelegt. Das Brett erfährt Reibungskräfte vonden Achsen. Der Schwerpunkt S des Bretts wird inhorizontaler Richtung um die Mitte schwingen. Er-klären Sie, warum das Brett harmonisch schwingt.Berechnen Sie die Schwingungsdauer. (Phys. Teach.54(3), March 2016, 145). 10

Abbildung 25.10: Skizze zu Aufgabe 10.Ein Brett liegt auf zwei rotierenden Walzen.Es schwingt harmonisch. Warum und wie?

11. Experiment: Aus einer Spule und einem Kondensator wird ein Schwingkreis aufgebaut. Die Spulehat nominell 2 mH und 0.8 Ω. Ein Messgerät zeigt 2.295 mH an (die Kabel zum Messgerät alleine0.010 mH). Der Kondensator hat nominell 200 nF. Ein Messgerät zeigt 200.5 nF an (die Kabel zumMessgerät alleine 0.07 nF). Die Schwingungsdauer wird mit einem Speicheroszilloskop gemessen.Sechs Schwingungen dauern 8.05 div×100 µs/div = 805 µs mit einer Ablesegenauigkeit von 0.05 div.Die Amplitude der Schwingung nimmt während dieser sechs “Perioden” auf etwa ein Drittel ab. (24.Okt. 2017, Lie.)a) Passen die gemessene und berechnete Schwingungsdauer des LC-Kreises zusammen? ÜberzeugenSie sich, dass der Einfluss des Widerstands geringer als die Messgenauigkeit ist.b) Wie gross ist der gesamte ohmsche Widerstand im Schwingkreis? 11

12. Stellen Sie ausgehend von Fres = ma die Bewegungsgleichung (Differentialgleichung) des Körpers min Abbildung 25.11 auf. Bestimmen Sie formal die Schwingungsdauer. 12

Abbildung 25.11: Ein Klotz der Masse m ist zwischen zwei Fe-dern mit Federkonstanten k1 und k2 derart eingespannt, dass ersich horizontal bewegen kann. Die momentane Auslenkung x(t)wird von der Gleichgewichtslage aus gemessen.

13. Aus einem Kondensator mit 200 nF und einer Spule wird ein Schwingkreis aufgebaut. Eine Messungmit dem Oszillographen hat eine Schwingung mit 17 T = 9.16 ms ergeben.a) Berechnen Sie die Induktivität. 4b) Eine separate Messung der Spule hat 37.0 mH und 13.2 Ω ergeben. Kann der Widerstand denUnterschied zu a) erklären? 13

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25.3 Gedämpfte und erzwungene Schwingung, Bewegungsgleichungen 143

14. Ein LC-Schwingkreis soll mit 14.3 % höherer Frequenz schwingen. Wie muss man die Kapazitätverändern? 14

15. a) Der Körper mit Masse m in Abbildung 25.12 hängt an zwei gleich langen,verschieden harten Federn (k1 , k2). Stellen Sie die Differentialgleichungfür die vertikale Schwingung des Körpers auf.b) Berechnen Sie die Schwingungsdauer für diesen Fall (formal). 15

Abbildung 25.12: Pendel mit zwei parallelen Federn

16. Zwei harmonische Schwingungen gleicher Frequenz und Amplitude werden überlagert. Wie grossist die Phasenverschiebung der zwei Schwingungen, wenn die Summenschwingung genau dieselbeAmplitude hat? 16

17. a) Bestimmen Sie in Abbildung 25.13 möglichst genau die Schwingungsdauer T und die Dämpfungs-konstante δ der gedämpften Schwingung.b) Im Schwingkreis sei ein Kondensator mit genau 1 nF Kapazität eingebaut. Berechnen Sie aus Ih-ren Messwerten die Induktivität und den Widerstand im Kreis. Tipp: Die Dämpfung ist schwach unddeshalb ihr Einfluss auf die Schwingungsdauer gering. 17

0 2 4 6 8 10–2

–1

0

1

2

t (μs)

u(t)

(V)

Abbildung 25.13: Spannung über dem Kondensator in einem LCR-Schwingkreis (Aufgabe 17)

18. Aus einem Kondensator der Kapazität (200 ± 8) nF und einer Spule der Induktivität (9.3 ± 0.2) mHwird ein Schwingkreis aufgebaut. Berechnen Sie die Resonanzfrequenz fres = 1/T inklusive Fehler-schranke (Intervallarithmetik). 18

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Kapitel 26

Wellen

26.1 Wellenlänge, Frequenz und Phase

1. Welche Wellenlänge hat eine Schallwelle der Frequenz 1.0 kHz in Luft? 1

2. Ein GSM-Handy empfängt Strahlung der Frequenz 900 MHz. Berechnen Sie die Wellenlänge. 2

3. Eine ebene, elektromagnetische Welle hat 9.1926 GHz Frequenz und läuft im Vakuum. BerechnenSie die Kreiswellenzahl und die Schwingungsdauer. 3

4. Berechnen Sie die Geschwindigkeit, mit der sich die erste Nullstelle einer harmonischen Welle u =

u sin(kx − ωt) bewegt. 4

5. Was ist falsch an folgendem Text? Was ist wohl gemeint? Wie könnte man es besser sagen?“WiFi ist ein Energiefeld, das in Wellen übertragen wird. Der Abstand dieser Wellen ist kürzer als beiRadiowellen und länger als bei Mikrowellen und verleiht WiFi eine Übertragungsbandbreite, die nichtdurch andere Signale unterbrochen wird. Die Amplituden (also Wellenspitzen) von WiFi-Signalenvariieren zwischen 8 und 13 Zentimetern.” (www.bluewin.ch, 1. August 2013)Wi-Fi ist ein Funkstandard, z.B. für drahtlose Computernetzwerke (WLAN). 5

6. Zwei in gleicher Richtung laufende, harmonische Wellen gleicher Frequenz f , Wellenlänge λ undAmplitude A überlagern sich, d.h. die Momentanwerte addieren sich. Die resultierende Welle hatAmplitude A/2. Berechnen Sie den Phasenunterschied der zwei Wellen. 6

7. Welche Frequenz hat eine Schallwelle von 17 cm Wellenlänge in Luft? 7

8. Eine nach links (negative x) laufende Sinuswelle hat Startphase Null, Amplitude 2.8 cm, Kreiswel-lenzahl 65 m−1 und Kreisfrequenz 4.8 s−1.a) Berechnen Sie die Wellenlänge.b) Berechnen Sie die Wellengeschwindigkeit.c) Berechnen Sie den Momentanwert für x = 5.555 cm und t = 0.827 s.d) Wann kommt das erste Mal bei x = 5.555 cm ein Wellenberg vorbei?e) Welche Geschwindigkeit hat ein Element des Trägermediums bei x = 0 zur Zeit t = 0? 8

9. Schallwellen bewegen sich in Wasser mit 1.5 km/s. Delfine hören bis 150 kHz. Welcher Wellenlängeentspricht das? 9

10. Eine harmonische Welle kann mit u(x, t) = u cos(kx − ωt) beschrieben werden. Welche Bedeutungund Einheit hat u und welchen Zahlenwert hat ω für eine Mikrowelle mit 1.5 GHz Frequenz? 10

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26.2 Wellengeschwindigkeit 145

11. Eine harmonische Welle hat zu Beginn an einer bestimmten Stelle momentane Auslenkung 488 µm.Dann steigt der Momentanwert, erreicht das Maximum 738 µm und nach 0.919 s ist er wieder auf488 µm gefallen. Berechnen Sie die Frequenz der Welle. 11

26.2 Wellengeschwindigkeit

1. Die unendliche Federkette, siehe Fig. 26.1, ist ein Modell für einen Kristall. Die Federn symbolisierendie chemischen Bindungen und die schwingenden Körper die Atome. Longitudinale Wellen, die überdie Federkette laufen, stehen für Wärmebewegungen oder elastischen Schwingungen.a) Versuchen Sie, die Wellengeschwindigkeit durch eine Dimensionsanalyse zu bestimmen.b) Begründen Sie, warum die vorangehende Teilaufgabe nicht geht.c) Was fehlt im Ansatz? Wie könnte man den Ansatz ‘reparieren’? 1

Abbildung 26.1: Unendlich lange Federkette aus Federn mit Federkonstante D undschwingenden Körpern der Masse m.

2. Was passiert mit der Schallgeschwindigkeit in einem Gas, wenn die absolute Temperatur von 270 Kauf 298 K zunimmt? 2

3. Die mittlere Lufttemperatur in der Troposphäre nimmt mit 6.0 K/km nach oben ab. Eine Schallwellewird unter 45° zur Vertikalen an der Erdoberfläche (20 °C) abgestrahlt. Welche Richtung hat dieSchallwelle in 3.0 km Höhe? Wie läuft sie qualitativ? Gibt es eine maximale Höhe? Tipp: SchreibenSie das Brechungsgesetz mit den Wellengeschwindigkeiten statt mit den Brechungsindizes. 3

4. Ein Schüler mit Spatzenhirn setzt 300 m/s für die Schallgeschwindigkeit in Luft ein, statt des Wertesin der FoTa. Bei welcher Temperatur wäre das der Fall? 4

5. Das Licht einer Quelle habe Frequenz 5.83·1014 Hz.a) Welche ‘Farbe’ hat das Licht?b) Welche Geschwindigkeit hat dieses Licht in Gycerin? 5

6. Sie finden in der FoTa die Schallgeschwindigkeit von Methan bei 20 °C. Berechnen Sie darausa) die Schallgeschwindigkeit bei 53 °C undb) den Adiabatenexponenten κ. 6

7. Im Jahr 2009 soll eine Welle mit 250 km/s über die Sonnenoberfläche gelaufen sein. Berechnen siedie Wellenlänge dieser Schwerewelle. 7

8. Eine lange Schraubenfeder wird gespannt und leicht gezupft. Mit welcher Geschwindigkeit laufenlongitudinale Wellen über die Feder? 8

9. Die Schallgeschwindigkeit in Chlorgas bei 0 °C und 1013 hPa beträgt 206 m/s.a) Berechnen Sie den Adiabatenexponenten.b) Welchen Wert bekommt die Schallgeschwindigkeit, wenn die Temperatur auf 20 °C steigt? 9

10. Für langwellige Wasserwellen über tiefem Wasser giltω2 = gk. Wie hängt die Wellengeschwindigkeitvon der Wellenlänge ab? 10

©Martin Lieberherr

26.3 Intensität und Polarisation 146

11. Berechnen Sie die neue Schallgeschwindigkeit, wenn die Temperatur im Zimmer von 20.0 auf 23.0 °Csteigt, ausgehend vom tabellierten Geschwindigkeitswert in der FoTa. 11

12. Berechnen Sie aus der Schallgeschwindigkeit die Kompressibilität von Benzol. In wikipedia findetman 95·10−6 /bar. Passt das? 12

13. Für transversale Biegewellen in einem runden Stab gilt

c =4

√Er2ω2

4ρ

a) Kontrollieren Sie, ob die vierte Wurzel kein Tippfehler ist.b) Hätte man diese Formel durch eine Dimensionsanalyse herleiten können?c) Berechnen Sie die Geschwindigkeit c in einer Stange aus Kohlenstoffstahl mit 7.0 mm Radius bei1.0 kHz. 13

14. “Der Normalton a1 oder Kammerton von 440 Hertz entspricht einer Wellenlänge von 77 cm, docheine mit Silberdraht umwickelte, 26,5 cm lange Darmsaite genügt, um diesen Ton zu erzeugen.”

(NZZ, 25.2.2017)a) Zu welcher Schall-Ausbreitungsgeschwindigkeit gehören die 77 cm?b) Welche Geschwindigkeit haben die Saitenwellen?c) Warum sind diese zwei Geschwindigkeiten verschieden? Es ist doch derselbe Ton!d) Die Schallgeschwindigkeit in Silber beträgt 3.6 km/s. Wie passt das zum Resultat von b? 14

15. Chuck Yeager durchbrach am 14. Oktober 1947 als erster Mensch die Schallmauer. Der US Air ForceTestpilot erreichte mit seinem Bell-X-1-Raketenflugzeug in 13 700 Metern Höhe über der Mojave-Wüste Mach 1,07 (rund 1100 km/h).a) Bei welcher Temperatur beträgt die Schallgeschwindigkeit 1100 km/h?b) Ist das ungefähr auf 13.7 km Höhe der Fall? 15

26.3 Intensität und Polarisation

Schallintensität (Schallstärke) siehe Akustik

1. Eine kreisförmige Antenne mit Fläche A werde von einem harmonisch oszillierenden Strom i(t) =

i0 cos(ωt) durchflossen. Im Buch “Physik” von M. Alonso und E. J. Finn steht, dass sich die mittlereLeistung, mit der elektromagnetische Wellen abgestrahlt werden, folgendermassen berechnen lasse:

P =1

12πε0c5 · i20A2ω4

a) Kontrollieren Sie, ob die fünfte Potenz der Lichtgeschwindigkeit im Nenner ein Tippfehler ist.b) Die Grösse m = i0A heisst magnetisches Dipolmoment. Drücken Sie die mittlere Strahlungslei-stung damit aus.c) Es ist seltsam, dass bei der Strahlungleistung eines magnetischen Dipols die magnetische Feldkon-stante µ0 fehlt. Drücken Sie die Strahlungsleistung durch µ0 und c aus. 1

2. Ein Laser verstärkt die Energieflussdichte J eines Lichtstrahls um den Faktor zehn. Was passiert mitder Feldstärke der elektromagnetischen Welle? 2

3. Eine Radiowelle habe die Frequenz 102.8 MHz. Die Energieflussdichte in 1.0 km Abstand vom Sen-der betrage 80 µW/m2.

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26.4 Interferenz und Beugung 147

a) Berechnen Sie die Wellenlänge.b) Berechnen Sie die Amplitude der Welle (elektrische Feldstärke).c) Wie gross wäre die Energieflussdichte in 2.3 km Abstand vom Sender? 3

4. Der Anlagegrenzwert für den Effektivwert der elektrischen Feldstärke einer Radaranlage beträgt5,5 V/m (www.admin.ch, 28. Mai 2013). Berechnen Sie die dazu gehörende Energieflussdichte. 4

5. Ein Radiosender hat die Sendeleistung 50 kW.a) Welche Energieflussdichte J undb) Feldstärke E hat man in 3.8 km Abstand vom Sender etwa?c) Welche Annahme(n) haben Sie treffen müssen? 5

6. Wenn sich eine Punktladung gleichmässig auf einem Kreis bewegt, so ist sie beschleunigt. Eine be-schleunigte Ladung strahlt elektromagnetische Wellen ab und zwar mit der Leistung P = q2a2/(6πε0c3)(nichtrelativistische Larmorformel). Mit welcher Bahngeschwindigkeit υmüssten sich die Elektronenbewegen, damit bei einem Kreisstrom von 1 m Radius und 1 A elektrischer Stromstärke die Leistung1 nW abgestrahlt wird? 6

7. Ein organischer Farbstoff hat einen Absorptionsquerschnitt von 0.53·10−16 cm2 pro Molekül für dasbetrachtete Licht. Bei welcher Konzentration (in Mol pro Liter) wird in einer Schicht von 8.0 mmDicke die Hälfte des Lichtes absorbiert? 7

8. Ein Laser mit 1.3 kW Leistung wird auf eine Fläche von 0.22 mm2 fokussiert. Berechnen Sie dieelektrische Feldstärke der Welle im Fokus (Amplitude). 8

26.4 Interferenz und Beugung

1. ‘Gelbes Licht’ von einer Natriumdampflampe wird an einem Gitter gebeugt. Der Winkel der zweitenBeugungsordnung beträgt 37°28’. Berechnen Sie die Gitterperiode. 1

2. Wie dick muss eine aufgedampfte Schicht auf einem Glas mindestens sein, wenn Sie als Interferenz-spiegel dienen soll? 2

3. Die Europäische Südsternwarte hatte mal Studien für ein Overwhelmingly Large Telescope (OWL)mit 100 m Durchmesser durchgeführt. Welche Auflösung (Winkel) hätte dieses Teleskop bei 1.2 µmWellenlänge gehabt? Drücken Sie den Winkel in Millibogensekunden (mas) aus. 3

4. Der erste Beugungswinkel eines groben Strichgitters beträgt 1.4° bei der Wellenlänge 633 nm. Be-rechnen Sie die Gitterkonstante d. 4

5. Wie klein muss die Gitterkonstante d eines periodischen Strichgitters werden, damit gar keine Beu-gung mehr auftritt? (formale Lösung für senkrechten Einfall) 5

6. Der Doppelspalt-Versuch von Abbildung 26.2 wurde von Thomas Young 1802 durchgeführt. ErklärenSie das Muster auf dem Beobachtungsschirm (Abb. 26.3). Berechnen Sie den Abstand zweier Streifenauf dem Schirm für den Fall D d und D λ. 6

7. Ein Mach-Zehnder Interferometer (siehe Abb. 26.4) ist so justiert, dass die beiden Lichtwege genaugleich lang sind. Begründen Sie, weshalb dann im Ausgang A1 konstruktive Interferenz auftritt undim Ausgang A2 destruktive. 7

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26.4 Interferenz und Beugung 148

Abbildung 26.2: Eine Lichtwelle fällt normalauf einen Doppelspalt. Er besteht aus paralle-len, engen Schlitzen mit Abstand d in einer un-durchsichtigen Blende. Im Abstand D hinter demDoppelspalt steht ein Schirm (oder ein Detek-tor).

Abbildung 26.3: Streifenmuster auf dem Schirm.Stark geschwärzte Stellen sind von viel Licht ge-troffen worden. (simuliertes Bild)

Abbildung 26.4: Ein Mach-Zehnder Interfero-meter enthält zwei gleiche Strahlteiler T undzwei gleiche Spiegel S. Es hat einen EingangE und zwei Ausgänge A. Der einfallende Strahlwird bei TE geteilt; dann bewegen sich die zweiTeilwellen auf getrennten Wegen zum Strahltei-ler TA, wo sie überlagert werden. Das Interfe-rometer wird meist so justiert, dass die beidenWege (via S1 oder via S2) gleich lang sind.

8. Am Ausgang des Quincke-Rohrs (Abb. 26.5) treten in regelmässigen Ab-ständen Maxima und Minima der Lautstärke auf, wenn man den rechtenSchenkel auszieht. Tabelle 26.1 zeigt Messungen des Auszugs d für die Mi-nima.a) Berechnen Sie aus Messung 4 die Wellenlänge und Frequenz des Schal-les unter der Annahmen, dass bei d = 0 konstruktive Interferenz auftritt.b) Berechnen Sie aus den zwei Messung 1 und 9 (dA) die Wellenlänge ohnedie Annahme, dass bei d = 0 konstruktive Interferenz auftritt.c) Stellen Sie d(n) graphisch dar und führen Sie eine lineare Regressiondurch. Welche Bedeutung haben die Regressionsparameter? 8

Tabelle 26.1: Zwei Messreihen am Quincke-Rohr mit Positionen dA und dB

der Minima. Die Temperatur betrug ca. 20 °C, der Messfehler etwa 0.3 cm.

n dA dB

(cm) (cm)1 1.8 1.72 5.3 5.13 8.5 8.64 12.0 12.05 15.3 15.66 19.0 19.27 22.4 22.48 25.9 26.09 29.3 29.4

10 32.8 32.4

Abbildung 26.5: Quincke-Rohr mitzwei U-förmigen Schenkeln, von de-nen einer ausziehbar ist. Für d = 0sind die beiden Schenkel gleich lang.Am oberen Trichter tritt der Schallein, dann teilt er sich auf die zwei We-ge auf und kommt unten wieder her-aus.

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26.4 Interferenz und Beugung 149

9. Schickt man Licht der Wellenlänge 514.91 nm auf ein Strichgitter, so wird es in erster Ordnung um31° 31’ 31” gebeugt.a) Berechnen Sie die Gitterkonstante d.b) Berechnen Sie den 1. Beugungswinkel für λ = 515.37 nm (Winkeldarstellung wie oben) 9

10. Der Hof des Mondes entsteht, wenn das Licht des Mondes an kleinen Nebeltröpfchen gebeugt wird.Wie gross müssen diese Tröpfchen sein, wenn das erste Beugungsminimum gerade mit dem schein-baren Radius des Mondes übereinstimmt? Der scheinbare Radius (Winkelradius) steht in der FoTa,als Wellenlänge nehmen Sie bitte 550 nm. 10

11. Ein Gitter erzeugt Beugungsordnungen bis m = 8, wenn man es senkrecht mit Licht der Wellenlänge514.3 nm bestrahlt. Was kann man dann über die Gitterkonstante d sagen? 11

12. Ein Michelson-Interferometer wird so justiert, dass der Ausgang dunkel ist. Dann wird ein Arm9.8358 mm ausgezogen. Die Intensität im Ausgang wechselt dabei 1500 Mal nach hell und wiedernach dunkel. Am Schluss ist der Ausgang dunkel. Berechnen Sie die Wellenlänge. 12

13. Es gibt Käfer, die sehen farbig aus, obwohl ihr Panzer keine Farbstoffe enthält und auch unter demMikroskop ganz glatt aussieht. Wie ist so etwas möglich? 13

14. In einem Sagnac-Interferometer läuft das Licht denselben Weg in entgegen gesetzten Richtungen,siehe Abb. 26.6. Wenn das Interferometer rotiert, kann man am Ausgang einen Phasenunterschied derWellen, die gegensinnig umgelaufen sind, beobachten.a) Warum gibt es einen Phasenunterschied?b) Ist die in der Bildlegende angegebene Formel für den Phasenunterschied plausibel?c) Im Jahr 1925 konnten A. A. Michelson und H. G. Gale mit einem rechteckigen Sagnac-Interferometervon 613 m Länge und 339 m Breite die Erdrotation nachweisen. Wie gross wäre die Phasenverschie-bung, wenn das Interferometer am Nordpol gestanden wäre? Rechnen Sie mit Licht von 500 nmWellenlänge.d) Versuchen Sie, die in der Legende von Abb. 26.6 genannte Formel zu begründen. Nehmen Sie an,der Lichtweg sei kreisförmig mit Radius r und rotiere um den Kreismittelpunkt. Berechnen Sie dieZeiten, welche die gegensinnig laufenden Wellen für einen Umlauf benötigen. Die Zeitdifferenz istproportional zur Phasendifferenz. 14

Abbildung 26.6: Beim Sagnac-Interferometer laufen die Teilstrahlendenselben Weg in entgegengesetzten Richtungen. T ist der Strahlteiler,S sind Spiegel, Ω ist die Winkelgeschwindigkeit, mit der das Interfe-rometer rotiert, und A ist die vom Lichtweg eingeschlossene Fläche.Die zwei Teilwellen (Frequenz f , Lichtgeschwindigkeit c) haben amAusgang (‘out’) den Phasenunterschied ∆ϕ.

∆ϕ = 2π f ·4AΩ

c2

15. Im März 2013 ist das astronomische Observatorium ALMA (Atacama Large Millimeter/submillimeterArray) eingeweiht worden. 66 Parabolantennen werden zusammen geschaltet. Sie empfangen im Be-reich 0.3 bis 3 mm und wirken gemeinsam wie ein grosses Teleskop von 14 km Durchmesser.a) Berechnen Sie den Frequenzbereich.b) Berechnen Sie das Winkel-Auflösungsvermögen für 1 mm Wellenlänge. 15

16. Eine Computerfirma hat ‘retina-displays’ mit Dichten von ca. 300 Pixel pro Inch eingeführt. DasAuge habe Pupillendurchmesser 4 mm und maximale Empfindlichkeit bei 555 nm. Wie nahe müssteman gehen, um die Pixel einzeln zu sehen? 16

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26.4 Interferenz und Beugung 150

17. Zwei kleine Lautsprecher an den Positionen Q1(-1.235 m, 0) und Q2(1.062 m, 0) senden synchronSchallwellen in der (x,y)-Ebene aus. An der Position P(0.283 m, 0.873 m) beobachtet man destruktiveInterferenz. Berechnen Sie die maximale Wellenlänge, die mit diesen Angaben verträglich ist. 17

18. Welche Wellenlänge(n) hat der Schall, dervon den Lautsprechern in Abb. 26.7 ausgesandtwird? 18

Abbildung 26.7: Zwei Lautsprecher im Abstandd = 48 cm senden synchron Schallwellen aus,die in grosser Entfernung in Richtung α = 33°konstruktiv interferieren.

19. HeNe-Laserlicht fällt auf ein periodisches Strichgitter. Der Beugungswinkel 2. Ordnung beträgt 29,87°.Berechnen Sie den Beugungswinkel dritter Ordnung. 19

20. Wie entstehen die Farben bei Seifenblasen? 20

21. Zwei kleine Lautsprecher mit Abstand d senden synchron Schallwellen aus. Welche Bedingung musserfüllt sein, damit an möglichst wenig Stellen vollkommen konstruktive Interferenz auftritt? 21

22. Eine Schallwelle trifft auf einen Lattenzaun mit Gitterperiode 15 cm. Der Beugungswinkel ersterOrdnung beträgt 29°.a) Berechnen Sie die Wellenlänge des Schalls.b) Berechnen Sie die Frequenz des Schalls.c) Gibt es auch noch eine zweite Beugungsordnung? 22

23. Das Eidgenössische Institut für Metrologie (METAS) hat ein Michelsoninterferometer, von dem einArm 50 m ausgefahren werden kann. Das Interferometer wird mit einem jod-stabilisierten Helium-Neon Laser betrieben. Die Frequenz eines jod-stabilisierten HeNe-Lasers beträgt (473′612′214′712±5) kHz laut CIPM. Die Wellenlänge beträgt laut wikipedia 632.991 nm im Vakuum respektive etwa632.816 nm in Luft.a) Passt die Frequenzangabe zur Wellenlängenangabe?b) Welcher Berechungsindex für Luft folgt aus den genannten Wellenlängen?c) Wie viel man wechselt der Ausgang des Interferometers von hell nach dunkel und wieder zurück,wenn man ihn 50 m ausfährt? 23

24. Ein Lattenzaun beugt eine Schallwelle der Frequenz 7.80 kHz in erster Ordnung 18° ab.a) Berechnen Sie die Gitterperiode d des Zauns.b) Bestimmen Sie die grösste Beugungsordnung (Nummer), die hier noch vorkommt. 24

25. Zwei Punktquellen Q1 und Q2, siehe Abbildung 26.8,senden synchron Schall der Wellenlänge λ aus. Wiemuss man den Abstand r2 senkrecht über der Verbin-dungslinie d einstellen, damit die Wellen bei Punkt Pkonstruktiv interferieren? (formale Aufgabe) 25

Abbildung 26.8: Skizze zu Aufgabe 25

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26.4 Interferenz und Beugung 151

26. Abbildung 26.9 zeigt das Beugungsmuster aneinem Spalt. Dargestellt ist die theoretisch be-rechnete Intensität der Welle auf dem Schirm.Der Schirm stehe 3.85 m vom Spalt entfernt. DerSpalt hat eine Breite von 110 µm.a) Erläutern Sie, wie Abbildung 26.9 mit derGleichung für die Beugung am Spalt aus der Fo-Ta zusammen hängt.b) Bestimmen Sie mit Hilfe des Diagramms dieWellenlänge. 26

Abbildung 26.9: (rechts) Skizze zu Aufgabe 26–10 –5 0 5 10

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

x (cm)

Inte

nsitä

t ( w

. E. )

27. Licht von 500 nm Wellenlänge fällt unter dem Winkel 18° auf eine dünne Schicht auf einem Glas.Wie dick muss diese Schicht mindestens sein, damit möglichst wenig Licht reflektiert wird?(nGlas > nSchicht = 1.42 > 1, λ1 = 500 nm in Luft, α1 = 18°) 27

28. Eine Parabolantenne habe einen Radius von 28 cm und empfange Satellitensignale bei 11 568 MHz.Welchen Winkelabstand müssten zwei Satelliten aufweisen, damit ihre Signale durch die Antennegetrennt werden können? 28

29. Ein grosser Parabolspiegel des projektierten Cherenkov Telescope Array in La Palma hat einen Durch-messer von 23 m, eine Brennweite von 28 m und eine Winkelauflösung von 0.05° (point spread func-tion). Ist der Spiegel von hoher optischer Qualität “oder sammelt er nur Licht”? 29

30. Wie gross muss die Gitterkonstante d maximal oder mindestens sein, wenn ‘blaues Licht’ der Wel-lenlänge 435 nm in der dritten Beugungsordnung (m = 3) beobachtet werden soll? 30

31. Bei der Beugung an einem Spalt wird das 2. Beugungsminimum unter dem Winkel von 34’23” beob-achtet, wenn man ihn senkrecht mit rotem HeNe-Laserlicht beleuchtet. Berechnen Sie die Spaltbreite.31

32. Warum tritt beim ‘Fabry-Pérot Etalon’ (Abb. 26.10) Interferenzauf, wenn man das Etalon kippt? Wo kann man diese Interferen-zen beobachten? (in Worten und/oder mit Skizzen) 32

Abbildung 26.10: Ein Fabry-Pérot Etalon ist eine teilverspie-gelte, planparallele Glasplatte. Das Etalon ist meistens dick imVergleich zur Wellenlänge. Das eintretende Licht ist eine seitlichausgedehnte, ebene Welle. Der Strahlengang (Richtungen) desdirekt durchgehenden Lichtes ist angedeutet.

33. Siehe Abbildung 26.11.

Abbildung 26.11: Zwei Antennen Q1 und Q2 im Abstand 2d sen-den in Phase Wellen aus. Ein Punkt P steht senkrecht über Q2

und der Verbindungslinie im Abstand d. Bei welchen Wellenlän-gen tritt an der Stelle P konstruktive Interferenz auf? 33

34. Der Üetliberg ist 7.2 km vom Zürichberg entfernt. Wie gross müsste ein Mensch auf dem Üetlibergsein, damit man ihn vom Zürichberg aus noch von Auge sehen könnte? Ihr Pupillendurchmesserbetrage 4.0 mm und Sie können im gelbgrünen Spektralbereich (555 nm) am schärfsten sehen. 34

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26.4 Interferenz und Beugung 152

35. Einer der Beugungswinkel eines Strichgitters nimmt von 43.28° auf 51.63° zu. Um welchen Faktorhat sich die Gitterkonstante d verändert? 35

36. Eine mineralische Schicht auf hochbrechendem Glas hat Dicke 120 nm und Brechungsindex 1,42.Für welche minimale Frequenz wirkt sie als Antireflexschicht? 36

37. Nennen Sie drei Alltagsphänomene, wo sich Interferenz oder Beugung von Wellen zeigt. 37

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Kapitel 27

Akustik

27.1 Tonleitern

1. Gnitzen können bis zu 1000 Mal pro Sekunde mit den Flügeln schlagen. Berechnen Sie die musika-lische Note, welche dem Summen dieser Stechmückenart (Bartmücken) entspricht. 1

27.2 Pfeifen und Saiten

1. Eine offene Pfeife ist 34 cm lang. Berechnen Sie die Grundfrequenz. 1

2. Eine gedackte Pfeife hat bei 20 °C einen Grundton mit Frequenz 75 Hz. Berechnen Sie die Pfeifen-länge. 2

3. Wie hängt die Grundfrequenz einer schlanken, gedackten Pfeife von der Pfeifenlänge ab? SchreibenSie zuerst einen ‘je...desto...’ Satz, dann erst ein physikalisches Gesetz. 3

4. Wird ein Reagenzglas angeblasen, so tönt es wie eine Panflöte. Gibt man einen Tropfen Diäthyläther(Diethylether, H5C2OC2H5) hinein, so verdrängt der Dampf die Luft und es tönt tiefer.a) Warum tönt es tiefer und nicht gleich oder höher?b) Um welchen Faktor sinkt die Frequenz maximal? 4

5. Eine Nylonsaite sei 0.80 mm dick, 85 cm lang und auf 280 Hz gestimmt. Berechnen Sie die Spann-kraft. Nylon hat eine Dichte von 1.14 g/cm3. 5

6. Auf welchen Wert müsste die Temperatur ausgehend von 20 °C steigen, wenn der Grundton einerPfeife um einen reinen Halbton steigen soll? 6

27.3 Schallstärke und Lautstärke

1. Die Schalldruckamplitude betrage 8.7 mbar. Berechnen Sie den Schallpegel. 1

2. Schall von 800 Hz wird in feuchter Luft mit 3.57 dB/km durch Absorption geschwächt. IgnorierenSie für diese Aufgabe die ‘geometrische Verdünnung’ des Schalls.a) Berechnen Sie die Wellenlänge des Schalls.b) Um welchen Faktor nimmt die Schallstärke durch Absorption pro Kilometer ab?c) Zeichnen Sie die Schallstärke als Funktion der Distanz für 0-2 km. Die Anfangsstärke betrageJ0 = 1.00 W/m2. 2

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27.3 Schallstärke und Lautstärke 154

3. Ein Nebelhorn erzeugt in 4.5 km Abstand einen Schallpegel von 40 dB. Wie gross ist der Pegel 10 mvor dem Horn? 3

4. Berechnen Sie den Schallpegel bei einer Schallstärke von 1.0·10−5 W/m2. 4

5. Der Mündungsknall eines Sturmgewehr 90 beträgt 143 dB in einem Meter Abstand von der Mündung.a) Berechnen Sie die Schalldruckamplitude.b) In welchem Abstand von der Mündung ist der Schallpegel auf 80 dB gesunken? 5

6. Die menschliche Hörschwelle liegt ungefähr bei 10−12 W/m2. Berechnen Sie die dazu gehörendeSchalldruckamplitude. 6

7. Drücken Sie den Schallpegel durch den Schalldruck aus (statt durch die Schallstärke). 7

8. Ein kleiner Lautsprecher erzeugt in 8.3 m Abstand einen Schallpegel von 67 dB.a) Berechnen Sie die Schallstärke J.b) Wie viel mal mehr Schallleistung muss der Lautsprecher aussenden, damit der Pegel 5.0 dB zu-nimmt? 8

9. Ultraschallwellen, wie sie in der Medizin eingesetzt werden, haben in Wasser (!) Frequenzen von z.B.2.0 MHz und Energieflussdichten von 100 mW/cm2. Berechnen Siea) die Wellenlängeb) die Schalldruckamplitude. 9

10. Erklären Sie den Unterschied zwischen dB und dB(A). 10

11. Ultraschall von 40 kHz wird in trockener Luft nach dem Gesetz J = J0e−a·d absorbiert. In einer altenTabelle habe ich den Absorptionswert 267 dB/km gefunden.a) Erklären Sie, inwiefern Absorptionswert und genannte Formel zusammenpassen.b) Berechnen Sie den Absorptionskoeffizienten a in SI-Basiseinheiten. 11

12. Die Intensität J einer Welle nimmt bekanntlich quadratisch mit dem Abstand r von einer kleinenQuelle ab. Wie sähe das entsprechende Gesetz aus, wenn die Quelle linienförmig ist, z.B. eine lange,gerade, lärmige Autobahn? 12

13. Im Rahmen der Kunstaktion «Zürich Transit Maritim» wurde auf dem Prime Tower ein Nebelhornder Firma Zöllner GmbH montiert. Es erzeugt in einem Meter Abstand einen Schallpegel von 143 dB.Der 90 Hz-Ton soll 17 km weit hörbar sein.a) Berechnen Sie den Schallpegel in den genannten 17 km Abstand.b) Berechnen Sie die Schalldruckamplitude in einem Meter Abstand vom Horn. 13

14. Stellen Sie einen Zusammenhang zwischen Schallstärke, Abstand Quelle-Empfänger und Windge-schwindigkeit auf. Rechnen Sie in einer Dimension und für den Fall, dass der Wind vom Empfängerzur Quelle bläst. 14

15. Ein Nebelhorn wird mit 240 W angetrieben, hat 70 % Wirkungsgrad und sendet den Schall gleich-mässig in den vorderen Halbraum. Berechnen Sie den Schallpegel in 2.8 km Abstand. 15

16. Der Schallpegel steigt um 17 dB. Was passiert mit der Schallstärke? 16

17. Der Schallpegel einer Sirene betrage 83 dB. Wieviel Mal weiter weg müssen Sie gehen, damit derPegel auf 73 dB sinkt? 17

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27.4 Dopplereffekt 155

27.4 Dopplereffekt

(akustisch und optisch – klassisch und relativistisch, Überschall)

1. Wie lange dauert es, bis ein Auto auf der Gegenfahrbahn an Ihnen vorbeigefahren ist? VergleichenSie die Zeit, wenn Sie stehen, mit der Zeit, wenn Sie selber laufen. Welchen Zusammenhang hat dieseRechnung mit dem Dopplereffekt? 1

2. Ein etwa erdgrosser Planet umkreist den Nachbarstern Alpha Centauri B einmal in 3.2 Tagen imAbstand von 6 Millionen Kilometern und bewegt dadurch den Schwerpunkt des Sterns mit einerGeschwindigkeit von 51 cm/s. Die Dopplerverschiebung des Sternenlichtes konnte von einem Spek-trografen der Europäischen Südsternwarte gemessen werden. Wie gross ist die Dopplerverscheibung∆λ bei einer Wellenlänge von 480 nm? 2

3. Wie schnell müsste ein Pfyffer der Basler Fasnacht auf Sie zu laufen, damit für Sie die Pfeife 10 Centhöher tönt? Sie seien relativ zur Luft in Ruhe. 3

4. Ein Gewehrgeschoss habe eine Geschwindigkeit von 980 m/s. Berechnen Sie den halben Öffnungs-winkel des Machschen Kegels. 4

5. Man beobachte bei einem astronomischen Objekt, dass die Hα Spektrallinie nach 673.38 nm verscho-ben ist. Berechnen Sie die relative Geschwindigkeit υr des Objekts. 5

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Teil V

Moderne Physik

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Kapitel 28

Spezielle Relativitätstheorie

28.1 Zeitdilatation und Längenkontraktion

1. Ein ruhendes Pion π+ hat eine Lebensdauer von τ0 = 2.6033 · 10−8 s. Berechnen Sie die Lebensdauer,wenn es sich mit 99.9988 % der Lichtgeschwindigkeit bewegt. Überlegen Sie sich, wie das Resultatvernünftig zu runden ist. 1

2. Mit welcher Geschwindigkeit muss sich ein unstabiles Teilchen bewegen, damit sich seine Lebens-dauer verdoppelt? 2

3. Lisa und Fritz haben denselben Arbeitsweg und sie starten gleichzeitig. Fritz fährt forsch im Ferra-ri während Lisa locker läuft. Wessen Uhr zeigt bei Ankunft den grösseren Rückstand auf die Uhram Arbeitsplatz? Überlegen Sie sich zuerst Argumente für Lisas und Fritzens Uhren, bevor Sie dieAufgabe formal lösen. 3

4. Nehmen wir an, Sie rennen 100 m mit 7.7 m/s. Wie viel kürzer als im Ruhesystem erscheint Ihnendie Rennbahn? 4

5. Ein neutrales Pion hat eine Lebensdauer von 8.4·10−17 s im Ruhesystem. Wie gross ist diese Lebens-dauer im Laborsystem, wo sich das Pion mit 2.99700·108 m/s bewegt? 5

6. Ein instabiles Teilchen komme im Mittel 0.578 mm weit, wenn es sich mit 99.99328 % der Lichtge-schwindigkeit bewegt. Berechnen Sie die Lebensdauer im Ruhesystem. 6

7. Mit welcher Geschwindigkeit muss sich ein Myon (µ−) bewegen, damit seine Halbwertszeit auf eineMillisekunde steigt? Berechnen Sie β (= υ/c). 7

8. Ein positives Kaon (K+) hat eine Masse von 493.68 MeV und eine mittlere Lebensdauer von 1.238·10−8 s.Es zerfällt mit 21 % Wahrscheinlichkeit in zwei Pionen (π).a) Es gibt verschiedene Pionen (FoTa). Welche zwei müssen es sein?b) Mit welcher Geschwindigkeit β (= υ/c) müssen sich die K+ bewegen, damit die mittlere Lebens-dauer auf exakt eine Mikrosekunde steigt? 8

9. In einem Speicherring lebe ein unstabiles Teilchen 30 % länger als in Ruhe. Berechnen Sie die Ge-schwindigkeit. 9

10. Nehmen wir an, dass Ihr Taschenrechner mit zehn wesentlichen Ziffern rechnet. Bis zu welcher Ge-schwindigkeit unterscheidet sich der Lorentzfaktor γ auf dem Rechner nicht von Eins? 10

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28.2 Transformationen 158

11. Ein stromführender Metalldraht ist elektrisch neutral. Der Draht ist in Ruhe, d.h. die Metallionen be-wegen sich nicht, wohl aber die Elektronen. Die Linienladungsdichte (Ladung pro Länge) der Ionenund Elektronen ist gleich. Nun wechseln wir das Bezugssystem und bewegen uns mit den Elektronenparallel zum Draht. Was passiert mit den Ladungsdichten der Ionen und Elektronen? (Tipp: Längen-kontraktion) Hat das beobachtbare Konsequenzen? Ich erwarte eine Antwort in Worten. 11

12. Wann hat Albert Einstein seine Arbeit zur speziellen Relativitätstheorie veröffentlich? 12

13. Wie lauten das erste und zweite Einstein’sche Postulat der speziellen Relativitätstheorie. 13

14. Wie sieht der Graph aus, wenn γ−1 als Funktion von β dargestellt wird? 14

15. Wie schnell (υ) müsste ich mich im Durchschnitt bewegen, wenn ich gegenüber einer Couch-Potatoin 50 Jahren eine einzige Sekunde Lebenszeit gewinnen möchte? 15

16. Ein Teilchen bewegt sich mit 3.0 cm/s. Wie viel unterscheidet sich der Lorentzfaktor von Eins? 16

17. Ein Strassenrowdy fährt sein Auto (`0 = 4.8 m) mit 167 km/h an Ihnen vorbei. Für Sie ist der Wagenverkürzt. Ist die Verkürzung ∆` mehr oder weniger als eine Atomlage? 17

18. Warum gibt es in der SRT eine Längenkontraktion, aber keine Querkontraktion? 18

19. Bei welcher Geschwindigkeit υ ist ein Massstab (1000 mm) genau 1 mm kürzer als in Ruhe? 19

28.2 Transformationen

(Lorentztransformation, Geschwindigkeit, Frequenz/Dopplereffekt)

1. Zwei ruhende Teilchen an den Positionen x1 = 1.0 m und x2 = 2.0 m zerfallen im Ruhesystem gleich-zeitig. Sie betrachten denselben Vorgang in einem Bezugssystem, das sich relativ zum ersten mit2.8888·108 m/s in positiver x-Richtung bewegt (Laborsystem). In welchem zeitlichen Abstand zerfal-len sie im Laborsystem? 1

2. Ein Myon fliege im Laborsystem mit 83% der Lichtgeschwindigkeit. Es sende – im eigenen Ruhesy-stem – ein Elektron mit 73% der Lichtgeschwindigkeit in Vorwärtsrichtung aus. Welche Geschwin-digkeit hat das Elektron im Laborsystem? 2

3. Ein X-Wing Starfighter schiesst einen Protonentorpedo mit 77 % der Lichtgeschwindigkeit in Rich-tung Death Star. Der Torpedo bewegt sich mit 88 % der Lichtgeschwindigkeit (β) relativ zum DeathStar. Welche Geschwindigkeit hat der Starfighter relativ zum Death Star? 3

4. Jemand hat als Antwort auf die Frage, was das erste Einstein’sche Postulat der SRT sei, geschrieben“Das Inertialsystem hängt vom Bezugssystem ab. (Relativität)”. Kommentieren und korrigieren Siedas. 4

5. Im Ruhesystem werden beide Protonen mit 89 % der Lichtgeschwindigkeit gegen einander geschos-sen. Welche Geschwindigkeit hat das eine Proton relativ zum anderen? (inm/s) 5

6. Der Millennium Falcon von Han Solo besitzt vier Blasterkanonen. Nehmen wir an, deren Geschos-se haben 90 % der Lichtgeschwindigkeit relativ zum Millennium Falcon. Darth Vader sieht die Ge-schosse mit 80 % der Lichtgeschwindigkeit an seinem TIE-Fighter vorbei zischen. Berechnen Sie dieGeschwindigkeit von Darth Vader relativ zu Han Solo. 6

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28.3 Impuls und Kraft 159

7. Die Voyager-Sonde bewegt sich mit 61 000 km/h von der Erde weg und sendet mit f0 = 8418 MHz.Wie viele Hertz ist das auf der Erde empfangene Signal tiefer? 7

8. Beschreiben Sie in Worten, wie wir vorgegangen sind, um die relativistische Dopplerformel herzulei-ten. 8

9. a) In der FoTa stehen zwei Formeln für den optischen (relativistischen) Dopplereffekt. Zeigen Siedass diese für kleine Geschwindigkeiten übereinstimmen.b) Die Hα Spektrallinie (656.3 nm) eines fernen Sterns sei 0.11 THz rotverschoben. Mit welcher Ge-schwindigkeit υ bewegt sich der Stern relativ zu uns? Und in welcher Richtung? 9

28.3 Impuls und Kraft

1. Ein Elektron bewege sich mit 99.9900% der Lichtgeschwindigkeit. Welche Stärke müsste eine Krafthaben, welche das Elektron mit 1.0 m/s2 schneller macht? 1

2. Ein Elektron werde von einer Kraft der Stärke 1.0 kN in Bewegungsrichtung beschleunigt. Die Be-schleunigung betrage aber lediglich 1.0 mm/s2. Berechnen Sie die reduzierte Geschwindigkeit β desElektrons. 2

3. Wie stark muss ein Magnetfeld sein, das Myonen, die mit 93.85 % der Lichtgeschwindigkeit fliegen,auf einer Kreisbahn mit 2.82 m Radius halten kann? 3

4. Bei welcher Bahngeschwindigkeit ist das Erdmagnetfeld stark genug, ein Elektron auf einer Erdum-laufbahn zu halten? Gehen Sie von einem Bahnradius von 7000 km und einer Feldstärke von 22.6 µTaus. Sind die Elektronen so schnell, dass man relativistisch rechnen müsste? Sind die Elektronen solangsam, dass man die Gravitation berücksichtigen müsste? 4

5. Bei einem der möglichen Zerfälle des Higgs-Bosons wird ein Myon (µ−, siehe FoTa) mit einemImpuls von 62545 MeV/c ausgesandt. Rechnen Sie den Impuls in SI-Einheiten um. 5

6. Normalerweise drücken wir den Lorentzfaktor γ durch die Schnelligkeit υ aus. Drücken Sie ihn ein-mal mit Hilfe des relativistischen Impulses (und der Masse) aus. 6

7. Im zweiten Speicherring des CERN zirkulierten Myonen (µ, siehe FoTa) auf einer Kreisbahn mit7000 mm Radius. Der Lorentzfaktor der Myonen betrug γ = 29.327. (Bailey et al., 1978)a) Berechnen Sie die reduzierte Schnelligkeit β = υ/c undb) die relativistische Kraft auf ein Myon.c) Wie muss ein Magnetfeld gerichtet sein, das die (positiven) Myonen auf der Kreisbahn hält? 7

8. Das Z-Boson kann in zwei π0-Mesonen zerfallen. Jedes π0 trägt den Impuls 45 594 MeV/c.a) Berechnen Sie die Geschwindigkeit eines dieser Mesonen formal.b) Berechnen Sie den Zahlenwert der Geschwindigkeit. (π0-Masse: siehe FoTa) 8

9. Ein Proton bewegt sich in einem homogenen Magnetfeld der Stärke 3.8 T auf einer Kreisbahn mit1.03 m Radius.a) Berechnen Sie den relativistischen Impuls des Protons.b) Berechnen Sie den Lorentzfaktor. Sie dürfen das Resultat von a) verwenden. 9

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28.4 Energie-Masse-Äquivalenz 160

28.4 Energie-Masse-Äquivalenz

1. Wie kann man die Grösse 931.49 MeV/u auch noch schreiben? 1

2. Menschen geben durchschnittlich 100 W Wärme ab. Wie gross ist der dadurch verursachte Massever-lust? Drücken Sie das Resultat in geeigneten Einheiten aus und diskutieren Sie es. 2

3. Rechnen Sie 1 kWh in eine Masse um. 3

4. Bei welcher Geschwindigkeit ist die kinetische Energie 1.0 Promille der Ruheenergie? 4

5. Ein Tritiumatom (3H, siehe Tabelle der radioaktiven Isotope) kann sich in ein He-3 Atom (Tabelle derstabilen Nuklide) verwandeln, indem der Kern ein Elektron ausstösst.a) Warum ist es ein Elektron und kein Positron?b) Warum muss man für die Berechnung des Massendefekts die Elektronenmasse nicht extra berück-sichtigen?c) Berechnen Sie aus dem Massendefekt die freigesetzte Energie in MeV. 5

6. U-234 hat das radioaktive Tochternuklid Th-230. Berechnen Sie die freigesetzte Energie aus denatomaren Massen des Uran- und Thoriumnuklids. 6

7. Wenn Sie (70 kg) vom Stuhl aufstehen (h ≈ 50 cm), ist damit ein gewisser Energieumsatz verbunden.Berechnen Sie die dazu gehörende Masseänderung und diskutieren Sie, wessen Masse sich ändert. 7

8. Das Pierre-Auger-Observatorium im argentinischen Hochland registriert etwa alle zwei Wochen einkosmisches Teilchen, z.B. einen Fe-56 Kern, mit einer Energie von 100 EeV.a) Wie schnell wäre ein Tennisball (58 g) mit derselben kinetischen Energie?b) Wenn das Teilchen auf unsere Atmosphäre trifft, erzeugt es u.a. Myonen. Wie viele Myonen könn-ten maximal erzeugt werden? 8

9. Kommentieren Sie folgendes Zitat aus dem Internet:“E = mc2 Hört sich sehr schön an und ist deshalb sicherlich auch so berühmt geworden! Vielleichtist die Formel auch so berühmt geworden, weil sie von einem weltbekannten Patentbeamten dritterKlasse in Bern erfunden wurde! Erfunden ist das richtige Wort, denn derjenige (Patentbeamter drit-ter Klasse in Bern) hatte keine Messergebnisse zur Verfügung um die Richtigkeit seiner erfundenenFormel zu beweisen und er wusste auch, dass niemand in naher Zukunft ihm das Gegenteil beweisenkönne. Durch diese Formel wurde er nur noch berühmter. Die Formel E = mc2 ist hergeleitet ausE = 1

2mυ2 (kinetische Energie) wobei nur das 12 weggelassen und υ durch c ersetzt wurde! Nur wo

bleibt die Logik? Kinetische Energie verglichen zu Energieinhalt von Materie !?! Der Vergleich hinkt!Der Energieinhalt des Benzins, in dem Tank meines Autos, ist gleich der Masse meines Autos maldessen Geschwindigkeit zum Quadrat! Schwachsinn! Die Formel E = mc2 ist frei erfunden und ohnejeden logischen Hintergrund!”(http://www.wissen-glaube.homepage.t-online.de, Abruf am 8. April 2014) 9

10. Wie viel Energie (in MeV) wird bei der Fusionsreaktion 11H + 2

1H→ 32He freigesetzt? 10

11. Laut Star Treck Fanclub hat ein Photonentorpedo eine Sprengkraft, die der Kombination von 1.5 kgMaterie mit 1.5 kg Antimaterie entspricht (270 PJ). (http://de.memory-alpha.org/wiki/Photonentorpedo,17. Juni 2014). Passen diese zwei Angaben zusammen? 11

12. Tc-99m sendet Gammastrahlung der Energie 0.1405 MeV aus. Wie viele ‘units’ verändert sich da-durch die Masse? 12

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28.5 Gesamtenergie 161

13. Der Li-Ion Akku eines Mobiltelefons ist mit 2600 mAh und 3.8 V angeschrieben. Wie viel nimmtseine Masse ab, wenn der geladene Akkumulator vollständig entladen wird? 13

14. Der Meteor Crater in Arizona hat 1.2 km Durchmesser und soll von einem Meteoriten mit 20 Me-gatonnen kinetischer Energie geschlagen worden sein. 1 kg des Sprengstoffs TNT setzt 4.184 MJExplosionswärme frei. Rechnen Sie die 20 MT Energie mit dem Einstein’schen Äquivalenzprinzip ineine Masse um. 14

15. Die Masse einer radioaktiven Probe nimmt 1.00·10−14 kg/s ab. Berechnen Sie die Heizleistung. 15

16. Der Alphastrahler Polonium-210 ist in der Tabelle radioaktiver Nuklide (FoTa) zu finden.a) Berechnen Sie die beim Zerfall freigesetzte Energie.b) Vergleichen Sie ihr Resultat mit der Energie des α-Teilchens und diskutieren Sie das Ergebnis.16

17. Im September 2015 wurde erstmals eine Gravitationswelle beobachtet. Falls die Analyse stimmt,wurde sie durch Verschmelzung zweier schwarzer Löcher verursacht. Innert Grössenordnung 0.1 swurde das Äquivalent von drei Sonnenmassen abgestrahlt. Berechnen Sie die mittlere Leistung. 17

18. Ist Ihre eigene Ruheenergie grösser oder kleiner als der jährliche Energieverbrauch von 838 PJ (2015)der Schweiz? 18

19. Berechnen Sie den Umrechnungsfaktor 931.49 MeV/u aus der FoTa auf so viele signifikante Stellenwie mit den anderen FoTa-Angaben möglich. 19

20. Wie viel Energie benötigt die Kernspaltung 6228Ni→ 26

12Mg + 3616S ? 20

21. Wie viel nimmt die Masse eines Eisbergs von 3.8·109 kg Masse wegen der SRT zu, während erschmilzt? 21

28.5 Gesamtenergie

(kinetische Energie, Energie-Impuls-Relation)

1. Ein freies Neutron ist unstabil. Es kann in ein Proton, ein Elektron und ein Elektron-Antineutrinozerfallen.a) Wie viel Energie in MeV wird freigesetzt?b) Welche Geschwindigkeit kann das Elektron maximal haben? 1

2. Ein Myon mit kinetischer Energie 351 MeV prallt auf einen Detektor und erzeugt eine Kaskade vonElektron/Antielektron-Paaren. Wie viele Paare könnten maximal erzeugt werden? 2

3. Der LHC-Beschleunigerring des CERN hat 26 659 m Umfang. Darin laufen Protonen mit 7.0 TeVGesamtenergie (April 2012).a) Berechnen Sie 1 − υ/c für diese Protonen (mP = 938.272 MeV/c2).b) Welchen Umfang hat der Beschleunigerring für die Protonen?c) Wie viele Proton-Antiproton-Paare können bei einer Frontalkollision zweier solcher Protonen ma-ximal entstehen?d) Wie gross ist der Impuls eines solchen Protons in SI-Einheiten?e) Eine Stechmücke habe Masse 2.5 mg und Schnelligkeit 1.5 km/h. Berechnen Sie zum Vergleichden Impuls und die kinetische Energie der Mücke. 3

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28.5 Gesamtenergie 162

4. Am 29.2.2012 wurde am Ernst Ruska-Centrum ein Transmissionselektronenmikroskop mit einer Auf-lösung von 50 Pikometer in Betrieb genommen. Angenommen, die Auflösung entspreche der de Bro-glie Wellenlänge, wie gross muss dann die Beschleunigungsspannung mindestens gewesen sein? 4

5. Das Λ0 Baryon (Masse 1115.683 MeV) zerfällt mit kleiner Wahrscheinlichkeit in ein Neutron n undein Photon γ (Impuls 162 MeV/c).a) Berechnen Sie die Wellenlänge des Photons.b) Berechnen Sie die Energie des Photons in Joule.c) Berechnen Sie die kinetische Energie des Neutrons. Tipp: Verwenden Sie den Zusammenhangzwischen Gesamtenergie, Ruhemasse und Impuls. 5

6. Welche reduzierte Geschwindigkeit (β = υ/c = . . . ) hat ein negatives Kaon (K−, steht in der FoTa),wenn seine kinetische Energie doppelt so gross wie seine Ruheenergie ist? 6

7. Angenommen, man könnte die ganze Ruheenergie eines Goldatoms auf eines seiner Elektronen über-tragen, wie gross wäre dann die reduzierte Geschwindigkeit β dieses Elektrons? 7

8. Bei welcher kinetischen Energie ist der Larmorradius (Zyklotronradius) eines Protons gleich demRadius der Milchstrasse? Rechnen Sie mit 50 000 Lichtjahren Radius und 3·10−10 T. 8

9. Ein Proton bewegt sich mit 99.9200 % der Lichtgeschwindigkeit auf einer Kreisbahn mit 70 m Radiusin einem Speicherring. Berechnen Sie die kinetische Energie des Protons. 9

10. Das Nulid 234m91Pa zerfällt mit einer geringen Wahrscheinlichkeit in 234

91Pa und sendet ein Photon derEnergie 0.76636 MeV aus.a) Berechnen Sie den Masseunterschied vor und nach dem Gammazerfall in atomaren Masseneinhei-ten (“units”).b) Welchen Rückstoss in m/s erhält das Pa-234? Seine Masse ist 234.043308 u. 10

11. Das η′-Meson (Eta-Strich) kann in ein Photon γ und ein ρ0-Meson zerfallen: η′ → ρ0 + γ.Das η′ hat eine Masse von 957.78 MeV/c2, das ρ0 eine von 775.49 MeV/c2.a) Welche Ladung hat das η′ ?b) Stellen Sie eine Gleichung auf, welche die Energie des Photons als einzige Unbekannte enthält.c) Berechnen Sie damit die Energie des Photons. Setzen Sie c = 1. 11

12. Der Batter schwinge den Baseballschläger (0.60 kg) mit 90 % der Lichtgeschwindigkeit!a) Berechnen Sie die Gesamtenergie des Schlägers in Joule. (unten verwenden)b) Wie viel Wasser liesse sich damit in einen 800 m höher gelegenen Stausee pumpen? 12

13. Die Bestimmung der Schnelligkeit υ mit der klassischen Formel Ek = 12mυ2 ergebe die Lichtge-

schwindigkeit. Wie gross ist der υ-Wert bei gleicher Energie relativistisch? 13

14. Die kinetische Energie Ek = (γ − 1)mc2 kann auch Ek = p2/((γ + 1)m) geschrieben werden, falls fürp der relativistische Impuls eingesetzt wird. Beweisen Sie das. 14

15. Ein Staubkorn von 1 mg Masse absorbiert 1 mJ Sonnenenergie. Berechnen Sie die Geschwindigkeit,die das Staubkorn dadurch erhält. Ist die Antwort eindeutig?Tipp: Das Sonnenlicht ist relativistisch, das Staubkorn bewegt sich klassisch. 15

16. Ein Elektron hat eine kinetische Energie von 622 keV.a) Wie gross ist seine Gesamtenergie?b) Wie gross ist sein Impuls? (in geeigneten Einheiten) 16

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Kapitel 29

Allgemeine Relativitätstheorie

29.1 Äquivalenzprinzip der ART

1. Das Nasa-Projekt Nautilus-X (Non-Atmospheric Universal Transport Intended for Lengthy UnitedStates - eXplorations) ist ein Raumschiff, das dauernd im All verbleiben soll. Dazu gehört eine ring-förmige Zentrifuge von 15 m Durchmesser, die mit 6 Umdrehungen pro Minute Schwerkraft simulie-ren soll.Welche Schwerebeschleunigung spürt ein mitdrehender Astronaut in der Zentrifuge? 1

2. Professionelle Fahr- und Flugsimulatoren ‘imitieren’ Beschleunigung, indem Sie die Kabine schrägstellen. Um welchen Winkel muss die Kabine geneigt werden, um dem Körper eine Beschleunigungvon 1.0 m/s2 vorzutäuschen? Warum steht ‘imitieren’ in Anführungszeichen? 2

3. Die grösste Zentrifuge der Welt, die für Astronautentraining eingesetzt wird, steht in der Nähe vonMoskau und hat 18 m Radius. Sie kann mit maximal 30.6 min−1 rotieren. Ein Astronaut soll einemsimulierten Schwerefeld von 4.0 g (vierfache Erdbeschleunigung) ausgesetzt werden. Berechnen Siedie dazu nötige Drehfrequenz (in min−1). Das Schwerefeld der Erde darf vernachlässigt werden. 3

4. Warum spüren wir die Anziehungskraft der Sonne nicht? Kann ein empfindliches Messgerät vielleichtdoch etwas feststellen? 4

5. Ein Glas Wasser steht auf einem Skateboard und rollt reibungsfrei eine Strasse (schiefe Ebene) hinab.Wie wird sich der Flüssigkeitsspiegel einstellen? 5

6. Eine Raumstation im Film “2001: A Space Odyssey” ist als rotierendes (Doppel-)Rad mit etwa 150 mRadius konzipiert, das Schwerkraft nach Art einer Zentrifuge simuliert. Mit welcher Umlaufzeit musssie sich drehen, wenn am Aussenrand 9.81 m/s2 gefühlt werden sollen? 6

7. Betrachten Sie die Erde als starren Körper. Wie viele m/s2 würde die Fallbeschleunigung am Äquatorabnehmen, wenn sich die Erde doppelt so schnell um die Erdachse drehte? 7

8. Wie steigt der Schweredruck in einer schnell drehenden Zentrifuge von innen nach aussen an? 8

9. Wie lautet das Äquivalenzprinzip der allgemeinen Relativitätstheorie? 9

29.2 Uhren im Schwerefeld

(gravitative Rotverschiebung)

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29.2 Uhren im Schwerefeld 164

1. Eine Uhr wird auf eine 1800 m höhere Bergstation gebracht und nach einem Jahr wieder zurückgeholt.Wie viele Sekunden läuft sie gegen eine Uhr im Tal vor oder nach? 1

2. Ein Experiment im Jahr 2011 konnte für einen Höhenunterschied von 33 cm die Zeitdilatation derallgemeinen Relativitätstheorie feststellen. (2011)a) Mit welcher Genauigkeit (1 : 10?) müssen dafür Uhren verglichen werden können?b) Welche Geschwindigkeit erzeugt in der speziellen Relativitätstheorie denselben Effekt? 2

3. Tom Van Baak nahm im Jahr 2005 seine drei Kinder und drei Atomuhren mit in die Berge, blieb dortdort zwei Tage und fuhr dann wieder hinunter, wo er die mitgenommenen Atomuhren mit zurückge-lassenen Atomuhren verglich. Die mitgenommenen Uhren zeigten eine 20-30 ns spätere Zeit an. DasBerghotel lag 1340 m höher als das Heim. Passen die Angaben zusammen? 3

4. Die besten Atomuhren weisen eine relative Genauigkeit von 10−17 auf (2013). Bei welchem Höhen-unterschied wäre eine Laufzeitdifferenz zweier solcher Uhren feststellbar? 4

5. Bei welchem Höhenunterschied laufen zwei Atomuhren eine Nanosekunde pro Tag auseinander? 5

6. a) Auf einer Höhe von 3186 km über der Erdoberfläche heben sich die Einflüsse auf den Gang einerSatellitenuhr, die von SRT und ART verursacht werden, gerade auf. (BdW 8-2015, S 49)Rechnen Sie das nach.b) In 3170 km über Meer (9550 km vom Erdmittelpunkt entfernt) heben sich die Effekte auf.(BdW 8-2015, S 48) Welche der beiden Angaben stimmt jetzt? 6

7. Erklären Sie in Worten, warum eine Uhr auf dem Berg schneller zu laufen scheint als eine baugleicheUhr weiter unten im Tal. 7

8. a) Zwei baugleiche Atomuhren haben 125 m Höhenunterschied. Wie viele Sekunden laufen Sie wäh-rend eines Jahres aufgrund der allgemeinen Relativitätstheorie auseinander?b) Wie schnell müsste sich die eine relativ zur anderen bewegen, damit nach der speziellen Relativi-tätstheorie derselbe Zeitunterschied auftritt? (nur die formale Lösung) 8

9. Im Jahr 1959 konnte die gravitative Rotverschiebung durch Pound und Rebka im Labor gemessenwerden. Strahlungsquelle und -empfänger waren im Abstand 22.56 m übereinander montiert. DiePhysiker haben einen relativen Frequenzunterschied von (5.13 ± 0.51) · 10−15/2 zwischen Quelle undEmpfänger gemessen. Passt das zur Vorhersage der allgemeinen Relativitätstheorie? 9

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Kapitel 30

Kern- und Teilchenphysik

30.1 Radioaktivität

1. Aproz Cristal enthält 9.0 Mikrogramm Uran pro Liter. Nehmen Sie an, es sei Uran-238.a) Wie viele Uranatome enthält ein Liter dieses Mineralwassers?b) Welche Aktivität weisen 75 Liter Mineralwasser dadurch auf?c) Wie gross die Aktivität von b) im Vergleich zur mittleren Aktivität eines Menschen? 1

2. Kapseln mit Polonium-210 wurden in den sowjetischen Mondfahrzeugen als Heizung verwendet.Durch starken Alphazerfall erzeugt ein Gramm Po-210 rund 140 W Heizleistung, eine Kapsel miteinem halben Gramm Polonium kann eine Temperatur von 500 °C erreichen. Rechnen Sie nach, obdas mit den 140 W stimmt. 2

3. Der Marsroboter “Curiosity” der NASA enthält 4.8 kg Plutoniumdioxid. Der radioaktive α-Zerfalldes Pu-238 erzeugte zu Beginn der Mission (26. Nov. 2011) ungefähr 2000 W Heizleistung, aus deretwa 120 W elektrische Leistung generiert wurden.Daten: mPu238 = 238.049553 u, Zerfallsenergie 5.593 MeV, T1/2 = 87.7 aa) Berechnen Sie den Wirkungsgrad des thermoelektrischen Generators.b) Berechnen Sie die Heizleistung aus der Masse des PuO2. 3

4. Das Proton ist vermutlich stabil. Die experimentell gemessene Lebensdauer ist τ > 2.1 ·1029 a (2012).a) Leiten Sie die Beziehung T1/2 = τ · ln 2 für die Halbwertszeit her.b) Welche Aktivität hat eine Tonne Wasserstoff aufgrund der Angabe höchstens? 4

5. Eine Messung an 45 Proben Mont-Blanc-Granit hat ergeben, dass er 19 ppm Uran und 31 ppm Tho-rium enthält (ppm: Gramm pro Tonne).a) Welche Aktivität aufgrund von U und Th hat eine Tonne dieses Granits?b) Die Aktivität ist in Wirklichkeit viel höher, warum? 5

6. C-14 figuriert in der Tabelle radioaktiver Nuklide. Was ist der Tochterkern und ist dieser stabil? 6

7. Wie gross ist die Aktivität von 1.000 kg Kalium-40? 7

8. Wie gross ist die Aktivität von 1.000 kg Kaliumchlorid (KCl) aufgrund seines Anteils an K-40? 8

9. Rn-220 hat eine Halbwertszeit von knapp einer Minute. Eine Probe davon habe eine Aktivität von8 kBq. Berechnen Sie im Kopf die Aktivität nach ungefähr vier Minuten. 9

10. Das Bundesamt für Gesundheit will einen Grenzwert von 10 Mikrogramm Uran pro Liter Trink-wasser einführen. (NZZaS, 30. Dez. 2012) Welche Aktivität hätte ein Liter Trinkwasser mit dieserKonzentration? Nehmen Sie an, es sei U-238. 10

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30.1 Radioaktivität 166

11. Seit Beginn der Reaktorkatastrophe am 11. März 2011 sollen die Reaktoren in Fukushima 15 000Terabecquerel Cäsium-137 freigesetzt haben (www.spiegel.de, 25. 8. 2011).a) Rechnen Sie die Angabe in Becquerel um (wissenschaftliche Schreibweise). Wie heisst die Grössemit Einheit Becquerel?b) Was ist das Tochternuklid von Cs-137?c) Berechnen Sie die freigesetzte Masse an Cäsium-137. 11

12. In fossilen Bakterien-Resten (Magnetitkristalle) wurde radioaktives Fe-60 gefunden, das bei einerSternexplosion vor ca. 2.2 Millionen Jahren gebildet wurde.a) Wie zerfällt Eisen-60 und was ist der Tochterkern?b) Welcher Bruchteil des ursprünglich vorhandenen Fe-60 ist heute noch vorhanden? 12

13. Die kosmische Strahlung produziert jährlich 13.4 kg C-14. Die Erdatmosphäre enthält ca. 111 TonnenC-14 im radioaktiven Gleichgewicht. Passen diese Zahlen zusammen? 13

14. Kobalt-60 ist ein Betastrahler: 60Co → β− + 60Ni. Verletzt diese Reaktionsgleichung nicht den La-dungserhaltungssatz? 14

15. Meerwasser enthält ca. 3.3 Tonnen Uran pro Kubikkilometer. Welche Aktivitäten hat ein Kubikme-ter Meerwasser wegen des Urans, wenn man das natürliche Isotopengemisch zugrunde legt? (ohneAktivitäten der Zerfallsprodukte) 15

16. Das GERDA-Experiment im Gran Sasso Laboratorium (Italien) hat an 16 kg Germanium-76 dendoppelten Betazerfall untersucht und ist auf eine Halbwertszeit von 2·1021 a gekommen. BerechnenSie die Aktivität dieses Germaniums. 16

17. Die Firma Comet hat 2013 eine Versuchsanlage zur Sterilisation mit Elektronenstrahlen vorgestellt:Die Elektronen werden mit 300 kV beschleunigt. Die Leistung beträgt 20 kW. Für die Sterilisationwerden 20-30 kGy verabreicht.a) Wie lange dauert es, eine Probe von 100 g Masse zu sterilisieren? Rechnen Sie mit 30 kGy.b) Wie viele Elektronen hat die Probe dann aufgenommen?c) Wie gross ist der Ladungsfluss? 17

18. U-233 ist ein Alphastrahler. Was ist der Tochterkern? (Name, Symbol, Nuleonen- und Ordnungszahl)18

19. Um welchen Faktor nimmt die C-14 Aktivität eines abgestorbenen Baumstammes in 100 Jahren ab?19

20. Ihr Körper hat eine Aktivität von ca. 4.5 kBq aufgrund von K-40. Wie viele K-40 Atome enthält IhrKörper etwa? 20

21. Wie gross ist die durchschnittliche, jährliche Belastung der Schweizer Bevölkerung durch radioaktiveStrahlung? In welchen Einheiten wird die Belastung angegeben? Welche Grössen stehen für dieseAngabe überhaupt zur Verfügung? 21

22. “Md-101 hat eine Halbwertszeit von 51.5 Tagen. Nach welcher Zeit sind noch 17 % dieser Atomevorhanden?” Jemand löst diese Aufgabe so: 51.5 d→ 50 %⇒ 17 %→ 51.5 d · 50/17 = 151.47 d.a) Erklären Sie dieser Person, warum ihr Lösungsansatz falsch ist.b) Lösen Sie die Aufgabe selber. 22

23. Th-230 ist ein Alphastrahler. Th-230 und der Tochterkern sind in der Tabelle radioaktiver Nuklide derFoTa aufgelistet. Berechnen Sie aus den atomaren Massen die freigesetzte Energie in MeV. 23

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30.1 Radioaktivität 167

24. a) Wie gross ist die mittlere jährliche Strahlenbelastung der Schweizer Bevölkerung? Welches ist diegrösste natürliche und welches die grösste künstliche Belastung?b) Erklären Sie den Unterschied zwischen Gray und Sievert. 24

25. Eine Probe enthält 1.0 Millimol Radium. Seine Eigenschaften finden Sie in der Tabelle der radioakti-ven Nuklide. a) Wie zerfällt Radium und was ist das Tochternuklid?b) Wie gross ist die Aktivität?c) Welche Leistung (in Watt) gibt das Radium ab?d) Wie lange müsste man warten, bis die Stoffmenge 1.0 % abgenommen hat? 25

26. Wegen Rb-87 weist ein Mensch (70 kg) eine Aktivität von ca. 650 Bq auf. Rb-87 ist in der Tabelleradioaktiver Nuklide zu finden.a) Wie heisst dieses Nuklid und was genau ist der Tochterkern?b) Berechnen Sie die jährliche Energiedosis durch diesen Zerfall.c) Ist die Äquivalentdosis betragsmässig kleiner, gleich oder grösser? 26

27. Eine Probe Rn-220 enthalte 8.55·105 Atome dieses Nuklids.a) Wie gross ist die Aktivität der Probe zu Beginn?b) Wie viele Atome Rn-220 sind nach 3.52 Minuten noch vorhanden? 27

28. Ein Mensch von 73 kg weise eine C-14 Aktivität von 3.1 kBq auf. Die freigesetze Energie pro Zerfallfinden Sie in der FoTa in der Tabelle der radioaktiven Nuklide.a) Berechnen Sie die Energiedosis, welche dieser Mensch in einem Jahr wegen des Zerfalls von C-14aufnimmt.b) Ist die Äquivalentdosis betragsmässig tiefer, gleich oder höher? 28

29. Samarium-148 ist ein α-Strahler mit einer Halbwertszeit von 7·1015 Jahren. Tipp: Die Tabelle stabilerNuklide in der FoTa enthält alle Nuklide mit Halbwertszeiten über 109 a.a) Was ist das Tochternuklid und ist dieses stabil?b) Wie hat man die Halbwertszeit wohl messen können?c) Wie viel Energie wird beim Zerfall freigesetzt? (in MeV) 29

30. a) 258101Md ist ein Alphastrahler. Wie heisst dieses Isotop und was ist das Tochternuklid?

b) Die Halbwertszeit von 258101Md beträgt 51.5 Tage. Nach welcher Zeit sind noch 17 % der anfangs

vorhandenen Md-Atome vorhanden?c) Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass so ein Md-Atom in der nächsten Sekunde zerfällt? 30

31. Die NASA Sonde New Horizons, welche 2015 an Pluto vorbeiflog, führte eine Radionuklidbatte-rie zur Stromversorgung mit. Diese enthielt beim Start 9.75 kg Pu-238. Die Zerfallswärme wirdmit einem thermoelektrischen Generator in elektrische Energie umgewandelt. Als Leistung wird245.7 W angegeben. Das Plutoniumnuklid hat eine Halbwertszeit von 87.7 Jahren und setzt pro Zer-fall 5.593 MeV frei.a) Stimmt die Leistungsangabe?b) Ist es die elektrische oder thermische Leistung?c) Kann ein Wirkungsgrad berechnet werden? 31

32. “Ein Strahlenmessgerät auf dem Mars-Rover “Curiosity” mass jüngst eine durchschnittliche Dosisvon etwa 26 Mikrosievert pro Stunde. ” (GEO 11 2015, S. 60)Berechnen Sie die Dosis eines Astronauten, der sich ein Jahr ungeschützt auf dem Mars aufhält. Istdiese Dosis gefährlich? 32

33. Eine durchschnittliche Banane enthält 0.5 g Kalium, davon sind 0.012 % K-40, das eine Aktivität von15 Bq verursacht. Rechnen Sie nach, ob diese Zahlen zusammenpassen, indem Sie aus der Aktivität

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30.2 Kernphysik 168

die Anzahl K-40 Atome bestimmen und diese Zahl vergleichen mit der Anzahl K-40 Atome, die manaus den 0.5 g mit dem Prozentsatz erhält. 33

34. 99Mo wird in Kernreaktoren hergestellt. Es hat eine Halbwertszeit von 2.7476 Tagen. Der Tochterkernist das metastabile 99mTc, welches mit einer Halbwertszeit von 6.01 h in den Grundzustand übergehtund dabei Gammastrahlung von 0.142 MeV Energie aussendet. Tc-99m wird in der Medizin einge-setzt. Dessen Tochterkern Tc-99 hat eine Halbwertszeit von 2.13·105 a.a) Beim Zerfall von Mo-99 wird ein geladenes Teilchen ausgesandt. Welches?b) In welchem Verhältnis stehen die Teilchenzahlen der Tochterkerne Tc-99m zu den MutterkernenMo-99 im radioaktiven Gleichgewicht? 34

35. Bei den Bauarbeiten für das Pumpspeicherkraftwerk Nant de Drance fand sich im Aushub 12,8 Ton-nen Gestein mit 2 % Uran, was eine spezielle Handhabung erforderte. (NZZ 30. Nov. 2016)Geben Sie eine untere Grenze für die Aktivität jenes Gesteins an. Nennen Sie Ihre Annahmen für dieRechnung und legen Sie dar, wie man die Rechnung verbessern könnte. 35

36. Anfang 1970 gab es in den USA Versuche, ein atomgetriebenes, künstliches Herz zu bauen. EineRadioisotopenbatterie mit 120 g Pu-238 stellte Wärme bei etwa 480 °C bereit. Eine Wärmekraftma-schine erzeugte damit 52 W mechanische Leistung für den Pumpvorgang. Die Pumpe wurde einemKalb eingesetzt, das damit acht Stunden überlebte. (Physics Today, May 2016, 38-44) Pu-238 hat eineHabwertszeit von 87.7 a. Die Energie der Alphastrahlung beträgt 5.593 MeV.a) Berechnen Sie die Heizleistung des Plutoniums.b) Das Kalb habe eine Körpertemperatur von 39 °C. Berechnen Sie mit Hilfe des thermodynamischenWirkungsgrads die maximal mögliche Leistung der Wärmekraftmaschine.c) Warum unterscheiden sich die Zahlen?d) Warum laufen heute keine Menschen mit atomar angetriebenen Herzen herum? 36

37. Welche Grösse hat die Einheit Becquerel? Wie ist sie definiert? Aus welchen SI-Basiseinheiten setztsich das Becquerel zusammen? 37

30.2 Kernphysik

1. 65 Milliarden Sonnenneutrinos durchqueren jede Sekunde jeden Quadratzentimeter unseres Körpers,ohne dass wir sie spüren. Ein Neutrino von der Sonne trägt durchschnittlich 0.26 MeV Energie. Be-rechnen Sie den Energiefluss in W/m2 und vergleichen Sie ihn mit der Solarkonstanten. 1

2. Der Zerfall von Kalium-40 erzeugt geschätzte 4 TW Erdwärme. Welche Masse an K-40 enthält da-nach die Erde? 2

3. Berechnen Sie aus den atomaren Massen von 1H (Protium) und 2H (Deuterium) sowie der Neutro-nenmasse die Kernbindungsenergie von Deuterium. 3

4. Ein Atomkern kann in erster Näherung als Kugel betrachtet werden, deren Inneres homogen elektrischgeladen ist. Die potentielle, elektrostatische Energie einer sphärischen Raumladung Q mit Radius Rist

Ep =35

14πε

Q2

R

a) Berechnen Sie die elektrostatische Energie eines Goldatomkerns.b) Berechnen Sie zum Vergleich die Kernbindungsenergie. 4

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30.3 Teilchenphysik 169

5. Wie viele Kernfusionen 4H → He müssen pro Kubikmeter und Sekunde in der Sonne ablaufen,um die gegenwärtige Strahlungsleistung der Sonne zu erklären? Berechnen Sie die in der Brutto-Fusionsreaktion freigesetzte Energie separat. 5

6. Erklären Sie, warum in der Näherungsformel für den Radius eines Atomkerns r ≈ r03√A eine dritte

Wurzel vorkommt. 6

7. Isotone sind Nuklide gleicher Nukleonenzahl. Geben Sie ein konkretes Beispiel. 7

8. Nehmen Sie an, die Sonne sei eine homogene Kugel aus Wasserstoff. Auf welchen Radius müsste siesich zusammenziehen, um genügend Energie bereit zu stellen, alle Protonen mit den Elektronen zuNeutronen zu verbinden? Pro Neutron müssen dafür 0.78 MeV aufgewendet werden (Umkehrung desBetazerfalls des Neutrons). 8

9. Die mittlere Bindungsenergie eines Nukleons in Ni-62 ist etwa 8.78 MeV. Welche Geschwindigkeitmuss man dem Nuklid verleihen, damit es genügend kinetische Energie hat, alle diese Bindungen zulösen? Warum darf man noch klassisch rechnen? 9

30.3 Teilchenphysik

1. a) Nennen Sie zwei Leptonen.b) Aus welchen Elementarteilchen besteht das Proton? 1

2. Die geplante Europäische Spallationsquelle (ESS) möchte mit Hilfe eines Protonenstrahls Neutronenaus einem Wolframtarget herausschlagen (Spallation). Die Protonen im Strahl haben eine kinetischeEnergie von 2.0 GeV. Der Strahl ist gepulst mit einer Pulsdauer von 2.86 ms, Maximalstrom 62.5 mAund einer Wiederholrate von 14 Hz. Die mittlere Strahlleistung beträgt 5 MW, die Leistung währendeines Pulses 125 MW.a) Passen die zwei Leistungsangaben zusammen?b) Berechnen Sie den Protonenstrom während eines Pulses.c) Berechnen Sie die grössere Leistungsangabe aus der Protonenenergie.d) Mit welcher relativen Geschwindigkeit β = υ/c bewegen sich die Protonen? 2

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Kapitel 31

Quantenphysik

31.1 Quantenoptik

1. Ein GSM-1800 Mobiltelefon sende mit 1.8 W bei einer Frequenz von 1.78 GHz (Bandbreite 200 kHz).a) Wie viel Energie hat ein Photon dieser Strahlung in Joule und Elektronvolt?b) Wie viele Photonen werden pro Sekunde ausgestrahlt? 1

2. Licht der Wellenlänge 400 nm hat einen Impuls von 1.66·10−27. . . . . . pro Photon.a) Ergänzen Sie die SI-Einheit des Impulses.b) Wie gross ist der Impuls eines Photons von 600 nm Wellenlänge? 2

3. Der Laser eines Blu-ray Disc Brenners hat hat 405 nm Wellenlänge und 100 mW Leistung.a) Wie viel Energie hat ein Photon in Joule und eV?b) Wie viele Photonen treten pro Sekunde aus der Laserdiode? 3

4. In der ‘darksucker-theory’ wird behauptet, dass eine Lampe in Wirklichkeit kein Licht ausssendet,sondern Dunkelheit einsaugt, wenn man sie einschaltet. Nennen Sie Argumente für und gegen dieseTheorie. 4

5. Ein Helium-Neon Laser sendet 5.0 mW rotes Licht aus.a) Berechnen Sie den Photonenfluss (Photonen pro Sekunde, in b) verwenden).b) In welchem zeitlichen und räumlichen Abstand folgen sich die einzelnen Photonen, wenn manannimmt, dass die Photonen gleichabständig den Laser verlassen?c) Berechnen Sie die Rückstosskraft, welche der Laser wegen der Lichtemission erfährt. 5

6. In einem physikalischen Text wurde die Solarkonstante als 8.5·1011 MeV · cm−2 · s−1 angegeben. Rech-nen Sie diese Angabe in Watt pro Quadratmeter um. 6

7. Wasser absorbiert stark im Infraroten, da z.B. die Biegeschwingung des Moleküls bei der Wellenzahlν = λ−1 = 1644 cm−1 liegt. Berechnen Sie aus dieser Angabe die Wellenlänge, die Frequenz und dieEnergie der absorbierten Photonen. 7

8. Eine Leuchtdiode weist ein Spektrum auf, dessen Intensität folgende Form hat:

I ∝ exp(−

(E − Em)2

2 · σ2

)wobei E die Photonenenergie, Em = 2.63 eV, σ = 1.02 eV, und I die spektrale Intensität ist.a) Zeichnen Sie das Spektrum I(E).b) Welcher Wellenlänge entspricht das Maximum?c) Von wo bis wo kann man etwas sehen? 8

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31.2 Materiewellen 171

9. Welche Masse hat 1.0 mol Photonen von 500 nm Wellenlänge? 9

10. Ein ruhendes Argon-40 Atom sendet ein Photon aus. Die Wellenlänge beträgt 488.0 nm.a) Wie viel Energie trägt ein Photon fort?b) Welchen Rückstoss (in m/s) erhält das Atom dadurch? 10

11. Ein Mikrowellenofen wird bei 2.4 GHz betrieben. Eine Tasse Wasser (250 g) werde damit von 20 °Cauf 70 °C erhitzt. Wie viele Photonen werden im Mittel pro Wassermolekül aufgenommen? 11

12. Der Meter wurde 1960 als das 1 650 763,73-fache der Wellenlänge der vom Nuklid 86Kr beim Über-gang vom 5d5 in den 2p10-Zustand ausgesandten und sich im Vakuum ausbreitenden Strahlung defi-niert.a) Warum hat man ein bestimmtes Isotop ausgewählt?b) Welche Energie hat ein Photon dieser Strahlung?c) Welche Geschwindigkeit erhält ein Kryptonatom, wenn es so ein Photon aussendet? Sie dürfennäherungsweise ma ≈ 85.9 u setzen. 12

13. Im Jahr 1919 hat der indische Physiker Meghnad Saha mit Hilfe des Strahlungsdruckes des Sonnen-lichts erklärt, warum der Gasschweif eines Kometen immer von der Sonne weg zeigt. Er berechnete,dass ein Wasserstoffatom, das ein Photon entsprechend der Hα-Spektrallinie absorbiert, dadurch eineGeschwindigkeit von 60 cm/s erhält. Rechnen Sie das nach. 13

14. Satelliten und Weltraumschrott können mit starken Lasern von der Erdoberfläche aus mit 1 cm Ge-nauigkeit geortet werden (Laser Ranging). “Von 1019 ausgesendeten Photonen eines Laserpulses vonrund 2 Joule Energie erreicht nur ein einziges bei seiner Rückkehr den Detektor!” (Physik Journal 17(2018) Nr. 1 Seite 34) Welche Wellenlänge hat der Laser etwa? 14

15. Weshalb ist der (äussere, direkte) Photoeffekt nicht mit der klassischen Physik erklärbar? Von wemund aus welchem Jahr stammt die Erklärung? 15

16. Ein Photon hat die Energie 37.2 µeV. Berechnen Sie die Wellenlänge der Strahlung. 16

31.2 Materiewellen

1. Berechnen Sie die de Broglie-Wellenlänge des Mondes auf seiner Bahn um die Erde. 1

2. Einige Natriumatome wurden auf 0.5 nK abgekühlt und bildeten ein sogenanntes Bose-Einstein Kon-densat (Nobelpreis 2001). Berechnen Sie die de Broglie-Wellenlänge eines solchen Atoms. Anleitung:Sie finden in der FoTa, wie kinetische Energie der Wärmebewegung und Temperatur zusammenhän-gen. Daraus können Sie den Impuls berechnen und daraus die Wellenlänge. 2

3. Für eine optische Atomuhr wurde die Strahlung eines einzelnen Indium-Ions (In+) bei etwa 237 nmuntersucht. Die Frequenz dieses Übergangs wurde zu 1267 402 452 899.92 (0.23) kHz bestimmt.a) Passt die Frequenz zur Wellenlänge?b) Wie gross ist der genaue energetische Unterschied der betrachteten Energieniveaus?c) Berechnen Sie den Rückstoss (in m/s), den ein ruhendes Indium-Ion erhält, wenn es ein Photon dergenannten Wellenlänge aussendet? Vernachlässigen Sie das fehlende Elektron.d) Welche de Broglie Wellenlänge erhält das Indiumion durch diesen Rückstoss?e) Wird das Licht nach oben gesandt, so wird nach der ART oben eine tiefere Frequenz empfangen.In welcher Höhe ist die Frequenz 0.23 kHz geringer als unten? 3

4. Ein Elektron wird mit 1.00 V aus der Ruhelage beschleunigt. Welche Wellenlänge gehört nach deBroglie zum Elektron? 4

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31.3 Atommodelle 172

5. Wie gross ist die de Broglie-Wellenlänge eines stillstehenden Menschen von 60 kg Masse und 36 °CKörpertemperatur? Tipp: Wegen der Wärmebewegung hat der Massenmittelpunkt des Menschen diemittlere kinetische Energie 3

2kT = p2/2m. 5

6. a) Welche mittlere Geschwindigkeit haben Benzolmoleküle bei 0 °C? (unten verwenden)b) Welche de Broglie Wellenlänge kann man den Molekülen dann zuordnen? 6

31.3 Atommodelle

(Atommodell nach Bohr/de Broglie)

1. Übertragen Sie das Bohrsche Modell des Wasserstoffatoms auf ein ionisiertes Atom mit Kernladungs-zahl Z, das noch ein einziges Elektron hat. Berechnen Sie die Grundzustandsenergie von He+ undvergleichen Sie mit der zweiten Ionisationsenergie des Heliums von 54.417760 eV. 1

2. Berechnen Sie in Analogie zum Bohrschen Atommodell ein Bohrsches Modell des Systems Erde-Sonne. Berechnen Sie die Bahnradien, die Energienieveaux und die Hauptquantenzahl. 2

3. Versuchen Sie, das Bohr - de Broglie Modell des Wasserstoffatoms auf Helium zu übertragen. Berech-nen Sie Radius und Energie des in Abbildung 31.1 dargestellten Grundzustandes. Tipp: BetrachtenSie die Wellenfunktion eines einzelnen Elektrons. 3

Abbildung 31.1: Helium im Grundzustand des BohrschenAtommodells. Die zwei Elektronen umkreisen den Atomkern imgleichen Abstand mit gleicher Bahngeschwindigkeit. Die ge-messene, erste Ionisationsenergie beträgt 24.587387 eV, diezweite 54.417760 eV. Die Grundzustandsenergie ist somit−79.005147 eV.

4. a) Wo ist E. Rutherford aufgewachsen und wann hat er gelebt?b) Was sind die Bestandteile und Charakteristika des Rutherfordschen Atommodells? 4

5. a) Berechnen Sie die Wellenlänge der Hβ-Spektrallinie der Balmerserie (n = 4→ m = 2).b) Welcher Lichtfrequenz entspricht die Ionisationsenergie des H-Atoms? 5

6. a) Wann hat Niels Bohr sein Atommodell veröffentlicht?b) Was ist der wichtigste Unterschied zwischen den Rutherfordschen und Bohrschen Atommodellen?6

7. Man könnte sich vorstellen, dass ein Neutron durch die newtonsche Gravitationskraft an einen Uran-238 Atomkern gebunden wird und eine Art Planetensystem bildet. Übertragen Sie die Rechnung fürdas Bohr’sche Atommodell des Wasserstoffatoms auf diesen Fall. Berechnen Sie den Bahnradius unddie Energie des Grundzustandes. Diskutieren Sie das Resultat. 7

8. Ein langer, gerader, dünner Draht sei gleichmässig positiv geladen mit gegebener Linienladungsdich-te. Elektronen können diesen Draht umkreisen. Berechnen Sie in der Art von Bohr und de Broglie diemöglichen Radien und Energien. 8

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31.4 Unbestimmtheitsrelationen 173

9. Wie gross ist der Bahndrehimpuls des Elektrons auf der zweiten Bahn im Bohr’schen Atommodell?Tipps: Sie finden die Formel für den Bahnradius und die Gesamtenergie als Funktion der Hauptquan-tenzahl n in der FoTa. Die kinetische Energie hat denselben Betrag wie die Gesamtenergie. 9

10. Rydberg-Zustände des Wasserstoffatoms sind solche mit sehr hohen Hauptquantenzahlen.a) Berechnen Sie den Radius des Wasserstoffatoms für n = 256 nach Bohr.b) Berechnen Sie die Wellenlänge des Übergangs von n = 256 nach m = 255. 10

11. Ein Atom sende Licht mit Wellenlänge 663 nm aus. Berechnen Sie die Energie des Übergangs. 11

12. Der Bahndrehimpuls des Elektrons auf der ersten Bohrschen Bahn beträgt nach Bohr ~. BerechnenSie die Bahngeschwindigkeit des Elektrons. 12

13. Beim Übergang vom Niveau n = 29 auf ein anderes im Wasserstoffatom werden 1.18 meV Energiefreigesetzt. Berechnen Sie die Hauptquantenzahl des anderen Niveaus. 13

14. Beschreiben Sie in Worten, warum in Atomen nicht alle Energien oder Bahnen möglich sind. 14

15. Im Prinzip könnte man die Internationale Raumstation (ISS, 455 Tonnen, durchschnittliche Bahnhöhe400 km und Bahngeschwindigkeit 28 000 km/h) als Elektron und die Erde als Atomkern betrachten.Es müsste die gleiche Quantisierungsbedingung wie im Bohr’schen Atommodell gelten. BerechnenSie die Hauptquantenzahl des “ISS-Elektrons”. 15

16. Berechnen Sie die Frequenz der Hβ Spektrallinie der Balmerserie des Wasserstoffatoms im Bohr’schenAtommodell. 16

31.4 Unbestimmtheitsrelationen

1. Laut wikipedia (16. Sept. 2012) hat das Y-Meson (bb) eine mittlere Lebensdauer von 1.22·10−20 s undeine Zerfallsbreite von 54 keV. Passen diese Angaben nach der Heisenbergschen Unbestimmtheitsre-lation zusammen? 1

31.5 diverses Quantenphysik

1. Beim Quanten-Hall-Effekt ist der elektrische Widerstand quantisiert. Wie muss man Elementarladunge und Plancksches Wirkungsquantum h kombinieren, damit ein Widerstand herauskommt? 1

2. Das Doppelsternsystem Vela X-1 enthält einen Neutronenstern, bei dem eine Zyklotron-Absorptionslinievon etwa 54 keV beobachtet wurde. Was lässt sich über die Stärke des Magnetfelds sagen? 2

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Teil VI

Physikalische Methoden

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Physikalisches Rechnen

Da physikalisches Rechnen zum Lösen von Physikaufgaben notwendig ist, befindet sich das Kapitel 1 amAnfang des Teils I ‘Mechanik’.

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Heuristik

31.6 Dimensionsanalyse

1. Wie muss man Energie E und Geschwindigkeit υ eines Teilchens kombinieren, damit ein Impulsherauskommt? Bestimmen Sie die Formel p = f (E, υ) durch eine Dimensionsanalyse. 1

2. Wie nahe an den Urknall kann man mit den heutigen Theorien zurückrechnen? Bestimmen Sie diesogenannte Planckzeit, indem Sie die Gravitationskonstante G, die Lichtgeschwindigkeit c und dasPlanck’sche Wirkungsquantum h so kombinieren, dass eine Zeit herauskommt (Dimensionsanalyse).2

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Kapitel 32

Infinitesimalrechnung

32.1 Differentialrechnung

1. Eine Fotokamera stellt das Bild eines Rennautos dauernd scharf. Das Auto fährt mit Geschwindigkeitυ auf die Kamera zu oder von ihr weg. Das Objektiv sei vereinfacht eine Linse mit Brennweite f . Mitwelcher Geschwindigkeit wird die Linse bewegt? 1

2. Die Bahngleichung laute y(t) = a + b · t + c · t2 + d · t3. Berechnen Sie die Geschwindigkeit υ(t). 2

3. Sei s(t) = s0 − s0e−t/τ. Berechnen Sie υ(t) und die Anfangsgeschwindigkeit formal. 3

4. Die Geschwindigkeit eines Körpers, der angestossen und losgelassen wird, verändert sich bei derReynolds- oder Schmiermittelreibung nach dem Gesetz υ = υ0 · (1 − t/τ)2, wobei υ0 die Anfangsge-schwindigkeit ist. Der Parameter τ beschreibt die Stärke der Reibung. Wie hängt die Reynoldsreibungvon der Geschwindigkeit ab? 4

32.2 Integralrechnung

1. Der Schweredruck presst Wasser durch ein Filterpapier am Boden eines zylindrischen Büchnertrich-ters. Zu Beginn habe stehe das Wasser bis zur Höhe h über dem Papier. Wie viel Arbeit verrichtet derSchweredruck, wenn er das Wasser filtriert? 1

2. Eine schlanke, starre Säule stehe vertikal auf dem Nordpol der Erde und reiche unendlich weit insWeltall. Mit welcher Kraft drückt sie auf die Erdoberfläche? Wo ist der Schwerpunkt (Gravizen-trum)? Die Säule habe konstante Massenbelegung µ = ∆m/∆l. Alle anderen Himmelskörper sollenvernachlässigt werden. Die Erde sei eine homogene Kugel mit Masse M und Radius R. 2

3. Bei der Reynolds- oder Schmiermittelreibung ist die Reibungskraft proportional zu√υ und entgegen

der Bewegung gerichtet. Wie verhalten sich υ(t) und x(t) unter dem alleinigen Einfluss dieser Kraft?Integrieren Sie die Bewegungsgleichung und schreiben Sie die Formel schön. 3

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Kapitel 33

Praktikum

33.1 Fehlerrechnung

1. Erklären Sie den Unterschied zwischen Auflösung und Fehlerschranke. 1

2. Das Positioniergerät DL50Hi der Sick AG misst bis zu einem Abstand von 50 m die Distanz zu einemReflektor auf ±0.25 mm genau. Wie genau muss die Laufzeit des Laserpulses gemessen werden? 2

3. Eine leere Zylinderspule hat Länge (60± 1) cm, Durchmesser (12.0± 0.5) cm sowie 120 Windungen.Fliesst ein Strom von (4.00 ± 0.01) A hindurch, so werden im Zentrum (0.96 ± 0.01) mT Feldstärkegemessen. Weisen Sie mit einer Fehlerrechnung nach, dass diese Angaben zusammenpassen. 3

4. Ein quaderförmiges Stück Buchenholz wiegt 1932 g und hat die Abmessungen 300 mm × 97 mm ×96 mm. Die Wägung ist auf ±2 g, die Längenmessungen sind auf ±1 mm genau. Berechnen Sie dieDichte des Holzes inklusive absoluter Fehlerschranken. 4

5. Der Einfallswinkel beträgt 35° 28′ ± 2′, der Brechungswinkel 49° 37′ ± 3′. Berechnen Sie den rela-tiven Brechungsindex inklusive Fehlerschranke. Führen Sie die Fehlerrechnung nach Schema durch.Wählen Sie die Anordnung so, dass der Brechungsindex grösser als Eins wird. 5

6. Eine Bleistiftmine HB wiegt (724 ± 1) mg, hat (1.96 ± 0.01) mm Durchmesser und ist (117 ± 1) mmlang. Beurteilen Sie anhand der Dichte, ob die Mine aus reinem Graphit besteht. 6

7. In einem 740 m langen Gebäude des PSI wird der Röntgenlaser SwissFEL gebaut. “Die erforderlicheLängsgenauigkeit von plus/minus 5 Millimeter Abweichung vom Sollwert wurde erreicht, wie Mes-sungen gezeigt haben. Damit die Anlage exakt gerade verläuft, musste beim Bau des Strahlkanalssogar die Erdkrümmung ausgeglichen werden.” (NZZ, 25. Juli 2014)Passt die Genauigkeitsangabe von ±5 mm zur Aussage, dass die Erdkrümmung ausgeglichen werdenmuss? 7

8. Eine Kugel aus Buchenholz wiegt (47.4±0.4) g und hat (50.0±0.2) mm Durchmesser. Berechnen Siedie Dichte des Holzes inklusive Fehlerschranke. Passt Ihr Wert zur Dichteangabe in der FoTa? 8

33.2 Ausgleichsrechnung

(Synonyme: Regressionsanalyse, Trendlinie, Kurvenfit, Kurvenanpassung)

1. Was ist eine ‘Ausgleichsrechnung nach der Methode der kleinsten Quadrate’? 1

©Martin Lieberherr

33.3 Diagramme 179

2. Was ist ein Residuum? 2

3. Zu einem Datensatz (xi, yi), i = 1 . . . n soll durch eine Ausgleichsrechnung nach der Methode derkleinsten Quadrate die am besten passende Nullpunktsgerade y = ax gefunden werden (Regressi-on einer Proportionalität, Fit einer Nullpunktsgeraden). Leiten Sie die Formel zur Bestimmung derProportionalitätskonstanten a her. 3

4. In Tabelle 33.1 (rechts) sehen Sie Koordinaten von Punkten, die ungefähr aufeinem Kreis um den Nullpunkt liege. Bestimmen Sie den Kreisradius durch Re-gression.Tipps:

∑(x2

i + y2i − q)2 soll

= min. Bestimme den Radius aus q. 4

Tabelle 33.1: Koordinaten von Punkten, die ungefähr auf einer Kreislinie mitZentrum im Nullpunkt liegen.

x y10.6 2.1

4.8 9.4-4.3 9.4

-10.1 2.5-8.0 -6.2-0.1 -10.68.2 -6.7

33.3 Diagramme

1. Benennen Sie in Abbildung 33.1 alle Fehler oderUnsauberkeiten. 1

Abbildung 33.1: Strom-Spannung Paare mit bei-gefügter Regressionsgerade

2. a) Werden gepaarte ‘(x, y)’ Messwerte in ein Diagramm mit semilogarithmischer Achsenskalierungeingetragen, so liegen die Messwerte auf einer Geraden. Was lässt sich über den Zusammenhang sa-gen?b) Werden gepaarte ‘(x, y)’ Messwerte in ein Diagramm mit doppelt logarithmischer Achsenskalie-rung eingetragen, so liegen die Messwerte auf einer Geraden. Was lässt sich über den Zusammenhangsagen? 2

©Martin Lieberherr

33.3 Diagramme 180

3. Die Achsen in Abbildung 33.2 sind nicht mitGrösse und Einheit beschriftet. Welche Interpre-tation passt zum Diagramm?a) Ein Klotz Eis wird aus den Tiefkühler ge-nommen. Das Diagramm zeigt die Masse (g) desSchmelzwassers als Funktion der Zeit (min).b) Ein Floh springt in die Luft. Dargestellt ist dieHöhe (mm) als Funktion der Zeit (ms).c) Dargestellt ist die Kraft (N) als Funktion derDehnung (mm) für ein menschliches Haar. 3

Abbildung 33.2: Graphische Darstellung einerMessung (18. Dez. 2012, Lie.), bei der die Ach-sen unvollständig beschriftet sind. 0 100 200 300 400

0

40

80

120

4. a) Stellen Sie den Strom als Funktion der Spannung für folgende Werte graphisch dar:(22 V, 2.32 A) (33 V, 3.14 A) (44 V, 4.63 A) (55 V, 5.24 A) (66 V, 6.95 A) (77 V, 7.33 A)Die Abbildung soll alle Elemente wie in einem Praktikumsbericht enthalten.b) Zeichnen Sie die am besten passende Nullpunktsgerade zu den Daten. Bestimmen Sie die Steigungdieser Geraden und nennen Sie die Bedeutung der Steigung. 4

5. a) Stellen Sie die Messungen von Tabelle 33.2 graphisch dar. Tra-gen Sie die Masse als Funktion des Volumens ab: m(V)b) Berechnen Sie ein passende Ausgleichsfunktion. Begründen SieIhre Wahl der Ausgleichsfunktion.c) Welche Bedeutungen haben die Parameter in der Ausgleichsfunk-tion? 5

Tabelle 33.2: Die Masse m von geschüttetem, ungesiebtem Sand alsFunktion des Volumens V. Die Masse ist auf ±2 g, das Volumen auf±20 mL genau. (28. Mai 2013, Lie.)

V (mL)0

1502603203804805806707508409501010

m (g)0

19333447661474490710711217135415241622

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33.4 Berichte 181

6. Tabelle 33.3 zeigt Kraft-Kompression Messungen an einem Softball.

a) Stellen sie die gemessene Kraft F als Funktion der Kompression y dar.Zeichnen Sie auch Fehlerbalken.b) Bestimmen Sie die ‘Federkonstante’ im Bereich, wo das hookesche Fe-dergesetz gilt. Zeichnen Sie die Regressionsfunktion zu den Daten.c) Nach der Theorie der elastischen Deformation von Kugeln (H. Hertz)würde man F ∝ y3/2 erwarten. Führen Sie eine passende Regression durch.Zeichnen Sie die Funktion und beurteilen Sie, ob die Funktion passt. 6

Tabelle 33.3: Ein Softball aus Schaumstoff von 11.5 cm Durchmesser wirdmit Gewichten belastet. Die Tabelle zeigt gemessene Kompressionen y desBalles in Zentimetern und die dazu nötige Kompressionskraft F in Newton.Die Kompression ist auf etwa 0.2 cm genau, die Kompressionskraft auf zir-ka 0.5 N (absolute Fehlerschranken).Messung vom 20. Dezember 2012, Lie.

y F(cm) (N)

0.1 0.00.6 7.11.6 16.92.2 26.73.1 36.53.9 46.34.9 56.15.6 65.96.1 75.76.5 85.57.0 95.47.2 105.2

-0.1 0.00.5 7.11.4 16.92.3 26.73.0 36.54.0 46.34.7 56.15.5 65.96.0 75.76.4 85.56.9 95.47.2 105.2±0.2 ±0.5

7. In einem Diagramm wird auf der horizontalen Abszissen-Achse die Schwingungsdauer von Faden-pendeln abgetragen. Was müsste auf der vertikalen Ordinaten-Achse abgetragen werden, damit dieMesswerte auf einer Nullpunktgeraden liegen? 7

33.4 Berichte

1. Was ist eine Legende? Welche Elemente in einem Praktikumsbericht müssen eine haben? Was mussin einer Legende zu finden sein? 1

2. Geben Sie ein Beispiel für die Legende einer Messwert-Tabelle. 2

3. Wie muss der Kopf eines Protokoll aussehen, wenn Sie den Praktikumsversuch “Fadenpendel” durch-führen? 3

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Teil VII

Lösungen Mechanik

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Kapitel 34

Lösungen (Physikalisches Rechnen)

34.1 Lösungen (Zehnerpotenzen und Dezimalvorsätze)

1. Lösung von Aufgabe 1

1 ÷ 3 ‘EE’ 7 ‘(-)’ ‘=’

Die ‘EE’-Taste bedeutet ‘·10x’ (je nach Taschenrechner-Modell wird sie anders bezeichnet. Mit ‘(−)’ist das ‘Vorzeichen-Minus’ gemeint, das sich vom Subtraktionszeichen unterscheidet.

©Martin Lieberherr

34.1 Lösungen (Zehnerpotenzen und Dezimalvorsätze) 184

2. Lösung von Aufgabe 2

a =3√V =

3√1.0 · 10−12 · 10−3 m3 = (1.0 · 10−15 m3)1/3 = 1.0 · 10−5 m = 10 µm

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34.1 Lösungen (Zehnerpotenzen und Dezimalvorsätze) 185

3. Lösung von Aufgabe 3

a) 1.5 · 107 W = 15 · 106 W = 15 MW

b) 0.55 · 1010 W = 5.5 · 109 W = 5.5 GW

c) 0.0003 m = 0.3 · 10−3 m = 0.3 mm

d) 17 · 10−11 s = 0.17 · 10−9 s = 0.17 ns

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34.1 Lösungen (Zehnerpotenzen und Dezimalvorsätze) 186

4. Lösung von Aufgabe 4

a) 37 fW = 37 · 10−15 W = 3.7 · 10−14 W

b) 0.88 µm = 0.88 · 10−6 m = 8.8 · 10−7 m

c) 52 TW = 5.2 · 101 · 1012 W = 5.2 · 1013 W

d) 460 MΩ = 4.60 · 102 · 106 Ω = 4.60 · 108 Ω (Ohm)

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34.1 Lösungen (Zehnerpotenzen und Dezimalvorsätze) 187

5. Lösung von Aufgabe 5

a) 0.037 mb) 530 kgc) 0.0138 s

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34.1 Lösungen (Zehnerpotenzen und Dezimalvorsätze) 188

6. Lösung von Aufgabe 6a) zwei Ziffern , 0 vor dem Dezimalpunkt (soll: genau eine)b) Zehnerpotenz und Dezimalvorsatz vermischtd) keine Ziffer , 0 vor dem Dezimalpunkt

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34.1 Lösungen (Zehnerpotenzen und Dezimalvorsätze) 189

7. Lösung von Aufgabe 7

a) 2.51 · 1042 kg

b) 8.57 · 1036 kg

c) 257 · 1015 km = 2.57 · 1020 m

d) 946 · 1015 km = 9.46 · 1020 m

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34.1 Lösungen (Zehnerpotenzen und Dezimalvorsätze) 190

8. Lösung von Aufgabe 8

h =NV1

A=

7.4 · 109 · 75 · 10−3 m3

5.10 · 1014 m2 = 1.1 µm

©Martin Lieberherr

34.2 Lösungen (Einheiten umwandeln) 191

34.2 Lösungen (Einheiten umwandeln)

1. Lösung von Aufgabe 1

a) ta =109 s

3.156 s/a= 31.7 a

b) tb =107 · 60 s3.156 s/a

= 19.0 a

c) tc =105 · 3600 s3.156 s/a

= 11.4 a

d) td =104 · 86400 s

3.156 s/a= 27.4 a

e) te =103 · 7 d

365.24 d/a= 19.2 a

f) t f =102 · 30 d

365.24 d/a= 8.21 a

Es gibt mehr ‘runde Geburtstage’ als Sie denken!

©Martin Lieberherr

34.2 Lösungen (Einheiten umwandeln) 192

2. Lösung von Aufgabe 2

1 inch = 2.540 cm und 1 L = 1 dm3 ⇒

V = 1.00 inch3 = 1.00 · (2.540 cm)3 = 1.00 · (0.2540 dm)3 = 0.0164 dm3 = 0.164 dL

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34.2 Lösungen (Einheiten umwandeln) 193

3. Lösung von Aufgabe 3

a) V =mρ

=1 oz · 28.349523125 · 10−3 kg/oz

19.29 · 103 kg ·m−3 = 1.470 · 10−6 m3

b) 1.470 · 10−6 m3 = 1.470 ·(10−2 m

)3= 1.470 cm3

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34.2 Lösungen (Einheiten umwandeln) 194

4. Lösung von Aufgabe 4

V = Al = π4 d2l⇒

l =4Vπd2 =

4 · 1.0 · 10−6 · 10−3 m3

π · (80 · 10−6 m)2 = 0.1989 m = 20 cm

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34.2 Lösungen (Einheiten umwandeln) 195

5. Lösung von Aufgabe 5Laut wikipedia hat die Erde eine Oberfläche von 510 Millionen km2, wovon 70.8 % von Meerenbedeckt sind.

Ah = V ⇒ h =VA

=3 · 1015 L

0.708 · 510 · 106 km2 =3 · 1015 · 10−3 m3

0.708 · 510 · 106 · 106 m2 = 8 mm

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34.2 Lösungen (Einheiten umwandeln) 196

6. Lösung von Aufgabe 6

a) V = a3 ⇒ a =3√V =

3√106 L =

(106 · 10−3 m3

)1/3= 10 m

b) t =2.504 · 109 s

3.156 · 107 s/a= 79.3 a

Die Genauigkeit der Angaben ist unklar! Die Lebensdauer kann nicht so genau bestimmt werden.

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34.2 Lösungen (Einheiten umwandeln) 197

7. Lösung von Aufgabe 7

1 kWh = 3.6 MJ⇒ 1 =1 kWh3.6 MJ

= 3.6 · 106 J/kWh

1 =12 %0.12

= 86400 s/d = 3600 ′′/° = 3 ft/yard = 112 Dutzend

1 = sin π2 =

1 Karat0.2 · 10−3 kg

= 735.498 75 W/PS =2π rad360 °

=105 Pa1 bar

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34.2 Lösungen (Einheiten umwandeln) 198

8. Lösung von Aufgabe 8

0.1 µL = 0.1 · 10−6 · 10−3 m3 = 0.1 · 10−9 m3 = 0.1 · (10−3 m)3 = 0.1 mm3

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34.2 Lösungen (Einheiten umwandeln) 199

9. Lösung von Aufgabe 2

100 pL = 100 · 10−12 L = 100 · 10−12 · 10−3 m3 = 100 · 10−12 · 10−3 · (106µm)3 = 1.00 · 105

µm3

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34.2 Lösungen (Einheiten umwandeln) 200

10. Lösung von Aufgabe 10

237 cm2 = 2.37 · 102 · (10−2 m)2 = 2.37 · 10−2 m2 = 2.37 · (10−1 m)2 = 2.37 dm2

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34.2 Lösungen (Einheiten umwandeln) 201

11. Lösung von Aufgabe 11

V =∆V

∆T · A·

∆t · ∆A∆N

=1400 · 109 m3

86400 s · 5.1007 · 1014 m2 ·60 s · 1 m2

57= 3.3 · 10−8 m3 = 33 mm3

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34.2 Lösungen (Einheiten umwandeln) 202

12. Lösung von Aufgabe 12

a)1870 mm

1 d=

1870 mm24 · 60 min

= 1.299 mm/min

b)38 mm1 min

=38 · 10−3 m

1 min·

m2

m2 =38 · 10−3 m3

m2 ·min= 38

Lm2 ·min

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34.2 Lösungen (Einheiten umwandeln) 203

13. Lösung von Aufgabe 13

122 in3 = 122 · (0.2540 dm)3 = 1.999 dm3 = 2.00 L

20 oz = 20 oz · 28.3495231 g/oz = 566.99 g = 0.57 kg

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34.2 Lösungen (Einheiten umwandeln) 204

14. Lösung von Aufgabe 14

1 mile = 1609.344 m⇒ 70 mph · 1.609344 km/mile = 113 km/h

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34.2 Lösungen (Einheiten umwandeln) 205

15. Lösung von Aufgabe 15

a) 1 cm2 < 10−2 m2 b) 7.2 km/h > 1.8 m/s c) 1 nL = 10−12 m3

d) 17 W/s , 17 J e) 4.4 a , 4.4 A f) 1 bar < 101325 Pa

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34.3 Lösungen (Genauigkeit) 206

34.3 Lösungen (Genauigkeit)

1. Lösung von Aufgabe 1Falls die Menschen mit konstanter Rate geboren werden, folgen sich zwei Geburten im Abstand

∆t =1 d · 86400 s/d

380 000= 0.227 s

Da es nicht möglich ist, die Geburtszeit so genau zu bestimmen, lässt sich der 7milliardste Menschnicht eindeutig finden. In Wirklichkeit erfolgen die Geburten nicht gleichmässig; der Abstand zweierGeburten kann sowohl grösser als auch kleiner sein. Das stellt noch höhere Anforderungen an dieMessgenauigkeit. Ausserdem müsste man noch die Sterbefälle berücksichtigen.

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34.3 Lösungen (Genauigkeit) 207

2. Lösung von Aufgabe 2a) 3 b) 2 c) 1 d) 4 e) 4 f) 3

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34.3 Lösungen (Genauigkeit) 208

3. Lösung von Aufgabe 3a) 13 m b) 12 m c) 3.7·104 m d) 0.10 kW

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34.3 Lösungen (Genauigkeit) 209

4. Lösung von Aufgabe 4a) 17 m/s b) 106 m d) 1.5·102 m3 e) -0.4 f) 25 kmBei b) kann nur die Grössenordnung berechnet werden (‘keine’ wesentliche Ziffer).

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34.3 Lösungen (Genauigkeit) 210

5. Lösung von Aufgabe 5

d =VA

=mρlb

=7.88 g

2.70 g/cm3 · 81 cm · 30 cm= 0.0012 cm = 12 µm

Die Angabe 0.01 mm stimmt im Rahmen der Rundung – eine signifikante Stelle – mit 12 µm überein,d.h. 12 µm ∈ [0.005 mm; 0.015 mm[.

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6. Lösung von Aufgabe 6

Je mehr Ziffern angegeben werden, die nicht gesichert sind, desto kleiner ist die Wahrscheinlichkeit,dass der angegebene Wert den ‘richtigen’ Wert umfasst.

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34.3 Lösungen (Genauigkeit) 211

7. Lösung von Aufgabe 7

Die ‘Anzahl Nachkommastellen’ ist ein schlechtes Mass für die Genauigkeit, weil das Komma durchverschiedene Schreibweisen herum geschoben werden kann: 12, 1 m = 0.0121 km = 1, 21 · 101 m.

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34.3 Lösungen (Genauigkeit) 212

8. Lösung von Aufgabe 8

Gibt man zuwenig wesentliche Stellen an, so unterschätzt man die Genauigkeit der Rechnung. Mussman mit dem Zahlenresultat weiter rechnen, so wird diese Rechnung ebenfalls ungenau. Gibt manhingegen eine Stelle zuviel an, so kann man später immer noch runden.

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34.4 Lösungen (Formalisieren) 213

34.4 Lösungen (Formalisieren)

1. Lösung von Aufgabe 1

υ = f · d Proportionalität mit Proportionalitätsfaktor f

f =υ

d=

8 m/s4 · 10−3 m

= 2 · 103 s−1 =1

0.5 msrespektived = τ · υ Proportionalität mit Proportionalitätsfaktor τ

τ =1f

= · · · = 0.5 ms

respektive

υ =dτ

Der Tropfen benötigt immer dieselbe Zeit τ, um seinen Durchmesser zurück zu legen.

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34.4 Lösungen (Formalisieren) 214

2. Lösung von Aufgabe 2

V = 4π3 r3 = 4π

3 (d/2)3 = π6 d3 ⇒ d =

3√

6πV =

3√

6π· 5 · 10−12 · 10−3 m3 = 2 · 10−5 m

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34.4 Lösungen (Formalisieren) 215

3. Lösung von Aufgabe 3Die Aufgabe ist analog zu einer Weg - Zeit - Geschwindigkeit Aufgabe. Deshalb können dieselbenVariablen benützt werden.

s = υt =∆s∆t· t =

3850 Worte1 min

· 3 · 60 min = 7 · 105 Worte

Die Genauigkeit des Resultats ist nicht klar, da die Genauigkeit von ‘gut drei Stunden’ nicht spezifi-ziert ist. Im Internet findet man die Angaben 738 765 Worte, 800 890 Worte, 774 746 words, 783 137words and 788 258 words, je nach Zählweise, Sprache, etc.

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34.4 Lösungen (Formalisieren) 216

4. Lösung von Aufgabe 4

In der Physik besteht eine Grösse stets aus Zahlenwert und Einheit. In der Duboisformel müsste mandie Wurzel aus Kilogramm und Zentimeter ziehen, was nicht definiert ist. Auf jeden Fall gibt Wurzelaus Kilogramm mal Zentimeter nicht Quadratzentimeter.

Damit die Formel nach SI konsistent ist, muss eine Konstante unter die Wurzel, welche die Einheitenin Ordnung bringt. Wenn der konstante Faktor die Einheit m3/kg hat, hat der ganze Radikand dieEinheit m4, was nach dem Wurzel ziehen die gewünschte Einheit m2 gibt. Da kg/m3 die Einheit derDichte ρ ist, wollen wir den Kehrwert einer Dichte als Parameter verwenden. Ausserdem setzen wirdie üblichen Variablen A für Fläche, m für Masse und h für Körpergrösse ein.

A =

√mhρ

Die Duboisformel liefert für L = 100 cm und P = 100 kg die Oberfläche O = 1.672 · 104 cm2 =

1.672 m2. Damit folgt für den Parameter ρ:

ρ =mhA2 =

100 kg · 1.00 m(1.672 m2)2 = 35.77 kg/m3

Diese Dichte hat keine weitere Bedeutung als die eines Parameters in der Gleichung.

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34.4 Lösungen (Formalisieren) 217

5. Lösung von Aufgabe 5

N = K · V = 3000 m−3 · 2.5 · 10−3 m3 = 7.5

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34.4 Lösungen (Formalisieren) 218

6. Lösung von Aufgabe 6

s =1N·

∆s∆m· m =

11.015 · 109 ·

100 km10 kg

· 46.4 · 109 kg = 457 km

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34.4 Lösungen (Formalisieren) 219

7. Lösung von Aufgabe 7Wir nehmen an, dass alle Bläschen gleich grosse Kugeln sind.

V =4π3

r3 ⇒ r =3

√3V4π

=3

√3VC

4πN

A = N4πr2 = N4π(

3VC

4πN

)2/3

= 100 · 106 · 4π(3 · 5 · 10−3 m3

4π100 · 106

)2/3

= 66 m2

Die Grössenordnung stimmt. Mehr kann man nicht sagen, denn es müssen ja nicht alle Bläschengleich gross sein.

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34.4 Lösungen (Formalisieren) 220

8. Lösung von Aufgabe 8

a = 0.24 µmol · cm−2 · h−1 flächenspezifische Aufnahmerate

υ = 0.98 µmol · g−1 · h−1 massenspezifische Verbrauchsrate

ρ =mV

=4mπd2l

=4 · 3.7 g

π · (0.64 cm)2 · 12 cm= 0.96 g · cm−3 mittlere Dichte

a) aA = aπdl = 0.24 µmol · cm−2 · h−1 · π · 0.64 cm · 12 cm = 5.8 µmol · h−1

υm = 0.98 µmol · g−1 · h−1 · 3.7 g = 3.6 µmol · h−1 < aA X

b) aA = υm = υρV ⇒ aπdl = υρπ4 d2lDie Länge fällt heraus; der Wurm kann beliebig lang werden.

c) aπdl = υρπ4 d2l⇒ (d1 = 0)

dmax =4aυρ

=4 · 0.24 µmol · cm−2 · h−1

0.98 µmol · g−1 · h−1 · 0.96 g/cm3 = 1.0 cm

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34.4 Lösungen (Formalisieren) 221

9. Lösung von Aufgabe 9

q =∆m∆t∝ A ∝ V2/3 →

q2

q1=

N · (V/N)2/3

V2/3 = N1/3 = 10001/3 = 10

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34.4 Lösungen (Formalisieren) 222

10. Lösung von Aufgabe 10

FR = f0

√υ/υR mit den freien Parametern f0 und υR (z.B.)

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34.5 Lösungen (Darstellung Lösungsweg) 223

34.5 Lösungen (Darstellung Lösungsweg)

1. Lösung von Aufgabe 1

Mögliche Aufgabenstellung: Ein Körper wird aus 2 m Höhe ohne Anfangsgeschwindigkeit fallengelassen. Berechnen Sie die Endgeschwindigkeit.

Mängel in der Darstellung des Lösungsweges: Die formale Lösung υ =√

2gh fehlt, beim Einsetzenfehlen die Einheiten.

Verbesserte Lösung:

υ2 = υ20 + 2gh⇒ υ =

√υ2

0 + 2gh =√

0 + 2 · 9.81 m/s2 · 2 m = 6 m/s (Richtung: abwärts)

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34.5 Lösungen (Darstellung Lösungsweg) 224

2. Lösung von Aufgabe 2Die Masse wurde nicht eingesetzt respektive es wurden Variable und Einheiten im gleichen Termvermischt. Das ist unschön, weil der gleiche Buchstabe für verschiedene Objekte steht (die Unter-scheidung durch kursiven/geraden Satz ist handschriftlich schwierig). Dem Zwischenresultat fehltdie Einheit (falsch).Mögliche Aufgabe: Zehn Tonnen Sand haben ein Volumen von 5.3 m3. Berechnen Sie die Dichte.

ρ =mV

=10 · 103 kg

5.3 m3 = 1886.79 kg/m3 = 1.9 · 103 kg/m3

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34.5 Lösungen (Darstellung Lösungsweg) 225

3. Lösung von Aufgabe 3

υ = s · t = 344 m/s · 8 s = 3 km

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34.5 Lösungen (Darstellung Lösungsweg) 226

4. Lösung von Aufgabe 4

mögliche Verbesserung: E = 12mυ2 ⇒ m =

2Eυ2 =

2 · 5.0 J(4 m/s)2 = 0.6 kg

Doppelbrüche eliminieren, Klammer um die ganze Grösse beim quadrieren, vollständig einsetzen(auch für E), das Resultat vernünftig runden und mit dem Einheitensymbol versehen.

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34.5 Lösungen (Darstellung Lösungsweg) 227

5. Lösung von Aufgabe 5

a) Formales Rechnen geht schneller, ist besser nachvollziehbar und führt zu allgemeinen Gesetzen.Schlussformeln lassen sich leichter prüfen.b) Die angegebenen Stellen sollen signifikant (bedeutsam, gesichert, wesentlich) sein. Eine Zifferzuviel ist nur noch mit 10 % Wahrscheinlichkeit korrekt, bei zwei Ziffern zuviel stimmt das Resutatnur noch mit 1 % Wahrscheinlichkeit, und so weiter.

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34.5 Lösungen (Darstellung Lösungsweg) 228

6. Lösung von Aufgabe 6

Unvollständig eingesetzt, falsch gerundet, Einheit fehlt, Resultat nicht bezeichnet

Verbesserung: υ = s/t → s = υ · t = 1.9899444 m/s · 12 s = 23.8793 m = 24 m

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34.5 Lösungen (Darstellung Lösungsweg) 229

7. Lösung von Aufgabe 7

a) Doppelbrüche sollten vereinfacht werden, denn sie führen notorisch zu Fehlern beim Eintippen.Der Faktor g kann unter die Wurzel gezogen werden und muss dann auch nicht zweimal getipptwerden. Schlussformel υ =

√2gh

b) Die Variable m soll gekürzt werden, denn a = µGg hängt nicht von m ab. Man muss dann wenigereinsetzen.c) Die Gleichung muss zuerst fertig aufgelöst werden: T = 2π

√l/g. Nach dem Einsetzen der Zahlen

geht sonst gern das Ziehen der Wurzel vergessen.

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34.5 Lösungen (Darstellung Lösungsweg) 230

8. Lösung von Aufgabe 8

t =sυ

=608 m155 s

= 3.922580645 s = 3.92 s

Die Schlussformel enthält nur Variable für gesuchte und gegebene Grössen. Die Grössen werden mitEinheiten eingesetzt. Das Zahlenresultat muss als solches bezeichnet sein (keine Auswahlsendung),es sollte richtig gerundet sein und die korrekte Einheit tragen.

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34.5 Lösungen (Darstellung Lösungsweg) 231

9. Lösung von Aufgabe 9

Eine vereinfachte Formel ist übersichtlicher, d.h. allfällige Fehler werden schneller erkannt. Sie ver-ursacht beim Einsetzen weniger Arbeit. Beim Ausrechnen sind weniger Fehler möglich.

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34.5 Lösungen (Darstellung Lösungsweg) 232

10. Lösung von Aufgabe 10

Es wird klar, wofür eine Variable steht. Man kann Einheiten homogenisieren und eine Einheitenkon-trolle durchführen.

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34.5 Lösungen (Darstellung Lösungsweg) 233

11. Lösung von Aufgabe 11

Verbesserung: s = υ · t =35 m/s

3.6· 2.1 s = 20 m

Schlussformel fehlt respektive Variable wurden mit Einheiten im gleichen Term vermischtkm/h wurde nicht vollständig in m/s umgewandeltGenauigkeit des Resultats wurde falsch oder nicht sinnvoll eingeschätzt

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Kapitel 35

Lösungen Kinematik

35.1 Lösungen (Mittlere Geschwindigkeit)

1. Lösung von Aufgabe 1

υS =∆s∆t

=100.0 m23.14 s

= 4.322ms·

3.6 km/h1 m/s

= 15.56 km/h

υM =∆s∆t

=42.195 km(

8 + 1160 + 6

3600

)h

= 5.1552kmh·

1 m · s−1

3.6 km · h−1 = 1.4320 m/s

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35.1 Lösungen (Mittlere Geschwindigkeit) 235

2. Lösung von Aufgabe 2

υ =∆s∆t

=1.0 m

10 a · 3.156 · 107 s/a= 3.2 nm/s

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35.1 Lösungen (Mittlere Geschwindigkeit) 236

3. Lösung von Aufgabe 3

υ =∆s∆t

=3 · 10−6 m

3.156 · 107 s= 1 · 10−13 m/s = 0.1 pm/s

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35.1 Lösungen (Mittlere Geschwindigkeit) 237

4. Lösung von Aufgabe 4

υ =∆s∆t⇒ ∆t =

∆sυ

=1 km

105.882 km3600 s

= 34.0 s

Die Genauigkeit der Angaben ist nicht klar: Die Geschwindigkeit ist sicher nicht auf sechs wesentli-che Ziffern bestimmt worden. Falls die Zeit, wie damals üblich, von Hand gestoppt wurde, so dürftenzwei bis drei signifikante Stellen für das Resultat angemessen sein.

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35.1 Lösungen (Mittlere Geschwindigkeit) 238

5. Lösung von Aufgabe 5

1 kn = 1 Seemeile pro Stunde = 1.852 km/h

22 kn · 1.852km

h · kn= 41

kmh

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35.1 Lösungen (Mittlere Geschwindigkeit) 239

6. Lösung von Aufgabe 6

a) 30 km/h = 30 ·1000 m3600 s

= 8.3 m/s

b) 50 km/h = 50 ·1 m3.6 s

= 14 m/s

b) 80 km/h =80 m3.6 s

= 22 m/s

b)120 m3.6 s

= 33 m/s

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35.1 Lösungen (Mittlere Geschwindigkeit) 240

7. Lösung von Aufgabe 7

a) c = 299 792 458 m/s = 299 792 458 · 3.6 km/h = 1 079 252 848.8 km/h

b) 1 m = 100 cm, 1 s = 109 ns⇒

c = 2.99792458 · 108 m/s = 2.99792458 · 108 ·100 cm109 ns

= 29.9792458 cm/ns

Im SI-System wird der Lichtgeschwindigkeit ein fester Wert zugewiesen. Die Resultate sind somitexakt, d.h. auf unendlich viele Stellen genau (die nicht geschriebenen Stellen sind alle Null). Dieletzte Darstellung ist nicht SI-konform.

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35.1 Lösungen (Mittlere Geschwindigkeit) 241

8. Lösung von Aufgabe 8a)

t =sυe

=s

fec=

2π · 6.371 · 106 m0.99985 · 2.99792458 · 108 m/s

= 21.25 ms

b)

∆s = s − tυp = s −s

fecfpc = s ·

(1 −

fp

fe

)= 2π · 6.371 · 106 m ·

(1 −

0.999830.99985

)= 0.8 km

(Die Geschwindigkeiten sind einzeln auf etwa 5 wesentliche Ziffern bekannt, aber der Unterschiednur auf eine signifikante Stelle.)

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35.1 Lösungen (Mittlere Geschwindigkeit) 242

9. Lösung von Aufgabe 9

a) υa =∆sa

∆ta=

80 000 km365.25 · 24 h

= 9.13 km/h (= 2.5 m/s)

b) υb =∆sb

∆tb=

520 · 103 m86400 s

= 6.02 m/s (= 22 km/h)

Die Genauigkeit der Ausgangsgrössen ist nicht ganz klar.

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35.1 Lösungen (Mittlere Geschwindigkeit) 243

10. Lösung von Aufgabe 10

d = s1 − s2 = s1 − υ2t1 = s1 −s1

t2· t1 = s1 ·

(1 −

t1

t1 + δt

)= 100 m ·

(1 −

47.52 s47.52 s + 0.01 s

)= 21.0 mm = 2 cm

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35.1 Lösungen (Mittlere Geschwindigkeit) 244

11. Lösung von Aufgabe 11

υ =∆s∆t

=1.20 m86400 s

= 1.39 · 10−5 m/s = 13.9 µm/s

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35.1 Lösungen (Mittlere Geschwindigkeit) 245

12. Lösung von Aufgabe 12

tV = ∆tB − ∆tH =∆sυB−

∆sυH

=100 m

4.8 m/s−

100 m5.3 m/s

= 2.0 s

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35.1 Lösungen (Mittlere Geschwindigkeit) 246

13. Lösung von Aufgabe 13

υ =∆s1 + ∆s2 + ∆s3

∆t1 + ∆t2 + ∆t3=υ1∆t1 + υ2∆t2 + υ3∆t3

∆t1 + ∆t2 + ∆t3

=8.5 m/s · 10 s + 5.9 m/s · 20 s + 4.8 m/s · 40 s

10 s + 20 s + 40 s= 5.6 m/s

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35.1 Lösungen (Mittlere Geschwindigkeit) 247

14. Lösung von Aufgabe 14

υ =∆s∆t

=4573 m

1 · 60 s + 13.780 s= 61.98 m/s = 61.9816 · 3.6 km/h = 223.1 km/h

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35.1 Lösungen (Mittlere Geschwindigkeit) 248

15. Lösung von Aufgabe 15

υ =s + s

t1 + t2=

s + ssυ1

+ sυ2

=2

1υ1

+ 1υ2

=2

160 km/h + 1

80 km/h

= 69 km/h

Man darf nicht einfach das arithmetische Mittel der Geschwindigkeiten nehmen, denn das Auto istlänger mit 60 km/h unterwegs als mit 80 km/h.

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35.1 Lösungen (Mittlere Geschwindigkeit) 249

16. Lösung von Aufgabe 16

∆t =∆sυ

=2dc

=2 · 170 m344 m/s

= 0.988 s

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35.1 Lösungen (Mittlere Geschwindigkeit) 250

17. Lösung von Aufgabe 17

υ =∆s∆t

=1.496 · 1011 m

17 · 3600 s= 2.4 · 106 m/s

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35.1 Lösungen (Mittlere Geschwindigkeit) 251

18. Lösung von Aufgabe 18

a) t = t1 + t2 =s1

υ1+ t2 =

25 km38 km/h

+43 h60

= 1.37 h = 82 min

b) υ =s1 + s2

t1 + t2=

s1 + υ2t2s1υ1

+ t2=

25 km + 31 km/h · 4360 h

2538 h + 43

60 h= 34 km/h

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35.1 Lösungen (Mittlere Geschwindigkeit) 252

19. Lösung von Aufgabe 19

υ =s1 + s2

t1 + t2=

s1 + s2s1υ1

+ s2υ2

⇒ υ ·

(s1

υ1+

s2

υ2

)= s1 + s2 ⇒

s2 = s1 ·υ/υ1 − 11 − υ/υ2

= 48 km ·63/50 − 11 − 63/80

= 59 km

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35.1 Lösungen (Mittlere Geschwindigkeit) 253

20. Lösung von Aufgabe 20

υ =∆s∆t

=280.0 m16.19 s

= 17.2946 · 3.6 km/h = 62.26 km/h

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35.1 Lösungen (Mittlere Geschwindigkeit) 254

21. Lösung von Aufgabe 21

υ =∆s∆t

=54.6 km

(1 + 1260 + 14.42

3600 ) h= 45.3 km/h = 12.6 m/s

Ich habe das Wort “Geschwindigkeit” als Bahngeschwindigkeit (Schnelligkeit) interpretiert, denneine Richtung lässt sich nicht angeben.

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35.1 Lösungen (Mittlere Geschwindigkeit) 255

22. Lösung von Aufgabe 22

a) |υ| =s + s

t1 + t2=

2ssυ1

+ sυ2

=2

υ−11 + υ−1

2

=2

(18.5 km/h)−1 + (4.8 km/h)−1 = 7.6 km/h

b) sAnfang = sEnde ⇒ ∆s = 0⇒ υ = ∆s/∆t = 0

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35.2 Lösungen (Bewegung mit konstanter Geschwindigkeit) 256

35.2 Lösungen (Bewegung mit konstanter Geschwindigkeit)

1. Lösung von Aufgabe 1a) υ = 0.60 m/s, t1 = (7 · 3600 + 35 · 60) s = 27300 s, s1 = 456 mb) s = υ · (t − t1) + s1 =

0.60 m/s · (7 h 38 min − 7 h 35 min) · 60 s/min + 456 m = 564 mc) υ · t + s0 = υ · (t − t1) + s1 ⇒

s0 = s1 − υ · t1 = 456 m − 0.60 m/s · (7 · 3600 s + 35 · 60 s) = −15 924 m = −16 kmd) s = υ · (t − t1) + s1 ⇒

t =s − s1

υ+ t1 =

600 m − 456 m0.60 m/s

+ 27300 s = 27540 s = 7 h 39 min

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35.2 Lösungen (Bewegung mit konstanter Geschwindigkeit) 257

2. Lösung von Aufgabe 2a) s = υ · (t − tL) + sL ⇒

t =s − sL

υ+ tL =

0 km − 35 km120 km/h

+ 135160

h = 13.558 h = 13 h 34 min

b) sB = υ · (t − tL) + sL = 120 km/h · (14 3560 h − 13 51

60 h) + 35 km = 123 km

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35.2 Lösungen (Bewegung mit konstanter Geschwindigkeit) 258

3. Lösung von Aufgabe 3a)

Abbildung 35.1: s(t)-Diagramm der Bewegungen von Achill und der Schildkröte. Wir lassen Achill imNullpunkt des Koordinatensystems starten, dann stimmt seine Position mit der gerannten Strecke überein.Achill: s = υAt, Schildkröte: s = υS t + sS

b)

υAt = υS t + sS ⇒ t =sS

υA − υS=

150 m8.3 m/s − 4.8 m

3.6 s

= 22 s

c)

s = υAt =υA · sS

υA − υS=

8.3 m/s · 150 m8.3 m/s − 4.8 m

3.6 s

= 179 m

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35.2 Lösungen (Bewegung mit konstanter Geschwindigkeit) 259

4. Lösung von Aufgabe 4

υGt = υT t + sT

t =sT

υG − υT=

50 m110 m3.6 s −

80 m3.6 s

= 6.0 s

Der Gepard kann die Gazelle fangen.

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35.2 Lösungen (Bewegung mit konstanter Geschwindigkeit) 260

5. Lösung von Aufgabe 5a)

Abbildung 35.2: Wir lassen den Mann im Nullpunkt des Koordinatensystems starten, weil wir für ihn dieGrössen berechnen müssen. Seine Bahngleichung lautet s = υMt. Der Pudel ist auf dem Rückweg, seineBahngleichung ist s = 2sH + υPt

b)

υMt = 2sH + υPt ⇒ t =2sH

υM − υM=

2 · 480 m4.6 m3.6 s −

−9 m3.6 s

= 254 s = 4 min

s = υMt =υM2sH

υM − υM=

4.6 km/h · 2 · 480 m4.6 km/h + 9 km/h

= 324.7 m = 0.3 km

c) Der Pudel läuft gleich lange wie sein Meister, also gilt

sP = υPt =9 m3.6 s

· 254 s = 635 m = 0.6 km

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35.2 Lösungen (Bewegung mit konstanter Geschwindigkeit) 261

6. Lösung von Aufgabe 6

s = s1 + υ1 · (t − t1) und s = s2 + υ2 · (t − t2)⇒s2 = s − υ2 · (t − t2) = s1 + υ1 · (t − t1) − υ2 · (t − t2)

s2 = 87 km + 121 km/h ·(10 13

60 h − 9 5760 h

)− 115 km/h ·

(10 13

60 h − 94260 h

)= 66 km

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35.2 Lösungen (Bewegung mit konstanter Geschwindigkeit) 262

7. Lösung von Aufgabe 7

Da wir die Zeit für den Lastwagen berechnen müssen, lassen wir diesen im Nullpunkt des Ort-ZeitDiagramms starten.

a)

Zeit

Ort

0

s = vL t

s = vA t + s0

b) υLt = υAt + s0 ⇒ t =s0

υL − υA

=−500 m

100 km/h − 120 km/h·

3.6 km/h1 m/s

= 90 s

s = υLt =s0υL

υL − υA

=−500 m · 100 km/h

100 km/h − 120 km/h= 2.50 km

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35.2 Lösungen (Bewegung mit konstanter Geschwindigkeit) 263

8. Lösung von Aufgabe 8

a) siehe Abbildung 35.3

b) sV + υV t = υA · (t − tA)→ t =sV + υAtA

υA − υV

t =380 m + 14 m/s · 15 · 60 s

14 m/s − 5.6 m/s=

1545 s60 s/min

= 26 min

s = sV + υV t = sV + υV ·sV + υAtA

υA − υV= 380 m + 5.6 m/s ·

380 m + 14 m/s · 15 · 60 s14 m/s − 5.6 m/s

= 9.0 km

Abbildung 35.3: Ort-Zeit-Diagramm zu Aufgabe 8.

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35.2 Lösungen (Bewegung mit konstanter Geschwindigkeit) 264

9. Lösung von Aufgabe 9

a) υ =h2 − h1

t2 − t1=

3580 m − 2830 m90 min · 60 s/min

= 0.13888 m/s = 0.139 m/s

b) h3 = h2 + υ · (t3 − t2)⇒ t3 =h3 − h2

υ+ t2

t3 =4164 m − 3580 m

0.13888 m/s · 60 s/min+ 6 h30 min = 70.08 min + 6 h 30 min = 7 h 40 min

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35.2 Lösungen (Bewegung mit konstanter Geschwindigkeit) 265

10. Lösung von Aufgabe 10

∆s = sA − sB = sA − υBtA = sA − υB ·sA

υA= 100 m − 7.0 m/s ·

100 m7.1 m/s

= 1.4 m

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35.2 Lösungen (Bewegung mit konstanter Geschwindigkeit) 266

11. Lösung von Aufgabe 11

s = υHt

s = υAt + sA = υA ·sυH

+ sA ⇒ s − sA =υAsυH⇒

υH =υAs

s − sA=

5.8 m/s · 130 m130 m − 18 m

= 6.7 m/s

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35.2 Lösungen (Bewegung mit konstanter Geschwindigkeit) 267

12. Lösung von Aufgabe 12

a) siehe Abb. 35.4

b) υAt = υBt + sB ⇒ t =sB

υA − υB=

15 m6.3 m/s − 5.4 m/s

= 17 s = 16.67 s

c) t =sυA→ sB = s − υBt = s − υB ·

sυA

= 120 m − 5.4 m/s ·120 m6.3 m

= 17 m

Abbildung 35.4: Ort-Zeit Diagramm zu Aufgabe 12.

Achsen mit Lineal gezogen und beschriftet, Zeitach-se horizontal (unabhängige Variable), Nullpunkt be-zeichnet, Bahnlinien zugeordnet, Bahnlinie von Annastartet im Nullpunkt.

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35.2 Lösungen (Bewegung mit konstanter Geschwindigkeit) 268

13. Lösung von Aufgabe 13

υ1t = υ2t + s2 ⇒ υ2 = υ1 −s2

t= 5.3 km/h −

5063· 3.6 km/h = 2.4 km/h = 0.68 m/s

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35.2 Lösungen (Bewegung mit konstanter Geschwindigkeit) 269

14. Lösung von Aufgabe 14

Diagramm siehe Abbildung 35.5s = υV t ∧ s = υT (t − tT )⇒

tT = t −sυT

=sυV−

sυT

=130 m

25 m/3.6 s−

130 m45 m/3.6 s

= 8.3 s

Abbildung 35.5: Diagramm zu Aufgabe 14

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35.2 Lösungen (Bewegung mit konstanter Geschwindigkeit) 270

15. Lösung von Aufgabe 15

z = z0 + υt = 979 m + 3.1 m/s · 17.0 s = 1032 m

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35.2 Lösungen (Bewegung mit konstanter Geschwindigkeit) 271

16. Lösung von Aufgabe 16

2sR = sC − sD = υCt − υDt = xυDt − υDt = (x − 1)υDt ⇒

x =2sR

υDt+ 1 =

2 · 400 m10.6 m/(3.6 s) · 5.0 · 60 s

+ 1 = 1.9

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35.2 Lösungen (Bewegung mit konstanter Geschwindigkeit) 272

17. Lösung von Aufgabe 17

s = υAt ∧ s = υB(t − tB)⇒ t =−υBtB

υA − υB(tB = −5.0 s)

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35.3 Lösungen (Gleichmässig beschleunigte Bewegung) 273

35.3 Lösungen (Gleichmässig beschleunigte Bewegung)

1. Lösung von Aufgabe 1

a =∆υ

∆t=

100 m3.6 s · 4.8 s

= 5.8 m/s2

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35.3 Lösungen (Gleichmässig beschleunigte Bewegung) 274

2. Lösung von Aufgabe 2a)

s =12

at2 =12· 1.0 m/s2 · (2.5 s)2 = 3.1 m

b)

υ = at = 1.0 m/s2 · 5.4 s = 5.4 m/s

c)

υ2 = υ20 + 2a · (s − s0)⇒ υ =

√2as =

√2 · 1.0 m/s2 · 73 m = 12 m/s

d)

a =∆υ

∆t

∆t =∆υ

a=

60 m3.6 s

1.0 m/s2 = 17 s

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35.3 Lösungen (Gleichmässig beschleunigte Bewegung) 275

3. Lösung von Aufgabe 3a) Wenn die Geschwindigkeit im betreffenden Koordinatensystem von −5 m/s auf −6 m/s ‘abnimmt’,ist die Beschleunigung negativ, aber die Schnelligkeit nimmt trotzdem zu.b) Wenn die Geschwindigkeit im betreffenden Koordinatensystem von −5 m/s auf −4 m/s ‘zunimmt’,ist die Beschleunigung positiv, aber die Schnelligkeit nimmt trotzdem ab.c) Die Beschleunigung entspricht einem Bremsvorgang (Verlangsamung), wenn die Geschwindigkeitund die Beschleunigung verschiedene Vorzeichen haben.

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35.3 Lösungen (Gleichmässig beschleunigte Bewegung) 276

4. Lösung von Aufgabe 4a)

υ2 = υ20 + 2a(s − s0)

mit υ0 = 0 und s0 = 0 folgt:

a =υ2

2s=

(905 m/s)2

2 · 0.528 m= 7.76 · 105 m/s2

b) Diese Teilaufgabe lässt sich nur lösen, wenn man annimmt, dass die Beschleunigung konstant ist.

υ = υ0 + at

t =υ

a=

2sυ

=2 · 0.528 mm

905 m/s= 1.17 ms

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35.3 Lösungen (Gleichmässig beschleunigte Bewegung) 277

5. Lösung von Aufgabe 5a) Die Geissböcke treffen sich in der Mitte mit gleicher Schnelligkeit.

υ2 = υ20 + 2a · (s − s0)⇒ υ =

√2a

d2

=√

1.0 m/s2 · 2.0 m = 1.4 m/s

b)

12

at2 =d2⇒ t =

√da

=

√2.0 m

1.0 m/s2 = 1.4 s

c)

12

at2 +12

a(t − t2)2 = d

υ1 = at

υ2 = a(t − t2) entgegen υ1

d)

12

a1t2 +12

a2t2 = d

υ1 = a1t

υ2 = a2t entgegen υ1

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35.3 Lösungen (Gleichmässig beschleunigte Bewegung) 278

6. Lösung von Aufgabe 6a) Wir lassen das Velo im Nullpunkt des Koordinatensystems starten, weil wir dafür die Grössenausrechnen müssen.

Abbildung 35.6: Die Bahngleichung des Velos ist s = υt, die des Töffs s = 12a (t − tT )2.

b)

υt =12

a(t − tT )2 ⇒12

at2 − (atT + υ)t +12

at2T = 0

t =atT + υ ±

√(atT + υ)2 − a2t2

T

a= tT +

υ

a±

√(tT +

υ

a

)2− t2

T

t = 3.0 s +13 m/s

5.8 m/s2 ±

√(3.0 s +

13 m/s5.8 m/s2

)2

− (3.0 s)2

t = 0.94 s oder 9.5 s. Die grössere Wurzel der quadratischen Gleichung (9.539 s) ist die Lösung dieserAufgabe.c)

s = υt = 13 m/s · 9.539 s = 0.12 km

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35.3 Lösungen (Gleichmässig beschleunigte Bewegung) 279

7. Lösung von Aufgabe 7

υ2 = υ20 + 2a(s − s0)⇒ υ =

√2as =

√2 · 6060 m/s2 · 3.3 m = 200 m/s

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35.3 Lösungen (Gleichmässig beschleunigte Bewegung) 280

8. Lösung von Aufgabe 8

a =∆υ

∆t=υ2 − υ1

∆t=

(36 − 12) m/(3.6 s)5.6 s

= 1.2 m/s2

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35.3 Lösungen (Gleichmässig beschleunigte Bewegung) 281

9. Lösung von Aufgabe 9

a) Die Geschwindigkeit entspricht der Tangentensteigung: υ = ∆s/∆t = . . .

programmierte Funktion: y:=9.5*exp(-1.3*t)

⇒ υ(1.00 s) = −1.3 s−1 · 9.5 cm · exp(−1.3 s−1 · 1.00 s) = −3.37 cm/s (Sollwert)

b) Der zurückgelegte Weg entspricht der Fläche unter der υ(t)-Kurve.∆s = υ0 · ∆t4 + 1

2υ0∆t5

=(80 km/h · (40 − 0) min + 1

2 · 80 km/h · (50 − 40) min)·

1 h60 min

= 60 km

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35.3 Lösungen (Gleichmässig beschleunigte Bewegung) 282

10. Lösung von Aufgabe 10

a) υ =s1 − s0

t1 − t0=

42 m − 0 m2.0 s − 0 s

= 21 m/s

b) a =∆υ

∆t=

0 − υt2 − t1

= −s1 − s0

(t1 − t0) · (t2 − t1)= −

42 m − 0 m(2.0 s − 0 s) · (5.0 s − 2.0 s)

= −7.0 m/s2

c) Eine Parabel. Es ist eine gleichmässig beschleunigte Bewegung (quadratische Fkt.)

d) υ(t) = υ + a · (t − t1) = 21 m/s − 7.0 m/s2 · (4.0 s − 2.0 s) = 7 m/s ↓= 73.5 m = 74 m

e) s2 = s1 + υ · (t2 − t1) + 12a · (t2 − t1)2 = 42 m + 21 m/s · (5 s − 2 s) − 1

2 · 7 m/s2 · (5 s − 2 s)2 ↑

f) siehe Abbildung 35.7

Abbildung 35.7: Geschwindigkeit vs. Position für denAnhaltevorgang. Während der Reaktionszeit bleibtdie Geschwindigigkeit 21 m/s und das Auto kommt42 m weit. Dann nimmt die Geschwindigkeit in der Artυ =

√2as resp. υ ∝

√send − s (‘wurzelartig’) ab bis

zum Stillstand bei send = 73.5 m.

0 20 40 60 800

5

10

15

20

25

s ( m )

v (

m/s

)

21 m/s

42 m

73.5 m

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35.3 Lösungen (Gleichmässig beschleunigte Bewegung) 283

11. Lösung von Aufgabe 11

Die Lösung ist streng genommen nicht eindeutig, aber vernünftig ist folgender Ansatz:

s = 12at2 + s0

s0 = 0.1 m

a = 2.0 m/s2

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35.3 Lösungen (Gleichmässig beschleunigte Bewegung) 284

12. Lösung von Aufgabe 12

s = 12at2 ⇒ a =

2st2 =

2 · 32 m(4.0 s)2 = 4.0 m/s2

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35.3 Lösungen (Gleichmässig beschleunigte Bewegung) 285

13. Lösung von Aufgabe 13

υ2 = υ20 + 2a · (s − s0)⇒

υ =

√υ2

0 + 2a∆s =

√(280 m3.6 s

)2

+ 2 · (−10.3 m/s2) · 30 m = 73.7 m/s = 265 km/h

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35.3 Lösungen (Gleichmässig beschleunigte Bewegung) 286

14. Lösung von Aufgabe 14

a) a =∆υ

∆t⇒ ∆t =

υ2 − υ1

a=

30 m3.6 s −

50 m3.6 s

−1.0 m/s2 = 5.6 s

b) ∆s = υ∆t =υ2 + υ1

2·υ2 − υ1

a=

(50 + 30) m · (30 − 50) m2 · (−1.0 m/s2) · (3.6 s)2 = 62 m ‘Trapezfläche’

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35.3 Lösungen (Gleichmässig beschleunigte Bewegung) 287

15. Lösung von Aufgabe 15

a) Siehe Abbildung 35.8.

b) 12at2 = υ · (t − tV)⇒ 1

2at2 − vt + vtV = 0⇒ t1,2 =v ±

√v2 − 2avtV

a

t1,2 =7.0 m/s ±

√(7.0 m/s)2 − 2 · 0.80 m/s2 · 7.0 m/s · 3.0 s

0.80 m/s2 =

3.8 s14 s

Zum ersten Zeitpunkt holt der Velofahrer das Töffli ein, bei der zweiten ist es umgekehrt.

Abbildung 35.8: Die Bahngleichung des Töfflis ist ei-ne quadratische Funktion ohne konstante oder lineareTerme. Die Bahngleichung des Velos ist eine Gera-dengleichung mit Nullstelle bei tv.

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35.3 Lösungen (Gleichmässig beschleunigte Bewegung) 288

16. Lösung von Aufgabe 16

υ =

√υ2

0 + 2as

Siehe Abbildung 35.9

Abbildung 35.9: Geschwindigkeit als Funktion desWeges für ein bremsendes Tram 0 20 40 60 80 100

0

5

10

15

Weg (m)

Ges

chw

indi

gkei

t ( m

/s )

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35.3 Lösungen (Gleichmässig beschleunigte Bewegung) 289

17. Lösung von Aufgabe 17

a) s = 12at2 ⇒ a =

2st2 =

2 · 14 · 1609.344 m(4.428 s)2 = 41.04 m/s2

b) υ2 = 2as⇒ a =υ2

2s=

(527.83 m/3.6 s)2

2 · 14 · 1609.344 m

= 26.716 m/s2

c) υ = at ⇒ a =υ

t=

527.83 m/3.6 s4.428 s

= 33.11 m/s2

Die Angaben passen nicht zusammen, weil die Beschleunigung variiert. Dann kommt es darauf an,wie die mittlere Geschwindigkeit berechnet wird, d.h. ob über die Zeit oder über die Strecke oderüber beides gemittelt wird.

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35.3 Lösungen (Gleichmässig beschleunigte Bewegung) 290

18. Lösung von Aufgabe 18

υt = 12at2 ⇒ a =

2υt

=2 · 11.3 m/s

23.5 s= 0.962 m/s2

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35.3 Lösungen (Gleichmässig beschleunigte Bewegung) 291

19. Lösung von Aufgabe 19

a) υ = at ⇒ t =υ

a=

75 m/s8.2 m/s2 = 9.1 s

b) s = 12at2 =

a2

(υ

a

)2=υ2

2a=

(75 m/s)2

2 · 8.2 m/s2 = 0.34 km

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35.3 Lösungen (Gleichmässig beschleunigte Bewegung) 292

20. Lösung von Aufgabe 20

υFt = 12aS t2 ⇒ t =

2υF

aS=

2 · 25 m/s3.8 m/s2 = 13 s

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35.3 Lösungen (Gleichmässig beschleunigte Bewegung) 293

21. Lösung von Aufgabe 21

υ2 = 0 = υ20 + 2as⇒ a = −

υ20

2s= −

(60 m/3.6 s)2

2 · 38 m= −3.7 m/s2

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35.3 Lösungen (Gleichmässig beschleunigte Bewegung) 294

22. Lösung von Aufgabe 22

a =∆υ

∆t=υ2 − υ1

∆t=−1.2 m/s − 1.2 m/s

0.8 s= −3.0 m/s2

Das Vorzeichen respektive die Richtung hängt ab von der Wahl der Bezugsrichtung.

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35.3 Lösungen (Gleichmässig beschleunigte Bewegung) 295

23. Lösung von Aufgabe 23

Wir nehmen Start- und Stoppgeschwindigkeit Null sowie gleichmässig beschleunigte Bewegung an.

a) υ = a1t1 und υ + a2t2 = 0⇒ a1t1 = −a2t2 ⇒a2

a1= −

t1

t2= −

11/2

= −2

b) υ2 = 2a1s1 und υ2 + 2a2s2 = 0⇒ a1s1 = −a2s2 ⇒⇒a2

a1= −

s1

s2= −

11/2

= −2

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35.3 Lösungen (Gleichmässig beschleunigte Bewegung) 296

24. Lösung von Aufgabe 24

∆s = υ · ∆t =υ1 + υ2

2· ∆t =

20 m/s + 30 m/s2

· 15 s = 0.38 km

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35.3 Lösungen (Gleichmässig beschleunigte Bewegung) 297

25. Lösung von Aufgabe 25

Geschwindigkeit umfasst Schnelligkeit (Bahngeschwindigkeit) und Richtung. Bei reinen Richtungs-änderungen ändert sich also auch die Geschwindigkeit und die Bewegung ist beschleunigt. Beispielesind Umkehr und gleichmässige Kreisbewegung. Bei der gleichmässigen Kreisbewegung läuft einPunkt mit konstanter Schnelligkeit auf einem Kreis.

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35.3 Lösungen (Gleichmässig beschleunigte Bewegung) 298

26. Lösung von Aufgabe 26

υMt = sZ + 12at2 ⇒ 1

2at2 − υMt + sZ = 0⇒ t1, 2 =υ0 ±

√υ2

M − 2asZ

a

Diskriminante: 0?6 υ2

M − 2asZ = (8 m/s)2 − 2 · 1.0 m/s2 · 15 m = 34 m2/s2 X

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35.3 Lösungen (Gleichmässig beschleunigte Bewegung) 299

27. Lösung von Aufgabe 27

12at2 = sV + υV t ⇒ 1

2at2 − υV t − sV = 0⇒ t1, 2 =υV ±

√υ2

V + 2asV

a

t1, 2 =5.2 m/s ±

√(5.2 m/s)2 + 2 · 1.9 m/s2 · 280 m

1.9 m/s2 =

20.1215 s = 20 s

−15 s

s = 12at2 = 1

2 · 1.9 m/s2 · (20.1215 s)2 = 0.38 km

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35.3 Lösungen (Gleichmässig beschleunigte Bewegung) 300

28. Lösung von Aufgabe 28

a =∆υ

∆t=υ1 − υ0

∆t=

96 m/3.6 s − 03 s

= 8.89 m/s2 = 9 m/s2

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35.3 Lösungen (Gleichmässig beschleunigte Bewegung) 301

29. Lösung von Aufgabe 29

12at2 = υt → t1 = 0 t2 =

2υa

=2 · 48 m

3.6 s · 1.3 m/s2 = 21 s

s = υt2 =2υ2

a=

2 · (48 m/3.6 s)2

1.3 m/s2 = 0.27 km

υT = at2 = 2υ = 2 · 48 km/h = 96 km/h

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35.4 Lösungen (Relativbewegung) 302

35.4 Lösungen (Relativbewegung)

1. Lösung von Aufgabe 1

Kosinussatz:

υrel =

√υ2

I + υ2K − 2υIυK cosα = υ ·

√2 − 2 cosα = 7.52 km/s ·

√2 − 2 cos 102.2° = 11.7 km/s

Internet: υrel = 11.6 km/s, die Übereinstimmung ist vernünftig.

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35.4 Lösungen (Relativbewegung) 303

2. Lösung von Aufgabe 2

υG =∆s∆t

=9 km

(1 + 2660 ) h

= 6.28 km/h

Daniel ist flussabwärts geschwommen, denn er war schneller als im Becken.υA = υG − υB = · · · = 6.28 km/h − 4.2 km/h = 2.1 km/h

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35.4 Lösungen (Relativbewegung) 304

3. Lösung von Aufgabe 3Siehe Abbildung 35.10. Der Fluss habe Breite b. DerSchwimmer bewege sich mit υ relativ zum Wasser, das sichmit Geschwindigkeit w relativ zum Ufer bewegt. Wenn derSchwimmer rechtwinklig zum Ufer schwimmen will, gilt

a) α = arcsinwυ

= arcsin0.73 m/s1.34 m/s

= 33°

b) t =bυb

=b

√υ2 − w2

=

=28 m√

(1.34 m/s)2 − (0.73 m/s)2= 25 s

Abbildung 35.10: Skizze zu Aufgabe3.

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35.4 Lösungen (Relativbewegung) 305

4. Lösung von Aufgabe 4

Abbildung 35.11: Skizze zu Aufgabe 4.

Der Fluss habe Breite b, sein Wasser bewege sich mit υF

parallel zum Ufer, siehe Abbildung 35.11. Der Schwimmerbewege sich mit υS relativ zum Wasser und unter dem Win-kel α zum Ufer. Der Schwimmer kann sich mit υ1 oder υ2

relativ zum Ufer bewegen.

s =b

sinα= · · · = 26.87 m Schwimmstrecke relativ zum Ufer

mit dem Kosinussatz folgt

υ2S = υ2

1 + υ2F − 2υ1υF cosα⇒ υ2

1 − 2υ1υF cosα + υ2F − υ

2S = 0⇒

υ1 =2υF cosα ±

√(2υF cosα)2 − 4 · (υ2

F − υ2S )

2= υF cosα ±

√υ2

F cos2 α + υ2S − υ

2F

υ1 = · · · = 1.240 m/s (2. Lsg. − 0.6182 m/s)

t1 =sυ1

= · · · = 21.7 s = 22 s

die zweite Lösung wäre für β = 180° − α

υ22 − 2υ2υF cos β + υ2

F − υ2S = 0⇒ υ2

2 + 2υ2υF cosα + υ2F − υ

2S = 0⇒

υ2 = −υF cosα ±√υ2

F cos2 α + υ2S − υ

2F = · · · = 0.6182 m/s (2. Lsg. − 1.240 m/s)

t2 =sυ2

= · · · = 43.47 s = 43 s

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35.4 Lösungen (Relativbewegung) 306

5. Lösung von Aufgabe 5

υy =bt

relativ zum Ufer und relativ zum Wasser

α = arcsinυy

υS= arcsin

btυS

= arcsin34 m

41.5 s · 1.21 m/s= 43°

Das ist der Schwimmwinkel, den der Schwimmer relativ zur Strömungsrichtung des Wassers einhält.Seine Bewegungsrichtung relativ zum Ufer hängt davon ab, ob er eher flussaufwärts oder abwärtsschwimmt.

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35.4 Lösungen (Relativbewegung) 307

6. Lösung von Aufgabe 6

Alle Geschwindigkeiten, welche die Mutter misst, sind 0.8 m/s verschoben gegen jene, die Fritzlimessen könnte. Da die Beschleunigung als Geschwindigkeitsveränderung ∆υ = υ2 − υ1 pro Zeit ∆tdefiniert ist, fällt dieser Unterschied zwischen den Bezugssystemen aus der Rechnung heraus. DieMutter stellt also dieselbe Beschleunigung fest.

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Kapitel 36

Lösungen (Fallgesetze)

36.1 Lösungen (Freier Fall ohne Anfangsgeschwindigkeit)

1. Lösung von Aufgabe 1

υ =√

2gh =√

2 · 9.81 m/s2 · 7.0 m = 12 m/s

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36.1 Lösungen (Freier Fall ohne Anfangsgeschwindigkeit) 309

2. Lösung von Aufgabe 2

h =12

gt2 ⇒ t =

√2hg

=

√2 · 3.8 m

9.81 m/s2 = 0.88 s

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36.1 Lösungen (Freier Fall ohne Anfangsgeschwindigkeit) 310

3. Lösung von Aufgabe 3

a) h =12

gt2 ⇒ t =

√2hg

=

√2 · 1.2 m

1.6022 m/s2 = 1.2 s

b) υ =√

2gh =√

2 · 1.622 m/s2 · 1.2 m = 2.0 m/s

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36.1 Lösungen (Freier Fall ohne Anfangsgeschwindigkeit) 311

4. Lösung von Aufgabe 4

υ =√

2gh⇒ h =υ2

2g=

(19 m/s)2

2 · 9.81 m/s2 = 18 m

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36.1 Lösungen (Freier Fall ohne Anfangsgeschwindigkeit) 312

5. Lösung von Aufgabe 5Unter Vernachlässigung der Schall-Laufzeit:

h =12

gt2 =9.81 m · s−2 · (2.6 s)2

2= 33 m

Unter Berücksichtigung der Schall-Laufzeit: Die Zeit t = 2.6 s setzt sich zusammen aus der Fallzeitt1 und der Laufzeit t2 des Schalls (mit Schallgeschwindigkeit c).

h =12

gt21

t = t1 + t2 =

√2hg

+hc

t −hc

=

√2hg

t2 − 2thc

+h2

c2 =2hg

h2

c2 −

(2tc

+2g

)h + t2 = 0

h2 −

(2tc +

2c2

g

)h + c2t2 = 0

h =

(2tc + 2c2

g

)±

√(2tc + 2c2

g

)2− 4c2t2

2

h =

(tc +

c2

g

)±

√(tc +

c2

g

)2

− c2t2

h = · · · = 31 m (26 km)

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36.1 Lösungen (Freier Fall ohne Anfangsgeschwindigkeit) 313

6. Lösung von Aufgabe 6

υ

υ=

ht

gt=

gt2

2t

gt=

12

Bei jeder gleichmässig beschleunigten Bewegung ohne Anfangsgeschwindigkeit gilt, dass die mittlereGeschwindigkeit gleich der halben Endgeschwindigkeit ist:

υ =υ1 + υ2

2=

0 + υ

2=υ

2

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36.1 Lösungen (Freier Fall ohne Anfangsgeschwindigkeit) 314

7. Lösung von Aufgabe 7

υ = gt = 9.81 m/s2 · 0.50 s = 4.9 m/s

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36.1 Lösungen (Freier Fall ohne Anfangsgeschwindigkeit) 315

8. Lösung von Aufgabe 8

a) c =υ

M=

1342, 8 m/3.6 s1, 24

= 301 m/s

b) c = gt ⇒ t =cg

=300 m/s9.8 m/s2 = 31 s

c) h = 12gt2 ⇒ t =

√2hg

=

√2 · 39045 m

9.8 m/s2 = 89 s

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36.1 Lösungen (Freier Fall ohne Anfangsgeschwindigkeit) 316

9. Lösung von Aufgabe 9Die Beschleunigung ist für alle Körper gleich, falls nur die Schwerkraft wirkt. Der Vogelflug beruhthingegen auf der Schwerkraft sowie Kräften der Luft (Luftwiderstand und dynamischer Auftrieb).

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36.1 Lösungen (Freier Fall ohne Anfangsgeschwindigkeit) 317

10. Lösung von Aufgabe 10

h = 12gt2 = 1

2 · 9.81 m/s2 · (1.0 s)2 = 4.9 m Für 4 m braucht’s weniger als 1 s.

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36.1 Lösungen (Freier Fall ohne Anfangsgeschwindigkeit) 318

11. Lösung von Aufgabe 11

h = 12gt2 = 1

2 · 9.81 m/s2 · (1.414 s)2 = 9.81 m

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36.1 Lösungen (Freier Fall ohne Anfangsgeschwindigkeit) 319

12. Lösung von Aufgabe 12

Ohne Berücksichtigung der Schalllaufzeit:

h = 12gt2 = 1

2 · 9.81 m/s2 · (4.5 s)2 = 99 m

Mit Berücksichtigung der Schalllaufzeit:

t =

√2hg

+hc

=

√2 · 120 m9.81 m/s2 +

120 m344 m/s

= 4.95 s + 0.35 s = 5.3 s

Berücksichtigt man den Luftwiderstand, so fiele der Stein in der genannten Zeit weniger weit. Árnihat die Fallzeit unterschätzt.

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36.1 Lösungen (Freier Fall ohne Anfangsgeschwindigkeit) 320

13. Lösung von Aufgabe 13

υ =√

2gh⇒ h =υ2

2g=

(85 m3.6 s

)2

2 · 9.81 m/s2 = 28 m

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36.1 Lösungen (Freier Fall ohne Anfangsgeschwindigkeit) 321

14. Lösung von Aufgabe 14

∆h = 12gt2 − 1

2g(t − ∆t)2 = 12gt2 − 1

2gt2 + gt∆t − 12g∆t2 = gt∆t − const nimmt zu

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36.1 Lösungen (Freier Fall ohne Anfangsgeschwindigkeit) 322

15. Lösung von Aufgabe 15

h2

h1=

12gt2

212gt2

1

=

(t2

t1

)2

= 22 = 4

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36.1 Lösungen (Freier Fall ohne Anfangsgeschwindigkeit) 323

16. Lösung von Aufgabe 16

υ2 = 2gh ∝ h⇒h2

h=

(υ2

υ

)2=

(12

)2

⇒ h2 = h/4

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36.1 Lösungen (Freier Fall ohne Anfangsgeschwindigkeit) 324

17. Lösung von Aufgabe 17

υ =√

2gh⇒υ2

υ1=

√2gh2√2gh1

=

√h2

h1

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36.1 Lösungen (Freier Fall ohne Anfangsgeschwindigkeit) 325

18. Lösung von Aufgabe 18

h = 12gt2 ⇒

t22

t21

=h2

h1⇒

t2

t1=

√h2

h1=√

2 = 1.414

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36.1 Lösungen (Freier Fall ohne Anfangsgeschwindigkeit) 326

19. Lösung von Aufgabe 19

1564-1642, in Italien

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36.1 Lösungen (Freier Fall ohne Anfangsgeschwindigkeit) 327

20. Lösung von Aufgabe 20

Am gleichen Ort beschleunigen alle Körper aufgrund der Erdanziehung gleich. Der Luftwiderstandund andere Kräfte ausser der Erdanziehungskraft müssen vernachlässigbar sein. Der Körper mussmateriell sein, aber das Material und dessen Menge spielt keine Rolle.

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36.1 Lösungen (Freier Fall ohne Anfangsgeschwindigkeit) 328

21. Lösung von Aufgabe 21

∆h = 12g(t + d)2 − 1

2gt2 = gtd + 12gd2

⇒ t =∆h − 1

2gd2

gd=

∆hgd−

d2

=0.30 m

9.81 m/s2 · 0.2 s−

0.2 s2

= 0.05 s

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36.1 Lösungen (Freier Fall ohne Anfangsgeschwindigkeit) 329

22. Lösung von Aufgabe 22

h = 12gt2 ∧ h/3 = 1

2gt23 ⇒

t3

t=

1√

3≈ 57.7 %

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36.2 Lösungen (Vertikaler Wurf) 330

36.2 Lösungen (Vertikaler Wurf)

1. Lösung von Aufgabe 1

υmin =√

2gh =√

2 · 9.81 m/s2 · 6.0 m = 10.8 m/s > 10 m/s

Der Ball erreicht die Decke nicht, denn dazu wären 11 m/s nötig.

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36.2 Lösungen (Vertikaler Wurf) 331

2. Lösung von Aufgabe 2a)

y = y0 + υy0t −12

gt2 = 0 + 8.7 m/s · 1.7 s −12· 9.81 m/s2 · (1.7 s)2 = 0.61 m

b)

υ = υy0 − gt = 8.7 m/s − 9.81 m/s2 · 1.7 s = −8.0 m/s

c) Der Schnellball ist auf dem Abstieg, denn die Geschwindigkeit ist negativ (nach unten in diesemKoordinatensystem).d)

υ2y = 0 = υ2

y0 − 2g · (y − y0)⇒ y =υ2

y0

2g+ y0 =

(8.7 m/s)2

2 · 9.81 m/s2 + 0 = 3.9 m

e)

υ2y = υ2

y0 − 2g · (y − y0)⇒ υy = ±

√υ2

y0 − 2g · y

υy = ±√

(8.7 m/s)2 − 2 · 9.81 m/s2 · 2.7 m = ±4.8 m/s

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36.2 Lösungen (Vertikaler Wurf) 332

3. Lösung von Aufgabe 3Da Aufstieg und Fall symmetrisch erfolgen, genügt es, wenn wir den freien Fall vom höchsten Punktbetrachten.Anteil t1 für die obere Hälfte:

12

gt21 =

h2

Anteil t2 für die ganze Höhe:

12

gt22 = h

Es folgt:

t1

t2=

1√

2≈ 0.707 ≈ 71%

Der Ball ist also mehr als die halbe Flugzeit in der oberen Hälfte. Dieses Beispiel kann ein Hinweissein, warum man das Gefühl hat, der Ball bleibe oben kurz stehen.

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36.2 Lösungen (Vertikaler Wurf) 333

4. Lösung von Aufgabe 4a)

freier Fall: y = h −12

gt2

vertikaler Wurf: υy0 = +√

2gh und y = υy0t −12

gt2

⇒ υy0t −12

gt2 = h −12

gt2 ⇒ t =hυy0

=h√2gh

=

√h

2g

Dies ist die Hälfte der Zeit, die der erste Körper für den freien Fall über die ganze Höhe benötigt.b)

y = h −12

gt2 = h −12

g

√

h2g

2

=34

h

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36.2 Lösungen (Vertikaler Wurf) 334

5. Lösung von Aufgabe 5a) Siehe Abbildung 36.1

0.0 0.1 0.2 0.30

2

4

6

t (s)

y (m

)

yM

Abbildung 36.1: Ort-Zeit-Diagramm des Aufwärts- und Abwärtswurfs (mit Zahlen).

b) y = υHt −12

gt2 = yM − υHt −12

gt2 ⇒ t =yM

2υH⇒

y =yM

2−

12

g(

yM

2υH

)2

=5.6 m

2−

9.81 m/s2

2·

(5.6 m

2 · 12 m/s

)2

= 2.5 m

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36.2 Lösungen (Vertikaler Wurf) 335

6. Lösung von Aufgabe 6Zeitlich rückwärts betrachtet wäre es ein freier Fall ohne Anfangsgeschwindigkeit. Die Masse spieltfür die Aufgabe keine Rolle (wohl aber für die notwendige beschleunigende Kraft).

υ =√

2gh =√

2 · 9.81 m/s2 · 7.2 m = 12 m/s

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36.2 Lösungen (Vertikaler Wurf) 336

7. Lösung von Aufgabe 7

0 = y0 + υy0t − 12gt2 ⇒ υy0 = 1

2gt −y0

t= 1

2 · 9.81 m/s2 · 0.50 s −2.0 m0.50 s

= −1.5 m/s

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36.2 Lösungen (Vertikaler Wurf) 337

8. Lösung von Aufgabe 8

y = υ0t − 12gt2 ⇒ 1

2gt2 − υ0t + y = 0⇒ t =υ0 ±

√υ2

0 − 2gy

g

t =8.32 m/s ±

√(8.32 m/s)2 − 2 · 9.81 m/s2 · 3.11 m

9.81 m/s2 =

1.14 s0.556 s

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36.2 Lösungen (Vertikaler Wurf) 338

9. Lösung von Aufgabe 9

h = 12gt2

0 ⇒ t0 =

√2hg

y = y0 + υy0t − 12gt2 → 0 = h + υy0

t0

2− 1

2g( t0

2

)2= h +

υy0

2

√2hg− 1

2g2h22g

0 = 34h +

υy0

2

√2hg⇒ υy0 = −3

2h√

g2h

= −34

√2gh

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36.2 Lösungen (Vertikaler Wurf) 339

10. Lösung von Aufgabe 10

Die Geschwindigkeit nimmt stetig ab (υ = υ0 − gt), somit steht der Stein 0 s lang still. Die Geschwin-digkeit ist nur momentan null, weil sie sich ständig ändert.

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36.2 Lösungen (Vertikaler Wurf) 340

11. Lösung von Aufgabe 11

a) Siehe Abbildung 36.2.

b) υS = 0 = υy0 − gtS ⇒ tS =υy0

g=

5.5 m/s9.81 m/s2 = 0.561 s

yS = y0 + υy0tS −12gt2

S = y0 +υ2

y0

2g= 1.70 m +

(5.50 m/s)2

2 · 9.81 m/s2 = 3.24 m

0 = y0 + υy0t − 12gt2 ⇒ t1,2 =

υy0 ±

√υ2

y0 + 2y0g

g

t1,2 =5.50 m/s ±

√(5.50 m/s)2 + 2 · 1.70 m · 9.81 m/s2

9.81 m/s2 =

−0.252 s1.37 s

Abbildung 36.2: Ort-Zeit Diagramm eines vertika-len Wurfs mit y0 = 1.70 m, υy0 = 5.50 m/s undg = 9.81 m/s2. Der Scheitel ist mit einem schwarzenPunkt markiert.

0.0 0.5 1.0 1.50.0

1.0

2.0

3.0

4.0

t ( s )

y (

m )

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36.2 Lösungen (Vertikaler Wurf) 341

12. Lösung von Aufgabe 12

Siehe Abbildung 36.3.

υy =

√υ2

0 − 2gh

Abbildung 36.3: Geschwindigkeit eines vertikalenWurfs als Funktion der Höhe über der Abwurfstel-le mit den Parameterwerten υ0 = 5.50 m/s und g =

9.81 m/s2.0.0 0.5 1.0 1.5 2.00

2

4

6

Höhe ( m )

Ges

chw

indi

gkei

t ( m

/s )

©Martin Lieberherr

36.2 Lösungen (Vertikaler Wurf) 342

13. Lösung von Aufgabe 13

υ =√

2gh⇒υ1

υ1=

√h2

h1=√

2 = 1.4

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36.2 Lösungen (Vertikaler Wurf) 343

14. Lösung von Aufgabe 14

Flugzeit = 2 × Fallzeit: tF = 2t h = 12gt2 ⇒

tF = 2t = 2 ·

√2hg

= 2 ·

√2 · 0.98 m9.81 m/s2 = 0.89 s

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36.2 Lösungen (Vertikaler Wurf) 344

15. Lösung von Aufgabe 15

a) υy = υy0 − gt ⇒ t =υy0 − υy

g=−7.8 m/s − (−8.9 m/s)

9.81 m/s3 = 0.11 s

b) υ2y = υ2

y0 − 2g(y − y0)⇒ y0 − y =υ2

y − υ2y0

2g=

(8.9 m/s)2 − (7.8 m/s)2

2 · 9.81 m/s2 = 0.94 m

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36.2 Lösungen (Vertikaler Wurf) 345

16. Lösung von Aufgabe 16

Aufstieg und Fall laufen genau spiegelbildlich ab, dauern also gleich lang: tA = tF

υ = gtF =g · (tA + tF)

2=

9.81 m/s2 · 3.1 s2

= 15 m/s

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36.2 Lösungen (Vertikaler Wurf) 346

17. Lösung von Aufgabe 17

a) yB + υBt = υS t − 12gt2 ⇒ 1

2gt2 + (υB − υS )t + yB = 0⇒ t =(υS − υB) ±

√(υS − υB)2 − 2gyB

g

=(12.0 m/s − 0.63 m/s) ±

√(12.0 m/s − 0.63 m/s) − 2 · 9.81 m/s2 · 5.8 m

9.81 m/s2 =

0.76 s1.6 s

b) Der Radikand darf minimal Null werden: (υS − υB)2 − 2gyB = 0⇒

υS = υB ±√

2gyB = 0.63 m/s ±√

2 · 9.81 m/s2 · 5.8 m =

−10 m/s11.3 m/s

©Martin Lieberherr

36.3 Lösungen (Horizontaler Wurf) 347

36.3 Lösungen (Horizontaler Wurf)

1. Lösung von Aufgabe 1a)

x = υx0t = 9.3 m/s · 1.5 s = 14 m

y = −12

gt2 = −12

9.81 m · s−2 · (1.5 s)2 = −11 m

υx = υx0 = 9.3 m/s

υy = υy0 − gt = 0 − 9.81 m · s−2 · 1.5 s = −15 m/s

υ =

√υ2

x + υ2y =

√(υx0)2 + (−gt)2

=

√(9.3 m/s)2 +

(9.81 m · s−2 · 1.5 s

)2= 9.5 m/s

α = arctanυx

υy= arctan

υx0

−gt= arctan

9.3 m/s−9.81 m · s−2 · 1.5 s

= −32

b)

t =xυx

=7.3 m

9.3 m/s= 0.78 s

y = −12

gt2 = −12

g(

xυx

)2

= −12

9.81 m · s−2(

7.3 m9.3 m/s

)2

= −3.0 m

c)

y = −12

gt2 ⇒ t =

√−2y

g=

√−2 · (−11.3 m)

9.81 m · s−2 = 1.52 s = 1.5 s

x = υxt = υx

√−2y

g= 9.3 m/s

√−2 · (−11.3 m)

9.81 m · s−2 = 14 m

υ2y = υ2

y0 − 2gy = −2gy⇒

υ =

√(υx)2 +

(υy

)2=

√(υx)2

− 2gy

=

√(9.3 m/s)2

− 2 · (−11.3 m) · 9.81 m · s−2 = 18 m/s

©Martin Lieberherr

36.3 Lösungen (Horizontaler Wurf) 348

2. Lösung von Aufgabe 2

a) x = υxt

y = y0 −12

gt2 ⇒ t =

√2(y0 − y)

g

υx =xt

= x√

g2(y0 − y)

= 4.5 m ·

√9.81 m/s2

2 · (2.5 m − 0)= 6.3 m/s

b) tanα =υy

υx

υy = −gt

α = arctan(υy

υx

)= arctan

(−gtυx

)= arctan

(−gt2

x

)= arctan

(−2(y0 − y)

x

)= arctan

(−2 · 2.5 m

4.5 m

)= −48°

©Martin Lieberherr

36.3 Lösungen (Horizontaler Wurf) 349

3. Lösung von Aufgabe 3

x = υx0t

y = y0 −12gt2

= y0 −g2·

(xυx0

)2

⇒

(xυx0

)2

=2(y0 − y)

g

υx0 = x ·√

g2(y0 − y)

= 15 m ·

√9.81 m/s2

2 · (1.5 m − 0)= 27 m/s

©Martin Lieberherr

36.3 Lösungen (Horizontaler Wurf) 350

4. Lösung von Aufgabe 4

a) h = 12gt2 ⇒ t =

√2hg

=

√2 · 0.90 m9.81 m/s2 = 0.43 s

b) υy = −√

2gh = −√

2 · 9.81 m/s2 · 0.90 m = −4.2 m/s

υx =xt

= x ·√

g2h

= 1.8 m ·

√9.81 m/s2

2 · 0.90 m= 4.2 m/s(

υ =

√υ2

x + υ2y = · · · = 5.9 m/s α = arctan υy/υx = · · · = −45 °

)

©Martin Lieberherr

36.3 Lösungen (Horizontaler Wurf) 351

5. Lösung von Aufgabe 5

υ2 = υ2x + υ2

y = υ2x + (gt)2 ⇒ t =

√υ2 − υ2

x

g

h = 12gt2 =

υ2 − υ2x

2g=

(20 m/s)2 − (10 m/s)2

2 · 9.81 m/s2 = 15 m

x = υxt =υx

g·

√υ2 − υ2

x =10 m/s

9.81 m/s2 ·√

(20 m/s)2 − (10 m/s)2 = 18 m

©Martin Lieberherr

36.3 Lösungen (Horizontaler Wurf) 352

6. Lösung von Aufgabe 6

Der Ball werde im Nullpunkt eines Koordinatensystems abgeworfen. Die x-Achse sei in Wurfrich-tung, die y-Achse nach oben gerichtet.

x = υxt = 5.88 m/s · 1.07 s = 6.29 m

y = −12gt2 = −1

2 · 9.81 m/s2 · (1.07 s)2 = −5.62 m

υx = 5.88 m/s = const

υy = −gt = −9.81 m/s2 · 1.07 s = −10.5 m/s

©Martin Lieberherr

36.3 Lösungen (Horizontaler Wurf) 353

7. Lösung von Aufgabe 7

d = υ0t und h = 12gt2 ⇒ t =

√2hg

=⇒ υ0 =dt

= d ·√

g2h

©Martin Lieberherr

36.3 Lösungen (Horizontaler Wurf) 354

8. Lösung von Aufgabe 8

a) x = υx0t = υx0

√2hg

= 6.3 m/s ·

√2 · 18 m

9.81 m/s2 = 12 m

a) υ =

√υ2

x + υ2y =

√υ2

x0 + (gt)2 =√

(6.3 m/s)2 + (9.81 m/s2 · 0.87 s)2 = 11 m/s

c) tanα =υy

υx⇒ α = arctan

(−gtυx0

)= arctan

(−9.81 m/s2 · 0.87 s

6.3 m/s

)= −54°

©Martin Lieberherr

36.3 Lösungen (Horizontaler Wurf) 355

9. Lösung von Aufgabe 9

Das Experiment zeigt, dass die Horizontalbewegung keinen Einfluss auf die Fallzeit hat.

©Martin Lieberherr

36.3 Lösungen (Horizontaler Wurf) 356

10. Lösung von Aufgabe 10

a) υx = x/t = const ∧ h = 12gt2 → υy = gt = g ·

xυx

=√

2gh → υ2 = υ2x + υ2

y

υ2 = υ2x +

g2x2

υ2x

soll= min

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ ddυ2

x

1 −g2x2

υ4x

= 0⇒ υx =√

gx ⇒ h =g2

t2 =g2

x2

υ2x

=g2

x2

gx⇒ h = x/2

b) υy =gxυx

=gx√

gx=√

gx = υx ⇒ α = 45 ° nach unten

c) Umgekehrt kommt man bei Abwurf unter 45° am weitesten, vergl. den schiefen Wurf.

©Martin Lieberherr

36.3 Lösungen (Horizontaler Wurf) 357

11. Lösung von Aufgabe 11

Wenn der Vogel “etwas fallen lässt”, sollte es unterhalb des Vogels mitfliegen. Die Flugbahn müsstevor Globi beginnen und auf die andere Seite weisen. So wie die Wurfparabel gezeichnet ist, müsste es“mit mehrfacher Vogelschnelligkeit” nach hinten abgeschossen worden sein, was kaum möglich ist.

©Martin Lieberherr

36.3 Lösungen (Horizontaler Wurf) 358

12. Lösung von Aufgabe 12

a) υx = υy = gt ⇒ t =υx

g=

15 m/s9.81 m/s2 = 1.5 s

b) tanα = υy/υx = 1⇒ α = arctan 1 = 45°

c) υ2 = υ2x + υ2

y = υ2x + 2gh⇒ h =

υ2 − υ2x

2g=

(28 m/s)2 − (15 m/s)2

2 · 9.81 m/s2 = 28 m

©Martin Lieberherr

36.4 Lösungen (Schiefer Wurf) 359

36.4 Lösungen (Schiefer Wurf)

1. Lösung von Aufgabe 1a)

xW =υ2

0 sin(2α0)g

Die Wurfweite wird für α0 = 45 maximal, weil dann sin(2α0) maximal wird.b) Es muss unter einem leicht kleineren Winkel geworfen werden, weil dann die Wurfparabel unter-halb der Abwurfhöhe flacher verläuft.

©Martin Lieberherr

36.4 Lösungen (Schiefer Wurf) 360

2. Lösung von Aufgabe 3

xw =υ2

0 sin(2α0)g

⇒ υ0 =

√xwg

sin(2α0)=

√1.1 m · 9.81 m/s2

sin(2 · 60°)= 3.5 m/s

©Martin Lieberherr

36.4 Lösungen (Schiefer Wurf) 361

3. Lösung von Aufgabe 3

Wurfparabel: y = x tanα0 −g

2υ20 cos2 α0

x2

beliebige Parabel durch Nullpunkt: y = bx − ax2

Beide Parabeln haben zwei Parameter, die sich in einander umrechnen lassen. (Anständige Wahl derParameter vorausgesetzt; Überlichtgeschwindigkeit und ähnliches ist natürlich ausgeschlossen.)

©Martin Lieberherr

36.4 Lösungen (Schiefer Wurf) 362

4. Lösung von Aufgabe 4

a)

0 30 60 900

1

2

3

4

α0 ( ° )

y (

m )

v0 = 9.1 m/sx = 4.5 m

b)

0 1 2 3 40

1

2

3

4

x ( m )

y (

m )

Abbildung 36.4: a) Auftreffhöhe y in 4.5 m Wandabstand als Funktion des Abwurfwinkels α0 beigegebener Abwurfschnelligkeit 9.1 m/s. Das Maximum befindet sich bei α0 = 62°. b) Wurparabel mitdiesem optimalen Abwurfwinkel: Der Ball trifft nicht senkrecht auf die Wand!

Berechnung des optimalen Abwurfwinkels mit Differentialrechnung:

y = x tanα0 −gx2

2υ20 cos2 α0

ableiten nach α0 und Null setzen

0 =x

cos2 α0−

gx2 sinα0

υ20 cos3 α0

0 = 1 −gxυ2

0

tanα0

α0 = arctan(υ2

0

gx

)= arctan

((9.1 m/s)2

9.81 m/s2 · 4.5 m

)= 62°

©Martin Lieberherr

36.4 Lösungen (Schiefer Wurf) 363

5. Lösung von Aufgabe 5

xw : ymax =2υ2

0 sinα0 cosα0

g·

2gυ2

0 sin2 α0=

4tanα0

Auffällig ist, dass die Anfangsgeschwindigkeit und die Fallbeschleunigung herausfallen. Die Formder Wurfparabel hängt also nur von der Abwurfrichtung ab. Fallbeschleunigung und Abwurfschnel-ligkeit bestimmen lediglich die Grösse der Wurfparabel.

©Martin Lieberherr

36.4 Lösungen (Schiefer Wurf) 364

6. Lösung von Aufgabe 6

a) Der Zielpunkt liegt auf der Wurfparabel:

yz = xz tanα0 −gx2

z

2υ20 cos2 α0

yz = xz tanα0 −gx2

z

2υ20

· (1 + tan2 α0) quadratische Gleichung in tanα0

12 tan2 α0 −

υ20

gxztanα0 + 1

2 +υ2

0yz

gx2z

= 0

tanα0 =υ2

0

gxz±

√(υ2

0

gxz

)2

− 1 −2υ2

0yz

gx2z

α0 = arctan

υ20

gxz±

√(υ2

0

gxz

)2

− 1 −2υ2

0yz

gx2z

α0 = arctan

(8.8 m/s)2

9.81 m/s2 · 4.4 m±

√((8.8 m/s)2

9.81 m/s2 · 4.4 m

)2

− 1 −2 · (8.8 m/s)2 · 2.1 m9.81 m/s2 · (4.4 m)2

α0 = 68 ° Bogenschuss 47 ° Direktschuss

b) Der Radikand wird bei der Mindestgeschwindigkeit Null(υ2

0

gxz

)2

−2υ2

0yz

gx2z− 1 = 0 quadratische Gleichung in υ2

0

(υ20)2 − 2gyzυ

20 − (gxz)2 = 0

υ20 = gyz ±

12

√(2gyz)2 + 4 · (gxz)2

υ0 =

√gyz ±

12

√(2gyz)2 + 4 · (gxz)2 =

√gyz ± g

√y2

z + x2z

υ0 =

√9.81 m/s2 · 2.1 m ± 9.81 m/s2 ·

√(2.1 m)2 + (4.4 m)2

υ0 = 8.2 m/s (2. Lösung hat negativen Radikanden)

©Martin Lieberherr

36.4 Lösungen (Schiefer Wurf) 365

7. Lösung von Aufgabe 7

y = x tanα0 −gx2

2υ20 cos2 α0

→ y = (x − xA) · tanα0 −g · (x − xA)2

2υ20 cos2 α0

+ yA

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36.4 Lösungen (Schiefer Wurf) 366

8. Lösung von Aufgabe 8Gleichung 3.1 beschreibt eine nach unten geöffnete Parabel, die durch den Nullpunkt verläuft. Diequadratische Funktion hat zwei Paramter, die unabhängig von einander gewählt werden können. In-nerhalb vernünftiger Schranken kann jede Funktion y = ax−bx2 eine Wurfparabel sein. Die Steigungim Nullpunkt ist tanα0, d.h. der Steigungswinkel wie verlangt α0.Gleichung 3.2 ist einheitenmässig korrekt und eine quadratische Funktion. Die Parabel hat Nullstellenbei 0 sowie xw und ist nach unten geöffnet. Der Scheitel liegt bei xw/2 und hat Ordinate ymax.Gleichung 3.3 ist einheitenmässig korrekt und eine quadratische Funktion. Die Parabel verläuft durchden Nullpunkt und den Punkt xz, yz. Die Parabel wird höher, wenn υ0 wächst oder g schrumpft.Gleichung 3.4 ist einheitenmässig korrekt und eine quadratische Funktion. Die Parabel verläuft durchden Nullpunkt und den Punkt xz, yz. Die Parabel wird höher, wenn α0 wächst.

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36.4 Lösungen (Schiefer Wurf) 367

9. Lösung von Aufgabe 9

xw =υ2

0 sin(2α0)g

=υ2

0

g⇒ υ0 =

√gxw =

√9.81 m/s2 · 101.46 m = 31.5 m/s

υy0 − gtw = −υy0 ⇒ tw =2υy0

g=

2υ0 sinα0

g=

2√

gxw√

2g · 2

=

√2xw

g=

√2 · 101.46 m9.81 m/s2 = 4.55 s

©Martin Lieberherr

36.4 Lösungen (Schiefer Wurf) 368

10. Lösung von Aufgabe 10

a) xw =υ2

0 sin(2α0)g

=υ2

0

g⇒ υ0 =

√xwg =

√120 · 103 m · 9.81 m/s2 = 1.08 km/s

t =xw

υx=

xw√

xwg cosα0=

√2xw

g=

√2 · 120 · 103 m

9.81 m/s2 = 156 s

b)ymax

xw=

sin2 α0

2 sin(2α0)=

tanα0

4⇒ α0 = arctan

(4ymax

xw

)= arctan

(4 · 40 km120 km

)= 53.13° = 53°

υ0 =

√xwg

sin(2α0)=

√120 · 103 m · 9.81 m/s2

sin(2 · 53.13°)= 1.1 km/s

©Martin Lieberherr

36.4 Lösungen (Schiefer Wurf) 369

11. Lösung von Aufgabe 11

a) Siehe Abbilddung 36.5 und deren Legende.

Abbildung 36.5: Beim Elevationswinkel α0 ≈ 56°wird die Wand am höchsten – hier etwa 2 m über derAbwurfstelle – getroffen.

0 30 60 900.0

0.5

1.0

1.5

2.0

α0 ( ° )

y (

m )

b) Berechnung des Maximums mit Differentialrechnung:

y = x tanα0 −gx2

2υ20 cos2 α0

dydα0

= 0 =x

cos2 α0−

gx2 sinα0

υ20 cos3 α0

=x

cos2 α0·

(1 −

gx tanα0

υ20

)0 = 1 −

gx tanα0

υ20

⇒ tanα0 =υ2

0

gx

α0 = arctan(υ2

0

gx

)= arctan

((8.5 m/s)2

9.81 m/s2 · 5.0 m

)= 55.83° = 56°

©Martin Lieberherr

36.4 Lösungen (Schiefer Wurf) 370

12. Lösung von Aufgabe 12

√2gh = υy0 = υ0 sinα0 ⇒ h =

υ20 sin2 α0

2g

©Martin Lieberherr

36.4 Lösungen (Schiefer Wurf) 371

13. Lösung von Aufgabe 13

y = x tanα0 −gx2

2(υ0 cosα0)2

α=0−→ y = −

gx2

2υ20

Parabel wie beim horizontalen Wurf

©Martin Lieberherr

36.4 Lösungen (Schiefer Wurf) 372

14. Lösung von Aufgabe 14

a) xS = xw/2 =υ2

0 sin(2α0)2g

=(8.9 m/s)2 · sin(2 · 51°)

2 · 9.81 m/s= 3.9 m

yS = ymax =υ2

0 sin2 α0

2g=

(8.9 m/s2· sin 51°)2

2 · 9.81 m/s= 2.4 m

b) υx = υx0 = υ0 cosα0 = 8.9 m/s · cos 51° = 5.6 m/s υy = 0

c) y = x tanα0 −gx2

2(υ0 cosα0)2 = 6.0 m · tan 51° −9.81 m/s2 · (6.0 m)2

2 · (8.9 m/s · cos 51°)2 = 1.8 m

Das Ziel wird im Rahmen der Rundung nicht getroffen.

©Martin Lieberherr

36.4 Lösungen (Schiefer Wurf) 373

15. Lösung von Aufgabe 15

Abbildung 36.6: Unabhängigkeitssatza) Der horizontale Wurf ist eine Kombination ausgleichmässiger Bewegung in horizontaler Richtungund freiem Fall ohne Anfangsgeschwindigkeit in ver-tikaler Richtung.b) Der schiefe Wurf ist eine Kombination aus einergleichmässigen Bewegung mit konstantem Geschwin-digkeitsvektor ~υ0 und einem freien Fall ohne An-fangsgeschwindigkeit in Richtung des Fallbeschleuni-gungsvektors ~g.

©Martin Lieberherr

Kapitel 37

Lösungen (Dynamik)

37.1 Lösungen (Masse und Dichte)

1. Lösung von Aufgabe 1Das Wasser unter dem Bauch kann zwar ausweichen, muss dazu aber erst einmal beschleunigt werden.Da Wasser träge ist, muss der Bauch grosse Kräfte aufs Wasser ausüben.

©Martin Lieberherr

37.1 Lösungen (Masse und Dichte) 375

2. Lösung von Aufgabe 2

ρ =mV

=ms3 =

500.56 g(4.800 cm)3 = 4.526 g/cm3 = 4.526 · 103 kg ·m−3

In der FoTa findet man 4.51 · 103 kg ·m−3 für Titan. Die Übereinstimmung ist genügend gut, da niesicher ist, ob das Material wirklich rein ist.

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37.1 Lösungen (Masse und Dichte) 376

3. Lösung von Aufgabe 3

ρ =mV

=m

lbh=

0.15322 kg70 · 30 · 10 · (10−3 m)3 = 7296 kg/m3

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37.1 Lösungen (Masse und Dichte) 377

4. Lösung von Aufgabe 4

ρ =mV

=4mπd2h

=4 · 0.17065 kg

π · 3.52 · 2.0 · (10−2 m)3 = 8869 kg/m3 = 8.9 · 103 kg ·m−3

In der FoTa findet man 8.96 und 8.92 · 103 kg ·m−3 für Kupfer. Im Rahmen der Rechengenauigkeitherrscht Übereinstimmung.

©Martin Lieberherr

37.1 Lösungen (Masse und Dichte) 378

5. Lösung von Aufgabe 5

ρ =mV

und V =4πr3

3=πd3

6⇒

ρ =6mπd3 =

6 · 0.25452 kg

π ·(3.965 · 10−2 m

)3 = 7798 kg ·m−3

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37.1 Lösungen (Masse und Dichte) 379

6. Lösung von Aufgabe 6Das Verhältnis des Legierungsvolumens zum Gesamtvolumen der Elemente ist exakt Eins, falls sichdie Volumina addieren.

VL

VS + VK=

mρL

fS mρS

+fKmρK

=

(fSρL

ρS+

fKρL

ρK

)−1

=

(0.720 · 10.0

10.5+

0.280 · 10.08.92

)−1

= 1.00

In diesem Fall addieren sich die Volumina im Rahmen der Rechengenauigkeit, aber in anderen Fällenmuss das nicht so sein.

©Martin Lieberherr

37.1 Lösungen (Masse und Dichte) 380

7. Lösung von Aufgabe 7Im physikalischen Sprachgebrauch müsste man schreiben, dass das Urkilogramm seit 1889 50 µgMasse verloren hat (um Trägheit von Erdanziehungskraft zu unterscheiden). Wenn das UrkilogrammMasse verliert, ändert sich die Masse der dicken Katze tatsächlich nicht; Urkilogramm und Katzesind ja unabhängig von einander. Was sich aber – zumindest im Prinzip – verändert, ist die AnzahlKilogramm der Katze. Weil die Masseinheit kleiner wird, nimmt die Anzahl Kilogramm der Katzebei gleicher Katzenmasse zu.

©Martin Lieberherr

37.1 Lösungen (Masse und Dichte) 381

8. Lösung von Aufgabe 8

ρ =mV

=3m

4πr3 =3 · 1.9891 · 1030 kg

4π · (108.207 · 109 m)3 ≈ 3.75 · 10−4 kg/m3

Luft bei Normalbedingungen hat 1.293 kg/m3, also viel mehr, und das Resultat ist nicht sehr genau,weil die Sonne bis dann einiges von ihrer jetzigen Masse verloren haben wird.

©Martin Lieberherr

37.1 Lösungen (Masse und Dichte) 382

9. Lösung von Aufgabe 9Gleich viel, denn die Masse ist eine Eigenschaft des Körpers alleine (verschieden vom Gewicht).

©Martin Lieberherr

37.1 Lösungen (Masse und Dichte) 383

10. Lösung von Aufgabe 10

m = ρV = 1.0 · 103 kg/m3 · 0.1 · 10−6 · 10−3 m3 = 1.0 · 10−7 kg = 0.1 mg

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37.1 Lösungen (Masse und Dichte) 384

11. Lösung von Aufgabe 11

A =Vd

=mρd

=4.94 · 10−3 kg

2.70 kg/dm3 · 10 · 10−5 dm= 18 dm2

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37.1 Lösungen (Masse und Dichte) 385

12. Lösung von Aufgabe 12

m = ρV = ρ 4π3 r3 = 1.0 · 103 kg/m3 · 4π

3 · (1.0 · 10−3 m)3 = 4.2 · 10−6 kg = 4.2 mg

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37.1 Lösungen (Masse und Dichte) 386

13. Lösung von Aufgabe 13

% =mV

=0.200 kg

0.27 · 10−3 m3 = 7.4 · 102 kg/m3

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37.1 Lösungen (Masse und Dichte) 387

14. Lösung von Aufgabe 14

Ich beschaffe mir zwei Rohlinge aus rostfreiem Stahl, die etwas mehr als 500 g Masse haben. Aus derDichte kann man das benötigte Volumen abschätzen.Man stellt beide Rohlinge in eine Waagschale, das Urkilogramm in die andere. Falls die Rohlinge zu-sammen schwerer sind, vergleicht man sie mittels der Balkenwaage. Dann trägt man mit einer Feileetwas vom schwereren Rohling ab (deutlich weniger als ein Milligramm, das abzutragende Volumenkann ja via die Dichte abgeschätzt werden).Diese Prozedur wiederholt man, bis die Rohlinge zusammen nicht mehr schwerer als das Urkilo-gramm sind.

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37.1 Lösungen (Masse und Dichte) 388

15. Lösung von Aufgabe 15Im Internet (wikipedia) findet man unter den englischen, nicht-metrischen Einheiten für Masse das‘stone’. 1 st = 14 lb = 224 oz = 3584 dr = 6,35029318 kgVon der Waage liest man 140 kg ÷ 22.0 st = 6.36 kg/st ab, was auch ungefähr passt.

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37.1 Lösungen (Masse und Dichte) 389

16. Lösung von Aufgabe 16

% =mV

=4mπd2l

=4 · 182 g

π · (1.40 cm)2 · 15.0 cm= 7.88 g/cm3 = 7.88 · 103 kg/m3

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37.1 Lösungen (Masse und Dichte) 390

17. Lösung von Aufgabe 17

V =m%

=15 · 10−3 kg

10.5 · 103 kg/m3 = 1.4 · 10−6 m3 = 1.4 cm3

©Martin Lieberherr

37.1 Lösungen (Masse und Dichte) 391

18. Lösung von Aufgabe 18

Schleudertrauma, Bauchlandung beim Wasserspringen, Bremsweg, etc.

©Martin Lieberherr

37.1 Lösungen (Masse und Dichte) 392

19. Lösung von Aufgabe 19

a) ρ =m

lbd=

1.140 kg296.5 · 10−3 m · 210.0 · 10−3 m · 23.0 · 10−3 m

= 778 kg/m3

b) σ =m

lbN=

1140 g296.5 · 10−3 m · 210.0 · 10−3 m · 1060

= 16.88 g/m2

Länge l und Breite b wurden an einem anderen A4-Blatt gemessen. Laut Definition (Fläche 1 m2/24

und Seitenverhältnis l/b =√

2) sollte ein A4-Blatt 210.224 mm breit und 297.302 mm lang sein.

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37.1 Lösungen (Masse und Dichte) 393

20. Lösung von Aufgabe 20

Die Dichte der Könige ist etwa gleich jener von Wasser.

mRG = VRρG =mR

ρR· ρG =

95 kg · 19.29 · 103 kg/m3

1.0 · 103 kg/m3 = 1.8 · 103 kg

h ∝ V1/3 ⇒ hAG = hA ·

(VG

VA

)1/3

= hA ·

(ρA

ρG

)1/3

= 1.65 m ·(

1.0 · 103 kg/m3

19.29 · 103 kg/m3

)1/3

= 0.62 m

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37.1 Lösungen (Masse und Dichte) 394

21. Lösung von Aufgabe 21

Wir vernachlässigen die Masse der Luft

mS = 1651.8 g − 126.6 g = 1525.2 gmW = 2000.2 g − 1651.8 g = 348.4 g

VLu f t = VWasser =mW

ρW=

348.4 g998 g/L

= 349 mL

ρS =mS

VS=

mS

V1 − VL=

mS

V1 −mWρW

=1525.2 g

1.0 L − 348.4 g998 g/L

= 2.3 kg/L

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37.1 Lösungen (Masse und Dichte) 395

22. Lösung von Aufgabe 22

ρ =mV

=mAd⇒

mA

= d · ρ = 40 · 10−6 m · 7.14 · 103 kg/m3 = 0.28 kg/m2

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37.1 Lösungen (Masse und Dichte) 396

23. Lösung von Aufgabe 23

m = ρV = ρ · π4 d2l = 19.3 · 103 kg/m3 · π4 · (0.30 m)2 · 6.1 m = 8.3 · 103 kg

Die Daten stammen aus dem Projekt mit Spitznamen ‘rods from God’: Die Wolframstäbe werden imerdnahen Weltraum stationiert und auf z.B. feindliche Bunker ‘fallen gelassen’ (analog den Flieger-pfeilen im ersten Weltkrieg).

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37.1 Lösungen (Masse und Dichte) 397

24. Lösung von Aufgabe 24

m = ρV = ρ 13hG = ρ1

3hs2 = 2.7 · 103 kg/m3 · 13 · 147 m · (230 m)2 = 7.0 · 109 kg

geschätzte Gesamtmasse: 6,25 Millionen Tonnen (wikipedia, 10. März 2014)

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37.1 Lösungen (Masse und Dichte) 398

25. Lösung von Aufgabe 25

m = ρV = ρabc = 1.6 · 103 kg/m3 · 5, 710 m × 2, 352 m × 2, 385 m = 5.1 · 104 kg 21750 kg

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37.1 Lösungen (Masse und Dichte) 399

26. Lösung von Aufgabe 26

m = ρV = ρ · π6 d3 ≈ 1.0 g/cm3 · π6 · (3.5 cm)3 = 22 g

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37.1 Lösungen (Masse und Dichte) 400

27. Lösung von Aufgabe 27

ρMensch ≈ ρWasser

ρ =mV⇒ V =

mρ≈

70 kg1.0 kg/L

= 70 L

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37.1 Lösungen (Masse und Dichte) 401

28. Lösung von Aufgabe 28

m = ρV = ρπ6 d3 ⇒ d =

(6mπρ

)1/3

=

(6 · 2.5 · 10−6 kgπ · 13546 kg/m3

)1/3

= 0.71 mm

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37.1 Lösungen (Masse und Dichte) 402

29. Lösung von Aufgabe 29

V =mρ

= Ah⇒ h =mAρ

=780 · 1012 kg

5.1007 · 1014 m2 · 1.56 · 103 kg/m3 = 0.98 mm

Die gesamte Biomasse der Erde enthält 500-600 Gt Kohlenstoff, das liegt in derselben Grössenord-nung wie in der Atmosphäre. Das ganze Biomasse entspricht einem millimeterdünnen Biofilm.

Source: Atmosphere 780 Gt, Biomass 500-600 Gt, Soils 1550 Gt organic, 950 Gt inorganic, Ocean38000 Gt, Fossil fuels 4100 Gt (mostly coal), Physics Today, March 2014, p. 15

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37.1 Lösungen (Masse und Dichte) 403

30. Lösung von Aufgabe 30

m = ρa3 ⇒ a =3√

m/ρ =3

√269 000 t1.38 t/m3 = 58.0 m

PET hat eine Dichte von 1.38 kg/L (wikipedia), PVC ähnlich. Der Würfel scheint nicht gross, aberder Plastik schwimmt fein verteilt im Meer und gefährdet die Meeresfauna.

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37.1 Lösungen (Masse und Dichte) 404

31. Lösung von Aufgabe 31

Im Internet findet man 0,94 g/cm3 für Fettgewebe und 1.05 g/cm3 für Muskelgewebe. Das Verhältnisist 1.05/0.94 = 1.12 und keineswegs drei!

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37.1 Lösungen (Masse und Dichte) 405

32. Lösung von Aufgabe 32

ρ2

ρ1=

m2/s32

m1/s31

=m2

m1·

(s1

s2

)3

=21·

(12

)3

=14

= 0.25

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37.1 Lösungen (Masse und Dichte) 406

33. Lösung von Aufgabe 33

Ich nehme an, die Bierdose sei ein Zylinder mit konstanter Wanddicke w. Da der Deckel (und derBoden) etwas dicker sind, sollte die Rechnung aufgrund der Näherung einen leicht zu grossen Wertliefern.

m =(πdh + 2 · π4 d2

)· ρw⇒ w =

mπρd (h + d/2)

w =15.5 · 10−3 kg

π · 2.70 · 103 kg/m3 · 6.59 · 10−2 m ·(0.1687 m + 6.59 · 10−2 m/2

) = 0.138 mm

Das ist die korrekte Grössenordnung.

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37.1 Lösungen (Masse und Dichte) 407

34. Lösung von Aufgabe 34

Die Eismasse ist das Produkt aus Wasserdichte, Tageshöhe und Meeresoberfläche A.A = 360 570 000 km2 nach wikipedia

m = ρW Ah2 = ρAh1t2/t1 = 1.0 · 103 kg/m3 · 360 · 1012 m2 · 1 · 10−3 mm · 1 d/3650 d

= 9.86 · 1010 kg = 1 · 1011 kg 100 Millionen Tonnen in einem Tag

1 km3 Wasser hat die Masse 1 Milliarde Tonne.

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37.1 Lösungen (Masse und Dichte) 408

35. Lösung von Aufgabe 35

ρ =mV→

ρ2 − ρ1

ρ1=ρ2

ρ1− 1 =

V1

V2− 1 =

V1

V1 − ∆V− 1 ≈

70 L70 L − 4 L

− 1 = 0.0606

Wenn eine Person mit Volumen 70 L voll ausatmet (etwa 4 L Luft), nimmt die mittlere Dichte 6 % zu.Die Veränderung der Masse durch das Ausatmen von Luft (etwa 4 g) haben wir ignoriert.

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37.1 Lösungen (Masse und Dichte) 409

36. Lösung von Aufgabe 36

V =mρ

=127 · 106 ct · 0.2 · 10−3 kg/ct

3.51 · 103 kg/m3 = 7.24 m3

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37.1 Lösungen (Masse und Dichte) 410

37. Lösung von Aufgabe 37

m = Vρ = π4 d2hρ→ h =

4mπd2ρ

=4 · 1.000 kg

π · (0.039 m)2 · 21.45 · 103 kg/m3 = 39 mm

Die Daten sind ungefähr jene des SI-Urkilogramms (2014).

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37.1 Lösungen (Masse und Dichte) 411

38. Lösung von Aufgabe 38

ρ20V20 = m = ρ70V70 ⇒ V70 = V20ρ20

ρ70= 357.2 mL ·

998.206 kg/m3

977.76 kg/m3 = 364.7 mL

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37.2 Lösungen (Newton’sche Axiome) 412

37.2 Lösungen (Newton’sche Axiome)

1. Lösung von Aufgabe 1Da anscheinend keine Ursache diese Drehung der Welt bewirkt, muss das ein Effekt des gewähltenBezugssystems sein. Offenbar drehen Sie sich selbst um eine Achse.

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37.2 Lösungen (Newton’sche Axiome) 413

2. Lösung von Aufgabe 2Erste Näherung: Das Buch vor mir auf dem Tisch scheint kräftefrei zu sein und ist in Ruhe. Somit istdas Trägheitsprinzip erfüllt und ich bin in einem Inertialsystem.Zweite Näherung: Ich bemerke im Laufe des Tages, dass sich die Sonne ohne sichtbare Kraftwirkungum die Erde bewegt, d.h. sie bewegt sich nicht geradlinig. Somit bin ich nicht in einem Inertialsystem,sondern in einem beschleunigten (rotierenden) Bezugssystem.

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37.2 Lösungen (Newton’sche Axiome) 414

3. Lösung von Aufgabe 3a) Der Index bedeutet ‘resultierend’. Wenn mehrere Kräfte auf den Körper wirken, müssen diesezur Resultierenden verrechnet werden, denn eine einzelne Kraft könnte ja durch eine andere Kraftkompensiert werden.b) Die Pfeile sollen uns daran erinnern, dass Kräfte auch eine Richtung haben. Als mathematischesSymbol bedeutet der Pfeil, dass wir eine Grösse als Vektor darstellen. Ohne Pfeil ist der Betrag (Stärkeder Kraft) gemeint.

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37.2 Lösungen (Newton’sche Axiome) 415

4. Lösung von Aufgabe 4

Fres = ma = 5 kg · 8 m/s2 = 4 · 101 N

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37.2 Lösungen (Newton’sche Axiome) 416

5. Lösung von Aufgabe 5

Fres = ma⇒ a =Fres

m=

12.9 · 103 N15.7 kg

= 822 m/s2

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37.2 Lösungen (Newton’sche Axiome) 417

6. Lösung von Aufgabe 6

Fres = ma⇒ m =Fres

a=

87 · 10−6 N76 m/s2 = 1.192 · 10−6 kg = 1.2 mg

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37.2 Lösungen (Newton’sche Axiome) 418

7. Lösung von Aufgabe 7

a) ∆υ = a · ∆t = 8 · 10−10 m/s2 · 30 · 3.156 · 107 s = 0.7 m/s

b) s =12

at2 =12

8 · 10−10 m/s2 · (30 · 3.156 · 107 s)2 = 4 · 108 m

c) F = ma = 260 kg · 8 · 10−10 m/s2 = 2 · 10−7 N

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37.2 Lösungen (Newton’sche Axiome) 419

8. Lösung von Aufgabe 8a) Auf den Computer wirken die Erdanziehungskraft und die Normalkraft des Tisches.b) Die Reaktionskraft auf die Erdanziehungskraft ist die Gravitationskraft des Computers auf die Erdeals Ganzes. Die Reaktionskraft auf die Normalkraft ist die Kontaktkraft (Normalkraft) des Computersauf den Tisch.

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37.2 Lösungen (Newton’sche Axiome) 420

9. Lösung von Aufgabe 9

Fres = ma⇒ a =Fres

m=

235 · 10−3 N73 · 10−3 kg

= 3.2 m/s2

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37.2 Lösungen (Newton’sche Axiome) 421

10. Lösung von Aufgabe 10Zusätzlich zu den in Abb. 37.1 genannten Argumenten, die auf eine Gleichgewichtslage zugeschnittensind, sind die Kräfte zeitlich verschieden, wenn das Seil an einem Ende geschüttelt wird.

Abbildung 37.1: Wenn das Seilgewicht bedeutsam und das Seil auf verschiedenenHöhen aufgespannt ist, so sind die Kräfte nicht entgegengesetzt gerichtet und auchnicht gleich stark.

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37.2 Lösungen (Newton’sche Axiome) 422

11. Lösung von Aufgabe 11Isaac Newton hat 1643 bis 1727 in England gelebt (Zeitalter des Barock).

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37.2 Lösungen (Newton’sche Axiome) 423

12. Lösung von Aufgabe 12Im Extremfall zeigen die Kräfte in die gleiche oder in entgegengesetzte Richtungen:

amin =Fres,min

m=

F2 − F1

m=

5.0 N − 4.0 N3.0 kg

= 0.33 m/s2

amax =Fres,max

m=

F2 + F1

m=

5.0 N + 4.0 N3.0 kg

= 3.0 m/s2

Die Richtung der Beschleunigung bleibt offen.

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37.2 Lösungen (Newton’sche Axiome) 424

13. Lösung von Aufgabe 13Es dient der Wahl eines geeigneten, ‘unbeschleunigten’ Bezugssystems. In einem ‘guten’ Inertial-system bewegen sich kräftefreie Körper mit konstanter Geschwindigkeit oder verharren in Ruhe. Ineinem ‘schlechten’, beschleunigten Bezugssystem gilt das erste Axiom nicht. In beschleunigten Be-zugssystemen können Körper auch ohne einwirkende Kräfte beschleunigen und das dritte Newton-sche Axiom (actio = reactio) ist verletzt.

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37.2 Lösungen (Newton’sche Axiome) 425

14. Lösung von Aufgabe 14

237 TN = 2.37 · 1014 kg ·ms2

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37.2 Lösungen (Newton’sche Axiome) 426

15. Lösung von Aufgabe 15

Wahl: α = 90°F2 =

√F2

res + F21 =

√(5.0 N)2 + (6.0 N)2 = 7.8 N

β = arctan F1Fres

= arctan 6.0 N5.0 N = 50°

Richtung (Pfeilspitze) von F2 wie gezeichnet.

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37.2 Lösungen (Newton’sche Axiome) 427

16. Lösung von Aufgabe 16

a =Fm

=35 N

7.0 · 10−3 kg= 5.0 · 103 m/s2

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37.2 Lösungen (Newton’sche Axiome) 428

17. Lösung von Aufgabe 17Es ist möglich, wenn z.B. eine parallele, zweite Kraft F2 auf den Körper wirkt mit

F2 = Fres − F1 = ma − F1 = 1.0 kg · 5.0 m/s2 − 3.0 N = 2.0 N

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37.2 Lösungen (Newton’sche Axiome) 429

18. Lösung von Aufgabe 18

a) Siehe Abbildung 37.2.F1 ÷ F ≈ 21.2 cm ÷ 21.3 cm = 0.995F2 ÷ F ≈ 12.1 cm ÷ 21.3 cm = 0.568

Abbildung 37.2: Konstruktion der zwei KomponentenF1 und F2 parallel zu den gestrichelten Linien.

b)F1

sin β=

Fsin(180° − α − β)

⇒F1

F=

sin βsin(α + β)

=sin 73.0°

sin(33.0° + 73.0°)= 0.995

F2

sinα=

Fsin(180° − α − β)

⇒F1

F=

sinαsin(α + β)

=sin 33.0°

sin(33.0° + 73.0°)= 0.567

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37.2 Lösungen (Newton’sche Axiome) 430

19. Lösung von Aufgabe 19

a) Nur die Strasse kann das Auto bescheunigen, sonst ist niemand da, der schieben könnte. Die Akti-onskraft ist Fres = ma = 1955 kg · 5.3 m/s2 = 10 kNb) Die Strasse schiebt nur deshalb nach vorn, weil die Räder den Strassenbelag nach hinten stossen.Die Antriebskraft ist eine Komponente der Reaktionskraft zur Kraft der Räder auf die Strasse.

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37.2 Lösungen (Newton’sche Axiome) 431

20. Lösung von Aufgabe 20

Nein, denn Cartoonfiguren haben keine Masse (Trägheit). Die Newtonschen Axiome bezieht sich nurauf Körper, die eine Masse haben.

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37.2 Lösungen (Newton’sche Axiome) 432

21. Lösung von Aufgabe 21

Diese Aufgabe hat keine eindeutige Lösung, sondern unendlich viele, siehe Abbildung 37.3. DieResultierende hat den Betrag

Fres = ma = 583 kg · 1.00 m/s2 = 583 N

Abbildung 37.3: Gibt man die erste Kraft F1 vor und hängt diezweite Kraft F2 an die Spitze der ersten, so müssen die Spitzenaller möglichen Kraftpfeile von F2 auf einem Kreis um den An-griffspunkt von F1 mit Radius Fres liegen.

Minimum: F2 = F1 − Fres = · · · = 789 NMaximum: F2 = F1 + Fres = · · · = 1955 N

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37.2 Lösungen (Newton’sche Axiome) 433

22. Lösung von Aufgabe 22

3. Axiom: actio = reactio oder ~F12 = − ~F21

Wenn Reaktionsprinzip nicht gelten würden, könnte sich ein Astronaut selber beschleunigen, indemer an sich zieht. Das widerspricht aber aller Erfahrung.

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37.2 Lösungen (Newton’sche Axiome) 434

23. Lösung von Aufgabe 23

Das erste Grundgesetz der Mechanik lautet: Ein kräftefreier Körper verharrt im Zustand der Ruheoder der gleichmässig geradlinigen Bewegung. Das ‘oder’ steht da, weil der Bewegungszustand vonder Wahl des Inertialsystems abhängt. Ein gleichmässig vorbeifahrendes Tram ist für die Zuschauerin Bewegung aber für die Passagiere in Ruhe.

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37.2 Lösungen (Newton’sche Axiome) 435

24. Lösung von Aufgabe 24

FME = FEM = 31 N a =Fres

mM=

FEM

mM=

31 N0.024 kg

= 1.3 · 103 m/s2

Wir haben angenommen, dass keine weiteren Kräfte auf den Magneten wirken.

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37.2 Lösungen (Newton’sche Axiome) 436

25. Lösung von Aufgabe 25

υ2 = 2as→ F = ma =mυ2

2s=

1.672622 · 10−27 kg · (8.7325 · 106 m/s)2

2 · 35.82 · 10−3 m= 1.781 pN

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37.2 Lösungen (Newton’sche Axiome) 437

26. Lösung von Aufgabe 26

Es beschleunigt nicht, sondern bewegt sich nur mit konstanter Geschwindigkeit. Die Geschwindigkeithängt von der Wahl des Bezugssystems ab.

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37.2 Lösungen (Newton’sche Axiome) 438

27. Lösung von Aufgabe 27

Dynamik bedeutet Kräftelehre, Statik (Lehre vom Kräftegleichgewicht) und Kinetik (Theorie der vonKräften verursachten Bewegungen) sind Untergebiete der Dynamik. Die Statik ist der älteste Zweigund im 17. Jahrhundert zur modernen Dynamik, d.h inklusive Kinetik, ausgebaut worden.

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37.2 Lösungen (Newton’sche Axiome) 439

28. Lösung von Aufgabe 28

a) Das Reaktionsprinzip sagt aus, dass die Kräfte entgegengesetzt gleich gross sind (actio=reactio,die tiefere Ursache ist der Impulserhaltungssatz).b) Die zwei Kräfte wirken auf verschiedene Körper; da der Smart eine kleinere Masse hat, wird erstärker beschleunigt. Das passt zur Alltagserfahrung.

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37.3 Lösungen (Kraftgesetze) 440

37.3 Lösungen (Kraftgesetze)

1. Lösung von Aufgabe 1

FG = mg = ρVg = 13.546 · 103 kg/m3 · 2.0 · 10−3 m3 · 9.81 m/s2 = 266 N

Bemerkung: Temperatur und Ort sind nicht gegeben, deshalb werden vernünftige Werte für die Dichteund die Fallbeschleunigung angenommen.

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37.3 Lösungen (Kraftgesetze) 441

2. Lösung von Aufgabe 2

a) FG = mg = 0.097 kg · 9.81 m/s2 = 0.95 N

b) ρ =mV

=m

4π3

(d2

)3 =6mπd3 =

6 · 0.097 kgπ · (0.080 m)3 = 3.6 · 102 kg/m3

c) Fres = ma = m∆υ

∆t= 0.097 kg ·

8.8 m/s0.2 s

= 4 N

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37.3 Lösungen (Kraftgesetze) 442

3. Lösung von Aufgabe 3Die Badezimmerwaage ist ein Kraftmesser, welcher die (Gewichts-)Kraft mit der irdischen Fallbe-schleunigung in eine Masse umrechnet:

FM = mMgE = mEgM ⇒ mM = mEgM

gE= 72 kg ·

3.7 m/s2

9.81 m/s2 = 27 kg

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37.3 Lösungen (Kraftgesetze) 443

4. Lösung von Aufgabe 4

FF = Dy⇒ D =FF

y=

31 N0.028 m

= 1.1 kN/m

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37.3 Lösungen (Kraftgesetze) 444

5. Lösung von Aufgabe 5

a) D =F1

y1=

2.88 N0.173 m

= 16.6 N/m

b) F2 = Dy2 =F1

y1y2 =

2.88 N0.173 m

· 0.05 m = 0.8 N

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37.3 Lösungen (Kraftgesetze) 445

6. Lösung von Aufgabe 6Falls sich die Kontaktflächen gegen einander bewegen, kann es sich nur um Gleit- oder Rollreibunghandeln. Wörter wie ‘quietschen’, ‘reiben’, ‘rutschen’, etc. deuten auf Gleitreibung.

Falls sich die berührenden Oberflächen nicht gegen einander bewegen, worauf Wörter wie ‘stehen’,‘haften’, ‘ruhen’, etc. hinweisen, handelt es sich um Haftreibung. Begriffe wie ‘höchstens’, ‘maxi-mal’, ‘mindestens’, etc. deuten darauf hin, dass die maximale Haftreibungskraft zu bestimmen ist,wofür es bekanntlich ein Gesetz gibt. Andernfalls muss die Haftreibungskraft indirekt aus der Gleich-gewichtsbedingung Fres = 0 (z.B. Haftreibungskraft kompenisert Zugkraft) bestimmt werden.

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37.3 Lösungen (Kraftgesetze) 446

7. Lösung von Aufgabe 7

a) FGR = µGFN = µGmg = 0.42 · 84 · 103 kg · 9.81 m/s2 = 3.5 · 105 N

b) ma = Fres = FGR

υ2 = 2asB ⇒

sB =υ2

2a=

υ2m2Fres

=υ2m2FGR

=υ2

2µGg=

(110 m/3.6 s)2

2 · 0.42 · 9.81 m/s2 = 0.12 km

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37.3 Lösungen (Kraftgesetze) 447

8. Lösung von Aufgabe 8Auf das Tram wirken Gewichts-, Normal- und Reibungskraft. Gewichts- und Normalkraft heben sichauf, als Resultierende bleibt die Reibungskraft übrig.

Fres = ma und υ2 = υ20 + 2a∆s = 0

µGFN = mυ2

0

2∆sund FN = FG Beträge!

µGmg = mυ2

0

2∆s

µG =υ2

0

2g∆s=

(40 m3.6 s

)2

·1

2 · 9.81 m/s2 · 30 m= 0.21

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37.3 Lösungen (Kraftgesetze) 448

9. Lösung von Aufgabe 9Da der Zug mit konstanter Geschwindigkeit fährt, beschleunigt er nicht und die resultierende Kraftverschwindet. Auf den ganzen Zug wirken die Gewichtskraft und die Normalkraft. Die Reibungs-kraft, welche nötig ist, damit die Lokomotive nicht abrutscht, wirkt nur auf die Lokomotive. Diegrösste Steigung wird dann erreicht, wenn das Haftreibungsgesetz wirkt (Anti-Schlupf-Regelung).Die Haftreibungskraft auf die Lokomotive muss die parallele Komponente der Gewichtskraft auf denganzen Zug kompensieren:

FHR,max = FG‖

µHFN = FG‖

µHFGL⊥ = FG‖

µHmLg cosα = (mL + mZ)g sinα

tanα =µHmL

mL + mZ=

0.78 · 84 t84 t + 400 t

= 0.1354 = 14%

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37.3 Lösungen (Kraftgesetze) 449

10. Lösung von Aufgabe 10

s = 12at2 ⇒ a =

2st2

Fres = maFres = FGR = µGFN = µGmg⇒

µGmg = ma⇒ µG =ag

=2sgt2 =

2 · 4 m9.81 m/s2 · (3 s)2 = 0.09

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37.3 Lösungen (Kraftgesetze) 450

11. Lösung von Aufgabe 11Der Haftreibungskoeffizient muss mindestens so gross sein, dass die Hafreibungskraft das Brettchenbei 28° zu halten vermag:

FHR,max > FG|| ⇒ µHFN > FG|| ⇒ µHFG⊥ > FG|| ⇒ µHmg cosα > mg sinαµH > tanα = tan 28° = 0.53

Der Gleitreibungskoeffizient darf nur so gross sein, dass die Gleitreibungskraft die parallele Kompo-nente der Gewichtskraft nicht zu kompensieren vermag:

FGR < FG|| ⇒ µGFN < FG|| ⇒ µGFG⊥ < FG|| ⇒ µGmg cosα < mg sinαµG < tanα = tan 28° = 0.53

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37.3 Lösungen (Kraftgesetze) 451

12. Lösung von Aufgabe 12

a) FR = µGFN = µGmg Geht nicht, da die Masse fehlt!

b) υ2 = 0 = υ20 − 2as⇒ a =

υ20

2s=

Fres

m=

FR

m=µGFN

m=µGFG

m= µGg⇒

µG =ag

=υ2

0

2gs=

(8.3 m/s)2

2 · 9.81 m/s2 · 22 m= 0.16

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37.3 Lösungen (Kraftgesetze) 452

13. Lösung von Aufgabe 13

0 30 60 900.0

0.3

0.6

0.9

Neigungswinkel (Altgrad)

Re

ibu

ng

skra

ft

(will

k.

Ein

he

ite

n)

Haftreibung

Gleitreibung

Abbildung 37.4: Falls der Körper auf der schiefen Ebene in Bewegung ist, gilt FGR = µGmg cosα, falls derKörper ruht, gilt FHR = FG|| = mg sinα solange die maximale Haftreibungskraft nicht erreicht ist. Für dieZeichung wurde µG = 0.4, µH = 0.8 und mg = 1 N verwendet.

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37.3 Lösungen (Kraftgesetze) 453

14. Lösung von Aufgabe 14

Abbildung 37.5: Reibungskräfte versus Geschwindigkeit (Beträge)Ist der Körper relativ zur Unterlage in Ruhe, so ist die Reibungskraft unbestimmt: Die Haftreibung hatirgend einen Wert zwischen Null und der maximalen Haftreibungskraft. Ist der Körper in Bewegung, so hatdie Reibung den Wert der Gleitreibungskraft.

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37.3 Lösungen (Kraftgesetze) 454

15. Lösung von Aufgabe 15

D =F1

y1=

F2

y2⇒ y2 = y1

F2

F1= 3.7 cm ·

4.3 N2.8 N

= 5.7 cm

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37.3 Lösungen (Kraftgesetze) 455

16. Lösung von Aufgabe 16

FG = m1g1 und FG = (m1 + µ)g2 ⇒ µ =FG

g2− m1 =

FG

g2−

FG

g1

µ =2.00 . . . N

9.802 22 m/s2 −2.00 . . . N

9.806 48 m/s2 = 8.86343 · 10−5 kg = 88.6 mg

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37.3 Lösungen (Kraftgesetze) 456

17. Lösung von Aufgabe 17

FF = Dy⇒ y =FF

D=

80 N400 N/m

= 0.20 m

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37.3 Lösungen (Kraftgesetze) 457

18. Lösung von Aufgabe 18In der Physik ist Gewicht ein Synonym von Gewichtskraft und von Masse zu unterscheiden.

FG = mg ≈ 71 kg · 9.81 m/s2 = 0.70 kN

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37.3 Lösungen (Kraftgesetze) 458

19. Lösung von Aufgabe 19Siehe Abbildung 37.6.

Abbildung 37.6: Die Haftreibungskraft kompensiert die Zug-kraft (ist also gleich stark), bis die maximale Haftreibungskraftüberschritten wird; ab dann wirkt die konstante Gleitreibungs-kraft.

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37.3 Lösungen (Kraftgesetze) 459

20. Lösung von Aufgabe 20

Federgesetz: F1 = D1x1 F2 = D2x2 Fres = Dresxres

a) Die Spannkraft ist überall gleich (F), aber die Dehnungen (xi) sind verschieden:

xres = x1 + x2 ⇒F

Dres=

FD1

+FD2⇒

1Dres

=1

D1+

1D2⇒ Dres =

D1D2

D1 + D2

b) Die Dehnungen sind gleich (x), aber die Spannkräfte (Fi) sind verschieden:Fres = F1 + F2 ⇒ Dresx = D1x + D2x⇒ Dres = D1 + D2

c) Dehnungen: xres = x1 = −x2, Spannkräfte: verschieden und entgegengesetzt gerichtet:Fres = F1 − F2 ⇒ Dresx = D1x − D2(−x)⇒ Dres = D1 + D2

d) Das ist eine Kombination von b) und c), also istDres = D1 + D2 + D3

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37.3 Lösungen (Kraftgesetze) 460

21. Lösung von Aufgabe 21

F = Dy⇒F2

F1=

y2

y1⇒ F2 =

y2

y1· F1 =

26.93 mm23.8 mm

· 35 N = 39.60 N = 40 N

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37.3 Lösungen (Kraftgesetze) 461

22. Lösung von Aufgabe 22

FG = mgM = 900 kg · 3.7 m/s2 = 3.3 kN

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37.3 Lösungen (Kraftgesetze) 462

23. Lösung von Aufgabe 23

D =∆FF

∆y=

5 N12.5 · 10−3 m

= 400 N/m

Die Kraftangaben sind vermutlich wie bei einem Massstab ‘exakt’, aber die Abstände zwischen denMarkierungen dürften einen Messfehler aufweisen. Somit ist es vernünftig, auf drei signifikante Stel-len zu runden.

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37.3 Lösungen (Kraftgesetze) 463

24. Lösung von Aufgabe 24

∆FF = D · ∆y⇒ ∆y =∆FF

D=

20 N80 N/m

= 25 cm

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37.3 Lösungen (Kraftgesetze) 464

25. Lösung von Aufgabe 25

Die Gleitreibungskraft ist unabhängig von der Geschwindigkeit.

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37.3 Lösungen (Kraftgesetze) 465

26. Lösung von Aufgabe 26

Nein, FN < FG auf der schiefen Ebene oder FN > FG bei Anpressung.

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37.3 Lösungen (Kraftgesetze) 466

27. Lösung von Aufgabe 27

FG = mg⇒ m =FG

g=

150 · 103 N9.81 m/s2 = 1.529 · 104 kg = 15.3 t

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37.3 Lösungen (Kraftgesetze) 467

28. Lösung von Aufgabe 28

Wird eine Last der Masse m an das Seil gehängt, so zieht die Last mit FG = mg am Seil. Da g ≈10 m/s2 beträgt, hat eine Masse von 1 kg das Gewicht 10 N oder 1 Deka-Newton. Der Zahlenwert derLast in kg oder daN gemessen ist also ungefähr derselbe.

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37.3 Lösungen (Kraftgesetze) 468

29. Lösung von Aufgabe 29

a) Um die fallende Kokosnuss abzubremsen, muss während des Aufpralls eine Kraft wirken, die demGewicht von etwa einer Tonne (1 t · 10 m/s2 = 10 kN) entspricht.b) Die Nuss werde während des Aufpralls auf einer Strecke von 1 cm gleichmässig abgebremst.

υ2 = 2gh = 2as⇒ F = ma = mghs

=2.5 kg · 9.81 m/s2 · 30 m

0.01 m= 7 · 104 N

Die genannte Zahl liegt im Bereich des Möglichen, da 1 cm Bremsstrecke eher wenig ist (sowohl derSchädel als auch die Hülle der Nuss können stärker deformiert werden).

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37.3 Lösungen (Kraftgesetze) 469

30. Lösung von Aufgabe 30

FZug > FHR, max = µHFN = µHmg = 0.85 · 1.48 · 103 kg · 9.81 m/s2 = 12 kN

Der Haftreibungskoeffzient gehört zu “Pneu auf trockener Asphaltstrasse”.

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37.3 Lösungen (Kraftgesetze) 470

31. Lösung von Aufgabe 31

FG = mg = ρVg = ρπ6 d3g = 7.9 · 103 kg/m3 · π6 · (25 · 10−3 m)3 · 9.81 m/s3 = 0.63 N

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37.3 Lösungen (Kraftgesetze) 471

32. Lösung von Aufgabe 32

FGR > FG|| → µGmg cosα > mg sinα⇒ µG > tanα⇒ α < arctan µG = arctan 0.3 = 17°

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37.4 Lösungen (Statik und Kinetik) 472

37.4 Lösungen (Statik und Kinetik)

1. Lösung von Aufgabe 1

a =Fres

m=

√F2

1 + F22

m=

√(3.0 N)2 + (4.0 N)2

10 kg= 0.50 m/s2

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37.4 Lösungen (Statik und Kinetik) 473

2. Lösung von Aufgabe 2

Abbildung 37.7: Im Lageplan müssen Fuss-, Boden- und Türkraft jeweils senkrecht zu den Oberflächeneingezeichnet werden. Im Kräfteplan addieren sich diese drei Kräfte zu Null, weil der Keil nicht beschleu-nigt (er ist ja eingeklemmt).

FB

FFuss=

1tanα

=1

tan(19)= 2.9

FT

FFuss=

1sinα

=1

sin(19)= 3.1

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37.4 Lösungen (Statik und Kinetik) 474

3. Lösung von Aufgabe 3

Fres = ma und υ2 = 2asFG|| − FGR = ma und FGR = µGFN = µGFG cosαFG sinα − µGFG cosα = mag sinα − µGg cosα = a

υ =√

2as =√

2gs · (sinα − µG cosα)

υ =√

2 · 9.81 m/s2 · 23 m · (sin 17° − 0.12 · cos 17° = 9.0 m/s

(Je nach Reibungszahl µG gibt es etwas anderes.)

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37.4 Lösungen (Statik und Kinetik) 475

4. Lösung von Aufgabe 4

a) Siehe Abbildung 37.8

b) FN = FG⊥ = m1g cosα = 4.8 kg · 9.81 m/s2 · cos 19° = 45 N

c) FHR = FG|| − FG2 = m1g sinα − m2g =

4.8 kg · 9.81 m/s2 · sin 19° − 1.37 kg · 9.81 m/s2 = 1.9 N

Abbildung 37.8: Lageplan (links): Auf den ersten Körper wirken Gewichtskraft, Normalkraft, Seilkraftund Haftreibungskraft. Zusätzlich sind die Komponenten der Gewichtskraft senkrecht und parallel zur Ebe-ne gestrichelt eingezeichnet. Sie Seilkraft ist gleich gross wie die Gewichtskraft auf den zweiten Körper.Kräfteplan (rechts): Die Kräfte heben sich gegenseitig auf. Die Normalkraft kompensiert die Komponentedes Gewichts senkrecht zur Ebene (blau gestrichelt), Seil- und Reibungskraft kompensieren die Komponen-te des Gewichts parallel zur Ebene. Die Pfeillängen sind nicht massstäblich.

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37.4 Lösungen (Statik und Kinetik) 476

5. Lösung von Aufgabe 5

~Fres = ~F1 + ~F2 = m~a Winkel konstruktiv bestimmen, siehe Abb. 37.9,

F2res = F2

1 + F22 − 2F1F2 cos γ oder mit Kosinussatz

γ = arccos(

F21 + F2

2 − (ma)2

2F1F2

)= arccos

((120 N)2 + (150 N)2 − (37 kg · 2.37 m/s2)2

2 · 120 N · 150 N

)= 36°

Abbildung 37.9: Die Kraftpfeile bilden ein Dreieck, von dem die Längen aller Seiten bekannt sind respek-tive berechnet werden können. Damit sind die Winkel im Dreieck festgelegt.

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37.4 Lösungen (Statik und Kinetik) 477

6. Lösung von Aufgabe 6Auf das Auto wirken die Erdanziehungskraft, die Normalkraft der Strasse sowie die Haftreibungskraftder Strasse. Die Normal- und Haftreibungskraft kompensieren die Gewichtskraft.

FG = mg = 1.38 · 103 kg · 9.81 m/s2 = 13.5 kN

FN = FG⊥ = mg cosα = 1.38 · 103 kg · 9.81 m/s2 · cos 9.5 ° = 13.4 kN

FHR = FG|| = mg sinα = 1.38 · 103 kg · 9.81 m/s2 · sin 9.5 ° = 2.2 kN

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37.4 Lösungen (Statik und Kinetik) 478

7. Lösung von Aufgabe 7

a) s = 12at2 = 1

2g sinα · t2

b) s = 12gt2 sinα = d sinα (eine Kreisgleichung in Polarkoordinaten, siehe Abb. 37.10 links)

Dies ist eine berühmte historische Aufgabe: ‘Der freie Fall durch die Sehne’

c) s = 12at2 =

t2

2·

Fres

m=

t2

2·

FG|| − FR

m=

t2

2·

mg sinα − µGmg cosαm

=gt2

2· (sinα − µG cosα) = d · (sinα − µG cosα) (falls positiv, sonst Null)

(auch eine Kreisgleichung in Polarkoordinaten, siehe Abb. 37.10 rechts)

y

x0

d

s

Abbildung 37.10: (links) Der reibungsfreie Fall durch die beliebige Sehne s dauert gleich lange wie der freieFall entlang des Durchmessers d. (rechts) Mit Coulomb’scher Gleitreibung kann der Körper erst ab einembestimmten Neigungswinkel überhaupt rutschen und kommt dann je nach Neigungswinkel verschiedenweit. Die Endpunkte der Bewegungen liegen auf einem Kreisbogen durch den Nullpunkt. Der Bogen wurdezum Kreis vervollständigt. Die zwei Bilder sind verschieden skaliert.

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37.4 Lösungen (Statik und Kinetik) 479

8. Lösung von Aufgabe 8Die horizontale Komponente der Kraft des Fadens auf die Schlaufe bei A ist entgegengesetzt gleichjener bei B, sonst würden die Schlaufen der Schnur horizontal beschleunigen. Die vertikale Kompo-nente der Kraft des Fadens auf die Schlaufe bei A ist gleich jener bei B, sonst würden die Schlaufenvertikal beschleunigen. Die vertikale Kraft auf die Schlaufe bei A muss deshalb mg sein und ebensobei B. Der Faden zieht mit mg bei Schlaufe A nach unten und mit mg in Richtung B; diese Kraft, dieRichtung B zeigt, darf die vertikale Kraft auf A nicht ändert. Das bedeutet, dass AB horizontal seinmuss. Damit sind horizontale und vertikale Kraft des Fadens auf A gleich gross und werden durchdie Schnurkraft auf A kompensiert. Zeichnet man das Polygon der Kräfte auf die Schlaufe bei A, soerhält man ein rechtwinklig, gleichschenkliges Dreieck, das bekanntlich zwei 45 °-Winkel aufweist.Somit ist der Winkel ABC 135 °.

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37.4 Lösungen (Statik und Kinetik) 480

9. Lösung von Aufgabe 9Falls die Kräfte an verschiedenen Körpern angreifen, darf man sie nicht kombinieren. Falls die Kräftenicht in derselben Richtung ziehen, gibt es weniger als 6 N.

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37.4 Lösungen (Statik und Kinetik) 481

10. Lösung von Aufgabe 10

Abbildung 37.11: Auf den Kno-ten C wirkt eine Seilkraft, diegleich dem Lastgewicht FC ist,sowie die zwei Seilkräfte FB undFA. Diese drei Kräfte müssensich im Kräfteplan kompensie-ren. Die Kräfte, mit denen dieSeile bei A und B ziehen, sindgleich gross wie FA und FB.

Wie verwenden den Sinussatz mit den Ergänzungswinkeln α1 = 90° − α, β1 = 90° − β und γ1 =

180° − γ, wobei γ = 180° − α − β, siehe Abbildung 37.11.

FA

sin β1=

FC

sin γ1⇒ FA =

FC sin β1

sin γ1=

FC sin(90° − β)sin(180° − γ)

=FC cos β

sin(α + β)=

100 N · cos 45°sin(30° + 45°)

= 73 N

FB

sinα1=

FC

sin γ1⇒ FB =

FC sinα1

sin γ1=

FC sin(90° − α)sin(180° − γ)

=FC cosα

sin(α + β)=

100 N · cos 30°sin(30° + 45°)

= 90 N

Natürlich kann man die Kräfte auch aus dem sauber konstruierten Kräfteplan herausmessen.

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37.4 Lösungen (Statik und Kinetik) 482

11. Lösung von Aufgabe 11

Abbildung 37.12: Das Wrack wird an die Rolle ge-hängt, das eine Ende des Seils um einen Baum gebun-den und am anderen Ende gezogen. Es empfiehlt sich,einen kleinen Winkel zu machen, sonst knallt die Rollegegen das Zugfahrzeug, falls die Verbindung Rolle-Lastversagt.

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37.4 Lösungen (Statik und Kinetik) 483

12. Lösung von Aufgabe 12

a) Fres2a = m2a = 0 Resultierende Kraft auf den unteren KörperF2 − m2g = 0⇒ F2 = m2g Der untere Faden trägt nur den unteren Körper.Fres1a = m1a = 0 Resultierende Kraft auf den oberen KörperF1 − F2 − m1g = 0⇒ F1 = m1g + F2 = (m1 + m2)g Der obere Faden trägt alles.

b) Fres2b = m2aF2 − m2g = m2a⇒ F2 = m2a + m2g = m2(a + g)Fres1b = m1aF1 − F2 − m1g = m1a Der untere Faden zieht m1 auch nach unten.F1 = m1a + F2 + m1g = (m1 + m2)(a + g)

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37.4 Lösungen (Statik und Kinetik) 484

13. Lösung von Aufgabe 13

Damit Gleichgewicht herrscht, müssen die Hangabtriebskräfte der beiden Körper gleich sein. DieHangabtreibskräfte sind die Komponenten der jeweiligen Gewichtskräfte parallel zur jeweiligen schie-fen Ebene.

F1 sinα = F2 sin β⇒ β = arcsin(

F1 sinαF2

)= arcsin

(51 N · sin 31°

22 N

)= arcsin(1.2) . . .?

Das geht gar nicht mit diesen Zahlenwerten! Der zweite Körper ist zu leicht und wird auch für β = 90°noch nach oben beschleunigt.

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37.4 Lösungen (Statik und Kinetik) 485

14. Lösung von Aufgabe 14

Fres = ma→ FG|| = ma→ mg · cos β = ma→ a = g cos βs = 2r cos β

s = 12at2 ⇒ t =

√2sa

=

√2 · 2r cos β

g cos β=

√4rg

unabhängig von β!

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37.4 Lösungen (Statik und Kinetik) 486

15. Lösung von Aufgabe 15

s = 12at2 ⇒ t =

√2sa

=

√2 · b/(2 cosα)

g sinα=

√2b

g · 2 cosα sinα=

√2b

g · sin(2α)

Die Zeit t wird minimal, wenn sin(2α) maximal wird, d.h. wenn α = 45° ist.

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37.4 Lösungen (Statik und Kinetik) 487

16. Lösung von Aufgabe 16Im ersten Fall muss die Normalkraft die Gewichtskraft überkompensieren, im zweiten Fall beschleu-nigen Sie nicht, im dritten Fall wird die Aufwärtsbewegung gebremst, d.h. die abwärts ziehendeGewichtskraft muss stärker als die aufwärts drückende Normalkraft sein.

a) Fres = ma⇒ FN − FG = ma⇒ FN = ma + mg = 56 kg · (0.85 m/s2 + 9.81 m/s2) = 0.60 kN

b) Fres = ma⇒ FN − FG = 0⇒ FN = FG = mg = 56 kg · 9.81 m/s2 = 0.55 kN

c) Fres = ma⇒ FG − FN = ma⇒ FN = mg − ma = 56 kg · (9.81 m/s2 − 1.05 m/s2) = 0.49 kN

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37.4 Lösungen (Statik und Kinetik) 488

17. Lösung von Aufgabe 17

Abbildung 37.13: Massstäblicher Lage-plan und Kräfteplan.

Massstab im Kräfteplan: 1 N = 0.7 mmDann kann man die Längen der Pfeile imKräfteplan messen (Abb. 37.13).( Rechnung: ζ = α + β = 104°, δ = 90° −β = 47°, ε = 90° − α = 29°, Sinussatz:FB = 34.1 N, FC = 68.3 N )

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37.4 Lösungen (Statik und Kinetik) 489

18. Lösung von Aufgabe 18

a) FN = FG⊥ = mg cosα = 0.200 kg · 9.81 m/s2 · cos 45 ° = 1.4 N(cos 45 ° = 1/

√2)

b) FHR = FG|| = mg sinα = 0.200 kg · 9.81 m/s2 · sin 45 ° = 1.4 N = FN da 45 °

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37.4 Lösungen (Statik und Kinetik) 490

19. Lösung von Aufgabe 19

a) Die Oberleitung dehnt sich aus, wenn sie sich erhitzt. Mit der Vorrichtung von Abbildung 4.14bleibt die Spannkraft konstant; bei einer Feder würde sich die Spannkraft ändern (und damit auch derDurchhang).b) Die Oberleitung muss nicht nur in horizontaler Richtung gespannt, sondern auch in vertikalerRichtung getragen werden. Deshalb muss das obere Spannseil etwas stärker nach oben ziehen.c) Die zwei Seilstücke an der beweglichen Rolle ziehen ungefähr mit gleicher horizontaler Kraft.Somit ist die Spannkraft der Oberleitung etwa doppelt so gross wie das Lastgewicht.

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37.4 Lösungen (Statik und Kinetik) 491

20. Lösung von Aufgabe 20

Betrachten wir den Lageplan und die Kräftepläne für eine Gelenkstange, siehe Abbildung 37.14. Ausdiesen Kräfteplänen kann man ablesen:

FK/4FS

= sin(α/2) undF/4FS

= cos(α/2)⇒FK

F= tan(α/2)⇒ F =

FK

tan(α/2)

Abbildung 37.14: Lageplan der Kräfte auf die Ge-lenke der oberen, rechten Stange der Kniehebelpresse(Abb. 4.15). Auf das Kniegelenk wirkt die Kraft FK/2(die andere Hälfte von FK wirkt auf die Nachbar-stange beim Knie), die Kraft FS der unteren Nach-barstange beim Kniegelenk sowie die Kraft FS derStange selbst. Die Kräfte der Stangen auf die Gelen-ke sind alle gleich stark (FS ), haben aber verschiede-ne Richtungen. Im statischen Fall kompensieren sichdie Kräfte auf das Kniegelenk (linker Kräfteplan); dasGelenk beschleunigt nicht oder sehr wenig. Auf dasobere Gelenk dieser Stange wirken die Kraft der lin-ken Nachbarstange (FS ), der Endplatte (F/2) sowieder Stange selbst (FS ). Auch diese Kräfte kompensie-ren sich (rechter Kräfteplan).

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37.4 Lösungen (Statik und Kinetik) 492

21. Lösung von Aufgabe 21

a) Auf das Seilstück unter dem Fuss wirken die zwei Zugkräfte F2 und F3 der Leine links und rechts.Aus Symmetriegründen sind diese Kräfte gleich stark. Der Fuss übt eine Kraft auf das Seilstückaus, die gleich gross und gerichtet wie das Gewicht des Seiltänzers ist (eine Normalkraft). Nachactio=reactio übt nämlich das Seilstück eine Kraft auf den Seiltänzer aus, welche die Erdanziehungs-kraft kompensiert. Im Lageplan (Abbildung 37.15) sieht man die Richtungen der Kräfte. Im Kräf-teplan (Abbildung 37.16) weiss man, dass die Kraftpfeile ein geschlossenes Dreieck bilden müssen,denn die resultierende Kraft muss im Gleichgewicht verschwinden.

b) Wie vorher wirken drei Kräfte auf das Seilstück unter dem Fuss. Jetzt sind allerdings die Kräfte derLeinenstücke links und rechts auch betragsmässig verschieden. Die Kraft des Fusses auf die Leine hatjetzt eine Reibungskomponente, die das Leinenstück rechts zusätzlich spannt. Die Kraft des Fussesauf das Seil hat keine horizontale Komponente, denn ihre Reaktionskraft muss immer noch das verti-kal wirkende Gewicht des Tänzers kompensieren; entsprechend sind die horizontalen Anteile von F2

und F3 betragsmässig gleich.

Abbildung 37.15: Lageplan: Die Richtungender Kräfte sind bekannt sowie die Stärke derKraft F1.

Abbildung 37.16: Kräfteplan: Die drei Kräftemüssen sich aufheben, denn das Seilstück unterdem Fuss ist im Gleichgewicht.

a)F1

2F2=

h√h2 + (l/2)2

⇒ F2 =mg2·

√h2 + (l/2)2

h

F2 =73 kg · 9.81 m/s2

2·

√(0.50 m)2 + (12.0 m/2)2

0.50 m= 4.3 kN = F3

b)h

l/3= tanα2

3h2l

= tanα3 Steigungswinkel der zwei Leinenstücke

F2 sinα2 + F3 sinα3 = F1 vertikale Komponenten addieren sich zu F1 = mg.F2 cosα2 = F3 cosα3 horizontale Komponenten von F2 und F3 sind gleich.Das ist ein Gleichungssystem mit vier Gleichungen und vier Unbekannten, das lösbar ist.

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37.4 Lösungen (Statik und Kinetik) 493

22. Lösung von Aufgabe 22

Die Seilkraft hat zwei Komponenten: parallel und senkrecht zur schiefen Ebene.FS || − FG|| = 0⇒ FS || = FG sinα

FS =FS ||

cos β= FG ·

sinαcos β

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37.4 Lösungen (Statik und Kinetik) 494

23. Lösung von Aufgabe 23

a) Siehe Abbildung 37.17.

b) FN = FG⊥ = mg cosα = 1955 kg · 9.81 m/s2 · cos 8.3° = 19 kN

c) Fres = ma = 1955 kg · 3.8 m/s2 = 7.4 kN

d) Fres = FR − FG|| ⇒

FR = ma + mg sinα = 1955 kg · 3.8 m/s2 + 1955 kg · 9.81 m/s2 · sin 8.3° = 10 kN

e) Fres = FHR,max − FG|| = µHmg cosα − mg sinα⇒

a = g · (µH cosα − sinα) = 9.81 m/s2 · (0.85 cos 8.3° − sin 8.3°) = 6.8 m/s2

Abbildung 37.17: Lage- und Kräfteplan zuAufgabe 23. Auf das Auto wirken Gewichts-, Normal- und Reibungskraft. Die Rei-bungskraft wird vom Strassenbelag auf diePneus ausgeübt. Ohne Reibung könnte dasAuto nicht aufwärts fahren.

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37.4 Lösungen (Statik und Kinetik) 495

24. Lösung von Aufgabe 24

FF = FHR,max = µHFN = µHmg→ Fres = FF − FGR = µHmg − µGmg = ma⇒

a = (µH − µG)g = (0.4 − 0.3) · 9.81 m/s2 = 1 m/s2

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37.4 Lösungen (Statik und Kinetik) 496

25. Lösung von Aufgabe 25

a) Fres = 0⇒ FG⊥ = FN und FG|| = FF

FN = mg cosα = 0.180 kg · 9.81 m/s2 · cos 18° = 1.7 N

FF = mg sinα = 0.180 kg · 9.81 m/s2 · sin 18° = 0.5457 N = 0.55 N

b) FF = Dy⇒ y =FF

D=

0.5457 N270 N/m

= 2.0 mm

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37.4 Lösungen (Statik und Kinetik) 497

26. Lösung von Aufgabe 26

Wenn das Klötzchen nicht langsamer und nicht schneller wird, muss die Gleitreibungskraft geradedie zur Ebene parallele Komponente der Gewichtskraft kompensieren, d.h.

FG|| = µGFN

mg sinα = µGmg cosαtanα = µG

α = arctan(µG) ≈ arctan(0.3) ≈ 17°

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37.4 Lösungen (Statik und Kinetik) 498

27. Lösung von Aufgabe 27

Wie im Kräfteplan (Abb. 37.18) zu sehen, stehen dieKräfte rechtwinklig aufeinander. Weil Gleichgewichtherrscht, bilden die Pfeile ein geschlossenes Dreieck.

F2

F1= tan γ = tan(180° − α) = tan(180° − 150°) = 0.58 Abbildung 37.18: Skizze zu Lösung 27

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37.4 Lösungen (Statik und Kinetik) 499

28. Lösung von Aufgabe 28

Die möglichen Pfeilspitzen von F2 liegen auf einem Kreis um die Spitze von F1. Beim grösstenWinkel α ist Fres eine Tangente an diesen Kreis, siehe Abbildung 37.19.

α = arcsinF2

F1= arcsin

23 N50 N

= 27.39° = 27°

Abbildung 37.19: Skizze zur Lösung 28

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37.4 Lösungen (Statik und Kinetik) 500

29. Lösung von Aufgabe 29

Abbildung 37.20: Zeichnet man den Kräfteplan, so müssen sich die dreiKräfte zu einem Dreieck ergänzen, denn die resultierende Kraft ist imGleichgewicht Null. Damit kann man die zweite Kraft konstruieren odermit dem Cosinussatz berechnen.

F2 =

√F2

1 + F2G − 2F1FG cosα

=√

(22 N)2 + (31 N)2 − 2 · 22 N · 31 N · cos 42° = 21 N

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37.4 Lösungen (Statik und Kinetik) 501

30. Lösung von Aufgabe 30

Wir konstruieren ein Dreieck mit den Seiten 5,7 und 8 Einheiten. Die Richtungen (Richtungs-sinn) sind aus der Abbildung 37.21 ersichtlich.

Abbildung 37.21: Skizze zu Aufgabe 30.

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37.4 Lösungen (Statik und Kinetik) 502

31. Lösung von Aufgabe 31

Fres = ma→ FF − FG = 0→ Dy = mg⇒ D =mgy

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37.4 Lösungen (Statik und Kinetik) 503

32. Lösung von Aufgabe 32

Annahme: maximale Schubkraft FS = 300 N

FG|| = FS Grenzneigungmg sinα = FS

α = arcsinFS

mg=

300 N470 kg · 9.81 m/s2 = 4.98° = 86.9 mrad

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37.4 Lösungen (Statik und Kinetik) 504

33. Lösung von Aufgabe 33

Fres = ma = 0.500 kg · 100 m/s2 = 50.0 N→ 3 − 4 − 5 pytharoräisches Zahlentripel

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37.4 Lösungen (Statik und Kinetik) 505

34. Lösung von Aufgabe 34

Es ist möglich, wenn F1, F2 und Fres im Kräfteplan ein gleichseitiges Dreieck bilden.

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37.4 Lösungen (Statik und Kinetik) 506

35. Lösung von Aufgabe 35

υ = const⇒ Fres = 0⇒ FN = FG⊥ ∧ FR = FG|| Komponenten der Gewichtskraft

bFN = aFR ⇒ba

=FR

FN=

FG||

FG⊥=

FG sinαFG cosα

= tanα

Das ist dieselbe Verhältnis, wie man es bei der Zerlegung der Gewichtskraft in Komponenten parallelund senkrecht zur Ebene erhält. Am einfachsten zeichnet man die Angriffspunkte von FN und FR dortein, wo der Pfeil, der die Gewichtskraft FG darstellt, die schiefe Ebene durchstösst. Dann sieht mansofort, dass die Summe aus FN und FR, die ja −FG entsprechen muss, keinen Hebelarm bezüglich desSchwerpunkts S mehr hat.

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37.4 Lösungen (Statik und Kinetik) 507

36. Lösung von Aufgabe 36

a) Siehe Abbildung 37.22, b) siehe Abbildung 37.23.

a)

Abbildung 37.22: Die Zerlegung der Kraft F0 inzwei Komponenten nach vorgegebenen Richtun-gen ist – bis auf Reihenfolge – eindeutig (Kon-gruenzsätze der Dreiecks-Konstruktion).

b)

Abbildung 37.23: Die Zerlegung der Kraft F0 indrei Komponenten nach vorgegebenen Richtun-gen hat unendlich viele Lösungen.

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37.4 Lösungen (Statik und Kinetik) 508

37. Lösung von Aufgabe 37

Auf dem Gegenhang ist alles gleich, nur die Gleitreibungskraft zeigt in die andere Richtung.

F′res = 0 = FG|| − FR = mg sinα − µGmg cosα⇒ α = arctan µG abwärts fahrenFres = ma = FG|| + FR = mg sinα + µGmg cosα aufwärts fahrena = g sinα + µGg cosα = g cosα · (tanα + µG) = g · cosα · (2µG)

a = 2µGg cosα = 2µGg cos arctan µ = 2µGg ·1√

1 + µ2G

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37.4 Lösungen (Statik und Kinetik) 509

38. Lösung von Aufgabe 38

Abbildung 37.24: Perle auf reibungsfreiem FadenDie Perle kann sich auf einer Ellipse mit den BrennpunktenA und B bewegen (in einer vertikalen Ebene). Im tiefstenPunkt ist die Tangente an die Ellipse horizontal. Ein Licht-strahl von A wird an der Ellipse nach B reflektiert, d.h. dieWinkel zur Tangente sind gleich (Reflexionsgesetz). Somithaben die Seilstücke denselben Winkel α zur Horizontalen.

FAx = FBx Kräftegleichgewicht horizontalFAy/FAx = FBy/FBx = tanα Kraft in Seilrichtung⇒ FAy = FBy = FG/2 Kräftegleichgewicht vertikal

Die Seilstücke können also durch folgende Geradengleichungen beschrieben werden:

y = a(x − xB) + yB y = −a(x − xA) + yA a = tanα

Damit lassen sich die Koordinaten (xP, yP) des Seilspitz berechnen:

yP = a(xP − xB) + yB = −a(xP − xA) + yA ⇒ xP =xA + xB

2+

yA − yB

2a

yP = a( xA + xB

2+

yA − yB

2a− xB

)+ yB = a

xA − xB

2+

yA + yB

2

Die Steigung a dieser Geraden wird durch die Seillänge ` bestimmt:

` =xB − xA

cosα=

xB − xA

cos arctan a= (xB − xA) ·

√1 + a2 ⇒ a =

√(`

xB − xA

)2

− 1

Die Gleichung für a hat keine Lösung, falls `2 < (xB − xA)2 ist. (Der räumliche Abstand von A und Bdarf auch nicht grösser als ` sein.)

Falls xA = xB ist, folgt xP = xA und yA − yP + yB − yP = ` ⇒ yP = (yA + yB − `)/2Die Lösung ist nur dann sinnvoll, wenn yB − yA 6 ` ist.

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37.4 Lösungen (Statik und Kinetik) 510

39. Lösung von Aufgabe 39

Ja, denn aus den Kraftpfeilen lässt sich ein Dreieck mit dem Seitenverhältnis 10 : 50 : 55 bilden; dieDreiecksungleichung ist erfüllt.

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37.4 Lösungen (Statik und Kinetik) 511

40. Lösung von Aufgabe 40

υ = const⇒ Fres = ma = 0

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Kapitel 38

Lösungen (Arbeit, Leistung, Energie)

38.1 Lösungen (Arbeit)

1. Lösung von Aufgabe 1Beim Flaschenzug und beim Hebel sieht man, dass die Grösse ‘Kraft mal Weg’ auf beiden Seitengleich gross ist (‘goldene Regel der Mechanik’, Galileo Galilei). Die Arbeit ist gleich der Kraftkom-ponente in Wegrichtung mal Weglänge.

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38.1 Lösungen (Arbeit) 513

2. Lösung von Aufgabe 2Wird ein Tablett mit einer Tasse über den Tisch gezogen, so ist es die Haftreibungskraft vom Tablettauf die Tasse, welche an der Tasse Beschleunigungsarbeit verrichtet.

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38.1 Lösungen (Arbeit) 514

3. Lösung von Aufgabe 3Wird mit dem Schläger der Tischtennisball geschlagen, so verrichtet die Normalkraft des Schlägersauf den Ball Arbeit am Ball und verleiht diesem Energie.

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38.1 Lösungen (Arbeit) 515

4. Lösung von Aufgabe 4

W = Fss = 150 · 106 N · 60.0 m = 9.00 GJ

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38.1 Lösungen (Arbeit) 516

5. Lösung von Aufgabe 5

W = ∆E = 12mυ2

2 −12mυ2

1

= 12 · 28 · 103 kg ·

((100 m/3.6 s)2 − (80 m/3.6 s)2

)= 3.9 MJ

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38.1 Lösungen (Arbeit) 517

6. Lösung von Aufgabe 6

W = Fs · s = 9.2 N · 0.120 m = 1.1 J

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38.1 Lösungen (Arbeit) 518

7. Lösung von Aufgabe 7Annahme: Die Feder gehorche dem Hooke’schen Federgesetz.

W1 = F1s1 =0 + Dy1

2y1 = 1

2 Dy21 ⇒ W2 = F2s2 =

Dy1 + D · 2y1

2y1 = 3

2 Dy21 = 3W1

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38.1 Lösungen (Arbeit) 519

8. Lösung von Aufgabe 8

W = mgh = ρs3gh = 2.2 · 103 kg/m3 · (0.85 m)3 · 9.81 m/s2 · 37 m = 0.49 MJ

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38.1 Lösungen (Arbeit) 520

9. Lösung von Aufgabe 9

a) WP = Fss = 60 · 103 kg · 9.81 m/s2 · 59.5 m = 35 MJ

b) WH = mgh = 6200 · 103 kg · 9.81 m/s2 · 0.17 m = 10 MJ (< WP X)

c) FP = FG|| = FG sinα = mghs

= 6200 · 103 kg · 9.81 m/s2 ·0.17 m59.5 m

= 1.7 · 105 N = 18 t

d) υ =st

=59.5 m

17 · 3600 s= 0.97 mm/s

e) unten gar nicht, oben mit 0.97 mm/s und in der Mitte mit 0.49 mm/s

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38.1 Lösungen (Arbeit) 521

10. Lösung von Aufgabe 10

W =(mG + 1

2mB

)ghN =

(0.210 kg + 1

2 · 0.330 kg)· 9.81 m/s2 · 0.40 m · 17 = 25 J

Die Masse mB des Bieres wird nur zur Hälfte gerechnet, denn das Glas ist im Durchschnitt halb voll.Die Arbeit zum Heben des Armes ist vernachlässigt worden.

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38.1 Lösungen (Arbeit) 522

11. Lösung von Aufgabe 11

W = E2 − E1 = 12 Dy2

2 −12 Dy2

1 ⇒ D =2W

y22 − y2

1

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38.1 Lösungen (Arbeit) 523

12. Lösung von Aufgabe 12

W = mgh⇒ h =Wmg

=1 kWh · 3.6 · 106 J/kWh1.0 · 103 kg · 9.81 m/s2 = 0.37 km

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38.1 Lösungen (Arbeit) 524

13. Lösung von Aufgabe 13

W = Fss = 100 · 103 N · 300 · 103 m = 3.00 · 1010 J

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38.1 Lösungen (Arbeit) 525

14. Lösung von Aufgabe 14

W = 12 Dy2 = 1

2 · 200 N/m · (3.0 · 10−2 m)2 = 9.0 · 10−2 J

Annahme: Die Feder war vorher entspannt.

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38.1 Lösungen (Arbeit) 526

15. Lösung von Aufgabe 15

W = 12mυ2 = 1

2 · 60 · 10−3 kg · (3.0 m/s)2 = 0.27 J

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38.1 Lösungen (Arbeit) 527

16. Lösung von Aufgabe 16

W = Fs cosα⇒ α = arccosWFs

= arccos50 J

10 N · 10 m= arccos 0.50 = 60 °

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38.2 Lösungen (Leistung) 528

38.2 Lösungen (Leistung)

1. Lösung von Aufgabe 1

P =W∆t⇒ ∆t =

WP

=mυ2

2P=

1450 kg(

105.9 m3.6 s

)2

2 · 50 · 103 W= 13 s

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38.2 Lösungen (Leistung) 529

2. Lösung von Aufgabe 2

P = Fwυ⇒ Fw =Pυ

=50 · 103 W

40 m/s= 1.3 kN

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38.2 Lösungen (Leistung) 530

3. Lösung von Aufgabe 3a)

P = F‖υ⇒ F‖ =Pυ

=2 · 58 · 103 W · 3.6 s

22 m= 19 kN

b) Es wurde angenommen, dass 22 km/h die maximale Schnelligkeit ist und dass der Antrieb maxi-malen, mechanischen Wirkungsgrad hat.

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38.2 Lösungen (Leistung) 531

4. Lösung von Aufgabe 4Wir berechnen die Hubleistung:

P =mgh∆t≈

50 · 70 kg · 9.81 m/s2 · 41 m100 s

= 14 kW

Die Wagen selbst fallen aus der Rechnung heraus; sie müssen lediglich beschleunigt werden. Bei90 kW Motorenleistung liegt noch genügend Reserve drin, selbst bei mässig gutem Wirkungsgrad.

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38.2 Lösungen (Leistung) 532

5. Lösung von Aufgabe 5

a) W = Fss = 1120 N · 2.500 m = 2800 J

b) P = Fsυ = 1120 N · 5 m/s = 5600 W = 6 kW

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38.2 Lösungen (Leistung) 533

6. Lösung von Aufgabe 6

a) W = 12mυ2 = 1

280 kg · (36 m/3.6 s)2 = 4.0 kJ

b) P =W∆t

=mυ2

2∆t=

80 kg · (36 m/3.6 s)2

2 · 2.5 s= 1.6 kW

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38.2 Lösungen (Leistung) 534

7. Lösung von Aufgabe 7

a) P2 =W∆t

=∆m · gh

∆t=

270 kg60 s

· 9.81 m/s2 · 43 m = 1.9 kW

b) η =P2

P1⇒ P1 =

P2

η=

mghη∆t

=270 kg · 9.81 m/s2 · 43 m

0.37 · 60 s= 5.1 kW

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38.2 Lösungen (Leistung) 535

8. Lösung von Aufgabe 8

P =∆E∆t

=650 kcal · 4186.8 J/kcal

1800 s= 1.5 kW

Es ist nicht so klar, wie man runden soll. Wie genau ist ‘eine halbe Stunde’ ?

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38.2 Lösungen (Leistung) 536

9. Lösung von Aufgabe 9

P =∆E∆t

=79.4 GWh · 3.6 · 1012 J/GWh

3.156 · 107 s= 9.06 MW

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38.2 Lösungen (Leistung) 537

10. Lösung von Aufgabe 10

a) P =∆E∆t

=83 · 109 Wh365 · 24 h

= 9.5 MW

b) W = mgh = ρVgh = 998 kg/m3 · 101 · 106 m3 · 9.81 m/s2 · 1.2 · 103 m = 1.2 · 1015 J

=1.1866 · 1015 J

3.6 · 106 J/kWh= 329.6 · 106 kWh = 330 GWh

c) P =W∆t⇒

∆t =WP

=ρgh∆t

∆E=

998 kg/m3 · 101 · 106 m3 · 9.81 m/s2 · 1.2 · 103 m · 1 a83 · 109 W · 3600 s

= 3.8 a

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38.2 Lösungen (Leistung) 538

11. Lösung von Aufgabe 11

P =∆E∆t

=∆m · gh

∆t= ρ ·

∆V∆t· gh = 998 kg/m3 ·

2.8 m3

60 s· 9.81 m/s2 · 128 m = 58 kW

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38.2 Lösungen (Leistung) 539

12. Lösung von Aufgabe 12

P =gh∆m

∆t=

ghρ∆V∆t

⇒∆V∆t

=Pρgh

=16 · 106 W

998 kg/m3 · 9.81 m/s2 · 106 m= 15 m3/s

Es wurde Wirkungsgrad 100 % bei der Umwandlung mechanischer in elektrische Energie angenom-men. Bei kleinerem Wirkungsgrad müsste mehr Wasser fliessen.

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38.2 Lösungen (Leistung) 540

13. Lösung von Aufgabe 13

3.6 · 109 kg ·m2

s3 · 1.0 · 10−9 s = 3.6kg ·m2

s2 = 3.6 J

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38.2 Lösungen (Leistung) 541

14. Lösung von Aufgabe 14

a) P =mNg∆h

∆t=

6800 kg · 9.81 m/s2 · 1122.48 m(6 · 60 + 22) s

= 196 kW

b) Ek = 2 · 12mWυ

2 = 15890 kg · (8 m/s)2 = 1.0 MJ

c) Die Zugseile haben eine ähnliche Masse wie die Gondeln und bewegen sich gleich schnell.

Die Hubleistung ist kleiner als die Motorenleistung, denn das System ist nicht reibungsfrei. Aus-serdem sollte noch etwas Leistungsreserve für die Beschleunigungsphase zur Verfügung stehen. Diemomentane Leistung kann höher sein als die mittlere Leistung.

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38.2 Lösungen (Leistung) 542

15. Lösung von Aufgabe 15

P =W∆t

=71.8 · 103 J

18 · 60 s= 66 W

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38.2 Lösungen (Leistung) 543

16. Lösung von Aufgabe 16

2.8 TW = 2.8 · 1012 kg ·m2

s3

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38.2 Lösungen (Leistung) 544

17. Lösung von Aufgabe 17

P = 540kcal

h· 4186.8

Jkcal

·1 h

3600 s= 628 W

Es ist eine Leistung. Da die Übung als leicht taxiert ist, kann es nicht die erbrachte Leistung sein,sondern es ist die ‘verbrauchte Energie pro Zeit’. Bei leichtem Velofahren werden 50 bis 100 Wmechanische Leistung erbracht.

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38.2 Lösungen (Leistung) 545

18. Lösung von Aufgabe 18

E =KP

=5.00 Fr

0.20 Fr/kWh· 3.6 MJ/kWh = 90 MJ

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38.2 Lösungen (Leistung) 546

19. Lösung von Aufgabe 19

F = D · y⇒ E = 12 Dy2 ∝ F2 ⇒

E2

E1=

(F2

F1

)2

= 22 = 4

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38.2 Lösungen (Leistung) 547

20. Lösung von Aufgabe 20

Pmech =mυ2

2∆t=

2.1 · 103 kg · (100 m/3.6 s)2

2 · 4.4 s= 184 kW/(0.7355 kW/PS) = 250 PS < 421 PS X

Es ist zu erwarten, dass die mittlere Beschleunigungsleistung kleiner als die maximale, auf dem Prüf-stand erbrachte Leistung ist. Der umgekehrte Fall wäre nicht möglich.

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38.2 Lösungen (Leistung) 548

21. Lösung von Aufgabe 21

a) 2.0 m/s > 6.9 km/h b) 1.0 kWh , 3.6 MW c) 28 µm2 < 2.8·10−5 m2

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38.2 Lösungen (Leistung) 549

22. Lösung von Aufgabe 22

∆E = P · ∆t = 6 · 1012 W · 50 · 10−15 s = 0.3 J

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38.2 Lösungen (Leistung) 550

23. Lösung von Aufgabe 23

a) W = 12mυ2 = 1

2 · 1458 kg · (780 m/s)2 = 444 MJ

b) s = υ∆t =υ

2∆t → P =

W∆t

=

12mυ2

2s/υ=

mυ3

4s=

1458 kg · (780 m/s)3

4 · 21 m= 8.2 GW

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38.2 Lösungen (Leistung) 551

24. Lösung von Aufgabe 24

P =W∆t

=250 kWh · 3.6 MJ/kWh

15 · 60 s= 1.0 MW

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38.2 Lösungen (Leistung) 552

25. Lösung von Aufgabe 25

P =∆E∆t

=121 kWh · 3.6 · 106 J/kWh

3.156 · 107 s= 13.8 W

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38.2 Lösungen (Leistung) 553

26. Lösung von Aufgabe 26

P =W∆t

=mgh∆t

=1.4 · 103 kg · 9.81 m/s2 · 1.5 m

7.0 s= 2.9 kW

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38.2 Lösungen (Leistung) 554

27. Lösung von Aufgabe 27

a) υ = at ⇒ a =υ

t=

100 m3.6 s · 1.785 s

= 15.56 m/s2

b) P =mυ2

2t=

(168 + 50) kg · (100 m/3.6 s)2

2 · 1.785 s= 47.1 kW

c) 200 PS ·735.5 W

1 PS= 147 kW

d) Die momentan erbrachte Leistung hängt von der Geschwindigkeit ab: P = F · υ = ma · υ ∝ a · υ.Die momentane Leistung wächst mit steigender Geschwindigkeit. Das Auto erbringt nicht immer dievolle Leistung.

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38.2 Lösungen (Leistung) 555

28. Lösung von Aufgabe 28

a) a =3√V =

3√1.8 · 106 · 10−3 m3 = 12 m

b) P = 110 000 PS · 735.498 75 W/PS = 80.9049 MW ≈ 81 MW

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38.3 Lösungen (Wirkungsgrad) 556

38.3 Lösungen (Wirkungsgrad)

1. Lösung von Aufgabe 1

η =W2

W1=

∆t · P2

∆V · HV=

3600 s · 44 PS · 735.5 W/PS14 L · 9.5 kWh/L · 3.6 · 106 J/kWh

= 0.24

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38.3 Lösungen (Wirkungsgrad) 557

2. Lösung von Aufgabe 2Wir wollen den Wirkungsgrad berechnen.

η =P2

P1=

WE/∆tJ

mgh/∆tmin=

WE · ∆tmin

ρVgh · ∆tJ

=900 000 kWh · 3.6 · 106 J/kWh · 60 s

998 kg/m3 · 8.500 m3 · 9.81 m/s2 · 160 m · 3.156 · 107 s= 0.463

Das Resultat erscheint vernünftig, d.h. grösser als Null und kleiner als Eins.

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38.3 Lösungen (Wirkungsgrad) 558

3. Lösung von Aufgabe 3

η =P2

P1=

P2∆tmKHK

=51000 · 735.5 W · 86400 s620 · 103 kg · 3.2 · 107 J/kg

= 0.16

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38.3 Lösungen (Wirkungsgrad) 559

4. Lösung von Aufgabe 4

η =W2

W1⇒ W1 =

W2

η=

mghη

=480 kg · 9.81 m/s2 · 22 m

0.37= 0.28 MJ

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38.3 Lösungen (Wirkungsgrad) 560

5. Lösung von Aufgabe 5

a) ∆E = P · ∆t = 250 W · 1.5 · 60 s = 23 kJ

b) η =P2

P1⇒ P1 =

P2

η=

250 W0.55

= 0.45 kW

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38.3 Lösungen (Wirkungsgrad) 561

6. Lösung von Aufgabe 6Der Wirkungsgrad hängt davon ab, was als aufgenommene und was als nutzbare Energie bezeichnetwird. Wird nur die Umwandlung von chemischer Energie, welche das Glühwürmchen bereitgestellthat, in Energie des sichtbaren Lichtes betrachtet, so ergeben sich sehr hohe Wirkungsgrade für dasLuciferin. Wird dagegen die Nahrung, welche das Glühwürmchen zum Leben braucht, mitgezählt,so sinkt der Wirkungsgrad enorm. Betrachtet man dagegen bei der Glühlampe als nutzbare Energiealle elektromagnetische Strahlung (Wärmestrahlung), die ausgesandt wird, steigt der Wirkungsgradauch in die Gegend von 95 %. Nimmt man den Aufwand, der zur Bereitstellung elektrischer Ener-gie betrieben wird, in die Rechnung hinein, so sinkt der Wirkungsgrad, aber nicht so tief wie beimGlühwürmchen.

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38.3 Lösungen (Wirkungsgrad) 562

7. Lösung von Aufgabe 7

Pab =W∆t

=ρ∆Vgh

∆t= 998 kg/m2 · 1.000 m3/s · 9.81 m/s2 · 25 m = 2.4 · 105 W

η =Pab

Pau f⇒ Pau f =

Pab

η=ρVghη∆t

=998 kg/m3 · 1.000 m3 · 9.81 m/s2 · 25 m

0.93 · 1 s= 2.6 · 105 W

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38.3 Lösungen (Wirkungsgrad) 563

8. Lösung von Aufgabe 8

η =P2

P1=

P2

gh · ∆m/∆t=

P2

ghρ · ∆V/∆t=

2236 · 103 W9.81 m/s2 · 5.90 m · 998 kg/m3 · 50 m3/s

= 77 %

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38.3 Lösungen (Wirkungsgrad) 564

9. Lösung von Aufgabe 9

η =P2

P1⇒ P1 =

P2

η=

mgh∆t · η

=800 · 103 kg · 9.81 m/s2 · 200 m

3600 s · 0.30= 1.5 MW

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38.3 Lösungen (Wirkungsgrad) 565

10. Lösung von Aufgabe 10

Variable: Nutzleistung P2 = 22 kW, Wirkungsgrad η, Kosten K = 0.13 Fr/kWh, Zeitraum t = 5 a =

5 · 365 · 24 h, Aufpreis A.

η =P2

P1⇒ P1 =

P2

ηbenötigte Energie

Wa =P2tηa→ Aa = WaK =

P2tKηa

Energiekosten eines Motors

A = Aa − Ab =P2tKηa−

P2tKηb

= P2tK ·(

1ηa−

1ηb

)= 22 kW · 24 · 365 · 5 h · 0.13 Fr/kWh ·

(1

0.913−

10.9411

)= 4.1 kFr

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38.3 Lösungen (Wirkungsgrad) 566

11. Lösung von Aufgabe 11

P1 − P2 = P1 − ηP1 = P1 · (1 − η) = 22 kW · (1 − 0.9411) = 1.3 kW

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38.3 Lösungen (Wirkungsgrad) 567

12. Lösung von Aufgabe 12

a) Ep = mgh = ρVgh = 998 kg/m3 · 47.5 · 106 m3 · 9.81 m/s2 · 850 m = 3.95 · 1014 J

b) Pmech =∆E∆t

=ρgh∆V

∆t= 998 kg/m3 · 9.81 m/s2 · 850 m · 6.4 m3/s = 53 MW

c) η =Pelektr

Pmech=

44 MW53 MW

= 83 % < 100 %

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38.3 Lösungen (Wirkungsgrad) 568

13. Lösung von Aufgabe 13

η =P2

P1=

ρVghP1 · ∆t

=1.0 kg/L · 78 L · 9.81 m/s2 · 500 m

560 · 103 W · 1 s= 0.68

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38.3 Lösungen (Wirkungsgrad) 569

14. Lösung von Aufgabe 14

a) ηa =P2

P1=

P1 − Pa

P1= 1 −

Pa

P1⇒ P1 =

Pa

1 − ηa=

12.1 W1 − 0.952

= 252 W

P2 = ηaP1 =ηaPa

1 − ηa=

0.952 · 12.1 W1 − 0.952

= 240 W

a) Pb = (1 − ηb) · P1 =1 − ηb

1 − ηa· Pa =

1 − 0.9101 − 0.952

· 12.1 W = 22.7 W

c) W = (Pb − Pa) · ∆t =

(1 − ηb

1 − ηa− 1

)· 0.0121 kW · 365.24 · 24 h = 92.8 kWh

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38.4 Lösungen (Energie) 570

38.4 Lösungen (Energie)

1. Lösung von Aufgabe 1

a) 200 kWh = 200 · 3.6 MJ = 720 MJ

b)1.37 · 109 J

3.6 · 106 J/kWh= 381 kWh

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38.4 Lösungen (Energie) 571

2. Lösung von Aufgabe 2a)

Ek =12

mυ2 ⇒ m =2Ek

υ2 =2 · 1679 J

(905 m/s)2 = 4.10 g

b)

W = Ek1 − Ek0 = 1679 J − 1346 J = 333 J

c)

W = FW s⇒ FW =Ws

=Ek1 − Ek0

s=

1679 J − 1346 J100 m

= 3.33 N

FW

FG=

FW

mg=

3.33 N0.00410 kg · 9.80665 m/s2 = 82.8

Dies bedeutet, dass aerodynamische Kräfte grössere Auswirkungen auf die Geschossbahn haben alsdie Schwerkraft.

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38.4 Lösungen (Energie) 572

3. Lösung von Aufgabe 3a)

υ =√

2gh =√

2 · 9.81 m/s2 · 43.5 m

= 29.214 m/s ·3.6 km/h

1 m/s= 105 km/h

b)

h =12

gt2 ⇒ t =

√2hg

=

√2 · 43.5 m9.81 m/s2 = 2.98 s

c)

E = mgh = 20 · 103 kg · 43.5 m · 9.81 m/s2 = 8.5 MJ

d)

m = ρV = ρs3 ⇒ s = 3

√mρ

=3

√20 t

2.2 t/m3 = 2.1 m

Die Angaben passen einigermassen zusammen, nur bei der Fallzeit scheint sich jemand vertippt zuhaben.

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38.4 Lösungen (Energie) 573

4. Lösung von Aufgabe 4

a) 12 Dy2 = 1

2mυ2 ⇒ D =mυ2

y2 =15 · 103 kg · (4.5 m/3.6 s)2

(0.15 m)2 = 1.0 · 106 N/m

b) Die in den Federn gespeicherte Energie kommt wieder zurück! Moderne Puffer enthalten deshalbzusätzlich Dämpfungselemente.

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38.4 Lösungen (Energie) 574

5. Lösung von Aufgabe 5

mg(h − y) = 12 Dy2

12 Dy2 + mgy − mgh = 0

y =−mg ±

√(mg)2 + 2Dmgh

D=

mgD

−1 ±

√1 +

2Dhmg

y =

1.5 kg · 9.81 m/s2

240 N/m

−1 ±

√1 +

2 · 240 N/m · 0.35 m1.5 kg · 9.81 m/s2

= +15 cm oder −28 cm

Die positive Lösung ergibt sich, wenn die Feder mit Klebstoff bestrichen wird und der angeklebteKörper von der Feder wieder aufwärts gestossen wird. Die zwei Lösungen sind der höchste undtiefste Punkt der Federpendelschwingung.

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38.4 Lösungen (Energie) 575

6. Lösung von Aufgabe 6

E2 − E1 = W12mυ2 − mgh = −sFGR (Gleitreibungsarbeit wird abgegeben)

12mυ2 = mgh − sFGR

12mυ2 = mgs sinα − sµGmg cosα

υ =√

2gs (sinα − µG cosα)

=√

2 · 9.81 m/s2 · 23 m · (sin 17° − 0.12 · cos 17°) = 9.0 m/s

(Je nach Reibungszahl µG gibt es etwas anderes.)

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38.4 Lösungen (Energie) 576

7. Lösung von Aufgabe 7Sowohl die Höhe als auch die Weite sind proportional zur Anfangsenergie.

12 Dy2 = mgh⇒

h2

h1=

(y2

y1

)2

= 22 = 4

Der Weg in der Kanone (y) wurde gegen h vernachlässigt.

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38.4 Lösungen (Energie) 577

8. Lösung von Aufgabe 8

a) µG =FR

FN=

FR

mg cosα=

180 N45 kg · 9.81 m/s2 · cos 17°

= 0.43

b) W = Fss = FRs = 180 N · 2.8 m = 0.50 kJ nur Betrag, W < 0

c) W = Fss = 0 · s = 0

d) W = mgh = mgs sinα = 45 kg · 9.81 m/s2 · 2.8 m · sin 17° = 0.36 kJ

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38.4 Lösungen (Energie) 578

9. Lösung von Aufgabe 9

a) Fres = 0⇒ Dy = mg⇒ D =mgy

=400 kg · 9.81 m/s2

0.053 m= 74 kN/m

b) EF = 12 Dy2 =

12

mgy· y2 = 1

2mgy = 12 · 400 kg · 9.81 m/s2 · 0.053 m = 0.10 kJ

Warum nur 12mgy und nicht mgy? Wenn die Anordnung reibungsfrei wäre, würde sie ewig weiter-

schwingen. Die Hälfte der Anfangsenergie wird zu kinetischer Energie und danach weggedämpft (‘inWärme verwandelt’).

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38.4 Lösungen (Energie) 579

10. Lösung von Aufgabe 10

Ek = 12mυ2 = 1

2 · 27.6 · 103 kg ·(81 m3.6 s

)2

= 7.0 · 106 J =6.986 MJ

3.6 MJ/kWh= 1.9 kWh

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38.4 Lösungen (Energie) 580

11. Lösung von Aufgabe 11a) Weil Arbeit ‘Kraft mal Weg’ ist und die Kraft ‘Federkonstante mal Weg’, kommt der Weg zweimal(im Quadrat) vor.b) Wird eine Feder gespannt, so ist die Kraft am Anfang Null und steigt dann linear auf den Endwert.Die durchschnittliche Kraft ist der halbe Endwert. Die durchschnittliche Kraft ist aber massgebendfür die Arbeit.

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38.4 Lösungen (Energie) 581

12. Lösung von Aufgabe 12

12mυ2 = mgh⇒ h =

υ2

2g=

(9.5 m/s)2

2 · 9.81 m/s= 4.6 m

Die besten Springer erreichen ca. 6 m Höhe. Der Schwerpunkt ist anfangs nicht auf Höhe Null und dieSpringer heben den Schwerpunkt mit den Armen noch an, wenn sie die Beine nach oben schwingen.

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38.4 Lösungen (Energie) 582

13. Lösung von Aufgabe 13

12mυ2 = 1

2 · 0.063 kg · (37.9 m/s)2 = 45 J > 38 J

Die Angaben passen nur ungefähr zusammen; vielleicht sind es reale Werte, die aber zu verschiedenenPfeilen oder Schussversuchen gehören.

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38.4 Lösungen (Energie) 583

14. Lösung von Aufgabe 14

Ep1 + Ek1 + U1 = Ep2 + Ek2 + U2 ⇒ 0 + 0 + mS H = 0 + 12mKυ

2 + 0⇒

mS =mKυ

2

2H=

5.9 · 10−3 kg · (280 m/s)2

2 · 2.7 · 106 J/kg= 86 mg

In Wirklichkeit wird sehr viel mehr Schwarzpulver benötigt, denn der Wirkungsgrad eines Gewehrsist lausig.

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38.4 Lösungen (Energie) 584

15. Lösung von Aufgabe 15

EF = 12 Dy2 = 1

2 (Dy) · y = 12 FFy

Ek1 + Ep1 + U1 = Ek2 + Ep2 + U2

0 + 0 + 12 FFy = 0 + mgh + 0

h =FFy2mg

=29 N · 3.5 · 10−2 m

2 · 3.6 · 10−3 kg · 9.81 m/s2 = 14 m 4.5 m

Es ist zu erwarten, dass der Pfeil weniger hoch fliegt, als wenn sich die ganze Federenergie in poten-tielle Energie des Pfeils umwandelt. Die Feder kann nämlich nur einen Teil der Energie an den Pfeilabgeben, weil die Feder am Schluss vibriert und die Pistole allenfalls einen Rückstoss erleidet. DerPfeil ist zu Beginn recht schnell und spürt einen grossen Luftwiderstand, denn er ist ganz und garnicht stromlinienförmig.

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38.4 Lösungen (Energie) 585

16. Lösung von Aufgabe 16

H = 4 · 106 J/kg Explosionswärme

N =E

mH=

2 · 1018 J50 · 109 kg · 4 · 106 J/kg

= 10

Tief unter der Erdoberfläche wurde wesentlich mehr Energie freigesetzt. Wegen dieses Erdbebensdreht sich die Erde seither etwas schneller.

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38.4 Lösungen (Energie) 586

17. Lösung von Aufgabe 17

Ek1 + Ep1 + U1 + Q = Ek2 + Ep2 + U2 ⇒ 0 + 0 + U1 + Q = 0 + mgh + U1 ⇒

Q = mgh⇒ h =Q

mg=

2073 · 103 J70 kg · 9.81 m/s2 = 3.0 km

In Wirklichkeit deutlich weniger, denn der Wirkungsgrad ist nicht 100%.

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38.4 Lösungen (Energie) 587

18. Lösung von Aufgabe 18

Ek = 12mυ2 ⇒ m =

2Ek

υ2 =2 · 800 J

(20 m/s)2 = 4.0 kg

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38.4 Lösungen (Energie) 588

19. Lösung von Aufgabe 19

W = 12 Dy2 ⇒ y ∝

√W ⇒

y2

y1=

√W2

W1=√

3 Die Dehnung wird 1.732 Mal grösser.

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38.4 Lösungen (Energie) 589

20. Lösung von Aufgabe 20

Ek = 12mυ2 ⇒

E2

E1=

(υ2

υ1

)2

= 1.102 = 1.21 Sie nimmt 21 % zu.

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38.4 Lösungen (Energie) 590

21. Lösung von Aufgabe 21

E2

E1=

12 Dy2

212 Dy2

1

=

(y2

y1

)2

= 1.12 = 1.2

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38.4 Lösungen (Energie) 591

22. Lösung von Aufgabe 22

12mυ2 = 1

2 Dy2 ⇒ υ = y

√Dm

= 0.010 m ·

√830 N/m0.0037 kg

= 4.7 m/s

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38.4 Lösungen (Energie) 592

23. Lösung von Aufgabe 23

E0 = mgh1 = mg(l − l cosα)⇒E0

mgl= 1 − cosα⇒ α = arccos

(1 −

E0

mgl

)α = arccos

(1 −

0.32 J0.063 kg · 9.81 m/s2 · 0.92 m

)= 64°

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38.4 Lösungen (Energie) 593

24. Lösung von Aufgabe 24

12mυ2 = mgh = mg (l − l cosα)⇒ l =

υ2

g · (1 − cosα)=

(1.82 m/s)2

9.81 m/s2 · (1 − cos 37°)= 1.7 m

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38.4 Lösungen (Energie) 594

25. Lösung von Aufgabe 25

Fss = W ⇒ Fs =Ws

=34 J

0.83 m= 41 N

Die Kraft kann grösser sein, wenn sie unter einem Winkel > 0 zum Weg angreift.

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38.4 Lösungen (Energie) 595

26. Lösung von Aufgabe 26

Ek = 12mυ2 = 1

2 · 1.3 · 103 kg ·(120 m3.6 s

)2

= 7.2 · 105 J

Die ganze kinetische Energie wird durch Reibungs- oder Bremsarbeit in Wärme verwandelt, d.h.W = Ek.

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38.4 Lösungen (Energie) 596

27. Lösung von Aufgabe 27

mgh1 = 12mυ2

2 und h1 = s sin 45° =s√

2

⇒ υ2 =√

2gh1 =

√√

2gs =

√√

2 · 9.81 m/s2 · 2.8 m = 6.2 m/s

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38.4 Lösungen (Energie) 597

28. Lösung von Aufgabe 28

Im Ausdruck W = mgh für die Hubarbeit ist h die Hubhöhe. In Epot = mgh für die Lageenergie isth die Höhenkoordinate, bei welcher der Nullpunkt frei gewählt werden kann. In der SchreibweiseW = mg∆y respektive Epot = mgy ist der Unterschied auch formal erkennbar.

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38.4 Lösungen (Energie) 598

29. Lösung von Aufgabe 29

a) Ek = 12mυ2 = 1

2 · 1.6 · 103 kg · (350 m/3.6 s)2 = 7.6 MJ

b) η =P2

P1=

mυ22

2∆t · P1=

1.6 · 103 kg · (100 m/3.6 s)2

2 · 2.9 s · 515 · 103 W= 0.41

c) mgh = VH ⇒ h =VHmg

=90 L · 8.6 kWh/L · 3.6 · 106 J/kWh

1.6 · 103 kg · 9.81 m/s2 = 1.8 · 105 m

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38.4 Lösungen (Energie) 599

30. Lösung von Aufgabe 30

EF = mgh⇒ h =EF

mg=

2.0 J0.08 kg · 9.81 m/s2 = 2.5 m

©Martin Lieberherr

38.4 Lösungen (Energie) 600

31. Lösung von Aufgabe 31

a) Ek = 12mυ2 ⇒ m =

2Ek

υ2 =2 · 20 · 109 kg · 4.182 · 106 J/kg

(18 · 103 m/s)2 = 5.163 · 108 kg = 5.2 · 108 kg

s ≈3√V = 3

√mρ

=3

√5.163 · 108 kg

7.86 · 103 kg/m3 = 40 m

d ∼ E1/4 ⇒d2

d1=

(E2

E1

)1/4

⇒ d2 = d1

(E2

E1

)1/4

= 1.2 km ·(24 MT20 MT

)1/4

= 1.256 km = 1.3 km

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38.4 Lösungen (Energie) 601

32. Lösung von Aufgabe 32

a)E2

E1=

12 D2y2

12 D1y2

=D2

D1

b)E2

E1=

D2y22

D1y21

=D2 · (F/D2)2

D1 · (F/D1)2 =D1

D2

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38.4 Lösungen (Energie) 602

33. Lösung von Aufgabe 33

∆E = W → E2 − E1 = Fss⇒ Fs =E2 − E1

s

©Martin Lieberherr

38.4 Lösungen (Energie) 603

34. Lösung von Aufgabe 34

Ek = 12mυ2 ⇒ υ =

√2Ek

m≈

√2 · 3.6 · 106 J

72 kg=

√105 J/kg = 316 m/s = 3 · 102 m/s

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38.4 Lösungen (Energie) 604

35. Lösung von Aufgabe 35

mS H =12

mυ2 ⇒ υ =

√2mS H

m≈

√2 · 100 g · 2.2 · 106 J/100 g

60 kg= 0.27 km/s

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Kapitel 39

Lösungen (Impuls)

1. Lösung von Aufgabe 1

mGυG = (mG + mM)υM ≈ mMυM

υM =mG

mMυG =

0.0075 kg75 kg

· 406 m/s = 4.1 cm/s

Der Stoss wurde als unelastisch angenommen (realistisch). Der Mann wurde als starrer Körper be-trachtet (eher weniger realistisch).

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606

2. Lösung von Aufgabe 2

a) Die Trägheit und Härte der Scheibe sind viel grösser als jene der Nuss.b) p = mυ = 0.013 kg · 12 m/s = 0.16 Ns (Betrag)

c) ∆t ≈d2υ⇒ F =

∆p∆t≈

2mυ2

d=

2 · 0.013 kg · (12 m/s)2

0.03 m= 0.2 kN

Die Stossdauer wurde abgeschätzt mit der Zeit, welche die Nuss im freien Flug benötigt, um ihrenhalben Durchmesser zurückzulegen. Das Resultat liefert deshalb nur die Grössenordnung der Kraft.

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607

3. Lösung von Aufgabe 3

a) FS =∆p∆t

= υG∆m∆t⇒ υG =

FS

∆m/∆t=

246 N0.200 kg/1.5 s

= 1.8 km/s

b) υR = at =Fres

mRt =

(FS

mR− g

)t =

(246 N2.3 kg

− 9.81 m/s2)· 1.5 s = 0.15 km/s

In b) haben wir die Änderung der Raketenmasse (≈ 10 %) während des Starts vernachlässigt.

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608

4. Lösung von Aufgabe 4

a) υ =√

2gh⇒ h =υ2

2g=

(80 m/3.6 s)2

2 · 9.81 m/s= 25 m

b) Druck wird nicht in Tonnen gemessen. Gemeint ist wohl die Kraft, die aber in Newton angegebenwerden sollte. Wahrscheinlich ist es eine Kraft, die dem Gewicht eines Körpers mit einer Tonne Masseentspricht, das wären dann mg ≈ 10 kN.Um die Kraft abzuschätzen nehmen wir an, die Nuss habe 2 kg und der inelastische Stoss daure 1 ms(so lange braucht die Nuss etwa, um mit 80 km/h eine Strecke von 2 cm zurückzulegen). Damit folgt:

F =∆p∆t

=mυ∆t

=2 kg · (80 m/3.6 s)

1 · 10−3 s= 4 · 104 N

Nach unserer Abschätzung ist 1·104 N eine realistische Angabe, sogar eher etwas tief.

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609

5. Lösung von Aufgabe 5

a) p = mSυS = 0.097 kg · 14 m/s = 1.4 Ns

b) Der Stoss ist unelastisch, weil der Schneeball nicht zurückprallt.

c) υK =mSυS

mK + mS=

0.097 kg · 14 m/s3.8 kg + 0.097 kg

= 0.35 m/s

d) F =∆p∆t

und ∆t ≈dS

2υS⇒ F ≈

2mSυ2S

dS=

2 · 0.097 kg · (14 m/s)2

0.08 m= 0.5 kN

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610

6. Lösung von Aufgabe 6

Ek = 12mυ2 = 1

2m( pm

)2=

p2

2mwobei p = | ~p |

a) Wenn sich die kinetische Energie verändert, so verändert sich der Betrag des Impulses und somitauch der Impuls selbst.b) Wenn sich der Betrag des Impulses verändert, so auch die kinetische Energie. Falls sich aber nurdie Richtung des Impulses verändert, so bleibt die kinetische Energie konstant.

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611

7. Lösung von Aufgabe 7

FS = υGas ·∆m∆t⇒

∆m∆t

=FS

υGas=

15 · 10−3 N32 · 103 m/s

= 4.7 · 10−7 kg/s = 1.7 g/h

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612

8. Lösung von Aufgabe 8

a) 630 m/s ·1 ft

0.3048 m= 2067 ft/s Stimmt, falls 2100 ft/s auf 2 sign. Ziffern genau

b) mGυG = mRυR ⇒ υR =mGυG

mR=

19 g · 630 m/s1726.5 g

= 6.9 m/s ohne Hand, Arm, ...

c) Das Verbrennungsgas (‘Pulverdampf’) trägt auch Impuls.

d) Ek = 12mυ2

G = 12 · 0.019 kg · (630 m/s)2 = 3.8 kJ

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613

9. Lösung von Aufgabe 9

FS =∆p∆t⇒ mS g = υG

∆m∆t

= υGρ∆V∆t⇒

υG =mS g

ρ∆V/∆t≈

30 · 10−3 kg · 9.81 m/s2

1.293 kg/m3 · 5 · 10−3 m2/2 s= 9 · 101 m/s

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614

10. Lösung von Aufgabe 10Der Tintenfisch übt eine Kraft auf das Wasser aus, wenn er es durch die Düse presst. Nach actio= reactio übt das Wasser dann eine Reaktionskraft auf den Tintenfisch aus, welche den Tintenfischantreibt (Prinzip des Rückstoss- oder Raketenantriebs).

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615

11. Lösung von Aufgabe 11

F =∆p∆t

=∆m∆t· υ

P =∆Ek

∆t=

12·

∆m∆t· υ2

⇒PF

=υ

2⇒ υ =

2F/P

=2

2 N/1000 W= 1 km/s

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616

12. Lösung von Aufgabe 12

a) q =∆V∆t

= Aυ = π4 d2υ⇒ υ =

4qπd2 =

4 · 1.0 m3/sπ · (0.70 m)2 = 2.6 m/s

b) Ek = 12mυ2 = 1

2ρπ4 d2l ·

(4qπd2

)2

=2ρlq2

πd2 =2 · 998 kg/m3 · 300 m · (1.0 m3/s)2

π · (0.70 m)2 = 3.9 · 105 J

c) Ep = mghS P = ρπ

4d2lg1

2h = π8 998 kg/m3(0.70 m)2 · 300 m · 9.81 m/s2 · 180 m = 1.0 · 108 J

d) η =P · ∆t∆mgh

=P

ρqgh=

1.66 · 106 W998 kg/m3 · 1.0 m3/s · 9.81 m/s2 · 180 m

= 0.94

e) F =∆p∆t

=∆mυ∆t

= ρqυ = ρq√

2gh = 998 kg/m3 · 1.0 m3/s√

2 · 9.81 m/s2 · 180 m = 59 kN

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617

13. Lösung von Aufgabe 13

m1υ1 + m2υ2 = m1u1 + m2u2 elastisch: Ekin ist separat erhaltenm1υ1 + m2υ2 = (m1 + m2) · u inelastisch: Ekin der Relativbewegung ‘verschwindet’

(Schreibweise für geradlinigen Stoss; die Bewegungsrichtung wird mittels Vorzeichen ausgedrückt.)

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618

14. Lösung von Aufgabe 14

mMυM = (mM + mE)υ ≈ mEυ⇒

υ =ρVυM

mE=

1.6 · 103 kg/m3 · 500 · 109 m3 · 42 · 103 m/s5.9722 · 1024 kg

= 5.6 µm/s

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619

15. Lösung von Aufgabe 15

Es ist ein unelastischer Stoss, denn die ganze kinetische Energie wird beim Aufprall in Wärme ver-wandelt.

F =∆p∆t

=mυ0 − 0

∆t=

0.130 kg · 8.0 m/s13 · 10−3 s

= 80 N

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620

16. Lösung von Aufgabe 16

Fres =∆p∆t⇒ ∆p = Fres∆t = 580 N · 0.042 s = 24 Ns

Der Betrag der Impulsänderung kann berechnet werden, aber nicht die Richtung.

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621

17. Lösung von Aufgabe 17

~ptotal = ~p1 + ~p2 + · · · = const (= mtotal~υS ) Der Gesamtimpuls in einem abgeschlossenen System isterhalten, weil sich die Geschwindigkeit des Schwerpunkts nicht ändert.

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622

18. Lösung von Aufgabe 18

Vielleicht wird Impuls in Jans Antwort umgangssprachlich aufgefasst (Anstoss), welches fachsprach-lich am ehesten dem Kraftstoss (∆p = F · ∆t) entspräche. Ein Körper besitzt eine kinetische Energie,er kann sie nicht erfahren. Die Aussage ist einheitenmässig falsch. Die Antwort ist verbal, obwohleine formale Antwort (Ek = p2/2m) möglich wäre.

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623

19. Lösung von Aufgabe 19

F =∆p∆t

=m

√2gh

∆t=

1.6 · 10−3 kg ·√

2 · 9.81 m/s2 · 0.035 m30 s

= 44 µN

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624

20. Lösung von Aufgabe 20

m1υ1 + m2υ2 = (m1 + m2)υS ⇒ υS =m1υ1 + m2υ2

m1 + m2

υS =800 kg · 60 km/h + 1700 kg · 80 km/h

800 kg + 1700 kg= 73.6 km/h = 74 km/h

©Martin Lieberherr

Kapitel 40

Lösungen (Kreisbewegung)

1. Lösung von Aufgabe 1a) Die Aussage ist falsch, da die Resultierende eine Komponente tangential zum Kreis haben kann,welche den Körper schneller oder langsamer macht.b) Die Aussage ist falsch, da nur die Normal- und Gewichtskraft einwirkende Kräfte sind. Die Zen-tripetalkraft ist eine Komponente der Resultierenden und darf nicht doppelt gezählt werden.c) Bei krummlinigen Bahnen gilt ~Fres = m~az + m~at. Es gibt eine Beschleunigung ~at tangential zurBahn und eine Beschleunigung ~az quer zur Bewegungsrichtung, welche auf ein momentanes Kreis-zentrum gerichtet ist (Zentrum des Schmiegekreises). Eine gleichmässige Schraubenbewegung isteine Überlagerung einer gleichmässigen Kreisbewegung und einer gleichmässig geradlinigen Bewe-gung senkrecht zur Kreisebene. Durch Wechsel des Bezugssystems kann die Schraubenbewegung ineine gleichmässige Kreisbewegung umgewandelt werden. Da Beschleunigungen nicht von der Wahldes Inertialsystems abhängen, muss in beiden Bezugssystemen dieselbe Beschleunigung vorhandensein.

©Martin Lieberherr

626

2. Lösung von Aufgabe 2

f =500′000

60 s= 8333 Hz

T =1f

=60 s

500′000= 120 µs

ω = 2π f = 2π ·500′000

60 s= 52360 s−1

Es ist nicht klar, wie hier gerundet werden soll. Die vielen Nullen in der Aufgabe sind wahrscheinlicheher ergänzt als signifikant. Also schreibt man mindestens eine, maximal sechs Ziffern im Resultat.

©Martin Lieberherr

627

3. Lösung von Aufgabe 3a) Je grösser die Bahngeschwindigkeit, desto grösser ist die Zentripetalbeschleunigung. Je kleiner derKurvenradius, desto grösser ist die Zentripetalbeschleunigung.

b) az ∝ υ und az ∝1r

oder einfacher az =υ

r

c) [az] =ms2 aber

[υ

r

]=

1s⇒

ms

fehlen⇒ az =υ2

r

Die Antwort ist nicht eindeutig. Die Formel könnte z.B. noch den Faktor 2π enthalten. Ein kurzerBlick in die Formelsammlung zeigt aber, dass dem nicht so ist.

©Martin Lieberherr

628

4. Lösung von Aufgabe 4

a) az =υ2

r=

(8.8 m/s)2

0.36 m= 2.2 · 102 m/s2

b) ω =υ

r=

8.8 m/s0.36 m

= 24 s−1

©Martin Lieberherr

629

5. Lösung von Aufgabe 5

a) ω =2πT

=2π

27.322 d · 86400 s/d= 2.6617 · 10−6 s−1

b) az = rω2 = r ·(2πT

)2

= 3.844 · 108 m ·(

2π27.322 d · 86400 s/d

)2

= 2.723 · 10−3 m/s2

In Wirklichkeit bewegt sich der Mond eher um die Sonne als um die Erde, da die Anziehungskraftder Sonne auf den Mond ungefähr doppelt so stark ist wie jene der Erde.

©Martin Lieberherr

630

6. Lösung von Aufgabe 6Wir wollen die gesuchte Kraft FT als Vielfaches von Tarzans Körpergewicht FG = mg ausdrücken,denn Zahlen sind ja keine gegeben. Wir nehmen an, dass r konstant ist und den Abstand vom Kreis-zentrum zu Tarzans Schwerpunkt bezeichnet. Im tiefsten Punkt ist nur eine zentripetale Komponenteder resultierenden Kraft vorhanden, also gilt:

Fres = maz

FT − FG =mυ2

rmit FG = mg und υ =

√2gr folgt

FT − mg =m2gr

rFT = 3mg

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631

7. Lösung von Aufgabe 7a) “Und da die Erdmasse die des Mondes um mehr als das 80-fache übertrifft. . . ” ist keine Begrün-dung, sondern nur eine Feststellung.“Doch der Mond unterliegt durch seine Bewegung um die Erde auch den Gesetzen der Fliehkraft,[. . . ] Dem Mond droht dieses Schicksal nicht, weil sich Gravitation und Fliehkraft die Waage halten.”Im Text werden zwei Betrachtungsweisen vermischt. Schaut man die Bewegung in einem (angenä-herten) Inertialsystem an, so bewegt sich der Mond um die Erde. In diesem System gibt es keineFliehkraft. Wechselt man in ein geeignet rotierendes Bezugssystem, so gibt es eine Zentrifugalkraft,aber keine Bewegung des Mondes mehr (deshalb werden ja mitdrehende Bezugssysteme gewählt!).b) Beispiel: Die Erde zieht den Mond an und deshalb beschleunigt der Mond auf die Erde zu. Dasich der Mond aber mit hoher Geschwindigkeit quer zur Anziehungskraft bewegt, fällt er stets an derErde vorbei. Bei einem horizontalen Wurf eines Steins auf der Erdoberfläche fällt der Stein auch nichtgerade herunter. Bei genügend hoher Anfangsgeschwindigkeit könnte der Stein ‘um die Erde herumfallen’. ODER: Im Bezugssystem, das sich etwa ein Mal pro Monat (mit dem Mond) um die Erdedreht, wird die Erdanziehungskraft durch die Fliehkraft kompensiert und der Mond verharrt immerim gleichen Abstand.

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632

8. Lösung von Aufgabe 8

Fres = maz

FN + FG =mυ2

rFN

FG+

FG

FG=

mυ2

mgrFN

FG=υ2

gr− 1 =

(3.0 m/s)2

9.81 m/s2 · 0.40 m− 1 = 1.3

Dies bedeutet, dass die Normalkraft im obersten Punkt 1.3mal stärker als die Gewichtskraft ist.

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633

9. Lösung von Aufgabe 9

a) T =2πrυ

=2π · 9.5 m12 m/3.6 s

= 18 s

b) ω =υ

r=

12 m3.6 s · 9.5 m

= 0.35 s−1

c) Fres = maz =mυ2

r=

350 kg · (12 m/3.6 s)2

9.5 m= 0.41 kN

d) Die resultierende Kraft auf das Pferd setzt sich aus Gewichts- und Bodenkraft zusammen. An derLeine wird kaum gezogen. Auf hartem, glattem Untergrund würden man die Bodenkraft in Normal-und Reibungskraft zerlegen.

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634

10. Lösung von Aufgabe 10

a) az =υ2

r=

(60 m/3.6 s)2

50 m= 5.6 m/s2

b) Wir berechnen das Verhältnis von Normalkraft zu Gewicht der Fahrerin:Fres = maz ⇒ FG − FN = maz ⇒ FN = FG − maz ⇒

FN

FG= 1 −

az

g= 1 −

υ2

rg= 1 −

(60 m/3.6 s)2

50 m · 9.81 m/s2 = 0.43

Der Sitz drückt nur noch mit 43% der Kraft nach oben, wie er das üblicherweise tut. Das interpretiertdie Fahrerin so, dass sie nur noch 43% des üblichen Gewichts hat.

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635

11. Lösung von Aufgabe 11

az =υ2

r→ r =

υ2

az=

(1.5 · 344 m/s)2

10 · 9.81 m/s= 2.7 km

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636

12. Lösung von Aufgabe 12

a) f =1T

=1

36 · 2.73 s= 10.2 mHz

b) ω =∆ϕ

∆t=

10 °2.73 s

·π rad180 °

= 6.39 · 10−2 s−1

c) Fres = mrω2 = mr(∆ϕ

∆t

)2

= 830 kg · 58 m ·(

10 °2.73 s

·π rad180 °

)2

= 197 N

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637

13. Lösung von Aufgabe 13

Sonne und Erde bewegen sich mit gleicher Winkelgeschwindigkeit um den gemeinsamen Schwer-punkt. Der Schwerpunkt teilt die Verbindungslinie rES = rE + rS im umgekehrten Verhältnis derMassen.

rS

rE=

mE

mS

ωS = ωE ⇒υS

rS=υE

rE⇒ υS = υE ·

rS

rE=

2πrES

TE·

mE

mS

υS =2π · 149.6 · 109 m365.27 · 86400 s

·5.9742 · 1024 kg1.9891 · 1030 kg

= 8.946 cm/s

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638

14. Lösung von Aufgabe 14

az =υ2

r⇒ r =

υ2

az=

(2.0 m/s)2

12 m/s2 = 0.33 m

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639

15. Lösung von Aufgabe 15

Abbildung 40.1: Auf eine Gondel der Masse m wirktnur die Gewichtskraft FG und die Zugkraft der Ket-ten FK , siehe Lageplan links. Im Kräfteplan (rechts)setzen sich diese zwei Kräfte zur Resultierenden zu-sammen, welche die Kreisbewegung erzwingt. Der ge-suchte Winkel γ liegt oben im Kräfteplan und wird ausFres und FG berechnet.

γ = arctan(

Fres

FG

)= arctan

(maz

mg

)= arctan

(rω2

g

)= arctan

(d2g

4π2

T 2

)= arctan

(30 m

9.81 m/s2 ·2π2

(6.5 s)2

)= 55°

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640

16. Lösung von Aufgabe 16

a) T = 12 h · 3600 s/h = 43200 s

ω =2πT

=2π

43200 s= 1.4544 · 10−4 s−1

f =1T

=1

43200 s= 23.148 µHz

b) υ = rω = r2πT

= 9.0 · 10−3 m ·2π

43200 s= 1.3 µm/s

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641

17. Lösung von Aufgabe 17

a) Nein, denn beim Bremsen in der kreisförmigen Kurve ist ~Fres = m~az + m~aB mit der Bahnbeschleu-nigung ~aB entgegen der Bewegungsrichtung.b) Nein, denn ein Körper, der sich mit konstanter Schnelligkeit auf einer z.B. Schraubenbahn bewegt,erfährt keine Bahnbeschleunigung, welche ihn schneller oder langsamer machen würde, sondern nureine Querbeschleunigung, welche ihn ablenkt: ~Fres = m~az. Der momentane Beschleunigungsvektorzeigt auf das Zentrum des Krümmungs- oder Schmiegekreises der Bahn im betreffenden Bahnpunkt.

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642

18. Lösung von Aufgabe 18: Siehe Abb. 40.2

Abbildung 40.2: Lageplan (links): Auf den Körper wirkennur die Faden- und die Gewichtskraft. Kräfteplan (rechts):Die Fadenkraft und die Gewichtskraft kombinieren sich zurresultierenden Kraft (hier Zentripetalkraft).

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643

19. Lösung von Aufgabe 19

a) az =υ2

r=

(7.6 m/s)2

0.47 m= 1.2 · 102 m/s2

b) Die Beschleunigung wird durch eine Kraft des Schlauches auf das Wasser erzeugt. Nach ac-tio=reactio übt das Wasser eine gleich starke Kraft auf den Schlauch aus. Da die Beschleunigungwesentlich grösser als die Fallbeschleunigung ist, wird die Kraft wesentlich grösser als die Gewichts-kraft und grösser als übliche Reibungskräfte sein. Der Schlauch wird sich bewegen.

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644

20. Lösung von Aufgabe 20

Wir nehmen einen vertikalen Wurf an.

ω =υ

r=

√2ghr

=

√2 · 9.81 m/s2 · 0.10 m

3.5 m= 0.40 s−1

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645

21. Lösung von Aufgabe 21

a) υ =√

2gh =√

2gr cosϕ =√

2 · 9.81 m/s2 · 0.60 m · cos 30° = 3.2 m/s

b) Siehe Abbildung 40.3.

c) FG|| = mg sinϕ = 0.150 kg · 9.81 m/s2 · sin 30° = 0.74 N

FG⊥ = mg cosϕ = 0.150 kg · 9.81 m/s2 · cos 30° = 1.3 N

d) a|| = Fres,||/m = FG||/m = g sinϕ = 9.81 m/s2 · sin 30° = 4.9 m/s2

e) F⊥ = ma⊥ = maz = mυ2/r = m2g cosϕ = 0.150 kg · 2 · 9.81 m/s2 · cos 30° = 2.5 N

Abbildung 40.3: Auf den Pendelkörper wirken dieSchnurkraft FS sowie die Gewichtskraft FG (Lage-plan). Im Kräfteplan werden diese zur resultierendenKraft zusammengefügt (Kräfteplan). Die Resultieren-de hat Anteile zum Kreiszentrum (FS − FG⊥) und tan-gential zur Bahn (FG||) nach unten.

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646

22. Lösung von Aufgabe 22

υ = ωr ⇒ r =υ

ω=

6.28 m/s2.00 s−1 = 3.14 m

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647

23. Lösung von Aufgabe 23

h = 12gt2 ⇒ t =

√2hg

ω = 2π f = 2πNt

= 2πN√

g2h

= 2π · 2.5 ·

√9.81 m/s2

2 · 10 m= 11 rad/s

©Martin Lieberherr

648

24. Lösung von Aufgabe 24

υ = ωr f =1T

ω = 2π f =2πT

υT = 2πr

a) az(r, ω) =υ2

r=

(ωr)2

r= rω2

b) az(r, f ) = rω2 = r · (2π f )2

c) r =υT2π⇒ az(υ,T ) =

υ2

r=

2πυT

c) az(υ, ω) =2πυT

= ωυ

©Martin Lieberherr

649

25. Lösung von Aufgabe 25

υ = ωr =2πrT

=2π · 85 · 10−3 m12 h · 3600 s/h

= 12 µm/s

©Martin Lieberherr

650

26. Lösung von Aufgabe 26

az =υ2

r⇒ υ =

√azr =

√3.0 m/s2 · 2.0 m = 2.4 m/s

©Martin Lieberherr

651

27. Lösung von Aufgabe 27

Der Fräser dreht sich 3600 mal pro Minute. Man nennt das eine Drehfrequenz und die SI-Einheitwäre Hertz.

f =360060 s

= 60 Hz

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652

28. Lösung von Aufgabe 28

ωS t = ϕS Stundenzeiger-Winkel ab 0 h im Uhrzeigersinn gemessenωMt = 11 · 2π − ϕS entsprechender, symmetrischer Winkel des Minutenzeigers⇒ (ωS + ωM) · t = 11 · 2π

t =11 · 2πωS + ωM

=11 · 2π2πTS

+ 2πTM

=11

1TS

+ 1TM

=11

112 h + 1

1 h

= 1113 · 12 h ≈ 10.153846 h ≈ 10 h 9 min 13.8 s

©Martin Lieberherr

653

29. Lösung von Aufgabe 29

a) Die Formeln werden ohne die Umrechnungsfaktoren 2π/360° viel einfacher.b) Man muss ‘rad’ schreiben, wenn man ohne dieses Symbol die Art der Grösse (Winkel) nichterkennen würden, d.h. α = π/2 aber α = 1.57 rad.

©Martin Lieberherr

654

30. Lösung von Aufgabe 30

Auf das Pendel (Sitz mit Passagier) wirkt die Gewichtskraft FG

und die Zugkraft FK der Kette, siehe Abbildung 40.4. Diese zweiKräfte zusammen erzeugen die Zentripetalbeschleunigung az.

Abbildung 40.4: Das Pendel bewegt sich im Abstand R um dieDrehachse. Kräfte- und Lageplan sind skizziert.

R = r + L sinϕFres = maz

mg tanϕ = m · R · ω2 = m · (r + L sinϕ) · ω2

g tanϕ = (r + L sinϕ)ω2

Im Gegensatz zum Kegelpendel ist ϕ = 0 keine Lösung dieser Gleichung für ω > 0. Der Lösungswegführt über ein Polynom vierten Grades in sinϕ.

©Martin Lieberherr

655

31. Lösung von Aufgabe 31

Ek = 12mυ2 = 1

2m(ωr)2 ⇒ ω =1r·

√2Ek

m=

11.77 m

·

√2 · 2.57 J0.353 kg

= 2.16 s−1

©Martin Lieberherr

656

32. Lösung von Aufgabe 32

Wir berechnen den maximal möglichen Radius und vergleichen:

Fres = maz → µHmg =mυ2

r⇒ r =

υ2

µHg=

(40 m/3.6 s)2

0.10 · 9.81 m/s2 = 0.13 km 13 m Geht nicht!

©Martin Lieberherr

657

33. Lösung von Aufgabe 33

a) Siehe Abbildung 40.5. α = 45° ⇒ Fres = FG

Fres = maz → mg = mrω2 = mr(2π f )2 ⇒

r =g

(2π f )2 =9.81 m/s2

(2π · 1.8 Hz)2 = 7.7 cm

Abbildung 40.5: Kräfteplanzu Aufgabe 33.

©Martin Lieberherr

658

34. Lösung von Aufgabe 34

Fres = maz → FS − FG =mυ2

r⇒

FS = mg +mυ2

r= 0.180 g · 9.81 m/s2 +

0.180 g · (30 m/s)2

0.53 m= 0.31 kN

©Martin Lieberherr

659

35. Lösung von Aufgabe 35

a)υ

r= ω = 2π f → f =

υ

2πr=

(91/3.6) m/s2π · 0.19 m

= 21 Hz

b) az =υ2

r=

((91/3.6) m/s)2

0.19 m/s= 3.4 · 103 m/s2

©Martin Lieberherr

660

36. Lösung von Aufgabe 36

Bremsverzögerung = Bahnbeschleunigung

F2res = (maz)2 + (maB)2

(µHmg)2 =(mυ2/r

)2+ (maB)2

aB =

√(µHg)2

−(υ2/r

)2=

√(0.85 · 9.81 m/s2)2

−((70 m/3.6 s)2/60 m

)2= 5.5 m/s2

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661

37. Lösung von Aufgabe 37

Im höchsten Punkt verschwindet die (horizontale) Zentripetalbeschleunigung, übrig bleibt die (verti-kale) Bahnbeschleunigung, die von der Schwerkraft verursacht wird. Im untersten Punkt verschwindetdie Bahnbeschleunigung, übrig bleibt die Zentripetalbeschleunigung, die von der Schwerkraft und derNormalkraft des Sitzes verursacht wird.

oben: Fres,o = mg = 28 kg · 9.81 m/s2 = 0.27 kN

unten: Fres,u = mυ2/r = m( √

2gr)2/r = 2mg = 2 · 28 kg · 9.81 m/s2 = 0.55 kN

©Martin Lieberherr

662

38. Lösung von Aufgabe 38

a) 1600 min−1 =160060 s

= 26.67 Hz = 27 Hz

b) υ = rω = d/2 · 2π f = πd f = π · 0.54 m · 1600/60 s = 45 m/s

c) az = rω2 = 2π2d f 2 = 2π2 · 0.54 m · (1600/60 s)2 = 7.6 · 103 m/s3

d) υ = ωr = 2π f r =√

gr ⇒

f = 1π

√g/(4r) = 1

π

√g/(2d) = 1

π

√9.81 m/s2/(2 · 0.54 m) = 0.96 Hz

©Martin Lieberherr

663

39. Lösung von Aufgabe 39

ωMt = ωS t + 2 · 2π2πTM

t =2πTS

t + 2 · 2π

t =2

1TM− 1

TS

=2

11 h −

112 h

= 2.1818 h = 2 h 10 min 55 s

©Martin Lieberherr

664

40. Lösung von Aufgabe 40

Die siderische Umlaufzeit ist auf die Fixsterne bezogen, die synodische auf die Sonne (von Neumondzu Neumond). Bei der synodischen Umlaufzeit muss die Bewegung der Erde um die Sonne mit be-rücksichtigt werden, d.h. wir müssen die mittleren Winkelgeschwindigkeiten geeignet kombinieren.

ωsy = ωsi − ωE

2πTsy

=2πTsi−

2πTE

Tsy =

(1

Tsi−

1TE

)−1

=

(1

27.321662 d−

1365.25636 d

)−1

= 29.53059 d

©Martin Lieberherr

665

41. Lösung von Aufgabe 41

f =1T

=υ

πd=

1.5 · 103 m/60 sπ · 1.003 m

= 25 Hz

=1.5 · 103 m/minπ · 1.003 m

= 1496 min−1 (ca. zwei signifikante Stellen)

©Martin Lieberherr

666

42. Lösung von Aufgabe 42

Fres = maz = mυ2

r= 1.0 · 103 kg ·

(12 m/s)2

20 m= 7.2 kN

Das wäre eher viel im Vergleich zum Gewicht (mg ≈ 10 kN) des Wagens.

©Martin Lieberherr

667

43. Lösung von Aufgabe 43

Mit “Zeit stehen bleiben” könnte gemeint sein, dass sich die Sonne relativ zum Flugzeug nicht be-wegt, d.h. die Bahngeschwindigkeit des Flugzeugs muss der Bahngeschwindigkeit der Erdoberflächeentgegengesetzt gleich sein. Wir nehmen Tag-Nacht-Gleiche an.

c = ωr =2πT

rE cos β⇒ β = arccos(

cT2πrE

)= arccos

(344 m/s · 86400 s2π · 6.371 · 106 m

)= 42.1 °

©Martin Lieberherr

668

44. Lösung von Aufgabe 44

Die Winkelgeschwindigkeit ω1 der Erdrotation (entspricht dem Sterntag T1) vermindert sich um dieWinkelgeschwindigkeit ω2 der Bahnbewegung (entspricht einem Jahr T2) zur scheinbaren Winkelge-schwindigkeit ω3 der Sonne (entspricht dem mittleren Sonnentag T3).

ω1 − ω2 = ω3 →2πT1−

2πT2

=2πT3⇒ T2 =

(1T1−

1T3

)−1

=

(1

86 164.090 s−

186 400 s

)−1

T2 = 3.155685382 · 107 s = 3.156 · 107 s

Die Genauigkeit ist nicht ganz klar, denn 86 400 s für den mittleren Sonnentag ist ein konventionellerWert, der um 1900 festgelegt worden ist. Heute (2016) dreht sich die Erde etwas langsamer. In derFoTa findet man für die Dauer eines siderischen Jahres 3.1558150·107 s.

©Martin Lieberherr

669

45. Lösung von Aufgabe 45

υ = rω =2πrT⇒ r =

υT2π

=100 000 km/h · 8 h

2π= 127 · 106 m = 1.3 · 108 m riesig!

©Martin Lieberherr

670

46. Lösung von Aufgabe 46

Die Pfeile in Abbildung 40.6 könnten die mo-mentane Geschwindigkeit υ, die Normal- oderZentripetalbeschleunigung an, die GewichtskraftFG und die Tangentialbeschleunigung at bedeu-ten. Statt at könnte man auch Luftwiderstands-kraft hinschreiben, statt FG die Fallbeschleuni-gung etc.

Abbildung 40.6: Bahn eines geworfenen Steinsmit gerichteten Grössen

©Martin Lieberherr

Kapitel 41

Lösungen (Beschleunigte Bezugssysteme)

1. Lösung von Aufgabe 1

az = r ·Ω2 = r ·(2πT

)2

= 26000 · 9.46 · 1015 m ·(

2π230 · 106 · 3.156 · 107 s

)2

= 1.84 · 10−10 m/s2

©Martin Lieberherr

672

2. Lösung von Aufgabe 2

Im mitdrehenden Bezugssystem wirken Gewichts-, Normal- und Zentrifugalkraft. Das ‘gefühlte Ge-wicht’ ist gleich der Normalkraft, mit welcher der Sitz nach oben drückt.

Fres = 0FN − FG − FZ = 0

f FG − FG − mυ2/r = ( f − 1)mg − mυ2/r = 0⇒

r =υ2

( f − 1)g=

(170 m/3.6 s)2

(3.5 − 1) · 9.81 m/s2 = 91 m

©Martin Lieberherr

673

3. Lösung von Aufgabe 3

a) υ = rω =d2· 2π f = 0.360 m · π ·

2200060 s

= 415 m/s

b) aZF = rΩ2 =d2· (2π f )2 =

0.360 m2

·

(2π ·

2200060 s

)2

= 9.55 · 103 m/s2

©Martin Lieberherr

674

4. Lösung von Aufgabe 4

Zentripetalkraft ist ein anderes Wort für die Resultierende bei gleichmässiger Kreisbewegung. Sie istgegen das Kreiszentrum gerichtet. Sie ist proportional zum Quadrat der Winkelgeschwindigkeit derKreisbewegung. Die Zentrifugalkraft ist eine Scheinkraft in einem rotierenden Bezugssystem. Sie istvon der Drehachse weg gerichtet. Sie ist proportional zum Quadrat der Winkelgeschwindigkeit desBezugssystems (relativ zu einem Inertialsystem).

©Martin Lieberherr

675

5. Lösung von Aufgabe 5

In beschleunigten Bezugssystemen treten fast immer Scheinkräfte auf. Sie verschwinden, wenn manein Inertialsystem wählt.

©Martin Lieberherr

Kapitel 42

Lösungen (Astronomie)

42.1 Lösungen (Keplersche Gesetze)

1. Lösung von Aufgabe 1

a) Wir verwenden die Erde als Vergleichskörper:

T 2

T 2E

=a3

a3E

⇒ T = TE ·

(aaE

)3/2

= 365.25636 d ·(

0.76190 AE1.000015 AE

)3/2

= 242.90 d

b) rP = a · (1 − ε) = 0.76190 AE · (1 − 0.35661) = 0.49020 AE

rA = a · (1 + ε) = 0.76190 AE · (1 + 0.35661) = 1.03360

Die Angaben stimmen bis auf zufällige Rundungsfehler in der letzten signifikanten Stelle überein.

©Martin Lieberherr

42.1 Lösungen (Keplersche Gesetze) 677

2. Lösung von Aufgabe 2Die Umlaufzeit des Satelliten ist ein Sterntag. Wir vergleichen den Satelliten mit dem Mond (sideri-sche Umlaufzeit). Als Mass für die Grösse bietet sich die grosse Halbachse an.

a3S

a3M

=T 2

S

T 2M

⇒ aS = aM ·

(TS

TM

)2/3

= 3.844 · 108 m ·(0.99726957 d27.321662 d

)2/3

= 4.230 · 107 m

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42.1 Lösungen (Keplersche Gesetze) 678

3. Lösung von Aufgabe 3a) Der Startabstand ist die Apheldistanz rA, die Periheldistanz rP ist der Erdradius. Damit folgt für diegrosse Halbachse a:

a =rA + rP

2

rA = (1 + ε)a⇒ ε =rA

a− 1 =

2rA

rA + rP− 1 =

2rA

rA + rP−

rA + rP

rA + rP

ε =rA − rP

rA + rP=

7000 km − 6371 km7000 km + 6371 km

= 0.0470

b) Wir nehmen den Mond als Vergleichskörper

T 2

a3 =T 2

M

a3M

⇒

T = TM ·

√a3

a3M

= 27.322 d ·

√((7000 + 6371) km/2)3

(3.844 · 105 km)3 = 0.06267 d · 24 h/d = 1.504 h

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42.1 Lösungen (Keplersche Gesetze) 679

4. Lösung von Aufgabe 4Wir vergleichen den Satelliten mit dem Mond im 3. keplerschen Gesetz:

TE =t10

N(aE

aM

)3

=

(TE

TM

)2

aE = aM

(TE

TM

)2/3

h = aE − re

h = aM

(t10

NTM

)2/3

− re

h = 3.844 · 108 m ·(

10 · 365.24 d52000 · 27.32 d

)2/3

− 6.371 · 106 m = 8.4 · 105 m

Aus dem gleichen Zeitungsartikel: “Der am 1. März 2002 von einer Ariane-5-Rakete auf eine Umlauf-bahn in 800 Kilometern Höhe gebrachte, 8,2 Tonnen schwere Envisat ist der komplexeste je gebauteForschungssatellit.” (NZZ, 14. April 2012, S. 24)Im Rahmen der getroffenen Näherungen ist das Resultat unserer Rechnung befriedigend.

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42.1 Lösungen (Keplersche Gesetze) 680

5. Lösung von Aufgabe 5Siehe Abbildung 42.1.

Abbildung 42.1: Zu zeigen ist, dass die Dreiecke ABP und CDP gleiche Fläche haben.Die Grundlinien AB und CD sind gleich lang, denn der Körper bewegt sich mit konstanterGeschwindigkeit, kommt also in gleicher Zeit gleich weit. Die Höhen der Dreiecke sindebenfalls gleich, denn diese entspricht dem Abstand des Punktes P von der Geraden. Somitsind die Dreiecke flächengleich. qed.

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42.1 Lösungen (Keplersche Gesetze) 681

6. Lösung von Aufgabe 6

a)T 2

2

T 21

=a3

2

a31

→ T ∝ a1.5 Die Umlaufzeit T nimmt mit der gr. Halbachse a ab.

b) 1 −T2

T1= 1 −

(a2

a1

)3/2

= 1 −(6700 km6720 km

)3/2

= 0.00446 = 0.45 %

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42.1 Lösungen (Keplersche Gesetze) 682

7. Lösung von Aufgabe 7

rA = a + c = (1 + ε) · a = (1 + 0.20563) · 57.9092 · 109 m = 69.8171 · 109 m

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42.1 Lösungen (Keplersche Gesetze) 683

8. Lösung von Aufgabe 8

Im Perihel ist die Sonne näher als im Aphel. Im Perihel erscheint die Sonne grösser als im Aphel.

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42.1 Lösungen (Keplersche Gesetze) 684

9. Lösung von Aufgabe 9

Die Erde (scheinbar die Sonne) bewegt sich im Perihel schneller als im Aphel. Der Nordhalbkugel-Sommer (Sonnenferne) dauert etwas länger als der Winter. Sonnenuhren laufen u.a. wegen Keper IInicht ganz gleichmässig übers Jahr.

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42.1 Lösungen (Keplersche Gesetze) 685

10. Lösung von Aufgabe 10a) Die Bahn in Abbildung 42.2 wurde mit 2a = 60.00 mmund 2b = 33.73 mm gezeichnet. Damit folgt für die lineareExzentrizität c2 = a2 − b2 → c = 24.81 mm respektive dienumerische Exzentrizität ε = c/a = 0.827.b) Der Abstand vom Ellipsenzentrum Z zum Fokus F, wosich die Sonne befindet, in Richtung eines der Hauptschei-tel ist gleich der linearen Exzentrizität c. Alternativ kannvom Nebenscheitel die grosse Halbachse a mit dem Zirkelauf die grosse Achse abgetragen werden.

Abbildung 42.2: Bahn des Planetoiden Icarus mit ε =

0.827

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42.1 Lösungen (Keplersche Gesetze) 686

11. Lösung von Aufgabe 11a) Die Geschossbahn muss eine Keplerellipse mit dem Schwer-punkt der Erde im Brennpunkt sein. Der Erdmittelpunkt ist inAbb. 9.2 nicht im Fokus, also ist es eine falsche Bahn.b) Die Abschussgeschwindigkeit muss zwischen der ersten undzweiten kosmischen Geschwindigkeit liegen. Der eine Brenn-punkt der Bahnellipse muss mit dem Schwerpunkt der Erde über-einstimmen, siehe ein Beispiel in Abbildung 42.3.

Abbildung 42.3: Mögliche Geschossbahn von Pol zu Gegenpol

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42.1 Lösungen (Keplersche Gesetze) 687

12. Lösung von Aufgabe 12

αP = arctandM

rP≈

dM

rP→

αP

αA=

rA

rP=

4.067 · 108 m3.564 · 108 m

= 1.141 = 100 % + 14.1 % X

J ∼1r2 ⇒

JP

JA=

(rA

rP

)2

=

(4.067 · 108 m3.564 · 108 m

)2

= 1.302 = 100 % + 30.2 % X

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42.1 Lösungen (Keplersche Gesetze) 688

13. Lösung von Aufgabe 13In Abbildung 42.4 wurde der Brennpunktder verschobenen Asteroidenbahn dazu ge-zeichnet. Er liegt neben der Sonne. DerBrennpunkt ist der Schnittpunkt der gros-sen Achse mit einem Kreis um einen Ne-benscheitel, der die grosse Halbachse alsRadius hat.

T 2P

T 2M

=a3

P

a3M

⇒ TP = TM

(2aP

2aM

)3/2

TP = 1.88089 a ·(2.92 in3.05 in

)3/2

= 1.76 a

Abbildung 42.4: Skizze zur Lösung derAufgabe 13.

Die Bahn ist jene des Asteroiden 137 108 1999 AN10 mit grosser Halbachse 1.4587 AE, Exzentrizität0.56212 und Umlaufzeit 1.76 Jahren.

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42.1 Lösungen (Keplersche Gesetze) 689

14. Lösung von Aufgabe 14

a) rp = a · (1 − ε) = 0.8422 AE · (1 − 0, 4498) = 0.4634 AE > aMerkur (aber rP < rA, Merkur)

b)T 2

H

T 2M

=a3

H

a3M

⇒ TH = TM ·

(aH

aM

)3/2

= 87.969 d ·(

0.8422 AE0.387099 AE

)3/2

= 282.3 d

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42.1 Lösungen (Keplersche Gesetze) 690

15. Lösung von Aufgabe 15

Der Schatten des Mondes auf der Erde ist viel zu klein, eine totale Sonnenfinsternis auf der Erde istkleinräumig. Die Sonnenfinsternis müsste natürlich an einem anderen Datum stattfinden.

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42.1 Lösungen (Keplersche Gesetze) 691

16. Lösung von Aufgabe 16

Mit der grossen Halbachse a und der numerischen Exzentrizität ε lassen sich Grösse und Form derBahn unabhängig voneinander beschreiben.

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42.1 Lösungen (Keplersche Gesetze) 692

17. Lösung von Aufgabe 17

a3K

a3E

=T 2

K

T 2E

⇒ aK = aE

(TK

TE

)2/3

= 1.000 AE(5 · 365.25 + 82

365.25

)2/3

= 3.01 AE

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42.2 Lösungen (Gravitationskraft) 693

42.2 Lösungen (Gravitationskraft)

1. Lösung von Aufgabe 1

a) FG =GMm

(R − r)2 =6.674 · 10−11 Nm2kg−2 · 7.349 · 1022 kg · 70 kg

(3.844 · 108 m − 6.371 · 106 m)2 = 2.4 mN

b) g(ρ) =GMρ2 Gravitationsfeldstärke, ‘Fallbeschleunigung’

FG = m · g(R − r)

F = m · g(R − r) − m · g(R) = GMm ·(

1(R − r)2 −

1R2

)= 6.674 · 10−11 Nm2kg−2 · 7.349 · 1022 kg · 70 kg

·

(1

(3.844 · 108 m − 6.371 · 106 m)2 −1

(3.844 · 108 m)2

)= 79 µN

Die Erde befindet sich ‘im freien Fall um den Mond herum’. Deshalb ist die Erde schwerelos odergenauer: Eine Probemasse im Erdschwerpunkt spürt die Gravitationskraft des Mondes nicht. Sie kanndeshalb subtrahiert werden. Was übrig bleibt, heisst Gezeitenkraft.

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42.2 Lösungen (Gravitationskraft) 694

2. Lösung von Aufgabe 2Die Bahn eines Satelliten kann mit hoher Präzision vermessen werden. Daraus lässt sich der Gravi-tationsparameter mit ebenso hoher Genauigkeit bestimmen. Die Masse des Zentralkörpers wird viadie Gravitationskonstante G aus der Bahn berechnet. G muss im Labor mit kleinen Massen bestimmtwerden und ist deshalb ‘relativ unsicher’.

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42.2 Lösungen (Gravitationskraft) 695

3. Lösung von Aufgabe 3

Fres = maz ⇒GMm

r2 = mrω2 = mr ·(2πT

)2

⇒

r = (GM)1/3 ·

( T2π

)2/3

= (3.986004418 · 1014 m3/s2)1/3 ·

(11 · 3600 s + 28 · 60 s

2π

)2/3

= 2.582 · 107 m

Die Grösse GM (Gravitationskonstante mal Erdmasse) heisst Gravitationsparameter der Erde und isttabelliert.

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42.2 Lösungen (Gravitationskraft) 696

4. Lösung von Aufgabe 4

Fres = maz ⇒GMm

r2 =mυ2

r⇒ r =

GMυ2 =

3.986004418 · 1014 m3/s2

(7.2 · 103 m/s)2 = 7.7 · 106 m

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42.2 Lösungen (Gravitationskraft) 697

5. Lösung von Aufgabe 5

a) FG =GMm

r2 =6.6743 · 10−11 Nm2/kg2 · 5.9742 · 1024 kg · 523 kg

(30 · 106 m)2 = 2.3 · 102 N

b) g =GMr2 =

6.6743 · 10−11 Nm2/kg2 · 5.9742 · 1024 kg(30 · 106 m)2 = 0.44 m/s2

c)a3

T 2 =GM(2π)2 ⇒ T = 2π ·

√a3

GM=

T = 2π ·

√(30 · 106 m)3

6.6743 · 10−11 Nm2/kg2 · 5.9742 · 1024 kg= 5.2 · 104 s ≈ 14 h

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42.2 Lösungen (Gravitationskraft) 698

6. Lösung von Aufgabe 6Im Extremfall sind Erde, Mars und Jupiter auf einer Linie mit Mars auf der gleichen und Jupiter aufder anderen Seite der Sonne. Wir nehmen die grossen Halbachsen als Bahnradien.

FMars =GmEmM

(aM − aE)2 =6.6743 · 10−11 Nm2/kg2 · 5.9742 · 1024 kg · 0.64191 · 1024 kg

(227.936 · 109 m − 149.6 · 109 m)2

= 4.171 · 1016 N

FJup =GmEmJ

(aJ + aE)2 =6.6743 · 10−11 Nm2/kg2 · 5.9742 · 1024 kg · 1898.8 · 1024 kg

(778.5 · 109 m + 149.6 · 109 m)2

= 8.790 · 1017 N Jupiter zieht stärker an der Erde.

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42.2 Lösungen (Gravitationskraft) 699

7. Lösung von Aufgabe 7

a)Gmz

4π2 =a3

T 2 ⇒

mS =4π2

Ga3

R

T 2R

=4π2

6.67428 · 10−11 N ·m2/kg2 ·(1.356 · 106 m)3

(3.6450 · 86400 s)2 = 1.487 · 1019 kg

b) Vergleich mit der Erde:

T 2S

a3S

=T 2

E

a3E

⇒ TS = TE

(aS

aE

)3/2

= 1.000 a ·(3.486 AE1.000 AE

)3/2

= 6.509 a

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42.2 Lösungen (Gravitationskraft) 700

8. Lösung von Aufgabe 8

GM4π2 =

(r + h1)3

T 21

undGM4π2 =

(r + h2)3

T 22

⇒r + h1

r + h2=

(T1

T2

)2/3

⇒ r =h2(T1/T2)2/3 − h1

1 − (T1/T2)2/3

r =210 km · (12.3 h/4.3 h)2/3 − 680 km

1 − (12.3 h/4.3 h)2/3 = 253.02 km = 2.5 · 105 m

M =4π2

G(r + h1)3

T 21

=4π2

6.67428 · 10−11 Nm2/kg2

(2.5302 · 105 m + 680 · 103 m)3

(12.3 · 3600 s)2 = 2.5 · 1020 kg

Daten nach wikipedia (25. Mai 2012): mittlerer Durchmesser 525.4 km, Abmessungen 573 km ×557 km × 446 km, Masse 2.59076 · 1020 kg

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42.2 Lösungen (Gravitationskraft) 701

9. Lösung von Aufgabe 9

Fres = maz ⇒GMm

r2 = mrω2 = mr(2πT

)2

⇒ M =r3

G·

(2πT

)2

M =(9378 · 103 m)3

6.67428 · 10−11 Nm2/kg2 ·

(2π

0.3189 · 86400 s

)2

= 6.426 · 1023 kg

FoTa: 0.64169·1024 kg

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42.2 Lösungen (Gravitationskraft) 702

10. Lösung von Aufgabe 10

FG ∝1r2 ⇒

F2

F1=

(r1

r2

)2

≈ 1.102 = 1.21 Die Gravitationskraft variiert etwa um 20 %.

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42.2 Lösungen (Gravitationskraft) 703

11. Lösung von Aufgabe 11

T 2

a3 =4π2

GmJ⇒ T = 2π

√a3

(GmJ)= 2π

√(11.165 · 106 km)3

126 686 534 km3/s2 = 2.082585 · 107 s = 241.04 d

Die letzte Ziffer von 240.9 Tagen ist eine Einheit neben unserer Rechnung.

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42.2 Lösungen (Gravitationskraft) 704

12. Lösung von Aufgabe 12

FG =GmMmS

r2 =(GmM)ρVS

r2 =(4.903 · 1012 m3/s2) · 998 kg/m2 · 3.9 · 109 m3

(3.844 · 108 m)2 = 1.3 · 108 N

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42.2 Lösungen (Gravitationskraft) 705

13. Lösung von Aufgabe 13

a)a3

T 2 =Gmz

(2π)2 ⇒ mz =a3

G

(2πT

)2

=

mz =(5.513 · 109 m)3

6.67428 · 10−11 Nm2/kg2 ·

(2π

360.13619 · 86400 s

)2

= 1.024 · 1026 kg Neptun

b) rA = a + c = (1 + ε) a = (1 + 0.7507) · 5.513 · 109 m = 9.652 · 109 m

c)T 2

T

T 2N

=a3

T

a3N

⇒ TT = TN ·

(aT

aN

)3/2

= 360.13619 d ·(

50075 km5.513 · 106 km

)3/2

= 0.3118 d

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42.2 Lösungen (Gravitationskraft) 706

14. Lösung von Aufgabe 14

FE =GmEmM

r2EM

FS =GmS mM

r2S M

rS M ≈ rS E

FE

FS=

mE

mS

(rS M

rEM

)2

=5.9722 · 1024 kg1.9884 · 1030 kg

(1.496 · 1011 m3.844 · 108 m

)2

= 0.4549

Da die Abstände Erde-Mond und Sonne-Erde schwanken, ist das Verhältnis nur auf ein bis zweiwesentliche Ziffern bestimmt. Das Resultat sagt, dass der Mond stärker von der Sonne angezogenwird als von der Erde.

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42.2 Lösungen (Gravitationskraft) 707

15. Lösung von Aufgabe 15

∆F =Gm1m2

(R − r)2 −Gm1m2

(R + r)2 = 6.674 · 10−11 N m2

kg2 · 7.3458 · 1022 kg· ↓

×

(70 kg

(3.844 · 108 m − 6.371 · 106 m)2 −70 kg

(3.844 · 108 m + 6.371 · 106 m)2

)= 0.15 mN

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42.2 Lösungen (Gravitationskraft) 708

16. Lösung von Aufgabe 16

Die Distanzangaben sind die Höhen über der Mondoberfläche im mondnächsten und -fernsten Punkt.

ε =ca

=hA − hP

2r + hA + hP=

101.2 km − 99.45 km2 · 1737.4 km + 101.2 km + 99.45 km

= 4.76 · 10−4

Polarer und äquatorialer Radius des Mondes unterscheiden sich etwa ein Promille. Welchen Radiuserhält man aus der Umlaufzeit?

a3

T 2 =GM4π2 ⇒ a =

((GM) · T 2

4π2

)1/3

=

((4.9027779 · 1012 m3/s2) · (117.9 · 60 s)2

4π2

)1/3

a = 1838.5 km→ a − h = 1838.5 km − (101.2 + 99.45) km/2 = 1738.2 km ≈ rMond X

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42.2 Lösungen (Gravitationskraft) 709

17. Lösung von Aufgabe 17

FG =GMm

r2 ≈6.674 · 10−11 Nm2/kg2 · 1.9884 · 1030 kg · 70 kg

(1.496 · 1011 m)2 = 0.42 N

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42.2 Lösungen (Gravitationskraft) 710

18. Lösung von Aufgabe 18

Der Saturnring befindet sich innerhalb der Roche-Grenze. Die Ringteilchen ziehen sich schon an, aberdie Gezeitenkräfte (Unterschiede in den Gravitationskräften Saturns) sind stärker und verhindern einVerklumpen.

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42.2 Lösungen (Gravitationskraft) 711

19. Lösung von Aufgabe 19

Fres = maz →Gm1m2

r5 = m2rω2 = m2r(2πT

)2

⇒Gm1

4π2 =r6

T 2

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42.2 Lösungen (Gravitationskraft) 712

20. Lösung von Aufgabe 20

Fres = m3az →GmPm3

(R − rM)2 −GmMm3

r2M

= m3 (R − rM)ω2 = m3 (R − rM)GmP

R3

GmP

(R − rM)2 −GmM

r2M

= (R − rM)GmP

R3 ⇒1

(R − rM)2 −mM/mP

r2M

= (R − rM)1R3 ⇒

1R2 (1 − rM/R)2 −

mM/mP

r2M

= R (1 − rM/R)1R3 →

1R2

(1 + 2rM/R) −mM/mP

r2M

= (1 − rM/R)1R2

3rM

R3 =mM

mPr2M

⇒ R3 = 3r3M

mP

mM= 3r3

M

ρPr3P

ρMr3M

→ R3 ≈ 3r3P ⇒ R =

3√3rP = 1.44rP

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42.2 Lösungen (Gravitationskraft) 713

21. Lösung von Aufgabe 21

Umkreisradius eines gleichseitigen Dreiecks: r =

√3

3s

Kraft von Körper 1 auf Körper 2: F12 = F =Gm2

s2 =Gm2

3r2

F2res = F2

13 + F323 − 2F13F23 cosϕ = F2(2 − 2 cosϕ) = F2(2 − 2 cos 120°) = F2 · 3

Fres = maz →√

3 ·Gm2

3r2 = mrω2 ⇒

√3

3Gmr3 =

(2πT

)2

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42.2 Lösungen (Gravitationskraft) 714

22. Lösung von Aufgabe 22

Der Lagrangepunkt L3 ist in der Nähe der “Gegen-Erde”. Die Sonne bleibe in Ruhe im Koordinaten-nullpunkt, die Erde werde von der Testmasse in L3 nicht beeinflusst.

GMr3

E

=

(2πTE

)2

= ω2 Kepler III für die Erde

Fres = m3az →GMm3

r23

+GmEm3

(r3 + rE)2 = m3r3ω2 = m3r3

GMr3

E

⇒1r2

3

+mE/M

(r3 + rE)2 =r3

r3E

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42.2 Lösungen (Gravitationskraft) 715

23. Lösung von Aufgabe 23

a)

b) Fres = maz ⇒GMm

(r − d/2)2 +GMm

(r + d/2)2 = mrω2 = mr(2πT

)2

= mrG · (M + M)

d3 (Kepler III)

1(r − d/2)2 +

1(r + d/2)2 =

2rd3

(→ r/d ≈ 1.984)

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42.2 Lösungen (Gravitationskraft) 716

24. Lösung von Aufgabe 24

Fres = m1az →Gm1m2

(r1 + r1)2 = m1r1ω2 = m1r1

(2πT

)2

⇒ T = 2π

√r1(r1 + r2)2

Gm2

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42.3 Lösungen (Gravitationsfeld) 717

42.3 Lösungen (Gravitationsfeld)

1. Lösung von Aufgabe 1

g =GMr2 ∝

1r2 ⇒

g2

g1=

12

=r2

1

r22

⇒ r2 = r1

√2 =√

2 · 6371 km = 9010 km

Es gäbe auch noch eine Lösung im Erdinneren, die sich aber nicht so einfach ausrechnen lässt, weildie Erde inhomogen ist.

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42.3 Lösungen (Gravitationsfeld) 718

2. Lösung von Aufgabe 2

g =Gmr2 ⇒

gM

gE=

GmM/r2M

GmE/r2E

=mM

mE·

(rE

rM

)2

= 0.107 ·(

10.532

)2

= 0.378 = 37.8 %

In der Quelle, aus der die Angaben stammen, wird 0.377 genannt; im Rahmen der Rechengenauigkeitalso dasselbe.

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42.3 Lösungen (Gravitationsfeld) 719

3. Lösung von Aufgabe 3

gM =GmM

r2EM

=6.67428 · 10−11 Nm2/kg2 · 7.3458 · 1022 kg

(3.844 · 108 m)2 = 3.318 · 10−5 m/s2

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42.3 Lösungen (Gravitationsfeld) 720

4. Lösung von Aufgabe 4

∆g = gZ − gN =GmM

(rEM − rE)2 −GmM

(rEM + rE)2 = 6.67428 · 10−11 Nm2/kg2 · 7.3458 · 1022 kg

·

(1

(3.844 · 108 m − 6.3781 · 106 m)2 −1

(3.844 · 108 m + 6.3781 · 106 m)2

)= 2.203 · 10−6 m/s2

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42.3 Lösungen (Gravitationsfeld) 721

5. Lösung von Aufgabe 5

Sei M die Masse der Vollkugel mit Radius R. Die Gravitationsfeldstärke wird nur durch die Masse minnerhalb vor r < R verursacht; die Hohlkugel im Bereich r . . .R erzeugt kein Feld im Innern.

m = ρV =M

4π3 R3·

4πr3

3= M ·

r3

R3

g(r) =Gmr2 =

GMr3

R3r2 =GMR3 · r

Nur bei einem homogenen Körper nimmt die Feldstärke proportional zum Mittelpunktsabstand zu.Himmelskörper sind im allgemeinen nicht homogen. Sterne und Planeten haben Zwiebelschalenstruk-tur mit höherer Dichte im Zentrum.

©Martin Lieberherr

42.3 Lösungen (Gravitationsfeld) 722

6. Lösung von Aufgabe 6

g =GMr2 ⇒

g2

g1=

(r1

r2

)2

⇒r2

r1=

√g1

g2

h = r2 − r1 = r1

√g1

g2− r1 =

(√g1

g2− 1

)· r1 =

√ 10001000 − 1

− 1

· 6371 km = 3 km

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42.3 Lösungen (Gravitationsfeld) 723

7. Lösung von Aufgabe 7

g =GMr2 ⇒

g2

g1=

(r1

r2

)2

=

(r1

r1 + h

)2

g2 − g1 = g1

(r1

r1 + h

)2

− g1 = 9.81 m/s2(

6.371 · 106 m6.371 · 106 m + 1 m

)2

− 9.81 m/s = −3.08 · 10−6 m/s2

Variante mit (guten) Näherungen:

g2

g1=

(r1

r1 + h

)2

=

(1 +

hr1

)−2

= 1 −2hr1

+ · · · ≈ 1 −2hr1

g2 − g1 = g1

(1 −

2hr1

)− g1 = −

2ghr1

= −2 · 9.81 m/s2 · 1 m

6.371 · 106 m= −3.08 · 10−6 m/s2

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42.3 Lösungen (Gravitationsfeld) 724

8. Lösung von Aufgabe 8

g =GMr2 =

Gρ 4π3 r3

r2 ∝ r →g2

g1=

r2

r1= 2

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42.3 Lösungen (Gravitationsfeld) 725

9. Lösung von Aufgabe 9

a)a3

T 2 =Gm4π2 ⇒ m =

4π2a3

GT 2 =4π2 · (354739 · 103 m)3

6.67428 · 10−11 Nm2/kg2 · (5.876854 · 86400 s)2

= 1.02415 · 1026 kg Das ist die Masse von Neptun.

b) g(r) =Gmr2 =

6.67428 · 10−11 Nm2/kg2 · 102.45 · 1024 kg(49 · 106 m/2)2 = 11 m/s2

c) Aus Umlaufzeit und Bahnradius berechnet man die Zentripetalbeschleunigung. Aus derGravitationskraft der Sonne berechnet man die Beschleunigung via das Aktionsprinzip F = ma.

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42.3 Lösungen (Gravitationsfeld) 726

10. Lösung von Aufgabe 10

az = g

υ2

r= g

υ =√

gr

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42.3 Lösungen (Gravitationsfeld) 727

11. Lösung von Aufgabe 11

g(r) ∝1r2 ⇒ 1 −

g1

g0= 1 −

r20

r21

= 1 −(

6371.0 km6371.0 km + 40 km

)2

= 0.012 = 1.2 %

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42.3 Lösungen (Gravitationsfeld) 728

12. Lösung von Aufgabe 12

g =GMr2 =

G · ρ · 4π3 r3

r2 = 4π3 Gρr

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42.3 Lösungen (Gravitationsfeld) 729

13. Lösung von Aufgabe 13

g =GMr2 =

GρVr2 ∝ ρ⇒ g2 = g1 ·

ρ2

ρ1= 9.81 N/kg ·

19.29 · 103 kg/m3

5.517 · 103 kg/m3 = 34.3 m/s2

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42.4 Lösungen (Gravitationsenergie) 730

42.4 Lösungen (Gravitationsenergie)

1. Lösung von Aufgabe 1

a) Fres = maz →GMm

r2 = mr ·(2πT

)2

⇒ T = 2π

√r3

GM= 2π

√(800 · 103 m)3

6.674 · 10−11 Nm2/kg2 · 1.40 · 1018 kg= 4.65 · 105 s = 5.38 d

b) g(r) =GMr2 =

6.674 · 10−11 Nm2/kg2 · 1.40 · 1018 kg(1

2 · 137 · 103 m)2= 1.99 · 10−2 m/s2

c) 12mυ2 −

GMmr

= 0⇒ υ =

√2GM

r=

√2 · 6.674 · 10−11 Nm2/kg2 · 1.40 · 1018 kg

12 · 137 · 103 m

= 52.2 m/s

d) Perihel: rP = a − c = a · (1 − ε)

= 3.1543 AE · (1 − 0.10146) = 2.8343 AE · 1.495978 · 1011 m/AE = 4.2400 · 1011 m

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42.4 Lösungen (Gravitationsenergie) 731

2. Lösung von Aufgabe 2

Die Fluchtgeschwindigkeit an der Mondoberfläche beträgt υF = 2.38 km/s, das ist weniger als diemaximale Geschossgeschwindigkeit. Hat eine Granate gerade die Fluchtgeschwindigkeit, so bewegtsie sich auf einer Parabelbahn vom Mond weg und kehrt nicht wieder zurück. Bei höherer Geschwin-digkeit bewegt sie sich auf einer Hyperbelbahn weg und kehrt erst recht nicht mehr zurück. (Beisenkrechtem Abschuss ist die Geschossbahn natürlich eine Halbgerade.)

Bei tieferen Abschussgeschwindigkeiten wird sich die Granate auf einer Ellipsenbahn um den Mondbewegen, in deren einem Brennpunkt der Schwerpunkt des Mondes liegt. Die Parkbahngeschwin-digkeit auf einer Kreisbahn mit Mondradius beträgt υP =

√gr =

√1.622 m/s2 · 1.7374 · 106 m =

1679 m/s = υF/√

2.

Bei tangentialem Abschuss mit υ > υP bewegt sich das Geschoss auf einer Ellipse um den Mond undkehrt zurück! Die Kanone ist im Perizentrum. Bei tangentialem Abschuss mit υ < υP bohrt sich dasGeschoss direkt vor der Kanone in den Boden, wenn wir den Mond als perfekte Kugel anschauen unddie Kanone als Punkt.

Bei Abschuss schräg nach oben ergeben sich die Situationen von Abbildung 42.5 und 42.6. Die Bahnist eine Ellipse. Jeder Punkt der Mondoberfläche kann mit einem Schuss erreicht werden.

Abbildung 42.5: Beim Schuss mit wenigerals der Parkbahngeschwindigkeit ist die grosseHalbachse der Bahnellipse kleiner als der Mon-dradius.

Abbildung 42.6: Beim Schuss mit mehr als derParkbahngeschwindigkeit ist die grosse Halb-achse der Bahnellipse grösser als der Mondra-dius.

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42.4 Lösungen (Gravitationsenergie) 732

3. Lösung von Aufgabe 3

Die Höhe 224 km ist klein im Vergleich zum Erdradius, d.h. wir können ∆Ep = mgh setzen. Beieiner Kreisbahn gilt Ep = −2Ek, d.h. die Abnahme der potentiellen Energie wird zur Hälfte in kine-tische Energie umgesetzt und zur anderen Hälfte in Wärme umgewandelt (‘Bremswärme der Luft-widerstandskraft’). Die Bahngeschwindigkeit ist υ =

√gr. Die Bremsleistung ist das Produkt aus

Bremskraft und Geschwindigkeit.

∆Ep

2∆t?= FWυ

mgh2∆t

?= Fw

√gr

1.0 · 103 kg · 9.8 m/s2 · 1.5 · 103 m2 · 86400 s

?= 10 · 10−3 N ·

√9.8 m/s2 · 6.6 · 106 m

85 W ?= 80 W

Im Rahmen der Rechengenauigkeit (höchstens eine wesentliche Ziffer) passen diese Angaben zusam-men. Die Satellitenmasse ist ja nicht als Dezimalzahl gegeben.

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42.4 Lösungen (Gravitationsenergie) 733

4. Lösung von Aufgabe 4

Ep = −GMm

rEk = 1

2mυ2

maz = Fres

mυ2

r=

GMmr2 || ·

r2

12mυ2 =

GMm2r

Ek = −12 Ep

Die kinetische Energie ist im Betrag halb so gross wie die potentielle Energie.

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42.4 Lösungen (Gravitationsenergie) 734

5. Lösung von Aufgabe 5

Wenn der Satellit durch den Widerstand Energie verliert, so sinkt er auf eine tiefere Umlaufbahn. Dortist aber die Bahngeschwindigkeit höher, weil die Gravitationskraft stärker ist. Die potentielle Energiewird zur Hälfte in Wärme und zur Hälfte in kinetische Energie verwandelt.

Durch den Schub der Triebwerke wird der Satellit auf eine höhere Bahn gehoben. Dort ist aber dieUmlaufgeschwindigkeit tiefer, weil die Gravitationskraft schwächer ist.

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42.4 Lösungen (Gravitationsenergie) 735

6. Lösung von Aufgabe 6

12mυ2 −

GMmr

= 0⇒

υ =

√2GM

r=

√2 · 6.6743 · 10−11 N m2/kg2 · 5.9722 · 1024 kg

6.3710 · 106 m= 11186 m/s ≈ 11.19 km/s

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42.4 Lösungen (Gravitationsenergie) 736

7. Lösung von Aufgabe 7

υF =

√2GM

r=

√2 ·

GMr2 · r =

√2gr

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42.4 Lösungen (Gravitationsenergie) 737

8. Lösung von Aufgabe 8

Gemeint ist wohl: bei gleichem Radius.

υF =

√2G · M

r=

√2G · 4πρr3

3r=

√8π3 Gρr soll

= c⇒

ρ =3c2

8πGr=

3 · (2.9979 · 108 m/s)2

8π · 6.6743 · 10−11 Nm2/kg2 · 6.3710 · 106 m= 5.0229 · 109 kg/m3

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42.4 Lösungen (Gravitationsenergie) 738

9. Lösung von Aufgabe 9

υF =

√2GM

rsoll= c⇒

r =2GM

c2 =2 · 6.6743 · 10−11 Nm2/kg2 · 5.9722 · 1024 kg

(2.9979 · 108 m/s)2 = 8.8702 mm

Das ist der sogenannte Schwarzschildradius.

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42.4 Lösungen (Gravitationsenergie) 739

10. Lösung von Aufgabe 10√2GMx

r= c⇒ x =

c2r2GM

=(2.9979 · 108 m/s)2 · 6.960 · 108 m

2 · 6.6743 · 10−11 Nm2/kg2 · 1.9884 · 1030 kg= 2.357 · 105

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42.4 Lösungen (Gravitationsenergie) 740

11. Lösung von Aufgabe 11

12mυ2 −

GMmr

= −GMm

2r

υ =

√GM

r=

√3.98600 · 1014 m3/s2

6.371 · 106 m= 7910 m/s

Das ist die sog. Parkbahngeschwindigkeit (für erdnahe Satelliten), welche√

2 mal kleiner als dieFluchtgeschwindigkeit ist.

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42.4 Lösungen (Gravitationsenergie) 741

12. Lösung von Aufgabe 12

υ =

√2Gm

r⇒ r =

2Gmυ2 =

2 · 3.98600 · 1014 m3/s2

(11.19 · 103 m/s)2 = 6.367 · 106 m

Das liegt zwischen dem polaren sowie äquatorialen Erdradius und ist in diesem Sinne ist vernünftig.

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42.4 Lösungen (Gravitationsenergie) 742

13. Lösung von Aufgabe 13

12mυ2 −

GMmr

= −GMm

R∧ υ =

12

√2GM

r⇒ 1

2m ·2GM

4r−

GMmr

= −GMm

R⇒ R = 4

3r

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42.4 Lösungen (Gravitationsenergie) 743

14. Lösung von Aufgabe 14

P =dEdt

=ddt

(−3Gm2

5r

)=

3Gm2

5r2 ·drdt

drdt

=5r2P3Gm2 =

5 · (6.371 · 106 m)2 · 40 · 1012 W3 · 6.67428 · 10−11 N m2/kg2 · (5.9722 · 1024 kg)2 = 1.1 pm/s = 36 µm/a

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42.4 Lösungen (Gravitationsenergie) 744

15. Lösung von Aufgabe 15

υParkbahn =

√GM

rυFlucht =

√2GM

r=√

2 υParkbahn

a) Stoppen ändert die Schnelligkeit um 100 %, wegspicken nur um 41 %b) Die Änderung der kinetischen Energie ist in beide Richtungen 100 %.

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42.4 Lösungen (Gravitationsenergie) 745

16. Lösung von Aufgabe 16

Wir berechnen aus der verminderten Gesamtenergie die grosse Halbachse der neuen Bahn des Golf-balls. Die Bahn hat Apogäum auf der Höhe der ISS, wenn man Reibung durch die Erdatmosphärevernachlässigt. Der Ball hat eine leicht kürzere Umlaufzeit als die ISS.

E1 = −GMm

2rGesamtenergie des Balls vor dem Abschlag

υ1 =

√GM

rBahngeschwindigkeit vor dem Abschlag

υ2 = υ1 − ∆υ⇒ Ek = 12mυ2

2 = 12mυ2

1 − mυ1∆υ + . . . nach dem Abschlag

E2 = −GMm

r+ 1

2mυ21 − mυ1∆υ = −

GMm2r

− mυ1∆υ = −GMm

2a⇒

1a

=1r

+2∆υ

GM· υ1 =

1r

+2∆υ

GM·

√GM

r=

1r

+2∆υ√

GMr

a =

(1r

+2∆υ√

GMr

)−1

=

16767 · 103 m

+2 · 20 m/s√

3.9860 · 1014 m3/s2 · 6767 · 103 m

−1

= 6732 km

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42.4 Lösungen (Gravitationsenergie) 746

17. Lösung von Aufgabe 17

Der Planetoid sei rund, habe 1.0 km Radius und die mittlere Dichte von Wasser. Wir stellen ihn uns alsKieshaufen vor. Um ihn zu zerstören, muss das Kies im Weltall zerstreut werden, d.h. wir müssen diegravitative Selbstenergie des Planetoiden hinein stecken. Wir berechnen diese Energie und drückensie in Kilotonnen TNT aus.

E = −3G5·

m2

rGravitations-Selbstenergie einer homogenen Kugel

W = +3G5·

m2

r=

3G5·

1r·(

4π3 r3ρ

)2=

48π2G45

· ρ2r5

W =48π2 · 6.674 · 10−11 N m2/kg2

45· (1.0 · 103 kg/m3)2 · (1.0 · 103 m)5 = 7.0 · 1011 J

W = 7.0 · 1011 J ·1 kg

4.182 · 106 J= 1.68 · 105 kg = 0.17 kT (TNT)

Das ist rund hundert Mal weniger als die Hiroshima-Bombe. Die Energie würde also theoretischreichen. Das Problem ist allerdings, dass die Explosion mechanische Energie auf den Kieshaufenübertragen muss. Auf der Erde steht dafür Luft zur Verfügung, über welche eine Druckwelle erzeugtwird. Im Weltall fehlt diese Luft.

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42.4 Lösungen (Gravitationsenergie) 747

18. Lösung von Aufgabe 18

Ep =

∫F · ds =

∫k mr· dr = k m

∫drr

= k m ln r + const→ Ek = k m lnrr0

Der Darstellungswechsel ln r + const→ ln(r/r0) ist einheitenmässig günstiger. [k] = J/kg.

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42.4 Lösungen (Gravitationsenergie) 748

19. Lösung von Aufgabe 19

a) 12mυ2

1 − 0 = 12mυ2

2 −GMm

r⇒

υ2 =

√υ2

1 +2GM

r=

√(30 · 103 m/s

)2+

2 · 3.986 · 1014 m3/s2

6.371 · 106 m= 32 km/s

b) E = 12mυ2

2 = ρs3(υ2

1

2+

GMr

)=↓= 4.0 · 1015 J→

4.029 · 1015 J4.182 · 106 J/kg

= 963 · 106 kg = 0.96 MT

= 7.86 · 103 kg/m3 · (10 m)2 ·

((30 · 103 m/s)2

2+

3.986 · 1014 m3/s2

6.371 · 106 m

)=↑

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42.4 Lösungen (Gravitationsenergie) 749

20. Lösung von Aufgabe 20

m = 4π3 r3ρ⇒ r = (3m/(4πρ))1/3

E = −3Gm3

5r= −

3Gm2

5 · (3m/4πρ)1/3 = −3 · 6.674 · 10−11 N m2/kg2 · (70 kg)2

5 · (3 · 70 kg/(4π · 998 kg/m2))1/3 = −7.7 · 10−7 J

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Kapitel 43

Lösungen (Starrer Körper)

43.1 Lösungen (Hebelgesetz und Drehmoment)

1. Lösung von Aufgabe 1

mLga = mVga + mPgaP ⇒ aP =mL − mV

mPa =

24 kg − 12 kg72 kg

· 2.5 m = 0.42 m

Auf der Seite von Vital in 0.42 m Abstand von der Drehachse.

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43.1 Lösungen (Hebelgesetz und Drehmoment) 751

2. Lösung von Aufgabe 2In Abbildung 10.1 messe ich 14.5 cm für die Scherenlänge und 5.5 cm für den Hebelarm a von derSchraube bis zum höchsten Punkt (horizontal gemessen).

a =5.5 cm · 18.2 cm

14.5 cm= 6.9 cm

M = aF ≈ 69 · 10−3 m · 4.1 N = 0.28 Nm

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43.1 Lösungen (Hebelgesetz und Drehmoment) 752

3. Lösung von Aufgabe 3

a) Man soll es der Einheit ansehen, worum es sich handelt. Schreibt man z.B. 7.4 Nm, so ist klar, dasses sich um ein Drehmoment handelt. Würde man 7.4 J schreiben, so könnte die Grösse mit Arbeitoder Energie verwechselt werden.b) Der Hebelarm ist der (kürzeste) Abstand der Wirkungslinie einer Kraft zur Drehachse.

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43.1 Lösungen (Hebelgesetz und Drehmoment) 753

4. Lösung von Aufgabe 4Man konstruiere den Hebelarm a als Normale zurWirkungslinie der Kraft durch die Drehachse. DieLänge kann gemessen und mit r verglichen werden.Mit einem Dreisatz wird die wahre Länge von a be-stimmt.

a ≈ 34 cm ·24.6 mm37.0 mm

= 22.6 cm

M = aF = 0.266 m · 53 n = 12 Nm

Variante: Man messe den Winkel α zwischen Radiusr und Kraft F und rechne

M = rF sinα = 0.34 m · 53 N · sin 43° = 12 Nm

Abbildung 43.1: Hebelarm a der KraftDas Drehmoment ist Hebelarm mal Kraft.

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43.1 Lösungen (Hebelgesetz und Drehmoment) 754

5. Lösung von Aufgabe 5

1. Ansatz: Kraft zieht rechts der Stütze nach unten im Abstand x von der Stütze

mKgs/4 = mBgs/4 + xF ⇒ x =(mK − mB)gs/4

F=

(2.7 − 1.4) kg · 9.81 m/s2 · 0.98 m28 N · 4

= 11 cm

2. Ansatz: Kraft zieht links der Stütze nach oben im Abstand x von der StützemKgs/4 − x2F = mBs/4 gleiche Gleichung! (gleiches Drehmoment!) ⇒ x2 = 11 cm

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43.1 Lösungen (Hebelgesetz und Drehmoment) 755

6. Lösung von Aufgabe 6

Auch wenn sich die Kräfte auf einen Körper aufheben, können sie dennoch eine drehende Wirkunghaben (Schraubenzieher!). Um diese Drehwirkung zu quantifizieren, ist das Drehmoment eingeführtworden.

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43.1 Lösungen (Hebelgesetz und Drehmoment) 756

7. Lösung von Aufgabe 7

a2 · F2 = a1 · F1122` cosϕ · 2mg = 1

2` cos(90° − ϕ) · mg4 cosϕ = sinϕ

4 = tanϕϕ = arctan(4) = 76° = 1.3258 rad Genauigkeit unklar

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43.1 Lösungen (Hebelgesetz und Drehmoment) 757

8. Lösung von Aufgabe 8

Abbildung 43.2: Skizze zur Lösung von Aufgabe 8.

a1 · F1 = a2 · F212`1 · µ`1g = 1

2`2 cosα · µ`2g µ = m1/`1 = m2/`2

`21 = `2

2 cosα

`2 =`1√

cosα=

`1√

cos 45°= `1 · 21/4 ≈ `1 · 1.189

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43.1 Lösungen (Hebelgesetz und Drehmoment) 758

9. Lösung von Aufgabe 9

aLFL + a1F1 = a2F2

` cosα · mLg + 12` cosα · mg = 1

22` · 2mgcosα · mL + 1

2 cosα · m = 2mcosα · mL = 2m − 1

2 cosα · mmL

m=

2 − 1/2 · cosαcosα

=2 − 1/2 · cos 45°

cos 45°mL

m=√

2 ·(2 − 1/(2

√2)

)= 2√

2 − 1/2 ≈ 2.328

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43.1 Lösungen (Hebelgesetz und Drehmoment) 759

10. Lösung von Aufgabe 10

Die Drehachse ist bei der Kante; die Hebelarme sind die Abstände der Wirkungslinien davon, sieheAbbildung 43.3.

F2a2 = F1a1 →

F2 = F1 ·a1

a2= F1 ·

√r2 − (r − h)2

r − h= 89 N ·

√(15 cm)2 − (15 cm − 8.4 cm)2

15 cm − 8.4 cm= 0.18 kN

Abbildung 43.3: Hebelarme der Kräfte, um die Dreh-momente bezüglich der Bordsteinkante zu berechnen.

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43.1 Lösungen (Hebelgesetz und Drehmoment) 760

11. Lösung von Aufgabe 11

Der Hebelarm ist unabhängig davon, wo auf den Waagschalen das Wägegut oder die Gewichte plat-ziert werden. Allerdings leidet wegen der sechs Scharniere die Genauigkeit und Empfindlichkeit (Rei-bung). Der Mechanismus wurde gerne in z.B. Küchenwaagen eingesetzt, weil er robust ist.

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43.2 Lösungen (Schwerpunkt) 761

43.2 Lösungen (Schwerpunkt)

1. Lösung von Aufgabe 1

rS =mE · 0 + mMrE

mE + mM=

72 kg · 6.371 · 106 m5.9742 · 1024 kg + ..

= 7.7 · 10−17 m

(Nullpunkt des Koordinatensystems im Erdmittelpunkt)

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43.2 Lösungen (Schwerpunkt) 762

2. Lösung von Aufgabe 2Wir wählen den Nullpunkt des Koordinatensystems im Sonnenmittelpunkt.

rS p =mS · 0 + mJrJ

mS + mJ=

1898.8 · 1024 kg · 778.5 · 109 m1.9891 · 1030 kg + 1898.8 · 1024 kg

= 7.424 · 108 m

rS p > rS = 6.960 · 108 m

Je nach Stellung der anderen Planeten kann der Schwerpunkt des Sonnensystems inner- oder ausser-halb der Sonne liegen.

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43.2 Lösungen (Schwerpunkt) 763

3. Lösung von Aufgabe 3a) Vorübung: Stellen Sie sich ein horizontales, gerades Brett vor, das mit Sand bestreut ist. Irgendwoist der Schwerpunkt. Man kann das Brett im Schwerpunkt unterstützen und es ist im Gleichgewicht.Nimmt man etwas Sand rechts vom Schwerpunkt weg, so wandert der Schwerpunkt nach links. Ad-diert man etwas Sand links vom Schwerpunkt, so wandert der Schwerpunkt nach links. Streut manetwas Sand auf den Schwerpunkt, so bleibt der Schwerpunkt an Ort. Diese Argumentation lässt sichauf die Dose übertragen.Falls der Flüssigkeitsspiegel über dem Schwerpunkt liegt, dann sinkt der Schwerpunkt, wenn wir et-was Flüssigkeit entnehmen. Das Minimum ist also noch nicht erreicht. Liegt der Flüssigkeitsspiegelunter dem Schwerpunkt, so sinkt der Schwerpunkt, wenn wir etwas Flüssigkeit addieren. Das Mini-mum ist also auch nicht erreicht. Liegt der Flüssigkeitsspiegel am Schwerpunkt und wir addieren einwenig Getränk, so verändert sich der Schwerpunkt nicht. Das muss die tiefste Position des Schwer-punkts sein. (Die beiden anderen Fälle können es nicht sein.)b) Sei mD die Masse der Dose und yD die Position des Schwerpunkts der leeren Dose (Nullpunktauf der Unterlage). Sei A die Querschnittsfläche der Dose, ρ die Dichte der Flüssigkeit und y diePosition des Flüssigkeitsspiegels. Dann lässt sich die Position yS des Schwerpunkts folgendermassenberechnen:

yS =mDyD + ρAy · 1

2ymD + ρAy

y = yS (Bedingung für das Minimum)

y =mDyD + ρAy · 1

2ymD + ρAy

y · (mD + ρAy) = mDyD + 12ρAy2

12ρAy2 + mDy − mDyD = 0

y1,2 =−mD ±

√m2

D + 2ρAmDyD

ρA(Die physikalische Lösung ist jene mit +)

Man kann auch yS nach y ableiten, die Ableitung Null setzen und nach y auflösen. Man erhält dasselbeResultat.

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43.2 Lösungen (Schwerpunkt) 764

4. Lösung von Aufgabe 4

xS =mAxA + mBxB

mA + mB=

583 g · 47.0 mm + 333 g · 104 mm583 g + 333 g

= 67.7 mm

Die Zeichnung ist etwa Massstab 1:1.

©Martin Lieberherr

43.2 Lösungen (Schwerpunkt) 765

5. Lösung von Aufgabe 5

Zuerst müssen wir Bezeichnungen einführen, siehe Abbildung 43.4

r1FN = F2d ⇒ r1(m1 + m2)g = m2gd ⇒ r1 =m2 · d

m1 + m2

Abbildung 43.4: Die Hantel ist im Gleichgewicht, wenn sie im Schwerpunkt S unter-stützt wird. Wir wählen die Drehachse (fürs Drehmomentgleichgewicht) bei D durchdie erste Punktmasse.

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43.2 Lösungen (Schwerpunkt) 766

6. Lösung von Aufgabe 6

Der Schwerpunkt ist ein Ort, keine Wirkung. Gemeint ist wohl, dass die Schwerkraft ein rücktreiben-des Drehmoment erzeugt, wenn sich der Schwerpunkt ausserhalb der Standfläche der Füsse befindet.Vorschlag: Ansonsten kippt uns die Schwerkraft in den Sitz zurück.

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43.3 Lösungen (Statik) 767

43.3 Lösungen (Statik)

1. Lösung von Aufgabe 1Auf den Wagen wirken die Gewichtskraft FG, die Normalkräfte FA und FB sowie die Haftreibungs-kraft FR, siehe Abb. 43.5. Die Reibungskraft kann nur summarisch, d.h. die Anteile der Vorder- undHinterräder zusammen, eingezeichnet werden, denn die Anteile hänge von der Art der Arretierungab: Es könnten ja nur die Hinterräder blockiert sein.

FA + FB = FG cosα KräftegleichgewichtFR = FG sinα

aFA = bFR + (c − a)FB Drehmomentgleichgewicht bezüglich S

Damit ist die Haftreibungskraft bereits bestimmt. Aus den restlichen zwei Gleichungen kann man FA

und FB berechnen:

FA + FB = FG cosαaFA − (c − a)FB = bFG sinα

⇒ cFB = aFG cosα − bFG sinα⇒ FB =FG

c(a cosα − b sinα)

⇒ FA = FG cosα − FB = FG cosα −FG

c(a cosα − b sinα)

Die Normalkraft FB verschwindet, falls

a cosα = b sinα⇒ 1 =ba

tanα = tan β tanα

Diese Bedingung ist erfüllt, wenn α + β = 90° ist.

Abbildung 43.5: Transportwagen mit den einwirkenden Kräften (Pfeillängen nicht massstäblich).

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43.3 Lösungen (Statik) 768

2. Lösung von Aufgabe 2

Drehachse links: (` − x)Fx −12`mg = 0⇒ (` − x) 3

4mg − 12`mg = 0⇒ 1

4` = 34 x⇒ x = `

3

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43.4 Lösungen (Arbeit und Leistung) 769

43.4 Lösungen (Arbeit und Leistung)

1. Lösung von Aufgabe 1

P = Mω = M2π f = 6.0 · 10−4 Nm · 2π ·16 000

60 s= 1.0 W

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43.4 Lösungen (Arbeit und Leistung) 770

2. Lösung von Aufgabe 2

P = ωM ⇒ M =P

2π f=

1.245 · 109 W2π · 3000/60 s

= 3.963 · 106 Nm

©Martin Lieberherr

43.4 Lösungen (Arbeit und Leistung) 771

3. Lösung von Aufgabe 3

P = Mω = M2π f ⇒ f =P

2πM=

50 kW2π · 50 kNm

= 0.16 Hz · 60 s/min = 9.5 min−1

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43.4 Lösungen (Arbeit und Leistung) 772

4. Lösung von Aufgabe 4

a) η =P2

P1=

320 W560 W

= 0.571

b) P2 = ωM ⇒ M =P2

2π f=

320 W2π · 1700/(60 s)

= 1.80 Nm

Das (maximale) Drehmoment 5 Nm ist nicht bei maximaler Leistung.

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43.4 Lösungen (Arbeit und Leistung) 773

5. Lösung von Aufgabe 5

P2 = Mω = M2π f = 127 Nm · 2π · 1500/(60 s) = 19.9 kW < 20 kWη′ = 19.949 kW/20 kW = 0.997 ≈ 1.0 > η = 92.2 %

Die 20 kW Leistung scheinen die abgegebene Leistung zu sein.

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43.4 Lösungen (Arbeit und Leistung) 774

6. Lösung von Aufgabe 6

P = Mω = M2π f ⇒ M =P

2π f=

196 W2π · 95/60 s

= 20 Nm

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43.4 Lösungen (Arbeit und Leistung) 775

7. Lösung von Aufgabe 7

a) M = aF =d2

F ⇒ F =2Md

=2 · 6000 · 103 Nm

9.43 m= 1.27 MN

b) f =6

60 s= 0.1 Hz

c) P = Mω = M2π f = 6000 · 103 Nm · 2π ·6

60 s= 4 MW

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43.4 Lösungen (Arbeit und Leistung) 776

8. Lösung von Aufgabe 8

a) P = M · ω = M2π f =

230 Nm · 2π · 1500/60 s = 36.1 kW X

Abbildung 43.6: Leistung versus Drehfrequenz fürden Asynchron-Servomotor

b)

f < 1500 min−1 : P ∝ f

1500 min−1 < f < 3000 min−1 : P = const

3000 min−1 < f : P ∝ 1/ f0 1000 2000 3000 4000

0

10

20

30

40

Drehfrequenz ( U/min )

Leis

tung

( k

W )

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43.4 Lösungen (Arbeit und Leistung) 777

9. Lösung von Aufgabe 9

P = Mω⇒ M =P

2π f=

200 PS · 735.5 W/PS2π · 13000/(60 s)

= 108 N m

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43.5 Lösungen (Trägheitsmoment und Rotationsenergie) 778

43.5 Lösungen (Trägheitsmoment und Rotationsenergie)

1. Lösung von Aufgabe 1

a) Er = 12 JSω

2 = 12 ·

23mr2 · ω2 = 1

3 · 0.430 kg · (0.11 m)2 · (10 s−1)2 = 0.17 J

b)Er

Et=

13mr2ω2

12mυ2

=23·

(rωυ

)2=

23·

(0.11 m · 10 s−1

20 m/s

)2

= 2.0 · 10−3

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43.5 Lösungen (Trägheitsmoment und Rotationsenergie) 779

2. Lösung von Aufgabe 2

JS = 25m1r2

1 + m1s21 + 2

5m2r22 + m2s2

2

= 25m1r2

1 + m1

(m2d

m1 + m2

)2

+ 25m2r2

2 + m2

(m1d

m1 + m2

)2

= 25m1r2

1 + 25m2r2

2 +m1m2(m2 + m1)d2

(m1 + m2)2

= 25m1r2

1 + 25m2r2

2 +m1m2

m1 + m2d2

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43.5 Lösungen (Trägheitsmoment und Rotationsenergie) 780

3. Lösung von Aufgabe 3

VK = VZ = V −→4π3

r3K = V ⇒ rK =

3

√3V4π

A · h = πr2Z · 2rZ = V ⇒ rZ =

3

√V2π

EK

EZ=

12 JKω

2

12 JZω2

=

25mr2

K12mr2

Z

=45

(rK

rZ

)2

=45

(3V4π·

2πV

)2/3

=45

(32

)2/3

= 1.048⇒ EK > EZ

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43.5 Lösungen (Trägheitsmoment und Rotationsenergie) 781

4. Lösung von Aufgabe 4

Er

Et=

12 JSω

2

12mυ2

=

23mr2ω2

mυ2 =23

(rω)2

υ2 = 2/3

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43.5 Lösungen (Trägheitsmoment und Rotationsenergie) 782

5. Lösung von Aufgabe 5

a) ∆Er = 12 JS (ω2 − ω2

0) = 14mr2(2π)2( f 2 − f 2

0 )

= π2 · 223 · 103 kg ·(2.9 m

2

)2 (16502

602 −12752

602

)Hz2 = 1.4 GJ X

b) P ≈∆E∆t⇒ ∆t ≈

∆EP

=1.45 · 109 J150 · 106 W

= 9.67 s

c) P =dEr

dt=

ddt

(12 JSω

2)

= JSωdωdt⇒

dωdt

=P

JSω=

P12mr22π f

dωdt

=150 · 106 W

π · 223 · 103 kg · (1.45 m)2 · 1650/60 s= 3.70 s−2

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43.5 Lösungen (Trägheitsmoment und Rotationsenergie) 783

6. Lösung von Aufgabe 6

a) JS = 2m`r2` + 2 · 1

12mbb2 = 2 · µ` · (b/2)2 + 2 · 112 · µb · b2 = µ · (`/2 + b/6) b2

= 4.4 kg/m · (4.8 m/2 + 1.8 m/6) · (1.8 m)2 = 42.768 m2 kg = 43 kg m2

b) Er = 12 Jω2 = 1

2 JS · (2π f )2 = 12 · 43 kg m2 · (2π · 50 Hz)2 = 2.1 MJ

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43.5 Lösungen (Trägheitsmoment und Rotationsenergie) 784

7. Lösung von Aufgabe 7

J =

∫r2 dm =

∫ `/2

−`/2

(x2 + a2

) m`

dx =m`

[x3

3+ a2x

]`/2−`/2

= 2m`

[`3

3 · 8+ a2 `

2

]= 1

12m`2 + ma2

b) J = JS + ms2 = 112m`2 + ma2 X

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43.6 Lösungen (Drehimpuls) 785

43.6 Lösungen (Drehimpuls)

1. Lösung von Aufgabe 1

a) f =1T

=υ

`Z=

750 m/s0.270 m

= 2777.78 Hz = 2.78 kHz

b) L = Jω = 18md2 · 2π f = π

4 md2 υ

`Z= π

4 · 11.3 · 10−3 kg · (7.77 · 10−3 m)2 ·750 m/s0.270 m

= 1.49 · 10−3 J s

c)12 Jω2

12mυ2

=

18md2(2πυ/`z)2

mυ2 =π2d2

2`2Z

=π2 · (7.77 · 10−3 m)2

2 · (0.270 m)2 = 4.09 · 10−3

d.h. es bedeutet wenig Aufwand, das Geschoss in Rotation zu versetzenc) M = dL/dt Das Geschoss übt ein schwaches Drehmoment aus; der Bahndrehimpuls ist höher.

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43.6 Lösungen (Drehimpuls) 786

2. Lösung von Aufgabe 2

a) L = Jω⇒ J =L

2π f=

0.16 Js2π · 50 Hz

= 5.1 · 10−4 kg ·m2

b) Die Bewegung heisst Präzession. Sie entsteht, weil ein horizontales Drehmoment ~M = ~r × ~FG aufden Kreisel wirkt und weil d~L = ~M · dt gilt. Die Kreiselachse bewegt sich auf einem vertikalen Kegelmit Spitze im Auflagepunkt. Damit man die Präzessionsfrequenz berechnen kann, benötigt man denHebelarm der Gewichtskraft, der nicht gegeben ist.c) aus ~M = d~L/dt folgt, dass diese Rate einem (bremsenden) Drehmoment entsprechen muss, also istdie Einheit Newton-Meter (N m), die man nicht zu Joule verkürzen soll.

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43.6 Lösungen (Drehimpuls) 787

3. Lösung von Aufgabe 3

~M = d~L/dt ~L = J~ω

Der Bohrer weicht quer zur intendierten Schwenkrichtung aus, weil das Drehmoment senkrecht zummomentanen Drehimpulsvektor (oder Winkelgeschwindigkeitsvektor) steht.

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43.6 Lösungen (Drehimpuls) 788

4. Lösung von Aufgabe 4

a) J = 25mr2 = 2

5ρVr2 = 25ρ

π6 d3 1

4d2 = π60ρd5 = π

60 · 2.2 · 103 kg/m3 · (38.1 · 10−3 m)5

= 9.248 · 10−6 kg m2 = 9.2 · 10−6 kg m2

b) L = Jω = π60ρd5 · 2π f = 9.248 · 10−6 kg m2 · 2π · 72 Hz = 4.184 · 10−8 J s = 4.2 · 10−3 J s

c) M = LΩ sinα→ M = LΩ = 4.184 · 10−5 J s ·π

180°·

6.6′′

3600′′/° · 3.156 · 107 s= 4.2 · 10−15 N m

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43.6 Lösungen (Drehimpuls) 789

5. Lösung von Aufgabe 5

L2

L1=

J2ω

J1ω=

25r2m2

25r2m1

=ρ2Vρ1V

=ρ2

ρ1=

21

= 2

©Martin Lieberherr

43.6 Lösungen (Drehimpuls) 790

6. Lösung von Aufgabe 6

L = Jω→ Er = 12 Jω2 =

L2

2J

(Das gilt nur für die Rotation um eine Hauptträgheitsachse, z.B. für ein Schwungrad.)

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43.6 Lösungen (Drehimpuls) 791

7. Lösung von Aufgabe 7

Nur bei dynamisch ausgewuchteten Körpern ist ~L || ~ω (Rotation um Hauptträgheitsachse).

©Martin Lieberherr

43.6 Lösungen (Drehimpuls) 792

8. Lösung von Aufgabe 8

L2 = L1 → J2ω2 = J1ω1 ⇒ ω1 =J2ω2

J1=

1.3 kg m2 · 11 s−1

4.0 kg m2 = 3.6 rad/s

©Martin Lieberherr

43.6 Lösungen (Drehimpuls) 793

9. Lösung von Aufgabe 9

a)T 2

a3 =4π2

GM⇒ T = 2π

√a3

(GM)= 2π

√((6371 + 457) · 103 m)3

3.986 · 1014 m3/s2 = 5615 s = 93.6 min

b) ωM =2πT

=2π

3600 s= 0.0017453 s−1 ≈ ωH

c) Er = 12 Jω2 = 1

2 · 77 217 kg m2 · (0.00175 s−1)2 = 0.118 J

d) ∆L = L2 − 0 = Jω = M · ∆t ⇒ ∆t =JωM

=77 217 kg m2 · 0.00175 s−1

0.82 N m= 165 s

e) Das Erdmagnetfeld übt, siehe Kompassnadel, ein Drehmoment auf den Magneten aus.

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Kapitel 44

Lösungen (Elastizität)

44.1 Lösungen (Elastizität und Zugfestigkeit)

1. Lösung von Aufgabe 1

a) ∆l =l∆FAE

=l∆Fπ4 d2E

=4 · 0.65 m · 6.9 kg · 9.81 m/s2

π · (7.0 · 10−4 m)2 · 0.33 · 1010 N/m2 = 3.5 cm

b) F = σBA = σBπ4 d2 = 8.2 · 107 N/m2 · π4 · (7.0 · 10−4 m)2 = 32 N

Laut der FoTa-Bruchspannung könnte eine Nylonsaite gar nicht richtig gespannt werden. Trockenes,hochwertiges Polyamid hat eine Bruchspannung von bis zu 350 N/mm2. Damit ergibt sich

F = σBA = σBπ4 d2 = 350 · 106 N/m2 · π4 · (7.0 · 10−4 m)2 = 0.13 kN

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44.1 Lösungen (Elastizität und Zugfestigkeit) 795

2. Lösung von Aufgabe 2

a) ∆l =l∆FEA⇒ ∆F =

EA∆ll

=19.1 · 1010 N/m2 · 1.3 · 10−6 m2 · 2.3 · 10−3 m

2.8 m= 0.20 kN

b) Federgesetz:F = Dy↔ ∆F = D∆l =EAl

∆l⇒ D =EAl

EF = 12 Dy2 =

EA2l

∆l2 =19.1 · 1010 N/m2 · 1.3 · 10−6 m2

2 · 2.8 m· (2.3 · 10−3 m)2 = 0.23 J

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44.1 Lösungen (Elastizität und Zugfestigkeit) 796

3. Lösung von Aufgabe 3

σB =FA⇒ F = π

4 d2σB = π4 · (4.5 · 10−4 m)2 · 54 · 107 N/m2 = 86 N

Das Virginal ist eine Frühform des Cembalos, ein Tasteninstrument.

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44.1 Lösungen (Elastizität und Zugfestigkeit) 797

4. Lösung von Aufgabe 4

σB =FA

Bruchspannung oder Zugfestigkeit

A = π4 d2

d =

√4Aπ

=

√4FπσB

≈

√4 · 100 N

π · 70 · 107 N/m2 = 0.4 mm

In der Aufgabe ist weder klar, was mit ‘Dicke’ gemeint sein könnte, noch ist die Stahlsorte genau-er bestimmt. Der Durchmesser als Mass für die Dicke ist sicher vernünftig. Das Resultat gibt nureinen Hinweis auf die Grössenordnung, d.h. die Zehnerpotenz dürfte etwa stimmen, aber kaum derZahlenwert der ersten Ziffer.

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44.1 Lösungen (Elastizität und Zugfestigkeit) 798

5. Lösung von Aufgabe 5

Der Durchmesser ist nur bei runden Drähten geeignet. Besteht ein Draht aus mehreren Fasern, so istdie (effektive) Querschnittfläche ein besseres Mass für die Dicke. Verdoppelt man die Querschnittflä-chen (zwei statt ein Draht), so halbiert sich bei gleicher Zugkraft die Dehnung. Mit der Querschnittflä-che ergibt sich eine einfache, umgekehrte Proportionalität. Mit dem Durchmesser erhielte das Gesetzeine kompliziertere Gestalt.

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44.1 Lösungen (Elastizität und Zugfestigkeit) 799

6. Lösung von Aufgabe 6

∆l =l · ∆F

AE∝

lA∝

ld2 ⇒

∆l2

∆l1=

l2

l1·

(d1

d2

)2

=21·

(12

)2

= 1/2

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44.1 Lösungen (Elastizität und Zugfestigkeit) 800

7. Lösung von Aufgabe 7

a) V = π4 d2`

!= π

4 (d + ∆d)2(` + ∆`)⇒ 1 =

(1 +

∆dd

)2 (1 +

∆`

`

)⇒

1 = 1 +2∆d

d+

∆`

`+ . . . für

∆dd 1

∆`

`

µ =∆d/d∆`/`

= −1/2

b) Der Zapfen wird nicht dicker, wenn man ihn in den Flaschenhals drückt.

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44.1 Lösungen (Elastizität und Zugfestigkeit) 801

8. Lösung von Aufgabe 8

a) Die Einheiten stimmen. Je grösser der Elastizitätsmodul, desto grösser die Kraft (X). Je grösser dieKompression y, desto grösser die Kraft (X). Die Kraft wächst überproportional (X).

b) E =

∫F · dy =

∫E

3(1 − ν2)

√2ry3 · dy =

25·

E3(1 − ν2)

√2ry5 + const

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44.2 Lösungen (Druck- und Zugspannung) 802

44.2 Lösungen (Druck- und Zugspannung)

1. Lösung von Aufgabe 1

a) p =FA

= gmA

= 9.81 m/s2 · 500 kg/m2 = 4.91 kPa

ppL

=mgApL

=500 kg · 9.81 m/s2

m2 · 1.013 · 105 Pa= 4.84%

b) p2 =mgA

=4 · 103 kg · 9.81 m/s2

1 m2 = 4 · 104 Pa = 0.4 bar

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44.2 Lösungen (Druck- und Zugspannung) 803

2. Lösung von Aufgabe 2

p =FN

A=

mgA

=50 kg · 9.81 m/s2

100 · 10−4 m2 = 49 kPa

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44.2 Lösungen (Druck- und Zugspannung) 804

3. Lösung von Aufgabe 3

p =FA

=mgA

=mA· g = 0.10 kg/m2 · 9.81 m/s2 = 0.98 Pa

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44.2 Lösungen (Druck- und Zugspannung) 805

4. Lösung von Aufgabe 4

F = pabsA = (pLuft + püber) · A = (1.0 + 0.6) · 105 Pa · 1.0 · 10−4 m2 = 16 N

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Kapitel 45

Lösungen (Hydrostatik)

45.1 Lösungen (Druckarbeit)

1. Lösung von Aufgabe 1

p · ∆V = 12mυ2

p = 12

m∆V

υ2

p = 12ρυ

2

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45.1 Lösungen (Druckarbeit) 807

2. Lösung von Aufgabe 2

a) P =W∆t

=p · ∆V

∆t=

8 · 105 Pa · 3.200 m3

60 s= 43 kW

b) p = 12ρυ

2 ⇒ υ =

√2pρ

=

√2 · 8 · 105 Pa998 kg/m3 = 40 m/s

c) xw =υ2

0 sin 2α0

g=

2pρg

=2 · 8 · 105 Pa

998 kg/m3 · 9.81 m/s2 = 0.16 km ohne Luftwiderstand!

©Martin Lieberherr

45.1 Lösungen (Druckarbeit) 808

3. Lösung von Aufgabe 3

xw =υ2

0 sin(2α0)g

‘Wurfweite’

∆p = 12ρυ

2 =ρ

2xwg

sin(2α0)=

998 kg/m3 · 1.0 m · 9.81 m/s2

2 · sin(2 · 50°)= 5.0 kPa = 50 mbar

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45.1 Lösungen (Druckarbeit) 809

4. Lösung von Aufgabe 4

W = p · ∆V = pAl = 230 · 105 Pa · 87 · 10−4 m2 · 0.66 m = 1.3 · 105 J

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45.1 Lösungen (Druckarbeit) 810

5. Lösung von Aufgabe 5

P =W∆t

=p∆V∆t

= %gh∆V∆t

= 0.86 · 103 kg/m3 · 9.81 m/s2 · 1000 m ·1674 m3

3600 s= 3.9 MW

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45.1 Lösungen (Druckarbeit) 811

6. Lösung von Aufgabe 6

∆p ≈ 12ρυ

2 ⇒ υ =

√2∆pρ

=

√2 · 5 Pa

1.293 Pa= 3 m/s

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45.1 Lösungen (Druckarbeit) 812

7. Lösung von Aufgabe 7

a) h = 12gt2 = 1

2g ·x2

υ2 ⇒ υ = x ·√

g2h

= 4 m ·

√9.81 m/s2 · 0.85 m

= 9.6 m/s = 1 · 101 m/s

b) ∆p = 12ρυ

2 = 12ρ ·

gx2

2h=

998 kg/m3 · 9.81 m/s2 · (4 m)2

4 · 0.85 m= 0.5 bar

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45.1 Lösungen (Druckarbeit) 813

8. Lösung von Aufgabe 8

Die Aufgabe muss präzisiert werden: Wie viel Arbeit wird mindestens verrichtet, wenn ein Liter Luftbei Normaldruck verdrängt wird?

W = p · ∆V = 101325 Pa · 10−3 m3 = 101 J

Die Genauigkeit der Rechnung ist nicht klar: ‘ein Liter’ kann die Grössenordnung (null wesentlicheZiffern) oder exakt sein. Das Resultat kann dann 102 J oder 101325(, 0) J geschrieben werden.

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45.1 Lösungen (Druckarbeit) 814

9. Lösung von Aufgabe 9

W = p∆V = pAs = pπ4 d2s = 200 · 105 Pa · π4 · (50 · 10−3 m)2 · 0.600 m = 24 kJ

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45.1 Lösungen (Druckarbeit) 815

10. Lösung von Aufgabe 10

Die Einheiten stimmen.Je grösser der Pumpendruck, desto grösser die Strömungsgeschwindigkeit.Je dichter das Fluid, desto schlechter lässt es sich beschleunigen.

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45.1 Lösungen (Druckarbeit) 816

11. Lösung von Aufgabe 11

Eine hydraulische Presse besteht aus zwei Kolben in zwei Zylindern mit Hydrauliköl zwischen denKolben. Für die Kräfte und Kolbenquerschnittsflächen gilt F1/A1 = F2/A2.

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45.2 Lösungen (Schweredruck) 817

45.2 Lösungen (Schweredruck)

1. Lösung von Aufgabe 1

∆p = ρgh ≈ 1.2 kg/m3 · 9.81 m/s2 · 1.0 · 103 m = 12 kPa

Die Veränderung der Luftdichte kann bei dieser Rechengenauigkeit vernachlässigt werden.

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45.2 Lösungen (Schweredruck) 818

2. Lösung von Aufgabe 2

a) pS = ρgh = 998 kg/m3 · 9.81 m/s2 · 80 m = 7.8 bar

b) υ =√

2gh =√

2 · 9.81 m/s2 · 80 m = 40 m/s (Ausflussgesetz von Torricelli)

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45.2 Lösungen (Schweredruck) 819

3. Lösung von Aufgabe 3

a) p = ρgh = 998 kg/m3 · 9.81 m/s2 · 1.0 · 103 m = 98 bar

b) Ep = mgh = ρVgh = 998 kg/m3 · 400 · 106 m3 · 9.81 m/s2 · 1.0 · 103 m3 =

3.9 · 1015 J ÷ 3.6 · 106 JkWh

= 1.1 · 109 kWh

c) hydrostatisches Paradoxon

Es ist nicht ganz klar, von wo aus die 1.0 km gemessen werden. Die zweite Ziffer der Resultate istdeshalb unsicher.

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45.2 Lösungen (Schweredruck) 820

4. Lösung von Aufgabe 4

pi − pa = (pL − ρigh) − (pL − ρagh) = (ρa − ρi)gh

= (1.20 − 0.95) kg/m3 · 9.81 m/s2 · 20 m = 49 Pa

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45.2 Lösungen (Schweredruck) 821

5. Lösung von Aufgabe 5

p = p0 − ρgh

Der Druck nimmt mit der Höhe linear ab um ρg = 1.225 kg/m3 · 9.81 m/s2 = 12.0 Pa/m

0 = p0 − ρgh⇒ h =p0

ρg=

101325 Pa1.225 kg/m3 · 9.81 m/s2 = 8.43 km

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45.2 Lösungen (Schweredruck) 822

6. Lösung von Aufgabe 6

p1 − ρghp1

=105 Pa − 998 kg/m3 · 9.81 m/s2 · 10 m

105 Pa= 0.02096 = 2.1 %

Es musste eine sinnvolle Annahme zur Dichte des Wasser getroffen werden, hier die Dichte bei 20 °C.Nimmt man dagegen 1000 kg/m3 bei 4 °C, so erhält man 1.9 %.

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45.2 Lösungen (Schweredruck) 823

7. Lösung von Aufgabe 7

a) Der Spiegel auf der Seite der dichteren Flüssigkeit wird sich senken und auf deranderen Seite gleich viel heben. Im Gleichgewicht ist der Schweredruck, der untendurch die zwei Füssigkeitssäulen verursacht wird, gleich gross, siehe Abb. 45.1

b) h1 = h − d ρ1g(h − d) = ρ1gd + ρ2gh⇒

ρ1gh1 = ρ1g(h − h1) + ρ2gh⇒ h1 =ρ1 + ρ2

2ρ1· h

Abbildung 45.1: Wird der Hahn (unten) geöffnet, so sinkt der linke Spiegel um d aufdie Höhe h1, der rechte Spiegel steigt um d.

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45.2 Lösungen (Schweredruck) 824

8. Lösung von Aufgabe 8

p = ρgh⇒ ρ =p

gh=

1104 · 105 Pa9.81 m/s2 · 10908 m

= 1.03 · 103 kg/m3

Dieser Wert ist sehr nahe bei der Dichte für oberflächennahes Meerwasser. Wegen der Kompressibi-lität müsste die mittlere Dichte etwas höher sein.

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45.2 Lösungen (Schweredruck) 825

9. Lösung von Aufgabe 9

P =FA⇒ A =

Fp

=500 N

1.013 · 105 Pa= 4.94 · 10−3 m2 ≈ 50 cm2

Die Genauigkeit des Resultats ist nicht klar, da der Wert für den Luftdruck nicht gegeben ist. Ersatz-weise wurde – wie in solchen Fällen üblich – der Normdruck verwendet.

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45.2 Lösungen (Schweredruck) 826

10. Lösung von Aufgabe 10

Luftdruck auf Meereshöhe berechnet mit konstanter Normdichte:

p0 = pM + ρngh = 975.5 · 102 Pa + 1.293 kg/m3 · 9.81 m/s2 · 406 m = 1027 hPa

Der Druck p0 auf Meereshöhe ist höher als der Normdruck pn, also herrscht Hochdruck.

Die Dichte ρ der Luft ist proportional zum Druck p und umgekehrt proportional zur absoluten Tem-peratur T . Wir rechnen nochmals mit der (kleineren) Dichte bei Mythequai-Druck und Mythenquai-Temperatur.

p0 = pM + ρgh = pM +ρn pMTn

pnTMgh

= 975.5 · 102 Pa +1.293 kg/m3 · 975.5 hPa · 273.15 K

1013.25 hPa · (273.15 + 22.7) K· 9.81 m/s2 · 406 m = 1021 hPa

Wir haben wieder einen Druck p0 auf Meereshöhe erhalten, der höher als der Normdruck pn =

1013.25 hPa ist.

Rechnung mit der barometrischen Höhenformel, welcher eine variable Luftdichte zugrunde liegt:

p = p0 exp(−ρ0gh

p0

)= pn exp

(−ρnTnghTM pn

)p = 101325 Pa · exp

(−

1.293 kg/m3 · 273.15 K · 9.81 m/s2 · 406 m(273.15 + 20) K · 101325 Pa

)= 966 hPa

Wenn wir von Meereshöhe mit dem Normdruck nach oben rechnen und in die barometrische Hö-henformel eine mittlere Temperatur zw. Mythenquai und Meereshöhe einsetzen, erhalten wir einenDruck, der tiefer liegt als der gemessene. Am Mythenquai herrscht also Hochdruck.

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45.2 Lösungen (Schweredruck) 827

11. Lösung von Aufgabe 11

∆p = ρngh − ρ2gh = ρngh −ρnTn

T2gh =

(1 −

Tn

T2

)ρngh

=

(1 −

273.15 K(273.15 + 20) K

)· 1.293 kg/m3 · 9.81 m/s2 · 30 m = 26 Pa

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45.2 Lösungen (Schweredruck) 828

12. Lösung von Aufgabe 12

Berechnung mit verschiedenen Höhenformeln

p = p0 − ρ0gh = 101325 Pa − 1.293 · 9.81 m/s2 · 3580 m = 559 hPa

p = p0 exp(−ρ0gh

p0

)= 101325 Pa · exp

(−

1.293 · 9.81 m/s2 · 3580 m101325 Pa

)= 647 hPa

p = pn ·

(1 −

ahT0

)5.255

= 1013.25 hPa ·(1 −

0.0065 K/m · 3580 m288.15 K

)5.255

= 651 hPa

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45.2 Lösungen (Schweredruck) 829

13. Lösung von Aufgabe 13

Berechnung mit verschiedenen Höhenformeln

p = p0 − ρ0gh = 101325 Pa − 1.293 · 9.81 m/s2 · 555 m = 942.9 hPa

p = p0 exp(−ρ0gh

p0

)= 101325 Pa · exp

(−

1.293 · 9.81 m/s2 · 555 m101325 Pa

)= 945.2 hPa

p = pn ·

(1 −

ahT0

)5.255

= 1013.25 hPa ·(1 −

0.0065 K/m · 555 m288.15 K

)5.255

= 948.3 hPa

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45.2 Lösungen (Schweredruck) 830

14. Lösung von Aufgabe 14

F = pA = 1.013 · 105 Pa · 2.5 m2 = 2.5 · 105 N

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45.2 Lösungen (Schweredruck) 831

15. Lösung von Aufgabe 15

∆p = ρg∆h = ρg∆s cosα⇒ ∆s =∆p

ρg cosα=

1.0 · 102 Pa0.9 · 103 kg/m3 · 9.81 m/s2 · cos 85°

= 13 cm

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45.2 Lösungen (Schweredruck) 832

16. Lösung von Aufgabe 16

p = ρgh = 0.85 · 103 kg/m3 · 9.81 m/s2 · 38 · 10−3 m = 3.2 hPa

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45.2 Lösungen (Schweredruck) 833

17. Lösung von Aufgabe 17

pa = pL + ρgh⇒ h =pa − pL

ρg=

(2.8 − 1.0) bar · 105 Pa/bar9.81 m/s2 · 998 kg/m3 = 18 m

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45.2 Lösungen (Schweredruck) 834

18. Lösung von Aufgabe 18

p =mgA

=ρAhg

A= ρgh = 50 kg/m3 · 0.12 m · 9.81 m/s2 = 59 Pa

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45.2 Lösungen (Schweredruck) 835

19. Lösung von Aufgabe 19

∆p = ρgh = 998 km/m3 · 9.81 m/s2 · 2.5 m = 24 kPa

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45.2 Lösungen (Schweredruck) 836

20. Lösung von Aufgabe 20

F = pA =ρgh

2· bh = 1

2ρgbh2 mittlere Kraft auf die Wand der Höhe h und Breite b

Wir betrachten das Drehmomentgleichgewicht bezüglich D, siehe Abbildung 45.2.

x1dF1 + x2dF2 + · · · = aF∫x · dF = aF∫ h

0x · ρgx · bdx = aF

ρgb∫ h

0x2dx = aF

ρgb 13 x3

∣∣∣h0

= aF

ρgb 13h3 = a · 1

2ρgbh2

a = 23h

Die resultierende Druckkraft greift am unteren Drittel der Höhe an. (Dies ist analog zum Dreieck,bei dem sich der Schwerpunkt auf 1/3 der Höhe befindet. Die Summe x1dF1 + x2F2 + . . . entsprichtnämlich der in Abb. 45.2 angedeuteten Dreiecksfläche.)

Abbildung 45.2: Der Schweredruck an der Aquari-umwand nimmt nach unten zu und damit auch dieTeilkraft dF auf die Wand. Bezüglich einer Drehach-se am oberen Rand muss Drehmomentgleichgewichtherrschen.

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45.2 Lösungen (Schweredruck) 837

21. Lösung von Aufgabe 21

a) p = ρgh = 998 kg/m3 · 9.81 m/s2 · 840 m = 82.2 bar

η =mgh/∆t

Pe=

ghρ∆VPe · ∆t

=9.81 m/s2 · 840 m · 998 kg/m3 · 660 m3

1875 · 103 W · 3600 s= 80.4 %

80 % liegt in der Nähe von 78 %.

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45.2 Lösungen (Schweredruck) 838

22. Lösung von Aufgabe 22

Am Flüssigkeitsspiegel im offenen Gefäss herrscht Luftdruck. Im Heber fällt der Druck mit ρFgh,wenn man von jener Bezugshöhe nach oben geht. Der Druck im Heber-Rohr kann nicht negativwerden, analog einem Flüssigkeitsbarometer, bei dem im oberen Teil des Rohres ein Vakuum herrscht.Die maximale Hubhöhe ist also pLuft = ρFghmax.

Bemerkung: Falls der Druck in der Flüssigkeit in die Nähe von Null kommt oder gar negativ wird, d.h.die Flüssigkeit unter Zugspannung steht, bilden sich Dampfblasen und der Flüssigkeitsfaden reisst.Wird die Blasenbildung unterdrückt, z.B. in den sehr engen Kapillargefässen von Bäumen, sind auchnegative Drücke möglich.

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45.2 Lösungen (Schweredruck) 839

23. Lösung von Aufgabe 23

p = ρgh⇒ h =pρg

=600 Pa

1.0 · 103 kg/m3 · 9.8 m/s2 = 6 cm

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45.2 Lösungen (Schweredruck) 840

24. Lösung von Aufgabe 24

W = p · ∆V = ρgh · π6 d3 = 1.0 · 103 kg/m3 · 9.81 kg/m3 · 700 m · π6 · (30 m)3

= 9.71 · 1010 J ·1 MWh

3.6 · 109 J= 27 MWh

Die 20 MWh gespeicherte Energie scheinen vernünftig, denn wir haben ja den Wirkungsgrad igno-riert.

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45.2 Lösungen (Schweredruck) 841

25. Lösung von Aufgabe 25

Die Masse und somit das Gewicht sowie der Schweredruck der Erdatmosphäre verändern sich nicht,wenn die Luft kondensiert.

pn = ρgh⇒ h =pn

ρg=

101325 Pa874 kg/m3 · 9.80665 m/s2 = 11.8 m

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45.2 Lösungen (Schweredruck) 842

26. Lösung von Aufgabe 26

a) pV = nRT =mRT

M⇒ ρ0 =

Mp0

RT=

44.0 · 10−3 kg/mol · 9.4 · 106 Pa8.314 J/(kg K) · (273.15 + 460) K

= 67.85 kg/m3 = 68 kg/m3

b) p = p0 expρ0gh−p0

= 9.4 · 106 Pa · exp67.85 kg/m3 · 8.83 m/s2 · 1.0 · 103 m

−9.4 · 106 Pa= 8.8 MPa

c) h0 =p0

ρ0g=

9.4 · 106 Pa67.85 kg/m3 · 8.83 m/s2 = 16 km

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45.3 Lösungen (Auftrieb) 843

45.3 Lösungen (Auftrieb)

1. Lösung von Aufgabe 1Auf den ersten Blick würde man meinen, dass mF = 1.74 kg Leerglas eine grössere Masse als VC =

1.50 L Wasser hat und die Flasche unterginge. Diese Überlegung vernachlässigt aber das Volumen VF

des Flaschenglases. Das ganze Volumen ist grösser als das Volumen VC des Inhalts.

V = VC + VF = VC +mF

ρF= 1.50 L +

1.74 kg2.5 kg/L

= 2.196 L

ρ =mF

V=

1.74 kg2.196 L

= 0.79 kg/L resp. mit formaler Lösung:

ρ =mF

VC + mFρF

= . . .

Die mittlere Dichte der verschlossenen, leeren Flasche ist also kleiner als jene des Wassers. Somitschwimmt die Flasche. In dieser Rechnung haben wir die Masse der eingeschlossenen Luft und desVerschlusses vernachlässigt, was aber keinen Einfluss auf das Resultat haben sollte.

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45.3 Lösungen (Auftrieb) 844

2. Lösung von Aufgabe 2Die mittlere Dichte der teilweise gefüllten Flasche muss gleich der Dichte von Wasser sein:

ρW = ρJ =mG + mW

VG + VInhalt=

mG + mWmGρG

+mvoll−mG

ρW

mW = ρW ·

(mG

ρG+

mvoll − mG

ρW

)− mG

= 0.998 kg/L ·(

0.57 kg2.5 kg/L

+1.29 kg − 0.57 kg

0.998 kg/L

)− 0.57 kg = 0.38 kg

Die Flasche muss also zu etwas mehr als der Hälfte mit Wasser gefüllt werden. In der Rechnunghaben wir den Deckel der Flasche sowie die Masse der eingeschlossenen Luft ignoriert.

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45.3 Lösungen (Auftrieb) 845

3. Lösung von Aufgabe 3

Wägung in Luft: mLg = ρKVKg − ρLVKg

Wägung in Wasser: mWg = ρKVKg − ρWVKg

Elimination des Volumens der Kette:

VK =mL

ρK − ρL=

mW

ρK − ρW

Auflösung nach der Dichte der Kette:

mL ρK − mL ρW = mWρK − mWρL

ρK =mL ρW − mWρL

mL − mW=

26.38 g · 998 kg ·m−3 − 23.25 g · 1.2 kg ·m−3

26.38 g − 23.25 g= 8.40 · 103 kg ·m−3

Die Dichte des Kettenmaterials liegt weit unter den 10.5 · 103 kg ·m−3 von reinem Silber. Auchfür Schmuck gebräuchliche Kupfer-Silber-Legierungen kommen nicht in Frage: Sterlingsilber mit925/1000 Silberanteil hat 10.4 · 103 kg ·m−3 und die Legierung mit 800/1000 Silberanteil eine solchevon 10.1 ·103 kg ·m−3. In der Nähe des Resultats liegt hingegen mit 8.47 ·103 kg ·m−3 die Dichte vonMessing, einer Legierung aus Kupfer und Zink. Es könnte sich auch um sogenanntes “Neusilber”,einer Legierung aus Kupfer, Nickel und Zink ohne echtes Silber handeln, denn dieses hat eine Dichtevon 8.1 − 8.7 · 103 kg ·m−3 (je nach Mischung).

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45.3 Lösungen (Auftrieb) 846

4. Lösung von Aufgabe 4

a) FA = FG = mg = 1.80 · 108 kg · 9.81 m/s2 = 1.77 · 109 N

b) P = FWυ⇒ FW =Pυ

=80 · 106 W50 m/3.6 s

= 5.8 MN

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45.3 Lösungen (Auftrieb) 847

5. Lösung von Aufgabe 5

Fres = 0⇒ FA = FG ⇒ ρWVEg = mEg + mFg⇒ ρWmE

ρE= mE + mF ⇒

mF =

(ρW

ρE− 1

)· mE =

(998 kg/m3

0.7 · 103 kg/m3 − 1)· 840 kg = 4 · 102 kg

In der FoTa findet sich nur die Dichte von trockenem Eisenholz. Frisch gefällte Eiche hat eine höhereDichte. Der Flösser muss also in Wirklichkeit leichter sein.

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45.3 Lösungen (Auftrieb) 848

6. Lösung von Aufgabe 6

Fres = 0⇒ FA = FG ⇒ ρW4π3 r3

ag = ρS

(4π3 r3

a −4π3 r3

i

)g⇒ ρW = ρS ·

(1 −

r3i

r3a

)⇒

ri

ra=

(1 −

ρW

ρS

)1/3

=

(1 −

998 kg/m3

7.9 · 103 kg/m3

)1/3

= 0.96

Da nicht geschrieben wurde, um welche Stahlsorte es sich handelt, wurde die allenfalls eingeschlos-sene Luft gleich auch noch vernachlässigt.

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45.3 Lösungen (Auftrieb) 849

7. Lösung von Aufgabe 7a) Dichte aus dem Gewicht in Luft und in Wasser

FL = ρMgVM − ρLgVM Wägung in LuftFW = ρMgVM − ρWgVM Wägung in Wasser

⇒FL

FW=ρM − ρL

ρM − ρW⇒

ρM =FLρW − FWρL

FL − FW=

2.00 N · 998 kg/m3 − 1.78 N · 1.2 kg/m3

2.00 N − 1.78 N= 9.1 · 103 kg/m3

b) Dichte aus der Masse der Medaille und der Masse des verdrängten Wassers

ρM =mM

VM=

mM

mW· ρW =

204.41 g23.9 g

· 997.44 kg/m3 = 8.53 · 103 kg/m3

c) Dichte aus der Masse und dem Volumen der Medaille

A = 2√

3 · r2 Fläche eines regulären Sechsecks mit Inkreisradius r = d/2

VM = Ah =√

32 d2h Volumen eines Sechseck-Prismas mit Höhe h und Seitenabstand d

ρM =mM

VM=

2mM√

3d2h=

2 · 204.41 g√

3 · (6.0 cm)2 · 0.79 cm= 8.3 g/cm3

Die aus a) bestimmte Dichte ist nicht einmal auf 10 % genau, der Wert aus Messung b) stimmt aufetwa 1 % und der Wert aus c) ist etwas zu tief, weil wir das Volumen etwas zu gross berechnet haben.

Die Dichte des Medaillenmaterials liegt weit unter den 10.5 · 103 kg ·m−3 von reinem Silber. Auchfür Schmuck gebräuchliche Kupfer-Silber-Legierungen kommen nicht in Frage: Sterlingsilber mit925/1000 Silberanteil hat 10.4 · 103 kg ·m−3 und die Legierung mit 800/1000 Silberanteil eine sol-che von 10.1 · 103 kg ·m−3. In der Nähe des Resultats liegt hingegen sogenanntes “Neusilber”, eineLegierung aus Kupfer, Nickel und Zink ohne echtes Silber. Neusilber hat eine Dichte von 8.1 − 8.7 ·103 kg ·m−3 (je nach Mischung).

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45.3 Lösungen (Auftrieb) 850

8. Lösung von Aufgabe 8Da die Masse der Tankhülle nicht gegeben ist, müssen wir diese ignorieren.

FG = mHg = ρH12VT g = 0.86 · 103 kg/m3 · 1

2 · 6.0 m3 · 9.81 m/s2 = 25 kN

FA = ρWVT g = 998 kg/m3 · 6.0 m3 · 9.81 m/s2 = 59 kN

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45.3 Lösungen (Auftrieb) 851

9. Lösung von Aufgabe 9

ρL = ρB =mHe + mS

VB=ρHeVHe + ρS VS

VB≈ ρHe + ρW ·

VS

VB= ρHe + ρW ·

4πr2d4π3 r3

= ρHe + ρW ·3dr

r = 3d ·ρW

ρL − ρHe≈ 3 · 1.0 · 10−6 m ·

1000 kg/m3

1.293 kg/m3 − 0.1785 kg/m3 = 2.7 mm

Die Dichten der Gase beziehen sich auf 0 °C und Normdruck, die Dichte der Seifenlösung wurdegleich jener des Wassers gesetzt. Die Näherungen verschwinden in der Rundung.

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45.3 Lösungen (Auftrieb) 852

10. Lösung von Aufgabe 10

FA = ρFgVK = 103 kg/m3 · 10 m/s2 · 5 · 10−3 m3 = 50 N (5 daN)

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45.3 Lösungen (Auftrieb) 853

11. Lösung von Aufgabe 11

ρW!= ρF =

mF + mW

VF⇒ mW = ρWVF − mF = 998 kg/m3 · 1.1 · 10−3 m3 − 0.87 kg = 0.23 kg

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45.3 Lösungen (Auftrieb) 854

12. Lösung von Aufgabe 12

Fres = 0⇒ FA = FG = mg = 3.5 kg · 9.81 m/s2 = 34 N

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45.3 Lösungen (Auftrieb) 855

13. Lösung von Aufgabe 13

Die Auftriebskraft ist gleich dem Gewicht des verdrängten Wassers, aber das verdrängte Wasser istnicht identisch mit VK = mE/ρE, dem Volumen der Ente. Der Rechnungsweg gehört zur Aufgaben,den Auftrieb auf die untergetauchten Ente zu berechnen. Enten schlafen an der Wasseroberfläche unddas verdrängte Wasser hat weniger Volumen als die Ente. Das Resultat ist nur zufällig richtig, weilρEnte = ρWasser gesetzt wurde. Die mittlere Dichte der Ente muss aber geringer als jene von Wassersein, sonst würde die Ente nicht schwimmen.

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45.3 Lösungen (Auftrieb) 856

14. Lösung von Aufgabe 14

Ein Gegenstand schwimmt, wenn seine mittlere Dichte kleiner als jene des Wassers ist. Da ein Schiffaus viel Luft und wenig Stahl besteht, ist das möglich.

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45.3 Lösungen (Auftrieb) 857

15. Lösung von Aufgabe 15

FA = gVBρL = gVB ρnppn

Tn

T

= 8.79 m/s2 · 532 000 m3 · 1.293 kg/m3 ·7.67 mbar · 273.15 K1013.25 mbar · 231 K

= 54.1 kN

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45.3 Lösungen (Auftrieb) 858

16. Lösung von Aufgabe 16

Der Auftrieb entspricht dem Gewicht des verdrängten Wassers. Die Masse der Fracht muss kleinerals die Masse des verdrängten Wassers sein. Die in Mesopotamien verwendete “Nippur-Elle” mass519 mm (wikipedia). Damit erhält man

m = ρ`bh = 998 kg/m3 · 300 · 50 · 30 · (0.518 m)3 = 62 · 106 kg

Das gesamte Volumen des Schiffes ist also grösser als das Volumen von 50 Millionen Tonnen Wasser.Die Abschätzung der Physikstudenten trifft zumindest die richtige Grössenordnung.

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45.3 Lösungen (Auftrieb) 859

17. Lösung von Aufgabe 17

a) FM − FS = (ρM − ρS ) gV =(1028 kg/m3 − 999.101 kg/m3

)· 9.81 m/s2 · 16 m3 = +4.5 kN

b) ∆F = (ρ4 − ρ15) gV =(999.972 kg/m3 − 999.101 kg/m3

)· 9.81 m/s2 · 16 m3 = +137 N

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45.3 Lösungen (Auftrieb) 860

18. Lösung von Aufgabe 18

a) Das Wasser übt die Auftriebskraft auf den Korken aus. Die Reaktionskraft drückt das Wasser nachunten. Die Anzeige entspricht der Masse des verdrängten Wassers.

V =mW

ρW=

25.6 g0.998 g/cm3 = 25.7 cm3

ρK =mK

V=

mK

mWρW =

9.72 g25.6 g

· 0.998 g/cm3 = 0.3789 g/cm3 = 379 kg/m3

(Der Sektkorken war aus kleineren Korkstücken zusammengesetzt.)

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45.3 Lösungen (Auftrieb) 861

19. Lösung von Aufgabe 19

Bei Ebbe wirken nur die Auftriebs- und Gewichtskraft auf die Boje (das Ankerseil ist schlaff und ziehtkaum nach unten). Weil die Boje im Gleichgewicht ist, sind Auftrieb und Gewicht entgegengesetztgleich gross.Bei Flut wirken die Auftriebs-, Gewichts- und Zugkraft des Seiles auf die Boje. Die Auftriebskraft istgrösser als die Gewichtskraft. Hier müssen sich im Gleichgewicht drei Kräfte kompensieren.

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Kapitel 46

Lösungen (Oberflächenspannung)

1. Lösung von Aufgabe 1

a) VK =4π3

r3 → AK = 4πr2 = 4π ·(3VK

4π

)2/3

VH =2π3

R3 → AH = 2πR2 = 2π ·(3VH

2π

)2/3

⇒ 1 −EH

EK= 1 −

AH

AK= 1 −

12

(2)2/3≈ 1 − 0.7937 = 20.6 %

b) Kugelsegment: V =π

3h2(3r − h) Haube: A = 2πrh

⇒ r =Vπh2 +

h3→ A =

2Vh

+2π3

h2

Minimum für:dAdh

= 0⇒−2Vh2 +

4π3

h = 0

⇒ h =3

√3V2π

Dies ist gerade der Radius der Halbkugel mit Volumen V, siehe oben.

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863

2. Lösung von Aufgabe 2

a) V ∝ r3 ⇒ R = r ·(2VV

)1/3

= 21/3 ⇒ A2 = 4π R2 = 4πr222/3 = A122/3

∆E = 2 · σA1 − σA2 = 2σA1 − σA122/3 =(2 − 22/3

)· σ4πr3

=(2 − 22/3

)· 0.07275 J/m2 · 4π ·

(3.4 · 10−4 m

)3= 1.5 · 10−11 J

b) Umrechnung in Bewegungsenergie der zwei ursprünglichen Tröpfen (z.B.):

∆E = 2 · 12mυ2 =

4π3ρr3υ2 ⇒ υ =

√3∆E4πρr3

υ =

√3 · 1.483 · 10−3 J

4π · 998 kg/m3 · (3.4 · 10−4 m)3 = 9.5 mm/s

Das sind 28 Tröpfchenradien pro Sekunde; relativ schnell für ein Tröpfchen.

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864

3. Lösung von Aufgabe 3

Die Ränder meiner Schuhsohlen haben eine Länge von zweimal 70 cm.

γ =F`

=70 kg · 9.81 m/s2

2 · 0.70 m= 4.9 · 102 N/m

Das ist tausendmal mehr als Quecksilber, das eine sehr hohe Oberflächenspannung hat. (Und mit derOberflächenspannung wäre es noch nicht getan, man müsste auch die Dichten anschauen.)

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865

4. Lösung von Aufgabe 4

a) E = NγA =Vπ6 d3 · γ · πd2 =

6γVd

=6 · 0.07275 J/m2 · 1 · 10−3 m3

10 · 10−6 m= 44 J

b) d =6γVmLV

=6 · 0.07275 J/m2 · 1 · 10−3 m3

2.44 · 106 J= 2 · 10−10 m

Die Oberflächenenergie des Wassers am Anfang ist mangels Informationen über die Form weggelas-sen worden (und sie ist klein). Die Zahlenwerte gelten bei Zimmertemperatur.

2·10−10 m ist ungefähr die Grösse eines Dihydrogenmonoxid-Moleküls (H2O). Die Rechnung drücktaus, dass die spezifische Oberflächenenergie von ähnlicher Grösse wie die Verdampfungswärme proMolekül ist; beide beruhen auf der Bindungsenergie zwischen benachbarten Wassermolekülen.

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866

5. Lösung von Aufgabe 5

Die Sonne ist rund, weil dies die Gravitationsenergie minimiert. Die Wassertropfen sind rund, weildies die Oberflächenenergie (Oberflächenspannung) minimal macht. Das sind verschiedene Effekte.

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867

6. Lösung von Aufgabe 6

pD =2γr⇒ r =

2γpD

=2 · 0.07275 N/m

2337 Pa= 62.26 µm

Bei kleineren Radien gewinnt die Oberflächenspannung und die Blase verschwindet wieder. Es brauchteinen Keim, damit Dampfblasen wachsen können.

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868

7. Lösung von Aufgabe 7

W = γA = γπd2 = 0.07275 N/m · π · (1.8 · 103 m)2 = 7.4 · 10−7 J

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Kapitel 47

Lösungen (Hydrodynamik)

47.1 Lösungen (Kontinuitätsgleichung)

1. Lösung von Aufgabe 1

a)∆V∆t

= Aυ⇒ υ =∆V/∆td2π/4

=0.015 m3/s

(0.140 m)2 · π/4= 0.97 m/s

b) η =P2

P1=

P2

ρgh∆V/∆t=

7.5 · 103 W998 kg/m3 · 9.81 m/s2 · 75 m · 0.015 m3/s

= 0.68

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47.1 Lösungen (Kontinuitätsgleichung) 870

2. Lösung von Aufgabe 2

∆V∆t

= υA = υπ4 d2 ⇒ υ =4∆V∆tπd2 =

4 · 55.1 · 106 m3

3.156 · 107 s · π · (2.0 m)2 = 0.56 m/s

Das Resultat ist nur eine grobe Schätzung, Details siehe http://www.stadt-zuerich.ch

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47.1 Lösungen (Kontinuitätsgleichung) 871

3. Lösung von Aufgabe 3

q = ∆V/∆t = 7000 L/s = 7.000 m3/s Volumenstrom q∆V = Ah = q · ∆t

A =q · ∆t

h=

7.000 m3/s · 4 h · 3600 s/h1 · 10−2 m

= 10.08 · 106 m2 = 10.08 km2

Die Genauigkeit der Angaben ist nicht klar, vermutlich stimmt nur die Grössenordnung (107 m2). Lautwikipedia hat der Greifensee eine Fläche von 8.4 km2.

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47.1 Lösungen (Kontinuitätsgleichung) 872

4. Lösung von Aufgabe 4

a) υA = υπd2

4=

∆V∆t

= q⇒ υ =4qπd2 =

4 · 0.400 m3/60 sπ · (16 · 10−3 m)2 = 33 m/s

b) p = 12ρυ

2 = 12ρ

(4qπd2

)2

= 12 · 998 kg/m3 ·

(4 · 0.400 m3/60 sπ · (16 · 10−3 m)2

)2

= 5.486 bar = 5.5 bar

c) υ =4qπd2 =

4 · 0.400 m3/60 sπ · (75 · 10−3 m)2 = 1.5 m/s

d) Der Strömungswiderstand respektive der Druckverlust im Schlauch wäre zu gross.

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47.1 Lösungen (Kontinuitätsgleichung) 873

5. Lösung von Aufgabe 5

∆V∆t

= Aυ = 2.0 · 10−4 m2 · 6.0 m/s = 1.2 · 10−3 m3/s = 1.2 L/s

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47.1 Lösungen (Kontinuitätsgleichung) 874

6. Lösung von Aufgabe 6

∆V∆t

= Aυ = π4 d2υ⇒ υ =

4∆Vπd2∆t

=4 · 10−3 m3

π · (12 · 10−3 m)2 · 2.3 s= 3.8 m/s

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47.1 Lösungen (Kontinuitätsgleichung) 875

7. Lösung von Aufgabe 7

a) q =∆V∆t

=3 · 30 · 10−9 m3

10 s= 9.0 · 10−9 m3/s ·

3600 s/h10−6 m3/mL

= 32 mL/h

b) q = υA = υπ4 d2 ⇒ υ =4qπd2 =

4 · 9.0 · 10−9 m3/sπ · (2.0 · 10−3 m)2 = 2.9 mm/s

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47.2 Lösungen (Luftwiderstand) 876

47.2 Lösungen (Luftwiderstand)

1. Lösung von Aufgabe 1

FW = cWπ4 d2 1

2ρLυ2 = 0.47 · π8 · (0.115 m)2 · 1.2 kg/m3 · (19 m/s)2 = 1.1 N

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47.2 Lösungen (Luftwiderstand) 877

2. Lösung von Aufgabe 2Bei hohen Geschwindigkeiten gilt wegen des Luftwiderstandes:

W = Fws ∝ υ2 · s

P = Fwυ ∝ υ3

Mit Stromverbrauch ist wahrscheinlich Energie- oder Leistungsbedarf gemeint. Weder das eine nochdas andere nimmt exponentiell zu, sondern potenziell resp. polynomial, wenn man den Rollwiderstanddazu nimmt.

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47.2 Lösungen (Luftwiderstand) 878

3. Lösung von Aufgabe 3

FW = FG → cWπ8 d2ρLυ

2 = mg⇒ cW =8mg

πd2ρLυ2

=8 · 4 · 10−6 kg · 9.81 m/s2

π · (5 · 10−3 m)2 · 1.293 kg/m3 · (1 m/s)2 = 3

Der cw-Wert ist eher gross. Dies deutet darauf hin, dass die Schnelligkeit der Flocke vielleicht schonzu klein ist, als dass Fw ∝ υ2 noch gilt. Für kleine Geschwindigkeiten ist F ∝ υ. Vielleicht ist dieNäherung der Schneeflocke als Kreisscheibe auch zu schlecht.

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47.2 Lösungen (Luftwiderstand) 879

4. Lösung von Aufgabe 4Um welchen Faktor steigt die Masse des verbrannten Benzins für eine bestimmte Strecke?

m ∝ W ∝ Fw · s ∝ υ2 ⇒m2

m1=

(υ2

υ1

)2

=

(128 km/h120 km/h

)2

= 1.14

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47.2 Lösungen (Luftwiderstand) 880

5. Lösung von Aufgabe 5

a) Fres = 0 Bewegung mit konstanter Grenzgeschwindigkeit ist unbeschleunigtFW + FR − FG|| = 0 Widerstandskräfte kompensieren parallele Komponente des GewichtsFW + µRFN − FG sinα = 012cwAρυ2 + µRmg cosα = mg sinα

υ =

√2mg(sinα − µR cosα)

cwA · ρ=

√2 · 75 kg · 9.81 m/s2 · (sin 3.7° − 0.005 · cos 3.7°)

0.25 m2 · 1.2 kg/m3

= 17 m/s = 62 km/h

b) υ =

√2mg sinα

cwA · ρ=

√2 · 75 kg · 9.81 m/s2 · sin 3.7°

0.25 m2 · 1.2 kg/m3 = 18 m/s

c) FR − FG|| = const , 0⇒ Das Velo würde immer schneller.d) FR − FG|| = 0⇒ µRmg cosα = mg sinα⇒ α = arctan µR = arctan 0.005 = 0.3°

Für die Dichte der Luft wurde ein typischer Wert angenommen.

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47.2 Lösungen (Luftwiderstand) 881

6. Lösung von Aufgabe 6

Die Luftwiderstandskraft ist gegen die Gravitationskraft vernachlässigbar, wenn man via die Zentri-petalbeschleunigung die Schnelligkeit auf der Kreisbahn bestimmt.

Fres = maz ⇒GmEmS

r2 =mSυ

2

r⇒ υ =

√GmE

r

P = Fw · υ = cwA12ρυ

2 · υ = cwA12ρ ·

(GmE

r

)3/2

= 1.0 · 1.0 m2 · 12 · 7 · 10−12 kg/m3 ·

(6.674 · 10−11 N ·m2/kg2 · 5.9722 · 1024 kg

6.371 · 106 m + 400 · 103 m

)3/2

= 1.6 W

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47.2 Lösungen (Luftwiderstand) 882

7. Lösung von Aufgabe 7

FW ∝ υ2 ⇒

F2

F1=

(υ2

υ1

)2

= 1.12 = 1.2

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47.2 Lösungen (Luftwiderstand) 883

8. Lösung von Aufgabe 8

Fw = cwA 12ρLυ

2 = const ⇒ A ∝ 1/υ2 ⇒A2

A1=

(υ1

υ2

)2

=

(1

1.14

)2

= 0.769 = 100 % − 23 %

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47.2 Lösungen (Luftwiderstand) 884

9. Lösung von Aufgabe 9

Fw = cwA 12ρLυ

2 = cwπd2 18ρLυ

2 = 0.47 · π · (1.0 · 10−2 m)2 · 18 · 1.293 kg/m3 · (210 m/s)2 = 1.1 N

In der Lösung wurde die Dichte der Luft bei Normbedingungen verwendet, da keine Hinweise ge-geben wurden. Der cw-Wert ist wahrscheinlich zu gross (Faktor 2), denn hinter der Kugel ist dieStrömung wahrscheinlich turbulent.

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47.2 Lösungen (Luftwiderstand) 885

10. Lösung von Aufgabe 10

W ∝ FW ∝ υ2 ⇒

W2

W1=υ2

2

v21

=

(υ2

υ1

)2

= 1.102 = 1.21

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47.2 Lösungen (Luftwiderstand) 886

11. Lösung von Aufgabe 11

Fw

FG=

12cwAρLυ

2

mg=

12cw

π4 d2ρL2ghπ6 d3ρEg

=3cwρLh2dρE

=3 · 0.47 · 1.293 kg/m3 · 1.333 m

2 · 2.00 · 10−2 m · 7.86 · 103 kg/m3 = 7.7 · 10−3

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47.2 Lösungen (Luftwiderstand) 887

12. Lösung von Aufgabe 12

a) P = Fwυ = cwA 12ρυ

3 ⇒ cwA =2Pρυ3 =

2 · 150 · 103 W1.2 kg/m3 · (320 m/3.6 s)3 = 0.36 m2 wenig!

b) ∆s = υ∆t =υEP

=320 m · 12.5 · 103 W · 3600 s

3.6 s · 150 · 103 W= 26.7 km

Die Lösung beruht auf der Näherung, dass neben dem Luftwiderstand die anderen Reibungskräftevernachlässigt werden können.

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47.2 Lösungen (Luftwiderstand) 888

13. Lösung von Aufgabe 13

a) mg = cwπ4 d2 1

2ρυ2 ⇒ υ =

1d

√8mgπcwρ

υ =1

0.037 m·

√8 · 2.35 · 10−3 kg · 9.81 m/s2

π · 0.47 · 1.14 kg/m3 = 8.9 m/s

b) P = Fυ = cwπ4 d2 1

2ρυ3 =

π

8· 0.47 · (0.037 m)2 · 1.14 kg/m3 · (180 m/3.6 s)3 = 36 W

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47.2 Lösungen (Luftwiderstand) 889

14. Lösung von Aufgabe 14

Wenn sich ein Körper schnell bewegt, verwirbelt er die Luft hinter sich. Die kinetische Energie inden Wirbeln ist ‘gespeicherte Verwirbelungsarbeit’. Der Luftwiderstand ist die Reaktionskraft auf dieKraft, welche diese Arbeit verrichtet hat.

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47.2 Lösungen (Luftwiderstand) 890

15. Lösung von Aufgabe 15

Fw ∝ υ2 wie beim Luftwiderstand

P = F · υ ∝ υ3 ⇒P2

P1=

(υ2

υ1

)3

= 1.053 = 1.16 (16 % mehr Leistung)

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47.2 Lösungen (Luftwiderstand) 891

16. Lösung von Aufgabe 16

a) FW = (cW A) · 12ρυ

2 = 0.3 m2 · 12 · 1.2 kg/m3 ·

(30 m3.6 s

)2

= 12.5 N = 1 · 101 N

b) P = FWυ = (cW A) · 12ρυ

3 = 0.3 m2 · 12 · 1.2 kg/m3 ·

(30 m3.6 s

)3

= 104 W = 0.1 kW

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47.2 Lösungen (Luftwiderstand) 892

17. Lösung von Aufgabe 17

Fw = cwA 12ρυ

2 ⇒ A =2Fw

cwρυ2 =2 · 410 N

0.29 · 1.293 kg/m3 · (120 m/3.6 s)2 = 2.0 m2

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47.2 Lösungen (Luftwiderstand) 893

18. Lösung von Aufgabe 18

Bei kleinen Körpern und tiefen Schnelligkeiten gilt das Stokessche Reibungsgesetz.

FG = mg = 4π3 r3ρg ≈ 4π

3 · (10 · 10−6 m)3 · 998 kg/m3 · 9.81 m/s2 = 4 · 10−11 N

Fw = 6πηrυ = 6π · 1.82 · 10−5 Pa · s · 10 · 10−6 m · 1 · 10−2 m/s = 3.4 · 10−10 N

Die zwei Kräfte sind von gleicher Grössenordnung. Genaueres lässt sich mangels präziser Angabennicht sagen.

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47.2 Lösungen (Luftwiderstand) 894

19. Lösung von Aufgabe 19

Der Wind blase nach rechts (positive Richtung) mit υW . Der Ballon habe υ0 = 0. Dann gilt

Fres = ma→ cwA12ρ(υ − υW)2 = m

dυdt⇒

cwAρ2m

∫dt =

∫dυ

(υ − υW)2 ⇒

cwAρ2m

t + const =−1

υ − υWmit const = 1/υW ⇒ υ = υW −

1t · cwAρ/(2m) + 1/υW

Je grösser der Widerstandsbeiwert cw, die Querschnittsfläche A, die Dichte ρ der Luft und je geringerdie Masse m des Ballons ist, desto rascher nähert sich die Ballongeschwindigkeit asymptotisch derWindgeschwindigkeit υW an.

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47.2 Lösungen (Luftwiderstand) 895

20. Lösung von Aufgabe 20

Je kleiner die Teilchen sind, desto stärker ist der Stokes’sche Strömungswiderstand Fw ∼ r im Ver-gleich zum Gewicht FG ∼ r3 respektive zur Trägheit m ∝ ρr3 der Staubkörner. Kleine Staubkörnerkönnen durch einen Luftstrom also um viel schärfere Kurven gezogen werden als grobe Körner.

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47.2 Lösungen (Luftwiderstand) 896

21. Lösung von Aufgabe 21

Fres = maFG + FW = ma

mg + k′υ2 = −mdυdt

−dυdt

= g + kυ2 ⇒1k

∫dυ

g/k + υ2 = −

∫dt

FoTaBe:∫

dxx2 + a2 =

1a

arctanxa

+ C

1k·

1√g/k

arctanυ√g/k

+ C = −t

υ =

√kg· tan

( √gk · (t0 − t)

)

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47.3 Lösungen (Bernoulli) 897

47.3 Lösungen (Bernoulli)

1. Lösung von Aufgabe 1

p0 = p1 + 12ρυ

2

∆p = 12ρυ

2 = 12 · 1.2 kg/m3 ·

(408 m3.6 s

)2

= 77 hPa

Die Abschätzung ist sehr grob, denn sie vernachlässigt die Kompressibilität der Luft und die Reibung.

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47.3 Lösungen (Bernoulli) 898

2. Lösung von Aufgabe 2

a) p1 + 12ρυ

21 = p2 + 1

2ρυ22 = p2 + 1

2ρ

(A1υ1

A2

)2

p1 − p2 = 12ρυ

21

(A2

1

A22

− 1)

= 12 · 998 kg/m3 · (1.3 m/s)2 ·

(42 − 1

)= 12.6 kPa = 0.13 bar

b) Nach der Düse herrscht Luftdruck. In der Düse wird das Wasser beschleunigt.Der Druck vor der Düse muss erhöht sein.

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47.3 Lösungen (Bernoulli) 899

3. Lösung von Aufgabe 3

a) p1 = p2 + 12ρυ

2 ⇒ υ =

√2∆pρ

=

√2 · 5 · 105 Pa

0.3 · 103 kg/m3 = 58.7 m/s ≈ 200 km/h (eine sign. Stelle)

b) W = ∆p · V ∼ ∆p→ υ′ =

√2∆p · ηρ

=

√2 · 5 · 105 Pa · 0.05

0.3 · 103 kg/m3 = 12.9 m/s = 46 km/s ≈ 50 km/s

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47.3 Lösungen (Bernoulli) 900

4. Lösung von Aufgabe 4

∆p = 12ρυ

2 = 12 · 1.2 kg/m3 ·

(75 m3.6 s

)2

= 2.6 hPa

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47.3 Lösungen (Bernoulli) 901

5. Lösung von Aufgabe 5

a) Bernoulli: pL = pi + ρigh = pa + ρagh⇒

pi − pa = (ρa − ρi)gh = (1.293 − 1.200) kg/m3 · 9.81 m/s2 · 30 m = 27 Pa

b) Innen ist der Druck höher, also strömt die Luft nach aussen. ∆p = 12ρυ

2 ⇒

υ =

√2∆pρ

=

√2(ρa − ρi)gh

ρ≈

√2 · (1.293 − 1.200) kg/m3 · 9.81 m/s2 · 30 m

1.247 kg/m3 = 6.6 m/s

c) ρ =mV

=mpnRT

∝1T⇒ Ti = Ta

ρa

ρi=

273.15 K · 1.293 kg/m3

1.200 kg/m3 = 294.3 K→ 21 °C

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47.3 Lösungen (Bernoulli) 902

6. Lösung von Aufgabe 6

Abbildung 47.1: Venturi-RohrEine Venturidüse ist eine Verengung in einem Rohr.Manometer (Steigrohre) zeigen den Druck vor, in undnach der Verengung an. Mit Hilfe des Gesetzes vonBernoulli und der Kontinuitätsgleichung kann der Vo-lumenstrom im Rohr bestimmt werden.

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47.3 Lösungen (Bernoulli) 903

7. Lösung von Aufgabe 7

pL + ∆pPumpe = pL + 12mυ2 = pL + ρgh⇒ ∆p = ρgh ∝ h⇒

∆pb

∆pa=

hb

ha= 2

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47.4 Lösungen (Impulsstrom) 904

47.4 Lösungen (Impulsstrom)

1. Lösung von Aufgabe 1a) Luft sei ein inkompressibles Fluid mit einer Dichte, welche den Normbedingungen entspricht. DerLuftstrom habe denselben Querschnitt wie der Rotor. Damit folgt für die mittlere Geschwindigkeit:

FS chub =∆p∆t

= υLu f t ·∆m∆t

= υLu f t ·ρA∆s

∆t= υLu f t · ρAυLu f t = π

4 d2ρυ2Lu f t

FS chub = mHg⇒

υLu f t =2d

√mHgπρ

=2

10.83 m

√3175 kg · 9.81 m/s2

π · 1.293 kg/m3 = 16.2 m/s

Im Umfeld eines landenden Helikopters werden Windböen um 50 km/h beobachtet.b) Es wird kontinuierlich kinetische Energie in den Luftstrom gesteckt:

P =∆Ekin

∆t=

∆mLu f tυ2Lu f t

2∆t= ρAυLu f t ·

υ2Lu f t

2= π

4 d2ρ 12

(2d

√mHgπρ

)3

=πρ

d

(mHgπρ

)3/2

=π · 1.293 kg/m3

10.83 m

(3175 kg · 9.81 m/s2

π · 1.293 kg/m3

)3/2

= 251.8 · 103 kg ·m2

s3 = 252 kW ·1 PS

0.7355 kW= 342 PS

Die 342 PS sind zu vergleichen mit den 2 · 815 PS = 1630 PS, die maximal von den Turbinen abge-geben werden. Es ist also noch Reserve zum Steigen vorhanden (trotz schlechtem Wirkungsgrad).

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47.4 Lösungen (Impulsstrom) 905

2. Lösung von Aufgabe 2

∆p =∣∣∣~p2 − ~p1

∣∣∣ =√

2p1 =√

2 · ∆m · υ

F =∆p∆t

=√

2∆m∆t

υ =√

2υρ∆V∆t

=√

2 · 8.2 m/s · 998 kg/m3 · 2.3 · 10−3 m3/s = 27 N

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47.4 Lösungen (Impulsstrom) 906

3. Lösung von Aufgabe 3

a) υ1 =dV/dt

A1=

dm/dtρA1

=0.85 kg/s

998 kg/m3 · 3.0 · 10−4 m2 = 2.8 m/s

υ2 =υ1A1

A2=

10 · dm/dtρA1

=10 · 0.85 kg/s

998 kg/2 · 3.0 · 10−4 m2 = 28 m/s

b) F =dpdt

=dmdt· (υ2 − υ1) =

(dmdt

)2

·10 − 1ρA1

=(0.85 kg/s)2 · (10 − 1)

998 kg/m3 · 3.0 · 10−4 m2 = 22 N

c) pS + 12ρυ

21 = pL + 1

2ρυ22 ⇒ pS = pL + 1

2ρ(υ22 − υ

21) = pL +

(102 − 1) · (dm/dt)2

2ρA21

=

pS = 101325 Pa +(102 − 1) · (0.85 kg/s)2

2 · 998 kg/m3 · (3.0 · 10−4 m2)2 = 5.0 bar

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47.4 Lösungen (Impulsstrom) 907

4. Lösung von Aufgabe 4

a) ∆p = 12ρυ

2 = 12 · 998 kg/m3 · (28 m/s)2 = 3.9 bar

b) F =dpdt

=dm · υ

dt=

dVρυdt

=0.300 m3 · 998 kg/m3 · 28 m/s

60 s= 1.4 · 102 N

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47.4 Lösungen (Impulsstrom) 908

5. Lösung von Aufgabe 5

a) q =∆V∆t

= Aυ⇒ υ =qA

=1.1 · 10−3 m3/s1.8 · 10−4 cm2 = 6.1 m/s

b) F =∆p∆t

=2υ · ∆m

∆t=

2υρ∆V∆t

=2ρq2

A=

2 · 998 kg/m3 · (1.1 · 10−3 m3/s)2

1.8 · 10−4 m2 = 13 N

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47.4 Lösungen (Impulsstrom) 909

6. Lösung von Aufgabe 6

F =∆p∆t

=∆m∆t· υ = ρq ·

qA

q = ∆V/∆t = Aυ

F =ρq2

π4 d2 =

4 · 998 kg/m3 · (1.3 · 10−4 m3/s)2

π · (1.0 · 10−2 m)2 = 0.21 N

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Teil VIII

Lösungen Wärmelehre

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Kapitel 48

Lösungen (Wärmelehre)

48.1 Lösungen (Temperatur und Wärmeausdehnung)

1. Lösung von Aufgabe 1Ein Beispiel (Flüssigkeitsthermometer) ist in Abbildung 48.1 dargestellt.

Abbildung 48.1: Ein Flüssigkeitsthermometer besteht aus einem Kolben (Glaskugel)mit dünner Kapillare (aufgesetztes, dünnes Glasröhrchen), teilweise gefüllt mit z.B.Quecksilber oder gefärbtem Alkohol. Die Flüssigkeit in der Kugel dehnt sich ungefährlinear mit wachsender Temperatur aus. Die Ausdehnung wird durch den Stand derFlüssigkeit in der Kapillare angezeigt. Nach A. Celsius hält man es in Eiswasser undmarkiert die Höhe des Spiegels mit 0 °C. Man hält es in siedendes Wasser und markiertdie Höhe mit 100 °C. Der Zwischenraum wird gleichmässig in 100 Abschnitte geteilt.

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48.1 Lösungen (Temperatur und Wärmeausdehnung) 912

2. Lösung von Aufgabe 2

a) ∆l = αl(ϑ5 − ϑ20) = 12 · 10−6 K−1 · 1000.0 mm · (5.0 − 20) K = −0.18 mm

b) l0 = l + αl(ϑ0 − ϑ20) = 1000.0 mm ·(1 + 12 · 10−6 K−1 · (0.0 − 20) K

)= 999.8 mm

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48.1 Lösungen (Temperatur und Wärmeausdehnung) 913

3. Lösung von Aufgabe 3

∆V = γV∆ϑ = 3α · V · (ϑ f − ϑE) = 3 · 37 · 10−6 K−1 · 35 · 10−6 m3 · (0 − (−18)) K = 7.0 · 10−8 m3

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48.1 Lösungen (Temperatur und Wärmeausdehnung) 914

4. Lösung von Aufgabe 4

Die Flüssigkeit müsste sich ausdehnen wie ein Stab, d.h. die Längenänderungen wären winzig (α =13γ = 6.07 · 10−5 K−1 für Quecksilber). Flüssigkeitsthermometer haben deshalb eine Kugel (Kolben)unterhalb des Steigrohrs mit einem grösseren Flüssigkeitsvolumen. Am Schmelzpunkt von Eis hättedie Flüssigkeitssäule die Höhe Null, was schlecht möglich ist. Das Steigrohr hört meist auch nicht amEnde der Skala auf.

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48.1 Lösungen (Temperatur und Wärmeausdehnung) 915

5. Lösung von Aufgabe 5

∆l = αl0∆ϑ = 12 · 10−6 K−1 · 121 m · (30 − (−5)) °C = 51 mm

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48.1 Lösungen (Temperatur und Wärmeausdehnung) 916

6. Lösung von Aufgabe 6

s = x1e1 = x2e2 = x2e1(1 + α∆ϑ) e sei die Länge der Einheit (mm), x die Anzahl Eineiten

x2 =x1

1 + α∆ϑ=

883.271 + 11 · 10−6 K−1 · (23.2 − 20.0) °C)

= 883.24 (mm)

Wenn sich der Massstab ausdehnt, zeigt er für dieselbe Strecke weniger Einheiten an.

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48.1 Lösungen (Temperatur und Wärmeausdehnung) 917

7. Lösung von Aufgabe 7

∆V = ∆VO − ∆VS = γV∆ϑ − 3αV∆ϑ

=(7.0 · 10−4 K−1 − 3 · 16 · 10−6 /K

)· 20 000 L · (25 − 20) °C = 65.2 L = 65 L = 0.07 m3

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48.2 Lösungen (Wärmekapazität) 918

48.2 Lösungen (Wärmekapazität)

1. Lösung von Aufgabe 1

P =∆Q∆t

=c · ∆m · ∆ϑ

∆t=

4182 J/kgK · 1 kg · (30 − 4) K8 s

= 14 kW

Die Genauigkeit ist nicht ganz klar; ein bis zwei signifikante Stellen sind vernünftig.

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48.2 Lösungen (Wärmekapazität) 919

2. Lösung von Aufgabe 2

a) ∆QE = cEmE∆ϑE ≈ 3.0 J · g−1K−1 · 55 g · (68 − 5) K = 10 kJ

b) ∆QE = cWmW∆ϑW ≈ 4182 J · kg−1K−1 · 0.5 kg · (100 − 20) K = 168 kJ = 0.2 MJ

Das Resultat von b) ist höchstens auf ein bis zwei wesentliche Ziffern genau. Es ist nicht klar, was dieAusgangstemperatur des Kochwassers ist und wie man den ‘halben Liter’ deuten soll.

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48.2 Lösungen (Wärmekapazität) 920

3. Lösung von Aufgabe 3Wir nehmen den Wert von Wasser für die spezifische Wärmekapazität des Kaffees.

cWmK(ϑM − ϑK) + cT mT (ϑM − ϑT ) = 0⇒ ϑM =cWmKϑK + cT mTϑT

cWmK + cT mT

ϑM =4182 J/kgK · 25 g · 82 °C + 800 J/kgK · 80 g · 40 °C

4182 J/kgK · 25 g + 800 J/kgK · 80 g= 66 °C

Der Kaffee kühlt durch Verdunstung schnell ab und die Tasse erwärmt sich nicht vollständig.

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48.2 Lösungen (Wärmekapazität) 921

4. Lösung von Aufgabe 4

cumu(ϑM − ϑu) + cWmW(ϑM − ϑW) = 0⇒ cu =cWmW(ϑM − ϑW)

mu(ϑu − ϑM)

cu = 4182J

kg · K·

383 g · (32 − 21) °C469 g · (98 − 32) °C

= 5.7 · 102 J/kgK

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48.2 Lösungen (Wärmekapazität) 922

5. Lösung von Aufgabe 5

cWmW(ϑM − ϑW) + cZmZ(ϑM − ϑZ) = 0⇒ ϑM =cWmWϑW + cZmZϑZ

cWmW + cZmZ

ϑM =4182 J/(kgK) · 0.853 kg · 4.82 °C + 227 J/(kgK) · 0.750 kg · 23.0 °C

4182 J/(kgK) · 0.853 kg + 227 J/(kgK) · 0.750 kg= 5.65 °C

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48.2 Lösungen (Wärmekapazität) 923

6. Lösung von Aufgabe 6

∆Q = cm∆ϑ = 4182 J/(kgK · 10 · 10−6 kg · 10 K = 0.42 J

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48.2 Lösungen (Wärmekapazität) 924

7. Lösung von Aufgabe 7

cEmE∆ϑE + cWmW∆ϑE = 0⇒ mW = −cEmEϑE

cWϑE= −

450 J/(kg · K) · 890 g · (−83 K)4182 J/(kg · K) · 9.4 K

= 846 g

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48.2 Lösungen (Wärmekapazität) 925

8. Lösung von Aufgabe 8

P =∆Q∆t

=c · ∆m · ∆ϑ

∆t⇒

∆m∆t

=P

c∆ϑ=

87 kW4.182 kJ/(kg · K) · 48 K

= 0.43 kg/s

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48.2 Lösungen (Wärmekapazität) 926

9. Lösung von Aufgabe 9

∆Q = cm∆ϑ⇒ c =∆Q

m∆ϑ=

4.5 kJ1.5 kg · 3.0 °C

= 1.0 kJ/(kg · K)

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48.2 Lösungen (Wärmekapazität) 927

10. Lösung von Aufgabe 10

cAmA(ϑM − ϑA) + cWmW(ϑM − ϑW) = 0⇒

mW =cAmA(ϑM − ϑA)cW(ϑW − ϑM)

=896 J · kg−1 · K−1 · 0.150 kg · (24.0 °C − 5.0 °C)

4182 J · kg−1 · K−1 · (28.0 °C − 24.0 °C)= 0.15 kg

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48.2 Lösungen (Wärmekapazität) 928

11. Lösung von Aufgabe 11

Wir berechnen die Wärme, die der Körper abgibt, wenn er sich um ein Grad Celsius abkühlt.

a) QE = cEm∆ϑ = 450 J/(kgK) · 103 kg · 1 °C = 450 kJ

QW = cWm∆ϑ = 4182 J/(kgK) · 103 kg · 1 °C = 4182 kJ

b) QE = cEρEV∆ϑ = 450 J/(kgK) · 7.86 · 103 kg/m3 · 10−3 kg · 1 °C = 3.54 kJ

QW = cWρWV∆ϑ = 4182 J/(kgK) · 0.998 · 103 kg/m3 · 10−3 kg · 1 °C = 4.17 kJ

Wasser speichert sowohl nach Masse als auch nach Volumen mehr Wärme als Eisen, aber nach Volu-men ist der Unterschied viel kleiner.

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48.2 Lösungen (Wärmekapazität) 929

12. Lösung von Aufgabe 12

P∆t = cm∆ϑ⇒ ∆ϑ =P∆tcm≈

1000 W · 60 s4182 J/(kgK) · 60 kg

= 0.24 °C

Die spezifische Wärmekapazität des Sportlers ist ungefähr gleich jener von Wasser.

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48.2 Lösungen (Wärmekapazität) 930

13. Lösung von Aufgabe 13

∆Q = cm∆ϑ ≈ 4.2 · 103 J/(kgK) · 70 kg · 2.0 °C = 5.9 · 105 J

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48.2 Lösungen (Wärmekapazität) 931

14. Lösung von Aufgabe 14

cWmW(ϑM − ϑW) + cEmE(ϑM − ϑE) + cS mS (ϑM − ϑS ) = 0

ϑM =cWmWϑW + cEmEϑE + cS mSϑS

cWmW + cEmE + cS mS

ϑM =4.182 · 0.400 kg · 12 °C + 0.450 · 3.1 kg · 22 °C + 1.46 · 0.500 kg · 18 K

4.182 · 0.400 kg + 0.450 · 3.1 kg + 1.46 · 0.500 kgϑM = 16.83 °C = 17 °C

Die Einheit der spezifischen Wärmekapazität kJ/(kg · K) ist weggelassen worden, da sie sich ohnehinwegkürzt. Der Term mit den eingesetzten Grössen hätte nicht mehr auf einer Zeile Platz gehabt. Mandürfte auch noch die kg der Massenangaben weglassen, aber nicht die °C der Temperaturen.

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48.2 Lösungen (Wärmekapazität) 932

15. Lösung von Aufgabe 15

Die Aufgabe ist so offen, dass sie zuerst präzisiert werden muss: Ich nehme an, es sei Winter und dasSpülwasser (je zehn Liter) habe vor dem Spülvorgang Zimmertemperatur, d.h. es sei vielleicht 20 °Cheisser als die Umgebung. Zu unserer Schule gehören etwa 2500 Personen, die alle ein Mal pro Tagdie Toilette aufsuchen. Mit diesen Zahlen ergibt sich

∆Q = cNm1∆ϑ = 4182 J/(kgK) · 2500 · 10 kg · 20 K = 2 GJ

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48.2 Lösungen (Wärmekapazität) 933

16. Lösung von Aufgabe 16

Wir erwarten einen winzig kleinen Temperaturanstieg und organisieren die Rechnung entsprechend.Selbstverständlich nehmen wir für diese Scherzaufgabe an, dass keine Wärmeverluste etc. auftreten.

cmA(ϑM − ϑA) + cmP(ϑM − ϑP) = 0⇒ ϑM =mAϑA + mPϑP

mA + mP⇒

∆ϑ = ϑM − ϑP =mAϑA + mPϑP

mA + mP−

(mA + mP)ϑP

mA + mP=

mAϑA − mAϑP

mA + mP=

∆ϑ =mA(ϑA − ϑP)

mA + mP=

0.08 kg · (36 °C − 23 °C)0.08 kg + 3600 kg

= 2.89 · 10−4 °C = 0.3 mK

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48.2 Lösungen (Wärmekapazität) 934

17. Lösung von Aufgabe 17

∆Q = cm∆ϑ ≈ 4182 J/(kgK) · 0.20 kg · 80 K = 67 kJ

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48.2 Lösungen (Wärmekapazität) 935

18. Lösung von Aufgabe 18

Pt = cm∆ϑ⇒

m =Pt

c∆ϑ=

2.0 · 106 W · 5 · 3600 s850 J/(kg K) · (570 − 270) K

= 1.4 · 105 kg

V =mρ

=141176 kg

2600 kg/m3 = 54 m3 = (3.8 m)3

(Das Volumen ist viel grössern, denn der Kies muss Hohlräume haben, durch die heisse Luft, das alsTransportmedium dient, zirkulieren kann.)

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48.2 Lösungen (Wärmekapazität) 936

19. Lösung von Aufgabe 19

∆ϑ =∆Qcm

=16 kJ

4.182 kJ/(kgK) · 10 kg= 0.38 °C

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48.2 Lösungen (Wärmekapazität) 937

20. Lösung von Aufgabe 20

KB = “cBm′′B → cAmA(ϑM − ϑA) + cWmW(ϑM − ϑW) + KB(ϑM − ϑB) = 0

KB = −cAmA(ϑM − ϑA) + cWmW(ϑM − ϑW)

ϑM − ϑB= ↓ = 864 J/K

KB = −896 J/(kgK) · 0.253 kg · (27.8 − 68.2) K + 4182 J/(kgK) · 0.171 kg · (27.8 − 22.0) K

(27.8 − 22.0) K

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48.2 Lösungen (Wärmekapazität) 938

21. Lösung von Aufgabe 21

cm1(ϑM − ϑ1) + cm2(ϑM − ϑ2) = 0⇒ ϑ2 = ϑM +m1(ϑM − ϑ1)

m2=

ϑ2 = 32 °C +400 g · (32 °C − 18 °C)

850 g= 38.59 °C = 39 °C

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48.2 Lösungen (Wärmekapazität) 939

22. Lösung von Aufgabe 22

Bettflasche: ∆Q1 = cm∆ϑ ≈ 4182 J/(kg K) · 1 kg · (60 − 30) °C = 0.13 MJBettgenossin: ∆Q2 = P · ∆t ≈ 100 W · 8 · 3600 s = 2.9 MJ ∆Q1

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48.2 Lösungen (Wärmekapazität) 940

23. Lösung von Aufgabe 23

∆Q = cm∆ϑ = NP1∆t ⇒∆ϑ

∆t=

NP1

cm

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48.3 Lösungen (Schmelzen und Verdampfen) 941

48.3 Lösungen (Schmelzen und Verdampfen)

1. Lösung von Aufgabe 1

P =∆Q∆t

=c∆m(ϑ f − ϑ0) + ∆mL f

∆t=

cρA∆s(ϑ f − ϑ0) + ρA∆sL f

∆t= ρAυ · (c · (ϑ f − ϑ0) + L f )

≈ 7.29 · 103 kg/m3 · 0.75 · 10−6 m2 · 0.150 m/s · (227 J/(kgK) · (231.9 − 20) K + 0.596 · 105 J/K)= 88 W

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48.3 Lösungen (Schmelzen und Verdampfen) 942

2. Lösung von Aufgabe 2

a) Q = mN LVN = ρNVN LVN = 0.809 kg/L · 25′000 L · 198.7 · 103 J/kg = 4.0 GJ

b) P =ρHe∆VHeLVHe

∆t=

0.125 kg/L · 100 L · 20.3 · 103 J/kg30 · 86400 s

= 98 mW

Das Helium zirkuliert in einem geschlossenen Kreislauf, die 100 L pro Monat sind nur der Verlust anKühlmittel. Die tatsächliche Kühlleistung liegt viel höher!

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48.3 Lösungen (Schmelzen und Verdampfen) 943

3. Lösung von Aufgabe 3

a) Orangensaftmasse: mS =mK

fzu verdampfendes Wasser: mV =

(1 − f )mK

f

Q = mV LV =(1 − f )mK

fLV =

1 − 0.150.15

· 1.44 · 109 kg · 2.4 · 106 J/kg = 2.0 · 1016 J

b) Verbrennungswärme ∆Q = H∆moil

∆moil

∆t=

∆QH∆t

=(1 − f )∆mKLV

f H∆t

=(1 − 0.15) · 30 · 103 kg · 2.4 · 106 J/kg

0.15 · 4.27 · 107 J/kg · 1 h·

24 h1 d

= 2.3 · 105 kg/d

Das sind mehrere Tanklastwagen pro Tag! Die Verdampfungswärme bei 45 °C ist grösser als bei100 °C und höchstens auf zwei Ziffern genau, weil es ja nicht reines Wasser ist, das da siedet.

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48.3 Lösungen (Schmelzen und Verdampfen) 944

4. Lösung von Aufgabe 4

cMmM(ϑ40 − ϑ5) − mDLV + cWmD(ϑ40 − ϑ100) + cBechermBecher(ϑ40 − ϑ5) = 0

mD =cMmM(ϑ40 − ϑ5)

LV − cW(ϑ40 − ϑ100)=

4182 J/kgK · 180 g · (40 °C − 5 °C)2.257 · 106 J/kg − 4182 J/kgK · (40 °C − 100 °C)

= 10.51 g = 11 g

Die Wärme zur Erhitzung des Bechers steht stellvertretend für die Verluste und ist im Folgendenweggelassen worden. Den Term für die Abkühlung des Kondensats könnte man auch noch weglassen,nicht jedoch die Kondensationswärme des Dampfes. Die spezifische Wärmekapazität der Milch istgleich jener von Wasser gesetzt worden.

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48.3 Lösungen (Schmelzen und Verdampfen) 945

5. Lösung von Aufgabe 5Die vom Poolwasser abgegebene Wärme wird vom Eis (Eis und Schmelzwasser) aufgenommen. Ver-luste (Poolwand, Luft, etc.) werden vernachlässigt.

mELF + cWmE(ϑM − ϑ f ) + cWmP(ϑM − ϑP) = 0cWmEϑM + cWmPϑM = cWmPϑP + cWmEϑ f − mELF

ϑM =cWmPϑP + cWmEϑ f − mELF

cWmE + cWmPwobei hier ϑ f = 0 °C

∆ϑ = ϑM − ϑP =mPϑP − mELF/cW

mE + mP− ϑP

=200 · 103 kg · 32 °C − 6.0 kg · 3.338 · 105 J · kg−1/(4182 J/kgK)

6.0 kg + 200 · 103 kg− 32 °C = −3.4 mK

Wie man schon hat vermuten können zeigt die Aktion keinen spürbaren Erfolg.

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48.3 Lösungen (Schmelzen und Verdampfen) 946

6. Lösung von Aufgabe 6Hypothese: Da es relativ viel und kaltes Eis ist, erstarrt das Wasser vollkommen. Die MischtemperaturϑM liegt unter 0 °C.

cEmE(ϑM − ϑE) + cWmW(ϑ f − ϑW) − mW L f + cEmW(ϑM − ϑ f ) = 0mit der Erstarrungstemperatur ϑ f = 0 °C folgt:

ϑM =cEmEϑE + cWmWϑW + mW L f

cEmE + cEmW

ϑM =2100 J/kgK · 2.9 kg · (−46 °C) + 4182 J/kgK · 0.180 kg · 48 °C + 0.180 kg · 3.338 · 105 J/kg

2100 J/kg · (2.9 kg + 0.180 kg)= −28 °C Passt zur Hypothese!

Falls eine Mischtemperatur über 0 °C herausgekommen wäre, hätte die Hypothese überdacht werdenmüssen. Dann wäre die Endtemperatur bei 0 °C und ein Teil des Eises geschmolzen. Dass alles Eisschmilzt ist unwahrscheinlich.

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48.3 Lösungen (Schmelzen und Verdampfen) 947

7. Lösung von Aufgabe 7Wir setzen LMilch ≈ LWasser

12mML f − mDLv + cWmD(ϑ f − ϑD) = 0

mD =

12mML f

Lv − cW(ϑ f − ϑD)

mD =

12200 g · 3.338 · 105 J/kg

2.257 · 106 J/kg − 4182 J/kgK · (0 − 100 °C)mD = 12.5 g

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48.3 Lösungen (Schmelzen und Verdampfen) 948

8. Lösung von Aufgabe 8Es ist nicht klar, bei welcher Temperatur der Dampf kondensiert. Das nützen wir aus und vereinfachendie Rechnung: Der Dampf kühle erst auf 75 °C ab und kondensiere dann. Die Näherung verschwindet(ungefähr) in der Rundung auf ein bis zwei wesentliche Ziffern.

cWmM(ϑ75 − ϑ62) − mDLV + cDmD(ϑ75 − ϑ138) = 0

mD =cWmM(ϑ75 − ϑ62)

LV − cD(ϑ75 − ϑ138)=

4182 J/kgK · 22 · 103 kg · (75 °C − 62 °C)2.3 · 106 J/kg − 1863 J/kgK · (75 °C − 138 °C)

= 4.9 · 102 kg

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48.3 Lösungen (Schmelzen und Verdampfen) 949

9. Lösung von Aufgabe 9

P =LV∆m

∆t=

LVρW∆V∆t

=LVρWπr2∆h

∆t

=2.4 · 106 J/kg · 998 kg/m3 · π · (665 · 103 m)2 · 1.5 · 10−2 m

1 d · 86400 s/d= 5.8 · 1014 W

Die Kondensationswärme ist bei ca. 20 °C. Die Leistung des Hurrikans ist grösser als der mittlereEnergieverbrauch der ganzen Menschheit pro Zeit.

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48.3 Lösungen (Schmelzen und Verdampfen) 950

10. Lösung von Aufgabe 10Wir vernachlässigen die Wärmekapazität der Rohre und nehmen an, dass der Ethanoldampf die Sie-detemperatur von Ethanol hat.

− mELV + cEmE(ϑM − ϑS ) + cWmW(ϑM − ϑW) = 0⇒ ϑM =mELV + cEmEϑS + cWmWϑW

cEmE + cWmW=

12.3 kg · 8.40 · 105 J/kg + 2.43 · 103 J/kgK · 12.3 kg · 78.33 °C + 4182 J/kgK · 110 kg · 17 °C2.43 · 103 J/kgK · 12.3 kg + 4182 J/kgK · 110 kg

= 41.83 °C = 42 °C

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48.3 Lösungen (Schmelzen und Verdampfen) 951

11. Lösung von Aufgabe 11

∆Q = cem∆(ϑ f − ϑE) + mL f + cWm(ϑW − ϑ f )

= 0.055 kg · (2100 J/kgK · (0 + 18 °C) + 3.338 · 105 J/kg + 4182 J/kgK · (37 °C − 0))

= 2.9 · 104 J

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48.3 Lösungen (Schmelzen und Verdampfen) 952

12. Lösung von Aufgabe 12

∆Q = cm∆ϑ⇒ c =∆Qmϑ

=(5 − 2.5) · 103 J

0.035 kg · (50 − 10) °C= 1.8 · 103 J · kg−1 · K−1

Q = mL f ⇒ L f =Qm

=(12.5 − 5) · 103 J

0.035 kg= 2.1 · 105 J · kg−1

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48.3 Lösungen (Schmelzen und Verdampfen) 953

13. Lösung von Aufgabe 13

cWmW(ϑM − ϑW) − mPL f + cPmP(ϑM − ϑP) = 0⇒ ϑM =mPL f + cWmWϑW + +cPmPϑP

cWmW + cPmP

ϑM =12.8 g · 220 · 103 J/kg + 100 g · 4182 J/(kgK) · 17 °C + 12.8 g · 2890 J/(kgK) · 60 °C

100 g · 4182 J/(kgK) + 12.8 g · 2890 J/(kgK)= 27 °C

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48.3 Lösungen (Schmelzen und Verdampfen) 954

14. Lösung von Aufgabe 14

Q = mL f = 10 · 103 kg · 3.338 · 105 J/kg = 3.338 · 109 J ·1 kWh

3.6 · 106 J= 927 kWh

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48.3 Lösungen (Schmelzen und Verdampfen) 955

15. Lösung von Aufgabe 15Wir nehmen Normaldruck an.

Q = mLv ⇒ m =QLv

=3.60 · 106 J

2.2569 · 106 J/kg= 1.5951 kg

Die Genauigkeit ist nicht klar; ich habe ‘exakt’ 1 kWh angenommen.

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48.3 Lösungen (Schmelzen und Verdampfen) 956

16. Lösung von Aufgabe 16

cEmE · (ϑ f − ϑE) + mEL f + cWmE · (ϑM − ϑ f ) + cWmW · (ϑM − ϑW) = 0

mE =−cWmW · (ϑM − ϑW)

cE · (ϑ f − ϑE) + L f + cW · (ϑM − ϑ f )

mE =4182 J/(kg · K) · 280 g · (23 − 4.7) K

2100 J/(kg · K) · (0 + 18) K + 3.338 · 105 J/kg + 4182 J/(kg · K) · (4.7 − 0) K= 55 g

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48.3 Lösungen (Schmelzen und Verdampfen) 957

17. Lösung von Aufgabe 17latente Verdampfungswärme Q = mLV , sensible Wärme ∆Q = cm∆ϑ

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48.3 Lösungen (Schmelzen und Verdampfen) 958

18. Lösung von Aufgabe 18

cWmW(ϑ100 − ϑ25) − mDLV = 0⇒ mD =cWmW(ϑ100 − ϑ25)

LV

mD =4182 J/(kgK) · 2.5 kg · (100 − 25) °C

2.257 · 106 J/kg= 0.35 kg

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48.3 Lösungen (Schmelzen und Verdampfen) 959

19. Lösung von Aufgabe 19

mDLV + c(mt − mD)(ϑ4 − ϑ9) = 0⇒ mD =cmT (ϑ9 − ϑ4)

LV − c(ϑ4 − ϑ9)

mD =4182 J/(kgK) · 190 g · (93 °C − 48 °C)

2.257 · 106 J/kg − 4182 J/(kgK) · (48 °C − 93 °C)= 15 g

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48.3 Lösungen (Schmelzen und Verdampfen) 960

20. Lösung von Aufgabe 20Siehe Abbildung 48.2

Abbildung 48.2: Mit dem Eintauchen des Eiswürfels sinktdie Temperatur im Glas rasch auf 0 °C und bleibt dort solange, bis alles Eis geschmolzen ist. Dann steigt die Tem-peratur langsam auf Zimmertemperatur an. (Schema!)

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48.3 Lösungen (Schmelzen und Verdampfen) 961

21. Lösung von Aufgabe 21

mS L f + cWmW(ϑ0 − ϑ75) = 0

Die Masse des Eises mE spielt nur insofern eine Rolle, als sie wesentlich grösser als die WassermassemW ist, d.h. es wird nicht alles Eis schmelzen.

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48.3 Lösungen (Schmelzen und Verdampfen) 962

22. Lösung von Aufgabe 22

Q = mLV = 0.500 kg · 2.4 · 106 J/kg = 1.2 MJ oder

∆Q∆t

=LV · ∆m

∆t=

2.4 · 106 J/kg · 0.500 kg3600 s

= 0.33 kW

Ich habe angenommen, dass der Schweiss verdunstet (nicht tropft). Die Verdunstungstemperatur istnicht gegeben, aber ein Wert zwischen 20 °C und 40 °C ist wohl vernünftig.

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48.3 Lösungen (Schmelzen und Verdampfen) 963

23. Lösung von Aufgabe 23

a) ∆Q = cm∆ϑ⇒ c =∆Q

m∆ϑ=

31 · 106 J55 kg · (650 − 20) K

= 0.89 kJ/(kg K)

b) Q = mAL f ⇒ L f =QmA

=31 · 106 J

78 kg= 397 kJ/kg = 0.40 MJ/kg

c) LV =Q

mD=

31 · 106 J9 kg

= 3.44 MJ/kg = 3.4 MJ/kg

Die beiden Antworten a) und b) sind ok, Antwort c) ist deutlich zu hoch, falls man annimmt, dass dasZeolith keinen Einfluss auf die spezifische Verdampfungswärme hat.

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48.3 Lösungen (Schmelzen und Verdampfen) 964

24. Lösung von Aufgabe 24

mEL f + cWmW(ϑ f − ϑW) = 0⇒

mE =cWmW(ϑW − ϑ f )

L f=

4182 J/(kg K) · 200 g · (27 − 0) °C3.338 · 105 J/kg

= 68 g

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48.3 Lösungen (Schmelzen und Verdampfen) 965

25. Lösung von Aufgabe 25

Durch den Wind verdunstet Wasser, wodurch der Flüssigkeit Wärme entzogen wird. Die spezifischeVerdunstungswärme ist viel grösser als die spez. Erstarrungswärme, deshalb ist es unter gewissenBedingungen möglich.

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48.3 Lösungen (Schmelzen und Verdampfen) 966

26. Lösung von Aufgabe 26

cmw(ϑ f − ϑW) − mPL f = 0

mw =mPL f

cw(ϑ f − ϑW)=

600 kg · 220 · 103 J/kg4182 J/(kgK) · (60 − 15) °C

= 0.70 t

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48.3 Lösungen (Schmelzen und Verdampfen) 967

27. Lösung von Aufgabe 27

mEL f − mDLV + cWmD(ϑ0 − ϑs) = 0

mD =mEL f

LV − cW(ϑ0 − ϑs)=

100 g · 3.338 · 105 J/kg2.257 · 106 J/kg − 4182 J/(kgK) · (0 − 100) K

= 12.5 g

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48.3 Lösungen (Schmelzen und Verdampfen) 968

28. Lösung von Aufgabe 28

cEmE(ϑ f − ϑ0) + mELF + cWmW(ϑ0 − ϑW) = 0mE

mW=

cW(ϑW − ϑ0)cE(ϑ f − ϑ0) + LF

=4182 J/(kgK) · (30 − 0) K

2100 J/(kgK) · (0 + 20) K + 3.338 · 105 J/kg= 0.33

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48.3 Lösungen (Schmelzen und Verdampfen) 969

29. Lösung von Aufgabe 29

cm∆ϑ

mL f=

c(ϑ f − ϑ1)L f

=450 J/(kgK) · (1535 − 20) °C

2.77 · 105 J/kg= 2.46 > 1⇒ ∆Q > Q f

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48.3 Lösungen (Schmelzen und Verdampfen) 970

30. Lösung von Aufgabe 30

cWmW(ϑ f − ϑW) + mS L f = 0⇒

mS =cWmW(ϑW − ϑ f )

L f=

4182 J/(kg K) · 0.280 kg · (36 − 0) K3.338 · 105 J/kg

= 0.13 kg

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48.3 Lösungen (Schmelzen und Verdampfen) 971

31. Lösung von Aufgabe 31

mS LF + cmP(ϑ f − ϑP) = 0ρS AhL f + cmP(ϑ f − ϑP) = 0

h =cmP(ϑP − ϑ f )

ρS ALF=

4182 J/(kgK) · 0.2 kg · (37 − 0) K500 kg/m3 · 1 · 10−4 m2 · 3.338 J/kg

= 2 m

Annahmen: Der Schnee hat Schmelztemperatur ϑ f = 0, die Dichte des Schnees sei etwa die Hälftevon jener des Wassers (eher viel), das “Einschussloch” habe eine Querschnittsfläche von A = 1 cm2

(eher wenig), die Pisse hat Körpertemperatur ϑP = 37 °C und kühle sich auf dem Flug nicht ab. DieMenge betrage etwa 2 dL.

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48.3 Lösungen (Schmelzen und Verdampfen) 972

32. Lösung von Aufgabe 32

Von der Oberfläche verdunstet Wasser; die Verdampfungswärme wird dem Innenraum entzogen undkühlt diesen dadurch ab. Holzkohle ist ein leicht erhältliches Material, das eine grosse Oberfläche hat.

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48.3 Lösungen (Schmelzen und Verdampfen) 973

33. Lösung von Aufgabe 33

Der Sättigungsdampfdruck bei ϑ f = 0 °C ist 4.85 g/m3. Nehmen wir einen Zehntel davon als Schnee-konzentration in der Luft, so erhalten wir

cLmL(ϑ f − ϑL) + mS L f = 0 || : V ∧ ϑ f = 0 °C− cLρLϑL + ρS L f = 0

ϑL =ρS L f

ρLcL=

0.485 g/m3 · 3.338 · 105 J/kg1293 g/m3 · 1005 J/(kg K)

= 0.126 °C

Schneeflocken fallen mit Grössenordnung 1 m/s, d.h. in 8 s wird ein Kubikmeter Luft um 1 °C gekühltrespektiv ein einer Minute um etwa acht Grad.

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48.3 Lösungen (Schmelzen und Verdampfen) 974

34. Lösung von Aufgabe 34

mEL f + cWmE(ϑM − ϑ f ) − mDLV + cWmD(ϑM − ϑs) = 0⇒ mD =mEL f + cWmE(ϑM − ϑ f )

LV − cW(ϑM − ϑs)

mD =1.00 kg · 3.338 · 105 J/kg + 4182 J/(kgK) · 1.00 kg · (50 − 0) K

2.257 · 106 J/kg − 4182 J/(kgK) · (50 − 100) K= 0.220 kg

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48.3 Lösungen (Schmelzen und Verdampfen) 975

35. Lösung von Aufgabe 35

m1L f + cm1(ϑM − ϑ f ) + cm2(ϑM − ϑ2) = 0⇒ ϑM =cm2ϑ2 + cm1ϑ f − m1L f

cm1 + cm2

ϑM =2.43 · 103 · 1.2 · 22 + 2.43 · 103 · 1.5 · (−114.5) − 1.5 · 1.08 · 105

2.43 · 103 · 1.2 + 2.43 · 103 · 1.5. . . °C = −79 °C

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48.3 Lösungen (Schmelzen und Verdampfen) 976

36. Lösung von Aufgabe 36

a) 4.1 mm = 4.1 · 10−3 m = 4.110−3 m3

m2 = 4.1 L/m2

b) Da keine Fläche angegeben ist, muss man es wohl in Energie pro Fläche angeben.QA

=mLV

A= ρ ·

VA· LV ≈ 1000 kg/m3 · 4.1 · 10−3 m3/m2 · 2.48 · 106 J/kg = 10 MJ/m2

c) J =QAt

= · · · =1.0168 · 107 J/m2

(12 − 6) h · 3600 s/h= 471 W/m2 = 0.47 kW/m2 < JS = 1.366 kW/m2

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48.3 Lösungen (Schmelzen und Verdampfen) 977

37. Lösung von Aufgabe 37

Q = ρVLV = 125 kg/m3 · 0.300 m3 · 20.413 · 103 J/kg = 0.765 MJ < 5.0 MJ

Die Energie reicht aus, das Helium zu verdampfen.

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48.3 Lösungen (Schmelzen und Verdampfen) 978

38. Lösung von Aufgabe 38

cKmK(ϑ2 − ϑ1) + mS LV = 0

Der Körper gibt Wärme ab (ϑ2 < ϑ1), der Schweiss nimmt Wärme auf.

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48.4 Lösungen (Dampfdruck und Feuchte) 979

48.4 Lösungen (Dampfdruck und Feuchte)

1. Lösung von Aufgabe 1

m = fρsV = 0.47 · 17.32 g/m3 · 53 m3 = 0.43 kg

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48.4 Lösungen (Dampfdruck und Feuchte) 980

2. Lösung von Aufgabe 2

a) Dampfdruck: pD(180°C) = 10.026 bar < 12 bar < pD(190°C) = 12.550 barDie Mindesttemperatur liegt in der Nähe von 190°C.

b) P =W∆t

= p · ∆V · f = p · 2Ah · f = pπ2 d2h f

= 12 · 105 Pa · π2 · (0.300 m)2 · 0.700 m ·90

60 s= 178 kW = 0.18 MW

Bemerkung: η = 79 kW/178 kW = 0.44 ist nicht der thermodynamische Wirkungsgrad, sondernjener der Mechanik.

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48.4 Lösungen (Dampfdruck und Feuchte) 981

3. Lösung von Aufgabe 3Die eingeatmete Luft habe die relative Feuchte f1 = 50 %, die ausgeatmete f2 = 100 %. Wir nehmenϑ1 = 20 °C und ϑ2 = 35 °C an (bei 35 °C finden wir den nächsten Tabellenwert für die Sättigungs-dampfdichte). Ein Atemzug transportiere 0.5 L Dampf und das 20 Mal pro Minute. Damit folgt

a) m = ( f2ρ2 − f1ρ1)V = ( f2ρ2 − f1ρ1)V1∆N∆t

t

=(1.00 · 0.03963 kg/m3 − 0.50 · 0.01732 kg/m3

)· 5 · 10−4 m3 ·

2060 s· 86400 s

= 0.446 kg = 0.4 kg

b) Q = mLV = · · · = 0.446 kg · 2.4064 · 106 J/kg = 1 MJ

Der nächste Tabellenwert für die spezifische Verdampfungswärme war bei 40 °C, aber der Unter-schied zu jenem bei 36 °C hat keinen Einfluss auf das Resultat (es hat ja nur eine wesentliche Ziffer).

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48.4 Lösungen (Dampfdruck und Feuchte) 982

4. Lösung von Aufgabe 4Wir schlagen die Siedetemperatur von Wasser bei einem Dampfdruck von p = (1 + 12) bar in derDampfdrucktabelle nach:

ϑS (12.550 bar) = 190 °C und ϑS (15.544 bar) = 200 °C⇒ Die Siede- und Dampftemperatur liegt zwischen 190 und 200 °C.

mit linearer Interpolation:

ϑ =13 bar − 12.550 bar

15.554 bar − 12.550 bar· (200 − 190) °C + 190 °C = 191.498 °C = 191 °C

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48.4 Lösungen (Dampfdruck und Feuchte) 983

5. Lösung von Aufgabe 5

ρ = frρS (24 °C) = 0.37 · 21.81 g/m3 = 8.0697 g/m3

a) ρS (6 °C) = 7.27 g/m3 < ρ < ρS (8 °C) = 8.28 g/m3

b) ϑT =8.0697 g/m3 − 7.27 g/m3

8.28 g/m3 − 7.27 g/m3 · (8 °C − 6 °C) + 6 °C = 7.6 °C

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48.4 Lösungen (Dampfdruck und Feuchte) 984

6. Lösung von Aufgabe 6

m = ρV = frρS (26 °C)V = 0.73 · 0.02440 kg/m3 · 180 m3 = 3.2 kg

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48.4 Lösungen (Dampfdruck und Feuchte) 985

7. Lösung von Aufgabe 7

Dampfdrucktabelle: pS (300 °C) = 85.903 bar, pS (350 °C) = 165.32 barlineare Interpolation (Mittelwert): pS (325 °C) ≈ 126 bar

Der Druck im Reaktor ist höher als der Dampfdruck, d.h. das Wasser siedet nicht; die Angaben passenin dieser Hinsicht zusammen.

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48.4 Lösungen (Dampfdruck und Feuchte) 986

8. Lösung von Aufgabe 8In der FoTa findet sich eine Dampfdrucktabelle von Propan (Kältemittel) sowie der kritische Punktund die Erstarrungstemperatur. Trägt man diese Daten in ein p(T )-Diagramm ein, erhält man Abb. 48.3.

0 100 200 300 400 50010–2

10–1

100

101

102

Temperatur in Kelvin

Dru

ck in

ba

r

pD

K

F

Abbildung 48.3: Zustandsdiagramm von PropanpD ist die Dampfdruckkurve und K der kritische Punkt. Bei der Erstarrungstemperatur (F) 85.55 K ausder FoTa ist der Druck nicht klar. (Der Tripelpunkt fest-flüssig-gasig wäre bei 85.45 K und 1.96 · 10−9 bar.)Unterhalb der Dampfdruckkurve ist Propan gasförmig, darüber flüssig. Rechts von K ist Propan gasförmigund links von F fest.

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48.4 Lösungen (Dampfdruck und Feuchte) 987

9. Lösung von Aufgabe 9In der Tabelle stehen die Dampfdrücke bei 100 °C und 105 °C.

pD(101 °C) =101 °C − 100 °C105 °C − 100 °C

· (120.80 kPa − 101.32 kPa) + 101.32 kPa = 111 kPa

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48.4 Lösungen (Dampfdruck und Feuchte) 988

10. Lösung von Aufgabe 10

mD = mW ⇒ ρDAhD = ρW AhW ⇒ hW = hDρD

ρW= 2.5 m ·

0.02726 kg/m3

998 kg/m3 = 68 µm

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48.4 Lösungen (Dampfdruck und Feuchte) 989

11. Lösung von Aufgabe 11

ρ =mV

=2.8 kg37 m3 = 0.076 kg/m3

FoTa: ρs(45 °C) = 0.06545 kg/m3 ρS (50 °C) = 0.0830 kg/m3

ϑ =0.076 kg/m3 − 0.06545 kg/m3

0.0830 kg/m3 − 0.06545 kg/m3 · (50 °C − 45 °C) + 45 °C = 48 °C

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48.4 Lösungen (Dampfdruck und Feuchte) 990

12. Lösung von Aufgabe 12Ich nehme 100 % relative Feuchte an.

m = ρsV = 0.02726 kg/m3 · 6000 kg/m3 = 164 kg

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48.4 Lösungen (Dampfdruck und Feuchte) 991

13. Lösung von Aufgabe 13

a) ϑs(47.34 kPa) = 80 °C < ϑs(51.3 kPa) < ϑs(57.81 kPa) = 85 °C

b) ϑs(51.3 kPa) =51.3 kPa − 47.34 kPa

57.81 kPa − 47.34 kPa· (85 °C − 80 °C) + 80 °C = 82 °C

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48.4 Lösungen (Dampfdruck und Feuchte) 992

14. Lösung von Aufgabe 14Wenn der Raum verkleinert wird, so kondensiert Wasserdampf und der Druck bleibt gleich dem Sät-tigungsdampfdruck. Wenn die Temperatur erhöht wird, steigt der Druck überproportional an.

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48.4 Lösungen (Dampfdruck und Feuchte) 993

15. Lösung von Aufgabe 15

a) p8 = ps(98 °C) = 94.30 kPa < ps < ps(99 °C) = 97.76 kPa = p9

b) ps =ϑs − ϑ8

ϑ9 − ϑ8· (p9 − p8) + p8 =

98.8 °C − 98 °C99 °C − 98 °C

· (97.76 kPa − 94.30 kPa) + 94.30 kPa

= 97.068 kPa = 97.1 kPa

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48.4 Lösungen (Dampfdruck und Feuchte) 994

16. Lösung von Aufgabe 16

ρs(40 °C) = 50.17 g/m3 Sättigungsdampfdichte

ρs(45 °C) = 65.45 g/m3

ρs(43 °C) ≈43 − 4045 − 40

· (65.45 − 50.17) g/m3 + 50.17 g/m3 = 59.3 g/m3

fr =ρa(43 °C)ρs(43 °C)

=ρs(35 °C)ρs(43 °C)

=39.63 g/m3

59.3 g/m3 = 66.8 %

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48.4 Lösungen (Dampfdruck und Feuchte) 995

17. Lösung von Aufgabe 17

Der Umgebungsdruck muss gleich dem Dampfdruck sein: p = 5624 Pa ≈ 0.05 bar. Die Rechnungist wichtig für Astronauten: Bei einer Dekompression (durch z.B. durch ein Loch im Raumanzug)beginnt das Blut zu sieden und das Gewebe bläst sich auf.

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48.4 Lösungen (Dampfdruck und Feuchte) 996

18. Lösung von Aufgabe 18

a) Dampfdrucktabelle: zwischen pS (96 °C) = 87.68 kPa und pS (97 °C) = 90.94 kPa

mit linearer Interpolation: ϑS =89.23 kPa − 87.68 kPa90.94 kPa − 87.68 kPa

· (97 °C − 96 °C) + 96 °C = 96.48 °C

b) Dampfdichtetabelle: ρS (20 °C) = 17.32 g/m3 ρS (22 °C) = 19.44 g/m3

lin. Interpolation: ρS (21.5 °C) =21.5 − 2022 − 20

· (19.44 − 17.32) g/m3 + 17.32 g/m3 = 18.91 g/m3

ρa = frρS (21.5 °C) = 0.52 · 18.91 g/m3 = 9.833 g/m3

Dampfdichtetabelle: ρS (10 °C) = 9.41 g/m3 ρS (12 °C) = 10.67 g/m3

lin. Interpolation: ϑT =9.833 − 9.4110.67 − 9.41

· (12 − 10) °C + 10 °C = 10.67 °C = 10.7 °C

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48.4 Lösungen (Dampfdruck und Feuchte) 997

19. Lösung von Aufgabe 19

a) cmB∆ϑ − mDLv + cmD∆ϑ = 0⇒ ∆ϑ =mDLv

c · (mB + mD)

∆ϑ =1.3 g · 2.5009 · 106 J/kg

4182 J/(kgK) · (500 g + 1.3 g)= 1.6 K

b) absolute Feuchte: ρa = ρs (28 °C) f = 0.02726 kg/m2 · 0.635 = 0.0173 kg/m3 = ρs

(20 °C

)

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48.4 Lösungen (Dampfdruck und Feuchte) 998

20. Lösung von Aufgabe 20

Dampfdrucktabelle: p97 = 90.94 kPa, p98 = 94.30 kPa, p99 = 97.76 kPa, p100 = 101.32 kPaDie Siedetemperatur schwankt etwa zwischen 98 °C und 100 °C. Genauer:

ϑ940 =94.0 − 90.94

94.30 − 90.94· (98 − 97) °C + 97 °C = 97.91 °C

ϑ990 =99.0 − 97.76

101.32 − 97.76· (100 − 99) °C + 99 °C = 99.35 °C

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48.4 Lösungen (Dampfdruck und Feuchte) 999

21. Lösung von Aufgabe 21

ρD =mV

=0.23 g

0.75 · 10−3 m3 = 0.307 kg/m3

0.293 kg/m3 = ρs(80 °C) < ρD 0.353 kg/m3 = ρs(85 °C)

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48.4 Lösungen (Dampfdruck und Feuchte) 1000

22. Lösung von Aufgabe 22

p = p0 + ρgh = 1.0 · 105 Pa + 998 kg/m3 · 9.81 m/s2 · 20 m = 296 kPa130 °C = ϑs(270.13 kPa) < θ 140 °C = ϑs(361.4 kPa)

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48.4 Lösungen (Dampfdruck und Feuchte) 1001

23. Lösung von Aufgabe 23

Ich nehme einen Raum von 5 × 5 × 2 m3 = 50 m3 bei 20 °C an. Der Sättigungsdampfdruck beidieser Temperatur beträgt 2337 Pa. Wir können uns vorstellen, diesen Dampf mit semipermeablenMembranen isotherm und isobar aus dem Raum zu drücken. Die Kompressionsarbeit ist dann

W = p · ∆V = 2337 Pa · 50 m3 = 1.2 · 105 J

Kompressionsenergie pro Volumen:W∆V

= p = 2337 J/m3 bei 20 °C

Alternativ könnte man eine Fläche abkühlen, damit dort der Dampf kondensiert. Für eine vollstän-dige Entfeuchtung wäre allerdings eine Temperatur von 0 K erforderlich. Beim absoluten Nullpunktist der Wirkungsgrad eines Kühlaggregats Null, somit kann dieses Prinzip nicht besser sein als daserstgenannte.

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48.4 Lösungen (Dampfdruck und Feuchte) 1002

24. Lösung von Aufgabe 24

Im Winter ist die relative Luftfeuchtigkeit in geheizten Räumen tiefer als draussen, selbst wenn dieabsolute Feuchte gleich ist, denn der Sättigungsdampfdruck steigt mit wachsender Temperatur. Wirddas Hygrometer nach draussen gebracht, so kühlt es ab und die relative Feuchte in seiner Umgebungsteigt.

Wird das kalte Hygrometer in die geheizte Stube gebracht, so kondensiert Wasserdampf auf demHygrometer, was temporär eine erhöhte Luftfeuchtigkeit vortäuscht. Erst wenn das Hygrometer Zim-mertemperatur erreicht hat und wieder getrocknet ist, zeigt es die korrekte Feuchte an.

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48.4 Lösungen (Dampfdruck und Feuchte) 1003

25. Lösung von Aufgabe 25

a) Q = mW LV = (mN − mt) · LV = (11.5 kg − 7.2 kg) · 2.44 · 106 J/kg = 10 MJ

b) fr =ρa

ρs=

mVρs

=(11.5 − 7.2) kg

50 m3 · 0.01732 kg/m3 = 5.0 > 100 %

Die Luftfeuchtigkeit wird auf 100 % steigen und es wird Wasser an den Wänden kondensieren.

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48.4 Lösungen (Dampfdruck und Feuchte) 1004

26. Lösung von Aufgabe 26

Dampfdrucktabelle: pS (120 °C) = 198.53 kPa pS (130 °C) = 270.13 kPa

pS (125 kPa) =125 °C − 120 °C130 °C − 120 °C

· (270.13 − 198.53) kPa + 198.53 kPa = 234.33 kPa

ρgh = pS ⇒ h =pS

ρg=

234.33 · 103 Pa960 kg/m3 · 9.81 m/s2 = 24.9 m

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Kapitel 49

Lösungen (Wärmetransport)

49.1 Lösungen (Wärmemitführung)

1. Lösung von Aufgabe 1

a) Aυ =∆V∆t⇒ υ =

∆V/∆tbh

=90 · 106 m3/s

100 · 103 m · 800 m= 1.125 m/s = 1.1 m/s

b) P =∆Q∆t

=c∆m∆ϑ

∆t=

cρ∆V∆ϑ

∆t⇒

∆ϑ =Pcρ

∆t∆V

=1.3 · 1015 W

4182 J/(kgK) · 998 kg/m3 ·1

90 · 106 m3/s= 3.5 °C

Ziemlich sicher variiert die Temperatur über den Querschnitt und es gibt lokale Temperaturspitzen.Auch die berechnete Strömungsgeschwindigkeit ist lediglich ein Mittelwert (von korrekter Grössen-ordnung).

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49.1 Lösungen (Wärmemitführung) 1006

2. Lösung von Aufgabe 2

P =∆Q∆t

=cP∆m∆ϑ

∆t= cP · ρ ·

∆V∆t· ∆ϑ

= 1005J

kgK· 1.293

kgm3 ·

30 · 3 · 10−3 m360 s

· (37 − (−20)) °C = 111 W = 1 · 102 W

Die Rechnung ist eine Abschätzung, denn die spez. Wärmekapazität bezieht sich auf 20 °C, aber dieDichte auf Normbedingungen (0 °C, 1.013 bar). Die Grössenordnung des Resutats ist korrekt. DieLuft wird entlang des Atemweges aufgeheizt, aber beim Ausatmen geht diese Wärme nicht komplettverloren, sondern heizt z.B. die Nase wieder auf (Prinzip des Wärmetauschers).

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49.1 Lösungen (Wärmemitführung) 1007

3. Lösung von Aufgabe 3

P =∆Q∆t

=c · ∆V · ρ · ∆ϑ

∆t=

4182 Jkg−1K−1 · 1.200 m3 · 978 kg/m3 · (68 − 20) K60 s

= 3.9 MW

Die Dichte von Wasser bei 70 °C beträgt 977.76 kg/m3.

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49.1 Lösungen (Wärmemitführung) 1008

4. Lösung von Aufgabe 4Annahmen: Meine spez. Wärmekapazität sei gleich jener des Wassers. Das Duschwasser erwärmesich auf die mittlere Körpertemperatur von (39 °C-36 °C)/2=37.5 °C während es den Körper hinabläuft. Ich kühle gleichmässig ab.

cmK(ϑ39 − ϑ36) = c∆m∆t · (ϑ37 − ϑ18) · t ⇒ t =

mK(ϑ39 − ϑ36)∆m∆t · (ϑ37 − ϑ18)

t =72 kg · (39 °C − 36 °C)

0.10 kg/s · (37.5 °C − 18 °C)= 111 s = 1.8 min

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49.1 Lösungen (Wärmemitführung) 1009

5. Lösung von Aufgabe 5

P =∆Q∆t

=c · ρ · ∆V · (ϑ8 − ϑ6)

∆t

=4.2 · 103 J/(kgK) · 978 kg/m3 · 0.030 m3 · (83 − 60) K

60 s= 47 kW

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49.1 Lösungen (Wärmemitführung) 1010

6. Lösung von Aufgabe 6

P1 =∆Q∆t

=cLmL∆ϑ

∆t=

cLρL∆V∆ϑ

∆t⇒

∆V∆t

=P1

cLρL∆ϑ=

∆V∆t

=2000 W

1005 J/(kgK) · 1.2 kg/m3 · (550 − 20) K= 3.1 L/s = 0.19 m3/min

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49.1 Lösungen (Wärmemitführung) 1011

7. Lösung von Aufgabe 7

P =∆Q∆t

=∆m · L f

∆t⇒

∆m∆t

=PL f

=24 · 104 W

3.338 · 105 J/kg= 0.72 kg/s

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49.1 Lösungen (Wärmemitführung) 1012

8. Lösung von Aufgabe 8

P =∆Q∆t

=c · ∆m · ∆ϑ

∆t=

c · ρ∆V · ∆ϑ∆t

= cρAυ∆ϑ⇒ A =P

cρυ∆ϑ

A =980 W

4182 J/(kg K) · 998 kg/m3 · 0.044 m/s · (58 − 31) °C= 1.976 · 10−4 m2 = 2.0 cm2

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49.2 Lösungen (Wärmeleitung) 1013

49.2 Lösungen (Wärmeleitung)

1. Lösung von Aufgabe 1Der Energieverlust ist proportional zur Temperaturdifferenz innen-aussen.

∆m ∝ ∆Q ∝ ∆ϑ→m2

m1=

∆ϑ2

∆ϑ1≈

(22 − 0) °C(20 − 0) °C

= 1.1 Er steigt ungefähr um 10 %.

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49.2 Lösungen (Wärmeleitung) 1014

2. Lösung von Aufgabe 2

Luft leitet Wärme schlecht, aber das kommt nur zum Tragen, wenn sie sich nicht bewegt. Haareunterbinden die Konvektion.

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49.2 Lösungen (Wärmeleitung) 1015

3. Lösung von Aufgabe 3

Im Tee kann Wärme durch Konvektion an die Oberfläche transportiert werden. Dieser Prozess istim Apfelmus nicht möglich. Im Mus kann Wärme nur durch Wärmeleitung an die Oberfläche trans-portiert werden, was wesentlich länger dauert. An der Oberfläche des Tees kann Wasser ungehindertverdunsten, beim Apfelmus wird die Diffusion des Wassers durch die festen Bestandteile etwas be-hindert.

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49.2 Lösungen (Wärmeleitung) 1016

4. Lösung von Aufgabe 4

Die Wärmeleitfähigkeit von Wasser ist nicht sehr hoch, was in Nasstaucheranzügen auch ausgenütztwird. Beim Schwimmen ist Auskühlung durch Konvektion (Wärmemitführung durch strömendesWasser) das Problem.

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49.2 Lösungen (Wärmeleitung) 1017

5. Lösung von Aufgabe 5

P = JA = U∆ϑA = 0.6 W/(m2K) · (21 − 8.3) K · 29 m2 = 221 W = 0.2 kW

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49.3 Lösungen (Wärmestrahlung) 1018

49.3 Lösungen (Wärmestrahlung)

1. Lösung von Aufgabe 1Die Lampe strahle in alle Richtungen gleichmässig und unsere Augen seien für das Licht von Sonneund Lampe gleich empfindlich.Die Bestrahlungsstärken J = P/A müssen gleich sein, damit Stern und Lampe gleich hell erscheinen:

PL

4πr2L

=PS

4πr2S

⇒ rL = rS ·

√PL

PS= 10 ly · 9.46 · 1015 m

ly·

√1 W

3.846 · 1026 W= 4.8 km = 5 km

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49.3 Lösungen (Wärmestrahlung) 1019

2. Lösung von Aufgabe 2

JS =P

A · ∆t=

∆m · LV

A · ∆t⇒

∆mA · ∆t

=JS

LV=

1366 W/m2

2.4 · 106 J/kg= 5.7 · 10−4 kg

m2s= 2.0

kgm2h

Die Solarkonstante JS als Mass für die Sonneneinstrahlung ist sicher zu hoch. Die spezifische Ver-dampfungswärme ist für ca. 20 − 40 °C.

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49.3 Lösungen (Wärmestrahlung) 1020

3. Lösung von Aufgabe 3

Q = mLV = %VLV = 998 kg/m3 · 1400 · 109 m3 · 2.45 · 106 J/kg = 3.42 · 1021 J

QJS A∆t

=%VLV

JSπr2∆t=

998 kg/m3 · 1400 · 109 m3 · 2.45 · 106 J/kg1366 W/m2 · π · (6.371 · 106 m)2 · 86400 s

= 22.7 %

Dichte und Kondensationswärme sind auf 20 °C bezogen.

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49.3 Lösungen (Wärmestrahlung) 1021

4. Lösung von Aufgabe 4Im Maximum nimmt die Oberfläche gleich viel Sonnenlicht auf wie sie Wärme abstrahlt:

εJS = εσT 4 ⇒ T =4

√JS

σ=

4

√1366 W/m2

5.6704 · 10−8 W/(m2K4)= 394.0 K =121 °C

Die Maximaltemperatur ist dieselbe wie bei einem schwarzen Körper. Ein grau oder weiss ausse-hender Körper wird deshalb nicht so heiss, weil er im Sichtbaren wenig absorbiert, aber im Bereichder Wärmestrahlung (Infrarot) nahezu schwarz sein kann. Bei einem ‘grauen Körper’ ist das explizitausgeschlossen.

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49.3 Lösungen (Wärmestrahlung) 1022

5. Lösung von Aufgabe 5Im Gleichgewicht nimmt die Oberfläche gleich viel Sonnenenergie auf wie sie Wärme abstrahlt. Derauf die Oberfläche treffende Energiestrom ist proportional zum Kosinus des Einfallswinkels.

σT 4 = JS cosα⇒ T =4

√JS cosασ

Abbildung 49.1: Die Temperatur der Oberflä-che nimmt mit zunehmendem Einfallswinkel ab.Bei senkrechtem Einfall (0°) werden ca. 121 °Cerreicht, bei streifendem Einfall (90°) sinkt dieTemperatur stark ab. Die Temperatur sinkt sogarauf 0 K, falls der Körper hinter der Oberflächekeine Wärme speichern oder ableiten kann.

0 30 60 900

100

200

300

400

Einfallswinkel in Grad

Tem

pera

tur i

n Ke

lvin

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49.3 Lösungen (Wärmestrahlung) 1023

6. Lösung von Aufgabe 6

PS ∆t = mL f ⇒ JS A∆t = ρAhL f ⇒

∆t =ρhL f

JS=

400 kg/m3 · 0.30 m · 3.338 · 105 J/kg1366 W/m2 = 2.93 · 104 s = 8.1 h

Annahmen: Die Sonne scheint die ganze Zeit senkrecht auf den Schnee, die Erdatmosphäre absorbiertkein Licht, dafür der Schnee alles (ist z.B. mit schwarzem Staub bedeckt).

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49.3 Lösungen (Wärmestrahlung) 1024

7. Lösung von Aufgabe 7

aJS = σT 4 ⇒

T =4

√aJS

σ=

4

√0.50 · 1366 W/m2

5.6704 · 10−8 W/(m2K4)= 331 K = (331.285 − 273.15) °C = 58 °C

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49.3 Lösungen (Wärmestrahlung) 1025

8. Lösung von Aufgabe 8

aJS = εσT 4 ⇒ T =4

√aJS

εσ=

4

√0.90 · 1366 W/m3

0.07 · 5.670 · 10−8 W/(m2K4 = 746 K = 7 · 102 K

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49.3 Lösungen (Wärmestrahlung) 1026

9. Lösung von Aufgabe 9

λmax =bT→ J = σT 4 = σ ·

(bλmax

)4

J = 5.670 · 10−8 W/(m2K4) ·(2.898 · 10−3 Km

4.38 · 10−6 m

)4

= 10.9 kW/m2

Annahme: Die Oberfläche strahlt wie ein schwarzer Körper.

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49.3 Lösungen (Wärmestrahlung) 1027

10. Lösung von Aufgabe 10

Annahme: Die Wendel strahle wie ein schwarzer Körper.

a) P = σT 4 · A⇒ A =PσT 4 =

40 W5.670 · 10−8 W/(m2K4) · (3000 K)4 = 8.71 · 10−6 m2 = 8.7 mm2

b) λmax =bT

=2.89777 · 10−3 K ·m

3000 K= 965.9 nm

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49.3 Lösungen (Wärmestrahlung) 1028

11. Lösung von Aufgabe 11

a) P = AJ = πd2σT 4 =

= π · (0.010 m)2 · 5.670 · 10−8 W/(m2K4) · ((1400 + 273.15) K)4 = 0.14 kW

b) λmax =bT

=2.8978 · 10−3 K ·m(1400 + 273.15) K

= 1.732 µm

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49.3 Lösungen (Wärmestrahlung) 1029

12. Lösung von Aufgabe 12

Bei Vollmond wird der Mond mit der Solarkonstanten JS bestrahlt. Wir nehmen einen weissen Mondan und rechnen die Intensität mit dem Abstandsgesetz vom Mondradius auf den Abstand Erde-Mondum.

PM = JS · πr2M auf den Mond gestrahltes Sonnenlicht

JM =PM

2πr2EM

=JS

2·

(rM

rEM

)2

=1366 W/m2

2·

(1.7374 · 106 m3.844 · 108 m

)2

= 0.014 W/m2

JM

JS=

12·

(rM

rEM

)2

=12·

(1.7374 · 106 m3.844 · 108 m

)2

= 10 · 10−6

Die Abstrahlung des Mondlichts erfolgt vor allem in den sonnenseitigen Halbraum. Die Albedo derMondoberfläche beträgt nur 11 %, d.h. die Grössenordnung 10−6 stimmt.

Die Beleuchtungsstärke mit der Sonne im Zenit beträgt 130 000 lx, jene mit Vollmond im Zenit0.27 lx (wikipedia). Das Verhältnis dieser zwei Grössen ist 2.1·10−6. Die Grössenordnung der Aussagestimmt.

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49.3 Lösungen (Wärmestrahlung) 1030

13. Lösung von Aufgabe 13

a) J ∝1r2 ⇒

JC

JE=

r2E

r2C

=

(1.000 AE

2.7668 AE

)2

= 0.1306 X

b) σT 4 ≈ f · JE ⇒ T =

(f · JE

σ

)1/4

=

(0.13 · 1366 W/m2

5.670 · 10−8 W/(m2K4)

)1/4

= 237 K

237 K werden nur erreicht, wenn Ceres ein schwarzer Körper wäre und keine Wärme speichernkönnte. Ceres hat eine Albedo von 0.113, d.h. sie nimmt weniger Wärme auf als ein schwarzer Körper.

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49.3 Lösungen (Wärmestrahlung) 1031

14. Lösung von Aufgabe 14

J ∝1r2 ⇒

Jmax

Jmin=

r2P

r2A

=

(1 + ε

1 − ε

)2

=

(1 + 0.016701 − 0.01670

)2

= 1.06909

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49.3 Lösungen (Wärmestrahlung) 1032

15. Lösung von Aufgabe 15

P ≈ JS A∆t ≈ 1.366 kW/m2 · 1 m2 · 8 h ≈ 11 kWh = 40 MJ

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49.3 Lösungen (Wärmestrahlung) 1033

16. Lösung von Aufgabe 16

J ∝1r2 ⇒ JM = JE

(aE

aM

)2

= 1366 W/m2 ·

(1.0000015 AE1.52366 AE

)2

= 588.4 W/m2

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49.3 Lösungen (Wärmestrahlung) 1034

17. Lösung von Aufgabe 17

P2 = ηP1 = ηJS A = 0.20 · 1366 W/m2 · 10 m2 = 2.7 kW

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Kapitel 50

Lösungen (Gasgesetze)

50.1 Lösungen (Stoffmenge und Teilchenzahl)

1. Lösung von Aufgabe 1

a) 60pgmL

= 6010−12 · 10−3 kg10−3 · 10−3 m3 = 60 · 10−9 kg/m3 = 6.0 · 10−8 kg/m3

b)nV

=m

MV=

60 · 10−12 g232.28 g/mol · 10−3 L

= 2.6 · 10−10 mol/L

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50.1 Lösungen (Stoffmenge und Teilchenzahl) 1036

2. Lösung von Aufgabe 2

µH =mH

mH + mHe⇒ mH = µH · (mH + mHe) analog: mHe = µHe · (mH + mHe)

νH =nH

nH + nHe=

mHMH

mHMH

+ mHeMHe

=

µH ·(mH+mHe)MH

µH ·(mH+mHe)MH

+µHe·(mH+mHe)

MHe

→

νH =

µHMH

µHMH

+µHeMHe

=

0.751.00794 g/mol

0.751.00794 g/mol + 0.25

4.00260 g/mol

= 0.92 = 92 %

νHe =

µHeMH

µHMH

+µHeMHe

=

0.254.00260 g/mol

0.751.00794 g/mol + 0.25

4.00260 g/mol

= 0.077 = 7.7 %

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50.1 Lösungen (Stoffmenge und Teilchenzahl) 1037

3. Lösung von Aufgabe 32H ist das Wasserstoff-Isotop Deuterium mit 2 Nukleonen im Kern, H2 ist ein Wasserstoff-Molekülaus 2 Atomen.

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50.1 Lösungen (Stoffmenge und Teilchenzahl) 1038

4. Lösung von Aufgabe 4Wenn die Angabe ‘Sn’ lautet, kennt man nur das Element. Man muss in der Tabelle der molaren Mas-sen nachschlagen (allenfalls im Periodensystem der Elemente). Lautet die Angabe dagegen ‘Sn-112’,so kann man in der Tabelle der stabilen Nuklide die genauere atomare Masse nachschlagen. Elementestellen meist ein Gemisch verschiedener Isotope dar; das ist der normale Fall in der Chemie. In derAtomphysik hat man es dagegen oft mit einzelnen Atomen zu tun, deren Masse unter Umständenstark vom Mittelwert abweicht.

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50.1 Lösungen (Stoffmenge und Teilchenzahl) 1039

5. Lösung von Aufgabe 5

m = nM = 2.888 888 mol · 207.2 g/mol = 598.6 g

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50.1 Lösungen (Stoffmenge und Teilchenzahl) 1040

6. Lösung von Aufgabe 6Die Zahl der Natriumatome ist gleich der Zahl der ‘NaCl-Einheiten’.

N =mM· NA =

ρV · NA

MNa + MCl=

2.17 g/cm3 · 1.0 · 10−3 cm3 · 6.0221 · 1023 mol−1

(22.990 + 35.453) g/mol= 2.24 · 1019

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50.1 Lösungen (Stoffmenge und Teilchenzahl) 1041

7. Lösung von Aufgabe 7

1 Mol ist die Stoffmenge eines Systems, das aus ebenso vielen Teilchen besteht, wie Atome in 0.012 kgdes Nuklids C-12 enthalten sind.

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50.1 Lösungen (Stoffmenge und Teilchenzahl) 1042

8. Lösung von Aufgabe 8

a) n =mM

=ρV

6MC + 6MH=

0.879 · 103 kg/m3 · 10−3 m3

6 · 12.0107 · 10−3 kg/mol + 6 · 1.00794 · 10−3 kg/mol= 11.3 mol

b) N = nNA =ρVNA

6MC + 6MH=

879 g/L · 1 L · 6.0221 · 1023 mol−1

6 · 12.0107 g/mol + 6 · 1.00794 g/mol= 6.78 · 1024

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50.1 Lösungen (Stoffmenge und Teilchenzahl) 1043

9. Lösung von Aufgabe 9

Ein Kohlenstoffatom gehört jeweils zu drei benachbarten Gitter-Waben. Zu einer Wabe gehören alsonur ein Drittel aller Atome an seinen Ecken, also zwei Kohlenstoffatome. Die Fläche einer Wabe istsechs mal die Fläche eines gleichseitigen Dreiecks mit Kantenlänge s. Somit folgt für die Massenbe-legung σ:

A6 = 6 · 12 s ·

√3

2 s = 3√

32 s2

σ =2mC

A6=

4mC

3√

3s2=

4 · 12.0107 · 1.660539 · 10−27 kg

3√

3 · (142 · 10−12 m2)2= 7.61 · 10−7 kg/m2

In wikipedia findet man den Wert 7.57 · 10−7 kg/m2.

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50.1 Lösungen (Stoffmenge und Teilchenzahl) 1044

10. Lösung von Aufgabe 10

Die molare Masse ist Masse pro Stoffmenge und hat die Einheit kg/mol. Die atomare Masse istdie Masse pro Teilchen (pro Atom) und wird in kg oder in u (units) angegeben. Der Zahlenwertesind gleich, wenn die molare Masse in g/mol und die atomare Masse in u (units) angegeben wird,weil beide Einheiten auf das Isotop C-12 bezogen sind. In den Einheiten kg/mol sowie kg sind dieZahlenwerte natürlich ganz verschieden.

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50.1 Lösungen (Stoffmenge und Teilchenzahl) 1045

11. Lösung von Aufgabe 11

NH =mT

MH20· NA · 2 =

3.5 g18 g/mol

· 6.022 · 1023 mol−1 · 2 = 2.3 · 1024

NT =ρVmT

=1.0 · 103 kg/m3 · 1.33 · 109 · 109 m3

3.5 · 10−3 kg= 3.8 · 1023

Die Aussage scheint zuzutreffen, falls mit “Teelöffel” die Menge Wasser, die ein gefüllter Teelöffelfasst, gemeint ist.

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50.1 Lösungen (Stoffmenge und Teilchenzahl) 1046

12. Lösung von Aufgabe 12

a) Gewichtsprozent (von z.B. Sauerstoff) ist der Quotient aus Sauerstoff-Massenanteil zu Gesamt-masse des Menschen. Atomprozent meint die Anzahl Sauerstoffatome zur Gesamtzahl aller Atomeim Körper.b) Die relativen Anteile der Elemente sind verschieden, weil sich die atomaren respektive molarenMassen der Elemente unterscheiden.c) Wir beschränken uns näherungsweise auf die drei häufigsten Elemente.

NO : Ntotal = nO : ntotal =mO

MO:(

mO

MO+

mC

MC+

mH

MH+ . . .

)≈

56.1 %16.00 g/mol

:(

56.1 %16.00 g/mol

+28.0 %

12.01 g/mol+

9.3 %1.008 g/mol

)= 0.233 = 23 % (X)

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50.1 Lösungen (Stoffmenge und Teilchenzahl) 1047

13. Lösung von Aufgabe 13

n =mM

=41 g

12.01 g/mol= 3.4 mol

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50.2 Lösungen (Zustandsgleichung des idealen Gases) 1048

50.2 Lösungen (Zustandsgleichung des idealen Gases)

1. Lösung von Aufgabe 1

Vmn ≈ 22.4 L/mol molares Normvolumen

N =VL

Vmn· NA =

4.5 L22.4 L/mol

· 6.022 · 1023 mol−1 = 1.2 · 1023

Der Unterschied zwischen Normbedingungen und den Bedingungen in der Lunge verschwindet inden Annahmen zur Grösse der Lunge.

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50.2 Lösungen (Zustandsgleichung des idealen Gases) 1049

2. Lösung von Aufgabe 2

Ah = V = Vmnn = VmnmM⇒ h =

VmnmAM

h =22.41 · 10−3 m3/mol · 32 · 1012 kg

5.1007 · 1017 m2 · (12.01 + 2 · 16.00) · 10−3 kg/mol= 32 µm

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50.2 Lösungen (Zustandsgleichung des idealen Gases) 1050

3. Lösung von Aufgabe 3

a) p =nRT

V=

mRTMV

=2.5 kg · 8.314 J/(mol · K) · (273.15 + 20) K

(12.01 + 2 · 16.00) · 10−3 kg/mol · 3.35 · 10−3 m3 = 4.1 · 107 Pa

b) 20 °C < ϑkrit = 31 °C⇒ pDamp f = 57.33 bar Es ist teilweise kondensiert!

c) V =nRT

p=

mRTMp

2.5 kg · 8.314 J/(mol · K) · 273.15 K(12.01 + 2 · 16.00) · 10−3 kg/mol · 1.013 · 105 Pa

= 1.3 m3

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50.2 Lösungen (Zustandsgleichung des idealen Gases) 1051

4. Lösung von Aufgabe 4

pT

= const ⇒p1

T1=

p2

T2⇒ p2 =

p1T2

T1=

0.983 bar · (273.15 + 48) K(273.15 + 21) K

= 1.073 bar

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50.2 Lösungen (Zustandsgleichung des idealen Gases) 1052

5. Lösung von Aufgabe 5Bei hohen Temperaturen kann der Druck in guter Näherung durch die Zustandsgleichung des idealenGases beschreiben werden, siehe Abb. 50.1.

p ∝ T

p(500 K) =nRT

V=

1.00 mol · 8.314 J ·mol−1 · K−1 · 500 K22.4 · 10−3 m3 = 1.86 bar

0 100 200 300 400 5000.0

0.5

1.0

1.5

2.0

Temperatur in Kelvin

Dru

ck in

ba

r

pG

pD

S

F

Abbildung 50.1: Druck in einem Gefäss mit 22.4 L Volumen und 1.00 mol PropanVon 500 K bis ca. 225 K ist der Druck proportional zur absoluten Temperatur (pG). Bei S wird der Sät-tigungsdampfdruck erreicht und Propan beginnt zu kondensieren. Darunter folgt der Druck der Dampf-druckkurve pD. Bei F (ca. 85.55 K) erstarrt das flüssige Propan und der Gasdruck entspricht dem nochmalskleineren Sublimationsdruck.

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50.2 Lösungen (Zustandsgleichung des idealen Gases) 1053

6. Lösung von Aufgabe 6Rechnung unter der Annahme, dass der Dampf einatomig ist:

% =mV

=nMV

=pV MRTV

=pMRT

=0.822 Pa · 1 · 200.59 g/mol

8.314 J/(mol · K) · (273.15 + 40) K= 0.0633 g/m3

Weil das ungefähr dem Literaturwert der Sättigungsdampfdichte in Luft entspricht, stimmt die An-nahme; andernfalls hätte die Rechnung einen doppelt oder dreimal so grossen Wert ergeben.

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50.2 Lösungen (Zustandsgleichung des idealen Gases) 1054

7. Lösung von Aufgabe 7

p1V1 = pnVn ⇒ p1 = pn ·Vn

V1= 1.013 bar ·

720 000 m3

6112 m3 = 119 bar

Der Betriebs-/Konzessionsdruck beträgt 100 bar; der Unterschied könnte von der Definition der‘Normkubikmeter’ herrühren.

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50.2 Lösungen (Zustandsgleichung des idealen Gases) 1055

8. Lösung von Aufgabe 8

pV = nRT ⇒ pnAh =mM

RT ⇒ A =mRTpnhM

A =1.6 · 1012 g · 8.314 J/(mol · K) · (273.15 + 20) K1.013 · 105 Pa · 30 m · (12.01 + 2 · 15.999) g/mol

= 2.9 · 107 m2 = 29 km2

Der Nyos-See hat eine Fläche von 1.58 km2.

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50.2 Lösungen (Zustandsgleichung des idealen Gases) 1056

9. Lösung von Aufgabe 9

p1

T1=

p2

T2⇒ T2 =

T1 p2

p1=

(273 + 27) K · 100 bar50 bar

= 600 K = (600 − 273) °C = 327 °C

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50.2 Lösungen (Zustandsgleichung des idealen Gases) 1057

10. Lösung von Aufgabe 10

p =nRT

V=

100 mol · 8.314 J/(mol · K · 300 K50 · 10−3 m3 = 50 bar

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50.2 Lösungen (Zustandsgleichung des idealen Gases) 1058

11. Lösung von Aufgabe 11Wir rechnen mit dem molaren Normvolumen Vn

N =VVn

NA =5.6 L22.4 L

· 6.022 · 1023 mol−1 = 1.5 · 1023

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50.2 Lösungen (Zustandsgleichung des idealen Gases) 1059

12. Lösung von Aufgabe 12

ρ =mV

=mpnRT

∝pT⇒

ρ = ρn ·pTn

T pn= 1.293 kg/m3 ·

966.5 hPa · 273.15 K(273.15 + 8.5) K · 1013.25 hPa

= 1.196 kg/m3

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50.2 Lösungen (Zustandsgleichung des idealen Gases) 1060

13. Lösung von Aufgabe 13

n1T1

pV1= R =

n2T2

pV2⇒ ρ1T1 = ρ2T2 ⇒

ρ2

ρ1=

T1

T2=

1 · 106 K(6000 + 273) K

= 159 = 2 · 102

Die Angabe ‘mindestens um den Faktor 80’ ist nicht falsch (aber auch nicht sehr genau).

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50.2 Lösungen (Zustandsgleichung des idealen Gases) 1061

14. Lösung von Aufgabe 14

n1 =p1V1

RT1

p2 =n2RT2

V2=

(n1 − ∆n)RT2

V2=

n1RT2

V2−

∆nRT2

V2=

n1RT2

V1−

∆nRT2

V1

p2 =p1V1

RT1·

RT2

V1−

∆nRT2

V1=

p1T2

T1−

∆nRT2

V1

p2 =137 · 105 Pa · (273.15 + 19) K

(273.15 + 26) K−

23 mol · 8.314 J/(mol K · (273.15 + 19) K15 · 10−3 m3 = 97 bar

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50.2 Lösungen (Zustandsgleichung des idealen Gases) 1062

15. Lösung von Aufgabe 15

pV = nRT ⇒p2

p1=

T2

T1=

(273 + 27) K273 K

= 1.1

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50.2 Lösungen (Zustandsgleichung des idealen Gases) 1063

16. Lösung von Aufgabe 16

pV = nRT ⇒ n =pVRT

=947.8 · 102 Pa · 5 · 10−3 m3

8.314 J/(mol K) · (273.15 + 20) K= 0.2 mol

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50.2 Lösungen (Zustandsgleichung des idealen Gases) 1064

17. Lösung von Aufgabe 17

100 DE = 1 mm→ 150 DE = 1.50 mm = h Ozon: O3

pV = nRT → pAh =mM

RT ⇒

mA

=hMpRT

=1.5 · 10−3 m · 3 · 16.00 g/mol · 101325 Pa

8.314 J/(kg K) · 273.15 K= 3.21 g/m2

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50.2 Lösungen (Zustandsgleichung des idealen Gases) 1065

18. Lösung von Aufgabe 18

mW = ρWV Masse des Wassers im Volumen Vpt = pn − pW Partialdruck der trockenen Luft = Normdruck - Dampfdruck

mt ∝ nt ∝ pt → mt = ρnV ·pt

pn= ρnV ·

pn − pW

pnMasse der trockenen Luft

ρ f V = mt + mW = ρnV ·pn − pW

pn+ ρWV

ρ f = ρn ·pn − pW

pn+ ρW = 1.205 kg/m3 ·

101325 Pa − 2337 Pa101325 Pa

+ 0.01732 kg/m3 = 1.195 kg/m3

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50.2 Lösungen (Zustandsgleichung des idealen Gases) 1066

19. Lösung von Aufgabe 19

ρnVn = m = ρV ∧ V/Vn = T/Tn ⇒

ρ = ρn ·Tn

T= 1.293 kg/m3 ·

273.15 K(273.15 + 20.0) K

= 1.205 kg/m3

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50.2 Lösungen (Zustandsgleichung des idealen Gases) 1067

20. Lösung von Aufgabe 20

ρnVn = m = ρV ∧pVT

=pnVn

Tn⇒

ρ = ρn ·Vn

V= ρn ·

pTn

pnT= 1.293 kg/m3 ·

970 hPa · 273.15 K1013 hPa · (273.15 + 20.0) K

= 1.154 kg/m3

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50.2 Lösungen (Zustandsgleichung des idealen Gases) 1068

21. Lösung von Aufgabe 21

m = Mn = MpVRT

= 2 · 1.008 · 10−3 kg/mol ·700 · 105 Pa · 0.260 m3

8.314 J/(mol K) · (273.15 + 20) K= 15.0 kg

Die Masse ist einen Faktor Drei daneben; daran kann auch die fehlende Temperaturangabe kaumetwas ändern. Flüssiger Wasserstoff ist wohl nicht gemeint, denn dieser könnte unter tieferem Druckgespeichert werden.

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50.2 Lösungen (Zustandsgleichung des idealen Gases) 1069

22. Lösung von Aufgabe 22

a) n =mM

=453 g

(12.01 + 2 · 16.00) g/mol= 10.3 mol

b) p =nRT

V=

RTV

mM

=8.314 J/(mol K) · (273.15 + 20) K

0.605 · 10−3 m3 ·453 g

(12.01 + 2 · 16.00) g/mol= 41.5 bar

c) Die kritische Temperatur von CO2 ist +31 °C, d.h. das Gas könnte bei 20 °C flüssig sein. Allerdingsbeträgt der kritische Druck 7.38·106 Pa = 73.8 bar, was deutlich über den berechneten 41.5 bar liegt.Der Sättigungsdampfdruck über flüssigem CO2 beträgt 57.33 bar bei 20 °C, was auch über 41.5 barliegt. Das CO2 ist also gasförmig und die Flasche enthält auch keine CO2-Pfütze.

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50.2 Lösungen (Zustandsgleichung des idealen Gases) 1070

23. Lösung von Aufgabe 23

V =nRT

p=

mRTMp

=50 · 103 kg · 8.314 J/(mol K) · 273.15 K

(12.01 + 4 · 1.01) · 10−3 kg/mol · 101325 Pa= 7.0 · 104 m3

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50.2 Lösungen (Zustandsgleichung des idealen Gases) 1071

24. Lösung von Aufgabe 24

pV = nRT ⇒ p =nV

RT =nMV M

RT =mV·

RM· T → p = ρ · RS · T

RS =RM≈

8.314 J/(mol K)29.0 · 10−3 kg/mol

= 287 J/(kg K)

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50.2 Lösungen (Zustandsgleichung des idealen Gases) 1072

25. Lösung von Aufgabe 25

Em ≈ Q = mLV = MnLV = M ·pVRT· LV

= 4.003 · 10−3 kg/mol ·1.013 · 105 Pa · 595 m2

8.414 J/(mol K) · (15 + 273.15) K· 20413 J/kg = 2.06 MJ

(gilt unter der Annahme, dass die ganze magnetische Energie zur Verdampfung vom Helium aufge-wendet wird)

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50.2 Lösungen (Zustandsgleichung des idealen Gases) 1073

26. Lösung von Aufgabe 26

a) p = ρgh = 13.546 · 103 kg/m3 · 9.81 m/s2 · 47 · 10−3 m = 6.2 kPa X

Vi

V=

pi

p=

6.27 kPa101.325 kPa

= 6.19 % X

b) Bei welcher Temperatur entspricht 6,27 kPa dem Sättigungsdampfdruck?pS (35 °C) = 5.624 kPa pS (40 °C) = 7.378 kPa 6.27 kPa = pS (ϑ)→

ϑ =6.27 − 5.624

7.378 − 5.624· (40 − 35) °C + 35 °C = 36.8 °C

Die Körper-Kerntemperatur beträgt etwa 37 °C, d.h. der Wasserdampf ist gesättigt.

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50.2 Lösungen (Zustandsgleichung des idealen Gases) 1074

27. Lösung von Aufgabe 27

a) In tieferen Lagen ist der Luftdruck höher. Eine offene PET-Flasche lässt sich leicht zusammendrücken,weil die Wand so dünn ist. Eine geschlossene PET-Flasche wird durch den steigenden Luftdruck soweit zusammen gedrückt, bis die eingeschlossene Luft ungefähr den Umgebungsdruck erreicht hat.

∆V ≈ V2 − V1 =p2

p1V1 − V1 =

(p1 − ρgh

p1− 1

)· V1 = −

ρghp1· V1

∆V = −1.2 kg/m3 · 9.81 m/s2 · (675 − 408) m

1.0 · 105 Pa· 5 dL = 0.16 dL

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50.2 Lösungen (Zustandsgleichung des idealen Gases) 1075

28. Lösung von Aufgabe 28

Wir nehmen an, dass Cäsars Lunge 5 L Luft enthielt, die sich nach seinem Tod gleichmässig überdie ganze Erdatmosphäre verteilt hat. Verluste ignorieren wir. Unsere Lunge habe 4 L Volumen. Wirverwenden das molare Nomvolumen bei Normalbedingungen; der Unterschied zu den Bedingungenin Cäsars Lunge ist unbedeutend im Vergleich zu den anderen Annahmen. Die Troposphäre ist 10 kmhoch. Wir schätzen die Anzahl Moleküle in unseren Lungen ab.

N2 =NC

VAV2 ≈

VmnVCNA

VAV2 ≈

VmnVCNAV2

4πr2h

=22.4 L/mol · 5 L · 6.022 · 1023 mol−1 · 4 · 10−3 m3

4π · (6.371 · 106 m)2 · 10 · 103 m= 5 · 104

Unter den getroffenen Annahmen stimmt die Behauptung tatsächlich.

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50.2 Lösungen (Zustandsgleichung des idealen Gases) 1076

29. Lösung von Aufgabe 29

Auf den Ballon wirkt nicht nur die Gewichts-, sondern auch die Auftriebskraft. Die Auftriebskraftentspricht dem Gewicht der verdrängten Luft, d.h. gerade etwa dem Gewicht der hineingeblasenenLuft. In erster Näherung dürfte die Waage nicht mehr als vor dem Aufblasen anzeigen. In zweiterNäherung steht die Ballonluft unter etwas höherem Druck, ist also dichter und erfährt eine etwaskleine Auftriebskraft.

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50.2 Lösungen (Zustandsgleichung des idealen Gases) 1077

30. Lösung von Aufgabe 30

h =VA

=nVmn

A=

mVmn

MA

h =36.3 · 1015 g · 22.41 · 10−3 m3/mol

(12.01 + 2 · 16.00) g/mol · 41 285 · 106 m2 = 448 m

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50.2 Lösungen (Zustandsgleichung des idealen Gases) 1078

31. Lösung von Aufgabe 31

p =nRT

V=

mRTMV

=8.84 · 10−3 g · 8.314 J/(mol · K) · (273.15 + 20) K

2 · 15.9994 g/mol · 10−3 m3 = 673 Pa

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50.2 Lösungen (Zustandsgleichung des idealen Gases) 1079

32. Lösung von Aufgabe 32

N =pVkT⇒

N2

N1=

p2T1

p1T2=

102

= 5

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50.2 Lösungen (Zustandsgleichung des idealen Gases) 1080

33. Lösung von Aufgabe 33

a) c =nV

=mA/MA

mB/ρB=

mA

mB×ρB

MA=

1.5 · 10−3 × 1.0 · 103 kg/m3

(6 · 1.008 + 2 · 12.01 + 16.00) · 10−3 kg/mol=

c = 32.56 mol/m3 = 33 mmol/L Ethanol CH3-CH2-OH

b) pV = nRT ⇒ p =nRT

V= cRT = 32.56 mol/m3 · 8.314 J/(mol K) · (273 + 37) K = 84 kPa

b) Die Polizeibusse ziehe ich dir vom Taschengeld ab! (..)

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50.2 Lösungen (Zustandsgleichung des idealen Gases) 1081

34. Lösung von Aufgabe 34

R =pVTn

=pV MTm

=pMTρ

=10132 Pa · (2 · 1.00794 + 15.9994) · 10−3 kg/mol

(273.15 + 100) K · 0.5977 kg/m3 = 8.184J

mol K

R350 =16.532 · 106 Pa · (2 · 1.00794 + 15.9994) · 10−3 kg/mol

(273.15 + 350) K · 113.6 kg/m3 = 4.207 J/(mol K)

Das universelle Gasgesetz ist bei niedrigen Dichten viel besser erfüllt.

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50.2 Lösungen (Zustandsgleichung des idealen Gases) 1082

35. Lösung von Aufgabe 35

a)p1V

n1RT1= R =

p2Vn2RT2

⇒ T2 = T1 ·p2n1

p1n2= 296 K ·

16 MPa · 10 mol2.7 MPa · 50 mol

= 351 K

b) Am Gas wird Kompressionsarbeit verrichtet, welche die innere Energie steigert.Bei schneller Kompression fehlt die Zeit für einen Temperaturausgleich mit der Umgebung.

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50.3 Lösungen (Kinetische Gastheorie) 1083

50.3 Lösungen (Kinetische Gastheorie)

1. Lösung von Aufgabe 1

12mυ2 = 3

2kT ⇒ υ =

√3kTm

=

√3RTM

=

√3 · 8.314 J/(mol · K) · (273.15 + 100) K

(2 · 1.008 + 16.00) · 10−3 kg/mol= 719 m/s

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50.3 Lösungen (Kinetische Gastheorie) 1084

2. Lösung von Aufgabe 2

U = 32kT N = 3

2kTnNA = 32RTn = 3

2 · 8.314 J/(molK) · (273.15 + 23) K · 18.7 mol = 69.1 kJ

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50.3 Lösungen (Kinetische Gastheorie) 1085

3. Lösung von Aufgabe 3

U = 32kT N = 3

2 pV ≈ 32 · 1.0 · 105 Pa · 5 m · 5 m · 3 m = 1 · 107 J = 3 kWh

Eigentlich wäre U = 52kT N, weil die meisten Moleküle der Luft zweiatomig sind, da wir aber das

Volumen des Schulzimmers nicht kennen, spielt dieser Fehler die geringere Rolle.

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50.3 Lösungen (Kinetische Gastheorie) 1086

4. Lösung von Aufgabe 4

T ∝ υ2 ⇒ T2 = T1 ·

(υ2

υ1

)2

= (273.15 + 20) K · 22 = 1172.6 K

= ϑ = (1172.6 − 273.15) °C = 899 °C

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50.3 Lösungen (Kinetische Gastheorie) 1087

5. Lösung von Aufgabe 5

32kT = 1

2mυ2 ⇒ T =mυ2

3k=

17 · 1.661 · 10−27 kg · (388 m/s)2

3 · 1.381 · 10−23 J/K= 103 K

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50.3 Lösungen (Kinetische Gastheorie) 1088

6. Lösung von Aufgabe 6

υ ∝√

T ⇒υ2

υ1=

√T2

T1=

√312 K293 K

= 1.03

Die Lösung geht davon aus, dass ein quadratischer Mittelwert gemeint ist. Die arithmetisch gemittelteGeschwindigkeit wäre Null.

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50.3 Lösungen (Kinetische Gastheorie) 1089

7. Lösung von Aufgabe 7

a) [J] =

[p

√MRT

]=

Pa√kg/mol · J/(mol K) · K

=N/m2√

kg · J/mol2=

kg/(s2m)√kg2m2/(s2mol2)

=

[J] =mol

m2 · sverdampfte Stoffmenge pro Fläche und Zeit

b) m = nM → Jm = J · M = α · (ps − pa) ·

√M

2πRT

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50.3 Lösungen (Kinetische Gastheorie) 1090

8. Lösung von Aufgabe 8

12mυ2 = 3

2kBT ⇒ υ2 ∝1m⇒

υN2

υH2O=

√mH2O

mN2≈

√18 u28 u

= 0.80

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50.3 Lösungen (Kinetische Gastheorie) 1091

9. Lösung von Aufgabe 9

32kT =

12

mυ2 ⇒T2

T1=

(υ2

υ1

)2

= 1.102 = 1.21

Die absolute Temperatur hat sich um 21 % erhöht.

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50.3 Lösungen (Kinetische Gastheorie) 1092

10. Lösung von Aufgabe 10

W = p · ∆V = 101325 Pa · 70 · 10−3 m3 = 7.1 kJ

Die Teilchen der Luft bewegen sich mit Grössenordnung einigen hundert Metern pro Sekunde; dasLoch ist also in Grössenordnung einer Millisekunde wieder aufgefüllt. Damit ergibt sich

P =W∆t≈ 7 MW

Das gibt einen ziemlichen Knall!

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50.3 Lösungen (Kinetische Gastheorie) 1093

11. Lösung von Aufgabe 11

FS =∆m∆t· υGas =

∆m∆t

√3RTM

= 1 · 10−6 kg/s ·

√3 · 8.314 J/(mol K) · 1.8 K

4.0 · 10−3 kg/mol= 106 µN = 1 · 10−4 N

Es sind tatsächlich “einige Mikronewton”. Den berechneten Wert gibt es nur, wenn alle Triebwerkeihre Gasstrahlen optimal in dieselbe Richtung schicken.

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50.3 Lösungen (Kinetische Gastheorie) 1094

12. Lösung von Aufgabe 12

a) Energie muss zugeführt werden, um die Bindung zu lösen.

b) LV?=

∆Em

=nH` − nHg

nM=

286 kJ/mol − 242 kJ/mol0.0180 kg/mol

= 2.44 MJ/kg X Verdampfungwärme

c) 12mυ2 = nH → 1

2

mnυ2 = H ⇒ υ =

√2HM

=

√2 · 242 · 103 J/mol18.0 · 10−3 kg/mol

= 5.19 km/s

d) 32kT = nH =

1NA

H ⇒ T =2H

3kNA=

2H3R

=2 · 242 · 103 J/mol3 · 8.314 J/(mol K)

= 1.94 · 104 K

Interstellarer Staub prallt mit mehr als 600 km/s (Fluchtgeschwindigkeit) auf die Sonne, d.h. alleindie kinetische Energie reicht aus, Moleküle aufzubrechen.

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50.3 Lösungen (Kinetische Gastheorie) 1095

13. Lösung von Aufgabe 13

s2 ∝ t ⇒ t2 = t1 · (s2/s1)2 = 2.0 Monate · (2/1)2 = 8.0 Monate

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50.3 Lösungen (Kinetische Gastheorie) 1096

14. Lösung von Aufgabe 14

s =√

2Dt =√

2D · t1/2 || log(..)

log s︸︷︷︸y

= log√

2D︸ ︷︷ ︸a

+ 1/2︸︷︷︸b

· log t︸︷︷︸x

Gerade mit Steigung 1/2

(Die Gleichung ist einheitenmässig nicht optimal, aber man sieht, warum ein Potenzgesetz in doppeltlogarithmischer Auftragung als Gerade erscheint.)

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50.3 Lösungen (Kinetische Gastheorie) 1097

15. Lösung von Aufgabe 15

Es gibt Atome, welche die Staubkörner herum schubsen können (Einstein). Temperatur ist ein Massfür die ungeordnete Bewegung von Atomen oder Molekülen. Die Bewegung kann nicht weniger alsverschwinden, weshalb es einen absoluten Temperaturnullpunkt geben muss.

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50.3 Lösungen (Kinetische Gastheorie) 1098

16. Lösung von Aufgabe 16

a) `2 ∼ t ist typisch für Diffusion. Zu lange: Bisquit zerfällt. Zu kurz: Biscuit noch hart

b)t2

t1=`2

2

`21

= 1.502 = 2.25 Das Biskuit doppelt so lange tunken.

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Kapitel 51

Lösungen (Thermodynamik)

51.1 Lösungen (Verbrennungswärme)

1. Lösung von Aufgabe 1

P =∆E∆t

=111 kcal · 4186.8 J/kcal

0.8 s= 0.6 MW

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51.1 Lösungen (Verbrennungswärme) 1100

2. Lösung von Aufgabe 2Als ‘Energiegehalt’ dient der untere Heizwert H (spez. Verbrennungswärme) von Ethanol.

P =∆E∆t

=H∆m

∆t≈

2.67 · 107 J/kg · 0.040 kg1.3 s

= 8.2 · 105 W

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51.1 Lösungen (Verbrennungswärme) 1101

3. Lösung von Aufgabe 3

a) P1 =∆Q∆t

=H∆m

∆t=

43 · 106 J/kg · 5.4 · 103 kg135 · 60 s

= 29 MW

b) P2 =W∆t

=F · ∆s

∆t= F · υ = 20 000 kg · 9.81 m/s2 ·

850 m3.6 s

= 46 MW

c) Es ist kein Widerspruch, denn bei einem normalen Flug laufen die Triebwerke selten auf Volllast.Die Heizleistung muss natürlich grösser als die mechanische Leistung sein.

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51.1 Lösungen (Verbrennungswärme) 1102

4. Lösung von Aufgabe 4

cmW∆ϑ = mPH ⇒ mW =mPHc∆ϑ

≈4.69 · 10−3 kg · 4.27 · 107 J/kg

4182 J/kgK · 80 K= 0.60 kg

Die Verbrennungswärme ist grösser als die Energie, die zur Herstellung des Beutels aus Erdöl aufge-wendet wurde. Die Verbrennungswärme ist auch grösser als die Energie, die eingesetzt wird, um denBeutel heiss auszuwaschen. Ohne weitere Informationen lässt sich nicht entscheiden, ob das Auswa-schen energetisch sinnvoll ist.

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51.1 Lösungen (Verbrennungswärme) 1103

5. Lösung von Aufgabe 5

Ucal = 38 kcal · 4.1868 kJ/kcal = 0.16 MJ (pro Deziliter)

QAlk = mH = f VρH = 0.048 · 10−4 m3 · 789 kg/m3 · 26.7 MJ/kg = 0.10 MJ

Nimmt man statt des (unteren) Heizwertes den Brennwert (oberen Heizwert) von Ethanol (29.7 MJ/kg),so erhält man QAlk = 0.11 MJ, also immer noch weniger als die 38 kcal/dL. Der Brennwert von Bierist nur zu etwa zwei Dritteln auf jenen des Alkohols zurückzuführen.

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51.1 Lösungen (Verbrennungswärme) 1104

6. Lösung von Aufgabe 6

P =mH∆t

=1 kg · 30 · 106 J/kg

3 · 3600 s= 2.8 kW

Ein bis zwei wesentliche Ziffern genügen beim Resultat. Die Genauigkeit der Angaben ist unklar.

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51.1 Lösungen (Verbrennungswärme) 1105

7. Lösung von Aufgabe 7

Pt = mH ⇒ t =mHP

=10.5 kg · 4.64 · 107 J/kg

14.4 · 103 W= 3.38 · 104 s ·

1 h3600 s

= 9.40 h

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51.1 Lösungen (Verbrennungswärme) 1106

8. Lösung von Aufgabe 8

Reaktionsgleichung: C3H8 + . . . → 4 H2O + . . .

mH2O = 4nPMH2O = 4 ·mP

MP· MH2O

Ho = Hu +mH2OLV

mP= Hu +

4MH2OLV

MP

= 46.33 · 106 J/kg +4 · (2 · 1.0079 + 15.999) g/mol · 2.4419 · 106 J/kg

(3 · 12.011 + 8 · 1.0079) g/mol= 5.032 · 107 J/kg

Die spezifische Kondenstationswärme LV ist auf 25 °C bezogen. Der Unterschied zw. Literaturwertund berechnetem Wert ist 1.6%.

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51.1 Lösungen (Verbrennungswärme) 1107

9. Lösung von Aufgabe 9

mOH = cmW∆ϑ⇒ mO =cmW∆ϑ

H=

4182 J · kg−1K−1 · 250 kg · 25 K42.7 · 106 J/kg

= 0.61 kg

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51.1 Lösungen (Verbrennungswärme) 1108

10. Lösung von Aufgabe 10

EZ = mZHZ = 14 · 10−3 kg · 17 · 106 J/kg = 2.4 · 105 J Brennwert von 100 g Zucker

EA = ρ f VHA ≈ 789 kg/m3 · 0.015 · 1.0 · 10−4 m3 · 26.7 · 106 J/kg = 3.2 · 104 J

Trotz der groben Näherungen ist es klar, dass der Zucker den grössten Teil zur inneren Energie vondiesem Sauser beiträgt.

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51.1 Lösungen (Verbrennungswärme) 1109

11. Lösung von Aufgabe 11

mS HS = fρVHB ⇒ mS =fρVHB

HS≈

0.05 · 789 kg/m3 · 10−3 m3 · 26.7 MJ/kg22 MJ/kg

= 48 g

Ein Liter Bier entspricht energiemässig ungefähr einer halben Tafel Schokolade (50 g).

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51.1 Lösungen (Verbrennungswärme) 1110

12. Lösung von Aufgabe 12

H =Qm

=41 · 109 W · 3600 s

30 · 106 kg= 4.9 MJ/kg

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51.1 Lösungen (Verbrennungswärme) 1111

13. Lösung von Aufgabe 13

mH − f mLv > 0 ?⇒

H − f Lv = 560 · 103 J/0.1 kg − 0.71 · 2.256 · 106 J/kg = 4.0 MJ/kg > 0Es wird Energie freigesetzt.

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51.1 Lösungen (Verbrennungswärme) 1112

14. Lösung von Aufgabe 14

P =η · ∆m · H

∆t⇒

∆m∆t

=PηH

=500 MW

0.30 · 32 MJ/kg= 52 kg/s = 188 t/h

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51.1 Lösungen (Verbrennungswärme) 1113

15. Lösung von Aufgabe 15

P =∆E∆t⇒ ∆t =

∆EP

=mHP

=100 kg · 4 · 106 J/kg

1000 · 109 W= 0.4 ms

Bemerkung: Die Explosionswärme von TNT ist nicht zu verwechseln mit der Verbrennungswärme,da die Explosion keine vollständige Verbrennung darstellt. Die Verbrennungswärme ist viel grösser(um 15 MJ/kg).

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51.1 Lösungen (Verbrennungswärme) 1114

16. Lösung von Aufgabe 16

mOH = cwmw(ϑV − ϑ20) + mW LV

Masse des Öls mO, spezifischer Heizwert H des Öls, spezifische Wärmekapazität cW des Wassers,Wassermasse mW , Verdampfungs-/Siedetemperatur ϑV , Anfangstemperatur des Wassers ϑ20, spezifi-sche Verdampfungswärme LV .

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51.1 Lösungen (Verbrennungswärme) 1115

17. Lösung von Aufgabe 17

a) mM = ρV = 0.717 kg/m3 · 1 m3 = 0.717 kg

b) QM = HMmM = 50.1 MJ/kg · 0.717 kg = 35.9 MJ

QH = HHmH = 15 MJ/kg · 40 kg = 600 MJ

Das Holz (Werte für relativ energiearmes Tannenholz) enthält mehr Energie.

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51.1 Lösungen (Verbrennungswärme) 1116

18. Lösung von Aufgabe 18

Für diese Heizleistung werden 90 g Butan pro Stunde verbrannt. Damit lässt sich ein Liter Wasser in5 Minuten 20 Sekunden zum Sieden bringen.

P1 =mH

t=

90 g · 46 · 103 J/g3600 s

= 1.15 kW

P2 =cm∆ϑ

∆t=

4182 J/(kg K) · 1.0 kg · 80 K(5 · 60 + 20) s

= 1.05 kW

Angesichts der Unsicherheit der Angaben (unterer Heizwert Butan 45.7 MJ/kg, Propan 46.4 MJ/kg,∆ϑ

?= 80 °C und der Vernachlässigung des Wirkungsgrads ist die Übereinstimmung befriedigend.

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51.1 Lösungen (Verbrennungswärme) 1117

19. Lösung von Aufgabe 19

mS HS = mOHO ⇒ mO = mCHS

HO= 13 t ·

18 MJ/kg42.7 MJ/kg

= 5.5 t

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51.1 Lösungen (Verbrennungswärme) 1118

20. Lösung von Aufgabe 20

Q = PS t = JSπr2t soll= Hm = HρV = Hρ4πr2h⇒

h =JS t

4Hρ=

1366 W/m2 · 3.156 · 107 s4 · 42.7 · 106 J/kg · 0.86 · 103 kg/m3 = 0.29 m ≈ 30 cm

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51.1 Lösungen (Verbrennungswärme) 1119

21. Lösung von Aufgabe 21

P =mH∆t≈ 11 MJ/kg ·

3600 kg3600 s

= 11 MW

Abfall hat einen ähnlichen Heizwert wie Braunkohle!

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51.1 Lösungen (Verbrennungswärme) 1120

22. Lösung von Aufgabe 22

mDHD = mS HS ⇒ HD = HSmS

mD= 32 MJ/kg ·

64 Mt700 Mt

= 2.9 MJ/kg

Das ist deutlich weniger als Braunkohle oder Holz.

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51.1 Lösungen (Verbrennungswärme) 1121

23. Lösung von Aufgabe 23

Kohle ist fast reiner Kohlenstoff. Bei der Verbrennung C + O2→ CO2 bleibt die Zahl der Gasteilchenin der Luft konstant. Wir können so tun, als ob die freigesetzte Wärme die Luft erhitzt.

∆Q = mKH = cLmL∆T

p ∝ T →p1

p0=

T1

T0→

∆pp0

=∆TT0⇒ ∆p =

p0

T0· ∆T =

p0

T0·

mKHcLmL

∆p =1.0 bar

273.15 K·

50 g · 32 · 106 J/kg1005 J/(kg K) · 1293 g

= 4.5 bar (Die Grössenordnung stimmt.)

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51.1 Lösungen (Verbrennungswärme) 1122

24. Lösung von Aufgabe 24

m1gh = n2H =m2

MH ⇒

m2

m1=

MghH

=18.0 · 10−3 kg/mol · 9.81 m/s2 · 1.8 · 103 m

286 · 103 J/mol= 1.1 %

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51.1 Lösungen (Verbrennungswärme) 1123

25. Lösung von Aufgabe 25

H =Qm

=120 000 · 1012 J

21 · 109 kg= 5.7 MJ/kg

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51.1 Lösungen (Verbrennungswärme) 1124

26. Lösung von Aufgabe 26

Red Bull hat einen Brennwert von 450 kcal/L.

∆V =Um∆s

H=

1 kcalkg·km · 70 kg · 100 km

450 kcal/L= 16 L

Der Verbrauch wäre 16 Liter Red Bull auf 100 km.

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51.1 Lösungen (Verbrennungswärme) 1125

27. Lösung von Aufgabe 27

P =VH

t=

810700 L · 34 · 106 J/L150 s

= 1.84 · 1011 W = 0.18 TW

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51.2 Lösungen (Erster Hauptsatz) 1126

51.2 Lösungen (Erster Hauptsatz)

1. Lösung von Aufgabe 1

C =∆Qn∆ϑ

=∆Q

m∆ϑ·

mn

= c · M

CW = 4182 J/(kgK) · (2 · 1.00794 + 15.9994) · 10−3 kg/mol = 75.34 J/(mol · K)

CE = 2.43 · 103 J/(kgK) · (2 · 12.0107 + 6 · 1.00794 + 15.9994) · 10−3 kg/mol = 112 J/(mol · K)

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51.2 Lösungen (Erster Hauptsatz) 1127

2. Lösung von Aufgabe 2

∆U = W ⇒ cm∆ϑ = mgh⇒ ∆ϑ =ghc

=9.81 m/s2 · 380 m

4182 J/(kgK)= 0.891 °C

Während das Wasser fällt, verdunstet sicher Wasser. Das hat einen grossen, kühlenden Einfluss.

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51.2 Lösungen (Erster Hauptsatz) 1128

3. Lösung von Aufgabe 3

Nach dem ersten Hauptsatz (∆U = W + Q + . . . ) steigt die innere Energie und damit die Temperatureines Gases (U ∝ T ) wenn man Arbeit an ihm verrichtet (es komprimiert). Bei schneller Kompressionhat die Wärme nicht genug Zeit um abzufliessen.

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51.2 Lösungen (Erster Hauptsatz) 1129

4. Lösung von Aufgabe 4

Sei C = ∆Q/(n∆T ) die molare Wärmekapazität und c = ∆Q/(m∆T ) die (massen-)spezifische Wär-mekapazität. Mit NA = N/n (Avogadrokonstante), R = kNA (universelle Gaskonstante, Boltzmann-konstante), ma (atomarer Masse) und M = m/n (molare Masse) folgt aus dem 1. Hauptsatz:

a) ∆U = Q + · · · ⇒ 32kT2N − 3

2kT1N = Cn(T2 − T1)⇒ C =3kN2n

= 32kNA = 3

2R

b) 32kT2N − 3

2kT1N = cm(T2 − T1)⇒ c =3kN2m

=3k

2ma

oder=

3kN2nM

=3R2M

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51.2 Lösungen (Erster Hauptsatz) 1130

5. Lösung von Aufgabe 5

Das Gas im Flaschenhals steht unter erhöhtem Druck. Wird die Flasche geöffnet, so dehnt sich dasGas gegen die umgebende Luft aus und verrichtet Arbeit. Die Energie dazu stammt vom Vorrat aninnerer Energie des Gases. Die innere Energie nimmt deshalb ab und das Gas kühlt ab (adiabatischeExpansion). Vor dem Öffnen befand sich im Hals gesättigter Wasserdampf. Sinkt die Temperatur,so sinkt auch der Sättigungsdampfdruck und der tatsächlich vorhandene Dampf ist übersättigt. Derübersättigte Dampf kondensiert und bildet einen Nebel im Volumen und ‘Tau’ am Flaschenhals.

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51.2 Lösungen (Erster Hauptsatz) 1131

6. Lösung von Aufgabe 6

Die Änderung der inneren Energie ∆U eines Systems ist gleich der Summe aus verrichteter ArbeitW, zugeführter Wärme Q, etc. ∆U = Q + W + . . .

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51.2 Lösungen (Erster Hauptsatz) 1132

7. Lösung von Aufgabe 7

∆U = W + Q + ..hier== W

cEismS (ϑ0 − ϑE) + mS L f = P · ∆t

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51.2 Lösungen (Erster Hauptsatz) 1133

8. Lösung von Aufgabe 8

∆U = W + Q + ...hier== Q

cmK∆ϑ = −∆mS LV

cmK∆ϑ

∆t= −

∆mS

∆tLV

Die innere Energie des Körpers nimmt ab, weil durch Verdunstung von Schweiss Wärme abtranspor-tiert wird. Die “Schwitzrate” ∆mS /∆t ist proportional zur Abkühlrate ∆ϑ/∆t. Alle anderen Effektewurden ignoriert.

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51.2 Lösungen (Erster Hauptsatz) 1134

9. Lösung von Aufgabe 9

U = 32kT N = 3

2kTnNA = 32 · 1.381 · 10−23 J/K · 318 K · 1.00 mol · 6.022 · 1023 /mol = 3.97 kJ

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51.2 Lösungen (Erster Hauptsatz) 1135

10. Lösung von Aufgabe 10

Das Verb “platzen” deutet auf einen schnellen Vorgang hin, während dem kein Temperaturausgleichmit der Umgebung stattfindet. Es gelten also die Gesetze der adiabatischen Expansion.

p1−κT κ = const⇒T κ1

pκ−11

=T κ2

pκ−12

⇒

(T2

T1

)κ=

(p2

p1

)κ−1

⇒

T2 = T1

(p2

p1

) κ−1κ

= (273.15 + 33) K ·(

110

) 1.402−11.402

= 158.20 K =−115 °C

Die Temperatur ist eher als untere Grenze zu verstehen.

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51.3 Lösungen (Wirkungsgrad und Leistungszahlen) 1136

51.3 Lösungen (Wirkungsgrad und Leistungszahlen)

1. Lösung von Aufgabe 1

a) Pe =∆E∆t

=1.9 kWh · 3.6 · 106 J/kWh

1 d · 86400 s/d= 79 W < 110 W

b) PG =mPH

t=

0.265 kg · 4.64 · 107 J/kg86400 s

= 142 W

c) ηk =Tk

Tw − Tk=

(273.15 + 25 − 30) K30 K

= 8.9

d) Pk = ηkPin =Tk

Tw − Tk· Pe =

268 K30 K

· 110 W = 0.98 kW

e) C3H8 + . . . → 3 CO2 + . . . Aus 1 mol Propan wird 3 mol Kohlendioxid (+ Wasserdampf).

V =nRT

p=

3mP

MP·

RTp

=3 · 265 g

(3 · 12.011 + 8 · 1.0079) g/mol·

8.314 J ·mol−1 · K−1 · (273.15 + 25) K101325 Pa

= 0.441 m3

Bei d) ist nicht klar, was man als aufgenommene Leistung einsetzen soll. 110 W ist zumindest einegegebene Grösse.

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51.3 Lösungen (Wirkungsgrad und Leistungszahlen) 1137

2. Lösung von Aufgabe 2

η =PM

PW=

∆V · H∆t · PW

=3900 m3 · 39, 819 MJ/m3

86400 s · 6.3 · 106 W= 0.29

39.819 MJ/m3 ist der Brennwert (oberer Heizwert) von Methan bei Normalbedingungen (Quelle:wikipedia, 3. August 2012). Diese Grösse ist der Ersatz für die Energie, die zur Bildung von Methanbenötigt wird, da wir nicht wissen, aus welchen Ausgangsstoffen und bei welchen Bedingungen dasMethan gebildet werden soll.

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51.3 Lösungen (Wirkungsgrad und Leistungszahlen) 1138

3. Lösung von Aufgabe 3

η =Tw − Tk

Tw=

810 K − 550 K810 K

= 0.321

Offenbar lag der erreichte Wirkungsgrad deutlich unter dem einer idealen Wärmekraftmaschine.

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51.3 Lösungen (Wirkungsgrad und Leistungszahlen) 1139

4. Lösung von Aufgabe 4

a) η 6Tw − Tk

Tw⇒ Tk 6 (1 − η)Tw = (1 − 0.6075) · (1500 + 273.15) K = 695.96 K = 423 °C

b) η =P2

P1→ PA = (1 − η)P1 = (1 − η)

P2

η=

1 − 0.60750.6075

· 561 MW = 362 MW

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51.3 Lösungen (Wirkungsgrad und Leistungszahlen) 1140

5. Lösung von Aufgabe 5

η =Tk

Tw − Tk⇒

Pk

Pw=

Tk

∆T⇒ ∆T =

TkPw

Pk=

4 K · 7 · 103 K1 W

= 3 · 104 K

Bei einem optimalen Kühlaggregat würde man ca. 300 K erwarten, den Temperaturunterschied zw.4 K und Umgebungstemperatur.

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51.3 Lösungen (Wirkungsgrad und Leistungszahlen) 1141

6. Lösung von Aufgabe 6

η =Tw − Tk

Tw⇒ Tw =

Tk

1 − η=

(273.15 + 19.2) K1 − 0.607

= 743.89 K = (743.89 − 273.15) °C = 471 °C

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51.3 Lösungen (Wirkungsgrad und Leistungszahlen) 1142

7. Lösung von Aufgabe 7

η =Tw − Tk

Tw=

(30 − 20) K(273.15 + 30) K

= 3.3 %

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51.3 Lösungen (Wirkungsgrad und Leistungszahlen) 1143

8. Lösung von Aufgabe 8

pV = nRT und Ek = 32kT und J = σT 4 oder η = 1 − Tk/Tw etc.

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51.3 Lösungen (Wirkungsgrad und Leistungszahlen) 1144

9. Lösung von Aufgabe 9

Dampfdrucktabelle: p(130 °C) = 2.7013 bar p(140 °C) = 3.614 barp(250 °C) = 39.754 bar p(300 °C) = 85.903 bar

Bestimmung der Dampftemperaturen mit linearer Interpolation

ϑk =3.5 bar − 2.7013 bar

3.614 bar − 2.7013 bar· (140 − 130) °C + 130 °C = 139 °C

ϑw =52 bar − 39.754 bar

85.903 bar − 39.754 bar· (300 − 250) °C + 250 °C = 263 °C

η 6 ηCarnot =Tw − Tk

Tw=

(263 − 139) K(263 + 273) K

= 0.23

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51.3 Lösungen (Wirkungsgrad und Leistungszahlen) 1145

10. Lösung von Aufgabe 10

a) Dampfdrucktabelle: zwischen pS (300 °C) = 85.903 bar und pS (350 °C) = 165.32 bar.

p =312 − 300350 − 300

· (165.32 bar − 85.903 bar) + 85.903 bar = 105 bar

b) PA =c · ∆m · ∆t

∆t=

4182 J/(kgK) · 40 · 103 kg · 10 Ks

= 1.673 · 109 W = 1.7 GW

c) ηP =PE

PR=

Pe

PA + PE=

2 · 380 MW2 · 380 MW + 1673 MW

= 31 %

d) ηT =Tw − Tk

Tw=

(312 − 30) K(273.15 + 312) K

= 48 %

e) Die meisten Wärmekraftmaschinen haben einen tieferen Wirkungsgrad als den maximal möglichen(Reibung, Turbinen/Generatoren mit ‘schlechtem’ Wirkungsgrad, Isolationsverluste,etc.). Bei Beznaukommt noch dazu, dass Wärme an ein Fernwärmenetz abgegeben wird.

(Informationen von der website des Kraftwerks (2013): Heizleistung Reaktoren je ca. 1 GW, Wir-kungsgrad 30 Prozent, 300 Grad Celsius und 155 bar hat das Wasser aus dem Reaktor, Nettoleistungeines Blocks ist 365 MW, 81 MW Wärme wird an ein Fernwärmenetz abgegeben)

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51.3 Lösungen (Wirkungsgrad und Leistungszahlen) 1146

11. Lösung von Aufgabe 11

a) η =Tw − Tk

Tw=

(270 − 30) K(273.15 + 270) K

= 0.44187 = 0.442

b) η =P2

P1→ PA = P1 − P2 =

P2

η− P2 = 380 MW ·

(1

0.44187− 1

)= 480 MW

c) PA =c · ∆m · ∆ϑ

∆t⇒ ∆ϑ =

PA

c · ∆m/∆t=

∆ϑ =480 · 106 W

4182 J/(kgK) · 560 · 103 kg/s= 0.205 °C

c) Dampfdrucktabelle: ps(30 °C) = 4.242 kPa = 0.04242 bar Stimmt etwa.

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51.3 Lösungen (Wirkungsgrad und Leistungszahlen) 1147

12. Lösung von Aufgabe 12

η =cm∆ϑ + mLV

W= ρFV ·

c∆ϑ + LV

W=

0.125 kg/L · 22 L ·5193 J/kgK · 290 K + 84.0 J/mol/(4.003 · 10−3 kg/mol)

22 L · 7 · 3.6 · 106 J/L= 7.5 · 10−3

Kontrolle: η =Tk

Tw − Tk=

4.15 K294 K − 4 K

= 1.4 · 10−2 > 7.5 · 10−3 X

Daten aus dem Internet

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51.3 Lösungen (Wirkungsgrad und Leistungszahlen) 1148

13. Lösung von Aufgabe 13

ηPraxis =Pk

Pin=

120 W35 W

= 3.4

ηTheorie =Tk

Tw − Tk=

(273.15 + 8) K(45 − 8) K

= 7.6

Da ηPraxis < ηTheorie, ist das nach dem zweiten Hauptsatz möglich. Die Kältemaschine erreicht etwadie Hälfte der optimalen Leistungszahl, auch das ist realistisch.

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51.3 Lösungen (Wirkungsgrad und Leistungszahlen) 1149

14. Lösung von Aufgabe 14

a) P =mL f

∆t=

2 kg · 3.338 · 105 J/kg24 · 3600 s

= 7.7 W

b) η =Tk

Tw − Tk=

mL f

∆t · PA⇒

PA =mL f

∆T·

Tw − Tk

Tk=

2 kg · 3.338 · 105 J/kg24 · 3600 s

·(22 − 0) K273.15 K

= 0.62 W

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51.3 Lösungen (Wirkungsgrad und Leistungszahlen) 1150

15. Lösung von Aufgabe 15

a) W = cρV∆ϑ = 1005 J/(kg K) · 1.29 kg/m3 · 0.255 m3 · (28 − 5) °C = 7.6 kJ

b) Die Leistungszahlen (“Wirkungsgrade”) von Wärmepumpen und Kühlaggregaten sind im Opti-malfall grösser als 1, somit wird weniger Energie zum Transport der Wärme benötigt als Wärmetransportiert wird.

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51.3 Lösungen (Wirkungsgrad und Leistungszahlen) 1151

16. Lösung von Aufgabe 16

a) J ∝1r2 →

JJ

JE=

(aE

aJ

)2

=

(1.000 AE5.204 AE

)2

= 0.0369 ≈ 4 % X

b) η =P2

P1=

P2

A · JJ=

P2 · a2J

N`b · JEa2E

=400 W · (5.204 AE)2

3 · 9 m · 2.7 m · 1366 W/m2 · (1.000 AE)2 = 0.109 = 10 %

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51.3 Lösungen (Wirkungsgrad und Leistungszahlen) 1152

17. Lösung von Aufgabe 17

a) P0 = P1 + P2 → η =P1

P0=

P1

P1 + P2=

100 kW100 kW + 500 kW

= 0.167

b) η =Tw − Tk

Tw⇒ ηTw = Tw − Tk ⇒ Tw =

Tk

1 − η

η =Tk

1 − P1/(P1 + P2)=

(273.15 + 20) K1 − 100 kW/(100 kW + 500 kW)

= 351.78 K→ 79 °C

Der tiefe Wert der berechneten Verbrennungstemperatur deutet darauf hin, dass der reale Wirkungs-grad weit unter dem theoretischen Maximum liegt oder dass noch weitere Wärmeverluste auftreten.

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51.3 Lösungen (Wirkungsgrad und Leistungszahlen) 1153

18. Lösung von Aufgabe 18

PK =cm∆ϑ − mLV

∆t=

(2219 J/(kg K) · (−161.5 − 1) °C − 510.83 · 103 J/kg) · 10 · 103 kg3600 s

= −2.421 MW = −2.4 MW

ηK =PK

PA⇒ PA =

PK

ηK= PK ·

Tw − Tk

Tk= 2.421 MW ·

(1 − (−161.5)) K(273.15 − 161.5) K

= 3.5 MW

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51.4 Lösungen (Zweiter Hauptsatz und Diverses) 1154

51.4 Lösungen (Zweiter Hauptsatz und Diverses)

1. Lösung von Aufgabe 1

10 °C = 10 · 1 °C ∧ 100 % + 13 % = 1.13→ 1.1310 = 3.4 ∈ [2, 4] Sie passen zusammen.

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Teil IX

Lösungen Elektrizitätslehre

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Kapitel 52

Lösungen (Elektrostatik)

52.1 Lösungen (Elektrische Ladung)

1. Lösung von Aufgabe 1

Q = Ze = 8 · 1.6022 · 10−19 C = 1.28 · 10−18 C

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52.1 Lösungen (Elektrische Ladung) 1157

2. Lösung von Aufgabe 2

Alle Kohlenstoffatome haben sechs Protonen im Kern, sonst wäre es kein Kohlenstoff. Die Zahl derNeutronen hat keinen Einfluss auf die Ladung.

q = Ze = 6 · 1.602176487 · 10−19 C = 9.613058922 · 10−19 C

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52.1 Lösungen (Elektrische Ladung) 1158

3. Lösung von Aufgabe 3

N =mM· NA Anzahl Aluminiumatome

Q = ZeN = Ze ·mM· NA = 13 · 1.6022 · 10−19 C ·

72 g26.98 g/mol

· 6.022 · 1023 mol−1 = 3.3 · 106 C

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52.1 Lösungen (Elektrische Ladung) 1159

4. Lösung von Aufgabe 4

∆Q = QK + QE = N · q · f =mNA

M· Ze · f

∆Q =1000 g · 6.022 · 1023 mol−1

55.845 g/mol· 26 · 1.60 · 10−19 C · 10−12 = 4.5 · 10−5 C = 10−5 C

Der relative Unterschied ist nur als Grössenordnung angegeben, entsprechend ist das Resultat zurunden. Man sieht, dass selbst ein kleiner Unterschied der Elektronen und Protonenladung grosseLadungen von Körpern zur Folge hat, die man leicht feststellen könnte.

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52.1 Lösungen (Elektrische Ladung) 1160

5. Lösung von Aufgabe 5

a) Elektrizität kommt vom griechischen Wort “Elektron” für Bernstein, der sich durch Reiben mitWolle elektrisch aufladen lässt.b) Benjamin Franklin

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52.1 Lösungen (Elektrische Ladung) 1161

6. Lösung von Aufgabe 6

s ≈√

A1 =

√AK

NE=

√4πr2

Q/e=

√4π · (0.1 m)2 · 1.6022 · 10−19 C

27 · 10−9 C= 0.86 µm

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52.2 Lösungen (Coulombkraft) 1162

52.2 Lösungen (Coulombkraft)

1. Lösung von Aufgabe 1

FC =1

4πε0

Q1Q2

r2 ⇒ [ε0] =

[Q2

r2FC

]=

(As)2

m2 · kg ·m · s−2 =A2s4

kg ·m3

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52.2 Lösungen (Coulombkraft) 1163

2. Lösung von Aufgabe 2Wir müssen das Medium, in das die Ladungen eingebettet sind, berücksichtigen.

F =1

4πεQ1Q2

r2 =1

4πεrε0

2e · 2er2

=1

4π · 80.4 · 8.854 · 10−12 C2Nm2 ·(2 · 1.6022 · 10−19 C)2

(47 · 10−9 m)2 = 5.2 fN

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52.2 Lösungen (Coulombkraft) 1164

3. Lösung von Aufgabe 3Da F ∝ r−2 und die Diagonale

√2 mal länger als eine Quadratseite ist, siehe Abbildung 52.1, ist die

Kraft F13 von Ladung 1 auf Ladung 3 genau halb so gross wie F23. Die Kräfte F23 und F13 schliessenim Lageplan einen 135°-Winkel und im Kräfteplan einen 45°-Winkel (α) ein.

Kosinussatz:

Fres =

√F 2

23 + 14 F 2

23 − 2F2312 F23 cosα = F23

√54 − cos 45° ≈ F23 · 0.7368 . . .

Sinussatz:

sinϕF13

=sinαFres

⇒ ϕ = arcsin

12 F23

F23

√54 − cosα

sinα

= arcsin(

sin 45°√

5 − 4 cos 45°

)≈ 28.7°

Abbildung 52.1: Lageplan (links) und Kräfteplan (rechts) der Coulombkräfte auf Ladung 3.

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52.2 Lösungen (Coulombkraft) 1165

4. Lösung von Aufgabe 4Die Kugeln seien gleich stark geladen.

Gmmr2 =

Q2

4πε0r2 ⇒ Q = m√

4πε0G

Q = 1 kg ·√

4π · 8.854 · 10−12 As/(Vm) · 6.674 · 10−11 Nm2/kg2 = 86.17 pC

b) Will man die Gravitationskonstante im Labor messen, so müssen die Massen geerdet werden.Kleinste Ladungen könnten Fehlmessungen bewirken.

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52.2 Lösungen (Coulombkraft) 1166

5. Lösung von Aufgabe 5

Abbildung 52.2: Lage- und Kräfteplan der Kräfte auf eine dervier gleichen, im Quadrat angeordneten Punktladungen

F =1

4πε0

Q2

s2 Fd =1

4πε0

Q2

(√

2s)2= F/2

Fres =√

F2 + F2 + F/2 =(√

2 + 12

)F =

(√2 + 1

2

) 14πε0

Q2

s2

Die res. Kraft zeigt parallel zur Diagonalen weg vom Mittelpunkt, siehe Abb. 52.2.

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52.2 Lösungen (Coulombkraft) 1167

6. Lösung von Aufgabe 6Die zwei (betragsgleichen) Ladungen befinden sich in Wasser, nicht im Vakuum.

FC =1

4πεQ1 · Q2

r2 =1

4πεrε0

Z1e · Z2er2

=1

4π · 80.4 · 8.854 · 10−12 As/(Vm)·

(2 · 1.6022 · 10−19 C)2

(57.7 · 10−9 m)2 = 3.45 fN

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52.2 Lösungen (Coulombkraft) 1168

7. Lösung von Aufgabe 7

FC =1

4πε0

Q1Q2

r2 =1

4πε0

(er

)2

=1

4π · 8.854 · 10−12 As/(Vm)

(1.6022 · 10−19 C0.74 · 10−10 m

)2

= 4.2 · 10−8 N

Diese Kraft würde die Kerne (Protonen) sehr stark beschleunigen, wenn Sie nicht durch eine ebensostarke Kraft, die von den Elektronen ausgeübt wird, kompensiert würde.

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52.2 Lösungen (Coulombkraft) 1169

8. Lösung von Aufgabe 8

FC =Q1Q2

4πεr2 =ZGe2

4πεr2 =79 · (1.602176 · 10−19 C)2

4π · 8.854188 · 10−12 As/(Vm) · (573.82 · 10−12 m)2 = 5.5353 · 10−8 N

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52.2 Lösungen (Coulombkraft) 1170

9. Lösung von Aufgabe 9

a) F =1

4πε0

Q1Q2

a2 =1

4π · 8.854 · 10−12 As/(Vm)·

(23.8 · 10−12 C338 · 10−6 m

)2

= 44.6 µN

b) Siehe Abbildung 52.3.

F13 = F/2 da r13 = a√

2 und F ∝ 1/r2

Kosinussatz: Fres =√

F2 + (F/2)2 − F2 cos β = F√

54 − cos 45° ≈ 0.7368 · F

Sinussatz: α = arcsin(

F13 sin βFres

)= arcsin

sin 45°

2√

54 − cos 45°

≈ 28.6°

Abbildung 52.3: Kräfte auf den Dipol

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52.2 Lösungen (Coulombkraft) 1171

10. Lösung von Aufgabe 10

Fres = maz

FC = mrω2

14πε0

Q2

r2 = mr ·(2πT

)2

Q =2πT·√

4πε0mr3

Q =2π

20 s·√

4π · 8.854 · 10−12 As/(Vm) · 1.6 · 10−3 kg · (0.20 m)3 = 12 nC

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52.2 Lösungen (Coulombkraft) 1172

11. Lösung von Aufgabe 11

a) FC =1

4πε0·

Z1Z2e2

r2 =11 · 29 · (1.6022 · 10−19 C)2

4π · 8.854 · 10−12 As/(Vm) · (19 · 10−6 m)2 = 2.0 · 10−16 N

b) FG = mg = 4π3 r3ρg = 4π

3 (1.7 · 10−6 m)3 · 1 · 103 kg/m3 · 9.81 m/s2 = 2 · 10−13 N

Die Erdanziehung ist stärker als die gegenseitige, elektrostatische Anziehung.

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52.2 Lösungen (Coulombkraft) 1173

12. Lösung von Aufgabe 12

1736-1806

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52.2 Lösungen (Coulombkraft) 1174

13. Lösung von Aufgabe 13

F ∼q1q2

r2 ⇒ FC = FP ·(ZCe)2

e2 = FPZ2C = 1.0 fN · 62 = 36 fN

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52.3 Lösungen (Elektrische Feldstärke) 1175

52.3 Lösungen (Elektrische Feldstärke)

1. Lösung von Aufgabe 1Die wesentlichen Fälle sind ‘alle gleichnamig’ und ‘eine hat anderes Vorzeichen’. Wenn alle Punkt-ladungen gleichnamig sind, heben sich die Feldstärkevektoren im Zentrum auf. Wenn eine Ladunganderes Vorzeichen aufweist, hat man die Situation von Abb. 52.4. Die resultierende Feldstärke hatBetrag Eres = 2E. Falls die Vorzeichen gegenüber Abb. 52.4 vertauscht sind, kehren sich die Richtun-gen der Feldstärkevektoren um.

Abbildung 52.4: Lageplan (links) und Vektorsumme (rechts) der Feldstärkevektoren.

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52.3 Lösungen (Elektrische Feldstärke) 1176

2. Lösung von Aufgabe 2

Fres = maz

qE = maz

e ·1

2πε0

Q/lr

= m ·υ2

rDer Bahnradius fällt heraus!

υ =

√eQ/l

2πε0 · m=

√1.602 · 10−19 C · 35 · 10−9 C/m

2π · 8.854 · 10−12 As/(Vm) · 9.109 · 10−31 kg= 1.1 · 107 m/s

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52.3 Lösungen (Elektrische Feldstärke) 1177

3. Lösung von Aufgabe 3

E =QεA⇒ Q = ε0AE = 8.854 · 10−12 As/(Vm) · 4.8 · 10−2 m2 · 270 V/m = 0.11 nC

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52.3 Lösungen (Elektrische Feldstärke) 1178

4. Lösung von Aufgabe 4

Fe = eE =1

4πε0

eQr2 =

14π · 8.854 · 10−12 As/(Vm)

1.60 · 10−19 C · 4 · 1020 C(10 · 103 m)2 = 6 kN

FG =GMm

r2 =6.67 · 10−11 Nm2/kg2 · 1.6 · 1.99 · 1030 kg · 9.11 · 10−31 kg

(10 · 103 m)2 = 1.9 · 10−18 N

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52.3 Lösungen (Elektrische Feldstärke) 1179

5. Lösung von Aufgabe 5

a) F = E2 · Q1 = 12 ESpalt · Q =

Q2ε0A

· Q =Q2

2ε0A

b) W = Fd =Q2d2ε0A

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52.3 Lösungen (Elektrische Feldstärke) 1180

6. Lösung von Aufgabe 6 ist in der Legende von Abbildung 52.5 beschrieben.

Abbildung 52.5: Es laufen Feldlinien von Q3 nach Q1 und Q2

aber keine zwischen Q1 und Q2. In der Nähe einer Punktladunglaufen die Linien gleichmässig radial, ebenso weit weg von allenLadungen. Die Feldstärke verschwindet bei einem Punkt auf derMittelebene zwischen Q1 und Q2 in grösserem Abstand von Q3

(im Bild unterhalb der Basislinie des Dreiecks). Es wurde nureine willkürliche Auswahl an Feldlinien berechnet.

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52.3 Lösungen (Elektrische Feldstärke) 1181

7. Lösung von Aufgabe 7Ein Alphateilchen ist ein He-4 Atomkern.

F = qE = ZeE = 2 · 1.6022 · 10−19 C · 137 · 103 N/C = 4.39 · 10−14 N

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52.3 Lösungen (Elektrische Feldstärke) 1182

8. Lösung von Aufgabe 8

Q = f ZeN = f ZemNA/M (= 39.98 kC)

E =1

4πε0

Qr2 =

14πε0

f ZemNA

Mr2

=10−3 · 26 · 1.6022 · 10−19 C · 890 g · 6.022 · 1023 mol−1

4π · 8.854 · 10−12 As/(Vm) · 55.845 g/mol · (30.1 · 10−3 m)2 = 4.00 · 1017 V/m

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52.3 Lösungen (Elektrische Feldstärke) 1183

9. Lösung von Aufgabe 9

E =1

2πε0

λ

r⇒ λ = 2πε0rE = 2π · 8.854 · 10−12 As/(Vm) · 20 m · 5.0 · 103 V/m = 5.6 µC/m

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52.3 Lösungen (Elektrische Feldstärke) 1184

10. Lösung von Aufgabe 10

a) siehe Abb. 52.6b) E ∝ Q⇒ E2 = 2E1 ⇒

Eres =

√E2

1 + E22 − 2E1E2 cos β = E1

√1 + 4 − 4 cos 120° = E1

√7 =

√7

4πεQr2

Richtung rechnerisch: →sinαsin β

=E1

Eres=

1√

7⇒ α = 19.1°

Abbildung 52.6: Feldstärke bei der dritten Eckeα ≈ 19°

Falls Q < 0 ist, zeigt Eres in die andere Richtung.

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52.3 Lösungen (Elektrische Feldstärke) 1185

11. Lösung von Aufgabe 11

Abbildung 52.7: Feldlinien dreier gleicher PunktladungenDas Feldlinienbild ist symmetrisch bezüglich einer Mittelsenk-rechten zweier Ecken. In der Nähe einer Punktladung ist es radi-al. Es gibt Feldlinien, die auf den Schwerpunkt des Dreiecks zulaufen und sich dort kreuzen (dort verschwindet die Feldstärke).Die anderen Feldlinien werden ‘auswärts gebogen’.

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52.3 Lösungen (Elektrische Feldstärke) 1186

12. Lösung von Aufgabe 12

a) E =1

2πε0

λ

r=

12π · 8.854 · 10−12 As/(Vm)

0.26 · 10−6 C/m2.0 m

= 2.3 kV/m

b) F = QE = l · λ · E =1

2πε0

λ2lr

=200 m

2π · 8.854 · 10−12 As/(Vm)(0.26 · 10−6 C/m)2

2.0 m= 0.12 N

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52.3 Lösungen (Elektrische Feldstärke) 1187

13. Lösung von Aufgabe 13

Die Beschleunigung des Elektrons ist nach Richtung und Betrag konstant, wie beim schiefen Wurf.Wir müssen nur die Fallbeschleunigung g in der Wurfparabelgleichung durch die Beschleunigung ades Elektrons ersetzen.

a =Fres

m=

eEm

y = x tanα0 −gx2

2υ20 cos2 α0

→ y = x tanα0 −eEx2

2mυ20 cos2 α0

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52.3 Lösungen (Elektrische Feldstärke) 1188

14. Lösung von Aufgabe 14

E =

√(2E1)2 + E2

1 =√

5E1 =

√5

4πε0·

Qr2 =

√5

4πε0·

2Qa2

E =

√5

4π · 8.854 · 10−12 As/(Vm)·

2 · 1.0 · 10−9 C(0.27 m)2 = 0.55 kV/m

α = arctan(1/2) = 27° zur Diagonalen, siehe Abb.52.8

Abbildung 52.8: Teil-Feldstärkevektoren in Lösung 14 sowie die resultie-rende Feldstärke mit Richtungswinkel α bezüglich der Diagonalen

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52.3 Lösungen (Elektrische Feldstärke) 1189

15. Lösung von Aufgabe 15

E ∝1r2 ⇒

r2

r1=

√E1

E2=

√1

1/2=√

2 = 1.414

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52.3 Lösungen (Elektrische Feldstärke) 1190

16. Lösung von Aufgabe 16

E =1

4πεQr2 ⇒ r =

√Q

4πε0E=

√1.0 · 10−6 C

4π · 8.854 · 10−12 As/(Vm) · 3 · 106 V/m= 5.5 cm

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52.4 Lösungen (Elektrische Spannung) 1191

52.4 Lösungen (Elektrische Spannung)

1. Lösung von Aufgabe 1

UAB =WAB

q

Die elektrostatische Spannung UAB ist gleich der Arbeit WAB pro Ladung q, die das elektrische Feldan einer kleinen Probeladung auf dem Weg von A nach B verrichtet.

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52.4 Lösungen (Elektrische Spannung) 1192

2. Lösung von Aufgabe 2

E = 12mυ2 ⇒ υ =

√2Em

=

√2 · 85 MeV · 1.602 · 10−13 J/MeV

1.673 · 10−27 kg= 1.28 · 108 m/s

Relativistisch gerechnet gibt es etwas weniger: 1.20·108 m/s

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52.4 Lösungen (Elektrische Spannung) 1193

3. Lösung von Aufgabe 3

W = qU ⇒ 12mυ2 = eU ⇒ υ =

√2eU

m=

√2 · 1.602 · 10−19 C · 1.5 · 103 V

9.109 · 10−31 kg= 2.3 · 107 m/s

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52.4 Lösungen (Elektrische Spannung) 1194

4. Lösung von Aufgabe 4

U =Wq

=mυ2

2e=

16.0 u · 1.661 · 10−27 kg/u · (800 m/s)2

2 · 1.602 · 10−19 C= 53 mV

Es wurde angenommen, dass das Ion zu Beginn in Ruhe ist.

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52.4 Lösungen (Elektrische Spannung) 1195

5. Lösung von Aufgabe 5

E =HNA

=890.8 · 103 J/mol

6.0221 · 1023 mol−1 ·1 eV

1.6022 · 10−19 J= 9.232 eV

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52.4 Lösungen (Elektrische Spannung) 1196

6. Lösung von Aufgabe 6

E =HNA

=435.0 · 103 J/mol

6.0221 · 1023 mol−1 ·1 eV

1.6022 · 10−19 J= 4.508 eV

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52.4 Lösungen (Elektrische Spannung) 1197

7. Lösung von Aufgabe 7

a) E =Ud

=983 V

6.39 · 10−3 mm= 154 kV/m

b)Ud

=Qε0A⇒ Q =

ε0AUd

=8.854 · 10−12 As/(Vm) · 2.38 · 10−2 m2 · 983 V

6.39 · 10−3 m= 32.4 nC

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52.4 Lösungen (Elektrische Spannung) 1198

8. Lösung von Aufgabe 8

a) 4.52 eV · 1.6022 · 10−19 J/eV = 7.24 · 10−19 J

b) E = 12mυ2 ⇒ υ =

√2Em

=

√2 · 4.52 · 1.6022 · 10−19 J

2 · 1.00794 · 1.661 · 10−27 kg= 20.8 km/s

c) Trifft ein Meteorit mit υ > 21 km/s auf z.B. Jupiter, kann er H2 aufspalten.

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52.4 Lösungen (Elektrische Spannung) 1199

9. Lösung von Aufgabe 9

a) E =Qε0A⇒ Q = ε0EA = 8.854 · 10−12 As/(Vm) · 53.2 N/C · 1.87 · 10−2 m2 = 8.81 pC

b) U = Ed = 53.2 N/C · 1.73 · 10−3 m = 92.0 mV

c) a =Fm

=eEm

=1.6022 · 10−19 C · 53.2 N/C9.012 u · 1.661 · 10−27 kg/u

= 5.69 · 108 m/s2

d) Q = Ze = 4 · 1.602176487 · 10−19 C = 6.408705948 · 10−19 C

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52.4 Lösungen (Elektrische Spannung) 1200

10. Lösung von Aufgabe 10

eU = 12mυ2 ⇒ U =

mυ2

2e=

9.1094 · 10−31 kg · (1.000 · 106 m/s)2

2 · 1.6022 · 10−19 C= 2.843 V

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52.4 Lösungen (Elektrische Spannung) 1201

11. Lösung von Aufgabe 11

a) E =Qε0A

=755 · 10−12 C

8.854 · 10−12 As/(Vm) · 2.34 · 10−2 m2 = 3.64 kV/m

b) U = Ed ⇒ d =UE

=Uε0A

Q=

40 V · 8.854 · 10−12 As/(Vm) · 2.34 · 10−2 m2

755 · 10−12 C= 1.1 cm

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52.4 Lösungen (Elektrische Spannung) 1202

12. Lösung von Aufgabe 12

E =Ud

=2800 V

1.83 · 10−3 m= 1.56 · 106 V/m

E =Ud

=Qε0A⇒ A =

Qdε0U

=3.3 · 10−6 C · 1.8 · 10−3 m

8.854 · 10−12 As/(Vm) · 2800 V= 0.24 m2

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52.4 Lösungen (Elektrische Spannung) 1203

13. Lösung von Aufgabe 13

U =Wq⇒ W = eU = 1.60 · 10−19 C · 2.0 V = 3.2 · 10−19 J

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52.4 Lösungen (Elektrische Spannung) 1204

14. Lösung von Aufgabe 14

12mυ2 = 2eU ⇒ υ =

√4eU

m=

√4 · 1.60 · 10−19 C · 4 · 106 V4.00 u · 1.661 · 10−27 kg/u

= 2 · 107 m/s

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52.4 Lösungen (Elektrische Spannung) 1205

15. Lösung von Aufgabe 15

a) W(= qU) = 3.0 · 106 eV · 1.6022 · 10−19 J/eV = 4.8 · 10−13 J

b) 6.4 · 10−19 J ÷ (1.6022 · 10−19 J/eV) = 4.0 eV

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52.4 Lösungen (Elektrische Spannung) 1206

16. Lösung von Aufgabe 16

Die elektrische Spannung UAB ist gleich der Arbeit pro Ladung, welche das elektrostatische Feld aneiner kleinen Probeladung auf dem Weg von A nach B verrichtet. Das elektrische Potential ϕB aneinem Ort B ist gleich der Arbeit pro Ladung, welche gegen den Einfluss des elektrischen Feldes aufdem Weg vom Nullpunkt nach B verrichtet werden muss. Die Einheit ist zwar dieselbe (Volt), aberbeim Potential kann der Nullpunkt frei gewählt werden. Die Spannung ist ein Potentialunterschied,aber Spannung und Potentialdifferenz haben verschiedene Vorzeichen: UAB = ϕA−ϕB = −(ϕB−ϕA) =

−∆ϕAB.

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52.4 Lösungen (Elektrische Spannung) 1207

17. Lösung von Aufgabe 17

a) 3.6 kWh = 3.6 MJ > 1 MJ b) 1 MeV = 1.6022·10−13 J , 1 MVc) 3.8 mm2= 3.8·10−6 m2 < 3.8·10−3 m2

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52.4 Lösungen (Elektrische Spannung) 1208

18. Lösung von Aufgabe 18

Wir betrachten das elektrische Feld als Überlagerung der Felder zweier Zylinderladungen (ohne In-fluenzeffekte).

U =

∫E · ds =

∫2 ·

λ

2πεr· dr =

λ

πε

∫ d−r0

r0

drr

=λ

πε· ln

d − r0

r0

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52.4 Lösungen (Elektrische Spannung) 1209

19. Lösung von Aufgabe 19

[U] =

[Wq

]=

JC

=kg m2

s2 · A s=

kg m2

A s3

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52.5 Lösungen (Kondensatoren) 1210

52.5 Lösungen (Kondensatoren)

1. Lösung von Aufgabe 1

Q = CU = 4πε ·(

1ri−

1ra

)−1

· U = 4πε ·rira

ra − ri· U

= 4π · 8.854 · 10−12 As/(Vm) ·6.371 · 106 m · (6.371 + 0.085) · 106 m)

85 · 103 m· 250 · 103 V

= 13 kC

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52.5 Lösungen (Kondensatoren) 1211

2. Lösung von Aufgabe 2

Ein (oberflächlich) geladener Tropfen ist ein Kugelkondensator.

Eel =Q2

2C=

Q2

2 · 4πε0rsoll= 4πr2γ = EOberfl

Q2

r3 ∼Q2r

2ε0 · (4πr2)2 = γ

σ2r2ε0

= γ σ =Q

4πr2 Oberflächenladungsdichte

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52.5 Lösungen (Kondensatoren) 1212

3. Lösung von Aufgabe 3

∆E = W ⇒Q2

2C= Fd ⇒ F =

Q2

2Cd=

Q2

2εA

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Kapitel 53

Lösungen (Gleichstromlehre)

53.1 Lösungen (Strom und Spannung)

1. Lösung von Aufgabe 1

I =∆Q∆t

Die elektrische Stromstärke ist gleich der Ladungsmenge ∆Q pro Zeitspanne ∆t, die durch eine Flächehindurch tritt. Die Fläche kann z.B. der Querschnitt eines Leiters sein.

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53.1 Lösungen (Strom und Spannung) 1214

2. Lösung von Aufgabe 2

I =∆Q∆t

=e · ∆N

∆t= 1.6022 · 10−19 C · 53 s−1 = 8.49 · 10−18 C/s = 8.5 aA

Man beachte Gross- und Kleinschreibung in der Einheit atto-Ampere.

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53.1 Lösungen (Strom und Spannung) 1215

3. Lösung von Aufgabe 3

P =W∆t

=∆Q · U

∆t=

1.200 A · 3600 s · 3.6 V3.0 s

= 5.2 kW

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53.1 Lösungen (Strom und Spannung) 1216

4. Lösung von Aufgabe 4

a) W = U · ∆Q = 1.5 V · 1.500 A · 3600 s = 8.1 kJ

b) Q = mH = 11.4 · 10−3 kg · 1.5 · 107 J/kg = 0.17 MJ (Tannenholz)

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53.1 Lösungen (Strom und Spannung) 1217

5. Lösung von Aufgabe 5

[U] = V =

[Wq

]=

JC

=kg ·m2

s2 · As=

kg ·m2

A · s3

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53.1 Lösungen (Strom und Spannung) 1218

6. Lösung von Aufgabe 6

I =Ze∆N

∆t⇒

∆N∆t

=I

Ze=

100 · 10−12 A30 · 1.6022 · 10−19 As

= 2.08 · 107 s−1

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53.1 Lösungen (Strom und Spannung) 1219

7. Lösung von Aufgabe 7

i) Vor und nach einem ‘Verbraucher’ wird die gleiche Stromstärke gemessen. Es ist ein experimentel-les Faktum.ii) Zwei gleiche Lampen hintereinander leuchten gleich hell; die zweite bekommt nicht wenigerStrom.iii) Ladung kann nicht verschwinden. Ladung kann sich kaum anhäufen, weil sonst schnell starkeFelder auftreten.

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53.1 Lösungen (Strom und Spannung) 1220

8. Lösung von Aufgabe 8

a) I =∆Q∆t

=e∆N∆t⇒

∆N∆t

=Ie

=10−15 A

1.6022 · 10−19 As= 6241 s−1 = 104 s−1

b) I =e∆N∆t

=1.6022 · 10−19 As · 1

3600 s= 4.451 · 10−23 A = 4 · 10−23 A

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53.1 Lösungen (Strom und Spannung) 1221

9. Lösung von Aufgabe 9

m = Nma =∆Qe

ma =I∆te

ma

=10.0 · 10−3 A · 86400 s1.602176487 · 10−19 C

· 196.966552 u · 1.660538782 · 10−27 kg/u = 1.76378195 g

Die Genauigkeit ist nicht ganz klar: Was bedeutet ‘ein Tag’?Gold hat nur ein stabiles Isotop. Man hatte sich erhofft, durch solche Experimente das Urkilogrammabzulösen. Die Experimente verfehlten aber die erforderliche Genauigkeit.

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53.1 Lösungen (Strom und Spannung) 1222

10. Lösung von Aufgabe 10

m = ma∆N = maI · ∆tZe

= 63.55 · 1.661 · 10−27 kg ·0.500 A · 5.0 s

2 · 1.6022 · 10−19 As= 8.2 · 10−7 kg

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53.1 Lösungen (Strom und Spannung) 1223

11. Lösung von Aufgabe 11

I =∆Q∆t

=Ze∆N

∆t=

2 · 1.6022 · 10−19 As · 6.25 · 105

1.00 s= 2.00 · 10−13 A

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53.1 Lösungen (Strom und Spannung) 1224

12. Lösung von Aufgabe 12

I =∆Q∆t

=e∆N∆t⇒

∆m∆t

=∆N∆t· mP =

Ie· mP =

0.56 A · 1.673 · 10−27 kg1.6022 · 10−19 As

= 5.8 · 10−9 kg/s

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53.1 Lösungen (Strom und Spannung) 1225

13. Lösung von Aufgabe 13

Elektrischer Strom ist ein Ladungsfluss. Elektrische Ladung ist kein Teilchen, sondern eine Eigen-schaft gewisser Teilchen. Ladung kann auch mit Protonen oder Ionen transportiert werden.

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53.1 Lösungen (Strom und Spannung) 1226

14. Lösung von Aufgabe 14

W = QU = 2.0 C · 24 V = 48 J

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53.1 Lösungen (Strom und Spannung) 1227

15. Lösung von Aufgabe 15

a) P = UI = 300 · 103 V · 10 · 10−12 A = 3.0 µW

b) I =q∆N∆t⇒

∆N∆t

=Ie

=10 · 10−12 A

1.602 · 10−19 As= 6.2 · 107 s−1

c) 12mυ2 = eU ⇒ υ =

√2eU

m=

√2 · 1.6022 · 10−19 C · 300 · 103 V

9.109 · 10−31 kg= 3.25 · 108 m/s > c!!

relativistisch: υ/c = 0.777

d) d =∆t∆N· υ =

3.25 · 108 m/s6.2 · 107 s−1 = 5.2 m

relativistisch: 3.7 m

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53.1 Lösungen (Strom und Spannung) 1228

16. Lösung von Aufgabe 16

a) Die Velokette transportiert viele Grössen, welche ist mit “Strom” gemeint? Der Transport mecha-nischer Energie erfolgt vom Kettenblatt bei den Pedalen zum Ritzel am Hinterrad.b) Bei der Analogie sollte man sagen, welche mechanische Grösse welcher elektrischen Grösse ent-spricht.c) In der Velokette zirkulieren Kettenglieder, im elektrischen Stromkreis Ladungsträger. Die Kettetransportiert mechanische Energie vom Kettenblatt zum Ritzel, der Stromkreis elektrische Energievon der Spannungsquelle zum Verbraucher. Die mechanische Kettenspannung entspricht der elektri-schen Spannung respektive besser dem elektrischen Potential. Nach P = UI = Fυ entspricht derelektrische Strom der Geschwindigkeit der Kettenglieder. (..)

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53.2 Lösungen (Leistung und Widerstand) 1229

53.2 Lösungen (Leistung und Widerstand)

1. Lösung von Aufgabe 1

a) P = UI ⇒ I =PU

=800 W230 V

= 3.48 A

b) P = UI, U = RI ⇒ P =U2

R⇒ R =

U2

P=

(230 V)2

800 W= 66.1 Ω

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53.2 Lösungen (Leistung und Widerstand) 1230

2. Lösung von Aufgabe 2

PN = UN IN ⇒ IN =PN

UNNennstrom

I ∝√

U ⇒IIN

=

√UUN⇒ I = IN

√UUN

=PN

UN

√U

UN

P = UI = UPN

UN

√U

UN= PN

UUN

√UUN

= PN ·

(U

UN

)3/2

U = UN ·

(IIN

)2

⇒ R =UI

=UN II2

N

∝ I

Die Zahlenwerte werden nicht benötigt!

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53.2 Lösungen (Leistung und Widerstand) 1231

3. Lösung von Aufgabe 3

P = RI2 ⇒ R =PI2 =

2.0 W(0.10 A)2 = 0.20 kΩ

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53.2 Lösungen (Leistung und Widerstand) 1232

4. Lösung von Aufgabe 4

P = UI = 80 V · 7.5 A = 0.60 kW

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53.2 Lösungen (Leistung und Widerstand) 1233

5. Lösung von Aufgabe 5

[R] =

[UI

]=

[WQI

]=

JAs · A

=kg ·m2

A2 · s3

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53.2 Lösungen (Leistung und Widerstand) 1234

6. Lösung von Aufgabe 6

a) R =ρelA

=1.78 · 10−8 Ωm · 5.7 · 103 m

630 · 10−6 m2 = 0.16 Ω

b) U = RI =ρelA

I =1.78 · 10−8 Ωm · 5.7 · 103 m

630 · 10−6 m2 · 652 A = 105 V

c) P = UI = RI2 =ρelA

I =1.78 · 10−8 Ωm · 5.7 · 103 m

630 · 10−6 m2 · (652 A)2 = 68 kW

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53.2 Lösungen (Leistung und Widerstand) 1235

7. Lösung von Aufgabe 7

R =ρe,CulACu

=ρe,AllAAl

⇒ AAl = ACu ·ρe,Al

ρe,Cu= 120 mm2 ·

3.21 · 10−8 Ωm1.78 · 10−8 Ωm

= 216 mm2

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53.2 Lösungen (Leistung und Widerstand) 1236

8. Lösung von Aufgabe 8

R = ρelA

=4ρelπd2 ⇒ d =

√4ρelπR

=

√4 · 2.42 · 10−8 Ωm · 5.7 · 10−3 m

π · 1.000 · 106 Ω= 13 nm

Der Durchmesser muss über 13 nm bleiben.

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53.2 Lösungen (Leistung und Widerstand) 1237

9. Lösung von Aufgabe 9

m = ρmV = ρmAl⇒ A =m/lρm

R = ρelA⇒

Rl

=ρe

A=ρeρm

m/l=

20.0 · 10−8 Ωm · 7.83 · 103 kg/m3

60 kg/m= 26 µΩ/m

Durch die Schienen fliesst ein grosser Teil des Bahnstroms zum Generator zurück (ein anderer Teildurch die Erde und ein dritter Teil durch das Erdseil).

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53.2 Lösungen (Leistung und Widerstand) 1238

10. Lösung von Aufgabe 10

a) R60 = R20 · (1 + α20 · (ϑ45 − ϑ20)) = 1.85 Ω ·(1 + 3.8 · 10−3 K−1 · (45 − 20) K

)= 2.03 Ω

b)P45

P20=

R45I2

R20I2 =1 + α20 · (ϑ45 − ϑ20)

1= 1 + 3.8 · 10−3 K−1 · (45 − 20) K = 1.095 = 1 + 9.5 %

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53.2 Lösungen (Leistung und Widerstand) 1239

11. Lösung von Aufgabe 11Da wir den Temperaturkoeffizienten des Widerstands nur bei 20 °C kennen, müssen wir rückwärtsrechnen:

R8.73 = R20 + R20α20 · (ϑ8.73 − ϑ20)⇒ R20 =R8.73

1 + α20 · (ϑ8.73 − ϑ20)

R20 =2.87 Ω

1 + 1.0 · 10−3 K−1 · (8.73 − 20) K= 2.90 Ω

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53.2 Lösungen (Leistung und Widerstand) 1240

12. Lösung von Aufgabe 12Annahme: Der Widerstandswert sei eine lineare Funktion (Polynom 1. Grades) der Temperatur ϑ.

R1 + R1α1 · (ϑ − ϑ1) = R2 + R2α2 · (ϑ − ϑ2)R1 + R1α1ϑ − R1α1ϑ1 = R2 + R2α2ϑ − R2α2ϑ2 Polynom 1. Grades: Koeffizientenvergleich⇒ R1α1 = R2α2

⇒ R1 − R1α1ϑ1 = R2 − R2α2ϑ2 = R2 − R1α1ϑ2 ⇒ R2 = R1 + R1α1 · (ϑ2 − ϑ1) klar!

⇒ α2 = α1R1

R2=

α1

1 + α1 · (ϑ2 − ϑ1)

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53.2 Lösungen (Leistung und Widerstand) 1241

13. Lösung von Aufgabe 13

P = RI2 ⇒ I =

√PR

=

√18 W270 Ω

= 0.26 A

P =U2

R⇒ U =

√PR =

√18 W · 270 Ω = 70 V

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53.2 Lösungen (Leistung und Widerstand) 1242

14. Lösung von Aufgabe 14

R =ρelA⇒ A 6

ρelR

=1.78 · 10−8 Ωm · 87 m

100 Ω= 1.5 · 10−8 m2

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53.2 Lösungen (Leistung und Widerstand) 1243

15. Lösung von Aufgabe 15

Eine Glühlampe ist kein ohmscher Widerstand: Der Strom ist näherungsweise proportional zur Wur-zel aus der Spannung, I ∝

√U, also:

I2

I1=

√U2

U1⇒ I2 = I1 ·

√U2

U1= 0.34 A ·

√180 V220 V

= 0.31 A

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53.2 Lösungen (Leistung und Widerstand) 1244

16. Lösung von Aufgabe 16

P = UresI = NU1I ⇒ N =P

U1I=

57.7 W1.5 V · 0.53 A

= 73

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53.2 Lösungen (Leistung und Widerstand) 1245

17. Lösung von Aufgabe 17

a) m = ρmlA und R =ρelA⇒

mR = ρmρel2 ⇒ l =

√Rmρeρm

=

√2.85 Ω · 0.430 kg

2.650 · 10−8 Ωm · 2.70 · 103 kg/m3 = 131 m

mR

=ρmA2

ρe⇒ A =

√mρe

Rρm=

√0.430 kg · 2.650 · 10−8 Ωm2.85 Ω · 2.70 · 103 kg/m3 = 1.23 mm2

b) R37 = R20 · (1 + α20 · (ϑ37 − ϑ20)) = 2.85 Ω · (1 + 3.9 · 10−3 K−1 · (37 − 20) K) = 3.04 Ω

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53.2 Lösungen (Leistung und Widerstand) 1246

18. Lösung von Aufgabe 18

a) U = RI = 125 Ω · 0.038 A = 4.8 V

b) P = UI = RI2 = 125 Ω · (0.038 A)2 = 0.18 W

c) I ∝ U ⇒ I2 = I1 ·U2

U1= 38 mA · 1.17 = 44 mA

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53.2 Lösungen (Leistung und Widerstand) 1247

19. Lösung von Aufgabe 19

a) Teilweise, denn nur von 0 bis 0.20 V ist der Strom proportional zur Spannung.

b) R1 =U1

I1=

0.10 V40 · 10−3 A

= 2.5 Ω R2 =U2

I2=

0.40 V80 · 10−3 A

= 5.0 Ω

c) P = UI = 0.30 V · 80 mA = 24 mW

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53.2 Lösungen (Leistung und Widerstand) 1248

20. Lösung von Aufgabe 20

∆E = P · ∆t = RI2 · ∆t

=ρelA· I2 · ∆t =

20.0 · 10−8 Ωm · 15 m0.85 · 10−6 m2 · (27 · 103 A)2 · 32 · 10−6 s = 82 kJ

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53.2 Lösungen (Leistung und Widerstand) 1249

21. Lösung von Aufgabe 21

P = UI ⇒ I =PU

=20 W12 V

= 1.7 A

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53.2 Lösungen (Leistung und Widerstand) 1250

22. Lösung von Aufgabe 22

a) P = UI = 25 A · 1250 V = 31250 W X

b) W = P · ∆t ⇒ ∆t =WP

=200 J

31250 W= 6.40 ms

c) R =UI

=1250 V25 A

= 50 Ω

d ) Die Angaben sind zu genau: Nur zwei Ziffern sind signifikant.

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53.2 Lösungen (Leistung und Widerstand) 1251

23. Lösung von Aufgabe 23

P =W∆t

=qU∆t

=16 · 10−3 A · 3600 s · 1.55 V

3.156 · 107 s= 2.83 · 10−6 W = 3 µW

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53.2 Lösungen (Leistung und Widerstand) 1252

24. Lösung von Aufgabe 24

P = RI2 ⇒P2

P1=

(I2

I1

)2

= 0.902 = 0.81 = 100 % −19 %

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53.3 Lösungen (Einfache Schaltungen) 1253

53.3 Lösungen (Einfache Schaltungen)

1. Lösung von Aufgabe 1

a) Im unverzweigten Leiter ist die Stromstärke konstant, also auch 93 mA

b) P1 = R1I2 = 250 Ω · (0.093 A)2 = 2.2 W

c) U = RtotalI = (R1 + R2)I = (250 Ω + 480 Ω) · 0.093 A = 68 V

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53.3 Lösungen (Einfache Schaltungen) 1254

2. Lösung von Aufgabe 2

1Rres

=1R1

+1R2⇒ R2 =

R1Rres

R1 − Rres

a) R2 =120 Ω · 80 Ω

120 Ω − 80 Ω= 240 Ω

b) R2 =120 Ω · 120 Ω

120 Ω − 120 Ω→ ∞

c) R2 =120 Ω · 180 Ω

120 Ω − 180 Ω= −360 Ω

Wenn man, wie bei b), keinen Widerstand parallel zu R1 schaltet, so ist Rres = R1. Kein Widerstandist äquivalent zu R2 = ∞.Ein negativer Widerstandswert, wie bei c), ist kein Verbraucher sondern eine Quelle. Verstärkerele-mente können formal als negative Widerstände betrachtet werden.

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53.3 Lösungen (Einfache Schaltungen) 1255

3. Lösung von Aufgabe 3

Rres = R0 + R1 + R2 + R3 + · · · = R0 +R0

21 +R0

22 +R0

23 + . . . geometrische Reihe

=R0

1 − 1/2= 2R0

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53.3 Lösungen (Einfache Schaltungen) 1256

4. Lösung von Aufgabe 4

1Rges

=1R0

+1R1

+1R2

+1R3

+ · · · =1R0

+1

qR0+

1q2R0

+1

q3R0+ . . . geometrische Reihe

=1R0·

1 +

(1q

)1

+

(1q

)2

+

(1q

)3

+ . . .

=1R0·

11 − 1/q

Rges = R0 · (1 − 1/q) = 50 Ω · (1 − 1/1.10) = 4.5 Ω

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53.3 Lösungen (Einfache Schaltungen) 1257

5. Lösung von Aufgabe 5a) ist einheitenmässig falschb) hat die korrekte Struktur P = I2RL, liefert aber ein unsinniges Resultat für die zulässige WahlRi → 0c) hat die korrekte Struktur P = I2RL

d) hat die korrekte Struktur P = U2/R, liefert aber einen falschen Wert (, 0) für RL → 0.

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53.3 Lösungen (Einfache Schaltungen) 1258

6. Lösung von Aufgabe 6

Rs = R1 + R2

Rp =R1R2

R1 + R2=

R1 · (Rs − R1)R1 + (Rs − R1)

=R1Rs − R2

1

Rs⇒

R21 − RsR1 + RpRs = 0 quadratische Gleichung in R1

R1,2 =Rs ±

√R2

s − 4RpRs

2=

847 Ω ±√

(847 Ω)2 − 4 · 132 Ω · 847 Ω

2=

683 Ω

164 Ω

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53.3 Lösungen (Einfache Schaltungen) 1259

7. Lösung von Aufgabe 7

a) IA = 35 mA Serieschaltung !b) Das Voltmeter zeigt die Spannung über dem 2. Widerstand an: UV = U2 = 4.8 Ω

R2 =U2

I=

4.8 V0.035 A

= 137 Ω

c) U0 = U1 + U2 = R1I + UV = 180 Ω · 0.035 A + 4.8 V = 11 V

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53.3 Lösungen (Einfache Schaltungen) 1260

8. Lösung von Aufgabe 8

Widerstand R1 ist parallel zu R2 geschaltet und Widerstand R3 zu R4.

a) Rres =R1R2

R1 + R2+

R3R4

R3 + R4=

120 Ω · 230 Ω

120 Ω + 230 Ω+

333 Ω · 401 Ω

333 Ω + 401 Ω= 260.78 Ω = 261 Ω

b) I0 =U0

Rres=

8.75 V260.78 Ω

= 33.55 mA = 33.6 mA

c) R1I1 = R2I2 und I0 = I1 + I2 ⇒ I1 = I0R2

R1 + R2

I1 =U0

Rres·

R2

R1 + R2=

8.75 V260.78 Ω

·230 Ω

120 Ω + 230 Ω= 22.0 mA

d) U2 = R2I2 = R2I0R1

R1 + R2=

U0

Rres·

R1R2

R1 + R2=

8.75 V260.78 Ω

·120 Ω · 230 Ω

120 Ω + 230 Ω= 2.65 V

e) P3 = R3I23 = R3 ·

(U0

Rres·

R4

R3 + R4

)2

= 333 Ω ·

(8.75 V

260.78 Ω·

401 Ω

333 Ω + 401 Ω

)2

= 84.4 mW

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53.3 Lösungen (Einfache Schaltungen) 1261

9. Lösung von Aufgabe 9Sie sind parallel geschaltet, da der Ersatzwiderstand kleiner als der erste Widerstand ist.

1Rres

=1R1

+1R2⇒ R2 =

(1

Rres−

1R1

)−1

=

(1

53 Ω−

169 Ω

)−1

= 0.23 kΩ

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53.3 Lösungen (Einfache Schaltungen) 1262

10. Lösung von Aufgabe 10a) Der Ersatzwiderstand sollte kleiner als jeder Einzelwiderstand sein, nicht grösser.b) Einheitenkontrolle: Ω , 1/Ωc) Für R1 = 0 und R2 , 0 sollte Rres = 0 herauskommen, was nicht der Fall ist.d) Einheitenkontrolle: Ω , Ω3/Ωe) Für R3 → ∞ sollte (R1R2)/(R1 + R2) herauskommen, nicht “∞/∞2 = 0”.f) Diese Gleichung besteht alle vorangehenden Tests (und ist auch korrekt).

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53.3 Lösungen (Einfache Schaltungen) 1263

11. Lösung von Aufgabe 11Die reduzierten Schaltungen sind in Abb. 53.1 zu sehen.a) Rres = R b) Rres = R c) Rres = R/2 d) Rres = 0

Abbildung 53.1: Diese Schaltungen haben denselben Ersatzwiderstand wie jene von Abb. 20.4.

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53.3 Lösungen (Einfache Schaltungen) 1264

12. Lösung von Aufgabe 12Es handelt sich um zwei Parallelschaltungen. Dies sieht man daran, dass jedes Widerstandselementdurch einen idealen Leiter direkt mit den gleichen Anschlüssen verbunden ist. An jedem Widerstandliegt somit dieselbe Spannung an, somit fliesst bei beiden Schaltungen derselbe Strom durch diejeweiligen Elemente, wenn die gleiche Spannung angelegt wird.

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53.3 Lösungen (Einfache Schaltungen) 1265

13. Lösung von Aufgabe 13Alle bis auf den Widerstand über der Spannungsquelle sind durch die ‘Ringleitung’ kurzgeschlossen.Der Strom ist somit I = U/R.

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53.3 Lösungen (Einfache Schaltungen) 1266

14. Lösung von Aufgabe 14

a) I4 = I5 = I0 = 1.01 Ab) P4 = U4I4 = 202 V · 1.01 A = 204 W

c) I1 =U1

R1=

R123I0

R1=

(1R1

+1R2

+1R3

)−1

·I0

R1=

(1

700 Ω+

1800 Ω

+1

900 Ω

)−1

·1.01 A700 Ω

= 0.381 A

d) RAB = R123 + R4 =

(1R1

+1R2

+1R3

)−1

+U4

I4=

(1

700 Ω+

1800 Ω

+1

900 Ω

)−1

+202 V1.01 A

= 464 Ω

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53.3 Lösungen (Einfache Schaltungen) 1267

15. Lösung von Aufgabe 15

a) R1 =U0

I0=

64 V0.873 A

= 73 Ω

b) U0 = (R1 + R2)I2 ⇒ R2 =U0

I2−

U0

I0=

64 V0.371 A

−64 V

0.873 A= 99 Ω

c) U1 = R1I2 =U0I2

I0=

64 V · 0.371 A0.873 A

= 27 V

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53.3 Lösungen (Einfache Schaltungen) 1268

16. Lösung von Aufgabe 16, siehe Abb. 53.2

Abbildung 53.2: Klemmenspannung U eines 6 V-Netzgeräts als Funktion des Stromes I. Bei der Re-gressionsgeraden gilt: x = I in Ampere, y = U in Volt.Die Gerade passt gut zu den Daten, denn der Korre-lationskoeffizient liegt betragsmässig nahe bei Eins.

b, c) U = U0 − RiI wobei U0 = 6.997 V die Leerlauf-spannung und Ri = 96.22 mΩ der Innenwiderstandist.

d) Kurzschlussstrom:

0 = U0 − RiIk ⇒ Ik =U0

Ri=

6.997 V96.22 mΩ

= 72.72 A

0 2 4 6 8 105.0

5.5

6.0

6.5

7.0

I (A)

U (

V)

Fity = 6.597 - 0.09622·xcorr: -0.99974

Daten

e) P = UI = (U0 − RiI) · I ist eine quadratische Funktion von I mit Nullstellen bei Null und beimKurzschlussstrom. Die Leistung ist maximal beim halben Kurzschlussstrom. Damit der Strom gleichdem halben Kurzschlussstrom wird, muss der angeschlossene Widerstand gleich gross wie der Innen-widerstand sein; dann ist nämlich der Gesamtwiderstand doppelt so gross wie beim Kurzschluss.

Pmax =

( Ik

2

)2

Ri =

(U0

2Ri

)2

Ri =U2

0

4Ri=

(6.997 V)2

4 · 0.09622 Ω= 127.2 W

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53.3 Lösungen (Einfache Schaltungen) 1269

17. Lösung von Aufgabe 17

Rres =

(1R

+1

R + R

)−1

= 23R < R

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53.3 Lösungen (Einfache Schaltungen) 1270

18. Lösung von Aufgabe 18

U = RresI = (R1 + R2)I ⇒ R2 =UI− R1 =

5.00 V0.0135 A

− 250 Ω = 120 Ω

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53.3 Lösungen (Einfache Schaltungen) 1271

19. Lösung von Aufgabe 19

Die zwei ungleichen Drahthälften RAB und RBA sind parallel geschaltet:

RAB + RBA = R RAB =ϕR2π

RBA =(2π − ϕ)R

2π

Rres =RAB · RBA

RAB + RBA=ϕR · (2π − ϕ)R

(2π)2R=ϕ · (2π − ϕ)

(2π)2 · R

Der Ersatzwiderstand Rres ist eine quadratische Funktion des Winkels ϕ mit Maximum bei ϕ = π.

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53.3 Lösungen (Einfache Schaltungen) 1272

20. Lösung von Aufgabe 20

a) I = I1 + I2 ∧ R1I1 = (R2 + R3)I2 ⇒ I1 =R2 + R3

R1 + R2 + R3· I

I1 =30 Ω + 50 Ω

90 Ω + 30 Ω + 50 Ω· 1.5 A = 0.71 A

b) P3 = R3I23 = R3 ·

(R1

R1 + R2 + R3· I

)2

= 50 Ω ·

(90 Ω

90 Ω + 30 Ω + 50 Ω· 1.5 A

)2

= 32 W

c)U2

U3=

R2I2

R3I3=

R2

R3=

30 Ω

50 Ω= 0.60 (I2 = I3)

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53.3 Lösungen (Einfache Schaltungen) 1273

21. Lösung von Aufgabe 21

1R

=1R1

+1R2⇒ R2 =

(1R−

1R1

)−1

=

(1

300 Ω−

1200 Ω

)−1

= −600 Ω

Negative, ohmsche Widerstände gibt es nicht. (Es müsste ein Verstärker sein.)

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53.3 Lösungen (Einfache Schaltungen) 1274

22. Lösung von Aufgabe 22

a) I1 = I2 = I0 = 0.832 A konstante Stromstärke im unverzweigten Stromkreis!b) U0 = RresI0 = (R1 + R2)I0 = (91.2 Ω + 102.3 Ω) · 0.832 A = 161 V

c) P2 = R2I20 = 102.3 Ω · (0.832 A)2 = 70.8 W

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53.3 Lösungen (Einfache Schaltungen) 1275

23. Lösung von Aufgabe 23

Wird ein zweiter Widerstand seriell angeschlossen, so vermindert sich der Strom und nach P = UIvermindert sich auch die Leistung. Bei einer Parallelschaltung erhöht sich der Strom und damit auchdie Gesamtleistung.

P1 = I1U =U2

R1P2 =

U2

Rres= U2 ·

(1R1

+1R2

)⇒

P2

P1= f = R1 ·

(1R1

+1R2

)= 1 +

R1

R2⇒

R2 =R2

f − 1=

13.8 Ω

1.33 − 1= 41.8 Ω

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53.3 Lösungen (Einfache Schaltungen) 1276

24. Lösung von Aufgabe 24

Der Widerstand R3 ist parallel zu den beiden anderen und hat keinen Einfluss auf den Strom durchR1. Die Leistung wird also maximal, wenn R1 = R2 ist. Beweis:

P1 = R1I21 = R1 ·

(U0

R1 + R2

)2

=R1U2

0

(R1 + R2)2 →dP1

dR1

soll= 0 =

U20(R1 + R2)2 − R1U2

0 · 2 · (R1 + R2)(R1 + R2)4

⇒ R1 + R2 − 2R1 = 0⇒ R1 = R2

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53.3 Lösungen (Einfache Schaltungen) 1277

25. Lösung von Aufgabe 25

a) I2 = I0 − I1 R1I1 = R2I2 ⇒ R1 = R2 · (I0 − I1)/I1

b) U2 = R2I2 = R2 · (I0 − I1)

c) P1 = R1I21 = R2 · (I0 − I1) · I1

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53.3 Lösungen (Einfache Schaltungen) 1278

26. Lösung von Aufgabe 26

a) I1 =U0

R1 + R2=

5.00 V125 Ω + 250 Ω

= 13.3 mA

U2 = R2I =R2U0

R1 + R2=

250 Ω · 5.00 V125 Ω + 250 Ω

= 3.33 V

b) Leerlauf, das erste Multimeter sperrt! U1 = U0 I2 = 0c) Der zweite Widerstand ist kurzgeschlossen.

I1 =U0

R1=

5.00 V125 Ω

= 40.0 mA = I2

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53.3 Lösungen (Einfache Schaltungen) 1279

27. Lösung von Aufgabe 27

P1 = R1I21 = R1 ·

(R2I0

R1 + R2

)2

∝R1

(R1 + R2)2soll= max

dP1

dR1

soll= 0 =

(R1 + R2)2 − R1 · 2 · (R1 − R2)(R1 + R2)4 ⇒ R1 + R2 − 2R1 = 0⇒ R1 = R2

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53.3 Lösungen (Einfache Schaltungen) 1280

28. Lösung von Aufgabe 28

Der Innenwiderstand eines realen Voltmeters ist gross, der eines realen Amperemeters ist klein. InSchaltung a) wird sich deshalb der Strom durch den grossen Widerstand und den grossen Innenwi-derstand aufteilen; das Amperemeter wird nicht den korrekten Strom durch R anzeigen. In Schaltungb) teilt sich die Spannung auf; da der Innenwiderstand des Amperemeters klein ist, entfällt der grössteTeil der Spannung auf R; das Voltmeter wird also etwa die korrekte Spannung anzeigen. In a) zeigtdas Voltmeter eine zu kleine Spannung an, weil durch R nur ein Teil des Stromes fliesst. In b) zeigtdas Amperemeter den richtigen Strom an, weil fast die ganze Spannung U an R anliegt.

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53.3 Lösungen (Einfache Schaltungen) 1281

29. Lösung von Aufgabe 29

2R + R3 = RS und2R

+1R3

=1

RP⇒

4RS − R3

+1R3

=1

RP⇒

4R3RP + (RS − R3)RP = (RS − R3)R3 ⇒ 4R3RP + RS RP − R3RP = RS R3 − R23 ⇒

R23 + (3RP − RS )R3 + RS RP = 0⇒ R3 =

−(3RP − RS ) ±√

(3RP − RS )2 − 4RS RP

2

R3 =−(3 · 63.3 Ω − 587 Ω) ±

√(3 · 63.3 Ω − 587 Ω)2 − 4 · 587 Ω · 63.3 Ω

2=

151 Ω

246 Ω

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53.3 Lösungen (Einfache Schaltungen) 1282

30. Lösung von Aufgabe 30

a) Bei Spannungsmessung zeigt es die Spannung über dem zweiten Widerstand an:

U2 = R1Ia = R2 ·U

R1 + R2

b) Bei Strommessung schliesst es den zweiten Widerstand kurz:

Ib =UR1

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53.3 Lösungen (Einfache Schaltungen) 1283

31. Lösung von Aufgabe 31

I1 = I2 = I ⇒ U = (R1 + R2)I = (200 Ω + 300 Ω) · 10 · 10−3 A = 5.0 V

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53.3 Lösungen (Einfache Schaltungen) 1284

32. Lösung von Aufgabe 32

RS

RP=

R1 + R2R1R2

R1+R2

=(R1 + R2)2

R1R2=

R21 · (1 + R2/R1)2

R1R2=

(1 + x)2

xmit x =

R2

R1

RS /RP → ∞ Maximum für x→ ∞ (R2 R1)RS /RP → ∞ Maximum für x→ 0 (R2 R1)→RS /RP = 4 Minimum für x = 1 (R2 = R1) Beweis siehe unten

ddx

((1 + x)2

x

)=

2 · (1 + x) · x − (1 + x)2

x2!= 0⇒ 2x + 2x2 − 1 − 2x − x2 = 0⇒ x = ±1

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53.3 Lösungen (Einfache Schaltungen) 1285

33. Lösung von Aufgabe 33

a) G =IU∧ R =

UI⇒ G =

1R

b) Serieschaltung: RSerie = R1 + R2 + · · · ⇒1

GSerie=

1G1

+1

G2+ . . .

Parallelschaltung:1

Rparallel=

1R1

+1R2

+ · · · ⇒ Gparallel = G1 + G2 + . . .

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53.3 Lösungen (Einfache Schaltungen) 1286

34. Lösung von Aufgabe 34

a) Wird der Schalter geöffnet, so sind zwei statt drei Widerstände parallel geschaltet. Der Ersatzwi-derstand steigt und deshalb sinkt die elektrische Stromstärke.

b)I2

I1=

R1

R2=

R + R/3R + R/2

=4/33/2

= 8/9 ≈ 0.889

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53.3 Lösungen (Einfache Schaltungen) 1287

35. Lösung von Aufgabe 35

seriell: Rs = R1 + R2 = R1 + R1(1 + f ) = R1 · (2 + f )⇒Rs

R1= 2 + f = 2 + 0.77 = 100 % +177 %

parallel: Rp =R1R2

R1 + R2=

R21(1 + f )

R1(2 + f )⇒

Rp

R1=

1 + f2 + f

=1 + 0.772 + 0.77

= 0.638 989 = 100 %−36 %

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53.3 Lösungen (Einfache Schaltungen) 1288

36. Lösung von Aufgabe 36

RS = R1 + R2 = R1 + f R1 = (1 + f )R1

RP =R1R2

R1 + R2=

R1 · f R1

R + f R1⇒

Rp

R1=

f1 + f

=0.871.87

= 0.4652 = 100 %−53 %

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53.3 Lösungen (Einfache Schaltungen) 1289

37. Lösung von Aufgabe 37

Wir nehmen an, dass die Tauchsieder das ohmsche Gesetz erfüllen, d.h. R = const , R(I).

P = UI =U2

R∼

1R⇒ P2 = P1 ·

R1

R2= P1 ·

R1

2R1= 1.0 kW ·

12

= 0.50 kW

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53.3 Lösungen (Einfache Schaltungen) 1290

38. Lösung von Aufgabe 38

Der Potentialverlauf entlang der Leiter und Widerstände ist eine Funktion des Ortes. Spannungen sindPotentialdifferenzen.Beispiel: UAB = UA1 + U12 + U2B = (ϕA − ϕ1) + (ϕ1 − ϕ2) + (ϕ2 − ϕB) = ϕA − ϕB

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53.3 Lösungen (Einfache Schaltungen) 1291

39. Lösung von Aufgabe 39

1R1

+1R2

=1

R1/3⇒

1R2

=3R1−

1R1⇒ R2 =

R1

2

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53.3 Lösungen (Einfache Schaltungen) 1292

40. Lösung von Aufgabe 40

P2

P1=

R2I22

R1I21

=R2

R1da I2 = I1 (Serieschaltung)

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53.3 Lösungen (Einfache Schaltungen) 1293

41. Lösung von Aufgabe 41

U = 2RIS ∧ U =R2

IP ⇒ IP =2UR

=2 · 2RIS

R= 4IS = 4 · 0.44 A = 1.8 A

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53.3 Lösungen (Einfache Schaltungen) 1294

42. Lösung von Aufgabe 42

a) P =U2

R⇒ R =

U2

P=

(230 V)2

450 W= 118 Ω

b) P ∝ U2 ⇒ P2 = P1 ·U2

2

U21

= 450 W ·(214 V)2

(230 V)2 = 390 W

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53.3 Lösungen (Einfache Schaltungen) 1295

43. Lösung von Aufgabe 43

a) I1 + I2 = I0 ∧ R1I1 = R2I2 ⇒ I2 =R1I0

R1 + R2=

120 Ω · 567 mA120 Ω + 350 Ω

= 145 mA

b) U1 = R1I1 =R1R2I0

R1 + R2=

120 Ω · 350 Ω · 0.567 A120 Ω + 350 Ω

= 50.7 V

c) R6 =R3R5

R3 + R5⇒ R4I4 = R6(I0 − I4)⇒ R4 = R6

I0 − I4

I4=

R3R5

R3 + R5·

I0 − I4

I4

R4 =350 Ω · 120 Ω

350 Ω + 120 Ω·

567 mA − 432 mA432 mA

= 27.9 Ω

d) UAB =R1R2

R1 + R2· I0 +

R3R5

R2 + R5· (I0 − I4)

=120 Ω · 350 Ω

120 Ω + 350 Ω· 0.567 A +

120 Ω · 350 Ω

120 Ω + 350 Ω· (0.567 A − 0.432 A) = 62.7 V

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53.3 Lösungen (Einfache Schaltungen) 1296

44. Lösung von Aufgabe 44

R =ρelA

=ρeVA2 =

ρemρmA2 =

1.754 · 10−8 Ωm · 1.08 · 103 kg8.92 · 103 kg/m3 · (1.50 · 10−6 m2)2 = 944 Ω

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53.3 Lösungen (Einfache Schaltungen) 1297

45. Lösung von Aufgabe 45

a) U ∝ I oder R = const , R(U, I). Nicht U = RI, das gilt auch für variable Widerständeb) Glühlampe unf Halbleiterdiode erfüllen das ohmsche Gesetz nicht.

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53.4 Lösungen (Schwierige Schaltungen) 1298

53.4 Lösungen (Schwierige Schaltungen)

Lineare Netzwerke und nichtlineare Schaltungen

1. Lösung von Aufgabe 1Um die Ersatzwerte zu bestimmen, benützen wir die Idee, dass sich die unendliche Kette nicht ver-ändert, wenn wir vorne ein weiteres Glied anhängen – die Kette ist immer noch gleich lang, nämlichunendlich lang. Somit sind auch die Schaltungen in Abb. 53.3a-d äquivalent.

Abbildung 53.3: a) unendliche Kette aus idealen Spannungsquellen mit Spannung U0

und ohmschen Widerstandselementen mit Widerstandswerten R0 und R1. b) äquivalen-te Ersatzschaltung mit Spannung U2 und Widerstand R2 sowie Klemmenspannung UK

bei Stromstärke I. c) Die unendliche Kette verändert sich nicht, wenn vorne ein Gliedangehängt wird. d) äquivalente Ersatzschaltung von c).

Wende die Kirchhoffschen Gesetze auf Schaltung d) in Abb. 53.3 an.

UK = U0 − R0I − R1I1 ⇒ UK = U0 − R0I − R1I1 ⇒

U2 − R2I2 + R1I1 = 0⇒ U2 − R2I + R2I1 + R1I1 = 0⇒I = I1 + I2

UK = U0 − R0I − R1 ·R2I − U2

R1 + R2

=

(U0 +

R1U2

R1 + R2

)−

(R0 +

R1R2

R1 + R2

)· I

Dies ist zu vergleichen mit der Charakteri-stik der Spannungsquelle in Abb. 53.3b:UK = U2 − R2I.Der Koeffizientenvergleich ergibt:

R2 = R0 +R1R2

R1 + R2⇒ R1R2 + R2

2 = R0R1 + R0R2 + R1R2 ⇒ R22 − R0R2 − R0R1 = 0

R2 =R0 ±

√R2

0 + 4R0R1

2Hier ist nur die Lösung mit + sinnvoll.

U2 = U0 +R1U2

R1 + R2⇒ R1U2 + R2U2 = R1U0 + R2U0 + R1U2 ⇒ R2U2 = R1U0 + R2U0

U2 =R1 + R2

R2· U0

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53.4 Lösungen (Schwierige Schaltungen) 1299

2. Lösung von Aufgabe 2

Damit die Ströme berechnet werden können, sollten zuerst die Grös-sen benannt werden, siehe Abbildung 53.4.

Abbildung 53.4: Die Schaltung mit beschrifteten Widerständen, Span-nungsquellen und gerichteten Strömen. Der Schalter ist geschlossengezeichnet, d.h. I3 , 0 im Allgemeinen. Im Speziellen ist U1 = U2 =

U3 = U und R1 = R2 = R.

a) Bei geöffnetem Schalter ist I3 sicher Null und somit I2 = I1.

U1 + U2 − R1I1 − R2I1 = 0⇒ I1 =U1 + U2

R1 + R2

spez=

UR

b) Bei geschlossenem Schalter ist I3 , 0 im Allgemeinen:

U1 + U2 − R1I1 − R2I2 = 0 U3 − R2I2 = 0 I1 = I2 + I3 ⇒

U1 + U2 − R1I1 − U3 = 0⇒ I1 =U1 + U2 − U3

R1

spez=

UR

I2 =U3

R2

hier=

UR

I3 = I1 − I2 =U1 + U2 − U3

R1−

U3

R2

spez=

UR−

UR

= 0

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53.4 Lösungen (Schwierige Schaltungen) 1300

3. Lösung von Aufgabe 3

I1 + I2 − I3 = 0U1 − R1I1 + R2I2 − U2 = 0U1 − R1I1 + U3 − R3I3 = 0

1I1 + 1I2 − 1I3 = 00.51I1 − 0.62I2 + 0I3 = 4.9 − 4.80.51I1 + 0I2 + 3.3I3 = 4.9 + 4.7

⇒

I1 = 1.5530 A = 1.6 AI2 = 1.1161 A = 1.1 AI3 = 2.6691 A = 2.7 A

c) UCD = ϕC − ϕD = (ϕD + R3I3 − U3) − ϕD = 3.3 Ω · 2.6691 A − 4.7 V = +4.1 V

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53.4 Lösungen (Schwierige Schaltungen) 1301

4. Lösung von Aufgabe 4

a) U1 − R1I1 − U2 − R2I2 + R6 = 0U1 − R5I5 − U4 = 0− R5I5 + U3 + R2I2 + U2 = 0I1 = I2 + I5

I5 = I3 + I4

I2 + I3 + I6 = 0

b) Ube = ϕb − ϕe

= (ϕe − R6I6 + R2I2 + U2) − ϕe

= −R6I6 + R2I2 + U2

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53.4 Lösungen (Schwierige Schaltungen) 1302

5. Lösung von Aufgabe 5

a) I1 = I1 + I3 I3 = I4 + I6 I2 + I4 + I5 = 0U1 − R3I3 − R6I6 − R1I1 = 0 U4 + R2I2 − R3I3 = 0 U4 − U5 + R6I6 = 0

b) ...c) ϕd − R3I3 − R6I6 = ϕ f ⇒ Ud f = ϕd − ϕ f = R3I3 + R6I6

d) P = U1I1 + U4I4 + U4I5

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53.5 Lösungen (Elektronik) 1303

53.5 Lösungen (Elektronik)

1. Lösung von Aufgabe 1

Am pn-Übergang (Raumladungszone, Sperrzone) sind die freien Ladungsträger verschwunden, dafürsind die Gitterionen zurückgeblieben. Diese Ionen erzeugen starke elektrische Felder, welche die neuentstandenen Elektron-Loch Paare trennen.

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Kapitel 54

Lösungen (Magnetismus)

54.1 Lösungen (Magnetisches Feld)

1. Lösung von Aufgabe 1Das Fachwort ist ‘ferromagnetische Stoffe’. Sie sind dadurch charaktierisert, dass sie Elementarma-gnete enthalten, die sich in kleinen Bereichen (magnetische Domänen oder Weiss’sche Bezirke) paral-lel ausrichten. Ist der Stoff magnetisiert, so sind diese Bereiche gross. Ist er nicht magnetisiert, so sinddie Bereiche klein und so orientiert, dass sich die magnetischen Effekte nach aussen kompensieren.

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54.1 Lösungen (Magnetisches Feld) 1305

2. Lösung von Aufgabe 2

1 T =

[Fmag

Il

]=

NAm

=kgms2Am

=kgAs2

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54.1 Lösungen (Magnetisches Feld) 1306

3. Lösung von Aufgabe 3

Bv = B sinϕI = BH tanϕI = 21.892 µT · tan 62.25° = 41.61 µT abwärts

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54.1 Lösungen (Magnetisches Feld) 1307

4. Lösung von Aufgabe 4a) Ein magnetischer Dipol ist ein Objekt mit zwei ungleichnamigen (gleich starken) magnetischenPolen. Es ist eine experimentelle Tatsache, dass es keine magnetischen Monopole gibt; der Grund istnicht bekannt.b) Eine magnetische Domäne ist ein Bereich in einem Ferromagneten, wo alle Elementarmagnetegleich ausgerichtet sind. Ist das Material magnetisiert, so sind die Domänen gross und die Magneti-sierung wird nach aussen sichtbar. Ist das Material entmagnetisiert, so sind die Weiss-Bezirke kleinund der Magnetismus kompensiert sich nach aussen.

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54.1 Lösungen (Magnetisches Feld) 1308

5. Lösung von Aufgabe 5

a) Es gibt keine Magnete, die nur einen mag. Nordpol oder nur einen magn. Südpol haben.b) Kobalt, Nickel, Ferritc) Man nehme einen Kompass (oder eine andere Magnetnadel). Der Kompass zeigt statt nach geogra-phisch Norden in Richtung der magnetischen Feldlinie, wenn man ihn dort hin hält.

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54.1 Lösungen (Magnetisches Feld) 1309

6. Lösung von Aufgabe 6

BH = B cosϕI ⇒ B =BH

cosϕI=

21.567 µTcos 62.81°

= 47.20 µT

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54.1 Lösungen (Magnetisches Feld) 1310

7. Lösung von Aufgabe 7

‘T’ ist das Symbol für die Einheit Tesla der magnetischen Flussdichte (magnetische Induktion). ImPrinzip kann man die magnetische Kraft auf ein stromdurchflossenes Leiterstück, das senkrecht zuden Feldlinien orientiert ist, messen. Die Flussdichte ist dann die Kraft pro Leiterlänge und Strom-stärke.

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54.1 Lösungen (Magnetisches Feld) 1311

8. Lösung von Aufgabe 8

Eine Magnetnadel kann sowohl magnetisiert als auch elektrisiert (mit elektrischer Ladung belegt)sein. Die Nadel kann dann sowohl auf elektrische wie auch magnetische Felder reagieren. Die Phä-nomene sollten sprachlich unterschieden werden.

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54.1 Lösungen (Magnetisches Feld) 1312

9. Lösung von Aufgabe 9

Die magn. Flussdichte ist gleich der Kraft pro Stromstärke und Leiterlänge, die das magnetische Feldauf einen elektrischen Strom ausübt. Der Stromleiter muss senkrecht zu den Feldlinien gerichtet sein.

oder

Die magnetische Induktion B ist gleich der magnetischen Kraft pro Ladung und GeschwindigkeitF/(qυ) auf ein Teilchen, das sich senkrecht zu den Feldlinien bewegt.

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54.2 Lösungen (Magnetische Kräfte) 1313

54.2 Lösungen (Magnetische Kräfte)

1. Lösung von Aufgabe 1

F = IlB sinα⇒ l =F

IB sinα=

0.03 N1.85 A · 0.3452 T · sin 21.93°

= 0.1 m

Die ungenaueste Ausgangsgrösse ist die Kraft: 1 signifikante Stelle. Sie bestimmt die Genauigkeitdes Resultats.

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54.2 Lösungen (Magnetische Kräfte) 1314

2. Lösung von Aufgabe 2

F = IlB sinα⇒∆F∆l

= IB sinα = 500 A · 7.0 T · sin(90°) = 3.5 kN/m

Der Strom wird innert 1 ms eingeschaltet. Die Kräfte wirkt wie Hammerschläge und verursachenLärm im MRI-Gerät.

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54.2 Lösungen (Magnetische Kräfte) 1315

3. Lösung von Aufgabe 3

a) IlB sinα = mg = ρAlg⇒

Imin =ρAg

B=

8.92 · 103 kg/m3 · 1.0 · 10−6 m2 · 9.81 m/s2

0.82 T= 0.11 A

b) Strom horizontal z.B. nach Osten, B-Vektor horizontal nach Norden

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54.2 Lösungen (Magnetische Kräfte) 1316

4. Lösung von Aufgabe 4

Fres = maz

eυB =mυ2

r

r =mυeB

=9.109 · 10−31 kg · 400 · 103 m/s1.6022 · 10−19 C · 500 · 10−9 T

= 4.55 m

Die Daten entsprechen ungefähr einem Sonnenwind-Elektron im äusseren Van Allen Gürtel der Erde.

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54.2 Lösungen (Magnetische Kräfte) 1317

5. Lösung von Aufgabe 5

Fres = maz ⇒ eυB = mυ2

r⇒ B =

mυer

=1.673 · 10−27 kg · 0.0583 · 2.998 · 108 m/s

1.6022 · 10−19 C · 1.83 m= 99.7 mT

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54.2 Lösungen (Magnetische Kräfte) 1318

6. Lösung von Aufgabe 6Das B-Feld zeigt am Ort des Teilchens in die Zeichenebene hinein. Die Lorentzkraft auf ein positi-ves Teilchen, das sich wie gezeichnet bewegt, würde nach oben zeigen und das Teilchen nach obenablenken. Weil das Teilchen nach unten abgelenkt wird, muss es negativ geladen sein.

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54.2 Lösungen (Magnetische Kräfte) 1319

7. Lösung von Aufgabe 7

Fres = maz ⇒ qυB = mυ2

r⇒

B =mυqr

=60 · 12.011 · 10−3 kg/mol · 350 m/s

6.022 · 1023 mol−1 · 1.6022 · 10−19 C · 0.413 m= 6.33 mT

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54.2 Lösungen (Magnetische Kräfte) 1320

8. Lösung von Aufgabe 8

a) F = IlB sinα⇒ I =F

lB sinα=

0.73 N0.15 m · 0.82 T · 1

= 5.9 A

b) Unmöglich: Wenn der Draht parallel zu den Feldlinien ist, verschwindet die Kraft.

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54.2 Lösungen (Magnetische Kräfte) 1321

9. Lösung von Aufgabe 9

Nein, die Bahnen können auch gerade (parallel zu den Feldlinien) oder schraubenförmig (Bewegungschief zu den Feldlinien) sein, falls das Feld homogen ist. Und das Teilchen muss sich natürlichbewegen.

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54.2 Lösungen (Magnetische Kräfte) 1322

10. Lösung von Aufgabe 10

r =mυqB∝ m⇒

rR − rS

rS=

mR − mS

mS=

86.909183 − 86.90887986.908879

= 3.50 · 10−6 = 3.4979164 · 10−4 %

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54.2 Lösungen (Magnetische Kräfte) 1323

11. Lösung von Aufgabe 11

E = 12mυ2 =

p2

2m⇒ p =

√2mE

Fres = maz → qυB =mυ2

r⇒ r =

mυqB

=p

qB=

√2mEqB

rα =

√2 · 4.00 · 1.661 · 10−27 kg · 17 · 103 · 1.6022 · 10−19 J

2 · 1.6022 · 10−19 C · 5.13 · 10−3 T= 3.7 m

rβ =

√2 · 9.109 · 10−31 kg · 17 · 103 · 1.6022 · 10−19 J

1.6022 · 10−19 C · 5.13 · 10−3 T= 8.6 cm

rγ = ∞ da q = 0.

Alpha- und Beta-Teilchen werden auf entgegengesetzte Seiten hin abgelenkt, da sie elektrisch un-gleichnamig geladen sind. Die Bahn des Photons (γ) ist gerade, hat also Krümmungsradius unendlich.

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54.2 Lösungen (Magnetische Kräfte) 1324

12. Lösung von Aufgabe 12

r = d/2

B =

(45

)3/2

·µ0NI

R

qU =mυ2

2⇒ mυ2 = 2qU ⇒ υ =

√2qU

m

Fres = maz → qυB = m ·υ2

r⇒ qBr = mυ = m

√2qU

m=

√2qUm⇒ 2qUm = (qBr)2 ⇒

m =(qBd/2)2

2qU=

q(Bd)2

8U=

q8U·

(45

)3/2

·µ0NI

R· d

2

=1.602 · 10−19 C

8 · 283 V·

(45

)3/2

·4π · 10−7 Vs/(Am) · 144 · 2.18 A

0.25 m· 0.10 m

2

= 9.0 · 10−31 kg

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54.2 Lösungen (Magnetische Kräfte) 1325

13. Lösung von Aufgabe 13

F = ILB sinα⇒ B =FIL

=7 · 10−3 N

10 A · 2.0 · 10−2 m= 35 mT

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54.2 Lösungen (Magnetische Kräfte) 1326

14. Lösung von Aufgabe 14

Die Bahn ist ein Kreisbogen mit d = 2r = 47.0 mm (nachmessen!)

r =mυqB

=p

eB⇒ B =

2pde

=2 · 8.7 · 10−26 Ns

47.0 · 10−3 m · 1.60 · 10−19 C= 23 µT

Die Kraft weist zum Kreiszentrum. Mit der Linke-Hand-Regel für das negative Elektron folgt, dassdie Feldstärke aus der Zeichenebene heraus zeigt.

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54.2 Lösungen (Magnetische Kräfte) 1327

15. Lösung von Aufgabe 15

Die Bahn ist ein Kreis, der von der Seite gesehen wird (als Strecke). Von oben gesehen wird der Kreisim Uhrzeigersinn durchlaufen.

12mυ2 = eU ⇒ υ =

√2eU

m→

r =mυqB

=meB·

√2eU

m=

1B·

√2mU

e=

131 · 10−3 T

·

√2 · 1.67 · 10−27 kg · 300 V

1.6022 · 10−19 C= 81 mm

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54.2 Lösungen (Magnetische Kräfte) 1328

16. Lösung von Aufgabe 16

FC =1

4πεQ1Q2

r2~FL = q~υ × ~B ~Fel = q~E FBS = IlB sinα

Coulombkraft, Lorentzkraft (magnetischer Teil), elektrische Kraft, Biot-Savart Kraft, etc.

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54.2 Lösungen (Magnetische Kräfte) 1329

17. Lösung von Aufgabe 17

Fres = maz ⇒ qυB = mυ2/r ⇒

υ =

√qBrm

=

√1.6022 · 10−19 C · 7.7 · 10−6 T · 10 · 106 m

1.673 · 10−27 kg= 86 km/s

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54.2 Lösungen (Magnetische Kräfte) 1330

18. Lösung von Aufgabe 18

Das Proton beginnt vertikal zu fallen und wird schneller. Damit wächst auch die magnetische Kraft,die das Proton quer zur Bahn ablenkt. Wenn es schnell genug ist, krümmt sich die Bahn wieder nachoben. Die Bahn ist eben. Die Bahn ist in Abb. 54.1 dargestellt.

Abbildung 54.1: Skizze zu Aufgabe 18.Numerisch simulierte Bahn eines Protons im Schwe-refeld sowie einem homogenem Magnetfeld mit hori-zontalen Feldlinien. Die Bahn ist eine Zykloide.

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54.2 Lösungen (Magnetische Kräfte) 1331

19. Lösung von Aufgabe 19

Ep =

∫M · dϕ =

∫pmB sinϕ · dϕ = −pmB cosϕ + const

Die Integrationskonstante darf frei gewählt werden.

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54.2 Lösungen (Magnetische Kräfte) 1332

20. Lösung von Aufgabe 20

F = qυB sinα = 2 · 1.6022 · 10−19 C · 800 · 103 m/s · 0.530 T · sin 30°gemessen = 6.79 · 10−14 N

oder F = 2e υ B⊥ = 2 · 1.6022 · 10−19 C · 800 · 103 m/s · 0.265 Tgemessen = 6.79 · 10−14 N

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54.2 Lösungen (Magnetische Kräfte) 1333

21. Lösung von Aufgabe 21

qυB =mυ2

r⇒ m =

qBrυ

=1.6022 · 10−19 C · 0.188 T · 0.372 m

20.8 · 103 m/s= 5.39 · 10−25 kg = 324 u

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54.2 Lösungen (Magnetische Kräfte) 1334

22. Lösung von Aufgabe 22

T = 2π

√J

pmB⇒ pm =

(2πT

)2 JB

=

(2πT

)2 m`2

12BH=

(2π

1.0 s

)2

·67 · 10−6 kg · (30.0 · 10−3 m)2

12 · 21.295 · 10−6 T

pm = 9.3 · 10−3 A m2

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54.2 Lösungen (Magnetische Kräfte) 1335

23. Lösung von Aufgabe 23

a) Fmax = qυB = 1.6 · 10−19 C · 1.0 · 106 m/s · 6.0 T = 9.6 · 10−13 N ≈ 1.0 pN (~υ ⊥ ~B)

b) Fmin = 0 (~υ || ~B)

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54.2 Lösungen (Magnetische Kräfte) 1336

24. Lösung von Aufgabe 24

a) F = IlB sinα⇒ B =F

Il sinα=

27 · 10−3 N2.23 A · 0.38 m · sin 49.9°

= 42 mT

b) F = IlB sinα = ILB⊥ ⇒ B⊥ =FIl

=27 · 10−3 N

2.23 A · 0.38 m= 32 mT

B|| hat keine magnetische Kraftwirkung und bleibt unbestimmt.

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54.3 Lösungen (Elektromagnetismus) 1337

54.3 Lösungen (Elektromagnetismus)

1. Lösung von Aufgabe 1

B =µ0NI√

l2 + d2⇒ N =

B√

l2 + d2

µ0I=

7 T ·√

(3 m)2 + (2 m)2

4π · 10−7 Vs/Am · 150 A= 1.34 · 105 = 1 · 105

Die Spule ist segmentiert, um ein homogeneres Feld zu erzeugen. Unsere Rechnung ist nur eineAbschätzung. Es werden aber tatsächlich Drähte von mehreren hundert Kilometer Länge verbaut.

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54.3 Lösungen (Elektromagnetismus) 1338

2. Lösung von Aufgabe 2Viele Lösungen sind möglich. Man könnte z.B. eine Kreisspule wählen mit N = 200 Windungen undd = 10 cm Durchmesser. Dann muss der Strom berechnet werden, der im Zentrum eine Feldstärkevon 7.5 mT erzeugt.

Bz =µ0NI

d

I =Bzdµ0N

=7.5 · 10−3 T · 0.10 m

4π · 10−7 Vs/Am · 200= 3.0 A

Bei dieser Rechengenauigkeit muss das Erdmagnetfeld nicht berücksichtigt werden.

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54.3 Lösungen (Elektromagnetismus) 1339

3. Lösung von Aufgabe 3

Abbildung 54.2: Der Strom I1 erzeugt im Abstand r1 ein magn. Feld mit Flussdichte B1 senkrecht zumRadius, analog I2, r2 und B2. Die resultierende Flussdichte Bres ist die Vektorsumme von B1 und B2.

a) Die Feldstärkevektoren ~B1 und ~B2 genau zwischen den Drähten, welche von den Drähten einzelnerzeugt werden, sind parallel. Somit werden die Beträge B1 und B2 addiert.

Bres = B1 + B2 =µ0I1

2πr1+µ0I2

2πr2= 2 ·

µ0I2πd/2

=2µ0Iπd

=2 · 4π · 10−7 Vs/Am · 20 A

π · 0.10 m= 0.16 mT

b) Die Feldstärkevektoren der zwei Drähte müssen vektoriell addiert werden, siehe Abb. 54.2. Wieman sieht, sind die Dreiecke der Feldstärkevektoren und der Abstände ähnlich. Folglich hat mangleiche Seitenverhältnisse.

Bres

B1=

dr1⇒ Bres = B1

dr1

=µ0I1

2πr1

dr1

Für die Beträge gilt B1 = B2 = B und I1 = I2 = I. Für grosse Abstände ist r1 ≈ r2 → r. Also folgt:

Bres =µ0I2πr1

dr1→

µ0I2π

dr2 ∝

1r2

Die Rechnung hat eine gewisse Bedeutung bei der Diskussion magnetischer Felder um Starkstrom-leitungen herum.

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54.3 Lösungen (Elektromagnetismus) 1340

4. Lösung von Aufgabe 4

B =µ0NI

l=

4π · 10−7 Vs/Am · 120 · 2.00 A0.60 m

= 502.65 µT

Fehlerschranke addiert oder subtrahiert, damit das Resultat möglichst klein wird:

Bmin =4π · 10−7 Vs/Am · 120 · (2.00 − 0.01) A

(0.60 + 0.01) m= 491.94 µT

∆B = B − Bmin = 502.65 µT − 491.94 µT = 10.71 µT⇒ B = (0.50 ± 0.01) mT

Innerhalb der Fehlerschranken stimmt der berechnete Wert für die schlanke Spule, (0.50 ± 0.01) mT,mit dem Messwert (0.48 ± 0.01) mT knapp überein.

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54.3 Lösungen (Elektromagnetismus) 1341

5. Lösung von Aufgabe 5

Abbildung 54.3: Zwei Leiter mit den Strömen I1 (aus der Zeichenebene heraus) und I2 (parallel zur Zei-chenebene) kreuzen sich in endlichem Abstand unter rechtem Winkel. Betrachten wir zwei verschiedeneStellen auf dem 2. Leiter im Abstand rA = rB von I1: Die Feldstärken BA und BB dort sind gleich stark aberverschieden gerichtet (parallel zur Zeichenebene). Die Kräfte FA und FB sind gleich stark und antiparallelgerichtet (senkrecht zur Zeichenebene). Die Kräfte heben sich also auf, aber es gibt ein Drehmoment, dasversucht, die zwei Leiter parallel zu stellen.

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54.3 Lösungen (Elektromagnetismus) 1342

6. Lösung von Aufgabe 6

F = Il · B = Il ·µ0I2πr

magn. Kraft zwischen langen, parallelen, geraden Leitern⇒

[µ0] =

[ FI2

]=

NA2 =

kg ·mA2 · s2

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54.3 Lösungen (Elektromagnetismus) 1343

7. Lösung von Aufgabe 7

B =µ0NI

D⇒ N =

BDµ0I

=7.13 · 10−3 T · 0.18 m

4π · 10−7 Vs/(Am) · 2.8 A= 3.6 · 102

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54.3 Lösungen (Elektromagnetismus) 1344

8. Lösung von Aufgabe 8a) Hans Christian Ørsted, 1820b) Wenn die Feldlinien des Drahtes parallel zur Kompassnadel oder parallel zur Drehachse der Nadelsind, ist keine zusätzliche Ablenkung mehr möglich.

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54.3 Lösungen (Elektromagnetismus) 1345

9. Lösung von Aufgabe 9

B =µ0I2πr

=4π · 10−7 Vs/(Am) · 20 · 103 A

2π · 0.20 m= 20 mT

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54.3 Lösungen (Elektromagnetismus) 1346

10. Lösung von Aufgabe 10

a) B =µ0I1

2πr=

4π · 10−7 Vs/(Am) · 1.7 · 103 A2π · 12.8 m

= 27 µT

b) F = IlB sinα =µ0I1I2l

2πr=

4π · 10−7 Vs · 1.7 · 103 A · 1.9 · 103 A · 5.3 · 103 mAm · 2π · 12.8 m

= 2.7 · 102 N

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54.3 Lösungen (Elektromagnetismus) 1347

11. Lösung von Aufgabe 11

B =µ0NI

l⇒

Nl

=Bµ0I

=1.04 · 10−3 T

4π · 10−7 Vs/(Am) · 2.38 A= 348 m−1 = 3.48 cm−1

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54.3 Lösungen (Elektromagnetismus) 1348

12. Lösung von Aufgabe 12

B =µI2πr∝

1r⇒

B2

B1=

r1

r2=

r1

r1/2= 2

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54.3 Lösungen (Elektromagnetismus) 1349

13. Lösung von Aufgabe 13

B ≈ 0.716 ·µ0NI

r= 0.716 ·

144 · 4π · 10−7 Vs/(Am) · 3.3 A0.25 m

= 1.7 mT

Die Feldstärke ist in unmittelbarer Nähe der Leiterdrähte höher.

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54.3 Lösungen (Elektromagnetismus) 1350

14. Lösung von Aufgabe 14

Die Flussdichte B im Zentrum wird senkrecht zur Leiterfläche sein, proportional zur magnetischenFeldkonstanten µ0 und proportional zum Strom I. Weiter wird sie umgekehrt proportional zur Grösseder Spule sein. Wir wollen die Feldstärke vergleichen mit dem Ausdruck für das Feld im Zentrumeines Kreisstromes:

Bz =µ0I2r

Wählen wir den Kreis als Inkreis des Quadrats, so hat der Kreis die grössere Feldstärke, nehmen wirden Kreis als Umkreis, so erzeugt der quadratische Leiter die grössere Feldstärke, also:

µ0I√

2 a< BQ <

µ0Ia

Laut wikipedia gilt

BQ =2√

2π·µ0Ia≈ 0.900 ·

µ0Ia≈

µ0I1.11 · a

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54.3 Lösungen (Elektromagnetismus) 1351

15. Lösung von Aufgabe 15

a) Die magnetischen Feldlinien sind zur Drahtachse konzentrische Kreise, die in einer Ebene senk-recht zum Draht liegen. Wenn der Daumen der rechten Hand in die technische Stromrichtung zeigt,so weisen die anderen, gekrümmten Finger in Feldrichtung.b) Die Feldlinien sind im Innern einer schlanken Zylinderspule gerade und ‘gleichabständig’, weil dasFeld homogen ist. Umfasst man mit den Fingern der rechten Hand das Solenoid, sodass die Finger indie technische Stromrichtung weisen, so zeigt der Daumen die Feldrichtung im Innern an.

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54.3 Lösungen (Elektromagnetismus) 1352

16. Lösung von Aufgabe 16

B =µI2r→

B2

B1=

r1

r2=

11.414

= 0.707

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54.3 Lösungen (Elektromagnetismus) 1353

17. Lösung von Aufgabe 17

B =µ0I2πr⇒

B2

B1=

I2r1

I1r2=

140 · 1100 · 2

= 0.70 = 100 % − 30 %

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54.3 Lösungen (Elektromagnetismus) 1354

18. Lösung von Aufgabe 18

pm = IA⇒ I =pm

πr2 ≈7.746 · 1022 A m2

π · (2 · 106 m)2 = 6 GA

Annahme: Kreisstrom mit dem Radius des flüssigen Erdkerns r ≈ 1 · 106 m − 3 · 106 m

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54.3 Lösungen (Elektromagnetismus) 1355

19. Lösung von Aufgabe 19

a) F = eυB = eυ ·µ0I2πr

=1.6022 · 10−19 C · 498 · 103 m/s · 4π · 10−7 Vs/Am · 17.8 A

2π · 34.5 · 10−3 m= 8.23 · 10−18 N

b) F =mυ2

rZ⇒ rZ =

mυ2

F=

9.109 · 10−31 kg · (498 · 103 m/s)2

8.23 · 10−18 N= 27.4 mm

c) Siehe Abbildung 54.4.

Abbildung 54.4: Das Elektron wird vom Draht weg gelenkt.(Rechte-Hand-Regel für die Feldrichtung, linke-Hand-Regel fürdie magnetische Kraft auf das negative Elektron.)

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54.3 Lösungen (Elektromagnetismus) 1356

20. Lösung von Aufgabe 20

Für z → 0 kommt die Formel für das Feld im Zentrum eines Kreisstroms heraus. Die Einheiten sindkorrekt. Für z→ ∞ verschwindet die Feldstärke.

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Kapitel 55

Lösungen (Elektrodynamik)

55.1 Lösungen (Kondensatorentladung)

1. Lösung von Aufgabe 1

Zeichnet man bei t = 0 die Tangente an u(t), so wird die Nulllinie bei τ = 1.0 s geschnitten. (DieLänge der Subtangente entspricht der Abklingzeit τ.)

τ = RC ⇒ R =τ

C=

1.0 s20 · 10−6 F

= 50 kΩ

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55.1 Lösungen (Kondensatorentladung) 1358

2. Lösung von Aufgabe 2

a) Der Kondensator lädt sich asymptotisch von Null Richtung Endspannung auf, bis die Taste losge-lassen wird. Dann entlädt er sich exponentiell gegen Null. Auf- und Entladung erfolgen mit verschie-denen Zeitkonstanten, weil die Widerstände verschieden sind.

b) U0 − R0i0 −q1

C1= 0 ∧ U0 − R0i0 − R2i2 = 0 ∧ i0 = i1 + i2 ∧ i1 =

dq1

dtAufladung 0 6 t 6 T

Entladung: ub(t) = ua(T ) exp(−(t − T )/(R2C1)) t > T

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55.1 Lösungen (Kondensatorentladung) 1359

3. Lösung von Aufgabe 3

a) u = U0 exp−tRC

= 150 V · exp−0.77 · 10−3 s

150 Ω · 5.0 · 10−6 F= 54 V

b)u

U0= exp

−tRC⇒ t = −RC ln

uU0

= −150 V · 5.0 · 10−6 F · ln(0.12) = 1.6 ms

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55.1 Lösungen (Kondensatorentladung) 1360

4. Lösung von Aufgabe 4

i =uR

=U0

Rexp

(−tRC

)=

3.7 V50 Ω

· exp(−0.777 · 10−3 s

50 Ω · 43 · 10−6 F

)= 52 mA

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55.2 Lösungen (Magnetische Induktion) 1361

55.2 Lösungen (Magnetische Induktion)

1. Lösung von Aufgabe 1

Uind =dΦm

dt= A

dBz

dt= (1390 · 103 m)2 ·

650 · 10−9 T15 · 60 s

= 1.4 kV (Betrag)

Geomagnetische Stürme haben schon mehrfach elektrische Versorgungsnetze ausfallen lassen.

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55.2 Lösungen (Magnetische Induktion) 1362

2. Lösung von Aufgabe 2

Nur die Komponente des B-Feldes senkrecht zur Bewegungsrichtung und senkrecht zur Radachsevermag via Lorentzkraft Ladungsträger parallel zur Achse zu verschieben respektive eine Spannungzu generieren, d.h. wir benötigen die Vertikalkomponente BV der Feldstärke.

U = BV sυ = B sinϕI sυ =BH

cosϕIsinϕI sυ = BH tanϕI sυ

= 21.295 · 10−6 T · tan(63.30°) · 1, 435 m ·80 m3.6 s

= 1.4 mV

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55.2 Lösungen (Magnetische Induktion) 1363

3. Lösung von Aufgabe 3

a) Die Lorentzkraft verschiebt positive Ladungsträger innerhalb des Läufers nach oben (Rechte-Hand-Regel: Daumen || ~υ nach Osten,Zeigefinger || ~B nach Norden, Mittelfinger || ~FL nach oben)b) Nur die Komponente des B-Vektors senkrecht zum Läufer ( = Horizontalkomponente BH) kannLadungsträger vertikal verschieben:

Uind = υBH s =12 m3.6 s

· 21.295 · 10−6 T · 1.75 m = 0.12 mV

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55.2 Lösungen (Magnetische Induktion) 1364

4. Lösung von Aufgabe 4

a) Uind = −dΦ

dt= −

ddt

(B0 exp(−t/τ) · NA

)=

B0

τexp(−t/τ) · NA

a) Uind = −dΦ

dt= −

ddt

(B cos(ωt)NA

)= ωB sin(ωt)NA

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55.2 Lösungen (Magnetische Induktion) 1365

5. Lösung von Aufgabe 5

Das Quadrat habe eine Seite (Länge a) parallel zum Blitzableiter und der Ableiter liege in der Ebenedes Quadrats. Das Quadrat liegt im Abstand a . . . 2a vom Blitzableiter.

Φm =

∫BdA =

∫ 2a

a

µ0I2πr

adr =aµ0I2π

∫ 2a

a

drr

=aµ0I2π

ln 2

Uind =dΦm

dt=

aµ0 ln 22π

·dIdt

=1.0 m · 4π · 10−7 Vs/(Am) · ln 2

2π·

7 · 103 A10−6 s

= 1 kV (Betrag)

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55.2 Lösungen (Magnetische Induktion) 1366

6. Lösung von Aufgabe 6

u = BNAω = BNA2π f ∝ f

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55.2 Lösungen (Magnetische Induktion) 1367

7. Lösung von Aufgabe 7

Uind = −dΦm

dt= −4.0 V für 0 < t < 1 s

Uind = 0 für 1 s < t < 2 s

Φm = k(t − t3)2 → Uind = −2k(t − t3) positiv für 2 s < t < 3 s wobei k = 4.0 V/sUind(2 s) = −2 · 4.0 V/s · (2 s − 3 s) = 8.0 V Uind(3 s) = 0 siehe Abb. 55.1

Abbildung 55.1: Zeitlicher Verlauf der Induktions-spannung: Während der ersten Sekunde ist sie kon-stant, weil der Fluss gleichmässig zunimmt, währendder zweiten Sekunde verschwindet sie, weil der Flusskonstant ist und während der dritten Sekunde verän-dert sie sich linear mit der Zeit, weil der Fluss qua-dratisch variiert. Die Induktionsspannung entsprichtder Steigung des Flusses Φm(t) mit anderem Vorzei-chen. 0 1 2 3

–5

0

5

10

Zeit in SekundenIn

dukt

ions

span

nung

in V

olt

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55.2 Lösungen (Magnetische Induktion) 1368

8. Lösung von Aufgabe 8

Man kann sich vorstellen, dass die Induktionsspannung via die Lorentzkraft auf die Ladungsträgerim Graphit des Bleistifts verursacht wird. Die Lorentzkraft ist senkrecht zur Bewegungsrichtung undsenkrecht zu den magnetischen Feldlinien, kombiniert horizontal in Ost-West Richtung. Wenn derBleistift in Ost-West Richtung gehalten wird, ist die induzierte Spannung am grössten.

Uind = B⊥υs = BH · υs = 21.295 · 10−6 T · 2.8 m/s · 0.17 m = 10 µV

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55.2 Lösungen (Magnetische Induktion) 1369

9. Lösung von Aufgabe 9

a) [a] = [Φ] = V s

b) u2 = −N2 ·dΦ

dt= −N2 ·

ddt

(a cos(ωt + ϕ0)) = +ωN2a sin(ωt + ϕ0)

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55.2 Lösungen (Magnetische Induktion) 1370

10. Lösung von Aufgabe 10

Uind = −dΦm/dt Faraday’sches Induktionsgesetz.Rotiert eine Spule in einem homogenen Magnetfeld, so variiert der magnetische Fluss sinusförmig.Somit wird eine harmonische Wechselspannung induziert.

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55.3 Lösungen (Selbstinduktion) 1371

55.3 Lösungen (Selbstinduktion)

1. Lösung von Aufgabe 1

a) In der Spule steckt anfangs magnetische Energie im Umfang von 12 Li2

0. Diese Energie treibt durchSelbstinduktion den Ladungsfluss weiter an, bis sie im Widerstand R vollständig in Wärme umge-wandelt ist.

b) − Ldidt− Ri = 0⇒

didt

= −RL· i⇒ i(t) = i0e−t/τ mit τ =

LR

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55.3 Lösungen (Selbstinduktion) 1372

2. Lösung von Aufgabe 2

wm =B2

2µ0=

12µ0

(µ0I2πr

)2

=4π · 10−7 Vs/(Am) · (500 A)2

8π2 · (0.02 m)2 = 9.9 J/m3

Die Spannung zwischen Erde und Leiterseil ist ungefähr

U =

∫E · dr ≈

∫λ · dr2πε0r

=λ

πε0ln

rr0

= Er0 lnrr0⇒ E =

Ur0 ln r/r0

we = 12ε0E2 = 1

2ε0

(U

r0 ln r/r0

)2

= 12 · 8.854 · 10−12 As/(Vm) ·

(400 · 103 V

0.02 m ln(10 m/0.02 m))2

= 46 J/m3

(Eigentlich besteht das Feld aus jenem des Leiterseils sowie von dessen Spiegelladung. Unsere Ab-schätzung vernachlässig das Feld der Spiegelladung, das aber deutlich schwächer ist. )

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55.3 Lösungen (Selbstinduktion) 1373

3. Lösung von Aufgabe 3

a) E = 12 LI2 = 1

2 · 0.48 H · (1.3 A)2 = 0.41 J

b) uL = Ldidt⇒

∫di =

∫uL

Ldt ⇒ i(t) =

uL

∫cos(ωt)dt =

uωL

sin(ωt) const = 0

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55.3 Lösungen (Selbstinduktion) 1374

4. Lösung von Aufgabe 4

a) uL = Ldidt

= Lωı cos(ωt + ϕ2)→ uL = ωLı = 2π · 400 Hz · 54 · 10−3 H · 0.237 A = 32 V

b) u =qC⇒

dudt

=1C

dqdt⇒ ωu =

ı

C⇒ C =

ı

ωu=

ı

2π f u=

237 · 10−3 A2π · 400 Hz · 34 V

= 2.8 µF

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55.3 Lösungen (Selbstinduktion) 1375

5. Lösung von Aufgabe 5

a) Em = 12 Li2

0 = 12 · 14.05 H · (19.5 · 103 A)2 = 2.67 GJ

b) τ = L/R = 14.05 H/(2.0 · 10−3 Ω) = 7025 s = 2.0 h

c) P = Ri20 = 2.0 · 10−3 Ω · (19.5 · 103 A)2 = 0.76 MW

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55.3 Lösungen (Selbstinduktion) 1376

6. Lösung von Aufgabe 6

u = Ldi/dt → [L] =

[u dtdi

]=

V sA

= (Ω s) =J s

As A=

kg m2

A2s2

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55.3 Lösungen (Selbstinduktion) 1377

7. Lösung von Aufgabe 7

a) U0 − Ri − L1di/dt − L2di/dt = 0⇒didt

=U0

L1 + L2−

RL1 + L2

i

b) i(t) = I∞ − I∞ exp(−t/τ) Ansatz, einsetzen liefert:

I∞ =U0

Rτ = R/(L1 + L2) (Lres = L1 + L2)

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Kapitel 56

Lösungen (Elektrotechnik)

56.1 Lösungen (Wechselstrom und Wechselspannung)

1. Lösung von Aufgabe 1a) Programmierte Funktion: y := 49*sin(2*pi*x/19.462-0.5)

Beispiel: T =13.62 cm

5 · 14.00 cm· 100 ms = 19.46 ms Soll: 19.462 ms

Beispiel: u =2.93 cm6.00 cm

· 100 V = 48.8 V Soll: 49.0 V

b) U =u√

2=

49.0 V√

2= 34.6 V

ω =2πT

=2π

19.462 · 10−3 s= 322.84 s−1

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56.1 Lösungen (Wechselstrom und Wechselspannung) 1379

2. Lösung von Aufgabe 2

ω = 2π f = π · 2 · 50 Hz = 314 s−1 in Europa!

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56.1 Lösungen (Wechselstrom und Wechselspannung) 1380

3. Lösung von Aufgabe 3

a) ı =uR

=31 V

120 Ω= 0.26 A

b) p(t)min = 0 p(t)max = u · ı =u2

R=

(31 V)2

120 Ω= 8.0 W

c) P =U2

R=

u2

2R=

(31 V)2

2 · 120 Ω= 4.0 W =

p(t)max

2

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56.1 Lösungen (Wechselstrom und Wechselspannung) 1381

4. Lösung von Aufgabe 4

a) u =√

2U =√

2 · 115 V = 163 V

b) I =PU

=75 kW

0.115 kV= 0.65 kA î =

√2I =

√2P

U=

√2 · 75 kW

0.115 kV= 0.92 kA

Die Rechnung gilt unter der Annahme, dass das Flugzeug wie ein ohmscher Widerstand wirkt.

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56.1 Lösungen (Wechselstrom und Wechselspannung) 1382

5. Lösung von Aufgabe 5

a) Bei Heizelementen interessiert es nicht, ob sie mit Gleich- oder Wechselspannung betrieben wer-den. Der Effektivwert eines Wechselstroms soll an einem ohmschen Widerstand dieselbe Heizleistungerzeugen wie ein Gleichstrom von derselben Grösse. Da P = RI2 ist, läuft das auf einen quadratischenMittelwert hinaus.b) Rotiert eine Leiterschleife in einem homogenen Magnetfeld, so wird eine kosinusförmige Wechsel-spannung in der Schleife induziert. Technischer Wechselstrom wird durch Generatoren erzeugt, beidenen ein Magnet in einer Induktionsspule rotiert. Diese Anordnung produziert Wechselspannung,die zeitlich ungefähr kosinusförmig variiert.

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56.1 Lösungen (Wechselstrom und Wechselspannung) 1383

6. Lösung von Aufgabe 6

FoTa: u(t) = u cos(ωt + ϕ1)

a) ω = 2π f = 2π · 49.98 Hz = 314.0 s−1

b) ωt1 + ϕ1 = π/2⇒ t1 =π/2 − ϕ1

2π f=π/2 + 0.583 rad2π · 49.98 Hz

= 6.86 ms

c) u = Ue f f

√2 = 120 V ·

√2 = 170 V

d) Ie f f =Ue f f

R=

120 V250 Ω

= 0.480 A

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56.1 Lösungen (Wechselstrom und Wechselspannung) 1384

7. Lösung von Aufgabe 7

a) u = u cos(ωt + ϕ1) = 117 V · cos(2513 s−1 · 5.555 · 10−3 s + 1.02 rad) = −87.3 V

b) U =u√

2=

117 V√

2= 82.7 V

c) P =U2

R=

u2

2R=

(117 V)2

2 · 120 Ω= 57.0 W p(t)min = 0

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56.1 Lösungen (Wechselstrom und Wechselspannung) 1385

8. Lösung von Aufgabe 8

P = UI = 230 V · 10 A = 2.3 kW

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56.1 Lösungen (Wechselstrom und Wechselspannung) 1386

9. Lösung von Aufgabe 9

Es gibt verschiedene Mittelwerte, ohne Spezifizierung ist meist das arithmetische Mittel, also derübliche Durchschnittswert gemeint. Das arithmetische Mittel einer Wechselspannung ist Null. DerEffektivwert ist ein quadratischer Mittelwert (Werte quadrieren, dann das arithmetische Mittel bilden,dann die Wurzel ziehen).

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56.1 Lösungen (Wechselstrom und Wechselspannung) 1387

10. Lösung von Aufgabe 10

‘rms’ ist die Abkürzung für root-mean-square (quadratischer Mittelwert). Der Effektivwert einerWechselgrösse ist ein rms-Wert. ‘Voltage’ ist das englische Wort für elektrische Spannung.

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56.1 Lösungen (Wechselstrom und Wechselspannung) 1388

11. Lösung von Aufgabe 11

T =1f

=1

60.0 Hz= 16.7 ms

ω = 2π f = 2π · 60 Hz = 377 s−1

u =√

2 · Ueff =√

2 · 120 V = 170 V

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56.1 Lösungen (Wechselstrom und Wechselspannung) 1389

12. Lösung von Aufgabe 12

Die Angaben gelten für die Schweiz. Die Zeit t und die Anfangsphase ϕ1 sind unbestimmt.

u = Ueff

√2 = 230 V · 1.414 = 325 V ω = 2π f = 2π · 50.0 Hz = 314 s−1

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56.1 Lösungen (Wechselstrom und Wechselspannung) 1390

13. Lösung von Aufgabe 13

a) u = u cos(ωt + ϕ1) = 156 V · cos(2513 s−1 · 1.372 · 10−3 s + 0.873 rad) = −59.5 V

b) R =UI

=u

Ieff

√2

=156 V

0.382 A ·√

2= 289 Ω

c) ı =√

2Ieff i =√

2I cos(ωt + ϕ1)⇒ t1 =arccos(i/

√2Ieff) − ϕ1

ω

t1 =arccos(0.0283 A/(

√2 · 0.382)) − 0.872 rad

2513 s−1 = 0.257 ms

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56.2 Lösungen (Elektromotoren, Generatoren und Transformatoren) 1391

56.2 Lösungen (Elektromotoren, Generatoren und Transformatoren)

1. Lösung von Aufgabe 1

Pmech = Mω = M2π f = 0.250 N/m · 2π ·400060 s

= 105 W X

Pelektr = UI = 48 V · 2.9 A = 0.14 kW > Pmech X

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56.2 Lösungen (Elektromotoren, Generatoren und Transformatoren) 1392

2. Lösung von Aufgabe 2

M = NIAB⇒ A =M

NIB=

17 · 10−3 Nm37 · 0.94 A · 0.13 T

= 3.8 · 10−3 m2

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56.2 Lösungen (Elektromotoren, Generatoren und Transformatoren) 1393

3. Lösung von Aufgabe 3

Der Motor nimmt elektrische Energie auf und verrichtet mechanische Arbeit. Der Generator wird me-chanisch angetrieben und gibt elektrische Leistung ab. Der Gleichstrommotor hat einen Kommutator(Stromwender), der Wechselstromgenerator nicht. Lässt man einen Strom durch den Motor fliessen,so erzeugt die Biot-Savart Kraft ein Drehmoment. Wird die Rotorspule des Generators gedreht, sodurchsetzt ein magn. Wechselfluss die Induktionsspule, was eine Spannung induziert.

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56.2 Lösungen (Elektromotoren, Generatoren und Transformatoren) 1394

4. Lösung von Aufgabe 4

N2

N1=

U2

U1⇒ N2 = N1 ·

U2

U1= N1 ·

u2√

2 · U1

= 500 ·3.8 V

√2 · 230 V

= 5.8⇒ 6

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56.2 Lösungen (Elektromotoren, Generatoren und Transformatoren) 1395

5. Lösung von Aufgabe 5

a) u2 = U2

√2 = 115 V ·

√2 = 163 V

b) I1 =P

U1=

880 W230 V

= 3.8 A

c) N2 = N1 ·U1

U2= 600 ·

230 V115 V

= 1200

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56.2 Lösungen (Elektromotoren, Generatoren und Transformatoren) 1396

6. Lösung von Aufgabe 6

a) P2 = U2I2 = 12 V · 3.0 A = 36 W

b) P1 = P2 ⇒ I1 =U2I2

U1=

12 V · 3.0 A230 V

= 0.16 A P1 = U1I1 cos ∆ϕ⇒ I1 > P1/U1

c) P2AC = P2DC ⇒ R2I22DC = R2I2

2AC ⇒ I2DC = I2AC = I2 ⇒ i2 =√

2I2 =√

2 · 3.0 A = 4.2 A

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56.2 Lösungen (Elektromotoren, Generatoren und Transformatoren) 1397

7. Lösung von Aufgabe 7

Drehstrom erlaubt die einfache Konstruktion von Motoren (Asynchronmotoren), stellt zwei Span-nungen zur Verfügung und benötigt weniger Kabel für den Energietransport (und eine schwächereRückleitung).

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56.2 Lösungen (Elektromotoren, Generatoren und Transformatoren) 1398

8. Lösung von Aufgabe 8

Generatoren liefern höhere Spannungen, grössere Ströme und billigere elektrische Energie. Die Generator-Wechselspannung lässt sich leichter transformieren. Die Batterie ist transportabel und liefert einekonstante Spannung unabhängig von Wasser- oder Dampfzufuhr.

©Martin Lieberherr

56.2 Lösungen (Elektromotoren, Generatoren und Transformatoren) 1399

9. Lösung von Aufgabe 9

u = NIABω⇒U2

U1=

N2ω2

N1ω1=

2 · 21 · 1

= 4

©Martin Lieberherr

56.2 Lösungen (Elektromotoren, Generatoren und Transformatoren) 1400

10. Lösung von Aufgabe 10

a) N2 = N1 ·U2

U1= 500 ·

12 V230 V

= 26

b) u2 =√

2U2 =√

2 · 12 V = 17 V

c) Der Transformator funktioniert über das Induktionsgesetz Uind = −dΦ/dt, d.h. wenn die Primär-spannung konstant wäre, könnte sich kein variierender magnetischer Fluss einstellen.d) Ja, denn die Induktionsspannung kann auch im Leerlauf gemessen werden. Das ist nur möglich,wenn primärseitig ein Wechselstrom fliesst und den Kern alternierend magnetisiert.

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56.3 Lösungen (Impedanz) 1401

56.3 Lösungen (Impedanz)

1. Lösung von Aufgabe 1

Z =UI

= ωL = 2π f L⇒ L =U

2π f I=

222 V2π · 50 Hz · 1.8 A

= 0.39 H

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56.3 Lösungen (Impedanz) 1402

2. Lösung von Aufgabe 2

Die Phasenverschiebung der programmierten Schwingungen ist exakt π/2 und die Schwingungsdauergenau 2.5 ms; die Amplituden sind “gleich”.

a) T =12.22 cm

3.5·

10 ms13.98 cm

= 2.497 ms

b) ∆ϕ =2π∆t

T= 2π ·

(8.8 ± 0.3) mm(35.0 ± 0.3) mm

= 1.5798 rad . . . 1.6478 rad (max) → (1.58 ± 0.07) rad

c) Die Spannung hinkt bei einem Kondensator dem Strom zeitlich nach.

d) Die Amplituden sind ‘gleich hoch’: → Z =ui

=43 V

43 · 10−3 A= 1000 Ω

e) Z =1ωC⇒ C =

T2πZ

=2.5 · 10−3 s2π · 1000 Ω

= 4.0 · 10−7 F

©Martin Lieberherr

56.3 Lösungen (Impedanz) 1403

3. Lösung von Aufgabe 3

a) P = UI cos ∆ϕ = 2.8 A · 230 V cos2π5

= 199 W = 0.20 kW

b) Z =UI

=230 V2.8 A

= 82 Ω

c) PS = UI = 2.8 A · 230 V = 644 VA = 0.64 kVA

d) PB = UI sin ∆ϕ = 2.8 A · 230 V sin2π5

= 612 var = 0.61 kvar

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56.3 Lösungen (Impedanz) 1404

4. Lösung von Aufgabe 4

Die programmierte Funktion für u(t) ist y:=80*cos(2*pi*x/2.5-1.1).

a) U =U√

2=

80.0 V√

2= 56.6 V

b) T =(9.97 ± 0.03) cm

4·

12 ms(11.98 ± 0.03) cm

= 2.4967 ms (max 2.5105 ms)→ (2.50 ± 0.01) ms

c) ω =2πT

=2π

2.50 · 10−3 s= 2513 s−1 (Sollwert)

d) ωt1 + ϕ1 = π/2 momentane Phase bei der ersten Nullstelle

ϕ1 =π

2− 2π

t1

T=π

2− 2π ·

1.06 cm2.49 cm

= −1.10 rad

e) i =uZ

=uωL

=80.0 V

(2513 s−1 · 3.3 · 10−3 H= 9.6 A

f) Siehe Abbildung 56.1

0 2 4 6 8 10 12–100

0

100

–10

0

10

t ( ms )

u(t)

( V

)

i(t)

( A )

Abbildung 56.1: Harmonische Wechselspannung u(t) = u cos(ωt + ϕ1) (Skala auflinker Achse) mit Strom i(t) = i cos(ωt + ϕ1 − π/2) (rechte Skala) zu Lösung 4.

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56.3 Lösungen (Impedanz) 1405

5. Lösung von Aufgabe 5

a) Es ist ein Kondensator, denn die Spannung hinkt dem Strom nach (el. Aufladung).b) progr. Funktionen: u :=26.3*cos(2*pi*x/31), i := 28.8*cos(2*pi*x/31+1.05)

T = 31 ms ı = 28.8 ma u = 26.3 V ϕ1 − ϕ2 = −1.05 rad

c) Z = u/ı = 26.3 V/(28.8 · 10−3 A) = 913 Ω

d) tan ∆φ = −1/(ωCR) ∧ Z2 = R2 + 1/(ωC)2 ⇒ ...

©Martin Lieberherr

56.3 Lösungen (Impedanz) 1406

6. Lösung von Aufgabe 6

a) tan ∆φ =−1ωCR

⇒ ω =−1

CR tan ∆φ=

−1CR tan(−π/4)

=1

RC

b) Z =

√R2 +

(−

1ωC

)2

=

√R2 +

(−

RCC

)2

=√

2 · R

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56.3 Lösungen (Impedanz) 1407

7. Lösung von Aufgabe 7

1Z

=

√1R2 +

(1ωL− ωC

)2

limω→0

Z = 0 limω→∞

Z = 0 Die Impedanz wird maximal für

1ωL− ωC = 0⇒ ω2 =

1LC

LC-Schwingkreis, Resonanzbedingung

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56.3 Lösungen (Impedanz) 1408

8. Lösung von Aufgabe 8

a) Z =√

R2 + (2π f L)2 =√

(250 V)2 + (2π · 800 Hz · 25 · 10−3 H)2 = 279.806 Ω = 0.28 kΩ

φ1 − φ2 = arctan2π f L

R= arctan

2π · 800 Hz · 25 · 10−3 H250 Ω

= 0.465 769 rad = 0.47 rad

b) ı = u/Z = 35 V/279.806 Ω = 125 mA = 0.13 A

c) Der Strom ist überall gleich, die Spannung über der Spule geht dem Strom voraus. (...)d) uR = Rı = Ru/Z = 250 Ω · 35 V/279.806 Ω = 31 V

uL = ωLı = 2π f Lu/Z = 2π · 800 Hz · 25 · 10−3 H · 35 V/279.806 Ω = 16 V

Wegen der Phasenverschiebungen ist u , uR + uL

e) PS = UI = uı/2 =u2

2Z=

(35 V)2

2 · 279.806 Ω= 2.189 VA = 2.2 VA

PW = UI cos(φ1 − φ2) =u2

2Zcos(φ1 − φ2) =

(35 V)2

2 · 279.806 Ω· cos(0.465 769 rad) = 1.96 W

PB =u2

2Zsin(φ1 − φ2) = ... = 0.98 var

©Martin Lieberherr

56.3 Lösungen (Impedanz) 1409

9. Lösung von Aufgabe 9

Z =1ωC⇒

Z2

Z1=ω1

ω2= 1/2

©Martin Lieberherr

Teil X

Lösungen Schwingungen und Wellen

©Martin Lieberherr

Kapitel 57

Lösungen (Geometrische Optik)

57.1 Lösungen (Reflexion und Brechung)

1. Lösung von Aufgabe 1

nGas =cvac

cGas=

3.00 · 108 m/s17 m/s

= 1.8 · 107

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57.1 Lösungen (Reflexion und Brechung) 1412

2. Lösung von Aufgabe 2

sinα1 = n sinα2 wobei δ = α1 − α2 (Ablenkwinkel)sinα1 = n sin(α1 − δ) = n sinα1 cos δ − n cosα1 sin δ⇒ tanα1 = n tanα1 cos δ − n sin δ⇒

tanα1 =n sin δ

n cos δ − 1⇒ α1 = arctan

(n sin δ

n cos δ − 1

)= arctan

(1.4829 · sin 1.873 °

1.4829 · cos 1.873 ° − 1

)= 5.741 °

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57.1 Lösungen (Reflexion und Brechung) 1413

3. Lösung von Aufgabe 3

nW sinαW = nP sinαP ⇒ αP = arcsin(nW sinαW

nP

)= arcsin

(1.3330 · sin 65.3°

1.491

)= 54.3°

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57.1 Lösungen (Reflexion und Brechung) 1414

4. Lösung von Aufgabe 4

a) Das Brechungsgesetz darf keine Lösung für den Brechungswinkel α2 haben:

n1 sinα1 = n2 sinα2 ⇒ 1 < sinα2 =n1 sinα1

n2<

n1

n2⇒ n1 > n2

b) Der Winkel muss über dem Grenzwinkel der Totalreflexion liegen:

n1 sinα1G = n2 sin 90°⇒ α1 > α1G = arcsin(n2

n1

)

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57.1 Lösungen (Reflexion und Brechung) 1415

5. Lösung von Aufgabe 5: Betrachte Abbildung 57.1.

Abbildung 57.1: Untersuche die Winkel inder Skizze!

β3 = β1; γ3 = γ1

γ1 = 180° − β3 − α = 180° − β1 − αβ2 = 180° − 2β1; γ2 = 180° − 2γ1

δ = β2 + γ2

δ = (180°−2β1)+(180°−2 ·(180°−β1−α))δ = 2α

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57.1 Lösungen (Reflexion und Brechung) 1416

6. Lösung von Aufgabe 6Wenn der Strahl durch B gehen soll, muss er vom gegenüber liegenden Spiegel dorthin reflektiertworden sein. Dieser Spiegel kann aber von einem Strahl, der diesen Spiegel bei A durchquert, nichtdirekt erreicht werden. Ein Weg mit Einfachreflexion geht also nicht; ebensowenig ein Weg mit Drei-fachreflexion. Ein Weg mit Zweifachreflexion ist in Abbildung 57.2 dargestellt.

Abbildung 57.2: B1 sei das geometrischgespiegelte Bild von B am ersten Spiegel.B2 sei das geometrisch gespiegelte Bild vonB1 am zweiten Spiegel. Bei B2 sieht manvon A aus den Ausgang. Der Lichtstrahlläuft also von A in Richtung B2, wird amzweiten Spiegel reflektiert und läuft dannRichtung B1, wird dann am ersten Spiegelreflektiert und läuft Richtung B.

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57.1 Lösungen (Reflexion und Brechung) 1417

7. Lösung von Aufgabe 7

a) Siehe Abbildung 57.3 und deren Legende.b) n = 1.491 α2 = arcsin(n−1 arcsinα1) = arcsin(sin(45°)/1.491) = 28.31°

n sinα3 = n sin(45° + α2) = 1.491 · sin(45° + 28.31°) = 1.428?> sin(90°) = 1X

c) Von zwei parallel eintreffenden Strahlen ist der obere nach dem Durchgang der untere.

Abbildung 57.3: Strahlengang im Prisma. Dreieck EBA ist ähn-lich Dreieck DBC wegen 45° Winkel bei E resp. D und Reflexionbei B. Der Brechungswinkel bei A ist also gleich dem Einfalls-winkel bei C. Somit wird die Brechung bei A rückgängig gemachtbei C.

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57.1 Lösungen (Reflexion und Brechung) 1418

8. Lösung von Aufgabe 8

Der Einfallswinkel wird zur Normalen gemessen. Wenn der Lichtstrahl unter 48 ° auf ein Fenster fällt,wird er unter gleichem Winkel reflektiert. Der reflektierte Strahl und die Wasseroberfläche schliessendenselben Winkel ein. Somit ist der Einfallswinkel auf die Wasseroberfläche α1 = 90 ° − 48 ° = 42 °

α2 = arcsin (n1 sinα1/n2) = arcsin (1 · (sin 42 °)/1.333) = 30 °

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57.1 Lösungen (Reflexion und Brechung) 1419

9. Lösung von Aufgabe 9

Plexiglas = Acryl = Polymethylmethacrylat (PMMA)

cP =c

nP=

2.99792458 · 108 m/s1.491

= 2.011 · 108 m/s

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57.1 Lösungen (Reflexion und Brechung) 1420

10. Lösung von Aufgabe 10

a) Bei der Abszissenachse fehlt ‘in Grad’, bei der Ordinate ‘Brechungswinkel (°)’.‘Abbildung 1: Brechungswinkel als Funktion des Einfallswinkels für Licht, das aus einem Mediummit Brechungsindex n1 = 1.000 auf ein Medium mit Brechungsindex n2 trifft.’

b) n1 sinα1 = n2 sinα2 → n2 =n1 sinα1

sinα2=

1 · sin 90°sin 49.0 mm·50°

60.0 mm

= 1.53

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57.1 Lösungen (Reflexion und Brechung) 1421

11. Lösung von Aufgabe 11

180° − αr − α2 = 90° und αr = α1 ⇒ α1 + α2 = 90°n1 sinα1 = n2 sinα2 = n2 sin(90° − α1) = n2 cosα1 ⇒

tanα1 =n2

n1⇒ α1 = arctan

(n2

n1

)

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57.1 Lösungen (Reflexion und Brechung) 1422

12. Lösung von Aufgabe 12

a) n1 sinα1 = n2 sinα2 ⇒ n1 = n2sinα2

sinα1= 1.33300 ·

sin 38.2°sin 31.8°

= 1.56

b) n1 sinα1G = n2 sin 90°⇒ α1G =n2

n1=

sinα1

sinα2⇒

α1G = arcsin(sinα1

sinα2

)= arcsin

(sin 31.8°sin 38.2°

)= 58.4°

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57.1 Lösungen (Reflexion und Brechung) 1423

13. Lösung von Aufgabe 13

n sinα1 = sinα2 ⇒ n =sinα2

sinα1=

sin 45°sin 30°

=

√2/2

1/2=√

2 = 1.414 oder der Kehrwert davon

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57.1 Lösungen (Reflexion und Brechung) 1424

14. Lösung von Aufgabe 14

Die Variablen und Beziehungen inAbb. 57.4 sind Stossparameter b, Ra-dius r und relativer Brechungsindexn, Einfallswinkel sinα1 = b/r, Bre-chung sinα1 = n sinα2, erste Ablenkungδ1 = α1 − α2, Spiegelung δ2 = 180° − 2α2,zweite Brechung δ3 = δ1, Gesamtablen-kung δ = δ1 + δ2 + δ3.

Abbildung 57.4: Schematischer Strah-lengang in einem Wassertropfen mit Bre-chungsindex n für den Hauptregenbogen.

Und wer es nicht lassen kann:

δ = δ1 + δ2 + δ3 = 2δ1 + δ2 = 2 · (α1 − α2) + 180° − 2α2 = 180° + 2α1 − 4α2

δ = 180° + 2 arcsinbr− 4 arcsin

nbr

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57.1 Lösungen (Reflexion und Brechung) 1425

15. Lösung von Aufgabe 15

a)sinαW

sinαL=

cW

cL=

1483 m/s344 m/s

= 4.31 > 1

Auf jener Seite mit der grösseren Wellengeschwindigkeit ist laut Brechungsgesetz der Winkel grösser.Somit kann Totalreflexion auftreten, wenn Schall aus der Luft auf das Wasser trifft.

b)sin 90°sinαL

=cW

cL⇒ αL = arcsin

cL

cW= arcsin

344 m/s1483 m/s

= 13.4°

Dies ist einer der Gründe, weshalb man unter Wasser Geräusche aus der Luft kaum hört. (Der andereist, dass auch unterhalb des Grenzwinkels der Totalreflexion ein grosser Anteil reflektiert wird.) DieMusik im Schwimmbad muss also bereits unter Wasser erzeugt werden.

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57.1 Lösungen (Reflexion und Brechung) 1426

16. Lösung von Aufgabe 16

Weil ich zwei Augen habe! Sind die Wassertropfen nah, kann man unter günstigen Umständen mitjedem Auge einen Regenbogen sehen.

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57.1 Lösungen (Reflexion und Brechung) 1427

17. Lösung von Aufgabe 17

n1 sinα1 = n2 sinα2 ⇒ n2 =n1 sinα1

sinα2=

1.000272 · sin 58°sin 29°

= 1.7497

Fehlerschranke addiert oder subtrahiert, damit das Resultat möglichst gross wird:

nmax =1.000272 · sin(58 + 1)°

sin(29 − 2)°= 1.8886

∆n2 ≈ nmax − n2 = 1.8886 − 1.7497 = 0.1389 ⇒ n2 = (1.7497 ± 0.14) = 1.7 ± 0.1

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57.1 Lösungen (Reflexion und Brechung) 1428

18. Lösung von Aufgabe 18

a) xmin =

√4 − n2

3=

√4 − 1.36172

3= 0.845729096⇒ δ = · · · =

δ = 180° + 2 arcsin 0.845729096 − 4 arcsin0.845729096

1.3617= 141.92° = 180° − 38.081°

b)dδdx

= 0 =ddx

[180° + 2 arcsin x − 4 arcsin(x/n)] =2

√1 − x2

−4/n√

1 − (x/n)2⇒

n√

1 − (x/n)2 = 2√

1 − x2 ⇒ n2 − x2 = 4 − 4x2 ⇒ xmin =

√4 − n2

3

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57.1 Lösungen (Reflexion und Brechung) 1429

19. Lösung von Aufgabe 19

a) cG =cn

=2.99792458 · 108 m/s

1.46444= 2.04715 · 108 m/s noch besser:

cnLuftnrel

b) sinα1 = n sinα2 ⇒ α2 = arcsinsinα1

n= arcsin

sin 68.928°1.46444

= 39.583°

b) α1 > α2 Das Licht muss für TR aus dem Glas kommen.sinα1 = 1 = n sinαG ⇒ αG = arcsin(1/n) = arcsin(1/1.46444) = 43.0671°

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57.1 Lösungen (Reflexion und Brechung) 1430

20. Lösung von Aufgabe 20

nrel =sinα2

sinα1=

sin 60°sin 45°

=

√3/2√

2/2=

√3/2 ≈ 1.22

Das ist der Brechungsindex des Einfallsmediums relativ zum Index des angrenzenden Mediums. An-ders herum wäre es

√2/3 ≈ 0.816, aber es ist schöner, Brechungsindices über Eins anzugeben.

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57.2 Lösungen (Linsen und Spiegel) 1431

57.2 Lösungen (Linsen und Spiegel)

1. Lösung von Aufgabe 1a) Die Grösse mit Einheit Dioptrie (dpt) heisst Brechkraft.b) Die Person ist kurzsichtig, denn sie benötigt Zerstreuungslinsen als Brillengläser.

c) f =1D

=1

−2.5 dpt= −40 cm

d)

Abbildung 57.5: Querschnitt durch ein Brillenglas eines Kurzsichtigen. Es ist eine Zerstreuungslinse (in derMitte dicker als am Rand) von konvexkonkaver Form.

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57.2 Lösungen (Linsen und Spiegel) 1432

2. Lösung von Aufgabe 2

1f

= (n − 1) ·(

1r1

+1r2

)⇒

fFK3

fS F4=

nS F4 − 1nFK3 − 1

=1.75496 − 11.46444 − 1

= 1.6255

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57.2 Lösungen (Linsen und Spiegel) 1433

3. Lösung von Aufgabe 3Der Brechungsindex n in der Linsenmacherformel, 1/ f ∝ (n − 1), ist der relative Brechungsindexdes Linsenmaterials gegenüber dem umgebenden Medium. Wenn die Linse in Wasser getaucht wird,so nimmt der relative Brechungsindex von nLinse/nLu f t auf nLinse/nWasser ab. Es ist zu erwarten, dassdie Brennweite zunimmt. Falls der relative Brechungsindex kleiner als Eins wird, wenn also derBrechungsindex des Linsenmaterials kleiner als jener des Wassers ist, so wird die Brennweite negativ.Aus der Sammel- wird eine Zerstreuungslinse. Bei üblichen Gläsern tritt das nicht auf.

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57.2 Lösungen (Linsen und Spiegel) 1434

4. Lösung von Aufgabe 4

1f

= (n − 1) ·(

1r1

+1r2

)=

n − 1r1⇒ r1 = (n − 1) · f = (1.555 − 1) · 90 cm = 50 cm

Bemerkung: 1/r2 = 1/∞ = 0

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57.2 Lösungen (Linsen und Spiegel) 1435

5. Lösung von Aufgabe 5

Man konstruiert den Kreismittelpunkt, z.B. via Schnittpunkt der Mittelsenkrechten zweier verschie-dener Sehnen, und misst den Radius. Man kann auch die grösste Sehne s und deren Höhe h messen.Dann ist r = (s2 + 4h2)/(8h).

Sollwert: r = 333 mm/2 = 166.5 mm

f =r2

=166.5 mm

2= 83.3 mm

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57.2 Lösungen (Linsen und Spiegel) 1436

6. Lösung von Aufgabe 6

1f

= (n − 1)(

1r1

+1r2

)= (n − 1)

(2r

)r = 2(n − 1) f = 2(1.50 − 1) · 5 m = 5 m

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57.2 Lösungen (Linsen und Spiegel) 1437

7. Lösung von Aufgabe 7

a)1f

=1g

+1b⇒ b =

(1f−

1g

)−1

=

(1

30 cm−

180 cm

)−1

= 48 cm

b)√

x2 − (x2/(4 f ) − g)2 +√

x2 + (x2/(4 f ) − b)2 = min −→ddx

(. . . ) = 0

x − (x2/(4 f ) − g)x/(2 f )√x2 − (x2/(4 f ) − g)2

+x + (x2/(4 f ) − b)x/(2 f )√

x2 + (x2/(4 f ) − b)2= 0

Die einzige Lösung ist x = 0.Nur in paraxialer Näherung ergibt sich eine saubere Abbildung (sonst wäre es eine Ellipse).

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57.2 Lösungen (Linsen und Spiegel) 1438

8. Lösung von Aufgabe 8

Es handelt sich um eine Zerstreuungslinse, d.h der Brennpunkt ist links vom Scheitel.

r sinα1 = f tan(α2 − α1)→ rα1 = f (α2 − α1) = f(α1

n− α1

)⇒ f =

nr1 − n

< 0

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57.3 Lösungen (Abbildungsgesetze) 1439

57.3 Lösungen (Abbildungsgesetze)

1. Lösung von Aufgabe 1

a)1f

=1g

+1b⇒ g =

(1f−

1b

)−1

=

(1

4.4 mm−

1160 mm

)−1

= 4.5 mm

b)BG

=bg

= b ·(

1f−

1b

)=

bf− 1 =

160 mm4.4 mm

− 1 = 35

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57.3 Lösungen (Abbildungsgesetze) 1440

2. Lösung von Aufgabe 2

a)BG

=bg

=43.3 cm29.3 cm

= 1.48

b) Es ist eine Sammellinse, denn eine Zerstreuunglinse erzeugt kein reelles Bild.

c) f =

(1g

+1b

)−1

=

(1

29.3 cm+

143.3 cm

)−1

= 17.5 cm

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57.3 Lösungen (Abbildungsgesetze) 1441

3. Lösung von Aufgabe 3Alle Strahlen, die vom gleichen Gegenstandspunkt ausgehen und die Linse treffen, werden im glei-chen Bildpunkt wieder versammelt. Somit entsteht immer noch ein Bild, das aber nur noch ‘halb sohell’ ist.

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57.3 Lösungen (Abbildungsgesetze) 1442

4. Lösung von Aufgabe 4

BG

=bg

= 1⇒1f

=2g⇒ d = g + b = 4 f ⇒ f =

d4

=956 mm

4= 239 mm

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57.3 Lösungen (Abbildungsgesetze) 1443

5. Lösung von Aufgabe 5

a) A =BG

=bg

=15.8 cm7.8 cm

= 2.026

Fehlerschranke addiert oder subtrahiert, damit das Resultat möglichst gross wird:

Amax =(15.8 + 0.2) cm(7.8 − 0.3) cm

= 2.133

∆A = Amax − A = 2.133 − 2.026 = 0.107⇒ A = 2.0 ± 0.1

b) D =1f

=1g

+1b

=1

0.078 m+

10.158 m

= 19 dpt

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57.3 Lösungen (Abbildungsgesetze) 1444

6. Lösung von Aufgabe 6

1f

=1g

+1b

=1g

+1

d − gg · (d − g) = f (d − g) + f · g

gd − g2 = f d − f g + f g

g2 − gd + f d = 0

g1, 2 =d ±

√d2 − 4 f d2

=935 mm ±

√(935 mm)2 − 4 · 142 mm · 935 mm

2=

174.607 mm = 175 mm

760.393 mm = 760 mm

A1 =b1

g1=

d − g1g1

=935 mm − 174.607 mm

174.607 mm= 4.35

A2 =b2

g2=

d − g2g2

=935 mm − 760.393 mm

760.393 mm= 0.230

Es gibt zwei ‘symmetrische’ Lösungen: g2 = d − g1 und A2 = 1/A1.

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57.3 Lösungen (Abbildungsgesetze) 1445

7. Lösung von Aufgabe 7

a)1f

=1g

+1b⇒ b =

(1f−

1g

)−1

=

(1

12.3 cm−

147.5 cm

)−1

= 16.598 cm

Fehlerschranke addiert oder subtrahiert, damit das Resultat möglichst gross wird:

bmax =

(1

(12.3 + 0.3) cm−

1(47.5 − 0.6) cm

)−1

= 17.229 cm

∆b = bmax − b = 17.229 cm − 16.598 cm = 0.63 cm⇒ b = (16.6 ± 0.6) cm

b)BG

=bg

=1g·

(1f−

1g

)−1

=f

g − f=

12.3 cm47.5 cm − 12.3 cm

= 0.349

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57.3 Lösungen (Abbildungsgesetze) 1446

8. Lösung von Aufgabe 8

1f

=1g

+1b⇒ f =

(1g

+1

Ag

)−1

= g ·(1 +

1A

)−1

= 28.3 mm ·(1 +

12.8

)−1

= 21 mm

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57.3 Lösungen (Abbildungsgesetze) 1447

9. Lösung von Aufgabe 9

1f

=1g

+1b⇒ b =

(1f−

1g

)−1

=

(1

273 mm−

11083 mm

)−1

= 365 mm

BG

=bg

=f g

g − f·

1g

=f

g − f=

273 mm1083 mm − 273 mm

= 0.337

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57.3 Lösungen (Abbildungsgesetze) 1448

10. Lösung von Aufgabe 10

Zeichnet man den Strahlengang, siehe Abbildung 57.6, zeigt sich sofort, dass die Strahlen auf einerKreisscheibe mit Radius s landen. Abhängig von der Position x des Schirms, gilt:

s =b − x

b· r

Abbildung 57.6: Alle Strahlen, welchevom Gegenstandspunkt bei der Koordina-te −g ausgehen und die Linse mit Radiusr erreichen, werden zum Bildpunktes beib abgelenkt. Wird bei x ein Schirm aufge-stellt, so erscheint darauf eine erleuchteteKreisscheibe mit Radius s.

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57.3 Lösungen (Abbildungsgesetze) 1449

11. Lösung von Aufgabe 11

a)1f

=1g

+1b

=1g

+1

d − g⇒ g2 − dg + f d = 0⇒ g =

d ±√

d2 − 4 f d2

b) Der Radikand darf nicht negativ sein: d2 − 4 f d > 0→ d = 0 oder d > 4 f

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57.3 Lösungen (Abbildungsgesetze) 1450

12. Lösung von Aufgabe 12

Dsoll = Dist + Dcorr ⇒ Dcorr =1

fsoll−

1fist

=1

24 · 10−3 mm−

131 · 10−3 m

= 9.4 dpt

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57.3 Lösungen (Abbildungsgesetze) 1451

13. Lösung von Aufgabe 13

B : G = b : g→

f =

(1g

+1b

)−1

=

(1g

+GBg

)−1

=

(1

2500 mm+

1781 mm31.2 mm · 2500 mm

)−1

= 43.0 mm

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57.3 Lösungen (Abbildungsgesetze) 1452

14. Lösung von Aufgabe 14

a) A =BG

=bg⇒ b = Ag = 1.55 · 283 mm = 439 mm

b)1f

=1g

+1b⇒ f = g ·

(1 +

1A

)−1

= 283 mm ·1.55

1.55 + 1= 172 mm

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57.3 Lösungen (Abbildungsgesetze) 1453

15. Lösung zu Aufgabe 15

a) Zeichne einen schiefen Strahl von Q bis zur Hauptebene der Linse, siehe Abbildung 57.7. Zeich-ne einen dazu parallelen Strahl durch den vorderen Brennpunkt F1. Dieser Strahl läuft nach derHauptebene achsenparallel weiter. Schiefparallel einfallende Strahlen kreuzen sich in einem Punktauf der hinteren Brennebene. Der schiefe Strahl aus Q muss nach der Hauptebene durch denselbenPunkt in der Brennebene laufen.b) Weil die Linse rund mit Radius R ist, laufen die Strahlen durch einen Unschärfekreis mit Radius∆.

∆

δ=

Rb

Strahlensatz1g

+1g

=1f

⇒ ∆ = R · δ ·(

1f−

1g

)

Abbildung 57.7: Der Punkt Qwird auf einen Unschärfekreismit Radius ∆ abgebildet. (Auf-gabe 15)

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57.3 Lösungen (Abbildungsgesetze) 1454

16. Lösung von Aufgabe 16

BG

= 2 =bg→

1f

=1g

+1b

=1g

+12g

=3

2g⇒ g = 3

2 f = 32 · 44 mm = 66 mm

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57.4 Lösungen (Optische Geräte) 1455

57.4 Lösungen (Optische Geräte)

1. Lösung von Aufgabe 1

V =fOb j

| fOk|=

900 mm| − 50 mm|

= 18

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57.4 Lösungen (Optische Geräte) 1456

2. Lösung von Aufgabe 2

a) Das Bild bleibt gleich gross, ist aber weiter weg.b) Das Bild wird kleiner und ist weiter weg.

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57.4 Lösungen (Optische Geräte) 1457

3. Lösung von Aufgabe 3

V ≈af

=250 mm77 mm

= 3.2× Vergrösserung

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Kapitel 58

Lösungen (Schwingungen)

58.1 Lösungen (Pendel)

1. Lösung von Aufgabe 1

a) T = 2π√

mk⇒ ω =

2πT

=

√km

b) T = 2π

√lg⇒ ω =

2πT

=

√gl

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58.1 Lösungen (Pendel) 1459

2. Lösung von Aufgabe 2

a) y(t) = y cos (ωt) = y cos

√ km· t

b) Vergleiche oberste und unterste Position mit dem Energiesatz

mg2y = 12k(2y)2 ⇒ mg = ky⇒ y =

mgk

Variante: Nutze Kräftegleichgewicht FG = FF ⇒ mg = ky bei y = 0c) Vergleiche oberste und mittlere Position mit dem Energiesatz:

mgy = 12mυ2 + 1

2ky2 ⇒ mg ·mgk

= 12mυ2 + 1

2k(mg

k

)2⇒ υ = g ·

√mk

Variante: υ = ωy =

√km· y =

√km·

mgk

=

√mk· g

c) a = ω2y =km

mgk

= g

Variante: Im obersten Punkt ist die Feder entspannt, d.h. a(t) = −a = −gIm untersten Punkt ist somit FF = Fres + FG = ma + mg = 2mg = 2FG

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58.1 Lösungen (Pendel) 1460

3. Lösung von Aufgabe 3Die effektive Pendellänge l ist der Abstand des Sitzes von der Aufhängung.

T = 2π

√lg

= 2π√

s cosαg

= 2π

√2.5 m · cos 10°

9.81 m/s2 = 3.1477 s = 3.1 s

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58.1 Lösungen (Pendel) 1461

4. Lösung von Aufgabe 4

T ∝√

l⇒

√l2

l1=

T2

T1⇒

l2

l1− 1 =

(T2

T1

)2

− 1 = 1.0001042 − 1 = 0.208 %

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58.1 Lösungen (Pendel) 1462

5. Lösung von Aufgabe 5

a) T = 2π

√lg⇒ g = l ·

(2πT

)2

= 0.998 m ·(

2π2.006 s

)2

= 9.79 m/s2

b) T ∝√

l⇒l2

l1=

(T2

T1

)2

=

(2.0000 s2.006 s

)2

= 0.9940

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58.1 Lösungen (Pendel) 1463

6. Lösung von Aufgabe 6

a) y = −y cos(ωt) = y sin(ωt − π/2)⇒ ϕ0 = −π/2

b) T = 2π√

mk

= 2π

√0.350 kg58 N/m

= 0.49 s

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58.1 Lösungen (Pendel) 1464

7. Lösung von Aufgabe 7

T = 2π

√lg⇒ g = l ·

(2πT

)2

= 0.994 m ·(

2π2.0 s

)2

= 9.81039 m/s2

Fehlerschranke addiert oder subtrahiert, damit das Resultat möglichst gross wird:

gmax = (0.994 + 0.002) m ·(

2π2.0 s

)2

= 9.83013 m/s2

∆g = gmax − g = 9.83013 m/s2 − 9.81039 m/s2 = 0.01974 m/s2 = 0.02 m/s2 ⇒

g = (9.81 ± 0.02) m/s2

©Martin Lieberherr

58.1 Lösungen (Pendel) 1465

8. Lösung von Aufgabe 8

T = 2π

√lg⇒ l = g ·

( T2π

)2

= 1.622 m/s2 ·

(2.0 s2π

)2

= 0.1643 m

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58.1 Lösungen (Pendel) 1466

9. Lösung von Aufgabe 9

T = 2π√

mD

=1f⇒ D = (2π f )2 m = (2π · 1.83 Hz)2

· 0.380 kg = 50.2 N/m

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58.1 Lösungen (Pendel) 1467

10. Lösung von Aufgabe 10

T = 2π

√lg

= 2π

√0.758 m9.8 m/s2 = 1.7474 s = 1.7 s

©Martin Lieberherr

58.1 Lösungen (Pendel) 1468

11. Lösung von Aufgabe 11

T ∝√

l⇒l2

l1=

(T2

T1

)2

= 22 = 4

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58.1 Lösungen (Pendel) 1469

12. Lösung von Aufgabe 12

a) T = 2π

√lg⇒ l = g ·

( T2π

)2

= 9.80222 m/s2 ·

(2.0 s2π

)2

= 0.993173 m

b) T ∝1√

g⇒ TB = TZ

√gZ

gB= 2.0 s ·

√9.80222 m/s2

9.80763 m/s2 = 1.99945 s

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58.1 Lösungen (Pendel) 1470

13. Lösung von Aufgabe 13

T ∝√

l⇒l2

l1=

(T2

T1

)2

= 1.01672 = 1.03368 = 100 % + 3.37 %

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58.1 Lösungen (Pendel) 1471

14. Lösung von Aufgabe 14

T = 2π

√lg⇒ l = g ·

( T2π

)2

= 9.81 m/s2 ·

(1.873 s

2π

)2

= 872 mm

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58.1 Lösungen (Pendel) 1472

15. Lösung von Aufgabe 15

a) T = 2π

√lg

= 2π

√6.371 · 106 m

9.81 m/s= 5063 s = 1.41 h

b) T = 2π

√l

GM/r2 = 2π

√r3

GM⇒

T 2

r3 =(2π)2

GMKepler III

Die Schwingungsdauer entspricht gerade der Umlaufzeit eines erdnahen Satelliten (sog. erste kosmi-sche Geschwindigkeit).

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58.1 Lösungen (Pendel) 1473

16. Lösung von Aufgabe 16

T = 2π

√lg⇒ l = g ·

( T2π

)2

= 9.81 m/s2 ·

(86400 s

2π

)2

= 1.85 · 109 m

Das wäre fast fünf Mal (4.8) der mittlere Abstand Erde-Mond. Natürlich ist so ein Pendel nicht mög-lich.

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58.1 Lösungen (Pendel) 1474

17. Lösung von Aufgabe 17

Der Lageplan ist unvollständig: Auf das Pendel wirken die Gewichtskraft FG sowie die Zugkraft desFadens.

Die Gewichtskraft wird in die zwei Komponenten und F und F′ zerlegt. Die Komponenten werdengenau gleich eingezeichnet wie FG. Üblicherweise werden die Komponenten durch stricheln o.ä. op-tisch von der einwirkenden Kraft abgesetzt oder dann wird die einwirkende Kraft durchgestrichen umzu zeigen, dass statt ihrer die Komponentendarstellung gilt. Diese fehlende Auszeichnung hat eineDoppelzählung durch die Schülerin provoziert (sie nennt die Gewichtskraft FG sowie die rücktrei-bende Kraft F, die ja nichts anderes als eine Komponente von FG ist.)

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58.1 Lösungen (Pendel) 1475

18. Lösung von Aufgabe 18

T = 2π√

mk

=1f⇒ m =

k(2π f )2 =

0.1 N/m(2π · 30 · 103 Hz

)2 = 3 · 10−12 kg

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58.1 Lösungen (Pendel) 1476

19. Lösung von Aufgabe 19

T = 2π

√JS + ms2

mgs= 2π

√√112m(a2 + a2) + m · (a

√2/2)2

mga√

2/2= 2π

√13a2 + a2

ga√

2= 2π

√4a

3√

2 · g

T = 4π

√√

8 · 0.199 m3 · 9.81 m/s2 = 0.869 s

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58.1 Lösungen (Pendel) 1477

20. Lösung von Aufgabe 20

a) Federpendel t = 14T =

π

2

√mD

=π

2

√my0

F=π

2

√3.73 · 10−3 kg · 43 · 10−3 m

31 N= 3.6 ms

b) 12 Dy2 = 1

2mυ2 ⇒ υ = y

√Dm

= 43 · 10−3 m ·

√31 N

43 · 10−3 m · 3.73 · 10−3 kg= 19 m/s

c) υ(t) = υ · sin(ωt) υ = ωy ω =

√Dm

y hier= y0

c) Die Feder übernimmt sonst einen Teil der kinetischen Energie.

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58.1 Lösungen (Pendel) 1478

21. Lösung von Aufgabe 21

12mυ2 = mgh⇒ 1

2mr2ω2 = mgr(1 − cos ϕ)⇒

az = rω2 = 2g(1 − cos ϕ) = 2 · 9.81 m/s2 · (1 − cos 30°) = 2.6 m/s2

Die zusätzlichen Beschleunigungsspitzen durch das Schwingen der Hände sind doch recht gross. DerBlutdruck (Schweredruck) steigt dadurch maximal um 1/4 an. Das ist weniger als die Druckerhöhungim Kopf, wenn wir uns niederlegen. Nach dem Aufstehen bemerken wir ein leicht angeschwollenesGesicht, aber kaum dürre Hände.

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58.1 Lösungen (Pendel) 1479

22. Lösung von Aufgabe 22

a) Der Auftrieb des Wassers vermindert das Gewicht (die effektive Fallbeschleunigung).

FG − FA = mg − ρWgVK = mg − ρWgmρK

= m ·(1 −

ρW

ρK

)g = m · geffektiv

T = 2π

√`

geff

= 2π

√`

g · (1 − ρw/ρK)= 2π

√85 m

9.81 m/s2 ·(1 − 998 kg/m3/7900 kg/m3) = 19.8 s

b) FR = 6πηrυ ≈ 6π · 1.00 · 10−3 N s/m2 · 0.05 m ·10−3 m

5 s= 2 · 10−7 N FG − FA

Die Stokes’sche Reibung hat nur einen kleinen Effekt auf die Schwingungsdauer.

©Martin Lieberherr

58.1 Lösungen (Pendel) 1480

23. Lösung von Aufgabe 23

Die zwei mathematischen Pendel bilden zusammen ein physikalisches Pendel.

T = 2π

√J

mgs= 2π

√m1`

21 + m2`

22

(m1 + m2)g(m1`1 + m2`2)/(m1 + m2)= 2π

√m1`

21 + m2`

22

g(m1`1 + m2`2)

T1,2 = 2π

√`1,2

g⇒ ..⇒ T =

√m1T 4

1 + m2T 42

m1T 21 + m2T 2

2

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58.1 Lösungen (Pendel) 1481

24. Lösung von Aufgabe 24

T ∝√

l⇒T2

T1=

√l2

l1=√

4 = 2

Die Schwingungsdauer verdoppelt sich.

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58.1 Lösungen (Pendel) 1482

25. Lösung von Aufgabe 25

Tp = 2π

√JS + ms2

mgs= 2π

√25mr2 + ms2

mgs= 2π

√25r2 + s2

gs

Tp = 2π

√0.4 · (0.018 m)2 + (0.998 m)2

9.81 m/s2 · 0.998 m= 2.00419 s = 2.00 s

Tm = 2π√

sg

= 2π

√0.998 m9.81 m/s

= 2.00406 s = 2.00 s

Der Unterschied ist im Rahmen der Genauigkeit von drei bis vier Ziffern nicht signifikant.

©Martin Lieberherr

58.1 Lösungen (Pendel) 1483

26. Lösung von Aufgabe 26

T = 2π√

mk∼√

m ⇒m2

m1=

(T2

T1

)2

= 1.03892 = 1.0793

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58.1 Lösungen (Pendel) 1484

27. Lösung von Aufgabe 27

T = 2π

√JS + ms2

mgs= 2π

√m`2/12 + m(`/2)2

mg`/2= 2π

√2`3g

©Martin Lieberherr

58.1 Lösungen (Pendel) 1485

28. Lösung von Aufgabe 28

a) m = ρV ∼ `3 ⇒ m2/m1 = (`2/`1)3 = 23 = 8

b) T ∼√` ⇒ T2/T1 =

√`2/`1 =

√2 = 1.414

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58.2 Lösungen (harmonische Schwingung) 1486

58.2 Lösungen (harmonische Schwingung)

1. Lösung von Aufgabe 1

a) T = 2π√

mk

= 2π

√0.500 kg37 N/m

= 0.7304 s = 0.73 s

b) y(t) = y cos(ωt + ϕ0)⇒ y0 = y cos(ϕ0) und υ0 = −ωy sin(ϕ0)⇒

υ0

y0= −ω tan(ϕ0)⇒ ϕ0 = arctan

(−υ0

ωy0

)= arctan

(−υ0

y0

√mk

)ϕ0 = arctan

−(−73 cm/s)8.3 cm

√0.500 kg37 N/m

= 0.7965 rad = 0.80 rad Test: cos(ϕ0) > 0 X

cos2 ϕ0 + sin2 ϕ0 = 1⇒(y0

y

)2

+

(−υ0

ωy

)2

= 1⇒ y =

√y2

0 +

(−υ0

ω

)2=

√y2

0 +υ2

0 · mk

y =

√(8.3 cm)2 +

(−73 cm/s)2 · 0.500 kg37 N/m

= 11.87 cm = 12 cm

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58.2 Lösungen (harmonische Schwingung) 1487

2. Lösung von Aufgabe 2Ein Halbkreis hat am Anfang und Schluss eine vertikale Tangente. Die Steigung im y(t)-Diagrammist die momentane Geschwindigkeit. Somit würden bei einer ‘Halbkreis-Schwingung’ unendlicheGeschwindigkeiten auftreten (und auch unendlich grosse Beschleunigungen, was wiederum nur mitunendlich grossen Kräften möglich wäre).

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58.2 Lösungen (harmonische Schwingung) 1488

3. Lösung von Aufgabe 3Wir verwenden die Bahngleichung y = y sin(ωt), weil der Sinus mit einem Nulldurchgang startet.

a) T = 2π√

mk

= 2π

√0.200 kg

1.38 · 103 N/m= 75.6 ms

b) y = y sin(ωt) = y sin(2πT·

T3

)= y sin

(2π3

)= y ·

√3

2= 5.57 mm ·

√3

2= 4.82 mm/s

c) υ = ωy cos(ωt) = υ cos(2πT·

T4

)= υ cos

(π

2

)= 0

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58.2 Lösungen (harmonische Schwingung) 1489

4. Lösung von Aufgabe 4

a) programmierte Funktion: y := 73.4*sin(3.8*x-1.11)

⇒ T =2πω

=2π

3.800 s−1 = 1.65347 s, y = 73.40 mm, ϕ0 = −1.110 rad (Sollwerte)

Bsp. Messung: T =13.15 cm · 7 s4 · 13.91 cm

= 1.654 s y =2.59 cm · 160 mm

5.60 cm= 74.0 mm

ωt1 + ϕ0 = 0⇒ ϕ0 = −2π ·t1

T= −2π ·

0.58 cm3.29 cm

= −1.11 rad = −1.1 rad

b) ω =2πT

= · · · = 3.800 s−1 (Sollwert)

c) υ = ωy = 3.800 s−1 · 73.4 mm = 279 mm/s (Sollwert)

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58.2 Lösungen (harmonische Schwingung) 1490

5. Lösung von Aufgabe 5

a) ω =2πT

=2π

0.278 s= 22.6 s−1

b) y = y sin(2πT· t + ϕ0

)= 17.3 mm · sin

(2π

0.278 s· 0.8725 s + 1.095 rad

)= 16.0 mm

c) ωt1 + ϕ0 = π⇒ t1 = (π − ϕ0) ·T2π

= (π − 1.095 rad) ·278 ms

2π= 90.6 ms

d) a = ω2y =

(2πT

)2

y =

(2π

0.278 s

)2

· 0.0173 m = 8.84 m/s2

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58.2 Lösungen (harmonische Schwingung) 1491

6. Lösung von Aufgabe 6

y = y0 = 5.7 cm ϕ0 = 0 Kosinus-Schwingung

T = 2π√

mD⇒ ω =

2πT

=

√Dm

=

√83 N/m0.300 kg

= 17 s−1

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58.2 Lösungen (harmonische Schwingung) 1492

7. Lösung von Aufgabe 7

a) 0 = ωt1 + ϕ0 ⇒ t1 = −ϕ0

ω= −−0.87 rad

13 s−1 = 67 ms

b) T =2πω

=2π

13 s−1 = 0.48 s

c) υ = ωy = 13 s−1 · 1.8 cm = 23 cm/s

d) ωt + ϕ0 = 13 s−1 · 0.995 s − 0.87 rad = 12 rad

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58.2 Lösungen (harmonische Schwingung) 1493

8. Lösung von Aufgabe 8

programmierte Funktion: y := 43.1*sin(2*pi*x/1.88-1.05)

a) T =13.13 cm

5·

10 ms13.98 cm

= 1.878 ms ϕ0 = −2πT· t1 = −2π ·

4.4 mm26.2 mm

= −1.06 rad

b) y = (21.7 ± 0.3) mm ·100 µm

(50.2 ± 0.3) mm= 43.227 µm (max. 44.088 µm) = (43.2 ± 0.9) µm

c) υ = ωy =2πyT

=2π · 43.1 · 10−6 m

1.88 · 10−3 s= 0.1440 m/s (Sollwert)

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58.2 Lösungen (harmonische Schwingung) 1494

9. Lösung von Aufgabe 9

π < ϕ(t) + k · 2π < 3π/2 mit k ∈ Z für y(t) = y sinϕ(t)

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58.2 Lösungen (harmonische Schwingung) 1495

10. Lösung von Aufgabe 10

a) ω =2πT

=

√km⇒ m =

kω2 =

23.7 N/m(11.2 s−1)2 = 189 g

b) y ∝ − cos(ωt) y nach unten gezogen und ohne Anfangsgeschwindigkeit losgelassen

c) υ(t) = −υ sin(ωt − π) = y→ υ = ωy = 11.2 s−1 · 3.37 cm = 0.377 m/s

d) ω ∝1√

m⇒ ω2 = ω1 ·

√m1

m2= 11.2 s−1 ·

√100

100 − 5.38= 11.5 s−1 = (11.2 + 0.314) s−1

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58.2 Lösungen (harmonische Schwingung) 1496

11. Lösung von Aufgabe 11

υ =√

2 υrms

υ = ωy = 2π f y⇒

y =

√2 υrms

2π f=

√2 · 17 mm/s

2π · 11.5 Hz= 0.33 mm

Die Pumpe musste wegen dieser Vibrationen saniert werden (Einbau eines Schwingungstilgers).

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58.2 Lösungen (harmonische Schwingung) 1497

12. Lösung von Aufgabe 12

Die Schwingungsbewegungen müssen dieselbe Richtung und Frequenz haben.

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58.2 Lösungen (harmonische Schwingung) 1498

13. Lösung von Aufgabe 13

υ = dy/dt = ωy cos(ωt + π/4) = 2.0 s−1 · 0.50 m · cos(π/4) =√

2/2 m/s = 0.71 m/s

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58.2 Lösungen (harmonische Schwingung) 1499

14. Lösung von Aufgabe 14

a) Die beiden Koordinatenachsen haben verschiedene Dimensionen (Zeit und Länge). Damit dieHalbkreisform sinnvoll wird, müssen beiden Achsen dieselbe Dimension aufweisen. Am einfach-sten wird es, wenn man Zeit und Grösse normiert und zu reinen Zahlen übergeht, siehe Abbildung58.1.

b) Halbkreis mit Radius 1 und Mittelpunkt (1, 0): y′ =√

1 − (x′ − 1)2

Substitution: y′ = y/A und x′ = t · 4/T

y = A ·

√1 −

(4tT− 1

)2

c) υ =dydt

= −A√

1 − (4t/T − 1)2·

(4tT− 1

)·

4T

divergiert für t → 0

Abbildung 58.1: “Halbkreisschwin-gung” in normierter Darstellung:Die Zeit t ist als Vielfaches derSchwingungsdauer T und die Auslen-kung y als Vielfaches der Amplitude Adargestellt.

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58.2 Lösungen (harmonische Schwingung) 1500

15. Lösung von Aufgabe 15

υ0 = 0⇒ y0 = y

y(t1) = y cos(ωt1) = y cos2πt1

T= y cos

2π · T/4T

= y cos(π/2) = 0

y(t2) = y cos2π · T/8

T= y cos(π/4) = y/

√2 = y · 0.707

y(t3) = y cos2π ·√

2TT

= y cos(2√

2 π) = −0.858 · y

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58.2 Lösungen (harmonische Schwingung) 1501

16. Lösung von Aufgabe 16

a = ω2y = (2π f )2y⇒ y =a

(2π f )2 =9.81 m/s2

(2π · 440 Hz)2 = 1.28 µm

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58.2 Lösungen (harmonische Schwingung) 1502

17. Lösung von Aufgabe 17

υ =dydt

= ωy cos(ωt + ϕ0) −→ υ(t) = −υ = −ωy = −2.2 s−1 · 5.0 cm = −11 cm/s

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58.2 Lösungen (harmonische Schwingung) 1503

18. Lösung von Aufgabe 18

(z.B.) y(t) = y sin(ωt) + y sin(√

2 · ωt) kein reiner Sinus, nicht periodisch

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58.2 Lösungen (harmonische Schwingung) 1504

19. Lösung von Aufgabe 19

a) ω =2πT⇒ T =

2πω

=2π

37.2 s−1 = 169 ms

b) y0 = y sinϕ0 = 8.33 mm · sin(π/8) = 3.19 mm υ0 = ωy cosϕ0 = · · · = 286 mm/s

b) ϕ1(t) = arcsinyy

= arcsin7.44 mm8.33 mm

= 1.10 rad ϕ2 = π − ϕ1 = · · · = 2.04 rad +Periodische

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58.3 Lösungen (Gedämpfte und erzwungene Schwingung, Bewegungsgleichungen) 1505

58.3 Lösungen (Gedämpfte und erzwungene Schwingung, Bewegungs-gleichungen)

1. Lösung von Aufgabe 1Siehe Abbildung 58.2

Erregerfrequenz

Antwortamplitude

f0

a)

b)

c)

0

Abbildung 58.2: a) Für kleine Erregerfrequenzen ist die Antwortamplitude gleich der Erregeramplitude.b) Ist die Erregerfrequenz ungefähr gleich der Eigenfrequenz f0 und ist die Dämpfung schwach, so trittResonanz auf, d.h. die Antwortamplitude wird wesentlich grösser als die Erregeramplitude. c) Für hoheFrequenzen verschwindet die Antwortamplitude, weil der Schwinger der Anregung nicht so schnell folgenkann.

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58.3 Lösungen (Gedämpfte und erzwungene Schwingung, Bewegungsgleichungen) 1506

2. Lösung von Aufgabe 2

y(ω) =A√(

ω20 − ω

21

)2+ 4δ2ω2

1

wobei δ =1τ⇒

yA

=1√(

ω20 − ω

21

)2+ 4ω2

1/τ2

Bei Erreger-Kreisfrequenz ω1 = 0 folgtyA

=1ω2

0

=1

(2π f )2 =1

(2π · 620 Hz)2 = 6.59 · 10−8 s2

Bei Erreger-Kreisfrequenz ω1 = ω0 (Resonanz) folgtyA

=τ

2 · 2π f=

3 · 3.156 · 107 s4π · 620 Hz

= 1.2 · 104 s2

ω0 = 2π f = 2π · 620 Hz = 3895.57489 s−1 = 3896 s−1

Abbildung 58.3: Resonanzkurve desGEO600 Detektors (eine von vielen). Weildie Abklingzeit sehr lang ist, ist die Re-sonanzkurve extrem schlank und hoch.Weil die Erregeramplitude unbekannt ist,kann die Antwortamplitude nur bis aufeinen konstanten Faktor aufgetragen wer-den; Verhältnisse lassen sich aber den-noch herauslesen. Weil die Resonanzkur-ve derart schlank ist, sollte man das Ma-ximum berechnen, denn ein normales Plot-Programm wird den Maximalwert ziemlichsicher verfehlen. Die Ordinatenachse istlogarithmisch skaliert, weil der Wertebe-reich viele Grössenordnungen umfasst.

0 3000 6000 900010–8

10–6

10–4

10–2

100

102

104

106

ω1 ( s-1 )

y/A

( s

2 )

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58.3 Lösungen (Gedämpfte und erzwungene Schwingung, Bewegungsgleichungen) 1507

3. Lösung von Aufgabe 3

Fres = ma→ −2ygml

= my⇒ y +2gl

y = 0⇒ ω2 =2gl

=

(2πT

)⇒ T = 2π

√l

2g

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58.3 Lösungen (Gedämpfte und erzwungene Schwingung, Bewegungsgleichungen) 1508

4. Lösung von Aufgabe 4

ω2 = ω20 − δ

2 ⇒

(2πT

)2

=1

LC−

( R2L

)2

⇒ R = 2L

√1

LC−

(2πT

)2

R = 2 · 9.00 · 10−3 H ·

√1

9.00 · 10−3 H · 380 · 10−6 F−

(2π

13.3 · 10−3 s

)2

= 4.74 Ω

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58.3 Lösungen (Gedämpfte und erzwungene Schwingung, Bewegungsgleichungen) 1509

5. Lösung von Aufgabe 5

Die Erregerfrequenz ist etwa gleich der Eigenfrequenz und die Erregerschwingung geht der Antwort-schwingung eine Viertelperiode voraus. Die Antwortamplitude ist wesentlich grösser als die Erre-geramplitude.

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58.3 Lösungen (Gedämpfte und erzwungene Schwingung, Bewegungsgleichungen) 1510

6. Lösung von Aufgabe 6

Die Antwortschwingung hat dieselbe Frequenz, aber eine viel kleinere Amplitude als die Erreger-schwingung. Die Antwortschwingung hinkt der Erregung eine halbe Periode nach.

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58.3 Lösungen (Gedämpfte und erzwungene Schwingung, Bewegungsgleichungen) 1511

7. Lösung von Aufgabe 7

A1 = A0 exp(−δ · t)⇒ δ = −ln(A1/A0)

t= −

ln 0.16323 · 10−3 s

= 79 s−1

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58.3 Lösungen (Gedämpfte und erzwungene Schwingung, Bewegungsgleichungen) 1512

8. Lösung von Aufgabe 8

a) f =1

2π√

LC⇒ C =

1(2π f )2L

=1

(2π · 100 · 103 Hz)2 · 9.0 · 10−4 H= 2.8 nF

b) ω2 = ω20 − δ

2 → (2π f1)2 = (2π f0)2 −

( R2L

)2

⇒ R = 2L√

(2π f0)2 − (2π f1)2

R = 2 · 9.0 · 10−4 H · 2π√

(1.00 · 105 Hz)1 − (0.995 · 105 Hz)2 = 1.1 · 102 Ω

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58.3 Lösungen (Gedämpfte und erzwungene Schwingung, Bewegungsgleichungen) 1513

9. Lösung von Aufgabe 9

y(t) = A exp (−δ · t) · sin (ω · t + ϕ0)

Diese Bahngleichung gehört zu einer linear gedämpften, harmonischen Schwingung. Die Antwort istnicht eindeutig, denn weder muss die Schwingung konstante Schwingungsdauer haben, noch mussdie Amplitude exponentiell abnehmen. Die Frequenz darf z.B. mit fallender Amplitude zunehmen(wackelndes Bierglas), und die Amplitude könnte auch linear abnehmen (Coulomb-Reibung).

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58.3 Lösungen (Gedämpfte und erzwungene Schwingung, Bewegungsgleichungen) 1514

10. Lösung von Aufgabe 10

Hebelgesetz: FAd = mg (d/2 − x) ∧ FBd = mg (d/2 + x)⇒

Fres = µFA − µFB = −2mgµ

d· x

Die rücktreibende Kraft ist wie beim Federpendel proportional zur Auslenkung.

ma = Fres ⇒ mx = −2mgµ

d· x⇒

x +2gµ

d· x = 0 Differentialgleichung des des harmonischen Oszillators

ω20 =

2gµd

=

(2πT

)2

T = 2π

√d

2gµ

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58.3 Lösungen (Gedämpfte und erzwungene Schwingung, Bewegungsgleichungen) 1515

11. Lösung von Aufgabe 11

a) Texp = t/N = 805 µs/6 = 134 µs

TTheorie = 2π√

LC = 2π√

2.295 · 10−3 H · 200.5 · 10−9 F = 134.8 µs

ω2 = ω20 − δ

2 =1

LC−

( R2L

)2

=1

2 · 10−3 H · 200 · 10−9 F−

(0.8 Ω

2 · 2 · 10−3 H

)2

ω2 = 2.5 · 109 s−2 − 4 · 104 s−2 = 2.5 · 109 s−2 ·(1 − 1.6 · 10−5

)b) τ =

1δ

=2LR

exp(−δt) = exp(−t/τ) = 1/e ≈ 1/3→ t = 6T ≈ τ

τ

T≈

2L/R

2π√

LC⇒ R =

Tτ

1π

√LC

=16·

1π·

√2.295 · 10−3 h200.5 · 10−9 F

= 5.68 Ω = 6 Ω

Die gemessenen L und C passen im Rahmen der Genauigkeit zur gemessenen Schwingungsdauer.Der nominelle Widerstand hat erst in der fünften Stelle nach dem Komma einen Einfluss auf dieKreisfrequenz oder Schwingungsdauer.Der aus der Dämpfung bestimmte Widerstand im Kreis ist viel höher als der nominelle Widerstandder Spule (vielleicht waren die Kontakte oder die Kabel schlecht).

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58.3 Lösungen (Gedämpfte und erzwungene Schwingung, Bewegungsgleichungen) 1516

12. Lösung von Aufgabe 12

mx = −k1x − k2x⇒ x +k1 + k2

mx = 0⇒ ω2 =

k1 + k2

m⇒ T = 2π

√m

k1 + k2

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58.3 Lösungen (Gedämpfte und erzwungene Schwingung, Bewegungsgleichungen) 1517

13. Lösung von Aufgabe 13

a) T = 2π√

LC ⇒ L =

( T2π

)2 1C

=

(9.16 · 10−3 s

2π · 17

)2 1200 · 10−9 F

= 36.8 mH

b) Der Widerstand vergrössert die Schwingungsdauer ein wenig. Das passt.

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58.3 Lösungen (Gedämpfte und erzwungene Schwingung, Bewegungsgleichungen) 1518

14. Lösung von Aufgabe 14

T = 2π√

LC =1f⇒

C2

C1=

f 21

f 22

=1

1.1432 = 0.76543 = 100 %−23.5 %

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58.3 Lösungen (Gedämpfte und erzwungene Schwingung, Bewegungsgleichungen) 1519

15. Lösung von Aufgabe 15

a) Fres = ma→ −k1(y + y0) − k2(y + y0) − mg = my→ −(k1 + k2) · y = my→ y +k1 + k2

my = 0

b) ω0 =2πT∧ ω2

0 =k1 + k2

m⇒ T = 2π

√m

k1 + k2

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58.3 Lösungen (Gedämpfte und erzwungene Schwingung, Bewegungsgleichungen) 1520

16. Lösung von Aufgabe 16

sin(ωt + ϕ3) = sin(ωt) + sin(ωt + ϕ2)t=0−→ sinϕ3 = sinϕ2

ωt=π/2−→ cosϕ3 = 1 + cosϕ2 ⇒

cos2 ϕ2 + sin2 ϕ3 = 1 = sin2 ϕ2 + (1 + cosϕ2)2 ⇒ 1 = sin2 ϕ2 + 1 + 2 cosϕ2 + cos2 ϕ2 ⇒

cosϕ2 = −1/2⇒ ϕ2 = 2π/3

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58.3 Lösungen (Gedämpfte und erzwungene Schwingung, Bewegungsgleichungen) 1521

17. Lösung von Aufgabe 17

a) progr. Funktion: y:=1.83*cos(2*pi*x/1.34)*exp(-x/5.3) → T = 1.340 µs δ =1

5.3 µs

b) T = 2π√

LC ⇒ L =1C·

( T2π

)2

=1

1 · 10−9 F·

(1.34 · 10−6 s

2π

)2

= 45.48 µH

2δ =RL⇒ R = 2δL =

2 · 45.48 · 10−6 H5.3 · 10−6 s

= 17 Ω

Bestimmung der Schwingungsdauer durch Nachmessen

7 · T = 13.12 cm 10 µs = 14.01 cm ⇒ T =13.12 cm14.01 cm

·10 µs

7= 1.338 µs

Bestimmung der Dämpfungskonstanten durch NachmessenDas Maximum bei t1 ≈ 1.4 µs entspricht etwa 21 mm. Ein Drittel davon ist 7 mm, was ungefähr demMaximum bei t2 ≈ 6.8 µs = t1 + 4T entspricht. Wir können nicht sicher sein, dass beim Nullpunktwirklich ein Maximum ist, deshalb lassen wir diesen Wert aus.

u1 = u0 exp(−δ · t1) ∧ u2 = u0 exp(−δ · t2) ⇒

u2

u1= exp(−δ(t2 − t1)) = exp(−δ · NT )

δ =1

NTln

u1

u2=

14 · 1.338 µs

· ln21.2 mm7.7 mm

= 1.89 · 105 s−1 =1

5.28 µs

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58.3 Lösungen (Gedämpfte und erzwungene Schwingung, Bewegungsgleichungen) 1522

18. Lösung von Aufgabe 18

f =1

2π√

LC=

1

2π√

9.3 · 10−3 H · 200 · 10−9 F= 3690 Hz

Fehlerschranke addiert oder subtrahiert, damit das Resultat möglichst gross wird:

fmax =1

2π√

(9.3 − 0.2) · 10−3 H · (200 − 8) · 10−9 F= 3808 Hz

∆ f = fmax − f = 3808 Hz − 3690 Hz = 118 Hz −→ f = (3690 ± 118) Hz = (3.7 ± 0.1) kHz

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Kapitel 59

Lösungen (Wellen)

59.1 Lösungen (Wellenlänge, Frequenz und Phase)

1. Lösung von Aufgabe 1

c = λ f ⇒ λ =cf

=344 m/s1000 Hz

= 34 cm

Annahme: Lufttemperatur 20 °C.

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59.1 Lösungen (Wellenlänge, Frequenz und Phase) 1524

2. Lösung von Aufgabe 2

c = λ f ⇒ λ =cf

=2.9979 · 108 m/s

900 · 106 Hz= 0.333 m

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59.1 Lösungen (Wellenlänge, Frequenz und Phase) 1525

3. Lösung von Aufgabe 3

k =2πλ

=2π f

c=

2π · 9.1926 · 109 Hz2.99792458 · 108 m/s

= 192.66 m−1

T =1f

=1

9.1926 · 109 Hz= 1.0878 · 10−10 s

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59.1 Lösungen (Wellenlänge, Frequenz und Phase) 1526

4. Lösung von Aufgabe 4

u(x, t) = u sin(kx − ωt) ‘1. Nullstelle’: kx − ωt = 0⇒ x =ω

kt

zu vergleichen mit s = υt ⇒ c =ω

k

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59.1 Lösungen (Wellenlänge, Frequenz und Phase) 1527

5. Lösung von Aufgabe 5

WiFi ist, wie geschrieben, ein Standard (Abmachung). Standards haben nichts mit Energie zu tun. EinSender, der mit WiFi Daten überträgt, sendet elektromagnetische Wellen. Die Wellen tragen Energie.‘Abstand der Wellen’ ist kein definierter Ausdruck, gemeint ist wohl die Wellenlängen. Die Ampli-tude einer elektromagnetischen Welle wird in ‘Volt pro Meter’ (Einheit der elektrischen Feldstärke)gemessen; ‘8-13 cm’ ist wohl die Wellenlänge. Diese Wellenlänge liegt mitten im Mikrowellenbe-reich, also zwischen Infrarot und Radiowellen. Mit ‘Amplitude’ wird der Maximalwert (Spitzenwert)einer Welle bezeichnet; die Welle hat keine Spitzen.

Verbesserungsvorschlag: WiFi ist ein Funkstandard zur Datenübertragung mittels Mikrowellen. DieWellenlänge dieser elektromagnetischen Strahlung beträgt 8 bis 13 cm und liegt zwischen Infrarotund Radiowellen.

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59.1 Lösungen (Wellenlänge, Frequenz und Phase) 1528

6. Lösung von Aufgabe 6

A sin(kx − ωt) + A sin(kx − ωt + α) soll= 1

2 A sin(kx − ωt + β)Diese Gleichung muss für beliebige x und t erfüllt sein, insbesondere fürkx − ωt = 0⇒ sinα = 1

2 sin βkx − ωt = π/2⇒ 1 + cosα = 1

2 cos β quadrieren und addieren⇒

sin2 α + (1 + cosα)2 = 14

(sin2 β + cos2 β

)2 + 2 cosα = 1

4 ⇒ α = arccos(1/8 − 1) = arccos(−7/8) = 2.64 rad = 151°

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59.1 Lösungen (Wellenlänge, Frequenz und Phase) 1529

7. Lösung von Aufgabe 7

c = λ f ⇒ f =cλ

=344 m/s0.17 m

= 2.0 kHz

Da nichts anderes gegeben ist, nehmen wir die Schallgeschwindigkeit bei 20 °C.

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59.1 Lösungen (Wellenlänge, Frequenz und Phase) 1530

8. Lösung von Aufgabe 8

a) k =2πλ⇒ λ =

2πk

=2π

65 m−1 = 9.7 cm

b) c =ω

k=

4.8 s−1

65 m−1 = 7.4 cm/s

c) u = u sin(kx + ωt) = 2.8 cm · sin(65 m−1 · 0.05555 m + 4.8 s−1 · 0.827 s) = +2.7 cm

d) x > λ/2→ das 2. Maximum muss sich nach links bis zu x bewegen

kx + ωt = π/2 + 2π⇒ t = (5π/2 − kx)/ω = (5π/2 − 65 m−1 · 0.05555 m)/4.8 s−1 = 0.88 s

e) Der Träger schwingt an der Stelle x = 0 harmonisch: y = u sin(k · 0 + ωt)

υ = dy/dx = ωu cos(ωt) = 4.8 s−1 · 2.8 cm cos(0) = 13 cm/s

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59.1 Lösungen (Wellenlänge, Frequenz und Phase) 1531

9. Lösung von Aufgabe 9

λ =cf

=1.5 · 103 m/s1.50 · 105 Hz

= 1.0 cm

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59.1 Lösungen (Wellenlänge, Frequenz und Phase) 1532

10. Lösung von Aufgabe 10

u : el. Feldstärke E [E] = V/m ω = 2π f = 2π · 1.5 · 109 Hz = 9.4 · 109 s−1

(Die Wirkung einer Mikrowelle geht von der elektrischen Felstärke aus, denn die magnetische Kom-ponente der elektromagnetischen Welle verrichtet keine Arbeit.)

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59.1 Lösungen (Wellenlänge, Frequenz und Phase) 1533

11. Lösung von Aufgabe 11

u = u sinϕ⇒ ∆ϕ = ϕ2 − ϕ1 = π − ϕ1 − ϕ1 = π − 2ϕ1 = π − 2 arcsinuu

∆ϕ

2π=

∆tT⇒ f =

1T

=∆ϕ

2π∆t=π − 2 arcsin u/u

2π∆t=π − 2 · arcsin(488/738)

2π · 0.919 s= 0.294 Hz

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59.2 Lösungen (Wellengeschwindigkeit) 1534

59.2 Lösungen (Wellengeschwindigkeit)

1. Lösung von Aufgabe 1a) Je grösser die Masse m, desto tiefer die Wellengeschwindigkeit c. Je grösser die Federkonstante D,desto höher die Wellengeschwindigkeit.

Ansatz: c =Dα

mβ

Wir verwenden die Einheiten stellvertretend für die Dimensionen. Damit gilt:

ms

=(N/m)α

kgβ=

kgα

s2αkgβ

Der Koeffizientenvergleich liefert für die Exponenten:

kg: 0 = α − β

s: − 1 = −2α⇒ α = β = 1/2m: 1 = 0

b) Wie man sieht, hat die letzte Gleichung keine Lösung, d.h. der Ansatz funktioniert nicht.c) Im Ansatz fehlt eine Länge. Diese Länge könnte der Abstand zweier Atome oder die Wellenlängesein.In der Literatur (Festkörperphysik) findet man folgende Relation:

ω2 =4Dm

sin2(ka2

)wobei ω die Kreisfrequenz, k die Kreiswellenzahl und a der Abstand benachbarter Atome ist. DieWellengeschwindigkeit (Phasengeschwindigkeit) folgt daraus mit c = ω/k.

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59.2 Lösungen (Wellengeschwindigkeit) 1535

2. Lösung von Aufgabe 2

c ∝√

T ⇒c2

c1=

√T2

T1=

√298 K273 K

= 1.0448 = 1.04

Die Schallgeschwindigkeit nimmt 4.5 % zu.

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59.2 Lösungen (Wellengeschwindigkeit) 1536

3. Lösung von Aufgabe 3

sinα2

sinα1=

n1

n2=

c2

c1=

√T2

T1=

√T1 − f h

T1⇒

α2 = arcsinsin(α1)

√T1 − f h

T1

= arcsin

sin(45°)

√(273.15 + 20) K − 6.0 K/km · 3.0 km

(273.15 + 20) K

= 43°

Die Schallwelle wird ‘aufwärts gebogen’. Entsprechend gibt es keine maximale Höhe nach Art derTotalreflexion. Dieser Fall könnte eintreten, wenn Schallwellen aus grosser Höhe schräg nach untenausgesandt werden.

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59.2 Lösungen (Wellengeschwindigkeit) 1537

4. Lösung von Aufgabe 4In der FoTa findet man für die Schallgeschwindigkeit in Luft 344 m/s bei 20 °C.

c ∝√

T ⇒c2

c1=

√T2

T1⇒

T2 = T1 ·

(c2

c1

)2

= (273.15 + 20) K ·(300 m/s344 m/s

)2

= 222.95 K=−50.2 °C

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59.2 Lösungen (Wellengeschwindigkeit) 1538

5. Lösung von Aufgabe 5

a) λvac =cf

=2.9979 · 108 m/s

5.83 · 1014 Hz= 514 nm grün

b) cG =c

nG=

2.99792458 · 108 m/s1.455

= 2.060 · 108 m/s

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59.2 Lösungen (Wellengeschwindigkeit) 1539

6. Lösung von Aufgabe 6

a) c ∝√

T ⇒ c2 = c1 ·

√T2

T1= 445 m/s ·

√(273.15 + 53) K(273.15 + 20) K

= 469 m/s

b) c =

√κRTM⇒ κ =

c2MRT

=(445 m/s)2 · (12.01 + 4 · 1.00794) · 10−3 kg/mol)

8.3145 J/molK · (273.15 + 20) K= 1.30

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59.2 Lösungen (Wellengeschwindigkeit) 1540

7. Lösung von Aufgabe 7

c =

√gλ2π⇒ λ =

2πc2

g=

2π · (250 · 103 m/s)2

274.0 m/s2 = 1.43 · 109 m

Das ist zu vergleichen mit dem Sonnenumfang von 4.37·109 m. Die Wellenlänge ist grösser als derSonnenradius; unsere Lösung, für die wir die Geschwindigkeit von Wasserwellen über tiefem Wasserverwendet haben, kann nur eine grobe Abschätzung sein.

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59.2 Lösungen (Wellengeschwindigkeit) 1541

8. Lösung von Aufgabe 8

Die Feder habe Masse m, Federkonstante D und Länge l. Eine Schraubenfeder kann in erster Nä-herung wie ein elastischer Stab mit Dichte ρ, Querschnittsfläche A, Länge l und Elastizitätsmodul Ebetrachtet werden. Wir können deshalb die Beziehung c2 = E/ρ auf die Feder übertragen; wir müssennur herausfinden, welche Grössen einander entsprechen.

F =EAl· ∆l↔ F = Dy⇒ D =

EAl

ρ =mV

=mAl

c =

√Eρ

=

√DlA·

Alm

= l ·

√Dm

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59.2 Lösungen (Wellengeschwindigkeit) 1542

9. Lösung von Aufgabe 9

a) c =

√κRTM⇒ κ =

c2MRT

=(206 m/s)2 · 2 · 35.453 · 10−3 kg/mol8.314472 J ·mol−1 · K−1 · 273.15 K

= 1.32

b) c ∝√

T ⇒ c2 = c0 ·

√T2

T0= 206 m/s ·

√(273.15 + 20) K

273.15 K= 213 m/s

©Martin Lieberherr

59.2 Lösungen (Wellengeschwindigkeit) 1543

10. Lösung von Aufgabe 10

ω2 = gk und c =ω

k⇒ c2 =

gk⇒ c =

√gλ2π

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59.2 Lösungen (Wellengeschwindigkeit) 1544

11. Lösung von Aufgabe 11

c ∝√

T ⇒ c = c0

√TT0

= 344 m/s ·

√(273.15 + 23.0) K(273.15 + 20.0) K

= 346 m/s

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59.2 Lösungen (Wellengeschwindigkeit) 1545

12. Lösung von Aufgabe 12

c =1√χρ⇒ χ =

1c2ρ

=1

(1326 m/s)2 · 879 kg/m3 = 6.47 · 10−10 /Pa

6.47 · 10−10 Pa = 6.47 · 10−5 /bar ≈ 65 · 10−6 /bar Nur die Grössenordnung stimmt.

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59.2 Lösungen (Wellengeschwindigkeit) 1546

13. Lösung von Aufgabe 13

a) Einheitenkontrolle:[Er2ω2

ρ

]=

N ·m2 · s−2

m2 · kg/m3 =kg ·m ·m2 ·m3

s2 ·m2 · kg · s2 =m4

s4 =[c4

]X

b) Nein, es hat vier Variable aber nur drei Einheiten. Der Zahlenfaktor 4 hat keine Einheit.

c) c =4

√Er2(2π f )2

4ρ=

4

√21 · 1010 N/m2 · (7.0 · 10−3 m)2 · (2π · 1.0 · 103 Hz)2

4 · 7.83 · 103 kg/m3 = 0.34 km/s

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59.2 Lösungen (Wellengeschwindigkeit) 1547

14. Lösung von Aufgabe 14

a) ca = λ f = 0.77 m · 440 Hz = 339 m/s

b) ` = λ1/2⇒ cb = λ1 f = 2` f = 2 · 0.265 m · 440 Hz = 233 m/s

c) Das Trägermedium (Luft/Saite) ist nicht dasselbe.d) Der aufgewickelte Draht ist flexibel, nicht starr wie eine Stange.

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59.2 Lösungen (Wellengeschwindigkeit) 1548

15. Lösung von Aufgabe 15

a) c ∼√

T → T2 = T1c2

2

c21

= (273.15 + 20) K ·(1100 m/3.6 s

344 m/s

)2

= 231 K = − 41.86 °C

b)∆Th

=231 − 293

13.7K

km= −4.52 K/km

Der trockenadiabatische Temperaturgradient beträgt −9.8 K/km, der Mittelwert des feuchtadiabati-schen −6 K/km, kann aber, wenn es feucht/heiss ist, “unter” 4 K/km fallen (wikipedia). Die genannteHöhe liegt also im Bereich des Möglichen. (Die implizite Annahme, dass unten die Temperatur 20 °Cbeträgt, ist ja auch fragwürdig.)

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59.3 Lösungen (Intensität und Polarisation) 1549

59.3 Lösungen (Intensität und Polarisation)

1. Lösung von Aufgabe 1

a) Einheitenkontrolle:[i20A2ω4

ε0c5

]=

A2m4s−4

As/(Vm) · (m/s)5 = AV = W X

b) P =1

12πε0c5 · (i0A)2ω4 =1

12πε0c5 · m2ω4

c) c =1√ε0µ0

⇒ ε0 =1µ0c2 ⇒ P =

µ0

12πc3 · m2ω4

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59.3 Lösungen (Intensität und Polarisation) 1550

2. Lösung von Aufgabe 2

J ∝ E2 ⇒E2

E1=

√P2

P1=√

10 = 3.2

Die Lösung setzt voraus, dass das Licht eine kohärente, monochromatische, ebene Welle ist.

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59.3 Lösungen (Intensität und Polarisation) 1551

3. Lösung von Aufgabe 3

a) c = λ f ⇒ λ =cf

=2.9979 · 108 m/s102.8 · 106 Hz

= 2.916 m

a) J = 12cε0E2 ⇒ E =

√2Jcε0

=

√2 · 80 · 10−6 W/m2

2.9979 · 108 m/s · 8.854 · 10−12 As/(Vm)= 0.25 V/m

c) J ∝1r2 ⇒ J2 = J1 ·

(r1

r2

)2

= 80 µW/m2 ·

(1.0 km2.3 km

)2

= 15 µW/m2

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59.3 Lösungen (Intensität und Polarisation) 1552

4. Lösung von Aufgabe 4

J = 12cε0E2 = cε0E2

eff = 3.00 · 108 · 8.854 · 10−12 As/(Vm) · (5.5 V/m)2 = 80 mW/m2

Die Anlagegrenzwerte gelten für die Strahlung einer einzelnen Anlage und müssen dort eingehaltenwerden, wo sich Menschen längere Zeit aufhalten.

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59.3 Lösungen (Intensität und Polarisation) 1553

5. Lösung von Aufgabe 5

a) J =PA

=P

4πr2 =50 · 103 W

4π · (3.8 · 103 m)2 = 2.8 · 10−4 W/m2

b) J = 12ε0cE2 =

P4πr2 ⇒ E =

1r

√P

2πε0c=

E =1

3.8 · 103 m

√50 · 103 W

2π · 8.854 · 10−12 As/(Vm) · 3.00 · 108 m/s= 0.46 V/m

c) keine Absorption, gleichmässige Abstrahlung in alle Richtungen

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59.3 Lösungen (Intensität und Polarisation) 1554

6. Lösung von Aufgabe 6

a =υ2

r∧ I =

∆Q∆t

=Neυ2πr

→

P = N ·q2

6πε0c3 · a2 =

2πrIeυ·

e2

6πε0c3 ·

(υ2

r

)2

=Ieυ3

3ε0c3r⇒

υ = c3

√3ε0rP

Ie= 3 · 108 m/s ·

3

√3 · 8.854 · 10−12 As/(Vm) · 1 m · 1 · 10−9 W

1 A · 1.6022 · 10−19 C= 1.6 · 108 m/s

Die Rechnung zeigt, dass der Verlust durch sogenannte Synchrotronstrahlung erst bei hoch relativi-stischen Geschwindigkeiten wichtig wird. Der relativistische Energieverlust durch Synchrotronstrah-lung pro Umlauf ist

∆E =q2β3γ4

ε03r∝ γ4

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59.3 Lösungen (Intensität und Polarisation) 1555

7. Lösung von Aufgabe 7

JJ0

= exp(−ad) = exp (−σcNAd)⇒ c =− ln J/J0

σNAd

c =− ln 1/2

0.53 · 10−20 m2 · 6.022 · 1023 mol−1 · 8.0 · 10−3 m= 27 · 10−3 mol/m3 = 2.7 · 10−5 mol/L

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59.3 Lösungen (Intensität und Polarisation) 1556

8. Lösung von Aufgabe 8

PA

= 12cε0E2 ⇒

E =

√2P

cε0A=

√2 · 1.3 · 103 W

3.00 · 108 m/s · 8.854 · 10−12 As/(Vm) · 0.22 · 10−6 m2 = 2.1 MV/m

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59.4 Lösungen (Interferenz und Beugung) 1557

59.4 Lösungen (Interferenz und Beugung)

1. Lösung von Aufgabe 1Mit ‘gelbes Licht’ ist wohl die Natrium-D Spektrallinie gemeint (509.0 nm resp. 589.6 nm).

d sinαm = mλ⇒ d =mλ

sinαm=

2 · 589.30 nm

sin(37 + 28

60

)°

= 1938 nm

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59.4 Lösungen (Interferenz und Beugung) 1558

2. Lösung von Aufgabe 2Die Reflexe von der Vorder- und Rückseite der Schicht müssen konstruktiv interferieren, d.h. derWegunterschied muss mindestens eine Wellenlänge betragen.

2d = λmat ⇒ d =λvac

2n

(Annahme: Bei der Reflexion tritt an beiden Grenzflächen derselbe Phasensprung auf.)

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59.4 Lösungen (Interferenz und Beugung) 1559

3. Lösung von Aufgabe 3

d sinα1 = 1.22λ→ α1 = arcsin(1.22λ

d

)= arcsin

(1.22 · 1.2 · 10−6 m

100 m

)= 3.0 mas

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59.4 Lösungen (Interferenz und Beugung) 1560

4. Lösung von Aufgabe 4

d sinαm = mλ⇒ d =λ

sinα1=

633 nmsin 1.4°

= 26 µm

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59.4 Lösungen (Interferenz und Beugung) 1561

5. Lösung von Aufgabe 5

d sinαm = mλ→ sinα1 =λ

d> 1⇒ d < λ

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59.4 Lösungen (Interferenz und Beugung) 1562

6. Lösung von Aufgabe 6Das Muster besteht aus Interferenzstreifen. In der Mitte hinter dem Doppelspalt – also im geometri-schen Schatten – interferieren die zwei Teilwellen aus den einzelnen Spalten konstruktiv. Wenn derSchirm weit weg ist, sind die Teilwellen nahezu parallel. Ihr Wegunterschied beträgt somit d sinαm

wobei αm den Ablenkwinkel der einfallenden Welle darstellt. Konstruktive Interferenz tritt auf, fallsd sinαm = m · λ wobei m = 0,±1,±2, . . . ist. Die Streifen haben auf dem Schirm also den Abstands = D tanαm+1 − D tanαm ≈ D · λ/d von Streifenmaximum zu Streifenmaximum.

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59.4 Lösungen (Interferenz und Beugung) 1563

7. Lösung von Aufgabe 7Die Wellen, die im Ausgang A1 überlagert werden, haben beide je eine Reflexion im Strahlteiler er-fahren und haben beide je einmal einen Strahlteiler gerade durchquert. Die Wellen haben also dasgleiche erlebt und sind deshalb in Phase. Jene Wellen hingegen, die sich im Ausgang A2 überlagern,haben Verschiedenes erlebt: Die Welle via Spiegel S1 hat zweimal einen Strahlteilter gerade durch-quert und die Welle, die via Spiegel S2 läuft, hat zwei Reflexionen in den Strahlteilern erlebt. DieseWellen müssen nicht in Phase sein respektive sie sind ausser Phase.

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59.4 Lösungen (Interferenz und Beugung) 1564

8. Lösung von Aufgabe 8

Das Quincke-Rohr ist ein Schall-Interferometer, bei dem die Arme einen Wegunterschied von 2daufweisen (wie beim Michelson-Interferometer). Die Messungen von Tabelle 26.1 wurden mit Schallder Frequenz 5000.0 Hz durchgeführt.

a) 2d = λ/2 + 3λ⇒ λ = 47d = 4

7 · 12.0 cm = 6.86 cm

f =cλ

=7c4d

=7 · 344 m/s4 · 0.120 m

= 5.02 kHz

b) 2(d9 − d1) = (9 − 1) · λ⇒ λ = 14 (d9 − d1) = 1

4 · (29.3 − 1.8) cm = 6.88 cm → 5.00 kHz

c) siehe Abbildung 59.1

Abbildung 59.1: Quinckerohr-Auszüge d als Funktionder Nummer n des Minimums (Tabelle 26.1, Messrei-he dA; bei Reihe dB ergeben sich ähnliche Fitparame-ter).

Die Steigung der Regressionsgeraden sollte gleich derhalben Wellenlänge sein, der Ordinatenabschnitt soll-te −λ/4 sein. Beides passt zu den Resultaten von Auf-gabe 8a) und b).

2 4 6 8 100

10

20

30

Nummer n

Ausz

ug d

(cm

)

Fit: d = a·n + ba = 3.45 cm b = -1.73 cm

Daten

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59.4 Lösungen (Interferenz und Beugung) 1565

9. Lösung von Aufgabe 9

a) d =maλa

sinαm=

1 · 514.91 nm

sin(31 + 31

60 + 313600

)°

= 984.77 nm (α1 = 31.5253°)

b) β1 = arcsin(mbλb

d

)= arcsin

(mbλb sinαm

maλa

)= arcsin

1 · 515.37 nm · sin(31 + 31

60 + 313600

)°

1 · 514.91 nm

= 31.5567° = 31° 33′ 24′′

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59.4 Lösungen (Interferenz und Beugung) 1566

10. Lösung von Aufgabe 10

sinα1 = 1.2197 · λ/d ⇒ d =1.2197 · λ

sinα1=

1.2197 · 550 nm

sin(

1560 + 32.6

3600

)°

= 0.148 mm

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59.4 Lösungen (Interferenz und Beugung) 1567

11. Lösung von Aufgabe 11

d sinα = mλ⇒ d >mλ

sinα=

8 · 514.3 nmsin 90°

= 4.114 µm

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59.4 Lösungen (Interferenz und Beugung) 1568

12. Lösung von Aufgabe 12

2l = mλ⇒ λ =2lm

=2 · 9.8358 · 10−3 mm

1500= 13.11 µm

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59.4 Lösungen (Interferenz und Beugung) 1569

13. Lösung von Aufgabe 13

Der Käferpanzer kann aus dünnen Schichten (abwechselnd hoher und tiefer Brechungsindex) aufge-baut sein. Das reflektierte Licht kann dann für bestimmte Wellenlängen konstruktiv oder destruktivinterferieren. Das ‘weisse’ Sonnenlicht erscheint nach der Reflexion gefärbt.

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59.4 Lösungen (Interferenz und Beugung) 1570

14. Lösung von Aufgabe 14

a) Siehe Legende von Abb. 59.2.b) Je grösser die Drehgeschwindigkeit, desto grösser die Phasenverschiebung. Je grösser A resp. jelänger der Lichtweg, desto grösser ist die Phasenverschiebung. Die Einheiten stimmen.

c) ∆ϕ = 2π f ·4AΩ

c2 =8πlbλc·

2πTE

=8π · 613 m · 339 m

500 · 10−9 m · 2.998 · 108 m/s·

2π86400 s

= 2.53 rad

d) Wir berechnen die Umlaufzeiten der Teilwellen in einem runden Sagnac-Interferometer, sieheAbb. 59.2.

∆ϕ

2π=

t1 − t2

T= f · (t1 − t2) = f ·

(2πr

c −Ωr−

2πrc + Ωr

)=

f · 2πrc·

(1

1 −Ωr/c−

11 + Ωr/c

)≈

f · 2πrc· (1 + Ωr/c − 1 + Ωr/c) =

4 f · πr2 ·Ω

c2 = f ·4AΩ

c2

Abbildung 59.2: Sagnac-Interferometer mit rundem Lichtweg. Die imUhrzeigersinn laufende Welle braucht länger für einen Umlauf als dieim Gegenuhrzeigersinn laufende Welle, weil sie dem Ausgang (‘out’)nachlaufen muss.

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59.4 Lösungen (Interferenz und Beugung) 1571

15. Lösung von Aufgabe 15

a) f1 =cλ1

=3.00 · 108 m/s0.3 · 10−3 m

= 1 · 1012 Hz f2 =cλ2

=3.00 · 108 m/s

3 · 10−3 m= 1 · 1011 Hz

b) d sinα1 = 1.22 · λ⇒ α1 = arcsin(1.22 · λ

d

)≈ arcsin

(1.22 · 1 · 10−3 m

14 · 103 m

)= 9 · 10−8 rad = 18 mas (milliarcseconds)

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59.4 Lösungen (Interferenz und Beugung) 1572

16. Lösung von Aufgabe 16

sinα1 = 1.22λ/a Auflösungskriterium nach Rayleigh

ρ = 300 Pixel/inch sinα1 ≈ tanα1 =1

D · ρ1

D · ρ= 1.22λ/a

D =a

1.22λρ=

4 · 10−3 m · 2.540 · 10−2 m1.22 · 555 · 10−9 m · 300

= 0.5 m

Man kann die Pixel sehen, solange keine Sehschwäche vorliegt. Junge Menschen können noch unter20 cm Abstand scharf sehen.

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59.4 Lösungen (Interferenz und Beugung) 1573

17. Lösung von Aufgabe 17

r1 − r2 = λ/2 + 0 · λ

λ = 2r1 − 2r2 = 2√

(xP − x1)2 + (yP − y1)2 − 2√

(xP − x2)2 + (yP − y2)2

λ = 2√

(283 + 1235)2 + (873 − 0)2 mm − 2√

(283 − 1062)2 + (873 − 0)2 mm = 1.16 m

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59.4 Lösungen (Interferenz und Beugung) 1574

18. Lösung von Aufgabe 18

Der Wegunterschied der zwei Wellen ist d sinα und dieser muss für konstruktive Interferenz einganzzahliges Vielfaches m der Wellenlänge λ sein. (Konstruktive Interferenz findet unter denselbenWinkeln wie beim Doppelspalt oder periodischen Strichgitter statt.)

d sinαm = mλ⇒ λ =d sinα

m

λ1 =48 cm · sin 33°

1= 26 cm

λ2 =48 cm · sin 33°

2= 13 cm

λ3 = λ1/3 usw.

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59.4 Lösungen (Interferenz und Beugung) 1575

19. Lösung von Aufgabe 19

d sinαm = mλ⇒ sinαm ∝ m⇒sinα3

sinα2=

32→ α3 = arcsin

(32 sinα2

)= arcsin

(32 sin 29.87°

)= 48.34°

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59.4 Lösungen (Interferenz und Beugung) 1576

20. Lösung von Aufgabe 20

An der Vorder- und Rückseite der Seifenlamelle gibt es Reflexe, die konstruktiv oder destruktiv in-terferieren können. Jene Wellenlängen, die destruktiv interferieren, fehlen nachher im Spektrum. Sowird das weisse Spektrum verändert und das Licht erscheint gefärbt.

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59.4 Lösungen (Interferenz und Beugung) 1577

21. Lösung von Aufgabe 21

In der Mittelebene tritt sicher konstruktive Interferenz auf. Die nächste Stelle auf der Verbindungslinieder Lautsprecher, wo konstruktive Interferenz auftreten könnte, ist λ/2 gegen einen Lautsprecherverschoben. Es tritt also keine weitere, vollkommene konstruktive Interferenz auf, wenn d/2 < λ/2respektive d < λ ist.

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59.4 Lösungen (Interferenz und Beugung) 1578

22. Lösung von Aufgabe 22

a) d sinα1 = 1 · λ⇒ λ = d sinα1 = 15 cm · sin 29° = 7.3 cm

b) f =cλ

=c

d sinα1=

344 m/s0.15 m sin 29°

= 4.7 kHz

c) d sinα2 = 2 · λ = 2d sinα1 ⇒ α2 = arcsin (2 sin 29°) = 76° Ja

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59.4 Lösungen (Interferenz und Beugung) 1579

23. Lösung von Aufgabe 23

a) λ =cf

=2.99792458 · 108 m

473.612214712 · 1012 Hz= 632.9913982 nm = λvac X (soviel der TR hergibt)

b) nL =ccL

=λvac fλL f

=λvac

λL=

632.991 nm632.816 nm

= 1.000277

c) ∆s = N ·λ

2⇒ N =

2∆sλ

=2 · 50 m

632.9 · 10−9 m= 1.6 · 108

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59.4 Lösungen (Interferenz und Beugung) 1580

24. Lösung von Aufgabe 24

a) d sinα1 = 1 · λ =cf⇒ d =

cf sinα1

=344 m/s

7800 Hz · sin 18°= 0.14 m

b) d =λ

sinα1=

mλsinαm

max=

mmaxλ

sin 90°⇒ mmax =

sin 90°sinα1

=1

sin 18°= 3.24→ mmax = 3

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59.4 Lösungen (Interferenz und Beugung) 1581

25. Lösung von Aufgabe 25

mλ = ∆r = r1 − r2 =

√d2 + r2

2 − r2 ⇒ (mλ + r2)2 = d2 + r22 ⇒ m2λ2 + 2mλr2 = d2 ⇒

r2 =d2 − m2λ2

2mλfür m > 0 und d > mλ

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59.4 Lösungen (Interferenz und Beugung) 1582

26. Lösung von Aufgabe 26

a) Die Formel für die Beugung am Spalt d sinαk = kλ beschreibt, in welche Richtungen (Beugungs-winkel αk) kein Licht gebeugt wird. Die Abbildung 26.9 zeigt die Stellen xk auf dem Schirm, wo keinLicht auftrifft. Das Diagramm zeigt aber auch den Intensitätsverlauf zwischen diesen Nullstellen. Mitdem Abstand Spalt-Schirm kann man die Winkel in die Nullstellen umrechnen. (Die Funktion hat dieForm J ∝ (x−1 · sin x)2. )

b) D tanα1 = x1 und d sinα1 = 1 · λ⇒

λ = d sin(arctan

x1

D

)= 110 µm · sin

(arctan

2.50 · 10−2 m3.85 m

)= 0.714 µm

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59.4 Lösungen (Interferenz und Beugung) 1583

27. Lösung von Aufgabe 27

Die an der Vorderseite und die an der Rückseite der Schicht reflektierten Wellen müssen destruktivinterferieren.

∆s =λS

2Wegunterschied für destruktive Interferenz

2dcosαS

=λ1

2nS

2dcos arcsin(sinα1/nS )

=λ1

2nS

d =λ1

4nScos arcsin(n−1

S sinα1) =500 nm4 · 1.42

· cos arcsin(1.42−1 sin 18°) = 85.9 nm

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59.4 Lösungen (Interferenz und Beugung) 1584

28. Lösung von Aufgabe 28

sinα1 = 1.22λ

dAuflösungsgrenze nach Rayleigh

α1 = arcsin(1.22

c2d f

)= arcsin

(1.22

3.00 · 108 m/s2 · 0.28 m · 11568 · 106 Hz

)= 3.2° = 57 mrad

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59.4 Lösungen (Interferenz und Beugung) 1585

29. Lösung von Aufgabe 29

r sinα1 = 1.22 · λ⇒ α1 = arcsin1.22 · λ

r≈ arcsin

1.22 · 555 · 10−9 m23 m/2

= 3.4 · 10−6 Grad

Falls das Teleskop sichtbares Licht sammelt (555 nm entsp. grünem Licht), hätte ein beugungsbe-grenzter Spiegel eine wesentlich bessere Winkelauflösung. Der CTA-Spiegel “sammelt nur Licht”,d.h. ist von eher schlechter optischer Qualität.

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59.4 Lösungen (Interferenz und Beugung) 1586

30. Lösung von Aufgabe 30

d sinαm = mλ⇒ d =mλ

sinαm=

3 · 0.435 µmsin 90°

= 1.31 µm Minimalwert

Grössere Gitterkonstanten bewirken kleinere Beugungswinkel, die dann natürlich beobachtbar sind.

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59.4 Lösungen (Interferenz und Beugung) 1587

31. Lösung von Aufgabe 31

s sinαk = kλ⇒ s =kλ

sinαk=

2 · 632.8 nm

sin(

3460 + 23

3600

)°

= 126.5 µm

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59.4 Lösungen (Interferenz und Beugung) 1588

32. Lösung von Aufgabe 32.Siehe Abbildung 59.3.

Abbildung 59.3: Wenn die Welle in die Glasplatte eintritt, sowird ein Teil an der Vorderseite und ein Teil an der Rückseite re-flektiert. Der hintere Reflex kann innen mehrmals hin und her re-flektiert werden, wobei jedesmal ein Teil der Welle aus dem Glastritt. Die Reflexe auf der Eintrittseite überlagern sich und kön-nen interferieren. Die direkt durchgehende Welle kann mit denmehrmals gespiegelten Wellen interferieren. Je nach Weg, dendie Reflexe im Glas zurücklegen, kann konstruktive oder destruk-tive Interferenz eintreten. Die Interferenz in Reflexion ist meistdeutlicher als in Transmission.

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59.4 Lösungen (Interferenz und Beugung) 1589

33. Lösung von Aufgabe 33

r1 − r2 = zλ⇒√

(2d)2 + d2 − d = z · λ⇒ λ =(√

5 − 1)· d/z z ∈ N

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59.4 Lösungen (Interferenz und Beugung) 1590

34. Lösung von Aufgabe 34

sinα1 = 1.22λ/d ∧ tanα1 = h/D⇒ h = D tanα1 = D tan arcsin (1.22λ/d)

h = 7200 m · tan arcsin(1.22 · 555 · 10−9 m/(4.0 · 10−3 m)

)= 1.2 m

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59.4 Lösungen (Interferenz und Beugung) 1591

35. Lösung von Aufgabe 35

d sinα = mλ→da sinαa

db sinαb=

mλmλ

= 1⇒db

da=

sinαa

sinαb=

sin 43.28°sin 51.63°

= 0.8744

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59.4 Lösungen (Interferenz und Beugung) 1592

36. Lösung von Aufgabe 36

∆s =λn

2→ 2d =

λ

2n=

c2n f

⇒ f =c

4nd=

2.9979 · 108 m/s4 · 1.42 · 120 · 10−9 m

= 4.40 · 1014 Hz

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59.4 Lösungen (Interferenz und Beugung) 1593

37. Lösung von Aufgabe 37

Beugung von Licht an der CD, Interferenz von Licht an Benzinschichten auf Wasser, Beugung vonSchall an der Hausecke, Interferenz der Lichtreflexe von Entspiegelungsschichten auf Photoobjekti-ven, etc.

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Kapitel 60

Lösungen (Akustik)

60.1 Lösungen (Tonleitern)

1. Lösung von Aufgabe 1

fGn

fa′= 2x/12 ⇒ x =

12log 2

· log(

fGn

fa′

)=

12log 2

· log(1000 Hz440 Hz

)= 14.21 = 12 + 2.21

In temperierter Stimmung liegt der Gnitzenton 14 Halbtöne über a’ respektive 2 Halbtöne über a”,d.h beim h” (näher beim h” als beim c”’).

1000 Hz880 Hz

=2522

= 1.136

98

= 1.125 Sekunde

65

= 1.200 kleine Terz

In reiner Stimmung liegt der Ton einen grossen Ganzton (Sekunde) über a”.

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60.2 Lösungen (Pfeifen und Saiten) 1595

60.2 Lösungen (Pfeifen und Saiten)

1. Lösung von Aufgabe 1

λ1 = 2l⇒ f1 =cλ

=c2l

=344 m/s

2 · 0.34 m= 0.51 kHz

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60.2 Lösungen (Pfeifen und Saiten) 1596

2. Lösung von Aufgabe 2

l =λ1

4=

c4 f1

=344 m/s4 · 75 Hz

= 1.1 m

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60.2 Lösungen (Pfeifen und Saiten) 1597

3. Lösung von Aufgabe 3

Je länger die Pfeife ist, desto tiefer ist die Frequenz: f ∝ 1/l oder besser f = c/(4l).

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60.2 Lösungen (Pfeifen und Saiten) 1598

4. Lösung von Aufgabe 4

a) Im Reagenzglas muss sich eine stehende Welle bilden, deren Länge in einem bestimmten Verhältniszur Rohrlänge steht (l = λ/4 für den Grundton). Wenn sich die Schallgeschwindigkeit c verändert, somuss sich wegen c = λ · f ∝ f die Grundfrequenz f im gleichen Sinne anpassen.

b) ML ≈ 29.0 g/mol κL = 1.40MA = (10 · 1.008 + 4 · 12.01 + 16.00) g/mol = 74.12 g/mol 1 < κ < 1.3 (κ = 1.08)

f ∝ c =

√κRTM⇒

fA

fL=

√κAML

κLMA≈

√1.08 · 29.0 g/mol

1.40 · 74.12 g/mol= 0.549

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60.2 Lösungen (Pfeifen und Saiten) 1599

5. Lösung von Aufgabe 5

f1 =c2l

=12l

√Fµ

=12l

√FAρ⇒

F = (2l f1)2 π4 d2ρ = (2 · 0.85 m · 280 Hz)2

· π4 ·(8.0 · 10−4 m

)2· 1.14 · 103 kg/m3 = 1.3 · 102 N

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60.2 Lösungen (Pfeifen und Saiten) 1600

6. Lösung von Aufgabe 6

f =c2l∝ c ∝

√T ⇒

T2

T1=

(fH

F1

)2

⇒

T2 = T1 ·

(fH

F1

)2

= (273.15 + 20) K ·(1615

)2

= 333.54 K

ϑ2 = T2 − T1 = (333.54 − 273.15) °C = 60 °C

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60.3 Lösungen (Schallstärke und Lautstärke) 1601

60.3 Lösungen (Schallstärke und Lautstärke)

1. Lösung von Aufgabe 1

L = 10 · lg(

JJ0

)= 10 · lg

(∆ p2

2cρJ0

)= 10 · lg

((8.7 · 102 Pa)2

2 · 344 m/s · 1.20 kg/m3 · 10−12 W/m2

)= 150 dB

Es wurde angenommen, dass sich der Schall in Luft von 20 °C und Normaldruck ausbreitet.

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60.3 Lösungen (Schallstärke und Lautstärke) 1602

2. Lösung von Aufgabe 2

a) λ =cf

=344 m/s800 Hz

= 430 mm Die Schallgeschwindigkeit wurde bei 20 °C genommen.

b) L2 − L1 = 10 · lg(

J2

J1

)⇒

J2

J1= 10∆L/10 = 10−3.57/10 = 0.440

c) J(d) = J0 · 10−ad mit a = 0.357 km−1 ist eine Exponentialfunktion, siehe Abb. 60.1

Abbildung 60.1: SchallstärkeJ als Funktion der Distanz din feuchter Luft (ohne ‘geome-trische Verdünnung’ nach dem1/r2-Gesetz).

0.0 0.5 1.0 1.5 2.00.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

d ( km )

J (

W/m

2 )

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60.3 Lösungen (Schallstärke und Lautstärke) 1603

3. Lösung von Aufgabe 3

L1 = 10 · lgJJ0

= 10 · lgP

4πr21 J0⇒ L2 − L1 = 10 · lg

r21

r22

L2 = L1 + 20 · lgr1

r2= 40 dB + 20 · lg

(4.5 km

0.010 km

)= 93 dB

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60.3 Lösungen (Schallstärke und Lautstärke) 1604

4. Lösung von Aufgabe 4

L = 10 · lg(

JJ0

)= 10 · lg

(1.0 · 10−5 W/m2

10−12 W/m2

)= 70 dB

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60.3 Lösungen (Schallstärke und Lautstärke) 1605

5. Lösung von Aufgabe 5

a) L = 10 · lg(

JJ0

)= 10 · lg

(∆ p2

2cρJ0

)⇒

∆ p =√

2cρJ0 · 10L/10 =

√2 · 344 m/s · 1.15 kg/m3 · 10−12 W/m2 · 10143 dB/10 = 397 Pa

b) J ∝ 1/r2 ⇒ L = 10 · lg(

1r2

)+ const = 20 · lg

(1r

)+ const ⇒ L2 − L1 = 20 · lg

(r1

r2

)⇒

r2 = r1 · 10(L1−L2)/20 = 1.0 m · 10(143 dB−80 dB)/20 = 1.4 km

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60.3 Lösungen (Schallstärke und Lautstärke) 1606

6. Lösung von Aufgabe 6

J =∆ p2

2cρ⇒ ∆ p0 =

√2cρJ0 =

√2 · 344 m/s · 1.2 kg/m3 · 10−12 W/m2 = 2.87 · 10−5 Pa = 10−5 Pa

Da vom Ausgangswert nur die Grössenordnung bekannt ist, muss das Resultat auf die nächste Zeh-nerpotenz gerundet werden.

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60.3 Lösungen (Schallstärke und Lautstärke) 1607

7. Lösung von Aufgabe 7

L = 10 · lgJJ0

= 10 · lg∆ p2

∆ p20

= 20 · lg∆ p∆p0

Akustiker benützen oft statt der Schalldruckamplitude ∆ p den effektiven Schalldruck pe f f = ∆p/√

2.

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60.3 Lösungen (Schallstärke und Lautstärke) 1608

8. Lösung von Aufgabe 8

a) L = 10 lgJJ0⇒ J = J0 · 10L/10 = 10−12 W/m2 · 1067 dB/10 = 5.0 · 10−6 W/m2

b) J ∝ P⇒ L = 10 lg P + const ⇒ L2 − L1 = 10 lgP2

P1⇒

P2

P1= 10∆L/10 = 105.0 dB/10 = 3.2

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60.3 Lösungen (Schallstärke und Lautstärke) 1609

9. Lösung von Aufgabe 9

a) c = λ f ⇒ λ =cf

=1483 m/s

2.0 · 106 Hz= 0.74 mm

b) J =∆ p2

2cρ⇒

∆ p =√

2cρJ =√

2 · 1483 m/s · 998 kg/m2 · 100 · 10−3 W/(10−4 m2) = 5.44 · 104 Pa

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60.3 Lösungen (Schallstärke und Lautstärke) 1610

10. Lösung von Aufgabe 10

Dezibel ist die Einheit des Schallpegels, der unabhängig von der Frequenz ist. dB(A) ist eine Einheitder Lautstärke, welche den Frequenzgang des menschlichen Gehörs berücksichtigt.

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60.3 Lösungen (Schallstärke und Lautstärke) 1611

11. Lösung von Aufgabe 11

a) Wenn A = 26.7 dB/km ist, so nimmt das Signal pro Kilometer um den Faktor 1026.7 ab. Das führtauf ein Exponentialgesetz.

b) J = J0e−ad ⇒ lgJJ0

= −ad · lg e⇒ A =10d

lgJJ0

= −10 a lg e

a =A

−10 lg e=−267 dB/1000 m−10 lg e

= 0.0615 m−1

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60.3 Lösungen (Schallstärke und Lautstärke) 1612

12. Lösung von Aufgabe 12

Die Energie verteilt sich auf eine Zylinder-Mantelfläche

J =PA

=P

2πrl∝

1r⇒

J2

J1=

r1

r2

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60.3 Lösungen (Schallstärke und Lautstärke) 1613

13. Lösung von Aufgabe 13

a)J2

J1=

r21

r22

⇒ L2 = 10 · lgJ2

J0= 10 · lg

J1r21

J0r22

= 10 · lgJ1

J0+ 10 · lg

r21

r22

L2 = L1 + 20 · lgr1

r2= 143 dB + 20 · lg

1 m17 · 103 m

= 58 dB

b) J1 = J0 · 10L1/10 =∆ p2

2cρ⇒ ∆ p =

√2cρ · J0 · 10L1/10

∆ p =√

2 · 344 m/s · 1.293 kg/ms · 10−12 W/m2 · 10143/10 = 421 Pa

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60.3 Lösungen (Schallstärke und Lautstärke) 1614

14. Lösung von Aufgabe 14

Die Quelle habe Abstand r1 vom Empfänger. Bei ruhender Luft benötigt der Schall die Zeit t1 = r1/cvon der Quelle zum Empfänger. Bei Wind vergrössert sich diese Zeit auf t2 = r1/(c − υ), d.h. es siehtso aus, wie wenn die Quelle Abstand r2 = t2c von der Quelle gehabt hätte. (In ruhender Luft bewegtsich der Schall kugelförmig von der Quelle weg. Bei Wind bewegen sich diese Kugeln mit dem Windvon Quelle und Empfänger weg. Das Zentrum dieser weggewehten Kugel ist dann die scheinbareQuelle für den Empfänger.)

J ∼1r2

2

∼(c − υ)2

c2r21

∼1r2

1

·

(1 −

υ

c

)2

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60.3 Lösungen (Schallstärke und Lautstärke) 1615

15. Lösung von Aufgabe 15

L = 10 lgJJ0

= 10 lgP2

AJ0= 10 lg

ηP1

2πr2J0= 10 lg

0.70 · 240 W2π · (2800 m)2 · 10−12 W/m2 = 65 dB

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60.3 Lösungen (Schallstärke und Lautstärke) 1616

16. Lösung von Aufgabe 16

L = 10 lgJJ0⇒ L2 − L1 = 10 lg

J2

J1⇒

J2

J1= 10∆L/10 = 1017/10 = 50

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60.3 Lösungen (Schallstärke und Lautstärke) 1617

17. Lösung von Aufgabe 17

J ∝1r2 → L2 − L1 = 10 lg

J2

J0− 10 lg

J1

J0= 10 lg

J2

J1= 10 lg

r21

r22

= −20 lgr2

r1⇒

r2

r1= 10 ˆ

(−

L2 − L1

20

)= 10 ˆ

(−

73 dB − 83 dB20

)= 3.2

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60.4 Lösungen (Dopplereffekt) 1618

60.4 Lösungen (Dopplereffekt)

1. Lösung von Aufgabe 1Sei υB die Geschwindigkeit des Beobachters und υA die Geschwindigkeit des Autos, beide relativ zurStrasse gemessen. Sei l die Länge des Autos. Die Bewegungsrichtungen seien entgegen gesetzt.

∆t0 =lυA

und ∆t1 =l

υrelativ=

lυA + υB

⇒∆t1

∆t0=

υA

υA + υB

Der Dopplereffekt wird üblicherweise mit Frequenzen ausgedrückt. Frequenzen sind Kehrwerte vonZeitspannen ( f = 1/∆t). Man erhält also:

f1

f0=υA + υB

υA

Die Formel entspricht dem (akustischen) Dopplereffekt (ruhende Quelle, bewegter Beobachter). DieGeschwindigkeit des Autos entspricht der Schallgeschwindigkeit, die Autolänge der Wellenlänge.

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60.4 Lösungen (Dopplereffekt) 1619

2. Lösung von Aufgabe 2

∆λ

λ=υr

c⇒ ∆λ =

λυr

c=

480 · 10−9 m · 0.51 m/s2.998 · 108 m/s

= 8.2 · 10−16 m

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60.4 Lösungen (Dopplereffekt) 1620

3. Lösung von Aufgabe 3

fE

fQ=

cc − υQ

= 2n/1200 ⇒ c − υQ = c · 2−n/1200 ⇒

υQ = c ·(1 − 2−n/1200

)= 344 m/s ·

(1 − 2−10/1200

)= 2.0 m/s

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60.4 Lösungen (Dopplereffekt) 1621

4. Lösung von Aufgabe 4

sinα =cυ⇒ α = arcsin

cυ

= arcsin344 m/s980 m/s

= 20.5°

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60.4 Lösungen (Dopplereffekt) 1622

5. Lösung von Aufgabe 5

∆λ

λ1≈υr

c⇒ υr =

λ2 − λ1

λ1· c =

(673.38 − 656.27) nm656.27 nm

· 2.9979 · 108 m/s = 7.816 · 106 m/s

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Teil XI

Lösungen Moderne Physik

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Kapitel 61

Lösungen (Spezielle Relativitätstheorie)

61.1 Lösungen (Zeitdilatation und Längenkontraktion)

1. Lösung von Aufgabe 1

τ1 = γτ0 =τ0√

1 − υ2/c2=

2.6033 · 10−8 s√

1 − 0.9999882= 5.3139798 · 10−6 s = 5.3 µs

Das Resultat sollte auf etwa zwei wesentliche Ziffern gerundet werden, da im Lorentzfaktor γ eineDifferenz steht: 1 − 0.9999882 = 0.000024000 = 0.000024.Ausführlichere Betrachtung: Da die Angabe 99.9988 % als gerundet betrachtet werden muss, kannberechnen, welche maximale Lebensdauer mit dieser Rundung noch verträglich ist:

τ1 <2.6033 · 10−8 s√

1 − 0.99998852= 5.428 · 10−6 s

sowie im Minimum

τ1 >2.6033 · 10−8 s√

1 − 0.99998752= 5.207 · 10−6 s

Die erste Ziffer ist also sicher, die zweite Ziffer könnte eine vier, drei oder zwei sein und spätestensdie dritte Ziffer ist ‘digitaler Mist’. Es ist vernünftig, das Resultat auf zwei signifikante Stellen zurunden.

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61.1 Lösungen (Zeitdilatation und Längenkontraktion) 1625

2. Lösung von Aufgabe 2

τ1 = 2τ0 = γτ0 ⇒ γ =1√

1 − υ2

c2

= 2⇒ υ =

√3c2

=

√3 · 3.00 · 108 m/s

2= 2.60 · 108 m/s

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61.1 Lösungen (Zeitdilatation und Längenkontraktion) 1626

3. Lösung von Aufgabe 3Fritz ist schneller unterwegs, somit sind die relativistischen Effekte stärker. Lisa ist länger unter-wegs, somit kann sich ein grösserer Rückstand ansammeln. Da aber relativistische Effekte mit derGeschwindigkeit überproportional zunehmen, wird vermutlich Fritzens Uhr den grösseren Rückstandaufweisen.Die relativistische Zeitdilatation besagt, dass der selbe Vorgang im Laborsystem länger dauert als imRuhesystem. Eine bewegte Uhr braucht deshalb länger, bis sie eine gewissen Zeigerstellung erreichthat. Umgekehrt zeigt eine bewegte Uhr weniger an als eine ruhende Uhr, wenn mit beiden Uhrenderselbe Vorgang gemessen wurde. Wenn τ0 die Zeit ist, welche mit einer ruhenden Uhr gemessenwird und τ1 die Zeit, welche die bewegte Uhr anzeigt, so ist τ1 = τ0/γ. Für die Arbeitsplatzuhr istτ0 = s/υ. Wir berechnen das Verhältnis der Rückstände beider Uhren gegenüber der Arbeitsplatzuhr:

τ0F − τ1F

τ0L − τ1L=τ0F − τ0F/γF

τ0L − τ0L/γL=τ0F

τ0L·

1 − 1/γF

1 − 1/γL=υL

υF·

1 −√

1 − υ2F/c2

1 −√

1 − υ2L/c2

≈υL

υF·

1 − 1 + 12υ

2F/c

2

1 − 1 + 12υ

2L/c2

=υF

υL> 1

Die Uhr von Fritz zeigt den grösseren Rückstand an.

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61.1 Lösungen (Zeitdilatation und Längenkontraktion) 1627

4. Lösung von Aufgabe 4

l1 =l0

γ= l0

√1 −

υ2

c2 = l0

(1 −

υ2

c2

)1/2

= l0

(1 −

υ2

2c2 + . . .

)l0 − l1 = l0 ·

υ2

2c2 + · · · ≈ 100 m ·(7.7 m/s)2

2 · (2.9979 · 108 m/s)2 = 3.3 · 10−14 m

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61.1 Lösungen (Zeitdilatation und Längenkontraktion) 1628

5. Lösung von Aufgabe 5

∆t = γ∆t0 =∆t0√

1 −(υc

)2=

8.4 · 10−17 s√1 −

(2.99700·108 m/s

2.99792458·108 m/s

)2= 40.3 · 8.4 · 10−17 s = 3.4 fs

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61.1 Lösungen (Zeitdilatation und Längenkontraktion) 1629

6. Lösung von Aufgabe 6

β = υ/c = 0.9999328

s = υτ1 = βcτ1 = βcγτ0 ⇒ τ0 =sβcγ

=sβc·√

1 − β2

=5.78 · 10−4 m

0.9999328 · 2.99792458 · 108 m/s·√

1 − 0.99993282 = 2.24 · 10−14 s

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61.1 Lösungen (Zeitdilatation und Längenkontraktion) 1630

7. Lösung von Aufgabe 7

∆t1

∆t0= γ =

1√1 − β2

⇒ β =

√1 −

1γ2 =

√1 −

(∆t0

∆t1

)2

β =

√1 −

(1.522856 µs

1 000 µs

)2

= 0.99999884 = 1 − 1.16 · 10−6

Es ist nicht klar, wie genau die Angaben sind.

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61.1 Lösungen (Zeitdilatation und Längenkontraktion) 1631

8. Lösung von Aufgabe 8

a) Wegen der Ladungserhaltung muss es ein π+ und ein π0 sein.

b) τ1 = γτ0 → γ =1√

1 − β2⇒ β =

√1 −

1γ2 =

√1 −

(τ0

τ1

)2

=

√1 −

(1.238 · 10−8 s

1 · 10−6 s

)2

= 0.999923

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61.1 Lösungen (Zeitdilatation und Längenkontraktion) 1632

9. Lösung von Aufgabe 9

τ1 =τ0√

1 − υ2/c2⇒ 1 − υ2/c2 = (τ0/τ1)2 ⇒

υ = c ·√

1 − (τ0/τ1)2 = 3.00 · 108 m/s ·√

1 − 1/1.32 = 1.9 · 108 m/s

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61.1 Lösungen (Zeitdilatation und Längenkontraktion) 1633

10. Lösung von Aufgabe 10

γ = 1 +υ2

2c2 + · · · < 1 + 5 · 10−10 ⇒

υ < c ·√

2 · 5 · 10−10 = 3.00 · 108 ·√

2 · 5 · 10−10 = 9.5 km/s

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61.1 Lösungen (Zeitdilatation und Längenkontraktion) 1634

11. Lösung von Aufgabe 11

Im Ruhesystem des Drahtes SD bewegen sich die Elektronen, d.h. die Abstände zwischen den Elek-tronen sind längenkontrahiert. Geht man ins Ruhesystem der Elektronen SE, so geht diese Längen-kontraktion weg, dafür erscheinen die Abstände zwischen den Ionen in Bewegungsrichtung kontra-hiert. Somit ist in SE die Elektronendichte geringer, dafür die Ionendichte höher als in SD. Der Drahterscheint elektrisch geladen. Eine Ladung neben dem Draht würde eine elektrische Kraft erfahren.Dieselbe Kraft in SD würde magnetische Lorentzkraft genannt.

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61.1 Lösungen (Zeitdilatation und Längenkontraktion) 1635

12. Lösung von Aufgabe 12

1905 “Zur Elektrodynamik bewegter Körper”

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61.1 Lösungen (Zeitdilatation und Längenkontraktion) 1636

13. Lösung von Aufgabe 13

Erstes Postulat: Die Naturgesetze haben in allen Inertialsystemen dieselbe Form. Zweites Postulat:Die Vakuum-Lichtgeschwindigkeit hat in allen Inertialsystemen denselben Wert.

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61.1 Lösungen (Zeitdilatation und Längenkontraktion) 1637

14. Lösung von Aufgabe 14

1γ

=√

1 − β2 Der Graph ist ein Viertelkreis mit Radius 1 um den Nullpunkt.

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61.1 Lösungen (Zeitdilatation und Längenkontraktion) 1638

15. Lösung von Aufgabe 15

∆t = τ1 − τ0 = (γ − 1)τ0 =

(1 +

υ2

2c2 + . . . − 1)τ0 ≈

υ2τ0

2c2 ⇒

υ = c

√2∆tτ0

= 3.0 · 108 m/s ·

√2 · 1 s

50 · 3.156 · 107 s= 11 km/s

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61.1 Lösungen (Zeitdilatation und Längenkontraktion) 1639

16. Lösung von Aufgabe 16

γ − 1 =

(1 −

υ2

c2

)−1/2

− 1 = 1 +υ2

2c2 + .. − 1 ≈υ2

2c2 =12

(3.0 · 10−2 m/s3.0 · 108 m/s

)2

= 5.0 · 10−21

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61.1 Lösungen (Zeitdilatation und Längenkontraktion) 1640

17. Lösung von Aufgabe 17

∆` = `0 − `1 = `0 − `0/γ = `0 ·(1 −

√1 − β2

)= `0

12β

2 + . . .

∆` =`0υ

2

2c2 =4.8 m · (167 m/3.6 s)2

2 · (2.9979 · 108 m/s)2 = 5.7 · 10−14 m 10−10 m

Ein Atom hat Grössenordnung 10−10 m Durchmesser.

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61.1 Lösungen (Zeitdilatation und Längenkontraktion) 1641

18. Lösung von Aufgabe 18

Annahme des Gegenteils: Es gibt eine Querkontraktion.Gedankenexperiment: Ein Auto fährt in ein enges Tunnel.Von der Fahrerin aus betrachtet wäre das Tunnel querkontrahiert und das Auto passt nicht hinein. VomTunnel aus betrachtet ist das Auto querkontrahiert und passt locker hinein. Die zwei Gedankenexpe-rimente widersprechen sich, denn ob das Auto hineinpasst oder nicht, darf nicht vom Bezugssystemabhängen (Relativitätsprinzip). Somit ist die Annahme falsch.

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61.1 Lösungen (Zeitdilatation und Längenkontraktion) 1642

19. Lösung von Aufgabe 19

`1 = `0/γ ≈ `0 − `012β

2 ⇒ β2 =2∆`

`0

υ = cβ = c

√2∆`

`0= 2.9979 · 108 m/s ·

√2 · 1 mm1000 mm

= 1.341 · 107 m/s

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61.2 Lösungen (Transformationen) 1643

61.2 Lösungen (Transformationen)

1. Lösung von Aufgabe 1

∆t′ = t′1 − t′2 = γ(t1 −

υx1

c2

)− γ

(t2 −

υx2

c2

)= γυ

( x2 − x1

c2

)=

υ√1 − υ2

c2

( x2 − x1

c2

)

=2.8888 · 108 m/s√1 − (2.8888·108 m/s)2

(2.99792·108 m/s)2

(2.0 m − 1.0 m

(2.99792 · 108 m/s)2

)= 12 ns

Dies nennt man Relativität der Gleichzeitigkeit.

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61.2 Lösungen (Transformationen) 1644

2. Lösung von Aufgabe 2

w =u + υ

1 + uυc2

→83% + 73%

1 + 0.83 · 0.73= 97%

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61.2 Lösungen (Transformationen) 1645

3. Lösung von Aufgabe 3

w =u + υ

1 + uυ⇒ w + uυw = u + υ⇒ υ =

w − u1 − wu

=0.88 − 0.77

1 − 0.88 · 0.77= 0.34

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61.2 Lösungen (Transformationen) 1646

4. Lösung von Aufgabe 4

Ein Inertialsystem ist ein spezielles (“unbeschleunigtes”) Bezugssystem. Die Aussage “Das Bezugs-system hängt vom Bezugssystem ab” ist unsinnig. Das erste Postulat (Relativitätsprinzip) lautet: DieNaturgesetze haben in allen Inertialsystemen dieselbe Form.

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61.2 Lösungen (Transformationen) 1647

5. Lösung von Aufgabe 5

w =u + υ

1 + uυc2

=2υ

1 + υ2/c2 =2βc

1 + β2 =2 · 0.89 · 3.00 · 108 m/s

1 + 0.892 = 2.98 · 108 m/s = 0.9932 c

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61.2 Lösungen (Transformationen) 1648

6. Lösung von Aufgabe 6

w =u − υ

1 − uυ/c2 ⇒ w − uυw/c2 = u − υ⇒ υ =u − w

1 − uw/c2 =0.9 − 0.80

1 − 0.90 · 0.80= 0.357 = 36 %

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61.2 Lösungen (Transformationen) 1649

7. Lösung von Aufgabe 7

∆ f = f1 − f0 = f0γ(1 − υ/c) − f0 =f0 · (1 − υ/c)√

1 − (υ/c)2− f0 =

∆ f =8.418 · 109 Hz · (1 − 61 000/(3.6 · 2.9979 · 108))√

1 − (61 000/(3.6 · 2.9979 · 108))2− 8.418 · 109 Hz = −0.4758 MHz

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61.2 Lösungen (Transformationen) 1650

8. Lösung von Aufgabe 8

Die momentane Phase kx−ωt einer Welle ist invariant unter Lorentztransformationen. Der Vergleichder Phasenausdrücke für z.B. x0 = 0, t0 , 0 liefert den gewünschten Zusammenhang.

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61.2 Lösungen (Transformationen) 1651

9. Lösung von Aufgabe 9

a) f = f0γ(1 −

υ

c

)υc−→ f = f0 · 1 ·

(1 −

υ

c

)⇒

f − f0

f0= −

υ

cX

b)∆ ff0≈ −

υ

c⇒ υ = −

∆ f · cf0

= −∆ f · λ0 = +0.11 · 1012 Hz · 656.3 · 10−9 m = +72 km/s

Der Stern entfernt sich von uns, denn der Abstand nimmt zu (υ = dr/dt > 0)

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61.3 Lösungen (Impuls und Kraft) 1652

61.3 Lösungen (Impuls und Kraft)

1. Lösung von Aufgabe 1Die Kraft muss in Bewegungsrichtung wirken, also gilt:

F = γ3ma = (1 − β2)−3/2ma = (1 − 0.9999002)−3/2 · 9.109 · 10−31 kg · 1.0 m/s2 = 3.2 · 10−25 N

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61.3 Lösungen (Impuls und Kraft) 1653

2. Lösung von Aufgabe 2

F = γ3ma = (1 − β2)−3/2ma⇒ β =

√1 −

( Fma

)−2/3

β =

√1 −

(1.0 · 103 N

9.109 · 10−31 kg · 1.0 · 10−3 m/s2

)−2/3

= 1 − 4.7 · 10−25 ←− 1 −12

(maF

)2/3

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61.3 Lösungen (Impuls und Kraft) 1654

3. Lösung von Aufgabe 3

Weil die Kraft senkrecht zur Bewegungsrichtung wirkt, ist

Fres = γmaz

qυB =m√

1 − β2·υ2

r

B =m√

1 − β2·βcqr

=105.66 MeV · 1.7827 · 10−30 kg/MeV

√1 − 0.93852

·0.9385 · 2.9979 · 108 m/s1.6022 · 10−19 C · 2.82 m

B = 0.339598 T = 0.340 T

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61.3 Lösungen (Impuls und Kraft) 1655

4. Lösung von Aufgabe 4

eυB =mυ2

r⇒ υ =

eBrm

=1.6022 · 10−19 C · 22.6 · 10−6 T · 7000 · 103 m

9.109 · 10−31 kg= 2.78 · 1013 m/s c

Das klassische Resultat zeigt, dass man relativistisch rechnen muss.

eυB = γmaz =1√

1 − υ2/c2mυ2

r⇒

eBrm

=υ√

1 − υ2/c2⇒

(eBrm

)2

=υ2

1 − υ2/c2

(eBrm

)2

−

(eBrm

)2 υ2

c2 = υ2 ⇒ υ2 =

(eBrm

)2

1 +(

eBrm

)2· 1

c2

⇒ υ =

(( meBr

)2+

1c2

)−1/2

υ =

( 9.109 · 10−31 kg1.6022 · 10−19 C · 22.6 · 10−6 T · 7000 · 103 m

)2

+1

(2.9979 · 108 m/s)2

−1/2

≈ c

1 − υ/c = 5.80 · 10−11

Da solche Energien kaum vorkommen, werden die Elektronen um die Feldlinien herum kreisen.Die Gravitation spielt keine Rolle, denn die Geschwindigkeit ist wesentlich grösser als die Flucht-geschwindigkeit.

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61.3 Lösungen (Impuls und Kraft) 1656

5. Lösung von Aufgabe 5

p = 62545 MeV/c =62545 MeV · 1.60218 · 10−13 J/MeV

2.99792458 · 108 m/s= 3.3426 · 10−17 kg m/s

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61.3 Lösungen (Impuls und Kraft) 1657

6. Lösung von Aufgabe 6

γ =1√

1 − υ2/c2⇒ υ = c

√1 − 1/γ2

p = γmυ = γmc√

1 − 1/γ2 = mc√γ2 − 1⇒ γ =

√1 +

( pmc

)2

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61.3 Lösungen (Impuls und Kraft) 1658

7. Lösung von Aufgabe 7

a) γ =1√

1 − β2⇒ β =

√1 − 1/γ2 =

√1 − 1/29.3272 = 0.999 418 49

b) F = γmaz = γmυ2

r= γm

β2c2

r=

mc2

rγ√

1 − 1/γ2 =mc2

r

√γ2 − 1

F =105.658367 MeV · 1.602176 · 10−13 J/MeV

7.000 m

√29.3272 − 1 = 7.088 · 10−11 N

c) Senkrecht zur Kreisbahn; Richtung mit “Rechte-Hand-Regel” und Lorentzkraft

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61.3 Lösungen (Impuls und Kraft) 1659

8. Lösung von Aufgabe 8

a) p = γmυ =mυ√

1 − υ2/c2⇒ p2 · (1 − υ2/c2) = m2υ2 ⇒ p2 = υ2 ·

(m2 + p2/c2

)⇒

b) υ =p√

m2 + p2/c2=

45 594 MeV/c√(134.9766 MeV/c2)2 + (45 594 MeV/c)2/c2

= 0.999 995 618 · c

= 2.997 911 443 · 108 m/s

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61.3 Lösungen (Impuls und Kraft) 1660

9. Lösung von Aufgabe 9

a) Fres = γmaz → eυB = γmυ2

r⇒ eB =

γmυr

=pr⇒

p = eBr = 1.602 · 10−19 C · 3.8 T · 1.03 m = 6.270 · 10−19 N s = 6.3 · 10−19 N s

b) p = γmυ = γmcβ = γmc√

1 − 1/γ2 = mc√γ2 − 1⇒ γ2 − 1 =

( pmc

)2⇒

γ =

√1 +

( pmc

)2=

√1 +

(6.270 · 10−19 N s

1.673 · 10−27 kg · 2.998 · 108 m/s

)2

= 1.601 = 1.6

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61.4 Lösungen (Energie-Masse-Äquivalenz) 1661

61.4 Lösungen (Energie-Masse-Äquivalenz)

1. Lösung von Aufgabe 1Mit dieser Grösse werden atomare Masseneinheiten (‘units’) in Mega-Elektronvolt umgerechnet. Nor-malerweise benützt man dafür die Beziehung E = mc2. Die Grösse sollte also die Lichtgeschwindig-keit im Quadrat sein. Wir wollen sie in SI-Einheiten darstellen:

c ?=

√931.49 ·

1 MeV1 u

=

√931.49 ·

1.6021765 · 10−13 J1.6605388 · 10−27 kg

= 2.9979 · 108 m/s X

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61.4 Lösungen (Energie-Masse-Äquivalenz) 1662

2. Lösung von Aufgabe 2

P∆t = ∆mc2 ⇒∆m∆t

=Pc2 =

100 W(3.00 · 108 m/s)2 = 1.11 · 10−15 kg/s

=1.11 · 10−15 kg/s

18 u · 1.66 · 10−27 kg/u= 3.72 · 1010 s−1

Der Masseverlust entspricht der Abgabe von 3.72 · 1010 Wassermolekülen (Masse 18 u) pro Sekun-de. Das ist wenig verglichen mit dem einen Kilogramm, das ein Mensch täglich durch Verdunstungverliert (1.2 · 10−5 kg/s).

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61.4 Lösungen (Energie-Masse-Äquivalenz) 1663

3. Lösung von Aufgabe 3

E = mc2 ⇒ m =Ec2 =

1 kWh · 3.6 · 106 J/kWh(3.00 · 108 m/s)2 = 4 · 10−11 kg

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61.4 Lösungen (Energie-Masse-Äquivalenz) 1664

4. Lösung von Aufgabe 4

Ein Promille ist wenig, man darf die kinetische Energie noch klassisch rechnen.

f =Ek

mc2 =mυ2

2mc2 ⇒ υ = c ·√

2 f = 2.9979 · 108 m/s ·√

2 · 1.0 · 10−3 = 1.3 · 107 m/s

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61.4 Lösungen (Energie-Masse-Äquivalenz) 1665

5. Lösung von Aufgabe 5

a) Tritium hat ein Proton, Helium zwei Protonen im Kern. Damit die Kernladung um +1e zunehmenkann, muss der Kern −1e abgeben, also ein negativ geladenes Teilchen ausstossen.b) Die Masse des freigesetzten Elektrons ist in der Atommasse des He-3 bereits berücksichtigt:31H→ 3

2He+ + e− = 32He

Die Masse des Elektrons ist nicht vernachlässigbar, denn mec2 = 0.511 MeV ist viel grösser als dasResultat von c).

c) E = (mT − mHe)c2 = (3.016049 u − 3.0160293 u) · 931.49 MeV/u = 0.018 MeV

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61.4 Lösungen (Energie-Masse-Äquivalenz) 1666

6. Lösung von Aufgabe 6

Uran-234 ist ein Alphastrahler: 23492 U→ 230

90 Th + 42He

Berechnung des Massendefektsmit den atomaren Massen ausder FoTa:

+ 2 3 4 . 0 4 0 9 5 2 u- 2 3 0 . 0 3 3 1 3 4 u- 0 0 4 . 0 0 2 6 0 3 3 u= 0 0 0 . 0 0 5 2 1 5 u

∆E = ∆mc2 = (mU − mTh − mHe)c2 = 0.005215 u · 931.49 MeV/u = 4.858 MeV oder

∆E = 0.005215 u · 1.66054 · 10−27 kg/u · (2.99792 · 108 m/s)2 = 7.783 · 10−13 J

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61.4 Lösungen (Energie-Masse-Äquivalenz) 1667

7. Lösung von Aufgabe 7

∆m =∆Ec2 =

mghc2 ≈

70 kg · 9.81 m/s2 · 0.50 m(3.00 · 108 m/s)2 = 3.8 · 10−15 kg

Ihre potentielle Energie erhöht sich auf Kosten der inneren Energie: Ihre Masse nimmt ab und dieMasse des Systems Erde-Sie nimmt entsprechend zu (die Energie steckt im Gravitationsfeld).

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61.4 Lösungen (Energie-Masse-Äquivalenz) 1668

8. Lösung von Aufgabe 8

a) E = 12mυ2 ⇒ υ =

√2Em

=

√2 · 100 · 1018 eV · 1.6022 · 10−19 J/eV

0.058 kg= 24 m/s

b) E = Nmµc2 ⇒ N =E

mµc2 =100 · 1018 eV

105.66 · 106 eV= 9.46 · 1011 ≈ 1012

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61.4 Lösungen (Energie-Masse-Äquivalenz) 1669

9. Lösung von Aufgabe 9

Die Grösse E = mc2 heisst Ruheenergie und ist gleich der inneren Energie eines Körpers. Die kine-tische Energie ist eine andere (äussere) Energieform. Die Formeln haben also nichts mit einander zutun. E = mc2 konnte schon bald experimentell getestet werden. Die Formel ist nicht frei erfunden,sondern mit einem (prinzipiell machbaren) Gedankenexperiment hergeleitet worden.

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61.4 Lösungen (Energie-Masse-Äquivalenz) 1670

10. Lösung von Aufgabe 10

∆E = ∆mc2 = (mH + mD − mHe)c2

= (1.0078250 + 2.0141018 − 3.0160293) u · 931.49 MeV/u = 5.4935 MeV

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61.4 Lösungen (Energie-Masse-Äquivalenz) 1671

11. Lösung von Aufgabe 11

E = mc2 = 2 · 1.5 kg · (2.998 · 108 m/s)2 = 2.696 · 1017 J = 270 PJ X

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61.4 Lösungen (Energie-Masse-Äquivalenz) 1672

12. Lösung von Aufgabe 12

∆m = ∆E/c2 = 0.1405 MeV/(931.49 MeV/u) = 150.8 µu Abnahme

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61.4 Lösungen (Energie-Masse-Äquivalenz) 1673

13. Lösung von Aufgabe 13

∆m =∆Ec2 =

QUc2 =

3.8 V · 2.600 A · 3600 s(3.00 · 108 m/s)2 = 3.952 · 10−10 kg = 0.40 ng

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61.4 Lösungen (Energie-Masse-Äquivalenz) 1674

14. Lösung von Aufgabe 14

∆m =∆Ec2 =

mT Hc2 =

20 · 109 kg · 4.184 · 106 J/kg(3.00 · 108 m/s)2 = 0.93 kg

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61.4 Lösungen (Energie-Masse-Äquivalenz) 1675

15. Lösung von Aufgabe 15

P =∆E∆t

=∆m∆t· c2 = 1.00 · 10−14 kg/s · (3.00 · 108 m/s)2 = 900 W

Solche Präparate werden als “Radionuklidbatterien” einigen Weltraumsonden mitgegeben.

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61.4 Lösungen (Energie-Masse-Äquivalenz) 1676

16. Lösung von Aufgabe 16

a) ∆E = (mPo − mPb − mHe) c2 = (209.982874 − 205.974449 − 4.002603) u · 931.49 MeV/u(= 0.005822 u · 931.49 MeV/u) = 5.423 MeV ca. vier signifikante Stellen

b) ∆E > Eα = 5.304 MeVDer Blei-Rückstosskern und das Photon nehmen auch Energie mit.

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61.4 Lösungen (Energie-Masse-Äquivalenz) 1677

17. Lösung von Aufgabe 17

P =∆E∆t

=3mc2

∆t=

3 · 1.988 · 1030 kg · (3.00 · 108 m/s)2

0.1 s= 5 · 1048 W

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61.4 Lösungen (Energie-Masse-Äquivalenz) 1678

18. Lösung von Aufgabe 18

E = mc2 = 70 kg · (3.00 · 108 m/s)2 = 6.3 · 1018 J > 838 · 1015 J = 8.38 · 1017 J

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61.4 Lösungen (Energie-Masse-Äquivalenz) 1679

19. Lösung von Aufgabe 19

1.660 538 921 · 10−27 kgu ·

(2.99..108 m

s

)2÷ 1.602 176 487 · 10−13 MeV

J = 931.494 106 2 MeVu

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61.4 Lösungen (Energie-Masse-Äquivalenz) 1680

20. Lösung von Aufgabe 20

∆E = ∆mc2 = (mM + mS − mN)c2 =

(25.982 593 + 35.967 081 − 61.928 349) · 931.49 MeV = 19.864 MeV

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61.4 Lösungen (Energie-Masse-Äquivalenz) 1681

21. Lösung von Aufgabe 21

∆m =∆Ec2 =

mL f

c2 =3.8 · 109 kg · 3.338 · 105 J/kg

(3.00 · 108 m/s)2 = 14 g

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61.5 Lösungen (Gesamtenergie) 1682

61.5 Lösungen (Gesamtenergie)

1. Lösung von Aufgabe 1

a) ∆E = (mn − mp − me)c2 = (939.565378 − 938.272046 − 0.5109989) MeV = 0.782333 MeV

b) γmec2 = (mn − mp)c2 ⇒ γ =mn − mp

me=

(1 − υ2/c2

)−1/2⇒ υ = c

√1 −

(me

mn − mp

)2

υ = 299792458 m/s ·

√1 −

(0.5109989

939.565378 − 938.272046

)2

= 2.754004 · 108 m/s

Bei der maximalen Geschwindigkeit nehmen wir an, dass Proton keine kinetische und das Neutrinogar keine Energie mitnehmen (die Masse des Neutrinos ist wesentlich kleiner als jene des Elektrons).

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61.5 Lösungen (Gesamtenergie) 1683

2. Lösung von Aufgabe 2

E0 + Ek = N · 2mec2 ⇒ N =E0 + Ek

2mec2 =351 MeV + 105.66 MeV

2 · 0.5109989 MeV= 447

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61.5 Lösungen (Gesamtenergie) 1684

3. Lösung von Aufgabe 3

a) E = γmc2 ⇒ γ =E

mc2 =

(1 −

υ2

c2

)−1/2

⇒υ

c=

√1 −

(mc2

E

)2

= 1 −12

(mc2

E

)2

+ · · · ⇒

1 −υ

c≈

12

(mc2

E

)2

=12

(938.272 MeV7.0 · 106 MeV

)2

= 9 · 10−9

b) l1 =l0

γ= l0 ·

mc2

E= 26 659 m ·

938.272 MeV7.0 · 106 MeV

= 3.6 m

c) 2E = 2mc2 + N · 2mc2 ⇒ N =E

mc2 − 1 =7.0 · 106 MeV938.272 MeV

− 1 = 7.5 · 103

d) p = γmυ ≈E

mc2 mc =7.0 · 106 MeV938.272 MeV

· 1.67 · 10−27 kg · 3.00 · 108 m/s = 3.7 · 10−15 Ns

e) pM = mMυM = 2.5 · 10−6 kg ·1.5 m3.6 s

= 1.0 · 10−6 Ns pM > p

EM = 12mMυ

2 = 12 · 2.5 · 10−6 kg ·

(1.5 m3.6 s

)2

= 2.2 · 10−7 J = 1.4 · 1012 eV EM < E

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61.5 Lösungen (Gesamtenergie) 1685

4. Lösung von Aufgabe 4

p =hλ

de Broglie Wellenlänge

E =√

(mc2)2 + (pc)2 = eU ⇒ U =1e

√(mc2)2

+

(hcλ

)2

U =1

1.60 · 10−19 C

√(9.11 · 10−31 kg · (3.00 · 108 m/s)2)2

+

(6.626 · 10−34 Js · 3.00 · 108 m/s

50 · 10−12 m

)2

U = 513 kV

Tatsächlich beträgt die Beschleunigungsspannung für diese Auflösung 300 kV. Wir haben also dierichtige Grössenordnung erwischt. Der Unterschied liegt in der Definition von ‘Auflösung’.

Zum Vergleich die nichtrelativistische Rechnung:

Ek =p2

2m= eU und p =

hλ⇒

U =p2

2me=

12me

(hλ

)2

=1

2 · 9.11 · 10−31 kg · 1.60 · 10−19 C·

(6.626 · 10−34 Js

50 · 10−12 m

)2

= 0.60 kV

Das ist viel zuwenig.

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61.5 Lösungen (Gesamtenergie) 1686

5. Lösung von Aufgabe 5

a) p =hλ⇒ λ =

hp

=6.626 · 10−34 Js

162 · 1.602 · 10−13 J/(2.998 · 108 m/s)= 7.65 · 10−15 m

b) E = pc = 162 MeV · 1.6022 · 10−13 J/MeV = 2.60 · 10−11 J

c) Ek = Etot − E0 =√

(mc2)2 + (pc)2 − mc2

=√

(939.565 MeV)2 + (163 MeV)2 − 939.565 MeV = 13.9 MeV = 14 MeV

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61.5 Lösungen (Gesamtenergie) 1687

6. Lösung von Aufgabe 6

Ek = (γ − 1)mc2 = 2mc2 ⇒ γ = 3 =(1 − β2

)−1/2⇒ β =

√1 − 1/9 =

√8/3 = 0.943

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61.5 Lösungen (Gesamtenergie) 1688

7. Lösung von Aufgabe 7

mGc2 = γmec2 ⇒ γ =(1 − β2

)−1/2=

mG

me⇒ 1 − β2 = (me/mG)2 ⇒

β =√

1 − (me/mG)2 =√

1 − (0.000 548 580 u/196.967 u)2 = 1 ?

β ≈ 1 − 12 (me/mG)2 = · · · = 1 − 3.878 49 · 10−12

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61.5 Lösungen (Gesamtenergie) 1689

8. Lösung von Aufgabe 8

Fres = γm · az ⇒ eυB = γm ·υ2

r⇒ r =

γmυeB

=p

eBEtotal =

√m2c4 + p2c2 ≈ pc = eBrc

= 1.6 · 10−19 C · 3 · 10−10 T · 50 000 · 9.4605 · 1015 m · 3.00 · 108 m/s = 7 J mc2

(Man hat schon Protonen mit höherer Energie auf der Erde registriert. Diese müssen dann extraga-laktischen Ursprungs sein. Das Feld kann z.B. mit dem Faradayeffekt gemessen werden. Es ist sehrinhomogen.)

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61.5 Lösungen (Gesamtenergie) 1690

9. Lösung von Aufgabe 9

E = (γ − 1)mc2 =

1√1 − β2

− 1

mc2

=

(1

√1 − 0.9992002

− 1)· 938.272 046 MeV = 22.5 GeV

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61.5 Lösungen (Gesamtenergie) 1691

10. Lösung von Aufgabe 10

a) ∆m =∆Ec2 =

0.76636 MeV931.49 MeV/u

= 822.72 µu

b) Eγ =

√(mγc2)2 + (pγc)2 = pγc→ mPυ = pγ = Eγ/c⇒ υ =

Eγ

mPc

υ =0.76636 MeV · 1.60218 · 10−13 J/MeV

234.043308 u · 1.66054 · 10−27 kg/u · 2.99792 · 108 m/s= 1053.8 m/s

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61.5 Lösungen (Gesamtenergie) 1692

11. Lösung von Aufgabe 11

a) Q(η′) = Q(ρ0) + Q(γ) = 0 + 0 = 0

b) Eη = Eρ + Eγ → mηc2 =

√(mρc2)2 + (pc)2 + pc→ mηc2 =

√(mρc2)2 + E2

γ + Eγ

c) c = 1→ (mη − Eγ)2 = m2ρ + E2

γ ⇒ m2η − 2mηEγ = m2

ρ ⇒

Eγ =m2η − m2

ρ

2mη

=(957.78 MeV)2 − (775.49 MeV)2

2 · 957.78 MeV= 164.94 MeV

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61.5 Lösungen (Gesamtenergie) 1693

12. Lösung von Aufgabe 12

a) E = γmc2 =mc2√1 − β2

=0.60 kg · (3.00 · 108 m/s)2

√1 − 0.902

= 1.2388 · 1017 J = 1.2 · 1017 J

b) mW =Egh

=1.2388 · 1017 J

9.81 m/s2 · 800 m= 1.6 · 1013 kg→ (16 km3 H2O) ↑ (= 30 Mt TNT)

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61.5 Lösungen (Gesamtenergie) 1694

13. Lösung von Aufgabe 13

Ek = 12mc2 = (γ − 1)mc2 ⇒ 1

2 = γ − 1⇒ γ = 32

υ = c√

1 − 1/γ2 =c√

53

= 2.9979 · 108 m/s ·√

5/3 = 2.2345 · 108 m/s

(β =√

5/3 ≈ 0.745)

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61.5 Lösungen (Gesamtenergie) 1695

14. Lösung von Aufgabe 14

(γ − 1)mc2 =p2

(γ + 1)m⇒ (γ − 1)mc2 =

γ2m2υ2

(γ + 1)m⇒ (γ − 1)(γ + 1) = γ2β2 ⇒

γ2 − 1 = γ2β2 ⇒ γ2(1 − β2) = 1 X

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61.5 Lösungen (Gesamtenergie) 1696

15. Lösung von Aufgabe 15

EL =√

(mLc2)2 + (pc)2 = pc ∧ p = mSυ⇒

υ =p

mS=

EL

cmS=

1 · 10−3 J3.0 · 108 m/s · 1.0 · 10−6 kg

= 3 µm/s

Die Richtung ist unbestimmt (von der Sonne weg?) und die Anfangsgeschwindigkeit des Staubkornsebenfalls.

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61.5 Lösungen (Gesamtenergie) 1697

16. Lösung von Aufgabe 16

a) E = E0 + Ek = mc2 + Ek = 511 keV + 622 keV = 1133 keV

b) mc2 + Ek = E =√

(mc2)2 + (pc)2 ⇒ (c = 1)

(m + Ek)2 = m2 + p2 ⇒

p =√

(m + Ek)2 − m2 =√

(511 keV + 622 keV)2 − (511 keV)2 = 1011 keV/c

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Kapitel 62

Lösungen (Allgemeine Relativitätstheorie)

62.1 Äquivalenzprinzip der ART

1. Lösung von Aufgabe 1

g = rω2 =d2· (2π f )2 =

15 m2·

(2π ·

660 s

)2

= 3 m/s2

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62.1 Äquivalenzprinzip der ART 1699

2. Lösung von Aufgabe 2Die Komponente der Fallbeschleunigung in Rückwärtsrichtung (parallel zur Ebene) muss 1.0 m/s2

betragen.

a = g sinα⇒ α = arcsin(ag

)= arcsin

(1.0 m/s2

9.81 m/s2

)= 5.9°

Lokal können Effekte eines beschleunigten Bezugssystems nicht von Effekten der Gravitation unter-schieden werden. Physikalisch ist es schwierig, von ‘Imitation’ zu sprechen, wenn es keinen Unter-schied zum ‘Original’ gibt.

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62.1 Äquivalenzprinzip der ART 1700

3. Lösung von Aufgabe 3

az = 4g = rω2 = r · (2π f )2 ⇒ f =1

2π·

√4gr

=1π·

√9.81 m/s2

18 m= 14 min−1

oder mit Berücksichtigung des Schwerefelds der Erde:

4g =

√a2

z + g2 ⇒ az =√

15g = rω2 = r · (2π f )2 ⇒

f =1

2π·

√√

15gr

=1

2π·

√√

15 · 9.81 m/s2

18 m= 14 min−1

©Martin Lieberherr

62.1 Äquivalenzprinzip der ART 1701

4. Lösung von Aufgabe 4

Die Erde (genauer: ihr Schwerpunkt) befindet sich im freien Fall um die Sonne herum, deshalb istsie schwerelos. Auf der Erdoberfläche könnten noch Gezeitenkräfte auftreten, da einige Stellen näheroder weiter von der Sonne entfernt sind als der Schwerpunkt.

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62.1 Äquivalenzprinzip der ART 1702

5. Lösung von Aufgabe 5

Parallel zur Strasse ist das Skateboard im freien Fall, senkrecht dazu nicht. Die Komponente derGravitation parallel zur Strasse verschwindet im Bezugssystem des Glases, jene senkrecht dazu nicht.Der Flüssigkeitsspiegel stellt sich parallel zur Strasse ein.

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62.1 Äquivalenzprinzip der ART 1703

6. Lösung von Aufgabe 6

g = rΩ2 = r ·(2πT

)2

⇒ T = 2π√

rg

= 2π

√150 m

9.81 m/s2 = 24.6 s

©Martin Lieberherr

62.1 Äquivalenzprinzip der ART 1704

7. Lösung von Aufgabe 7

g1 + rΩ21 = g0 = g2 + rΩ2

2 ⇒ g2 − g1 = r ·(Ω2

1 − Ω22

)= r ·

(Ω2

1 − (2Ω1)2)

=

g2 − g1 = −r · 3Ω21 = −6.3781 · 106 m · 3 ·

(7.292 · 10−5 s−1

)2= −0.1017 m/s2

©Martin Lieberherr

62.1 Äquivalenzprinzip der ART 1705

8. Lösung von Aufgabe 8

pS =1A

∫dF =

1A

∫az ρA · dr =

∫az ρ · dr = ρ

∫ω2r · dr = ρω2

∫r · dr = ρω2 · 1

2r2 + const

pS = 12ρω

2 ·(r2

a − r2i

)Der Schweredruck wächst quadratisch mit dem Abstand von der Drehachse an, falls das Gravitati-onsfeld der Erde ignoriert wird.

©Martin Lieberherr

62.1 Äquivalenzprinzip der ART 1706

9. Lösung von Aufgabe 9

Effekte der Gravitation und Effekte beschleunigter Bezugssysteme sind lokal nicht unterscheidbar.

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62.2 Lösungen (Uhren im Schwerefeld) 1707

62.2 Lösungen (Uhren im Schwerefeld)

1. Lösung von Aufgabe 1Vom Tal aus gesehen läuft die Uhr auf dem Berg schneller. Wenn diese Uhr zurückgebracht wird,geht sie also vor.

∆ ff≈

∆TT≈

ghc2 ⇒

∆T =ghTc2 =

9.81 m/s2 · 1800 m · 3.156 · 107 s(2.9979 · 108 m/s)2 = 6.2 µs

Es ist nicht ganz klar, wie gerundet werden soll, da die Angabe ‘ein Jahr’ keine definierte Genauigkeitaufweist. Ähnliche Versuche sind schon gemacht worden; der Zeitunterschied lässt sich problemlosmessen.

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62.2 Lösungen (Uhren im Schwerefeld) 1708

2. Lösung von Aufgabe 2

a)foben

funten= 1 +

ghc2 + · · · ⇒

ghc2 =

9.81 m/s2 · 0.33 m(3.00 · 108 m/s)2 = 3.6 · 10−17 = 1 : 1016.4

b) 1 +ghc2 + · · · = γ ≈ 1 +

υ2

2c2 + · · · ⇒ υ =√

2gh =√

2 · 9.81 m/s2 · 0.33 m = 2.5 m/s

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62.2 Lösungen (Uhren im Schwerefeld) 1709

3. Lösung von Aufgabe 3

∆ ff≈

∆tt≈

ghc2 ⇒

∆t =ghtc2 =

9.81 m/s · 1340 m · 2 · 86400 s(3.00 · 108 m/s)2 = 25 ns

Die Angabe 20-30 ns stimmt mit unserer Rechengenauigkeit (eine wesentliche Ziffer) überein. Ferienin den Bergen dauern also länger als Ferien am Meer!

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62.2 Lösungen (Uhren im Schwerefeld) 1710

4. Lösung von Aufgabe 4

∆ ff

=ghc2 ⇒ h =

∆ ff·

c2

g= 10−17 ·

(3.00 · 108 m/s)2

9.81 m/s2 = 10−1 m

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62.2 Lösungen (Uhren im Schwerefeld) 1711

5. Lösung von Aufgabe 5

t1

t0= 1 +

ghc2 + · · · ⇒

∆t1

t0≈

ghc2 ⇒ h =

∆t1

t0

c2

g=

1 · 10−9 s86400 s

·(3.00 · 108 m/s)2

9.81 m/s2 = 106 m

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62.2 Lösungen (Uhren im Schwerefeld) 1712

6. Lösung von Aufgabe 6

∆tSRT =∆t0√

1 − υ2/c2

∆tART = ∆t0

√1 −

2∆ϕ

c2

∆t0soll=

∆t0√1 − υ2/c2

·

√1 −

2∆ϕ

c2√1 −

2∆ϕ

c2soll=

√1 −

υ2

c2

1 −2∆ϕ

c2 = 1 −υ2

c2

ϕ = −GM

r

υ2 =υ2

r· r =

GMr2 · r =

GMr

1 −2GMrEc2 +

2GMrc2 = 1 −

GMrc2

3GMrc2 =

2GMrEc2

r =32

rE =32· 6371 km = 9557 km

h = r − rE = 12rE = 3186 km

rb = 2hb = 2 · 3170 km = 6340 km

Die Höhe im Zitat a) und der Abstand vom Erdmittelpunkt in b) scheinen korrekt zu sein, denn esist nicht ganz klar, welcher Erdradius verwendet werden soll. Die Höhe im Zitat b) scheint falsch zusein, denn 2hb ist klar kleiner als der polare und äquatoriale Erdradius.

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62.2 Lösungen (Uhren im Schwerefeld) 1713

7. Lösung von Aufgabe 7

Die Schwerkraft kann durch ein aufwärts beschleunigtes Bezugssystem simuliert werden. Währendein Signal vom Tal auf den Berg steigt, wird die Bergstation scheinbar schneller und empfängt eindopplerverschobenes Signal tieferer Frequenz, das so interpretiert wird, dass die untere Uhr langsamer‘tickt’.

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62.2 Lösungen (Uhren im Schwerefeld) 1714

8. Lösung von Aufgabe 8

a)t1

t0= 1 +

ghc2 + ..→ ∆t = t ·

ghc2 = 3.156 · 107 s ·

9.81 m/s2 · 125 m(2.998 · 108 m/s

= 431 ns

b)t1

t0= γ = 1 +

υ2

2c2 + ..→ghc2 =

υ2

2c2 ⇒ υ =√

2gh ≈ 50 m/s

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62.2 Lösungen (Uhren im Schwerefeld) 1715

9. Lösung von Aufgabe 9

∆ ff0

=ghc2 =

9.81 m/s2 · 22.56 m(2.9979 · 108 m/s)2 = 2.46 · 10−15 X=

(5.13 ± 0.51) · 10−15

2= (2.57 ± 0.26) · 10−15

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Kapitel 63

Lösungen (Kern- und Teilchenphysik)

63.1 Lösungen (Radioaktivität)

1. Lösung von Aufgabe 1

a) N =mma

=ρVma

=9.0 · 10−9 kg/L · 1.0 L

238.05 u · 1.661 · 10−27 kg/u= 2.3 · 1016

b) A = λN =ln 2T1/2·ρVma

=ln 2

4.468 · 109 a · 3.156 · 107 s/a·

9.0 · 10−9 kg/L · 75 L238.05 · 1.661 · 10−27 kg

= 8.4 Bq

c)A

AM≈

8.4 Bq8.4 · 103 Bq

≈ 1%

Die Aktivität eines ‘Standardmenschen’ liegt je nach Quelle zwischen 8 kBq und 10 kBq.

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63.1 Lösungen (Radioaktivität) 1717

2. Lösung von Aufgabe 2

P =∆E∆t

=E1∆N

∆t= E1A = E1λN = E1 ·

ln 2T1/2·

mma

= 5.304 MeV · 1.6022 · 10−13 JMeV

·ln 2

138.376 d · 86400 s/d·

1 · 10−3 kg209.98 u · 1.661 · 10−27 kg/u

= 141.3 W = 0.14 kW

Die Angabe stimmt grössenordnungsmässig. Man weiss leider nicht, wie genau “ein Gramm” ist.

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63.1 Lösungen (Radioaktivität) 1718

3. Lösung von Aufgabe 3

a) η =Pel

PPu=

120 W2000 W

= 6.0 %

b) PPu =∆E∆t

=E1∆N

∆t= E1A = E1λNPu = E1

ln 2T1/2

mNA

MPuO2

=5.593 MeV · 1.6022 · 10−13 J/MeV · ln 2 · 4.8 kg · 6.022 · 1023 mol−1

87.7 a · 3.156 · 107 s/a · (238.049553 + 2 · 15.9994) · 10−3 kg= 2.4 kW

Die Grössenordnung stimmt, die 2000 W sind anscheinend stark gerundet.

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63.1 Lösungen (Radioaktivität) 1719

4. Lösung von Aufgabe 4

a) N = N02−t/T1/2 = N0e−t/τ = N0e−λt ⇒−t

T1/2· ln 2 =

−tτ⇒ T1/2 = τ · ln 2, λ =

1τ

b) A = λN =1τ·

mma

=1

2.1 · 1029 · 3.156 · 107 s·

103 kg1.0079 · 1.661 · 10−27 kg

= 90 nBq

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63.1 Lösungen (Radioaktivität) 1720

5. Lösung von Aufgabe 5

a) AU = λN =ln 2T1/2·

fUmma

=ln 2

4.468 · 109 · 3.156 · 107 s·

19 · 10−6 · 103 kg238 · 1.661 · 10−27 kg

= 2.4 · 105 Bq

AT = λN =ln 2T1/2·

fT mma

=ln 2

1.405 · 1010 · 3.156 · 107 s·

31 · 10−6 · 103 kg232 · 1.661 · 10−27 kg

= 1.3 · 105 Bq

b) Beide Nuklide stehen an der Spitze einer Zerfallsreihe mit radioaktiven Tochterkernen.

Da nicht gesagt wird, um welches Uranisotop es sich handelt, habe ich das häufigere genommen. BeimThorium wird es das langlebigere sein, denn der Montblanc steht ja schon lange da. Ein kurzlebigesNuklid wäre schon lange zerfallen.

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63.1 Lösungen (Radioaktivität) 1721

6. Lösung von Aufgabe 6

146C → β− +14

7 N Stickstoff-14 ist in der Tabelle stabiler Nuklide aufgeführt.

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63.1 Lösungen (Radioaktivität) 1722

7. Lösung von Aufgabe 7

A = λ · N =ln 2T1/2·

mma

=ln 2

1.261 · 109 · 3.156 · 107 s·

1.000 kg39.96 · 1.661 · 10−27 kg

= 262.4 MBq

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63.1 Lösungen (Radioaktivität) 1723

8. Lösung von Aufgabe 8Natürliches Kalium enthält f = 0.012 % atomaren Anteil an K-40.

A = λNK−40 = λ f NK =ln 2T1/2·

f mKClNA

MKCl

=ln 2

1.261 · 109 a · 3.156 · 107 s/a·

1.2 · 10−4 · 1000 g · 6.022 · 1023 mol−1

(39.098 + 35.453) g/mol= 17 kBq

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63.1 Lösungen (Radioaktivität) 1724

9. Lösung von Aufgabe 9

A ∝ N = N02−t/T1/2 ⇒ A = A02−t/T1/2 ≈ 8 kBq · 2−4 min/1 min = 8 kBq · 116 = 0.5 Bq

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63.1 Lösungen (Radioaktivität) 1725

10. Lösung von Aufgabe 10

A = λN =ln 2T1/2·

mma

=ln 2

4.468 · 109 a · 3.156 · 107 s/a·

10 · 10−9 kg238.05 u · 1.661 · 10−29 kg/u

= 12 Bq

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63.1 Lösungen (Radioaktivität) 1726

11. Lösung von Aufgabe 11

a) Die Aktivität ist A = 15 000 · 1012 Bq = 1.5 · 1016 Bq

b) 13755 C→ β− +137

56 Ba Barium

c) A = λ · N =ln 2T1/2·

mma⇒ m =

T1/2

ln 2· Ama

=30.1671 a · 3.156 · 107 s/a

ln 2· 1.5 · 1016 Bq · 136.9 u · 1.661 · 10−27 kg/u = 4.7 kg

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63.1 Lösungen (Radioaktivität) 1727

12. Lösung von Aufgabe 12

a) Fe-60 ist ein Betastrahler mit Halbwertszeit 2.62·106 a. 6026Fe→60

27Co +β− (Kobalt)

b) N = N02−t/T1/2 ⇒NN0

= 2−t/T1/2 = 2−2.2 Ma/2.62 Ma = 56 %

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63.1 Lösungen (Radioaktivität) 1728

13. Lösung von Aufgabe 13

Die Produktionsrate muss gleich der Zerfallsrate (Aktivität) sein.

Produktion:∆N∆t

=∆m

ma∆t=

13.4 kg14.003 u · 1.661 · 10−27 kg/u · 1 a · 3.156 · 107 s/a

= 1.83 · 1019 s−1

Zerfall: A = λN =ln 2T1/2·

mma

=ln 2

5700 · 3.156 · 107 s·

111 · 103 kg14.00 · 1.661 · 10−27 kg

= 1.84 · 1019 Bq

Die zwei Angaben passen im Rahmen der Rundung zusammen.

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63.1 Lösungen (Radioaktivität) 1729

14. Lösung von Aufgabe 14

Die vollständige Reaktionsgleichung lautet: 6027Co→ β− + 60

28Ni+ + νe.Wenn sich der Kobalt-Kern in einen Nickel-Kern umwandelt, indem er ein Elektron (β−) ausstösst,nimmt die Ladung des Kerns um eine Elementarladung zu. Das Nickelatom muss deshalb in derHülle ein Elektron mehr binden, um elektrisch neutral zu sein. Das Zerfallsprodukt ist also ein einfachionisiertes Nickel-Ion. Das ausgesandte Betateilchen (Elektron) hat genau die Ladung des fehlendenHüllen-Elektrons und gleicht so die Ladungsbilanz aus. Das Elektron-Antineutrino νe ist, wie derName schon sagt, elektrisch neutral.

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63.1 Lösungen (Radioaktivität) 1730

15. Lösung von Aufgabe 15

N =ρVM· NA =

3.3 · 103 kg · 1 m3

109 m3 · 238.03 · 10−3 kg/mol· 6.022 · 1023 mol−1 = 8.349 · 1018

A238 = λ238N238 =ln 2T1/2· f238N

A238 =ln 2

4.468 · 109 · 3.156 · 107 s· 99.275 % · 8.349 · 1018 = 41 Bq

A235 =ln 2

7.04 · 108 · 3.156 · 107 s· 0.720 % · 8.349 · 1018 = 1.9 Bq

A234 =ln 2

2.455 · 105 · 3.156 · 107 s· 0.005 % · 8.349 · 1018 = 37 Bq

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63.1 Lösungen (Radioaktivität) 1731

16. Lösung von Aufgabe 16

A = λ · N =ln 2T1/2·

mma

=ln 2

2 · 1021 a · 3.156 · 107 s/a·

16 kg75.92 u · 1.661 · 10−27 kg/u

= 1 mBq

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63.1 Lösungen (Radioaktivität) 1732

17. Lösung von Aufgabe 17

a) D =Wm

=Ptm⇒ t =

DmP

=30 · 103 Gy · 0.100 kg

20 · 103 W= 0.15 s

b) W = Dm = NE1 = NeU ⇒ N =DmeU

=30 kGy · 0.100 kg

1.6022 · 10−19 C · 300 · 103 V= 6.2 · 1016

c) I =PU

=20 · 103 W300 · 103 V

= 67 mA

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63.1 Lösungen (Radioaktivität) 1733

18. Lösung von Aufgabe 1823392 U→ 4

2He + 22990 Th Thorium-229

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63.1 Lösungen (Radioaktivität) 1734

19. Lösung von Aufgabe 19

A ∝ N ∝ 2−t/T1/2 = 2−100 a/5.70·103 a = 0.988

Der Baumstamm hat immer noch 98.8 % der ursprünglichen Aktivität.

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63.1 Lösungen (Radioaktivität) 1735

20. Lösung von Aufgabe 20

A = λN =ln 2T1/2

N ⇒ N =T1/2 · A

ln 2=

1.261 · 109 a · 3.156 · 107 s/a · 4.5 · 103 Bqln 2

= 2.6 · 1020

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63.1 Lösungen (Radioaktivität) 1736

21. Lösung von Aufgabe 21

Laut Bundesamt für Gesundheit betrug die mittlere Belastung der Schweizer Bevölkerung im Jahr2012 durch ionisierende Strahlung 5.7 mSv. Die Einheit der Äquivalentdosis ist Milli-Sievert. ZurVerfügung stünde auch die Energiedosis (Gray), wobei die Energiedosis das Krebsrisiko nicht enthält(dafür objektiver ist). Die Aktivität (in Becquerel) enthält die Energie nicht und ist für sich alleinewenig aussagekräftig.

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63.1 Lösungen (Radioaktivität) 1737

22. Lösung von Aufgabe 22

a) Das Zerfallsgesetz enthält keine umgekehrte Proportionalität, sondern eine Exponentialfunktion.Fragt man, wann 100 % vorhanden waren, liefert die Proportionalität 1

2 · 51.5 d statt t = 0.

b) N = N02−t/T ⇒ t = −T1/2

ln 2ln

NN0

= −51.5 dln 2

· ln 0.17 = 132 d

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63.1 Lösungen (Radioaktivität) 1738

23. Lösung von Aufgabe 23

23090 Th→4

2 He +22688 Ra

∆E = (mT − mH − mR)c2

= (230.033 134 u − 4.002 603 u − 226.025 410 u) · 931.49 MeV/u =

= (0.005 121 u) · 931.49 MeV/u = 4.770 MeV

Davon trägt das Alphateilchen 4.69 MeV weg (FoTa).

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63.1 Lösungen (Radioaktivität) 1739

24. Lösung von Aufgabe 24

a) Laut Bundesamt für Gesundheit betrug die Belastung der Schweizer Bevölkerung im Jahr 2013durchschnittlich 5.5 mSv. Die grösste natürliche Belastung erfolgt durch Radon-222 und Zerfallspro-dukte (3.2 mSv) sowie 0.4 mSv durch kosmische Strahlung. Die grösste technische Belastung erfolgtdurch medizinische Diagnostik (1.2 mSv).b) Die Energiedosis (Gy) berücksichtigt nur die durch ionisierende Strahlung deponierte Energie (proMasse), die Äquivalentdosis (Sv) gewichtet diese Dosis mit der Gefährlichkeit der Strahlungssortefür lebende Zellen.

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63.1 Lösungen (Radioaktivität) 1740

25. Lösung von Aufgabe 25

Radium-226, das einzige in der FoTa gelistete Isotop, ist ein Alphastrahler.

a) 22688 Ra→4

2 He +22286 Rn Radon-222

b) A = λN =ln 2T1/2· nNA =

ln 21600 a · 3.1557 · 107 s/a

· 1.0 · 10−3 mol · 6.022 · 1023 mol−1

= 8.267 · 109 s−1 = 8.3 GBq

P = EA = 4.78 MeV · 1.6022 · 10−13 J/MeV · 8.267 · 109 s−1 = 6.3 mW

n = n02−t/T ⇒ lnnn0

= −t

T1/2ln 2⇒ t = −

T1/2

ln 2ln

nn0

= −1600 a

ln 2· ln 0.99 = 23 a

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63.1 Lösungen (Radioaktivität) 1741

26. Lösung von Aufgabe 26

a) Rubidium 8737Rb→ β− + 87

38S r Strontium

b) D =Em→

Dt

=AE1

m=

650 Bq · 0.283 · 1.60 · 10−13 J70 kg

· 3.156 · 107 s/a = 13.3 µGy/a

c) für Betatrahlung ist der Wichtungsfaktor wR = 1 Sv/Gy

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63.1 Lösungen (Radioaktivität) 1742

27. Lösung von Aufgabe 27

a) A0 = λN0 =ln 2T1/2

N0 =ln 2

55.6 s· 8.55 · 105 = 10.7 kBq

b) N(t) = N02−t/T = 8.55 · 105 · 2−3.52·60 s/55.6 s = 6.14 · 104

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63.1 Lösungen (Radioaktivität) 1743

28. Lösung von Aufgabe 28

a) D =Em

=E1At

m=

0.1565 MeV · 1.6022 · 10−13 J/MeV · 3.1 · 103 Bq · 3.16 · 107 s73 kg

= 34 µGy

b) Gleich, denn für Betastrahlung ist der Wichtungsfaktor wR = 1 Sv/Gy

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63.1 Lösungen (Radioaktivität) 1744

29. Lösung von Aufgabe 29

a) 14862 Sm→ 4

2He + 14460 Nd Neodym-144 ist in der Tab. der stabilen Nuklide aufgeführt.

b) Die Aktivität einer abgewogenen Probe ist umgekehrt proportional zur Halbwertszeit.

c) ∆E = ∆mc2 = (mS − mH − mN)c2

= (147.914818 − 4.0026033 − 143.910083) u · 931.49 MeV/u = 1.986 MeV

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63.1 Lösungen (Radioaktivität) 1745

30. Lösung von Aufgabe 30

a) Mendelevium 258101Md→4

2 He +25499 Es Einsteinium

b) N = N02−t/T ⇒ t = −T1/2ln(N/N0)

ln 2= −51.5 d ·

ln 0.17ln 2

= 132 d

c) N = N0 exp(−λt)→ −dNN0

= −dN

dt N0dt =

λN0 exp(−λt)N0

∣∣∣∣∣t=0· dt = λ exp(0)dt = λdt∣∣∣∣∣dN

N0

∣∣∣∣∣ =ln 2T1/2

dt ≈ln 2

51.5 · 86400 s· 1 s = 1.56 · 10−7

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63.1 Lösungen (Radioaktivität) 1746

31. Lösung von Aufgabe 31

a) Prad = E1∆N∆t

= E1A = E1λN = E1ln 2T1/2

mma

= . . . ↓ · · · = 5.53 kW

= 5.593 MeV · 1.6022 · 10−13 J/MeV ·ln 2

87.7 a · 3.156 · 107 s/a·

9.75 kg238 u · 1.661 · 10−27 kg/u

b) 5.53 kW ist eine Heizleistung, 245.7 W ist die elektrische Leistung.

c) η =Pel

Prad=

245.7 W5535 W

= 4.44 %

(Das Tochternuklid ist U-234 mit einer viel grösseren Halbwertszeit. Dessen Radioaktivität darf gegenjene des Pu-238 vernachlässigt werden. Pu-238 ist ein Alphastrahler; die Strahlung bleibt im Materialund erzeugt dort Wärme.)

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63.1 Lösungen (Radioaktivität) 1747

32. Lösung von Aufgabe 32

H =∆H∆t· t =

26 · 10−6 Sv3600 s

· 3.156 · 107 s = 0.23 Sv

Bei einer kurzzeitigen Bestrahlung sollen ab 0.2 Sv bis 0.3 Sv erste Veränderungen unter dem Mi-kroskop im Blutbild erkennbar sein; bei etwa 1 Sv tritt starker Strahlenkater auf (den einige nichtüberleben). Eine chronische Belastung von 0.23 Sv/a ist nicht spürbar. Ob die Belastung gefährlichist, ist sehr umstritten (Stand 2016).

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63.1 Lösungen (Radioaktivität) 1748

33. Lösung von Aufgabe 33

A = λN1 =ln 2T1/2

N1 ⇒

N1 =AT1/2

ln 2=

15 Bq · 1.261 · 109 a · 3.156 · 107 s/aln 2

= 8.6 · 1017

N2 =f mma

=0.012 % · 0.5 · 10−3 kg

100 % · 39.96 u · 1.661 · 10−27 kg/u= 9 · 1017

Im Rahmen der Rechengenauigkeit – eine respektive zwei bedeutsame Ziffern – herrscht Überein-stimmung.

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63.1 Lösungen (Radioaktivität) 1749

34. Lösung von Aufgabe 34

a) 9942Mo→ 99m

43 Tc + β− Elektronen-Emission

b) AM = AT ⇒ λMNM = λT NT ⇒ln 2TM

NM =ln 2TT

NT ⇒NT

NM=

TT

TM=

6.01 h2.7476 · 24 h

= 0.0911

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63.1 Lösungen (Radioaktivität) 1750

35. Lösung von Aufgabe 35

Annahme: Mit Uran sei U-238 gemeint; der Anteil an U-235 sowie die Aktivität der Tochterkernewird ignoriert.

AU = λU NU =ln 2TU·

fUmG

mU

=ln 2

4.468 · 109 · 3.156 · 107 s·

0.02 · 12.8 · 103 kg238.05 · 1.661 · 10−27 kg

= 3.18 · 109 Bq = 3 GBq

Anteil von natürlichem U-235 an der Aktivität:

A235

A238=

T8 f5

T5 f8=

4.468 · 109 a · 0.720 %7.04 · 108 a · 99.275 %

= 0.0460N5

N8=

f5

f8=

0.720 %99.275 %

= 0.00725

U-235 trägt etwa 4.6 % zur Aktivität des natürlichen Isotopengemischs von Uran bei.U-238 steht am Kopf der natürlichen Uran-Radium Zerfallsreihe und zerfällt in 14 Stufen zum stabilenPb-206. Im radioaktiven Gleichgewicht ist die Aktivität der Tochterkerne gleich gross wie jene derMutterkerne, d.h. die Aktivität ist 14 mal grösser als jene des Urans alleine.

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63.1 Lösungen (Radioaktivität) 1751

36. Lösung von Aufgabe 36

a) PP = APE1 = λPNPE1 =ln 2TP·

mP

ma· E1

=ln 2

87.7 a · 3.156 · 107 s/a·

0.120 kg238.0 u · 1.661 · 10−27 kg/u

· 5.593 MeV · 1.6022 · 10−13 J/MeV

= 68.122 W = 68.1 W

b) PW = ηPP =Tw − Tk

Tw· PP =

(480 − 39) K(480 + 273.15) K

· 68.122 W = 39.89 W = 39.9 W

c) Wenn die Wärmekraftmaschine eine höhere Leistung abgibt als physikalisch möglich ist, ist wahr-scheinlich etwas mit den Zahlen falsch. Der Tochterkern – U-234 – hat eine Halbwertszeit von 246 ka;dessen Aktivität resp. Energieproduktion ist vernachlässigbar.d) Freilaufendes Plutonium wäre zu gefährlich.

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63.1 Lösungen (Radioaktivität) 1752

37. Lösung von Aufgabe 37

Bq (s−1) ist die Einheit der Aktivität, die als radioaktive Zerfälle pro Zeit in einer Probe definiert ist.

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63.2 Lösungen (Kernphysik) 1753

63.2 Lösungen (Kernphysik)

1. Lösung von Aufgabe 1

JN =∆NE1

∆tA=

65 · 109 · 0.26 MeV · 1.6022 · 10−13 J/MeV1 s · 1 · 10−4 m2 = 27 W/m2

JN

JS=

∆NE1

∆tAJS=

65 · 109 · 0.26 · 1.6022 · 10−13 J1 s · 1 · 10−4 m2 · 1366 W/m2 = 2.0 %

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63.2 Lösungen (Kernphysik) 1754

2. Lösung von Aufgabe 2

P =∆N∆t· E1 = λN · E1 =

ln 2T1/2

NE1 ⇒ N =PT1/2

E1 ln 2

m = N · ma =PT1/2ma

E1 ln 2

=4 · 1012 W · 1.261 · 109 a · 3.16 · 107 s/a · 39.96 u · 1.661 · 10−27 kg/u

1.4 MeV · 1.60 · 10−13 J/MeV · ln 2= 7 · 1016 kg

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63.2 Lösungen (Kernphysik) 1755

3. Lösung von Aufgabe 3

∆E = (mH + mN − mD)c2

= (1.0078250 u + 1.0086649 u − 2.0141018 u) · (2.99 . . . · 108 m/s)2

= (0.0023881 u) · 1.660539 · 10−27 kg/u · (2.99792458 · 108 m/s)2

= 3.5640 · 10−13 J = 2.2245 MeV

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63.2 Lösungen (Kernphysik) 1756

4. Lösung von Aufgabe 4

a) Ep =35

14πε

Q2

R=

35

14πε·

(Ze)2

r03√A

=3

5 · 4π · 8.854 · 10−12 As/(Vm)·

(79 · 1.6022 · 10−19 C)2

1.2 · 10−15 m · 3√197= 1.24 · 10−10 J ÷ 1.6022 · 10−10 J/GeV = 0.77 GeV

b) EB = (ZmH + (A − Z)mn − mG) c2

= (79 · 1.0078250 u + (197 − 79) · 1.008664916 u − 196.966552 u) · 931.49 MeV/u= 1559 MeV

Die elektrostatische Energie ist etwa die Hälfte der Kernbindungsenergie.

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63.2 Lösungen (Kernphysik) 1757

5. Lösung von Aufgabe 5

∆E = ∆mc2 = (4 · mH−1 − mHe−4)c2

∆E = (4 · 1.0078250 − 4.0026033) u · 931.49 MeV/u = 26.731 MeV = 4.2827 · 10−12 J

P =E · ∆N

∆t= E ·

∆N∆t · V

· V ⇒

∆N∆t · V

=P

VE=

3.846 · 1026 W1.4120 · 1027 m3 · 4.2827 · 10−12 J

= 6.360 · 1010 m−3 · s−1

Die Fusionsrate ist im Sonnenkern höher als im Mantel. Ein Kubikmeter Sonnenmaterie enthält imDurchschnitt 8 · 1029 Protonen. Eine Fusionsreaktion ist also etwas eher seltenes.

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63.2 Lösungen (Kernphysik) 1758

6. Lösung von Aufgabe 6

Der Atomkern ist aus A Nukleonen aufgebaut. Die Nukleonen (Protonen oder Neutronen) sind etwagleich gross und einigermassen dicht gepackt. Nukleonen können als harte Kugeln aufgefasst werden.Somit ist das Volumen des Kerns etwa A mal Volumen eines Nukleons. Der Radius einer Kugel istr ∝ 3√V ∝ 3√A.

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63.2 Lösungen (Kernphysik) 1759

7. Lösung von Aufgabe 7

K-40 und Ca-40

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63.2 Lösungen (Kernphysik) 1760

8. Lösung von Aufgabe 8

N ≈mS

mNAnzahl Protonen/Neutronen/Wasserstoffatome

EG = −35

Gm2

rgravitative Selbstenergie einer homogenen Kugel

3Gm2S

5rN−

3Gm2S

5rS= N · E1 =

mS

mN· E1

3GmS

5rN=

E1

mN+

3GmS

5rS

rN =

(5E1

3GmS mN+

1rS

)−1

rN =

(5 · 0.78 MeV · 1.602 · 10−13 J/MeV

3 · 6.674 · 10−11 N m2/kg2 · 1.9884 · 1030 kg · 1.674 · 10−27 kg+

16.960 · 108 m

)−1

rN = 1.065 · 106 m = 1.1 · 106 m

Neutronensterne haben Radien in der Grössenordnung von 10 km, sind also rund hundert Mal kleiner.Die Energie zur Bildung eines Neutronensterns stammt aus der Gravitation.

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63.2 Lösungen (Kernphysik) 1761

9. Lösung von Aufgabe 9

Die mittlere Bindungsenergie ist rund hundert mal kleiner als die Ruheenergie von 939 MeV proNukleon.

12maυ

2 = AE1 ⇒ υ =

√2AE1

ma= c

√2AE1

mac2 = 2.998 · 108 m/s ·

√2 · 62 · 8.78 MeV

61.928 u · 931.49 MeV/u=

υ = 2.998 · 108 m/s · 0.1374 = 4.12 · 107 m/s

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63.3 Lösungen (Teilchenphysik) 1762

63.3 Lösungen (Teilchenphysik)

1. Lösung von Aufgabe 1a) z.B. Elektron, Elektron-Neutrino, Myon, etc.b) Das Proton besteht aus drei Quarks (up, up, down)

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63.3 Lösungen (Teilchenphysik) 1763

2. Lösung von Aufgabe 2

a) P =PP∆tP

T= PP∆tP f = 125 MW · 2.86 · 10−3 s · 14 Hz = 5.0 MW X

b) I =∆Q∆t

=∆Ne∆t⇒

∆N∆t

=Ie

=62.5 · 10−3 A

1.6022 · 10−19 As= 3.90 · 1017 s−1

c) PP =∆NEk

∆t=

IEk

e=

62.5 · 10−3 A · 2.0 GeV · 1.6022 · 10−10 J/GeV1.6022 · 10−19 As

= 125 MW X

d) Ek = (γ − 1)mc2 ⇒(1 − β2

)−1/2= 1 +

Ek

mc2 ⇒

β =

√1 −

(1 +

Ek

mc2

)−2

=

√1 −

(1 +

2.0 GeV0.93827 GeV

)−2

= 0.9476 = 0.95

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Kapitel 64

Lösungen (Quantenphysik)

64.1 Lösungen (Quantenoptik)

1. Lösung von Aufgabe 1

a) E = h f = 6.626 · 10−34 Js · 1.78 · 109 Hz = 1.18 · 10−24 J ·1 eV

1.602 · 10−19 J= 7.36 µeV

b)∆N∆t

=Ph f

=1.8 W

6.626 · 10−34 Js · 1.78 · 109 Hz= 1.5 · 1024 s−1

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64.1 Lösungen (Quantenoptik) 1765

2. Lösung von Aufgabe 2

a) [F · ∆t] = Ns oder [mυ] = kg ·m · s−1

b) p =hλ⇒ p2 = p1 ·

λ1

λ2= 1.66 · 10−27 Ns ·

400 nm600 nm

= 1.11 · 10−27 Ns

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64.1 Lösungen (Quantenoptik) 1766

3. Lösung von Aufgabe 3

a) E = h f =hcλ

=6.626 · 10−34 Js · 2.9979 · 108 m/s

405 · 10−9 m/s= 4.90 · 10−19 J ÷ 1.6022 · 10−19 J/eV = 3.06 eV

b) P =∆N · h f

∆t⇒

∆N∆t

=Pλhc

=0.100 W · 405 · 10−9 m

6.626 · 10−34 Js · 2.9979 · 108 m/s= 2.04 · 1017 s−1

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64.1 Lösungen (Quantenoptik) 1767

4. Lösung von Aufgabe 4Pro: Der darksucker lässt die Dunkelheit tatsächlich verschwinden, wenn man ihn einschaltet. DieDunkelheit kommt wieder, wenn man ihn ausschaltet. Die zeitliche Übereinstimmung ist gut. Ernimmt, wie ein Staubsauger, Energie auf und ‘pumpt damit die Dunkelheit aus dem Zimmer’. Erbenötigt Energie, um die Dunkelheit zum Verschwinden zu bringen, tut also etwas. . . .

Contra: Die Theorie geht davon aus, dass ‘Dunkelheit’ ein Stoff ist. Dieser Stoff müsste zum dark-sucker strömen und eine Art Wind zum darksucker hin erzeugen. Man stellt aber einen Strahlungs-druck fest, der von der Lampe weg weist. Licht kann z.B. Elektronen aus Metalloberflächen herauslö-sen; Dunkelheit ist dazu nicht in der Lage. Dies deutet darauf hin, dass Licht etwas ist und Dunkelheitdie Abwesenheit von Licht. . . .

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64.1 Lösungen (Quantenoptik) 1768

5. Lösung von Aufgabe 5

a) P =∆N · h f

∆t⇒

∆N∆t

=Pλhc

=5.0 · 10−3 W · 632.8 · 10−9 m

6.626 · 10−34 Js · 2.998 · 108 m/s= 1.6 · 1016 s−1

b) δt =∆t∆N

=1 s

1.593 · 1016 = 6.3 · 10−17 s und δs = c · δt =3.00 · 108 m/s1.593 · 1016 s−1 = 19 nm < λ

c) F =∆p∆t

=∆N · hλ · ∆t

=∆N · h f

c · ∆t=

∆Ec · ∆t

=Pc

=5.0 · 10−3 W

3.00 · 108 m/s= 17 pN

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64.1 Lösungen (Quantenoptik) 1769

6. Lösung von Aufgabe 6

JS = 8.5 · 1011 MeV · cm−2 · s−1 · 1.6022 · 10−13 JMeV

·1 cm2

10−4 m2 = 1.36 kW/m2

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64.1 Lösungen (Quantenoptik) 1770

7. Lösung von Aufgabe 7

λ =1ν

=1

1644 cm−1 =1

164400 m−1 = 6.083 µm

f =cλ

= cν = 2.9979 · 108 m/s · 164400 m−1 = 4.929 · 1013 Hz

E = h f = hcν = 6.6261 · 10−34 Js · 2.9979 · 108 m/s · 164400 m−1 = 3.266 · 10−20 J = 0.2038 eV

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64.1 Lösungen (Quantenoptik) 1771

8. Lösung von Aufgabe 8

a) Siehe Abbildung 64.1.

b) E = h f =hcλ⇒ λ =

hcE

E =6.626 · 10−34 Js · 2.998 · 108 m/s

2.63 eV · 1.6022 · 10−19 J/eV= 471 nm

c) Emin =hcλmax

=6.626 · 10−34 Js · 2.998 · 108 m/s

700 · 10−9 m= 2.837 · 10−19 J ÷ 1.6022 · 10−19 J/eV = 1.77 eV

Emax =hcλmin

=6.626 · 10−34 Js · 2.998 · 108 m/s

400 · 10−9 m= 4.966 · 10−19 J = 3.10 eV

Abbildung 64.1: Spektrale Intensität einer blauenLED.

0 1 2 3 4 5 6Energie in Elektronvolt

Inte

nsitä

t in

willk

ürlic

hen

Einh

eite

n

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64.1 Lösungen (Quantenoptik) 1772

9. Lösung von Aufgabe 9

m =Ec2 =

Nh fc2 =

nNAhcλ

=1.0 mol · 6.022 · 1023 mol−1 · 6.626 · 10−34 Js

2.998 · 108 m/s · 500 · 10−9 m= 2.7 · 10−12 kg

(Um die Photonen zu wägen, müsste man sie in einen verspiegelten Kasten einschliessen.)

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64.1 Lösungen (Quantenoptik) 1773

10. Lösung von Aufgabe 10

a) E = h f =hcλ

=6.62607 · 10−34 J s · 2.9979 · 108 m/s

488.0 · 10−9 m= 4.071 · 10−19 J = 2.541 eV

b) mυ =hλ⇒ υ =

hλm

=6.62607 · 10−34 J s

488.0 · 10−9 m · 39.962 u · 1.6605 · 10−27 kg/u= 2.046 cm/s

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64.1 Lösungen (Quantenoptik) 1774

11. Lösung von Aufgabe 11

∆Q = cm∆ϑ = cnM∆ϑ = cNW M

NA∆ϑ

soll= NPh f ⇒

NP

NW=

cM∆ϑ

h f NA=

4182 J/(kg K) · (2 · 1.01 + 16.0) · 10−3 kg/mol · (70 − 20) K6.626 · 10−34 J · 2.4 · 109 Hz · 6.022 · 1023 mol−1 = 3.9 · 103

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64.1 Lösungen (Quantenoptik) 1775

12. Lösung von Aufgabe 12

a) Elektronen umkreisen nicht den Kern sondern den gemeinsamen Schwerpunkt. Dies bewirkt kleineVerschiebungen der Spektrallinien zwischen verschiedenen Isotopen.

b) E = h f =hcλ

=hcN

l1=

6.62606896 · 10−34 J s · 2.99792458 · 108 m/s · 1650763, 731.0 m

= 3.27915218 · 10−19 J

c) mυ =hλ→ υ =

hNml1

=6.626 · 10−34 J s · 1650763, 731.0 m · 85.9 · 1.661 · 10−27 kg

= 7.67 mm/s

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64.1 Lösungen (Quantenoptik) 1776

13. Lösung von Aufgabe 13

mυ =hλ⇒ υ =

hmλ

=6.626069 · 10−34 Js

656.27 · 10−9 m · 1.007825 · 1.660539 · 10−27 kg= 0.60331 m/s

Saha’s Rechnung stimmt natürlich. 656.27 nm ist die Wellenlänge der Hα-Balmerlinie in Luft; dieletzten ein bis zwei Stellen unseres Resultats sind deshalb nicht sicher.

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64.1 Lösungen (Quantenoptik) 1777

14. Lösung von Aufgabe 14

E = Nh f =Nhcλ⇒ λ =

NhcE

=1019 · 6.626 · 10−34 J s · 3.00 · 108 m/s

2 J= 9.939 · 10−7 m ≈ 1 µm

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64.1 Lösungen (Quantenoptik) 1778

15. Lösung von Aufgabe 15

Nach der klassischen Physik müsste die Energie der Photo-Elektronen proportional zur Intensität desauftreffenden Lichtes sein. Die Abhängigkeit von der Frequenz ist nicht erklärbar, denn die Ener-gie einer elektromagnetischen Welle hängt nur von der Amplitude, nicht von der Frequenz ab. Diemoderne Erklärung stammt von Einstein aus dem Jahr 1905.

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64.1 Lösungen (Quantenoptik) 1779

16. Lösung von Aufgabe 16

E = h f =hcλ⇒ λ =

hcE

=6.626 · 10−34 J s · 2.9979 · 108 m/s

37.2 · 10−6 eV · 1.6022 · 10−19 J/eV= 3.33 cm

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64.2 Lösungen (Materiewellen) 1780

64.2 Lösungen (Materiewellen)

1. Lösung von Aufgabe 1

λ =h

mυ=

hT2πrm

=6.626 · 10−34 Js · 27.3217 d · 86400 s/d

2π · 3.844 · 108 m · 7.349 · 1022 kg= 8.812 · 10−60 m

Weil die Wellenlänge so klein ist, können keine Wellenphänomene am Mond beobachtet werden.

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64.2 Lösungen (Materiewellen) 1781

2. Lösung von Aufgabe 2

32kT = 1

2mυ2 =p2

2m⇒ p =

√3kTm =

hλ⇒

λ =h

√3kTm

=6.626 · 10−34 Js√

3 · 1.38 · 10−23 J/K · 0.5 · 10−9 K · 23.0 u · 1.66 · 10−27 kg/u= 24 µm

Der mittlere Abstand der Natriumatome ist grösser als die de Broglie-Wellenlänge, deshalb spielenQuanteneffekte eine wichtige Rolle.

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64.2 Lösungen (Materiewellen) 1782

3. Lösung von Aufgabe 3

a) λ =cf

=2.9979 · 108 m/s1.267 · 1015 Hz

= 236.6 nm X

b) ∆E = h f = 6.62606896 · 10−34 Js · 1.267402452900 · 1015 Hz = 8.39789605 · 10−19 J

c) mυ − h/λ = 0⇒ υ =h

mλ=

6.626 · 10−34 Js114.8 u · 1.661 · 10−27 kg/u · 237 · 10−9 m

= 14.7 mm/s

d) pI − pL = 0⇒ h/λI = h/λ⇒ λI = λ = 237 nm

e)∆ ff

= −ghc2 ⇒ h = −

∆ ff

c2

g=

0.23 kHz1.267 · 1012 kHz

·(2.998 · 108 m/s)2

9.81 m/s2 = 1.7 km

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64.2 Lösungen (Materiewellen) 1783

4. Lösung von Aufgabe 4

eU =p2

2m→ λ =

hp

=h

√2meU

=6.626 · 10−34 Js√

2 · 9.109 · 10−31 kg · 1.6022 · 10−19 C · 1.00 V= 1.22 nm

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64.2 Lösungen (Materiewellen) 1784

5. Lösung von Aufgabe 5

32kT =

p2

2m⇒ p =

√3kTm

λ =hp

=h

√3kTm

=6.626 · 10−34 J s√

3 · 1.381 · 10−23 J/K · (273.15 + 36) K · 60 kg= 7.6 · 10−25 m

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64.2 Lösungen (Materiewellen) 1785

6. Lösung von Aufgabe 6

a) υ =

√3RTM

=

√3 · 8.314 J/(mol K) · 273.15 K

6 · (1.008 + 12.01) · 10−3 kg/mol= 295 m/s

b) λ =h

mυ=

6.626 · 10−34 J s6 · (1.008 + 12.01) · 1.66 · 10−27 kg · 295 m/s

= 1.73 · 10−11 m

Bemerkung: Das Benzolmolekül ist Grössenordnung 0.5 nm gross.

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64.3 Lösungen (Atommodelle) 1786

64.3 Lösungen (Atommodelle)

1. Lösung von Aufgabe 1

2πr = nλ Quantisierungsbedingung nach de Broglie

λ =h

mυWellenlänge und klassischer Impuls

Fres = maz nach Bohr verursacht die Coulombkraft die Kreisbewegung des Elektrons1

4πε0

Ze · er2 =

mυ2

r

⇒1

4πε0

Ze2

mr= υ2 =

(h

mλ

)2

=

(h · n

m · 2πr

)2

⇒

r = n2 ·ε0h2

πZe2mmυ2

r=

14πε0

Ze2

r2 ⇒ Ek = 12mυ2 =

12

14πε0

Ze2

r

Ep =1

4πε0

Ze · (−e)r

= −2Ek

En = Ep + Ek = 12 Ep = −

12

14πε0

Ze2

r= −

Z2e4m8ε2

0h2·

1n2

Grundzustand: n = 1⇒

E1 = −22 · (1.602176 · 10−19 C)4 · 9.109382 · 10−31 kg

8 · (8.854188 · 10−12 C/Vm)2 · (6.626069 · 10−43 Js)2

= −8.719477 · 10−18 J = −54.42271 eV

Die Ionisationsenergie des He+ ist im Betrag fast gleich der Grundzustandsenergie nach Bohr/deBroglie.Die Übereinstimmung ist besser als beim H-Atom, weil der Heliumkern schwerer als der Wasserstoff-kern ist.

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64.3 Lösungen (Atommodelle) 1787

2. Lösung von Aufgabe 2

2πr = nλ Quantisierungsbedingung nach de Broglie

λ =h

mυWellenlänge nach de Broglie

Fres = maz ⇒GMm

r2 =mυ2

rGravitationskraft verursacht Zentripetalbeschleunigung

⇒GM

r= υ2 =

(h

mλ

)2

=

(nh

m2πr

)2

⇒ r =n2h2

4π2GMm2 = n2r1 wobei

r1 =h2

4π2GMm2 =(6.626 · 10−34 Js)2

4π2 · 6.674 · 10−11 Nm2/kg2 · 1.989 · 1030 kg · (5.974 · 1024 kg)2

r1 = 0.0023474 · 10−135 m = 2.347 · 10−138 m

Ep = −GMm

rmυ2

r=

GMmr2 ⇒ Ek = 1

2mυ2 =GMm

2r= −1

2 Ep ⇒ E = Ep + Ek = 12 Ep

E = −GMm

2r= −

GMm · 4π2GMm2

2n2h2 = −2m(πGMm

nh

)2

=E1

n2 wobei

E1 = −2m(πGMm

h

)2

= −2 · 5.974 · 1024 kg ·(π · 6.674 · 10−11 Nm2/kg2 · 1.989 · 1030 kg · 5.974 · 1024 kg

6.626 · 10−34 Js

)2

E1 = −16891.4 · 10178 J = −1.689 · 10182 J

n =

√rr1

=

√1.496 · 1011 m

2.347 · 10−38 m · 10−100 = 2.525 · 1024 · 1050 = 2.525 · 1074

En+1 − En =E1

(n + 1)2 −E1

n2 =E1

n2 ·

11 + 2

n + 1n2

− 1 ≈ E1

n2 ·

(1 −

2n− 1

)= −

2E1

n3

= −−1.689 · 10182 J · 2

(2.525 · 1074)3 = 0.2098 · 10−40 J

rn+1 − rn = (n + 1)2r1 − n2r1 ≈ 2nr1 = 2√

rr1

r1 = 2√

rr1

= 2√

1.496 · 1011 m · 2.347 · 10−138 m = 1.185 · 10−63 m

λ =h

mυ=

hm

√r

GM=

6.626 · 10−34 Js5.974 · 1024 kg

√1.496 · 1011 m

6.674 · 10−11 Nm2/kg2 · 1.989 · 1030 kg=

= 3.723 · 10−63 m

Die Rechnung zeigt, was natürlich zu erwarten war, dass die Quantisierungsschritte derart klein sind,dass sie sich nicht bemerkbar machen.

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64.3 Lösungen (Atommodelle) 1788

3. Lösung von Aufgabe 3

Fres = maz nach Bohr bewegen sich die Elektronen auf einer Kreisbahn1

4πε0

2e · er2 −

14πε0

e · e(2r)2 =

mυ2

r2πr = nλ Quantisierungsbedingung nach de Broglie, im Grundzustand ist n = 1mυ = h/λ Wellenlänge nach de Broglie

⇒74

14πε0

e2

r= mυ2 = m ·

(h

mλ

)2

= m ·(

hm2πr

)2

=h2

4π2mr2 ⇒

r =4ε0h2

7πme2 =4 · 8.854 · 10−12 As/(Vm) · (6.626 · 10−34 Js)2

7 · π · 9.109 · 10−31 kg · (1.602 · 10−19 C)2 = 3.025 · 10−11 m

Epot = 2 ·1

4πε0

2e · (−e)r

+1

4πε0

(−e) · (−e)2r

= −72

14πε0

e2

r

Ekin = 2 · 12mυ2 = Fresr =

74

14πε0

e2

r= −1

2 Epot

E1 = Epot + Ekin = 12 Epot = −

74

14πε0

e2

rGrundzustandsenergie

E1 = −49e4m

64 · ε20h2

= −49 · (1.602 · 10−19)4 · 9.109 · 10−31 kg

64 · (8.854 · 10−12 As/(Vm))2 · (6.626 · 10−34 Js)2

E1 = −1.335 · 10−17 J = −83.31 J

Die nach diesem Modell berechnete Grundzustandsenergie ist etwa 5 % zu tief.

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64.3 Lösungen (Atommodelle) 1789

4. Lösung von Aufgabe 4

a) Ernest Rutherford (1871-1937) ist in Neuseeland aufgewachsen.b) Das Rutherfordsche Atommodell besteht aus einem Kern (aus Neutronen und Protonen), der fastdie ganze Masse trägt, und eine Hülle mit den Elektronen. Die Hülle ist typisch 10−10 m gross, derKern 10−15 m. Die Masse ist etwa 1 u = 1.661 · 10−27 kg pro Nukleon.

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64.3 Lösungen (Atommodelle) 1790

5. Lösung von Aufgabe 5

a) h f = |Em − En| → λ =1

R∞·

∣∣∣∣∣ 1m2 −

1n2

∣∣∣∣∣−1

=1 m

10 967 758·

∣∣∣∣∣ 122 −

142

∣∣∣∣∣−1

= 486.3 nm

b) h f = |E1| ⇒ f =|E1|

h=

13.6 eV · 1.6022 · 10−19 J/eV6.626 · 10−34 J s

= 3.29 · 1015 Hz

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64.3 Lösungen (Atommodelle) 1791

6. Lösung von Aufgabe 6

a) 1913b) Bohr hat eine Quantisierungsbedingung eingeführt: Nur bestimmte Bahnen sind möglich.

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64.3 Lösungen (Atommodelle) 1792

7. Lösung von Aufgabe 7

2πr = nλ→ mυ =hλ

=nh2πr

GMmr2 =

mυ2

r→

GMr

= υ2 =n2h2

4π2r2m2 ⇒ r =n2h2

4π2GMm2 = n2r1

r1 =h2

4π2GMm2 =(6.626 · 10−34 J s)2

4π2 · 6.674 · 10−11 N m2/kg2 · 238.05 · 1.661 · 10−27 kg · (1.675 · 10−27 kg)2 =

r1 = 1.502 · 1020 m

E1 =Ep

2= −

GMm2r1

= −2π2G2M2m3

h2 = · · · = −1.47 · 10−82 J

Die Zahlen sagen sehr deutlich, dass diese Rechnung eine Schnapsidee war.

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64.3 Lösungen (Atommodelle) 1793

8. Lösung von Aufgabe 8

Λ = ∆Q/∆`∣∣∣∣~E∣∣∣∣ =

12πε0

·Λ

r

2πrn = nλ = n ·h

mυ

maz = eE →mυ2

r= e ·

12πε0

·Λ

r⇒ υ =

√eΛ

2πε0m

rn = n ·h

2πm

√2πε0m

eΛ= n ·

√h2ε0

2πmeΛ= n · r1

Ek = 12mυ2 =

m2·

eΛ

2πε0m=

eΛ

4πε0unabhängig von r

Ep = eU = e∫

E dr =eΛ

2πε0

∫drr

=eΛ

2πε0· ln

rr0

Nullniveau bei r0

En = Ek + Ep =eΛ

4πε0+

eΛ

2πε0· ln

rn

r0

En+1 − En =eΛ

2πε0ln

n + 1n

Zahlenwerte: Sei Λ = 10−10 C/m.

υ = 5.6 · 105 m/s

r1 = 2.1 · 10−10 m Grössenordnung Atomdurchmesser

Ek = 1.44 · 10−19 J = 0.90 eV

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64.3 Lösungen (Atommodelle) 1794

9. Lösung von Aufgabe 9

L = mr2υ2 = mr2

√2E2

m= r2

√2E2m = r1n2 ·

√2 ·

E1

n2 m =ε0h2

πe2mn2

√2 ·

me4

8ε20h2n2

· m

=h

2π· n =

6.626 · 10−34 J s2π

· 2 = 2.109 · 10−34 Js

Variante, welche auf die Quantisierungsbedingung nach de Broglie zurückgreift:

Ln = mrnυn = mrnpn

m= rn pn = rn

hλn

= rnh

2πrn/n

Ln = n ·h

2π= 2 ·

6.626 · 10−34 J s2π

= 2.109 · 10−34 J s

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64.3 Lösungen (Atommodelle) 1795

10. Lösung von Aufgabe 10

a) rn = r1n2 = 5.29 · 10−11 m · 2562 = 3.47 µm

b) En = −hcR∞

n2 → h f =hcλ

= En − Em = hcR∞

(1

m2 −1n2

)⇒

λ =

[R∞

(1

m2 −1n2

)]−1

=

[10 973 732 m−1

(1

2552 −1

2562

)]−1

= 800 mm

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64.3 Lösungen (Atommodelle) 1796

11. Lösung von Aufgabe 11

∆E = h f =hcλ

=6.63 · 10−34 J s · 3.00 · 108 m/s

6.63 · 10−7 m= 3.00 · 10−19 J

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64.3 Lösungen (Atommodelle) 1797

12. Lösung von Aufgabe 12

L = ~ = mr1υ⇒ υ =~

mr1=

1.055 · 10−34 J s9.109 · 10−31 kg · 5.29 · 10−11 m

= 2.19 · 106 m/s

Bemerkung: υ/c ≈1

137= α ”Feinstrukturkonstante”

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64.3 Lösungen (Atommodelle) 1798

13. Lösung von Aufgabe 13

∆E = E1 ·

(1

m2 −1n2

)⇒ m =

(∆EE1

+1n2

)−1/2

=

(1.18 · 10−3 eV

13.6 eV+

1292

)−1/2

= 28

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64.3 Lösungen (Atommodelle) 1799

14. Lösung von Aufgabe 14

Teilchen haben nach de Broglie Welleneigenschaften. Entlang einer Bahn muss die Wellenfunktioneindeutig, stetig und glatt sein. Die Bahnlänge muss ein ganzzahliges Vielfaches der Wellenlängesein, d.h. es sind nicht mehr alle Bahnen möglich (Quantisierungsbedingung).

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64.3 Lösungen (Atommodelle) 1800

15. Lösung von Aufgabe 15

mυ = h/λ ∧ 2π(rE + hI) = nλ⇒ n =2π(rE + hI)mυ

h

n =2π · (6.371 + 0.400) · 106 m · 455 · 103 kg · (28 000 m/3.6 s)

6.626 · 10−34 Js= 2.27 · 1050

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64.3 Lösungen (Atommodelle) 1801

16. Lösung von Aufgabe 16

f =cλ

= cR∞

(1

m2 −1

m2

)= 2.9979 · 108 m/s · 10 973 731 m−1 ·

(122 −

142

)= 616.8 THz

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64.4 Lösungen (Unbestimmtheitsrelationen) 1802

64.4 Lösungen (Unbestimmtheitsrelationen)

1. Lösung von Aufgabe 1

∆E∆t >h

4π⇒ ∆E =

h4π∆t

=6.626 · 10−34 Js

4π · 1.22 · 10−20 s=

4.322 · 10−15 J1.6011 · 10−19 J/eV

= 27.0 keV

Offenbar ist 27 keV genau die Hälfte von 54 keV. Die Angaben passen also zusammen, denn 54 keVist die ganze Zerfallsbreite, während ∆E = 27 keV nur die halbe Breite (analog der Streuung σ einerNormalverteilung) darstellt.

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64.5 Lösungen (diverses Quantenphysik) 1803

64.5 Lösungen (diverses Quantenphysik)

1. Lösung von Aufgabe 1

R = ha · eb Dimensionsanalyse anhand der Einheiten:

Ω = (Js)a · Cb

VA

=J

A2s= (Js)a · (As)b ⇒

a = 1 und b = −2⇒ R =he2

In der Literatur findet man:RK = h/e2 = 25812.807 Ω ‘von Klitzing-Konstante’RH = RK/i ‘Hallwiderstand’, i ist eine natürliche Zahl.

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64.5 Lösungen (diverses Quantenphysik) 1804

2. Lösung von Aufgabe 2

En =eBh2πm

·(n + 1

2

)n ∈ N0 L. Landau, 1930 (Spezialfall)

∆E ?= E1 − E0 =

eBh2πm

B =2πm∆E

eh=

2π · 9.11 · 10−31 kg · 54 · 1.60 · 10−16 J1.60 · 10−19 C · 6.626 · 10−34 J s

= 4.7 · 108 T Maximum

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Teil XII

Lösungen Physikalische Methoden

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Kapitel 65

Lösungen (Heuristik)

65.1 Lösungen (Dimensionsanalyse)

1. Lösung von Aufgabe 1

p ∝ Eαυβ Ansatz[p]

= [E]α · [υ]β

kg ·ms

=

(kg ·m2

s2

)α·

( ms

)βVergleich der Basiseinheiten (statt der Dimensionen)kg : 1 = α

m : 1 = 2α + β⇒ β = −1s : −1 = −2α − β X Test

p ∝Eυ

Resultat der Dimensionsanalyse

Die vollständige Rechnung liefert (im Rahmen der klassischen Physik)

Ek = 12mυ2 = 1

2 pυ⇒ p = 2 ·Ek

υ

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65.1 Lösungen (Dimensionsanalyse) 1807

2. Lösung von Aufgabe 2

t = cαGβhγ Dimensionsanalyse via SI-Basiseinheiten

s1 =

(ms

)α·

(N m2

kg2

)β· (J s)γ =

(ms

)α·

(m3

s2 kg

)β·

(kg m2

s

)γ1 = −α − 2β − γ ∧ 0 = α + 3β + 2γ ∧ 0 = −β + γ ⇒ α = −5/2 β = 1/2 = γ

t =

√Ghc5 =

√6.674 · 10−11 Nm2/kg2 · 6.626 · 10−34 Js

(2.9979 · 108 m/s)5 = 1.351 · 10−43 s→ 10−43 s

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Kapitel 66

Lösungen (Infinitesimalrechnung)

66.1 Lösungen (Differentialrechnung)

1. Lösung von Aufgabe 1Sei g die Gegenstandsweite, b die Bildweite und s = g + b der Abstand Bildebene-Rennauto. DieBildebene bewegt sich nicht. Dann ist υ = ds/dt die Geschwindigkeit des Rennautos und db/dt dieGeschwindigkeit der Linse (ohne Betrachtung der Richtung).

1f

=1g

+1b

1f

=1

s − b+

1b

bs − b2 = f b + f s − f b

0 = b2 − bs + f s

b1,2 =s ±

√s2 − 4 f s2

dbdt

=12·

dsdt±

12·

1

2√

s2 − 4 f s·

(2s

dsdt− 4 f

dsdt

)dbdt

=12υ ±

12

sυ − 2 fυ√s2 − 4 f s

dbdt

=υ

2·

1 ± s − 2 f√s2 − 4 f s

Die Geschwindigkeit, mit der die Linse bewegt respektive die Bildweite vergrössert werden muss,hängt wie erwartet von der Geschwindigkeit des Rennautos (proportional) sowie vom momentanenAbstand des Autos und von der Brennweite der Linse ab.

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66.1 Lösungen (Differentialrechnung) 1809

2. Lösung von Aufgabe 2

υ =dydt

=ddt

(a + b · t + c · t2 + d · t3

)= b + 2c · t + 3d · t2

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66.1 Lösungen (Differentialrechnung) 1810

3. Lösung von Aufgabe 3

υ(t) =dsdt

=s0

τ· e−t/τ υ0 = υ(0) =

s0

τ

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66.1 Lösungen (Differentialrechnung) 1811

4. Lösung von Aufgabe 4

FR = ma = mdυdt

= mddt

(υ0 · (1 − t/τ)2

)= −

2mυ0

τ· (1 − t/τ) ∝ (1 − t/τ) ∝

√υ

Die Reibungskraft wächst proportional zur Wurzel aus der Geschwindigkeit.

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66.2 Lösungen (Integralrechnung) 1812

66.2 Lösungen (Integralrechnung)

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66.2 Lösungen (Integralrechnung) 1813

1. Lösung von Aufgabe 1

W =

∫p · dV =

∫ρgh · Adh = ρgA

∫d · dh = ρgA · 1

2h2 = ρAh · g ·h2

= mgh2

Die Arbeit des Schweredrucks ist gleich der potentiellen Energie des Wassers; der Schwerpunkt desWassers befindet sich nämlich auf der Höhe h/2.

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66.2 Lösungen (Integralrechnung) 1814

2. Lösung von Aufgabe 2

FG =

∫ ∞

Rg(r) · dm =

∫ ∞

Rg(r) · µ · dr =

∫ ∞

R

GMr2 · µ · dr = −

GMµ

r

∣∣∣∣∣∞R

=GMµ

R

Gravizentrum: rS FG = r1m1g(r1) + r2m2g(r2) + · · · →

∫ ∞

Rr · g(r) · µ · dr

rS =1

FG·

∫ ∞

Rr ·

GMµ

r2 · dr ∝∫ ∞

R

drr

Integral divergiert, Schwerpunkt unbestimmt

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66.2 Lösungen (Integralrechnung) 1815

3. Lösung von Aufgabe 3

Fres = ma = m ·dυdt∝ −√υ⇒

dυυ1/2 = −

tτ⇒

∫dυυ1/2 = −

∫tt0⇒ υ1/2 ∝ const − t/t0

schön: υ = υ0 · (1 − t/τ)2 mit Anfangswert υ0 und Parameter τ→ FR = ma = −2mυ0

τ· (1 − t/τ)

dxdt

= υ0 · (1 − t/τ)2 ⇒

∫dx = υ0

∫(1 − t/τ)2dt ⇒ x − x1 =

υ0τ

3· (1 − t/τ)3

Die Rechnung ist für υ0 > 0 durchgeführt worden.

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Kapitel 67

Lösungen (Praktikum)

67.1 Lösungen (Fehlerrechnung)

1. Lösung von Aufgabe 1Die Auflösung betrifft nur das Messgerät und ist die kleinste ablesbare Einheit der Messskala (Ska-leneinteilung). Die Fehlerschranke betrifft den gewonnenen Messwert und garantiert, wie viel der ge-messene Wert maximal vom ‘wahren Wert’ abweichen darf. Die Fehlerschranke berücksichtigt mehrals die Auflösung, z.B. auch den Messvorgang selbst. Beispielsweise lässt sich die ‘Länge eines Men-schen’ kaum mit Millimeter-Genauigkeit messen, selbst wenn der Massstab Millimeter-Auflösungaufweisen sollte, weil die Länge eines Menschen schwankt.

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67.1 Lösungen (Fehlerrechnung) 1817

2. Lösung von Aufgabe 2

∆t =2∆d

c=

2 · 0.25 · 10−3 m3.00 · 108 m/s

= 1.7 ps

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67.1 Lösungen (Fehlerrechnung) 1818

3. Lösung von Aufgabe 3

B =µ0NI√

l2 + d2=

4π · 10−7 Vs/Am · 120 · 4.00 A√(0.60 m)2 + (0.120 m)2

= 985.8 µT

Fehlerschranke addiert oder subtrahiert, damit das Resultat möglichst gross wird:

Bmax =4π · 10−7 Vs/Am · 120 · (4.00 + 0.01) A√((0.60 − 0.01) m)2 + ((0.120 − 0.005) m)2

= 1006.0 µT

∆B = Bmax − B = 1006.0 µT − 985.8 µT = 20.2 µT⇒ B = (0.99 ± 0.02) mT

Innerhalb der Fehlerschranken stimmt der berechnete Wert von (0.99 ± 0.02) mT mit dem Messwert(0.96 ± 0.01) mT überein.

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67.1 Lösungen (Fehlerrechnung) 1819

4. Lösung von Aufgabe 4

ρ =mV

=m

abc=

1932 g30.0 cm × 9.7 cm × 9.6 cm

= 0.69158 g/cm3

Fehlerschranke addiert oder subtrahiert, damit das Resultat möglichst gross wird:

ρmax =(1932 + 2) g

(30.0 − 0.1) cm × (9.7 − 0.1) cm × (9.6 − 0.1) cm= 0.70924 g/cm3

∆ρ = ρmax − ρ = 0.70924 g/cm3 − 0.69158 g/cm3 = 0.01766 g/cm3

ρ = (0.692 ± 0.018) g/cm3 = (6.9 ± 0.2) · 102 kg/m3

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67.1 Lösungen (Fehlerrechnung) 1820

5. Lösung von Aufgabe 5

n sinα1 = sinα2 ⇒ n =sinα2

sinα1=

sin(49 + 37

60

)°

sin(35 + 28

60

)°

= 1.312803

Fehlerschranke addiert oder subtrahiert, damit das Resultat möglichst gross wird.

nmax =sin

(49 + 37+3

60

)°

sin(35 + 28−2

60

)°

= 1.314851

∆n = nmax − n = 1.314851 − 1.312803 = 0.002048⇒ n = 1.313 ± 0.002

©Martin Lieberherr

67.1 Lösungen (Fehlerrechnung) 1821

6. Lösung von Aufgabe 6

ρ =mV

=4mπd2l

=4 · 724 · 10−6 kg

π · (1.96 · 10−3 m · 0.117 m= 2050.93 kg/m3

Fehlerschranke addiert oder subtrahiert, damit das Resultat möglichst gross wird:

ρmax =4 · (724 + 1) · 10−6 kg

π · ((1.96 − 0.01) · 10−3 m · (0.117 − 0.001) m= 2092.77 kg/m3

∆ρ = ρmax − ρ = 2092.77 kg/m3 − 2050.93 kg/m3 = 41.8 kg/m3

ρ = (2.05 ± 0.04) · 103 kg/m3

In der FoTa findet man 2.24·103 kg/m3 für die Dichte von Graphit. (Die Dichte von Blei ist mit11.34·103 kg/m3 wesentlich höher. ‘Bleistift’ ist eine veraltete Bezeichnung.) Laut wikipedia bestehteine Bleistiftmine aus einem gebrannten Ton-Graphit Gemisch, besteht also nicht aus reinem Graphit.Das passt zum Resultat.

©Martin Lieberherr

67.1 Lösungen (Fehlerrechnung) 1822

7. Lösung von Aufgabe 7

Wir wollen ausrechnen, wie hoch der Bogen über der Sehne von s = 740 m Länge steht.

h = r −√

r2 − (d/2)2 = r − r√

1 − (d/(2r)2 ≈ r − r + 12 (d/2r)2 · r =

d2

8r

=(740 m)2

8 · 6.371 · 106 m= 10.7 mm

Der Bogen steht mehr als 10 mm über der geraden Verbindung und muss deshalb berücksichtigtwerden (was aber leicht ist).

©Martin Lieberherr

67.1 Lösungen (Fehlerrechnung) 1823

8. Lösung von Aufgabe 8

ρ =mV

=6mπd3 =

6 · 47.4 · 10−3 kgπ · (50.0 · 10−3 m)3 = 724.22 kg/m3

Fehlerschranke addiert oder subtrahiert, damit das Resultat möglichst gross wird:

ρmax =6 · (47.4 + 0.4) · 10−3 kgπ · ((50.0 − 0.2) · 10−3 m)3 = 785.54 kg/m3

∆ρ = ρmax − ρ = 785.54 kg/m3 − 724.22 kg/m3 = 61.32 kg/m3

ρ = (724 ± 61) kg/m3 = (7.2 ± 0.6) · 102 kg/m3

Das stimmt im Rahmen der Fehlerschranken mit den in der FoTa genannten 0.7·103 kg/m3 überein.

©Martin Lieberherr

67.2 Lösungen (Ausgleichsrechnung) 1824

67.2 Lösungen (Ausgleichsrechnung)

1. Lösung von Aufgabe 1Eine Grösse (Zahl, Funktion) soll so an eine Menge von Daten angepasst werden, dass die Summeder Quadrate der Abweichungen zwischen Grösse und Daten möglichst klein wird. Beispiel:

arithmetisches Mittel:n∑

i=1

(xi − µ)2 = min⇒ µ =1n

n∑i=1

xi

lineare Regression:n∑

i=1

(a · xi + b − yi)2 = min⇒ a = . . . , b = . . .

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67.2 Lösungen (Ausgleichsrechnung) 1825

2. Lösung von Aufgabe 2Das Residuum ist der ‘Rest’, wenn vom Messwert ein berechneter Wert (Theorie, Ausgleichsfunktion)subtrahiert wird.

©Martin Lieberherr

67.2 Lösungen (Ausgleichsrechnung) 1826

3. Lösung von Aufgabe 3

n∑i=1

(a · xi − yi)2 = Minimum

n∑i=1

(a2 · x2

i − a · 2xiyi + y2i

)= Minimum

a2 ·

n∑i=1

x2i − a ·

n∑i=1

2xiyi +

n∑i=1

y2i = Minimum

Der linke Term in der letzten Gleichung ist eine quadratische Funktion von a. Eine quadratischeFunktion Y = AX2 + BX + C hat ihr Minimum beim Scheitel YS = −B/(2A). Damit folgt:

a =

∑ni=1 xiyi∑ni=1 x2

i

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67.2 Lösungen (Ausgleichsrechnung) 1827

4. Lösung von Aufgabe 4∑(x2

i + y2i − q)2 = min ableiten nach q→

∑(x2

i + y2i − q) = 0⇒

∑q =

∑x2

i + y2i

N∑i=1

q = q∑

1 = qN → r =√

q =

√1N

∑x2

i + y2i = 10.49

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67.3 Lösungen (Diagramme) 1828

67.3 Lösungen (Diagramme)

1. Lösung von Aufgabe 1Die Achsen sind nicht mit Lineal gezeichnet. Die Abszisse trägt keine Einheit, die Ordinate keineGrössenbezeichnung (Variable). Der Nullpunkt ist nicht angeschrieben respektive es hat zuwenigZahlen pro Achse (mindestens zwei sollten es schon sein). Bei der Ausgleichsgeraden wird nichtgesagt, was x und y sind (Grösse, Einheit). Die Parameter der Ausgleichsgeraden sind mit wenigStellen angegeben (und das ‘Bestimmtheitsmass’ oder eine ähnliche Grösse fehlt).

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67.3 Lösungen (Diagramme) 1829

2. Lösung von Aufgabe 2Bei einer logarithmischen Skalierung ist die Achse nicht mit 1, 2, 3, . . . angeschrieben, sondern mit 1,10, 100, etc. Alternativ kann der Logarithmus der Werte auf einer linear skalierten Achse abgetragenwerden. Bei einer semi- oder halblogarithmischen Darstellung ist nur die Ordinatenachse logarith-misch eingeteilt. Bei einer doppelt-logarithmischen Auftragung sind Abszissen- und Ordinatenachselogarithmisch eingeteilt.

a) log y = ax + b⇒ y = eax+b = eb · eax Exponentialfunktion

b) log y = a log x + b⇒ y = ea log x+b = eb ·(elog x

)a= eb · xa Potenzfunktion

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67.3 Lösungen (Diagramme) 1830

3. Lösung von Aufgabe 3Das Haar, das 400 mm gedehnt wird, wenn man mit 120 N daran zieht, möchte ich mal sehen! DieWerte sind viel zu gross. Ein Floh, der 0.12 m in die Höhe springt, müsste sich mit υ =

√2gh ≈√

2 · 10 m/s2 · 0.12 m = 1.5 m/s abstossen. Die Steigung der Kurve im unteren Bereich ist aber nur∆s/∆t ≈ 40 mm/100 ms ≈ 0.4 m/s. Der Floh wäre viel zu langsam. Interpretation a) trifft zu.

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67.3 Lösungen (Diagramme) 1831

4. Lösung von Aufgabe 4

a) Siehe Abbildung 67.1 und deren Legende.

Abbildung 67.1: Strom I als Funktion der Span-nung U mit eingepasster Nullpunktsgerade(Fit: x=U in Volt und y=I in Ampere).

b) Die Steigung der Nullpunktsgeraden ist

∆I∆U≈

4.0 A40 V

= 0.10 A/V

U = RI ⇒ I =1R· U ⇒ R = 10 Ω

(Fit: 0.09927 A/V = (10.07 Ω)−1 )

Die Steigung ist der Kehrwert des Widerstands(sog. Leitwert G = 1/R).

0 20 40 60 800

2

4

6

8

U (V)I

(A)

Fit: y = 0.09927 x

∆U

∆I

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67.3 Lösungen (Diagramme) 1832

5. Lösung von Aufgabe 5

a) Die Messwerte sind als Punkte ins Diagramm(Abb. 67.2) eingezeichnet. Das Volumen ist die unab-hängige Variable und ensprechend der üblichen Kon-vention auf der horizontalen Abszissenachse abgetra-gen. Jede Achse ist beschriftet mit Grösse, Einheitund Zahlenwerten.b) Die Ausgleichsfunktion ist eine Proportionalität,denn je mehr Volumen der geschüttete Sand hat, de-sto mehr Masse hat er. Die Regressionsrechnung gibt1.594 für die Proportionalitätskonstante in den ge-wählten Einheiten.c) Der Zusammenhang lässt sich auch als m = ρVschreiben; die Proportionalitätskonstante ist also ei-ne Dichte mit Wert ρ = 1.594 g/mL = 1594 kg/m3

(Schüttdichte).

0 400 800 12000

500

1000

1500

2000

V (mL)

m

(g)

Fit: y = 1.594 x

Daten

Abbildung 67.2: Masse von geschüttetemSand als Funktion des Volumens mit Aus-gleichsfunktion (Fit: x = V in Milliliter undy = m in Gramm).

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67.3 Lösungen (Diagramme) 1833

6. Lösung von Aufgabe 6

a) Siehe Abbilddung 67.3 und deren Legende. Die Messfehler der Kompression y wirken sich stärkeraus als jene der Kraft F.

Abbildung 67.3: Kraft F als Funktion der Kompressi-on y für einen Softball, mit zwei Ausgleichsfunktionen.

b) Die lineare Regression einer Geradenfunktiondurch den Nullpunkt (Proportionalität) ergibt dieFederkonstante (Proportionalitätsfaktor) 11.8 N/cm.Die Ausgleichsrechnung wurde für y 6 5.6 cm durch-geführt.c) Regression einer Potenzfunktion F ∝ y3/2 liefertdie Proportionalitätskonstante 5,25. Der Fit wurde nurmit den Zahlenwerten gemacht: y heisst ‘Zahlenwertvon y’, also 2.2 cm = 2.2. Die Funktion passt nur füry & 5 cm gut.

0 2 4 6 80

40

80

120

y ( cm )

F (N

)

Regression:F/y = 11.8 N/cm

Fit: F/y1.5 = 5.25

Wird der Exponent der Potenzfunktion in der Ausgleichsrechnung mit bestimmt, so erhält man F =

8.05 · y1.26 und natürlich bessere Übereinstimmung, weil die Ausgleichsfunktion einen Parametermehr hat als die anderen.

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67.3 Lösungen (Diagramme) 1834

7. Lösung von Aufgabe 7

T = 2π

√lg⇒√

l =

√g

2π· T −→ “y = m · x′′

Auf der Ordinatenachse müsste√

l abgetragen werden. (Die Darstellung ist aber in dieser Weiseeinheitenmässig nicht sinnvoll. Die Abtragung von T 2 vs. l ist besser.)

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67.4 Lösungen (Berichte) 1835

67.4 Lösungen (Berichte)

1. Lösung von Aufgabe 1Die Legende beschreibt vollständig, was in einer Tabelle oder Abbildung (Graphik, Diagramm oderPhotographie) zu sehen ist. Sie enthält eine Nummer, z.B. Tabelle 7, eine selbsterklärende Beschrei-bung des Inhalts der – z.B. – Abbildung sowie eine Referenz zur Quellenliste, falls diese Abbildungein Zitat darstellt.

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67.4 Lösungen (Berichte) 1836

2. Lösung von Aufgabe 2

Beispiel für eine Legende:Tabelle 3: Pendellängen ` und Zeiten t (zehn Schwingungsdauern) eines Fadenpendels. Die Auflö-sungen betragen 1 mm und 0.01 s, die Fehlerschranken ∆` = ±2 mm und ∆t = ±0.2 s.

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67.4 Lösungen (Berichte) 1837

3. Lösung von Aufgabe 3

Protokoll zum Versuch “Fadenpendel”Eve Echantillon und Max Muster, Schule, Klasse 4x, Datum

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Literaturverzeichnis

[1] DMK, DPK, DCK, Formeln Tabellen Begriffe, Orell Füssli Verlag, Zürich, 2009, ISBN 978-3-280-04059-1

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