2. Mannigfaltigkeiten2.1 Äquivalenzprinzip

Newton: und

Weak Equivalence Principle (WEP):

“Beschleunigung = Gravitation”

andere Form des WEP:

Die Bewegung eines frei-fallenden Körpers sind identisch in einem Gravitationsfeld und in einem gleichförmig beschleunigten Bezugssystem

lokal, kleine Körper, kleine Testmassen (Selbstwechselwirkung)

Einstein Equivalence Principle (EEP):

Man kann die Existenz eines Gravitationsfeldes nicht durch lokale Experimente feststellen (Experimente umfassen Gravitation nicht).

EEP WEP,

EEP Feinstrukturkonstante und Massenverhältnis Protonen/Elektronen ist konstant

Strong Equivalence Principle (SEP): Wie EEP + Experimente umfassen Gravitation

Gravitationskonstante ist konstant

Info:

http://en.wikipedia.org/wiki/Equivalence_principle#The_strong_equivalence_principle

EEP: Gravitation ist unausweichlich, keine gravitativ-neutralen Körper, daher definiere:

nicht-beschleunigt = frei fallend

Saturday Morning gekrümmte Raumzeit Mannigfaltigkeiten

2.2 Was ist eine Mannigfaltigkeit

n-dim Mannigfaltigkeit sieht lokal aus wie

Beispiele:

• , klar

• n- Sphäre , fester Radius in

• n-Torus:

• Riemannsche Fläche vom Geschlecht g

Jede kompakte orientierbare randlose 2-dim. Mannigfaltigkeit ist Riemannsche Fläche

• Lie Gruppe: Mannigfaltigkeit mit Gruppenstruktur

Beispiel:

• direktes Produkt zweier MannigfaltigkeitenM und M´ Mannigfaltigkeiten der Dimensionen n und n´neue Mannigfaltigkeit M x M´ bestehend aus geordnetem Paar (p,p´) mitp ∈ M und p´ ∈ M´

Was ist keine Mannigfaltigkeit ?

1(2) identisch zuSO S

Ein Punkt, der nicht lokal wie

aussieht. 2R

nicht glatt genug Mannigfaltigkeit mit Rand

Abbildungen: zwei Mengen M,N, Abbildung , die jedem Element aus M genau ein Element aus N zuordnet.

Verknüpfung: mit

:M NΦ →

injektiv: jedes Element aus N hat höchstens ein Urbild

surjektiv: jedes Element aus N hat mindestens ein Urbild

Menge M: Gebiet von Φ, Gebiet: Φ(N) , Urbild: Φ-1(N)

Wenn Abbildung injektiv und surjektiv ist, dann existiert inverser Abb.

Stetigkeit bekannt für Abb.

Komponentenfunktionen stetig

Funktion heißt Cp, wenn p-te Ableitung existiert und stetig ist.

C∞ Abb.: unendlich oft differenzierbar, glatt

Beispiel: , unendlich of diff.bar bis auf x=0, dort nur zweimal, also C2

: m nφ →R R

3( )x xφ =

offene Kugel: Menge aller Punkte

offene Menge: Vereinigung offener Kugeln,

also: ist offen, wenn für jedes eine offene Kugel um y existiert, die vollständig in V liegt.

Eine Karte (oder Koordinatensystem) besteht aus einer Untermenge

und einer injektiven Abb. , so dass offen in ist.

Damit ist U offen in M.

, für festes ,n nx x y r y r∈ − < ∈ ∈R R R

nV ⊂ R y V∈

U M⊂: nUφ → R ( )Uφ nR

Eine C∞ n-dim. Mannigfaltigkeit ist eine Menge M mit einem maximalen Atlas, der alle kompatiblen Karten enthält.

Analog wird eine Cp Mannigfaltigkeit definiert.

Ein C∞ Atlas ist eine Vereinigung von Karten , die folgende 2 Bed. erfüllen:

1. Die Vereinigung

2. Übergangsabb. sind C∞: Sei . Dann bildet die Abb. Punkte inauf eine offene Menge ab, und zwar C∞ für

alle .

( ){ },Uα αφU Mα

α

=∪0U Uα β∩ ≠

1α βφ φ

−

( ) nU Uβ α βφ ∩ ⊂ R ( )nU Uα α βφ ∩ ⊂ R

,α β

Beispiele:

1. Kreis S1

2. S2 : stereographische Projektion

benötige zwei Karten

vom Nordpol vom Südpol

Übergangsabb. für

-1 < x3 < +1

Übergangsabb. sind unsere alten Koordinatentransformationen

Stetigkeit und Differenzierbarkeit einer Abb. zwischen Mannigfaltigkeiten M,N wird durch die Karten bestimmt:

:f M N→

1 : m nfβ αψ φ− →R R

2.3 Schon wieder Vektoren!

Definition über Kurven war richtig, jetzt nur koordinatenunabhängig

Also, sei F der Raum aller glatten Funktionen auf M. Jede Kurve durch den Punkt p definiert nun einen Operator, die Richtungsabbleitung an p.

Tangentialraum Tp :Raum aller Richtungsableitungsoperatoren

Dies ist ein Vektorraum, denn betrachte 2 Operatoren für 2 Kurven durch p.

neuer Operator

Dies ist auch ein Ableitungsoperator, denn er erfüllt die Produktregel:

/f df dλ→

/ , /d d d dλ η

⇒ ( / ) ( / )a d d b d dλ η+

⇒ Vektorraum

Ist das der gesuchte Vektorraum? Suche Basis: betrachte Karte mit Koordinaten .

n Richtungsableitungen an der Stelle p.

Dies ist eine Basis, denn betrachte

beliebige Kurve

Karte

und Funktion

Kettenregel:

xµ

⇒ µ∂

: Mγ →R

: nMφ →R

:f M →R

f beliebig ⇒

Also bilden Basis, genannt Koordinatenbasis für Tp.

In der Regel weder normiert, noch orthogonal, aber bequem.

Transformationsverhalten folgt direkt. Basisvektoren für neues Koordinatensystem folgt aus der Kettenregel:

Vektor invariant:

(allgemeiner als Lorentz-Trafos)

Kartenwechsel Koordinatenwechsel Basiswechsel

{ }µ∂

⇒

⇒ ⇒

Vektor an einem Punkt = Richtungsableitung entlang einer Kurve durch den Punkt

Vektorfeld definiert Abb. von glatten Funktionen nach glatten Funktionen auf M

Seien nun zwei Vektorfelder X und Y gegeben, dann definiere Kommutator [X,Y] durch Wirkung auf Funktion f:

Damit ist Kommutator [X,Y] selbst wieder ein Vektorfeld!

denn er ist linear

und erfüllt Produktregel

in Komponenten:

Vorsicht: partielle Ableitungen von Vektoren sind keine Tensoren (nächstes Kapitel), hier aber nur antisymmetrisch und alles ist gut.

⇒

2.4 Schon wieder Tensoren!

Kotangentialraum = Menge aller linearen Abb.

Typische dual-Form = Gradient einer Funktion f = df

dual-Form Vektor

Basis:

Koordinatenwechsel

⇒ bel. dual-Form

und für die Koordinaten

nun (k,l) Tensoren:

⇔

Kartenwechsel = Koordinatentrafo

partielle Ableitung einer Funktion ist Tensor, aber partielle Ableitung eines Tensors höheren Ranges ist kein Tensor. Beispiel: dual-Form

Ableitung der Transformationsmatrix verschwindet nicht,anders als für Lorentz-Trafos

Deshalb muß man etwas neues erfinden:

1. äußere Ableitung

2. kovariante Ableitung

3. Lie-Ableitung

2.5 Die Metrik

Minkowski:gekrümmte Raumzeit

µνηgµν

Determinante det( ) 0g gµν= ≠

⇒ inverse Metrik g µν

Linienelement

dualer Basis Vektorzwei-Form

Euklidischer Raum und kartesische Koordinaten:

Euklidischer Raum und Polarkoordinaten:

⇒

also: flacher Raum, aber nichtkonstante Metrik

Metrik enthält Info über Krümmung, aber wie?

2-Sphäre: r = 1 dr = 0 ⇒

Jetzt ist der Raum gekrümmt !!!

Lokal kann man Metrik immer in die Form mit ^ ^ ( ) ( 1,1,1,1)g p diagµη

= − ^ ^ ^ ( ) 0g pµ µη

∂ =

Motivation:

Taylor-Entwicklung mit

symbolische Notation:

10 Zahlen

4x4 = 16 Zahlen, damit Trafo auf

4 Ableitungen mal 10 Komponenten = 40 Zahlen

10 unabhängige Möglichkeiten für undund 4 Möglichkeiten für = 40 Zahlen,

also kann zum Verschwinden gebracht werden

symmetrisch 10x10=100 Zahlen

symmetrisch in den drei unteren Indizes: 20 Möglichkeiten

mal 4 Indizes = 80 Zahlen zu wenige !!!

^ ^ ( ) ( 1,1,1,1)g p diagµη

= −

0.te Ordnung:

1.te Ordnung:

2.te Ordnung:

⇒

⇒

Lokale inertiale Koordinaten sind sehr hilfreich. Betrachte folgendes Beispiel:

Beobachter mit vierer-Geschwindigkeit

vorbeifliegende Rakete mit

Was misst der Beobtachter als normale dreier-Geschwindigkeit der Rakete ?

In der SRT ist das klar: benutze inertiale Koordinaten (global, nicht nur lokal), so dass der Beobachter im Ruhesystem ist und Rakete in x-Richtung fliegt.

Dann ist die vierer-Geschwindigkeit des Beobachters

und die vierer-Geschwindigkeit der Rakete

mit v = dreier-Geschwindigkeit,

⇒

In der flachen Raumzeit haben wir

und damit (in der flachen Raumzeit)

Jetzt zurück in die gekrümmte Raumzeit, Metrik nicht mehr Minkowski.

Aber am Punkt der Messung kann man lokales inertiales Koordinatensystem wählen

mit = , so dass

immer noch richtig ist. Aber das ist eine Tensor-Gleichung, die invariant unter der Wahl des Koordinatensystems ist. Fertig !