VorlesungKnoten(Sommersemester2005)DirkKussinInstitutf urMathematik, Universit atPaderborn, GermanyE-mail address:dirk@math.upb.deInhaltsverzeichnisAbbildungsverzeichnis iiiKapitel1. KnotenundVerschlingungen 11.1. Einleitung 11.2. BeispielevonKnotenundVerschlingungen 21.3. DenitionvonKnoten 21.4.AquivalenzvonKnoten 41.5. RegulareKnotendiagramme 61.6. EinigeklassischeKnoteninvarianten 14Kapitel2. DasJones-Polynom 192.1. DasKlammer-Polynom 192.2. DasKauman-Polynom 242.3. DasJones-Polynom 262.4. SummevonKnotenundVerschlingungen 30Kapitel3. KnotenundZopfe 353.1. DieArtinscheZopfgruppe 353.2. DieSatzevonAlexanderundMarkov 403.3. DieYang-BaxterGleichung 443.4. DasJones-PolynominzweiVariablen 493.5. Entwirrungsinvarianten 54Kapitel4. Vassiliev-Invarianten 574.1. SingulareKnotenundInvarianten 574.2. PolynominvariantenliefernVassiliev-Invarianten 644.3. NumerischeInvarianten,diekeineVassiliev-Invariantensind 664.4. Sehnendiagramme 674.5. DerSatzvonKontsevich 694.6. Vassiliev-InvariantenkleinerOrdnung 72Literaturverzeichnis 77iAbbildungsverzeichnis1.1 PositiveundnegativeKreuzungL+undL162.1 ZweiAuosungeneinesKreuzungspunktes 192.2 AuosungsbaumdesKleeblattknotens 232.3 PositiveundnegativeKreuzungL+undLundderenAuosung 242.4 KnotenzumBerechnendesJones-Polynoms 282.5 Esgiltm+= m01 302.6 DieSummezweierKnoten 302.7 Unterschiedliche Verschlingungenmit selbemJones-Polynom 322.8 UnterschiedlicheKnotenmitselbemJones-Polynom 333.1 BeispielevonZopfen 353.2 AbschlusseinesZopfes 413.3 AusrolleneinesumlaufendenKnotens 423.4 DerAlexander-Trick 423.5 1.Markov-BewegungliefertaquivalenteVerschlingungen 433.6 2.Markov-BewegungliefertaquivalenteVerschlingungen 443.7 (L#L

)+= (L#L

)und(L#L

)0= L . L

534.1 SingulareKnoten 594.2 PositiveundnegativeAuosungeinesDoppelpunkts 594.3 EinKnotenmitm = 4rDoppelpunkten 664.4 EinsingularerKnotenundseinSehnendiagramm 674.5 SehnendiagrammederOrdnung3 684.6 1-Termund4-TermRelationf urSehnendiagramme 684.7 Relationenin (4/((1,4)473iiiKAPITEL1KnotenundVerschlingungen1.1. EinleitungZieldieserVorlesungistes,einEinf uhrungindieTheoriedermodernenKnoteninvariantenzugeben.InderKnotentheoriewerdenKnotenimRaumuntersucht.Diessindto-pologische Objekte, die homoomorph zur Kreislinie S1sind. Dabei ist wenigerein einzelner Knoten interessant als vielmehr die Frage der Klassikation vonKnoten,oderdieMoglichkeitzurUnterscheidungzweiergegebenerKnoten.DadieFormeinesKnotensimRaumsehrunterschiedlichseinkann, siehtmanzwei Knotennichtsofortan, obsieauchwirklichverschiedensind. Inder Tat ist dies i. a. ein sehr schwieriges Problem, das sogenannte Vergleichs-problem. Dies kann man haug mit Hilfe von sogenannten Knoteninvariantenlosen. Dies ist eine Funktion auf der Menge aller Knoten, dessen Bilder Zah-lenoderalgebraischeObjektewiez.B.Polynomeseinkonnen. HabenzweiKnoten f ur eine Knoteninvariante verschiedene Werte, so m ussen die Knotenverschiedensein. Nat urlichistdiesnurhilfreich, wenndieInvarianteauchleichtoderezientzuberechnenist.EinSpezialfalldesVergleichsproblemsist das Entknotungsproblem, alsodie Frage, ob ein vorgegebenerKnoten derUnknoten(gegebendurchdieKreislinieS1selbst)ist.Das Vergleichsproblemist nur einTeilproblemdes viel schwierigerenKlassikationsproblems, d.h.dieErstellungeinervollstandigen(wennauchunendlichen) Tabelle aller Knoten (in der jeder Knoten auch nur einmal vor-kommt).Dazu brauchteman eineeinfachzuberechnendevollstandigeInva-rianteder Knoten,d. h. einerKnoteninvariante,die f ur je zweiverschiedeneKnoten immerverschiedene Werte annimmt. Bisher wurde keine ezient be-rechenbare vollstandige Knoteninvariante gefunden. Zwar ist z. B. (wie 1989gezeigtwurde)derHomoomorphietypdesKomplementseinesKnoteneinevollstandigeInvariante,dieaberinderPraxisnichtzubestimmenist.WirwerdeninsbesonderefolgendeKnoteninvariantenbehandeln:Das ber uhmte Jones-Polynom, welches Mitte der 1980er von VaughanJonesinderTheoriedervonNeumannAlgebrenentdecktwurde,und wof ur Louis Kauman Ende der 1980er einen elementarenZu-ganggefundenhat.VerallgemeinerungendesJones-Polynoms(insbesonderedasJones-Polynominzwei Variablenbzw. das nachverschiedenenAutoren12 1. KNOTENUNDVERSCHLINGUNGENbenannteHOMFLY-Polynom), diewirmitHilfederYang-Baxter-GleichungundderTheoriederZopfegewinnen,unddieuniverselleEntwirrungsinvariantenliefern.Die Anfang der 1990er Jahre von Victor Vassiliev entwickeltenInvariantenendlichenTyps, dieauchVassiliev-Invariantenheien,und die oben stehenden Polynominvariantenin einem gewissenSin-nemiteinschlieen. NacheinemSatzvonMaximKontsevichlas-sen sich diese Vassiliev-Invarianten kombinatorisch durch sogenann-teSehnen-Diagrammedarstellen. EineVermutungbesagt,dassdieVassiliev-Invarianten eine vollstandige Knoteninvariante liefern (unddamit eine Klassikationder Knotenliefernw urde), aber das istnochungelost.DerSchwerpunktdieserVorlesungliegtalsowenigeraufderTopologie,bei der wir uns etwasknapper fassen werden,als vielmehr auf den kombina-torisch/algebraischenAspektenderKnotentheorie.Hinweisezur Literatur: AlsHauptvorlagef urdieseVorlesungdientdasBuchvonPrasolovundSossinsky[11],genauernureinkleinerTeilda-von(dieersten60Seiten, dazuSeiten196198). Eine schongeschriebeneEinf uhrungin den Sto der Vorlesunggibt das B uchleinvon Sossinsky[12].Als erganzende Literatur kannmandenArtikel vonL uck[9] unddieDiplomarbeitvonFeichtner[5] nennen. BeidesindimInternetzuganglich.LetzterebieteteinesehrdetaillierteEinf uhrungindiePolynominvarianten.FerneristnochdasBuchvonMurasugi[10]zunennen.WeitereLiteraturwirdangeeigneterStellegenannt.1.2. BeispielevonKnotenundVerschlingungen(Werdennachgereicht.Vgl.FolieninderVorlesung.)1.3. DenitionvonKnotenAnschaulichisteinKnotenjedembekannt: KnotenvonSchn ursenkeln,Krawattenknoten, Seemannsknotenetc. InjedemFall wirdeinSt uckSeiloder Schnur verknotet. Oder man kann auch zwei oder mehrere Teile zusammen-oderverknoten.InderMathematik, inderKnotentheorie, wirdmeisteinespezielleArtvon Knoten untersucht: Man hat ein St uck Seil mit zwei Enden, verknotetdiesesSeilund klebtdann die Endenzusammen.Man hat es alsomit einemgeschlossenemSt uckSeilzutun.Manfragtsichdann, obzwei vorgegebeneKnotengleichsind(d. h.nacheinerDeformationimRaum, diedieSeilenichtzerreit), oderindenUnknoten(d. h. das Seil bildet einekreisformige SchlaufeohneUber-kreuzungen) uberf uhrtwerdenkann. W urdemandieSeilendennichtver-kleben, sowarendiese Fragentrivial zubeantworten. Es liee sichdannoenbarjederKnotenentknoten.1.3. DEFINITIONVONKNOTEN 3Wir stellenunseinenKnotenimAnschauungsraum, mathematischimR3, oderbesserinder3-SphareS3= x R4[ [x[=1 R3 vor.LetzterehatdentechnischenVorteil,dassessichumeinekompakte(insbe-sondere triangulierbare) 3-Mannigfaltigkeit handelt. Andererseits, wenn manmiteinemKnotendenunendlichenPunktinS3meidet,lebtdieserKnotenimR3.Manhatesalsomiteiner einfach, geschlossenenKurveimR3zutun,alsomit einer injektiven, stetigenFunktionf : S1R3, wobei S1dieEinheitskreislinieist.Ubung1.3.1. Manmachesichklar, dass einegeschlossene Kurvef :S1R3imPrinzipdasselbeistwieeinestetigeFunktionf: [0, 1] R3mitf(0) = f(1).(ManbetrachtedieFunktion[0, 1] S1,t e2it.)Jenachdem, welcheEigenschaftenmanvonderdieKurvedenierendeFunktionffordert,bekommtmanunterschiedlichemathematischeModellevonKnoten. InsbesondereerscheinenfolgendeEigenschaftenalssinnvoll: fkanneinPolygonzugsein, fkannallgemeinerstetigsein, oderfkann(be-liebigoft)dierenzierbar(=glatt)sein.Allendreienistjedochgemeinsam,dasssichderKurvenzugnichtselbstschneidet.Obwohl siewenigerderVorstellungvonKnotenentspricht, werdenwirin erste Linie die erste Variante wahlen, da sie sehr problemlos ist und mehrkombinatorischals topologisch angehauchtist. Das dierential-geometrischeglatteModell istdazuaquivalent. DagegenistdasstetigeModell problem-behaftet, daesdiesogennantenwildenKnotenmiteinschliet. Beschranktman sich aber auf die sogenannten zahmen Knoten, so bekommt man hiermitauchdasselbe.Ubung1.3.2.f: S1R3ist uberschneidungsfrei genau dann, wenn finjektivist.Giltdiesauch,wennmanfalsFunktion[0, 1] R3auasst?SeienXundY topolgischeRaumeundf : X Y eineAbbildung.Esheitfstetig, fallsUrbilderoenerMengenimmeroensind. SieheitHomoomorphismus, falls sie stetig undbijektiv ist, wobei auchdie Um-kehrabbildung f1stetig ist. Falls so ein f exisitiert, heien Xund Yhomoomorph. Die Abbildungf heit Einbettung, falls die induzierte Ab-bildungf: X f(X)einHomoomorphismusist.Esgibt(mindestens)dreinaheliegendeDenitionenvonKnoten:1.3.3(PolygonaleKnoten). IsteineEinbettungf: S1R3(oderS3)ein(eifachgeschlossener)Polygonzug, d. h. st uckweiselinear(endlichvieleSt ucke), soheitf einpolygonalerKnoten. DasBildf(S1)setztsichalsoausendlichvielenGeradenst uckenzusammen.1.3.4(StetigeKnoten). EineEinbettungf:S1R3(oderS3)heitstetigerKnoten.4 1. KNOTENUNDVERSCHLINGUNGEN1.3.5 (Glatte Knoten).Ein glatter Knoten ist eine beliebig oft dierenzier-bareinjektiveAbbildungf:S1R3, sodassdasDierential nirgendwoverschwindet: Istf(t) = (x(t), y(t), z(t)),sogilt_dxdt,dydt,dzdt_,= (0, 0, 0).Die allgemeinste Denition (stetige Knoten) ist problembehaftet. Es konnendortnamlichsogenanntewildeKnotenauftauchen,etwaBeiderpolygonalenbzw.glattenVarianteistdiesjedochausgeschlossen.Neben Knoten gibt es auch noch kompliziertereGebilde, bei denenmeh-rereKnotenineinanderverschlungensind:1.3.6 (Verschlingungen).Eine Verschlingung (engl. link) besteht aus einerendlichenAnzahlsichnichtschneidenderKnoten.Bei einemKnotenf : S1R3(oderS3)sindwireigentlichnurandemBildK=f(S1) der zugehorigenAbbildunginteressiert. Daher wirdaucheinfachdiesesBildKKnotengenannt.JederKnotenistalsohomoomorphzuS1.1.4.AquivalenzvonKnotenStellt man sich einen Knoten als d unnes Gummiband im Raum vor, exi-belundelastisch,sowollenwirerlauben,dasswiresimRaumdeformieren,ohne es zu zerreien, und es soll sich dabei immer noch um denselben Kno-ten handeln. Wir betrachten also genauerAquivalenzklassen von Knoten (diewirdannauchselbstKnotennennen).Dieswirdimfolgendenformalisiert.1.4.1. Zwei Einbettungenf0, f1: X Y heienambientisotop, fallseseinenHoheerhaltendenHomoomorphismusH: Y [0, 1] Y [0, 1] H(y, t) = (ht(y), t)mitf1= h1 f0undh0= 1Ygibt.Wirschreibenauchf0 f1.Ubung1.4.2.Man zeige, dass ambiente Isotopie eineAquivalenzrelationist(f,g,h : X Y Einbettungen):(1)(Reexivitat)f f.(2)(Symmetrie)f g g f.(3)(Transitivitat)f gundg h f h.1.4.AQUIVALENZVONKNOTEN 5Definition1.4.3(KnotenundVerschlingung). SeiM=R3oderM=S3.Eine(zahme)Verschlingung(engl.link)inMisteineEinbettungf:r

i=1S1 M,diezueinemeinfachengeschlossenenPolygonzug(mitrKomponenten)inMambientisotopist. DieAnzahl derKomponentenderVerschlingungistr. Ein(zahmer)KnotenisteineVerschlingungmitnureinerKomponente.ZweiVerschlingungenheienaquivalent,fallssieambientisotopsind.Meist nennenwir dasBildf(S1) inMeineVerschlingungbzw. einenKnoten, und nicht die Abbildung selbst. Die Abbildung gibt dann eine Para-metrisierung des Knotens an. Auch wird haug die gesamteAquivalenzklasseKnotengenannt.Esseiangemerkt, dassgezeigtwerdenkann,dasseinglatterKnotenimobigenSinneinKnotennachdieserDenitionist,d.h.jederglatteKnotenist ambient isotop zu einem polygonalen Knoten. In obiger Denition werdennurnochstetigenKnotenbetrachtet,dienichtwildsind.ImWesentlichengen ugtes, sichauf polygonaleKnotenundVerschlin-gungenzubeschranken.Hierf urhatmaneinenweiterenAquivalenzbegri:Definition 1.4.4 (Elementare Deformation/kombinatorischeAquivalenz).SeiKeinpolygonalerKnoten.EineelementareBewegungistdurchfolgen-denProzessoderdessenUmkehrunggegeben:Sei[AB]einStreckenzugvonK. Dann kann [AB] ersetzt werden durch die zwei Streckenz uge [AC] [CB],wobeidasDreieck[ACB]mitKnurdenStreckenzug[AB]gemeinsamhat.Insbesonderesinddamit(alsSpezialfall)auchHinzuf ugenundWegnehmenvonEckpunktenaufStreckenelementareBewegungen.ABCACBKKZwei polygonaleKnotenKundK

heienkombinatorischaquivalent,falls es eine endliche Folge von elementaren Deformationen gibt, die Kin K

uberf uhrt.(Analogf urVerschlingungen.)Lemma1.4.5([3, Prop. 1.10]). Zwei polygonaleKnoten(Verschlingun-gen)inS3sindkombinatorischaquivalentgenaudann,wennsieaquivalent(ambientisotop)sind.Wenn nichts anderes gesagt wird, bedeutet im folgenden Knoten immerpolygonaler Knoten. Dementsprechendes gelte f ur Verschlingungen. AlsAquivalenzwerdenwir diekombinatorischeAquivalenznehmen. IndieserVorlesungwerdenwirunsinersterLinief urKnoteninteressieren. Eswird6 1. KNOTENUNDVERSCHLINGUNGENaber Situationengeben,wowirtrotzdemaufVerschlingungenzur uckgreifenm ussen.1.4.6(OrientierteKnoten). LegtmaneinederbeidenmoglichenDurch-laufrichtungen eines Knoten fest, so spricht man von einem orientierten Kno-ten.Aquivalenz (ambiente Isotopie) und kombinatorischeAquivalenz werdenf ur orientierteKnoten analog deniert.Man fordert zusatzlich,dassdie Ab-bildungenhtbzw.dieelementarenBewegungendieOrientierungbewahren.WirwerdenmeistensorientierteKnotenbetrachten.ManhatnocheineweitereMoglichkeitf urAquivalenz:Lemma1.4.7([3, Prop. 1.10]). ZweiorientierteKnoten(Verschlingun-gen) K1und K2in S3sind aquivalent (ambient isotop) genau dann, wenn eseinenorientierungserhaltendenHomoomorphimums: S3S3gibtmit(K1) = K2.Definition1.4.8. EineKnoteninvarianteisteineFunktionI: /0 X, die auf der Menge aller Knoten /0deniert ist (und Xirgendeine Mengeist,z.B.einKorperodereinPolynomring)mitderEigenschaftK1 K2 I(K1) = I(K2).EslatsichdannIaufderMengederAquivalenzklassenvonKnotende-nieren.Die Knoteninvariante Iheit vollstandig, falls auch stets die UmkehrungI(K1) = I(K2) K1 K2gilt.AnalogdeniertmanallgemeinVerschlingungsinvarianten.DasHauptzieldieserVorlesungwirdsein,Knoteninvariantenzudenie-ren, diemanauchrelativleichtberechnenkann, unddiemoglichstvieleKnotenunterscheidenkonnen. ZunachsteintieiegendestheoretischesRe-sultat, daszeigt, dassvollstandigeKnoteninvariantendurchaus existieren,aberderenkonkreteBerechnungschwierig,wennnichtunmoglich,ist.Satz 1.4.9 (C. GordonundJ. Luecke 1989). Das Komplement einesKnoteninS3istbis aufHomoomorphie einevollstandige Knoteninvariante.Dieses theoretischsehr schone Ergebnis ist f ur die KlassizierungvonKnoteninderPraxiskaumzugebrauchen.1.5. RegulareKnotendiagrammeWir habenschonBeispiele vonKnotengesehen, wiewir auf dieTafeloderaufeinBlattPapiergemalthaben. InderTatistesprinzipiell immermoglich und sehr hilfreich,einen Knoten zweidimensionaldarzustellen.Manprojiziert ihnauf eine geeignete Ebene undnotiert bei denentstehendenUberkreuzungen, welcheAbschnitteobenbzw. untenliegen. Beachtetman1.5. REGULAREKNOTENDIAGRAMME 7einpaarweitereRegeln, sokannmandenurspr unglichenKnoten(bisaufAquivalenz)eindeutigausdiesemzweidimensionalenBildzur uckgewinnen.DamitdieSachewirklicheineErleichterungdarstellt,mussmanklaren,wasAquivalenz (ambiente Isotopie bzw. kombinatorischeAquivalenz) aufNiveau dieser Bilder bedeutet. Dies wird vollstandig geklart in dem Satz vonReidemeister. Damithatmandasurspr unglichedreidimensionaleProblemaufeinzweidimensionalesreduziert.Definition1.5.1. Sei EeinefestegewahlteEbeneinR3undLeine(polygonale) Verschlingung(oder Knoten) inR3. Eine Parallelprojektion :L Eheitregular,fallsfolgendeBedingungenerf ulltsind:(1)Es gibt hochstens Doppelpunkte, d. h. maximal zwei Punkte werdenaufeinunddenselbenPunktinderEbeneabgebildet. InFormeln:F urjedenPunktx Egilt [1(x)[ 2.(2)Es gibtnur endlichvieleDoppelpunkte, d. h. es gibtnur endlichvielex1, . . . , xt Emit [1(xi)[ = 2.(3)Ein Eckpunkt wird niemals auf einen Doppelpunkt abgebildet, d. h.1(xi)enthaltkeinenEckpunkt(f uri = 1, . . . , t).DiePunktex1, . . . , xtheienauchKreuzungspunkte.Es folgt insbesondere, dass sichTeilst ucke von(L) nicht tangential,sondernnurtransversalschneiden.FolgendeBeispielesindalsobei einerregularenProjektionausgeschlos-sen:(derReihenachwegen(1),(3)bzw.(2)).DiefolgendeAussageistintuitivklar.Lemma1.5.2. Sei Leine(polygonale)VerschlingungimR3. DanngibteseineEbeneE R3undeineParalellprojektion : L E.In der Tat kann man fast jedeEbene nehmen. Da man zwei Verschlin-gungen auch als eine Verschlingung auassen kann, gibt es zu zwei Verschlin-gungenLundL

eine gemeinsame Ebene Emit regularenProjektionen: L Eund: L

E.Ebensoist intuitivklar,dass man sogar die EbeneEfest vorgebenkann(z. B. diexy-Ebene)undnacheinereventuellenaquivalentenUberf uhrungvonLinL

eineregulareProjektion: L

Ebekommt.Bei einerregularenProjektion: L EverliertmanInformationen uber dieVerschlingungL. MankannaberLbisaufAquivalenzaus(L)8 1. KNOTENUNDVERSCHLINGUNGENrekonstruieren, wenn man in dem Bild (L) kennzeichnet, welche der Zweigesich uberkreuzen bzw. unterkreuzen. Dann heit ein derart gekennzeichnetesBild ein(regulares) Verschlingunsdiagrammoder, falls Lein Knoten ist, ein(regulares)Knotendiagramm. EswirdmitD(L)bezeichnet.EstauchtnundieFrageauf, wiesichdie(kombinatorische)Aquivalenzvon Knoten (Verschlingungen) auf die Diagramme ubertragt. Hierzu benotigenwirzunachsteinenAquivalenzbegrif ursolcheDiagramme.Definition1.5.3(EbeneIsotopie). Zwei Knotendiagramm, diedurcheine endlicheFolge vonDeformationen des folgenden Typs(bzw.deren Um-kehrungen)ineinander ubergehenheien ebenisotop. Die Deformationen selbst heien ebeneIsotopien. HaugsprichtmanauchvonDeformationendesTyps0.Hier und im folgenden bedeuten obige kreisformige Diagramme, dass mansich(sozusagenmitderLupe)einenAusschnittdesKnotensanschaut, denTeil innerhalb des Kreises. Die angedeuteten Deformationen sind so, dass derKnotenauerhalbdesKreisesvolligunverandertbleibt.1.5.4. FolgendeskannwahrendderDurchf uhrungeinerebenenIsotopienicht auftreten:(1)EinneuerKreuzungspunktentstehtodereinalterverschwindet.(2)Die Projektion zweierZweige der Verschlingungschneidensichtan-gential.(3)Punkte aus mehr als zwei Zweigen werden auf einen einzigen PunktinderProjektionbewegt.AlldieskannjedochbeidenfolgendenBewegungeneintreten(zuminde-stenszwischenzeitlich). Manbeachte, dassdieseBewegungenalledurchkombinatorischeAquivalenzenimRaumzustandekommenkonnen.Definition 1.5.5 (Reidemeister-Bewegungen).Die Reidemeister-Bewegungen1, 2, und 3(und deren Umkehrungen) sind der Reihe nach die folgendenBewegungenaufKnotendiagrammen:1.5. REGULAREKNOTENDIAGRAMME 9Ubung1.5.6. Aus denbeschriebenenReidemeister-Bewegungen(undden ebenen Isotopien) erhalt man weitere Bewegungen, die den Reidemeister-Bewegungen sehr ahnlich sind, und die meist auch mit dazugerechnet werden;wirgebennureinigeBeispiele:10 1. KNOTENUNDVERSCHLINGUNGENSatz1.5.7(Reidemeister). Zwei Verschlingunsdiagrammestellenaqui-valenteVerschlingungendargenaudann,wennsiesichdurcheineendlicheAnzahl vonReidemeisterbewegungenvomTyp1, 2und3undebenenIsotopienineinanderuberfuhrenlassen.Beweis. Jede planare Isotopie oder Reidemeister-Bewegung lasst sich of-fenbar durch eine raumliche ambiente Isotopie (bzw. kombinatorischeAquivalenz)realisieren.Schwierigerist es, die Umkehrungzu zeigen. Wir beschrankenuns in derArgumentationauf Knoten. Sei KeinKnoten. Zunachst zeigenwir, dasseineAnderungder Projektionsrichtungeine Deformation bewirkt, die durcheineendlicheFolgevonBewegungendesTyps0, 1, 2, 3gegebenist.Bewegt man eine Projektionsebene Estetig in eine andere E

(beide regular,d. h. die zugehorigen Projektionen des Knoten Ksind regular), so wird mani.a.unterwegsauf(endlichviele)nicht-regulareEbenenstoen.SolangedieEbenenregularbleiben, andertsichdasDiagrammnurumDeformationenvomTyp0. BeimUberschreiteneiner nicht-regularenEbene, wobei einederBedingungen(1), (2)bzw. (3)inDenition1.5.1verletztist(siehediederDenitionanschlieendeBilder; manstellesichvor, wiemansichdernicht-regularenSituationnahert undsiedann uberschreitet), wirdgeradeeine Reidemeister-Bewegung vom Typ 3 (bei (1)) oder 2(bei (2) oder (3))durchgef uhrt.Wirnehmennunan, dassderKnotenKdurcheineelementareBewe-gung, diedieStrecke[AB] ersetztdurchdieStreckenz uge[AC] [CB], indenKnotenK

uberf uhrtwird.Esgen ugtzuzeigen, dasssichD(K)durcheineendlicheFolgevonBewegungendesTyps0,1,2und3inD(K

) uberf uhrenlasst. NachdemvorherigenBeweisteil konnenwir annehmen,dass die(regularen) KnotendiagrammeD(K) undD(K

) beideindersel-ben Ebene Eliegen. Sei die entsprechende Parallelprojektion. Das Dreieck[ACB]imRaumwirdabgebildetaufdasDreieck = [acb]inE.Mankann(nachevtl. BewegungvomTyp1)annehmen, dassdiePro-jektionen der Strecken [AD] und [BE] mit dem Inneren des Dreiecks keinePunktegemeinsamhaben.1.5. REGULAREKNOTENDIAGRAMME 11(K) ist ein (nichtnotwendigeinfacher)Polygonzugin E. GewisseTeilevon (K) liegen in D(K) ganz oberhalb bzw. ganz unterhalbvon . (Beweis:Esist1()einunendlichesPrismaPimRaum, dasdurchdasDreieck[ACB] ineineobereHalfteP+undeineuntereHalftePgeteiltwird. EinKomponente von Kinnerhalb von Pverlauft entweder ganz in P+oder ganzinP,daKmitdemInnerendesDreiecks[ACB]keinePunktegemeinsamhat,nachderDenitioneinerelementarenDeformation.)Man kann also die Teile der Polygonz uge, die schneiden, in obere (gr un)unduntere(rot)einteilen.WirzerlegendasDreieckinkleinereDreiecke,dievonfolgendenTypenseinkonnen:TypI: IndemDreieckliegteinKreuzungspunkt, unddiezwei sichkreu-zendenStreckenschneidennurzweiKantendesDreiecks.Etwa:TypII: In dem Dreieck liegt ein Eckpunkt des Polygonzuges; in diesem kom-menzweiStreckenzusammen.Etwa:TypIII: In dem Dreieckliegt nur ein Teil einer Kante, ohne Eckpunkt,ohneUberkreuzung.Etwa:TypIV: IndemDreieckliegtkeinTeil(derProjektion)desKnotensK.Eine solcheZerlegungist einfach zu konstruieren:ZunachstkonstruiertmankleineDreieckedes Typs I undII ineiner Umgebungeines Kreuzungs-punktesbzw.Eckpunktes.Dann zerlegtmandenRestinDreieckedesTypsIIIundIV.Nun zerlegtman die elementareBewegung[AB] [AC] [CB] in meh-rereSchritte, wobei manbei jedemSchritteineelementareBewegung ubereinesderkonstruiertenDreieckemacht. Mansieht, dassabhangigvondemTyp des Dreiecks dabei Bewegungen des folgenden Typs angewendet werden:12 1. KNOTENUNDVERSCHLINGUNGENAlso wird die urspr ungliche elementare Deformation so in einzelne elementa-Typ BewegungI 3II 0oder2III 0oder2IV 0reDeformationenzerlegt,dieaufdemDiagrammjeweilseineReidemeister-Bewegung vom Typ 1, 2 oder 1, oder eine planare Isotopie bewirken. Definition 1.5.8.Zwei Verschlingungsdiagramme (bzw. Knotendiagram-me) D(L) und D(L

) heien aquivalent, wenn es eine endliche Folge von Rei-demeisterbewegungenvomTyp1, 2und3undebenenIsotopiengibt,dieD(L)inD(L

) uberf uhren.Folgerung1.5.9. ZweiKnotenKundK

sindaquivalentgenaudann,wennihreKnotendiagrammeD(K)undD(K

)aquivalentsind.Bemerkung1.5.10. (1) DurchdenSatz vonReidemeister bekommtmaneinenelementarenZugangzur Knotentheorie. Mankonntesogaran-nehmen, dasseseinenendlichenAlgorithmusgibt,derentscheidet, obzweivorgegebeneKnotendiagrammeaquivalentsind. Bisheristeinsolchernichtbekannt. (EinEntknotungsalgorithmus vonHakenvomEnde der 1950erJahre ist zukompliziert f ur einComputerprogramm.) EinProblem, washierbei auftritt, ist, dassman beim EntknotenmanchmalzwischendurchdieUberkreuzungszahlenvergroern muss (der Knoten wird also zwischendurchkomplizierter statt einfacher) und keine a priori Schranke f ur eine solcheUberkreuzungszahlbekanntist.(2) Der Satz vonReidemeister wirduns auerordentlichhilfreichseinbeimDenierenvonKnoteninvarianten. DazumussmaneineFunktionaufdenKnotendiagrammendenieren, vonder mandannzuverizierenhat,dass sie unter denReidemeister-Bewegungen(unddenebenenIsotopien)invariant ist. Da es sichbei den Reidemeister-Bewegungenum sehrspezielleDeformationenvongeringerAnzahlhandelt,istdieshaugnichtschwierig.(3) F ur orientierte Knotenoder Verschlingungenfordert manbei denebenenIsotopienundbeiden Reidemeister-Bewegungen,dasssiedieOrien-tierungeninnaheliegenderWeisebewahren.DerSatzvonReidemeistergiltf urorientierteVerschlingungendementsprechend.1.5.11. Die Angabe der Reidemeister-Bewegungeninder polygonalenForm wie oben ist beweistechnischangenehm, ansonsten in der Praxis etwasschwerfallig. DieBewegungenvomTyp1, 2, 3notierenwir auchwiefolgt.(Entsprechendesgiltf urdieanalogenBewegungen,vgl.Ubung1.5.6.)1.5. REGULAREKNOTENDIAGRAMME 13Ubung 1.5.12.Man entknote den folgenden Knoten mit Hilfe der Reidemeister-Bewegungen:Ubung1.5.13. Manzeige, dass die folgendenKnotenambient isotopsind:14 1. KNOTENUNDVERSCHLINGUNGEN1.6. EinigeklassischeKnoteninvarianten1.6.1. DieminimaleKreuzungszahl. Sei c(D) die Kreuzungszahl ei-nesregularenKnotendiagrammsD.F ureinenKnotenKdenierec(K) = minDc(D),wobei Dalle regularenDiagramme vonallenzuKaquivalentenKnotendurchlauft. JedeeinzelneZahlc(D)istkeineInvariantedesKnotensK,daz.B.folgendeDiagrammedesUnknotensKreuzungszahl0bzw.1liefern.Ubung1.6.1. Manzeige,dassderUnknotendereinzigeKnotenist, dereinregularesDiagramm Dbesitztmitc(D) = 0,1oder2.Proposition1.6.2. DieminimaleKreuzungszahl c(K)isteineKnote-ninvariante.Beweis. Sei KeinKnotenundD0einregularesKnotendiagrammvonK,f urdasdieKreuzungszahlminimalist,alsoc(K) = c(D0).SeiK

einzuKaquivalenterKnotenundD

0einregularesKnotendiagrammvonK

, f urdas die Kreuzungszahl minimal ist, also c(K

) = c(D

0). Nun ist D

0 auch eineregularesKnotendiagrammvonK,alsogiltc(K) = c(D0) c(D

0) = c(K

),undanalogerhaltmanc(K

) c(K).Esfolgtc(K) = c(K

). 1.6.2. Die Entknotungszahl. Sei KeinKnotenundD(K) einzu-gehoriges Knotendiagramm. EinKreuzungswechsel inD(K) ist eineloka-leAnderungeinerUberkreuzungzueinerUnterkreuzungbzw. umgekehrt.(DiesistkeineambienteIsotopie!)Ubung1.6.3. Manzeige, dass mandenKleeblattknotendurcheinenKreuzungswechsel indenUnknoten uberf uhrenkann.DerfolgendeSatzwirauchinspaterenKapitelnsehrwichtigsein.1.6. EINIGEKLASSISCHEKNOTENINVARIANTEN 15Satz1.6.4. EineVerschlingungLmit r Komponentenkanndurchei-negeeigneteFolgevonKreuzungswechselnzurtrivialenVerschlingungmitrKomponententransformiertwerden.Beweis. Sei zunachst r = 1, also L ein Knoten. Man wahle eine regulareProjektion: L E. WirnehmenohneEinschrankungan, dassEdiexy-Ebeneist. Esist (L)eine(i. a. nicht-einfache) geschlossene KurveinE. Sei f : S1EeinestetigeAbbildung, die(L)parametrisiert, undzwarso, dassf(0)keinDoppelpunktistunddessenx-WertaufLmaximalist(deformiereLevtl.minimal.)DeniereF: [0, 1] R3=ERdurchF(t) = (f(e2it), t). Verbindet man F(0) und F(1) mit einer Geraden, so lie-fert F([0, 1]) zusammen mit dieser Verbindung oenbar den Unknoten, denneine(regulare) Projektionz. B. auf diexz-Ebeneist uberschneidungsfrei.Oensichtlichist,dassmandiesenKnotendurchUberkreuzungswechsel er-haltenkann.Bei einerVerschlingungmitmehrerenKomponentenargumentiertmanf urjedeKomponentewievorher, wobei mandaf ursorgt, dassjedeKopiedesUnknotensaufeineranderenHoheliegt. Definition1.6.5. Sei DeinDiagrammdesKnotensK. Mitu(K)be-zeichnenwirdieminimaleAnzahl notwendigerKreuzungswechsel, dieDineinDiagrammdesUnknotensabandern.DieZahlu(K) = minDu(D),wobei Dalle regularenDiagramme vonallenzuKaquivalentenKnotendurchlauft,heitEntknotungszahl desKnotensK.Proposition1.6.6. DieEntknotungszahl u(K)ist eineKnoteninvari-ante.Beweis.Ubungsaufgabe. 16 1. KNOTENUNDVERSCHLINGUNGENDerBeweis, dassdieminimaleKreuzungszahl unddieEntknotungszahlKnoteninvariantensind, ist sehr einfach. Daf ursinddieseWertenur sehrschwerzuberechnen. DiesistandersbeiderInvarianteimnachstenUnter-abschnitt.1.6.3. DieWindungszahl. Wir betrachten hier Diagramme orientier-terVerschlingungen.Dann gibt es zwei Arten von Kreuzungen, positiveundnegative,wieinAbbildung1.1beschrieben.L+: L:Abbildung1.1. PositiveundnegativeKreuzungL+undLIstc eine Kreuzung, so erhalt sie das Vorzeichensgn(c) = 1 im Falle vonL+undsgn(c) = 1imFallevonL.Definition1.6.7(Windungszahl). Sei L eine orientierte Verschlingung,die aus genau zweiKomponenten, also aus zwei orientiertenKnoten K1undK2besteht. Sei Deinzugehoriges Verschlingungsdiagramm. Dannist dieWindungszahl w(L)=w(K1, K2)deniertals12

ni=1i,wobei ialleKreu-zungeninDdurchlauft,andenenbeideKomponentenK1undK2beteiligtsind,undidasVorzeichenderi-tenKreuzungist.Achtung:Die Denitionist(zunachst)abhangigvomDiagrammD! Dasdiesaberunerheblichist,fogtausdernachstenProposition.Ubung1.6.8. Man argumentiere,dass die Windungszahlw(K1, K2) im-mereineganzeZahlist.(Stichwort:JordanscherKurvensatz.)Ubung1.6.9. F ur einenorientiertenKnoten Ksei KderKnoten, derdurchdie umgekehrte Orientierunghervorgeht. Manzeigew(K1, K2) =w(K1, K2).Proposition1.6.10. DieWindungszahl w(K1, K2) ist eineVerschlin-gungsinvariante (Lorientierte Verschlingung mit zwei KomponentenK1,K2).Beweis. ImGegensatzzuderminimalenKreuzungszahl undderEnt-knotungszahl ist hier wirklich etwas zu zeigen. Der Beweis demonstriert zumerstenmaldieN utzlichkeitdesSatzesvonReidemeister.Dazu betrachten wir eine (orientierte) Verschlingung L und ein zugehorigesVerschlingungsdiagramm D. Wir m ussen zeigen, dass die Windungszahl gleich1.6. EINIGEKLASSISCHEKNOTENINVARIANTEN 17bleibt, wennmanDdurcheineReidemeister-Beweugung 1, 2oder 3abandert. (F urebeneIsotopien0istdiessowiesoklar.)WirnehmenunsdiedreiTypenderReihenachvor.Eine BewegungvomTyp1erzeugt einenweiterenKreuzungspunkt,aber nur innerhalb einerder beiden Komponenten K1 oder K2. Daher bleibtdieWindungszahlunverandert.EineBewegungvomTyp2verandertdieAnzahl derKreuzungenum2. DieskannnureineKomponentebetreen(wobei danndieWindungs-zahl sichnichtandert)oderbeideKomponenten. ImletztenFall hatmanesmitHinzuf ugung(oderWegnehmen)zweierUberkreuzungenoderzweierUnterkreuzungenzutun, allerdingsanderthabenbeideKreuzungenoen-barumgekehrteVorzeichen. DaherandertsichdieWindungszahlinsgesamtnicht.Betrachtenwir nuneineBewegungvomTyp3. Hier tretendrei ver-schiedeneZweigederVerschlingungauf.c1c3c2c3c1c2UnabhangigvonderOrientierungdieserZweigegiltoenbarf urdieVorzei-chenderKreuzungspunktesgn(c1) = sgn(c2

), sgn(c2) = sgn(c1

), sgn(c3) = sgn(c3

).Gehoren alle drei Zweige zur selben Komponente, so bleibt die Windungszahlunverandert. Es gelte also, dass beide Komponenteninvolviert sind. HierkannmandreiFalleunterscheiden:a)DerobersteZweiggehortzureinen, unddiebeidendadrunterliegen-denZweige gehorenzuder anderenKomponente. Manmuss zeigen, dasssgn(c1) +sgn(c2) = sgn(c1

) +sgn(c2

) gilt. Diesfolgt aber ausobigenIden-titaten.b)DerobersteundderuntersteZweiggehorenzusammen. DannfolgtdieBehauptungaussgn(c1) + sgn(c3) = sgn(c2

) + sgn(c3

).c) Der oberste und der mittlere Zweig gehoren zusammen. Dann folgt dieBehauptungaussgn(c2) + sgn(c3) = sgn(c1

) + sgn(c3

). Ubung1.6.11. MandenieredieWindungszahl analogf ureinenorien-tiertenKnoten,d.h. f ureineorientierteVerschlingungmitnureinerKom-ponenten.IstdieseineKnoteninvariante?(Wogehtesschief?)KAPITEL2DasJones-Polynom2.1. DasKlammer-PolynomImfolgendenwerdenwirKnotenundVerschlingungenmeistmitihrenDiagrammenidentizieren. Auchwennwir nur KnotenundVerschlin-gungschreiben, meinenwirmeistgenauereinKnoten-bzw.einVerschlin-gungsdiagramm.ManmochteeinemVerschlingungsdiagrammeinPolynomindenVaria-blena,b,czuordnen,sodassfolgendesgilt:(2.1.1) ) = a ) + b )(2.1.2) L . _) = cL)(2.1.3) _) = 1(_derUnknoten, .diedisjunkteVereinigung.)DiesisteinAnsatz,beidema, bundczunachstnochUnbestimmtesind. Wirwollenuntersuchen,ob L) invariant unter den Reidemeister-Bewegungenist. Wir werden sehen,dassdazugewisseAbhangigkeitenzwischena,bundcgeltenm ussen.InderRelation(2.1.1)wirdeinKreuzungspunktineinerVerschlingungL auf zweiArten aufgelost(oder: entwirrt),was zu VerschlingungenLAundLBf uhrt:L : LA: LB:Abbildung2.1. ZweiAuosungeneinesKreuzungspunktes1920 2. DASJONES-POLYNOMMan beachte, dass sich die Diagramme f ur LAund LBeindeutig aus demDiagrammf urLergeben,unabhangigdavon,wiemandasDiagrammf urLdreht. EsbendensichnamlichdieBogeninLAbzw. LBindenRegionenAbzw.BindemfolgendenDiagramm:AABBWennmansichauf demoberenZweigbewegt, dannbendet sichdieRegionAauf der linkenSeitebevor manauf dieKreuzungtrit; danachbendetsiesichauf derrechtenSeite(umgekehrt f urRegionB). DiesistunabhangigvonderDurchlaufrichtung(d.h.vonderOrientierung).Wir untersuchennun, welcheAbhangigkeitenzwischena, bundcgel-tenm ussen,damitderAusdruck L)invariantistunterallenReidemeister-Bewegungen1, 2und3. Wir beginnenmit 2. Benutzt man(2.1.1)mehrfachund(2.1.2)einmal,sobekommtman ) = a ) + b )= a[a ) + b )] + b[a ) + b )]= (a2+ b2+ abc) ) + ab )Falls nun ab = 1, d. h. b = a1, und a2+b2+abc = 0, d. h. c = a2a2,soware L)invariantunterderBewegung2.Wirsetzenalsob= a1undc = a2a2. Damit ist also der Ausdruck L) invariant unter der Bewegung2.DieRelationen(2.1.1)und(2.1.2)werdenzu(2.1.4) ) = a ) + a1 )2.1. DASKLAMMER-POLYNOM 21(2.1.5) L . _) = (a2+ a2)L)Wirfahrenfortmit3.WeitererSpielraumbleibtnunnichtmehr. We-gen(2.1.4)erhaltman ) = a ) + a1 ), (2.1.6) ) = a ) + a1 ). (2.1.7)Oenbar gilt ) = ), da beide Diagramme eben isotop sind.Wendetmanzweimal die(bereitsbewiesene)2-Invarianzan, sobekommtman ) = ) = ).VergleichtmannundierechteSeitederGleichungen(2.1.6)und(2.1.7), sosiehtman, dasssieTermf urTermgleichsind. Alsogiltdiesauchf urdielinkenSeiten,unddiesbeweistdie3-Invarianz.Untersuchen wir nun, ob auch die 1-Invarianz gilt. Hier haben wir leiderPech!Dennesgilteinerseits(2.1.8) ) = a ) + a1 ) = a3 ),undeineahnlicheRechnungliefertandererseits(2.1.9) ) = a3 ).Zum Beispiel ist also ) = a3und ) = a3, obwohlbeideDiagrammedenUnknotenreprasentieren. Alsoist L)nurinvariant22 2. DASJONES-POLYNOMunter 1, wenn a3= 1 gilt. (Allerdings ist dann L) kein Polynom mehr inderVariablena.)Dennoch wird das Klammerpolynom die Hauptrolle spielenbei der Kon-struktiondesJones-Polynoms, indemdurcheinekleineManipulationdieseObstruktionbeseitigtwird.ZunachstBeispielef urdasKlammerpolynom:Beispiel2.1.1(Hopf-Verschlingung). ) = a ) + a1 )= a(a3) + a1(a3) = a4a4.Analogerhaltmanauch ) = a4a4.Ubung2.1.2. Manzeige ) = a7a3a5und ) = a7a3a5.Ubung 2.1.3.Man berechne das Klammer-Polynom des Achter-Knotens.Ubung2.1.4. IstLdietrivialeVerschlingungausnKomponenten, soist L) = cn1= (a2a2)n1.Wieschonangemerkt, kannmaneinenKreuzungspunktaufzwei Artenauosen, indemmanLinLAoder inLB uberf uhrt (vgl. Abbildung2.1).Insgesamtf uhrtdieszu2nverschiedenenAuosungendesVerschlingungs-diagramms, wobei n die Anzahl der Kreuzungspunkte bezeichnet. Dies f uhrtzudemAuosungsbaumdesDiagramms. EinBeispiel istinAbbildung2.2gezeigt.Legt man in einem Diagramm f ur jeden Kreuzungspunkt eine der beidenAuosungsmoglichkeitenAoder Bfest, sonennt mandieseinenZustanddes Diagramms. Jeder Kreuzungspunkterhalt den Zustand A oder B. JedesDiagramm mit n Kreuzungspunktenhat 2nmogliche Zustande. Diese korre-spondieren mit den Ergebnissen in der untersten Schicht im Auosungsbaum.2.1. DASKLAMMER-POLYNOM 23AB BABABBABBAAABBBBBAABAABBABBAABBAAAAAAbbildung2.2. AuosungsbaumdesKleeblattknotensSatz2.1.5.Sei L eine Verschlingung. Es gibt ein eindeutiges bestimmtesPolynom L),dasdieRelationen(2.1.1),(2.1.2)und(2.1.3)erfullt.Beweis. ZunachstbeweisenwirdieEindeutigkeit.F urjedenZustandsdes Diagramms von L sei (s) die Anzahl der Kreuzungspunkteim ZustandA, sei (s) die Anzahl der Kreuzungspunkteim Zustand B, und sei (s) dieAnzahl der geschlossenenKreise, die nach Auosen der KreuzungspunkteinLA bzw. LB (je nach Zustand des jeweiligen Punktes) entstehen. BetrachtungdesAuosungsbaumsf uhrtsofortzuderFormel(2.1.10) L) =

sa(s)b(s)c(s)1=

sa(s)(s)(a2a2)(s)1,wobei die Summe uber alle Zustande von L lauft. (F ur jeden Zustand s verfol-ge man die Auosungen entlang des entprechenden Weges im AuosungsbaumundverwendedieRelationen(2.1.1), (2.1.2)und(2.1.3)undUbung2.1.4.)Dieszeigt, dass L)eineindeutiges(Laurent-)PolynominderVariablena(unda1)ist.24 2. DASJONES-POLYNOMEs folgt mit Hilfe dieser Gleichung auchdie Existenz . Deniert mannamlich L)durchdierechteSeitederGleichung(2.1.10), soerf ulltdannL)dieRelationen(2.1.1), (2.1.3)und(2.1.3): (2.1.2)und(2.1.3)sindof-fensichtlich. Relation(2.1.1), diedeni-tenKreuzungspunktbetrit, ergibtsichdurchAufspaltenderSummeinzwei Summen, wobei jeweils uberdieZustande des Diagramms summiert wird, wo der Zustand der i-ten KreuzungAbzw.Bist. 2.2. DasKauman-PolynomSei LeinorientiertesVerschlingungsdiagramm. WirbetrachtenpositiveundnegativeKreuzungen:L+: L: L0:Abbildung2.3. Positive und negative Kreuzung L+und LundderenAuosungDefinition2.2.1. DieVerwringung(oderWindungszahl, engl. writhe)w(L)vonListdeniertdurchw(L) =n

i=1i,wobei ijedeKreuzungendurchlauftundi=1oderi= 1, jenachdem,obdieKreuzungpositivodernegativist.ManbeachtedenUnterschiedzuderDenitionin1.6.7.Beispiel2.2.2.w(1) = 1, w(11) = 2, w(111) = 3, w(111) = 3.Proposition2.2.3. (1)KehrtmaninderorientiertenVerschlingungLinjederKomponentendieOrientierungum,soandertsichdieVerwringungw(L)nicht.(2) Die Verwringung w(L) ist invariant unter den Reidemeister-Bewegungen2und3.2.2. DASKAUFFMAN-POLYNOM 25Beweis. (1)FolgtunmittelbarausderBetrachtungderBildervonL+undLinAbbildung2.3.(2) Die Argumente sind ahnlich denen im Beweis von Proposition 1.6.10.AusarbeitenderDetailsalsUbung. Definition 2.2.4(Kauman-Polynom).Sei L ein orientiertes Verschlin-gungsdiagrammund [L[ daszugehorigenicht-orientierteDiagramm. DannseiX(L) = (a)3w(L)[L[)dasKauman-PolynomvonL.(KaumansTrick)Satz 2.2.5. Das PolynomX(L) ist eine Invariante orientierter Ver-schlingungen.Beweis. Da w(L) und [L[) beide invariant gegen uberden Bewegungen2und 3sind, gilt dies auch f ur das Produkt X(L) = (a)w(L)[L[). AlsobleibtdieInvarianzunter1zuzeigen. Beide, w(L)und [L[), andernihrVorzeichenunter1,aberdiesehebensichimProduktweg.Konkret: ) = a3 )undw( ) = w( ) 1,alsofolgtX( ) = (a3)(a3)X( ) = X( ).

Beispiel2.2.6(Rechts-undlinkshandigerKleeblatt-Knoten). EsgiltX( ) = a16+ a12+ a4,X( ) = a16+ a12+ a4.WirerhaltenalswichtigeFolgerung:Satz2.2.7. (1)DieKleeblatt-Knotenlassensichnichtentknoten.(2)Links-undrechtshandigerKleeblatt-Knotensindverschieden.Man beachte, dass wir jetzt zum ersten mal einen mathematischen Beweisf urdieanschaulichoensichtlicheAussage(1)haben.26 2. DASJONES-POLYNOMUbung2.2.8. Esgiltw(L+) = w(L0) + 1,w(L) = w(L0) 1und(2.2.1) a(a)3X(L+) a1(a)3X(L) = (a2a2)X(L0).Ubung 2.2.9.Man berechne das Kauman-Polynom vom Achter-Knoten.2.3. DasJones-PolynomDefinition 2.3.1 (Jones-Polynom).Sei L ein orientiertes Verschlingungs-diagramm. Substituiert mana =q1/4imKauman-PolynomX(L), soerhaltmandasJones-PolynomV (L). Genaugenommenistdieseinsoge-nanntesLaurent-Polynom, V (L) Z[q1/4, q1/4] indenVariablenq1/4(undq1/4).(Vgl. aber2.3.16.)Manbeachte, dassdurchobigeKonstruktiondieExistenz des Jones-Polynoms V (L) f ur jede orientierte Verschlingung L nach-gewiesenist.Satz 2.3.2. Das Jones-PolynomV (L) ist eine InvarianteorientierterVerschlingungenunderfulltdiefolgendenRelationen:(2.3.1) q1V (L+) qV (L) = (q1/2q1/2)V (L0)(2.3.2) V (L . _) = (q1/2+ q1/2)V (L)(2.3.3) V (_) = 1Beweis. DassV (L)eineInvarianteist, ergibtsichausSatz2.2.5. DieRelationenergebensichdirektmit(2.2.1). Die Relation (2.3.1) nennt man auch Entwirrungsrelation(engl. skein re-lation). Allgemeiner werden Relationen so genannt, die eine ahnliche Strukurhaben,vgl.Abschnitt3.5.Ubung2.3.3. Manzeige, dass sichRelation(2.3.2) aus denRelatio-nen(2.3.1)und(2.3.3)ergibt.Ubung2.3.4. Manberechne das Jones-Polynomf ur die triviale Ver-schlingungbestehendausrUnknoten.Proposition2.3.5(Orientierungswechsel). Sei Kein orientierter Kno-tenund KmitumgekehrterOrientierung.DanngiltV (K) = V (K).Entsprechendes gilt fur Verschlingungen, wenn man die OrientierungenallerKomponentenumkehrt.Beweis. BeiUmkehrungderOrientierungandertsichdieVerwringungnicht, das Klammer-Polynomist unabhangig vonder Orientierung. Alsoandert sich das Kauman-Polynom und damit auch das Jones-Polynom nichtbeimOrientierungswechsel. 2.3. DASJONES-POLYNOM 27Satz2.3.6. DasJones-PolynomV (L)ist durchdieRelationen(2.3.1),(2.3.2)und(2.3.3)eindeutigbestimmt.Beweis. Esist zuzeigen,dassdasJones-Polynomeinerjedenorientier-tenVerschlingungLnurmitHilfederRelationen(2.3.1)(2.3.3) berechnetwerdenkann. DazuverwendenwirSatz1.6.4:Sei LeineVerschlingungbe-stehendausrKomponenten. SiewerdedurcheinDiagrammmitnKreu-zungspunktendargestellt. Nach1.6.4gibteseineFolgeL1, L2, . . . , LkvonVerschlingungenLi,wobeiL=L1undLkdietrivialeVerschlingungbeste-hendausrUnknotenist, undwobei jedesLi+1ausLidurcheinenKreu-zungswechsel entsteht.DanngilteinederbeidenRelationenq1V (Li) qV (Li+1) + (q1/2q1/2)V (L

i) = 0, (2.3.4)q1V (Li+1) qV (Li) + (q1/2q1/2)V (L

i) = 0, (2.3.5)wobei L

i nur n1 Kreuzungspunkte hat. Da der Wert von V (Lk) bekannt ist(vgl. 2.3.4), kannmansukzessiveV (Lk1), . . . , V (L1)=V (L), sofernmanweiss, wie mandieJones-Polynome der L

imit weniger als nKreuzungs-punktenberechnet. PerInduktionkonnenwirdiesannehmen, undesfolgtdieBehauptung. Beispiel2.3.7(Kleeblatt-Knoten). Wir wendenoben beschriebeneMe-thodean:Relation(2.3.1)liefertq1V ( ) qV ( ) = (q1/2q1/2)V ( )DerlinkeKnotenistderUnknoten, liefertalsodenWert1. DerrechteistdieHopf-Verschlingung.Relation(2.3.1)daf urangewendetergibtq1V ( ) qV ( ) = (q1/2q1/2)V ( )MitdenRelationen(2.3.2)und(2.3.3)ergibtsichV ( ) = q2(q1/2+ q1/2) q1(q1/2q1/2)= q1/2q5/2,28 2. DASJONES-POLYNOMundesfolgtV ( ) = q2+ q1(q1/2q1/2)(q1/2+ q5/2)= q1+ q3q4.Ubung 2.3.8.Man berechne das Jones-Polynom vom Achter-Knoten nurmitHilfederRelationen(2.3.1)(2.3.3).Ubung2.3.9. Manberechne das Jones-Polynoms folgendenKnotens,einmalmitHilfedesKlammer-Polynoms,einanderesmalmitHilfederRe-lationen(2.3.1)(2.3.3).Abbildung2.4. KnotenzumBerechnendesJones-PolynomsDer linkshandige Kleeblatt-Knoten ist das Spiegelbilddes rechtshandigenKleeblattknotens. Wir hatten schon gesehen, das sich die Kauman-PolynomedieserbeidenKnotendadurchunterscheiden, dassdieVariableadurcha1ersetztwird.Entsprechendesgiltf urdasJones-Polynom.Allgemein:Satz 2.3.10 (Spiegelbild). Sei Keinorientierter KnotenundKdasSpiegelbild.DanngiltV (K)(q) = V (K)(q1).InWorten:DasJones-PolynomdesSpiegelbildeserhaltman,indemmanqdurchq1ersetzt.Beweis. Wirschauenunsnochmal denBeweis vonSatz2.3.6anmitL=K. Da L=L1, L2, . . . , Lkdurchsukzessive Kreuzungswechsel denUnknotenLkliefern, giltdiesoenbarauchf urdieFolgederSpiegelbilderL= L1, L2, . . . , Lk.HierhabendieKreuzungenjeweilsumgekehrteVorzei-chen. Es folgt, dass wenn f ur Li eine der beiden Relationen (2.3.4) oder (2.3.5)gilt, f urLigeradedieandereRelationgilt, wobei dortallevorkommendenVerschlingungendurchihreSpiegelbilderzuersetzensind.Konkret:Giltet-wa(2.3.4),alsoq1V (Li) qV (Li+1) + (q1/2q1/2)V (L

i) = 0,2.3. DASJONES-POLYNOM 29sofolgtq1V (Li+1) qV (Li) + (q1/2q1/2)V ((L

i)) = 0.MultipliziertmandieletzteGleichungmit 1undersetztqdurchq1, sobekommtman(2.3.6) q1V (Li)(q1) qV (Li+1)(q1) + (q1/2q1/2)V ((L

i))(q1) = 0.Man f uhrt nun wieder eine doppelte Induktion. Zunachst nimmt man induk-tivan, dieBehauptungsei f urKnotenmitwenigerUberkreuzungenschongezeigt, d. h. es gilt V ((L

i))(q) = V (L

i)(q1). Man sieht, dass man jetzt suk-zessive ausgehend vom Unknoten Lk= Lk sowohl Lk1, . . . , L1= K wie auchLk1, . . . , L1=Kberechnenkann. Ist V (Li+1)(q) =V (Li+1)(q1) schongezeigt, sofolgtaus(2.3.4), denInduktionsvoraussetzungenundschlielichaus(2.3.6)V (Li) = q_qV (Li+1) (q1/2q1/2)V (L

i)_= q_qV (Li+1)(q1) (q1/2q1/2)V ((L

i))(q1)_= V (Li)(q1),unddiesbeendetdenBeweis. Definition2.3.11. EinKnotenheitamphichiral oderspiegelsymme-trisch,fallseraquivalentistzuseinemSpiegelbild.Ubung2.3.12. Manzeige, dassf urjedenspiegelsymmetrischenKnotenKdieVerwringungw(K) = 0ist.Ubung2.3.13. Manzeige, dassderAchter-Knotenspiegelsymmetrischist,dieKleeblatt-Knotenjedochnicht.Definition 2.3.14.Ein orientierter Knoten heit chiraloder umkehrbar,fallseraquivalentzusichmitumgekehrterOrientierungist.Ubung2.3.15. Manzeige,dassdieKleeblatt-Knotenumkehrbarsind.Satz 2.3.16.(1) Falls die Anzahl der Komponenten der orientierten Ver-schlingung L ungeradeist (alsowenn z. B.L einKnoten ist),soenthalt dasJones-PolynomnurTermederFormqk(mitk Z).(2)FallsdieAnzahl derKomponentenderorientiertenVerschlingungLgeradeist,soenthaltdasJones-PolynomnurTermederFormq(2k+1)/2(mitk Z).Beweis. DietrivialeVerschlingungbestehendausmKomponentenhatdasJones-Polynom(q1/2q1/2)m1= q(m1)/2(q11)m1,also gilt die Behauptung f ur die trivialen Verschlingungen. Das Jones-Polynomeiner beliebigen orientierten Verschlingung L kann sukzessive mit der Relati-on (2.3.1) aus der trivialen Verschlingung berechnet werden. Wir vergleichen30 2. DASJONES-POLYNOMdie vorkommenden Verschlingungen L+, Lund L0. Deren Anzahl von Kom-ponentenseim+,mbzw.m0.WirschauenunsdieParitaten(d.h.geradeoder ungerade) dieser Zahlenan. Oenbar gilt m+=m. Weiterhinistm+= m01, wie man den beiden Fallen dargestellt in folgender Abbildungentnimmt.Also haben m+und mgleiche Paritat, m+und m0unterschied-m+= m0 + 1 m+= m01Abbildung2.5. Esgiltm+= m0 1licheParitat. Darausergibtsich, dasswenndieAussagedesSatzesf urjezwei Terme in der Relation (2.3.1) richtig ist, dies auch f ur den dritten Termgilt.InduktivfolgtdamitdieAussage. 2.4. SummevonKnotenundVerschlingungenDefinition 2.4.1 (Summe).Die Komposition oder Summe K1#K2 zwei-er Knoten K1 und K2 wird wie in Abbildung 2.6 deniert. Handelt es sich umKKK K121 2Abbildung2.6. DieSummezweierKnotenorientierte Knoten, so werden die Knoten so verschmolzen, dass das Ergebniswieder orientiert ist. Analog wird die Summe L1#L2f ur Verschlingungen L1und L2 deniert. Hier wird eine Komponente von L1 mit einer KomponentenL2wieobenbeschriebenverschmolzen.Bemerkung 2.4.2.(1) Die Summe K1#K2 zweier Knoten ist unabhangigvonderStelle, anderdieKnotenverbundenwerden. F urVerschlingungenhangt dies vondengewahltenKomponentenab. Trotzdembenutzenwirauchf urVerschlingungendasSymbolL1#L2,mitdieserMehrdeutigleitimHinterkopf.(2)F urKnotenK1undK2istK1#K2aquivalentzuK2#K1. (Esgilteine ahnliche Aussage f ur die Assoziativitat. Es verhalt sichoenbar der2.4. SUMMEVONKNOTENUNDVERSCHLINGUNGEN 31Unknotenneutral bzgl. derSummenbildung, sodasswireinekommutativeHalbgruppemitneutralemElementbekommen.)Beweis. Anschaulich: HatmanK1undK2miteinanderverschmolzen,sodasssieK1#K2bilden,K1links,K2rechts, solasstmandurchambientisotope Abanderungen K2 sehr klein werden. Die Schn ure des Knoten K2werdensozusagenzusammengezogen. DannlasstmandiesenkleinenKno-ten entlang seinereigenen Schnurentlanggleiten,dann an der SchnurdesanderenKnoten. (Dabei wurdeK2sokleingemacht, dassernichtmitanderenSchn ureninBer uhrungkommt.)IstdanneinePositionerreicht,dass der kleine Knoten links und der groe rechts liegt, so lockertman dieSchn uredeskleinenKnotenwiederundhatalsErgebnisK2#K1,alsofolgtK1#K2 K2#K1.StopptmananeinerbeliebigenanderenStelle, sozeigtdasselbeArgument,dassdiegenauePositiondesVerschmelzenskeineRollespielt. Bemerkung2.4.3. Mandeniert Primknoten analogzuPrimzahlen:EinKnotenKheit prim, fallsausK K1#K2folgt, dassK1oderK2derUnknotenist.EinSatzvonH.Schubert(1949)besagt,dassjederKno-teneineeindeutigeZerlegunginPrimknotenhat.DiesisteinAnalogondesHauptsatzesderArithmetik.Satz2.4.4.Seien L1und L2zwei orientierte Verschlingungen. Dann giltV (L1#L2) = V (L1)V (L2)undV (L1 . L2) = (q1/2+ q1/2)V (L1)V (L2).Beweis. DieKreuzungspunkte vonL1#L2bzw. vonL1 . L2ergebensich als Vereinigungder Kreuzungspunktevon L1und der KreuzungspunktevonL2. EinemPaar(s1, s2)vonZustandensivonLikannmanZustandes#vonL1#L2bzw. s

vonL1 . L2zuordnen. Zur Abk urzungschreibenwir1=(s1)(=zumZustands1desDiagrammszuL1dieAnzahl derKreuzungspunkteimZustandA),#= (s#),etc.Oenbargilt#=

= 1 + 2, #=

= 1 + 2,und#= 1 + 2 1,

= 1 + 2.Esfolgtdannf urdieKlammerpolynomeL1#L2) =

s#a#b#c#1=

s1, s2a1+2b1+2c1+22=_

s1a1b1c11__

s2a2b2c21_= L1)L2).AhnlichergibtsichL1 . L2) = c

s1, s2a1+2b1+2c1+22= cL1)L2).32 2. DASJONES-POLYNOMSchlielichgiltf urdieVerwringungenoenbarw(L1#L2) = w(L1) + w(L2) = w(L1. L2).Manerhaltf urdieKauman-PolynomeX(L1#L2) = X(L1)X(L2)undX(L1 . L2) = cX(L1)X(L2).NachSubstitutiona=q1/4folgtentsprechendes f urdieJones-Polynome.

Ubung2.4.5. Man beweise,dass die folgendenVerschlingungen(bei ge-eigneterOrientierung)dasselbeJones-Polynomhaben. Manzeige, dassdiebeidenVerschlingungennichtambientisotopsind.Abbildung 2.7. Unterschiedliche Verschlingungen mit sel-bemJones-PolynomBemerkung 2.4.6.(1) VorstehendeUbung zeigt, dass das Jones-Polynomkeine vollstandige Verschlingungsinvariante ist. Dies gilt auch, wenn man sichaufKnotenbeschrankt:(2) Mankannzeigen, dass die beidenKnoteninAbbildung2.8nichtambientisotopsind,abergleichesJones-Polynomhaben.Ubung2.4.7.Sei L eine orientierte Verschlingung bestehend aus r Kom-ponenten.ManzeigeV (L)(1) = (2)r1.Ubung2.4.8.Man zeige, dass das Jones-Polynom einer orientierten Ver-schlingungniemalsdasNullpolynomseinkann.Ubung2.4.9.Sei L = (K1, K2) eine orientierte Verschlingung bestehendauszweiKomponentenK1undK2.Manzeige:V (K1, K2) = q3w(K2,K1) V (K1, K2),wobei w(K2, K1) die in 1.6.7 denierteWindungszahlist und (K1, K2) dieorientierteVerschlingung,wobeidieOrientierungvonK2umgekehrtwurde.2.4. SUMMEVONKNOTENUNDVERSCHLINGUNGEN 33Abbildung2.8. UnterschiedlicheKnotenmitselbemJones-PolynomUbung 2.4.10.Man berechne das Jones-Polynom des Knotens ausUbung 2.3.9aufeinedritteWeise.KAPITEL3KnotenundZopfe3.1. DieArtinscheZopfgruppe3.1.1(Geometrische Denition). Sei n eine nat urliche Zahl. Im Raum R3betrachtemandiePunkteAi=(i, 0, 0)undBi=(i, 0, 1),f uri=1, . . . , n.EinPolygonzug, dereinAimiteinemBjverbindetheitaufsteigend, fallseine Bewegung auf dem Polygonzug bzgl. der z-Koordinate (streng) monotonwachsendverlauft.EinsolcherPolygonzugheitauchStrang.Einn-strangigerZopf bestehtausnsichnicht-schneidendenaufsteigen-den Polygonz ugen, die die Punkte A1, . . . , An mit den Punkten B1, . . . , Bn (inirgendeiner Ordnung) verbinden. Formaler: Es gibt eine Permutation Sn,so dass der i-te Polygonzug (Strang) den Punkt Aimit dem Punkt B(i)ver-bindet.Abbildung3.1. BeispielevonZopfen(Kombinatorische)Aquivalenz vonZopfenist ahnlichdeniert wiedie(kombinatorische)Aquivalenz polygonaler Knoten und Verschlingungen (vgl. 1.4.4),wobei man hier zusatzlich fordert, dass das beim Dreieck ACB jeder der Kan-tenz uge[AB]und[AC] [CB]auf-bzw.absteigendverlauft.Wie auch bei Knoten und Verschlingungen werden gleichwertig auch glat-teundzahmestetigeZopfemitdenjeweiligenAquivalenzbegrienbetrach-tet. Wirverzichtenauf diedetaillierteBeschreibung. EbenfallswerdenwirmeistZopfemitihrenAquivalenzklassenidentizieren.3536 3. KNOTENUNDZOPFE3.1.2 (Gruppenstruktur). Bemerkenswert ist, dass auf der Menge der(Aquivalenzklassender)n-strangigenZopfeinnat urlicherWeiseeineGrup-penstrukturvorhandenist. Verkn upftwerdenzwei ZopfedurchUbereinan-derlegen,wieimfolgendenBild:ababDiesergibtoenbareinewohldenierteundassoziativeVerkn upfung. Neu-tralesElementistgegebendurchdentrivialenZopf:3 4 n1 n 2 1......JederZopf kanninvertiert werden, indemmanihnanderEbenez=1/2spiegelt:Bezeichne die Gruppe der n-strangigen Zopfe mit Bn. Sie heit die Zopfgrup-peinn-Strangen.3.1. DIEARTINSCHEZOPFGRUPPE 373.1.3(ErzeugendeElemente). DeniereElementeb1, b2, . . . , bn1 Bnwiefolgt.3 4 n1 n 2 1............bbb12n1...DieElementeb1, . . . , bn1werdenauchalselementareZopfebezeichnet.3.1.4. Wiebei (regularen)Knotendiagrammenwollenwirnureinebe-stimmteSortevonProjektionenvonZopfenzulassen. DiesewirddurchdienachstehendeBedingungen(1)(3)erklart.Anschaulich ist klar, dass in derAquivalenzklasse eines n-strangigen Zop-fes ein Reprasentant liegt, der eine Projektion auf die xz-Ebene mit folgendenEigenschaftenhat:(1)DieProjektionenderStrangesindnichttangentialzueinander.(2)Kein Punkt der xz-Ebene ist Projektion dreier oder mehrerer Punk-tedesZopfes.(3)Die Kreuzungspunkte liegen alle auf unterschiedlichen Niveaus ( uberderxy-Ebene).Proposition3.1.5. DieElementeb1, . . . , bn1erzeugendieGruppeBn.NachDenitionheitdas, dassjedesElement b BnalseinWort indenBuchstabenb1, . . . , bn1sowiederenInversenb11, . . . , b1n1geschriebenwerdenkann. Z. B. wareb=b1b12b23b13b1einsolchesWort. Manbeachte,dasseinesolcheDarstellungnichteindeutigist,dennwegenb3b13= 1kannobigesWortreduziert werdenzub=b1b12b3b1. Wirwerdensehen, dassesnochweitereRelationenzwischenb1, . . . , bn1gibt.BeweisderProposition. Sei b Bn. Man wahlt einen Reprasentantenvonb,dessenProjektiondieEigenschaften(1)(3)hat.InsbesondereliegendieKreuzungspunkteaufverschiedenenNiveaus.Dann istdieAussageaberunmittelbarklar,wiefolgendesBeispielzeigt:38 3. KNOTENUNDZOPFEDieserZopfistoenbarvonderFormb1b13b2b1b13. 3.1.6(DieArtin-Relationen). 1. TrivialeRelationen. bib1i=1=b1ibi(i=1, . . . , n 1)DieseRelationengelteninjeder Gruppeundsinddaherkeine besondere Eigenschaft der Zopfgruppe. Geometrisch hat man folgendesBild:Manbeachte die formaleAhnlichkeit zur Reidemeister-Bewegung 2. ImUbergangverletztobigeBewegungdieEigenschaft(1)einerProjektion.2. Zopf-Relationen. bibi+1bi= bi+1bibi+1(i = 1, . . . , n 2) DieseRelationwirddurchfolgendesBildveranschaulichtundauchveriziert:HierbeachtemandieformaleAhnlichkeit zurReidemeister-Bewegung3.ImUbergangverletztobigeBewegungdieEigenschaft(2)einerProjektion.MitahnlichenBildernzeigtman, dassauchdie(aquivalenten) Relationenbibi+1b1i= b1i+1bibi+1undb1ibi+1bi= bi+1bib1i+1gelten.3.1. DIEARTINSCHEZOPFGRUPPE 393.FerneKommutativitat.bibj= bjbi([i j[ 2)... ...ImUbergangverletztobigeBewegungdieEigenschaft(3)einerProjektion.Satz3.1.7(Artin 1925).Die Zopfgruppe Bnist deniert durchErzeugerb1, . . . , bn1undRelationenbibi+1bi= bi+1bibi+1(i = 1, . . . , n 1)undbibj= bjbi([i j[ 2).DieSprechweisebedeutet(perdenitionem), dassauerdemdie(inje-derGruppegeltenden) trivialenRelationenbib1i=1=b1ibigelten, unddassjedeweitereRelationschonausdenimSatzbeschriebenenRelationenzustandekommt.BeweisdesSatzes. Esistbereitsgezeigt, dassb1, . . . , bn1ErzeugervonBnsind, diedieZopfrelationenunddieferneKommutativitaterf ullen.Esistnochzuzeigen, dasssichjedeweitereRelationausdiesenergibt. In-demmanTerme durchInversenbildung auf die andereSeite bringt, kannmaneineRelationimmerinderFormw(b1 , . . . , bn1) = 1schreiben, wobeiw= w(b1 , . . . , bn1)einWortindenBuchstabenb1, . . . , bn1undderenIn-versenist. Geometrischbedeutetdies, dasswireinenZopfbinnStrangenhaben, deraquivalentistzumtrivialenZopf. Zuzeigenist, dasssichbnurmit Hilfeder Bewegungen, diein3.1.6beschriebenwurdenbei denZopf-relationen, derfernenKommutativitatsowiedentrivialenRelationen, unddurchplanareIsotopien(analogdeniertwiebei denKnotendiagrammen)indentrivialenZopf uberf uhrenlasst. NachDenitionder (kombinatori-schen)Aquivalenz gen ugt es zu zeigen, dass sich eine elementare Deformation[AB] [AC][CB] durch eine Folge von Anwendungen dieser speziellen Be-wegungenrealisierenlasst.DieszeigtmanahnlichwieimBeweisdesSatzesvonReidemeister1.5.7.ManzerlegtdasDreieck[ACB]inkleinereDreieckedesTypsIIVwiein1.5.7.Zusatzlichsorgtmandaf ur,dassdieseDreieckeaufsteigendliegen.DasfolgendeBildzeigt, wieeineelementareDeformation ubereinDreieckdes (kompliziertesten) Typs I durchtriviale undZopfrelationenrealisiertwird:40 3. KNOTENUNDZOPFE(Hierbei ist unerheblich, obdierotenLinienunterhalboder oberhalbdesDreiecks liegen.) Zunachst wurde eine triviale Relation angewendet, dann ei-neweiteretriviale,undzuletztdieZopfrelation.MitzweiweiterentrivialenRelationensetztmandieBewegung uberdasgesamteDreieckfort.Ahnlichargumentiertmanbei denTypenIIIV. Manbeachtenoch, dasseineele-mentare(Dreiecks-)BewegungeineplanareIsotopiebewirkenkann,beiderzwischendurch eine verbotene Projektion eines Zopfes auftritt, bei der sichKreuzungspunkte auf gleichem Niveau benden. Dies ist aber eine Bewegung,wiesiebeiderfernenKommutativitatin3.1.6beschriebenwurde. Ubung3.1.8. (a)Sei B3= b1,b2 [ b1b2b1=b2b1b2). Manzeige, dassc = (b1b2)3imZentrumderGruppeB3liegt.(b)Manzeige,dassinB3dieRelationb1b2b11= b12b1b2gilt.(c) Man zeige, dass man die Gruppe B3auch durch Erzeuger a und b mitRelationa3=b2beschreibenkann. (ManbetrachtedieElementeb1b2undb1b2b1.)3.2. DieSatzevonAlexanderundMarkovDefinition3.2.1.Zu jedem Zopf b Bndeniere den Abschluss(b) =n(b) =balsdieVerschlingungLwieinAbbildung3.2illustriert.Sei L die Menge allerAquivalenzklassen von Verschlingungen. Es ist also= n: Bn LeineAbbildung.Wannist(b)einKnoten?JedemZopf B BnkannmaneinePermutation(b) Snzuordnen,die die Endpunkte 1, . . . , n durch seine Strange permutiert. Dies liefert einensurjektivenGruppenhomomorphismus: Bn Sn, derschondurchdie3.2. DIESATZEVONALEXANDERUNDMARKOV 41Abbildung3.2. AbschlusseinesZopfesZuordnungbi (i, i + 1)eindeutigbeschriebenwird. (Manbeachte, dassjedeRelationen, dief urdiebigiltauchf urdie(i, i + 1)gilt. InderTaterf ullenletzteresogarzusatzlichdieRelationen(i, i + 1)2= 1.)Proposition3.2.2. Seib Bn.Dannist(b)einKnotengenaudann,wenn(b) SneinZykel derLangenist.Beweis. (b) ist Knoten genau dann, wenn beim Durchlaufen jeder End-punkterreichtwird,genaudann,wenn(b)einZykelderLangenist. Satz 3.2.3 (Alexander 1923).Sei L eine Verschlingung. Dann gibt es einn Nundeinb Bn,sodassLaquivalentistzu(b).Sei

n1Bndie disjunkteVereinigung der Bn. Dann besagt der Satz vonAlexandergerade,dassdiekanonischdenierteAbbildung:

n1Bn Lsurjektivist.BeweisdesSatzes. DieIdeedesBeweisesistschnell erlautert. Sei LeinorientiertesVerschlingungsdiagramm(polygonal), welchesinderEbeneEliegt.Seip EeinPunkt,dernichtaufLliegt.Mansagt,Llauftump,fallsjedeKantevonpausgesehenpositivorientiertist(gegendenUhrzei-gersinn), wie in Abbildung 3.3 angedeutet. Hat man eine solche Situation, sozerschneidetman die Verschlingunglangs einer Geraden in p beginnendenGeraden und rollt ihn aus zu einen Zopf, dessen Abschlussgerade L ist (Ab-bildung 3.3). Ist dies nicht der Fall, so wird L aquivalent zu L

abgeandert, sodassL

umplauft(Alexander-Trick).Istetwa[AB]einenegativeKante,soersetzt mandiesewieinAbbildung3.4angedeutet durchdiepositivenKanten[AC]und[CB]. 42 3. KNOTENUNDZOPFEAbbildung3.3. AusrolleneinesumlaufendenKnotensABCAbbildung3.4. DerAlexander-Trick3.2.4(Orientierung). Jeder Zopf hat eine nat urliche Orientierung, indemjederStrangvoneinemAizueinemBjzeigt.DannliefertderAbschlusseineorientierteVerschlingung. DerBeweis vomSatzvonAlexander zeigt,dassjedeorientierteVerschlingungAbschlusseinesorientiertenZopfesist.Ubung3.2.5. Sei der Unknoten dargestellt als ein Quadrat, welchesmitfalscher Orientierungum seinen Schwerpunktlauft. Man wende den Alex-anderTrick(vierfach)anundbestimmedenzugehorigenausgerolltenZopf.Ubung 3.2.6.Man bestimme jeweils die Zopfe zu den beiden orientiertenHopf-Verschlingungen.Jedenn-strangigenZopf kannmanauchalsn + 1-strangigenZopf auf-fassen, dessenn + 1-ter Strangtrivial ist. Manbekommt alsokanonischeEinbettungenB1 B2 B3 Bn Bn+1 3.2. DIESATZEVONALEXANDERUNDMARKOV 43SeiB= n1Bn.DieGruppenstrukturaufjedemBninduzierteineGrup-penstruktur auf B. Ist b Bn, soist es auchinBmf ur jedes m n.Esunterscheidet sichm(b)vonn(b) durchm nUnknoten. Mankann: B L deniere: F ur b Bdeniere (b) = n(b), wobei n minimalistmitb Bn.3.2.7 (Markov-Bewegungen). Bei denMarkov-Bewegungenhandelt essichumTransformationeninB:ErsteMarkov-Bewegung:b aba1,wobeia,b BnZweiteMarkov-Bewegung:b bb1nwobeib Bn Bn+1.DenfolgendenwichtigenSatzwerdenwirhiernichtbeweisen. Wirzei-gennurdietrivialeRichtung. EinBeweisdesSatzeswurde1936vonMar-kovm undlichverbreitet, jedochniemals vonihmveroentlicht. Die ersteVeroentlichungdesBeweisesgehtaufJoanBirman(1974)zur uck.Satz3.2.8(Markov). Die Abschlusse zweier Zopfe b undb

(inn bzw. n

Strangen)sindaquivalenteorientierteVerschlingungengenaudann,wennbdurcheineendlicheFolge vonMarkov-Bewegungen ininb

uberfuhrtwerdenkann.Esisteinfachzusehen, dassersteundzweiteMarkov-BewegungbeimAbschluss aquivalente Verschlingungen liefern, vgl. Abbildungen 3.5 und 3.6.aba1baa 11Abbildung3.5. 1.Markov-BewegungliefertaquivalenteVerschlingungenBemerkung3.2.9. Mit der Invarianzn+1(bbn) n(b) (b Bn) ergibtsich aus dem Satz von Alexander, dass die Abbildung : B L surjektivist. In der Tat: Sei L eine Veschlingung. Nach dem Satz von Alexander gibt eseinn 1undeinb Bnmitn(b) L.Dannistaberauchn+1(bbn) L,undoenbaristn + 1derminimaleIndeximitbbn Bi.44 3. KNOTENUNDZOPFEb bAbbildung3.6. 2.Markov-BewegungliefertaquivalenteVerschlingungenUbung 3.2.10.Man zeige mit Hilfe der Markov-Bewegungen, dass b2b1 B3denUnknotenergibt.Ubung3.2.11. EsistB2= b1). F urn 0sei Qn=(bn1)dien-facheQuaste.EssolldasJones-PolynomV (Qn)berechnetwerden.(a)ManberechneV (Q0)undV (Q1).(b)ManzeigefolgendeRekursionsformel(f urn 2):V (Qn) = q2V (Qn2) (q1/2q3/2) V (Qn1).(c)ManzeigeperInduktion(f urn 1):V (Q2n+1) = qn+ qn2+2n1

i=1(1)iqn2iV (Q2n) = q(2n1)/2+2n1

i=1(1)iq(2n+1+2i)/2(d)Manfolgere:B2 Z.3.3. DieYang-BaxterGleichung3.3.1 (Tensorprodukt).Seien Vund Wendlichdimensionale Vektorraume uber demKorper Kder Dimensionenm bzw.n. SeienBasenv1, . . . , vmvonV undw1, . . . , wnvonWgegeben. DannistdasTensorprodukt V WeinK-VektorraummitfolgendenEigenschaften(1)EsgibteinebilineareAbbildung:VW V W, (v, w) v w.(2)eine K-Basis von V Wist gegeben durch viwji = 1, . . . , m, j=1, . . . , n.InsbesonderedimK(V W) = m n.Bilinearitatvonbedeutet:(v w) = (v) w = v (w)(v + v

) w = v w + v

wv (w + w

) = v w + v w

f urallevv

V ,w,w

Wund K.3.3. DIEYANG-BAXTERGLEICHUNG 45(3)Seienf: V V undg: W WlineareAbbildungen. Deniereeine lineare Abbildungf g : V WV Wauf der Basis durchviwj f(vi) g(wj).Esgiltdann(f g)(v w) = f(v) g(w) f urallev V,w W.Seinamlichv =

iiviundw =

j jwj.DannistwegenderBilinearitatv w =

i

jijviwj,also(f g)(v w)Def=

i

jijf(vi) g(wj)bilin.= f(v) g(w).(4)Sindfundgbijektiv,soistauchf gbijektiv.(5) Sei A = (ij) Mm(K) die Darstellungsmatrixvon fbzgl. der Basis(vi), und sei B= (ij) Mn(K) die Darstellungsmatrix von g bzgl. der Basis(wj). Dann hat f g bzgl. der Basis (viwj) oenbar die Darstellungsmatrix____11B 12B1mB21B 22B2mB.........m1B m2BmmB____.F urm = 2 = nhatmanalsodieDarstellungsmatrix_11B 12B21B 22B_=____1111111212111212112111221221122221112112221122122121212222212222____.(6)SindU, V , WVektorraume, sokannmanauchdasTensorproduktU V W= (U V ) W= U (V W) betrachten. Entsprechendesf urmehrereVektorraume. Istn 1einenat urlicheZahl, sobezeichneVn=V V V(nKopien).Entsprechendesgeltef urlineareAbbildungen.(7)F urf1, f2 End(V )undg1, g2 End(W)ergibtsichunmittelbarausderDenition(f2 g2) (f1g1) = (f2 f1) (g2 g1).Bemerkung3.3.2. (1) Durch obige Eigenschaften (1) und (2) ist das TensorproduktV Wweder eindeutigdeniert,nochist dieExistenzeinersolchen Basis undbilinearenAbbildungunmittelbarklar. Eshandeltsichbei denEigenschaften(1)und(2)umdiewesentlichenEigenschaften,diewirimfolgendenverwendenwollen.(2) Konstruktion des Tensorprodukts. Es gibt Isomorphismen V Kmund W Kn,die jeweils die Basen (vi) und (wj) auf die Standardbasen (ei) und (fj) schicken. DeniereV WalsKmn.Deniere(vi, wj) als denj +(i 1)n-ten Standardbasisvektor inKmn.Sindv=

iiviundw=

j jwj,sodeniertman(v, w)=

i

j ij(vi, wj).Esistdannoensichtlich,dass: V W V WeinebilineareAbbildungist,unddass(vi, wj)(1 i m,1 j n)eineBasisvonV Wist.(3) Universelle Eigenschaft des Tensorprodukts. Ist f: V W X eine bilineare Ab-bildung in den K-VektorraumX, so gibt es genau eine lineareAbbildung f: V W X46 3. KNOTENUNDZOPFEmitf = f.DasTensorprodukt erlaubt also eineLinearisierung einerbilinearenAbbil-dung.DurchdieseuniverselleEigenschaftistdasTensorproduktV Wschoneindeutigbestimmt(bisaufIsomorphie).BeweisderuniversellenEigenschaft: Sei V Wwiein(2)konstruiert. Sei f : V WXbilinear. Deniere die lineare Abbildung f auf der Basis (vi, wj) durchf((vi, wj))Def=f(vi, wj).Dannist unmittelbarklar, dassf = fgilt. SollandererseitsdieseGleichunggelten,somussmanfwieobendenieren.3.3.3(FreieModuln). Eswirdimfolgendenwichtigsein,vorherigeAus-sagenineinemallgemeinerenSettingzubetrachten. Dazuwollenwir denKorperKersetzendurcheinenkommutativenRingmitEins. DawirKno-tenpolynome(ahnlichdemJones-Polynom)konstruierenwollen, stellemansichalsStandardbeispieletwaden(Laurent-)PolynomringZ[q1, q]vor.Vollig analog zum Begri des Vektorraums deniert man sogenannte Mo-duln uber K. Dies ist eine Menge Vmit zwei Verkn upfungen + : V V Vund: K V V ,sodass(V, +)eineabelscheGruppeistunddieSka-larmultiplikationfolgendeEigenschaftenhat:(v + v

) = v + v

( +

)v = v + v

(

)v = (

v) 1v = vf uralle,

Kundv,v

V .DiessindalsoexaktdieselbenAxiomewief ur Vektorraume.Der wesentlicheUnterschiedzur Theorieder Vektorraumeist, dassallgemeineinModul ubereinemkommutativenRingkeineBasismehrzubesitzenbraucht. (EineBasisistwie uberKorperndeniert, alsoals linear unabhangiges Erzeugendensystem.) Gibt es eine Basis inV , soheit VeinfreierModul. WirbetrachtenimfolgendennurendlicherzeugtefreieK-Moduln.K-lineareAbbildungenzwischenK-Modulnsinddeniertwief urVek-torraume. Jeder (endlicherzeugte) freieK-Modul istisomorphzuKnf ureinn. Esistoensichtlich, dassallegemachtenAussagen uberTensorpro-duktegenausof ur freieModulngelten. Es ist daher keineEinschrankungzumindestf urdieTheorie, sichstetsdenSpezialfall vonVektorraumen uberKorpernvorzustellen.3.3.4(Yang-Baxter-Operator). Sei R:V V V V einAutomor-phismus (= bijektive lineare Abbildung). F ur jedes n N deniert dies n1AutomorphismenRi= 1 1 . . . 1 R 1 . . . 1 : Vn Vn,wobei hier Rnur auf der i-tenundder (i + 1)-tenKopievonV operiert(i = 1, . . . , n 1);esgiltalso(3.3.1) Ri(x1x2. . .xn) = x1. . .xi1R(xixi+1)xi+2. . .xn.Dann heit R ein Yang-Baxter-Operator(oder eine R-Matrix, falls die Basisfestgewahltist),fallsdieYang-Baxter-Gleichung(3.3.2) R1R2R1= R2R1R2erf ulltist.Esfolgtdannoenbar(3.3.3) RiRi+1Ri= Ri+1RiRi+1(i = 1, . . . , n 1).3.3. DIEYANG-BAXTERGLEICHUNG 47(Man beachte die Analogie zu den Zopf-Relationen!) Auerdem gilt auch dieferneKommutativitat(3.3.4) RiRj= RjRi([i j[ 2)3.3.5(KonstruktioneinerVerschlingungsinvariante, 1.Versuch). SeiR :V V V Vein Yang-Baxter-Operator. Wegen (3.3.3) und (3.3.4) gibtesdanneinenGruppenhomomorphismus(3.3.5) : Bn Aut(Vn), bi Ri.F urjedenEndomorphismusf bezeichneSp(f)dieSpurvonf. Sei LeineVerschlingung. NachdemSatzvonAlexandergibtesdanneinb Bnmit(b) = L.Deniere(3.3.6) T(L) = Sp((b)).Da bekanntlichSp(f g) = Sp(g f), ist die rechteSeite invariant unter dererstenMarkov-Bewegung. Umzuzeigen, dassTeineVerschlingungsinvari-ante deniert, muss man zeigen, dass die rechte Seite auch unter der zweitenMarkov-Bewegung invariant ist. Dies ist so aber i. a. nicht richtig. Dazu mussdieDenitionvonTnochetwasmodiziertwerden.3.3.6 (Erweiterte Yang-Baxter-Operatoren).Sei R : V V V VeinYang-Baxter-Operator. MitHilfederBasisv1, . . . , vmvonV schreibeman(3.3.7) R(vivj) =

p, qRp,qi,jvpvqmitKoezientenRp,qi,j K.Sei : VV , =diag(1, 2, . . . , m). SeienundEinheiteninK.Esgelte(3.3.8) R ( ) = ( ) Rund(3.3.9)

jRk,ji,j j= ikund

j(R1)k,ji,j j= 1ik.(Kronecker-Delta.) Dannheit R, genauer dasTupel S=(R, , , )einerweiterter Yang-Baxter-Operator(engl. enhanced); heit Erweiterung vonR(engl.enhancement).3.3.7. Sei S=(R, , , )einerweiterter Yang-Baxter-Operator. De-niereeineAbbildungTS:

n1Bn Kdurch(3.3.10) TS(b) = w(b)nSp((b) n),wobeib Bnistundw : Bn ZderHomomorphismusistmitw(bi) = 1.48 3. KNOTENUNDZOPFELemma 3.3.8. Seien a, b Bn. Ist S ein erweiterter Yang-Baxter-Operator,sogiltTS(aba1) = TS(b) = TS(bbn) = TS(bb1n).Beweis. Aus(3.3.8)ergibtsich(c)n= n(c)f urallec Bn,alsofolgtSp((aba1) n) = Sp((a) (b) (a)1 n)= Sp((a) (b) n (a)1) = Sp((b) n).Da auerdemoenbar w(aba1) = w(b) gilt, ergibt sichdie ersteGleichheit.Daoenbar(bbn) = ((b) 1V) Rn Aut(V(n+1)),folgtSp((bbn) (n+1))= Sp(((b) 1V) Rn (1(n1)V2) ((n1)12V))= Sp(((b) 1V) (1(n1)V(R 2)) ((n1)12V))()= Sp((b) (1(n1)V()) ((n1)1V))= Sp(((b) n) = Sp((b) n).() ergibt sich mit (3.3.9) aus generellenEigenschaftender Spur; die DetailsndetmaninuntenstehenderBemerkung. Wegenw(bbn)=w(b) + 1ergibtsichdiezweiteGleichheit.Diedrittefolgtanalog. Satz3.3.9. SeiSeinerweiterterYang-Baxter-Operator. SeiLeineori-entierteVerschlingungundb Bnmit (b) =L. DeniereTS(L) durchTS(b).DannistTSeineVerschlingungsinvariante.Beweis. Dies folgt unmittelbar aus dem vorstehendenLemmaund demSatzvonMarkov. Bemerkung3.3.10. HierwerdendieDetailsdesBeweisesderGleichheit()imBe-weisvonLemma3.3.8erortert. Sei fEnd(Vn). DenieredieOperator-Spur vonfalsSpn(f) End(V(n1))deniertaufderBasis(vi)durchSpn(f)(vi1 . . . vin1) =

1j1,...,jn1, jmfj1,...,jn1, ji1,...,in1, jvj1 . . . vjn1.DiedabeiauftretendenKoezientensindanalogzu(3.3.7)deniert.(1)EsistSpn(f)unabhangigvondergewahltenBasisvonV .(2)EsgiltSp(Spn(f)) = Sp(f).(3)(3.3.9)bedeutetSp2(R 2) = bzw.Sp2(R1 2) = 1.(4)Sindf,g,hEndomorphismenvonV(n+1),Vnbzw.V2,sogiltSpn+1(f (g 1V )) = Spn+1(f) g,Spn+1((g 1V ) f) = g Spn+1(f),Spn+1(1(n1)Vh) = 1(n1)VSp2(h).3.4. DASJONES-POLYNOMINZWEI VARIABLEN 49Ubung 3.3.11. (1) Manzeige: F ur f End(V ), g End(W) giltSp(f g) = Sp(f)Sp(g).SeiS= (R, , , ) einerweiterterYang-Baxter-Operator. Manzeige:(2) SindLundL

orientierte Verschlingungen, so gilt TS(L .L

) =TS(L)TS(L

).(3) Ist L die triviale Verschlingungbestehend aus n Komponenten, so istTS(L) = (1Sp())n.Ubung3.3.12. Manzeige: Ist S =(R, , , ) einerweiterter Yang-Baxter-Operator,soauchS

= (1R, 1, 1, 1) undesgiltTS= TS .F ur dennachstenSatzsei andenSatzvonCayley-Hamiltonerinnert,derbesagt,dassjederEndomorphismusseinercharakteristischenGleichunggen ugt.Satz3.3.13. SeiS= (R, , , )einerweiterterYang-Baxter-Operator.FallsRdieGleichung

qi=pkiRi=0erfullt, sogilt

qi=pkiiTS(Li)=0,sofernLp, . . . , LqbeliebigeorientierteVerschlingungensind,diesichnuraneinerStelleunterscheiden,woLieineQuastemitiKreuzungenhat.Beweis. EsgibteinenZopf b Bn, sodassLp, . . . , LqAbschl ussederZopfeb,b1b, . . . bqp1bsind.DannTS(Li) = TS(bi1b) = iw(b)nSp((R1)i (b) n).Esfolgtq

i=pkiiTS(Li) = w(b)nSp_q

i=pki(R1)i (b) n_= 0.

Bemerkung3.3.14. DadieLiinobigemSatzdievondenZopfenver-erbtenat urlicheOrientierunghaben,istmitderNotationinAbbildung2.3speziell L1= L, L0= L0und L1= L+. Dies liegt an der Denition von L+(bzw.L)einerseitsundanderDenitiondesErzeugersb1derZopfgruppeandererseits; bei beidenhatmanzwei MoglichkeitenderDenition. InderLiteraturtritthaugdie(nat urlichere)SituationL1=L+undL1=Lauf.3.4. DasJones-Polynominzwei VariablenIndiesemAbschnittwirddieExistenzeinerVerschlingungsinvariantePnachgewiesen,diedieRelationxP(L+) + x1P(L) + yP(L0) = 0erf ullt und P(_) = 1. Dies ist das Jones-Polynom in zwei Variablen, welchesauchdasHOMFLY-Polynomgenanntwird.50 3. KNOTENUNDZOPFEWir schauen uns dazu einen speziellen (erweiterten) Yang-Baxter-Operatoran. Sei K=Z[q1, q] undV einfreierK-Modul mitBasisv1, . . . , vm. SeiEij End(V )mitEij(vk)=ikvj. DerEndomorphismusEij EklschicktdasBasiselementvi vkvonV2aufvj vlundjedesandereaufNull.Lemma3.4.1. MitR = q1

iEii Eii +

i=jEij Eji + (q q1)

i>jEiiEjjerhaltmaneinenYang-Baxter-Operator.Ubung3.4.2. ManbeweisedasLemmaf urdenFallm = 2.Lemma3.4.3. DasInversezuRistgegebendurchR1= q

iEiiEii +

i=jEij Eji + (q1q)

ijEij Eji + (q q1)

i>jEij Eji=

i, jEiiEjj= 1V V,undebensoR

R = 1V V. Lemma3.4.4. EsgiltR R1= (q q1) 1V V.Beweis. SubtraktionliefertsofortR R1= (q q1)

iEii Ejj + (q q1)

i=jEii Ejj= (q q1)

i, jEii Ejj= 1V V.

Lemma3.4.5.Sei = diag(1, . . . , m) miti = q2im1, sei = qmund= 1.DannistS= (R, , , )einerweiterterYang-Baxter-Operator.3.4. DASJONES-POLYNOMINZWEI VARIABLEN 51Beweis. Nach Denition von R ergeben sich gema (3.3.7) folgende Ko-ezienten:(3.4.1) Rk, li, j=___q1i = j= k= l1 i = l ,= k= jq q1i = k> l = j0 sonstInsbesondere, falls Rk, li, j ,= 0, dann stimmen die nicht-geordneten Paare i, jund k, l uberein.Dasgleichegiltf urR1.Damitergibtsichsofort(ij kl)Rk, li, j= 0,waszu(3.3.8) aquivalentist.F ur(3.3.9)bleibtm

j=1Ri, ji, jj= zuzeigen(undAnalogesf urR1mit1). Aus(3.4.1)undderDenitionvonfolgtm

j=1Ri, ji, jj= q1i +i1

j=1(q q1)j= q2im2+ (q q1)(q1m+ q3m+ . . . + q2im3)= qm= .

Satz 3.4.6. Sei Sobiger erweiterter Yang-Baxter-Operator. Die Ver-schlingungsinvarianteTSerfulltfolgendeRelation(3.4.2) qmTS(L+) qmTS(L) + (q1q)TS(L0) = 0undliefertdenWertqmqmq q1aufdemUnknoten.Beweis. Die Relation (3.4.2) ergibt sich sofort aus Satz 3.3.13 zusammenmit Lemma3.4.4. NachUbung3.3.11ist der Wert des Unknotens Sp(),welcherindiesemkonkretenFalldenbehauptetenWertergibt. Lemma 3.4.7.Sei L ein orientierte Verschlingungsdiagramm mit n Kom-ponentenunduKreuzungspunkten.Seim 4u + 2n + 1.SeiPmobigeIn-variante. Dann hatdas Laurent-Polynom(q q1)u+nPm(L)eineeindeutigeDarstellungalsendlicheSumme(3.4.3)

a, bZra, bqa+mbmit ra, b Z, und mit ra, b= 0 for [a[ > 2u+n. Die Koezienten ra, bhangennichtvonmab.52 3. KNOTENUNDZOPFEBeweis. EinesolcheDarstellungfolgtdurchiterativeAnwendungvonFormel (3.4.2)ahnlichwieimBeweisvonSatz2.3.16. WirverzichtenhieraufeinedetaillierteErorterung.Nat urlichsindKoezienteneinesLaurent-Polynoms eindeutig. F ur die Eindeutigkeit (bzw. Unabhangigkeit vonm)gen ugtesdaherzuzeigen, dassnichtzwei unterschiedlichePaare(a, b) ,=(a

, b

)vonIndizeszwei gleicheMonomeqa+mb=qa

+mb

mitKoezienten,= 0in obiger Darstellung(3.4.3) liefern. Aus qa+mb= qa

+mb

folgt a +mb =a

+ mb

, alsoa a

=m(b

b). SinddieKoezientenra, b, ra

, b,=0, sofolgt [a[, [a

[ 2u + nn. Dannliefert dieVerlangerungvonuauf obigenKnotenKmitmehr alsn-DoppelpunkteneinenWert ,= 0,alsoistunichtvonderOrdnung n. 4.4. SEHNENDIAGRAMME 674.4. SehnendiagrammeWirwollendieStrukturderVektorraume 1ngenaueruntersuchen. MitdensogenanntenSehnendiagrammenbekommtmanhierf ureinkombinato-rischesHilfsmittel.4.4.1 (Sehnendiagramme).Sei Kein singularer Knoten mit genau n Dop-pelpunkten. InLemma4.1.12hatmangesehen, dassderWert v(K)f urei-neVassiliev-InvariantevderOrdnung nnichtvondenVerknotungenabhangt,sondernnurvonderFolgederDoppelpunkte.DiesewerdendurchSehnendiagrammebeschrieben.Ein(orientierter)Knotenwirddurchdie(orientierte)EinheitskreislinieS1parametrisiert. Ein Sehnendiagramm(auch Gau-Diagramm; engl. chorddiagram)zuKisteinkreisformigesDiagramm, indemmanbeimDurch-laufenvonS1die2nPunkteaufdemKreismarkiert,dieaufdienDoppel-punkteabgebildet werden. Jezwei solcher Punktewerdenmit einer Linie(Sehne)verbunden, wennsieaufdenselbenDoppelpunktabgebildetwer-den. EinsolchesSehnendiagrammistvonderOrdnungn. Diegenauegeo-metrischeFormderVerbindungslinienspieltdabeikeineRolle.Esgehtnurdarum,dieVerbundenheitzweierPunkteanzuzeigen. ZweiSehnendiagram-me, die ineinander durch einen orientierungsbewahrendenDieomorphismusdesS1 ubergehen,werdennichtunterschieden.Die Knoten in Abbildung 4.1 haben die Sehnendiagramme bzw.,einweiteresBeispiel istinAbbildung4.4dargestellt.DieSehnen-diagrammederOrdnung3sindinAbbildung4.5dargestellt.Ein Sehnendiagramm (der Ordnung n) lasst sich nat urlich auch abstraktohneAnwesenheitvonKnotendenieren.DasSehnendiagrammeinesKnotenswirdauchmit(K)bezeichnet.123123123Abbildung4.4. EinsingularerKnotenundseinSehnendiagrammUbung4.4.2. Mangebezujedemderf unfSehnendiagrammederOrd-nung3einensingularenKnotenan.68 4. VASSILIEV-INVARIANTENAbbildung4.5. SehnendiagrammederOrdnung34.4.3(DerVektorraumderSehnendiagramme). Sei (nderVektorraum uber dem Korper K, dessen Basis die Sehnendiagramme der Ordnung n sind.DieElementesindalsoformaleLinearkombinationenderSehnendiagrammederOrdnungn. EslieferteinesurjektiveAbbildung: /n (n. (Be-merkung:IstKnureinkommutativerRing,sokannmandenfreienModulerzeugtvondenSehnendiagrammenderOrdnungnbetrachten.)4.4.4(1-Termund4-TermRelationenf urSehnendiagramme). Diever-allgemeinerten1-Termunddie4-TermRelationenf urVassiliev-Invarianten(4.1.18 und 4.1.20) lassen sich auf Sehnendiagramme ubertragen, wie in Ab-bildung4.6gezeigt.EshandeltsichdabeiumElementeindemVektorraum(n(f ur ein n). Genauer gesagt bestehen die Relationen darin, dass diese Ele-mente = 0 gesetzt werden. Hierbei benden sich bei den (verallgemeinerten)Abbildung4.6. 1-Termund4-TermRelationf urSehnendiagramme1-Term Relationen n1 weitere Sehnen in dem Diagramm, die die angezeigteSehnenichtschneiden.Bei den 4-Term Relationen benden sich in jedem Diagrammn2 weitereSehnen,die inallen vierDiagrammen gleichsind,undderenEndpunkteaufdemKreis S1nicht indemrot markierten(verbotenen) Bereichliegen.AnsonstensinddieseweiterenSehnenbeliebig. Eshandelt sichalsoum eineVielzahlvonElementenbzw.Relationen.Beweis daf ur, dassdurchdieDiagrammeinAbbildung4.6die4-TermRelation4.1.20f ursingulareKnoteninvariantenwidergespiegelt wird: Dies4.5. DERSATZVONKONTSEVICH 69wirdsofort klar,wennmandiezweiprinzipiellmoglichenVerlaufedesKno-tensin4.1.20erganzt(durchgestrichelteLinien): + + 4.4.5. Sei ((1,4)nder Unterraumvon (n, der vonallen ElementenausAbbildung4.6erzeugt wird. Entsprechendbezeichnet ((4)ndenUnterraumvon (n,dervondenElementenausAbbildung4.6erzeugtwird,diezuden4-TermRelationengehoren.Ubung4.4.6. Manzeigedim((3/((1)3) = 2undgebeeineBasisan.Ubung4.4.7. Manlistealle18SehnendiagrammederOrdnung4auf.ManbestimmeeineBasisvon (4/((1)4.Literaturhinweis: Formeln f ur die Anzahl von Sehnendiagrammenn-det man in der im Internet zuganglichen Dissertation von A. Stoimenow [13].Soergibtsichetwadim(4=18, dim((1)4=11, sowiedim(10=32.743.182unddim((1)10= 21.695.178.4.5. DerSatzvonKontsevich4.5.1(DerVektorraumderVassiliev-InvariantenderOrdnunggenaun).Eine Vassiliev-Invariante v heit von der Ordnung (genau) n, falls v 1n 1n1. Die Komplementmenge 1n 1n1ist keine Vektorraummehr.Stattdessen betrachtet man den Faktorraum1n/1n1. Es ist dim(1n/1n1) =dim(1n) dim(1n1).Satz4.5.2. SeiveineVassiliev-InvariantederOrdnung n.SeiKeinKnotenmit genaunDoppelpunkten. Dannhangt derWert v(K)nurvomSehnendiagrammundnichtvomKnotenselbstab.Formal:K1,K2 /n /n1, (K1) = (K2) v(K1) = v(K2).70 4. VASSILIEV-INVARIANTENAusfuhrlicher ausgedruckt: Die Einschrankung der Verlangerung einer Vassiliev-Invarianten auf /n/n1 faktorisiert durch die Abbildung auf folgende Art/n /n1 (v)K(n! wlinearDieZuordnungv wlieferteinelineareAbbildungn: 1n (nmitKern 1n1,wobei (ndenDualraum,alsodenRaumderlinearenFunk-tionenvon (nnachKbezeichnet.Beweis. ImGrundeist dies eineUmformulierungvonLemma4.1.12.Haben K1und K2genau n Doppelpunkte und gleiche Sehnendiagramme,soliefert4.1.12nacheinerendlichenFolge vonKreuzungswechselnaquivalenteKnoten, ohne dass sichder Wert v(K1) bzw. v(K2) andert. Es folgt alsov(K1) = v(K2).Es ist (v) die Einschrankung von v auf /n/n1. Jedes Sehnendiagrammin (nistvonderForm(K)f ureinK /n /n1. DasgeradegelieferteArgumentzeigt,dasswirdurchw((K))def= v(K) = (v)(K)undlineareFortsetzungeinewohldeniertelineareAbbildungw: (n Kerhalten.Oenbar liefertdieseund nurdieseDenitionobiges kommutativeDreieck.DieLinearitat der sodeniertenAbbildungnergibt sichleicht. AusLemma4.1.15folgtdieAussage uberdenKern:v 1n14.1.15 n(v) = 0 w((K)) = n(v)(K) = 0 K /n /n1 w = 0(= n(v)).

DieAbbildungnkannnicht surjektivsein, daAbbildungenauf Seh-nendiagrammen, dievonVassiliev-Invariantenherkommen, die1-Termund4-TermRelationenerf ullen:Zusatz4.5.3. Sei w=n(v)wieimvorherigenSatzdeniert. Sei :(n (n/((1,4)ndie kanonischeSurjektion. Danngibt es eine eindeutigelineare Abbildung w : (n/((1,4)nKmit w= w. Manerhalt einelineareAbbildung 1n ((n/((1,4)n)mitKern 1n1.4.5. DERSATZVONKONTSEVICH 71Beweis. Sei v 1nundw=n(v).SeienKialleKnotenmitgenaunDoppelpunktenderFormwiein4.1.19,sodass v(Ki) = 0gilt(verallgemei-nerte1-TermRelationen), undseienKa, Kb, KcundKddieKnotenmitnDoppelpunktenwiein4.1.20, sodass v(Ka) v(Kb) + v(Kc) v(Kd)=0gilt (4-TermRelationen). Bezeichnemiteiundea,eb,ec, eddiezugehorigenSehnendiagramme, alsodieBilderdieserKnotenunter. NachDenitionerzeugendieeiundea eb + ec eddenUnterraum ((1,4)n.Esgiltw(e) = w((K)) = v(K)(wobei hier f urallemoglichen, Indizessteht), undesfolgtw(ei)=0undw(ea eb+ ec ed)=0. Alsoverschwindet wauf demUnterraum ((1,4)n.NachdemHomomorphiesatzinduziertwdahereinelineareAbbildungw:(n/((1,4)nK,wobeieineNebenklassee +((1,4)nabgebildetwirdaufw(e).

Folgerung4.5.4. EsgibteineinjektivelineareAbbildungn: 1n/1n1 ((n/((1,4)n).Beweis. Homomorphiesatz. DerfolgendeSatz, derbesagt, dassobigeAbbildungauchsurjektivist,istderHauptsatz uberVassiliev-Invarianten. AufdieDarstellungdeskom-pliziertenBeweisesm ussenwirhierverzichten.Satz 4.5.5 (Kontsevich). Sei KeinKorper der Charakteristik0. Furjedesn NistneinIsomorphismusvonVektorraumen1n/1n1 ((n/((1,4)n).Bemerkung4.5.6. Dader DualraumVeines n-dimensionalenVek-torraumesV auchdieDimensionnhat, sindV undVisomorph. Daherkonnte man die Dualbildung in der Formulierungdes Satzes von Kontsevichauch weglassen.Die Dualbildung hat aber den Vorteil, dass man dann einennat urlichenIsomorphismusangebenkann.4.5.7. DurchBetrachtungvonSehnendiagrammenkannmanfolgendeDimensionenberechnen.n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12dim1n1 1 2 3 6 10 19 33 60 104 184 316 548dim1n/1n11 0 1 1 3 4 9 14 27 44 80 132 232Tabelle4.1. Dimensionen72 4. VASSILIEV-INVARIANTEN4.6. Vassiliev-InvariantenkleinerOrdnungBisn = 4kannman nochperHanddieRaumederSehnendiagrammeunddie1-Termund4-TermRelationenbestimmen. AuerdemwerdenwirVassiliev-InvariantenderOrdnungen2und3explizitbestimmen.Proposition4.6.1. (a)EineBasisvon (2/((1,4)2istgegebendurch(dieKlassevon).(b)EineBasisvon (3/((1,4)3istgegebendurch(dieKlassevon).(c)EineBasisvon (4/((1,4)4istgegebendurch(dieKlassenvon).Beweis. (a)Klar.(b)IndemFaktorraumgilt,wegender4-TermRelation.Hier verschwindet der dritte Termwegender 1-TermRelation, undmanerhalt= 2.Dadieletztendrei SehnendiagrammeinAbbildung4.5wegender1-TermRelationzunullwerden,folgtdieBehauptung.(c) Es gelten die Relationen in Abbildung 4.7 Dies folgt jeweils leicht ausBetrachtung der folgenden zwei weiteren Sehnen, jeweils f ur den ersten Termdargestellt:4.6. VASSILIEV-INVARIANTENKLEINERORDNUNG 73= ++= 2=+=++ +=Abbildung4.7. Relationenin (4/((1,4)4Esfolgt, dassobige 3ElementeeinErzeugendensystemvon (4/((1,4)4bilden.Eine genauere Analyse aller moglichen Anwendungen der 4-Term Relationenzeigt,dasssichkeineweiterenRelationenergeben. 4.6.2. WirkennenalleVassiliev-InvariantenderOrdnungen0und1.Seinun n = 2. Nach dem Satz vom Kontsevichgibt es wegen dim((2/((1,4)2) = 1modulo 11undbisaufskalareVielfache ,= 0genaueineVassiliev-Invariantev2 12derOrdnung(genau)2. DurchNormierung(Divisiondurcheinen74 4. VASSILIEV-INVARIANTENgeeignetenskalarenFaktor ,= 0)kannmanannehmen,dass(4.6.1) v2( ) = 1gilt. (Das soll heien, dass die Verlangerung von v2 f ur alle Knoten mit genau2 Doppelpunkten und dem angegebenen Sehnendiagramm den Wert 1 liefert;diesistwohldeniert, danachSatz4.5.2derWertnichtvomKnotenselbstabhangt.)Subtrahiert man noch einen geeigneten konstantenFaktor (d. h. ein Ele-mentin 11),sokannmanauchannehmen,dass(4.6.2) v2(_) = 0gilt(_derUnknoten).WirberechnennundenWertvondenKleeblatt-Knoten, indem(4.6.1)und (4.6.2) ausgenutzt werden. Dazu muss man die Anzahl der DoppelpunktemitHilfevon(4.1.1)erhohen.v2( ) = v2( ) + v2( )= v2( ) + v2(_)= v2( ) v2( )= v2( ) = 1.Alsokannv2den(rechtshandigen)Kleeblatt-KnotenvomUnknotenun-terscheiden. Eine analoge Rechnung ergibt, dass v2f ur denlinksandigenKleeblatt-Knoten auch den Wert 1 ergibt. Man kann mit Vassiliev-InvariantenderOrdnung2alsonichtdenlinks- vomrechtshandigenKleeblatt-Knotenunterscheiden.4.6. VASSILIEV-INVARIANTENKLEINERORDNUNG 75Ubung4.6.3. Manzeige, dassv2f urdenAchter-KnotendenWert 1liefert.4.6.4.Die beiden Kleeblatt-Knoten lassen sich durch eine Vassiliev-Invar-iantederOrdnung3unterscheiden: DerRaum (3/((1,4)3isteindimensional,alsogibtesbisaufVielfacheundbisaufVassiliev-InvariantenderOrdnung2genaueineVassiliev-Invariantev3 13vonderOrdnung3.NachNor-mierungkannman(4.6.3) v3( ) = 1annehmen. Dadurchistv3 13nochnichteindeutigfestgelegt, aberdieseInformationgen ugtuns,umlinks-undrechtshandigenKleeblatt-Knotenzuunterscheiden:v3( ) v3( ) = v3( ) v3( )= v3( ) =1.Also unterscheidet sich der Wert des links- und des rechtshandigen Kleeblatt-Knotensum1.Bemerkung 4.6.5.Will man den Wert einer der beiden Kleeblatt-Knotenberechnen,mussman zunachstv3noch genauer bestimmen.Bei der Berech-nungvonv3( )(alsUbungsaufgabe empfohlen) muss man auch den Wert eines Knotens mit2Doppelpunktenkennen;z.B.liefert(4.6.4) v3( ) = 0eineg ultigeFestsetzung.Zusammenmit(4.6.5) v3(_) = 076 4. VASSILIEV-INVARIANTENkannmannunv3f ur alle nicht-singularenKnotenberechnen. Die Bezie-hungen(4.6.3), (4.6.4) und(4.6.5) bildendie Eintrage einer sogenanntenAktualitatstabellef urn = 3.F ur groere n muss man sich erst Aktualitatstabellen erstellen, um Vassiliev-InvariantenderOrdnungnexplizit ausrechnenzukonnen. IstdieTabelleersteinmal erstellt, sogeschiehteineBerechnungdurchErhohungderAn-zahlderDoppelpunktewieindenBeispielenzuvor. F urmehrDetailsbzgl.Aktualitatstabellenverweisenwirauf[2].Ubung4.6.6. Manberechnev3f urdiebeidenKleeblatt-Knoten.Literaturhinweise. AlsgrundlegendeOriginalliteratur uberVassiliev-InvariantensinddieArbeitenvonJoanBirmanundXiao-SongLin[2]undvonDrorBar-Natan [1]zunennen.F ur einenBeweis des Satzes vonKontsevich4.5.5sei auf [6] und[1]verwiesen. Eine Darstellung des Beweises ndet man auch in dem im InternetzuganglichenManuskript[4]vonS. Duzhin, welcheseineEinf uhrungindieVassiliev-Invariantengibt. (Einwesentlicherweitertes, sichinVorbereitungbendendes Buchmanusskript vonS. ChmutovundS. Duzhinndet manebenfallsimInternet.)EinKapitel uberVassiliev-Invarianten, woauchZusammenhangezuIn-variantenvonGraphenbeschriebenwerden,ndetmanindemBuch[7].Literaturverzeichnis[1] D.Bar-Natan:OntheVassilievKnotinvariants,Topology34(1995),423472.[2] J. Birman, X. Lin: Knot polynomials andVassilievs invariants. Invent. Math. 111(1993),225270.[3] G.Burde,H.Zieschang:Knots.WalterdeGruyter,Berlin,1985.[4] S.Duzhin: LecturesonVassilievknotinvariants.Tokyo,1999.[5] E. M. Feichtner: Polynominvariantender Knotentheorie. Quellenihrer Denition.Diplomarbeit,FUBerlin,1994.[6] M.Kontsevich:VassilievsKnotinvariants,I.M.GelfandSeminar,AdvancesinSo-vietMath.,vol.16,part2,Amer.Math.Soc.,Providence,RI,1993, 137150.[7] S. Lando, A. Zvonkin: Graphsonsurfacesandtheirapplications, EncyclopaediaofMathematicalSciences,Springer-Verlag, vol.141,Berlin,2004.[8] W. B. R. Lickorish: AnIntroductiontoKnot Theory. 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