C A R LV O N

O S S I E T Z K Y

Torus-Knoten

Johannes Diemke

Ubung im Modul OpenGL mit JavaWintersemester 2010/2011

Torus-Knoten

(p, q)-Torus-Knoten

Wird im R3 durch eine Raumkurve r(ϕ) beschrieben

p und q mussen relativ prim zueinander sein

I Zwei naturliche Zahlen sind teilerfremd oder relativ prim, wenn eskeine naturliche Zahl außer der Eins gibt, die beide Zahlen teilt

I Zwei Zahlen a und b sind dann teilerfremd, wenn ihr ggT (a, b) = 1 ist

r(ϕ) =

(cos(qϕ) + 2) · cos(pϕ)(cos(qϕ) + 2) · sin(pϕ)

sin(qϕ)

, 0 ≤ ϕ ≤ 2π

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Torus-Knoten

Hulle entlang einer Raumkurve

1 Berechnen des Frenet-Rahmen (Dreibein)

2 Aufspannen von Polygonen

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Torus-Knoten

Hulle entlang einer Raumkurve (Forts.)

Beispielhaft anhand folgender Raumkurve

r(ϕ) =

0.5 · (2 + sin(qϕ)) · cos(pϕ)0.5 · (2 + sin(qϕ)) · cos(qϕ)0.5 · (2 + sin(qϕ)) · sin(pϕ)

, 0 ≤ ϕ ≤ 2π

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Torus-Knoten

Frenet-Rahmen

Bildet eine Orthonormalbasis

Ist an jedem Punkt der Kurve gesondert definiert (begleitendesDreibein)

Idee: Entlang der Raumkurve Ringe in der von der Einheitsnormaleund Einheitsbinormale aufgespannten Ebene zeichnen

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Torus-Knoten

Frenet-Rahmen (Forts.)

Definition (Frenet-Rahmen)

Sei I ⊂ R3 ein Intervall und sei r : I → R3 eine Raumkurve von der wirannehmen, dass sie differenzierbar und frei von Wendepunkten ist. Dasdurch die Raumkurve gleitende Dreibein, auch Frenet-Rahmen genannt,ist eine Orthonormalbasis bestehend aus den drei Vektoren T (ϕ), N(ϕ)und B(ϕ) definiert durch:

T (ϕ) =r ′(ϕ)

‖r ′(ϕ)‖, N(ϕ) =

T ′(ϕ)

‖T ′(ϕ)‖, B(ϕ) = T (ϕ)× N(ϕ)

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Torus-Knoten

Frenet-Rahmen (Forts.)

Berechnen der beiden Ableitungen r ′(ϕ) und r ′′(ϕ)

r ′(ϕ) =

0.5 cos(qϕ)q cos(pϕ)− 0.5(2 + sin(qϕ)) sin(pϕ)p0.5 cos(qϕ)2q − 0.5(2 + sin(qϕ)) sin(qϕ)q

0.5 cos(qϕ)q sin(pϕ) + 0.5(2 + sin(qϕ)) cos(pϕ)p

r ′′(ϕ) =

−0.5 sin(qϕ)q2 cos(pϕ)− cos(qϕ)q sin(pϕ)p − 0.5(2 + sin(qϕ)) cos(pϕ)p2

−1.5 cos(qϕ)q2 sin(qϕ)− 0.5(2 + sin(qϕ)) cos(qt)q2

−0.5 sin(qϕ)q2 sin(pϕ) + cos(qϕ)q cos(pϕ)p − 0.5(2 + sin(qϕ)) sin(pϕ)p2

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Torus-Knoten

Aufspannen von Ringen

Aufspannen von Ringen in der von der Einheitsnormale undEinheitsbinormale aufgespannten Ebene

gl.glBegin(GL2.GL_LINE_LOOP);

for(int j=0; j < segments; j++) {

x = radius * Math.cos(2 * PI / segments * j));

y = radius * Math.sin(2 * PI / segments * j));

// Affine Transformation

point = normal(t)*x + binormal(t)*y + curve(t);

gl.glVertex3f(point.x, point.y, point.z);

}

gl.glEnd();

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Torus-Knoten

Aufspannen von Ringen (Forts.)

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Torus-Knoten

Aufspannen von Polygonen

Aufspannen von Polygonen zwischen den Ringen und Berechnungder Vertex-Normalen

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Torus-Knoten

Zwischenstand

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Zwischenstand (Forts.)

Die Normale und Binormale machen sprunghaft180-Grad-Drehungen in den Wendepunkten der Kurve

Tangente und Normale sind in den Wendepunkten parallel

Losung

Dreibein nicht uber zweite Ableitung konstruieren

Approximation uber beliebigen Vektor, der nie parallel ist

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Torus-Knoten

Approximation

Vektor muss entsprechend der Raumkurve gewahlt werden, damit ernie parallel zur Tangente istWeiterhin kann im selben Zug auch gleich die Tangente selbstapproximiert werden → forward difference

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Torus-Knoten

Approximation (Forts.)

symbolische vs. numerische Ableitung (Forward Difference):

point1 := curve(t);

point2 := curve(t + delta);

unitTangent := normalize(point2 - point1);

unitNormal := crossProduct(unitTangent, vec3(0, 1, 0));

unitBinormal := crossProduct(unitTangent, unitNormal);

oder alternativ (Central Difference):

point1 := curve(t - delta/2);

point2 := curve(t + delta/2);

unitTangent := normalize(point2 - point1);

unitNormal := crossProduct(unitTangent, vec3(0, 1, 0));

unitBinormal := crossProduct(unitTangent, unitNormal);

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Torus-Knoten

Ergebnis

(2, 3)- und (5, 3)-Torus-Knoten mit Flat-Shading

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Torus-Knoten

Ergebnis (Forts.)

(2, 3)-Torus-Knoten mit Phong-Shading und Schatten

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Literatur

� Dave ShreinerOpenGL Programming Guidehttp://www.opengl-redbook.com/

� Richard S. Wright, Benjamin Lipchak und Nicholas HaemelOpenGL SuperBibelhttp://www.starstonesoftware.com/OpenGL/

� Randi J. RostOpenGL Shading Languagehttp://www.3dshaders.com/

� Tomas Akenine-Moller, Eric Haines und Naty HoffmanReal-Time Renderinghttp://www.realtimerendering.com/

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Literatur

� Edward AngelInteractive Computer Graphicshttp://www.cs.unm.edu/˜angel/

� Gerald Farin und Dianne HansfordPractical Linear Algebrahttp://www.farinhansford.com/books/pla/

� Fletcher Dunn und Ian Parberry3D Math Primer for Graphics and Game Developmentwww.gamemath.com/

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