1996 - 10 - 09techmath.uibk.ac.at/wagner/psfiles/UEMA96.pdf · (c) Wenn man auf das erste Feld eines Schachbrettes 1 Reiskorn legt, auf das 2. Feld 2 Reiskorner, auf das 3. Feld 22

1996 - 10 - 09

1. Ubungsblatt zu Mathematik A, WS 1996/97

(1) Beweisen Sie, daß√

3 6∈ Q.

(2) Bestimmen Sie L = {x ∈ R : x ≥ −1 ∧√

2x + 2 ≥ 3 − x}.Hinweis: Unterscheiden Sie die Falle 3 − x < 0 und 3 − x ≥ 0.

(3) Bestimmen Sie L = {x ∈ R : x 6= 3 ∧ (2 − |x|)(x + 1)

x − 3≤ 0}.

(4) Welche der folgenden 6 Aussagen sind wahr, welche sind falsch?

(a) ∃x ∈ R : ∃y ∈ R : y = x2 (b) ∃x ∈ R : ∀y ∈ R : y = x2

(c) ∀x ∈ R : ∃y ∈ R : y = x2 (d) ∀x ∈ R : ∀y ∈ R : y = x2

(e) ∃y ∈ R : ∀x ∈ R : y = x2 (f) ∀y ∈ R : ∃x ∈ R : y = x2

(Warum wird nicht nach ∃y ∈ R : ∃x ∈ R : y = x2 und ∀y ∈ R : ∀x ∈ R : y = x2

gefragt?)

(5) Beweisen Sie ∀x, y ∈ R : |x − y| ≥ ||x| − |y||(a) so, wie in der Vorlesung die Dreiecksungleichung bewiesen wurde;

(b) indem Sie die 4 Falle (α) x ≥ 0, y ≥ 0; (β) x ≥ 0, y ≤ 0; (γ) x ≤ 0, y ≥ 0;

(δ) x ≤ 0, y ≤ 0 unterscheiden.

(6) Bestimmen Sie L = {x ∈ R : |1 + x| ≥ x2 − 5}.

(7) Bestimmen Sie L = {x ∈ R : |x2 − 2x| > x2 − 2|x|}.

(8) Bestimmen Sie

(a) L = {x ∈ R : |x − 1| + |x + 5| ≤ 4};(b) L = {x ∈ R : |x − 1| + |x + 5| > 6};(c) L = {x ∈ R : |x − 1| + |x + 5| < 8}.

Zusatzaufgabe (Z1) Bestimmen Sie L = {x ∈ R : |x3 + 6| ≤ 7x}.

2

1996 - 10 - 16


(9) Zerlegen Sie das Polynom P : R −→ R : x 7−→ x6 + 2x5 − x3 − 2x2 in ein Produktaus Linearfaktoren und einem Polynom R ohne reelle Nullstellen. Skizzieren Sieden Graph von P !

Hinweis: Offenbar ist 0 eine doppelte Nullstelle. Finden Sie 2 weitere Nullstellendurch Probieren!

(10) Skizzieren Sie die rationale Funktion y =x2 − 2

(x − 1)(x + 3)(x + 1)2, x 6∈ {−3,−1, 1}.

Untersuchen Sie dazu, ob y knapp links bzw. knapp rechts der Polstellen −3,−1, 1positiv oder negativ ist.

(11) Es seien f(x) = sin x, g(x) = x2. Bestimmen Sie f ◦ g und g ◦ f und zeigen Sie,daß g ◦ f = 1

2 (1 − cos 2x). Skizzieren Sie die Graphen von f ◦ g und g ◦ f !

(12) Bestimmen Sie geometrisch (a) sin π6 ; (b) cos π

6 ; (c) tan(−π6 ).

(13) Beweisen Sie geometrisch den Summensatz fur den Cosinus, d.h. cos(α + β) =cos α cos β−sin α sin β. (Sie durfen wie in der Vorlesung annehmen, daß α, β, α+β ∈]0◦, 90◦[. )

(14) Leiten Sie aus den Summensatzen fur Sinus und Cosinus (vgl. die Vorlesung und Ub.(13)) eine der folgenden Formeln her.

(a) sin a + sin b = 2 sin a+b2 cos a−b

2 (b) sin a − sin b = 2 sin a−b2 cos a+b

2

(c) cos a + cos b = 2 cos a+b2

cos a−b2

(d) cos a − cos b = −2 sin a+b2

sin a−b2

Hinweis: Setzen Sie α = a+b2 , β = a−b

2 und betrachten Sie sin(α+β), sin(α−β)etc. Sie konnen auch (c) und (d) aus (a) und (b) folgern, indem Sie die Beziehungcos x = sin(x + π

2 ) verwenden.

(15) Welche der folgenden Funktionen sind gerade, welche ungerade? (Skizze!)

(a) x2 + |x|; (b) 1 + x; (c) cotx.

(16) Auf welchen Intervallen ist das Polynom P : R −→ R : x 7−→ x2 − 6x + 5 monotonsteigend bzw. fallend? Bestimmen Sie die Umkehrfunktionen auf diesen Intervallen!

(Z2) Es seien a, b ∈ R. Zeigen Sie, daß sich die Funktion f(x) = a cos x + b sinx in der

Form f(x) = r cos(x−ϕ) schreiben laßt, wenn r =√

a2 + b2 und ϕ ∈ [0, 2π[ derzum Punkt (a

r , br ) am Einheitskreis gehorige Winkel ist (falls r 6= 0 ). Skizzieren

Sie den Graph von f fur a = −3 und b = 4.

Hinweis: Verwenden Sie den Summensatz fur den Cosinus.

3

1996 - 10 - 23


(17) Zeigen Sie geometrisch, daß

∀x ∈ ]0,∞[ : (a) arctanx + arccot x =π

2;

(b) arccot x = arctan1

x.

(18) Bestimmen Sie die Funktion

f : {x ∈ [−2π, 2π] : x 6= ±π

2∧ x 6= ±3π

2} −→ R : x 7−→ arctan(tanx),

indem Sie die Uberlegungen der Vorlesung wiederholen, und zeichnen Sie ihrenGraph.

(19) Es sei an =2n − 7

n + 3. Zeigen Sie mit der Definition des Grenzwertes, daß lim

n→∞an =

2, d.h. zeigen Sie ∀ǫ > 0 : ∃N ∈ N : ∀n ≥ N : |an − 2| < ǫ. Wie groß muß Nmindestens gewahlt werden, wenn ǫ = 0.1?

(20) Es sei an = n2 − 4n. Zeigen Sie mit der Definition, daß limn→∞

an = ∞, d.h. zeigen

Sie ∀M ∈ N : ∃N ∈ N : ∀n ≥ N : an > M. Wie groß muß N mindestens gewahltwerden, wenn M = 1000?

(21) Welche der folgenden Zahlenfolgen sind konvergent? Bestimmen Sie, wenn dasmoglich ist, lim

n→∞an.

(a)cos n

n; (b) n − 2n

5n + 3; (c) cos(nπ); (d) 2n + (−1)nn.

(22) Berechnen Sie limn→∞

(

n3

n2 + 3− 2n2

2n + 1

)

mit den Grenzwertsatzen! Welchen Typ

hat die Folge zu Beginn bzw. im Lauf der Rechnung?


(

n − 3√

n3 + n2)

!

Hinweis: ∀x, y ∈ R : x3 − y3 = (x − y)(x2 + xy + y2)


n

√7 · 5n + 3n mit dem Einschließungssatz!

(Z3) Beweisen Sie den Summensatz fur den Arcustangens im Fall xy > 1 :

arctanx + arctan y = arctan

(

x + y

1 − xy

)

+

0 : xy < 1;

π : xy > 1 ∧ x, y > 0;

− π : xy > 1 ∧ x, y < 0.

(Der Fall xy < 1 wurde in der Vorlesung behandelt.) Bestimmen Sie damitarctan 2 + arctan 3.

4

1996 - 10 - 30


(25) Berechnen Sie limx→1

x3 + 4x2 − 5

x − 1!

Hinweis: Zerlegen Sie das Polynom im Zahler!

(26) (a) Zeigen Sie, daß limx→2

√x =

√2, d.h.

∀ǫ > 0 : ∃δ > 0 : ∀x ≥ 0 mit 0 < |x − 2| < δ : |√

x −√

2| < ǫ

(b) Wie ist δ fur ǫ = 0.1 zu wahlen?

(c) Wie kann man den Grenzwert in (a) mit dem Wort “stetig” formulieren?


1 − cos x

x2!

Hinweis: Verwenden Sie die Gleichung 1 − cos x = 2 sin2 x2 und leiten Sie sie her!


√1 + x − 1

sin 2x!

Hinweis: Erweitern Sie den Bruch mit√

1 + x + 1 !

(29) Es sei x0 ≥ 0. Berechnen Sie limx→x0

√x −√

x0

x − x0.

Hinweis: Unterscheiden Sie die Falle x0 > 0 und x0 = 0. Sie konnen verwenden,daß

√x eine stetige Funktion ist.

(30) (a) Wie wird limxրx0

f(x) = α definiert?

(b) Es sei f : {x ∈ R : x 6= 0} −→ R : x 7−→ | sinx|x

. Was ist limxց0

f(x) bzw.

limxր0

f(x) ? Existiert limx→0

f(x) ?

(c) Ist f in (b) stetig? Laßt sich f stetig in 0 fortsetzen?

(31) Zeigen Sie, daß der Cosinus eine stetige Funktion ist.


[

arccos x

x− π

2x

]

Hinweis: Substituieren Sie t = arccos x und u = t − π2 .

(Z4) Bestimmen Sie k, d ∈ R so, daß limx→∞

[√2x2 − 5x − (kx + d)

]

= 0. Welche Bedeu-

tung hat die Gerade y = kx + d fur den Graph der Funktion f(x) =√

2x2 − 5x ?

1996 - 11 - 13


(33) Berechnen Sie limx→π/2

cos x − cot x

(x − π2 )3

mit der Substitution x = t+π

2und der Formel

1 − cos t = 2 sin2( t2 ).

(34) Zeigen Sie mit dem Zwischenwertsatz, daß das Polynom p(x) = x3 − 3x + 1 imIntervall ]0, 1[ eine Nullstelle hat. Bestimmen Sie mit Intervallschachtelung einTeilintervall der Lange 1

8 , in dem eine Nullstelle von p liegt.

(35) Bestimmen Sie jeweils die ersten 5 Glieder sowie den Grenzwert fur die drei Folgen

an =(

1 +3

n

)n

, bn =(

1 − 3

n

)n

, cn =(

1 − 9

n2

)n

.

Ab welchem Index n sind die Folgen monoton steigend?

(36) Zur Zeit t bleiben von 1 kg eines durch Radioaktivitat zerfallenden Stoffes noche−αt kg ubrig.

(a) Mit welcher Zahl α kann der Zerfall von Radium (Halbwertszeit 1620 Jahre,d.h. nach 1620 Jahren ist die Halfte ubrig) beschrieben werden? ( t werde in Jahrengemessen.)

(b) Wieviel g von 1 kg Radium sind nach 100 Jahren zerfallen?

(37) Folgern Sie ulog(a · b) = ulog a + ulog b und ulog(

ab

)

= ulog a − ulog b aus den

Formeln ux+y = ux · uy und ux−y =ux

uy.

Hinweis: u, a, b sind positiv. Setzen Sie x = ulog a, y = ulog b.

(38) Zeigen Sie durch Ausmultiplizieren die folgenden Formeln!

∀n ∈ N : ∀u, v, q ∈ R mit q 6= 1 :

(a) un − vn = (u − v)(un−1 + un−2v + · · ·+ uvn−2 + vn−1);

(b) 1 + q + q2 + · · ·+ qn−1 =qn − 1

q − 1.

(c) Wenn man auf das erste Feld eines Schachbrettes 1 Reiskorn legt, auf das 2. Feld2 Reiskorner, auf das 3. Feld 22 = 4 Reiskorner, auf das 4. Feld 23 = 8 Reiskorner,und immer so weiter macht, wieviele Reiskorner ergibt das?

(39) Bestimmen Sie limx→x0

x3 − x30

x − x0und die Tangente an die Kurve f(x) = x3 im Punkt

(1, 1), d.h. fur x0 = 1. (Skizze!)

Hinweis: ∀x, y ∈ R : x3 − y3 = (x − y)(x2 + xy + y2)

(40) Berechnen Sie die Ableitung des Cosinus, d.h. berechnen Sie limx→x0

cos x − cos x0

x − x0.

Hinweis: cos x − cos x0 = −2 sin x+x0

2 sin x−x0

2 (vgl. Ub. (14)).

(Z5) Beweisen Sie: ∀n ∈ N : limx→∞

xn

ex= 0.

Hinweis: ex >

(

1 +x

n + 1

)n+1

fur n + 1 > −x d.h. jedenfalls fur x > 0.

6

1996 - 11 - 20


(41) (a) Zeigen Sie (cotx)′ = − 1

sin2 xmit der Quotientenregel.

(b) Uberprufen Sie das Ergebnis, indem Sie beide Seiten der Gleichung cotx·sin x =cos x differenzieren.

(42) Differenzieren Sie die folgenden zwei Funktionen! Sie brauchen das Ergebnis nichtweiter zu vereinfachen.

f(x) =√

3 + 2sin x lnx; z(t) =3

√

1

t2+ 4t arccos(e1/t).

(43) Bestimmen Sie (a)d

dx

(

1√ax2 + bx + c

)

; (b)(

ln∣

∣

∣tan x

2

∣

∣

∣

)′.

(44) Zeigen Sie, daß arctan′(t0) =1

1 + t20.

Hinweis: Zeigen Sie zuerst cos2 x =1

1 + tan2 x(falls tanx definiert ist)!

(45) Die differenzierbare Funktion y = f(x) erfullt die Gleichung y2 +4xy−7x5 +2 = 0und weiters f(1) = −5.

(a) Losen Sie die quadratische Gleichung nach y auf und stellen Sie so y = f(x)explizit dar. Berechnen Sie daraus f ′(1).

(b) Uberprufen Sie das Ergebnis fur f ′(1) durch implizites Differenzieren!

(46) Aus einem Lastwagen wird maschinell mit der Geschwindigkeit 5m3/min Sand aus-geladen. Dieser Sand bildet eine kegelformigen Haufen, dessen Hohe gleich 4

3 desRadius ist. Mit welcher Geschwindigkeit wachst der Radius in dem Augenblick, indem der Sandkegel eine Hohe von 3 m hat?

Hinweis: Kegelvolumen = 13

Grundflache · Hohe

(47) Bestimmen Sie die Nullstelle von p(x) = x3 − 3x + 1 im Intervall ]0, 1[ (vgl. Ub.(34)) mit dem Newton’schen Naherungsverfahren! Verwenden Sie 0 als Startwert x0

und berechnen Sie x3.

(48) Ein auf einer Mantellinie liegender zylindrischer Oltank enthalt 3000 Liter. SeineLange betragt 5 m, sein Radius r ist 70 cm. Bestimmen Sie naherungsweise dieHohe h des Flussigkeitsstandes mit dem Newton’schen Naherungsverfahren. Ver-wenden Sie α0 = π und berechnen Sie α2. Dann ist h ≈ r

(

1 − cos(α2/2))

, vgl.die Skizze.

F = r2 α

2−

(

r sinα

2

)(

r cosα

2

)

=r2

2(α − sin α) (warum?)

(Z6) Differenzieren Sie die Funktionen xsin x und xxx

.

Hinweis: ∀u > 0 : ∀v ∈ R : uv = ev ln u

1996 - 11 - 27


Machen Sie bei den drei folgenden Funktionen eine Kurvendiskussion. Geben Sie die Null-stellen, die Extrema (unterschieden in globale bzw. lokale Maxima oder Minima), die Wen-depunkte und (evtl.) die Punkte, wo f nicht differenzierbar ist, an. Machen Sie eine Skizze!

(49) f : [−2, 1] −→ R : x 7−→ x3 + 2x2 − 1

(50) f(x) = e−x · |x+1|, x ∈ R. Hinweis: Unterscheiden Sie die Falle x > −1 und x < −1!

(51) f(x) = x2 − 8x + 10 lnx + 4x, x > 0. Geben Sie zu den zwei Nullstellen nur Intervalle

der Breite 1 an, in denen sie liegen.

Hinweis: Zeigen Sie limx→∞

f(x) = ∞, limx→0

f(x) = ∞. Heben Sie2

x2bei f ′(x) heraus.

(52) Aus einem Stamm vom Durchmesser d soll ein Balken geschnitten werden, der sich unterLast moglichst wenig biegt. Wenn x, y seine Breite und Hohe sind, so bedeutet dies (s.Festigkeitslehre), daß xy3 maximal wird. Bestimmen Sie y/x.

(53) Am gezeichneten Stabwerk wirkt die Kraft F im vorgegebenen Wandabstand a. Die

beiden Stabe werden durch die Zug- bzw. Druckkrafte Z =F

sin ϕbzw. D =

F cos ϕ

sin ϕbeansprucht und sind dementsprechend zu dimensionieren, d.h. ihr Gewicht pro Langenein-heit ist proportional zu Z bzw. D. Wie ist ϕ zu wahlen, damit das Gesamtgewicht Gder Konstruktion moglichst klein ist?

Hinweis: l =a

cos ϕund G ist proportional zu aD + lZ.

(54) Bei der Lichtbrechung zwischen zwei Medien (z.B. Luft zu Wasser) nimmt das Licht denWeg mit der kurzesten Laufzeit L (Fermat). Der Lichtstrahl verlaufe von A nach Bund die Geschwindigkeiten oben bzw. unten seien c1 bzw. c2. Zeigen Sie, daß dannsin α

sin β=

c1

c2gilt (Snellius). Korrigieren Sie damit die folgende Tafel fur Luft : Wasser

( c1 : c2 = 1.33 ) von Claudius Ptolemaus (140 v. Chr.):

α 10◦ 20◦ 30◦ 40◦ 50◦ 60◦ 70◦ 80◦

β 8◦ 15 12◦ 22 1

2◦ 29◦ 35◦ 40 1

2◦ 45 1

2◦ 50◦

.

Hinweis: L =

√a2 + x2

c1+

√

b2 + (d − x)2

c2

Berechnen Sie die vier folgenden Limites mit der Regel von l’Hopital.

(55) (a) limx→1

x3 + 4x2 − 5

x − 1(b) lim

x→0

( 1

x sin x− 1

x2

)

Hinweis zu (b): Bringen Sie die Bruche auf gemeinsamen Nenner und verwenden Sie dieRegel von l’Hopital ofters!

(56) (a) limx→0

√1 + x − 1

sin 2x(b) lim

x→∞x arctan 1

x

(Z7) Machen Sie eine Kurvendiskussion von f(x) = 3√

3x2 − x3, x ∈ R.

1996 - 12 - 04


(57) Bestimmen Sie a, b, c, d ∈ R so, daß die Funktion f(x) =

− 2x : x < 0,

ax2 + bx + c : 0 ≤ x ≤ 1,

3x − d : x > 1differenzierbar ist. Wo ist f zweimal differenzierbar und wo nicht? Skizze!

(58) Machen Sie eine Kurvendiskussion fur f(x) = arcsin

(

2x

1 + x2

)

. (Die Definitions-

menge ist R, da ∀x ∈ R : (1− x)2 ≥ 0 und daher ∀x ∈ R : 2x1+x2 ≤ 1. ) Berechnen

Sie speziell f ′(1+) und f ′(1−).

Hinweis: ∀x ∈ R :√

x2 = |x|; die Regel von l’Hopital ergibt f ′(1+) = limxց1

f ′(x)

und f ′(1−) = limxր1

f ′(x).

(59) Bestimmen Sie die Krummung κ, den Krummungsradius ρ, und den Krummungs-mittelpunkt M zum Punkt P = (π

6, 1

2) auf dem Graphen von y = sin x. (Skizze!)

Hinweis: κ =1

ρ=

|y′′|(1 + y′2)3/2

, M = P +1 + y′2

y′′

(

−y′

1

)

(60) Um heftige Stoße aufgrund von plotzlichen Zentrifugalkraften zu vermeiden, wer-

den geradlinige Eisenbahnstrecken mit kreisformigen oft durch Ubergangskurven derForm y = cx3 ( c > 0 eine Konstante) verbunden. Die geradlinige Strecke werdebei x = 0, die kreisformige bei dem positiven x0, wo κ maximal ist, angeschlossen.

(a) Fur welches x0 > 0 hat y = cx3 maximale Krummung?

(b) Was ergibt sich fur c, x0, y0, wenn eine Kreisstrecke mit Radius 500 m ange-schlossen wird?

(61) Die Menge aller Krummungsmittelpunkte einer Kurve heißt Evolute dieser Kurve.Bestimmen Sie die Evolute der Parabel y = x2 !

Hinweis: Berechnen Sie den Krummungsmittelpunkt M = (ξ, η) zu einem beliebigenPunkt P = (x, x2) der Parabel und stellen Sie dann η als Funktion von ξ dar.

(62) Berechnen Sie fur f : [0, 3π2 ] −→ R : x 7−→ sin x und die Zerlegung Z = {0, π

3 , 2π3 , π,

3π2 } (Skizze!) (a) die untere bzw. obere Darbouxsumme UD(Z) bzw. OD(Z);

(b) die Riemannsummen R(Z, Ξ) fur Ξ = {0, π3, 2π

3, π} bzw. fur Ξ = {0, π

2, 3π

4, 7π

6}.

(63) Berechnen Sie∫ 1

0x2 dx mit Darbouxsummen. Nehmen Sie dazu die Zerlegungen

Z(n) = {0, 1n , 2

n , . . . , nn} und verwenden Sie die Formel

n−1∑

j=0j2 =

(n − 1)n(2n − 1)

6.

(64) Berechnen Sie die folgenden Integrale durch Anwendung des Hauptsatzes der Inte-

gralrechnung auf Ubung (43).

(a)3∫

−1

(2x + 5) dx

(x2 + 5x + 12)3/2(b)

−π/3∫

−3π/4

dx

sin x

(Z8) Berechnen Sie∫ b

0sin t dt (fur b > 0) mit Riemannsummen.

Hinweis: Setzen Sie h = bn, Z(n) = {0, h, 2h, . . . , nh}, Ξ(n) = { 1

2h, 3

2h, . . . , 2n−1

2h}

und verwenden Sie sin( j2h) = 1

2 sin(h/2)2 sin( j

2h) sin(h

2) = 1

2 sin(h/2)

(

cos( j−12

h) −cos( j+1

2 h))

.

9

1996 - 12 - 18


(65) Bestimmen Sie durch zweimaliges partielles Integrieren∫

eax cos(bx) dx.

(66) Geben Sie mit Differentialen eine Naherungsformel fur 3√

1 + h an und bestimmenSie den Fehler ρ(h) dieser Naherung fur h = 7, h = 1, h = 0.1, und h = 0.01.

Berechnen Sie die folgenden unbestimmten bzw. bestimmten Integrale!

(67) (a)∫ 1

cos2 x+ x lnx dx (b)

∫ π

0x2 cos x dx

(68) (a)∫ 1√

1 − x2− sin x ecos x dx (b)

∫ 1/2

0arcsin x dx

(69) (a)∫

ln(1 + x2) dx (b)∫ 1

2

1√x

+ xπ + πx − (5x − 7)6 dx

Hinweis zu (a): Schreiben Sie 1 als Faktor ins Integral;x2

1 + x2=

1 + x2 − 1

1 + x2=

1 − 1

1 + x2.

Hinweis zu (b): πx = ex ln π; substituieren Sie im letzten Teil t = 5x − 7.

(70) (a)∫ 1

x2 − 6x + 5dx (b)

∫ 1

0

dx

x2 + 2x + 3

(71) (a)∫ dx

sin x(b)

∫ π/2

0

dx

sin x + cos x + 2

Hinweis: Verwenden Sie die Substitution t = tan x2 , x = 2 arctanx, dx =

2 dt

1 + t2,

sin x =2t

1 + t2, cos x =

1 − t2

1 + t2und Ubung (70b).

(72) (a)∫ 2π

0cos x dx (b)

∫ 2π

0cos2 x dx (c)

∫

cos2 x dx (d)∫

cos3 x dx

Hinweis zu (d): cos3 x = cos x(1 − sin2 x)

(Z9) Berechnen Sie∫ dx

(1 + x2)2.

Hinweis:1

(1 + x2)2=

1 + x2 − x2

(1 + x2)2=

1

1 + x2− x · x

(1 + x2)2.

10

1997 - 01 - 08


(73) Zeigen Sie ∀x, y ∈ R :

(a) th′(x) =1

ch2 x= 1 − th2 x (b) sh(x + y) = sh x ch y + ch x sh y.

(74) (a) Zeigen Sie ∀t0 > 1 : arch′(t0) =1

√

t20 − 1mit dem Satz uber die Ableitung einer

Umkehrfunktion!

(b) Zeigen Sie ∀x ≥ 1 : arch x = ln(

x +√

x2 − 1)

.

(c) Kontrollieren Sie das Ergebnis in (a) mit Hilfe von (b)!

(75) Berechnen Sie∫ 2

−1

√x2 + 2x + 3dx.

Hinweis: Quadratisch erganzen fuhrt zum Integrand√

u2 + 1. Nach der Substitu-tion u = sh v werden die Gleichungen ch2 v = 1

2(1 + ch 2v), sh 2v = 2 sh v ch v,

und arshx = ln(x +√

x2 + 1) verwendet.

(76) Berechnen Sie das Integral in Ubung (75) numerisch mit Schrittweite h = 12 , d.h.

k = 6, mit der (a) Linksregel, (b) Rechtsregel, (c) Trapezregel, und (d) Simpsonregel.

(77) Berechnen Sie die Flache, die von der Parabel y2 = 4x und der Geraden y = 2x−4eingeschlossen wird, durch Integration (a) nach x; (b) nach y.

Hinweis zu (a): Unterteilen Sie die Integration bei x = 1.

(78) Berechnen Sie die Flache, die von der Parabel y = x2 und der Ellipsenhalfte 3x2 +y2 = 4, y ≥ 0 eingeschlossen wird.

Hinweis: Substituieren Sie in einem Teil des Integrals x =2√3

sin t.

(79) Bestimmen Sie die Volumina, die entstehen, wenn die Kurve y = ex, 0 ≤ x ≤ 1,(a) um die x−Achse, (b) um die y−Achse rotiert.

Hinweis zu (b): Schreiben Sie 1 als Faktor ins Integral.

(80) Berechnen Sie die Bogenlange L der Kurve y = sin x, 0 ≤ x ≤ π, numerisch mitder Simpsonregel. Verwenden Sie die Schrittweite h = π

6!

(Z10) (a) Berechnen Sie die Bogenlange s(x) der Kurve y = t3/2 uber dem Intervall[0, x].

(b) Stellen Sie x als Funktion von s dar!

(c) Berechnen Siedϕ

ds, wenn ϕ = arctan y′ der Winkel der Tangente mit der

x−Achse ist.

(d) Kontrollieren Sie, daßdϕ

ds=

y′′

(1 + y′2)3/2.

11

1997 - 01 - 15


(81) Bestimmen Sie die Oberflache des Drehkorpers, der bei Rotation des Hyperbelstuk-

kes y = f(x) =√

x2 − 1, 1 ≤ x ≤ 2, um die x−Achse entsteht!

Stellen Sie bei den uneigentlichen Integralen in den Ubungen (82) – (85) fest, ob siekonvergent sind, und berechnen Sie sie in diesem Fall! Machen Sie jeweils eine Skizze!

(82)∞∫

0

eax cos(bx) dx, a < 0

Hinweis: Verwenden Sie Ubung (65)!

(83) (a)∞∫

6

dx

x2 − 6x + 5(b)

1∫

0

dx

sin x

Hinweis: Verwenden Sie die Ubungen (70a) und (71a)!

(84) (a)1∫

−2

dx3√

x2(b)

2∫

−1

dx

x4

(85) (a)1∫

−1

dx√1 − x2

(b)1∫

0

lnx dx

(86) Losen Sie die Differentialgleichung y′ = xe−y−x2

zum Anfangswert y(0) = 0.

(87) Losen Sie die Differentialgleichung x = (cot t)x lnx zum Anfangswert x(π2 ) = 2.

Hinweis: Substituieren Sie u = lnx und v = sin t!

(Z11) Es sei f : [1,∞[−→ R : x 7−→ 1x . (a) Ist die Flache zwischen y = f(x) und der

x−Achse endlich?

(b) Was ist das Volumen des Drehkorpers, der sich bei Rotation der Kurve y = f(x)um die x−Achse ergibt?

(c) Ist die Oberflache des Drehkorpers in (b) endlich? Bestimmen Sie die Oberflachefur 1 ≤ x ≤ b.

1997 - 01 - 22


(88) Auf einen Fallschirmspringer wirken Gravitation und Reibung. Wenn die Reibungproportional zu v2 ist ( v = Geschwindigkeit nach unten ), so gilt:

Masse × Beschleunigung = mv

= Kraft = mg − av2

Losen Sie diese Differentialgleichung fur m = 100 kg, g = 10 m/sec2, a = 40 kg/m

und v(0) = 20 m/sec (d.h. beim Offnen des Fallschirms). Wie lange dauert es, bisder Fallschirmspringer auf (a) 10 m/sec, (b) 6 m/sec, (c) 5 m/sec abgebremst ist?

(89) Ein Stromkabel der Lange 120 m und mitGewicht

Lange= σ = 3 N/m hangt zwischen

zwei 100 m entfernten, gleich hohen Stutzen durch.

(a) Wie groß sind die Horizontal- bzw. die Vertikalkraft in den Stutzen?

(b) Wie weit hangt das Kabel durch?

(90) Wir betrachten die Differentialgleichung y′ = x + y.

(a) Richtungsfeld: Zeichnen Sie in den Punkten (x, y) mit x = −2,−1, . . . , 2,y = −2,−1, . . . , 2 die Steigungen ein!

(b) Kann man indy

dx= x + y die Variablen trennen?

(c) Losung: Uberprufen Sie, daß y(x) = −1 − x + Cex Losungen sind!

(d) Anfangswerte: Bestimmen Sie die Losungskurven zu y(0) = −1 und zu y(0) = 0und zeichnen Sie sie in das Richtungsfeld.

(91) Bestimmen Sie die Orthogonaltrajektorien der Hyperbelschar y = C/x, C ∈ R.(Skizze!)

(92) Bestimmen Sie die Orthogonaltrajektorien zu den Funktionen y = ±√

C + cos2 x,C > −1. (Skizze!)

(93) Berechnen Sie zu z = 1 + i und w = −2 + i jeweils Realteil, Imaginarteil, Betrag,

und Argument, sowie z + w, z − w, z · w,z

w. Skizze!

(94) Uberprufen Sie fur z, w aus Ubung (93) die Gleichungen |z ·w| = |z| · |w|,∣

∣

∣

z

w

∣

∣

∣=

|z||w| und arg(z · w) = arg z + arg w, arg

( z

w

)

= arg z − arg w.

(Z12) Ein Stromkabel mitGewicht

Lange= σ = 3 N/m hangt zwischen zwei 100 m entfernten,

gleich hohen Stutzen 20 m durch.

(a) Wie groß sind die Horizontal- bzw. die Vertikalkraft in den Stutzen?

(b) Wie lang ist das Kabel?

13

1997 - 03 - 05

1. Ubungsblatt zu Mathematik B, SS 1997

(1) Es seien zn =(

1+2i

n

)n

und z = limn→∞

zn. Berechnen Sie |z−zn| fur n = 1, 2, 3, 4.

(2) (a) Schreiben Sie die Zahlen z = −1 + 2i in der Form z = reiϕ und berechnen Sie

so z8. Kontrollieren Sie das Ergebnis mittels z8 =(

(z2)2)2

.

(3) Stellen Sie cos3 ϕ durch cos ϕ und cos 3ϕ dar und berechnen Sie soπ/2∫

0

cos3 x dx !

(Vgl. auch Ub. (72d) zu Math. A.)

(4) Losen Sie die Gleichungen (a) z2 + (2 + 4i)z − i = 0; (b) z4 = 5(3 + 4i).

(5) Die Masse m = 2 kg schwingt frei und ohne Reibung unter einer Ruckstellkraftmit Federkonstante c = 8 kg/sec2. Stellen Sie die Auslenkung x(t) zu den An-fangswerten x(0) = 1, x(0) = −1 in der Form x(t) = A sin(ξt − α) dar. Skizze!Was ist die Periode der Schwingung?

(6) In Ubung (5) sei zusatzlich eine Dampfung von r = 4.8 kg/sec vorhanden. StellenSie x(t) in der Form Ae−δt sin(ξ′t − α) dar. Skizze! Was ist die Quasiperiodedieser gedampften Schwingung?

(7) An der schwingenden Masse in Ubung (6) greife die Kraft F (t) = 12 sin 2t an.Stellen Sie die stationare Losung xst der Gleichung

2x + 4.8x + 8x = 12 sin 2t

in der Form A sin(2t − α) dar(a) mittels der Formeln der Vorlesung;(b) ausgehend vom Ansatz xst = a sin 2t + b cos 2t.Versuchen Sie, sich die Phasenverschiebung α = π

2 im Bewegungsablauf vorzustellen!

(Z1) Bestimmen Sie die Losung x(t) der Differentialgleichung in Ubung (7) zu den An-fangswerten x(0) = 1, x(0) = −1. Skizzieren Sie x(t) und xst(t).

14

1996 - 11 - 06

1. Klausur zu ‘Mathematik A’, WS 1996/97

Sie konnen alle 6 Aufgaben bearbeiten; die 4 besten werden Ihnen angerechnet. DieLosungen mussen lesbar geschrieben und ausreichend begrundet sein. Bitte verwendenSie keinen Bleistift! Resultate brauchen nicht als Dezimalzahlen geschrieben zu werden.Losen Sie die 6. Aufgabe ohne die Regel von l’Hopital.

(1) Bestimmen Sie L = {x ∈ R : x ≥ 1 ∧√

x − 1 ≤ x − 3}.Hinweis: Unterscheiden Sie die Falle x − 3 < 0 und x − 3 ≥ 0.

(2) Zerlegen Sie das Polynom P : R −→ R : x 7−→ x3 + 2x2 − 1 in ein Produkt ausLinearfaktoren. Skizzieren Sie den Graph von P !

Hinweis: Finden Sie eine Nullstelle durch Probieren! Sie brauchen√

5 nicht durcheine Dezimalzahl anzunahern.

(3) Leiten Sie aus dem Summensatz fur den Cosinus (d.h. cos(α + β) = cos α cos β −sin α sin β ) die Formel cos a − cos b = −2 sin a+b

2 sin a−b2 her.

Hinweis: Setzen Sie α = a+b2

, β = a−b2

.

(4) Es sei an =n − 3

2n + 5. Zeigen Sie mit der Definition des Grenzwertes, daß lim

n→∞an =

12 , d.h. zeigen Sie ∀ǫ > 0 : ∃N ∈ N : ∀n ≥ N : |an − 1

2 | < ǫ. Wie groß muß Nmindestens gewahlt werden, wenn ǫ = 0.1?


(

n −√

n2 + 3n)

!

Hinweis: ∀x, y ∈ R : x2 − y2 = (x − y)(x + y)


sin x − tanx

x3!

Hinweis: Sie konnen die Formel 1 − cos x = 2 sin2 x2 verwenden.

15

1996 - 12 - 11


Sie konnen alle 6 Aufgaben bearbeiten; die 4 besten werden Ihnen angerechnet. DieLosungen mussen lesbar geschrieben und ausreichend begrundet sein. Bitte verwendenSie keinen Bleistift! Benutzen Sie fur Rechnungen die angegebenen Naherungswerte.

(1) Wenn ein Gegenstand mit der Temperatur c zur Zeit t = 0 in eine Umgebung derTemperatur d gebracht wird, so hat der Gegenstand zur Zeit t die Temperaturf(t) = d + (c − d) e−αt.

(a) Mit welcher Zahl α ist die Temperatur einer Tasse Kaffee zu beschreiben, diesich in der Umgebungstemperatur d = 20◦ nach einer 1

2 Minute von c = 100◦

auf 70◦ abgekuhlt hat? Geben Sie eine Formel fur α an! ( t werde in Sekundengemessen, d.h. f(30) = 70◦. )

(b) Nach wieviel Sekunden hat der Kaffee die Temperatur 40◦ (und ist somit ge-nießbar)?

Hinweis zu (b):ln 1

4

ln 58

≈ 3

(2) Differenzieren Sie die folgenden zwei Funktionen! Sie brauchen das Ergebnis nichtweiter zu vereinfachen.

f(x) =arctan(x3/2)

ln(x tanx); z(t) =

1

3

√

2t + t2 arcsin( 1t )

(3) Der Schnittpunkt der Geraden y = x mit der Kurve y = cos x soll mit Hilfe desNewton’schen Naherungsverfahrens bestimmt werden. Berechnen Sie x1 und x2

zum Startwert x0 = 0.

Hinweis: cos 1 ≈ 0.54, sin 1 ≈ 0.84, 184 = 4 · 46

(4) Machen Sie fur die Funktion f : [−2, 2] −→ R : x 7−→ ex · |x−1| eine Kurvendiskus-sion. Geben Sie die Nullstelle und die Extrema, unterschieden in globale bzw. lokaleMaxima oder Minima, an. Machen Sie eine Skizze! (Sie brauchen den Wendepunktund die links- bzw. rechtsseitige Ableitung von f in 1 nicht zu bestimmen.)

Hinweis: 3 e−2 ≈ 0.4, e2 ≈ 7.4

(5) Berechnen Sie die zwei folgenden Limites mit der Regel von l’Hopital.

(a) limx→1

4√

x − x2 − 3

(lnx)2(b) lim

x→0x lnx

Hinweis zu (a): Verwenden Sie die Regel von l’Hopital ofters!

(6) Bestimmen Sie die positive Zahl x0, wo die Funktion y = x3 maximale Krummunghat.

Hinweis: κ =|y′′|

(1 + y′2)3/2;

14√

45≈ 0.39

16

1997 - 01 - 29


Sie konnen alle 6 Aufgaben bearbeiten; die 4 besten werden Ihnen angerechnet. DieLosungen mussen lesbar geschrieben und ausreichend begrundet sein. Bitte verwendenSie keinen Bleistift! Benutzen Sie fur Rechnungen die angegebenen Naherungswerte.

(1) Berechnen Sie4∫

2

dx

x2 − 6x + 5!

Hinweis: ln 3 ≈ 1.0986


2

dx

x2 − 6x + 5numerisch mit Schrittweite h = 1

2, d.h. k = 4, mit

der (a) Trapezregel, und (b) Simpsonregel.

Hinweis: − 67

120= −0.5583; −11

20= −0.55

(3) Bestimmen Sie die Oberflache des Drehkorpers, der bei Rotation des Hyperbelstuk-

kes y = f(x) =√

x2 − 1, 1 ≤ x ≤ 2, um die x−Achse entsteht!

Hinweis: sh2 u = 12 (ch 2u − 1); sh 2u = 2 sh u ch u = 2

√

ch2 u − 1 ch u; arch x =

ln(x +√

x2 − 1)


0

lnx dx !

(5) Losen Sie die Differentialgleichung x =x

1 + t2zum Anfangswert x(0) = 2 !

(6) Bestimmen Sie die Orthogonaltrajektorien der Parabelschar y = Cx2, C ∈ R.(Skizze!)

17

1997 - 02 - 04

1. Prufung aus Mathematik A, WS 1996/97

Zum Bestehen der Prufung mussen 8 der folgenden 15 Fragen korrekt, d.h. insbeson-dere genugend ausfuhrlich, beantwortet werden. Die Antworten in Teil (b) sind zubegrunden. Das Verstandnis der Fragen ist Teil der Prufung.

Wenn nur eine der Teilfragen (a) bzw. (b) korrekt beantwortet ist, so wird diese Fragenegativ gewertet.

Wenn Sie im Teil (a) einer Aufgabe eine ausfuhrliche Begrundung geben, indem Sieeinen diesbezuglichen Satz beweisen, so erhalten Sie einen Zusatzpunkt. (Dies ist beiden Fragen (3), (6), (7), (9), (12), (13), (14) moglich.)

Verwenden Sie fur Ihre Antworten nicht dieses Formular, sondern das ausgeteilte Papier.Sie brauchen die Fragen nicht in der gegebenen Reihenfolge zu beantworten. Geben Siebei Ihren Losungen jeweils die Nummer der Aufgabe an!

(1) (a) Wie ist fur reelle Zahlen der Betrag definiert?

(b) Bestimmen Sie {x ∈ R : x + 1 > |x|}.

(2) (a) Zeichnen Sie die Graphen von arccos und arccot !

(b) Bestimmen Sie arccos(−12 ) !

(3) (a) Was besagt der Einschließungssatz fur Folgen?

(b) Berechnen Sie damit limn→∞

sin n

n!

(4) (a) f : D −→ R und x0 6∈ D. Was heißt, daß f in x0 stetig fortsetzbar ist?

(b) Isttanx

xin 0 stetig fortsetzbar?

(5) (a) Was erfullt eine Funktion ρ(h), die vom Typ o(h) ist?

(b) Ist ρ(h) =√

1 + h − 1 − h2 vom Typ o(h)?

(6) (a) Schreiben Sie die Kettenregel allgemein an!

(b) Berechnen Sie(

tan(e√

cos x))′

.

18

(7) (a) Was besagt der Mittelwertsatz?

(b) f : [0, 1] −→ R : x 7−→ √x. Wo liegt der Mittelwert x0, dessen Existenz der

Mittelwertsatz garantiert?

(8) (a) f sei differenzierbar in x0, P = (x0, f(x0)). Was ist die Gleichung der Normalein P?

(b) Was ergibt sich speziell fur f(x) = sin x, x0 = π6 ?

(

2√3≈ 1.155, π

3√

3≈

0.605)

(9) (a) Was besagt der Hauptsatz der Integralrechnung?

(b) Geben Sie dazu einen anschaulichen Bild-“Beweis” wie in der Vorlesung!

(10) (a) Definieren und zeichnen Sie shx !

(b) Berechnen Sie∫ dx√

x2 + 1. (Sie brauchen arsh nicht durch den Logarithmus

auszudrucken!)

(11) (a) Schreiben Sie die Trapezregel allgemein an! (Falls Sie Tk = 12 (Lk+Rk) schreiben,

sollten Sie auch Lk und Rk definieren!)

(b) Wenden Sie sie auf2∫

0

x2 dx mit Schrittweite h = 12 an!

(12) (a) Wie groß ist das entstehende Volumen, wenn der Graph von f : [a, b] −→ R umdie x−Achse rotiert?

(b) Was ergibt sich speziell fur f : [0, π] −→ R : x 7−→ sin x ?

(13) (a) Welche Form hat eine Differentialgleichung mit trennbaren Variablen?

(b) Bestimmen Sie die Orthogonaltrajektorien zu A = {y = C/x : C ∈ R} !

(14) (a) Wie ist eiϕ definiert und was ergibt sich fur ϕ ∈ R nach der Euler’schenFormel?

(b) Drucken Sie cos3 ϕ durch cos ϕ und cos 3ϕ aus.

(15) (a) Welchen Ansatz verwendet man bei homogenen, linearen Differentialgleichungenmit konstanten Koeffizienten?

(b) Losen Sie y′′ + 2y′ + y = 0 mit den Anfangswerten y(0) = 1, y′(0) = 2.

19

1997 - 03 - 11


Zum Bestehen der Prufung mussen 8 der folgenden 15 Fragen korrekt, d.h. insbeson-dere genugend ausfuhrlich, beantwortet werden. Die Antworten in Teil (b) sind zubegrunden. Das Verstandnis der Fragen ist Teil der Prufung.


Wenn Sie im Teil (a) einer Aufgabe eine ausfuhrliche Begrundung geben, indem Sieeinen diesbezuglichen Satz beweisen, so erhalten Sie einen Zusatzpunkt. (Dies ist beiden Fragen (3), (4), (6), (7), (9), (11), (14) moglich.)


(1) (a) Wie ist das Intervall ]a, b] definiert?

(b) Bestimmen Sie L = {x ∈ R : x2 + x − 6 ≥ 0}.

(2) (a) Skizzieren Sie die Graphen von f,1

fund f−1 fur f :] − π

2 , π2 [−→ R : x 7−→

tanx.

(b) Was ist arctan 1 ? (Begrundung!)

(3) (a) Was ist limx→0

sin x

x?

(b) Berechnen Sie ohne die Regel von l’Hopital limx→0

√1 + x − 1

sin 2x!

(4) (a) Was ist limn→∞

(

1 +x

n

)n

fur x ∈ R ?

(b) Skizzieren Sie die Funktionen lnx und 10log x !

(5) (a) Was ist die Definition von f ′(x0)?

(b) Berechnen Sie damit die Ableitung von sinx. (Verwenden Sie die Gleichungsin x − sin x0 = 2 sin x−x0

2 cos x+x0

2 . )

(6) (a) Schreiben Sie die Quotientenregel allgemein an!

(b) Berechnen Sie

(

arccos√

x

tan(2 + ex)

)′.

20

(7) (a) Schreiben Sie die Regel von l’Hopital mit ihren wesentlichen Voraussetzungenan!

(b) Berechnen Sie damit limx→1

sin(πx)

lnx.

(8) (a) f sei differenzierbar, P = (x0, f(x0)), nx0sei die Normale in P, nt die

Normale in(

t, f(t))

. Wie ist M, der Krummungsmittelpunkt zu P definiert?

(b) Berechnen Sie M fur f(x) = x2, x0 = 1 mit der Formel M = P+1 + y′

02

y′′0

(−y′0

1

)

.

(9) (a) Was besagt der Hauptsatz der Integralrechnung? (Definieren Sie auch F ! )

(b) Geben Sie dazu einen anschaulichen Bild-“Beweis” wie in der Vorlesung!

(10) (a) Schreiben Sie die Formel zum partiellen Integrieren allgemein an!

(b) Berechnen Sie∫ 1

0arctan x dx. ( π

4≈ 0.785, ln 2 ≈ 0.69)

(11) (a) Welche Formel liefert die Bogenlange des Graphen einer differenzierbaren Funk-tion f : [a, b] −→ R?

(b) Was ergibt sich fur f : [0, 1] −→ R : x 7−→ ch x ? ( sh 1 ≈ 1.18)

(12) (a) Wie ist das Integral∫ ∞−∞ f(x) dx definiert (falls es konvergent ist)?

(b) Berechnen Sie∫ ∞−∞

dx

1 + x2!

(13) (a)

(

H(x)

V (x)

)

sei die Schnittkraft in der Kettenlinie y = f(x). Was gilt fur H(x)

und was furV (x)

H(x)?

(b) Losen Sie die Differentialgleichung z′ =σ

H

√1 + z2 !

(14) (a) Was ist Re(eiϕ) bzw. Im(eiϕ) ?

(b) Folgern Sie aus ei(x+y) = eix · eiy und (a) die Summensatze fur Sinus undCosinus!

(15) (a) Schreiben Sie die Schwingungsgleichung allgemein an!

(b) Was ist xhom(t) zu x + 2x + 5x = 0 ?

21

1997 - 04 - 11


Zum Bestehen der Prufung mussen 8 der folgenden 15 Fragen korrekt, d.h. insbesonderegenugend ausfuhrlich, beantwortet werden. Die Antworten in Teil (a) mussen nichtbegrundet werden, die Antworten in Teil (b) sind zu begrunden. Das Verstandnis derFragen ist Teil der Prufung.


Wenn Sie im Teil (a) einer Aufgabe eine ausfuhrliche Begrundung geben, indem Sieeinen diesbezuglichen Satz beweisen, so erhalten Sie einen Zusatzpunkt (unabhangigdavon, ob Sie Teil (b) richtig beantworten). Dies ist bei den Fragen (2), (4) (ohnel’Hopital), (6), (7), (8), (10), (11), (12) moglich.


(1) (a) Skizzieren Sie die Funktionen tanx und arctanx.

(b) Folgern Sie sin a + sin b = 2 sin a+b2

cos a−b2

aus dem Summensatz fur den Sinus(d.h. sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β ).

(2) (a) Was ist limn→∞

n

√d fur d > 0 ?

(b) Bestimmen Sie limn→∞

n

√6n + 5n !

(3) (a) Wann heißt die Funktion f : D −→ R stetig (schlechthin)?

(b) Ist f(x) = 1x (mit D = {x ∈ R : x 6= 0} ) stetig (schlechthin)? (Wenn ja,

warum, wenn nein, warum nicht?)

(4) (a) Was ist limt→0

et − 1

t?

(b) Bestimmen Sie mit (a) und der Definition der Ableitung f ′(x0) fur f(x) = ex !

(5) (a) Was ist die Gleichung der Tangente an f im Punkt(

x0, f(x0))

?

(b) Was ergibt sich fur f(x) =√

x und x0 = 1 ?

(6) (a) Welche Art von Extremum (Max. oder Min.) hat f in x0, wenn f ′(x) < 0fur x < x0 und f ′(x) > 0 fur x > x0 und f in x0 stetig ist?

(b) Bestimmen Sie die Extrema und ihre Art fur f : [−2, 2] −→ R : x 7−→ |x|(1−x) !

22

(7) (a) Welche Art von Extremum hat f in x0, wenn f ′(x0) = 0 und f ′′(x0) > 0 ?

(b) Was ergibt sich daraus fur f(x) = tan(x2) und x0 = 0 ?

(8) (a) Wie laßt sich∫ b

af(x) dx durch eine Stammfunktion Φ von f ausdrucken?

(b) Berechnen Sie1∫

−1

4x + 2x2 − (1 + x4) arctanx2

(2 + x)2(1 + x4)dx, indem Sie uberprufen, daß

arctanx2

2 + xeine Stammfunktion ist. ( π

6 ≈ 0.52 )

(9) (a) Welche Substitution verwendet man zur Berechnung von∫ √

R2 − x2 dx ?

(b) Berechnen Sie∫ dx

x2 − 4x + 7!

(10) (a) Schreiben Sie die Simpsonregel allgemein an!

(b) Wenden Sie sie auf1∫

−1

dx

1 + x2mit Schrittweite h = 1

2 an! ( 4730 = 1.56, π

2 ≈

1.57 )

(11) (a) Wie groß ist das entstehende Volumen, wenn der Graph von f : [a, b] −→ R umdie x−Achse rotiert?

(b) Was ergibt sich speziell fur f : [0, π2 ] −→ R : x 7−→ cos x ? ( π2

4 ≈ 2.47 )

(12) (a) Fur welche α ist∞∫

1

dx

xαkonvergent?

(b) Berechnen Sie∞∫

1

dx

x3mit einem Grenzwert!

(13) (a)

(

H(x)

V (x)

)

sei die Schnittkraft in der Kettenlinie y = f(x). Was gilt fur H(x)

und was furV (x)

H(x)?

(b) Losen Sie die Differentialgleichung z′ =σ

H

√1 + z2 !

(14) (a) Was besagt der Hauptsatz der Algebra von Gauß?

(b) Losen Sie z2 − 4(1 − i)z + 1 − 8i = 0 !

(15) (a) Wie nennt man A bzw. α in der periodischen Funktion x(t) = A sin(ϑt−α) ?

(b) Drucken Sie A, α durch a, b aus, wenn a sin(ϑt) + b cos(ϑt) = A sin(ϑt − α)und b < 0 ! (Summensatz fur den Sinus: (1) (b))

23

1997 - 06 - 06




Wenn Sie im Teil (a) einer Aufgabe eine ausfuhrliche Begrundung geben, indem Sieeinen diesbezuglichen Satz beweisen, so erhalten Sie einen Zusatzpunkt (unabhangigdavon, ob Sie Teil (b) richtig beantworten). Dies ist bei den Fragen (3), (5), (6), (8),(11), (14) moglich.


(1) (a) Wann nennt man eine Funktion f gerade?

(b) Skizzieren Sie f(x) = cotx fur |x| < π ! Ist diese Funktion gerade?

(2) (a) Wie ist limn→∞

an = α fur α ∈ R definiert?

(b) Zeigen Sie mit der Definition limn→∞

n − 1

n + 2= 1 !

(3) (a) Was sagt der Satz von Bolzano?

(b) Zeigen Sie, daß f(x) = x3 − 3x + 1 in ]0, 1[ eine Nullstelle hat.

(4) (a) Wann nennt man eine Funktion f in x0 differenzierbar?

(b) Ist f(x) = |x| in x0 = 0 differenzierbar?

(5) (a) Schreiben Sie die Produktregel allgemein an!

(b) Berechnen Sie die Ableitung von tan(x2) · cos2 x !

(6) (a) Was ist die Formel des Newton’schen Naherungsverfahrens?

(b) Berechnen Sie damit x1 fur f(x) = x3 − 3x + 1 und x0 = 0.

24

(7) (a) Geben Sie κ(x) =|y′′|

(1 + y′2)3/2fur y = ex an!

(b) Fur welches x ist κ(x) in (a) maximal? ( −12

ln 2 ≈ −0.35 )

(8) (a) Wie laßt sich∫ b

af(x) dx durch eine Stammfunktion Φ von f ausdrucken?

(b) Berechnen Sie1∫

−1

4x + 2x2 − (1 + x4) arctanx2

(2 + x)2(1 + x4)dx, indem Sie uberprufen, daß

arctanx2

2 + xeine Stammfunktion ist. ( π

6≈ 0.52 )

(9) (a) Berechnen Sie∫ 1

0xex dx !

(b) Berechnen Sie∫

tan x dx =∫ sin x

cos xdx !

(10) (a) Definieren und zeichnen Sie ch x !

(b) Berechnen Sie∫ dx√

x2 − 1. (Sie brauchen arch nicht durch den Logarithmus

auszudrucken!)

(11) (a) Welche Formel liefert die Bogenlange des Graphen einer differenzierbaren Funk-tion f : [a, b] −→ R ?

(b) Was ergibt sich fur f : [0, 1] −→ R : x 7−→ 23x3/2 ? ( 2

3 (2√

2 − 1) ≈ 1.22 )

(12) (a) Ist1∫

0

dt√t

konvergent?

(b) Berechnen Sie∫ 1

0arcsin x dx ! ( π

2 − 1 ≈ 0.57 )

(13) (a) Was ist eine Differentialgleichung 1. Ordnung?

(b) Losen Sie die Differentialgleichung y′ = −xy zum Anfangswert y(3) = −4.

(14) (a) Geben Sie eine Formel fur arg(a + ib) an, wenn a < 0 und b ∈ R.

(b) Bestimmen Sie arg(−1 + i) !


(b) Losen Sie y′′ + 2y′ − 3y = 0 mit den Anfangswerten y(0) = 1, y′(0) = 0.

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1997 - 10 - 10




Wenn Sie im Teil (a) einer Aufgabe eine ausfuhrliche Begrundung geben, indem Sieeinen diesbezuglichen Satz beweisen, so erhalten Sie einen Zusatzpunkt (unabhangigdavon, ob Sie Teil (b) richtig beantworten). Dies ist bei den Fragen (1), (4), (6), (7),(10), (12) moglich.


(1) (a) Schreiben Sie die Dreiecksungleichung an!

(b) Bestimmen Sie L = {x ∈ R : |x + 1| < x + 3}.

(2) (a) Skizzieren Sie die Funktion arcsinx !

(b) Was ist arcsin(−1) ?

(3) (a) Wie ist limx→x0

f(x) = α mit ǫ und δ definiert?

(b) Bestimmen Sie limx→1

√x − 1

x − 1mit den Grenzwertsatzen!

(4) (a) Was besagt der Zwischenwertsatz?

(b) Bestimmen Sie mit Intervallschachtelung ein Intervall der Breite 14 , in dem eine

Nullstelle von f : [0, 1] −→ R : x 7−→ x3 − 3x + 1 liegt!

(5) (a) Wie ist e definiert?

(b) Was ist limn→∞

(

1 − 4

n2

)n

?

(6) (a) Machen Sie ein Bild, aus dem (f−1)′(t0) =1

f ′(x0)fur t0 = f(x0) hervorgeht.

(b) Berechnen Sie ln′(t0) mit den Gleichungen in (a).

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(7) (a) Welche Art von Extremum (Max. oder Min.) hat f in x0, wenn f ′(x) > 0fur x < x0 und f ′(x) < 0 fur x > x0 und f in x0 stetig ist?

(b) Bestimmen Sie die Extrema und ihre Art fur f : [−2, 3] −→ R : x 7−→ x3−3x+1 !Skizze! Vergessen Sie die Randpunkte nicht!

(8) (a) Durch welche Konstruktion wird der Krummungsmittelpunkt definiert? Skizze!

(b) Berechnen Sie den Krummungsradius ρ =(1 + y′2)3/2

|y′′| im Punkt P = ( 12 , π

3 )

der Kurve y = arccos x. ( 7√

74 ≈ 4.63 )

(9) (a) Wie ist die obere Darbouxsumme OD(Z) definiert?

(b) Was ist OD(Z) fur f : [0, 2π] −→ R : x 7−→ cos x und Z = {0, π2, π, 3π

2, 2π} ?

(10) (a) Schreiben Sie die Formel zur Substitution in Integralen an!

(b) Berechnen Sie∫

cot x dx =∫ cos x

sin xdx.

(11) (a) Schreiben Sie die Linksregel allgemein an!

(b) Wenden Sie sie auf∫ 2π

0cos x dx mit Schrittweite h = π

2 an.

(12) (a) Welche Gleichung gilt zwischen ch u und shu ?

(b) Berechnen Sie die Lange des Parabelbogens y = x2 uber [0, 1]. ( ch2 u =12

(

1 + ch(2u))

, sh(2u) = 2 sh u ch u = 2 shu√

1 + sh2 u,√

52 + 1

4 arsh 2 ≈ 1.48 )

(13) (a) Welche Form hat eine Differentialgleichung mit trennbaren Variablen?

(b) Bestimmen Sie die Orthogonaltrajektorien zu A = {y = Cx2 : C ∈ R} !

(14) (a) Wie laßt sich sinϕ durch eiϕ und e−iϕ darstellen?

(b) Drucken Sie mittels der Formel in (a) sin3 ϕ durch sinϕ und sin(3ϕ) aus!


(b) Losen Sie y′′ + 2y′ − 3y = 0 mit den Anfangswerten y(0) = 1, y′(0) = 0.

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1996 - 10 - 09techmath.uibk.ac.at/wagner/psfiles/UEMA96.pdf · (c) Wenn man auf das erste Feld eines Schachbrettes 1 Reiskorn legt, auf das 2. Feld 2 Reiskorner, auf das 3. Feld 22