Komplexe Systeme ohnecharakteristische Längenskalaz.B. Risse in festen Materialien, Küstenlinien,Flussläufe und anderes..

•Skaleninvariante Systeme•Gebrochene Dimensionen•„Fraktale“

Historie

•Albrecht Dürer 15. Jahrhundert•Carl Friedrich Gauss 18. Jahrhundert•Georg Cantor, Helge v. Koch, Waclaw Sierpinski, 19./20. Jahrh. Gaston Julia, Felix Hausdorff•Benoit Mandelbrot 20. Jahrhundert

Konzept der Dimension in regulären Systemen

Systeme mit konstanter Dichte(z.B. lange Drähte, große dünne Platten, große gefüllte Würfel)

Änderung der Masse M mit der linearen Größe des Systems LM(L)

Kleiner Teil des Systems der linearenGröße b L (b<1)M(L) = bd M(L)

LösungM(L) = A Ld

Drähte: d=1Platte: d=2Würfel: d=3

2. Fraktale Geometrie

M(L/2) = 1/2 M(L)d = 1„eindimensional“

M(L/2) = 1/4 M(L)d = 2„zweidimensional“

M(L/2) = 1/8 M(L)d = 3„dreidimensional“

Deterministische Fraktale

n = 0L = L0

n = 1L1 = 1/3 L0L = 4/3 L0

n = 2L2 = 1/3 L1 = 1/9 L0L = 16/9 L0

Die Koch KurveLänge L(n) nach n Iterationen

n = 3L3= 1/3 L2 = 1/9 L1 = 1/27 L0L = 64/27 L0

Bei jeder Iteration n:

•Verringerung der linearen Maßeinheit um einen Faktor b = 1/3•Verringerung der Segmentlänge um einen Faktor 1/4•Vergrößerung der Länge L um einen Faktor 4/3

M (1/3L) = 1/4 M (L)

Fraktale Dimension

Vergleich der Gleichungen:

M(1/3L) = 1/4 M(L) M(bL) = bd M(L)

1/4 = (1/3)d d = log 4/log 3

d = 1,262 gebrochene Dimension („frangere“: lateinisch „brechen“)

Verallgemeinerung:

M(bL) = bdf M(L) = Aldf

df: fraktale Dimension des fraktalen Objekts oder Fraktals

Das Fraktal besitzt ein zentrales Objekt, das beijeder Iteration in verkleinerter Form wiederkehrt

Selbstähnlichkeit oder Skaleninvarianzn → ∞ L → ∞

Geschlossene Kurve: Unendliche Länge bei endlicher Fläche

n endlich:Grenzen in L: Lmin = L0; Lmax

Weitere Beispiele für deterministische Fraktale

Sierpinski Gasket

Objekt: Gleichseitiges Dreieck Teilung in vier gleichgroße Dreiecke Entfernen des mittleren Dreiecks

n = 5k = 9

Sierpinski Carpet

Objekt: Quadrate Teilung in n2 Quadrate Entfernen von k Quadraten

d f = log16 / log5 =1.723

d f = log3 / log2 =1.585

M 1n L

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟= 1n2 − k

M (L)

d f = log(n2 − k) / logn

Sierpinski Sponge

Objekt: Würfel

Teilung in 3x3x3 = 27 kleinere WürfelEntfernen des zentrierten Würfels undseiner 6 nächsten Nachbarn

Reduzierung des Volumens bei jederIteration um den Faktor 20/27

n=1

d f = log20 / log3= 2.727

Dürer Pentagon

Jedes Pentagon wird bei jeder Iteration in sechs kleinere Pentagons und fünfgleichschenklige Dreiecke aufgeteilt, wobei die Dreiecke entfernt werden.

Die Längen der größeren Seite zur kleineren Seite der Dreiecke verhalten sich wie dergoldene Schnitt (proportio divina, golden ratio).

g = 1 / (2cos72 ) = (1+ 5) / 2

n=0

Reduzierung der Seiten des Pentagonsbei jeder Iteration um 1+g

n=1 n=2

M ( L1+ g

) = 16M (L) Fraktale Dimension des Dürer

Pentagons:

d f = log6 / log(1+ g) = 1,863

Das DürerPentagon nach fünfIterationen. DasDürer Pentagon istin blauer Farbe undsein externerPerimeter in roterFarbe dargestellt.

(M. Meyer)

Davids - Stern

Reguläre Sechsecke

Bei jeder IterationAufteilung einesSechsecks in sechskleinere Sechsecke

n=0 n=1 n=2

d f log6 / log 3

Fraktale Dimension:

Mandelbrot Fraktal

Wichtig bei der Diskussion des PerkolationsclustersElemente: Linien, Schleifen, offene Enden

Generation

1 2 3

Nach jeder Generation wird ein Längensegment derLänge a durch 8 Segmente der Länge a/3 ersetzt

Fraktale Dimension: d f = log8 / log 3 = 1,893

Perkolation in 2 Dimensionen: d f = 91 / 46 = 1,896

Gerüst↔ Enden des Mandelbrot Fraktals:Singuläre Verbindungen: rote VerbindungenFraktale Dimension des Gerüsts:Fraktale Dimension der singulärenVerbindungen:

db = log6 / log 3 = 1,63

drot = log2 / log 3 = 0,63

Cantor SatzNicht verbundene Fraktale („fractal dust“)

Ein Einheitsintervall wird in drei Teile aufgeteilt,wobei das mittlere Teil entfernt wird. usf.

n=0

n=1

n=2

n=3

n=4

M 13L⎛

⎝⎜⎞⎠⎟=12M (L)

Fraktale Dimension: d f = log2 / log 3 = 0.631<1

Wichtig bei der Behandlung chaotischer Systeme.

Selbstähnlichkeit eines natürlichen Fraktals

Elektrolytisch abgeschiedenes Kupfer

Bestimmung der fraktalen Dimensionen

„Sandbox Methode“

Wahl eines Aufpunktes des fraktalen Objekts

Zeichnen von n Kreisen mit den Radien R1< R2<...< Rn(Rn kleiner als Abmessung des fraktalen Objekts)

Abzählen der Punkte (Pixel) M1 (Ri) innerhalb jedes Kreises i

Wiederholen dieser Prozedur für anders gewählte Aufpunkte (insgesamt m Aufpunkte)

Wiederholen dieser Prozedur für anders gewählte Punkte Mj(Ri), j=2, 3, .....,m innerhalbjedes Kreises

Mittlere Zahl der Punkte M(Ri) innerhalb jedes Kreises durch Mittelwertbildung

M Ri⎛⎝

⎞⎠ =

1m M j Ri

⎛⎝

⎞⎠j =1

m∑

Auftragen M(Ri) als Funktion von Ri in einemdoppellogarithmischen Diagramm

Die Steigung der Kurve gibt dann die fraktaleDimension.

„Box Counting Methode“

Erstellung eines Gitternetzes über das fraktale Objektmit N2 Quadraten

Bestimmung der Zahl der Quadrate S(N1), dienotwendig ist, um das fraktale Objektvollständig zu überdecken.

Verfeinerung der Netzgröße mit

N12< N2

2<N32<....<Nm

2

Berechnung der Zahl der Quadrate S(N1)....S(Nm), dienotwendig sind, um das fraktaleObjekt zu überdecken.

S(N) ≈ N-dfN−d f

Die fraktale Dimension df ergibt sich aus der Steigung derGeraden, wenn man S(N) alsFunktion von 1/N doppellogarithmisch aufträgt.

„Sandbox Method“

„Box Counting Method“

Triadische Flocke

n=0

n=1

n=2

Quadratische Flocke

Gleichmäßig strukturierter Gang

Messung der fraktalen Dimension eines natürlichen Fraktals

Digitalisierung des Randes

Wahl der Schrittlänge (n=22)

Bestimmung der Seitenlänge(z.B. Satz des Pythagoras)

∆ : Auflösung

FD: Feret - Durchmesser (maximaler Durchmesser)

Normierung der PolyglonAbschätzung auf FD

Konstruktion desRichardson - Plots

Richardson - Plot

Nor

mie

rter

abge

schä

tzte

r Um

fang

Richardson Plot für Triadische und Quadratische Flocke

Bestimmung der fraktalen Dimension für deterministische Fraktale mit dem Verfahrendes strukturierten Gangs

104

103

102

101

100

10-6 10-4 10-2 100

Umfang, normiert auf die Seitenlänge in derAusgangssituation

Bere

chne

ter

Um

fang

Analytische Bestimmungder fraktalenDimension:

•Quadratische Flocke: df = 1.50

•Triadische Flocke: df = 1.26