4-1

Chap 4 向量分析 Vector Analysis 國立中興大學物理系林中一 編撰 March 2017

sect 40 基本性質

如同在高中所學過的的所有的物理量可以分為兩大類「純量」

(scalar) 與「向量」(vector)雖然這兩類的量其實有更嚴格的定義

但是目前我們可以「粗淺的」定義她們為

純量只有大小而無方向概念的量如溫度質量長度hellip等

向量同時具有大小及方向概念的量如速度位置力hellip等

純量間的運算只有的加法與乘法作法數字的相同向量有若干性

質陳述如下

1 向量的符號通常以大寫字母上加一個箭頭

表示例如向量 A 以圖形的表現方式為一個

「有向線段」(就像「一枝箭」)其「長度」

表示其「大小」「指向」表示該向量的「方向」

向量 A 的大小通常以其絕對值 | |A 或以字母 A 表示

2 向量 A 若與向量 B 相等 A B= hArr A 與 B 大小相同方向一致換

言之將表示 B 的那枝「箭」不論平行的移到哪裡去都表示向量 B

例如在台中向東 50 kmh 的速度與在金門向東 50 kmh 的速度是相同

的速度

3 定義「純量 c 乘以向量 A 」 cA Acequiv = 若 c gt 0 Ac 與 A 同向 若

c lt 0 Ac 與 A 反向例如5A與 A同向 3Aminus 與 A反向

4-2

4 向量 vu 定義加法 vu + 可由圖形表示就是將 v 的尾巴接到u 的頭

後自u 的尾巴指向 v 的頭的「箭」就是u v+ 很容易看出

u v v u+ = + 向量加法滿足「交換性」 （4-1）

wvuwvuwvu ++=++=++ )()( 向量加法滿足「結合性」 （4-2）

5 和向量

如上圖若有向量 BA 夾角為θ ( 180θ πle = deg )為之「夾角」（注意

兩向量的夾角是將兩向量的「尾巴」放在一起後「兩箭」的夾角）

由餘弦定理可知和向量的大小

2 2 2 2 2

2 2

| | 2 cos( ) 2 cos

| | 2 cos

A B A B AB A B AB

A B A B AB

π θ θ

θ

+ = + minus minus = + +

rArr + = + + （4-3）

Ex 1 Vector AB 大小為 A＝2 B ＝5 兩者夾角 300求和向量大小

解 2 2 0| | 2 5 2 2 5cos(30 ) 29 10 3A B+ = + + sdot sdot = +

6 定義向量「-v 」表大小與 v 相同但方向相反的向量由- v 可定義

向量之「減法」 ( )u v u vminus equiv + minus

7 A B 的內積純量積點積(inner productscalar productdot product)

cosA B AB θsdot equiv （4-4）

其中θ ( 180θ πle = deg )為 A B 之「夾角」內積又稱為純量積是因為內積

的結果為一純量稱為「點積」因為其符號為一個 sdot「 」(4-4)式定義

4-3

的內積是由 vector A B 的「本質」AB 和「相對關係」夾角θ 決定

也可以看出內積是可交換的ie A B B Asdot = sdot

inner product 可以這麼看

( cos ) ( cos )A B A B A Bθ θsdot = = (4-5)

亦即 vector B 在 A方向的「投影」 cosB θ 乘 A的

大小 A or vector A在 B 方向的「投影」 cosA θ 乘

B 的大小 B 若 A B 彼此垂直則 0A Bsdot = 這

可單純的由 cos(900) = 0 看出或表示 vectors A B 在對方方向投影皆為

0所以向量的內積牽涉到二向量在對方方向的投影

sect 41 直角座標(Cartisian coordinates or Rectangular coordinates)

座標系的選定像是選擇劃分空間的方法

「直角座標」的作法就是將空間分割成一個個

小立方體來標誌位置在沿著三個相互垂直的

x y z軸我們訂出三個「單位向量 unit vector」

ˆ ˆ ˆ x y z (也有用 ˆˆ ˆ i j k 或 ˆ ˆ ˆ x y ze e e 表示一般的

慣 例 是 e 表 示 單 位 向 量 ) 分 別 指 向 +x +y +z 方 向 而 且

ˆ ˆ ˆ| | | | | | 1x y z= = = 其實所有的「無單位」且大小長度＝1 的向量都叫

做「單位向量」

「直角座標」一個重要的性質就是 一旦 x y z軸定好之後單位

向量 ˆ ˆ ˆ x y z 就被固定了即 ˆ ˆ ˆ x y z 為「常數向量」不會改變一

個任意向量V 就可以就可以以分量的形式表出

ˆ ˆ ˆx y zV xV yV zV= + + （4-6）

其中單位向量 x 的係數 xV 稱為 vector V 的 x-分量（x-component） y

的係數 yV 稱為 y-分量 z 的係數 ZV 稱為 z-分量分量 xV yV ZV 是

一個可為正負的純量由於 ˆ ˆ ˆ x y z 彼此垂直所以

4-4

ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ 0x y y z z xsdot = sdot = sdot = ( ˆ ˆ ˆ x y z 之正交關係 orthogonality） （4-7a）

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 1x x y y z zsdot = sdot = sdot = ( ˆ ˆ ˆ x y z 為歸一化向量 normalized vector) (4-7b)

上面二式合稱 ˆ ˆ ˆ x y z 之「歸一正交關係」 (orthonormality)

所以向量V 的分量可由內積得到ie

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ( )x y z x y z xV x xV yV zV x xV x yV x zV x V x Vsdot = + + sdot = sdot + sdot + sdot = = sdot

＝V 在 x 軸的投影

Similarly ˆ ˆyV V y y V= sdot = sdot ＝ V 在 y 軸上的投影and ˆ ˆzV V z z V= sdot = sdot

＝ V 在 z 軸的投影舉例當向量寫為 ˆ ˆ ˆ2 4 5V x y z= + minus 時 x-分量＝2

＝V 在 x 軸上的投影y 分量＝4＝V 在 y 軸上的投影z 分量＝-5=V 在

z 軸上的投影當用分量表示向量時二向量

ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆx y z x y zA xA yA zA B xB yB zB= + + = + +

123i iA B A B i= hArr = = （4-8）

ie 若且唯若 A B= 則兩者對應的各分量相等

(4-7ab)所示的歸一正交關係有一緊緻的寫法就是用 ie 來寫現

在介紹一個重要的符號 ijδ 叫做 Kronecker Delta定義如下

10ij

i ji j

δ⎧ =⎪equiv ⎨

ne⎪⎩ （4-9）

舉例來說或 1xx yy zzδ δ δ= = = 0xy yz zxδ δ δ= = = 23 12 31 0δ δ δ= = =

22 11 33 1δ δ δ= = = 0st rs trδ δ δ= = = hellipetc即腳標相同的就有值＝1腳標

不同的就不有值＝0 如此若用 1 2 3ˆ ˆ ˆ ˆ 123ie e e e i =或 來表示直角座

標的三個單位向量 ˆ ˆ ˆ x y z 則可以得到

1 2 3ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ 123i j ijx e y e z e e e i jδ= = = rArr sdot = = （4-10） 一個式子

ˆ ˆ 123i j ije e i jδsdot = = （4-11）

4-5

就把 ˆ ˆ ˆ x y z 的正交歸一關係寫完我們也可以用連加符號來寫向量

ˆ ˆ ˆx y zV xV yV zV= + +3

1

ˆ ˆor

i i i ii x y z i

V e V e= =

equiv =sum sum （4-12）

Vi 為第 i 個方向的「分量」 ie 表示「第 i 個方向」的單位向量是一

種 ˆˆ ˆ i j k 更方便的寫法所以

3 3 3

1 1 1

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 123i i j j j j j j ij ij j j

e V e V e V e e V V iδ= = =

sdot = sdot = sdot = = =sum sum sum （4-13）

注意到上式中的3

1 1 2 2 3 31

j ij i i ij

V V V Vδ δ δ δ=

= + +sum ＝三項和腳標 j 有 123

三個可能但若 j ine 則 0ijδ = 只有一項當 i j= 時 1ijδ = 存活下來

ie ˆ 123i ie V V isdot = = 此處要注意因為特定的 i 被用掉了所以V

不能再用3

1

ˆi ii

V e=sum 來表示要換一個腳標ie V ＝

3

1

ˆj jj

V e=sum

對於任意的向量 A B 以分量表示

ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆx y z x y zA xA yA zA B xB yB zB= + + = + +

ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( )x x y y z zA B x A B y A B z A BrArr + = + + + + + （4-14）

A B 內積 3

1x x y y z z i i

i

A B A B A B A B A B=

sdot = + + =sum （4-15）

Pf3 3 3 3 3 3 3

1 1 1 1 1 1 1

ˆ ˆ ˆ ˆ( )i i j j i i j j i ij j i ii j i j i j i

A B e A e B A e e B A B A Bδ= = = = = = =

⎛ ⎞sdot = sdot = sdot = =⎜ ⎟

⎝ ⎠sum sum sum sum sum sum sum

（4-14）式的內積由 A B 的「分量」表出分量與座標系有絕對的關

係（4-14）與（4-5）式的內積的定義不一樣然結果相同兩者的

等價可以證明如下令ϕ 為 B 與 x-軸的夾角

i i x x y yA B A B A B= +sum

4-6

cos( ) cos sin( ) sin[cos( )cos sin( )sin ]cos[ ]cos

A B A BABABAB

θ ϕ ϕ θ ϕ ϕθ ϕ ϕ θ ϕ ϕθ ϕ ϕθ

= + sdot + + sdot= + + += + minus=

QED

Ex2 若 ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ3 2 2 A x y z B x y z= minus + = + minus 判斷 vector A B 是否相互垂

直解(a) A Bsdot ＝3-2-2＝-1 0ne 所以不相互垂直

Ex3 If ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ3 2 yA x y z B x B y z= minus + = + minus find yB such that A Bperp

解let 0A Bsdot = =3- yB -2rArr yB =1

向量 A 的大小(magnitude)由內積定義

( )

2 2 2 2 0

ˆˆ ˆ 1

x y z ii

A A A A A A

or A A A i j k

equiv = + + = ge

= sdot = = =

sum

∵(4-16)

除了避免誤解為了方便往後我們只用

A 來表示向量 A 的大小 ie A A=

Ex4 If ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ3 2 2 A x y z B x y z= minus + = + minus (a)find A and B (b) A B 之夾角

解(a) 2 2 23 1 2 14 1 4 1 6A B= + + = = + + =

(b) 3

1

1 cos 14 6 cosi ii

A B A B AB θ θ=

sdot = = minus = = timessum

01cos 168 96384

radθ θminusrArr = rArr = asymp

任意非零 vector 向量 A其方向的單位向量

ˆ AAA

= （4-17）

such that A也可以寫為 ˆ

i ii

A AA e A= =sum （4-18）

4-7

Ex5 Given ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ3 2 2 A x y z B x y z= minus + = + minus find unit vector ˆ ˆA B

解

ˆ ˆ ˆ3 2 3 1 2ˆ ˆ ˆ ˆ14 14 14 14

ˆ ˆ ˆ2 1 2 1ˆ ˆ ˆ ˆ6 6 6 6

A x y zA x y zAB x y zB x y zB

minus += = = minus +

+ minus= = = + minus

前面討論過若θ 為 A B 之夾角則 cosA θ 為 vector A 在 B 方向的

投影或稱 B 方向的分量由內積的定義可以得到 ˆ| | 1B =∵

ˆ ˆ| | cos cosA B A B Aθ θsdot equiv = （4-19）

Ex6 Following ex5 find BA which is the component of A along the direction of B

解for 1 2 1ˆ ˆ ˆ ˆ6 6 6

B x y z= + minus

ˆBA A B= sdot = ( ˆ ˆ ˆ3 2x y zminus + ) 1 2 1 1ˆ ˆ ˆ

6 6 6 6x y z minus⎛ ⎞sdot + minus =⎜ ⎟

⎝ ⎠

換言之要找向量 A在任意方向u 的分量 uA 就先找出u 方向的單位

向量 ˆue ˆu uA A e= sdot Ex 7 求向量 ˆ ˆ ˆ2B x y z= + minus 在 ˆ ˆ ˆu x y z= + + 方向的分量 uB

解單位向量 ˆ ˆ ˆˆ3

x y zu + +=

ˆ ˆ ˆ 2ˆ ˆ ˆ ˆ( 2 )3 3u

x y zB B u x y z + += sdot = + minus sdot =

習題 1 Given ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ2 3 2 2 A x y z B x y z= minus + minus = minus minus (a) find | |A | |and B (b) angle ( A B ) (c) the component of B in the direction of A 向量場 vector field

若在一空間的每一點都定義一個向量 A則稱該空間存在向量場

( )A x y z 或 ( )A r 我們熟知的電場 ( )E x y z 磁場 ( )B x y z 重力場

( )g x y z 等都是向量場向量場 ( )A x y z 的各分量也都是位置的函數

ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( )x y zA x y z A x y z x A x y z y A x y z z= + + （4-20）

要注意除了少數特例一般向量場的各分量例如 x-分量 Ax 並非

只是 x 的函數而是(xyz)的函數特例之一為空間中每一點(x y z)

4-8

皆對應一「位置向量」 ˆ ˆ ˆr xx yy zz= + +

所以向量場 ( )A x y z 也可表為 ( )A r

Ex 8 給定一向量場 ( )A x y z = 2 2 3ˆ ˆ ˆ( )A x y z y x x zy xz z= + + (a) find

A 1 and A 2 which are vector A at position P1(2 1 5) and P2(3 0 1)

解(a) A 1= A (2 1 5) 2 2 3ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ1 (2 5) (2 5 ) 20 250x y z x y z= + times + times = + +

A 2= 2 3ˆ ˆ ˆˆ ˆ(301) 0 (3 1) (3 1 ) 9 3A x y z y z= + times + times = +

(b) Find the unit vector 1 2ˆ ˆr r and 12r for position vectors of points P1

P2 and 1 2PP

解for P1 1r = ˆ ˆ ˆ2 5x y z+ + 1ˆ ˆ ˆ2 5ˆ

30x y zr + +

rArr =

for P2 2 2ˆ ˆ3ˆ ˆˆ310

x zr x z r += + rArr =

1 2PP = 12ˆ ˆ ˆ4ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ(3 2) (0 1) (1 5) 4

18x y zx y z x y z r minus minus

minus + minus + minus = minus minus rArr =

Note 1 2 2 1PP r r= minus but 12r 2 1ˆ ˆr rne minus why Draw a diagram

(c) Find the component of A 1 along the direction of the 1 2PP

解 1 12ˆ ˆ ˆ ˆ( 20 250 )A r x y zsdot = + + sdotˆ ˆ ˆ4

18x y zminus minus =1 20 1000 1019

18 18minus minus minus

=

3-D 向量 A的分量

A 3-D vector A is uniquely specified by

given its magnetude A and direction ( θ ϕ 稱為

「方向角」)或者就是完整說明 xyz 三個分量

（Ax Ay Az）兩者轉換如下

4-9

cossin cossin sin

0 0 0 2

z

x

y

A AA AA A

A

θθ ϕθ ϕ

θ π ϕ π

===

gt le le le le

（4-21）

A B 的外積向量積叉積（vector productcross product）

由 A B 的本質與相對夾角定義向量外積

ˆ sinA B nAB θtimes equiv （4-22a）

其中的 n 是一個同時垂直於 A B 的單位向量其方向由右手定則定

之舉例

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆsin 90 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 0x y z z x z y y z xx x y y z ztimes = deg = times = minus times =times = times = times =

相互平行或反平行的二向量外積為 0因為 sin(0)=sin(1800)=0

BA 的外積也有另一個等價的定義

ˆ ˆ ˆ(4 22 )

( ) (4 23)

x y z

x y z

i ijk j kj k

x y zA B A A A b

B B B

A B A Bε

times = minus

times = minussum

上式中的 ijkε 稱為 Levi-Civita symbol（猶太裔義大利人Ci 發音同

chi） ijkε ＝0 若 ijk 中有任二數相同例如 211 131 223 0ε ε ε= = = 若 ijk

為相異的 3 個數則 ijkε =(-1)p p 是 ijk 相鄰兩數互換成為 123 的「置

換數」例如 ijk=231則 213 123rarr rarr p=2 2231 ( 1) 1ε = minus = 又如 ijk

＝321 則 312 132 123rarr rarr rarr p=3 所以 3321 ( 1) 1ε = minus = minus

4-10

Ex 9 ˆ ˆ ˆ4 5A x y z= + + ˆ ˆ3B x z= +

ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ1 4 5 (4 5) (15 1) (0 12) 14 12

3 0 1

x y zA B x y z x y ztimes = = minus + minus + minus = minus + minus

ex 10 ˆ ˆ ˆ4A x y z= minus minus + ˆ ˆ ˆ2B x y z= minus minus ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ1 1 4 (1 4) (8 1) (1 2) 5 7 3 2 1 1

x y zA B x y z x y ztimes = minus minus = + + minus + + = + +

minus minus

由（4-21b）可以容易看出

( ) ( )x y z

x y z

x y z

C C CC A B A B C A A A

B B Bsdot times = times sdot = （4-24）

明顯的 in general 外積不滿足交換率與結合率

( ) ( )A B B A B AA B C A B Ctimes = minus times ne times

times times ne times times (4-25)

兩個有用的恆等式(identity)

1 triple scalar product 純量三重積

( ) ( ) ( )A B C C A B B C Asdot times = sdot times sdot = sdot times (4-26)

上式中的 3 項運算 A B C 的順序是循環的(cyclic)ie ABC CAB

BCA3 項皆為以 A B C 為鄰邊的平行 6 面體的體積

Pf 若 B C 夾角＝ϕ rArr ˆ sinB C nBC ϕtimes =

其中 sinBC ϕ ＝以 B C 為兩邊的平行

四邊行面積 n perp B C

若 ˆA n 夾角＝θ ˆ cosA n A θrArr sdot =

＝垂直於 B C 平面的高

there4 ( )A B Csdot times ＝以 A B C 為鄰邊的平行

4-11

六面體的體積由於 3 鄰邊 A B C 的順序可以任選所以體積可藉由

（4-24）式之「絕對值」算出

Ex 11 一平行六面體 H 的相鄰三邊由 ˆ ˆ ˆ4 5A x y z= + + ˆ ˆ3B x z= +

與 ˆ ˆ ˆ2C x y z= minus + minus 表出求 H 之體積 HV

解let 1

2 1 11 4 5 183 0 1

CD A

B

minus minus= = = or 2

1 4 52 1 1 18

3 0 1

AD C

B= = minus minus = minus

1 2| | 18HV D D= = = 1D 與 2D 差一個負號不令人驚奇因為行

列式 2D 是由 1D 的第一列與第二列交換而來

2 triple vector product 向量三重積

( ) ( ) ( )A B C B A C C A Btimes times = sdot minus sdot (4-27)

上式有一別號稱為 back-cab(回頭車) rule先舉例說明上式成立

Ex12 ˆ ˆ ˆ4 5A x y z= + + ˆ ˆ3B x z= + ˆ ˆ ˆ4C x y z= minus minus

ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ3 0 1 (0 1) (1 12) ( 3) 13 3

1 1 4

x y zB C x y z x y ztimes = = + + + + minus = + minus

minus minus

ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ( ) 1 4 5 ( 12 65) (5 3) (13 4) 77 8 9

1 13 3

x y zA B C x y z x y ztimes times = = minus minus + + + minus = minus + +

minus

ˆ ˆ1 4 20 23 ( ) 69 23A C B A C x zsdot = minus minus = minus rArr sdot = minus minus

ˆ ˆ ˆ3 5 8 ( ) 8 8 32A B C A B x y zsdot = + = rArr sdot = minus minus

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ( ) ( ) 69 23 (8 8 32 ) 77 8 9B A C C A B x z x y z x y zsdot minus sdot = minus minus minus minus minus = + + QED

The proof of ( ) ( ) ( )A B C B A C C A Btimes times = sdot minus sdot

Pf Note that ( )B C B Ctimes perp 平面then ( )A B C B Ctimes times perp times∵ （ ）

( ) A B C D B CrArr times times equiv 躺在（ ）平面 所以 D 可由 B C 組合令

4-12

D B Cα β= + 由於 D 也與 A垂直所以

0A Dsdot = ( ) ( )A B A Cα β= sdot + sdot rArr

let ( ) ( )v v A C v A BA C A Bα β α βminus

= = rArr = sdot = minus sdotsdot sdot

( ) [( ) ( ) ]D A B C B C v A C B A B Cα βthere4 = times times = + = sdot minus sdot

v 會＝1上式對 x 做內積

ˆ ˆ ˆ[ ( )] [( ) ( ) ]

[( ) ( ) ]x x

x A B C v A C B x A B C x

v A C B A B C

sdot times times = sdot sdot minus sdot sdot

= sdot minus sdot

由於內積與外積都是向量間的運算所以上式左邊有

ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ( )x y z x y z

x y z x y z

x y z A x A y A zB C B B B A B C B B B

C C C C C C

times times timestimes = rArr times times =

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( ) 0ˆ [ ( )]

z y

x y z x y z

x y z x y z

x A x x A y x A z A Ax A B C B B B B B B

C C C C C C

sdot times sdot times sdot times minusrArr sdot times times = =

上式用到

ˆ ˆ( ) 0x A xsdot times = ˆ ˆ( )x A ysdot times ＝ ˆ ˆ( ) zA y x Asdot times = minus ˆ ˆ( )x A zsdot times ＝ ˆˆ( ) yA z x Asdot times =

用第 3 列展開行列式得

ˆ [ ( )] ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

x x x y y x z z x

x x x x y y z z x x x x x x

x x

x A B C C A B A B C A B C A B

C A B A B B C A C A C A B A B B A C C A

C A B B A C

sdot times times = minus sdot + + +

= minus sdot + + + = minus sdot + + sdot minus

= minus sdot + sdot1 ( ) ( ) ( )v A B C B A C C A BrArr = rArr times times = sdot minus sdot QED

向量的微分元素（直角座標）

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( ) [( ) ]

ˆ ˆ ˆ

i i i i i i i i i ii i i i

x y x

dA d e A d e A de A e dA e dA

or dA xdA ydA zdA

⎛ ⎞= = = + =⎜ ⎟

⎝ ⎠= + +

sum sum sum sum （4-28）

4-13

上面用了直角座標最方便的性質 ie 為常數 ˆ 0iderArr = 舉「位置向量」

為例

2 2 2 2 2 2 2 2

ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ

ˆ ˆ ˆˆ i i

i x y zi

r xx yy zz dr xdx ydy zdzdr dx dy dzv x y z e xdt dt dt dt

v v v x x y z v v v

= + + rArr = + +

rArr = = + + =

rArr = sdot = = + + = + +

sumsum

（4-29）

sect 42 曲線座標(curvilinear coordinates)

(A) 平面「極座標」polar coordinates ( )r θ

在平面上的一點 P 的直角座標若為(x y)我們可以有另一種標示法

( ) 0 [0 )

[02 ]r P x y r r

x rθ θ π

equiv ge isin infin⎧⎨

equiv isin⎩

由原點到 之距離

軸到 的夾角 （4-30）

以 P )( θr 為座標表同一點 P(xy) )( θr 稱為 P 點的「極座標」「極座

標」與「直角座標」的關係如下

2 2

cos

sintan

r x y x randy y r

x

θθθ

⎧ = + =⎧⎪⎨ ⎨ == ⎩⎪⎩

（4-31）

但是 )( θr 這兩個新座標的單位向量 ˆˆr θ 在什麼方向我們先來回顧

一下座標軸的單位向量的「制訂標準」是

什麼事實上某座標的單位向量的方向

訂在「垂直於該座標『等值面』且指向

該『座標值增長』的方向」舉「直角座

標」為例如右圖由於 x y 軸皆為直線

4-14

所以「等值面」都是平行的平面所以垂直方向皆相同也造成單位

向量 ˆ ˆx y 為常數

由左圖可以看出極座標裡 r 的等值面是一

個圓所以單位向量 r 是「沿徑向向外」但

是隨圓上θ 有所變動時 r 也隨著改變所以 r

「不是一個常量」 ˆ ˆ( )r r θ= 是角度θ 數

如左圖也可看出θ 的等值面為直線所以單位

向量θ 是「沿『切線』逆時針」方向

但如同 r 一樣當θ 值改變時θ 的方向

也改變了所以θ 也「不是一個常量」

)(ˆˆ θθθ = 也是角度θ 的函數可以看出

固定θ 時 ˆr θperp 但是她們都與「角座標」θ 有關由於她們的指向

有時 r 被稱為「沿徑向」之單位向量θ 被稱為

「沿切線」之單位向量極座標和直角座標還

有一個很大的差別就是直角座標的 x y z 的

因次都是「長度」所以當座標改變時 dx dy dz

就是「長度」的改變然而極座標的 r 有長度因

次所以 dr 是長度但是θ 只是一個數字而非長度所以當θ 改變時

dθ 並不代表一個長度的變化dθ 造成的長度變化寫為

d h dθ θ θ= （4-32）

其中的係數hθ 稱為「度量係數」(metric coefficient)很顯然這裡的hθ

必須具有長度的因次「長度」之所以重要是因為位移是長度各個

座標的度量係數我們會在後面仔細討論

座標系的選用以方便為準系統的對稱性是重要的考量所以有

立方對稱的系統通常用直角座標而有圓對稱的系統則用極座標

4-15

Ex13 半徑 5圓心在原點的圓方程式在直角座標為 2 2 25x y+ =

但是在極座標就是 5r = 而已

位置位移速度與加速度

直角座標的描述很簡單

ˆ ˆˆ ˆ

ˆ ˆ

r xx yy

r xx yy

dr dxx dyy

= +

Δ = Δ + Δ

= +

位置

位移

位移元素

（4-33）

2 2

2 2

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( )

ˆ ˆ( )

ˆ ˆ ˆ ˆ( )

x ydr dx dyv t x y xx yy v x v ydt dt dt

dv t dxx dyydv dx dy d x d ya t i j i jdt dt dt dt dt

rArr = = + = + = +

rArr = +

rArr = = + = +

瞬時速度

速度變化元素

瞬時加速度

（4-34）

在極座標由於單位向量 θr 不再是常數 ˆˆ 0 0dr dθrArr ne ne 所以

ˆ

ˆ ˆ( )ˆ ˆ

r rrr r r r r

dr drr rdr

=

Δ = Δ + Δ

rArr = +

位置

位移

位移元素

(4-35)

現在有一個問題 ˆ dr = 由下圖 r 的變化由 dθ 而來

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( )ˆ ˆ

ˆˆ ˆ ˆ0 ( ) ˆˆ

r r dr r d rdr r d d

d dr r dr

dr d

θ θ θ θθ θ

θ θ θ

θθ

= rArr = + minus

= =

rarr rArr perp rArr

rArr =

∵

∵ (4-36)

4-16

所以微分的位移為

ˆˆdr drr rdθθ= + （4-37）

上式的幾何意義很清楚dr 的 r 分量 dr 就是「沿

r 方向的長度變化」而θ 分量 rdθ 就是「沿θ 方

向的長度變化」而已或者也可以這麼看dr 是

一個位移向量在平面上有 r 和θ 兩個分量所以 ˆˆrdr d r d θθ= +

α 為在 r 方向的長度變化β 為在θ 方向的長度變化所以 rd dr=

d rdθ θ= 這種分析方法可以用在各種座標系這裡也可以看出

和（4-32）式角度變化dθ 造成的長度變化d h dθ θ θ= 相比可以得出

θ 的度量係數h rθ = 與直角座標比較 ˆ ˆdr dxx dyy= + dx 與 dy 不也就

是dr 在 x 與 y 方向的長度變化嗎

Now 速度

ˆˆ

ˆ ˆˆ ˆr

dr dr dv r rdt dt dtrr r v r vθ

θ θ

θθ θ

= = +

= + equiv + （4-38）

其中ddtθθ ω= = 亦稱為「角速度」

Ex14 圓周運動因為只有切線速度所以由（4-38）式 ˆ ˆ0

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( ) = ( ) ( ) ( 0)

r R r v r R

dv dr r d r d r d r d dr

θθ ωθ

θθ θ θ θ θ θ θ θ θ

= rArr = rArr = =

rArr = + + + =

∵

∵

（ 切線速度）(4-39)

這裡又冒出個問題

ˆ dθ = 由左圖

ˆ ˆ

ˆ ˆ0

d d d

d d

θ θ θ θ

θ θ θ

= =

rarr rArr perp

4-17

ˆ ˆ ˆ ˆ

d r

d d r

θ

θ θ

rArr minus

rArr = minus (4-40)

2

2

ˆˆ( ) ( )

ˆˆ

ˆ ˆˆ ˆ( ) ( )ˆˆ ( ) ( )

r

dv r d r r d

dv d da r r rdt dt dt

a r r r a r a

or a r r rθ

θ θ θ θ

θ θθ θ

θ θ θ θ

ω α θ

rArr = minus +

⎛ ⎞⎛ ⎞rArr = = minus +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

rArr = minus + equiv +

= minus +

(4-41)

上式即為圓周運動的加速度其中的第一項

2

2 ˆ ˆrva r r rr

ω minus= minus = 向心加速度 (4-42a)

with α θ= 可以認出是角加速第二項

ˆa rθ αθ= 切線加速度 (4-42b)

如進一步簡化為「等速圓周運動」 ==rArr θω constant 0==rArr αθ rArr切線

加速消失那麼加速度就只剩下了熟知的向心加速度2

ˆrva rrminus

= 了

若考慮一般的情況 dr 0ne 可以導出用極座標表示的加速度為

2

ˆ ˆ ˆ ˆˆ( ) ( ) ( ) ( )

ˆˆ( ) (2 )

dv dr r r d dr r d r ddva r r r r rdt

θ θ θθ θ θ θ θ

θ θ θ θ

= + + + +

rArr = = minus + + （4-43）

看起來有點繁但是在有圓形對稱的系統極座標會表現得更清楚

面積微分元素

直角座標把平面分割成一個個的

小方塊也就是依照「x 與 y 方向的

長度變化」可以寫出「面積元素」

dA dx dy= sdot （像是切長方形的蛋糕）

比較 ˆ ˆdr dxx dyy= + 可以看出

dA＝(x-方向的長度變化)times(y-方向的長度變化)

4-18

所 以 在 「 極 座 標 」 比 照 辦 理

ˆˆ ˆ( ) ( )dr dr r rdr dr r rdθθ= + = +

dA dr rd rdrdθ θ= sdot = (4-44)

像是切圓形蛋糕

ex15 求一個半徑 R 的圓的面積

解 2 2

2

0 0

22

R RA dA rdrd rdr d Rπ

θ θ π π= = = = sdot =int intint int int

妳可以試試用直角座標dA dx dy= sdot 算一下圓的面積

Ex16 求一個半徑 R質量 M密度σ 的均勻圓盤繞其直徑的轉動慣

量解 質量元素 dAdm σ= 到轉軸（直徑）的距

離 sinr θ=

2 2 2 2

23 2

0 0

4 22 2

sin

sin

14 4 4

R

I dm dA r rdrd

r dr d

R RR MR

π

σ σ θ θ

σ θ θ

σ π σπ

= = =

=

= = =

int int intintint int

娛樂一下算半個圓盤繞通過圓心且垂直盤面的軸的轉動慣量

ex 17 計算積分2xI e dx

infinminus

minusinfin

= int

解 2 2

0

2x xI e dx e dxinfin infin

minus minus

minusinfin

= =int int2 22

0 0

2 2x yI I I e dx e dyinfin infin

minus minusrArr = sdot = sdotint int

2 2 2 22

2 ( )

0 0 0 0 0 0

4 4 4x y r rI e dxdy e dA e rdr d

π

θinfin infin infin infin infin

minus + minus minusrArr = = =int int int int int int

在上面的積分裡我們運用了一個有關「無窮大平面」的技巧就是「無

4-19

窮大的平面」是可以是「正方形」或是「圓形」的

2

2

22

00 0 0

22

4 2 2( )2 2 2

(4 45)

u u u

x

dulet u r du rdr rdr

duI e d e du e

I e dx

π

π πθ π

π

infin infininfinminus minus minus

infinminus

minusinfin

= rArr = rArr =

rArr = = sdot = minus sdot =

rArr = = minus

int int int

int

ex18 重力位能

由位能差的定義 )()()( BAWBUAU rarrequivminus

（B）圓柱座標 cylindrical coordinates

3D 空間點 P(x y z)的位置向量 ˆ ˆ ˆr xx yy zz= + +

定義「圓柱座標」 ( )zρ ϕ 其中

0 [0 )P zρ ρ ρequiv ge there4 isin infin點 到 軸之垂直距離

ϕ ρequiv 在 x-y 平面的投影與 x 軸之夾角 [02 ]ϕ πisin

z zequiv同直角座標的

4-20

「圓柱座標」就是「極座標」（用 ( )ρ ϕ 取代 ( )r θ ）再加上第三維 z

所以圓柱座標 ( )zρ ϕ 裡 zρ 的因次為長度而ϕ 只是一個數字

( )zρ ϕ 與(x y z)間的轉換如下

2 2 cos

tan sin

x yx

y yx

z zz z

ρρ ϕ

ϕ ρ ϕ

⎧ = +=⎪ ⎧

⎪ ⎪= =⎨ ⎨⎪ ⎪ =⎩=⎪⎩

（4-46）

「圓柱座標」的三個方向單位向量 ˆ ˆ ˆ zρ ϕ 如圖

且 ˆ ˆ zρ ϕperp perp 可以看出ρ 的等值面為一個圓柱

面ϕ 的等值面是一扇門z 的等值面為一個垂

直 z 軸的平面但是

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( ) zρ ρ ϕ ϕ ϕ ϕ= = =常數

柱座標的位置向量 r 如左圖

ˆ ˆr zzρρ= + （4-47）

在柱座標寫位移元素dr 有兩種作法一

種是直接由（4-47）式取微分元素 借用

平面極座標的結果可得

ˆ ˆ ˆ( ) ( )

ˆ ˆ ˆdr d d dzz

d d dzzρ ρ ρ ρ

ρρ ρ ϕϕrArr = + +

= + + （4-48）

但也可以由三個座標方向的

位移來看由左圖可得沿 ρ 方向

的長度變化 ie 當座標ρ 有變

化dρ 時產生的長度變化就是

dρ 沿ϕ 的長度變化為 dρ ϕ

而沿 z 方向的長度變化為 dz

4-21

dr 是一個向量有三個分量ρ -分量就是沿 ρ 方向的長度變化

dρ ϕ -分量沿ϕ 的長度變化為 dρ ϕ 而 z-分量就是沿 z 方向的長度變

化為 dz合併寫出

ˆ ˆ ˆdr d d dzzρρ ρ ϕϕ= + +

與（4-48）式完全相同但是這種由幾何角度得到的結果要更方便

也更直觀Fig 27 非常重要因為只要你能把圖畫出來位移的各

分量就寫得出來有了位移元素dr 速度與加速度就可得出

ˆ ˆ ˆ (4 49)

ˆ ˆ ˆ( ) (2 ) (4 50)

drv zzdtdva zzdt

ρρ ρϕϕ

ρ ρϕ ρ ρϕ ρϕ ϕ

rArr = = + + minus

rArr = = minus + + + minus

由上圖與dr 的 3 個分量可得圓柱座標的體積元素

dV d d dz d d dzρ ρ ϕ ρ ρ ϕ= sdot sdot = （4-51）

ex19 底面半徑 R高 h 的圓柱體積＝ 2 2

2

0 0 0

22

R h RV dV d d dz h R hπ

ρ ρ ϕ π π= = = sdot sdot =int int int int

ex20 底面半徑 R高 h 的「圓錐」體積＝

解本圓錐裡點的座標分佈為 [02 ] [0 ]z hϕ πisin isin ( )zρ ρ=

( ) ( )( )

h z h Rz h zz R h

ρρminus

= rArr = minus

22( )( ) 2 2

0 0 0 0 0 0

002 2 2 3 2 32 2 2

2 2 2 20

( )2 2

2

1( )3 3 3

R h zzh h hh

h

h h

R h zhV d dz d d dz d dz

R R R u R hh z dz u du R hh h h h

ρ π

τ ρ ρ ϕ π ρ ρ π

π π π π π

minus

minus minus

minusthere4 = = = =

= minus = = = =

int int int int int int int

int int

如果我們把 3-D 的三個座標寫為 1 2 3( )u u u 或 123iu i = 當座

標 ui(在 ˆiu 方向)變動 dui 時造成的長度變化為 id 則定義

4-22

i i id h duequiv (4-52)

其 中 hi 稱 為 座 標 ui 的 度 量 係 數 (metric

coefficient)由 zρ 的因次為長度所以 zρ 的變

化 d dzρ 就是長度的變化所以 1 1zh hρ = =

然而ϕ 的變化造成的長度變化為

d d hϕ ϕρ ϕ ρ= rArr = (4-53)

很明顯的直角座標 xyz 都是長度所以度量係數 1x y zh h h= = =

(C) 球座標 spherical coordinates

3D 點 P(x y z)的位置向量 ˆ ˆ ˆr xx yy zz= + + 定義

「圓柱座標」 )( ϕθr 其中

[0 ] [0 ]

[02 ]

r P rr zr x y x

θ θ πϕ

ϕ π

⎧ equiv isin infin⎪

equiv isin⎪⎨

equiv minus⎪⎪ isin⎩

原點到 的距離

與 軸的夾角

在 軸投影與 軸的夾角

球座標的ϕ 與住座標的ϕ 相同

( )r θ ϕ 與(x y z)間的轉換如下下列為（4-54）

2 2 2

2 2 2

sin coscos sin sin

cos

tan

r x y zx r

z y rx y z z r

yx

θ ϕθ θ ϕ

θ

ϕ

⎧⎪ = + +⎪ =⎧⎪ ⎪= =⎨ ⎨

+ +⎪ ⎪ =⎩⎪⎪ =⎩

三個座標的單位向量 )ˆˆˆ( ϕθr 如左圖一可以看

出 r 的等值面是一個球面θ 的等值面為一個

以原點為頂點的圓錐ϕ 的等值面為一扇門

位置向量 ˆr rr= （4-55）

4-23

位移由 ˆ ˆˆ( )r θ ϕ 3 個方向的「長度

分量」可得 ˆ ˆˆ ( ) ( sin )dr rdr rd r dθ θ ϕ θ ϕ= + +

（4-56）

所以體積元素

2

( )( sin )(sin )

d dr rd r dr dr d d

τ θ θ ϕ

θ θ ϕ

=

= （4-57）

Fig 31 和 Fig 27 一樣重要只要

你能畫得出來就可以寫出球座

標位移的三個分量

ex21 求一半徑 R 的球體積 2

2 2 3

0 0 0

4sin sin3

R

V d r dr d d r dr d d Rπ π

τ θ θ ϕ θ θ ϕ π= = = =int intintint int int int

ex22 求一質量 M半徑 R密度 ( )3 4 3M Rρ π= 的實心球對直徑

旋轉的轉動慣量

解質量元素 2 sindm d r dr d dρ τ ρ θ θ ϕ= = 到 z 軸的垂直距離為 sinr θ=

22 4 3

0 0 0

5 52

sin

4 8 225 3 15 5

RI dm r dr d d

R R MR

π πρ θ θ φ

πρ π ρ

= =

= sdot sdot = =

intintint int int int

娛樂一下空心球對直徑的轉動慣量

(4-46)式與(4-54)式說明柱座標和球座標與直角座標之間的轉

換Fig 32 可得出柱座標和球座標之間轉換

2 2

sintan

cos

r zr

zz r

ρρ θ

ρϕ ϕ θθ ϕ ϕ

⎧ = += ⎪⎧

⎪ ⎪= =⎨ ⎨⎪ ⎪=⎩ =⎪

⎩

（4-58）

4-24

Ex23 點 P 的球座標為（31200 600）求柱座標＝

解2 3 33sin3 2πρ ⎛ ⎞= =⎜ ⎟

⎝ ⎠

23

ϕ π= 2 33cos3 2

z π minus⎛ ⎞= =⎜ ⎟⎝ ⎠

直角座標柱座標球座標單位向量之間的轉換

三種座標之間的轉換由(4-46)式(4-54)式與（4-58）式表出但

三種座標裡的的三個單位向量 ˆ ˆ ˆ x y z ˆ ˆ ˆ zρ ϕ ˆ ˆˆ r θ ϕ 若以 123ˆ iu =

表示則單種座標的單位向量之間都有正交歸一關係

ˆ ˆi j iju u δsdot = 與外積的循環關係

ˆ ˆ ˆ i j ku u u i j ktimes = cyclic in 123

ie 1 2 3 2 3 1 3 1 2ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ u u u u u u u u utimes = times = times = or ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆˆ ˆ r z z x yθ ϕ ϕ ρtimes = times = times =

然而不同座標系的單位向量之間關係如何我們畫圖來討論

球座標 ˆ ˆˆ( )r θ ϕ rarr直角座標 ˆ ˆ ˆ( )x y z

單位向量都是用來指方向的球座標的 ˆ ˆˆ( )r θ ϕ 都是「方向角」( )θ ϕ

的函數 r 在直角座標可以由 Fig33 看出

ˆ ˆ ˆ ˆsin cos sin sin cosr x y zθ ϕ θ ϕ θ= + + （4-59）

ex24 P 點的球座標為2 75 3 6π π⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠

試用球座標與直角座標求 P 點的位

置向量的單位向量 解位置向量 ˆr rr= 在球座標只有 r-分量標位置仔細一點把方向

角標出2 7ˆ 3 6

r π π⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

通常只是寫 r 令人有點摸不著頭緒用直角

4-25

座標比較「具像」 2 7 2 7 2ˆ ˆ ˆ ˆsin cos sin sin cos3 6 3 6 3

3 3 1ˆ ˆ ˆ4 4 2

r x y z

x y z

π π π π π⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞minus minus minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + +⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

單位向量θ 在某一組 ( )θ ϕ 的指向如 Fig 34a將θ 平移至原點更清楚

Fig34b 是由側面看 Fig34a可以看到θ 在 z 軸的投影為 sinθminus 而θ 在

x-y 平面的投影為cosθ使得θ 在 x-軸的投影為cos cosθ ϕy-軸投影

為cos sinθ ϕ於是

ˆ ˆ ˆ ˆcos cos cos sin sinx y zθ θ ϕ θ ϕ θ= + minus （4-60）

單位向量ϕ 如 Fig 35a 所示是在 x-y 平面畫出

Fig 35b 為自 z 軸向下看 Fig35a 圖可以看出ϕ 在 z 軸投影為 0且

ˆ ˆ ˆsin cosx yϕ ϕ ϕ= minus + （4-61）

ex25 一個質點的速率為 2( ) ( sin tan )v r rθ ϕ θ ϕ= 若經查該質點的運

動 是 在 z = 3 平 面 做 逆 時 針 圓 周 運 動 則 當 位 置 的 方 向 角

4-26

2( ) 4 3π πθ ϕ ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

時計算其速度用球座標與直角座標表出

解圓運動速度方向是沿切線所以球座標 ˆ ˆ( )v v v rϕ θ ϕ ϕ= =

z = 34πθ =

3 3 21cos cos 24

z zrπθ

rArr = = = =⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

所以該處的瞬時速率

2 2

2( ) 3 3 4 3

2 1 813 3sin tan 3 3 ( 3)4 3 22

v r v π πθ ϕ

π π

⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

⎡ ⎤ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = times minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

2 81 2ˆ3 3 4 3 2 4 3

v r π π π πθ ϕ ϕ⎛ ⎞ ⎛ ⎞rArr = = = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

在直角座標2 2 2ˆ ˆ ˆ sin cos

4 3 3 3x yπ π π πϕ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠3 1ˆ ˆ

2 2x y= minus minus

而且點23 3

4 3π π⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠

的直角座標為

2 1 3 3sin cos 3 3sin cos 3 34 3 2 22 2

x r π πθ ϕ minus minus⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

2 3 9sin sin 3 3sin sin 3 34 3 2 2 2 2

y r π πθ ϕ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = = =⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

z = 3

23 3 4 3

v π π⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

3 3 9 81 3 1ˆ ˆ 32 2 2 2 22 2

v x y⎛ ⎞ ⎛ ⎞

rArr = minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

以上兩個例子都只討論只有一個圓座標分量的向量in general 向量

ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( )r x y zA r rA A A A r xA yA zAθ ϕθ ϕ= + + hArr = + + （4-61）

若已知球座標的分量 ( )rA A Aθ ϕ 如何得到直角座標的

( )x y zA A A

4-27

ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( )ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( )

ˆ ˆˆˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( )

x r

y r

z r

A x A r x r A x A x A

A y A r y r A y A y A

A z A r z r A z A z A

θ ϕ

θ ϕ

θ ϕ

θ ϕ

θ ϕ

θ ϕ

⎧ = sdot = sdot + sdot + sdot⎪⎪ = sdot = sdot + sdot + sdot⎨⎪

= sdot = sdot + sdot + sdot⎪⎩

（4-62）

由式（4-59）（4-61） ˆ ˆ ˆ ˆsin cos sin sin cosr x y zθ ϕ θ ϕ θ= + + （4-59） ˆ ˆ ˆ ˆcos cos cos sin sinx y zθ θ ϕ θ ϕ θ= + minus （4-60）

ˆ ˆ ˆsin cosx yϕ ϕ ϕ= minus + （4-61） ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆsin cos cos cos sin ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆsin sin cos sin cos ˆ ˆˆˆ ˆcos sin 0

x r x x

y r y y

z r z z

θ ϕ θ θ ϕ ϕ ϕ

θ ϕ θ θ ϕ ϕ ϕ

θ θ θ ϕ

⎛ ⎞sdot = sdot = sdot = minus⎜ ⎟

rArr sdot = sdot = sdot =⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟sdot = sdot = minus sdot =⎝ ⎠

（4-63）

sin cos cos cos sin sin sin cos sin cos

cos sin 0

x r r

y RS

z

A A AA A M AA A A

θ θ

ϕ ϕ

θ ϕ θ ϕ ϕ

θ ϕ θ ϕ ϕ

θ θ

⎛ ⎞minus ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟rArr = equiv⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟minus⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

（4-64）

其中 SRM 為由球座標分量轉為直角座標分量的轉換矩陣且行列式

det SRM =1 表示反矩陣存在then 1SRM minus 就是將直角座標分量轉為球座

標分量之轉換矩陣其實嚴格講 (4-64)式還不是最終的表示因為

轉換完的直角

座標應該全部以 x y z 表出這裡保留用 θ ϕ 只是為了簡潔方便

習題 2 Find 1SRM minus

習題 3 用 xyz 表出(a)sinθ (b)cosθ (c)sinϕ (d)cosϕ

Ans (a)2 2

2 2 2sin

x yx y z

θ+

=+ +

(b)2 2 2

cos zx y z

θ =+ +

(c)2 2

sin yx y

ϕ =+

(d)2 2

cos xx y

ϕ =+

習題 4 用上面結果將 SRM 用 xyz 表出

Ex26 Given a field ( )A r θ ϕ ＝ ˆ ˆˆ2 3r θ ϕ+ minus in spherical coordinates

find the field in rectangular coordinates （直角座標）

4-28

解這裡的 ( )A r θ ϕ 不因其三個分量都是常數而只是「一個」向量

而是一 vector field這是因為 ˆ ˆˆ r θ ϕ 都不是定值而與 θ ϕ 有關而如

果 ( )A r θ ϕ 表示則單位向量所對應的角度 θ ϕ 必須要標定所以

sin cos cos cos sin 2sin sin cos sin cos 3

1cos sin 0

x

y

z

AAA

θ ϕ θ ϕ ϕ

θ ϕ θ ϕ ϕ

θ θ

⎛ ⎞minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ minusminus⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

(2sin 3cos )cos sin(2sin 3cos )sin cos

2cos 3sin

x

y

z

AAA

θ θ ϕ ϕθ θ ϕ ϕ

θ θ

+ +⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟rArr = + minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟minus⎝ ⎠ ⎝ ⎠

習題 5 Draw a diagram to show in the cylindrical coordinates

(a) ˆ ˆ ˆcos sinx yρ ϕ ϕ= + (b) ˆ ˆ ˆsin cosx yϕ ϕ ϕ= minus + (c) ˆ ˆz z=

習題 6 use the above results show that 由柱座標分量轉為直角座標分

量的轉換矩陣

x

y CR

z z

A AA M AA A

ρ

ϕ

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟=⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

CRM =

2 2 2 2

2 2 2 2

0cos sin 0sin cos 0 0

0 0 10 0 1

x yx y x y

y xx y x y

ϕ ϕ

ϕ ϕ

minus⎛ ⎞⎜ ⎟+ +⎜ ⎟⎛ ⎞minus⎜ ⎟⎜ ⎟

= ⎜ ⎟⎜ ⎟+ +⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

Ex27 Express vector ˆ ˆ ˆ(3cos ) 2 5A zρ ϕ ϕ ρ= minus + in Cartesian

coordinates Specifically the A at the position of (2 2 3π -3)

解

2cos sin 0 3cos 3cos 2 sinsin cos 0 2 3cos sin 2 cos

5 50 0 1

x

y

z

AAA

ϕ ϕ ϕ ϕ ρ ϕϕ ϕ ρ ϕ ϕ ρ ϕ

⎛ ⎞minus ⎛ ⎞+⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟= minus = minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

so that A (2 2 3π -3)= 3 3 3ˆ ˆ ˆ3 3 3 54 4

x y z⎛ ⎞⎛ ⎞+ + minus +⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠注意本

題裡 z 座標並非一變數

4-29

sect 43 Fields and its properties 場與其性質

「場 field」是什麼凡是在「某個空間中每一點」都有定義的量

就是一個「場」所以「場」也稱為「點函數 point function」簡單的

說凡是「空間的函數」都是「場」如果這個「空間的函數」是一個

純量 u(xyz)那麼 u(xyz)就是一個「純量場 scalar field」例如室內

的溫度 T(xyz)一塊豬肉的密度 ( )x y zρ 大氣中的壓力 p(xyz)等

都是純量場如果這個「空間的函數」是一個向量 )( zyxA 那麼

)( zyxA 就稱為「向量場 vector field」例如空間中的電場 )( zyxE

水流中的速度場 )( zyxv 重力場 )( zyxg 等等很顯然的不論是純量

場還是向量場「場」在空間中的分佈通常未必是均勻的那麼她有

什麼性質呢例如一塊豬肉內部密度是如何變化的水流中有沒有

漩渦大氣中的等壓線是如何變化的等等那麼有沒有什麼量可以

有系統的描述各種場的分佈有我們在以下分別討論

sect 431 Gradient of scalar fields 純量場的梯度

考慮一個純量場 f(xyz)可以視為 3 個變數 xyz 的函數當變數變動為

x+dx y+dy z+dy 時造成 f 的變化

f f fdf dx dy dzx y zpart part part

= + +part part part

（4-65）

由幾何意義來看上式更為具體上式表示純量場 )(rf 基於位置的變化

r r drrarr + (或由 ( ) ( )x y z x dx y dy z dzrarr + + + )所造成 f 的變動

我們現在定義一個向量算符 vector operator nabla (or nabla )（讀做 del）

ˆ ˆ ˆx y zx y zpart part part

nabla equiv + +part part part

(4-66)

如果將 del 作用在純量場 )(rf 上將產生出現一個新的「向量場」 fnabla

稱為純量場「 )(rf 的『梯度 gradient』」

4-30

ˆ ˆ ˆ( ) f f fgrad f f x y zx y zpart part part

equiv nabla = + +part part part

（4-67）

這使得由於任意位移 ˆ ˆ ˆdr xdx ydy zdz= + + 所造成 f 的變化量

df f drrArr =nabla sdot （4-61）

ex28 Given scalar field 2( )f r xy z= and 2 2 2

1 1( )g rrx y z

= =+ +

(a) find the value of ( )f r and fnabla at point P(2 1-1) 解 2(21 1) 2 1 ( 1) 2f minus = times times minus = minus

2 2 2

2 2

ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( )

ˆ ˆ ˆ( ) ( 2 ) ( )

f x xy z y xy z z xy zx y z

x y z y x yz z xy

part part partnabla = +

part part part

= +

＋

＋

ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ(21 1) ( 1) (2 2) (2) 4f x y z x y znabla minus = minus + timesminus = minus minus＋ ＋2 (b) find the value of ( )g r and gnabla at the point P

解2

1 1(21 1)62 1 1

g minus = =+ +

2 2 2 12 2 2 2 12

2 2 2 12

ˆ ˆ( ) ( )

ˆ ( )

g x x y z y x y zx y

z x y zz

minus minus

minus

part partnabla = + + + + +

part partpart

+ +part

＋

2 2 2 32 2 2 2 32 2 2 2 32

2 2 2 32 3 2

ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( )

ˆ ˆ ˆˆ( )( )

OR OR

xx yy zzgx y z x y z x y zxx yy zz r r

x y z r r

minus minus minusrArrnabla = + +

+ + + + + +minus + + minus minus

= = =+ +

32

ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ(2 ) 2(21 1)6 6 6

x y z x y zg minus + minus minus minus +rArrnabla minus = =

由 gnabla 看到一個粉常用的結果就是

3 2

ˆ1 ORr rr r r

minus minusnabla = = （4-62）

順便比較一下

2 2 2 12 2 2 2 12 2 2 2 12

2 2 2 12

ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( )

ˆ ˆ ˆ( ) ˆ (4 63)( )

r x x y z y x y z z x y zx y zxx yy zz r r

x y z r

part part partnabla = + + + + + + +

part part part+ +

= = = minus+ +

＋

4-31

(c) what is the angle between (21 1)fnabla minus and (21 1)gnabla minus

解 (21 1)fnabla minus (21 1)gsdotnabla minus ＝（ ˆ ˆ ˆ4x y zminus minus ＋2 ） sdotˆ ˆ ˆ26 6x y zminus minus +

＝2 4 2 4

6 6 3 6+ +

= ＝ | (21 1) |fnabla minus | (21 1) |gnabla minus cosθ

＝ 34 1 1 211 16 4 cos cos

6 6θ θ+ +

+ + =

1 4 2cos 07773 7

radθ minus ⎛ ⎞= =⎜ ⎟

⎝ ⎠

要注意隨然nabla有向量的性質但是他並不是一個真的向量真

實向量 A與純量 f ( )r 的乘法滿足交換率ie ( ) ( )Af r f r A= 但是

f fnabla ne nabla因為

( )f rnabla ＝ ˆ ˆ ˆf f fx y zx y zpart part part

+ +part part part

是一個向量函數而

ˆ ˆ ˆ( )f r x y zx y z

⎛ ⎞part part part+ +⎜ ⎟part part part⎝ ⎠

是一個算符（operator）

若nabla要與向量場 A 作用由於nabla與 A 都具有向量的性質先看「內積」

ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ( )

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

x y z

x y

z

y yx xz z

A x y z xA yA zAx y z

x y z xA x y z yAx y z x y z

x y z zAx y z

A AA AA Ax x x y x zx y z x y z

⎛ ⎞part part partrArrnablasdot = + + sdot + +⎜ ⎟part part part⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞part part part part part part= + + sdot + + + sdot⎜ ⎟ ⎜ ⎟part part part part part part⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞part part part

+ + + sdot⎜ ⎟part part part⎝ ⎠part partpart partpart part

= sdot + sdot + sdot + sdotsdot sdot = + +part part part part part part

yx zAA AAx y z

partpart partnablasdot = + +

part part part (4-64)

上式中的 Anablasdot 是向量場 A 的一個重要的性質稱為 A 的「散度」詳

細的內容在後面會仔細討論這裡引進 Anablasdot 主要是要表明nabla是個「算

符」表示一個運算不是一個真實的向量只是在「直角座標」裡

4-32

因為單位向量 ˆ ˆ ˆ x y z 是常數不受微分的作用以致nabla表現得好像也

是個一般的向量一樣事實上真實向量和nabla間的「內積」就不滿足交

換率

x y zA A A A an operator Ax y zpart part part

sdotnabla = + + = ne nablasdotpart part part

(4-65)

這也使得任意向量場 ( )A r 因位置變動 r r drrarr + 而產生的變化由於

)( zyxA 也是 3 個變數 xyz 的函數可以寫為

( )A A AdA dx dy dz dr Ax y z

part part part= + + = sdotnabla

part part part （4-66）

ex29 (a)Given field 2ˆ ˆ ˆ2A xxy y x zyz= minus + find Anablasdot at point (1-12)

解2( ) (2 ) ( ) 2xy x yzA y yz

x y zpart part part

nablasdot = + + = +part part part

(1 12)1 2( 1)2 3A

minusnabla sdot = minus + minus =

(b) find rnablasdot 解 rnablasdot = 3x y zx y zpart part part

+ + =part part part

梯度的意義

由（4-67）可以看到「f 的梯度 fnabla 」

是一個由「純量場 f」衍生出的向量

場由（4-26）也可以看出 fnabla 扮演類

似「變化率」的角色

空間中將相同值 f ( )r ＝f1 的點連

起來就得到一個 f ( )r ＝f1 的「等值面」如 Fig36考慮純量場 f( r )的

相鄰兩個等值面各對應定值 1f f= 與 1f f df= + 0df gt P1 點在 f1

等值面上相鄰兩點 P2P3 在 1f df+ 等值面上而向量 1 2 ˆnP P dn e dn= =

過 P1 點垂直於 f1 等值面 1 3 ˆP P d e d= = 與 ˆne dn夾角為α 由於不

論 1 2P Prarr 或 1 3P Prarr f 的變化量都是 df 但因距離 dn 係兩等值面最

4-33

短的距離d dngt 所以 1 2P Prarr 或 1 3P Prarr 造成的「變化率」df dfdn d

gt

而過 P1 點的最大變化率為dfdn

換言之向量 ˆndfedn

為過 P1 點垂直於

f1 等值面且指向最大「增加率」的方向 現在要證明

ˆndfe fdn

= nabla （4-67）

考慮 1 3P Prarr 造成的 f 值的變化率

ˆ ˆcos n ldf df dn df df e edl dn dl dn dn

α= = = sdot

ˆ ˆ ˆn l ndf dfdf e e dl e dldn dn

rArr = sdot = sdot

和（4-61）式df f dr= nabla sdot 相比即可得證 ˆndfe fdn

= nabla 所以可以知道

空間純量場 f ( )r 中任一點處的向量 fnabla 必「垂直」於「通過該點的 f的等值面」且指向 f 值最大「增加率」的方向| ( )f rnabla |就是 f 在 r 點

的最大增長率可以進一步定義等值面的「法線 normal」方向為

ˆ fnf

nabla=nabla

（4-68）

結論給定一個純量場 f( r )在每一點 r 可以定義一個稱做「梯度」

的向量 fnabla fnabla 垂直於過 r 點的 f 等值面且指向最 f 大增加率的方向

fnabla 的方向也定義了 f 等值面的法線方向

Ex30 考慮一個 2D 的 scalar field 2( )f x y y x= minus 計算該場在 )20( 的梯度與

法線方向

解 ˆ ˆ ˆ ˆ2f ff x y x yyx ypart part

nabla = + = minus +part part

ˆ ˆ(0 2) 2 2f i jnabla = minus + ˆ ˆ ˆ ˆ2 2 2 2ˆ(0 2)

31 8i j i jn minus + minus +

rArr = =+

4-34

ex31 點電荷 q 置於原點其產生電位為 ( ) qV rr

= 求負梯度qr

minusnabla

解 3

2 2 2 22 2 2

2 ( )2

q q q q x x y zr x rx y z

minuspart minus= rArr = sdot + +

part+ +

3 23

ˆˆ ˆ ˆ( )q ix jy kz r rq q qr r r r

minus + +rArr minusnabla = minus = = （點電荷的電場）

0 0

1 1 r r

noter r= =

nabla rarrinfin rarrinfin∵ 是不定值是因為 r = 0 處為最大值

「增加率」的方向無法確定

ex32 置一熱源於原點空間溫度分佈為1( )

( 2)T r

r=

+求溫度的梯度

解 2 2 2

ˆ( ) ( )( 2) ( 2) ( 2)

x rT r rr rT r

x r r r

minuspart minus

= rArrnabla = =part + + +

此處的負號表示梯

度指向熱源因為距熱源越遠溫度越低 ( 0)note T rnabla = 為不定值

因在最頂點「增加率」的方向無法確定

Ex33 地圖上山脈的等高線上各點的垂直方向由梯度決定現有一座

山是橢球 2)1(4 222 =+++ zyx 在 x-y 平面上方的

部分求地圖上這座山等高線的梯度

解 山高 142 22 minusminusminus== yxzh 所以等高線為橢

圓 222 )1(24 +minus=+ hyx 梯度

( ) ( ) ( )2 2 2 2

2 2

ˆ ˆ4ˆ ˆ2 4 1 2 4 1

2 4

xx y yh x x y y x y

x y x y

minus +part partnabla = minus minus minus + minus minus minus =

part part minus minus

所以自山腳（h=0）登山若由(012)開始 ˆ(01 2) 2h ynabla = minus 但若由

)02(minus 開始爬山 ˆ( 20) 2h xnabla minus = 可見 )02()210( minusnablagtnabla hh 這表

示由 y-軸登山山勢較陡所以「梯度」比由 x-軸登山為大這也更

清楚瞭解「梯度」的幾何意義

4-35

sect 432 Divergence 散度與 Curl 旋度

在(4-66) 我們建立了一個直角座標 vector operator 「del」

ˆ ˆ ˆx y zx y zpart part part

nabla equiv + +part part part

(4-66)

若與向量場 A 做「內積」與「外積」就建構了 A 的「散度」與「旋度」

散度 A A scalaryx zAA Adiv ax y z

partpart partequiv nabla sdot = + + =

part part part （4-69）

旋度

y yz x z x

ˆ ˆ ˆ y z A vector

A AA A A Aˆ ˆ ˆxy z z x x y

x y z

x y z

xcurl A a

A A A

y z

⎧⎪

= nablatimes = part part part =⎪⎪⎨⎪

part part⎛ ⎞ ⎛ ⎞part part part part⎛ ⎞⎪ = minus + minus + minus⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎪ part part part part part part⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎩

(4-70)

這裡定義的只是「散度」與「旋度」所謂「操作型的定義」告訴我

們如何計算的式子事實上她們都具有重要的物理意義我們在後面

會討論

ex34 ˆ ˆA xy yx= minus 求其散度與旋度

解 0 0y xAx ypart part

nablasdot = minus + =part part

ˆ ˆ ˆ y zˆ ˆ ˆ ˆ 0 0 ( 2) 2

0 x y z

xA x y z z

y xnablatimes = part part part = minus + minus = minus

minus

右圖示意了本向量場的分佈看得出像個漩渦也看到算出的旋度

0ne 看來旋度表現的應該是向量場「旋轉的程度」事實上我們在

後面會看到「旋度」表現的就是是向量場在空間各點「旋轉的程度」

本題的向量場在每一點的旋轉程度都一樣

4-36

Ex35 ( )ˆ ˆ ˆ A xx yy zz r= + + = 求其散度與旋度

解 3A rnablasdot = nablasdot = ˆ ˆ ˆ y z

0

x y z

xA

x y znablatimes = part part part =

由場分佈的示意圖可以看出本向量場是自原點向外射出好似在原

點有一個場線的「源頭 source」但是 3Anablasdot = 為一個常數表示好像到

處都有 source同時旋度為 0 也可以配合本場並無旋轉的形象事實

上「散度」表現的就是是向量場在空間各點產生「場線」的 source

記得靜電學裡的庫倫定律 0E ρ εnablasdot = 電場的散度就是「電荷密度」

(電場的 source)前一題的向量場看來對應的場線是封閉的所以沒有

source這也對應了其散度＝0不過一個向量場的散度旋度究竟是

多少應該詳細的計算場分佈圖形有時候不是那麼容易看的清楚

兩個 useful identities (恆等式)

(a) ( ) 0 0f curl of a gradnablatimes nabla = =

(b) ( ) 0 0A div of a curlnablasdot nablatimes = =

pf (a) ( )ˆ ˆ ˆ x y z

x y z

x y z

ff f f

nablatimes nabla = part part part

part part part

( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2xz zxˆ ˆ ˆx y f- f z 0yz yz xy yxf f f f= part minus part minus part part + part minuspart =

這個結果與真實的向量外積 ( ) AA 0=times 有相似之處但是這只是特

例要記得nabla並不是一個真正的向量

( ) ( ) ( )

( )

ˆ ˆ ˆ y zˆ ˆ ˆ x y z

0

x y z y z z y x z z x x y y x

x y z

xy z xz y xy z yz x xz y yz x

xA A A A A A A

A A A

A A A A A A A

nablatimes = part part part = part minus part minus part minus part + part minus part

nablasdot nablatimes = part minuspart minuspart +part +part minuspart =

4-37

此結果與真實的向量運算有相似之處 ( )( )0 (B A) BB B Asdot times = times perp∵

但是這仍只是特例因為我們可由下列例子 ( ) 0A Asdot nablatimes ne 看出事實上

nabla並不是一個真正的向量 Ex36 ˆ ˆ ˆA xy yx zx= minus +

( )

ˆ ˆ ˆ y zˆ ˆ ˆ 0 1 ( 2)

2 0

x y z

xA x y z

y x x

A A x x x

nablatimes = part part part = minus + minus

minus

sdot nablatimes = minus = minus ne

面積元素向量

物理上時常會遇到面積分例如電通量磁通

量等等考慮一個面積元素 ds定義「面積的

方向」為其「法線方向」並定義面積元素向量

ˆnds a dsequiv （4-71）

要注意的是(1)如果 ds 是一個「封閉面

closed surface」（即有裡外之分）的一部

份則 ˆna 定義為「由內向外」(2) 如果 ds

是一個「開放面 opened surface」（即分不

出裡外）的一部份那麼 ds 必被其邊緣

（一個封閉的曲線 C）所包圍這樣在定

出ds 的方向之前要先定義「邊緣曲線」

C 的方向再由右手定則定義 ˆna 的方向

既然面積已為一個向量就可以寫為分量表示以直角座標

ˆ ˆ ˆx y zds xds yds zds= + + (4-72)

那麼這些分量 dsx dsy dsz 會是什麼既然 dsx 的方向是 x 就表示 dsx

是躺在 y-z 平面上所以 dsx 的兩邊是 dy 與 dz rArr xds dydz= 依此類

4-38

推 dsy 的方向是 y 所以躺在 x-z 平面rArr yds dxdz= hellip可以得知

xds dydz= yds dxdz= zds dxdy= （4-73）

不過要注意在寫面積元素時要看討論的面實際

是什麼面上式的三個分量有可能會是負的例如

左圖座落在第一象限的立方體的 A 面方向就在 xminus

方向Arsquo面在 yminus Ardquo面在 zminus 方向寫面積元素最

好是先把討論的面的方向搞清楚把plusmn號寫在單位向量前面那麼分

量就都用＋的即可其實面積元素體積元素都可以由位移元素看出

ˆ ˆ ˆdr xdx ydy zdz= + +

dx dy dz 是沿著 ˆ ˆ ˆ x y z 方向的長度所以面積元素分量的兩邊長度就

是由其中兩個組成而體積的三邊也就是三個垂直方向的長度

x y zdV dx dy dz and ds dydz dxdz dxdyrArr = = （4-74）

這個概念在其他的座標系統也成立我們可以方便的寫出面積元素

Recall 柱座標的位移向量元素

cylindrical coordinate ˆ ˆ ˆdr d d dzzρρ ρ ϕϕ= + + （4-48）

ˆ ˆ ˆ zds ds ds zdsρ ϕρ ϕ= + + (4-75)

dsρ 躺在 zϕ minus 平面dsϕ 在 zρ minus 平面 zds 在ρ ϕminus 平面

rArr zds d dz ds d dz ds d d d dρ ϕρ ϕ ρ ρ ρ ϕ ρ ρ ϕ= = = sdot = （4-76）

上面的結果畫個圖看看吧球座標的位移向量元素

Spherical coordinate ˆ ˆˆ ( ) ( sin )dr rdr rd r dθ θ ϕ θ ϕ= + + （4-56）

ˆ ˆˆ rds rds ds dsθ ϕθ ϕ= + + （4-77）

rArr sin sin rds rd r d ds dr r d ds rd drθ ϕθ θ ϕ θ ϕ θ= sdot = sdot = sdot (4-78)

4-39

向量場 ( )A r 在 S 面上的「面積分（surface integral）」or「flux」

如左圖若有一「平面」S 且其上有「均勻」

場 B 分佈則通過 S 面的通量就是

ˆB B nSΦ = sdot

但考慮一任意「非均勻」向量場 ( )A r 在空間分佈選取任意曲面 S

探討 ( )A r 在 S 上之通量若ds 為 S 面上的面積元素在趨近於 0 的

小面積ds 上 A可視為均勻所以通過ds 之通量為 ( )d A r dsΦ = sdot 則 S

面之總通量為

Φ＝ ˆ cosS S S

A ds A nds A daϕsdot = sdot =int int int

( )OR

x x y y z zS

A da A da A da= + +int (4-75)

稱為 A 在 S 面上的「面積分」或「通量 flux」

上圖所繪就是一個任意面上分割出許多小面積舉出三個位置的通

量有+-與 0如果 S 面是為一「封閉面」則面積分寫為

S

A dssdotint （4-76）

4-40

ex37 Given 2ˆ ˆ ˆyzA xyz yx zx= + + 計算通量S

A dssdotint

S 面為在第一象限邊長＝1 的立方體表面封閉面

解立方體分為前後右左上下六個面分開算 1前面（x=1）

方向 x+ ˆ xA ds A xdydz A dydzsdot = sdot =int int int前 前 前

yzdydz= int前 ＝1 1

0 0

1 1 12 2 4

ydy zdz = sdot =int int

2後面(x=0)方向 xminus ˆ(- ) - xA ds A x dydz A dydzsdot = sdot =int int int後 後 後

yzdydz= minusint後1 1

0 0

-1 1 -12 2 4

ydy zdzminus = sdot =int int

3 右面（y=1）方向 y+ y ( 1)yA ds A dxdz A y dxdzsdot = sdot = =int int int右 右 右

( 1)x y zdxdz= =int右 ＝1 1

0 0

1 1 12 2 4

xdx zdz = sdot =int int

4 左面（y=0）方向 ˆ-y ˆ( y) - ( 0)yA ds A dxdz A y dxdzsdot = sdot minus = =int int int左 左 左

( 0) 0x y zdxdz= = =int左

5 上面（z=1）方向 z+ zz y (z 1) yA ds A dxd A dxdsdot = sdot = =int int int上 上 上

2 yx dxd= int上 ＝1 120 0

1 1y 13 3

x dx d = sdot =int int

6 下面（z=1）方向 ˆ-z zˆ(-z) y - (z 0) yA ds A dxd A dxdsdot = sdot = =int int int下 下 下

2 -1- y3

x dxd= =int下 ＝1 120 0

1 1y 13 3

x dx d = sdot =int int

S

A dssdotint ＝六個面的和＝1 1 1 1 1 1( ) ( 0) ( )4 4 4 3 3 4

minus minus+ + + + + =

ex38 Given ˆ ˆ ˆzA xyz yx zxy= + + 計算通量S

A dssdotint S 為圓 2 2 2x y a+ =

在第一項限的部分方向選為 z+ 2 2y a x= minus

4-41

解 2 2 4

0 0ˆ

8a a x

zS S S S

aA ds A zdxdy A dxdy xydxdy xdx ydyminus

sdot = sdot = = = =int int int int int int

Ex39 In cylindrical coordinate Given ˆ ˆaA zbzρρ

= + where a b are

constants Find S

A dssdotint over the surface of a

closed cylinder about z-axis specified by 3 2z ρ= plusmn =

解S 分為上下與周邊三面

zz (z 3)zA ds A ds A d dρ ρ ϕsdot = sdot = = sdotint int int上 上 上

= 23 3 2 12bd d b bρ ρ ϕ π πsdot = sdot =int上

ˆ(-z)A ds A d dρ ρ ϕsdot = sdot sdotint int下 下

= z- (z -3)A d dρ ρ ϕ= sdotint下 = 23 2 12b bπ πsdot =

周邊ds ˆ ( )d dzρ ρ ϕ= rArr ˆ ( ) z ( ) zA ds A d d A d dρρ ρ ϕ ρ ϕsdot = sdot =int int int周 周 周

2 3

0 3( ) z ( ) z=a 12aA d d d d d dz a

πρ ρ ϕ ρ ϕ ϕ π

ρ minus= = =int int int int周 周

加起來 S

A dssdotint ＝12 24 12 ( 2 )a b a bπ π π+ = +

ex40 一點電荷 q 置於原點計算在一個以原點為圓心 0r 為半徑的球

面上的電通量

解 2 20 0

ˆ ˆ4 4S S

qr q dsE ds rdsr rπε πε

sdot = sdot =int int int

=0 0 0

44 4S

q q qd ππε πε ε

sdot Ω = sdot =int

上式中 dΩ 2dsr

= 是 ds 所張開的「立體角」(solid angle)

4-42

div A and Flux 通量與散度的幾何物理意義

我們運用過nabla的符號來表示過散度 divF F= nablasdot yx zFF Fx y z

partpart part= + +part part part

但是也看到「散度」定義為

0( )

1( ) limSV

about x y z

divF x y z F da divergence of FVΔ rarr

equiv sdot =Δ int (4-77)

其中 VΔ 為 S 面所包含的體積即散

度為通量(體)密度的 0 體積極限

（4-77）的定義與 Fnablasdot 好像差的很

多她們是說同一回事嗎以下證明

這兩種「散度」的定義是等價的如

左圖考慮一個以點 ( ) x y z 為中心

的 立 方 體 其 相 鄰 三 邊 長 為

x y zΔ Δ Δ 體積 V x y zΔ = Δ Δ Δ 現在計算 F 在立方體的一組平行於 y-z平面的表面 S1 與 S2 的通量

( )1 1

ˆ ˆ xS S

F nds F xds F x y z dsrArr sdot = sdot =intint intint intint 2xxF x y z y zΔ⎛ ⎞asymp + Δ Δ⎜ ⎟

⎝ ⎠

其中 2xx y zΔ⎛ ⎞+⎜ ⎟

⎝ ⎠為 S1 面中心的座標而

2xx y zΔ⎛ ⎞minus⎜ ⎟

⎝ ⎠為 S2 面的中心

( ) ( )2 2 2

ˆ ˆ 2x x

S S S

xF nda F x ds F x y z ds F x y z y zΔ⎛ ⎞rArr sdot = sdot minus = minus asymp minus minus Δ Δ⎜ ⎟⎝ ⎠intint intint intint

上式中的負號來自 S2 面的方向是 xminus 所以合併兩個面積分

1 2

ˆ 2 2x x

S S

x xF nds F x y z F x y z y z+

Δ Δ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞rArr sdot asymp + minus minus Δ Δ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦intint

2 2x xx xF x y z F x y z

x y zx

Δ Δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠= Δ Δ Δ

Δ

2 2

x xx xF x y z F x y z

Vx

Δ Δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠= Δ

Δ

1 2

1 2 2ˆ

x x

S S

x xF x y z F x y zF nds

V x+

Δ Δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠rArr sdot asymp

Δ Δintint

4-43

當取體積向(xyz)點收縮至 0 時即 0 x 0as VΔ rarr Δ rarr 上式的近似

「asymp」就成了「＝」

1 20

1 ˆlimV

S S

F ndsVΔ rarr

+

sdotΔ intint

( )0

2 2limx x

x

x

x xF x y z F x y z F x y zx xΔ rarr

Δ Δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟ part⎝ ⎠ ⎝ ⎠= =Δ part

Similarly F 在立方體的一組平行於 x-z 平面的表面 S3 與 S4 的通量

3 3 3

ˆ ˆ yS S S

F nds F yds F dsrArr sdot = sdot =intint intint intint

2

2

y

y

yF x y zyF x y z x z x y z

y

Δ⎛ ⎞+⎜ ⎟Δ⎛ ⎞ ⎝ ⎠asymp + Δ Δ = Δ Δ Δ⎜ ⎟ Δ⎝ ⎠

( )4 4 4

2ˆ ˆ

y

yS S S

yF x y zF nds F y da F ds x y z

y

Δ⎛ ⎞minus⎜ ⎟⎝ ⎠rArr sdot = sdot minus = minus asymp Δ Δ Δ

Δintint intint intint

合併 S3 與 S4 兩個面積分並取體積向(xyz)點收縮至 0 時即當

0 y 0VΔ rarr Δ rarr 上式的近似asymp就成了＝

3 4

2 2ˆ

x x

S S

y yF x y z F x y zF nds V

y+

Δ Δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠rArr sdot cong Δ

Δintint

3 40 0

1 2 2ˆlim lim

x xy

V yS S

x yF x y z F x y z FF nds

V y yΔ rarr Δ rarr+

Δ Δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟ part⎝ ⎠ ⎝ ⎠rArr sdot = =Δ Δ partintint

與上面相同的作法計算 F 在立方體的一組平行於 x-y 平面的表面 S5

與 S6 的通量我們也會得到對應的結果

5 6

2 2ˆ

z x

S S

z zF x y z F x y zF nds V

z+

Δ Δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠rArr sdot cong Δ

Δintint

5 60 0

1 2 2ˆlim lim

z xz

V zS S

z zF x y z F x y zFF nds

V z zΔ rarr Δ rarr+

Δ Δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟ part⎝ ⎠ ⎝ ⎠rArr sdot = =Δ Δ partintint

所以合併立方體的 6 個面積分

4-44

1 2 3 4 5 6

ˆ ˆ ˆ ˆS S S S S S S

F nds F nds F nds F nds+ + +

rArr sdot = sdot + sdot + sdotint intint intint intint

0

1 ˆlim yx zV

FF FF nds div F FV x y zΔ rarr

partpart partrArr sdot = + + = = nablasdot

Δ part part partint (4-78)

在此我們得證這兩種「散度」的定義是等價的只是（4-77）的定義

充分的表現出「散度」的幾何物理意義他從通量著手由於場線

出自於 source（ex電場源自於點電荷）所以在點(xyz)必須有向量場

F 的 source 存在才能使得當面積縮到 0 時仍具有非 0 的通量所以「散

度」表現向量場 F 的 source 在這個定義之下是很清楚的當然在計算

「散度」時我們不必那麼麻煩用 divF F= nablasdot 就好了

Ex41 計算 2ˆ ˆ ˆF xx yxy zyz= + + 的散度

解 2 yx zFF Fx x yx y z

partpart part= = =

part part part F 2x x y 3x ydivrArr = + + = +

recall 在靜電學0

yx zEE EEx y z

ρε

partpart partnablasdot = = + +

part part part

散度定理 Divergence Theorem

若任意封閉面（又稱為「高斯面」）S 所包圍的

體積為 V 則

S VA ds Adτsdot = nablasdotint int （4-79）

pf 我們先將體積分割成 N 個小盒子考慮相鄰的兩個小盒子 1 2

兩小盒子的共用面面積 S0當 S0 是為 1 號盒子的一部份時其方向為

1n 但若當為 2 號盒子的表面時其方向為 12 ˆˆ nn minus= 如此在 S0 分別做

4-45

1 2 盒子的面積分後

0 0

0 0 0 0

1 2

1 2 1 1ˆ ˆ ˆ ˆ 0

S S

S S S S

A ds A ds

F n ds F n ds F n ds F n ds

sdot + sdot

= sdot + sdot = sdot minus sdot =

intint intintintint intint intint intint

所以若求場 A 在 1 2 盒子的總通量時交界面是沒有貢獻的總通量

就只有「外面積」才有貢獻如此我們計算 N 個小盒子的總通量

時所有的內部共用面都得 0只剩下「外表面」的貢獻了當 infinrarrN

時所有小盒子的「總外表面」就與 S 面重合了所以所有小盒子通量

的總和就等於 S 面的通量

1lim

i

N

S SN iA ds A ds

rarrinfin=

rArr sdot = sdotsumint int

現在我們做 N 個小盒子的總通量

1 1

1i i

N N

iS Si i i

A ds A ds VV= =

⎛ ⎞sdot = sdot Δ⎜ ⎟Δ⎝ ⎠

sum sumint int

當 0iN Vrarrinfin rArr Δ rarr 並用 dv 表示體積元素

( ) ( )1 1

1

1lim lim lim

lim

i ii

N N

iS SN N V oi i i

N

i VN i

A ds A ds VV

A V A dv

rarrinfin rarrinfin Δ rarr= =

rarrinfin=

⎛ ⎞sdot = sdot Δ⎜ ⎟Δ⎝ ⎠

= nablasdot Δ = nablasdot

sum sumint int

sum int

( )S V

A da A dvrArr sdot = nablasdotint int QED

所以得證散度定理上式中我們用了散度的（4-77）式定義要分辨

清楚 Anablasdot 是向量場 A 在空間中「某一點」的性質（ 0VΔ rarr ）而「散

度定理」說的是一個「有限體積」的性質

ex42 給定 ( ) ˆ ˆ ˆ A x y z xx yy zz r= + + = 計算在

半徑 R＝1 的球的上半球加底面的通量

4-46

解 ( )ˆˆS

A da A rda A k darArr sdot = sdot + sdot minusint int int上半球面 底面

( )

2

ˆ ˆ

0 2 1 2

A rda A z dxdy

r rds zdxdy rds ds π π

= sdot + sdot minus

= sdot minus = minus = = sdot =

int int

int int int int上半球面 底面

上半球面 底面 上半球面

底面的通量＝0 是因為 A 的 z 分量 Az=z 在底面的值為 0

也可以用散度定理更快的得出結果

∵ 3A rnablasdot = nablasdot =

31 43 3 1 22 3V V

Ad d πτ τ πnablasdot = = sdot sdot sdot =int int

ex43高斯定律的微分形式積 由 Gaussrsquo law 的積分形式用散度定理得出其

( )0 0

1 inS V

qE ds x y z dvρε ε

sdot = =int int

0S V VE ds Edv dvρ

εrArr sdot = nablasdot =int int int

上式最後的等式對「任意形狀」V 都成立所以兩者的被積函數相等

對於空間每一點 0

E ρε

nablasdot = （4-80）

ex44 Use 第一象限的單位力方體 check the divergence theorem using the function 2 2ˆ ˆ ˆ(2 ) 2A y x xy z y yzz= + + +

解2

2( ) (2 )(2 ) 2( )y yzA xy z x yx y z

part part partnablasdot = + + + = +

part part part

and 1 1 1 1 1 1

0 0 0 0 0 02 ( ) 2 ( )

VAdv x y dxdydz dz dy x y dxnablasdot = + = +int int int int int int int

1 1

0 0

1 12 ( ) 2 12 2

dz y dy= + = sdot =int int

面積分 1 1 2

0 0

1ˆ3

A ds A xdydz dz y dysdot = sdot = =intint intint int int前 前

4-47

1 1 2

0 0

1ˆ( )3

A ds A x dydz dz y dy minussdot = sdot minus = minus =intint intint int int

後 後

1 1 2

0 0ˆ (2 )A ds A ydxdz dz xy z dxsdot = sdot = +intint intint int int

右 右

1 1 1 12 2

0 0 0

4(2 ) (1 )3

ydz x z dx dz z

=

= + = + =int int int∵

1 1 2

0 0

0 1 1 12 2

0 0 0

ˆ( ) (2 )

1(1 )3

y

A ds A y dxdz dz xy z dx

dz z dx dz z=

sdot = sdot minus = minus +

minus= minus = + =

intint intint int int

int int int∵

左 左

11 1 1 1

0 0 0 0ˆ 2 2 1

zA ds A zdxdy dx yzdy dx ydy

=sdot = sdot = = =intint intint int int int int

∵

上 上

01 1

0 0ˆ 2 0

zA ds A zdxdy dx yzdy

=sdot = sdot minus = minus =intint intint int int

∵

下 下

前後右左上下六個面積分合併＝1＝V

Advnablasdotint QED

ex45 Continuity Equation 連續方程式

考慮某些「東西」的流動（物質電荷hellip）在時刻 t 時在點(xyz)

的 密 度 為 ( ) x y z tρ ρ= 並 具 有 速 度

( ) v v x y z t= 在時刻 t 時在體積 V 內的總量為

( ) x y z t dρ τintintint

這樣體積 V 內東東的時變率為

( ) ( ) d x y z t d x y z t ddt t

ρρ τ τpart=

partintintint intintint

注意體積分後的時間全微分移入積分內要改為偏微分這個東東

在表面的「流率 flow rate」可表為

ˆS

R v ndsρ= sdotintint

若體積內的物料無法自生自滅那麼體積內物料的變化必經由表面的

流出流入所造成

d v ndstρ τ ρpart

rArr = minus sdotpartintintint intint

由散度定理

4-48

( )ˆS

v nds v d dtρρ ρ τ τpart

sdot = nablasdot = minuspartintint intintint intintint

( )v Jtρ ρpart

rArr = minusnablasdot equiv minusnablasdotpart

0Jtρpart

rArr +nablasdot =part

（4-81）

(4-81) 即 continuity equation其中 J vρ= 為「物流密度」ex如果 ρ

是電荷密度 J 就是電流密度（4-81）是物質守恆的結果只對體

積內無 source（生成）or drain（消滅）的東東成立

ex46 Given a vector field ˆ ˆx yA ye xe= minus + (a) Find

Anablasdot (b)如圖一個金字塔狀的 5 面體高 2 底邊長

1計算 A在整個金字塔表面（封閉面）的總通量

解(a) Anablasdot = ( ) ( ) 0y xx ypart part

minus + =part part

(b) 金 字 塔 的 表 面 面 積 元 素 ds 不 好 寫 所 以 用 散 度 定 理

( )S V

A da A dvrArr sdot = nablasdotint int ＝0 Anablasdot 表示 A沒有 source 所以對封閉面而

言有多少場線進入就有多少出去所以總通量＝0

習題 7 With position vector r for an arbitrary volume V that is

bounded by surface S show that 13 S

r ds Vsdot =int

習題 8 已知一靜電場為 ˆ ˆ ˆ( )E xyz yxz zxyλ= + + 運用 Gaussrsquo law

試求包含在半球 2 2 2 2 0x y z R z+ + = ge 裡的總電荷 Ans 0

習題 9 (a) given ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( 2 )F r xf x yf y zf z= + + minus show that divF is

zero at point (c c -c2) (b) given ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( )G r xf x z yg x z zh x y= + +

show that ( ) 0G rnablasdot =

4-49

習題 10 Find the normal vector n for the surfaces (a) z = 2-x-y ans

ˆ ˆ ˆ( ) 3x y z+ + (b) z = (1-x2)12 ans ˆ ˆxx zz+ (c) z = x2+y2

ans ˆ ˆ ˆ( 2 2 ) 1 4xx yy z zminus minus + +

習題 11 Show that the unit vector normal to the plane ax+by+cz =d is

given by 2 2 2ˆ ˆ ˆ( ) ax by cz a b cplusmn + + + +

圓柱座標與球座標的nabla (del)

考慮一純量場在直角座標為 ( ) u x y z 在圓柱座標表為 ( ) u zρ φ

再考慮因位移 r r drrarr + 所造成 u ( )zρ φ 的變化

( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆz

z

u u udu d d dz u dr u d d zdzz

u u z u d d zdz

u d u d u dzρ ϕ

ρ ϕ

ρ ϕ ρ ρ ϕρ ϕρ ϕ

ρ ϕ ρ ρ ϕρ ϕ

ρ ρ ϕ

part part part= + + = nabla sdot = nabla sdot + +part part part

⎡ ⎤= nabla + nabla + nabla sdot + +⎣ ⎦= nabla + nabla + nabla

( ) ( ) ( )1

1ˆ ˆ ˆu

z

u u uu u uz

u u uzz

ρ ϕρ ρ ϕ

ρ ϕρ ρ ϕ

part part partrArr nabla = nabla = nabla =

part part partpart part part

rArrnabla = + +part part part

1ˆ ˆ ˆ zz

ρ ϕρ ρ ϕpart part part

nabla = + +part part part

（4-82）

注意nabla的ϕ -分量( 1ρ ϕ

partpart

)不是像直角座標裡單純的ϕpartpart

所以不要笨笨

的就把直角座標的形式硬套上去用我們也可以從「因次分析」來

看nabla因為是對空間的微分所以每一項的因次必須是「長度分之一」

運算 andzρ

part partpart part

都是「長度分之一」而「單純的ϕpartpart

」是沒有單位的

所以要1ρ ϕ

partpart

才 OK

由於圓柱座標裡的單位向量除了 z 之外 ˆ( )ρ ϕ 與 ˆ( )ϕ ϕ 都不是常

4-50

數所以在微分時不可以與微分運算交換而要考慮微分的作用所

以在「圓柱座標」寫「散度」 ( ) F zρ ϕnablasdot 也和直角座標不一樣

( )1ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ zF z F F zFz ρ ϕρ ϕ ρ ϕ

ρ ρ ϕpart part part⎛ ⎞

nabla sdot = + + sdot + +⎜ ⎟part part part⎝ ⎠

( ) ( )1ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆz zF F zF F F zFρ ϕ ρ ϕρ ρ ϕ ϕ ρ ϕρ ρ ϕpart part

= sdot + + + sdot + +part part

( )ˆ ˆˆ ˆ zz F F zFz ρ ϕρ ϕpart

+ sdot + +part

因為 ( ) ( )ˆ ˆ ˆ ˆ ρ ρ ϕ ϕ ϕ ϕ= = 所以做 andzρ

part partpart part

時 ˆ ˆ ρ ϕ 可視為常數

ˆ ˆ1ˆ ˆ ˆ zF F F FF F Fz

ρ ρ ϕρ φ

ρ ϕϕ ρ ϕρ ρ ϕ ϕ ϕ ϕ

part part part⎡ ⎤part part partrArrnablasdot = + sdot + + + +⎢ ⎥part part part part part part⎣ ⎦

還記得 ˆ ˆ ˆ ˆd d d dρ ϕ ϕ ϕ ρ ϕ= = minus 所以 ˆ ˆρ ϕϕpart

=part

ˆ ˆϕ ρϕpart

= minuspart

rArr

( )1 1 1z zF F F FF FF Fz z

ρ ρ ϕ ϕρρ

ρ ρ ρ ϕ ρ ρ ρ ϕpart part part part

nablasdot = + + + = + +part part part part part part

（4-83）

在球座標寫nabla也會遇到相似的問題其根源就是球座標 ( )r θ ϕ 裡

的 θ ϕ 的因次並非長度而三個單位向量 ˆ ˆˆ r θ ϕ（表為 ie ）都是( θ ϕ )

的函數以致

( )ˆ ˆ( ) ( )i ie f e fθ ϕ θ ϕθ θpart part

nepart part

且 ( )ˆ ˆ( ) ( )i ie f e fθ ϕ θ ϕϕ ϕpart part

nepart part

所以nabla也不似在直角座標那麼簡單我們不在這裡推導而是給出一

個歸納的統一的三個座標的結果還記得對每一個座標 iu i = 123

座標的變化 idu 與造成的長度變化 id

i i id h du= 123i = (4-84)

其中 ih 為對應的度量係數(metric coefficient)

4-51

1 2 3

1 1 2 2 3 3

1 1 1ˆ ˆ ˆu u ue e eh u h u h u

part part partnabla equiv + +

part part part （4-85A）

座標 1 2 3 u u u

度量係數

1 2 3 h h h

nabla grad del

直角 x y z

1 1 1 nabla ˆ ˆ ˆx y z

x y zpart part part

equiv + +part part part

圓柱

zρ ϕ

1 1ρ

1ˆ ˆ ˆ z

zρ ϕ

ρ ρ ϕpart part part

nabla equiv + +part part part

球

r θ ϕ

1 sinr r θ

1 1ˆ ˆˆ

sinr

r r rθ ϕ

θ θ ϕpart part part

nabla = + +part part part

（4-85B）

梯度gradient Vnabla grad(V) 散度divergence Anablasdot div( )A

直

角 nablaV ˆ ˆ ˆV V Vx y z

x y zpart part part

= + +part part part

yx zAA AAx y z

partpart partnablasdot = + +

part part part

圓

柱

1ˆ ˆ ˆ V V VV zz

ρ ϕρ ρ ϕpart part part

nabla = + +part part part

( )1 1

1

z

z

A AA Az

A A A Fz

ϕρ

ρ ρ ϕ

ρρ ρ ρ ϕ

ρ ρ ρ ϕ

partpart partnabla sdot = + +

part part partpart part part

= + + +part part part

球

1 1ˆ ˆˆ sin

V V VV rr r r

θ ϕθ θ ϕ

part part partnabla = + +

part part part

22

1 ( )rA r Ar r

partnabla sdot =

part

1 (sin )sin

Ar θθ

θ θpart

+ sdotpart

1sin

Ar

ϕ

θ ϕpart

+part

(4-86)

Ex47 Using spherical coordinate show that 1| |r r

nablaminus

= 2

ˆ| |

r rer r

minusminusminus

where

nabla是作用在 r 而 ˆr re minus 是向量 r rminus 方向的單位向量 解let r lies in z-axis so that the angle between r and r is just θ

4-52

rArr ( ) 122 21 1 2 cos | | ( ) ( )

r rr rr r r r r r

θminus

= = minus +minus minus sdot minus

( ) ( )12 122 2 2 21 1ˆˆ 2 cos 2 cos | |

r r rr r r rr rr r r r

θ θ θθ

minus minuspart partnabla = minus + + minus +

minus part part

( ) 322 21ˆ 2 cos (2 2 cos )2

r r rr r r rθ θminusminus

= minus + minus

( ) 322 21ˆ 2 cos (2 sin )2

r rr r rrθ θ θminusminus

+ minus +

3 3 3 3

ˆˆ ˆ( cos ) sin ( cos sin )ˆˆ| | | | | | | |r r r rr r rrr r r r r r r r

θ θ θ θ θθminus minus minus minus minus= + = +

minus minus minus minus

3 3 3ˆ ( )

| | | | | |r r z r r r rr r r r r rminus + minus + minus minus

= = =minus minus minus

＝ 2

ˆ| |

r rer r

minusminusminus

QED

證明最後我們用到 ˆˆˆ cos sinz r θ θ θ= minus 而 ˆ r r z= 因為我們選了 r 是

躺在 z-軸 Ex48 For arbitrary scalar field ( )f r and vector field ( )A r 證明恆等式

( )fA f A f Anablasdot = nabla sdot + nablasdot (4-87) 解 ˆ ˆ ˆx y zfA xfA yfA zfA= + +

( ) ( ) ( ) ( )x y zfA fA fA fAx y zpart part part

rArrnablasdot = + +part part part

yx zx x x

AAf f f AA f A f A fx x y y z z

partpartpart part part part= + + + + +part part part part part part

yx zx y z

AAf f f AA A A fx y z x y z

part⎛ ⎞partpart part part part= + + + + +⎜ ⎟part part part part part part⎝ ⎠

f A f A= nabla sdot + nablasdot QED 習題 12 一個位於原點的電偶極電偶極矩＝ ˆp pz= 已知其在遠處

的電位為 20

cos4p

rθ

πε試證該處的電場強度為 E = 3

0

ˆˆ( 2cos sin )4

p rr

θ θ θπε

+

(已知 E V= minusnabla )並請計算 Enablasdot ＝

習題 13 給定一向量場2

3cosˆD r

rϕ

= 現有兩個球心在原點的同心球

內球半徑 R＝1外球 R＝2(a)求面積分S

D dssdotint S 為同心球殼的表

面（有內外兩個面）(b)求體積分V

Ddvnablasdotint V 為兩同心球之間的

區域本題也是來 check 散度定理的Ans πminus

4-53

The Laplacian operator 2nabla equivnablasdotnabla

在直角座標可以用直接作用得到

2 2 2

22 2 2u u uu u

x y zpart part part

nabla equiv nablasdotnabla = + +part part part

(4-88)

圓柱座標

2 2

22 2 2

1 1( ) u u uu uz

ρρ ρ ρ ρ ϕ

part part part part⎛ ⎞nabla equiv nablasdot nabla = + +⎜ ⎟part part part part⎝ ⎠

(4-89)

球座標

2

2 22 2 2 2 2

1 1 1sinsin sin

u u uu rr r r r r

θθ θ θ θ ϕ

part part part part part⎛ ⎞ ⎛ ⎞nabla = + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟part part part part part⎝ ⎠ ⎝ ⎠ （4-90）

習題 14 verify (4-89) and (4-90)

習題 15 Given a dipole potential V= 20

cos4p

rθ

πε find 2Vminusnabla

sect 433 Line integral and curl A 線積分與與旋度的物理意義

線積分路徑積分

考慮一曲線 C 通過兩點 ( )i i i iP x y z 與

( )f f f fP x y z 現有一向量場 ( )A x y z 定義在

C 所在的空間若 sd 為 C 上位於(xyz)點的

「路徑元素」（ ˆd td= 方向沿該處切線）而

( )A x y z 為路徑元素d 處的場值則沿 C 經歷各點所做積分

cos cosf

CC C iA d Ad A dϕ ϕrarr rarrsdot = =int int int （4-91）

稱為向量場 ( )A x y z 沿路徑 C 自 pi 至 pf 的「線積分」「或「路徑積分」

積分裡 A 取值的點侷限在路徑 C 上面若為一個「封閉路徑」則對

C 的線積分也稱做「環路積分 closed contour integral」記做

C

A dsdotint （4-92）

4-54

物理量「做功」是最標準的線積分之一力 F 自 x = a 至 x = b「沿線」

x 軸做功

W＝ F dxsdotint ＝ ( )b

xaF x dxint （4-93）

質點在力場 )(rF 裡走一條曲線 C則力場做功

CW F d= sdotint （4-94）

還記得如果 ( )F r 是所謂「保守力」則上式只與始末點有關而與

路徑無關但如果 ( )F r 是所謂「非保守力」則做功與確實的路徑 C

有關

現考慮一質點在空間運動的位置 r 落在由曲線 C

描述的路徑則質點的位移元素與曲線 C 的路徑元

素相同 d dr= 若空間有向量場 A 分佈則 A 在 C 的

路徑積分以直角座標表示為

CA drarr rarrsdotint ＝

CA d rrarr rarrsdotint ＝ ( )x y zC

A dx A dy A dz+ +int （4-95）

上式中的 x y z 的積分限由 C 決定

Ex49 2 2 2ˆ ˆ ˆA xx yy zzrarr= + + 選定一路徑 C 為曲線

2y x= 由 (000)到 (2 20)的部分求C

A dsdotint

解 ˆ ˆd xdx ydy= +∵

CA dsdotint ＝ 2 2( )

Cx dx y dy+int ＝

2 22 2

0 0x dx y dy+int int

＝ )24(32

+

或由 2y x= rArr 2ydy dx= 2 12

y dy xdxrArr =

rArrC

A dsdotint ＝2 2

0

1( )2

x x dx+int ＝2 (4 2)3

+

4-55

ex50 ˆ ˆ( )f x y z xy yx= minus Do C

f dsdotint 其中的路徑 C 為一逆時針三角

形如圖 解∵路徑全部在 x-y 平面 ˆ ˆ ˆd td xdx ydy= = +

rArrC

f dsdotint ＝ x yC

f dx f dy+int ＝C

ydx xdyminusint

由於在 C1 上 y = 0 及 dy = 0 所以 01

=intC 又由於在

C3 上 x = 0 及 dx =0所以 03

=intC 所以只剩下 C2 可

能有貢獻由 2C 的方程式x + y =1rArr ⎩⎨⎧

minus=minus=

xyyx

11

rArr2Cydx xdyminusint ＝

0 1

1 0(1 ) (1 )x dx y dyminus minus minusint int ＝

0 12 2

1 0

( ) ( )2 2x yx yminus minus minus ＝-1

Cf dsdotint ＝-1

ex51 ( )f x y zrarr

= 2ˆ ˆxx yxyminus 如右圖doC

f dsdotint 其

中路徑 C 為第一象限的逆時針 14 圓弧

解∵ 全部在 x-y 平面 ˆ ˆd xdx ydy= +

Cf dsdotint ＝ 2

Cx dx xydyminusint

由於在 C 上 cosx R ϕ= rArr sindx R dϕ ϕ= minus

siny R ϕ= rArr cosdy R dϕ ϕ=

rArr 2

Cx dx xydyminusint ＝

2 2 2 2

0cos ( sin ) sin cos cosR R d R R d

πϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕminus minus sdotint

23 2

02 cos sinR d

πϕ ϕ ϕ= minus int ＝

323Rminus

又路徑為圓周一部份所以適合用極座標表示

ˆd Rdϕ ϕ= 又由左圖將 ˆ ˆx y 拆解（投影）到 ˆˆr ϕ

ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆcos sin sin cosx r y rϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ= minus = +

4-56

( )2ˆ ˆ ˆˆ ˆ( cos sin ) ( sin cos )C C

f d r x r xy Rdϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕsdot = minus minus + sdotint int 2

2 2 2

0

sin (cos )

sin ( cos ) (cos ) cos sin

Cx Rd xyRd

R Rd R Rdπ

ϕ ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ

= minus minus

= minus minus

intint

23 2

02 cos sinR d

πϕ ϕ ϕ= minus int ＝

323Rminus

這也驗證了散度定理

Path Independence 路徑獨立性

Ex52 證明庫倫力為「保守力」考慮

電荷 q0 位於原點及電荷 q 位於

( )r x y zrarr= q 受力 F

rarr＝ 0

20

14

qq urπε

and

求庫侖力作功因為球形對稱所以

用球座標由 ˆ ˆ ru rr

= = rArr Frarr

= 03

04qq r

rπε

庫侖力由 P1 至 P2 做功為 2

1

P

CPF drarrsdotint ＝

2

1

02

0

ˆ ˆ ˆˆ sin4

P

PC

qq r rdr rd r dr

θ θ ϕ θ ϕπε

⎡ ⎤sdot + +⎣ ⎦int ＝2

1

02

04P

P

qq drrπεint

＝20

2104

r

r

qq drrπε int ＝ 0

0 1 2

1 1( )4qq

r rπεminus for all C

所以庫侖力兩點間做功與路徑無關rArr保守力

對於「保守力 conservative force」 cF 自 p1 經

由兩條不同的路徑 C1 與 C2 到達 p2

1 ccF drarrsdotint ＝

2 ccF drarrsdotint ＝-

2 ccF drarr

minussdotint

rArr1 2c cc cF d F drarr rarr

minussdot + sdotint int = cF d

rarrsdotint ＝0 (4-96）

對於任何「封閉路徑」保守力做功為 0反之若

對任一封閉路徑 0F drarrsdot neint 則兩點之間的做功與路徑有關

rarr

F 為「非

保守力」

4-57

旋度 curl Anablatimes 的幾何物理意義

我們在（4-70）式已經看過旋度的計算方式但旋度另有其意義的

ex53 給定向量場2 2

0ˆ yv yv e λrarr

minus= 左圖為場的分佈

2 20

ˆ ˆ ˆ

0 0x y z

y

x y zcurl v

v e λ

rarr

minus

= part part part ＝ ˆ ˆ ˆ0 0 0 0x y zsdot minus sdot + sdot =

我們用了簡寫 x yx ypart part

part equiv part equivpart part

可以看出這個場裡沒有「漩渦」

但是有無「漩渦」有時也不是那麼明顯可以看出的請見下一個例子

Ex54 給定向量場2 2

0ˆ xv yv e λrarr

minus= 計算其旋度 vnablatimes

解向量場 vrarr

畫在右邊你看得出有無漩渦

先計算旋度

2 20

ˆ ˆ ˆ

0 0x y z

x

x y zcurl v

v e λ

rarr

minus

= part part part2 2

2 2

0

0

ˆ

ˆ 2 0 0

x

x

z v ex

z v xe for x

λ

λ

minus

minus

part=

part

= minus ne ne

vrarr

的旋度在大部分的地方不為 0 且隨位置而不同但是你看得出這個

向量場裡有「漩渦」其實要檢驗一個向量場裡有無「漩渦」有一

個很物理的方法就是放一個小「螺旋槳」（左圖）

在場內將軸朝各個方向測試一

下如果有「漩渦」的話這個

小「螺旋槳」就會轉動右圖就是將「螺旋槳」的

軸平行於 z 軸且放在 x gt 0 的地方就可以看出左

邊的 v 場比右邊的強造成螺旋槳順時針轉動rArrcurlv zminus for x gt 0

但如果放在 x = 0 的地方就會看到左右兩端的 v 場強度相同而且

4-58

curlv = 0 「螺旋槳」放在 x lt 0 的地方就可以看出右邊的v 場比左

邊的強造成螺旋槳逆時針轉動這完全符合 curl v k+ 的結果

環路積分與旋度 curl 的物理意義

如同「散度」一樣「旋度」除了 Ftimesnabla 之外

還有一個物理意義更清楚的定義這個定義由

「線積分」說明如圖考慮做「逆時針」長方形

路徑 C1 的一個「環路積分」C1 面平行於 x-y 平

面由 z-軸看下去環路 C1 可以分為可以分為

下 CB上 CT右 CR左 CL 4 部分

CA drarrsdotint ＝

B T L RC C C CA d A d A d A drarr rarr rarr rarrsdot + sdot + sdot + sdotint int int int

分別計算由於 CB 的中點座標為 ( )2yx y zΔ

minus

ˆB BC C

A d A xdxrarr rarrsdot = sdot =int int

BxC

A dxint ( )2xyA x y z xΔ

asymp minus Δ

similarly 由於 CT 的中點座標為 ( )2yx y zΔ

+

ˆ( )T TC C

A d A xdxrarr rarrsdot = sdot minus =int int

TxC

A dxminusint ( )2xyA x y z xΔ

asymp minus + Δ

合併 CB 與 CT

B TC CA drarr

+sdot =int

( ) ( )2 2x xy yA x y z A x y z

x yy

Δ Δ⎡ ⎤minus + minus minus⎢ ⎥⎣ ⎦ Δ ΔΔ

（4-97）

由 C1 所圍的面積 S x yΔ = Δ Δ

1B TC C

A dS

rarr

+sdot =

Δ int( ) ( )

2 2x xy yA x y z A x y z

y

Δ Δ⎡ ⎤minus + minus minus⎢ ⎥⎣ ⎦Δ

（4-98）

所以當取極限 C1 收縮到中心(xyz)時 SΔ 收縮到 0ie

4-59

0limsΔ rarr

1B TC C

A dS

rarr

+sdot =

Δ int xAy

partminuspart

（4-99）

Similarly with CR 的 ˆd ydy= CL 的 ˆd ydy= minus 可得

1L RC C

A dS

rarr

+sdot =

Δ int x

zyxxFzyxxF yy

Δ

Δminusminus

Δ+ )

2()

2(

（4-100）

同樣的當取極限 C1 收縮到中心(xyz)時 SΔ 收縮到 0

0

limsΔ rarr

1L RC C

A dS

rarr

+sdot =

Δ int yAx

partpart

（4-101）

最後合併 CBCTCRCL 為 C1

10

1limCs

A ds

rarr

Δ rarrsdot =

Δ int y xA Ax y

part partminus

part partˆ ( ) ( )zz A A= sdot nablatimes = nablatimes （4-102）

注意 C1 的方向就是在 z 上式的重要

意義是當向量場 A 在一個以點(xyz)為

中心「方向為 z 」的面積元素的「邊界」

所做的環路積分得到的就是 A 在(xyz)

處旋度的 z-分量明顯的只有當 A 在

(xyz)附近有 x-y 平面上的「漩渦」那麼 C1 的環路積分才不會為 0

Similarly 取一個逆時針繞著(xyz)的平行於 x-z 平面的長方形環路 C2

（左圖）做環路積分再取極限將 C2 收縮到(xyz)就會得到

20

1limCs

A ds

rarr

Δ rarrsdot =

Δ int x zA Az x

part partminus

part partˆ ( ) ( )yy A A= sdot nablatimes = nablatimes （4-103）

注意到 C2 所包圍的面積方向就在 y到

現在我們應該已經很有經驗了若取一

個逆時針繞著(xyz)的平行於 y-z 平面

的長方形環路 C3（左圖）做環路積分

再取極限將 C3 收縮到(xyz)就會得到

4-60

30

1limCs

A ds

rarr

Δ rarrsdot =

Δ int yz AAy z

partpartminus

part partˆ ( ) ( )xx A A= sdot nablatimes = nablatimes （4-104）

能把（4-103）與（4-104）變出來的同學我們有優待綜合以上

我們可以得到一個結論若取一個以點(xyz)為中心的任意環路 Cn（其

所包圍的面積方向在 n ）則

n curl Aand rarrsdot ＝

0

1lims

Cn

A ds

rarr

Δ rarrsdot

Δ int （4-105）

明顯的當 n ＝ x 或 y 或 z 時我們可以重複（4-102）到（4-104）的

結果（4-70）式的行列式所定義的旋度在此看見其幾何物理意義

至此「旋度」的「漩渦」形象應該已經很清楚了只有在(xyz)點附

近的小圈圈上有「漩渦」 A 在小圈圈做的環路積分才會有值這個

值就是向量場 A 的「旋度」在小圈圈面積方向的分量

Stokersquos 定理

考慮一個開放面 S被其「有方向的」邊界 C 圈住(bounded by)則

( )S

A dsrarr rarrnablatimes sdotint ＝

C

A drarrsdotint （4-106）

pf 先將 S 面分割為 N 個多邊形這會使得邊界變成一個「折線」形

成的環路 P環路 P 會隨著分割的多邊形個數的增多而越加近似於原

「光滑的」邊界 C現考慮相鄰的

兩個多邊形的線積分由於共用邊

的方向是相反的所以相鄰兩個多

邊形線積分的和只剩「外邊界」（見左圖）所以當把所有的多邊形的

4-61

線積分加起來時由於只有邊界 P 不是多邊形的共用邊所以

1k

N

k C

A drarr

=

sdotsum int ＝P

A drarrsdotint rArr

P

A drarrsdotint ＝

1

1

k

N

kk k C

A d l ss

rarr rarr

=

⎡ ⎤sdot Δ⎢ ⎥

Δ⎢ ⎥⎣ ⎦sum int

其中 ksΔ 為第 k 個多邊形的面積取極限 0kN srarrinfinrArrΔ rarr P CrArr rarr

C

A drarrsdotint ＝

10

1limkk

N

kN k k Cs

A d ss

rarr

rarrinfin=Δ rarr

⎡ ⎤sdot Δ⎢ ⎥

Δ⎢ ⎥⎣ ⎦sum int 01

ˆlim ( )k

k kskn A s

infin

Δ rarr=

⎡ ⎤= sdot nablatimes Δ⎣ ⎦sum

01

ˆlim ( )k

k kskA n s

infin

Δ rarr=

= nablatimes sdot Δsum = ( )S

A dsrarr

nablatimes sdotint QED

ex55 由 Amperersquos law 的積分形式導出其微分形式

解Amperersquos law 的積分形式 C

B drarrsdotint ＝ I0μ (4-107)

由 Stokersquos 定理及電流密度 j 的定義上式等號兩端可寫為

rArr ( )S

B dsrarr rarrnablatimes sdotint ＝ 0 S

j dsμrarrsdotint

由於上面的等式對任意面 S（路徑 C）都成立所以被積函數相等

0B jμrarr rarr rarr

rArrnablatimes = (4-108) 此即 Amperersquos law 的微分形式

Ex56 Given a vector field ˆ ˆx yA ye xe= minus + (a) Find Anablatimes

解

ˆ ˆ ˆˆ ˆ(1 ( 1) 2

0x y z

x y zA z z

y xnablatimes = part part part = minus minus =

minus

(b)如圖一個金字塔狀的 5 面體高 2底邊長＝1計算 ( )S

A dsnablatimes sdotint

其中 S 為金字塔在 x-y 平面以上的部分方向如同

封閉的金字塔（運用 Stokersquos law）

解金字塔上表面的面積元素ds 不好寫由 Stokersquos

4-62

law ( )S

A dsrarr rarrnablatimes sdotint ＝

C

A drarrsdotint 其中封閉路徑 C 就是上表面的邊界而且

是逆時針（由 z 軸向下看）

C

A drarrsdotint ＝

1 1 0 0

0 0 1 1ˆ ˆ ˆ ˆA xdx A ydy A xdx A ydysdot + sdot + sdot + sdotint int int int

＝1 1 0 0

0 0 1 1x y x yA dx A dy A dx A dy+ + +int int int int 1 1 0 0

0 0 1 1( 0) ( 1) ( 1) ( 0)y dx x dy y dx x dy= minus = + = + minus = + =int int int int

0 1 1 0 2 ( ) 2S

A ds= + + + = rArr nablatimes sdot =int

旋度與 path independence

已知保守場 cF 對所有封閉路徑 C 0cC

F drarrsdot =int 由 Stokersquos 定理

0cC

F drarrsdot =int ＝ ( )cS

F dsrarr rarrnablatimes sdotint rArr 0cF

rarr rarrnablatimes =

這表示保守場＝無旋度反之無旋度的場任兩點間路徑積分與路

徑無關

Ex57 Given a field 2 2ˆ ˆ ˆ2A x xy yx zz= + minus (a) Find Anablatimes A 保守場

解2 2

ˆ ˆ ˆ

2x y z

x y zA

xy x znablatimes = part part part

minus

( ) ( ) ( )2 2 2 2ˆ ˆ ˆ( ) 2 ( ) 2 0y z z x x yx z x y xy z z x xy= part minus minuspart + part minuspart minus + part minuspart =

yes A =保守場

(b)如左圖由 A 到 B 做路徑積分A BC

A drarr

sdotint 路徑 C 為橢圓

22 1

16yx + = 在 x-軸以上的部分

解橢圓部分的路徑元素 d 有點麻煩但因為 A

為保守場所以 A 到 B 做路徑積分可以用 x = -1 到

1 的積分取代

4-63

01 1 1

1 1 1ˆ 2 0

yB

xAA d A xdx A dx xydx

=

minus minus minussdot = sdot = = =int int int int

∵

旋度在柱座標與球座標

前面討論過nabla在不同座標系的寫法旋度也有歸納出的一致寫法

座標 1 2 3 u u u

度量係數

1 2 3 h h h

nabla grad del

直角 x y z

1 1 1 nabla ˆ ˆ ˆx y z

x y zpart part part

equiv + +part part part

圓柱 zρ ϕ

1 1ρ

1ˆ ˆ ˆ zz

ρ ϕρ ρ ϕpart part part

nabla equiv + +part part part

球 r θ ϕ

1 sinr r θ

1 1ˆ ˆˆ sin

rr r r

θ ϕθ θ ϕ

part part partnabla = + +

part part part

所以柱座標與球座標的旋度分別表為

柱座標

ˆ ˆ ˆ1

z

z

Az

AA Aρ ϕ

ρ ρϕ

ρ ρ ϕρ

part part partnablatimes =

part part part （4-109）

球座標 2

ˆ ˆˆ sin1sin

sinr

r r r

Ar r

A rA r Aθ ϕ

θ θϕ

θ θ ϕθ

part part partnablatimes =

part part part （4-110）

ex58 (a) Given the vector function ˆA ϕ= sin (ϕ 2) find Anablatimes

解 2

ˆ ˆˆ sin1sin

0 sin( 2) 0

r r r

Ar r

r

θ θϕ

θ θ ϕϕ

part part partnablatimes =

part part part

4-64

21 ˆˆ cos sin sinsin 2 2 2

rr rr

ϕ ϕθϕθ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

ˆˆ cos sin2 sin 2 2

rr r

ϕ ϕ ϕθ

minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

(b)如左圖一個底面在 x-y 平面半徑＝1高＝2 之圓錐 求面積分

SA dsnablatimes sdotint 面積範圍 S 為圓錐在 x-y 平面以上

部分 方向為由圓錐內向外

解由 Stokersquos law ( )S

A dsrarr rarrnablatimes sdotint ＝

C

A drarrsdotint 其中路

徑 C 為 x-y 平面圓心在原點之單位圓 ˆ ˆd rd dϕ ϕ ϕ ϕ= =

2

0ˆ ˆsin sin

2 2C

d dπϕ ϕϕ ϕ ϕ ϕ⎛ ⎞ ⎛ ⎞sdot =⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠int int ( )0

2 sin u duπ

= int 0cos | 2u π= minus =

習題 16 磁場 B 因為不是保守場所以沒有對應的純量位而對應一

個向量位 A (vector potential)而 B A= nablatimes 一個磁鐵的磁偶極矩

ˆm mz= 被置於原點已知在遠處的 vector potential 03ˆ sin

4mAr

μϕ θπ

=

計算該處的磁場 B Ans 03

ˆˆ( 2cos sin )4

mB rr

μ θ θ θπ

= + 與電偶極遠處

的電場形式一致都是偶極(dipole) 選幾個點畫一畫該處的場向量

把磁力線描出來

附錄本章講義的內容有部分可以經由直接計算得出列在附錄做為

參考

用「圓柱座標」寫 Atimesnabla

Ararr rarrnablatimes ＝ ( )1ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ zz A A zA

z ρ φρ ϕ ρ ϕρ ρ ϕpart part part⎛ ⎞+ + times + +⎜ ⎟part part part⎝ ⎠

4-65

因為rdquo sdotrdquo與rdquotimes rdquo都是向量間的運算所以

＝ ( )ˆ ˆ ˆ ˆ zA A zAρ φρ ρ ϕρpart

times + +part

＋ ( )1ˆ ˆ ˆ ˆ zA A zAρ φϕ ρ ϕρ ϕ

parttimes + +

part

＋ ( )ˆ ˆˆ ˆ zz A A zAz ρ φρ ϕpart

times + +part

直接做上式微分可以得到

＝1ˆ z AA

zϕρ

ρ ϕpart⎛ ⎞part

minus⎜ ⎟part part⎝ ⎠＋ ˆ zA A

zρϕ

ρpart⎛ ⎞part

minus⎜ ⎟part part⎝ ⎠＋

1 1ˆ ( )A

z A ρϕρ

ρ ρ ρ ϕpart⎛ ⎞part

minus⎜ ⎟part part⎝ ⎠

上式可以用一個行列式來表示

rarrrarr

timesnabla A＝

ˆ ˆ ˆ1

z

z

zA A Aρ ϕ

ρ ρϕ

ρ ρ ϕρ

part part partpart part part

（A-1）

A and Anabla nablasdot nablatimes in 球座標 spherical coordinate

如上圖球座標 )( ϕθr 其中 )0[ infinisinr ]0[ πθ isin ]20[ πϕ isin 只有 r

是長度而 ϕθ 為角度是用來說明方向的三個座標的單位向量 ˆ ˆˆ r θ ϕ 具

有下列性質

4-66

1 如上圖 ˆ ˆˆ r θ ϕ 都不是常數而是（ ϕθ ）的函數

ˆ ˆ( )ˆ ˆ( )ˆ ˆ( )

r r θ ϕ

θ θ θ ϕϕ ϕ ϕ

⎧ =⎪

=⎨⎪ =⎩

)( ϕθr 與(xyz)之間的轉換如下

sin cossin sincos

x ry rz r

θ φθ φθ

=⎧⎪ =⎨⎪ =⎩

( )122 2 2

2 2

tan

tan

r x y z

x yz

yx

θ

φ

⎧ = + +⎪⎪ +⎪ =⎨⎪⎪ =⎪⎩

（A-2）

2 ˆ ˆˆ r θ ϕ 形成一「歸一正交集」ie

ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ 1r r θ θ ϕ ϕsdot = sdot = sdot = ˆ ˆr θ ϕperp perp

ˆ ˆr θ ϕtimes = ˆ ˆ rθ ϕtimes = ˆˆ rϕ θtimes = （A-3）

3可以很容易的由他們在 xyz 軸上的投影由直角

座標的 ˆ ˆ ˆ x y z 表出

ˆ ˆ ˆ ˆsin cos sin sin cos ( 4 )ˆ ˆ ˆ ˆcos cos cos sin sin ( 4 )ˆ ˆ ˆsin cos ( 4 )

r x y z A a

x y z A bx y A c

θ φ θ φ θ

θ θ φ θ φ θϕ φ φ

= + + minus⎧⎪

= + minus minus⎨⎪ = minus + minus⎩

4 ˆdr = 由於 ˆ ˆ( )r r θ φ= 所以由 ϕθ 的變動來看

4-67

ˆ ˆˆ| |ˆ ˆˆ| | sin sin

d r d d

d r d d

θ θθ θθ

φ θ φφ θ φφ

⎧ rArr =⎪⎨

rArr =⎪⎩rArr ˆ ˆˆ sindr d dθ θ φ θ φ= + （A-5）

rArrˆ ˆr θθpart

=part

ˆ ˆsinr θφφpart

=part

（A-6）

（A-6）的結果也可以直接由（A-4a）對 ϕθ 偏微得到

5 ˆdθ ＝ 由於 ˆ ˆ( )θ θ θ φ= 所以由 ϕθ 的變動來看

ˆ ˆ ˆ| | ( )ˆ ˆ ˆ| | cos cos

d d r d r

d d d

θ θ θ θ

φ θ θ φφ φ θ φ

⎧ rArr minus = minus⎪⎨

rArr =⎪⎩rArr ˆdθ ＝ ˆˆ cosrd dθ φ θ φminus + （A-7）

ˆrθ

θpart

rArr = minuspart

ˆ ˆcosθ φ θφpart

=part

（A-8）

請直接由（A-4b）對 ϕθ 偏微的結果 check（A-8）

6 ˆdφ ＝由於φ )(ϕ 躺在 x-y 平面上變動φ時的方向可能不是那麼

容易看出來所以做圖看一看

ie ˆ ˆˆ(sin ) (cos )d r d dφ θ φ θ θ φ= minus minus （A-9）

4-68

ˆ ˆˆsin cosrφ θ θ θφpart

= minus minuspart

7 所有的向量 ˆ ˆˆ rA rA A Aθ φθ φrarr= + +

8 位置向量 ˆr rrrarr=

可以由左圖 ˆ ˆˆ r θ ϕ 三個方向的「長度

變化」輕易的看出

9 位移元素

ˆ ˆˆ ˆ sindr rdr rd dθ θ ϕ θ φ= + + (A-10)

10 體積元素

sindv dr r d rdθ φ θ= sdot sdot

＝ 2 sinr dr d dθ θ φ (A-11)

11 面積元素 2 sinrds r d dθ θ φ= plusmn sinds r drdθ θ φ= plusmn ds rdrdφ θ= plusmn (A-12)

plusmn號表示面的垂直方向有兩個端看 ds 周邊的方向是如何定的

nabladel 考慮 ( )u u r θ φ=

rArru u udu dr d dr

θ φθ φ

part part part= + +part part part

u d rrarr rarr

equiv nabla sdot

urarr

= nabla sdot ˆ ˆˆ( sin )rdr rd dθ θ φ θ φ+ +

rArr1 1ˆ ˆˆ

sinu u uu rr r r

θ ϕθ θ φ

rarr part part partnabla = + +

part part part

1 1ˆ ˆˆsin

rr r r

θ ϕθ θ φ

rarr part part partnabla equiv + +

part part part （A-13）

4-69

直接用（A-13）與 ˆ ˆˆ rA rA A Aθ φθ ϕrarr= + + 逐項內積加上（A-678）

rArr ϕθ

θθθ

ϕθ part

part+

partpart

+partpart

=sdotnablararrrarr A

rA

rAr

rrA r sin

1)(sinsin1)(1 2

2 （A-14）

（A-13）與 ϕθ ϕθ AAArA r

andandandrarr

++= 逐項外積整理之後

ϕθ θϕθ

ϕθθ

θArrAA

r

rrr

rA

r sin

sin

sin1

2 partpart

partpart

partpart

=timesnabla

andandand

rarrrarr

（A-15）

Laplacian uu nablasdotnabla=nabla2

2

2

2222

22

sin1)(sin

sin1)(1

ϕθθθ

θθ partpart

+partpart

partpart

+partpart

partpart

=nablau

ru

rrur

rru （A-16）

B推導「散度」在圓柱座標的寫法

讓我們先回顧一下在直角座標裡的「面積元素」可以由「位移元素」

得到

ˆˆ ˆ x y zdr idx jdy kdz da dydz dxdz dxdy= + + rArr =

比照辦理「圓柱座標」的位移元素

( )ˆˆ ˆ( )

( )z

da d dzdr d d zdz da d dz

da d d

ρ

φ

ρ φ

ρ ρ φ ρ φ ρ

ρ ρ φ

=⎧⎪= + + rArr =⎨⎪ =⎩

這個結論可以輕易的由面積元素在垂直於 zˆˆ ϕρ 三個方向的面積看

出如下圖考慮一個以 )( zϕρ 為中心的「圓柱體積元素」(cylindrical

cubiod)體積為 zdV ΔΔ=Δ ϕρρ 現計算在 ρ

方向的 12 兩個平行面(方向各為 ρplusmn )的通

量

4-70

zzF

dsFdsnFS S

ΔΔ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

+cong

=sdotintint intintϕρρϕρρρ

ρ

2

2

ˆ1 1

zzF

dsFdsnFS S

ΔΔ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

minus⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

minusminuscong

minus=sdotintint intintϕρρϕρρρ

ρ

2

2

ˆ2 2

intint+

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

minus⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

minusminus⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

+Δ

asympsdotΔ

rArr21

22

22

1ˆ1

SS

zFzFdsnFV

ϕρρρρϕρρρρρρ ρρ

( ) ( )

1 20

0

0

1 ˆlim

1lim 2 2 2 2

1 1lim 2 2

1

VS S

F ndsV

F z F z

F z F z

F

ρ ρρ

ρ ρρ

ρ

ρ ρ ρ ρρ ρ φ ρ ρ φρ ρ

ρ ρρ ρ φ ρ ρ φρ ρ

ρρ ρ

Δ rarr+

Δ rarr

Δ rarr

rArr sdotΔ

Δ Δ Δ Δ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + + minus minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥Δ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦Δ Δ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥Δ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

part ⎡ ⎤= ⎣ ⎦part

intint

娛樂一下用上述方式把圓柱的 Fsdotnabla 裡的z

FF z

partpart

+partϕρϕ1

變出來

球座標的nabla和 Fsdotnabla 也可以試試看

補充習題

H M Scheydiv grad curl and all that 4th edition

第二章習題 6 8 9 10 11 14 15 16 18 19 21 22 23 25 26 27

第三章習題 2 3 5 6 7 8 9 10 11 14 15 17 18 19 24

4-2

4 向量 vu 定義加法 vu + 可由圖形表示就是將 v 的尾巴接到u 的頭

後自u 的尾巴指向 v 的頭的「箭」就是u v+ 很容易看出

u v v u+ = + 向量加法滿足「交換性」 （4-1）

wvuwvuwvu ++=++=++ )()( 向量加法滿足「結合性」 （4-2）

5 和向量

如上圖若有向量 BA 夾角為θ ( 180θ πle = deg )為之「夾角」（注意

兩向量的夾角是將兩向量的「尾巴」放在一起後「兩箭」的夾角）

由餘弦定理可知和向量的大小

2 2 2 2 2

2 2

| | 2 cos( ) 2 cos

| | 2 cos

A B A B AB A B AB

A B A B AB

π θ θ

θ

+ = + minus minus = + +

rArr + = + + （4-3）

Ex 1 Vector AB 大小為 A＝2 B ＝5 兩者夾角 300求和向量大小

解 2 2 0| | 2 5 2 2 5cos(30 ) 29 10 3A B+ = + + sdot sdot = +

6 定義向量「-v 」表大小與 v 相同但方向相反的向量由- v 可定義

向量之「減法」 ( )u v u vminus equiv + minus

7 A B 的內積純量積點積(inner productscalar productdot product)

cosA B AB θsdot equiv （4-4）

其中θ ( 180θ πle = deg )為 A B 之「夾角」內積又稱為純量積是因為內積

的結果為一純量稱為「點積」因為其符號為一個 sdot「 」(4-4)式定義

4-3

的內積是由 vector A B 的「本質」AB 和「相對關係」夾角θ 決定

也可以看出內積是可交換的ie A B B Asdot = sdot

inner product 可以這麼看

( cos ) ( cos )A B A B A Bθ θsdot = = (4-5)

亦即 vector B 在 A方向的「投影」 cosB θ 乘 A的

大小 A or vector A在 B 方向的「投影」 cosA θ 乘

B 的大小 B 若 A B 彼此垂直則 0A Bsdot = 這

可單純的由 cos(900) = 0 看出或表示 vectors A B 在對方方向投影皆為

0所以向量的內積牽涉到二向量在對方方向的投影

sect 41 直角座標(Cartisian coordinates or Rectangular coordinates)

座標系的選定像是選擇劃分空間的方法

「直角座標」的作法就是將空間分割成一個個

小立方體來標誌位置在沿著三個相互垂直的

x y z軸我們訂出三個「單位向量 unit vector」

ˆ ˆ ˆ x y z (也有用 ˆˆ ˆ i j k 或 ˆ ˆ ˆ x y ze e e 表示一般的

慣 例 是 e 表 示 單 位 向 量 ) 分 別 指 向 +x +y +z 方 向 而 且

ˆ ˆ ˆ| | | | | | 1x y z= = = 其實所有的「無單位」且大小長度＝1 的向量都叫

做「單位向量」

「直角座標」一個重要的性質就是 一旦 x y z軸定好之後單位

向量 ˆ ˆ ˆ x y z 就被固定了即 ˆ ˆ ˆ x y z 為「常數向量」不會改變一

個任意向量V 就可以就可以以分量的形式表出

ˆ ˆ ˆx y zV xV yV zV= + + （4-6）

其中單位向量 x 的係數 xV 稱為 vector V 的 x-分量（x-component） y

的係數 yV 稱為 y-分量 z 的係數 ZV 稱為 z-分量分量 xV yV ZV 是

一個可為正負的純量由於 ˆ ˆ ˆ x y z 彼此垂直所以

4-4

ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ 0x y y z z xsdot = sdot = sdot = ( ˆ ˆ ˆ x y z 之正交關係 orthogonality） （4-7a）

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 1x x y y z zsdot = sdot = sdot = ( ˆ ˆ ˆ x y z 為歸一化向量 normalized vector) (4-7b)

上面二式合稱 ˆ ˆ ˆ x y z 之「歸一正交關係」 (orthonormality)

所以向量V 的分量可由內積得到ie

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ( )x y z x y z xV x xV yV zV x xV x yV x zV x V x Vsdot = + + sdot = sdot + sdot + sdot = = sdot

＝V 在 x 軸的投影

Similarly ˆ ˆyV V y y V= sdot = sdot ＝ V 在 y 軸上的投影and ˆ ˆzV V z z V= sdot = sdot

＝ V 在 z 軸的投影舉例當向量寫為 ˆ ˆ ˆ2 4 5V x y z= + minus 時 x-分量＝2

＝V 在 x 軸上的投影y 分量＝4＝V 在 y 軸上的投影z 分量＝-5=V 在

z 軸上的投影當用分量表示向量時二向量

ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆx y z x y zA xA yA zA B xB yB zB= + + = + +

123i iA B A B i= hArr = = （4-8）

ie 若且唯若 A B= 則兩者對應的各分量相等

(4-7ab)所示的歸一正交關係有一緊緻的寫法就是用 ie 來寫現

在介紹一個重要的符號 ijδ 叫做 Kronecker Delta定義如下

10ij

i ji j

δ⎧ =⎪equiv ⎨

ne⎪⎩ （4-9）

舉例來說或 1xx yy zzδ δ δ= = = 0xy yz zxδ δ δ= = = 23 12 31 0δ δ δ= = =

22 11 33 1δ δ δ= = = 0st rs trδ δ δ= = = hellipetc即腳標相同的就有值＝1腳標

不同的就不有值＝0 如此若用 1 2 3ˆ ˆ ˆ ˆ 123ie e e e i =或 來表示直角座

標的三個單位向量 ˆ ˆ ˆ x y z 則可以得到

1 2 3ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ 123i j ijx e y e z e e e i jδ= = = rArr sdot = = （4-10） 一個式子

ˆ ˆ 123i j ije e i jδsdot = = （4-11）

4-5

就把 ˆ ˆ ˆ x y z 的正交歸一關係寫完我們也可以用連加符號來寫向量

ˆ ˆ ˆx y zV xV yV zV= + +3

1

ˆ ˆor

i i i ii x y z i

V e V e= =

equiv =sum sum （4-12）

Vi 為第 i 個方向的「分量」 ie 表示「第 i 個方向」的單位向量是一

種 ˆˆ ˆ i j k 更方便的寫法所以

3 3 3

1 1 1

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 123i i j j j j j j ij ij j j

e V e V e V e e V V iδ= = =

sdot = sdot = sdot = = =sum sum sum （4-13）

注意到上式中的3

1 1 2 2 3 31

j ij i i ij

V V V Vδ δ δ δ=

= + +sum ＝三項和腳標 j 有 123

三個可能但若 j ine 則 0ijδ = 只有一項當 i j= 時 1ijδ = 存活下來

ie ˆ 123i ie V V isdot = = 此處要注意因為特定的 i 被用掉了所以V

不能再用3

1

ˆi ii

V e=sum 來表示要換一個腳標ie V ＝

3

1

ˆj jj

V e=sum

對於任意的向量 A B 以分量表示

ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆx y z x y zA xA yA zA B xB yB zB= + + = + +

ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( )x x y y z zA B x A B y A B z A BrArr + = + + + + + （4-14）

A B 內積 3

1x x y y z z i i

i

A B A B A B A B A B=

sdot = + + =sum （4-15）

Pf3 3 3 3 3 3 3

1 1 1 1 1 1 1

ˆ ˆ ˆ ˆ( )i i j j i i j j i ij j i ii j i j i j i

A B e A e B A e e B A B A Bδ= = = = = = =

⎛ ⎞sdot = sdot = sdot = =⎜ ⎟

⎝ ⎠sum sum sum sum sum sum sum

（4-14）式的內積由 A B 的「分量」表出分量與座標系有絕對的關

係（4-14）與（4-5）式的內積的定義不一樣然結果相同兩者的

等價可以證明如下令ϕ 為 B 與 x-軸的夾角

i i x x y yA B A B A B= +sum

4-6

cos( ) cos sin( ) sin[cos( )cos sin( )sin ]cos[ ]cos

A B A BABABAB

θ ϕ ϕ θ ϕ ϕθ ϕ ϕ θ ϕ ϕθ ϕ ϕθ

= + sdot + + sdot= + + += + minus=

QED

Ex2 若 ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ3 2 2 A x y z B x y z= minus + = + minus 判斷 vector A B 是否相互垂

直解(a) A Bsdot ＝3-2-2＝-1 0ne 所以不相互垂直

Ex3 If ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ3 2 yA x y z B x B y z= minus + = + minus find yB such that A Bperp

解let 0A Bsdot = =3- yB -2rArr yB =1

向量 A 的大小(magnitude)由內積定義

( )

2 2 2 2 0

ˆˆ ˆ 1

x y z ii

A A A A A A

or A A A i j k

equiv = + + = ge

= sdot = = =

sum

∵(4-16)

除了避免誤解為了方便往後我們只用

A 來表示向量 A 的大小 ie A A=

Ex4 If ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ3 2 2 A x y z B x y z= minus + = + minus (a)find A and B (b) A B 之夾角

解(a) 2 2 23 1 2 14 1 4 1 6A B= + + = = + + =

(b) 3

1

1 cos 14 6 cosi ii

A B A B AB θ θ=

sdot = = minus = = timessum

01cos 168 96384

radθ θminusrArr = rArr = asymp

任意非零 vector 向量 A其方向的單位向量

ˆ AAA

= （4-17）

such that A也可以寫為 ˆ

i ii

A AA e A= =sum （4-18）

4-7

Ex5 Given ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ3 2 2 A x y z B x y z= minus + = + minus find unit vector ˆ ˆA B

解

ˆ ˆ ˆ3 2 3 1 2ˆ ˆ ˆ ˆ14 14 14 14

ˆ ˆ ˆ2 1 2 1ˆ ˆ ˆ ˆ6 6 6 6

A x y zA x y zAB x y zB x y zB

minus += = = minus +

+ minus= = = + minus

前面討論過若θ 為 A B 之夾角則 cosA θ 為 vector A 在 B 方向的

投影或稱 B 方向的分量由內積的定義可以得到 ˆ| | 1B =∵

ˆ ˆ| | cos cosA B A B Aθ θsdot equiv = （4-19）

Ex6 Following ex5 find BA which is the component of A along the direction of B

解for 1 2 1ˆ ˆ ˆ ˆ6 6 6

B x y z= + minus

ˆBA A B= sdot = ( ˆ ˆ ˆ3 2x y zminus + ) 1 2 1 1ˆ ˆ ˆ

6 6 6 6x y z minus⎛ ⎞sdot + minus =⎜ ⎟

⎝ ⎠

換言之要找向量 A在任意方向u 的分量 uA 就先找出u 方向的單位

向量 ˆue ˆu uA A e= sdot Ex 7 求向量 ˆ ˆ ˆ2B x y z= + minus 在 ˆ ˆ ˆu x y z= + + 方向的分量 uB

解單位向量 ˆ ˆ ˆˆ3

x y zu + +=

ˆ ˆ ˆ 2ˆ ˆ ˆ ˆ( 2 )3 3u

x y zB B u x y z + += sdot = + minus sdot =

習題 1 Given ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ2 3 2 2 A x y z B x y z= minus + minus = minus minus (a) find | |A | |and B (b) angle ( A B ) (c) the component of B in the direction of A 向量場 vector field

若在一空間的每一點都定義一個向量 A則稱該空間存在向量場

( )A x y z 或 ( )A r 我們熟知的電場 ( )E x y z 磁場 ( )B x y z 重力場

( )g x y z 等都是向量場向量場 ( )A x y z 的各分量也都是位置的函數

ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( )x y zA x y z A x y z x A x y z y A x y z z= + + （4-20）

要注意除了少數特例一般向量場的各分量例如 x-分量 Ax 並非

只是 x 的函數而是(xyz)的函數特例之一為空間中每一點(x y z)

4-8

皆對應一「位置向量」 ˆ ˆ ˆr xx yy zz= + +

所以向量場 ( )A x y z 也可表為 ( )A r

Ex 8 給定一向量場 ( )A x y z = 2 2 3ˆ ˆ ˆ( )A x y z y x x zy xz z= + + (a) find

A 1 and A 2 which are vector A at position P1(2 1 5) and P2(3 0 1)

解(a) A 1= A (2 1 5) 2 2 3ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ1 (2 5) (2 5 ) 20 250x y z x y z= + times + times = + +

A 2= 2 3ˆ ˆ ˆˆ ˆ(301) 0 (3 1) (3 1 ) 9 3A x y z y z= + times + times = +

(b) Find the unit vector 1 2ˆ ˆr r and 12r for position vectors of points P1

P2 and 1 2PP

解for P1 1r = ˆ ˆ ˆ2 5x y z+ + 1ˆ ˆ ˆ2 5ˆ

30x y zr + +

rArr =

for P2 2 2ˆ ˆ3ˆ ˆˆ310

x zr x z r += + rArr =

1 2PP = 12ˆ ˆ ˆ4ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ(3 2) (0 1) (1 5) 4

18x y zx y z x y z r minus minus

minus + minus + minus = minus minus rArr =

Note 1 2 2 1PP r r= minus but 12r 2 1ˆ ˆr rne minus why Draw a diagram

(c) Find the component of A 1 along the direction of the 1 2PP

解 1 12ˆ ˆ ˆ ˆ( 20 250 )A r x y zsdot = + + sdotˆ ˆ ˆ4

18x y zminus minus =1 20 1000 1019

18 18minus minus minus

=

3-D 向量 A的分量

A 3-D vector A is uniquely specified by

given its magnetude A and direction ( θ ϕ 稱為

「方向角」)或者就是完整說明 xyz 三個分量

（Ax Ay Az）兩者轉換如下

4-9

cossin cossin sin

0 0 0 2

z

x

y

A AA AA A

A

θθ ϕθ ϕ

θ π ϕ π

===

gt le le le le

（4-21）

A B 的外積向量積叉積（vector productcross product）

由 A B 的本質與相對夾角定義向量外積

ˆ sinA B nAB θtimes equiv （4-22a）

其中的 n 是一個同時垂直於 A B 的單位向量其方向由右手定則定

之舉例

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆsin 90 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 0x y z z x z y y z xx x y y z ztimes = deg = times = minus times =times = times = times =

相互平行或反平行的二向量外積為 0因為 sin(0)=sin(1800)=0

BA 的外積也有另一個等價的定義

ˆ ˆ ˆ(4 22 )

( ) (4 23)

x y z

x y z

i ijk j kj k

x y zA B A A A b

B B B

A B A Bε

times = minus

times = minussum

上式中的 ijkε 稱為 Levi-Civita symbol（猶太裔義大利人Ci 發音同

chi） ijkε ＝0 若 ijk 中有任二數相同例如 211 131 223 0ε ε ε= = = 若 ijk

為相異的 3 個數則 ijkε =(-1)p p 是 ijk 相鄰兩數互換成為 123 的「置

換數」例如 ijk=231則 213 123rarr rarr p=2 2231 ( 1) 1ε = minus = 又如 ijk

＝321 則 312 132 123rarr rarr rarr p=3 所以 3321 ( 1) 1ε = minus = minus

4-10

Ex 9 ˆ ˆ ˆ4 5A x y z= + + ˆ ˆ3B x z= +

ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ1 4 5 (4 5) (15 1) (0 12) 14 12

3 0 1

x y zA B x y z x y ztimes = = minus + minus + minus = minus + minus

ex 10 ˆ ˆ ˆ4A x y z= minus minus + ˆ ˆ ˆ2B x y z= minus minus ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ1 1 4 (1 4) (8 1) (1 2) 5 7 3 2 1 1

x y zA B x y z x y ztimes = minus minus = + + minus + + = + +

minus minus

由（4-21b）可以容易看出

( ) ( )x y z

x y z

x y z

C C CC A B A B C A A A

B B Bsdot times = times sdot = （4-24）

明顯的 in general 外積不滿足交換率與結合率

( ) ( )A B B A B AA B C A B Ctimes = minus times ne times

times times ne times times (4-25)

兩個有用的恆等式(identity)

1 triple scalar product 純量三重積

( ) ( ) ( )A B C C A B B C Asdot times = sdot times sdot = sdot times (4-26)

上式中的 3 項運算 A B C 的順序是循環的(cyclic)ie ABC CAB

BCA3 項皆為以 A B C 為鄰邊的平行 6 面體的體積

Pf 若 B C 夾角＝ϕ rArr ˆ sinB C nBC ϕtimes =

其中 sinBC ϕ ＝以 B C 為兩邊的平行

四邊行面積 n perp B C

若 ˆA n 夾角＝θ ˆ cosA n A θrArr sdot =

＝垂直於 B C 平面的高

there4 ( )A B Csdot times ＝以 A B C 為鄰邊的平行

4-11

六面體的體積由於 3 鄰邊 A B C 的順序可以任選所以體積可藉由

（4-24）式之「絕對值」算出

Ex 11 一平行六面體 H 的相鄰三邊由 ˆ ˆ ˆ4 5A x y z= + + ˆ ˆ3B x z= +

與 ˆ ˆ ˆ2C x y z= minus + minus 表出求 H 之體積 HV

解let 1

2 1 11 4 5 183 0 1

CD A

B

minus minus= = = or 2

1 4 52 1 1 18

3 0 1

AD C

B= = minus minus = minus

1 2| | 18HV D D= = = 1D 與 2D 差一個負號不令人驚奇因為行

列式 2D 是由 1D 的第一列與第二列交換而來

2 triple vector product 向量三重積

( ) ( ) ( )A B C B A C C A Btimes times = sdot minus sdot (4-27)

上式有一別號稱為 back-cab(回頭車) rule先舉例說明上式成立

Ex12 ˆ ˆ ˆ4 5A x y z= + + ˆ ˆ3B x z= + ˆ ˆ ˆ4C x y z= minus minus

ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ3 0 1 (0 1) (1 12) ( 3) 13 3

1 1 4

x y zB C x y z x y ztimes = = + + + + minus = + minus

minus minus

ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ( ) 1 4 5 ( 12 65) (5 3) (13 4) 77 8 9

1 13 3

x y zA B C x y z x y ztimes times = = minus minus + + + minus = minus + +

minus

ˆ ˆ1 4 20 23 ( ) 69 23A C B A C x zsdot = minus minus = minus rArr sdot = minus minus

ˆ ˆ ˆ3 5 8 ( ) 8 8 32A B C A B x y zsdot = + = rArr sdot = minus minus

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ( ) ( ) 69 23 (8 8 32 ) 77 8 9B A C C A B x z x y z x y zsdot minus sdot = minus minus minus minus minus = + + QED

The proof of ( ) ( ) ( )A B C B A C C A Btimes times = sdot minus sdot

Pf Note that ( )B C B Ctimes perp 平面then ( )A B C B Ctimes times perp times∵ （ ）

( ) A B C D B CrArr times times equiv 躺在（ ）平面 所以 D 可由 B C 組合令

4-12

D B Cα β= + 由於 D 也與 A垂直所以

0A Dsdot = ( ) ( )A B A Cα β= sdot + sdot rArr

let ( ) ( )v v A C v A BA C A Bα β α βminus

= = rArr = sdot = minus sdotsdot sdot

( ) [( ) ( ) ]D A B C B C v A C B A B Cα βthere4 = times times = + = sdot minus sdot

v 會＝1上式對 x 做內積

ˆ ˆ ˆ[ ( )] [( ) ( ) ]

[( ) ( ) ]x x

x A B C v A C B x A B C x

v A C B A B C

sdot times times = sdot sdot minus sdot sdot

= sdot minus sdot

由於內積與外積都是向量間的運算所以上式左邊有

ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ( )x y z x y z

x y z x y z

x y z A x A y A zB C B B B A B C B B B

C C C C C C

times times timestimes = rArr times times =

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( ) 0ˆ [ ( )]

z y

x y z x y z

x y z x y z

x A x x A y x A z A Ax A B C B B B B B B

C C C C C C

sdot times sdot times sdot times minusrArr sdot times times = =

上式用到

ˆ ˆ( ) 0x A xsdot times = ˆ ˆ( )x A ysdot times ＝ ˆ ˆ( ) zA y x Asdot times = minus ˆ ˆ( )x A zsdot times ＝ ˆˆ( ) yA z x Asdot times =

用第 3 列展開行列式得

ˆ [ ( )] ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

x x x y y x z z x

x x x x y y z z x x x x x x

x x

x A B C C A B A B C A B C A B

C A B A B B C A C A C A B A B B A C C A

C A B B A C

sdot times times = minus sdot + + +

= minus sdot + + + = minus sdot + + sdot minus

= minus sdot + sdot1 ( ) ( ) ( )v A B C B A C C A BrArr = rArr times times = sdot minus sdot QED

向量的微分元素（直角座標）

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( ) [( ) ]

ˆ ˆ ˆ

i i i i i i i i i ii i i i

x y x

dA d e A d e A de A e dA e dA

or dA xdA ydA zdA

⎛ ⎞= = = + =⎜ ⎟

⎝ ⎠= + +

sum sum sum sum （4-28）

4-13

上面用了直角座標最方便的性質 ie 為常數 ˆ 0iderArr = 舉「位置向量」

為例

2 2 2 2 2 2 2 2

ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ

ˆ ˆ ˆˆ i i

i x y zi

r xx yy zz dr xdx ydy zdzdr dx dy dzv x y z e xdt dt dt dt

v v v x x y z v v v

= + + rArr = + +

rArr = = + + =

rArr = sdot = = + + = + +

sumsum

（4-29）

sect 42 曲線座標(curvilinear coordinates)

(A) 平面「極座標」polar coordinates ( )r θ

在平面上的一點 P 的直角座標若為(x y)我們可以有另一種標示法

( ) 0 [0 )

[02 ]r P x y r r

x rθ θ π

equiv ge isin infin⎧⎨

equiv isin⎩

由原點到 之距離

軸到 的夾角 （4-30）

以 P )( θr 為座標表同一點 P(xy) )( θr 稱為 P 點的「極座標」「極座

標」與「直角座標」的關係如下

2 2

cos

sintan

r x y x randy y r

x

θθθ

⎧ = + =⎧⎪⎨ ⎨ == ⎩⎪⎩

（4-31）

但是 )( θr 這兩個新座標的單位向量 ˆˆr θ 在什麼方向我們先來回顧

一下座標軸的單位向量的「制訂標準」是

什麼事實上某座標的單位向量的方向

訂在「垂直於該座標『等值面』且指向

該『座標值增長』的方向」舉「直角座

標」為例如右圖由於 x y 軸皆為直線

4-14

所以「等值面」都是平行的平面所以垂直方向皆相同也造成單位

向量 ˆ ˆx y 為常數

由左圖可以看出極座標裡 r 的等值面是一

個圓所以單位向量 r 是「沿徑向向外」但

是隨圓上θ 有所變動時 r 也隨著改變所以 r

「不是一個常量」 ˆ ˆ( )r r θ= 是角度θ 數

如左圖也可看出θ 的等值面為直線所以單位

向量θ 是「沿『切線』逆時針」方向

但如同 r 一樣當θ 值改變時θ 的方向

也改變了所以θ 也「不是一個常量」

)(ˆˆ θθθ = 也是角度θ 的函數可以看出

固定θ 時 ˆr θperp 但是她們都與「角座標」θ 有關由於她們的指向

有時 r 被稱為「沿徑向」之單位向量θ 被稱為

「沿切線」之單位向量極座標和直角座標還

有一個很大的差別就是直角座標的 x y z 的

因次都是「長度」所以當座標改變時 dx dy dz

就是「長度」的改變然而極座標的 r 有長度因

次所以 dr 是長度但是θ 只是一個數字而非長度所以當θ 改變時

dθ 並不代表一個長度的變化dθ 造成的長度變化寫為

d h dθ θ θ= （4-32）

其中的係數hθ 稱為「度量係數」(metric coefficient)很顯然這裡的hθ

必須具有長度的因次「長度」之所以重要是因為位移是長度各個

座標的度量係數我們會在後面仔細討論

座標系的選用以方便為準系統的對稱性是重要的考量所以有

立方對稱的系統通常用直角座標而有圓對稱的系統則用極座標

4-15

Ex13 半徑 5圓心在原點的圓方程式在直角座標為 2 2 25x y+ =

但是在極座標就是 5r = 而已

位置位移速度與加速度

直角座標的描述很簡單

ˆ ˆˆ ˆ

ˆ ˆ

r xx yy

r xx yy

dr dxx dyy

= +

Δ = Δ + Δ

= +

位置

位移

位移元素

（4-33）

2 2

2 2

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( )

ˆ ˆ( )

ˆ ˆ ˆ ˆ( )

x ydr dx dyv t x y xx yy v x v ydt dt dt

dv t dxx dyydv dx dy d x d ya t i j i jdt dt dt dt dt

rArr = = + = + = +

rArr = +

rArr = = + = +

瞬時速度

速度變化元素

瞬時加速度

（4-34）

在極座標由於單位向量 θr 不再是常數 ˆˆ 0 0dr dθrArr ne ne 所以

ˆ

ˆ ˆ( )ˆ ˆ

r rrr r r r r

dr drr rdr

=

Δ = Δ + Δ

rArr = +

位置

位移

位移元素

(4-35)

現在有一個問題 ˆ dr = 由下圖 r 的變化由 dθ 而來

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( )ˆ ˆ

ˆˆ ˆ ˆ0 ( ) ˆˆ

r r dr r d rdr r d d

d dr r dr

dr d

θ θ θ θθ θ

θ θ θ

θθ

= rArr = + minus

= =

rarr rArr perp rArr

rArr =

∵

∵ (4-36)

4-16

所以微分的位移為

ˆˆdr drr rdθθ= + （4-37）

上式的幾何意義很清楚dr 的 r 分量 dr 就是「沿

r 方向的長度變化」而θ 分量 rdθ 就是「沿θ 方

向的長度變化」而已或者也可以這麼看dr 是

一個位移向量在平面上有 r 和θ 兩個分量所以 ˆˆrdr d r d θθ= +

α 為在 r 方向的長度變化β 為在θ 方向的長度變化所以 rd dr=

d rdθ θ= 這種分析方法可以用在各種座標系這裡也可以看出

和（4-32）式角度變化dθ 造成的長度變化d h dθ θ θ= 相比可以得出

θ 的度量係數h rθ = 與直角座標比較 ˆ ˆdr dxx dyy= + dx 與 dy 不也就

是dr 在 x 與 y 方向的長度變化嗎

Now 速度

ˆˆ

ˆ ˆˆ ˆr

dr dr dv r rdt dt dtrr r v r vθ

θ θ

θθ θ

= = +

= + equiv + （4-38）

其中ddtθθ ω= = 亦稱為「角速度」

Ex14 圓周運動因為只有切線速度所以由（4-38）式 ˆ ˆ0

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( ) = ( ) ( ) ( 0)

r R r v r R

dv dr r d r d r d r d dr

θθ ωθ

θθ θ θ θ θ θ θ θ θ

= rArr = rArr = =

rArr = + + + =

∵

∵

（ 切線速度）(4-39)

這裡又冒出個問題

ˆ dθ = 由左圖

ˆ ˆ

ˆ ˆ0

d d d

d d

θ θ θ θ

θ θ θ

= =

rarr rArr perp

4-17

ˆ ˆ ˆ ˆ

d r

d d r

θ

θ θ

rArr minus

rArr = minus (4-40)

2

2

ˆˆ( ) ( )

ˆˆ

ˆ ˆˆ ˆ( ) ( )ˆˆ ( ) ( )

r

dv r d r r d

dv d da r r rdt dt dt

a r r r a r a

or a r r rθ

θ θ θ θ

θ θθ θ

θ θ θ θ

ω α θ

rArr = minus +

⎛ ⎞⎛ ⎞rArr = = minus +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

rArr = minus + equiv +

= minus +

(4-41)

上式即為圓周運動的加速度其中的第一項

2

2 ˆ ˆrva r r rr

ω minus= minus = 向心加速度 (4-42a)

with α θ= 可以認出是角加速第二項

ˆa rθ αθ= 切線加速度 (4-42b)

如進一步簡化為「等速圓周運動」 ==rArr θω constant 0==rArr αθ rArr切線

加速消失那麼加速度就只剩下了熟知的向心加速度2

ˆrva rrminus

= 了

若考慮一般的情況 dr 0ne 可以導出用極座標表示的加速度為

2

ˆ ˆ ˆ ˆˆ( ) ( ) ( ) ( )

ˆˆ( ) (2 )

dv dr r r d dr r d r ddva r r r r rdt

θ θ θθ θ θ θ θ

θ θ θ θ

= + + + +

rArr = = minus + + （4-43）

看起來有點繁但是在有圓形對稱的系統極座標會表現得更清楚

面積微分元素

直角座標把平面分割成一個個的

小方塊也就是依照「x 與 y 方向的

長度變化」可以寫出「面積元素」

dA dx dy= sdot （像是切長方形的蛋糕）

比較 ˆ ˆdr dxx dyy= + 可以看出

dA＝(x-方向的長度變化)times(y-方向的長度變化)

4-18

所 以 在 「 極 座 標 」 比 照 辦 理

ˆˆ ˆ( ) ( )dr dr r rdr dr r rdθθ= + = +

dA dr rd rdrdθ θ= sdot = (4-44)

像是切圓形蛋糕

ex15 求一個半徑 R 的圓的面積

解 2 2

2

0 0

22

R RA dA rdrd rdr d Rπ

θ θ π π= = = = sdot =int intint int int

妳可以試試用直角座標dA dx dy= sdot 算一下圓的面積

Ex16 求一個半徑 R質量 M密度σ 的均勻圓盤繞其直徑的轉動慣

量解 質量元素 dAdm σ= 到轉軸（直徑）的距

離 sinr θ=

2 2 2 2

23 2

0 0

4 22 2

sin

sin

14 4 4

R

I dm dA r rdrd

r dr d

R RR MR

π

σ σ θ θ

σ θ θ

σ π σπ

= = =

=

= = =

int int intintint int

娛樂一下算半個圓盤繞通過圓心且垂直盤面的軸的轉動慣量

ex 17 計算積分2xI e dx

infinminus

minusinfin

= int

解 2 2

0

2x xI e dx e dxinfin infin

minus minus

minusinfin

= =int int2 22

0 0

2 2x yI I I e dx e dyinfin infin

minus minusrArr = sdot = sdotint int

2 2 2 22

2 ( )

0 0 0 0 0 0

4 4 4x y r rI e dxdy e dA e rdr d

π

θinfin infin infin infin infin

minus + minus minusrArr = = =int int int int int int

在上面的積分裡我們運用了一個有關「無窮大平面」的技巧就是「無

4-19

窮大的平面」是可以是「正方形」或是「圓形」的

2

2

22

00 0 0

22

4 2 2( )2 2 2

(4 45)

u u u

x

dulet u r du rdr rdr

duI e d e du e

I e dx

π

π πθ π

π

infin infininfinminus minus minus

infinminus

minusinfin

= rArr = rArr =

rArr = = sdot = minus sdot =

rArr = = minus

int int int

int

ex18 重力位能

由位能差的定義 )()()( BAWBUAU rarrequivminus

（B）圓柱座標 cylindrical coordinates

3D 空間點 P(x y z)的位置向量 ˆ ˆ ˆr xx yy zz= + +

定義「圓柱座標」 ( )zρ ϕ 其中

0 [0 )P zρ ρ ρequiv ge there4 isin infin點 到 軸之垂直距離

ϕ ρequiv 在 x-y 平面的投影與 x 軸之夾角 [02 ]ϕ πisin

z zequiv同直角座標的

4-20

「圓柱座標」就是「極座標」（用 ( )ρ ϕ 取代 ( )r θ ）再加上第三維 z

所以圓柱座標 ( )zρ ϕ 裡 zρ 的因次為長度而ϕ 只是一個數字

( )zρ ϕ 與(x y z)間的轉換如下

2 2 cos

tan sin

x yx

y yx

z zz z

ρρ ϕ

ϕ ρ ϕ

⎧ = +=⎪ ⎧

⎪ ⎪= =⎨ ⎨⎪ ⎪ =⎩=⎪⎩

（4-46）

「圓柱座標」的三個方向單位向量 ˆ ˆ ˆ zρ ϕ 如圖

且 ˆ ˆ zρ ϕperp perp 可以看出ρ 的等值面為一個圓柱

面ϕ 的等值面是一扇門z 的等值面為一個垂

直 z 軸的平面但是

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( ) zρ ρ ϕ ϕ ϕ ϕ= = =常數

柱座標的位置向量 r 如左圖

ˆ ˆr zzρρ= + （4-47）

在柱座標寫位移元素dr 有兩種作法一

種是直接由（4-47）式取微分元素 借用

平面極座標的結果可得

ˆ ˆ ˆ( ) ( )

ˆ ˆ ˆdr d d dzz

d d dzzρ ρ ρ ρ

ρρ ρ ϕϕrArr = + +

= + + （4-48）

但也可以由三個座標方向的

位移來看由左圖可得沿 ρ 方向

的長度變化 ie 當座標ρ 有變

化dρ 時產生的長度變化就是

dρ 沿ϕ 的長度變化為 dρ ϕ

而沿 z 方向的長度變化為 dz

4-21

dr 是一個向量有三個分量ρ -分量就是沿 ρ 方向的長度變化

dρ ϕ -分量沿ϕ 的長度變化為 dρ ϕ 而 z-分量就是沿 z 方向的長度變

化為 dz合併寫出

ˆ ˆ ˆdr d d dzzρρ ρ ϕϕ= + +

與（4-48）式完全相同但是這種由幾何角度得到的結果要更方便

也更直觀Fig 27 非常重要因為只要你能把圖畫出來位移的各

分量就寫得出來有了位移元素dr 速度與加速度就可得出

ˆ ˆ ˆ (4 49)

ˆ ˆ ˆ( ) (2 ) (4 50)

drv zzdtdva zzdt

ρρ ρϕϕ

ρ ρϕ ρ ρϕ ρϕ ϕ

rArr = = + + minus

rArr = = minus + + + minus

由上圖與dr 的 3 個分量可得圓柱座標的體積元素

dV d d dz d d dzρ ρ ϕ ρ ρ ϕ= sdot sdot = （4-51）

ex19 底面半徑 R高 h 的圓柱體積＝ 2 2

2

0 0 0

22

R h RV dV d d dz h R hπ

ρ ρ ϕ π π= = = sdot sdot =int int int int

ex20 底面半徑 R高 h 的「圓錐」體積＝

解本圓錐裡點的座標分佈為 [02 ] [0 ]z hϕ πisin isin ( )zρ ρ=

( ) ( )( )

h z h Rz h zz R h

ρρminus

= rArr = minus

22( )( ) 2 2

0 0 0 0 0 0

002 2 2 3 2 32 2 2

2 2 2 20

( )2 2

2

1( )3 3 3

R h zzh h hh

h

h h

R h zhV d dz d d dz d dz

R R R u R hh z dz u du R hh h h h

ρ π

τ ρ ρ ϕ π ρ ρ π

π π π π π

minus

minus minus

minusthere4 = = = =

= minus = = = =

int int int int int int int

int int

如果我們把 3-D 的三個座標寫為 1 2 3( )u u u 或 123iu i = 當座

標 ui(在 ˆiu 方向)變動 dui 時造成的長度變化為 id 則定義

4-22

i i id h duequiv (4-52)

其 中 hi 稱 為 座 標 ui 的 度 量 係 數 (metric

coefficient)由 zρ 的因次為長度所以 zρ 的變

化 d dzρ 就是長度的變化所以 1 1zh hρ = =

然而ϕ 的變化造成的長度變化為

d d hϕ ϕρ ϕ ρ= rArr = (4-53)

很明顯的直角座標 xyz 都是長度所以度量係數 1x y zh h h= = =

(C) 球座標 spherical coordinates

3D 點 P(x y z)的位置向量 ˆ ˆ ˆr xx yy zz= + + 定義

「圓柱座標」 )( ϕθr 其中

[0 ] [0 ]

[02 ]

r P rr zr x y x

θ θ πϕ

ϕ π

⎧ equiv isin infin⎪

equiv isin⎪⎨

equiv minus⎪⎪ isin⎩

原點到 的距離

與 軸的夾角

在 軸投影與 軸的夾角

球座標的ϕ 與住座標的ϕ 相同

( )r θ ϕ 與(x y z)間的轉換如下下列為（4-54）

2 2 2

2 2 2

sin coscos sin sin

cos

tan

r x y zx r

z y rx y z z r

yx

θ ϕθ θ ϕ

θ

ϕ

⎧⎪ = + +⎪ =⎧⎪ ⎪= =⎨ ⎨

+ +⎪ ⎪ =⎩⎪⎪ =⎩

三個座標的單位向量 )ˆˆˆ( ϕθr 如左圖一可以看

出 r 的等值面是一個球面θ 的等值面為一個

以原點為頂點的圓錐ϕ 的等值面為一扇門

位置向量 ˆr rr= （4-55）

4-23

位移由 ˆ ˆˆ( )r θ ϕ 3 個方向的「長度

分量」可得 ˆ ˆˆ ( ) ( sin )dr rdr rd r dθ θ ϕ θ ϕ= + +

（4-56）

所以體積元素

2

( )( sin )(sin )

d dr rd r dr dr d d

τ θ θ ϕ

θ θ ϕ

=

= （4-57）

Fig 31 和 Fig 27 一樣重要只要

你能畫得出來就可以寫出球座

標位移的三個分量

ex21 求一半徑 R 的球體積 2

2 2 3

0 0 0

4sin sin3

R

V d r dr d d r dr d d Rπ π

τ θ θ ϕ θ θ ϕ π= = = =int intintint int int int

ex22 求一質量 M半徑 R密度 ( )3 4 3M Rρ π= 的實心球對直徑

旋轉的轉動慣量

解質量元素 2 sindm d r dr d dρ τ ρ θ θ ϕ= = 到 z 軸的垂直距離為 sinr θ=

22 4 3

0 0 0

5 52

sin

4 8 225 3 15 5

RI dm r dr d d

R R MR

π πρ θ θ φ

πρ π ρ

= =

= sdot sdot = =

intintint int int int

娛樂一下空心球對直徑的轉動慣量

(4-46)式與(4-54)式說明柱座標和球座標與直角座標之間的轉

換Fig 32 可得出柱座標和球座標之間轉換

2 2

sintan

cos

r zr

zz r

ρρ θ

ρϕ ϕ θθ ϕ ϕ

⎧ = += ⎪⎧

⎪ ⎪= =⎨ ⎨⎪ ⎪=⎩ =⎪

⎩

（4-58）

4-24

Ex23 點 P 的球座標為（31200 600）求柱座標＝

解2 3 33sin3 2πρ ⎛ ⎞= =⎜ ⎟

⎝ ⎠

23

ϕ π= 2 33cos3 2

z π minus⎛ ⎞= =⎜ ⎟⎝ ⎠

直角座標柱座標球座標單位向量之間的轉換

三種座標之間的轉換由(4-46)式(4-54)式與（4-58）式表出但

三種座標裡的的三個單位向量 ˆ ˆ ˆ x y z ˆ ˆ ˆ zρ ϕ ˆ ˆˆ r θ ϕ 若以 123ˆ iu =

表示則單種座標的單位向量之間都有正交歸一關係

ˆ ˆi j iju u δsdot = 與外積的循環關係

ˆ ˆ ˆ i j ku u u i j ktimes = cyclic in 123

ie 1 2 3 2 3 1 3 1 2ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ u u u u u u u u utimes = times = times = or ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆˆ ˆ r z z x yθ ϕ ϕ ρtimes = times = times =

然而不同座標系的單位向量之間關係如何我們畫圖來討論

球座標 ˆ ˆˆ( )r θ ϕ rarr直角座標 ˆ ˆ ˆ( )x y z

單位向量都是用來指方向的球座標的 ˆ ˆˆ( )r θ ϕ 都是「方向角」( )θ ϕ

的函數 r 在直角座標可以由 Fig33 看出

ˆ ˆ ˆ ˆsin cos sin sin cosr x y zθ ϕ θ ϕ θ= + + （4-59）

ex24 P 點的球座標為2 75 3 6π π⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠

試用球座標與直角座標求 P 點的位

置向量的單位向量 解位置向量 ˆr rr= 在球座標只有 r-分量標位置仔細一點把方向

角標出2 7ˆ 3 6

r π π⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

通常只是寫 r 令人有點摸不著頭緒用直角

4-25

座標比較「具像」 2 7 2 7 2ˆ ˆ ˆ ˆsin cos sin sin cos3 6 3 6 3

3 3 1ˆ ˆ ˆ4 4 2

r x y z

x y z

π π π π π⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞minus minus minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + +⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

單位向量θ 在某一組 ( )θ ϕ 的指向如 Fig 34a將θ 平移至原點更清楚

Fig34b 是由側面看 Fig34a可以看到θ 在 z 軸的投影為 sinθminus 而θ 在

x-y 平面的投影為cosθ使得θ 在 x-軸的投影為cos cosθ ϕy-軸投影

為cos sinθ ϕ於是

ˆ ˆ ˆ ˆcos cos cos sin sinx y zθ θ ϕ θ ϕ θ= + minus （4-60）

單位向量ϕ 如 Fig 35a 所示是在 x-y 平面畫出

Fig 35b 為自 z 軸向下看 Fig35a 圖可以看出ϕ 在 z 軸投影為 0且

ˆ ˆ ˆsin cosx yϕ ϕ ϕ= minus + （4-61）

ex25 一個質點的速率為 2( ) ( sin tan )v r rθ ϕ θ ϕ= 若經查該質點的運

動 是 在 z = 3 平 面 做 逆 時 針 圓 周 運 動 則 當 位 置 的 方 向 角

4-26

2( ) 4 3π πθ ϕ ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

時計算其速度用球座標與直角座標表出

解圓運動速度方向是沿切線所以球座標 ˆ ˆ( )v v v rϕ θ ϕ ϕ= =

z = 34πθ =

3 3 21cos cos 24

z zrπθ

rArr = = = =⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

所以該處的瞬時速率

2 2

2( ) 3 3 4 3

2 1 813 3sin tan 3 3 ( 3)4 3 22

v r v π πθ ϕ

π π

⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

⎡ ⎤ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = times minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

2 81 2ˆ3 3 4 3 2 4 3

v r π π π πθ ϕ ϕ⎛ ⎞ ⎛ ⎞rArr = = = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

在直角座標2 2 2ˆ ˆ ˆ sin cos

4 3 3 3x yπ π π πϕ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠3 1ˆ ˆ

2 2x y= minus minus

而且點23 3

4 3π π⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠

的直角座標為

2 1 3 3sin cos 3 3sin cos 3 34 3 2 22 2

x r π πθ ϕ minus minus⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

2 3 9sin sin 3 3sin sin 3 34 3 2 2 2 2

y r π πθ ϕ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = = =⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

z = 3

23 3 4 3

v π π⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

3 3 9 81 3 1ˆ ˆ 32 2 2 2 22 2

v x y⎛ ⎞ ⎛ ⎞

rArr = minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

以上兩個例子都只討論只有一個圓座標分量的向量in general 向量

ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( )r x y zA r rA A A A r xA yA zAθ ϕθ ϕ= + + hArr = + + （4-61）

若已知球座標的分量 ( )rA A Aθ ϕ 如何得到直角座標的

( )x y zA A A

4-27

ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( )ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( )

ˆ ˆˆˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( )

x r

y r

z r

A x A r x r A x A x A

A y A r y r A y A y A

A z A r z r A z A z A

θ ϕ

θ ϕ

θ ϕ

θ ϕ

θ ϕ

θ ϕ

⎧ = sdot = sdot + sdot + sdot⎪⎪ = sdot = sdot + sdot + sdot⎨⎪

= sdot = sdot + sdot + sdot⎪⎩

（4-62）

由式（4-59）（4-61） ˆ ˆ ˆ ˆsin cos sin sin cosr x y zθ ϕ θ ϕ θ= + + （4-59） ˆ ˆ ˆ ˆcos cos cos sin sinx y zθ θ ϕ θ ϕ θ= + minus （4-60）

ˆ ˆ ˆsin cosx yϕ ϕ ϕ= minus + （4-61） ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆsin cos cos cos sin ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆsin sin cos sin cos ˆ ˆˆˆ ˆcos sin 0

x r x x

y r y y

z r z z

θ ϕ θ θ ϕ ϕ ϕ

θ ϕ θ θ ϕ ϕ ϕ

θ θ θ ϕ

⎛ ⎞sdot = sdot = sdot = minus⎜ ⎟

rArr sdot = sdot = sdot =⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟sdot = sdot = minus sdot =⎝ ⎠

（4-63）

sin cos cos cos sin sin sin cos sin cos

cos sin 0

x r r

y RS

z

A A AA A M AA A A

θ θ

ϕ ϕ

θ ϕ θ ϕ ϕ

θ ϕ θ ϕ ϕ

θ θ

⎛ ⎞minus ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟rArr = equiv⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟minus⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

（4-64）

其中 SRM 為由球座標分量轉為直角座標分量的轉換矩陣且行列式

det SRM =1 表示反矩陣存在then 1SRM minus 就是將直角座標分量轉為球座

標分量之轉換矩陣其實嚴格講 (4-64)式還不是最終的表示因為

轉換完的直角

座標應該全部以 x y z 表出這裡保留用 θ ϕ 只是為了簡潔方便

習題 2 Find 1SRM minus

習題 3 用 xyz 表出(a)sinθ (b)cosθ (c)sinϕ (d)cosϕ

Ans (a)2 2

2 2 2sin

x yx y z

θ+

=+ +

(b)2 2 2

cos zx y z

θ =+ +

(c)2 2

sin yx y

ϕ =+

(d)2 2

cos xx y

ϕ =+

習題 4 用上面結果將 SRM 用 xyz 表出

Ex26 Given a field ( )A r θ ϕ ＝ ˆ ˆˆ2 3r θ ϕ+ minus in spherical coordinates

find the field in rectangular coordinates （直角座標）

4-28

解這裡的 ( )A r θ ϕ 不因其三個分量都是常數而只是「一個」向量

而是一 vector field這是因為 ˆ ˆˆ r θ ϕ 都不是定值而與 θ ϕ 有關而如

果 ( )A r θ ϕ 表示則單位向量所對應的角度 θ ϕ 必須要標定所以

sin cos cos cos sin 2sin sin cos sin cos 3

1cos sin 0

x

y

z

AAA

θ ϕ θ ϕ ϕ

θ ϕ θ ϕ ϕ

θ θ

⎛ ⎞minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ minusminus⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

(2sin 3cos )cos sin(2sin 3cos )sin cos

2cos 3sin

x

y

z

AAA

θ θ ϕ ϕθ θ ϕ ϕ

θ θ

+ +⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟rArr = + minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟minus⎝ ⎠ ⎝ ⎠

習題 5 Draw a diagram to show in the cylindrical coordinates

(a) ˆ ˆ ˆcos sinx yρ ϕ ϕ= + (b) ˆ ˆ ˆsin cosx yϕ ϕ ϕ= minus + (c) ˆ ˆz z=

習題 6 use the above results show that 由柱座標分量轉為直角座標分

量的轉換矩陣

x

y CR

z z

A AA M AA A

ρ

ϕ

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟=⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

CRM =

2 2 2 2

2 2 2 2

0cos sin 0sin cos 0 0

0 0 10 0 1

x yx y x y

y xx y x y

ϕ ϕ

ϕ ϕ

minus⎛ ⎞⎜ ⎟+ +⎜ ⎟⎛ ⎞minus⎜ ⎟⎜ ⎟

= ⎜ ⎟⎜ ⎟+ +⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

Ex27 Express vector ˆ ˆ ˆ(3cos ) 2 5A zρ ϕ ϕ ρ= minus + in Cartesian

coordinates Specifically the A at the position of (2 2 3π -3)

解

2cos sin 0 3cos 3cos 2 sinsin cos 0 2 3cos sin 2 cos

5 50 0 1

x

y

z

AAA

ϕ ϕ ϕ ϕ ρ ϕϕ ϕ ρ ϕ ϕ ρ ϕ

⎛ ⎞minus ⎛ ⎞+⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟= minus = minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

so that A (2 2 3π -3)= 3 3 3ˆ ˆ ˆ3 3 3 54 4

x y z⎛ ⎞⎛ ⎞+ + minus +⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠注意本

題裡 z 座標並非一變數

4-29

sect 43 Fields and its properties 場與其性質

「場 field」是什麼凡是在「某個空間中每一點」都有定義的量

就是一個「場」所以「場」也稱為「點函數 point function」簡單的

說凡是「空間的函數」都是「場」如果這個「空間的函數」是一個

純量 u(xyz)那麼 u(xyz)就是一個「純量場 scalar field」例如室內

的溫度 T(xyz)一塊豬肉的密度 ( )x y zρ 大氣中的壓力 p(xyz)等

都是純量場如果這個「空間的函數」是一個向量 )( zyxA 那麼

)( zyxA 就稱為「向量場 vector field」例如空間中的電場 )( zyxE

水流中的速度場 )( zyxv 重力場 )( zyxg 等等很顯然的不論是純量

場還是向量場「場」在空間中的分佈通常未必是均勻的那麼她有

什麼性質呢例如一塊豬肉內部密度是如何變化的水流中有沒有

漩渦大氣中的等壓線是如何變化的等等那麼有沒有什麼量可以

有系統的描述各種場的分佈有我們在以下分別討論

sect 431 Gradient of scalar fields 純量場的梯度

考慮一個純量場 f(xyz)可以視為 3 個變數 xyz 的函數當變數變動為

x+dx y+dy z+dy 時造成 f 的變化

f f fdf dx dy dzx y zpart part part

= + +part part part

（4-65）

由幾何意義來看上式更為具體上式表示純量場 )(rf 基於位置的變化

r r drrarr + (或由 ( ) ( )x y z x dx y dy z dzrarr + + + )所造成 f 的變動

我們現在定義一個向量算符 vector operator nabla (or nabla )（讀做 del）

ˆ ˆ ˆx y zx y zpart part part

nabla equiv + +part part part

(4-66)

如果將 del 作用在純量場 )(rf 上將產生出現一個新的「向量場」 fnabla

稱為純量場「 )(rf 的『梯度 gradient』」

4-30

ˆ ˆ ˆ( ) f f fgrad f f x y zx y zpart part part

equiv nabla = + +part part part

（4-67）

這使得由於任意位移 ˆ ˆ ˆdr xdx ydy zdz= + + 所造成 f 的變化量

df f drrArr =nabla sdot （4-61）

ex28 Given scalar field 2( )f r xy z= and 2 2 2

1 1( )g rrx y z

= =+ +

(a) find the value of ( )f r and fnabla at point P(2 1-1) 解 2(21 1) 2 1 ( 1) 2f minus = times times minus = minus

2 2 2

2 2

ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( )

ˆ ˆ ˆ( ) ( 2 ) ( )

f x xy z y xy z z xy zx y z

x y z y x yz z xy

part part partnabla = +

part part part

= +

＋

＋

ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ(21 1) ( 1) (2 2) (2) 4f x y z x y znabla minus = minus + timesminus = minus minus＋ ＋2 (b) find the value of ( )g r and gnabla at the point P

解2

1 1(21 1)62 1 1

g minus = =+ +

2 2 2 12 2 2 2 12

2 2 2 12

ˆ ˆ( ) ( )

ˆ ( )

g x x y z y x y zx y

z x y zz

minus minus

minus

part partnabla = + + + + +

part partpart

+ +part

＋

2 2 2 32 2 2 2 32 2 2 2 32

2 2 2 32 3 2

ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( )

ˆ ˆ ˆˆ( )( )

OR OR

xx yy zzgx y z x y z x y zxx yy zz r r

x y z r r

minus minus minusrArrnabla = + +

+ + + + + +minus + + minus minus

= = =+ +

32

ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ(2 ) 2(21 1)6 6 6

x y z x y zg minus + minus minus minus +rArrnabla minus = =

由 gnabla 看到一個粉常用的結果就是

3 2

ˆ1 ORr rr r r

minus minusnabla = = （4-62）

順便比較一下

2 2 2 12 2 2 2 12 2 2 2 12

2 2 2 12

ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( )

ˆ ˆ ˆ( ) ˆ (4 63)( )

r x x y z y x y z z x y zx y zxx yy zz r r

x y z r

part part partnabla = + + + + + + +

part part part+ +

= = = minus+ +

＋

4-31

(c) what is the angle between (21 1)fnabla minus and (21 1)gnabla minus

解 (21 1)fnabla minus (21 1)gsdotnabla minus ＝（ ˆ ˆ ˆ4x y zminus minus ＋2 ） sdotˆ ˆ ˆ26 6x y zminus minus +

＝2 4 2 4

6 6 3 6+ +

= ＝ | (21 1) |fnabla minus | (21 1) |gnabla minus cosθ

＝ 34 1 1 211 16 4 cos cos

6 6θ θ+ +

+ + =

1 4 2cos 07773 7

radθ minus ⎛ ⎞= =⎜ ⎟

⎝ ⎠

要注意隨然nabla有向量的性質但是他並不是一個真的向量真

實向量 A與純量 f ( )r 的乘法滿足交換率ie ( ) ( )Af r f r A= 但是

f fnabla ne nabla因為

( )f rnabla ＝ ˆ ˆ ˆf f fx y zx y zpart part part

+ +part part part

是一個向量函數而

ˆ ˆ ˆ( )f r x y zx y z

⎛ ⎞part part part+ +⎜ ⎟part part part⎝ ⎠

是一個算符（operator）

若nabla要與向量場 A 作用由於nabla與 A 都具有向量的性質先看「內積」

ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ( )

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

x y z

x y

z

y yx xz z

A x y z xA yA zAx y z

x y z xA x y z yAx y z x y z

x y z zAx y z

A AA AA Ax x x y x zx y z x y z

⎛ ⎞part part partrArrnablasdot = + + sdot + +⎜ ⎟part part part⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞part part part part part part= + + sdot + + + sdot⎜ ⎟ ⎜ ⎟part part part part part part⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞part part part

+ + + sdot⎜ ⎟part part part⎝ ⎠part partpart partpart part

= sdot + sdot + sdot + sdotsdot sdot = + +part part part part part part

yx zAA AAx y z

partpart partnablasdot = + +

part part part (4-64)

上式中的 Anablasdot 是向量場 A 的一個重要的性質稱為 A 的「散度」詳

細的內容在後面會仔細討論這裡引進 Anablasdot 主要是要表明nabla是個「算

符」表示一個運算不是一個真實的向量只是在「直角座標」裡

4-32

因為單位向量 ˆ ˆ ˆ x y z 是常數不受微分的作用以致nabla表現得好像也

是個一般的向量一樣事實上真實向量和nabla間的「內積」就不滿足交

換率

x y zA A A A an operator Ax y zpart part part

sdotnabla = + + = ne nablasdotpart part part

(4-65)

這也使得任意向量場 ( )A r 因位置變動 r r drrarr + 而產生的變化由於

)( zyxA 也是 3 個變數 xyz 的函數可以寫為

( )A A AdA dx dy dz dr Ax y z

part part part= + + = sdotnabla

part part part （4-66）

ex29 (a)Given field 2ˆ ˆ ˆ2A xxy y x zyz= minus + find Anablasdot at point (1-12)

解2( ) (2 ) ( ) 2xy x yzA y yz

x y zpart part part

nablasdot = + + = +part part part

(1 12)1 2( 1)2 3A

minusnabla sdot = minus + minus =

(b) find rnablasdot 解 rnablasdot = 3x y zx y zpart part part

+ + =part part part

梯度的意義

由（4-67）可以看到「f 的梯度 fnabla 」

是一個由「純量場 f」衍生出的向量

場由（4-26）也可以看出 fnabla 扮演類

似「變化率」的角色

空間中將相同值 f ( )r ＝f1 的點連

起來就得到一個 f ( )r ＝f1 的「等值面」如 Fig36考慮純量場 f( r )的

相鄰兩個等值面各對應定值 1f f= 與 1f f df= + 0df gt P1 點在 f1

等值面上相鄰兩點 P2P3 在 1f df+ 等值面上而向量 1 2 ˆnP P dn e dn= =

過 P1 點垂直於 f1 等值面 1 3 ˆP P d e d= = 與 ˆne dn夾角為α 由於不

論 1 2P Prarr 或 1 3P Prarr f 的變化量都是 df 但因距離 dn 係兩等值面最

4-33

短的距離d dngt 所以 1 2P Prarr 或 1 3P Prarr 造成的「變化率」df dfdn d

gt

而過 P1 點的最大變化率為dfdn

換言之向量 ˆndfedn

為過 P1 點垂直於

f1 等值面且指向最大「增加率」的方向 現在要證明

ˆndfe fdn

= nabla （4-67）

考慮 1 3P Prarr 造成的 f 值的變化率

ˆ ˆcos n ldf df dn df df e edl dn dl dn dn

α= = = sdot

ˆ ˆ ˆn l ndf dfdf e e dl e dldn dn

rArr = sdot = sdot

和（4-61）式df f dr= nabla sdot 相比即可得證 ˆndfe fdn

= nabla 所以可以知道

空間純量場 f ( )r 中任一點處的向量 fnabla 必「垂直」於「通過該點的 f的等值面」且指向 f 值最大「增加率」的方向| ( )f rnabla |就是 f 在 r 點

的最大增長率可以進一步定義等值面的「法線 normal」方向為

ˆ fnf

nabla=nabla

（4-68）

結論給定一個純量場 f( r )在每一點 r 可以定義一個稱做「梯度」

的向量 fnabla fnabla 垂直於過 r 點的 f 等值面且指向最 f 大增加率的方向

fnabla 的方向也定義了 f 等值面的法線方向

Ex30 考慮一個 2D 的 scalar field 2( )f x y y x= minus 計算該場在 )20( 的梯度與

法線方向

解 ˆ ˆ ˆ ˆ2f ff x y x yyx ypart part

nabla = + = minus +part part

ˆ ˆ(0 2) 2 2f i jnabla = minus + ˆ ˆ ˆ ˆ2 2 2 2ˆ(0 2)

31 8i j i jn minus + minus +

rArr = =+

4-34

ex31 點電荷 q 置於原點其產生電位為 ( ) qV rr

= 求負梯度qr

minusnabla

解 3

2 2 2 22 2 2

2 ( )2

q q q q x x y zr x rx y z

minuspart minus= rArr = sdot + +

part+ +

3 23

ˆˆ ˆ ˆ( )q ix jy kz r rq q qr r r r

minus + +rArr minusnabla = minus = = （點電荷的電場）

0 0

1 1 r r

noter r= =

nabla rarrinfin rarrinfin∵ 是不定值是因為 r = 0 處為最大值

「增加率」的方向無法確定

ex32 置一熱源於原點空間溫度分佈為1( )

( 2)T r

r=

+求溫度的梯度

解 2 2 2

ˆ( ) ( )( 2) ( 2) ( 2)

x rT r rr rT r

x r r r

minuspart minus

= rArrnabla = =part + + +

此處的負號表示梯

度指向熱源因為距熱源越遠溫度越低 ( 0)note T rnabla = 為不定值

因在最頂點「增加率」的方向無法確定

Ex33 地圖上山脈的等高線上各點的垂直方向由梯度決定現有一座

山是橢球 2)1(4 222 =+++ zyx 在 x-y 平面上方的

部分求地圖上這座山等高線的梯度

解 山高 142 22 minusminusminus== yxzh 所以等高線為橢

圓 222 )1(24 +minus=+ hyx 梯度

( ) ( ) ( )2 2 2 2

2 2

ˆ ˆ4ˆ ˆ2 4 1 2 4 1

2 4

xx y yh x x y y x y

x y x y

minus +part partnabla = minus minus minus + minus minus minus =

part part minus minus

所以自山腳（h=0）登山若由(012)開始 ˆ(01 2) 2h ynabla = minus 但若由

)02(minus 開始爬山 ˆ( 20) 2h xnabla minus = 可見 )02()210( minusnablagtnabla hh 這表

示由 y-軸登山山勢較陡所以「梯度」比由 x-軸登山為大這也更

清楚瞭解「梯度」的幾何意義

4-35

sect 432 Divergence 散度與 Curl 旋度

在(4-66) 我們建立了一個直角座標 vector operator 「del」

ˆ ˆ ˆx y zx y zpart part part

nabla equiv + +part part part

(4-66)

若與向量場 A 做「內積」與「外積」就建構了 A 的「散度」與「旋度」

散度 A A scalaryx zAA Adiv ax y z

partpart partequiv nabla sdot = + + =

part part part （4-69）

旋度

y yz x z x

ˆ ˆ ˆ y z A vector

A AA A A Aˆ ˆ ˆxy z z x x y

x y z

x y z

xcurl A a

A A A

y z

⎧⎪

= nablatimes = part part part =⎪⎪⎨⎪

part part⎛ ⎞ ⎛ ⎞part part part part⎛ ⎞⎪ = minus + minus + minus⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎪ part part part part part part⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎩

(4-70)

這裡定義的只是「散度」與「旋度」所謂「操作型的定義」告訴我

們如何計算的式子事實上她們都具有重要的物理意義我們在後面

會討論

ex34 ˆ ˆA xy yx= minus 求其散度與旋度

解 0 0y xAx ypart part

nablasdot = minus + =part part

ˆ ˆ ˆ y zˆ ˆ ˆ ˆ 0 0 ( 2) 2

0 x y z

xA x y z z

y xnablatimes = part part part = minus + minus = minus

minus

右圖示意了本向量場的分佈看得出像個漩渦也看到算出的旋度

0ne 看來旋度表現的應該是向量場「旋轉的程度」事實上我們在

後面會看到「旋度」表現的就是是向量場在空間各點「旋轉的程度」

本題的向量場在每一點的旋轉程度都一樣

4-36

Ex35 ( )ˆ ˆ ˆ A xx yy zz r= + + = 求其散度與旋度

解 3A rnablasdot = nablasdot = ˆ ˆ ˆ y z

0

x y z

xA

x y znablatimes = part part part =

由場分佈的示意圖可以看出本向量場是自原點向外射出好似在原

點有一個場線的「源頭 source」但是 3Anablasdot = 為一個常數表示好像到

處都有 source同時旋度為 0 也可以配合本場並無旋轉的形象事實

上「散度」表現的就是是向量場在空間各點產生「場線」的 source

記得靜電學裡的庫倫定律 0E ρ εnablasdot = 電場的散度就是「電荷密度」

(電場的 source)前一題的向量場看來對應的場線是封閉的所以沒有

source這也對應了其散度＝0不過一個向量場的散度旋度究竟是

多少應該詳細的計算場分佈圖形有時候不是那麼容易看的清楚

兩個 useful identities (恆等式)

(a) ( ) 0 0f curl of a gradnablatimes nabla = =

(b) ( ) 0 0A div of a curlnablasdot nablatimes = =

pf (a) ( )ˆ ˆ ˆ x y z

x y z

x y z

ff f f

nablatimes nabla = part part part

part part part

( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2xz zxˆ ˆ ˆx y f- f z 0yz yz xy yxf f f f= part minus part minus part part + part minuspart =

這個結果與真實的向量外積 ( ) AA 0=times 有相似之處但是這只是特

例要記得nabla並不是一個真正的向量

( ) ( ) ( )

( )

ˆ ˆ ˆ y zˆ ˆ ˆ x y z

0

x y z y z z y x z z x x y y x

x y z

xy z xz y xy z yz x xz y yz x

xA A A A A A A

A A A

A A A A A A A

nablatimes = part part part = part minus part minus part minus part + part minus part

nablasdot nablatimes = part minuspart minuspart +part +part minuspart =

4-37

此結果與真實的向量運算有相似之處 ( )( )0 (B A) BB B Asdot times = times perp∵

但是這仍只是特例因為我們可由下列例子 ( ) 0A Asdot nablatimes ne 看出事實上

nabla並不是一個真正的向量 Ex36 ˆ ˆ ˆA xy yx zx= minus +

( )

ˆ ˆ ˆ y zˆ ˆ ˆ 0 1 ( 2)

2 0

x y z

xA x y z

y x x

A A x x x

nablatimes = part part part = minus + minus

minus

sdot nablatimes = minus = minus ne

面積元素向量

物理上時常會遇到面積分例如電通量磁通

量等等考慮一個面積元素 ds定義「面積的

方向」為其「法線方向」並定義面積元素向量

ˆnds a dsequiv （4-71）

要注意的是(1)如果 ds 是一個「封閉面

closed surface」（即有裡外之分）的一部

份則 ˆna 定義為「由內向外」(2) 如果 ds

是一個「開放面 opened surface」（即分不

出裡外）的一部份那麼 ds 必被其邊緣

（一個封閉的曲線 C）所包圍這樣在定

出ds 的方向之前要先定義「邊緣曲線」

C 的方向再由右手定則定義 ˆna 的方向

既然面積已為一個向量就可以寫為分量表示以直角座標

ˆ ˆ ˆx y zds xds yds zds= + + (4-72)

那麼這些分量 dsx dsy dsz 會是什麼既然 dsx 的方向是 x 就表示 dsx

是躺在 y-z 平面上所以 dsx 的兩邊是 dy 與 dz rArr xds dydz= 依此類

4-38

推 dsy 的方向是 y 所以躺在 x-z 平面rArr yds dxdz= hellip可以得知

xds dydz= yds dxdz= zds dxdy= （4-73）

不過要注意在寫面積元素時要看討論的面實際

是什麼面上式的三個分量有可能會是負的例如

左圖座落在第一象限的立方體的 A 面方向就在 xminus

方向Arsquo面在 yminus Ardquo面在 zminus 方向寫面積元素最

好是先把討論的面的方向搞清楚把plusmn號寫在單位向量前面那麼分

量就都用＋的即可其實面積元素體積元素都可以由位移元素看出

ˆ ˆ ˆdr xdx ydy zdz= + +

dx dy dz 是沿著 ˆ ˆ ˆ x y z 方向的長度所以面積元素分量的兩邊長度就

是由其中兩個組成而體積的三邊也就是三個垂直方向的長度

x y zdV dx dy dz and ds dydz dxdz dxdyrArr = = （4-74）

這個概念在其他的座標系統也成立我們可以方便的寫出面積元素

Recall 柱座標的位移向量元素

cylindrical coordinate ˆ ˆ ˆdr d d dzzρρ ρ ϕϕ= + + （4-48）

ˆ ˆ ˆ zds ds ds zdsρ ϕρ ϕ= + + (4-75)

dsρ 躺在 zϕ minus 平面dsϕ 在 zρ minus 平面 zds 在ρ ϕminus 平面

rArr zds d dz ds d dz ds d d d dρ ϕρ ϕ ρ ρ ρ ϕ ρ ρ ϕ= = = sdot = （4-76）

上面的結果畫個圖看看吧球座標的位移向量元素

Spherical coordinate ˆ ˆˆ ( ) ( sin )dr rdr rd r dθ θ ϕ θ ϕ= + + （4-56）

ˆ ˆˆ rds rds ds dsθ ϕθ ϕ= + + （4-77）

rArr sin sin rds rd r d ds dr r d ds rd drθ ϕθ θ ϕ θ ϕ θ= sdot = sdot = sdot (4-78)

4-39

向量場 ( )A r 在 S 面上的「面積分（surface integral）」or「flux」

如左圖若有一「平面」S 且其上有「均勻」

場 B 分佈則通過 S 面的通量就是

ˆB B nSΦ = sdot

但考慮一任意「非均勻」向量場 ( )A r 在空間分佈選取任意曲面 S

探討 ( )A r 在 S 上之通量若ds 為 S 面上的面積元素在趨近於 0 的

小面積ds 上 A可視為均勻所以通過ds 之通量為 ( )d A r dsΦ = sdot 則 S

面之總通量為

Φ＝ ˆ cosS S S

A ds A nds A daϕsdot = sdot =int int int

( )OR

x x y y z zS

A da A da A da= + +int (4-75)

稱為 A 在 S 面上的「面積分」或「通量 flux」

上圖所繪就是一個任意面上分割出許多小面積舉出三個位置的通

量有+-與 0如果 S 面是為一「封閉面」則面積分寫為

S

A dssdotint （4-76）

4-40

ex37 Given 2ˆ ˆ ˆyzA xyz yx zx= + + 計算通量S

A dssdotint

S 面為在第一象限邊長＝1 的立方體表面封閉面

解立方體分為前後右左上下六個面分開算 1前面（x=1）

方向 x+ ˆ xA ds A xdydz A dydzsdot = sdot =int int int前 前 前

yzdydz= int前 ＝1 1

0 0

1 1 12 2 4

ydy zdz = sdot =int int

2後面(x=0)方向 xminus ˆ(- ) - xA ds A x dydz A dydzsdot = sdot =int int int後 後 後

yzdydz= minusint後1 1

0 0

-1 1 -12 2 4

ydy zdzminus = sdot =int int

3 右面（y=1）方向 y+ y ( 1)yA ds A dxdz A y dxdzsdot = sdot = =int int int右 右 右

( 1)x y zdxdz= =int右 ＝1 1

0 0

1 1 12 2 4

xdx zdz = sdot =int int

4 左面（y=0）方向 ˆ-y ˆ( y) - ( 0)yA ds A dxdz A y dxdzsdot = sdot minus = =int int int左 左 左

( 0) 0x y zdxdz= = =int左

5 上面（z=1）方向 z+ zz y (z 1) yA ds A dxd A dxdsdot = sdot = =int int int上 上 上

2 yx dxd= int上 ＝1 120 0

1 1y 13 3

x dx d = sdot =int int

6 下面（z=1）方向 ˆ-z zˆ(-z) y - (z 0) yA ds A dxd A dxdsdot = sdot = =int int int下 下 下

2 -1- y3

x dxd= =int下 ＝1 120 0

1 1y 13 3

x dx d = sdot =int int

S

A dssdotint ＝六個面的和＝1 1 1 1 1 1( ) ( 0) ( )4 4 4 3 3 4

minus minus+ + + + + =

ex38 Given ˆ ˆ ˆzA xyz yx zxy= + + 計算通量S

A dssdotint S 為圓 2 2 2x y a+ =

在第一項限的部分方向選為 z+ 2 2y a x= minus

4-41

解 2 2 4

0 0ˆ

8a a x

zS S S S

aA ds A zdxdy A dxdy xydxdy xdx ydyminus

sdot = sdot = = = =int int int int int int

Ex39 In cylindrical coordinate Given ˆ ˆaA zbzρρ

= + where a b are

constants Find S

A dssdotint over the surface of a

closed cylinder about z-axis specified by 3 2z ρ= plusmn =

解S 分為上下與周邊三面

zz (z 3)zA ds A ds A d dρ ρ ϕsdot = sdot = = sdotint int int上 上 上

= 23 3 2 12bd d b bρ ρ ϕ π πsdot = sdot =int上

ˆ(-z)A ds A d dρ ρ ϕsdot = sdot sdotint int下 下

= z- (z -3)A d dρ ρ ϕ= sdotint下 = 23 2 12b bπ πsdot =

周邊ds ˆ ( )d dzρ ρ ϕ= rArr ˆ ( ) z ( ) zA ds A d d A d dρρ ρ ϕ ρ ϕsdot = sdot =int int int周 周 周

2 3

0 3( ) z ( ) z=a 12aA d d d d d dz a

πρ ρ ϕ ρ ϕ ϕ π

ρ minus= = =int int int int周 周

加起來 S

A dssdotint ＝12 24 12 ( 2 )a b a bπ π π+ = +

ex40 一點電荷 q 置於原點計算在一個以原點為圓心 0r 為半徑的球

面上的電通量

解 2 20 0

ˆ ˆ4 4S S

qr q dsE ds rdsr rπε πε

sdot = sdot =int int int

=0 0 0

44 4S

q q qd ππε πε ε

sdot Ω = sdot =int

上式中 dΩ 2dsr

= 是 ds 所張開的「立體角」(solid angle)

4-42

div A and Flux 通量與散度的幾何物理意義

我們運用過nabla的符號來表示過散度 divF F= nablasdot yx zFF Fx y z

partpart part= + +part part part

但是也看到「散度」定義為

0( )

1( ) limSV

about x y z

divF x y z F da divergence of FVΔ rarr

equiv sdot =Δ int (4-77)

其中 VΔ 為 S 面所包含的體積即散

度為通量(體)密度的 0 體積極限

（4-77）的定義與 Fnablasdot 好像差的很

多她們是說同一回事嗎以下證明

這兩種「散度」的定義是等價的如

左圖考慮一個以點 ( ) x y z 為中心

的 立 方 體 其 相 鄰 三 邊 長 為

x y zΔ Δ Δ 體積 V x y zΔ = Δ Δ Δ 現在計算 F 在立方體的一組平行於 y-z平面的表面 S1 與 S2 的通量

( )1 1

ˆ ˆ xS S

F nds F xds F x y z dsrArr sdot = sdot =intint intint intint 2xxF x y z y zΔ⎛ ⎞asymp + Δ Δ⎜ ⎟

⎝ ⎠

其中 2xx y zΔ⎛ ⎞+⎜ ⎟

⎝ ⎠為 S1 面中心的座標而

2xx y zΔ⎛ ⎞minus⎜ ⎟

⎝ ⎠為 S2 面的中心

( ) ( )2 2 2

ˆ ˆ 2x x

S S S

xF nda F x ds F x y z ds F x y z y zΔ⎛ ⎞rArr sdot = sdot minus = minus asymp minus minus Δ Δ⎜ ⎟⎝ ⎠intint intint intint

上式中的負號來自 S2 面的方向是 xminus 所以合併兩個面積分

1 2

ˆ 2 2x x

S S

x xF nds F x y z F x y z y z+

Δ Δ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞rArr sdot asymp + minus minus Δ Δ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦intint

2 2x xx xF x y z F x y z

x y zx

Δ Δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠= Δ Δ Δ

Δ

2 2

x xx xF x y z F x y z

Vx

Δ Δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠= Δ

Δ

1 2

1 2 2ˆ

x x

S S

x xF x y z F x y zF nds

V x+

Δ Δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠rArr sdot asymp

Δ Δintint

4-43

當取體積向(xyz)點收縮至 0 時即 0 x 0as VΔ rarr Δ rarr 上式的近似

「asymp」就成了「＝」

1 20

1 ˆlimV

S S

F ndsVΔ rarr

+

sdotΔ intint

( )0

2 2limx x

x

x

x xF x y z F x y z F x y zx xΔ rarr

Δ Δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟ part⎝ ⎠ ⎝ ⎠= =Δ part

Similarly F 在立方體的一組平行於 x-z 平面的表面 S3 與 S4 的通量

3 3 3

ˆ ˆ yS S S

F nds F yds F dsrArr sdot = sdot =intint intint intint

2

2

y

y

yF x y zyF x y z x z x y z

y

Δ⎛ ⎞+⎜ ⎟Δ⎛ ⎞ ⎝ ⎠asymp + Δ Δ = Δ Δ Δ⎜ ⎟ Δ⎝ ⎠

( )4 4 4

2ˆ ˆ

y

yS S S

yF x y zF nds F y da F ds x y z

y

Δ⎛ ⎞minus⎜ ⎟⎝ ⎠rArr sdot = sdot minus = minus asymp Δ Δ Δ

Δintint intint intint

合併 S3 與 S4 兩個面積分並取體積向(xyz)點收縮至 0 時即當

0 y 0VΔ rarr Δ rarr 上式的近似asymp就成了＝

3 4

2 2ˆ

x x

S S

y yF x y z F x y zF nds V

y+

Δ Δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠rArr sdot cong Δ

Δintint

3 40 0

1 2 2ˆlim lim

x xy

V yS S

x yF x y z F x y z FF nds

V y yΔ rarr Δ rarr+

Δ Δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟ part⎝ ⎠ ⎝ ⎠rArr sdot = =Δ Δ partintint

與上面相同的作法計算 F 在立方體的一組平行於 x-y 平面的表面 S5

與 S6 的通量我們也會得到對應的結果

5 6

2 2ˆ

z x

S S

z zF x y z F x y zF nds V

z+

Δ Δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠rArr sdot cong Δ

Δintint

5 60 0

1 2 2ˆlim lim

z xz

V zS S

z zF x y z F x y zFF nds

V z zΔ rarr Δ rarr+

Δ Δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟ part⎝ ⎠ ⎝ ⎠rArr sdot = =Δ Δ partintint

所以合併立方體的 6 個面積分

4-44

1 2 3 4 5 6

ˆ ˆ ˆ ˆS S S S S S S

F nds F nds F nds F nds+ + +

rArr sdot = sdot + sdot + sdotint intint intint intint

0

1 ˆlim yx zV

FF FF nds div F FV x y zΔ rarr

partpart partrArr sdot = + + = = nablasdot

Δ part part partint (4-78)

在此我們得證這兩種「散度」的定義是等價的只是（4-77）的定義

充分的表現出「散度」的幾何物理意義他從通量著手由於場線

出自於 source（ex電場源自於點電荷）所以在點(xyz)必須有向量場

F 的 source 存在才能使得當面積縮到 0 時仍具有非 0 的通量所以「散

度」表現向量場 F 的 source 在這個定義之下是很清楚的當然在計算

「散度」時我們不必那麼麻煩用 divF F= nablasdot 就好了

Ex41 計算 2ˆ ˆ ˆF xx yxy zyz= + + 的散度

解 2 yx zFF Fx x yx y z

partpart part= = =

part part part F 2x x y 3x ydivrArr = + + = +

recall 在靜電學0

yx zEE EEx y z

ρε

partpart partnablasdot = = + +

part part part

散度定理 Divergence Theorem

若任意封閉面（又稱為「高斯面」）S 所包圍的

體積為 V 則

S VA ds Adτsdot = nablasdotint int （4-79）

pf 我們先將體積分割成 N 個小盒子考慮相鄰的兩個小盒子 1 2

兩小盒子的共用面面積 S0當 S0 是為 1 號盒子的一部份時其方向為

1n 但若當為 2 號盒子的表面時其方向為 12 ˆˆ nn minus= 如此在 S0 分別做

4-45

1 2 盒子的面積分後

0 0

0 0 0 0

1 2

1 2 1 1ˆ ˆ ˆ ˆ 0

S S

S S S S

A ds A ds

F n ds F n ds F n ds F n ds

sdot + sdot

= sdot + sdot = sdot minus sdot =

intint intintintint intint intint intint

所以若求場 A 在 1 2 盒子的總通量時交界面是沒有貢獻的總通量

就只有「外面積」才有貢獻如此我們計算 N 個小盒子的總通量

時所有的內部共用面都得 0只剩下「外表面」的貢獻了當 infinrarrN

時所有小盒子的「總外表面」就與 S 面重合了所以所有小盒子通量

的總和就等於 S 面的通量

1lim

i

N

S SN iA ds A ds

rarrinfin=

rArr sdot = sdotsumint int

現在我們做 N 個小盒子的總通量

1 1

1i i

N N

iS Si i i

A ds A ds VV= =

⎛ ⎞sdot = sdot Δ⎜ ⎟Δ⎝ ⎠

sum sumint int

當 0iN Vrarrinfin rArr Δ rarr 並用 dv 表示體積元素

( ) ( )1 1

1

1lim lim lim

lim

i ii

N N

iS SN N V oi i i

N

i VN i

A ds A ds VV

A V A dv

rarrinfin rarrinfin Δ rarr= =

rarrinfin=

⎛ ⎞sdot = sdot Δ⎜ ⎟Δ⎝ ⎠

= nablasdot Δ = nablasdot

sum sumint int

sum int

( )S V

A da A dvrArr sdot = nablasdotint int QED

所以得證散度定理上式中我們用了散度的（4-77）式定義要分辨

清楚 Anablasdot 是向量場 A 在空間中「某一點」的性質（ 0VΔ rarr ）而「散

度定理」說的是一個「有限體積」的性質

ex42 給定 ( ) ˆ ˆ ˆ A x y z xx yy zz r= + + = 計算在

半徑 R＝1 的球的上半球加底面的通量

4-46

解 ( )ˆˆS

A da A rda A k darArr sdot = sdot + sdot minusint int int上半球面 底面

( )

2

ˆ ˆ

0 2 1 2

A rda A z dxdy

r rds zdxdy rds ds π π

= sdot + sdot minus

= sdot minus = minus = = sdot =

int int

int int int int上半球面 底面

上半球面 底面 上半球面

底面的通量＝0 是因為 A 的 z 分量 Az=z 在底面的值為 0

也可以用散度定理更快的得出結果

∵ 3A rnablasdot = nablasdot =

31 43 3 1 22 3V V

Ad d πτ τ πnablasdot = = sdot sdot sdot =int int

ex43高斯定律的微分形式積 由 Gaussrsquo law 的積分形式用散度定理得出其

( )0 0

1 inS V

qE ds x y z dvρε ε

sdot = =int int

0S V VE ds Edv dvρ

εrArr sdot = nablasdot =int int int

上式最後的等式對「任意形狀」V 都成立所以兩者的被積函數相等

對於空間每一點 0

E ρε

nablasdot = （4-80）

ex44 Use 第一象限的單位力方體 check the divergence theorem using the function 2 2ˆ ˆ ˆ(2 ) 2A y x xy z y yzz= + + +

解2

2( ) (2 )(2 ) 2( )y yzA xy z x yx y z

part part partnablasdot = + + + = +

part part part

and 1 1 1 1 1 1

0 0 0 0 0 02 ( ) 2 ( )

VAdv x y dxdydz dz dy x y dxnablasdot = + = +int int int int int int int

1 1

0 0

1 12 ( ) 2 12 2

dz y dy= + = sdot =int int

面積分 1 1 2

0 0

1ˆ3

A ds A xdydz dz y dysdot = sdot = =intint intint int int前 前

4-47

1 1 2

0 0

1ˆ( )3

A ds A x dydz dz y dy minussdot = sdot minus = minus =intint intint int int

後 後

1 1 2

0 0ˆ (2 )A ds A ydxdz dz xy z dxsdot = sdot = +intint intint int int

右 右

1 1 1 12 2

0 0 0

4(2 ) (1 )3

ydz x z dx dz z

=

= + = + =int int int∵

1 1 2

0 0

0 1 1 12 2

0 0 0

ˆ( ) (2 )

1(1 )3

y

A ds A y dxdz dz xy z dx

dz z dx dz z=

sdot = sdot minus = minus +

minus= minus = + =

intint intint int int

int int int∵

左 左

11 1 1 1

0 0 0 0ˆ 2 2 1

zA ds A zdxdy dx yzdy dx ydy

=sdot = sdot = = =intint intint int int int int

∵

上 上

01 1

0 0ˆ 2 0

zA ds A zdxdy dx yzdy

=sdot = sdot minus = minus =intint intint int int

∵

下 下

前後右左上下六個面積分合併＝1＝V

Advnablasdotint QED

ex45 Continuity Equation 連續方程式

考慮某些「東西」的流動（物質電荷hellip）在時刻 t 時在點(xyz)

的 密 度 為 ( ) x y z tρ ρ= 並 具 有 速 度

( ) v v x y z t= 在時刻 t 時在體積 V 內的總量為

( ) x y z t dρ τintintint

這樣體積 V 內東東的時變率為

( ) ( ) d x y z t d x y z t ddt t

ρρ τ τpart=

partintintint intintint

注意體積分後的時間全微分移入積分內要改為偏微分這個東東

在表面的「流率 flow rate」可表為

ˆS

R v ndsρ= sdotintint

若體積內的物料無法自生自滅那麼體積內物料的變化必經由表面的

流出流入所造成

d v ndstρ τ ρpart

rArr = minus sdotpartintintint intint

由散度定理

4-48

( )ˆS

v nds v d dtρρ ρ τ τpart

sdot = nablasdot = minuspartintint intintint intintint

( )v Jtρ ρpart

rArr = minusnablasdot equiv minusnablasdotpart

0Jtρpart

rArr +nablasdot =part

（4-81）

(4-81) 即 continuity equation其中 J vρ= 為「物流密度」ex如果 ρ

是電荷密度 J 就是電流密度（4-81）是物質守恆的結果只對體

積內無 source（生成）or drain（消滅）的東東成立

ex46 Given a vector field ˆ ˆx yA ye xe= minus + (a) Find

Anablasdot (b)如圖一個金字塔狀的 5 面體高 2 底邊長

1計算 A在整個金字塔表面（封閉面）的總通量

解(a) Anablasdot = ( ) ( ) 0y xx ypart part

minus + =part part

(b) 金 字 塔 的 表 面 面 積 元 素 ds 不 好 寫 所 以 用 散 度 定 理

( )S V

A da A dvrArr sdot = nablasdotint int ＝0 Anablasdot 表示 A沒有 source 所以對封閉面而

言有多少場線進入就有多少出去所以總通量＝0

習題 7 With position vector r for an arbitrary volume V that is

bounded by surface S show that 13 S

r ds Vsdot =int

習題 8 已知一靜電場為 ˆ ˆ ˆ( )E xyz yxz zxyλ= + + 運用 Gaussrsquo law

試求包含在半球 2 2 2 2 0x y z R z+ + = ge 裡的總電荷 Ans 0

習題 9 (a) given ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( 2 )F r xf x yf y zf z= + + minus show that divF is

zero at point (c c -c2) (b) given ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( )G r xf x z yg x z zh x y= + +

show that ( ) 0G rnablasdot =

4-49

習題 10 Find the normal vector n for the surfaces (a) z = 2-x-y ans

ˆ ˆ ˆ( ) 3x y z+ + (b) z = (1-x2)12 ans ˆ ˆxx zz+ (c) z = x2+y2

ans ˆ ˆ ˆ( 2 2 ) 1 4xx yy z zminus minus + +

習題 11 Show that the unit vector normal to the plane ax+by+cz =d is

given by 2 2 2ˆ ˆ ˆ( ) ax by cz a b cplusmn + + + +

圓柱座標與球座標的nabla (del)

考慮一純量場在直角座標為 ( ) u x y z 在圓柱座標表為 ( ) u zρ φ

再考慮因位移 r r drrarr + 所造成 u ( )zρ φ 的變化

( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆz

z

u u udu d d dz u dr u d d zdzz

u u z u d d zdz

u d u d u dzρ ϕ

ρ ϕ

ρ ϕ ρ ρ ϕρ ϕρ ϕ

ρ ϕ ρ ρ ϕρ ϕ

ρ ρ ϕ

part part part= + + = nabla sdot = nabla sdot + +part part part

⎡ ⎤= nabla + nabla + nabla sdot + +⎣ ⎦= nabla + nabla + nabla

( ) ( ) ( )1

1ˆ ˆ ˆu

z

u u uu u uz

u u uzz

ρ ϕρ ρ ϕ

ρ ϕρ ρ ϕ

part part partrArr nabla = nabla = nabla =

part part partpart part part

rArrnabla = + +part part part

1ˆ ˆ ˆ zz

ρ ϕρ ρ ϕpart part part

nabla = + +part part part

（4-82）

注意nabla的ϕ -分量( 1ρ ϕ

partpart

)不是像直角座標裡單純的ϕpartpart

所以不要笨笨

的就把直角座標的形式硬套上去用我們也可以從「因次分析」來

看nabla因為是對空間的微分所以每一項的因次必須是「長度分之一」

運算 andzρ

part partpart part

都是「長度分之一」而「單純的ϕpartpart

」是沒有單位的

所以要1ρ ϕ

partpart

才 OK

由於圓柱座標裡的單位向量除了 z 之外 ˆ( )ρ ϕ 與 ˆ( )ϕ ϕ 都不是常

4-50

數所以在微分時不可以與微分運算交換而要考慮微分的作用所

以在「圓柱座標」寫「散度」 ( ) F zρ ϕnablasdot 也和直角座標不一樣

( )1ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ zF z F F zFz ρ ϕρ ϕ ρ ϕ

ρ ρ ϕpart part part⎛ ⎞

nabla sdot = + + sdot + +⎜ ⎟part part part⎝ ⎠

( ) ( )1ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆz zF F zF F F zFρ ϕ ρ ϕρ ρ ϕ ϕ ρ ϕρ ρ ϕpart part

= sdot + + + sdot + +part part

( )ˆ ˆˆ ˆ zz F F zFz ρ ϕρ ϕpart

+ sdot + +part

因為 ( ) ( )ˆ ˆ ˆ ˆ ρ ρ ϕ ϕ ϕ ϕ= = 所以做 andzρ

part partpart part

時 ˆ ˆ ρ ϕ 可視為常數

ˆ ˆ1ˆ ˆ ˆ zF F F FF F Fz

ρ ρ ϕρ φ

ρ ϕϕ ρ ϕρ ρ ϕ ϕ ϕ ϕ

part part part⎡ ⎤part part partrArrnablasdot = + sdot + + + +⎢ ⎥part part part part part part⎣ ⎦

還記得 ˆ ˆ ˆ ˆd d d dρ ϕ ϕ ϕ ρ ϕ= = minus 所以 ˆ ˆρ ϕϕpart

=part

ˆ ˆϕ ρϕpart

= minuspart

rArr

( )1 1 1z zF F F FF FF Fz z

ρ ρ ϕ ϕρρ

ρ ρ ρ ϕ ρ ρ ρ ϕpart part part part

nablasdot = + + + = + +part part part part part part

（4-83）

在球座標寫nabla也會遇到相似的問題其根源就是球座標 ( )r θ ϕ 裡

的 θ ϕ 的因次並非長度而三個單位向量 ˆ ˆˆ r θ ϕ（表為 ie ）都是( θ ϕ )

的函數以致

( )ˆ ˆ( ) ( )i ie f e fθ ϕ θ ϕθ θpart part

nepart part

且 ( )ˆ ˆ( ) ( )i ie f e fθ ϕ θ ϕϕ ϕpart part

nepart part

所以nabla也不似在直角座標那麼簡單我們不在這裡推導而是給出一

個歸納的統一的三個座標的結果還記得對每一個座標 iu i = 123

座標的變化 idu 與造成的長度變化 id

i i id h du= 123i = (4-84)

其中 ih 為對應的度量係數(metric coefficient)

4-51

1 2 3

1 1 2 2 3 3

1 1 1ˆ ˆ ˆu u ue e eh u h u h u

part part partnabla equiv + +

part part part （4-85A）

座標 1 2 3 u u u

度量係數

1 2 3 h h h

nabla grad del

直角 x y z

1 1 1 nabla ˆ ˆ ˆx y z

x y zpart part part

equiv + +part part part

圓柱

zρ ϕ

1 1ρ

1ˆ ˆ ˆ z

zρ ϕ

ρ ρ ϕpart part part

nabla equiv + +part part part

球

r θ ϕ

1 sinr r θ

1 1ˆ ˆˆ

sinr

r r rθ ϕ

θ θ ϕpart part part

nabla = + +part part part

（4-85B）

梯度gradient Vnabla grad(V) 散度divergence Anablasdot div( )A

直

角 nablaV ˆ ˆ ˆV V Vx y z

x y zpart part part

= + +part part part

yx zAA AAx y z

partpart partnablasdot = + +

part part part

圓

柱

1ˆ ˆ ˆ V V VV zz

ρ ϕρ ρ ϕpart part part

nabla = + +part part part

( )1 1

1

z

z

A AA Az

A A A Fz

ϕρ

ρ ρ ϕ

ρρ ρ ρ ϕ

ρ ρ ρ ϕ

partpart partnabla sdot = + +

part part partpart part part

= + + +part part part

球

1 1ˆ ˆˆ sin

V V VV rr r r

θ ϕθ θ ϕ

part part partnabla = + +

part part part

22

1 ( )rA r Ar r

partnabla sdot =

part

1 (sin )sin

Ar θθ

θ θpart

+ sdotpart

1sin

Ar

ϕ

θ ϕpart

+part

(4-86)

Ex47 Using spherical coordinate show that 1| |r r

nablaminus

= 2

ˆ| |

r rer r

minusminusminus

where

nabla是作用在 r 而 ˆr re minus 是向量 r rminus 方向的單位向量 解let r lies in z-axis so that the angle between r and r is just θ

4-52

rArr ( ) 122 21 1 2 cos | | ( ) ( )

r rr rr r r r r r

θminus

= = minus +minus minus sdot minus

( ) ( )12 122 2 2 21 1ˆˆ 2 cos 2 cos | |

r r rr r r rr rr r r r

θ θ θθ

minus minuspart partnabla = minus + + minus +

minus part part

( ) 322 21ˆ 2 cos (2 2 cos )2

r r rr r r rθ θminusminus

= minus + minus

( ) 322 21ˆ 2 cos (2 sin )2

r rr r rrθ θ θminusminus

+ minus +

3 3 3 3

ˆˆ ˆ( cos ) sin ( cos sin )ˆˆ| | | | | | | |r r r rr r rrr r r r r r r r

θ θ θ θ θθminus minus minus minus minus= + = +

minus minus minus minus

3 3 3ˆ ( )

| | | | | |r r z r r r rr r r r r rminus + minus + minus minus

= = =minus minus minus

＝ 2

ˆ| |

r rer r

minusminusminus

QED

證明最後我們用到 ˆˆˆ cos sinz r θ θ θ= minus 而 ˆ r r z= 因為我們選了 r 是

躺在 z-軸 Ex48 For arbitrary scalar field ( )f r and vector field ( )A r 證明恆等式

( )fA f A f Anablasdot = nabla sdot + nablasdot (4-87) 解 ˆ ˆ ˆx y zfA xfA yfA zfA= + +

( ) ( ) ( ) ( )x y zfA fA fA fAx y zpart part part

rArrnablasdot = + +part part part

yx zx x x

AAf f f AA f A f A fx x y y z z

partpartpart part part part= + + + + +part part part part part part

yx zx y z

AAf f f AA A A fx y z x y z

part⎛ ⎞partpart part part part= + + + + +⎜ ⎟part part part part part part⎝ ⎠

f A f A= nabla sdot + nablasdot QED 習題 12 一個位於原點的電偶極電偶極矩＝ ˆp pz= 已知其在遠處

的電位為 20

cos4p

rθ

πε試證該處的電場強度為 E = 3

0

ˆˆ( 2cos sin )4

p rr

θ θ θπε

+

(已知 E V= minusnabla )並請計算 Enablasdot ＝

習題 13 給定一向量場2

3cosˆD r

rϕ

= 現有兩個球心在原點的同心球

內球半徑 R＝1外球 R＝2(a)求面積分S

D dssdotint S 為同心球殼的表

面（有內外兩個面）(b)求體積分V

Ddvnablasdotint V 為兩同心球之間的

區域本題也是來 check 散度定理的Ans πminus

4-53

The Laplacian operator 2nabla equivnablasdotnabla

在直角座標可以用直接作用得到

2 2 2

22 2 2u u uu u

x y zpart part part

nabla equiv nablasdotnabla = + +part part part

(4-88)

圓柱座標

2 2

22 2 2

1 1( ) u u uu uz

ρρ ρ ρ ρ ϕ

part part part part⎛ ⎞nabla equiv nablasdot nabla = + +⎜ ⎟part part part part⎝ ⎠

(4-89)

球座標

2

2 22 2 2 2 2

1 1 1sinsin sin

u u uu rr r r r r

θθ θ θ θ ϕ

part part part part part⎛ ⎞ ⎛ ⎞nabla = + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟part part part part part⎝ ⎠ ⎝ ⎠ （4-90）

習題 14 verify (4-89) and (4-90)

習題 15 Given a dipole potential V= 20

cos4p

rθ

πε find 2Vminusnabla

sect 433 Line integral and curl A 線積分與與旋度的物理意義

線積分路徑積分

考慮一曲線 C 通過兩點 ( )i i i iP x y z 與

( )f f f fP x y z 現有一向量場 ( )A x y z 定義在

C 所在的空間若 sd 為 C 上位於(xyz)點的

「路徑元素」（ ˆd td= 方向沿該處切線）而

( )A x y z 為路徑元素d 處的場值則沿 C 經歷各點所做積分

cos cosf

CC C iA d Ad A dϕ ϕrarr rarrsdot = =int int int （4-91）

稱為向量場 ( )A x y z 沿路徑 C 自 pi 至 pf 的「線積分」「或「路徑積分」

積分裡 A 取值的點侷限在路徑 C 上面若為一個「封閉路徑」則對

C 的線積分也稱做「環路積分 closed contour integral」記做

C

A dsdotint （4-92）

4-54

物理量「做功」是最標準的線積分之一力 F 自 x = a 至 x = b「沿線」

x 軸做功

W＝ F dxsdotint ＝ ( )b

xaF x dxint （4-93）

質點在力場 )(rF 裡走一條曲線 C則力場做功

CW F d= sdotint （4-94）

還記得如果 ( )F r 是所謂「保守力」則上式只與始末點有關而與

路徑無關但如果 ( )F r 是所謂「非保守力」則做功與確實的路徑 C

有關

現考慮一質點在空間運動的位置 r 落在由曲線 C

描述的路徑則質點的位移元素與曲線 C 的路徑元

素相同 d dr= 若空間有向量場 A 分佈則 A 在 C 的

路徑積分以直角座標表示為

CA drarr rarrsdotint ＝

CA d rrarr rarrsdotint ＝ ( )x y zC

A dx A dy A dz+ +int （4-95）

上式中的 x y z 的積分限由 C 決定

Ex49 2 2 2ˆ ˆ ˆA xx yy zzrarr= + + 選定一路徑 C 為曲線

2y x= 由 (000)到 (2 20)的部分求C

A dsdotint

解 ˆ ˆd xdx ydy= +∵

CA dsdotint ＝ 2 2( )

Cx dx y dy+int ＝

2 22 2

0 0x dx y dy+int int

＝ )24(32

+

或由 2y x= rArr 2ydy dx= 2 12

y dy xdxrArr =

rArrC

A dsdotint ＝2 2

0

1( )2

x x dx+int ＝2 (4 2)3

+

4-55

ex50 ˆ ˆ( )f x y z xy yx= minus Do C

f dsdotint 其中的路徑 C 為一逆時針三角

形如圖 解∵路徑全部在 x-y 平面 ˆ ˆ ˆd td xdx ydy= = +

rArrC

f dsdotint ＝ x yC

f dx f dy+int ＝C

ydx xdyminusint

由於在 C1 上 y = 0 及 dy = 0 所以 01

=intC 又由於在

C3 上 x = 0 及 dx =0所以 03

=intC 所以只剩下 C2 可

能有貢獻由 2C 的方程式x + y =1rArr ⎩⎨⎧

minus=minus=

xyyx

11

rArr2Cydx xdyminusint ＝

0 1

1 0(1 ) (1 )x dx y dyminus minus minusint int ＝

0 12 2

1 0

( ) ( )2 2x yx yminus minus minus ＝-1

Cf dsdotint ＝-1

ex51 ( )f x y zrarr

= 2ˆ ˆxx yxyminus 如右圖doC

f dsdotint 其

中路徑 C 為第一象限的逆時針 14 圓弧

解∵ 全部在 x-y 平面 ˆ ˆd xdx ydy= +

Cf dsdotint ＝ 2

Cx dx xydyminusint

由於在 C 上 cosx R ϕ= rArr sindx R dϕ ϕ= minus

siny R ϕ= rArr cosdy R dϕ ϕ=

rArr 2

Cx dx xydyminusint ＝

2 2 2 2

0cos ( sin ) sin cos cosR R d R R d

πϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕminus minus sdotint

23 2

02 cos sinR d

πϕ ϕ ϕ= minus int ＝

323Rminus

又路徑為圓周一部份所以適合用極座標表示

ˆd Rdϕ ϕ= 又由左圖將 ˆ ˆx y 拆解（投影）到 ˆˆr ϕ

ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆcos sin sin cosx r y rϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ= minus = +

4-56

( )2ˆ ˆ ˆˆ ˆ( cos sin ) ( sin cos )C C

f d r x r xy Rdϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕsdot = minus minus + sdotint int 2

2 2 2

0

sin (cos )

sin ( cos ) (cos ) cos sin

Cx Rd xyRd

R Rd R Rdπ

ϕ ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ

= minus minus

= minus minus

intint

23 2

02 cos sinR d

πϕ ϕ ϕ= minus int ＝

323Rminus

這也驗證了散度定理

Path Independence 路徑獨立性

Ex52 證明庫倫力為「保守力」考慮

電荷 q0 位於原點及電荷 q 位於

( )r x y zrarr= q 受力 F

rarr＝ 0

20

14

qq urπε

and

求庫侖力作功因為球形對稱所以

用球座標由 ˆ ˆ ru rr

= = rArr Frarr

= 03

04qq r

rπε

庫侖力由 P1 至 P2 做功為 2

1

P

CPF drarrsdotint ＝

2

1

02

0

ˆ ˆ ˆˆ sin4

P

PC

qq r rdr rd r dr

θ θ ϕ θ ϕπε

⎡ ⎤sdot + +⎣ ⎦int ＝2

1

02

04P

P

qq drrπεint

＝20

2104

r

r

qq drrπε int ＝ 0

0 1 2

1 1( )4qq

r rπεminus for all C

所以庫侖力兩點間做功與路徑無關rArr保守力

對於「保守力 conservative force」 cF 自 p1 經

由兩條不同的路徑 C1 與 C2 到達 p2

1 ccF drarrsdotint ＝

2 ccF drarrsdotint ＝-

2 ccF drarr

minussdotint

rArr1 2c cc cF d F drarr rarr

minussdot + sdotint int = cF d

rarrsdotint ＝0 (4-96）

對於任何「封閉路徑」保守力做功為 0反之若

對任一封閉路徑 0F drarrsdot neint 則兩點之間的做功與路徑有關

rarr

F 為「非

保守力」

4-57

旋度 curl Anablatimes 的幾何物理意義

我們在（4-70）式已經看過旋度的計算方式但旋度另有其意義的

ex53 給定向量場2 2

0ˆ yv yv e λrarr

minus= 左圖為場的分佈

2 20

ˆ ˆ ˆ

0 0x y z

y

x y zcurl v

v e λ

rarr

minus

= part part part ＝ ˆ ˆ ˆ0 0 0 0x y zsdot minus sdot + sdot =

我們用了簡寫 x yx ypart part

part equiv part equivpart part

可以看出這個場裡沒有「漩渦」

但是有無「漩渦」有時也不是那麼明顯可以看出的請見下一個例子

Ex54 給定向量場2 2

0ˆ xv yv e λrarr

minus= 計算其旋度 vnablatimes

解向量場 vrarr

畫在右邊你看得出有無漩渦

先計算旋度

2 20

ˆ ˆ ˆ

0 0x y z

x

x y zcurl v

v e λ

rarr

minus

= part part part2 2

2 2

0

0

ˆ

ˆ 2 0 0

x

x

z v ex

z v xe for x

λ

λ

minus

minus

part=

part

= minus ne ne

vrarr

的旋度在大部分的地方不為 0 且隨位置而不同但是你看得出這個

向量場裡有「漩渦」其實要檢驗一個向量場裡有無「漩渦」有一

個很物理的方法就是放一個小「螺旋槳」（左圖）

在場內將軸朝各個方向測試一

下如果有「漩渦」的話這個

小「螺旋槳」就會轉動右圖就是將「螺旋槳」的

軸平行於 z 軸且放在 x gt 0 的地方就可以看出左

邊的 v 場比右邊的強造成螺旋槳順時針轉動rArrcurlv zminus for x gt 0

但如果放在 x = 0 的地方就會看到左右兩端的 v 場強度相同而且

4-58

curlv = 0 「螺旋槳」放在 x lt 0 的地方就可以看出右邊的v 場比左

邊的強造成螺旋槳逆時針轉動這完全符合 curl v k+ 的結果

環路積分與旋度 curl 的物理意義

如同「散度」一樣「旋度」除了 Ftimesnabla 之外

還有一個物理意義更清楚的定義這個定義由

「線積分」說明如圖考慮做「逆時針」長方形

路徑 C1 的一個「環路積分」C1 面平行於 x-y 平

面由 z-軸看下去環路 C1 可以分為可以分為

下 CB上 CT右 CR左 CL 4 部分

CA drarrsdotint ＝

B T L RC C C CA d A d A d A drarr rarr rarr rarrsdot + sdot + sdot + sdotint int int int

分別計算由於 CB 的中點座標為 ( )2yx y zΔ

minus

ˆB BC C

A d A xdxrarr rarrsdot = sdot =int int

BxC

A dxint ( )2xyA x y z xΔ

asymp minus Δ

similarly 由於 CT 的中點座標為 ( )2yx y zΔ

+

ˆ( )T TC C

A d A xdxrarr rarrsdot = sdot minus =int int

TxC

A dxminusint ( )2xyA x y z xΔ

asymp minus + Δ

合併 CB 與 CT

B TC CA drarr

+sdot =int

( ) ( )2 2x xy yA x y z A x y z

x yy

Δ Δ⎡ ⎤minus + minus minus⎢ ⎥⎣ ⎦ Δ ΔΔ

（4-97）

由 C1 所圍的面積 S x yΔ = Δ Δ

1B TC C

A dS

rarr

+sdot =

Δ int( ) ( )

2 2x xy yA x y z A x y z

y

Δ Δ⎡ ⎤minus + minus minus⎢ ⎥⎣ ⎦Δ

（4-98）

所以當取極限 C1 收縮到中心(xyz)時 SΔ 收縮到 0ie

4-59

0limsΔ rarr

1B TC C

A dS

rarr

+sdot =

Δ int xAy

partminuspart

（4-99）

Similarly with CR 的 ˆd ydy= CL 的 ˆd ydy= minus 可得

1L RC C

A dS

rarr

+sdot =

Δ int x

zyxxFzyxxF yy

Δ

Δminusminus

Δ+ )

2()

2(

（4-100）

同樣的當取極限 C1 收縮到中心(xyz)時 SΔ 收縮到 0

0

limsΔ rarr

1L RC C

A dS

rarr

+sdot =

Δ int yAx

partpart

（4-101）

最後合併 CBCTCRCL 為 C1

10

1limCs

A ds

rarr

Δ rarrsdot =

Δ int y xA Ax y

part partminus

part partˆ ( ) ( )zz A A= sdot nablatimes = nablatimes （4-102）

注意 C1 的方向就是在 z 上式的重要

意義是當向量場 A 在一個以點(xyz)為

中心「方向為 z 」的面積元素的「邊界」

所做的環路積分得到的就是 A 在(xyz)

處旋度的 z-分量明顯的只有當 A 在

(xyz)附近有 x-y 平面上的「漩渦」那麼 C1 的環路積分才不會為 0

Similarly 取一個逆時針繞著(xyz)的平行於 x-z 平面的長方形環路 C2

（左圖）做環路積分再取極限將 C2 收縮到(xyz)就會得到

20

1limCs

A ds

rarr

Δ rarrsdot =

Δ int x zA Az x

part partminus

part partˆ ( ) ( )yy A A= sdot nablatimes = nablatimes （4-103）

注意到 C2 所包圍的面積方向就在 y到

現在我們應該已經很有經驗了若取一

個逆時針繞著(xyz)的平行於 y-z 平面

的長方形環路 C3（左圖）做環路積分

再取極限將 C3 收縮到(xyz)就會得到

4-60

30

1limCs

A ds

rarr

Δ rarrsdot =

Δ int yz AAy z

partpartminus

part partˆ ( ) ( )xx A A= sdot nablatimes = nablatimes （4-104）

能把（4-103）與（4-104）變出來的同學我們有優待綜合以上

我們可以得到一個結論若取一個以點(xyz)為中心的任意環路 Cn（其

所包圍的面積方向在 n ）則

n curl Aand rarrsdot ＝

0

1lims

Cn

A ds

rarr

Δ rarrsdot

Δ int （4-105）

明顯的當 n ＝ x 或 y 或 z 時我們可以重複（4-102）到（4-104）的

結果（4-70）式的行列式所定義的旋度在此看見其幾何物理意義

至此「旋度」的「漩渦」形象應該已經很清楚了只有在(xyz)點附

近的小圈圈上有「漩渦」 A 在小圈圈做的環路積分才會有值這個

值就是向量場 A 的「旋度」在小圈圈面積方向的分量

Stokersquos 定理

考慮一個開放面 S被其「有方向的」邊界 C 圈住(bounded by)則

( )S

A dsrarr rarrnablatimes sdotint ＝

C

A drarrsdotint （4-106）

pf 先將 S 面分割為 N 個多邊形這會使得邊界變成一個「折線」形

成的環路 P環路 P 會隨著分割的多邊形個數的增多而越加近似於原

「光滑的」邊界 C現考慮相鄰的

兩個多邊形的線積分由於共用邊

的方向是相反的所以相鄰兩個多

邊形線積分的和只剩「外邊界」（見左圖）所以當把所有的多邊形的

4-61

線積分加起來時由於只有邊界 P 不是多邊形的共用邊所以

1k

N

k C

A drarr

=

sdotsum int ＝P

A drarrsdotint rArr

P

A drarrsdotint ＝

1

1

k

N

kk k C

A d l ss

rarr rarr

=

⎡ ⎤sdot Δ⎢ ⎥

Δ⎢ ⎥⎣ ⎦sum int

其中 ksΔ 為第 k 個多邊形的面積取極限 0kN srarrinfinrArrΔ rarr P CrArr rarr

C

A drarrsdotint ＝

10

1limkk

N

kN k k Cs

A d ss

rarr

rarrinfin=Δ rarr

⎡ ⎤sdot Δ⎢ ⎥

Δ⎢ ⎥⎣ ⎦sum int 01

ˆlim ( )k

k kskn A s

infin

Δ rarr=

⎡ ⎤= sdot nablatimes Δ⎣ ⎦sum

01

ˆlim ( )k

k kskA n s

infin

Δ rarr=

= nablatimes sdot Δsum = ( )S

A dsrarr

nablatimes sdotint QED

ex55 由 Amperersquos law 的積分形式導出其微分形式

解Amperersquos law 的積分形式 C

B drarrsdotint ＝ I0μ (4-107)

由 Stokersquos 定理及電流密度 j 的定義上式等號兩端可寫為

rArr ( )S

B dsrarr rarrnablatimes sdotint ＝ 0 S

j dsμrarrsdotint

由於上面的等式對任意面 S（路徑 C）都成立所以被積函數相等

0B jμrarr rarr rarr

rArrnablatimes = (4-108) 此即 Amperersquos law 的微分形式

Ex56 Given a vector field ˆ ˆx yA ye xe= minus + (a) Find Anablatimes

解

ˆ ˆ ˆˆ ˆ(1 ( 1) 2

0x y z

x y zA z z

y xnablatimes = part part part = minus minus =

minus

(b)如圖一個金字塔狀的 5 面體高 2底邊長＝1計算 ( )S

A dsnablatimes sdotint

其中 S 為金字塔在 x-y 平面以上的部分方向如同

封閉的金字塔（運用 Stokersquos law）

解金字塔上表面的面積元素ds 不好寫由 Stokersquos

4-62

law ( )S

A dsrarr rarrnablatimes sdotint ＝

C

A drarrsdotint 其中封閉路徑 C 就是上表面的邊界而且

是逆時針（由 z 軸向下看）

C

A drarrsdotint ＝

1 1 0 0

0 0 1 1ˆ ˆ ˆ ˆA xdx A ydy A xdx A ydysdot + sdot + sdot + sdotint int int int

＝1 1 0 0

0 0 1 1x y x yA dx A dy A dx A dy+ + +int int int int 1 1 0 0

0 0 1 1( 0) ( 1) ( 1) ( 0)y dx x dy y dx x dy= minus = + = + minus = + =int int int int

0 1 1 0 2 ( ) 2S

A ds= + + + = rArr nablatimes sdot =int

旋度與 path independence

已知保守場 cF 對所有封閉路徑 C 0cC

F drarrsdot =int 由 Stokersquos 定理

0cC

F drarrsdot =int ＝ ( )cS

F dsrarr rarrnablatimes sdotint rArr 0cF

rarr rarrnablatimes =

這表示保守場＝無旋度反之無旋度的場任兩點間路徑積分與路

徑無關

Ex57 Given a field 2 2ˆ ˆ ˆ2A x xy yx zz= + minus (a) Find Anablatimes A 保守場

解2 2

ˆ ˆ ˆ

2x y z

x y zA

xy x znablatimes = part part part

minus

( ) ( ) ( )2 2 2 2ˆ ˆ ˆ( ) 2 ( ) 2 0y z z x x yx z x y xy z z x xy= part minus minuspart + part minuspart minus + part minuspart =

yes A =保守場

(b)如左圖由 A 到 B 做路徑積分A BC

A drarr

sdotint 路徑 C 為橢圓

22 1

16yx + = 在 x-軸以上的部分

解橢圓部分的路徑元素 d 有點麻煩但因為 A

為保守場所以 A 到 B 做路徑積分可以用 x = -1 到

1 的積分取代

4-63

01 1 1

1 1 1ˆ 2 0

yB

xAA d A xdx A dx xydx

=

minus minus minussdot = sdot = = =int int int int

∵

旋度在柱座標與球座標

前面討論過nabla在不同座標系的寫法旋度也有歸納出的一致寫法

座標 1 2 3 u u u

度量係數

1 2 3 h h h

nabla grad del

直角 x y z

1 1 1 nabla ˆ ˆ ˆx y z

x y zpart part part

equiv + +part part part

圓柱 zρ ϕ

1 1ρ

1ˆ ˆ ˆ zz

ρ ϕρ ρ ϕpart part part

nabla equiv + +part part part

球 r θ ϕ

1 sinr r θ

1 1ˆ ˆˆ sin

rr r r

θ ϕθ θ ϕ

part part partnabla = + +

part part part

所以柱座標與球座標的旋度分別表為

柱座標

ˆ ˆ ˆ1

z

z

Az

AA Aρ ϕ

ρ ρϕ

ρ ρ ϕρ

part part partnablatimes =

part part part （4-109）

球座標 2

ˆ ˆˆ sin1sin

sinr

r r r

Ar r

A rA r Aθ ϕ

θ θϕ

θ θ ϕθ

part part partnablatimes =

part part part （4-110）

ex58 (a) Given the vector function ˆA ϕ= sin (ϕ 2) find Anablatimes

解 2

ˆ ˆˆ sin1sin

0 sin( 2) 0

r r r

Ar r

r

θ θϕ

θ θ ϕϕ

part part partnablatimes =

part part part

4-64

21 ˆˆ cos sin sinsin 2 2 2

rr rr

ϕ ϕθϕθ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

ˆˆ cos sin2 sin 2 2

rr r

ϕ ϕ ϕθ

minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

(b)如左圖一個底面在 x-y 平面半徑＝1高＝2 之圓錐 求面積分

SA dsnablatimes sdotint 面積範圍 S 為圓錐在 x-y 平面以上

部分 方向為由圓錐內向外

解由 Stokersquos law ( )S

A dsrarr rarrnablatimes sdotint ＝

C

A drarrsdotint 其中路

徑 C 為 x-y 平面圓心在原點之單位圓 ˆ ˆd rd dϕ ϕ ϕ ϕ= =

2

0ˆ ˆsin sin

2 2C

d dπϕ ϕϕ ϕ ϕ ϕ⎛ ⎞ ⎛ ⎞sdot =⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠int int ( )0

2 sin u duπ

= int 0cos | 2u π= minus =

習題 16 磁場 B 因為不是保守場所以沒有對應的純量位而對應一

個向量位 A (vector potential)而 B A= nablatimes 一個磁鐵的磁偶極矩

ˆm mz= 被置於原點已知在遠處的 vector potential 03ˆ sin

4mAr

μϕ θπ

=

計算該處的磁場 B Ans 03

ˆˆ( 2cos sin )4

mB rr

μ θ θ θπ

= + 與電偶極遠處

的電場形式一致都是偶極(dipole) 選幾個點畫一畫該處的場向量

把磁力線描出來

附錄本章講義的內容有部分可以經由直接計算得出列在附錄做為

參考

用「圓柱座標」寫 Atimesnabla

Ararr rarrnablatimes ＝ ( )1ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ zz A A zA

z ρ φρ ϕ ρ ϕρ ρ ϕpart part part⎛ ⎞+ + times + +⎜ ⎟part part part⎝ ⎠

4-65

因為rdquo sdotrdquo與rdquotimes rdquo都是向量間的運算所以

＝ ( )ˆ ˆ ˆ ˆ zA A zAρ φρ ρ ϕρpart

times + +part

＋ ( )1ˆ ˆ ˆ ˆ zA A zAρ φϕ ρ ϕρ ϕ

parttimes + +

part

＋ ( )ˆ ˆˆ ˆ zz A A zAz ρ φρ ϕpart

times + +part

直接做上式微分可以得到

＝1ˆ z AA

zϕρ

ρ ϕpart⎛ ⎞part

minus⎜ ⎟part part⎝ ⎠＋ ˆ zA A

zρϕ

ρpart⎛ ⎞part

minus⎜ ⎟part part⎝ ⎠＋

1 1ˆ ( )A

z A ρϕρ

ρ ρ ρ ϕpart⎛ ⎞part

minus⎜ ⎟part part⎝ ⎠

上式可以用一個行列式來表示

rarrrarr

timesnabla A＝

ˆ ˆ ˆ1

z

z

zA A Aρ ϕ

ρ ρϕ

ρ ρ ϕρ

part part partpart part part

（A-1）

A and Anabla nablasdot nablatimes in 球座標 spherical coordinate

如上圖球座標 )( ϕθr 其中 )0[ infinisinr ]0[ πθ isin ]20[ πϕ isin 只有 r

是長度而 ϕθ 為角度是用來說明方向的三個座標的單位向量 ˆ ˆˆ r θ ϕ 具

有下列性質

4-66

1 如上圖 ˆ ˆˆ r θ ϕ 都不是常數而是（ ϕθ ）的函數

ˆ ˆ( )ˆ ˆ( )ˆ ˆ( )

r r θ ϕ

θ θ θ ϕϕ ϕ ϕ

⎧ =⎪

=⎨⎪ =⎩

)( ϕθr 與(xyz)之間的轉換如下

sin cossin sincos

x ry rz r

θ φθ φθ

=⎧⎪ =⎨⎪ =⎩

( )122 2 2

2 2

tan

tan

r x y z

x yz

yx

θ

φ

⎧ = + +⎪⎪ +⎪ =⎨⎪⎪ =⎪⎩

（A-2）

2 ˆ ˆˆ r θ ϕ 形成一「歸一正交集」ie

ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ 1r r θ θ ϕ ϕsdot = sdot = sdot = ˆ ˆr θ ϕperp perp

ˆ ˆr θ ϕtimes = ˆ ˆ rθ ϕtimes = ˆˆ rϕ θtimes = （A-3）

3可以很容易的由他們在 xyz 軸上的投影由直角

座標的 ˆ ˆ ˆ x y z 表出

ˆ ˆ ˆ ˆsin cos sin sin cos ( 4 )ˆ ˆ ˆ ˆcos cos cos sin sin ( 4 )ˆ ˆ ˆsin cos ( 4 )

r x y z A a

x y z A bx y A c

θ φ θ φ θ

θ θ φ θ φ θϕ φ φ

= + + minus⎧⎪

= + minus minus⎨⎪ = minus + minus⎩

4 ˆdr = 由於 ˆ ˆ( )r r θ φ= 所以由 ϕθ 的變動來看

4-67

ˆ ˆˆ| |ˆ ˆˆ| | sin sin

d r d d

d r d d

θ θθ θθ

φ θ φφ θ φφ

⎧ rArr =⎪⎨

rArr =⎪⎩rArr ˆ ˆˆ sindr d dθ θ φ θ φ= + （A-5）

rArrˆ ˆr θθpart

=part

ˆ ˆsinr θφφpart

=part

（A-6）

（A-6）的結果也可以直接由（A-4a）對 ϕθ 偏微得到

5 ˆdθ ＝ 由於 ˆ ˆ( )θ θ θ φ= 所以由 ϕθ 的變動來看

ˆ ˆ ˆ| | ( )ˆ ˆ ˆ| | cos cos

d d r d r

d d d

θ θ θ θ

φ θ θ φφ φ θ φ

⎧ rArr minus = minus⎪⎨

rArr =⎪⎩rArr ˆdθ ＝ ˆˆ cosrd dθ φ θ φminus + （A-7）

ˆrθ

θpart

rArr = minuspart

ˆ ˆcosθ φ θφpart

=part

（A-8）

請直接由（A-4b）對 ϕθ 偏微的結果 check（A-8）

6 ˆdφ ＝由於φ )(ϕ 躺在 x-y 平面上變動φ時的方向可能不是那麼

容易看出來所以做圖看一看

ie ˆ ˆˆ(sin ) (cos )d r d dφ θ φ θ θ φ= minus minus （A-9）

4-68

ˆ ˆˆsin cosrφ θ θ θφpart

= minus minuspart

7 所有的向量 ˆ ˆˆ rA rA A Aθ φθ φrarr= + +

8 位置向量 ˆr rrrarr=

可以由左圖 ˆ ˆˆ r θ ϕ 三個方向的「長度

變化」輕易的看出

9 位移元素

ˆ ˆˆ ˆ sindr rdr rd dθ θ ϕ θ φ= + + (A-10)

10 體積元素

sindv dr r d rdθ φ θ= sdot sdot

＝ 2 sinr dr d dθ θ φ (A-11)

11 面積元素 2 sinrds r d dθ θ φ= plusmn sinds r drdθ θ φ= plusmn ds rdrdφ θ= plusmn (A-12)

plusmn號表示面的垂直方向有兩個端看 ds 周邊的方向是如何定的

nabladel 考慮 ( )u u r θ φ=

rArru u udu dr d dr

θ φθ φ

part part part= + +part part part

u d rrarr rarr

equiv nabla sdot

urarr

= nabla sdot ˆ ˆˆ( sin )rdr rd dθ θ φ θ φ+ +

rArr1 1ˆ ˆˆ

sinu u uu rr r r

θ ϕθ θ φ

rarr part part partnabla = + +

part part part

1 1ˆ ˆˆsin

rr r r

θ ϕθ θ φ

rarr part part partnabla equiv + +

part part part （A-13）

4-69

直接用（A-13）與 ˆ ˆˆ rA rA A Aθ φθ ϕrarr= + + 逐項內積加上（A-678）

rArr ϕθ

θθθ

ϕθ part

part+

partpart

+partpart

=sdotnablararrrarr A

rA

rAr

rrA r sin

1)(sinsin1)(1 2

2 （A-14）

（A-13）與 ϕθ ϕθ AAArA r

andandandrarr

++= 逐項外積整理之後

ϕθ θϕθ

ϕθθ

θArrAA

r

rrr

rA

r sin

sin

sin1

2 partpart

partpart

partpart

=timesnabla

andandand

rarrrarr

（A-15）

Laplacian uu nablasdotnabla=nabla2

2

2

2222

22

sin1)(sin

sin1)(1

ϕθθθ

θθ partpart

+partpart

partpart

+partpart

partpart

=nablau

ru

rrur

rru （A-16）

B推導「散度」在圓柱座標的寫法

讓我們先回顧一下在直角座標裡的「面積元素」可以由「位移元素」

得到

ˆˆ ˆ x y zdr idx jdy kdz da dydz dxdz dxdy= + + rArr =

比照辦理「圓柱座標」的位移元素

( )ˆˆ ˆ( )

( )z

da d dzdr d d zdz da d dz

da d d

ρ

φ

ρ φ

ρ ρ φ ρ φ ρ

ρ ρ φ

=⎧⎪= + + rArr =⎨⎪ =⎩

這個結論可以輕易的由面積元素在垂直於 zˆˆ ϕρ 三個方向的面積看

出如下圖考慮一個以 )( zϕρ 為中心的「圓柱體積元素」(cylindrical

cubiod)體積為 zdV ΔΔ=Δ ϕρρ 現計算在 ρ

方向的 12 兩個平行面(方向各為 ρplusmn )的通

量

4-70

zzF

dsFdsnFS S

ΔΔ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

+cong

=sdotintint intintϕρρϕρρρ

ρ

2

2

ˆ1 1

zzF

dsFdsnFS S

ΔΔ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

minus⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

minusminuscong

minus=sdotintint intintϕρρϕρρρ

ρ

2

2

ˆ2 2

intint+

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

minus⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

minusminus⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

+Δ

asympsdotΔ

rArr21

22

22

1ˆ1

SS

zFzFdsnFV

ϕρρρρϕρρρρρρ ρρ

( ) ( )

1 20

0

0

1 ˆlim

1lim 2 2 2 2

1 1lim 2 2

1

VS S

F ndsV

F z F z

F z F z

F

ρ ρρ

ρ ρρ

ρ

ρ ρ ρ ρρ ρ φ ρ ρ φρ ρ

ρ ρρ ρ φ ρ ρ φρ ρ

ρρ ρ

Δ rarr+

Δ rarr

Δ rarr

rArr sdotΔ

Δ Δ Δ Δ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + + minus minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥Δ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦Δ Δ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥Δ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

part ⎡ ⎤= ⎣ ⎦part

intint

娛樂一下用上述方式把圓柱的 Fsdotnabla 裡的z

FF z

partpart

+partϕρϕ1

變出來

球座標的nabla和 Fsdotnabla 也可以試試看

補充習題

H M Scheydiv grad curl and all that 4th edition

第二章習題 6 8 9 10 11 14 15 16 18 19 21 22 23 25 26 27

第三章習題 2 3 5 6 7 8 9 10 11 14 15 17 18 19 24

4-3

的內積是由 vector A B 的「本質」AB 和「相對關係」夾角θ 決定

也可以看出內積是可交換的ie A B B Asdot = sdot

inner product 可以這麼看

( cos ) ( cos )A B A B A Bθ θsdot = = (4-5)

亦即 vector B 在 A方向的「投影」 cosB θ 乘 A的

大小 A or vector A在 B 方向的「投影」 cosA θ 乘

B 的大小 B 若 A B 彼此垂直則 0A Bsdot = 這

可單純的由 cos(900) = 0 看出或表示 vectors A B 在對方方向投影皆為

0所以向量的內積牽涉到二向量在對方方向的投影

sect 41 直角座標(Cartisian coordinates or Rectangular coordinates)

座標系的選定像是選擇劃分空間的方法

「直角座標」的作法就是將空間分割成一個個

小立方體來標誌位置在沿著三個相互垂直的

x y z軸我們訂出三個「單位向量 unit vector」

ˆ ˆ ˆ x y z (也有用 ˆˆ ˆ i j k 或 ˆ ˆ ˆ x y ze e e 表示一般的

慣 例 是 e 表 示 單 位 向 量 ) 分 別 指 向 +x +y +z 方 向 而 且

ˆ ˆ ˆ| | | | | | 1x y z= = = 其實所有的「無單位」且大小長度＝1 的向量都叫

做「單位向量」

「直角座標」一個重要的性質就是 一旦 x y z軸定好之後單位

向量 ˆ ˆ ˆ x y z 就被固定了即 ˆ ˆ ˆ x y z 為「常數向量」不會改變一

個任意向量V 就可以就可以以分量的形式表出

ˆ ˆ ˆx y zV xV yV zV= + + （4-6）

其中單位向量 x 的係數 xV 稱為 vector V 的 x-分量（x-component） y

的係數 yV 稱為 y-分量 z 的係數 ZV 稱為 z-分量分量 xV yV ZV 是

一個可為正負的純量由於 ˆ ˆ ˆ x y z 彼此垂直所以

4-4

ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ 0x y y z z xsdot = sdot = sdot = ( ˆ ˆ ˆ x y z 之正交關係 orthogonality） （4-7a）

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 1x x y y z zsdot = sdot = sdot = ( ˆ ˆ ˆ x y z 為歸一化向量 normalized vector) (4-7b)

上面二式合稱 ˆ ˆ ˆ x y z 之「歸一正交關係」 (orthonormality)

所以向量V 的分量可由內積得到ie

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ( )x y z x y z xV x xV yV zV x xV x yV x zV x V x Vsdot = + + sdot = sdot + sdot + sdot = = sdot

＝V 在 x 軸的投影

Similarly ˆ ˆyV V y y V= sdot = sdot ＝ V 在 y 軸上的投影and ˆ ˆzV V z z V= sdot = sdot

＝ V 在 z 軸的投影舉例當向量寫為 ˆ ˆ ˆ2 4 5V x y z= + minus 時 x-分量＝2

＝V 在 x 軸上的投影y 分量＝4＝V 在 y 軸上的投影z 分量＝-5=V 在

z 軸上的投影當用分量表示向量時二向量

ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆx y z x y zA xA yA zA B xB yB zB= + + = + +

123i iA B A B i= hArr = = （4-8）

ie 若且唯若 A B= 則兩者對應的各分量相等

(4-7ab)所示的歸一正交關係有一緊緻的寫法就是用 ie 來寫現

在介紹一個重要的符號 ijδ 叫做 Kronecker Delta定義如下

10ij

i ji j

δ⎧ =⎪equiv ⎨

ne⎪⎩ （4-9）

舉例來說或 1xx yy zzδ δ δ= = = 0xy yz zxδ δ δ= = = 23 12 31 0δ δ δ= = =

22 11 33 1δ δ δ= = = 0st rs trδ δ δ= = = hellipetc即腳標相同的就有值＝1腳標

不同的就不有值＝0 如此若用 1 2 3ˆ ˆ ˆ ˆ 123ie e e e i =或 來表示直角座

標的三個單位向量 ˆ ˆ ˆ x y z 則可以得到

1 2 3ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ 123i j ijx e y e z e e e i jδ= = = rArr sdot = = （4-10） 一個式子

ˆ ˆ 123i j ije e i jδsdot = = （4-11）

4-5

就把 ˆ ˆ ˆ x y z 的正交歸一關係寫完我們也可以用連加符號來寫向量

ˆ ˆ ˆx y zV xV yV zV= + +3

1

ˆ ˆor

i i i ii x y z i

V e V e= =

equiv =sum sum （4-12）

Vi 為第 i 個方向的「分量」 ie 表示「第 i 個方向」的單位向量是一

種 ˆˆ ˆ i j k 更方便的寫法所以

3 3 3

1 1 1

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 123i i j j j j j j ij ij j j

e V e V e V e e V V iδ= = =

sdot = sdot = sdot = = =sum sum sum （4-13）

注意到上式中的3

1 1 2 2 3 31

j ij i i ij

V V V Vδ δ δ δ=

= + +sum ＝三項和腳標 j 有 123

三個可能但若 j ine 則 0ijδ = 只有一項當 i j= 時 1ijδ = 存活下來

ie ˆ 123i ie V V isdot = = 此處要注意因為特定的 i 被用掉了所以V

不能再用3

1

ˆi ii

V e=sum 來表示要換一個腳標ie V ＝

3

1

ˆj jj

V e=sum

對於任意的向量 A B 以分量表示

ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆx y z x y zA xA yA zA B xB yB zB= + + = + +

ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( )x x y y z zA B x A B y A B z A BrArr + = + + + + + （4-14）

A B 內積 3

1x x y y z z i i

i

A B A B A B A B A B=

sdot = + + =sum （4-15）

Pf3 3 3 3 3 3 3

1 1 1 1 1 1 1

ˆ ˆ ˆ ˆ( )i i j j i i j j i ij j i ii j i j i j i

A B e A e B A e e B A B A Bδ= = = = = = =

⎛ ⎞sdot = sdot = sdot = =⎜ ⎟

⎝ ⎠sum sum sum sum sum sum sum

（4-14）式的內積由 A B 的「分量」表出分量與座標系有絕對的關

係（4-14）與（4-5）式的內積的定義不一樣然結果相同兩者的

等價可以證明如下令ϕ 為 B 與 x-軸的夾角

i i x x y yA B A B A B= +sum

4-6

cos( ) cos sin( ) sin[cos( )cos sin( )sin ]cos[ ]cos

A B A BABABAB

θ ϕ ϕ θ ϕ ϕθ ϕ ϕ θ ϕ ϕθ ϕ ϕθ

= + sdot + + sdot= + + += + minus=

QED

Ex2 若 ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ3 2 2 A x y z B x y z= minus + = + minus 判斷 vector A B 是否相互垂

直解(a) A Bsdot ＝3-2-2＝-1 0ne 所以不相互垂直

Ex3 If ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ3 2 yA x y z B x B y z= minus + = + minus find yB such that A Bperp

解let 0A Bsdot = =3- yB -2rArr yB =1

向量 A 的大小(magnitude)由內積定義

( )

2 2 2 2 0

ˆˆ ˆ 1

x y z ii

A A A A A A

or A A A i j k

equiv = + + = ge

= sdot = = =

sum

∵(4-16)

除了避免誤解為了方便往後我們只用

A 來表示向量 A 的大小 ie A A=

Ex4 If ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ3 2 2 A x y z B x y z= minus + = + minus (a)find A and B (b) A B 之夾角

解(a) 2 2 23 1 2 14 1 4 1 6A B= + + = = + + =

(b) 3

1

1 cos 14 6 cosi ii

A B A B AB θ θ=

sdot = = minus = = timessum

01cos 168 96384

radθ θminusrArr = rArr = asymp

任意非零 vector 向量 A其方向的單位向量

ˆ AAA

= （4-17）

such that A也可以寫為 ˆ

i ii

A AA e A= =sum （4-18）

4-7

Ex5 Given ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ3 2 2 A x y z B x y z= minus + = + minus find unit vector ˆ ˆA B

解

ˆ ˆ ˆ3 2 3 1 2ˆ ˆ ˆ ˆ14 14 14 14

ˆ ˆ ˆ2 1 2 1ˆ ˆ ˆ ˆ6 6 6 6

A x y zA x y zAB x y zB x y zB

minus += = = minus +

+ minus= = = + minus

前面討論過若θ 為 A B 之夾角則 cosA θ 為 vector A 在 B 方向的

投影或稱 B 方向的分量由內積的定義可以得到 ˆ| | 1B =∵

ˆ ˆ| | cos cosA B A B Aθ θsdot equiv = （4-19）

Ex6 Following ex5 find BA which is the component of A along the direction of B

解for 1 2 1ˆ ˆ ˆ ˆ6 6 6

B x y z= + minus

ˆBA A B= sdot = ( ˆ ˆ ˆ3 2x y zminus + ) 1 2 1 1ˆ ˆ ˆ

6 6 6 6x y z minus⎛ ⎞sdot + minus =⎜ ⎟

⎝ ⎠

換言之要找向量 A在任意方向u 的分量 uA 就先找出u 方向的單位

向量 ˆue ˆu uA A e= sdot Ex 7 求向量 ˆ ˆ ˆ2B x y z= + minus 在 ˆ ˆ ˆu x y z= + + 方向的分量 uB

解單位向量 ˆ ˆ ˆˆ3

x y zu + +=

ˆ ˆ ˆ 2ˆ ˆ ˆ ˆ( 2 )3 3u

x y zB B u x y z + += sdot = + minus sdot =

習題 1 Given ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ2 3 2 2 A x y z B x y z= minus + minus = minus minus (a) find | |A | |and B (b) angle ( A B ) (c) the component of B in the direction of A 向量場 vector field

若在一空間的每一點都定義一個向量 A則稱該空間存在向量場

( )A x y z 或 ( )A r 我們熟知的電場 ( )E x y z 磁場 ( )B x y z 重力場

( )g x y z 等都是向量場向量場 ( )A x y z 的各分量也都是位置的函數

ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( )x y zA x y z A x y z x A x y z y A x y z z= + + （4-20）

要注意除了少數特例一般向量場的各分量例如 x-分量 Ax 並非

只是 x 的函數而是(xyz)的函數特例之一為空間中每一點(x y z)

4-8

皆對應一「位置向量」 ˆ ˆ ˆr xx yy zz= + +

所以向量場 ( )A x y z 也可表為 ( )A r

Ex 8 給定一向量場 ( )A x y z = 2 2 3ˆ ˆ ˆ( )A x y z y x x zy xz z= + + (a) find

A 1 and A 2 which are vector A at position P1(2 1 5) and P2(3 0 1)

解(a) A 1= A (2 1 5) 2 2 3ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ1 (2 5) (2 5 ) 20 250x y z x y z= + times + times = + +

A 2= 2 3ˆ ˆ ˆˆ ˆ(301) 0 (3 1) (3 1 ) 9 3A x y z y z= + times + times = +

(b) Find the unit vector 1 2ˆ ˆr r and 12r for position vectors of points P1

P2 and 1 2PP

解for P1 1r = ˆ ˆ ˆ2 5x y z+ + 1ˆ ˆ ˆ2 5ˆ

30x y zr + +

rArr =

for P2 2 2ˆ ˆ3ˆ ˆˆ310

x zr x z r += + rArr =

1 2PP = 12ˆ ˆ ˆ4ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ(3 2) (0 1) (1 5) 4

18x y zx y z x y z r minus minus

minus + minus + minus = minus minus rArr =

Note 1 2 2 1PP r r= minus but 12r 2 1ˆ ˆr rne minus why Draw a diagram

(c) Find the component of A 1 along the direction of the 1 2PP

解 1 12ˆ ˆ ˆ ˆ( 20 250 )A r x y zsdot = + + sdotˆ ˆ ˆ4

18x y zminus minus =1 20 1000 1019

18 18minus minus minus

=

3-D 向量 A的分量

A 3-D vector A is uniquely specified by

given its magnetude A and direction ( θ ϕ 稱為

「方向角」)或者就是完整說明 xyz 三個分量

（Ax Ay Az）兩者轉換如下

4-9

cossin cossin sin

0 0 0 2

z

x

y

A AA AA A

A

θθ ϕθ ϕ

θ π ϕ π

===

gt le le le le

（4-21）

A B 的外積向量積叉積（vector productcross product）

由 A B 的本質與相對夾角定義向量外積

ˆ sinA B nAB θtimes equiv （4-22a）

其中的 n 是一個同時垂直於 A B 的單位向量其方向由右手定則定

之舉例

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆsin 90 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 0x y z z x z y y z xx x y y z ztimes = deg = times = minus times =times = times = times =

相互平行或反平行的二向量外積為 0因為 sin(0)=sin(1800)=0

BA 的外積也有另一個等價的定義

ˆ ˆ ˆ(4 22 )

( ) (4 23)

x y z

x y z

i ijk j kj k

x y zA B A A A b

B B B

A B A Bε

times = minus

times = minussum

上式中的 ijkε 稱為 Levi-Civita symbol（猶太裔義大利人Ci 發音同

chi） ijkε ＝0 若 ijk 中有任二數相同例如 211 131 223 0ε ε ε= = = 若 ijk

為相異的 3 個數則 ijkε =(-1)p p 是 ijk 相鄰兩數互換成為 123 的「置

換數」例如 ijk=231則 213 123rarr rarr p=2 2231 ( 1) 1ε = minus = 又如 ijk

＝321 則 312 132 123rarr rarr rarr p=3 所以 3321 ( 1) 1ε = minus = minus

4-10

Ex 9 ˆ ˆ ˆ4 5A x y z= + + ˆ ˆ3B x z= +

ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ1 4 5 (4 5) (15 1) (0 12) 14 12

3 0 1

x y zA B x y z x y ztimes = = minus + minus + minus = minus + minus

ex 10 ˆ ˆ ˆ4A x y z= minus minus + ˆ ˆ ˆ2B x y z= minus minus ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ1 1 4 (1 4) (8 1) (1 2) 5 7 3 2 1 1

x y zA B x y z x y ztimes = minus minus = + + minus + + = + +

minus minus

由（4-21b）可以容易看出

( ) ( )x y z

x y z

x y z

C C CC A B A B C A A A

B B Bsdot times = times sdot = （4-24）

明顯的 in general 外積不滿足交換率與結合率

( ) ( )A B B A B AA B C A B Ctimes = minus times ne times

times times ne times times (4-25)

兩個有用的恆等式(identity)

1 triple scalar product 純量三重積

( ) ( ) ( )A B C C A B B C Asdot times = sdot times sdot = sdot times (4-26)

上式中的 3 項運算 A B C 的順序是循環的(cyclic)ie ABC CAB

BCA3 項皆為以 A B C 為鄰邊的平行 6 面體的體積

Pf 若 B C 夾角＝ϕ rArr ˆ sinB C nBC ϕtimes =

其中 sinBC ϕ ＝以 B C 為兩邊的平行

四邊行面積 n perp B C

若 ˆA n 夾角＝θ ˆ cosA n A θrArr sdot =

＝垂直於 B C 平面的高

there4 ( )A B Csdot times ＝以 A B C 為鄰邊的平行

4-11

六面體的體積由於 3 鄰邊 A B C 的順序可以任選所以體積可藉由

（4-24）式之「絕對值」算出

Ex 11 一平行六面體 H 的相鄰三邊由 ˆ ˆ ˆ4 5A x y z= + + ˆ ˆ3B x z= +

與 ˆ ˆ ˆ2C x y z= minus + minus 表出求 H 之體積 HV

解let 1

2 1 11 4 5 183 0 1

CD A

B

minus minus= = = or 2

1 4 52 1 1 18

3 0 1

AD C

B= = minus minus = minus

1 2| | 18HV D D= = = 1D 與 2D 差一個負號不令人驚奇因為行

列式 2D 是由 1D 的第一列與第二列交換而來

2 triple vector product 向量三重積

( ) ( ) ( )A B C B A C C A Btimes times = sdot minus sdot (4-27)

上式有一別號稱為 back-cab(回頭車) rule先舉例說明上式成立

Ex12 ˆ ˆ ˆ4 5A x y z= + + ˆ ˆ3B x z= + ˆ ˆ ˆ4C x y z= minus minus

ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ3 0 1 (0 1) (1 12) ( 3) 13 3

1 1 4

x y zB C x y z x y ztimes = = + + + + minus = + minus

minus minus

ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ( ) 1 4 5 ( 12 65) (5 3) (13 4) 77 8 9

1 13 3

x y zA B C x y z x y ztimes times = = minus minus + + + minus = minus + +

minus

ˆ ˆ1 4 20 23 ( ) 69 23A C B A C x zsdot = minus minus = minus rArr sdot = minus minus

ˆ ˆ ˆ3 5 8 ( ) 8 8 32A B C A B x y zsdot = + = rArr sdot = minus minus

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ( ) ( ) 69 23 (8 8 32 ) 77 8 9B A C C A B x z x y z x y zsdot minus sdot = minus minus minus minus minus = + + QED

The proof of ( ) ( ) ( )A B C B A C C A Btimes times = sdot minus sdot

Pf Note that ( )B C B Ctimes perp 平面then ( )A B C B Ctimes times perp times∵ （ ）

( ) A B C D B CrArr times times equiv 躺在（ ）平面 所以 D 可由 B C 組合令

4-12

D B Cα β= + 由於 D 也與 A垂直所以

0A Dsdot = ( ) ( )A B A Cα β= sdot + sdot rArr

let ( ) ( )v v A C v A BA C A Bα β α βminus

= = rArr = sdot = minus sdotsdot sdot

( ) [( ) ( ) ]D A B C B C v A C B A B Cα βthere4 = times times = + = sdot minus sdot

v 會＝1上式對 x 做內積

ˆ ˆ ˆ[ ( )] [( ) ( ) ]

[( ) ( ) ]x x

x A B C v A C B x A B C x

v A C B A B C

sdot times times = sdot sdot minus sdot sdot

= sdot minus sdot

由於內積與外積都是向量間的運算所以上式左邊有

ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ( )x y z x y z

x y z x y z

x y z A x A y A zB C B B B A B C B B B

C C C C C C

times times timestimes = rArr times times =

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( ) 0ˆ [ ( )]

z y

x y z x y z

x y z x y z

x A x x A y x A z A Ax A B C B B B B B B

C C C C C C

sdot times sdot times sdot times minusrArr sdot times times = =

上式用到

ˆ ˆ( ) 0x A xsdot times = ˆ ˆ( )x A ysdot times ＝ ˆ ˆ( ) zA y x Asdot times = minus ˆ ˆ( )x A zsdot times ＝ ˆˆ( ) yA z x Asdot times =

用第 3 列展開行列式得

ˆ [ ( )] ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

x x x y y x z z x

x x x x y y z z x x x x x x

x x

x A B C C A B A B C A B C A B

C A B A B B C A C A C A B A B B A C C A

C A B B A C

sdot times times = minus sdot + + +

= minus sdot + + + = minus sdot + + sdot minus

= minus sdot + sdot1 ( ) ( ) ( )v A B C B A C C A BrArr = rArr times times = sdot minus sdot QED

向量的微分元素（直角座標）

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( ) [( ) ]

ˆ ˆ ˆ

i i i i i i i i i ii i i i

x y x

dA d e A d e A de A e dA e dA

or dA xdA ydA zdA

⎛ ⎞= = = + =⎜ ⎟

⎝ ⎠= + +

sum sum sum sum （4-28）

4-13

上面用了直角座標最方便的性質 ie 為常數 ˆ 0iderArr = 舉「位置向量」

為例

2 2 2 2 2 2 2 2

ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ

ˆ ˆ ˆˆ i i

i x y zi

r xx yy zz dr xdx ydy zdzdr dx dy dzv x y z e xdt dt dt dt

v v v x x y z v v v

= + + rArr = + +

rArr = = + + =

rArr = sdot = = + + = + +

sumsum

（4-29）

sect 42 曲線座標(curvilinear coordinates)

(A) 平面「極座標」polar coordinates ( )r θ

在平面上的一點 P 的直角座標若為(x y)我們可以有另一種標示法

( ) 0 [0 )

[02 ]r P x y r r

x rθ θ π

equiv ge isin infin⎧⎨

equiv isin⎩

由原點到 之距離

軸到 的夾角 （4-30）

以 P )( θr 為座標表同一點 P(xy) )( θr 稱為 P 點的「極座標」「極座

標」與「直角座標」的關係如下

2 2

cos

sintan

r x y x randy y r

x

θθθ

⎧ = + =⎧⎪⎨ ⎨ == ⎩⎪⎩

（4-31）

但是 )( θr 這兩個新座標的單位向量 ˆˆr θ 在什麼方向我們先來回顧

一下座標軸的單位向量的「制訂標準」是

什麼事實上某座標的單位向量的方向

訂在「垂直於該座標『等值面』且指向

該『座標值增長』的方向」舉「直角座

標」為例如右圖由於 x y 軸皆為直線

4-14

所以「等值面」都是平行的平面所以垂直方向皆相同也造成單位

向量 ˆ ˆx y 為常數

由左圖可以看出極座標裡 r 的等值面是一

個圓所以單位向量 r 是「沿徑向向外」但

是隨圓上θ 有所變動時 r 也隨著改變所以 r

「不是一個常量」 ˆ ˆ( )r r θ= 是角度θ 數

如左圖也可看出θ 的等值面為直線所以單位

向量θ 是「沿『切線』逆時針」方向

但如同 r 一樣當θ 值改變時θ 的方向

也改變了所以θ 也「不是一個常量」

)(ˆˆ θθθ = 也是角度θ 的函數可以看出

固定θ 時 ˆr θperp 但是她們都與「角座標」θ 有關由於她們的指向

有時 r 被稱為「沿徑向」之單位向量θ 被稱為

「沿切線」之單位向量極座標和直角座標還

有一個很大的差別就是直角座標的 x y z 的

因次都是「長度」所以當座標改變時 dx dy dz

就是「長度」的改變然而極座標的 r 有長度因

次所以 dr 是長度但是θ 只是一個數字而非長度所以當θ 改變時

dθ 並不代表一個長度的變化dθ 造成的長度變化寫為

d h dθ θ θ= （4-32）

其中的係數hθ 稱為「度量係數」(metric coefficient)很顯然這裡的hθ

必須具有長度的因次「長度」之所以重要是因為位移是長度各個

座標的度量係數我們會在後面仔細討論

座標系的選用以方便為準系統的對稱性是重要的考量所以有

立方對稱的系統通常用直角座標而有圓對稱的系統則用極座標

4-15

Ex13 半徑 5圓心在原點的圓方程式在直角座標為 2 2 25x y+ =

但是在極座標就是 5r = 而已

位置位移速度與加速度

直角座標的描述很簡單

ˆ ˆˆ ˆ

ˆ ˆ

r xx yy

r xx yy

dr dxx dyy

= +

Δ = Δ + Δ

= +

位置

位移

位移元素

（4-33）

2 2

2 2

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( )

ˆ ˆ( )

ˆ ˆ ˆ ˆ( )

x ydr dx dyv t x y xx yy v x v ydt dt dt

dv t dxx dyydv dx dy d x d ya t i j i jdt dt dt dt dt

rArr = = + = + = +

rArr = +

rArr = = + = +

瞬時速度

速度變化元素

瞬時加速度

（4-34）

在極座標由於單位向量 θr 不再是常數 ˆˆ 0 0dr dθrArr ne ne 所以

ˆ

ˆ ˆ( )ˆ ˆ

r rrr r r r r

dr drr rdr

=

Δ = Δ + Δ

rArr = +

位置

位移

位移元素

(4-35)

現在有一個問題 ˆ dr = 由下圖 r 的變化由 dθ 而來

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( )ˆ ˆ

ˆˆ ˆ ˆ0 ( ) ˆˆ

r r dr r d rdr r d d

d dr r dr

dr d

θ θ θ θθ θ

θ θ θ

θθ

= rArr = + minus

= =

rarr rArr perp rArr

rArr =

∵

∵ (4-36)

4-16

所以微分的位移為

ˆˆdr drr rdθθ= + （4-37）

上式的幾何意義很清楚dr 的 r 分量 dr 就是「沿

r 方向的長度變化」而θ 分量 rdθ 就是「沿θ 方

向的長度變化」而已或者也可以這麼看dr 是

一個位移向量在平面上有 r 和θ 兩個分量所以 ˆˆrdr d r d θθ= +

α 為在 r 方向的長度變化β 為在θ 方向的長度變化所以 rd dr=

d rdθ θ= 這種分析方法可以用在各種座標系這裡也可以看出

和（4-32）式角度變化dθ 造成的長度變化d h dθ θ θ= 相比可以得出

θ 的度量係數h rθ = 與直角座標比較 ˆ ˆdr dxx dyy= + dx 與 dy 不也就

是dr 在 x 與 y 方向的長度變化嗎

Now 速度

ˆˆ

ˆ ˆˆ ˆr

dr dr dv r rdt dt dtrr r v r vθ

θ θ

θθ θ

= = +

= + equiv + （4-38）

其中ddtθθ ω= = 亦稱為「角速度」

Ex14 圓周運動因為只有切線速度所以由（4-38）式 ˆ ˆ0

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( ) = ( ) ( ) ( 0)

r R r v r R

dv dr r d r d r d r d dr

θθ ωθ

θθ θ θ θ θ θ θ θ θ

= rArr = rArr = =

rArr = + + + =

∵

∵

（ 切線速度）(4-39)

這裡又冒出個問題

ˆ dθ = 由左圖

ˆ ˆ

ˆ ˆ0

d d d

d d

θ θ θ θ

θ θ θ

= =

rarr rArr perp

4-17

ˆ ˆ ˆ ˆ

d r

d d r

θ

θ θ

rArr minus

rArr = minus (4-40)

2

2

ˆˆ( ) ( )

ˆˆ

ˆ ˆˆ ˆ( ) ( )ˆˆ ( ) ( )

r

dv r d r r d

dv d da r r rdt dt dt

a r r r a r a

or a r r rθ

θ θ θ θ

θ θθ θ

θ θ θ θ

ω α θ

rArr = minus +

⎛ ⎞⎛ ⎞rArr = = minus +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

rArr = minus + equiv +

= minus +

(4-41)

上式即為圓周運動的加速度其中的第一項

2

2 ˆ ˆrva r r rr

ω minus= minus = 向心加速度 (4-42a)

with α θ= 可以認出是角加速第二項

ˆa rθ αθ= 切線加速度 (4-42b)

如進一步簡化為「等速圓周運動」 ==rArr θω constant 0==rArr αθ rArr切線

加速消失那麼加速度就只剩下了熟知的向心加速度2

ˆrva rrminus

= 了

若考慮一般的情況 dr 0ne 可以導出用極座標表示的加速度為

2

ˆ ˆ ˆ ˆˆ( ) ( ) ( ) ( )

ˆˆ( ) (2 )

dv dr r r d dr r d r ddva r r r r rdt

θ θ θθ θ θ θ θ

θ θ θ θ

= + + + +

rArr = = minus + + （4-43）

看起來有點繁但是在有圓形對稱的系統極座標會表現得更清楚

面積微分元素

直角座標把平面分割成一個個的

小方塊也就是依照「x 與 y 方向的

長度變化」可以寫出「面積元素」

dA dx dy= sdot （像是切長方形的蛋糕）

比較 ˆ ˆdr dxx dyy= + 可以看出

dA＝(x-方向的長度變化)times(y-方向的長度變化)

4-18

所 以 在 「 極 座 標 」 比 照 辦 理

ˆˆ ˆ( ) ( )dr dr r rdr dr r rdθθ= + = +

dA dr rd rdrdθ θ= sdot = (4-44)

像是切圓形蛋糕

ex15 求一個半徑 R 的圓的面積

解 2 2

2

0 0

22

R RA dA rdrd rdr d Rπ

θ θ π π= = = = sdot =int intint int int

妳可以試試用直角座標dA dx dy= sdot 算一下圓的面積

Ex16 求一個半徑 R質量 M密度σ 的均勻圓盤繞其直徑的轉動慣

量解 質量元素 dAdm σ= 到轉軸（直徑）的距

離 sinr θ=

2 2 2 2

23 2

0 0

4 22 2

sin

sin

14 4 4

R

I dm dA r rdrd

r dr d

R RR MR

π

σ σ θ θ

σ θ θ

σ π σπ

= = =

=

= = =

int int intintint int

娛樂一下算半個圓盤繞通過圓心且垂直盤面的軸的轉動慣量

ex 17 計算積分2xI e dx

infinminus

minusinfin

= int

解 2 2

0

2x xI e dx e dxinfin infin

minus minus

minusinfin

= =int int2 22

0 0

2 2x yI I I e dx e dyinfin infin

minus minusrArr = sdot = sdotint int

2 2 2 22

2 ( )

0 0 0 0 0 0

4 4 4x y r rI e dxdy e dA e rdr d

π

θinfin infin infin infin infin

minus + minus minusrArr = = =int int int int int int

在上面的積分裡我們運用了一個有關「無窮大平面」的技巧就是「無

4-19

窮大的平面」是可以是「正方形」或是「圓形」的

2

2

22

00 0 0

22

4 2 2( )2 2 2

(4 45)

u u u

x

dulet u r du rdr rdr

duI e d e du e

I e dx

π

π πθ π

π

infin infininfinminus minus minus

infinminus

minusinfin

= rArr = rArr =

rArr = = sdot = minus sdot =

rArr = = minus

int int int

int

ex18 重力位能

由位能差的定義 )()()( BAWBUAU rarrequivminus

（B）圓柱座標 cylindrical coordinates

3D 空間點 P(x y z)的位置向量 ˆ ˆ ˆr xx yy zz= + +

定義「圓柱座標」 ( )zρ ϕ 其中

0 [0 )P zρ ρ ρequiv ge there4 isin infin點 到 軸之垂直距離

ϕ ρequiv 在 x-y 平面的投影與 x 軸之夾角 [02 ]ϕ πisin

z zequiv同直角座標的

4-20

「圓柱座標」就是「極座標」（用 ( )ρ ϕ 取代 ( )r θ ）再加上第三維 z

所以圓柱座標 ( )zρ ϕ 裡 zρ 的因次為長度而ϕ 只是一個數字

( )zρ ϕ 與(x y z)間的轉換如下

2 2 cos

tan sin

x yx

y yx

z zz z

ρρ ϕ

ϕ ρ ϕ

⎧ = +=⎪ ⎧

⎪ ⎪= =⎨ ⎨⎪ ⎪ =⎩=⎪⎩

（4-46）

「圓柱座標」的三個方向單位向量 ˆ ˆ ˆ zρ ϕ 如圖

且 ˆ ˆ zρ ϕperp perp 可以看出ρ 的等值面為一個圓柱

面ϕ 的等值面是一扇門z 的等值面為一個垂

直 z 軸的平面但是

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( ) zρ ρ ϕ ϕ ϕ ϕ= = =常數

柱座標的位置向量 r 如左圖

ˆ ˆr zzρρ= + （4-47）

在柱座標寫位移元素dr 有兩種作法一

種是直接由（4-47）式取微分元素 借用

平面極座標的結果可得

ˆ ˆ ˆ( ) ( )

ˆ ˆ ˆdr d d dzz

d d dzzρ ρ ρ ρ

ρρ ρ ϕϕrArr = + +

= + + （4-48）

但也可以由三個座標方向的

位移來看由左圖可得沿 ρ 方向

的長度變化 ie 當座標ρ 有變

化dρ 時產生的長度變化就是

dρ 沿ϕ 的長度變化為 dρ ϕ

而沿 z 方向的長度變化為 dz

4-21

dr 是一個向量有三個分量ρ -分量就是沿 ρ 方向的長度變化

dρ ϕ -分量沿ϕ 的長度變化為 dρ ϕ 而 z-分量就是沿 z 方向的長度變

化為 dz合併寫出

ˆ ˆ ˆdr d d dzzρρ ρ ϕϕ= + +

與（4-48）式完全相同但是這種由幾何角度得到的結果要更方便

也更直觀Fig 27 非常重要因為只要你能把圖畫出來位移的各

分量就寫得出來有了位移元素dr 速度與加速度就可得出

ˆ ˆ ˆ (4 49)

ˆ ˆ ˆ( ) (2 ) (4 50)

drv zzdtdva zzdt

ρρ ρϕϕ

ρ ρϕ ρ ρϕ ρϕ ϕ

rArr = = + + minus

rArr = = minus + + + minus

由上圖與dr 的 3 個分量可得圓柱座標的體積元素

dV d d dz d d dzρ ρ ϕ ρ ρ ϕ= sdot sdot = （4-51）

ex19 底面半徑 R高 h 的圓柱體積＝ 2 2

2

0 0 0

22

R h RV dV d d dz h R hπ

ρ ρ ϕ π π= = = sdot sdot =int int int int

ex20 底面半徑 R高 h 的「圓錐」體積＝

解本圓錐裡點的座標分佈為 [02 ] [0 ]z hϕ πisin isin ( )zρ ρ=

( ) ( )( )

h z h Rz h zz R h

ρρminus

= rArr = minus

22( )( ) 2 2

0 0 0 0 0 0

002 2 2 3 2 32 2 2

2 2 2 20

( )2 2

2

1( )3 3 3

R h zzh h hh

h

h h

R h zhV d dz d d dz d dz

R R R u R hh z dz u du R hh h h h

ρ π

τ ρ ρ ϕ π ρ ρ π

π π π π π

minus

minus minus

minusthere4 = = = =

= minus = = = =

int int int int int int int

int int

如果我們把 3-D 的三個座標寫為 1 2 3( )u u u 或 123iu i = 當座

標 ui(在 ˆiu 方向)變動 dui 時造成的長度變化為 id 則定義

4-22

i i id h duequiv (4-52)

其 中 hi 稱 為 座 標 ui 的 度 量 係 數 (metric

coefficient)由 zρ 的因次為長度所以 zρ 的變

化 d dzρ 就是長度的變化所以 1 1zh hρ = =

然而ϕ 的變化造成的長度變化為

d d hϕ ϕρ ϕ ρ= rArr = (4-53)

很明顯的直角座標 xyz 都是長度所以度量係數 1x y zh h h= = =

(C) 球座標 spherical coordinates

3D 點 P(x y z)的位置向量 ˆ ˆ ˆr xx yy zz= + + 定義

「圓柱座標」 )( ϕθr 其中

[0 ] [0 ]

[02 ]

r P rr zr x y x

θ θ πϕ

ϕ π

⎧ equiv isin infin⎪

equiv isin⎪⎨

equiv minus⎪⎪ isin⎩

原點到 的距離

與 軸的夾角

在 軸投影與 軸的夾角

球座標的ϕ 與住座標的ϕ 相同

( )r θ ϕ 與(x y z)間的轉換如下下列為（4-54）

2 2 2

2 2 2

sin coscos sin sin

cos

tan

r x y zx r

z y rx y z z r

yx

θ ϕθ θ ϕ

θ

ϕ

⎧⎪ = + +⎪ =⎧⎪ ⎪= =⎨ ⎨

+ +⎪ ⎪ =⎩⎪⎪ =⎩

三個座標的單位向量 )ˆˆˆ( ϕθr 如左圖一可以看

出 r 的等值面是一個球面θ 的等值面為一個

以原點為頂點的圓錐ϕ 的等值面為一扇門

位置向量 ˆr rr= （4-55）

4-23

位移由 ˆ ˆˆ( )r θ ϕ 3 個方向的「長度

分量」可得 ˆ ˆˆ ( ) ( sin )dr rdr rd r dθ θ ϕ θ ϕ= + +

（4-56）

所以體積元素

2

( )( sin )(sin )

d dr rd r dr dr d d

τ θ θ ϕ

θ θ ϕ

=

= （4-57）

Fig 31 和 Fig 27 一樣重要只要

你能畫得出來就可以寫出球座

標位移的三個分量

ex21 求一半徑 R 的球體積 2

2 2 3

0 0 0

4sin sin3

R

V d r dr d d r dr d d Rπ π

τ θ θ ϕ θ θ ϕ π= = = =int intintint int int int

ex22 求一質量 M半徑 R密度 ( )3 4 3M Rρ π= 的實心球對直徑

旋轉的轉動慣量

解質量元素 2 sindm d r dr d dρ τ ρ θ θ ϕ= = 到 z 軸的垂直距離為 sinr θ=

22 4 3

0 0 0

5 52

sin

4 8 225 3 15 5

RI dm r dr d d

R R MR

π πρ θ θ φ

πρ π ρ

= =

= sdot sdot = =

intintint int int int

娛樂一下空心球對直徑的轉動慣量

(4-46)式與(4-54)式說明柱座標和球座標與直角座標之間的轉

換Fig 32 可得出柱座標和球座標之間轉換

2 2

sintan

cos

r zr

zz r

ρρ θ

ρϕ ϕ θθ ϕ ϕ

⎧ = += ⎪⎧

⎪ ⎪= =⎨ ⎨⎪ ⎪=⎩ =⎪

⎩

（4-58）

4-24

Ex23 點 P 的球座標為（31200 600）求柱座標＝

解2 3 33sin3 2πρ ⎛ ⎞= =⎜ ⎟

⎝ ⎠

23

ϕ π= 2 33cos3 2

z π minus⎛ ⎞= =⎜ ⎟⎝ ⎠

直角座標柱座標球座標單位向量之間的轉換

三種座標之間的轉換由(4-46)式(4-54)式與（4-58）式表出但

三種座標裡的的三個單位向量 ˆ ˆ ˆ x y z ˆ ˆ ˆ zρ ϕ ˆ ˆˆ r θ ϕ 若以 123ˆ iu =

表示則單種座標的單位向量之間都有正交歸一關係

ˆ ˆi j iju u δsdot = 與外積的循環關係

ˆ ˆ ˆ i j ku u u i j ktimes = cyclic in 123

ie 1 2 3 2 3 1 3 1 2ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ u u u u u u u u utimes = times = times = or ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆˆ ˆ r z z x yθ ϕ ϕ ρtimes = times = times =

然而不同座標系的單位向量之間關係如何我們畫圖來討論

球座標 ˆ ˆˆ( )r θ ϕ rarr直角座標 ˆ ˆ ˆ( )x y z

單位向量都是用來指方向的球座標的 ˆ ˆˆ( )r θ ϕ 都是「方向角」( )θ ϕ

的函數 r 在直角座標可以由 Fig33 看出

ˆ ˆ ˆ ˆsin cos sin sin cosr x y zθ ϕ θ ϕ θ= + + （4-59）

ex24 P 點的球座標為2 75 3 6π π⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠

試用球座標與直角座標求 P 點的位

置向量的單位向量 解位置向量 ˆr rr= 在球座標只有 r-分量標位置仔細一點把方向

角標出2 7ˆ 3 6

r π π⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

通常只是寫 r 令人有點摸不著頭緒用直角

4-25

座標比較「具像」 2 7 2 7 2ˆ ˆ ˆ ˆsin cos sin sin cos3 6 3 6 3

3 3 1ˆ ˆ ˆ4 4 2

r x y z

x y z

π π π π π⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞minus minus minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + +⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

單位向量θ 在某一組 ( )θ ϕ 的指向如 Fig 34a將θ 平移至原點更清楚

Fig34b 是由側面看 Fig34a可以看到θ 在 z 軸的投影為 sinθminus 而θ 在

x-y 平面的投影為cosθ使得θ 在 x-軸的投影為cos cosθ ϕy-軸投影

為cos sinθ ϕ於是

ˆ ˆ ˆ ˆcos cos cos sin sinx y zθ θ ϕ θ ϕ θ= + minus （4-60）

單位向量ϕ 如 Fig 35a 所示是在 x-y 平面畫出

Fig 35b 為自 z 軸向下看 Fig35a 圖可以看出ϕ 在 z 軸投影為 0且

ˆ ˆ ˆsin cosx yϕ ϕ ϕ= minus + （4-61）

ex25 一個質點的速率為 2( ) ( sin tan )v r rθ ϕ θ ϕ= 若經查該質點的運

動 是 在 z = 3 平 面 做 逆 時 針 圓 周 運 動 則 當 位 置 的 方 向 角

4-26

2( ) 4 3π πθ ϕ ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

時計算其速度用球座標與直角座標表出

解圓運動速度方向是沿切線所以球座標 ˆ ˆ( )v v v rϕ θ ϕ ϕ= =

z = 34πθ =

3 3 21cos cos 24

z zrπθ

rArr = = = =⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

所以該處的瞬時速率

2 2

2( ) 3 3 4 3

2 1 813 3sin tan 3 3 ( 3)4 3 22

v r v π πθ ϕ

π π

⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

⎡ ⎤ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = times minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

2 81 2ˆ3 3 4 3 2 4 3

v r π π π πθ ϕ ϕ⎛ ⎞ ⎛ ⎞rArr = = = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

在直角座標2 2 2ˆ ˆ ˆ sin cos

4 3 3 3x yπ π π πϕ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠3 1ˆ ˆ

2 2x y= minus minus

而且點23 3

4 3π π⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠

的直角座標為

2 1 3 3sin cos 3 3sin cos 3 34 3 2 22 2

x r π πθ ϕ minus minus⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

2 3 9sin sin 3 3sin sin 3 34 3 2 2 2 2

y r π πθ ϕ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = = =⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

z = 3

23 3 4 3

v π π⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

3 3 9 81 3 1ˆ ˆ 32 2 2 2 22 2

v x y⎛ ⎞ ⎛ ⎞

rArr = minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

以上兩個例子都只討論只有一個圓座標分量的向量in general 向量

ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( )r x y zA r rA A A A r xA yA zAθ ϕθ ϕ= + + hArr = + + （4-61）

若已知球座標的分量 ( )rA A Aθ ϕ 如何得到直角座標的

( )x y zA A A

4-27

ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( )ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( )

ˆ ˆˆˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( )

x r

y r

z r

A x A r x r A x A x A

A y A r y r A y A y A

A z A r z r A z A z A

θ ϕ

θ ϕ

θ ϕ

θ ϕ

θ ϕ

θ ϕ

⎧ = sdot = sdot + sdot + sdot⎪⎪ = sdot = sdot + sdot + sdot⎨⎪

= sdot = sdot + sdot + sdot⎪⎩

（4-62）

由式（4-59）（4-61） ˆ ˆ ˆ ˆsin cos sin sin cosr x y zθ ϕ θ ϕ θ= + + （4-59） ˆ ˆ ˆ ˆcos cos cos sin sinx y zθ θ ϕ θ ϕ θ= + minus （4-60）

ˆ ˆ ˆsin cosx yϕ ϕ ϕ= minus + （4-61） ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆsin cos cos cos sin ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆsin sin cos sin cos ˆ ˆˆˆ ˆcos sin 0

x r x x

y r y y

z r z z

θ ϕ θ θ ϕ ϕ ϕ

θ ϕ θ θ ϕ ϕ ϕ

θ θ θ ϕ

⎛ ⎞sdot = sdot = sdot = minus⎜ ⎟

rArr sdot = sdot = sdot =⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟sdot = sdot = minus sdot =⎝ ⎠

（4-63）

sin cos cos cos sin sin sin cos sin cos

cos sin 0

x r r

y RS

z

A A AA A M AA A A

θ θ

ϕ ϕ

θ ϕ θ ϕ ϕ

θ ϕ θ ϕ ϕ

θ θ

⎛ ⎞minus ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟rArr = equiv⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟minus⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

（4-64）

其中 SRM 為由球座標分量轉為直角座標分量的轉換矩陣且行列式

det SRM =1 表示反矩陣存在then 1SRM minus 就是將直角座標分量轉為球座

標分量之轉換矩陣其實嚴格講 (4-64)式還不是最終的表示因為

轉換完的直角

座標應該全部以 x y z 表出這裡保留用 θ ϕ 只是為了簡潔方便

習題 2 Find 1SRM minus

習題 3 用 xyz 表出(a)sinθ (b)cosθ (c)sinϕ (d)cosϕ

Ans (a)2 2

2 2 2sin

x yx y z

θ+

=+ +

(b)2 2 2

cos zx y z

θ =+ +

(c)2 2

sin yx y

ϕ =+

(d)2 2

cos xx y

ϕ =+

習題 4 用上面結果將 SRM 用 xyz 表出

Ex26 Given a field ( )A r θ ϕ ＝ ˆ ˆˆ2 3r θ ϕ+ minus in spherical coordinates

find the field in rectangular coordinates （直角座標）

4-28

解這裡的 ( )A r θ ϕ 不因其三個分量都是常數而只是「一個」向量

而是一 vector field這是因為 ˆ ˆˆ r θ ϕ 都不是定值而與 θ ϕ 有關而如

果 ( )A r θ ϕ 表示則單位向量所對應的角度 θ ϕ 必須要標定所以

sin cos cos cos sin 2sin sin cos sin cos 3

1cos sin 0

x

y

z

AAA

θ ϕ θ ϕ ϕ

θ ϕ θ ϕ ϕ

θ θ

⎛ ⎞minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ minusminus⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

(2sin 3cos )cos sin(2sin 3cos )sin cos

2cos 3sin

x

y

z

AAA

θ θ ϕ ϕθ θ ϕ ϕ

θ θ

+ +⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟rArr = + minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟minus⎝ ⎠ ⎝ ⎠

習題 5 Draw a diagram to show in the cylindrical coordinates

(a) ˆ ˆ ˆcos sinx yρ ϕ ϕ= + (b) ˆ ˆ ˆsin cosx yϕ ϕ ϕ= minus + (c) ˆ ˆz z=

習題 6 use the above results show that 由柱座標分量轉為直角座標分

量的轉換矩陣

x

y CR

z z

A AA M AA A

ρ

ϕ

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟=⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

CRM =

2 2 2 2

2 2 2 2

0cos sin 0sin cos 0 0

0 0 10 0 1

x yx y x y

y xx y x y

ϕ ϕ

ϕ ϕ

minus⎛ ⎞⎜ ⎟+ +⎜ ⎟⎛ ⎞minus⎜ ⎟⎜ ⎟

= ⎜ ⎟⎜ ⎟+ +⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

Ex27 Express vector ˆ ˆ ˆ(3cos ) 2 5A zρ ϕ ϕ ρ= minus + in Cartesian

coordinates Specifically the A at the position of (2 2 3π -3)

解

2cos sin 0 3cos 3cos 2 sinsin cos 0 2 3cos sin 2 cos

5 50 0 1

x

y

z

AAA

ϕ ϕ ϕ ϕ ρ ϕϕ ϕ ρ ϕ ϕ ρ ϕ

⎛ ⎞minus ⎛ ⎞+⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟= minus = minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

so that A (2 2 3π -3)= 3 3 3ˆ ˆ ˆ3 3 3 54 4

x y z⎛ ⎞⎛ ⎞+ + minus +⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠注意本

題裡 z 座標並非一變數

4-29

sect 43 Fields and its properties 場與其性質

「場 field」是什麼凡是在「某個空間中每一點」都有定義的量

就是一個「場」所以「場」也稱為「點函數 point function」簡單的

說凡是「空間的函數」都是「場」如果這個「空間的函數」是一個

純量 u(xyz)那麼 u(xyz)就是一個「純量場 scalar field」例如室內

的溫度 T(xyz)一塊豬肉的密度 ( )x y zρ 大氣中的壓力 p(xyz)等

都是純量場如果這個「空間的函數」是一個向量 )( zyxA 那麼

)( zyxA 就稱為「向量場 vector field」例如空間中的電場 )( zyxE

水流中的速度場 )( zyxv 重力場 )( zyxg 等等很顯然的不論是純量

場還是向量場「場」在空間中的分佈通常未必是均勻的那麼她有

什麼性質呢例如一塊豬肉內部密度是如何變化的水流中有沒有

漩渦大氣中的等壓線是如何變化的等等那麼有沒有什麼量可以

有系統的描述各種場的分佈有我們在以下分別討論

sect 431 Gradient of scalar fields 純量場的梯度

考慮一個純量場 f(xyz)可以視為 3 個變數 xyz 的函數當變數變動為

x+dx y+dy z+dy 時造成 f 的變化

f f fdf dx dy dzx y zpart part part

= + +part part part

（4-65）

由幾何意義來看上式更為具體上式表示純量場 )(rf 基於位置的變化

r r drrarr + (或由 ( ) ( )x y z x dx y dy z dzrarr + + + )所造成 f 的變動

我們現在定義一個向量算符 vector operator nabla (or nabla )（讀做 del）

ˆ ˆ ˆx y zx y zpart part part

nabla equiv + +part part part

(4-66)

如果將 del 作用在純量場 )(rf 上將產生出現一個新的「向量場」 fnabla

稱為純量場「 )(rf 的『梯度 gradient』」

4-30

ˆ ˆ ˆ( ) f f fgrad f f x y zx y zpart part part

equiv nabla = + +part part part

（4-67）

這使得由於任意位移 ˆ ˆ ˆdr xdx ydy zdz= + + 所造成 f 的變化量

df f drrArr =nabla sdot （4-61）

ex28 Given scalar field 2( )f r xy z= and 2 2 2

1 1( )g rrx y z

= =+ +

(a) find the value of ( )f r and fnabla at point P(2 1-1) 解 2(21 1) 2 1 ( 1) 2f minus = times times minus = minus

2 2 2

2 2

ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( )

ˆ ˆ ˆ( ) ( 2 ) ( )

f x xy z y xy z z xy zx y z

x y z y x yz z xy

part part partnabla = +

part part part

= +

＋

＋

ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ(21 1) ( 1) (2 2) (2) 4f x y z x y znabla minus = minus + timesminus = minus minus＋ ＋2 (b) find the value of ( )g r and gnabla at the point P

解2

1 1(21 1)62 1 1

g minus = =+ +

2 2 2 12 2 2 2 12

2 2 2 12

ˆ ˆ( ) ( )

ˆ ( )

g x x y z y x y zx y

z x y zz

minus minus

minus

part partnabla = + + + + +

part partpart

+ +part

＋

2 2 2 32 2 2 2 32 2 2 2 32

2 2 2 32 3 2

ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( )

ˆ ˆ ˆˆ( )( )

OR OR

xx yy zzgx y z x y z x y zxx yy zz r r

x y z r r

minus minus minusrArrnabla = + +

+ + + + + +minus + + minus minus

= = =+ +

32

ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ(2 ) 2(21 1)6 6 6

x y z x y zg minus + minus minus minus +rArrnabla minus = =

由 gnabla 看到一個粉常用的結果就是

3 2

ˆ1 ORr rr r r

minus minusnabla = = （4-62）

順便比較一下

2 2 2 12 2 2 2 12 2 2 2 12

2 2 2 12

ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( )

ˆ ˆ ˆ( ) ˆ (4 63)( )

r x x y z y x y z z x y zx y zxx yy zz r r

x y z r

part part partnabla = + + + + + + +

part part part+ +

= = = minus+ +

＋

4-31

(c) what is the angle between (21 1)fnabla minus and (21 1)gnabla minus

解 (21 1)fnabla minus (21 1)gsdotnabla minus ＝（ ˆ ˆ ˆ4x y zminus minus ＋2 ） sdotˆ ˆ ˆ26 6x y zminus minus +

＝2 4 2 4

6 6 3 6+ +

= ＝ | (21 1) |fnabla minus | (21 1) |gnabla minus cosθ

＝ 34 1 1 211 16 4 cos cos

6 6θ θ+ +

+ + =

1 4 2cos 07773 7

radθ minus ⎛ ⎞= =⎜ ⎟

⎝ ⎠

要注意隨然nabla有向量的性質但是他並不是一個真的向量真

實向量 A與純量 f ( )r 的乘法滿足交換率ie ( ) ( )Af r f r A= 但是

f fnabla ne nabla因為

( )f rnabla ＝ ˆ ˆ ˆf f fx y zx y zpart part part

+ +part part part

是一個向量函數而

ˆ ˆ ˆ( )f r x y zx y z

⎛ ⎞part part part+ +⎜ ⎟part part part⎝ ⎠

是一個算符（operator）

若nabla要與向量場 A 作用由於nabla與 A 都具有向量的性質先看「內積」

ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ( )

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

x y z

x y

z

y yx xz z

A x y z xA yA zAx y z

x y z xA x y z yAx y z x y z

x y z zAx y z

A AA AA Ax x x y x zx y z x y z

⎛ ⎞part part partrArrnablasdot = + + sdot + +⎜ ⎟part part part⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞part part part part part part= + + sdot + + + sdot⎜ ⎟ ⎜ ⎟part part part part part part⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞part part part

+ + + sdot⎜ ⎟part part part⎝ ⎠part partpart partpart part

= sdot + sdot + sdot + sdotsdot sdot = + +part part part part part part

yx zAA AAx y z

partpart partnablasdot = + +

part part part (4-64)

上式中的 Anablasdot 是向量場 A 的一個重要的性質稱為 A 的「散度」詳

細的內容在後面會仔細討論這裡引進 Anablasdot 主要是要表明nabla是個「算

符」表示一個運算不是一個真實的向量只是在「直角座標」裡

4-32

因為單位向量 ˆ ˆ ˆ x y z 是常數不受微分的作用以致nabla表現得好像也

是個一般的向量一樣事實上真實向量和nabla間的「內積」就不滿足交

換率

x y zA A A A an operator Ax y zpart part part

sdotnabla = + + = ne nablasdotpart part part

(4-65)

這也使得任意向量場 ( )A r 因位置變動 r r drrarr + 而產生的變化由於

)( zyxA 也是 3 個變數 xyz 的函數可以寫為

( )A A AdA dx dy dz dr Ax y z

part part part= + + = sdotnabla

part part part （4-66）

ex29 (a)Given field 2ˆ ˆ ˆ2A xxy y x zyz= minus + find Anablasdot at point (1-12)

解2( ) (2 ) ( ) 2xy x yzA y yz

x y zpart part part

nablasdot = + + = +part part part

(1 12)1 2( 1)2 3A

minusnabla sdot = minus + minus =

(b) find rnablasdot 解 rnablasdot = 3x y zx y zpart part part

+ + =part part part

梯度的意義

由（4-67）可以看到「f 的梯度 fnabla 」

是一個由「純量場 f」衍生出的向量

場由（4-26）也可以看出 fnabla 扮演類

似「變化率」的角色

空間中將相同值 f ( )r ＝f1 的點連

起來就得到一個 f ( )r ＝f1 的「等值面」如 Fig36考慮純量場 f( r )的

相鄰兩個等值面各對應定值 1f f= 與 1f f df= + 0df gt P1 點在 f1

等值面上相鄰兩點 P2P3 在 1f df+ 等值面上而向量 1 2 ˆnP P dn e dn= =

過 P1 點垂直於 f1 等值面 1 3 ˆP P d e d= = 與 ˆne dn夾角為α 由於不

論 1 2P Prarr 或 1 3P Prarr f 的變化量都是 df 但因距離 dn 係兩等值面最

4-33

短的距離d dngt 所以 1 2P Prarr 或 1 3P Prarr 造成的「變化率」df dfdn d

gt

而過 P1 點的最大變化率為dfdn

換言之向量 ˆndfedn

為過 P1 點垂直於

f1 等值面且指向最大「增加率」的方向 現在要證明

ˆndfe fdn

= nabla （4-67）

考慮 1 3P Prarr 造成的 f 值的變化率

ˆ ˆcos n ldf df dn df df e edl dn dl dn dn

α= = = sdot

ˆ ˆ ˆn l ndf dfdf e e dl e dldn dn

rArr = sdot = sdot

和（4-61）式df f dr= nabla sdot 相比即可得證 ˆndfe fdn

= nabla 所以可以知道

空間純量場 f ( )r 中任一點處的向量 fnabla 必「垂直」於「通過該點的 f的等值面」且指向 f 值最大「增加率」的方向| ( )f rnabla |就是 f 在 r 點

的最大增長率可以進一步定義等值面的「法線 normal」方向為

ˆ fnf

nabla=nabla

（4-68）

結論給定一個純量場 f( r )在每一點 r 可以定義一個稱做「梯度」

的向量 fnabla fnabla 垂直於過 r 點的 f 等值面且指向最 f 大增加率的方向

fnabla 的方向也定義了 f 等值面的法線方向

Ex30 考慮一個 2D 的 scalar field 2( )f x y y x= minus 計算該場在 )20( 的梯度與

法線方向

解 ˆ ˆ ˆ ˆ2f ff x y x yyx ypart part

nabla = + = minus +part part

ˆ ˆ(0 2) 2 2f i jnabla = minus + ˆ ˆ ˆ ˆ2 2 2 2ˆ(0 2)

31 8i j i jn minus + minus +

rArr = =+

4-34

ex31 點電荷 q 置於原點其產生電位為 ( ) qV rr

= 求負梯度qr

minusnabla

解 3

2 2 2 22 2 2

2 ( )2

q q q q x x y zr x rx y z

minuspart minus= rArr = sdot + +

part+ +

3 23

ˆˆ ˆ ˆ( )q ix jy kz r rq q qr r r r

minus + +rArr minusnabla = minus = = （點電荷的電場）

0 0

1 1 r r

noter r= =

nabla rarrinfin rarrinfin∵ 是不定值是因為 r = 0 處為最大值

「增加率」的方向無法確定

ex32 置一熱源於原點空間溫度分佈為1( )

( 2)T r

r=

+求溫度的梯度

解 2 2 2

ˆ( ) ( )( 2) ( 2) ( 2)

x rT r rr rT r

x r r r

minuspart minus

= rArrnabla = =part + + +

此處的負號表示梯

度指向熱源因為距熱源越遠溫度越低 ( 0)note T rnabla = 為不定值

因在最頂點「增加率」的方向無法確定

Ex33 地圖上山脈的等高線上各點的垂直方向由梯度決定現有一座

山是橢球 2)1(4 222 =+++ zyx 在 x-y 平面上方的

部分求地圖上這座山等高線的梯度

解 山高 142 22 minusminusminus== yxzh 所以等高線為橢

圓 222 )1(24 +minus=+ hyx 梯度

( ) ( ) ( )2 2 2 2

2 2

ˆ ˆ4ˆ ˆ2 4 1 2 4 1

2 4

xx y yh x x y y x y

x y x y

minus +part partnabla = minus minus minus + minus minus minus =

part part minus minus

所以自山腳（h=0）登山若由(012)開始 ˆ(01 2) 2h ynabla = minus 但若由

)02(minus 開始爬山 ˆ( 20) 2h xnabla minus = 可見 )02()210( minusnablagtnabla hh 這表

示由 y-軸登山山勢較陡所以「梯度」比由 x-軸登山為大這也更

清楚瞭解「梯度」的幾何意義

4-35

sect 432 Divergence 散度與 Curl 旋度

在(4-66) 我們建立了一個直角座標 vector operator 「del」

ˆ ˆ ˆx y zx y zpart part part

nabla equiv + +part part part

(4-66)

若與向量場 A 做「內積」與「外積」就建構了 A 的「散度」與「旋度」

散度 A A scalaryx zAA Adiv ax y z

partpart partequiv nabla sdot = + + =

part part part （4-69）

旋度

y yz x z x

ˆ ˆ ˆ y z A vector

A AA A A Aˆ ˆ ˆxy z z x x y

x y z

x y z

xcurl A a

A A A

y z

⎧⎪

= nablatimes = part part part =⎪⎪⎨⎪

part part⎛ ⎞ ⎛ ⎞part part part part⎛ ⎞⎪ = minus + minus + minus⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎪ part part part part part part⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎩

(4-70)

這裡定義的只是「散度」與「旋度」所謂「操作型的定義」告訴我

們如何計算的式子事實上她們都具有重要的物理意義我們在後面

會討論

ex34 ˆ ˆA xy yx= minus 求其散度與旋度

解 0 0y xAx ypart part

nablasdot = minus + =part part

ˆ ˆ ˆ y zˆ ˆ ˆ ˆ 0 0 ( 2) 2

0 x y z

xA x y z z

y xnablatimes = part part part = minus + minus = minus

minus

右圖示意了本向量場的分佈看得出像個漩渦也看到算出的旋度

0ne 看來旋度表現的應該是向量場「旋轉的程度」事實上我們在

後面會看到「旋度」表現的就是是向量場在空間各點「旋轉的程度」

本題的向量場在每一點的旋轉程度都一樣

4-36

Ex35 ( )ˆ ˆ ˆ A xx yy zz r= + + = 求其散度與旋度

解 3A rnablasdot = nablasdot = ˆ ˆ ˆ y z

0

x y z

xA

x y znablatimes = part part part =

由場分佈的示意圖可以看出本向量場是自原點向外射出好似在原

點有一個場線的「源頭 source」但是 3Anablasdot = 為一個常數表示好像到

處都有 source同時旋度為 0 也可以配合本場並無旋轉的形象事實

上「散度」表現的就是是向量場在空間各點產生「場線」的 source

記得靜電學裡的庫倫定律 0E ρ εnablasdot = 電場的散度就是「電荷密度」

(電場的 source)前一題的向量場看來對應的場線是封閉的所以沒有

source這也對應了其散度＝0不過一個向量場的散度旋度究竟是

多少應該詳細的計算場分佈圖形有時候不是那麼容易看的清楚

兩個 useful identities (恆等式)

(a) ( ) 0 0f curl of a gradnablatimes nabla = =

(b) ( ) 0 0A div of a curlnablasdot nablatimes = =

pf (a) ( )ˆ ˆ ˆ x y z

x y z

x y z

ff f f

nablatimes nabla = part part part

part part part

( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2xz zxˆ ˆ ˆx y f- f z 0yz yz xy yxf f f f= part minus part minus part part + part minuspart =

這個結果與真實的向量外積 ( ) AA 0=times 有相似之處但是這只是特

例要記得nabla並不是一個真正的向量

( ) ( ) ( )

( )

ˆ ˆ ˆ y zˆ ˆ ˆ x y z

0

x y z y z z y x z z x x y y x

x y z

xy z xz y xy z yz x xz y yz x

xA A A A A A A

A A A

A A A A A A A

nablatimes = part part part = part minus part minus part minus part + part minus part

nablasdot nablatimes = part minuspart minuspart +part +part minuspart =

4-37

此結果與真實的向量運算有相似之處 ( )( )0 (B A) BB B Asdot times = times perp∵

但是這仍只是特例因為我們可由下列例子 ( ) 0A Asdot nablatimes ne 看出事實上

nabla並不是一個真正的向量 Ex36 ˆ ˆ ˆA xy yx zx= minus +

( )

ˆ ˆ ˆ y zˆ ˆ ˆ 0 1 ( 2)

2 0

x y z

xA x y z

y x x

A A x x x

nablatimes = part part part = minus + minus

minus

sdot nablatimes = minus = minus ne

面積元素向量

物理上時常會遇到面積分例如電通量磁通

量等等考慮一個面積元素 ds定義「面積的

方向」為其「法線方向」並定義面積元素向量

ˆnds a dsequiv （4-71）

要注意的是(1)如果 ds 是一個「封閉面

closed surface」（即有裡外之分）的一部

份則 ˆna 定義為「由內向外」(2) 如果 ds

是一個「開放面 opened surface」（即分不

出裡外）的一部份那麼 ds 必被其邊緣

（一個封閉的曲線 C）所包圍這樣在定

出ds 的方向之前要先定義「邊緣曲線」

C 的方向再由右手定則定義 ˆna 的方向

既然面積已為一個向量就可以寫為分量表示以直角座標

ˆ ˆ ˆx y zds xds yds zds= + + (4-72)

那麼這些分量 dsx dsy dsz 會是什麼既然 dsx 的方向是 x 就表示 dsx

是躺在 y-z 平面上所以 dsx 的兩邊是 dy 與 dz rArr xds dydz= 依此類

4-38

推 dsy 的方向是 y 所以躺在 x-z 平面rArr yds dxdz= hellip可以得知

xds dydz= yds dxdz= zds dxdy= （4-73）

不過要注意在寫面積元素時要看討論的面實際

是什麼面上式的三個分量有可能會是負的例如

左圖座落在第一象限的立方體的 A 面方向就在 xminus

方向Arsquo面在 yminus Ardquo面在 zminus 方向寫面積元素最

好是先把討論的面的方向搞清楚把plusmn號寫在單位向量前面那麼分

量就都用＋的即可其實面積元素體積元素都可以由位移元素看出

ˆ ˆ ˆdr xdx ydy zdz= + +

dx dy dz 是沿著 ˆ ˆ ˆ x y z 方向的長度所以面積元素分量的兩邊長度就

是由其中兩個組成而體積的三邊也就是三個垂直方向的長度

x y zdV dx dy dz and ds dydz dxdz dxdyrArr = = （4-74）

這個概念在其他的座標系統也成立我們可以方便的寫出面積元素

Recall 柱座標的位移向量元素

cylindrical coordinate ˆ ˆ ˆdr d d dzzρρ ρ ϕϕ= + + （4-48）

ˆ ˆ ˆ zds ds ds zdsρ ϕρ ϕ= + + (4-75)

dsρ 躺在 zϕ minus 平面dsϕ 在 zρ minus 平面 zds 在ρ ϕminus 平面

rArr zds d dz ds d dz ds d d d dρ ϕρ ϕ ρ ρ ρ ϕ ρ ρ ϕ= = = sdot = （4-76）

上面的結果畫個圖看看吧球座標的位移向量元素

Spherical coordinate ˆ ˆˆ ( ) ( sin )dr rdr rd r dθ θ ϕ θ ϕ= + + （4-56）

ˆ ˆˆ rds rds ds dsθ ϕθ ϕ= + + （4-77）

rArr sin sin rds rd r d ds dr r d ds rd drθ ϕθ θ ϕ θ ϕ θ= sdot = sdot = sdot (4-78)

4-39

向量場 ( )A r 在 S 面上的「面積分（surface integral）」or「flux」

如左圖若有一「平面」S 且其上有「均勻」

場 B 分佈則通過 S 面的通量就是

ˆB B nSΦ = sdot

但考慮一任意「非均勻」向量場 ( )A r 在空間分佈選取任意曲面 S

探討 ( )A r 在 S 上之通量若ds 為 S 面上的面積元素在趨近於 0 的

小面積ds 上 A可視為均勻所以通過ds 之通量為 ( )d A r dsΦ = sdot 則 S

面之總通量為

Φ＝ ˆ cosS S S

A ds A nds A daϕsdot = sdot =int int int

( )OR

x x y y z zS

A da A da A da= + +int (4-75)

稱為 A 在 S 面上的「面積分」或「通量 flux」

上圖所繪就是一個任意面上分割出許多小面積舉出三個位置的通

量有+-與 0如果 S 面是為一「封閉面」則面積分寫為

S

A dssdotint （4-76）

4-40

ex37 Given 2ˆ ˆ ˆyzA xyz yx zx= + + 計算通量S

A dssdotint

S 面為在第一象限邊長＝1 的立方體表面封閉面

解立方體分為前後右左上下六個面分開算 1前面（x=1）

方向 x+ ˆ xA ds A xdydz A dydzsdot = sdot =int int int前 前 前

yzdydz= int前 ＝1 1

0 0

1 1 12 2 4

ydy zdz = sdot =int int

2後面(x=0)方向 xminus ˆ(- ) - xA ds A x dydz A dydzsdot = sdot =int int int後 後 後

yzdydz= minusint後1 1

0 0

-1 1 -12 2 4

ydy zdzminus = sdot =int int

3 右面（y=1）方向 y+ y ( 1)yA ds A dxdz A y dxdzsdot = sdot = =int int int右 右 右

( 1)x y zdxdz= =int右 ＝1 1

0 0

1 1 12 2 4

xdx zdz = sdot =int int

4 左面（y=0）方向 ˆ-y ˆ( y) - ( 0)yA ds A dxdz A y dxdzsdot = sdot minus = =int int int左 左 左

( 0) 0x y zdxdz= = =int左

5 上面（z=1）方向 z+ zz y (z 1) yA ds A dxd A dxdsdot = sdot = =int int int上 上 上

2 yx dxd= int上 ＝1 120 0

1 1y 13 3

x dx d = sdot =int int

6 下面（z=1）方向 ˆ-z zˆ(-z) y - (z 0) yA ds A dxd A dxdsdot = sdot = =int int int下 下 下

2 -1- y3

x dxd= =int下 ＝1 120 0

1 1y 13 3

x dx d = sdot =int int

S

A dssdotint ＝六個面的和＝1 1 1 1 1 1( ) ( 0) ( )4 4 4 3 3 4

minus minus+ + + + + =

ex38 Given ˆ ˆ ˆzA xyz yx zxy= + + 計算通量S

A dssdotint S 為圓 2 2 2x y a+ =

在第一項限的部分方向選為 z+ 2 2y a x= minus

4-41

解 2 2 4

0 0ˆ

8a a x

zS S S S

aA ds A zdxdy A dxdy xydxdy xdx ydyminus

sdot = sdot = = = =int int int int int int

Ex39 In cylindrical coordinate Given ˆ ˆaA zbzρρ

= + where a b are

constants Find S

A dssdotint over the surface of a

closed cylinder about z-axis specified by 3 2z ρ= plusmn =

解S 分為上下與周邊三面

zz (z 3)zA ds A ds A d dρ ρ ϕsdot = sdot = = sdotint int int上 上 上

= 23 3 2 12bd d b bρ ρ ϕ π πsdot = sdot =int上

ˆ(-z)A ds A d dρ ρ ϕsdot = sdot sdotint int下 下

= z- (z -3)A d dρ ρ ϕ= sdotint下 = 23 2 12b bπ πsdot =

周邊ds ˆ ( )d dzρ ρ ϕ= rArr ˆ ( ) z ( ) zA ds A d d A d dρρ ρ ϕ ρ ϕsdot = sdot =int int int周 周 周

2 3

0 3( ) z ( ) z=a 12aA d d d d d dz a

πρ ρ ϕ ρ ϕ ϕ π

ρ minus= = =int int int int周 周

加起來 S

A dssdotint ＝12 24 12 ( 2 )a b a bπ π π+ = +

ex40 一點電荷 q 置於原點計算在一個以原點為圓心 0r 為半徑的球

面上的電通量

解 2 20 0

ˆ ˆ4 4S S

qr q dsE ds rdsr rπε πε

sdot = sdot =int int int

=0 0 0

44 4S

q q qd ππε πε ε

sdot Ω = sdot =int

上式中 dΩ 2dsr

= 是 ds 所張開的「立體角」(solid angle)

4-42

div A and Flux 通量與散度的幾何物理意義

我們運用過nabla的符號來表示過散度 divF F= nablasdot yx zFF Fx y z

partpart part= + +part part part

但是也看到「散度」定義為

0( )

1( ) limSV

about x y z

divF x y z F da divergence of FVΔ rarr

equiv sdot =Δ int (4-77)

其中 VΔ 為 S 面所包含的體積即散

度為通量(體)密度的 0 體積極限

（4-77）的定義與 Fnablasdot 好像差的很

多她們是說同一回事嗎以下證明

這兩種「散度」的定義是等價的如

左圖考慮一個以點 ( ) x y z 為中心

的 立 方 體 其 相 鄰 三 邊 長 為

x y zΔ Δ Δ 體積 V x y zΔ = Δ Δ Δ 現在計算 F 在立方體的一組平行於 y-z平面的表面 S1 與 S2 的通量

( )1 1

ˆ ˆ xS S

F nds F xds F x y z dsrArr sdot = sdot =intint intint intint 2xxF x y z y zΔ⎛ ⎞asymp + Δ Δ⎜ ⎟

⎝ ⎠

其中 2xx y zΔ⎛ ⎞+⎜ ⎟

⎝ ⎠為 S1 面中心的座標而

2xx y zΔ⎛ ⎞minus⎜ ⎟

⎝ ⎠為 S2 面的中心

( ) ( )2 2 2

ˆ ˆ 2x x

S S S

xF nda F x ds F x y z ds F x y z y zΔ⎛ ⎞rArr sdot = sdot minus = minus asymp minus minus Δ Δ⎜ ⎟⎝ ⎠intint intint intint

上式中的負號來自 S2 面的方向是 xminus 所以合併兩個面積分

1 2

ˆ 2 2x x

S S

x xF nds F x y z F x y z y z+

Δ Δ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞rArr sdot asymp + minus minus Δ Δ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦intint

2 2x xx xF x y z F x y z

x y zx

Δ Δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠= Δ Δ Δ

Δ

2 2

x xx xF x y z F x y z

Vx

Δ Δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠= Δ

Δ

1 2

1 2 2ˆ

x x

S S

x xF x y z F x y zF nds

V x+

Δ Δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠rArr sdot asymp

Δ Δintint

4-43

當取體積向(xyz)點收縮至 0 時即 0 x 0as VΔ rarr Δ rarr 上式的近似

「asymp」就成了「＝」

1 20

1 ˆlimV

S S

F ndsVΔ rarr

+

sdotΔ intint

( )0

2 2limx x

x

x

x xF x y z F x y z F x y zx xΔ rarr

Δ Δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟ part⎝ ⎠ ⎝ ⎠= =Δ part

Similarly F 在立方體的一組平行於 x-z 平面的表面 S3 與 S4 的通量

3 3 3

ˆ ˆ yS S S

F nds F yds F dsrArr sdot = sdot =intint intint intint

2

2

y

y

yF x y zyF x y z x z x y z

y

Δ⎛ ⎞+⎜ ⎟Δ⎛ ⎞ ⎝ ⎠asymp + Δ Δ = Δ Δ Δ⎜ ⎟ Δ⎝ ⎠

( )4 4 4

2ˆ ˆ

y

yS S S

yF x y zF nds F y da F ds x y z

y

Δ⎛ ⎞minus⎜ ⎟⎝ ⎠rArr sdot = sdot minus = minus asymp Δ Δ Δ

Δintint intint intint

合併 S3 與 S4 兩個面積分並取體積向(xyz)點收縮至 0 時即當

0 y 0VΔ rarr Δ rarr 上式的近似asymp就成了＝

3 4

2 2ˆ

x x

S S

y yF x y z F x y zF nds V

y+

Δ Δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠rArr sdot cong Δ

Δintint

3 40 0

1 2 2ˆlim lim

x xy

V yS S

x yF x y z F x y z FF nds

V y yΔ rarr Δ rarr+

Δ Δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟ part⎝ ⎠ ⎝ ⎠rArr sdot = =Δ Δ partintint

與上面相同的作法計算 F 在立方體的一組平行於 x-y 平面的表面 S5

與 S6 的通量我們也會得到對應的結果

5 6

2 2ˆ

z x

S S

z zF x y z F x y zF nds V

z+

Δ Δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠rArr sdot cong Δ

Δintint

5 60 0

1 2 2ˆlim lim

z xz

V zS S

z zF x y z F x y zFF nds

V z zΔ rarr Δ rarr+

Δ Δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟ part⎝ ⎠ ⎝ ⎠rArr sdot = =Δ Δ partintint

所以合併立方體的 6 個面積分

4-44

1 2 3 4 5 6

ˆ ˆ ˆ ˆS S S S S S S

F nds F nds F nds F nds+ + +

rArr sdot = sdot + sdot + sdotint intint intint intint

0

1 ˆlim yx zV

FF FF nds div F FV x y zΔ rarr

partpart partrArr sdot = + + = = nablasdot

Δ part part partint (4-78)

在此我們得證這兩種「散度」的定義是等價的只是（4-77）的定義

充分的表現出「散度」的幾何物理意義他從通量著手由於場線

出自於 source（ex電場源自於點電荷）所以在點(xyz)必須有向量場

F 的 source 存在才能使得當面積縮到 0 時仍具有非 0 的通量所以「散

度」表現向量場 F 的 source 在這個定義之下是很清楚的當然在計算

「散度」時我們不必那麼麻煩用 divF F= nablasdot 就好了

Ex41 計算 2ˆ ˆ ˆF xx yxy zyz= + + 的散度

解 2 yx zFF Fx x yx y z

partpart part= = =

part part part F 2x x y 3x ydivrArr = + + = +

recall 在靜電學0

yx zEE EEx y z

ρε

partpart partnablasdot = = + +

part part part

散度定理 Divergence Theorem

若任意封閉面（又稱為「高斯面」）S 所包圍的

體積為 V 則

S VA ds Adτsdot = nablasdotint int （4-79）

pf 我們先將體積分割成 N 個小盒子考慮相鄰的兩個小盒子 1 2

兩小盒子的共用面面積 S0當 S0 是為 1 號盒子的一部份時其方向為

1n 但若當為 2 號盒子的表面時其方向為 12 ˆˆ nn minus= 如此在 S0 分別做

4-45

1 2 盒子的面積分後

0 0

0 0 0 0

1 2

1 2 1 1ˆ ˆ ˆ ˆ 0

S S

S S S S

A ds A ds

F n ds F n ds F n ds F n ds

sdot + sdot

= sdot + sdot = sdot minus sdot =

intint intintintint intint intint intint

所以若求場 A 在 1 2 盒子的總通量時交界面是沒有貢獻的總通量

就只有「外面積」才有貢獻如此我們計算 N 個小盒子的總通量

時所有的內部共用面都得 0只剩下「外表面」的貢獻了當 infinrarrN

時所有小盒子的「總外表面」就與 S 面重合了所以所有小盒子通量

的總和就等於 S 面的通量

1lim

i

N

S SN iA ds A ds

rarrinfin=

rArr sdot = sdotsumint int

現在我們做 N 個小盒子的總通量

1 1

1i i

N N

iS Si i i

A ds A ds VV= =

⎛ ⎞sdot = sdot Δ⎜ ⎟Δ⎝ ⎠

sum sumint int

當 0iN Vrarrinfin rArr Δ rarr 並用 dv 表示體積元素

( ) ( )1 1

1

1lim lim lim

lim

i ii

N N

iS SN N V oi i i

N

i VN i

A ds A ds VV

A V A dv

rarrinfin rarrinfin Δ rarr= =

rarrinfin=

⎛ ⎞sdot = sdot Δ⎜ ⎟Δ⎝ ⎠

= nablasdot Δ = nablasdot

sum sumint int

sum int

( )S V

A da A dvrArr sdot = nablasdotint int QED

所以得證散度定理上式中我們用了散度的（4-77）式定義要分辨

清楚 Anablasdot 是向量場 A 在空間中「某一點」的性質（ 0VΔ rarr ）而「散

度定理」說的是一個「有限體積」的性質

ex42 給定 ( ) ˆ ˆ ˆ A x y z xx yy zz r= + + = 計算在

半徑 R＝1 的球的上半球加底面的通量

4-46

解 ( )ˆˆS

A da A rda A k darArr sdot = sdot + sdot minusint int int上半球面 底面

( )

2

ˆ ˆ

0 2 1 2

A rda A z dxdy

r rds zdxdy rds ds π π

= sdot + sdot minus

= sdot minus = minus = = sdot =

int int

int int int int上半球面 底面

上半球面 底面 上半球面

底面的通量＝0 是因為 A 的 z 分量 Az=z 在底面的值為 0

也可以用散度定理更快的得出結果

∵ 3A rnablasdot = nablasdot =

31 43 3 1 22 3V V

Ad d πτ τ πnablasdot = = sdot sdot sdot =int int

ex43高斯定律的微分形式積 由 Gaussrsquo law 的積分形式用散度定理得出其

( )0 0

1 inS V

qE ds x y z dvρε ε

sdot = =int int

0S V VE ds Edv dvρ

εrArr sdot = nablasdot =int int int

上式最後的等式對「任意形狀」V 都成立所以兩者的被積函數相等

對於空間每一點 0

E ρε

nablasdot = （4-80）

ex44 Use 第一象限的單位力方體 check the divergence theorem using the function 2 2ˆ ˆ ˆ(2 ) 2A y x xy z y yzz= + + +

解2

2( ) (2 )(2 ) 2( )y yzA xy z x yx y z

part part partnablasdot = + + + = +

part part part

and 1 1 1 1 1 1

0 0 0 0 0 02 ( ) 2 ( )

VAdv x y dxdydz dz dy x y dxnablasdot = + = +int int int int int int int

1 1

0 0

1 12 ( ) 2 12 2

dz y dy= + = sdot =int int

面積分 1 1 2

0 0

1ˆ3

A ds A xdydz dz y dysdot = sdot = =intint intint int int前 前

4-47

1 1 2

0 0

1ˆ( )3

A ds A x dydz dz y dy minussdot = sdot minus = minus =intint intint int int

後 後

1 1 2

0 0ˆ (2 )A ds A ydxdz dz xy z dxsdot = sdot = +intint intint int int

右 右

1 1 1 12 2

0 0 0

4(2 ) (1 )3

ydz x z dx dz z

=

= + = + =int int int∵

1 1 2

0 0

0 1 1 12 2

0 0 0

ˆ( ) (2 )

1(1 )3

y

A ds A y dxdz dz xy z dx

dz z dx dz z=

sdot = sdot minus = minus +

minus= minus = + =

intint intint int int

int int int∵

左 左

11 1 1 1

0 0 0 0ˆ 2 2 1

zA ds A zdxdy dx yzdy dx ydy

=sdot = sdot = = =intint intint int int int int

∵

上 上

01 1

0 0ˆ 2 0

zA ds A zdxdy dx yzdy

=sdot = sdot minus = minus =intint intint int int

∵

下 下

前後右左上下六個面積分合併＝1＝V

Advnablasdotint QED

ex45 Continuity Equation 連續方程式

考慮某些「東西」的流動（物質電荷hellip）在時刻 t 時在點(xyz)

的 密 度 為 ( ) x y z tρ ρ= 並 具 有 速 度

( ) v v x y z t= 在時刻 t 時在體積 V 內的總量為

( ) x y z t dρ τintintint

這樣體積 V 內東東的時變率為

( ) ( ) d x y z t d x y z t ddt t

ρρ τ τpart=

partintintint intintint

注意體積分後的時間全微分移入積分內要改為偏微分這個東東

在表面的「流率 flow rate」可表為

ˆS

R v ndsρ= sdotintint

若體積內的物料無法自生自滅那麼體積內物料的變化必經由表面的

流出流入所造成

d v ndstρ τ ρpart

rArr = minus sdotpartintintint intint

由散度定理

4-48

( )ˆS

v nds v d dtρρ ρ τ τpart

sdot = nablasdot = minuspartintint intintint intintint

( )v Jtρ ρpart

rArr = minusnablasdot equiv minusnablasdotpart

0Jtρpart

rArr +nablasdot =part

（4-81）

(4-81) 即 continuity equation其中 J vρ= 為「物流密度」ex如果 ρ

是電荷密度 J 就是電流密度（4-81）是物質守恆的結果只對體

積內無 source（生成）or drain（消滅）的東東成立

ex46 Given a vector field ˆ ˆx yA ye xe= minus + (a) Find

Anablasdot (b)如圖一個金字塔狀的 5 面體高 2 底邊長

1計算 A在整個金字塔表面（封閉面）的總通量

解(a) Anablasdot = ( ) ( ) 0y xx ypart part

minus + =part part

(b) 金 字 塔 的 表 面 面 積 元 素 ds 不 好 寫 所 以 用 散 度 定 理

( )S V

A da A dvrArr sdot = nablasdotint int ＝0 Anablasdot 表示 A沒有 source 所以對封閉面而

言有多少場線進入就有多少出去所以總通量＝0

習題 7 With position vector r for an arbitrary volume V that is

bounded by surface S show that 13 S

r ds Vsdot =int

習題 8 已知一靜電場為 ˆ ˆ ˆ( )E xyz yxz zxyλ= + + 運用 Gaussrsquo law

試求包含在半球 2 2 2 2 0x y z R z+ + = ge 裡的總電荷 Ans 0

習題 9 (a) given ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( 2 )F r xf x yf y zf z= + + minus show that divF is

zero at point (c c -c2) (b) given ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( )G r xf x z yg x z zh x y= + +

show that ( ) 0G rnablasdot =

4-49

習題 10 Find the normal vector n for the surfaces (a) z = 2-x-y ans

ˆ ˆ ˆ( ) 3x y z+ + (b) z = (1-x2)12 ans ˆ ˆxx zz+ (c) z = x2+y2

ans ˆ ˆ ˆ( 2 2 ) 1 4xx yy z zminus minus + +

習題 11 Show that the unit vector normal to the plane ax+by+cz =d is

given by 2 2 2ˆ ˆ ˆ( ) ax by cz a b cplusmn + + + +

圓柱座標與球座標的nabla (del)

考慮一純量場在直角座標為 ( ) u x y z 在圓柱座標表為 ( ) u zρ φ

再考慮因位移 r r drrarr + 所造成 u ( )zρ φ 的變化

( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆz

z

u u udu d d dz u dr u d d zdzz

u u z u d d zdz

u d u d u dzρ ϕ

ρ ϕ

ρ ϕ ρ ρ ϕρ ϕρ ϕ

ρ ϕ ρ ρ ϕρ ϕ

ρ ρ ϕ

part part part= + + = nabla sdot = nabla sdot + +part part part

⎡ ⎤= nabla + nabla + nabla sdot + +⎣ ⎦= nabla + nabla + nabla

( ) ( ) ( )1

1ˆ ˆ ˆu

z

u u uu u uz

u u uzz

ρ ϕρ ρ ϕ

ρ ϕρ ρ ϕ

part part partrArr nabla = nabla = nabla =

part part partpart part part

rArrnabla = + +part part part

1ˆ ˆ ˆ zz

ρ ϕρ ρ ϕpart part part

nabla = + +part part part

（4-82）

注意nabla的ϕ -分量( 1ρ ϕ

partpart

)不是像直角座標裡單純的ϕpartpart

所以不要笨笨

的就把直角座標的形式硬套上去用我們也可以從「因次分析」來

看nabla因為是對空間的微分所以每一項的因次必須是「長度分之一」

運算 andzρ

part partpart part

都是「長度分之一」而「單純的ϕpartpart

」是沒有單位的

所以要1ρ ϕ

partpart

才 OK

由於圓柱座標裡的單位向量除了 z 之外 ˆ( )ρ ϕ 與 ˆ( )ϕ ϕ 都不是常

4-50

數所以在微分時不可以與微分運算交換而要考慮微分的作用所

以在「圓柱座標」寫「散度」 ( ) F zρ ϕnablasdot 也和直角座標不一樣

( )1ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ zF z F F zFz ρ ϕρ ϕ ρ ϕ

ρ ρ ϕpart part part⎛ ⎞

nabla sdot = + + sdot + +⎜ ⎟part part part⎝ ⎠

( ) ( )1ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆz zF F zF F F zFρ ϕ ρ ϕρ ρ ϕ ϕ ρ ϕρ ρ ϕpart part

= sdot + + + sdot + +part part

( )ˆ ˆˆ ˆ zz F F zFz ρ ϕρ ϕpart

+ sdot + +part

因為 ( ) ( )ˆ ˆ ˆ ˆ ρ ρ ϕ ϕ ϕ ϕ= = 所以做 andzρ

part partpart part

時 ˆ ˆ ρ ϕ 可視為常數

ˆ ˆ1ˆ ˆ ˆ zF F F FF F Fz

ρ ρ ϕρ φ

ρ ϕϕ ρ ϕρ ρ ϕ ϕ ϕ ϕ

part part part⎡ ⎤part part partrArrnablasdot = + sdot + + + +⎢ ⎥part part part part part part⎣ ⎦

還記得 ˆ ˆ ˆ ˆd d d dρ ϕ ϕ ϕ ρ ϕ= = minus 所以 ˆ ˆρ ϕϕpart

=part

ˆ ˆϕ ρϕpart

= minuspart

rArr

( )1 1 1z zF F F FF FF Fz z

ρ ρ ϕ ϕρρ

ρ ρ ρ ϕ ρ ρ ρ ϕpart part part part

nablasdot = + + + = + +part part part part part part

（4-83）

在球座標寫nabla也會遇到相似的問題其根源就是球座標 ( )r θ ϕ 裡

的 θ ϕ 的因次並非長度而三個單位向量 ˆ ˆˆ r θ ϕ（表為 ie ）都是( θ ϕ )

的函數以致

( )ˆ ˆ( ) ( )i ie f e fθ ϕ θ ϕθ θpart part

nepart part

且 ( )ˆ ˆ( ) ( )i ie f e fθ ϕ θ ϕϕ ϕpart part

nepart part

所以nabla也不似在直角座標那麼簡單我們不在這裡推導而是給出一

個歸納的統一的三個座標的結果還記得對每一個座標 iu i = 123

座標的變化 idu 與造成的長度變化 id

i i id h du= 123i = (4-84)

其中 ih 為對應的度量係數(metric coefficient)

4-51

1 2 3

1 1 2 2 3 3

1 1 1ˆ ˆ ˆu u ue e eh u h u h u

part part partnabla equiv + +

part part part （4-85A）

座標 1 2 3 u u u

度量係數

1 2 3 h h h

nabla grad del

直角 x y z

1 1 1 nabla ˆ ˆ ˆx y z

x y zpart part part

equiv + +part part part

圓柱

zρ ϕ

1 1ρ

1ˆ ˆ ˆ z

zρ ϕ

ρ ρ ϕpart part part

nabla equiv + +part part part

球

r θ ϕ

1 sinr r θ

1 1ˆ ˆˆ

sinr

r r rθ ϕ

θ θ ϕpart part part

nabla = + +part part part

（4-85B）

梯度gradient Vnabla grad(V) 散度divergence Anablasdot div( )A

直

角 nablaV ˆ ˆ ˆV V Vx y z

x y zpart part part

= + +part part part

yx zAA AAx y z

partpart partnablasdot = + +

part part part

圓

柱

1ˆ ˆ ˆ V V VV zz

ρ ϕρ ρ ϕpart part part

nabla = + +part part part

( )1 1

1

z

z

A AA Az

A A A Fz

ϕρ

ρ ρ ϕ

ρρ ρ ρ ϕ

ρ ρ ρ ϕ

partpart partnabla sdot = + +

part part partpart part part

= + + +part part part

球

1 1ˆ ˆˆ sin

V V VV rr r r

θ ϕθ θ ϕ

part part partnabla = + +

part part part

22

1 ( )rA r Ar r

partnabla sdot =

part

1 (sin )sin

Ar θθ

θ θpart

+ sdotpart

1sin

Ar

ϕ

θ ϕpart

+part

(4-86)

Ex47 Using spherical coordinate show that 1| |r r

nablaminus

= 2

ˆ| |

r rer r

minusminusminus

where

nabla是作用在 r 而 ˆr re minus 是向量 r rminus 方向的單位向量 解let r lies in z-axis so that the angle between r and r is just θ

4-52

rArr ( ) 122 21 1 2 cos | | ( ) ( )

r rr rr r r r r r

θminus

= = minus +minus minus sdot minus

( ) ( )12 122 2 2 21 1ˆˆ 2 cos 2 cos | |

r r rr r r rr rr r r r

θ θ θθ

minus minuspart partnabla = minus + + minus +

minus part part

( ) 322 21ˆ 2 cos (2 2 cos )2

r r rr r r rθ θminusminus

= minus + minus

( ) 322 21ˆ 2 cos (2 sin )2

r rr r rrθ θ θminusminus

+ minus +

3 3 3 3

ˆˆ ˆ( cos ) sin ( cos sin )ˆˆ| | | | | | | |r r r rr r rrr r r r r r r r

θ θ θ θ θθminus minus minus minus minus= + = +

minus minus minus minus

3 3 3ˆ ( )

| | | | | |r r z r r r rr r r r r rminus + minus + minus minus

= = =minus minus minus

＝ 2

ˆ| |

r rer r

minusminusminus

QED

證明最後我們用到 ˆˆˆ cos sinz r θ θ θ= minus 而 ˆ r r z= 因為我們選了 r 是

躺在 z-軸 Ex48 For arbitrary scalar field ( )f r and vector field ( )A r 證明恆等式

( )fA f A f Anablasdot = nabla sdot + nablasdot (4-87) 解 ˆ ˆ ˆx y zfA xfA yfA zfA= + +

( ) ( ) ( ) ( )x y zfA fA fA fAx y zpart part part

rArrnablasdot = + +part part part

yx zx x x

AAf f f AA f A f A fx x y y z z

partpartpart part part part= + + + + +part part part part part part

yx zx y z

AAf f f AA A A fx y z x y z

part⎛ ⎞partpart part part part= + + + + +⎜ ⎟part part part part part part⎝ ⎠

f A f A= nabla sdot + nablasdot QED 習題 12 一個位於原點的電偶極電偶極矩＝ ˆp pz= 已知其在遠處

的電位為 20

cos4p

rθ

πε試證該處的電場強度為 E = 3

0

ˆˆ( 2cos sin )4

p rr

θ θ θπε

+

(已知 E V= minusnabla )並請計算 Enablasdot ＝

習題 13 給定一向量場2

3cosˆD r

rϕ

= 現有兩個球心在原點的同心球

內球半徑 R＝1外球 R＝2(a)求面積分S

D dssdotint S 為同心球殼的表

面（有內外兩個面）(b)求體積分V

Ddvnablasdotint V 為兩同心球之間的

區域本題也是來 check 散度定理的Ans πminus

4-53

The Laplacian operator 2nabla equivnablasdotnabla

在直角座標可以用直接作用得到

2 2 2

22 2 2u u uu u

x y zpart part part

nabla equiv nablasdotnabla = + +part part part

(4-88)

圓柱座標

2 2

22 2 2

1 1( ) u u uu uz

ρρ ρ ρ ρ ϕ

part part part part⎛ ⎞nabla equiv nablasdot nabla = + +⎜ ⎟part part part part⎝ ⎠

(4-89)

球座標

2

2 22 2 2 2 2

1 1 1sinsin sin

u u uu rr r r r r

θθ θ θ θ ϕ

part part part part part⎛ ⎞ ⎛ ⎞nabla = + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟part part part part part⎝ ⎠ ⎝ ⎠ （4-90）

習題 14 verify (4-89) and (4-90)

習題 15 Given a dipole potential V= 20

cos4p

rθ

πε find 2Vminusnabla

sect 433 Line integral and curl A 線積分與與旋度的物理意義

線積分路徑積分

考慮一曲線 C 通過兩點 ( )i i i iP x y z 與

( )f f f fP x y z 現有一向量場 ( )A x y z 定義在

C 所在的空間若 sd 為 C 上位於(xyz)點的

「路徑元素」（ ˆd td= 方向沿該處切線）而

( )A x y z 為路徑元素d 處的場值則沿 C 經歷各點所做積分

cos cosf

CC C iA d Ad A dϕ ϕrarr rarrsdot = =int int int （4-91）

稱為向量場 ( )A x y z 沿路徑 C 自 pi 至 pf 的「線積分」「或「路徑積分」

積分裡 A 取值的點侷限在路徑 C 上面若為一個「封閉路徑」則對

C 的線積分也稱做「環路積分 closed contour integral」記做

C

A dsdotint （4-92）

4-54

物理量「做功」是最標準的線積分之一力 F 自 x = a 至 x = b「沿線」

x 軸做功

W＝ F dxsdotint ＝ ( )b

xaF x dxint （4-93）

質點在力場 )(rF 裡走一條曲線 C則力場做功

CW F d= sdotint （4-94）

還記得如果 ( )F r 是所謂「保守力」則上式只與始末點有關而與

路徑無關但如果 ( )F r 是所謂「非保守力」則做功與確實的路徑 C

有關

現考慮一質點在空間運動的位置 r 落在由曲線 C

描述的路徑則質點的位移元素與曲線 C 的路徑元

素相同 d dr= 若空間有向量場 A 分佈則 A 在 C 的

路徑積分以直角座標表示為

CA drarr rarrsdotint ＝

CA d rrarr rarrsdotint ＝ ( )x y zC

A dx A dy A dz+ +int （4-95）

上式中的 x y z 的積分限由 C 決定

Ex49 2 2 2ˆ ˆ ˆA xx yy zzrarr= + + 選定一路徑 C 為曲線

2y x= 由 (000)到 (2 20)的部分求C

A dsdotint

解 ˆ ˆd xdx ydy= +∵

CA dsdotint ＝ 2 2( )

Cx dx y dy+int ＝

2 22 2

0 0x dx y dy+int int

＝ )24(32

+

或由 2y x= rArr 2ydy dx= 2 12

y dy xdxrArr =

rArrC

A dsdotint ＝2 2

0

1( )2

x x dx+int ＝2 (4 2)3

+

4-55

ex50 ˆ ˆ( )f x y z xy yx= minus Do C

f dsdotint 其中的路徑 C 為一逆時針三角

形如圖 解∵路徑全部在 x-y 平面 ˆ ˆ ˆd td xdx ydy= = +

rArrC

f dsdotint ＝ x yC

f dx f dy+int ＝C

ydx xdyminusint

由於在 C1 上 y = 0 及 dy = 0 所以 01

=intC 又由於在

C3 上 x = 0 及 dx =0所以 03

=intC 所以只剩下 C2 可

能有貢獻由 2C 的方程式x + y =1rArr ⎩⎨⎧

minus=minus=

xyyx

11

rArr2Cydx xdyminusint ＝

0 1

1 0(1 ) (1 )x dx y dyminus minus minusint int ＝

0 12 2

1 0

( ) ( )2 2x yx yminus minus minus ＝-1

Cf dsdotint ＝-1

ex51 ( )f x y zrarr

= 2ˆ ˆxx yxyminus 如右圖doC

f dsdotint 其

中路徑 C 為第一象限的逆時針 14 圓弧

解∵ 全部在 x-y 平面 ˆ ˆd xdx ydy= +

Cf dsdotint ＝ 2

Cx dx xydyminusint

由於在 C 上 cosx R ϕ= rArr sindx R dϕ ϕ= minus

siny R ϕ= rArr cosdy R dϕ ϕ=

rArr 2

Cx dx xydyminusint ＝

2 2 2 2

0cos ( sin ) sin cos cosR R d R R d

πϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕminus minus sdotint

23 2

02 cos sinR d

πϕ ϕ ϕ= minus int ＝

323Rminus

又路徑為圓周一部份所以適合用極座標表示

ˆd Rdϕ ϕ= 又由左圖將 ˆ ˆx y 拆解（投影）到 ˆˆr ϕ

ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆcos sin sin cosx r y rϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ= minus = +

4-56

( )2ˆ ˆ ˆˆ ˆ( cos sin ) ( sin cos )C C

f d r x r xy Rdϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕsdot = minus minus + sdotint int 2

2 2 2

0

sin (cos )

sin ( cos ) (cos ) cos sin

Cx Rd xyRd

R Rd R Rdπ

ϕ ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ

= minus minus

= minus minus

intint

23 2

02 cos sinR d

πϕ ϕ ϕ= minus int ＝

323Rminus

這也驗證了散度定理

Path Independence 路徑獨立性

Ex52 證明庫倫力為「保守力」考慮

電荷 q0 位於原點及電荷 q 位於

( )r x y zrarr= q 受力 F

rarr＝ 0

20

14

qq urπε

and

求庫侖力作功因為球形對稱所以

用球座標由 ˆ ˆ ru rr

= = rArr Frarr

= 03

04qq r

rπε

庫侖力由 P1 至 P2 做功為 2

1

P

CPF drarrsdotint ＝

2

1

02

0

ˆ ˆ ˆˆ sin4

P

PC

qq r rdr rd r dr

θ θ ϕ θ ϕπε

⎡ ⎤sdot + +⎣ ⎦int ＝2

1

02

04P

P

qq drrπεint

＝20

2104

r

r

qq drrπε int ＝ 0

0 1 2

1 1( )4qq

r rπεminus for all C

所以庫侖力兩點間做功與路徑無關rArr保守力

對於「保守力 conservative force」 cF 自 p1 經

由兩條不同的路徑 C1 與 C2 到達 p2

1 ccF drarrsdotint ＝

2 ccF drarrsdotint ＝-

2 ccF drarr

minussdotint

rArr1 2c cc cF d F drarr rarr

minussdot + sdotint int = cF d

rarrsdotint ＝0 (4-96）

對於任何「封閉路徑」保守力做功為 0反之若

對任一封閉路徑 0F drarrsdot neint 則兩點之間的做功與路徑有關

rarr

F 為「非

保守力」

4-57

旋度 curl Anablatimes 的幾何物理意義

我們在（4-70）式已經看過旋度的計算方式但旋度另有其意義的

ex53 給定向量場2 2

0ˆ yv yv e λrarr

minus= 左圖為場的分佈

2 20

ˆ ˆ ˆ

0 0x y z

y

x y zcurl v

v e λ

rarr

minus

= part part part ＝ ˆ ˆ ˆ0 0 0 0x y zsdot minus sdot + sdot =

我們用了簡寫 x yx ypart part

part equiv part equivpart part

可以看出這個場裡沒有「漩渦」

但是有無「漩渦」有時也不是那麼明顯可以看出的請見下一個例子

Ex54 給定向量場2 2

0ˆ xv yv e λrarr

minus= 計算其旋度 vnablatimes

解向量場 vrarr

畫在右邊你看得出有無漩渦

先計算旋度

2 20

ˆ ˆ ˆ

0 0x y z

x

x y zcurl v

v e λ

rarr

minus

= part part part2 2

2 2

0

0

ˆ

ˆ 2 0 0

x

x

z v ex

z v xe for x

λ

λ

minus

minus

part=

part

= minus ne ne

vrarr

的旋度在大部分的地方不為 0 且隨位置而不同但是你看得出這個

向量場裡有「漩渦」其實要檢驗一個向量場裡有無「漩渦」有一

個很物理的方法就是放一個小「螺旋槳」（左圖）

在場內將軸朝各個方向測試一

下如果有「漩渦」的話這個

小「螺旋槳」就會轉動右圖就是將「螺旋槳」的

軸平行於 z 軸且放在 x gt 0 的地方就可以看出左

邊的 v 場比右邊的強造成螺旋槳順時針轉動rArrcurlv zminus for x gt 0

但如果放在 x = 0 的地方就會看到左右兩端的 v 場強度相同而且

4-58

curlv = 0 「螺旋槳」放在 x lt 0 的地方就可以看出右邊的v 場比左

邊的強造成螺旋槳逆時針轉動這完全符合 curl v k+ 的結果

環路積分與旋度 curl 的物理意義

如同「散度」一樣「旋度」除了 Ftimesnabla 之外

還有一個物理意義更清楚的定義這個定義由

「線積分」說明如圖考慮做「逆時針」長方形

路徑 C1 的一個「環路積分」C1 面平行於 x-y 平

面由 z-軸看下去環路 C1 可以分為可以分為

下 CB上 CT右 CR左 CL 4 部分

CA drarrsdotint ＝

B T L RC C C CA d A d A d A drarr rarr rarr rarrsdot + sdot + sdot + sdotint int int int

分別計算由於 CB 的中點座標為 ( )2yx y zΔ

minus

ˆB BC C

A d A xdxrarr rarrsdot = sdot =int int

BxC

A dxint ( )2xyA x y z xΔ

asymp minus Δ

similarly 由於 CT 的中點座標為 ( )2yx y zΔ

+

ˆ( )T TC C

A d A xdxrarr rarrsdot = sdot minus =int int

TxC

A dxminusint ( )2xyA x y z xΔ

asymp minus + Δ

合併 CB 與 CT

B TC CA drarr

+sdot =int

( ) ( )2 2x xy yA x y z A x y z

x yy

Δ Δ⎡ ⎤minus + minus minus⎢ ⎥⎣ ⎦ Δ ΔΔ

（4-97）

由 C1 所圍的面積 S x yΔ = Δ Δ

1B TC C

A dS

rarr

+sdot =

Δ int( ) ( )

2 2x xy yA x y z A x y z

y

Δ Δ⎡ ⎤minus + minus minus⎢ ⎥⎣ ⎦Δ

（4-98）

所以當取極限 C1 收縮到中心(xyz)時 SΔ 收縮到 0ie

4-59

0limsΔ rarr

1B TC C

A dS

rarr

+sdot =

Δ int xAy

partminuspart

（4-99）

Similarly with CR 的 ˆd ydy= CL 的 ˆd ydy= minus 可得

1L RC C

A dS

rarr

+sdot =

Δ int x

zyxxFzyxxF yy

Δ

Δminusminus

Δ+ )

2()

2(

（4-100）

同樣的當取極限 C1 收縮到中心(xyz)時 SΔ 收縮到 0

0

limsΔ rarr

1L RC C

A dS

rarr

+sdot =

Δ int yAx

partpart

（4-101）

最後合併 CBCTCRCL 為 C1

10

1limCs

A ds

rarr

Δ rarrsdot =

Δ int y xA Ax y

part partminus

part partˆ ( ) ( )zz A A= sdot nablatimes = nablatimes （4-102）

注意 C1 的方向就是在 z 上式的重要

意義是當向量場 A 在一個以點(xyz)為

中心「方向為 z 」的面積元素的「邊界」

所做的環路積分得到的就是 A 在(xyz)

處旋度的 z-分量明顯的只有當 A 在

(xyz)附近有 x-y 平面上的「漩渦」那麼 C1 的環路積分才不會為 0

Similarly 取一個逆時針繞著(xyz)的平行於 x-z 平面的長方形環路 C2

（左圖）做環路積分再取極限將 C2 收縮到(xyz)就會得到

20

1limCs

A ds

rarr

Δ rarrsdot =

Δ int x zA Az x

part partminus

part partˆ ( ) ( )yy A A= sdot nablatimes = nablatimes （4-103）

注意到 C2 所包圍的面積方向就在 y到

現在我們應該已經很有經驗了若取一

個逆時針繞著(xyz)的平行於 y-z 平面

的長方形環路 C3（左圖）做環路積分

再取極限將 C3 收縮到(xyz)就會得到

4-60

30

1limCs

A ds

rarr

Δ rarrsdot =

Δ int yz AAy z

partpartminus

part partˆ ( ) ( )xx A A= sdot nablatimes = nablatimes （4-104）

能把（4-103）與（4-104）變出來的同學我們有優待綜合以上

我們可以得到一個結論若取一個以點(xyz)為中心的任意環路 Cn（其

所包圍的面積方向在 n ）則

n curl Aand rarrsdot ＝

0

1lims

Cn

A ds

rarr

Δ rarrsdot

Δ int （4-105）

明顯的當 n ＝ x 或 y 或 z 時我們可以重複（4-102）到（4-104）的

結果（4-70）式的行列式所定義的旋度在此看見其幾何物理意義

至此「旋度」的「漩渦」形象應該已經很清楚了只有在(xyz)點附

近的小圈圈上有「漩渦」 A 在小圈圈做的環路積分才會有值這個

值就是向量場 A 的「旋度」在小圈圈面積方向的分量

Stokersquos 定理

考慮一個開放面 S被其「有方向的」邊界 C 圈住(bounded by)則

( )S

A dsrarr rarrnablatimes sdotint ＝

C

A drarrsdotint （4-106）

pf 先將 S 面分割為 N 個多邊形這會使得邊界變成一個「折線」形

成的環路 P環路 P 會隨著分割的多邊形個數的增多而越加近似於原

「光滑的」邊界 C現考慮相鄰的

兩個多邊形的線積分由於共用邊

的方向是相反的所以相鄰兩個多

邊形線積分的和只剩「外邊界」（見左圖）所以當把所有的多邊形的

4-61

線積分加起來時由於只有邊界 P 不是多邊形的共用邊所以

1k

N

k C

A drarr

=

sdotsum int ＝P

A drarrsdotint rArr

P

A drarrsdotint ＝

1

1

k

N

kk k C

A d l ss

rarr rarr

=

⎡ ⎤sdot Δ⎢ ⎥

Δ⎢ ⎥⎣ ⎦sum int

其中 ksΔ 為第 k 個多邊形的面積取極限 0kN srarrinfinrArrΔ rarr P CrArr rarr

C

A drarrsdotint ＝

10

1limkk

N

kN k k Cs

A d ss

rarr

rarrinfin=Δ rarr

⎡ ⎤sdot Δ⎢ ⎥

Δ⎢ ⎥⎣ ⎦sum int 01

ˆlim ( )k

k kskn A s

infin

Δ rarr=

⎡ ⎤= sdot nablatimes Δ⎣ ⎦sum

01

ˆlim ( )k

k kskA n s

infin

Δ rarr=

= nablatimes sdot Δsum = ( )S

A dsrarr

nablatimes sdotint QED

ex55 由 Amperersquos law 的積分形式導出其微分形式

解Amperersquos law 的積分形式 C

B drarrsdotint ＝ I0μ (4-107)

由 Stokersquos 定理及電流密度 j 的定義上式等號兩端可寫為

rArr ( )S

B dsrarr rarrnablatimes sdotint ＝ 0 S

j dsμrarrsdotint

由於上面的等式對任意面 S（路徑 C）都成立所以被積函數相等

0B jμrarr rarr rarr

rArrnablatimes = (4-108) 此即 Amperersquos law 的微分形式

Ex56 Given a vector field ˆ ˆx yA ye xe= minus + (a) Find Anablatimes

解

ˆ ˆ ˆˆ ˆ(1 ( 1) 2

0x y z

x y zA z z

y xnablatimes = part part part = minus minus =

minus

(b)如圖一個金字塔狀的 5 面體高 2底邊長＝1計算 ( )S

A dsnablatimes sdotint

其中 S 為金字塔在 x-y 平面以上的部分方向如同

封閉的金字塔（運用 Stokersquos law）

解金字塔上表面的面積元素ds 不好寫由 Stokersquos

4-62

law ( )S

A dsrarr rarrnablatimes sdotint ＝

C

A drarrsdotint 其中封閉路徑 C 就是上表面的邊界而且

是逆時針（由 z 軸向下看）

C

A drarrsdotint ＝

1 1 0 0

0 0 1 1ˆ ˆ ˆ ˆA xdx A ydy A xdx A ydysdot + sdot + sdot + sdotint int int int

＝1 1 0 0

0 0 1 1x y x yA dx A dy A dx A dy+ + +int int int int 1 1 0 0

0 0 1 1( 0) ( 1) ( 1) ( 0)y dx x dy y dx x dy= minus = + = + minus = + =int int int int

0 1 1 0 2 ( ) 2S

A ds= + + + = rArr nablatimes sdot =int

旋度與 path independence

已知保守場 cF 對所有封閉路徑 C 0cC

F drarrsdot =int 由 Stokersquos 定理

0cC

F drarrsdot =int ＝ ( )cS

F dsrarr rarrnablatimes sdotint rArr 0cF

rarr rarrnablatimes =

這表示保守場＝無旋度反之無旋度的場任兩點間路徑積分與路

徑無關

Ex57 Given a field 2 2ˆ ˆ ˆ2A x xy yx zz= + minus (a) Find Anablatimes A 保守場

解2 2

ˆ ˆ ˆ

2x y z

x y zA

xy x znablatimes = part part part

minus

( ) ( ) ( )2 2 2 2ˆ ˆ ˆ( ) 2 ( ) 2 0y z z x x yx z x y xy z z x xy= part minus minuspart + part minuspart minus + part minuspart =

yes A =保守場

(b)如左圖由 A 到 B 做路徑積分A BC

A drarr

sdotint 路徑 C 為橢圓

22 1

16yx + = 在 x-軸以上的部分

解橢圓部分的路徑元素 d 有點麻煩但因為 A

為保守場所以 A 到 B 做路徑積分可以用 x = -1 到

1 的積分取代

4-63

01 1 1

1 1 1ˆ 2 0

yB

xAA d A xdx A dx xydx

=

minus minus minussdot = sdot = = =int int int int

∵

旋度在柱座標與球座標

前面討論過nabla在不同座標系的寫法旋度也有歸納出的一致寫法

座標 1 2 3 u u u

度量係數

1 2 3 h h h

nabla grad del

直角 x y z

1 1 1 nabla ˆ ˆ ˆx y z

x y zpart part part

equiv + +part part part

圓柱 zρ ϕ

1 1ρ

1ˆ ˆ ˆ zz

ρ ϕρ ρ ϕpart part part

nabla equiv + +part part part

球 r θ ϕ

1 sinr r θ

1 1ˆ ˆˆ sin

rr r r

θ ϕθ θ ϕ

part part partnabla = + +

part part part

所以柱座標與球座標的旋度分別表為

柱座標

ˆ ˆ ˆ1

z

z

Az

AA Aρ ϕ

ρ ρϕ

ρ ρ ϕρ

part part partnablatimes =

part part part （4-109）

球座標 2

ˆ ˆˆ sin1sin

sinr

r r r

Ar r

A rA r Aθ ϕ

θ θϕ

θ θ ϕθ

part part partnablatimes =

part part part （4-110）

ex58 (a) Given the vector function ˆA ϕ= sin (ϕ 2) find Anablatimes

解 2

ˆ ˆˆ sin1sin

0 sin( 2) 0

r r r

Ar r

r

θ θϕ

θ θ ϕϕ

part part partnablatimes =

part part part

4-64

21 ˆˆ cos sin sinsin 2 2 2

rr rr

ϕ ϕθϕθ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

ˆˆ cos sin2 sin 2 2

rr r

ϕ ϕ ϕθ

minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

(b)如左圖一個底面在 x-y 平面半徑＝1高＝2 之圓錐 求面積分

SA dsnablatimes sdotint 面積範圍 S 為圓錐在 x-y 平面以上

部分 方向為由圓錐內向外

解由 Stokersquos law ( )S

A dsrarr rarrnablatimes sdotint ＝

C

A drarrsdotint 其中路

徑 C 為 x-y 平面圓心在原點之單位圓 ˆ ˆd rd dϕ ϕ ϕ ϕ= =

2

0ˆ ˆsin sin

2 2C

d dπϕ ϕϕ ϕ ϕ ϕ⎛ ⎞ ⎛ ⎞sdot =⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠int int ( )0

2 sin u duπ

= int 0cos | 2u π= minus =

習題 16 磁場 B 因為不是保守場所以沒有對應的純量位而對應一

個向量位 A (vector potential)而 B A= nablatimes 一個磁鐵的磁偶極矩

ˆm mz= 被置於原點已知在遠處的 vector potential 03ˆ sin

4mAr

μϕ θπ

=

計算該處的磁場 B Ans 03

ˆˆ( 2cos sin )4

mB rr

μ θ θ θπ

= + 與電偶極遠處

的電場形式一致都是偶極(dipole) 選幾個點畫一畫該處的場向量

把磁力線描出來

附錄本章講義的內容有部分可以經由直接計算得出列在附錄做為

參考

用「圓柱座標」寫 Atimesnabla

Ararr rarrnablatimes ＝ ( )1ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ zz A A zA

z ρ φρ ϕ ρ ϕρ ρ ϕpart part part⎛ ⎞+ + times + +⎜ ⎟part part part⎝ ⎠

4-65

因為rdquo sdotrdquo與rdquotimes rdquo都是向量間的運算所以

＝ ( )ˆ ˆ ˆ ˆ zA A zAρ φρ ρ ϕρpart

times + +part

＋ ( )1ˆ ˆ ˆ ˆ zA A zAρ φϕ ρ ϕρ ϕ

parttimes + +

part

＋ ( )ˆ ˆˆ ˆ zz A A zAz ρ φρ ϕpart

times + +part

直接做上式微分可以得到

＝1ˆ z AA

zϕρ

ρ ϕpart⎛ ⎞part

minus⎜ ⎟part part⎝ ⎠＋ ˆ zA A

zρϕ

ρpart⎛ ⎞part

minus⎜ ⎟part part⎝ ⎠＋

1 1ˆ ( )A

z A ρϕρ

ρ ρ ρ ϕpart⎛ ⎞part

minus⎜ ⎟part part⎝ ⎠

上式可以用一個行列式來表示

rarrrarr

timesnabla A＝

ˆ ˆ ˆ1

z

z

zA A Aρ ϕ

ρ ρϕ

ρ ρ ϕρ

part part partpart part part

（A-1）

A and Anabla nablasdot nablatimes in 球座標 spherical coordinate

如上圖球座標 )( ϕθr 其中 )0[ infinisinr ]0[ πθ isin ]20[ πϕ isin 只有 r

是長度而 ϕθ 為角度是用來說明方向的三個座標的單位向量 ˆ ˆˆ r θ ϕ 具

有下列性質

4-66

1 如上圖 ˆ ˆˆ r θ ϕ 都不是常數而是（ ϕθ ）的函數

ˆ ˆ( )ˆ ˆ( )ˆ ˆ( )

r r θ ϕ

θ θ θ ϕϕ ϕ ϕ

⎧ =⎪

=⎨⎪ =⎩

)( ϕθr 與(xyz)之間的轉換如下

sin cossin sincos

x ry rz r

θ φθ φθ

=⎧⎪ =⎨⎪ =⎩

( )122 2 2

2 2

tan

tan

r x y z

x yz

yx

θ

φ

⎧ = + +⎪⎪ +⎪ =⎨⎪⎪ =⎪⎩

（A-2）

2 ˆ ˆˆ r θ ϕ 形成一「歸一正交集」ie

ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ 1r r θ θ ϕ ϕsdot = sdot = sdot = ˆ ˆr θ ϕperp perp

ˆ ˆr θ ϕtimes = ˆ ˆ rθ ϕtimes = ˆˆ rϕ θtimes = （A-3）

3可以很容易的由他們在 xyz 軸上的投影由直角

座標的 ˆ ˆ ˆ x y z 表出

ˆ ˆ ˆ ˆsin cos sin sin cos ( 4 )ˆ ˆ ˆ ˆcos cos cos sin sin ( 4 )ˆ ˆ ˆsin cos ( 4 )

r x y z A a

x y z A bx y A c

θ φ θ φ θ

θ θ φ θ φ θϕ φ φ

= + + minus⎧⎪

= + minus minus⎨⎪ = minus + minus⎩

4 ˆdr = 由於 ˆ ˆ( )r r θ φ= 所以由 ϕθ 的變動來看

4-67

ˆ ˆˆ| |ˆ ˆˆ| | sin sin

d r d d

d r d d

θ θθ θθ

φ θ φφ θ φφ

⎧ rArr =⎪⎨

rArr =⎪⎩rArr ˆ ˆˆ sindr d dθ θ φ θ φ= + （A-5）

rArrˆ ˆr θθpart

=part

ˆ ˆsinr θφφpart

=part

（A-6）

（A-6）的結果也可以直接由（A-4a）對 ϕθ 偏微得到

5 ˆdθ ＝ 由於 ˆ ˆ( )θ θ θ φ= 所以由 ϕθ 的變動來看

ˆ ˆ ˆ| | ( )ˆ ˆ ˆ| | cos cos

d d r d r

d d d

θ θ θ θ

φ θ θ φφ φ θ φ

⎧ rArr minus = minus⎪⎨

rArr =⎪⎩rArr ˆdθ ＝ ˆˆ cosrd dθ φ θ φminus + （A-7）

ˆrθ

θpart

rArr = minuspart

ˆ ˆcosθ φ θφpart

=part

（A-8）

請直接由（A-4b）對 ϕθ 偏微的結果 check（A-8）

6 ˆdφ ＝由於φ )(ϕ 躺在 x-y 平面上變動φ時的方向可能不是那麼

容易看出來所以做圖看一看

ie ˆ ˆˆ(sin ) (cos )d r d dφ θ φ θ θ φ= minus minus （A-9）

4-68

ˆ ˆˆsin cosrφ θ θ θφpart

= minus minuspart

7 所有的向量 ˆ ˆˆ rA rA A Aθ φθ φrarr= + +

8 位置向量 ˆr rrrarr=

可以由左圖 ˆ ˆˆ r θ ϕ 三個方向的「長度

變化」輕易的看出

9 位移元素

ˆ ˆˆ ˆ sindr rdr rd dθ θ ϕ θ φ= + + (A-10)

10 體積元素

sindv dr r d rdθ φ θ= sdot sdot

＝ 2 sinr dr d dθ θ φ (A-11)

11 面積元素 2 sinrds r d dθ θ φ= plusmn sinds r drdθ θ φ= plusmn ds rdrdφ θ= plusmn (A-12)

plusmn號表示面的垂直方向有兩個端看 ds 周邊的方向是如何定的

nabladel 考慮 ( )u u r θ φ=

rArru u udu dr d dr

θ φθ φ

part part part= + +part part part

u d rrarr rarr

equiv nabla sdot

urarr

= nabla sdot ˆ ˆˆ( sin )rdr rd dθ θ φ θ φ+ +

rArr1 1ˆ ˆˆ

sinu u uu rr r r

θ ϕθ θ φ

rarr part part partnabla = + +

part part part

1 1ˆ ˆˆsin

rr r r

θ ϕθ θ φ

rarr part part partnabla equiv + +

part part part （A-13）

4-69

直接用（A-13）與 ˆ ˆˆ rA rA A Aθ φθ ϕrarr= + + 逐項內積加上（A-678）

rArr ϕθ

θθθ

ϕθ part

part+

partpart

+partpart

=sdotnablararrrarr A

rA

rAr

rrA r sin

1)(sinsin1)(1 2

2 （A-14）

（A-13）與 ϕθ ϕθ AAArA r

andandandrarr

++= 逐項外積整理之後

ϕθ θϕθ

ϕθθ

θArrAA

r

rrr

rA

r sin

sin

sin1

2 partpart

partpart

partpart

=timesnabla

andandand

rarrrarr

（A-15）

Laplacian uu nablasdotnabla=nabla2

2

2

2222

22

sin1)(sin

sin1)(1

ϕθθθ

θθ partpart

+partpart

partpart

+partpart

partpart

=nablau

ru

rrur

rru （A-16）

B推導「散度」在圓柱座標的寫法

讓我們先回顧一下在直角座標裡的「面積元素」可以由「位移元素」

得到

ˆˆ ˆ x y zdr idx jdy kdz da dydz dxdz dxdy= + + rArr =

比照辦理「圓柱座標」的位移元素

( )ˆˆ ˆ( )

( )z

da d dzdr d d zdz da d dz

da d d

ρ

φ

ρ φ

ρ ρ φ ρ φ ρ

ρ ρ φ

=⎧⎪= + + rArr =⎨⎪ =⎩

這個結論可以輕易的由面積元素在垂直於 zˆˆ ϕρ 三個方向的面積看

出如下圖考慮一個以 )( zϕρ 為中心的「圓柱體積元素」(cylindrical

cubiod)體積為 zdV ΔΔ=Δ ϕρρ 現計算在 ρ

方向的 12 兩個平行面(方向各為 ρplusmn )的通

量

4-70

zzF

dsFdsnFS S

ΔΔ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

+cong

=sdotintint intintϕρρϕρρρ

ρ

2

2

ˆ1 1

zzF

dsFdsnFS S

ΔΔ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

minus⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

minusminuscong

minus=sdotintint intintϕρρϕρρρ

ρ

2

2

ˆ2 2

intint+

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

minus⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

minusminus⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

+Δ

asympsdotΔ

rArr21

22

22

1ˆ1

SS

zFzFdsnFV

ϕρρρρϕρρρρρρ ρρ

( ) ( )

1 20

0

0

1 ˆlim

1lim 2 2 2 2

1 1lim 2 2

1

VS S

F ndsV

F z F z

F z F z

F

ρ ρρ

ρ ρρ

ρ

ρ ρ ρ ρρ ρ φ ρ ρ φρ ρ

ρ ρρ ρ φ ρ ρ φρ ρ

ρρ ρ

Δ rarr+

Δ rarr

Δ rarr

rArr sdotΔ

Δ Δ Δ Δ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + + minus minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥Δ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦Δ Δ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥Δ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

part ⎡ ⎤= ⎣ ⎦part

intint

娛樂一下用上述方式把圓柱的 Fsdotnabla 裡的z

FF z

partpart

+partϕρϕ1

變出來

球座標的nabla和 Fsdotnabla 也可以試試看

補充習題

H M Scheydiv grad curl and all that 4th edition

第二章習題 6 8 9 10 11 14 15 16 18 19 21 22 23 25 26 27

第三章習題 2 3 5 6 7 8 9 10 11 14 15 17 18 19 24

4-4

ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ 0x y y z z xsdot = sdot = sdot = ( ˆ ˆ ˆ x y z 之正交關係 orthogonality） （4-7a）

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 1x x y y z zsdot = sdot = sdot = ( ˆ ˆ ˆ x y z 為歸一化向量 normalized vector) (4-7b)

上面二式合稱 ˆ ˆ ˆ x y z 之「歸一正交關係」 (orthonormality)

所以向量V 的分量可由內積得到ie

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ( )x y z x y z xV x xV yV zV x xV x yV x zV x V x Vsdot = + + sdot = sdot + sdot + sdot = = sdot

＝V 在 x 軸的投影

Similarly ˆ ˆyV V y y V= sdot = sdot ＝ V 在 y 軸上的投影and ˆ ˆzV V z z V= sdot = sdot

＝ V 在 z 軸的投影舉例當向量寫為 ˆ ˆ ˆ2 4 5V x y z= + minus 時 x-分量＝2

＝V 在 x 軸上的投影y 分量＝4＝V 在 y 軸上的投影z 分量＝-5=V 在

z 軸上的投影當用分量表示向量時二向量

ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆx y z x y zA xA yA zA B xB yB zB= + + = + +

123i iA B A B i= hArr = = （4-8）

ie 若且唯若 A B= 則兩者對應的各分量相等

(4-7ab)所示的歸一正交關係有一緊緻的寫法就是用 ie 來寫現

在介紹一個重要的符號 ijδ 叫做 Kronecker Delta定義如下

10ij

i ji j

δ⎧ =⎪equiv ⎨

ne⎪⎩ （4-9）

舉例來說或 1xx yy zzδ δ δ= = = 0xy yz zxδ δ δ= = = 23 12 31 0δ δ δ= = =

22 11 33 1δ δ δ= = = 0st rs trδ δ δ= = = hellipetc即腳標相同的就有值＝1腳標

不同的就不有值＝0 如此若用 1 2 3ˆ ˆ ˆ ˆ 123ie e e e i =或 來表示直角座

標的三個單位向量 ˆ ˆ ˆ x y z 則可以得到

1 2 3ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ 123i j ijx e y e z e e e i jδ= = = rArr sdot = = （4-10） 一個式子

ˆ ˆ 123i j ije e i jδsdot = = （4-11）

4-5

就把 ˆ ˆ ˆ x y z 的正交歸一關係寫完我們也可以用連加符號來寫向量

ˆ ˆ ˆx y zV xV yV zV= + +3

1

ˆ ˆor

i i i ii x y z i

V e V e= =

equiv =sum sum （4-12）

Vi 為第 i 個方向的「分量」 ie 表示「第 i 個方向」的單位向量是一

種 ˆˆ ˆ i j k 更方便的寫法所以

3 3 3

1 1 1

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 123i i j j j j j j ij ij j j

e V e V e V e e V V iδ= = =

sdot = sdot = sdot = = =sum sum sum （4-13）

注意到上式中的3

1 1 2 2 3 31

j ij i i ij

V V V Vδ δ δ δ=

= + +sum ＝三項和腳標 j 有 123

三個可能但若 j ine 則 0ijδ = 只有一項當 i j= 時 1ijδ = 存活下來

ie ˆ 123i ie V V isdot = = 此處要注意因為特定的 i 被用掉了所以V

不能再用3

1

ˆi ii

V e=sum 來表示要換一個腳標ie V ＝

3

1

ˆj jj

V e=sum

對於任意的向量 A B 以分量表示

ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆx y z x y zA xA yA zA B xB yB zB= + + = + +

ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( )x x y y z zA B x A B y A B z A BrArr + = + + + + + （4-14）

A B 內積 3

1x x y y z z i i

i

A B A B A B A B A B=

sdot = + + =sum （4-15）

Pf3 3 3 3 3 3 3

1 1 1 1 1 1 1

ˆ ˆ ˆ ˆ( )i i j j i i j j i ij j i ii j i j i j i

A B e A e B A e e B A B A Bδ= = = = = = =

⎛ ⎞sdot = sdot = sdot = =⎜ ⎟

⎝ ⎠sum sum sum sum sum sum sum

（4-14）式的內積由 A B 的「分量」表出分量與座標系有絕對的關

係（4-14）與（4-5）式的內積的定義不一樣然結果相同兩者的

等價可以證明如下令ϕ 為 B 與 x-軸的夾角

i i x x y yA B A B A B= +sum

4-6

cos( ) cos sin( ) sin[cos( )cos sin( )sin ]cos[ ]cos

A B A BABABAB

θ ϕ ϕ θ ϕ ϕθ ϕ ϕ θ ϕ ϕθ ϕ ϕθ

= + sdot + + sdot= + + += + minus=

QED

Ex2 若 ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ3 2 2 A x y z B x y z= minus + = + minus 判斷 vector A B 是否相互垂

直解(a) A Bsdot ＝3-2-2＝-1 0ne 所以不相互垂直

Ex3 If ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ3 2 yA x y z B x B y z= minus + = + minus find yB such that A Bperp

解let 0A Bsdot = =3- yB -2rArr yB =1

向量 A 的大小(magnitude)由內積定義

( )

2 2 2 2 0

ˆˆ ˆ 1

x y z ii

A A A A A A

or A A A i j k

equiv = + + = ge

= sdot = = =

sum

∵(4-16)

除了避免誤解為了方便往後我們只用

A 來表示向量 A 的大小 ie A A=

Ex4 If ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ3 2 2 A x y z B x y z= minus + = + minus (a)find A and B (b) A B 之夾角

解(a) 2 2 23 1 2 14 1 4 1 6A B= + + = = + + =

(b) 3

1

1 cos 14 6 cosi ii

A B A B AB θ θ=

sdot = = minus = = timessum

01cos 168 96384

radθ θminusrArr = rArr = asymp

任意非零 vector 向量 A其方向的單位向量

ˆ AAA

= （4-17）

such that A也可以寫為 ˆ

i ii

A AA e A= =sum （4-18）

4-7

Ex5 Given ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ3 2 2 A x y z B x y z= minus + = + minus find unit vector ˆ ˆA B

解

ˆ ˆ ˆ3 2 3 1 2ˆ ˆ ˆ ˆ14 14 14 14

ˆ ˆ ˆ2 1 2 1ˆ ˆ ˆ ˆ6 6 6 6

A x y zA x y zAB x y zB x y zB

minus += = = minus +

+ minus= = = + minus

前面討論過若θ 為 A B 之夾角則 cosA θ 為 vector A 在 B 方向的

投影或稱 B 方向的分量由內積的定義可以得到 ˆ| | 1B =∵

ˆ ˆ| | cos cosA B A B Aθ θsdot equiv = （4-19）

Ex6 Following ex5 find BA which is the component of A along the direction of B

解for 1 2 1ˆ ˆ ˆ ˆ6 6 6

B x y z= + minus

ˆBA A B= sdot = ( ˆ ˆ ˆ3 2x y zminus + ) 1 2 1 1ˆ ˆ ˆ

6 6 6 6x y z minus⎛ ⎞sdot + minus =⎜ ⎟

⎝ ⎠

換言之要找向量 A在任意方向u 的分量 uA 就先找出u 方向的單位

向量 ˆue ˆu uA A e= sdot Ex 7 求向量 ˆ ˆ ˆ2B x y z= + minus 在 ˆ ˆ ˆu x y z= + + 方向的分量 uB

解單位向量 ˆ ˆ ˆˆ3

x y zu + +=

ˆ ˆ ˆ 2ˆ ˆ ˆ ˆ( 2 )3 3u

x y zB B u x y z + += sdot = + minus sdot =

習題 1 Given ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ2 3 2 2 A x y z B x y z= minus + minus = minus minus (a) find | |A | |and B (b) angle ( A B ) (c) the component of B in the direction of A 向量場 vector field

若在一空間的每一點都定義一個向量 A則稱該空間存在向量場

( )A x y z 或 ( )A r 我們熟知的電場 ( )E x y z 磁場 ( )B x y z 重力場

( )g x y z 等都是向量場向量場 ( )A x y z 的各分量也都是位置的函數

ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( )x y zA x y z A x y z x A x y z y A x y z z= + + （4-20）

要注意除了少數特例一般向量場的各分量例如 x-分量 Ax 並非

只是 x 的函數而是(xyz)的函數特例之一為空間中每一點(x y z)

4-8

皆對應一「位置向量」 ˆ ˆ ˆr xx yy zz= + +

所以向量場 ( )A x y z 也可表為 ( )A r

Ex 8 給定一向量場 ( )A x y z = 2 2 3ˆ ˆ ˆ( )A x y z y x x zy xz z= + + (a) find

A 1 and A 2 which are vector A at position P1(2 1 5) and P2(3 0 1)

解(a) A 1= A (2 1 5) 2 2 3ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ1 (2 5) (2 5 ) 20 250x y z x y z= + times + times = + +

A 2= 2 3ˆ ˆ ˆˆ ˆ(301) 0 (3 1) (3 1 ) 9 3A x y z y z= + times + times = +

(b) Find the unit vector 1 2ˆ ˆr r and 12r for position vectors of points P1

P2 and 1 2PP

解for P1 1r = ˆ ˆ ˆ2 5x y z+ + 1ˆ ˆ ˆ2 5ˆ

30x y zr + +

rArr =

for P2 2 2ˆ ˆ3ˆ ˆˆ310

x zr x z r += + rArr =

1 2PP = 12ˆ ˆ ˆ4ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ(3 2) (0 1) (1 5) 4

18x y zx y z x y z r minus minus

minus + minus + minus = minus minus rArr =

Note 1 2 2 1PP r r= minus but 12r 2 1ˆ ˆr rne minus why Draw a diagram

(c) Find the component of A 1 along the direction of the 1 2PP

解 1 12ˆ ˆ ˆ ˆ( 20 250 )A r x y zsdot = + + sdotˆ ˆ ˆ4

18x y zminus minus =1 20 1000 1019

18 18minus minus minus

=

3-D 向量 A的分量

A 3-D vector A is uniquely specified by

given its magnetude A and direction ( θ ϕ 稱為

「方向角」)或者就是完整說明 xyz 三個分量

（Ax Ay Az）兩者轉換如下

4-9

cossin cossin sin

0 0 0 2

z

x

y

A AA AA A

A

θθ ϕθ ϕ

θ π ϕ π

===

gt le le le le

（4-21）

A B 的外積向量積叉積（vector productcross product）

由 A B 的本質與相對夾角定義向量外積

ˆ sinA B nAB θtimes equiv （4-22a）

其中的 n 是一個同時垂直於 A B 的單位向量其方向由右手定則定

之舉例

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆsin 90 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 0x y z z x z y y z xx x y y z ztimes = deg = times = minus times =times = times = times =

相互平行或反平行的二向量外積為 0因為 sin(0)=sin(1800)=0

BA 的外積也有另一個等價的定義

ˆ ˆ ˆ(4 22 )

( ) (4 23)

x y z

x y z

i ijk j kj k

x y zA B A A A b

B B B

A B A Bε

times = minus

times = minussum

上式中的 ijkε 稱為 Levi-Civita symbol（猶太裔義大利人Ci 發音同

chi） ijkε ＝0 若 ijk 中有任二數相同例如 211 131 223 0ε ε ε= = = 若 ijk

為相異的 3 個數則 ijkε =(-1)p p 是 ijk 相鄰兩數互換成為 123 的「置

換數」例如 ijk=231則 213 123rarr rarr p=2 2231 ( 1) 1ε = minus = 又如 ijk

＝321 則 312 132 123rarr rarr rarr p=3 所以 3321 ( 1) 1ε = minus = minus

4-10

Ex 9 ˆ ˆ ˆ4 5A x y z= + + ˆ ˆ3B x z= +

ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ1 4 5 (4 5) (15 1) (0 12) 14 12

3 0 1

x y zA B x y z x y ztimes = = minus + minus + minus = minus + minus

ex 10 ˆ ˆ ˆ4A x y z= minus minus + ˆ ˆ ˆ2B x y z= minus minus ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ1 1 4 (1 4) (8 1) (1 2) 5 7 3 2 1 1

x y zA B x y z x y ztimes = minus minus = + + minus + + = + +

minus minus

由（4-21b）可以容易看出

( ) ( )x y z

x y z

x y z

C C CC A B A B C A A A

B B Bsdot times = times sdot = （4-24）

明顯的 in general 外積不滿足交換率與結合率

( ) ( )A B B A B AA B C A B Ctimes = minus times ne times

times times ne times times (4-25)

兩個有用的恆等式(identity)

1 triple scalar product 純量三重積

( ) ( ) ( )A B C C A B B C Asdot times = sdot times sdot = sdot times (4-26)

上式中的 3 項運算 A B C 的順序是循環的(cyclic)ie ABC CAB

BCA3 項皆為以 A B C 為鄰邊的平行 6 面體的體積

Pf 若 B C 夾角＝ϕ rArr ˆ sinB C nBC ϕtimes =

其中 sinBC ϕ ＝以 B C 為兩邊的平行

四邊行面積 n perp B C

若 ˆA n 夾角＝θ ˆ cosA n A θrArr sdot =

＝垂直於 B C 平面的高

there4 ( )A B Csdot times ＝以 A B C 為鄰邊的平行

4-11

六面體的體積由於 3 鄰邊 A B C 的順序可以任選所以體積可藉由

（4-24）式之「絕對值」算出

Ex 11 一平行六面體 H 的相鄰三邊由 ˆ ˆ ˆ4 5A x y z= + + ˆ ˆ3B x z= +

與 ˆ ˆ ˆ2C x y z= minus + minus 表出求 H 之體積 HV

解let 1

2 1 11 4 5 183 0 1

CD A

B

minus minus= = = or 2

1 4 52 1 1 18

3 0 1

AD C

B= = minus minus = minus

1 2| | 18HV D D= = = 1D 與 2D 差一個負號不令人驚奇因為行

列式 2D 是由 1D 的第一列與第二列交換而來

2 triple vector product 向量三重積

( ) ( ) ( )A B C B A C C A Btimes times = sdot minus sdot (4-27)

上式有一別號稱為 back-cab(回頭車) rule先舉例說明上式成立

Ex12 ˆ ˆ ˆ4 5A x y z= + + ˆ ˆ3B x z= + ˆ ˆ ˆ4C x y z= minus minus

ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ3 0 1 (0 1) (1 12) ( 3) 13 3

1 1 4

x y zB C x y z x y ztimes = = + + + + minus = + minus

minus minus

ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ( ) 1 4 5 ( 12 65) (5 3) (13 4) 77 8 9

1 13 3

x y zA B C x y z x y ztimes times = = minus minus + + + minus = minus + +

minus

ˆ ˆ1 4 20 23 ( ) 69 23A C B A C x zsdot = minus minus = minus rArr sdot = minus minus

ˆ ˆ ˆ3 5 8 ( ) 8 8 32A B C A B x y zsdot = + = rArr sdot = minus minus

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ( ) ( ) 69 23 (8 8 32 ) 77 8 9B A C C A B x z x y z x y zsdot minus sdot = minus minus minus minus minus = + + QED

The proof of ( ) ( ) ( )A B C B A C C A Btimes times = sdot minus sdot

Pf Note that ( )B C B Ctimes perp 平面then ( )A B C B Ctimes times perp times∵ （ ）

( ) A B C D B CrArr times times equiv 躺在（ ）平面 所以 D 可由 B C 組合令

4-12

D B Cα β= + 由於 D 也與 A垂直所以

0A Dsdot = ( ) ( )A B A Cα β= sdot + sdot rArr

let ( ) ( )v v A C v A BA C A Bα β α βminus

= = rArr = sdot = minus sdotsdot sdot

( ) [( ) ( ) ]D A B C B C v A C B A B Cα βthere4 = times times = + = sdot minus sdot

v 會＝1上式對 x 做內積

ˆ ˆ ˆ[ ( )] [( ) ( ) ]

[( ) ( ) ]x x

x A B C v A C B x A B C x

v A C B A B C

sdot times times = sdot sdot minus sdot sdot

= sdot minus sdot

由於內積與外積都是向量間的運算所以上式左邊有

ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ( )x y z x y z

x y z x y z

x y z A x A y A zB C B B B A B C B B B

C C C C C C

times times timestimes = rArr times times =

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( ) 0ˆ [ ( )]

z y

x y z x y z

x y z x y z

x A x x A y x A z A Ax A B C B B B B B B

C C C C C C

sdot times sdot times sdot times minusrArr sdot times times = =

上式用到

ˆ ˆ( ) 0x A xsdot times = ˆ ˆ( )x A ysdot times ＝ ˆ ˆ( ) zA y x Asdot times = minus ˆ ˆ( )x A zsdot times ＝ ˆˆ( ) yA z x Asdot times =

用第 3 列展開行列式得

ˆ [ ( )] ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

x x x y y x z z x

x x x x y y z z x x x x x x

x x

x A B C C A B A B C A B C A B

C A B A B B C A C A C A B A B B A C C A

C A B B A C

sdot times times = minus sdot + + +

= minus sdot + + + = minus sdot + + sdot minus

= minus sdot + sdot1 ( ) ( ) ( )v A B C B A C C A BrArr = rArr times times = sdot minus sdot QED

向量的微分元素（直角座標）

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( ) [( ) ]

ˆ ˆ ˆ

i i i i i i i i i ii i i i

x y x

dA d e A d e A de A e dA e dA

or dA xdA ydA zdA

⎛ ⎞= = = + =⎜ ⎟

⎝ ⎠= + +

sum sum sum sum （4-28）

4-13

上面用了直角座標最方便的性質 ie 為常數 ˆ 0iderArr = 舉「位置向量」

為例

2 2 2 2 2 2 2 2

ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ

ˆ ˆ ˆˆ i i

i x y zi

r xx yy zz dr xdx ydy zdzdr dx dy dzv x y z e xdt dt dt dt

v v v x x y z v v v

= + + rArr = + +

rArr = = + + =

rArr = sdot = = + + = + +

sumsum

（4-29）

sect 42 曲線座標(curvilinear coordinates)

(A) 平面「極座標」polar coordinates ( )r θ

在平面上的一點 P 的直角座標若為(x y)我們可以有另一種標示法

( ) 0 [0 )

[02 ]r P x y r r

x rθ θ π

equiv ge isin infin⎧⎨

equiv isin⎩

由原點到 之距離

軸到 的夾角 （4-30）

以 P )( θr 為座標表同一點 P(xy) )( θr 稱為 P 點的「極座標」「極座

標」與「直角座標」的關係如下

2 2

cos

sintan

r x y x randy y r

x

θθθ

⎧ = + =⎧⎪⎨ ⎨ == ⎩⎪⎩

（4-31）

但是 )( θr 這兩個新座標的單位向量 ˆˆr θ 在什麼方向我們先來回顧

一下座標軸的單位向量的「制訂標準」是

什麼事實上某座標的單位向量的方向

訂在「垂直於該座標『等值面』且指向

該『座標值增長』的方向」舉「直角座

標」為例如右圖由於 x y 軸皆為直線

4-14

所以「等值面」都是平行的平面所以垂直方向皆相同也造成單位

向量 ˆ ˆx y 為常數

由左圖可以看出極座標裡 r 的等值面是一

個圓所以單位向量 r 是「沿徑向向外」但

是隨圓上θ 有所變動時 r 也隨著改變所以 r

「不是一個常量」 ˆ ˆ( )r r θ= 是角度θ 數

如左圖也可看出θ 的等值面為直線所以單位

向量θ 是「沿『切線』逆時針」方向

但如同 r 一樣當θ 值改變時θ 的方向

也改變了所以θ 也「不是一個常量」

)(ˆˆ θθθ = 也是角度θ 的函數可以看出

固定θ 時 ˆr θperp 但是她們都與「角座標」θ 有關由於她們的指向

有時 r 被稱為「沿徑向」之單位向量θ 被稱為

「沿切線」之單位向量極座標和直角座標還

有一個很大的差別就是直角座標的 x y z 的

因次都是「長度」所以當座標改變時 dx dy dz

就是「長度」的改變然而極座標的 r 有長度因

次所以 dr 是長度但是θ 只是一個數字而非長度所以當θ 改變時

dθ 並不代表一個長度的變化dθ 造成的長度變化寫為

d h dθ θ θ= （4-32）

其中的係數hθ 稱為「度量係數」(metric coefficient)很顯然這裡的hθ

必須具有長度的因次「長度」之所以重要是因為位移是長度各個

座標的度量係數我們會在後面仔細討論

座標系的選用以方便為準系統的對稱性是重要的考量所以有

立方對稱的系統通常用直角座標而有圓對稱的系統則用極座標

4-15

Ex13 半徑 5圓心在原點的圓方程式在直角座標為 2 2 25x y+ =

但是在極座標就是 5r = 而已

位置位移速度與加速度

直角座標的描述很簡單

ˆ ˆˆ ˆ

ˆ ˆ

r xx yy

r xx yy

dr dxx dyy

= +

Δ = Δ + Δ

= +

位置

位移

位移元素

（4-33）

2 2

2 2

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( )

ˆ ˆ( )

ˆ ˆ ˆ ˆ( )

x ydr dx dyv t x y xx yy v x v ydt dt dt

dv t dxx dyydv dx dy d x d ya t i j i jdt dt dt dt dt

rArr = = + = + = +

rArr = +

rArr = = + = +

瞬時速度

速度變化元素

瞬時加速度

（4-34）

在極座標由於單位向量 θr 不再是常數 ˆˆ 0 0dr dθrArr ne ne 所以

ˆ

ˆ ˆ( )ˆ ˆ

r rrr r r r r

dr drr rdr

=

Δ = Δ + Δ

rArr = +

位置

位移

位移元素

(4-35)

現在有一個問題 ˆ dr = 由下圖 r 的變化由 dθ 而來

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( )ˆ ˆ

ˆˆ ˆ ˆ0 ( ) ˆˆ

r r dr r d rdr r d d

d dr r dr

dr d

θ θ θ θθ θ

θ θ θ

θθ

= rArr = + minus

= =

rarr rArr perp rArr

rArr =

∵

∵ (4-36)

4-16

所以微分的位移為

ˆˆdr drr rdθθ= + （4-37）

上式的幾何意義很清楚dr 的 r 分量 dr 就是「沿

r 方向的長度變化」而θ 分量 rdθ 就是「沿θ 方

向的長度變化」而已或者也可以這麼看dr 是

一個位移向量在平面上有 r 和θ 兩個分量所以 ˆˆrdr d r d θθ= +

α 為在 r 方向的長度變化β 為在θ 方向的長度變化所以 rd dr=

d rdθ θ= 這種分析方法可以用在各種座標系這裡也可以看出

和（4-32）式角度變化dθ 造成的長度變化d h dθ θ θ= 相比可以得出

θ 的度量係數h rθ = 與直角座標比較 ˆ ˆdr dxx dyy= + dx 與 dy 不也就

是dr 在 x 與 y 方向的長度變化嗎

Now 速度

ˆˆ

ˆ ˆˆ ˆr

dr dr dv r rdt dt dtrr r v r vθ

θ θ

θθ θ

= = +

= + equiv + （4-38）

其中ddtθθ ω= = 亦稱為「角速度」

Ex14 圓周運動因為只有切線速度所以由（4-38）式 ˆ ˆ0

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( ) = ( ) ( ) ( 0)

r R r v r R

dv dr r d r d r d r d dr

θθ ωθ

θθ θ θ θ θ θ θ θ θ

= rArr = rArr = =

rArr = + + + =

∵

∵

（ 切線速度）(4-39)

這裡又冒出個問題

ˆ dθ = 由左圖

ˆ ˆ

ˆ ˆ0

d d d

d d

θ θ θ θ

θ θ θ

= =

rarr rArr perp

4-17

ˆ ˆ ˆ ˆ

d r

d d r

θ

θ θ

rArr minus

rArr = minus (4-40)

2

2

ˆˆ( ) ( )

ˆˆ

ˆ ˆˆ ˆ( ) ( )ˆˆ ( ) ( )

r

dv r d r r d

dv d da r r rdt dt dt

a r r r a r a

or a r r rθ

θ θ θ θ

θ θθ θ

θ θ θ θ

ω α θ

rArr = minus +

⎛ ⎞⎛ ⎞rArr = = minus +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

rArr = minus + equiv +

= minus +

(4-41)

上式即為圓周運動的加速度其中的第一項

2

2 ˆ ˆrva r r rr

ω minus= minus = 向心加速度 (4-42a)

with α θ= 可以認出是角加速第二項

ˆa rθ αθ= 切線加速度 (4-42b)

如進一步簡化為「等速圓周運動」 ==rArr θω constant 0==rArr αθ rArr切線

加速消失那麼加速度就只剩下了熟知的向心加速度2

ˆrva rrminus

= 了

若考慮一般的情況 dr 0ne 可以導出用極座標表示的加速度為

2

ˆ ˆ ˆ ˆˆ( ) ( ) ( ) ( )

ˆˆ( ) (2 )

dv dr r r d dr r d r ddva r r r r rdt

θ θ θθ θ θ θ θ

θ θ θ θ

= + + + +

rArr = = minus + + （4-43）

看起來有點繁但是在有圓形對稱的系統極座標會表現得更清楚

面積微分元素

直角座標把平面分割成一個個的

小方塊也就是依照「x 與 y 方向的

長度變化」可以寫出「面積元素」

dA dx dy= sdot （像是切長方形的蛋糕）

比較 ˆ ˆdr dxx dyy= + 可以看出

dA＝(x-方向的長度變化)times(y-方向的長度變化)

4-18

所 以 在 「 極 座 標 」 比 照 辦 理

ˆˆ ˆ( ) ( )dr dr r rdr dr r rdθθ= + = +

dA dr rd rdrdθ θ= sdot = (4-44)

像是切圓形蛋糕

ex15 求一個半徑 R 的圓的面積

解 2 2

2

0 0

22

R RA dA rdrd rdr d Rπ

θ θ π π= = = = sdot =int intint int int

妳可以試試用直角座標dA dx dy= sdot 算一下圓的面積

Ex16 求一個半徑 R質量 M密度σ 的均勻圓盤繞其直徑的轉動慣

量解 質量元素 dAdm σ= 到轉軸（直徑）的距

離 sinr θ=

2 2 2 2

23 2

0 0

4 22 2

sin

sin

14 4 4

R

I dm dA r rdrd

r dr d

R RR MR

π

σ σ θ θ

σ θ θ

σ π σπ

= = =

=

= = =

int int intintint int

娛樂一下算半個圓盤繞通過圓心且垂直盤面的軸的轉動慣量

ex 17 計算積分2xI e dx

infinminus

minusinfin

= int

解 2 2

0

2x xI e dx e dxinfin infin

minus minus

minusinfin

= =int int2 22

0 0

2 2x yI I I e dx e dyinfin infin

minus minusrArr = sdot = sdotint int

2 2 2 22

2 ( )

0 0 0 0 0 0

4 4 4x y r rI e dxdy e dA e rdr d

π

θinfin infin infin infin infin

minus + minus minusrArr = = =int int int int int int

在上面的積分裡我們運用了一個有關「無窮大平面」的技巧就是「無

4-19

窮大的平面」是可以是「正方形」或是「圓形」的

2

2

22

00 0 0

22

4 2 2( )2 2 2

(4 45)

u u u

x

dulet u r du rdr rdr

duI e d e du e

I e dx

π

π πθ π

π

infin infininfinminus minus minus

infinminus

minusinfin

= rArr = rArr =

rArr = = sdot = minus sdot =

rArr = = minus

int int int

int

ex18 重力位能

由位能差的定義 )()()( BAWBUAU rarrequivminus

（B）圓柱座標 cylindrical coordinates

3D 空間點 P(x y z)的位置向量 ˆ ˆ ˆr xx yy zz= + +

定義「圓柱座標」 ( )zρ ϕ 其中

0 [0 )P zρ ρ ρequiv ge there4 isin infin點 到 軸之垂直距離

ϕ ρequiv 在 x-y 平面的投影與 x 軸之夾角 [02 ]ϕ πisin

z zequiv同直角座標的

4-20

「圓柱座標」就是「極座標」（用 ( )ρ ϕ 取代 ( )r θ ）再加上第三維 z

所以圓柱座標 ( )zρ ϕ 裡 zρ 的因次為長度而ϕ 只是一個數字

( )zρ ϕ 與(x y z)間的轉換如下

2 2 cos

tan sin

x yx

y yx

z zz z

ρρ ϕ

ϕ ρ ϕ

⎧ = +=⎪ ⎧

⎪ ⎪= =⎨ ⎨⎪ ⎪ =⎩=⎪⎩

（4-46）

「圓柱座標」的三個方向單位向量 ˆ ˆ ˆ zρ ϕ 如圖

且 ˆ ˆ zρ ϕperp perp 可以看出ρ 的等值面為一個圓柱

面ϕ 的等值面是一扇門z 的等值面為一個垂

直 z 軸的平面但是

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( ) zρ ρ ϕ ϕ ϕ ϕ= = =常數

柱座標的位置向量 r 如左圖

ˆ ˆr zzρρ= + （4-47）

在柱座標寫位移元素dr 有兩種作法一

種是直接由（4-47）式取微分元素 借用

平面極座標的結果可得

ˆ ˆ ˆ( ) ( )

ˆ ˆ ˆdr d d dzz

d d dzzρ ρ ρ ρ

ρρ ρ ϕϕrArr = + +

= + + （4-48）

但也可以由三個座標方向的

位移來看由左圖可得沿 ρ 方向

的長度變化 ie 當座標ρ 有變

化dρ 時產生的長度變化就是

dρ 沿ϕ 的長度變化為 dρ ϕ

而沿 z 方向的長度變化為 dz

4-21

dr 是一個向量有三個分量ρ -分量就是沿 ρ 方向的長度變化

dρ ϕ -分量沿ϕ 的長度變化為 dρ ϕ 而 z-分量就是沿 z 方向的長度變

化為 dz合併寫出

ˆ ˆ ˆdr d d dzzρρ ρ ϕϕ= + +

與（4-48）式完全相同但是這種由幾何角度得到的結果要更方便

也更直觀Fig 27 非常重要因為只要你能把圖畫出來位移的各

分量就寫得出來有了位移元素dr 速度與加速度就可得出

ˆ ˆ ˆ (4 49)

ˆ ˆ ˆ( ) (2 ) (4 50)

drv zzdtdva zzdt

ρρ ρϕϕ

ρ ρϕ ρ ρϕ ρϕ ϕ

rArr = = + + minus

rArr = = minus + + + minus

由上圖與dr 的 3 個分量可得圓柱座標的體積元素

dV d d dz d d dzρ ρ ϕ ρ ρ ϕ= sdot sdot = （4-51）

ex19 底面半徑 R高 h 的圓柱體積＝ 2 2

2

0 0 0

22

R h RV dV d d dz h R hπ

ρ ρ ϕ π π= = = sdot sdot =int int int int

ex20 底面半徑 R高 h 的「圓錐」體積＝

解本圓錐裡點的座標分佈為 [02 ] [0 ]z hϕ πisin isin ( )zρ ρ=

( ) ( )( )

h z h Rz h zz R h

ρρminus

= rArr = minus

22( )( ) 2 2

0 0 0 0 0 0

002 2 2 3 2 32 2 2

2 2 2 20

( )2 2

2

1( )3 3 3

R h zzh h hh

h

h h

R h zhV d dz d d dz d dz

R R R u R hh z dz u du R hh h h h

ρ π

τ ρ ρ ϕ π ρ ρ π

π π π π π

minus

minus minus

minusthere4 = = = =

= minus = = = =

int int int int int int int

int int

如果我們把 3-D 的三個座標寫為 1 2 3( )u u u 或 123iu i = 當座

標 ui(在 ˆiu 方向)變動 dui 時造成的長度變化為 id 則定義

4-22

i i id h duequiv (4-52)

其 中 hi 稱 為 座 標 ui 的 度 量 係 數 (metric

coefficient)由 zρ 的因次為長度所以 zρ 的變

化 d dzρ 就是長度的變化所以 1 1zh hρ = =

然而ϕ 的變化造成的長度變化為

d d hϕ ϕρ ϕ ρ= rArr = (4-53)

很明顯的直角座標 xyz 都是長度所以度量係數 1x y zh h h= = =

(C) 球座標 spherical coordinates

3D 點 P(x y z)的位置向量 ˆ ˆ ˆr xx yy zz= + + 定義

「圓柱座標」 )( ϕθr 其中

[0 ] [0 ]

[02 ]

r P rr zr x y x

θ θ πϕ

ϕ π

⎧ equiv isin infin⎪

equiv isin⎪⎨

equiv minus⎪⎪ isin⎩

原點到 的距離

與 軸的夾角

在 軸投影與 軸的夾角

球座標的ϕ 與住座標的ϕ 相同

( )r θ ϕ 與(x y z)間的轉換如下下列為（4-54）

2 2 2

2 2 2

sin coscos sin sin

cos

tan

r x y zx r

z y rx y z z r

yx

θ ϕθ θ ϕ

θ

ϕ

⎧⎪ = + +⎪ =⎧⎪ ⎪= =⎨ ⎨

+ +⎪ ⎪ =⎩⎪⎪ =⎩

三個座標的單位向量 )ˆˆˆ( ϕθr 如左圖一可以看

出 r 的等值面是一個球面θ 的等值面為一個

以原點為頂點的圓錐ϕ 的等值面為一扇門

位置向量 ˆr rr= （4-55）

4-23

位移由 ˆ ˆˆ( )r θ ϕ 3 個方向的「長度

分量」可得 ˆ ˆˆ ( ) ( sin )dr rdr rd r dθ θ ϕ θ ϕ= + +

（4-56）

所以體積元素

2

( )( sin )(sin )

d dr rd r dr dr d d

τ θ θ ϕ

θ θ ϕ

=

= （4-57）

Fig 31 和 Fig 27 一樣重要只要

你能畫得出來就可以寫出球座

標位移的三個分量

ex21 求一半徑 R 的球體積 2

2 2 3

0 0 0

4sin sin3

R

V d r dr d d r dr d d Rπ π

τ θ θ ϕ θ θ ϕ π= = = =int intintint int int int

ex22 求一質量 M半徑 R密度 ( )3 4 3M Rρ π= 的實心球對直徑

旋轉的轉動慣量

解質量元素 2 sindm d r dr d dρ τ ρ θ θ ϕ= = 到 z 軸的垂直距離為 sinr θ=

22 4 3

0 0 0

5 52

sin

4 8 225 3 15 5

RI dm r dr d d

R R MR

π πρ θ θ φ

πρ π ρ

= =

= sdot sdot = =

intintint int int int

娛樂一下空心球對直徑的轉動慣量

(4-46)式與(4-54)式說明柱座標和球座標與直角座標之間的轉

換Fig 32 可得出柱座標和球座標之間轉換

2 2

sintan

cos

r zr

zz r

ρρ θ

ρϕ ϕ θθ ϕ ϕ

⎧ = += ⎪⎧

⎪ ⎪= =⎨ ⎨⎪ ⎪=⎩ =⎪

⎩

（4-58）

4-24

Ex23 點 P 的球座標為（31200 600）求柱座標＝

解2 3 33sin3 2πρ ⎛ ⎞= =⎜ ⎟

⎝ ⎠

23

ϕ π= 2 33cos3 2

z π minus⎛ ⎞= =⎜ ⎟⎝ ⎠

直角座標柱座標球座標單位向量之間的轉換

三種座標之間的轉換由(4-46)式(4-54)式與（4-58）式表出但

三種座標裡的的三個單位向量 ˆ ˆ ˆ x y z ˆ ˆ ˆ zρ ϕ ˆ ˆˆ r θ ϕ 若以 123ˆ iu =

表示則單種座標的單位向量之間都有正交歸一關係

ˆ ˆi j iju u δsdot = 與外積的循環關係

ˆ ˆ ˆ i j ku u u i j ktimes = cyclic in 123

ie 1 2 3 2 3 1 3 1 2ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ u u u u u u u u utimes = times = times = or ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆˆ ˆ r z z x yθ ϕ ϕ ρtimes = times = times =

然而不同座標系的單位向量之間關係如何我們畫圖來討論

球座標 ˆ ˆˆ( )r θ ϕ rarr直角座標 ˆ ˆ ˆ( )x y z

單位向量都是用來指方向的球座標的 ˆ ˆˆ( )r θ ϕ 都是「方向角」( )θ ϕ

的函數 r 在直角座標可以由 Fig33 看出

ˆ ˆ ˆ ˆsin cos sin sin cosr x y zθ ϕ θ ϕ θ= + + （4-59）

ex24 P 點的球座標為2 75 3 6π π⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠

試用球座標與直角座標求 P 點的位

置向量的單位向量 解位置向量 ˆr rr= 在球座標只有 r-分量標位置仔細一點把方向

角標出2 7ˆ 3 6

r π π⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

通常只是寫 r 令人有點摸不著頭緒用直角

4-25

座標比較「具像」 2 7 2 7 2ˆ ˆ ˆ ˆsin cos sin sin cos3 6 3 6 3

3 3 1ˆ ˆ ˆ4 4 2

r x y z

x y z

π π π π π⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞minus minus minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + +⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

單位向量θ 在某一組 ( )θ ϕ 的指向如 Fig 34a將θ 平移至原點更清楚

Fig34b 是由側面看 Fig34a可以看到θ 在 z 軸的投影為 sinθminus 而θ 在

x-y 平面的投影為cosθ使得θ 在 x-軸的投影為cos cosθ ϕy-軸投影

為cos sinθ ϕ於是

ˆ ˆ ˆ ˆcos cos cos sin sinx y zθ θ ϕ θ ϕ θ= + minus （4-60）

單位向量ϕ 如 Fig 35a 所示是在 x-y 平面畫出

Fig 35b 為自 z 軸向下看 Fig35a 圖可以看出ϕ 在 z 軸投影為 0且

ˆ ˆ ˆsin cosx yϕ ϕ ϕ= minus + （4-61）

ex25 一個質點的速率為 2( ) ( sin tan )v r rθ ϕ θ ϕ= 若經查該質點的運

動 是 在 z = 3 平 面 做 逆 時 針 圓 周 運 動 則 當 位 置 的 方 向 角

4-26

2( ) 4 3π πθ ϕ ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

時計算其速度用球座標與直角座標表出

解圓運動速度方向是沿切線所以球座標 ˆ ˆ( )v v v rϕ θ ϕ ϕ= =

z = 34πθ =

3 3 21cos cos 24

z zrπθ

rArr = = = =⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

所以該處的瞬時速率

2 2

2( ) 3 3 4 3

2 1 813 3sin tan 3 3 ( 3)4 3 22

v r v π πθ ϕ

π π

⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

⎡ ⎤ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = times minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

2 81 2ˆ3 3 4 3 2 4 3

v r π π π πθ ϕ ϕ⎛ ⎞ ⎛ ⎞rArr = = = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

在直角座標2 2 2ˆ ˆ ˆ sin cos

4 3 3 3x yπ π π πϕ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠3 1ˆ ˆ

2 2x y= minus minus

而且點23 3

4 3π π⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠

的直角座標為

2 1 3 3sin cos 3 3sin cos 3 34 3 2 22 2

x r π πθ ϕ minus minus⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

2 3 9sin sin 3 3sin sin 3 34 3 2 2 2 2

y r π πθ ϕ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = = =⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

z = 3

23 3 4 3

v π π⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

3 3 9 81 3 1ˆ ˆ 32 2 2 2 22 2

v x y⎛ ⎞ ⎛ ⎞

rArr = minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

以上兩個例子都只討論只有一個圓座標分量的向量in general 向量

ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( )r x y zA r rA A A A r xA yA zAθ ϕθ ϕ= + + hArr = + + （4-61）

若已知球座標的分量 ( )rA A Aθ ϕ 如何得到直角座標的

( )x y zA A A

4-27

ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( )ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( )

ˆ ˆˆˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( )

x r

y r

z r

A x A r x r A x A x A

A y A r y r A y A y A

A z A r z r A z A z A

θ ϕ

θ ϕ

θ ϕ

θ ϕ

θ ϕ

θ ϕ

⎧ = sdot = sdot + sdot + sdot⎪⎪ = sdot = sdot + sdot + sdot⎨⎪

= sdot = sdot + sdot + sdot⎪⎩

（4-62）

由式（4-59）（4-61） ˆ ˆ ˆ ˆsin cos sin sin cosr x y zθ ϕ θ ϕ θ= + + （4-59） ˆ ˆ ˆ ˆcos cos cos sin sinx y zθ θ ϕ θ ϕ θ= + minus （4-60）

ˆ ˆ ˆsin cosx yϕ ϕ ϕ= minus + （4-61） ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆsin cos cos cos sin ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆsin sin cos sin cos ˆ ˆˆˆ ˆcos sin 0

x r x x

y r y y

z r z z

θ ϕ θ θ ϕ ϕ ϕ

θ ϕ θ θ ϕ ϕ ϕ

θ θ θ ϕ

⎛ ⎞sdot = sdot = sdot = minus⎜ ⎟

rArr sdot = sdot = sdot =⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟sdot = sdot = minus sdot =⎝ ⎠

（4-63）

sin cos cos cos sin sin sin cos sin cos

cos sin 0

x r r

y RS

z

A A AA A M AA A A

θ θ

ϕ ϕ

θ ϕ θ ϕ ϕ

θ ϕ θ ϕ ϕ

θ θ

⎛ ⎞minus ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟rArr = equiv⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟minus⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

（4-64）

其中 SRM 為由球座標分量轉為直角座標分量的轉換矩陣且行列式

det SRM =1 表示反矩陣存在then 1SRM minus 就是將直角座標分量轉為球座

標分量之轉換矩陣其實嚴格講 (4-64)式還不是最終的表示因為

轉換完的直角

座標應該全部以 x y z 表出這裡保留用 θ ϕ 只是為了簡潔方便

習題 2 Find 1SRM minus

習題 3 用 xyz 表出(a)sinθ (b)cosθ (c)sinϕ (d)cosϕ

Ans (a)2 2

2 2 2sin

x yx y z

θ+

=+ +

(b)2 2 2

cos zx y z

θ =+ +

(c)2 2

sin yx y

ϕ =+

(d)2 2

cos xx y

ϕ =+

習題 4 用上面結果將 SRM 用 xyz 表出

Ex26 Given a field ( )A r θ ϕ ＝ ˆ ˆˆ2 3r θ ϕ+ minus in spherical coordinates

find the field in rectangular coordinates （直角座標）

4-28

解這裡的 ( )A r θ ϕ 不因其三個分量都是常數而只是「一個」向量

而是一 vector field這是因為 ˆ ˆˆ r θ ϕ 都不是定值而與 θ ϕ 有關而如

果 ( )A r θ ϕ 表示則單位向量所對應的角度 θ ϕ 必須要標定所以

sin cos cos cos sin 2sin sin cos sin cos 3

1cos sin 0

x

y

z

AAA

θ ϕ θ ϕ ϕ

θ ϕ θ ϕ ϕ

θ θ

⎛ ⎞minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ minusminus⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

(2sin 3cos )cos sin(2sin 3cos )sin cos

2cos 3sin

x

y

z

AAA

θ θ ϕ ϕθ θ ϕ ϕ

θ θ

+ +⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟rArr = + minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟minus⎝ ⎠ ⎝ ⎠

習題 5 Draw a diagram to show in the cylindrical coordinates

(a) ˆ ˆ ˆcos sinx yρ ϕ ϕ= + (b) ˆ ˆ ˆsin cosx yϕ ϕ ϕ= minus + (c) ˆ ˆz z=

習題 6 use the above results show that 由柱座標分量轉為直角座標分

量的轉換矩陣

x

y CR

z z

A AA M AA A

ρ

ϕ

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟=⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

CRM =

2 2 2 2

2 2 2 2

0cos sin 0sin cos 0 0

0 0 10 0 1

x yx y x y

y xx y x y

ϕ ϕ

ϕ ϕ

minus⎛ ⎞⎜ ⎟+ +⎜ ⎟⎛ ⎞minus⎜ ⎟⎜ ⎟

= ⎜ ⎟⎜ ⎟+ +⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

Ex27 Express vector ˆ ˆ ˆ(3cos ) 2 5A zρ ϕ ϕ ρ= minus + in Cartesian

coordinates Specifically the A at the position of (2 2 3π -3)

解

2cos sin 0 3cos 3cos 2 sinsin cos 0 2 3cos sin 2 cos

5 50 0 1

x

y

z

AAA

ϕ ϕ ϕ ϕ ρ ϕϕ ϕ ρ ϕ ϕ ρ ϕ

⎛ ⎞minus ⎛ ⎞+⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟= minus = minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

so that A (2 2 3π -3)= 3 3 3ˆ ˆ ˆ3 3 3 54 4

x y z⎛ ⎞⎛ ⎞+ + minus +⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠注意本

題裡 z 座標並非一變數

4-29

sect 43 Fields and its properties 場與其性質

「場 field」是什麼凡是在「某個空間中每一點」都有定義的量

就是一個「場」所以「場」也稱為「點函數 point function」簡單的

說凡是「空間的函數」都是「場」如果這個「空間的函數」是一個

純量 u(xyz)那麼 u(xyz)就是一個「純量場 scalar field」例如室內

的溫度 T(xyz)一塊豬肉的密度 ( )x y zρ 大氣中的壓力 p(xyz)等

都是純量場如果這個「空間的函數」是一個向量 )( zyxA 那麼

)( zyxA 就稱為「向量場 vector field」例如空間中的電場 )( zyxE

水流中的速度場 )( zyxv 重力場 )( zyxg 等等很顯然的不論是純量

場還是向量場「場」在空間中的分佈通常未必是均勻的那麼她有

什麼性質呢例如一塊豬肉內部密度是如何變化的水流中有沒有

漩渦大氣中的等壓線是如何變化的等等那麼有沒有什麼量可以

有系統的描述各種場的分佈有我們在以下分別討論

sect 431 Gradient of scalar fields 純量場的梯度

考慮一個純量場 f(xyz)可以視為 3 個變數 xyz 的函數當變數變動為

x+dx y+dy z+dy 時造成 f 的變化

f f fdf dx dy dzx y zpart part part

= + +part part part

（4-65）

由幾何意義來看上式更為具體上式表示純量場 )(rf 基於位置的變化

r r drrarr + (或由 ( ) ( )x y z x dx y dy z dzrarr + + + )所造成 f 的變動

我們現在定義一個向量算符 vector operator nabla (or nabla )（讀做 del）

ˆ ˆ ˆx y zx y zpart part part

nabla equiv + +part part part

(4-66)

如果將 del 作用在純量場 )(rf 上將產生出現一個新的「向量場」 fnabla

稱為純量場「 )(rf 的『梯度 gradient』」

4-30

ˆ ˆ ˆ( ) f f fgrad f f x y zx y zpart part part

equiv nabla = + +part part part

（4-67）

這使得由於任意位移 ˆ ˆ ˆdr xdx ydy zdz= + + 所造成 f 的變化量

df f drrArr =nabla sdot （4-61）

ex28 Given scalar field 2( )f r xy z= and 2 2 2

1 1( )g rrx y z

= =+ +

(a) find the value of ( )f r and fnabla at point P(2 1-1) 解 2(21 1) 2 1 ( 1) 2f minus = times times minus = minus

2 2 2

2 2

ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( )

ˆ ˆ ˆ( ) ( 2 ) ( )

f x xy z y xy z z xy zx y z

x y z y x yz z xy

part part partnabla = +

part part part

= +

＋

＋

ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ(21 1) ( 1) (2 2) (2) 4f x y z x y znabla minus = minus + timesminus = minus minus＋ ＋2 (b) find the value of ( )g r and gnabla at the point P

解2

1 1(21 1)62 1 1

g minus = =+ +

2 2 2 12 2 2 2 12

2 2 2 12

ˆ ˆ( ) ( )

ˆ ( )

g x x y z y x y zx y

z x y zz

minus minus

minus

part partnabla = + + + + +

part partpart

+ +part

＋

2 2 2 32 2 2 2 32 2 2 2 32

2 2 2 32 3 2

ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( )

ˆ ˆ ˆˆ( )( )

OR OR

xx yy zzgx y z x y z x y zxx yy zz r r

x y z r r

minus minus minusrArrnabla = + +

+ + + + + +minus + + minus minus

= = =+ +

32

ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ(2 ) 2(21 1)6 6 6

x y z x y zg minus + minus minus minus +rArrnabla minus = =

由 gnabla 看到一個粉常用的結果就是

3 2

ˆ1 ORr rr r r

minus minusnabla = = （4-62）

順便比較一下

2 2 2 12 2 2 2 12 2 2 2 12

2 2 2 12

ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( )

ˆ ˆ ˆ( ) ˆ (4 63)( )

r x x y z y x y z z x y zx y zxx yy zz r r

x y z r

part part partnabla = + + + + + + +

part part part+ +

= = = minus+ +

＋

4-31

(c) what is the angle between (21 1)fnabla minus and (21 1)gnabla minus

解 (21 1)fnabla minus (21 1)gsdotnabla minus ＝（ ˆ ˆ ˆ4x y zminus minus ＋2 ） sdotˆ ˆ ˆ26 6x y zminus minus +

＝2 4 2 4

6 6 3 6+ +

= ＝ | (21 1) |fnabla minus | (21 1) |gnabla minus cosθ

＝ 34 1 1 211 16 4 cos cos

6 6θ θ+ +

+ + =

1 4 2cos 07773 7

radθ minus ⎛ ⎞= =⎜ ⎟

⎝ ⎠

要注意隨然nabla有向量的性質但是他並不是一個真的向量真

實向量 A與純量 f ( )r 的乘法滿足交換率ie ( ) ( )Af r f r A= 但是

f fnabla ne nabla因為

( )f rnabla ＝ ˆ ˆ ˆf f fx y zx y zpart part part

+ +part part part

是一個向量函數而

ˆ ˆ ˆ( )f r x y zx y z

⎛ ⎞part part part+ +⎜ ⎟part part part⎝ ⎠

是一個算符（operator）

若nabla要與向量場 A 作用由於nabla與 A 都具有向量的性質先看「內積」

ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ( )

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

x y z

x y

z

y yx xz z

A x y z xA yA zAx y z

x y z xA x y z yAx y z x y z

x y z zAx y z

A AA AA Ax x x y x zx y z x y z

⎛ ⎞part part partrArrnablasdot = + + sdot + +⎜ ⎟part part part⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞part part part part part part= + + sdot + + + sdot⎜ ⎟ ⎜ ⎟part part part part part part⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞part part part

+ + + sdot⎜ ⎟part part part⎝ ⎠part partpart partpart part

= sdot + sdot + sdot + sdotsdot sdot = + +part part part part part part

yx zAA AAx y z

partpart partnablasdot = + +

part part part (4-64)

上式中的 Anablasdot 是向量場 A 的一個重要的性質稱為 A 的「散度」詳

細的內容在後面會仔細討論這裡引進 Anablasdot 主要是要表明nabla是個「算

符」表示一個運算不是一個真實的向量只是在「直角座標」裡

4-32

因為單位向量 ˆ ˆ ˆ x y z 是常數不受微分的作用以致nabla表現得好像也

是個一般的向量一樣事實上真實向量和nabla間的「內積」就不滿足交

換率

x y zA A A A an operator Ax y zpart part part

sdotnabla = + + = ne nablasdotpart part part

(4-65)

這也使得任意向量場 ( )A r 因位置變動 r r drrarr + 而產生的變化由於

)( zyxA 也是 3 個變數 xyz 的函數可以寫為

( )A A AdA dx dy dz dr Ax y z

part part part= + + = sdotnabla

part part part （4-66）

ex29 (a)Given field 2ˆ ˆ ˆ2A xxy y x zyz= minus + find Anablasdot at point (1-12)

解2( ) (2 ) ( ) 2xy x yzA y yz

x y zpart part part

nablasdot = + + = +part part part

(1 12)1 2( 1)2 3A

minusnabla sdot = minus + minus =

(b) find rnablasdot 解 rnablasdot = 3x y zx y zpart part part

+ + =part part part

梯度的意義

由（4-67）可以看到「f 的梯度 fnabla 」

是一個由「純量場 f」衍生出的向量

場由（4-26）也可以看出 fnabla 扮演類

似「變化率」的角色

空間中將相同值 f ( )r ＝f1 的點連

起來就得到一個 f ( )r ＝f1 的「等值面」如 Fig36考慮純量場 f( r )的

相鄰兩個等值面各對應定值 1f f= 與 1f f df= + 0df gt P1 點在 f1

等值面上相鄰兩點 P2P3 在 1f df+ 等值面上而向量 1 2 ˆnP P dn e dn= =

過 P1 點垂直於 f1 等值面 1 3 ˆP P d e d= = 與 ˆne dn夾角為α 由於不

論 1 2P Prarr 或 1 3P Prarr f 的變化量都是 df 但因距離 dn 係兩等值面最

4-33

短的距離d dngt 所以 1 2P Prarr 或 1 3P Prarr 造成的「變化率」df dfdn d

gt

而過 P1 點的最大變化率為dfdn

換言之向量 ˆndfedn

為過 P1 點垂直於

f1 等值面且指向最大「增加率」的方向 現在要證明

ˆndfe fdn

= nabla （4-67）

考慮 1 3P Prarr 造成的 f 值的變化率

ˆ ˆcos n ldf df dn df df e edl dn dl dn dn

α= = = sdot

ˆ ˆ ˆn l ndf dfdf e e dl e dldn dn

rArr = sdot = sdot

和（4-61）式df f dr= nabla sdot 相比即可得證 ˆndfe fdn

= nabla 所以可以知道

空間純量場 f ( )r 中任一點處的向量 fnabla 必「垂直」於「通過該點的 f的等值面」且指向 f 值最大「增加率」的方向| ( )f rnabla |就是 f 在 r 點

的最大增長率可以進一步定義等值面的「法線 normal」方向為

ˆ fnf

nabla=nabla

（4-68）

結論給定一個純量場 f( r )在每一點 r 可以定義一個稱做「梯度」

的向量 fnabla fnabla 垂直於過 r 點的 f 等值面且指向最 f 大增加率的方向

fnabla 的方向也定義了 f 等值面的法線方向

Ex30 考慮一個 2D 的 scalar field 2( )f x y y x= minus 計算該場在 )20( 的梯度與

法線方向

解 ˆ ˆ ˆ ˆ2f ff x y x yyx ypart part

nabla = + = minus +part part

ˆ ˆ(0 2) 2 2f i jnabla = minus + ˆ ˆ ˆ ˆ2 2 2 2ˆ(0 2)

31 8i j i jn minus + minus +

rArr = =+

4-34

ex31 點電荷 q 置於原點其產生電位為 ( ) qV rr

= 求負梯度qr

minusnabla

解 3

2 2 2 22 2 2

2 ( )2

q q q q x x y zr x rx y z

minuspart minus= rArr = sdot + +

part+ +

3 23

ˆˆ ˆ ˆ( )q ix jy kz r rq q qr r r r

minus + +rArr minusnabla = minus = = （點電荷的電場）

0 0

1 1 r r

noter r= =

nabla rarrinfin rarrinfin∵ 是不定值是因為 r = 0 處為最大值

「增加率」的方向無法確定

ex32 置一熱源於原點空間溫度分佈為1( )

( 2)T r

r=

+求溫度的梯度

解 2 2 2

ˆ( ) ( )( 2) ( 2) ( 2)

x rT r rr rT r

x r r r

minuspart minus

= rArrnabla = =part + + +

此處的負號表示梯

度指向熱源因為距熱源越遠溫度越低 ( 0)note T rnabla = 為不定值

因在最頂點「增加率」的方向無法確定

Ex33 地圖上山脈的等高線上各點的垂直方向由梯度決定現有一座

山是橢球 2)1(4 222 =+++ zyx 在 x-y 平面上方的

部分求地圖上這座山等高線的梯度

解 山高 142 22 minusminusminus== yxzh 所以等高線為橢

圓 222 )1(24 +minus=+ hyx 梯度

( ) ( ) ( )2 2 2 2

2 2

ˆ ˆ4ˆ ˆ2 4 1 2 4 1

2 4

xx y yh x x y y x y

x y x y

minus +part partnabla = minus minus minus + minus minus minus =

part part minus minus

所以自山腳（h=0）登山若由(012)開始 ˆ(01 2) 2h ynabla = minus 但若由

)02(minus 開始爬山 ˆ( 20) 2h xnabla minus = 可見 )02()210( minusnablagtnabla hh 這表

示由 y-軸登山山勢較陡所以「梯度」比由 x-軸登山為大這也更

清楚瞭解「梯度」的幾何意義

4-35

sect 432 Divergence 散度與 Curl 旋度

在(4-66) 我們建立了一個直角座標 vector operator 「del」

ˆ ˆ ˆx y zx y zpart part part

nabla equiv + +part part part

(4-66)

若與向量場 A 做「內積」與「外積」就建構了 A 的「散度」與「旋度」

散度 A A scalaryx zAA Adiv ax y z

partpart partequiv nabla sdot = + + =

part part part （4-69）

旋度

y yz x z x

ˆ ˆ ˆ y z A vector

A AA A A Aˆ ˆ ˆxy z z x x y

x y z

x y z

xcurl A a

A A A

y z

⎧⎪

= nablatimes = part part part =⎪⎪⎨⎪

part part⎛ ⎞ ⎛ ⎞part part part part⎛ ⎞⎪ = minus + minus + minus⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎪ part part part part part part⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎩

(4-70)

這裡定義的只是「散度」與「旋度」所謂「操作型的定義」告訴我

們如何計算的式子事實上她們都具有重要的物理意義我們在後面

會討論

ex34 ˆ ˆA xy yx= minus 求其散度與旋度

解 0 0y xAx ypart part

nablasdot = minus + =part part

ˆ ˆ ˆ y zˆ ˆ ˆ ˆ 0 0 ( 2) 2

0 x y z

xA x y z z

y xnablatimes = part part part = minus + minus = minus

minus

右圖示意了本向量場的分佈看得出像個漩渦也看到算出的旋度

0ne 看來旋度表現的應該是向量場「旋轉的程度」事實上我們在

後面會看到「旋度」表現的就是是向量場在空間各點「旋轉的程度」

本題的向量場在每一點的旋轉程度都一樣

4-36

Ex35 ( )ˆ ˆ ˆ A xx yy zz r= + + = 求其散度與旋度

解 3A rnablasdot = nablasdot = ˆ ˆ ˆ y z

0

x y z

xA

x y znablatimes = part part part =

由場分佈的示意圖可以看出本向量場是自原點向外射出好似在原

點有一個場線的「源頭 source」但是 3Anablasdot = 為一個常數表示好像到

處都有 source同時旋度為 0 也可以配合本場並無旋轉的形象事實

上「散度」表現的就是是向量場在空間各點產生「場線」的 source

記得靜電學裡的庫倫定律 0E ρ εnablasdot = 電場的散度就是「電荷密度」

(電場的 source)前一題的向量場看來對應的場線是封閉的所以沒有

source這也對應了其散度＝0不過一個向量場的散度旋度究竟是

多少應該詳細的計算場分佈圖形有時候不是那麼容易看的清楚

兩個 useful identities (恆等式)

(a) ( ) 0 0f curl of a gradnablatimes nabla = =

(b) ( ) 0 0A div of a curlnablasdot nablatimes = =

pf (a) ( )ˆ ˆ ˆ x y z

x y z

x y z

ff f f

nablatimes nabla = part part part

part part part

( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2xz zxˆ ˆ ˆx y f- f z 0yz yz xy yxf f f f= part minus part minus part part + part minuspart =

這個結果與真實的向量外積 ( ) AA 0=times 有相似之處但是這只是特

例要記得nabla並不是一個真正的向量

( ) ( ) ( )

( )

ˆ ˆ ˆ y zˆ ˆ ˆ x y z

0

x y z y z z y x z z x x y y x

x y z

xy z xz y xy z yz x xz y yz x

xA A A A A A A

A A A

A A A A A A A

nablatimes = part part part = part minus part minus part minus part + part minus part

nablasdot nablatimes = part minuspart minuspart +part +part minuspart =

4-37

此結果與真實的向量運算有相似之處 ( )( )0 (B A) BB B Asdot times = times perp∵

但是這仍只是特例因為我們可由下列例子 ( ) 0A Asdot nablatimes ne 看出事實上

nabla並不是一個真正的向量 Ex36 ˆ ˆ ˆA xy yx zx= minus +

( )

ˆ ˆ ˆ y zˆ ˆ ˆ 0 1 ( 2)

2 0

x y z

xA x y z

y x x

A A x x x

nablatimes = part part part = minus + minus

minus

sdot nablatimes = minus = minus ne

面積元素向量

物理上時常會遇到面積分例如電通量磁通

量等等考慮一個面積元素 ds定義「面積的

方向」為其「法線方向」並定義面積元素向量

ˆnds a dsequiv （4-71）

要注意的是(1)如果 ds 是一個「封閉面

closed surface」（即有裡外之分）的一部

份則 ˆna 定義為「由內向外」(2) 如果 ds

是一個「開放面 opened surface」（即分不

出裡外）的一部份那麼 ds 必被其邊緣

（一個封閉的曲線 C）所包圍這樣在定

出ds 的方向之前要先定義「邊緣曲線」

C 的方向再由右手定則定義 ˆna 的方向

既然面積已為一個向量就可以寫為分量表示以直角座標

ˆ ˆ ˆx y zds xds yds zds= + + (4-72)

那麼這些分量 dsx dsy dsz 會是什麼既然 dsx 的方向是 x 就表示 dsx

是躺在 y-z 平面上所以 dsx 的兩邊是 dy 與 dz rArr xds dydz= 依此類

4-38

推 dsy 的方向是 y 所以躺在 x-z 平面rArr yds dxdz= hellip可以得知

xds dydz= yds dxdz= zds dxdy= （4-73）

不過要注意在寫面積元素時要看討論的面實際

是什麼面上式的三個分量有可能會是負的例如

左圖座落在第一象限的立方體的 A 面方向就在 xminus

方向Arsquo面在 yminus Ardquo面在 zminus 方向寫面積元素最

好是先把討論的面的方向搞清楚把plusmn號寫在單位向量前面那麼分

量就都用＋的即可其實面積元素體積元素都可以由位移元素看出

ˆ ˆ ˆdr xdx ydy zdz= + +

dx dy dz 是沿著 ˆ ˆ ˆ x y z 方向的長度所以面積元素分量的兩邊長度就

是由其中兩個組成而體積的三邊也就是三個垂直方向的長度

x y zdV dx dy dz and ds dydz dxdz dxdyrArr = = （4-74）

這個概念在其他的座標系統也成立我們可以方便的寫出面積元素

Recall 柱座標的位移向量元素

cylindrical coordinate ˆ ˆ ˆdr d d dzzρρ ρ ϕϕ= + + （4-48）

ˆ ˆ ˆ zds ds ds zdsρ ϕρ ϕ= + + (4-75)

dsρ 躺在 zϕ minus 平面dsϕ 在 zρ minus 平面 zds 在ρ ϕminus 平面

rArr zds d dz ds d dz ds d d d dρ ϕρ ϕ ρ ρ ρ ϕ ρ ρ ϕ= = = sdot = （4-76）

上面的結果畫個圖看看吧球座標的位移向量元素

Spherical coordinate ˆ ˆˆ ( ) ( sin )dr rdr rd r dθ θ ϕ θ ϕ= + + （4-56）

ˆ ˆˆ rds rds ds dsθ ϕθ ϕ= + + （4-77）

rArr sin sin rds rd r d ds dr r d ds rd drθ ϕθ θ ϕ θ ϕ θ= sdot = sdot = sdot (4-78)

4-39

向量場 ( )A r 在 S 面上的「面積分（surface integral）」or「flux」

如左圖若有一「平面」S 且其上有「均勻」

場 B 分佈則通過 S 面的通量就是

ˆB B nSΦ = sdot

但考慮一任意「非均勻」向量場 ( )A r 在空間分佈選取任意曲面 S

探討 ( )A r 在 S 上之通量若ds 為 S 面上的面積元素在趨近於 0 的

小面積ds 上 A可視為均勻所以通過ds 之通量為 ( )d A r dsΦ = sdot 則 S

面之總通量為

Φ＝ ˆ cosS S S

A ds A nds A daϕsdot = sdot =int int int

( )OR

x x y y z zS

A da A da A da= + +int (4-75)

稱為 A 在 S 面上的「面積分」或「通量 flux」

上圖所繪就是一個任意面上分割出許多小面積舉出三個位置的通

量有+-與 0如果 S 面是為一「封閉面」則面積分寫為

S

A dssdotint （4-76）

4-40

ex37 Given 2ˆ ˆ ˆyzA xyz yx zx= + + 計算通量S

A dssdotint

S 面為在第一象限邊長＝1 的立方體表面封閉面

解立方體分為前後右左上下六個面分開算 1前面（x=1）

方向 x+ ˆ xA ds A xdydz A dydzsdot = sdot =int int int前 前 前

yzdydz= int前 ＝1 1

0 0

1 1 12 2 4

ydy zdz = sdot =int int

2後面(x=0)方向 xminus ˆ(- ) - xA ds A x dydz A dydzsdot = sdot =int int int後 後 後

yzdydz= minusint後1 1

0 0

-1 1 -12 2 4

ydy zdzminus = sdot =int int

3 右面（y=1）方向 y+ y ( 1)yA ds A dxdz A y dxdzsdot = sdot = =int int int右 右 右

( 1)x y zdxdz= =int右 ＝1 1

0 0

1 1 12 2 4

xdx zdz = sdot =int int

4 左面（y=0）方向 ˆ-y ˆ( y) - ( 0)yA ds A dxdz A y dxdzsdot = sdot minus = =int int int左 左 左

( 0) 0x y zdxdz= = =int左

5 上面（z=1）方向 z+ zz y (z 1) yA ds A dxd A dxdsdot = sdot = =int int int上 上 上

2 yx dxd= int上 ＝1 120 0

1 1y 13 3

x dx d = sdot =int int

6 下面（z=1）方向 ˆ-z zˆ(-z) y - (z 0) yA ds A dxd A dxdsdot = sdot = =int int int下 下 下

2 -1- y3

x dxd= =int下 ＝1 120 0

1 1y 13 3

x dx d = sdot =int int

S

A dssdotint ＝六個面的和＝1 1 1 1 1 1( ) ( 0) ( )4 4 4 3 3 4

minus minus+ + + + + =

ex38 Given ˆ ˆ ˆzA xyz yx zxy= + + 計算通量S

A dssdotint S 為圓 2 2 2x y a+ =

在第一項限的部分方向選為 z+ 2 2y a x= minus

4-41

解 2 2 4

0 0ˆ

8a a x

zS S S S

aA ds A zdxdy A dxdy xydxdy xdx ydyminus

sdot = sdot = = = =int int int int int int

Ex39 In cylindrical coordinate Given ˆ ˆaA zbzρρ

= + where a b are

constants Find S

A dssdotint over the surface of a

closed cylinder about z-axis specified by 3 2z ρ= plusmn =

解S 分為上下與周邊三面

zz (z 3)zA ds A ds A d dρ ρ ϕsdot = sdot = = sdotint int int上 上 上

= 23 3 2 12bd d b bρ ρ ϕ π πsdot = sdot =int上

ˆ(-z)A ds A d dρ ρ ϕsdot = sdot sdotint int下 下

= z- (z -3)A d dρ ρ ϕ= sdotint下 = 23 2 12b bπ πsdot =

周邊ds ˆ ( )d dzρ ρ ϕ= rArr ˆ ( ) z ( ) zA ds A d d A d dρρ ρ ϕ ρ ϕsdot = sdot =int int int周 周 周

2 3

0 3( ) z ( ) z=a 12aA d d d d d dz a

πρ ρ ϕ ρ ϕ ϕ π

ρ minus= = =int int int int周 周

加起來 S

A dssdotint ＝12 24 12 ( 2 )a b a bπ π π+ = +

ex40 一點電荷 q 置於原點計算在一個以原點為圓心 0r 為半徑的球

面上的電通量

解 2 20 0

ˆ ˆ4 4S S

qr q dsE ds rdsr rπε πε

sdot = sdot =int int int

=0 0 0

44 4S

q q qd ππε πε ε

sdot Ω = sdot =int

上式中 dΩ 2dsr

= 是 ds 所張開的「立體角」(solid angle)

4-42

div A and Flux 通量與散度的幾何物理意義

我們運用過nabla的符號來表示過散度 divF F= nablasdot yx zFF Fx y z

partpart part= + +part part part

但是也看到「散度」定義為

0( )

1( ) limSV

about x y z

divF x y z F da divergence of FVΔ rarr

equiv sdot =Δ int (4-77)

其中 VΔ 為 S 面所包含的體積即散

度為通量(體)密度的 0 體積極限

（4-77）的定義與 Fnablasdot 好像差的很

多她們是說同一回事嗎以下證明

這兩種「散度」的定義是等價的如

左圖考慮一個以點 ( ) x y z 為中心

的 立 方 體 其 相 鄰 三 邊 長 為

x y zΔ Δ Δ 體積 V x y zΔ = Δ Δ Δ 現在計算 F 在立方體的一組平行於 y-z平面的表面 S1 與 S2 的通量

( )1 1

ˆ ˆ xS S

F nds F xds F x y z dsrArr sdot = sdot =intint intint intint 2xxF x y z y zΔ⎛ ⎞asymp + Δ Δ⎜ ⎟

⎝ ⎠

其中 2xx y zΔ⎛ ⎞+⎜ ⎟

⎝ ⎠為 S1 面中心的座標而

2xx y zΔ⎛ ⎞minus⎜ ⎟

⎝ ⎠為 S2 面的中心

( ) ( )2 2 2

ˆ ˆ 2x x

S S S

xF nda F x ds F x y z ds F x y z y zΔ⎛ ⎞rArr sdot = sdot minus = minus asymp minus minus Δ Δ⎜ ⎟⎝ ⎠intint intint intint

上式中的負號來自 S2 面的方向是 xminus 所以合併兩個面積分

1 2

ˆ 2 2x x

S S

x xF nds F x y z F x y z y z+

Δ Δ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞rArr sdot asymp + minus minus Δ Δ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦intint

2 2x xx xF x y z F x y z

x y zx

Δ Δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠= Δ Δ Δ

Δ

2 2

x xx xF x y z F x y z

Vx

Δ Δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠= Δ

Δ

1 2

1 2 2ˆ

x x

S S

x xF x y z F x y zF nds

V x+

Δ Δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠rArr sdot asymp

Δ Δintint

4-43

當取體積向(xyz)點收縮至 0 時即 0 x 0as VΔ rarr Δ rarr 上式的近似

「asymp」就成了「＝」

1 20

1 ˆlimV

S S

F ndsVΔ rarr

+

sdotΔ intint

( )0

2 2limx x

x

x

x xF x y z F x y z F x y zx xΔ rarr

Δ Δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟ part⎝ ⎠ ⎝ ⎠= =Δ part

Similarly F 在立方體的一組平行於 x-z 平面的表面 S3 與 S4 的通量

3 3 3

ˆ ˆ yS S S

F nds F yds F dsrArr sdot = sdot =intint intint intint

2

2

y

y

yF x y zyF x y z x z x y z

y

Δ⎛ ⎞+⎜ ⎟Δ⎛ ⎞ ⎝ ⎠asymp + Δ Δ = Δ Δ Δ⎜ ⎟ Δ⎝ ⎠

( )4 4 4

2ˆ ˆ

y

yS S S

yF x y zF nds F y da F ds x y z

y

Δ⎛ ⎞minus⎜ ⎟⎝ ⎠rArr sdot = sdot minus = minus asymp Δ Δ Δ

Δintint intint intint

合併 S3 與 S4 兩個面積分並取體積向(xyz)點收縮至 0 時即當

0 y 0VΔ rarr Δ rarr 上式的近似asymp就成了＝

3 4

2 2ˆ

x x

S S

y yF x y z F x y zF nds V

y+

Δ Δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠rArr sdot cong Δ

Δintint

3 40 0

1 2 2ˆlim lim

x xy

V yS S

x yF x y z F x y z FF nds

V y yΔ rarr Δ rarr+

Δ Δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟ part⎝ ⎠ ⎝ ⎠rArr sdot = =Δ Δ partintint

與上面相同的作法計算 F 在立方體的一組平行於 x-y 平面的表面 S5

與 S6 的通量我們也會得到對應的結果

5 6

2 2ˆ

z x

S S

z zF x y z F x y zF nds V

z+

Δ Δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠rArr sdot cong Δ

Δintint

5 60 0

1 2 2ˆlim lim

z xz

V zS S

z zF x y z F x y zFF nds

V z zΔ rarr Δ rarr+

Δ Δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟ part⎝ ⎠ ⎝ ⎠rArr sdot = =Δ Δ partintint

所以合併立方體的 6 個面積分

4-44

1 2 3 4 5 6

ˆ ˆ ˆ ˆS S S S S S S

F nds F nds F nds F nds+ + +

rArr sdot = sdot + sdot + sdotint intint intint intint

0

1 ˆlim yx zV

FF FF nds div F FV x y zΔ rarr

partpart partrArr sdot = + + = = nablasdot

Δ part part partint (4-78)

在此我們得證這兩種「散度」的定義是等價的只是（4-77）的定義

充分的表現出「散度」的幾何物理意義他從通量著手由於場線

出自於 source（ex電場源自於點電荷）所以在點(xyz)必須有向量場

F 的 source 存在才能使得當面積縮到 0 時仍具有非 0 的通量所以「散

度」表現向量場 F 的 source 在這個定義之下是很清楚的當然在計算

「散度」時我們不必那麼麻煩用 divF F= nablasdot 就好了

Ex41 計算 2ˆ ˆ ˆF xx yxy zyz= + + 的散度

解 2 yx zFF Fx x yx y z

partpart part= = =

part part part F 2x x y 3x ydivrArr = + + = +

recall 在靜電學0

yx zEE EEx y z

ρε

partpart partnablasdot = = + +

part part part

散度定理 Divergence Theorem

若任意封閉面（又稱為「高斯面」）S 所包圍的

體積為 V 則

S VA ds Adτsdot = nablasdotint int （4-79）

pf 我們先將體積分割成 N 個小盒子考慮相鄰的兩個小盒子 1 2

兩小盒子的共用面面積 S0當 S0 是為 1 號盒子的一部份時其方向為

1n 但若當為 2 號盒子的表面時其方向為 12 ˆˆ nn minus= 如此在 S0 分別做

4-45

1 2 盒子的面積分後

0 0

0 0 0 0

1 2

1 2 1 1ˆ ˆ ˆ ˆ 0

S S

S S S S

A ds A ds

F n ds F n ds F n ds F n ds

sdot + sdot

= sdot + sdot = sdot minus sdot =

intint intintintint intint intint intint

所以若求場 A 在 1 2 盒子的總通量時交界面是沒有貢獻的總通量

就只有「外面積」才有貢獻如此我們計算 N 個小盒子的總通量

時所有的內部共用面都得 0只剩下「外表面」的貢獻了當 infinrarrN

時所有小盒子的「總外表面」就與 S 面重合了所以所有小盒子通量

的總和就等於 S 面的通量

1lim

i

N

S SN iA ds A ds

rarrinfin=

rArr sdot = sdotsumint int

現在我們做 N 個小盒子的總通量

1 1

1i i

N N

iS Si i i

A ds A ds VV= =

⎛ ⎞sdot = sdot Δ⎜ ⎟Δ⎝ ⎠

sum sumint int

當 0iN Vrarrinfin rArr Δ rarr 並用 dv 表示體積元素

( ) ( )1 1

1

1lim lim lim

lim

i ii

N N

iS SN N V oi i i

N

i VN i

A ds A ds VV

A V A dv

rarrinfin rarrinfin Δ rarr= =

rarrinfin=

⎛ ⎞sdot = sdot Δ⎜ ⎟Δ⎝ ⎠

= nablasdot Δ = nablasdot

sum sumint int

sum int

( )S V

A da A dvrArr sdot = nablasdotint int QED

所以得證散度定理上式中我們用了散度的（4-77）式定義要分辨

清楚 Anablasdot 是向量場 A 在空間中「某一點」的性質（ 0VΔ rarr ）而「散

度定理」說的是一個「有限體積」的性質

ex42 給定 ( ) ˆ ˆ ˆ A x y z xx yy zz r= + + = 計算在

半徑 R＝1 的球的上半球加底面的通量

4-46

解 ( )ˆˆS

A da A rda A k darArr sdot = sdot + sdot minusint int int上半球面 底面

( )

2

ˆ ˆ

0 2 1 2

A rda A z dxdy

r rds zdxdy rds ds π π

= sdot + sdot minus

= sdot minus = minus = = sdot =

int int

int int int int上半球面 底面

上半球面 底面 上半球面

底面的通量＝0 是因為 A 的 z 分量 Az=z 在底面的值為 0

也可以用散度定理更快的得出結果

∵ 3A rnablasdot = nablasdot =

31 43 3 1 22 3V V

Ad d πτ τ πnablasdot = = sdot sdot sdot =int int

ex43高斯定律的微分形式積 由 Gaussrsquo law 的積分形式用散度定理得出其

( )0 0

1 inS V

qE ds x y z dvρε ε

sdot = =int int

0S V VE ds Edv dvρ

εrArr sdot = nablasdot =int int int

上式最後的等式對「任意形狀」V 都成立所以兩者的被積函數相等

對於空間每一點 0

E ρε

nablasdot = （4-80）

ex44 Use 第一象限的單位力方體 check the divergence theorem using the function 2 2ˆ ˆ ˆ(2 ) 2A y x xy z y yzz= + + +

解2

2( ) (2 )(2 ) 2( )y yzA xy z x yx y z

part part partnablasdot = + + + = +

part part part

and 1 1 1 1 1 1

0 0 0 0 0 02 ( ) 2 ( )

VAdv x y dxdydz dz dy x y dxnablasdot = + = +int int int int int int int

1 1

0 0

1 12 ( ) 2 12 2

dz y dy= + = sdot =int int

面積分 1 1 2

0 0

1ˆ3

A ds A xdydz dz y dysdot = sdot = =intint intint int int前 前

4-47

1 1 2

0 0

1ˆ( )3

A ds A x dydz dz y dy minussdot = sdot minus = minus =intint intint int int

後 後

1 1 2

0 0ˆ (2 )A ds A ydxdz dz xy z dxsdot = sdot = +intint intint int int

右 右

1 1 1 12 2

0 0 0

4(2 ) (1 )3

ydz x z dx dz z

=

= + = + =int int int∵

1 1 2

0 0

0 1 1 12 2

0 0 0

ˆ( ) (2 )

1(1 )3

y

A ds A y dxdz dz xy z dx

dz z dx dz z=

sdot = sdot minus = minus +

minus= minus = + =

intint intint int int

int int int∵

左 左

11 1 1 1

0 0 0 0ˆ 2 2 1

zA ds A zdxdy dx yzdy dx ydy

=sdot = sdot = = =intint intint int int int int

∵

上 上

01 1

0 0ˆ 2 0

zA ds A zdxdy dx yzdy

=sdot = sdot minus = minus =intint intint int int

∵

下 下

前後右左上下六個面積分合併＝1＝V

Advnablasdotint QED

ex45 Continuity Equation 連續方程式

考慮某些「東西」的流動（物質電荷hellip）在時刻 t 時在點(xyz)

的 密 度 為 ( ) x y z tρ ρ= 並 具 有 速 度

( ) v v x y z t= 在時刻 t 時在體積 V 內的總量為

( ) x y z t dρ τintintint

這樣體積 V 內東東的時變率為

( ) ( ) d x y z t d x y z t ddt t

ρρ τ τpart=

partintintint intintint

注意體積分後的時間全微分移入積分內要改為偏微分這個東東

在表面的「流率 flow rate」可表為

ˆS

R v ndsρ= sdotintint

若體積內的物料無法自生自滅那麼體積內物料的變化必經由表面的

流出流入所造成

d v ndstρ τ ρpart

rArr = minus sdotpartintintint intint

由散度定理

4-48

( )ˆS

v nds v d dtρρ ρ τ τpart

sdot = nablasdot = minuspartintint intintint intintint

( )v Jtρ ρpart

rArr = minusnablasdot equiv minusnablasdotpart

0Jtρpart

rArr +nablasdot =part

（4-81）

(4-81) 即 continuity equation其中 J vρ= 為「物流密度」ex如果 ρ

是電荷密度 J 就是電流密度（4-81）是物質守恆的結果只對體

積內無 source（生成）or drain（消滅）的東東成立

ex46 Given a vector field ˆ ˆx yA ye xe= minus + (a) Find

Anablasdot (b)如圖一個金字塔狀的 5 面體高 2 底邊長

1計算 A在整個金字塔表面（封閉面）的總通量

解(a) Anablasdot = ( ) ( ) 0y xx ypart part

minus + =part part

(b) 金 字 塔 的 表 面 面 積 元 素 ds 不 好 寫 所 以 用 散 度 定 理

( )S V

A da A dvrArr sdot = nablasdotint int ＝0 Anablasdot 表示 A沒有 source 所以對封閉面而

言有多少場線進入就有多少出去所以總通量＝0

習題 7 With position vector r for an arbitrary volume V that is

bounded by surface S show that 13 S

r ds Vsdot =int

習題 8 已知一靜電場為 ˆ ˆ ˆ( )E xyz yxz zxyλ= + + 運用 Gaussrsquo law

試求包含在半球 2 2 2 2 0x y z R z+ + = ge 裡的總電荷 Ans 0

習題 9 (a) given ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( 2 )F r xf x yf y zf z= + + minus show that divF is

zero at point (c c -c2) (b) given ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( )G r xf x z yg x z zh x y= + +

show that ( ) 0G rnablasdot =

4-49

習題 10 Find the normal vector n for the surfaces (a) z = 2-x-y ans

ˆ ˆ ˆ( ) 3x y z+ + (b) z = (1-x2)12 ans ˆ ˆxx zz+ (c) z = x2+y2

ans ˆ ˆ ˆ( 2 2 ) 1 4xx yy z zminus minus + +

習題 11 Show that the unit vector normal to the plane ax+by+cz =d is

given by 2 2 2ˆ ˆ ˆ( ) ax by cz a b cplusmn + + + +

圓柱座標與球座標的nabla (del)

考慮一純量場在直角座標為 ( ) u x y z 在圓柱座標表為 ( ) u zρ φ

再考慮因位移 r r drrarr + 所造成 u ( )zρ φ 的變化

( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆz

z

u u udu d d dz u dr u d d zdzz

u u z u d d zdz

u d u d u dzρ ϕ

ρ ϕ

ρ ϕ ρ ρ ϕρ ϕρ ϕ

ρ ϕ ρ ρ ϕρ ϕ

ρ ρ ϕ

part part part= + + = nabla sdot = nabla sdot + +part part part

⎡ ⎤= nabla + nabla + nabla sdot + +⎣ ⎦= nabla + nabla + nabla

( ) ( ) ( )1

1ˆ ˆ ˆu

z

u u uu u uz

u u uzz

ρ ϕρ ρ ϕ

ρ ϕρ ρ ϕ

part part partrArr nabla = nabla = nabla =

part part partpart part part

rArrnabla = + +part part part

1ˆ ˆ ˆ zz

ρ ϕρ ρ ϕpart part part

nabla = + +part part part

（4-82）

注意nabla的ϕ -分量( 1ρ ϕ

partpart

)不是像直角座標裡單純的ϕpartpart

所以不要笨笨

的就把直角座標的形式硬套上去用我們也可以從「因次分析」來

看nabla因為是對空間的微分所以每一項的因次必須是「長度分之一」

運算 andzρ

part partpart part

都是「長度分之一」而「單純的ϕpartpart

」是沒有單位的

所以要1ρ ϕ

partpart

才 OK

由於圓柱座標裡的單位向量除了 z 之外 ˆ( )ρ ϕ 與 ˆ( )ϕ ϕ 都不是常

4-50

數所以在微分時不可以與微分運算交換而要考慮微分的作用所

以在「圓柱座標」寫「散度」 ( ) F zρ ϕnablasdot 也和直角座標不一樣

( )1ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ zF z F F zFz ρ ϕρ ϕ ρ ϕ

ρ ρ ϕpart part part⎛ ⎞

nabla sdot = + + sdot + +⎜ ⎟part part part⎝ ⎠

( ) ( )1ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆz zF F zF F F zFρ ϕ ρ ϕρ ρ ϕ ϕ ρ ϕρ ρ ϕpart part

= sdot + + + sdot + +part part

( )ˆ ˆˆ ˆ zz F F zFz ρ ϕρ ϕpart

+ sdot + +part

因為 ( ) ( )ˆ ˆ ˆ ˆ ρ ρ ϕ ϕ ϕ ϕ= = 所以做 andzρ

part partpart part

時 ˆ ˆ ρ ϕ 可視為常數

ˆ ˆ1ˆ ˆ ˆ zF F F FF F Fz

ρ ρ ϕρ φ

ρ ϕϕ ρ ϕρ ρ ϕ ϕ ϕ ϕ

part part part⎡ ⎤part part partrArrnablasdot = + sdot + + + +⎢ ⎥part part part part part part⎣ ⎦

還記得 ˆ ˆ ˆ ˆd d d dρ ϕ ϕ ϕ ρ ϕ= = minus 所以 ˆ ˆρ ϕϕpart

=part

ˆ ˆϕ ρϕpart

= minuspart

rArr

( )1 1 1z zF F F FF FF Fz z

ρ ρ ϕ ϕρρ

ρ ρ ρ ϕ ρ ρ ρ ϕpart part part part

nablasdot = + + + = + +part part part part part part

（4-83）

在球座標寫nabla也會遇到相似的問題其根源就是球座標 ( )r θ ϕ 裡

的 θ ϕ 的因次並非長度而三個單位向量 ˆ ˆˆ r θ ϕ（表為 ie ）都是( θ ϕ )

的函數以致

( )ˆ ˆ( ) ( )i ie f e fθ ϕ θ ϕθ θpart part

nepart part

且 ( )ˆ ˆ( ) ( )i ie f e fθ ϕ θ ϕϕ ϕpart part

nepart part

所以nabla也不似在直角座標那麼簡單我們不在這裡推導而是給出一

個歸納的統一的三個座標的結果還記得對每一個座標 iu i = 123

座標的變化 idu 與造成的長度變化 id

i i id h du= 123i = (4-84)

其中 ih 為對應的度量係數(metric coefficient)

4-51

1 2 3

1 1 2 2 3 3

1 1 1ˆ ˆ ˆu u ue e eh u h u h u

part part partnabla equiv + +

part part part （4-85A）

座標 1 2 3 u u u

度量係數

1 2 3 h h h

nabla grad del

直角 x y z

1 1 1 nabla ˆ ˆ ˆx y z

x y zpart part part

equiv + +part part part

圓柱

zρ ϕ

1 1ρ

1ˆ ˆ ˆ z

zρ ϕ

ρ ρ ϕpart part part

nabla equiv + +part part part

球

r θ ϕ

1 sinr r θ

1 1ˆ ˆˆ

sinr

r r rθ ϕ

θ θ ϕpart part part

nabla = + +part part part

（4-85B）

梯度gradient Vnabla grad(V) 散度divergence Anablasdot div( )A

直

角 nablaV ˆ ˆ ˆV V Vx y z

x y zpart part part

= + +part part part

yx zAA AAx y z

partpart partnablasdot = + +

part part part

圓

柱

1ˆ ˆ ˆ V V VV zz

ρ ϕρ ρ ϕpart part part

nabla = + +part part part

( )1 1

1

z

z

A AA Az

A A A Fz

ϕρ

ρ ρ ϕ

ρρ ρ ρ ϕ

ρ ρ ρ ϕ

partpart partnabla sdot = + +

part part partpart part part

= + + +part part part

球

1 1ˆ ˆˆ sin

V V VV rr r r

θ ϕθ θ ϕ

part part partnabla = + +

part part part

22

1 ( )rA r Ar r

partnabla sdot =

part

1 (sin )sin

Ar θθ

θ θpart

+ sdotpart

1sin

Ar

ϕ

θ ϕpart

+part

(4-86)

Ex47 Using spherical coordinate show that 1| |r r

nablaminus

= 2

ˆ| |

r rer r

minusminusminus

where

nabla是作用在 r 而 ˆr re minus 是向量 r rminus 方向的單位向量 解let r lies in z-axis so that the angle between r and r is just θ

4-52

rArr ( ) 122 21 1 2 cos | | ( ) ( )

r rr rr r r r r r

θminus

= = minus +minus minus sdot minus

( ) ( )12 122 2 2 21 1ˆˆ 2 cos 2 cos | |

r r rr r r rr rr r r r

θ θ θθ

minus minuspart partnabla = minus + + minus +

minus part part

( ) 322 21ˆ 2 cos (2 2 cos )2

r r rr r r rθ θminusminus

= minus + minus

( ) 322 21ˆ 2 cos (2 sin )2

r rr r rrθ θ θminusminus

+ minus +

3 3 3 3

ˆˆ ˆ( cos ) sin ( cos sin )ˆˆ| | | | | | | |r r r rr r rrr r r r r r r r

θ θ θ θ θθminus minus minus minus minus= + = +

minus minus minus minus

3 3 3ˆ ( )

| | | | | |r r z r r r rr r r r r rminus + minus + minus minus

= = =minus minus minus

＝ 2

ˆ| |

r rer r

minusminusminus

QED

證明最後我們用到 ˆˆˆ cos sinz r θ θ θ= minus 而 ˆ r r z= 因為我們選了 r 是

躺在 z-軸 Ex48 For arbitrary scalar field ( )f r and vector field ( )A r 證明恆等式

( )fA f A f Anablasdot = nabla sdot + nablasdot (4-87) 解 ˆ ˆ ˆx y zfA xfA yfA zfA= + +

( ) ( ) ( ) ( )x y zfA fA fA fAx y zpart part part

rArrnablasdot = + +part part part

yx zx x x

AAf f f AA f A f A fx x y y z z

partpartpart part part part= + + + + +part part part part part part

yx zx y z

AAf f f AA A A fx y z x y z

part⎛ ⎞partpart part part part= + + + + +⎜ ⎟part part part part part part⎝ ⎠

f A f A= nabla sdot + nablasdot QED 習題 12 一個位於原點的電偶極電偶極矩＝ ˆp pz= 已知其在遠處

的電位為 20

cos4p

rθ

πε試證該處的電場強度為 E = 3

0

ˆˆ( 2cos sin )4

p rr

θ θ θπε

+

(已知 E V= minusnabla )並請計算 Enablasdot ＝

習題 13 給定一向量場2

3cosˆD r

rϕ

= 現有兩個球心在原點的同心球

內球半徑 R＝1外球 R＝2(a)求面積分S

D dssdotint S 為同心球殼的表

面（有內外兩個面）(b)求體積分V

Ddvnablasdotint V 為兩同心球之間的

區域本題也是來 check 散度定理的Ans πminus

4-53

The Laplacian operator 2nabla equivnablasdotnabla

在直角座標可以用直接作用得到

2 2 2

22 2 2u u uu u

x y zpart part part

nabla equiv nablasdotnabla = + +part part part

(4-88)

圓柱座標

2 2

22 2 2

1 1( ) u u uu uz

ρρ ρ ρ ρ ϕ

part part part part⎛ ⎞nabla equiv nablasdot nabla = + +⎜ ⎟part part part part⎝ ⎠

(4-89)

球座標

2

2 22 2 2 2 2

1 1 1sinsin sin

u u uu rr r r r r

θθ θ θ θ ϕ

part part part part part⎛ ⎞ ⎛ ⎞nabla = + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟part part part part part⎝ ⎠ ⎝ ⎠ （4-90）

習題 14 verify (4-89) and (4-90)

習題 15 Given a dipole potential V= 20

cos4p

rθ

πε find 2Vminusnabla

sect 433 Line integral and curl A 線積分與與旋度的物理意義

線積分路徑積分

考慮一曲線 C 通過兩點 ( )i i i iP x y z 與

( )f f f fP x y z 現有一向量場 ( )A x y z 定義在

C 所在的空間若 sd 為 C 上位於(xyz)點的

「路徑元素」（ ˆd td= 方向沿該處切線）而

( )A x y z 為路徑元素d 處的場值則沿 C 經歷各點所做積分

cos cosf

CC C iA d Ad A dϕ ϕrarr rarrsdot = =int int int （4-91）

稱為向量場 ( )A x y z 沿路徑 C 自 pi 至 pf 的「線積分」「或「路徑積分」

積分裡 A 取值的點侷限在路徑 C 上面若為一個「封閉路徑」則對

C 的線積分也稱做「環路積分 closed contour integral」記做

C

A dsdotint （4-92）

4-54

物理量「做功」是最標準的線積分之一力 F 自 x = a 至 x = b「沿線」

x 軸做功

W＝ F dxsdotint ＝ ( )b

xaF x dxint （4-93）

質點在力場 )(rF 裡走一條曲線 C則力場做功

CW F d= sdotint （4-94）

還記得如果 ( )F r 是所謂「保守力」則上式只與始末點有關而與

路徑無關但如果 ( )F r 是所謂「非保守力」則做功與確實的路徑 C

有關

現考慮一質點在空間運動的位置 r 落在由曲線 C

描述的路徑則質點的位移元素與曲線 C 的路徑元

素相同 d dr= 若空間有向量場 A 分佈則 A 在 C 的

路徑積分以直角座標表示為

CA drarr rarrsdotint ＝

CA d rrarr rarrsdotint ＝ ( )x y zC

A dx A dy A dz+ +int （4-95）

上式中的 x y z 的積分限由 C 決定

Ex49 2 2 2ˆ ˆ ˆA xx yy zzrarr= + + 選定一路徑 C 為曲線

2y x= 由 (000)到 (2 20)的部分求C

A dsdotint

解 ˆ ˆd xdx ydy= +∵

CA dsdotint ＝ 2 2( )

Cx dx y dy+int ＝

2 22 2

0 0x dx y dy+int int

＝ )24(32

+

或由 2y x= rArr 2ydy dx= 2 12

y dy xdxrArr =

rArrC

A dsdotint ＝2 2

0

1( )2

x x dx+int ＝2 (4 2)3

+

4-55

ex50 ˆ ˆ( )f x y z xy yx= minus Do C

f dsdotint 其中的路徑 C 為一逆時針三角

形如圖 解∵路徑全部在 x-y 平面 ˆ ˆ ˆd td xdx ydy= = +

rArrC

f dsdotint ＝ x yC

f dx f dy+int ＝C

ydx xdyminusint

由於在 C1 上 y = 0 及 dy = 0 所以 01

=intC 又由於在

C3 上 x = 0 及 dx =0所以 03

=intC 所以只剩下 C2 可

能有貢獻由 2C 的方程式x + y =1rArr ⎩⎨⎧

minus=minus=

xyyx

11

rArr2Cydx xdyminusint ＝

0 1

1 0(1 ) (1 )x dx y dyminus minus minusint int ＝

0 12 2

1 0

( ) ( )2 2x yx yminus minus minus ＝-1

Cf dsdotint ＝-1

ex51 ( )f x y zrarr

= 2ˆ ˆxx yxyminus 如右圖doC

f dsdotint 其

中路徑 C 為第一象限的逆時針 14 圓弧

解∵ 全部在 x-y 平面 ˆ ˆd xdx ydy= +

Cf dsdotint ＝ 2

Cx dx xydyminusint

由於在 C 上 cosx R ϕ= rArr sindx R dϕ ϕ= minus

siny R ϕ= rArr cosdy R dϕ ϕ=

rArr 2

Cx dx xydyminusint ＝

2 2 2 2

0cos ( sin ) sin cos cosR R d R R d

πϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕminus minus sdotint

23 2

02 cos sinR d

πϕ ϕ ϕ= minus int ＝

323Rminus

又路徑為圓周一部份所以適合用極座標表示

ˆd Rdϕ ϕ= 又由左圖將 ˆ ˆx y 拆解（投影）到 ˆˆr ϕ

ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆcos sin sin cosx r y rϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ= minus = +

4-56

( )2ˆ ˆ ˆˆ ˆ( cos sin ) ( sin cos )C C

f d r x r xy Rdϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕsdot = minus minus + sdotint int 2

2 2 2

0

sin (cos )

sin ( cos ) (cos ) cos sin

Cx Rd xyRd

R Rd R Rdπ

ϕ ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ

= minus minus

= minus minus

intint

23 2

02 cos sinR d

πϕ ϕ ϕ= minus int ＝

323Rminus

這也驗證了散度定理

Path Independence 路徑獨立性

Ex52 證明庫倫力為「保守力」考慮

電荷 q0 位於原點及電荷 q 位於

( )r x y zrarr= q 受力 F

rarr＝ 0

20

14

qq urπε

and

求庫侖力作功因為球形對稱所以

用球座標由 ˆ ˆ ru rr

= = rArr Frarr

= 03

04qq r

rπε

庫侖力由 P1 至 P2 做功為 2

1

P

CPF drarrsdotint ＝

2

1

02

0

ˆ ˆ ˆˆ sin4

P

PC

qq r rdr rd r dr

θ θ ϕ θ ϕπε

⎡ ⎤sdot + +⎣ ⎦int ＝2

1

02

04P

P

qq drrπεint

＝20

2104

r

r

qq drrπε int ＝ 0

0 1 2

1 1( )4qq

r rπεminus for all C

所以庫侖力兩點間做功與路徑無關rArr保守力

對於「保守力 conservative force」 cF 自 p1 經

由兩條不同的路徑 C1 與 C2 到達 p2

1 ccF drarrsdotint ＝

2 ccF drarrsdotint ＝-

2 ccF drarr

minussdotint

rArr1 2c cc cF d F drarr rarr

minussdot + sdotint int = cF d

rarrsdotint ＝0 (4-96）

對於任何「封閉路徑」保守力做功為 0反之若

對任一封閉路徑 0F drarrsdot neint 則兩點之間的做功與路徑有關

rarr

F 為「非

保守力」

4-57

旋度 curl Anablatimes 的幾何物理意義

我們在（4-70）式已經看過旋度的計算方式但旋度另有其意義的

ex53 給定向量場2 2

0ˆ yv yv e λrarr

minus= 左圖為場的分佈

2 20

ˆ ˆ ˆ

0 0x y z

y

x y zcurl v

v e λ

rarr

minus

= part part part ＝ ˆ ˆ ˆ0 0 0 0x y zsdot minus sdot + sdot =

我們用了簡寫 x yx ypart part

part equiv part equivpart part

可以看出這個場裡沒有「漩渦」

但是有無「漩渦」有時也不是那麼明顯可以看出的請見下一個例子

Ex54 給定向量場2 2

0ˆ xv yv e λrarr

minus= 計算其旋度 vnablatimes

解向量場 vrarr

畫在右邊你看得出有無漩渦

先計算旋度

2 20

ˆ ˆ ˆ

0 0x y z

x

x y zcurl v

v e λ

rarr

minus

= part part part2 2

2 2

0

0

ˆ

ˆ 2 0 0

x

x

z v ex

z v xe for x

λ

λ

minus

minus

part=

part

= minus ne ne

vrarr

的旋度在大部分的地方不為 0 且隨位置而不同但是你看得出這個

向量場裡有「漩渦」其實要檢驗一個向量場裡有無「漩渦」有一

個很物理的方法就是放一個小「螺旋槳」（左圖）

在場內將軸朝各個方向測試一

下如果有「漩渦」的話這個

小「螺旋槳」就會轉動右圖就是將「螺旋槳」的

軸平行於 z 軸且放在 x gt 0 的地方就可以看出左

邊的 v 場比右邊的強造成螺旋槳順時針轉動rArrcurlv zminus for x gt 0

但如果放在 x = 0 的地方就會看到左右兩端的 v 場強度相同而且

4-58

curlv = 0 「螺旋槳」放在 x lt 0 的地方就可以看出右邊的v 場比左

邊的強造成螺旋槳逆時針轉動這完全符合 curl v k+ 的結果

環路積分與旋度 curl 的物理意義

如同「散度」一樣「旋度」除了 Ftimesnabla 之外

還有一個物理意義更清楚的定義這個定義由

「線積分」說明如圖考慮做「逆時針」長方形

路徑 C1 的一個「環路積分」C1 面平行於 x-y 平

面由 z-軸看下去環路 C1 可以分為可以分為

下 CB上 CT右 CR左 CL 4 部分

CA drarrsdotint ＝

B T L RC C C CA d A d A d A drarr rarr rarr rarrsdot + sdot + sdot + sdotint int int int

分別計算由於 CB 的中點座標為 ( )2yx y zΔ

minus

ˆB BC C

A d A xdxrarr rarrsdot = sdot =int int

BxC

A dxint ( )2xyA x y z xΔ

asymp minus Δ

similarly 由於 CT 的中點座標為 ( )2yx y zΔ

+

ˆ( )T TC C

A d A xdxrarr rarrsdot = sdot minus =int int

TxC

A dxminusint ( )2xyA x y z xΔ

asymp minus + Δ

合併 CB 與 CT

B TC CA drarr

+sdot =int

( ) ( )2 2x xy yA x y z A x y z

x yy

Δ Δ⎡ ⎤minus + minus minus⎢ ⎥⎣ ⎦ Δ ΔΔ

（4-97）

由 C1 所圍的面積 S x yΔ = Δ Δ

1B TC C

A dS

rarr

+sdot =

Δ int( ) ( )

2 2x xy yA x y z A x y z

y

Δ Δ⎡ ⎤minus + minus minus⎢ ⎥⎣ ⎦Δ

（4-98）

所以當取極限 C1 收縮到中心(xyz)時 SΔ 收縮到 0ie

4-59

0limsΔ rarr

1B TC C

A dS

rarr

+sdot =

Δ int xAy

partminuspart

（4-99）

Similarly with CR 的 ˆd ydy= CL 的 ˆd ydy= minus 可得

1L RC C

A dS

rarr

+sdot =

Δ int x

zyxxFzyxxF yy

Δ

Δminusminus

Δ+ )

2()

2(

（4-100）

同樣的當取極限 C1 收縮到中心(xyz)時 SΔ 收縮到 0

0

limsΔ rarr

1L RC C

A dS

rarr

+sdot =

Δ int yAx

partpart

（4-101）

最後合併 CBCTCRCL 為 C1

10

1limCs

A ds

rarr

Δ rarrsdot =

Δ int y xA Ax y

part partminus

part partˆ ( ) ( )zz A A= sdot nablatimes = nablatimes （4-102）

注意 C1 的方向就是在 z 上式的重要

意義是當向量場 A 在一個以點(xyz)為

中心「方向為 z 」的面積元素的「邊界」

所做的環路積分得到的就是 A 在(xyz)

處旋度的 z-分量明顯的只有當 A 在

(xyz)附近有 x-y 平面上的「漩渦」那麼 C1 的環路積分才不會為 0

Similarly 取一個逆時針繞著(xyz)的平行於 x-z 平面的長方形環路 C2

（左圖）做環路積分再取極限將 C2 收縮到(xyz)就會得到

20

1limCs

A ds

rarr

Δ rarrsdot =

Δ int x zA Az x

part partminus

part partˆ ( ) ( )yy A A= sdot nablatimes = nablatimes （4-103）

注意到 C2 所包圍的面積方向就在 y到

現在我們應該已經很有經驗了若取一

個逆時針繞著(xyz)的平行於 y-z 平面

的長方形環路 C3（左圖）做環路積分

再取極限將 C3 收縮到(xyz)就會得到

4-60

30

1limCs

A ds

rarr

Δ rarrsdot =

Δ int yz AAy z

partpartminus

part partˆ ( ) ( )xx A A= sdot nablatimes = nablatimes （4-104）

能把（4-103）與（4-104）變出來的同學我們有優待綜合以上

我們可以得到一個結論若取一個以點(xyz)為中心的任意環路 Cn（其

所包圍的面積方向在 n ）則

n curl Aand rarrsdot ＝

0

1lims

Cn

A ds

rarr

Δ rarrsdot

Δ int （4-105）

明顯的當 n ＝ x 或 y 或 z 時我們可以重複（4-102）到（4-104）的

結果（4-70）式的行列式所定義的旋度在此看見其幾何物理意義

至此「旋度」的「漩渦」形象應該已經很清楚了只有在(xyz)點附

近的小圈圈上有「漩渦」 A 在小圈圈做的環路積分才會有值這個

值就是向量場 A 的「旋度」在小圈圈面積方向的分量

Stokersquos 定理

考慮一個開放面 S被其「有方向的」邊界 C 圈住(bounded by)則

( )S

A dsrarr rarrnablatimes sdotint ＝

C

A drarrsdotint （4-106）

pf 先將 S 面分割為 N 個多邊形這會使得邊界變成一個「折線」形

成的環路 P環路 P 會隨著分割的多邊形個數的增多而越加近似於原

「光滑的」邊界 C現考慮相鄰的

兩個多邊形的線積分由於共用邊

的方向是相反的所以相鄰兩個多

邊形線積分的和只剩「外邊界」（見左圖）所以當把所有的多邊形的

4-61

線積分加起來時由於只有邊界 P 不是多邊形的共用邊所以

1k

N

k C

A drarr

=

sdotsum int ＝P

A drarrsdotint rArr

P

A drarrsdotint ＝

1

1

k

N

kk k C

A d l ss

rarr rarr

=

⎡ ⎤sdot Δ⎢ ⎥

Δ⎢ ⎥⎣ ⎦sum int

其中 ksΔ 為第 k 個多邊形的面積取極限 0kN srarrinfinrArrΔ rarr P CrArr rarr

C

A drarrsdotint ＝

10

1limkk

N

kN k k Cs

A d ss

rarr

rarrinfin=Δ rarr

⎡ ⎤sdot Δ⎢ ⎥

Δ⎢ ⎥⎣ ⎦sum int 01

ˆlim ( )k

k kskn A s

infin

Δ rarr=

⎡ ⎤= sdot nablatimes Δ⎣ ⎦sum

01

ˆlim ( )k

k kskA n s

infin

Δ rarr=

= nablatimes sdot Δsum = ( )S

A dsrarr

nablatimes sdotint QED

ex55 由 Amperersquos law 的積分形式導出其微分形式

解Amperersquos law 的積分形式 C

B drarrsdotint ＝ I0μ (4-107)

由 Stokersquos 定理及電流密度 j 的定義上式等號兩端可寫為

rArr ( )S

B dsrarr rarrnablatimes sdotint ＝ 0 S

j dsμrarrsdotint

由於上面的等式對任意面 S（路徑 C）都成立所以被積函數相等

0B jμrarr rarr rarr

rArrnablatimes = (4-108) 此即 Amperersquos law 的微分形式

Ex56 Given a vector field ˆ ˆx yA ye xe= minus + (a) Find Anablatimes

解

ˆ ˆ ˆˆ ˆ(1 ( 1) 2

0x y z

x y zA z z

y xnablatimes = part part part = minus minus =

minus

(b)如圖一個金字塔狀的 5 面體高 2底邊長＝1計算 ( )S

A dsnablatimes sdotint

其中 S 為金字塔在 x-y 平面以上的部分方向如同

封閉的金字塔（運用 Stokersquos law）

解金字塔上表面的面積元素ds 不好寫由 Stokersquos

4-62

law ( )S

A dsrarr rarrnablatimes sdotint ＝

C

A drarrsdotint 其中封閉路徑 C 就是上表面的邊界而且

是逆時針（由 z 軸向下看）

C

A drarrsdotint ＝

1 1 0 0

0 0 1 1ˆ ˆ ˆ ˆA xdx A ydy A xdx A ydysdot + sdot + sdot + sdotint int int int

＝1 1 0 0

0 0 1 1x y x yA dx A dy A dx A dy+ + +int int int int 1 1 0 0

0 0 1 1( 0) ( 1) ( 1) ( 0)y dx x dy y dx x dy= minus = + = + minus = + =int int int int

0 1 1 0 2 ( ) 2S

A ds= + + + = rArr nablatimes sdot =int

旋度與 path independence

已知保守場 cF 對所有封閉路徑 C 0cC

F drarrsdot =int 由 Stokersquos 定理

0cC

F drarrsdot =int ＝ ( )cS

F dsrarr rarrnablatimes sdotint rArr 0cF

rarr rarrnablatimes =

這表示保守場＝無旋度反之無旋度的場任兩點間路徑積分與路

徑無關

Ex57 Given a field 2 2ˆ ˆ ˆ2A x xy yx zz= + minus (a) Find Anablatimes A 保守場

解2 2

ˆ ˆ ˆ

2x y z

x y zA

xy x znablatimes = part part part

minus

( ) ( ) ( )2 2 2 2ˆ ˆ ˆ( ) 2 ( ) 2 0y z z x x yx z x y xy z z x xy= part minus minuspart + part minuspart minus + part minuspart =

yes A =保守場

(b)如左圖由 A 到 B 做路徑積分A BC

A drarr

sdotint 路徑 C 為橢圓

22 1

16yx + = 在 x-軸以上的部分

解橢圓部分的路徑元素 d 有點麻煩但因為 A

為保守場所以 A 到 B 做路徑積分可以用 x = -1 到

1 的積分取代

4-63

01 1 1

1 1 1ˆ 2 0

yB

xAA d A xdx A dx xydx

=

minus minus minussdot = sdot = = =int int int int

∵

旋度在柱座標與球座標

前面討論過nabla在不同座標系的寫法旋度也有歸納出的一致寫法

座標 1 2 3 u u u

度量係數

1 2 3 h h h

nabla grad del

直角 x y z

1 1 1 nabla ˆ ˆ ˆx y z

x y zpart part part

equiv + +part part part

圓柱 zρ ϕ

1 1ρ

1ˆ ˆ ˆ zz

ρ ϕρ ρ ϕpart part part

nabla equiv + +part part part

球 r θ ϕ

1 sinr r θ

1 1ˆ ˆˆ sin

rr r r

θ ϕθ θ ϕ

part part partnabla = + +

part part part

所以柱座標與球座標的旋度分別表為

柱座標

ˆ ˆ ˆ1

z

z

Az

AA Aρ ϕ

ρ ρϕ

ρ ρ ϕρ

part part partnablatimes =

part part part （4-109）

球座標 2

ˆ ˆˆ sin1sin

sinr

r r r

Ar r

A rA r Aθ ϕ

θ θϕ

θ θ ϕθ

part part partnablatimes =

part part part （4-110）

ex58 (a) Given the vector function ˆA ϕ= sin (ϕ 2) find Anablatimes

解 2

ˆ ˆˆ sin1sin

0 sin( 2) 0

r r r

Ar r

r

θ θϕ

θ θ ϕϕ

part part partnablatimes =

part part part

4-64

21 ˆˆ cos sin sinsin 2 2 2

rr rr

ϕ ϕθϕθ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

ˆˆ cos sin2 sin 2 2

rr r

ϕ ϕ ϕθ

minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

(b)如左圖一個底面在 x-y 平面半徑＝1高＝2 之圓錐 求面積分

SA dsnablatimes sdotint 面積範圍 S 為圓錐在 x-y 平面以上

部分 方向為由圓錐內向外

解由 Stokersquos law ( )S

A dsrarr rarrnablatimes sdotint ＝

C

A drarrsdotint 其中路

徑 C 為 x-y 平面圓心在原點之單位圓 ˆ ˆd rd dϕ ϕ ϕ ϕ= =

2

0ˆ ˆsin sin

2 2C

d dπϕ ϕϕ ϕ ϕ ϕ⎛ ⎞ ⎛ ⎞sdot =⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠int int ( )0

2 sin u duπ

= int 0cos | 2u π= minus =

習題 16 磁場 B 因為不是保守場所以沒有對應的純量位而對應一

個向量位 A (vector potential)而 B A= nablatimes 一個磁鐵的磁偶極矩

ˆm mz= 被置於原點已知在遠處的 vector potential 03ˆ sin

4mAr

μϕ θπ

=

計算該處的磁場 B Ans 03

ˆˆ( 2cos sin )4

mB rr

μ θ θ θπ

= + 與電偶極遠處

的電場形式一致都是偶極(dipole) 選幾個點畫一畫該處的場向量

把磁力線描出來

附錄本章講義的內容有部分可以經由直接計算得出列在附錄做為

參考

用「圓柱座標」寫 Atimesnabla

Ararr rarrnablatimes ＝ ( )1ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ zz A A zA

z ρ φρ ϕ ρ ϕρ ρ ϕpart part part⎛ ⎞+ + times + +⎜ ⎟part part part⎝ ⎠

4-65

因為rdquo sdotrdquo與rdquotimes rdquo都是向量間的運算所以

＝ ( )ˆ ˆ ˆ ˆ zA A zAρ φρ ρ ϕρpart

times + +part

＋ ( )1ˆ ˆ ˆ ˆ zA A zAρ φϕ ρ ϕρ ϕ

parttimes + +

part

＋ ( )ˆ ˆˆ ˆ zz A A zAz ρ φρ ϕpart

times + +part

直接做上式微分可以得到

＝1ˆ z AA

zϕρ

ρ ϕpart⎛ ⎞part

minus⎜ ⎟part part⎝ ⎠＋ ˆ zA A

zρϕ

ρpart⎛ ⎞part

minus⎜ ⎟part part⎝ ⎠＋

1 1ˆ ( )A

z A ρϕρ

ρ ρ ρ ϕpart⎛ ⎞part

minus⎜ ⎟part part⎝ ⎠

上式可以用一個行列式來表示

rarrrarr

timesnabla A＝

ˆ ˆ ˆ1

z

z

zA A Aρ ϕ

ρ ρϕ

ρ ρ ϕρ

part part partpart part part

（A-1）

A and Anabla nablasdot nablatimes in 球座標 spherical coordinate

如上圖球座標 )( ϕθr 其中 )0[ infinisinr ]0[ πθ isin ]20[ πϕ isin 只有 r

是長度而 ϕθ 為角度是用來說明方向的三個座標的單位向量 ˆ ˆˆ r θ ϕ 具

有下列性質

4-66

1 如上圖 ˆ ˆˆ r θ ϕ 都不是常數而是（ ϕθ ）的函數

ˆ ˆ( )ˆ ˆ( )ˆ ˆ( )

r r θ ϕ

θ θ θ ϕϕ ϕ ϕ

⎧ =⎪

=⎨⎪ =⎩

)( ϕθr 與(xyz)之間的轉換如下

sin cossin sincos

x ry rz r

θ φθ φθ

=⎧⎪ =⎨⎪ =⎩

( )122 2 2

2 2

tan

tan

r x y z

x yz

yx

θ

φ

⎧ = + +⎪⎪ +⎪ =⎨⎪⎪ =⎪⎩

（A-2）

2 ˆ ˆˆ r θ ϕ 形成一「歸一正交集」ie

ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ 1r r θ θ ϕ ϕsdot = sdot = sdot = ˆ ˆr θ ϕperp perp

ˆ ˆr θ ϕtimes = ˆ ˆ rθ ϕtimes = ˆˆ rϕ θtimes = （A-3）

3可以很容易的由他們在 xyz 軸上的投影由直角

座標的 ˆ ˆ ˆ x y z 表出

ˆ ˆ ˆ ˆsin cos sin sin cos ( 4 )ˆ ˆ ˆ ˆcos cos cos sin sin ( 4 )ˆ ˆ ˆsin cos ( 4 )

r x y z A a

x y z A bx y A c

θ φ θ φ θ

θ θ φ θ φ θϕ φ φ

= + + minus⎧⎪

= + minus minus⎨⎪ = minus + minus⎩

4 ˆdr = 由於 ˆ ˆ( )r r θ φ= 所以由 ϕθ 的變動來看

4-67

ˆ ˆˆ| |ˆ ˆˆ| | sin sin

d r d d

d r d d

θ θθ θθ

φ θ φφ θ φφ

⎧ rArr =⎪⎨

rArr =⎪⎩rArr ˆ ˆˆ sindr d dθ θ φ θ φ= + （A-5）

rArrˆ ˆr θθpart

=part

ˆ ˆsinr θφφpart

=part

（A-6）

（A-6）的結果也可以直接由（A-4a）對 ϕθ 偏微得到

5 ˆdθ ＝ 由於 ˆ ˆ( )θ θ θ φ= 所以由 ϕθ 的變動來看

ˆ ˆ ˆ| | ( )ˆ ˆ ˆ| | cos cos

d d r d r

d d d

θ θ θ θ

φ θ θ φφ φ θ φ

⎧ rArr minus = minus⎪⎨

rArr =⎪⎩rArr ˆdθ ＝ ˆˆ cosrd dθ φ θ φminus + （A-7）

ˆrθ

θpart

rArr = minuspart

ˆ ˆcosθ φ θφpart

=part

（A-8）

請直接由（A-4b）對 ϕθ 偏微的結果 check（A-8）

6 ˆdφ ＝由於φ )(ϕ 躺在 x-y 平面上變動φ時的方向可能不是那麼

容易看出來所以做圖看一看

ie ˆ ˆˆ(sin ) (cos )d r d dφ θ φ θ θ φ= minus minus （A-9）

4-68

ˆ ˆˆsin cosrφ θ θ θφpart

= minus minuspart

7 所有的向量 ˆ ˆˆ rA rA A Aθ φθ φrarr= + +

8 位置向量 ˆr rrrarr=

可以由左圖 ˆ ˆˆ r θ ϕ 三個方向的「長度

變化」輕易的看出

9 位移元素

ˆ ˆˆ ˆ sindr rdr rd dθ θ ϕ θ φ= + + (A-10)

10 體積元素

sindv dr r d rdθ φ θ= sdot sdot

＝ 2 sinr dr d dθ θ φ (A-11)

11 面積元素 2 sinrds r d dθ θ φ= plusmn sinds r drdθ θ φ= plusmn ds rdrdφ θ= plusmn (A-12)

plusmn號表示面的垂直方向有兩個端看 ds 周邊的方向是如何定的

nabladel 考慮 ( )u u r θ φ=

rArru u udu dr d dr

θ φθ φ

part part part= + +part part part

u d rrarr rarr

equiv nabla sdot

urarr

= nabla sdot ˆ ˆˆ( sin )rdr rd dθ θ φ θ φ+ +

rArr1 1ˆ ˆˆ

sinu u uu rr r r

θ ϕθ θ φ

rarr part part partnabla = + +

part part part

1 1ˆ ˆˆsin

rr r r

θ ϕθ θ φ

rarr part part partnabla equiv + +

part part part （A-13）

4-69

直接用（A-13）與 ˆ ˆˆ rA rA A Aθ φθ ϕrarr= + + 逐項內積加上（A-678）

rArr ϕθ

θθθ

ϕθ part

part+

partpart

+partpart

=sdotnablararrrarr A

rA

rAr

rrA r sin

1)(sinsin1)(1 2

2 （A-14）

（A-13）與 ϕθ ϕθ AAArA r

andandandrarr

++= 逐項外積整理之後

ϕθ θϕθ

ϕθθ

θArrAA

r

rrr

rA

r sin

sin

sin1

2 partpart

partpart

partpart

=timesnabla

andandand

rarrrarr

（A-15）

Laplacian uu nablasdotnabla=nabla2

2

2

2222

22

sin1)(sin

sin1)(1

ϕθθθ

θθ partpart

+partpart

partpart

+partpart

partpart

=nablau

ru

rrur

rru （A-16）

B推導「散度」在圓柱座標的寫法

讓我們先回顧一下在直角座標裡的「面積元素」可以由「位移元素」

得到

ˆˆ ˆ x y zdr idx jdy kdz da dydz dxdz dxdy= + + rArr =

比照辦理「圓柱座標」的位移元素

( )ˆˆ ˆ( )

( )z

da d dzdr d d zdz da d dz

da d d

ρ

φ

ρ φ

ρ ρ φ ρ φ ρ

ρ ρ φ

=⎧⎪= + + rArr =⎨⎪ =⎩

這個結論可以輕易的由面積元素在垂直於 zˆˆ ϕρ 三個方向的面積看

出如下圖考慮一個以 )( zϕρ 為中心的「圓柱體積元素」(cylindrical

cubiod)體積為 zdV ΔΔ=Δ ϕρρ 現計算在 ρ

方向的 12 兩個平行面(方向各為 ρplusmn )的通

量

4-70

zzF

dsFdsnFS S

ΔΔ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

+cong

=sdotintint intintϕρρϕρρρ

ρ

2

2

ˆ1 1

zzF

dsFdsnFS S

ΔΔ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

minus⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

minusminuscong

minus=sdotintint intintϕρρϕρρρ

ρ

2

2

ˆ2 2

intint+

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

minus⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

minusminus⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

+Δ

asympsdotΔ

rArr21

22

22

1ˆ1

SS

zFzFdsnFV

ϕρρρρϕρρρρρρ ρρ

( ) ( )

1 20

0

0

1 ˆlim

1lim 2 2 2 2

1 1lim 2 2

1

VS S

F ndsV

F z F z

F z F z

F

ρ ρρ

ρ ρρ

ρ

ρ ρ ρ ρρ ρ φ ρ ρ φρ ρ

ρ ρρ ρ φ ρ ρ φρ ρ

ρρ ρ

Δ rarr+

Δ rarr

Δ rarr

rArr sdotΔ

Δ Δ Δ Δ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + + minus minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥Δ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦Δ Δ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥Δ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

part ⎡ ⎤= ⎣ ⎦part

intint

娛樂一下用上述方式把圓柱的 Fsdotnabla 裡的z

FF z

partpart

+partϕρϕ1

變出來

球座標的nabla和 Fsdotnabla 也可以試試看

補充習題

H M Scheydiv grad curl and all that 4th edition

第二章習題 6 8 9 10 11 14 15 16 18 19 21 22 23 25 26 27

第三章習題 2 3 5 6 7 8 9 10 11 14 15 17 18 19 24

4-5

就把 ˆ ˆ ˆ x y z 的正交歸一關係寫完我們也可以用連加符號來寫向量

ˆ ˆ ˆx y zV xV yV zV= + +3

1

ˆ ˆor

i i i ii x y z i

V e V e= =

equiv =sum sum （4-12）

Vi 為第 i 個方向的「分量」 ie 表示「第 i 個方向」的單位向量是一

種 ˆˆ ˆ i j k 更方便的寫法所以

3 3 3

1 1 1

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 123i i j j j j j j ij ij j j

e V e V e V e e V V iδ= = =

sdot = sdot = sdot = = =sum sum sum （4-13）

注意到上式中的3

1 1 2 2 3 31

j ij i i ij

V V V Vδ δ δ δ=

= + +sum ＝三項和腳標 j 有 123

三個可能但若 j ine 則 0ijδ = 只有一項當 i j= 時 1ijδ = 存活下來

ie ˆ 123i ie V V isdot = = 此處要注意因為特定的 i 被用掉了所以V

不能再用3

1

ˆi ii

V e=sum 來表示要換一個腳標ie V ＝

3

1

ˆj jj

V e=sum

對於任意的向量 A B 以分量表示

ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆx y z x y zA xA yA zA B xB yB zB= + + = + +

ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( )x x y y z zA B x A B y A B z A BrArr + = + + + + + （4-14）

A B 內積 3

1x x y y z z i i

i

A B A B A B A B A B=

sdot = + + =sum （4-15）

Pf3 3 3 3 3 3 3

1 1 1 1 1 1 1

ˆ ˆ ˆ ˆ( )i i j j i i j j i ij j i ii j i j i j i

A B e A e B A e e B A B A Bδ= = = = = = =

⎛ ⎞sdot = sdot = sdot = =⎜ ⎟

⎝ ⎠sum sum sum sum sum sum sum

（4-14）式的內積由 A B 的「分量」表出分量與座標系有絕對的關

係（4-14）與（4-5）式的內積的定義不一樣然結果相同兩者的

等價可以證明如下令ϕ 為 B 與 x-軸的夾角

i i x x y yA B A B A B= +sum

4-6

cos( ) cos sin( ) sin[cos( )cos sin( )sin ]cos[ ]cos

A B A BABABAB

θ ϕ ϕ θ ϕ ϕθ ϕ ϕ θ ϕ ϕθ ϕ ϕθ

= + sdot + + sdot= + + += + minus=

QED

Ex2 若 ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ3 2 2 A x y z B x y z= minus + = + minus 判斷 vector A B 是否相互垂

直解(a) A Bsdot ＝3-2-2＝-1 0ne 所以不相互垂直

Ex3 If ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ3 2 yA x y z B x B y z= minus + = + minus find yB such that A Bperp

解let 0A Bsdot = =3- yB -2rArr yB =1

向量 A 的大小(magnitude)由內積定義

( )

2 2 2 2 0

ˆˆ ˆ 1

x y z ii

A A A A A A

or A A A i j k

equiv = + + = ge

= sdot = = =

sum

∵(4-16)

除了避免誤解為了方便往後我們只用

A 來表示向量 A 的大小 ie A A=

Ex4 If ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ3 2 2 A x y z B x y z= minus + = + minus (a)find A and B (b) A B 之夾角

解(a) 2 2 23 1 2 14 1 4 1 6A B= + + = = + + =

(b) 3

1

1 cos 14 6 cosi ii

A B A B AB θ θ=

sdot = = minus = = timessum

01cos 168 96384

radθ θminusrArr = rArr = asymp

任意非零 vector 向量 A其方向的單位向量

ˆ AAA

= （4-17）

such that A也可以寫為 ˆ

i ii

A AA e A= =sum （4-18）

4-7

Ex5 Given ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ3 2 2 A x y z B x y z= minus + = + minus find unit vector ˆ ˆA B

解

ˆ ˆ ˆ3 2 3 1 2ˆ ˆ ˆ ˆ14 14 14 14

ˆ ˆ ˆ2 1 2 1ˆ ˆ ˆ ˆ6 6 6 6

A x y zA x y zAB x y zB x y zB

minus += = = minus +

+ minus= = = + minus

前面討論過若θ 為 A B 之夾角則 cosA θ 為 vector A 在 B 方向的

投影或稱 B 方向的分量由內積的定義可以得到 ˆ| | 1B =∵

ˆ ˆ| | cos cosA B A B Aθ θsdot equiv = （4-19）

Ex6 Following ex5 find BA which is the component of A along the direction of B

解for 1 2 1ˆ ˆ ˆ ˆ6 6 6

B x y z= + minus

ˆBA A B= sdot = ( ˆ ˆ ˆ3 2x y zminus + ) 1 2 1 1ˆ ˆ ˆ

6 6 6 6x y z minus⎛ ⎞sdot + minus =⎜ ⎟

⎝ ⎠

換言之要找向量 A在任意方向u 的分量 uA 就先找出u 方向的單位

向量 ˆue ˆu uA A e= sdot Ex 7 求向量 ˆ ˆ ˆ2B x y z= + minus 在 ˆ ˆ ˆu x y z= + + 方向的分量 uB

解單位向量 ˆ ˆ ˆˆ3

x y zu + +=

ˆ ˆ ˆ 2ˆ ˆ ˆ ˆ( 2 )3 3u

x y zB B u x y z + += sdot = + minus sdot =

習題 1 Given ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ2 3 2 2 A x y z B x y z= minus + minus = minus minus (a) find | |A | |and B (b) angle ( A B ) (c) the component of B in the direction of A 向量場 vector field

若在一空間的每一點都定義一個向量 A則稱該空間存在向量場

( )A x y z 或 ( )A r 我們熟知的電場 ( )E x y z 磁場 ( )B x y z 重力場

( )g x y z 等都是向量場向量場 ( )A x y z 的各分量也都是位置的函數

ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( )x y zA x y z A x y z x A x y z y A x y z z= + + （4-20）

要注意除了少數特例一般向量場的各分量例如 x-分量 Ax 並非

只是 x 的函數而是(xyz)的函數特例之一為空間中每一點(x y z)

4-8

皆對應一「位置向量」 ˆ ˆ ˆr xx yy zz= + +

所以向量場 ( )A x y z 也可表為 ( )A r

Ex 8 給定一向量場 ( )A x y z = 2 2 3ˆ ˆ ˆ( )A x y z y x x zy xz z= + + (a) find

A 1 and A 2 which are vector A at position P1(2 1 5) and P2(3 0 1)

解(a) A 1= A (2 1 5) 2 2 3ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ1 (2 5) (2 5 ) 20 250x y z x y z= + times + times = + +

A 2= 2 3ˆ ˆ ˆˆ ˆ(301) 0 (3 1) (3 1 ) 9 3A x y z y z= + times + times = +

(b) Find the unit vector 1 2ˆ ˆr r and 12r for position vectors of points P1

P2 and 1 2PP

解for P1 1r = ˆ ˆ ˆ2 5x y z+ + 1ˆ ˆ ˆ2 5ˆ

30x y zr + +

rArr =

for P2 2 2ˆ ˆ3ˆ ˆˆ310

x zr x z r += + rArr =

1 2PP = 12ˆ ˆ ˆ4ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ(3 2) (0 1) (1 5) 4

18x y zx y z x y z r minus minus

minus + minus + minus = minus minus rArr =

Note 1 2 2 1PP r r= minus but 12r 2 1ˆ ˆr rne minus why Draw a diagram

(c) Find the component of A 1 along the direction of the 1 2PP

解 1 12ˆ ˆ ˆ ˆ( 20 250 )A r x y zsdot = + + sdotˆ ˆ ˆ4

18x y zminus minus =1 20 1000 1019

18 18minus minus minus

=

3-D 向量 A的分量

A 3-D vector A is uniquely specified by

given its magnetude A and direction ( θ ϕ 稱為

「方向角」)或者就是完整說明 xyz 三個分量

（Ax Ay Az）兩者轉換如下

4-9

cossin cossin sin

0 0 0 2

z

x

y

A AA AA A

A

θθ ϕθ ϕ

θ π ϕ π

===

gt le le le le

（4-21）

A B 的外積向量積叉積（vector productcross product）

由 A B 的本質與相對夾角定義向量外積

ˆ sinA B nAB θtimes equiv （4-22a）

其中的 n 是一個同時垂直於 A B 的單位向量其方向由右手定則定

之舉例

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆsin 90 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 0x y z z x z y y z xx x y y z ztimes = deg = times = minus times =times = times = times =

相互平行或反平行的二向量外積為 0因為 sin(0)=sin(1800)=0

BA 的外積也有另一個等價的定義

ˆ ˆ ˆ(4 22 )

( ) (4 23)

x y z

x y z

i ijk j kj k

x y zA B A A A b

B B B

A B A Bε

times = minus

times = minussum

上式中的 ijkε 稱為 Levi-Civita symbol（猶太裔義大利人Ci 發音同

chi） ijkε ＝0 若 ijk 中有任二數相同例如 211 131 223 0ε ε ε= = = 若 ijk

為相異的 3 個數則 ijkε =(-1)p p 是 ijk 相鄰兩數互換成為 123 的「置

換數」例如 ijk=231則 213 123rarr rarr p=2 2231 ( 1) 1ε = minus = 又如 ijk

＝321 則 312 132 123rarr rarr rarr p=3 所以 3321 ( 1) 1ε = minus = minus

4-10

Ex 9 ˆ ˆ ˆ4 5A x y z= + + ˆ ˆ3B x z= +

ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ1 4 5 (4 5) (15 1) (0 12) 14 12

3 0 1

x y zA B x y z x y ztimes = = minus + minus + minus = minus + minus

ex 10 ˆ ˆ ˆ4A x y z= minus minus + ˆ ˆ ˆ2B x y z= minus minus ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ1 1 4 (1 4) (8 1) (1 2) 5 7 3 2 1 1

x y zA B x y z x y ztimes = minus minus = + + minus + + = + +

minus minus

由（4-21b）可以容易看出

( ) ( )x y z

x y z

x y z

C C CC A B A B C A A A

B B Bsdot times = times sdot = （4-24）

明顯的 in general 外積不滿足交換率與結合率

( ) ( )A B B A B AA B C A B Ctimes = minus times ne times

times times ne times times (4-25)

兩個有用的恆等式(identity)

1 triple scalar product 純量三重積

( ) ( ) ( )A B C C A B B C Asdot times = sdot times sdot = sdot times (4-26)

上式中的 3 項運算 A B C 的順序是循環的(cyclic)ie ABC CAB

BCA3 項皆為以 A B C 為鄰邊的平行 6 面體的體積

Pf 若 B C 夾角＝ϕ rArr ˆ sinB C nBC ϕtimes =

其中 sinBC ϕ ＝以 B C 為兩邊的平行

四邊行面積 n perp B C

若 ˆA n 夾角＝θ ˆ cosA n A θrArr sdot =

＝垂直於 B C 平面的高

there4 ( )A B Csdot times ＝以 A B C 為鄰邊的平行

4-11

六面體的體積由於 3 鄰邊 A B C 的順序可以任選所以體積可藉由

（4-24）式之「絕對值」算出

Ex 11 一平行六面體 H 的相鄰三邊由 ˆ ˆ ˆ4 5A x y z= + + ˆ ˆ3B x z= +

與 ˆ ˆ ˆ2C x y z= minus + minus 表出求 H 之體積 HV

解let 1

2 1 11 4 5 183 0 1

CD A

B

minus minus= = = or 2

1 4 52 1 1 18

3 0 1

AD C

B= = minus minus = minus

1 2| | 18HV D D= = = 1D 與 2D 差一個負號不令人驚奇因為行

列式 2D 是由 1D 的第一列與第二列交換而來

2 triple vector product 向量三重積

( ) ( ) ( )A B C B A C C A Btimes times = sdot minus sdot (4-27)

上式有一別號稱為 back-cab(回頭車) rule先舉例說明上式成立

Ex12 ˆ ˆ ˆ4 5A x y z= + + ˆ ˆ3B x z= + ˆ ˆ ˆ4C x y z= minus minus

ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ3 0 1 (0 1) (1 12) ( 3) 13 3

1 1 4

x y zB C x y z x y ztimes = = + + + + minus = + minus

minus minus

ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ( ) 1 4 5 ( 12 65) (5 3) (13 4) 77 8 9

1 13 3

x y zA B C x y z x y ztimes times = = minus minus + + + minus = minus + +

minus

ˆ ˆ1 4 20 23 ( ) 69 23A C B A C x zsdot = minus minus = minus rArr sdot = minus minus

ˆ ˆ ˆ3 5 8 ( ) 8 8 32A B C A B x y zsdot = + = rArr sdot = minus minus

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ( ) ( ) 69 23 (8 8 32 ) 77 8 9B A C C A B x z x y z x y zsdot minus sdot = minus minus minus minus minus = + + QED

The proof of ( ) ( ) ( )A B C B A C C A Btimes times = sdot minus sdot

Pf Note that ( )B C B Ctimes perp 平面then ( )A B C B Ctimes times perp times∵ （ ）

( ) A B C D B CrArr times times equiv 躺在（ ）平面 所以 D 可由 B C 組合令

4-12

D B Cα β= + 由於 D 也與 A垂直所以

0A Dsdot = ( ) ( )A B A Cα β= sdot + sdot rArr

let ( ) ( )v v A C v A BA C A Bα β α βminus

= = rArr = sdot = minus sdotsdot sdot

( ) [( ) ( ) ]D A B C B C v A C B A B Cα βthere4 = times times = + = sdot minus sdot

v 會＝1上式對 x 做內積

ˆ ˆ ˆ[ ( )] [( ) ( ) ]

[( ) ( ) ]x x

x A B C v A C B x A B C x

v A C B A B C

sdot times times = sdot sdot minus sdot sdot

= sdot minus sdot

由於內積與外積都是向量間的運算所以上式左邊有

ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ( )x y z x y z

x y z x y z

x y z A x A y A zB C B B B A B C B B B

C C C C C C

times times timestimes = rArr times times =

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( ) 0ˆ [ ( )]

z y

x y z x y z

x y z x y z

x A x x A y x A z A Ax A B C B B B B B B

C C C C C C

sdot times sdot times sdot times minusrArr sdot times times = =

上式用到

ˆ ˆ( ) 0x A xsdot times = ˆ ˆ( )x A ysdot times ＝ ˆ ˆ( ) zA y x Asdot times = minus ˆ ˆ( )x A zsdot times ＝ ˆˆ( ) yA z x Asdot times =

用第 3 列展開行列式得

ˆ [ ( )] ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

x x x y y x z z x

x x x x y y z z x x x x x x

x x

x A B C C A B A B C A B C A B

C A B A B B C A C A C A B A B B A C C A

C A B B A C

sdot times times = minus sdot + + +

= minus sdot + + + = minus sdot + + sdot minus

= minus sdot + sdot1 ( ) ( ) ( )v A B C B A C C A BrArr = rArr times times = sdot minus sdot QED

向量的微分元素（直角座標）

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( ) [( ) ]

ˆ ˆ ˆ

i i i i i i i i i ii i i i

x y x

dA d e A d e A de A e dA e dA

or dA xdA ydA zdA

⎛ ⎞= = = + =⎜ ⎟

⎝ ⎠= + +

sum sum sum sum （4-28）

4-13

上面用了直角座標最方便的性質 ie 為常數 ˆ 0iderArr = 舉「位置向量」

為例

2 2 2 2 2 2 2 2

ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ

ˆ ˆ ˆˆ i i

i x y zi

r xx yy zz dr xdx ydy zdzdr dx dy dzv x y z e xdt dt dt dt

v v v x x y z v v v

= + + rArr = + +

rArr = = + + =

rArr = sdot = = + + = + +

sumsum

（4-29）

sect 42 曲線座標(curvilinear coordinates)

(A) 平面「極座標」polar coordinates ( )r θ

在平面上的一點 P 的直角座標若為(x y)我們可以有另一種標示法

( ) 0 [0 )

[02 ]r P x y r r

x rθ θ π

equiv ge isin infin⎧⎨

equiv isin⎩

由原點到 之距離

軸到 的夾角 （4-30）

以 P )( θr 為座標表同一點 P(xy) )( θr 稱為 P 點的「極座標」「極座

標」與「直角座標」的關係如下

2 2

cos

sintan

r x y x randy y r

x

θθθ

⎧ = + =⎧⎪⎨ ⎨ == ⎩⎪⎩

（4-31）

但是 )( θr 這兩個新座標的單位向量 ˆˆr θ 在什麼方向我們先來回顧

一下座標軸的單位向量的「制訂標準」是

什麼事實上某座標的單位向量的方向

訂在「垂直於該座標『等值面』且指向

該『座標值增長』的方向」舉「直角座

標」為例如右圖由於 x y 軸皆為直線

4-14

所以「等值面」都是平行的平面所以垂直方向皆相同也造成單位

向量 ˆ ˆx y 為常數

由左圖可以看出極座標裡 r 的等值面是一

個圓所以單位向量 r 是「沿徑向向外」但

是隨圓上θ 有所變動時 r 也隨著改變所以 r

「不是一個常量」 ˆ ˆ( )r r θ= 是角度θ 數

如左圖也可看出θ 的等值面為直線所以單位

向量θ 是「沿『切線』逆時針」方向

但如同 r 一樣當θ 值改變時θ 的方向

也改變了所以θ 也「不是一個常量」

)(ˆˆ θθθ = 也是角度θ 的函數可以看出

固定θ 時 ˆr θperp 但是她們都與「角座標」θ 有關由於她們的指向

有時 r 被稱為「沿徑向」之單位向量θ 被稱為

「沿切線」之單位向量極座標和直角座標還

有一個很大的差別就是直角座標的 x y z 的

因次都是「長度」所以當座標改變時 dx dy dz

就是「長度」的改變然而極座標的 r 有長度因

次所以 dr 是長度但是θ 只是一個數字而非長度所以當θ 改變時

dθ 並不代表一個長度的變化dθ 造成的長度變化寫為

d h dθ θ θ= （4-32）

其中的係數hθ 稱為「度量係數」(metric coefficient)很顯然這裡的hθ

必須具有長度的因次「長度」之所以重要是因為位移是長度各個

座標的度量係數我們會在後面仔細討論

座標系的選用以方便為準系統的對稱性是重要的考量所以有

立方對稱的系統通常用直角座標而有圓對稱的系統則用極座標

4-15

Ex13 半徑 5圓心在原點的圓方程式在直角座標為 2 2 25x y+ =

但是在極座標就是 5r = 而已

位置位移速度與加速度

直角座標的描述很簡單

ˆ ˆˆ ˆ

ˆ ˆ

r xx yy

r xx yy

dr dxx dyy

= +

Δ = Δ + Δ

= +

位置

位移

位移元素

（4-33）

2 2

2 2

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( )

ˆ ˆ( )

ˆ ˆ ˆ ˆ( )

x ydr dx dyv t x y xx yy v x v ydt dt dt

dv t dxx dyydv dx dy d x d ya t i j i jdt dt dt dt dt

rArr = = + = + = +

rArr = +

rArr = = + = +

瞬時速度

速度變化元素

瞬時加速度

（4-34）

在極座標由於單位向量 θr 不再是常數 ˆˆ 0 0dr dθrArr ne ne 所以

ˆ

ˆ ˆ( )ˆ ˆ

r rrr r r r r

dr drr rdr

=

Δ = Δ + Δ

rArr = +

位置

位移

位移元素

(4-35)

現在有一個問題 ˆ dr = 由下圖 r 的變化由 dθ 而來

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( )ˆ ˆ

ˆˆ ˆ ˆ0 ( ) ˆˆ

r r dr r d rdr r d d

d dr r dr

dr d

θ θ θ θθ θ

θ θ θ

θθ

= rArr = + minus

= =

rarr rArr perp rArr

rArr =

∵

∵ (4-36)

4-16

所以微分的位移為

ˆˆdr drr rdθθ= + （4-37）

上式的幾何意義很清楚dr 的 r 分量 dr 就是「沿

r 方向的長度變化」而θ 分量 rdθ 就是「沿θ 方

向的長度變化」而已或者也可以這麼看dr 是

一個位移向量在平面上有 r 和θ 兩個分量所以 ˆˆrdr d r d θθ= +

α 為在 r 方向的長度變化β 為在θ 方向的長度變化所以 rd dr=

d rdθ θ= 這種分析方法可以用在各種座標系這裡也可以看出

和（4-32）式角度變化dθ 造成的長度變化d h dθ θ θ= 相比可以得出

θ 的度量係數h rθ = 與直角座標比較 ˆ ˆdr dxx dyy= + dx 與 dy 不也就

是dr 在 x 與 y 方向的長度變化嗎

Now 速度

ˆˆ

ˆ ˆˆ ˆr

dr dr dv r rdt dt dtrr r v r vθ

θ θ

θθ θ

= = +

= + equiv + （4-38）

其中ddtθθ ω= = 亦稱為「角速度」

Ex14 圓周運動因為只有切線速度所以由（4-38）式 ˆ ˆ0

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( ) = ( ) ( ) ( 0)

r R r v r R

dv dr r d r d r d r d dr

θθ ωθ

θθ θ θ θ θ θ θ θ θ

= rArr = rArr = =

rArr = + + + =

∵

∵

（ 切線速度）(4-39)

這裡又冒出個問題

ˆ dθ = 由左圖

ˆ ˆ

ˆ ˆ0

d d d

d d

θ θ θ θ

θ θ θ

= =

rarr rArr perp

4-17

ˆ ˆ ˆ ˆ

d r

d d r

θ

θ θ

rArr minus

rArr = minus (4-40)

2

2

ˆˆ( ) ( )

ˆˆ

ˆ ˆˆ ˆ( ) ( )ˆˆ ( ) ( )

r

dv r d r r d

dv d da r r rdt dt dt

a r r r a r a

or a r r rθ

θ θ θ θ

θ θθ θ

θ θ θ θ

ω α θ

rArr = minus +

⎛ ⎞⎛ ⎞rArr = = minus +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

rArr = minus + equiv +

= minus +

(4-41)

上式即為圓周運動的加速度其中的第一項

2

2 ˆ ˆrva r r rr

ω minus= minus = 向心加速度 (4-42a)

with α θ= 可以認出是角加速第二項

ˆa rθ αθ= 切線加速度 (4-42b)

如進一步簡化為「等速圓周運動」 ==rArr θω constant 0==rArr αθ rArr切線

加速消失那麼加速度就只剩下了熟知的向心加速度2

ˆrva rrminus

= 了

若考慮一般的情況 dr 0ne 可以導出用極座標表示的加速度為

2

ˆ ˆ ˆ ˆˆ( ) ( ) ( ) ( )

ˆˆ( ) (2 )

dv dr r r d dr r d r ddva r r r r rdt

θ θ θθ θ θ θ θ

θ θ θ θ

= + + + +

rArr = = minus + + （4-43）

看起來有點繁但是在有圓形對稱的系統極座標會表現得更清楚

面積微分元素

直角座標把平面分割成一個個的

小方塊也就是依照「x 與 y 方向的

長度變化」可以寫出「面積元素」

dA dx dy= sdot （像是切長方形的蛋糕）

比較 ˆ ˆdr dxx dyy= + 可以看出

dA＝(x-方向的長度變化)times(y-方向的長度變化)

4-18

所 以 在 「 極 座 標 」 比 照 辦 理

ˆˆ ˆ( ) ( )dr dr r rdr dr r rdθθ= + = +

dA dr rd rdrdθ θ= sdot = (4-44)

像是切圓形蛋糕

ex15 求一個半徑 R 的圓的面積

解 2 2

2

0 0

22

R RA dA rdrd rdr d Rπ

θ θ π π= = = = sdot =int intint int int

妳可以試試用直角座標dA dx dy= sdot 算一下圓的面積

Ex16 求一個半徑 R質量 M密度σ 的均勻圓盤繞其直徑的轉動慣

量解 質量元素 dAdm σ= 到轉軸（直徑）的距

離 sinr θ=

2 2 2 2

23 2

0 0

4 22 2

sin

sin

14 4 4

R

I dm dA r rdrd

r dr d

R RR MR

π

σ σ θ θ

σ θ θ

σ π σπ

= = =

=

= = =

int int intintint int

娛樂一下算半個圓盤繞通過圓心且垂直盤面的軸的轉動慣量

ex 17 計算積分2xI e dx

infinminus

minusinfin

= int

解 2 2

0

2x xI e dx e dxinfin infin

minus minus

minusinfin

= =int int2 22

0 0

2 2x yI I I e dx e dyinfin infin

minus minusrArr = sdot = sdotint int

2 2 2 22

2 ( )

0 0 0 0 0 0

4 4 4x y r rI e dxdy e dA e rdr d

π

θinfin infin infin infin infin

minus + minus minusrArr = = =int int int int int int

在上面的積分裡我們運用了一個有關「無窮大平面」的技巧就是「無

4-19

窮大的平面」是可以是「正方形」或是「圓形」的

2

2

22

00 0 0

22

4 2 2( )2 2 2

(4 45)

u u u

x

dulet u r du rdr rdr

duI e d e du e

I e dx

π

π πθ π

π

infin infininfinminus minus minus

infinminus

minusinfin

= rArr = rArr =

rArr = = sdot = minus sdot =

rArr = = minus

int int int

int

ex18 重力位能

由位能差的定義 )()()( BAWBUAU rarrequivminus

（B）圓柱座標 cylindrical coordinates

3D 空間點 P(x y z)的位置向量 ˆ ˆ ˆr xx yy zz= + +

定義「圓柱座標」 ( )zρ ϕ 其中

0 [0 )P zρ ρ ρequiv ge there4 isin infin點 到 軸之垂直距離

ϕ ρequiv 在 x-y 平面的投影與 x 軸之夾角 [02 ]ϕ πisin

z zequiv同直角座標的

4-20

「圓柱座標」就是「極座標」（用 ( )ρ ϕ 取代 ( )r θ ）再加上第三維 z

所以圓柱座標 ( )zρ ϕ 裡 zρ 的因次為長度而ϕ 只是一個數字

( )zρ ϕ 與(x y z)間的轉換如下

2 2 cos

tan sin

x yx

y yx

z zz z

ρρ ϕ

ϕ ρ ϕ

⎧ = +=⎪ ⎧

⎪ ⎪= =⎨ ⎨⎪ ⎪ =⎩=⎪⎩

（4-46）

「圓柱座標」的三個方向單位向量 ˆ ˆ ˆ zρ ϕ 如圖

且 ˆ ˆ zρ ϕperp perp 可以看出ρ 的等值面為一個圓柱

面ϕ 的等值面是一扇門z 的等值面為一個垂

直 z 軸的平面但是

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( ) zρ ρ ϕ ϕ ϕ ϕ= = =常數

柱座標的位置向量 r 如左圖

ˆ ˆr zzρρ= + （4-47）

在柱座標寫位移元素dr 有兩種作法一

種是直接由（4-47）式取微分元素 借用

平面極座標的結果可得

ˆ ˆ ˆ( ) ( )

ˆ ˆ ˆdr d d dzz

d d dzzρ ρ ρ ρ

ρρ ρ ϕϕrArr = + +

= + + （4-48）

但也可以由三個座標方向的

位移來看由左圖可得沿 ρ 方向

的長度變化 ie 當座標ρ 有變

化dρ 時產生的長度變化就是

dρ 沿ϕ 的長度變化為 dρ ϕ

而沿 z 方向的長度變化為 dz

4-21

dr 是一個向量有三個分量ρ -分量就是沿 ρ 方向的長度變化

dρ ϕ -分量沿ϕ 的長度變化為 dρ ϕ 而 z-分量就是沿 z 方向的長度變

化為 dz合併寫出

ˆ ˆ ˆdr d d dzzρρ ρ ϕϕ= + +

與（4-48）式完全相同但是這種由幾何角度得到的結果要更方便

也更直觀Fig 27 非常重要因為只要你能把圖畫出來位移的各

分量就寫得出來有了位移元素dr 速度與加速度就可得出

ˆ ˆ ˆ (4 49)

ˆ ˆ ˆ( ) (2 ) (4 50)

drv zzdtdva zzdt

ρρ ρϕϕ

ρ ρϕ ρ ρϕ ρϕ ϕ

rArr = = + + minus

rArr = = minus + + + minus

由上圖與dr 的 3 個分量可得圓柱座標的體積元素

dV d d dz d d dzρ ρ ϕ ρ ρ ϕ= sdot sdot = （4-51）

ex19 底面半徑 R高 h 的圓柱體積＝ 2 2

2

0 0 0

22

R h RV dV d d dz h R hπ

ρ ρ ϕ π π= = = sdot sdot =int int int int

ex20 底面半徑 R高 h 的「圓錐」體積＝

解本圓錐裡點的座標分佈為 [02 ] [0 ]z hϕ πisin isin ( )zρ ρ=

( ) ( )( )

h z h Rz h zz R h

ρρminus

= rArr = minus

22( )( ) 2 2

0 0 0 0 0 0

002 2 2 3 2 32 2 2

2 2 2 20

( )2 2

2

1( )3 3 3

R h zzh h hh

h

h h

R h zhV d dz d d dz d dz

R R R u R hh z dz u du R hh h h h

ρ π

τ ρ ρ ϕ π ρ ρ π

π π π π π

minus

minus minus

minusthere4 = = = =

= minus = = = =

int int int int int int int

int int

如果我們把 3-D 的三個座標寫為 1 2 3( )u u u 或 123iu i = 當座

標 ui(在 ˆiu 方向)變動 dui 時造成的長度變化為 id 則定義

4-22

i i id h duequiv (4-52)

其 中 hi 稱 為 座 標 ui 的 度 量 係 數 (metric

coefficient)由 zρ 的因次為長度所以 zρ 的變

化 d dzρ 就是長度的變化所以 1 1zh hρ = =

然而ϕ 的變化造成的長度變化為

d d hϕ ϕρ ϕ ρ= rArr = (4-53)

很明顯的直角座標 xyz 都是長度所以度量係數 1x y zh h h= = =

(C) 球座標 spherical coordinates

3D 點 P(x y z)的位置向量 ˆ ˆ ˆr xx yy zz= + + 定義

「圓柱座標」 )( ϕθr 其中

[0 ] [0 ]

[02 ]

r P rr zr x y x

θ θ πϕ

ϕ π

⎧ equiv isin infin⎪

equiv isin⎪⎨

equiv minus⎪⎪ isin⎩

原點到 的距離

與 軸的夾角

在 軸投影與 軸的夾角

球座標的ϕ 與住座標的ϕ 相同

( )r θ ϕ 與(x y z)間的轉換如下下列為（4-54）

2 2 2

2 2 2

sin coscos sin sin

cos

tan

r x y zx r

z y rx y z z r

yx

θ ϕθ θ ϕ

θ

ϕ

⎧⎪ = + +⎪ =⎧⎪ ⎪= =⎨ ⎨

+ +⎪ ⎪ =⎩⎪⎪ =⎩

三個座標的單位向量 )ˆˆˆ( ϕθr 如左圖一可以看

出 r 的等值面是一個球面θ 的等值面為一個

以原點為頂點的圓錐ϕ 的等值面為一扇門

位置向量 ˆr rr= （4-55）

4-23

位移由 ˆ ˆˆ( )r θ ϕ 3 個方向的「長度

分量」可得 ˆ ˆˆ ( ) ( sin )dr rdr rd r dθ θ ϕ θ ϕ= + +

（4-56）

所以體積元素

2

( )( sin )(sin )

d dr rd r dr dr d d

τ θ θ ϕ

θ θ ϕ

=

= （4-57）

Fig 31 和 Fig 27 一樣重要只要

你能畫得出來就可以寫出球座

標位移的三個分量

ex21 求一半徑 R 的球體積 2

2 2 3

0 0 0

4sin sin3

R

V d r dr d d r dr d d Rπ π

τ θ θ ϕ θ θ ϕ π= = = =int intintint int int int

ex22 求一質量 M半徑 R密度 ( )3 4 3M Rρ π= 的實心球對直徑

旋轉的轉動慣量

解質量元素 2 sindm d r dr d dρ τ ρ θ θ ϕ= = 到 z 軸的垂直距離為 sinr θ=

22 4 3

0 0 0

5 52

sin

4 8 225 3 15 5

RI dm r dr d d

R R MR

π πρ θ θ φ

πρ π ρ

= =

= sdot sdot = =

intintint int int int

娛樂一下空心球對直徑的轉動慣量

(4-46)式與(4-54)式說明柱座標和球座標與直角座標之間的轉

換Fig 32 可得出柱座標和球座標之間轉換

2 2

sintan

cos

r zr

zz r

ρρ θ

ρϕ ϕ θθ ϕ ϕ

⎧ = += ⎪⎧

⎪ ⎪= =⎨ ⎨⎪ ⎪=⎩ =⎪

⎩

（4-58）

4-24

Ex23 點 P 的球座標為（31200 600）求柱座標＝

解2 3 33sin3 2πρ ⎛ ⎞= =⎜ ⎟

⎝ ⎠

23

ϕ π= 2 33cos3 2

z π minus⎛ ⎞= =⎜ ⎟⎝ ⎠

直角座標柱座標球座標單位向量之間的轉換

三種座標之間的轉換由(4-46)式(4-54)式與（4-58）式表出但

三種座標裡的的三個單位向量 ˆ ˆ ˆ x y z ˆ ˆ ˆ zρ ϕ ˆ ˆˆ r θ ϕ 若以 123ˆ iu =

表示則單種座標的單位向量之間都有正交歸一關係

ˆ ˆi j iju u δsdot = 與外積的循環關係

ˆ ˆ ˆ i j ku u u i j ktimes = cyclic in 123

ie 1 2 3 2 3 1 3 1 2ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ u u u u u u u u utimes = times = times = or ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆˆ ˆ r z z x yθ ϕ ϕ ρtimes = times = times =

然而不同座標系的單位向量之間關係如何我們畫圖來討論

球座標 ˆ ˆˆ( )r θ ϕ rarr直角座標 ˆ ˆ ˆ( )x y z

單位向量都是用來指方向的球座標的 ˆ ˆˆ( )r θ ϕ 都是「方向角」( )θ ϕ

的函數 r 在直角座標可以由 Fig33 看出

ˆ ˆ ˆ ˆsin cos sin sin cosr x y zθ ϕ θ ϕ θ= + + （4-59）

ex24 P 點的球座標為2 75 3 6π π⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠

試用球座標與直角座標求 P 點的位

置向量的單位向量 解位置向量 ˆr rr= 在球座標只有 r-分量標位置仔細一點把方向

角標出2 7ˆ 3 6

r π π⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

通常只是寫 r 令人有點摸不著頭緒用直角

4-25

座標比較「具像」 2 7 2 7 2ˆ ˆ ˆ ˆsin cos sin sin cos3 6 3 6 3

3 3 1ˆ ˆ ˆ4 4 2

r x y z

x y z

π π π π π⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞minus minus minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + +⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

單位向量θ 在某一組 ( )θ ϕ 的指向如 Fig 34a將θ 平移至原點更清楚

Fig34b 是由側面看 Fig34a可以看到θ 在 z 軸的投影為 sinθminus 而θ 在

x-y 平面的投影為cosθ使得θ 在 x-軸的投影為cos cosθ ϕy-軸投影

為cos sinθ ϕ於是

ˆ ˆ ˆ ˆcos cos cos sin sinx y zθ θ ϕ θ ϕ θ= + minus （4-60）

單位向量ϕ 如 Fig 35a 所示是在 x-y 平面畫出

Fig 35b 為自 z 軸向下看 Fig35a 圖可以看出ϕ 在 z 軸投影為 0且

ˆ ˆ ˆsin cosx yϕ ϕ ϕ= minus + （4-61）

ex25 一個質點的速率為 2( ) ( sin tan )v r rθ ϕ θ ϕ= 若經查該質點的運

動 是 在 z = 3 平 面 做 逆 時 針 圓 周 運 動 則 當 位 置 的 方 向 角

4-26

2( ) 4 3π πθ ϕ ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

時計算其速度用球座標與直角座標表出

解圓運動速度方向是沿切線所以球座標 ˆ ˆ( )v v v rϕ θ ϕ ϕ= =

z = 34πθ =

3 3 21cos cos 24

z zrπθ

rArr = = = =⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

所以該處的瞬時速率

2 2

2( ) 3 3 4 3

2 1 813 3sin tan 3 3 ( 3)4 3 22

v r v π πθ ϕ

π π

⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

⎡ ⎤ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = times minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

2 81 2ˆ3 3 4 3 2 4 3

v r π π π πθ ϕ ϕ⎛ ⎞ ⎛ ⎞rArr = = = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

在直角座標2 2 2ˆ ˆ ˆ sin cos

4 3 3 3x yπ π π πϕ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠3 1ˆ ˆ

2 2x y= minus minus

而且點23 3

4 3π π⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠

的直角座標為

2 1 3 3sin cos 3 3sin cos 3 34 3 2 22 2

x r π πθ ϕ minus minus⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

2 3 9sin sin 3 3sin sin 3 34 3 2 2 2 2

y r π πθ ϕ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = = =⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

z = 3

23 3 4 3

v π π⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

3 3 9 81 3 1ˆ ˆ 32 2 2 2 22 2

v x y⎛ ⎞ ⎛ ⎞

rArr = minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

以上兩個例子都只討論只有一個圓座標分量的向量in general 向量

ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( )r x y zA r rA A A A r xA yA zAθ ϕθ ϕ= + + hArr = + + （4-61）

若已知球座標的分量 ( )rA A Aθ ϕ 如何得到直角座標的

( )x y zA A A

4-27

ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( )ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( )

ˆ ˆˆˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( )

x r

y r

z r

A x A r x r A x A x A

A y A r y r A y A y A

A z A r z r A z A z A

θ ϕ

θ ϕ

θ ϕ

θ ϕ

θ ϕ

θ ϕ

⎧ = sdot = sdot + sdot + sdot⎪⎪ = sdot = sdot + sdot + sdot⎨⎪

= sdot = sdot + sdot + sdot⎪⎩

（4-62）

由式（4-59）（4-61） ˆ ˆ ˆ ˆsin cos sin sin cosr x y zθ ϕ θ ϕ θ= + + （4-59） ˆ ˆ ˆ ˆcos cos cos sin sinx y zθ θ ϕ θ ϕ θ= + minus （4-60）

ˆ ˆ ˆsin cosx yϕ ϕ ϕ= minus + （4-61） ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆsin cos cos cos sin ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆsin sin cos sin cos ˆ ˆˆˆ ˆcos sin 0

x r x x

y r y y

z r z z

θ ϕ θ θ ϕ ϕ ϕ

θ ϕ θ θ ϕ ϕ ϕ

θ θ θ ϕ

⎛ ⎞sdot = sdot = sdot = minus⎜ ⎟

rArr sdot = sdot = sdot =⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟sdot = sdot = minus sdot =⎝ ⎠

（4-63）

sin cos cos cos sin sin sin cos sin cos

cos sin 0

x r r

y RS

z

A A AA A M AA A A

θ θ

ϕ ϕ

θ ϕ θ ϕ ϕ

θ ϕ θ ϕ ϕ

θ θ

⎛ ⎞minus ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟rArr = equiv⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟minus⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

（4-64）

其中 SRM 為由球座標分量轉為直角座標分量的轉換矩陣且行列式

det SRM =1 表示反矩陣存在then 1SRM minus 就是將直角座標分量轉為球座

標分量之轉換矩陣其實嚴格講 (4-64)式還不是最終的表示因為

轉換完的直角

座標應該全部以 x y z 表出這裡保留用 θ ϕ 只是為了簡潔方便

習題 2 Find 1SRM minus

習題 3 用 xyz 表出(a)sinθ (b)cosθ (c)sinϕ (d)cosϕ

Ans (a)2 2

2 2 2sin

x yx y z

θ+

=+ +

(b)2 2 2

cos zx y z

θ =+ +

(c)2 2

sin yx y

ϕ =+

(d)2 2

cos xx y

ϕ =+

習題 4 用上面結果將 SRM 用 xyz 表出

Ex26 Given a field ( )A r θ ϕ ＝ ˆ ˆˆ2 3r θ ϕ+ minus in spherical coordinates

find the field in rectangular coordinates （直角座標）

4-28

解這裡的 ( )A r θ ϕ 不因其三個分量都是常數而只是「一個」向量

而是一 vector field這是因為 ˆ ˆˆ r θ ϕ 都不是定值而與 θ ϕ 有關而如

果 ( )A r θ ϕ 表示則單位向量所對應的角度 θ ϕ 必須要標定所以

sin cos cos cos sin 2sin sin cos sin cos 3

1cos sin 0

x

y

z

AAA

θ ϕ θ ϕ ϕ

θ ϕ θ ϕ ϕ

θ θ

⎛ ⎞minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ minusminus⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

(2sin 3cos )cos sin(2sin 3cos )sin cos

2cos 3sin

x

y

z

AAA

θ θ ϕ ϕθ θ ϕ ϕ

θ θ

+ +⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟rArr = + minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟minus⎝ ⎠ ⎝ ⎠

習題 5 Draw a diagram to show in the cylindrical coordinates

(a) ˆ ˆ ˆcos sinx yρ ϕ ϕ= + (b) ˆ ˆ ˆsin cosx yϕ ϕ ϕ= minus + (c) ˆ ˆz z=

習題 6 use the above results show that 由柱座標分量轉為直角座標分

量的轉換矩陣

x

y CR

z z

A AA M AA A

ρ

ϕ

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟=⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

CRM =

2 2 2 2

2 2 2 2

0cos sin 0sin cos 0 0

0 0 10 0 1

x yx y x y

y xx y x y

ϕ ϕ

ϕ ϕ

minus⎛ ⎞⎜ ⎟+ +⎜ ⎟⎛ ⎞minus⎜ ⎟⎜ ⎟

= ⎜ ⎟⎜ ⎟+ +⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

Ex27 Express vector ˆ ˆ ˆ(3cos ) 2 5A zρ ϕ ϕ ρ= minus + in Cartesian

coordinates Specifically the A at the position of (2 2 3π -3)

解

2cos sin 0 3cos 3cos 2 sinsin cos 0 2 3cos sin 2 cos

5 50 0 1

x

y

z

AAA

ϕ ϕ ϕ ϕ ρ ϕϕ ϕ ρ ϕ ϕ ρ ϕ

⎛ ⎞minus ⎛ ⎞+⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟= minus = minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

so that A (2 2 3π -3)= 3 3 3ˆ ˆ ˆ3 3 3 54 4

x y z⎛ ⎞⎛ ⎞+ + minus +⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠注意本

題裡 z 座標並非一變數

4-29

sect 43 Fields and its properties 場與其性質

「場 field」是什麼凡是在「某個空間中每一點」都有定義的量

就是一個「場」所以「場」也稱為「點函數 point function」簡單的

說凡是「空間的函數」都是「場」如果這個「空間的函數」是一個

純量 u(xyz)那麼 u(xyz)就是一個「純量場 scalar field」例如室內

的溫度 T(xyz)一塊豬肉的密度 ( )x y zρ 大氣中的壓力 p(xyz)等

都是純量場如果這個「空間的函數」是一個向量 )( zyxA 那麼

)( zyxA 就稱為「向量場 vector field」例如空間中的電場 )( zyxE

水流中的速度場 )( zyxv 重力場 )( zyxg 等等很顯然的不論是純量

場還是向量場「場」在空間中的分佈通常未必是均勻的那麼她有

什麼性質呢例如一塊豬肉內部密度是如何變化的水流中有沒有

漩渦大氣中的等壓線是如何變化的等等那麼有沒有什麼量可以

有系統的描述各種場的分佈有我們在以下分別討論

sect 431 Gradient of scalar fields 純量場的梯度

考慮一個純量場 f(xyz)可以視為 3 個變數 xyz 的函數當變數變動為

x+dx y+dy z+dy 時造成 f 的變化

f f fdf dx dy dzx y zpart part part

= + +part part part

（4-65）

由幾何意義來看上式更為具體上式表示純量場 )(rf 基於位置的變化

r r drrarr + (或由 ( ) ( )x y z x dx y dy z dzrarr + + + )所造成 f 的變動

我們現在定義一個向量算符 vector operator nabla (or nabla )（讀做 del）

ˆ ˆ ˆx y zx y zpart part part

nabla equiv + +part part part

(4-66)

如果將 del 作用在純量場 )(rf 上將產生出現一個新的「向量場」 fnabla

稱為純量場「 )(rf 的『梯度 gradient』」

4-30

ˆ ˆ ˆ( ) f f fgrad f f x y zx y zpart part part

equiv nabla = + +part part part

（4-67）

這使得由於任意位移 ˆ ˆ ˆdr xdx ydy zdz= + + 所造成 f 的變化量

df f drrArr =nabla sdot （4-61）

ex28 Given scalar field 2( )f r xy z= and 2 2 2

1 1( )g rrx y z

= =+ +

(a) find the value of ( )f r and fnabla at point P(2 1-1) 解 2(21 1) 2 1 ( 1) 2f minus = times times minus = minus

2 2 2

2 2

ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( )

ˆ ˆ ˆ( ) ( 2 ) ( )

f x xy z y xy z z xy zx y z

x y z y x yz z xy

part part partnabla = +

part part part

= +

＋

＋

ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ(21 1) ( 1) (2 2) (2) 4f x y z x y znabla minus = minus + timesminus = minus minus＋ ＋2 (b) find the value of ( )g r and gnabla at the point P

解2

1 1(21 1)62 1 1

g minus = =+ +

2 2 2 12 2 2 2 12

2 2 2 12

ˆ ˆ( ) ( )

ˆ ( )

g x x y z y x y zx y

z x y zz

minus minus

minus

part partnabla = + + + + +

part partpart

+ +part

＋

2 2 2 32 2 2 2 32 2 2 2 32

2 2 2 32 3 2

ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( )

ˆ ˆ ˆˆ( )( )

OR OR

xx yy zzgx y z x y z x y zxx yy zz r r

x y z r r

minus minus minusrArrnabla = + +

+ + + + + +minus + + minus minus

= = =+ +

32

ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ(2 ) 2(21 1)6 6 6

x y z x y zg minus + minus minus minus +rArrnabla minus = =

由 gnabla 看到一個粉常用的結果就是

3 2

ˆ1 ORr rr r r

minus minusnabla = = （4-62）

順便比較一下

2 2 2 12 2 2 2 12 2 2 2 12

2 2 2 12

ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( )

ˆ ˆ ˆ( ) ˆ (4 63)( )

r x x y z y x y z z x y zx y zxx yy zz r r

x y z r

part part partnabla = + + + + + + +

part part part+ +

= = = minus+ +

＋

4-31

(c) what is the angle between (21 1)fnabla minus and (21 1)gnabla minus

解 (21 1)fnabla minus (21 1)gsdotnabla minus ＝（ ˆ ˆ ˆ4x y zminus minus ＋2 ） sdotˆ ˆ ˆ26 6x y zminus minus +

＝2 4 2 4

6 6 3 6+ +

= ＝ | (21 1) |fnabla minus | (21 1) |gnabla minus cosθ

＝ 34 1 1 211 16 4 cos cos

6 6θ θ+ +

+ + =

1 4 2cos 07773 7

radθ minus ⎛ ⎞= =⎜ ⎟

⎝ ⎠

要注意隨然nabla有向量的性質但是他並不是一個真的向量真

實向量 A與純量 f ( )r 的乘法滿足交換率ie ( ) ( )Af r f r A= 但是

f fnabla ne nabla因為

( )f rnabla ＝ ˆ ˆ ˆf f fx y zx y zpart part part

+ +part part part

是一個向量函數而

ˆ ˆ ˆ( )f r x y zx y z

⎛ ⎞part part part+ +⎜ ⎟part part part⎝ ⎠

是一個算符（operator）

若nabla要與向量場 A 作用由於nabla與 A 都具有向量的性質先看「內積」

ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ( )

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

x y z

x y

z

y yx xz z

A x y z xA yA zAx y z

x y z xA x y z yAx y z x y z

x y z zAx y z

A AA AA Ax x x y x zx y z x y z

⎛ ⎞part part partrArrnablasdot = + + sdot + +⎜ ⎟part part part⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞part part part part part part= + + sdot + + + sdot⎜ ⎟ ⎜ ⎟part part part part part part⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞part part part

+ + + sdot⎜ ⎟part part part⎝ ⎠part partpart partpart part

= sdot + sdot + sdot + sdotsdot sdot = + +part part part part part part

yx zAA AAx y z

partpart partnablasdot = + +

part part part (4-64)

上式中的 Anablasdot 是向量場 A 的一個重要的性質稱為 A 的「散度」詳

細的內容在後面會仔細討論這裡引進 Anablasdot 主要是要表明nabla是個「算

符」表示一個運算不是一個真實的向量只是在「直角座標」裡

4-32

因為單位向量 ˆ ˆ ˆ x y z 是常數不受微分的作用以致nabla表現得好像也

是個一般的向量一樣事實上真實向量和nabla間的「內積」就不滿足交

換率

x y zA A A A an operator Ax y zpart part part

sdotnabla = + + = ne nablasdotpart part part

(4-65)

這也使得任意向量場 ( )A r 因位置變動 r r drrarr + 而產生的變化由於

)( zyxA 也是 3 個變數 xyz 的函數可以寫為

( )A A AdA dx dy dz dr Ax y z

part part part= + + = sdotnabla

part part part （4-66）

ex29 (a)Given field 2ˆ ˆ ˆ2A xxy y x zyz= minus + find Anablasdot at point (1-12)

解2( ) (2 ) ( ) 2xy x yzA y yz

x y zpart part part

nablasdot = + + = +part part part

(1 12)1 2( 1)2 3A

minusnabla sdot = minus + minus =

(b) find rnablasdot 解 rnablasdot = 3x y zx y zpart part part

+ + =part part part

梯度的意義

由（4-67）可以看到「f 的梯度 fnabla 」

是一個由「純量場 f」衍生出的向量

場由（4-26）也可以看出 fnabla 扮演類

似「變化率」的角色

空間中將相同值 f ( )r ＝f1 的點連

起來就得到一個 f ( )r ＝f1 的「等值面」如 Fig36考慮純量場 f( r )的

相鄰兩個等值面各對應定值 1f f= 與 1f f df= + 0df gt P1 點在 f1

等值面上相鄰兩點 P2P3 在 1f df+ 等值面上而向量 1 2 ˆnP P dn e dn= =

過 P1 點垂直於 f1 等值面 1 3 ˆP P d e d= = 與 ˆne dn夾角為α 由於不

論 1 2P Prarr 或 1 3P Prarr f 的變化量都是 df 但因距離 dn 係兩等值面最

4-33

短的距離d dngt 所以 1 2P Prarr 或 1 3P Prarr 造成的「變化率」df dfdn d

gt

而過 P1 點的最大變化率為dfdn

換言之向量 ˆndfedn

為過 P1 點垂直於

f1 等值面且指向最大「增加率」的方向 現在要證明

ˆndfe fdn

= nabla （4-67）

考慮 1 3P Prarr 造成的 f 值的變化率

ˆ ˆcos n ldf df dn df df e edl dn dl dn dn

α= = = sdot

ˆ ˆ ˆn l ndf dfdf e e dl e dldn dn

rArr = sdot = sdot

和（4-61）式df f dr= nabla sdot 相比即可得證 ˆndfe fdn

= nabla 所以可以知道

空間純量場 f ( )r 中任一點處的向量 fnabla 必「垂直」於「通過該點的 f的等值面」且指向 f 值最大「增加率」的方向| ( )f rnabla |就是 f 在 r 點

的最大增長率可以進一步定義等值面的「法線 normal」方向為

ˆ fnf

nabla=nabla

（4-68）

結論給定一個純量場 f( r )在每一點 r 可以定義一個稱做「梯度」

的向量 fnabla fnabla 垂直於過 r 點的 f 等值面且指向最 f 大增加率的方向

fnabla 的方向也定義了 f 等值面的法線方向

Ex30 考慮一個 2D 的 scalar field 2( )f x y y x= minus 計算該場在 )20( 的梯度與

法線方向

解 ˆ ˆ ˆ ˆ2f ff x y x yyx ypart part

nabla = + = minus +part part

ˆ ˆ(0 2) 2 2f i jnabla = minus + ˆ ˆ ˆ ˆ2 2 2 2ˆ(0 2)

31 8i j i jn minus + minus +

rArr = =+

4-34

ex31 點電荷 q 置於原點其產生電位為 ( ) qV rr

= 求負梯度qr

minusnabla

解 3

2 2 2 22 2 2

2 ( )2

q q q q x x y zr x rx y z

minuspart minus= rArr = sdot + +

part+ +

3 23

ˆˆ ˆ ˆ( )q ix jy kz r rq q qr r r r

minus + +rArr minusnabla = minus = = （點電荷的電場）

0 0

1 1 r r

noter r= =

nabla rarrinfin rarrinfin∵ 是不定值是因為 r = 0 處為最大值

「增加率」的方向無法確定

ex32 置一熱源於原點空間溫度分佈為1( )

( 2)T r

r=

+求溫度的梯度

解 2 2 2

ˆ( ) ( )( 2) ( 2) ( 2)

x rT r rr rT r

x r r r

minuspart minus

= rArrnabla = =part + + +

此處的負號表示梯

度指向熱源因為距熱源越遠溫度越低 ( 0)note T rnabla = 為不定值

因在最頂點「增加率」的方向無法確定

Ex33 地圖上山脈的等高線上各點的垂直方向由梯度決定現有一座

山是橢球 2)1(4 222 =+++ zyx 在 x-y 平面上方的

部分求地圖上這座山等高線的梯度

解 山高 142 22 minusminusminus== yxzh 所以等高線為橢

圓 222 )1(24 +minus=+ hyx 梯度

( ) ( ) ( )2 2 2 2

2 2

ˆ ˆ4ˆ ˆ2 4 1 2 4 1

2 4

xx y yh x x y y x y

x y x y

minus +part partnabla = minus minus minus + minus minus minus =

part part minus minus

所以自山腳（h=0）登山若由(012)開始 ˆ(01 2) 2h ynabla = minus 但若由

)02(minus 開始爬山 ˆ( 20) 2h xnabla minus = 可見 )02()210( minusnablagtnabla hh 這表

示由 y-軸登山山勢較陡所以「梯度」比由 x-軸登山為大這也更

清楚瞭解「梯度」的幾何意義

4-35

sect 432 Divergence 散度與 Curl 旋度

在(4-66) 我們建立了一個直角座標 vector operator 「del」

ˆ ˆ ˆx y zx y zpart part part

nabla equiv + +part part part

(4-66)

若與向量場 A 做「內積」與「外積」就建構了 A 的「散度」與「旋度」

散度 A A scalaryx zAA Adiv ax y z

partpart partequiv nabla sdot = + + =

part part part （4-69）

旋度

y yz x z x

ˆ ˆ ˆ y z A vector

A AA A A Aˆ ˆ ˆxy z z x x y

x y z

x y z

xcurl A a

A A A

y z

⎧⎪

= nablatimes = part part part =⎪⎪⎨⎪

part part⎛ ⎞ ⎛ ⎞part part part part⎛ ⎞⎪ = minus + minus + minus⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎪ part part part part part part⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎩

(4-70)

這裡定義的只是「散度」與「旋度」所謂「操作型的定義」告訴我

們如何計算的式子事實上她們都具有重要的物理意義我們在後面

會討論

ex34 ˆ ˆA xy yx= minus 求其散度與旋度

解 0 0y xAx ypart part

nablasdot = minus + =part part

ˆ ˆ ˆ y zˆ ˆ ˆ ˆ 0 0 ( 2) 2

0 x y z

xA x y z z

y xnablatimes = part part part = minus + minus = minus

minus

右圖示意了本向量場的分佈看得出像個漩渦也看到算出的旋度

0ne 看來旋度表現的應該是向量場「旋轉的程度」事實上我們在

後面會看到「旋度」表現的就是是向量場在空間各點「旋轉的程度」

本題的向量場在每一點的旋轉程度都一樣

4-36

Ex35 ( )ˆ ˆ ˆ A xx yy zz r= + + = 求其散度與旋度

解 3A rnablasdot = nablasdot = ˆ ˆ ˆ y z

0

x y z

xA

x y znablatimes = part part part =

由場分佈的示意圖可以看出本向量場是自原點向外射出好似在原

點有一個場線的「源頭 source」但是 3Anablasdot = 為一個常數表示好像到

處都有 source同時旋度為 0 也可以配合本場並無旋轉的形象事實

上「散度」表現的就是是向量場在空間各點產生「場線」的 source

記得靜電學裡的庫倫定律 0E ρ εnablasdot = 電場的散度就是「電荷密度」

(電場的 source)前一題的向量場看來對應的場線是封閉的所以沒有

source這也對應了其散度＝0不過一個向量場的散度旋度究竟是

多少應該詳細的計算場分佈圖形有時候不是那麼容易看的清楚

兩個 useful identities (恆等式)

(a) ( ) 0 0f curl of a gradnablatimes nabla = =

(b) ( ) 0 0A div of a curlnablasdot nablatimes = =

pf (a) ( )ˆ ˆ ˆ x y z

x y z

x y z

ff f f

nablatimes nabla = part part part

part part part

( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2xz zxˆ ˆ ˆx y f- f z 0yz yz xy yxf f f f= part minus part minus part part + part minuspart =

這個結果與真實的向量外積 ( ) AA 0=times 有相似之處但是這只是特

例要記得nabla並不是一個真正的向量

( ) ( ) ( )

( )

ˆ ˆ ˆ y zˆ ˆ ˆ x y z

0

x y z y z z y x z z x x y y x

x y z

xy z xz y xy z yz x xz y yz x

xA A A A A A A

A A A

A A A A A A A

nablatimes = part part part = part minus part minus part minus part + part minus part

nablasdot nablatimes = part minuspart minuspart +part +part minuspart =

4-37

此結果與真實的向量運算有相似之處 ( )( )0 (B A) BB B Asdot times = times perp∵

但是這仍只是特例因為我們可由下列例子 ( ) 0A Asdot nablatimes ne 看出事實上

nabla並不是一個真正的向量 Ex36 ˆ ˆ ˆA xy yx zx= minus +

( )

ˆ ˆ ˆ y zˆ ˆ ˆ 0 1 ( 2)

2 0

x y z

xA x y z

y x x

A A x x x

nablatimes = part part part = minus + minus

minus

sdot nablatimes = minus = minus ne

面積元素向量

物理上時常會遇到面積分例如電通量磁通

量等等考慮一個面積元素 ds定義「面積的

方向」為其「法線方向」並定義面積元素向量

ˆnds a dsequiv （4-71）

要注意的是(1)如果 ds 是一個「封閉面

closed surface」（即有裡外之分）的一部

份則 ˆna 定義為「由內向外」(2) 如果 ds

是一個「開放面 opened surface」（即分不

出裡外）的一部份那麼 ds 必被其邊緣

（一個封閉的曲線 C）所包圍這樣在定

出ds 的方向之前要先定義「邊緣曲線」

C 的方向再由右手定則定義 ˆna 的方向

既然面積已為一個向量就可以寫為分量表示以直角座標

ˆ ˆ ˆx y zds xds yds zds= + + (4-72)

那麼這些分量 dsx dsy dsz 會是什麼既然 dsx 的方向是 x 就表示 dsx

是躺在 y-z 平面上所以 dsx 的兩邊是 dy 與 dz rArr xds dydz= 依此類

4-38

推 dsy 的方向是 y 所以躺在 x-z 平面rArr yds dxdz= hellip可以得知

xds dydz= yds dxdz= zds dxdy= （4-73）

不過要注意在寫面積元素時要看討論的面實際

是什麼面上式的三個分量有可能會是負的例如

左圖座落在第一象限的立方體的 A 面方向就在 xminus

方向Arsquo面在 yminus Ardquo面在 zminus 方向寫面積元素最

好是先把討論的面的方向搞清楚把plusmn號寫在單位向量前面那麼分

量就都用＋的即可其實面積元素體積元素都可以由位移元素看出

ˆ ˆ ˆdr xdx ydy zdz= + +

dx dy dz 是沿著 ˆ ˆ ˆ x y z 方向的長度所以面積元素分量的兩邊長度就

是由其中兩個組成而體積的三邊也就是三個垂直方向的長度

x y zdV dx dy dz and ds dydz dxdz dxdyrArr = = （4-74）

這個概念在其他的座標系統也成立我們可以方便的寫出面積元素

Recall 柱座標的位移向量元素

cylindrical coordinate ˆ ˆ ˆdr d d dzzρρ ρ ϕϕ= + + （4-48）

ˆ ˆ ˆ zds ds ds zdsρ ϕρ ϕ= + + (4-75)

dsρ 躺在 zϕ minus 平面dsϕ 在 zρ minus 平面 zds 在ρ ϕminus 平面

rArr zds d dz ds d dz ds d d d dρ ϕρ ϕ ρ ρ ρ ϕ ρ ρ ϕ= = = sdot = （4-76）

上面的結果畫個圖看看吧球座標的位移向量元素

Spherical coordinate ˆ ˆˆ ( ) ( sin )dr rdr rd r dθ θ ϕ θ ϕ= + + （4-56）

ˆ ˆˆ rds rds ds dsθ ϕθ ϕ= + + （4-77）

rArr sin sin rds rd r d ds dr r d ds rd drθ ϕθ θ ϕ θ ϕ θ= sdot = sdot = sdot (4-78)

4-39

向量場 ( )A r 在 S 面上的「面積分（surface integral）」or「flux」

如左圖若有一「平面」S 且其上有「均勻」

場 B 分佈則通過 S 面的通量就是

ˆB B nSΦ = sdot

但考慮一任意「非均勻」向量場 ( )A r 在空間分佈選取任意曲面 S

探討 ( )A r 在 S 上之通量若ds 為 S 面上的面積元素在趨近於 0 的

小面積ds 上 A可視為均勻所以通過ds 之通量為 ( )d A r dsΦ = sdot 則 S

面之總通量為

Φ＝ ˆ cosS S S

A ds A nds A daϕsdot = sdot =int int int

( )OR

x x y y z zS

A da A da A da= + +int (4-75)

稱為 A 在 S 面上的「面積分」或「通量 flux」

上圖所繪就是一個任意面上分割出許多小面積舉出三個位置的通

量有+-與 0如果 S 面是為一「封閉面」則面積分寫為

S

A dssdotint （4-76）

4-40

ex37 Given 2ˆ ˆ ˆyzA xyz yx zx= + + 計算通量S

A dssdotint

S 面為在第一象限邊長＝1 的立方體表面封閉面

解立方體分為前後右左上下六個面分開算 1前面（x=1）

方向 x+ ˆ xA ds A xdydz A dydzsdot = sdot =int int int前 前 前

yzdydz= int前 ＝1 1

0 0

1 1 12 2 4

ydy zdz = sdot =int int

2後面(x=0)方向 xminus ˆ(- ) - xA ds A x dydz A dydzsdot = sdot =int int int後 後 後

yzdydz= minusint後1 1

0 0

-1 1 -12 2 4

ydy zdzminus = sdot =int int

3 右面（y=1）方向 y+ y ( 1)yA ds A dxdz A y dxdzsdot = sdot = =int int int右 右 右

( 1)x y zdxdz= =int右 ＝1 1

0 0

1 1 12 2 4

xdx zdz = sdot =int int

4 左面（y=0）方向 ˆ-y ˆ( y) - ( 0)yA ds A dxdz A y dxdzsdot = sdot minus = =int int int左 左 左

( 0) 0x y zdxdz= = =int左

5 上面（z=1）方向 z+ zz y (z 1) yA ds A dxd A dxdsdot = sdot = =int int int上 上 上

2 yx dxd= int上 ＝1 120 0

1 1y 13 3

x dx d = sdot =int int

6 下面（z=1）方向 ˆ-z zˆ(-z) y - (z 0) yA ds A dxd A dxdsdot = sdot = =int int int下 下 下

2 -1- y3

x dxd= =int下 ＝1 120 0

1 1y 13 3

x dx d = sdot =int int

S

A dssdotint ＝六個面的和＝1 1 1 1 1 1( ) ( 0) ( )4 4 4 3 3 4

minus minus+ + + + + =

ex38 Given ˆ ˆ ˆzA xyz yx zxy= + + 計算通量S

A dssdotint S 為圓 2 2 2x y a+ =

在第一項限的部分方向選為 z+ 2 2y a x= minus

4-41

解 2 2 4

0 0ˆ

8a a x

zS S S S

aA ds A zdxdy A dxdy xydxdy xdx ydyminus

sdot = sdot = = = =int int int int int int

Ex39 In cylindrical coordinate Given ˆ ˆaA zbzρρ

= + where a b are

constants Find S

A dssdotint over the surface of a

closed cylinder about z-axis specified by 3 2z ρ= plusmn =

解S 分為上下與周邊三面

zz (z 3)zA ds A ds A d dρ ρ ϕsdot = sdot = = sdotint int int上 上 上

= 23 3 2 12bd d b bρ ρ ϕ π πsdot = sdot =int上

ˆ(-z)A ds A d dρ ρ ϕsdot = sdot sdotint int下 下

= z- (z -3)A d dρ ρ ϕ= sdotint下 = 23 2 12b bπ πsdot =

周邊ds ˆ ( )d dzρ ρ ϕ= rArr ˆ ( ) z ( ) zA ds A d d A d dρρ ρ ϕ ρ ϕsdot = sdot =int int int周 周 周

2 3

0 3( ) z ( ) z=a 12aA d d d d d dz a

πρ ρ ϕ ρ ϕ ϕ π

ρ minus= = =int int int int周 周

加起來 S

A dssdotint ＝12 24 12 ( 2 )a b a bπ π π+ = +

ex40 一點電荷 q 置於原點計算在一個以原點為圓心 0r 為半徑的球

面上的電通量

解 2 20 0

ˆ ˆ4 4S S

qr q dsE ds rdsr rπε πε

sdot = sdot =int int int

=0 0 0

44 4S

q q qd ππε πε ε

sdot Ω = sdot =int

上式中 dΩ 2dsr

= 是 ds 所張開的「立體角」(solid angle)

4-42

div A and Flux 通量與散度的幾何物理意義

我們運用過nabla的符號來表示過散度 divF F= nablasdot yx zFF Fx y z

partpart part= + +part part part

但是也看到「散度」定義為

0( )

1( ) limSV

about x y z

divF x y z F da divergence of FVΔ rarr

equiv sdot =Δ int (4-77)

其中 VΔ 為 S 面所包含的體積即散

度為通量(體)密度的 0 體積極限

（4-77）的定義與 Fnablasdot 好像差的很

多她們是說同一回事嗎以下證明

這兩種「散度」的定義是等價的如

左圖考慮一個以點 ( ) x y z 為中心

的 立 方 體 其 相 鄰 三 邊 長 為

x y zΔ Δ Δ 體積 V x y zΔ = Δ Δ Δ 現在計算 F 在立方體的一組平行於 y-z平面的表面 S1 與 S2 的通量

( )1 1

ˆ ˆ xS S

F nds F xds F x y z dsrArr sdot = sdot =intint intint intint 2xxF x y z y zΔ⎛ ⎞asymp + Δ Δ⎜ ⎟

⎝ ⎠

其中 2xx y zΔ⎛ ⎞+⎜ ⎟

⎝ ⎠為 S1 面中心的座標而

2xx y zΔ⎛ ⎞minus⎜ ⎟

⎝ ⎠為 S2 面的中心

( ) ( )2 2 2

ˆ ˆ 2x x

S S S

xF nda F x ds F x y z ds F x y z y zΔ⎛ ⎞rArr sdot = sdot minus = minus asymp minus minus Δ Δ⎜ ⎟⎝ ⎠intint intint intint

上式中的負號來自 S2 面的方向是 xminus 所以合併兩個面積分

1 2

ˆ 2 2x x

S S

x xF nds F x y z F x y z y z+

Δ Δ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞rArr sdot asymp + minus minus Δ Δ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦intint

2 2x xx xF x y z F x y z

x y zx

Δ Δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠= Δ Δ Δ

Δ

2 2

x xx xF x y z F x y z

Vx

Δ Δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠= Δ

Δ

1 2

1 2 2ˆ

x x

S S

x xF x y z F x y zF nds

V x+

Δ Δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠rArr sdot asymp

Δ Δintint

4-43

當取體積向(xyz)點收縮至 0 時即 0 x 0as VΔ rarr Δ rarr 上式的近似

「asymp」就成了「＝」

1 20

1 ˆlimV

S S

F ndsVΔ rarr

+

sdotΔ intint

( )0

2 2limx x

x

x

x xF x y z F x y z F x y zx xΔ rarr

Δ Δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟ part⎝ ⎠ ⎝ ⎠= =Δ part

Similarly F 在立方體的一組平行於 x-z 平面的表面 S3 與 S4 的通量

3 3 3

ˆ ˆ yS S S

F nds F yds F dsrArr sdot = sdot =intint intint intint

2

2

y

y

yF x y zyF x y z x z x y z

y

Δ⎛ ⎞+⎜ ⎟Δ⎛ ⎞ ⎝ ⎠asymp + Δ Δ = Δ Δ Δ⎜ ⎟ Δ⎝ ⎠

( )4 4 4

2ˆ ˆ

y

yS S S

yF x y zF nds F y da F ds x y z

y

Δ⎛ ⎞minus⎜ ⎟⎝ ⎠rArr sdot = sdot minus = minus asymp Δ Δ Δ

Δintint intint intint

合併 S3 與 S4 兩個面積分並取體積向(xyz)點收縮至 0 時即當

0 y 0VΔ rarr Δ rarr 上式的近似asymp就成了＝

3 4

2 2ˆ

x x

S S

y yF x y z F x y zF nds V

y+

Δ Δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠rArr sdot cong Δ

Δintint

3 40 0

1 2 2ˆlim lim

x xy

V yS S

x yF x y z F x y z FF nds

V y yΔ rarr Δ rarr+

Δ Δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟ part⎝ ⎠ ⎝ ⎠rArr sdot = =Δ Δ partintint

與上面相同的作法計算 F 在立方體的一組平行於 x-y 平面的表面 S5

與 S6 的通量我們也會得到對應的結果

5 6

2 2ˆ

z x

S S

z zF x y z F x y zF nds V

z+

Δ Δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠rArr sdot cong Δ

Δintint

5 60 0

1 2 2ˆlim lim

z xz

V zS S

z zF x y z F x y zFF nds

V z zΔ rarr Δ rarr+

Δ Δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟ part⎝ ⎠ ⎝ ⎠rArr sdot = =Δ Δ partintint

所以合併立方體的 6 個面積分

4-44

1 2 3 4 5 6

ˆ ˆ ˆ ˆS S S S S S S

F nds F nds F nds F nds+ + +

rArr sdot = sdot + sdot + sdotint intint intint intint

0

1 ˆlim yx zV

FF FF nds div F FV x y zΔ rarr

partpart partrArr sdot = + + = = nablasdot

Δ part part partint (4-78)

在此我們得證這兩種「散度」的定義是等價的只是（4-77）的定義

充分的表現出「散度」的幾何物理意義他從通量著手由於場線

出自於 source（ex電場源自於點電荷）所以在點(xyz)必須有向量場

F 的 source 存在才能使得當面積縮到 0 時仍具有非 0 的通量所以「散

度」表現向量場 F 的 source 在這個定義之下是很清楚的當然在計算

「散度」時我們不必那麼麻煩用 divF F= nablasdot 就好了

Ex41 計算 2ˆ ˆ ˆF xx yxy zyz= + + 的散度

解 2 yx zFF Fx x yx y z

partpart part= = =

part part part F 2x x y 3x ydivrArr = + + = +

recall 在靜電學0

yx zEE EEx y z

ρε

partpart partnablasdot = = + +

part part part

散度定理 Divergence Theorem

若任意封閉面（又稱為「高斯面」）S 所包圍的

體積為 V 則

S VA ds Adτsdot = nablasdotint int （4-79）

pf 我們先將體積分割成 N 個小盒子考慮相鄰的兩個小盒子 1 2

兩小盒子的共用面面積 S0當 S0 是為 1 號盒子的一部份時其方向為

1n 但若當為 2 號盒子的表面時其方向為 12 ˆˆ nn minus= 如此在 S0 分別做

4-45

1 2 盒子的面積分後

0 0

0 0 0 0

1 2

1 2 1 1ˆ ˆ ˆ ˆ 0

S S

S S S S

A ds A ds

F n ds F n ds F n ds F n ds

sdot + sdot

= sdot + sdot = sdot minus sdot =

intint intintintint intint intint intint

所以若求場 A 在 1 2 盒子的總通量時交界面是沒有貢獻的總通量

就只有「外面積」才有貢獻如此我們計算 N 個小盒子的總通量

時所有的內部共用面都得 0只剩下「外表面」的貢獻了當 infinrarrN

時所有小盒子的「總外表面」就與 S 面重合了所以所有小盒子通量

的總和就等於 S 面的通量

1lim

i

N

S SN iA ds A ds

rarrinfin=

rArr sdot = sdotsumint int

現在我們做 N 個小盒子的總通量

1 1

1i i

N N

iS Si i i

A ds A ds VV= =

⎛ ⎞sdot = sdot Δ⎜ ⎟Δ⎝ ⎠

sum sumint int

當 0iN Vrarrinfin rArr Δ rarr 並用 dv 表示體積元素

( ) ( )1 1

1

1lim lim lim

lim

i ii

N N

iS SN N V oi i i

N

i VN i

A ds A ds VV

A V A dv

rarrinfin rarrinfin Δ rarr= =

rarrinfin=

⎛ ⎞sdot = sdot Δ⎜ ⎟Δ⎝ ⎠

= nablasdot Δ = nablasdot

sum sumint int

sum int

( )S V

A da A dvrArr sdot = nablasdotint int QED

所以得證散度定理上式中我們用了散度的（4-77）式定義要分辨

清楚 Anablasdot 是向量場 A 在空間中「某一點」的性質（ 0VΔ rarr ）而「散

度定理」說的是一個「有限體積」的性質

ex42 給定 ( ) ˆ ˆ ˆ A x y z xx yy zz r= + + = 計算在

半徑 R＝1 的球的上半球加底面的通量

4-46

解 ( )ˆˆS

A da A rda A k darArr sdot = sdot + sdot minusint int int上半球面 底面

( )

2

ˆ ˆ

0 2 1 2

A rda A z dxdy

r rds zdxdy rds ds π π

= sdot + sdot minus

= sdot minus = minus = = sdot =

int int

int int int int上半球面 底面

上半球面 底面 上半球面

底面的通量＝0 是因為 A 的 z 分量 Az=z 在底面的值為 0

也可以用散度定理更快的得出結果

∵ 3A rnablasdot = nablasdot =

31 43 3 1 22 3V V

Ad d πτ τ πnablasdot = = sdot sdot sdot =int int

ex43高斯定律的微分形式積 由 Gaussrsquo law 的積分形式用散度定理得出其

( )0 0

1 inS V

qE ds x y z dvρε ε

sdot = =int int

0S V VE ds Edv dvρ

εrArr sdot = nablasdot =int int int

上式最後的等式對「任意形狀」V 都成立所以兩者的被積函數相等

對於空間每一點 0

E ρε

nablasdot = （4-80）

ex44 Use 第一象限的單位力方體 check the divergence theorem using the function 2 2ˆ ˆ ˆ(2 ) 2A y x xy z y yzz= + + +

解2

2( ) (2 )(2 ) 2( )y yzA xy z x yx y z

part part partnablasdot = + + + = +

part part part

and 1 1 1 1 1 1

0 0 0 0 0 02 ( ) 2 ( )

VAdv x y dxdydz dz dy x y dxnablasdot = + = +int int int int int int int

1 1

0 0

1 12 ( ) 2 12 2

dz y dy= + = sdot =int int

面積分 1 1 2

0 0

1ˆ3

A ds A xdydz dz y dysdot = sdot = =intint intint int int前 前

4-47

1 1 2

0 0

1ˆ( )3

A ds A x dydz dz y dy minussdot = sdot minus = minus =intint intint int int

後 後

1 1 2

0 0ˆ (2 )A ds A ydxdz dz xy z dxsdot = sdot = +intint intint int int

右 右

1 1 1 12 2

0 0 0

4(2 ) (1 )3

ydz x z dx dz z

=

= + = + =int int int∵

1 1 2

0 0

0 1 1 12 2

0 0 0

ˆ( ) (2 )

1(1 )3

y

A ds A y dxdz dz xy z dx

dz z dx dz z=

sdot = sdot minus = minus +

minus= minus = + =

intint intint int int

int int int∵

左 左

11 1 1 1

0 0 0 0ˆ 2 2 1

zA ds A zdxdy dx yzdy dx ydy

=sdot = sdot = = =intint intint int int int int

∵

上 上

01 1

0 0ˆ 2 0

zA ds A zdxdy dx yzdy

=sdot = sdot minus = minus =intint intint int int

∵

下 下

前後右左上下六個面積分合併＝1＝V

Advnablasdotint QED

ex45 Continuity Equation 連續方程式

考慮某些「東西」的流動（物質電荷hellip）在時刻 t 時在點(xyz)

的 密 度 為 ( ) x y z tρ ρ= 並 具 有 速 度

( ) v v x y z t= 在時刻 t 時在體積 V 內的總量為

( ) x y z t dρ τintintint

這樣體積 V 內東東的時變率為

( ) ( ) d x y z t d x y z t ddt t

ρρ τ τpart=

partintintint intintint

注意體積分後的時間全微分移入積分內要改為偏微分這個東東

在表面的「流率 flow rate」可表為

ˆS

R v ndsρ= sdotintint

若體積內的物料無法自生自滅那麼體積內物料的變化必經由表面的

流出流入所造成

d v ndstρ τ ρpart

rArr = minus sdotpartintintint intint

由散度定理

4-48

( )ˆS

v nds v d dtρρ ρ τ τpart

sdot = nablasdot = minuspartintint intintint intintint

( )v Jtρ ρpart

rArr = minusnablasdot equiv minusnablasdotpart

0Jtρpart

rArr +nablasdot =part

（4-81）

(4-81) 即 continuity equation其中 J vρ= 為「物流密度」ex如果 ρ

是電荷密度 J 就是電流密度（4-81）是物質守恆的結果只對體

積內無 source（生成）or drain（消滅）的東東成立

ex46 Given a vector field ˆ ˆx yA ye xe= minus + (a) Find

Anablasdot (b)如圖一個金字塔狀的 5 面體高 2 底邊長

1計算 A在整個金字塔表面（封閉面）的總通量

解(a) Anablasdot = ( ) ( ) 0y xx ypart part

minus + =part part

(b) 金 字 塔 的 表 面 面 積 元 素 ds 不 好 寫 所 以 用 散 度 定 理

( )S V

A da A dvrArr sdot = nablasdotint int ＝0 Anablasdot 表示 A沒有 source 所以對封閉面而

言有多少場線進入就有多少出去所以總通量＝0

習題 7 With position vector r for an arbitrary volume V that is

bounded by surface S show that 13 S

r ds Vsdot =int

習題 8 已知一靜電場為 ˆ ˆ ˆ( )E xyz yxz zxyλ= + + 運用 Gaussrsquo law

試求包含在半球 2 2 2 2 0x y z R z+ + = ge 裡的總電荷 Ans 0

習題 9 (a) given ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( 2 )F r xf x yf y zf z= + + minus show that divF is

zero at point (c c -c2) (b) given ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( )G r xf x z yg x z zh x y= + +

show that ( ) 0G rnablasdot =

4-49

習題 10 Find the normal vector n for the surfaces (a) z = 2-x-y ans

ˆ ˆ ˆ( ) 3x y z+ + (b) z = (1-x2)12 ans ˆ ˆxx zz+ (c) z = x2+y2

ans ˆ ˆ ˆ( 2 2 ) 1 4xx yy z zminus minus + +

習題 11 Show that the unit vector normal to the plane ax+by+cz =d is

given by 2 2 2ˆ ˆ ˆ( ) ax by cz a b cplusmn + + + +

圓柱座標與球座標的nabla (del)

考慮一純量場在直角座標為 ( ) u x y z 在圓柱座標表為 ( ) u zρ φ

再考慮因位移 r r drrarr + 所造成 u ( )zρ φ 的變化

( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆz

z

u u udu d d dz u dr u d d zdzz

u u z u d d zdz

u d u d u dzρ ϕ

ρ ϕ

ρ ϕ ρ ρ ϕρ ϕρ ϕ

ρ ϕ ρ ρ ϕρ ϕ

ρ ρ ϕ

part part part= + + = nabla sdot = nabla sdot + +part part part

⎡ ⎤= nabla + nabla + nabla sdot + +⎣ ⎦= nabla + nabla + nabla

( ) ( ) ( )1

1ˆ ˆ ˆu

z

u u uu u uz

u u uzz

ρ ϕρ ρ ϕ

ρ ϕρ ρ ϕ

part part partrArr nabla = nabla = nabla =

part part partpart part part

rArrnabla = + +part part part

1ˆ ˆ ˆ zz

ρ ϕρ ρ ϕpart part part

nabla = + +part part part

（4-82）

注意nabla的ϕ -分量( 1ρ ϕ

partpart

)不是像直角座標裡單純的ϕpartpart

所以不要笨笨

的就把直角座標的形式硬套上去用我們也可以從「因次分析」來

看nabla因為是對空間的微分所以每一項的因次必須是「長度分之一」

運算 andzρ

part partpart part

都是「長度分之一」而「單純的ϕpartpart

」是沒有單位的

所以要1ρ ϕ

partpart

才 OK

由於圓柱座標裡的單位向量除了 z 之外 ˆ( )ρ ϕ 與 ˆ( )ϕ ϕ 都不是常

4-50

數所以在微分時不可以與微分運算交換而要考慮微分的作用所

以在「圓柱座標」寫「散度」 ( ) F zρ ϕnablasdot 也和直角座標不一樣

( )1ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ zF z F F zFz ρ ϕρ ϕ ρ ϕ

ρ ρ ϕpart part part⎛ ⎞

nabla sdot = + + sdot + +⎜ ⎟part part part⎝ ⎠

( ) ( )1ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆz zF F zF F F zFρ ϕ ρ ϕρ ρ ϕ ϕ ρ ϕρ ρ ϕpart part

= sdot + + + sdot + +part part

( )ˆ ˆˆ ˆ zz F F zFz ρ ϕρ ϕpart

+ sdot + +part

因為 ( ) ( )ˆ ˆ ˆ ˆ ρ ρ ϕ ϕ ϕ ϕ= = 所以做 andzρ

part partpart part

時 ˆ ˆ ρ ϕ 可視為常數

ˆ ˆ1ˆ ˆ ˆ zF F F FF F Fz

ρ ρ ϕρ φ

ρ ϕϕ ρ ϕρ ρ ϕ ϕ ϕ ϕ

part part part⎡ ⎤part part partrArrnablasdot = + sdot + + + +⎢ ⎥part part part part part part⎣ ⎦

還記得 ˆ ˆ ˆ ˆd d d dρ ϕ ϕ ϕ ρ ϕ= = minus 所以 ˆ ˆρ ϕϕpart

=part

ˆ ˆϕ ρϕpart

= minuspart

rArr

( )1 1 1z zF F F FF FF Fz z

ρ ρ ϕ ϕρρ

ρ ρ ρ ϕ ρ ρ ρ ϕpart part part part

nablasdot = + + + = + +part part part part part part

（4-83）

在球座標寫nabla也會遇到相似的問題其根源就是球座標 ( )r θ ϕ 裡

的 θ ϕ 的因次並非長度而三個單位向量 ˆ ˆˆ r θ ϕ（表為 ie ）都是( θ ϕ )

的函數以致

( )ˆ ˆ( ) ( )i ie f e fθ ϕ θ ϕθ θpart part

nepart part

且 ( )ˆ ˆ( ) ( )i ie f e fθ ϕ θ ϕϕ ϕpart part

nepart part

所以nabla也不似在直角座標那麼簡單我們不在這裡推導而是給出一

個歸納的統一的三個座標的結果還記得對每一個座標 iu i = 123

座標的變化 idu 與造成的長度變化 id

i i id h du= 123i = (4-84)

其中 ih 為對應的度量係數(metric coefficient)

4-51

1 2 3

1 1 2 2 3 3

1 1 1ˆ ˆ ˆu u ue e eh u h u h u

part part partnabla equiv + +

part part part （4-85A）

座標 1 2 3 u u u

度量係數

1 2 3 h h h

nabla grad del

直角 x y z

1 1 1 nabla ˆ ˆ ˆx y z

x y zpart part part

equiv + +part part part

圓柱

zρ ϕ

1 1ρ

1ˆ ˆ ˆ z

zρ ϕ

ρ ρ ϕpart part part

nabla equiv + +part part part

球

r θ ϕ

1 sinr r θ

1 1ˆ ˆˆ

sinr

r r rθ ϕ

θ θ ϕpart part part

nabla = + +part part part

（4-85B）

梯度gradient Vnabla grad(V) 散度divergence Anablasdot div( )A

直

角 nablaV ˆ ˆ ˆV V Vx y z

x y zpart part part

= + +part part part

yx zAA AAx y z

partpart partnablasdot = + +

part part part

圓

柱

1ˆ ˆ ˆ V V VV zz

ρ ϕρ ρ ϕpart part part

nabla = + +part part part

( )1 1

1

z

z

A AA Az

A A A Fz

ϕρ

ρ ρ ϕ

ρρ ρ ρ ϕ

ρ ρ ρ ϕ

partpart partnabla sdot = + +

part part partpart part part

= + + +part part part

球

1 1ˆ ˆˆ sin

V V VV rr r r

θ ϕθ θ ϕ

part part partnabla = + +

part part part

22

1 ( )rA r Ar r

partnabla sdot =

part

1 (sin )sin

Ar θθ

θ θpart

+ sdotpart

1sin

Ar

ϕ

θ ϕpart

+part

(4-86)

Ex47 Using spherical coordinate show that 1| |r r

nablaminus

= 2

ˆ| |

r rer r

minusminusminus

where

nabla是作用在 r 而 ˆr re minus 是向量 r rminus 方向的單位向量 解let r lies in z-axis so that the angle between r and r is just θ

4-52

rArr ( ) 122 21 1 2 cos | | ( ) ( )

r rr rr r r r r r

θminus

= = minus +minus minus sdot minus

( ) ( )12 122 2 2 21 1ˆˆ 2 cos 2 cos | |

r r rr r r rr rr r r r

θ θ θθ

minus minuspart partnabla = minus + + minus +

minus part part

( ) 322 21ˆ 2 cos (2 2 cos )2

r r rr r r rθ θminusminus

= minus + minus

( ) 322 21ˆ 2 cos (2 sin )2

r rr r rrθ θ θminusminus

+ minus +

3 3 3 3

ˆˆ ˆ( cos ) sin ( cos sin )ˆˆ| | | | | | | |r r r rr r rrr r r r r r r r

θ θ θ θ θθminus minus minus minus minus= + = +

minus minus minus minus

3 3 3ˆ ( )

| | | | | |r r z r r r rr r r r r rminus + minus + minus minus

= = =minus minus minus

＝ 2

ˆ| |

r rer r

minusminusminus

QED

證明最後我們用到 ˆˆˆ cos sinz r θ θ θ= minus 而 ˆ r r z= 因為我們選了 r 是

躺在 z-軸 Ex48 For arbitrary scalar field ( )f r and vector field ( )A r 證明恆等式

( )fA f A f Anablasdot = nabla sdot + nablasdot (4-87) 解 ˆ ˆ ˆx y zfA xfA yfA zfA= + +

( ) ( ) ( ) ( )x y zfA fA fA fAx y zpart part part

rArrnablasdot = + +part part part

yx zx x x

AAf f f AA f A f A fx x y y z z

partpartpart part part part= + + + + +part part part part part part

yx zx y z

AAf f f AA A A fx y z x y z

part⎛ ⎞partpart part part part= + + + + +⎜ ⎟part part part part part part⎝ ⎠

f A f A= nabla sdot + nablasdot QED 習題 12 一個位於原點的電偶極電偶極矩＝ ˆp pz= 已知其在遠處

的電位為 20

cos4p

rθ

πε試證該處的電場強度為 E = 3

0

ˆˆ( 2cos sin )4

p rr

θ θ θπε

+

(已知 E V= minusnabla )並請計算 Enablasdot ＝

習題 13 給定一向量場2

3cosˆD r

rϕ

= 現有兩個球心在原點的同心球

內球半徑 R＝1外球 R＝2(a)求面積分S

D dssdotint S 為同心球殼的表

面（有內外兩個面）(b)求體積分V

Ddvnablasdotint V 為兩同心球之間的

區域本題也是來 check 散度定理的Ans πminus

4-53

The Laplacian operator 2nabla equivnablasdotnabla

在直角座標可以用直接作用得到

2 2 2

22 2 2u u uu u

x y zpart part part

nabla equiv nablasdotnabla = + +part part part

(4-88)

圓柱座標

2 2

22 2 2

1 1( ) u u uu uz

ρρ ρ ρ ρ ϕ

part part part part⎛ ⎞nabla equiv nablasdot nabla = + +⎜ ⎟part part part part⎝ ⎠

(4-89)

球座標

2

2 22 2 2 2 2

1 1 1sinsin sin

u u uu rr r r r r

θθ θ θ θ ϕ

part part part part part⎛ ⎞ ⎛ ⎞nabla = + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟part part part part part⎝ ⎠ ⎝ ⎠ （4-90）

習題 14 verify (4-89) and (4-90)

習題 15 Given a dipole potential V= 20

cos4p

rθ

πε find 2Vminusnabla

sect 433 Line integral and curl A 線積分與與旋度的物理意義

線積分路徑積分

考慮一曲線 C 通過兩點 ( )i i i iP x y z 與

( )f f f fP x y z 現有一向量場 ( )A x y z 定義在

C 所在的空間若 sd 為 C 上位於(xyz)點的

「路徑元素」（ ˆd td= 方向沿該處切線）而

( )A x y z 為路徑元素d 處的場值則沿 C 經歷各點所做積分

cos cosf

CC C iA d Ad A dϕ ϕrarr rarrsdot = =int int int （4-91）

稱為向量場 ( )A x y z 沿路徑 C 自 pi 至 pf 的「線積分」「或「路徑積分」

積分裡 A 取值的點侷限在路徑 C 上面若為一個「封閉路徑」則對

C 的線積分也稱做「環路積分 closed contour integral」記做

C

A dsdotint （4-92）

4-54

物理量「做功」是最標準的線積分之一力 F 自 x = a 至 x = b「沿線」

x 軸做功

W＝ F dxsdotint ＝ ( )b

xaF x dxint （4-93）

質點在力場 )(rF 裡走一條曲線 C則力場做功

CW F d= sdotint （4-94）

還記得如果 ( )F r 是所謂「保守力」則上式只與始末點有關而與

路徑無關但如果 ( )F r 是所謂「非保守力」則做功與確實的路徑 C

有關

現考慮一質點在空間運動的位置 r 落在由曲線 C

描述的路徑則質點的位移元素與曲線 C 的路徑元

素相同 d dr= 若空間有向量場 A 分佈則 A 在 C 的

路徑積分以直角座標表示為

CA drarr rarrsdotint ＝

CA d rrarr rarrsdotint ＝ ( )x y zC

A dx A dy A dz+ +int （4-95）

上式中的 x y z 的積分限由 C 決定

Ex49 2 2 2ˆ ˆ ˆA xx yy zzrarr= + + 選定一路徑 C 為曲線

2y x= 由 (000)到 (2 20)的部分求C

A dsdotint

解 ˆ ˆd xdx ydy= +∵

CA dsdotint ＝ 2 2( )

Cx dx y dy+int ＝

2 22 2

0 0x dx y dy+int int

＝ )24(32

+

或由 2y x= rArr 2ydy dx= 2 12

y dy xdxrArr =

rArrC

A dsdotint ＝2 2

0

1( )2

x x dx+int ＝2 (4 2)3

+

4-55

ex50 ˆ ˆ( )f x y z xy yx= minus Do C

f dsdotint 其中的路徑 C 為一逆時針三角

形如圖 解∵路徑全部在 x-y 平面 ˆ ˆ ˆd td xdx ydy= = +

rArrC

f dsdotint ＝ x yC

f dx f dy+int ＝C

ydx xdyminusint

由於在 C1 上 y = 0 及 dy = 0 所以 01

=intC 又由於在

C3 上 x = 0 及 dx =0所以 03

=intC 所以只剩下 C2 可

能有貢獻由 2C 的方程式x + y =1rArr ⎩⎨⎧

minus=minus=

xyyx

11

rArr2Cydx xdyminusint ＝

0 1

1 0(1 ) (1 )x dx y dyminus minus minusint int ＝

0 12 2

1 0

( ) ( )2 2x yx yminus minus minus ＝-1

Cf dsdotint ＝-1

ex51 ( )f x y zrarr

= 2ˆ ˆxx yxyminus 如右圖doC

f dsdotint 其

中路徑 C 為第一象限的逆時針 14 圓弧

解∵ 全部在 x-y 平面 ˆ ˆd xdx ydy= +

Cf dsdotint ＝ 2

Cx dx xydyminusint

由於在 C 上 cosx R ϕ= rArr sindx R dϕ ϕ= minus

siny R ϕ= rArr cosdy R dϕ ϕ=

rArr 2

Cx dx xydyminusint ＝

2 2 2 2

0cos ( sin ) sin cos cosR R d R R d

πϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕminus minus sdotint

23 2

02 cos sinR d

πϕ ϕ ϕ= minus int ＝

323Rminus

又路徑為圓周一部份所以適合用極座標表示

ˆd Rdϕ ϕ= 又由左圖將 ˆ ˆx y 拆解（投影）到 ˆˆr ϕ

ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆcos sin sin cosx r y rϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ= minus = +

4-56

( )2ˆ ˆ ˆˆ ˆ( cos sin ) ( sin cos )C C

f d r x r xy Rdϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕsdot = minus minus + sdotint int 2

2 2 2

0

sin (cos )

sin ( cos ) (cos ) cos sin

Cx Rd xyRd

R Rd R Rdπ

ϕ ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ

= minus minus

= minus minus

intint

23 2

02 cos sinR d

πϕ ϕ ϕ= minus int ＝

323Rminus

這也驗證了散度定理

Path Independence 路徑獨立性

Ex52 證明庫倫力為「保守力」考慮

電荷 q0 位於原點及電荷 q 位於

( )r x y zrarr= q 受力 F

rarr＝ 0

20

14

qq urπε

and

求庫侖力作功因為球形對稱所以

用球座標由 ˆ ˆ ru rr

= = rArr Frarr

= 03

04qq r

rπε

庫侖力由 P1 至 P2 做功為 2

1

P

CPF drarrsdotint ＝

2

1

02

0

ˆ ˆ ˆˆ sin4

P

PC

qq r rdr rd r dr

θ θ ϕ θ ϕπε

⎡ ⎤sdot + +⎣ ⎦int ＝2

1

02

04P

P

qq drrπεint

＝20

2104

r

r

qq drrπε int ＝ 0

0 1 2

1 1( )4qq

r rπεminus for all C

所以庫侖力兩點間做功與路徑無關rArr保守力

對於「保守力 conservative force」 cF 自 p1 經

由兩條不同的路徑 C1 與 C2 到達 p2

1 ccF drarrsdotint ＝

2 ccF drarrsdotint ＝-

2 ccF drarr

minussdotint

rArr1 2c cc cF d F drarr rarr

minussdot + sdotint int = cF d

rarrsdotint ＝0 (4-96）

對於任何「封閉路徑」保守力做功為 0反之若

對任一封閉路徑 0F drarrsdot neint 則兩點之間的做功與路徑有關

rarr

F 為「非

保守力」

4-57

旋度 curl Anablatimes 的幾何物理意義

我們在（4-70）式已經看過旋度的計算方式但旋度另有其意義的

ex53 給定向量場2 2

0ˆ yv yv e λrarr

minus= 左圖為場的分佈

2 20

ˆ ˆ ˆ

0 0x y z

y

x y zcurl v

v e λ

rarr

minus

= part part part ＝ ˆ ˆ ˆ0 0 0 0x y zsdot minus sdot + sdot =

我們用了簡寫 x yx ypart part

part equiv part equivpart part

可以看出這個場裡沒有「漩渦」

但是有無「漩渦」有時也不是那麼明顯可以看出的請見下一個例子

Ex54 給定向量場2 2

0ˆ xv yv e λrarr

minus= 計算其旋度 vnablatimes

解向量場 vrarr

畫在右邊你看得出有無漩渦

先計算旋度

2 20

ˆ ˆ ˆ

0 0x y z

x

x y zcurl v

v e λ

rarr

minus

= part part part2 2

2 2

0

0

ˆ

ˆ 2 0 0

x

x

z v ex

z v xe for x

λ

λ

minus

minus

part=

part

= minus ne ne

vrarr

的旋度在大部分的地方不為 0 且隨位置而不同但是你看得出這個

向量場裡有「漩渦」其實要檢驗一個向量場裡有無「漩渦」有一

個很物理的方法就是放一個小「螺旋槳」（左圖）

在場內將軸朝各個方向測試一

下如果有「漩渦」的話這個

小「螺旋槳」就會轉動右圖就是將「螺旋槳」的

軸平行於 z 軸且放在 x gt 0 的地方就可以看出左

邊的 v 場比右邊的強造成螺旋槳順時針轉動rArrcurlv zminus for x gt 0

但如果放在 x = 0 的地方就會看到左右兩端的 v 場強度相同而且

4-58

curlv = 0 「螺旋槳」放在 x lt 0 的地方就可以看出右邊的v 場比左

邊的強造成螺旋槳逆時針轉動這完全符合 curl v k+ 的結果

環路積分與旋度 curl 的物理意義

如同「散度」一樣「旋度」除了 Ftimesnabla 之外

還有一個物理意義更清楚的定義這個定義由

「線積分」說明如圖考慮做「逆時針」長方形

路徑 C1 的一個「環路積分」C1 面平行於 x-y 平

面由 z-軸看下去環路 C1 可以分為可以分為

下 CB上 CT右 CR左 CL 4 部分

CA drarrsdotint ＝

B T L RC C C CA d A d A d A drarr rarr rarr rarrsdot + sdot + sdot + sdotint int int int

分別計算由於 CB 的中點座標為 ( )2yx y zΔ

minus

ˆB BC C

A d A xdxrarr rarrsdot = sdot =int int

BxC

A dxint ( )2xyA x y z xΔ

asymp minus Δ

similarly 由於 CT 的中點座標為 ( )2yx y zΔ

+

ˆ( )T TC C

A d A xdxrarr rarrsdot = sdot minus =int int

TxC

A dxminusint ( )2xyA x y z xΔ

asymp minus + Δ

合併 CB 與 CT

B TC CA drarr

+sdot =int

( ) ( )2 2x xy yA x y z A x y z

x yy

Δ Δ⎡ ⎤minus + minus minus⎢ ⎥⎣ ⎦ Δ ΔΔ

（4-97）

由 C1 所圍的面積 S x yΔ = Δ Δ

1B TC C

A dS

rarr

+sdot =

Δ int( ) ( )

2 2x xy yA x y z A x y z

y

Δ Δ⎡ ⎤minus + minus minus⎢ ⎥⎣ ⎦Δ

（4-98）

所以當取極限 C1 收縮到中心(xyz)時 SΔ 收縮到 0ie

4-59

0limsΔ rarr

1B TC C

A dS

rarr

+sdot =

Δ int xAy

partminuspart

（4-99）

Similarly with CR 的 ˆd ydy= CL 的 ˆd ydy= minus 可得

1L RC C

A dS

rarr

+sdot =

Δ int x

zyxxFzyxxF yy

Δ

Δminusminus

Δ+ )

2()

2(

（4-100）

同樣的當取極限 C1 收縮到中心(xyz)時 SΔ 收縮到 0

0

limsΔ rarr

1L RC C

A dS

rarr

+sdot =

Δ int yAx

partpart

（4-101）

最後合併 CBCTCRCL 為 C1

10

1limCs

A ds

rarr

Δ rarrsdot =

Δ int y xA Ax y

part partminus

part partˆ ( ) ( )zz A A= sdot nablatimes = nablatimes （4-102）

注意 C1 的方向就是在 z 上式的重要

意義是當向量場 A 在一個以點(xyz)為

中心「方向為 z 」的面積元素的「邊界」

所做的環路積分得到的就是 A 在(xyz)

處旋度的 z-分量明顯的只有當 A 在

(xyz)附近有 x-y 平面上的「漩渦」那麼 C1 的環路積分才不會為 0

Similarly 取一個逆時針繞著(xyz)的平行於 x-z 平面的長方形環路 C2

（左圖）做環路積分再取極限將 C2 收縮到(xyz)就會得到

20

1limCs

A ds

rarr

Δ rarrsdot =

Δ int x zA Az x

part partminus

part partˆ ( ) ( )yy A A= sdot nablatimes = nablatimes （4-103）

注意到 C2 所包圍的面積方向就在 y到

現在我們應該已經很有經驗了若取一

個逆時針繞著(xyz)的平行於 y-z 平面

的長方形環路 C3（左圖）做環路積分

再取極限將 C3 收縮到(xyz)就會得到

4-60

30

1limCs

A ds

rarr

Δ rarrsdot =

Δ int yz AAy z

partpartminus

part partˆ ( ) ( )xx A A= sdot nablatimes = nablatimes （4-104）

能把（4-103）與（4-104）變出來的同學我們有優待綜合以上

我們可以得到一個結論若取一個以點(xyz)為中心的任意環路 Cn（其

所包圍的面積方向在 n ）則

n curl Aand rarrsdot ＝

0

1lims

Cn

A ds

rarr

Δ rarrsdot

Δ int （4-105）

明顯的當 n ＝ x 或 y 或 z 時我們可以重複（4-102）到（4-104）的

結果（4-70）式的行列式所定義的旋度在此看見其幾何物理意義

至此「旋度」的「漩渦」形象應該已經很清楚了只有在(xyz)點附

近的小圈圈上有「漩渦」 A 在小圈圈做的環路積分才會有值這個

值就是向量場 A 的「旋度」在小圈圈面積方向的分量

Stokersquos 定理

考慮一個開放面 S被其「有方向的」邊界 C 圈住(bounded by)則

( )S

A dsrarr rarrnablatimes sdotint ＝

C

A drarrsdotint （4-106）

pf 先將 S 面分割為 N 個多邊形這會使得邊界變成一個「折線」形

成的環路 P環路 P 會隨著分割的多邊形個數的增多而越加近似於原

「光滑的」邊界 C現考慮相鄰的

兩個多邊形的線積分由於共用邊

的方向是相反的所以相鄰兩個多

邊形線積分的和只剩「外邊界」（見左圖）所以當把所有的多邊形的

4-61

線積分加起來時由於只有邊界 P 不是多邊形的共用邊所以

1k

N

k C

A drarr

=

sdotsum int ＝P

A drarrsdotint rArr

P

A drarrsdotint ＝

1

1

k

N

kk k C

A d l ss

rarr rarr

=

⎡ ⎤sdot Δ⎢ ⎥

Δ⎢ ⎥⎣ ⎦sum int

其中 ksΔ 為第 k 個多邊形的面積取極限 0kN srarrinfinrArrΔ rarr P CrArr rarr

C

A drarrsdotint ＝

10

1limkk

N

kN k k Cs

A d ss

rarr

rarrinfin=Δ rarr

⎡ ⎤sdot Δ⎢ ⎥

Δ⎢ ⎥⎣ ⎦sum int 01

ˆlim ( )k

k kskn A s

infin

Δ rarr=

⎡ ⎤= sdot nablatimes Δ⎣ ⎦sum

01

ˆlim ( )k

k kskA n s

infin

Δ rarr=

= nablatimes sdot Δsum = ( )S

A dsrarr

nablatimes sdotint QED

ex55 由 Amperersquos law 的積分形式導出其微分形式

解Amperersquos law 的積分形式 C

B drarrsdotint ＝ I0μ (4-107)

由 Stokersquos 定理及電流密度 j 的定義上式等號兩端可寫為

rArr ( )S

B dsrarr rarrnablatimes sdotint ＝ 0 S

j dsμrarrsdotint

由於上面的等式對任意面 S（路徑 C）都成立所以被積函數相等

0B jμrarr rarr rarr

rArrnablatimes = (4-108) 此即 Amperersquos law 的微分形式

Ex56 Given a vector field ˆ ˆx yA ye xe= minus + (a) Find Anablatimes

解

ˆ ˆ ˆˆ ˆ(1 ( 1) 2

0x y z

x y zA z z

y xnablatimes = part part part = minus minus =

minus

(b)如圖一個金字塔狀的 5 面體高 2底邊長＝1計算 ( )S

A dsnablatimes sdotint

其中 S 為金字塔在 x-y 平面以上的部分方向如同

封閉的金字塔（運用 Stokersquos law）

解金字塔上表面的面積元素ds 不好寫由 Stokersquos

4-62

law ( )S

A dsrarr rarrnablatimes sdotint ＝

C

A drarrsdotint 其中封閉路徑 C 就是上表面的邊界而且

是逆時針（由 z 軸向下看）

C

A drarrsdotint ＝

1 1 0 0

0 0 1 1ˆ ˆ ˆ ˆA xdx A ydy A xdx A ydysdot + sdot + sdot + sdotint int int int

＝1 1 0 0

0 0 1 1x y x yA dx A dy A dx A dy+ + +int int int int 1 1 0 0

0 0 1 1( 0) ( 1) ( 1) ( 0)y dx x dy y dx x dy= minus = + = + minus = + =int int int int

0 1 1 0 2 ( ) 2S

A ds= + + + = rArr nablatimes sdot =int

旋度與 path independence

已知保守場 cF 對所有封閉路徑 C 0cC

F drarrsdot =int 由 Stokersquos 定理

0cC

F drarrsdot =int ＝ ( )cS

F dsrarr rarrnablatimes sdotint rArr 0cF

rarr rarrnablatimes =

這表示保守場＝無旋度反之無旋度的場任兩點間路徑積分與路

徑無關

Ex57 Given a field 2 2ˆ ˆ ˆ2A x xy yx zz= + minus (a) Find Anablatimes A 保守場

解2 2

ˆ ˆ ˆ

2x y z

x y zA

xy x znablatimes = part part part

minus

( ) ( ) ( )2 2 2 2ˆ ˆ ˆ( ) 2 ( ) 2 0y z z x x yx z x y xy z z x xy= part minus minuspart + part minuspart minus + part minuspart =

yes A =保守場

(b)如左圖由 A 到 B 做路徑積分A BC

A drarr

sdotint 路徑 C 為橢圓

22 1

16yx + = 在 x-軸以上的部分

解橢圓部分的路徑元素 d 有點麻煩但因為 A

為保守場所以 A 到 B 做路徑積分可以用 x = -1 到

1 的積分取代

4-63

01 1 1

1 1 1ˆ 2 0

yB

xAA d A xdx A dx xydx

=

minus minus minussdot = sdot = = =int int int int

∵

旋度在柱座標與球座標

前面討論過nabla在不同座標系的寫法旋度也有歸納出的一致寫法

座標 1 2 3 u u u

度量係數

1 2 3 h h h

nabla grad del

直角 x y z

1 1 1 nabla ˆ ˆ ˆx y z

x y zpart part part

equiv + +part part part

圓柱 zρ ϕ

1 1ρ

1ˆ ˆ ˆ zz

ρ ϕρ ρ ϕpart part part

nabla equiv + +part part part

球 r θ ϕ

1 sinr r θ

1 1ˆ ˆˆ sin

rr r r

θ ϕθ θ ϕ

part part partnabla = + +

part part part

所以柱座標與球座標的旋度分別表為

柱座標

ˆ ˆ ˆ1

z

z

Az

AA Aρ ϕ

ρ ρϕ

ρ ρ ϕρ

part part partnablatimes =

part part part （4-109）

球座標 2

ˆ ˆˆ sin1sin

sinr

r r r

Ar r

A rA r Aθ ϕ

θ θϕ

θ θ ϕθ

part part partnablatimes =

part part part （4-110）

ex58 (a) Given the vector function ˆA ϕ= sin (ϕ 2) find Anablatimes

解 2

ˆ ˆˆ sin1sin

0 sin( 2) 0

r r r

Ar r

r

θ θϕ

θ θ ϕϕ

part part partnablatimes =

part part part

4-64

21 ˆˆ cos sin sinsin 2 2 2

rr rr

ϕ ϕθϕθ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

ˆˆ cos sin2 sin 2 2

rr r

ϕ ϕ ϕθ

minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

(b)如左圖一個底面在 x-y 平面半徑＝1高＝2 之圓錐 求面積分

SA dsnablatimes sdotint 面積範圍 S 為圓錐在 x-y 平面以上

部分 方向為由圓錐內向外

解由 Stokersquos law ( )S

A dsrarr rarrnablatimes sdotint ＝

C

A drarrsdotint 其中路

徑 C 為 x-y 平面圓心在原點之單位圓 ˆ ˆd rd dϕ ϕ ϕ ϕ= =

2

0ˆ ˆsin sin

2 2C

d dπϕ ϕϕ ϕ ϕ ϕ⎛ ⎞ ⎛ ⎞sdot =⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠int int ( )0

2 sin u duπ

= int 0cos | 2u π= minus =

習題 16 磁場 B 因為不是保守場所以沒有對應的純量位而對應一

個向量位 A (vector potential)而 B A= nablatimes 一個磁鐵的磁偶極矩

ˆm mz= 被置於原點已知在遠處的 vector potential 03ˆ sin

4mAr

μϕ θπ

=

計算該處的磁場 B Ans 03

ˆˆ( 2cos sin )4

mB rr

μ θ θ θπ

= + 與電偶極遠處

的電場形式一致都是偶極(dipole) 選幾個點畫一畫該處的場向量

把磁力線描出來

附錄本章講義的內容有部分可以經由直接計算得出列在附錄做為

參考

用「圓柱座標」寫 Atimesnabla

Ararr rarrnablatimes ＝ ( )1ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ zz A A zA

z ρ φρ ϕ ρ ϕρ ρ ϕpart part part⎛ ⎞+ + times + +⎜ ⎟part part part⎝ ⎠

4-65

因為rdquo sdotrdquo與rdquotimes rdquo都是向量間的運算所以

＝ ( )ˆ ˆ ˆ ˆ zA A zAρ φρ ρ ϕρpart

times + +part

＋ ( )1ˆ ˆ ˆ ˆ zA A zAρ φϕ ρ ϕρ ϕ

parttimes + +

part

＋ ( )ˆ ˆˆ ˆ zz A A zAz ρ φρ ϕpart

times + +part

直接做上式微分可以得到

＝1ˆ z AA

zϕρ

ρ ϕpart⎛ ⎞part

minus⎜ ⎟part part⎝ ⎠＋ ˆ zA A

zρϕ

ρpart⎛ ⎞part

minus⎜ ⎟part part⎝ ⎠＋

1 1ˆ ( )A

z A ρϕρ

ρ ρ ρ ϕpart⎛ ⎞part

minus⎜ ⎟part part⎝ ⎠

上式可以用一個行列式來表示

rarrrarr

timesnabla A＝

ˆ ˆ ˆ1

z

z

zA A Aρ ϕ

ρ ρϕ

ρ ρ ϕρ

part part partpart part part

（A-1）

A and Anabla nablasdot nablatimes in 球座標 spherical coordinate

如上圖球座標 )( ϕθr 其中 )0[ infinisinr ]0[ πθ isin ]20[ πϕ isin 只有 r

是長度而 ϕθ 為角度是用來說明方向的三個座標的單位向量 ˆ ˆˆ r θ ϕ 具

有下列性質

4-66

1 如上圖 ˆ ˆˆ r θ ϕ 都不是常數而是（ ϕθ ）的函數

ˆ ˆ( )ˆ ˆ( )ˆ ˆ( )

r r θ ϕ

θ θ θ ϕϕ ϕ ϕ

⎧ =⎪

=⎨⎪ =⎩

)( ϕθr 與(xyz)之間的轉換如下

sin cossin sincos

x ry rz r

θ φθ φθ

=⎧⎪ =⎨⎪ =⎩

( )122 2 2

2 2

tan

tan

r x y z

x yz

yx

θ

φ

⎧ = + +⎪⎪ +⎪ =⎨⎪⎪ =⎪⎩

（A-2）

2 ˆ ˆˆ r θ ϕ 形成一「歸一正交集」ie

ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ 1r r θ θ ϕ ϕsdot = sdot = sdot = ˆ ˆr θ ϕperp perp

ˆ ˆr θ ϕtimes = ˆ ˆ rθ ϕtimes = ˆˆ rϕ θtimes = （A-3）

3可以很容易的由他們在 xyz 軸上的投影由直角

座標的 ˆ ˆ ˆ x y z 表出

ˆ ˆ ˆ ˆsin cos sin sin cos ( 4 )ˆ ˆ ˆ ˆcos cos cos sin sin ( 4 )ˆ ˆ ˆsin cos ( 4 )

r x y z A a

x y z A bx y A c

θ φ θ φ θ

θ θ φ θ φ θϕ φ φ

= + + minus⎧⎪

= + minus minus⎨⎪ = minus + minus⎩

4 ˆdr = 由於 ˆ ˆ( )r r θ φ= 所以由 ϕθ 的變動來看

4-67

ˆ ˆˆ| |ˆ ˆˆ| | sin sin

d r d d

d r d d

θ θθ θθ

φ θ φφ θ φφ

⎧ rArr =⎪⎨

rArr =⎪⎩rArr ˆ ˆˆ sindr d dθ θ φ θ φ= + （A-5）

rArrˆ ˆr θθpart

=part

ˆ ˆsinr θφφpart

=part

（A-6）

（A-6）的結果也可以直接由（A-4a）對 ϕθ 偏微得到

5 ˆdθ ＝ 由於 ˆ ˆ( )θ θ θ φ= 所以由 ϕθ 的變動來看

ˆ ˆ ˆ| | ( )ˆ ˆ ˆ| | cos cos

d d r d r

d d d

θ θ θ θ

φ θ θ φφ φ θ φ

⎧ rArr minus = minus⎪⎨

rArr =⎪⎩rArr ˆdθ ＝ ˆˆ cosrd dθ φ θ φminus + （A-7）

ˆrθ

θpart

rArr = minuspart

ˆ ˆcosθ φ θφpart

=part

（A-8）

請直接由（A-4b）對 ϕθ 偏微的結果 check（A-8）

6 ˆdφ ＝由於φ )(ϕ 躺在 x-y 平面上變動φ時的方向可能不是那麼

容易看出來所以做圖看一看

ie ˆ ˆˆ(sin ) (cos )d r d dφ θ φ θ θ φ= minus minus （A-9）

4-68

ˆ ˆˆsin cosrφ θ θ θφpart

= minus minuspart

7 所有的向量 ˆ ˆˆ rA rA A Aθ φθ φrarr= + +

8 位置向量 ˆr rrrarr=

可以由左圖 ˆ ˆˆ r θ ϕ 三個方向的「長度

變化」輕易的看出

9 位移元素

ˆ ˆˆ ˆ sindr rdr rd dθ θ ϕ θ φ= + + (A-10)

10 體積元素

sindv dr r d rdθ φ θ= sdot sdot

＝ 2 sinr dr d dθ θ φ (A-11)

11 面積元素 2 sinrds r d dθ θ φ= plusmn sinds r drdθ θ φ= plusmn ds rdrdφ θ= plusmn (A-12)

plusmn號表示面的垂直方向有兩個端看 ds 周邊的方向是如何定的

nabladel 考慮 ( )u u r θ φ=

rArru u udu dr d dr

θ φθ φ

part part part= + +part part part

u d rrarr rarr

equiv nabla sdot

urarr

= nabla sdot ˆ ˆˆ( sin )rdr rd dθ θ φ θ φ+ +

rArr1 1ˆ ˆˆ

sinu u uu rr r r

θ ϕθ θ φ

rarr part part partnabla = + +

part part part

1 1ˆ ˆˆsin

rr r r

θ ϕθ θ φ

rarr part part partnabla equiv + +

part part part （A-13）

4-69

直接用（A-13）與 ˆ ˆˆ rA rA A Aθ φθ ϕrarr= + + 逐項內積加上（A-678）

rArr ϕθ

θθθ

ϕθ part

part+

partpart

+partpart

=sdotnablararrrarr A

rA

rAr

rrA r sin

1)(sinsin1)(1 2

2 （A-14）

（A-13）與 ϕθ ϕθ AAArA r

andandandrarr

++= 逐項外積整理之後

ϕθ θϕθ

ϕθθ

θArrAA

r

rrr

rA

r sin

sin

sin1

2 partpart

partpart

partpart

=timesnabla

andandand

rarrrarr

（A-15）

Laplacian uu nablasdotnabla=nabla2

2

2

2222

22

sin1)(sin

sin1)(1

ϕθθθ

θθ partpart

+partpart

partpart

+partpart

partpart

=nablau

ru

rrur

rru （A-16）

B推導「散度」在圓柱座標的寫法

讓我們先回顧一下在直角座標裡的「面積元素」可以由「位移元素」

得到

ˆˆ ˆ x y zdr idx jdy kdz da dydz dxdz dxdy= + + rArr =

比照辦理「圓柱座標」的位移元素

( )ˆˆ ˆ( )

( )z

da d dzdr d d zdz da d dz

da d d

ρ

φ

ρ φ

ρ ρ φ ρ φ ρ

ρ ρ φ

=⎧⎪= + + rArr =⎨⎪ =⎩

這個結論可以輕易的由面積元素在垂直於 zˆˆ ϕρ 三個方向的面積看

出如下圖考慮一個以 )( zϕρ 為中心的「圓柱體積元素」(cylindrical

cubiod)體積為 zdV ΔΔ=Δ ϕρρ 現計算在 ρ

方向的 12 兩個平行面(方向各為 ρplusmn )的通

量

4-70

zzF

dsFdsnFS S

ΔΔ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

+cong

=sdotintint intintϕρρϕρρρ

ρ

2

2

ˆ1 1

zzF

dsFdsnFS S

ΔΔ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

minus⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

minusminuscong

minus=sdotintint intintϕρρϕρρρ

ρ

2

2

ˆ2 2

intint+

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

minus⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

minusminus⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

+Δ

asympsdotΔ

rArr21

22

22

1ˆ1

SS

zFzFdsnFV

ϕρρρρϕρρρρρρ ρρ

( ) ( )

1 20

0

0

1 ˆlim

1lim 2 2 2 2

1 1lim 2 2

1

VS S

F ndsV

F z F z

F z F z

F

ρ ρρ

ρ ρρ

ρ

ρ ρ ρ ρρ ρ φ ρ ρ φρ ρ

ρ ρρ ρ φ ρ ρ φρ ρ

ρρ ρ

Δ rarr+

Δ rarr

Δ rarr

rArr sdotΔ

Δ Δ Δ Δ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + + minus minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥Δ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦Δ Δ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥Δ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

part ⎡ ⎤= ⎣ ⎦part

intint

娛樂一下用上述方式把圓柱的 Fsdotnabla 裡的z

FF z

partpart

+partϕρϕ1

變出來

球座標的nabla和 Fsdotnabla 也可以試試看

補充習題

H M Scheydiv grad curl and all that 4th edition

第二章習題 6 8 9 10 11 14 15 16 18 19 21 22 23 25 26 27

第三章習題 2 3 5 6 7 8 9 10 11 14 15 17 18 19 24

4-6

cos( ) cos sin( ) sin[cos( )cos sin( )sin ]cos[ ]cos

A B A BABABAB

θ ϕ ϕ θ ϕ ϕθ ϕ ϕ θ ϕ ϕθ ϕ ϕθ

= + sdot + + sdot= + + += + minus=

QED

Ex2 若 ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ3 2 2 A x y z B x y z= minus + = + minus 判斷 vector A B 是否相互垂

直解(a) A Bsdot ＝3-2-2＝-1 0ne 所以不相互垂直

Ex3 If ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ3 2 yA x y z B x B y z= minus + = + minus find yB such that A Bperp

解let 0A Bsdot = =3- yB -2rArr yB =1

向量 A 的大小(magnitude)由內積定義

( )

2 2 2 2 0

ˆˆ ˆ 1

x y z ii

A A A A A A

or A A A i j k

equiv = + + = ge

= sdot = = =

sum

∵(4-16)

除了避免誤解為了方便往後我們只用

A 來表示向量 A 的大小 ie A A=

Ex4 If ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ3 2 2 A x y z B x y z= minus + = + minus (a)find A and B (b) A B 之夾角

解(a) 2 2 23 1 2 14 1 4 1 6A B= + + = = + + =

(b) 3

1

1 cos 14 6 cosi ii

A B A B AB θ θ=

sdot = = minus = = timessum

01cos 168 96384

radθ θminusrArr = rArr = asymp

任意非零 vector 向量 A其方向的單位向量

ˆ AAA

= （4-17）

such that A也可以寫為 ˆ

i ii

A AA e A= =sum （4-18）

4-7

Ex5 Given ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ3 2 2 A x y z B x y z= minus + = + minus find unit vector ˆ ˆA B

解

ˆ ˆ ˆ3 2 3 1 2ˆ ˆ ˆ ˆ14 14 14 14

ˆ ˆ ˆ2 1 2 1ˆ ˆ ˆ ˆ6 6 6 6

A x y zA x y zAB x y zB x y zB

minus += = = minus +

+ minus= = = + minus

前面討論過若θ 為 A B 之夾角則 cosA θ 為 vector A 在 B 方向的

投影或稱 B 方向的分量由內積的定義可以得到 ˆ| | 1B =∵

ˆ ˆ| | cos cosA B A B Aθ θsdot equiv = （4-19）

Ex6 Following ex5 find BA which is the component of A along the direction of B

解for 1 2 1ˆ ˆ ˆ ˆ6 6 6

B x y z= + minus

ˆBA A B= sdot = ( ˆ ˆ ˆ3 2x y zminus + ) 1 2 1 1ˆ ˆ ˆ

6 6 6 6x y z minus⎛ ⎞sdot + minus =⎜ ⎟

⎝ ⎠

換言之要找向量 A在任意方向u 的分量 uA 就先找出u 方向的單位

向量 ˆue ˆu uA A e= sdot Ex 7 求向量 ˆ ˆ ˆ2B x y z= + minus 在 ˆ ˆ ˆu x y z= + + 方向的分量 uB

解單位向量 ˆ ˆ ˆˆ3

x y zu + +=

ˆ ˆ ˆ 2ˆ ˆ ˆ ˆ( 2 )3 3u

x y zB B u x y z + += sdot = + minus sdot =

習題 1 Given ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ2 3 2 2 A x y z B x y z= minus + minus = minus minus (a) find | |A | |and B (b) angle ( A B ) (c) the component of B in the direction of A 向量場 vector field

若在一空間的每一點都定義一個向量 A則稱該空間存在向量場

( )A x y z 或 ( )A r 我們熟知的電場 ( )E x y z 磁場 ( )B x y z 重力場

( )g x y z 等都是向量場向量場 ( )A x y z 的各分量也都是位置的函數

ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( )x y zA x y z A x y z x A x y z y A x y z z= + + （4-20）

要注意除了少數特例一般向量場的各分量例如 x-分量 Ax 並非

只是 x 的函數而是(xyz)的函數特例之一為空間中每一點(x y z)

4-8

皆對應一「位置向量」 ˆ ˆ ˆr xx yy zz= + +

所以向量場 ( )A x y z 也可表為 ( )A r

Ex 8 給定一向量場 ( )A x y z = 2 2 3ˆ ˆ ˆ( )A x y z y x x zy xz z= + + (a) find

A 1 and A 2 which are vector A at position P1(2 1 5) and P2(3 0 1)

解(a) A 1= A (2 1 5) 2 2 3ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ1 (2 5) (2 5 ) 20 250x y z x y z= + times + times = + +

A 2= 2 3ˆ ˆ ˆˆ ˆ(301) 0 (3 1) (3 1 ) 9 3A x y z y z= + times + times = +

(b) Find the unit vector 1 2ˆ ˆr r and 12r for position vectors of points P1

P2 and 1 2PP

解for P1 1r = ˆ ˆ ˆ2 5x y z+ + 1ˆ ˆ ˆ2 5ˆ

30x y zr + +

rArr =

for P2 2 2ˆ ˆ3ˆ ˆˆ310

x zr x z r += + rArr =

1 2PP = 12ˆ ˆ ˆ4ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ(3 2) (0 1) (1 5) 4

18x y zx y z x y z r minus minus

minus + minus + minus = minus minus rArr =

Note 1 2 2 1PP r r= minus but 12r 2 1ˆ ˆr rne minus why Draw a diagram

(c) Find the component of A 1 along the direction of the 1 2PP

解 1 12ˆ ˆ ˆ ˆ( 20 250 )A r x y zsdot = + + sdotˆ ˆ ˆ4

18x y zminus minus =1 20 1000 1019

18 18minus minus minus

=

3-D 向量 A的分量

A 3-D vector A is uniquely specified by

given its magnetude A and direction ( θ ϕ 稱為

「方向角」)或者就是完整說明 xyz 三個分量

（Ax Ay Az）兩者轉換如下

4-9

cossin cossin sin

0 0 0 2

z

x

y

A AA AA A

A

θθ ϕθ ϕ

θ π ϕ π

===

gt le le le le

（4-21）

A B 的外積向量積叉積（vector productcross product）

由 A B 的本質與相對夾角定義向量外積

ˆ sinA B nAB θtimes equiv （4-22a）

其中的 n 是一個同時垂直於 A B 的單位向量其方向由右手定則定

之舉例

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆsin 90 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 0x y z z x z y y z xx x y y z ztimes = deg = times = minus times =times = times = times =

相互平行或反平行的二向量外積為 0因為 sin(0)=sin(1800)=0

BA 的外積也有另一個等價的定義

ˆ ˆ ˆ(4 22 )

( ) (4 23)

x y z

x y z

i ijk j kj k

x y zA B A A A b

B B B

A B A Bε

times = minus

times = minussum

上式中的 ijkε 稱為 Levi-Civita symbol（猶太裔義大利人Ci 發音同

chi） ijkε ＝0 若 ijk 中有任二數相同例如 211 131 223 0ε ε ε= = = 若 ijk

為相異的 3 個數則 ijkε =(-1)p p 是 ijk 相鄰兩數互換成為 123 的「置

換數」例如 ijk=231則 213 123rarr rarr p=2 2231 ( 1) 1ε = minus = 又如 ijk

＝321 則 312 132 123rarr rarr rarr p=3 所以 3321 ( 1) 1ε = minus = minus

4-10

Ex 9 ˆ ˆ ˆ4 5A x y z= + + ˆ ˆ3B x z= +

ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ1 4 5 (4 5) (15 1) (0 12) 14 12

3 0 1

x y zA B x y z x y ztimes = = minus + minus + minus = minus + minus

ex 10 ˆ ˆ ˆ4A x y z= minus minus + ˆ ˆ ˆ2B x y z= minus minus ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ1 1 4 (1 4) (8 1) (1 2) 5 7 3 2 1 1

x y zA B x y z x y ztimes = minus minus = + + minus + + = + +

minus minus

由（4-21b）可以容易看出

( ) ( )x y z

x y z

x y z

C C CC A B A B C A A A

B B Bsdot times = times sdot = （4-24）

明顯的 in general 外積不滿足交換率與結合率

( ) ( )A B B A B AA B C A B Ctimes = minus times ne times

times times ne times times (4-25)

兩個有用的恆等式(identity)

1 triple scalar product 純量三重積

( ) ( ) ( )A B C C A B B C Asdot times = sdot times sdot = sdot times (4-26)

上式中的 3 項運算 A B C 的順序是循環的(cyclic)ie ABC CAB

BCA3 項皆為以 A B C 為鄰邊的平行 6 面體的體積

Pf 若 B C 夾角＝ϕ rArr ˆ sinB C nBC ϕtimes =

其中 sinBC ϕ ＝以 B C 為兩邊的平行

四邊行面積 n perp B C

若 ˆA n 夾角＝θ ˆ cosA n A θrArr sdot =

＝垂直於 B C 平面的高

there4 ( )A B Csdot times ＝以 A B C 為鄰邊的平行

4-11

六面體的體積由於 3 鄰邊 A B C 的順序可以任選所以體積可藉由

（4-24）式之「絕對值」算出

Ex 11 一平行六面體 H 的相鄰三邊由 ˆ ˆ ˆ4 5A x y z= + + ˆ ˆ3B x z= +

與 ˆ ˆ ˆ2C x y z= minus + minus 表出求 H 之體積 HV

解let 1

2 1 11 4 5 183 0 1

CD A

B

minus minus= = = or 2

1 4 52 1 1 18

3 0 1

AD C

B= = minus minus = minus

1 2| | 18HV D D= = = 1D 與 2D 差一個負號不令人驚奇因為行

列式 2D 是由 1D 的第一列與第二列交換而來

2 triple vector product 向量三重積

( ) ( ) ( )A B C B A C C A Btimes times = sdot minus sdot (4-27)

上式有一別號稱為 back-cab(回頭車) rule先舉例說明上式成立

Ex12 ˆ ˆ ˆ4 5A x y z= + + ˆ ˆ3B x z= + ˆ ˆ ˆ4C x y z= minus minus

ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ3 0 1 (0 1) (1 12) ( 3) 13 3

1 1 4

x y zB C x y z x y ztimes = = + + + + minus = + minus

minus minus

ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ( ) 1 4 5 ( 12 65) (5 3) (13 4) 77 8 9

1 13 3

x y zA B C x y z x y ztimes times = = minus minus + + + minus = minus + +

minus

ˆ ˆ1 4 20 23 ( ) 69 23A C B A C x zsdot = minus minus = minus rArr sdot = minus minus

ˆ ˆ ˆ3 5 8 ( ) 8 8 32A B C A B x y zsdot = + = rArr sdot = minus minus

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ( ) ( ) 69 23 (8 8 32 ) 77 8 9B A C C A B x z x y z x y zsdot minus sdot = minus minus minus minus minus = + + QED

The proof of ( ) ( ) ( )A B C B A C C A Btimes times = sdot minus sdot

Pf Note that ( )B C B Ctimes perp 平面then ( )A B C B Ctimes times perp times∵ （ ）

( ) A B C D B CrArr times times equiv 躺在（ ）平面 所以 D 可由 B C 組合令

4-12

D B Cα β= + 由於 D 也與 A垂直所以

0A Dsdot = ( ) ( )A B A Cα β= sdot + sdot rArr

let ( ) ( )v v A C v A BA C A Bα β α βminus

= = rArr = sdot = minus sdotsdot sdot

( ) [( ) ( ) ]D A B C B C v A C B A B Cα βthere4 = times times = + = sdot minus sdot

v 會＝1上式對 x 做內積

ˆ ˆ ˆ[ ( )] [( ) ( ) ]

[( ) ( ) ]x x

x A B C v A C B x A B C x

v A C B A B C

sdot times times = sdot sdot minus sdot sdot

= sdot minus sdot

由於內積與外積都是向量間的運算所以上式左邊有

ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ( )x y z x y z

x y z x y z

x y z A x A y A zB C B B B A B C B B B

C C C C C C

times times timestimes = rArr times times =

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( ) 0ˆ [ ( )]

z y

x y z x y z

x y z x y z

x A x x A y x A z A Ax A B C B B B B B B

C C C C C C

sdot times sdot times sdot times minusrArr sdot times times = =

上式用到

ˆ ˆ( ) 0x A xsdot times = ˆ ˆ( )x A ysdot times ＝ ˆ ˆ( ) zA y x Asdot times = minus ˆ ˆ( )x A zsdot times ＝ ˆˆ( ) yA z x Asdot times =

用第 3 列展開行列式得

ˆ [ ( )] ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

x x x y y x z z x

x x x x y y z z x x x x x x

x x

x A B C C A B A B C A B C A B

C A B A B B C A C A C A B A B B A C C A

C A B B A C

sdot times times = minus sdot + + +

= minus sdot + + + = minus sdot + + sdot minus

= minus sdot + sdot1 ( ) ( ) ( )v A B C B A C C A BrArr = rArr times times = sdot minus sdot QED

向量的微分元素（直角座標）

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( ) [( ) ]

ˆ ˆ ˆ

i i i i i i i i i ii i i i

x y x

dA d e A d e A de A e dA e dA

or dA xdA ydA zdA

⎛ ⎞= = = + =⎜ ⎟

⎝ ⎠= + +

sum sum sum sum （4-28）

4-13

上面用了直角座標最方便的性質 ie 為常數 ˆ 0iderArr = 舉「位置向量」

為例

2 2 2 2 2 2 2 2

ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ

ˆ ˆ ˆˆ i i

i x y zi

r xx yy zz dr xdx ydy zdzdr dx dy dzv x y z e xdt dt dt dt

v v v x x y z v v v

= + + rArr = + +

rArr = = + + =

rArr = sdot = = + + = + +

sumsum

（4-29）

sect 42 曲線座標(curvilinear coordinates)

(A) 平面「極座標」polar coordinates ( )r θ

在平面上的一點 P 的直角座標若為(x y)我們可以有另一種標示法

( ) 0 [0 )

[02 ]r P x y r r

x rθ θ π

equiv ge isin infin⎧⎨

equiv isin⎩

由原點到 之距離

軸到 的夾角 （4-30）

以 P )( θr 為座標表同一點 P(xy) )( θr 稱為 P 點的「極座標」「極座

標」與「直角座標」的關係如下

2 2

cos

sintan

r x y x randy y r

x

θθθ

⎧ = + =⎧⎪⎨ ⎨ == ⎩⎪⎩

（4-31）

但是 )( θr 這兩個新座標的單位向量 ˆˆr θ 在什麼方向我們先來回顧

一下座標軸的單位向量的「制訂標準」是

什麼事實上某座標的單位向量的方向

訂在「垂直於該座標『等值面』且指向

該『座標值增長』的方向」舉「直角座

標」為例如右圖由於 x y 軸皆為直線

4-14

所以「等值面」都是平行的平面所以垂直方向皆相同也造成單位

向量 ˆ ˆx y 為常數

由左圖可以看出極座標裡 r 的等值面是一

個圓所以單位向量 r 是「沿徑向向外」但

是隨圓上θ 有所變動時 r 也隨著改變所以 r

「不是一個常量」 ˆ ˆ( )r r θ= 是角度θ 數

如左圖也可看出θ 的等值面為直線所以單位

向量θ 是「沿『切線』逆時針」方向

但如同 r 一樣當θ 值改變時θ 的方向

也改變了所以θ 也「不是一個常量」

)(ˆˆ θθθ = 也是角度θ 的函數可以看出

固定θ 時 ˆr θperp 但是她們都與「角座標」θ 有關由於她們的指向

有時 r 被稱為「沿徑向」之單位向量θ 被稱為

「沿切線」之單位向量極座標和直角座標還

有一個很大的差別就是直角座標的 x y z 的

因次都是「長度」所以當座標改變時 dx dy dz

就是「長度」的改變然而極座標的 r 有長度因

次所以 dr 是長度但是θ 只是一個數字而非長度所以當θ 改變時

dθ 並不代表一個長度的變化dθ 造成的長度變化寫為

d h dθ θ θ= （4-32）

其中的係數hθ 稱為「度量係數」(metric coefficient)很顯然這裡的hθ

必須具有長度的因次「長度」之所以重要是因為位移是長度各個

座標的度量係數我們會在後面仔細討論

座標系的選用以方便為準系統的對稱性是重要的考量所以有

立方對稱的系統通常用直角座標而有圓對稱的系統則用極座標

4-15

Ex13 半徑 5圓心在原點的圓方程式在直角座標為 2 2 25x y+ =

但是在極座標就是 5r = 而已

位置位移速度與加速度

直角座標的描述很簡單

ˆ ˆˆ ˆ

ˆ ˆ

r xx yy

r xx yy

dr dxx dyy

= +

Δ = Δ + Δ

= +

位置

位移

位移元素

（4-33）

2 2

2 2

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( )

ˆ ˆ( )

ˆ ˆ ˆ ˆ( )

x ydr dx dyv t x y xx yy v x v ydt dt dt

dv t dxx dyydv dx dy d x d ya t i j i jdt dt dt dt dt

rArr = = + = + = +

rArr = +

rArr = = + = +

瞬時速度

速度變化元素

瞬時加速度

（4-34）

在極座標由於單位向量 θr 不再是常數 ˆˆ 0 0dr dθrArr ne ne 所以

ˆ

ˆ ˆ( )ˆ ˆ

r rrr r r r r

dr drr rdr

=

Δ = Δ + Δ

rArr = +

位置

位移

位移元素

(4-35)

現在有一個問題 ˆ dr = 由下圖 r 的變化由 dθ 而來

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( )ˆ ˆ

ˆˆ ˆ ˆ0 ( ) ˆˆ

r r dr r d rdr r d d

d dr r dr

dr d

θ θ θ θθ θ

θ θ θ

θθ

= rArr = + minus

= =

rarr rArr perp rArr

rArr =

∵

∵ (4-36)

4-16

所以微分的位移為

ˆˆdr drr rdθθ= + （4-37）

上式的幾何意義很清楚dr 的 r 分量 dr 就是「沿

r 方向的長度變化」而θ 分量 rdθ 就是「沿θ 方

向的長度變化」而已或者也可以這麼看dr 是

一個位移向量在平面上有 r 和θ 兩個分量所以 ˆˆrdr d r d θθ= +

α 為在 r 方向的長度變化β 為在θ 方向的長度變化所以 rd dr=

d rdθ θ= 這種分析方法可以用在各種座標系這裡也可以看出

和（4-32）式角度變化dθ 造成的長度變化d h dθ θ θ= 相比可以得出

θ 的度量係數h rθ = 與直角座標比較 ˆ ˆdr dxx dyy= + dx 與 dy 不也就

是dr 在 x 與 y 方向的長度變化嗎

Now 速度

ˆˆ

ˆ ˆˆ ˆr

dr dr dv r rdt dt dtrr r v r vθ

θ θ

θθ θ

= = +

= + equiv + （4-38）

其中ddtθθ ω= = 亦稱為「角速度」

Ex14 圓周運動因為只有切線速度所以由（4-38）式 ˆ ˆ0

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( ) = ( ) ( ) ( 0)

r R r v r R

dv dr r d r d r d r d dr

θθ ωθ

θθ θ θ θ θ θ θ θ θ

= rArr = rArr = =

rArr = + + + =

∵

∵

（ 切線速度）(4-39)

這裡又冒出個問題

ˆ dθ = 由左圖

ˆ ˆ

ˆ ˆ0

d d d

d d

θ θ θ θ

θ θ θ

= =

rarr rArr perp

4-17

ˆ ˆ ˆ ˆ

d r

d d r

θ

θ θ

rArr minus

rArr = minus (4-40)

2

2

ˆˆ( ) ( )

ˆˆ

ˆ ˆˆ ˆ( ) ( )ˆˆ ( ) ( )

r

dv r d r r d

dv d da r r rdt dt dt

a r r r a r a

or a r r rθ

θ θ θ θ

θ θθ θ

θ θ θ θ

ω α θ

rArr = minus +

⎛ ⎞⎛ ⎞rArr = = minus +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

rArr = minus + equiv +

= minus +

(4-41)

上式即為圓周運動的加速度其中的第一項

2

2 ˆ ˆrva r r rr

ω minus= minus = 向心加速度 (4-42a)

with α θ= 可以認出是角加速第二項

ˆa rθ αθ= 切線加速度 (4-42b)

如進一步簡化為「等速圓周運動」 ==rArr θω constant 0==rArr αθ rArr切線

加速消失那麼加速度就只剩下了熟知的向心加速度2

ˆrva rrminus

= 了

若考慮一般的情況 dr 0ne 可以導出用極座標表示的加速度為

2

ˆ ˆ ˆ ˆˆ( ) ( ) ( ) ( )

ˆˆ( ) (2 )

dv dr r r d dr r d r ddva r r r r rdt

θ θ θθ θ θ θ θ

θ θ θ θ

= + + + +

rArr = = minus + + （4-43）

看起來有點繁但是在有圓形對稱的系統極座標會表現得更清楚

面積微分元素

直角座標把平面分割成一個個的

小方塊也就是依照「x 與 y 方向的

長度變化」可以寫出「面積元素」

dA dx dy= sdot （像是切長方形的蛋糕）

比較 ˆ ˆdr dxx dyy= + 可以看出

dA＝(x-方向的長度變化)times(y-方向的長度變化)

4-18

所 以 在 「 極 座 標 」 比 照 辦 理

ˆˆ ˆ( ) ( )dr dr r rdr dr r rdθθ= + = +

dA dr rd rdrdθ θ= sdot = (4-44)

像是切圓形蛋糕

ex15 求一個半徑 R 的圓的面積

解 2 2

2

0 0

22

R RA dA rdrd rdr d Rπ

θ θ π π= = = = sdot =int intint int int

妳可以試試用直角座標dA dx dy= sdot 算一下圓的面積

Ex16 求一個半徑 R質量 M密度σ 的均勻圓盤繞其直徑的轉動慣

量解 質量元素 dAdm σ= 到轉軸（直徑）的距

離 sinr θ=

2 2 2 2

23 2

0 0

4 22 2

sin

sin

14 4 4

R

I dm dA r rdrd

r dr d

R RR MR

π

σ σ θ θ

σ θ θ

σ π σπ

= = =

=

= = =

int int intintint int

娛樂一下算半個圓盤繞通過圓心且垂直盤面的軸的轉動慣量

ex 17 計算積分2xI e dx

infinminus

minusinfin

= int

解 2 2

0

2x xI e dx e dxinfin infin

minus minus

minusinfin

= =int int2 22

0 0

2 2x yI I I e dx e dyinfin infin

minus minusrArr = sdot = sdotint int

2 2 2 22

2 ( )

0 0 0 0 0 0

4 4 4x y r rI e dxdy e dA e rdr d

π

θinfin infin infin infin infin

minus + minus minusrArr = = =int int int int int int

在上面的積分裡我們運用了一個有關「無窮大平面」的技巧就是「無

4-19

窮大的平面」是可以是「正方形」或是「圓形」的

2

2

22

00 0 0

22

4 2 2( )2 2 2

(4 45)

u u u

x

dulet u r du rdr rdr

duI e d e du e

I e dx

π

π πθ π

π

infin infininfinminus minus minus

infinminus

minusinfin

= rArr = rArr =

rArr = = sdot = minus sdot =

rArr = = minus

int int int

int

ex18 重力位能

由位能差的定義 )()()( BAWBUAU rarrequivminus

（B）圓柱座標 cylindrical coordinates

3D 空間點 P(x y z)的位置向量 ˆ ˆ ˆr xx yy zz= + +

定義「圓柱座標」 ( )zρ ϕ 其中

0 [0 )P zρ ρ ρequiv ge there4 isin infin點 到 軸之垂直距離

ϕ ρequiv 在 x-y 平面的投影與 x 軸之夾角 [02 ]ϕ πisin

z zequiv同直角座標的

4-20

「圓柱座標」就是「極座標」（用 ( )ρ ϕ 取代 ( )r θ ）再加上第三維 z

所以圓柱座標 ( )zρ ϕ 裡 zρ 的因次為長度而ϕ 只是一個數字

( )zρ ϕ 與(x y z)間的轉換如下

2 2 cos

tan sin

x yx

y yx

z zz z

ρρ ϕ

ϕ ρ ϕ

⎧ = +=⎪ ⎧

⎪ ⎪= =⎨ ⎨⎪ ⎪ =⎩=⎪⎩

（4-46）

「圓柱座標」的三個方向單位向量 ˆ ˆ ˆ zρ ϕ 如圖

且 ˆ ˆ zρ ϕperp perp 可以看出ρ 的等值面為一個圓柱

面ϕ 的等值面是一扇門z 的等值面為一個垂

直 z 軸的平面但是

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( ) zρ ρ ϕ ϕ ϕ ϕ= = =常數

柱座標的位置向量 r 如左圖

ˆ ˆr zzρρ= + （4-47）

在柱座標寫位移元素dr 有兩種作法一

種是直接由（4-47）式取微分元素 借用

平面極座標的結果可得

ˆ ˆ ˆ( ) ( )

ˆ ˆ ˆdr d d dzz

d d dzzρ ρ ρ ρ

ρρ ρ ϕϕrArr = + +

= + + （4-48）

但也可以由三個座標方向的

位移來看由左圖可得沿 ρ 方向

的長度變化 ie 當座標ρ 有變

化dρ 時產生的長度變化就是

dρ 沿ϕ 的長度變化為 dρ ϕ

而沿 z 方向的長度變化為 dz

4-21

dr 是一個向量有三個分量ρ -分量就是沿 ρ 方向的長度變化

dρ ϕ -分量沿ϕ 的長度變化為 dρ ϕ 而 z-分量就是沿 z 方向的長度變

化為 dz合併寫出

ˆ ˆ ˆdr d d dzzρρ ρ ϕϕ= + +

與（4-48）式完全相同但是這種由幾何角度得到的結果要更方便

也更直觀Fig 27 非常重要因為只要你能把圖畫出來位移的各

分量就寫得出來有了位移元素dr 速度與加速度就可得出

ˆ ˆ ˆ (4 49)

ˆ ˆ ˆ( ) (2 ) (4 50)

drv zzdtdva zzdt

ρρ ρϕϕ

ρ ρϕ ρ ρϕ ρϕ ϕ

rArr = = + + minus

rArr = = minus + + + minus

由上圖與dr 的 3 個分量可得圓柱座標的體積元素

dV d d dz d d dzρ ρ ϕ ρ ρ ϕ= sdot sdot = （4-51）

ex19 底面半徑 R高 h 的圓柱體積＝ 2 2

2

0 0 0

22

R h RV dV d d dz h R hπ

ρ ρ ϕ π π= = = sdot sdot =int int int int

ex20 底面半徑 R高 h 的「圓錐」體積＝

解本圓錐裡點的座標分佈為 [02 ] [0 ]z hϕ πisin isin ( )zρ ρ=

( ) ( )( )

h z h Rz h zz R h

ρρminus

= rArr = minus

22( )( ) 2 2

0 0 0 0 0 0

002 2 2 3 2 32 2 2

2 2 2 20

( )2 2

2

1( )3 3 3

R h zzh h hh

h

h h

R h zhV d dz d d dz d dz

R R R u R hh z dz u du R hh h h h

ρ π

τ ρ ρ ϕ π ρ ρ π

π π π π π

minus

minus minus

minusthere4 = = = =

= minus = = = =

int int int int int int int

int int

如果我們把 3-D 的三個座標寫為 1 2 3( )u u u 或 123iu i = 當座

標 ui(在 ˆiu 方向)變動 dui 時造成的長度變化為 id 則定義

4-22

i i id h duequiv (4-52)

其 中 hi 稱 為 座 標 ui 的 度 量 係 數 (metric

coefficient)由 zρ 的因次為長度所以 zρ 的變

化 d dzρ 就是長度的變化所以 1 1zh hρ = =

然而ϕ 的變化造成的長度變化為

d d hϕ ϕρ ϕ ρ= rArr = (4-53)

很明顯的直角座標 xyz 都是長度所以度量係數 1x y zh h h= = =

(C) 球座標 spherical coordinates

3D 點 P(x y z)的位置向量 ˆ ˆ ˆr xx yy zz= + + 定義

「圓柱座標」 )( ϕθr 其中

[0 ] [0 ]

[02 ]

r P rr zr x y x

θ θ πϕ

ϕ π

⎧ equiv isin infin⎪

equiv isin⎪⎨

equiv minus⎪⎪ isin⎩

原點到 的距離

與 軸的夾角

在 軸投影與 軸的夾角

球座標的ϕ 與住座標的ϕ 相同

( )r θ ϕ 與(x y z)間的轉換如下下列為（4-54）

2 2 2

2 2 2

sin coscos sin sin

cos

tan

r x y zx r

z y rx y z z r

yx

θ ϕθ θ ϕ

θ

ϕ

⎧⎪ = + +⎪ =⎧⎪ ⎪= =⎨ ⎨

+ +⎪ ⎪ =⎩⎪⎪ =⎩

三個座標的單位向量 )ˆˆˆ( ϕθr 如左圖一可以看

出 r 的等值面是一個球面θ 的等值面為一個

以原點為頂點的圓錐ϕ 的等值面為一扇門

位置向量 ˆr rr= （4-55）

4-23

位移由 ˆ ˆˆ( )r θ ϕ 3 個方向的「長度

分量」可得 ˆ ˆˆ ( ) ( sin )dr rdr rd r dθ θ ϕ θ ϕ= + +

（4-56）

所以體積元素

2

( )( sin )(sin )

d dr rd r dr dr d d

τ θ θ ϕ

θ θ ϕ

=

= （4-57）

Fig 31 和 Fig 27 一樣重要只要

你能畫得出來就可以寫出球座

標位移的三個分量

ex21 求一半徑 R 的球體積 2

2 2 3

0 0 0

4sin sin3

R

V d r dr d d r dr d d Rπ π

τ θ θ ϕ θ θ ϕ π= = = =int intintint int int int

ex22 求一質量 M半徑 R密度 ( )3 4 3M Rρ π= 的實心球對直徑

旋轉的轉動慣量

解質量元素 2 sindm d r dr d dρ τ ρ θ θ ϕ= = 到 z 軸的垂直距離為 sinr θ=

22 4 3

0 0 0

5 52

sin

4 8 225 3 15 5

RI dm r dr d d

R R MR

π πρ θ θ φ

πρ π ρ

= =

= sdot sdot = =

intintint int int int

娛樂一下空心球對直徑的轉動慣量

(4-46)式與(4-54)式說明柱座標和球座標與直角座標之間的轉

換Fig 32 可得出柱座標和球座標之間轉換

2 2

sintan

cos

r zr

zz r

ρρ θ

ρϕ ϕ θθ ϕ ϕ

⎧ = += ⎪⎧

⎪ ⎪= =⎨ ⎨⎪ ⎪=⎩ =⎪

⎩

（4-58）

4-24

Ex23 點 P 的球座標為（31200 600）求柱座標＝

解2 3 33sin3 2πρ ⎛ ⎞= =⎜ ⎟

⎝ ⎠

23

ϕ π= 2 33cos3 2

z π minus⎛ ⎞= =⎜ ⎟⎝ ⎠

直角座標柱座標球座標單位向量之間的轉換

三種座標之間的轉換由(4-46)式(4-54)式與（4-58）式表出但

三種座標裡的的三個單位向量 ˆ ˆ ˆ x y z ˆ ˆ ˆ zρ ϕ ˆ ˆˆ r θ ϕ 若以 123ˆ iu =

表示則單種座標的單位向量之間都有正交歸一關係

ˆ ˆi j iju u δsdot = 與外積的循環關係

ˆ ˆ ˆ i j ku u u i j ktimes = cyclic in 123

ie 1 2 3 2 3 1 3 1 2ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ u u u u u u u u utimes = times = times = or ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆˆ ˆ r z z x yθ ϕ ϕ ρtimes = times = times =

然而不同座標系的單位向量之間關係如何我們畫圖來討論

球座標 ˆ ˆˆ( )r θ ϕ rarr直角座標 ˆ ˆ ˆ( )x y z

單位向量都是用來指方向的球座標的 ˆ ˆˆ( )r θ ϕ 都是「方向角」( )θ ϕ

的函數 r 在直角座標可以由 Fig33 看出

ˆ ˆ ˆ ˆsin cos sin sin cosr x y zθ ϕ θ ϕ θ= + + （4-59）

ex24 P 點的球座標為2 75 3 6π π⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠

試用球座標與直角座標求 P 點的位

置向量的單位向量 解位置向量 ˆr rr= 在球座標只有 r-分量標位置仔細一點把方向

角標出2 7ˆ 3 6

r π π⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

通常只是寫 r 令人有點摸不著頭緒用直角

4-25

座標比較「具像」 2 7 2 7 2ˆ ˆ ˆ ˆsin cos sin sin cos3 6 3 6 3

3 3 1ˆ ˆ ˆ4 4 2

r x y z

x y z

π π π π π⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞minus minus minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + +⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

單位向量θ 在某一組 ( )θ ϕ 的指向如 Fig 34a將θ 平移至原點更清楚

Fig34b 是由側面看 Fig34a可以看到θ 在 z 軸的投影為 sinθminus 而θ 在

x-y 平面的投影為cosθ使得θ 在 x-軸的投影為cos cosθ ϕy-軸投影

為cos sinθ ϕ於是

ˆ ˆ ˆ ˆcos cos cos sin sinx y zθ θ ϕ θ ϕ θ= + minus （4-60）

單位向量ϕ 如 Fig 35a 所示是在 x-y 平面畫出

Fig 35b 為自 z 軸向下看 Fig35a 圖可以看出ϕ 在 z 軸投影為 0且

ˆ ˆ ˆsin cosx yϕ ϕ ϕ= minus + （4-61）

ex25 一個質點的速率為 2( ) ( sin tan )v r rθ ϕ θ ϕ= 若經查該質點的運

動 是 在 z = 3 平 面 做 逆 時 針 圓 周 運 動 則 當 位 置 的 方 向 角

4-26

2( ) 4 3π πθ ϕ ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

時計算其速度用球座標與直角座標表出

解圓運動速度方向是沿切線所以球座標 ˆ ˆ( )v v v rϕ θ ϕ ϕ= =

z = 34πθ =

3 3 21cos cos 24

z zrπθ

rArr = = = =⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

所以該處的瞬時速率

2 2

2( ) 3 3 4 3

2 1 813 3sin tan 3 3 ( 3)4 3 22

v r v π πθ ϕ

π π

⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

⎡ ⎤ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = times minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

2 81 2ˆ3 3 4 3 2 4 3

v r π π π πθ ϕ ϕ⎛ ⎞ ⎛ ⎞rArr = = = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

在直角座標2 2 2ˆ ˆ ˆ sin cos

4 3 3 3x yπ π π πϕ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠3 1ˆ ˆ

2 2x y= minus minus

而且點23 3

4 3π π⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠

的直角座標為

2 1 3 3sin cos 3 3sin cos 3 34 3 2 22 2

x r π πθ ϕ minus minus⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

2 3 9sin sin 3 3sin sin 3 34 3 2 2 2 2

y r π πθ ϕ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = = =⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

z = 3

23 3 4 3

v π π⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

3 3 9 81 3 1ˆ ˆ 32 2 2 2 22 2

v x y⎛ ⎞ ⎛ ⎞

rArr = minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

以上兩個例子都只討論只有一個圓座標分量的向量in general 向量

ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( )r x y zA r rA A A A r xA yA zAθ ϕθ ϕ= + + hArr = + + （4-61）

若已知球座標的分量 ( )rA A Aθ ϕ 如何得到直角座標的

( )x y zA A A

4-27

ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( )ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( )

ˆ ˆˆˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( )

x r

y r

z r

A x A r x r A x A x A

A y A r y r A y A y A

A z A r z r A z A z A

θ ϕ

θ ϕ

θ ϕ

θ ϕ

θ ϕ

θ ϕ

⎧ = sdot = sdot + sdot + sdot⎪⎪ = sdot = sdot + sdot + sdot⎨⎪

= sdot = sdot + sdot + sdot⎪⎩

（4-62）

由式（4-59）（4-61） ˆ ˆ ˆ ˆsin cos sin sin cosr x y zθ ϕ θ ϕ θ= + + （4-59） ˆ ˆ ˆ ˆcos cos cos sin sinx y zθ θ ϕ θ ϕ θ= + minus （4-60）

ˆ ˆ ˆsin cosx yϕ ϕ ϕ= minus + （4-61） ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆsin cos cos cos sin ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆsin sin cos sin cos ˆ ˆˆˆ ˆcos sin 0

x r x x

y r y y

z r z z

θ ϕ θ θ ϕ ϕ ϕ

θ ϕ θ θ ϕ ϕ ϕ

θ θ θ ϕ

⎛ ⎞sdot = sdot = sdot = minus⎜ ⎟

rArr sdot = sdot = sdot =⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟sdot = sdot = minus sdot =⎝ ⎠

（4-63）

sin cos cos cos sin sin sin cos sin cos

cos sin 0

x r r

y RS

z

A A AA A M AA A A

θ θ

ϕ ϕ

θ ϕ θ ϕ ϕ

θ ϕ θ ϕ ϕ

θ θ

⎛ ⎞minus ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟rArr = equiv⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟minus⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

（4-64）

其中 SRM 為由球座標分量轉為直角座標分量的轉換矩陣且行列式

det SRM =1 表示反矩陣存在then 1SRM minus 就是將直角座標分量轉為球座

標分量之轉換矩陣其實嚴格講 (4-64)式還不是最終的表示因為

轉換完的直角

座標應該全部以 x y z 表出這裡保留用 θ ϕ 只是為了簡潔方便

習題 2 Find 1SRM minus

習題 3 用 xyz 表出(a)sinθ (b)cosθ (c)sinϕ (d)cosϕ

Ans (a)2 2

2 2 2sin

x yx y z

θ+

=+ +

(b)2 2 2

cos zx y z

θ =+ +

(c)2 2

sin yx y

ϕ =+

(d)2 2

cos xx y

ϕ =+

習題 4 用上面結果將 SRM 用 xyz 表出

Ex26 Given a field ( )A r θ ϕ ＝ ˆ ˆˆ2 3r θ ϕ+ minus in spherical coordinates

find the field in rectangular coordinates （直角座標）

4-28

解這裡的 ( )A r θ ϕ 不因其三個分量都是常數而只是「一個」向量

而是一 vector field這是因為 ˆ ˆˆ r θ ϕ 都不是定值而與 θ ϕ 有關而如

果 ( )A r θ ϕ 表示則單位向量所對應的角度 θ ϕ 必須要標定所以

sin cos cos cos sin 2sin sin cos sin cos 3

1cos sin 0

x

y

z

AAA

θ ϕ θ ϕ ϕ

θ ϕ θ ϕ ϕ

θ θ

⎛ ⎞minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ minusminus⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

(2sin 3cos )cos sin(2sin 3cos )sin cos

2cos 3sin

x

y

z

AAA

θ θ ϕ ϕθ θ ϕ ϕ

θ θ

+ +⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟rArr = + minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟minus⎝ ⎠ ⎝ ⎠

習題 5 Draw a diagram to show in the cylindrical coordinates

(a) ˆ ˆ ˆcos sinx yρ ϕ ϕ= + (b) ˆ ˆ ˆsin cosx yϕ ϕ ϕ= minus + (c) ˆ ˆz z=

習題 6 use the above results show that 由柱座標分量轉為直角座標分

量的轉換矩陣

x

y CR

z z

A AA M AA A

ρ

ϕ

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟=⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

CRM =

2 2 2 2

2 2 2 2

0cos sin 0sin cos 0 0

0 0 10 0 1

x yx y x y

y xx y x y

ϕ ϕ

ϕ ϕ

minus⎛ ⎞⎜ ⎟+ +⎜ ⎟⎛ ⎞minus⎜ ⎟⎜ ⎟

= ⎜ ⎟⎜ ⎟+ +⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

Ex27 Express vector ˆ ˆ ˆ(3cos ) 2 5A zρ ϕ ϕ ρ= minus + in Cartesian

coordinates Specifically the A at the position of (2 2 3π -3)

解

2cos sin 0 3cos 3cos 2 sinsin cos 0 2 3cos sin 2 cos

5 50 0 1

x

y

z

AAA

ϕ ϕ ϕ ϕ ρ ϕϕ ϕ ρ ϕ ϕ ρ ϕ

⎛ ⎞minus ⎛ ⎞+⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟= minus = minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

so that A (2 2 3π -3)= 3 3 3ˆ ˆ ˆ3 3 3 54 4

x y z⎛ ⎞⎛ ⎞+ + minus +⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠注意本

題裡 z 座標並非一變數

4-29

sect 43 Fields and its properties 場與其性質

「場 field」是什麼凡是在「某個空間中每一點」都有定義的量

就是一個「場」所以「場」也稱為「點函數 point function」簡單的

說凡是「空間的函數」都是「場」如果這個「空間的函數」是一個

純量 u(xyz)那麼 u(xyz)就是一個「純量場 scalar field」例如室內

的溫度 T(xyz)一塊豬肉的密度 ( )x y zρ 大氣中的壓力 p(xyz)等

都是純量場如果這個「空間的函數」是一個向量 )( zyxA 那麼

)( zyxA 就稱為「向量場 vector field」例如空間中的電場 )( zyxE

水流中的速度場 )( zyxv 重力場 )( zyxg 等等很顯然的不論是純量

場還是向量場「場」在空間中的分佈通常未必是均勻的那麼她有

什麼性質呢例如一塊豬肉內部密度是如何變化的水流中有沒有

漩渦大氣中的等壓線是如何變化的等等那麼有沒有什麼量可以

有系統的描述各種場的分佈有我們在以下分別討論

sect 431 Gradient of scalar fields 純量場的梯度

考慮一個純量場 f(xyz)可以視為 3 個變數 xyz 的函數當變數變動為

x+dx y+dy z+dy 時造成 f 的變化

f f fdf dx dy dzx y zpart part part

= + +part part part

（4-65）

由幾何意義來看上式更為具體上式表示純量場 )(rf 基於位置的變化

r r drrarr + (或由 ( ) ( )x y z x dx y dy z dzrarr + + + )所造成 f 的變動

我們現在定義一個向量算符 vector operator nabla (or nabla )（讀做 del）

ˆ ˆ ˆx y zx y zpart part part

nabla equiv + +part part part

(4-66)

如果將 del 作用在純量場 )(rf 上將產生出現一個新的「向量場」 fnabla

稱為純量場「 )(rf 的『梯度 gradient』」

4-30

ˆ ˆ ˆ( ) f f fgrad f f x y zx y zpart part part

equiv nabla = + +part part part

（4-67）

這使得由於任意位移 ˆ ˆ ˆdr xdx ydy zdz= + + 所造成 f 的變化量

df f drrArr =nabla sdot （4-61）

ex28 Given scalar field 2( )f r xy z= and 2 2 2

1 1( )g rrx y z

= =+ +

(a) find the value of ( )f r and fnabla at point P(2 1-1) 解 2(21 1) 2 1 ( 1) 2f minus = times times minus = minus

2 2 2

2 2

ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( )

ˆ ˆ ˆ( ) ( 2 ) ( )

f x xy z y xy z z xy zx y z

x y z y x yz z xy

part part partnabla = +

part part part

= +

＋

＋

ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ(21 1) ( 1) (2 2) (2) 4f x y z x y znabla minus = minus + timesminus = minus minus＋ ＋2 (b) find the value of ( )g r and gnabla at the point P

解2

1 1(21 1)62 1 1

g minus = =+ +

2 2 2 12 2 2 2 12

2 2 2 12

ˆ ˆ( ) ( )

ˆ ( )

g x x y z y x y zx y

z x y zz

minus minus

minus

part partnabla = + + + + +

part partpart

+ +part

＋

2 2 2 32 2 2 2 32 2 2 2 32

2 2 2 32 3 2

ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( )

ˆ ˆ ˆˆ( )( )

OR OR

xx yy zzgx y z x y z x y zxx yy zz r r

x y z r r

minus minus minusrArrnabla = + +

+ + + + + +minus + + minus minus

= = =+ +

32

ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ(2 ) 2(21 1)6 6 6

x y z x y zg minus + minus minus minus +rArrnabla minus = =

由 gnabla 看到一個粉常用的結果就是

3 2

ˆ1 ORr rr r r

minus minusnabla = = （4-62）

順便比較一下

2 2 2 12 2 2 2 12 2 2 2 12

2 2 2 12

ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( )

ˆ ˆ ˆ( ) ˆ (4 63)( )

r x x y z y x y z z x y zx y zxx yy zz r r

x y z r

part part partnabla = + + + + + + +

part part part+ +

= = = minus+ +

＋

4-31

(c) what is the angle between (21 1)fnabla minus and (21 1)gnabla minus

解 (21 1)fnabla minus (21 1)gsdotnabla minus ＝（ ˆ ˆ ˆ4x y zminus minus ＋2 ） sdotˆ ˆ ˆ26 6x y zminus minus +

＝2 4 2 4

6 6 3 6+ +

= ＝ | (21 1) |fnabla minus | (21 1) |gnabla minus cosθ

＝ 34 1 1 211 16 4 cos cos

6 6θ θ+ +

+ + =

1 4 2cos 07773 7

radθ minus ⎛ ⎞= =⎜ ⎟

⎝ ⎠

要注意隨然nabla有向量的性質但是他並不是一個真的向量真

實向量 A與純量 f ( )r 的乘法滿足交換率ie ( ) ( )Af r f r A= 但是

f fnabla ne nabla因為

( )f rnabla ＝ ˆ ˆ ˆf f fx y zx y zpart part part

+ +part part part

是一個向量函數而

ˆ ˆ ˆ( )f r x y zx y z

⎛ ⎞part part part+ +⎜ ⎟part part part⎝ ⎠

是一個算符（operator）

若nabla要與向量場 A 作用由於nabla與 A 都具有向量的性質先看「內積」

ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ( )

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

x y z

x y

z

y yx xz z

A x y z xA yA zAx y z

x y z xA x y z yAx y z x y z

x y z zAx y z

A AA AA Ax x x y x zx y z x y z

⎛ ⎞part part partrArrnablasdot = + + sdot + +⎜ ⎟part part part⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞part part part part part part= + + sdot + + + sdot⎜ ⎟ ⎜ ⎟part part part part part part⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞part part part

+ + + sdot⎜ ⎟part part part⎝ ⎠part partpart partpart part

= sdot + sdot + sdot + sdotsdot sdot = + +part part part part part part

yx zAA AAx y z

partpart partnablasdot = + +

part part part (4-64)

上式中的 Anablasdot 是向量場 A 的一個重要的性質稱為 A 的「散度」詳

細的內容在後面會仔細討論這裡引進 Anablasdot 主要是要表明nabla是個「算

符」表示一個運算不是一個真實的向量只是在「直角座標」裡

4-32

因為單位向量 ˆ ˆ ˆ x y z 是常數不受微分的作用以致nabla表現得好像也

是個一般的向量一樣事實上真實向量和nabla間的「內積」就不滿足交

換率

x y zA A A A an operator Ax y zpart part part

sdotnabla = + + = ne nablasdotpart part part

(4-65)

這也使得任意向量場 ( )A r 因位置變動 r r drrarr + 而產生的變化由於

)( zyxA 也是 3 個變數 xyz 的函數可以寫為

( )A A AdA dx dy dz dr Ax y z

part part part= + + = sdotnabla

part part part （4-66）

ex29 (a)Given field 2ˆ ˆ ˆ2A xxy y x zyz= minus + find Anablasdot at point (1-12)

解2( ) (2 ) ( ) 2xy x yzA y yz

x y zpart part part

nablasdot = + + = +part part part

(1 12)1 2( 1)2 3A

minusnabla sdot = minus + minus =

(b) find rnablasdot 解 rnablasdot = 3x y zx y zpart part part

+ + =part part part

梯度的意義

由（4-67）可以看到「f 的梯度 fnabla 」

是一個由「純量場 f」衍生出的向量

場由（4-26）也可以看出 fnabla 扮演類

似「變化率」的角色

空間中將相同值 f ( )r ＝f1 的點連

起來就得到一個 f ( )r ＝f1 的「等值面」如 Fig36考慮純量場 f( r )的

相鄰兩個等值面各對應定值 1f f= 與 1f f df= + 0df gt P1 點在 f1

等值面上相鄰兩點 P2P3 在 1f df+ 等值面上而向量 1 2 ˆnP P dn e dn= =

過 P1 點垂直於 f1 等值面 1 3 ˆP P d e d= = 與 ˆne dn夾角為α 由於不

論 1 2P Prarr 或 1 3P Prarr f 的變化量都是 df 但因距離 dn 係兩等值面最

4-33

短的距離d dngt 所以 1 2P Prarr 或 1 3P Prarr 造成的「變化率」df dfdn d

gt

而過 P1 點的最大變化率為dfdn

換言之向量 ˆndfedn

為過 P1 點垂直於

f1 等值面且指向最大「增加率」的方向 現在要證明

ˆndfe fdn

= nabla （4-67）

考慮 1 3P Prarr 造成的 f 值的變化率

ˆ ˆcos n ldf df dn df df e edl dn dl dn dn

α= = = sdot

ˆ ˆ ˆn l ndf dfdf e e dl e dldn dn

rArr = sdot = sdot

和（4-61）式df f dr= nabla sdot 相比即可得證 ˆndfe fdn

= nabla 所以可以知道

空間純量場 f ( )r 中任一點處的向量 fnabla 必「垂直」於「通過該點的 f的等值面」且指向 f 值最大「增加率」的方向| ( )f rnabla |就是 f 在 r 點

的最大增長率可以進一步定義等值面的「法線 normal」方向為

ˆ fnf

nabla=nabla

（4-68）

結論給定一個純量場 f( r )在每一點 r 可以定義一個稱做「梯度」

的向量 fnabla fnabla 垂直於過 r 點的 f 等值面且指向最 f 大增加率的方向

fnabla 的方向也定義了 f 等值面的法線方向

Ex30 考慮一個 2D 的 scalar field 2( )f x y y x= minus 計算該場在 )20( 的梯度與

法線方向

解 ˆ ˆ ˆ ˆ2f ff x y x yyx ypart part

nabla = + = minus +part part

ˆ ˆ(0 2) 2 2f i jnabla = minus + ˆ ˆ ˆ ˆ2 2 2 2ˆ(0 2)

31 8i j i jn minus + minus +

rArr = =+

4-34

ex31 點電荷 q 置於原點其產生電位為 ( ) qV rr

= 求負梯度qr

minusnabla

解 3

2 2 2 22 2 2

2 ( )2

q q q q x x y zr x rx y z

minuspart minus= rArr = sdot + +

part+ +

3 23

ˆˆ ˆ ˆ( )q ix jy kz r rq q qr r r r

minus + +rArr minusnabla = minus = = （點電荷的電場）

0 0

1 1 r r

noter r= =

nabla rarrinfin rarrinfin∵ 是不定值是因為 r = 0 處為最大值

「增加率」的方向無法確定

ex32 置一熱源於原點空間溫度分佈為1( )

( 2)T r

r=

+求溫度的梯度

解 2 2 2

ˆ( ) ( )( 2) ( 2) ( 2)

x rT r rr rT r

x r r r

minuspart minus

= rArrnabla = =part + + +

此處的負號表示梯

度指向熱源因為距熱源越遠溫度越低 ( 0)note T rnabla = 為不定值

因在最頂點「增加率」的方向無法確定

Ex33 地圖上山脈的等高線上各點的垂直方向由梯度決定現有一座

山是橢球 2)1(4 222 =+++ zyx 在 x-y 平面上方的

部分求地圖上這座山等高線的梯度

解 山高 142 22 minusminusminus== yxzh 所以等高線為橢

圓 222 )1(24 +minus=+ hyx 梯度

( ) ( ) ( )2 2 2 2

2 2

ˆ ˆ4ˆ ˆ2 4 1 2 4 1

2 4

xx y yh x x y y x y

x y x y

minus +part partnabla = minus minus minus + minus minus minus =

part part minus minus

所以自山腳（h=0）登山若由(012)開始 ˆ(01 2) 2h ynabla = minus 但若由

)02(minus 開始爬山 ˆ( 20) 2h xnabla minus = 可見 )02()210( minusnablagtnabla hh 這表

示由 y-軸登山山勢較陡所以「梯度」比由 x-軸登山為大這也更

清楚瞭解「梯度」的幾何意義

4-35

sect 432 Divergence 散度與 Curl 旋度

在(4-66) 我們建立了一個直角座標 vector operator 「del」

ˆ ˆ ˆx y zx y zpart part part

nabla equiv + +part part part

(4-66)

若與向量場 A 做「內積」與「外積」就建構了 A 的「散度」與「旋度」

散度 A A scalaryx zAA Adiv ax y z

partpart partequiv nabla sdot = + + =

part part part （4-69）

旋度

y yz x z x

ˆ ˆ ˆ y z A vector

A AA A A Aˆ ˆ ˆxy z z x x y

x y z

x y z

xcurl A a

A A A

y z

⎧⎪

= nablatimes = part part part =⎪⎪⎨⎪

part part⎛ ⎞ ⎛ ⎞part part part part⎛ ⎞⎪ = minus + minus + minus⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎪ part part part part part part⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎩

(4-70)

這裡定義的只是「散度」與「旋度」所謂「操作型的定義」告訴我

們如何計算的式子事實上她們都具有重要的物理意義我們在後面

會討論

ex34 ˆ ˆA xy yx= minus 求其散度與旋度

解 0 0y xAx ypart part

nablasdot = minus + =part part

ˆ ˆ ˆ y zˆ ˆ ˆ ˆ 0 0 ( 2) 2

0 x y z

xA x y z z

y xnablatimes = part part part = minus + minus = minus

minus

右圖示意了本向量場的分佈看得出像個漩渦也看到算出的旋度

0ne 看來旋度表現的應該是向量場「旋轉的程度」事實上我們在

後面會看到「旋度」表現的就是是向量場在空間各點「旋轉的程度」

本題的向量場在每一點的旋轉程度都一樣

4-36

Ex35 ( )ˆ ˆ ˆ A xx yy zz r= + + = 求其散度與旋度

解 3A rnablasdot = nablasdot = ˆ ˆ ˆ y z

0

x y z

xA

x y znablatimes = part part part =

由場分佈的示意圖可以看出本向量場是自原點向外射出好似在原

點有一個場線的「源頭 source」但是 3Anablasdot = 為一個常數表示好像到

處都有 source同時旋度為 0 也可以配合本場並無旋轉的形象事實

上「散度」表現的就是是向量場在空間各點產生「場線」的 source

記得靜電學裡的庫倫定律 0E ρ εnablasdot = 電場的散度就是「電荷密度」

(電場的 source)前一題的向量場看來對應的場線是封閉的所以沒有

source這也對應了其散度＝0不過一個向量場的散度旋度究竟是

多少應該詳細的計算場分佈圖形有時候不是那麼容易看的清楚

兩個 useful identities (恆等式)

(a) ( ) 0 0f curl of a gradnablatimes nabla = =

(b) ( ) 0 0A div of a curlnablasdot nablatimes = =

pf (a) ( )ˆ ˆ ˆ x y z

x y z

x y z

ff f f

nablatimes nabla = part part part

part part part

( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2xz zxˆ ˆ ˆx y f- f z 0yz yz xy yxf f f f= part minus part minus part part + part minuspart =

這個結果與真實的向量外積 ( ) AA 0=times 有相似之處但是這只是特

例要記得nabla並不是一個真正的向量

( ) ( ) ( )

( )

ˆ ˆ ˆ y zˆ ˆ ˆ x y z

0

x y z y z z y x z z x x y y x

x y z

xy z xz y xy z yz x xz y yz x

xA A A A A A A

A A A

A A A A A A A

nablatimes = part part part = part minus part minus part minus part + part minus part

nablasdot nablatimes = part minuspart minuspart +part +part minuspart =

4-37

此結果與真實的向量運算有相似之處 ( )( )0 (B A) BB B Asdot times = times perp∵

但是這仍只是特例因為我們可由下列例子 ( ) 0A Asdot nablatimes ne 看出事實上

nabla並不是一個真正的向量 Ex36 ˆ ˆ ˆA xy yx zx= minus +

( )

ˆ ˆ ˆ y zˆ ˆ ˆ 0 1 ( 2)

2 0

x y z

xA x y z

y x x

A A x x x

nablatimes = part part part = minus + minus

minus

sdot nablatimes = minus = minus ne

面積元素向量

物理上時常會遇到面積分例如電通量磁通

量等等考慮一個面積元素 ds定義「面積的

方向」為其「法線方向」並定義面積元素向量

ˆnds a dsequiv （4-71）

要注意的是(1)如果 ds 是一個「封閉面

closed surface」（即有裡外之分）的一部

份則 ˆna 定義為「由內向外」(2) 如果 ds

是一個「開放面 opened surface」（即分不

出裡外）的一部份那麼 ds 必被其邊緣

（一個封閉的曲線 C）所包圍這樣在定

出ds 的方向之前要先定義「邊緣曲線」

C 的方向再由右手定則定義 ˆna 的方向

既然面積已為一個向量就可以寫為分量表示以直角座標

ˆ ˆ ˆx y zds xds yds zds= + + (4-72)

那麼這些分量 dsx dsy dsz 會是什麼既然 dsx 的方向是 x 就表示 dsx

是躺在 y-z 平面上所以 dsx 的兩邊是 dy 與 dz rArr xds dydz= 依此類

4-38

推 dsy 的方向是 y 所以躺在 x-z 平面rArr yds dxdz= hellip可以得知

xds dydz= yds dxdz= zds dxdy= （4-73）

不過要注意在寫面積元素時要看討論的面實際

是什麼面上式的三個分量有可能會是負的例如

左圖座落在第一象限的立方體的 A 面方向就在 xminus

方向Arsquo面在 yminus Ardquo面在 zminus 方向寫面積元素最

好是先把討論的面的方向搞清楚把plusmn號寫在單位向量前面那麼分

量就都用＋的即可其實面積元素體積元素都可以由位移元素看出

ˆ ˆ ˆdr xdx ydy zdz= + +

dx dy dz 是沿著 ˆ ˆ ˆ x y z 方向的長度所以面積元素分量的兩邊長度就

是由其中兩個組成而體積的三邊也就是三個垂直方向的長度

x y zdV dx dy dz and ds dydz dxdz dxdyrArr = = （4-74）

這個概念在其他的座標系統也成立我們可以方便的寫出面積元素

Recall 柱座標的位移向量元素

cylindrical coordinate ˆ ˆ ˆdr d d dzzρρ ρ ϕϕ= + + （4-48）

ˆ ˆ ˆ zds ds ds zdsρ ϕρ ϕ= + + (4-75)

dsρ 躺在 zϕ minus 平面dsϕ 在 zρ minus 平面 zds 在ρ ϕminus 平面

rArr zds d dz ds d dz ds d d d dρ ϕρ ϕ ρ ρ ρ ϕ ρ ρ ϕ= = = sdot = （4-76）

上面的結果畫個圖看看吧球座標的位移向量元素

Spherical coordinate ˆ ˆˆ ( ) ( sin )dr rdr rd r dθ θ ϕ θ ϕ= + + （4-56）

ˆ ˆˆ rds rds ds dsθ ϕθ ϕ= + + （4-77）

rArr sin sin rds rd r d ds dr r d ds rd drθ ϕθ θ ϕ θ ϕ θ= sdot = sdot = sdot (4-78)

4-39

向量場 ( )A r 在 S 面上的「面積分（surface integral）」or「flux」

如左圖若有一「平面」S 且其上有「均勻」

場 B 分佈則通過 S 面的通量就是

ˆB B nSΦ = sdot

但考慮一任意「非均勻」向量場 ( )A r 在空間分佈選取任意曲面 S

探討 ( )A r 在 S 上之通量若ds 為 S 面上的面積元素在趨近於 0 的

小面積ds 上 A可視為均勻所以通過ds 之通量為 ( )d A r dsΦ = sdot 則 S

面之總通量為

Φ＝ ˆ cosS S S

A ds A nds A daϕsdot = sdot =int int int

( )OR

x x y y z zS

A da A da A da= + +int (4-75)

稱為 A 在 S 面上的「面積分」或「通量 flux」

上圖所繪就是一個任意面上分割出許多小面積舉出三個位置的通

量有+-與 0如果 S 面是為一「封閉面」則面積分寫為

S

A dssdotint （4-76）

4-40

ex37 Given 2ˆ ˆ ˆyzA xyz yx zx= + + 計算通量S

A dssdotint

S 面為在第一象限邊長＝1 的立方體表面封閉面

解立方體分為前後右左上下六個面分開算 1前面（x=1）

方向 x+ ˆ xA ds A xdydz A dydzsdot = sdot =int int int前 前 前

yzdydz= int前 ＝1 1

0 0

1 1 12 2 4

ydy zdz = sdot =int int

2後面(x=0)方向 xminus ˆ(- ) - xA ds A x dydz A dydzsdot = sdot =int int int後 後 後

yzdydz= minusint後1 1

0 0

-1 1 -12 2 4

ydy zdzminus = sdot =int int

3 右面（y=1）方向 y+ y ( 1)yA ds A dxdz A y dxdzsdot = sdot = =int int int右 右 右

( 1)x y zdxdz= =int右 ＝1 1

0 0

1 1 12 2 4

xdx zdz = sdot =int int

4 左面（y=0）方向 ˆ-y ˆ( y) - ( 0)yA ds A dxdz A y dxdzsdot = sdot minus = =int int int左 左 左

( 0) 0x y zdxdz= = =int左

5 上面（z=1）方向 z+ zz y (z 1) yA ds A dxd A dxdsdot = sdot = =int int int上 上 上

2 yx dxd= int上 ＝1 120 0

1 1y 13 3

x dx d = sdot =int int

6 下面（z=1）方向 ˆ-z zˆ(-z) y - (z 0) yA ds A dxd A dxdsdot = sdot = =int int int下 下 下

2 -1- y3

x dxd= =int下 ＝1 120 0

1 1y 13 3

x dx d = sdot =int int

S

A dssdotint ＝六個面的和＝1 1 1 1 1 1( ) ( 0) ( )4 4 4 3 3 4

minus minus+ + + + + =

ex38 Given ˆ ˆ ˆzA xyz yx zxy= + + 計算通量S

A dssdotint S 為圓 2 2 2x y a+ =

在第一項限的部分方向選為 z+ 2 2y a x= minus

4-41

解 2 2 4

0 0ˆ

8a a x

zS S S S

aA ds A zdxdy A dxdy xydxdy xdx ydyminus

sdot = sdot = = = =int int int int int int

Ex39 In cylindrical coordinate Given ˆ ˆaA zbzρρ

= + where a b are

constants Find S

A dssdotint over the surface of a

closed cylinder about z-axis specified by 3 2z ρ= plusmn =

解S 分為上下與周邊三面

zz (z 3)zA ds A ds A d dρ ρ ϕsdot = sdot = = sdotint int int上 上 上

= 23 3 2 12bd d b bρ ρ ϕ π πsdot = sdot =int上

ˆ(-z)A ds A d dρ ρ ϕsdot = sdot sdotint int下 下

= z- (z -3)A d dρ ρ ϕ= sdotint下 = 23 2 12b bπ πsdot =

周邊ds ˆ ( )d dzρ ρ ϕ= rArr ˆ ( ) z ( ) zA ds A d d A d dρρ ρ ϕ ρ ϕsdot = sdot =int int int周 周 周

2 3

0 3( ) z ( ) z=a 12aA d d d d d dz a

πρ ρ ϕ ρ ϕ ϕ π

ρ minus= = =int int int int周 周

加起來 S

A dssdotint ＝12 24 12 ( 2 )a b a bπ π π+ = +

ex40 一點電荷 q 置於原點計算在一個以原點為圓心 0r 為半徑的球

面上的電通量

解 2 20 0

ˆ ˆ4 4S S

qr q dsE ds rdsr rπε πε

sdot = sdot =int int int

=0 0 0

44 4S

q q qd ππε πε ε

sdot Ω = sdot =int

上式中 dΩ 2dsr

= 是 ds 所張開的「立體角」(solid angle)

4-42

div A and Flux 通量與散度的幾何物理意義

我們運用過nabla的符號來表示過散度 divF F= nablasdot yx zFF Fx y z

partpart part= + +part part part

但是也看到「散度」定義為

0( )

1( ) limSV

about x y z

divF x y z F da divergence of FVΔ rarr

equiv sdot =Δ int (4-77)

其中 VΔ 為 S 面所包含的體積即散

度為通量(體)密度的 0 體積極限

（4-77）的定義與 Fnablasdot 好像差的很

多她們是說同一回事嗎以下證明

這兩種「散度」的定義是等價的如

左圖考慮一個以點 ( ) x y z 為中心

的 立 方 體 其 相 鄰 三 邊 長 為

x y zΔ Δ Δ 體積 V x y zΔ = Δ Δ Δ 現在計算 F 在立方體的一組平行於 y-z平面的表面 S1 與 S2 的通量

( )1 1

ˆ ˆ xS S

F nds F xds F x y z dsrArr sdot = sdot =intint intint intint 2xxF x y z y zΔ⎛ ⎞asymp + Δ Δ⎜ ⎟

⎝ ⎠

其中 2xx y zΔ⎛ ⎞+⎜ ⎟

⎝ ⎠為 S1 面中心的座標而

2xx y zΔ⎛ ⎞minus⎜ ⎟

⎝ ⎠為 S2 面的中心

( ) ( )2 2 2

ˆ ˆ 2x x

S S S

xF nda F x ds F x y z ds F x y z y zΔ⎛ ⎞rArr sdot = sdot minus = minus asymp minus minus Δ Δ⎜ ⎟⎝ ⎠intint intint intint

上式中的負號來自 S2 面的方向是 xminus 所以合併兩個面積分

1 2

ˆ 2 2x x

S S

x xF nds F x y z F x y z y z+

Δ Δ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞rArr sdot asymp + minus minus Δ Δ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦intint

2 2x xx xF x y z F x y z

x y zx

Δ Δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠= Δ Δ Δ

Δ

2 2

x xx xF x y z F x y z

Vx

Δ Δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠= Δ

Δ

1 2

1 2 2ˆ

x x

S S

x xF x y z F x y zF nds

V x+

Δ Δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠rArr sdot asymp

Δ Δintint

4-43

當取體積向(xyz)點收縮至 0 時即 0 x 0as VΔ rarr Δ rarr 上式的近似

「asymp」就成了「＝」

1 20

1 ˆlimV

S S

F ndsVΔ rarr

+

sdotΔ intint

( )0

2 2limx x

x

x

x xF x y z F x y z F x y zx xΔ rarr

Δ Δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟ part⎝ ⎠ ⎝ ⎠= =Δ part

Similarly F 在立方體的一組平行於 x-z 平面的表面 S3 與 S4 的通量

3 3 3

ˆ ˆ yS S S

F nds F yds F dsrArr sdot = sdot =intint intint intint

2

2

y

y

yF x y zyF x y z x z x y z

y

Δ⎛ ⎞+⎜ ⎟Δ⎛ ⎞ ⎝ ⎠asymp + Δ Δ = Δ Δ Δ⎜ ⎟ Δ⎝ ⎠

( )4 4 4

2ˆ ˆ

y

yS S S

yF x y zF nds F y da F ds x y z

y

Δ⎛ ⎞minus⎜ ⎟⎝ ⎠rArr sdot = sdot minus = minus asymp Δ Δ Δ

Δintint intint intint

合併 S3 與 S4 兩個面積分並取體積向(xyz)點收縮至 0 時即當

0 y 0VΔ rarr Δ rarr 上式的近似asymp就成了＝

3 4

2 2ˆ

x x

S S

y yF x y z F x y zF nds V

y+

Δ Δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠rArr sdot cong Δ

Δintint

3 40 0

1 2 2ˆlim lim

x xy

V yS S

x yF x y z F x y z FF nds

V y yΔ rarr Δ rarr+

Δ Δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟ part⎝ ⎠ ⎝ ⎠rArr sdot = =Δ Δ partintint

與上面相同的作法計算 F 在立方體的一組平行於 x-y 平面的表面 S5

與 S6 的通量我們也會得到對應的結果

5 6

2 2ˆ

z x

S S

z zF x y z F x y zF nds V

z+

Δ Δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠rArr sdot cong Δ

Δintint

5 60 0

1 2 2ˆlim lim

z xz

V zS S

z zF x y z F x y zFF nds

V z zΔ rarr Δ rarr+

Δ Δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟ part⎝ ⎠ ⎝ ⎠rArr sdot = =Δ Δ partintint

所以合併立方體的 6 個面積分

4-44

1 2 3 4 5 6

ˆ ˆ ˆ ˆS S S S S S S

F nds F nds F nds F nds+ + +

rArr sdot = sdot + sdot + sdotint intint intint intint

0

1 ˆlim yx zV

FF FF nds div F FV x y zΔ rarr

partpart partrArr sdot = + + = = nablasdot

Δ part part partint (4-78)

在此我們得證這兩種「散度」的定義是等價的只是（4-77）的定義

充分的表現出「散度」的幾何物理意義他從通量著手由於場線

出自於 source（ex電場源自於點電荷）所以在點(xyz)必須有向量場

F 的 source 存在才能使得當面積縮到 0 時仍具有非 0 的通量所以「散

度」表現向量場 F 的 source 在這個定義之下是很清楚的當然在計算

「散度」時我們不必那麼麻煩用 divF F= nablasdot 就好了

Ex41 計算 2ˆ ˆ ˆF xx yxy zyz= + + 的散度

解 2 yx zFF Fx x yx y z

partpart part= = =

part part part F 2x x y 3x ydivrArr = + + = +

recall 在靜電學0

yx zEE EEx y z

ρε

partpart partnablasdot = = + +

part part part

散度定理 Divergence Theorem

若任意封閉面（又稱為「高斯面」）S 所包圍的

體積為 V 則

S VA ds Adτsdot = nablasdotint int （4-79）

pf 我們先將體積分割成 N 個小盒子考慮相鄰的兩個小盒子 1 2

兩小盒子的共用面面積 S0當 S0 是為 1 號盒子的一部份時其方向為

1n 但若當為 2 號盒子的表面時其方向為 12 ˆˆ nn minus= 如此在 S0 分別做

4-45

1 2 盒子的面積分後

0 0

0 0 0 0

1 2

1 2 1 1ˆ ˆ ˆ ˆ 0

S S

S S S S

A ds A ds

F n ds F n ds F n ds F n ds

sdot + sdot

= sdot + sdot = sdot minus sdot =

intint intintintint intint intint intint

所以若求場 A 在 1 2 盒子的總通量時交界面是沒有貢獻的總通量

就只有「外面積」才有貢獻如此我們計算 N 個小盒子的總通量

時所有的內部共用面都得 0只剩下「外表面」的貢獻了當 infinrarrN

時所有小盒子的「總外表面」就與 S 面重合了所以所有小盒子通量

的總和就等於 S 面的通量

1lim

i

N

S SN iA ds A ds

rarrinfin=

rArr sdot = sdotsumint int

現在我們做 N 個小盒子的總通量

1 1

1i i

N N

iS Si i i

A ds A ds VV= =

⎛ ⎞sdot = sdot Δ⎜ ⎟Δ⎝ ⎠

sum sumint int

當 0iN Vrarrinfin rArr Δ rarr 並用 dv 表示體積元素

( ) ( )1 1

1

1lim lim lim

lim

i ii

N N

iS SN N V oi i i

N

i VN i

A ds A ds VV

A V A dv

rarrinfin rarrinfin Δ rarr= =

rarrinfin=

⎛ ⎞sdot = sdot Δ⎜ ⎟Δ⎝ ⎠

= nablasdot Δ = nablasdot

sum sumint int

sum int

( )S V

A da A dvrArr sdot = nablasdotint int QED

所以得證散度定理上式中我們用了散度的（4-77）式定義要分辨

清楚 Anablasdot 是向量場 A 在空間中「某一點」的性質（ 0VΔ rarr ）而「散

度定理」說的是一個「有限體積」的性質

ex42 給定 ( ) ˆ ˆ ˆ A x y z xx yy zz r= + + = 計算在

半徑 R＝1 的球的上半球加底面的通量

4-46

解 ( )ˆˆS

A da A rda A k darArr sdot = sdot + sdot minusint int int上半球面 底面

( )

2

ˆ ˆ

0 2 1 2

A rda A z dxdy

r rds zdxdy rds ds π π

= sdot + sdot minus

= sdot minus = minus = = sdot =

int int

int int int int上半球面 底面

上半球面 底面 上半球面

底面的通量＝0 是因為 A 的 z 分量 Az=z 在底面的值為 0

也可以用散度定理更快的得出結果

∵ 3A rnablasdot = nablasdot =

31 43 3 1 22 3V V

Ad d πτ τ πnablasdot = = sdot sdot sdot =int int

ex43高斯定律的微分形式積 由 Gaussrsquo law 的積分形式用散度定理得出其

( )0 0

1 inS V

qE ds x y z dvρε ε

sdot = =int int

0S V VE ds Edv dvρ

εrArr sdot = nablasdot =int int int

上式最後的等式對「任意形狀」V 都成立所以兩者的被積函數相等

對於空間每一點 0

E ρε

nablasdot = （4-80）

ex44 Use 第一象限的單位力方體 check the divergence theorem using the function 2 2ˆ ˆ ˆ(2 ) 2A y x xy z y yzz= + + +

解2

2( ) (2 )(2 ) 2( )y yzA xy z x yx y z

part part partnablasdot = + + + = +

part part part

and 1 1 1 1 1 1

0 0 0 0 0 02 ( ) 2 ( )

VAdv x y dxdydz dz dy x y dxnablasdot = + = +int int int int int int int

1 1

0 0

1 12 ( ) 2 12 2

dz y dy= + = sdot =int int

面積分 1 1 2

0 0

1ˆ3

A ds A xdydz dz y dysdot = sdot = =intint intint int int前 前

4-47

1 1 2

0 0

1ˆ( )3

A ds A x dydz dz y dy minussdot = sdot minus = minus =intint intint int int

後 後

1 1 2

0 0ˆ (2 )A ds A ydxdz dz xy z dxsdot = sdot = +intint intint int int

右 右

1 1 1 12 2

0 0 0

4(2 ) (1 )3

ydz x z dx dz z

=

= + = + =int int int∵

1 1 2

0 0

0 1 1 12 2

0 0 0

ˆ( ) (2 )

1(1 )3

y

A ds A y dxdz dz xy z dx

dz z dx dz z=

sdot = sdot minus = minus +

minus= minus = + =

intint intint int int

int int int∵

左 左

11 1 1 1

0 0 0 0ˆ 2 2 1

zA ds A zdxdy dx yzdy dx ydy

=sdot = sdot = = =intint intint int int int int

∵

上 上

01 1

0 0ˆ 2 0

zA ds A zdxdy dx yzdy

=sdot = sdot minus = minus =intint intint int int

∵

下 下

前後右左上下六個面積分合併＝1＝V

Advnablasdotint QED

ex45 Continuity Equation 連續方程式

考慮某些「東西」的流動（物質電荷hellip）在時刻 t 時在點(xyz)

的 密 度 為 ( ) x y z tρ ρ= 並 具 有 速 度

( ) v v x y z t= 在時刻 t 時在體積 V 內的總量為

( ) x y z t dρ τintintint

這樣體積 V 內東東的時變率為

( ) ( ) d x y z t d x y z t ddt t

ρρ τ τpart=

partintintint intintint

注意體積分後的時間全微分移入積分內要改為偏微分這個東東

在表面的「流率 flow rate」可表為

ˆS

R v ndsρ= sdotintint

若體積內的物料無法自生自滅那麼體積內物料的變化必經由表面的

流出流入所造成

d v ndstρ τ ρpart

rArr = minus sdotpartintintint intint

由散度定理

4-48

( )ˆS

v nds v d dtρρ ρ τ τpart

sdot = nablasdot = minuspartintint intintint intintint

( )v Jtρ ρpart

rArr = minusnablasdot equiv minusnablasdotpart

0Jtρpart

rArr +nablasdot =part

（4-81）

(4-81) 即 continuity equation其中 J vρ= 為「物流密度」ex如果 ρ

是電荷密度 J 就是電流密度（4-81）是物質守恆的結果只對體

積內無 source（生成）or drain（消滅）的東東成立

ex46 Given a vector field ˆ ˆx yA ye xe= minus + (a) Find

Anablasdot (b)如圖一個金字塔狀的 5 面體高 2 底邊長

1計算 A在整個金字塔表面（封閉面）的總通量

解(a) Anablasdot = ( ) ( ) 0y xx ypart part

minus + =part part

(b) 金 字 塔 的 表 面 面 積 元 素 ds 不 好 寫 所 以 用 散 度 定 理

( )S V

A da A dvrArr sdot = nablasdotint int ＝0 Anablasdot 表示 A沒有 source 所以對封閉面而

言有多少場線進入就有多少出去所以總通量＝0

習題 7 With position vector r for an arbitrary volume V that is

bounded by surface S show that 13 S

r ds Vsdot =int

習題 8 已知一靜電場為 ˆ ˆ ˆ( )E xyz yxz zxyλ= + + 運用 Gaussrsquo law

試求包含在半球 2 2 2 2 0x y z R z+ + = ge 裡的總電荷 Ans 0

習題 9 (a) given ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( 2 )F r xf x yf y zf z= + + minus show that divF is

zero at point (c c -c2) (b) given ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( )G r xf x z yg x z zh x y= + +

show that ( ) 0G rnablasdot =

4-49

習題 10 Find the normal vector n for the surfaces (a) z = 2-x-y ans

ˆ ˆ ˆ( ) 3x y z+ + (b) z = (1-x2)12 ans ˆ ˆxx zz+ (c) z = x2+y2

ans ˆ ˆ ˆ( 2 2 ) 1 4xx yy z zminus minus + +

習題 11 Show that the unit vector normal to the plane ax+by+cz =d is

given by 2 2 2ˆ ˆ ˆ( ) ax by cz a b cplusmn + + + +

圓柱座標與球座標的nabla (del)

考慮一純量場在直角座標為 ( ) u x y z 在圓柱座標表為 ( ) u zρ φ

再考慮因位移 r r drrarr + 所造成 u ( )zρ φ 的變化

( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆz

z

u u udu d d dz u dr u d d zdzz

u u z u d d zdz

u d u d u dzρ ϕ

ρ ϕ

ρ ϕ ρ ρ ϕρ ϕρ ϕ

ρ ϕ ρ ρ ϕρ ϕ

ρ ρ ϕ

part part part= + + = nabla sdot = nabla sdot + +part part part

⎡ ⎤= nabla + nabla + nabla sdot + +⎣ ⎦= nabla + nabla + nabla

( ) ( ) ( )1

1ˆ ˆ ˆu

z

u u uu u uz

u u uzz

ρ ϕρ ρ ϕ

ρ ϕρ ρ ϕ

part part partrArr nabla = nabla = nabla =

part part partpart part part

rArrnabla = + +part part part

1ˆ ˆ ˆ zz

ρ ϕρ ρ ϕpart part part

nabla = + +part part part

（4-82）

注意nabla的ϕ -分量( 1ρ ϕ

partpart

)不是像直角座標裡單純的ϕpartpart

所以不要笨笨

的就把直角座標的形式硬套上去用我們也可以從「因次分析」來

看nabla因為是對空間的微分所以每一項的因次必須是「長度分之一」

運算 andzρ

part partpart part

都是「長度分之一」而「單純的ϕpartpart

」是沒有單位的

所以要1ρ ϕ

partpart

才 OK

由於圓柱座標裡的單位向量除了 z 之外 ˆ( )ρ ϕ 與 ˆ( )ϕ ϕ 都不是常

4-50

數所以在微分時不可以與微分運算交換而要考慮微分的作用所

以在「圓柱座標」寫「散度」 ( ) F zρ ϕnablasdot 也和直角座標不一樣

( )1ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ zF z F F zFz ρ ϕρ ϕ ρ ϕ

ρ ρ ϕpart part part⎛ ⎞

nabla sdot = + + sdot + +⎜ ⎟part part part⎝ ⎠

( ) ( )1ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆz zF F zF F F zFρ ϕ ρ ϕρ ρ ϕ ϕ ρ ϕρ ρ ϕpart part

= sdot + + + sdot + +part part

( )ˆ ˆˆ ˆ zz F F zFz ρ ϕρ ϕpart

+ sdot + +part

因為 ( ) ( )ˆ ˆ ˆ ˆ ρ ρ ϕ ϕ ϕ ϕ= = 所以做 andzρ

part partpart part

時 ˆ ˆ ρ ϕ 可視為常數

ˆ ˆ1ˆ ˆ ˆ zF F F FF F Fz

ρ ρ ϕρ φ

ρ ϕϕ ρ ϕρ ρ ϕ ϕ ϕ ϕ

part part part⎡ ⎤part part partrArrnablasdot = + sdot + + + +⎢ ⎥part part part part part part⎣ ⎦

還記得 ˆ ˆ ˆ ˆd d d dρ ϕ ϕ ϕ ρ ϕ= = minus 所以 ˆ ˆρ ϕϕpart

=part

ˆ ˆϕ ρϕpart

= minuspart

rArr

( )1 1 1z zF F F FF FF Fz z

ρ ρ ϕ ϕρρ

ρ ρ ρ ϕ ρ ρ ρ ϕpart part part part

nablasdot = + + + = + +part part part part part part

（4-83）

在球座標寫nabla也會遇到相似的問題其根源就是球座標 ( )r θ ϕ 裡

的 θ ϕ 的因次並非長度而三個單位向量 ˆ ˆˆ r θ ϕ（表為 ie ）都是( θ ϕ )

的函數以致

( )ˆ ˆ( ) ( )i ie f e fθ ϕ θ ϕθ θpart part

nepart part

且 ( )ˆ ˆ( ) ( )i ie f e fθ ϕ θ ϕϕ ϕpart part

nepart part

所以nabla也不似在直角座標那麼簡單我們不在這裡推導而是給出一

個歸納的統一的三個座標的結果還記得對每一個座標 iu i = 123

座標的變化 idu 與造成的長度變化 id

i i id h du= 123i = (4-84)

其中 ih 為對應的度量係數(metric coefficient)

4-51

1 2 3

1 1 2 2 3 3

1 1 1ˆ ˆ ˆu u ue e eh u h u h u

part part partnabla equiv + +

part part part （4-85A）

座標 1 2 3 u u u

度量係數

1 2 3 h h h

nabla grad del

直角 x y z

1 1 1 nabla ˆ ˆ ˆx y z

x y zpart part part

equiv + +part part part

圓柱

zρ ϕ

1 1ρ

1ˆ ˆ ˆ z

zρ ϕ

ρ ρ ϕpart part part

nabla equiv + +part part part

球

r θ ϕ

1 sinr r θ

1 1ˆ ˆˆ

sinr

r r rθ ϕ

θ θ ϕpart part part

nabla = + +part part part

（4-85B）

梯度gradient Vnabla grad(V) 散度divergence Anablasdot div( )A

直

角 nablaV ˆ ˆ ˆV V Vx y z

x y zpart part part

= + +part part part

yx zAA AAx y z

partpart partnablasdot = + +

part part part

圓

柱

1ˆ ˆ ˆ V V VV zz

ρ ϕρ ρ ϕpart part part

nabla = + +part part part

( )1 1

1

z

z

A AA Az

A A A Fz

ϕρ

ρ ρ ϕ

ρρ ρ ρ ϕ

ρ ρ ρ ϕ

partpart partnabla sdot = + +

part part partpart part part

= + + +part part part

球

1 1ˆ ˆˆ sin

V V VV rr r r

θ ϕθ θ ϕ

part part partnabla = + +

part part part

22

1 ( )rA r Ar r

partnabla sdot =

part

1 (sin )sin

Ar θθ

θ θpart

+ sdotpart

1sin

Ar

ϕ

θ ϕpart

+part

(4-86)

Ex47 Using spherical coordinate show that 1| |r r

nablaminus

= 2

ˆ| |

r rer r

minusminusminus

where

nabla是作用在 r 而 ˆr re minus 是向量 r rminus 方向的單位向量 解let r lies in z-axis so that the angle between r and r is just θ

4-52

rArr ( ) 122 21 1 2 cos | | ( ) ( )

r rr rr r r r r r

θminus

= = minus +minus minus sdot minus

( ) ( )12 122 2 2 21 1ˆˆ 2 cos 2 cos | |

r r rr r r rr rr r r r

θ θ θθ

minus minuspart partnabla = minus + + minus +

minus part part

( ) 322 21ˆ 2 cos (2 2 cos )2

r r rr r r rθ θminusminus

= minus + minus

( ) 322 21ˆ 2 cos (2 sin )2

r rr r rrθ θ θminusminus

+ minus +

3 3 3 3

ˆˆ ˆ( cos ) sin ( cos sin )ˆˆ| | | | | | | |r r r rr r rrr r r r r r r r

θ θ θ θ θθminus minus minus minus minus= + = +

minus minus minus minus

3 3 3ˆ ( )

| | | | | |r r z r r r rr r r r r rminus + minus + minus minus

= = =minus minus minus

＝ 2

ˆ| |

r rer r

minusminusminus

QED

證明最後我們用到 ˆˆˆ cos sinz r θ θ θ= minus 而 ˆ r r z= 因為我們選了 r 是

躺在 z-軸 Ex48 For arbitrary scalar field ( )f r and vector field ( )A r 證明恆等式

( )fA f A f Anablasdot = nabla sdot + nablasdot (4-87) 解 ˆ ˆ ˆx y zfA xfA yfA zfA= + +

( ) ( ) ( ) ( )x y zfA fA fA fAx y zpart part part

rArrnablasdot = + +part part part

yx zx x x

AAf f f AA f A f A fx x y y z z

partpartpart part part part= + + + + +part part part part part part

yx zx y z

AAf f f AA A A fx y z x y z

part⎛ ⎞partpart part part part= + + + + +⎜ ⎟part part part part part part⎝ ⎠

f A f A= nabla sdot + nablasdot QED 習題 12 一個位於原點的電偶極電偶極矩＝ ˆp pz= 已知其在遠處

的電位為 20

cos4p

rθ

πε試證該處的電場強度為 E = 3

0

ˆˆ( 2cos sin )4

p rr

θ θ θπε

+

(已知 E V= minusnabla )並請計算 Enablasdot ＝

習題 13 給定一向量場2

3cosˆD r

rϕ

= 現有兩個球心在原點的同心球

內球半徑 R＝1外球 R＝2(a)求面積分S

D dssdotint S 為同心球殼的表

面（有內外兩個面）(b)求體積分V

Ddvnablasdotint V 為兩同心球之間的

區域本題也是來 check 散度定理的Ans πminus

4-53

The Laplacian operator 2nabla equivnablasdotnabla

在直角座標可以用直接作用得到

2 2 2

22 2 2u u uu u

x y zpart part part

nabla equiv nablasdotnabla = + +part part part

(4-88)

圓柱座標

2 2

22 2 2

1 1( ) u u uu uz

ρρ ρ ρ ρ ϕ

part part part part⎛ ⎞nabla equiv nablasdot nabla = + +⎜ ⎟part part part part⎝ ⎠

(4-89)

球座標

2

2 22 2 2 2 2

1 1 1sinsin sin

u u uu rr r r r r

θθ θ θ θ ϕ

part part part part part⎛ ⎞ ⎛ ⎞nabla = + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟part part part part part⎝ ⎠ ⎝ ⎠ （4-90）

習題 14 verify (4-89) and (4-90)

習題 15 Given a dipole potential V= 20

cos4p

rθ

πε find 2Vminusnabla

sect 433 Line integral and curl A 線積分與與旋度的物理意義

線積分路徑積分

考慮一曲線 C 通過兩點 ( )i i i iP x y z 與

( )f f f fP x y z 現有一向量場 ( )A x y z 定義在

C 所在的空間若 sd 為 C 上位於(xyz)點的

「路徑元素」（ ˆd td= 方向沿該處切線）而

( )A x y z 為路徑元素d 處的場值則沿 C 經歷各點所做積分

cos cosf

CC C iA d Ad A dϕ ϕrarr rarrsdot = =int int int （4-91）

稱為向量場 ( )A x y z 沿路徑 C 自 pi 至 pf 的「線積分」「或「路徑積分」

積分裡 A 取值的點侷限在路徑 C 上面若為一個「封閉路徑」則對

C 的線積分也稱做「環路積分 closed contour integral」記做

C

A dsdotint （4-92）

4-54

物理量「做功」是最標準的線積分之一力 F 自 x = a 至 x = b「沿線」

x 軸做功

W＝ F dxsdotint ＝ ( )b

xaF x dxint （4-93）

質點在力場 )(rF 裡走一條曲線 C則力場做功

CW F d= sdotint （4-94）

還記得如果 ( )F r 是所謂「保守力」則上式只與始末點有關而與

路徑無關但如果 ( )F r 是所謂「非保守力」則做功與確實的路徑 C

有關

現考慮一質點在空間運動的位置 r 落在由曲線 C

描述的路徑則質點的位移元素與曲線 C 的路徑元

素相同 d dr= 若空間有向量場 A 分佈則 A 在 C 的

路徑積分以直角座標表示為

CA drarr rarrsdotint ＝

CA d rrarr rarrsdotint ＝ ( )x y zC

A dx A dy A dz+ +int （4-95）

上式中的 x y z 的積分限由 C 決定

Ex49 2 2 2ˆ ˆ ˆA xx yy zzrarr= + + 選定一路徑 C 為曲線

2y x= 由 (000)到 (2 20)的部分求C

A dsdotint

解 ˆ ˆd xdx ydy= +∵

CA dsdotint ＝ 2 2( )

Cx dx y dy+int ＝

2 22 2

0 0x dx y dy+int int

＝ )24(32

+

或由 2y x= rArr 2ydy dx= 2 12

y dy xdxrArr =

rArrC

A dsdotint ＝2 2

0

1( )2

x x dx+int ＝2 (4 2)3

+

4-55

ex50 ˆ ˆ( )f x y z xy yx= minus Do C

f dsdotint 其中的路徑 C 為一逆時針三角

形如圖 解∵路徑全部在 x-y 平面 ˆ ˆ ˆd td xdx ydy= = +

rArrC

f dsdotint ＝ x yC

f dx f dy+int ＝C

ydx xdyminusint

由於在 C1 上 y = 0 及 dy = 0 所以 01

=intC 又由於在

C3 上 x = 0 及 dx =0所以 03

=intC 所以只剩下 C2 可

能有貢獻由 2C 的方程式x + y =1rArr ⎩⎨⎧

minus=minus=

xyyx

11

rArr2Cydx xdyminusint ＝

0 1

1 0(1 ) (1 )x dx y dyminus minus minusint int ＝

0 12 2

1 0

( ) ( )2 2x yx yminus minus minus ＝-1

Cf dsdotint ＝-1

ex51 ( )f x y zrarr

= 2ˆ ˆxx yxyminus 如右圖doC

f dsdotint 其

中路徑 C 為第一象限的逆時針 14 圓弧

解∵ 全部在 x-y 平面 ˆ ˆd xdx ydy= +

Cf dsdotint ＝ 2

Cx dx xydyminusint

由於在 C 上 cosx R ϕ= rArr sindx R dϕ ϕ= minus

siny R ϕ= rArr cosdy R dϕ ϕ=

rArr 2

Cx dx xydyminusint ＝

2 2 2 2

0cos ( sin ) sin cos cosR R d R R d

πϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕminus minus sdotint

23 2

02 cos sinR d

πϕ ϕ ϕ= minus int ＝

323Rminus

又路徑為圓周一部份所以適合用極座標表示

ˆd Rdϕ ϕ= 又由左圖將 ˆ ˆx y 拆解（投影）到 ˆˆr ϕ

ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆcos sin sin cosx r y rϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ= minus = +

4-56

( )2ˆ ˆ ˆˆ ˆ( cos sin ) ( sin cos )C C

f d r x r xy Rdϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕsdot = minus minus + sdotint int 2

2 2 2

0

sin (cos )

sin ( cos ) (cos ) cos sin

Cx Rd xyRd

R Rd R Rdπ

ϕ ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ

= minus minus

= minus minus

intint

23 2

02 cos sinR d

πϕ ϕ ϕ= minus int ＝

323Rminus

這也驗證了散度定理

Path Independence 路徑獨立性

Ex52 證明庫倫力為「保守力」考慮

電荷 q0 位於原點及電荷 q 位於

( )r x y zrarr= q 受力 F

rarr＝ 0

20

14

qq urπε

and

求庫侖力作功因為球形對稱所以

用球座標由 ˆ ˆ ru rr

= = rArr Frarr

= 03

04qq r

rπε

庫侖力由 P1 至 P2 做功為 2

1

P

CPF drarrsdotint ＝

2

1

02

0

ˆ ˆ ˆˆ sin4

P

PC

qq r rdr rd r dr

θ θ ϕ θ ϕπε

⎡ ⎤sdot + +⎣ ⎦int ＝2

1

02

04P

P

qq drrπεint

＝20

2104

r

r

qq drrπε int ＝ 0

0 1 2

1 1( )4qq

r rπεminus for all C

所以庫侖力兩點間做功與路徑無關rArr保守力

對於「保守力 conservative force」 cF 自 p1 經

由兩條不同的路徑 C1 與 C2 到達 p2

1 ccF drarrsdotint ＝

2 ccF drarrsdotint ＝-

2 ccF drarr

minussdotint

rArr1 2c cc cF d F drarr rarr

minussdot + sdotint int = cF d

rarrsdotint ＝0 (4-96）

對於任何「封閉路徑」保守力做功為 0反之若

對任一封閉路徑 0F drarrsdot neint 則兩點之間的做功與路徑有關

rarr

F 為「非

保守力」

4-57

旋度 curl Anablatimes 的幾何物理意義

我們在（4-70）式已經看過旋度的計算方式但旋度另有其意義的

ex53 給定向量場2 2

0ˆ yv yv e λrarr

minus= 左圖為場的分佈

2 20

ˆ ˆ ˆ

0 0x y z

y

x y zcurl v

v e λ

rarr

minus

= part part part ＝ ˆ ˆ ˆ0 0 0 0x y zsdot minus sdot + sdot =

我們用了簡寫 x yx ypart part

part equiv part equivpart part

可以看出這個場裡沒有「漩渦」

但是有無「漩渦」有時也不是那麼明顯可以看出的請見下一個例子

Ex54 給定向量場2 2

0ˆ xv yv e λrarr

minus= 計算其旋度 vnablatimes

解向量場 vrarr

畫在右邊你看得出有無漩渦

先計算旋度

2 20

ˆ ˆ ˆ

0 0x y z

x

x y zcurl v

v e λ

rarr

minus

= part part part2 2

2 2

0

0

ˆ

ˆ 2 0 0

x

x

z v ex

z v xe for x

λ

λ

minus

minus

part=

part

= minus ne ne

vrarr

的旋度在大部分的地方不為 0 且隨位置而不同但是你看得出這個

向量場裡有「漩渦」其實要檢驗一個向量場裡有無「漩渦」有一

個很物理的方法就是放一個小「螺旋槳」（左圖）

在場內將軸朝各個方向測試一

下如果有「漩渦」的話這個

小「螺旋槳」就會轉動右圖就是將「螺旋槳」的

軸平行於 z 軸且放在 x gt 0 的地方就可以看出左

邊的 v 場比右邊的強造成螺旋槳順時針轉動rArrcurlv zminus for x gt 0

但如果放在 x = 0 的地方就會看到左右兩端的 v 場強度相同而且

4-58

curlv = 0 「螺旋槳」放在 x lt 0 的地方就可以看出右邊的v 場比左

邊的強造成螺旋槳逆時針轉動這完全符合 curl v k+ 的結果

環路積分與旋度 curl 的物理意義

如同「散度」一樣「旋度」除了 Ftimesnabla 之外

還有一個物理意義更清楚的定義這個定義由

「線積分」說明如圖考慮做「逆時針」長方形

路徑 C1 的一個「環路積分」C1 面平行於 x-y 平

面由 z-軸看下去環路 C1 可以分為可以分為

下 CB上 CT右 CR左 CL 4 部分

CA drarrsdotint ＝

B T L RC C C CA d A d A d A drarr rarr rarr rarrsdot + sdot + sdot + sdotint int int int

分別計算由於 CB 的中點座標為 ( )2yx y zΔ

minus

ˆB BC C

A d A xdxrarr rarrsdot = sdot =int int

BxC

A dxint ( )2xyA x y z xΔ

asymp minus Δ

similarly 由於 CT 的中點座標為 ( )2yx y zΔ

+

ˆ( )T TC C

A d A xdxrarr rarrsdot = sdot minus =int int

TxC

A dxminusint ( )2xyA x y z xΔ

asymp minus + Δ

合併 CB 與 CT

B TC CA drarr

+sdot =int

( ) ( )2 2x xy yA x y z A x y z

x yy

Δ Δ⎡ ⎤minus + minus minus⎢ ⎥⎣ ⎦ Δ ΔΔ

（4-97）

由 C1 所圍的面積 S x yΔ = Δ Δ

1B TC C

A dS

rarr

+sdot =

Δ int( ) ( )

2 2x xy yA x y z A x y z

y

Δ Δ⎡ ⎤minus + minus minus⎢ ⎥⎣ ⎦Δ

（4-98）

所以當取極限 C1 收縮到中心(xyz)時 SΔ 收縮到 0ie

4-59

0limsΔ rarr

1B TC C

A dS

rarr

+sdot =

Δ int xAy

partminuspart

（4-99）

Similarly with CR 的 ˆd ydy= CL 的 ˆd ydy= minus 可得

1L RC C

A dS

rarr

+sdot =

Δ int x

zyxxFzyxxF yy

Δ

Δminusminus

Δ+ )

2()

2(

（4-100）

同樣的當取極限 C1 收縮到中心(xyz)時 SΔ 收縮到 0

0

limsΔ rarr

1L RC C

A dS

rarr

+sdot =

Δ int yAx

partpart

（4-101）

最後合併 CBCTCRCL 為 C1

10

1limCs

A ds

rarr

Δ rarrsdot =

Δ int y xA Ax y

part partminus

part partˆ ( ) ( )zz A A= sdot nablatimes = nablatimes （4-102）

注意 C1 的方向就是在 z 上式的重要

意義是當向量場 A 在一個以點(xyz)為

中心「方向為 z 」的面積元素的「邊界」

所做的環路積分得到的就是 A 在(xyz)

處旋度的 z-分量明顯的只有當 A 在

(xyz)附近有 x-y 平面上的「漩渦」那麼 C1 的環路積分才不會為 0

Similarly 取一個逆時針繞著(xyz)的平行於 x-z 平面的長方形環路 C2

（左圖）做環路積分再取極限將 C2 收縮到(xyz)就會得到

20

1limCs

A ds

rarr

Δ rarrsdot =

Δ int x zA Az x

part partminus

part partˆ ( ) ( )yy A A= sdot nablatimes = nablatimes （4-103）

注意到 C2 所包圍的面積方向就在 y到

現在我們應該已經很有經驗了若取一

個逆時針繞著(xyz)的平行於 y-z 平面

的長方形環路 C3（左圖）做環路積分

再取極限將 C3 收縮到(xyz)就會得到

4-60

30

1limCs

A ds

rarr

Δ rarrsdot =

Δ int yz AAy z

partpartminus

part partˆ ( ) ( )xx A A= sdot nablatimes = nablatimes （4-104）

能把（4-103）與（4-104）變出來的同學我們有優待綜合以上

我們可以得到一個結論若取一個以點(xyz)為中心的任意環路 Cn（其

所包圍的面積方向在 n ）則

n curl Aand rarrsdot ＝

0

1lims

Cn

A ds

rarr

Δ rarrsdot

Δ int （4-105）

明顯的當 n ＝ x 或 y 或 z 時我們可以重複（4-102）到（4-104）的

結果（4-70）式的行列式所定義的旋度在此看見其幾何物理意義

至此「旋度」的「漩渦」形象應該已經很清楚了只有在(xyz)點附

近的小圈圈上有「漩渦」 A 在小圈圈做的環路積分才會有值這個

值就是向量場 A 的「旋度」在小圈圈面積方向的分量

Stokersquos 定理

考慮一個開放面 S被其「有方向的」邊界 C 圈住(bounded by)則

( )S

A dsrarr rarrnablatimes sdotint ＝

C

A drarrsdotint （4-106）

pf 先將 S 面分割為 N 個多邊形這會使得邊界變成一個「折線」形

成的環路 P環路 P 會隨著分割的多邊形個數的增多而越加近似於原

「光滑的」邊界 C現考慮相鄰的

兩個多邊形的線積分由於共用邊

的方向是相反的所以相鄰兩個多

邊形線積分的和只剩「外邊界」（見左圖）所以當把所有的多邊形的

4-61

線積分加起來時由於只有邊界 P 不是多邊形的共用邊所以

1k

N

k C

A drarr

=

sdotsum int ＝P

A drarrsdotint rArr

P

A drarrsdotint ＝

1

1

k

N

kk k C

A d l ss

rarr rarr

=

⎡ ⎤sdot Δ⎢ ⎥

Δ⎢ ⎥⎣ ⎦sum int

其中 ksΔ 為第 k 個多邊形的面積取極限 0kN srarrinfinrArrΔ rarr P CrArr rarr

C

A drarrsdotint ＝

10

1limkk

N

kN k k Cs

A d ss

rarr

rarrinfin=Δ rarr

⎡ ⎤sdot Δ⎢ ⎥

Δ⎢ ⎥⎣ ⎦sum int 01

ˆlim ( )k

k kskn A s

infin

Δ rarr=

⎡ ⎤= sdot nablatimes Δ⎣ ⎦sum

01

ˆlim ( )k

k kskA n s

infin

Δ rarr=

= nablatimes sdot Δsum = ( )S

A dsrarr

nablatimes sdotint QED

ex55 由 Amperersquos law 的積分形式導出其微分形式

解Amperersquos law 的積分形式 C

B drarrsdotint ＝ I0μ (4-107)

由 Stokersquos 定理及電流密度 j 的定義上式等號兩端可寫為

rArr ( )S

B dsrarr rarrnablatimes sdotint ＝ 0 S

j dsμrarrsdotint

由於上面的等式對任意面 S（路徑 C）都成立所以被積函數相等

0B jμrarr rarr rarr

rArrnablatimes = (4-108) 此即 Amperersquos law 的微分形式

Ex56 Given a vector field ˆ ˆx yA ye xe= minus + (a) Find Anablatimes

解

ˆ ˆ ˆˆ ˆ(1 ( 1) 2

0x y z

x y zA z z

y xnablatimes = part part part = minus minus =

minus

(b)如圖一個金字塔狀的 5 面體高 2底邊長＝1計算 ( )S

A dsnablatimes sdotint

其中 S 為金字塔在 x-y 平面以上的部分方向如同

封閉的金字塔（運用 Stokersquos law）

解金字塔上表面的面積元素ds 不好寫由 Stokersquos

4-62

law ( )S

A dsrarr rarrnablatimes sdotint ＝

C

A drarrsdotint 其中封閉路徑 C 就是上表面的邊界而且

是逆時針（由 z 軸向下看）

C

A drarrsdotint ＝

1 1 0 0

0 0 1 1ˆ ˆ ˆ ˆA xdx A ydy A xdx A ydysdot + sdot + sdot + sdotint int int int

＝1 1 0 0

0 0 1 1x y x yA dx A dy A dx A dy+ + +int int int int 1 1 0 0

0 0 1 1( 0) ( 1) ( 1) ( 0)y dx x dy y dx x dy= minus = + = + minus = + =int int int int

0 1 1 0 2 ( ) 2S

A ds= + + + = rArr nablatimes sdot =int

旋度與 path independence

已知保守場 cF 對所有封閉路徑 C 0cC

F drarrsdot =int 由 Stokersquos 定理

0cC

F drarrsdot =int ＝ ( )cS

F dsrarr rarrnablatimes sdotint rArr 0cF

rarr rarrnablatimes =

這表示保守場＝無旋度反之無旋度的場任兩點間路徑積分與路

徑無關

Ex57 Given a field 2 2ˆ ˆ ˆ2A x xy yx zz= + minus (a) Find Anablatimes A 保守場

解2 2

ˆ ˆ ˆ

2x y z

x y zA

xy x znablatimes = part part part

minus

( ) ( ) ( )2 2 2 2ˆ ˆ ˆ( ) 2 ( ) 2 0y z z x x yx z x y xy z z x xy= part minus minuspart + part minuspart minus + part minuspart =

yes A =保守場

(b)如左圖由 A 到 B 做路徑積分A BC

A drarr

sdotint 路徑 C 為橢圓

22 1

16yx + = 在 x-軸以上的部分

解橢圓部分的路徑元素 d 有點麻煩但因為 A

為保守場所以 A 到 B 做路徑積分可以用 x = -1 到

1 的積分取代

4-63

01 1 1

1 1 1ˆ 2 0

yB

xAA d A xdx A dx xydx

=

minus minus minussdot = sdot = = =int int int int

∵

旋度在柱座標與球座標

前面討論過nabla在不同座標系的寫法旋度也有歸納出的一致寫法

座標 1 2 3 u u u

度量係數

1 2 3 h h h

nabla grad del

直角 x y z

1 1 1 nabla ˆ ˆ ˆx y z

x y zpart part part

equiv + +part part part

圓柱 zρ ϕ

1 1ρ

1ˆ ˆ ˆ zz

ρ ϕρ ρ ϕpart part part

nabla equiv + +part part part

球 r θ ϕ

1 sinr r θ

1 1ˆ ˆˆ sin

rr r r

θ ϕθ θ ϕ

part part partnabla = + +

part part part

所以柱座標與球座標的旋度分別表為

柱座標

ˆ ˆ ˆ1

z

z

Az

AA Aρ ϕ

ρ ρϕ

ρ ρ ϕρ

part part partnablatimes =

part part part （4-109）

球座標 2

ˆ ˆˆ sin1sin

sinr

r r r

Ar r

A rA r Aθ ϕ

θ θϕ

θ θ ϕθ

part part partnablatimes =

part part part （4-110）

ex58 (a) Given the vector function ˆA ϕ= sin (ϕ 2) find Anablatimes

解 2

ˆ ˆˆ sin1sin

0 sin( 2) 0

r r r

Ar r

r

θ θϕ

θ θ ϕϕ

part part partnablatimes =

part part part

4-64

21 ˆˆ cos sin sinsin 2 2 2

rr rr

ϕ ϕθϕθ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

ˆˆ cos sin2 sin 2 2

rr r

ϕ ϕ ϕθ

minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

(b)如左圖一個底面在 x-y 平面半徑＝1高＝2 之圓錐 求面積分

SA dsnablatimes sdotint 面積範圍 S 為圓錐在 x-y 平面以上

部分 方向為由圓錐內向外

解由 Stokersquos law ( )S

A dsrarr rarrnablatimes sdotint ＝

C

A drarrsdotint 其中路

徑 C 為 x-y 平面圓心在原點之單位圓 ˆ ˆd rd dϕ ϕ ϕ ϕ= =

2

0ˆ ˆsin sin

2 2C

d dπϕ ϕϕ ϕ ϕ ϕ⎛ ⎞ ⎛ ⎞sdot =⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠int int ( )0

2 sin u duπ

= int 0cos | 2u π= minus =

習題 16 磁場 B 因為不是保守場所以沒有對應的純量位而對應一

個向量位 A (vector potential)而 B A= nablatimes 一個磁鐵的磁偶極矩

ˆm mz= 被置於原點已知在遠處的 vector potential 03ˆ sin

4mAr

μϕ θπ

=

計算該處的磁場 B Ans 03

ˆˆ( 2cos sin )4

mB rr

μ θ θ θπ

= + 與電偶極遠處

的電場形式一致都是偶極(dipole) 選幾個點畫一畫該處的場向量

把磁力線描出來

附錄本章講義的內容有部分可以經由直接計算得出列在附錄做為

參考

用「圓柱座標」寫 Atimesnabla

Ararr rarrnablatimes ＝ ( )1ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ zz A A zA

z ρ φρ ϕ ρ ϕρ ρ ϕpart part part⎛ ⎞+ + times + +⎜ ⎟part part part⎝ ⎠

4-65

因為rdquo sdotrdquo與rdquotimes rdquo都是向量間的運算所以

＝ ( )ˆ ˆ ˆ ˆ zA A zAρ φρ ρ ϕρpart

times + +part

＋ ( )1ˆ ˆ ˆ ˆ zA A zAρ φϕ ρ ϕρ ϕ

parttimes + +

part

＋ ( )ˆ ˆˆ ˆ zz A A zAz ρ φρ ϕpart

times + +part

直接做上式微分可以得到

＝1ˆ z AA

zϕρ

ρ ϕpart⎛ ⎞part

minus⎜ ⎟part part⎝ ⎠＋ ˆ zA A

zρϕ

ρpart⎛ ⎞part

minus⎜ ⎟part part⎝ ⎠＋

1 1ˆ ( )A

z A ρϕρ

ρ ρ ρ ϕpart⎛ ⎞part

minus⎜ ⎟part part⎝ ⎠

上式可以用一個行列式來表示

rarrrarr

timesnabla A＝

ˆ ˆ ˆ1

z

z

zA A Aρ ϕ

ρ ρϕ

ρ ρ ϕρ

part part partpart part part

（A-1）

A and Anabla nablasdot nablatimes in 球座標 spherical coordinate

如上圖球座標 )( ϕθr 其中 )0[ infinisinr ]0[ πθ isin ]20[ πϕ isin 只有 r

是長度而 ϕθ 為角度是用來說明方向的三個座標的單位向量 ˆ ˆˆ r θ ϕ 具

有下列性質

4-66

1 如上圖 ˆ ˆˆ r θ ϕ 都不是常數而是（ ϕθ ）的函數

ˆ ˆ( )ˆ ˆ( )ˆ ˆ( )

r r θ ϕ

θ θ θ ϕϕ ϕ ϕ

⎧ =⎪

=⎨⎪ =⎩

)( ϕθr 與(xyz)之間的轉換如下

sin cossin sincos

x ry rz r

θ φθ φθ

=⎧⎪ =⎨⎪ =⎩

( )122 2 2

2 2

tan

tan

r x y z

x yz

yx

θ

φ

⎧ = + +⎪⎪ +⎪ =⎨⎪⎪ =⎪⎩

（A-2）

2 ˆ ˆˆ r θ ϕ 形成一「歸一正交集」ie

ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ 1r r θ θ ϕ ϕsdot = sdot = sdot = ˆ ˆr θ ϕperp perp

ˆ ˆr θ ϕtimes = ˆ ˆ rθ ϕtimes = ˆˆ rϕ θtimes = （A-3）

3可以很容易的由他們在 xyz 軸上的投影由直角

座標的 ˆ ˆ ˆ x y z 表出

ˆ ˆ ˆ ˆsin cos sin sin cos ( 4 )ˆ ˆ ˆ ˆcos cos cos sin sin ( 4 )ˆ ˆ ˆsin cos ( 4 )

r x y z A a

x y z A bx y A c

θ φ θ φ θ

θ θ φ θ φ θϕ φ φ

= + + minus⎧⎪

= + minus minus⎨⎪ = minus + minus⎩

4 ˆdr = 由於 ˆ ˆ( )r r θ φ= 所以由 ϕθ 的變動來看

4-67

ˆ ˆˆ| |ˆ ˆˆ| | sin sin

d r d d

d r d d

θ θθ θθ

φ θ φφ θ φφ

⎧ rArr =⎪⎨

rArr =⎪⎩rArr ˆ ˆˆ sindr d dθ θ φ θ φ= + （A-5）

rArrˆ ˆr θθpart

=part

ˆ ˆsinr θφφpart

=part

（A-6）

（A-6）的結果也可以直接由（A-4a）對 ϕθ 偏微得到

5 ˆdθ ＝ 由於 ˆ ˆ( )θ θ θ φ= 所以由 ϕθ 的變動來看

ˆ ˆ ˆ| | ( )ˆ ˆ ˆ| | cos cos

d d r d r

d d d

θ θ θ θ

φ θ θ φφ φ θ φ

⎧ rArr minus = minus⎪⎨

rArr =⎪⎩rArr ˆdθ ＝ ˆˆ cosrd dθ φ θ φminus + （A-7）

ˆrθ

θpart

rArr = minuspart

ˆ ˆcosθ φ θφpart

=part

（A-8）

請直接由（A-4b）對 ϕθ 偏微的結果 check（A-8）

6 ˆdφ ＝由於φ )(ϕ 躺在 x-y 平面上變動φ時的方向可能不是那麼

容易看出來所以做圖看一看

ie ˆ ˆˆ(sin ) (cos )d r d dφ θ φ θ θ φ= minus minus （A-9）

4-68

ˆ ˆˆsin cosrφ θ θ θφpart

= minus minuspart

7 所有的向量 ˆ ˆˆ rA rA A Aθ φθ φrarr= + +

8 位置向量 ˆr rrrarr=

可以由左圖 ˆ ˆˆ r θ ϕ 三個方向的「長度

變化」輕易的看出

9 位移元素

ˆ ˆˆ ˆ sindr rdr rd dθ θ ϕ θ φ= + + (A-10)

10 體積元素

sindv dr r d rdθ φ θ= sdot sdot

＝ 2 sinr dr d dθ θ φ (A-11)

11 面積元素 2 sinrds r d dθ θ φ= plusmn sinds r drdθ θ φ= plusmn ds rdrdφ θ= plusmn (A-12)

plusmn號表示面的垂直方向有兩個端看 ds 周邊的方向是如何定的

nabladel 考慮 ( )u u r θ φ=

rArru u udu dr d dr

θ φθ φ

part part part= + +part part part

u d rrarr rarr

equiv nabla sdot

urarr

= nabla sdot ˆ ˆˆ( sin )rdr rd dθ θ φ θ φ+ +

rArr1 1ˆ ˆˆ

sinu u uu rr r r

θ ϕθ θ φ

rarr part part partnabla = + +

part part part

1 1ˆ ˆˆsin

rr r r

θ ϕθ θ φ

rarr part part partnabla equiv + +

part part part （A-13）

4-69

直接用（A-13）與 ˆ ˆˆ rA rA A Aθ φθ ϕrarr= + + 逐項內積加上（A-678）

rArr ϕθ

θθθ

ϕθ part

part+

partpart

+partpart

=sdotnablararrrarr A

rA

rAr

rrA r sin

1)(sinsin1)(1 2

2 （A-14）

（A-13）與 ϕθ ϕθ AAArA r

andandandrarr

++= 逐項外積整理之後

ϕθ θϕθ

ϕθθ

θArrAA

r

rrr

rA

r sin

sin

sin1

2 partpart

partpart

partpart

=timesnabla

andandand

rarrrarr

（A-15）

Laplacian uu nablasdotnabla=nabla2

2

2

2222

22

sin1)(sin

sin1)(1

ϕθθθ

θθ partpart

+partpart

partpart

+partpart

partpart

=nablau

ru

rrur

rru （A-16）

B推導「散度」在圓柱座標的寫法

讓我們先回顧一下在直角座標裡的「面積元素」可以由「位移元素」

得到

ˆˆ ˆ x y zdr idx jdy kdz da dydz dxdz dxdy= + + rArr =

比照辦理「圓柱座標」的位移元素

( )ˆˆ ˆ( )

( )z

da d dzdr d d zdz da d dz

da d d

ρ

φ

ρ φ

ρ ρ φ ρ φ ρ

ρ ρ φ

=⎧⎪= + + rArr =⎨⎪ =⎩

這個結論可以輕易的由面積元素在垂直於 zˆˆ ϕρ 三個方向的面積看

出如下圖考慮一個以 )( zϕρ 為中心的「圓柱體積元素」(cylindrical

cubiod)體積為 zdV ΔΔ=Δ ϕρρ 現計算在 ρ

方向的 12 兩個平行面(方向各為 ρplusmn )的通

量

4-70

zzF

dsFdsnFS S

ΔΔ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

+cong

=sdotintint intintϕρρϕρρρ

ρ

2

2

ˆ1 1

zzF

dsFdsnFS S

ΔΔ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

minus⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

minusminuscong

minus=sdotintint intintϕρρϕρρρ

ρ

2

2

ˆ2 2

intint+

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

minus⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

minusminus⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

+Δ

asympsdotΔ

rArr21

22

22

1ˆ1

SS

zFzFdsnFV

ϕρρρρϕρρρρρρ ρρ

( ) ( )

1 20

0

0

1 ˆlim

1lim 2 2 2 2

1 1lim 2 2

1

VS S

F ndsV

F z F z

F z F z

F

ρ ρρ

ρ ρρ

ρ

ρ ρ ρ ρρ ρ φ ρ ρ φρ ρ

ρ ρρ ρ φ ρ ρ φρ ρ

ρρ ρ

Δ rarr+

Δ rarr

Δ rarr

rArr sdotΔ

Δ Δ Δ Δ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + + minus minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥Δ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦Δ Δ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥Δ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

part ⎡ ⎤= ⎣ ⎦part

intint

娛樂一下用上述方式把圓柱的 Fsdotnabla 裡的z

FF z

partpart

+partϕρϕ1

變出來

球座標的nabla和 Fsdotnabla 也可以試試看

補充習題

H M Scheydiv grad curl and all that 4th edition

第二章習題 6 8 9 10 11 14 15 16 18 19 21 22 23 25 26 27

第三章習題 2 3 5 6 7 8 9 10 11 14 15 17 18 19 24

4-7

Ex5 Given ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ3 2 2 A x y z B x y z= minus + = + minus find unit vector ˆ ˆA B

解

ˆ ˆ ˆ3 2 3 1 2ˆ ˆ ˆ ˆ14 14 14 14

ˆ ˆ ˆ2 1 2 1ˆ ˆ ˆ ˆ6 6 6 6

A x y zA x y zAB x y zB x y zB

minus += = = minus +

+ minus= = = + minus

前面討論過若θ 為 A B 之夾角則 cosA θ 為 vector A 在 B 方向的

投影或稱 B 方向的分量由內積的定義可以得到 ˆ| | 1B =∵

ˆ ˆ| | cos cosA B A B Aθ θsdot equiv = （4-19）

Ex6 Following ex5 find BA which is the component of A along the direction of B

解for 1 2 1ˆ ˆ ˆ ˆ6 6 6

B x y z= + minus

ˆBA A B= sdot = ( ˆ ˆ ˆ3 2x y zminus + ) 1 2 1 1ˆ ˆ ˆ

6 6 6 6x y z minus⎛ ⎞sdot + minus =⎜ ⎟

⎝ ⎠

換言之要找向量 A在任意方向u 的分量 uA 就先找出u 方向的單位

向量 ˆue ˆu uA A e= sdot Ex 7 求向量 ˆ ˆ ˆ2B x y z= + minus 在 ˆ ˆ ˆu x y z= + + 方向的分量 uB

解單位向量 ˆ ˆ ˆˆ3

x y zu + +=

ˆ ˆ ˆ 2ˆ ˆ ˆ ˆ( 2 )3 3u

x y zB B u x y z + += sdot = + minus sdot =

習題 1 Given ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ2 3 2 2 A x y z B x y z= minus + minus = minus minus (a) find | |A | |and B (b) angle ( A B ) (c) the component of B in the direction of A 向量場 vector field

若在一空間的每一點都定義一個向量 A則稱該空間存在向量場

( )A x y z 或 ( )A r 我們熟知的電場 ( )E x y z 磁場 ( )B x y z 重力場

( )g x y z 等都是向量場向量場 ( )A x y z 的各分量也都是位置的函數

ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( )x y zA x y z A x y z x A x y z y A x y z z= + + （4-20）

要注意除了少數特例一般向量場的各分量例如 x-分量 Ax 並非

只是 x 的函數而是(xyz)的函數特例之一為空間中每一點(x y z)

4-8

皆對應一「位置向量」 ˆ ˆ ˆr xx yy zz= + +

所以向量場 ( )A x y z 也可表為 ( )A r

Ex 8 給定一向量場 ( )A x y z = 2 2 3ˆ ˆ ˆ( )A x y z y x x zy xz z= + + (a) find

A 1 and A 2 which are vector A at position P1(2 1 5) and P2(3 0 1)

解(a) A 1= A (2 1 5) 2 2 3ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ1 (2 5) (2 5 ) 20 250x y z x y z= + times + times = + +

A 2= 2 3ˆ ˆ ˆˆ ˆ(301) 0 (3 1) (3 1 ) 9 3A x y z y z= + times + times = +

(b) Find the unit vector 1 2ˆ ˆr r and 12r for position vectors of points P1

P2 and 1 2PP

解for P1 1r = ˆ ˆ ˆ2 5x y z+ + 1ˆ ˆ ˆ2 5ˆ

30x y zr + +

rArr =

for P2 2 2ˆ ˆ3ˆ ˆˆ310

x zr x z r += + rArr =

1 2PP = 12ˆ ˆ ˆ4ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ(3 2) (0 1) (1 5) 4

18x y zx y z x y z r minus minus

minus + minus + minus = minus minus rArr =

Note 1 2 2 1PP r r= minus but 12r 2 1ˆ ˆr rne minus why Draw a diagram

(c) Find the component of A 1 along the direction of the 1 2PP

解 1 12ˆ ˆ ˆ ˆ( 20 250 )A r x y zsdot = + + sdotˆ ˆ ˆ4

18x y zminus minus =1 20 1000 1019

18 18minus minus minus

=

3-D 向量 A的分量

A 3-D vector A is uniquely specified by

given its magnetude A and direction ( θ ϕ 稱為

「方向角」)或者就是完整說明 xyz 三個分量

（Ax Ay Az）兩者轉換如下

4-9

cossin cossin sin

0 0 0 2

z

x

y

A AA AA A

A

θθ ϕθ ϕ

θ π ϕ π

===

gt le le le le

（4-21）

A B 的外積向量積叉積（vector productcross product）

由 A B 的本質與相對夾角定義向量外積

ˆ sinA B nAB θtimes equiv （4-22a）

其中的 n 是一個同時垂直於 A B 的單位向量其方向由右手定則定

之舉例

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆsin 90 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 0x y z z x z y y z xx x y y z ztimes = deg = times = minus times =times = times = times =

相互平行或反平行的二向量外積為 0因為 sin(0)=sin(1800)=0

BA 的外積也有另一個等價的定義

ˆ ˆ ˆ(4 22 )

( ) (4 23)

x y z

x y z

i ijk j kj k

x y zA B A A A b

B B B

A B A Bε

times = minus

times = minussum

上式中的 ijkε 稱為 Levi-Civita symbol（猶太裔義大利人Ci 發音同

chi） ijkε ＝0 若 ijk 中有任二數相同例如 211 131 223 0ε ε ε= = = 若 ijk

為相異的 3 個數則 ijkε =(-1)p p 是 ijk 相鄰兩數互換成為 123 的「置

換數」例如 ijk=231則 213 123rarr rarr p=2 2231 ( 1) 1ε = minus = 又如 ijk

＝321 則 312 132 123rarr rarr rarr p=3 所以 3321 ( 1) 1ε = minus = minus

4-10

Ex 9 ˆ ˆ ˆ4 5A x y z= + + ˆ ˆ3B x z= +

ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ1 4 5 (4 5) (15 1) (0 12) 14 12

3 0 1

x y zA B x y z x y ztimes = = minus + minus + minus = minus + minus

ex 10 ˆ ˆ ˆ4A x y z= minus minus + ˆ ˆ ˆ2B x y z= minus minus ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ1 1 4 (1 4) (8 1) (1 2) 5 7 3 2 1 1

x y zA B x y z x y ztimes = minus minus = + + minus + + = + +

minus minus

由（4-21b）可以容易看出

( ) ( )x y z

x y z

x y z

C C CC A B A B C A A A

B B Bsdot times = times sdot = （4-24）

明顯的 in general 外積不滿足交換率與結合率

( ) ( )A B B A B AA B C A B Ctimes = minus times ne times

times times ne times times (4-25)

兩個有用的恆等式(identity)

1 triple scalar product 純量三重積

( ) ( ) ( )A B C C A B B C Asdot times = sdot times sdot = sdot times (4-26)

上式中的 3 項運算 A B C 的順序是循環的(cyclic)ie ABC CAB

BCA3 項皆為以 A B C 為鄰邊的平行 6 面體的體積

Pf 若 B C 夾角＝ϕ rArr ˆ sinB C nBC ϕtimes =

其中 sinBC ϕ ＝以 B C 為兩邊的平行

四邊行面積 n perp B C

若 ˆA n 夾角＝θ ˆ cosA n A θrArr sdot =

＝垂直於 B C 平面的高

there4 ( )A B Csdot times ＝以 A B C 為鄰邊的平行

4-11

六面體的體積由於 3 鄰邊 A B C 的順序可以任選所以體積可藉由

（4-24）式之「絕對值」算出

Ex 11 一平行六面體 H 的相鄰三邊由 ˆ ˆ ˆ4 5A x y z= + + ˆ ˆ3B x z= +

與 ˆ ˆ ˆ2C x y z= minus + minus 表出求 H 之體積 HV

解let 1

2 1 11 4 5 183 0 1

CD A

B

minus minus= = = or 2

1 4 52 1 1 18

3 0 1

AD C

B= = minus minus = minus

1 2| | 18HV D D= = = 1D 與 2D 差一個負號不令人驚奇因為行

列式 2D 是由 1D 的第一列與第二列交換而來

2 triple vector product 向量三重積

( ) ( ) ( )A B C B A C C A Btimes times = sdot minus sdot (4-27)

上式有一別號稱為 back-cab(回頭車) rule先舉例說明上式成立

Ex12 ˆ ˆ ˆ4 5A x y z= + + ˆ ˆ3B x z= + ˆ ˆ ˆ4C x y z= minus minus

ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ3 0 1 (0 1) (1 12) ( 3) 13 3

1 1 4

x y zB C x y z x y ztimes = = + + + + minus = + minus

minus minus

ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ( ) 1 4 5 ( 12 65) (5 3) (13 4) 77 8 9

1 13 3

x y zA B C x y z x y ztimes times = = minus minus + + + minus = minus + +

minus

ˆ ˆ1 4 20 23 ( ) 69 23A C B A C x zsdot = minus minus = minus rArr sdot = minus minus

ˆ ˆ ˆ3 5 8 ( ) 8 8 32A B C A B x y zsdot = + = rArr sdot = minus minus

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ( ) ( ) 69 23 (8 8 32 ) 77 8 9B A C C A B x z x y z x y zsdot minus sdot = minus minus minus minus minus = + + QED

The proof of ( ) ( ) ( )A B C B A C C A Btimes times = sdot minus sdot

Pf Note that ( )B C B Ctimes perp 平面then ( )A B C B Ctimes times perp times∵ （ ）

( ) A B C D B CrArr times times equiv 躺在（ ）平面 所以 D 可由 B C 組合令

4-12

D B Cα β= + 由於 D 也與 A垂直所以

0A Dsdot = ( ) ( )A B A Cα β= sdot + sdot rArr

let ( ) ( )v v A C v A BA C A Bα β α βminus

= = rArr = sdot = minus sdotsdot sdot

( ) [( ) ( ) ]D A B C B C v A C B A B Cα βthere4 = times times = + = sdot minus sdot

v 會＝1上式對 x 做內積

ˆ ˆ ˆ[ ( )] [( ) ( ) ]

[( ) ( ) ]x x

x A B C v A C B x A B C x

v A C B A B C

sdot times times = sdot sdot minus sdot sdot

= sdot minus sdot

由於內積與外積都是向量間的運算所以上式左邊有

ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ( )x y z x y z

x y z x y z

x y z A x A y A zB C B B B A B C B B B

C C C C C C

times times timestimes = rArr times times =

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( ) 0ˆ [ ( )]

z y

x y z x y z

x y z x y z

x A x x A y x A z A Ax A B C B B B B B B

C C C C C C

sdot times sdot times sdot times minusrArr sdot times times = =

上式用到

ˆ ˆ( ) 0x A xsdot times = ˆ ˆ( )x A ysdot times ＝ ˆ ˆ( ) zA y x Asdot times = minus ˆ ˆ( )x A zsdot times ＝ ˆˆ( ) yA z x Asdot times =

用第 3 列展開行列式得

ˆ [ ( )] ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

x x x y y x z z x

x x x x y y z z x x x x x x

x x

x A B C C A B A B C A B C A B

C A B A B B C A C A C A B A B B A C C A

C A B B A C

sdot times times = minus sdot + + +

= minus sdot + + + = minus sdot + + sdot minus

= minus sdot + sdot1 ( ) ( ) ( )v A B C B A C C A BrArr = rArr times times = sdot minus sdot QED

向量的微分元素（直角座標）

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( ) [( ) ]

ˆ ˆ ˆ

i i i i i i i i i ii i i i

x y x

dA d e A d e A de A e dA e dA

or dA xdA ydA zdA

⎛ ⎞= = = + =⎜ ⎟

⎝ ⎠= + +

sum sum sum sum （4-28）

4-13

上面用了直角座標最方便的性質 ie 為常數 ˆ 0iderArr = 舉「位置向量」

為例

2 2 2 2 2 2 2 2

ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ

ˆ ˆ ˆˆ i i

i x y zi

r xx yy zz dr xdx ydy zdzdr dx dy dzv x y z e xdt dt dt dt

v v v x x y z v v v

= + + rArr = + +

rArr = = + + =

rArr = sdot = = + + = + +

sumsum

（4-29）

sect 42 曲線座標(curvilinear coordinates)

(A) 平面「極座標」polar coordinates ( )r θ

在平面上的一點 P 的直角座標若為(x y)我們可以有另一種標示法

( ) 0 [0 )

[02 ]r P x y r r

x rθ θ π

equiv ge isin infin⎧⎨

equiv isin⎩

由原點到 之距離

軸到 的夾角 （4-30）

以 P )( θr 為座標表同一點 P(xy) )( θr 稱為 P 點的「極座標」「極座

標」與「直角座標」的關係如下

2 2

cos

sintan

r x y x randy y r

x

θθθ

⎧ = + =⎧⎪⎨ ⎨ == ⎩⎪⎩

（4-31）

但是 )( θr 這兩個新座標的單位向量 ˆˆr θ 在什麼方向我們先來回顧

一下座標軸的單位向量的「制訂標準」是

什麼事實上某座標的單位向量的方向

訂在「垂直於該座標『等值面』且指向

該『座標值增長』的方向」舉「直角座

標」為例如右圖由於 x y 軸皆為直線

4-14

所以「等值面」都是平行的平面所以垂直方向皆相同也造成單位

向量 ˆ ˆx y 為常數

由左圖可以看出極座標裡 r 的等值面是一

個圓所以單位向量 r 是「沿徑向向外」但

是隨圓上θ 有所變動時 r 也隨著改變所以 r

「不是一個常量」 ˆ ˆ( )r r θ= 是角度θ 數

如左圖也可看出θ 的等值面為直線所以單位

向量θ 是「沿『切線』逆時針」方向

但如同 r 一樣當θ 值改變時θ 的方向

也改變了所以θ 也「不是一個常量」

)(ˆˆ θθθ = 也是角度θ 的函數可以看出

固定θ 時 ˆr θperp 但是她們都與「角座標」θ 有關由於她們的指向

有時 r 被稱為「沿徑向」之單位向量θ 被稱為

「沿切線」之單位向量極座標和直角座標還

有一個很大的差別就是直角座標的 x y z 的

因次都是「長度」所以當座標改變時 dx dy dz

就是「長度」的改變然而極座標的 r 有長度因

次所以 dr 是長度但是θ 只是一個數字而非長度所以當θ 改變時

dθ 並不代表一個長度的變化dθ 造成的長度變化寫為

d h dθ θ θ= （4-32）

其中的係數hθ 稱為「度量係數」(metric coefficient)很顯然這裡的hθ

必須具有長度的因次「長度」之所以重要是因為位移是長度各個

座標的度量係數我們會在後面仔細討論

座標系的選用以方便為準系統的對稱性是重要的考量所以有

立方對稱的系統通常用直角座標而有圓對稱的系統則用極座標

4-15

Ex13 半徑 5圓心在原點的圓方程式在直角座標為 2 2 25x y+ =

但是在極座標就是 5r = 而已

位置位移速度與加速度

直角座標的描述很簡單

ˆ ˆˆ ˆ

ˆ ˆ

r xx yy

r xx yy

dr dxx dyy

= +

Δ = Δ + Δ

= +

位置

位移

位移元素

（4-33）

2 2

2 2

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( )

ˆ ˆ( )

ˆ ˆ ˆ ˆ( )

x ydr dx dyv t x y xx yy v x v ydt dt dt

dv t dxx dyydv dx dy d x d ya t i j i jdt dt dt dt dt

rArr = = + = + = +

rArr = +

rArr = = + = +

瞬時速度

速度變化元素

瞬時加速度

（4-34）

在極座標由於單位向量 θr 不再是常數 ˆˆ 0 0dr dθrArr ne ne 所以

ˆ

ˆ ˆ( )ˆ ˆ

r rrr r r r r

dr drr rdr

=

Δ = Δ + Δ

rArr = +

位置

位移

位移元素

(4-35)

現在有一個問題 ˆ dr = 由下圖 r 的變化由 dθ 而來

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( )ˆ ˆ

ˆˆ ˆ ˆ0 ( ) ˆˆ

r r dr r d rdr r d d

d dr r dr

dr d

θ θ θ θθ θ

θ θ θ

θθ

= rArr = + minus

= =

rarr rArr perp rArr

rArr =

∵

∵ (4-36)

4-16

所以微分的位移為

ˆˆdr drr rdθθ= + （4-37）

上式的幾何意義很清楚dr 的 r 分量 dr 就是「沿

r 方向的長度變化」而θ 分量 rdθ 就是「沿θ 方

向的長度變化」而已或者也可以這麼看dr 是

一個位移向量在平面上有 r 和θ 兩個分量所以 ˆˆrdr d r d θθ= +

α 為在 r 方向的長度變化β 為在θ 方向的長度變化所以 rd dr=

d rdθ θ= 這種分析方法可以用在各種座標系這裡也可以看出

和（4-32）式角度變化dθ 造成的長度變化d h dθ θ θ= 相比可以得出

θ 的度量係數h rθ = 與直角座標比較 ˆ ˆdr dxx dyy= + dx 與 dy 不也就

是dr 在 x 與 y 方向的長度變化嗎

Now 速度

ˆˆ

ˆ ˆˆ ˆr

dr dr dv r rdt dt dtrr r v r vθ

θ θ

θθ θ

= = +

= + equiv + （4-38）

其中ddtθθ ω= = 亦稱為「角速度」

Ex14 圓周運動因為只有切線速度所以由（4-38）式 ˆ ˆ0

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( ) = ( ) ( ) ( 0)

r R r v r R

dv dr r d r d r d r d dr

θθ ωθ

θθ θ θ θ θ θ θ θ θ

= rArr = rArr = =

rArr = + + + =

∵

∵

（ 切線速度）(4-39)

這裡又冒出個問題

ˆ dθ = 由左圖

ˆ ˆ

ˆ ˆ0

d d d

d d

θ θ θ θ

θ θ θ

= =

rarr rArr perp

4-17

ˆ ˆ ˆ ˆ

d r

d d r

θ

θ θ

rArr minus

rArr = minus (4-40)

2

2

ˆˆ( ) ( )

ˆˆ

ˆ ˆˆ ˆ( ) ( )ˆˆ ( ) ( )

r

dv r d r r d

dv d da r r rdt dt dt

a r r r a r a

or a r r rθ

θ θ θ θ

θ θθ θ

θ θ θ θ

ω α θ

rArr = minus +

⎛ ⎞⎛ ⎞rArr = = minus +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

rArr = minus + equiv +

= minus +

(4-41)

上式即為圓周運動的加速度其中的第一項

2

2 ˆ ˆrva r r rr

ω minus= minus = 向心加速度 (4-42a)

with α θ= 可以認出是角加速第二項

ˆa rθ αθ= 切線加速度 (4-42b)

如進一步簡化為「等速圓周運動」 ==rArr θω constant 0==rArr αθ rArr切線

加速消失那麼加速度就只剩下了熟知的向心加速度2

ˆrva rrminus

= 了

若考慮一般的情況 dr 0ne 可以導出用極座標表示的加速度為

2

ˆ ˆ ˆ ˆˆ( ) ( ) ( ) ( )

ˆˆ( ) (2 )

dv dr r r d dr r d r ddva r r r r rdt

θ θ θθ θ θ θ θ

θ θ θ θ

= + + + +

rArr = = minus + + （4-43）

看起來有點繁但是在有圓形對稱的系統極座標會表現得更清楚

面積微分元素

直角座標把平面分割成一個個的

小方塊也就是依照「x 與 y 方向的

長度變化」可以寫出「面積元素」

dA dx dy= sdot （像是切長方形的蛋糕）

比較 ˆ ˆdr dxx dyy= + 可以看出

dA＝(x-方向的長度變化)times(y-方向的長度變化)

4-18

所 以 在 「 極 座 標 」 比 照 辦 理

ˆˆ ˆ( ) ( )dr dr r rdr dr r rdθθ= + = +

dA dr rd rdrdθ θ= sdot = (4-44)

像是切圓形蛋糕

ex15 求一個半徑 R 的圓的面積

解 2 2

2

0 0

22

R RA dA rdrd rdr d Rπ

θ θ π π= = = = sdot =int intint int int

妳可以試試用直角座標dA dx dy= sdot 算一下圓的面積

Ex16 求一個半徑 R質量 M密度σ 的均勻圓盤繞其直徑的轉動慣

量解 質量元素 dAdm σ= 到轉軸（直徑）的距

離 sinr θ=

2 2 2 2

23 2

0 0

4 22 2

sin

sin

14 4 4

R

I dm dA r rdrd

r dr d

R RR MR

π

σ σ θ θ

σ θ θ

σ π σπ

= = =

=

= = =

int int intintint int

娛樂一下算半個圓盤繞通過圓心且垂直盤面的軸的轉動慣量

ex 17 計算積分2xI e dx

infinminus

minusinfin

= int

解 2 2

0

2x xI e dx e dxinfin infin

minus minus

minusinfin

= =int int2 22

0 0

2 2x yI I I e dx e dyinfin infin

minus minusrArr = sdot = sdotint int

2 2 2 22

2 ( )

0 0 0 0 0 0

4 4 4x y r rI e dxdy e dA e rdr d

π

θinfin infin infin infin infin

minus + minus minusrArr = = =int int int int int int

在上面的積分裡我們運用了一個有關「無窮大平面」的技巧就是「無

4-19

窮大的平面」是可以是「正方形」或是「圓形」的

2

2

22

00 0 0

22

4 2 2( )2 2 2

(4 45)

u u u

x

dulet u r du rdr rdr

duI e d e du e

I e dx

π

π πθ π

π

infin infininfinminus minus minus

infinminus

minusinfin

= rArr = rArr =

rArr = = sdot = minus sdot =

rArr = = minus

int int int

int

ex18 重力位能

由位能差的定義 )()()( BAWBUAU rarrequivminus

（B）圓柱座標 cylindrical coordinates

3D 空間點 P(x y z)的位置向量 ˆ ˆ ˆr xx yy zz= + +

定義「圓柱座標」 ( )zρ ϕ 其中

0 [0 )P zρ ρ ρequiv ge there4 isin infin點 到 軸之垂直距離

ϕ ρequiv 在 x-y 平面的投影與 x 軸之夾角 [02 ]ϕ πisin

z zequiv同直角座標的

4-20

「圓柱座標」就是「極座標」（用 ( )ρ ϕ 取代 ( )r θ ）再加上第三維 z

所以圓柱座標 ( )zρ ϕ 裡 zρ 的因次為長度而ϕ 只是一個數字

( )zρ ϕ 與(x y z)間的轉換如下

2 2 cos

tan sin

x yx

y yx

z zz z

ρρ ϕ

ϕ ρ ϕ

⎧ = +=⎪ ⎧

⎪ ⎪= =⎨ ⎨⎪ ⎪ =⎩=⎪⎩

（4-46）

「圓柱座標」的三個方向單位向量 ˆ ˆ ˆ zρ ϕ 如圖

且 ˆ ˆ zρ ϕperp perp 可以看出ρ 的等值面為一個圓柱

面ϕ 的等值面是一扇門z 的等值面為一個垂

直 z 軸的平面但是

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( ) zρ ρ ϕ ϕ ϕ ϕ= = =常數

柱座標的位置向量 r 如左圖

ˆ ˆr zzρρ= + （4-47）

在柱座標寫位移元素dr 有兩種作法一

種是直接由（4-47）式取微分元素 借用

平面極座標的結果可得

ˆ ˆ ˆ( ) ( )

ˆ ˆ ˆdr d d dzz

d d dzzρ ρ ρ ρ

ρρ ρ ϕϕrArr = + +

= + + （4-48）

但也可以由三個座標方向的

位移來看由左圖可得沿 ρ 方向

的長度變化 ie 當座標ρ 有變

化dρ 時產生的長度變化就是

dρ 沿ϕ 的長度變化為 dρ ϕ

而沿 z 方向的長度變化為 dz

4-21

dr 是一個向量有三個分量ρ -分量就是沿 ρ 方向的長度變化

dρ ϕ -分量沿ϕ 的長度變化為 dρ ϕ 而 z-分量就是沿 z 方向的長度變

化為 dz合併寫出

ˆ ˆ ˆdr d d dzzρρ ρ ϕϕ= + +

與（4-48）式完全相同但是這種由幾何角度得到的結果要更方便

也更直觀Fig 27 非常重要因為只要你能把圖畫出來位移的各

分量就寫得出來有了位移元素dr 速度與加速度就可得出

ˆ ˆ ˆ (4 49)

ˆ ˆ ˆ( ) (2 ) (4 50)

drv zzdtdva zzdt

ρρ ρϕϕ

ρ ρϕ ρ ρϕ ρϕ ϕ

rArr = = + + minus

rArr = = minus + + + minus

由上圖與dr 的 3 個分量可得圓柱座標的體積元素

dV d d dz d d dzρ ρ ϕ ρ ρ ϕ= sdot sdot = （4-51）

ex19 底面半徑 R高 h 的圓柱體積＝ 2 2

2

0 0 0

22

R h RV dV d d dz h R hπ

ρ ρ ϕ π π= = = sdot sdot =int int int int

ex20 底面半徑 R高 h 的「圓錐」體積＝

解本圓錐裡點的座標分佈為 [02 ] [0 ]z hϕ πisin isin ( )zρ ρ=

( ) ( )( )

h z h Rz h zz R h

ρρminus

= rArr = minus

22( )( ) 2 2

0 0 0 0 0 0

002 2 2 3 2 32 2 2

2 2 2 20

( )2 2

2

1( )3 3 3

R h zzh h hh

h

h h

R h zhV d dz d d dz d dz

R R R u R hh z dz u du R hh h h h

ρ π

τ ρ ρ ϕ π ρ ρ π

π π π π π

minus

minus minus

minusthere4 = = = =

= minus = = = =

int int int int int int int

int int

如果我們把 3-D 的三個座標寫為 1 2 3( )u u u 或 123iu i = 當座

標 ui(在 ˆiu 方向)變動 dui 時造成的長度變化為 id 則定義

4-22

i i id h duequiv (4-52)

其 中 hi 稱 為 座 標 ui 的 度 量 係 數 (metric

coefficient)由 zρ 的因次為長度所以 zρ 的變

化 d dzρ 就是長度的變化所以 1 1zh hρ = =

然而ϕ 的變化造成的長度變化為

d d hϕ ϕρ ϕ ρ= rArr = (4-53)

很明顯的直角座標 xyz 都是長度所以度量係數 1x y zh h h= = =

(C) 球座標 spherical coordinates

3D 點 P(x y z)的位置向量 ˆ ˆ ˆr xx yy zz= + + 定義

「圓柱座標」 )( ϕθr 其中

[0 ] [0 ]

[02 ]

r P rr zr x y x

θ θ πϕ

ϕ π

⎧ equiv isin infin⎪

equiv isin⎪⎨

equiv minus⎪⎪ isin⎩

原點到 的距離

與 軸的夾角

在 軸投影與 軸的夾角

球座標的ϕ 與住座標的ϕ 相同

( )r θ ϕ 與(x y z)間的轉換如下下列為（4-54）

2 2 2

2 2 2

sin coscos sin sin

cos

tan

r x y zx r

z y rx y z z r

yx

θ ϕθ θ ϕ

θ

ϕ

⎧⎪ = + +⎪ =⎧⎪ ⎪= =⎨ ⎨

+ +⎪ ⎪ =⎩⎪⎪ =⎩

三個座標的單位向量 )ˆˆˆ( ϕθr 如左圖一可以看

出 r 的等值面是一個球面θ 的等值面為一個

以原點為頂點的圓錐ϕ 的等值面為一扇門

位置向量 ˆr rr= （4-55）

4-23

位移由 ˆ ˆˆ( )r θ ϕ 3 個方向的「長度

分量」可得 ˆ ˆˆ ( ) ( sin )dr rdr rd r dθ θ ϕ θ ϕ= + +

（4-56）

所以體積元素

2

( )( sin )(sin )

d dr rd r dr dr d d

τ θ θ ϕ

θ θ ϕ

=

= （4-57）

Fig 31 和 Fig 27 一樣重要只要

你能畫得出來就可以寫出球座

標位移的三個分量

ex21 求一半徑 R 的球體積 2

2 2 3

0 0 0

4sin sin3

R

V d r dr d d r dr d d Rπ π

τ θ θ ϕ θ θ ϕ π= = = =int intintint int int int

ex22 求一質量 M半徑 R密度 ( )3 4 3M Rρ π= 的實心球對直徑

旋轉的轉動慣量

解質量元素 2 sindm d r dr d dρ τ ρ θ θ ϕ= = 到 z 軸的垂直距離為 sinr θ=

22 4 3

0 0 0

5 52

sin

4 8 225 3 15 5

RI dm r dr d d

R R MR

π πρ θ θ φ

πρ π ρ

= =

= sdot sdot = =

intintint int int int

娛樂一下空心球對直徑的轉動慣量

(4-46)式與(4-54)式說明柱座標和球座標與直角座標之間的轉

換Fig 32 可得出柱座標和球座標之間轉換

2 2

sintan

cos

r zr

zz r

ρρ θ

ρϕ ϕ θθ ϕ ϕ

⎧ = += ⎪⎧

⎪ ⎪= =⎨ ⎨⎪ ⎪=⎩ =⎪

⎩

（4-58）

4-24

Ex23 點 P 的球座標為（31200 600）求柱座標＝

解2 3 33sin3 2πρ ⎛ ⎞= =⎜ ⎟

⎝ ⎠

23

ϕ π= 2 33cos3 2

z π minus⎛ ⎞= =⎜ ⎟⎝ ⎠

直角座標柱座標球座標單位向量之間的轉換

三種座標之間的轉換由(4-46)式(4-54)式與（4-58）式表出但

三種座標裡的的三個單位向量 ˆ ˆ ˆ x y z ˆ ˆ ˆ zρ ϕ ˆ ˆˆ r θ ϕ 若以 123ˆ iu =

表示則單種座標的單位向量之間都有正交歸一關係

ˆ ˆi j iju u δsdot = 與外積的循環關係

ˆ ˆ ˆ i j ku u u i j ktimes = cyclic in 123

ie 1 2 3 2 3 1 3 1 2ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ u u u u u u u u utimes = times = times = or ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆˆ ˆ r z z x yθ ϕ ϕ ρtimes = times = times =

然而不同座標系的單位向量之間關係如何我們畫圖來討論

球座標 ˆ ˆˆ( )r θ ϕ rarr直角座標 ˆ ˆ ˆ( )x y z

單位向量都是用來指方向的球座標的 ˆ ˆˆ( )r θ ϕ 都是「方向角」( )θ ϕ

的函數 r 在直角座標可以由 Fig33 看出

ˆ ˆ ˆ ˆsin cos sin sin cosr x y zθ ϕ θ ϕ θ= + + （4-59）

ex24 P 點的球座標為2 75 3 6π π⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠

試用球座標與直角座標求 P 點的位

置向量的單位向量 解位置向量 ˆr rr= 在球座標只有 r-分量標位置仔細一點把方向

角標出2 7ˆ 3 6

r π π⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

通常只是寫 r 令人有點摸不著頭緒用直角

4-25

座標比較「具像」 2 7 2 7 2ˆ ˆ ˆ ˆsin cos sin sin cos3 6 3 6 3

3 3 1ˆ ˆ ˆ4 4 2

r x y z

x y z

π π π π π⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞minus minus minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + +⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

單位向量θ 在某一組 ( )θ ϕ 的指向如 Fig 34a將θ 平移至原點更清楚

Fig34b 是由側面看 Fig34a可以看到θ 在 z 軸的投影為 sinθminus 而θ 在

x-y 平面的投影為cosθ使得θ 在 x-軸的投影為cos cosθ ϕy-軸投影

為cos sinθ ϕ於是

ˆ ˆ ˆ ˆcos cos cos sin sinx y zθ θ ϕ θ ϕ θ= + minus （4-60）

單位向量ϕ 如 Fig 35a 所示是在 x-y 平面畫出

Fig 35b 為自 z 軸向下看 Fig35a 圖可以看出ϕ 在 z 軸投影為 0且

ˆ ˆ ˆsin cosx yϕ ϕ ϕ= minus + （4-61）

ex25 一個質點的速率為 2( ) ( sin tan )v r rθ ϕ θ ϕ= 若經查該質點的運

動 是 在 z = 3 平 面 做 逆 時 針 圓 周 運 動 則 當 位 置 的 方 向 角

4-26

2( ) 4 3π πθ ϕ ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

時計算其速度用球座標與直角座標表出

解圓運動速度方向是沿切線所以球座標 ˆ ˆ( )v v v rϕ θ ϕ ϕ= =

z = 34πθ =

3 3 21cos cos 24

z zrπθ

rArr = = = =⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

所以該處的瞬時速率

2 2

2( ) 3 3 4 3

2 1 813 3sin tan 3 3 ( 3)4 3 22

v r v π πθ ϕ

π π

⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

⎡ ⎤ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = times minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

2 81 2ˆ3 3 4 3 2 4 3

v r π π π πθ ϕ ϕ⎛ ⎞ ⎛ ⎞rArr = = = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

在直角座標2 2 2ˆ ˆ ˆ sin cos

4 3 3 3x yπ π π πϕ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠3 1ˆ ˆ

2 2x y= minus minus

而且點23 3

4 3π π⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠

的直角座標為

2 1 3 3sin cos 3 3sin cos 3 34 3 2 22 2

x r π πθ ϕ minus minus⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

2 3 9sin sin 3 3sin sin 3 34 3 2 2 2 2

y r π πθ ϕ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = = =⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

z = 3

23 3 4 3

v π π⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

3 3 9 81 3 1ˆ ˆ 32 2 2 2 22 2

v x y⎛ ⎞ ⎛ ⎞

rArr = minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

以上兩個例子都只討論只有一個圓座標分量的向量in general 向量

ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( )r x y zA r rA A A A r xA yA zAθ ϕθ ϕ= + + hArr = + + （4-61）

若已知球座標的分量 ( )rA A Aθ ϕ 如何得到直角座標的

( )x y zA A A

4-27

ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( )ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( )

ˆ ˆˆˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( )

x r

y r

z r

A x A r x r A x A x A

A y A r y r A y A y A

A z A r z r A z A z A

θ ϕ

θ ϕ

θ ϕ

θ ϕ

θ ϕ

θ ϕ

⎧ = sdot = sdot + sdot + sdot⎪⎪ = sdot = sdot + sdot + sdot⎨⎪

= sdot = sdot + sdot + sdot⎪⎩

（4-62）

由式（4-59）（4-61） ˆ ˆ ˆ ˆsin cos sin sin cosr x y zθ ϕ θ ϕ θ= + + （4-59） ˆ ˆ ˆ ˆcos cos cos sin sinx y zθ θ ϕ θ ϕ θ= + minus （4-60）

ˆ ˆ ˆsin cosx yϕ ϕ ϕ= minus + （4-61） ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆsin cos cos cos sin ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆsin sin cos sin cos ˆ ˆˆˆ ˆcos sin 0

x r x x

y r y y

z r z z

θ ϕ θ θ ϕ ϕ ϕ

θ ϕ θ θ ϕ ϕ ϕ

θ θ θ ϕ

⎛ ⎞sdot = sdot = sdot = minus⎜ ⎟

rArr sdot = sdot = sdot =⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟sdot = sdot = minus sdot =⎝ ⎠

（4-63）

sin cos cos cos sin sin sin cos sin cos

cos sin 0

x r r

y RS

z

A A AA A M AA A A

θ θ

ϕ ϕ

θ ϕ θ ϕ ϕ

θ ϕ θ ϕ ϕ

θ θ

⎛ ⎞minus ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟rArr = equiv⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟minus⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

（4-64）

其中 SRM 為由球座標分量轉為直角座標分量的轉換矩陣且行列式

det SRM =1 表示反矩陣存在then 1SRM minus 就是將直角座標分量轉為球座

標分量之轉換矩陣其實嚴格講 (4-64)式還不是最終的表示因為

轉換完的直角

座標應該全部以 x y z 表出這裡保留用 θ ϕ 只是為了簡潔方便

習題 2 Find 1SRM minus

習題 3 用 xyz 表出(a)sinθ (b)cosθ (c)sinϕ (d)cosϕ

Ans (a)2 2

2 2 2sin

x yx y z

θ+

=+ +

(b)2 2 2

cos zx y z

θ =+ +

(c)2 2

sin yx y

ϕ =+

(d)2 2

cos xx y

ϕ =+

習題 4 用上面結果將 SRM 用 xyz 表出

Ex26 Given a field ( )A r θ ϕ ＝ ˆ ˆˆ2 3r θ ϕ+ minus in spherical coordinates

find the field in rectangular coordinates （直角座標）

4-28

解這裡的 ( )A r θ ϕ 不因其三個分量都是常數而只是「一個」向量

而是一 vector field這是因為 ˆ ˆˆ r θ ϕ 都不是定值而與 θ ϕ 有關而如

果 ( )A r θ ϕ 表示則單位向量所對應的角度 θ ϕ 必須要標定所以

sin cos cos cos sin 2sin sin cos sin cos 3

1cos sin 0

x

y

z

AAA

θ ϕ θ ϕ ϕ

θ ϕ θ ϕ ϕ

θ θ

⎛ ⎞minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ minusminus⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

(2sin 3cos )cos sin(2sin 3cos )sin cos

2cos 3sin

x

y

z

AAA

θ θ ϕ ϕθ θ ϕ ϕ

θ θ

+ +⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟rArr = + minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟minus⎝ ⎠ ⎝ ⎠

習題 5 Draw a diagram to show in the cylindrical coordinates

(a) ˆ ˆ ˆcos sinx yρ ϕ ϕ= + (b) ˆ ˆ ˆsin cosx yϕ ϕ ϕ= minus + (c) ˆ ˆz z=

習題 6 use the above results show that 由柱座標分量轉為直角座標分

量的轉換矩陣

x

y CR

z z

A AA M AA A

ρ

ϕ

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟=⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

CRM =

2 2 2 2

2 2 2 2

0cos sin 0sin cos 0 0

0 0 10 0 1

x yx y x y

y xx y x y

ϕ ϕ

ϕ ϕ

minus⎛ ⎞⎜ ⎟+ +⎜ ⎟⎛ ⎞minus⎜ ⎟⎜ ⎟

= ⎜ ⎟⎜ ⎟+ +⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

Ex27 Express vector ˆ ˆ ˆ(3cos ) 2 5A zρ ϕ ϕ ρ= minus + in Cartesian

coordinates Specifically the A at the position of (2 2 3π -3)

解

2cos sin 0 3cos 3cos 2 sinsin cos 0 2 3cos sin 2 cos

5 50 0 1

x

y

z

AAA

ϕ ϕ ϕ ϕ ρ ϕϕ ϕ ρ ϕ ϕ ρ ϕ

⎛ ⎞minus ⎛ ⎞+⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟= minus = minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

so that A (2 2 3π -3)= 3 3 3ˆ ˆ ˆ3 3 3 54 4

x y z⎛ ⎞⎛ ⎞+ + minus +⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠注意本

題裡 z 座標並非一變數

4-29

sect 43 Fields and its properties 場與其性質

「場 field」是什麼凡是在「某個空間中每一點」都有定義的量

就是一個「場」所以「場」也稱為「點函數 point function」簡單的

說凡是「空間的函數」都是「場」如果這個「空間的函數」是一個

純量 u(xyz)那麼 u(xyz)就是一個「純量場 scalar field」例如室內

的溫度 T(xyz)一塊豬肉的密度 ( )x y zρ 大氣中的壓力 p(xyz)等

都是純量場如果這個「空間的函數」是一個向量 )( zyxA 那麼

)( zyxA 就稱為「向量場 vector field」例如空間中的電場 )( zyxE

水流中的速度場 )( zyxv 重力場 )( zyxg 等等很顯然的不論是純量

場還是向量場「場」在空間中的分佈通常未必是均勻的那麼她有

什麼性質呢例如一塊豬肉內部密度是如何變化的水流中有沒有

漩渦大氣中的等壓線是如何變化的等等那麼有沒有什麼量可以

有系統的描述各種場的分佈有我們在以下分別討論

sect 431 Gradient of scalar fields 純量場的梯度

考慮一個純量場 f(xyz)可以視為 3 個變數 xyz 的函數當變數變動為

x+dx y+dy z+dy 時造成 f 的變化

f f fdf dx dy dzx y zpart part part

= + +part part part

（4-65）

由幾何意義來看上式更為具體上式表示純量場 )(rf 基於位置的變化

r r drrarr + (或由 ( ) ( )x y z x dx y dy z dzrarr + + + )所造成 f 的變動

我們現在定義一個向量算符 vector operator nabla (or nabla )（讀做 del）

ˆ ˆ ˆx y zx y zpart part part

nabla equiv + +part part part

(4-66)

如果將 del 作用在純量場 )(rf 上將產生出現一個新的「向量場」 fnabla

稱為純量場「 )(rf 的『梯度 gradient』」

4-30

ˆ ˆ ˆ( ) f f fgrad f f x y zx y zpart part part

equiv nabla = + +part part part

（4-67）

這使得由於任意位移 ˆ ˆ ˆdr xdx ydy zdz= + + 所造成 f 的變化量

df f drrArr =nabla sdot （4-61）

ex28 Given scalar field 2( )f r xy z= and 2 2 2

1 1( )g rrx y z

= =+ +

(a) find the value of ( )f r and fnabla at point P(2 1-1) 解 2(21 1) 2 1 ( 1) 2f minus = times times minus = minus

2 2 2

2 2

ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( )

ˆ ˆ ˆ( ) ( 2 ) ( )

f x xy z y xy z z xy zx y z

x y z y x yz z xy

part part partnabla = +

part part part

= +

＋

＋

ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ(21 1) ( 1) (2 2) (2) 4f x y z x y znabla minus = minus + timesminus = minus minus＋ ＋2 (b) find the value of ( )g r and gnabla at the point P

解2

1 1(21 1)62 1 1

g minus = =+ +

2 2 2 12 2 2 2 12

2 2 2 12

ˆ ˆ( ) ( )

ˆ ( )

g x x y z y x y zx y

z x y zz

minus minus

minus

part partnabla = + + + + +

part partpart

+ +part

＋

2 2 2 32 2 2 2 32 2 2 2 32

2 2 2 32 3 2

ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( )

ˆ ˆ ˆˆ( )( )

OR OR

xx yy zzgx y z x y z x y zxx yy zz r r

x y z r r

minus minus minusrArrnabla = + +

+ + + + + +minus + + minus minus

= = =+ +

32

ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ(2 ) 2(21 1)6 6 6

x y z x y zg minus + minus minus minus +rArrnabla minus = =

由 gnabla 看到一個粉常用的結果就是

3 2

ˆ1 ORr rr r r

minus minusnabla = = （4-62）

順便比較一下

2 2 2 12 2 2 2 12 2 2 2 12

2 2 2 12

ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( )

ˆ ˆ ˆ( ) ˆ (4 63)( )

r x x y z y x y z z x y zx y zxx yy zz r r

x y z r

part part partnabla = + + + + + + +

part part part+ +

= = = minus+ +

＋

4-31

(c) what is the angle between (21 1)fnabla minus and (21 1)gnabla minus

解 (21 1)fnabla minus (21 1)gsdotnabla minus ＝（ ˆ ˆ ˆ4x y zminus minus ＋2 ） sdotˆ ˆ ˆ26 6x y zminus minus +

＝2 4 2 4

6 6 3 6+ +

= ＝ | (21 1) |fnabla minus | (21 1) |gnabla minus cosθ

＝ 34 1 1 211 16 4 cos cos

6 6θ θ+ +

+ + =

1 4 2cos 07773 7

radθ minus ⎛ ⎞= =⎜ ⎟

⎝ ⎠

要注意隨然nabla有向量的性質但是他並不是一個真的向量真

實向量 A與純量 f ( )r 的乘法滿足交換率ie ( ) ( )Af r f r A= 但是

f fnabla ne nabla因為

( )f rnabla ＝ ˆ ˆ ˆf f fx y zx y zpart part part

+ +part part part

是一個向量函數而

ˆ ˆ ˆ( )f r x y zx y z

⎛ ⎞part part part+ +⎜ ⎟part part part⎝ ⎠

是一個算符（operator）

若nabla要與向量場 A 作用由於nabla與 A 都具有向量的性質先看「內積」

ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ( )

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

x y z

x y

z

y yx xz z

A x y z xA yA zAx y z

x y z xA x y z yAx y z x y z

x y z zAx y z

A AA AA Ax x x y x zx y z x y z

⎛ ⎞part part partrArrnablasdot = + + sdot + +⎜ ⎟part part part⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞part part part part part part= + + sdot + + + sdot⎜ ⎟ ⎜ ⎟part part part part part part⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞part part part

+ + + sdot⎜ ⎟part part part⎝ ⎠part partpart partpart part

= sdot + sdot + sdot + sdotsdot sdot = + +part part part part part part

yx zAA AAx y z

partpart partnablasdot = + +

part part part (4-64)

上式中的 Anablasdot 是向量場 A 的一個重要的性質稱為 A 的「散度」詳

細的內容在後面會仔細討論這裡引進 Anablasdot 主要是要表明nabla是個「算

符」表示一個運算不是一個真實的向量只是在「直角座標」裡

4-32

因為單位向量 ˆ ˆ ˆ x y z 是常數不受微分的作用以致nabla表現得好像也

是個一般的向量一樣事實上真實向量和nabla間的「內積」就不滿足交

換率

x y zA A A A an operator Ax y zpart part part

sdotnabla = + + = ne nablasdotpart part part

(4-65)

這也使得任意向量場 ( )A r 因位置變動 r r drrarr + 而產生的變化由於

)( zyxA 也是 3 個變數 xyz 的函數可以寫為

( )A A AdA dx dy dz dr Ax y z

part part part= + + = sdotnabla

part part part （4-66）

ex29 (a)Given field 2ˆ ˆ ˆ2A xxy y x zyz= minus + find Anablasdot at point (1-12)

解2( ) (2 ) ( ) 2xy x yzA y yz

x y zpart part part

nablasdot = + + = +part part part

(1 12)1 2( 1)2 3A

minusnabla sdot = minus + minus =

(b) find rnablasdot 解 rnablasdot = 3x y zx y zpart part part

+ + =part part part

梯度的意義

由（4-67）可以看到「f 的梯度 fnabla 」

是一個由「純量場 f」衍生出的向量

場由（4-26）也可以看出 fnabla 扮演類

似「變化率」的角色

空間中將相同值 f ( )r ＝f1 的點連

起來就得到一個 f ( )r ＝f1 的「等值面」如 Fig36考慮純量場 f( r )的

相鄰兩個等值面各對應定值 1f f= 與 1f f df= + 0df gt P1 點在 f1

等值面上相鄰兩點 P2P3 在 1f df+ 等值面上而向量 1 2 ˆnP P dn e dn= =

過 P1 點垂直於 f1 等值面 1 3 ˆP P d e d= = 與 ˆne dn夾角為α 由於不

論 1 2P Prarr 或 1 3P Prarr f 的變化量都是 df 但因距離 dn 係兩等值面最

4-33

短的距離d dngt 所以 1 2P Prarr 或 1 3P Prarr 造成的「變化率」df dfdn d

gt

而過 P1 點的最大變化率為dfdn

換言之向量 ˆndfedn

為過 P1 點垂直於

f1 等值面且指向最大「增加率」的方向 現在要證明

ˆndfe fdn

= nabla （4-67）

考慮 1 3P Prarr 造成的 f 值的變化率

ˆ ˆcos n ldf df dn df df e edl dn dl dn dn

α= = = sdot

ˆ ˆ ˆn l ndf dfdf e e dl e dldn dn

rArr = sdot = sdot

和（4-61）式df f dr= nabla sdot 相比即可得證 ˆndfe fdn

= nabla 所以可以知道

空間純量場 f ( )r 中任一點處的向量 fnabla 必「垂直」於「通過該點的 f的等值面」且指向 f 值最大「增加率」的方向| ( )f rnabla |就是 f 在 r 點

的最大增長率可以進一步定義等值面的「法線 normal」方向為

ˆ fnf

nabla=nabla

（4-68）

結論給定一個純量場 f( r )在每一點 r 可以定義一個稱做「梯度」

的向量 fnabla fnabla 垂直於過 r 點的 f 等值面且指向最 f 大增加率的方向

fnabla 的方向也定義了 f 等值面的法線方向

Ex30 考慮一個 2D 的 scalar field 2( )f x y y x= minus 計算該場在 )20( 的梯度與

法線方向

解 ˆ ˆ ˆ ˆ2f ff x y x yyx ypart part

nabla = + = minus +part part

ˆ ˆ(0 2) 2 2f i jnabla = minus + ˆ ˆ ˆ ˆ2 2 2 2ˆ(0 2)

31 8i j i jn minus + minus +

rArr = =+

4-34

ex31 點電荷 q 置於原點其產生電位為 ( ) qV rr

= 求負梯度qr

minusnabla

解 3

2 2 2 22 2 2

2 ( )2

q q q q x x y zr x rx y z

minuspart minus= rArr = sdot + +

part+ +

3 23

ˆˆ ˆ ˆ( )q ix jy kz r rq q qr r r r

minus + +rArr minusnabla = minus = = （點電荷的電場）

0 0

1 1 r r

noter r= =

nabla rarrinfin rarrinfin∵ 是不定值是因為 r = 0 處為最大值

「增加率」的方向無法確定

ex32 置一熱源於原點空間溫度分佈為1( )

( 2)T r

r=

+求溫度的梯度

解 2 2 2

ˆ( ) ( )( 2) ( 2) ( 2)

x rT r rr rT r

x r r r

minuspart minus

= rArrnabla = =part + + +

此處的負號表示梯

度指向熱源因為距熱源越遠溫度越低 ( 0)note T rnabla = 為不定值

因在最頂點「增加率」的方向無法確定

Ex33 地圖上山脈的等高線上各點的垂直方向由梯度決定現有一座

山是橢球 2)1(4 222 =+++ zyx 在 x-y 平面上方的

部分求地圖上這座山等高線的梯度

解 山高 142 22 minusminusminus== yxzh 所以等高線為橢

圓 222 )1(24 +minus=+ hyx 梯度

( ) ( ) ( )2 2 2 2

2 2

ˆ ˆ4ˆ ˆ2 4 1 2 4 1

2 4

xx y yh x x y y x y

x y x y

minus +part partnabla = minus minus minus + minus minus minus =

part part minus minus

所以自山腳（h=0）登山若由(012)開始 ˆ(01 2) 2h ynabla = minus 但若由

)02(minus 開始爬山 ˆ( 20) 2h xnabla minus = 可見 )02()210( minusnablagtnabla hh 這表

示由 y-軸登山山勢較陡所以「梯度」比由 x-軸登山為大這也更

清楚瞭解「梯度」的幾何意義

4-35

sect 432 Divergence 散度與 Curl 旋度

在(4-66) 我們建立了一個直角座標 vector operator 「del」

ˆ ˆ ˆx y zx y zpart part part

nabla equiv + +part part part

(4-66)

若與向量場 A 做「內積」與「外積」就建構了 A 的「散度」與「旋度」

散度 A A scalaryx zAA Adiv ax y z

partpart partequiv nabla sdot = + + =

part part part （4-69）

旋度

y yz x z x

ˆ ˆ ˆ y z A vector

A AA A A Aˆ ˆ ˆxy z z x x y

x y z

x y z

xcurl A a

A A A

y z

⎧⎪

= nablatimes = part part part =⎪⎪⎨⎪

part part⎛ ⎞ ⎛ ⎞part part part part⎛ ⎞⎪ = minus + minus + minus⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎪ part part part part part part⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎩

(4-70)

這裡定義的只是「散度」與「旋度」所謂「操作型的定義」告訴我

們如何計算的式子事實上她們都具有重要的物理意義我們在後面

會討論

ex34 ˆ ˆA xy yx= minus 求其散度與旋度

解 0 0y xAx ypart part

nablasdot = minus + =part part

ˆ ˆ ˆ y zˆ ˆ ˆ ˆ 0 0 ( 2) 2

0 x y z

xA x y z z

y xnablatimes = part part part = minus + minus = minus

minus

右圖示意了本向量場的分佈看得出像個漩渦也看到算出的旋度

0ne 看來旋度表現的應該是向量場「旋轉的程度」事實上我們在

後面會看到「旋度」表現的就是是向量場在空間各點「旋轉的程度」

本題的向量場在每一點的旋轉程度都一樣

4-36

Ex35 ( )ˆ ˆ ˆ A xx yy zz r= + + = 求其散度與旋度

解 3A rnablasdot = nablasdot = ˆ ˆ ˆ y z

0

x y z

xA

x y znablatimes = part part part =

由場分佈的示意圖可以看出本向量場是自原點向外射出好似在原

點有一個場線的「源頭 source」但是 3Anablasdot = 為一個常數表示好像到

處都有 source同時旋度為 0 也可以配合本場並無旋轉的形象事實

上「散度」表現的就是是向量場在空間各點產生「場線」的 source

記得靜電學裡的庫倫定律 0E ρ εnablasdot = 電場的散度就是「電荷密度」

(電場的 source)前一題的向量場看來對應的場線是封閉的所以沒有

source這也對應了其散度＝0不過一個向量場的散度旋度究竟是

多少應該詳細的計算場分佈圖形有時候不是那麼容易看的清楚

兩個 useful identities (恆等式)

(a) ( ) 0 0f curl of a gradnablatimes nabla = =

(b) ( ) 0 0A div of a curlnablasdot nablatimes = =

pf (a) ( )ˆ ˆ ˆ x y z

x y z

x y z

ff f f

nablatimes nabla = part part part

part part part

( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2xz zxˆ ˆ ˆx y f- f z 0yz yz xy yxf f f f= part minus part minus part part + part minuspart =

這個結果與真實的向量外積 ( ) AA 0=times 有相似之處但是這只是特

例要記得nabla並不是一個真正的向量

( ) ( ) ( )

( )

ˆ ˆ ˆ y zˆ ˆ ˆ x y z

0

x y z y z z y x z z x x y y x

x y z

xy z xz y xy z yz x xz y yz x

xA A A A A A A

A A A

A A A A A A A

nablatimes = part part part = part minus part minus part minus part + part minus part

nablasdot nablatimes = part minuspart minuspart +part +part minuspart =

4-37

此結果與真實的向量運算有相似之處 ( )( )0 (B A) BB B Asdot times = times perp∵

但是這仍只是特例因為我們可由下列例子 ( ) 0A Asdot nablatimes ne 看出事實上

nabla並不是一個真正的向量 Ex36 ˆ ˆ ˆA xy yx zx= minus +

( )

ˆ ˆ ˆ y zˆ ˆ ˆ 0 1 ( 2)

2 0

x y z

xA x y z

y x x

A A x x x

nablatimes = part part part = minus + minus

minus

sdot nablatimes = minus = minus ne

面積元素向量

物理上時常會遇到面積分例如電通量磁通

量等等考慮一個面積元素 ds定義「面積的

方向」為其「法線方向」並定義面積元素向量

ˆnds a dsequiv （4-71）

要注意的是(1)如果 ds 是一個「封閉面

closed surface」（即有裡外之分）的一部

份則 ˆna 定義為「由內向外」(2) 如果 ds

是一個「開放面 opened surface」（即分不

出裡外）的一部份那麼 ds 必被其邊緣

（一個封閉的曲線 C）所包圍這樣在定

出ds 的方向之前要先定義「邊緣曲線」

C 的方向再由右手定則定義 ˆna 的方向

既然面積已為一個向量就可以寫為分量表示以直角座標

ˆ ˆ ˆx y zds xds yds zds= + + (4-72)

那麼這些分量 dsx dsy dsz 會是什麼既然 dsx 的方向是 x 就表示 dsx

是躺在 y-z 平面上所以 dsx 的兩邊是 dy 與 dz rArr xds dydz= 依此類

4-38

推 dsy 的方向是 y 所以躺在 x-z 平面rArr yds dxdz= hellip可以得知

xds dydz= yds dxdz= zds dxdy= （4-73）

不過要注意在寫面積元素時要看討論的面實際

是什麼面上式的三個分量有可能會是負的例如

左圖座落在第一象限的立方體的 A 面方向就在 xminus

方向Arsquo面在 yminus Ardquo面在 zminus 方向寫面積元素最

好是先把討論的面的方向搞清楚把plusmn號寫在單位向量前面那麼分

量就都用＋的即可其實面積元素體積元素都可以由位移元素看出

ˆ ˆ ˆdr xdx ydy zdz= + +

dx dy dz 是沿著 ˆ ˆ ˆ x y z 方向的長度所以面積元素分量的兩邊長度就

是由其中兩個組成而體積的三邊也就是三個垂直方向的長度

x y zdV dx dy dz and ds dydz dxdz dxdyrArr = = （4-74）

這個概念在其他的座標系統也成立我們可以方便的寫出面積元素

Recall 柱座標的位移向量元素

cylindrical coordinate ˆ ˆ ˆdr d d dzzρρ ρ ϕϕ= + + （4-48）

ˆ ˆ ˆ zds ds ds zdsρ ϕρ ϕ= + + (4-75)

dsρ 躺在 zϕ minus 平面dsϕ 在 zρ minus 平面 zds 在ρ ϕminus 平面

rArr zds d dz ds d dz ds d d d dρ ϕρ ϕ ρ ρ ρ ϕ ρ ρ ϕ= = = sdot = （4-76）

上面的結果畫個圖看看吧球座標的位移向量元素

Spherical coordinate ˆ ˆˆ ( ) ( sin )dr rdr rd r dθ θ ϕ θ ϕ= + + （4-56）

ˆ ˆˆ rds rds ds dsθ ϕθ ϕ= + + （4-77）

rArr sin sin rds rd r d ds dr r d ds rd drθ ϕθ θ ϕ θ ϕ θ= sdot = sdot = sdot (4-78)

4-39

向量場 ( )A r 在 S 面上的「面積分（surface integral）」or「flux」

如左圖若有一「平面」S 且其上有「均勻」

場 B 分佈則通過 S 面的通量就是

ˆB B nSΦ = sdot

但考慮一任意「非均勻」向量場 ( )A r 在空間分佈選取任意曲面 S

探討 ( )A r 在 S 上之通量若ds 為 S 面上的面積元素在趨近於 0 的

小面積ds 上 A可視為均勻所以通過ds 之通量為 ( )d A r dsΦ = sdot 則 S

面之總通量為

Φ＝ ˆ cosS S S

A ds A nds A daϕsdot = sdot =int int int

( )OR

x x y y z zS

A da A da A da= + +int (4-75)

稱為 A 在 S 面上的「面積分」或「通量 flux」

上圖所繪就是一個任意面上分割出許多小面積舉出三個位置的通

量有+-與 0如果 S 面是為一「封閉面」則面積分寫為

S

A dssdotint （4-76）

4-40

ex37 Given 2ˆ ˆ ˆyzA xyz yx zx= + + 計算通量S

A dssdotint

S 面為在第一象限邊長＝1 的立方體表面封閉面

解立方體分為前後右左上下六個面分開算 1前面（x=1）

方向 x+ ˆ xA ds A xdydz A dydzsdot = sdot =int int int前 前 前

yzdydz= int前 ＝1 1

0 0

1 1 12 2 4

ydy zdz = sdot =int int

2後面(x=0)方向 xminus ˆ(- ) - xA ds A x dydz A dydzsdot = sdot =int int int後 後 後

yzdydz= minusint後1 1

0 0

-1 1 -12 2 4

ydy zdzminus = sdot =int int

3 右面（y=1）方向 y+ y ( 1)yA ds A dxdz A y dxdzsdot = sdot = =int int int右 右 右

( 1)x y zdxdz= =int右 ＝1 1

0 0

1 1 12 2 4

xdx zdz = sdot =int int

4 左面（y=0）方向 ˆ-y ˆ( y) - ( 0)yA ds A dxdz A y dxdzsdot = sdot minus = =int int int左 左 左

( 0) 0x y zdxdz= = =int左

5 上面（z=1）方向 z+ zz y (z 1) yA ds A dxd A dxdsdot = sdot = =int int int上 上 上

2 yx dxd= int上 ＝1 120 0

1 1y 13 3

x dx d = sdot =int int

6 下面（z=1）方向 ˆ-z zˆ(-z) y - (z 0) yA ds A dxd A dxdsdot = sdot = =int int int下 下 下

2 -1- y3

x dxd= =int下 ＝1 120 0

1 1y 13 3

x dx d = sdot =int int

S

A dssdotint ＝六個面的和＝1 1 1 1 1 1( ) ( 0) ( )4 4 4 3 3 4

minus minus+ + + + + =

ex38 Given ˆ ˆ ˆzA xyz yx zxy= + + 計算通量S

A dssdotint S 為圓 2 2 2x y a+ =

在第一項限的部分方向選為 z+ 2 2y a x= minus

4-41

解 2 2 4

0 0ˆ

8a a x

zS S S S

aA ds A zdxdy A dxdy xydxdy xdx ydyminus

sdot = sdot = = = =int int int int int int

Ex39 In cylindrical coordinate Given ˆ ˆaA zbzρρ

= + where a b are

constants Find S

A dssdotint over the surface of a

closed cylinder about z-axis specified by 3 2z ρ= plusmn =

解S 分為上下與周邊三面

zz (z 3)zA ds A ds A d dρ ρ ϕsdot = sdot = = sdotint int int上 上 上

= 23 3 2 12bd d b bρ ρ ϕ π πsdot = sdot =int上

ˆ(-z)A ds A d dρ ρ ϕsdot = sdot sdotint int下 下

= z- (z -3)A d dρ ρ ϕ= sdotint下 = 23 2 12b bπ πsdot =

周邊ds ˆ ( )d dzρ ρ ϕ= rArr ˆ ( ) z ( ) zA ds A d d A d dρρ ρ ϕ ρ ϕsdot = sdot =int int int周 周 周

2 3

0 3( ) z ( ) z=a 12aA d d d d d dz a

πρ ρ ϕ ρ ϕ ϕ π

ρ minus= = =int int int int周 周

加起來 S

A dssdotint ＝12 24 12 ( 2 )a b a bπ π π+ = +

ex40 一點電荷 q 置於原點計算在一個以原點為圓心 0r 為半徑的球

面上的電通量

解 2 20 0

ˆ ˆ4 4S S

qr q dsE ds rdsr rπε πε

sdot = sdot =int int int

=0 0 0

44 4S

q q qd ππε πε ε

sdot Ω = sdot =int

上式中 dΩ 2dsr

= 是 ds 所張開的「立體角」(solid angle)

4-42

div A and Flux 通量與散度的幾何物理意義

我們運用過nabla的符號來表示過散度 divF F= nablasdot yx zFF Fx y z

partpart part= + +part part part

但是也看到「散度」定義為

0( )

1( ) limSV

about x y z

divF x y z F da divergence of FVΔ rarr

equiv sdot =Δ int (4-77)

其中 VΔ 為 S 面所包含的體積即散

度為通量(體)密度的 0 體積極限

（4-77）的定義與 Fnablasdot 好像差的很

多她們是說同一回事嗎以下證明

這兩種「散度」的定義是等價的如

左圖考慮一個以點 ( ) x y z 為中心

的 立 方 體 其 相 鄰 三 邊 長 為

x y zΔ Δ Δ 體積 V x y zΔ = Δ Δ Δ 現在計算 F 在立方體的一組平行於 y-z平面的表面 S1 與 S2 的通量

( )1 1

ˆ ˆ xS S

F nds F xds F x y z dsrArr sdot = sdot =intint intint intint 2xxF x y z y zΔ⎛ ⎞asymp + Δ Δ⎜ ⎟

⎝ ⎠

其中 2xx y zΔ⎛ ⎞+⎜ ⎟

⎝ ⎠為 S1 面中心的座標而

2xx y zΔ⎛ ⎞minus⎜ ⎟

⎝ ⎠為 S2 面的中心

( ) ( )2 2 2

ˆ ˆ 2x x

S S S

xF nda F x ds F x y z ds F x y z y zΔ⎛ ⎞rArr sdot = sdot minus = minus asymp minus minus Δ Δ⎜ ⎟⎝ ⎠intint intint intint

上式中的負號來自 S2 面的方向是 xminus 所以合併兩個面積分

1 2

ˆ 2 2x x

S S

x xF nds F x y z F x y z y z+

Δ Δ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞rArr sdot asymp + minus minus Δ Δ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦intint

2 2x xx xF x y z F x y z

x y zx

Δ Δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠= Δ Δ Δ

Δ

2 2

x xx xF x y z F x y z

Vx

Δ Δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠= Δ

Δ

1 2

1 2 2ˆ

x x

S S

x xF x y z F x y zF nds

V x+

Δ Δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠rArr sdot asymp

Δ Δintint

4-43

當取體積向(xyz)點收縮至 0 時即 0 x 0as VΔ rarr Δ rarr 上式的近似

「asymp」就成了「＝」

1 20

1 ˆlimV

S S

F ndsVΔ rarr

+

sdotΔ intint

( )0

2 2limx x

x

x

x xF x y z F x y z F x y zx xΔ rarr

Δ Δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟ part⎝ ⎠ ⎝ ⎠= =Δ part

Similarly F 在立方體的一組平行於 x-z 平面的表面 S3 與 S4 的通量

3 3 3

ˆ ˆ yS S S

F nds F yds F dsrArr sdot = sdot =intint intint intint

2

2

y

y

yF x y zyF x y z x z x y z

y

Δ⎛ ⎞+⎜ ⎟Δ⎛ ⎞ ⎝ ⎠asymp + Δ Δ = Δ Δ Δ⎜ ⎟ Δ⎝ ⎠

( )4 4 4

2ˆ ˆ

y

yS S S

yF x y zF nds F y da F ds x y z

y

Δ⎛ ⎞minus⎜ ⎟⎝ ⎠rArr sdot = sdot minus = minus asymp Δ Δ Δ

Δintint intint intint

合併 S3 與 S4 兩個面積分並取體積向(xyz)點收縮至 0 時即當

0 y 0VΔ rarr Δ rarr 上式的近似asymp就成了＝

3 4

2 2ˆ

x x

S S

y yF x y z F x y zF nds V

y+

Δ Δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠rArr sdot cong Δ

Δintint

3 40 0

1 2 2ˆlim lim

x xy

V yS S

x yF x y z F x y z FF nds

V y yΔ rarr Δ rarr+

Δ Δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟ part⎝ ⎠ ⎝ ⎠rArr sdot = =Δ Δ partintint

與上面相同的作法計算 F 在立方體的一組平行於 x-y 平面的表面 S5

與 S6 的通量我們也會得到對應的結果

5 6

2 2ˆ

z x

S S

z zF x y z F x y zF nds V

z+

Δ Δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠rArr sdot cong Δ

Δintint

5 60 0

1 2 2ˆlim lim

z xz

V zS S

z zF x y z F x y zFF nds

V z zΔ rarr Δ rarr+

Δ Δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟ part⎝ ⎠ ⎝ ⎠rArr sdot = =Δ Δ partintint

所以合併立方體的 6 個面積分

4-44

1 2 3 4 5 6

ˆ ˆ ˆ ˆS S S S S S S

F nds F nds F nds F nds+ + +

rArr sdot = sdot + sdot + sdotint intint intint intint

0

1 ˆlim yx zV

FF FF nds div F FV x y zΔ rarr

partpart partrArr sdot = + + = = nablasdot

Δ part part partint (4-78)

在此我們得證這兩種「散度」的定義是等價的只是（4-77）的定義

充分的表現出「散度」的幾何物理意義他從通量著手由於場線

出自於 source（ex電場源自於點電荷）所以在點(xyz)必須有向量場

F 的 source 存在才能使得當面積縮到 0 時仍具有非 0 的通量所以「散

度」表現向量場 F 的 source 在這個定義之下是很清楚的當然在計算

「散度」時我們不必那麼麻煩用 divF F= nablasdot 就好了

Ex41 計算 2ˆ ˆ ˆF xx yxy zyz= + + 的散度

解 2 yx zFF Fx x yx y z

partpart part= = =

part part part F 2x x y 3x ydivrArr = + + = +

recall 在靜電學0

yx zEE EEx y z

ρε

partpart partnablasdot = = + +

part part part

散度定理 Divergence Theorem

若任意封閉面（又稱為「高斯面」）S 所包圍的

體積為 V 則

S VA ds Adτsdot = nablasdotint int （4-79）

pf 我們先將體積分割成 N 個小盒子考慮相鄰的兩個小盒子 1 2

兩小盒子的共用面面積 S0當 S0 是為 1 號盒子的一部份時其方向為

1n 但若當為 2 號盒子的表面時其方向為 12 ˆˆ nn minus= 如此在 S0 分別做

4-45

1 2 盒子的面積分後

0 0

0 0 0 0

1 2

1 2 1 1ˆ ˆ ˆ ˆ 0

S S

S S S S

A ds A ds

F n ds F n ds F n ds F n ds

sdot + sdot

= sdot + sdot = sdot minus sdot =

intint intintintint intint intint intint

所以若求場 A 在 1 2 盒子的總通量時交界面是沒有貢獻的總通量

就只有「外面積」才有貢獻如此我們計算 N 個小盒子的總通量

時所有的內部共用面都得 0只剩下「外表面」的貢獻了當 infinrarrN

時所有小盒子的「總外表面」就與 S 面重合了所以所有小盒子通量

的總和就等於 S 面的通量

1lim

i

N

S SN iA ds A ds

rarrinfin=

rArr sdot = sdotsumint int

現在我們做 N 個小盒子的總通量

1 1

1i i

N N

iS Si i i

A ds A ds VV= =

⎛ ⎞sdot = sdot Δ⎜ ⎟Δ⎝ ⎠

sum sumint int

當 0iN Vrarrinfin rArr Δ rarr 並用 dv 表示體積元素

( ) ( )1 1

1

1lim lim lim

lim

i ii

N N

iS SN N V oi i i

N

i VN i

A ds A ds VV

A V A dv

rarrinfin rarrinfin Δ rarr= =

rarrinfin=

⎛ ⎞sdot = sdot Δ⎜ ⎟Δ⎝ ⎠

= nablasdot Δ = nablasdot

sum sumint int

sum int

( )S V

A da A dvrArr sdot = nablasdotint int QED

所以得證散度定理上式中我們用了散度的（4-77）式定義要分辨

清楚 Anablasdot 是向量場 A 在空間中「某一點」的性質（ 0VΔ rarr ）而「散

度定理」說的是一個「有限體積」的性質

ex42 給定 ( ) ˆ ˆ ˆ A x y z xx yy zz r= + + = 計算在

半徑 R＝1 的球的上半球加底面的通量

4-46

解 ( )ˆˆS

A da A rda A k darArr sdot = sdot + sdot minusint int int上半球面 底面

( )

2

ˆ ˆ

0 2 1 2

A rda A z dxdy

r rds zdxdy rds ds π π

= sdot + sdot minus

= sdot minus = minus = = sdot =

int int

int int int int上半球面 底面

上半球面 底面 上半球面

底面的通量＝0 是因為 A 的 z 分量 Az=z 在底面的值為 0

也可以用散度定理更快的得出結果

∵ 3A rnablasdot = nablasdot =

31 43 3 1 22 3V V

Ad d πτ τ πnablasdot = = sdot sdot sdot =int int

ex43高斯定律的微分形式積 由 Gaussrsquo law 的積分形式用散度定理得出其

( )0 0

1 inS V

qE ds x y z dvρε ε

sdot = =int int

0S V VE ds Edv dvρ

εrArr sdot = nablasdot =int int int

上式最後的等式對「任意形狀」V 都成立所以兩者的被積函數相等

對於空間每一點 0

E ρε

nablasdot = （4-80）

ex44 Use 第一象限的單位力方體 check the divergence theorem using the function 2 2ˆ ˆ ˆ(2 ) 2A y x xy z y yzz= + + +

解2

2( ) (2 )(2 ) 2( )y yzA xy z x yx y z

part part partnablasdot = + + + = +

part part part

and 1 1 1 1 1 1

0 0 0 0 0 02 ( ) 2 ( )

VAdv x y dxdydz dz dy x y dxnablasdot = + = +int int int int int int int

1 1

0 0

1 12 ( ) 2 12 2

dz y dy= + = sdot =int int

面積分 1 1 2

0 0

1ˆ3

A ds A xdydz dz y dysdot = sdot = =intint intint int int前 前

4-47

1 1 2

0 0

1ˆ( )3

A ds A x dydz dz y dy minussdot = sdot minus = minus =intint intint int int

後 後

1 1 2

0 0ˆ (2 )A ds A ydxdz dz xy z dxsdot = sdot = +intint intint int int

右 右

1 1 1 12 2

0 0 0

4(2 ) (1 )3

ydz x z dx dz z

=

= + = + =int int int∵

1 1 2

0 0

0 1 1 12 2

0 0 0

ˆ( ) (2 )

1(1 )3

y

A ds A y dxdz dz xy z dx

dz z dx dz z=

sdot = sdot minus = minus +

minus= minus = + =

intint intint int int

int int int∵

左 左

11 1 1 1

0 0 0 0ˆ 2 2 1

zA ds A zdxdy dx yzdy dx ydy

=sdot = sdot = = =intint intint int int int int

∵

上 上

01 1

0 0ˆ 2 0

zA ds A zdxdy dx yzdy

=sdot = sdot minus = minus =intint intint int int

∵

下 下

前後右左上下六個面積分合併＝1＝V

Advnablasdotint QED

ex45 Continuity Equation 連續方程式

考慮某些「東西」的流動（物質電荷hellip）在時刻 t 時在點(xyz)

的 密 度 為 ( ) x y z tρ ρ= 並 具 有 速 度

( ) v v x y z t= 在時刻 t 時在體積 V 內的總量為

( ) x y z t dρ τintintint

這樣體積 V 內東東的時變率為

( ) ( ) d x y z t d x y z t ddt t

ρρ τ τpart=

partintintint intintint

注意體積分後的時間全微分移入積分內要改為偏微分這個東東

在表面的「流率 flow rate」可表為

ˆS

R v ndsρ= sdotintint

若體積內的物料無法自生自滅那麼體積內物料的變化必經由表面的

流出流入所造成

d v ndstρ τ ρpart

rArr = minus sdotpartintintint intint

由散度定理

4-48

( )ˆS

v nds v d dtρρ ρ τ τpart

sdot = nablasdot = minuspartintint intintint intintint

( )v Jtρ ρpart

rArr = minusnablasdot equiv minusnablasdotpart

0Jtρpart

rArr +nablasdot =part

（4-81）

(4-81) 即 continuity equation其中 J vρ= 為「物流密度」ex如果 ρ

是電荷密度 J 就是電流密度（4-81）是物質守恆的結果只對體

積內無 source（生成）or drain（消滅）的東東成立

ex46 Given a vector field ˆ ˆx yA ye xe= minus + (a) Find

Anablasdot (b)如圖一個金字塔狀的 5 面體高 2 底邊長

1計算 A在整個金字塔表面（封閉面）的總通量

解(a) Anablasdot = ( ) ( ) 0y xx ypart part

minus + =part part

(b) 金 字 塔 的 表 面 面 積 元 素 ds 不 好 寫 所 以 用 散 度 定 理

( )S V

A da A dvrArr sdot = nablasdotint int ＝0 Anablasdot 表示 A沒有 source 所以對封閉面而

言有多少場線進入就有多少出去所以總通量＝0

習題 7 With position vector r for an arbitrary volume V that is

bounded by surface S show that 13 S

r ds Vsdot =int

習題 8 已知一靜電場為 ˆ ˆ ˆ( )E xyz yxz zxyλ= + + 運用 Gaussrsquo law

試求包含在半球 2 2 2 2 0x y z R z+ + = ge 裡的總電荷 Ans 0

習題 9 (a) given ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( 2 )F r xf x yf y zf z= + + minus show that divF is

zero at point (c c -c2) (b) given ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( )G r xf x z yg x z zh x y= + +

show that ( ) 0G rnablasdot =

4-49

習題 10 Find the normal vector n for the surfaces (a) z = 2-x-y ans

ˆ ˆ ˆ( ) 3x y z+ + (b) z = (1-x2)12 ans ˆ ˆxx zz+ (c) z = x2+y2

ans ˆ ˆ ˆ( 2 2 ) 1 4xx yy z zminus minus + +

習題 11 Show that the unit vector normal to the plane ax+by+cz =d is

given by 2 2 2ˆ ˆ ˆ( ) ax by cz a b cplusmn + + + +

圓柱座標與球座標的nabla (del)

考慮一純量場在直角座標為 ( ) u x y z 在圓柱座標表為 ( ) u zρ φ

再考慮因位移 r r drrarr + 所造成 u ( )zρ φ 的變化

( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆz

z

u u udu d d dz u dr u d d zdzz

u u z u d d zdz

u d u d u dzρ ϕ

ρ ϕ

ρ ϕ ρ ρ ϕρ ϕρ ϕ

ρ ϕ ρ ρ ϕρ ϕ

ρ ρ ϕ

part part part= + + = nabla sdot = nabla sdot + +part part part

⎡ ⎤= nabla + nabla + nabla sdot + +⎣ ⎦= nabla + nabla + nabla

( ) ( ) ( )1

1ˆ ˆ ˆu

z

u u uu u uz

u u uzz

ρ ϕρ ρ ϕ

ρ ϕρ ρ ϕ

part part partrArr nabla = nabla = nabla =

part part partpart part part

rArrnabla = + +part part part

1ˆ ˆ ˆ zz

ρ ϕρ ρ ϕpart part part

nabla = + +part part part

（4-82）

注意nabla的ϕ -分量( 1ρ ϕ

partpart

)不是像直角座標裡單純的ϕpartpart

所以不要笨笨

的就把直角座標的形式硬套上去用我們也可以從「因次分析」來

看nabla因為是對空間的微分所以每一項的因次必須是「長度分之一」

運算 andzρ

part partpart part

都是「長度分之一」而「單純的ϕpartpart

」是沒有單位的

所以要1ρ ϕ

partpart

才 OK

由於圓柱座標裡的單位向量除了 z 之外 ˆ( )ρ ϕ 與 ˆ( )ϕ ϕ 都不是常

4-50

數所以在微分時不可以與微分運算交換而要考慮微分的作用所

以在「圓柱座標」寫「散度」 ( ) F zρ ϕnablasdot 也和直角座標不一樣

( )1ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ zF z F F zFz ρ ϕρ ϕ ρ ϕ

ρ ρ ϕpart part part⎛ ⎞

nabla sdot = + + sdot + +⎜ ⎟part part part⎝ ⎠

( ) ( )1ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆz zF F zF F F zFρ ϕ ρ ϕρ ρ ϕ ϕ ρ ϕρ ρ ϕpart part

= sdot + + + sdot + +part part

( )ˆ ˆˆ ˆ zz F F zFz ρ ϕρ ϕpart

+ sdot + +part

因為 ( ) ( )ˆ ˆ ˆ ˆ ρ ρ ϕ ϕ ϕ ϕ= = 所以做 andzρ

part partpart part

時 ˆ ˆ ρ ϕ 可視為常數

ˆ ˆ1ˆ ˆ ˆ zF F F FF F Fz

ρ ρ ϕρ φ

ρ ϕϕ ρ ϕρ ρ ϕ ϕ ϕ ϕ

part part part⎡ ⎤part part partrArrnablasdot = + sdot + + + +⎢ ⎥part part part part part part⎣ ⎦

還記得 ˆ ˆ ˆ ˆd d d dρ ϕ ϕ ϕ ρ ϕ= = minus 所以 ˆ ˆρ ϕϕpart

=part

ˆ ˆϕ ρϕpart

= minuspart

rArr

( )1 1 1z zF F F FF FF Fz z

ρ ρ ϕ ϕρρ

ρ ρ ρ ϕ ρ ρ ρ ϕpart part part part

nablasdot = + + + = + +part part part part part part

（4-83）

在球座標寫nabla也會遇到相似的問題其根源就是球座標 ( )r θ ϕ 裡

的 θ ϕ 的因次並非長度而三個單位向量 ˆ ˆˆ r θ ϕ（表為 ie ）都是( θ ϕ )

的函數以致

( )ˆ ˆ( ) ( )i ie f e fθ ϕ θ ϕθ θpart part

nepart part

且 ( )ˆ ˆ( ) ( )i ie f e fθ ϕ θ ϕϕ ϕpart part

nepart part

所以nabla也不似在直角座標那麼簡單我們不在這裡推導而是給出一

個歸納的統一的三個座標的結果還記得對每一個座標 iu i = 123

座標的變化 idu 與造成的長度變化 id

i i id h du= 123i = (4-84)

其中 ih 為對應的度量係數(metric coefficient)

4-51

1 2 3

1 1 2 2 3 3

1 1 1ˆ ˆ ˆu u ue e eh u h u h u

part part partnabla equiv + +

part part part （4-85A）

座標 1 2 3 u u u

度量係數

1 2 3 h h h

nabla grad del

直角 x y z

1 1 1 nabla ˆ ˆ ˆx y z

x y zpart part part

equiv + +part part part

圓柱

zρ ϕ

1 1ρ

1ˆ ˆ ˆ z

zρ ϕ

ρ ρ ϕpart part part

nabla equiv + +part part part

球

r θ ϕ

1 sinr r θ

1 1ˆ ˆˆ

sinr

r r rθ ϕ

θ θ ϕpart part part

nabla = + +part part part

（4-85B）

梯度gradient Vnabla grad(V) 散度divergence Anablasdot div( )A

直

角 nablaV ˆ ˆ ˆV V Vx y z

x y zpart part part

= + +part part part

yx zAA AAx y z

partpart partnablasdot = + +

part part part

圓

柱

1ˆ ˆ ˆ V V VV zz

ρ ϕρ ρ ϕpart part part

nabla = + +part part part

( )1 1

1

z

z

A AA Az

A A A Fz

ϕρ

ρ ρ ϕ

ρρ ρ ρ ϕ

ρ ρ ρ ϕ

partpart partnabla sdot = + +

part part partpart part part

= + + +part part part

球

1 1ˆ ˆˆ sin

V V VV rr r r

θ ϕθ θ ϕ

part part partnabla = + +

part part part

22

1 ( )rA r Ar r

partnabla sdot =

part

1 (sin )sin

Ar θθ

θ θpart

+ sdotpart

1sin

Ar

ϕ

θ ϕpart

+part

(4-86)

Ex47 Using spherical coordinate show that 1| |r r

nablaminus

= 2

ˆ| |

r rer r

minusminusminus

where

nabla是作用在 r 而 ˆr re minus 是向量 r rminus 方向的單位向量 解let r lies in z-axis so that the angle between r and r is just θ

4-52

rArr ( ) 122 21 1 2 cos | | ( ) ( )

r rr rr r r r r r

θminus

= = minus +minus minus sdot minus

( ) ( )12 122 2 2 21 1ˆˆ 2 cos 2 cos | |

r r rr r r rr rr r r r

θ θ θθ

minus minuspart partnabla = minus + + minus +

minus part part

( ) 322 21ˆ 2 cos (2 2 cos )2

r r rr r r rθ θminusminus

= minus + minus

( ) 322 21ˆ 2 cos (2 sin )2

r rr r rrθ θ θminusminus

+ minus +

3 3 3 3

ˆˆ ˆ( cos ) sin ( cos sin )ˆˆ| | | | | | | |r r r rr r rrr r r r r r r r

θ θ θ θ θθminus minus minus minus minus= + = +

minus minus minus minus

3 3 3ˆ ( )

| | | | | |r r z r r r rr r r r r rminus + minus + minus minus

= = =minus minus minus

＝ 2

ˆ| |

r rer r

minusminusminus

QED

證明最後我們用到 ˆˆˆ cos sinz r θ θ θ= minus 而 ˆ r r z= 因為我們選了 r 是

躺在 z-軸 Ex48 For arbitrary scalar field ( )f r and vector field ( )A r 證明恆等式

( )fA f A f Anablasdot = nabla sdot + nablasdot (4-87) 解 ˆ ˆ ˆx y zfA xfA yfA zfA= + +

( ) ( ) ( ) ( )x y zfA fA fA fAx y zpart part part

rArrnablasdot = + +part part part

yx zx x x

AAf f f AA f A f A fx x y y z z

partpartpart part part part= + + + + +part part part part part part

yx zx y z

AAf f f AA A A fx y z x y z

part⎛ ⎞partpart part part part= + + + + +⎜ ⎟part part part part part part⎝ ⎠

f A f A= nabla sdot + nablasdot QED 習題 12 一個位於原點的電偶極電偶極矩＝ ˆp pz= 已知其在遠處

的電位為 20

cos4p

rθ

πε試證該處的電場強度為 E = 3

0

ˆˆ( 2cos sin )4

p rr

θ θ θπε

+

(已知 E V= minusnabla )並請計算 Enablasdot ＝

習題 13 給定一向量場2

3cosˆD r

rϕ

= 現有兩個球心在原點的同心球

內球半徑 R＝1外球 R＝2(a)求面積分S

D dssdotint S 為同心球殼的表

面（有內外兩個面）(b)求體積分V

Ddvnablasdotint V 為兩同心球之間的

區域本題也是來 check 散度定理的Ans πminus

4-53

The Laplacian operator 2nabla equivnablasdotnabla

在直角座標可以用直接作用得到

2 2 2

22 2 2u u uu u

x y zpart part part

nabla equiv nablasdotnabla = + +part part part

(4-88)

圓柱座標

2 2

22 2 2

1 1( ) u u uu uz

ρρ ρ ρ ρ ϕ

part part part part⎛ ⎞nabla equiv nablasdot nabla = + +⎜ ⎟part part part part⎝ ⎠

(4-89)

球座標

2

2 22 2 2 2 2

1 1 1sinsin sin

u u uu rr r r r r

θθ θ θ θ ϕ

part part part part part⎛ ⎞ ⎛ ⎞nabla = + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟part part part part part⎝ ⎠ ⎝ ⎠ （4-90）

習題 14 verify (4-89) and (4-90)

習題 15 Given a dipole potential V= 20

cos4p

rθ

πε find 2Vminusnabla

sect 433 Line integral and curl A 線積分與與旋度的物理意義

線積分路徑積分

考慮一曲線 C 通過兩點 ( )i i i iP x y z 與

( )f f f fP x y z 現有一向量場 ( )A x y z 定義在

C 所在的空間若 sd 為 C 上位於(xyz)點的

「路徑元素」（ ˆd td= 方向沿該處切線）而

( )A x y z 為路徑元素d 處的場值則沿 C 經歷各點所做積分

cos cosf

CC C iA d Ad A dϕ ϕrarr rarrsdot = =int int int （4-91）

稱為向量場 ( )A x y z 沿路徑 C 自 pi 至 pf 的「線積分」「或「路徑積分」

積分裡 A 取值的點侷限在路徑 C 上面若為一個「封閉路徑」則對

C 的線積分也稱做「環路積分 closed contour integral」記做

C

A dsdotint （4-92）

4-54

物理量「做功」是最標準的線積分之一力 F 自 x = a 至 x = b「沿線」

x 軸做功

W＝ F dxsdotint ＝ ( )b

xaF x dxint （4-93）

質點在力場 )(rF 裡走一條曲線 C則力場做功

CW F d= sdotint （4-94）

還記得如果 ( )F r 是所謂「保守力」則上式只與始末點有關而與

路徑無關但如果 ( )F r 是所謂「非保守力」則做功與確實的路徑 C

有關

現考慮一質點在空間運動的位置 r 落在由曲線 C

描述的路徑則質點的位移元素與曲線 C 的路徑元

素相同 d dr= 若空間有向量場 A 分佈則 A 在 C 的

路徑積分以直角座標表示為

CA drarr rarrsdotint ＝

CA d rrarr rarrsdotint ＝ ( )x y zC

A dx A dy A dz+ +int （4-95）

上式中的 x y z 的積分限由 C 決定

Ex49 2 2 2ˆ ˆ ˆA xx yy zzrarr= + + 選定一路徑 C 為曲線

2y x= 由 (000)到 (2 20)的部分求C

A dsdotint

解 ˆ ˆd xdx ydy= +∵

CA dsdotint ＝ 2 2( )

Cx dx y dy+int ＝

2 22 2

0 0x dx y dy+int int

＝ )24(32

+

或由 2y x= rArr 2ydy dx= 2 12

y dy xdxrArr =

rArrC

A dsdotint ＝2 2

0

1( )2

x x dx+int ＝2 (4 2)3

+

4-55

ex50 ˆ ˆ( )f x y z xy yx= minus Do C

f dsdotint 其中的路徑 C 為一逆時針三角

形如圖 解∵路徑全部在 x-y 平面 ˆ ˆ ˆd td xdx ydy= = +

rArrC

f dsdotint ＝ x yC

f dx f dy+int ＝C

ydx xdyminusint

由於在 C1 上 y = 0 及 dy = 0 所以 01

=intC 又由於在

C3 上 x = 0 及 dx =0所以 03

=intC 所以只剩下 C2 可

能有貢獻由 2C 的方程式x + y =1rArr ⎩⎨⎧

minus=minus=

xyyx

11

rArr2Cydx xdyminusint ＝

0 1

1 0(1 ) (1 )x dx y dyminus minus minusint int ＝

0 12 2

1 0

( ) ( )2 2x yx yminus minus minus ＝-1

Cf dsdotint ＝-1

ex51 ( )f x y zrarr

= 2ˆ ˆxx yxyminus 如右圖doC

f dsdotint 其

中路徑 C 為第一象限的逆時針 14 圓弧

解∵ 全部在 x-y 平面 ˆ ˆd xdx ydy= +

Cf dsdotint ＝ 2

Cx dx xydyminusint

由於在 C 上 cosx R ϕ= rArr sindx R dϕ ϕ= minus

siny R ϕ= rArr cosdy R dϕ ϕ=

rArr 2

Cx dx xydyminusint ＝

2 2 2 2

0cos ( sin ) sin cos cosR R d R R d

πϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕminus minus sdotint

23 2

02 cos sinR d

πϕ ϕ ϕ= minus int ＝

323Rminus

又路徑為圓周一部份所以適合用極座標表示

ˆd Rdϕ ϕ= 又由左圖將 ˆ ˆx y 拆解（投影）到 ˆˆr ϕ

ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆcos sin sin cosx r y rϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ= minus = +

4-56

( )2ˆ ˆ ˆˆ ˆ( cos sin ) ( sin cos )C C

f d r x r xy Rdϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕsdot = minus minus + sdotint int 2

2 2 2

0

sin (cos )

sin ( cos ) (cos ) cos sin

Cx Rd xyRd

R Rd R Rdπ

ϕ ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ

= minus minus

= minus minus

intint

23 2

02 cos sinR d

πϕ ϕ ϕ= minus int ＝

323Rminus

這也驗證了散度定理

Path Independence 路徑獨立性

Ex52 證明庫倫力為「保守力」考慮

電荷 q0 位於原點及電荷 q 位於

( )r x y zrarr= q 受力 F

rarr＝ 0

20

14

qq urπε

and

求庫侖力作功因為球形對稱所以

用球座標由 ˆ ˆ ru rr

= = rArr Frarr

= 03

04qq r

rπε

庫侖力由 P1 至 P2 做功為 2

1

P

CPF drarrsdotint ＝

2

1

02

0

ˆ ˆ ˆˆ sin4

P

PC

qq r rdr rd r dr

θ θ ϕ θ ϕπε

⎡ ⎤sdot + +⎣ ⎦int ＝2

1

02

04P

P

qq drrπεint

＝20

2104

r

r

qq drrπε int ＝ 0

0 1 2

1 1( )4qq

r rπεminus for all C

所以庫侖力兩點間做功與路徑無關rArr保守力

對於「保守力 conservative force」 cF 自 p1 經

由兩條不同的路徑 C1 與 C2 到達 p2

1 ccF drarrsdotint ＝

2 ccF drarrsdotint ＝-

2 ccF drarr

minussdotint

rArr1 2c cc cF d F drarr rarr

minussdot + sdotint int = cF d

rarrsdotint ＝0 (4-96）

對於任何「封閉路徑」保守力做功為 0反之若

對任一封閉路徑 0F drarrsdot neint 則兩點之間的做功與路徑有關

rarr

F 為「非

保守力」

4-57

旋度 curl Anablatimes 的幾何物理意義

我們在（4-70）式已經看過旋度的計算方式但旋度另有其意義的

ex53 給定向量場2 2

0ˆ yv yv e λrarr

minus= 左圖為場的分佈

2 20

ˆ ˆ ˆ

0 0x y z

y

x y zcurl v

v e λ

rarr

minus

= part part part ＝ ˆ ˆ ˆ0 0 0 0x y zsdot minus sdot + sdot =

我們用了簡寫 x yx ypart part

part equiv part equivpart part

可以看出這個場裡沒有「漩渦」

但是有無「漩渦」有時也不是那麼明顯可以看出的請見下一個例子

Ex54 給定向量場2 2

0ˆ xv yv e λrarr

minus= 計算其旋度 vnablatimes

解向量場 vrarr

畫在右邊你看得出有無漩渦

先計算旋度

2 20

ˆ ˆ ˆ

0 0x y z

x

x y zcurl v

v e λ

rarr

minus

= part part part2 2

2 2

0

0

ˆ

ˆ 2 0 0

x

x

z v ex

z v xe for x

λ

λ

minus

minus

part=

part

= minus ne ne

vrarr

的旋度在大部分的地方不為 0 且隨位置而不同但是你看得出這個

向量場裡有「漩渦」其實要檢驗一個向量場裡有無「漩渦」有一

個很物理的方法就是放一個小「螺旋槳」（左圖）

在場內將軸朝各個方向測試一

下如果有「漩渦」的話這個

小「螺旋槳」就會轉動右圖就是將「螺旋槳」的

軸平行於 z 軸且放在 x gt 0 的地方就可以看出左

邊的 v 場比右邊的強造成螺旋槳順時針轉動rArrcurlv zminus for x gt 0

但如果放在 x = 0 的地方就會看到左右兩端的 v 場強度相同而且

4-58

curlv = 0 「螺旋槳」放在 x lt 0 的地方就可以看出右邊的v 場比左

邊的強造成螺旋槳逆時針轉動這完全符合 curl v k+ 的結果

環路積分與旋度 curl 的物理意義

如同「散度」一樣「旋度」除了 Ftimesnabla 之外

還有一個物理意義更清楚的定義這個定義由

「線積分」說明如圖考慮做「逆時針」長方形

路徑 C1 的一個「環路積分」C1 面平行於 x-y 平

面由 z-軸看下去環路 C1 可以分為可以分為

下 CB上 CT右 CR左 CL 4 部分

CA drarrsdotint ＝

B T L RC C C CA d A d A d A drarr rarr rarr rarrsdot + sdot + sdot + sdotint int int int

分別計算由於 CB 的中點座標為 ( )2yx y zΔ

minus

ˆB BC C

A d A xdxrarr rarrsdot = sdot =int int

BxC

A dxint ( )2xyA x y z xΔ

asymp minus Δ

similarly 由於 CT 的中點座標為 ( )2yx y zΔ

+

ˆ( )T TC C

A d A xdxrarr rarrsdot = sdot minus =int int

TxC

A dxminusint ( )2xyA x y z xΔ

asymp minus + Δ

合併 CB 與 CT

B TC CA drarr

+sdot =int

( ) ( )2 2x xy yA x y z A x y z

x yy

Δ Δ⎡ ⎤minus + minus minus⎢ ⎥⎣ ⎦ Δ ΔΔ

（4-97）

由 C1 所圍的面積 S x yΔ = Δ Δ

1B TC C

A dS

rarr

+sdot =

Δ int( ) ( )

2 2x xy yA x y z A x y z

y

Δ Δ⎡ ⎤minus + minus minus⎢ ⎥⎣ ⎦Δ

（4-98）

所以當取極限 C1 收縮到中心(xyz)時 SΔ 收縮到 0ie

4-59

0limsΔ rarr

1B TC C

A dS

rarr

+sdot =

Δ int xAy

partminuspart

（4-99）

Similarly with CR 的 ˆd ydy= CL 的 ˆd ydy= minus 可得

1L RC C

A dS

rarr

+sdot =

Δ int x

zyxxFzyxxF yy

Δ

Δminusminus

Δ+ )

2()

2(

（4-100）

同樣的當取極限 C1 收縮到中心(xyz)時 SΔ 收縮到 0

0

limsΔ rarr

1L RC C

A dS

rarr

+sdot =

Δ int yAx

partpart

（4-101）

最後合併 CBCTCRCL 為 C1

10

1limCs

A ds

rarr

Δ rarrsdot =

Δ int y xA Ax y

part partminus

part partˆ ( ) ( )zz A A= sdot nablatimes = nablatimes （4-102）

注意 C1 的方向就是在 z 上式的重要

意義是當向量場 A 在一個以點(xyz)為

中心「方向為 z 」的面積元素的「邊界」

所做的環路積分得到的就是 A 在(xyz)

處旋度的 z-分量明顯的只有當 A 在

(xyz)附近有 x-y 平面上的「漩渦」那麼 C1 的環路積分才不會為 0

Similarly 取一個逆時針繞著(xyz)的平行於 x-z 平面的長方形環路 C2

（左圖）做環路積分再取極限將 C2 收縮到(xyz)就會得到

20

1limCs

A ds

rarr

Δ rarrsdot =

Δ int x zA Az x

part partminus

part partˆ ( ) ( )yy A A= sdot nablatimes = nablatimes （4-103）

注意到 C2 所包圍的面積方向就在 y到

現在我們應該已經很有經驗了若取一

個逆時針繞著(xyz)的平行於 y-z 平面

的長方形環路 C3（左圖）做環路積分

再取極限將 C3 收縮到(xyz)就會得到

4-60

30

1limCs

A ds

rarr

Δ rarrsdot =

Δ int yz AAy z

partpartminus

part partˆ ( ) ( )xx A A= sdot nablatimes = nablatimes （4-104）

能把（4-103）與（4-104）變出來的同學我們有優待綜合以上

我們可以得到一個結論若取一個以點(xyz)為中心的任意環路 Cn（其

所包圍的面積方向在 n ）則

n curl Aand rarrsdot ＝

0

1lims

Cn

A ds

rarr

Δ rarrsdot

Δ int （4-105）

明顯的當 n ＝ x 或 y 或 z 時我們可以重複（4-102）到（4-104）的

結果（4-70）式的行列式所定義的旋度在此看見其幾何物理意義

至此「旋度」的「漩渦」形象應該已經很清楚了只有在(xyz)點附

近的小圈圈上有「漩渦」 A 在小圈圈做的環路積分才會有值這個

值就是向量場 A 的「旋度」在小圈圈面積方向的分量

Stokersquos 定理

考慮一個開放面 S被其「有方向的」邊界 C 圈住(bounded by)則

( )S

A dsrarr rarrnablatimes sdotint ＝

C

A drarrsdotint （4-106）

pf 先將 S 面分割為 N 個多邊形這會使得邊界變成一個「折線」形

成的環路 P環路 P 會隨著分割的多邊形個數的增多而越加近似於原

「光滑的」邊界 C現考慮相鄰的

兩個多邊形的線積分由於共用邊

的方向是相反的所以相鄰兩個多

邊形線積分的和只剩「外邊界」（見左圖）所以當把所有的多邊形的

4-61

線積分加起來時由於只有邊界 P 不是多邊形的共用邊所以

1k

N

k C

A drarr

=

sdotsum int ＝P

A drarrsdotint rArr

P

A drarrsdotint ＝

1

1

k

N

kk k C

A d l ss

rarr rarr

=

⎡ ⎤sdot Δ⎢ ⎥

Δ⎢ ⎥⎣ ⎦sum int

其中 ksΔ 為第 k 個多邊形的面積取極限 0kN srarrinfinrArrΔ rarr P CrArr rarr

C

A drarrsdotint ＝

10

1limkk

N

kN k k Cs

A d ss

rarr

rarrinfin=Δ rarr

⎡ ⎤sdot Δ⎢ ⎥

Δ⎢ ⎥⎣ ⎦sum int 01

ˆlim ( )k

k kskn A s

infin

Δ rarr=

⎡ ⎤= sdot nablatimes Δ⎣ ⎦sum

01

ˆlim ( )k

k kskA n s

infin

Δ rarr=

= nablatimes sdot Δsum = ( )S

A dsrarr

nablatimes sdotint QED

ex55 由 Amperersquos law 的積分形式導出其微分形式

解Amperersquos law 的積分形式 C

B drarrsdotint ＝ I0μ (4-107)

由 Stokersquos 定理及電流密度 j 的定義上式等號兩端可寫為

rArr ( )S

B dsrarr rarrnablatimes sdotint ＝ 0 S

j dsμrarrsdotint

由於上面的等式對任意面 S（路徑 C）都成立所以被積函數相等

0B jμrarr rarr rarr

rArrnablatimes = (4-108) 此即 Amperersquos law 的微分形式

Ex56 Given a vector field ˆ ˆx yA ye xe= minus + (a) Find Anablatimes

解

ˆ ˆ ˆˆ ˆ(1 ( 1) 2

0x y z

x y zA z z

y xnablatimes = part part part = minus minus =

minus

(b)如圖一個金字塔狀的 5 面體高 2底邊長＝1計算 ( )S

A dsnablatimes sdotint

其中 S 為金字塔在 x-y 平面以上的部分方向如同

封閉的金字塔（運用 Stokersquos law）

解金字塔上表面的面積元素ds 不好寫由 Stokersquos

4-62

law ( )S

A dsrarr rarrnablatimes sdotint ＝

C

A drarrsdotint 其中封閉路徑 C 就是上表面的邊界而且

是逆時針（由 z 軸向下看）

C

A drarrsdotint ＝

1 1 0 0

0 0 1 1ˆ ˆ ˆ ˆA xdx A ydy A xdx A ydysdot + sdot + sdot + sdotint int int int

＝1 1 0 0

0 0 1 1x y x yA dx A dy A dx A dy+ + +int int int int 1 1 0 0

0 0 1 1( 0) ( 1) ( 1) ( 0)y dx x dy y dx x dy= minus = + = + minus = + =int int int int

0 1 1 0 2 ( ) 2S

A ds= + + + = rArr nablatimes sdot =int

旋度與 path independence

已知保守場 cF 對所有封閉路徑 C 0cC

F drarrsdot =int 由 Stokersquos 定理

0cC

F drarrsdot =int ＝ ( )cS

F dsrarr rarrnablatimes sdotint rArr 0cF

rarr rarrnablatimes =

這表示保守場＝無旋度反之無旋度的場任兩點間路徑積分與路

徑無關

Ex57 Given a field 2 2ˆ ˆ ˆ2A x xy yx zz= + minus (a) Find Anablatimes A 保守場

解2 2

ˆ ˆ ˆ

2x y z

x y zA

xy x znablatimes = part part part

minus

( ) ( ) ( )2 2 2 2ˆ ˆ ˆ( ) 2 ( ) 2 0y z z x x yx z x y xy z z x xy= part minus minuspart + part minuspart minus + part minuspart =

yes A =保守場

(b)如左圖由 A 到 B 做路徑積分A BC

A drarr

sdotint 路徑 C 為橢圓

22 1

16yx + = 在 x-軸以上的部分

解橢圓部分的路徑元素 d 有點麻煩但因為 A

為保守場所以 A 到 B 做路徑積分可以用 x = -1 到

1 的積分取代

4-63

01 1 1

1 1 1ˆ 2 0

yB

xAA d A xdx A dx xydx

=

minus minus minussdot = sdot = = =int int int int

∵

旋度在柱座標與球座標

前面討論過nabla在不同座標系的寫法旋度也有歸納出的一致寫法

座標 1 2 3 u u u

度量係數

1 2 3 h h h

nabla grad del

直角 x y z

1 1 1 nabla ˆ ˆ ˆx y z

x y zpart part part

equiv + +part part part

圓柱 zρ ϕ

1 1ρ

1ˆ ˆ ˆ zz

ρ ϕρ ρ ϕpart part part

nabla equiv + +part part part

球 r θ ϕ

1 sinr r θ

1 1ˆ ˆˆ sin

rr r r

θ ϕθ θ ϕ

part part partnabla = + +

part part part

所以柱座標與球座標的旋度分別表為

柱座標

ˆ ˆ ˆ1

z

z

Az

AA Aρ ϕ

ρ ρϕ

ρ ρ ϕρ

part part partnablatimes =

part part part （4-109）

球座標 2

ˆ ˆˆ sin1sin

sinr

r r r

Ar r

A rA r Aθ ϕ

θ θϕ

θ θ ϕθ

part part partnablatimes =

part part part （4-110）

ex58 (a) Given the vector function ˆA ϕ= sin (ϕ 2) find Anablatimes

解 2

ˆ ˆˆ sin1sin

0 sin( 2) 0

r r r

Ar r

r

θ θϕ

θ θ ϕϕ

part part partnablatimes =

part part part

4-64

21 ˆˆ cos sin sinsin 2 2 2

rr rr

ϕ ϕθϕθ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

ˆˆ cos sin2 sin 2 2

rr r

ϕ ϕ ϕθ

minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

(b)如左圖一個底面在 x-y 平面半徑＝1高＝2 之圓錐 求面積分

SA dsnablatimes sdotint 面積範圍 S 為圓錐在 x-y 平面以上

部分 方向為由圓錐內向外

解由 Stokersquos law ( )S

A dsrarr rarrnablatimes sdotint ＝

C

A drarrsdotint 其中路

徑 C 為 x-y 平面圓心在原點之單位圓 ˆ ˆd rd dϕ ϕ ϕ ϕ= =

2

0ˆ ˆsin sin

2 2C

d dπϕ ϕϕ ϕ ϕ ϕ⎛ ⎞ ⎛ ⎞sdot =⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠int int ( )0

2 sin u duπ

= int 0cos | 2u π= minus =

習題 16 磁場 B 因為不是保守場所以沒有對應的純量位而對應一

個向量位 A (vector potential)而 B A= nablatimes 一個磁鐵的磁偶極矩

ˆm mz= 被置於原點已知在遠處的 vector potential 03ˆ sin

4mAr

μϕ θπ

=

計算該處的磁場 B Ans 03

ˆˆ( 2cos sin )4

mB rr

μ θ θ θπ

= + 與電偶極遠處

的電場形式一致都是偶極(dipole) 選幾個點畫一畫該處的場向量

把磁力線描出來

附錄本章講義的內容有部分可以經由直接計算得出列在附錄做為

參考

用「圓柱座標」寫 Atimesnabla

Ararr rarrnablatimes ＝ ( )1ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ zz A A zA

z ρ φρ ϕ ρ ϕρ ρ ϕpart part part⎛ ⎞+ + times + +⎜ ⎟part part part⎝ ⎠

4-65

因為rdquo sdotrdquo與rdquotimes rdquo都是向量間的運算所以

＝ ( )ˆ ˆ ˆ ˆ zA A zAρ φρ ρ ϕρpart

times + +part

＋ ( )1ˆ ˆ ˆ ˆ zA A zAρ φϕ ρ ϕρ ϕ

parttimes + +

part

＋ ( )ˆ ˆˆ ˆ zz A A zAz ρ φρ ϕpart

times + +part

直接做上式微分可以得到

＝1ˆ z AA

zϕρ

ρ ϕpart⎛ ⎞part

minus⎜ ⎟part part⎝ ⎠＋ ˆ zA A

zρϕ

ρpart⎛ ⎞part

minus⎜ ⎟part part⎝ ⎠＋

1 1ˆ ( )A

z A ρϕρ

ρ ρ ρ ϕpart⎛ ⎞part

minus⎜ ⎟part part⎝ ⎠

上式可以用一個行列式來表示

rarrrarr

timesnabla A＝

ˆ ˆ ˆ1

z

z

zA A Aρ ϕ

ρ ρϕ

ρ ρ ϕρ

part part partpart part part

（A-1）

A and Anabla nablasdot nablatimes in 球座標 spherical coordinate

如上圖球座標 )( ϕθr 其中 )0[ infinisinr ]0[ πθ isin ]20[ πϕ isin 只有 r

是長度而 ϕθ 為角度是用來說明方向的三個座標的單位向量 ˆ ˆˆ r θ ϕ 具

有下列性質

4-66

1 如上圖 ˆ ˆˆ r θ ϕ 都不是常數而是（ ϕθ ）的函數

ˆ ˆ( )ˆ ˆ( )ˆ ˆ( )

r r θ ϕ

θ θ θ ϕϕ ϕ ϕ

⎧ =⎪

=⎨⎪ =⎩

)( ϕθr 與(xyz)之間的轉換如下

sin cossin sincos

x ry rz r

θ φθ φθ

=⎧⎪ =⎨⎪ =⎩

( )122 2 2

2 2

tan

tan

r x y z

x yz

yx

θ

φ

⎧ = + +⎪⎪ +⎪ =⎨⎪⎪ =⎪⎩

（A-2）

2 ˆ ˆˆ r θ ϕ 形成一「歸一正交集」ie

ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ 1r r θ θ ϕ ϕsdot = sdot = sdot = ˆ ˆr θ ϕperp perp

ˆ ˆr θ ϕtimes = ˆ ˆ rθ ϕtimes = ˆˆ rϕ θtimes = （A-3）

3可以很容易的由他們在 xyz 軸上的投影由直角

座標的 ˆ ˆ ˆ x y z 表出

ˆ ˆ ˆ ˆsin cos sin sin cos ( 4 )ˆ ˆ ˆ ˆcos cos cos sin sin ( 4 )ˆ ˆ ˆsin cos ( 4 )

r x y z A a

x y z A bx y A c

θ φ θ φ θ

θ θ φ θ φ θϕ φ φ

= + + minus⎧⎪

= + minus minus⎨⎪ = minus + minus⎩

4 ˆdr = 由於 ˆ ˆ( )r r θ φ= 所以由 ϕθ 的變動來看

4-67

ˆ ˆˆ| |ˆ ˆˆ| | sin sin

d r d d

d r d d

θ θθ θθ

φ θ φφ θ φφ

⎧ rArr =⎪⎨

rArr =⎪⎩rArr ˆ ˆˆ sindr d dθ θ φ θ φ= + （A-5）

rArrˆ ˆr θθpart

=part

ˆ ˆsinr θφφpart

=part

（A-6）

（A-6）的結果也可以直接由（A-4a）對 ϕθ 偏微得到

5 ˆdθ ＝ 由於 ˆ ˆ( )θ θ θ φ= 所以由 ϕθ 的變動來看

ˆ ˆ ˆ| | ( )ˆ ˆ ˆ| | cos cos

d d r d r

d d d

θ θ θ θ

φ θ θ φφ φ θ φ

⎧ rArr minus = minus⎪⎨

rArr =⎪⎩rArr ˆdθ ＝ ˆˆ cosrd dθ φ θ φminus + （A-7）

ˆrθ

θpart

rArr = minuspart

ˆ ˆcosθ φ θφpart

=part

（A-8）

請直接由（A-4b）對 ϕθ 偏微的結果 check（A-8）

6 ˆdφ ＝由於φ )(ϕ 躺在 x-y 平面上變動φ時的方向可能不是那麼

容易看出來所以做圖看一看

ie ˆ ˆˆ(sin ) (cos )d r d dφ θ φ θ θ φ= minus minus （A-9）

4-68

ˆ ˆˆsin cosrφ θ θ θφpart

= minus minuspart

7 所有的向量 ˆ ˆˆ rA rA A Aθ φθ φrarr= + +

8 位置向量 ˆr rrrarr=

可以由左圖 ˆ ˆˆ r θ ϕ 三個方向的「長度

變化」輕易的看出

9 位移元素

ˆ ˆˆ ˆ sindr rdr rd dθ θ ϕ θ φ= + + (A-10)

10 體積元素

sindv dr r d rdθ φ θ= sdot sdot

＝ 2 sinr dr d dθ θ φ (A-11)

11 面積元素 2 sinrds r d dθ θ φ= plusmn sinds r drdθ θ φ= plusmn ds rdrdφ θ= plusmn (A-12)

plusmn號表示面的垂直方向有兩個端看 ds 周邊的方向是如何定的

nabladel 考慮 ( )u u r θ φ=

rArru u udu dr d dr

θ φθ φ

part part part= + +part part part

u d rrarr rarr

equiv nabla sdot

urarr

= nabla sdot ˆ ˆˆ( sin )rdr rd dθ θ φ θ φ+ +

rArr1 1ˆ ˆˆ

sinu u uu rr r r

θ ϕθ θ φ

rarr part part partnabla = + +

part part part

1 1ˆ ˆˆsin

rr r r

θ ϕθ θ φ

rarr part part partnabla equiv + +

part part part （A-13）

4-69

直接用（A-13）與 ˆ ˆˆ rA rA A Aθ φθ ϕrarr= + + 逐項內積加上（A-678）

rArr ϕθ

θθθ

ϕθ part

part+

partpart

+partpart

=sdotnablararrrarr A

rA

rAr

rrA r sin

1)(sinsin1)(1 2

2 （A-14）

（A-13）與 ϕθ ϕθ AAArA r

andandandrarr

++= 逐項外積整理之後

ϕθ θϕθ

ϕθθ

θArrAA

r

rrr

rA

r sin

sin

sin1

2 partpart

partpart

partpart

=timesnabla

andandand

rarrrarr

（A-15）

Laplacian uu nablasdotnabla=nabla2

2

2

2222

22

sin1)(sin

sin1)(1

ϕθθθ

θθ partpart

+partpart

partpart

+partpart

partpart

=nablau

ru

rrur

rru （A-16）

B推導「散度」在圓柱座標的寫法

讓我們先回顧一下在直角座標裡的「面積元素」可以由「位移元素」

得到

ˆˆ ˆ x y zdr idx jdy kdz da dydz dxdz dxdy= + + rArr =

比照辦理「圓柱座標」的位移元素

( )ˆˆ ˆ( )

( )z

da d dzdr d d zdz da d dz

da d d

ρ

φ

ρ φ

ρ ρ φ ρ φ ρ

ρ ρ φ

=⎧⎪= + + rArr =⎨⎪ =⎩

這個結論可以輕易的由面積元素在垂直於 zˆˆ ϕρ 三個方向的面積看

出如下圖考慮一個以 )( zϕρ 為中心的「圓柱體積元素」(cylindrical

cubiod)體積為 zdV ΔΔ=Δ ϕρρ 現計算在 ρ

方向的 12 兩個平行面(方向各為 ρplusmn )的通

量

4-70

zzF

dsFdsnFS S

ΔΔ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

+cong

=sdotintint intintϕρρϕρρρ

ρ

2

2

ˆ1 1

zzF

dsFdsnFS S

ΔΔ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

minus⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

minusminuscong

minus=sdotintint intintϕρρϕρρρ

ρ

2

2

ˆ2 2

intint+

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

minus⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

minusminus⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

+Δ

asympsdotΔ

rArr21

22

22

1ˆ1

SS

zFzFdsnFV

ϕρρρρϕρρρρρρ ρρ

( ) ( )

1 20

0

0

1 ˆlim

1lim 2 2 2 2

1 1lim 2 2

1

VS S

F ndsV

F z F z

F z F z

F

ρ ρρ

ρ ρρ

ρ

ρ ρ ρ ρρ ρ φ ρ ρ φρ ρ

ρ ρρ ρ φ ρ ρ φρ ρ

ρρ ρ

Δ rarr+

Δ rarr

Δ rarr

rArr sdotΔ

Δ Δ Δ Δ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + + minus minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥Δ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦Δ Δ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥Δ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

part ⎡ ⎤= ⎣ ⎦part

intint

娛樂一下用上述方式把圓柱的 Fsdotnabla 裡的z

FF z

partpart

+partϕρϕ1

變出來

球座標的nabla和 Fsdotnabla 也可以試試看

補充習題

H M Scheydiv grad curl and all that 4th edition

第二章習題 6 8 9 10 11 14 15 16 18 19 21 22 23 25 26 27

第三章習題 2 3 5 6 7 8 9 10 11 14 15 17 18 19 24

4-8

皆對應一「位置向量」 ˆ ˆ ˆr xx yy zz= + +

所以向量場 ( )A x y z 也可表為 ( )A r

Ex 8 給定一向量場 ( )A x y z = 2 2 3ˆ ˆ ˆ( )A x y z y x x zy xz z= + + (a) find

A 1 and A 2 which are vector A at position P1(2 1 5) and P2(3 0 1)

解(a) A 1= A (2 1 5) 2 2 3ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ1 (2 5) (2 5 ) 20 250x y z x y z= + times + times = + +

A 2= 2 3ˆ ˆ ˆˆ ˆ(301) 0 (3 1) (3 1 ) 9 3A x y z y z= + times + times = +

(b) Find the unit vector 1 2ˆ ˆr r and 12r for position vectors of points P1

P2 and 1 2PP

解for P1 1r = ˆ ˆ ˆ2 5x y z+ + 1ˆ ˆ ˆ2 5ˆ

30x y zr + +

rArr =

for P2 2 2ˆ ˆ3ˆ ˆˆ310

x zr x z r += + rArr =

1 2PP = 12ˆ ˆ ˆ4ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ(3 2) (0 1) (1 5) 4

18x y zx y z x y z r minus minus

minus + minus + minus = minus minus rArr =

Note 1 2 2 1PP r r= minus but 12r 2 1ˆ ˆr rne minus why Draw a diagram

(c) Find the component of A 1 along the direction of the 1 2PP

解 1 12ˆ ˆ ˆ ˆ( 20 250 )A r x y zsdot = + + sdotˆ ˆ ˆ4

18x y zminus minus =1 20 1000 1019

18 18minus minus minus

=

3-D 向量 A的分量

A 3-D vector A is uniquely specified by

given its magnetude A and direction ( θ ϕ 稱為

「方向角」)或者就是完整說明 xyz 三個分量

（Ax Ay Az）兩者轉換如下

4-9

cossin cossin sin

0 0 0 2

z

x

y

A AA AA A

A

θθ ϕθ ϕ

θ π ϕ π

===

gt le le le le

（4-21）

A B 的外積向量積叉積（vector productcross product）

由 A B 的本質與相對夾角定義向量外積

ˆ sinA B nAB θtimes equiv （4-22a）

其中的 n 是一個同時垂直於 A B 的單位向量其方向由右手定則定

之舉例

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆsin 90 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 0x y z z x z y y z xx x y y z ztimes = deg = times = minus times =times = times = times =

相互平行或反平行的二向量外積為 0因為 sin(0)=sin(1800)=0

BA 的外積也有另一個等價的定義

ˆ ˆ ˆ(4 22 )

( ) (4 23)

x y z

x y z

i ijk j kj k

x y zA B A A A b

B B B

A B A Bε

times = minus

times = minussum

上式中的 ijkε 稱為 Levi-Civita symbol（猶太裔義大利人Ci 發音同

chi） ijkε ＝0 若 ijk 中有任二數相同例如 211 131 223 0ε ε ε= = = 若 ijk

為相異的 3 個數則 ijkε =(-1)p p 是 ijk 相鄰兩數互換成為 123 的「置

換數」例如 ijk=231則 213 123rarr rarr p=2 2231 ( 1) 1ε = minus = 又如 ijk

＝321 則 312 132 123rarr rarr rarr p=3 所以 3321 ( 1) 1ε = minus = minus

4-10

Ex 9 ˆ ˆ ˆ4 5A x y z= + + ˆ ˆ3B x z= +

ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ1 4 5 (4 5) (15 1) (0 12) 14 12

3 0 1

x y zA B x y z x y ztimes = = minus + minus + minus = minus + minus

ex 10 ˆ ˆ ˆ4A x y z= minus minus + ˆ ˆ ˆ2B x y z= minus minus ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ1 1 4 (1 4) (8 1) (1 2) 5 7 3 2 1 1

x y zA B x y z x y ztimes = minus minus = + + minus + + = + +

minus minus

由（4-21b）可以容易看出

( ) ( )x y z

x y z

x y z

C C CC A B A B C A A A

B B Bsdot times = times sdot = （4-24）

明顯的 in general 外積不滿足交換率與結合率

( ) ( )A B B A B AA B C A B Ctimes = minus times ne times

times times ne times times (4-25)

兩個有用的恆等式(identity)

1 triple scalar product 純量三重積

( ) ( ) ( )A B C C A B B C Asdot times = sdot times sdot = sdot times (4-26)

上式中的 3 項運算 A B C 的順序是循環的(cyclic)ie ABC CAB

BCA3 項皆為以 A B C 為鄰邊的平行 6 面體的體積

Pf 若 B C 夾角＝ϕ rArr ˆ sinB C nBC ϕtimes =

其中 sinBC ϕ ＝以 B C 為兩邊的平行

四邊行面積 n perp B C

若 ˆA n 夾角＝θ ˆ cosA n A θrArr sdot =

＝垂直於 B C 平面的高

there4 ( )A B Csdot times ＝以 A B C 為鄰邊的平行

4-11

六面體的體積由於 3 鄰邊 A B C 的順序可以任選所以體積可藉由

（4-24）式之「絕對值」算出

Ex 11 一平行六面體 H 的相鄰三邊由 ˆ ˆ ˆ4 5A x y z= + + ˆ ˆ3B x z= +

與 ˆ ˆ ˆ2C x y z= minus + minus 表出求 H 之體積 HV

解let 1

2 1 11 4 5 183 0 1

CD A

B

minus minus= = = or 2

1 4 52 1 1 18

3 0 1

AD C

B= = minus minus = minus

1 2| | 18HV D D= = = 1D 與 2D 差一個負號不令人驚奇因為行

列式 2D 是由 1D 的第一列與第二列交換而來

2 triple vector product 向量三重積

( ) ( ) ( )A B C B A C C A Btimes times = sdot minus sdot (4-27)

上式有一別號稱為 back-cab(回頭車) rule先舉例說明上式成立

Ex12 ˆ ˆ ˆ4 5A x y z= + + ˆ ˆ3B x z= + ˆ ˆ ˆ4C x y z= minus minus

ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ3 0 1 (0 1) (1 12) ( 3) 13 3

1 1 4

x y zB C x y z x y ztimes = = + + + + minus = + minus

minus minus

ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ( ) 1 4 5 ( 12 65) (5 3) (13 4) 77 8 9

1 13 3

x y zA B C x y z x y ztimes times = = minus minus + + + minus = minus + +

minus

ˆ ˆ1 4 20 23 ( ) 69 23A C B A C x zsdot = minus minus = minus rArr sdot = minus minus

ˆ ˆ ˆ3 5 8 ( ) 8 8 32A B C A B x y zsdot = + = rArr sdot = minus minus

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ( ) ( ) 69 23 (8 8 32 ) 77 8 9B A C C A B x z x y z x y zsdot minus sdot = minus minus minus minus minus = + + QED

The proof of ( ) ( ) ( )A B C B A C C A Btimes times = sdot minus sdot

Pf Note that ( )B C B Ctimes perp 平面then ( )A B C B Ctimes times perp times∵ （ ）

( ) A B C D B CrArr times times equiv 躺在（ ）平面 所以 D 可由 B C 組合令

4-12

D B Cα β= + 由於 D 也與 A垂直所以

0A Dsdot = ( ) ( )A B A Cα β= sdot + sdot rArr

let ( ) ( )v v A C v A BA C A Bα β α βminus

= = rArr = sdot = minus sdotsdot sdot

( ) [( ) ( ) ]D A B C B C v A C B A B Cα βthere4 = times times = + = sdot minus sdot

v 會＝1上式對 x 做內積

ˆ ˆ ˆ[ ( )] [( ) ( ) ]

[( ) ( ) ]x x

x A B C v A C B x A B C x

v A C B A B C

sdot times times = sdot sdot minus sdot sdot

= sdot minus sdot

由於內積與外積都是向量間的運算所以上式左邊有

ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ( )x y z x y z

x y z x y z

x y z A x A y A zB C B B B A B C B B B

C C C C C C

times times timestimes = rArr times times =

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( ) 0ˆ [ ( )]

z y

x y z x y z

x y z x y z

x A x x A y x A z A Ax A B C B B B B B B

C C C C C C

sdot times sdot times sdot times minusrArr sdot times times = =

上式用到

ˆ ˆ( ) 0x A xsdot times = ˆ ˆ( )x A ysdot times ＝ ˆ ˆ( ) zA y x Asdot times = minus ˆ ˆ( )x A zsdot times ＝ ˆˆ( ) yA z x Asdot times =

用第 3 列展開行列式得

ˆ [ ( )] ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

x x x y y x z z x

x x x x y y z z x x x x x x

x x

x A B C C A B A B C A B C A B

C A B A B B C A C A C A B A B B A C C A

C A B B A C

sdot times times = minus sdot + + +

= minus sdot + + + = minus sdot + + sdot minus

= minus sdot + sdot1 ( ) ( ) ( )v A B C B A C C A BrArr = rArr times times = sdot minus sdot QED

向量的微分元素（直角座標）

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( ) [( ) ]

ˆ ˆ ˆ

i i i i i i i i i ii i i i

x y x

dA d e A d e A de A e dA e dA

or dA xdA ydA zdA

⎛ ⎞= = = + =⎜ ⎟

⎝ ⎠= + +

sum sum sum sum （4-28）

4-13

上面用了直角座標最方便的性質 ie 為常數 ˆ 0iderArr = 舉「位置向量」

為例

2 2 2 2 2 2 2 2

ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ

ˆ ˆ ˆˆ i i

i x y zi

r xx yy zz dr xdx ydy zdzdr dx dy dzv x y z e xdt dt dt dt

v v v x x y z v v v

= + + rArr = + +

rArr = = + + =

rArr = sdot = = + + = + +

sumsum

（4-29）

sect 42 曲線座標(curvilinear coordinates)

(A) 平面「極座標」polar coordinates ( )r θ

在平面上的一點 P 的直角座標若為(x y)我們可以有另一種標示法

( ) 0 [0 )

[02 ]r P x y r r

x rθ θ π

equiv ge isin infin⎧⎨

equiv isin⎩

由原點到 之距離

軸到 的夾角 （4-30）

以 P )( θr 為座標表同一點 P(xy) )( θr 稱為 P 點的「極座標」「極座

標」與「直角座標」的關係如下

2 2

cos

sintan

r x y x randy y r

x

θθθ

⎧ = + =⎧⎪⎨ ⎨ == ⎩⎪⎩

（4-31）

但是 )( θr 這兩個新座標的單位向量 ˆˆr θ 在什麼方向我們先來回顧

一下座標軸的單位向量的「制訂標準」是

什麼事實上某座標的單位向量的方向

訂在「垂直於該座標『等值面』且指向

該『座標值增長』的方向」舉「直角座

標」為例如右圖由於 x y 軸皆為直線

4-14

所以「等值面」都是平行的平面所以垂直方向皆相同也造成單位

向量 ˆ ˆx y 為常數

由左圖可以看出極座標裡 r 的等值面是一

個圓所以單位向量 r 是「沿徑向向外」但

是隨圓上θ 有所變動時 r 也隨著改變所以 r

「不是一個常量」 ˆ ˆ( )r r θ= 是角度θ 數

如左圖也可看出θ 的等值面為直線所以單位

向量θ 是「沿『切線』逆時針」方向

但如同 r 一樣當θ 值改變時θ 的方向

也改變了所以θ 也「不是一個常量」

)(ˆˆ θθθ = 也是角度θ 的函數可以看出

固定θ 時 ˆr θperp 但是她們都與「角座標」θ 有關由於她們的指向

有時 r 被稱為「沿徑向」之單位向量θ 被稱為

「沿切線」之單位向量極座標和直角座標還

有一個很大的差別就是直角座標的 x y z 的

因次都是「長度」所以當座標改變時 dx dy dz

就是「長度」的改變然而極座標的 r 有長度因

次所以 dr 是長度但是θ 只是一個數字而非長度所以當θ 改變時

dθ 並不代表一個長度的變化dθ 造成的長度變化寫為

d h dθ θ θ= （4-32）

其中的係數hθ 稱為「度量係數」(metric coefficient)很顯然這裡的hθ

必須具有長度的因次「長度」之所以重要是因為位移是長度各個

座標的度量係數我們會在後面仔細討論

座標系的選用以方便為準系統的對稱性是重要的考量所以有

立方對稱的系統通常用直角座標而有圓對稱的系統則用極座標

4-15

Ex13 半徑 5圓心在原點的圓方程式在直角座標為 2 2 25x y+ =

但是在極座標就是 5r = 而已

位置位移速度與加速度

直角座標的描述很簡單

ˆ ˆˆ ˆ

ˆ ˆ

r xx yy

r xx yy

dr dxx dyy

= +

Δ = Δ + Δ

= +

位置

位移

位移元素

（4-33）

2 2

2 2

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( )

ˆ ˆ( )

ˆ ˆ ˆ ˆ( )

x ydr dx dyv t x y xx yy v x v ydt dt dt

dv t dxx dyydv dx dy d x d ya t i j i jdt dt dt dt dt

rArr = = + = + = +

rArr = +

rArr = = + = +

瞬時速度

速度變化元素

瞬時加速度

（4-34）

在極座標由於單位向量 θr 不再是常數 ˆˆ 0 0dr dθrArr ne ne 所以

ˆ

ˆ ˆ( )ˆ ˆ

r rrr r r r r

dr drr rdr

=

Δ = Δ + Δ

rArr = +

位置

位移

位移元素

(4-35)

現在有一個問題 ˆ dr = 由下圖 r 的變化由 dθ 而來

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( )ˆ ˆ

ˆˆ ˆ ˆ0 ( ) ˆˆ

r r dr r d rdr r d d

d dr r dr

dr d

θ θ θ θθ θ

θ θ θ

θθ

= rArr = + minus

= =

rarr rArr perp rArr

rArr =

∵

∵ (4-36)

4-16

所以微分的位移為

ˆˆdr drr rdθθ= + （4-37）

上式的幾何意義很清楚dr 的 r 分量 dr 就是「沿

r 方向的長度變化」而θ 分量 rdθ 就是「沿θ 方

向的長度變化」而已或者也可以這麼看dr 是

一個位移向量在平面上有 r 和θ 兩個分量所以 ˆˆrdr d r d θθ= +

α 為在 r 方向的長度變化β 為在θ 方向的長度變化所以 rd dr=

d rdθ θ= 這種分析方法可以用在各種座標系這裡也可以看出

和（4-32）式角度變化dθ 造成的長度變化d h dθ θ θ= 相比可以得出

θ 的度量係數h rθ = 與直角座標比較 ˆ ˆdr dxx dyy= + dx 與 dy 不也就

是dr 在 x 與 y 方向的長度變化嗎

Now 速度

ˆˆ

ˆ ˆˆ ˆr

dr dr dv r rdt dt dtrr r v r vθ

θ θ

θθ θ

= = +

= + equiv + （4-38）

其中ddtθθ ω= = 亦稱為「角速度」

Ex14 圓周運動因為只有切線速度所以由（4-38）式 ˆ ˆ0

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( ) = ( ) ( ) ( 0)

r R r v r R

dv dr r d r d r d r d dr

θθ ωθ

θθ θ θ θ θ θ θ θ θ

= rArr = rArr = =

rArr = + + + =

∵

∵

（ 切線速度）(4-39)

這裡又冒出個問題

ˆ dθ = 由左圖

ˆ ˆ

ˆ ˆ0

d d d

d d

θ θ θ θ

θ θ θ

= =

rarr rArr perp

4-17

ˆ ˆ ˆ ˆ

d r

d d r

θ

θ θ

rArr minus

rArr = minus (4-40)

2

2

ˆˆ( ) ( )

ˆˆ

ˆ ˆˆ ˆ( ) ( )ˆˆ ( ) ( )

r

dv r d r r d

dv d da r r rdt dt dt

a r r r a r a

or a r r rθ

θ θ θ θ

θ θθ θ

θ θ θ θ

ω α θ

rArr = minus +

⎛ ⎞⎛ ⎞rArr = = minus +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

rArr = minus + equiv +

= minus +

(4-41)

上式即為圓周運動的加速度其中的第一項

2

2 ˆ ˆrva r r rr

ω minus= minus = 向心加速度 (4-42a)

with α θ= 可以認出是角加速第二項

ˆa rθ αθ= 切線加速度 (4-42b)

如進一步簡化為「等速圓周運動」 ==rArr θω constant 0==rArr αθ rArr切線

加速消失那麼加速度就只剩下了熟知的向心加速度2

ˆrva rrminus

= 了

若考慮一般的情況 dr 0ne 可以導出用極座標表示的加速度為

2

ˆ ˆ ˆ ˆˆ( ) ( ) ( ) ( )

ˆˆ( ) (2 )

dv dr r r d dr r d r ddva r r r r rdt

θ θ θθ θ θ θ θ

θ θ θ θ

= + + + +

rArr = = minus + + （4-43）

看起來有點繁但是在有圓形對稱的系統極座標會表現得更清楚

面積微分元素

直角座標把平面分割成一個個的

小方塊也就是依照「x 與 y 方向的

長度變化」可以寫出「面積元素」

dA dx dy= sdot （像是切長方形的蛋糕）

比較 ˆ ˆdr dxx dyy= + 可以看出

dA＝(x-方向的長度變化)times(y-方向的長度變化)

4-18

所 以 在 「 極 座 標 」 比 照 辦 理

ˆˆ ˆ( ) ( )dr dr r rdr dr r rdθθ= + = +

dA dr rd rdrdθ θ= sdot = (4-44)

像是切圓形蛋糕

ex15 求一個半徑 R 的圓的面積

解 2 2

2

0 0

22

R RA dA rdrd rdr d Rπ

θ θ π π= = = = sdot =int intint int int

妳可以試試用直角座標dA dx dy= sdot 算一下圓的面積

Ex16 求一個半徑 R質量 M密度σ 的均勻圓盤繞其直徑的轉動慣

量解 質量元素 dAdm σ= 到轉軸（直徑）的距

離 sinr θ=

2 2 2 2

23 2

0 0

4 22 2

sin

sin

14 4 4

R

I dm dA r rdrd

r dr d

R RR MR

π

σ σ θ θ

σ θ θ

σ π σπ

= = =

=

= = =

int int intintint int

娛樂一下算半個圓盤繞通過圓心且垂直盤面的軸的轉動慣量

ex 17 計算積分2xI e dx

infinminus

minusinfin

= int

解 2 2

0

2x xI e dx e dxinfin infin

minus minus

minusinfin

= =int int2 22

0 0

2 2x yI I I e dx e dyinfin infin

minus minusrArr = sdot = sdotint int

2 2 2 22

2 ( )

0 0 0 0 0 0

4 4 4x y r rI e dxdy e dA e rdr d

π

θinfin infin infin infin infin

minus + minus minusrArr = = =int int int int int int

在上面的積分裡我們運用了一個有關「無窮大平面」的技巧就是「無

4-19

窮大的平面」是可以是「正方形」或是「圓形」的

2

2

22

00 0 0

22

4 2 2( )2 2 2

(4 45)

u u u

x

dulet u r du rdr rdr

duI e d e du e

I e dx

π

π πθ π

π

infin infininfinminus minus minus

infinminus

minusinfin

= rArr = rArr =

rArr = = sdot = minus sdot =

rArr = = minus

int int int

int

ex18 重力位能

由位能差的定義 )()()( BAWBUAU rarrequivminus

（B）圓柱座標 cylindrical coordinates

3D 空間點 P(x y z)的位置向量 ˆ ˆ ˆr xx yy zz= + +

定義「圓柱座標」 ( )zρ ϕ 其中

0 [0 )P zρ ρ ρequiv ge there4 isin infin點 到 軸之垂直距離

ϕ ρequiv 在 x-y 平面的投影與 x 軸之夾角 [02 ]ϕ πisin

z zequiv同直角座標的

4-20

「圓柱座標」就是「極座標」（用 ( )ρ ϕ 取代 ( )r θ ）再加上第三維 z

所以圓柱座標 ( )zρ ϕ 裡 zρ 的因次為長度而ϕ 只是一個數字

( )zρ ϕ 與(x y z)間的轉換如下

2 2 cos

tan sin

x yx

y yx

z zz z

ρρ ϕ

ϕ ρ ϕ

⎧ = +=⎪ ⎧

⎪ ⎪= =⎨ ⎨⎪ ⎪ =⎩=⎪⎩

（4-46）

「圓柱座標」的三個方向單位向量 ˆ ˆ ˆ zρ ϕ 如圖

且 ˆ ˆ zρ ϕperp perp 可以看出ρ 的等值面為一個圓柱

面ϕ 的等值面是一扇門z 的等值面為一個垂

直 z 軸的平面但是

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( ) zρ ρ ϕ ϕ ϕ ϕ= = =常數

柱座標的位置向量 r 如左圖

ˆ ˆr zzρρ= + （4-47）

在柱座標寫位移元素dr 有兩種作法一

種是直接由（4-47）式取微分元素 借用

平面極座標的結果可得

ˆ ˆ ˆ( ) ( )

ˆ ˆ ˆdr d d dzz

d d dzzρ ρ ρ ρ

ρρ ρ ϕϕrArr = + +

= + + （4-48）

但也可以由三個座標方向的

位移來看由左圖可得沿 ρ 方向

的長度變化 ie 當座標ρ 有變

化dρ 時產生的長度變化就是

dρ 沿ϕ 的長度變化為 dρ ϕ

而沿 z 方向的長度變化為 dz

4-21

dr 是一個向量有三個分量ρ -分量就是沿 ρ 方向的長度變化

dρ ϕ -分量沿ϕ 的長度變化為 dρ ϕ 而 z-分量就是沿 z 方向的長度變

化為 dz合併寫出

ˆ ˆ ˆdr d d dzzρρ ρ ϕϕ= + +

與（4-48）式完全相同但是這種由幾何角度得到的結果要更方便

也更直觀Fig 27 非常重要因為只要你能把圖畫出來位移的各

分量就寫得出來有了位移元素dr 速度與加速度就可得出

ˆ ˆ ˆ (4 49)

ˆ ˆ ˆ( ) (2 ) (4 50)

drv zzdtdva zzdt

ρρ ρϕϕ

ρ ρϕ ρ ρϕ ρϕ ϕ

rArr = = + + minus

rArr = = minus + + + minus

由上圖與dr 的 3 個分量可得圓柱座標的體積元素

dV d d dz d d dzρ ρ ϕ ρ ρ ϕ= sdot sdot = （4-51）

ex19 底面半徑 R高 h 的圓柱體積＝ 2 2

2

0 0 0

22

R h RV dV d d dz h R hπ

ρ ρ ϕ π π= = = sdot sdot =int int int int

ex20 底面半徑 R高 h 的「圓錐」體積＝

解本圓錐裡點的座標分佈為 [02 ] [0 ]z hϕ πisin isin ( )zρ ρ=

( ) ( )( )

h z h Rz h zz R h

ρρminus

= rArr = minus

22( )( ) 2 2

0 0 0 0 0 0

002 2 2 3 2 32 2 2

2 2 2 20

( )2 2

2

1( )3 3 3

R h zzh h hh

h

h h

R h zhV d dz d d dz d dz

R R R u R hh z dz u du R hh h h h

ρ π

τ ρ ρ ϕ π ρ ρ π

π π π π π

minus

minus minus

minusthere4 = = = =

= minus = = = =

int int int int int int int

int int

如果我們把 3-D 的三個座標寫為 1 2 3( )u u u 或 123iu i = 當座

標 ui(在 ˆiu 方向)變動 dui 時造成的長度變化為 id 則定義

4-22

i i id h duequiv (4-52)

其 中 hi 稱 為 座 標 ui 的 度 量 係 數 (metric

coefficient)由 zρ 的因次為長度所以 zρ 的變

化 d dzρ 就是長度的變化所以 1 1zh hρ = =

然而ϕ 的變化造成的長度變化為

d d hϕ ϕρ ϕ ρ= rArr = (4-53)

很明顯的直角座標 xyz 都是長度所以度量係數 1x y zh h h= = =

(C) 球座標 spherical coordinates

3D 點 P(x y z)的位置向量 ˆ ˆ ˆr xx yy zz= + + 定義

「圓柱座標」 )( ϕθr 其中

[0 ] [0 ]

[02 ]

r P rr zr x y x

θ θ πϕ

ϕ π

⎧ equiv isin infin⎪

equiv isin⎪⎨

equiv minus⎪⎪ isin⎩

原點到 的距離

與 軸的夾角

在 軸投影與 軸的夾角

球座標的ϕ 與住座標的ϕ 相同

( )r θ ϕ 與(x y z)間的轉換如下下列為（4-54）

2 2 2

2 2 2

sin coscos sin sin

cos

tan

r x y zx r

z y rx y z z r

yx

θ ϕθ θ ϕ

θ

ϕ

⎧⎪ = + +⎪ =⎧⎪ ⎪= =⎨ ⎨

+ +⎪ ⎪ =⎩⎪⎪ =⎩

三個座標的單位向量 )ˆˆˆ( ϕθr 如左圖一可以看

出 r 的等值面是一個球面θ 的等值面為一個

以原點為頂點的圓錐ϕ 的等值面為一扇門

位置向量 ˆr rr= （4-55）

4-23

位移由 ˆ ˆˆ( )r θ ϕ 3 個方向的「長度

分量」可得 ˆ ˆˆ ( ) ( sin )dr rdr rd r dθ θ ϕ θ ϕ= + +

（4-56）

所以體積元素

2

( )( sin )(sin )

d dr rd r dr dr d d

τ θ θ ϕ

θ θ ϕ

=

= （4-57）

Fig 31 和 Fig 27 一樣重要只要

你能畫得出來就可以寫出球座

標位移的三個分量

ex21 求一半徑 R 的球體積 2

2 2 3

0 0 0

4sin sin3

R

V d r dr d d r dr d d Rπ π

τ θ θ ϕ θ θ ϕ π= = = =int intintint int int int

ex22 求一質量 M半徑 R密度 ( )3 4 3M Rρ π= 的實心球對直徑

旋轉的轉動慣量

解質量元素 2 sindm d r dr d dρ τ ρ θ θ ϕ= = 到 z 軸的垂直距離為 sinr θ=

22 4 3

0 0 0

5 52

sin

4 8 225 3 15 5

RI dm r dr d d

R R MR

π πρ θ θ φ

πρ π ρ

= =

= sdot sdot = =

intintint int int int

娛樂一下空心球對直徑的轉動慣量

(4-46)式與(4-54)式說明柱座標和球座標與直角座標之間的轉

換Fig 32 可得出柱座標和球座標之間轉換

2 2

sintan

cos

r zr

zz r

ρρ θ

ρϕ ϕ θθ ϕ ϕ

⎧ = += ⎪⎧

⎪ ⎪= =⎨ ⎨⎪ ⎪=⎩ =⎪

⎩

（4-58）

4-24

Ex23 點 P 的球座標為（31200 600）求柱座標＝

解2 3 33sin3 2πρ ⎛ ⎞= =⎜ ⎟

⎝ ⎠

23

ϕ π= 2 33cos3 2

z π minus⎛ ⎞= =⎜ ⎟⎝ ⎠

直角座標柱座標球座標單位向量之間的轉換

三種座標之間的轉換由(4-46)式(4-54)式與（4-58）式表出但

三種座標裡的的三個單位向量 ˆ ˆ ˆ x y z ˆ ˆ ˆ zρ ϕ ˆ ˆˆ r θ ϕ 若以 123ˆ iu =

表示則單種座標的單位向量之間都有正交歸一關係

ˆ ˆi j iju u δsdot = 與外積的循環關係

ˆ ˆ ˆ i j ku u u i j ktimes = cyclic in 123

ie 1 2 3 2 3 1 3 1 2ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ u u u u u u u u utimes = times = times = or ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆˆ ˆ r z z x yθ ϕ ϕ ρtimes = times = times =

然而不同座標系的單位向量之間關係如何我們畫圖來討論

球座標 ˆ ˆˆ( )r θ ϕ rarr直角座標 ˆ ˆ ˆ( )x y z

單位向量都是用來指方向的球座標的 ˆ ˆˆ( )r θ ϕ 都是「方向角」( )θ ϕ

的函數 r 在直角座標可以由 Fig33 看出

ˆ ˆ ˆ ˆsin cos sin sin cosr x y zθ ϕ θ ϕ θ= + + （4-59）

ex24 P 點的球座標為2 75 3 6π π⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠

試用球座標與直角座標求 P 點的位

置向量的單位向量 解位置向量 ˆr rr= 在球座標只有 r-分量標位置仔細一點把方向

角標出2 7ˆ 3 6

r π π⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

通常只是寫 r 令人有點摸不著頭緒用直角

4-25

座標比較「具像」 2 7 2 7 2ˆ ˆ ˆ ˆsin cos sin sin cos3 6 3 6 3

3 3 1ˆ ˆ ˆ4 4 2

r x y z

x y z

π π π π π⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞minus minus minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + +⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

單位向量θ 在某一組 ( )θ ϕ 的指向如 Fig 34a將θ 平移至原點更清楚

Fig34b 是由側面看 Fig34a可以看到θ 在 z 軸的投影為 sinθminus 而θ 在

x-y 平面的投影為cosθ使得θ 在 x-軸的投影為cos cosθ ϕy-軸投影

為cos sinθ ϕ於是

ˆ ˆ ˆ ˆcos cos cos sin sinx y zθ θ ϕ θ ϕ θ= + minus （4-60）

單位向量ϕ 如 Fig 35a 所示是在 x-y 平面畫出

Fig 35b 為自 z 軸向下看 Fig35a 圖可以看出ϕ 在 z 軸投影為 0且

ˆ ˆ ˆsin cosx yϕ ϕ ϕ= minus + （4-61）

ex25 一個質點的速率為 2( ) ( sin tan )v r rθ ϕ θ ϕ= 若經查該質點的運

動 是 在 z = 3 平 面 做 逆 時 針 圓 周 運 動 則 當 位 置 的 方 向 角

4-26

2( ) 4 3π πθ ϕ ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

時計算其速度用球座標與直角座標表出

解圓運動速度方向是沿切線所以球座標 ˆ ˆ( )v v v rϕ θ ϕ ϕ= =

z = 34πθ =

3 3 21cos cos 24

z zrπθ

rArr = = = =⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

所以該處的瞬時速率

2 2

2( ) 3 3 4 3

2 1 813 3sin tan 3 3 ( 3)4 3 22

v r v π πθ ϕ

π π

⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

⎡ ⎤ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = times minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

2 81 2ˆ3 3 4 3 2 4 3

v r π π π πθ ϕ ϕ⎛ ⎞ ⎛ ⎞rArr = = = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

在直角座標2 2 2ˆ ˆ ˆ sin cos

4 3 3 3x yπ π π πϕ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠3 1ˆ ˆ

2 2x y= minus minus

而且點23 3

4 3π π⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠

的直角座標為

2 1 3 3sin cos 3 3sin cos 3 34 3 2 22 2

x r π πθ ϕ minus minus⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

2 3 9sin sin 3 3sin sin 3 34 3 2 2 2 2

y r π πθ ϕ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = = =⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

z = 3

23 3 4 3

v π π⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

3 3 9 81 3 1ˆ ˆ 32 2 2 2 22 2

v x y⎛ ⎞ ⎛ ⎞

rArr = minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

以上兩個例子都只討論只有一個圓座標分量的向量in general 向量

ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( )r x y zA r rA A A A r xA yA zAθ ϕθ ϕ= + + hArr = + + （4-61）

若已知球座標的分量 ( )rA A Aθ ϕ 如何得到直角座標的

( )x y zA A A

4-27

ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( )ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( )

ˆ ˆˆˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( )

x r

y r

z r

A x A r x r A x A x A

A y A r y r A y A y A

A z A r z r A z A z A

θ ϕ

θ ϕ

θ ϕ

θ ϕ

θ ϕ

θ ϕ

⎧ = sdot = sdot + sdot + sdot⎪⎪ = sdot = sdot + sdot + sdot⎨⎪

= sdot = sdot + sdot + sdot⎪⎩

（4-62）

由式（4-59）（4-61） ˆ ˆ ˆ ˆsin cos sin sin cosr x y zθ ϕ θ ϕ θ= + + （4-59） ˆ ˆ ˆ ˆcos cos cos sin sinx y zθ θ ϕ θ ϕ θ= + minus （4-60）

ˆ ˆ ˆsin cosx yϕ ϕ ϕ= minus + （4-61） ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆsin cos cos cos sin ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆsin sin cos sin cos ˆ ˆˆˆ ˆcos sin 0

x r x x

y r y y

z r z z

θ ϕ θ θ ϕ ϕ ϕ

θ ϕ θ θ ϕ ϕ ϕ

θ θ θ ϕ

⎛ ⎞sdot = sdot = sdot = minus⎜ ⎟

rArr sdot = sdot = sdot =⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟sdot = sdot = minus sdot =⎝ ⎠

（4-63）

sin cos cos cos sin sin sin cos sin cos

cos sin 0

x r r

y RS

z

A A AA A M AA A A

θ θ

ϕ ϕ

θ ϕ θ ϕ ϕ

θ ϕ θ ϕ ϕ

θ θ

⎛ ⎞minus ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟rArr = equiv⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟minus⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

（4-64）

其中 SRM 為由球座標分量轉為直角座標分量的轉換矩陣且行列式

det SRM =1 表示反矩陣存在then 1SRM minus 就是將直角座標分量轉為球座

標分量之轉換矩陣其實嚴格講 (4-64)式還不是最終的表示因為

轉換完的直角

座標應該全部以 x y z 表出這裡保留用 θ ϕ 只是為了簡潔方便

習題 2 Find 1SRM minus

習題 3 用 xyz 表出(a)sinθ (b)cosθ (c)sinϕ (d)cosϕ

Ans (a)2 2

2 2 2sin

x yx y z

θ+

=+ +

(b)2 2 2

cos zx y z

θ =+ +

(c)2 2

sin yx y

ϕ =+

(d)2 2

cos xx y

ϕ =+

習題 4 用上面結果將 SRM 用 xyz 表出

Ex26 Given a field ( )A r θ ϕ ＝ ˆ ˆˆ2 3r θ ϕ+ minus in spherical coordinates

find the field in rectangular coordinates （直角座標）

4-28

解這裡的 ( )A r θ ϕ 不因其三個分量都是常數而只是「一個」向量

而是一 vector field這是因為 ˆ ˆˆ r θ ϕ 都不是定值而與 θ ϕ 有關而如

果 ( )A r θ ϕ 表示則單位向量所對應的角度 θ ϕ 必須要標定所以

sin cos cos cos sin 2sin sin cos sin cos 3

1cos sin 0

x

y

z

AAA

θ ϕ θ ϕ ϕ

θ ϕ θ ϕ ϕ

θ θ

⎛ ⎞minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ minusminus⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

(2sin 3cos )cos sin(2sin 3cos )sin cos

2cos 3sin

x

y

z

AAA

θ θ ϕ ϕθ θ ϕ ϕ

θ θ

+ +⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟rArr = + minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟minus⎝ ⎠ ⎝ ⎠

習題 5 Draw a diagram to show in the cylindrical coordinates

(a) ˆ ˆ ˆcos sinx yρ ϕ ϕ= + (b) ˆ ˆ ˆsin cosx yϕ ϕ ϕ= minus + (c) ˆ ˆz z=

習題 6 use the above results show that 由柱座標分量轉為直角座標分

量的轉換矩陣

x

y CR

z z

A AA M AA A

ρ

ϕ

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟=⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

CRM =

2 2 2 2

2 2 2 2

0cos sin 0sin cos 0 0

0 0 10 0 1

x yx y x y

y xx y x y

ϕ ϕ

ϕ ϕ

minus⎛ ⎞⎜ ⎟+ +⎜ ⎟⎛ ⎞minus⎜ ⎟⎜ ⎟

= ⎜ ⎟⎜ ⎟+ +⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

Ex27 Express vector ˆ ˆ ˆ(3cos ) 2 5A zρ ϕ ϕ ρ= minus + in Cartesian

coordinates Specifically the A at the position of (2 2 3π -3)

解

2cos sin 0 3cos 3cos 2 sinsin cos 0 2 3cos sin 2 cos

5 50 0 1

x

y

z

AAA

ϕ ϕ ϕ ϕ ρ ϕϕ ϕ ρ ϕ ϕ ρ ϕ

⎛ ⎞minus ⎛ ⎞+⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟= minus = minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

so that A (2 2 3π -3)= 3 3 3ˆ ˆ ˆ3 3 3 54 4

x y z⎛ ⎞⎛ ⎞+ + minus +⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠注意本

題裡 z 座標並非一變數

4-29

sect 43 Fields and its properties 場與其性質

「場 field」是什麼凡是在「某個空間中每一點」都有定義的量

就是一個「場」所以「場」也稱為「點函數 point function」簡單的

說凡是「空間的函數」都是「場」如果這個「空間的函數」是一個

純量 u(xyz)那麼 u(xyz)就是一個「純量場 scalar field」例如室內

的溫度 T(xyz)一塊豬肉的密度 ( )x y zρ 大氣中的壓力 p(xyz)等

都是純量場如果這個「空間的函數」是一個向量 )( zyxA 那麼

)( zyxA 就稱為「向量場 vector field」例如空間中的電場 )( zyxE

水流中的速度場 )( zyxv 重力場 )( zyxg 等等很顯然的不論是純量

場還是向量場「場」在空間中的分佈通常未必是均勻的那麼她有

什麼性質呢例如一塊豬肉內部密度是如何變化的水流中有沒有

漩渦大氣中的等壓線是如何變化的等等那麼有沒有什麼量可以

有系統的描述各種場的分佈有我們在以下分別討論

sect 431 Gradient of scalar fields 純量場的梯度

考慮一個純量場 f(xyz)可以視為 3 個變數 xyz 的函數當變數變動為

x+dx y+dy z+dy 時造成 f 的變化

f f fdf dx dy dzx y zpart part part

= + +part part part

（4-65）

由幾何意義來看上式更為具體上式表示純量場 )(rf 基於位置的變化

r r drrarr + (或由 ( ) ( )x y z x dx y dy z dzrarr + + + )所造成 f 的變動

我們現在定義一個向量算符 vector operator nabla (or nabla )（讀做 del）

ˆ ˆ ˆx y zx y zpart part part

nabla equiv + +part part part

(4-66)

如果將 del 作用在純量場 )(rf 上將產生出現一個新的「向量場」 fnabla

稱為純量場「 )(rf 的『梯度 gradient』」

4-30

ˆ ˆ ˆ( ) f f fgrad f f x y zx y zpart part part

equiv nabla = + +part part part

（4-67）

這使得由於任意位移 ˆ ˆ ˆdr xdx ydy zdz= + + 所造成 f 的變化量

df f drrArr =nabla sdot （4-61）

ex28 Given scalar field 2( )f r xy z= and 2 2 2

1 1( )g rrx y z

= =+ +

(a) find the value of ( )f r and fnabla at point P(2 1-1) 解 2(21 1) 2 1 ( 1) 2f minus = times times minus = minus

2 2 2

2 2

ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( )

ˆ ˆ ˆ( ) ( 2 ) ( )

f x xy z y xy z z xy zx y z

x y z y x yz z xy

part part partnabla = +

part part part

= +

＋

＋

ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ(21 1) ( 1) (2 2) (2) 4f x y z x y znabla minus = minus + timesminus = minus minus＋ ＋2 (b) find the value of ( )g r and gnabla at the point P

解2

1 1(21 1)62 1 1

g minus = =+ +

2 2 2 12 2 2 2 12

2 2 2 12

ˆ ˆ( ) ( )

ˆ ( )

g x x y z y x y zx y

z x y zz

minus minus

minus

part partnabla = + + + + +

part partpart

+ +part

＋

2 2 2 32 2 2 2 32 2 2 2 32

2 2 2 32 3 2

ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( )

ˆ ˆ ˆˆ( )( )

OR OR

xx yy zzgx y z x y z x y zxx yy zz r r

x y z r r

minus minus minusrArrnabla = + +

+ + + + + +minus + + minus minus

= = =+ +

32

ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ(2 ) 2(21 1)6 6 6

x y z x y zg minus + minus minus minus +rArrnabla minus = =

由 gnabla 看到一個粉常用的結果就是

3 2

ˆ1 ORr rr r r

minus minusnabla = = （4-62）

順便比較一下

2 2 2 12 2 2 2 12 2 2 2 12

2 2 2 12

ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( )

ˆ ˆ ˆ( ) ˆ (4 63)( )

r x x y z y x y z z x y zx y zxx yy zz r r

x y z r

part part partnabla = + + + + + + +

part part part+ +

= = = minus+ +

＋

4-31

(c) what is the angle between (21 1)fnabla minus and (21 1)gnabla minus

解 (21 1)fnabla minus (21 1)gsdotnabla minus ＝（ ˆ ˆ ˆ4x y zminus minus ＋2 ） sdotˆ ˆ ˆ26 6x y zminus minus +

＝2 4 2 4

6 6 3 6+ +

= ＝ | (21 1) |fnabla minus | (21 1) |gnabla minus cosθ

＝ 34 1 1 211 16 4 cos cos

6 6θ θ+ +

+ + =

1 4 2cos 07773 7

radθ minus ⎛ ⎞= =⎜ ⎟

⎝ ⎠

要注意隨然nabla有向量的性質但是他並不是一個真的向量真

實向量 A與純量 f ( )r 的乘法滿足交換率ie ( ) ( )Af r f r A= 但是

f fnabla ne nabla因為

( )f rnabla ＝ ˆ ˆ ˆf f fx y zx y zpart part part

+ +part part part

是一個向量函數而

ˆ ˆ ˆ( )f r x y zx y z

⎛ ⎞part part part+ +⎜ ⎟part part part⎝ ⎠

是一個算符（operator）

若nabla要與向量場 A 作用由於nabla與 A 都具有向量的性質先看「內積」

ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ( )

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

x y z

x y

z

y yx xz z

A x y z xA yA zAx y z

x y z xA x y z yAx y z x y z

x y z zAx y z

A AA AA Ax x x y x zx y z x y z

⎛ ⎞part part partrArrnablasdot = + + sdot + +⎜ ⎟part part part⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞part part part part part part= + + sdot + + + sdot⎜ ⎟ ⎜ ⎟part part part part part part⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞part part part

+ + + sdot⎜ ⎟part part part⎝ ⎠part partpart partpart part

= sdot + sdot + sdot + sdotsdot sdot = + +part part part part part part

yx zAA AAx y z

partpart partnablasdot = + +

part part part (4-64)

上式中的 Anablasdot 是向量場 A 的一個重要的性質稱為 A 的「散度」詳

細的內容在後面會仔細討論這裡引進 Anablasdot 主要是要表明nabla是個「算

符」表示一個運算不是一個真實的向量只是在「直角座標」裡

4-32

因為單位向量 ˆ ˆ ˆ x y z 是常數不受微分的作用以致nabla表現得好像也

是個一般的向量一樣事實上真實向量和nabla間的「內積」就不滿足交

換率

x y zA A A A an operator Ax y zpart part part

sdotnabla = + + = ne nablasdotpart part part

(4-65)

這也使得任意向量場 ( )A r 因位置變動 r r drrarr + 而產生的變化由於

)( zyxA 也是 3 個變數 xyz 的函數可以寫為

( )A A AdA dx dy dz dr Ax y z

part part part= + + = sdotnabla

part part part （4-66）

ex29 (a)Given field 2ˆ ˆ ˆ2A xxy y x zyz= minus + find Anablasdot at point (1-12)

解2( ) (2 ) ( ) 2xy x yzA y yz

x y zpart part part

nablasdot = + + = +part part part

(1 12)1 2( 1)2 3A

minusnabla sdot = minus + minus =

(b) find rnablasdot 解 rnablasdot = 3x y zx y zpart part part

+ + =part part part

梯度的意義

由（4-67）可以看到「f 的梯度 fnabla 」

是一個由「純量場 f」衍生出的向量

場由（4-26）也可以看出 fnabla 扮演類

似「變化率」的角色

空間中將相同值 f ( )r ＝f1 的點連

起來就得到一個 f ( )r ＝f1 的「等值面」如 Fig36考慮純量場 f( r )的

相鄰兩個等值面各對應定值 1f f= 與 1f f df= + 0df gt P1 點在 f1

等值面上相鄰兩點 P2P3 在 1f df+ 等值面上而向量 1 2 ˆnP P dn e dn= =

過 P1 點垂直於 f1 等值面 1 3 ˆP P d e d= = 與 ˆne dn夾角為α 由於不

論 1 2P Prarr 或 1 3P Prarr f 的變化量都是 df 但因距離 dn 係兩等值面最

4-33

短的距離d dngt 所以 1 2P Prarr 或 1 3P Prarr 造成的「變化率」df dfdn d

gt

而過 P1 點的最大變化率為dfdn

換言之向量 ˆndfedn

為過 P1 點垂直於

f1 等值面且指向最大「增加率」的方向 現在要證明

ˆndfe fdn

= nabla （4-67）

考慮 1 3P Prarr 造成的 f 值的變化率

ˆ ˆcos n ldf df dn df df e edl dn dl dn dn

α= = = sdot

ˆ ˆ ˆn l ndf dfdf e e dl e dldn dn

rArr = sdot = sdot

和（4-61）式df f dr= nabla sdot 相比即可得證 ˆndfe fdn

= nabla 所以可以知道

空間純量場 f ( )r 中任一點處的向量 fnabla 必「垂直」於「通過該點的 f的等值面」且指向 f 值最大「增加率」的方向| ( )f rnabla |就是 f 在 r 點

的最大增長率可以進一步定義等值面的「法線 normal」方向為

ˆ fnf

nabla=nabla

（4-68）

結論給定一個純量場 f( r )在每一點 r 可以定義一個稱做「梯度」

的向量 fnabla fnabla 垂直於過 r 點的 f 等值面且指向最 f 大增加率的方向

fnabla 的方向也定義了 f 等值面的法線方向

Ex30 考慮一個 2D 的 scalar field 2( )f x y y x= minus 計算該場在 )20( 的梯度與

法線方向

解 ˆ ˆ ˆ ˆ2f ff x y x yyx ypart part

nabla = + = minus +part part

ˆ ˆ(0 2) 2 2f i jnabla = minus + ˆ ˆ ˆ ˆ2 2 2 2ˆ(0 2)

31 8i j i jn minus + minus +

rArr = =+

4-34

ex31 點電荷 q 置於原點其產生電位為 ( ) qV rr

= 求負梯度qr

minusnabla

解 3

2 2 2 22 2 2

2 ( )2

q q q q x x y zr x rx y z

minuspart minus= rArr = sdot + +

part+ +

3 23

ˆˆ ˆ ˆ( )q ix jy kz r rq q qr r r r

minus + +rArr minusnabla = minus = = （點電荷的電場）

0 0

1 1 r r

noter r= =

nabla rarrinfin rarrinfin∵ 是不定值是因為 r = 0 處為最大值

「增加率」的方向無法確定

ex32 置一熱源於原點空間溫度分佈為1( )

( 2)T r

r=

+求溫度的梯度

解 2 2 2

ˆ( ) ( )( 2) ( 2) ( 2)

x rT r rr rT r

x r r r

minuspart minus

= rArrnabla = =part + + +

此處的負號表示梯

度指向熱源因為距熱源越遠溫度越低 ( 0)note T rnabla = 為不定值

因在最頂點「增加率」的方向無法確定

Ex33 地圖上山脈的等高線上各點的垂直方向由梯度決定現有一座

山是橢球 2)1(4 222 =+++ zyx 在 x-y 平面上方的

部分求地圖上這座山等高線的梯度

解 山高 142 22 minusminusminus== yxzh 所以等高線為橢

圓 222 )1(24 +minus=+ hyx 梯度

( ) ( ) ( )2 2 2 2

2 2

ˆ ˆ4ˆ ˆ2 4 1 2 4 1

2 4

xx y yh x x y y x y

x y x y

minus +part partnabla = minus minus minus + minus minus minus =

part part minus minus

所以自山腳（h=0）登山若由(012)開始 ˆ(01 2) 2h ynabla = minus 但若由

)02(minus 開始爬山 ˆ( 20) 2h xnabla minus = 可見 )02()210( minusnablagtnabla hh 這表

示由 y-軸登山山勢較陡所以「梯度」比由 x-軸登山為大這也更

清楚瞭解「梯度」的幾何意義

4-35

sect 432 Divergence 散度與 Curl 旋度

在(4-66) 我們建立了一個直角座標 vector operator 「del」

ˆ ˆ ˆx y zx y zpart part part

nabla equiv + +part part part

(4-66)

若與向量場 A 做「內積」與「外積」就建構了 A 的「散度」與「旋度」

散度 A A scalaryx zAA Adiv ax y z

partpart partequiv nabla sdot = + + =

part part part （4-69）

旋度

y yz x z x

ˆ ˆ ˆ y z A vector

A AA A A Aˆ ˆ ˆxy z z x x y

x y z

x y z

xcurl A a

A A A

y z

⎧⎪

= nablatimes = part part part =⎪⎪⎨⎪

part part⎛ ⎞ ⎛ ⎞part part part part⎛ ⎞⎪ = minus + minus + minus⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎪ part part part part part part⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎩

(4-70)

這裡定義的只是「散度」與「旋度」所謂「操作型的定義」告訴我

們如何計算的式子事實上她們都具有重要的物理意義我們在後面

會討論

ex34 ˆ ˆA xy yx= minus 求其散度與旋度

解 0 0y xAx ypart part

nablasdot = minus + =part part

ˆ ˆ ˆ y zˆ ˆ ˆ ˆ 0 0 ( 2) 2

0 x y z

xA x y z z

y xnablatimes = part part part = minus + minus = minus

minus

右圖示意了本向量場的分佈看得出像個漩渦也看到算出的旋度

0ne 看來旋度表現的應該是向量場「旋轉的程度」事實上我們在

後面會看到「旋度」表現的就是是向量場在空間各點「旋轉的程度」

本題的向量場在每一點的旋轉程度都一樣

4-36

Ex35 ( )ˆ ˆ ˆ A xx yy zz r= + + = 求其散度與旋度

解 3A rnablasdot = nablasdot = ˆ ˆ ˆ y z

0

x y z

xA

x y znablatimes = part part part =

由場分佈的示意圖可以看出本向量場是自原點向外射出好似在原

點有一個場線的「源頭 source」但是 3Anablasdot = 為一個常數表示好像到

處都有 source同時旋度為 0 也可以配合本場並無旋轉的形象事實

上「散度」表現的就是是向量場在空間各點產生「場線」的 source

記得靜電學裡的庫倫定律 0E ρ εnablasdot = 電場的散度就是「電荷密度」

(電場的 source)前一題的向量場看來對應的場線是封閉的所以沒有

source這也對應了其散度＝0不過一個向量場的散度旋度究竟是

多少應該詳細的計算場分佈圖形有時候不是那麼容易看的清楚

兩個 useful identities (恆等式)

(a) ( ) 0 0f curl of a gradnablatimes nabla = =

(b) ( ) 0 0A div of a curlnablasdot nablatimes = =

pf (a) ( )ˆ ˆ ˆ x y z

x y z

x y z

ff f f

nablatimes nabla = part part part

part part part

( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2xz zxˆ ˆ ˆx y f- f z 0yz yz xy yxf f f f= part minus part minus part part + part minuspart =

這個結果與真實的向量外積 ( ) AA 0=times 有相似之處但是這只是特

例要記得nabla並不是一個真正的向量

( ) ( ) ( )

( )

ˆ ˆ ˆ y zˆ ˆ ˆ x y z

0

x y z y z z y x z z x x y y x

x y z

xy z xz y xy z yz x xz y yz x

xA A A A A A A

A A A

A A A A A A A

nablatimes = part part part = part minus part minus part minus part + part minus part

nablasdot nablatimes = part minuspart minuspart +part +part minuspart =

4-37

此結果與真實的向量運算有相似之處 ( )( )0 (B A) BB B Asdot times = times perp∵

但是這仍只是特例因為我們可由下列例子 ( ) 0A Asdot nablatimes ne 看出事實上

nabla並不是一個真正的向量 Ex36 ˆ ˆ ˆA xy yx zx= minus +

( )

ˆ ˆ ˆ y zˆ ˆ ˆ 0 1 ( 2)

2 0

x y z

xA x y z

y x x

A A x x x

nablatimes = part part part = minus + minus

minus

sdot nablatimes = minus = minus ne

面積元素向量

物理上時常會遇到面積分例如電通量磁通

量等等考慮一個面積元素 ds定義「面積的

方向」為其「法線方向」並定義面積元素向量

ˆnds a dsequiv （4-71）

要注意的是(1)如果 ds 是一個「封閉面

closed surface」（即有裡外之分）的一部

份則 ˆna 定義為「由內向外」(2) 如果 ds

是一個「開放面 opened surface」（即分不

出裡外）的一部份那麼 ds 必被其邊緣

（一個封閉的曲線 C）所包圍這樣在定

出ds 的方向之前要先定義「邊緣曲線」

C 的方向再由右手定則定義 ˆna 的方向

既然面積已為一個向量就可以寫為分量表示以直角座標

ˆ ˆ ˆx y zds xds yds zds= + + (4-72)

那麼這些分量 dsx dsy dsz 會是什麼既然 dsx 的方向是 x 就表示 dsx

是躺在 y-z 平面上所以 dsx 的兩邊是 dy 與 dz rArr xds dydz= 依此類

4-38

推 dsy 的方向是 y 所以躺在 x-z 平面rArr yds dxdz= hellip可以得知

xds dydz= yds dxdz= zds dxdy= （4-73）

不過要注意在寫面積元素時要看討論的面實際

是什麼面上式的三個分量有可能會是負的例如

左圖座落在第一象限的立方體的 A 面方向就在 xminus

方向Arsquo面在 yminus Ardquo面在 zminus 方向寫面積元素最

好是先把討論的面的方向搞清楚把plusmn號寫在單位向量前面那麼分

量就都用＋的即可其實面積元素體積元素都可以由位移元素看出

ˆ ˆ ˆdr xdx ydy zdz= + +

dx dy dz 是沿著 ˆ ˆ ˆ x y z 方向的長度所以面積元素分量的兩邊長度就

是由其中兩個組成而體積的三邊也就是三個垂直方向的長度

x y zdV dx dy dz and ds dydz dxdz dxdyrArr = = （4-74）

這個概念在其他的座標系統也成立我們可以方便的寫出面積元素

Recall 柱座標的位移向量元素

cylindrical coordinate ˆ ˆ ˆdr d d dzzρρ ρ ϕϕ= + + （4-48）

ˆ ˆ ˆ zds ds ds zdsρ ϕρ ϕ= + + (4-75)

dsρ 躺在 zϕ minus 平面dsϕ 在 zρ minus 平面 zds 在ρ ϕminus 平面

rArr zds d dz ds d dz ds d d d dρ ϕρ ϕ ρ ρ ρ ϕ ρ ρ ϕ= = = sdot = （4-76）

上面的結果畫個圖看看吧球座標的位移向量元素

Spherical coordinate ˆ ˆˆ ( ) ( sin )dr rdr rd r dθ θ ϕ θ ϕ= + + （4-56）

ˆ ˆˆ rds rds ds dsθ ϕθ ϕ= + + （4-77）

rArr sin sin rds rd r d ds dr r d ds rd drθ ϕθ θ ϕ θ ϕ θ= sdot = sdot = sdot (4-78)

4-39

向量場 ( )A r 在 S 面上的「面積分（surface integral）」or「flux」

如左圖若有一「平面」S 且其上有「均勻」

場 B 分佈則通過 S 面的通量就是

ˆB B nSΦ = sdot

但考慮一任意「非均勻」向量場 ( )A r 在空間分佈選取任意曲面 S

探討 ( )A r 在 S 上之通量若ds 為 S 面上的面積元素在趨近於 0 的

小面積ds 上 A可視為均勻所以通過ds 之通量為 ( )d A r dsΦ = sdot 則 S

面之總通量為

Φ＝ ˆ cosS S S

A ds A nds A daϕsdot = sdot =int int int

( )OR

x x y y z zS

A da A da A da= + +int (4-75)

稱為 A 在 S 面上的「面積分」或「通量 flux」

上圖所繪就是一個任意面上分割出許多小面積舉出三個位置的通

量有+-與 0如果 S 面是為一「封閉面」則面積分寫為

S

A dssdotint （4-76）

4-40

ex37 Given 2ˆ ˆ ˆyzA xyz yx zx= + + 計算通量S

A dssdotint

S 面為在第一象限邊長＝1 的立方體表面封閉面

解立方體分為前後右左上下六個面分開算 1前面（x=1）

方向 x+ ˆ xA ds A xdydz A dydzsdot = sdot =int int int前 前 前

yzdydz= int前 ＝1 1

0 0

1 1 12 2 4

ydy zdz = sdot =int int

2後面(x=0)方向 xminus ˆ(- ) - xA ds A x dydz A dydzsdot = sdot =int int int後 後 後

yzdydz= minusint後1 1

0 0

-1 1 -12 2 4

ydy zdzminus = sdot =int int

3 右面（y=1）方向 y+ y ( 1)yA ds A dxdz A y dxdzsdot = sdot = =int int int右 右 右

( 1)x y zdxdz= =int右 ＝1 1

0 0

1 1 12 2 4

xdx zdz = sdot =int int

4 左面（y=0）方向 ˆ-y ˆ( y) - ( 0)yA ds A dxdz A y dxdzsdot = sdot minus = =int int int左 左 左

( 0) 0x y zdxdz= = =int左

5 上面（z=1）方向 z+ zz y (z 1) yA ds A dxd A dxdsdot = sdot = =int int int上 上 上

2 yx dxd= int上 ＝1 120 0

1 1y 13 3

x dx d = sdot =int int

6 下面（z=1）方向 ˆ-z zˆ(-z) y - (z 0) yA ds A dxd A dxdsdot = sdot = =int int int下 下 下

2 -1- y3

x dxd= =int下 ＝1 120 0

1 1y 13 3

x dx d = sdot =int int

S

A dssdotint ＝六個面的和＝1 1 1 1 1 1( ) ( 0) ( )4 4 4 3 3 4

minus minus+ + + + + =

ex38 Given ˆ ˆ ˆzA xyz yx zxy= + + 計算通量S

A dssdotint S 為圓 2 2 2x y a+ =

在第一項限的部分方向選為 z+ 2 2y a x= minus

4-41

解 2 2 4

0 0ˆ

8a a x

zS S S S

aA ds A zdxdy A dxdy xydxdy xdx ydyminus

sdot = sdot = = = =int int int int int int

Ex39 In cylindrical coordinate Given ˆ ˆaA zbzρρ

= + where a b are

constants Find S

A dssdotint over the surface of a

closed cylinder about z-axis specified by 3 2z ρ= plusmn =

解S 分為上下與周邊三面

zz (z 3)zA ds A ds A d dρ ρ ϕsdot = sdot = = sdotint int int上 上 上

= 23 3 2 12bd d b bρ ρ ϕ π πsdot = sdot =int上

ˆ(-z)A ds A d dρ ρ ϕsdot = sdot sdotint int下 下

= z- (z -3)A d dρ ρ ϕ= sdotint下 = 23 2 12b bπ πsdot =

周邊ds ˆ ( )d dzρ ρ ϕ= rArr ˆ ( ) z ( ) zA ds A d d A d dρρ ρ ϕ ρ ϕsdot = sdot =int int int周 周 周

2 3

0 3( ) z ( ) z=a 12aA d d d d d dz a

πρ ρ ϕ ρ ϕ ϕ π

ρ minus= = =int int int int周 周

加起來 S

A dssdotint ＝12 24 12 ( 2 )a b a bπ π π+ = +

ex40 一點電荷 q 置於原點計算在一個以原點為圓心 0r 為半徑的球

面上的電通量

解 2 20 0

ˆ ˆ4 4S S

qr q dsE ds rdsr rπε πε

sdot = sdot =int int int

=0 0 0

44 4S

q q qd ππε πε ε

sdot Ω = sdot =int

上式中 dΩ 2dsr

= 是 ds 所張開的「立體角」(solid angle)

4-42

div A and Flux 通量與散度的幾何物理意義

我們運用過nabla的符號來表示過散度 divF F= nablasdot yx zFF Fx y z

partpart part= + +part part part

但是也看到「散度」定義為

0( )

1( ) limSV

about x y z

divF x y z F da divergence of FVΔ rarr

equiv sdot =Δ int (4-77)

其中 VΔ 為 S 面所包含的體積即散

度為通量(體)密度的 0 體積極限

（4-77）的定義與 Fnablasdot 好像差的很

多她們是說同一回事嗎以下證明

這兩種「散度」的定義是等價的如

左圖考慮一個以點 ( ) x y z 為中心

的 立 方 體 其 相 鄰 三 邊 長 為

x y zΔ Δ Δ 體積 V x y zΔ = Δ Δ Δ 現在計算 F 在立方體的一組平行於 y-z平面的表面 S1 與 S2 的通量

( )1 1

ˆ ˆ xS S

F nds F xds F x y z dsrArr sdot = sdot =intint intint intint 2xxF x y z y zΔ⎛ ⎞asymp + Δ Δ⎜ ⎟

⎝ ⎠

其中 2xx y zΔ⎛ ⎞+⎜ ⎟

⎝ ⎠為 S1 面中心的座標而

2xx y zΔ⎛ ⎞minus⎜ ⎟

⎝ ⎠為 S2 面的中心

( ) ( )2 2 2

ˆ ˆ 2x x

S S S

xF nda F x ds F x y z ds F x y z y zΔ⎛ ⎞rArr sdot = sdot minus = minus asymp minus minus Δ Δ⎜ ⎟⎝ ⎠intint intint intint

上式中的負號來自 S2 面的方向是 xminus 所以合併兩個面積分

1 2

ˆ 2 2x x

S S

x xF nds F x y z F x y z y z+

Δ Δ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞rArr sdot asymp + minus minus Δ Δ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦intint

2 2x xx xF x y z F x y z

x y zx

Δ Δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠= Δ Δ Δ

Δ

2 2

x xx xF x y z F x y z

Vx

Δ Δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠= Δ

Δ

1 2

1 2 2ˆ

x x

S S

x xF x y z F x y zF nds

V x+

Δ Δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠rArr sdot asymp

Δ Δintint

4-43

當取體積向(xyz)點收縮至 0 時即 0 x 0as VΔ rarr Δ rarr 上式的近似

「asymp」就成了「＝」

1 20

1 ˆlimV

S S

F ndsVΔ rarr

+

sdotΔ intint

( )0

2 2limx x

x

x

x xF x y z F x y z F x y zx xΔ rarr

Δ Δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟ part⎝ ⎠ ⎝ ⎠= =Δ part

Similarly F 在立方體的一組平行於 x-z 平面的表面 S3 與 S4 的通量

3 3 3

ˆ ˆ yS S S

F nds F yds F dsrArr sdot = sdot =intint intint intint

2

2

y

y

yF x y zyF x y z x z x y z

y

Δ⎛ ⎞+⎜ ⎟Δ⎛ ⎞ ⎝ ⎠asymp + Δ Δ = Δ Δ Δ⎜ ⎟ Δ⎝ ⎠

( )4 4 4

2ˆ ˆ

y

yS S S

yF x y zF nds F y da F ds x y z

y

Δ⎛ ⎞minus⎜ ⎟⎝ ⎠rArr sdot = sdot minus = minus asymp Δ Δ Δ

Δintint intint intint

合併 S3 與 S4 兩個面積分並取體積向(xyz)點收縮至 0 時即當

0 y 0VΔ rarr Δ rarr 上式的近似asymp就成了＝

3 4

2 2ˆ

x x

S S

y yF x y z F x y zF nds V

y+

Δ Δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠rArr sdot cong Δ

Δintint

3 40 0

1 2 2ˆlim lim

x xy

V yS S

x yF x y z F x y z FF nds

V y yΔ rarr Δ rarr+

Δ Δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟ part⎝ ⎠ ⎝ ⎠rArr sdot = =Δ Δ partintint

與上面相同的作法計算 F 在立方體的一組平行於 x-y 平面的表面 S5

與 S6 的通量我們也會得到對應的結果

5 6

2 2ˆ

z x

S S

z zF x y z F x y zF nds V

z+

Δ Δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠rArr sdot cong Δ

Δintint

5 60 0

1 2 2ˆlim lim

z xz

V zS S

z zF x y z F x y zFF nds

V z zΔ rarr Δ rarr+

Δ Δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟ part⎝ ⎠ ⎝ ⎠rArr sdot = =Δ Δ partintint

所以合併立方體的 6 個面積分

4-44

1 2 3 4 5 6

ˆ ˆ ˆ ˆS S S S S S S

F nds F nds F nds F nds+ + +

rArr sdot = sdot + sdot + sdotint intint intint intint

0

1 ˆlim yx zV

FF FF nds div F FV x y zΔ rarr

partpart partrArr sdot = + + = = nablasdot

Δ part part partint (4-78)

在此我們得證這兩種「散度」的定義是等價的只是（4-77）的定義

充分的表現出「散度」的幾何物理意義他從通量著手由於場線

出自於 source（ex電場源自於點電荷）所以在點(xyz)必須有向量場

F 的 source 存在才能使得當面積縮到 0 時仍具有非 0 的通量所以「散

度」表現向量場 F 的 source 在這個定義之下是很清楚的當然在計算

「散度」時我們不必那麼麻煩用 divF F= nablasdot 就好了

Ex41 計算 2ˆ ˆ ˆF xx yxy zyz= + + 的散度

解 2 yx zFF Fx x yx y z

partpart part= = =

part part part F 2x x y 3x ydivrArr = + + = +

recall 在靜電學0

yx zEE EEx y z

ρε

partpart partnablasdot = = + +

part part part

散度定理 Divergence Theorem

若任意封閉面（又稱為「高斯面」）S 所包圍的

體積為 V 則

S VA ds Adτsdot = nablasdotint int （4-79）

pf 我們先將體積分割成 N 個小盒子考慮相鄰的兩個小盒子 1 2

兩小盒子的共用面面積 S0當 S0 是為 1 號盒子的一部份時其方向為

1n 但若當為 2 號盒子的表面時其方向為 12 ˆˆ nn minus= 如此在 S0 分別做

4-45

1 2 盒子的面積分後

0 0

0 0 0 0

1 2

1 2 1 1ˆ ˆ ˆ ˆ 0

S S

S S S S

A ds A ds

F n ds F n ds F n ds F n ds

sdot + sdot

= sdot + sdot = sdot minus sdot =

intint intintintint intint intint intint

所以若求場 A 在 1 2 盒子的總通量時交界面是沒有貢獻的總通量

就只有「外面積」才有貢獻如此我們計算 N 個小盒子的總通量

時所有的內部共用面都得 0只剩下「外表面」的貢獻了當 infinrarrN

時所有小盒子的「總外表面」就與 S 面重合了所以所有小盒子通量

的總和就等於 S 面的通量

1lim

i

N

S SN iA ds A ds

rarrinfin=

rArr sdot = sdotsumint int

現在我們做 N 個小盒子的總通量

1 1

1i i

N N

iS Si i i

A ds A ds VV= =

⎛ ⎞sdot = sdot Δ⎜ ⎟Δ⎝ ⎠

sum sumint int

當 0iN Vrarrinfin rArr Δ rarr 並用 dv 表示體積元素

( ) ( )1 1

1

1lim lim lim

lim

i ii

N N

iS SN N V oi i i

N

i VN i

A ds A ds VV

A V A dv

rarrinfin rarrinfin Δ rarr= =

rarrinfin=

⎛ ⎞sdot = sdot Δ⎜ ⎟Δ⎝ ⎠

= nablasdot Δ = nablasdot

sum sumint int

sum int

( )S V

A da A dvrArr sdot = nablasdotint int QED

所以得證散度定理上式中我們用了散度的（4-77）式定義要分辨

清楚 Anablasdot 是向量場 A 在空間中「某一點」的性質（ 0VΔ rarr ）而「散

度定理」說的是一個「有限體積」的性質

ex42 給定 ( ) ˆ ˆ ˆ A x y z xx yy zz r= + + = 計算在

半徑 R＝1 的球的上半球加底面的通量

4-46

解 ( )ˆˆS

A da A rda A k darArr sdot = sdot + sdot minusint int int上半球面 底面

( )

2

ˆ ˆ

0 2 1 2

A rda A z dxdy

r rds zdxdy rds ds π π

= sdot + sdot minus

= sdot minus = minus = = sdot =

int int

int int int int上半球面 底面

上半球面 底面 上半球面

底面的通量＝0 是因為 A 的 z 分量 Az=z 在底面的值為 0

也可以用散度定理更快的得出結果

∵ 3A rnablasdot = nablasdot =

31 43 3 1 22 3V V

Ad d πτ τ πnablasdot = = sdot sdot sdot =int int

ex43高斯定律的微分形式積 由 Gaussrsquo law 的積分形式用散度定理得出其

( )0 0

1 inS V

qE ds x y z dvρε ε

sdot = =int int

0S V VE ds Edv dvρ

εrArr sdot = nablasdot =int int int

上式最後的等式對「任意形狀」V 都成立所以兩者的被積函數相等

對於空間每一點 0

E ρε

nablasdot = （4-80）

ex44 Use 第一象限的單位力方體 check the divergence theorem using the function 2 2ˆ ˆ ˆ(2 ) 2A y x xy z y yzz= + + +

解2

2( ) (2 )(2 ) 2( )y yzA xy z x yx y z

part part partnablasdot = + + + = +

part part part

and 1 1 1 1 1 1

0 0 0 0 0 02 ( ) 2 ( )

VAdv x y dxdydz dz dy x y dxnablasdot = + = +int int int int int int int

1 1

0 0

1 12 ( ) 2 12 2

dz y dy= + = sdot =int int

面積分 1 1 2

0 0

1ˆ3

A ds A xdydz dz y dysdot = sdot = =intint intint int int前 前

4-47

1 1 2

0 0

1ˆ( )3

A ds A x dydz dz y dy minussdot = sdot minus = minus =intint intint int int

後 後

1 1 2

0 0ˆ (2 )A ds A ydxdz dz xy z dxsdot = sdot = +intint intint int int

右 右

1 1 1 12 2

0 0 0

4(2 ) (1 )3

ydz x z dx dz z

=

= + = + =int int int∵

1 1 2

0 0

0 1 1 12 2

0 0 0

ˆ( ) (2 )

1(1 )3

y

A ds A y dxdz dz xy z dx

dz z dx dz z=

sdot = sdot minus = minus +

minus= minus = + =

intint intint int int

int int int∵

左 左

11 1 1 1

0 0 0 0ˆ 2 2 1

zA ds A zdxdy dx yzdy dx ydy

=sdot = sdot = = =intint intint int int int int

∵

上 上

01 1

0 0ˆ 2 0

zA ds A zdxdy dx yzdy

=sdot = sdot minus = minus =intint intint int int

∵

下 下

前後右左上下六個面積分合併＝1＝V

Advnablasdotint QED

ex45 Continuity Equation 連續方程式

考慮某些「東西」的流動（物質電荷hellip）在時刻 t 時在點(xyz)

的 密 度 為 ( ) x y z tρ ρ= 並 具 有 速 度

( ) v v x y z t= 在時刻 t 時在體積 V 內的總量為

( ) x y z t dρ τintintint

這樣體積 V 內東東的時變率為

( ) ( ) d x y z t d x y z t ddt t

ρρ τ τpart=

partintintint intintint

注意體積分後的時間全微分移入積分內要改為偏微分這個東東

在表面的「流率 flow rate」可表為

ˆS

R v ndsρ= sdotintint

若體積內的物料無法自生自滅那麼體積內物料的變化必經由表面的

流出流入所造成

d v ndstρ τ ρpart

rArr = minus sdotpartintintint intint

由散度定理

4-48

( )ˆS

v nds v d dtρρ ρ τ τpart

sdot = nablasdot = minuspartintint intintint intintint

( )v Jtρ ρpart

rArr = minusnablasdot equiv minusnablasdotpart

0Jtρpart

rArr +nablasdot =part

（4-81）

(4-81) 即 continuity equation其中 J vρ= 為「物流密度」ex如果 ρ

是電荷密度 J 就是電流密度（4-81）是物質守恆的結果只對體

積內無 source（生成）or drain（消滅）的東東成立

ex46 Given a vector field ˆ ˆx yA ye xe= minus + (a) Find

Anablasdot (b)如圖一個金字塔狀的 5 面體高 2 底邊長

1計算 A在整個金字塔表面（封閉面）的總通量

解(a) Anablasdot = ( ) ( ) 0y xx ypart part

minus + =part part

(b) 金 字 塔 的 表 面 面 積 元 素 ds 不 好 寫 所 以 用 散 度 定 理

( )S V

A da A dvrArr sdot = nablasdotint int ＝0 Anablasdot 表示 A沒有 source 所以對封閉面而

言有多少場線進入就有多少出去所以總通量＝0

習題 7 With position vector r for an arbitrary volume V that is

bounded by surface S show that 13 S

r ds Vsdot =int

習題 8 已知一靜電場為 ˆ ˆ ˆ( )E xyz yxz zxyλ= + + 運用 Gaussrsquo law

試求包含在半球 2 2 2 2 0x y z R z+ + = ge 裡的總電荷 Ans 0

習題 9 (a) given ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( 2 )F r xf x yf y zf z= + + minus show that divF is

zero at point (c c -c2) (b) given ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( )G r xf x z yg x z zh x y= + +

show that ( ) 0G rnablasdot =

4-49

習題 10 Find the normal vector n for the surfaces (a) z = 2-x-y ans

ˆ ˆ ˆ( ) 3x y z+ + (b) z = (1-x2)12 ans ˆ ˆxx zz+ (c) z = x2+y2

ans ˆ ˆ ˆ( 2 2 ) 1 4xx yy z zminus minus + +

習題 11 Show that the unit vector normal to the plane ax+by+cz =d is

given by 2 2 2ˆ ˆ ˆ( ) ax by cz a b cplusmn + + + +

圓柱座標與球座標的nabla (del)

考慮一純量場在直角座標為 ( ) u x y z 在圓柱座標表為 ( ) u zρ φ

再考慮因位移 r r drrarr + 所造成 u ( )zρ φ 的變化

( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆz

z

u u udu d d dz u dr u d d zdzz

u u z u d d zdz

u d u d u dzρ ϕ

ρ ϕ

ρ ϕ ρ ρ ϕρ ϕρ ϕ

ρ ϕ ρ ρ ϕρ ϕ

ρ ρ ϕ

part part part= + + = nabla sdot = nabla sdot + +part part part

⎡ ⎤= nabla + nabla + nabla sdot + +⎣ ⎦= nabla + nabla + nabla

( ) ( ) ( )1

1ˆ ˆ ˆu

z

u u uu u uz

u u uzz

ρ ϕρ ρ ϕ

ρ ϕρ ρ ϕ

part part partrArr nabla = nabla = nabla =

part part partpart part part

rArrnabla = + +part part part

1ˆ ˆ ˆ zz

ρ ϕρ ρ ϕpart part part

nabla = + +part part part

（4-82）

注意nabla的ϕ -分量( 1ρ ϕ

partpart

)不是像直角座標裡單純的ϕpartpart

所以不要笨笨

的就把直角座標的形式硬套上去用我們也可以從「因次分析」來

看nabla因為是對空間的微分所以每一項的因次必須是「長度分之一」

運算 andzρ

part partpart part

都是「長度分之一」而「單純的ϕpartpart

」是沒有單位的

所以要1ρ ϕ

partpart

才 OK

由於圓柱座標裡的單位向量除了 z 之外 ˆ( )ρ ϕ 與 ˆ( )ϕ ϕ 都不是常

4-50

數所以在微分時不可以與微分運算交換而要考慮微分的作用所

以在「圓柱座標」寫「散度」 ( ) F zρ ϕnablasdot 也和直角座標不一樣

( )1ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ zF z F F zFz ρ ϕρ ϕ ρ ϕ

ρ ρ ϕpart part part⎛ ⎞

nabla sdot = + + sdot + +⎜ ⎟part part part⎝ ⎠

( ) ( )1ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆz zF F zF F F zFρ ϕ ρ ϕρ ρ ϕ ϕ ρ ϕρ ρ ϕpart part

= sdot + + + sdot + +part part

( )ˆ ˆˆ ˆ zz F F zFz ρ ϕρ ϕpart

+ sdot + +part

因為 ( ) ( )ˆ ˆ ˆ ˆ ρ ρ ϕ ϕ ϕ ϕ= = 所以做 andzρ

part partpart part

時 ˆ ˆ ρ ϕ 可視為常數

ˆ ˆ1ˆ ˆ ˆ zF F F FF F Fz

ρ ρ ϕρ φ

ρ ϕϕ ρ ϕρ ρ ϕ ϕ ϕ ϕ

part part part⎡ ⎤part part partrArrnablasdot = + sdot + + + +⎢ ⎥part part part part part part⎣ ⎦

還記得 ˆ ˆ ˆ ˆd d d dρ ϕ ϕ ϕ ρ ϕ= = minus 所以 ˆ ˆρ ϕϕpart

=part

ˆ ˆϕ ρϕpart

= minuspart

rArr

( )1 1 1z zF F F FF FF Fz z

ρ ρ ϕ ϕρρ

ρ ρ ρ ϕ ρ ρ ρ ϕpart part part part

nablasdot = + + + = + +part part part part part part

（4-83）

在球座標寫nabla也會遇到相似的問題其根源就是球座標 ( )r θ ϕ 裡

的 θ ϕ 的因次並非長度而三個單位向量 ˆ ˆˆ r θ ϕ（表為 ie ）都是( θ ϕ )

的函數以致

( )ˆ ˆ( ) ( )i ie f e fθ ϕ θ ϕθ θpart part

nepart part

且 ( )ˆ ˆ( ) ( )i ie f e fθ ϕ θ ϕϕ ϕpart part

nepart part

所以nabla也不似在直角座標那麼簡單我們不在這裡推導而是給出一

個歸納的統一的三個座標的結果還記得對每一個座標 iu i = 123

座標的變化 idu 與造成的長度變化 id

i i id h du= 123i = (4-84)

其中 ih 為對應的度量係數(metric coefficient)

4-51

1 2 3

1 1 2 2 3 3

1 1 1ˆ ˆ ˆu u ue e eh u h u h u

part part partnabla equiv + +

part part part （4-85A）

座標 1 2 3 u u u

度量係數

1 2 3 h h h

nabla grad del

直角 x y z

1 1 1 nabla ˆ ˆ ˆx y z

x y zpart part part

equiv + +part part part

圓柱

zρ ϕ

1 1ρ

1ˆ ˆ ˆ z

zρ ϕ

ρ ρ ϕpart part part

nabla equiv + +part part part

球

r θ ϕ

1 sinr r θ

1 1ˆ ˆˆ

sinr

r r rθ ϕ

θ θ ϕpart part part

nabla = + +part part part

（4-85B）

梯度gradient Vnabla grad(V) 散度divergence Anablasdot div( )A

直

角 nablaV ˆ ˆ ˆV V Vx y z

x y zpart part part

= + +part part part

yx zAA AAx y z

partpart partnablasdot = + +

part part part

圓

柱

1ˆ ˆ ˆ V V VV zz

ρ ϕρ ρ ϕpart part part

nabla = + +part part part

( )1 1

1

z

z

A AA Az

A A A Fz

ϕρ

ρ ρ ϕ

ρρ ρ ρ ϕ

ρ ρ ρ ϕ

partpart partnabla sdot = + +

part part partpart part part

= + + +part part part

球

1 1ˆ ˆˆ sin

V V VV rr r r

θ ϕθ θ ϕ

part part partnabla = + +

part part part

22

1 ( )rA r Ar r

partnabla sdot =

part

1 (sin )sin

Ar θθ

θ θpart

+ sdotpart

1sin

Ar

ϕ

θ ϕpart

+part

(4-86)

Ex47 Using spherical coordinate show that 1| |r r

nablaminus

= 2

ˆ| |

r rer r

minusminusminus

where

nabla是作用在 r 而 ˆr re minus 是向量 r rminus 方向的單位向量 解let r lies in z-axis so that the angle between r and r is just θ

4-52

rArr ( ) 122 21 1 2 cos | | ( ) ( )

r rr rr r r r r r

θminus

= = minus +minus minus sdot minus

( ) ( )12 122 2 2 21 1ˆˆ 2 cos 2 cos | |

r r rr r r rr rr r r r

θ θ θθ

minus minuspart partnabla = minus + + minus +

minus part part

( ) 322 21ˆ 2 cos (2 2 cos )2

r r rr r r rθ θminusminus

= minus + minus

( ) 322 21ˆ 2 cos (2 sin )2

r rr r rrθ θ θminusminus

+ minus +

3 3 3 3

ˆˆ ˆ( cos ) sin ( cos sin )ˆˆ| | | | | | | |r r r rr r rrr r r r r r r r

θ θ θ θ θθminus minus minus minus minus= + = +

minus minus minus minus

3 3 3ˆ ( )

| | | | | |r r z r r r rr r r r r rminus + minus + minus minus

= = =minus minus minus

＝ 2

ˆ| |

r rer r

minusminusminus

QED

證明最後我們用到 ˆˆˆ cos sinz r θ θ θ= minus 而 ˆ r r z= 因為我們選了 r 是

躺在 z-軸 Ex48 For arbitrary scalar field ( )f r and vector field ( )A r 證明恆等式

( )fA f A f Anablasdot = nabla sdot + nablasdot (4-87) 解 ˆ ˆ ˆx y zfA xfA yfA zfA= + +

( ) ( ) ( ) ( )x y zfA fA fA fAx y zpart part part

rArrnablasdot = + +part part part

yx zx x x

AAf f f AA f A f A fx x y y z z

partpartpart part part part= + + + + +part part part part part part

yx zx y z

AAf f f AA A A fx y z x y z

part⎛ ⎞partpart part part part= + + + + +⎜ ⎟part part part part part part⎝ ⎠

f A f A= nabla sdot + nablasdot QED 習題 12 一個位於原點的電偶極電偶極矩＝ ˆp pz= 已知其在遠處

的電位為 20

cos4p

rθ

πε試證該處的電場強度為 E = 3

0

ˆˆ( 2cos sin )4

p rr

θ θ θπε

+

(已知 E V= minusnabla )並請計算 Enablasdot ＝

習題 13 給定一向量場2

3cosˆD r

rϕ

= 現有兩個球心在原點的同心球

內球半徑 R＝1外球 R＝2(a)求面積分S

D dssdotint S 為同心球殼的表

面（有內外兩個面）(b)求體積分V

Ddvnablasdotint V 為兩同心球之間的

區域本題也是來 check 散度定理的Ans πminus

4-53

The Laplacian operator 2nabla equivnablasdotnabla

在直角座標可以用直接作用得到

2 2 2

22 2 2u u uu u

x y zpart part part

nabla equiv nablasdotnabla = + +part part part

(4-88)

圓柱座標

2 2

22 2 2

1 1( ) u u uu uz

ρρ ρ ρ ρ ϕ

part part part part⎛ ⎞nabla equiv nablasdot nabla = + +⎜ ⎟part part part part⎝ ⎠

(4-89)

球座標

2

2 22 2 2 2 2

1 1 1sinsin sin

u u uu rr r r r r

θθ θ θ θ ϕ

part part part part part⎛ ⎞ ⎛ ⎞nabla = + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟part part part part part⎝ ⎠ ⎝ ⎠ （4-90）

習題 14 verify (4-89) and (4-90)

習題 15 Given a dipole potential V= 20

cos4p

rθ

πε find 2Vminusnabla

sect 433 Line integral and curl A 線積分與與旋度的物理意義

線積分路徑積分

考慮一曲線 C 通過兩點 ( )i i i iP x y z 與

( )f f f fP x y z 現有一向量場 ( )A x y z 定義在

C 所在的空間若 sd 為 C 上位於(xyz)點的

「路徑元素」（ ˆd td= 方向沿該處切線）而

( )A x y z 為路徑元素d 處的場值則沿 C 經歷各點所做積分

cos cosf

CC C iA d Ad A dϕ ϕrarr rarrsdot = =int int int （4-91）

稱為向量場 ( )A x y z 沿路徑 C 自 pi 至 pf 的「線積分」「或「路徑積分」

積分裡 A 取值的點侷限在路徑 C 上面若為一個「封閉路徑」則對

C 的線積分也稱做「環路積分 closed contour integral」記做

C

A dsdotint （4-92）

4-54

物理量「做功」是最標準的線積分之一力 F 自 x = a 至 x = b「沿線」

x 軸做功

W＝ F dxsdotint ＝ ( )b

xaF x dxint （4-93）

質點在力場 )(rF 裡走一條曲線 C則力場做功

CW F d= sdotint （4-94）

還記得如果 ( )F r 是所謂「保守力」則上式只與始末點有關而與

路徑無關但如果 ( )F r 是所謂「非保守力」則做功與確實的路徑 C

有關

現考慮一質點在空間運動的位置 r 落在由曲線 C

描述的路徑則質點的位移元素與曲線 C 的路徑元

素相同 d dr= 若空間有向量場 A 分佈則 A 在 C 的

路徑積分以直角座標表示為

CA drarr rarrsdotint ＝

CA d rrarr rarrsdotint ＝ ( )x y zC

A dx A dy A dz+ +int （4-95）

上式中的 x y z 的積分限由 C 決定

Ex49 2 2 2ˆ ˆ ˆA xx yy zzrarr= + + 選定一路徑 C 為曲線

2y x= 由 (000)到 (2 20)的部分求C

A dsdotint

解 ˆ ˆd xdx ydy= +∵

CA dsdotint ＝ 2 2( )

Cx dx y dy+int ＝

2 22 2

0 0x dx y dy+int int

＝ )24(32

+

或由 2y x= rArr 2ydy dx= 2 12

y dy xdxrArr =

rArrC

A dsdotint ＝2 2

0

1( )2

x x dx+int ＝2 (4 2)3

+

4-55

ex50 ˆ ˆ( )f x y z xy yx= minus Do C

f dsdotint 其中的路徑 C 為一逆時針三角

形如圖 解∵路徑全部在 x-y 平面 ˆ ˆ ˆd td xdx ydy= = +

rArrC

f dsdotint ＝ x yC

f dx f dy+int ＝C

ydx xdyminusint

由於在 C1 上 y = 0 及 dy = 0 所以 01

=intC 又由於在

C3 上 x = 0 及 dx =0所以 03

=intC 所以只剩下 C2 可

能有貢獻由 2C 的方程式x + y =1rArr ⎩⎨⎧

minus=minus=

xyyx

11

rArr2Cydx xdyminusint ＝

0 1

1 0(1 ) (1 )x dx y dyminus minus minusint int ＝

0 12 2

1 0

( ) ( )2 2x yx yminus minus minus ＝-1

Cf dsdotint ＝-1

ex51 ( )f x y zrarr

= 2ˆ ˆxx yxyminus 如右圖doC

f dsdotint 其

中路徑 C 為第一象限的逆時針 14 圓弧

解∵ 全部在 x-y 平面 ˆ ˆd xdx ydy= +

Cf dsdotint ＝ 2

Cx dx xydyminusint

由於在 C 上 cosx R ϕ= rArr sindx R dϕ ϕ= minus

siny R ϕ= rArr cosdy R dϕ ϕ=

rArr 2

Cx dx xydyminusint ＝

2 2 2 2

0cos ( sin ) sin cos cosR R d R R d

πϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕminus minus sdotint

23 2

02 cos sinR d

πϕ ϕ ϕ= minus int ＝

323Rminus

又路徑為圓周一部份所以適合用極座標表示

ˆd Rdϕ ϕ= 又由左圖將 ˆ ˆx y 拆解（投影）到 ˆˆr ϕ

ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆcos sin sin cosx r y rϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ= minus = +

4-56

( )2ˆ ˆ ˆˆ ˆ( cos sin ) ( sin cos )C C

f d r x r xy Rdϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕsdot = minus minus + sdotint int 2

2 2 2

0

sin (cos )

sin ( cos ) (cos ) cos sin

Cx Rd xyRd

R Rd R Rdπ

ϕ ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ

= minus minus

= minus minus

intint

23 2

02 cos sinR d

πϕ ϕ ϕ= minus int ＝

323Rminus

這也驗證了散度定理

Path Independence 路徑獨立性

Ex52 證明庫倫力為「保守力」考慮

電荷 q0 位於原點及電荷 q 位於

( )r x y zrarr= q 受力 F

rarr＝ 0

20

14

qq urπε

and

求庫侖力作功因為球形對稱所以

用球座標由 ˆ ˆ ru rr

= = rArr Frarr

= 03

04qq r

rπε

庫侖力由 P1 至 P2 做功為 2

1

P

CPF drarrsdotint ＝

2

1

02

0

ˆ ˆ ˆˆ sin4

P

PC

qq r rdr rd r dr

θ θ ϕ θ ϕπε

⎡ ⎤sdot + +⎣ ⎦int ＝2

1

02

04P

P

qq drrπεint

＝20

2104

r

r

qq drrπε int ＝ 0

0 1 2

1 1( )4qq

r rπεminus for all C

所以庫侖力兩點間做功與路徑無關rArr保守力

對於「保守力 conservative force」 cF 自 p1 經

由兩條不同的路徑 C1 與 C2 到達 p2

1 ccF drarrsdotint ＝

2 ccF drarrsdotint ＝-

2 ccF drarr

minussdotint

rArr1 2c cc cF d F drarr rarr

minussdot + sdotint int = cF d

rarrsdotint ＝0 (4-96）

對於任何「封閉路徑」保守力做功為 0反之若

對任一封閉路徑 0F drarrsdot neint 則兩點之間的做功與路徑有關

rarr

F 為「非

保守力」

4-57

旋度 curl Anablatimes 的幾何物理意義

我們在（4-70）式已經看過旋度的計算方式但旋度另有其意義的

ex53 給定向量場2 2

0ˆ yv yv e λrarr

minus= 左圖為場的分佈

2 20

ˆ ˆ ˆ

0 0x y z

y

x y zcurl v

v e λ

rarr

minus

= part part part ＝ ˆ ˆ ˆ0 0 0 0x y zsdot minus sdot + sdot =

我們用了簡寫 x yx ypart part

part equiv part equivpart part

可以看出這個場裡沒有「漩渦」

但是有無「漩渦」有時也不是那麼明顯可以看出的請見下一個例子

Ex54 給定向量場2 2

0ˆ xv yv e λrarr

minus= 計算其旋度 vnablatimes

解向量場 vrarr

畫在右邊你看得出有無漩渦

先計算旋度

2 20

ˆ ˆ ˆ

0 0x y z

x

x y zcurl v

v e λ

rarr

minus

= part part part2 2

2 2

0

0

ˆ

ˆ 2 0 0

x

x

z v ex

z v xe for x

λ

λ

minus

minus

part=

part

= minus ne ne

vrarr

的旋度在大部分的地方不為 0 且隨位置而不同但是你看得出這個

向量場裡有「漩渦」其實要檢驗一個向量場裡有無「漩渦」有一

個很物理的方法就是放一個小「螺旋槳」（左圖）

在場內將軸朝各個方向測試一

下如果有「漩渦」的話這個

小「螺旋槳」就會轉動右圖就是將「螺旋槳」的

軸平行於 z 軸且放在 x gt 0 的地方就可以看出左

邊的 v 場比右邊的強造成螺旋槳順時針轉動rArrcurlv zminus for x gt 0

但如果放在 x = 0 的地方就會看到左右兩端的 v 場強度相同而且

4-58

curlv = 0 「螺旋槳」放在 x lt 0 的地方就可以看出右邊的v 場比左

邊的強造成螺旋槳逆時針轉動這完全符合 curl v k+ 的結果

環路積分與旋度 curl 的物理意義

如同「散度」一樣「旋度」除了 Ftimesnabla 之外

還有一個物理意義更清楚的定義這個定義由

「線積分」說明如圖考慮做「逆時針」長方形

路徑 C1 的一個「環路積分」C1 面平行於 x-y 平

面由 z-軸看下去環路 C1 可以分為可以分為

下 CB上 CT右 CR左 CL 4 部分

CA drarrsdotint ＝

B T L RC C C CA d A d A d A drarr rarr rarr rarrsdot + sdot + sdot + sdotint int int int

分別計算由於 CB 的中點座標為 ( )2yx y zΔ

minus

ˆB BC C

A d A xdxrarr rarrsdot = sdot =int int

BxC

A dxint ( )2xyA x y z xΔ

asymp minus Δ

similarly 由於 CT 的中點座標為 ( )2yx y zΔ

+

ˆ( )T TC C

A d A xdxrarr rarrsdot = sdot minus =int int

TxC

A dxminusint ( )2xyA x y z xΔ

asymp minus + Δ

合併 CB 與 CT

B TC CA drarr

+sdot =int

( ) ( )2 2x xy yA x y z A x y z

x yy

Δ Δ⎡ ⎤minus + minus minus⎢ ⎥⎣ ⎦ Δ ΔΔ

（4-97）

由 C1 所圍的面積 S x yΔ = Δ Δ

1B TC C

A dS

rarr

+sdot =

Δ int( ) ( )

2 2x xy yA x y z A x y z

y

Δ Δ⎡ ⎤minus + minus minus⎢ ⎥⎣ ⎦Δ

（4-98）

所以當取極限 C1 收縮到中心(xyz)時 SΔ 收縮到 0ie

4-59

0limsΔ rarr

1B TC C

A dS

rarr

+sdot =

Δ int xAy

partminuspart

（4-99）

Similarly with CR 的 ˆd ydy= CL 的 ˆd ydy= minus 可得

1L RC C

A dS

rarr

+sdot =

Δ int x

zyxxFzyxxF yy

Δ

Δminusminus

Δ+ )

2()

2(

（4-100）

同樣的當取極限 C1 收縮到中心(xyz)時 SΔ 收縮到 0

0

limsΔ rarr

1L RC C

A dS

rarr

+sdot =

Δ int yAx

partpart

（4-101）

最後合併 CBCTCRCL 為 C1

10

1limCs

A ds

rarr

Δ rarrsdot =

Δ int y xA Ax y

part partminus

part partˆ ( ) ( )zz A A= sdot nablatimes = nablatimes （4-102）

注意 C1 的方向就是在 z 上式的重要

意義是當向量場 A 在一個以點(xyz)為

中心「方向為 z 」的面積元素的「邊界」

所做的環路積分得到的就是 A 在(xyz)

處旋度的 z-分量明顯的只有當 A 在

(xyz)附近有 x-y 平面上的「漩渦」那麼 C1 的環路積分才不會為 0

Similarly 取一個逆時針繞著(xyz)的平行於 x-z 平面的長方形環路 C2

（左圖）做環路積分再取極限將 C2 收縮到(xyz)就會得到

20

1limCs

A ds

rarr

Δ rarrsdot =

Δ int x zA Az x

part partminus

part partˆ ( ) ( )yy A A= sdot nablatimes = nablatimes （4-103）

注意到 C2 所包圍的面積方向就在 y到

現在我們應該已經很有經驗了若取一

個逆時針繞著(xyz)的平行於 y-z 平面

的長方形環路 C3（左圖）做環路積分

再取極限將 C3 收縮到(xyz)就會得到

4-60

30

1limCs

A ds

rarr

Δ rarrsdot =

Δ int yz AAy z

partpartminus

part partˆ ( ) ( )xx A A= sdot nablatimes = nablatimes （4-104）

能把（4-103）與（4-104）變出來的同學我們有優待綜合以上

我們可以得到一個結論若取一個以點(xyz)為中心的任意環路 Cn（其

所包圍的面積方向在 n ）則

n curl Aand rarrsdot ＝

0

1lims

Cn

A ds

rarr

Δ rarrsdot

Δ int （4-105）

明顯的當 n ＝ x 或 y 或 z 時我們可以重複（4-102）到（4-104）的

結果（4-70）式的行列式所定義的旋度在此看見其幾何物理意義

至此「旋度」的「漩渦」形象應該已經很清楚了只有在(xyz)點附

近的小圈圈上有「漩渦」 A 在小圈圈做的環路積分才會有值這個

值就是向量場 A 的「旋度」在小圈圈面積方向的分量

Stokersquos 定理

考慮一個開放面 S被其「有方向的」邊界 C 圈住(bounded by)則

( )S

A dsrarr rarrnablatimes sdotint ＝

C

A drarrsdotint （4-106）

pf 先將 S 面分割為 N 個多邊形這會使得邊界變成一個「折線」形

成的環路 P環路 P 會隨著分割的多邊形個數的增多而越加近似於原

「光滑的」邊界 C現考慮相鄰的

兩個多邊形的線積分由於共用邊

的方向是相反的所以相鄰兩個多

邊形線積分的和只剩「外邊界」（見左圖）所以當把所有的多邊形的

4-61

線積分加起來時由於只有邊界 P 不是多邊形的共用邊所以

1k

N

k C

A drarr

=

sdotsum int ＝P

A drarrsdotint rArr

P

A drarrsdotint ＝

1

1

k

N

kk k C

A d l ss

rarr rarr

=

⎡ ⎤sdot Δ⎢ ⎥

Δ⎢ ⎥⎣ ⎦sum int

其中 ksΔ 為第 k 個多邊形的面積取極限 0kN srarrinfinrArrΔ rarr P CrArr rarr

C

A drarrsdotint ＝

10

1limkk

N

kN k k Cs

A d ss

rarr

rarrinfin=Δ rarr

⎡ ⎤sdot Δ⎢ ⎥

Δ⎢ ⎥⎣ ⎦sum int 01

ˆlim ( )k

k kskn A s

infin

Δ rarr=

⎡ ⎤= sdot nablatimes Δ⎣ ⎦sum

01

ˆlim ( )k

k kskA n s

infin

Δ rarr=

= nablatimes sdot Δsum = ( )S

A dsrarr

nablatimes sdotint QED

ex55 由 Amperersquos law 的積分形式導出其微分形式

解Amperersquos law 的積分形式 C

B drarrsdotint ＝ I0μ (4-107)

由 Stokersquos 定理及電流密度 j 的定義上式等號兩端可寫為

rArr ( )S

B dsrarr rarrnablatimes sdotint ＝ 0 S

j dsμrarrsdotint

由於上面的等式對任意面 S（路徑 C）都成立所以被積函數相等

0B jμrarr rarr rarr

rArrnablatimes = (4-108) 此即 Amperersquos law 的微分形式

Ex56 Given a vector field ˆ ˆx yA ye xe= minus + (a) Find Anablatimes

解

ˆ ˆ ˆˆ ˆ(1 ( 1) 2

0x y z

x y zA z z

y xnablatimes = part part part = minus minus =

minus

(b)如圖一個金字塔狀的 5 面體高 2底邊長＝1計算 ( )S

A dsnablatimes sdotint

其中 S 為金字塔在 x-y 平面以上的部分方向如同

封閉的金字塔（運用 Stokersquos law）

解金字塔上表面的面積元素ds 不好寫由 Stokersquos

4-62

law ( )S

A dsrarr rarrnablatimes sdotint ＝

C

A drarrsdotint 其中封閉路徑 C 就是上表面的邊界而且

是逆時針（由 z 軸向下看）

C

A drarrsdotint ＝

1 1 0 0

0 0 1 1ˆ ˆ ˆ ˆA xdx A ydy A xdx A ydysdot + sdot + sdot + sdotint int int int

＝1 1 0 0

0 0 1 1x y x yA dx A dy A dx A dy+ + +int int int int 1 1 0 0

0 0 1 1( 0) ( 1) ( 1) ( 0)y dx x dy y dx x dy= minus = + = + minus = + =int int int int

0 1 1 0 2 ( ) 2S

A ds= + + + = rArr nablatimes sdot =int

旋度與 path independence

已知保守場 cF 對所有封閉路徑 C 0cC

F drarrsdot =int 由 Stokersquos 定理

0cC

F drarrsdot =int ＝ ( )cS

F dsrarr rarrnablatimes sdotint rArr 0cF

rarr rarrnablatimes =

這表示保守場＝無旋度反之無旋度的場任兩點間路徑積分與路

徑無關

Ex57 Given a field 2 2ˆ ˆ ˆ2A x xy yx zz= + minus (a) Find Anablatimes A 保守場

解2 2

ˆ ˆ ˆ

2x y z

x y zA

xy x znablatimes = part part part

minus

( ) ( ) ( )2 2 2 2ˆ ˆ ˆ( ) 2 ( ) 2 0y z z x x yx z x y xy z z x xy= part minus minuspart + part minuspart minus + part minuspart =

yes A =保守場

(b)如左圖由 A 到 B 做路徑積分A BC

A drarr

sdotint 路徑 C 為橢圓

22 1

16yx + = 在 x-軸以上的部分

解橢圓部分的路徑元素 d 有點麻煩但因為 A

為保守場所以 A 到 B 做路徑積分可以用 x = -1 到

1 的積分取代

4-63

01 1 1

1 1 1ˆ 2 0

yB

xAA d A xdx A dx xydx

=

minus minus minussdot = sdot = = =int int int int

∵

旋度在柱座標與球座標

前面討論過nabla在不同座標系的寫法旋度也有歸納出的一致寫法

座標 1 2 3 u u u

度量係數

1 2 3 h h h

nabla grad del

直角 x y z

1 1 1 nabla ˆ ˆ ˆx y z

x y zpart part part

equiv + +part part part

圓柱 zρ ϕ

1 1ρ

1ˆ ˆ ˆ zz

ρ ϕρ ρ ϕpart part part

nabla equiv + +part part part

球 r θ ϕ

1 sinr r θ

1 1ˆ ˆˆ sin

rr r r

θ ϕθ θ ϕ

part part partnabla = + +

part part part

所以柱座標與球座標的旋度分別表為

柱座標

ˆ ˆ ˆ1

z

z

Az

AA Aρ ϕ

ρ ρϕ

ρ ρ ϕρ

part part partnablatimes =

part part part （4-109）

球座標 2

ˆ ˆˆ sin1sin

sinr

r r r

Ar r

A rA r Aθ ϕ

θ θϕ

θ θ ϕθ

part part partnablatimes =

part part part （4-110）

ex58 (a) Given the vector function ˆA ϕ= sin (ϕ 2) find Anablatimes

解 2

ˆ ˆˆ sin1sin

0 sin( 2) 0

r r r

Ar r

r

θ θϕ

θ θ ϕϕ

part part partnablatimes =

part part part

4-64

21 ˆˆ cos sin sinsin 2 2 2

rr rr

ϕ ϕθϕθ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

ˆˆ cos sin2 sin 2 2

rr r

ϕ ϕ ϕθ

minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

(b)如左圖一個底面在 x-y 平面半徑＝1高＝2 之圓錐 求面積分

SA dsnablatimes sdotint 面積範圍 S 為圓錐在 x-y 平面以上

部分 方向為由圓錐內向外

解由 Stokersquos law ( )S

A dsrarr rarrnablatimes sdotint ＝

C

A drarrsdotint 其中路

徑 C 為 x-y 平面圓心在原點之單位圓 ˆ ˆd rd dϕ ϕ ϕ ϕ= =

2

0ˆ ˆsin sin

2 2C

d dπϕ ϕϕ ϕ ϕ ϕ⎛ ⎞ ⎛ ⎞sdot =⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠int int ( )0

2 sin u duπ

= int 0cos | 2u π= minus =

習題 16 磁場 B 因為不是保守場所以沒有對應的純量位而對應一

個向量位 A (vector potential)而 B A= nablatimes 一個磁鐵的磁偶極矩

ˆm mz= 被置於原點已知在遠處的 vector potential 03ˆ sin

4mAr

μϕ θπ

=

計算該處的磁場 B Ans 03

ˆˆ( 2cos sin )4

mB rr

μ θ θ θπ

= + 與電偶極遠處

的電場形式一致都是偶極(dipole) 選幾個點畫一畫該處的場向量

把磁力線描出來

附錄本章講義的內容有部分可以經由直接計算得出列在附錄做為

參考

用「圓柱座標」寫 Atimesnabla

Ararr rarrnablatimes ＝ ( )1ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ zz A A zA

z ρ φρ ϕ ρ ϕρ ρ ϕpart part part⎛ ⎞+ + times + +⎜ ⎟part part part⎝ ⎠

4-65

因為rdquo sdotrdquo與rdquotimes rdquo都是向量間的運算所以

＝ ( )ˆ ˆ ˆ ˆ zA A zAρ φρ ρ ϕρpart

times + +part

＋ ( )1ˆ ˆ ˆ ˆ zA A zAρ φϕ ρ ϕρ ϕ

parttimes + +

part

＋ ( )ˆ ˆˆ ˆ zz A A zAz ρ φρ ϕpart

times + +part

直接做上式微分可以得到

＝1ˆ z AA

zϕρ

ρ ϕpart⎛ ⎞part

minus⎜ ⎟part part⎝ ⎠＋ ˆ zA A

zρϕ

ρpart⎛ ⎞part

minus⎜ ⎟part part⎝ ⎠＋

1 1ˆ ( )A

z A ρϕρ

ρ ρ ρ ϕpart⎛ ⎞part

minus⎜ ⎟part part⎝ ⎠

上式可以用一個行列式來表示

rarrrarr

timesnabla A＝

ˆ ˆ ˆ1

z

z

zA A Aρ ϕ

ρ ρϕ

ρ ρ ϕρ

part part partpart part part

（A-1）

A and Anabla nablasdot nablatimes in 球座標 spherical coordinate

如上圖球座標 )( ϕθr 其中 )0[ infinisinr ]0[ πθ isin ]20[ πϕ isin 只有 r

是長度而 ϕθ 為角度是用來說明方向的三個座標的單位向量 ˆ ˆˆ r θ ϕ 具

有下列性質

4-66

1 如上圖 ˆ ˆˆ r θ ϕ 都不是常數而是（ ϕθ ）的函數

ˆ ˆ( )ˆ ˆ( )ˆ ˆ( )

r r θ ϕ

θ θ θ ϕϕ ϕ ϕ

⎧ =⎪

=⎨⎪ =⎩

)( ϕθr 與(xyz)之間的轉換如下

sin cossin sincos

x ry rz r

θ φθ φθ

=⎧⎪ =⎨⎪ =⎩

( )122 2 2

2 2

tan

tan

r x y z

x yz

yx

θ

φ

⎧ = + +⎪⎪ +⎪ =⎨⎪⎪ =⎪⎩

（A-2）

2 ˆ ˆˆ r θ ϕ 形成一「歸一正交集」ie

ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ 1r r θ θ ϕ ϕsdot = sdot = sdot = ˆ ˆr θ ϕperp perp

ˆ ˆr θ ϕtimes = ˆ ˆ rθ ϕtimes = ˆˆ rϕ θtimes = （A-3）

3可以很容易的由他們在 xyz 軸上的投影由直角

座標的 ˆ ˆ ˆ x y z 表出

ˆ ˆ ˆ ˆsin cos sin sin cos ( 4 )ˆ ˆ ˆ ˆcos cos cos sin sin ( 4 )ˆ ˆ ˆsin cos ( 4 )

r x y z A a

x y z A bx y A c

θ φ θ φ θ

θ θ φ θ φ θϕ φ φ

= + + minus⎧⎪

= + minus minus⎨⎪ = minus + minus⎩

4 ˆdr = 由於 ˆ ˆ( )r r θ φ= 所以由 ϕθ 的變動來看

4-67

ˆ ˆˆ| |ˆ ˆˆ| | sin sin

d r d d

d r d d

θ θθ θθ

φ θ φφ θ φφ

⎧ rArr =⎪⎨

rArr =⎪⎩rArr ˆ ˆˆ sindr d dθ θ φ θ φ= + （A-5）

rArrˆ ˆr θθpart

=part

ˆ ˆsinr θφφpart

=part

（A-6）

（A-6）的結果也可以直接由（A-4a）對 ϕθ 偏微得到

5 ˆdθ ＝ 由於 ˆ ˆ( )θ θ θ φ= 所以由 ϕθ 的變動來看

ˆ ˆ ˆ| | ( )ˆ ˆ ˆ| | cos cos

d d r d r

d d d

θ θ θ θ

φ θ θ φφ φ θ φ

⎧ rArr minus = minus⎪⎨

rArr =⎪⎩rArr ˆdθ ＝ ˆˆ cosrd dθ φ θ φminus + （A-7）

ˆrθ

θpart

rArr = minuspart

ˆ ˆcosθ φ θφpart

=part

（A-8）

請直接由（A-4b）對 ϕθ 偏微的結果 check（A-8）

6 ˆdφ ＝由於φ )(ϕ 躺在 x-y 平面上變動φ時的方向可能不是那麼

容易看出來所以做圖看一看

ie ˆ ˆˆ(sin ) (cos )d r d dφ θ φ θ θ φ= minus minus （A-9）

4-68

ˆ ˆˆsin cosrφ θ θ θφpart

= minus minuspart

7 所有的向量 ˆ ˆˆ rA rA A Aθ φθ φrarr= + +

8 位置向量 ˆr rrrarr=

可以由左圖 ˆ ˆˆ r θ ϕ 三個方向的「長度

變化」輕易的看出

9 位移元素

ˆ ˆˆ ˆ sindr rdr rd dθ θ ϕ θ φ= + + (A-10)

10 體積元素

sindv dr r d rdθ φ θ= sdot sdot

＝ 2 sinr dr d dθ θ φ (A-11)

11 面積元素 2 sinrds r d dθ θ φ= plusmn sinds r drdθ θ φ= plusmn ds rdrdφ θ= plusmn (A-12)

plusmn號表示面的垂直方向有兩個端看 ds 周邊的方向是如何定的

nabladel 考慮 ( )u u r θ φ=

rArru u udu dr d dr

θ φθ φ

part part part= + +part part part

u d rrarr rarr

equiv nabla sdot

urarr

= nabla sdot ˆ ˆˆ( sin )rdr rd dθ θ φ θ φ+ +

rArr1 1ˆ ˆˆ

sinu u uu rr r r

θ ϕθ θ φ

rarr part part partnabla = + +

part part part

1 1ˆ ˆˆsin

rr r r

θ ϕθ θ φ

rarr part part partnabla equiv + +

part part part （A-13）

4-69

直接用（A-13）與 ˆ ˆˆ rA rA A Aθ φθ ϕrarr= + + 逐項內積加上（A-678）

rArr ϕθ

θθθ

ϕθ part

part+

partpart

+partpart

=sdotnablararrrarr A

rA

rAr

rrA r sin

1)(sinsin1)(1 2

2 （A-14）

（A-13）與 ϕθ ϕθ AAArA r

andandandrarr

++= 逐項外積整理之後

ϕθ θϕθ

ϕθθ

θArrAA

r

rrr

rA

r sin

sin

sin1

2 partpart

partpart

partpart

=timesnabla

andandand

rarrrarr

（A-15）

Laplacian uu nablasdotnabla=nabla2

2

2

2222

22

sin1)(sin

sin1)(1

ϕθθθ

θθ partpart

+partpart

partpart

+partpart

partpart

=nablau

ru

rrur

rru （A-16）

B推導「散度」在圓柱座標的寫法

讓我們先回顧一下在直角座標裡的「面積元素」可以由「位移元素」

得到

ˆˆ ˆ x y zdr idx jdy kdz da dydz dxdz dxdy= + + rArr =

比照辦理「圓柱座標」的位移元素

( )ˆˆ ˆ( )

( )z

da d dzdr d d zdz da d dz

da d d

ρ

φ

ρ φ

ρ ρ φ ρ φ ρ

ρ ρ φ

=⎧⎪= + + rArr =⎨⎪ =⎩

這個結論可以輕易的由面積元素在垂直於 zˆˆ ϕρ 三個方向的面積看

出如下圖考慮一個以 )( zϕρ 為中心的「圓柱體積元素」(cylindrical

cubiod)體積為 zdV ΔΔ=Δ ϕρρ 現計算在 ρ

方向的 12 兩個平行面(方向各為 ρplusmn )的通

量

4-70

zzF

dsFdsnFS S

ΔΔ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

+cong

=sdotintint intintϕρρϕρρρ

ρ

2

2

ˆ1 1

zzF

dsFdsnFS S

ΔΔ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

minus⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

minusminuscong

minus=sdotintint intintϕρρϕρρρ

ρ

2

2

ˆ2 2

intint+

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

minus⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

minusminus⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

+Δ

asympsdotΔ

rArr21

22

22

1ˆ1

SS

zFzFdsnFV

ϕρρρρϕρρρρρρ ρρ

( ) ( )

1 20

0

0

1 ˆlim

1lim 2 2 2 2

1 1lim 2 2

1

VS S

F ndsV

F z F z

F z F z

F

ρ ρρ

ρ ρρ

ρ

ρ ρ ρ ρρ ρ φ ρ ρ φρ ρ

ρ ρρ ρ φ ρ ρ φρ ρ

ρρ ρ

Δ rarr+

Δ rarr

Δ rarr

rArr sdotΔ

Δ Δ Δ Δ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + + minus minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥Δ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦Δ Δ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥Δ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

part ⎡ ⎤= ⎣ ⎦part

intint

娛樂一下用上述方式把圓柱的 Fsdotnabla 裡的z

FF z

partpart

+partϕρϕ1

變出來

球座標的nabla和 Fsdotnabla 也可以試試看

補充習題

H M Scheydiv grad curl and all that 4th edition

第二章習題 6 8 9 10 11 14 15 16 18 19 21 22 23 25 26 27

第三章習題 2 3 5 6 7 8 9 10 11 14 15 17 18 19 24

4-9

cossin cossin sin

0 0 0 2

z

x

y

A AA AA A

A

θθ ϕθ ϕ

θ π ϕ π

===

gt le le le le

（4-21）

A B 的外積向量積叉積（vector productcross product）

由 A B 的本質與相對夾角定義向量外積

ˆ sinA B nAB θtimes equiv （4-22a）

其中的 n 是一個同時垂直於 A B 的單位向量其方向由右手定則定

之舉例

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆsin 90 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 0x y z z x z y y z xx x y y z ztimes = deg = times = minus times =times = times = times =

相互平行或反平行的二向量外積為 0因為 sin(0)=sin(1800)=0

BA 的外積也有另一個等價的定義

ˆ ˆ ˆ(4 22 )

( ) (4 23)

x y z

x y z

i ijk j kj k

x y zA B A A A b

B B B

A B A Bε

times = minus

times = minussum

上式中的 ijkε 稱為 Levi-Civita symbol（猶太裔義大利人Ci 發音同

chi） ijkε ＝0 若 ijk 中有任二數相同例如 211 131 223 0ε ε ε= = = 若 ijk

為相異的 3 個數則 ijkε =(-1)p p 是 ijk 相鄰兩數互換成為 123 的「置

換數」例如 ijk=231則 213 123rarr rarr p=2 2231 ( 1) 1ε = minus = 又如 ijk

＝321 則 312 132 123rarr rarr rarr p=3 所以 3321 ( 1) 1ε = minus = minus

4-10

Ex 9 ˆ ˆ ˆ4 5A x y z= + + ˆ ˆ3B x z= +

ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ1 4 5 (4 5) (15 1) (0 12) 14 12

3 0 1

x y zA B x y z x y ztimes = = minus + minus + minus = minus + minus

ex 10 ˆ ˆ ˆ4A x y z= minus minus + ˆ ˆ ˆ2B x y z= minus minus ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ1 1 4 (1 4) (8 1) (1 2) 5 7 3 2 1 1

x y zA B x y z x y ztimes = minus minus = + + minus + + = + +

minus minus

由（4-21b）可以容易看出

( ) ( )x y z

x y z

x y z

C C CC A B A B C A A A

B B Bsdot times = times sdot = （4-24）

明顯的 in general 外積不滿足交換率與結合率

( ) ( )A B B A B AA B C A B Ctimes = minus times ne times

times times ne times times (4-25)

兩個有用的恆等式(identity)

1 triple scalar product 純量三重積

( ) ( ) ( )A B C C A B B C Asdot times = sdot times sdot = sdot times (4-26)

上式中的 3 項運算 A B C 的順序是循環的(cyclic)ie ABC CAB

BCA3 項皆為以 A B C 為鄰邊的平行 6 面體的體積

Pf 若 B C 夾角＝ϕ rArr ˆ sinB C nBC ϕtimes =

其中 sinBC ϕ ＝以 B C 為兩邊的平行

四邊行面積 n perp B C

若 ˆA n 夾角＝θ ˆ cosA n A θrArr sdot =

＝垂直於 B C 平面的高

there4 ( )A B Csdot times ＝以 A B C 為鄰邊的平行

4-11

六面體的體積由於 3 鄰邊 A B C 的順序可以任選所以體積可藉由

（4-24）式之「絕對值」算出

Ex 11 一平行六面體 H 的相鄰三邊由 ˆ ˆ ˆ4 5A x y z= + + ˆ ˆ3B x z= +

與 ˆ ˆ ˆ2C x y z= minus + minus 表出求 H 之體積 HV

解let 1

2 1 11 4 5 183 0 1

CD A

B

minus minus= = = or 2

1 4 52 1 1 18

3 0 1

AD C

B= = minus minus = minus

1 2| | 18HV D D= = = 1D 與 2D 差一個負號不令人驚奇因為行

列式 2D 是由 1D 的第一列與第二列交換而來

2 triple vector product 向量三重積

( ) ( ) ( )A B C B A C C A Btimes times = sdot minus sdot (4-27)

上式有一別號稱為 back-cab(回頭車) rule先舉例說明上式成立

Ex12 ˆ ˆ ˆ4 5A x y z= + + ˆ ˆ3B x z= + ˆ ˆ ˆ4C x y z= minus minus

ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ3 0 1 (0 1) (1 12) ( 3) 13 3

1 1 4

x y zB C x y z x y ztimes = = + + + + minus = + minus

minus minus

ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ( ) 1 4 5 ( 12 65) (5 3) (13 4) 77 8 9

1 13 3

x y zA B C x y z x y ztimes times = = minus minus + + + minus = minus + +

minus

ˆ ˆ1 4 20 23 ( ) 69 23A C B A C x zsdot = minus minus = minus rArr sdot = minus minus

ˆ ˆ ˆ3 5 8 ( ) 8 8 32A B C A B x y zsdot = + = rArr sdot = minus minus

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ( ) ( ) 69 23 (8 8 32 ) 77 8 9B A C C A B x z x y z x y zsdot minus sdot = minus minus minus minus minus = + + QED

The proof of ( ) ( ) ( )A B C B A C C A Btimes times = sdot minus sdot

Pf Note that ( )B C B Ctimes perp 平面then ( )A B C B Ctimes times perp times∵ （ ）

( ) A B C D B CrArr times times equiv 躺在（ ）平面 所以 D 可由 B C 組合令

4-12

D B Cα β= + 由於 D 也與 A垂直所以

0A Dsdot = ( ) ( )A B A Cα β= sdot + sdot rArr

let ( ) ( )v v A C v A BA C A Bα β α βminus

= = rArr = sdot = minus sdotsdot sdot

( ) [( ) ( ) ]D A B C B C v A C B A B Cα βthere4 = times times = + = sdot minus sdot

v 會＝1上式對 x 做內積

ˆ ˆ ˆ[ ( )] [( ) ( ) ]

[( ) ( ) ]x x

x A B C v A C B x A B C x

v A C B A B C

sdot times times = sdot sdot minus sdot sdot

= sdot minus sdot

由於內積與外積都是向量間的運算所以上式左邊有

ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ( )x y z x y z

x y z x y z

x y z A x A y A zB C B B B A B C B B B

C C C C C C

times times timestimes = rArr times times =

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( ) 0ˆ [ ( )]

z y

x y z x y z

x y z x y z

x A x x A y x A z A Ax A B C B B B B B B

C C C C C C

sdot times sdot times sdot times minusrArr sdot times times = =

上式用到

ˆ ˆ( ) 0x A xsdot times = ˆ ˆ( )x A ysdot times ＝ ˆ ˆ( ) zA y x Asdot times = minus ˆ ˆ( )x A zsdot times ＝ ˆˆ( ) yA z x Asdot times =

用第 3 列展開行列式得

ˆ [ ( )] ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

x x x y y x z z x

x x x x y y z z x x x x x x

x x

x A B C C A B A B C A B C A B

C A B A B B C A C A C A B A B B A C C A

C A B B A C

sdot times times = minus sdot + + +

= minus sdot + + + = minus sdot + + sdot minus

= minus sdot + sdot1 ( ) ( ) ( )v A B C B A C C A BrArr = rArr times times = sdot minus sdot QED

向量的微分元素（直角座標）

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( ) [( ) ]

ˆ ˆ ˆ

i i i i i i i i i ii i i i

x y x

dA d e A d e A de A e dA e dA

or dA xdA ydA zdA

⎛ ⎞= = = + =⎜ ⎟

⎝ ⎠= + +

sum sum sum sum （4-28）

4-13

上面用了直角座標最方便的性質 ie 為常數 ˆ 0iderArr = 舉「位置向量」

為例

2 2 2 2 2 2 2 2

ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ

ˆ ˆ ˆˆ i i

i x y zi

r xx yy zz dr xdx ydy zdzdr dx dy dzv x y z e xdt dt dt dt

v v v x x y z v v v

= + + rArr = + +

rArr = = + + =

rArr = sdot = = + + = + +

sumsum

（4-29）

sect 42 曲線座標(curvilinear coordinates)

(A) 平面「極座標」polar coordinates ( )r θ

在平面上的一點 P 的直角座標若為(x y)我們可以有另一種標示法

( ) 0 [0 )

[02 ]r P x y r r

x rθ θ π

equiv ge isin infin⎧⎨

equiv isin⎩

由原點到 之距離

軸到 的夾角 （4-30）

以 P )( θr 為座標表同一點 P(xy) )( θr 稱為 P 點的「極座標」「極座

標」與「直角座標」的關係如下

2 2

cos

sintan

r x y x randy y r

x

θθθ

⎧ = + =⎧⎪⎨ ⎨ == ⎩⎪⎩

（4-31）

但是 )( θr 這兩個新座標的單位向量 ˆˆr θ 在什麼方向我們先來回顧

一下座標軸的單位向量的「制訂標準」是

什麼事實上某座標的單位向量的方向

訂在「垂直於該座標『等值面』且指向

該『座標值增長』的方向」舉「直角座

標」為例如右圖由於 x y 軸皆為直線

4-14

所以「等值面」都是平行的平面所以垂直方向皆相同也造成單位

向量 ˆ ˆx y 為常數

由左圖可以看出極座標裡 r 的等值面是一

個圓所以單位向量 r 是「沿徑向向外」但

是隨圓上θ 有所變動時 r 也隨著改變所以 r

「不是一個常量」 ˆ ˆ( )r r θ= 是角度θ 數

如左圖也可看出θ 的等值面為直線所以單位

向量θ 是「沿『切線』逆時針」方向

但如同 r 一樣當θ 值改變時θ 的方向

也改變了所以θ 也「不是一個常量」

)(ˆˆ θθθ = 也是角度θ 的函數可以看出

固定θ 時 ˆr θperp 但是她們都與「角座標」θ 有關由於她們的指向

有時 r 被稱為「沿徑向」之單位向量θ 被稱為

「沿切線」之單位向量極座標和直角座標還

有一個很大的差別就是直角座標的 x y z 的

因次都是「長度」所以當座標改變時 dx dy dz

就是「長度」的改變然而極座標的 r 有長度因

次所以 dr 是長度但是θ 只是一個數字而非長度所以當θ 改變時

dθ 並不代表一個長度的變化dθ 造成的長度變化寫為

d h dθ θ θ= （4-32）

其中的係數hθ 稱為「度量係數」(metric coefficient)很顯然這裡的hθ

必須具有長度的因次「長度」之所以重要是因為位移是長度各個

座標的度量係數我們會在後面仔細討論

座標系的選用以方便為準系統的對稱性是重要的考量所以有

立方對稱的系統通常用直角座標而有圓對稱的系統則用極座標

4-15

Ex13 半徑 5圓心在原點的圓方程式在直角座標為 2 2 25x y+ =

但是在極座標就是 5r = 而已

位置位移速度與加速度

直角座標的描述很簡單

ˆ ˆˆ ˆ

ˆ ˆ

r xx yy

r xx yy

dr dxx dyy

= +

Δ = Δ + Δ

= +

位置

位移

位移元素

（4-33）

2 2

2 2

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( )

ˆ ˆ( )

ˆ ˆ ˆ ˆ( )

x ydr dx dyv t x y xx yy v x v ydt dt dt

dv t dxx dyydv dx dy d x d ya t i j i jdt dt dt dt dt

rArr = = + = + = +

rArr = +

rArr = = + = +

瞬時速度

速度變化元素

瞬時加速度

（4-34）

在極座標由於單位向量 θr 不再是常數 ˆˆ 0 0dr dθrArr ne ne 所以

ˆ

ˆ ˆ( )ˆ ˆ

r rrr r r r r

dr drr rdr

=

Δ = Δ + Δ

rArr = +

位置

位移

位移元素

(4-35)

現在有一個問題 ˆ dr = 由下圖 r 的變化由 dθ 而來

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( )ˆ ˆ

ˆˆ ˆ ˆ0 ( ) ˆˆ

r r dr r d rdr r d d

d dr r dr

dr d

θ θ θ θθ θ

θ θ θ

θθ

= rArr = + minus

= =

rarr rArr perp rArr

rArr =

∵

∵ (4-36)

4-16

所以微分的位移為

ˆˆdr drr rdθθ= + （4-37）

上式的幾何意義很清楚dr 的 r 分量 dr 就是「沿

r 方向的長度變化」而θ 分量 rdθ 就是「沿θ 方

向的長度變化」而已或者也可以這麼看dr 是

一個位移向量在平面上有 r 和θ 兩個分量所以 ˆˆrdr d r d θθ= +

α 為在 r 方向的長度變化β 為在θ 方向的長度變化所以 rd dr=

d rdθ θ= 這種分析方法可以用在各種座標系這裡也可以看出

和（4-32）式角度變化dθ 造成的長度變化d h dθ θ θ= 相比可以得出

θ 的度量係數h rθ = 與直角座標比較 ˆ ˆdr dxx dyy= + dx 與 dy 不也就

是dr 在 x 與 y 方向的長度變化嗎

Now 速度

ˆˆ

ˆ ˆˆ ˆr

dr dr dv r rdt dt dtrr r v r vθ

θ θ

θθ θ

= = +

= + equiv + （4-38）

其中ddtθθ ω= = 亦稱為「角速度」

Ex14 圓周運動因為只有切線速度所以由（4-38）式 ˆ ˆ0

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( ) = ( ) ( ) ( 0)

r R r v r R

dv dr r d r d r d r d dr

θθ ωθ

θθ θ θ θ θ θ θ θ θ

= rArr = rArr = =

rArr = + + + =

∵

∵

（ 切線速度）(4-39)

這裡又冒出個問題

ˆ dθ = 由左圖

ˆ ˆ

ˆ ˆ0

d d d

d d

θ θ θ θ

θ θ θ

= =

rarr rArr perp

4-17

ˆ ˆ ˆ ˆ

d r

d d r

θ

θ θ

rArr minus

rArr = minus (4-40)

2

2

ˆˆ( ) ( )

ˆˆ

ˆ ˆˆ ˆ( ) ( )ˆˆ ( ) ( )

r

dv r d r r d

dv d da r r rdt dt dt

a r r r a r a

or a r r rθ

θ θ θ θ

θ θθ θ

θ θ θ θ

ω α θ

rArr = minus +

⎛ ⎞⎛ ⎞rArr = = minus +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

rArr = minus + equiv +

= minus +

(4-41)

上式即為圓周運動的加速度其中的第一項

2

2 ˆ ˆrva r r rr

ω minus= minus = 向心加速度 (4-42a)

with α θ= 可以認出是角加速第二項

ˆa rθ αθ= 切線加速度 (4-42b)

如進一步簡化為「等速圓周運動」 ==rArr θω constant 0==rArr αθ rArr切線

加速消失那麼加速度就只剩下了熟知的向心加速度2

ˆrva rrminus

= 了

若考慮一般的情況 dr 0ne 可以導出用極座標表示的加速度為

2

ˆ ˆ ˆ ˆˆ( ) ( ) ( ) ( )

ˆˆ( ) (2 )

dv dr r r d dr r d r ddva r r r r rdt

θ θ θθ θ θ θ θ

θ θ θ θ

= + + + +

rArr = = minus + + （4-43）

看起來有點繁但是在有圓形對稱的系統極座標會表現得更清楚

面積微分元素

直角座標把平面分割成一個個的

小方塊也就是依照「x 與 y 方向的

長度變化」可以寫出「面積元素」

dA dx dy= sdot （像是切長方形的蛋糕）

比較 ˆ ˆdr dxx dyy= + 可以看出

dA＝(x-方向的長度變化)times(y-方向的長度變化)

4-18

所 以 在 「 極 座 標 」 比 照 辦 理

ˆˆ ˆ( ) ( )dr dr r rdr dr r rdθθ= + = +

dA dr rd rdrdθ θ= sdot = (4-44)

像是切圓形蛋糕

ex15 求一個半徑 R 的圓的面積

解 2 2

2

0 0

22

R RA dA rdrd rdr d Rπ

θ θ π π= = = = sdot =int intint int int

妳可以試試用直角座標dA dx dy= sdot 算一下圓的面積

Ex16 求一個半徑 R質量 M密度σ 的均勻圓盤繞其直徑的轉動慣

量解 質量元素 dAdm σ= 到轉軸（直徑）的距

離 sinr θ=

2 2 2 2

23 2

0 0

4 22 2

sin

sin

14 4 4

R

I dm dA r rdrd

r dr d

R RR MR

π

σ σ θ θ

σ θ θ

σ π σπ

= = =

=

= = =

int int intintint int

娛樂一下算半個圓盤繞通過圓心且垂直盤面的軸的轉動慣量

ex 17 計算積分2xI e dx

infinminus

minusinfin

= int

解 2 2

0

2x xI e dx e dxinfin infin

minus minus

minusinfin

= =int int2 22

0 0

2 2x yI I I e dx e dyinfin infin

minus minusrArr = sdot = sdotint int

2 2 2 22

2 ( )

0 0 0 0 0 0

4 4 4x y r rI e dxdy e dA e rdr d

π

θinfin infin infin infin infin

minus + minus minusrArr = = =int int int int int int

在上面的積分裡我們運用了一個有關「無窮大平面」的技巧就是「無

4-19

窮大的平面」是可以是「正方形」或是「圓形」的

2

2

22

00 0 0

22

4 2 2( )2 2 2

(4 45)

u u u

x

dulet u r du rdr rdr

duI e d e du e

I e dx

π

π πθ π

π

infin infininfinminus minus minus

infinminus

minusinfin

= rArr = rArr =

rArr = = sdot = minus sdot =

rArr = = minus

int int int

int

ex18 重力位能

由位能差的定義 )()()( BAWBUAU rarrequivminus

（B）圓柱座標 cylindrical coordinates

3D 空間點 P(x y z)的位置向量 ˆ ˆ ˆr xx yy zz= + +

定義「圓柱座標」 ( )zρ ϕ 其中

0 [0 )P zρ ρ ρequiv ge there4 isin infin點 到 軸之垂直距離

ϕ ρequiv 在 x-y 平面的投影與 x 軸之夾角 [02 ]ϕ πisin

z zequiv同直角座標的

4-20

「圓柱座標」就是「極座標」（用 ( )ρ ϕ 取代 ( )r θ ）再加上第三維 z

所以圓柱座標 ( )zρ ϕ 裡 zρ 的因次為長度而ϕ 只是一個數字

( )zρ ϕ 與(x y z)間的轉換如下

2 2 cos

tan sin

x yx

y yx

z zz z

ρρ ϕ

ϕ ρ ϕ

⎧ = +=⎪ ⎧

⎪ ⎪= =⎨ ⎨⎪ ⎪ =⎩=⎪⎩

（4-46）

「圓柱座標」的三個方向單位向量 ˆ ˆ ˆ zρ ϕ 如圖

且 ˆ ˆ zρ ϕperp perp 可以看出ρ 的等值面為一個圓柱

面ϕ 的等值面是一扇門z 的等值面為一個垂

直 z 軸的平面但是

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( ) zρ ρ ϕ ϕ ϕ ϕ= = =常數

柱座標的位置向量 r 如左圖

ˆ ˆr zzρρ= + （4-47）

在柱座標寫位移元素dr 有兩種作法一

種是直接由（4-47）式取微分元素 借用

平面極座標的結果可得

ˆ ˆ ˆ( ) ( )

ˆ ˆ ˆdr d d dzz

d d dzzρ ρ ρ ρ

ρρ ρ ϕϕrArr = + +

= + + （4-48）

但也可以由三個座標方向的

位移來看由左圖可得沿 ρ 方向

的長度變化 ie 當座標ρ 有變

化dρ 時產生的長度變化就是

dρ 沿ϕ 的長度變化為 dρ ϕ

而沿 z 方向的長度變化為 dz

4-21

dr 是一個向量有三個分量ρ -分量就是沿 ρ 方向的長度變化

dρ ϕ -分量沿ϕ 的長度變化為 dρ ϕ 而 z-分量就是沿 z 方向的長度變

化為 dz合併寫出

ˆ ˆ ˆdr d d dzzρρ ρ ϕϕ= + +

與（4-48）式完全相同但是這種由幾何角度得到的結果要更方便

也更直觀Fig 27 非常重要因為只要你能把圖畫出來位移的各

分量就寫得出來有了位移元素dr 速度與加速度就可得出

ˆ ˆ ˆ (4 49)

ˆ ˆ ˆ( ) (2 ) (4 50)

drv zzdtdva zzdt

ρρ ρϕϕ

ρ ρϕ ρ ρϕ ρϕ ϕ

rArr = = + + minus

rArr = = minus + + + minus

由上圖與dr 的 3 個分量可得圓柱座標的體積元素

dV d d dz d d dzρ ρ ϕ ρ ρ ϕ= sdot sdot = （4-51）

ex19 底面半徑 R高 h 的圓柱體積＝ 2 2

2

0 0 0

22

R h RV dV d d dz h R hπ

ρ ρ ϕ π π= = = sdot sdot =int int int int

ex20 底面半徑 R高 h 的「圓錐」體積＝

解本圓錐裡點的座標分佈為 [02 ] [0 ]z hϕ πisin isin ( )zρ ρ=

( ) ( )( )

h z h Rz h zz R h

ρρminus

= rArr = minus

22( )( ) 2 2

0 0 0 0 0 0

002 2 2 3 2 32 2 2

2 2 2 20

( )2 2

2

1( )3 3 3

R h zzh h hh

h

h h

R h zhV d dz d d dz d dz

R R R u R hh z dz u du R hh h h h

ρ π

τ ρ ρ ϕ π ρ ρ π

π π π π π

minus

minus minus

minusthere4 = = = =

= minus = = = =

int int int int int int int

int int

如果我們把 3-D 的三個座標寫為 1 2 3( )u u u 或 123iu i = 當座

標 ui(在 ˆiu 方向)變動 dui 時造成的長度變化為 id 則定義

4-22

i i id h duequiv (4-52)

其 中 hi 稱 為 座 標 ui 的 度 量 係 數 (metric

coefficient)由 zρ 的因次為長度所以 zρ 的變

化 d dzρ 就是長度的變化所以 1 1zh hρ = =

然而ϕ 的變化造成的長度變化為

d d hϕ ϕρ ϕ ρ= rArr = (4-53)

很明顯的直角座標 xyz 都是長度所以度量係數 1x y zh h h= = =

(C) 球座標 spherical coordinates

3D 點 P(x y z)的位置向量 ˆ ˆ ˆr xx yy zz= + + 定義

「圓柱座標」 )( ϕθr 其中

[0 ] [0 ]

[02 ]

r P rr zr x y x

θ θ πϕ

ϕ π

⎧ equiv isin infin⎪

equiv isin⎪⎨

equiv minus⎪⎪ isin⎩

原點到 的距離

與 軸的夾角

在 軸投影與 軸的夾角

球座標的ϕ 與住座標的ϕ 相同

( )r θ ϕ 與(x y z)間的轉換如下下列為（4-54）

2 2 2

2 2 2

sin coscos sin sin

cos

tan

r x y zx r

z y rx y z z r

yx

θ ϕθ θ ϕ

θ

ϕ

⎧⎪ = + +⎪ =⎧⎪ ⎪= =⎨ ⎨

+ +⎪ ⎪ =⎩⎪⎪ =⎩

三個座標的單位向量 )ˆˆˆ( ϕθr 如左圖一可以看

出 r 的等值面是一個球面θ 的等值面為一個

以原點為頂點的圓錐ϕ 的等值面為一扇門

位置向量 ˆr rr= （4-55）

4-23

位移由 ˆ ˆˆ( )r θ ϕ 3 個方向的「長度

分量」可得 ˆ ˆˆ ( ) ( sin )dr rdr rd r dθ θ ϕ θ ϕ= + +

（4-56）

所以體積元素

2

( )( sin )(sin )

d dr rd r dr dr d d

τ θ θ ϕ

θ θ ϕ

=

= （4-57）

Fig 31 和 Fig 27 一樣重要只要

你能畫得出來就可以寫出球座

標位移的三個分量

ex21 求一半徑 R 的球體積 2

2 2 3

0 0 0

4sin sin3

R

V d r dr d d r dr d d Rπ π

τ θ θ ϕ θ θ ϕ π= = = =int intintint int int int

ex22 求一質量 M半徑 R密度 ( )3 4 3M Rρ π= 的實心球對直徑

旋轉的轉動慣量

解質量元素 2 sindm d r dr d dρ τ ρ θ θ ϕ= = 到 z 軸的垂直距離為 sinr θ=

22 4 3

0 0 0

5 52

sin

4 8 225 3 15 5

RI dm r dr d d

R R MR

π πρ θ θ φ

πρ π ρ

= =

= sdot sdot = =

intintint int int int

娛樂一下空心球對直徑的轉動慣量

(4-46)式與(4-54)式說明柱座標和球座標與直角座標之間的轉

換Fig 32 可得出柱座標和球座標之間轉換

2 2

sintan

cos

r zr

zz r

ρρ θ

ρϕ ϕ θθ ϕ ϕ

⎧ = += ⎪⎧

⎪ ⎪= =⎨ ⎨⎪ ⎪=⎩ =⎪

⎩

（4-58）

4-24

Ex23 點 P 的球座標為（31200 600）求柱座標＝

解2 3 33sin3 2πρ ⎛ ⎞= =⎜ ⎟

⎝ ⎠

23

ϕ π= 2 33cos3 2

z π minus⎛ ⎞= =⎜ ⎟⎝ ⎠

直角座標柱座標球座標單位向量之間的轉換

三種座標之間的轉換由(4-46)式(4-54)式與（4-58）式表出但

三種座標裡的的三個單位向量 ˆ ˆ ˆ x y z ˆ ˆ ˆ zρ ϕ ˆ ˆˆ r θ ϕ 若以 123ˆ iu =

表示則單種座標的單位向量之間都有正交歸一關係

ˆ ˆi j iju u δsdot = 與外積的循環關係

ˆ ˆ ˆ i j ku u u i j ktimes = cyclic in 123

ie 1 2 3 2 3 1 3 1 2ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ u u u u u u u u utimes = times = times = or ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆˆ ˆ r z z x yθ ϕ ϕ ρtimes = times = times =

然而不同座標系的單位向量之間關係如何我們畫圖來討論

球座標 ˆ ˆˆ( )r θ ϕ rarr直角座標 ˆ ˆ ˆ( )x y z

單位向量都是用來指方向的球座標的 ˆ ˆˆ( )r θ ϕ 都是「方向角」( )θ ϕ

的函數 r 在直角座標可以由 Fig33 看出

ˆ ˆ ˆ ˆsin cos sin sin cosr x y zθ ϕ θ ϕ θ= + + （4-59）

ex24 P 點的球座標為2 75 3 6π π⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠

試用球座標與直角座標求 P 點的位

置向量的單位向量 解位置向量 ˆr rr= 在球座標只有 r-分量標位置仔細一點把方向

角標出2 7ˆ 3 6

r π π⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

通常只是寫 r 令人有點摸不著頭緒用直角

4-25

座標比較「具像」 2 7 2 7 2ˆ ˆ ˆ ˆsin cos sin sin cos3 6 3 6 3

3 3 1ˆ ˆ ˆ4 4 2

r x y z

x y z

π π π π π⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞minus minus minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + +⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

單位向量θ 在某一組 ( )θ ϕ 的指向如 Fig 34a將θ 平移至原點更清楚

Fig34b 是由側面看 Fig34a可以看到θ 在 z 軸的投影為 sinθminus 而θ 在

x-y 平面的投影為cosθ使得θ 在 x-軸的投影為cos cosθ ϕy-軸投影

為cos sinθ ϕ於是

ˆ ˆ ˆ ˆcos cos cos sin sinx y zθ θ ϕ θ ϕ θ= + minus （4-60）

單位向量ϕ 如 Fig 35a 所示是在 x-y 平面畫出

Fig 35b 為自 z 軸向下看 Fig35a 圖可以看出ϕ 在 z 軸投影為 0且

ˆ ˆ ˆsin cosx yϕ ϕ ϕ= minus + （4-61）

ex25 一個質點的速率為 2( ) ( sin tan )v r rθ ϕ θ ϕ= 若經查該質點的運

動 是 在 z = 3 平 面 做 逆 時 針 圓 周 運 動 則 當 位 置 的 方 向 角

4-26

2( ) 4 3π πθ ϕ ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

時計算其速度用球座標與直角座標表出

解圓運動速度方向是沿切線所以球座標 ˆ ˆ( )v v v rϕ θ ϕ ϕ= =

z = 34πθ =

3 3 21cos cos 24

z zrπθ

rArr = = = =⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

所以該處的瞬時速率

2 2

2( ) 3 3 4 3

2 1 813 3sin tan 3 3 ( 3)4 3 22

v r v π πθ ϕ

π π

⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

⎡ ⎤ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = times minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

2 81 2ˆ3 3 4 3 2 4 3

v r π π π πθ ϕ ϕ⎛ ⎞ ⎛ ⎞rArr = = = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

在直角座標2 2 2ˆ ˆ ˆ sin cos

4 3 3 3x yπ π π πϕ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠3 1ˆ ˆ

2 2x y= minus minus

而且點23 3

4 3π π⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠

的直角座標為

2 1 3 3sin cos 3 3sin cos 3 34 3 2 22 2

x r π πθ ϕ minus minus⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

2 3 9sin sin 3 3sin sin 3 34 3 2 2 2 2

y r π πθ ϕ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = = =⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

z = 3

23 3 4 3

v π π⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

3 3 9 81 3 1ˆ ˆ 32 2 2 2 22 2

v x y⎛ ⎞ ⎛ ⎞

rArr = minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

以上兩個例子都只討論只有一個圓座標分量的向量in general 向量

ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( )r x y zA r rA A A A r xA yA zAθ ϕθ ϕ= + + hArr = + + （4-61）

若已知球座標的分量 ( )rA A Aθ ϕ 如何得到直角座標的

( )x y zA A A

4-27

ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( )ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( )

ˆ ˆˆˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( )

x r

y r

z r

A x A r x r A x A x A

A y A r y r A y A y A

A z A r z r A z A z A

θ ϕ

θ ϕ

θ ϕ

θ ϕ

θ ϕ

θ ϕ

⎧ = sdot = sdot + sdot + sdot⎪⎪ = sdot = sdot + sdot + sdot⎨⎪

= sdot = sdot + sdot + sdot⎪⎩

（4-62）

由式（4-59）（4-61） ˆ ˆ ˆ ˆsin cos sin sin cosr x y zθ ϕ θ ϕ θ= + + （4-59） ˆ ˆ ˆ ˆcos cos cos sin sinx y zθ θ ϕ θ ϕ θ= + minus （4-60）

ˆ ˆ ˆsin cosx yϕ ϕ ϕ= minus + （4-61） ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆsin cos cos cos sin ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆsin sin cos sin cos ˆ ˆˆˆ ˆcos sin 0

x r x x

y r y y

z r z z

θ ϕ θ θ ϕ ϕ ϕ

θ ϕ θ θ ϕ ϕ ϕ

θ θ θ ϕ

⎛ ⎞sdot = sdot = sdot = minus⎜ ⎟

rArr sdot = sdot = sdot =⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟sdot = sdot = minus sdot =⎝ ⎠

（4-63）

sin cos cos cos sin sin sin cos sin cos

cos sin 0

x r r

y RS

z

A A AA A M AA A A

θ θ

ϕ ϕ

θ ϕ θ ϕ ϕ

θ ϕ θ ϕ ϕ

θ θ

⎛ ⎞minus ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟rArr = equiv⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟minus⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

（4-64）

其中 SRM 為由球座標分量轉為直角座標分量的轉換矩陣且行列式

det SRM =1 表示反矩陣存在then 1SRM minus 就是將直角座標分量轉為球座

標分量之轉換矩陣其實嚴格講 (4-64)式還不是最終的表示因為

轉換完的直角

座標應該全部以 x y z 表出這裡保留用 θ ϕ 只是為了簡潔方便

習題 2 Find 1SRM minus

習題 3 用 xyz 表出(a)sinθ (b)cosθ (c)sinϕ (d)cosϕ

Ans (a)2 2

2 2 2sin

x yx y z

θ+

=+ +

(b)2 2 2

cos zx y z

θ =+ +

(c)2 2

sin yx y

ϕ =+

(d)2 2

cos xx y

ϕ =+

習題 4 用上面結果將 SRM 用 xyz 表出

Ex26 Given a field ( )A r θ ϕ ＝ ˆ ˆˆ2 3r θ ϕ+ minus in spherical coordinates

find the field in rectangular coordinates （直角座標）

4-28

解這裡的 ( )A r θ ϕ 不因其三個分量都是常數而只是「一個」向量

而是一 vector field這是因為 ˆ ˆˆ r θ ϕ 都不是定值而與 θ ϕ 有關而如

果 ( )A r θ ϕ 表示則單位向量所對應的角度 θ ϕ 必須要標定所以

sin cos cos cos sin 2sin sin cos sin cos 3

1cos sin 0

x

y

z

AAA

θ ϕ θ ϕ ϕ

θ ϕ θ ϕ ϕ

θ θ

⎛ ⎞minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ minusminus⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

(2sin 3cos )cos sin(2sin 3cos )sin cos

2cos 3sin

x

y

z

AAA

θ θ ϕ ϕθ θ ϕ ϕ

θ θ

+ +⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟rArr = + minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟minus⎝ ⎠ ⎝ ⎠

習題 5 Draw a diagram to show in the cylindrical coordinates

(a) ˆ ˆ ˆcos sinx yρ ϕ ϕ= + (b) ˆ ˆ ˆsin cosx yϕ ϕ ϕ= minus + (c) ˆ ˆz z=

習題 6 use the above results show that 由柱座標分量轉為直角座標分

量的轉換矩陣

x

y CR

z z

A AA M AA A

ρ

ϕ

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟=⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

CRM =

2 2 2 2

2 2 2 2

0cos sin 0sin cos 0 0

0 0 10 0 1

x yx y x y

y xx y x y

ϕ ϕ

ϕ ϕ

minus⎛ ⎞⎜ ⎟+ +⎜ ⎟⎛ ⎞minus⎜ ⎟⎜ ⎟

= ⎜ ⎟⎜ ⎟+ +⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

Ex27 Express vector ˆ ˆ ˆ(3cos ) 2 5A zρ ϕ ϕ ρ= minus + in Cartesian

coordinates Specifically the A at the position of (2 2 3π -3)

解

2cos sin 0 3cos 3cos 2 sinsin cos 0 2 3cos sin 2 cos

5 50 0 1

x

y

z

AAA

ϕ ϕ ϕ ϕ ρ ϕϕ ϕ ρ ϕ ϕ ρ ϕ

⎛ ⎞minus ⎛ ⎞+⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟= minus = minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

so that A (2 2 3π -3)= 3 3 3ˆ ˆ ˆ3 3 3 54 4

x y z⎛ ⎞⎛ ⎞+ + minus +⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠注意本

題裡 z 座標並非一變數

4-29

sect 43 Fields and its properties 場與其性質

「場 field」是什麼凡是在「某個空間中每一點」都有定義的量

就是一個「場」所以「場」也稱為「點函數 point function」簡單的

說凡是「空間的函數」都是「場」如果這個「空間的函數」是一個

純量 u(xyz)那麼 u(xyz)就是一個「純量場 scalar field」例如室內

的溫度 T(xyz)一塊豬肉的密度 ( )x y zρ 大氣中的壓力 p(xyz)等

都是純量場如果這個「空間的函數」是一個向量 )( zyxA 那麼

)( zyxA 就稱為「向量場 vector field」例如空間中的電場 )( zyxE

水流中的速度場 )( zyxv 重力場 )( zyxg 等等很顯然的不論是純量

場還是向量場「場」在空間中的分佈通常未必是均勻的那麼她有

什麼性質呢例如一塊豬肉內部密度是如何變化的水流中有沒有

漩渦大氣中的等壓線是如何變化的等等那麼有沒有什麼量可以

有系統的描述各種場的分佈有我們在以下分別討論

sect 431 Gradient of scalar fields 純量場的梯度

考慮一個純量場 f(xyz)可以視為 3 個變數 xyz 的函數當變數變動為

x+dx y+dy z+dy 時造成 f 的變化

f f fdf dx dy dzx y zpart part part

= + +part part part

（4-65）

由幾何意義來看上式更為具體上式表示純量場 )(rf 基於位置的變化

r r drrarr + (或由 ( ) ( )x y z x dx y dy z dzrarr + + + )所造成 f 的變動

我們現在定義一個向量算符 vector operator nabla (or nabla )（讀做 del）

ˆ ˆ ˆx y zx y zpart part part

nabla equiv + +part part part

(4-66)

如果將 del 作用在純量場 )(rf 上將產生出現一個新的「向量場」 fnabla

稱為純量場「 )(rf 的『梯度 gradient』」

4-30

ˆ ˆ ˆ( ) f f fgrad f f x y zx y zpart part part

equiv nabla = + +part part part

（4-67）

這使得由於任意位移 ˆ ˆ ˆdr xdx ydy zdz= + + 所造成 f 的變化量

df f drrArr =nabla sdot （4-61）

ex28 Given scalar field 2( )f r xy z= and 2 2 2

1 1( )g rrx y z

= =+ +

(a) find the value of ( )f r and fnabla at point P(2 1-1) 解 2(21 1) 2 1 ( 1) 2f minus = times times minus = minus

2 2 2

2 2

ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( )

ˆ ˆ ˆ( ) ( 2 ) ( )

f x xy z y xy z z xy zx y z

x y z y x yz z xy

part part partnabla = +

part part part

= +

＋

＋

ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ(21 1) ( 1) (2 2) (2) 4f x y z x y znabla minus = minus + timesminus = minus minus＋ ＋2 (b) find the value of ( )g r and gnabla at the point P

解2

1 1(21 1)62 1 1

g minus = =+ +

2 2 2 12 2 2 2 12

2 2 2 12

ˆ ˆ( ) ( )

ˆ ( )

g x x y z y x y zx y

z x y zz

minus minus

minus

part partnabla = + + + + +

part partpart

+ +part

＋

2 2 2 32 2 2 2 32 2 2 2 32

2 2 2 32 3 2

ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( )

ˆ ˆ ˆˆ( )( )

OR OR

xx yy zzgx y z x y z x y zxx yy zz r r

x y z r r

minus minus minusrArrnabla = + +

+ + + + + +minus + + minus minus

= = =+ +

32

ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ(2 ) 2(21 1)6 6 6

x y z x y zg minus + minus minus minus +rArrnabla minus = =

由 gnabla 看到一個粉常用的結果就是

3 2

ˆ1 ORr rr r r

minus minusnabla = = （4-62）

順便比較一下

2 2 2 12 2 2 2 12 2 2 2 12

2 2 2 12

ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( )

ˆ ˆ ˆ( ) ˆ (4 63)( )

r x x y z y x y z z x y zx y zxx yy zz r r

x y z r

part part partnabla = + + + + + + +

part part part+ +

= = = minus+ +

＋

4-31

(c) what is the angle between (21 1)fnabla minus and (21 1)gnabla minus

解 (21 1)fnabla minus (21 1)gsdotnabla minus ＝（ ˆ ˆ ˆ4x y zminus minus ＋2 ） sdotˆ ˆ ˆ26 6x y zminus minus +

＝2 4 2 4

6 6 3 6+ +

= ＝ | (21 1) |fnabla minus | (21 1) |gnabla minus cosθ

＝ 34 1 1 211 16 4 cos cos

6 6θ θ+ +

+ + =

1 4 2cos 07773 7

radθ minus ⎛ ⎞= =⎜ ⎟

⎝ ⎠

要注意隨然nabla有向量的性質但是他並不是一個真的向量真

實向量 A與純量 f ( )r 的乘法滿足交換率ie ( ) ( )Af r f r A= 但是

f fnabla ne nabla因為

( )f rnabla ＝ ˆ ˆ ˆf f fx y zx y zpart part part

+ +part part part

是一個向量函數而

ˆ ˆ ˆ( )f r x y zx y z

⎛ ⎞part part part+ +⎜ ⎟part part part⎝ ⎠

是一個算符（operator）

若nabla要與向量場 A 作用由於nabla與 A 都具有向量的性質先看「內積」

ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ( )

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

x y z

x y

z

y yx xz z

A x y z xA yA zAx y z

x y z xA x y z yAx y z x y z

x y z zAx y z

A AA AA Ax x x y x zx y z x y z

⎛ ⎞part part partrArrnablasdot = + + sdot + +⎜ ⎟part part part⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞part part part part part part= + + sdot + + + sdot⎜ ⎟ ⎜ ⎟part part part part part part⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞part part part

+ + + sdot⎜ ⎟part part part⎝ ⎠part partpart partpart part

= sdot + sdot + sdot + sdotsdot sdot = + +part part part part part part

yx zAA AAx y z

partpart partnablasdot = + +

part part part (4-64)

上式中的 Anablasdot 是向量場 A 的一個重要的性質稱為 A 的「散度」詳

細的內容在後面會仔細討論這裡引進 Anablasdot 主要是要表明nabla是個「算

符」表示一個運算不是一個真實的向量只是在「直角座標」裡

4-32

因為單位向量 ˆ ˆ ˆ x y z 是常數不受微分的作用以致nabla表現得好像也

是個一般的向量一樣事實上真實向量和nabla間的「內積」就不滿足交

換率

x y zA A A A an operator Ax y zpart part part

sdotnabla = + + = ne nablasdotpart part part

(4-65)

這也使得任意向量場 ( )A r 因位置變動 r r drrarr + 而產生的變化由於

)( zyxA 也是 3 個變數 xyz 的函數可以寫為

( )A A AdA dx dy dz dr Ax y z

part part part= + + = sdotnabla

part part part （4-66）

ex29 (a)Given field 2ˆ ˆ ˆ2A xxy y x zyz= minus + find Anablasdot at point (1-12)

解2( ) (2 ) ( ) 2xy x yzA y yz

x y zpart part part

nablasdot = + + = +part part part

(1 12)1 2( 1)2 3A

minusnabla sdot = minus + minus =

(b) find rnablasdot 解 rnablasdot = 3x y zx y zpart part part

+ + =part part part

梯度的意義

由（4-67）可以看到「f 的梯度 fnabla 」

是一個由「純量場 f」衍生出的向量

場由（4-26）也可以看出 fnabla 扮演類

似「變化率」的角色

空間中將相同值 f ( )r ＝f1 的點連

起來就得到一個 f ( )r ＝f1 的「等值面」如 Fig36考慮純量場 f( r )的

相鄰兩個等值面各對應定值 1f f= 與 1f f df= + 0df gt P1 點在 f1

等值面上相鄰兩點 P2P3 在 1f df+ 等值面上而向量 1 2 ˆnP P dn e dn= =

過 P1 點垂直於 f1 等值面 1 3 ˆP P d e d= = 與 ˆne dn夾角為α 由於不

論 1 2P Prarr 或 1 3P Prarr f 的變化量都是 df 但因距離 dn 係兩等值面最

4-33

短的距離d dngt 所以 1 2P Prarr 或 1 3P Prarr 造成的「變化率」df dfdn d

gt

而過 P1 點的最大變化率為dfdn

換言之向量 ˆndfedn

為過 P1 點垂直於

f1 等值面且指向最大「增加率」的方向 現在要證明

ˆndfe fdn

= nabla （4-67）

考慮 1 3P Prarr 造成的 f 值的變化率

ˆ ˆcos n ldf df dn df df e edl dn dl dn dn

α= = = sdot

ˆ ˆ ˆn l ndf dfdf e e dl e dldn dn

rArr = sdot = sdot

和（4-61）式df f dr= nabla sdot 相比即可得證 ˆndfe fdn

= nabla 所以可以知道

空間純量場 f ( )r 中任一點處的向量 fnabla 必「垂直」於「通過該點的 f的等值面」且指向 f 值最大「增加率」的方向| ( )f rnabla |就是 f 在 r 點

的最大增長率可以進一步定義等值面的「法線 normal」方向為

ˆ fnf

nabla=nabla

（4-68）

結論給定一個純量場 f( r )在每一點 r 可以定義一個稱做「梯度」

的向量 fnabla fnabla 垂直於過 r 點的 f 等值面且指向最 f 大增加率的方向

fnabla 的方向也定義了 f 等值面的法線方向

Ex30 考慮一個 2D 的 scalar field 2( )f x y y x= minus 計算該場在 )20( 的梯度與

法線方向

解 ˆ ˆ ˆ ˆ2f ff x y x yyx ypart part

nabla = + = minus +part part

ˆ ˆ(0 2) 2 2f i jnabla = minus + ˆ ˆ ˆ ˆ2 2 2 2ˆ(0 2)

31 8i j i jn minus + minus +

rArr = =+

4-34

ex31 點電荷 q 置於原點其產生電位為 ( ) qV rr

= 求負梯度qr

minusnabla

解 3

2 2 2 22 2 2

2 ( )2

q q q q x x y zr x rx y z

minuspart minus= rArr = sdot + +

part+ +

3 23

ˆˆ ˆ ˆ( )q ix jy kz r rq q qr r r r

minus + +rArr minusnabla = minus = = （點電荷的電場）

0 0

1 1 r r

noter r= =

nabla rarrinfin rarrinfin∵ 是不定值是因為 r = 0 處為最大值

「增加率」的方向無法確定

ex32 置一熱源於原點空間溫度分佈為1( )

( 2)T r

r=

+求溫度的梯度

解 2 2 2

ˆ( ) ( )( 2) ( 2) ( 2)

x rT r rr rT r

x r r r

minuspart minus

= rArrnabla = =part + + +

此處的負號表示梯

度指向熱源因為距熱源越遠溫度越低 ( 0)note T rnabla = 為不定值

因在最頂點「增加率」的方向無法確定

Ex33 地圖上山脈的等高線上各點的垂直方向由梯度決定現有一座

山是橢球 2)1(4 222 =+++ zyx 在 x-y 平面上方的

部分求地圖上這座山等高線的梯度

解 山高 142 22 minusminusminus== yxzh 所以等高線為橢

圓 222 )1(24 +minus=+ hyx 梯度

( ) ( ) ( )2 2 2 2

2 2

ˆ ˆ4ˆ ˆ2 4 1 2 4 1

2 4

xx y yh x x y y x y

x y x y

minus +part partnabla = minus minus minus + minus minus minus =

part part minus minus

所以自山腳（h=0）登山若由(012)開始 ˆ(01 2) 2h ynabla = minus 但若由

)02(minus 開始爬山 ˆ( 20) 2h xnabla minus = 可見 )02()210( minusnablagtnabla hh 這表

示由 y-軸登山山勢較陡所以「梯度」比由 x-軸登山為大這也更

清楚瞭解「梯度」的幾何意義

4-35

sect 432 Divergence 散度與 Curl 旋度

在(4-66) 我們建立了一個直角座標 vector operator 「del」

ˆ ˆ ˆx y zx y zpart part part

nabla equiv + +part part part

(4-66)

若與向量場 A 做「內積」與「外積」就建構了 A 的「散度」與「旋度」

散度 A A scalaryx zAA Adiv ax y z

partpart partequiv nabla sdot = + + =

part part part （4-69）

旋度

y yz x z x

ˆ ˆ ˆ y z A vector

A AA A A Aˆ ˆ ˆxy z z x x y

x y z

x y z

xcurl A a

A A A

y z

⎧⎪

= nablatimes = part part part =⎪⎪⎨⎪

part part⎛ ⎞ ⎛ ⎞part part part part⎛ ⎞⎪ = minus + minus + minus⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎪ part part part part part part⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎩

(4-70)

這裡定義的只是「散度」與「旋度」所謂「操作型的定義」告訴我

們如何計算的式子事實上她們都具有重要的物理意義我們在後面

會討論

ex34 ˆ ˆA xy yx= minus 求其散度與旋度

解 0 0y xAx ypart part

nablasdot = minus + =part part

ˆ ˆ ˆ y zˆ ˆ ˆ ˆ 0 0 ( 2) 2

0 x y z

xA x y z z

y xnablatimes = part part part = minus + minus = minus

minus

右圖示意了本向量場的分佈看得出像個漩渦也看到算出的旋度

0ne 看來旋度表現的應該是向量場「旋轉的程度」事實上我們在

後面會看到「旋度」表現的就是是向量場在空間各點「旋轉的程度」

本題的向量場在每一點的旋轉程度都一樣

4-36

Ex35 ( )ˆ ˆ ˆ A xx yy zz r= + + = 求其散度與旋度

解 3A rnablasdot = nablasdot = ˆ ˆ ˆ y z

0

x y z

xA

x y znablatimes = part part part =

由場分佈的示意圖可以看出本向量場是自原點向外射出好似在原

點有一個場線的「源頭 source」但是 3Anablasdot = 為一個常數表示好像到

處都有 source同時旋度為 0 也可以配合本場並無旋轉的形象事實

上「散度」表現的就是是向量場在空間各點產生「場線」的 source

記得靜電學裡的庫倫定律 0E ρ εnablasdot = 電場的散度就是「電荷密度」

(電場的 source)前一題的向量場看來對應的場線是封閉的所以沒有

source這也對應了其散度＝0不過一個向量場的散度旋度究竟是

多少應該詳細的計算場分佈圖形有時候不是那麼容易看的清楚

兩個 useful identities (恆等式)

(a) ( ) 0 0f curl of a gradnablatimes nabla = =

(b) ( ) 0 0A div of a curlnablasdot nablatimes = =

pf (a) ( )ˆ ˆ ˆ x y z

x y z

x y z

ff f f

nablatimes nabla = part part part

part part part

( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2xz zxˆ ˆ ˆx y f- f z 0yz yz xy yxf f f f= part minus part minus part part + part minuspart =

這個結果與真實的向量外積 ( ) AA 0=times 有相似之處但是這只是特

例要記得nabla並不是一個真正的向量

( ) ( ) ( )

( )

ˆ ˆ ˆ y zˆ ˆ ˆ x y z

0

x y z y z z y x z z x x y y x

x y z

xy z xz y xy z yz x xz y yz x

xA A A A A A A

A A A

A A A A A A A

nablatimes = part part part = part minus part minus part minus part + part minus part

nablasdot nablatimes = part minuspart minuspart +part +part minuspart =

4-37

此結果與真實的向量運算有相似之處 ( )( )0 (B A) BB B Asdot times = times perp∵

但是這仍只是特例因為我們可由下列例子 ( ) 0A Asdot nablatimes ne 看出事實上

nabla並不是一個真正的向量 Ex36 ˆ ˆ ˆA xy yx zx= minus +

( )

ˆ ˆ ˆ y zˆ ˆ ˆ 0 1 ( 2)

2 0

x y z

xA x y z

y x x

A A x x x

nablatimes = part part part = minus + minus

minus

sdot nablatimes = minus = minus ne

面積元素向量

物理上時常會遇到面積分例如電通量磁通

量等等考慮一個面積元素 ds定義「面積的

方向」為其「法線方向」並定義面積元素向量

ˆnds a dsequiv （4-71）

要注意的是(1)如果 ds 是一個「封閉面

closed surface」（即有裡外之分）的一部

份則 ˆna 定義為「由內向外」(2) 如果 ds

是一個「開放面 opened surface」（即分不

出裡外）的一部份那麼 ds 必被其邊緣

（一個封閉的曲線 C）所包圍這樣在定

出ds 的方向之前要先定義「邊緣曲線」

C 的方向再由右手定則定義 ˆna 的方向

既然面積已為一個向量就可以寫為分量表示以直角座標

ˆ ˆ ˆx y zds xds yds zds= + + (4-72)

那麼這些分量 dsx dsy dsz 會是什麼既然 dsx 的方向是 x 就表示 dsx

是躺在 y-z 平面上所以 dsx 的兩邊是 dy 與 dz rArr xds dydz= 依此類

4-38

推 dsy 的方向是 y 所以躺在 x-z 平面rArr yds dxdz= hellip可以得知

xds dydz= yds dxdz= zds dxdy= （4-73）

不過要注意在寫面積元素時要看討論的面實際

是什麼面上式的三個分量有可能會是負的例如

左圖座落在第一象限的立方體的 A 面方向就在 xminus

方向Arsquo面在 yminus Ardquo面在 zminus 方向寫面積元素最

好是先把討論的面的方向搞清楚把plusmn號寫在單位向量前面那麼分

量就都用＋的即可其實面積元素體積元素都可以由位移元素看出

ˆ ˆ ˆdr xdx ydy zdz= + +

dx dy dz 是沿著 ˆ ˆ ˆ x y z 方向的長度所以面積元素分量的兩邊長度就

是由其中兩個組成而體積的三邊也就是三個垂直方向的長度

x y zdV dx dy dz and ds dydz dxdz dxdyrArr = = （4-74）

這個概念在其他的座標系統也成立我們可以方便的寫出面積元素

Recall 柱座標的位移向量元素

cylindrical coordinate ˆ ˆ ˆdr d d dzzρρ ρ ϕϕ= + + （4-48）

ˆ ˆ ˆ zds ds ds zdsρ ϕρ ϕ= + + (4-75)

dsρ 躺在 zϕ minus 平面dsϕ 在 zρ minus 平面 zds 在ρ ϕminus 平面

rArr zds d dz ds d dz ds d d d dρ ϕρ ϕ ρ ρ ρ ϕ ρ ρ ϕ= = = sdot = （4-76）

上面的結果畫個圖看看吧球座標的位移向量元素

Spherical coordinate ˆ ˆˆ ( ) ( sin )dr rdr rd r dθ θ ϕ θ ϕ= + + （4-56）

ˆ ˆˆ rds rds ds dsθ ϕθ ϕ= + + （4-77）

rArr sin sin rds rd r d ds dr r d ds rd drθ ϕθ θ ϕ θ ϕ θ= sdot = sdot = sdot (4-78)

4-39

向量場 ( )A r 在 S 面上的「面積分（surface integral）」or「flux」

如左圖若有一「平面」S 且其上有「均勻」

場 B 分佈則通過 S 面的通量就是

ˆB B nSΦ = sdot

但考慮一任意「非均勻」向量場 ( )A r 在空間分佈選取任意曲面 S

探討 ( )A r 在 S 上之通量若ds 為 S 面上的面積元素在趨近於 0 的

小面積ds 上 A可視為均勻所以通過ds 之通量為 ( )d A r dsΦ = sdot 則 S

面之總通量為

Φ＝ ˆ cosS S S

A ds A nds A daϕsdot = sdot =int int int

( )OR

x x y y z zS

A da A da A da= + +int (4-75)

稱為 A 在 S 面上的「面積分」或「通量 flux」

上圖所繪就是一個任意面上分割出許多小面積舉出三個位置的通

量有+-與 0如果 S 面是為一「封閉面」則面積分寫為

S

A dssdotint （4-76）

4-40

ex37 Given 2ˆ ˆ ˆyzA xyz yx zx= + + 計算通量S

A dssdotint

S 面為在第一象限邊長＝1 的立方體表面封閉面

解立方體分為前後右左上下六個面分開算 1前面（x=1）

方向 x+ ˆ xA ds A xdydz A dydzsdot = sdot =int int int前 前 前

yzdydz= int前 ＝1 1

0 0

1 1 12 2 4

ydy zdz = sdot =int int

2後面(x=0)方向 xminus ˆ(- ) - xA ds A x dydz A dydzsdot = sdot =int int int後 後 後

yzdydz= minusint後1 1

0 0

-1 1 -12 2 4

ydy zdzminus = sdot =int int

3 右面（y=1）方向 y+ y ( 1)yA ds A dxdz A y dxdzsdot = sdot = =int int int右 右 右

( 1)x y zdxdz= =int右 ＝1 1

0 0

1 1 12 2 4

xdx zdz = sdot =int int

4 左面（y=0）方向 ˆ-y ˆ( y) - ( 0)yA ds A dxdz A y dxdzsdot = sdot minus = =int int int左 左 左

( 0) 0x y zdxdz= = =int左

5 上面（z=1）方向 z+ zz y (z 1) yA ds A dxd A dxdsdot = sdot = =int int int上 上 上

2 yx dxd= int上 ＝1 120 0

1 1y 13 3

x dx d = sdot =int int

6 下面（z=1）方向 ˆ-z zˆ(-z) y - (z 0) yA ds A dxd A dxdsdot = sdot = =int int int下 下 下

2 -1- y3

x dxd= =int下 ＝1 120 0

1 1y 13 3

x dx d = sdot =int int

S

A dssdotint ＝六個面的和＝1 1 1 1 1 1( ) ( 0) ( )4 4 4 3 3 4

minus minus+ + + + + =

ex38 Given ˆ ˆ ˆzA xyz yx zxy= + + 計算通量S

A dssdotint S 為圓 2 2 2x y a+ =

在第一項限的部分方向選為 z+ 2 2y a x= minus

4-41

解 2 2 4

0 0ˆ

8a a x

zS S S S

aA ds A zdxdy A dxdy xydxdy xdx ydyminus

sdot = sdot = = = =int int int int int int

Ex39 In cylindrical coordinate Given ˆ ˆaA zbzρρ

= + where a b are

constants Find S

A dssdotint over the surface of a

closed cylinder about z-axis specified by 3 2z ρ= plusmn =

解S 分為上下與周邊三面

zz (z 3)zA ds A ds A d dρ ρ ϕsdot = sdot = = sdotint int int上 上 上

= 23 3 2 12bd d b bρ ρ ϕ π πsdot = sdot =int上

ˆ(-z)A ds A d dρ ρ ϕsdot = sdot sdotint int下 下

= z- (z -3)A d dρ ρ ϕ= sdotint下 = 23 2 12b bπ πsdot =

周邊ds ˆ ( )d dzρ ρ ϕ= rArr ˆ ( ) z ( ) zA ds A d d A d dρρ ρ ϕ ρ ϕsdot = sdot =int int int周 周 周

2 3

0 3( ) z ( ) z=a 12aA d d d d d dz a

πρ ρ ϕ ρ ϕ ϕ π

ρ minus= = =int int int int周 周

加起來 S

A dssdotint ＝12 24 12 ( 2 )a b a bπ π π+ = +

ex40 一點電荷 q 置於原點計算在一個以原點為圓心 0r 為半徑的球

面上的電通量

解 2 20 0

ˆ ˆ4 4S S

qr q dsE ds rdsr rπε πε

sdot = sdot =int int int

=0 0 0

44 4S

q q qd ππε πε ε

sdot Ω = sdot =int

上式中 dΩ 2dsr

= 是 ds 所張開的「立體角」(solid angle)

4-42

div A and Flux 通量與散度的幾何物理意義

我們運用過nabla的符號來表示過散度 divF F= nablasdot yx zFF Fx y z

partpart part= + +part part part

但是也看到「散度」定義為

0( )

1( ) limSV

about x y z

divF x y z F da divergence of FVΔ rarr

equiv sdot =Δ int (4-77)

其中 VΔ 為 S 面所包含的體積即散

度為通量(體)密度的 0 體積極限

（4-77）的定義與 Fnablasdot 好像差的很

多她們是說同一回事嗎以下證明

這兩種「散度」的定義是等價的如

左圖考慮一個以點 ( ) x y z 為中心

的 立 方 體 其 相 鄰 三 邊 長 為

x y zΔ Δ Δ 體積 V x y zΔ = Δ Δ Δ 現在計算 F 在立方體的一組平行於 y-z平面的表面 S1 與 S2 的通量

( )1 1

ˆ ˆ xS S

F nds F xds F x y z dsrArr sdot = sdot =intint intint intint 2xxF x y z y zΔ⎛ ⎞asymp + Δ Δ⎜ ⎟

⎝ ⎠

其中 2xx y zΔ⎛ ⎞+⎜ ⎟

⎝ ⎠為 S1 面中心的座標而

2xx y zΔ⎛ ⎞minus⎜ ⎟

⎝ ⎠為 S2 面的中心

( ) ( )2 2 2

ˆ ˆ 2x x

S S S

xF nda F x ds F x y z ds F x y z y zΔ⎛ ⎞rArr sdot = sdot minus = minus asymp minus minus Δ Δ⎜ ⎟⎝ ⎠intint intint intint

上式中的負號來自 S2 面的方向是 xminus 所以合併兩個面積分

1 2

ˆ 2 2x x

S S

x xF nds F x y z F x y z y z+

Δ Δ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞rArr sdot asymp + minus minus Δ Δ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦intint

2 2x xx xF x y z F x y z

x y zx

Δ Δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠= Δ Δ Δ

Δ

2 2

x xx xF x y z F x y z

Vx

Δ Δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠= Δ

Δ

1 2

1 2 2ˆ

x x

S S

x xF x y z F x y zF nds

V x+

Δ Δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠rArr sdot asymp

Δ Δintint

4-43

當取體積向(xyz)點收縮至 0 時即 0 x 0as VΔ rarr Δ rarr 上式的近似

「asymp」就成了「＝」

1 20

1 ˆlimV

S S

F ndsVΔ rarr

+

sdotΔ intint

( )0

2 2limx x

x

x

x xF x y z F x y z F x y zx xΔ rarr

Δ Δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟ part⎝ ⎠ ⎝ ⎠= =Δ part

Similarly F 在立方體的一組平行於 x-z 平面的表面 S3 與 S4 的通量

3 3 3

ˆ ˆ yS S S

F nds F yds F dsrArr sdot = sdot =intint intint intint

2

2

y

y

yF x y zyF x y z x z x y z

y

Δ⎛ ⎞+⎜ ⎟Δ⎛ ⎞ ⎝ ⎠asymp + Δ Δ = Δ Δ Δ⎜ ⎟ Δ⎝ ⎠

( )4 4 4

2ˆ ˆ

y

yS S S

yF x y zF nds F y da F ds x y z

y

Δ⎛ ⎞minus⎜ ⎟⎝ ⎠rArr sdot = sdot minus = minus asymp Δ Δ Δ

Δintint intint intint

合併 S3 與 S4 兩個面積分並取體積向(xyz)點收縮至 0 時即當

0 y 0VΔ rarr Δ rarr 上式的近似asymp就成了＝

3 4

2 2ˆ

x x

S S

y yF x y z F x y zF nds V

y+

Δ Δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠rArr sdot cong Δ

Δintint

3 40 0

1 2 2ˆlim lim

x xy

V yS S

x yF x y z F x y z FF nds

V y yΔ rarr Δ rarr+

Δ Δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟ part⎝ ⎠ ⎝ ⎠rArr sdot = =Δ Δ partintint

與上面相同的作法計算 F 在立方體的一組平行於 x-y 平面的表面 S5

與 S6 的通量我們也會得到對應的結果

5 6

2 2ˆ

z x

S S

z zF x y z F x y zF nds V

z+

Δ Δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠rArr sdot cong Δ

Δintint

5 60 0

1 2 2ˆlim lim

z xz

V zS S

z zF x y z F x y zFF nds

V z zΔ rarr Δ rarr+

Δ Δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟ part⎝ ⎠ ⎝ ⎠rArr sdot = =Δ Δ partintint

所以合併立方體的 6 個面積分

4-44

1 2 3 4 5 6

ˆ ˆ ˆ ˆS S S S S S S

F nds F nds F nds F nds+ + +

rArr sdot = sdot + sdot + sdotint intint intint intint

0

1 ˆlim yx zV

FF FF nds div F FV x y zΔ rarr

partpart partrArr sdot = + + = = nablasdot

Δ part part partint (4-78)

在此我們得證這兩種「散度」的定義是等價的只是（4-77）的定義

充分的表現出「散度」的幾何物理意義他從通量著手由於場線

出自於 source（ex電場源自於點電荷）所以在點(xyz)必須有向量場

F 的 source 存在才能使得當面積縮到 0 時仍具有非 0 的通量所以「散

度」表現向量場 F 的 source 在這個定義之下是很清楚的當然在計算

「散度」時我們不必那麼麻煩用 divF F= nablasdot 就好了

Ex41 計算 2ˆ ˆ ˆF xx yxy zyz= + + 的散度

解 2 yx zFF Fx x yx y z

partpart part= = =

part part part F 2x x y 3x ydivrArr = + + = +

recall 在靜電學0

yx zEE EEx y z

ρε

partpart partnablasdot = = + +

part part part

散度定理 Divergence Theorem

若任意封閉面（又稱為「高斯面」）S 所包圍的

體積為 V 則

S VA ds Adτsdot = nablasdotint int （4-79）

pf 我們先將體積分割成 N 個小盒子考慮相鄰的兩個小盒子 1 2

兩小盒子的共用面面積 S0當 S0 是為 1 號盒子的一部份時其方向為

1n 但若當為 2 號盒子的表面時其方向為 12 ˆˆ nn minus= 如此在 S0 分別做

4-45

1 2 盒子的面積分後

0 0

0 0 0 0

1 2

1 2 1 1ˆ ˆ ˆ ˆ 0

S S

S S S S

A ds A ds

F n ds F n ds F n ds F n ds

sdot + sdot

= sdot + sdot = sdot minus sdot =

intint intintintint intint intint intint

所以若求場 A 在 1 2 盒子的總通量時交界面是沒有貢獻的總通量

就只有「外面積」才有貢獻如此我們計算 N 個小盒子的總通量

時所有的內部共用面都得 0只剩下「外表面」的貢獻了當 infinrarrN

時所有小盒子的「總外表面」就與 S 面重合了所以所有小盒子通量

的總和就等於 S 面的通量

1lim

i

N

S SN iA ds A ds

rarrinfin=

rArr sdot = sdotsumint int

現在我們做 N 個小盒子的總通量

1 1

1i i

N N

iS Si i i

A ds A ds VV= =

⎛ ⎞sdot = sdot Δ⎜ ⎟Δ⎝ ⎠

sum sumint int

當 0iN Vrarrinfin rArr Δ rarr 並用 dv 表示體積元素

( ) ( )1 1

1

1lim lim lim

lim

i ii

N N

iS SN N V oi i i

N

i VN i

A ds A ds VV

A V A dv

rarrinfin rarrinfin Δ rarr= =

rarrinfin=

⎛ ⎞sdot = sdot Δ⎜ ⎟Δ⎝ ⎠

= nablasdot Δ = nablasdot

sum sumint int

sum int

( )S V

A da A dvrArr sdot = nablasdotint int QED

所以得證散度定理上式中我們用了散度的（4-77）式定義要分辨

清楚 Anablasdot 是向量場 A 在空間中「某一點」的性質（ 0VΔ rarr ）而「散

度定理」說的是一個「有限體積」的性質

ex42 給定 ( ) ˆ ˆ ˆ A x y z xx yy zz r= + + = 計算在

半徑 R＝1 的球的上半球加底面的通量

4-46

解 ( )ˆˆS

A da A rda A k darArr sdot = sdot + sdot minusint int int上半球面 底面

( )

2

ˆ ˆ

0 2 1 2

A rda A z dxdy

r rds zdxdy rds ds π π

= sdot + sdot minus

= sdot minus = minus = = sdot =

int int

int int int int上半球面 底面

上半球面 底面 上半球面

底面的通量＝0 是因為 A 的 z 分量 Az=z 在底面的值為 0

也可以用散度定理更快的得出結果

∵ 3A rnablasdot = nablasdot =

31 43 3 1 22 3V V

Ad d πτ τ πnablasdot = = sdot sdot sdot =int int

ex43高斯定律的微分形式積 由 Gaussrsquo law 的積分形式用散度定理得出其

( )0 0

1 inS V

qE ds x y z dvρε ε

sdot = =int int

0S V VE ds Edv dvρ

εrArr sdot = nablasdot =int int int

上式最後的等式對「任意形狀」V 都成立所以兩者的被積函數相等

對於空間每一點 0

E ρε

nablasdot = （4-80）

ex44 Use 第一象限的單位力方體 check the divergence theorem using the function 2 2ˆ ˆ ˆ(2 ) 2A y x xy z y yzz= + + +

解2

2( ) (2 )(2 ) 2( )y yzA xy z x yx y z

part part partnablasdot = + + + = +

part part part

and 1 1 1 1 1 1

0 0 0 0 0 02 ( ) 2 ( )

VAdv x y dxdydz dz dy x y dxnablasdot = + = +int int int int int int int

1 1

0 0

1 12 ( ) 2 12 2

dz y dy= + = sdot =int int

面積分 1 1 2

0 0

1ˆ3

A ds A xdydz dz y dysdot = sdot = =intint intint int int前 前

4-47

1 1 2

0 0

1ˆ( )3

A ds A x dydz dz y dy minussdot = sdot minus = minus =intint intint int int

後 後

1 1 2

0 0ˆ (2 )A ds A ydxdz dz xy z dxsdot = sdot = +intint intint int int

右 右

1 1 1 12 2

0 0 0

4(2 ) (1 )3

ydz x z dx dz z

=

= + = + =int int int∵

1 1 2

0 0

0 1 1 12 2

0 0 0

ˆ( ) (2 )

1(1 )3

y

A ds A y dxdz dz xy z dx

dz z dx dz z=

sdot = sdot minus = minus +

minus= minus = + =

intint intint int int

int int int∵

左 左

11 1 1 1

0 0 0 0ˆ 2 2 1

zA ds A zdxdy dx yzdy dx ydy

=sdot = sdot = = =intint intint int int int int

∵

上 上

01 1

0 0ˆ 2 0

zA ds A zdxdy dx yzdy

=sdot = sdot minus = minus =intint intint int int

∵

下 下

前後右左上下六個面積分合併＝1＝V

Advnablasdotint QED

ex45 Continuity Equation 連續方程式

考慮某些「東西」的流動（物質電荷hellip）在時刻 t 時在點(xyz)

的 密 度 為 ( ) x y z tρ ρ= 並 具 有 速 度

( ) v v x y z t= 在時刻 t 時在體積 V 內的總量為

( ) x y z t dρ τintintint

這樣體積 V 內東東的時變率為

( ) ( ) d x y z t d x y z t ddt t

ρρ τ τpart=

partintintint intintint

注意體積分後的時間全微分移入積分內要改為偏微分這個東東

在表面的「流率 flow rate」可表為

ˆS

R v ndsρ= sdotintint

若體積內的物料無法自生自滅那麼體積內物料的變化必經由表面的

流出流入所造成

d v ndstρ τ ρpart

rArr = minus sdotpartintintint intint

由散度定理

4-48

( )ˆS

v nds v d dtρρ ρ τ τpart

sdot = nablasdot = minuspartintint intintint intintint

( )v Jtρ ρpart

rArr = minusnablasdot equiv minusnablasdotpart

0Jtρpart

rArr +nablasdot =part

（4-81）

(4-81) 即 continuity equation其中 J vρ= 為「物流密度」ex如果 ρ

是電荷密度 J 就是電流密度（4-81）是物質守恆的結果只對體

積內無 source（生成）or drain（消滅）的東東成立

ex46 Given a vector field ˆ ˆx yA ye xe= minus + (a) Find

Anablasdot (b)如圖一個金字塔狀的 5 面體高 2 底邊長

1計算 A在整個金字塔表面（封閉面）的總通量

解(a) Anablasdot = ( ) ( ) 0y xx ypart part

minus + =part part

(b) 金 字 塔 的 表 面 面 積 元 素 ds 不 好 寫 所 以 用 散 度 定 理

( )S V

A da A dvrArr sdot = nablasdotint int ＝0 Anablasdot 表示 A沒有 source 所以對封閉面而

言有多少場線進入就有多少出去所以總通量＝0

習題 7 With position vector r for an arbitrary volume V that is

bounded by surface S show that 13 S

r ds Vsdot =int

習題 8 已知一靜電場為 ˆ ˆ ˆ( )E xyz yxz zxyλ= + + 運用 Gaussrsquo law

試求包含在半球 2 2 2 2 0x y z R z+ + = ge 裡的總電荷 Ans 0

習題 9 (a) given ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( 2 )F r xf x yf y zf z= + + minus show that divF is

zero at point (c c -c2) (b) given ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( )G r xf x z yg x z zh x y= + +

show that ( ) 0G rnablasdot =

4-49

習題 10 Find the normal vector n for the surfaces (a) z = 2-x-y ans

ˆ ˆ ˆ( ) 3x y z+ + (b) z = (1-x2)12 ans ˆ ˆxx zz+ (c) z = x2+y2

ans ˆ ˆ ˆ( 2 2 ) 1 4xx yy z zminus minus + +

習題 11 Show that the unit vector normal to the plane ax+by+cz =d is

given by 2 2 2ˆ ˆ ˆ( ) ax by cz a b cplusmn + + + +

圓柱座標與球座標的nabla (del)

考慮一純量場在直角座標為 ( ) u x y z 在圓柱座標表為 ( ) u zρ φ

再考慮因位移 r r drrarr + 所造成 u ( )zρ φ 的變化

( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆz

z

u u udu d d dz u dr u d d zdzz

u u z u d d zdz

u d u d u dzρ ϕ

ρ ϕ

ρ ϕ ρ ρ ϕρ ϕρ ϕ

ρ ϕ ρ ρ ϕρ ϕ

ρ ρ ϕ

part part part= + + = nabla sdot = nabla sdot + +part part part

⎡ ⎤= nabla + nabla + nabla sdot + +⎣ ⎦= nabla + nabla + nabla

( ) ( ) ( )1

1ˆ ˆ ˆu

z

u u uu u uz

u u uzz

ρ ϕρ ρ ϕ

ρ ϕρ ρ ϕ

part part partrArr nabla = nabla = nabla =

part part partpart part part

rArrnabla = + +part part part

1ˆ ˆ ˆ zz

ρ ϕρ ρ ϕpart part part

nabla = + +part part part

（4-82）

注意nabla的ϕ -分量( 1ρ ϕ

partpart

)不是像直角座標裡單純的ϕpartpart

所以不要笨笨

的就把直角座標的形式硬套上去用我們也可以從「因次分析」來

看nabla因為是對空間的微分所以每一項的因次必須是「長度分之一」

運算 andzρ

part partpart part

都是「長度分之一」而「單純的ϕpartpart

」是沒有單位的

所以要1ρ ϕ

partpart

才 OK

由於圓柱座標裡的單位向量除了 z 之外 ˆ( )ρ ϕ 與 ˆ( )ϕ ϕ 都不是常

4-50

數所以在微分時不可以與微分運算交換而要考慮微分的作用所

以在「圓柱座標」寫「散度」 ( ) F zρ ϕnablasdot 也和直角座標不一樣

( )1ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ zF z F F zFz ρ ϕρ ϕ ρ ϕ

ρ ρ ϕpart part part⎛ ⎞

nabla sdot = + + sdot + +⎜ ⎟part part part⎝ ⎠

( ) ( )1ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆz zF F zF F F zFρ ϕ ρ ϕρ ρ ϕ ϕ ρ ϕρ ρ ϕpart part

= sdot + + + sdot + +part part

( )ˆ ˆˆ ˆ zz F F zFz ρ ϕρ ϕpart

+ sdot + +part

因為 ( ) ( )ˆ ˆ ˆ ˆ ρ ρ ϕ ϕ ϕ ϕ= = 所以做 andzρ

part partpart part

時 ˆ ˆ ρ ϕ 可視為常數

ˆ ˆ1ˆ ˆ ˆ zF F F FF F Fz

ρ ρ ϕρ φ

ρ ϕϕ ρ ϕρ ρ ϕ ϕ ϕ ϕ

part part part⎡ ⎤part part partrArrnablasdot = + sdot + + + +⎢ ⎥part part part part part part⎣ ⎦

還記得 ˆ ˆ ˆ ˆd d d dρ ϕ ϕ ϕ ρ ϕ= = minus 所以 ˆ ˆρ ϕϕpart

=part

ˆ ˆϕ ρϕpart

= minuspart

rArr

( )1 1 1z zF F F FF FF Fz z

ρ ρ ϕ ϕρρ

ρ ρ ρ ϕ ρ ρ ρ ϕpart part part part

nablasdot = + + + = + +part part part part part part

（4-83）

在球座標寫nabla也會遇到相似的問題其根源就是球座標 ( )r θ ϕ 裡

的 θ ϕ 的因次並非長度而三個單位向量 ˆ ˆˆ r θ ϕ（表為 ie ）都是( θ ϕ )

的函數以致

( )ˆ ˆ( ) ( )i ie f e fθ ϕ θ ϕθ θpart part

nepart part

且 ( )ˆ ˆ( ) ( )i ie f e fθ ϕ θ ϕϕ ϕpart part

nepart part

所以nabla也不似在直角座標那麼簡單我們不在這裡推導而是給出一

個歸納的統一的三個座標的結果還記得對每一個座標 iu i = 123

座標的變化 idu 與造成的長度變化 id

i i id h du= 123i = (4-84)

其中 ih 為對應的度量係數(metric coefficient)

4-51

1 2 3

1 1 2 2 3 3

1 1 1ˆ ˆ ˆu u ue e eh u h u h u

part part partnabla equiv + +

part part part （4-85A）

座標 1 2 3 u u u

度量係數

1 2 3 h h h

nabla grad del

直角 x y z

1 1 1 nabla ˆ ˆ ˆx y z

x y zpart part part

equiv + +part part part

圓柱

zρ ϕ

1 1ρ

1ˆ ˆ ˆ z

zρ ϕ

ρ ρ ϕpart part part

nabla equiv + +part part part

球

r θ ϕ

1 sinr r θ

1 1ˆ ˆˆ

sinr

r r rθ ϕ

θ θ ϕpart part part

nabla = + +part part part

（4-85B）

梯度gradient Vnabla grad(V) 散度divergence Anablasdot div( )A

直

角 nablaV ˆ ˆ ˆV V Vx y z

x y zpart part part

= + +part part part

yx zAA AAx y z

partpart partnablasdot = + +

part part part

圓

柱

1ˆ ˆ ˆ V V VV zz

ρ ϕρ ρ ϕpart part part

nabla = + +part part part

( )1 1

1

z

z

A AA Az

A A A Fz

ϕρ

ρ ρ ϕ

ρρ ρ ρ ϕ

ρ ρ ρ ϕ

partpart partnabla sdot = + +

part part partpart part part

= + + +part part part

球

1 1ˆ ˆˆ sin

V V VV rr r r

θ ϕθ θ ϕ

part part partnabla = + +

part part part

22

1 ( )rA r Ar r

partnabla sdot =

part

1 (sin )sin

Ar θθ

θ θpart

+ sdotpart

1sin

Ar

ϕ

θ ϕpart

+part

(4-86)

Ex47 Using spherical coordinate show that 1| |r r

nablaminus

= 2

ˆ| |

r rer r

minusminusminus

where

nabla是作用在 r 而 ˆr re minus 是向量 r rminus 方向的單位向量 解let r lies in z-axis so that the angle between r and r is just θ

4-52

rArr ( ) 122 21 1 2 cos | | ( ) ( )

r rr rr r r r r r

θminus

= = minus +minus minus sdot minus

( ) ( )12 122 2 2 21 1ˆˆ 2 cos 2 cos | |

r r rr r r rr rr r r r

θ θ θθ

minus minuspart partnabla = minus + + minus +

minus part part

( ) 322 21ˆ 2 cos (2 2 cos )2

r r rr r r rθ θminusminus

= minus + minus

( ) 322 21ˆ 2 cos (2 sin )2

r rr r rrθ θ θminusminus

+ minus +

3 3 3 3

ˆˆ ˆ( cos ) sin ( cos sin )ˆˆ| | | | | | | |r r r rr r rrr r r r r r r r

θ θ θ θ θθminus minus minus minus minus= + = +

minus minus minus minus

3 3 3ˆ ( )

| | | | | |r r z r r r rr r r r r rminus + minus + minus minus

= = =minus minus minus

＝ 2

ˆ| |

r rer r

minusminusminus

QED

證明最後我們用到 ˆˆˆ cos sinz r θ θ θ= minus 而 ˆ r r z= 因為我們選了 r 是

躺在 z-軸 Ex48 For arbitrary scalar field ( )f r and vector field ( )A r 證明恆等式

( )fA f A f Anablasdot = nabla sdot + nablasdot (4-87) 解 ˆ ˆ ˆx y zfA xfA yfA zfA= + +

( ) ( ) ( ) ( )x y zfA fA fA fAx y zpart part part

rArrnablasdot = + +part part part

yx zx x x

AAf f f AA f A f A fx x y y z z

partpartpart part part part= + + + + +part part part part part part

yx zx y z

AAf f f AA A A fx y z x y z

part⎛ ⎞partpart part part part= + + + + +⎜ ⎟part part part part part part⎝ ⎠

f A f A= nabla sdot + nablasdot QED 習題 12 一個位於原點的電偶極電偶極矩＝ ˆp pz= 已知其在遠處

的電位為 20

cos4p

rθ

πε試證該處的電場強度為 E = 3

0

ˆˆ( 2cos sin )4

p rr

θ θ θπε

+

(已知 E V= minusnabla )並請計算 Enablasdot ＝

習題 13 給定一向量場2

3cosˆD r

rϕ

= 現有兩個球心在原點的同心球

內球半徑 R＝1外球 R＝2(a)求面積分S

D dssdotint S 為同心球殼的表

面（有內外兩個面）(b)求體積分V

Ddvnablasdotint V 為兩同心球之間的

區域本題也是來 check 散度定理的Ans πminus

4-53

The Laplacian operator 2nabla equivnablasdotnabla

在直角座標可以用直接作用得到

2 2 2

22 2 2u u uu u

x y zpart part part

nabla equiv nablasdotnabla = + +part part part

(4-88)

圓柱座標

2 2

22 2 2

1 1( ) u u uu uz

ρρ ρ ρ ρ ϕ

part part part part⎛ ⎞nabla equiv nablasdot nabla = + +⎜ ⎟part part part part⎝ ⎠

(4-89)

球座標

2

2 22 2 2 2 2

1 1 1sinsin sin

u u uu rr r r r r

θθ θ θ θ ϕ

part part part part part⎛ ⎞ ⎛ ⎞nabla = + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟part part part part part⎝ ⎠ ⎝ ⎠ （4-90）

習題 14 verify (4-89) and (4-90)

習題 15 Given a dipole potential V= 20

cos4p

rθ

πε find 2Vminusnabla

sect 433 Line integral and curl A 線積分與與旋度的物理意義

線積分路徑積分

考慮一曲線 C 通過兩點 ( )i i i iP x y z 與

( )f f f fP x y z 現有一向量場 ( )A x y z 定義在

C 所在的空間若 sd 為 C 上位於(xyz)點的

「路徑元素」（ ˆd td= 方向沿該處切線）而

( )A x y z 為路徑元素d 處的場值則沿 C 經歷各點所做積分

cos cosf

CC C iA d Ad A dϕ ϕrarr rarrsdot = =int int int （4-91）

稱為向量場 ( )A x y z 沿路徑 C 自 pi 至 pf 的「線積分」「或「路徑積分」

積分裡 A 取值的點侷限在路徑 C 上面若為一個「封閉路徑」則對

C 的線積分也稱做「環路積分 closed contour integral」記做

C

A dsdotint （4-92）

4-54

物理量「做功」是最標準的線積分之一力 F 自 x = a 至 x = b「沿線」

x 軸做功

W＝ F dxsdotint ＝ ( )b

xaF x dxint （4-93）

質點在力場 )(rF 裡走一條曲線 C則力場做功

CW F d= sdotint （4-94）

還記得如果 ( )F r 是所謂「保守力」則上式只與始末點有關而與

路徑無關但如果 ( )F r 是所謂「非保守力」則做功與確實的路徑 C

有關

現考慮一質點在空間運動的位置 r 落在由曲線 C

描述的路徑則質點的位移元素與曲線 C 的路徑元

素相同 d dr= 若空間有向量場 A 分佈則 A 在 C 的

路徑積分以直角座標表示為

CA drarr rarrsdotint ＝

CA d rrarr rarrsdotint ＝ ( )x y zC

A dx A dy A dz+ +int （4-95）

上式中的 x y z 的積分限由 C 決定

Ex49 2 2 2ˆ ˆ ˆA xx yy zzrarr= + + 選定一路徑 C 為曲線

2y x= 由 (000)到 (2 20)的部分求C

A dsdotint

解 ˆ ˆd xdx ydy= +∵

CA dsdotint ＝ 2 2( )

Cx dx y dy+int ＝

2 22 2

0 0x dx y dy+int int

＝ )24(32

+

或由 2y x= rArr 2ydy dx= 2 12

y dy xdxrArr =

rArrC

A dsdotint ＝2 2

0

1( )2

x x dx+int ＝2 (4 2)3

+

4-55

ex50 ˆ ˆ( )f x y z xy yx= minus Do C

f dsdotint 其中的路徑 C 為一逆時針三角

形如圖 解∵路徑全部在 x-y 平面 ˆ ˆ ˆd td xdx ydy= = +

rArrC

f dsdotint ＝ x yC

f dx f dy+int ＝C

ydx xdyminusint

由於在 C1 上 y = 0 及 dy = 0 所以 01

=intC 又由於在

C3 上 x = 0 及 dx =0所以 03

=intC 所以只剩下 C2 可

能有貢獻由 2C 的方程式x + y =1rArr ⎩⎨⎧

minus=minus=

xyyx

11

rArr2Cydx xdyminusint ＝

0 1

1 0(1 ) (1 )x dx y dyminus minus minusint int ＝

0 12 2

1 0

( ) ( )2 2x yx yminus minus minus ＝-1

Cf dsdotint ＝-1

ex51 ( )f x y zrarr

= 2ˆ ˆxx yxyminus 如右圖doC

f dsdotint 其

中路徑 C 為第一象限的逆時針 14 圓弧

解∵ 全部在 x-y 平面 ˆ ˆd xdx ydy= +

Cf dsdotint ＝ 2

Cx dx xydyminusint

由於在 C 上 cosx R ϕ= rArr sindx R dϕ ϕ= minus

siny R ϕ= rArr cosdy R dϕ ϕ=

rArr 2

Cx dx xydyminusint ＝

2 2 2 2

0cos ( sin ) sin cos cosR R d R R d

πϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕminus minus sdotint

23 2

02 cos sinR d

πϕ ϕ ϕ= minus int ＝

323Rminus

又路徑為圓周一部份所以適合用極座標表示

ˆd Rdϕ ϕ= 又由左圖將 ˆ ˆx y 拆解（投影）到 ˆˆr ϕ

ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆcos sin sin cosx r y rϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ= minus = +

4-56

( )2ˆ ˆ ˆˆ ˆ( cos sin ) ( sin cos )C C

f d r x r xy Rdϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕsdot = minus minus + sdotint int 2

2 2 2

0

sin (cos )

sin ( cos ) (cos ) cos sin

Cx Rd xyRd

R Rd R Rdπ

ϕ ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ

= minus minus

= minus minus

intint

23 2

02 cos sinR d

πϕ ϕ ϕ= minus int ＝

323Rminus

這也驗證了散度定理

Path Independence 路徑獨立性

Ex52 證明庫倫力為「保守力」考慮

電荷 q0 位於原點及電荷 q 位於

( )r x y zrarr= q 受力 F

rarr＝ 0

20

14

qq urπε

and

求庫侖力作功因為球形對稱所以

用球座標由 ˆ ˆ ru rr

= = rArr Frarr

= 03

04qq r

rπε

庫侖力由 P1 至 P2 做功為 2

1

P

CPF drarrsdotint ＝

2

1

02

0

ˆ ˆ ˆˆ sin4

P

PC

qq r rdr rd r dr

θ θ ϕ θ ϕπε

⎡ ⎤sdot + +⎣ ⎦int ＝2

1

02

04P

P

qq drrπεint

＝20

2104

r

r

qq drrπε int ＝ 0

0 1 2

1 1( )4qq

r rπεminus for all C

所以庫侖力兩點間做功與路徑無關rArr保守力

對於「保守力 conservative force」 cF 自 p1 經

由兩條不同的路徑 C1 與 C2 到達 p2

1 ccF drarrsdotint ＝

2 ccF drarrsdotint ＝-

2 ccF drarr

minussdotint

rArr1 2c cc cF d F drarr rarr

minussdot + sdotint int = cF d

rarrsdotint ＝0 (4-96）

對於任何「封閉路徑」保守力做功為 0反之若

對任一封閉路徑 0F drarrsdot neint 則兩點之間的做功與路徑有關

rarr

F 為「非

保守力」

4-57

旋度 curl Anablatimes 的幾何物理意義

我們在（4-70）式已經看過旋度的計算方式但旋度另有其意義的

ex53 給定向量場2 2

0ˆ yv yv e λrarr

minus= 左圖為場的分佈

2 20

ˆ ˆ ˆ

0 0x y z

y

x y zcurl v

v e λ

rarr

minus

= part part part ＝ ˆ ˆ ˆ0 0 0 0x y zsdot minus sdot + sdot =

我們用了簡寫 x yx ypart part

part equiv part equivpart part

可以看出這個場裡沒有「漩渦」

但是有無「漩渦」有時也不是那麼明顯可以看出的請見下一個例子

Ex54 給定向量場2 2

0ˆ xv yv e λrarr

minus= 計算其旋度 vnablatimes

解向量場 vrarr

畫在右邊你看得出有無漩渦

先計算旋度

2 20

ˆ ˆ ˆ

0 0x y z

x

x y zcurl v

v e λ

rarr

minus

= part part part2 2

2 2

0

0

ˆ

ˆ 2 0 0

x

x

z v ex

z v xe for x

λ

λ

minus

minus

part=

part

= minus ne ne

vrarr

的旋度在大部分的地方不為 0 且隨位置而不同但是你看得出這個

向量場裡有「漩渦」其實要檢驗一個向量場裡有無「漩渦」有一

個很物理的方法就是放一個小「螺旋槳」（左圖）

在場內將軸朝各個方向測試一

下如果有「漩渦」的話這個

小「螺旋槳」就會轉動右圖就是將「螺旋槳」的

軸平行於 z 軸且放在 x gt 0 的地方就可以看出左

邊的 v 場比右邊的強造成螺旋槳順時針轉動rArrcurlv zminus for x gt 0

但如果放在 x = 0 的地方就會看到左右兩端的 v 場強度相同而且

4-58

curlv = 0 「螺旋槳」放在 x lt 0 的地方就可以看出右邊的v 場比左

邊的強造成螺旋槳逆時針轉動這完全符合 curl v k+ 的結果

環路積分與旋度 curl 的物理意義

如同「散度」一樣「旋度」除了 Ftimesnabla 之外

還有一個物理意義更清楚的定義這個定義由

「線積分」說明如圖考慮做「逆時針」長方形

路徑 C1 的一個「環路積分」C1 面平行於 x-y 平

面由 z-軸看下去環路 C1 可以分為可以分為

下 CB上 CT右 CR左 CL 4 部分

CA drarrsdotint ＝

B T L RC C C CA d A d A d A drarr rarr rarr rarrsdot + sdot + sdot + sdotint int int int

分別計算由於 CB 的中點座標為 ( )2yx y zΔ

minus

ˆB BC C

A d A xdxrarr rarrsdot = sdot =int int

BxC

A dxint ( )2xyA x y z xΔ

asymp minus Δ

similarly 由於 CT 的中點座標為 ( )2yx y zΔ

+

ˆ( )T TC C

A d A xdxrarr rarrsdot = sdot minus =int int

TxC

A dxminusint ( )2xyA x y z xΔ

asymp minus + Δ

合併 CB 與 CT

B TC CA drarr

+sdot =int

( ) ( )2 2x xy yA x y z A x y z

x yy

Δ Δ⎡ ⎤minus + minus minus⎢ ⎥⎣ ⎦ Δ ΔΔ

（4-97）

由 C1 所圍的面積 S x yΔ = Δ Δ

1B TC C

A dS

rarr

+sdot =

Δ int( ) ( )

2 2x xy yA x y z A x y z

y

Δ Δ⎡ ⎤minus + minus minus⎢ ⎥⎣ ⎦Δ

（4-98）

所以當取極限 C1 收縮到中心(xyz)時 SΔ 收縮到 0ie

4-59

0limsΔ rarr

1B TC C

A dS

rarr

+sdot =

Δ int xAy

partminuspart

（4-99）

Similarly with CR 的 ˆd ydy= CL 的 ˆd ydy= minus 可得

1L RC C

A dS

rarr

+sdot =

Δ int x

zyxxFzyxxF yy

Δ

Δminusminus

Δ+ )

2()

2(

（4-100）

同樣的當取極限 C1 收縮到中心(xyz)時 SΔ 收縮到 0

0

limsΔ rarr

1L RC C

A dS

rarr

+sdot =

Δ int yAx

partpart

（4-101）

最後合併 CBCTCRCL 為 C1

10

1limCs

A ds

rarr

Δ rarrsdot =

Δ int y xA Ax y

part partminus

part partˆ ( ) ( )zz A A= sdot nablatimes = nablatimes （4-102）

注意 C1 的方向就是在 z 上式的重要

意義是當向量場 A 在一個以點(xyz)為

中心「方向為 z 」的面積元素的「邊界」

所做的環路積分得到的就是 A 在(xyz)

處旋度的 z-分量明顯的只有當 A 在

(xyz)附近有 x-y 平面上的「漩渦」那麼 C1 的環路積分才不會為 0

Similarly 取一個逆時針繞著(xyz)的平行於 x-z 平面的長方形環路 C2

（左圖）做環路積分再取極限將 C2 收縮到(xyz)就會得到

20

1limCs

A ds

rarr

Δ rarrsdot =

Δ int x zA Az x

part partminus

part partˆ ( ) ( )yy A A= sdot nablatimes = nablatimes （4-103）

注意到 C2 所包圍的面積方向就在 y到

現在我們應該已經很有經驗了若取一

個逆時針繞著(xyz)的平行於 y-z 平面

的長方形環路 C3（左圖）做環路積分

再取極限將 C3 收縮到(xyz)就會得到

4-60

30

1limCs

A ds

rarr

Δ rarrsdot =

Δ int yz AAy z

partpartminus

part partˆ ( ) ( )xx A A= sdot nablatimes = nablatimes （4-104）

能把（4-103）與（4-104）變出來的同學我們有優待綜合以上

我們可以得到一個結論若取一個以點(xyz)為中心的任意環路 Cn（其

所包圍的面積方向在 n ）則

n curl Aand rarrsdot ＝

0

1lims

Cn

A ds

rarr

Δ rarrsdot

Δ int （4-105）

明顯的當 n ＝ x 或 y 或 z 時我們可以重複（4-102）到（4-104）的

結果（4-70）式的行列式所定義的旋度在此看見其幾何物理意義

至此「旋度」的「漩渦」形象應該已經很清楚了只有在(xyz)點附

近的小圈圈上有「漩渦」 A 在小圈圈做的環路積分才會有值這個

值就是向量場 A 的「旋度」在小圈圈面積方向的分量

Stokersquos 定理

考慮一個開放面 S被其「有方向的」邊界 C 圈住(bounded by)則

( )S

A dsrarr rarrnablatimes sdotint ＝

C

A drarrsdotint （4-106）

pf 先將 S 面分割為 N 個多邊形這會使得邊界變成一個「折線」形

成的環路 P環路 P 會隨著分割的多邊形個數的增多而越加近似於原

「光滑的」邊界 C現考慮相鄰的

兩個多邊形的線積分由於共用邊

的方向是相反的所以相鄰兩個多

邊形線積分的和只剩「外邊界」（見左圖）所以當把所有的多邊形的

4-61

線積分加起來時由於只有邊界 P 不是多邊形的共用邊所以

1k

N

k C

A drarr

=

sdotsum int ＝P

A drarrsdotint rArr

P

A drarrsdotint ＝

1

1

k

N

kk k C

A d l ss

rarr rarr

=

⎡ ⎤sdot Δ⎢ ⎥

Δ⎢ ⎥⎣ ⎦sum int

其中 ksΔ 為第 k 個多邊形的面積取極限 0kN srarrinfinrArrΔ rarr P CrArr rarr

C

A drarrsdotint ＝

10

1limkk

N

kN k k Cs

A d ss

rarr

rarrinfin=Δ rarr

⎡ ⎤sdot Δ⎢ ⎥

Δ⎢ ⎥⎣ ⎦sum int 01

ˆlim ( )k

k kskn A s

infin

Δ rarr=

⎡ ⎤= sdot nablatimes Δ⎣ ⎦sum

01

ˆlim ( )k

k kskA n s

infin

Δ rarr=

= nablatimes sdot Δsum = ( )S

A dsrarr

nablatimes sdotint QED

ex55 由 Amperersquos law 的積分形式導出其微分形式

解Amperersquos law 的積分形式 C

B drarrsdotint ＝ I0μ (4-107)

由 Stokersquos 定理及電流密度 j 的定義上式等號兩端可寫為

rArr ( )S

B dsrarr rarrnablatimes sdotint ＝ 0 S

j dsμrarrsdotint

由於上面的等式對任意面 S（路徑 C）都成立所以被積函數相等

0B jμrarr rarr rarr

rArrnablatimes = (4-108) 此即 Amperersquos law 的微分形式

Ex56 Given a vector field ˆ ˆx yA ye xe= minus + (a) Find Anablatimes

解

ˆ ˆ ˆˆ ˆ(1 ( 1) 2

0x y z

x y zA z z

y xnablatimes = part part part = minus minus =

minus

(b)如圖一個金字塔狀的 5 面體高 2底邊長＝1計算 ( )S

A dsnablatimes sdotint

其中 S 為金字塔在 x-y 平面以上的部分方向如同

封閉的金字塔（運用 Stokersquos law）

解金字塔上表面的面積元素ds 不好寫由 Stokersquos

4-62

law ( )S

A dsrarr rarrnablatimes sdotint ＝

C

A drarrsdotint 其中封閉路徑 C 就是上表面的邊界而且

是逆時針（由 z 軸向下看）

C

A drarrsdotint ＝

1 1 0 0

0 0 1 1ˆ ˆ ˆ ˆA xdx A ydy A xdx A ydysdot + sdot + sdot + sdotint int int int

＝1 1 0 0

0 0 1 1x y x yA dx A dy A dx A dy+ + +int int int int 1 1 0 0

0 0 1 1( 0) ( 1) ( 1) ( 0)y dx x dy y dx x dy= minus = + = + minus = + =int int int int

0 1 1 0 2 ( ) 2S

A ds= + + + = rArr nablatimes sdot =int

旋度與 path independence

已知保守場 cF 對所有封閉路徑 C 0cC

F drarrsdot =int 由 Stokersquos 定理

0cC

F drarrsdot =int ＝ ( )cS

F dsrarr rarrnablatimes sdotint rArr 0cF

rarr rarrnablatimes =

這表示保守場＝無旋度反之無旋度的場任兩點間路徑積分與路

徑無關

Ex57 Given a field 2 2ˆ ˆ ˆ2A x xy yx zz= + minus (a) Find Anablatimes A 保守場

解2 2

ˆ ˆ ˆ

2x y z

x y zA

xy x znablatimes = part part part

minus

( ) ( ) ( )2 2 2 2ˆ ˆ ˆ( ) 2 ( ) 2 0y z z x x yx z x y xy z z x xy= part minus minuspart + part minuspart minus + part minuspart =

yes A =保守場

(b)如左圖由 A 到 B 做路徑積分A BC

A drarr

sdotint 路徑 C 為橢圓

22 1

16yx + = 在 x-軸以上的部分

解橢圓部分的路徑元素 d 有點麻煩但因為 A

為保守場所以 A 到 B 做路徑積分可以用 x = -1 到

1 的積分取代

4-63

01 1 1

1 1 1ˆ 2 0

yB

xAA d A xdx A dx xydx

=

minus minus minussdot = sdot = = =int int int int

∵

旋度在柱座標與球座標

前面討論過nabla在不同座標系的寫法旋度也有歸納出的一致寫法

座標 1 2 3 u u u

度量係數

1 2 3 h h h

nabla grad del

直角 x y z

1 1 1 nabla ˆ ˆ ˆx y z

x y zpart part part

equiv + +part part part

圓柱 zρ ϕ

1 1ρ

1ˆ ˆ ˆ zz

ρ ϕρ ρ ϕpart part part

nabla equiv + +part part part

球 r θ ϕ

1 sinr r θ

1 1ˆ ˆˆ sin

rr r r

θ ϕθ θ ϕ

part part partnabla = + +

part part part

所以柱座標與球座標的旋度分別表為

柱座標

ˆ ˆ ˆ1

z

z

Az

AA Aρ ϕ

ρ ρϕ

ρ ρ ϕρ

part part partnablatimes =

part part part （4-109）

球座標 2

ˆ ˆˆ sin1sin

sinr

r r r

Ar r

A rA r Aθ ϕ

θ θϕ

θ θ ϕθ

part part partnablatimes =

part part part （4-110）

ex58 (a) Given the vector function ˆA ϕ= sin (ϕ 2) find Anablatimes

解 2

ˆ ˆˆ sin1sin

0 sin( 2) 0

r r r

Ar r

r

θ θϕ

θ θ ϕϕ

part part partnablatimes =

part part part

4-64

21 ˆˆ cos sin sinsin 2 2 2

rr rr

ϕ ϕθϕθ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

ˆˆ cos sin2 sin 2 2

rr r

ϕ ϕ ϕθ

minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

(b)如左圖一個底面在 x-y 平面半徑＝1高＝2 之圓錐 求面積分

SA dsnablatimes sdotint 面積範圍 S 為圓錐在 x-y 平面以上

部分 方向為由圓錐內向外

解由 Stokersquos law ( )S

A dsrarr rarrnablatimes sdotint ＝

C

A drarrsdotint 其中路

徑 C 為 x-y 平面圓心在原點之單位圓 ˆ ˆd rd dϕ ϕ ϕ ϕ= =

2

0ˆ ˆsin sin

2 2C

d dπϕ ϕϕ ϕ ϕ ϕ⎛ ⎞ ⎛ ⎞sdot =⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠int int ( )0

2 sin u duπ

= int 0cos | 2u π= minus =

習題 16 磁場 B 因為不是保守場所以沒有對應的純量位而對應一

個向量位 A (vector potential)而 B A= nablatimes 一個磁鐵的磁偶極矩

ˆm mz= 被置於原點已知在遠處的 vector potential 03ˆ sin

4mAr

μϕ θπ

=

計算該處的磁場 B Ans 03

ˆˆ( 2cos sin )4

mB rr

μ θ θ θπ

= + 與電偶極遠處

的電場形式一致都是偶極(dipole) 選幾個點畫一畫該處的場向量

把磁力線描出來

附錄本章講義的內容有部分可以經由直接計算得出列在附錄做為

參考

用「圓柱座標」寫 Atimesnabla

Ararr rarrnablatimes ＝ ( )1ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ zz A A zA

z ρ φρ ϕ ρ ϕρ ρ ϕpart part part⎛ ⎞+ + times + +⎜ ⎟part part part⎝ ⎠

4-65

因為rdquo sdotrdquo與rdquotimes rdquo都是向量間的運算所以

＝ ( )ˆ ˆ ˆ ˆ zA A zAρ φρ ρ ϕρpart

times + +part

＋ ( )1ˆ ˆ ˆ ˆ zA A zAρ φϕ ρ ϕρ ϕ

parttimes + +

part

＋ ( )ˆ ˆˆ ˆ zz A A zAz ρ φρ ϕpart

times + +part

直接做上式微分可以得到

＝1ˆ z AA

zϕρ

ρ ϕpart⎛ ⎞part

minus⎜ ⎟part part⎝ ⎠＋ ˆ zA A

zρϕ

ρpart⎛ ⎞part

minus⎜ ⎟part part⎝ ⎠＋

1 1ˆ ( )A

z A ρϕρ

ρ ρ ρ ϕpart⎛ ⎞part

minus⎜ ⎟part part⎝ ⎠

上式可以用一個行列式來表示

rarrrarr

timesnabla A＝

ˆ ˆ ˆ1

z

z

zA A Aρ ϕ

ρ ρϕ

ρ ρ ϕρ

part part partpart part part

（A-1）

A and Anabla nablasdot nablatimes in 球座標 spherical coordinate

如上圖球座標 )( ϕθr 其中 )0[ infinisinr ]0[ πθ isin ]20[ πϕ isin 只有 r

是長度而 ϕθ 為角度是用來說明方向的三個座標的單位向量 ˆ ˆˆ r θ ϕ 具

有下列性質

4-66

1 如上圖 ˆ ˆˆ r θ ϕ 都不是常數而是（ ϕθ ）的函數

ˆ ˆ( )ˆ ˆ( )ˆ ˆ( )

r r θ ϕ

θ θ θ ϕϕ ϕ ϕ

⎧ =⎪

=⎨⎪ =⎩

)( ϕθr 與(xyz)之間的轉換如下

sin cossin sincos

x ry rz r

θ φθ φθ

=⎧⎪ =⎨⎪ =⎩

( )122 2 2

2 2

tan

tan

r x y z

x yz

yx

θ

φ

⎧ = + +⎪⎪ +⎪ =⎨⎪⎪ =⎪⎩

（A-2）

2 ˆ ˆˆ r θ ϕ 形成一「歸一正交集」ie

ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ 1r r θ θ ϕ ϕsdot = sdot = sdot = ˆ ˆr θ ϕperp perp

ˆ ˆr θ ϕtimes = ˆ ˆ rθ ϕtimes = ˆˆ rϕ θtimes = （A-3）

3可以很容易的由他們在 xyz 軸上的投影由直角

座標的 ˆ ˆ ˆ x y z 表出

ˆ ˆ ˆ ˆsin cos sin sin cos ( 4 )ˆ ˆ ˆ ˆcos cos cos sin sin ( 4 )ˆ ˆ ˆsin cos ( 4 )

r x y z A a

x y z A bx y A c

θ φ θ φ θ

θ θ φ θ φ θϕ φ φ

= + + minus⎧⎪

= + minus minus⎨⎪ = minus + minus⎩

4 ˆdr = 由於 ˆ ˆ( )r r θ φ= 所以由 ϕθ 的變動來看

4-67

ˆ ˆˆ| |ˆ ˆˆ| | sin sin

d r d d

d r d d

θ θθ θθ

φ θ φφ θ φφ

⎧ rArr =⎪⎨

rArr =⎪⎩rArr ˆ ˆˆ sindr d dθ θ φ θ φ= + （A-5）

rArrˆ ˆr θθpart

=part

ˆ ˆsinr θφφpart

=part

（A-6）

（A-6）的結果也可以直接由（A-4a）對 ϕθ 偏微得到

5 ˆdθ ＝ 由於 ˆ ˆ( )θ θ θ φ= 所以由 ϕθ 的變動來看

ˆ ˆ ˆ| | ( )ˆ ˆ ˆ| | cos cos

d d r d r

d d d

θ θ θ θ

φ θ θ φφ φ θ φ

⎧ rArr minus = minus⎪⎨

rArr =⎪⎩rArr ˆdθ ＝ ˆˆ cosrd dθ φ θ φminus + （A-7）

ˆrθ

θpart

rArr = minuspart

ˆ ˆcosθ φ θφpart

=part

（A-8）

請直接由（A-4b）對 ϕθ 偏微的結果 check（A-8）

6 ˆdφ ＝由於φ )(ϕ 躺在 x-y 平面上變動φ時的方向可能不是那麼

容易看出來所以做圖看一看

ie ˆ ˆˆ(sin ) (cos )d r d dφ θ φ θ θ φ= minus minus （A-9）

4-68

ˆ ˆˆsin cosrφ θ θ θφpart

= minus minuspart

7 所有的向量 ˆ ˆˆ rA rA A Aθ φθ φrarr= + +

8 位置向量 ˆr rrrarr=

可以由左圖 ˆ ˆˆ r θ ϕ 三個方向的「長度

變化」輕易的看出

9 位移元素

ˆ ˆˆ ˆ sindr rdr rd dθ θ ϕ θ φ= + + (A-10)

10 體積元素

sindv dr r d rdθ φ θ= sdot sdot

＝ 2 sinr dr d dθ θ φ (A-11)

11 面積元素 2 sinrds r d dθ θ φ= plusmn sinds r drdθ θ φ= plusmn ds rdrdφ θ= plusmn (A-12)

plusmn號表示面的垂直方向有兩個端看 ds 周邊的方向是如何定的

nabladel 考慮 ( )u u r θ φ=

rArru u udu dr d dr

θ φθ φ

part part part= + +part part part

u d rrarr rarr

equiv nabla sdot

urarr

= nabla sdot ˆ ˆˆ( sin )rdr rd dθ θ φ θ φ+ +

rArr1 1ˆ ˆˆ

sinu u uu rr r r

θ ϕθ θ φ

rarr part part partnabla = + +

part part part

1 1ˆ ˆˆsin

rr r r

θ ϕθ θ φ

rarr part part partnabla equiv + +

part part part （A-13）

4-69

直接用（A-13）與 ˆ ˆˆ rA rA A Aθ φθ ϕrarr= + + 逐項內積加上（A-678）

rArr ϕθ

θθθ

ϕθ part

part+

partpart

+partpart

=sdotnablararrrarr A

rA

rAr

rrA r sin

1)(sinsin1)(1 2

2 （A-14）

（A-13）與 ϕθ ϕθ AAArA r

andandandrarr

++= 逐項外積整理之後

ϕθ θϕθ

ϕθθ

θArrAA

r

rrr

rA

r sin

sin

sin1

2 partpart

partpart

partpart

=timesnabla

andandand

rarrrarr

（A-15）

Laplacian uu nablasdotnabla=nabla2

2

2

2222

22

sin1)(sin

sin1)(1

ϕθθθ

θθ partpart

+partpart

partpart

+partpart

partpart

=nablau

ru

rrur

rru （A-16）

B推導「散度」在圓柱座標的寫法

讓我們先回顧一下在直角座標裡的「面積元素」可以由「位移元素」

得到

ˆˆ ˆ x y zdr idx jdy kdz da dydz dxdz dxdy= + + rArr =

比照辦理「圓柱座標」的位移元素

( )ˆˆ ˆ( )

( )z

da d dzdr d d zdz da d dz

da d d

ρ

φ

ρ φ

ρ ρ φ ρ φ ρ

ρ ρ φ

=⎧⎪= + + rArr =⎨⎪ =⎩

這個結論可以輕易的由面積元素在垂直於 zˆˆ ϕρ 三個方向的面積看

出如下圖考慮一個以 )( zϕρ 為中心的「圓柱體積元素」(cylindrical

cubiod)體積為 zdV ΔΔ=Δ ϕρρ 現計算在 ρ

方向的 12 兩個平行面(方向各為 ρplusmn )的通

量

4-70

zzF

dsFdsnFS S

ΔΔ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

+cong

=sdotintint intintϕρρϕρρρ

ρ

2

2

ˆ1 1

zzF

dsFdsnFS S

ΔΔ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

minus⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

minusminuscong

minus=sdotintint intintϕρρϕρρρ

ρ

2

2

ˆ2 2

intint+

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

minus⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

minusminus⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

+Δ

asympsdotΔ

rArr21

22

22

1ˆ1

SS

zFzFdsnFV

ϕρρρρϕρρρρρρ ρρ

( ) ( )

1 20

0

0

1 ˆlim

1lim 2 2 2 2

1 1lim 2 2

1

VS S

F ndsV

F z F z

F z F z

F

ρ ρρ

ρ ρρ

ρ

ρ ρ ρ ρρ ρ φ ρ ρ φρ ρ

ρ ρρ ρ φ ρ ρ φρ ρ

ρρ ρ

Δ rarr+

Δ rarr

Δ rarr

rArr sdotΔ

Δ Δ Δ Δ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + + minus minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥Δ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦Δ Δ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥Δ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

part ⎡ ⎤= ⎣ ⎦part

intint

娛樂一下用上述方式把圓柱的 Fsdotnabla 裡的z

FF z

partpart

+partϕρϕ1

變出來

球座標的nabla和 Fsdotnabla 也可以試試看

補充習題

H M Scheydiv grad curl and all that 4th edition

第二章習題 6 8 9 10 11 14 15 16 18 19 21 22 23 25 26 27

第三章習題 2 3 5 6 7 8 9 10 11 14 15 17 18 19 24

4-10

Ex 9 ˆ ˆ ˆ4 5A x y z= + + ˆ ˆ3B x z= +

ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ1 4 5 (4 5) (15 1) (0 12) 14 12

3 0 1

x y zA B x y z x y ztimes = = minus + minus + minus = minus + minus

ex 10 ˆ ˆ ˆ4A x y z= minus minus + ˆ ˆ ˆ2B x y z= minus minus ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ1 1 4 (1 4) (8 1) (1 2) 5 7 3 2 1 1

x y zA B x y z x y ztimes = minus minus = + + minus + + = + +

minus minus

由（4-21b）可以容易看出

( ) ( )x y z

x y z

x y z

C C CC A B A B C A A A

B B Bsdot times = times sdot = （4-24）

明顯的 in general 外積不滿足交換率與結合率

( ) ( )A B B A B AA B C A B Ctimes = minus times ne times

times times ne times times (4-25)

兩個有用的恆等式(identity)

1 triple scalar product 純量三重積

( ) ( ) ( )A B C C A B B C Asdot times = sdot times sdot = sdot times (4-26)

上式中的 3 項運算 A B C 的順序是循環的(cyclic)ie ABC CAB

BCA3 項皆為以 A B C 為鄰邊的平行 6 面體的體積

Pf 若 B C 夾角＝ϕ rArr ˆ sinB C nBC ϕtimes =

其中 sinBC ϕ ＝以 B C 為兩邊的平行

四邊行面積 n perp B C

若 ˆA n 夾角＝θ ˆ cosA n A θrArr sdot =

＝垂直於 B C 平面的高

there4 ( )A B Csdot times ＝以 A B C 為鄰邊的平行

4-11

六面體的體積由於 3 鄰邊 A B C 的順序可以任選所以體積可藉由

（4-24）式之「絕對值」算出

Ex 11 一平行六面體 H 的相鄰三邊由 ˆ ˆ ˆ4 5A x y z= + + ˆ ˆ3B x z= +

與 ˆ ˆ ˆ2C x y z= minus + minus 表出求 H 之體積 HV

解let 1

2 1 11 4 5 183 0 1

CD A

B

minus minus= = = or 2

1 4 52 1 1 18

3 0 1

AD C

B= = minus minus = minus

1 2| | 18HV D D= = = 1D 與 2D 差一個負號不令人驚奇因為行

列式 2D 是由 1D 的第一列與第二列交換而來

2 triple vector product 向量三重積

( ) ( ) ( )A B C B A C C A Btimes times = sdot minus sdot (4-27)

上式有一別號稱為 back-cab(回頭車) rule先舉例說明上式成立

Ex12 ˆ ˆ ˆ4 5A x y z= + + ˆ ˆ3B x z= + ˆ ˆ ˆ4C x y z= minus minus

ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ3 0 1 (0 1) (1 12) ( 3) 13 3

1 1 4

x y zB C x y z x y ztimes = = + + + + minus = + minus

minus minus

ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ( ) 1 4 5 ( 12 65) (5 3) (13 4) 77 8 9

1 13 3

x y zA B C x y z x y ztimes times = = minus minus + + + minus = minus + +

minus

ˆ ˆ1 4 20 23 ( ) 69 23A C B A C x zsdot = minus minus = minus rArr sdot = minus minus

ˆ ˆ ˆ3 5 8 ( ) 8 8 32A B C A B x y zsdot = + = rArr sdot = minus minus

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ( ) ( ) 69 23 (8 8 32 ) 77 8 9B A C C A B x z x y z x y zsdot minus sdot = minus minus minus minus minus = + + QED

The proof of ( ) ( ) ( )A B C B A C C A Btimes times = sdot minus sdot

Pf Note that ( )B C B Ctimes perp 平面then ( )A B C B Ctimes times perp times∵ （ ）

( ) A B C D B CrArr times times equiv 躺在（ ）平面 所以 D 可由 B C 組合令

4-12

D B Cα β= + 由於 D 也與 A垂直所以

0A Dsdot = ( ) ( )A B A Cα β= sdot + sdot rArr

let ( ) ( )v v A C v A BA C A Bα β α βminus

= = rArr = sdot = minus sdotsdot sdot

( ) [( ) ( ) ]D A B C B C v A C B A B Cα βthere4 = times times = + = sdot minus sdot

v 會＝1上式對 x 做內積

ˆ ˆ ˆ[ ( )] [( ) ( ) ]

[( ) ( ) ]x x

x A B C v A C B x A B C x

v A C B A B C

sdot times times = sdot sdot minus sdot sdot

= sdot minus sdot

由於內積與外積都是向量間的運算所以上式左邊有

ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ( )x y z x y z

x y z x y z

x y z A x A y A zB C B B B A B C B B B

C C C C C C

times times timestimes = rArr times times =

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( ) 0ˆ [ ( )]

z y

x y z x y z

x y z x y z

x A x x A y x A z A Ax A B C B B B B B B

C C C C C C

sdot times sdot times sdot times minusrArr sdot times times = =

上式用到

ˆ ˆ( ) 0x A xsdot times = ˆ ˆ( )x A ysdot times ＝ ˆ ˆ( ) zA y x Asdot times = minus ˆ ˆ( )x A zsdot times ＝ ˆˆ( ) yA z x Asdot times =

用第 3 列展開行列式得

ˆ [ ( )] ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

x x x y y x z z x

x x x x y y z z x x x x x x

x x

x A B C C A B A B C A B C A B

C A B A B B C A C A C A B A B B A C C A

C A B B A C

sdot times times = minus sdot + + +

= minus sdot + + + = minus sdot + + sdot minus

= minus sdot + sdot1 ( ) ( ) ( )v A B C B A C C A BrArr = rArr times times = sdot minus sdot QED

向量的微分元素（直角座標）

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( ) [( ) ]

ˆ ˆ ˆ

i i i i i i i i i ii i i i

x y x

dA d e A d e A de A e dA e dA

or dA xdA ydA zdA

⎛ ⎞= = = + =⎜ ⎟

⎝ ⎠= + +

sum sum sum sum （4-28）

4-13

上面用了直角座標最方便的性質 ie 為常數 ˆ 0iderArr = 舉「位置向量」

為例

2 2 2 2 2 2 2 2

ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ

ˆ ˆ ˆˆ i i

i x y zi

r xx yy zz dr xdx ydy zdzdr dx dy dzv x y z e xdt dt dt dt

v v v x x y z v v v

= + + rArr = + +

rArr = = + + =

rArr = sdot = = + + = + +

sumsum

（4-29）

sect 42 曲線座標(curvilinear coordinates)

(A) 平面「極座標」polar coordinates ( )r θ

在平面上的一點 P 的直角座標若為(x y)我們可以有另一種標示法

( ) 0 [0 )

[02 ]r P x y r r

x rθ θ π

equiv ge isin infin⎧⎨

equiv isin⎩

由原點到 之距離

軸到 的夾角 （4-30）

以 P )( θr 為座標表同一點 P(xy) )( θr 稱為 P 點的「極座標」「極座

標」與「直角座標」的關係如下

2 2

cos

sintan

r x y x randy y r

x

θθθ

⎧ = + =⎧⎪⎨ ⎨ == ⎩⎪⎩

（4-31）

但是 )( θr 這兩個新座標的單位向量 ˆˆr θ 在什麼方向我們先來回顧

一下座標軸的單位向量的「制訂標準」是

什麼事實上某座標的單位向量的方向

訂在「垂直於該座標『等值面』且指向

該『座標值增長』的方向」舉「直角座

標」為例如右圖由於 x y 軸皆為直線

4-14

所以「等值面」都是平行的平面所以垂直方向皆相同也造成單位

向量 ˆ ˆx y 為常數

由左圖可以看出極座標裡 r 的等值面是一

個圓所以單位向量 r 是「沿徑向向外」但

是隨圓上θ 有所變動時 r 也隨著改變所以 r

「不是一個常量」 ˆ ˆ( )r r θ= 是角度θ 數

如左圖也可看出θ 的等值面為直線所以單位

向量θ 是「沿『切線』逆時針」方向

但如同 r 一樣當θ 值改變時θ 的方向

也改變了所以θ 也「不是一個常量」

)(ˆˆ θθθ = 也是角度θ 的函數可以看出

固定θ 時 ˆr θperp 但是她們都與「角座標」θ 有關由於她們的指向

有時 r 被稱為「沿徑向」之單位向量θ 被稱為

「沿切線」之單位向量極座標和直角座標還

有一個很大的差別就是直角座標的 x y z 的

因次都是「長度」所以當座標改變時 dx dy dz

就是「長度」的改變然而極座標的 r 有長度因

次所以 dr 是長度但是θ 只是一個數字而非長度所以當θ 改變時

dθ 並不代表一個長度的變化dθ 造成的長度變化寫為

d h dθ θ θ= （4-32）

其中的係數hθ 稱為「度量係數」(metric coefficient)很顯然這裡的hθ

必須具有長度的因次「長度」之所以重要是因為位移是長度各個

座標的度量係數我們會在後面仔細討論

座標系的選用以方便為準系統的對稱性是重要的考量所以有

立方對稱的系統通常用直角座標而有圓對稱的系統則用極座標

4-15

Ex13 半徑 5圓心在原點的圓方程式在直角座標為 2 2 25x y+ =

但是在極座標就是 5r = 而已

位置位移速度與加速度

直角座標的描述很簡單

ˆ ˆˆ ˆ

ˆ ˆ

r xx yy

r xx yy

dr dxx dyy

= +

Δ = Δ + Δ

= +

位置

位移

位移元素

（4-33）

2 2

2 2

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( )

ˆ ˆ( )

ˆ ˆ ˆ ˆ( )

x ydr dx dyv t x y xx yy v x v ydt dt dt

dv t dxx dyydv dx dy d x d ya t i j i jdt dt dt dt dt

rArr = = + = + = +

rArr = +

rArr = = + = +

瞬時速度

速度變化元素

瞬時加速度

（4-34）

在極座標由於單位向量 θr 不再是常數 ˆˆ 0 0dr dθrArr ne ne 所以

ˆ

ˆ ˆ( )ˆ ˆ

r rrr r r r r

dr drr rdr

=

Δ = Δ + Δ

rArr = +

位置

位移

位移元素

(4-35)

現在有一個問題 ˆ dr = 由下圖 r 的變化由 dθ 而來

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( )ˆ ˆ

ˆˆ ˆ ˆ0 ( ) ˆˆ

r r dr r d rdr r d d

d dr r dr

dr d

θ θ θ θθ θ

θ θ θ

θθ

= rArr = + minus

= =

rarr rArr perp rArr

rArr =

∵

∵ (4-36)

4-16

所以微分的位移為

ˆˆdr drr rdθθ= + （4-37）

上式的幾何意義很清楚dr 的 r 分量 dr 就是「沿

r 方向的長度變化」而θ 分量 rdθ 就是「沿θ 方

向的長度變化」而已或者也可以這麼看dr 是

一個位移向量在平面上有 r 和θ 兩個分量所以 ˆˆrdr d r d θθ= +

α 為在 r 方向的長度變化β 為在θ 方向的長度變化所以 rd dr=

d rdθ θ= 這種分析方法可以用在各種座標系這裡也可以看出

和（4-32）式角度變化dθ 造成的長度變化d h dθ θ θ= 相比可以得出

θ 的度量係數h rθ = 與直角座標比較 ˆ ˆdr dxx dyy= + dx 與 dy 不也就

是dr 在 x 與 y 方向的長度變化嗎

Now 速度

ˆˆ

ˆ ˆˆ ˆr

dr dr dv r rdt dt dtrr r v r vθ

θ θ

θθ θ

= = +

= + equiv + （4-38）

其中ddtθθ ω= = 亦稱為「角速度」

Ex14 圓周運動因為只有切線速度所以由（4-38）式 ˆ ˆ0

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( ) = ( ) ( ) ( 0)

r R r v r R

dv dr r d r d r d r d dr

θθ ωθ

θθ θ θ θ θ θ θ θ θ

= rArr = rArr = =

rArr = + + + =

∵

∵

（ 切線速度）(4-39)

這裡又冒出個問題

ˆ dθ = 由左圖

ˆ ˆ

ˆ ˆ0

d d d

d d

θ θ θ θ

θ θ θ

= =

rarr rArr perp

4-17

ˆ ˆ ˆ ˆ

d r

d d r

θ

θ θ

rArr minus

rArr = minus (4-40)

2

2

ˆˆ( ) ( )

ˆˆ

ˆ ˆˆ ˆ( ) ( )ˆˆ ( ) ( )

r

dv r d r r d

dv d da r r rdt dt dt

a r r r a r a

or a r r rθ

θ θ θ θ

θ θθ θ

θ θ θ θ

ω α θ

rArr = minus +

⎛ ⎞⎛ ⎞rArr = = minus +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

rArr = minus + equiv +

= minus +

(4-41)

上式即為圓周運動的加速度其中的第一項

2

2 ˆ ˆrva r r rr

ω minus= minus = 向心加速度 (4-42a)

with α θ= 可以認出是角加速第二項

ˆa rθ αθ= 切線加速度 (4-42b)

如進一步簡化為「等速圓周運動」 ==rArr θω constant 0==rArr αθ rArr切線

加速消失那麼加速度就只剩下了熟知的向心加速度2

ˆrva rrminus

= 了

若考慮一般的情況 dr 0ne 可以導出用極座標表示的加速度為

2

ˆ ˆ ˆ ˆˆ( ) ( ) ( ) ( )

ˆˆ( ) (2 )

dv dr r r d dr r d r ddva r r r r rdt

θ θ θθ θ θ θ θ

θ θ θ θ

= + + + +

rArr = = minus + + （4-43）

看起來有點繁但是在有圓形對稱的系統極座標會表現得更清楚

面積微分元素

直角座標把平面分割成一個個的

小方塊也就是依照「x 與 y 方向的

長度變化」可以寫出「面積元素」

dA dx dy= sdot （像是切長方形的蛋糕）

比較 ˆ ˆdr dxx dyy= + 可以看出

dA＝(x-方向的長度變化)times(y-方向的長度變化)

4-18

所 以 在 「 極 座 標 」 比 照 辦 理

ˆˆ ˆ( ) ( )dr dr r rdr dr r rdθθ= + = +

dA dr rd rdrdθ θ= sdot = (4-44)

像是切圓形蛋糕

ex15 求一個半徑 R 的圓的面積

解 2 2

2

0 0

22

R RA dA rdrd rdr d Rπ

θ θ π π= = = = sdot =int intint int int

妳可以試試用直角座標dA dx dy= sdot 算一下圓的面積

Ex16 求一個半徑 R質量 M密度σ 的均勻圓盤繞其直徑的轉動慣

量解 質量元素 dAdm σ= 到轉軸（直徑）的距

離 sinr θ=

2 2 2 2

23 2

0 0

4 22 2

sin

sin

14 4 4

R

I dm dA r rdrd

r dr d

R RR MR

π

σ σ θ θ

σ θ θ

σ π σπ

= = =

=

= = =

int int intintint int

娛樂一下算半個圓盤繞通過圓心且垂直盤面的軸的轉動慣量

ex 17 計算積分2xI e dx

infinminus

minusinfin

= int

解 2 2

0

2x xI e dx e dxinfin infin

minus minus

minusinfin

= =int int2 22

0 0

2 2x yI I I e dx e dyinfin infin

minus minusrArr = sdot = sdotint int

2 2 2 22

2 ( )

0 0 0 0 0 0

4 4 4x y r rI e dxdy e dA e rdr d

π

θinfin infin infin infin infin

minus + minus minusrArr = = =int int int int int int

在上面的積分裡我們運用了一個有關「無窮大平面」的技巧就是「無

4-19

窮大的平面」是可以是「正方形」或是「圓形」的

2

2

22

00 0 0

22

4 2 2( )2 2 2

(4 45)

u u u

x

dulet u r du rdr rdr

duI e d e du e

I e dx

π

π πθ π

π

infin infininfinminus minus minus

infinminus

minusinfin

= rArr = rArr =

rArr = = sdot = minus sdot =

rArr = = minus

int int int

int

ex18 重力位能

由位能差的定義 )()()( BAWBUAU rarrequivminus

（B）圓柱座標 cylindrical coordinates

3D 空間點 P(x y z)的位置向量 ˆ ˆ ˆr xx yy zz= + +

定義「圓柱座標」 ( )zρ ϕ 其中

0 [0 )P zρ ρ ρequiv ge there4 isin infin點 到 軸之垂直距離

ϕ ρequiv 在 x-y 平面的投影與 x 軸之夾角 [02 ]ϕ πisin

z zequiv同直角座標的

4-20

「圓柱座標」就是「極座標」（用 ( )ρ ϕ 取代 ( )r θ ）再加上第三維 z

所以圓柱座標 ( )zρ ϕ 裡 zρ 的因次為長度而ϕ 只是一個數字

( )zρ ϕ 與(x y z)間的轉換如下

2 2 cos

tan sin

x yx

y yx

z zz z

ρρ ϕ

ϕ ρ ϕ

⎧ = +=⎪ ⎧

⎪ ⎪= =⎨ ⎨⎪ ⎪ =⎩=⎪⎩

（4-46）

「圓柱座標」的三個方向單位向量 ˆ ˆ ˆ zρ ϕ 如圖

且 ˆ ˆ zρ ϕperp perp 可以看出ρ 的等值面為一個圓柱

面ϕ 的等值面是一扇門z 的等值面為一個垂

直 z 軸的平面但是

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( ) zρ ρ ϕ ϕ ϕ ϕ= = =常數

柱座標的位置向量 r 如左圖

ˆ ˆr zzρρ= + （4-47）

在柱座標寫位移元素dr 有兩種作法一

種是直接由（4-47）式取微分元素 借用

平面極座標的結果可得

ˆ ˆ ˆ( ) ( )

ˆ ˆ ˆdr d d dzz

d d dzzρ ρ ρ ρ

ρρ ρ ϕϕrArr = + +

= + + （4-48）

但也可以由三個座標方向的

位移來看由左圖可得沿 ρ 方向

的長度變化 ie 當座標ρ 有變

化dρ 時產生的長度變化就是

dρ 沿ϕ 的長度變化為 dρ ϕ

而沿 z 方向的長度變化為 dz

4-21

dr 是一個向量有三個分量ρ -分量就是沿 ρ 方向的長度變化

dρ ϕ -分量沿ϕ 的長度變化為 dρ ϕ 而 z-分量就是沿 z 方向的長度變

化為 dz合併寫出

ˆ ˆ ˆdr d d dzzρρ ρ ϕϕ= + +

與（4-48）式完全相同但是這種由幾何角度得到的結果要更方便

也更直觀Fig 27 非常重要因為只要你能把圖畫出來位移的各

分量就寫得出來有了位移元素dr 速度與加速度就可得出

ˆ ˆ ˆ (4 49)

ˆ ˆ ˆ( ) (2 ) (4 50)

drv zzdtdva zzdt

ρρ ρϕϕ

ρ ρϕ ρ ρϕ ρϕ ϕ

rArr = = + + minus

rArr = = minus + + + minus

由上圖與dr 的 3 個分量可得圓柱座標的體積元素

dV d d dz d d dzρ ρ ϕ ρ ρ ϕ= sdot sdot = （4-51）

ex19 底面半徑 R高 h 的圓柱體積＝ 2 2

2

0 0 0

22

R h RV dV d d dz h R hπ

ρ ρ ϕ π π= = = sdot sdot =int int int int

ex20 底面半徑 R高 h 的「圓錐」體積＝

解本圓錐裡點的座標分佈為 [02 ] [0 ]z hϕ πisin isin ( )zρ ρ=

( ) ( )( )

h z h Rz h zz R h

ρρminus

= rArr = minus

22( )( ) 2 2

0 0 0 0 0 0

002 2 2 3 2 32 2 2

2 2 2 20

( )2 2

2

1( )3 3 3

R h zzh h hh

h

h h

R h zhV d dz d d dz d dz

R R R u R hh z dz u du R hh h h h

ρ π

τ ρ ρ ϕ π ρ ρ π

π π π π π

minus

minus minus

minusthere4 = = = =

= minus = = = =

int int int int int int int

int int

如果我們把 3-D 的三個座標寫為 1 2 3( )u u u 或 123iu i = 當座

標 ui(在 ˆiu 方向)變動 dui 時造成的長度變化為 id 則定義

4-22

i i id h duequiv (4-52)

其 中 hi 稱 為 座 標 ui 的 度 量 係 數 (metric

coefficient)由 zρ 的因次為長度所以 zρ 的變

化 d dzρ 就是長度的變化所以 1 1zh hρ = =

然而ϕ 的變化造成的長度變化為

d d hϕ ϕρ ϕ ρ= rArr = (4-53)

很明顯的直角座標 xyz 都是長度所以度量係數 1x y zh h h= = =

(C) 球座標 spherical coordinates

3D 點 P(x y z)的位置向量 ˆ ˆ ˆr xx yy zz= + + 定義

「圓柱座標」 )( ϕθr 其中

[0 ] [0 ]

[02 ]

r P rr zr x y x

θ θ πϕ

ϕ π

⎧ equiv isin infin⎪

equiv isin⎪⎨

equiv minus⎪⎪ isin⎩

原點到 的距離

與 軸的夾角

在 軸投影與 軸的夾角

球座標的ϕ 與住座標的ϕ 相同

( )r θ ϕ 與(x y z)間的轉換如下下列為（4-54）

2 2 2

2 2 2

sin coscos sin sin

cos

tan

r x y zx r

z y rx y z z r

yx

θ ϕθ θ ϕ

θ

ϕ

⎧⎪ = + +⎪ =⎧⎪ ⎪= =⎨ ⎨

+ +⎪ ⎪ =⎩⎪⎪ =⎩

三個座標的單位向量 )ˆˆˆ( ϕθr 如左圖一可以看

出 r 的等值面是一個球面θ 的等值面為一個

以原點為頂點的圓錐ϕ 的等值面為一扇門

位置向量 ˆr rr= （4-55）

4-23

位移由 ˆ ˆˆ( )r θ ϕ 3 個方向的「長度

分量」可得 ˆ ˆˆ ( ) ( sin )dr rdr rd r dθ θ ϕ θ ϕ= + +

（4-56）

所以體積元素

2

( )( sin )(sin )

d dr rd r dr dr d d

τ θ θ ϕ

θ θ ϕ

=

= （4-57）

Fig 31 和 Fig 27 一樣重要只要

你能畫得出來就可以寫出球座

標位移的三個分量

ex21 求一半徑 R 的球體積 2

2 2 3

0 0 0

4sin sin3

R

V d r dr d d r dr d d Rπ π

τ θ θ ϕ θ θ ϕ π= = = =int intintint int int int

ex22 求一質量 M半徑 R密度 ( )3 4 3M Rρ π= 的實心球對直徑

旋轉的轉動慣量

解質量元素 2 sindm d r dr d dρ τ ρ θ θ ϕ= = 到 z 軸的垂直距離為 sinr θ=

22 4 3

0 0 0

5 52

sin

4 8 225 3 15 5

RI dm r dr d d

R R MR

π πρ θ θ φ

πρ π ρ

= =

= sdot sdot = =

intintint int int int

娛樂一下空心球對直徑的轉動慣量

(4-46)式與(4-54)式說明柱座標和球座標與直角座標之間的轉

換Fig 32 可得出柱座標和球座標之間轉換

2 2

sintan

cos

r zr

zz r

ρρ θ

ρϕ ϕ θθ ϕ ϕ

⎧ = += ⎪⎧

⎪ ⎪= =⎨ ⎨⎪ ⎪=⎩ =⎪

⎩

（4-58）

4-24

Ex23 點 P 的球座標為（31200 600）求柱座標＝

解2 3 33sin3 2πρ ⎛ ⎞= =⎜ ⎟

⎝ ⎠

23

ϕ π= 2 33cos3 2

z π minus⎛ ⎞= =⎜ ⎟⎝ ⎠

直角座標柱座標球座標單位向量之間的轉換

三種座標之間的轉換由(4-46)式(4-54)式與（4-58）式表出但

三種座標裡的的三個單位向量 ˆ ˆ ˆ x y z ˆ ˆ ˆ zρ ϕ ˆ ˆˆ r θ ϕ 若以 123ˆ iu =

表示則單種座標的單位向量之間都有正交歸一關係

ˆ ˆi j iju u δsdot = 與外積的循環關係

ˆ ˆ ˆ i j ku u u i j ktimes = cyclic in 123

ie 1 2 3 2 3 1 3 1 2ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ u u u u u u u u utimes = times = times = or ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆˆ ˆ r z z x yθ ϕ ϕ ρtimes = times = times =

然而不同座標系的單位向量之間關係如何我們畫圖來討論

球座標 ˆ ˆˆ( )r θ ϕ rarr直角座標 ˆ ˆ ˆ( )x y z

單位向量都是用來指方向的球座標的 ˆ ˆˆ( )r θ ϕ 都是「方向角」( )θ ϕ

的函數 r 在直角座標可以由 Fig33 看出

ˆ ˆ ˆ ˆsin cos sin sin cosr x y zθ ϕ θ ϕ θ= + + （4-59）

ex24 P 點的球座標為2 75 3 6π π⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠

試用球座標與直角座標求 P 點的位

置向量的單位向量 解位置向量 ˆr rr= 在球座標只有 r-分量標位置仔細一點把方向

角標出2 7ˆ 3 6

r π π⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

通常只是寫 r 令人有點摸不著頭緒用直角

4-25

座標比較「具像」 2 7 2 7 2ˆ ˆ ˆ ˆsin cos sin sin cos3 6 3 6 3

3 3 1ˆ ˆ ˆ4 4 2

r x y z

x y z

π π π π π⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞minus minus minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + +⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

單位向量θ 在某一組 ( )θ ϕ 的指向如 Fig 34a將θ 平移至原點更清楚

Fig34b 是由側面看 Fig34a可以看到θ 在 z 軸的投影為 sinθminus 而θ 在

x-y 平面的投影為cosθ使得θ 在 x-軸的投影為cos cosθ ϕy-軸投影

為cos sinθ ϕ於是

ˆ ˆ ˆ ˆcos cos cos sin sinx y zθ θ ϕ θ ϕ θ= + minus （4-60）

單位向量ϕ 如 Fig 35a 所示是在 x-y 平面畫出

Fig 35b 為自 z 軸向下看 Fig35a 圖可以看出ϕ 在 z 軸投影為 0且

ˆ ˆ ˆsin cosx yϕ ϕ ϕ= minus + （4-61）

ex25 一個質點的速率為 2( ) ( sin tan )v r rθ ϕ θ ϕ= 若經查該質點的運

動 是 在 z = 3 平 面 做 逆 時 針 圓 周 運 動 則 當 位 置 的 方 向 角

4-26

2( ) 4 3π πθ ϕ ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

時計算其速度用球座標與直角座標表出

解圓運動速度方向是沿切線所以球座標 ˆ ˆ( )v v v rϕ θ ϕ ϕ= =

z = 34πθ =

3 3 21cos cos 24

z zrπθ

rArr = = = =⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

所以該處的瞬時速率

2 2

2( ) 3 3 4 3

2 1 813 3sin tan 3 3 ( 3)4 3 22

v r v π πθ ϕ

π π

⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

⎡ ⎤ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = times minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

2 81 2ˆ3 3 4 3 2 4 3

v r π π π πθ ϕ ϕ⎛ ⎞ ⎛ ⎞rArr = = = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

在直角座標2 2 2ˆ ˆ ˆ sin cos

4 3 3 3x yπ π π πϕ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠3 1ˆ ˆ

2 2x y= minus minus

而且點23 3

4 3π π⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠

的直角座標為

2 1 3 3sin cos 3 3sin cos 3 34 3 2 22 2

x r π πθ ϕ minus minus⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

2 3 9sin sin 3 3sin sin 3 34 3 2 2 2 2

y r π πθ ϕ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = = =⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

z = 3

23 3 4 3

v π π⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

3 3 9 81 3 1ˆ ˆ 32 2 2 2 22 2

v x y⎛ ⎞ ⎛ ⎞

rArr = minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

以上兩個例子都只討論只有一個圓座標分量的向量in general 向量

ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( )r x y zA r rA A A A r xA yA zAθ ϕθ ϕ= + + hArr = + + （4-61）

若已知球座標的分量 ( )rA A Aθ ϕ 如何得到直角座標的

( )x y zA A A

4-27

ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( )ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( )

ˆ ˆˆˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( )

x r

y r

z r

A x A r x r A x A x A

A y A r y r A y A y A

A z A r z r A z A z A

θ ϕ

θ ϕ

θ ϕ

θ ϕ

θ ϕ

θ ϕ

⎧ = sdot = sdot + sdot + sdot⎪⎪ = sdot = sdot + sdot + sdot⎨⎪

= sdot = sdot + sdot + sdot⎪⎩

（4-62）

由式（4-59）（4-61） ˆ ˆ ˆ ˆsin cos sin sin cosr x y zθ ϕ θ ϕ θ= + + （4-59） ˆ ˆ ˆ ˆcos cos cos sin sinx y zθ θ ϕ θ ϕ θ= + minus （4-60）

ˆ ˆ ˆsin cosx yϕ ϕ ϕ= minus + （4-61） ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆsin cos cos cos sin ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆsin sin cos sin cos ˆ ˆˆˆ ˆcos sin 0

x r x x

y r y y

z r z z

θ ϕ θ θ ϕ ϕ ϕ

θ ϕ θ θ ϕ ϕ ϕ

θ θ θ ϕ

⎛ ⎞sdot = sdot = sdot = minus⎜ ⎟

rArr sdot = sdot = sdot =⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟sdot = sdot = minus sdot =⎝ ⎠

（4-63）

sin cos cos cos sin sin sin cos sin cos

cos sin 0

x r r

y RS

z

A A AA A M AA A A

θ θ

ϕ ϕ

θ ϕ θ ϕ ϕ

θ ϕ θ ϕ ϕ

θ θ

⎛ ⎞minus ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟rArr = equiv⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟minus⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

（4-64）

其中 SRM 為由球座標分量轉為直角座標分量的轉換矩陣且行列式

det SRM =1 表示反矩陣存在then 1SRM minus 就是將直角座標分量轉為球座

標分量之轉換矩陣其實嚴格講 (4-64)式還不是最終的表示因為

轉換完的直角

座標應該全部以 x y z 表出這裡保留用 θ ϕ 只是為了簡潔方便

習題 2 Find 1SRM minus

習題 3 用 xyz 表出(a)sinθ (b)cosθ (c)sinϕ (d)cosϕ

Ans (a)2 2

2 2 2sin

x yx y z

θ+

=+ +

(b)2 2 2

cos zx y z

θ =+ +

(c)2 2

sin yx y

ϕ =+

(d)2 2

cos xx y

ϕ =+

習題 4 用上面結果將 SRM 用 xyz 表出

Ex26 Given a field ( )A r θ ϕ ＝ ˆ ˆˆ2 3r θ ϕ+ minus in spherical coordinates

find the field in rectangular coordinates （直角座標）

4-28

解這裡的 ( )A r θ ϕ 不因其三個分量都是常數而只是「一個」向量

而是一 vector field這是因為 ˆ ˆˆ r θ ϕ 都不是定值而與 θ ϕ 有關而如

果 ( )A r θ ϕ 表示則單位向量所對應的角度 θ ϕ 必須要標定所以

sin cos cos cos sin 2sin sin cos sin cos 3

1cos sin 0

x

y

z

AAA

θ ϕ θ ϕ ϕ

θ ϕ θ ϕ ϕ

θ θ

⎛ ⎞minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ minusminus⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

(2sin 3cos )cos sin(2sin 3cos )sin cos

2cos 3sin

x

y

z

AAA

θ θ ϕ ϕθ θ ϕ ϕ

θ θ

+ +⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟rArr = + minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟minus⎝ ⎠ ⎝ ⎠

習題 5 Draw a diagram to show in the cylindrical coordinates

(a) ˆ ˆ ˆcos sinx yρ ϕ ϕ= + (b) ˆ ˆ ˆsin cosx yϕ ϕ ϕ= minus + (c) ˆ ˆz z=

習題 6 use the above results show that 由柱座標分量轉為直角座標分

量的轉換矩陣

x

y CR

z z

A AA M AA A

ρ

ϕ

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟=⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

CRM =

2 2 2 2

2 2 2 2

0cos sin 0sin cos 0 0

0 0 10 0 1

x yx y x y

y xx y x y

ϕ ϕ

ϕ ϕ

minus⎛ ⎞⎜ ⎟+ +⎜ ⎟⎛ ⎞minus⎜ ⎟⎜ ⎟

= ⎜ ⎟⎜ ⎟+ +⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

Ex27 Express vector ˆ ˆ ˆ(3cos ) 2 5A zρ ϕ ϕ ρ= minus + in Cartesian

coordinates Specifically the A at the position of (2 2 3π -3)

解

2cos sin 0 3cos 3cos 2 sinsin cos 0 2 3cos sin 2 cos

5 50 0 1

x

y

z

AAA

ϕ ϕ ϕ ϕ ρ ϕϕ ϕ ρ ϕ ϕ ρ ϕ

⎛ ⎞minus ⎛ ⎞+⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟= minus = minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

so that A (2 2 3π -3)= 3 3 3ˆ ˆ ˆ3 3 3 54 4

x y z⎛ ⎞⎛ ⎞+ + minus +⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠注意本

題裡 z 座標並非一變數

4-29

sect 43 Fields and its properties 場與其性質

「場 field」是什麼凡是在「某個空間中每一點」都有定義的量

就是一個「場」所以「場」也稱為「點函數 point function」簡單的

說凡是「空間的函數」都是「場」如果這個「空間的函數」是一個

純量 u(xyz)那麼 u(xyz)就是一個「純量場 scalar field」例如室內

的溫度 T(xyz)一塊豬肉的密度 ( )x y zρ 大氣中的壓力 p(xyz)等

都是純量場如果這個「空間的函數」是一個向量 )( zyxA 那麼

)( zyxA 就稱為「向量場 vector field」例如空間中的電場 )( zyxE

水流中的速度場 )( zyxv 重力場 )( zyxg 等等很顯然的不論是純量

場還是向量場「場」在空間中的分佈通常未必是均勻的那麼她有

什麼性質呢例如一塊豬肉內部密度是如何變化的水流中有沒有

漩渦大氣中的等壓線是如何變化的等等那麼有沒有什麼量可以

有系統的描述各種場的分佈有我們在以下分別討論

sect 431 Gradient of scalar fields 純量場的梯度

考慮一個純量場 f(xyz)可以視為 3 個變數 xyz 的函數當變數變動為

x+dx y+dy z+dy 時造成 f 的變化

f f fdf dx dy dzx y zpart part part

= + +part part part

（4-65）

由幾何意義來看上式更為具體上式表示純量場 )(rf 基於位置的變化

r r drrarr + (或由 ( ) ( )x y z x dx y dy z dzrarr + + + )所造成 f 的變動

我們現在定義一個向量算符 vector operator nabla (or nabla )（讀做 del）

ˆ ˆ ˆx y zx y zpart part part

nabla equiv + +part part part

(4-66)

如果將 del 作用在純量場 )(rf 上將產生出現一個新的「向量場」 fnabla

稱為純量場「 )(rf 的『梯度 gradient』」

4-30

ˆ ˆ ˆ( ) f f fgrad f f x y zx y zpart part part

equiv nabla = + +part part part

（4-67）

這使得由於任意位移 ˆ ˆ ˆdr xdx ydy zdz= + + 所造成 f 的變化量

df f drrArr =nabla sdot （4-61）

ex28 Given scalar field 2( )f r xy z= and 2 2 2

1 1( )g rrx y z

= =+ +

(a) find the value of ( )f r and fnabla at point P(2 1-1) 解 2(21 1) 2 1 ( 1) 2f minus = times times minus = minus

2 2 2

2 2

ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( )

ˆ ˆ ˆ( ) ( 2 ) ( )

f x xy z y xy z z xy zx y z

x y z y x yz z xy

part part partnabla = +

part part part

= +

＋

＋

ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ(21 1) ( 1) (2 2) (2) 4f x y z x y znabla minus = minus + timesminus = minus minus＋ ＋2 (b) find the value of ( )g r and gnabla at the point P

解2

1 1(21 1)62 1 1

g minus = =+ +

2 2 2 12 2 2 2 12

2 2 2 12

ˆ ˆ( ) ( )

ˆ ( )

g x x y z y x y zx y

z x y zz

minus minus

minus

part partnabla = + + + + +

part partpart

+ +part

＋

2 2 2 32 2 2 2 32 2 2 2 32

2 2 2 32 3 2

ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( )

ˆ ˆ ˆˆ( )( )

OR OR

xx yy zzgx y z x y z x y zxx yy zz r r

x y z r r

minus minus minusrArrnabla = + +

+ + + + + +minus + + minus minus

= = =+ +

32

ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ(2 ) 2(21 1)6 6 6

x y z x y zg minus + minus minus minus +rArrnabla minus = =

由 gnabla 看到一個粉常用的結果就是

3 2

ˆ1 ORr rr r r

minus minusnabla = = （4-62）

順便比較一下

2 2 2 12 2 2 2 12 2 2 2 12

2 2 2 12

ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( )

ˆ ˆ ˆ( ) ˆ (4 63)( )

r x x y z y x y z z x y zx y zxx yy zz r r

x y z r

part part partnabla = + + + + + + +

part part part+ +

= = = minus+ +

＋

4-31

(c) what is the angle between (21 1)fnabla minus and (21 1)gnabla minus

解 (21 1)fnabla minus (21 1)gsdotnabla minus ＝（ ˆ ˆ ˆ4x y zminus minus ＋2 ） sdotˆ ˆ ˆ26 6x y zminus minus +

＝2 4 2 4

6 6 3 6+ +

= ＝ | (21 1) |fnabla minus | (21 1) |gnabla minus cosθ

＝ 34 1 1 211 16 4 cos cos

6 6θ θ+ +

+ + =

1 4 2cos 07773 7

radθ minus ⎛ ⎞= =⎜ ⎟

⎝ ⎠

要注意隨然nabla有向量的性質但是他並不是一個真的向量真

實向量 A與純量 f ( )r 的乘法滿足交換率ie ( ) ( )Af r f r A= 但是

f fnabla ne nabla因為

( )f rnabla ＝ ˆ ˆ ˆf f fx y zx y zpart part part

+ +part part part

是一個向量函數而

ˆ ˆ ˆ( )f r x y zx y z

⎛ ⎞part part part+ +⎜ ⎟part part part⎝ ⎠

是一個算符（operator）

若nabla要與向量場 A 作用由於nabla與 A 都具有向量的性質先看「內積」

ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ( )

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

x y z

x y

z

y yx xz z

A x y z xA yA zAx y z

x y z xA x y z yAx y z x y z

x y z zAx y z

A AA AA Ax x x y x zx y z x y z

⎛ ⎞part part partrArrnablasdot = + + sdot + +⎜ ⎟part part part⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞part part part part part part= + + sdot + + + sdot⎜ ⎟ ⎜ ⎟part part part part part part⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞part part part

+ + + sdot⎜ ⎟part part part⎝ ⎠part partpart partpart part

= sdot + sdot + sdot + sdotsdot sdot = + +part part part part part part

yx zAA AAx y z

partpart partnablasdot = + +

part part part (4-64)

上式中的 Anablasdot 是向量場 A 的一個重要的性質稱為 A 的「散度」詳

細的內容在後面會仔細討論這裡引進 Anablasdot 主要是要表明nabla是個「算

符」表示一個運算不是一個真實的向量只是在「直角座標」裡

4-32

因為單位向量 ˆ ˆ ˆ x y z 是常數不受微分的作用以致nabla表現得好像也

是個一般的向量一樣事實上真實向量和nabla間的「內積」就不滿足交

換率

x y zA A A A an operator Ax y zpart part part

sdotnabla = + + = ne nablasdotpart part part

(4-65)

這也使得任意向量場 ( )A r 因位置變動 r r drrarr + 而產生的變化由於

)( zyxA 也是 3 個變數 xyz 的函數可以寫為

( )A A AdA dx dy dz dr Ax y z

part part part= + + = sdotnabla

part part part （4-66）

ex29 (a)Given field 2ˆ ˆ ˆ2A xxy y x zyz= minus + find Anablasdot at point (1-12)

解2( ) (2 ) ( ) 2xy x yzA y yz

x y zpart part part

nablasdot = + + = +part part part

(1 12)1 2( 1)2 3A

minusnabla sdot = minus + minus =

(b) find rnablasdot 解 rnablasdot = 3x y zx y zpart part part

+ + =part part part

梯度的意義

由（4-67）可以看到「f 的梯度 fnabla 」

是一個由「純量場 f」衍生出的向量

場由（4-26）也可以看出 fnabla 扮演類

似「變化率」的角色

空間中將相同值 f ( )r ＝f1 的點連

起來就得到一個 f ( )r ＝f1 的「等值面」如 Fig36考慮純量場 f( r )的

相鄰兩個等值面各對應定值 1f f= 與 1f f df= + 0df gt P1 點在 f1

等值面上相鄰兩點 P2P3 在 1f df+ 等值面上而向量 1 2 ˆnP P dn e dn= =

過 P1 點垂直於 f1 等值面 1 3 ˆP P d e d= = 與 ˆne dn夾角為α 由於不

論 1 2P Prarr 或 1 3P Prarr f 的變化量都是 df 但因距離 dn 係兩等值面最

4-33

短的距離d dngt 所以 1 2P Prarr 或 1 3P Prarr 造成的「變化率」df dfdn d

gt

而過 P1 點的最大變化率為dfdn

換言之向量 ˆndfedn

為過 P1 點垂直於

f1 等值面且指向最大「增加率」的方向 現在要證明

ˆndfe fdn

= nabla （4-67）

考慮 1 3P Prarr 造成的 f 值的變化率

ˆ ˆcos n ldf df dn df df e edl dn dl dn dn

α= = = sdot

ˆ ˆ ˆn l ndf dfdf e e dl e dldn dn

rArr = sdot = sdot

和（4-61）式df f dr= nabla sdot 相比即可得證 ˆndfe fdn

= nabla 所以可以知道

空間純量場 f ( )r 中任一點處的向量 fnabla 必「垂直」於「通過該點的 f的等值面」且指向 f 值最大「增加率」的方向| ( )f rnabla |就是 f 在 r 點

的最大增長率可以進一步定義等值面的「法線 normal」方向為

ˆ fnf

nabla=nabla

（4-68）

結論給定一個純量場 f( r )在每一點 r 可以定義一個稱做「梯度」

的向量 fnabla fnabla 垂直於過 r 點的 f 等值面且指向最 f 大增加率的方向

fnabla 的方向也定義了 f 等值面的法線方向

Ex30 考慮一個 2D 的 scalar field 2( )f x y y x= minus 計算該場在 )20( 的梯度與

法線方向

解 ˆ ˆ ˆ ˆ2f ff x y x yyx ypart part

nabla = + = minus +part part

ˆ ˆ(0 2) 2 2f i jnabla = minus + ˆ ˆ ˆ ˆ2 2 2 2ˆ(0 2)

31 8i j i jn minus + minus +

rArr = =+

4-34

ex31 點電荷 q 置於原點其產生電位為 ( ) qV rr

= 求負梯度qr

minusnabla

解 3

2 2 2 22 2 2

2 ( )2

q q q q x x y zr x rx y z

minuspart minus= rArr = sdot + +

part+ +

3 23

ˆˆ ˆ ˆ( )q ix jy kz r rq q qr r r r

minus + +rArr minusnabla = minus = = （點電荷的電場）

0 0

1 1 r r

noter r= =

nabla rarrinfin rarrinfin∵ 是不定值是因為 r = 0 處為最大值

「增加率」的方向無法確定

ex32 置一熱源於原點空間溫度分佈為1( )

( 2)T r

r=

+求溫度的梯度

解 2 2 2

ˆ( ) ( )( 2) ( 2) ( 2)

x rT r rr rT r

x r r r

minuspart minus

= rArrnabla = =part + + +

此處的負號表示梯

度指向熱源因為距熱源越遠溫度越低 ( 0)note T rnabla = 為不定值

因在最頂點「增加率」的方向無法確定

Ex33 地圖上山脈的等高線上各點的垂直方向由梯度決定現有一座

山是橢球 2)1(4 222 =+++ zyx 在 x-y 平面上方的

部分求地圖上這座山等高線的梯度

解 山高 142 22 minusminusminus== yxzh 所以等高線為橢

圓 222 )1(24 +minus=+ hyx 梯度

( ) ( ) ( )2 2 2 2

2 2

ˆ ˆ4ˆ ˆ2 4 1 2 4 1

2 4

xx y yh x x y y x y

x y x y

minus +part partnabla = minus minus minus + minus minus minus =

part part minus minus

所以自山腳（h=0）登山若由(012)開始 ˆ(01 2) 2h ynabla = minus 但若由

)02(minus 開始爬山 ˆ( 20) 2h xnabla minus = 可見 )02()210( minusnablagtnabla hh 這表

示由 y-軸登山山勢較陡所以「梯度」比由 x-軸登山為大這也更

清楚瞭解「梯度」的幾何意義

4-35

sect 432 Divergence 散度與 Curl 旋度

在(4-66) 我們建立了一個直角座標 vector operator 「del」

ˆ ˆ ˆx y zx y zpart part part

nabla equiv + +part part part

(4-66)

若與向量場 A 做「內積」與「外積」就建構了 A 的「散度」與「旋度」

散度 A A scalaryx zAA Adiv ax y z

partpart partequiv nabla sdot = + + =

part part part （4-69）

旋度

y yz x z x

ˆ ˆ ˆ y z A vector

A AA A A Aˆ ˆ ˆxy z z x x y

x y z

x y z

xcurl A a

A A A

y z

⎧⎪

= nablatimes = part part part =⎪⎪⎨⎪

part part⎛ ⎞ ⎛ ⎞part part part part⎛ ⎞⎪ = minus + minus + minus⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎪ part part part part part part⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎩

(4-70)

這裡定義的只是「散度」與「旋度」所謂「操作型的定義」告訴我

們如何計算的式子事實上她們都具有重要的物理意義我們在後面

會討論

ex34 ˆ ˆA xy yx= minus 求其散度與旋度

解 0 0y xAx ypart part

nablasdot = minus + =part part

ˆ ˆ ˆ y zˆ ˆ ˆ ˆ 0 0 ( 2) 2

0 x y z

xA x y z z

y xnablatimes = part part part = minus + minus = minus

minus

右圖示意了本向量場的分佈看得出像個漩渦也看到算出的旋度

0ne 看來旋度表現的應該是向量場「旋轉的程度」事實上我們在

後面會看到「旋度」表現的就是是向量場在空間各點「旋轉的程度」

本題的向量場在每一點的旋轉程度都一樣

4-36

Ex35 ( )ˆ ˆ ˆ A xx yy zz r= + + = 求其散度與旋度

解 3A rnablasdot = nablasdot = ˆ ˆ ˆ y z

0

x y z

xA

x y znablatimes = part part part =

由場分佈的示意圖可以看出本向量場是自原點向外射出好似在原

點有一個場線的「源頭 source」但是 3Anablasdot = 為一個常數表示好像到

處都有 source同時旋度為 0 也可以配合本場並無旋轉的形象事實

上「散度」表現的就是是向量場在空間各點產生「場線」的 source

記得靜電學裡的庫倫定律 0E ρ εnablasdot = 電場的散度就是「電荷密度」

(電場的 source)前一題的向量場看來對應的場線是封閉的所以沒有

source這也對應了其散度＝0不過一個向量場的散度旋度究竟是

多少應該詳細的計算場分佈圖形有時候不是那麼容易看的清楚

兩個 useful identities (恆等式)

(a) ( ) 0 0f curl of a gradnablatimes nabla = =

(b) ( ) 0 0A div of a curlnablasdot nablatimes = =

pf (a) ( )ˆ ˆ ˆ x y z

x y z

x y z

ff f f

nablatimes nabla = part part part

part part part

( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2xz zxˆ ˆ ˆx y f- f z 0yz yz xy yxf f f f= part minus part minus part part + part minuspart =

這個結果與真實的向量外積 ( ) AA 0=times 有相似之處但是這只是特

例要記得nabla並不是一個真正的向量

( ) ( ) ( )

( )

ˆ ˆ ˆ y zˆ ˆ ˆ x y z

0

x y z y z z y x z z x x y y x

x y z

xy z xz y xy z yz x xz y yz x

xA A A A A A A

A A A

A A A A A A A

nablatimes = part part part = part minus part minus part minus part + part minus part

nablasdot nablatimes = part minuspart minuspart +part +part minuspart =

4-37

此結果與真實的向量運算有相似之處 ( )( )0 (B A) BB B Asdot times = times perp∵

但是這仍只是特例因為我們可由下列例子 ( ) 0A Asdot nablatimes ne 看出事實上

nabla並不是一個真正的向量 Ex36 ˆ ˆ ˆA xy yx zx= minus +

( )

ˆ ˆ ˆ y zˆ ˆ ˆ 0 1 ( 2)

2 0

x y z

xA x y z

y x x

A A x x x

nablatimes = part part part = minus + minus

minus

sdot nablatimes = minus = minus ne

面積元素向量

物理上時常會遇到面積分例如電通量磁通

量等等考慮一個面積元素 ds定義「面積的

方向」為其「法線方向」並定義面積元素向量

ˆnds a dsequiv （4-71）

要注意的是(1)如果 ds 是一個「封閉面

closed surface」（即有裡外之分）的一部

份則 ˆna 定義為「由內向外」(2) 如果 ds

是一個「開放面 opened surface」（即分不

出裡外）的一部份那麼 ds 必被其邊緣

（一個封閉的曲線 C）所包圍這樣在定

出ds 的方向之前要先定義「邊緣曲線」

C 的方向再由右手定則定義 ˆna 的方向

既然面積已為一個向量就可以寫為分量表示以直角座標

ˆ ˆ ˆx y zds xds yds zds= + + (4-72)

那麼這些分量 dsx dsy dsz 會是什麼既然 dsx 的方向是 x 就表示 dsx

是躺在 y-z 平面上所以 dsx 的兩邊是 dy 與 dz rArr xds dydz= 依此類

4-38

推 dsy 的方向是 y 所以躺在 x-z 平面rArr yds dxdz= hellip可以得知

xds dydz= yds dxdz= zds dxdy= （4-73）

不過要注意在寫面積元素時要看討論的面實際

是什麼面上式的三個分量有可能會是負的例如

左圖座落在第一象限的立方體的 A 面方向就在 xminus

方向Arsquo面在 yminus Ardquo面在 zminus 方向寫面積元素最

好是先把討論的面的方向搞清楚把plusmn號寫在單位向量前面那麼分

量就都用＋的即可其實面積元素體積元素都可以由位移元素看出

ˆ ˆ ˆdr xdx ydy zdz= + +

dx dy dz 是沿著 ˆ ˆ ˆ x y z 方向的長度所以面積元素分量的兩邊長度就

是由其中兩個組成而體積的三邊也就是三個垂直方向的長度

x y zdV dx dy dz and ds dydz dxdz dxdyrArr = = （4-74）

這個概念在其他的座標系統也成立我們可以方便的寫出面積元素

Recall 柱座標的位移向量元素

cylindrical coordinate ˆ ˆ ˆdr d d dzzρρ ρ ϕϕ= + + （4-48）

ˆ ˆ ˆ zds ds ds zdsρ ϕρ ϕ= + + (4-75)

dsρ 躺在 zϕ minus 平面dsϕ 在 zρ minus 平面 zds 在ρ ϕminus 平面

rArr zds d dz ds d dz ds d d d dρ ϕρ ϕ ρ ρ ρ ϕ ρ ρ ϕ= = = sdot = （4-76）

上面的結果畫個圖看看吧球座標的位移向量元素

Spherical coordinate ˆ ˆˆ ( ) ( sin )dr rdr rd r dθ θ ϕ θ ϕ= + + （4-56）

ˆ ˆˆ rds rds ds dsθ ϕθ ϕ= + + （4-77）

rArr sin sin rds rd r d ds dr r d ds rd drθ ϕθ θ ϕ θ ϕ θ= sdot = sdot = sdot (4-78)

4-39

向量場 ( )A r 在 S 面上的「面積分（surface integral）」or「flux」

如左圖若有一「平面」S 且其上有「均勻」

場 B 分佈則通過 S 面的通量就是

ˆB B nSΦ = sdot

但考慮一任意「非均勻」向量場 ( )A r 在空間分佈選取任意曲面 S

探討 ( )A r 在 S 上之通量若ds 為 S 面上的面積元素在趨近於 0 的

小面積ds 上 A可視為均勻所以通過ds 之通量為 ( )d A r dsΦ = sdot 則 S

面之總通量為

Φ＝ ˆ cosS S S

A ds A nds A daϕsdot = sdot =int int int

( )OR

x x y y z zS

A da A da A da= + +int (4-75)

稱為 A 在 S 面上的「面積分」或「通量 flux」

上圖所繪就是一個任意面上分割出許多小面積舉出三個位置的通

量有+-與 0如果 S 面是為一「封閉面」則面積分寫為

S

A dssdotint （4-76）

4-40

ex37 Given 2ˆ ˆ ˆyzA xyz yx zx= + + 計算通量S

A dssdotint

S 面為在第一象限邊長＝1 的立方體表面封閉面

解立方體分為前後右左上下六個面分開算 1前面（x=1）

方向 x+ ˆ xA ds A xdydz A dydzsdot = sdot =int int int前 前 前

yzdydz= int前 ＝1 1

0 0

1 1 12 2 4

ydy zdz = sdot =int int

2後面(x=0)方向 xminus ˆ(- ) - xA ds A x dydz A dydzsdot = sdot =int int int後 後 後

yzdydz= minusint後1 1

0 0

-1 1 -12 2 4

ydy zdzminus = sdot =int int

3 右面（y=1）方向 y+ y ( 1)yA ds A dxdz A y dxdzsdot = sdot = =int int int右 右 右

( 1)x y zdxdz= =int右 ＝1 1

0 0

1 1 12 2 4

xdx zdz = sdot =int int

4 左面（y=0）方向 ˆ-y ˆ( y) - ( 0)yA ds A dxdz A y dxdzsdot = sdot minus = =int int int左 左 左

( 0) 0x y zdxdz= = =int左

5 上面（z=1）方向 z+ zz y (z 1) yA ds A dxd A dxdsdot = sdot = =int int int上 上 上

2 yx dxd= int上 ＝1 120 0

1 1y 13 3

x dx d = sdot =int int

6 下面（z=1）方向 ˆ-z zˆ(-z) y - (z 0) yA ds A dxd A dxdsdot = sdot = =int int int下 下 下

2 -1- y3

x dxd= =int下 ＝1 120 0

1 1y 13 3

x dx d = sdot =int int

S

A dssdotint ＝六個面的和＝1 1 1 1 1 1( ) ( 0) ( )4 4 4 3 3 4

minus minus+ + + + + =

ex38 Given ˆ ˆ ˆzA xyz yx zxy= + + 計算通量S

A dssdotint S 為圓 2 2 2x y a+ =

在第一項限的部分方向選為 z+ 2 2y a x= minus

4-41

解 2 2 4

0 0ˆ

8a a x

zS S S S

aA ds A zdxdy A dxdy xydxdy xdx ydyminus

sdot = sdot = = = =int int int int int int

Ex39 In cylindrical coordinate Given ˆ ˆaA zbzρρ

= + where a b are

constants Find S

A dssdotint over the surface of a

closed cylinder about z-axis specified by 3 2z ρ= plusmn =

解S 分為上下與周邊三面

zz (z 3)zA ds A ds A d dρ ρ ϕsdot = sdot = = sdotint int int上 上 上

= 23 3 2 12bd d b bρ ρ ϕ π πsdot = sdot =int上

ˆ(-z)A ds A d dρ ρ ϕsdot = sdot sdotint int下 下

= z- (z -3)A d dρ ρ ϕ= sdotint下 = 23 2 12b bπ πsdot =

周邊ds ˆ ( )d dzρ ρ ϕ= rArr ˆ ( ) z ( ) zA ds A d d A d dρρ ρ ϕ ρ ϕsdot = sdot =int int int周 周 周

2 3

0 3( ) z ( ) z=a 12aA d d d d d dz a

πρ ρ ϕ ρ ϕ ϕ π

ρ minus= = =int int int int周 周

加起來 S

A dssdotint ＝12 24 12 ( 2 )a b a bπ π π+ = +

ex40 一點電荷 q 置於原點計算在一個以原點為圓心 0r 為半徑的球

面上的電通量

解 2 20 0

ˆ ˆ4 4S S

qr q dsE ds rdsr rπε πε

sdot = sdot =int int int

=0 0 0

44 4S

q q qd ππε πε ε

sdot Ω = sdot =int

上式中 dΩ 2dsr

= 是 ds 所張開的「立體角」(solid angle)

4-42

div A and Flux 通量與散度的幾何物理意義

我們運用過nabla的符號來表示過散度 divF F= nablasdot yx zFF Fx y z

partpart part= + +part part part

但是也看到「散度」定義為

0( )

1( ) limSV

about x y z

divF x y z F da divergence of FVΔ rarr

equiv sdot =Δ int (4-77)

其中 VΔ 為 S 面所包含的體積即散

度為通量(體)密度的 0 體積極限

（4-77）的定義與 Fnablasdot 好像差的很

多她們是說同一回事嗎以下證明

這兩種「散度」的定義是等價的如

左圖考慮一個以點 ( ) x y z 為中心

的 立 方 體 其 相 鄰 三 邊 長 為

x y zΔ Δ Δ 體積 V x y zΔ = Δ Δ Δ 現在計算 F 在立方體的一組平行於 y-z平面的表面 S1 與 S2 的通量

( )1 1

ˆ ˆ xS S

F nds F xds F x y z dsrArr sdot = sdot =intint intint intint 2xxF x y z y zΔ⎛ ⎞asymp + Δ Δ⎜ ⎟

⎝ ⎠

其中 2xx y zΔ⎛ ⎞+⎜ ⎟

⎝ ⎠為 S1 面中心的座標而

2xx y zΔ⎛ ⎞minus⎜ ⎟

⎝ ⎠為 S2 面的中心

( ) ( )2 2 2

ˆ ˆ 2x x

S S S

xF nda F x ds F x y z ds F x y z y zΔ⎛ ⎞rArr sdot = sdot minus = minus asymp minus minus Δ Δ⎜ ⎟⎝ ⎠intint intint intint

上式中的負號來自 S2 面的方向是 xminus 所以合併兩個面積分

1 2

ˆ 2 2x x

S S

x xF nds F x y z F x y z y z+

Δ Δ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞rArr sdot asymp + minus minus Δ Δ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦intint

2 2x xx xF x y z F x y z

x y zx

Δ Δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠= Δ Δ Δ

Δ

2 2

x xx xF x y z F x y z

Vx

Δ Δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠= Δ

Δ

1 2

1 2 2ˆ

x x

S S

x xF x y z F x y zF nds

V x+

Δ Δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠rArr sdot asymp

Δ Δintint

4-43

當取體積向(xyz)點收縮至 0 時即 0 x 0as VΔ rarr Δ rarr 上式的近似

「asymp」就成了「＝」

1 20

1 ˆlimV

S S

F ndsVΔ rarr

+

sdotΔ intint

( )0

2 2limx x

x

x

x xF x y z F x y z F x y zx xΔ rarr

Δ Δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟ part⎝ ⎠ ⎝ ⎠= =Δ part

Similarly F 在立方體的一組平行於 x-z 平面的表面 S3 與 S4 的通量

3 3 3

ˆ ˆ yS S S

F nds F yds F dsrArr sdot = sdot =intint intint intint

2

2

y

y

yF x y zyF x y z x z x y z

y

Δ⎛ ⎞+⎜ ⎟Δ⎛ ⎞ ⎝ ⎠asymp + Δ Δ = Δ Δ Δ⎜ ⎟ Δ⎝ ⎠

( )4 4 4

2ˆ ˆ

y

yS S S

yF x y zF nds F y da F ds x y z

y

Δ⎛ ⎞minus⎜ ⎟⎝ ⎠rArr sdot = sdot minus = minus asymp Δ Δ Δ

Δintint intint intint

合併 S3 與 S4 兩個面積分並取體積向(xyz)點收縮至 0 時即當

0 y 0VΔ rarr Δ rarr 上式的近似asymp就成了＝

3 4

2 2ˆ

x x

S S

y yF x y z F x y zF nds V

y+

Δ Δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠rArr sdot cong Δ

Δintint

3 40 0

1 2 2ˆlim lim

x xy

V yS S

x yF x y z F x y z FF nds

V y yΔ rarr Δ rarr+

Δ Δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟ part⎝ ⎠ ⎝ ⎠rArr sdot = =Δ Δ partintint

與上面相同的作法計算 F 在立方體的一組平行於 x-y 平面的表面 S5

與 S6 的通量我們也會得到對應的結果

5 6

2 2ˆ

z x

S S

z zF x y z F x y zF nds V

z+

Δ Δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠rArr sdot cong Δ

Δintint

5 60 0

1 2 2ˆlim lim

z xz

V zS S

z zF x y z F x y zFF nds

V z zΔ rarr Δ rarr+

Δ Δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟ part⎝ ⎠ ⎝ ⎠rArr sdot = =Δ Δ partintint

所以合併立方體的 6 個面積分

4-44

1 2 3 4 5 6

ˆ ˆ ˆ ˆS S S S S S S

F nds F nds F nds F nds+ + +

rArr sdot = sdot + sdot + sdotint intint intint intint

0

1 ˆlim yx zV

FF FF nds div F FV x y zΔ rarr

partpart partrArr sdot = + + = = nablasdot

Δ part part partint (4-78)

在此我們得證這兩種「散度」的定義是等價的只是（4-77）的定義

充分的表現出「散度」的幾何物理意義他從通量著手由於場線

出自於 source（ex電場源自於點電荷）所以在點(xyz)必須有向量場

F 的 source 存在才能使得當面積縮到 0 時仍具有非 0 的通量所以「散

度」表現向量場 F 的 source 在這個定義之下是很清楚的當然在計算

「散度」時我們不必那麼麻煩用 divF F= nablasdot 就好了

Ex41 計算 2ˆ ˆ ˆF xx yxy zyz= + + 的散度

解 2 yx zFF Fx x yx y z

partpart part= = =

part part part F 2x x y 3x ydivrArr = + + = +

recall 在靜電學0

yx zEE EEx y z

ρε

partpart partnablasdot = = + +

part part part

散度定理 Divergence Theorem

若任意封閉面（又稱為「高斯面」）S 所包圍的

體積為 V 則

S VA ds Adτsdot = nablasdotint int （4-79）

pf 我們先將體積分割成 N 個小盒子考慮相鄰的兩個小盒子 1 2

兩小盒子的共用面面積 S0當 S0 是為 1 號盒子的一部份時其方向為

1n 但若當為 2 號盒子的表面時其方向為 12 ˆˆ nn minus= 如此在 S0 分別做

4-45

1 2 盒子的面積分後

0 0

0 0 0 0

1 2

1 2 1 1ˆ ˆ ˆ ˆ 0

S S

S S S S

A ds A ds

F n ds F n ds F n ds F n ds

sdot + sdot

= sdot + sdot = sdot minus sdot =

intint intintintint intint intint intint

所以若求場 A 在 1 2 盒子的總通量時交界面是沒有貢獻的總通量

就只有「外面積」才有貢獻如此我們計算 N 個小盒子的總通量

時所有的內部共用面都得 0只剩下「外表面」的貢獻了當 infinrarrN

時所有小盒子的「總外表面」就與 S 面重合了所以所有小盒子通量

的總和就等於 S 面的通量

1lim

i

N

S SN iA ds A ds

rarrinfin=

rArr sdot = sdotsumint int

現在我們做 N 個小盒子的總通量

1 1

1i i

N N

iS Si i i

A ds A ds VV= =

⎛ ⎞sdot = sdot Δ⎜ ⎟Δ⎝ ⎠

sum sumint int

當 0iN Vrarrinfin rArr Δ rarr 並用 dv 表示體積元素

( ) ( )1 1

1

1lim lim lim

lim

i ii

N N

iS SN N V oi i i

N

i VN i

A ds A ds VV

A V A dv

rarrinfin rarrinfin Δ rarr= =

rarrinfin=

⎛ ⎞sdot = sdot Δ⎜ ⎟Δ⎝ ⎠

= nablasdot Δ = nablasdot

sum sumint int

sum int

( )S V

A da A dvrArr sdot = nablasdotint int QED

所以得證散度定理上式中我們用了散度的（4-77）式定義要分辨

清楚 Anablasdot 是向量場 A 在空間中「某一點」的性質（ 0VΔ rarr ）而「散

度定理」說的是一個「有限體積」的性質

ex42 給定 ( ) ˆ ˆ ˆ A x y z xx yy zz r= + + = 計算在

半徑 R＝1 的球的上半球加底面的通量

4-46

解 ( )ˆˆS

A da A rda A k darArr sdot = sdot + sdot minusint int int上半球面 底面

( )

2

ˆ ˆ

0 2 1 2

A rda A z dxdy

r rds zdxdy rds ds π π

= sdot + sdot minus

= sdot minus = minus = = sdot =

int int

int int int int上半球面 底面

上半球面 底面 上半球面

底面的通量＝0 是因為 A 的 z 分量 Az=z 在底面的值為 0

也可以用散度定理更快的得出結果

∵ 3A rnablasdot = nablasdot =

31 43 3 1 22 3V V

Ad d πτ τ πnablasdot = = sdot sdot sdot =int int

ex43高斯定律的微分形式積 由 Gaussrsquo law 的積分形式用散度定理得出其

( )0 0

1 inS V

qE ds x y z dvρε ε

sdot = =int int

0S V VE ds Edv dvρ

εrArr sdot = nablasdot =int int int

上式最後的等式對「任意形狀」V 都成立所以兩者的被積函數相等

對於空間每一點 0

E ρε

nablasdot = （4-80）

ex44 Use 第一象限的單位力方體 check the divergence theorem using the function 2 2ˆ ˆ ˆ(2 ) 2A y x xy z y yzz= + + +

解2

2( ) (2 )(2 ) 2( )y yzA xy z x yx y z

part part partnablasdot = + + + = +

part part part

and 1 1 1 1 1 1

0 0 0 0 0 02 ( ) 2 ( )

VAdv x y dxdydz dz dy x y dxnablasdot = + = +int int int int int int int

1 1

0 0

1 12 ( ) 2 12 2

dz y dy= + = sdot =int int

面積分 1 1 2

0 0

1ˆ3

A ds A xdydz dz y dysdot = sdot = =intint intint int int前 前

4-47

1 1 2

0 0

1ˆ( )3

A ds A x dydz dz y dy minussdot = sdot minus = minus =intint intint int int

後 後

1 1 2

0 0ˆ (2 )A ds A ydxdz dz xy z dxsdot = sdot = +intint intint int int

右 右

1 1 1 12 2

0 0 0

4(2 ) (1 )3

ydz x z dx dz z

=

= + = + =int int int∵

1 1 2

0 0

0 1 1 12 2

0 0 0

ˆ( ) (2 )

1(1 )3

y

A ds A y dxdz dz xy z dx

dz z dx dz z=

sdot = sdot minus = minus +

minus= minus = + =

intint intint int int

int int int∵

左 左

11 1 1 1

0 0 0 0ˆ 2 2 1

zA ds A zdxdy dx yzdy dx ydy

=sdot = sdot = = =intint intint int int int int

∵

上 上

01 1

0 0ˆ 2 0

zA ds A zdxdy dx yzdy

=sdot = sdot minus = minus =intint intint int int

∵

下 下

前後右左上下六個面積分合併＝1＝V

Advnablasdotint QED

ex45 Continuity Equation 連續方程式

考慮某些「東西」的流動（物質電荷hellip）在時刻 t 時在點(xyz)

的 密 度 為 ( ) x y z tρ ρ= 並 具 有 速 度

( ) v v x y z t= 在時刻 t 時在體積 V 內的總量為

( ) x y z t dρ τintintint

這樣體積 V 內東東的時變率為

( ) ( ) d x y z t d x y z t ddt t

ρρ τ τpart=

partintintint intintint

注意體積分後的時間全微分移入積分內要改為偏微分這個東東

在表面的「流率 flow rate」可表為

ˆS

R v ndsρ= sdotintint

若體積內的物料無法自生自滅那麼體積內物料的變化必經由表面的

流出流入所造成

d v ndstρ τ ρpart

rArr = minus sdotpartintintint intint

由散度定理

4-48

( )ˆS

v nds v d dtρρ ρ τ τpart

sdot = nablasdot = minuspartintint intintint intintint

( )v Jtρ ρpart

rArr = minusnablasdot equiv minusnablasdotpart

0Jtρpart

rArr +nablasdot =part

（4-81）

(4-81) 即 continuity equation其中 J vρ= 為「物流密度」ex如果 ρ

是電荷密度 J 就是電流密度（4-81）是物質守恆的結果只對體

積內無 source（生成）or drain（消滅）的東東成立

ex46 Given a vector field ˆ ˆx yA ye xe= minus + (a) Find

Anablasdot (b)如圖一個金字塔狀的 5 面體高 2 底邊長

1計算 A在整個金字塔表面（封閉面）的總通量

解(a) Anablasdot = ( ) ( ) 0y xx ypart part

minus + =part part

(b) 金 字 塔 的 表 面 面 積 元 素 ds 不 好 寫 所 以 用 散 度 定 理

( )S V

A da A dvrArr sdot = nablasdotint int ＝0 Anablasdot 表示 A沒有 source 所以對封閉面而

言有多少場線進入就有多少出去所以總通量＝0

習題 7 With position vector r for an arbitrary volume V that is

bounded by surface S show that 13 S

r ds Vsdot =int

習題 8 已知一靜電場為 ˆ ˆ ˆ( )E xyz yxz zxyλ= + + 運用 Gaussrsquo law

試求包含在半球 2 2 2 2 0x y z R z+ + = ge 裡的總電荷 Ans 0

習題 9 (a) given ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( 2 )F r xf x yf y zf z= + + minus show that divF is

zero at point (c c -c2) (b) given ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( )G r xf x z yg x z zh x y= + +

show that ( ) 0G rnablasdot =

4-49

習題 10 Find the normal vector n for the surfaces (a) z = 2-x-y ans

ˆ ˆ ˆ( ) 3x y z+ + (b) z = (1-x2)12 ans ˆ ˆxx zz+ (c) z = x2+y2

ans ˆ ˆ ˆ( 2 2 ) 1 4xx yy z zminus minus + +

習題 11 Show that the unit vector normal to the plane ax+by+cz =d is

given by 2 2 2ˆ ˆ ˆ( ) ax by cz a b cplusmn + + + +

圓柱座標與球座標的nabla (del)

考慮一純量場在直角座標為 ( ) u x y z 在圓柱座標表為 ( ) u zρ φ

再考慮因位移 r r drrarr + 所造成 u ( )zρ φ 的變化

( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆz

z

u u udu d d dz u dr u d d zdzz

u u z u d d zdz

u d u d u dzρ ϕ

ρ ϕ

ρ ϕ ρ ρ ϕρ ϕρ ϕ

ρ ϕ ρ ρ ϕρ ϕ

ρ ρ ϕ

part part part= + + = nabla sdot = nabla sdot + +part part part

⎡ ⎤= nabla + nabla + nabla sdot + +⎣ ⎦= nabla + nabla + nabla

( ) ( ) ( )1

1ˆ ˆ ˆu

z

u u uu u uz

u u uzz

ρ ϕρ ρ ϕ

ρ ϕρ ρ ϕ

part part partrArr nabla = nabla = nabla =

part part partpart part part

rArrnabla = + +part part part

1ˆ ˆ ˆ zz

ρ ϕρ ρ ϕpart part part

nabla = + +part part part

（4-82）

注意nabla的ϕ -分量( 1ρ ϕ

partpart

)不是像直角座標裡單純的ϕpartpart

所以不要笨笨

的就把直角座標的形式硬套上去用我們也可以從「因次分析」來

看nabla因為是對空間的微分所以每一項的因次必須是「長度分之一」

運算 andzρ

part partpart part

都是「長度分之一」而「單純的ϕpartpart

」是沒有單位的

所以要1ρ ϕ

partpart

才 OK

由於圓柱座標裡的單位向量除了 z 之外 ˆ( )ρ ϕ 與 ˆ( )ϕ ϕ 都不是常

4-50

數所以在微分時不可以與微分運算交換而要考慮微分的作用所

以在「圓柱座標」寫「散度」 ( ) F zρ ϕnablasdot 也和直角座標不一樣

( )1ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ zF z F F zFz ρ ϕρ ϕ ρ ϕ

ρ ρ ϕpart part part⎛ ⎞

nabla sdot = + + sdot + +⎜ ⎟part part part⎝ ⎠

( ) ( )1ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆz zF F zF F F zFρ ϕ ρ ϕρ ρ ϕ ϕ ρ ϕρ ρ ϕpart part

= sdot + + + sdot + +part part

( )ˆ ˆˆ ˆ zz F F zFz ρ ϕρ ϕpart

+ sdot + +part

因為 ( ) ( )ˆ ˆ ˆ ˆ ρ ρ ϕ ϕ ϕ ϕ= = 所以做 andzρ

part partpart part

時 ˆ ˆ ρ ϕ 可視為常數

ˆ ˆ1ˆ ˆ ˆ zF F F FF F Fz

ρ ρ ϕρ φ

ρ ϕϕ ρ ϕρ ρ ϕ ϕ ϕ ϕ

part part part⎡ ⎤part part partrArrnablasdot = + sdot + + + +⎢ ⎥part part part part part part⎣ ⎦

還記得 ˆ ˆ ˆ ˆd d d dρ ϕ ϕ ϕ ρ ϕ= = minus 所以 ˆ ˆρ ϕϕpart

=part

ˆ ˆϕ ρϕpart

= minuspart

rArr

( )1 1 1z zF F F FF FF Fz z

ρ ρ ϕ ϕρρ

ρ ρ ρ ϕ ρ ρ ρ ϕpart part part part

nablasdot = + + + = + +part part part part part part

（4-83）

在球座標寫nabla也會遇到相似的問題其根源就是球座標 ( )r θ ϕ 裡

的 θ ϕ 的因次並非長度而三個單位向量 ˆ ˆˆ r θ ϕ（表為 ie ）都是( θ ϕ )

的函數以致

( )ˆ ˆ( ) ( )i ie f e fθ ϕ θ ϕθ θpart part

nepart part

且 ( )ˆ ˆ( ) ( )i ie f e fθ ϕ θ ϕϕ ϕpart part

nepart part

所以nabla也不似在直角座標那麼簡單我們不在這裡推導而是給出一

個歸納的統一的三個座標的結果還記得對每一個座標 iu i = 123

座標的變化 idu 與造成的長度變化 id

i i id h du= 123i = (4-84)

其中 ih 為對應的度量係數(metric coefficient)

4-51

1 2 3

1 1 2 2 3 3

1 1 1ˆ ˆ ˆu u ue e eh u h u h u

part part partnabla equiv + +

part part part （4-85A）

座標 1 2 3 u u u

度量係數

1 2 3 h h h

nabla grad del

直角 x y z

1 1 1 nabla ˆ ˆ ˆx y z

x y zpart part part

equiv + +part part part

圓柱

zρ ϕ

1 1ρ

1ˆ ˆ ˆ z

zρ ϕ

ρ ρ ϕpart part part

nabla equiv + +part part part

球

r θ ϕ

1 sinr r θ

1 1ˆ ˆˆ

sinr

r r rθ ϕ

θ θ ϕpart part part

nabla = + +part part part

（4-85B）

梯度gradient Vnabla grad(V) 散度divergence Anablasdot div( )A

直

角 nablaV ˆ ˆ ˆV V Vx y z

x y zpart part part

= + +part part part

yx zAA AAx y z

partpart partnablasdot = + +

part part part

圓

柱

1ˆ ˆ ˆ V V VV zz

ρ ϕρ ρ ϕpart part part

nabla = + +part part part

( )1 1

1

z

z

A AA Az

A A A Fz

ϕρ

ρ ρ ϕ

ρρ ρ ρ ϕ

ρ ρ ρ ϕ

partpart partnabla sdot = + +

part part partpart part part

= + + +part part part

球

1 1ˆ ˆˆ sin

V V VV rr r r

θ ϕθ θ ϕ

part part partnabla = + +

part part part

22

1 ( )rA r Ar r

partnabla sdot =

part

1 (sin )sin

Ar θθ

θ θpart

+ sdotpart

1sin

Ar

ϕ

θ ϕpart

+part

(4-86)

Ex47 Using spherical coordinate show that 1| |r r

nablaminus

= 2

ˆ| |

r rer r

minusminusminus

where

nabla是作用在 r 而 ˆr re minus 是向量 r rminus 方向的單位向量 解let r lies in z-axis so that the angle between r and r is just θ

4-52

rArr ( ) 122 21 1 2 cos | | ( ) ( )

r rr rr r r r r r

θminus

= = minus +minus minus sdot minus

( ) ( )12 122 2 2 21 1ˆˆ 2 cos 2 cos | |

r r rr r r rr rr r r r

θ θ θθ

minus minuspart partnabla = minus + + minus +

minus part part

( ) 322 21ˆ 2 cos (2 2 cos )2

r r rr r r rθ θminusminus

= minus + minus

( ) 322 21ˆ 2 cos (2 sin )2

r rr r rrθ θ θminusminus

+ minus +

3 3 3 3

ˆˆ ˆ( cos ) sin ( cos sin )ˆˆ| | | | | | | |r r r rr r rrr r r r r r r r

θ θ θ θ θθminus minus minus minus minus= + = +

minus minus minus minus

3 3 3ˆ ( )

| | | | | |r r z r r r rr r r r r rminus + minus + minus minus

= = =minus minus minus

＝ 2

ˆ| |

r rer r

minusminusminus

QED

證明最後我們用到 ˆˆˆ cos sinz r θ θ θ= minus 而 ˆ r r z= 因為我們選了 r 是

躺在 z-軸 Ex48 For arbitrary scalar field ( )f r and vector field ( )A r 證明恆等式

( )fA f A f Anablasdot = nabla sdot + nablasdot (4-87) 解 ˆ ˆ ˆx y zfA xfA yfA zfA= + +

( ) ( ) ( ) ( )x y zfA fA fA fAx y zpart part part

rArrnablasdot = + +part part part

yx zx x x

AAf f f AA f A f A fx x y y z z

partpartpart part part part= + + + + +part part part part part part

yx zx y z

AAf f f AA A A fx y z x y z

part⎛ ⎞partpart part part part= + + + + +⎜ ⎟part part part part part part⎝ ⎠

f A f A= nabla sdot + nablasdot QED 習題 12 一個位於原點的電偶極電偶極矩＝ ˆp pz= 已知其在遠處

的電位為 20

cos4p

rθ

πε試證該處的電場強度為 E = 3

0

ˆˆ( 2cos sin )4

p rr

θ θ θπε

+

(已知 E V= minusnabla )並請計算 Enablasdot ＝

習題 13 給定一向量場2

3cosˆD r

rϕ

= 現有兩個球心在原點的同心球

內球半徑 R＝1外球 R＝2(a)求面積分S

D dssdotint S 為同心球殼的表

面（有內外兩個面）(b)求體積分V

Ddvnablasdotint V 為兩同心球之間的

區域本題也是來 check 散度定理的Ans πminus

4-53

The Laplacian operator 2nabla equivnablasdotnabla

在直角座標可以用直接作用得到

2 2 2

22 2 2u u uu u

x y zpart part part

nabla equiv nablasdotnabla = + +part part part

(4-88)

圓柱座標

2 2

22 2 2

1 1( ) u u uu uz

ρρ ρ ρ ρ ϕ

part part part part⎛ ⎞nabla equiv nablasdot nabla = + +⎜ ⎟part part part part⎝ ⎠

(4-89)

球座標

2

2 22 2 2 2 2

1 1 1sinsin sin

u u uu rr r r r r

θθ θ θ θ ϕ

part part part part part⎛ ⎞ ⎛ ⎞nabla = + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟part part part part part⎝ ⎠ ⎝ ⎠ （4-90）

習題 14 verify (4-89) and (4-90)

習題 15 Given a dipole potential V= 20

cos4p

rθ

πε find 2Vminusnabla

sect 433 Line integral and curl A 線積分與與旋度的物理意義

線積分路徑積分

考慮一曲線 C 通過兩點 ( )i i i iP x y z 與

( )f f f fP x y z 現有一向量場 ( )A x y z 定義在

C 所在的空間若 sd 為 C 上位於(xyz)點的

「路徑元素」（ ˆd td= 方向沿該處切線）而

( )A x y z 為路徑元素d 處的場值則沿 C 經歷各點所做積分

cos cosf

CC C iA d Ad A dϕ ϕrarr rarrsdot = =int int int （4-91）

稱為向量場 ( )A x y z 沿路徑 C 自 pi 至 pf 的「線積分」「或「路徑積分」

積分裡 A 取值的點侷限在路徑 C 上面若為一個「封閉路徑」則對

C 的線積分也稱做「環路積分 closed contour integral」記做

C

A dsdotint （4-92）

4-54

物理量「做功」是最標準的線積分之一力 F 自 x = a 至 x = b「沿線」

x 軸做功

W＝ F dxsdotint ＝ ( )b

xaF x dxint （4-93）

質點在力場 )(rF 裡走一條曲線 C則力場做功

CW F d= sdotint （4-94）

還記得如果 ( )F r 是所謂「保守力」則上式只與始末點有關而與

路徑無關但如果 ( )F r 是所謂「非保守力」則做功與確實的路徑 C

有關

現考慮一質點在空間運動的位置 r 落在由曲線 C

描述的路徑則質點的位移元素與曲線 C 的路徑元

素相同 d dr= 若空間有向量場 A 分佈則 A 在 C 的

路徑積分以直角座標表示為

CA drarr rarrsdotint ＝

CA d rrarr rarrsdotint ＝ ( )x y zC

A dx A dy A dz+ +int （4-95）

上式中的 x y z 的積分限由 C 決定

Ex49 2 2 2ˆ ˆ ˆA xx yy zzrarr= + + 選定一路徑 C 為曲線

2y x= 由 (000)到 (2 20)的部分求C

A dsdotint

解 ˆ ˆd xdx ydy= +∵

CA dsdotint ＝ 2 2( )

Cx dx y dy+int ＝

2 22 2

0 0x dx y dy+int int

＝ )24(32

+

或由 2y x= rArr 2ydy dx= 2 12

y dy xdxrArr =

rArrC

A dsdotint ＝2 2

0

1( )2

x x dx+int ＝2 (4 2)3

+

4-55

ex50 ˆ ˆ( )f x y z xy yx= minus Do C

f dsdotint 其中的路徑 C 為一逆時針三角

形如圖 解∵路徑全部在 x-y 平面 ˆ ˆ ˆd td xdx ydy= = +

rArrC

f dsdotint ＝ x yC

f dx f dy+int ＝C

ydx xdyminusint

由於在 C1 上 y = 0 及 dy = 0 所以 01

=intC 又由於在

C3 上 x = 0 及 dx =0所以 03

=intC 所以只剩下 C2 可

能有貢獻由 2C 的方程式x + y =1rArr ⎩⎨⎧

minus=minus=

xyyx

11

rArr2Cydx xdyminusint ＝

0 1

1 0(1 ) (1 )x dx y dyminus minus minusint int ＝

0 12 2

1 0

( ) ( )2 2x yx yminus minus minus ＝-1

Cf dsdotint ＝-1

ex51 ( )f x y zrarr

= 2ˆ ˆxx yxyminus 如右圖doC

f dsdotint 其

中路徑 C 為第一象限的逆時針 14 圓弧

解∵ 全部在 x-y 平面 ˆ ˆd xdx ydy= +

Cf dsdotint ＝ 2

Cx dx xydyminusint

由於在 C 上 cosx R ϕ= rArr sindx R dϕ ϕ= minus

siny R ϕ= rArr cosdy R dϕ ϕ=

rArr 2

Cx dx xydyminusint ＝

2 2 2 2

0cos ( sin ) sin cos cosR R d R R d

πϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕminus minus sdotint

23 2

02 cos sinR d

πϕ ϕ ϕ= minus int ＝

323Rminus

又路徑為圓周一部份所以適合用極座標表示

ˆd Rdϕ ϕ= 又由左圖將 ˆ ˆx y 拆解（投影）到 ˆˆr ϕ

ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆcos sin sin cosx r y rϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ= minus = +

4-56

( )2ˆ ˆ ˆˆ ˆ( cos sin ) ( sin cos )C C

f d r x r xy Rdϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕsdot = minus minus + sdotint int 2

2 2 2

0

sin (cos )

sin ( cos ) (cos ) cos sin

Cx Rd xyRd

R Rd R Rdπ

ϕ ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ

= minus minus

= minus minus

intint

23 2

02 cos sinR d

πϕ ϕ ϕ= minus int ＝

323Rminus

這也驗證了散度定理

Path Independence 路徑獨立性

Ex52 證明庫倫力為「保守力」考慮

電荷 q0 位於原點及電荷 q 位於

( )r x y zrarr= q 受力 F

rarr＝ 0

20

14

qq urπε

and

求庫侖力作功因為球形對稱所以

用球座標由 ˆ ˆ ru rr

= = rArr Frarr

= 03

04qq r

rπε

庫侖力由 P1 至 P2 做功為 2

1

P

CPF drarrsdotint ＝

2

1

02

0

ˆ ˆ ˆˆ sin4

P

PC

qq r rdr rd r dr

θ θ ϕ θ ϕπε

⎡ ⎤sdot + +⎣ ⎦int ＝2

1

02

04P

P

qq drrπεint

＝20

2104

r

r

qq drrπε int ＝ 0

0 1 2

1 1( )4qq

r rπεminus for all C

所以庫侖力兩點間做功與路徑無關rArr保守力

對於「保守力 conservative force」 cF 自 p1 經

由兩條不同的路徑 C1 與 C2 到達 p2

1 ccF drarrsdotint ＝

2 ccF drarrsdotint ＝-

2 ccF drarr

minussdotint

rArr1 2c cc cF d F drarr rarr

minussdot + sdotint int = cF d

rarrsdotint ＝0 (4-96）

對於任何「封閉路徑」保守力做功為 0反之若

對任一封閉路徑 0F drarrsdot neint 則兩點之間的做功與路徑有關

rarr

F 為「非

保守力」

4-57

旋度 curl Anablatimes 的幾何物理意義

我們在（4-70）式已經看過旋度的計算方式但旋度另有其意義的

ex53 給定向量場2 2

0ˆ yv yv e λrarr

minus= 左圖為場的分佈

2 20

ˆ ˆ ˆ

0 0x y z

y

x y zcurl v

v e λ

rarr

minus

= part part part ＝ ˆ ˆ ˆ0 0 0 0x y zsdot minus sdot + sdot =

我們用了簡寫 x yx ypart part

part equiv part equivpart part

可以看出這個場裡沒有「漩渦」

但是有無「漩渦」有時也不是那麼明顯可以看出的請見下一個例子

Ex54 給定向量場2 2

0ˆ xv yv e λrarr

minus= 計算其旋度 vnablatimes

解向量場 vrarr

畫在右邊你看得出有無漩渦

先計算旋度

2 20

ˆ ˆ ˆ

0 0x y z

x

x y zcurl v

v e λ

rarr

minus

= part part part2 2

2 2

0

0

ˆ

ˆ 2 0 0

x

x

z v ex

z v xe for x

λ

λ

minus

minus

part=

part

= minus ne ne

vrarr

的旋度在大部分的地方不為 0 且隨位置而不同但是你看得出這個

向量場裡有「漩渦」其實要檢驗一個向量場裡有無「漩渦」有一

個很物理的方法就是放一個小「螺旋槳」（左圖）

在場內將軸朝各個方向測試一

下如果有「漩渦」的話這個

小「螺旋槳」就會轉動右圖就是將「螺旋槳」的

軸平行於 z 軸且放在 x gt 0 的地方就可以看出左

邊的 v 場比右邊的強造成螺旋槳順時針轉動rArrcurlv zminus for x gt 0

但如果放在 x = 0 的地方就會看到左右兩端的 v 場強度相同而且

4-58

curlv = 0 「螺旋槳」放在 x lt 0 的地方就可以看出右邊的v 場比左

邊的強造成螺旋槳逆時針轉動這完全符合 curl v k+ 的結果

環路積分與旋度 curl 的物理意義

如同「散度」一樣「旋度」除了 Ftimesnabla 之外

還有一個物理意義更清楚的定義這個定義由

「線積分」說明如圖考慮做「逆時針」長方形

路徑 C1 的一個「環路積分」C1 面平行於 x-y 平

面由 z-軸看下去環路 C1 可以分為可以分為

下 CB上 CT右 CR左 CL 4 部分

CA drarrsdotint ＝

B T L RC C C CA d A d A d A drarr rarr rarr rarrsdot + sdot + sdot + sdotint int int int

分別計算由於 CB 的中點座標為 ( )2yx y zΔ

minus

ˆB BC C

A d A xdxrarr rarrsdot = sdot =int int

BxC

A dxint ( )2xyA x y z xΔ

asymp minus Δ

similarly 由於 CT 的中點座標為 ( )2yx y zΔ

+

ˆ( )T TC C

A d A xdxrarr rarrsdot = sdot minus =int int

TxC

A dxminusint ( )2xyA x y z xΔ

asymp minus + Δ

合併 CB 與 CT

B TC CA drarr

+sdot =int

( ) ( )2 2x xy yA x y z A x y z

x yy

Δ Δ⎡ ⎤minus + minus minus⎢ ⎥⎣ ⎦ Δ ΔΔ

（4-97）

由 C1 所圍的面積 S x yΔ = Δ Δ

1B TC C

A dS

rarr

+sdot =

Δ int( ) ( )

2 2x xy yA x y z A x y z

y

Δ Δ⎡ ⎤minus + minus minus⎢ ⎥⎣ ⎦Δ

（4-98）

所以當取極限 C1 收縮到中心(xyz)時 SΔ 收縮到 0ie

4-59

0limsΔ rarr

1B TC C

A dS

rarr

+sdot =

Δ int xAy

partminuspart

（4-99）

Similarly with CR 的 ˆd ydy= CL 的 ˆd ydy= minus 可得

1L RC C

A dS

rarr

+sdot =

Δ int x

zyxxFzyxxF yy

Δ

Δminusminus

Δ+ )

2()

2(

（4-100）

同樣的當取極限 C1 收縮到中心(xyz)時 SΔ 收縮到 0

0

limsΔ rarr

1L RC C

A dS

rarr

+sdot =

Δ int yAx

partpart

（4-101）

最後合併 CBCTCRCL 為 C1

10

1limCs

A ds

rarr

Δ rarrsdot =

Δ int y xA Ax y

part partminus

part partˆ ( ) ( )zz A A= sdot nablatimes = nablatimes （4-102）

注意 C1 的方向就是在 z 上式的重要

意義是當向量場 A 在一個以點(xyz)為

中心「方向為 z 」的面積元素的「邊界」

所做的環路積分得到的就是 A 在(xyz)

處旋度的 z-分量明顯的只有當 A 在

(xyz)附近有 x-y 平面上的「漩渦」那麼 C1 的環路積分才不會為 0

Similarly 取一個逆時針繞著(xyz)的平行於 x-z 平面的長方形環路 C2

（左圖）做環路積分再取極限將 C2 收縮到(xyz)就會得到

20

1limCs

A ds

rarr

Δ rarrsdot =

Δ int x zA Az x

part partminus

part partˆ ( ) ( )yy A A= sdot nablatimes = nablatimes （4-103）

注意到 C2 所包圍的面積方向就在 y到

現在我們應該已經很有經驗了若取一

個逆時針繞著(xyz)的平行於 y-z 平面

的長方形環路 C3（左圖）做環路積分

再取極限將 C3 收縮到(xyz)就會得到

4-60

30

1limCs

A ds

rarr

Δ rarrsdot =

Δ int yz AAy z

partpartminus

part partˆ ( ) ( )xx A A= sdot nablatimes = nablatimes （4-104）

能把（4-103）與（4-104）變出來的同學我們有優待綜合以上

我們可以得到一個結論若取一個以點(xyz)為中心的任意環路 Cn（其

所包圍的面積方向在 n ）則

n curl Aand rarrsdot ＝

0

1lims

Cn

A ds

rarr

Δ rarrsdot

Δ int （4-105）

明顯的當 n ＝ x 或 y 或 z 時我們可以重複（4-102）到（4-104）的

結果（4-70）式的行列式所定義的旋度在此看見其幾何物理意義

至此「旋度」的「漩渦」形象應該已經很清楚了只有在(xyz)點附

近的小圈圈上有「漩渦」 A 在小圈圈做的環路積分才會有值這個

值就是向量場 A 的「旋度」在小圈圈面積方向的分量

Stokersquos 定理

考慮一個開放面 S被其「有方向的」邊界 C 圈住(bounded by)則

( )S

A dsrarr rarrnablatimes sdotint ＝

C

A drarrsdotint （4-106）

pf 先將 S 面分割為 N 個多邊形這會使得邊界變成一個「折線」形

成的環路 P環路 P 會隨著分割的多邊形個數的增多而越加近似於原

「光滑的」邊界 C現考慮相鄰的

兩個多邊形的線積分由於共用邊

的方向是相反的所以相鄰兩個多

邊形線積分的和只剩「外邊界」（見左圖）所以當把所有的多邊形的

4-61

線積分加起來時由於只有邊界 P 不是多邊形的共用邊所以

1k

N

k C

A drarr

=

sdotsum int ＝P

A drarrsdotint rArr

P

A drarrsdotint ＝

1

1

k

N

kk k C

A d l ss

rarr rarr

=

⎡ ⎤sdot Δ⎢ ⎥

Δ⎢ ⎥⎣ ⎦sum int

其中 ksΔ 為第 k 個多邊形的面積取極限 0kN srarrinfinrArrΔ rarr P CrArr rarr

C

A drarrsdotint ＝

10

1limkk

N

kN k k Cs

A d ss

rarr

rarrinfin=Δ rarr

⎡ ⎤sdot Δ⎢ ⎥

Δ⎢ ⎥⎣ ⎦sum int 01

ˆlim ( )k

k kskn A s

infin

Δ rarr=

⎡ ⎤= sdot nablatimes Δ⎣ ⎦sum

01

ˆlim ( )k

k kskA n s

infin

Δ rarr=

= nablatimes sdot Δsum = ( )S

A dsrarr

nablatimes sdotint QED

ex55 由 Amperersquos law 的積分形式導出其微分形式

解Amperersquos law 的積分形式 C

B drarrsdotint ＝ I0μ (4-107)

由 Stokersquos 定理及電流密度 j 的定義上式等號兩端可寫為

rArr ( )S

B dsrarr rarrnablatimes sdotint ＝ 0 S

j dsμrarrsdotint

由於上面的等式對任意面 S（路徑 C）都成立所以被積函數相等

0B jμrarr rarr rarr

rArrnablatimes = (4-108) 此即 Amperersquos law 的微分形式

Ex56 Given a vector field ˆ ˆx yA ye xe= minus + (a) Find Anablatimes

解

ˆ ˆ ˆˆ ˆ(1 ( 1) 2

0x y z

x y zA z z

y xnablatimes = part part part = minus minus =

minus

(b)如圖一個金字塔狀的 5 面體高 2底邊長＝1計算 ( )S

A dsnablatimes sdotint

其中 S 為金字塔在 x-y 平面以上的部分方向如同

封閉的金字塔（運用 Stokersquos law）

解金字塔上表面的面積元素ds 不好寫由 Stokersquos

4-62

law ( )S

A dsrarr rarrnablatimes sdotint ＝

C

A drarrsdotint 其中封閉路徑 C 就是上表面的邊界而且

是逆時針（由 z 軸向下看）

C

A drarrsdotint ＝

1 1 0 0

0 0 1 1ˆ ˆ ˆ ˆA xdx A ydy A xdx A ydysdot + sdot + sdot + sdotint int int int

＝1 1 0 0

0 0 1 1x y x yA dx A dy A dx A dy+ + +int int int int 1 1 0 0

0 0 1 1( 0) ( 1) ( 1) ( 0)y dx x dy y dx x dy= minus = + = + minus = + =int int int int

0 1 1 0 2 ( ) 2S

A ds= + + + = rArr nablatimes sdot =int

旋度與 path independence

已知保守場 cF 對所有封閉路徑 C 0cC

F drarrsdot =int 由 Stokersquos 定理

0cC

F drarrsdot =int ＝ ( )cS

F dsrarr rarrnablatimes sdotint rArr 0cF

rarr rarrnablatimes =

這表示保守場＝無旋度反之無旋度的場任兩點間路徑積分與路

徑無關

Ex57 Given a field 2 2ˆ ˆ ˆ2A x xy yx zz= + minus (a) Find Anablatimes A 保守場

解2 2

ˆ ˆ ˆ

2x y z

x y zA

xy x znablatimes = part part part

minus

( ) ( ) ( )2 2 2 2ˆ ˆ ˆ( ) 2 ( ) 2 0y z z x x yx z x y xy z z x xy= part minus minuspart + part minuspart minus + part minuspart =

yes A =保守場

(b)如左圖由 A 到 B 做路徑積分A BC

A drarr

sdotint 路徑 C 為橢圓

22 1

16yx + = 在 x-軸以上的部分

解橢圓部分的路徑元素 d 有點麻煩但因為 A

為保守場所以 A 到 B 做路徑積分可以用 x = -1 到

1 的積分取代

4-63

01 1 1

1 1 1ˆ 2 0

yB

xAA d A xdx A dx xydx

=

minus minus minussdot = sdot = = =int int int int

∵

旋度在柱座標與球座標

前面討論過nabla在不同座標系的寫法旋度也有歸納出的一致寫法

座標 1 2 3 u u u

度量係數

1 2 3 h h h

nabla grad del

直角 x y z

1 1 1 nabla ˆ ˆ ˆx y z

x y zpart part part

equiv + +part part part

圓柱 zρ ϕ

1 1ρ

1ˆ ˆ ˆ zz

ρ ϕρ ρ ϕpart part part

nabla equiv + +part part part

球 r θ ϕ

1 sinr r θ

1 1ˆ ˆˆ sin

rr r r

θ ϕθ θ ϕ

part part partnabla = + +

part part part

所以柱座標與球座標的旋度分別表為

柱座標

ˆ ˆ ˆ1

z

z

Az

AA Aρ ϕ

ρ ρϕ

ρ ρ ϕρ

part part partnablatimes =

part part part （4-109）

球座標 2

ˆ ˆˆ sin1sin

sinr

r r r

Ar r

A rA r Aθ ϕ

θ θϕ

θ θ ϕθ

part part partnablatimes =

part part part （4-110）

ex58 (a) Given the vector function ˆA ϕ= sin (ϕ 2) find Anablatimes

解 2

ˆ ˆˆ sin1sin

0 sin( 2) 0

r r r

Ar r

r

θ θϕ

θ θ ϕϕ

part part partnablatimes =

part part part

4-64

21 ˆˆ cos sin sinsin 2 2 2

rr rr

ϕ ϕθϕθ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

ˆˆ cos sin2 sin 2 2

rr r

ϕ ϕ ϕθ

minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

(b)如左圖一個底面在 x-y 平面半徑＝1高＝2 之圓錐 求面積分

SA dsnablatimes sdotint 面積範圍 S 為圓錐在 x-y 平面以上

部分 方向為由圓錐內向外

解由 Stokersquos law ( )S

A dsrarr rarrnablatimes sdotint ＝

C

A drarrsdotint 其中路

徑 C 為 x-y 平面圓心在原點之單位圓 ˆ ˆd rd dϕ ϕ ϕ ϕ= =

2

0ˆ ˆsin sin

2 2C

d dπϕ ϕϕ ϕ ϕ ϕ⎛ ⎞ ⎛ ⎞sdot =⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠int int ( )0

2 sin u duπ

= int 0cos | 2u π= minus =

習題 16 磁場 B 因為不是保守場所以沒有對應的純量位而對應一

個向量位 A (vector potential)而 B A= nablatimes 一個磁鐵的磁偶極矩

ˆm mz= 被置於原點已知在遠處的 vector potential 03ˆ sin

4mAr

μϕ θπ

=

計算該處的磁場 B Ans 03

ˆˆ( 2cos sin )4

mB rr

μ θ θ θπ

= + 與電偶極遠處

的電場形式一致都是偶極(dipole) 選幾個點畫一畫該處的場向量

把磁力線描出來

附錄本章講義的內容有部分可以經由直接計算得出列在附錄做為

參考

用「圓柱座標」寫 Atimesnabla

Ararr rarrnablatimes ＝ ( )1ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ zz A A zA

z ρ φρ ϕ ρ ϕρ ρ ϕpart part part⎛ ⎞+ + times + +⎜ ⎟part part part⎝ ⎠

4-65

因為rdquo sdotrdquo與rdquotimes rdquo都是向量間的運算所以

＝ ( )ˆ ˆ ˆ ˆ zA A zAρ φρ ρ ϕρpart

times + +part

＋ ( )1ˆ ˆ ˆ ˆ zA A zAρ φϕ ρ ϕρ ϕ

parttimes + +

part

＋ ( )ˆ ˆˆ ˆ zz A A zAz ρ φρ ϕpart

times + +part

直接做上式微分可以得到

＝1ˆ z AA

zϕρ

ρ ϕpart⎛ ⎞part

minus⎜ ⎟part part⎝ ⎠＋ ˆ zA A

zρϕ

ρpart⎛ ⎞part

minus⎜ ⎟part part⎝ ⎠＋

1 1ˆ ( )A

z A ρϕρ

ρ ρ ρ ϕpart⎛ ⎞part

minus⎜ ⎟part part⎝ ⎠

上式可以用一個行列式來表示

rarrrarr

timesnabla A＝

ˆ ˆ ˆ1

z

z

zA A Aρ ϕ

ρ ρϕ

ρ ρ ϕρ

part part partpart part part

（A-1）

A and Anabla nablasdot nablatimes in 球座標 spherical coordinate

如上圖球座標 )( ϕθr 其中 )0[ infinisinr ]0[ πθ isin ]20[ πϕ isin 只有 r

是長度而 ϕθ 為角度是用來說明方向的三個座標的單位向量 ˆ ˆˆ r θ ϕ 具

有下列性質

4-66

1 如上圖 ˆ ˆˆ r θ ϕ 都不是常數而是（ ϕθ ）的函數

ˆ ˆ( )ˆ ˆ( )ˆ ˆ( )

r r θ ϕ

θ θ θ ϕϕ ϕ ϕ

⎧ =⎪

=⎨⎪ =⎩

)( ϕθr 與(xyz)之間的轉換如下

sin cossin sincos

x ry rz r

θ φθ φθ

=⎧⎪ =⎨⎪ =⎩

( )122 2 2

2 2

tan

tan

r x y z

x yz

yx

θ

φ

⎧ = + +⎪⎪ +⎪ =⎨⎪⎪ =⎪⎩

（A-2）

2 ˆ ˆˆ r θ ϕ 形成一「歸一正交集」ie

ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ 1r r θ θ ϕ ϕsdot = sdot = sdot = ˆ ˆr θ ϕperp perp

ˆ ˆr θ ϕtimes = ˆ ˆ rθ ϕtimes = ˆˆ rϕ θtimes = （A-3）

3可以很容易的由他們在 xyz 軸上的投影由直角

座標的 ˆ ˆ ˆ x y z 表出

ˆ ˆ ˆ ˆsin cos sin sin cos ( 4 )ˆ ˆ ˆ ˆcos cos cos sin sin ( 4 )ˆ ˆ ˆsin cos ( 4 )

r x y z A a

x y z A bx y A c

θ φ θ φ θ

θ θ φ θ φ θϕ φ φ

= + + minus⎧⎪

= + minus minus⎨⎪ = minus + minus⎩

4 ˆdr = 由於 ˆ ˆ( )r r θ φ= 所以由 ϕθ 的變動來看

4-67

ˆ ˆˆ| |ˆ ˆˆ| | sin sin

d r d d

d r d d

θ θθ θθ

φ θ φφ θ φφ

⎧ rArr =⎪⎨

rArr =⎪⎩rArr ˆ ˆˆ sindr d dθ θ φ θ φ= + （A-5）

rArrˆ ˆr θθpart

=part

ˆ ˆsinr θφφpart

=part

（A-6）

（A-6）的結果也可以直接由（A-4a）對 ϕθ 偏微得到

5 ˆdθ ＝ 由於 ˆ ˆ( )θ θ θ φ= 所以由 ϕθ 的變動來看

ˆ ˆ ˆ| | ( )ˆ ˆ ˆ| | cos cos

d d r d r

d d d

θ θ θ θ

φ θ θ φφ φ θ φ

⎧ rArr minus = minus⎪⎨

rArr =⎪⎩rArr ˆdθ ＝ ˆˆ cosrd dθ φ θ φminus + （A-7）

ˆrθ

θpart

rArr = minuspart

ˆ ˆcosθ φ θφpart

=part

（A-8）

請直接由（A-4b）對 ϕθ 偏微的結果 check（A-8）

6 ˆdφ ＝由於φ )(ϕ 躺在 x-y 平面上變動φ時的方向可能不是那麼

容易看出來所以做圖看一看

ie ˆ ˆˆ(sin ) (cos )d r d dφ θ φ θ θ φ= minus minus （A-9）

4-68

ˆ ˆˆsin cosrφ θ θ θφpart

= minus minuspart

7 所有的向量 ˆ ˆˆ rA rA A Aθ φθ φrarr= + +

8 位置向量 ˆr rrrarr=

可以由左圖 ˆ ˆˆ r θ ϕ 三個方向的「長度

變化」輕易的看出

9 位移元素

ˆ ˆˆ ˆ sindr rdr rd dθ θ ϕ θ φ= + + (A-10)

10 體積元素

sindv dr r d rdθ φ θ= sdot sdot

＝ 2 sinr dr d dθ θ φ (A-11)

11 面積元素 2 sinrds r d dθ θ φ= plusmn sinds r drdθ θ φ= plusmn ds rdrdφ θ= plusmn (A-12)

plusmn號表示面的垂直方向有兩個端看 ds 周邊的方向是如何定的

nabladel 考慮 ( )u u r θ φ=

rArru u udu dr d dr

θ φθ φ

part part part= + +part part part

u d rrarr rarr

equiv nabla sdot

urarr

= nabla sdot ˆ ˆˆ( sin )rdr rd dθ θ φ θ φ+ +

rArr1 1ˆ ˆˆ

sinu u uu rr r r

θ ϕθ θ φ

rarr part part partnabla = + +

part part part

1 1ˆ ˆˆsin

rr r r

θ ϕθ θ φ

rarr part part partnabla equiv + +

part part part （A-13）

4-69

直接用（A-13）與 ˆ ˆˆ rA rA A Aθ φθ ϕrarr= + + 逐項內積加上（A-678）

rArr ϕθ

θθθ

ϕθ part

part+

partpart

+partpart

=sdotnablararrrarr A

rA

rAr

rrA r sin

1)(sinsin1)(1 2

2 （A-14）

（A-13）與 ϕθ ϕθ AAArA r

andandandrarr

++= 逐項外積整理之後

ϕθ θϕθ

ϕθθ

θArrAA

r

rrr

rA

r sin

sin

sin1

2 partpart

partpart

partpart

=timesnabla

andandand

rarrrarr

（A-15）

Laplacian uu nablasdotnabla=nabla2

2

2

2222

22

sin1)(sin

sin1)(1

ϕθθθ

θθ partpart

+partpart

partpart

+partpart

partpart

=nablau

ru

rrur

rru （A-16）

B推導「散度」在圓柱座標的寫法

讓我們先回顧一下在直角座標裡的「面積元素」可以由「位移元素」

得到

ˆˆ ˆ x y zdr idx jdy kdz da dydz dxdz dxdy= + + rArr =

比照辦理「圓柱座標」的位移元素

( )ˆˆ ˆ( )

( )z

da d dzdr d d zdz da d dz

da d d

ρ

φ

ρ φ

ρ ρ φ ρ φ ρ

ρ ρ φ

=⎧⎪= + + rArr =⎨⎪ =⎩

這個結論可以輕易的由面積元素在垂直於 zˆˆ ϕρ 三個方向的面積看

出如下圖考慮一個以 )( zϕρ 為中心的「圓柱體積元素」(cylindrical

cubiod)體積為 zdV ΔΔ=Δ ϕρρ 現計算在 ρ

方向的 12 兩個平行面(方向各為 ρplusmn )的通

量

4-70

zzF

dsFdsnFS S

ΔΔ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

+cong

=sdotintint intintϕρρϕρρρ

ρ

2

2

ˆ1 1

zzF

dsFdsnFS S

ΔΔ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

minus⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

minusminuscong

minus=sdotintint intintϕρρϕρρρ

ρ

2

2

ˆ2 2

intint+

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

minus⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

minusminus⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

+Δ

asympsdotΔ

rArr21

22

22

1ˆ1

SS

zFzFdsnFV

ϕρρρρϕρρρρρρ ρρ

( ) ( )

1 20

0

0

1 ˆlim

1lim 2 2 2 2

1 1lim 2 2

1

VS S

F ndsV

F z F z

F z F z

F

ρ ρρ

ρ ρρ

ρ

ρ ρ ρ ρρ ρ φ ρ ρ φρ ρ

ρ ρρ ρ φ ρ ρ φρ ρ

ρρ ρ

Δ rarr+

Δ rarr

Δ rarr

rArr sdotΔ

Δ Δ Δ Δ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + + minus minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥Δ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦Δ Δ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥Δ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

part ⎡ ⎤= ⎣ ⎦part

intint

娛樂一下用上述方式把圓柱的 Fsdotnabla 裡的z

FF z

partpart

+partϕρϕ1

變出來

球座標的nabla和 Fsdotnabla 也可以試試看

補充習題

H M Scheydiv grad curl and all that 4th edition

第二章習題 6 8 9 10 11 14 15 16 18 19 21 22 23 25 26 27

第三章習題 2 3 5 6 7 8 9 10 11 14 15 17 18 19 24

4-11

六面體的體積由於 3 鄰邊 A B C 的順序可以任選所以體積可藉由

（4-24）式之「絕對值」算出

Ex 11 一平行六面體 H 的相鄰三邊由 ˆ ˆ ˆ4 5A x y z= + + ˆ ˆ3B x z= +

與 ˆ ˆ ˆ2C x y z= minus + minus 表出求 H 之體積 HV

解let 1

2 1 11 4 5 183 0 1

CD A

B

minus minus= = = or 2

1 4 52 1 1 18

3 0 1

AD C

B= = minus minus = minus

1 2| | 18HV D D= = = 1D 與 2D 差一個負號不令人驚奇因為行

列式 2D 是由 1D 的第一列與第二列交換而來

2 triple vector product 向量三重積

( ) ( ) ( )A B C B A C C A Btimes times = sdot minus sdot (4-27)

上式有一別號稱為 back-cab(回頭車) rule先舉例說明上式成立

Ex12 ˆ ˆ ˆ4 5A x y z= + + ˆ ˆ3B x z= + ˆ ˆ ˆ4C x y z= minus minus

ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ3 0 1 (0 1) (1 12) ( 3) 13 3

1 1 4

x y zB C x y z x y ztimes = = + + + + minus = + minus

minus minus

ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ( ) 1 4 5 ( 12 65) (5 3) (13 4) 77 8 9

1 13 3

x y zA B C x y z x y ztimes times = = minus minus + + + minus = minus + +

minus

ˆ ˆ1 4 20 23 ( ) 69 23A C B A C x zsdot = minus minus = minus rArr sdot = minus minus

ˆ ˆ ˆ3 5 8 ( ) 8 8 32A B C A B x y zsdot = + = rArr sdot = minus minus

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ( ) ( ) 69 23 (8 8 32 ) 77 8 9B A C C A B x z x y z x y zsdot minus sdot = minus minus minus minus minus = + + QED

The proof of ( ) ( ) ( )A B C B A C C A Btimes times = sdot minus sdot

Pf Note that ( )B C B Ctimes perp 平面then ( )A B C B Ctimes times perp times∵ （ ）

( ) A B C D B CrArr times times equiv 躺在（ ）平面 所以 D 可由 B C 組合令

4-12

D B Cα β= + 由於 D 也與 A垂直所以

0A Dsdot = ( ) ( )A B A Cα β= sdot + sdot rArr

let ( ) ( )v v A C v A BA C A Bα β α βminus

= = rArr = sdot = minus sdotsdot sdot

( ) [( ) ( ) ]D A B C B C v A C B A B Cα βthere4 = times times = + = sdot minus sdot

v 會＝1上式對 x 做內積

ˆ ˆ ˆ[ ( )] [( ) ( ) ]

[( ) ( ) ]x x

x A B C v A C B x A B C x

v A C B A B C

sdot times times = sdot sdot minus sdot sdot

= sdot minus sdot

由於內積與外積都是向量間的運算所以上式左邊有

ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ( )x y z x y z

x y z x y z

x y z A x A y A zB C B B B A B C B B B

C C C C C C

times times timestimes = rArr times times =

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( ) 0ˆ [ ( )]

z y

x y z x y z

x y z x y z

x A x x A y x A z A Ax A B C B B B B B B

C C C C C C

sdot times sdot times sdot times minusrArr sdot times times = =

上式用到

ˆ ˆ( ) 0x A xsdot times = ˆ ˆ( )x A ysdot times ＝ ˆ ˆ( ) zA y x Asdot times = minus ˆ ˆ( )x A zsdot times ＝ ˆˆ( ) yA z x Asdot times =

用第 3 列展開行列式得

ˆ [ ( )] ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

x x x y y x z z x

x x x x y y z z x x x x x x

x x

x A B C C A B A B C A B C A B

C A B A B B C A C A C A B A B B A C C A

C A B B A C

sdot times times = minus sdot + + +

= minus sdot + + + = minus sdot + + sdot minus

= minus sdot + sdot1 ( ) ( ) ( )v A B C B A C C A BrArr = rArr times times = sdot minus sdot QED

向量的微分元素（直角座標）

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( ) [( ) ]

ˆ ˆ ˆ

i i i i i i i i i ii i i i

x y x

dA d e A d e A de A e dA e dA

or dA xdA ydA zdA

⎛ ⎞= = = + =⎜ ⎟

⎝ ⎠= + +

sum sum sum sum （4-28）

4-13

上面用了直角座標最方便的性質 ie 為常數 ˆ 0iderArr = 舉「位置向量」

為例

2 2 2 2 2 2 2 2

ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ

ˆ ˆ ˆˆ i i

i x y zi

r xx yy zz dr xdx ydy zdzdr dx dy dzv x y z e xdt dt dt dt

v v v x x y z v v v

= + + rArr = + +

rArr = = + + =

rArr = sdot = = + + = + +

sumsum

（4-29）

sect 42 曲線座標(curvilinear coordinates)

(A) 平面「極座標」polar coordinates ( )r θ

在平面上的一點 P 的直角座標若為(x y)我們可以有另一種標示法

( ) 0 [0 )

[02 ]r P x y r r

x rθ θ π

equiv ge isin infin⎧⎨

equiv isin⎩

由原點到 之距離

軸到 的夾角 （4-30）

以 P )( θr 為座標表同一點 P(xy) )( θr 稱為 P 點的「極座標」「極座

標」與「直角座標」的關係如下

2 2

cos

sintan

r x y x randy y r

x

θθθ

⎧ = + =⎧⎪⎨ ⎨ == ⎩⎪⎩

（4-31）

但是 )( θr 這兩個新座標的單位向量 ˆˆr θ 在什麼方向我們先來回顧

一下座標軸的單位向量的「制訂標準」是

什麼事實上某座標的單位向量的方向

訂在「垂直於該座標『等值面』且指向

該『座標值增長』的方向」舉「直角座

標」為例如右圖由於 x y 軸皆為直線

4-14

所以「等值面」都是平行的平面所以垂直方向皆相同也造成單位

向量 ˆ ˆx y 為常數

由左圖可以看出極座標裡 r 的等值面是一

個圓所以單位向量 r 是「沿徑向向外」但

是隨圓上θ 有所變動時 r 也隨著改變所以 r

「不是一個常量」 ˆ ˆ( )r r θ= 是角度θ 數

如左圖也可看出θ 的等值面為直線所以單位

向量θ 是「沿『切線』逆時針」方向

但如同 r 一樣當θ 值改變時θ 的方向

也改變了所以θ 也「不是一個常量」

)(ˆˆ θθθ = 也是角度θ 的函數可以看出

固定θ 時 ˆr θperp 但是她們都與「角座標」θ 有關由於她們的指向

有時 r 被稱為「沿徑向」之單位向量θ 被稱為

「沿切線」之單位向量極座標和直角座標還

有一個很大的差別就是直角座標的 x y z 的

因次都是「長度」所以當座標改變時 dx dy dz

就是「長度」的改變然而極座標的 r 有長度因

次所以 dr 是長度但是θ 只是一個數字而非長度所以當θ 改變時

dθ 並不代表一個長度的變化dθ 造成的長度變化寫為

d h dθ θ θ= （4-32）

其中的係數hθ 稱為「度量係數」(metric coefficient)很顯然這裡的hθ

必須具有長度的因次「長度」之所以重要是因為位移是長度各個

座標的度量係數我們會在後面仔細討論

座標系的選用以方便為準系統的對稱性是重要的考量所以有

立方對稱的系統通常用直角座標而有圓對稱的系統則用極座標

4-15

Ex13 半徑 5圓心在原點的圓方程式在直角座標為 2 2 25x y+ =

但是在極座標就是 5r = 而已

位置位移速度與加速度

直角座標的描述很簡單

ˆ ˆˆ ˆ

ˆ ˆ

r xx yy

r xx yy

dr dxx dyy

= +

Δ = Δ + Δ

= +

位置

位移

位移元素

（4-33）

2 2

2 2

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( )

ˆ ˆ( )

ˆ ˆ ˆ ˆ( )

x ydr dx dyv t x y xx yy v x v ydt dt dt

dv t dxx dyydv dx dy d x d ya t i j i jdt dt dt dt dt

rArr = = + = + = +

rArr = +

rArr = = + = +

瞬時速度

速度變化元素

瞬時加速度

（4-34）

在極座標由於單位向量 θr 不再是常數 ˆˆ 0 0dr dθrArr ne ne 所以

ˆ

ˆ ˆ( )ˆ ˆ

r rrr r r r r

dr drr rdr

=

Δ = Δ + Δ

rArr = +

位置

位移

位移元素

(4-35)

現在有一個問題 ˆ dr = 由下圖 r 的變化由 dθ 而來

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( )ˆ ˆ

ˆˆ ˆ ˆ0 ( ) ˆˆ

r r dr r d rdr r d d

d dr r dr

dr d

θ θ θ θθ θ

θ θ θ

θθ

= rArr = + minus

= =

rarr rArr perp rArr

rArr =

∵

∵ (4-36)

4-16

所以微分的位移為

ˆˆdr drr rdθθ= + （4-37）

上式的幾何意義很清楚dr 的 r 分量 dr 就是「沿

r 方向的長度變化」而θ 分量 rdθ 就是「沿θ 方

向的長度變化」而已或者也可以這麼看dr 是

一個位移向量在平面上有 r 和θ 兩個分量所以 ˆˆrdr d r d θθ= +

α 為在 r 方向的長度變化β 為在θ 方向的長度變化所以 rd dr=

d rdθ θ= 這種分析方法可以用在各種座標系這裡也可以看出

和（4-32）式角度變化dθ 造成的長度變化d h dθ θ θ= 相比可以得出

θ 的度量係數h rθ = 與直角座標比較 ˆ ˆdr dxx dyy= + dx 與 dy 不也就

是dr 在 x 與 y 方向的長度變化嗎

Now 速度

ˆˆ

ˆ ˆˆ ˆr

dr dr dv r rdt dt dtrr r v r vθ

θ θ

θθ θ

= = +

= + equiv + （4-38）

其中ddtθθ ω= = 亦稱為「角速度」

Ex14 圓周運動因為只有切線速度所以由（4-38）式 ˆ ˆ0

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( ) = ( ) ( ) ( 0)

r R r v r R

dv dr r d r d r d r d dr

θθ ωθ

θθ θ θ θ θ θ θ θ θ

= rArr = rArr = =

rArr = + + + =

∵

∵

（ 切線速度）(4-39)

這裡又冒出個問題

ˆ dθ = 由左圖

ˆ ˆ

ˆ ˆ0

d d d

d d

θ θ θ θ

θ θ θ

= =

rarr rArr perp

4-17

ˆ ˆ ˆ ˆ

d r

d d r

θ

θ θ

rArr minus

rArr = minus (4-40)

2

2

ˆˆ( ) ( )

ˆˆ

ˆ ˆˆ ˆ( ) ( )ˆˆ ( ) ( )

r

dv r d r r d

dv d da r r rdt dt dt

a r r r a r a

or a r r rθ

θ θ θ θ

θ θθ θ

θ θ θ θ

ω α θ

rArr = minus +

⎛ ⎞⎛ ⎞rArr = = minus +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

rArr = minus + equiv +

= minus +

(4-41)

上式即為圓周運動的加速度其中的第一項

2

2 ˆ ˆrva r r rr

ω minus= minus = 向心加速度 (4-42a)

with α θ= 可以認出是角加速第二項

ˆa rθ αθ= 切線加速度 (4-42b)

如進一步簡化為「等速圓周運動」 ==rArr θω constant 0==rArr αθ rArr切線

加速消失那麼加速度就只剩下了熟知的向心加速度2

ˆrva rrminus

= 了

若考慮一般的情況 dr 0ne 可以導出用極座標表示的加速度為

2

ˆ ˆ ˆ ˆˆ( ) ( ) ( ) ( )

ˆˆ( ) (2 )

dv dr r r d dr r d r ddva r r r r rdt

θ θ θθ θ θ θ θ

θ θ θ θ

= + + + +

rArr = = minus + + （4-43）

看起來有點繁但是在有圓形對稱的系統極座標會表現得更清楚

面積微分元素

直角座標把平面分割成一個個的

小方塊也就是依照「x 與 y 方向的

長度變化」可以寫出「面積元素」

dA dx dy= sdot （像是切長方形的蛋糕）

比較 ˆ ˆdr dxx dyy= + 可以看出

dA＝(x-方向的長度變化)times(y-方向的長度變化)

4-18

所 以 在 「 極 座 標 」 比 照 辦 理

ˆˆ ˆ( ) ( )dr dr r rdr dr r rdθθ= + = +

dA dr rd rdrdθ θ= sdot = (4-44)

像是切圓形蛋糕

ex15 求一個半徑 R 的圓的面積

解 2 2

2

0 0

22

R RA dA rdrd rdr d Rπ

θ θ π π= = = = sdot =int intint int int

妳可以試試用直角座標dA dx dy= sdot 算一下圓的面積

Ex16 求一個半徑 R質量 M密度σ 的均勻圓盤繞其直徑的轉動慣

量解 質量元素 dAdm σ= 到轉軸（直徑）的距

離 sinr θ=

2 2 2 2

23 2

0 0

4 22 2

sin

sin

14 4 4

R

I dm dA r rdrd

r dr d

R RR MR

π

σ σ θ θ

σ θ θ

σ π σπ

= = =

=

= = =

int int intintint int

娛樂一下算半個圓盤繞通過圓心且垂直盤面的軸的轉動慣量

ex 17 計算積分2xI e dx

infinminus

minusinfin

= int

解 2 2

0

2x xI e dx e dxinfin infin

minus minus

minusinfin

= =int int2 22

0 0

2 2x yI I I e dx e dyinfin infin

minus minusrArr = sdot = sdotint int

2 2 2 22

2 ( )

0 0 0 0 0 0

4 4 4x y r rI e dxdy e dA e rdr d

π

θinfin infin infin infin infin

minus + minus minusrArr = = =int int int int int int

在上面的積分裡我們運用了一個有關「無窮大平面」的技巧就是「無

4-19

窮大的平面」是可以是「正方形」或是「圓形」的

2

2

22

00 0 0

22

4 2 2( )2 2 2

(4 45)

u u u

x

dulet u r du rdr rdr

duI e d e du e

I e dx

π

π πθ π

π

infin infininfinminus minus minus

infinminus

minusinfin

= rArr = rArr =

rArr = = sdot = minus sdot =

rArr = = minus

int int int

int

ex18 重力位能

由位能差的定義 )()()( BAWBUAU rarrequivminus

（B）圓柱座標 cylindrical coordinates

3D 空間點 P(x y z)的位置向量 ˆ ˆ ˆr xx yy zz= + +

定義「圓柱座標」 ( )zρ ϕ 其中

0 [0 )P zρ ρ ρequiv ge there4 isin infin點 到 軸之垂直距離

ϕ ρequiv 在 x-y 平面的投影與 x 軸之夾角 [02 ]ϕ πisin

z zequiv同直角座標的

4-20

「圓柱座標」就是「極座標」（用 ( )ρ ϕ 取代 ( )r θ ）再加上第三維 z

所以圓柱座標 ( )zρ ϕ 裡 zρ 的因次為長度而ϕ 只是一個數字

( )zρ ϕ 與(x y z)間的轉換如下

2 2 cos

tan sin

x yx

y yx

z zz z

ρρ ϕ

ϕ ρ ϕ

⎧ = +=⎪ ⎧

⎪ ⎪= =⎨ ⎨⎪ ⎪ =⎩=⎪⎩

（4-46）

「圓柱座標」的三個方向單位向量 ˆ ˆ ˆ zρ ϕ 如圖

且 ˆ ˆ zρ ϕperp perp 可以看出ρ 的等值面為一個圓柱

面ϕ 的等值面是一扇門z 的等值面為一個垂

直 z 軸的平面但是

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( ) zρ ρ ϕ ϕ ϕ ϕ= = =常數

柱座標的位置向量 r 如左圖

ˆ ˆr zzρρ= + （4-47）

在柱座標寫位移元素dr 有兩種作法一

種是直接由（4-47）式取微分元素 借用

平面極座標的結果可得

ˆ ˆ ˆ( ) ( )

ˆ ˆ ˆdr d d dzz

d d dzzρ ρ ρ ρ

ρρ ρ ϕϕrArr = + +

= + + （4-48）

但也可以由三個座標方向的

位移來看由左圖可得沿 ρ 方向

的長度變化 ie 當座標ρ 有變

化dρ 時產生的長度變化就是

dρ 沿ϕ 的長度變化為 dρ ϕ

而沿 z 方向的長度變化為 dz

4-21

dr 是一個向量有三個分量ρ -分量就是沿 ρ 方向的長度變化

dρ ϕ -分量沿ϕ 的長度變化為 dρ ϕ 而 z-分量就是沿 z 方向的長度變

化為 dz合併寫出

ˆ ˆ ˆdr d d dzzρρ ρ ϕϕ= + +

與（4-48）式完全相同但是這種由幾何角度得到的結果要更方便

也更直觀Fig 27 非常重要因為只要你能把圖畫出來位移的各

分量就寫得出來有了位移元素dr 速度與加速度就可得出

ˆ ˆ ˆ (4 49)

ˆ ˆ ˆ( ) (2 ) (4 50)

drv zzdtdva zzdt

ρρ ρϕϕ

ρ ρϕ ρ ρϕ ρϕ ϕ

rArr = = + + minus

rArr = = minus + + + minus

由上圖與dr 的 3 個分量可得圓柱座標的體積元素

dV d d dz d d dzρ ρ ϕ ρ ρ ϕ= sdot sdot = （4-51）

ex19 底面半徑 R高 h 的圓柱體積＝ 2 2

2

0 0 0

22

R h RV dV d d dz h R hπ

ρ ρ ϕ π π= = = sdot sdot =int int int int

ex20 底面半徑 R高 h 的「圓錐」體積＝

解本圓錐裡點的座標分佈為 [02 ] [0 ]z hϕ πisin isin ( )zρ ρ=

( ) ( )( )

h z h Rz h zz R h

ρρminus

= rArr = minus

22( )( ) 2 2

0 0 0 0 0 0

002 2 2 3 2 32 2 2

2 2 2 20

( )2 2

2

1( )3 3 3

R h zzh h hh

h

h h

R h zhV d dz d d dz d dz

R R R u R hh z dz u du R hh h h h

ρ π

τ ρ ρ ϕ π ρ ρ π

π π π π π

minus

minus minus

minusthere4 = = = =

= minus = = = =

int int int int int int int

int int

如果我們把 3-D 的三個座標寫為 1 2 3( )u u u 或 123iu i = 當座

標 ui(在 ˆiu 方向)變動 dui 時造成的長度變化為 id 則定義

4-22

i i id h duequiv (4-52)

其 中 hi 稱 為 座 標 ui 的 度 量 係 數 (metric

coefficient)由 zρ 的因次為長度所以 zρ 的變

化 d dzρ 就是長度的變化所以 1 1zh hρ = =

然而ϕ 的變化造成的長度變化為

d d hϕ ϕρ ϕ ρ= rArr = (4-53)

很明顯的直角座標 xyz 都是長度所以度量係數 1x y zh h h= = =

(C) 球座標 spherical coordinates

3D 點 P(x y z)的位置向量 ˆ ˆ ˆr xx yy zz= + + 定義

「圓柱座標」 )( ϕθr 其中

[0 ] [0 ]

[02 ]

r P rr zr x y x

θ θ πϕ

ϕ π

⎧ equiv isin infin⎪

equiv isin⎪⎨

equiv minus⎪⎪ isin⎩

原點到 的距離

與 軸的夾角

在 軸投影與 軸的夾角

球座標的ϕ 與住座標的ϕ 相同

( )r θ ϕ 與(x y z)間的轉換如下下列為（4-54）

2 2 2

2 2 2

sin coscos sin sin

cos

tan

r x y zx r

z y rx y z z r

yx

θ ϕθ θ ϕ

θ

ϕ

⎧⎪ = + +⎪ =⎧⎪ ⎪= =⎨ ⎨

+ +⎪ ⎪ =⎩⎪⎪ =⎩

三個座標的單位向量 )ˆˆˆ( ϕθr 如左圖一可以看

出 r 的等值面是一個球面θ 的等值面為一個

以原點為頂點的圓錐ϕ 的等值面為一扇門

位置向量 ˆr rr= （4-55）

4-23

位移由 ˆ ˆˆ( )r θ ϕ 3 個方向的「長度

分量」可得 ˆ ˆˆ ( ) ( sin )dr rdr rd r dθ θ ϕ θ ϕ= + +

（4-56）

所以體積元素

2

( )( sin )(sin )

d dr rd r dr dr d d

τ θ θ ϕ

θ θ ϕ

=

= （4-57）

Fig 31 和 Fig 27 一樣重要只要

你能畫得出來就可以寫出球座

標位移的三個分量

ex21 求一半徑 R 的球體積 2

2 2 3

0 0 0

4sin sin3

R

V d r dr d d r dr d d Rπ π

τ θ θ ϕ θ θ ϕ π= = = =int intintint int int int

ex22 求一質量 M半徑 R密度 ( )3 4 3M Rρ π= 的實心球對直徑

旋轉的轉動慣量

解質量元素 2 sindm d r dr d dρ τ ρ θ θ ϕ= = 到 z 軸的垂直距離為 sinr θ=

22 4 3

0 0 0

5 52

sin

4 8 225 3 15 5

RI dm r dr d d

R R MR

π πρ θ θ φ

πρ π ρ

= =

= sdot sdot = =

intintint int int int

娛樂一下空心球對直徑的轉動慣量

(4-46)式與(4-54)式說明柱座標和球座標與直角座標之間的轉

換Fig 32 可得出柱座標和球座標之間轉換

2 2

sintan

cos

r zr

zz r

ρρ θ

ρϕ ϕ θθ ϕ ϕ

⎧ = += ⎪⎧

⎪ ⎪= =⎨ ⎨⎪ ⎪=⎩ =⎪

⎩

（4-58）

4-24

Ex23 點 P 的球座標為（31200 600）求柱座標＝

解2 3 33sin3 2πρ ⎛ ⎞= =⎜ ⎟

⎝ ⎠

23

ϕ π= 2 33cos3 2

z π minus⎛ ⎞= =⎜ ⎟⎝ ⎠

直角座標柱座標球座標單位向量之間的轉換

三種座標之間的轉換由(4-46)式(4-54)式與（4-58）式表出但

三種座標裡的的三個單位向量 ˆ ˆ ˆ x y z ˆ ˆ ˆ zρ ϕ ˆ ˆˆ r θ ϕ 若以 123ˆ iu =

表示則單種座標的單位向量之間都有正交歸一關係

ˆ ˆi j iju u δsdot = 與外積的循環關係

ˆ ˆ ˆ i j ku u u i j ktimes = cyclic in 123

ie 1 2 3 2 3 1 3 1 2ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ u u u u u u u u utimes = times = times = or ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆˆ ˆ r z z x yθ ϕ ϕ ρtimes = times = times =

然而不同座標系的單位向量之間關係如何我們畫圖來討論

球座標 ˆ ˆˆ( )r θ ϕ rarr直角座標 ˆ ˆ ˆ( )x y z

單位向量都是用來指方向的球座標的 ˆ ˆˆ( )r θ ϕ 都是「方向角」( )θ ϕ

的函數 r 在直角座標可以由 Fig33 看出

ˆ ˆ ˆ ˆsin cos sin sin cosr x y zθ ϕ θ ϕ θ= + + （4-59）

ex24 P 點的球座標為2 75 3 6π π⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠

試用球座標與直角座標求 P 點的位

置向量的單位向量 解位置向量 ˆr rr= 在球座標只有 r-分量標位置仔細一點把方向

角標出2 7ˆ 3 6

r π π⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

通常只是寫 r 令人有點摸不著頭緒用直角

4-25

座標比較「具像」 2 7 2 7 2ˆ ˆ ˆ ˆsin cos sin sin cos3 6 3 6 3

3 3 1ˆ ˆ ˆ4 4 2

r x y z

x y z

π π π π π⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞minus minus minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + +⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

單位向量θ 在某一組 ( )θ ϕ 的指向如 Fig 34a將θ 平移至原點更清楚

Fig34b 是由側面看 Fig34a可以看到θ 在 z 軸的投影為 sinθminus 而θ 在

x-y 平面的投影為cosθ使得θ 在 x-軸的投影為cos cosθ ϕy-軸投影

為cos sinθ ϕ於是

ˆ ˆ ˆ ˆcos cos cos sin sinx y zθ θ ϕ θ ϕ θ= + minus （4-60）

單位向量ϕ 如 Fig 35a 所示是在 x-y 平面畫出

Fig 35b 為自 z 軸向下看 Fig35a 圖可以看出ϕ 在 z 軸投影為 0且

ˆ ˆ ˆsin cosx yϕ ϕ ϕ= minus + （4-61）

ex25 一個質點的速率為 2( ) ( sin tan )v r rθ ϕ θ ϕ= 若經查該質點的運

動 是 在 z = 3 平 面 做 逆 時 針 圓 周 運 動 則 當 位 置 的 方 向 角

4-26

2( ) 4 3π πθ ϕ ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

時計算其速度用球座標與直角座標表出

解圓運動速度方向是沿切線所以球座標 ˆ ˆ( )v v v rϕ θ ϕ ϕ= =

z = 34πθ =

3 3 21cos cos 24

z zrπθ

rArr = = = =⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

所以該處的瞬時速率

2 2

2( ) 3 3 4 3

2 1 813 3sin tan 3 3 ( 3)4 3 22

v r v π πθ ϕ

π π

⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

⎡ ⎤ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = times minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

2 81 2ˆ3 3 4 3 2 4 3

v r π π π πθ ϕ ϕ⎛ ⎞ ⎛ ⎞rArr = = = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

在直角座標2 2 2ˆ ˆ ˆ sin cos

4 3 3 3x yπ π π πϕ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠3 1ˆ ˆ

2 2x y= minus minus

而且點23 3

4 3π π⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠

的直角座標為

2 1 3 3sin cos 3 3sin cos 3 34 3 2 22 2

x r π πθ ϕ minus minus⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

2 3 9sin sin 3 3sin sin 3 34 3 2 2 2 2

y r π πθ ϕ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = = =⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

z = 3

23 3 4 3

v π π⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

3 3 9 81 3 1ˆ ˆ 32 2 2 2 22 2

v x y⎛ ⎞ ⎛ ⎞

rArr = minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

以上兩個例子都只討論只有一個圓座標分量的向量in general 向量

ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( )r x y zA r rA A A A r xA yA zAθ ϕθ ϕ= + + hArr = + + （4-61）

若已知球座標的分量 ( )rA A Aθ ϕ 如何得到直角座標的

( )x y zA A A

4-27

ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( )ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( )

ˆ ˆˆˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( )

x r

y r

z r

A x A r x r A x A x A

A y A r y r A y A y A

A z A r z r A z A z A

θ ϕ

θ ϕ

θ ϕ

θ ϕ

θ ϕ

θ ϕ

⎧ = sdot = sdot + sdot + sdot⎪⎪ = sdot = sdot + sdot + sdot⎨⎪

= sdot = sdot + sdot + sdot⎪⎩

（4-62）

由式（4-59）（4-61） ˆ ˆ ˆ ˆsin cos sin sin cosr x y zθ ϕ θ ϕ θ= + + （4-59） ˆ ˆ ˆ ˆcos cos cos sin sinx y zθ θ ϕ θ ϕ θ= + minus （4-60）

ˆ ˆ ˆsin cosx yϕ ϕ ϕ= minus + （4-61） ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆsin cos cos cos sin ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆsin sin cos sin cos ˆ ˆˆˆ ˆcos sin 0

x r x x

y r y y

z r z z

θ ϕ θ θ ϕ ϕ ϕ

θ ϕ θ θ ϕ ϕ ϕ

θ θ θ ϕ

⎛ ⎞sdot = sdot = sdot = minus⎜ ⎟

rArr sdot = sdot = sdot =⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟sdot = sdot = minus sdot =⎝ ⎠

（4-63）

sin cos cos cos sin sin sin cos sin cos

cos sin 0

x r r

y RS

z

A A AA A M AA A A

θ θ

ϕ ϕ

θ ϕ θ ϕ ϕ

θ ϕ θ ϕ ϕ

θ θ

⎛ ⎞minus ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟rArr = equiv⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟minus⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

（4-64）

其中 SRM 為由球座標分量轉為直角座標分量的轉換矩陣且行列式

det SRM =1 表示反矩陣存在then 1SRM minus 就是將直角座標分量轉為球座

標分量之轉換矩陣其實嚴格講 (4-64)式還不是最終的表示因為

轉換完的直角

座標應該全部以 x y z 表出這裡保留用 θ ϕ 只是為了簡潔方便

習題 2 Find 1SRM minus

習題 3 用 xyz 表出(a)sinθ (b)cosθ (c)sinϕ (d)cosϕ

Ans (a)2 2

2 2 2sin

x yx y z

θ+

=+ +

(b)2 2 2

cos zx y z

θ =+ +

(c)2 2

sin yx y

ϕ =+

(d)2 2

cos xx y

ϕ =+

習題 4 用上面結果將 SRM 用 xyz 表出

Ex26 Given a field ( )A r θ ϕ ＝ ˆ ˆˆ2 3r θ ϕ+ minus in spherical coordinates

find the field in rectangular coordinates （直角座標）

4-28

解這裡的 ( )A r θ ϕ 不因其三個分量都是常數而只是「一個」向量

而是一 vector field這是因為 ˆ ˆˆ r θ ϕ 都不是定值而與 θ ϕ 有關而如

果 ( )A r θ ϕ 表示則單位向量所對應的角度 θ ϕ 必須要標定所以

sin cos cos cos sin 2sin sin cos sin cos 3

1cos sin 0

x

y

z

AAA

θ ϕ θ ϕ ϕ

θ ϕ θ ϕ ϕ

θ θ

⎛ ⎞minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ minusminus⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

(2sin 3cos )cos sin(2sin 3cos )sin cos

2cos 3sin

x

y

z

AAA

θ θ ϕ ϕθ θ ϕ ϕ

θ θ

+ +⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟rArr = + minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟minus⎝ ⎠ ⎝ ⎠

習題 5 Draw a diagram to show in the cylindrical coordinates

(a) ˆ ˆ ˆcos sinx yρ ϕ ϕ= + (b) ˆ ˆ ˆsin cosx yϕ ϕ ϕ= minus + (c) ˆ ˆz z=

習題 6 use the above results show that 由柱座標分量轉為直角座標分

量的轉換矩陣

x

y CR

z z

A AA M AA A

ρ

ϕ

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟=⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

CRM =

2 2 2 2

2 2 2 2

0cos sin 0sin cos 0 0

0 0 10 0 1

x yx y x y

y xx y x y

ϕ ϕ

ϕ ϕ

minus⎛ ⎞⎜ ⎟+ +⎜ ⎟⎛ ⎞minus⎜ ⎟⎜ ⎟

= ⎜ ⎟⎜ ⎟+ +⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

Ex27 Express vector ˆ ˆ ˆ(3cos ) 2 5A zρ ϕ ϕ ρ= minus + in Cartesian

coordinates Specifically the A at the position of (2 2 3π -3)

解

2cos sin 0 3cos 3cos 2 sinsin cos 0 2 3cos sin 2 cos

5 50 0 1

x

y

z

AAA

ϕ ϕ ϕ ϕ ρ ϕϕ ϕ ρ ϕ ϕ ρ ϕ

⎛ ⎞minus ⎛ ⎞+⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟= minus = minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

so that A (2 2 3π -3)= 3 3 3ˆ ˆ ˆ3 3 3 54 4

x y z⎛ ⎞⎛ ⎞+ + minus +⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠注意本

題裡 z 座標並非一變數

4-29

sect 43 Fields and its properties 場與其性質

「場 field」是什麼凡是在「某個空間中每一點」都有定義的量

就是一個「場」所以「場」也稱為「點函數 point function」簡單的

說凡是「空間的函數」都是「場」如果這個「空間的函數」是一個

純量 u(xyz)那麼 u(xyz)就是一個「純量場 scalar field」例如室內

的溫度 T(xyz)一塊豬肉的密度 ( )x y zρ 大氣中的壓力 p(xyz)等

都是純量場如果這個「空間的函數」是一個向量 )( zyxA 那麼

)( zyxA 就稱為「向量場 vector field」例如空間中的電場 )( zyxE

水流中的速度場 )( zyxv 重力場 )( zyxg 等等很顯然的不論是純量

場還是向量場「場」在空間中的分佈通常未必是均勻的那麼她有

什麼性質呢例如一塊豬肉內部密度是如何變化的水流中有沒有

漩渦大氣中的等壓線是如何變化的等等那麼有沒有什麼量可以

有系統的描述各種場的分佈有我們在以下分別討論

sect 431 Gradient of scalar fields 純量場的梯度

考慮一個純量場 f(xyz)可以視為 3 個變數 xyz 的函數當變數變動為

x+dx y+dy z+dy 時造成 f 的變化

f f fdf dx dy dzx y zpart part part

= + +part part part

（4-65）

由幾何意義來看上式更為具體上式表示純量場 )(rf 基於位置的變化

r r drrarr + (或由 ( ) ( )x y z x dx y dy z dzrarr + + + )所造成 f 的變動

我們現在定義一個向量算符 vector operator nabla (or nabla )（讀做 del）

ˆ ˆ ˆx y zx y zpart part part

nabla equiv + +part part part

(4-66)

如果將 del 作用在純量場 )(rf 上將產生出現一個新的「向量場」 fnabla

稱為純量場「 )(rf 的『梯度 gradient』」

4-30

ˆ ˆ ˆ( ) f f fgrad f f x y zx y zpart part part

equiv nabla = + +part part part

（4-67）

這使得由於任意位移 ˆ ˆ ˆdr xdx ydy zdz= + + 所造成 f 的變化量

df f drrArr =nabla sdot （4-61）

ex28 Given scalar field 2( )f r xy z= and 2 2 2

1 1( )g rrx y z

= =+ +

(a) find the value of ( )f r and fnabla at point P(2 1-1) 解 2(21 1) 2 1 ( 1) 2f minus = times times minus = minus

2 2 2

2 2

ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( )

ˆ ˆ ˆ( ) ( 2 ) ( )

f x xy z y xy z z xy zx y z

x y z y x yz z xy

part part partnabla = +

part part part

= +

＋

＋

ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ(21 1) ( 1) (2 2) (2) 4f x y z x y znabla minus = minus + timesminus = minus minus＋ ＋2 (b) find the value of ( )g r and gnabla at the point P

解2

1 1(21 1)62 1 1

g minus = =+ +

2 2 2 12 2 2 2 12

2 2 2 12

ˆ ˆ( ) ( )

ˆ ( )

g x x y z y x y zx y

z x y zz

minus minus

minus

part partnabla = + + + + +

part partpart

+ +part

＋

2 2 2 32 2 2 2 32 2 2 2 32

2 2 2 32 3 2

ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( )

ˆ ˆ ˆˆ( )( )

OR OR

xx yy zzgx y z x y z x y zxx yy zz r r

x y z r r

minus minus minusrArrnabla = + +

+ + + + + +minus + + minus minus

= = =+ +

32

ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ(2 ) 2(21 1)6 6 6

x y z x y zg minus + minus minus minus +rArrnabla minus = =

由 gnabla 看到一個粉常用的結果就是

3 2

ˆ1 ORr rr r r

minus minusnabla = = （4-62）

順便比較一下

2 2 2 12 2 2 2 12 2 2 2 12

2 2 2 12

ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( )

ˆ ˆ ˆ( ) ˆ (4 63)( )

r x x y z y x y z z x y zx y zxx yy zz r r

x y z r

part part partnabla = + + + + + + +

part part part+ +

= = = minus+ +

＋

4-31

(c) what is the angle between (21 1)fnabla minus and (21 1)gnabla minus

解 (21 1)fnabla minus (21 1)gsdotnabla minus ＝（ ˆ ˆ ˆ4x y zminus minus ＋2 ） sdotˆ ˆ ˆ26 6x y zminus minus +

＝2 4 2 4

6 6 3 6+ +

= ＝ | (21 1) |fnabla minus | (21 1) |gnabla minus cosθ

＝ 34 1 1 211 16 4 cos cos

6 6θ θ+ +

+ + =

1 4 2cos 07773 7

radθ minus ⎛ ⎞= =⎜ ⎟

⎝ ⎠

要注意隨然nabla有向量的性質但是他並不是一個真的向量真

實向量 A與純量 f ( )r 的乘法滿足交換率ie ( ) ( )Af r f r A= 但是

f fnabla ne nabla因為

( )f rnabla ＝ ˆ ˆ ˆf f fx y zx y zpart part part

+ +part part part

是一個向量函數而

ˆ ˆ ˆ( )f r x y zx y z

⎛ ⎞part part part+ +⎜ ⎟part part part⎝ ⎠

是一個算符（operator）

若nabla要與向量場 A 作用由於nabla與 A 都具有向量的性質先看「內積」

ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ( )

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

x y z

x y

z

y yx xz z

A x y z xA yA zAx y z

x y z xA x y z yAx y z x y z

x y z zAx y z

A AA AA Ax x x y x zx y z x y z

⎛ ⎞part part partrArrnablasdot = + + sdot + +⎜ ⎟part part part⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞part part part part part part= + + sdot + + + sdot⎜ ⎟ ⎜ ⎟part part part part part part⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞part part part

+ + + sdot⎜ ⎟part part part⎝ ⎠part partpart partpart part

= sdot + sdot + sdot + sdotsdot sdot = + +part part part part part part

yx zAA AAx y z

partpart partnablasdot = + +

part part part (4-64)

上式中的 Anablasdot 是向量場 A 的一個重要的性質稱為 A 的「散度」詳

細的內容在後面會仔細討論這裡引進 Anablasdot 主要是要表明nabla是個「算

符」表示一個運算不是一個真實的向量只是在「直角座標」裡

4-32

因為單位向量 ˆ ˆ ˆ x y z 是常數不受微分的作用以致nabla表現得好像也

是個一般的向量一樣事實上真實向量和nabla間的「內積」就不滿足交

換率

x y zA A A A an operator Ax y zpart part part

sdotnabla = + + = ne nablasdotpart part part

(4-65)

這也使得任意向量場 ( )A r 因位置變動 r r drrarr + 而產生的變化由於

)( zyxA 也是 3 個變數 xyz 的函數可以寫為

( )A A AdA dx dy dz dr Ax y z

part part part= + + = sdotnabla

part part part （4-66）

ex29 (a)Given field 2ˆ ˆ ˆ2A xxy y x zyz= minus + find Anablasdot at point (1-12)

解2( ) (2 ) ( ) 2xy x yzA y yz

x y zpart part part

nablasdot = + + = +part part part

(1 12)1 2( 1)2 3A

minusnabla sdot = minus + minus =

(b) find rnablasdot 解 rnablasdot = 3x y zx y zpart part part

+ + =part part part

梯度的意義

由（4-67）可以看到「f 的梯度 fnabla 」

是一個由「純量場 f」衍生出的向量

場由（4-26）也可以看出 fnabla 扮演類

似「變化率」的角色

空間中將相同值 f ( )r ＝f1 的點連

起來就得到一個 f ( )r ＝f1 的「等值面」如 Fig36考慮純量場 f( r )的

相鄰兩個等值面各對應定值 1f f= 與 1f f df= + 0df gt P1 點在 f1

等值面上相鄰兩點 P2P3 在 1f df+ 等值面上而向量 1 2 ˆnP P dn e dn= =

過 P1 點垂直於 f1 等值面 1 3 ˆP P d e d= = 與 ˆne dn夾角為α 由於不

論 1 2P Prarr 或 1 3P Prarr f 的變化量都是 df 但因距離 dn 係兩等值面最

4-33

短的距離d dngt 所以 1 2P Prarr 或 1 3P Prarr 造成的「變化率」df dfdn d

gt

而過 P1 點的最大變化率為dfdn

換言之向量 ˆndfedn

為過 P1 點垂直於

f1 等值面且指向最大「增加率」的方向 現在要證明

ˆndfe fdn

= nabla （4-67）

考慮 1 3P Prarr 造成的 f 值的變化率

ˆ ˆcos n ldf df dn df df e edl dn dl dn dn

α= = = sdot

ˆ ˆ ˆn l ndf dfdf e e dl e dldn dn

rArr = sdot = sdot

和（4-61）式df f dr= nabla sdot 相比即可得證 ˆndfe fdn

= nabla 所以可以知道

空間純量場 f ( )r 中任一點處的向量 fnabla 必「垂直」於「通過該點的 f的等值面」且指向 f 值最大「增加率」的方向| ( )f rnabla |就是 f 在 r 點

的最大增長率可以進一步定義等值面的「法線 normal」方向為

ˆ fnf

nabla=nabla

（4-68）

結論給定一個純量場 f( r )在每一點 r 可以定義一個稱做「梯度」

的向量 fnabla fnabla 垂直於過 r 點的 f 等值面且指向最 f 大增加率的方向

fnabla 的方向也定義了 f 等值面的法線方向

Ex30 考慮一個 2D 的 scalar field 2( )f x y y x= minus 計算該場在 )20( 的梯度與

法線方向

解 ˆ ˆ ˆ ˆ2f ff x y x yyx ypart part

nabla = + = minus +part part

ˆ ˆ(0 2) 2 2f i jnabla = minus + ˆ ˆ ˆ ˆ2 2 2 2ˆ(0 2)

31 8i j i jn minus + minus +

rArr = =+

4-34

ex31 點電荷 q 置於原點其產生電位為 ( ) qV rr

= 求負梯度qr

minusnabla

解 3

2 2 2 22 2 2

2 ( )2

q q q q x x y zr x rx y z

minuspart minus= rArr = sdot + +

part+ +

3 23

ˆˆ ˆ ˆ( )q ix jy kz r rq q qr r r r

minus + +rArr minusnabla = minus = = （點電荷的電場）

0 0

1 1 r r

noter r= =

nabla rarrinfin rarrinfin∵ 是不定值是因為 r = 0 處為最大值

「增加率」的方向無法確定

ex32 置一熱源於原點空間溫度分佈為1( )

( 2)T r

r=

+求溫度的梯度

解 2 2 2

ˆ( ) ( )( 2) ( 2) ( 2)

x rT r rr rT r

x r r r

minuspart minus

= rArrnabla = =part + + +

此處的負號表示梯

度指向熱源因為距熱源越遠溫度越低 ( 0)note T rnabla = 為不定值

因在最頂點「增加率」的方向無法確定

Ex33 地圖上山脈的等高線上各點的垂直方向由梯度決定現有一座

山是橢球 2)1(4 222 =+++ zyx 在 x-y 平面上方的

部分求地圖上這座山等高線的梯度

解 山高 142 22 minusminusminus== yxzh 所以等高線為橢

圓 222 )1(24 +minus=+ hyx 梯度

( ) ( ) ( )2 2 2 2

2 2

ˆ ˆ4ˆ ˆ2 4 1 2 4 1

2 4

xx y yh x x y y x y

x y x y

minus +part partnabla = minus minus minus + minus minus minus =

part part minus minus

所以自山腳（h=0）登山若由(012)開始 ˆ(01 2) 2h ynabla = minus 但若由

)02(minus 開始爬山 ˆ( 20) 2h xnabla minus = 可見 )02()210( minusnablagtnabla hh 這表

示由 y-軸登山山勢較陡所以「梯度」比由 x-軸登山為大這也更

清楚瞭解「梯度」的幾何意義

4-35

sect 432 Divergence 散度與 Curl 旋度

在(4-66) 我們建立了一個直角座標 vector operator 「del」

ˆ ˆ ˆx y zx y zpart part part

nabla equiv + +part part part

(4-66)

若與向量場 A 做「內積」與「外積」就建構了 A 的「散度」與「旋度」

散度 A A scalaryx zAA Adiv ax y z

partpart partequiv nabla sdot = + + =

part part part （4-69）

旋度

y yz x z x

ˆ ˆ ˆ y z A vector

A AA A A Aˆ ˆ ˆxy z z x x y

x y z

x y z

xcurl A a

A A A

y z

⎧⎪

= nablatimes = part part part =⎪⎪⎨⎪

part part⎛ ⎞ ⎛ ⎞part part part part⎛ ⎞⎪ = minus + minus + minus⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎪ part part part part part part⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎩

(4-70)

這裡定義的只是「散度」與「旋度」所謂「操作型的定義」告訴我

們如何計算的式子事實上她們都具有重要的物理意義我們在後面

會討論

ex34 ˆ ˆA xy yx= minus 求其散度與旋度

解 0 0y xAx ypart part

nablasdot = minus + =part part

ˆ ˆ ˆ y zˆ ˆ ˆ ˆ 0 0 ( 2) 2

0 x y z

xA x y z z

y xnablatimes = part part part = minus + minus = minus

minus

右圖示意了本向量場的分佈看得出像個漩渦也看到算出的旋度

0ne 看來旋度表現的應該是向量場「旋轉的程度」事實上我們在

後面會看到「旋度」表現的就是是向量場在空間各點「旋轉的程度」

本題的向量場在每一點的旋轉程度都一樣

4-36

Ex35 ( )ˆ ˆ ˆ A xx yy zz r= + + = 求其散度與旋度

解 3A rnablasdot = nablasdot = ˆ ˆ ˆ y z

0

x y z

xA

x y znablatimes = part part part =

由場分佈的示意圖可以看出本向量場是自原點向外射出好似在原

點有一個場線的「源頭 source」但是 3Anablasdot = 為一個常數表示好像到

處都有 source同時旋度為 0 也可以配合本場並無旋轉的形象事實

上「散度」表現的就是是向量場在空間各點產生「場線」的 source

記得靜電學裡的庫倫定律 0E ρ εnablasdot = 電場的散度就是「電荷密度」

(電場的 source)前一題的向量場看來對應的場線是封閉的所以沒有

source這也對應了其散度＝0不過一個向量場的散度旋度究竟是

多少應該詳細的計算場分佈圖形有時候不是那麼容易看的清楚

兩個 useful identities (恆等式)

(a) ( ) 0 0f curl of a gradnablatimes nabla = =

(b) ( ) 0 0A div of a curlnablasdot nablatimes = =

pf (a) ( )ˆ ˆ ˆ x y z

x y z

x y z

ff f f

nablatimes nabla = part part part

part part part

( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2xz zxˆ ˆ ˆx y f- f z 0yz yz xy yxf f f f= part minus part minus part part + part minuspart =

這個結果與真實的向量外積 ( ) AA 0=times 有相似之處但是這只是特

例要記得nabla並不是一個真正的向量

( ) ( ) ( )

( )

ˆ ˆ ˆ y zˆ ˆ ˆ x y z

0

x y z y z z y x z z x x y y x

x y z

xy z xz y xy z yz x xz y yz x

xA A A A A A A

A A A

A A A A A A A

nablatimes = part part part = part minus part minus part minus part + part minus part

nablasdot nablatimes = part minuspart minuspart +part +part minuspart =

4-37

此結果與真實的向量運算有相似之處 ( )( )0 (B A) BB B Asdot times = times perp∵

但是這仍只是特例因為我們可由下列例子 ( ) 0A Asdot nablatimes ne 看出事實上

nabla並不是一個真正的向量 Ex36 ˆ ˆ ˆA xy yx zx= minus +

( )

ˆ ˆ ˆ y zˆ ˆ ˆ 0 1 ( 2)

2 0

x y z

xA x y z

y x x

A A x x x

nablatimes = part part part = minus + minus

minus

sdot nablatimes = minus = minus ne

面積元素向量

物理上時常會遇到面積分例如電通量磁通

量等等考慮一個面積元素 ds定義「面積的

方向」為其「法線方向」並定義面積元素向量

ˆnds a dsequiv （4-71）

要注意的是(1)如果 ds 是一個「封閉面

closed surface」（即有裡外之分）的一部

份則 ˆna 定義為「由內向外」(2) 如果 ds

是一個「開放面 opened surface」（即分不

出裡外）的一部份那麼 ds 必被其邊緣

（一個封閉的曲線 C）所包圍這樣在定

出ds 的方向之前要先定義「邊緣曲線」

C 的方向再由右手定則定義 ˆna 的方向

既然面積已為一個向量就可以寫為分量表示以直角座標

ˆ ˆ ˆx y zds xds yds zds= + + (4-72)

那麼這些分量 dsx dsy dsz 會是什麼既然 dsx 的方向是 x 就表示 dsx

是躺在 y-z 平面上所以 dsx 的兩邊是 dy 與 dz rArr xds dydz= 依此類

4-38

推 dsy 的方向是 y 所以躺在 x-z 平面rArr yds dxdz= hellip可以得知

xds dydz= yds dxdz= zds dxdy= （4-73）

不過要注意在寫面積元素時要看討論的面實際

是什麼面上式的三個分量有可能會是負的例如

左圖座落在第一象限的立方體的 A 面方向就在 xminus

方向Arsquo面在 yminus Ardquo面在 zminus 方向寫面積元素最

好是先把討論的面的方向搞清楚把plusmn號寫在單位向量前面那麼分

量就都用＋的即可其實面積元素體積元素都可以由位移元素看出

ˆ ˆ ˆdr xdx ydy zdz= + +

dx dy dz 是沿著 ˆ ˆ ˆ x y z 方向的長度所以面積元素分量的兩邊長度就

是由其中兩個組成而體積的三邊也就是三個垂直方向的長度

x y zdV dx dy dz and ds dydz dxdz dxdyrArr = = （4-74）

這個概念在其他的座標系統也成立我們可以方便的寫出面積元素

Recall 柱座標的位移向量元素

cylindrical coordinate ˆ ˆ ˆdr d d dzzρρ ρ ϕϕ= + + （4-48）

ˆ ˆ ˆ zds ds ds zdsρ ϕρ ϕ= + + (4-75)

dsρ 躺在 zϕ minus 平面dsϕ 在 zρ minus 平面 zds 在ρ ϕminus 平面

rArr zds d dz ds d dz ds d d d dρ ϕρ ϕ ρ ρ ρ ϕ ρ ρ ϕ= = = sdot = （4-76）

上面的結果畫個圖看看吧球座標的位移向量元素

Spherical coordinate ˆ ˆˆ ( ) ( sin )dr rdr rd r dθ θ ϕ θ ϕ= + + （4-56）

ˆ ˆˆ rds rds ds dsθ ϕθ ϕ= + + （4-77）

rArr sin sin rds rd r d ds dr r d ds rd drθ ϕθ θ ϕ θ ϕ θ= sdot = sdot = sdot (4-78)

4-39

向量場 ( )A r 在 S 面上的「面積分（surface integral）」or「flux」

如左圖若有一「平面」S 且其上有「均勻」

場 B 分佈則通過 S 面的通量就是

ˆB B nSΦ = sdot

但考慮一任意「非均勻」向量場 ( )A r 在空間分佈選取任意曲面 S

探討 ( )A r 在 S 上之通量若ds 為 S 面上的面積元素在趨近於 0 的

小面積ds 上 A可視為均勻所以通過ds 之通量為 ( )d A r dsΦ = sdot 則 S

面之總通量為

Φ＝ ˆ cosS S S

A ds A nds A daϕsdot = sdot =int int int

( )OR

x x y y z zS

A da A da A da= + +int (4-75)

稱為 A 在 S 面上的「面積分」或「通量 flux」

上圖所繪就是一個任意面上分割出許多小面積舉出三個位置的通

量有+-與 0如果 S 面是為一「封閉面」則面積分寫為

S

A dssdotint （4-76）

4-40

ex37 Given 2ˆ ˆ ˆyzA xyz yx zx= + + 計算通量S

A dssdotint

S 面為在第一象限邊長＝1 的立方體表面封閉面

解立方體分為前後右左上下六個面分開算 1前面（x=1）

方向 x+ ˆ xA ds A xdydz A dydzsdot = sdot =int int int前 前 前

yzdydz= int前 ＝1 1

0 0

1 1 12 2 4

ydy zdz = sdot =int int

2後面(x=0)方向 xminus ˆ(- ) - xA ds A x dydz A dydzsdot = sdot =int int int後 後 後

yzdydz= minusint後1 1

0 0

-1 1 -12 2 4

ydy zdzminus = sdot =int int

3 右面（y=1）方向 y+ y ( 1)yA ds A dxdz A y dxdzsdot = sdot = =int int int右 右 右

( 1)x y zdxdz= =int右 ＝1 1

0 0

1 1 12 2 4

xdx zdz = sdot =int int

4 左面（y=0）方向 ˆ-y ˆ( y) - ( 0)yA ds A dxdz A y dxdzsdot = sdot minus = =int int int左 左 左

( 0) 0x y zdxdz= = =int左

5 上面（z=1）方向 z+ zz y (z 1) yA ds A dxd A dxdsdot = sdot = =int int int上 上 上

2 yx dxd= int上 ＝1 120 0

1 1y 13 3

x dx d = sdot =int int

6 下面（z=1）方向 ˆ-z zˆ(-z) y - (z 0) yA ds A dxd A dxdsdot = sdot = =int int int下 下 下

2 -1- y3

x dxd= =int下 ＝1 120 0

1 1y 13 3

x dx d = sdot =int int

S

A dssdotint ＝六個面的和＝1 1 1 1 1 1( ) ( 0) ( )4 4 4 3 3 4

minus minus+ + + + + =

ex38 Given ˆ ˆ ˆzA xyz yx zxy= + + 計算通量S

A dssdotint S 為圓 2 2 2x y a+ =

在第一項限的部分方向選為 z+ 2 2y a x= minus

4-41

解 2 2 4

0 0ˆ

8a a x

zS S S S

aA ds A zdxdy A dxdy xydxdy xdx ydyminus

sdot = sdot = = = =int int int int int int

Ex39 In cylindrical coordinate Given ˆ ˆaA zbzρρ

= + where a b are

constants Find S

A dssdotint over the surface of a

closed cylinder about z-axis specified by 3 2z ρ= plusmn =

解S 分為上下與周邊三面

zz (z 3)zA ds A ds A d dρ ρ ϕsdot = sdot = = sdotint int int上 上 上

= 23 3 2 12bd d b bρ ρ ϕ π πsdot = sdot =int上

ˆ(-z)A ds A d dρ ρ ϕsdot = sdot sdotint int下 下

= z- (z -3)A d dρ ρ ϕ= sdotint下 = 23 2 12b bπ πsdot =

周邊ds ˆ ( )d dzρ ρ ϕ= rArr ˆ ( ) z ( ) zA ds A d d A d dρρ ρ ϕ ρ ϕsdot = sdot =int int int周 周 周

2 3

0 3( ) z ( ) z=a 12aA d d d d d dz a

πρ ρ ϕ ρ ϕ ϕ π

ρ minus= = =int int int int周 周

加起來 S

A dssdotint ＝12 24 12 ( 2 )a b a bπ π π+ = +

ex40 一點電荷 q 置於原點計算在一個以原點為圓心 0r 為半徑的球

面上的電通量

解 2 20 0

ˆ ˆ4 4S S

qr q dsE ds rdsr rπε πε

sdot = sdot =int int int

=0 0 0

44 4S

q q qd ππε πε ε

sdot Ω = sdot =int

上式中 dΩ 2dsr

= 是 ds 所張開的「立體角」(solid angle)

4-42

div A and Flux 通量與散度的幾何物理意義

我們運用過nabla的符號來表示過散度 divF F= nablasdot yx zFF Fx y z

partpart part= + +part part part

但是也看到「散度」定義為

0( )

1( ) limSV

about x y z

divF x y z F da divergence of FVΔ rarr

equiv sdot =Δ int (4-77)

其中 VΔ 為 S 面所包含的體積即散

度為通量(體)密度的 0 體積極限

（4-77）的定義與 Fnablasdot 好像差的很

多她們是說同一回事嗎以下證明

這兩種「散度」的定義是等價的如

左圖考慮一個以點 ( ) x y z 為中心

的 立 方 體 其 相 鄰 三 邊 長 為

x y zΔ Δ Δ 體積 V x y zΔ = Δ Δ Δ 現在計算 F 在立方體的一組平行於 y-z平面的表面 S1 與 S2 的通量

( )1 1

ˆ ˆ xS S

F nds F xds F x y z dsrArr sdot = sdot =intint intint intint 2xxF x y z y zΔ⎛ ⎞asymp + Δ Δ⎜ ⎟

⎝ ⎠

其中 2xx y zΔ⎛ ⎞+⎜ ⎟

⎝ ⎠為 S1 面中心的座標而

2xx y zΔ⎛ ⎞minus⎜ ⎟

⎝ ⎠為 S2 面的中心

( ) ( )2 2 2

ˆ ˆ 2x x

S S S

xF nda F x ds F x y z ds F x y z y zΔ⎛ ⎞rArr sdot = sdot minus = minus asymp minus minus Δ Δ⎜ ⎟⎝ ⎠intint intint intint

上式中的負號來自 S2 面的方向是 xminus 所以合併兩個面積分

1 2

ˆ 2 2x x

S S

x xF nds F x y z F x y z y z+

Δ Δ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞rArr sdot asymp + minus minus Δ Δ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦intint

2 2x xx xF x y z F x y z

x y zx

Δ Δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠= Δ Δ Δ

Δ

2 2

x xx xF x y z F x y z

Vx

Δ Δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠= Δ

Δ

1 2

1 2 2ˆ

x x

S S

x xF x y z F x y zF nds

V x+

Δ Δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠rArr sdot asymp

Δ Δintint

4-43

當取體積向(xyz)點收縮至 0 時即 0 x 0as VΔ rarr Δ rarr 上式的近似

「asymp」就成了「＝」

1 20

1 ˆlimV

S S

F ndsVΔ rarr

+

sdotΔ intint

( )0

2 2limx x

x

x

x xF x y z F x y z F x y zx xΔ rarr

Δ Δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟ part⎝ ⎠ ⎝ ⎠= =Δ part

Similarly F 在立方體的一組平行於 x-z 平面的表面 S3 與 S4 的通量

3 3 3

ˆ ˆ yS S S

F nds F yds F dsrArr sdot = sdot =intint intint intint

2

2

y

y

yF x y zyF x y z x z x y z

y

Δ⎛ ⎞+⎜ ⎟Δ⎛ ⎞ ⎝ ⎠asymp + Δ Δ = Δ Δ Δ⎜ ⎟ Δ⎝ ⎠

( )4 4 4

2ˆ ˆ

y

yS S S

yF x y zF nds F y da F ds x y z

y

Δ⎛ ⎞minus⎜ ⎟⎝ ⎠rArr sdot = sdot minus = minus asymp Δ Δ Δ

Δintint intint intint

合併 S3 與 S4 兩個面積分並取體積向(xyz)點收縮至 0 時即當

0 y 0VΔ rarr Δ rarr 上式的近似asymp就成了＝

3 4

2 2ˆ

x x

S S

y yF x y z F x y zF nds V

y+

Δ Δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠rArr sdot cong Δ

Δintint

3 40 0

1 2 2ˆlim lim

x xy

V yS S

x yF x y z F x y z FF nds

V y yΔ rarr Δ rarr+

Δ Δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟ part⎝ ⎠ ⎝ ⎠rArr sdot = =Δ Δ partintint

與上面相同的作法計算 F 在立方體的一組平行於 x-y 平面的表面 S5

與 S6 的通量我們也會得到對應的結果

5 6

2 2ˆ

z x

S S

z zF x y z F x y zF nds V

z+

Δ Δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠rArr sdot cong Δ

Δintint

5 60 0

1 2 2ˆlim lim

z xz

V zS S

z zF x y z F x y zFF nds

V z zΔ rarr Δ rarr+

Δ Δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟ part⎝ ⎠ ⎝ ⎠rArr sdot = =Δ Δ partintint

所以合併立方體的 6 個面積分

4-44

1 2 3 4 5 6

ˆ ˆ ˆ ˆS S S S S S S

F nds F nds F nds F nds+ + +

rArr sdot = sdot + sdot + sdotint intint intint intint

0

1 ˆlim yx zV

FF FF nds div F FV x y zΔ rarr

partpart partrArr sdot = + + = = nablasdot

Δ part part partint (4-78)

在此我們得證這兩種「散度」的定義是等價的只是（4-77）的定義

充分的表現出「散度」的幾何物理意義他從通量著手由於場線

出自於 source（ex電場源自於點電荷）所以在點(xyz)必須有向量場

F 的 source 存在才能使得當面積縮到 0 時仍具有非 0 的通量所以「散

度」表現向量場 F 的 source 在這個定義之下是很清楚的當然在計算

「散度」時我們不必那麼麻煩用 divF F= nablasdot 就好了

Ex41 計算 2ˆ ˆ ˆF xx yxy zyz= + + 的散度

解 2 yx zFF Fx x yx y z

partpart part= = =

part part part F 2x x y 3x ydivrArr = + + = +

recall 在靜電學0

yx zEE EEx y z

ρε

partpart partnablasdot = = + +

part part part

散度定理 Divergence Theorem

若任意封閉面（又稱為「高斯面」）S 所包圍的

體積為 V 則

S VA ds Adτsdot = nablasdotint int （4-79）

pf 我們先將體積分割成 N 個小盒子考慮相鄰的兩個小盒子 1 2

兩小盒子的共用面面積 S0當 S0 是為 1 號盒子的一部份時其方向為

1n 但若當為 2 號盒子的表面時其方向為 12 ˆˆ nn minus= 如此在 S0 分別做

4-45

1 2 盒子的面積分後

0 0

0 0 0 0

1 2

1 2 1 1ˆ ˆ ˆ ˆ 0

S S

S S S S

A ds A ds

F n ds F n ds F n ds F n ds

sdot + sdot

= sdot + sdot = sdot minus sdot =

intint intintintint intint intint intint

所以若求場 A 在 1 2 盒子的總通量時交界面是沒有貢獻的總通量

就只有「外面積」才有貢獻如此我們計算 N 個小盒子的總通量

時所有的內部共用面都得 0只剩下「外表面」的貢獻了當 infinrarrN

時所有小盒子的「總外表面」就與 S 面重合了所以所有小盒子通量

的總和就等於 S 面的通量

1lim

i

N

S SN iA ds A ds

rarrinfin=

rArr sdot = sdotsumint int

現在我們做 N 個小盒子的總通量

1 1

1i i

N N

iS Si i i

A ds A ds VV= =

⎛ ⎞sdot = sdot Δ⎜ ⎟Δ⎝ ⎠

sum sumint int

當 0iN Vrarrinfin rArr Δ rarr 並用 dv 表示體積元素

( ) ( )1 1

1

1lim lim lim

lim

i ii

N N

iS SN N V oi i i

N

i VN i

A ds A ds VV

A V A dv

rarrinfin rarrinfin Δ rarr= =

rarrinfin=

⎛ ⎞sdot = sdot Δ⎜ ⎟Δ⎝ ⎠

= nablasdot Δ = nablasdot

sum sumint int

sum int

( )S V

A da A dvrArr sdot = nablasdotint int QED

所以得證散度定理上式中我們用了散度的（4-77）式定義要分辨

清楚 Anablasdot 是向量場 A 在空間中「某一點」的性質（ 0VΔ rarr ）而「散

度定理」說的是一個「有限體積」的性質

ex42 給定 ( ) ˆ ˆ ˆ A x y z xx yy zz r= + + = 計算在

半徑 R＝1 的球的上半球加底面的通量

4-46

解 ( )ˆˆS

A da A rda A k darArr sdot = sdot + sdot minusint int int上半球面 底面

( )

2

ˆ ˆ

0 2 1 2

A rda A z dxdy

r rds zdxdy rds ds π π

= sdot + sdot minus

= sdot minus = minus = = sdot =

int int

int int int int上半球面 底面

上半球面 底面 上半球面

底面的通量＝0 是因為 A 的 z 分量 Az=z 在底面的值為 0

也可以用散度定理更快的得出結果

∵ 3A rnablasdot = nablasdot =

31 43 3 1 22 3V V

Ad d πτ τ πnablasdot = = sdot sdot sdot =int int

ex43高斯定律的微分形式積 由 Gaussrsquo law 的積分形式用散度定理得出其

( )0 0

1 inS V

qE ds x y z dvρε ε

sdot = =int int

0S V VE ds Edv dvρ

εrArr sdot = nablasdot =int int int

上式最後的等式對「任意形狀」V 都成立所以兩者的被積函數相等

對於空間每一點 0

E ρε

nablasdot = （4-80）

ex44 Use 第一象限的單位力方體 check the divergence theorem using the function 2 2ˆ ˆ ˆ(2 ) 2A y x xy z y yzz= + + +

解2

2( ) (2 )(2 ) 2( )y yzA xy z x yx y z

part part partnablasdot = + + + = +

part part part

and 1 1 1 1 1 1

0 0 0 0 0 02 ( ) 2 ( )

VAdv x y dxdydz dz dy x y dxnablasdot = + = +int int int int int int int

1 1

0 0

1 12 ( ) 2 12 2

dz y dy= + = sdot =int int

面積分 1 1 2

0 0

1ˆ3

A ds A xdydz dz y dysdot = sdot = =intint intint int int前 前

4-47

1 1 2

0 0

1ˆ( )3

A ds A x dydz dz y dy minussdot = sdot minus = minus =intint intint int int

後 後

1 1 2

0 0ˆ (2 )A ds A ydxdz dz xy z dxsdot = sdot = +intint intint int int

右 右

1 1 1 12 2

0 0 0

4(2 ) (1 )3

ydz x z dx dz z

=

= + = + =int int int∵

1 1 2

0 0

0 1 1 12 2

0 0 0

ˆ( ) (2 )

1(1 )3

y

A ds A y dxdz dz xy z dx

dz z dx dz z=

sdot = sdot minus = minus +

minus= minus = + =

intint intint int int

int int int∵

左 左

11 1 1 1

0 0 0 0ˆ 2 2 1

zA ds A zdxdy dx yzdy dx ydy

=sdot = sdot = = =intint intint int int int int

∵

上 上

01 1

0 0ˆ 2 0

zA ds A zdxdy dx yzdy

=sdot = sdot minus = minus =intint intint int int

∵

下 下

前後右左上下六個面積分合併＝1＝V

Advnablasdotint QED

ex45 Continuity Equation 連續方程式

考慮某些「東西」的流動（物質電荷hellip）在時刻 t 時在點(xyz)

的 密 度 為 ( ) x y z tρ ρ= 並 具 有 速 度

( ) v v x y z t= 在時刻 t 時在體積 V 內的總量為

( ) x y z t dρ τintintint

這樣體積 V 內東東的時變率為

( ) ( ) d x y z t d x y z t ddt t

ρρ τ τpart=

partintintint intintint

注意體積分後的時間全微分移入積分內要改為偏微分這個東東

在表面的「流率 flow rate」可表為

ˆS

R v ndsρ= sdotintint

若體積內的物料無法自生自滅那麼體積內物料的變化必經由表面的

流出流入所造成

d v ndstρ τ ρpart

rArr = minus sdotpartintintint intint

由散度定理

4-48

( )ˆS

v nds v d dtρρ ρ τ τpart

sdot = nablasdot = minuspartintint intintint intintint

( )v Jtρ ρpart

rArr = minusnablasdot equiv minusnablasdotpart

0Jtρpart

rArr +nablasdot =part

（4-81）

(4-81) 即 continuity equation其中 J vρ= 為「物流密度」ex如果 ρ

是電荷密度 J 就是電流密度（4-81）是物質守恆的結果只對體

積內無 source（生成）or drain（消滅）的東東成立

ex46 Given a vector field ˆ ˆx yA ye xe= minus + (a) Find

Anablasdot (b)如圖一個金字塔狀的 5 面體高 2 底邊長

1計算 A在整個金字塔表面（封閉面）的總通量

解(a) Anablasdot = ( ) ( ) 0y xx ypart part

minus + =part part

(b) 金 字 塔 的 表 面 面 積 元 素 ds 不 好 寫 所 以 用 散 度 定 理

( )S V

A da A dvrArr sdot = nablasdotint int ＝0 Anablasdot 表示 A沒有 source 所以對封閉面而

言有多少場線進入就有多少出去所以總通量＝0

習題 7 With position vector r for an arbitrary volume V that is

bounded by surface S show that 13 S

r ds Vsdot =int

習題 8 已知一靜電場為 ˆ ˆ ˆ( )E xyz yxz zxyλ= + + 運用 Gaussrsquo law

試求包含在半球 2 2 2 2 0x y z R z+ + = ge 裡的總電荷 Ans 0

習題 9 (a) given ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( 2 )F r xf x yf y zf z= + + minus show that divF is

zero at point (c c -c2) (b) given ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( )G r xf x z yg x z zh x y= + +

show that ( ) 0G rnablasdot =

4-49

習題 10 Find the normal vector n for the surfaces (a) z = 2-x-y ans

ˆ ˆ ˆ( ) 3x y z+ + (b) z = (1-x2)12 ans ˆ ˆxx zz+ (c) z = x2+y2

ans ˆ ˆ ˆ( 2 2 ) 1 4xx yy z zminus minus + +

習題 11 Show that the unit vector normal to the plane ax+by+cz =d is

given by 2 2 2ˆ ˆ ˆ( ) ax by cz a b cplusmn + + + +

圓柱座標與球座標的nabla (del)

考慮一純量場在直角座標為 ( ) u x y z 在圓柱座標表為 ( ) u zρ φ

再考慮因位移 r r drrarr + 所造成 u ( )zρ φ 的變化

( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆz

z

u u udu d d dz u dr u d d zdzz

u u z u d d zdz

u d u d u dzρ ϕ

ρ ϕ

ρ ϕ ρ ρ ϕρ ϕρ ϕ

ρ ϕ ρ ρ ϕρ ϕ

ρ ρ ϕ

part part part= + + = nabla sdot = nabla sdot + +part part part

⎡ ⎤= nabla + nabla + nabla sdot + +⎣ ⎦= nabla + nabla + nabla

( ) ( ) ( )1

1ˆ ˆ ˆu

z

u u uu u uz

u u uzz

ρ ϕρ ρ ϕ

ρ ϕρ ρ ϕ

part part partrArr nabla = nabla = nabla =

part part partpart part part

rArrnabla = + +part part part

1ˆ ˆ ˆ zz

ρ ϕρ ρ ϕpart part part

nabla = + +part part part

（4-82）

注意nabla的ϕ -分量( 1ρ ϕ

partpart

)不是像直角座標裡單純的ϕpartpart

所以不要笨笨

的就把直角座標的形式硬套上去用我們也可以從「因次分析」來

看nabla因為是對空間的微分所以每一項的因次必須是「長度分之一」

運算 andzρ

part partpart part

都是「長度分之一」而「單純的ϕpartpart

」是沒有單位的

所以要1ρ ϕ

partpart

才 OK

由於圓柱座標裡的單位向量除了 z 之外 ˆ( )ρ ϕ 與 ˆ( )ϕ ϕ 都不是常

4-50

數所以在微分時不可以與微分運算交換而要考慮微分的作用所

以在「圓柱座標」寫「散度」 ( ) F zρ ϕnablasdot 也和直角座標不一樣

( )1ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ zF z F F zFz ρ ϕρ ϕ ρ ϕ

ρ ρ ϕpart part part⎛ ⎞

nabla sdot = + + sdot + +⎜ ⎟part part part⎝ ⎠

( ) ( )1ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆz zF F zF F F zFρ ϕ ρ ϕρ ρ ϕ ϕ ρ ϕρ ρ ϕpart part

= sdot + + + sdot + +part part

( )ˆ ˆˆ ˆ zz F F zFz ρ ϕρ ϕpart

+ sdot + +part

因為 ( ) ( )ˆ ˆ ˆ ˆ ρ ρ ϕ ϕ ϕ ϕ= = 所以做 andzρ

part partpart part

時 ˆ ˆ ρ ϕ 可視為常數

ˆ ˆ1ˆ ˆ ˆ zF F F FF F Fz

ρ ρ ϕρ φ

ρ ϕϕ ρ ϕρ ρ ϕ ϕ ϕ ϕ

part part part⎡ ⎤part part partrArrnablasdot = + sdot + + + +⎢ ⎥part part part part part part⎣ ⎦

還記得 ˆ ˆ ˆ ˆd d d dρ ϕ ϕ ϕ ρ ϕ= = minus 所以 ˆ ˆρ ϕϕpart

=part

ˆ ˆϕ ρϕpart

= minuspart

rArr

( )1 1 1z zF F F FF FF Fz z

ρ ρ ϕ ϕρρ

ρ ρ ρ ϕ ρ ρ ρ ϕpart part part part

nablasdot = + + + = + +part part part part part part

（4-83）

在球座標寫nabla也會遇到相似的問題其根源就是球座標 ( )r θ ϕ 裡

的 θ ϕ 的因次並非長度而三個單位向量 ˆ ˆˆ r θ ϕ（表為 ie ）都是( θ ϕ )

的函數以致

( )ˆ ˆ( ) ( )i ie f e fθ ϕ θ ϕθ θpart part

nepart part

且 ( )ˆ ˆ( ) ( )i ie f e fθ ϕ θ ϕϕ ϕpart part

nepart part

所以nabla也不似在直角座標那麼簡單我們不在這裡推導而是給出一

個歸納的統一的三個座標的結果還記得對每一個座標 iu i = 123

座標的變化 idu 與造成的長度變化 id

i i id h du= 123i = (4-84)

其中 ih 為對應的度量係數(metric coefficient)

4-51

1 2 3

1 1 2 2 3 3

1 1 1ˆ ˆ ˆu u ue e eh u h u h u

part part partnabla equiv + +

part part part （4-85A）

座標 1 2 3 u u u

度量係數

1 2 3 h h h

nabla grad del

直角 x y z

1 1 1 nabla ˆ ˆ ˆx y z

x y zpart part part

equiv + +part part part

圓柱

zρ ϕ

1 1ρ

1ˆ ˆ ˆ z

zρ ϕ

ρ ρ ϕpart part part

nabla equiv + +part part part

球

r θ ϕ

1 sinr r θ

1 1ˆ ˆˆ

sinr

r r rθ ϕ

θ θ ϕpart part part

nabla = + +part part part

（4-85B）

梯度gradient Vnabla grad(V) 散度divergence Anablasdot div( )A

直

角 nablaV ˆ ˆ ˆV V Vx y z

x y zpart part part

= + +part part part

yx zAA AAx y z

partpart partnablasdot = + +

part part part

圓

柱

1ˆ ˆ ˆ V V VV zz

ρ ϕρ ρ ϕpart part part

nabla = + +part part part

( )1 1

1

z

z

A AA Az

A A A Fz

ϕρ

ρ ρ ϕ

ρρ ρ ρ ϕ

ρ ρ ρ ϕ

partpart partnabla sdot = + +

part part partpart part part

= + + +part part part

球

1 1ˆ ˆˆ sin

V V VV rr r r

θ ϕθ θ ϕ

part part partnabla = + +

part part part

22

1 ( )rA r Ar r

partnabla sdot =

part

1 (sin )sin

Ar θθ

θ θpart

+ sdotpart

1sin

Ar

ϕ

θ ϕpart

+part

(4-86)

Ex47 Using spherical coordinate show that 1| |r r

nablaminus

= 2

ˆ| |

r rer r

minusminusminus

where

nabla是作用在 r 而 ˆr re minus 是向量 r rminus 方向的單位向量 解let r lies in z-axis so that the angle between r and r is just θ

4-52

rArr ( ) 122 21 1 2 cos | | ( ) ( )

r rr rr r r r r r

θminus

= = minus +minus minus sdot minus

( ) ( )12 122 2 2 21 1ˆˆ 2 cos 2 cos | |

r r rr r r rr rr r r r

θ θ θθ

minus minuspart partnabla = minus + + minus +

minus part part

( ) 322 21ˆ 2 cos (2 2 cos )2

r r rr r r rθ θminusminus

= minus + minus

( ) 322 21ˆ 2 cos (2 sin )2

r rr r rrθ θ θminusminus

+ minus +

3 3 3 3

ˆˆ ˆ( cos ) sin ( cos sin )ˆˆ| | | | | | | |r r r rr r rrr r r r r r r r

θ θ θ θ θθminus minus minus minus minus= + = +

minus minus minus minus

3 3 3ˆ ( )

| | | | | |r r z r r r rr r r r r rminus + minus + minus minus

= = =minus minus minus

＝ 2

ˆ| |

r rer r

minusminusminus

QED

證明最後我們用到 ˆˆˆ cos sinz r θ θ θ= minus 而 ˆ r r z= 因為我們選了 r 是

躺在 z-軸 Ex48 For arbitrary scalar field ( )f r and vector field ( )A r 證明恆等式

( )fA f A f Anablasdot = nabla sdot + nablasdot (4-87) 解 ˆ ˆ ˆx y zfA xfA yfA zfA= + +

( ) ( ) ( ) ( )x y zfA fA fA fAx y zpart part part

rArrnablasdot = + +part part part

yx zx x x

AAf f f AA f A f A fx x y y z z

partpartpart part part part= + + + + +part part part part part part

yx zx y z

AAf f f AA A A fx y z x y z

part⎛ ⎞partpart part part part= + + + + +⎜ ⎟part part part part part part⎝ ⎠

f A f A= nabla sdot + nablasdot QED 習題 12 一個位於原點的電偶極電偶極矩＝ ˆp pz= 已知其在遠處

的電位為 20

cos4p

rθ

πε試證該處的電場強度為 E = 3

0

ˆˆ( 2cos sin )4

p rr

θ θ θπε

+

(已知 E V= minusnabla )並請計算 Enablasdot ＝

習題 13 給定一向量場2

3cosˆD r

rϕ

= 現有兩個球心在原點的同心球

內球半徑 R＝1外球 R＝2(a)求面積分S

D dssdotint S 為同心球殼的表

面（有內外兩個面）(b)求體積分V

Ddvnablasdotint V 為兩同心球之間的

區域本題也是來 check 散度定理的Ans πminus

4-53

The Laplacian operator 2nabla equivnablasdotnabla

在直角座標可以用直接作用得到

2 2 2

22 2 2u u uu u

x y zpart part part

nabla equiv nablasdotnabla = + +part part part

(4-88)

圓柱座標

2 2

22 2 2

1 1( ) u u uu uz

ρρ ρ ρ ρ ϕ

part part part part⎛ ⎞nabla equiv nablasdot nabla = + +⎜ ⎟part part part part⎝ ⎠

(4-89)

球座標

2

2 22 2 2 2 2

1 1 1sinsin sin

u u uu rr r r r r

θθ θ θ θ ϕ

part part part part part⎛ ⎞ ⎛ ⎞nabla = + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟part part part part part⎝ ⎠ ⎝ ⎠ （4-90）

習題 14 verify (4-89) and (4-90)

習題 15 Given a dipole potential V= 20

cos4p

rθ

πε find 2Vminusnabla

sect 433 Line integral and curl A 線積分與與旋度的物理意義

線積分路徑積分

考慮一曲線 C 通過兩點 ( )i i i iP x y z 與

( )f f f fP x y z 現有一向量場 ( )A x y z 定義在

C 所在的空間若 sd 為 C 上位於(xyz)點的

「路徑元素」（ ˆd td= 方向沿該處切線）而

( )A x y z 為路徑元素d 處的場值則沿 C 經歷各點所做積分

cos cosf

CC C iA d Ad A dϕ ϕrarr rarrsdot = =int int int （4-91）

稱為向量場 ( )A x y z 沿路徑 C 自 pi 至 pf 的「線積分」「或「路徑積分」

積分裡 A 取值的點侷限在路徑 C 上面若為一個「封閉路徑」則對

C 的線積分也稱做「環路積分 closed contour integral」記做

C

A dsdotint （4-92）

4-54

物理量「做功」是最標準的線積分之一力 F 自 x = a 至 x = b「沿線」

x 軸做功

W＝ F dxsdotint ＝ ( )b

xaF x dxint （4-93）

質點在力場 )(rF 裡走一條曲線 C則力場做功

CW F d= sdotint （4-94）

還記得如果 ( )F r 是所謂「保守力」則上式只與始末點有關而與

路徑無關但如果 ( )F r 是所謂「非保守力」則做功與確實的路徑 C

有關

現考慮一質點在空間運動的位置 r 落在由曲線 C

描述的路徑則質點的位移元素與曲線 C 的路徑元

素相同 d dr= 若空間有向量場 A 分佈則 A 在 C 的

路徑積分以直角座標表示為

CA drarr rarrsdotint ＝

CA d rrarr rarrsdotint ＝ ( )x y zC

A dx A dy A dz+ +int （4-95）

上式中的 x y z 的積分限由 C 決定

Ex49 2 2 2ˆ ˆ ˆA xx yy zzrarr= + + 選定一路徑 C 為曲線

2y x= 由 (000)到 (2 20)的部分求C

A dsdotint

解 ˆ ˆd xdx ydy= +∵

CA dsdotint ＝ 2 2( )

Cx dx y dy+int ＝

2 22 2

0 0x dx y dy+int int

＝ )24(32

+

或由 2y x= rArr 2ydy dx= 2 12

y dy xdxrArr =

rArrC

A dsdotint ＝2 2

0

1( )2

x x dx+int ＝2 (4 2)3

+

4-55

ex50 ˆ ˆ( )f x y z xy yx= minus Do C

f dsdotint 其中的路徑 C 為一逆時針三角

形如圖 解∵路徑全部在 x-y 平面 ˆ ˆ ˆd td xdx ydy= = +

rArrC

f dsdotint ＝ x yC

f dx f dy+int ＝C

ydx xdyminusint

由於在 C1 上 y = 0 及 dy = 0 所以 01

=intC 又由於在

C3 上 x = 0 及 dx =0所以 03

=intC 所以只剩下 C2 可

能有貢獻由 2C 的方程式x + y =1rArr ⎩⎨⎧

minus=minus=

xyyx

11

rArr2Cydx xdyminusint ＝

0 1

1 0(1 ) (1 )x dx y dyminus minus minusint int ＝

0 12 2

1 0

( ) ( )2 2x yx yminus minus minus ＝-1

Cf dsdotint ＝-1

ex51 ( )f x y zrarr

= 2ˆ ˆxx yxyminus 如右圖doC

f dsdotint 其

中路徑 C 為第一象限的逆時針 14 圓弧

解∵ 全部在 x-y 平面 ˆ ˆd xdx ydy= +

Cf dsdotint ＝ 2

Cx dx xydyminusint

由於在 C 上 cosx R ϕ= rArr sindx R dϕ ϕ= minus

siny R ϕ= rArr cosdy R dϕ ϕ=

rArr 2

Cx dx xydyminusint ＝

2 2 2 2

0cos ( sin ) sin cos cosR R d R R d

πϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕminus minus sdotint

23 2

02 cos sinR d

πϕ ϕ ϕ= minus int ＝

323Rminus

又路徑為圓周一部份所以適合用極座標表示

ˆd Rdϕ ϕ= 又由左圖將 ˆ ˆx y 拆解（投影）到 ˆˆr ϕ

ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆcos sin sin cosx r y rϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ= minus = +

4-56

( )2ˆ ˆ ˆˆ ˆ( cos sin ) ( sin cos )C C

f d r x r xy Rdϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕsdot = minus minus + sdotint int 2

2 2 2

0

sin (cos )

sin ( cos ) (cos ) cos sin

Cx Rd xyRd

R Rd R Rdπ

ϕ ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ

= minus minus

= minus minus

intint

23 2

02 cos sinR d

πϕ ϕ ϕ= minus int ＝

323Rminus

這也驗證了散度定理

Path Independence 路徑獨立性

Ex52 證明庫倫力為「保守力」考慮

電荷 q0 位於原點及電荷 q 位於

( )r x y zrarr= q 受力 F

rarr＝ 0

20

14

qq urπε

and

求庫侖力作功因為球形對稱所以

用球座標由 ˆ ˆ ru rr

= = rArr Frarr

= 03

04qq r

rπε

庫侖力由 P1 至 P2 做功為 2

1

P

CPF drarrsdotint ＝

2

1

02

0

ˆ ˆ ˆˆ sin4

P

PC

qq r rdr rd r dr

θ θ ϕ θ ϕπε

⎡ ⎤sdot + +⎣ ⎦int ＝2

1

02

04P

P

qq drrπεint

＝20

2104

r

r

qq drrπε int ＝ 0

0 1 2

1 1( )4qq

r rπεminus for all C

所以庫侖力兩點間做功與路徑無關rArr保守力

對於「保守力 conservative force」 cF 自 p1 經

由兩條不同的路徑 C1 與 C2 到達 p2

1 ccF drarrsdotint ＝

2 ccF drarrsdotint ＝-

2 ccF drarr

minussdotint

rArr1 2c cc cF d F drarr rarr

minussdot + sdotint int = cF d

rarrsdotint ＝0 (4-96）

對於任何「封閉路徑」保守力做功為 0反之若

對任一封閉路徑 0F drarrsdot neint 則兩點之間的做功與路徑有關

rarr

F 為「非

保守力」

4-57

旋度 curl Anablatimes 的幾何物理意義

我們在（4-70）式已經看過旋度的計算方式但旋度另有其意義的

ex53 給定向量場2 2

0ˆ yv yv e λrarr

minus= 左圖為場的分佈

2 20

ˆ ˆ ˆ

0 0x y z

y

x y zcurl v

v e λ

rarr

minus

= part part part ＝ ˆ ˆ ˆ0 0 0 0x y zsdot minus sdot + sdot =

我們用了簡寫 x yx ypart part

part equiv part equivpart part

可以看出這個場裡沒有「漩渦」

但是有無「漩渦」有時也不是那麼明顯可以看出的請見下一個例子

Ex54 給定向量場2 2

0ˆ xv yv e λrarr

minus= 計算其旋度 vnablatimes

解向量場 vrarr

畫在右邊你看得出有無漩渦

先計算旋度

2 20

ˆ ˆ ˆ

0 0x y z

x

x y zcurl v

v e λ

rarr

minus

= part part part2 2

2 2

0

0

ˆ

ˆ 2 0 0

x

x

z v ex

z v xe for x

λ

λ

minus

minus

part=

part

= minus ne ne

vrarr

的旋度在大部分的地方不為 0 且隨位置而不同但是你看得出這個

向量場裡有「漩渦」其實要檢驗一個向量場裡有無「漩渦」有一

個很物理的方法就是放一個小「螺旋槳」（左圖）

在場內將軸朝各個方向測試一

下如果有「漩渦」的話這個

小「螺旋槳」就會轉動右圖就是將「螺旋槳」的

軸平行於 z 軸且放在 x gt 0 的地方就可以看出左

邊的 v 場比右邊的強造成螺旋槳順時針轉動rArrcurlv zminus for x gt 0

但如果放在 x = 0 的地方就會看到左右兩端的 v 場強度相同而且

4-58

curlv = 0 「螺旋槳」放在 x lt 0 的地方就可以看出右邊的v 場比左

邊的強造成螺旋槳逆時針轉動這完全符合 curl v k+ 的結果

環路積分與旋度 curl 的物理意義

如同「散度」一樣「旋度」除了 Ftimesnabla 之外

還有一個物理意義更清楚的定義這個定義由

「線積分」說明如圖考慮做「逆時針」長方形

路徑 C1 的一個「環路積分」C1 面平行於 x-y 平

面由 z-軸看下去環路 C1 可以分為可以分為

下 CB上 CT右 CR左 CL 4 部分

CA drarrsdotint ＝

B T L RC C C CA d A d A d A drarr rarr rarr rarrsdot + sdot + sdot + sdotint int int int

分別計算由於 CB 的中點座標為 ( )2yx y zΔ

minus

ˆB BC C

A d A xdxrarr rarrsdot = sdot =int int

BxC

A dxint ( )2xyA x y z xΔ

asymp minus Δ

similarly 由於 CT 的中點座標為 ( )2yx y zΔ

+

ˆ( )T TC C

A d A xdxrarr rarrsdot = sdot minus =int int

TxC

A dxminusint ( )2xyA x y z xΔ

asymp minus + Δ

合併 CB 與 CT

B TC CA drarr

+sdot =int

( ) ( )2 2x xy yA x y z A x y z

x yy

Δ Δ⎡ ⎤minus + minus minus⎢ ⎥⎣ ⎦ Δ ΔΔ

（4-97）

由 C1 所圍的面積 S x yΔ = Δ Δ

1B TC C

A dS

rarr

+sdot =

Δ int( ) ( )

2 2x xy yA x y z A x y z

y

Δ Δ⎡ ⎤minus + minus minus⎢ ⎥⎣ ⎦Δ

（4-98）

所以當取極限 C1 收縮到中心(xyz)時 SΔ 收縮到 0ie

4-59

0limsΔ rarr

1B TC C

A dS

rarr

+sdot =

Δ int xAy

partminuspart

（4-99）

Similarly with CR 的 ˆd ydy= CL 的 ˆd ydy= minus 可得

1L RC C

A dS

rarr

+sdot =

Δ int x

zyxxFzyxxF yy

Δ

Δminusminus

Δ+ )

2()

2(

（4-100）

同樣的當取極限 C1 收縮到中心(xyz)時 SΔ 收縮到 0

0

limsΔ rarr

1L RC C

A dS

rarr

+sdot =

Δ int yAx

partpart

（4-101）

最後合併 CBCTCRCL 為 C1

10

1limCs

A ds

rarr

Δ rarrsdot =

Δ int y xA Ax y

part partminus

part partˆ ( ) ( )zz A A= sdot nablatimes = nablatimes （4-102）

注意 C1 的方向就是在 z 上式的重要

意義是當向量場 A 在一個以點(xyz)為

中心「方向為 z 」的面積元素的「邊界」

所做的環路積分得到的就是 A 在(xyz)

處旋度的 z-分量明顯的只有當 A 在

(xyz)附近有 x-y 平面上的「漩渦」那麼 C1 的環路積分才不會為 0

Similarly 取一個逆時針繞著(xyz)的平行於 x-z 平面的長方形環路 C2

（左圖）做環路積分再取極限將 C2 收縮到(xyz)就會得到

20

1limCs

A ds

rarr

Δ rarrsdot =

Δ int x zA Az x

part partminus

part partˆ ( ) ( )yy A A= sdot nablatimes = nablatimes （4-103）

注意到 C2 所包圍的面積方向就在 y到

現在我們應該已經很有經驗了若取一

個逆時針繞著(xyz)的平行於 y-z 平面

的長方形環路 C3（左圖）做環路積分

再取極限將 C3 收縮到(xyz)就會得到

4-60

30

1limCs

A ds

rarr

Δ rarrsdot =

Δ int yz AAy z

partpartminus

part partˆ ( ) ( )xx A A= sdot nablatimes = nablatimes （4-104）

能把（4-103）與（4-104）變出來的同學我們有優待綜合以上

我們可以得到一個結論若取一個以點(xyz)為中心的任意環路 Cn（其

所包圍的面積方向在 n ）則

n curl Aand rarrsdot ＝

0

1lims

Cn

A ds

rarr

Δ rarrsdot

Δ int （4-105）

明顯的當 n ＝ x 或 y 或 z 時我們可以重複（4-102）到（4-104）的

結果（4-70）式的行列式所定義的旋度在此看見其幾何物理意義

至此「旋度」的「漩渦」形象應該已經很清楚了只有在(xyz)點附

近的小圈圈上有「漩渦」 A 在小圈圈做的環路積分才會有值這個

值就是向量場 A 的「旋度」在小圈圈面積方向的分量

Stokersquos 定理

考慮一個開放面 S被其「有方向的」邊界 C 圈住(bounded by)則

( )S

A dsrarr rarrnablatimes sdotint ＝

C

A drarrsdotint （4-106）

pf 先將 S 面分割為 N 個多邊形這會使得邊界變成一個「折線」形

成的環路 P環路 P 會隨著分割的多邊形個數的增多而越加近似於原

「光滑的」邊界 C現考慮相鄰的

兩個多邊形的線積分由於共用邊

的方向是相反的所以相鄰兩個多

邊形線積分的和只剩「外邊界」（見左圖）所以當把所有的多邊形的

4-61

線積分加起來時由於只有邊界 P 不是多邊形的共用邊所以

1k

N

k C

A drarr

=

sdotsum int ＝P

A drarrsdotint rArr

P

A drarrsdotint ＝

1

1

k

N

kk k C

A d l ss

rarr rarr

=

⎡ ⎤sdot Δ⎢ ⎥

Δ⎢ ⎥⎣ ⎦sum int

其中 ksΔ 為第 k 個多邊形的面積取極限 0kN srarrinfinrArrΔ rarr P CrArr rarr

C

A drarrsdotint ＝

10

1limkk

N

kN k k Cs

A d ss

rarr

rarrinfin=Δ rarr

⎡ ⎤sdot Δ⎢ ⎥

Δ⎢ ⎥⎣ ⎦sum int 01

ˆlim ( )k

k kskn A s

infin

Δ rarr=

⎡ ⎤= sdot nablatimes Δ⎣ ⎦sum

01

ˆlim ( )k

k kskA n s

infin

Δ rarr=

= nablatimes sdot Δsum = ( )S

A dsrarr

nablatimes sdotint QED

ex55 由 Amperersquos law 的積分形式導出其微分形式

解Amperersquos law 的積分形式 C

B drarrsdotint ＝ I0μ (4-107)

由 Stokersquos 定理及電流密度 j 的定義上式等號兩端可寫為

rArr ( )S

B dsrarr rarrnablatimes sdotint ＝ 0 S

j dsμrarrsdotint

由於上面的等式對任意面 S（路徑 C）都成立所以被積函數相等

0B jμrarr rarr rarr

rArrnablatimes = (4-108) 此即 Amperersquos law 的微分形式

Ex56 Given a vector field ˆ ˆx yA ye xe= minus + (a) Find Anablatimes

解

ˆ ˆ ˆˆ ˆ(1 ( 1) 2

0x y z

x y zA z z

y xnablatimes = part part part = minus minus =

minus

(b)如圖一個金字塔狀的 5 面體高 2底邊長＝1計算 ( )S

A dsnablatimes sdotint

其中 S 為金字塔在 x-y 平面以上的部分方向如同

封閉的金字塔（運用 Stokersquos law）

解金字塔上表面的面積元素ds 不好寫由 Stokersquos

4-62

law ( )S

A dsrarr rarrnablatimes sdotint ＝

C

A drarrsdotint 其中封閉路徑 C 就是上表面的邊界而且

是逆時針（由 z 軸向下看）

C

A drarrsdotint ＝

1 1 0 0

0 0 1 1ˆ ˆ ˆ ˆA xdx A ydy A xdx A ydysdot + sdot + sdot + sdotint int int int

＝1 1 0 0

0 0 1 1x y x yA dx A dy A dx A dy+ + +int int int int 1 1 0 0

0 0 1 1( 0) ( 1) ( 1) ( 0)y dx x dy y dx x dy= minus = + = + minus = + =int int int int

0 1 1 0 2 ( ) 2S

A ds= + + + = rArr nablatimes sdot =int

旋度與 path independence

已知保守場 cF 對所有封閉路徑 C 0cC

F drarrsdot =int 由 Stokersquos 定理

0cC

F drarrsdot =int ＝ ( )cS

F dsrarr rarrnablatimes sdotint rArr 0cF

rarr rarrnablatimes =

這表示保守場＝無旋度反之無旋度的場任兩點間路徑積分與路

徑無關

Ex57 Given a field 2 2ˆ ˆ ˆ2A x xy yx zz= + minus (a) Find Anablatimes A 保守場

解2 2

ˆ ˆ ˆ

2x y z

x y zA

xy x znablatimes = part part part

minus

( ) ( ) ( )2 2 2 2ˆ ˆ ˆ( ) 2 ( ) 2 0y z z x x yx z x y xy z z x xy= part minus minuspart + part minuspart minus + part minuspart =

yes A =保守場

(b)如左圖由 A 到 B 做路徑積分A BC

A drarr

sdotint 路徑 C 為橢圓

22 1

16yx + = 在 x-軸以上的部分

解橢圓部分的路徑元素 d 有點麻煩但因為 A

為保守場所以 A 到 B 做路徑積分可以用 x = -1 到

1 的積分取代

4-63

01 1 1

1 1 1ˆ 2 0

yB

xAA d A xdx A dx xydx

=

minus minus minussdot = sdot = = =int int int int

∵

旋度在柱座標與球座標

前面討論過nabla在不同座標系的寫法旋度也有歸納出的一致寫法

座標 1 2 3 u u u

度量係數

1 2 3 h h h

nabla grad del

直角 x y z

1 1 1 nabla ˆ ˆ ˆx y z

x y zpart part part

equiv + +part part part

圓柱 zρ ϕ

1 1ρ

1ˆ ˆ ˆ zz

ρ ϕρ ρ ϕpart part part

nabla equiv + +part part part

球 r θ ϕ

1 sinr r θ

1 1ˆ ˆˆ sin

rr r r

θ ϕθ θ ϕ

part part partnabla = + +

part part part

所以柱座標與球座標的旋度分別表為

柱座標

ˆ ˆ ˆ1

z

z

Az

AA Aρ ϕ

ρ ρϕ

ρ ρ ϕρ

part part partnablatimes =

part part part （4-109）

球座標 2

ˆ ˆˆ sin1sin

sinr

r r r

Ar r

A rA r Aθ ϕ

θ θϕ

θ θ ϕθ

part part partnablatimes =

part part part （4-110）

ex58 (a) Given the vector function ˆA ϕ= sin (ϕ 2) find Anablatimes

解 2

ˆ ˆˆ sin1sin

0 sin( 2) 0

r r r

Ar r

r

θ θϕ

θ θ ϕϕ

part part partnablatimes =

part part part

4-64

21 ˆˆ cos sin sinsin 2 2 2

rr rr

ϕ ϕθϕθ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

ˆˆ cos sin2 sin 2 2

rr r

ϕ ϕ ϕθ

minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

(b)如左圖一個底面在 x-y 平面半徑＝1高＝2 之圓錐 求面積分

SA dsnablatimes sdotint 面積範圍 S 為圓錐在 x-y 平面以上

部分 方向為由圓錐內向外

解由 Stokersquos law ( )S

A dsrarr rarrnablatimes sdotint ＝

C

A drarrsdotint 其中路

徑 C 為 x-y 平面圓心在原點之單位圓 ˆ ˆd rd dϕ ϕ ϕ ϕ= =

2

0ˆ ˆsin sin

2 2C

d dπϕ ϕϕ ϕ ϕ ϕ⎛ ⎞ ⎛ ⎞sdot =⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠int int ( )0

2 sin u duπ

= int 0cos | 2u π= minus =

習題 16 磁場 B 因為不是保守場所以沒有對應的純量位而對應一

個向量位 A (vector potential)而 B A= nablatimes 一個磁鐵的磁偶極矩

ˆm mz= 被置於原點已知在遠處的 vector potential 03ˆ sin

4mAr

μϕ θπ

=

計算該處的磁場 B Ans 03

ˆˆ( 2cos sin )4

mB rr

μ θ θ θπ

= + 與電偶極遠處

的電場形式一致都是偶極(dipole) 選幾個點畫一畫該處的場向量

把磁力線描出來

附錄本章講義的內容有部分可以經由直接計算得出列在附錄做為

參考

用「圓柱座標」寫 Atimesnabla

Ararr rarrnablatimes ＝ ( )1ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ zz A A zA

z ρ φρ ϕ ρ ϕρ ρ ϕpart part part⎛ ⎞+ + times + +⎜ ⎟part part part⎝ ⎠

4-65

因為rdquo sdotrdquo與rdquotimes rdquo都是向量間的運算所以

＝ ( )ˆ ˆ ˆ ˆ zA A zAρ φρ ρ ϕρpart

times + +part

＋ ( )1ˆ ˆ ˆ ˆ zA A zAρ φϕ ρ ϕρ ϕ

parttimes + +

part

＋ ( )ˆ ˆˆ ˆ zz A A zAz ρ φρ ϕpart

times + +part

直接做上式微分可以得到

＝1ˆ z AA

zϕρ

ρ ϕpart⎛ ⎞part

minus⎜ ⎟part part⎝ ⎠＋ ˆ zA A

zρϕ

ρpart⎛ ⎞part

minus⎜ ⎟part part⎝ ⎠＋

1 1ˆ ( )A

z A ρϕρ

ρ ρ ρ ϕpart⎛ ⎞part

minus⎜ ⎟part part⎝ ⎠

上式可以用一個行列式來表示

rarrrarr

timesnabla A＝

ˆ ˆ ˆ1

z

z

zA A Aρ ϕ

ρ ρϕ

ρ ρ ϕρ

part part partpart part part

（A-1）

A and Anabla nablasdot nablatimes in 球座標 spherical coordinate

如上圖球座標 )( ϕθr 其中 )0[ infinisinr ]0[ πθ isin ]20[ πϕ isin 只有 r

是長度而 ϕθ 為角度是用來說明方向的三個座標的單位向量 ˆ ˆˆ r θ ϕ 具

有下列性質

4-66

1 如上圖 ˆ ˆˆ r θ ϕ 都不是常數而是（ ϕθ ）的函數

ˆ ˆ( )ˆ ˆ( )ˆ ˆ( )

r r θ ϕ

θ θ θ ϕϕ ϕ ϕ

⎧ =⎪

=⎨⎪ =⎩

)( ϕθr 與(xyz)之間的轉換如下

sin cossin sincos

x ry rz r

θ φθ φθ

=⎧⎪ =⎨⎪ =⎩

( )122 2 2

2 2

tan

tan

r x y z

x yz

yx

θ

φ

⎧ = + +⎪⎪ +⎪ =⎨⎪⎪ =⎪⎩

（A-2）

2 ˆ ˆˆ r θ ϕ 形成一「歸一正交集」ie

ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ 1r r θ θ ϕ ϕsdot = sdot = sdot = ˆ ˆr θ ϕperp perp

ˆ ˆr θ ϕtimes = ˆ ˆ rθ ϕtimes = ˆˆ rϕ θtimes = （A-3）

3可以很容易的由他們在 xyz 軸上的投影由直角

座標的 ˆ ˆ ˆ x y z 表出

ˆ ˆ ˆ ˆsin cos sin sin cos ( 4 )ˆ ˆ ˆ ˆcos cos cos sin sin ( 4 )ˆ ˆ ˆsin cos ( 4 )

r x y z A a

x y z A bx y A c

θ φ θ φ θ

θ θ φ θ φ θϕ φ φ

= + + minus⎧⎪

= + minus minus⎨⎪ = minus + minus⎩

4 ˆdr = 由於 ˆ ˆ( )r r θ φ= 所以由 ϕθ 的變動來看

4-67

ˆ ˆˆ| |ˆ ˆˆ| | sin sin

d r d d

d r d d

θ θθ θθ

φ θ φφ θ φφ

⎧ rArr =⎪⎨

rArr =⎪⎩rArr ˆ ˆˆ sindr d dθ θ φ θ φ= + （A-5）

rArrˆ ˆr θθpart

=part

ˆ ˆsinr θφφpart

=part

（A-6）

（A-6）的結果也可以直接由（A-4a）對 ϕθ 偏微得到

5 ˆdθ ＝ 由於 ˆ ˆ( )θ θ θ φ= 所以由 ϕθ 的變動來看

ˆ ˆ ˆ| | ( )ˆ ˆ ˆ| | cos cos

d d r d r

d d d

θ θ θ θ

φ θ θ φφ φ θ φ

⎧ rArr minus = minus⎪⎨

rArr =⎪⎩rArr ˆdθ ＝ ˆˆ cosrd dθ φ θ φminus + （A-7）

ˆrθ

θpart

rArr = minuspart

ˆ ˆcosθ φ θφpart

=part

（A-8）

請直接由（A-4b）對 ϕθ 偏微的結果 check（A-8）

6 ˆdφ ＝由於φ )(ϕ 躺在 x-y 平面上變動φ時的方向可能不是那麼

容易看出來所以做圖看一看

ie ˆ ˆˆ(sin ) (cos )d r d dφ θ φ θ θ φ= minus minus （A-9）

4-68

ˆ ˆˆsin cosrφ θ θ θφpart

= minus minuspart

7 所有的向量 ˆ ˆˆ rA rA A Aθ φθ φrarr= + +

8 位置向量 ˆr rrrarr=

可以由左圖 ˆ ˆˆ r θ ϕ 三個方向的「長度

變化」輕易的看出

9 位移元素

ˆ ˆˆ ˆ sindr rdr rd dθ θ ϕ θ φ= + + (A-10)

10 體積元素

sindv dr r d rdθ φ θ= sdot sdot

＝ 2 sinr dr d dθ θ φ (A-11)

11 面積元素 2 sinrds r d dθ θ φ= plusmn sinds r drdθ θ φ= plusmn ds rdrdφ θ= plusmn (A-12)

plusmn號表示面的垂直方向有兩個端看 ds 周邊的方向是如何定的

nabladel 考慮 ( )u u r θ φ=

rArru u udu dr d dr

θ φθ φ

part part part= + +part part part

u d rrarr rarr

equiv nabla sdot

urarr

= nabla sdot ˆ ˆˆ( sin )rdr rd dθ θ φ θ φ+ +

rArr1 1ˆ ˆˆ

sinu u uu rr r r

θ ϕθ θ φ

rarr part part partnabla = + +

part part part

1 1ˆ ˆˆsin

rr r r

θ ϕθ θ φ

rarr part part partnabla equiv + +

part part part （A-13）

4-69

直接用（A-13）與 ˆ ˆˆ rA rA A Aθ φθ ϕrarr= + + 逐項內積加上（A-678）

rArr ϕθ

θθθ

ϕθ part

part+

partpart

+partpart

=sdotnablararrrarr A

rA

rAr

rrA r sin

1)(sinsin1)(1 2

2 （A-14）

（A-13）與 ϕθ ϕθ AAArA r

andandandrarr

++= 逐項外積整理之後

ϕθ θϕθ

ϕθθ

θArrAA

r

rrr

rA

r sin

sin

sin1

2 partpart

partpart

partpart

=timesnabla

andandand

rarrrarr

（A-15）

Laplacian uu nablasdotnabla=nabla2

2

2

2222

22

sin1)(sin

sin1)(1

ϕθθθ

θθ partpart

+partpart

partpart

+partpart

partpart

=nablau

ru

rrur

rru （A-16）

B推導「散度」在圓柱座標的寫法

讓我們先回顧一下在直角座標裡的「面積元素」可以由「位移元素」

得到

ˆˆ ˆ x y zdr idx jdy kdz da dydz dxdz dxdy= + + rArr =

比照辦理「圓柱座標」的位移元素

( )ˆˆ ˆ( )

( )z

da d dzdr d d zdz da d dz

da d d

ρ

φ

ρ φ

ρ ρ φ ρ φ ρ

ρ ρ φ

=⎧⎪= + + rArr =⎨⎪ =⎩

這個結論可以輕易的由面積元素在垂直於 zˆˆ ϕρ 三個方向的面積看

出如下圖考慮一個以 )( zϕρ 為中心的「圓柱體積元素」(cylindrical

cubiod)體積為 zdV ΔΔ=Δ ϕρρ 現計算在 ρ

方向的 12 兩個平行面(方向各為 ρplusmn )的通

量

4-70

zzF

dsFdsnFS S

ΔΔ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

+cong

=sdotintint intintϕρρϕρρρ

ρ

2

2

ˆ1 1

zzF

dsFdsnFS S

ΔΔ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

minus⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

minusminuscong

minus=sdotintint intintϕρρϕρρρ

ρ

2

2

ˆ2 2

intint+

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

minus⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

minusminus⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

+Δ

asympsdotΔ

rArr21

22

22

1ˆ1

SS

zFzFdsnFV

ϕρρρρϕρρρρρρ ρρ

( ) ( )

1 20

0

0

1 ˆlim

1lim 2 2 2 2

1 1lim 2 2

1

VS S

F ndsV

F z F z

F z F z

F

ρ ρρ

ρ ρρ

ρ

ρ ρ ρ ρρ ρ φ ρ ρ φρ ρ

ρ ρρ ρ φ ρ ρ φρ ρ

ρρ ρ

Δ rarr+

Δ rarr

Δ rarr

rArr sdotΔ

Δ Δ Δ Δ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + + minus minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥Δ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦Δ Δ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥Δ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

part ⎡ ⎤= ⎣ ⎦part

intint

娛樂一下用上述方式把圓柱的 Fsdotnabla 裡的z

FF z

partpart

+partϕρϕ1

變出來

球座標的nabla和 Fsdotnabla 也可以試試看

補充習題

H M Scheydiv grad curl and all that 4th edition

第二章習題 6 8 9 10 11 14 15 16 18 19 21 22 23 25 26 27

第三章習題 2 3 5 6 7 8 9 10 11 14 15 17 18 19 24

4-12

D B Cα β= + 由於 D 也與 A垂直所以

0A Dsdot = ( ) ( )A B A Cα β= sdot + sdot rArr

let ( ) ( )v v A C v A BA C A Bα β α βminus

= = rArr = sdot = minus sdotsdot sdot

( ) [( ) ( ) ]D A B C B C v A C B A B Cα βthere4 = times times = + = sdot minus sdot

v 會＝1上式對 x 做內積

ˆ ˆ ˆ[ ( )] [( ) ( ) ]

[( ) ( ) ]x x

x A B C v A C B x A B C x

v A C B A B C

sdot times times = sdot sdot minus sdot sdot

= sdot minus sdot

由於內積與外積都是向量間的運算所以上式左邊有

ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ( )x y z x y z

x y z x y z

x y z A x A y A zB C B B B A B C B B B

C C C C C C

times times timestimes = rArr times times =

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( ) 0ˆ [ ( )]

z y

x y z x y z

x y z x y z

x A x x A y x A z A Ax A B C B B B B B B

C C C C C C

sdot times sdot times sdot times minusrArr sdot times times = =

上式用到

ˆ ˆ( ) 0x A xsdot times = ˆ ˆ( )x A ysdot times ＝ ˆ ˆ( ) zA y x Asdot times = minus ˆ ˆ( )x A zsdot times ＝ ˆˆ( ) yA z x Asdot times =

用第 3 列展開行列式得

ˆ [ ( )] ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

x x x y y x z z x

x x x x y y z z x x x x x x

x x

x A B C C A B A B C A B C A B

C A B A B B C A C A C A B A B B A C C A

C A B B A C

sdot times times = minus sdot + + +

= minus sdot + + + = minus sdot + + sdot minus

= minus sdot + sdot1 ( ) ( ) ( )v A B C B A C C A BrArr = rArr times times = sdot minus sdot QED

向量的微分元素（直角座標）

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( ) [( ) ]

ˆ ˆ ˆ

i i i i i i i i i ii i i i

x y x

dA d e A d e A de A e dA e dA

or dA xdA ydA zdA

⎛ ⎞= = = + =⎜ ⎟

⎝ ⎠= + +

sum sum sum sum （4-28）

4-13

上面用了直角座標最方便的性質 ie 為常數 ˆ 0iderArr = 舉「位置向量」

為例

2 2 2 2 2 2 2 2

ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ

ˆ ˆ ˆˆ i i

i x y zi

r xx yy zz dr xdx ydy zdzdr dx dy dzv x y z e xdt dt dt dt

v v v x x y z v v v

= + + rArr = + +

rArr = = + + =

rArr = sdot = = + + = + +

sumsum

（4-29）

sect 42 曲線座標(curvilinear coordinates)

(A) 平面「極座標」polar coordinates ( )r θ

在平面上的一點 P 的直角座標若為(x y)我們可以有另一種標示法

( ) 0 [0 )

[02 ]r P x y r r

x rθ θ π

equiv ge isin infin⎧⎨

equiv isin⎩

由原點到 之距離

軸到 的夾角 （4-30）

以 P )( θr 為座標表同一點 P(xy) )( θr 稱為 P 點的「極座標」「極座

標」與「直角座標」的關係如下

2 2

cos

sintan

r x y x randy y r

x

θθθ

⎧ = + =⎧⎪⎨ ⎨ == ⎩⎪⎩

（4-31）

但是 )( θr 這兩個新座標的單位向量 ˆˆr θ 在什麼方向我們先來回顧

一下座標軸的單位向量的「制訂標準」是

什麼事實上某座標的單位向量的方向

訂在「垂直於該座標『等值面』且指向

該『座標值增長』的方向」舉「直角座

標」為例如右圖由於 x y 軸皆為直線

4-14

所以「等值面」都是平行的平面所以垂直方向皆相同也造成單位

向量 ˆ ˆx y 為常數

由左圖可以看出極座標裡 r 的等值面是一

個圓所以單位向量 r 是「沿徑向向外」但

是隨圓上θ 有所變動時 r 也隨著改變所以 r

「不是一個常量」 ˆ ˆ( )r r θ= 是角度θ 數

如左圖也可看出θ 的等值面為直線所以單位

向量θ 是「沿『切線』逆時針」方向

但如同 r 一樣當θ 值改變時θ 的方向

也改變了所以θ 也「不是一個常量」

)(ˆˆ θθθ = 也是角度θ 的函數可以看出

固定θ 時 ˆr θperp 但是她們都與「角座標」θ 有關由於她們的指向

有時 r 被稱為「沿徑向」之單位向量θ 被稱為

「沿切線」之單位向量極座標和直角座標還

有一個很大的差別就是直角座標的 x y z 的

因次都是「長度」所以當座標改變時 dx dy dz

就是「長度」的改變然而極座標的 r 有長度因

次所以 dr 是長度但是θ 只是一個數字而非長度所以當θ 改變時

dθ 並不代表一個長度的變化dθ 造成的長度變化寫為

d h dθ θ θ= （4-32）

其中的係數hθ 稱為「度量係數」(metric coefficient)很顯然這裡的hθ

必須具有長度的因次「長度」之所以重要是因為位移是長度各個

座標的度量係數我們會在後面仔細討論

座標系的選用以方便為準系統的對稱性是重要的考量所以有

立方對稱的系統通常用直角座標而有圓對稱的系統則用極座標

4-15

Ex13 半徑 5圓心在原點的圓方程式在直角座標為 2 2 25x y+ =

但是在極座標就是 5r = 而已

位置位移速度與加速度

直角座標的描述很簡單

ˆ ˆˆ ˆ

ˆ ˆ

r xx yy

r xx yy

dr dxx dyy

= +

Δ = Δ + Δ

= +

位置

位移

位移元素

（4-33）

2 2

2 2

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( )

ˆ ˆ( )

ˆ ˆ ˆ ˆ( )

x ydr dx dyv t x y xx yy v x v ydt dt dt

dv t dxx dyydv dx dy d x d ya t i j i jdt dt dt dt dt

rArr = = + = + = +

rArr = +

rArr = = + = +

瞬時速度

速度變化元素

瞬時加速度

（4-34）

在極座標由於單位向量 θr 不再是常數 ˆˆ 0 0dr dθrArr ne ne 所以

ˆ

ˆ ˆ( )ˆ ˆ

r rrr r r r r

dr drr rdr

=

Δ = Δ + Δ

rArr = +

位置

位移

位移元素

(4-35)

現在有一個問題 ˆ dr = 由下圖 r 的變化由 dθ 而來

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( )ˆ ˆ

ˆˆ ˆ ˆ0 ( ) ˆˆ

r r dr r d rdr r d d

d dr r dr

dr d

θ θ θ θθ θ

θ θ θ

θθ

= rArr = + minus

= =

rarr rArr perp rArr

rArr =

∵

∵ (4-36)

4-16

所以微分的位移為

ˆˆdr drr rdθθ= + （4-37）

上式的幾何意義很清楚dr 的 r 分量 dr 就是「沿

r 方向的長度變化」而θ 分量 rdθ 就是「沿θ 方

向的長度變化」而已或者也可以這麼看dr 是

一個位移向量在平面上有 r 和θ 兩個分量所以 ˆˆrdr d r d θθ= +

α 為在 r 方向的長度變化β 為在θ 方向的長度變化所以 rd dr=

d rdθ θ= 這種分析方法可以用在各種座標系這裡也可以看出

和（4-32）式角度變化dθ 造成的長度變化d h dθ θ θ= 相比可以得出

θ 的度量係數h rθ = 與直角座標比較 ˆ ˆdr dxx dyy= + dx 與 dy 不也就

是dr 在 x 與 y 方向的長度變化嗎

Now 速度

ˆˆ

ˆ ˆˆ ˆr

dr dr dv r rdt dt dtrr r v r vθ

θ θ

θθ θ

= = +

= + equiv + （4-38）

其中ddtθθ ω= = 亦稱為「角速度」

Ex14 圓周運動因為只有切線速度所以由（4-38）式 ˆ ˆ0

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( ) = ( ) ( ) ( 0)

r R r v r R

dv dr r d r d r d r d dr

θθ ωθ

θθ θ θ θ θ θ θ θ θ

= rArr = rArr = =

rArr = + + + =

∵

∵

（ 切線速度）(4-39)

這裡又冒出個問題

ˆ dθ = 由左圖

ˆ ˆ

ˆ ˆ0

d d d

d d

θ θ θ θ

θ θ θ

= =

rarr rArr perp

4-17

ˆ ˆ ˆ ˆ

d r

d d r

θ

θ θ

rArr minus

rArr = minus (4-40)

2

2

ˆˆ( ) ( )

ˆˆ

ˆ ˆˆ ˆ( ) ( )ˆˆ ( ) ( )

r

dv r d r r d

dv d da r r rdt dt dt

a r r r a r a

or a r r rθ

θ θ θ θ

θ θθ θ

θ θ θ θ

ω α θ

rArr = minus +

⎛ ⎞⎛ ⎞rArr = = minus +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

rArr = minus + equiv +

= minus +

(4-41)

上式即為圓周運動的加速度其中的第一項

2

2 ˆ ˆrva r r rr

ω minus= minus = 向心加速度 (4-42a)

with α θ= 可以認出是角加速第二項

ˆa rθ αθ= 切線加速度 (4-42b)

如進一步簡化為「等速圓周運動」 ==rArr θω constant 0==rArr αθ rArr切線

加速消失那麼加速度就只剩下了熟知的向心加速度2

ˆrva rrminus

= 了

若考慮一般的情況 dr 0ne 可以導出用極座標表示的加速度為

2

ˆ ˆ ˆ ˆˆ( ) ( ) ( ) ( )

ˆˆ( ) (2 )

dv dr r r d dr r d r ddva r r r r rdt

θ θ θθ θ θ θ θ

θ θ θ θ

= + + + +

rArr = = minus + + （4-43）

看起來有點繁但是在有圓形對稱的系統極座標會表現得更清楚

面積微分元素

直角座標把平面分割成一個個的

小方塊也就是依照「x 與 y 方向的

長度變化」可以寫出「面積元素」

dA dx dy= sdot （像是切長方形的蛋糕）

比較 ˆ ˆdr dxx dyy= + 可以看出

dA＝(x-方向的長度變化)times(y-方向的長度變化)

4-18

所 以 在 「 極 座 標 」 比 照 辦 理

ˆˆ ˆ( ) ( )dr dr r rdr dr r rdθθ= + = +

dA dr rd rdrdθ θ= sdot = (4-44)

像是切圓形蛋糕

ex15 求一個半徑 R 的圓的面積

解 2 2

2

0 0

22

R RA dA rdrd rdr d Rπ

θ θ π π= = = = sdot =int intint int int

妳可以試試用直角座標dA dx dy= sdot 算一下圓的面積

Ex16 求一個半徑 R質量 M密度σ 的均勻圓盤繞其直徑的轉動慣

量解 質量元素 dAdm σ= 到轉軸（直徑）的距

離 sinr θ=

2 2 2 2

23 2

0 0

4 22 2

sin

sin

14 4 4

R

I dm dA r rdrd

r dr d

R RR MR

π

σ σ θ θ

σ θ θ

σ π σπ

= = =

=

= = =

int int intintint int

娛樂一下算半個圓盤繞通過圓心且垂直盤面的軸的轉動慣量

ex 17 計算積分2xI e dx

infinminus

minusinfin

= int

解 2 2

0

2x xI e dx e dxinfin infin

minus minus

minusinfin

= =int int2 22

0 0

2 2x yI I I e dx e dyinfin infin

minus minusrArr = sdot = sdotint int

2 2 2 22

2 ( )

0 0 0 0 0 0

4 4 4x y r rI e dxdy e dA e rdr d

π

θinfin infin infin infin infin

minus + minus minusrArr = = =int int int int int int

在上面的積分裡我們運用了一個有關「無窮大平面」的技巧就是「無

4-19

窮大的平面」是可以是「正方形」或是「圓形」的

2

2

22

00 0 0

22

4 2 2( )2 2 2

(4 45)

u u u

x

dulet u r du rdr rdr

duI e d e du e

I e dx

π

π πθ π

π

infin infininfinminus minus minus

infinminus

minusinfin

= rArr = rArr =

rArr = = sdot = minus sdot =

rArr = = minus

int int int

int

ex18 重力位能

由位能差的定義 )()()( BAWBUAU rarrequivminus

（B）圓柱座標 cylindrical coordinates

3D 空間點 P(x y z)的位置向量 ˆ ˆ ˆr xx yy zz= + +

定義「圓柱座標」 ( )zρ ϕ 其中

0 [0 )P zρ ρ ρequiv ge there4 isin infin點 到 軸之垂直距離

ϕ ρequiv 在 x-y 平面的投影與 x 軸之夾角 [02 ]ϕ πisin

z zequiv同直角座標的

4-20

「圓柱座標」就是「極座標」（用 ( )ρ ϕ 取代 ( )r θ ）再加上第三維 z

所以圓柱座標 ( )zρ ϕ 裡 zρ 的因次為長度而ϕ 只是一個數字

( )zρ ϕ 與(x y z)間的轉換如下

2 2 cos

tan sin

x yx

y yx

z zz z

ρρ ϕ

ϕ ρ ϕ

⎧ = +=⎪ ⎧

⎪ ⎪= =⎨ ⎨⎪ ⎪ =⎩=⎪⎩

（4-46）

「圓柱座標」的三個方向單位向量 ˆ ˆ ˆ zρ ϕ 如圖

且 ˆ ˆ zρ ϕperp perp 可以看出ρ 的等值面為一個圓柱

面ϕ 的等值面是一扇門z 的等值面為一個垂

直 z 軸的平面但是

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( ) zρ ρ ϕ ϕ ϕ ϕ= = =常數

柱座標的位置向量 r 如左圖

ˆ ˆr zzρρ= + （4-47）

在柱座標寫位移元素dr 有兩種作法一

種是直接由（4-47）式取微分元素 借用

平面極座標的結果可得

ˆ ˆ ˆ( ) ( )

ˆ ˆ ˆdr d d dzz

d d dzzρ ρ ρ ρ

ρρ ρ ϕϕrArr = + +

= + + （4-48）

但也可以由三個座標方向的

位移來看由左圖可得沿 ρ 方向

的長度變化 ie 當座標ρ 有變

化dρ 時產生的長度變化就是

dρ 沿ϕ 的長度變化為 dρ ϕ

而沿 z 方向的長度變化為 dz

4-21

dr 是一個向量有三個分量ρ -分量就是沿 ρ 方向的長度變化

dρ ϕ -分量沿ϕ 的長度變化為 dρ ϕ 而 z-分量就是沿 z 方向的長度變

化為 dz合併寫出

ˆ ˆ ˆdr d d dzzρρ ρ ϕϕ= + +

與（4-48）式完全相同但是這種由幾何角度得到的結果要更方便

也更直觀Fig 27 非常重要因為只要你能把圖畫出來位移的各

分量就寫得出來有了位移元素dr 速度與加速度就可得出

ˆ ˆ ˆ (4 49)

ˆ ˆ ˆ( ) (2 ) (4 50)

drv zzdtdva zzdt

ρρ ρϕϕ

ρ ρϕ ρ ρϕ ρϕ ϕ

rArr = = + + minus

rArr = = minus + + + minus

由上圖與dr 的 3 個分量可得圓柱座標的體積元素

dV d d dz d d dzρ ρ ϕ ρ ρ ϕ= sdot sdot = （4-51）

ex19 底面半徑 R高 h 的圓柱體積＝ 2 2

2

0 0 0

22

R h RV dV d d dz h R hπ

ρ ρ ϕ π π= = = sdot sdot =int int int int

ex20 底面半徑 R高 h 的「圓錐」體積＝

解本圓錐裡點的座標分佈為 [02 ] [0 ]z hϕ πisin isin ( )zρ ρ=

( ) ( )( )

h z h Rz h zz R h

ρρminus

= rArr = minus

22( )( ) 2 2

0 0 0 0 0 0

002 2 2 3 2 32 2 2

2 2 2 20

( )2 2

2

1( )3 3 3

R h zzh h hh

h

h h

R h zhV d dz d d dz d dz

R R R u R hh z dz u du R hh h h h

ρ π

τ ρ ρ ϕ π ρ ρ π

π π π π π

minus

minus minus

minusthere4 = = = =

= minus = = = =

int int int int int int int

int int

如果我們把 3-D 的三個座標寫為 1 2 3( )u u u 或 123iu i = 當座

標 ui(在 ˆiu 方向)變動 dui 時造成的長度變化為 id 則定義

4-22

i i id h duequiv (4-52)

其 中 hi 稱 為 座 標 ui 的 度 量 係 數 (metric

coefficient)由 zρ 的因次為長度所以 zρ 的變

化 d dzρ 就是長度的變化所以 1 1zh hρ = =

然而ϕ 的變化造成的長度變化為

d d hϕ ϕρ ϕ ρ= rArr = (4-53)

很明顯的直角座標 xyz 都是長度所以度量係數 1x y zh h h= = =

(C) 球座標 spherical coordinates

3D 點 P(x y z)的位置向量 ˆ ˆ ˆr xx yy zz= + + 定義

「圓柱座標」 )( ϕθr 其中

[0 ] [0 ]

[02 ]

r P rr zr x y x

θ θ πϕ

ϕ π

⎧ equiv isin infin⎪

equiv isin⎪⎨

equiv minus⎪⎪ isin⎩

原點到 的距離

與 軸的夾角

在 軸投影與 軸的夾角

球座標的ϕ 與住座標的ϕ 相同

( )r θ ϕ 與(x y z)間的轉換如下下列為（4-54）

2 2 2

2 2 2

sin coscos sin sin

cos

tan

r x y zx r

z y rx y z z r

yx

θ ϕθ θ ϕ

θ

ϕ

⎧⎪ = + +⎪ =⎧⎪ ⎪= =⎨ ⎨

+ +⎪ ⎪ =⎩⎪⎪ =⎩

三個座標的單位向量 )ˆˆˆ( ϕθr 如左圖一可以看

出 r 的等值面是一個球面θ 的等值面為一個

以原點為頂點的圓錐ϕ 的等值面為一扇門

位置向量 ˆr rr= （4-55）

4-23

位移由 ˆ ˆˆ( )r θ ϕ 3 個方向的「長度

分量」可得 ˆ ˆˆ ( ) ( sin )dr rdr rd r dθ θ ϕ θ ϕ= + +

（4-56）

所以體積元素

2

( )( sin )(sin )

d dr rd r dr dr d d

τ θ θ ϕ

θ θ ϕ

=

= （4-57）

Fig 31 和 Fig 27 一樣重要只要

你能畫得出來就可以寫出球座

標位移的三個分量

ex21 求一半徑 R 的球體積 2

2 2 3

0 0 0

4sin sin3

R

V d r dr d d r dr d d Rπ π

τ θ θ ϕ θ θ ϕ π= = = =int intintint int int int

ex22 求一質量 M半徑 R密度 ( )3 4 3M Rρ π= 的實心球對直徑

旋轉的轉動慣量

解質量元素 2 sindm d r dr d dρ τ ρ θ θ ϕ= = 到 z 軸的垂直距離為 sinr θ=

22 4 3

0 0 0

5 52

sin

4 8 225 3 15 5

RI dm r dr d d

R R MR

π πρ θ θ φ

πρ π ρ

= =

= sdot sdot = =

intintint int int int

娛樂一下空心球對直徑的轉動慣量

(4-46)式與(4-54)式說明柱座標和球座標與直角座標之間的轉

換Fig 32 可得出柱座標和球座標之間轉換

2 2

sintan

cos

r zr

zz r

ρρ θ

ρϕ ϕ θθ ϕ ϕ

⎧ = += ⎪⎧

⎪ ⎪= =⎨ ⎨⎪ ⎪=⎩ =⎪

⎩

（4-58）

4-24

Ex23 點 P 的球座標為（31200 600）求柱座標＝

解2 3 33sin3 2πρ ⎛ ⎞= =⎜ ⎟

⎝ ⎠

23

ϕ π= 2 33cos3 2

z π minus⎛ ⎞= =⎜ ⎟⎝ ⎠

直角座標柱座標球座標單位向量之間的轉換

三種座標之間的轉換由(4-46)式(4-54)式與（4-58）式表出但

三種座標裡的的三個單位向量 ˆ ˆ ˆ x y z ˆ ˆ ˆ zρ ϕ ˆ ˆˆ r θ ϕ 若以 123ˆ iu =

表示則單種座標的單位向量之間都有正交歸一關係

ˆ ˆi j iju u δsdot = 與外積的循環關係

ˆ ˆ ˆ i j ku u u i j ktimes = cyclic in 123

ie 1 2 3 2 3 1 3 1 2ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ u u u u u u u u utimes = times = times = or ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆˆ ˆ r z z x yθ ϕ ϕ ρtimes = times = times =

然而不同座標系的單位向量之間關係如何我們畫圖來討論

球座標 ˆ ˆˆ( )r θ ϕ rarr直角座標 ˆ ˆ ˆ( )x y z

單位向量都是用來指方向的球座標的 ˆ ˆˆ( )r θ ϕ 都是「方向角」( )θ ϕ

的函數 r 在直角座標可以由 Fig33 看出

ˆ ˆ ˆ ˆsin cos sin sin cosr x y zθ ϕ θ ϕ θ= + + （4-59）

ex24 P 點的球座標為2 75 3 6π π⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠

試用球座標與直角座標求 P 點的位

置向量的單位向量 解位置向量 ˆr rr= 在球座標只有 r-分量標位置仔細一點把方向

角標出2 7ˆ 3 6

r π π⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

通常只是寫 r 令人有點摸不著頭緒用直角

4-25

座標比較「具像」 2 7 2 7 2ˆ ˆ ˆ ˆsin cos sin sin cos3 6 3 6 3

3 3 1ˆ ˆ ˆ4 4 2

r x y z

x y z

π π π π π⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞minus minus minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + +⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

單位向量θ 在某一組 ( )θ ϕ 的指向如 Fig 34a將θ 平移至原點更清楚

Fig34b 是由側面看 Fig34a可以看到θ 在 z 軸的投影為 sinθminus 而θ 在

x-y 平面的投影為cosθ使得θ 在 x-軸的投影為cos cosθ ϕy-軸投影

為cos sinθ ϕ於是

ˆ ˆ ˆ ˆcos cos cos sin sinx y zθ θ ϕ θ ϕ θ= + minus （4-60）

單位向量ϕ 如 Fig 35a 所示是在 x-y 平面畫出

Fig 35b 為自 z 軸向下看 Fig35a 圖可以看出ϕ 在 z 軸投影為 0且

ˆ ˆ ˆsin cosx yϕ ϕ ϕ= minus + （4-61）

ex25 一個質點的速率為 2( ) ( sin tan )v r rθ ϕ θ ϕ= 若經查該質點的運

動 是 在 z = 3 平 面 做 逆 時 針 圓 周 運 動 則 當 位 置 的 方 向 角

4-26

2( ) 4 3π πθ ϕ ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

時計算其速度用球座標與直角座標表出

解圓運動速度方向是沿切線所以球座標 ˆ ˆ( )v v v rϕ θ ϕ ϕ= =

z = 34πθ =

3 3 21cos cos 24

z zrπθ

rArr = = = =⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

所以該處的瞬時速率

2 2

2( ) 3 3 4 3

2 1 813 3sin tan 3 3 ( 3)4 3 22

v r v π πθ ϕ

π π

⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

⎡ ⎤ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = times minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

2 81 2ˆ3 3 4 3 2 4 3

v r π π π πθ ϕ ϕ⎛ ⎞ ⎛ ⎞rArr = = = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

在直角座標2 2 2ˆ ˆ ˆ sin cos

4 3 3 3x yπ π π πϕ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠3 1ˆ ˆ

2 2x y= minus minus

而且點23 3

4 3π π⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠

的直角座標為

2 1 3 3sin cos 3 3sin cos 3 34 3 2 22 2

x r π πθ ϕ minus minus⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

2 3 9sin sin 3 3sin sin 3 34 3 2 2 2 2

y r π πθ ϕ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = = =⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

z = 3

23 3 4 3

v π π⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

3 3 9 81 3 1ˆ ˆ 32 2 2 2 22 2

v x y⎛ ⎞ ⎛ ⎞

rArr = minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

以上兩個例子都只討論只有一個圓座標分量的向量in general 向量

ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( )r x y zA r rA A A A r xA yA zAθ ϕθ ϕ= + + hArr = + + （4-61）

若已知球座標的分量 ( )rA A Aθ ϕ 如何得到直角座標的

( )x y zA A A

4-27

ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( )ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( )

ˆ ˆˆˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( )

x r

y r

z r

A x A r x r A x A x A

A y A r y r A y A y A

A z A r z r A z A z A

θ ϕ

θ ϕ

θ ϕ

θ ϕ

θ ϕ

θ ϕ

⎧ = sdot = sdot + sdot + sdot⎪⎪ = sdot = sdot + sdot + sdot⎨⎪

= sdot = sdot + sdot + sdot⎪⎩

（4-62）

由式（4-59）（4-61） ˆ ˆ ˆ ˆsin cos sin sin cosr x y zθ ϕ θ ϕ θ= + + （4-59） ˆ ˆ ˆ ˆcos cos cos sin sinx y zθ θ ϕ θ ϕ θ= + minus （4-60）

ˆ ˆ ˆsin cosx yϕ ϕ ϕ= minus + （4-61） ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆsin cos cos cos sin ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆsin sin cos sin cos ˆ ˆˆˆ ˆcos sin 0

x r x x

y r y y

z r z z

θ ϕ θ θ ϕ ϕ ϕ

θ ϕ θ θ ϕ ϕ ϕ

θ θ θ ϕ

⎛ ⎞sdot = sdot = sdot = minus⎜ ⎟

rArr sdot = sdot = sdot =⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟sdot = sdot = minus sdot =⎝ ⎠

（4-63）

sin cos cos cos sin sin sin cos sin cos

cos sin 0

x r r

y RS

z

A A AA A M AA A A

θ θ

ϕ ϕ

θ ϕ θ ϕ ϕ

θ ϕ θ ϕ ϕ

θ θ

⎛ ⎞minus ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟rArr = equiv⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟minus⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

（4-64）

其中 SRM 為由球座標分量轉為直角座標分量的轉換矩陣且行列式

det SRM =1 表示反矩陣存在then 1SRM minus 就是將直角座標分量轉為球座

標分量之轉換矩陣其實嚴格講 (4-64)式還不是最終的表示因為

轉換完的直角

座標應該全部以 x y z 表出這裡保留用 θ ϕ 只是為了簡潔方便

習題 2 Find 1SRM minus

習題 3 用 xyz 表出(a)sinθ (b)cosθ (c)sinϕ (d)cosϕ

Ans (a)2 2

2 2 2sin

x yx y z

θ+

=+ +

(b)2 2 2

cos zx y z

θ =+ +

(c)2 2

sin yx y

ϕ =+

(d)2 2

cos xx y

ϕ =+

習題 4 用上面結果將 SRM 用 xyz 表出

Ex26 Given a field ( )A r θ ϕ ＝ ˆ ˆˆ2 3r θ ϕ+ minus in spherical coordinates

find the field in rectangular coordinates （直角座標）

4-28

解這裡的 ( )A r θ ϕ 不因其三個分量都是常數而只是「一個」向量

而是一 vector field這是因為 ˆ ˆˆ r θ ϕ 都不是定值而與 θ ϕ 有關而如

果 ( )A r θ ϕ 表示則單位向量所對應的角度 θ ϕ 必須要標定所以

sin cos cos cos sin 2sin sin cos sin cos 3

1cos sin 0

x

y

z

AAA

θ ϕ θ ϕ ϕ

θ ϕ θ ϕ ϕ

θ θ

⎛ ⎞minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ minusminus⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

(2sin 3cos )cos sin(2sin 3cos )sin cos

2cos 3sin

x

y

z

AAA

θ θ ϕ ϕθ θ ϕ ϕ

θ θ

+ +⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟rArr = + minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟minus⎝ ⎠ ⎝ ⎠

習題 5 Draw a diagram to show in the cylindrical coordinates

(a) ˆ ˆ ˆcos sinx yρ ϕ ϕ= + (b) ˆ ˆ ˆsin cosx yϕ ϕ ϕ= minus + (c) ˆ ˆz z=

習題 6 use the above results show that 由柱座標分量轉為直角座標分

量的轉換矩陣

x

y CR

z z

A AA M AA A

ρ

ϕ

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟=⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

CRM =

2 2 2 2

2 2 2 2

0cos sin 0sin cos 0 0

0 0 10 0 1

x yx y x y

y xx y x y

ϕ ϕ

ϕ ϕ

minus⎛ ⎞⎜ ⎟+ +⎜ ⎟⎛ ⎞minus⎜ ⎟⎜ ⎟

= ⎜ ⎟⎜ ⎟+ +⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

Ex27 Express vector ˆ ˆ ˆ(3cos ) 2 5A zρ ϕ ϕ ρ= minus + in Cartesian

coordinates Specifically the A at the position of (2 2 3π -3)

解

2cos sin 0 3cos 3cos 2 sinsin cos 0 2 3cos sin 2 cos

5 50 0 1

x

y

z

AAA

ϕ ϕ ϕ ϕ ρ ϕϕ ϕ ρ ϕ ϕ ρ ϕ

⎛ ⎞minus ⎛ ⎞+⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟= minus = minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

so that A (2 2 3π -3)= 3 3 3ˆ ˆ ˆ3 3 3 54 4

x y z⎛ ⎞⎛ ⎞+ + minus +⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠注意本

題裡 z 座標並非一變數

4-29

sect 43 Fields and its properties 場與其性質

「場 field」是什麼凡是在「某個空間中每一點」都有定義的量

就是一個「場」所以「場」也稱為「點函數 point function」簡單的

說凡是「空間的函數」都是「場」如果這個「空間的函數」是一個

純量 u(xyz)那麼 u(xyz)就是一個「純量場 scalar field」例如室內

的溫度 T(xyz)一塊豬肉的密度 ( )x y zρ 大氣中的壓力 p(xyz)等

都是純量場如果這個「空間的函數」是一個向量 )( zyxA 那麼

)( zyxA 就稱為「向量場 vector field」例如空間中的電場 )( zyxE

水流中的速度場 )( zyxv 重力場 )( zyxg 等等很顯然的不論是純量

場還是向量場「場」在空間中的分佈通常未必是均勻的那麼她有

什麼性質呢例如一塊豬肉內部密度是如何變化的水流中有沒有

漩渦大氣中的等壓線是如何變化的等等那麼有沒有什麼量可以

有系統的描述各種場的分佈有我們在以下分別討論

sect 431 Gradient of scalar fields 純量場的梯度

考慮一個純量場 f(xyz)可以視為 3 個變數 xyz 的函數當變數變動為

x+dx y+dy z+dy 時造成 f 的變化

f f fdf dx dy dzx y zpart part part

= + +part part part

（4-65）

由幾何意義來看上式更為具體上式表示純量場 )(rf 基於位置的變化

r r drrarr + (或由 ( ) ( )x y z x dx y dy z dzrarr + + + )所造成 f 的變動

我們現在定義一個向量算符 vector operator nabla (or nabla )（讀做 del）

ˆ ˆ ˆx y zx y zpart part part

nabla equiv + +part part part

(4-66)

如果將 del 作用在純量場 )(rf 上將產生出現一個新的「向量場」 fnabla

稱為純量場「 )(rf 的『梯度 gradient』」

4-30

ˆ ˆ ˆ( ) f f fgrad f f x y zx y zpart part part

equiv nabla = + +part part part

（4-67）

這使得由於任意位移 ˆ ˆ ˆdr xdx ydy zdz= + + 所造成 f 的變化量

df f drrArr =nabla sdot （4-61）

ex28 Given scalar field 2( )f r xy z= and 2 2 2

1 1( )g rrx y z

= =+ +

(a) find the value of ( )f r and fnabla at point P(2 1-1) 解 2(21 1) 2 1 ( 1) 2f minus = times times minus = minus

2 2 2

2 2

ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( )

ˆ ˆ ˆ( ) ( 2 ) ( )

f x xy z y xy z z xy zx y z

x y z y x yz z xy

part part partnabla = +

part part part

= +

＋

＋

ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ(21 1) ( 1) (2 2) (2) 4f x y z x y znabla minus = minus + timesminus = minus minus＋ ＋2 (b) find the value of ( )g r and gnabla at the point P

解2

1 1(21 1)62 1 1

g minus = =+ +

2 2 2 12 2 2 2 12

2 2 2 12

ˆ ˆ( ) ( )

ˆ ( )

g x x y z y x y zx y

z x y zz

minus minus

minus

part partnabla = + + + + +

part partpart

+ +part

＋

2 2 2 32 2 2 2 32 2 2 2 32

2 2 2 32 3 2

ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( )

ˆ ˆ ˆˆ( )( )

OR OR

xx yy zzgx y z x y z x y zxx yy zz r r

x y z r r

minus minus minusrArrnabla = + +

+ + + + + +minus + + minus minus

= = =+ +

32

ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ(2 ) 2(21 1)6 6 6

x y z x y zg minus + minus minus minus +rArrnabla minus = =

由 gnabla 看到一個粉常用的結果就是

3 2

ˆ1 ORr rr r r

minus minusnabla = = （4-62）

順便比較一下

2 2 2 12 2 2 2 12 2 2 2 12

2 2 2 12

ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( )

ˆ ˆ ˆ( ) ˆ (4 63)( )

r x x y z y x y z z x y zx y zxx yy zz r r

x y z r

part part partnabla = + + + + + + +

part part part+ +

= = = minus+ +

＋

4-31

(c) what is the angle between (21 1)fnabla minus and (21 1)gnabla minus

解 (21 1)fnabla minus (21 1)gsdotnabla minus ＝（ ˆ ˆ ˆ4x y zminus minus ＋2 ） sdotˆ ˆ ˆ26 6x y zminus minus +

＝2 4 2 4

6 6 3 6+ +

= ＝ | (21 1) |fnabla minus | (21 1) |gnabla minus cosθ

＝ 34 1 1 211 16 4 cos cos

6 6θ θ+ +

+ + =

1 4 2cos 07773 7

radθ minus ⎛ ⎞= =⎜ ⎟

⎝ ⎠

要注意隨然nabla有向量的性質但是他並不是一個真的向量真

實向量 A與純量 f ( )r 的乘法滿足交換率ie ( ) ( )Af r f r A= 但是

f fnabla ne nabla因為

( )f rnabla ＝ ˆ ˆ ˆf f fx y zx y zpart part part

+ +part part part

是一個向量函數而

ˆ ˆ ˆ( )f r x y zx y z

⎛ ⎞part part part+ +⎜ ⎟part part part⎝ ⎠

是一個算符（operator）

若nabla要與向量場 A 作用由於nabla與 A 都具有向量的性質先看「內積」

ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ( )

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

x y z

x y

z

y yx xz z

A x y z xA yA zAx y z

x y z xA x y z yAx y z x y z

x y z zAx y z

A AA AA Ax x x y x zx y z x y z

⎛ ⎞part part partrArrnablasdot = + + sdot + +⎜ ⎟part part part⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞part part part part part part= + + sdot + + + sdot⎜ ⎟ ⎜ ⎟part part part part part part⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞part part part

+ + + sdot⎜ ⎟part part part⎝ ⎠part partpart partpart part

= sdot + sdot + sdot + sdotsdot sdot = + +part part part part part part

yx zAA AAx y z

partpart partnablasdot = + +

part part part (4-64)

上式中的 Anablasdot 是向量場 A 的一個重要的性質稱為 A 的「散度」詳

細的內容在後面會仔細討論這裡引進 Anablasdot 主要是要表明nabla是個「算

符」表示一個運算不是一個真實的向量只是在「直角座標」裡

4-32

因為單位向量 ˆ ˆ ˆ x y z 是常數不受微分的作用以致nabla表現得好像也

是個一般的向量一樣事實上真實向量和nabla間的「內積」就不滿足交

換率

x y zA A A A an operator Ax y zpart part part

sdotnabla = + + = ne nablasdotpart part part

(4-65)

這也使得任意向量場 ( )A r 因位置變動 r r drrarr + 而產生的變化由於

)( zyxA 也是 3 個變數 xyz 的函數可以寫為

( )A A AdA dx dy dz dr Ax y z

part part part= + + = sdotnabla

part part part （4-66）

ex29 (a)Given field 2ˆ ˆ ˆ2A xxy y x zyz= minus + find Anablasdot at point (1-12)

解2( ) (2 ) ( ) 2xy x yzA y yz

x y zpart part part

nablasdot = + + = +part part part

(1 12)1 2( 1)2 3A

minusnabla sdot = minus + minus =

(b) find rnablasdot 解 rnablasdot = 3x y zx y zpart part part

+ + =part part part

梯度的意義

由（4-67）可以看到「f 的梯度 fnabla 」

是一個由「純量場 f」衍生出的向量

場由（4-26）也可以看出 fnabla 扮演類

似「變化率」的角色

空間中將相同值 f ( )r ＝f1 的點連

起來就得到一個 f ( )r ＝f1 的「等值面」如 Fig36考慮純量場 f( r )的

相鄰兩個等值面各對應定值 1f f= 與 1f f df= + 0df gt P1 點在 f1

等值面上相鄰兩點 P2P3 在 1f df+ 等值面上而向量 1 2 ˆnP P dn e dn= =

過 P1 點垂直於 f1 等值面 1 3 ˆP P d e d= = 與 ˆne dn夾角為α 由於不

論 1 2P Prarr 或 1 3P Prarr f 的變化量都是 df 但因距離 dn 係兩等值面最

4-33

短的距離d dngt 所以 1 2P Prarr 或 1 3P Prarr 造成的「變化率」df dfdn d

gt

而過 P1 點的最大變化率為dfdn

換言之向量 ˆndfedn

為過 P1 點垂直於

f1 等值面且指向最大「增加率」的方向 現在要證明

ˆndfe fdn

= nabla （4-67）

考慮 1 3P Prarr 造成的 f 值的變化率

ˆ ˆcos n ldf df dn df df e edl dn dl dn dn

α= = = sdot

ˆ ˆ ˆn l ndf dfdf e e dl e dldn dn

rArr = sdot = sdot

和（4-61）式df f dr= nabla sdot 相比即可得證 ˆndfe fdn

= nabla 所以可以知道

空間純量場 f ( )r 中任一點處的向量 fnabla 必「垂直」於「通過該點的 f的等值面」且指向 f 值最大「增加率」的方向| ( )f rnabla |就是 f 在 r 點

的最大增長率可以進一步定義等值面的「法線 normal」方向為

ˆ fnf

nabla=nabla

（4-68）

結論給定一個純量場 f( r )在每一點 r 可以定義一個稱做「梯度」

的向量 fnabla fnabla 垂直於過 r 點的 f 等值面且指向最 f 大增加率的方向

fnabla 的方向也定義了 f 等值面的法線方向

Ex30 考慮一個 2D 的 scalar field 2( )f x y y x= minus 計算該場在 )20( 的梯度與

法線方向

解 ˆ ˆ ˆ ˆ2f ff x y x yyx ypart part

nabla = + = minus +part part

ˆ ˆ(0 2) 2 2f i jnabla = minus + ˆ ˆ ˆ ˆ2 2 2 2ˆ(0 2)

31 8i j i jn minus + minus +

rArr = =+

4-34

ex31 點電荷 q 置於原點其產生電位為 ( ) qV rr

= 求負梯度qr

minusnabla

解 3

2 2 2 22 2 2

2 ( )2

q q q q x x y zr x rx y z

minuspart minus= rArr = sdot + +

part+ +

3 23

ˆˆ ˆ ˆ( )q ix jy kz r rq q qr r r r

minus + +rArr minusnabla = minus = = （點電荷的電場）

0 0

1 1 r r

noter r= =

nabla rarrinfin rarrinfin∵ 是不定值是因為 r = 0 處為最大值

「增加率」的方向無法確定

ex32 置一熱源於原點空間溫度分佈為1( )

( 2)T r

r=

+求溫度的梯度

解 2 2 2

ˆ( ) ( )( 2) ( 2) ( 2)

x rT r rr rT r

x r r r

minuspart minus

= rArrnabla = =part + + +

此處的負號表示梯

度指向熱源因為距熱源越遠溫度越低 ( 0)note T rnabla = 為不定值

因在最頂點「增加率」的方向無法確定

Ex33 地圖上山脈的等高線上各點的垂直方向由梯度決定現有一座

山是橢球 2)1(4 222 =+++ zyx 在 x-y 平面上方的

部分求地圖上這座山等高線的梯度

解 山高 142 22 minusminusminus== yxzh 所以等高線為橢

圓 222 )1(24 +minus=+ hyx 梯度

( ) ( ) ( )2 2 2 2

2 2

ˆ ˆ4ˆ ˆ2 4 1 2 4 1

2 4

xx y yh x x y y x y

x y x y

minus +part partnabla = minus minus minus + minus minus minus =

part part minus minus

所以自山腳（h=0）登山若由(012)開始 ˆ(01 2) 2h ynabla = minus 但若由

)02(minus 開始爬山 ˆ( 20) 2h xnabla minus = 可見 )02()210( minusnablagtnabla hh 這表

示由 y-軸登山山勢較陡所以「梯度」比由 x-軸登山為大這也更

清楚瞭解「梯度」的幾何意義

4-35

sect 432 Divergence 散度與 Curl 旋度

在(4-66) 我們建立了一個直角座標 vector operator 「del」

ˆ ˆ ˆx y zx y zpart part part

nabla equiv + +part part part

(4-66)

若與向量場 A 做「內積」與「外積」就建構了 A 的「散度」與「旋度」

散度 A A scalaryx zAA Adiv ax y z

partpart partequiv nabla sdot = + + =

part part part （4-69）

旋度

y yz x z x

ˆ ˆ ˆ y z A vector

A AA A A Aˆ ˆ ˆxy z z x x y

x y z

x y z

xcurl A a

A A A

y z

⎧⎪

= nablatimes = part part part =⎪⎪⎨⎪

part part⎛ ⎞ ⎛ ⎞part part part part⎛ ⎞⎪ = minus + minus + minus⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎪ part part part part part part⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎩

(4-70)

這裡定義的只是「散度」與「旋度」所謂「操作型的定義」告訴我

們如何計算的式子事實上她們都具有重要的物理意義我們在後面

會討論

ex34 ˆ ˆA xy yx= minus 求其散度與旋度

解 0 0y xAx ypart part

nablasdot = minus + =part part

ˆ ˆ ˆ y zˆ ˆ ˆ ˆ 0 0 ( 2) 2

0 x y z

xA x y z z

y xnablatimes = part part part = minus + minus = minus

minus

右圖示意了本向量場的分佈看得出像個漩渦也看到算出的旋度

0ne 看來旋度表現的應該是向量場「旋轉的程度」事實上我們在

後面會看到「旋度」表現的就是是向量場在空間各點「旋轉的程度」

本題的向量場在每一點的旋轉程度都一樣

4-36

Ex35 ( )ˆ ˆ ˆ A xx yy zz r= + + = 求其散度與旋度

解 3A rnablasdot = nablasdot = ˆ ˆ ˆ y z

0

x y z

xA

x y znablatimes = part part part =

由場分佈的示意圖可以看出本向量場是自原點向外射出好似在原

點有一個場線的「源頭 source」但是 3Anablasdot = 為一個常數表示好像到

處都有 source同時旋度為 0 也可以配合本場並無旋轉的形象事實

上「散度」表現的就是是向量場在空間各點產生「場線」的 source

記得靜電學裡的庫倫定律 0E ρ εnablasdot = 電場的散度就是「電荷密度」

(電場的 source)前一題的向量場看來對應的場線是封閉的所以沒有

source這也對應了其散度＝0不過一個向量場的散度旋度究竟是

多少應該詳細的計算場分佈圖形有時候不是那麼容易看的清楚

兩個 useful identities (恆等式)

(a) ( ) 0 0f curl of a gradnablatimes nabla = =

(b) ( ) 0 0A div of a curlnablasdot nablatimes = =

pf (a) ( )ˆ ˆ ˆ x y z

x y z

x y z

ff f f

nablatimes nabla = part part part

part part part

( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2xz zxˆ ˆ ˆx y f- f z 0yz yz xy yxf f f f= part minus part minus part part + part minuspart =

這個結果與真實的向量外積 ( ) AA 0=times 有相似之處但是這只是特

例要記得nabla並不是一個真正的向量

( ) ( ) ( )

( )

ˆ ˆ ˆ y zˆ ˆ ˆ x y z

0

x y z y z z y x z z x x y y x

x y z

xy z xz y xy z yz x xz y yz x

xA A A A A A A

A A A

A A A A A A A

nablatimes = part part part = part minus part minus part minus part + part minus part

nablasdot nablatimes = part minuspart minuspart +part +part minuspart =

4-37

此結果與真實的向量運算有相似之處 ( )( )0 (B A) BB B Asdot times = times perp∵

但是這仍只是特例因為我們可由下列例子 ( ) 0A Asdot nablatimes ne 看出事實上

nabla並不是一個真正的向量 Ex36 ˆ ˆ ˆA xy yx zx= minus +

( )

ˆ ˆ ˆ y zˆ ˆ ˆ 0 1 ( 2)

2 0

x y z

xA x y z

y x x

A A x x x

nablatimes = part part part = minus + minus

minus

sdot nablatimes = minus = minus ne

面積元素向量

物理上時常會遇到面積分例如電通量磁通

量等等考慮一個面積元素 ds定義「面積的

方向」為其「法線方向」並定義面積元素向量

ˆnds a dsequiv （4-71）

要注意的是(1)如果 ds 是一個「封閉面

closed surface」（即有裡外之分）的一部

份則 ˆna 定義為「由內向外」(2) 如果 ds

是一個「開放面 opened surface」（即分不

出裡外）的一部份那麼 ds 必被其邊緣

（一個封閉的曲線 C）所包圍這樣在定

出ds 的方向之前要先定義「邊緣曲線」

C 的方向再由右手定則定義 ˆna 的方向

既然面積已為一個向量就可以寫為分量表示以直角座標

ˆ ˆ ˆx y zds xds yds zds= + + (4-72)

那麼這些分量 dsx dsy dsz 會是什麼既然 dsx 的方向是 x 就表示 dsx

是躺在 y-z 平面上所以 dsx 的兩邊是 dy 與 dz rArr xds dydz= 依此類

4-38

推 dsy 的方向是 y 所以躺在 x-z 平面rArr yds dxdz= hellip可以得知

xds dydz= yds dxdz= zds dxdy= （4-73）

不過要注意在寫面積元素時要看討論的面實際

是什麼面上式的三個分量有可能會是負的例如

左圖座落在第一象限的立方體的 A 面方向就在 xminus

方向Arsquo面在 yminus Ardquo面在 zminus 方向寫面積元素最

好是先把討論的面的方向搞清楚把plusmn號寫在單位向量前面那麼分

量就都用＋的即可其實面積元素體積元素都可以由位移元素看出

ˆ ˆ ˆdr xdx ydy zdz= + +

dx dy dz 是沿著 ˆ ˆ ˆ x y z 方向的長度所以面積元素分量的兩邊長度就

是由其中兩個組成而體積的三邊也就是三個垂直方向的長度

x y zdV dx dy dz and ds dydz dxdz dxdyrArr = = （4-74）

這個概念在其他的座標系統也成立我們可以方便的寫出面積元素

Recall 柱座標的位移向量元素

cylindrical coordinate ˆ ˆ ˆdr d d dzzρρ ρ ϕϕ= + + （4-48）

ˆ ˆ ˆ zds ds ds zdsρ ϕρ ϕ= + + (4-75)

dsρ 躺在 zϕ minus 平面dsϕ 在 zρ minus 平面 zds 在ρ ϕminus 平面

rArr zds d dz ds d dz ds d d d dρ ϕρ ϕ ρ ρ ρ ϕ ρ ρ ϕ= = = sdot = （4-76）

上面的結果畫個圖看看吧球座標的位移向量元素

Spherical coordinate ˆ ˆˆ ( ) ( sin )dr rdr rd r dθ θ ϕ θ ϕ= + + （4-56）

ˆ ˆˆ rds rds ds dsθ ϕθ ϕ= + + （4-77）

rArr sin sin rds rd r d ds dr r d ds rd drθ ϕθ θ ϕ θ ϕ θ= sdot = sdot = sdot (4-78)

4-39

向量場 ( )A r 在 S 面上的「面積分（surface integral）」or「flux」

如左圖若有一「平面」S 且其上有「均勻」

場 B 分佈則通過 S 面的通量就是

ˆB B nSΦ = sdot

但考慮一任意「非均勻」向量場 ( )A r 在空間分佈選取任意曲面 S

探討 ( )A r 在 S 上之通量若ds 為 S 面上的面積元素在趨近於 0 的

小面積ds 上 A可視為均勻所以通過ds 之通量為 ( )d A r dsΦ = sdot 則 S

面之總通量為

Φ＝ ˆ cosS S S

A ds A nds A daϕsdot = sdot =int int int

( )OR

x x y y z zS

A da A da A da= + +int (4-75)

稱為 A 在 S 面上的「面積分」或「通量 flux」

上圖所繪就是一個任意面上分割出許多小面積舉出三個位置的通

量有+-與 0如果 S 面是為一「封閉面」則面積分寫為

S

A dssdotint （4-76）

4-40

ex37 Given 2ˆ ˆ ˆyzA xyz yx zx= + + 計算通量S

A dssdotint

S 面為在第一象限邊長＝1 的立方體表面封閉面

解立方體分為前後右左上下六個面分開算 1前面（x=1）

方向 x+ ˆ xA ds A xdydz A dydzsdot = sdot =int int int前 前 前

yzdydz= int前 ＝1 1

0 0

1 1 12 2 4

ydy zdz = sdot =int int

2後面(x=0)方向 xminus ˆ(- ) - xA ds A x dydz A dydzsdot = sdot =int int int後 後 後

yzdydz= minusint後1 1

0 0

-1 1 -12 2 4

ydy zdzminus = sdot =int int

3 右面（y=1）方向 y+ y ( 1)yA ds A dxdz A y dxdzsdot = sdot = =int int int右 右 右

( 1)x y zdxdz= =int右 ＝1 1

0 0

1 1 12 2 4

xdx zdz = sdot =int int

4 左面（y=0）方向 ˆ-y ˆ( y) - ( 0)yA ds A dxdz A y dxdzsdot = sdot minus = =int int int左 左 左

( 0) 0x y zdxdz= = =int左

5 上面（z=1）方向 z+ zz y (z 1) yA ds A dxd A dxdsdot = sdot = =int int int上 上 上

2 yx dxd= int上 ＝1 120 0

1 1y 13 3

x dx d = sdot =int int

6 下面（z=1）方向 ˆ-z zˆ(-z) y - (z 0) yA ds A dxd A dxdsdot = sdot = =int int int下 下 下

2 -1- y3

x dxd= =int下 ＝1 120 0

1 1y 13 3

x dx d = sdot =int int

S

A dssdotint ＝六個面的和＝1 1 1 1 1 1( ) ( 0) ( )4 4 4 3 3 4

minus minus+ + + + + =

ex38 Given ˆ ˆ ˆzA xyz yx zxy= + + 計算通量S

A dssdotint S 為圓 2 2 2x y a+ =

在第一項限的部分方向選為 z+ 2 2y a x= minus

4-41

解 2 2 4

0 0ˆ

8a a x

zS S S S

aA ds A zdxdy A dxdy xydxdy xdx ydyminus

sdot = sdot = = = =int int int int int int

Ex39 In cylindrical coordinate Given ˆ ˆaA zbzρρ

= + where a b are

constants Find S

A dssdotint over the surface of a

closed cylinder about z-axis specified by 3 2z ρ= plusmn =

解S 分為上下與周邊三面

zz (z 3)zA ds A ds A d dρ ρ ϕsdot = sdot = = sdotint int int上 上 上

= 23 3 2 12bd d b bρ ρ ϕ π πsdot = sdot =int上

ˆ(-z)A ds A d dρ ρ ϕsdot = sdot sdotint int下 下

= z- (z -3)A d dρ ρ ϕ= sdotint下 = 23 2 12b bπ πsdot =

周邊ds ˆ ( )d dzρ ρ ϕ= rArr ˆ ( ) z ( ) zA ds A d d A d dρρ ρ ϕ ρ ϕsdot = sdot =int int int周 周 周

2 3

0 3( ) z ( ) z=a 12aA d d d d d dz a

πρ ρ ϕ ρ ϕ ϕ π

ρ minus= = =int int int int周 周

加起來 S

A dssdotint ＝12 24 12 ( 2 )a b a bπ π π+ = +

ex40 一點電荷 q 置於原點計算在一個以原點為圓心 0r 為半徑的球

面上的電通量

解 2 20 0

ˆ ˆ4 4S S

qr q dsE ds rdsr rπε πε

sdot = sdot =int int int

=0 0 0

44 4S

q q qd ππε πε ε

sdot Ω = sdot =int

上式中 dΩ 2dsr

= 是 ds 所張開的「立體角」(solid angle)

4-42

div A and Flux 通量與散度的幾何物理意義

我們運用過nabla的符號來表示過散度 divF F= nablasdot yx zFF Fx y z

partpart part= + +part part part

但是也看到「散度」定義為

0( )

1( ) limSV

about x y z

divF x y z F da divergence of FVΔ rarr

equiv sdot =Δ int (4-77)

其中 VΔ 為 S 面所包含的體積即散

度為通量(體)密度的 0 體積極限

（4-77）的定義與 Fnablasdot 好像差的很

多她們是說同一回事嗎以下證明

這兩種「散度」的定義是等價的如

左圖考慮一個以點 ( ) x y z 為中心

的 立 方 體 其 相 鄰 三 邊 長 為

x y zΔ Δ Δ 體積 V x y zΔ = Δ Δ Δ 現在計算 F 在立方體的一組平行於 y-z平面的表面 S1 與 S2 的通量

( )1 1

ˆ ˆ xS S

F nds F xds F x y z dsrArr sdot = sdot =intint intint intint 2xxF x y z y zΔ⎛ ⎞asymp + Δ Δ⎜ ⎟

⎝ ⎠

其中 2xx y zΔ⎛ ⎞+⎜ ⎟

⎝ ⎠為 S1 面中心的座標而

2xx y zΔ⎛ ⎞minus⎜ ⎟

⎝ ⎠為 S2 面的中心

( ) ( )2 2 2

ˆ ˆ 2x x

S S S

xF nda F x ds F x y z ds F x y z y zΔ⎛ ⎞rArr sdot = sdot minus = minus asymp minus minus Δ Δ⎜ ⎟⎝ ⎠intint intint intint

上式中的負號來自 S2 面的方向是 xminus 所以合併兩個面積分

1 2

ˆ 2 2x x

S S

x xF nds F x y z F x y z y z+

Δ Δ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞rArr sdot asymp + minus minus Δ Δ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦intint

2 2x xx xF x y z F x y z

x y zx

Δ Δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠= Δ Δ Δ

Δ

2 2

x xx xF x y z F x y z

Vx

Δ Δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠= Δ

Δ

1 2

1 2 2ˆ

x x

S S

x xF x y z F x y zF nds

V x+

Δ Δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠rArr sdot asymp

Δ Δintint

4-43

當取體積向(xyz)點收縮至 0 時即 0 x 0as VΔ rarr Δ rarr 上式的近似

「asymp」就成了「＝」

1 20

1 ˆlimV

S S

F ndsVΔ rarr

+

sdotΔ intint

( )0

2 2limx x

x

x

x xF x y z F x y z F x y zx xΔ rarr

Δ Δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟ part⎝ ⎠ ⎝ ⎠= =Δ part

Similarly F 在立方體的一組平行於 x-z 平面的表面 S3 與 S4 的通量

3 3 3

ˆ ˆ yS S S

F nds F yds F dsrArr sdot = sdot =intint intint intint

2

2

y

y

yF x y zyF x y z x z x y z

y

Δ⎛ ⎞+⎜ ⎟Δ⎛ ⎞ ⎝ ⎠asymp + Δ Δ = Δ Δ Δ⎜ ⎟ Δ⎝ ⎠

( )4 4 4

2ˆ ˆ

y

yS S S

yF x y zF nds F y da F ds x y z

y

Δ⎛ ⎞minus⎜ ⎟⎝ ⎠rArr sdot = sdot minus = minus asymp Δ Δ Δ

Δintint intint intint

合併 S3 與 S4 兩個面積分並取體積向(xyz)點收縮至 0 時即當

0 y 0VΔ rarr Δ rarr 上式的近似asymp就成了＝

3 4

2 2ˆ

x x

S S

y yF x y z F x y zF nds V

y+

Δ Δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠rArr sdot cong Δ

Δintint

3 40 0

1 2 2ˆlim lim

x xy

V yS S

x yF x y z F x y z FF nds

V y yΔ rarr Δ rarr+

Δ Δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟ part⎝ ⎠ ⎝ ⎠rArr sdot = =Δ Δ partintint

與上面相同的作法計算 F 在立方體的一組平行於 x-y 平面的表面 S5

與 S6 的通量我們也會得到對應的結果

5 6

2 2ˆ

z x

S S

z zF x y z F x y zF nds V

z+

Δ Δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠rArr sdot cong Δ

Δintint

5 60 0

1 2 2ˆlim lim

z xz

V zS S

z zF x y z F x y zFF nds

V z zΔ rarr Δ rarr+

Δ Δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟ part⎝ ⎠ ⎝ ⎠rArr sdot = =Δ Δ partintint

所以合併立方體的 6 個面積分

4-44

1 2 3 4 5 6

ˆ ˆ ˆ ˆS S S S S S S

F nds F nds F nds F nds+ + +

rArr sdot = sdot + sdot + sdotint intint intint intint

0

1 ˆlim yx zV

FF FF nds div F FV x y zΔ rarr

partpart partrArr sdot = + + = = nablasdot

Δ part part partint (4-78)

在此我們得證這兩種「散度」的定義是等價的只是（4-77）的定義

充分的表現出「散度」的幾何物理意義他從通量著手由於場線

出自於 source（ex電場源自於點電荷）所以在點(xyz)必須有向量場

F 的 source 存在才能使得當面積縮到 0 時仍具有非 0 的通量所以「散

度」表現向量場 F 的 source 在這個定義之下是很清楚的當然在計算

「散度」時我們不必那麼麻煩用 divF F= nablasdot 就好了

Ex41 計算 2ˆ ˆ ˆF xx yxy zyz= + + 的散度

解 2 yx zFF Fx x yx y z

partpart part= = =

part part part F 2x x y 3x ydivrArr = + + = +

recall 在靜電學0

yx zEE EEx y z

ρε

partpart partnablasdot = = + +

part part part

散度定理 Divergence Theorem

若任意封閉面（又稱為「高斯面」）S 所包圍的

體積為 V 則

S VA ds Adτsdot = nablasdotint int （4-79）

pf 我們先將體積分割成 N 個小盒子考慮相鄰的兩個小盒子 1 2

兩小盒子的共用面面積 S0當 S0 是為 1 號盒子的一部份時其方向為

1n 但若當為 2 號盒子的表面時其方向為 12 ˆˆ nn minus= 如此在 S0 分別做

4-45

1 2 盒子的面積分後

0 0

0 0 0 0

1 2

1 2 1 1ˆ ˆ ˆ ˆ 0

S S

S S S S

A ds A ds

F n ds F n ds F n ds F n ds

sdot + sdot

= sdot + sdot = sdot minus sdot =

intint intintintint intint intint intint

所以若求場 A 在 1 2 盒子的總通量時交界面是沒有貢獻的總通量

就只有「外面積」才有貢獻如此我們計算 N 個小盒子的總通量

時所有的內部共用面都得 0只剩下「外表面」的貢獻了當 infinrarrN

時所有小盒子的「總外表面」就與 S 面重合了所以所有小盒子通量

的總和就等於 S 面的通量

1lim

i

N

S SN iA ds A ds

rarrinfin=

rArr sdot = sdotsumint int

現在我們做 N 個小盒子的總通量

1 1

1i i

N N

iS Si i i

A ds A ds VV= =

⎛ ⎞sdot = sdot Δ⎜ ⎟Δ⎝ ⎠

sum sumint int

當 0iN Vrarrinfin rArr Δ rarr 並用 dv 表示體積元素

( ) ( )1 1

1

1lim lim lim

lim

i ii

N N

iS SN N V oi i i

N

i VN i

A ds A ds VV

A V A dv

rarrinfin rarrinfin Δ rarr= =

rarrinfin=

⎛ ⎞sdot = sdot Δ⎜ ⎟Δ⎝ ⎠

= nablasdot Δ = nablasdot

sum sumint int

sum int

( )S V

A da A dvrArr sdot = nablasdotint int QED

所以得證散度定理上式中我們用了散度的（4-77）式定義要分辨

清楚 Anablasdot 是向量場 A 在空間中「某一點」的性質（ 0VΔ rarr ）而「散

度定理」說的是一個「有限體積」的性質

ex42 給定 ( ) ˆ ˆ ˆ A x y z xx yy zz r= + + = 計算在

半徑 R＝1 的球的上半球加底面的通量

4-46

解 ( )ˆˆS

A da A rda A k darArr sdot = sdot + sdot minusint int int上半球面 底面

( )

2

ˆ ˆ

0 2 1 2

A rda A z dxdy

r rds zdxdy rds ds π π

= sdot + sdot minus

= sdot minus = minus = = sdot =

int int

int int int int上半球面 底面

上半球面 底面 上半球面

底面的通量＝0 是因為 A 的 z 分量 Az=z 在底面的值為 0

也可以用散度定理更快的得出結果

∵ 3A rnablasdot = nablasdot =

31 43 3 1 22 3V V

Ad d πτ τ πnablasdot = = sdot sdot sdot =int int

ex43高斯定律的微分形式積 由 Gaussrsquo law 的積分形式用散度定理得出其

( )0 0

1 inS V

qE ds x y z dvρε ε

sdot = =int int

0S V VE ds Edv dvρ

εrArr sdot = nablasdot =int int int

上式最後的等式對「任意形狀」V 都成立所以兩者的被積函數相等

對於空間每一點 0

E ρε

nablasdot = （4-80）

ex44 Use 第一象限的單位力方體 check the divergence theorem using the function 2 2ˆ ˆ ˆ(2 ) 2A y x xy z y yzz= + + +

解2

2( ) (2 )(2 ) 2( )y yzA xy z x yx y z

part part partnablasdot = + + + = +

part part part

and 1 1 1 1 1 1

0 0 0 0 0 02 ( ) 2 ( )

VAdv x y dxdydz dz dy x y dxnablasdot = + = +int int int int int int int

1 1

0 0

1 12 ( ) 2 12 2

dz y dy= + = sdot =int int

面積分 1 1 2

0 0

1ˆ3

A ds A xdydz dz y dysdot = sdot = =intint intint int int前 前

4-47

1 1 2

0 0

1ˆ( )3

A ds A x dydz dz y dy minussdot = sdot minus = minus =intint intint int int

後 後

1 1 2

0 0ˆ (2 )A ds A ydxdz dz xy z dxsdot = sdot = +intint intint int int

右 右

1 1 1 12 2

0 0 0

4(2 ) (1 )3

ydz x z dx dz z

=

= + = + =int int int∵

1 1 2

0 0

0 1 1 12 2

0 0 0

ˆ( ) (2 )

1(1 )3

y

A ds A y dxdz dz xy z dx

dz z dx dz z=

sdot = sdot minus = minus +

minus= minus = + =

intint intint int int

int int int∵

左 左

11 1 1 1

0 0 0 0ˆ 2 2 1

zA ds A zdxdy dx yzdy dx ydy

=sdot = sdot = = =intint intint int int int int

∵

上 上

01 1

0 0ˆ 2 0

zA ds A zdxdy dx yzdy

=sdot = sdot minus = minus =intint intint int int

∵

下 下

前後右左上下六個面積分合併＝1＝V

Advnablasdotint QED

ex45 Continuity Equation 連續方程式

考慮某些「東西」的流動（物質電荷hellip）在時刻 t 時在點(xyz)

的 密 度 為 ( ) x y z tρ ρ= 並 具 有 速 度

( ) v v x y z t= 在時刻 t 時在體積 V 內的總量為

( ) x y z t dρ τintintint

這樣體積 V 內東東的時變率為

( ) ( ) d x y z t d x y z t ddt t

ρρ τ τpart=

partintintint intintint

注意體積分後的時間全微分移入積分內要改為偏微分這個東東

在表面的「流率 flow rate」可表為

ˆS

R v ndsρ= sdotintint

若體積內的物料無法自生自滅那麼體積內物料的變化必經由表面的

流出流入所造成

d v ndstρ τ ρpart

rArr = minus sdotpartintintint intint

由散度定理

4-48

( )ˆS

v nds v d dtρρ ρ τ τpart

sdot = nablasdot = minuspartintint intintint intintint

( )v Jtρ ρpart

rArr = minusnablasdot equiv minusnablasdotpart

0Jtρpart

rArr +nablasdot =part

（4-81）

(4-81) 即 continuity equation其中 J vρ= 為「物流密度」ex如果 ρ

是電荷密度 J 就是電流密度（4-81）是物質守恆的結果只對體

積內無 source（生成）or drain（消滅）的東東成立

ex46 Given a vector field ˆ ˆx yA ye xe= minus + (a) Find

Anablasdot (b)如圖一個金字塔狀的 5 面體高 2 底邊長

1計算 A在整個金字塔表面（封閉面）的總通量

解(a) Anablasdot = ( ) ( ) 0y xx ypart part

minus + =part part

(b) 金 字 塔 的 表 面 面 積 元 素 ds 不 好 寫 所 以 用 散 度 定 理

( )S V

A da A dvrArr sdot = nablasdotint int ＝0 Anablasdot 表示 A沒有 source 所以對封閉面而

言有多少場線進入就有多少出去所以總通量＝0

習題 7 With position vector r for an arbitrary volume V that is

bounded by surface S show that 13 S

r ds Vsdot =int

習題 8 已知一靜電場為 ˆ ˆ ˆ( )E xyz yxz zxyλ= + + 運用 Gaussrsquo law

試求包含在半球 2 2 2 2 0x y z R z+ + = ge 裡的總電荷 Ans 0

習題 9 (a) given ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( 2 )F r xf x yf y zf z= + + minus show that divF is

zero at point (c c -c2) (b) given ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( )G r xf x z yg x z zh x y= + +

show that ( ) 0G rnablasdot =

4-49

習題 10 Find the normal vector n for the surfaces (a) z = 2-x-y ans

ˆ ˆ ˆ( ) 3x y z+ + (b) z = (1-x2)12 ans ˆ ˆxx zz+ (c) z = x2+y2

ans ˆ ˆ ˆ( 2 2 ) 1 4xx yy z zminus minus + +

習題 11 Show that the unit vector normal to the plane ax+by+cz =d is

given by 2 2 2ˆ ˆ ˆ( ) ax by cz a b cplusmn + + + +

圓柱座標與球座標的nabla (del)

考慮一純量場在直角座標為 ( ) u x y z 在圓柱座標表為 ( ) u zρ φ

再考慮因位移 r r drrarr + 所造成 u ( )zρ φ 的變化

( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆz

z

u u udu d d dz u dr u d d zdzz

u u z u d d zdz

u d u d u dzρ ϕ

ρ ϕ

ρ ϕ ρ ρ ϕρ ϕρ ϕ

ρ ϕ ρ ρ ϕρ ϕ

ρ ρ ϕ

part part part= + + = nabla sdot = nabla sdot + +part part part

⎡ ⎤= nabla + nabla + nabla sdot + +⎣ ⎦= nabla + nabla + nabla

( ) ( ) ( )1

1ˆ ˆ ˆu

z

u u uu u uz

u u uzz

ρ ϕρ ρ ϕ

ρ ϕρ ρ ϕ

part part partrArr nabla = nabla = nabla =

part part partpart part part

rArrnabla = + +part part part

1ˆ ˆ ˆ zz

ρ ϕρ ρ ϕpart part part

nabla = + +part part part

（4-82）

注意nabla的ϕ -分量( 1ρ ϕ

partpart

)不是像直角座標裡單純的ϕpartpart

所以不要笨笨

的就把直角座標的形式硬套上去用我們也可以從「因次分析」來

看nabla因為是對空間的微分所以每一項的因次必須是「長度分之一」

運算 andzρ

part partpart part

都是「長度分之一」而「單純的ϕpartpart

」是沒有單位的

所以要1ρ ϕ

partpart

才 OK

由於圓柱座標裡的單位向量除了 z 之外 ˆ( )ρ ϕ 與 ˆ( )ϕ ϕ 都不是常

4-50

數所以在微分時不可以與微分運算交換而要考慮微分的作用所

以在「圓柱座標」寫「散度」 ( ) F zρ ϕnablasdot 也和直角座標不一樣

( )1ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ zF z F F zFz ρ ϕρ ϕ ρ ϕ

ρ ρ ϕpart part part⎛ ⎞

nabla sdot = + + sdot + +⎜ ⎟part part part⎝ ⎠

( ) ( )1ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆz zF F zF F F zFρ ϕ ρ ϕρ ρ ϕ ϕ ρ ϕρ ρ ϕpart part

= sdot + + + sdot + +part part

( )ˆ ˆˆ ˆ zz F F zFz ρ ϕρ ϕpart

+ sdot + +part

因為 ( ) ( )ˆ ˆ ˆ ˆ ρ ρ ϕ ϕ ϕ ϕ= = 所以做 andzρ

part partpart part

時 ˆ ˆ ρ ϕ 可視為常數

ˆ ˆ1ˆ ˆ ˆ zF F F FF F Fz

ρ ρ ϕρ φ

ρ ϕϕ ρ ϕρ ρ ϕ ϕ ϕ ϕ

part part part⎡ ⎤part part partrArrnablasdot = + sdot + + + +⎢ ⎥part part part part part part⎣ ⎦

還記得 ˆ ˆ ˆ ˆd d d dρ ϕ ϕ ϕ ρ ϕ= = minus 所以 ˆ ˆρ ϕϕpart

=part

ˆ ˆϕ ρϕpart

= minuspart

rArr

( )1 1 1z zF F F FF FF Fz z

ρ ρ ϕ ϕρρ

ρ ρ ρ ϕ ρ ρ ρ ϕpart part part part

nablasdot = + + + = + +part part part part part part

（4-83）

在球座標寫nabla也會遇到相似的問題其根源就是球座標 ( )r θ ϕ 裡

的 θ ϕ 的因次並非長度而三個單位向量 ˆ ˆˆ r θ ϕ（表為 ie ）都是( θ ϕ )

的函數以致

( )ˆ ˆ( ) ( )i ie f e fθ ϕ θ ϕθ θpart part

nepart part

且 ( )ˆ ˆ( ) ( )i ie f e fθ ϕ θ ϕϕ ϕpart part

nepart part

所以nabla也不似在直角座標那麼簡單我們不在這裡推導而是給出一

個歸納的統一的三個座標的結果還記得對每一個座標 iu i = 123

座標的變化 idu 與造成的長度變化 id

i i id h du= 123i = (4-84)

其中 ih 為對應的度量係數(metric coefficient)

4-51

1 2 3

1 1 2 2 3 3

1 1 1ˆ ˆ ˆu u ue e eh u h u h u

part part partnabla equiv + +

part part part （4-85A）

座標 1 2 3 u u u

度量係數

1 2 3 h h h

nabla grad del

直角 x y z

1 1 1 nabla ˆ ˆ ˆx y z

x y zpart part part

equiv + +part part part

圓柱

zρ ϕ

1 1ρ

1ˆ ˆ ˆ z

zρ ϕ

ρ ρ ϕpart part part

nabla equiv + +part part part

球

r θ ϕ

1 sinr r θ

1 1ˆ ˆˆ

sinr

r r rθ ϕ

θ θ ϕpart part part

nabla = + +part part part

（4-85B）

梯度gradient Vnabla grad(V) 散度divergence Anablasdot div( )A

直

角 nablaV ˆ ˆ ˆV V Vx y z

x y zpart part part

= + +part part part

yx zAA AAx y z

partpart partnablasdot = + +

part part part

圓

柱

1ˆ ˆ ˆ V V VV zz

ρ ϕρ ρ ϕpart part part

nabla = + +part part part

( )1 1

1

z

z

A AA Az

A A A Fz

ϕρ

ρ ρ ϕ

ρρ ρ ρ ϕ

ρ ρ ρ ϕ

partpart partnabla sdot = + +

part part partpart part part

= + + +part part part

球

1 1ˆ ˆˆ sin

V V VV rr r r

θ ϕθ θ ϕ

part part partnabla = + +

part part part

22

1 ( )rA r Ar r

partnabla sdot =

part

1 (sin )sin

Ar θθ

θ θpart

+ sdotpart

1sin

Ar

ϕ

θ ϕpart

+part

(4-86)

Ex47 Using spherical coordinate show that 1| |r r

nablaminus

= 2

ˆ| |

r rer r

minusminusminus

where

nabla是作用在 r 而 ˆr re minus 是向量 r rminus 方向的單位向量 解let r lies in z-axis so that the angle between r and r is just θ

4-52

rArr ( ) 122 21 1 2 cos | | ( ) ( )

r rr rr r r r r r

θminus

= = minus +minus minus sdot minus

( ) ( )12 122 2 2 21 1ˆˆ 2 cos 2 cos | |

r r rr r r rr rr r r r

θ θ θθ

minus minuspart partnabla = minus + + minus +

minus part part

( ) 322 21ˆ 2 cos (2 2 cos )2

r r rr r r rθ θminusminus

= minus + minus

( ) 322 21ˆ 2 cos (2 sin )2

r rr r rrθ θ θminusminus

+ minus +

3 3 3 3

ˆˆ ˆ( cos ) sin ( cos sin )ˆˆ| | | | | | | |r r r rr r rrr r r r r r r r

θ θ θ θ θθminus minus minus minus minus= + = +

minus minus minus minus

3 3 3ˆ ( )

| | | | | |r r z r r r rr r r r r rminus + minus + minus minus

= = =minus minus minus

＝ 2

ˆ| |

r rer r

minusminusminus

QED

證明最後我們用到 ˆˆˆ cos sinz r θ θ θ= minus 而 ˆ r r z= 因為我們選了 r 是

躺在 z-軸 Ex48 For arbitrary scalar field ( )f r and vector field ( )A r 證明恆等式

( )fA f A f Anablasdot = nabla sdot + nablasdot (4-87) 解 ˆ ˆ ˆx y zfA xfA yfA zfA= + +

( ) ( ) ( ) ( )x y zfA fA fA fAx y zpart part part

rArrnablasdot = + +part part part

yx zx x x

AAf f f AA f A f A fx x y y z z

partpartpart part part part= + + + + +part part part part part part

yx zx y z

AAf f f AA A A fx y z x y z

part⎛ ⎞partpart part part part= + + + + +⎜ ⎟part part part part part part⎝ ⎠

f A f A= nabla sdot + nablasdot QED 習題 12 一個位於原點的電偶極電偶極矩＝ ˆp pz= 已知其在遠處

的電位為 20

cos4p

rθ

πε試證該處的電場強度為 E = 3

0

ˆˆ( 2cos sin )4

p rr

θ θ θπε

+

(已知 E V= minusnabla )並請計算 Enablasdot ＝

習題 13 給定一向量場2

3cosˆD r

rϕ

= 現有兩個球心在原點的同心球

內球半徑 R＝1外球 R＝2(a)求面積分S

D dssdotint S 為同心球殼的表

面（有內外兩個面）(b)求體積分V

Ddvnablasdotint V 為兩同心球之間的

區域本題也是來 check 散度定理的Ans πminus

4-53

The Laplacian operator 2nabla equivnablasdotnabla

在直角座標可以用直接作用得到

2 2 2

22 2 2u u uu u

x y zpart part part

nabla equiv nablasdotnabla = + +part part part

(4-88)

圓柱座標

2 2

22 2 2

1 1( ) u u uu uz

ρρ ρ ρ ρ ϕ

part part part part⎛ ⎞nabla equiv nablasdot nabla = + +⎜ ⎟part part part part⎝ ⎠

(4-89)

球座標

2

2 22 2 2 2 2

1 1 1sinsin sin

u u uu rr r r r r

θθ θ θ θ ϕ

part part part part part⎛ ⎞ ⎛ ⎞nabla = + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟part part part part part⎝ ⎠ ⎝ ⎠ （4-90）

習題 14 verify (4-89) and (4-90)

習題 15 Given a dipole potential V= 20

cos4p

rθ

πε find 2Vminusnabla

sect 433 Line integral and curl A 線積分與與旋度的物理意義

線積分路徑積分

考慮一曲線 C 通過兩點 ( )i i i iP x y z 與

( )f f f fP x y z 現有一向量場 ( )A x y z 定義在

C 所在的空間若 sd 為 C 上位於(xyz)點的

「路徑元素」（ ˆd td= 方向沿該處切線）而

( )A x y z 為路徑元素d 處的場值則沿 C 經歷各點所做積分

cos cosf

CC C iA d Ad A dϕ ϕrarr rarrsdot = =int int int （4-91）

稱為向量場 ( )A x y z 沿路徑 C 自 pi 至 pf 的「線積分」「或「路徑積分」

積分裡 A 取值的點侷限在路徑 C 上面若為一個「封閉路徑」則對

C 的線積分也稱做「環路積分 closed contour integral」記做

C

A dsdotint （4-92）

4-54

物理量「做功」是最標準的線積分之一力 F 自 x = a 至 x = b「沿線」

x 軸做功

W＝ F dxsdotint ＝ ( )b

xaF x dxint （4-93）

質點在力場 )(rF 裡走一條曲線 C則力場做功

CW F d= sdotint （4-94）

還記得如果 ( )F r 是所謂「保守力」則上式只與始末點有關而與

路徑無關但如果 ( )F r 是所謂「非保守力」則做功與確實的路徑 C

有關

現考慮一質點在空間運動的位置 r 落在由曲線 C

描述的路徑則質點的位移元素與曲線 C 的路徑元

素相同 d dr= 若空間有向量場 A 分佈則 A 在 C 的

路徑積分以直角座標表示為

CA drarr rarrsdotint ＝

CA d rrarr rarrsdotint ＝ ( )x y zC

A dx A dy A dz+ +int （4-95）

上式中的 x y z 的積分限由 C 決定

Ex49 2 2 2ˆ ˆ ˆA xx yy zzrarr= + + 選定一路徑 C 為曲線

2y x= 由 (000)到 (2 20)的部分求C

A dsdotint

解 ˆ ˆd xdx ydy= +∵

CA dsdotint ＝ 2 2( )

Cx dx y dy+int ＝

2 22 2

0 0x dx y dy+int int

＝ )24(32

+

或由 2y x= rArr 2ydy dx= 2 12

y dy xdxrArr =

rArrC

A dsdotint ＝2 2

0

1( )2

x x dx+int ＝2 (4 2)3

+

4-55

ex50 ˆ ˆ( )f x y z xy yx= minus Do C

f dsdotint 其中的路徑 C 為一逆時針三角

形如圖 解∵路徑全部在 x-y 平面 ˆ ˆ ˆd td xdx ydy= = +

rArrC

f dsdotint ＝ x yC

f dx f dy+int ＝C

ydx xdyminusint

由於在 C1 上 y = 0 及 dy = 0 所以 01

=intC 又由於在

C3 上 x = 0 及 dx =0所以 03

=intC 所以只剩下 C2 可

能有貢獻由 2C 的方程式x + y =1rArr ⎩⎨⎧

minus=minus=

xyyx

11

rArr2Cydx xdyminusint ＝

0 1

1 0(1 ) (1 )x dx y dyminus minus minusint int ＝

0 12 2

1 0

( ) ( )2 2x yx yminus minus minus ＝-1

Cf dsdotint ＝-1

ex51 ( )f x y zrarr

= 2ˆ ˆxx yxyminus 如右圖doC

f dsdotint 其

中路徑 C 為第一象限的逆時針 14 圓弧

解∵ 全部在 x-y 平面 ˆ ˆd xdx ydy= +

Cf dsdotint ＝ 2

Cx dx xydyminusint

由於在 C 上 cosx R ϕ= rArr sindx R dϕ ϕ= minus

siny R ϕ= rArr cosdy R dϕ ϕ=

rArr 2

Cx dx xydyminusint ＝

2 2 2 2

0cos ( sin ) sin cos cosR R d R R d

πϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕminus minus sdotint

23 2

02 cos sinR d

πϕ ϕ ϕ= minus int ＝

323Rminus

又路徑為圓周一部份所以適合用極座標表示

ˆd Rdϕ ϕ= 又由左圖將 ˆ ˆx y 拆解（投影）到 ˆˆr ϕ

ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆcos sin sin cosx r y rϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ= minus = +

4-56

( )2ˆ ˆ ˆˆ ˆ( cos sin ) ( sin cos )C C

f d r x r xy Rdϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕsdot = minus minus + sdotint int 2

2 2 2

0

sin (cos )

sin ( cos ) (cos ) cos sin

Cx Rd xyRd

R Rd R Rdπ

ϕ ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ

= minus minus

= minus minus

intint

23 2

02 cos sinR d

πϕ ϕ ϕ= minus int ＝

323Rminus

這也驗證了散度定理

Path Independence 路徑獨立性

Ex52 證明庫倫力為「保守力」考慮

電荷 q0 位於原點及電荷 q 位於

( )r x y zrarr= q 受力 F

rarr＝ 0

20

14

qq urπε

and

求庫侖力作功因為球形對稱所以

用球座標由 ˆ ˆ ru rr

= = rArr Frarr

= 03

04qq r

rπε

庫侖力由 P1 至 P2 做功為 2

1

P

CPF drarrsdotint ＝

2

1

02

0

ˆ ˆ ˆˆ sin4

P

PC

qq r rdr rd r dr

θ θ ϕ θ ϕπε

⎡ ⎤sdot + +⎣ ⎦int ＝2

1

02

04P

P

qq drrπεint

＝20

2104

r

r

qq drrπε int ＝ 0

0 1 2

1 1( )4qq

r rπεminus for all C

所以庫侖力兩點間做功與路徑無關rArr保守力

對於「保守力 conservative force」 cF 自 p1 經

由兩條不同的路徑 C1 與 C2 到達 p2

1 ccF drarrsdotint ＝

2 ccF drarrsdotint ＝-

2 ccF drarr

minussdotint

rArr1 2c cc cF d F drarr rarr

minussdot + sdotint int = cF d

rarrsdotint ＝0 (4-96）

對於任何「封閉路徑」保守力做功為 0反之若

對任一封閉路徑 0F drarrsdot neint 則兩點之間的做功與路徑有關

rarr

F 為「非

保守力」

4-57

旋度 curl Anablatimes 的幾何物理意義

我們在（4-70）式已經看過旋度的計算方式但旋度另有其意義的

ex53 給定向量場2 2

0ˆ yv yv e λrarr

minus= 左圖為場的分佈

2 20

ˆ ˆ ˆ

0 0x y z

y

x y zcurl v

v e λ

rarr

minus

= part part part ＝ ˆ ˆ ˆ0 0 0 0x y zsdot minus sdot + sdot =

我們用了簡寫 x yx ypart part

part equiv part equivpart part

可以看出這個場裡沒有「漩渦」

但是有無「漩渦」有時也不是那麼明顯可以看出的請見下一個例子

Ex54 給定向量場2 2

0ˆ xv yv e λrarr

minus= 計算其旋度 vnablatimes

解向量場 vrarr

畫在右邊你看得出有無漩渦

先計算旋度

2 20

ˆ ˆ ˆ

0 0x y z

x

x y zcurl v

v e λ

rarr

minus

= part part part2 2

2 2

0

0

ˆ

ˆ 2 0 0

x

x

z v ex

z v xe for x

λ

λ

minus

minus

part=

part

= minus ne ne

vrarr

的旋度在大部分的地方不為 0 且隨位置而不同但是你看得出這個

向量場裡有「漩渦」其實要檢驗一個向量場裡有無「漩渦」有一

個很物理的方法就是放一個小「螺旋槳」（左圖）

在場內將軸朝各個方向測試一

下如果有「漩渦」的話這個

小「螺旋槳」就會轉動右圖就是將「螺旋槳」的

軸平行於 z 軸且放在 x gt 0 的地方就可以看出左

邊的 v 場比右邊的強造成螺旋槳順時針轉動rArrcurlv zminus for x gt 0

但如果放在 x = 0 的地方就會看到左右兩端的 v 場強度相同而且

4-58

curlv = 0 「螺旋槳」放在 x lt 0 的地方就可以看出右邊的v 場比左

邊的強造成螺旋槳逆時針轉動這完全符合 curl v k+ 的結果

環路積分與旋度 curl 的物理意義

如同「散度」一樣「旋度」除了 Ftimesnabla 之外

還有一個物理意義更清楚的定義這個定義由

「線積分」說明如圖考慮做「逆時針」長方形

路徑 C1 的一個「環路積分」C1 面平行於 x-y 平

面由 z-軸看下去環路 C1 可以分為可以分為

下 CB上 CT右 CR左 CL 4 部分

CA drarrsdotint ＝

B T L RC C C CA d A d A d A drarr rarr rarr rarrsdot + sdot + sdot + sdotint int int int

分別計算由於 CB 的中點座標為 ( )2yx y zΔ

minus

ˆB BC C

A d A xdxrarr rarrsdot = sdot =int int

BxC

A dxint ( )2xyA x y z xΔ

asymp minus Δ

similarly 由於 CT 的中點座標為 ( )2yx y zΔ

+

ˆ( )T TC C

A d A xdxrarr rarrsdot = sdot minus =int int

TxC

A dxminusint ( )2xyA x y z xΔ

asymp minus + Δ

合併 CB 與 CT

B TC CA drarr

+sdot =int

( ) ( )2 2x xy yA x y z A x y z

x yy

Δ Δ⎡ ⎤minus + minus minus⎢ ⎥⎣ ⎦ Δ ΔΔ

（4-97）

由 C1 所圍的面積 S x yΔ = Δ Δ

1B TC C

A dS

rarr

+sdot =

Δ int( ) ( )

2 2x xy yA x y z A x y z

y

Δ Δ⎡ ⎤minus + minus minus⎢ ⎥⎣ ⎦Δ

（4-98）

所以當取極限 C1 收縮到中心(xyz)時 SΔ 收縮到 0ie

4-59

0limsΔ rarr

1B TC C

A dS

rarr

+sdot =

Δ int xAy

partminuspart

（4-99）

Similarly with CR 的 ˆd ydy= CL 的 ˆd ydy= minus 可得

1L RC C

A dS

rarr

+sdot =

Δ int x

zyxxFzyxxF yy

Δ

Δminusminus

Δ+ )

2()

2(

（4-100）

同樣的當取極限 C1 收縮到中心(xyz)時 SΔ 收縮到 0

0

limsΔ rarr

1L RC C

A dS

rarr

+sdot =

Δ int yAx

partpart

（4-101）

最後合併 CBCTCRCL 為 C1

10

1limCs

A ds

rarr

Δ rarrsdot =

Δ int y xA Ax y

part partminus

part partˆ ( ) ( )zz A A= sdot nablatimes = nablatimes （4-102）

注意 C1 的方向就是在 z 上式的重要

意義是當向量場 A 在一個以點(xyz)為

中心「方向為 z 」的面積元素的「邊界」

所做的環路積分得到的就是 A 在(xyz)

處旋度的 z-分量明顯的只有當 A 在

(xyz)附近有 x-y 平面上的「漩渦」那麼 C1 的環路積分才不會為 0

Similarly 取一個逆時針繞著(xyz)的平行於 x-z 平面的長方形環路 C2

（左圖）做環路積分再取極限將 C2 收縮到(xyz)就會得到

20

1limCs

A ds

rarr

Δ rarrsdot =

Δ int x zA Az x

part partminus

part partˆ ( ) ( )yy A A= sdot nablatimes = nablatimes （4-103）

注意到 C2 所包圍的面積方向就在 y到

現在我們應該已經很有經驗了若取一

個逆時針繞著(xyz)的平行於 y-z 平面

的長方形環路 C3（左圖）做環路積分

再取極限將 C3 收縮到(xyz)就會得到

4-60

30

1limCs

A ds

rarr

Δ rarrsdot =

Δ int yz AAy z

partpartminus

part partˆ ( ) ( )xx A A= sdot nablatimes = nablatimes （4-104）

能把（4-103）與（4-104）變出來的同學我們有優待綜合以上

我們可以得到一個結論若取一個以點(xyz)為中心的任意環路 Cn（其

所包圍的面積方向在 n ）則

n curl Aand rarrsdot ＝

0

1lims

Cn

A ds

rarr

Δ rarrsdot

Δ int （4-105）

明顯的當 n ＝ x 或 y 或 z 時我們可以重複（4-102）到（4-104）的

結果（4-70）式的行列式所定義的旋度在此看見其幾何物理意義

至此「旋度」的「漩渦」形象應該已經很清楚了只有在(xyz)點附

近的小圈圈上有「漩渦」 A 在小圈圈做的環路積分才會有值這個

值就是向量場 A 的「旋度」在小圈圈面積方向的分量

Stokersquos 定理

考慮一個開放面 S被其「有方向的」邊界 C 圈住(bounded by)則

( )S

A dsrarr rarrnablatimes sdotint ＝

C

A drarrsdotint （4-106）

pf 先將 S 面分割為 N 個多邊形這會使得邊界變成一個「折線」形

成的環路 P環路 P 會隨著分割的多邊形個數的增多而越加近似於原

「光滑的」邊界 C現考慮相鄰的

兩個多邊形的線積分由於共用邊

的方向是相反的所以相鄰兩個多

邊形線積分的和只剩「外邊界」（見左圖）所以當把所有的多邊形的

4-61

線積分加起來時由於只有邊界 P 不是多邊形的共用邊所以

1k

N

k C

A drarr

=

sdotsum int ＝P

A drarrsdotint rArr

P

A drarrsdotint ＝

1

1

k

N

kk k C

A d l ss

rarr rarr

=

⎡ ⎤sdot Δ⎢ ⎥

Δ⎢ ⎥⎣ ⎦sum int

其中 ksΔ 為第 k 個多邊形的面積取極限 0kN srarrinfinrArrΔ rarr P CrArr rarr

C

A drarrsdotint ＝

10

1limkk

N

kN k k Cs

A d ss

rarr

rarrinfin=Δ rarr

⎡ ⎤sdot Δ⎢ ⎥

Δ⎢ ⎥⎣ ⎦sum int 01

ˆlim ( )k

k kskn A s

infin

Δ rarr=

⎡ ⎤= sdot nablatimes Δ⎣ ⎦sum

01

ˆlim ( )k

k kskA n s

infin

Δ rarr=

= nablatimes sdot Δsum = ( )S

A dsrarr

nablatimes sdotint QED

ex55 由 Amperersquos law 的積分形式導出其微分形式

解Amperersquos law 的積分形式 C

B drarrsdotint ＝ I0μ (4-107)

由 Stokersquos 定理及電流密度 j 的定義上式等號兩端可寫為

rArr ( )S

B dsrarr rarrnablatimes sdotint ＝ 0 S

j dsμrarrsdotint

由於上面的等式對任意面 S（路徑 C）都成立所以被積函數相等

0B jμrarr rarr rarr

rArrnablatimes = (4-108) 此即 Amperersquos law 的微分形式

Ex56 Given a vector field ˆ ˆx yA ye xe= minus + (a) Find Anablatimes

解

ˆ ˆ ˆˆ ˆ(1 ( 1) 2

0x y z

x y zA z z

y xnablatimes = part part part = minus minus =

minus

(b)如圖一個金字塔狀的 5 面體高 2底邊長＝1計算 ( )S

A dsnablatimes sdotint

其中 S 為金字塔在 x-y 平面以上的部分方向如同

封閉的金字塔（運用 Stokersquos law）

解金字塔上表面的面積元素ds 不好寫由 Stokersquos

4-62

law ( )S

A dsrarr rarrnablatimes sdotint ＝

C

A drarrsdotint 其中封閉路徑 C 就是上表面的邊界而且

是逆時針（由 z 軸向下看）

C

A drarrsdotint ＝

1 1 0 0

0 0 1 1ˆ ˆ ˆ ˆA xdx A ydy A xdx A ydysdot + sdot + sdot + sdotint int int int

＝1 1 0 0

0 0 1 1x y x yA dx A dy A dx A dy+ + +int int int int 1 1 0 0

0 0 1 1( 0) ( 1) ( 1) ( 0)y dx x dy y dx x dy= minus = + = + minus = + =int int int int

0 1 1 0 2 ( ) 2S

A ds= + + + = rArr nablatimes sdot =int

旋度與 path independence

已知保守場 cF 對所有封閉路徑 C 0cC

F drarrsdot =int 由 Stokersquos 定理

0cC

F drarrsdot =int ＝ ( )cS

F dsrarr rarrnablatimes sdotint rArr 0cF

rarr rarrnablatimes =

這表示保守場＝無旋度反之無旋度的場任兩點間路徑積分與路

徑無關

Ex57 Given a field 2 2ˆ ˆ ˆ2A x xy yx zz= + minus (a) Find Anablatimes A 保守場

解2 2

ˆ ˆ ˆ

2x y z

x y zA

xy x znablatimes = part part part

minus

( ) ( ) ( )2 2 2 2ˆ ˆ ˆ( ) 2 ( ) 2 0y z z x x yx z x y xy z z x xy= part minus minuspart + part minuspart minus + part minuspart =

yes A =保守場

(b)如左圖由 A 到 B 做路徑積分A BC

A drarr

sdotint 路徑 C 為橢圓

22 1

16yx + = 在 x-軸以上的部分

解橢圓部分的路徑元素 d 有點麻煩但因為 A

為保守場所以 A 到 B 做路徑積分可以用 x = -1 到

1 的積分取代

4-63

01 1 1

1 1 1ˆ 2 0

yB

xAA d A xdx A dx xydx

=

minus minus minussdot = sdot = = =int int int int

∵

旋度在柱座標與球座標

前面討論過nabla在不同座標系的寫法旋度也有歸納出的一致寫法

座標 1 2 3 u u u

度量係數

1 2 3 h h h

nabla grad del

直角 x y z

1 1 1 nabla ˆ ˆ ˆx y z

x y zpart part part

equiv + +part part part

圓柱 zρ ϕ

1 1ρ

1ˆ ˆ ˆ zz

ρ ϕρ ρ ϕpart part part

nabla equiv + +part part part

球 r θ ϕ

1 sinr r θ

1 1ˆ ˆˆ sin

rr r r

θ ϕθ θ ϕ

part part partnabla = + +

part part part

所以柱座標與球座標的旋度分別表為

柱座標

ˆ ˆ ˆ1

z

z

Az

AA Aρ ϕ

ρ ρϕ

ρ ρ ϕρ

part part partnablatimes =

part part part （4-109）

球座標 2

ˆ ˆˆ sin1sin

sinr

r r r

Ar r

A rA r Aθ ϕ

θ θϕ

θ θ ϕθ

part part partnablatimes =

part part part （4-110）

ex58 (a) Given the vector function ˆA ϕ= sin (ϕ 2) find Anablatimes

解 2

ˆ ˆˆ sin1sin

0 sin( 2) 0

r r r

Ar r

r

θ θϕ

θ θ ϕϕ

part part partnablatimes =

part part part

4-64

21 ˆˆ cos sin sinsin 2 2 2

rr rr

ϕ ϕθϕθ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

ˆˆ cos sin2 sin 2 2

rr r

ϕ ϕ ϕθ

minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

(b)如左圖一個底面在 x-y 平面半徑＝1高＝2 之圓錐 求面積分

SA dsnablatimes sdotint 面積範圍 S 為圓錐在 x-y 平面以上

部分 方向為由圓錐內向外

解由 Stokersquos law ( )S

A dsrarr rarrnablatimes sdotint ＝

C

A drarrsdotint 其中路

徑 C 為 x-y 平面圓心在原點之單位圓 ˆ ˆd rd dϕ ϕ ϕ ϕ= =

2

0ˆ ˆsin sin

2 2C

d dπϕ ϕϕ ϕ ϕ ϕ⎛ ⎞ ⎛ ⎞sdot =⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠int int ( )0

2 sin u duπ

= int 0cos | 2u π= minus =

習題 16 磁場 B 因為不是保守場所以沒有對應的純量位而對應一

個向量位 A (vector potential)而 B A= nablatimes 一個磁鐵的磁偶極矩

ˆm mz= 被置於原點已知在遠處的 vector potential 03ˆ sin

4mAr

μϕ θπ

=

計算該處的磁場 B Ans 03

ˆˆ( 2cos sin )4

mB rr

μ θ θ θπ

= + 與電偶極遠處

的電場形式一致都是偶極(dipole) 選幾個點畫一畫該處的場向量

把磁力線描出來

附錄本章講義的內容有部分可以經由直接計算得出列在附錄做為

參考

用「圓柱座標」寫 Atimesnabla

Ararr rarrnablatimes ＝ ( )1ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ zz A A zA

z ρ φρ ϕ ρ ϕρ ρ ϕpart part part⎛ ⎞+ + times + +⎜ ⎟part part part⎝ ⎠

4-65

因為rdquo sdotrdquo與rdquotimes rdquo都是向量間的運算所以

＝ ( )ˆ ˆ ˆ ˆ zA A zAρ φρ ρ ϕρpart

times + +part

＋ ( )1ˆ ˆ ˆ ˆ zA A zAρ φϕ ρ ϕρ ϕ

parttimes + +

part

＋ ( )ˆ ˆˆ ˆ zz A A zAz ρ φρ ϕpart

times + +part

直接做上式微分可以得到

＝1ˆ z AA

zϕρ

ρ ϕpart⎛ ⎞part

minus⎜ ⎟part part⎝ ⎠＋ ˆ zA A

zρϕ

ρpart⎛ ⎞part

minus⎜ ⎟part part⎝ ⎠＋

1 1ˆ ( )A

z A ρϕρ

ρ ρ ρ ϕpart⎛ ⎞part

minus⎜ ⎟part part⎝ ⎠

上式可以用一個行列式來表示

rarrrarr

timesnabla A＝

ˆ ˆ ˆ1

z

z

zA A Aρ ϕ

ρ ρϕ

ρ ρ ϕρ

part part partpart part part

（A-1）

A and Anabla nablasdot nablatimes in 球座標 spherical coordinate

如上圖球座標 )( ϕθr 其中 )0[ infinisinr ]0[ πθ isin ]20[ πϕ isin 只有 r

是長度而 ϕθ 為角度是用來說明方向的三個座標的單位向量 ˆ ˆˆ r θ ϕ 具

有下列性質

4-66

1 如上圖 ˆ ˆˆ r θ ϕ 都不是常數而是（ ϕθ ）的函數

ˆ ˆ( )ˆ ˆ( )ˆ ˆ( )

r r θ ϕ

θ θ θ ϕϕ ϕ ϕ

⎧ =⎪

=⎨⎪ =⎩

)( ϕθr 與(xyz)之間的轉換如下

sin cossin sincos

x ry rz r

θ φθ φθ

=⎧⎪ =⎨⎪ =⎩

( )122 2 2

2 2

tan

tan

r x y z

x yz

yx

θ

φ

⎧ = + +⎪⎪ +⎪ =⎨⎪⎪ =⎪⎩

（A-2）

2 ˆ ˆˆ r θ ϕ 形成一「歸一正交集」ie

ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ 1r r θ θ ϕ ϕsdot = sdot = sdot = ˆ ˆr θ ϕperp perp

ˆ ˆr θ ϕtimes = ˆ ˆ rθ ϕtimes = ˆˆ rϕ θtimes = （A-3）

3可以很容易的由他們在 xyz 軸上的投影由直角

座標的 ˆ ˆ ˆ x y z 表出

ˆ ˆ ˆ ˆsin cos sin sin cos ( 4 )ˆ ˆ ˆ ˆcos cos cos sin sin ( 4 )ˆ ˆ ˆsin cos ( 4 )

r x y z A a

x y z A bx y A c

θ φ θ φ θ

θ θ φ θ φ θϕ φ φ

= + + minus⎧⎪

= + minus minus⎨⎪ = minus + minus⎩

4 ˆdr = 由於 ˆ ˆ( )r r θ φ= 所以由 ϕθ 的變動來看

4-67

ˆ ˆˆ| |ˆ ˆˆ| | sin sin

d r d d

d r d d

θ θθ θθ

φ θ φφ θ φφ

⎧ rArr =⎪⎨

rArr =⎪⎩rArr ˆ ˆˆ sindr d dθ θ φ θ φ= + （A-5）

rArrˆ ˆr θθpart

=part

ˆ ˆsinr θφφpart

=part

（A-6）

（A-6）的結果也可以直接由（A-4a）對 ϕθ 偏微得到

5 ˆdθ ＝ 由於 ˆ ˆ( )θ θ θ φ= 所以由 ϕθ 的變動來看

ˆ ˆ ˆ| | ( )ˆ ˆ ˆ| | cos cos

d d r d r

d d d

θ θ θ θ

φ θ θ φφ φ θ φ

⎧ rArr minus = minus⎪⎨

rArr =⎪⎩rArr ˆdθ ＝ ˆˆ cosrd dθ φ θ φminus + （A-7）

ˆrθ

θpart

rArr = minuspart

ˆ ˆcosθ φ θφpart

=part

（A-8）

請直接由（A-4b）對 ϕθ 偏微的結果 check（A-8）

6 ˆdφ ＝由於φ )(ϕ 躺在 x-y 平面上變動φ時的方向可能不是那麼

容易看出來所以做圖看一看

ie ˆ ˆˆ(sin ) (cos )d r d dφ θ φ θ θ φ= minus minus （A-9）

4-68

ˆ ˆˆsin cosrφ θ θ θφpart

= minus minuspart

7 所有的向量 ˆ ˆˆ rA rA A Aθ φθ φrarr= + +

8 位置向量 ˆr rrrarr=

可以由左圖 ˆ ˆˆ r θ ϕ 三個方向的「長度

變化」輕易的看出

9 位移元素

ˆ ˆˆ ˆ sindr rdr rd dθ θ ϕ θ φ= + + (A-10)

10 體積元素

sindv dr r d rdθ φ θ= sdot sdot

＝ 2 sinr dr d dθ θ φ (A-11)

11 面積元素 2 sinrds r d dθ θ φ= plusmn sinds r drdθ θ φ= plusmn ds rdrdφ θ= plusmn (A-12)

plusmn號表示面的垂直方向有兩個端看 ds 周邊的方向是如何定的

nabladel 考慮 ( )u u r θ φ=

rArru u udu dr d dr

θ φθ φ

part part part= + +part part part

u d rrarr rarr

equiv nabla sdot

urarr

= nabla sdot ˆ ˆˆ( sin )rdr rd dθ θ φ θ φ+ +

rArr1 1ˆ ˆˆ

sinu u uu rr r r

θ ϕθ θ φ

rarr part part partnabla = + +

part part part

1 1ˆ ˆˆsin

rr r r

θ ϕθ θ φ

rarr part part partnabla equiv + +

part part part （A-13）

4-69

直接用（A-13）與 ˆ ˆˆ rA rA A Aθ φθ ϕrarr= + + 逐項內積加上（A-678）

rArr ϕθ

θθθ

ϕθ part

part+

partpart

+partpart

=sdotnablararrrarr A

rA

rAr

rrA r sin

1)(sinsin1)(1 2

2 （A-14）

（A-13）與 ϕθ ϕθ AAArA r

andandandrarr

++= 逐項外積整理之後

ϕθ θϕθ

ϕθθ

θArrAA

r

rrr

rA

r sin

sin

sin1

2 partpart

partpart

partpart

=timesnabla

andandand

rarrrarr

（A-15）

Laplacian uu nablasdotnabla=nabla2

2

2

2222

22

sin1)(sin

sin1)(1

ϕθθθ

θθ partpart

+partpart

partpart

+partpart

partpart

=nablau

ru

rrur

rru （A-16）

B推導「散度」在圓柱座標的寫法

讓我們先回顧一下在直角座標裡的「面積元素」可以由「位移元素」

得到

ˆˆ ˆ x y zdr idx jdy kdz da dydz dxdz dxdy= + + rArr =

比照辦理「圓柱座標」的位移元素

( )ˆˆ ˆ( )

( )z

da d dzdr d d zdz da d dz

da d d

ρ

φ

ρ φ

ρ ρ φ ρ φ ρ

ρ ρ φ

=⎧⎪= + + rArr =⎨⎪ =⎩

這個結論可以輕易的由面積元素在垂直於 zˆˆ ϕρ 三個方向的面積看

出如下圖考慮一個以 )( zϕρ 為中心的「圓柱體積元素」(cylindrical

cubiod)體積為 zdV ΔΔ=Δ ϕρρ 現計算在 ρ

方向的 12 兩個平行面(方向各為 ρplusmn )的通

量

4-70

zzF

dsFdsnFS S

ΔΔ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

+cong

=sdotintint intintϕρρϕρρρ

ρ

2

2

ˆ1 1

zzF

dsFdsnFS S

ΔΔ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

minus⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

minusminuscong

minus=sdotintint intintϕρρϕρρρ

ρ

2

2

ˆ2 2

intint+

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

minus⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

minusminus⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

+Δ

asympsdotΔ

rArr21

22

22

1ˆ1

SS

zFzFdsnFV

ϕρρρρϕρρρρρρ ρρ

( ) ( )

1 20

0

0

1 ˆlim

1lim 2 2 2 2

1 1lim 2 2

1

VS S

F ndsV

F z F z

F z F z

F

ρ ρρ

ρ ρρ

ρ

ρ ρ ρ ρρ ρ φ ρ ρ φρ ρ

ρ ρρ ρ φ ρ ρ φρ ρ

ρρ ρ

Δ rarr+

Δ rarr

Δ rarr

rArr sdotΔ

Δ Δ Δ Δ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + + minus minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥Δ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦Δ Δ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥Δ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

part ⎡ ⎤= ⎣ ⎦part

intint

娛樂一下用上述方式把圓柱的 Fsdotnabla 裡的z

FF z

partpart

+partϕρϕ1

變出來

球座標的nabla和 Fsdotnabla 也可以試試看

補充習題

H M Scheydiv grad curl and all that 4th edition

第二章習題 6 8 9 10 11 14 15 16 18 19 21 22 23 25 26 27

第三章習題 2 3 5 6 7 8 9 10 11 14 15 17 18 19 24

4-13

上面用了直角座標最方便的性質 ie 為常數 ˆ 0iderArr = 舉「位置向量」

為例

2 2 2 2 2 2 2 2

ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ

ˆ ˆ ˆˆ i i

i x y zi

r xx yy zz dr xdx ydy zdzdr dx dy dzv x y z e xdt dt dt dt

v v v x x y z v v v

= + + rArr = + +

rArr = = + + =

rArr = sdot = = + + = + +

sumsum

（4-29）

sect 42 曲線座標(curvilinear coordinates)

(A) 平面「極座標」polar coordinates ( )r θ

在平面上的一點 P 的直角座標若為(x y)我們可以有另一種標示法

( ) 0 [0 )

[02 ]r P x y r r

x rθ θ π

equiv ge isin infin⎧⎨

equiv isin⎩

由原點到 之距離

軸到 的夾角 （4-30）

以 P )( θr 為座標表同一點 P(xy) )( θr 稱為 P 點的「極座標」「極座

標」與「直角座標」的關係如下

2 2

cos

sintan

r x y x randy y r

x

θθθ

⎧ = + =⎧⎪⎨ ⎨ == ⎩⎪⎩

（4-31）

但是 )( θr 這兩個新座標的單位向量 ˆˆr θ 在什麼方向我們先來回顧

一下座標軸的單位向量的「制訂標準」是

什麼事實上某座標的單位向量的方向

訂在「垂直於該座標『等值面』且指向

該『座標值增長』的方向」舉「直角座

標」為例如右圖由於 x y 軸皆為直線

4-14

所以「等值面」都是平行的平面所以垂直方向皆相同也造成單位

向量 ˆ ˆx y 為常數

由左圖可以看出極座標裡 r 的等值面是一

個圓所以單位向量 r 是「沿徑向向外」但

是隨圓上θ 有所變動時 r 也隨著改變所以 r

「不是一個常量」 ˆ ˆ( )r r θ= 是角度θ 數

如左圖也可看出θ 的等值面為直線所以單位

向量θ 是「沿『切線』逆時針」方向

但如同 r 一樣當θ 值改變時θ 的方向

也改變了所以θ 也「不是一個常量」

)(ˆˆ θθθ = 也是角度θ 的函數可以看出

固定θ 時 ˆr θperp 但是她們都與「角座標」θ 有關由於她們的指向

有時 r 被稱為「沿徑向」之單位向量θ 被稱為

「沿切線」之單位向量極座標和直角座標還

有一個很大的差別就是直角座標的 x y z 的

因次都是「長度」所以當座標改變時 dx dy dz

就是「長度」的改變然而極座標的 r 有長度因

次所以 dr 是長度但是θ 只是一個數字而非長度所以當θ 改變時

dθ 並不代表一個長度的變化dθ 造成的長度變化寫為

d h dθ θ θ= （4-32）

其中的係數hθ 稱為「度量係數」(metric coefficient)很顯然這裡的hθ

必須具有長度的因次「長度」之所以重要是因為位移是長度各個

座標的度量係數我們會在後面仔細討論

座標系的選用以方便為準系統的對稱性是重要的考量所以有

立方對稱的系統通常用直角座標而有圓對稱的系統則用極座標

4-15

Ex13 半徑 5圓心在原點的圓方程式在直角座標為 2 2 25x y+ =

但是在極座標就是 5r = 而已

位置位移速度與加速度

直角座標的描述很簡單

ˆ ˆˆ ˆ

ˆ ˆ

r xx yy

r xx yy

dr dxx dyy

= +

Δ = Δ + Δ

= +

位置

位移

位移元素

（4-33）

2 2

2 2

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( )

ˆ ˆ( )

ˆ ˆ ˆ ˆ( )

x ydr dx dyv t x y xx yy v x v ydt dt dt

dv t dxx dyydv dx dy d x d ya t i j i jdt dt dt dt dt

rArr = = + = + = +

rArr = +

rArr = = + = +

瞬時速度

速度變化元素

瞬時加速度

（4-34）

在極座標由於單位向量 θr 不再是常數 ˆˆ 0 0dr dθrArr ne ne 所以

ˆ

ˆ ˆ( )ˆ ˆ

r rrr r r r r

dr drr rdr

=

Δ = Δ + Δ

rArr = +

位置

位移

位移元素

(4-35)

現在有一個問題 ˆ dr = 由下圖 r 的變化由 dθ 而來

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( )ˆ ˆ

ˆˆ ˆ ˆ0 ( ) ˆˆ

r r dr r d rdr r d d

d dr r dr

dr d

θ θ θ θθ θ

θ θ θ

θθ

= rArr = + minus

= =

rarr rArr perp rArr

rArr =

∵

∵ (4-36)

4-16

所以微分的位移為

ˆˆdr drr rdθθ= + （4-37）

上式的幾何意義很清楚dr 的 r 分量 dr 就是「沿

r 方向的長度變化」而θ 分量 rdθ 就是「沿θ 方

向的長度變化」而已或者也可以這麼看dr 是

一個位移向量在平面上有 r 和θ 兩個分量所以 ˆˆrdr d r d θθ= +

α 為在 r 方向的長度變化β 為在θ 方向的長度變化所以 rd dr=

d rdθ θ= 這種分析方法可以用在各種座標系這裡也可以看出

和（4-32）式角度變化dθ 造成的長度變化d h dθ θ θ= 相比可以得出

θ 的度量係數h rθ = 與直角座標比較 ˆ ˆdr dxx dyy= + dx 與 dy 不也就

是dr 在 x 與 y 方向的長度變化嗎

Now 速度

ˆˆ

ˆ ˆˆ ˆr

dr dr dv r rdt dt dtrr r v r vθ

θ θ

θθ θ

= = +

= + equiv + （4-38）

其中ddtθθ ω= = 亦稱為「角速度」

Ex14 圓周運動因為只有切線速度所以由（4-38）式 ˆ ˆ0

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( ) = ( ) ( ) ( 0)

r R r v r R

dv dr r d r d r d r d dr

θθ ωθ

θθ θ θ θ θ θ θ θ θ

= rArr = rArr = =

rArr = + + + =

∵

∵

（ 切線速度）(4-39)

這裡又冒出個問題

ˆ dθ = 由左圖

ˆ ˆ

ˆ ˆ0

d d d

d d

θ θ θ θ

θ θ θ

= =

rarr rArr perp

4-17

ˆ ˆ ˆ ˆ

d r

d d r

θ

θ θ

rArr minus

rArr = minus (4-40)

2

2

ˆˆ( ) ( )

ˆˆ

ˆ ˆˆ ˆ( ) ( )ˆˆ ( ) ( )

r

dv r d r r d

dv d da r r rdt dt dt

a r r r a r a

or a r r rθ

θ θ θ θ

θ θθ θ

θ θ θ θ

ω α θ

rArr = minus +

⎛ ⎞⎛ ⎞rArr = = minus +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

rArr = minus + equiv +

= minus +

(4-41)

上式即為圓周運動的加速度其中的第一項

2

2 ˆ ˆrva r r rr

ω minus= minus = 向心加速度 (4-42a)

with α θ= 可以認出是角加速第二項

ˆa rθ αθ= 切線加速度 (4-42b)

如進一步簡化為「等速圓周運動」 ==rArr θω constant 0==rArr αθ rArr切線

加速消失那麼加速度就只剩下了熟知的向心加速度2

ˆrva rrminus

= 了

若考慮一般的情況 dr 0ne 可以導出用極座標表示的加速度為

2

ˆ ˆ ˆ ˆˆ( ) ( ) ( ) ( )

ˆˆ( ) (2 )

dv dr r r d dr r d r ddva r r r r rdt

θ θ θθ θ θ θ θ

θ θ θ θ

= + + + +

rArr = = minus + + （4-43）

看起來有點繁但是在有圓形對稱的系統極座標會表現得更清楚

面積微分元素

直角座標把平面分割成一個個的

小方塊也就是依照「x 與 y 方向的

長度變化」可以寫出「面積元素」

dA dx dy= sdot （像是切長方形的蛋糕）

比較 ˆ ˆdr dxx dyy= + 可以看出

dA＝(x-方向的長度變化)times(y-方向的長度變化)

4-18

所 以 在 「 極 座 標 」 比 照 辦 理

ˆˆ ˆ( ) ( )dr dr r rdr dr r rdθθ= + = +

dA dr rd rdrdθ θ= sdot = (4-44)

像是切圓形蛋糕

ex15 求一個半徑 R 的圓的面積

解 2 2

2

0 0

22

R RA dA rdrd rdr d Rπ

θ θ π π= = = = sdot =int intint int int

妳可以試試用直角座標dA dx dy= sdot 算一下圓的面積

Ex16 求一個半徑 R質量 M密度σ 的均勻圓盤繞其直徑的轉動慣

量解 質量元素 dAdm σ= 到轉軸（直徑）的距

離 sinr θ=

2 2 2 2

23 2

0 0

4 22 2

sin

sin

14 4 4

R

I dm dA r rdrd

r dr d

R RR MR

π

σ σ θ θ

σ θ θ

σ π σπ

= = =

=

= = =

int int intintint int

娛樂一下算半個圓盤繞通過圓心且垂直盤面的軸的轉動慣量

ex 17 計算積分2xI e dx

infinminus

minusinfin

= int

解 2 2

0

2x xI e dx e dxinfin infin

minus minus

minusinfin

= =int int2 22

0 0

2 2x yI I I e dx e dyinfin infin

minus minusrArr = sdot = sdotint int

2 2 2 22

2 ( )

0 0 0 0 0 0

4 4 4x y r rI e dxdy e dA e rdr d

π

θinfin infin infin infin infin

minus + minus minusrArr = = =int int int int int int

在上面的積分裡我們運用了一個有關「無窮大平面」的技巧就是「無

4-19

窮大的平面」是可以是「正方形」或是「圓形」的

2

2

22

00 0 0

22

4 2 2( )2 2 2

(4 45)

u u u

x

dulet u r du rdr rdr

duI e d e du e

I e dx

π

π πθ π

π

infin infininfinminus minus minus

infinminus

minusinfin

= rArr = rArr =

rArr = = sdot = minus sdot =

rArr = = minus

int int int

int

ex18 重力位能

由位能差的定義 )()()( BAWBUAU rarrequivminus

（B）圓柱座標 cylindrical coordinates

3D 空間點 P(x y z)的位置向量 ˆ ˆ ˆr xx yy zz= + +

定義「圓柱座標」 ( )zρ ϕ 其中

0 [0 )P zρ ρ ρequiv ge there4 isin infin點 到 軸之垂直距離

ϕ ρequiv 在 x-y 平面的投影與 x 軸之夾角 [02 ]ϕ πisin

z zequiv同直角座標的

4-20

「圓柱座標」就是「極座標」（用 ( )ρ ϕ 取代 ( )r θ ）再加上第三維 z

所以圓柱座標 ( )zρ ϕ 裡 zρ 的因次為長度而ϕ 只是一個數字

( )zρ ϕ 與(x y z)間的轉換如下

2 2 cos

tan sin

x yx

y yx

z zz z

ρρ ϕ

ϕ ρ ϕ

⎧ = +=⎪ ⎧

⎪ ⎪= =⎨ ⎨⎪ ⎪ =⎩=⎪⎩

（4-46）

「圓柱座標」的三個方向單位向量 ˆ ˆ ˆ zρ ϕ 如圖

且 ˆ ˆ zρ ϕperp perp 可以看出ρ 的等值面為一個圓柱

面ϕ 的等值面是一扇門z 的等值面為一個垂

直 z 軸的平面但是

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( ) zρ ρ ϕ ϕ ϕ ϕ= = =常數

柱座標的位置向量 r 如左圖

ˆ ˆr zzρρ= + （4-47）

在柱座標寫位移元素dr 有兩種作法一

種是直接由（4-47）式取微分元素 借用

平面極座標的結果可得

ˆ ˆ ˆ( ) ( )

ˆ ˆ ˆdr d d dzz

d d dzzρ ρ ρ ρ

ρρ ρ ϕϕrArr = + +

= + + （4-48）

但也可以由三個座標方向的

位移來看由左圖可得沿 ρ 方向

的長度變化 ie 當座標ρ 有變

化dρ 時產生的長度變化就是

dρ 沿ϕ 的長度變化為 dρ ϕ

而沿 z 方向的長度變化為 dz

4-21

dr 是一個向量有三個分量ρ -分量就是沿 ρ 方向的長度變化

dρ ϕ -分量沿ϕ 的長度變化為 dρ ϕ 而 z-分量就是沿 z 方向的長度變

化為 dz合併寫出

ˆ ˆ ˆdr d d dzzρρ ρ ϕϕ= + +

與（4-48）式完全相同但是這種由幾何角度得到的結果要更方便

也更直觀Fig 27 非常重要因為只要你能把圖畫出來位移的各

分量就寫得出來有了位移元素dr 速度與加速度就可得出

ˆ ˆ ˆ (4 49)

ˆ ˆ ˆ( ) (2 ) (4 50)

drv zzdtdva zzdt

ρρ ρϕϕ

ρ ρϕ ρ ρϕ ρϕ ϕ

rArr = = + + minus

rArr = = minus + + + minus

由上圖與dr 的 3 個分量可得圓柱座標的體積元素

dV d d dz d d dzρ ρ ϕ ρ ρ ϕ= sdot sdot = （4-51）

ex19 底面半徑 R高 h 的圓柱體積＝ 2 2

2

0 0 0

22

R h RV dV d d dz h R hπ

ρ ρ ϕ π π= = = sdot sdot =int int int int

ex20 底面半徑 R高 h 的「圓錐」體積＝

解本圓錐裡點的座標分佈為 [02 ] [0 ]z hϕ πisin isin ( )zρ ρ=

( ) ( )( )

h z h Rz h zz R h

ρρminus

= rArr = minus

22( )( ) 2 2

0 0 0 0 0 0

002 2 2 3 2 32 2 2

2 2 2 20

( )2 2

2

1( )3 3 3

R h zzh h hh

h

h h

R h zhV d dz d d dz d dz

R R R u R hh z dz u du R hh h h h

ρ π

τ ρ ρ ϕ π ρ ρ π

π π π π π

minus

minus minus

minusthere4 = = = =

= minus = = = =

int int int int int int int

int int

如果我們把 3-D 的三個座標寫為 1 2 3( )u u u 或 123iu i = 當座

標 ui(在 ˆiu 方向)變動 dui 時造成的長度變化為 id 則定義

4-22

i i id h duequiv (4-52)

其 中 hi 稱 為 座 標 ui 的 度 量 係 數 (metric

coefficient)由 zρ 的因次為長度所以 zρ 的變

化 d dzρ 就是長度的變化所以 1 1zh hρ = =

然而ϕ 的變化造成的長度變化為

d d hϕ ϕρ ϕ ρ= rArr = (4-53)

很明顯的直角座標 xyz 都是長度所以度量係數 1x y zh h h= = =

(C) 球座標 spherical coordinates

3D 點 P(x y z)的位置向量 ˆ ˆ ˆr xx yy zz= + + 定義

「圓柱座標」 )( ϕθr 其中

[0 ] [0 ]

[02 ]

r P rr zr x y x

θ θ πϕ

ϕ π

⎧ equiv isin infin⎪

equiv isin⎪⎨

equiv minus⎪⎪ isin⎩

原點到 的距離

與 軸的夾角

在 軸投影與 軸的夾角

球座標的ϕ 與住座標的ϕ 相同

( )r θ ϕ 與(x y z)間的轉換如下下列為（4-54）

2 2 2

2 2 2

sin coscos sin sin

cos

tan

r x y zx r

z y rx y z z r

yx

θ ϕθ θ ϕ

θ

ϕ

⎧⎪ = + +⎪ =⎧⎪ ⎪= =⎨ ⎨

+ +⎪ ⎪ =⎩⎪⎪ =⎩

三個座標的單位向量 )ˆˆˆ( ϕθr 如左圖一可以看

出 r 的等值面是一個球面θ 的等值面為一個

以原點為頂點的圓錐ϕ 的等值面為一扇門

位置向量 ˆr rr= （4-55）

4-23

位移由 ˆ ˆˆ( )r θ ϕ 3 個方向的「長度

分量」可得 ˆ ˆˆ ( ) ( sin )dr rdr rd r dθ θ ϕ θ ϕ= + +

（4-56）

所以體積元素

2

( )( sin )(sin )

d dr rd r dr dr d d

τ θ θ ϕ

θ θ ϕ

=

= （4-57）

Fig 31 和 Fig 27 一樣重要只要

你能畫得出來就可以寫出球座

標位移的三個分量

ex21 求一半徑 R 的球體積 2

2 2 3

0 0 0

4sin sin3

R

V d r dr d d r dr d d Rπ π

τ θ θ ϕ θ θ ϕ π= = = =int intintint int int int

ex22 求一質量 M半徑 R密度 ( )3 4 3M Rρ π= 的實心球對直徑

旋轉的轉動慣量

解質量元素 2 sindm d r dr d dρ τ ρ θ θ ϕ= = 到 z 軸的垂直距離為 sinr θ=

22 4 3

0 0 0

5 52

sin

4 8 225 3 15 5

RI dm r dr d d

R R MR

π πρ θ θ φ

πρ π ρ

= =

= sdot sdot = =

intintint int int int

娛樂一下空心球對直徑的轉動慣量

(4-46)式與(4-54)式說明柱座標和球座標與直角座標之間的轉

換Fig 32 可得出柱座標和球座標之間轉換

2 2

sintan

cos

r zr

zz r

ρρ θ

ρϕ ϕ θθ ϕ ϕ

⎧ = += ⎪⎧

⎪ ⎪= =⎨ ⎨⎪ ⎪=⎩ =⎪

⎩

（4-58）

4-24

Ex23 點 P 的球座標為（31200 600）求柱座標＝

解2 3 33sin3 2πρ ⎛ ⎞= =⎜ ⎟

⎝ ⎠

23

ϕ π= 2 33cos3 2

z π minus⎛ ⎞= =⎜ ⎟⎝ ⎠

直角座標柱座標球座標單位向量之間的轉換

三種座標之間的轉換由(4-46)式(4-54)式與（4-58）式表出但

三種座標裡的的三個單位向量 ˆ ˆ ˆ x y z ˆ ˆ ˆ zρ ϕ ˆ ˆˆ r θ ϕ 若以 123ˆ iu =

表示則單種座標的單位向量之間都有正交歸一關係

ˆ ˆi j iju u δsdot = 與外積的循環關係

ˆ ˆ ˆ i j ku u u i j ktimes = cyclic in 123

ie 1 2 3 2 3 1 3 1 2ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ u u u u u u u u utimes = times = times = or ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆˆ ˆ r z z x yθ ϕ ϕ ρtimes = times = times =

然而不同座標系的單位向量之間關係如何我們畫圖來討論

球座標 ˆ ˆˆ( )r θ ϕ rarr直角座標 ˆ ˆ ˆ( )x y z

單位向量都是用來指方向的球座標的 ˆ ˆˆ( )r θ ϕ 都是「方向角」( )θ ϕ

的函數 r 在直角座標可以由 Fig33 看出

ˆ ˆ ˆ ˆsin cos sin sin cosr x y zθ ϕ θ ϕ θ= + + （4-59）

ex24 P 點的球座標為2 75 3 6π π⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠

試用球座標與直角座標求 P 點的位

置向量的單位向量 解位置向量 ˆr rr= 在球座標只有 r-分量標位置仔細一點把方向

角標出2 7ˆ 3 6

r π π⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

通常只是寫 r 令人有點摸不著頭緒用直角

4-25

座標比較「具像」 2 7 2 7 2ˆ ˆ ˆ ˆsin cos sin sin cos3 6 3 6 3

3 3 1ˆ ˆ ˆ4 4 2

r x y z

x y z

π π π π π⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞minus minus minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + +⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

單位向量θ 在某一組 ( )θ ϕ 的指向如 Fig 34a將θ 平移至原點更清楚

Fig34b 是由側面看 Fig34a可以看到θ 在 z 軸的投影為 sinθminus 而θ 在

x-y 平面的投影為cosθ使得θ 在 x-軸的投影為cos cosθ ϕy-軸投影

為cos sinθ ϕ於是

ˆ ˆ ˆ ˆcos cos cos sin sinx y zθ θ ϕ θ ϕ θ= + minus （4-60）

單位向量ϕ 如 Fig 35a 所示是在 x-y 平面畫出

Fig 35b 為自 z 軸向下看 Fig35a 圖可以看出ϕ 在 z 軸投影為 0且

ˆ ˆ ˆsin cosx yϕ ϕ ϕ= minus + （4-61）

ex25 一個質點的速率為 2( ) ( sin tan )v r rθ ϕ θ ϕ= 若經查該質點的運

動 是 在 z = 3 平 面 做 逆 時 針 圓 周 運 動 則 當 位 置 的 方 向 角

4-26

2( ) 4 3π πθ ϕ ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

時計算其速度用球座標與直角座標表出

解圓運動速度方向是沿切線所以球座標 ˆ ˆ( )v v v rϕ θ ϕ ϕ= =

z = 34πθ =

3 3 21cos cos 24

z zrπθ

rArr = = = =⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

所以該處的瞬時速率

2 2

2( ) 3 3 4 3

2 1 813 3sin tan 3 3 ( 3)4 3 22

v r v π πθ ϕ

π π

⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

⎡ ⎤ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = times minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

2 81 2ˆ3 3 4 3 2 4 3

v r π π π πθ ϕ ϕ⎛ ⎞ ⎛ ⎞rArr = = = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

在直角座標2 2 2ˆ ˆ ˆ sin cos

4 3 3 3x yπ π π πϕ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠3 1ˆ ˆ

2 2x y= minus minus

而且點23 3

4 3π π⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠

的直角座標為

2 1 3 3sin cos 3 3sin cos 3 34 3 2 22 2

x r π πθ ϕ minus minus⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

2 3 9sin sin 3 3sin sin 3 34 3 2 2 2 2

y r π πθ ϕ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = = =⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

z = 3

23 3 4 3

v π π⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

3 3 9 81 3 1ˆ ˆ 32 2 2 2 22 2

v x y⎛ ⎞ ⎛ ⎞

rArr = minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

以上兩個例子都只討論只有一個圓座標分量的向量in general 向量

ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( )r x y zA r rA A A A r xA yA zAθ ϕθ ϕ= + + hArr = + + （4-61）

若已知球座標的分量 ( )rA A Aθ ϕ 如何得到直角座標的

( )x y zA A A

4-27

ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( )ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( )

ˆ ˆˆˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( )

x r

y r

z r

A x A r x r A x A x A

A y A r y r A y A y A

A z A r z r A z A z A

θ ϕ

θ ϕ

θ ϕ

θ ϕ

θ ϕ

θ ϕ

⎧ = sdot = sdot + sdot + sdot⎪⎪ = sdot = sdot + sdot + sdot⎨⎪

= sdot = sdot + sdot + sdot⎪⎩

（4-62）

由式（4-59）（4-61） ˆ ˆ ˆ ˆsin cos sin sin cosr x y zθ ϕ θ ϕ θ= + + （4-59） ˆ ˆ ˆ ˆcos cos cos sin sinx y zθ θ ϕ θ ϕ θ= + minus （4-60）

ˆ ˆ ˆsin cosx yϕ ϕ ϕ= minus + （4-61） ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆsin cos cos cos sin ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆsin sin cos sin cos ˆ ˆˆˆ ˆcos sin 0

x r x x

y r y y

z r z z

θ ϕ θ θ ϕ ϕ ϕ

θ ϕ θ θ ϕ ϕ ϕ

θ θ θ ϕ

⎛ ⎞sdot = sdot = sdot = minus⎜ ⎟

rArr sdot = sdot = sdot =⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟sdot = sdot = minus sdot =⎝ ⎠

（4-63）

sin cos cos cos sin sin sin cos sin cos

cos sin 0

x r r

y RS

z

A A AA A M AA A A

θ θ

ϕ ϕ

θ ϕ θ ϕ ϕ

θ ϕ θ ϕ ϕ

θ θ

⎛ ⎞minus ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟rArr = equiv⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟minus⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

（4-64）

其中 SRM 為由球座標分量轉為直角座標分量的轉換矩陣且行列式

det SRM =1 表示反矩陣存在then 1SRM minus 就是將直角座標分量轉為球座

標分量之轉換矩陣其實嚴格講 (4-64)式還不是最終的表示因為

轉換完的直角

座標應該全部以 x y z 表出這裡保留用 θ ϕ 只是為了簡潔方便

習題 2 Find 1SRM minus

習題 3 用 xyz 表出(a)sinθ (b)cosθ (c)sinϕ (d)cosϕ

Ans (a)2 2

2 2 2sin

x yx y z

θ+

=+ +

(b)2 2 2

cos zx y z

θ =+ +

(c)2 2

sin yx y

ϕ =+

(d)2 2

cos xx y

ϕ =+

習題 4 用上面結果將 SRM 用 xyz 表出

Ex26 Given a field ( )A r θ ϕ ＝ ˆ ˆˆ2 3r θ ϕ+ minus in spherical coordinates

find the field in rectangular coordinates （直角座標）

4-28

解這裡的 ( )A r θ ϕ 不因其三個分量都是常數而只是「一個」向量

而是一 vector field這是因為 ˆ ˆˆ r θ ϕ 都不是定值而與 θ ϕ 有關而如

果 ( )A r θ ϕ 表示則單位向量所對應的角度 θ ϕ 必須要標定所以

sin cos cos cos sin 2sin sin cos sin cos 3

1cos sin 0

x

y

z

AAA

θ ϕ θ ϕ ϕ

θ ϕ θ ϕ ϕ

θ θ

⎛ ⎞minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ minusminus⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

(2sin 3cos )cos sin(2sin 3cos )sin cos

2cos 3sin

x

y

z

AAA

θ θ ϕ ϕθ θ ϕ ϕ

θ θ

+ +⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟rArr = + minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟minus⎝ ⎠ ⎝ ⎠

習題 5 Draw a diagram to show in the cylindrical coordinates

(a) ˆ ˆ ˆcos sinx yρ ϕ ϕ= + (b) ˆ ˆ ˆsin cosx yϕ ϕ ϕ= minus + (c) ˆ ˆz z=

習題 6 use the above results show that 由柱座標分量轉為直角座標分

量的轉換矩陣

x

y CR

z z

A AA M AA A

ρ

ϕ

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟=⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

CRM =

2 2 2 2

2 2 2 2

0cos sin 0sin cos 0 0

0 0 10 0 1

x yx y x y

y xx y x y

ϕ ϕ

ϕ ϕ

minus⎛ ⎞⎜ ⎟+ +⎜ ⎟⎛ ⎞minus⎜ ⎟⎜ ⎟

= ⎜ ⎟⎜ ⎟+ +⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

Ex27 Express vector ˆ ˆ ˆ(3cos ) 2 5A zρ ϕ ϕ ρ= minus + in Cartesian

coordinates Specifically the A at the position of (2 2 3π -3)

解

2cos sin 0 3cos 3cos 2 sinsin cos 0 2 3cos sin 2 cos

5 50 0 1

x

y

z

AAA

ϕ ϕ ϕ ϕ ρ ϕϕ ϕ ρ ϕ ϕ ρ ϕ

⎛ ⎞minus ⎛ ⎞+⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟= minus = minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

so that A (2 2 3π -3)= 3 3 3ˆ ˆ ˆ3 3 3 54 4

x y z⎛ ⎞⎛ ⎞+ + minus +⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠注意本

題裡 z 座標並非一變數

4-29

sect 43 Fields and its properties 場與其性質

「場 field」是什麼凡是在「某個空間中每一點」都有定義的量

就是一個「場」所以「場」也稱為「點函數 point function」簡單的

說凡是「空間的函數」都是「場」如果這個「空間的函數」是一個

純量 u(xyz)那麼 u(xyz)就是一個「純量場 scalar field」例如室內

的溫度 T(xyz)一塊豬肉的密度 ( )x y zρ 大氣中的壓力 p(xyz)等

都是純量場如果這個「空間的函數」是一個向量 )( zyxA 那麼

)( zyxA 就稱為「向量場 vector field」例如空間中的電場 )( zyxE

水流中的速度場 )( zyxv 重力場 )( zyxg 等等很顯然的不論是純量

場還是向量場「場」在空間中的分佈通常未必是均勻的那麼她有

什麼性質呢例如一塊豬肉內部密度是如何變化的水流中有沒有

漩渦大氣中的等壓線是如何變化的等等那麼有沒有什麼量可以

有系統的描述各種場的分佈有我們在以下分別討論

sect 431 Gradient of scalar fields 純量場的梯度

考慮一個純量場 f(xyz)可以視為 3 個變數 xyz 的函數當變數變動為

x+dx y+dy z+dy 時造成 f 的變化

f f fdf dx dy dzx y zpart part part

= + +part part part

（4-65）

由幾何意義來看上式更為具體上式表示純量場 )(rf 基於位置的變化

r r drrarr + (或由 ( ) ( )x y z x dx y dy z dzrarr + + + )所造成 f 的變動

我們現在定義一個向量算符 vector operator nabla (or nabla )（讀做 del）

ˆ ˆ ˆx y zx y zpart part part

nabla equiv + +part part part

(4-66)

如果將 del 作用在純量場 )(rf 上將產生出現一個新的「向量場」 fnabla

稱為純量場「 )(rf 的『梯度 gradient』」

4-30

ˆ ˆ ˆ( ) f f fgrad f f x y zx y zpart part part

equiv nabla = + +part part part

（4-67）

這使得由於任意位移 ˆ ˆ ˆdr xdx ydy zdz= + + 所造成 f 的變化量

df f drrArr =nabla sdot （4-61）

ex28 Given scalar field 2( )f r xy z= and 2 2 2

1 1( )g rrx y z

= =+ +

(a) find the value of ( )f r and fnabla at point P(2 1-1) 解 2(21 1) 2 1 ( 1) 2f minus = times times minus = minus

2 2 2

2 2

ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( )

ˆ ˆ ˆ( ) ( 2 ) ( )

f x xy z y xy z z xy zx y z

x y z y x yz z xy

part part partnabla = +

part part part

= +

＋

＋

ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ(21 1) ( 1) (2 2) (2) 4f x y z x y znabla minus = minus + timesminus = minus minus＋ ＋2 (b) find the value of ( )g r and gnabla at the point P

解2

1 1(21 1)62 1 1

g minus = =+ +

2 2 2 12 2 2 2 12

2 2 2 12

ˆ ˆ( ) ( )

ˆ ( )

g x x y z y x y zx y

z x y zz

minus minus

minus

part partnabla = + + + + +

part partpart

+ +part

＋

2 2 2 32 2 2 2 32 2 2 2 32

2 2 2 32 3 2

ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( )

ˆ ˆ ˆˆ( )( )

OR OR

xx yy zzgx y z x y z x y zxx yy zz r r

x y z r r

minus minus minusrArrnabla = + +

+ + + + + +minus + + minus minus

= = =+ +

32

ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ(2 ) 2(21 1)6 6 6

x y z x y zg minus + minus minus minus +rArrnabla minus = =

由 gnabla 看到一個粉常用的結果就是

3 2

ˆ1 ORr rr r r

minus minusnabla = = （4-62）

順便比較一下

2 2 2 12 2 2 2 12 2 2 2 12

2 2 2 12

ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( )

ˆ ˆ ˆ( ) ˆ (4 63)( )

r x x y z y x y z z x y zx y zxx yy zz r r

x y z r

part part partnabla = + + + + + + +

part part part+ +

= = = minus+ +

＋

4-31

(c) what is the angle between (21 1)fnabla minus and (21 1)gnabla minus

解 (21 1)fnabla minus (21 1)gsdotnabla minus ＝（ ˆ ˆ ˆ4x y zminus minus ＋2 ） sdotˆ ˆ ˆ26 6x y zminus minus +

＝2 4 2 4

6 6 3 6+ +

= ＝ | (21 1) |fnabla minus | (21 1) |gnabla minus cosθ

＝ 34 1 1 211 16 4 cos cos

6 6θ θ+ +

+ + =

1 4 2cos 07773 7

radθ minus ⎛ ⎞= =⎜ ⎟

⎝ ⎠

要注意隨然nabla有向量的性質但是他並不是一個真的向量真

實向量 A與純量 f ( )r 的乘法滿足交換率ie ( ) ( )Af r f r A= 但是

f fnabla ne nabla因為

( )f rnabla ＝ ˆ ˆ ˆf f fx y zx y zpart part part

+ +part part part

是一個向量函數而

ˆ ˆ ˆ( )f r x y zx y z

⎛ ⎞part part part+ +⎜ ⎟part part part⎝ ⎠

是一個算符（operator）

若nabla要與向量場 A 作用由於nabla與 A 都具有向量的性質先看「內積」

ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ( )

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

x y z

x y

z

y yx xz z

A x y z xA yA zAx y z

x y z xA x y z yAx y z x y z

x y z zAx y z

A AA AA Ax x x y x zx y z x y z

⎛ ⎞part part partrArrnablasdot = + + sdot + +⎜ ⎟part part part⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞part part part part part part= + + sdot + + + sdot⎜ ⎟ ⎜ ⎟part part part part part part⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞part part part

+ + + sdot⎜ ⎟part part part⎝ ⎠part partpart partpart part

= sdot + sdot + sdot + sdotsdot sdot = + +part part part part part part

yx zAA AAx y z

partpart partnablasdot = + +

part part part (4-64)

上式中的 Anablasdot 是向量場 A 的一個重要的性質稱為 A 的「散度」詳

細的內容在後面會仔細討論這裡引進 Anablasdot 主要是要表明nabla是個「算

符」表示一個運算不是一個真實的向量只是在「直角座標」裡

4-32

因為單位向量 ˆ ˆ ˆ x y z 是常數不受微分的作用以致nabla表現得好像也

是個一般的向量一樣事實上真實向量和nabla間的「內積」就不滿足交

換率

x y zA A A A an operator Ax y zpart part part

sdotnabla = + + = ne nablasdotpart part part

(4-65)

這也使得任意向量場 ( )A r 因位置變動 r r drrarr + 而產生的變化由於

)( zyxA 也是 3 個變數 xyz 的函數可以寫為

( )A A AdA dx dy dz dr Ax y z

part part part= + + = sdotnabla

part part part （4-66）

ex29 (a)Given field 2ˆ ˆ ˆ2A xxy y x zyz= minus + find Anablasdot at point (1-12)

解2( ) (2 ) ( ) 2xy x yzA y yz

x y zpart part part

nablasdot = + + = +part part part

(1 12)1 2( 1)2 3A

minusnabla sdot = minus + minus =

(b) find rnablasdot 解 rnablasdot = 3x y zx y zpart part part

+ + =part part part

梯度的意義

由（4-67）可以看到「f 的梯度 fnabla 」

是一個由「純量場 f」衍生出的向量

場由（4-26）也可以看出 fnabla 扮演類

似「變化率」的角色

空間中將相同值 f ( )r ＝f1 的點連

起來就得到一個 f ( )r ＝f1 的「等值面」如 Fig36考慮純量場 f( r )的

相鄰兩個等值面各對應定值 1f f= 與 1f f df= + 0df gt P1 點在 f1

等值面上相鄰兩點 P2P3 在 1f df+ 等值面上而向量 1 2 ˆnP P dn e dn= =

過 P1 點垂直於 f1 等值面 1 3 ˆP P d e d= = 與 ˆne dn夾角為α 由於不

論 1 2P Prarr 或 1 3P Prarr f 的變化量都是 df 但因距離 dn 係兩等值面最

4-33

短的距離d dngt 所以 1 2P Prarr 或 1 3P Prarr 造成的「變化率」df dfdn d

gt

而過 P1 點的最大變化率為dfdn

換言之向量 ˆndfedn

為過 P1 點垂直於

f1 等值面且指向最大「增加率」的方向 現在要證明

ˆndfe fdn

= nabla （4-67）

考慮 1 3P Prarr 造成的 f 值的變化率

ˆ ˆcos n ldf df dn df df e edl dn dl dn dn

α= = = sdot

ˆ ˆ ˆn l ndf dfdf e e dl e dldn dn

rArr = sdot = sdot

和（4-61）式df f dr= nabla sdot 相比即可得證 ˆndfe fdn

= nabla 所以可以知道

空間純量場 f ( )r 中任一點處的向量 fnabla 必「垂直」於「通過該點的 f的等值面」且指向 f 值最大「增加率」的方向| ( )f rnabla |就是 f 在 r 點

的最大增長率可以進一步定義等值面的「法線 normal」方向為

ˆ fnf

nabla=nabla

（4-68）

結論給定一個純量場 f( r )在每一點 r 可以定義一個稱做「梯度」

的向量 fnabla fnabla 垂直於過 r 點的 f 等值面且指向最 f 大增加率的方向

fnabla 的方向也定義了 f 等值面的法線方向

Ex30 考慮一個 2D 的 scalar field 2( )f x y y x= minus 計算該場在 )20( 的梯度與

法線方向

解 ˆ ˆ ˆ ˆ2f ff x y x yyx ypart part

nabla = + = minus +part part

ˆ ˆ(0 2) 2 2f i jnabla = minus + ˆ ˆ ˆ ˆ2 2 2 2ˆ(0 2)

31 8i j i jn minus + minus +

rArr = =+

4-34

ex31 點電荷 q 置於原點其產生電位為 ( ) qV rr

= 求負梯度qr

minusnabla

解 3

2 2 2 22 2 2

2 ( )2

q q q q x x y zr x rx y z

minuspart minus= rArr = sdot + +

part+ +

3 23

ˆˆ ˆ ˆ( )q ix jy kz r rq q qr r r r

minus + +rArr minusnabla = minus = = （點電荷的電場）

0 0

1 1 r r

noter r= =

nabla rarrinfin rarrinfin∵ 是不定值是因為 r = 0 處為最大值

「增加率」的方向無法確定

ex32 置一熱源於原點空間溫度分佈為1( )

( 2)T r

r=

+求溫度的梯度

解 2 2 2

ˆ( ) ( )( 2) ( 2) ( 2)

x rT r rr rT r

x r r r

minuspart minus

= rArrnabla = =part + + +

此處的負號表示梯

度指向熱源因為距熱源越遠溫度越低 ( 0)note T rnabla = 為不定值

因在最頂點「增加率」的方向無法確定

Ex33 地圖上山脈的等高線上各點的垂直方向由梯度決定現有一座

山是橢球 2)1(4 222 =+++ zyx 在 x-y 平面上方的

部分求地圖上這座山等高線的梯度

解 山高 142 22 minusminusminus== yxzh 所以等高線為橢

圓 222 )1(24 +minus=+ hyx 梯度

( ) ( ) ( )2 2 2 2

2 2

ˆ ˆ4ˆ ˆ2 4 1 2 4 1

2 4

xx y yh x x y y x y

x y x y

minus +part partnabla = minus minus minus + minus minus minus =

part part minus minus

所以自山腳（h=0）登山若由(012)開始 ˆ(01 2) 2h ynabla = minus 但若由

)02(minus 開始爬山 ˆ( 20) 2h xnabla minus = 可見 )02()210( minusnablagtnabla hh 這表

示由 y-軸登山山勢較陡所以「梯度」比由 x-軸登山為大這也更

清楚瞭解「梯度」的幾何意義

4-35

sect 432 Divergence 散度與 Curl 旋度

在(4-66) 我們建立了一個直角座標 vector operator 「del」

ˆ ˆ ˆx y zx y zpart part part

nabla equiv + +part part part

(4-66)

若與向量場 A 做「內積」與「外積」就建構了 A 的「散度」與「旋度」

散度 A A scalaryx zAA Adiv ax y z

partpart partequiv nabla sdot = + + =

part part part （4-69）

旋度

y yz x z x

ˆ ˆ ˆ y z A vector

A AA A A Aˆ ˆ ˆxy z z x x y

x y z

x y z

xcurl A a

A A A

y z

⎧⎪

= nablatimes = part part part =⎪⎪⎨⎪

part part⎛ ⎞ ⎛ ⎞part part part part⎛ ⎞⎪ = minus + minus + minus⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎪ part part part part part part⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎩

(4-70)

這裡定義的只是「散度」與「旋度」所謂「操作型的定義」告訴我

們如何計算的式子事實上她們都具有重要的物理意義我們在後面

會討論

ex34 ˆ ˆA xy yx= minus 求其散度與旋度

解 0 0y xAx ypart part

nablasdot = minus + =part part

ˆ ˆ ˆ y zˆ ˆ ˆ ˆ 0 0 ( 2) 2

0 x y z

xA x y z z

y xnablatimes = part part part = minus + minus = minus

minus

右圖示意了本向量場的分佈看得出像個漩渦也看到算出的旋度

0ne 看來旋度表現的應該是向量場「旋轉的程度」事實上我們在

後面會看到「旋度」表現的就是是向量場在空間各點「旋轉的程度」

本題的向量場在每一點的旋轉程度都一樣

4-36

Ex35 ( )ˆ ˆ ˆ A xx yy zz r= + + = 求其散度與旋度

解 3A rnablasdot = nablasdot = ˆ ˆ ˆ y z

0

x y z

xA

x y znablatimes = part part part =

由場分佈的示意圖可以看出本向量場是自原點向外射出好似在原

點有一個場線的「源頭 source」但是 3Anablasdot = 為一個常數表示好像到

處都有 source同時旋度為 0 也可以配合本場並無旋轉的形象事實

上「散度」表現的就是是向量場在空間各點產生「場線」的 source

記得靜電學裡的庫倫定律 0E ρ εnablasdot = 電場的散度就是「電荷密度」

(電場的 source)前一題的向量場看來對應的場線是封閉的所以沒有

source這也對應了其散度＝0不過一個向量場的散度旋度究竟是

多少應該詳細的計算場分佈圖形有時候不是那麼容易看的清楚

兩個 useful identities (恆等式)

(a) ( ) 0 0f curl of a gradnablatimes nabla = =

(b) ( ) 0 0A div of a curlnablasdot nablatimes = =

pf (a) ( )ˆ ˆ ˆ x y z

x y z

x y z

ff f f

nablatimes nabla = part part part

part part part

( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2xz zxˆ ˆ ˆx y f- f z 0yz yz xy yxf f f f= part minus part minus part part + part minuspart =

這個結果與真實的向量外積 ( ) AA 0=times 有相似之處但是這只是特

例要記得nabla並不是一個真正的向量

( ) ( ) ( )

( )

ˆ ˆ ˆ y zˆ ˆ ˆ x y z

0

x y z y z z y x z z x x y y x

x y z

xy z xz y xy z yz x xz y yz x

xA A A A A A A

A A A

A A A A A A A

nablatimes = part part part = part minus part minus part minus part + part minus part

nablasdot nablatimes = part minuspart minuspart +part +part minuspart =

4-37

此結果與真實的向量運算有相似之處 ( )( )0 (B A) BB B Asdot times = times perp∵

但是這仍只是特例因為我們可由下列例子 ( ) 0A Asdot nablatimes ne 看出事實上

nabla並不是一個真正的向量 Ex36 ˆ ˆ ˆA xy yx zx= minus +

( )

ˆ ˆ ˆ y zˆ ˆ ˆ 0 1 ( 2)

2 0

x y z

xA x y z

y x x

A A x x x

nablatimes = part part part = minus + minus

minus

sdot nablatimes = minus = minus ne

面積元素向量

物理上時常會遇到面積分例如電通量磁通

量等等考慮一個面積元素 ds定義「面積的

方向」為其「法線方向」並定義面積元素向量

ˆnds a dsequiv （4-71）

要注意的是(1)如果 ds 是一個「封閉面

closed surface」（即有裡外之分）的一部

份則 ˆna 定義為「由內向外」(2) 如果 ds

是一個「開放面 opened surface」（即分不

出裡外）的一部份那麼 ds 必被其邊緣

（一個封閉的曲線 C）所包圍這樣在定

出ds 的方向之前要先定義「邊緣曲線」

C 的方向再由右手定則定義 ˆna 的方向

既然面積已為一個向量就可以寫為分量表示以直角座標

ˆ ˆ ˆx y zds xds yds zds= + + (4-72)

那麼這些分量 dsx dsy dsz 會是什麼既然 dsx 的方向是 x 就表示 dsx

是躺在 y-z 平面上所以 dsx 的兩邊是 dy 與 dz rArr xds dydz= 依此類

4-38

推 dsy 的方向是 y 所以躺在 x-z 平面rArr yds dxdz= hellip可以得知

xds dydz= yds dxdz= zds dxdy= （4-73）

不過要注意在寫面積元素時要看討論的面實際

是什麼面上式的三個分量有可能會是負的例如

左圖座落在第一象限的立方體的 A 面方向就在 xminus

方向Arsquo面在 yminus Ardquo面在 zminus 方向寫面積元素最

好是先把討論的面的方向搞清楚把plusmn號寫在單位向量前面那麼分

量就都用＋的即可其實面積元素體積元素都可以由位移元素看出

ˆ ˆ ˆdr xdx ydy zdz= + +

dx dy dz 是沿著 ˆ ˆ ˆ x y z 方向的長度所以面積元素分量的兩邊長度就

是由其中兩個組成而體積的三邊也就是三個垂直方向的長度

x y zdV dx dy dz and ds dydz dxdz dxdyrArr = = （4-74）

這個概念在其他的座標系統也成立我們可以方便的寫出面積元素

Recall 柱座標的位移向量元素

cylindrical coordinate ˆ ˆ ˆdr d d dzzρρ ρ ϕϕ= + + （4-48）

ˆ ˆ ˆ zds ds ds zdsρ ϕρ ϕ= + + (4-75)

dsρ 躺在 zϕ minus 平面dsϕ 在 zρ minus 平面 zds 在ρ ϕminus 平面

rArr zds d dz ds d dz ds d d d dρ ϕρ ϕ ρ ρ ρ ϕ ρ ρ ϕ= = = sdot = （4-76）

上面的結果畫個圖看看吧球座標的位移向量元素

Spherical coordinate ˆ ˆˆ ( ) ( sin )dr rdr rd r dθ θ ϕ θ ϕ= + + （4-56）

ˆ ˆˆ rds rds ds dsθ ϕθ ϕ= + + （4-77）

rArr sin sin rds rd r d ds dr r d ds rd drθ ϕθ θ ϕ θ ϕ θ= sdot = sdot = sdot (4-78)

4-39

向量場 ( )A r 在 S 面上的「面積分（surface integral）」or「flux」

如左圖若有一「平面」S 且其上有「均勻」

場 B 分佈則通過 S 面的通量就是

ˆB B nSΦ = sdot

但考慮一任意「非均勻」向量場 ( )A r 在空間分佈選取任意曲面 S

探討 ( )A r 在 S 上之通量若ds 為 S 面上的面積元素在趨近於 0 的

小面積ds 上 A可視為均勻所以通過ds 之通量為 ( )d A r dsΦ = sdot 則 S

面之總通量為

Φ＝ ˆ cosS S S

A ds A nds A daϕsdot = sdot =int int int

( )OR

x x y y z zS

A da A da A da= + +int (4-75)

稱為 A 在 S 面上的「面積分」或「通量 flux」

上圖所繪就是一個任意面上分割出許多小面積舉出三個位置的通

量有+-與 0如果 S 面是為一「封閉面」則面積分寫為

S

A dssdotint （4-76）

4-40

ex37 Given 2ˆ ˆ ˆyzA xyz yx zx= + + 計算通量S

A dssdotint

S 面為在第一象限邊長＝1 的立方體表面封閉面

解立方體分為前後右左上下六個面分開算 1前面（x=1）

方向 x+ ˆ xA ds A xdydz A dydzsdot = sdot =int int int前 前 前

yzdydz= int前 ＝1 1

0 0

1 1 12 2 4

ydy zdz = sdot =int int

2後面(x=0)方向 xminus ˆ(- ) - xA ds A x dydz A dydzsdot = sdot =int int int後 後 後

yzdydz= minusint後1 1

0 0

-1 1 -12 2 4

ydy zdzminus = sdot =int int

3 右面（y=1）方向 y+ y ( 1)yA ds A dxdz A y dxdzsdot = sdot = =int int int右 右 右

( 1)x y zdxdz= =int右 ＝1 1

0 0

1 1 12 2 4

xdx zdz = sdot =int int

4 左面（y=0）方向 ˆ-y ˆ( y) - ( 0)yA ds A dxdz A y dxdzsdot = sdot minus = =int int int左 左 左

( 0) 0x y zdxdz= = =int左

5 上面（z=1）方向 z+ zz y (z 1) yA ds A dxd A dxdsdot = sdot = =int int int上 上 上

2 yx dxd= int上 ＝1 120 0

1 1y 13 3

x dx d = sdot =int int

6 下面（z=1）方向 ˆ-z zˆ(-z) y - (z 0) yA ds A dxd A dxdsdot = sdot = =int int int下 下 下

2 -1- y3

x dxd= =int下 ＝1 120 0

1 1y 13 3

x dx d = sdot =int int

S

A dssdotint ＝六個面的和＝1 1 1 1 1 1( ) ( 0) ( )4 4 4 3 3 4

minus minus+ + + + + =

ex38 Given ˆ ˆ ˆzA xyz yx zxy= + + 計算通量S

A dssdotint S 為圓 2 2 2x y a+ =

在第一項限的部分方向選為 z+ 2 2y a x= minus

4-41

解 2 2 4

0 0ˆ

8a a x

zS S S S

aA ds A zdxdy A dxdy xydxdy xdx ydyminus

sdot = sdot = = = =int int int int int int

Ex39 In cylindrical coordinate Given ˆ ˆaA zbzρρ

= + where a b are

constants Find S

A dssdotint over the surface of a

closed cylinder about z-axis specified by 3 2z ρ= plusmn =

解S 分為上下與周邊三面

zz (z 3)zA ds A ds A d dρ ρ ϕsdot = sdot = = sdotint int int上 上 上

= 23 3 2 12bd d b bρ ρ ϕ π πsdot = sdot =int上

ˆ(-z)A ds A d dρ ρ ϕsdot = sdot sdotint int下 下

= z- (z -3)A d dρ ρ ϕ= sdotint下 = 23 2 12b bπ πsdot =

周邊ds ˆ ( )d dzρ ρ ϕ= rArr ˆ ( ) z ( ) zA ds A d d A d dρρ ρ ϕ ρ ϕsdot = sdot =int int int周 周 周

2 3

0 3( ) z ( ) z=a 12aA d d d d d dz a

πρ ρ ϕ ρ ϕ ϕ π

ρ minus= = =int int int int周 周

加起來 S

A dssdotint ＝12 24 12 ( 2 )a b a bπ π π+ = +

ex40 一點電荷 q 置於原點計算在一個以原點為圓心 0r 為半徑的球

面上的電通量

解 2 20 0

ˆ ˆ4 4S S

qr q dsE ds rdsr rπε πε

sdot = sdot =int int int

=0 0 0

44 4S

q q qd ππε πε ε

sdot Ω = sdot =int

上式中 dΩ 2dsr

= 是 ds 所張開的「立體角」(solid angle)

4-42

div A and Flux 通量與散度的幾何物理意義

我們運用過nabla的符號來表示過散度 divF F= nablasdot yx zFF Fx y z

partpart part= + +part part part

但是也看到「散度」定義為

0( )

1( ) limSV

about x y z

divF x y z F da divergence of FVΔ rarr

equiv sdot =Δ int (4-77)

其中 VΔ 為 S 面所包含的體積即散

度為通量(體)密度的 0 體積極限

（4-77）的定義與 Fnablasdot 好像差的很

多她們是說同一回事嗎以下證明

這兩種「散度」的定義是等價的如

左圖考慮一個以點 ( ) x y z 為中心

的 立 方 體 其 相 鄰 三 邊 長 為

x y zΔ Δ Δ 體積 V x y zΔ = Δ Δ Δ 現在計算 F 在立方體的一組平行於 y-z平面的表面 S1 與 S2 的通量

( )1 1

ˆ ˆ xS S

F nds F xds F x y z dsrArr sdot = sdot =intint intint intint 2xxF x y z y zΔ⎛ ⎞asymp + Δ Δ⎜ ⎟

⎝ ⎠

其中 2xx y zΔ⎛ ⎞+⎜ ⎟

⎝ ⎠為 S1 面中心的座標而

2xx y zΔ⎛ ⎞minus⎜ ⎟

⎝ ⎠為 S2 面的中心

( ) ( )2 2 2

ˆ ˆ 2x x

S S S

xF nda F x ds F x y z ds F x y z y zΔ⎛ ⎞rArr sdot = sdot minus = minus asymp minus minus Δ Δ⎜ ⎟⎝ ⎠intint intint intint

上式中的負號來自 S2 面的方向是 xminus 所以合併兩個面積分

1 2

ˆ 2 2x x

S S

x xF nds F x y z F x y z y z+

Δ Δ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞rArr sdot asymp + minus minus Δ Δ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦intint

2 2x xx xF x y z F x y z

x y zx

Δ Δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠= Δ Δ Δ

Δ

2 2

x xx xF x y z F x y z

Vx

Δ Δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠= Δ

Δ

1 2

1 2 2ˆ

x x

S S

x xF x y z F x y zF nds

V x+

Δ Δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠rArr sdot asymp

Δ Δintint

4-43

當取體積向(xyz)點收縮至 0 時即 0 x 0as VΔ rarr Δ rarr 上式的近似

「asymp」就成了「＝」

1 20

1 ˆlimV

S S

F ndsVΔ rarr

+

sdotΔ intint

( )0

2 2limx x

x

x

x xF x y z F x y z F x y zx xΔ rarr

Δ Δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟ part⎝ ⎠ ⎝ ⎠= =Δ part

Similarly F 在立方體的一組平行於 x-z 平面的表面 S3 與 S4 的通量

3 3 3

ˆ ˆ yS S S

F nds F yds F dsrArr sdot = sdot =intint intint intint

2

2

y

y

yF x y zyF x y z x z x y z

y

Δ⎛ ⎞+⎜ ⎟Δ⎛ ⎞ ⎝ ⎠asymp + Δ Δ = Δ Δ Δ⎜ ⎟ Δ⎝ ⎠

( )4 4 4

2ˆ ˆ

y

yS S S

yF x y zF nds F y da F ds x y z

y

Δ⎛ ⎞minus⎜ ⎟⎝ ⎠rArr sdot = sdot minus = minus asymp Δ Δ Δ

Δintint intint intint

合併 S3 與 S4 兩個面積分並取體積向(xyz)點收縮至 0 時即當

0 y 0VΔ rarr Δ rarr 上式的近似asymp就成了＝

3 4

2 2ˆ

x x

S S

y yF x y z F x y zF nds V

y+

Δ Δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠rArr sdot cong Δ

Δintint

3 40 0

1 2 2ˆlim lim

x xy

V yS S

x yF x y z F x y z FF nds

V y yΔ rarr Δ rarr+

Δ Δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟ part⎝ ⎠ ⎝ ⎠rArr sdot = =Δ Δ partintint

與上面相同的作法計算 F 在立方體的一組平行於 x-y 平面的表面 S5

與 S6 的通量我們也會得到對應的結果

5 6

2 2ˆ

z x

S S

z zF x y z F x y zF nds V

z+

Δ Δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠rArr sdot cong Δ

Δintint

5 60 0

1 2 2ˆlim lim

z xz

V zS S

z zF x y z F x y zFF nds

V z zΔ rarr Δ rarr+

Δ Δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟ part⎝ ⎠ ⎝ ⎠rArr sdot = =Δ Δ partintint

所以合併立方體的 6 個面積分

4-44

1 2 3 4 5 6

ˆ ˆ ˆ ˆS S S S S S S

F nds F nds F nds F nds+ + +

rArr sdot = sdot + sdot + sdotint intint intint intint

0

1 ˆlim yx zV

FF FF nds div F FV x y zΔ rarr

partpart partrArr sdot = + + = = nablasdot

Δ part part partint (4-78)

在此我們得證這兩種「散度」的定義是等價的只是（4-77）的定義

充分的表現出「散度」的幾何物理意義他從通量著手由於場線

出自於 source（ex電場源自於點電荷）所以在點(xyz)必須有向量場

F 的 source 存在才能使得當面積縮到 0 時仍具有非 0 的通量所以「散

度」表現向量場 F 的 source 在這個定義之下是很清楚的當然在計算

「散度」時我們不必那麼麻煩用 divF F= nablasdot 就好了

Ex41 計算 2ˆ ˆ ˆF xx yxy zyz= + + 的散度

解 2 yx zFF Fx x yx y z

partpart part= = =

part part part F 2x x y 3x ydivrArr = + + = +

recall 在靜電學0

yx zEE EEx y z

ρε

partpart partnablasdot = = + +

part part part

散度定理 Divergence Theorem

若任意封閉面（又稱為「高斯面」）S 所包圍的

體積為 V 則

S VA ds Adτsdot = nablasdotint int （4-79）

pf 我們先將體積分割成 N 個小盒子考慮相鄰的兩個小盒子 1 2

兩小盒子的共用面面積 S0當 S0 是為 1 號盒子的一部份時其方向為

1n 但若當為 2 號盒子的表面時其方向為 12 ˆˆ nn minus= 如此在 S0 分別做

4-45

1 2 盒子的面積分後

0 0

0 0 0 0

1 2

1 2 1 1ˆ ˆ ˆ ˆ 0

S S

S S S S

A ds A ds

F n ds F n ds F n ds F n ds

sdot + sdot

= sdot + sdot = sdot minus sdot =

intint intintintint intint intint intint

所以若求場 A 在 1 2 盒子的總通量時交界面是沒有貢獻的總通量

就只有「外面積」才有貢獻如此我們計算 N 個小盒子的總通量

時所有的內部共用面都得 0只剩下「外表面」的貢獻了當 infinrarrN

時所有小盒子的「總外表面」就與 S 面重合了所以所有小盒子通量

的總和就等於 S 面的通量

1lim

i

N

S SN iA ds A ds

rarrinfin=

rArr sdot = sdotsumint int

現在我們做 N 個小盒子的總通量

1 1

1i i

N N

iS Si i i

A ds A ds VV= =

⎛ ⎞sdot = sdot Δ⎜ ⎟Δ⎝ ⎠

sum sumint int

當 0iN Vrarrinfin rArr Δ rarr 並用 dv 表示體積元素

( ) ( )1 1

1

1lim lim lim

lim

i ii

N N

iS SN N V oi i i

N

i VN i

A ds A ds VV

A V A dv

rarrinfin rarrinfin Δ rarr= =

rarrinfin=

⎛ ⎞sdot = sdot Δ⎜ ⎟Δ⎝ ⎠

= nablasdot Δ = nablasdot

sum sumint int

sum int

( )S V

A da A dvrArr sdot = nablasdotint int QED

所以得證散度定理上式中我們用了散度的（4-77）式定義要分辨

清楚 Anablasdot 是向量場 A 在空間中「某一點」的性質（ 0VΔ rarr ）而「散

度定理」說的是一個「有限體積」的性質

ex42 給定 ( ) ˆ ˆ ˆ A x y z xx yy zz r= + + = 計算在

半徑 R＝1 的球的上半球加底面的通量

4-46

解 ( )ˆˆS

A da A rda A k darArr sdot = sdot + sdot minusint int int上半球面 底面

( )

2

ˆ ˆ

0 2 1 2

A rda A z dxdy

r rds zdxdy rds ds π π

= sdot + sdot minus

= sdot minus = minus = = sdot =

int int

int int int int上半球面 底面

上半球面 底面 上半球面

底面的通量＝0 是因為 A 的 z 分量 Az=z 在底面的值為 0

也可以用散度定理更快的得出結果

∵ 3A rnablasdot = nablasdot =

31 43 3 1 22 3V V

Ad d πτ τ πnablasdot = = sdot sdot sdot =int int

ex43高斯定律的微分形式積 由 Gaussrsquo law 的積分形式用散度定理得出其

( )0 0

1 inS V

qE ds x y z dvρε ε

sdot = =int int

0S V VE ds Edv dvρ

εrArr sdot = nablasdot =int int int

上式最後的等式對「任意形狀」V 都成立所以兩者的被積函數相等

對於空間每一點 0

E ρε

nablasdot = （4-80）

ex44 Use 第一象限的單位力方體 check the divergence theorem using the function 2 2ˆ ˆ ˆ(2 ) 2A y x xy z y yzz= + + +

解2

2( ) (2 )(2 ) 2( )y yzA xy z x yx y z

part part partnablasdot = + + + = +

part part part

and 1 1 1 1 1 1

0 0 0 0 0 02 ( ) 2 ( )

VAdv x y dxdydz dz dy x y dxnablasdot = + = +int int int int int int int

1 1

0 0

1 12 ( ) 2 12 2

dz y dy= + = sdot =int int

面積分 1 1 2

0 0

1ˆ3

A ds A xdydz dz y dysdot = sdot = =intint intint int int前 前

4-47

1 1 2

0 0

1ˆ( )3

A ds A x dydz dz y dy minussdot = sdot minus = minus =intint intint int int

後 後

1 1 2

0 0ˆ (2 )A ds A ydxdz dz xy z dxsdot = sdot = +intint intint int int

右 右

1 1 1 12 2

0 0 0

4(2 ) (1 )3

ydz x z dx dz z

=

= + = + =int int int∵

1 1 2

0 0

0 1 1 12 2

0 0 0

ˆ( ) (2 )

1(1 )3

y

A ds A y dxdz dz xy z dx

dz z dx dz z=

sdot = sdot minus = minus +

minus= minus = + =

intint intint int int

int int int∵

左 左

11 1 1 1

0 0 0 0ˆ 2 2 1

zA ds A zdxdy dx yzdy dx ydy

=sdot = sdot = = =intint intint int int int int

∵

上 上

01 1

0 0ˆ 2 0

zA ds A zdxdy dx yzdy

=sdot = sdot minus = minus =intint intint int int

∵

下 下

前後右左上下六個面積分合併＝1＝V

Advnablasdotint QED

ex45 Continuity Equation 連續方程式

考慮某些「東西」的流動（物質電荷hellip）在時刻 t 時在點(xyz)

的 密 度 為 ( ) x y z tρ ρ= 並 具 有 速 度

( ) v v x y z t= 在時刻 t 時在體積 V 內的總量為

( ) x y z t dρ τintintint

這樣體積 V 內東東的時變率為

( ) ( ) d x y z t d x y z t ddt t

ρρ τ τpart=

partintintint intintint

注意體積分後的時間全微分移入積分內要改為偏微分這個東東

在表面的「流率 flow rate」可表為

ˆS

R v ndsρ= sdotintint

若體積內的物料無法自生自滅那麼體積內物料的變化必經由表面的

流出流入所造成

d v ndstρ τ ρpart

rArr = minus sdotpartintintint intint

由散度定理

4-48

( )ˆS

v nds v d dtρρ ρ τ τpart

sdot = nablasdot = minuspartintint intintint intintint

( )v Jtρ ρpart

rArr = minusnablasdot equiv minusnablasdotpart

0Jtρpart

rArr +nablasdot =part

（4-81）

(4-81) 即 continuity equation其中 J vρ= 為「物流密度」ex如果 ρ

是電荷密度 J 就是電流密度（4-81）是物質守恆的結果只對體

積內無 source（生成）or drain（消滅）的東東成立

ex46 Given a vector field ˆ ˆx yA ye xe= minus + (a) Find

Anablasdot (b)如圖一個金字塔狀的 5 面體高 2 底邊長

1計算 A在整個金字塔表面（封閉面）的總通量

解(a) Anablasdot = ( ) ( ) 0y xx ypart part

minus + =part part

(b) 金 字 塔 的 表 面 面 積 元 素 ds 不 好 寫 所 以 用 散 度 定 理

( )S V

A da A dvrArr sdot = nablasdotint int ＝0 Anablasdot 表示 A沒有 source 所以對封閉面而

言有多少場線進入就有多少出去所以總通量＝0

習題 7 With position vector r for an arbitrary volume V that is

bounded by surface S show that 13 S

r ds Vsdot =int

習題 8 已知一靜電場為 ˆ ˆ ˆ( )E xyz yxz zxyλ= + + 運用 Gaussrsquo law

試求包含在半球 2 2 2 2 0x y z R z+ + = ge 裡的總電荷 Ans 0

習題 9 (a) given ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( 2 )F r xf x yf y zf z= + + minus show that divF is

zero at point (c c -c2) (b) given ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( )G r xf x z yg x z zh x y= + +

show that ( ) 0G rnablasdot =

4-49

習題 10 Find the normal vector n for the surfaces (a) z = 2-x-y ans

ˆ ˆ ˆ( ) 3x y z+ + (b) z = (1-x2)12 ans ˆ ˆxx zz+ (c) z = x2+y2

ans ˆ ˆ ˆ( 2 2 ) 1 4xx yy z zminus minus + +

習題 11 Show that the unit vector normal to the plane ax+by+cz =d is

given by 2 2 2ˆ ˆ ˆ( ) ax by cz a b cplusmn + + + +

圓柱座標與球座標的nabla (del)

考慮一純量場在直角座標為 ( ) u x y z 在圓柱座標表為 ( ) u zρ φ

再考慮因位移 r r drrarr + 所造成 u ( )zρ φ 的變化

( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆz

z

u u udu d d dz u dr u d d zdzz

u u z u d d zdz

u d u d u dzρ ϕ

ρ ϕ

ρ ϕ ρ ρ ϕρ ϕρ ϕ

ρ ϕ ρ ρ ϕρ ϕ

ρ ρ ϕ

part part part= + + = nabla sdot = nabla sdot + +part part part

⎡ ⎤= nabla + nabla + nabla sdot + +⎣ ⎦= nabla + nabla + nabla

( ) ( ) ( )1

1ˆ ˆ ˆu

z

u u uu u uz

u u uzz

ρ ϕρ ρ ϕ

ρ ϕρ ρ ϕ

part part partrArr nabla = nabla = nabla =

part part partpart part part

rArrnabla = + +part part part

1ˆ ˆ ˆ zz

ρ ϕρ ρ ϕpart part part

nabla = + +part part part

（4-82）

注意nabla的ϕ -分量( 1ρ ϕ

partpart

)不是像直角座標裡單純的ϕpartpart

所以不要笨笨

的就把直角座標的形式硬套上去用我們也可以從「因次分析」來

看nabla因為是對空間的微分所以每一項的因次必須是「長度分之一」

運算 andzρ

part partpart part

都是「長度分之一」而「單純的ϕpartpart

」是沒有單位的

所以要1ρ ϕ

partpart

才 OK

由於圓柱座標裡的單位向量除了 z 之外 ˆ( )ρ ϕ 與 ˆ( )ϕ ϕ 都不是常

4-50

數所以在微分時不可以與微分運算交換而要考慮微分的作用所

以在「圓柱座標」寫「散度」 ( ) F zρ ϕnablasdot 也和直角座標不一樣

( )1ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ zF z F F zFz ρ ϕρ ϕ ρ ϕ

ρ ρ ϕpart part part⎛ ⎞

nabla sdot = + + sdot + +⎜ ⎟part part part⎝ ⎠

( ) ( )1ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆz zF F zF F F zFρ ϕ ρ ϕρ ρ ϕ ϕ ρ ϕρ ρ ϕpart part

= sdot + + + sdot + +part part

( )ˆ ˆˆ ˆ zz F F zFz ρ ϕρ ϕpart

+ sdot + +part

因為 ( ) ( )ˆ ˆ ˆ ˆ ρ ρ ϕ ϕ ϕ ϕ= = 所以做 andzρ

part partpart part

時 ˆ ˆ ρ ϕ 可視為常數

ˆ ˆ1ˆ ˆ ˆ zF F F FF F Fz

ρ ρ ϕρ φ

ρ ϕϕ ρ ϕρ ρ ϕ ϕ ϕ ϕ

part part part⎡ ⎤part part partrArrnablasdot = + sdot + + + +⎢ ⎥part part part part part part⎣ ⎦

還記得 ˆ ˆ ˆ ˆd d d dρ ϕ ϕ ϕ ρ ϕ= = minus 所以 ˆ ˆρ ϕϕpart

=part

ˆ ˆϕ ρϕpart

= minuspart

rArr

( )1 1 1z zF F F FF FF Fz z

ρ ρ ϕ ϕρρ

ρ ρ ρ ϕ ρ ρ ρ ϕpart part part part

nablasdot = + + + = + +part part part part part part

（4-83）

在球座標寫nabla也會遇到相似的問題其根源就是球座標 ( )r θ ϕ 裡

的 θ ϕ 的因次並非長度而三個單位向量 ˆ ˆˆ r θ ϕ（表為 ie ）都是( θ ϕ )

的函數以致

( )ˆ ˆ( ) ( )i ie f e fθ ϕ θ ϕθ θpart part

nepart part

且 ( )ˆ ˆ( ) ( )i ie f e fθ ϕ θ ϕϕ ϕpart part

nepart part

所以nabla也不似在直角座標那麼簡單我們不在這裡推導而是給出一

個歸納的統一的三個座標的結果還記得對每一個座標 iu i = 123

座標的變化 idu 與造成的長度變化 id

i i id h du= 123i = (4-84)

其中 ih 為對應的度量係數(metric coefficient)

4-51

1 2 3

1 1 2 2 3 3

1 1 1ˆ ˆ ˆu u ue e eh u h u h u

part part partnabla equiv + +

part part part （4-85A）

座標 1 2 3 u u u

度量係數

1 2 3 h h h

nabla grad del

直角 x y z

1 1 1 nabla ˆ ˆ ˆx y z

x y zpart part part

equiv + +part part part

圓柱

zρ ϕ

1 1ρ

1ˆ ˆ ˆ z

zρ ϕ

ρ ρ ϕpart part part

nabla equiv + +part part part

球

r θ ϕ

1 sinr r θ

1 1ˆ ˆˆ

sinr

r r rθ ϕ

θ θ ϕpart part part

nabla = + +part part part

（4-85B）

梯度gradient Vnabla grad(V) 散度divergence Anablasdot div( )A

直

角 nablaV ˆ ˆ ˆV V Vx y z

x y zpart part part

= + +part part part

yx zAA AAx y z

partpart partnablasdot = + +

part part part

圓

柱

1ˆ ˆ ˆ V V VV zz

ρ ϕρ ρ ϕpart part part

nabla = + +part part part

( )1 1

1

z

z

A AA Az

A A A Fz

ϕρ

ρ ρ ϕ

ρρ ρ ρ ϕ

ρ ρ ρ ϕ

partpart partnabla sdot = + +

part part partpart part part

= + + +part part part

球

1 1ˆ ˆˆ sin

V V VV rr r r

θ ϕθ θ ϕ

part part partnabla = + +

part part part

22

1 ( )rA r Ar r

partnabla sdot =

part

1 (sin )sin

Ar θθ

θ θpart

+ sdotpart

1sin

Ar

ϕ

θ ϕpart

+part

(4-86)

Ex47 Using spherical coordinate show that 1| |r r

nablaminus

= 2

ˆ| |

r rer r

minusminusminus

where

nabla是作用在 r 而 ˆr re minus 是向量 r rminus 方向的單位向量 解let r lies in z-axis so that the angle between r and r is just θ

4-52

rArr ( ) 122 21 1 2 cos | | ( ) ( )

r rr rr r r r r r

θminus

= = minus +minus minus sdot minus

( ) ( )12 122 2 2 21 1ˆˆ 2 cos 2 cos | |

r r rr r r rr rr r r r

θ θ θθ

minus minuspart partnabla = minus + + minus +

minus part part

( ) 322 21ˆ 2 cos (2 2 cos )2

r r rr r r rθ θminusminus

= minus + minus

( ) 322 21ˆ 2 cos (2 sin )2

r rr r rrθ θ θminusminus

+ minus +

3 3 3 3

ˆˆ ˆ( cos ) sin ( cos sin )ˆˆ| | | | | | | |r r r rr r rrr r r r r r r r

θ θ θ θ θθminus minus minus minus minus= + = +

minus minus minus minus

3 3 3ˆ ( )

| | | | | |r r z r r r rr r r r r rminus + minus + minus minus

= = =minus minus minus

＝ 2

ˆ| |

r rer r

minusminusminus

QED

證明最後我們用到 ˆˆˆ cos sinz r θ θ θ= minus 而 ˆ r r z= 因為我們選了 r 是

躺在 z-軸 Ex48 For arbitrary scalar field ( )f r and vector field ( )A r 證明恆等式

( )fA f A f Anablasdot = nabla sdot + nablasdot (4-87) 解 ˆ ˆ ˆx y zfA xfA yfA zfA= + +

( ) ( ) ( ) ( )x y zfA fA fA fAx y zpart part part

rArrnablasdot = + +part part part

yx zx x x

AAf f f AA f A f A fx x y y z z

partpartpart part part part= + + + + +part part part part part part

yx zx y z

AAf f f AA A A fx y z x y z

part⎛ ⎞partpart part part part= + + + + +⎜ ⎟part part part part part part⎝ ⎠

f A f A= nabla sdot + nablasdot QED 習題 12 一個位於原點的電偶極電偶極矩＝ ˆp pz= 已知其在遠處

的電位為 20

cos4p

rθ

πε試證該處的電場強度為 E = 3

0

ˆˆ( 2cos sin )4

p rr

θ θ θπε

+

(已知 E V= minusnabla )並請計算 Enablasdot ＝

習題 13 給定一向量場2

3cosˆD r

rϕ

= 現有兩個球心在原點的同心球

內球半徑 R＝1外球 R＝2(a)求面積分S

D dssdotint S 為同心球殼的表

面（有內外兩個面）(b)求體積分V

Ddvnablasdotint V 為兩同心球之間的

區域本題也是來 check 散度定理的Ans πminus

4-53

The Laplacian operator 2nabla equivnablasdotnabla

在直角座標可以用直接作用得到

2 2 2

22 2 2u u uu u

x y zpart part part

nabla equiv nablasdotnabla = + +part part part

(4-88)

圓柱座標

2 2

22 2 2

1 1( ) u u uu uz

ρρ ρ ρ ρ ϕ

part part part part⎛ ⎞nabla equiv nablasdot nabla = + +⎜ ⎟part part part part⎝ ⎠

(4-89)

球座標

2

2 22 2 2 2 2

1 1 1sinsin sin

u u uu rr r r r r

θθ θ θ θ ϕ

part part part part part⎛ ⎞ ⎛ ⎞nabla = + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟part part part part part⎝ ⎠ ⎝ ⎠ （4-90）

習題 14 verify (4-89) and (4-90)

習題 15 Given a dipole potential V= 20

cos4p

rθ

πε find 2Vminusnabla

sect 433 Line integral and curl A 線積分與與旋度的物理意義

線積分路徑積分

考慮一曲線 C 通過兩點 ( )i i i iP x y z 與

( )f f f fP x y z 現有一向量場 ( )A x y z 定義在

C 所在的空間若 sd 為 C 上位於(xyz)點的

「路徑元素」（ ˆd td= 方向沿該處切線）而

( )A x y z 為路徑元素d 處的場值則沿 C 經歷各點所做積分

cos cosf

CC C iA d Ad A dϕ ϕrarr rarrsdot = =int int int （4-91）

稱為向量場 ( )A x y z 沿路徑 C 自 pi 至 pf 的「線積分」「或「路徑積分」

積分裡 A 取值的點侷限在路徑 C 上面若為一個「封閉路徑」則對

C 的線積分也稱做「環路積分 closed contour integral」記做

C

A dsdotint （4-92）

4-54

物理量「做功」是最標準的線積分之一力 F 自 x = a 至 x = b「沿線」

x 軸做功

W＝ F dxsdotint ＝ ( )b

xaF x dxint （4-93）

質點在力場 )(rF 裡走一條曲線 C則力場做功

CW F d= sdotint （4-94）

還記得如果 ( )F r 是所謂「保守力」則上式只與始末點有關而與

路徑無關但如果 ( )F r 是所謂「非保守力」則做功與確實的路徑 C

有關

現考慮一質點在空間運動的位置 r 落在由曲線 C

描述的路徑則質點的位移元素與曲線 C 的路徑元

素相同 d dr= 若空間有向量場 A 分佈則 A 在 C 的

路徑積分以直角座標表示為

CA drarr rarrsdotint ＝

CA d rrarr rarrsdotint ＝ ( )x y zC

A dx A dy A dz+ +int （4-95）

上式中的 x y z 的積分限由 C 決定

Ex49 2 2 2ˆ ˆ ˆA xx yy zzrarr= + + 選定一路徑 C 為曲線

2y x= 由 (000)到 (2 20)的部分求C

A dsdotint

解 ˆ ˆd xdx ydy= +∵

CA dsdotint ＝ 2 2( )

Cx dx y dy+int ＝

2 22 2

0 0x dx y dy+int int

＝ )24(32

+

或由 2y x= rArr 2ydy dx= 2 12

y dy xdxrArr =

rArrC

A dsdotint ＝2 2

0

1( )2

x x dx+int ＝2 (4 2)3

+

4-55

ex50 ˆ ˆ( )f x y z xy yx= minus Do C

f dsdotint 其中的路徑 C 為一逆時針三角

形如圖 解∵路徑全部在 x-y 平面 ˆ ˆ ˆd td xdx ydy= = +

rArrC

f dsdotint ＝ x yC

f dx f dy+int ＝C

ydx xdyminusint

由於在 C1 上 y = 0 及 dy = 0 所以 01

=intC 又由於在

C3 上 x = 0 及 dx =0所以 03

=intC 所以只剩下 C2 可

能有貢獻由 2C 的方程式x + y =1rArr ⎩⎨⎧

minus=minus=

xyyx

11

rArr2Cydx xdyminusint ＝

0 1

1 0(1 ) (1 )x dx y dyminus minus minusint int ＝

0 12 2

1 0

( ) ( )2 2x yx yminus minus minus ＝-1

Cf dsdotint ＝-1

ex51 ( )f x y zrarr

= 2ˆ ˆxx yxyminus 如右圖doC

f dsdotint 其

中路徑 C 為第一象限的逆時針 14 圓弧

解∵ 全部在 x-y 平面 ˆ ˆd xdx ydy= +

Cf dsdotint ＝ 2

Cx dx xydyminusint

由於在 C 上 cosx R ϕ= rArr sindx R dϕ ϕ= minus

siny R ϕ= rArr cosdy R dϕ ϕ=

rArr 2

Cx dx xydyminusint ＝

2 2 2 2

0cos ( sin ) sin cos cosR R d R R d

πϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕminus minus sdotint

23 2

02 cos sinR d

πϕ ϕ ϕ= minus int ＝

323Rminus

又路徑為圓周一部份所以適合用極座標表示

ˆd Rdϕ ϕ= 又由左圖將 ˆ ˆx y 拆解（投影）到 ˆˆr ϕ

ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆcos sin sin cosx r y rϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ= minus = +

4-56

( )2ˆ ˆ ˆˆ ˆ( cos sin ) ( sin cos )C C

f d r x r xy Rdϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕsdot = minus minus + sdotint int 2

2 2 2

0

sin (cos )

sin ( cos ) (cos ) cos sin

Cx Rd xyRd

R Rd R Rdπ

ϕ ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ

= minus minus

= minus minus

intint

23 2

02 cos sinR d

πϕ ϕ ϕ= minus int ＝

323Rminus

這也驗證了散度定理

Path Independence 路徑獨立性

Ex52 證明庫倫力為「保守力」考慮

電荷 q0 位於原點及電荷 q 位於

( )r x y zrarr= q 受力 F

rarr＝ 0

20

14

qq urπε

and

求庫侖力作功因為球形對稱所以

用球座標由 ˆ ˆ ru rr

= = rArr Frarr

= 03

04qq r

rπε

庫侖力由 P1 至 P2 做功為 2

1

P

CPF drarrsdotint ＝

2

1

02

0

ˆ ˆ ˆˆ sin4

P

PC

qq r rdr rd r dr

θ θ ϕ θ ϕπε

⎡ ⎤sdot + +⎣ ⎦int ＝2

1

02

04P

P

qq drrπεint

＝20

2104

r

r

qq drrπε int ＝ 0

0 1 2

1 1( )4qq

r rπεminus for all C

所以庫侖力兩點間做功與路徑無關rArr保守力

對於「保守力 conservative force」 cF 自 p1 經

由兩條不同的路徑 C1 與 C2 到達 p2

1 ccF drarrsdotint ＝

2 ccF drarrsdotint ＝-

2 ccF drarr

minussdotint

rArr1 2c cc cF d F drarr rarr

minussdot + sdotint int = cF d

rarrsdotint ＝0 (4-96）

對於任何「封閉路徑」保守力做功為 0反之若

對任一封閉路徑 0F drarrsdot neint 則兩點之間的做功與路徑有關

rarr

F 為「非

保守力」

4-57

旋度 curl Anablatimes 的幾何物理意義

我們在（4-70）式已經看過旋度的計算方式但旋度另有其意義的

ex53 給定向量場2 2

0ˆ yv yv e λrarr

minus= 左圖為場的分佈

2 20

ˆ ˆ ˆ

0 0x y z

y

x y zcurl v

v e λ

rarr

minus

= part part part ＝ ˆ ˆ ˆ0 0 0 0x y zsdot minus sdot + sdot =

我們用了簡寫 x yx ypart part

part equiv part equivpart part

可以看出這個場裡沒有「漩渦」

但是有無「漩渦」有時也不是那麼明顯可以看出的請見下一個例子

Ex54 給定向量場2 2

0ˆ xv yv e λrarr

minus= 計算其旋度 vnablatimes

解向量場 vrarr

畫在右邊你看得出有無漩渦

先計算旋度

2 20

ˆ ˆ ˆ

0 0x y z

x

x y zcurl v

v e λ

rarr

minus

= part part part2 2

2 2

0

0

ˆ

ˆ 2 0 0

x

x

z v ex

z v xe for x

λ

λ

minus

minus

part=

part

= minus ne ne

vrarr

的旋度在大部分的地方不為 0 且隨位置而不同但是你看得出這個

向量場裡有「漩渦」其實要檢驗一個向量場裡有無「漩渦」有一

個很物理的方法就是放一個小「螺旋槳」（左圖）

在場內將軸朝各個方向測試一

下如果有「漩渦」的話這個

小「螺旋槳」就會轉動右圖就是將「螺旋槳」的

軸平行於 z 軸且放在 x gt 0 的地方就可以看出左

邊的 v 場比右邊的強造成螺旋槳順時針轉動rArrcurlv zminus for x gt 0

但如果放在 x = 0 的地方就會看到左右兩端的 v 場強度相同而且

4-58

curlv = 0 「螺旋槳」放在 x lt 0 的地方就可以看出右邊的v 場比左

邊的強造成螺旋槳逆時針轉動這完全符合 curl v k+ 的結果

環路積分與旋度 curl 的物理意義

如同「散度」一樣「旋度」除了 Ftimesnabla 之外

還有一個物理意義更清楚的定義這個定義由

「線積分」說明如圖考慮做「逆時針」長方形

路徑 C1 的一個「環路積分」C1 面平行於 x-y 平

面由 z-軸看下去環路 C1 可以分為可以分為

下 CB上 CT右 CR左 CL 4 部分

CA drarrsdotint ＝

B T L RC C C CA d A d A d A drarr rarr rarr rarrsdot + sdot + sdot + sdotint int int int

分別計算由於 CB 的中點座標為 ( )2yx y zΔ

minus

ˆB BC C

A d A xdxrarr rarrsdot = sdot =int int

BxC

A dxint ( )2xyA x y z xΔ

asymp minus Δ

similarly 由於 CT 的中點座標為 ( )2yx y zΔ

+

ˆ( )T TC C

A d A xdxrarr rarrsdot = sdot minus =int int

TxC

A dxminusint ( )2xyA x y z xΔ

asymp minus + Δ

合併 CB 與 CT

B TC CA drarr

+sdot =int

( ) ( )2 2x xy yA x y z A x y z

x yy

Δ Δ⎡ ⎤minus + minus minus⎢ ⎥⎣ ⎦ Δ ΔΔ

（4-97）

由 C1 所圍的面積 S x yΔ = Δ Δ

1B TC C

A dS

rarr

+sdot =

Δ int( ) ( )

2 2x xy yA x y z A x y z

y

Δ Δ⎡ ⎤minus + minus minus⎢ ⎥⎣ ⎦Δ

（4-98）

所以當取極限 C1 收縮到中心(xyz)時 SΔ 收縮到 0ie

4-59

0limsΔ rarr

1B TC C

A dS

rarr

+sdot =

Δ int xAy

partminuspart

（4-99）

Similarly with CR 的 ˆd ydy= CL 的 ˆd ydy= minus 可得

1L RC C

A dS

rarr

+sdot =

Δ int x

zyxxFzyxxF yy

Δ

Δminusminus

Δ+ )

2()

2(

（4-100）

同樣的當取極限 C1 收縮到中心(xyz)時 SΔ 收縮到 0

0

limsΔ rarr

1L RC C

A dS

rarr

+sdot =

Δ int yAx

partpart

（4-101）

最後合併 CBCTCRCL 為 C1

10

1limCs

A ds

rarr

Δ rarrsdot =

Δ int y xA Ax y

part partminus

part partˆ ( ) ( )zz A A= sdot nablatimes = nablatimes （4-102）

注意 C1 的方向就是在 z 上式的重要

意義是當向量場 A 在一個以點(xyz)為

中心「方向為 z 」的面積元素的「邊界」

所做的環路積分得到的就是 A 在(xyz)

處旋度的 z-分量明顯的只有當 A 在

(xyz)附近有 x-y 平面上的「漩渦」那麼 C1 的環路積分才不會為 0

Similarly 取一個逆時針繞著(xyz)的平行於 x-z 平面的長方形環路 C2

（左圖）做環路積分再取極限將 C2 收縮到(xyz)就會得到

20

1limCs

A ds

rarr

Δ rarrsdot =

Δ int x zA Az x

part partminus

part partˆ ( ) ( )yy A A= sdot nablatimes = nablatimes （4-103）

注意到 C2 所包圍的面積方向就在 y到

現在我們應該已經很有經驗了若取一

個逆時針繞著(xyz)的平行於 y-z 平面

的長方形環路 C3（左圖）做環路積分

再取極限將 C3 收縮到(xyz)就會得到

4-60

30

1limCs

A ds

rarr

Δ rarrsdot =

Δ int yz AAy z

partpartminus

part partˆ ( ) ( )xx A A= sdot nablatimes = nablatimes （4-104）

能把（4-103）與（4-104）變出來的同學我們有優待綜合以上

我們可以得到一個結論若取一個以點(xyz)為中心的任意環路 Cn（其

所包圍的面積方向在 n ）則

n curl Aand rarrsdot ＝

0

1lims

Cn

A ds

rarr

Δ rarrsdot

Δ int （4-105）

明顯的當 n ＝ x 或 y 或 z 時我們可以重複（4-102）到（4-104）的

結果（4-70）式的行列式所定義的旋度在此看見其幾何物理意義

至此「旋度」的「漩渦」形象應該已經很清楚了只有在(xyz)點附

近的小圈圈上有「漩渦」 A 在小圈圈做的環路積分才會有值這個

值就是向量場 A 的「旋度」在小圈圈面積方向的分量

Stokersquos 定理

考慮一個開放面 S被其「有方向的」邊界 C 圈住(bounded by)則

( )S

A dsrarr rarrnablatimes sdotint ＝

C

A drarrsdotint （4-106）

pf 先將 S 面分割為 N 個多邊形這會使得邊界變成一個「折線」形

成的環路 P環路 P 會隨著分割的多邊形個數的增多而越加近似於原

「光滑的」邊界 C現考慮相鄰的

兩個多邊形的線積分由於共用邊

的方向是相反的所以相鄰兩個多

邊形線積分的和只剩「外邊界」（見左圖）所以當把所有的多邊形的

4-61

線積分加起來時由於只有邊界 P 不是多邊形的共用邊所以

1k

N

k C

A drarr

=

sdotsum int ＝P

A drarrsdotint rArr

P

A drarrsdotint ＝

1

1

k

N

kk k C

A d l ss

rarr rarr

=

⎡ ⎤sdot Δ⎢ ⎥

Δ⎢ ⎥⎣ ⎦sum int

其中 ksΔ 為第 k 個多邊形的面積取極限 0kN srarrinfinrArrΔ rarr P CrArr rarr

C

A drarrsdotint ＝

10

1limkk

N

kN k k Cs

A d ss

rarr

rarrinfin=Δ rarr

⎡ ⎤sdot Δ⎢ ⎥

Δ⎢ ⎥⎣ ⎦sum int 01

ˆlim ( )k

k kskn A s

infin

Δ rarr=

⎡ ⎤= sdot nablatimes Δ⎣ ⎦sum

01

ˆlim ( )k

k kskA n s

infin

Δ rarr=

= nablatimes sdot Δsum = ( )S

A dsrarr

nablatimes sdotint QED

ex55 由 Amperersquos law 的積分形式導出其微分形式

解Amperersquos law 的積分形式 C

B drarrsdotint ＝ I0μ (4-107)

由 Stokersquos 定理及電流密度 j 的定義上式等號兩端可寫為

rArr ( )S

B dsrarr rarrnablatimes sdotint ＝ 0 S

j dsμrarrsdotint

由於上面的等式對任意面 S（路徑 C）都成立所以被積函數相等

0B jμrarr rarr rarr

rArrnablatimes = (4-108) 此即 Amperersquos law 的微分形式

Ex56 Given a vector field ˆ ˆx yA ye xe= minus + (a) Find Anablatimes

解

ˆ ˆ ˆˆ ˆ(1 ( 1) 2

0x y z

x y zA z z

y xnablatimes = part part part = minus minus =

minus

(b)如圖一個金字塔狀的 5 面體高 2底邊長＝1計算 ( )S

A dsnablatimes sdotint

其中 S 為金字塔在 x-y 平面以上的部分方向如同

封閉的金字塔（運用 Stokersquos law）

解金字塔上表面的面積元素ds 不好寫由 Stokersquos

4-62

law ( )S

A dsrarr rarrnablatimes sdotint ＝

C

A drarrsdotint 其中封閉路徑 C 就是上表面的邊界而且

是逆時針（由 z 軸向下看）

C

A drarrsdotint ＝

1 1 0 0

0 0 1 1ˆ ˆ ˆ ˆA xdx A ydy A xdx A ydysdot + sdot + sdot + sdotint int int int

＝1 1 0 0

0 0 1 1x y x yA dx A dy A dx A dy+ + +int int int int 1 1 0 0

0 0 1 1( 0) ( 1) ( 1) ( 0)y dx x dy y dx x dy= minus = + = + minus = + =int int int int

0 1 1 0 2 ( ) 2S

A ds= + + + = rArr nablatimes sdot =int

旋度與 path independence

已知保守場 cF 對所有封閉路徑 C 0cC

F drarrsdot =int 由 Stokersquos 定理

0cC

F drarrsdot =int ＝ ( )cS

F dsrarr rarrnablatimes sdotint rArr 0cF

rarr rarrnablatimes =

這表示保守場＝無旋度反之無旋度的場任兩點間路徑積分與路

徑無關

Ex57 Given a field 2 2ˆ ˆ ˆ2A x xy yx zz= + minus (a) Find Anablatimes A 保守場

解2 2

ˆ ˆ ˆ

2x y z

x y zA

xy x znablatimes = part part part

minus

( ) ( ) ( )2 2 2 2ˆ ˆ ˆ( ) 2 ( ) 2 0y z z x x yx z x y xy z z x xy= part minus minuspart + part minuspart minus + part minuspart =

yes A =保守場

(b)如左圖由 A 到 B 做路徑積分A BC

A drarr

sdotint 路徑 C 為橢圓

22 1

16yx + = 在 x-軸以上的部分

解橢圓部分的路徑元素 d 有點麻煩但因為 A

為保守場所以 A 到 B 做路徑積分可以用 x = -1 到

1 的積分取代

4-63

01 1 1

1 1 1ˆ 2 0

yB

xAA d A xdx A dx xydx

=

minus minus minussdot = sdot = = =int int int int

∵

旋度在柱座標與球座標

前面討論過nabla在不同座標系的寫法旋度也有歸納出的一致寫法

座標 1 2 3 u u u

度量係數

1 2 3 h h h

nabla grad del

直角 x y z

1 1 1 nabla ˆ ˆ ˆx y z

x y zpart part part

equiv + +part part part

圓柱 zρ ϕ

1 1ρ

1ˆ ˆ ˆ zz

ρ ϕρ ρ ϕpart part part

nabla equiv + +part part part

球 r θ ϕ

1 sinr r θ

1 1ˆ ˆˆ sin

rr r r

θ ϕθ θ ϕ

part part partnabla = + +

part part part

所以柱座標與球座標的旋度分別表為

柱座標

ˆ ˆ ˆ1

z

z

Az

AA Aρ ϕ

ρ ρϕ

ρ ρ ϕρ

part part partnablatimes =

part part part （4-109）

球座標 2

ˆ ˆˆ sin1sin

sinr

r r r

Ar r

A rA r Aθ ϕ

θ θϕ

θ θ ϕθ

part part partnablatimes =

part part part （4-110）

ex58 (a) Given the vector function ˆA ϕ= sin (ϕ 2) find Anablatimes

解 2

ˆ ˆˆ sin1sin

0 sin( 2) 0

r r r

Ar r

r

θ θϕ

θ θ ϕϕ

part part partnablatimes =

part part part

4-64

21 ˆˆ cos sin sinsin 2 2 2

rr rr

ϕ ϕθϕθ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

ˆˆ cos sin2 sin 2 2

rr r

ϕ ϕ ϕθ

minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

(b)如左圖一個底面在 x-y 平面半徑＝1高＝2 之圓錐 求面積分

SA dsnablatimes sdotint 面積範圍 S 為圓錐在 x-y 平面以上

部分 方向為由圓錐內向外

解由 Stokersquos law ( )S

A dsrarr rarrnablatimes sdotint ＝

C

A drarrsdotint 其中路

徑 C 為 x-y 平面圓心在原點之單位圓 ˆ ˆd rd dϕ ϕ ϕ ϕ= =

2

0ˆ ˆsin sin

2 2C

d dπϕ ϕϕ ϕ ϕ ϕ⎛ ⎞ ⎛ ⎞sdot =⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠int int ( )0

2 sin u duπ

= int 0cos | 2u π= minus =

習題 16 磁場 B 因為不是保守場所以沒有對應的純量位而對應一

個向量位 A (vector potential)而 B A= nablatimes 一個磁鐵的磁偶極矩

ˆm mz= 被置於原點已知在遠處的 vector potential 03ˆ sin

4mAr

μϕ θπ

=

計算該處的磁場 B Ans 03

ˆˆ( 2cos sin )4

mB rr

μ θ θ θπ

= + 與電偶極遠處

的電場形式一致都是偶極(dipole) 選幾個點畫一畫該處的場向量

把磁力線描出來

附錄本章講義的內容有部分可以經由直接計算得出列在附錄做為

參考

用「圓柱座標」寫 Atimesnabla

Ararr rarrnablatimes ＝ ( )1ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ zz A A zA

z ρ φρ ϕ ρ ϕρ ρ ϕpart part part⎛ ⎞+ + times + +⎜ ⎟part part part⎝ ⎠

4-65

因為rdquo sdotrdquo與rdquotimes rdquo都是向量間的運算所以

＝ ( )ˆ ˆ ˆ ˆ zA A zAρ φρ ρ ϕρpart

times + +part

＋ ( )1ˆ ˆ ˆ ˆ zA A zAρ φϕ ρ ϕρ ϕ

parttimes + +

part

＋ ( )ˆ ˆˆ ˆ zz A A zAz ρ φρ ϕpart

times + +part

直接做上式微分可以得到

＝1ˆ z AA

zϕρ

ρ ϕpart⎛ ⎞part

minus⎜ ⎟part part⎝ ⎠＋ ˆ zA A

zρϕ

ρpart⎛ ⎞part

minus⎜ ⎟part part⎝ ⎠＋

1 1ˆ ( )A

z A ρϕρ

ρ ρ ρ ϕpart⎛ ⎞part

minus⎜ ⎟part part⎝ ⎠

上式可以用一個行列式來表示

rarrrarr

timesnabla A＝

ˆ ˆ ˆ1

z

z

zA A Aρ ϕ

ρ ρϕ

ρ ρ ϕρ

part part partpart part part

（A-1）

A and Anabla nablasdot nablatimes in 球座標 spherical coordinate

如上圖球座標 )( ϕθr 其中 )0[ infinisinr ]0[ πθ isin ]20[ πϕ isin 只有 r

是長度而 ϕθ 為角度是用來說明方向的三個座標的單位向量 ˆ ˆˆ r θ ϕ 具

有下列性質

4-66

1 如上圖 ˆ ˆˆ r θ ϕ 都不是常數而是（ ϕθ ）的函數

ˆ ˆ( )ˆ ˆ( )ˆ ˆ( )

r r θ ϕ

θ θ θ ϕϕ ϕ ϕ

⎧ =⎪

=⎨⎪ =⎩

)( ϕθr 與(xyz)之間的轉換如下

sin cossin sincos

x ry rz r

θ φθ φθ

=⎧⎪ =⎨⎪ =⎩

( )122 2 2

2 2

tan

tan

r x y z

x yz

yx

θ

φ

⎧ = + +⎪⎪ +⎪ =⎨⎪⎪ =⎪⎩

（A-2）

2 ˆ ˆˆ r θ ϕ 形成一「歸一正交集」ie

ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ 1r r θ θ ϕ ϕsdot = sdot = sdot = ˆ ˆr θ ϕperp perp

ˆ ˆr θ ϕtimes = ˆ ˆ rθ ϕtimes = ˆˆ rϕ θtimes = （A-3）

3可以很容易的由他們在 xyz 軸上的投影由直角

座標的 ˆ ˆ ˆ x y z 表出

ˆ ˆ ˆ ˆsin cos sin sin cos ( 4 )ˆ ˆ ˆ ˆcos cos cos sin sin ( 4 )ˆ ˆ ˆsin cos ( 4 )

r x y z A a

x y z A bx y A c

θ φ θ φ θ

θ θ φ θ φ θϕ φ φ

= + + minus⎧⎪

= + minus minus⎨⎪ = minus + minus⎩

4 ˆdr = 由於 ˆ ˆ( )r r θ φ= 所以由 ϕθ 的變動來看

4-67

ˆ ˆˆ| |ˆ ˆˆ| | sin sin

d r d d

d r d d

θ θθ θθ

φ θ φφ θ φφ

⎧ rArr =⎪⎨

rArr =⎪⎩rArr ˆ ˆˆ sindr d dθ θ φ θ φ= + （A-5）

rArrˆ ˆr θθpart

=part

ˆ ˆsinr θφφpart

=part

（A-6）

（A-6）的結果也可以直接由（A-4a）對 ϕθ 偏微得到

5 ˆdθ ＝ 由於 ˆ ˆ( )θ θ θ φ= 所以由 ϕθ 的變動來看

ˆ ˆ ˆ| | ( )ˆ ˆ ˆ| | cos cos

d d r d r

d d d

θ θ θ θ

φ θ θ φφ φ θ φ

⎧ rArr minus = minus⎪⎨

rArr =⎪⎩rArr ˆdθ ＝ ˆˆ cosrd dθ φ θ φminus + （A-7）

ˆrθ

θpart

rArr = minuspart

ˆ ˆcosθ φ θφpart

=part

（A-8）

請直接由（A-4b）對 ϕθ 偏微的結果 check（A-8）

6 ˆdφ ＝由於φ )(ϕ 躺在 x-y 平面上變動φ時的方向可能不是那麼

容易看出來所以做圖看一看

ie ˆ ˆˆ(sin ) (cos )d r d dφ θ φ θ θ φ= minus minus （A-9）

4-68

ˆ ˆˆsin cosrφ θ θ θφpart

= minus minuspart

7 所有的向量 ˆ ˆˆ rA rA A Aθ φθ φrarr= + +

8 位置向量 ˆr rrrarr=

可以由左圖 ˆ ˆˆ r θ ϕ 三個方向的「長度

變化」輕易的看出

9 位移元素

ˆ ˆˆ ˆ sindr rdr rd dθ θ ϕ θ φ= + + (A-10)

10 體積元素

sindv dr r d rdθ φ θ= sdot sdot

＝ 2 sinr dr d dθ θ φ (A-11)

11 面積元素 2 sinrds r d dθ θ φ= plusmn sinds r drdθ θ φ= plusmn ds rdrdφ θ= plusmn (A-12)

plusmn號表示面的垂直方向有兩個端看 ds 周邊的方向是如何定的

nabladel 考慮 ( )u u r θ φ=

rArru u udu dr d dr

θ φθ φ

part part part= + +part part part

u d rrarr rarr

equiv nabla sdot

urarr

= nabla sdot ˆ ˆˆ( sin )rdr rd dθ θ φ θ φ+ +

rArr1 1ˆ ˆˆ

sinu u uu rr r r

θ ϕθ θ φ

rarr part part partnabla = + +

part part part

1 1ˆ ˆˆsin

rr r r

θ ϕθ θ φ

rarr part part partnabla equiv + +

part part part （A-13）

4-69

直接用（A-13）與 ˆ ˆˆ rA rA A Aθ φθ ϕrarr= + + 逐項內積加上（A-678）

rArr ϕθ

θθθ

ϕθ part

part+

partpart

+partpart

=sdotnablararrrarr A

rA

rAr

rrA r sin

1)(sinsin1)(1 2

2 （A-14）

（A-13）與 ϕθ ϕθ AAArA r

andandandrarr

++= 逐項外積整理之後

ϕθ θϕθ

ϕθθ

θArrAA

r

rrr

rA

r sin

sin

sin1

2 partpart

partpart

partpart

=timesnabla

andandand

rarrrarr

（A-15）

Laplacian uu nablasdotnabla=nabla2

2

2

2222

22

sin1)(sin

sin1)(1

ϕθθθ

θθ partpart

+partpart

partpart

+partpart

partpart

=nablau

ru

rrur

rru （A-16）

B推導「散度」在圓柱座標的寫法

讓我們先回顧一下在直角座標裡的「面積元素」可以由「位移元素」

得到

ˆˆ ˆ x y zdr idx jdy kdz da dydz dxdz dxdy= + + rArr =

比照辦理「圓柱座標」的位移元素

( )ˆˆ ˆ( )

( )z

da d dzdr d d zdz da d dz

da d d

ρ

φ

ρ φ

ρ ρ φ ρ φ ρ

ρ ρ φ

=⎧⎪= + + rArr =⎨⎪ =⎩

這個結論可以輕易的由面積元素在垂直於 zˆˆ ϕρ 三個方向的面積看

出如下圖考慮一個以 )( zϕρ 為中心的「圓柱體積元素」(cylindrical

cubiod)體積為 zdV ΔΔ=Δ ϕρρ 現計算在 ρ

方向的 12 兩個平行面(方向各為 ρplusmn )的通

量

4-70

zzF

dsFdsnFS S

ΔΔ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

+cong

=sdotintint intintϕρρϕρρρ

ρ

2

2

ˆ1 1

zzF

dsFdsnFS S

ΔΔ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

minus⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

minusminuscong

minus=sdotintint intintϕρρϕρρρ

ρ

2

2

ˆ2 2

intint+

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

minus⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

minusminus⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

+Δ

asympsdotΔ

rArr21

22

22

1ˆ1

SS

zFzFdsnFV

ϕρρρρϕρρρρρρ ρρ

( ) ( )

1 20

0

0

1 ˆlim

1lim 2 2 2 2

1 1lim 2 2

1

VS S

F ndsV

F z F z

F z F z

F

ρ ρρ

ρ ρρ

ρ

ρ ρ ρ ρρ ρ φ ρ ρ φρ ρ

ρ ρρ ρ φ ρ ρ φρ ρ

ρρ ρ

Δ rarr+

Δ rarr

Δ rarr

rArr sdotΔ

Δ Δ Δ Δ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + + minus minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥Δ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦Δ Δ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥Δ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

part ⎡ ⎤= ⎣ ⎦part

intint

娛樂一下用上述方式把圓柱的 Fsdotnabla 裡的z

FF z

partpart

+partϕρϕ1

變出來

球座標的nabla和 Fsdotnabla 也可以試試看

補充習題

H M Scheydiv grad curl and all that 4th edition

第二章習題 6 8 9 10 11 14 15 16 18 19 21 22 23 25 26 27

第三章習題 2 3 5 6 7 8 9 10 11 14 15 17 18 19 24

4-14

所以「等值面」都是平行的平面所以垂直方向皆相同也造成單位

向量 ˆ ˆx y 為常數

由左圖可以看出極座標裡 r 的等值面是一

個圓所以單位向量 r 是「沿徑向向外」但

是隨圓上θ 有所變動時 r 也隨著改變所以 r

「不是一個常量」 ˆ ˆ( )r r θ= 是角度θ 數

如左圖也可看出θ 的等值面為直線所以單位

向量θ 是「沿『切線』逆時針」方向

但如同 r 一樣當θ 值改變時θ 的方向

也改變了所以θ 也「不是一個常量」

)(ˆˆ θθθ = 也是角度θ 的函數可以看出

固定θ 時 ˆr θperp 但是她們都與「角座標」θ 有關由於她們的指向

有時 r 被稱為「沿徑向」之單位向量θ 被稱為

「沿切線」之單位向量極座標和直角座標還

有一個很大的差別就是直角座標的 x y z 的

因次都是「長度」所以當座標改變時 dx dy dz

就是「長度」的改變然而極座標的 r 有長度因

次所以 dr 是長度但是θ 只是一個數字而非長度所以當θ 改變時

dθ 並不代表一個長度的變化dθ 造成的長度變化寫為

d h dθ θ θ= （4-32）

其中的係數hθ 稱為「度量係數」(metric coefficient)很顯然這裡的hθ

必須具有長度的因次「長度」之所以重要是因為位移是長度各個

座標的度量係數我們會在後面仔細討論

座標系的選用以方便為準系統的對稱性是重要的考量所以有

立方對稱的系統通常用直角座標而有圓對稱的系統則用極座標

4-15

Ex13 半徑 5圓心在原點的圓方程式在直角座標為 2 2 25x y+ =

但是在極座標就是 5r = 而已

位置位移速度與加速度

直角座標的描述很簡單

ˆ ˆˆ ˆ

ˆ ˆ

r xx yy

r xx yy

dr dxx dyy

= +

Δ = Δ + Δ

= +

位置

位移

位移元素

（4-33）

2 2

2 2

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( )

ˆ ˆ( )

ˆ ˆ ˆ ˆ( )

x ydr dx dyv t x y xx yy v x v ydt dt dt

dv t dxx dyydv dx dy d x d ya t i j i jdt dt dt dt dt

rArr = = + = + = +

rArr = +

rArr = = + = +

瞬時速度

速度變化元素

瞬時加速度

（4-34）

在極座標由於單位向量 θr 不再是常數 ˆˆ 0 0dr dθrArr ne ne 所以

ˆ

ˆ ˆ( )ˆ ˆ

r rrr r r r r

dr drr rdr

=

Δ = Δ + Δ

rArr = +

位置

位移

位移元素

(4-35)

現在有一個問題 ˆ dr = 由下圖 r 的變化由 dθ 而來

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( )ˆ ˆ

ˆˆ ˆ ˆ0 ( ) ˆˆ

r r dr r d rdr r d d

d dr r dr

dr d

θ θ θ θθ θ

θ θ θ

θθ

= rArr = + minus

= =

rarr rArr perp rArr

rArr =

∵

∵ (4-36)

4-16

所以微分的位移為

ˆˆdr drr rdθθ= + （4-37）

上式的幾何意義很清楚dr 的 r 分量 dr 就是「沿

r 方向的長度變化」而θ 分量 rdθ 就是「沿θ 方

向的長度變化」而已或者也可以這麼看dr 是

一個位移向量在平面上有 r 和θ 兩個分量所以 ˆˆrdr d r d θθ= +

α 為在 r 方向的長度變化β 為在θ 方向的長度變化所以 rd dr=

d rdθ θ= 這種分析方法可以用在各種座標系這裡也可以看出

和（4-32）式角度變化dθ 造成的長度變化d h dθ θ θ= 相比可以得出

θ 的度量係數h rθ = 與直角座標比較 ˆ ˆdr dxx dyy= + dx 與 dy 不也就

是dr 在 x 與 y 方向的長度變化嗎

Now 速度

ˆˆ

ˆ ˆˆ ˆr

dr dr dv r rdt dt dtrr r v r vθ

θ θ

θθ θ

= = +

= + equiv + （4-38）

其中ddtθθ ω= = 亦稱為「角速度」

Ex14 圓周運動因為只有切線速度所以由（4-38）式 ˆ ˆ0

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( ) = ( ) ( ) ( 0)

r R r v r R

dv dr r d r d r d r d dr

θθ ωθ

θθ θ θ θ θ θ θ θ θ

= rArr = rArr = =

rArr = + + + =

∵

∵

（ 切線速度）(4-39)

這裡又冒出個問題

ˆ dθ = 由左圖

ˆ ˆ

ˆ ˆ0

d d d

d d

θ θ θ θ

θ θ θ

= =

rarr rArr perp

4-17

ˆ ˆ ˆ ˆ

d r

d d r

θ

θ θ

rArr minus

rArr = minus (4-40)

2

2

ˆˆ( ) ( )

ˆˆ

ˆ ˆˆ ˆ( ) ( )ˆˆ ( ) ( )

r

dv r d r r d

dv d da r r rdt dt dt

a r r r a r a

or a r r rθ

θ θ θ θ

θ θθ θ

θ θ θ θ

ω α θ

rArr = minus +

⎛ ⎞⎛ ⎞rArr = = minus +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

rArr = minus + equiv +

= minus +

(4-41)

上式即為圓周運動的加速度其中的第一項

2

2 ˆ ˆrva r r rr

ω minus= minus = 向心加速度 (4-42a)

with α θ= 可以認出是角加速第二項

ˆa rθ αθ= 切線加速度 (4-42b)

如進一步簡化為「等速圓周運動」 ==rArr θω constant 0==rArr αθ rArr切線

加速消失那麼加速度就只剩下了熟知的向心加速度2

ˆrva rrminus

= 了

若考慮一般的情況 dr 0ne 可以導出用極座標表示的加速度為

2

ˆ ˆ ˆ ˆˆ( ) ( ) ( ) ( )

ˆˆ( ) (2 )

dv dr r r d dr r d r ddva r r r r rdt

θ θ θθ θ θ θ θ

θ θ θ θ

= + + + +

rArr = = minus + + （4-43）

看起來有點繁但是在有圓形對稱的系統極座標會表現得更清楚

面積微分元素

直角座標把平面分割成一個個的

小方塊也就是依照「x 與 y 方向的

長度變化」可以寫出「面積元素」

dA dx dy= sdot （像是切長方形的蛋糕）

比較 ˆ ˆdr dxx dyy= + 可以看出

dA＝(x-方向的長度變化)times(y-方向的長度變化)

4-18

所 以 在 「 極 座 標 」 比 照 辦 理

ˆˆ ˆ( ) ( )dr dr r rdr dr r rdθθ= + = +

dA dr rd rdrdθ θ= sdot = (4-44)

像是切圓形蛋糕

ex15 求一個半徑 R 的圓的面積

解 2 2

2

0 0

22

R RA dA rdrd rdr d Rπ

θ θ π π= = = = sdot =int intint int int

妳可以試試用直角座標dA dx dy= sdot 算一下圓的面積

Ex16 求一個半徑 R質量 M密度σ 的均勻圓盤繞其直徑的轉動慣

量解 質量元素 dAdm σ= 到轉軸（直徑）的距

離 sinr θ=

2 2 2 2

23 2

0 0

4 22 2

sin

sin

14 4 4

R

I dm dA r rdrd

r dr d

R RR MR

π

σ σ θ θ

σ θ θ

σ π σπ

= = =

=

= = =

int int intintint int

娛樂一下算半個圓盤繞通過圓心且垂直盤面的軸的轉動慣量

ex 17 計算積分2xI e dx

infinminus

minusinfin

= int

解 2 2

0

2x xI e dx e dxinfin infin

minus minus

minusinfin

= =int int2 22

0 0

2 2x yI I I e dx e dyinfin infin

minus minusrArr = sdot = sdotint int

2 2 2 22

2 ( )

0 0 0 0 0 0

4 4 4x y r rI e dxdy e dA e rdr d

π

θinfin infin infin infin infin

minus + minus minusrArr = = =int int int int int int

在上面的積分裡我們運用了一個有關「無窮大平面」的技巧就是「無

4-19

窮大的平面」是可以是「正方形」或是「圓形」的

2

2

22

00 0 0

22

4 2 2( )2 2 2

(4 45)

u u u

x

dulet u r du rdr rdr

duI e d e du e

I e dx

π

π πθ π

π

infin infininfinminus minus minus

infinminus

minusinfin

= rArr = rArr =

rArr = = sdot = minus sdot =

rArr = = minus

int int int

int

ex18 重力位能

由位能差的定義 )()()( BAWBUAU rarrequivminus

（B）圓柱座標 cylindrical coordinates

3D 空間點 P(x y z)的位置向量 ˆ ˆ ˆr xx yy zz= + +

定義「圓柱座標」 ( )zρ ϕ 其中

0 [0 )P zρ ρ ρequiv ge there4 isin infin點 到 軸之垂直距離

ϕ ρequiv 在 x-y 平面的投影與 x 軸之夾角 [02 ]ϕ πisin

z zequiv同直角座標的

4-20

「圓柱座標」就是「極座標」（用 ( )ρ ϕ 取代 ( )r θ ）再加上第三維 z

所以圓柱座標 ( )zρ ϕ 裡 zρ 的因次為長度而ϕ 只是一個數字

( )zρ ϕ 與(x y z)間的轉換如下

2 2 cos

tan sin

x yx

y yx

z zz z

ρρ ϕ

ϕ ρ ϕ

⎧ = +=⎪ ⎧

⎪ ⎪= =⎨ ⎨⎪ ⎪ =⎩=⎪⎩

（4-46）

「圓柱座標」的三個方向單位向量 ˆ ˆ ˆ zρ ϕ 如圖

且 ˆ ˆ zρ ϕperp perp 可以看出ρ 的等值面為一個圓柱

面ϕ 的等值面是一扇門z 的等值面為一個垂

直 z 軸的平面但是

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( ) zρ ρ ϕ ϕ ϕ ϕ= = =常數

柱座標的位置向量 r 如左圖

ˆ ˆr zzρρ= + （4-47）

在柱座標寫位移元素dr 有兩種作法一

種是直接由（4-47）式取微分元素 借用

平面極座標的結果可得

ˆ ˆ ˆ( ) ( )

ˆ ˆ ˆdr d d dzz

d d dzzρ ρ ρ ρ

ρρ ρ ϕϕrArr = + +

= + + （4-48）

但也可以由三個座標方向的

位移來看由左圖可得沿 ρ 方向

的長度變化 ie 當座標ρ 有變

化dρ 時產生的長度變化就是

dρ 沿ϕ 的長度變化為 dρ ϕ

而沿 z 方向的長度變化為 dz

4-21

dr 是一個向量有三個分量ρ -分量就是沿 ρ 方向的長度變化

dρ ϕ -分量沿ϕ 的長度變化為 dρ ϕ 而 z-分量就是沿 z 方向的長度變

化為 dz合併寫出

ˆ ˆ ˆdr d d dzzρρ ρ ϕϕ= + +

與（4-48）式完全相同但是這種由幾何角度得到的結果要更方便

也更直觀Fig 27 非常重要因為只要你能把圖畫出來位移的各

分量就寫得出來有了位移元素dr 速度與加速度就可得出

ˆ ˆ ˆ (4 49)

ˆ ˆ ˆ( ) (2 ) (4 50)

drv zzdtdva zzdt

ρρ ρϕϕ

ρ ρϕ ρ ρϕ ρϕ ϕ

rArr = = + + minus

rArr = = minus + + + minus

由上圖與dr 的 3 個分量可得圓柱座標的體積元素

dV d d dz d d dzρ ρ ϕ ρ ρ ϕ= sdot sdot = （4-51）

ex19 底面半徑 R高 h 的圓柱體積＝ 2 2

2

0 0 0

22

R h RV dV d d dz h R hπ

ρ ρ ϕ π π= = = sdot sdot =int int int int

ex20 底面半徑 R高 h 的「圓錐」體積＝

解本圓錐裡點的座標分佈為 [02 ] [0 ]z hϕ πisin isin ( )zρ ρ=

( ) ( )( )

h z h Rz h zz R h

ρρminus

= rArr = minus

22( )( ) 2 2

0 0 0 0 0 0

002 2 2 3 2 32 2 2

2 2 2 20

( )2 2

2

1( )3 3 3

R h zzh h hh

h

h h

R h zhV d dz d d dz d dz

R R R u R hh z dz u du R hh h h h

ρ π

τ ρ ρ ϕ π ρ ρ π

π π π π π

minus

minus minus

minusthere4 = = = =

= minus = = = =

int int int int int int int

int int

如果我們把 3-D 的三個座標寫為 1 2 3( )u u u 或 123iu i = 當座

標 ui(在 ˆiu 方向)變動 dui 時造成的長度變化為 id 則定義

4-22

i i id h duequiv (4-52)

其 中 hi 稱 為 座 標 ui 的 度 量 係 數 (metric

coefficient)由 zρ 的因次為長度所以 zρ 的變

化 d dzρ 就是長度的變化所以 1 1zh hρ = =

然而ϕ 的變化造成的長度變化為

d d hϕ ϕρ ϕ ρ= rArr = (4-53)

很明顯的直角座標 xyz 都是長度所以度量係數 1x y zh h h= = =

(C) 球座標 spherical coordinates

3D 點 P(x y z)的位置向量 ˆ ˆ ˆr xx yy zz= + + 定義

「圓柱座標」 )( ϕθr 其中

[0 ] [0 ]

[02 ]

r P rr zr x y x

θ θ πϕ

ϕ π

⎧ equiv isin infin⎪

equiv isin⎪⎨

equiv minus⎪⎪ isin⎩

原點到 的距離

與 軸的夾角

在 軸投影與 軸的夾角

球座標的ϕ 與住座標的ϕ 相同

( )r θ ϕ 與(x y z)間的轉換如下下列為（4-54）

2 2 2

2 2 2

sin coscos sin sin

cos

tan

r x y zx r

z y rx y z z r

yx

θ ϕθ θ ϕ

θ

ϕ

⎧⎪ = + +⎪ =⎧⎪ ⎪= =⎨ ⎨

+ +⎪ ⎪ =⎩⎪⎪ =⎩

三個座標的單位向量 )ˆˆˆ( ϕθr 如左圖一可以看

出 r 的等值面是一個球面θ 的等值面為一個

以原點為頂點的圓錐ϕ 的等值面為一扇門

位置向量 ˆr rr= （4-55）

4-23

位移由 ˆ ˆˆ( )r θ ϕ 3 個方向的「長度

分量」可得 ˆ ˆˆ ( ) ( sin )dr rdr rd r dθ θ ϕ θ ϕ= + +

（4-56）

所以體積元素

2

( )( sin )(sin )

d dr rd r dr dr d d

τ θ θ ϕ

θ θ ϕ

=

= （4-57）

Fig 31 和 Fig 27 一樣重要只要

你能畫得出來就可以寫出球座

標位移的三個分量

ex21 求一半徑 R 的球體積 2

2 2 3

0 0 0

4sin sin3

R

V d r dr d d r dr d d Rπ π

τ θ θ ϕ θ θ ϕ π= = = =int intintint int int int

ex22 求一質量 M半徑 R密度 ( )3 4 3M Rρ π= 的實心球對直徑

旋轉的轉動慣量

解質量元素 2 sindm d r dr d dρ τ ρ θ θ ϕ= = 到 z 軸的垂直距離為 sinr θ=

22 4 3

0 0 0

5 52

sin

4 8 225 3 15 5

RI dm r dr d d

R R MR

π πρ θ θ φ

πρ π ρ

= =

= sdot sdot = =

intintint int int int

娛樂一下空心球對直徑的轉動慣量

(4-46)式與(4-54)式說明柱座標和球座標與直角座標之間的轉

換Fig 32 可得出柱座標和球座標之間轉換

2 2

sintan

cos

r zr

zz r

ρρ θ

ρϕ ϕ θθ ϕ ϕ

⎧ = += ⎪⎧

⎪ ⎪= =⎨ ⎨⎪ ⎪=⎩ =⎪

⎩

（4-58）

4-24

Ex23 點 P 的球座標為（31200 600）求柱座標＝

解2 3 33sin3 2πρ ⎛ ⎞= =⎜ ⎟

⎝ ⎠

23

ϕ π= 2 33cos3 2

z π minus⎛ ⎞= =⎜ ⎟⎝ ⎠

直角座標柱座標球座標單位向量之間的轉換

三種座標之間的轉換由(4-46)式(4-54)式與（4-58）式表出但

三種座標裡的的三個單位向量 ˆ ˆ ˆ x y z ˆ ˆ ˆ zρ ϕ ˆ ˆˆ r θ ϕ 若以 123ˆ iu =

表示則單種座標的單位向量之間都有正交歸一關係

ˆ ˆi j iju u δsdot = 與外積的循環關係

ˆ ˆ ˆ i j ku u u i j ktimes = cyclic in 123

ie 1 2 3 2 3 1 3 1 2ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ u u u u u u u u utimes = times = times = or ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆˆ ˆ r z z x yθ ϕ ϕ ρtimes = times = times =

然而不同座標系的單位向量之間關係如何我們畫圖來討論

球座標 ˆ ˆˆ( )r θ ϕ rarr直角座標 ˆ ˆ ˆ( )x y z

單位向量都是用來指方向的球座標的 ˆ ˆˆ( )r θ ϕ 都是「方向角」( )θ ϕ

的函數 r 在直角座標可以由 Fig33 看出

ˆ ˆ ˆ ˆsin cos sin sin cosr x y zθ ϕ θ ϕ θ= + + （4-59）

ex24 P 點的球座標為2 75 3 6π π⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠

試用球座標與直角座標求 P 點的位

置向量的單位向量 解位置向量 ˆr rr= 在球座標只有 r-分量標位置仔細一點把方向

角標出2 7ˆ 3 6

r π π⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

通常只是寫 r 令人有點摸不著頭緒用直角

4-25

座標比較「具像」 2 7 2 7 2ˆ ˆ ˆ ˆsin cos sin sin cos3 6 3 6 3

3 3 1ˆ ˆ ˆ4 4 2

r x y z

x y z

π π π π π⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞minus minus minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + +⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

單位向量θ 在某一組 ( )θ ϕ 的指向如 Fig 34a將θ 平移至原點更清楚

Fig34b 是由側面看 Fig34a可以看到θ 在 z 軸的投影為 sinθminus 而θ 在

x-y 平面的投影為cosθ使得θ 在 x-軸的投影為cos cosθ ϕy-軸投影

為cos sinθ ϕ於是

ˆ ˆ ˆ ˆcos cos cos sin sinx y zθ θ ϕ θ ϕ θ= + minus （4-60）

單位向量ϕ 如 Fig 35a 所示是在 x-y 平面畫出

Fig 35b 為自 z 軸向下看 Fig35a 圖可以看出ϕ 在 z 軸投影為 0且

ˆ ˆ ˆsin cosx yϕ ϕ ϕ= minus + （4-61）

ex25 一個質點的速率為 2( ) ( sin tan )v r rθ ϕ θ ϕ= 若經查該質點的運

動 是 在 z = 3 平 面 做 逆 時 針 圓 周 運 動 則 當 位 置 的 方 向 角

4-26

2( ) 4 3π πθ ϕ ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

時計算其速度用球座標與直角座標表出

解圓運動速度方向是沿切線所以球座標 ˆ ˆ( )v v v rϕ θ ϕ ϕ= =

z = 34πθ =

3 3 21cos cos 24

z zrπθ

rArr = = = =⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

所以該處的瞬時速率

2 2

2( ) 3 3 4 3

2 1 813 3sin tan 3 3 ( 3)4 3 22

v r v π πθ ϕ

π π

⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

⎡ ⎤ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = times minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

2 81 2ˆ3 3 4 3 2 4 3

v r π π π πθ ϕ ϕ⎛ ⎞ ⎛ ⎞rArr = = = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

在直角座標2 2 2ˆ ˆ ˆ sin cos

4 3 3 3x yπ π π πϕ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠3 1ˆ ˆ

2 2x y= minus minus

而且點23 3

4 3π π⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠

的直角座標為

2 1 3 3sin cos 3 3sin cos 3 34 3 2 22 2

x r π πθ ϕ minus minus⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

2 3 9sin sin 3 3sin sin 3 34 3 2 2 2 2

y r π πθ ϕ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = = =⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

z = 3

23 3 4 3

v π π⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

3 3 9 81 3 1ˆ ˆ 32 2 2 2 22 2

v x y⎛ ⎞ ⎛ ⎞

rArr = minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

以上兩個例子都只討論只有一個圓座標分量的向量in general 向量

ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( )r x y zA r rA A A A r xA yA zAθ ϕθ ϕ= + + hArr = + + （4-61）

若已知球座標的分量 ( )rA A Aθ ϕ 如何得到直角座標的

( )x y zA A A

4-27

ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( )ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( )

ˆ ˆˆˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( )

x r

y r

z r

A x A r x r A x A x A

A y A r y r A y A y A

A z A r z r A z A z A

θ ϕ

θ ϕ

θ ϕ

θ ϕ

θ ϕ

θ ϕ

⎧ = sdot = sdot + sdot + sdot⎪⎪ = sdot = sdot + sdot + sdot⎨⎪

= sdot = sdot + sdot + sdot⎪⎩

（4-62）

由式（4-59）（4-61） ˆ ˆ ˆ ˆsin cos sin sin cosr x y zθ ϕ θ ϕ θ= + + （4-59） ˆ ˆ ˆ ˆcos cos cos sin sinx y zθ θ ϕ θ ϕ θ= + minus （4-60）

ˆ ˆ ˆsin cosx yϕ ϕ ϕ= minus + （4-61） ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆsin cos cos cos sin ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆsin sin cos sin cos ˆ ˆˆˆ ˆcos sin 0

x r x x

y r y y

z r z z

θ ϕ θ θ ϕ ϕ ϕ

θ ϕ θ θ ϕ ϕ ϕ

θ θ θ ϕ

⎛ ⎞sdot = sdot = sdot = minus⎜ ⎟

rArr sdot = sdot = sdot =⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟sdot = sdot = minus sdot =⎝ ⎠

（4-63）

sin cos cos cos sin sin sin cos sin cos

cos sin 0

x r r

y RS

z

A A AA A M AA A A

θ θ

ϕ ϕ

θ ϕ θ ϕ ϕ

θ ϕ θ ϕ ϕ

θ θ

⎛ ⎞minus ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟rArr = equiv⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟minus⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

（4-64）

其中 SRM 為由球座標分量轉為直角座標分量的轉換矩陣且行列式

det SRM =1 表示反矩陣存在then 1SRM minus 就是將直角座標分量轉為球座

標分量之轉換矩陣其實嚴格講 (4-64)式還不是最終的表示因為

轉換完的直角

座標應該全部以 x y z 表出這裡保留用 θ ϕ 只是為了簡潔方便

習題 2 Find 1SRM minus

習題 3 用 xyz 表出(a)sinθ (b)cosθ (c)sinϕ (d)cosϕ

Ans (a)2 2

2 2 2sin

x yx y z

θ+

=+ +

(b)2 2 2

cos zx y z

θ =+ +

(c)2 2

sin yx y

ϕ =+

(d)2 2

cos xx y

ϕ =+

習題 4 用上面結果將 SRM 用 xyz 表出

Ex26 Given a field ( )A r θ ϕ ＝ ˆ ˆˆ2 3r θ ϕ+ minus in spherical coordinates

find the field in rectangular coordinates （直角座標）

4-28

解這裡的 ( )A r θ ϕ 不因其三個分量都是常數而只是「一個」向量

而是一 vector field這是因為 ˆ ˆˆ r θ ϕ 都不是定值而與 θ ϕ 有關而如

果 ( )A r θ ϕ 表示則單位向量所對應的角度 θ ϕ 必須要標定所以

sin cos cos cos sin 2sin sin cos sin cos 3

1cos sin 0

x

y

z

AAA

θ ϕ θ ϕ ϕ

θ ϕ θ ϕ ϕ

θ θ

⎛ ⎞minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ minusminus⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

(2sin 3cos )cos sin(2sin 3cos )sin cos

2cos 3sin

x

y

z

AAA

θ θ ϕ ϕθ θ ϕ ϕ

θ θ

+ +⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟rArr = + minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟minus⎝ ⎠ ⎝ ⎠

習題 5 Draw a diagram to show in the cylindrical coordinates

(a) ˆ ˆ ˆcos sinx yρ ϕ ϕ= + (b) ˆ ˆ ˆsin cosx yϕ ϕ ϕ= minus + (c) ˆ ˆz z=

習題 6 use the above results show that 由柱座標分量轉為直角座標分

量的轉換矩陣

x

y CR

z z

A AA M AA A

ρ

ϕ

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟=⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

CRM =

2 2 2 2

2 2 2 2

0cos sin 0sin cos 0 0

0 0 10 0 1

x yx y x y

y xx y x y

ϕ ϕ

ϕ ϕ

minus⎛ ⎞⎜ ⎟+ +⎜ ⎟⎛ ⎞minus⎜ ⎟⎜ ⎟

= ⎜ ⎟⎜ ⎟+ +⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

Ex27 Express vector ˆ ˆ ˆ(3cos ) 2 5A zρ ϕ ϕ ρ= minus + in Cartesian

coordinates Specifically the A at the position of (2 2 3π -3)

解

2cos sin 0 3cos 3cos 2 sinsin cos 0 2 3cos sin 2 cos

5 50 0 1

x

y

z

AAA

ϕ ϕ ϕ ϕ ρ ϕϕ ϕ ρ ϕ ϕ ρ ϕ

⎛ ⎞minus ⎛ ⎞+⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟= minus = minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

so that A (2 2 3π -3)= 3 3 3ˆ ˆ ˆ3 3 3 54 4

x y z⎛ ⎞⎛ ⎞+ + minus +⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠注意本

題裡 z 座標並非一變數

4-29

sect 43 Fields and its properties 場與其性質

「場 field」是什麼凡是在「某個空間中每一點」都有定義的量

就是一個「場」所以「場」也稱為「點函數 point function」簡單的

說凡是「空間的函數」都是「場」如果這個「空間的函數」是一個

純量 u(xyz)那麼 u(xyz)就是一個「純量場 scalar field」例如室內

的溫度 T(xyz)一塊豬肉的密度 ( )x y zρ 大氣中的壓力 p(xyz)等

都是純量場如果這個「空間的函數」是一個向量 )( zyxA 那麼

)( zyxA 就稱為「向量場 vector field」例如空間中的電場 )( zyxE

水流中的速度場 )( zyxv 重力場 )( zyxg 等等很顯然的不論是純量

場還是向量場「場」在空間中的分佈通常未必是均勻的那麼她有

什麼性質呢例如一塊豬肉內部密度是如何變化的水流中有沒有

漩渦大氣中的等壓線是如何變化的等等那麼有沒有什麼量可以

有系統的描述各種場的分佈有我們在以下分別討論

sect 431 Gradient of scalar fields 純量場的梯度

考慮一個純量場 f(xyz)可以視為 3 個變數 xyz 的函數當變數變動為

x+dx y+dy z+dy 時造成 f 的變化

f f fdf dx dy dzx y zpart part part

= + +part part part

（4-65）

由幾何意義來看上式更為具體上式表示純量場 )(rf 基於位置的變化

r r drrarr + (或由 ( ) ( )x y z x dx y dy z dzrarr + + + )所造成 f 的變動

我們現在定義一個向量算符 vector operator nabla (or nabla )（讀做 del）

ˆ ˆ ˆx y zx y zpart part part

nabla equiv + +part part part

(4-66)

如果將 del 作用在純量場 )(rf 上將產生出現一個新的「向量場」 fnabla

稱為純量場「 )(rf 的『梯度 gradient』」

4-30

ˆ ˆ ˆ( ) f f fgrad f f x y zx y zpart part part

equiv nabla = + +part part part

（4-67）

這使得由於任意位移 ˆ ˆ ˆdr xdx ydy zdz= + + 所造成 f 的變化量

df f drrArr =nabla sdot （4-61）

ex28 Given scalar field 2( )f r xy z= and 2 2 2

1 1( )g rrx y z

= =+ +

(a) find the value of ( )f r and fnabla at point P(2 1-1) 解 2(21 1) 2 1 ( 1) 2f minus = times times minus = minus

2 2 2

2 2

ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( )

ˆ ˆ ˆ( ) ( 2 ) ( )

f x xy z y xy z z xy zx y z

x y z y x yz z xy

part part partnabla = +

part part part

= +

＋

＋

ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ(21 1) ( 1) (2 2) (2) 4f x y z x y znabla minus = minus + timesminus = minus minus＋ ＋2 (b) find the value of ( )g r and gnabla at the point P

解2

1 1(21 1)62 1 1

g minus = =+ +

2 2 2 12 2 2 2 12

2 2 2 12

ˆ ˆ( ) ( )

ˆ ( )

g x x y z y x y zx y

z x y zz

minus minus

minus

part partnabla = + + + + +

part partpart

+ +part

＋

2 2 2 32 2 2 2 32 2 2 2 32

2 2 2 32 3 2

ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( )

ˆ ˆ ˆˆ( )( )

OR OR

xx yy zzgx y z x y z x y zxx yy zz r r

x y z r r

minus minus minusrArrnabla = + +

+ + + + + +minus + + minus minus

= = =+ +

32

ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ(2 ) 2(21 1)6 6 6

x y z x y zg minus + minus minus minus +rArrnabla minus = =

由 gnabla 看到一個粉常用的結果就是

3 2

ˆ1 ORr rr r r

minus minusnabla = = （4-62）

順便比較一下

2 2 2 12 2 2 2 12 2 2 2 12

2 2 2 12

ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( )

ˆ ˆ ˆ( ) ˆ (4 63)( )

r x x y z y x y z z x y zx y zxx yy zz r r

x y z r

part part partnabla = + + + + + + +

part part part+ +

= = = minus+ +

＋

4-31

(c) what is the angle between (21 1)fnabla minus and (21 1)gnabla minus

解 (21 1)fnabla minus (21 1)gsdotnabla minus ＝（ ˆ ˆ ˆ4x y zminus minus ＋2 ） sdotˆ ˆ ˆ26 6x y zminus minus +

＝2 4 2 4

6 6 3 6+ +

= ＝ | (21 1) |fnabla minus | (21 1) |gnabla minus cosθ

＝ 34 1 1 211 16 4 cos cos

6 6θ θ+ +

+ + =

1 4 2cos 07773 7

radθ minus ⎛ ⎞= =⎜ ⎟

⎝ ⎠

要注意隨然nabla有向量的性質但是他並不是一個真的向量真

實向量 A與純量 f ( )r 的乘法滿足交換率ie ( ) ( )Af r f r A= 但是

f fnabla ne nabla因為

( )f rnabla ＝ ˆ ˆ ˆf f fx y zx y zpart part part

+ +part part part

是一個向量函數而

ˆ ˆ ˆ( )f r x y zx y z

⎛ ⎞part part part+ +⎜ ⎟part part part⎝ ⎠

是一個算符（operator）

若nabla要與向量場 A 作用由於nabla與 A 都具有向量的性質先看「內積」

ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ( )

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

x y z

x y

z

y yx xz z

A x y z xA yA zAx y z

x y z xA x y z yAx y z x y z

x y z zAx y z

A AA AA Ax x x y x zx y z x y z

⎛ ⎞part part partrArrnablasdot = + + sdot + +⎜ ⎟part part part⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞part part part part part part= + + sdot + + + sdot⎜ ⎟ ⎜ ⎟part part part part part part⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞part part part

+ + + sdot⎜ ⎟part part part⎝ ⎠part partpart partpart part

= sdot + sdot + sdot + sdotsdot sdot = + +part part part part part part

yx zAA AAx y z

partpart partnablasdot = + +

part part part (4-64)

上式中的 Anablasdot 是向量場 A 的一個重要的性質稱為 A 的「散度」詳

細的內容在後面會仔細討論這裡引進 Anablasdot 主要是要表明nabla是個「算

符」表示一個運算不是一個真實的向量只是在「直角座標」裡

4-32

因為單位向量 ˆ ˆ ˆ x y z 是常數不受微分的作用以致nabla表現得好像也

是個一般的向量一樣事實上真實向量和nabla間的「內積」就不滿足交

換率

x y zA A A A an operator Ax y zpart part part

sdotnabla = + + = ne nablasdotpart part part

(4-65)

這也使得任意向量場 ( )A r 因位置變動 r r drrarr + 而產生的變化由於

)( zyxA 也是 3 個變數 xyz 的函數可以寫為

( )A A AdA dx dy dz dr Ax y z

part part part= + + = sdotnabla

part part part （4-66）

ex29 (a)Given field 2ˆ ˆ ˆ2A xxy y x zyz= minus + find Anablasdot at point (1-12)

解2( ) (2 ) ( ) 2xy x yzA y yz

x y zpart part part

nablasdot = + + = +part part part

(1 12)1 2( 1)2 3A

minusnabla sdot = minus + minus =

(b) find rnablasdot 解 rnablasdot = 3x y zx y zpart part part

+ + =part part part

梯度的意義

由（4-67）可以看到「f 的梯度 fnabla 」

是一個由「純量場 f」衍生出的向量

場由（4-26）也可以看出 fnabla 扮演類

似「變化率」的角色

空間中將相同值 f ( )r ＝f1 的點連

起來就得到一個 f ( )r ＝f1 的「等值面」如 Fig36考慮純量場 f( r )的

相鄰兩個等值面各對應定值 1f f= 與 1f f df= + 0df gt P1 點在 f1

等值面上相鄰兩點 P2P3 在 1f df+ 等值面上而向量 1 2 ˆnP P dn e dn= =

過 P1 點垂直於 f1 等值面 1 3 ˆP P d e d= = 與 ˆne dn夾角為α 由於不

論 1 2P Prarr 或 1 3P Prarr f 的變化量都是 df 但因距離 dn 係兩等值面最

4-33

短的距離d dngt 所以 1 2P Prarr 或 1 3P Prarr 造成的「變化率」df dfdn d

gt

而過 P1 點的最大變化率為dfdn

換言之向量 ˆndfedn

為過 P1 點垂直於

f1 等值面且指向最大「增加率」的方向 現在要證明

ˆndfe fdn

= nabla （4-67）

考慮 1 3P Prarr 造成的 f 值的變化率

ˆ ˆcos n ldf df dn df df e edl dn dl dn dn

α= = = sdot

ˆ ˆ ˆn l ndf dfdf e e dl e dldn dn

rArr = sdot = sdot

和（4-61）式df f dr= nabla sdot 相比即可得證 ˆndfe fdn

= nabla 所以可以知道

空間純量場 f ( )r 中任一點處的向量 fnabla 必「垂直」於「通過該點的 f的等值面」且指向 f 值最大「增加率」的方向| ( )f rnabla |就是 f 在 r 點

的最大增長率可以進一步定義等值面的「法線 normal」方向為

ˆ fnf

nabla=nabla

（4-68）

結論給定一個純量場 f( r )在每一點 r 可以定義一個稱做「梯度」

的向量 fnabla fnabla 垂直於過 r 點的 f 等值面且指向最 f 大增加率的方向

fnabla 的方向也定義了 f 等值面的法線方向

Ex30 考慮一個 2D 的 scalar field 2( )f x y y x= minus 計算該場在 )20( 的梯度與

法線方向

解 ˆ ˆ ˆ ˆ2f ff x y x yyx ypart part

nabla = + = minus +part part

ˆ ˆ(0 2) 2 2f i jnabla = minus + ˆ ˆ ˆ ˆ2 2 2 2ˆ(0 2)

31 8i j i jn minus + minus +

rArr = =+

4-34

ex31 點電荷 q 置於原點其產生電位為 ( ) qV rr

= 求負梯度qr

minusnabla

解 3

2 2 2 22 2 2

2 ( )2

q q q q x x y zr x rx y z

minuspart minus= rArr = sdot + +

part+ +

3 23

ˆˆ ˆ ˆ( )q ix jy kz r rq q qr r r r

minus + +rArr minusnabla = minus = = （點電荷的電場）

0 0

1 1 r r

noter r= =

nabla rarrinfin rarrinfin∵ 是不定值是因為 r = 0 處為最大值

「增加率」的方向無法確定

ex32 置一熱源於原點空間溫度分佈為1( )

( 2)T r

r=

+求溫度的梯度

解 2 2 2

ˆ( ) ( )( 2) ( 2) ( 2)

x rT r rr rT r

x r r r

minuspart minus

= rArrnabla = =part + + +

此處的負號表示梯

度指向熱源因為距熱源越遠溫度越低 ( 0)note T rnabla = 為不定值

因在最頂點「增加率」的方向無法確定

Ex33 地圖上山脈的等高線上各點的垂直方向由梯度決定現有一座

山是橢球 2)1(4 222 =+++ zyx 在 x-y 平面上方的

部分求地圖上這座山等高線的梯度

解 山高 142 22 minusminusminus== yxzh 所以等高線為橢

圓 222 )1(24 +minus=+ hyx 梯度

( ) ( ) ( )2 2 2 2

2 2

ˆ ˆ4ˆ ˆ2 4 1 2 4 1

2 4

xx y yh x x y y x y

x y x y

minus +part partnabla = minus minus minus + minus minus minus =

part part minus minus

所以自山腳（h=0）登山若由(012)開始 ˆ(01 2) 2h ynabla = minus 但若由

)02(minus 開始爬山 ˆ( 20) 2h xnabla minus = 可見 )02()210( minusnablagtnabla hh 這表

示由 y-軸登山山勢較陡所以「梯度」比由 x-軸登山為大這也更

清楚瞭解「梯度」的幾何意義

4-35

sect 432 Divergence 散度與 Curl 旋度

在(4-66) 我們建立了一個直角座標 vector operator 「del」

ˆ ˆ ˆx y zx y zpart part part

nabla equiv + +part part part

(4-66)

若與向量場 A 做「內積」與「外積」就建構了 A 的「散度」與「旋度」

散度 A A scalaryx zAA Adiv ax y z

partpart partequiv nabla sdot = + + =

part part part （4-69）

旋度

y yz x z x

ˆ ˆ ˆ y z A vector

A AA A A Aˆ ˆ ˆxy z z x x y

x y z

x y z

xcurl A a

A A A

y z

⎧⎪

= nablatimes = part part part =⎪⎪⎨⎪

part part⎛ ⎞ ⎛ ⎞part part part part⎛ ⎞⎪ = minus + minus + minus⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎪ part part part part part part⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎩

(4-70)

這裡定義的只是「散度」與「旋度」所謂「操作型的定義」告訴我

們如何計算的式子事實上她們都具有重要的物理意義我們在後面

會討論

ex34 ˆ ˆA xy yx= minus 求其散度與旋度

解 0 0y xAx ypart part

nablasdot = minus + =part part

ˆ ˆ ˆ y zˆ ˆ ˆ ˆ 0 0 ( 2) 2

0 x y z

xA x y z z

y xnablatimes = part part part = minus + minus = minus

minus

右圖示意了本向量場的分佈看得出像個漩渦也看到算出的旋度

0ne 看來旋度表現的應該是向量場「旋轉的程度」事實上我們在

後面會看到「旋度」表現的就是是向量場在空間各點「旋轉的程度」

本題的向量場在每一點的旋轉程度都一樣

4-36

Ex35 ( )ˆ ˆ ˆ A xx yy zz r= + + = 求其散度與旋度

解 3A rnablasdot = nablasdot = ˆ ˆ ˆ y z

0

x y z

xA

x y znablatimes = part part part =

由場分佈的示意圖可以看出本向量場是自原點向外射出好似在原

點有一個場線的「源頭 source」但是 3Anablasdot = 為一個常數表示好像到

處都有 source同時旋度為 0 也可以配合本場並無旋轉的形象事實

上「散度」表現的就是是向量場在空間各點產生「場線」的 source

記得靜電學裡的庫倫定律 0E ρ εnablasdot = 電場的散度就是「電荷密度」

(電場的 source)前一題的向量場看來對應的場線是封閉的所以沒有

source這也對應了其散度＝0不過一個向量場的散度旋度究竟是

多少應該詳細的計算場分佈圖形有時候不是那麼容易看的清楚

兩個 useful identities (恆等式)

(a) ( ) 0 0f curl of a gradnablatimes nabla = =

(b) ( ) 0 0A div of a curlnablasdot nablatimes = =

pf (a) ( )ˆ ˆ ˆ x y z

x y z

x y z

ff f f

nablatimes nabla = part part part

part part part

( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2xz zxˆ ˆ ˆx y f- f z 0yz yz xy yxf f f f= part minus part minus part part + part minuspart =

這個結果與真實的向量外積 ( ) AA 0=times 有相似之處但是這只是特

例要記得nabla並不是一個真正的向量

( ) ( ) ( )

( )

ˆ ˆ ˆ y zˆ ˆ ˆ x y z

0

x y z y z z y x z z x x y y x

x y z

xy z xz y xy z yz x xz y yz x

xA A A A A A A

A A A

A A A A A A A

nablatimes = part part part = part minus part minus part minus part + part minus part

nablasdot nablatimes = part minuspart minuspart +part +part minuspart =

4-37

此結果與真實的向量運算有相似之處 ( )( )0 (B A) BB B Asdot times = times perp∵

但是這仍只是特例因為我們可由下列例子 ( ) 0A Asdot nablatimes ne 看出事實上

nabla並不是一個真正的向量 Ex36 ˆ ˆ ˆA xy yx zx= minus +

( )

ˆ ˆ ˆ y zˆ ˆ ˆ 0 1 ( 2)

2 0

x y z

xA x y z

y x x

A A x x x

nablatimes = part part part = minus + minus

minus

sdot nablatimes = minus = minus ne

面積元素向量

物理上時常會遇到面積分例如電通量磁通

量等等考慮一個面積元素 ds定義「面積的

方向」為其「法線方向」並定義面積元素向量

ˆnds a dsequiv （4-71）

要注意的是(1)如果 ds 是一個「封閉面

closed surface」（即有裡外之分）的一部

份則 ˆna 定義為「由內向外」(2) 如果 ds

是一個「開放面 opened surface」（即分不

出裡外）的一部份那麼 ds 必被其邊緣

（一個封閉的曲線 C）所包圍這樣在定

出ds 的方向之前要先定義「邊緣曲線」

C 的方向再由右手定則定義 ˆna 的方向

既然面積已為一個向量就可以寫為分量表示以直角座標

ˆ ˆ ˆx y zds xds yds zds= + + (4-72)

那麼這些分量 dsx dsy dsz 會是什麼既然 dsx 的方向是 x 就表示 dsx

是躺在 y-z 平面上所以 dsx 的兩邊是 dy 與 dz rArr xds dydz= 依此類

4-38

推 dsy 的方向是 y 所以躺在 x-z 平面rArr yds dxdz= hellip可以得知

xds dydz= yds dxdz= zds dxdy= （4-73）

不過要注意在寫面積元素時要看討論的面實際

是什麼面上式的三個分量有可能會是負的例如

左圖座落在第一象限的立方體的 A 面方向就在 xminus

方向Arsquo面在 yminus Ardquo面在 zminus 方向寫面積元素最

好是先把討論的面的方向搞清楚把plusmn號寫在單位向量前面那麼分

量就都用＋的即可其實面積元素體積元素都可以由位移元素看出

ˆ ˆ ˆdr xdx ydy zdz= + +

dx dy dz 是沿著 ˆ ˆ ˆ x y z 方向的長度所以面積元素分量的兩邊長度就

是由其中兩個組成而體積的三邊也就是三個垂直方向的長度

x y zdV dx dy dz and ds dydz dxdz dxdyrArr = = （4-74）

這個概念在其他的座標系統也成立我們可以方便的寫出面積元素

Recall 柱座標的位移向量元素

cylindrical coordinate ˆ ˆ ˆdr d d dzzρρ ρ ϕϕ= + + （4-48）

ˆ ˆ ˆ zds ds ds zdsρ ϕρ ϕ= + + (4-75)

dsρ 躺在 zϕ minus 平面dsϕ 在 zρ minus 平面 zds 在ρ ϕminus 平面

rArr zds d dz ds d dz ds d d d dρ ϕρ ϕ ρ ρ ρ ϕ ρ ρ ϕ= = = sdot = （4-76）

上面的結果畫個圖看看吧球座標的位移向量元素

Spherical coordinate ˆ ˆˆ ( ) ( sin )dr rdr rd r dθ θ ϕ θ ϕ= + + （4-56）

ˆ ˆˆ rds rds ds dsθ ϕθ ϕ= + + （4-77）

rArr sin sin rds rd r d ds dr r d ds rd drθ ϕθ θ ϕ θ ϕ θ= sdot = sdot = sdot (4-78)

4-39

向量場 ( )A r 在 S 面上的「面積分（surface integral）」or「flux」

如左圖若有一「平面」S 且其上有「均勻」

場 B 分佈則通過 S 面的通量就是

ˆB B nSΦ = sdot

但考慮一任意「非均勻」向量場 ( )A r 在空間分佈選取任意曲面 S

探討 ( )A r 在 S 上之通量若ds 為 S 面上的面積元素在趨近於 0 的

小面積ds 上 A可視為均勻所以通過ds 之通量為 ( )d A r dsΦ = sdot 則 S

面之總通量為

Φ＝ ˆ cosS S S

A ds A nds A daϕsdot = sdot =int int int

( )OR

x x y y z zS

A da A da A da= + +int (4-75)

稱為 A 在 S 面上的「面積分」或「通量 flux」

上圖所繪就是一個任意面上分割出許多小面積舉出三個位置的通

量有+-與 0如果 S 面是為一「封閉面」則面積分寫為

S

A dssdotint （4-76）

4-40

ex37 Given 2ˆ ˆ ˆyzA xyz yx zx= + + 計算通量S

A dssdotint

S 面為在第一象限邊長＝1 的立方體表面封閉面

解立方體分為前後右左上下六個面分開算 1前面（x=1）

方向 x+ ˆ xA ds A xdydz A dydzsdot = sdot =int int int前 前 前

yzdydz= int前 ＝1 1

0 0

1 1 12 2 4

ydy zdz = sdot =int int

2後面(x=0)方向 xminus ˆ(- ) - xA ds A x dydz A dydzsdot = sdot =int int int後 後 後

yzdydz= minusint後1 1

0 0

-1 1 -12 2 4

ydy zdzminus = sdot =int int

3 右面（y=1）方向 y+ y ( 1)yA ds A dxdz A y dxdzsdot = sdot = =int int int右 右 右

( 1)x y zdxdz= =int右 ＝1 1

0 0

1 1 12 2 4

xdx zdz = sdot =int int

4 左面（y=0）方向 ˆ-y ˆ( y) - ( 0)yA ds A dxdz A y dxdzsdot = sdot minus = =int int int左 左 左

( 0) 0x y zdxdz= = =int左

5 上面（z=1）方向 z+ zz y (z 1) yA ds A dxd A dxdsdot = sdot = =int int int上 上 上

2 yx dxd= int上 ＝1 120 0

1 1y 13 3

x dx d = sdot =int int

6 下面（z=1）方向 ˆ-z zˆ(-z) y - (z 0) yA ds A dxd A dxdsdot = sdot = =int int int下 下 下

2 -1- y3

x dxd= =int下 ＝1 120 0

1 1y 13 3

x dx d = sdot =int int

S

A dssdotint ＝六個面的和＝1 1 1 1 1 1( ) ( 0) ( )4 4 4 3 3 4

minus minus+ + + + + =

ex38 Given ˆ ˆ ˆzA xyz yx zxy= + + 計算通量S

A dssdotint S 為圓 2 2 2x y a+ =

在第一項限的部分方向選為 z+ 2 2y a x= minus

4-41

解 2 2 4

0 0ˆ

8a a x

zS S S S

aA ds A zdxdy A dxdy xydxdy xdx ydyminus

sdot = sdot = = = =int int int int int int

Ex39 In cylindrical coordinate Given ˆ ˆaA zbzρρ

= + where a b are

constants Find S

A dssdotint over the surface of a

closed cylinder about z-axis specified by 3 2z ρ= plusmn =

解S 分為上下與周邊三面

zz (z 3)zA ds A ds A d dρ ρ ϕsdot = sdot = = sdotint int int上 上 上

= 23 3 2 12bd d b bρ ρ ϕ π πsdot = sdot =int上

ˆ(-z)A ds A d dρ ρ ϕsdot = sdot sdotint int下 下

= z- (z -3)A d dρ ρ ϕ= sdotint下 = 23 2 12b bπ πsdot =

周邊ds ˆ ( )d dzρ ρ ϕ= rArr ˆ ( ) z ( ) zA ds A d d A d dρρ ρ ϕ ρ ϕsdot = sdot =int int int周 周 周

2 3

0 3( ) z ( ) z=a 12aA d d d d d dz a

πρ ρ ϕ ρ ϕ ϕ π

ρ minus= = =int int int int周 周

加起來 S

A dssdotint ＝12 24 12 ( 2 )a b a bπ π π+ = +

ex40 一點電荷 q 置於原點計算在一個以原點為圓心 0r 為半徑的球

面上的電通量

解 2 20 0

ˆ ˆ4 4S S

qr q dsE ds rdsr rπε πε

sdot = sdot =int int int

=0 0 0

44 4S

q q qd ππε πε ε

sdot Ω = sdot =int

上式中 dΩ 2dsr

= 是 ds 所張開的「立體角」(solid angle)

4-42

div A and Flux 通量與散度的幾何物理意義

我們運用過nabla的符號來表示過散度 divF F= nablasdot yx zFF Fx y z

partpart part= + +part part part

但是也看到「散度」定義為

0( )

1( ) limSV

about x y z

divF x y z F da divergence of FVΔ rarr

equiv sdot =Δ int (4-77)

其中 VΔ 為 S 面所包含的體積即散

度為通量(體)密度的 0 體積極限

（4-77）的定義與 Fnablasdot 好像差的很

多她們是說同一回事嗎以下證明

這兩種「散度」的定義是等價的如

左圖考慮一個以點 ( ) x y z 為中心

的 立 方 體 其 相 鄰 三 邊 長 為

x y zΔ Δ Δ 體積 V x y zΔ = Δ Δ Δ 現在計算 F 在立方體的一組平行於 y-z平面的表面 S1 與 S2 的通量

( )1 1

ˆ ˆ xS S

F nds F xds F x y z dsrArr sdot = sdot =intint intint intint 2xxF x y z y zΔ⎛ ⎞asymp + Δ Δ⎜ ⎟

⎝ ⎠

其中 2xx y zΔ⎛ ⎞+⎜ ⎟

⎝ ⎠為 S1 面中心的座標而

2xx y zΔ⎛ ⎞minus⎜ ⎟

⎝ ⎠為 S2 面的中心

( ) ( )2 2 2

ˆ ˆ 2x x

S S S

xF nda F x ds F x y z ds F x y z y zΔ⎛ ⎞rArr sdot = sdot minus = minus asymp minus minus Δ Δ⎜ ⎟⎝ ⎠intint intint intint

上式中的負號來自 S2 面的方向是 xminus 所以合併兩個面積分

1 2

ˆ 2 2x x

S S

x xF nds F x y z F x y z y z+

Δ Δ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞rArr sdot asymp + minus minus Δ Δ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦intint

2 2x xx xF x y z F x y z

x y zx

Δ Δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠= Δ Δ Δ

Δ

2 2

x xx xF x y z F x y z

Vx

Δ Δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠= Δ

Δ

1 2

1 2 2ˆ

x x

S S

x xF x y z F x y zF nds

V x+

Δ Δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠rArr sdot asymp

Δ Δintint

4-43

當取體積向(xyz)點收縮至 0 時即 0 x 0as VΔ rarr Δ rarr 上式的近似

「asymp」就成了「＝」

1 20

1 ˆlimV

S S

F ndsVΔ rarr

+

sdotΔ intint

( )0

2 2limx x

x

x

x xF x y z F x y z F x y zx xΔ rarr

Δ Δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟ part⎝ ⎠ ⎝ ⎠= =Δ part

Similarly F 在立方體的一組平行於 x-z 平面的表面 S3 與 S4 的通量

3 3 3

ˆ ˆ yS S S

F nds F yds F dsrArr sdot = sdot =intint intint intint

2

2

y

y

yF x y zyF x y z x z x y z

y

Δ⎛ ⎞+⎜ ⎟Δ⎛ ⎞ ⎝ ⎠asymp + Δ Δ = Δ Δ Δ⎜ ⎟ Δ⎝ ⎠

( )4 4 4

2ˆ ˆ

y

yS S S

yF x y zF nds F y da F ds x y z

y

Δ⎛ ⎞minus⎜ ⎟⎝ ⎠rArr sdot = sdot minus = minus asymp Δ Δ Δ

Δintint intint intint

合併 S3 與 S4 兩個面積分並取體積向(xyz)點收縮至 0 時即當

0 y 0VΔ rarr Δ rarr 上式的近似asymp就成了＝

3 4

2 2ˆ

x x

S S

y yF x y z F x y zF nds V

y+

Δ Δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠rArr sdot cong Δ

Δintint

3 40 0

1 2 2ˆlim lim

x xy

V yS S

x yF x y z F x y z FF nds

V y yΔ rarr Δ rarr+

Δ Δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟ part⎝ ⎠ ⎝ ⎠rArr sdot = =Δ Δ partintint

與上面相同的作法計算 F 在立方體的一組平行於 x-y 平面的表面 S5

與 S6 的通量我們也會得到對應的結果

5 6

2 2ˆ

z x

S S

z zF x y z F x y zF nds V

z+

Δ Δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠rArr sdot cong Δ

Δintint

5 60 0

1 2 2ˆlim lim

z xz

V zS S

z zF x y z F x y zFF nds

V z zΔ rarr Δ rarr+

Δ Δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟ part⎝ ⎠ ⎝ ⎠rArr sdot = =Δ Δ partintint

所以合併立方體的 6 個面積分

4-44

1 2 3 4 5 6

ˆ ˆ ˆ ˆS S S S S S S

F nds F nds F nds F nds+ + +

rArr sdot = sdot + sdot + sdotint intint intint intint

0

1 ˆlim yx zV

FF FF nds div F FV x y zΔ rarr

partpart partrArr sdot = + + = = nablasdot

Δ part part partint (4-78)

在此我們得證這兩種「散度」的定義是等價的只是（4-77）的定義

充分的表現出「散度」的幾何物理意義他從通量著手由於場線

出自於 source（ex電場源自於點電荷）所以在點(xyz)必須有向量場

F 的 source 存在才能使得當面積縮到 0 時仍具有非 0 的通量所以「散

度」表現向量場 F 的 source 在這個定義之下是很清楚的當然在計算

「散度」時我們不必那麼麻煩用 divF F= nablasdot 就好了

Ex41 計算 2ˆ ˆ ˆF xx yxy zyz= + + 的散度

解 2 yx zFF Fx x yx y z

partpart part= = =

part part part F 2x x y 3x ydivrArr = + + = +

recall 在靜電學0

yx zEE EEx y z

ρε

partpart partnablasdot = = + +

part part part

散度定理 Divergence Theorem

若任意封閉面（又稱為「高斯面」）S 所包圍的

體積為 V 則

S VA ds Adτsdot = nablasdotint int （4-79）

pf 我們先將體積分割成 N 個小盒子考慮相鄰的兩個小盒子 1 2

兩小盒子的共用面面積 S0當 S0 是為 1 號盒子的一部份時其方向為

1n 但若當為 2 號盒子的表面時其方向為 12 ˆˆ nn minus= 如此在 S0 分別做

4-45

1 2 盒子的面積分後

0 0

0 0 0 0

1 2

1 2 1 1ˆ ˆ ˆ ˆ 0

S S

S S S S

A ds A ds

F n ds F n ds F n ds F n ds

sdot + sdot

= sdot + sdot = sdot minus sdot =

intint intintintint intint intint intint

所以若求場 A 在 1 2 盒子的總通量時交界面是沒有貢獻的總通量

就只有「外面積」才有貢獻如此我們計算 N 個小盒子的總通量

時所有的內部共用面都得 0只剩下「外表面」的貢獻了當 infinrarrN

時所有小盒子的「總外表面」就與 S 面重合了所以所有小盒子通量

的總和就等於 S 面的通量

1lim

i

N

S SN iA ds A ds

rarrinfin=

rArr sdot = sdotsumint int

現在我們做 N 個小盒子的總通量

1 1

1i i

N N

iS Si i i

A ds A ds VV= =

⎛ ⎞sdot = sdot Δ⎜ ⎟Δ⎝ ⎠

sum sumint int

當 0iN Vrarrinfin rArr Δ rarr 並用 dv 表示體積元素

( ) ( )1 1

1

1lim lim lim

lim

i ii

N N

iS SN N V oi i i

N

i VN i

A ds A ds VV

A V A dv

rarrinfin rarrinfin Δ rarr= =

rarrinfin=

⎛ ⎞sdot = sdot Δ⎜ ⎟Δ⎝ ⎠

= nablasdot Δ = nablasdot

sum sumint int

sum int

( )S V

A da A dvrArr sdot = nablasdotint int QED

所以得證散度定理上式中我們用了散度的（4-77）式定義要分辨

清楚 Anablasdot 是向量場 A 在空間中「某一點」的性質（ 0VΔ rarr ）而「散

度定理」說的是一個「有限體積」的性質

ex42 給定 ( ) ˆ ˆ ˆ A x y z xx yy zz r= + + = 計算在

半徑 R＝1 的球的上半球加底面的通量

4-46

解 ( )ˆˆS

A da A rda A k darArr sdot = sdot + sdot minusint int int上半球面 底面

( )

2

ˆ ˆ

0 2 1 2

A rda A z dxdy

r rds zdxdy rds ds π π

= sdot + sdot minus

= sdot minus = minus = = sdot =

int int

int int int int上半球面 底面

上半球面 底面 上半球面

底面的通量＝0 是因為 A 的 z 分量 Az=z 在底面的值為 0

也可以用散度定理更快的得出結果

∵ 3A rnablasdot = nablasdot =

31 43 3 1 22 3V V

Ad d πτ τ πnablasdot = = sdot sdot sdot =int int

ex43高斯定律的微分形式積 由 Gaussrsquo law 的積分形式用散度定理得出其

( )0 0

1 inS V

qE ds x y z dvρε ε

sdot = =int int

0S V VE ds Edv dvρ

εrArr sdot = nablasdot =int int int

上式最後的等式對「任意形狀」V 都成立所以兩者的被積函數相等

對於空間每一點 0

E ρε

nablasdot = （4-80）

ex44 Use 第一象限的單位力方體 check the divergence theorem using the function 2 2ˆ ˆ ˆ(2 ) 2A y x xy z y yzz= + + +

解2

2( ) (2 )(2 ) 2( )y yzA xy z x yx y z

part part partnablasdot = + + + = +

part part part

and 1 1 1 1 1 1

0 0 0 0 0 02 ( ) 2 ( )

VAdv x y dxdydz dz dy x y dxnablasdot = + = +int int int int int int int

1 1

0 0

1 12 ( ) 2 12 2

dz y dy= + = sdot =int int

面積分 1 1 2

0 0

1ˆ3

A ds A xdydz dz y dysdot = sdot = =intint intint int int前 前

4-47

1 1 2

0 0

1ˆ( )3

A ds A x dydz dz y dy minussdot = sdot minus = minus =intint intint int int

後 後

1 1 2

0 0ˆ (2 )A ds A ydxdz dz xy z dxsdot = sdot = +intint intint int int

右 右

1 1 1 12 2

0 0 0

4(2 ) (1 )3

ydz x z dx dz z

=

= + = + =int int int∵

1 1 2

0 0

0 1 1 12 2

0 0 0

ˆ( ) (2 )

1(1 )3

y

A ds A y dxdz dz xy z dx

dz z dx dz z=

sdot = sdot minus = minus +

minus= minus = + =

intint intint int int

int int int∵

左 左

11 1 1 1

0 0 0 0ˆ 2 2 1

zA ds A zdxdy dx yzdy dx ydy

=sdot = sdot = = =intint intint int int int int

∵

上 上

01 1

0 0ˆ 2 0

zA ds A zdxdy dx yzdy

=sdot = sdot minus = minus =intint intint int int

∵

下 下

前後右左上下六個面積分合併＝1＝V

Advnablasdotint QED

ex45 Continuity Equation 連續方程式

考慮某些「東西」的流動（物質電荷hellip）在時刻 t 時在點(xyz)

的 密 度 為 ( ) x y z tρ ρ= 並 具 有 速 度

( ) v v x y z t= 在時刻 t 時在體積 V 內的總量為

( ) x y z t dρ τintintint

這樣體積 V 內東東的時變率為

( ) ( ) d x y z t d x y z t ddt t

ρρ τ τpart=

partintintint intintint

注意體積分後的時間全微分移入積分內要改為偏微分這個東東

在表面的「流率 flow rate」可表為

ˆS

R v ndsρ= sdotintint

若體積內的物料無法自生自滅那麼體積內物料的變化必經由表面的

流出流入所造成

d v ndstρ τ ρpart

rArr = minus sdotpartintintint intint

由散度定理

4-48

( )ˆS

v nds v d dtρρ ρ τ τpart

sdot = nablasdot = minuspartintint intintint intintint

( )v Jtρ ρpart

rArr = minusnablasdot equiv minusnablasdotpart

0Jtρpart

rArr +nablasdot =part

（4-81）

(4-81) 即 continuity equation其中 J vρ= 為「物流密度」ex如果 ρ

是電荷密度 J 就是電流密度（4-81）是物質守恆的結果只對體

積內無 source（生成）or drain（消滅）的東東成立

ex46 Given a vector field ˆ ˆx yA ye xe= minus + (a) Find

Anablasdot (b)如圖一個金字塔狀的 5 面體高 2 底邊長

1計算 A在整個金字塔表面（封閉面）的總通量

解(a) Anablasdot = ( ) ( ) 0y xx ypart part

minus + =part part

(b) 金 字 塔 的 表 面 面 積 元 素 ds 不 好 寫 所 以 用 散 度 定 理

( )S V

A da A dvrArr sdot = nablasdotint int ＝0 Anablasdot 表示 A沒有 source 所以對封閉面而

言有多少場線進入就有多少出去所以總通量＝0

習題 7 With position vector r for an arbitrary volume V that is

bounded by surface S show that 13 S

r ds Vsdot =int

習題 8 已知一靜電場為 ˆ ˆ ˆ( )E xyz yxz zxyλ= + + 運用 Gaussrsquo law

試求包含在半球 2 2 2 2 0x y z R z+ + = ge 裡的總電荷 Ans 0

習題 9 (a) given ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( 2 )F r xf x yf y zf z= + + minus show that divF is

zero at point (c c -c2) (b) given ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( )G r xf x z yg x z zh x y= + +

show that ( ) 0G rnablasdot =

4-49

習題 10 Find the normal vector n for the surfaces (a) z = 2-x-y ans

ˆ ˆ ˆ( ) 3x y z+ + (b) z = (1-x2)12 ans ˆ ˆxx zz+ (c) z = x2+y2

ans ˆ ˆ ˆ( 2 2 ) 1 4xx yy z zminus minus + +

習題 11 Show that the unit vector normal to the plane ax+by+cz =d is

given by 2 2 2ˆ ˆ ˆ( ) ax by cz a b cplusmn + + + +

圓柱座標與球座標的nabla (del)

考慮一純量場在直角座標為 ( ) u x y z 在圓柱座標表為 ( ) u zρ φ

再考慮因位移 r r drrarr + 所造成 u ( )zρ φ 的變化

( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆz

z

u u udu d d dz u dr u d d zdzz

u u z u d d zdz

u d u d u dzρ ϕ

ρ ϕ

ρ ϕ ρ ρ ϕρ ϕρ ϕ

ρ ϕ ρ ρ ϕρ ϕ

ρ ρ ϕ

part part part= + + = nabla sdot = nabla sdot + +part part part

⎡ ⎤= nabla + nabla + nabla sdot + +⎣ ⎦= nabla + nabla + nabla

( ) ( ) ( )1

1ˆ ˆ ˆu

z

u u uu u uz

u u uzz

ρ ϕρ ρ ϕ

ρ ϕρ ρ ϕ

part part partrArr nabla = nabla = nabla =

part part partpart part part

rArrnabla = + +part part part

1ˆ ˆ ˆ zz

ρ ϕρ ρ ϕpart part part

nabla = + +part part part

（4-82）

注意nabla的ϕ -分量( 1ρ ϕ

partpart

)不是像直角座標裡單純的ϕpartpart

所以不要笨笨

的就把直角座標的形式硬套上去用我們也可以從「因次分析」來

看nabla因為是對空間的微分所以每一項的因次必須是「長度分之一」

運算 andzρ

part partpart part

都是「長度分之一」而「單純的ϕpartpart

」是沒有單位的

所以要1ρ ϕ

partpart

才 OK

由於圓柱座標裡的單位向量除了 z 之外 ˆ( )ρ ϕ 與 ˆ( )ϕ ϕ 都不是常

4-50

數所以在微分時不可以與微分運算交換而要考慮微分的作用所

以在「圓柱座標」寫「散度」 ( ) F zρ ϕnablasdot 也和直角座標不一樣

( )1ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ zF z F F zFz ρ ϕρ ϕ ρ ϕ

ρ ρ ϕpart part part⎛ ⎞

nabla sdot = + + sdot + +⎜ ⎟part part part⎝ ⎠

( ) ( )1ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆz zF F zF F F zFρ ϕ ρ ϕρ ρ ϕ ϕ ρ ϕρ ρ ϕpart part

= sdot + + + sdot + +part part

( )ˆ ˆˆ ˆ zz F F zFz ρ ϕρ ϕpart

+ sdot + +part

因為 ( ) ( )ˆ ˆ ˆ ˆ ρ ρ ϕ ϕ ϕ ϕ= = 所以做 andzρ

part partpart part

時 ˆ ˆ ρ ϕ 可視為常數

ˆ ˆ1ˆ ˆ ˆ zF F F FF F Fz

ρ ρ ϕρ φ

ρ ϕϕ ρ ϕρ ρ ϕ ϕ ϕ ϕ

part part part⎡ ⎤part part partrArrnablasdot = + sdot + + + +⎢ ⎥part part part part part part⎣ ⎦

還記得 ˆ ˆ ˆ ˆd d d dρ ϕ ϕ ϕ ρ ϕ= = minus 所以 ˆ ˆρ ϕϕpart

=part

ˆ ˆϕ ρϕpart

= minuspart

rArr

( )1 1 1z zF F F FF FF Fz z

ρ ρ ϕ ϕρρ

ρ ρ ρ ϕ ρ ρ ρ ϕpart part part part

nablasdot = + + + = + +part part part part part part

（4-83）

在球座標寫nabla也會遇到相似的問題其根源就是球座標 ( )r θ ϕ 裡

的 θ ϕ 的因次並非長度而三個單位向量 ˆ ˆˆ r θ ϕ（表為 ie ）都是( θ ϕ )

的函數以致

( )ˆ ˆ( ) ( )i ie f e fθ ϕ θ ϕθ θpart part

nepart part

且 ( )ˆ ˆ( ) ( )i ie f e fθ ϕ θ ϕϕ ϕpart part

nepart part

所以nabla也不似在直角座標那麼簡單我們不在這裡推導而是給出一

個歸納的統一的三個座標的結果還記得對每一個座標 iu i = 123

座標的變化 idu 與造成的長度變化 id

i i id h du= 123i = (4-84)

其中 ih 為對應的度量係數(metric coefficient)

4-51

1 2 3

1 1 2 2 3 3

1 1 1ˆ ˆ ˆu u ue e eh u h u h u

part part partnabla equiv + +

part part part （4-85A）

座標 1 2 3 u u u

度量係數

1 2 3 h h h

nabla grad del

直角 x y z

1 1 1 nabla ˆ ˆ ˆx y z

x y zpart part part

equiv + +part part part

圓柱

zρ ϕ

1 1ρ

1ˆ ˆ ˆ z

zρ ϕ

ρ ρ ϕpart part part

nabla equiv + +part part part

球

r θ ϕ

1 sinr r θ

1 1ˆ ˆˆ

sinr

r r rθ ϕ

θ θ ϕpart part part

nabla = + +part part part

（4-85B）

梯度gradient Vnabla grad(V) 散度divergence Anablasdot div( )A

直

角 nablaV ˆ ˆ ˆV V Vx y z

x y zpart part part

= + +part part part

yx zAA AAx y z

partpart partnablasdot = + +

part part part

圓

柱

1ˆ ˆ ˆ V V VV zz

ρ ϕρ ρ ϕpart part part

nabla = + +part part part

( )1 1

1

z

z

A AA Az

A A A Fz

ϕρ

ρ ρ ϕ

ρρ ρ ρ ϕ

ρ ρ ρ ϕ

partpart partnabla sdot = + +

part part partpart part part

= + + +part part part

球

1 1ˆ ˆˆ sin

V V VV rr r r

θ ϕθ θ ϕ

part part partnabla = + +

part part part

22

1 ( )rA r Ar r

partnabla sdot =

part

1 (sin )sin

Ar θθ

θ θpart

+ sdotpart

1sin

Ar

ϕ

θ ϕpart

+part

(4-86)

Ex47 Using spherical coordinate show that 1| |r r

nablaminus

= 2

ˆ| |

r rer r

minusminusminus

where

nabla是作用在 r 而 ˆr re minus 是向量 r rminus 方向的單位向量 解let r lies in z-axis so that the angle between r and r is just θ

4-52

rArr ( ) 122 21 1 2 cos | | ( ) ( )

r rr rr r r r r r

θminus

= = minus +minus minus sdot minus

( ) ( )12 122 2 2 21 1ˆˆ 2 cos 2 cos | |

r r rr r r rr rr r r r

θ θ θθ

minus minuspart partnabla = minus + + minus +

minus part part

( ) 322 21ˆ 2 cos (2 2 cos )2

r r rr r r rθ θminusminus

= minus + minus

( ) 322 21ˆ 2 cos (2 sin )2

r rr r rrθ θ θminusminus

+ minus +

3 3 3 3

ˆˆ ˆ( cos ) sin ( cos sin )ˆˆ| | | | | | | |r r r rr r rrr r r r r r r r

θ θ θ θ θθminus minus minus minus minus= + = +

minus minus minus minus

3 3 3ˆ ( )

| | | | | |r r z r r r rr r r r r rminus + minus + minus minus

= = =minus minus minus

＝ 2

ˆ| |

r rer r

minusminusminus

QED

證明最後我們用到 ˆˆˆ cos sinz r θ θ θ= minus 而 ˆ r r z= 因為我們選了 r 是

躺在 z-軸 Ex48 For arbitrary scalar field ( )f r and vector field ( )A r 證明恆等式

( )fA f A f Anablasdot = nabla sdot + nablasdot (4-87) 解 ˆ ˆ ˆx y zfA xfA yfA zfA= + +

( ) ( ) ( ) ( )x y zfA fA fA fAx y zpart part part

rArrnablasdot = + +part part part

yx zx x x

AAf f f AA f A f A fx x y y z z

partpartpart part part part= + + + + +part part part part part part

yx zx y z

AAf f f AA A A fx y z x y z

part⎛ ⎞partpart part part part= + + + + +⎜ ⎟part part part part part part⎝ ⎠

f A f A= nabla sdot + nablasdot QED 習題 12 一個位於原點的電偶極電偶極矩＝ ˆp pz= 已知其在遠處

的電位為 20

cos4p

rθ

πε試證該處的電場強度為 E = 3

0

ˆˆ( 2cos sin )4

p rr

θ θ θπε

+

(已知 E V= minusnabla )並請計算 Enablasdot ＝

習題 13 給定一向量場2

3cosˆD r

rϕ

= 現有兩個球心在原點的同心球

內球半徑 R＝1外球 R＝2(a)求面積分S

D dssdotint S 為同心球殼的表

面（有內外兩個面）(b)求體積分V

Ddvnablasdotint V 為兩同心球之間的

區域本題也是來 check 散度定理的Ans πminus

4-53

The Laplacian operator 2nabla equivnablasdotnabla

在直角座標可以用直接作用得到

2 2 2

22 2 2u u uu u

x y zpart part part

nabla equiv nablasdotnabla = + +part part part

(4-88)

圓柱座標

2 2

22 2 2

1 1( ) u u uu uz

ρρ ρ ρ ρ ϕ

part part part part⎛ ⎞nabla equiv nablasdot nabla = + +⎜ ⎟part part part part⎝ ⎠

(4-89)

球座標

2

2 22 2 2 2 2

1 1 1sinsin sin

u u uu rr r r r r

θθ θ θ θ ϕ

part part part part part⎛ ⎞ ⎛ ⎞nabla = + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟part part part part part⎝ ⎠ ⎝ ⎠ （4-90）

習題 14 verify (4-89) and (4-90)

習題 15 Given a dipole potential V= 20

cos4p

rθ

πε find 2Vminusnabla

sect 433 Line integral and curl A 線積分與與旋度的物理意義

線積分路徑積分

考慮一曲線 C 通過兩點 ( )i i i iP x y z 與

( )f f f fP x y z 現有一向量場 ( )A x y z 定義在

C 所在的空間若 sd 為 C 上位於(xyz)點的

「路徑元素」（ ˆd td= 方向沿該處切線）而

( )A x y z 為路徑元素d 處的場值則沿 C 經歷各點所做積分

cos cosf

CC C iA d Ad A dϕ ϕrarr rarrsdot = =int int int （4-91）

稱為向量場 ( )A x y z 沿路徑 C 自 pi 至 pf 的「線積分」「或「路徑積分」

積分裡 A 取值的點侷限在路徑 C 上面若為一個「封閉路徑」則對

C 的線積分也稱做「環路積分 closed contour integral」記做

C

A dsdotint （4-92）

4-54

物理量「做功」是最標準的線積分之一力 F 自 x = a 至 x = b「沿線」

x 軸做功

W＝ F dxsdotint ＝ ( )b

xaF x dxint （4-93）

質點在力場 )(rF 裡走一條曲線 C則力場做功

CW F d= sdotint （4-94）

還記得如果 ( )F r 是所謂「保守力」則上式只與始末點有關而與

路徑無關但如果 ( )F r 是所謂「非保守力」則做功與確實的路徑 C

有關

現考慮一質點在空間運動的位置 r 落在由曲線 C

描述的路徑則質點的位移元素與曲線 C 的路徑元

素相同 d dr= 若空間有向量場 A 分佈則 A 在 C 的

路徑積分以直角座標表示為

CA drarr rarrsdotint ＝

CA d rrarr rarrsdotint ＝ ( )x y zC

A dx A dy A dz+ +int （4-95）

上式中的 x y z 的積分限由 C 決定

Ex49 2 2 2ˆ ˆ ˆA xx yy zzrarr= + + 選定一路徑 C 為曲線

2y x= 由 (000)到 (2 20)的部分求C

A dsdotint

解 ˆ ˆd xdx ydy= +∵

CA dsdotint ＝ 2 2( )

Cx dx y dy+int ＝

2 22 2

0 0x dx y dy+int int

＝ )24(32

+

或由 2y x= rArr 2ydy dx= 2 12

y dy xdxrArr =

rArrC

A dsdotint ＝2 2

0

1( )2

x x dx+int ＝2 (4 2)3

+

4-55

ex50 ˆ ˆ( )f x y z xy yx= minus Do C

f dsdotint 其中的路徑 C 為一逆時針三角

形如圖 解∵路徑全部在 x-y 平面 ˆ ˆ ˆd td xdx ydy= = +

rArrC

f dsdotint ＝ x yC

f dx f dy+int ＝C

ydx xdyminusint

由於在 C1 上 y = 0 及 dy = 0 所以 01

=intC 又由於在

C3 上 x = 0 及 dx =0所以 03

=intC 所以只剩下 C2 可

能有貢獻由 2C 的方程式x + y =1rArr ⎩⎨⎧

minus=minus=

xyyx

11

rArr2Cydx xdyminusint ＝

0 1

1 0(1 ) (1 )x dx y dyminus minus minusint int ＝

0 12 2

1 0

( ) ( )2 2x yx yminus minus minus ＝-1

Cf dsdotint ＝-1

ex51 ( )f x y zrarr

= 2ˆ ˆxx yxyminus 如右圖doC

f dsdotint 其

中路徑 C 為第一象限的逆時針 14 圓弧

解∵ 全部在 x-y 平面 ˆ ˆd xdx ydy= +

Cf dsdotint ＝ 2

Cx dx xydyminusint

由於在 C 上 cosx R ϕ= rArr sindx R dϕ ϕ= minus

siny R ϕ= rArr cosdy R dϕ ϕ=

rArr 2

Cx dx xydyminusint ＝

2 2 2 2

0cos ( sin ) sin cos cosR R d R R d

πϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕminus minus sdotint

23 2

02 cos sinR d

πϕ ϕ ϕ= minus int ＝

323Rminus

又路徑為圓周一部份所以適合用極座標表示

ˆd Rdϕ ϕ= 又由左圖將 ˆ ˆx y 拆解（投影）到 ˆˆr ϕ

ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆcos sin sin cosx r y rϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ= minus = +

4-56

( )2ˆ ˆ ˆˆ ˆ( cos sin ) ( sin cos )C C

f d r x r xy Rdϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕsdot = minus minus + sdotint int 2

2 2 2

0

sin (cos )

sin ( cos ) (cos ) cos sin

Cx Rd xyRd

R Rd R Rdπ

ϕ ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ

= minus minus

= minus minus

intint

23 2

02 cos sinR d

πϕ ϕ ϕ= minus int ＝

323Rminus

這也驗證了散度定理

Path Independence 路徑獨立性

Ex52 證明庫倫力為「保守力」考慮

電荷 q0 位於原點及電荷 q 位於

( )r x y zrarr= q 受力 F

rarr＝ 0

20

14

qq urπε

and

求庫侖力作功因為球形對稱所以

用球座標由 ˆ ˆ ru rr

= = rArr Frarr

= 03

04qq r

rπε

庫侖力由 P1 至 P2 做功為 2

1

P

CPF drarrsdotint ＝

2

1

02

0

ˆ ˆ ˆˆ sin4

P

PC

qq r rdr rd r dr

θ θ ϕ θ ϕπε

⎡ ⎤sdot + +⎣ ⎦int ＝2

1

02

04P

P

qq drrπεint

＝20

2104

r

r

qq drrπε int ＝ 0

0 1 2

1 1( )4qq

r rπεminus for all C

所以庫侖力兩點間做功與路徑無關rArr保守力

對於「保守力 conservative force」 cF 自 p1 經

由兩條不同的路徑 C1 與 C2 到達 p2

1 ccF drarrsdotint ＝

2 ccF drarrsdotint ＝-

2 ccF drarr

minussdotint

rArr1 2c cc cF d F drarr rarr

minussdot + sdotint int = cF d

rarrsdotint ＝0 (4-96）

對於任何「封閉路徑」保守力做功為 0反之若

對任一封閉路徑 0F drarrsdot neint 則兩點之間的做功與路徑有關

rarr

F 為「非

保守力」

4-57

旋度 curl Anablatimes 的幾何物理意義

我們在（4-70）式已經看過旋度的計算方式但旋度另有其意義的

ex53 給定向量場2 2

0ˆ yv yv e λrarr

minus= 左圖為場的分佈

2 20

ˆ ˆ ˆ

0 0x y z

y

x y zcurl v

v e λ

rarr

minus

= part part part ＝ ˆ ˆ ˆ0 0 0 0x y zsdot minus sdot + sdot =

我們用了簡寫 x yx ypart part

part equiv part equivpart part

可以看出這個場裡沒有「漩渦」

但是有無「漩渦」有時也不是那麼明顯可以看出的請見下一個例子

Ex54 給定向量場2 2

0ˆ xv yv e λrarr

minus= 計算其旋度 vnablatimes

解向量場 vrarr

畫在右邊你看得出有無漩渦

先計算旋度

2 20

ˆ ˆ ˆ

0 0x y z

x

x y zcurl v

v e λ

rarr

minus

= part part part2 2

2 2

0

0

ˆ

ˆ 2 0 0

x

x

z v ex

z v xe for x

λ

λ

minus

minus

part=

part

= minus ne ne

vrarr

的旋度在大部分的地方不為 0 且隨位置而不同但是你看得出這個

向量場裡有「漩渦」其實要檢驗一個向量場裡有無「漩渦」有一

個很物理的方法就是放一個小「螺旋槳」（左圖）

在場內將軸朝各個方向測試一

下如果有「漩渦」的話這個

小「螺旋槳」就會轉動右圖就是將「螺旋槳」的

軸平行於 z 軸且放在 x gt 0 的地方就可以看出左

邊的 v 場比右邊的強造成螺旋槳順時針轉動rArrcurlv zminus for x gt 0

但如果放在 x = 0 的地方就會看到左右兩端的 v 場強度相同而且

4-58

curlv = 0 「螺旋槳」放在 x lt 0 的地方就可以看出右邊的v 場比左

邊的強造成螺旋槳逆時針轉動這完全符合 curl v k+ 的結果

環路積分與旋度 curl 的物理意義

如同「散度」一樣「旋度」除了 Ftimesnabla 之外

還有一個物理意義更清楚的定義這個定義由

「線積分」說明如圖考慮做「逆時針」長方形

路徑 C1 的一個「環路積分」C1 面平行於 x-y 平

面由 z-軸看下去環路 C1 可以分為可以分為

下 CB上 CT右 CR左 CL 4 部分

CA drarrsdotint ＝

B T L RC C C CA d A d A d A drarr rarr rarr rarrsdot + sdot + sdot + sdotint int int int

分別計算由於 CB 的中點座標為 ( )2yx y zΔ

minus

ˆB BC C

A d A xdxrarr rarrsdot = sdot =int int

BxC

A dxint ( )2xyA x y z xΔ

asymp minus Δ

similarly 由於 CT 的中點座標為 ( )2yx y zΔ

+

ˆ( )T TC C

A d A xdxrarr rarrsdot = sdot minus =int int

TxC

A dxminusint ( )2xyA x y z xΔ

asymp minus + Δ

合併 CB 與 CT

B TC CA drarr

+sdot =int

( ) ( )2 2x xy yA x y z A x y z

x yy

Δ Δ⎡ ⎤minus + minus minus⎢ ⎥⎣ ⎦ Δ ΔΔ

（4-97）

由 C1 所圍的面積 S x yΔ = Δ Δ

1B TC C

A dS

rarr

+sdot =

Δ int( ) ( )

2 2x xy yA x y z A x y z

y

Δ Δ⎡ ⎤minus + minus minus⎢ ⎥⎣ ⎦Δ

（4-98）

所以當取極限 C1 收縮到中心(xyz)時 SΔ 收縮到 0ie

4-59

0limsΔ rarr

1B TC C

A dS

rarr

+sdot =

Δ int xAy

partminuspart

（4-99）

Similarly with CR 的 ˆd ydy= CL 的 ˆd ydy= minus 可得

1L RC C

A dS

rarr

+sdot =

Δ int x

zyxxFzyxxF yy

Δ

Δminusminus

Δ+ )

2()

2(

（4-100）

同樣的當取極限 C1 收縮到中心(xyz)時 SΔ 收縮到 0

0

limsΔ rarr

1L RC C

A dS

rarr

+sdot =

Δ int yAx

partpart

（4-101）

最後合併 CBCTCRCL 為 C1

10

1limCs

A ds

rarr

Δ rarrsdot =

Δ int y xA Ax y

part partminus

part partˆ ( ) ( )zz A A= sdot nablatimes = nablatimes （4-102）

注意 C1 的方向就是在 z 上式的重要

意義是當向量場 A 在一個以點(xyz)為

中心「方向為 z 」的面積元素的「邊界」

所做的環路積分得到的就是 A 在(xyz)

處旋度的 z-分量明顯的只有當 A 在

(xyz)附近有 x-y 平面上的「漩渦」那麼 C1 的環路積分才不會為 0

Similarly 取一個逆時針繞著(xyz)的平行於 x-z 平面的長方形環路 C2

（左圖）做環路積分再取極限將 C2 收縮到(xyz)就會得到

20

1limCs

A ds

rarr

Δ rarrsdot =

Δ int x zA Az x

part partminus

part partˆ ( ) ( )yy A A= sdot nablatimes = nablatimes （4-103）

注意到 C2 所包圍的面積方向就在 y到

現在我們應該已經很有經驗了若取一

個逆時針繞著(xyz)的平行於 y-z 平面

的長方形環路 C3（左圖）做環路積分

再取極限將 C3 收縮到(xyz)就會得到

4-60

30

1limCs

A ds

rarr

Δ rarrsdot =

Δ int yz AAy z

partpartminus

part partˆ ( ) ( )xx A A= sdot nablatimes = nablatimes （4-104）

能把（4-103）與（4-104）變出來的同學我們有優待綜合以上

我們可以得到一個結論若取一個以點(xyz)為中心的任意環路 Cn（其

所包圍的面積方向在 n ）則

n curl Aand rarrsdot ＝

0

1lims

Cn

A ds

rarr

Δ rarrsdot

Δ int （4-105）

明顯的當 n ＝ x 或 y 或 z 時我們可以重複（4-102）到（4-104）的

結果（4-70）式的行列式所定義的旋度在此看見其幾何物理意義

至此「旋度」的「漩渦」形象應該已經很清楚了只有在(xyz)點附

近的小圈圈上有「漩渦」 A 在小圈圈做的環路積分才會有值這個

值就是向量場 A 的「旋度」在小圈圈面積方向的分量

Stokersquos 定理

考慮一個開放面 S被其「有方向的」邊界 C 圈住(bounded by)則

( )S

A dsrarr rarrnablatimes sdotint ＝

C

A drarrsdotint （4-106）

pf 先將 S 面分割為 N 個多邊形這會使得邊界變成一個「折線」形

成的環路 P環路 P 會隨著分割的多邊形個數的增多而越加近似於原

「光滑的」邊界 C現考慮相鄰的

兩個多邊形的線積分由於共用邊

的方向是相反的所以相鄰兩個多

邊形線積分的和只剩「外邊界」（見左圖）所以當把所有的多邊形的

4-61

線積分加起來時由於只有邊界 P 不是多邊形的共用邊所以

1k

N

k C

A drarr

=

sdotsum int ＝P

A drarrsdotint rArr

P

A drarrsdotint ＝

1

1

k

N

kk k C

A d l ss

rarr rarr

=

⎡ ⎤sdot Δ⎢ ⎥

Δ⎢ ⎥⎣ ⎦sum int

其中 ksΔ 為第 k 個多邊形的面積取極限 0kN srarrinfinrArrΔ rarr P CrArr rarr

C

A drarrsdotint ＝

10

1limkk

N

kN k k Cs

A d ss

rarr

rarrinfin=Δ rarr

⎡ ⎤sdot Δ⎢ ⎥

Δ⎢ ⎥⎣ ⎦sum int 01

ˆlim ( )k

k kskn A s

infin

Δ rarr=

⎡ ⎤= sdot nablatimes Δ⎣ ⎦sum

01

ˆlim ( )k

k kskA n s

infin

Δ rarr=

= nablatimes sdot Δsum = ( )S

A dsrarr

nablatimes sdotint QED

ex55 由 Amperersquos law 的積分形式導出其微分形式

解Amperersquos law 的積分形式 C

B drarrsdotint ＝ I0μ (4-107)

由 Stokersquos 定理及電流密度 j 的定義上式等號兩端可寫為

rArr ( )S

B dsrarr rarrnablatimes sdotint ＝ 0 S

j dsμrarrsdotint

由於上面的等式對任意面 S（路徑 C）都成立所以被積函數相等

0B jμrarr rarr rarr

rArrnablatimes = (4-108) 此即 Amperersquos law 的微分形式

Ex56 Given a vector field ˆ ˆx yA ye xe= minus + (a) Find Anablatimes

解

ˆ ˆ ˆˆ ˆ(1 ( 1) 2

0x y z

x y zA z z

y xnablatimes = part part part = minus minus =

minus

(b)如圖一個金字塔狀的 5 面體高 2底邊長＝1計算 ( )S

A dsnablatimes sdotint

其中 S 為金字塔在 x-y 平面以上的部分方向如同

封閉的金字塔（運用 Stokersquos law）

解金字塔上表面的面積元素ds 不好寫由 Stokersquos

4-62

law ( )S

A dsrarr rarrnablatimes sdotint ＝

C

A drarrsdotint 其中封閉路徑 C 就是上表面的邊界而且

是逆時針（由 z 軸向下看）

C

A drarrsdotint ＝

1 1 0 0

0 0 1 1ˆ ˆ ˆ ˆA xdx A ydy A xdx A ydysdot + sdot + sdot + sdotint int int int

＝1 1 0 0

0 0 1 1x y x yA dx A dy A dx A dy+ + +int int int int 1 1 0 0

0 0 1 1( 0) ( 1) ( 1) ( 0)y dx x dy y dx x dy= minus = + = + minus = + =int int int int

0 1 1 0 2 ( ) 2S

A ds= + + + = rArr nablatimes sdot =int

旋度與 path independence

已知保守場 cF 對所有封閉路徑 C 0cC

F drarrsdot =int 由 Stokersquos 定理

0cC

F drarrsdot =int ＝ ( )cS

F dsrarr rarrnablatimes sdotint rArr 0cF

rarr rarrnablatimes =

這表示保守場＝無旋度反之無旋度的場任兩點間路徑積分與路

徑無關

Ex57 Given a field 2 2ˆ ˆ ˆ2A x xy yx zz= + minus (a) Find Anablatimes A 保守場

解2 2

ˆ ˆ ˆ

2x y z

x y zA

xy x znablatimes = part part part

minus

( ) ( ) ( )2 2 2 2ˆ ˆ ˆ( ) 2 ( ) 2 0y z z x x yx z x y xy z z x xy= part minus minuspart + part minuspart minus + part minuspart =

yes A =保守場

(b)如左圖由 A 到 B 做路徑積分A BC

A drarr

sdotint 路徑 C 為橢圓

22 1

16yx + = 在 x-軸以上的部分

解橢圓部分的路徑元素 d 有點麻煩但因為 A

為保守場所以 A 到 B 做路徑積分可以用 x = -1 到

1 的積分取代

4-63

01 1 1

1 1 1ˆ 2 0

yB

xAA d A xdx A dx xydx

=

minus minus minussdot = sdot = = =int int int int

∵

旋度在柱座標與球座標

前面討論過nabla在不同座標系的寫法旋度也有歸納出的一致寫法

座標 1 2 3 u u u

度量係數

1 2 3 h h h

nabla grad del

直角 x y z

1 1 1 nabla ˆ ˆ ˆx y z

x y zpart part part

equiv + +part part part

圓柱 zρ ϕ

1 1ρ

1ˆ ˆ ˆ zz

ρ ϕρ ρ ϕpart part part

nabla equiv + +part part part

球 r θ ϕ

1 sinr r θ

1 1ˆ ˆˆ sin

rr r r

θ ϕθ θ ϕ

part part partnabla = + +

part part part

所以柱座標與球座標的旋度分別表為

柱座標

ˆ ˆ ˆ1

z

z

Az

AA Aρ ϕ

ρ ρϕ

ρ ρ ϕρ

part part partnablatimes =

part part part （4-109）

球座標 2

ˆ ˆˆ sin1sin

sinr

r r r

Ar r

A rA r Aθ ϕ

θ θϕ

θ θ ϕθ

part part partnablatimes =

part part part （4-110）

ex58 (a) Given the vector function ˆA ϕ= sin (ϕ 2) find Anablatimes

解 2

ˆ ˆˆ sin1sin

0 sin( 2) 0

r r r

Ar r

r

θ θϕ

θ θ ϕϕ

part part partnablatimes =

part part part

4-64

21 ˆˆ cos sin sinsin 2 2 2

rr rr

ϕ ϕθϕθ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

ˆˆ cos sin2 sin 2 2

rr r

ϕ ϕ ϕθ

minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

(b)如左圖一個底面在 x-y 平面半徑＝1高＝2 之圓錐 求面積分

SA dsnablatimes sdotint 面積範圍 S 為圓錐在 x-y 平面以上

部分 方向為由圓錐內向外

解由 Stokersquos law ( )S

A dsrarr rarrnablatimes sdotint ＝

C

A drarrsdotint 其中路

徑 C 為 x-y 平面圓心在原點之單位圓 ˆ ˆd rd dϕ ϕ ϕ ϕ= =

2

0ˆ ˆsin sin

2 2C

d dπϕ ϕϕ ϕ ϕ ϕ⎛ ⎞ ⎛ ⎞sdot =⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠int int ( )0

2 sin u duπ

= int 0cos | 2u π= minus =

習題 16 磁場 B 因為不是保守場所以沒有對應的純量位而對應一

個向量位 A (vector potential)而 B A= nablatimes 一個磁鐵的磁偶極矩

ˆm mz= 被置於原點已知在遠處的 vector potential 03ˆ sin

4mAr

μϕ θπ

=

計算該處的磁場 B Ans 03

ˆˆ( 2cos sin )4

mB rr

μ θ θ θπ

= + 與電偶極遠處

的電場形式一致都是偶極(dipole) 選幾個點畫一畫該處的場向量

把磁力線描出來

附錄本章講義的內容有部分可以經由直接計算得出列在附錄做為

參考

用「圓柱座標」寫 Atimesnabla

Ararr rarrnablatimes ＝ ( )1ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ zz A A zA

z ρ φρ ϕ ρ ϕρ ρ ϕpart part part⎛ ⎞+ + times + +⎜ ⎟part part part⎝ ⎠

4-65

因為rdquo sdotrdquo與rdquotimes rdquo都是向量間的運算所以

＝ ( )ˆ ˆ ˆ ˆ zA A zAρ φρ ρ ϕρpart

times + +part

＋ ( )1ˆ ˆ ˆ ˆ zA A zAρ φϕ ρ ϕρ ϕ

parttimes + +

part

＋ ( )ˆ ˆˆ ˆ zz A A zAz ρ φρ ϕpart

times + +part

直接做上式微分可以得到

＝1ˆ z AA

zϕρ

ρ ϕpart⎛ ⎞part

minus⎜ ⎟part part⎝ ⎠＋ ˆ zA A

zρϕ

ρpart⎛ ⎞part

minus⎜ ⎟part part⎝ ⎠＋

1 1ˆ ( )A

z A ρϕρ

ρ ρ ρ ϕpart⎛ ⎞part

minus⎜ ⎟part part⎝ ⎠

上式可以用一個行列式來表示

rarrrarr

timesnabla A＝

ˆ ˆ ˆ1

z

z

zA A Aρ ϕ

ρ ρϕ

ρ ρ ϕρ

part part partpart part part

（A-1）

A and Anabla nablasdot nablatimes in 球座標 spherical coordinate

如上圖球座標 )( ϕθr 其中 )0[ infinisinr ]0[ πθ isin ]20[ πϕ isin 只有 r

是長度而 ϕθ 為角度是用來說明方向的三個座標的單位向量 ˆ ˆˆ r θ ϕ 具

有下列性質

4-66

1 如上圖 ˆ ˆˆ r θ ϕ 都不是常數而是（ ϕθ ）的函數

ˆ ˆ( )ˆ ˆ( )ˆ ˆ( )

r r θ ϕ

θ θ θ ϕϕ ϕ ϕ

⎧ =⎪

=⎨⎪ =⎩

)( ϕθr 與(xyz)之間的轉換如下

sin cossin sincos

x ry rz r

θ φθ φθ

=⎧⎪ =⎨⎪ =⎩

( )122 2 2

2 2

tan

tan

r x y z

x yz

yx

θ

φ

⎧ = + +⎪⎪ +⎪ =⎨⎪⎪ =⎪⎩

（A-2）

2 ˆ ˆˆ r θ ϕ 形成一「歸一正交集」ie

ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ 1r r θ θ ϕ ϕsdot = sdot = sdot = ˆ ˆr θ ϕperp perp

ˆ ˆr θ ϕtimes = ˆ ˆ rθ ϕtimes = ˆˆ rϕ θtimes = （A-3）

3可以很容易的由他們在 xyz 軸上的投影由直角

座標的 ˆ ˆ ˆ x y z 表出

ˆ ˆ ˆ ˆsin cos sin sin cos ( 4 )ˆ ˆ ˆ ˆcos cos cos sin sin ( 4 )ˆ ˆ ˆsin cos ( 4 )

r x y z A a

x y z A bx y A c

θ φ θ φ θ

θ θ φ θ φ θϕ φ φ

= + + minus⎧⎪

= + minus minus⎨⎪ = minus + minus⎩

4 ˆdr = 由於 ˆ ˆ( )r r θ φ= 所以由 ϕθ 的變動來看

4-67

ˆ ˆˆ| |ˆ ˆˆ| | sin sin

d r d d

d r d d

θ θθ θθ

φ θ φφ θ φφ

⎧ rArr =⎪⎨

rArr =⎪⎩rArr ˆ ˆˆ sindr d dθ θ φ θ φ= + （A-5）

rArrˆ ˆr θθpart

=part

ˆ ˆsinr θφφpart

=part

（A-6）

（A-6）的結果也可以直接由（A-4a）對 ϕθ 偏微得到

5 ˆdθ ＝ 由於 ˆ ˆ( )θ θ θ φ= 所以由 ϕθ 的變動來看

ˆ ˆ ˆ| | ( )ˆ ˆ ˆ| | cos cos

d d r d r

d d d

θ θ θ θ

φ θ θ φφ φ θ φ

⎧ rArr minus = minus⎪⎨

rArr =⎪⎩rArr ˆdθ ＝ ˆˆ cosrd dθ φ θ φminus + （A-7）

ˆrθ

θpart

rArr = minuspart

ˆ ˆcosθ φ θφpart

=part

（A-8）

請直接由（A-4b）對 ϕθ 偏微的結果 check（A-8）

6 ˆdφ ＝由於φ )(ϕ 躺在 x-y 平面上變動φ時的方向可能不是那麼

容易看出來所以做圖看一看

ie ˆ ˆˆ(sin ) (cos )d r d dφ θ φ θ θ φ= minus minus （A-9）

4-68

ˆ ˆˆsin cosrφ θ θ θφpart

= minus minuspart

7 所有的向量 ˆ ˆˆ rA rA A Aθ φθ φrarr= + +

8 位置向量 ˆr rrrarr=

可以由左圖 ˆ ˆˆ r θ ϕ 三個方向的「長度

變化」輕易的看出

9 位移元素

ˆ ˆˆ ˆ sindr rdr rd dθ θ ϕ θ φ= + + (A-10)

10 體積元素

sindv dr r d rdθ φ θ= sdot sdot

＝ 2 sinr dr d dθ θ φ (A-11)

11 面積元素 2 sinrds r d dθ θ φ= plusmn sinds r drdθ θ φ= plusmn ds rdrdφ θ= plusmn (A-12)

plusmn號表示面的垂直方向有兩個端看 ds 周邊的方向是如何定的

nabladel 考慮 ( )u u r θ φ=

rArru u udu dr d dr

θ φθ φ

part part part= + +part part part

u d rrarr rarr

equiv nabla sdot

urarr

= nabla sdot ˆ ˆˆ( sin )rdr rd dθ θ φ θ φ+ +

rArr1 1ˆ ˆˆ

sinu u uu rr r r

θ ϕθ θ φ

rarr part part partnabla = + +

part part part

1 1ˆ ˆˆsin

rr r r

θ ϕθ θ φ

rarr part part partnabla equiv + +

part part part （A-13）

4-69

直接用（A-13）與 ˆ ˆˆ rA rA A Aθ φθ ϕrarr= + + 逐項內積加上（A-678）

rArr ϕθ

θθθ

ϕθ part

part+

partpart

+partpart

=sdotnablararrrarr A

rA

rAr

rrA r sin

1)(sinsin1)(1 2

2 （A-14）

（A-13）與 ϕθ ϕθ AAArA r

andandandrarr

++= 逐項外積整理之後

ϕθ θϕθ

ϕθθ

θArrAA

r

rrr

rA

r sin

sin

sin1

2 partpart

partpart

partpart

=timesnabla

andandand

rarrrarr

（A-15）

Laplacian uu nablasdotnabla=nabla2

2

2

2222

22

sin1)(sin

sin1)(1

ϕθθθ

θθ partpart

+partpart

partpart

+partpart

partpart

=nablau

ru

rrur

rru （A-16）

B推導「散度」在圓柱座標的寫法

讓我們先回顧一下在直角座標裡的「面積元素」可以由「位移元素」

得到

ˆˆ ˆ x y zdr idx jdy kdz da dydz dxdz dxdy= + + rArr =

比照辦理「圓柱座標」的位移元素

( )ˆˆ ˆ( )

( )z

da d dzdr d d zdz da d dz

da d d

ρ

φ

ρ φ

ρ ρ φ ρ φ ρ

ρ ρ φ

=⎧⎪= + + rArr =⎨⎪ =⎩

這個結論可以輕易的由面積元素在垂直於 zˆˆ ϕρ 三個方向的面積看

出如下圖考慮一個以 )( zϕρ 為中心的「圓柱體積元素」(cylindrical

cubiod)體積為 zdV ΔΔ=Δ ϕρρ 現計算在 ρ

方向的 12 兩個平行面(方向各為 ρplusmn )的通

量

4-70

zzF

dsFdsnFS S

ΔΔ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

+cong

=sdotintint intintϕρρϕρρρ

ρ

2

2

ˆ1 1

zzF

dsFdsnFS S

ΔΔ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

minus⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

minusminuscong

minus=sdotintint intintϕρρϕρρρ

ρ

2

2

ˆ2 2

intint+

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

minus⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

minusminus⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

+Δ

asympsdotΔ

rArr21

22

22

1ˆ1

SS

zFzFdsnFV

ϕρρρρϕρρρρρρ ρρ

( ) ( )

1 20

0

0

1 ˆlim

1lim 2 2 2 2

1 1lim 2 2

1

VS S

F ndsV

F z F z

F z F z

F

ρ ρρ

ρ ρρ

ρ

ρ ρ ρ ρρ ρ φ ρ ρ φρ ρ

ρ ρρ ρ φ ρ ρ φρ ρ

ρρ ρ

Δ rarr+

Δ rarr

Δ rarr

rArr sdotΔ

Δ Δ Δ Δ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + + minus minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥Δ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦Δ Δ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥Δ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

part ⎡ ⎤= ⎣ ⎦part

intint

娛樂一下用上述方式把圓柱的 Fsdotnabla 裡的z

FF z

partpart

+partϕρϕ1

變出來

球座標的nabla和 Fsdotnabla 也可以試試看

補充習題

H M Scheydiv grad curl and all that 4th edition

第二章習題 6 8 9 10 11 14 15 16 18 19 21 22 23 25 26 27

第三章習題 2 3 5 6 7 8 9 10 11 14 15 17 18 19 24

4-15

Ex13 半徑 5圓心在原點的圓方程式在直角座標為 2 2 25x y+ =

但是在極座標就是 5r = 而已

位置位移速度與加速度

直角座標的描述很簡單

ˆ ˆˆ ˆ

ˆ ˆ

r xx yy

r xx yy

dr dxx dyy

= +

Δ = Δ + Δ

= +

位置

位移

位移元素

（4-33）

2 2

2 2

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( )

ˆ ˆ( )

ˆ ˆ ˆ ˆ( )

x ydr dx dyv t x y xx yy v x v ydt dt dt

dv t dxx dyydv dx dy d x d ya t i j i jdt dt dt dt dt

rArr = = + = + = +

rArr = +

rArr = = + = +

瞬時速度

速度變化元素

瞬時加速度

（4-34）

在極座標由於單位向量 θr 不再是常數 ˆˆ 0 0dr dθrArr ne ne 所以

ˆ

ˆ ˆ( )ˆ ˆ

r rrr r r r r

dr drr rdr

=

Δ = Δ + Δ

rArr = +

位置

位移

位移元素

(4-35)

現在有一個問題 ˆ dr = 由下圖 r 的變化由 dθ 而來

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( )ˆ ˆ

ˆˆ ˆ ˆ0 ( ) ˆˆ

r r dr r d rdr r d d

d dr r dr

dr d

θ θ θ θθ θ

θ θ θ

θθ

= rArr = + minus

= =

rarr rArr perp rArr

rArr =

∵

∵ (4-36)

4-16

所以微分的位移為

ˆˆdr drr rdθθ= + （4-37）

上式的幾何意義很清楚dr 的 r 分量 dr 就是「沿

r 方向的長度變化」而θ 分量 rdθ 就是「沿θ 方

向的長度變化」而已或者也可以這麼看dr 是

一個位移向量在平面上有 r 和θ 兩個分量所以 ˆˆrdr d r d θθ= +

α 為在 r 方向的長度變化β 為在θ 方向的長度變化所以 rd dr=

d rdθ θ= 這種分析方法可以用在各種座標系這裡也可以看出

和（4-32）式角度變化dθ 造成的長度變化d h dθ θ θ= 相比可以得出

θ 的度量係數h rθ = 與直角座標比較 ˆ ˆdr dxx dyy= + dx 與 dy 不也就

是dr 在 x 與 y 方向的長度變化嗎

Now 速度

ˆˆ

ˆ ˆˆ ˆr

dr dr dv r rdt dt dtrr r v r vθ

θ θ

θθ θ

= = +

= + equiv + （4-38）

其中ddtθθ ω= = 亦稱為「角速度」

Ex14 圓周運動因為只有切線速度所以由（4-38）式 ˆ ˆ0

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( ) = ( ) ( ) ( 0)

r R r v r R

dv dr r d r d r d r d dr

θθ ωθ

θθ θ θ θ θ θ θ θ θ

= rArr = rArr = =

rArr = + + + =

∵

∵

（ 切線速度）(4-39)

這裡又冒出個問題

ˆ dθ = 由左圖

ˆ ˆ

ˆ ˆ0

d d d

d d

θ θ θ θ

θ θ θ

= =

rarr rArr perp

4-17

ˆ ˆ ˆ ˆ

d r

d d r

θ

θ θ

rArr minus

rArr = minus (4-40)

2

2

ˆˆ( ) ( )

ˆˆ

ˆ ˆˆ ˆ( ) ( )ˆˆ ( ) ( )

r

dv r d r r d

dv d da r r rdt dt dt

a r r r a r a

or a r r rθ

θ θ θ θ

θ θθ θ

θ θ θ θ

ω α θ

rArr = minus +

⎛ ⎞⎛ ⎞rArr = = minus +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

rArr = minus + equiv +

= minus +

(4-41)

上式即為圓周運動的加速度其中的第一項

2

2 ˆ ˆrva r r rr

ω minus= minus = 向心加速度 (4-42a)

with α θ= 可以認出是角加速第二項

ˆa rθ αθ= 切線加速度 (4-42b)

如進一步簡化為「等速圓周運動」 ==rArr θω constant 0==rArr αθ rArr切線

加速消失那麼加速度就只剩下了熟知的向心加速度2

ˆrva rrminus

= 了

若考慮一般的情況 dr 0ne 可以導出用極座標表示的加速度為

2

ˆ ˆ ˆ ˆˆ( ) ( ) ( ) ( )

ˆˆ( ) (2 )

dv dr r r d dr r d r ddva r r r r rdt

θ θ θθ θ θ θ θ

θ θ θ θ

= + + + +

rArr = = minus + + （4-43）

看起來有點繁但是在有圓形對稱的系統極座標會表現得更清楚

面積微分元素

直角座標把平面分割成一個個的

小方塊也就是依照「x 與 y 方向的

長度變化」可以寫出「面積元素」

dA dx dy= sdot （像是切長方形的蛋糕）

比較 ˆ ˆdr dxx dyy= + 可以看出

dA＝(x-方向的長度變化)times(y-方向的長度變化)

4-18

所 以 在 「 極 座 標 」 比 照 辦 理

ˆˆ ˆ( ) ( )dr dr r rdr dr r rdθθ= + = +

dA dr rd rdrdθ θ= sdot = (4-44)

像是切圓形蛋糕

ex15 求一個半徑 R 的圓的面積

解 2 2

2

0 0

22

R RA dA rdrd rdr d Rπ

θ θ π π= = = = sdot =int intint int int

妳可以試試用直角座標dA dx dy= sdot 算一下圓的面積

Ex16 求一個半徑 R質量 M密度σ 的均勻圓盤繞其直徑的轉動慣

量解 質量元素 dAdm σ= 到轉軸（直徑）的距

離 sinr θ=

2 2 2 2

23 2

0 0

4 22 2

sin

sin

14 4 4

R

I dm dA r rdrd

r dr d

R RR MR

π

σ σ θ θ

σ θ θ

σ π σπ

= = =

=

= = =

int int intintint int

娛樂一下算半個圓盤繞通過圓心且垂直盤面的軸的轉動慣量

ex 17 計算積分2xI e dx

infinminus

minusinfin

= int

解 2 2

0

2x xI e dx e dxinfin infin

minus minus

minusinfin

= =int int2 22

0 0

2 2x yI I I e dx e dyinfin infin

minus minusrArr = sdot = sdotint int

2 2 2 22

2 ( )

0 0 0 0 0 0

4 4 4x y r rI e dxdy e dA e rdr d

π

θinfin infin infin infin infin

minus + minus minusrArr = = =int int int int int int

在上面的積分裡我們運用了一個有關「無窮大平面」的技巧就是「無

4-19

窮大的平面」是可以是「正方形」或是「圓形」的

2

2

22

00 0 0

22

4 2 2( )2 2 2

(4 45)

u u u

x

dulet u r du rdr rdr

duI e d e du e

I e dx

π

π πθ π

π

infin infininfinminus minus minus

infinminus

minusinfin

= rArr = rArr =

rArr = = sdot = minus sdot =

rArr = = minus

int int int

int

ex18 重力位能

由位能差的定義 )()()( BAWBUAU rarrequivminus

（B）圓柱座標 cylindrical coordinates

3D 空間點 P(x y z)的位置向量 ˆ ˆ ˆr xx yy zz= + +

定義「圓柱座標」 ( )zρ ϕ 其中

0 [0 )P zρ ρ ρequiv ge there4 isin infin點 到 軸之垂直距離

ϕ ρequiv 在 x-y 平面的投影與 x 軸之夾角 [02 ]ϕ πisin

z zequiv同直角座標的

4-20

「圓柱座標」就是「極座標」（用 ( )ρ ϕ 取代 ( )r θ ）再加上第三維 z

所以圓柱座標 ( )zρ ϕ 裡 zρ 的因次為長度而ϕ 只是一個數字

( )zρ ϕ 與(x y z)間的轉換如下

2 2 cos

tan sin

x yx

y yx

z zz z

ρρ ϕ

ϕ ρ ϕ

⎧ = +=⎪ ⎧

⎪ ⎪= =⎨ ⎨⎪ ⎪ =⎩=⎪⎩

（4-46）

「圓柱座標」的三個方向單位向量 ˆ ˆ ˆ zρ ϕ 如圖

且 ˆ ˆ zρ ϕperp perp 可以看出ρ 的等值面為一個圓柱

面ϕ 的等值面是一扇門z 的等值面為一個垂

直 z 軸的平面但是

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( ) zρ ρ ϕ ϕ ϕ ϕ= = =常數

柱座標的位置向量 r 如左圖

ˆ ˆr zzρρ= + （4-47）

在柱座標寫位移元素dr 有兩種作法一

種是直接由（4-47）式取微分元素 借用

平面極座標的結果可得

ˆ ˆ ˆ( ) ( )

ˆ ˆ ˆdr d d dzz

d d dzzρ ρ ρ ρ

ρρ ρ ϕϕrArr = + +

= + + （4-48）

但也可以由三個座標方向的

位移來看由左圖可得沿 ρ 方向

的長度變化 ie 當座標ρ 有變

化dρ 時產生的長度變化就是

dρ 沿ϕ 的長度變化為 dρ ϕ

而沿 z 方向的長度變化為 dz

4-21

dr 是一個向量有三個分量ρ -分量就是沿 ρ 方向的長度變化

dρ ϕ -分量沿ϕ 的長度變化為 dρ ϕ 而 z-分量就是沿 z 方向的長度變

化為 dz合併寫出

ˆ ˆ ˆdr d d dzzρρ ρ ϕϕ= + +

與（4-48）式完全相同但是這種由幾何角度得到的結果要更方便

也更直觀Fig 27 非常重要因為只要你能把圖畫出來位移的各

分量就寫得出來有了位移元素dr 速度與加速度就可得出

ˆ ˆ ˆ (4 49)

ˆ ˆ ˆ( ) (2 ) (4 50)

drv zzdtdva zzdt

ρρ ρϕϕ

ρ ρϕ ρ ρϕ ρϕ ϕ

rArr = = + + minus

rArr = = minus + + + minus

由上圖與dr 的 3 個分量可得圓柱座標的體積元素

dV d d dz d d dzρ ρ ϕ ρ ρ ϕ= sdot sdot = （4-51）

ex19 底面半徑 R高 h 的圓柱體積＝ 2 2

2

0 0 0

22

R h RV dV d d dz h R hπ

ρ ρ ϕ π π= = = sdot sdot =int int int int

ex20 底面半徑 R高 h 的「圓錐」體積＝

解本圓錐裡點的座標分佈為 [02 ] [0 ]z hϕ πisin isin ( )zρ ρ=

( ) ( )( )

h z h Rz h zz R h

ρρminus

= rArr = minus

22( )( ) 2 2

0 0 0 0 0 0

002 2 2 3 2 32 2 2

2 2 2 20

( )2 2

2

1( )3 3 3

R h zzh h hh

h

h h

R h zhV d dz d d dz d dz

R R R u R hh z dz u du R hh h h h

ρ π

τ ρ ρ ϕ π ρ ρ π

π π π π π

minus

minus minus

minusthere4 = = = =

= minus = = = =

int int int int int int int

int int

如果我們把 3-D 的三個座標寫為 1 2 3( )u u u 或 123iu i = 當座

標 ui(在 ˆiu 方向)變動 dui 時造成的長度變化為 id 則定義

4-22

i i id h duequiv (4-52)

其 中 hi 稱 為 座 標 ui 的 度 量 係 數 (metric

coefficient)由 zρ 的因次為長度所以 zρ 的變

化 d dzρ 就是長度的變化所以 1 1zh hρ = =

然而ϕ 的變化造成的長度變化為

d d hϕ ϕρ ϕ ρ= rArr = (4-53)

很明顯的直角座標 xyz 都是長度所以度量係數 1x y zh h h= = =

(C) 球座標 spherical coordinates

3D 點 P(x y z)的位置向量 ˆ ˆ ˆr xx yy zz= + + 定義

「圓柱座標」 )( ϕθr 其中

[0 ] [0 ]

[02 ]

r P rr zr x y x

θ θ πϕ

ϕ π

⎧ equiv isin infin⎪

equiv isin⎪⎨

equiv minus⎪⎪ isin⎩

原點到 的距離

與 軸的夾角

在 軸投影與 軸的夾角

球座標的ϕ 與住座標的ϕ 相同

( )r θ ϕ 與(x y z)間的轉換如下下列為（4-54）

2 2 2

2 2 2

sin coscos sin sin

cos

tan

r x y zx r

z y rx y z z r

yx

θ ϕθ θ ϕ

θ

ϕ

⎧⎪ = + +⎪ =⎧⎪ ⎪= =⎨ ⎨

+ +⎪ ⎪ =⎩⎪⎪ =⎩

三個座標的單位向量 )ˆˆˆ( ϕθr 如左圖一可以看

出 r 的等值面是一個球面θ 的等值面為一個

以原點為頂點的圓錐ϕ 的等值面為一扇門

位置向量 ˆr rr= （4-55）

4-23

位移由 ˆ ˆˆ( )r θ ϕ 3 個方向的「長度

分量」可得 ˆ ˆˆ ( ) ( sin )dr rdr rd r dθ θ ϕ θ ϕ= + +

（4-56）

所以體積元素

2

( )( sin )(sin )

d dr rd r dr dr d d

τ θ θ ϕ

θ θ ϕ

=

= （4-57）

Fig 31 和 Fig 27 一樣重要只要

你能畫得出來就可以寫出球座

標位移的三個分量

ex21 求一半徑 R 的球體積 2

2 2 3

0 0 0

4sin sin3

R

V d r dr d d r dr d d Rπ π

τ θ θ ϕ θ θ ϕ π= = = =int intintint int int int

ex22 求一質量 M半徑 R密度 ( )3 4 3M Rρ π= 的實心球對直徑

旋轉的轉動慣量

解質量元素 2 sindm d r dr d dρ τ ρ θ θ ϕ= = 到 z 軸的垂直距離為 sinr θ=

22 4 3

0 0 0

5 52

sin

4 8 225 3 15 5

RI dm r dr d d

R R MR

π πρ θ θ φ

πρ π ρ

= =

= sdot sdot = =

intintint int int int

娛樂一下空心球對直徑的轉動慣量

(4-46)式與(4-54)式說明柱座標和球座標與直角座標之間的轉

換Fig 32 可得出柱座標和球座標之間轉換

2 2

sintan

cos

r zr

zz r

ρρ θ

ρϕ ϕ θθ ϕ ϕ

⎧ = += ⎪⎧

⎪ ⎪= =⎨ ⎨⎪ ⎪=⎩ =⎪

⎩

（4-58）

4-24

Ex23 點 P 的球座標為（31200 600）求柱座標＝

解2 3 33sin3 2πρ ⎛ ⎞= =⎜ ⎟

⎝ ⎠

23

ϕ π= 2 33cos3 2

z π minus⎛ ⎞= =⎜ ⎟⎝ ⎠

直角座標柱座標球座標單位向量之間的轉換

三種座標之間的轉換由(4-46)式(4-54)式與（4-58）式表出但

三種座標裡的的三個單位向量 ˆ ˆ ˆ x y z ˆ ˆ ˆ zρ ϕ ˆ ˆˆ r θ ϕ 若以 123ˆ iu =

表示則單種座標的單位向量之間都有正交歸一關係

ˆ ˆi j iju u δsdot = 與外積的循環關係

ˆ ˆ ˆ i j ku u u i j ktimes = cyclic in 123

ie 1 2 3 2 3 1 3 1 2ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ u u u u u u u u utimes = times = times = or ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆˆ ˆ r z z x yθ ϕ ϕ ρtimes = times = times =

然而不同座標系的單位向量之間關係如何我們畫圖來討論

球座標 ˆ ˆˆ( )r θ ϕ rarr直角座標 ˆ ˆ ˆ( )x y z

單位向量都是用來指方向的球座標的 ˆ ˆˆ( )r θ ϕ 都是「方向角」( )θ ϕ

的函數 r 在直角座標可以由 Fig33 看出

ˆ ˆ ˆ ˆsin cos sin sin cosr x y zθ ϕ θ ϕ θ= + + （4-59）

ex24 P 點的球座標為2 75 3 6π π⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠

試用球座標與直角座標求 P 點的位

置向量的單位向量 解位置向量 ˆr rr= 在球座標只有 r-分量標位置仔細一點把方向

角標出2 7ˆ 3 6

r π π⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

通常只是寫 r 令人有點摸不著頭緒用直角

4-25

座標比較「具像」 2 7 2 7 2ˆ ˆ ˆ ˆsin cos sin sin cos3 6 3 6 3

3 3 1ˆ ˆ ˆ4 4 2

r x y z

x y z

π π π π π⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞minus minus minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + +⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

單位向量θ 在某一組 ( )θ ϕ 的指向如 Fig 34a將θ 平移至原點更清楚

Fig34b 是由側面看 Fig34a可以看到θ 在 z 軸的投影為 sinθminus 而θ 在

x-y 平面的投影為cosθ使得θ 在 x-軸的投影為cos cosθ ϕy-軸投影

為cos sinθ ϕ於是

ˆ ˆ ˆ ˆcos cos cos sin sinx y zθ θ ϕ θ ϕ θ= + minus （4-60）

單位向量ϕ 如 Fig 35a 所示是在 x-y 平面畫出

Fig 35b 為自 z 軸向下看 Fig35a 圖可以看出ϕ 在 z 軸投影為 0且

ˆ ˆ ˆsin cosx yϕ ϕ ϕ= minus + （4-61）

ex25 一個質點的速率為 2( ) ( sin tan )v r rθ ϕ θ ϕ= 若經查該質點的運

動 是 在 z = 3 平 面 做 逆 時 針 圓 周 運 動 則 當 位 置 的 方 向 角

4-26

2( ) 4 3π πθ ϕ ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

時計算其速度用球座標與直角座標表出

解圓運動速度方向是沿切線所以球座標 ˆ ˆ( )v v v rϕ θ ϕ ϕ= =

z = 34πθ =

3 3 21cos cos 24

z zrπθ

rArr = = = =⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

所以該處的瞬時速率

2 2

2( ) 3 3 4 3

2 1 813 3sin tan 3 3 ( 3)4 3 22

v r v π πθ ϕ

π π

⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

⎡ ⎤ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = times minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

2 81 2ˆ3 3 4 3 2 4 3

v r π π π πθ ϕ ϕ⎛ ⎞ ⎛ ⎞rArr = = = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

在直角座標2 2 2ˆ ˆ ˆ sin cos

4 3 3 3x yπ π π πϕ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠3 1ˆ ˆ

2 2x y= minus minus

而且點23 3

4 3π π⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠

的直角座標為

2 1 3 3sin cos 3 3sin cos 3 34 3 2 22 2

x r π πθ ϕ minus minus⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

2 3 9sin sin 3 3sin sin 3 34 3 2 2 2 2

y r π πθ ϕ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = = =⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

z = 3

23 3 4 3

v π π⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

3 3 9 81 3 1ˆ ˆ 32 2 2 2 22 2

v x y⎛ ⎞ ⎛ ⎞

rArr = minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

以上兩個例子都只討論只有一個圓座標分量的向量in general 向量

ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( )r x y zA r rA A A A r xA yA zAθ ϕθ ϕ= + + hArr = + + （4-61）

若已知球座標的分量 ( )rA A Aθ ϕ 如何得到直角座標的

( )x y zA A A

4-27

ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( )ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( )

ˆ ˆˆˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( )

x r

y r

z r

A x A r x r A x A x A

A y A r y r A y A y A

A z A r z r A z A z A

θ ϕ

θ ϕ

θ ϕ

θ ϕ

θ ϕ

θ ϕ

⎧ = sdot = sdot + sdot + sdot⎪⎪ = sdot = sdot + sdot + sdot⎨⎪

= sdot = sdot + sdot + sdot⎪⎩

（4-62）

由式（4-59）（4-61） ˆ ˆ ˆ ˆsin cos sin sin cosr x y zθ ϕ θ ϕ θ= + + （4-59） ˆ ˆ ˆ ˆcos cos cos sin sinx y zθ θ ϕ θ ϕ θ= + minus （4-60）

ˆ ˆ ˆsin cosx yϕ ϕ ϕ= minus + （4-61） ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆsin cos cos cos sin ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆsin sin cos sin cos ˆ ˆˆˆ ˆcos sin 0

x r x x

y r y y

z r z z

θ ϕ θ θ ϕ ϕ ϕ

θ ϕ θ θ ϕ ϕ ϕ

θ θ θ ϕ

⎛ ⎞sdot = sdot = sdot = minus⎜ ⎟

rArr sdot = sdot = sdot =⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟sdot = sdot = minus sdot =⎝ ⎠

（4-63）

sin cos cos cos sin sin sin cos sin cos

cos sin 0

x r r

y RS

z

A A AA A M AA A A

θ θ

ϕ ϕ

θ ϕ θ ϕ ϕ

θ ϕ θ ϕ ϕ

θ θ

⎛ ⎞minus ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟rArr = equiv⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟minus⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

（4-64）

其中 SRM 為由球座標分量轉為直角座標分量的轉換矩陣且行列式

det SRM =1 表示反矩陣存在then 1SRM minus 就是將直角座標分量轉為球座

標分量之轉換矩陣其實嚴格講 (4-64)式還不是最終的表示因為

轉換完的直角

座標應該全部以 x y z 表出這裡保留用 θ ϕ 只是為了簡潔方便

習題 2 Find 1SRM minus

習題 3 用 xyz 表出(a)sinθ (b)cosθ (c)sinϕ (d)cosϕ

Ans (a)2 2

2 2 2sin

x yx y z

θ+

=+ +

(b)2 2 2

cos zx y z

θ =+ +

(c)2 2

sin yx y

ϕ =+

(d)2 2

cos xx y

ϕ =+

習題 4 用上面結果將 SRM 用 xyz 表出

Ex26 Given a field ( )A r θ ϕ ＝ ˆ ˆˆ2 3r θ ϕ+ minus in spherical coordinates

find the field in rectangular coordinates （直角座標）

4-28

解這裡的 ( )A r θ ϕ 不因其三個分量都是常數而只是「一個」向量

而是一 vector field這是因為 ˆ ˆˆ r θ ϕ 都不是定值而與 θ ϕ 有關而如

果 ( )A r θ ϕ 表示則單位向量所對應的角度 θ ϕ 必須要標定所以

sin cos cos cos sin 2sin sin cos sin cos 3

1cos sin 0

x

y

z

AAA

θ ϕ θ ϕ ϕ

θ ϕ θ ϕ ϕ

θ θ

⎛ ⎞minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ minusminus⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

(2sin 3cos )cos sin(2sin 3cos )sin cos

2cos 3sin

x

y

z

AAA

θ θ ϕ ϕθ θ ϕ ϕ

θ θ

+ +⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟rArr = + minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟minus⎝ ⎠ ⎝ ⎠

習題 5 Draw a diagram to show in the cylindrical coordinates

(a) ˆ ˆ ˆcos sinx yρ ϕ ϕ= + (b) ˆ ˆ ˆsin cosx yϕ ϕ ϕ= minus + (c) ˆ ˆz z=

習題 6 use the above results show that 由柱座標分量轉為直角座標分

量的轉換矩陣

x

y CR

z z

A AA M AA A

ρ

ϕ

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟=⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

CRM =

2 2 2 2

2 2 2 2

0cos sin 0sin cos 0 0

0 0 10 0 1

x yx y x y

y xx y x y

ϕ ϕ

ϕ ϕ

minus⎛ ⎞⎜ ⎟+ +⎜ ⎟⎛ ⎞minus⎜ ⎟⎜ ⎟

= ⎜ ⎟⎜ ⎟+ +⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

Ex27 Express vector ˆ ˆ ˆ(3cos ) 2 5A zρ ϕ ϕ ρ= minus + in Cartesian

coordinates Specifically the A at the position of (2 2 3π -3)

解

2cos sin 0 3cos 3cos 2 sinsin cos 0 2 3cos sin 2 cos

5 50 0 1

x

y

z

AAA

ϕ ϕ ϕ ϕ ρ ϕϕ ϕ ρ ϕ ϕ ρ ϕ

⎛ ⎞minus ⎛ ⎞+⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟= minus = minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

so that A (2 2 3π -3)= 3 3 3ˆ ˆ ˆ3 3 3 54 4

x y z⎛ ⎞⎛ ⎞+ + minus +⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠注意本

題裡 z 座標並非一變數

4-29

sect 43 Fields and its properties 場與其性質

「場 field」是什麼凡是在「某個空間中每一點」都有定義的量

就是一個「場」所以「場」也稱為「點函數 point function」簡單的

說凡是「空間的函數」都是「場」如果這個「空間的函數」是一個

純量 u(xyz)那麼 u(xyz)就是一個「純量場 scalar field」例如室內

的溫度 T(xyz)一塊豬肉的密度 ( )x y zρ 大氣中的壓力 p(xyz)等

都是純量場如果這個「空間的函數」是一個向量 )( zyxA 那麼

)( zyxA 就稱為「向量場 vector field」例如空間中的電場 )( zyxE

水流中的速度場 )( zyxv 重力場 )( zyxg 等等很顯然的不論是純量

場還是向量場「場」在空間中的分佈通常未必是均勻的那麼她有

什麼性質呢例如一塊豬肉內部密度是如何變化的水流中有沒有

漩渦大氣中的等壓線是如何變化的等等那麼有沒有什麼量可以

有系統的描述各種場的分佈有我們在以下分別討論

sect 431 Gradient of scalar fields 純量場的梯度

考慮一個純量場 f(xyz)可以視為 3 個變數 xyz 的函數當變數變動為

x+dx y+dy z+dy 時造成 f 的變化

f f fdf dx dy dzx y zpart part part

= + +part part part

（4-65）

由幾何意義來看上式更為具體上式表示純量場 )(rf 基於位置的變化

r r drrarr + (或由 ( ) ( )x y z x dx y dy z dzrarr + + + )所造成 f 的變動

我們現在定義一個向量算符 vector operator nabla (or nabla )（讀做 del）

ˆ ˆ ˆx y zx y zpart part part

nabla equiv + +part part part

(4-66)

如果將 del 作用在純量場 )(rf 上將產生出現一個新的「向量場」 fnabla

稱為純量場「 )(rf 的『梯度 gradient』」

4-30

ˆ ˆ ˆ( ) f f fgrad f f x y zx y zpart part part

equiv nabla = + +part part part

（4-67）

這使得由於任意位移 ˆ ˆ ˆdr xdx ydy zdz= + + 所造成 f 的變化量

df f drrArr =nabla sdot （4-61）

ex28 Given scalar field 2( )f r xy z= and 2 2 2

1 1( )g rrx y z

= =+ +

(a) find the value of ( )f r and fnabla at point P(2 1-1) 解 2(21 1) 2 1 ( 1) 2f minus = times times minus = minus

2 2 2

2 2

ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( )

ˆ ˆ ˆ( ) ( 2 ) ( )

f x xy z y xy z z xy zx y z

x y z y x yz z xy

part part partnabla = +

part part part

= +

＋

＋

ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ(21 1) ( 1) (2 2) (2) 4f x y z x y znabla minus = minus + timesminus = minus minus＋ ＋2 (b) find the value of ( )g r and gnabla at the point P

解2

1 1(21 1)62 1 1

g minus = =+ +

2 2 2 12 2 2 2 12

2 2 2 12

ˆ ˆ( ) ( )

ˆ ( )

g x x y z y x y zx y

z x y zz

minus minus

minus

part partnabla = + + + + +

part partpart

+ +part

＋

2 2 2 32 2 2 2 32 2 2 2 32

2 2 2 32 3 2

ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( )

ˆ ˆ ˆˆ( )( )

OR OR

xx yy zzgx y z x y z x y zxx yy zz r r

x y z r r

minus minus minusrArrnabla = + +

+ + + + + +minus + + minus minus

= = =+ +

32

ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ(2 ) 2(21 1)6 6 6

x y z x y zg minus + minus minus minus +rArrnabla minus = =

由 gnabla 看到一個粉常用的結果就是

3 2

ˆ1 ORr rr r r

minus minusnabla = = （4-62）

順便比較一下

2 2 2 12 2 2 2 12 2 2 2 12

2 2 2 12

ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( )

ˆ ˆ ˆ( ) ˆ (4 63)( )

r x x y z y x y z z x y zx y zxx yy zz r r

x y z r

part part partnabla = + + + + + + +

part part part+ +

= = = minus+ +

＋

4-31

(c) what is the angle between (21 1)fnabla minus and (21 1)gnabla minus

解 (21 1)fnabla minus (21 1)gsdotnabla minus ＝（ ˆ ˆ ˆ4x y zminus minus ＋2 ） sdotˆ ˆ ˆ26 6x y zminus minus +

＝2 4 2 4

6 6 3 6+ +

= ＝ | (21 1) |fnabla minus | (21 1) |gnabla minus cosθ

＝ 34 1 1 211 16 4 cos cos

6 6θ θ+ +

+ + =

1 4 2cos 07773 7

radθ minus ⎛ ⎞= =⎜ ⎟

⎝ ⎠

要注意隨然nabla有向量的性質但是他並不是一個真的向量真

實向量 A與純量 f ( )r 的乘法滿足交換率ie ( ) ( )Af r f r A= 但是

f fnabla ne nabla因為

( )f rnabla ＝ ˆ ˆ ˆf f fx y zx y zpart part part

+ +part part part

是一個向量函數而

ˆ ˆ ˆ( )f r x y zx y z

⎛ ⎞part part part+ +⎜ ⎟part part part⎝ ⎠

是一個算符（operator）

若nabla要與向量場 A 作用由於nabla與 A 都具有向量的性質先看「內積」

ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ( )

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

x y z

x y

z

y yx xz z

A x y z xA yA zAx y z

x y z xA x y z yAx y z x y z

x y z zAx y z

A AA AA Ax x x y x zx y z x y z

⎛ ⎞part part partrArrnablasdot = + + sdot + +⎜ ⎟part part part⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞part part part part part part= + + sdot + + + sdot⎜ ⎟ ⎜ ⎟part part part part part part⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞part part part

+ + + sdot⎜ ⎟part part part⎝ ⎠part partpart partpart part

= sdot + sdot + sdot + sdotsdot sdot = + +part part part part part part

yx zAA AAx y z

partpart partnablasdot = + +

part part part (4-64)

上式中的 Anablasdot 是向量場 A 的一個重要的性質稱為 A 的「散度」詳

細的內容在後面會仔細討論這裡引進 Anablasdot 主要是要表明nabla是個「算

符」表示一個運算不是一個真實的向量只是在「直角座標」裡

4-32

因為單位向量 ˆ ˆ ˆ x y z 是常數不受微分的作用以致nabla表現得好像也

是個一般的向量一樣事實上真實向量和nabla間的「內積」就不滿足交

換率

x y zA A A A an operator Ax y zpart part part

sdotnabla = + + = ne nablasdotpart part part

(4-65)

這也使得任意向量場 ( )A r 因位置變動 r r drrarr + 而產生的變化由於

)( zyxA 也是 3 個變數 xyz 的函數可以寫為

( )A A AdA dx dy dz dr Ax y z

part part part= + + = sdotnabla

part part part （4-66）

ex29 (a)Given field 2ˆ ˆ ˆ2A xxy y x zyz= minus + find Anablasdot at point (1-12)

解2( ) (2 ) ( ) 2xy x yzA y yz

x y zpart part part

nablasdot = + + = +part part part

(1 12)1 2( 1)2 3A

minusnabla sdot = minus + minus =

(b) find rnablasdot 解 rnablasdot = 3x y zx y zpart part part

+ + =part part part

梯度的意義

由（4-67）可以看到「f 的梯度 fnabla 」

是一個由「純量場 f」衍生出的向量

場由（4-26）也可以看出 fnabla 扮演類

似「變化率」的角色

空間中將相同值 f ( )r ＝f1 的點連

起來就得到一個 f ( )r ＝f1 的「等值面」如 Fig36考慮純量場 f( r )的

相鄰兩個等值面各對應定值 1f f= 與 1f f df= + 0df gt P1 點在 f1

等值面上相鄰兩點 P2P3 在 1f df+ 等值面上而向量 1 2 ˆnP P dn e dn= =

過 P1 點垂直於 f1 等值面 1 3 ˆP P d e d= = 與 ˆne dn夾角為α 由於不

論 1 2P Prarr 或 1 3P Prarr f 的變化量都是 df 但因距離 dn 係兩等值面最

4-33

短的距離d dngt 所以 1 2P Prarr 或 1 3P Prarr 造成的「變化率」df dfdn d

gt

而過 P1 點的最大變化率為dfdn

換言之向量 ˆndfedn

為過 P1 點垂直於

f1 等值面且指向最大「增加率」的方向 現在要證明

ˆndfe fdn

= nabla （4-67）

考慮 1 3P Prarr 造成的 f 值的變化率

ˆ ˆcos n ldf df dn df df e edl dn dl dn dn

α= = = sdot

ˆ ˆ ˆn l ndf dfdf e e dl e dldn dn

rArr = sdot = sdot

和（4-61）式df f dr= nabla sdot 相比即可得證 ˆndfe fdn

= nabla 所以可以知道

空間純量場 f ( )r 中任一點處的向量 fnabla 必「垂直」於「通過該點的 f的等值面」且指向 f 值最大「增加率」的方向| ( )f rnabla |就是 f 在 r 點

的最大增長率可以進一步定義等值面的「法線 normal」方向為

ˆ fnf

nabla=nabla

（4-68）

結論給定一個純量場 f( r )在每一點 r 可以定義一個稱做「梯度」

的向量 fnabla fnabla 垂直於過 r 點的 f 等值面且指向最 f 大增加率的方向

fnabla 的方向也定義了 f 等值面的法線方向

Ex30 考慮一個 2D 的 scalar field 2( )f x y y x= minus 計算該場在 )20( 的梯度與

法線方向

解 ˆ ˆ ˆ ˆ2f ff x y x yyx ypart part

nabla = + = minus +part part

ˆ ˆ(0 2) 2 2f i jnabla = minus + ˆ ˆ ˆ ˆ2 2 2 2ˆ(0 2)

31 8i j i jn minus + minus +

rArr = =+

4-34

ex31 點電荷 q 置於原點其產生電位為 ( ) qV rr

= 求負梯度qr

minusnabla

解 3

2 2 2 22 2 2

2 ( )2

q q q q x x y zr x rx y z

minuspart minus= rArr = sdot + +

part+ +

3 23

ˆˆ ˆ ˆ( )q ix jy kz r rq q qr r r r

minus + +rArr minusnabla = minus = = （點電荷的電場）

0 0

1 1 r r

noter r= =

nabla rarrinfin rarrinfin∵ 是不定值是因為 r = 0 處為最大值

「增加率」的方向無法確定

ex32 置一熱源於原點空間溫度分佈為1( )

( 2)T r

r=

+求溫度的梯度

解 2 2 2

ˆ( ) ( )( 2) ( 2) ( 2)

x rT r rr rT r

x r r r

minuspart minus

= rArrnabla = =part + + +

此處的負號表示梯

度指向熱源因為距熱源越遠溫度越低 ( 0)note T rnabla = 為不定值

因在最頂點「增加率」的方向無法確定

Ex33 地圖上山脈的等高線上各點的垂直方向由梯度決定現有一座

山是橢球 2)1(4 222 =+++ zyx 在 x-y 平面上方的

部分求地圖上這座山等高線的梯度

解 山高 142 22 minusminusminus== yxzh 所以等高線為橢

圓 222 )1(24 +minus=+ hyx 梯度

( ) ( ) ( )2 2 2 2

2 2

ˆ ˆ4ˆ ˆ2 4 1 2 4 1

2 4

xx y yh x x y y x y

x y x y

minus +part partnabla = minus minus minus + minus minus minus =

part part minus minus

所以自山腳（h=0）登山若由(012)開始 ˆ(01 2) 2h ynabla = minus 但若由

)02(minus 開始爬山 ˆ( 20) 2h xnabla minus = 可見 )02()210( minusnablagtnabla hh 這表

示由 y-軸登山山勢較陡所以「梯度」比由 x-軸登山為大這也更

清楚瞭解「梯度」的幾何意義

4-35

sect 432 Divergence 散度與 Curl 旋度

在(4-66) 我們建立了一個直角座標 vector operator 「del」

ˆ ˆ ˆx y zx y zpart part part

nabla equiv + +part part part

(4-66)

若與向量場 A 做「內積」與「外積」就建構了 A 的「散度」與「旋度」

散度 A A scalaryx zAA Adiv ax y z

partpart partequiv nabla sdot = + + =

part part part （4-69）

旋度

y yz x z x

ˆ ˆ ˆ y z A vector

A AA A A Aˆ ˆ ˆxy z z x x y

x y z

x y z

xcurl A a

A A A

y z

⎧⎪

= nablatimes = part part part =⎪⎪⎨⎪

part part⎛ ⎞ ⎛ ⎞part part part part⎛ ⎞⎪ = minus + minus + minus⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎪ part part part part part part⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎩

(4-70)

這裡定義的只是「散度」與「旋度」所謂「操作型的定義」告訴我

們如何計算的式子事實上她們都具有重要的物理意義我們在後面

會討論

ex34 ˆ ˆA xy yx= minus 求其散度與旋度

解 0 0y xAx ypart part

nablasdot = minus + =part part

ˆ ˆ ˆ y zˆ ˆ ˆ ˆ 0 0 ( 2) 2

0 x y z

xA x y z z

y xnablatimes = part part part = minus + minus = minus

minus

右圖示意了本向量場的分佈看得出像個漩渦也看到算出的旋度

0ne 看來旋度表現的應該是向量場「旋轉的程度」事實上我們在

後面會看到「旋度」表現的就是是向量場在空間各點「旋轉的程度」

本題的向量場在每一點的旋轉程度都一樣

4-36

Ex35 ( )ˆ ˆ ˆ A xx yy zz r= + + = 求其散度與旋度

解 3A rnablasdot = nablasdot = ˆ ˆ ˆ y z

0

x y z

xA

x y znablatimes = part part part =

由場分佈的示意圖可以看出本向量場是自原點向外射出好似在原

點有一個場線的「源頭 source」但是 3Anablasdot = 為一個常數表示好像到

處都有 source同時旋度為 0 也可以配合本場並無旋轉的形象事實

上「散度」表現的就是是向量場在空間各點產生「場線」的 source

記得靜電學裡的庫倫定律 0E ρ εnablasdot = 電場的散度就是「電荷密度」

(電場的 source)前一題的向量場看來對應的場線是封閉的所以沒有

source這也對應了其散度＝0不過一個向量場的散度旋度究竟是

多少應該詳細的計算場分佈圖形有時候不是那麼容易看的清楚

兩個 useful identities (恆等式)

(a) ( ) 0 0f curl of a gradnablatimes nabla = =

(b) ( ) 0 0A div of a curlnablasdot nablatimes = =

pf (a) ( )ˆ ˆ ˆ x y z

x y z

x y z

ff f f

nablatimes nabla = part part part

part part part

( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2xz zxˆ ˆ ˆx y f- f z 0yz yz xy yxf f f f= part minus part minus part part + part minuspart =

這個結果與真實的向量外積 ( ) AA 0=times 有相似之處但是這只是特

例要記得nabla並不是一個真正的向量

( ) ( ) ( )

( )

ˆ ˆ ˆ y zˆ ˆ ˆ x y z

0

x y z y z z y x z z x x y y x

x y z

xy z xz y xy z yz x xz y yz x

xA A A A A A A

A A A

A A A A A A A

nablatimes = part part part = part minus part minus part minus part + part minus part

nablasdot nablatimes = part minuspart minuspart +part +part minuspart =

4-37

此結果與真實的向量運算有相似之處 ( )( )0 (B A) BB B Asdot times = times perp∵

但是這仍只是特例因為我們可由下列例子 ( ) 0A Asdot nablatimes ne 看出事實上

nabla並不是一個真正的向量 Ex36 ˆ ˆ ˆA xy yx zx= minus +

( )

ˆ ˆ ˆ y zˆ ˆ ˆ 0 1 ( 2)

2 0

x y z

xA x y z

y x x

A A x x x

nablatimes = part part part = minus + minus

minus

sdot nablatimes = minus = minus ne

面積元素向量

物理上時常會遇到面積分例如電通量磁通

量等等考慮一個面積元素 ds定義「面積的

方向」為其「法線方向」並定義面積元素向量

ˆnds a dsequiv （4-71）

要注意的是(1)如果 ds 是一個「封閉面

closed surface」（即有裡外之分）的一部

份則 ˆna 定義為「由內向外」(2) 如果 ds

是一個「開放面 opened surface」（即分不

出裡外）的一部份那麼 ds 必被其邊緣

（一個封閉的曲線 C）所包圍這樣在定

出ds 的方向之前要先定義「邊緣曲線」

C 的方向再由右手定則定義 ˆna 的方向

既然面積已為一個向量就可以寫為分量表示以直角座標

ˆ ˆ ˆx y zds xds yds zds= + + (4-72)

那麼這些分量 dsx dsy dsz 會是什麼既然 dsx 的方向是 x 就表示 dsx

是躺在 y-z 平面上所以 dsx 的兩邊是 dy 與 dz rArr xds dydz= 依此類

4-38

推 dsy 的方向是 y 所以躺在 x-z 平面rArr yds dxdz= hellip可以得知

xds dydz= yds dxdz= zds dxdy= （4-73）

不過要注意在寫面積元素時要看討論的面實際

是什麼面上式的三個分量有可能會是負的例如

左圖座落在第一象限的立方體的 A 面方向就在 xminus

方向Arsquo面在 yminus Ardquo面在 zminus 方向寫面積元素最

好是先把討論的面的方向搞清楚把plusmn號寫在單位向量前面那麼分

量就都用＋的即可其實面積元素體積元素都可以由位移元素看出

ˆ ˆ ˆdr xdx ydy zdz= + +

dx dy dz 是沿著 ˆ ˆ ˆ x y z 方向的長度所以面積元素分量的兩邊長度就

是由其中兩個組成而體積的三邊也就是三個垂直方向的長度

x y zdV dx dy dz and ds dydz dxdz dxdyrArr = = （4-74）

這個概念在其他的座標系統也成立我們可以方便的寫出面積元素

Recall 柱座標的位移向量元素

cylindrical coordinate ˆ ˆ ˆdr d d dzzρρ ρ ϕϕ= + + （4-48）

ˆ ˆ ˆ zds ds ds zdsρ ϕρ ϕ= + + (4-75)

dsρ 躺在 zϕ minus 平面dsϕ 在 zρ minus 平面 zds 在ρ ϕminus 平面

rArr zds d dz ds d dz ds d d d dρ ϕρ ϕ ρ ρ ρ ϕ ρ ρ ϕ= = = sdot = （4-76）

上面的結果畫個圖看看吧球座標的位移向量元素

Spherical coordinate ˆ ˆˆ ( ) ( sin )dr rdr rd r dθ θ ϕ θ ϕ= + + （4-56）

ˆ ˆˆ rds rds ds dsθ ϕθ ϕ= + + （4-77）

rArr sin sin rds rd r d ds dr r d ds rd drθ ϕθ θ ϕ θ ϕ θ= sdot = sdot = sdot (4-78)

4-39

向量場 ( )A r 在 S 面上的「面積分（surface integral）」or「flux」

如左圖若有一「平面」S 且其上有「均勻」

場 B 分佈則通過 S 面的通量就是

ˆB B nSΦ = sdot

但考慮一任意「非均勻」向量場 ( )A r 在空間分佈選取任意曲面 S

探討 ( )A r 在 S 上之通量若ds 為 S 面上的面積元素在趨近於 0 的

小面積ds 上 A可視為均勻所以通過ds 之通量為 ( )d A r dsΦ = sdot 則 S

面之總通量為

Φ＝ ˆ cosS S S

A ds A nds A daϕsdot = sdot =int int int

( )OR

x x y y z zS

A da A da A da= + +int (4-75)

稱為 A 在 S 面上的「面積分」或「通量 flux」

上圖所繪就是一個任意面上分割出許多小面積舉出三個位置的通

量有+-與 0如果 S 面是為一「封閉面」則面積分寫為

S

A dssdotint （4-76）

4-40

ex37 Given 2ˆ ˆ ˆyzA xyz yx zx= + + 計算通量S

A dssdotint

S 面為在第一象限邊長＝1 的立方體表面封閉面

解立方體分為前後右左上下六個面分開算 1前面（x=1）

方向 x+ ˆ xA ds A xdydz A dydzsdot = sdot =int int int前 前 前

yzdydz= int前 ＝1 1

0 0

1 1 12 2 4

ydy zdz = sdot =int int

2後面(x=0)方向 xminus ˆ(- ) - xA ds A x dydz A dydzsdot = sdot =int int int後 後 後

yzdydz= minusint後1 1

0 0

-1 1 -12 2 4

ydy zdzminus = sdot =int int

3 右面（y=1）方向 y+ y ( 1)yA ds A dxdz A y dxdzsdot = sdot = =int int int右 右 右

( 1)x y zdxdz= =int右 ＝1 1

0 0

1 1 12 2 4

xdx zdz = sdot =int int

4 左面（y=0）方向 ˆ-y ˆ( y) - ( 0)yA ds A dxdz A y dxdzsdot = sdot minus = =int int int左 左 左

( 0) 0x y zdxdz= = =int左

5 上面（z=1）方向 z+ zz y (z 1) yA ds A dxd A dxdsdot = sdot = =int int int上 上 上

2 yx dxd= int上 ＝1 120 0

1 1y 13 3

x dx d = sdot =int int

6 下面（z=1）方向 ˆ-z zˆ(-z) y - (z 0) yA ds A dxd A dxdsdot = sdot = =int int int下 下 下

2 -1- y3

x dxd= =int下 ＝1 120 0

1 1y 13 3

x dx d = sdot =int int

S

A dssdotint ＝六個面的和＝1 1 1 1 1 1( ) ( 0) ( )4 4 4 3 3 4

minus minus+ + + + + =

ex38 Given ˆ ˆ ˆzA xyz yx zxy= + + 計算通量S

A dssdotint S 為圓 2 2 2x y a+ =

在第一項限的部分方向選為 z+ 2 2y a x= minus

4-41

解 2 2 4

0 0ˆ

8a a x

zS S S S

aA ds A zdxdy A dxdy xydxdy xdx ydyminus

sdot = sdot = = = =int int int int int int

Ex39 In cylindrical coordinate Given ˆ ˆaA zbzρρ

= + where a b are

constants Find S

A dssdotint over the surface of a

closed cylinder about z-axis specified by 3 2z ρ= plusmn =

解S 分為上下與周邊三面

zz (z 3)zA ds A ds A d dρ ρ ϕsdot = sdot = = sdotint int int上 上 上

= 23 3 2 12bd d b bρ ρ ϕ π πsdot = sdot =int上

ˆ(-z)A ds A d dρ ρ ϕsdot = sdot sdotint int下 下

= z- (z -3)A d dρ ρ ϕ= sdotint下 = 23 2 12b bπ πsdot =

周邊ds ˆ ( )d dzρ ρ ϕ= rArr ˆ ( ) z ( ) zA ds A d d A d dρρ ρ ϕ ρ ϕsdot = sdot =int int int周 周 周

2 3

0 3( ) z ( ) z=a 12aA d d d d d dz a

πρ ρ ϕ ρ ϕ ϕ π

ρ minus= = =int int int int周 周

加起來 S

A dssdotint ＝12 24 12 ( 2 )a b a bπ π π+ = +

ex40 一點電荷 q 置於原點計算在一個以原點為圓心 0r 為半徑的球

面上的電通量

解 2 20 0

ˆ ˆ4 4S S

qr q dsE ds rdsr rπε πε

sdot = sdot =int int int

=0 0 0

44 4S

q q qd ππε πε ε

sdot Ω = sdot =int

上式中 dΩ 2dsr

= 是 ds 所張開的「立體角」(solid angle)

4-42

div A and Flux 通量與散度的幾何物理意義

我們運用過nabla的符號來表示過散度 divF F= nablasdot yx zFF Fx y z

partpart part= + +part part part

但是也看到「散度」定義為

0( )

1( ) limSV

about x y z

divF x y z F da divergence of FVΔ rarr

equiv sdot =Δ int (4-77)

其中 VΔ 為 S 面所包含的體積即散

度為通量(體)密度的 0 體積極限

（4-77）的定義與 Fnablasdot 好像差的很

多她們是說同一回事嗎以下證明

這兩種「散度」的定義是等價的如

左圖考慮一個以點 ( ) x y z 為中心

的 立 方 體 其 相 鄰 三 邊 長 為

x y zΔ Δ Δ 體積 V x y zΔ = Δ Δ Δ 現在計算 F 在立方體的一組平行於 y-z平面的表面 S1 與 S2 的通量

( )1 1

ˆ ˆ xS S

F nds F xds F x y z dsrArr sdot = sdot =intint intint intint 2xxF x y z y zΔ⎛ ⎞asymp + Δ Δ⎜ ⎟

⎝ ⎠

其中 2xx y zΔ⎛ ⎞+⎜ ⎟

⎝ ⎠為 S1 面中心的座標而

2xx y zΔ⎛ ⎞minus⎜ ⎟

⎝ ⎠為 S2 面的中心

( ) ( )2 2 2

ˆ ˆ 2x x

S S S

xF nda F x ds F x y z ds F x y z y zΔ⎛ ⎞rArr sdot = sdot minus = minus asymp minus minus Δ Δ⎜ ⎟⎝ ⎠intint intint intint

上式中的負號來自 S2 面的方向是 xminus 所以合併兩個面積分

1 2

ˆ 2 2x x

S S

x xF nds F x y z F x y z y z+

Δ Δ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞rArr sdot asymp + minus minus Δ Δ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦intint

2 2x xx xF x y z F x y z

x y zx

Δ Δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠= Δ Δ Δ

Δ

2 2

x xx xF x y z F x y z

Vx

Δ Δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠= Δ

Δ

1 2

1 2 2ˆ

x x

S S

x xF x y z F x y zF nds

V x+

Δ Δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠rArr sdot asymp

Δ Δintint

4-43

當取體積向(xyz)點收縮至 0 時即 0 x 0as VΔ rarr Δ rarr 上式的近似

「asymp」就成了「＝」

1 20

1 ˆlimV

S S

F ndsVΔ rarr

+

sdotΔ intint

( )0

2 2limx x

x

x

x xF x y z F x y z F x y zx xΔ rarr

Δ Δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟ part⎝ ⎠ ⎝ ⎠= =Δ part

Similarly F 在立方體的一組平行於 x-z 平面的表面 S3 與 S4 的通量

3 3 3

ˆ ˆ yS S S

F nds F yds F dsrArr sdot = sdot =intint intint intint

2

2

y

y

yF x y zyF x y z x z x y z

y

Δ⎛ ⎞+⎜ ⎟Δ⎛ ⎞ ⎝ ⎠asymp + Δ Δ = Δ Δ Δ⎜ ⎟ Δ⎝ ⎠

( )4 4 4

2ˆ ˆ

y

yS S S

yF x y zF nds F y da F ds x y z

y

Δ⎛ ⎞minus⎜ ⎟⎝ ⎠rArr sdot = sdot minus = minus asymp Δ Δ Δ

Δintint intint intint

合併 S3 與 S4 兩個面積分並取體積向(xyz)點收縮至 0 時即當

0 y 0VΔ rarr Δ rarr 上式的近似asymp就成了＝

3 4

2 2ˆ

x x

S S

y yF x y z F x y zF nds V

y+

Δ Δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠rArr sdot cong Δ

Δintint

3 40 0

1 2 2ˆlim lim

x xy

V yS S

x yF x y z F x y z FF nds

V y yΔ rarr Δ rarr+

Δ Δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟ part⎝ ⎠ ⎝ ⎠rArr sdot = =Δ Δ partintint

與上面相同的作法計算 F 在立方體的一組平行於 x-y 平面的表面 S5

與 S6 的通量我們也會得到對應的結果

5 6

2 2ˆ

z x

S S

z zF x y z F x y zF nds V

z+

Δ Δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠rArr sdot cong Δ

Δintint

5 60 0

1 2 2ˆlim lim

z xz

V zS S

z zF x y z F x y zFF nds

V z zΔ rarr Δ rarr+

Δ Δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟ part⎝ ⎠ ⎝ ⎠rArr sdot = =Δ Δ partintint

所以合併立方體的 6 個面積分

4-44

1 2 3 4 5 6

ˆ ˆ ˆ ˆS S S S S S S

F nds F nds F nds F nds+ + +

rArr sdot = sdot + sdot + sdotint intint intint intint

0

1 ˆlim yx zV

FF FF nds div F FV x y zΔ rarr

partpart partrArr sdot = + + = = nablasdot

Δ part part partint (4-78)

在此我們得證這兩種「散度」的定義是等價的只是（4-77）的定義

充分的表現出「散度」的幾何物理意義他從通量著手由於場線

出自於 source（ex電場源自於點電荷）所以在點(xyz)必須有向量場

F 的 source 存在才能使得當面積縮到 0 時仍具有非 0 的通量所以「散

度」表現向量場 F 的 source 在這個定義之下是很清楚的當然在計算

「散度」時我們不必那麼麻煩用 divF F= nablasdot 就好了

Ex41 計算 2ˆ ˆ ˆF xx yxy zyz= + + 的散度

解 2 yx zFF Fx x yx y z

partpart part= = =

part part part F 2x x y 3x ydivrArr = + + = +

recall 在靜電學0

yx zEE EEx y z

ρε

partpart partnablasdot = = + +

part part part

散度定理 Divergence Theorem

若任意封閉面（又稱為「高斯面」）S 所包圍的

體積為 V 則

S VA ds Adτsdot = nablasdotint int （4-79）

pf 我們先將體積分割成 N 個小盒子考慮相鄰的兩個小盒子 1 2

兩小盒子的共用面面積 S0當 S0 是為 1 號盒子的一部份時其方向為

1n 但若當為 2 號盒子的表面時其方向為 12 ˆˆ nn minus= 如此在 S0 分別做

4-45

1 2 盒子的面積分後

0 0

0 0 0 0

1 2

1 2 1 1ˆ ˆ ˆ ˆ 0

S S

S S S S

A ds A ds

F n ds F n ds F n ds F n ds

sdot + sdot

= sdot + sdot = sdot minus sdot =

intint intintintint intint intint intint

所以若求場 A 在 1 2 盒子的總通量時交界面是沒有貢獻的總通量

就只有「外面積」才有貢獻如此我們計算 N 個小盒子的總通量

時所有的內部共用面都得 0只剩下「外表面」的貢獻了當 infinrarrN

時所有小盒子的「總外表面」就與 S 面重合了所以所有小盒子通量

的總和就等於 S 面的通量

1lim

i

N

S SN iA ds A ds

rarrinfin=

rArr sdot = sdotsumint int

現在我們做 N 個小盒子的總通量

1 1

1i i

N N

iS Si i i

A ds A ds VV= =

⎛ ⎞sdot = sdot Δ⎜ ⎟Δ⎝ ⎠

sum sumint int

當 0iN Vrarrinfin rArr Δ rarr 並用 dv 表示體積元素

( ) ( )1 1

1

1lim lim lim

lim

i ii

N N

iS SN N V oi i i

N

i VN i

A ds A ds VV

A V A dv

rarrinfin rarrinfin Δ rarr= =

rarrinfin=

⎛ ⎞sdot = sdot Δ⎜ ⎟Δ⎝ ⎠

= nablasdot Δ = nablasdot

sum sumint int

sum int

( )S V

A da A dvrArr sdot = nablasdotint int QED

所以得證散度定理上式中我們用了散度的（4-77）式定義要分辨

清楚 Anablasdot 是向量場 A 在空間中「某一點」的性質（ 0VΔ rarr ）而「散

度定理」說的是一個「有限體積」的性質

ex42 給定 ( ) ˆ ˆ ˆ A x y z xx yy zz r= + + = 計算在

半徑 R＝1 的球的上半球加底面的通量

4-46

解 ( )ˆˆS

A da A rda A k darArr sdot = sdot + sdot minusint int int上半球面 底面

( )

2

ˆ ˆ

0 2 1 2

A rda A z dxdy

r rds zdxdy rds ds π π

= sdot + sdot minus

= sdot minus = minus = = sdot =

int int

int int int int上半球面 底面

上半球面 底面 上半球面

底面的通量＝0 是因為 A 的 z 分量 Az=z 在底面的值為 0

也可以用散度定理更快的得出結果

∵ 3A rnablasdot = nablasdot =

31 43 3 1 22 3V V

Ad d πτ τ πnablasdot = = sdot sdot sdot =int int

ex43高斯定律的微分形式積 由 Gaussrsquo law 的積分形式用散度定理得出其

( )0 0

1 inS V

qE ds x y z dvρε ε

sdot = =int int

0S V VE ds Edv dvρ

εrArr sdot = nablasdot =int int int

上式最後的等式對「任意形狀」V 都成立所以兩者的被積函數相等

對於空間每一點 0

E ρε

nablasdot = （4-80）

ex44 Use 第一象限的單位力方體 check the divergence theorem using the function 2 2ˆ ˆ ˆ(2 ) 2A y x xy z y yzz= + + +

解2

2( ) (2 )(2 ) 2( )y yzA xy z x yx y z

part part partnablasdot = + + + = +

part part part

and 1 1 1 1 1 1

0 0 0 0 0 02 ( ) 2 ( )

VAdv x y dxdydz dz dy x y dxnablasdot = + = +int int int int int int int

1 1

0 0

1 12 ( ) 2 12 2

dz y dy= + = sdot =int int

面積分 1 1 2

0 0

1ˆ3

A ds A xdydz dz y dysdot = sdot = =intint intint int int前 前

4-47

1 1 2

0 0

1ˆ( )3

A ds A x dydz dz y dy minussdot = sdot minus = minus =intint intint int int

後 後

1 1 2

0 0ˆ (2 )A ds A ydxdz dz xy z dxsdot = sdot = +intint intint int int

右 右

1 1 1 12 2

0 0 0

4(2 ) (1 )3

ydz x z dx dz z

=

= + = + =int int int∵

1 1 2

0 0

0 1 1 12 2

0 0 0

ˆ( ) (2 )

1(1 )3

y

A ds A y dxdz dz xy z dx

dz z dx dz z=

sdot = sdot minus = minus +

minus= minus = + =

intint intint int int

int int int∵

左 左

11 1 1 1

0 0 0 0ˆ 2 2 1

zA ds A zdxdy dx yzdy dx ydy

=sdot = sdot = = =intint intint int int int int

∵

上 上

01 1

0 0ˆ 2 0

zA ds A zdxdy dx yzdy

=sdot = sdot minus = minus =intint intint int int

∵

下 下

前後右左上下六個面積分合併＝1＝V

Advnablasdotint QED

ex45 Continuity Equation 連續方程式

考慮某些「東西」的流動（物質電荷hellip）在時刻 t 時在點(xyz)

的 密 度 為 ( ) x y z tρ ρ= 並 具 有 速 度

( ) v v x y z t= 在時刻 t 時在體積 V 內的總量為

( ) x y z t dρ τintintint

這樣體積 V 內東東的時變率為

( ) ( ) d x y z t d x y z t ddt t

ρρ τ τpart=

partintintint intintint

注意體積分後的時間全微分移入積分內要改為偏微分這個東東

在表面的「流率 flow rate」可表為

ˆS

R v ndsρ= sdotintint

若體積內的物料無法自生自滅那麼體積內物料的變化必經由表面的

流出流入所造成

d v ndstρ τ ρpart

rArr = minus sdotpartintintint intint

由散度定理

4-48

( )ˆS

v nds v d dtρρ ρ τ τpart

sdot = nablasdot = minuspartintint intintint intintint

( )v Jtρ ρpart

rArr = minusnablasdot equiv minusnablasdotpart

0Jtρpart

rArr +nablasdot =part

（4-81）

(4-81) 即 continuity equation其中 J vρ= 為「物流密度」ex如果 ρ

是電荷密度 J 就是電流密度（4-81）是物質守恆的結果只對體

積內無 source（生成）or drain（消滅）的東東成立

ex46 Given a vector field ˆ ˆx yA ye xe= minus + (a) Find

Anablasdot (b)如圖一個金字塔狀的 5 面體高 2 底邊長

1計算 A在整個金字塔表面（封閉面）的總通量

解(a) Anablasdot = ( ) ( ) 0y xx ypart part

minus + =part part

(b) 金 字 塔 的 表 面 面 積 元 素 ds 不 好 寫 所 以 用 散 度 定 理

( )S V

A da A dvrArr sdot = nablasdotint int ＝0 Anablasdot 表示 A沒有 source 所以對封閉面而

言有多少場線進入就有多少出去所以總通量＝0

習題 7 With position vector r for an arbitrary volume V that is

bounded by surface S show that 13 S

r ds Vsdot =int

習題 8 已知一靜電場為 ˆ ˆ ˆ( )E xyz yxz zxyλ= + + 運用 Gaussrsquo law

試求包含在半球 2 2 2 2 0x y z R z+ + = ge 裡的總電荷 Ans 0

習題 9 (a) given ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( 2 )F r xf x yf y zf z= + + minus show that divF is

zero at point (c c -c2) (b) given ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( )G r xf x z yg x z zh x y= + +

show that ( ) 0G rnablasdot =

4-49

習題 10 Find the normal vector n for the surfaces (a) z = 2-x-y ans

ˆ ˆ ˆ( ) 3x y z+ + (b) z = (1-x2)12 ans ˆ ˆxx zz+ (c) z = x2+y2

ans ˆ ˆ ˆ( 2 2 ) 1 4xx yy z zminus minus + +

習題 11 Show that the unit vector normal to the plane ax+by+cz =d is

given by 2 2 2ˆ ˆ ˆ( ) ax by cz a b cplusmn + + + +

圓柱座標與球座標的nabla (del)

考慮一純量場在直角座標為 ( ) u x y z 在圓柱座標表為 ( ) u zρ φ

再考慮因位移 r r drrarr + 所造成 u ( )zρ φ 的變化

( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆz

z

u u udu d d dz u dr u d d zdzz

u u z u d d zdz

u d u d u dzρ ϕ

ρ ϕ

ρ ϕ ρ ρ ϕρ ϕρ ϕ

ρ ϕ ρ ρ ϕρ ϕ

ρ ρ ϕ

part part part= + + = nabla sdot = nabla sdot + +part part part

⎡ ⎤= nabla + nabla + nabla sdot + +⎣ ⎦= nabla + nabla + nabla

( ) ( ) ( )1

1ˆ ˆ ˆu

z

u u uu u uz

u u uzz

ρ ϕρ ρ ϕ

ρ ϕρ ρ ϕ

part part partrArr nabla = nabla = nabla =

part part partpart part part

rArrnabla = + +part part part

1ˆ ˆ ˆ zz

ρ ϕρ ρ ϕpart part part

nabla = + +part part part

（4-82）

注意nabla的ϕ -分量( 1ρ ϕ

partpart

)不是像直角座標裡單純的ϕpartpart

所以不要笨笨

的就把直角座標的形式硬套上去用我們也可以從「因次分析」來

看nabla因為是對空間的微分所以每一項的因次必須是「長度分之一」

運算 andzρ

part partpart part

都是「長度分之一」而「單純的ϕpartpart

」是沒有單位的

所以要1ρ ϕ

partpart

才 OK

由於圓柱座標裡的單位向量除了 z 之外 ˆ( )ρ ϕ 與 ˆ( )ϕ ϕ 都不是常

4-50

數所以在微分時不可以與微分運算交換而要考慮微分的作用所

以在「圓柱座標」寫「散度」 ( ) F zρ ϕnablasdot 也和直角座標不一樣

( )1ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ zF z F F zFz ρ ϕρ ϕ ρ ϕ

ρ ρ ϕpart part part⎛ ⎞

nabla sdot = + + sdot + +⎜ ⎟part part part⎝ ⎠

( ) ( )1ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆz zF F zF F F zFρ ϕ ρ ϕρ ρ ϕ ϕ ρ ϕρ ρ ϕpart part

= sdot + + + sdot + +part part

( )ˆ ˆˆ ˆ zz F F zFz ρ ϕρ ϕpart

+ sdot + +part

因為 ( ) ( )ˆ ˆ ˆ ˆ ρ ρ ϕ ϕ ϕ ϕ= = 所以做 andzρ

part partpart part

時 ˆ ˆ ρ ϕ 可視為常數

ˆ ˆ1ˆ ˆ ˆ zF F F FF F Fz

ρ ρ ϕρ φ

ρ ϕϕ ρ ϕρ ρ ϕ ϕ ϕ ϕ

part part part⎡ ⎤part part partrArrnablasdot = + sdot + + + +⎢ ⎥part part part part part part⎣ ⎦

還記得 ˆ ˆ ˆ ˆd d d dρ ϕ ϕ ϕ ρ ϕ= = minus 所以 ˆ ˆρ ϕϕpart

=part

ˆ ˆϕ ρϕpart

= minuspart

rArr

( )1 1 1z zF F F FF FF Fz z

ρ ρ ϕ ϕρρ

ρ ρ ρ ϕ ρ ρ ρ ϕpart part part part

nablasdot = + + + = + +part part part part part part

（4-83）

在球座標寫nabla也會遇到相似的問題其根源就是球座標 ( )r θ ϕ 裡

的 θ ϕ 的因次並非長度而三個單位向量 ˆ ˆˆ r θ ϕ（表為 ie ）都是( θ ϕ )

的函數以致

( )ˆ ˆ( ) ( )i ie f e fθ ϕ θ ϕθ θpart part

nepart part

且 ( )ˆ ˆ( ) ( )i ie f e fθ ϕ θ ϕϕ ϕpart part

nepart part

所以nabla也不似在直角座標那麼簡單我們不在這裡推導而是給出一

個歸納的統一的三個座標的結果還記得對每一個座標 iu i = 123

座標的變化 idu 與造成的長度變化 id

i i id h du= 123i = (4-84)

其中 ih 為對應的度量係數(metric coefficient)

4-51

1 2 3

1 1 2 2 3 3

1 1 1ˆ ˆ ˆu u ue e eh u h u h u

part part partnabla equiv + +

part part part （4-85A）

座標 1 2 3 u u u

度量係數

1 2 3 h h h

nabla grad del

直角 x y z

1 1 1 nabla ˆ ˆ ˆx y z

x y zpart part part

equiv + +part part part

圓柱

zρ ϕ

1 1ρ

1ˆ ˆ ˆ z

zρ ϕ

ρ ρ ϕpart part part

nabla equiv + +part part part

球

r θ ϕ

1 sinr r θ

1 1ˆ ˆˆ

sinr

r r rθ ϕ

θ θ ϕpart part part

nabla = + +part part part

（4-85B）

梯度gradient Vnabla grad(V) 散度divergence Anablasdot div( )A

直

角 nablaV ˆ ˆ ˆV V Vx y z

x y zpart part part

= + +part part part

yx zAA AAx y z

partpart partnablasdot = + +

part part part

圓

柱

1ˆ ˆ ˆ V V VV zz

ρ ϕρ ρ ϕpart part part

nabla = + +part part part

( )1 1

1

z

z

A AA Az

A A A Fz

ϕρ

ρ ρ ϕ

ρρ ρ ρ ϕ

ρ ρ ρ ϕ

partpart partnabla sdot = + +

part part partpart part part

= + + +part part part

球

1 1ˆ ˆˆ sin

V V VV rr r r

θ ϕθ θ ϕ

part part partnabla = + +

part part part

22

1 ( )rA r Ar r

partnabla sdot =

part

1 (sin )sin

Ar θθ

θ θpart

+ sdotpart

1sin

Ar

ϕ

θ ϕpart

+part

(4-86)

Ex47 Using spherical coordinate show that 1| |r r

nablaminus

= 2

ˆ| |

r rer r

minusminusminus

where

nabla是作用在 r 而 ˆr re minus 是向量 r rminus 方向的單位向量 解let r lies in z-axis so that the angle between r and r is just θ

4-52

rArr ( ) 122 21 1 2 cos | | ( ) ( )

r rr rr r r r r r

θminus

= = minus +minus minus sdot minus

( ) ( )12 122 2 2 21 1ˆˆ 2 cos 2 cos | |

r r rr r r rr rr r r r

θ θ θθ

minus minuspart partnabla = minus + + minus +

minus part part

( ) 322 21ˆ 2 cos (2 2 cos )2

r r rr r r rθ θminusminus

= minus + minus

( ) 322 21ˆ 2 cos (2 sin )2

r rr r rrθ θ θminusminus

+ minus +

3 3 3 3

ˆˆ ˆ( cos ) sin ( cos sin )ˆˆ| | | | | | | |r r r rr r rrr r r r r r r r

θ θ θ θ θθminus minus minus minus minus= + = +

minus minus minus minus

3 3 3ˆ ( )

| | | | | |r r z r r r rr r r r r rminus + minus + minus minus

= = =minus minus minus

＝ 2

ˆ| |

r rer r

minusminusminus

QED

證明最後我們用到 ˆˆˆ cos sinz r θ θ θ= minus 而 ˆ r r z= 因為我們選了 r 是

躺在 z-軸 Ex48 For arbitrary scalar field ( )f r and vector field ( )A r 證明恆等式

( )fA f A f Anablasdot = nabla sdot + nablasdot (4-87) 解 ˆ ˆ ˆx y zfA xfA yfA zfA= + +

( ) ( ) ( ) ( )x y zfA fA fA fAx y zpart part part

rArrnablasdot = + +part part part

yx zx x x

AAf f f AA f A f A fx x y y z z

partpartpart part part part= + + + + +part part part part part part

yx zx y z

AAf f f AA A A fx y z x y z

part⎛ ⎞partpart part part part= + + + + +⎜ ⎟part part part part part part⎝ ⎠

f A f A= nabla sdot + nablasdot QED 習題 12 一個位於原點的電偶極電偶極矩＝ ˆp pz= 已知其在遠處

的電位為 20

cos4p

rθ

πε試證該處的電場強度為 E = 3

0

ˆˆ( 2cos sin )4

p rr

θ θ θπε

+

(已知 E V= minusnabla )並請計算 Enablasdot ＝

習題 13 給定一向量場2

3cosˆD r

rϕ

= 現有兩個球心在原點的同心球

內球半徑 R＝1外球 R＝2(a)求面積分S

D dssdotint S 為同心球殼的表

面（有內外兩個面）(b)求體積分V

Ddvnablasdotint V 為兩同心球之間的

區域本題也是來 check 散度定理的Ans πminus

4-53

The Laplacian operator 2nabla equivnablasdotnabla

在直角座標可以用直接作用得到

2 2 2

22 2 2u u uu u

x y zpart part part

nabla equiv nablasdotnabla = + +part part part

(4-88)

圓柱座標

2 2

22 2 2

1 1( ) u u uu uz

ρρ ρ ρ ρ ϕ

part part part part⎛ ⎞nabla equiv nablasdot nabla = + +⎜ ⎟part part part part⎝ ⎠

(4-89)

球座標

2

2 22 2 2 2 2

1 1 1sinsin sin

u u uu rr r r r r

θθ θ θ θ ϕ

part part part part part⎛ ⎞ ⎛ ⎞nabla = + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟part part part part part⎝ ⎠ ⎝ ⎠ （4-90）

習題 14 verify (4-89) and (4-90)

習題 15 Given a dipole potential V= 20

cos4p

rθ

πε find 2Vminusnabla

sect 433 Line integral and curl A 線積分與與旋度的物理意義

線積分路徑積分

考慮一曲線 C 通過兩點 ( )i i i iP x y z 與

( )f f f fP x y z 現有一向量場 ( )A x y z 定義在

C 所在的空間若 sd 為 C 上位於(xyz)點的

「路徑元素」（ ˆd td= 方向沿該處切線）而

( )A x y z 為路徑元素d 處的場值則沿 C 經歷各點所做積分

cos cosf

CC C iA d Ad A dϕ ϕrarr rarrsdot = =int int int （4-91）

稱為向量場 ( )A x y z 沿路徑 C 自 pi 至 pf 的「線積分」「或「路徑積分」

積分裡 A 取值的點侷限在路徑 C 上面若為一個「封閉路徑」則對

C 的線積分也稱做「環路積分 closed contour integral」記做

C

A dsdotint （4-92）

4-54

物理量「做功」是最標準的線積分之一力 F 自 x = a 至 x = b「沿線」

x 軸做功

W＝ F dxsdotint ＝ ( )b

xaF x dxint （4-93）

質點在力場 )(rF 裡走一條曲線 C則力場做功

CW F d= sdotint （4-94）

還記得如果 ( )F r 是所謂「保守力」則上式只與始末點有關而與

路徑無關但如果 ( )F r 是所謂「非保守力」則做功與確實的路徑 C

有關

現考慮一質點在空間運動的位置 r 落在由曲線 C

描述的路徑則質點的位移元素與曲線 C 的路徑元

素相同 d dr= 若空間有向量場 A 分佈則 A 在 C 的

路徑積分以直角座標表示為

CA drarr rarrsdotint ＝

CA d rrarr rarrsdotint ＝ ( )x y zC

A dx A dy A dz+ +int （4-95）

上式中的 x y z 的積分限由 C 決定

Ex49 2 2 2ˆ ˆ ˆA xx yy zzrarr= + + 選定一路徑 C 為曲線

2y x= 由 (000)到 (2 20)的部分求C

A dsdotint

解 ˆ ˆd xdx ydy= +∵

CA dsdotint ＝ 2 2( )

Cx dx y dy+int ＝

2 22 2

0 0x dx y dy+int int

＝ )24(32

+

或由 2y x= rArr 2ydy dx= 2 12

y dy xdxrArr =

rArrC

A dsdotint ＝2 2

0

1( )2

x x dx+int ＝2 (4 2)3

+

4-55

ex50 ˆ ˆ( )f x y z xy yx= minus Do C

f dsdotint 其中的路徑 C 為一逆時針三角

形如圖 解∵路徑全部在 x-y 平面 ˆ ˆ ˆd td xdx ydy= = +

rArrC

f dsdotint ＝ x yC

f dx f dy+int ＝C

ydx xdyminusint

由於在 C1 上 y = 0 及 dy = 0 所以 01

=intC 又由於在

C3 上 x = 0 及 dx =0所以 03

=intC 所以只剩下 C2 可

能有貢獻由 2C 的方程式x + y =1rArr ⎩⎨⎧

minus=minus=

xyyx

11

rArr2Cydx xdyminusint ＝

0 1

1 0(1 ) (1 )x dx y dyminus minus minusint int ＝

0 12 2

1 0

( ) ( )2 2x yx yminus minus minus ＝-1

Cf dsdotint ＝-1

ex51 ( )f x y zrarr

= 2ˆ ˆxx yxyminus 如右圖doC

f dsdotint 其

中路徑 C 為第一象限的逆時針 14 圓弧

解∵ 全部在 x-y 平面 ˆ ˆd xdx ydy= +

Cf dsdotint ＝ 2

Cx dx xydyminusint

由於在 C 上 cosx R ϕ= rArr sindx R dϕ ϕ= minus

siny R ϕ= rArr cosdy R dϕ ϕ=

rArr 2

Cx dx xydyminusint ＝

2 2 2 2

0cos ( sin ) sin cos cosR R d R R d

πϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕminus minus sdotint

23 2

02 cos sinR d

πϕ ϕ ϕ= minus int ＝

323Rminus

又路徑為圓周一部份所以適合用極座標表示

ˆd Rdϕ ϕ= 又由左圖將 ˆ ˆx y 拆解（投影）到 ˆˆr ϕ

ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆcos sin sin cosx r y rϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ= minus = +

4-56

( )2ˆ ˆ ˆˆ ˆ( cos sin ) ( sin cos )C C

f d r x r xy Rdϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕsdot = minus minus + sdotint int 2

2 2 2

0

sin (cos )

sin ( cos ) (cos ) cos sin

Cx Rd xyRd

R Rd R Rdπ

ϕ ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ

= minus minus

= minus minus

intint

23 2

02 cos sinR d

πϕ ϕ ϕ= minus int ＝

323Rminus

這也驗證了散度定理

Path Independence 路徑獨立性

Ex52 證明庫倫力為「保守力」考慮

電荷 q0 位於原點及電荷 q 位於

( )r x y zrarr= q 受力 F

rarr＝ 0

20

14

qq urπε

and

求庫侖力作功因為球形對稱所以

用球座標由 ˆ ˆ ru rr

= = rArr Frarr

= 03

04qq r

rπε

庫侖力由 P1 至 P2 做功為 2

1

P

CPF drarrsdotint ＝

2

1

02

0

ˆ ˆ ˆˆ sin4

P

PC

qq r rdr rd r dr

θ θ ϕ θ ϕπε

⎡ ⎤sdot + +⎣ ⎦int ＝2

1

02

04P

P

qq drrπεint

＝20

2104

r

r

qq drrπε int ＝ 0

0 1 2

1 1( )4qq

r rπεminus for all C

所以庫侖力兩點間做功與路徑無關rArr保守力

對於「保守力 conservative force」 cF 自 p1 經

由兩條不同的路徑 C1 與 C2 到達 p2

1 ccF drarrsdotint ＝

2 ccF drarrsdotint ＝-

2 ccF drarr

minussdotint

rArr1 2c cc cF d F drarr rarr

minussdot + sdotint int = cF d

rarrsdotint ＝0 (4-96）

對於任何「封閉路徑」保守力做功為 0反之若

對任一封閉路徑 0F drarrsdot neint 則兩點之間的做功與路徑有關

rarr

F 為「非

保守力」

4-57

旋度 curl Anablatimes 的幾何物理意義

我們在（4-70）式已經看過旋度的計算方式但旋度另有其意義的

ex53 給定向量場2 2

0ˆ yv yv e λrarr

minus= 左圖為場的分佈

2 20

ˆ ˆ ˆ

0 0x y z

y

x y zcurl v

v e λ

rarr

minus

= part part part ＝ ˆ ˆ ˆ0 0 0 0x y zsdot minus sdot + sdot =

我們用了簡寫 x yx ypart part

part equiv part equivpart part

可以看出這個場裡沒有「漩渦」

但是有無「漩渦」有時也不是那麼明顯可以看出的請見下一個例子

Ex54 給定向量場2 2

0ˆ xv yv e λrarr

minus= 計算其旋度 vnablatimes

解向量場 vrarr

畫在右邊你看得出有無漩渦

先計算旋度

2 20

ˆ ˆ ˆ

0 0x y z

x

x y zcurl v

v e λ

rarr

minus

= part part part2 2

2 2

0

0

ˆ

ˆ 2 0 0

x

x

z v ex

z v xe for x

λ

λ

minus

minus

part=

part

= minus ne ne

vrarr

的旋度在大部分的地方不為 0 且隨位置而不同但是你看得出這個

向量場裡有「漩渦」其實要檢驗一個向量場裡有無「漩渦」有一

個很物理的方法就是放一個小「螺旋槳」（左圖）

在場內將軸朝各個方向測試一

下如果有「漩渦」的話這個

小「螺旋槳」就會轉動右圖就是將「螺旋槳」的

軸平行於 z 軸且放在 x gt 0 的地方就可以看出左

邊的 v 場比右邊的強造成螺旋槳順時針轉動rArrcurlv zminus for x gt 0

但如果放在 x = 0 的地方就會看到左右兩端的 v 場強度相同而且

4-58

curlv = 0 「螺旋槳」放在 x lt 0 的地方就可以看出右邊的v 場比左

邊的強造成螺旋槳逆時針轉動這完全符合 curl v k+ 的結果

環路積分與旋度 curl 的物理意義

如同「散度」一樣「旋度」除了 Ftimesnabla 之外

還有一個物理意義更清楚的定義這個定義由

「線積分」說明如圖考慮做「逆時針」長方形

路徑 C1 的一個「環路積分」C1 面平行於 x-y 平

面由 z-軸看下去環路 C1 可以分為可以分為

下 CB上 CT右 CR左 CL 4 部分

CA drarrsdotint ＝

B T L RC C C CA d A d A d A drarr rarr rarr rarrsdot + sdot + sdot + sdotint int int int

分別計算由於 CB 的中點座標為 ( )2yx y zΔ

minus

ˆB BC C

A d A xdxrarr rarrsdot = sdot =int int

BxC

A dxint ( )2xyA x y z xΔ

asymp minus Δ

similarly 由於 CT 的中點座標為 ( )2yx y zΔ

+

ˆ( )T TC C

A d A xdxrarr rarrsdot = sdot minus =int int

TxC

A dxminusint ( )2xyA x y z xΔ

asymp minus + Δ

合併 CB 與 CT

B TC CA drarr

+sdot =int

( ) ( )2 2x xy yA x y z A x y z

x yy

Δ Δ⎡ ⎤minus + minus minus⎢ ⎥⎣ ⎦ Δ ΔΔ

（4-97）

由 C1 所圍的面積 S x yΔ = Δ Δ

1B TC C

A dS

rarr

+sdot =

Δ int( ) ( )

2 2x xy yA x y z A x y z

y

Δ Δ⎡ ⎤minus + minus minus⎢ ⎥⎣ ⎦Δ

（4-98）

所以當取極限 C1 收縮到中心(xyz)時 SΔ 收縮到 0ie

4-59

0limsΔ rarr

1B TC C

A dS

rarr

+sdot =

Δ int xAy

partminuspart

（4-99）

Similarly with CR 的 ˆd ydy= CL 的 ˆd ydy= minus 可得

1L RC C

A dS

rarr

+sdot =

Δ int x

zyxxFzyxxF yy

Δ

Δminusminus

Δ+ )

2()

2(

（4-100）

同樣的當取極限 C1 收縮到中心(xyz)時 SΔ 收縮到 0

0

limsΔ rarr

1L RC C

A dS

rarr

+sdot =

Δ int yAx

partpart

（4-101）

最後合併 CBCTCRCL 為 C1

10

1limCs

A ds

rarr

Δ rarrsdot =

Δ int y xA Ax y

part partminus

part partˆ ( ) ( )zz A A= sdot nablatimes = nablatimes （4-102）

注意 C1 的方向就是在 z 上式的重要

意義是當向量場 A 在一個以點(xyz)為

中心「方向為 z 」的面積元素的「邊界」

所做的環路積分得到的就是 A 在(xyz)

處旋度的 z-分量明顯的只有當 A 在

(xyz)附近有 x-y 平面上的「漩渦」那麼 C1 的環路積分才不會為 0

Similarly 取一個逆時針繞著(xyz)的平行於 x-z 平面的長方形環路 C2

（左圖）做環路積分再取極限將 C2 收縮到(xyz)就會得到

20

1limCs

A ds

rarr

Δ rarrsdot =

Δ int x zA Az x

part partminus

part partˆ ( ) ( )yy A A= sdot nablatimes = nablatimes （4-103）

注意到 C2 所包圍的面積方向就在 y到

現在我們應該已經很有經驗了若取一

個逆時針繞著(xyz)的平行於 y-z 平面

的長方形環路 C3（左圖）做環路積分

再取極限將 C3 收縮到(xyz)就會得到

4-60

30

1limCs

A ds

rarr

Δ rarrsdot =

Δ int yz AAy z

partpartminus

part partˆ ( ) ( )xx A A= sdot nablatimes = nablatimes （4-104）

能把（4-103）與（4-104）變出來的同學我們有優待綜合以上

我們可以得到一個結論若取一個以點(xyz)為中心的任意環路 Cn（其

所包圍的面積方向在 n ）則

n curl Aand rarrsdot ＝

0

1lims

Cn

A ds

rarr

Δ rarrsdot

Δ int （4-105）

明顯的當 n ＝ x 或 y 或 z 時我們可以重複（4-102）到（4-104）的

結果（4-70）式的行列式所定義的旋度在此看見其幾何物理意義

至此「旋度」的「漩渦」形象應該已經很清楚了只有在(xyz)點附

近的小圈圈上有「漩渦」 A 在小圈圈做的環路積分才會有值這個

值就是向量場 A 的「旋度」在小圈圈面積方向的分量

Stokersquos 定理

考慮一個開放面 S被其「有方向的」邊界 C 圈住(bounded by)則

( )S

A dsrarr rarrnablatimes sdotint ＝

C

A drarrsdotint （4-106）

pf 先將 S 面分割為 N 個多邊形這會使得邊界變成一個「折線」形

成的環路 P環路 P 會隨著分割的多邊形個數的增多而越加近似於原

「光滑的」邊界 C現考慮相鄰的

兩個多邊形的線積分由於共用邊

的方向是相反的所以相鄰兩個多

邊形線積分的和只剩「外邊界」（見左圖）所以當把所有的多邊形的

4-61

線積分加起來時由於只有邊界 P 不是多邊形的共用邊所以

1k

N

k C

A drarr

=

sdotsum int ＝P

A drarrsdotint rArr

P

A drarrsdotint ＝

1

1

k

N

kk k C

A d l ss

rarr rarr

=

⎡ ⎤sdot Δ⎢ ⎥

Δ⎢ ⎥⎣ ⎦sum int

其中 ksΔ 為第 k 個多邊形的面積取極限 0kN srarrinfinrArrΔ rarr P CrArr rarr

C

A drarrsdotint ＝

10

1limkk

N

kN k k Cs

A d ss

rarr

rarrinfin=Δ rarr

⎡ ⎤sdot Δ⎢ ⎥

Δ⎢ ⎥⎣ ⎦sum int 01

ˆlim ( )k

k kskn A s

infin

Δ rarr=

⎡ ⎤= sdot nablatimes Δ⎣ ⎦sum

01

ˆlim ( )k

k kskA n s

infin

Δ rarr=

= nablatimes sdot Δsum = ( )S

A dsrarr

nablatimes sdotint QED

ex55 由 Amperersquos law 的積分形式導出其微分形式

解Amperersquos law 的積分形式 C

B drarrsdotint ＝ I0μ (4-107)

由 Stokersquos 定理及電流密度 j 的定義上式等號兩端可寫為

rArr ( )S

B dsrarr rarrnablatimes sdotint ＝ 0 S

j dsμrarrsdotint

由於上面的等式對任意面 S（路徑 C）都成立所以被積函數相等

0B jμrarr rarr rarr

rArrnablatimes = (4-108) 此即 Amperersquos law 的微分形式

Ex56 Given a vector field ˆ ˆx yA ye xe= minus + (a) Find Anablatimes

解

ˆ ˆ ˆˆ ˆ(1 ( 1) 2

0x y z

x y zA z z

y xnablatimes = part part part = minus minus =

minus

(b)如圖一個金字塔狀的 5 面體高 2底邊長＝1計算 ( )S

A dsnablatimes sdotint

其中 S 為金字塔在 x-y 平面以上的部分方向如同

封閉的金字塔（運用 Stokersquos law）

解金字塔上表面的面積元素ds 不好寫由 Stokersquos

4-62

law ( )S

A dsrarr rarrnablatimes sdotint ＝

C

A drarrsdotint 其中封閉路徑 C 就是上表面的邊界而且

是逆時針（由 z 軸向下看）

C

A drarrsdotint ＝

1 1 0 0

0 0 1 1ˆ ˆ ˆ ˆA xdx A ydy A xdx A ydysdot + sdot + sdot + sdotint int int int

＝1 1 0 0

0 0 1 1x y x yA dx A dy A dx A dy+ + +int int int int 1 1 0 0

0 0 1 1( 0) ( 1) ( 1) ( 0)y dx x dy y dx x dy= minus = + = + minus = + =int int int int

0 1 1 0 2 ( ) 2S

A ds= + + + = rArr nablatimes sdot =int

旋度與 path independence

已知保守場 cF 對所有封閉路徑 C 0cC

F drarrsdot =int 由 Stokersquos 定理

0cC

F drarrsdot =int ＝ ( )cS

F dsrarr rarrnablatimes sdotint rArr 0cF

rarr rarrnablatimes =

這表示保守場＝無旋度反之無旋度的場任兩點間路徑積分與路

徑無關

Ex57 Given a field 2 2ˆ ˆ ˆ2A x xy yx zz= + minus (a) Find Anablatimes A 保守場

解2 2

ˆ ˆ ˆ

2x y z

x y zA

xy x znablatimes = part part part

minus

( ) ( ) ( )2 2 2 2ˆ ˆ ˆ( ) 2 ( ) 2 0y z z x x yx z x y xy z z x xy= part minus minuspart + part minuspart minus + part minuspart =

yes A =保守場

(b)如左圖由 A 到 B 做路徑積分A BC

A drarr

sdotint 路徑 C 為橢圓

22 1

16yx + = 在 x-軸以上的部分

解橢圓部分的路徑元素 d 有點麻煩但因為 A

為保守場所以 A 到 B 做路徑積分可以用 x = -1 到

1 的積分取代

4-63

01 1 1

1 1 1ˆ 2 0

yB

xAA d A xdx A dx xydx

=

minus minus minussdot = sdot = = =int int int int

∵

旋度在柱座標與球座標

前面討論過nabla在不同座標系的寫法旋度也有歸納出的一致寫法

座標 1 2 3 u u u

度量係數

1 2 3 h h h

nabla grad del

直角 x y z

1 1 1 nabla ˆ ˆ ˆx y z

x y zpart part part

equiv + +part part part

圓柱 zρ ϕ

1 1ρ

1ˆ ˆ ˆ zz

ρ ϕρ ρ ϕpart part part

nabla equiv + +part part part

球 r θ ϕ

1 sinr r θ

1 1ˆ ˆˆ sin

rr r r

θ ϕθ θ ϕ

part part partnabla = + +

part part part

所以柱座標與球座標的旋度分別表為

柱座標

ˆ ˆ ˆ1

z

z

Az

AA Aρ ϕ

ρ ρϕ

ρ ρ ϕρ

part part partnablatimes =

part part part （4-109）

球座標 2

ˆ ˆˆ sin1sin

sinr

r r r

Ar r

A rA r Aθ ϕ

θ θϕ

θ θ ϕθ

part part partnablatimes =

part part part （4-110）

ex58 (a) Given the vector function ˆA ϕ= sin (ϕ 2) find Anablatimes

解 2

ˆ ˆˆ sin1sin

0 sin( 2) 0

r r r

Ar r

r

θ θϕ

θ θ ϕϕ

part part partnablatimes =

part part part

4-64

21 ˆˆ cos sin sinsin 2 2 2

rr rr

ϕ ϕθϕθ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

ˆˆ cos sin2 sin 2 2

rr r

ϕ ϕ ϕθ

minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

(b)如左圖一個底面在 x-y 平面半徑＝1高＝2 之圓錐 求面積分

SA dsnablatimes sdotint 面積範圍 S 為圓錐在 x-y 平面以上

部分 方向為由圓錐內向外

解由 Stokersquos law ( )S

A dsrarr rarrnablatimes sdotint ＝

C

A drarrsdotint 其中路

徑 C 為 x-y 平面圓心在原點之單位圓 ˆ ˆd rd dϕ ϕ ϕ ϕ= =

2

0ˆ ˆsin sin

2 2C

d dπϕ ϕϕ ϕ ϕ ϕ⎛ ⎞ ⎛ ⎞sdot =⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠int int ( )0

2 sin u duπ

= int 0cos | 2u π= minus =

習題 16 磁場 B 因為不是保守場所以沒有對應的純量位而對應一

個向量位 A (vector potential)而 B A= nablatimes 一個磁鐵的磁偶極矩

ˆm mz= 被置於原點已知在遠處的 vector potential 03ˆ sin

4mAr

μϕ θπ

=

計算該處的磁場 B Ans 03

ˆˆ( 2cos sin )4

mB rr

μ θ θ θπ

= + 與電偶極遠處

的電場形式一致都是偶極(dipole) 選幾個點畫一畫該處的場向量

把磁力線描出來

附錄本章講義的內容有部分可以經由直接計算得出列在附錄做為

參考

用「圓柱座標」寫 Atimesnabla

Ararr rarrnablatimes ＝ ( )1ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ zz A A zA

z ρ φρ ϕ ρ ϕρ ρ ϕpart part part⎛ ⎞+ + times + +⎜ ⎟part part part⎝ ⎠

4-65

因為rdquo sdotrdquo與rdquotimes rdquo都是向量間的運算所以

＝ ( )ˆ ˆ ˆ ˆ zA A zAρ φρ ρ ϕρpart

times + +part

＋ ( )1ˆ ˆ ˆ ˆ zA A zAρ φϕ ρ ϕρ ϕ

parttimes + +

part

＋ ( )ˆ ˆˆ ˆ zz A A zAz ρ φρ ϕpart

times + +part

直接做上式微分可以得到

＝1ˆ z AA

zϕρ

ρ ϕpart⎛ ⎞part

minus⎜ ⎟part part⎝ ⎠＋ ˆ zA A

zρϕ

ρpart⎛ ⎞part

minus⎜ ⎟part part⎝ ⎠＋

1 1ˆ ( )A

z A ρϕρ

ρ ρ ρ ϕpart⎛ ⎞part

minus⎜ ⎟part part⎝ ⎠

上式可以用一個行列式來表示

rarrrarr

timesnabla A＝

ˆ ˆ ˆ1

z

z

zA A Aρ ϕ

ρ ρϕ

ρ ρ ϕρ

part part partpart part part

（A-1）

A and Anabla nablasdot nablatimes in 球座標 spherical coordinate

如上圖球座標 )( ϕθr 其中 )0[ infinisinr ]0[ πθ isin ]20[ πϕ isin 只有 r

是長度而 ϕθ 為角度是用來說明方向的三個座標的單位向量 ˆ ˆˆ r θ ϕ 具

有下列性質

4-66

1 如上圖 ˆ ˆˆ r θ ϕ 都不是常數而是（ ϕθ ）的函數

ˆ ˆ( )ˆ ˆ( )ˆ ˆ( )

r r θ ϕ

θ θ θ ϕϕ ϕ ϕ

⎧ =⎪

=⎨⎪ =⎩

)( ϕθr 與(xyz)之間的轉換如下

sin cossin sincos

x ry rz r

θ φθ φθ

=⎧⎪ =⎨⎪ =⎩

( )122 2 2

2 2

tan

tan

r x y z

x yz

yx

θ

φ

⎧ = + +⎪⎪ +⎪ =⎨⎪⎪ =⎪⎩

（A-2）

2 ˆ ˆˆ r θ ϕ 形成一「歸一正交集」ie

ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ 1r r θ θ ϕ ϕsdot = sdot = sdot = ˆ ˆr θ ϕperp perp

ˆ ˆr θ ϕtimes = ˆ ˆ rθ ϕtimes = ˆˆ rϕ θtimes = （A-3）

3可以很容易的由他們在 xyz 軸上的投影由直角

座標的 ˆ ˆ ˆ x y z 表出

ˆ ˆ ˆ ˆsin cos sin sin cos ( 4 )ˆ ˆ ˆ ˆcos cos cos sin sin ( 4 )ˆ ˆ ˆsin cos ( 4 )

r x y z A a

x y z A bx y A c

θ φ θ φ θ

θ θ φ θ φ θϕ φ φ

= + + minus⎧⎪

= + minus minus⎨⎪ = minus + minus⎩

4 ˆdr = 由於 ˆ ˆ( )r r θ φ= 所以由 ϕθ 的變動來看

4-67

ˆ ˆˆ| |ˆ ˆˆ| | sin sin

d r d d

d r d d

θ θθ θθ

φ θ φφ θ φφ

⎧ rArr =⎪⎨

rArr =⎪⎩rArr ˆ ˆˆ sindr d dθ θ φ θ φ= + （A-5）

rArrˆ ˆr θθpart

=part

ˆ ˆsinr θφφpart

=part

（A-6）

（A-6）的結果也可以直接由（A-4a）對 ϕθ 偏微得到

5 ˆdθ ＝ 由於 ˆ ˆ( )θ θ θ φ= 所以由 ϕθ 的變動來看

ˆ ˆ ˆ| | ( )ˆ ˆ ˆ| | cos cos

d d r d r

d d d

θ θ θ θ

φ θ θ φφ φ θ φ

⎧ rArr minus = minus⎪⎨

rArr =⎪⎩rArr ˆdθ ＝ ˆˆ cosrd dθ φ θ φminus + （A-7）

ˆrθ

θpart

rArr = minuspart

ˆ ˆcosθ φ θφpart

=part

（A-8）

請直接由（A-4b）對 ϕθ 偏微的結果 check（A-8）

6 ˆdφ ＝由於φ )(ϕ 躺在 x-y 平面上變動φ時的方向可能不是那麼

容易看出來所以做圖看一看

ie ˆ ˆˆ(sin ) (cos )d r d dφ θ φ θ θ φ= minus minus （A-9）

4-68

ˆ ˆˆsin cosrφ θ θ θφpart

= minus minuspart

7 所有的向量 ˆ ˆˆ rA rA A Aθ φθ φrarr= + +

8 位置向量 ˆr rrrarr=

可以由左圖 ˆ ˆˆ r θ ϕ 三個方向的「長度

變化」輕易的看出

9 位移元素

ˆ ˆˆ ˆ sindr rdr rd dθ θ ϕ θ φ= + + (A-10)

10 體積元素

sindv dr r d rdθ φ θ= sdot sdot

＝ 2 sinr dr d dθ θ φ (A-11)

11 面積元素 2 sinrds r d dθ θ φ= plusmn sinds r drdθ θ φ= plusmn ds rdrdφ θ= plusmn (A-12)

plusmn號表示面的垂直方向有兩個端看 ds 周邊的方向是如何定的

nabladel 考慮 ( )u u r θ φ=

rArru u udu dr d dr

θ φθ φ

part part part= + +part part part

u d rrarr rarr

equiv nabla sdot

urarr

= nabla sdot ˆ ˆˆ( sin )rdr rd dθ θ φ θ φ+ +

rArr1 1ˆ ˆˆ

sinu u uu rr r r

θ ϕθ θ φ

rarr part part partnabla = + +

part part part

1 1ˆ ˆˆsin

rr r r

θ ϕθ θ φ

rarr part part partnabla equiv + +

part part part （A-13）

4-69

直接用（A-13）與 ˆ ˆˆ rA rA A Aθ φθ ϕrarr= + + 逐項內積加上（A-678）

rArr ϕθ

θθθ

ϕθ part

part+

partpart

+partpart

=sdotnablararrrarr A

rA

rAr

rrA r sin

1)(sinsin1)(1 2

2 （A-14）

（A-13）與 ϕθ ϕθ AAArA r

andandandrarr

++= 逐項外積整理之後

ϕθ θϕθ

ϕθθ

θArrAA

r

rrr

rA

r sin

sin

sin1

2 partpart

partpart

partpart

=timesnabla

andandand

rarrrarr

（A-15）

Laplacian uu nablasdotnabla=nabla2

2

2

2222

22

sin1)(sin

sin1)(1

ϕθθθ

θθ partpart

+partpart

partpart

+partpart

partpart

=nablau

ru

rrur

rru （A-16）

B推導「散度」在圓柱座標的寫法

讓我們先回顧一下在直角座標裡的「面積元素」可以由「位移元素」

得到

ˆˆ ˆ x y zdr idx jdy kdz da dydz dxdz dxdy= + + rArr =

比照辦理「圓柱座標」的位移元素

( )ˆˆ ˆ( )

( )z

da d dzdr d d zdz da d dz

da d d

ρ

φ

ρ φ

ρ ρ φ ρ φ ρ

ρ ρ φ

=⎧⎪= + + rArr =⎨⎪ =⎩

這個結論可以輕易的由面積元素在垂直於 zˆˆ ϕρ 三個方向的面積看

出如下圖考慮一個以 )( zϕρ 為中心的「圓柱體積元素」(cylindrical

cubiod)體積為 zdV ΔΔ=Δ ϕρρ 現計算在 ρ

方向的 12 兩個平行面(方向各為 ρplusmn )的通

量

4-70

zzF

dsFdsnFS S

ΔΔ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

+cong

=sdotintint intintϕρρϕρρρ

ρ

2

2

ˆ1 1

zzF

dsFdsnFS S

ΔΔ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

minus⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

minusminuscong

minus=sdotintint intintϕρρϕρρρ

ρ

2

2

ˆ2 2

intint+

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

minus⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

minusminus⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

+Δ

asympsdotΔ

rArr21

22

22

1ˆ1

SS

zFzFdsnFV

ϕρρρρϕρρρρρρ ρρ

( ) ( )

1 20

0

0

1 ˆlim

1lim 2 2 2 2

1 1lim 2 2

1

VS S

F ndsV

F z F z

F z F z

F

ρ ρρ

ρ ρρ

ρ

ρ ρ ρ ρρ ρ φ ρ ρ φρ ρ

ρ ρρ ρ φ ρ ρ φρ ρ

ρρ ρ

Δ rarr+

Δ rarr

Δ rarr

rArr sdotΔ

Δ Δ Δ Δ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + + minus minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥Δ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦Δ Δ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥Δ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

part ⎡ ⎤= ⎣ ⎦part

intint

娛樂一下用上述方式把圓柱的 Fsdotnabla 裡的z

FF z

partpart

+partϕρϕ1

變出來

球座標的nabla和 Fsdotnabla 也可以試試看

補充習題

H M Scheydiv grad curl and all that 4th edition

第二章習題 6 8 9 10 11 14 15 16 18 19 21 22 23 25 26 27

第三章習題 2 3 5 6 7 8 9 10 11 14 15 17 18 19 24

4-16

所以微分的位移為

ˆˆdr drr rdθθ= + （4-37）

上式的幾何意義很清楚dr 的 r 分量 dr 就是「沿

r 方向的長度變化」而θ 分量 rdθ 就是「沿θ 方

向的長度變化」而已或者也可以這麼看dr 是

一個位移向量在平面上有 r 和θ 兩個分量所以 ˆˆrdr d r d θθ= +

α 為在 r 方向的長度變化β 為在θ 方向的長度變化所以 rd dr=

d rdθ θ= 這種分析方法可以用在各種座標系這裡也可以看出

和（4-32）式角度變化dθ 造成的長度變化d h dθ θ θ= 相比可以得出

θ 的度量係數h rθ = 與直角座標比較 ˆ ˆdr dxx dyy= + dx 與 dy 不也就

是dr 在 x 與 y 方向的長度變化嗎

Now 速度

ˆˆ

ˆ ˆˆ ˆr

dr dr dv r rdt dt dtrr r v r vθ

θ θ

θθ θ

= = +

= + equiv + （4-38）

其中ddtθθ ω= = 亦稱為「角速度」

Ex14 圓周運動因為只有切線速度所以由（4-38）式 ˆ ˆ0

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( ) = ( ) ( ) ( 0)

r R r v r R

dv dr r d r d r d r d dr

θθ ωθ

θθ θ θ θ θ θ θ θ θ

= rArr = rArr = =

rArr = + + + =

∵

∵

（ 切線速度）(4-39)

這裡又冒出個問題

ˆ dθ = 由左圖

ˆ ˆ

ˆ ˆ0

d d d

d d

θ θ θ θ

θ θ θ

= =

rarr rArr perp

4-17

ˆ ˆ ˆ ˆ

d r

d d r

θ

θ θ

rArr minus

rArr = minus (4-40)

2

2

ˆˆ( ) ( )

ˆˆ

ˆ ˆˆ ˆ( ) ( )ˆˆ ( ) ( )

r

dv r d r r d

dv d da r r rdt dt dt

a r r r a r a

or a r r rθ

θ θ θ θ

θ θθ θ

θ θ θ θ

ω α θ

rArr = minus +

⎛ ⎞⎛ ⎞rArr = = minus +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

rArr = minus + equiv +

= minus +

(4-41)

上式即為圓周運動的加速度其中的第一項

2

2 ˆ ˆrva r r rr

ω minus= minus = 向心加速度 (4-42a)

with α θ= 可以認出是角加速第二項

ˆa rθ αθ= 切線加速度 (4-42b)

如進一步簡化為「等速圓周運動」 ==rArr θω constant 0==rArr αθ rArr切線

加速消失那麼加速度就只剩下了熟知的向心加速度2

ˆrva rrminus

= 了

若考慮一般的情況 dr 0ne 可以導出用極座標表示的加速度為

2

ˆ ˆ ˆ ˆˆ( ) ( ) ( ) ( )

ˆˆ( ) (2 )

dv dr r r d dr r d r ddva r r r r rdt

θ θ θθ θ θ θ θ

θ θ θ θ

= + + + +

rArr = = minus + + （4-43）

看起來有點繁但是在有圓形對稱的系統極座標會表現得更清楚

面積微分元素

直角座標把平面分割成一個個的

小方塊也就是依照「x 與 y 方向的

長度變化」可以寫出「面積元素」

dA dx dy= sdot （像是切長方形的蛋糕）

比較 ˆ ˆdr dxx dyy= + 可以看出

dA＝(x-方向的長度變化)times(y-方向的長度變化)

4-18

所 以 在 「 極 座 標 」 比 照 辦 理

ˆˆ ˆ( ) ( )dr dr r rdr dr r rdθθ= + = +

dA dr rd rdrdθ θ= sdot = (4-44)

像是切圓形蛋糕

ex15 求一個半徑 R 的圓的面積

解 2 2

2

0 0

22

R RA dA rdrd rdr d Rπ

θ θ π π= = = = sdot =int intint int int

妳可以試試用直角座標dA dx dy= sdot 算一下圓的面積

Ex16 求一個半徑 R質量 M密度σ 的均勻圓盤繞其直徑的轉動慣

量解 質量元素 dAdm σ= 到轉軸（直徑）的距

離 sinr θ=

2 2 2 2

23 2

0 0

4 22 2

sin

sin

14 4 4

R

I dm dA r rdrd

r dr d

R RR MR

π

σ σ θ θ

σ θ θ

σ π σπ

= = =

=

= = =

int int intintint int

娛樂一下算半個圓盤繞通過圓心且垂直盤面的軸的轉動慣量

ex 17 計算積分2xI e dx

infinminus

minusinfin

= int

解 2 2

0

2x xI e dx e dxinfin infin

minus minus

minusinfin

= =int int2 22

0 0

2 2x yI I I e dx e dyinfin infin

minus minusrArr = sdot = sdotint int

2 2 2 22

2 ( )

0 0 0 0 0 0

4 4 4x y r rI e dxdy e dA e rdr d

π

θinfin infin infin infin infin

minus + minus minusrArr = = =int int int int int int

在上面的積分裡我們運用了一個有關「無窮大平面」的技巧就是「無

4-19

窮大的平面」是可以是「正方形」或是「圓形」的

2

2

22

00 0 0

22

4 2 2( )2 2 2

(4 45)

u u u

x

dulet u r du rdr rdr

duI e d e du e

I e dx

π

π πθ π

π

infin infininfinminus minus minus

infinminus

minusinfin

= rArr = rArr =

rArr = = sdot = minus sdot =

rArr = = minus

int int int

int

ex18 重力位能

由位能差的定義 )()()( BAWBUAU rarrequivminus

（B）圓柱座標 cylindrical coordinates

3D 空間點 P(x y z)的位置向量 ˆ ˆ ˆr xx yy zz= + +

定義「圓柱座標」 ( )zρ ϕ 其中

0 [0 )P zρ ρ ρequiv ge there4 isin infin點 到 軸之垂直距離

ϕ ρequiv 在 x-y 平面的投影與 x 軸之夾角 [02 ]ϕ πisin

z zequiv同直角座標的

4-20

「圓柱座標」就是「極座標」（用 ( )ρ ϕ 取代 ( )r θ ）再加上第三維 z

所以圓柱座標 ( )zρ ϕ 裡 zρ 的因次為長度而ϕ 只是一個數字

( )zρ ϕ 與(x y z)間的轉換如下

2 2 cos

tan sin

x yx

y yx

z zz z

ρρ ϕ

ϕ ρ ϕ

⎧ = +=⎪ ⎧

⎪ ⎪= =⎨ ⎨⎪ ⎪ =⎩=⎪⎩

（4-46）

「圓柱座標」的三個方向單位向量 ˆ ˆ ˆ zρ ϕ 如圖

且 ˆ ˆ zρ ϕperp perp 可以看出ρ 的等值面為一個圓柱

面ϕ 的等值面是一扇門z 的等值面為一個垂

直 z 軸的平面但是

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( ) zρ ρ ϕ ϕ ϕ ϕ= = =常數

柱座標的位置向量 r 如左圖

ˆ ˆr zzρρ= + （4-47）

在柱座標寫位移元素dr 有兩種作法一

種是直接由（4-47）式取微分元素 借用

平面極座標的結果可得

ˆ ˆ ˆ( ) ( )

ˆ ˆ ˆdr d d dzz

d d dzzρ ρ ρ ρ

ρρ ρ ϕϕrArr = + +

= + + （4-48）

但也可以由三個座標方向的

位移來看由左圖可得沿 ρ 方向

的長度變化 ie 當座標ρ 有變

化dρ 時產生的長度變化就是

dρ 沿ϕ 的長度變化為 dρ ϕ

而沿 z 方向的長度變化為 dz

4-21

dr 是一個向量有三個分量ρ -分量就是沿 ρ 方向的長度變化

dρ ϕ -分量沿ϕ 的長度變化為 dρ ϕ 而 z-分量就是沿 z 方向的長度變

化為 dz合併寫出

ˆ ˆ ˆdr d d dzzρρ ρ ϕϕ= + +

與（4-48）式完全相同但是這種由幾何角度得到的結果要更方便

也更直觀Fig 27 非常重要因為只要你能把圖畫出來位移的各

分量就寫得出來有了位移元素dr 速度與加速度就可得出

ˆ ˆ ˆ (4 49)

ˆ ˆ ˆ( ) (2 ) (4 50)

drv zzdtdva zzdt

ρρ ρϕϕ

ρ ρϕ ρ ρϕ ρϕ ϕ

rArr = = + + minus

rArr = = minus + + + minus

由上圖與dr 的 3 個分量可得圓柱座標的體積元素

dV d d dz d d dzρ ρ ϕ ρ ρ ϕ= sdot sdot = （4-51）

ex19 底面半徑 R高 h 的圓柱體積＝ 2 2

2

0 0 0

22

R h RV dV d d dz h R hπ

ρ ρ ϕ π π= = = sdot sdot =int int int int

ex20 底面半徑 R高 h 的「圓錐」體積＝

解本圓錐裡點的座標分佈為 [02 ] [0 ]z hϕ πisin isin ( )zρ ρ=

( ) ( )( )

h z h Rz h zz R h

ρρminus

= rArr = minus

22( )( ) 2 2

0 0 0 0 0 0

002 2 2 3 2 32 2 2

2 2 2 20

( )2 2

2

1( )3 3 3

R h zzh h hh

h

h h

R h zhV d dz d d dz d dz

R R R u R hh z dz u du R hh h h h

ρ π

τ ρ ρ ϕ π ρ ρ π

π π π π π

minus

minus minus

minusthere4 = = = =

= minus = = = =

int int int int int int int

int int

如果我們把 3-D 的三個座標寫為 1 2 3( )u u u 或 123iu i = 當座

標 ui(在 ˆiu 方向)變動 dui 時造成的長度變化為 id 則定義

4-22

i i id h duequiv (4-52)

其 中 hi 稱 為 座 標 ui 的 度 量 係 數 (metric

coefficient)由 zρ 的因次為長度所以 zρ 的變

化 d dzρ 就是長度的變化所以 1 1zh hρ = =

然而ϕ 的變化造成的長度變化為

d d hϕ ϕρ ϕ ρ= rArr = (4-53)

很明顯的直角座標 xyz 都是長度所以度量係數 1x y zh h h= = =

(C) 球座標 spherical coordinates

3D 點 P(x y z)的位置向量 ˆ ˆ ˆr xx yy zz= + + 定義

「圓柱座標」 )( ϕθr 其中

[0 ] [0 ]

[02 ]

r P rr zr x y x

θ θ πϕ

ϕ π

⎧ equiv isin infin⎪

equiv isin⎪⎨

equiv minus⎪⎪ isin⎩

原點到 的距離

與 軸的夾角

在 軸投影與 軸的夾角

球座標的ϕ 與住座標的ϕ 相同

( )r θ ϕ 與(x y z)間的轉換如下下列為（4-54）

2 2 2

2 2 2

sin coscos sin sin

cos

tan

r x y zx r

z y rx y z z r

yx

θ ϕθ θ ϕ

θ

ϕ

⎧⎪ = + +⎪ =⎧⎪ ⎪= =⎨ ⎨

+ +⎪ ⎪ =⎩⎪⎪ =⎩

三個座標的單位向量 )ˆˆˆ( ϕθr 如左圖一可以看

出 r 的等值面是一個球面θ 的等值面為一個

以原點為頂點的圓錐ϕ 的等值面為一扇門

位置向量 ˆr rr= （4-55）

4-23

位移由 ˆ ˆˆ( )r θ ϕ 3 個方向的「長度

分量」可得 ˆ ˆˆ ( ) ( sin )dr rdr rd r dθ θ ϕ θ ϕ= + +

（4-56）

所以體積元素

2

( )( sin )(sin )

d dr rd r dr dr d d

τ θ θ ϕ

θ θ ϕ

=

= （4-57）

Fig 31 和 Fig 27 一樣重要只要

你能畫得出來就可以寫出球座

標位移的三個分量

ex21 求一半徑 R 的球體積 2

2 2 3

0 0 0

4sin sin3

R

V d r dr d d r dr d d Rπ π

τ θ θ ϕ θ θ ϕ π= = = =int intintint int int int

ex22 求一質量 M半徑 R密度 ( )3 4 3M Rρ π= 的實心球對直徑

旋轉的轉動慣量

解質量元素 2 sindm d r dr d dρ τ ρ θ θ ϕ= = 到 z 軸的垂直距離為 sinr θ=

22 4 3

0 0 0

5 52

sin

4 8 225 3 15 5

RI dm r dr d d

R R MR

π πρ θ θ φ

πρ π ρ

= =

= sdot sdot = =

intintint int int int

娛樂一下空心球對直徑的轉動慣量

(4-46)式與(4-54)式說明柱座標和球座標與直角座標之間的轉

換Fig 32 可得出柱座標和球座標之間轉換

2 2

sintan

cos

r zr

zz r

ρρ θ

ρϕ ϕ θθ ϕ ϕ

⎧ = += ⎪⎧

⎪ ⎪= =⎨ ⎨⎪ ⎪=⎩ =⎪

⎩

（4-58）

4-24

Ex23 點 P 的球座標為（31200 600）求柱座標＝

解2 3 33sin3 2πρ ⎛ ⎞= =⎜ ⎟

⎝ ⎠

23

ϕ π= 2 33cos3 2

z π minus⎛ ⎞= =⎜ ⎟⎝ ⎠

直角座標柱座標球座標單位向量之間的轉換

三種座標之間的轉換由(4-46)式(4-54)式與（4-58）式表出但

三種座標裡的的三個單位向量 ˆ ˆ ˆ x y z ˆ ˆ ˆ zρ ϕ ˆ ˆˆ r θ ϕ 若以 123ˆ iu =

表示則單種座標的單位向量之間都有正交歸一關係

ˆ ˆi j iju u δsdot = 與外積的循環關係

ˆ ˆ ˆ i j ku u u i j ktimes = cyclic in 123

ie 1 2 3 2 3 1 3 1 2ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ u u u u u u u u utimes = times = times = or ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆˆ ˆ r z z x yθ ϕ ϕ ρtimes = times = times =

然而不同座標系的單位向量之間關係如何我們畫圖來討論

球座標 ˆ ˆˆ( )r θ ϕ rarr直角座標 ˆ ˆ ˆ( )x y z

單位向量都是用來指方向的球座標的 ˆ ˆˆ( )r θ ϕ 都是「方向角」( )θ ϕ

的函數 r 在直角座標可以由 Fig33 看出

ˆ ˆ ˆ ˆsin cos sin sin cosr x y zθ ϕ θ ϕ θ= + + （4-59）

ex24 P 點的球座標為2 75 3 6π π⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠

試用球座標與直角座標求 P 點的位

置向量的單位向量 解位置向量 ˆr rr= 在球座標只有 r-分量標位置仔細一點把方向

角標出2 7ˆ 3 6

r π π⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

通常只是寫 r 令人有點摸不著頭緒用直角

4-25

座標比較「具像」 2 7 2 7 2ˆ ˆ ˆ ˆsin cos sin sin cos3 6 3 6 3

3 3 1ˆ ˆ ˆ4 4 2

r x y z

x y z

π π π π π⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞minus minus minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + +⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

單位向量θ 在某一組 ( )θ ϕ 的指向如 Fig 34a將θ 平移至原點更清楚

Fig34b 是由側面看 Fig34a可以看到θ 在 z 軸的投影為 sinθminus 而θ 在

x-y 平面的投影為cosθ使得θ 在 x-軸的投影為cos cosθ ϕy-軸投影

為cos sinθ ϕ於是

ˆ ˆ ˆ ˆcos cos cos sin sinx y zθ θ ϕ θ ϕ θ= + minus （4-60）

單位向量ϕ 如 Fig 35a 所示是在 x-y 平面畫出

Fig 35b 為自 z 軸向下看 Fig35a 圖可以看出ϕ 在 z 軸投影為 0且

ˆ ˆ ˆsin cosx yϕ ϕ ϕ= minus + （4-61）

ex25 一個質點的速率為 2( ) ( sin tan )v r rθ ϕ θ ϕ= 若經查該質點的運

動 是 在 z = 3 平 面 做 逆 時 針 圓 周 運 動 則 當 位 置 的 方 向 角

4-26

2( ) 4 3π πθ ϕ ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

時計算其速度用球座標與直角座標表出

解圓運動速度方向是沿切線所以球座標 ˆ ˆ( )v v v rϕ θ ϕ ϕ= =

z = 34πθ =

3 3 21cos cos 24

z zrπθ

rArr = = = =⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

所以該處的瞬時速率

2 2

2( ) 3 3 4 3

2 1 813 3sin tan 3 3 ( 3)4 3 22

v r v π πθ ϕ

π π

⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

⎡ ⎤ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = times minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

2 81 2ˆ3 3 4 3 2 4 3

v r π π π πθ ϕ ϕ⎛ ⎞ ⎛ ⎞rArr = = = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

在直角座標2 2 2ˆ ˆ ˆ sin cos

4 3 3 3x yπ π π πϕ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠3 1ˆ ˆ

2 2x y= minus minus

而且點23 3

4 3π π⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠

的直角座標為

2 1 3 3sin cos 3 3sin cos 3 34 3 2 22 2

x r π πθ ϕ minus minus⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

2 3 9sin sin 3 3sin sin 3 34 3 2 2 2 2

y r π πθ ϕ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = = =⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

z = 3

23 3 4 3

v π π⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

3 3 9 81 3 1ˆ ˆ 32 2 2 2 22 2

v x y⎛ ⎞ ⎛ ⎞

rArr = minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

以上兩個例子都只討論只有一個圓座標分量的向量in general 向量

ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( )r x y zA r rA A A A r xA yA zAθ ϕθ ϕ= + + hArr = + + （4-61）

若已知球座標的分量 ( )rA A Aθ ϕ 如何得到直角座標的

( )x y zA A A

4-27

ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( )ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( )

ˆ ˆˆˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( )

x r

y r

z r

A x A r x r A x A x A

A y A r y r A y A y A

A z A r z r A z A z A

θ ϕ

θ ϕ

θ ϕ

θ ϕ

θ ϕ

θ ϕ

⎧ = sdot = sdot + sdot + sdot⎪⎪ = sdot = sdot + sdot + sdot⎨⎪

= sdot = sdot + sdot + sdot⎪⎩

（4-62）

由式（4-59）（4-61） ˆ ˆ ˆ ˆsin cos sin sin cosr x y zθ ϕ θ ϕ θ= + + （4-59） ˆ ˆ ˆ ˆcos cos cos sin sinx y zθ θ ϕ θ ϕ θ= + minus （4-60）

ˆ ˆ ˆsin cosx yϕ ϕ ϕ= minus + （4-61） ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆsin cos cos cos sin ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆsin sin cos sin cos ˆ ˆˆˆ ˆcos sin 0

x r x x

y r y y

z r z z

θ ϕ θ θ ϕ ϕ ϕ

θ ϕ θ θ ϕ ϕ ϕ

θ θ θ ϕ

⎛ ⎞sdot = sdot = sdot = minus⎜ ⎟

rArr sdot = sdot = sdot =⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟sdot = sdot = minus sdot =⎝ ⎠

（4-63）

sin cos cos cos sin sin sin cos sin cos

cos sin 0

x r r

y RS

z

A A AA A M AA A A

θ θ

ϕ ϕ

θ ϕ θ ϕ ϕ

θ ϕ θ ϕ ϕ

θ θ

⎛ ⎞minus ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟rArr = equiv⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟minus⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

（4-64）

其中 SRM 為由球座標分量轉為直角座標分量的轉換矩陣且行列式

det SRM =1 表示反矩陣存在then 1SRM minus 就是將直角座標分量轉為球座

標分量之轉換矩陣其實嚴格講 (4-64)式還不是最終的表示因為

轉換完的直角

座標應該全部以 x y z 表出這裡保留用 θ ϕ 只是為了簡潔方便

習題 2 Find 1SRM minus

習題 3 用 xyz 表出(a)sinθ (b)cosθ (c)sinϕ (d)cosϕ

Ans (a)2 2

2 2 2sin

x yx y z

θ+

=+ +

(b)2 2 2

cos zx y z

θ =+ +

(c)2 2

sin yx y

ϕ =+

(d)2 2

cos xx y

ϕ =+

習題 4 用上面結果將 SRM 用 xyz 表出

Ex26 Given a field ( )A r θ ϕ ＝ ˆ ˆˆ2 3r θ ϕ+ minus in spherical coordinates

find the field in rectangular coordinates （直角座標）

4-28

解這裡的 ( )A r θ ϕ 不因其三個分量都是常數而只是「一個」向量

而是一 vector field這是因為 ˆ ˆˆ r θ ϕ 都不是定值而與 θ ϕ 有關而如

果 ( )A r θ ϕ 表示則單位向量所對應的角度 θ ϕ 必須要標定所以

sin cos cos cos sin 2sin sin cos sin cos 3

1cos sin 0

x

y

z

AAA

θ ϕ θ ϕ ϕ

θ ϕ θ ϕ ϕ

θ θ

⎛ ⎞minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ minusminus⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

(2sin 3cos )cos sin(2sin 3cos )sin cos

2cos 3sin

x

y

z

AAA

θ θ ϕ ϕθ θ ϕ ϕ

θ θ

+ +⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟rArr = + minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟minus⎝ ⎠ ⎝ ⎠

習題 5 Draw a diagram to show in the cylindrical coordinates

(a) ˆ ˆ ˆcos sinx yρ ϕ ϕ= + (b) ˆ ˆ ˆsin cosx yϕ ϕ ϕ= minus + (c) ˆ ˆz z=

習題 6 use the above results show that 由柱座標分量轉為直角座標分

量的轉換矩陣

x

y CR

z z

A AA M AA A

ρ

ϕ

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟=⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

CRM =

2 2 2 2

2 2 2 2

0cos sin 0sin cos 0 0

0 0 10 0 1

x yx y x y

y xx y x y

ϕ ϕ

ϕ ϕ

minus⎛ ⎞⎜ ⎟+ +⎜ ⎟⎛ ⎞minus⎜ ⎟⎜ ⎟

= ⎜ ⎟⎜ ⎟+ +⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

Ex27 Express vector ˆ ˆ ˆ(3cos ) 2 5A zρ ϕ ϕ ρ= minus + in Cartesian

coordinates Specifically the A at the position of (2 2 3π -3)

解

2cos sin 0 3cos 3cos 2 sinsin cos 0 2 3cos sin 2 cos

5 50 0 1

x

y

z

AAA

ϕ ϕ ϕ ϕ ρ ϕϕ ϕ ρ ϕ ϕ ρ ϕ

⎛ ⎞minus ⎛ ⎞+⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟= minus = minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

so that A (2 2 3π -3)= 3 3 3ˆ ˆ ˆ3 3 3 54 4

x y z⎛ ⎞⎛ ⎞+ + minus +⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠注意本

題裡 z 座標並非一變數

4-29

sect 43 Fields and its properties 場與其性質

「場 field」是什麼凡是在「某個空間中每一點」都有定義的量

就是一個「場」所以「場」也稱為「點函數 point function」簡單的

說凡是「空間的函數」都是「場」如果這個「空間的函數」是一個

純量 u(xyz)那麼 u(xyz)就是一個「純量場 scalar field」例如室內

的溫度 T(xyz)一塊豬肉的密度 ( )x y zρ 大氣中的壓力 p(xyz)等

都是純量場如果這個「空間的函數」是一個向量 )( zyxA 那麼

)( zyxA 就稱為「向量場 vector field」例如空間中的電場 )( zyxE

水流中的速度場 )( zyxv 重力場 )( zyxg 等等很顯然的不論是純量

場還是向量場「場」在空間中的分佈通常未必是均勻的那麼她有

什麼性質呢例如一塊豬肉內部密度是如何變化的水流中有沒有

漩渦大氣中的等壓線是如何變化的等等那麼有沒有什麼量可以

有系統的描述各種場的分佈有我們在以下分別討論

sect 431 Gradient of scalar fields 純量場的梯度

考慮一個純量場 f(xyz)可以視為 3 個變數 xyz 的函數當變數變動為

x+dx y+dy z+dy 時造成 f 的變化

f f fdf dx dy dzx y zpart part part

= + +part part part

（4-65）

由幾何意義來看上式更為具體上式表示純量場 )(rf 基於位置的變化

r r drrarr + (或由 ( ) ( )x y z x dx y dy z dzrarr + + + )所造成 f 的變動

我們現在定義一個向量算符 vector operator nabla (or nabla )（讀做 del）

ˆ ˆ ˆx y zx y zpart part part

nabla equiv + +part part part

(4-66)

如果將 del 作用在純量場 )(rf 上將產生出現一個新的「向量場」 fnabla

稱為純量場「 )(rf 的『梯度 gradient』」

4-30

ˆ ˆ ˆ( ) f f fgrad f f x y zx y zpart part part

equiv nabla = + +part part part

（4-67）

這使得由於任意位移 ˆ ˆ ˆdr xdx ydy zdz= + + 所造成 f 的變化量

df f drrArr =nabla sdot （4-61）

ex28 Given scalar field 2( )f r xy z= and 2 2 2

1 1( )g rrx y z

= =+ +

(a) find the value of ( )f r and fnabla at point P(2 1-1) 解 2(21 1) 2 1 ( 1) 2f minus = times times minus = minus

2 2 2

2 2

ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( )

ˆ ˆ ˆ( ) ( 2 ) ( )

f x xy z y xy z z xy zx y z

x y z y x yz z xy

part part partnabla = +

part part part

= +

＋

＋

ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ(21 1) ( 1) (2 2) (2) 4f x y z x y znabla minus = minus + timesminus = minus minus＋ ＋2 (b) find the value of ( )g r and gnabla at the point P

解2

1 1(21 1)62 1 1

g minus = =+ +

2 2 2 12 2 2 2 12

2 2 2 12

ˆ ˆ( ) ( )

ˆ ( )

g x x y z y x y zx y

z x y zz

minus minus

minus

part partnabla = + + + + +

part partpart

+ +part

＋

2 2 2 32 2 2 2 32 2 2 2 32

2 2 2 32 3 2

ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( )

ˆ ˆ ˆˆ( )( )

OR OR

xx yy zzgx y z x y z x y zxx yy zz r r

x y z r r

minus minus minusrArrnabla = + +

+ + + + + +minus + + minus minus

= = =+ +

32

ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ(2 ) 2(21 1)6 6 6

x y z x y zg minus + minus minus minus +rArrnabla minus = =

由 gnabla 看到一個粉常用的結果就是

3 2

ˆ1 ORr rr r r

minus minusnabla = = （4-62）

順便比較一下

2 2 2 12 2 2 2 12 2 2 2 12

2 2 2 12

ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( )

ˆ ˆ ˆ( ) ˆ (4 63)( )

r x x y z y x y z z x y zx y zxx yy zz r r

x y z r

part part partnabla = + + + + + + +

part part part+ +

= = = minus+ +

＋

4-31

(c) what is the angle between (21 1)fnabla minus and (21 1)gnabla minus

解 (21 1)fnabla minus (21 1)gsdotnabla minus ＝（ ˆ ˆ ˆ4x y zminus minus ＋2 ） sdotˆ ˆ ˆ26 6x y zminus minus +

＝2 4 2 4

6 6 3 6+ +

= ＝ | (21 1) |fnabla minus | (21 1) |gnabla minus cosθ

＝ 34 1 1 211 16 4 cos cos

6 6θ θ+ +

+ + =

1 4 2cos 07773 7

radθ minus ⎛ ⎞= =⎜ ⎟

⎝ ⎠

要注意隨然nabla有向量的性質但是他並不是一個真的向量真

實向量 A與純量 f ( )r 的乘法滿足交換率ie ( ) ( )Af r f r A= 但是

f fnabla ne nabla因為

( )f rnabla ＝ ˆ ˆ ˆf f fx y zx y zpart part part

+ +part part part

是一個向量函數而

ˆ ˆ ˆ( )f r x y zx y z

⎛ ⎞part part part+ +⎜ ⎟part part part⎝ ⎠

是一個算符（operator）

若nabla要與向量場 A 作用由於nabla與 A 都具有向量的性質先看「內積」

ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ( )

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

x y z

x y

z

y yx xz z

A x y z xA yA zAx y z

x y z xA x y z yAx y z x y z

x y z zAx y z

A AA AA Ax x x y x zx y z x y z

⎛ ⎞part part partrArrnablasdot = + + sdot + +⎜ ⎟part part part⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞part part part part part part= + + sdot + + + sdot⎜ ⎟ ⎜ ⎟part part part part part part⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞part part part

+ + + sdot⎜ ⎟part part part⎝ ⎠part partpart partpart part

= sdot + sdot + sdot + sdotsdot sdot = + +part part part part part part

yx zAA AAx y z

partpart partnablasdot = + +

part part part (4-64)

上式中的 Anablasdot 是向量場 A 的一個重要的性質稱為 A 的「散度」詳

細的內容在後面會仔細討論這裡引進 Anablasdot 主要是要表明nabla是個「算

符」表示一個運算不是一個真實的向量只是在「直角座標」裡

4-32

因為單位向量 ˆ ˆ ˆ x y z 是常數不受微分的作用以致nabla表現得好像也

是個一般的向量一樣事實上真實向量和nabla間的「內積」就不滿足交

換率

x y zA A A A an operator Ax y zpart part part

sdotnabla = + + = ne nablasdotpart part part

(4-65)

這也使得任意向量場 ( )A r 因位置變動 r r drrarr + 而產生的變化由於

)( zyxA 也是 3 個變數 xyz 的函數可以寫為

( )A A AdA dx dy dz dr Ax y z

part part part= + + = sdotnabla

part part part （4-66）

ex29 (a)Given field 2ˆ ˆ ˆ2A xxy y x zyz= minus + find Anablasdot at point (1-12)

解2( ) (2 ) ( ) 2xy x yzA y yz

x y zpart part part

nablasdot = + + = +part part part

(1 12)1 2( 1)2 3A

minusnabla sdot = minus + minus =

(b) find rnablasdot 解 rnablasdot = 3x y zx y zpart part part

+ + =part part part

梯度的意義

由（4-67）可以看到「f 的梯度 fnabla 」

是一個由「純量場 f」衍生出的向量

場由（4-26）也可以看出 fnabla 扮演類

似「變化率」的角色

空間中將相同值 f ( )r ＝f1 的點連

起來就得到一個 f ( )r ＝f1 的「等值面」如 Fig36考慮純量場 f( r )的

相鄰兩個等值面各對應定值 1f f= 與 1f f df= + 0df gt P1 點在 f1

等值面上相鄰兩點 P2P3 在 1f df+ 等值面上而向量 1 2 ˆnP P dn e dn= =

過 P1 點垂直於 f1 等值面 1 3 ˆP P d e d= = 與 ˆne dn夾角為α 由於不

論 1 2P Prarr 或 1 3P Prarr f 的變化量都是 df 但因距離 dn 係兩等值面最

4-33

短的距離d dngt 所以 1 2P Prarr 或 1 3P Prarr 造成的「變化率」df dfdn d

gt

而過 P1 點的最大變化率為dfdn

換言之向量 ˆndfedn

為過 P1 點垂直於

f1 等值面且指向最大「增加率」的方向 現在要證明

ˆndfe fdn

= nabla （4-67）

考慮 1 3P Prarr 造成的 f 值的變化率

ˆ ˆcos n ldf df dn df df e edl dn dl dn dn

α= = = sdot

ˆ ˆ ˆn l ndf dfdf e e dl e dldn dn

rArr = sdot = sdot

和（4-61）式df f dr= nabla sdot 相比即可得證 ˆndfe fdn

= nabla 所以可以知道

空間純量場 f ( )r 中任一點處的向量 fnabla 必「垂直」於「通過該點的 f的等值面」且指向 f 值最大「增加率」的方向| ( )f rnabla |就是 f 在 r 點

的最大增長率可以進一步定義等值面的「法線 normal」方向為

ˆ fnf

nabla=nabla

（4-68）

結論給定一個純量場 f( r )在每一點 r 可以定義一個稱做「梯度」

的向量 fnabla fnabla 垂直於過 r 點的 f 等值面且指向最 f 大增加率的方向

fnabla 的方向也定義了 f 等值面的法線方向

Ex30 考慮一個 2D 的 scalar field 2( )f x y y x= minus 計算該場在 )20( 的梯度與

法線方向

解 ˆ ˆ ˆ ˆ2f ff x y x yyx ypart part

nabla = + = minus +part part

ˆ ˆ(0 2) 2 2f i jnabla = minus + ˆ ˆ ˆ ˆ2 2 2 2ˆ(0 2)

31 8i j i jn minus + minus +

rArr = =+

4-34

ex31 點電荷 q 置於原點其產生電位為 ( ) qV rr

= 求負梯度qr

minusnabla

解 3

2 2 2 22 2 2

2 ( )2

q q q q x x y zr x rx y z

minuspart minus= rArr = sdot + +

part+ +

3 23

ˆˆ ˆ ˆ( )q ix jy kz r rq q qr r r r

minus + +rArr minusnabla = minus = = （點電荷的電場）

0 0

1 1 r r

noter r= =

nabla rarrinfin rarrinfin∵ 是不定值是因為 r = 0 處為最大值

「增加率」的方向無法確定

ex32 置一熱源於原點空間溫度分佈為1( )

( 2)T r

r=

+求溫度的梯度

解 2 2 2

ˆ( ) ( )( 2) ( 2) ( 2)

x rT r rr rT r

x r r r

minuspart minus

= rArrnabla = =part + + +

此處的負號表示梯

度指向熱源因為距熱源越遠溫度越低 ( 0)note T rnabla = 為不定值

因在最頂點「增加率」的方向無法確定

Ex33 地圖上山脈的等高線上各點的垂直方向由梯度決定現有一座

山是橢球 2)1(4 222 =+++ zyx 在 x-y 平面上方的

部分求地圖上這座山等高線的梯度

解 山高 142 22 minusminusminus== yxzh 所以等高線為橢

圓 222 )1(24 +minus=+ hyx 梯度

( ) ( ) ( )2 2 2 2

2 2

ˆ ˆ4ˆ ˆ2 4 1 2 4 1

2 4

xx y yh x x y y x y

x y x y

minus +part partnabla = minus minus minus + minus minus minus =

part part minus minus

所以自山腳（h=0）登山若由(012)開始 ˆ(01 2) 2h ynabla = minus 但若由

)02(minus 開始爬山 ˆ( 20) 2h xnabla minus = 可見 )02()210( minusnablagtnabla hh 這表

示由 y-軸登山山勢較陡所以「梯度」比由 x-軸登山為大這也更

清楚瞭解「梯度」的幾何意義

4-35

sect 432 Divergence 散度與 Curl 旋度

在(4-66) 我們建立了一個直角座標 vector operator 「del」

ˆ ˆ ˆx y zx y zpart part part

nabla equiv + +part part part

(4-66)

若與向量場 A 做「內積」與「外積」就建構了 A 的「散度」與「旋度」

散度 A A scalaryx zAA Adiv ax y z

partpart partequiv nabla sdot = + + =

part part part （4-69）

旋度

y yz x z x

ˆ ˆ ˆ y z A vector

A AA A A Aˆ ˆ ˆxy z z x x y

x y z

x y z

xcurl A a

A A A

y z

⎧⎪

= nablatimes = part part part =⎪⎪⎨⎪

part part⎛ ⎞ ⎛ ⎞part part part part⎛ ⎞⎪ = minus + minus + minus⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎪ part part part part part part⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎩

(4-70)

這裡定義的只是「散度」與「旋度」所謂「操作型的定義」告訴我

們如何計算的式子事實上她們都具有重要的物理意義我們在後面

會討論

ex34 ˆ ˆA xy yx= minus 求其散度與旋度

解 0 0y xAx ypart part

nablasdot = minus + =part part

ˆ ˆ ˆ y zˆ ˆ ˆ ˆ 0 0 ( 2) 2

0 x y z

xA x y z z

y xnablatimes = part part part = minus + minus = minus

minus

右圖示意了本向量場的分佈看得出像個漩渦也看到算出的旋度

0ne 看來旋度表現的應該是向量場「旋轉的程度」事實上我們在

後面會看到「旋度」表現的就是是向量場在空間各點「旋轉的程度」

本題的向量場在每一點的旋轉程度都一樣

4-36

Ex35 ( )ˆ ˆ ˆ A xx yy zz r= + + = 求其散度與旋度

解 3A rnablasdot = nablasdot = ˆ ˆ ˆ y z

0

x y z

xA

x y znablatimes = part part part =

由場分佈的示意圖可以看出本向量場是自原點向外射出好似在原

點有一個場線的「源頭 source」但是 3Anablasdot = 為一個常數表示好像到

處都有 source同時旋度為 0 也可以配合本場並無旋轉的形象事實

上「散度」表現的就是是向量場在空間各點產生「場線」的 source

記得靜電學裡的庫倫定律 0E ρ εnablasdot = 電場的散度就是「電荷密度」

(電場的 source)前一題的向量場看來對應的場線是封閉的所以沒有

source這也對應了其散度＝0不過一個向量場的散度旋度究竟是

多少應該詳細的計算場分佈圖形有時候不是那麼容易看的清楚

兩個 useful identities (恆等式)

(a) ( ) 0 0f curl of a gradnablatimes nabla = =

(b) ( ) 0 0A div of a curlnablasdot nablatimes = =

pf (a) ( )ˆ ˆ ˆ x y z

x y z

x y z

ff f f

nablatimes nabla = part part part

part part part

( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2xz zxˆ ˆ ˆx y f- f z 0yz yz xy yxf f f f= part minus part minus part part + part minuspart =

這個結果與真實的向量外積 ( ) AA 0=times 有相似之處但是這只是特

例要記得nabla並不是一個真正的向量

( ) ( ) ( )

( )

ˆ ˆ ˆ y zˆ ˆ ˆ x y z

0

x y z y z z y x z z x x y y x

x y z

xy z xz y xy z yz x xz y yz x

xA A A A A A A

A A A

A A A A A A A

nablatimes = part part part = part minus part minus part minus part + part minus part

nablasdot nablatimes = part minuspart minuspart +part +part minuspart =

4-37

此結果與真實的向量運算有相似之處 ( )( )0 (B A) BB B Asdot times = times perp∵

但是這仍只是特例因為我們可由下列例子 ( ) 0A Asdot nablatimes ne 看出事實上

nabla並不是一個真正的向量 Ex36 ˆ ˆ ˆA xy yx zx= minus +

( )

ˆ ˆ ˆ y zˆ ˆ ˆ 0 1 ( 2)

2 0

x y z

xA x y z

y x x

A A x x x

nablatimes = part part part = minus + minus

minus

sdot nablatimes = minus = minus ne

面積元素向量

物理上時常會遇到面積分例如電通量磁通

量等等考慮一個面積元素 ds定義「面積的

方向」為其「法線方向」並定義面積元素向量

ˆnds a dsequiv （4-71）

要注意的是(1)如果 ds 是一個「封閉面

closed surface」（即有裡外之分）的一部

份則 ˆna 定義為「由內向外」(2) 如果 ds

是一個「開放面 opened surface」（即分不

出裡外）的一部份那麼 ds 必被其邊緣

（一個封閉的曲線 C）所包圍這樣在定

出ds 的方向之前要先定義「邊緣曲線」

C 的方向再由右手定則定義 ˆna 的方向

既然面積已為一個向量就可以寫為分量表示以直角座標

ˆ ˆ ˆx y zds xds yds zds= + + (4-72)

那麼這些分量 dsx dsy dsz 會是什麼既然 dsx 的方向是 x 就表示 dsx

是躺在 y-z 平面上所以 dsx 的兩邊是 dy 與 dz rArr xds dydz= 依此類

4-38

推 dsy 的方向是 y 所以躺在 x-z 平面rArr yds dxdz= hellip可以得知

xds dydz= yds dxdz= zds dxdy= （4-73）

不過要注意在寫面積元素時要看討論的面實際

是什麼面上式的三個分量有可能會是負的例如

左圖座落在第一象限的立方體的 A 面方向就在 xminus

方向Arsquo面在 yminus Ardquo面在 zminus 方向寫面積元素最

好是先把討論的面的方向搞清楚把plusmn號寫在單位向量前面那麼分

量就都用＋的即可其實面積元素體積元素都可以由位移元素看出

ˆ ˆ ˆdr xdx ydy zdz= + +

dx dy dz 是沿著 ˆ ˆ ˆ x y z 方向的長度所以面積元素分量的兩邊長度就

是由其中兩個組成而體積的三邊也就是三個垂直方向的長度

x y zdV dx dy dz and ds dydz dxdz dxdyrArr = = （4-74）

這個概念在其他的座標系統也成立我們可以方便的寫出面積元素

Recall 柱座標的位移向量元素

cylindrical coordinate ˆ ˆ ˆdr d d dzzρρ ρ ϕϕ= + + （4-48）

ˆ ˆ ˆ zds ds ds zdsρ ϕρ ϕ= + + (4-75)

dsρ 躺在 zϕ minus 平面dsϕ 在 zρ minus 平面 zds 在ρ ϕminus 平面

rArr zds d dz ds d dz ds d d d dρ ϕρ ϕ ρ ρ ρ ϕ ρ ρ ϕ= = = sdot = （4-76）

上面的結果畫個圖看看吧球座標的位移向量元素

Spherical coordinate ˆ ˆˆ ( ) ( sin )dr rdr rd r dθ θ ϕ θ ϕ= + + （4-56）

ˆ ˆˆ rds rds ds dsθ ϕθ ϕ= + + （4-77）

rArr sin sin rds rd r d ds dr r d ds rd drθ ϕθ θ ϕ θ ϕ θ= sdot = sdot = sdot (4-78)

4-39

向量場 ( )A r 在 S 面上的「面積分（surface integral）」or「flux」

如左圖若有一「平面」S 且其上有「均勻」

場 B 分佈則通過 S 面的通量就是

ˆB B nSΦ = sdot

但考慮一任意「非均勻」向量場 ( )A r 在空間分佈選取任意曲面 S

探討 ( )A r 在 S 上之通量若ds 為 S 面上的面積元素在趨近於 0 的

小面積ds 上 A可視為均勻所以通過ds 之通量為 ( )d A r dsΦ = sdot 則 S

面之總通量為

Φ＝ ˆ cosS S S

A ds A nds A daϕsdot = sdot =int int int

( )OR

x x y y z zS

A da A da A da= + +int (4-75)

稱為 A 在 S 面上的「面積分」或「通量 flux」

上圖所繪就是一個任意面上分割出許多小面積舉出三個位置的通

量有+-與 0如果 S 面是為一「封閉面」則面積分寫為

S

A dssdotint （4-76）

4-40

ex37 Given 2ˆ ˆ ˆyzA xyz yx zx= + + 計算通量S

A dssdotint

S 面為在第一象限邊長＝1 的立方體表面封閉面

解立方體分為前後右左上下六個面分開算 1前面（x=1）

方向 x+ ˆ xA ds A xdydz A dydzsdot = sdot =int int int前 前 前

yzdydz= int前 ＝1 1

0 0

1 1 12 2 4

ydy zdz = sdot =int int

2後面(x=0)方向 xminus ˆ(- ) - xA ds A x dydz A dydzsdot = sdot =int int int後 後 後

yzdydz= minusint後1 1

0 0

-1 1 -12 2 4

ydy zdzminus = sdot =int int

3 右面（y=1）方向 y+ y ( 1)yA ds A dxdz A y dxdzsdot = sdot = =int int int右 右 右

( 1)x y zdxdz= =int右 ＝1 1

0 0

1 1 12 2 4

xdx zdz = sdot =int int

4 左面（y=0）方向 ˆ-y ˆ( y) - ( 0)yA ds A dxdz A y dxdzsdot = sdot minus = =int int int左 左 左

( 0) 0x y zdxdz= = =int左

5 上面（z=1）方向 z+ zz y (z 1) yA ds A dxd A dxdsdot = sdot = =int int int上 上 上

2 yx dxd= int上 ＝1 120 0

1 1y 13 3

x dx d = sdot =int int

6 下面（z=1）方向 ˆ-z zˆ(-z) y - (z 0) yA ds A dxd A dxdsdot = sdot = =int int int下 下 下

2 -1- y3

x dxd= =int下 ＝1 120 0

1 1y 13 3

x dx d = sdot =int int

S

A dssdotint ＝六個面的和＝1 1 1 1 1 1( ) ( 0) ( )4 4 4 3 3 4

minus minus+ + + + + =

ex38 Given ˆ ˆ ˆzA xyz yx zxy= + + 計算通量S

A dssdotint S 為圓 2 2 2x y a+ =

在第一項限的部分方向選為 z+ 2 2y a x= minus

4-41

解 2 2 4

0 0ˆ

8a a x

zS S S S

aA ds A zdxdy A dxdy xydxdy xdx ydyminus

sdot = sdot = = = =int int int int int int

Ex39 In cylindrical coordinate Given ˆ ˆaA zbzρρ

= + where a b are

constants Find S

A dssdotint over the surface of a

closed cylinder about z-axis specified by 3 2z ρ= plusmn =

解S 分為上下與周邊三面

zz (z 3)zA ds A ds A d dρ ρ ϕsdot = sdot = = sdotint int int上 上 上

= 23 3 2 12bd d b bρ ρ ϕ π πsdot = sdot =int上

ˆ(-z)A ds A d dρ ρ ϕsdot = sdot sdotint int下 下

= z- (z -3)A d dρ ρ ϕ= sdotint下 = 23 2 12b bπ πsdot =

周邊ds ˆ ( )d dzρ ρ ϕ= rArr ˆ ( ) z ( ) zA ds A d d A d dρρ ρ ϕ ρ ϕsdot = sdot =int int int周 周 周

2 3

0 3( ) z ( ) z=a 12aA d d d d d dz a

πρ ρ ϕ ρ ϕ ϕ π

ρ minus= = =int int int int周 周

加起來 S

A dssdotint ＝12 24 12 ( 2 )a b a bπ π π+ = +

ex40 一點電荷 q 置於原點計算在一個以原點為圓心 0r 為半徑的球

面上的電通量

解 2 20 0

ˆ ˆ4 4S S

qr q dsE ds rdsr rπε πε

sdot = sdot =int int int

=0 0 0

44 4S

q q qd ππε πε ε

sdot Ω = sdot =int

上式中 dΩ 2dsr

= 是 ds 所張開的「立體角」(solid angle)

4-42

div A and Flux 通量與散度的幾何物理意義

我們運用過nabla的符號來表示過散度 divF F= nablasdot yx zFF Fx y z

partpart part= + +part part part

但是也看到「散度」定義為

0( )

1( ) limSV

about x y z

divF x y z F da divergence of FVΔ rarr

equiv sdot =Δ int (4-77)

其中 VΔ 為 S 面所包含的體積即散

度為通量(體)密度的 0 體積極限

（4-77）的定義與 Fnablasdot 好像差的很

多她們是說同一回事嗎以下證明

這兩種「散度」的定義是等價的如

左圖考慮一個以點 ( ) x y z 為中心

的 立 方 體 其 相 鄰 三 邊 長 為

x y zΔ Δ Δ 體積 V x y zΔ = Δ Δ Δ 現在計算 F 在立方體的一組平行於 y-z平面的表面 S1 與 S2 的通量

( )1 1

ˆ ˆ xS S

F nds F xds F x y z dsrArr sdot = sdot =intint intint intint 2xxF x y z y zΔ⎛ ⎞asymp + Δ Δ⎜ ⎟

⎝ ⎠

其中 2xx y zΔ⎛ ⎞+⎜ ⎟

⎝ ⎠為 S1 面中心的座標而

2xx y zΔ⎛ ⎞minus⎜ ⎟

⎝ ⎠為 S2 面的中心

( ) ( )2 2 2

ˆ ˆ 2x x

S S S

xF nda F x ds F x y z ds F x y z y zΔ⎛ ⎞rArr sdot = sdot minus = minus asymp minus minus Δ Δ⎜ ⎟⎝ ⎠intint intint intint

上式中的負號來自 S2 面的方向是 xminus 所以合併兩個面積分

1 2

ˆ 2 2x x

S S

x xF nds F x y z F x y z y z+

Δ Δ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞rArr sdot asymp + minus minus Δ Δ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦intint

2 2x xx xF x y z F x y z

x y zx

Δ Δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠= Δ Δ Δ

Δ

2 2

x xx xF x y z F x y z

Vx

Δ Δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠= Δ

Δ

1 2

1 2 2ˆ

x x

S S

x xF x y z F x y zF nds

V x+

Δ Δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠rArr sdot asymp

Δ Δintint

4-43

當取體積向(xyz)點收縮至 0 時即 0 x 0as VΔ rarr Δ rarr 上式的近似

「asymp」就成了「＝」

1 20

1 ˆlimV

S S

F ndsVΔ rarr

+

sdotΔ intint

( )0

2 2limx x

x

x

x xF x y z F x y z F x y zx xΔ rarr

Δ Δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟ part⎝ ⎠ ⎝ ⎠= =Δ part

Similarly F 在立方體的一組平行於 x-z 平面的表面 S3 與 S4 的通量

3 3 3

ˆ ˆ yS S S

F nds F yds F dsrArr sdot = sdot =intint intint intint

2

2

y

y

yF x y zyF x y z x z x y z

y

Δ⎛ ⎞+⎜ ⎟Δ⎛ ⎞ ⎝ ⎠asymp + Δ Δ = Δ Δ Δ⎜ ⎟ Δ⎝ ⎠

( )4 4 4

2ˆ ˆ

y

yS S S

yF x y zF nds F y da F ds x y z

y

Δ⎛ ⎞minus⎜ ⎟⎝ ⎠rArr sdot = sdot minus = minus asymp Δ Δ Δ

Δintint intint intint

合併 S3 與 S4 兩個面積分並取體積向(xyz)點收縮至 0 時即當

0 y 0VΔ rarr Δ rarr 上式的近似asymp就成了＝

3 4

2 2ˆ

x x

S S

y yF x y z F x y zF nds V

y+

Δ Δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠rArr sdot cong Δ

Δintint

3 40 0

1 2 2ˆlim lim

x xy

V yS S

x yF x y z F x y z FF nds

V y yΔ rarr Δ rarr+

Δ Δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟ part⎝ ⎠ ⎝ ⎠rArr sdot = =Δ Δ partintint

與上面相同的作法計算 F 在立方體的一組平行於 x-y 平面的表面 S5

與 S6 的通量我們也會得到對應的結果

5 6

2 2ˆ

z x

S S

z zF x y z F x y zF nds V

z+

Δ Δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠rArr sdot cong Δ

Δintint

5 60 0

1 2 2ˆlim lim

z xz

V zS S

z zF x y z F x y zFF nds

V z zΔ rarr Δ rarr+

Δ Δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟ part⎝ ⎠ ⎝ ⎠rArr sdot = =Δ Δ partintint

所以合併立方體的 6 個面積分

4-44

1 2 3 4 5 6

ˆ ˆ ˆ ˆS S S S S S S

F nds F nds F nds F nds+ + +

rArr sdot = sdot + sdot + sdotint intint intint intint

0

1 ˆlim yx zV

FF FF nds div F FV x y zΔ rarr

partpart partrArr sdot = + + = = nablasdot

Δ part part partint (4-78)

在此我們得證這兩種「散度」的定義是等價的只是（4-77）的定義

充分的表現出「散度」的幾何物理意義他從通量著手由於場線

出自於 source（ex電場源自於點電荷）所以在點(xyz)必須有向量場

F 的 source 存在才能使得當面積縮到 0 時仍具有非 0 的通量所以「散

度」表現向量場 F 的 source 在這個定義之下是很清楚的當然在計算

「散度」時我們不必那麼麻煩用 divF F= nablasdot 就好了

Ex41 計算 2ˆ ˆ ˆF xx yxy zyz= + + 的散度

解 2 yx zFF Fx x yx y z

partpart part= = =

part part part F 2x x y 3x ydivrArr = + + = +

recall 在靜電學0

yx zEE EEx y z

ρε

partpart partnablasdot = = + +

part part part

散度定理 Divergence Theorem

若任意封閉面（又稱為「高斯面」）S 所包圍的

體積為 V 則

S VA ds Adτsdot = nablasdotint int （4-79）

pf 我們先將體積分割成 N 個小盒子考慮相鄰的兩個小盒子 1 2

兩小盒子的共用面面積 S0當 S0 是為 1 號盒子的一部份時其方向為

1n 但若當為 2 號盒子的表面時其方向為 12 ˆˆ nn minus= 如此在 S0 分別做

4-45

1 2 盒子的面積分後

0 0

0 0 0 0

1 2

1 2 1 1ˆ ˆ ˆ ˆ 0

S S

S S S S

A ds A ds

F n ds F n ds F n ds F n ds

sdot + sdot

= sdot + sdot = sdot minus sdot =

intint intintintint intint intint intint

所以若求場 A 在 1 2 盒子的總通量時交界面是沒有貢獻的總通量

就只有「外面積」才有貢獻如此我們計算 N 個小盒子的總通量

時所有的內部共用面都得 0只剩下「外表面」的貢獻了當 infinrarrN

時所有小盒子的「總外表面」就與 S 面重合了所以所有小盒子通量

的總和就等於 S 面的通量

1lim

i

N

S SN iA ds A ds

rarrinfin=

rArr sdot = sdotsumint int

現在我們做 N 個小盒子的總通量

1 1

1i i

N N

iS Si i i

A ds A ds VV= =

⎛ ⎞sdot = sdot Δ⎜ ⎟Δ⎝ ⎠

sum sumint int

當 0iN Vrarrinfin rArr Δ rarr 並用 dv 表示體積元素

( ) ( )1 1

1

1lim lim lim

lim

i ii

N N

iS SN N V oi i i

N

i VN i

A ds A ds VV

A V A dv

rarrinfin rarrinfin Δ rarr= =

rarrinfin=

⎛ ⎞sdot = sdot Δ⎜ ⎟Δ⎝ ⎠

= nablasdot Δ = nablasdot

sum sumint int

sum int

( )S V

A da A dvrArr sdot = nablasdotint int QED

所以得證散度定理上式中我們用了散度的（4-77）式定義要分辨

清楚 Anablasdot 是向量場 A 在空間中「某一點」的性質（ 0VΔ rarr ）而「散

度定理」說的是一個「有限體積」的性質

ex42 給定 ( ) ˆ ˆ ˆ A x y z xx yy zz r= + + = 計算在

半徑 R＝1 的球的上半球加底面的通量

4-46

解 ( )ˆˆS

A da A rda A k darArr sdot = sdot + sdot minusint int int上半球面 底面

( )

2

ˆ ˆ

0 2 1 2

A rda A z dxdy

r rds zdxdy rds ds π π

= sdot + sdot minus

= sdot minus = minus = = sdot =

int int

int int int int上半球面 底面

上半球面 底面 上半球面

底面的通量＝0 是因為 A 的 z 分量 Az=z 在底面的值為 0

也可以用散度定理更快的得出結果

∵ 3A rnablasdot = nablasdot =

31 43 3 1 22 3V V

Ad d πτ τ πnablasdot = = sdot sdot sdot =int int

ex43高斯定律的微分形式積 由 Gaussrsquo law 的積分形式用散度定理得出其

( )0 0

1 inS V

qE ds x y z dvρε ε

sdot = =int int

0S V VE ds Edv dvρ

εrArr sdot = nablasdot =int int int

上式最後的等式對「任意形狀」V 都成立所以兩者的被積函數相等

對於空間每一點 0

E ρε

nablasdot = （4-80）

ex44 Use 第一象限的單位力方體 check the divergence theorem using the function 2 2ˆ ˆ ˆ(2 ) 2A y x xy z y yzz= + + +

解2

2( ) (2 )(2 ) 2( )y yzA xy z x yx y z

part part partnablasdot = + + + = +

part part part

and 1 1 1 1 1 1

0 0 0 0 0 02 ( ) 2 ( )

VAdv x y dxdydz dz dy x y dxnablasdot = + = +int int int int int int int

1 1

0 0

1 12 ( ) 2 12 2

dz y dy= + = sdot =int int

面積分 1 1 2

0 0

1ˆ3

A ds A xdydz dz y dysdot = sdot = =intint intint int int前 前

4-47

1 1 2

0 0

1ˆ( )3

A ds A x dydz dz y dy minussdot = sdot minus = minus =intint intint int int

後 後

1 1 2

0 0ˆ (2 )A ds A ydxdz dz xy z dxsdot = sdot = +intint intint int int

右 右

1 1 1 12 2

0 0 0

4(2 ) (1 )3

ydz x z dx dz z

=

= + = + =int int int∵

1 1 2

0 0

0 1 1 12 2

0 0 0

ˆ( ) (2 )

1(1 )3

y

A ds A y dxdz dz xy z dx

dz z dx dz z=

sdot = sdot minus = minus +

minus= minus = + =

intint intint int int

int int int∵

左 左

11 1 1 1

0 0 0 0ˆ 2 2 1

zA ds A zdxdy dx yzdy dx ydy

=sdot = sdot = = =intint intint int int int int

∵

上 上

01 1

0 0ˆ 2 0

zA ds A zdxdy dx yzdy

=sdot = sdot minus = minus =intint intint int int

∵

下 下

前後右左上下六個面積分合併＝1＝V

Advnablasdotint QED

ex45 Continuity Equation 連續方程式

考慮某些「東西」的流動（物質電荷hellip）在時刻 t 時在點(xyz)

的 密 度 為 ( ) x y z tρ ρ= 並 具 有 速 度

( ) v v x y z t= 在時刻 t 時在體積 V 內的總量為

( ) x y z t dρ τintintint

這樣體積 V 內東東的時變率為

( ) ( ) d x y z t d x y z t ddt t

ρρ τ τpart=

partintintint intintint

注意體積分後的時間全微分移入積分內要改為偏微分這個東東

在表面的「流率 flow rate」可表為

ˆS

R v ndsρ= sdotintint

若體積內的物料無法自生自滅那麼體積內物料的變化必經由表面的

流出流入所造成

d v ndstρ τ ρpart

rArr = minus sdotpartintintint intint

由散度定理

4-48

( )ˆS

v nds v d dtρρ ρ τ τpart

sdot = nablasdot = minuspartintint intintint intintint

( )v Jtρ ρpart

rArr = minusnablasdot equiv minusnablasdotpart

0Jtρpart

rArr +nablasdot =part

（4-81）

(4-81) 即 continuity equation其中 J vρ= 為「物流密度」ex如果 ρ

是電荷密度 J 就是電流密度（4-81）是物質守恆的結果只對體

積內無 source（生成）or drain（消滅）的東東成立

ex46 Given a vector field ˆ ˆx yA ye xe= minus + (a) Find

Anablasdot (b)如圖一個金字塔狀的 5 面體高 2 底邊長

1計算 A在整個金字塔表面（封閉面）的總通量

解(a) Anablasdot = ( ) ( ) 0y xx ypart part

minus + =part part

(b) 金 字 塔 的 表 面 面 積 元 素 ds 不 好 寫 所 以 用 散 度 定 理

( )S V

A da A dvrArr sdot = nablasdotint int ＝0 Anablasdot 表示 A沒有 source 所以對封閉面而

言有多少場線進入就有多少出去所以總通量＝0

習題 7 With position vector r for an arbitrary volume V that is

bounded by surface S show that 13 S

r ds Vsdot =int

習題 8 已知一靜電場為 ˆ ˆ ˆ( )E xyz yxz zxyλ= + + 運用 Gaussrsquo law

試求包含在半球 2 2 2 2 0x y z R z+ + = ge 裡的總電荷 Ans 0

習題 9 (a) given ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( 2 )F r xf x yf y zf z= + + minus show that divF is

zero at point (c c -c2) (b) given ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( )G r xf x z yg x z zh x y= + +

show that ( ) 0G rnablasdot =

4-49

習題 10 Find the normal vector n for the surfaces (a) z = 2-x-y ans

ˆ ˆ ˆ( ) 3x y z+ + (b) z = (1-x2)12 ans ˆ ˆxx zz+ (c) z = x2+y2

ans ˆ ˆ ˆ( 2 2 ) 1 4xx yy z zminus minus + +

習題 11 Show that the unit vector normal to the plane ax+by+cz =d is

given by 2 2 2ˆ ˆ ˆ( ) ax by cz a b cplusmn + + + +

圓柱座標與球座標的nabla (del)

考慮一純量場在直角座標為 ( ) u x y z 在圓柱座標表為 ( ) u zρ φ

再考慮因位移 r r drrarr + 所造成 u ( )zρ φ 的變化

( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆz

z

u u udu d d dz u dr u d d zdzz

u u z u d d zdz

u d u d u dzρ ϕ

ρ ϕ

ρ ϕ ρ ρ ϕρ ϕρ ϕ

ρ ϕ ρ ρ ϕρ ϕ

ρ ρ ϕ

part part part= + + = nabla sdot = nabla sdot + +part part part

⎡ ⎤= nabla + nabla + nabla sdot + +⎣ ⎦= nabla + nabla + nabla

( ) ( ) ( )1

1ˆ ˆ ˆu

z

u u uu u uz

u u uzz

ρ ϕρ ρ ϕ

ρ ϕρ ρ ϕ

part part partrArr nabla = nabla = nabla =

part part partpart part part

rArrnabla = + +part part part

1ˆ ˆ ˆ zz

ρ ϕρ ρ ϕpart part part

nabla = + +part part part

（4-82）

注意nabla的ϕ -分量( 1ρ ϕ

partpart

)不是像直角座標裡單純的ϕpartpart

所以不要笨笨

的就把直角座標的形式硬套上去用我們也可以從「因次分析」來

看nabla因為是對空間的微分所以每一項的因次必須是「長度分之一」

運算 andzρ

part partpart part

都是「長度分之一」而「單純的ϕpartpart

」是沒有單位的

所以要1ρ ϕ

partpart

才 OK

由於圓柱座標裡的單位向量除了 z 之外 ˆ( )ρ ϕ 與 ˆ( )ϕ ϕ 都不是常

4-50

數所以在微分時不可以與微分運算交換而要考慮微分的作用所

以在「圓柱座標」寫「散度」 ( ) F zρ ϕnablasdot 也和直角座標不一樣

( )1ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ zF z F F zFz ρ ϕρ ϕ ρ ϕ

ρ ρ ϕpart part part⎛ ⎞

nabla sdot = + + sdot + +⎜ ⎟part part part⎝ ⎠

( ) ( )1ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆz zF F zF F F zFρ ϕ ρ ϕρ ρ ϕ ϕ ρ ϕρ ρ ϕpart part

= sdot + + + sdot + +part part

( )ˆ ˆˆ ˆ zz F F zFz ρ ϕρ ϕpart

+ sdot + +part

因為 ( ) ( )ˆ ˆ ˆ ˆ ρ ρ ϕ ϕ ϕ ϕ= = 所以做 andzρ

part partpart part

時 ˆ ˆ ρ ϕ 可視為常數

ˆ ˆ1ˆ ˆ ˆ zF F F FF F Fz

ρ ρ ϕρ φ

ρ ϕϕ ρ ϕρ ρ ϕ ϕ ϕ ϕ

part part part⎡ ⎤part part partrArrnablasdot = + sdot + + + +⎢ ⎥part part part part part part⎣ ⎦

還記得 ˆ ˆ ˆ ˆd d d dρ ϕ ϕ ϕ ρ ϕ= = minus 所以 ˆ ˆρ ϕϕpart

=part

ˆ ˆϕ ρϕpart

= minuspart

rArr

( )1 1 1z zF F F FF FF Fz z

ρ ρ ϕ ϕρρ

ρ ρ ρ ϕ ρ ρ ρ ϕpart part part part

nablasdot = + + + = + +part part part part part part

（4-83）

在球座標寫nabla也會遇到相似的問題其根源就是球座標 ( )r θ ϕ 裡

的 θ ϕ 的因次並非長度而三個單位向量 ˆ ˆˆ r θ ϕ（表為 ie ）都是( θ ϕ )

的函數以致

( )ˆ ˆ( ) ( )i ie f e fθ ϕ θ ϕθ θpart part

nepart part

且 ( )ˆ ˆ( ) ( )i ie f e fθ ϕ θ ϕϕ ϕpart part

nepart part

所以nabla也不似在直角座標那麼簡單我們不在這裡推導而是給出一

個歸納的統一的三個座標的結果還記得對每一個座標 iu i = 123

座標的變化 idu 與造成的長度變化 id

i i id h du= 123i = (4-84)

其中 ih 為對應的度量係數(metric coefficient)

4-51

1 2 3

1 1 2 2 3 3

1 1 1ˆ ˆ ˆu u ue e eh u h u h u

part part partnabla equiv + +

part part part （4-85A）

座標 1 2 3 u u u

度量係數

1 2 3 h h h

nabla grad del

直角 x y z

1 1 1 nabla ˆ ˆ ˆx y z

x y zpart part part

equiv + +part part part

圓柱

zρ ϕ

1 1ρ

1ˆ ˆ ˆ z

zρ ϕ

ρ ρ ϕpart part part

nabla equiv + +part part part

球

r θ ϕ

1 sinr r θ

1 1ˆ ˆˆ

sinr

r r rθ ϕ

θ θ ϕpart part part

nabla = + +part part part

（4-85B）

梯度gradient Vnabla grad(V) 散度divergence Anablasdot div( )A

直

角 nablaV ˆ ˆ ˆV V Vx y z

x y zpart part part

= + +part part part

yx zAA AAx y z

partpart partnablasdot = + +

part part part

圓

柱

1ˆ ˆ ˆ V V VV zz

ρ ϕρ ρ ϕpart part part

nabla = + +part part part

( )1 1

1

z

z

A AA Az

A A A Fz

ϕρ

ρ ρ ϕ

ρρ ρ ρ ϕ

ρ ρ ρ ϕ

partpart partnabla sdot = + +

part part partpart part part

= + + +part part part

球

1 1ˆ ˆˆ sin

V V VV rr r r

θ ϕθ θ ϕ

part part partnabla = + +

part part part

22

1 ( )rA r Ar r

partnabla sdot =

part

1 (sin )sin

Ar θθ

θ θpart

+ sdotpart

1sin

Ar

ϕ

θ ϕpart

+part

(4-86)

Ex47 Using spherical coordinate show that 1| |r r

nablaminus

= 2

ˆ| |

r rer r

minusminusminus

where

nabla是作用在 r 而 ˆr re minus 是向量 r rminus 方向的單位向量 解let r lies in z-axis so that the angle between r and r is just θ

4-52

rArr ( ) 122 21 1 2 cos | | ( ) ( )

r rr rr r r r r r

θminus

= = minus +minus minus sdot minus

( ) ( )12 122 2 2 21 1ˆˆ 2 cos 2 cos | |

r r rr r r rr rr r r r

θ θ θθ

minus minuspart partnabla = minus + + minus +

minus part part

( ) 322 21ˆ 2 cos (2 2 cos )2

r r rr r r rθ θminusminus

= minus + minus

( ) 322 21ˆ 2 cos (2 sin )2

r rr r rrθ θ θminusminus

+ minus +

3 3 3 3

ˆˆ ˆ( cos ) sin ( cos sin )ˆˆ| | | | | | | |r r r rr r rrr r r r r r r r

θ θ θ θ θθminus minus minus minus minus= + = +

minus minus minus minus

3 3 3ˆ ( )

| | | | | |r r z r r r rr r r r r rminus + minus + minus minus

= = =minus minus minus

＝ 2

ˆ| |

r rer r

minusminusminus

QED

證明最後我們用到 ˆˆˆ cos sinz r θ θ θ= minus 而 ˆ r r z= 因為我們選了 r 是

躺在 z-軸 Ex48 For arbitrary scalar field ( )f r and vector field ( )A r 證明恆等式

( )fA f A f Anablasdot = nabla sdot + nablasdot (4-87) 解 ˆ ˆ ˆx y zfA xfA yfA zfA= + +

( ) ( ) ( ) ( )x y zfA fA fA fAx y zpart part part

rArrnablasdot = + +part part part

yx zx x x

AAf f f AA f A f A fx x y y z z

partpartpart part part part= + + + + +part part part part part part

yx zx y z

AAf f f AA A A fx y z x y z

part⎛ ⎞partpart part part part= + + + + +⎜ ⎟part part part part part part⎝ ⎠

f A f A= nabla sdot + nablasdot QED 習題 12 一個位於原點的電偶極電偶極矩＝ ˆp pz= 已知其在遠處

的電位為 20

cos4p

rθ

πε試證該處的電場強度為 E = 3

0

ˆˆ( 2cos sin )4

p rr

θ θ θπε

+

(已知 E V= minusnabla )並請計算 Enablasdot ＝

習題 13 給定一向量場2

3cosˆD r

rϕ

= 現有兩個球心在原點的同心球

內球半徑 R＝1外球 R＝2(a)求面積分S

D dssdotint S 為同心球殼的表

面（有內外兩個面）(b)求體積分V

Ddvnablasdotint V 為兩同心球之間的

區域本題也是來 check 散度定理的Ans πminus

4-53

The Laplacian operator 2nabla equivnablasdotnabla

在直角座標可以用直接作用得到

2 2 2

22 2 2u u uu u

x y zpart part part

nabla equiv nablasdotnabla = + +part part part

(4-88)

圓柱座標

2 2

22 2 2

1 1( ) u u uu uz

ρρ ρ ρ ρ ϕ

part part part part⎛ ⎞nabla equiv nablasdot nabla = + +⎜ ⎟part part part part⎝ ⎠

(4-89)

球座標

2

2 22 2 2 2 2

1 1 1sinsin sin

u u uu rr r r r r

θθ θ θ θ ϕ

part part part part part⎛ ⎞ ⎛ ⎞nabla = + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟part part part part part⎝ ⎠ ⎝ ⎠ （4-90）

習題 14 verify (4-89) and (4-90)

習題 15 Given a dipole potential V= 20

cos4p

rθ

πε find 2Vminusnabla

sect 433 Line integral and curl A 線積分與與旋度的物理意義

線積分路徑積分

考慮一曲線 C 通過兩點 ( )i i i iP x y z 與

( )f f f fP x y z 現有一向量場 ( )A x y z 定義在

C 所在的空間若 sd 為 C 上位於(xyz)點的

「路徑元素」（ ˆd td= 方向沿該處切線）而

( )A x y z 為路徑元素d 處的場值則沿 C 經歷各點所做積分

cos cosf

CC C iA d Ad A dϕ ϕrarr rarrsdot = =int int int （4-91）

稱為向量場 ( )A x y z 沿路徑 C 自 pi 至 pf 的「線積分」「或「路徑積分」

積分裡 A 取值的點侷限在路徑 C 上面若為一個「封閉路徑」則對

C 的線積分也稱做「環路積分 closed contour integral」記做

C

A dsdotint （4-92）

4-54

物理量「做功」是最標準的線積分之一力 F 自 x = a 至 x = b「沿線」

x 軸做功

W＝ F dxsdotint ＝ ( )b

xaF x dxint （4-93）

質點在力場 )(rF 裡走一條曲線 C則力場做功

CW F d= sdotint （4-94）

還記得如果 ( )F r 是所謂「保守力」則上式只與始末點有關而與

路徑無關但如果 ( )F r 是所謂「非保守力」則做功與確實的路徑 C

有關

現考慮一質點在空間運動的位置 r 落在由曲線 C

描述的路徑則質點的位移元素與曲線 C 的路徑元

素相同 d dr= 若空間有向量場 A 分佈則 A 在 C 的

路徑積分以直角座標表示為

CA drarr rarrsdotint ＝

CA d rrarr rarrsdotint ＝ ( )x y zC

A dx A dy A dz+ +int （4-95）

上式中的 x y z 的積分限由 C 決定

Ex49 2 2 2ˆ ˆ ˆA xx yy zzrarr= + + 選定一路徑 C 為曲線

2y x= 由 (000)到 (2 20)的部分求C

A dsdotint

解 ˆ ˆd xdx ydy= +∵

CA dsdotint ＝ 2 2( )

Cx dx y dy+int ＝

2 22 2

0 0x dx y dy+int int

＝ )24(32

+

或由 2y x= rArr 2ydy dx= 2 12

y dy xdxrArr =

rArrC

A dsdotint ＝2 2

0

1( )2

x x dx+int ＝2 (4 2)3

+

4-55

ex50 ˆ ˆ( )f x y z xy yx= minus Do C

f dsdotint 其中的路徑 C 為一逆時針三角

形如圖 解∵路徑全部在 x-y 平面 ˆ ˆ ˆd td xdx ydy= = +

rArrC

f dsdotint ＝ x yC

f dx f dy+int ＝C

ydx xdyminusint

由於在 C1 上 y = 0 及 dy = 0 所以 01

=intC 又由於在

C3 上 x = 0 及 dx =0所以 03

=intC 所以只剩下 C2 可

能有貢獻由 2C 的方程式x + y =1rArr ⎩⎨⎧

minus=minus=

xyyx

11

rArr2Cydx xdyminusint ＝

0 1

1 0(1 ) (1 )x dx y dyminus minus minusint int ＝

0 12 2

1 0

( ) ( )2 2x yx yminus minus minus ＝-1

Cf dsdotint ＝-1

ex51 ( )f x y zrarr

= 2ˆ ˆxx yxyminus 如右圖doC

f dsdotint 其

中路徑 C 為第一象限的逆時針 14 圓弧

解∵ 全部在 x-y 平面 ˆ ˆd xdx ydy= +

Cf dsdotint ＝ 2

Cx dx xydyminusint

由於在 C 上 cosx R ϕ= rArr sindx R dϕ ϕ= minus

siny R ϕ= rArr cosdy R dϕ ϕ=

rArr 2

Cx dx xydyminusint ＝

2 2 2 2

0cos ( sin ) sin cos cosR R d R R d

πϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕminus minus sdotint

23 2

02 cos sinR d

πϕ ϕ ϕ= minus int ＝

323Rminus

又路徑為圓周一部份所以適合用極座標表示

ˆd Rdϕ ϕ= 又由左圖將 ˆ ˆx y 拆解（投影）到 ˆˆr ϕ

ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆcos sin sin cosx r y rϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ= minus = +

4-56

( )2ˆ ˆ ˆˆ ˆ( cos sin ) ( sin cos )C C

f d r x r xy Rdϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕsdot = minus minus + sdotint int 2

2 2 2

0

sin (cos )

sin ( cos ) (cos ) cos sin

Cx Rd xyRd

R Rd R Rdπ

ϕ ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ

= minus minus

= minus minus

intint

23 2

02 cos sinR d

πϕ ϕ ϕ= minus int ＝

323Rminus

這也驗證了散度定理

Path Independence 路徑獨立性

Ex52 證明庫倫力為「保守力」考慮

電荷 q0 位於原點及電荷 q 位於

( )r x y zrarr= q 受力 F

rarr＝ 0

20

14

qq urπε

and

求庫侖力作功因為球形對稱所以

用球座標由 ˆ ˆ ru rr

= = rArr Frarr

= 03

04qq r

rπε

庫侖力由 P1 至 P2 做功為 2

1

P

CPF drarrsdotint ＝

2

1

02

0

ˆ ˆ ˆˆ sin4

P

PC

qq r rdr rd r dr

θ θ ϕ θ ϕπε

⎡ ⎤sdot + +⎣ ⎦int ＝2

1

02

04P

P

qq drrπεint

＝20

2104

r

r

qq drrπε int ＝ 0

0 1 2

1 1( )4qq

r rπεminus for all C

所以庫侖力兩點間做功與路徑無關rArr保守力

對於「保守力 conservative force」 cF 自 p1 經

由兩條不同的路徑 C1 與 C2 到達 p2

1 ccF drarrsdotint ＝

2 ccF drarrsdotint ＝-

2 ccF drarr

minussdotint

rArr1 2c cc cF d F drarr rarr

minussdot + sdotint int = cF d

rarrsdotint ＝0 (4-96）

對於任何「封閉路徑」保守力做功為 0反之若

對任一封閉路徑 0F drarrsdot neint 則兩點之間的做功與路徑有關

rarr

F 為「非

保守力」

4-57

旋度 curl Anablatimes 的幾何物理意義

我們在（4-70）式已經看過旋度的計算方式但旋度另有其意義的

ex53 給定向量場2 2

0ˆ yv yv e λrarr

minus= 左圖為場的分佈

2 20

ˆ ˆ ˆ

0 0x y z

y

x y zcurl v

v e λ

rarr

minus

= part part part ＝ ˆ ˆ ˆ0 0 0 0x y zsdot minus sdot + sdot =

我們用了簡寫 x yx ypart part

part equiv part equivpart part

可以看出這個場裡沒有「漩渦」

但是有無「漩渦」有時也不是那麼明顯可以看出的請見下一個例子

Ex54 給定向量場2 2

0ˆ xv yv e λrarr

minus= 計算其旋度 vnablatimes

解向量場 vrarr

畫在右邊你看得出有無漩渦

先計算旋度

2 20

ˆ ˆ ˆ

0 0x y z

x

x y zcurl v

v e λ

rarr

minus

= part part part2 2

2 2

0

0

ˆ

ˆ 2 0 0

x

x

z v ex

z v xe for x

λ

λ

minus

minus

part=

part

= minus ne ne

vrarr

的旋度在大部分的地方不為 0 且隨位置而不同但是你看得出這個

向量場裡有「漩渦」其實要檢驗一個向量場裡有無「漩渦」有一

個很物理的方法就是放一個小「螺旋槳」（左圖）

在場內將軸朝各個方向測試一

下如果有「漩渦」的話這個

小「螺旋槳」就會轉動右圖就是將「螺旋槳」的

軸平行於 z 軸且放在 x gt 0 的地方就可以看出左

邊的 v 場比右邊的強造成螺旋槳順時針轉動rArrcurlv zminus for x gt 0

但如果放在 x = 0 的地方就會看到左右兩端的 v 場強度相同而且

4-58

curlv = 0 「螺旋槳」放在 x lt 0 的地方就可以看出右邊的v 場比左

邊的強造成螺旋槳逆時針轉動這完全符合 curl v k+ 的結果

環路積分與旋度 curl 的物理意義

如同「散度」一樣「旋度」除了 Ftimesnabla 之外

還有一個物理意義更清楚的定義這個定義由

「線積分」說明如圖考慮做「逆時針」長方形

路徑 C1 的一個「環路積分」C1 面平行於 x-y 平

面由 z-軸看下去環路 C1 可以分為可以分為

下 CB上 CT右 CR左 CL 4 部分

CA drarrsdotint ＝

B T L RC C C CA d A d A d A drarr rarr rarr rarrsdot + sdot + sdot + sdotint int int int

分別計算由於 CB 的中點座標為 ( )2yx y zΔ

minus

ˆB BC C

A d A xdxrarr rarrsdot = sdot =int int

BxC

A dxint ( )2xyA x y z xΔ

asymp minus Δ

similarly 由於 CT 的中點座標為 ( )2yx y zΔ

+

ˆ( )T TC C

A d A xdxrarr rarrsdot = sdot minus =int int

TxC

A dxminusint ( )2xyA x y z xΔ

asymp minus + Δ

合併 CB 與 CT

B TC CA drarr

+sdot =int

( ) ( )2 2x xy yA x y z A x y z

x yy

Δ Δ⎡ ⎤minus + minus minus⎢ ⎥⎣ ⎦ Δ ΔΔ

（4-97）

由 C1 所圍的面積 S x yΔ = Δ Δ

1B TC C

A dS

rarr

+sdot =

Δ int( ) ( )

2 2x xy yA x y z A x y z

y

Δ Δ⎡ ⎤minus + minus minus⎢ ⎥⎣ ⎦Δ

（4-98）

所以當取極限 C1 收縮到中心(xyz)時 SΔ 收縮到 0ie

4-59

0limsΔ rarr

1B TC C

A dS

rarr

+sdot =

Δ int xAy

partminuspart

（4-99）

Similarly with CR 的 ˆd ydy= CL 的 ˆd ydy= minus 可得

1L RC C

A dS

rarr

+sdot =

Δ int x

zyxxFzyxxF yy

Δ

Δminusminus

Δ+ )

2()

2(

（4-100）

同樣的當取極限 C1 收縮到中心(xyz)時 SΔ 收縮到 0

0

limsΔ rarr

1L RC C

A dS

rarr

+sdot =

Δ int yAx

partpart

（4-101）

最後合併 CBCTCRCL 為 C1

10

1limCs

A ds

rarr

Δ rarrsdot =

Δ int y xA Ax y

part partminus

part partˆ ( ) ( )zz A A= sdot nablatimes = nablatimes （4-102）

注意 C1 的方向就是在 z 上式的重要

意義是當向量場 A 在一個以點(xyz)為

中心「方向為 z 」的面積元素的「邊界」

所做的環路積分得到的就是 A 在(xyz)

處旋度的 z-分量明顯的只有當 A 在

(xyz)附近有 x-y 平面上的「漩渦」那麼 C1 的環路積分才不會為 0

Similarly 取一個逆時針繞著(xyz)的平行於 x-z 平面的長方形環路 C2

（左圖）做環路積分再取極限將 C2 收縮到(xyz)就會得到

20

1limCs

A ds

rarr

Δ rarrsdot =

Δ int x zA Az x

part partminus

part partˆ ( ) ( )yy A A= sdot nablatimes = nablatimes （4-103）

注意到 C2 所包圍的面積方向就在 y到

現在我們應該已經很有經驗了若取一

個逆時針繞著(xyz)的平行於 y-z 平面

的長方形環路 C3（左圖）做環路積分

再取極限將 C3 收縮到(xyz)就會得到

4-60

30

1limCs

A ds

rarr

Δ rarrsdot =

Δ int yz AAy z

partpartminus

part partˆ ( ) ( )xx A A= sdot nablatimes = nablatimes （4-104）

能把（4-103）與（4-104）變出來的同學我們有優待綜合以上

我們可以得到一個結論若取一個以點(xyz)為中心的任意環路 Cn（其

所包圍的面積方向在 n ）則

n curl Aand rarrsdot ＝

0

1lims

Cn

A ds

rarr

Δ rarrsdot

Δ int （4-105）

明顯的當 n ＝ x 或 y 或 z 時我們可以重複（4-102）到（4-104）的

結果（4-70）式的行列式所定義的旋度在此看見其幾何物理意義

至此「旋度」的「漩渦」形象應該已經很清楚了只有在(xyz)點附

近的小圈圈上有「漩渦」 A 在小圈圈做的環路積分才會有值這個

值就是向量場 A 的「旋度」在小圈圈面積方向的分量

Stokersquos 定理

考慮一個開放面 S被其「有方向的」邊界 C 圈住(bounded by)則

( )S

A dsrarr rarrnablatimes sdotint ＝

C

A drarrsdotint （4-106）

pf 先將 S 面分割為 N 個多邊形這會使得邊界變成一個「折線」形

成的環路 P環路 P 會隨著分割的多邊形個數的增多而越加近似於原

「光滑的」邊界 C現考慮相鄰的

兩個多邊形的線積分由於共用邊

的方向是相反的所以相鄰兩個多

邊形線積分的和只剩「外邊界」（見左圖）所以當把所有的多邊形的

4-61

線積分加起來時由於只有邊界 P 不是多邊形的共用邊所以

1k

N

k C

A drarr

=

sdotsum int ＝P

A drarrsdotint rArr

P

A drarrsdotint ＝

1

1

k

N

kk k C

A d l ss

rarr rarr

=

⎡ ⎤sdot Δ⎢ ⎥

Δ⎢ ⎥⎣ ⎦sum int

其中 ksΔ 為第 k 個多邊形的面積取極限 0kN srarrinfinrArrΔ rarr P CrArr rarr

C

A drarrsdotint ＝

10

1limkk

N

kN k k Cs

A d ss

rarr

rarrinfin=Δ rarr

⎡ ⎤sdot Δ⎢ ⎥

Δ⎢ ⎥⎣ ⎦sum int 01

ˆlim ( )k

k kskn A s

infin

Δ rarr=

⎡ ⎤= sdot nablatimes Δ⎣ ⎦sum

01

ˆlim ( )k

k kskA n s

infin

Δ rarr=

= nablatimes sdot Δsum = ( )S

A dsrarr

nablatimes sdotint QED

ex55 由 Amperersquos law 的積分形式導出其微分形式

解Amperersquos law 的積分形式 C

B drarrsdotint ＝ I0μ (4-107)

由 Stokersquos 定理及電流密度 j 的定義上式等號兩端可寫為

rArr ( )S

B dsrarr rarrnablatimes sdotint ＝ 0 S

j dsμrarrsdotint

由於上面的等式對任意面 S（路徑 C）都成立所以被積函數相等

0B jμrarr rarr rarr

rArrnablatimes = (4-108) 此即 Amperersquos law 的微分形式

Ex56 Given a vector field ˆ ˆx yA ye xe= minus + (a) Find Anablatimes

解

ˆ ˆ ˆˆ ˆ(1 ( 1) 2

0x y z

x y zA z z

y xnablatimes = part part part = minus minus =

minus

(b)如圖一個金字塔狀的 5 面體高 2底邊長＝1計算 ( )S

A dsnablatimes sdotint

其中 S 為金字塔在 x-y 平面以上的部分方向如同

封閉的金字塔（運用 Stokersquos law）

解金字塔上表面的面積元素ds 不好寫由 Stokersquos

4-62

law ( )S

A dsrarr rarrnablatimes sdotint ＝

C

A drarrsdotint 其中封閉路徑 C 就是上表面的邊界而且

是逆時針（由 z 軸向下看）

C

A drarrsdotint ＝

1 1 0 0

0 0 1 1ˆ ˆ ˆ ˆA xdx A ydy A xdx A ydysdot + sdot + sdot + sdotint int int int

＝1 1 0 0

0 0 1 1x y x yA dx A dy A dx A dy+ + +int int int int 1 1 0 0

0 0 1 1( 0) ( 1) ( 1) ( 0)y dx x dy y dx x dy= minus = + = + minus = + =int int int int

0 1 1 0 2 ( ) 2S

A ds= + + + = rArr nablatimes sdot =int

旋度與 path independence

已知保守場 cF 對所有封閉路徑 C 0cC

F drarrsdot =int 由 Stokersquos 定理

0cC

F drarrsdot =int ＝ ( )cS

F dsrarr rarrnablatimes sdotint rArr 0cF

rarr rarrnablatimes =

這表示保守場＝無旋度反之無旋度的場任兩點間路徑積分與路

徑無關

Ex57 Given a field 2 2ˆ ˆ ˆ2A x xy yx zz= + minus (a) Find Anablatimes A 保守場

解2 2

ˆ ˆ ˆ

2x y z

x y zA

xy x znablatimes = part part part

minus

( ) ( ) ( )2 2 2 2ˆ ˆ ˆ( ) 2 ( ) 2 0y z z x x yx z x y xy z z x xy= part minus minuspart + part minuspart minus + part minuspart =

yes A =保守場

(b)如左圖由 A 到 B 做路徑積分A BC

A drarr

sdotint 路徑 C 為橢圓

22 1

16yx + = 在 x-軸以上的部分

解橢圓部分的路徑元素 d 有點麻煩但因為 A

為保守場所以 A 到 B 做路徑積分可以用 x = -1 到

1 的積分取代

4-63

01 1 1

1 1 1ˆ 2 0

yB

xAA d A xdx A dx xydx

=

minus minus minussdot = sdot = = =int int int int

∵

旋度在柱座標與球座標

前面討論過nabla在不同座標系的寫法旋度也有歸納出的一致寫法

座標 1 2 3 u u u

度量係數

1 2 3 h h h

nabla grad del

直角 x y z

1 1 1 nabla ˆ ˆ ˆx y z

x y zpart part part

equiv + +part part part

圓柱 zρ ϕ

1 1ρ

1ˆ ˆ ˆ zz

ρ ϕρ ρ ϕpart part part

nabla equiv + +part part part

球 r θ ϕ

1 sinr r θ

1 1ˆ ˆˆ sin

rr r r

θ ϕθ θ ϕ

part part partnabla = + +

part part part

所以柱座標與球座標的旋度分別表為

柱座標

ˆ ˆ ˆ1

z

z

Az

AA Aρ ϕ

ρ ρϕ

ρ ρ ϕρ

part part partnablatimes =

part part part （4-109）

球座標 2

ˆ ˆˆ sin1sin

sinr

r r r

Ar r

A rA r Aθ ϕ

θ θϕ

θ θ ϕθ

part part partnablatimes =

part part part （4-110）

ex58 (a) Given the vector function ˆA ϕ= sin (ϕ 2) find Anablatimes

解 2

ˆ ˆˆ sin1sin

0 sin( 2) 0

r r r

Ar r

r

θ θϕ

θ θ ϕϕ

part part partnablatimes =

part part part

4-64

21 ˆˆ cos sin sinsin 2 2 2

rr rr

ϕ ϕθϕθ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

ˆˆ cos sin2 sin 2 2

rr r

ϕ ϕ ϕθ

minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

(b)如左圖一個底面在 x-y 平面半徑＝1高＝2 之圓錐 求面積分

SA dsnablatimes sdotint 面積範圍 S 為圓錐在 x-y 平面以上

部分 方向為由圓錐內向外

解由 Stokersquos law ( )S

A dsrarr rarrnablatimes sdotint ＝

C

A drarrsdotint 其中路

徑 C 為 x-y 平面圓心在原點之單位圓 ˆ ˆd rd dϕ ϕ ϕ ϕ= =

2

0ˆ ˆsin sin

2 2C

d dπϕ ϕϕ ϕ ϕ ϕ⎛ ⎞ ⎛ ⎞sdot =⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠int int ( )0

2 sin u duπ

= int 0cos | 2u π= minus =

習題 16 磁場 B 因為不是保守場所以沒有對應的純量位而對應一

個向量位 A (vector potential)而 B A= nablatimes 一個磁鐵的磁偶極矩

ˆm mz= 被置於原點已知在遠處的 vector potential 03ˆ sin

4mAr

μϕ θπ

=

計算該處的磁場 B Ans 03

ˆˆ( 2cos sin )4

mB rr

μ θ θ θπ

= + 與電偶極遠處

的電場形式一致都是偶極(dipole) 選幾個點畫一畫該處的場向量

把磁力線描出來

附錄本章講義的內容有部分可以經由直接計算得出列在附錄做為

參考

用「圓柱座標」寫 Atimesnabla

Ararr rarrnablatimes ＝ ( )1ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ zz A A zA

z ρ φρ ϕ ρ ϕρ ρ ϕpart part part⎛ ⎞+ + times + +⎜ ⎟part part part⎝ ⎠

4-65

因為rdquo sdotrdquo與rdquotimes rdquo都是向量間的運算所以

＝ ( )ˆ ˆ ˆ ˆ zA A zAρ φρ ρ ϕρpart

times + +part

＋ ( )1ˆ ˆ ˆ ˆ zA A zAρ φϕ ρ ϕρ ϕ

parttimes + +

part

＋ ( )ˆ ˆˆ ˆ zz A A zAz ρ φρ ϕpart

times + +part

直接做上式微分可以得到

＝1ˆ z AA

zϕρ

ρ ϕpart⎛ ⎞part

minus⎜ ⎟part part⎝ ⎠＋ ˆ zA A

zρϕ

ρpart⎛ ⎞part

minus⎜ ⎟part part⎝ ⎠＋

1 1ˆ ( )A

z A ρϕρ

ρ ρ ρ ϕpart⎛ ⎞part

minus⎜ ⎟part part⎝ ⎠

上式可以用一個行列式來表示

rarrrarr

timesnabla A＝

ˆ ˆ ˆ1

z

z

zA A Aρ ϕ

ρ ρϕ

ρ ρ ϕρ

part part partpart part part

（A-1）

A and Anabla nablasdot nablatimes in 球座標 spherical coordinate

如上圖球座標 )( ϕθr 其中 )0[ infinisinr ]0[ πθ isin ]20[ πϕ isin 只有 r

是長度而 ϕθ 為角度是用來說明方向的三個座標的單位向量 ˆ ˆˆ r θ ϕ 具

有下列性質

4-66

1 如上圖 ˆ ˆˆ r θ ϕ 都不是常數而是（ ϕθ ）的函數

ˆ ˆ( )ˆ ˆ( )ˆ ˆ( )

r r θ ϕ

θ θ θ ϕϕ ϕ ϕ

⎧ =⎪

=⎨⎪ =⎩

)( ϕθr 與(xyz)之間的轉換如下

sin cossin sincos

x ry rz r

θ φθ φθ

=⎧⎪ =⎨⎪ =⎩

( )122 2 2

2 2

tan

tan

r x y z

x yz

yx

θ

φ

⎧ = + +⎪⎪ +⎪ =⎨⎪⎪ =⎪⎩

（A-2）

2 ˆ ˆˆ r θ ϕ 形成一「歸一正交集」ie

ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ 1r r θ θ ϕ ϕsdot = sdot = sdot = ˆ ˆr θ ϕperp perp

ˆ ˆr θ ϕtimes = ˆ ˆ rθ ϕtimes = ˆˆ rϕ θtimes = （A-3）

3可以很容易的由他們在 xyz 軸上的投影由直角

座標的 ˆ ˆ ˆ x y z 表出

ˆ ˆ ˆ ˆsin cos sin sin cos ( 4 )ˆ ˆ ˆ ˆcos cos cos sin sin ( 4 )ˆ ˆ ˆsin cos ( 4 )

r x y z A a

x y z A bx y A c

θ φ θ φ θ

θ θ φ θ φ θϕ φ φ

= + + minus⎧⎪

= + minus minus⎨⎪ = minus + minus⎩

4 ˆdr = 由於 ˆ ˆ( )r r θ φ= 所以由 ϕθ 的變動來看

4-67

ˆ ˆˆ| |ˆ ˆˆ| | sin sin

d r d d

d r d d

θ θθ θθ

φ θ φφ θ φφ

⎧ rArr =⎪⎨

rArr =⎪⎩rArr ˆ ˆˆ sindr d dθ θ φ θ φ= + （A-5）

rArrˆ ˆr θθpart

=part

ˆ ˆsinr θφφpart

=part

（A-6）

（A-6）的結果也可以直接由（A-4a）對 ϕθ 偏微得到

5 ˆdθ ＝ 由於 ˆ ˆ( )θ θ θ φ= 所以由 ϕθ 的變動來看

ˆ ˆ ˆ| | ( )ˆ ˆ ˆ| | cos cos

d d r d r

d d d

θ θ θ θ

φ θ θ φφ φ θ φ

⎧ rArr minus = minus⎪⎨

rArr =⎪⎩rArr ˆdθ ＝ ˆˆ cosrd dθ φ θ φminus + （A-7）

ˆrθ

θpart

rArr = minuspart

ˆ ˆcosθ φ θφpart

=part

（A-8）

請直接由（A-4b）對 ϕθ 偏微的結果 check（A-8）

6 ˆdφ ＝由於φ )(ϕ 躺在 x-y 平面上變動φ時的方向可能不是那麼

容易看出來所以做圖看一看

ie ˆ ˆˆ(sin ) (cos )d r d dφ θ φ θ θ φ= minus minus （A-9）

4-68

ˆ ˆˆsin cosrφ θ θ θφpart

= minus minuspart

7 所有的向量 ˆ ˆˆ rA rA A Aθ φθ φrarr= + +

8 位置向量 ˆr rrrarr=

可以由左圖 ˆ ˆˆ r θ ϕ 三個方向的「長度

變化」輕易的看出

9 位移元素

ˆ ˆˆ ˆ sindr rdr rd dθ θ ϕ θ φ= + + (A-10)

10 體積元素

sindv dr r d rdθ φ θ= sdot sdot

＝ 2 sinr dr d dθ θ φ (A-11)

11 面積元素 2 sinrds r d dθ θ φ= plusmn sinds r drdθ θ φ= plusmn ds rdrdφ θ= plusmn (A-12)

plusmn號表示面的垂直方向有兩個端看 ds 周邊的方向是如何定的

nabladel 考慮 ( )u u r θ φ=

rArru u udu dr d dr

θ φθ φ

part part part= + +part part part

u d rrarr rarr

equiv nabla sdot

urarr

= nabla sdot ˆ ˆˆ( sin )rdr rd dθ θ φ θ φ+ +

rArr1 1ˆ ˆˆ

sinu u uu rr r r

θ ϕθ θ φ

rarr part part partnabla = + +

part part part

1 1ˆ ˆˆsin

rr r r

θ ϕθ θ φ

rarr part part partnabla equiv + +

part part part （A-13）

4-69

直接用（A-13）與 ˆ ˆˆ rA rA A Aθ φθ ϕrarr= + + 逐項內積加上（A-678）

rArr ϕθ

θθθ

ϕθ part

part+

partpart

+partpart

=sdotnablararrrarr A

rA

rAr

rrA r sin

1)(sinsin1)(1 2

2 （A-14）

（A-13）與 ϕθ ϕθ AAArA r

andandandrarr

++= 逐項外積整理之後

ϕθ θϕθ

ϕθθ

θArrAA

r

rrr

rA

r sin

sin

sin1

2 partpart

partpart

partpart

=timesnabla

andandand

rarrrarr

（A-15）

Laplacian uu nablasdotnabla=nabla2

2

2

2222

22

sin1)(sin

sin1)(1

ϕθθθ

θθ partpart

+partpart

partpart

+partpart

partpart

=nablau

ru

rrur

rru （A-16）

B推導「散度」在圓柱座標的寫法

讓我們先回顧一下在直角座標裡的「面積元素」可以由「位移元素」

得到

ˆˆ ˆ x y zdr idx jdy kdz da dydz dxdz dxdy= + + rArr =

比照辦理「圓柱座標」的位移元素

( )ˆˆ ˆ( )

( )z

da d dzdr d d zdz da d dz

da d d

ρ

φ

ρ φ

ρ ρ φ ρ φ ρ

ρ ρ φ

=⎧⎪= + + rArr =⎨⎪ =⎩

這個結論可以輕易的由面積元素在垂直於 zˆˆ ϕρ 三個方向的面積看

出如下圖考慮一個以 )( zϕρ 為中心的「圓柱體積元素」(cylindrical

cubiod)體積為 zdV ΔΔ=Δ ϕρρ 現計算在 ρ

方向的 12 兩個平行面(方向各為 ρplusmn )的通

量

4-70

zzF

dsFdsnFS S

ΔΔ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

+cong

=sdotintint intintϕρρϕρρρ

ρ

2

2

ˆ1 1

zzF

dsFdsnFS S

ΔΔ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

minus⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

minusminuscong

minus=sdotintint intintϕρρϕρρρ

ρ

2

2

ˆ2 2

intint+

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

minus⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

minusminus⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

+Δ

asympsdotΔ

rArr21

22

22

1ˆ1

SS

zFzFdsnFV

ϕρρρρϕρρρρρρ ρρ

( ) ( )

1 20

0

0

1 ˆlim

1lim 2 2 2 2

1 1lim 2 2

1

VS S

F ndsV

F z F z

F z F z

F

ρ ρρ

ρ ρρ

ρ

ρ ρ ρ ρρ ρ φ ρ ρ φρ ρ

ρ ρρ ρ φ ρ ρ φρ ρ

ρρ ρ

Δ rarr+

Δ rarr

Δ rarr

rArr sdotΔ

Δ Δ Δ Δ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + + minus minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥Δ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦Δ Δ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥Δ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

part ⎡ ⎤= ⎣ ⎦part

intint

娛樂一下用上述方式把圓柱的 Fsdotnabla 裡的z

FF z

partpart

+partϕρϕ1

變出來

球座標的nabla和 Fsdotnabla 也可以試試看

補充習題

H M Scheydiv grad curl and all that 4th edition

第二章習題 6 8 9 10 11 14 15 16 18 19 21 22 23 25 26 27

第三章習題 2 3 5 6 7 8 9 10 11 14 15 17 18 19 24

4-17

ˆ ˆ ˆ ˆ

d r

d d r

θ

θ θ

rArr minus

rArr = minus (4-40)

2

2

ˆˆ( ) ( )

ˆˆ

ˆ ˆˆ ˆ( ) ( )ˆˆ ( ) ( )

r

dv r d r r d

dv d da r r rdt dt dt

a r r r a r a

or a r r rθ

θ θ θ θ

θ θθ θ

θ θ θ θ

ω α θ

rArr = minus +

⎛ ⎞⎛ ⎞rArr = = minus +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

rArr = minus + equiv +

= minus +

(4-41)

上式即為圓周運動的加速度其中的第一項

2

2 ˆ ˆrva r r rr

ω minus= minus = 向心加速度 (4-42a)

with α θ= 可以認出是角加速第二項

ˆa rθ αθ= 切線加速度 (4-42b)

如進一步簡化為「等速圓周運動」 ==rArr θω constant 0==rArr αθ rArr切線

加速消失那麼加速度就只剩下了熟知的向心加速度2

ˆrva rrminus

= 了

若考慮一般的情況 dr 0ne 可以導出用極座標表示的加速度為

2

ˆ ˆ ˆ ˆˆ( ) ( ) ( ) ( )

ˆˆ( ) (2 )

dv dr r r d dr r d r ddva r r r r rdt

θ θ θθ θ θ θ θ

θ θ θ θ

= + + + +

rArr = = minus + + （4-43）

看起來有點繁但是在有圓形對稱的系統極座標會表現得更清楚

面積微分元素

直角座標把平面分割成一個個的

小方塊也就是依照「x 與 y 方向的

長度變化」可以寫出「面積元素」

dA dx dy= sdot （像是切長方形的蛋糕）

比較 ˆ ˆdr dxx dyy= + 可以看出

dA＝(x-方向的長度變化)times(y-方向的長度變化)

4-18

所 以 在 「 極 座 標 」 比 照 辦 理

ˆˆ ˆ( ) ( )dr dr r rdr dr r rdθθ= + = +

dA dr rd rdrdθ θ= sdot = (4-44)

像是切圓形蛋糕

ex15 求一個半徑 R 的圓的面積

解 2 2

2

0 0

22

R RA dA rdrd rdr d Rπ

θ θ π π= = = = sdot =int intint int int

妳可以試試用直角座標dA dx dy= sdot 算一下圓的面積

Ex16 求一個半徑 R質量 M密度σ 的均勻圓盤繞其直徑的轉動慣

量解 質量元素 dAdm σ= 到轉軸（直徑）的距

離 sinr θ=

2 2 2 2

23 2

0 0

4 22 2

sin

sin

14 4 4

R

I dm dA r rdrd

r dr d

R RR MR

π

σ σ θ θ

σ θ θ

σ π σπ

= = =

=

= = =

int int intintint int

娛樂一下算半個圓盤繞通過圓心且垂直盤面的軸的轉動慣量

ex 17 計算積分2xI e dx

infinminus

minusinfin

= int

解 2 2

0

2x xI e dx e dxinfin infin

minus minus

minusinfin

= =int int2 22

0 0

2 2x yI I I e dx e dyinfin infin

minus minusrArr = sdot = sdotint int

2 2 2 22

2 ( )

0 0 0 0 0 0

4 4 4x y r rI e dxdy e dA e rdr d

π

θinfin infin infin infin infin

minus + minus minusrArr = = =int int int int int int

在上面的積分裡我們運用了一個有關「無窮大平面」的技巧就是「無

4-19

窮大的平面」是可以是「正方形」或是「圓形」的

2

2

22

00 0 0

22

4 2 2( )2 2 2

(4 45)

u u u

x

dulet u r du rdr rdr

duI e d e du e

I e dx

π

π πθ π

π

infin infininfinminus minus minus

infinminus

minusinfin

= rArr = rArr =

rArr = = sdot = minus sdot =

rArr = = minus

int int int

int

ex18 重力位能

由位能差的定義 )()()( BAWBUAU rarrequivminus

（B）圓柱座標 cylindrical coordinates

3D 空間點 P(x y z)的位置向量 ˆ ˆ ˆr xx yy zz= + +

定義「圓柱座標」 ( )zρ ϕ 其中

0 [0 )P zρ ρ ρequiv ge there4 isin infin點 到 軸之垂直距離

ϕ ρequiv 在 x-y 平面的投影與 x 軸之夾角 [02 ]ϕ πisin

z zequiv同直角座標的

4-20

「圓柱座標」就是「極座標」（用 ( )ρ ϕ 取代 ( )r θ ）再加上第三維 z

所以圓柱座標 ( )zρ ϕ 裡 zρ 的因次為長度而ϕ 只是一個數字

( )zρ ϕ 與(x y z)間的轉換如下

2 2 cos

tan sin

x yx

y yx

z zz z

ρρ ϕ

ϕ ρ ϕ

⎧ = +=⎪ ⎧

⎪ ⎪= =⎨ ⎨⎪ ⎪ =⎩=⎪⎩

（4-46）

「圓柱座標」的三個方向單位向量 ˆ ˆ ˆ zρ ϕ 如圖

且 ˆ ˆ zρ ϕperp perp 可以看出ρ 的等值面為一個圓柱

面ϕ 的等值面是一扇門z 的等值面為一個垂

直 z 軸的平面但是

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( ) zρ ρ ϕ ϕ ϕ ϕ= = =常數

柱座標的位置向量 r 如左圖

ˆ ˆr zzρρ= + （4-47）

在柱座標寫位移元素dr 有兩種作法一

種是直接由（4-47）式取微分元素 借用

平面極座標的結果可得

ˆ ˆ ˆ( ) ( )

ˆ ˆ ˆdr d d dzz

d d dzzρ ρ ρ ρ

ρρ ρ ϕϕrArr = + +

= + + （4-48）

但也可以由三個座標方向的

位移來看由左圖可得沿 ρ 方向

的長度變化 ie 當座標ρ 有變

化dρ 時產生的長度變化就是

dρ 沿ϕ 的長度變化為 dρ ϕ

而沿 z 方向的長度變化為 dz

4-21

dr 是一個向量有三個分量ρ -分量就是沿 ρ 方向的長度變化

dρ ϕ -分量沿ϕ 的長度變化為 dρ ϕ 而 z-分量就是沿 z 方向的長度變

化為 dz合併寫出

ˆ ˆ ˆdr d d dzzρρ ρ ϕϕ= + +

與（4-48）式完全相同但是這種由幾何角度得到的結果要更方便

也更直觀Fig 27 非常重要因為只要你能把圖畫出來位移的各

分量就寫得出來有了位移元素dr 速度與加速度就可得出

ˆ ˆ ˆ (4 49)

ˆ ˆ ˆ( ) (2 ) (4 50)

drv zzdtdva zzdt

ρρ ρϕϕ

ρ ρϕ ρ ρϕ ρϕ ϕ

rArr = = + + minus

rArr = = minus + + + minus

由上圖與dr 的 3 個分量可得圓柱座標的體積元素

dV d d dz d d dzρ ρ ϕ ρ ρ ϕ= sdot sdot = （4-51）

ex19 底面半徑 R高 h 的圓柱體積＝ 2 2

2

0 0 0

22

R h RV dV d d dz h R hπ

ρ ρ ϕ π π= = = sdot sdot =int int int int

ex20 底面半徑 R高 h 的「圓錐」體積＝

解本圓錐裡點的座標分佈為 [02 ] [0 ]z hϕ πisin isin ( )zρ ρ=

( ) ( )( )

h z h Rz h zz R h

ρρminus

= rArr = minus

22( )( ) 2 2

0 0 0 0 0 0

002 2 2 3 2 32 2 2

2 2 2 20

( )2 2

2

1( )3 3 3

R h zzh h hh

h

h h

R h zhV d dz d d dz d dz

R R R u R hh z dz u du R hh h h h

ρ π

τ ρ ρ ϕ π ρ ρ π

π π π π π

minus

minus minus

minusthere4 = = = =

= minus = = = =

int int int int int int int

int int

如果我們把 3-D 的三個座標寫為 1 2 3( )u u u 或 123iu i = 當座

標 ui(在 ˆiu 方向)變動 dui 時造成的長度變化為 id 則定義

4-22

i i id h duequiv (4-52)

其 中 hi 稱 為 座 標 ui 的 度 量 係 數 (metric

coefficient)由 zρ 的因次為長度所以 zρ 的變

化 d dzρ 就是長度的變化所以 1 1zh hρ = =

然而ϕ 的變化造成的長度變化為

d d hϕ ϕρ ϕ ρ= rArr = (4-53)

很明顯的直角座標 xyz 都是長度所以度量係數 1x y zh h h= = =

(C) 球座標 spherical coordinates

3D 點 P(x y z)的位置向量 ˆ ˆ ˆr xx yy zz= + + 定義

「圓柱座標」 )( ϕθr 其中

[0 ] [0 ]

[02 ]

r P rr zr x y x

θ θ πϕ

ϕ π

⎧ equiv isin infin⎪

equiv isin⎪⎨

equiv minus⎪⎪ isin⎩

原點到 的距離

與 軸的夾角

在 軸投影與 軸的夾角

球座標的ϕ 與住座標的ϕ 相同

( )r θ ϕ 與(x y z)間的轉換如下下列為（4-54）

2 2 2

2 2 2

sin coscos sin sin

cos

tan

r x y zx r

z y rx y z z r

yx

θ ϕθ θ ϕ

θ

ϕ

⎧⎪ = + +⎪ =⎧⎪ ⎪= =⎨ ⎨

+ +⎪ ⎪ =⎩⎪⎪ =⎩

三個座標的單位向量 )ˆˆˆ( ϕθr 如左圖一可以看

出 r 的等值面是一個球面θ 的等值面為一個

以原點為頂點的圓錐ϕ 的等值面為一扇門

位置向量 ˆr rr= （4-55）

4-23

位移由 ˆ ˆˆ( )r θ ϕ 3 個方向的「長度

分量」可得 ˆ ˆˆ ( ) ( sin )dr rdr rd r dθ θ ϕ θ ϕ= + +

（4-56）

所以體積元素

2

( )( sin )(sin )

d dr rd r dr dr d d

τ θ θ ϕ

θ θ ϕ

=

= （4-57）

Fig 31 和 Fig 27 一樣重要只要

你能畫得出來就可以寫出球座

標位移的三個分量

ex21 求一半徑 R 的球體積 2

2 2 3

0 0 0

4sin sin3

R

V d r dr d d r dr d d Rπ π

τ θ θ ϕ θ θ ϕ π= = = =int intintint int int int

ex22 求一質量 M半徑 R密度 ( )3 4 3M Rρ π= 的實心球對直徑

旋轉的轉動慣量

解質量元素 2 sindm d r dr d dρ τ ρ θ θ ϕ= = 到 z 軸的垂直距離為 sinr θ=

22 4 3

0 0 0

5 52

sin

4 8 225 3 15 5

RI dm r dr d d

R R MR

π πρ θ θ φ

πρ π ρ

= =

= sdot sdot = =

intintint int int int

娛樂一下空心球對直徑的轉動慣量

(4-46)式與(4-54)式說明柱座標和球座標與直角座標之間的轉

換Fig 32 可得出柱座標和球座標之間轉換

2 2

sintan

cos

r zr

zz r

ρρ θ

ρϕ ϕ θθ ϕ ϕ

⎧ = += ⎪⎧

⎪ ⎪= =⎨ ⎨⎪ ⎪=⎩ =⎪

⎩

（4-58）

4-24

Ex23 點 P 的球座標為（31200 600）求柱座標＝

解2 3 33sin3 2πρ ⎛ ⎞= =⎜ ⎟

⎝ ⎠

23

ϕ π= 2 33cos3 2

z π minus⎛ ⎞= =⎜ ⎟⎝ ⎠

直角座標柱座標球座標單位向量之間的轉換

三種座標之間的轉換由(4-46)式(4-54)式與（4-58）式表出但

三種座標裡的的三個單位向量 ˆ ˆ ˆ x y z ˆ ˆ ˆ zρ ϕ ˆ ˆˆ r θ ϕ 若以 123ˆ iu =

表示則單種座標的單位向量之間都有正交歸一關係

ˆ ˆi j iju u δsdot = 與外積的循環關係

ˆ ˆ ˆ i j ku u u i j ktimes = cyclic in 123

ie 1 2 3 2 3 1 3 1 2ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ u u u u u u u u utimes = times = times = or ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆˆ ˆ r z z x yθ ϕ ϕ ρtimes = times = times =

然而不同座標系的單位向量之間關係如何我們畫圖來討論

球座標 ˆ ˆˆ( )r θ ϕ rarr直角座標 ˆ ˆ ˆ( )x y z

單位向量都是用來指方向的球座標的 ˆ ˆˆ( )r θ ϕ 都是「方向角」( )θ ϕ

的函數 r 在直角座標可以由 Fig33 看出

ˆ ˆ ˆ ˆsin cos sin sin cosr x y zθ ϕ θ ϕ θ= + + （4-59）

ex24 P 點的球座標為2 75 3 6π π⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠

試用球座標與直角座標求 P 點的位

置向量的單位向量 解位置向量 ˆr rr= 在球座標只有 r-分量標位置仔細一點把方向

角標出2 7ˆ 3 6

r π π⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

通常只是寫 r 令人有點摸不著頭緒用直角

4-25

座標比較「具像」 2 7 2 7 2ˆ ˆ ˆ ˆsin cos sin sin cos3 6 3 6 3

3 3 1ˆ ˆ ˆ4 4 2

r x y z

x y z

π π π π π⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞minus minus minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + +⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

單位向量θ 在某一組 ( )θ ϕ 的指向如 Fig 34a將θ 平移至原點更清楚

Fig34b 是由側面看 Fig34a可以看到θ 在 z 軸的投影為 sinθminus 而θ 在

x-y 平面的投影為cosθ使得θ 在 x-軸的投影為cos cosθ ϕy-軸投影

為cos sinθ ϕ於是

ˆ ˆ ˆ ˆcos cos cos sin sinx y zθ θ ϕ θ ϕ θ= + minus （4-60）

單位向量ϕ 如 Fig 35a 所示是在 x-y 平面畫出

Fig 35b 為自 z 軸向下看 Fig35a 圖可以看出ϕ 在 z 軸投影為 0且

ˆ ˆ ˆsin cosx yϕ ϕ ϕ= minus + （4-61）

ex25 一個質點的速率為 2( ) ( sin tan )v r rθ ϕ θ ϕ= 若經查該質點的運

動 是 在 z = 3 平 面 做 逆 時 針 圓 周 運 動 則 當 位 置 的 方 向 角

4-26

2( ) 4 3π πθ ϕ ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

時計算其速度用球座標與直角座標表出

解圓運動速度方向是沿切線所以球座標 ˆ ˆ( )v v v rϕ θ ϕ ϕ= =

z = 34πθ =

3 3 21cos cos 24

z zrπθ

rArr = = = =⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

所以該處的瞬時速率

2 2

2( ) 3 3 4 3

2 1 813 3sin tan 3 3 ( 3)4 3 22

v r v π πθ ϕ

π π

⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

⎡ ⎤ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = times minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

2 81 2ˆ3 3 4 3 2 4 3

v r π π π πθ ϕ ϕ⎛ ⎞ ⎛ ⎞rArr = = = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

在直角座標2 2 2ˆ ˆ ˆ sin cos

4 3 3 3x yπ π π πϕ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠3 1ˆ ˆ

2 2x y= minus minus

而且點23 3

4 3π π⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠

的直角座標為

2 1 3 3sin cos 3 3sin cos 3 34 3 2 22 2

x r π πθ ϕ minus minus⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

2 3 9sin sin 3 3sin sin 3 34 3 2 2 2 2

y r π πθ ϕ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = = =⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

z = 3

23 3 4 3

v π π⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

3 3 9 81 3 1ˆ ˆ 32 2 2 2 22 2

v x y⎛ ⎞ ⎛ ⎞

rArr = minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

以上兩個例子都只討論只有一個圓座標分量的向量in general 向量

ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( )r x y zA r rA A A A r xA yA zAθ ϕθ ϕ= + + hArr = + + （4-61）

若已知球座標的分量 ( )rA A Aθ ϕ 如何得到直角座標的

( )x y zA A A

4-27

ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( )ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( )

ˆ ˆˆˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( )

x r

y r

z r

A x A r x r A x A x A

A y A r y r A y A y A

A z A r z r A z A z A

θ ϕ

θ ϕ

θ ϕ

θ ϕ

θ ϕ

θ ϕ

⎧ = sdot = sdot + sdot + sdot⎪⎪ = sdot = sdot + sdot + sdot⎨⎪

= sdot = sdot + sdot + sdot⎪⎩

（4-62）

由式（4-59）（4-61） ˆ ˆ ˆ ˆsin cos sin sin cosr x y zθ ϕ θ ϕ θ= + + （4-59） ˆ ˆ ˆ ˆcos cos cos sin sinx y zθ θ ϕ θ ϕ θ= + minus （4-60）

ˆ ˆ ˆsin cosx yϕ ϕ ϕ= minus + （4-61） ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆsin cos cos cos sin ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆsin sin cos sin cos ˆ ˆˆˆ ˆcos sin 0

x r x x

y r y y

z r z z

θ ϕ θ θ ϕ ϕ ϕ

θ ϕ θ θ ϕ ϕ ϕ

θ θ θ ϕ

⎛ ⎞sdot = sdot = sdot = minus⎜ ⎟

rArr sdot = sdot = sdot =⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟sdot = sdot = minus sdot =⎝ ⎠

（4-63）

sin cos cos cos sin sin sin cos sin cos

cos sin 0

x r r

y RS

z

A A AA A M AA A A

θ θ

ϕ ϕ

θ ϕ θ ϕ ϕ

θ ϕ θ ϕ ϕ

θ θ

⎛ ⎞minus ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟rArr = equiv⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟minus⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

（4-64）

其中 SRM 為由球座標分量轉為直角座標分量的轉換矩陣且行列式

det SRM =1 表示反矩陣存在then 1SRM minus 就是將直角座標分量轉為球座

標分量之轉換矩陣其實嚴格講 (4-64)式還不是最終的表示因為

轉換完的直角

座標應該全部以 x y z 表出這裡保留用 θ ϕ 只是為了簡潔方便

習題 2 Find 1SRM minus

習題 3 用 xyz 表出(a)sinθ (b)cosθ (c)sinϕ (d)cosϕ

Ans (a)2 2

2 2 2sin

x yx y z

θ+

=+ +

(b)2 2 2

cos zx y z

θ =+ +

(c)2 2

sin yx y

ϕ =+

(d)2 2

cos xx y

ϕ =+

習題 4 用上面結果將 SRM 用 xyz 表出

Ex26 Given a field ( )A r θ ϕ ＝ ˆ ˆˆ2 3r θ ϕ+ minus in spherical coordinates

find the field in rectangular coordinates （直角座標）

4-28

解這裡的 ( )A r θ ϕ 不因其三個分量都是常數而只是「一個」向量

而是一 vector field這是因為 ˆ ˆˆ r θ ϕ 都不是定值而與 θ ϕ 有關而如

果 ( )A r θ ϕ 表示則單位向量所對應的角度 θ ϕ 必須要標定所以

sin cos cos cos sin 2sin sin cos sin cos 3

1cos sin 0

x

y

z

AAA

θ ϕ θ ϕ ϕ

θ ϕ θ ϕ ϕ

θ θ

⎛ ⎞minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ minusminus⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

(2sin 3cos )cos sin(2sin 3cos )sin cos

2cos 3sin

x

y

z

AAA

θ θ ϕ ϕθ θ ϕ ϕ

θ θ

+ +⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟rArr = + minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟minus⎝ ⎠ ⎝ ⎠

習題 5 Draw a diagram to show in the cylindrical coordinates

(a) ˆ ˆ ˆcos sinx yρ ϕ ϕ= + (b) ˆ ˆ ˆsin cosx yϕ ϕ ϕ= minus + (c) ˆ ˆz z=

習題 6 use the above results show that 由柱座標分量轉為直角座標分

量的轉換矩陣

x

y CR

z z

A AA M AA A

ρ

ϕ

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟=⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

CRM =

2 2 2 2

2 2 2 2

0cos sin 0sin cos 0 0

0 0 10 0 1

x yx y x y

y xx y x y

ϕ ϕ

ϕ ϕ

minus⎛ ⎞⎜ ⎟+ +⎜ ⎟⎛ ⎞minus⎜ ⎟⎜ ⎟

= ⎜ ⎟⎜ ⎟+ +⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

Ex27 Express vector ˆ ˆ ˆ(3cos ) 2 5A zρ ϕ ϕ ρ= minus + in Cartesian

coordinates Specifically the A at the position of (2 2 3π -3)

解

2cos sin 0 3cos 3cos 2 sinsin cos 0 2 3cos sin 2 cos

5 50 0 1

x

y

z

AAA

ϕ ϕ ϕ ϕ ρ ϕϕ ϕ ρ ϕ ϕ ρ ϕ

⎛ ⎞minus ⎛ ⎞+⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟= minus = minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

so that A (2 2 3π -3)= 3 3 3ˆ ˆ ˆ3 3 3 54 4

x y z⎛ ⎞⎛ ⎞+ + minus +⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠注意本

題裡 z 座標並非一變數

4-29

sect 43 Fields and its properties 場與其性質

「場 field」是什麼凡是在「某個空間中每一點」都有定義的量

就是一個「場」所以「場」也稱為「點函數 point function」簡單的

說凡是「空間的函數」都是「場」如果這個「空間的函數」是一個

純量 u(xyz)那麼 u(xyz)就是一個「純量場 scalar field」例如室內

的溫度 T(xyz)一塊豬肉的密度 ( )x y zρ 大氣中的壓力 p(xyz)等

都是純量場如果這個「空間的函數」是一個向量 )( zyxA 那麼

)( zyxA 就稱為「向量場 vector field」例如空間中的電場 )( zyxE

水流中的速度場 )( zyxv 重力場 )( zyxg 等等很顯然的不論是純量

場還是向量場「場」在空間中的分佈通常未必是均勻的那麼她有

什麼性質呢例如一塊豬肉內部密度是如何變化的水流中有沒有

漩渦大氣中的等壓線是如何變化的等等那麼有沒有什麼量可以

有系統的描述各種場的分佈有我們在以下分別討論

sect 431 Gradient of scalar fields 純量場的梯度

考慮一個純量場 f(xyz)可以視為 3 個變數 xyz 的函數當變數變動為

x+dx y+dy z+dy 時造成 f 的變化

f f fdf dx dy dzx y zpart part part

= + +part part part

（4-65）

由幾何意義來看上式更為具體上式表示純量場 )(rf 基於位置的變化

r r drrarr + (或由 ( ) ( )x y z x dx y dy z dzrarr + + + )所造成 f 的變動

我們現在定義一個向量算符 vector operator nabla (or nabla )（讀做 del）

ˆ ˆ ˆx y zx y zpart part part

nabla equiv + +part part part

(4-66)

如果將 del 作用在純量場 )(rf 上將產生出現一個新的「向量場」 fnabla

稱為純量場「 )(rf 的『梯度 gradient』」

4-30

ˆ ˆ ˆ( ) f f fgrad f f x y zx y zpart part part

equiv nabla = + +part part part

（4-67）

這使得由於任意位移 ˆ ˆ ˆdr xdx ydy zdz= + + 所造成 f 的變化量

df f drrArr =nabla sdot （4-61）

ex28 Given scalar field 2( )f r xy z= and 2 2 2

1 1( )g rrx y z

= =+ +

(a) find the value of ( )f r and fnabla at point P(2 1-1) 解 2(21 1) 2 1 ( 1) 2f minus = times times minus = minus

2 2 2

2 2

ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( )

ˆ ˆ ˆ( ) ( 2 ) ( )

f x xy z y xy z z xy zx y z

x y z y x yz z xy

part part partnabla = +

part part part

= +

＋

＋

ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ(21 1) ( 1) (2 2) (2) 4f x y z x y znabla minus = minus + timesminus = minus minus＋ ＋2 (b) find the value of ( )g r and gnabla at the point P

解2

1 1(21 1)62 1 1

g minus = =+ +

2 2 2 12 2 2 2 12

2 2 2 12

ˆ ˆ( ) ( )

ˆ ( )

g x x y z y x y zx y

z x y zz

minus minus

minus

part partnabla = + + + + +

part partpart

+ +part

＋

2 2 2 32 2 2 2 32 2 2 2 32

2 2 2 32 3 2

ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( )

ˆ ˆ ˆˆ( )( )

OR OR

xx yy zzgx y z x y z x y zxx yy zz r r

x y z r r

minus minus minusrArrnabla = + +

+ + + + + +minus + + minus minus

= = =+ +

32

ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ(2 ) 2(21 1)6 6 6

x y z x y zg minus + minus minus minus +rArrnabla minus = =

由 gnabla 看到一個粉常用的結果就是

3 2

ˆ1 ORr rr r r

minus minusnabla = = （4-62）

順便比較一下

2 2 2 12 2 2 2 12 2 2 2 12

2 2 2 12

ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( )

ˆ ˆ ˆ( ) ˆ (4 63)( )

r x x y z y x y z z x y zx y zxx yy zz r r

x y z r

part part partnabla = + + + + + + +

part part part+ +

= = = minus+ +

＋

4-31

(c) what is the angle between (21 1)fnabla minus and (21 1)gnabla minus

解 (21 1)fnabla minus (21 1)gsdotnabla minus ＝（ ˆ ˆ ˆ4x y zminus minus ＋2 ） sdotˆ ˆ ˆ26 6x y zminus minus +

＝2 4 2 4

6 6 3 6+ +

= ＝ | (21 1) |fnabla minus | (21 1) |gnabla minus cosθ

＝ 34 1 1 211 16 4 cos cos

6 6θ θ+ +

+ + =

1 4 2cos 07773 7

radθ minus ⎛ ⎞= =⎜ ⎟

⎝ ⎠

要注意隨然nabla有向量的性質但是他並不是一個真的向量真

實向量 A與純量 f ( )r 的乘法滿足交換率ie ( ) ( )Af r f r A= 但是

f fnabla ne nabla因為

( )f rnabla ＝ ˆ ˆ ˆf f fx y zx y zpart part part

+ +part part part

是一個向量函數而

ˆ ˆ ˆ( )f r x y zx y z

⎛ ⎞part part part+ +⎜ ⎟part part part⎝ ⎠

是一個算符（operator）

若nabla要與向量場 A 作用由於nabla與 A 都具有向量的性質先看「內積」

ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ( )

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

x y z

x y

z

y yx xz z

A x y z xA yA zAx y z

x y z xA x y z yAx y z x y z

x y z zAx y z

A AA AA Ax x x y x zx y z x y z

⎛ ⎞part part partrArrnablasdot = + + sdot + +⎜ ⎟part part part⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞part part part part part part= + + sdot + + + sdot⎜ ⎟ ⎜ ⎟part part part part part part⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞part part part

+ + + sdot⎜ ⎟part part part⎝ ⎠part partpart partpart part

= sdot + sdot + sdot + sdotsdot sdot = + +part part part part part part

yx zAA AAx y z

partpart partnablasdot = + +

part part part (4-64)

上式中的 Anablasdot 是向量場 A 的一個重要的性質稱為 A 的「散度」詳

細的內容在後面會仔細討論這裡引進 Anablasdot 主要是要表明nabla是個「算

符」表示一個運算不是一個真實的向量只是在「直角座標」裡

4-32

因為單位向量 ˆ ˆ ˆ x y z 是常數不受微分的作用以致nabla表現得好像也

是個一般的向量一樣事實上真實向量和nabla間的「內積」就不滿足交

換率

x y zA A A A an operator Ax y zpart part part

sdotnabla = + + = ne nablasdotpart part part

(4-65)

這也使得任意向量場 ( )A r 因位置變動 r r drrarr + 而產生的變化由於

)( zyxA 也是 3 個變數 xyz 的函數可以寫為

( )A A AdA dx dy dz dr Ax y z

part part part= + + = sdotnabla

part part part （4-66）

ex29 (a)Given field 2ˆ ˆ ˆ2A xxy y x zyz= minus + find Anablasdot at point (1-12)

解2( ) (2 ) ( ) 2xy x yzA y yz

x y zpart part part

nablasdot = + + = +part part part

(1 12)1 2( 1)2 3A

minusnabla sdot = minus + minus =

(b) find rnablasdot 解 rnablasdot = 3x y zx y zpart part part

+ + =part part part

梯度的意義

由（4-67）可以看到「f 的梯度 fnabla 」

是一個由「純量場 f」衍生出的向量

場由（4-26）也可以看出 fnabla 扮演類

似「變化率」的角色

空間中將相同值 f ( )r ＝f1 的點連

起來就得到一個 f ( )r ＝f1 的「等值面」如 Fig36考慮純量場 f( r )的

相鄰兩個等值面各對應定值 1f f= 與 1f f df= + 0df gt P1 點在 f1

等值面上相鄰兩點 P2P3 在 1f df+ 等值面上而向量 1 2 ˆnP P dn e dn= =

過 P1 點垂直於 f1 等值面 1 3 ˆP P d e d= = 與 ˆne dn夾角為α 由於不

論 1 2P Prarr 或 1 3P Prarr f 的變化量都是 df 但因距離 dn 係兩等值面最

4-33

短的距離d dngt 所以 1 2P Prarr 或 1 3P Prarr 造成的「變化率」df dfdn d

gt

而過 P1 點的最大變化率為dfdn

換言之向量 ˆndfedn

為過 P1 點垂直於

f1 等值面且指向最大「增加率」的方向 現在要證明

ˆndfe fdn

= nabla （4-67）

考慮 1 3P Prarr 造成的 f 值的變化率

ˆ ˆcos n ldf df dn df df e edl dn dl dn dn

α= = = sdot

ˆ ˆ ˆn l ndf dfdf e e dl e dldn dn

rArr = sdot = sdot

和（4-61）式df f dr= nabla sdot 相比即可得證 ˆndfe fdn

= nabla 所以可以知道

空間純量場 f ( )r 中任一點處的向量 fnabla 必「垂直」於「通過該點的 f的等值面」且指向 f 值最大「增加率」的方向| ( )f rnabla |就是 f 在 r 點

的最大增長率可以進一步定義等值面的「法線 normal」方向為

ˆ fnf

nabla=nabla

（4-68）

結論給定一個純量場 f( r )在每一點 r 可以定義一個稱做「梯度」

的向量 fnabla fnabla 垂直於過 r 點的 f 等值面且指向最 f 大增加率的方向

fnabla 的方向也定義了 f 等值面的法線方向

Ex30 考慮一個 2D 的 scalar field 2( )f x y y x= minus 計算該場在 )20( 的梯度與

法線方向

解 ˆ ˆ ˆ ˆ2f ff x y x yyx ypart part

nabla = + = minus +part part

ˆ ˆ(0 2) 2 2f i jnabla = minus + ˆ ˆ ˆ ˆ2 2 2 2ˆ(0 2)

31 8i j i jn minus + minus +

rArr = =+

4-34

ex31 點電荷 q 置於原點其產生電位為 ( ) qV rr

= 求負梯度qr

minusnabla

解 3

2 2 2 22 2 2

2 ( )2

q q q q x x y zr x rx y z

minuspart minus= rArr = sdot + +

part+ +

3 23

ˆˆ ˆ ˆ( )q ix jy kz r rq q qr r r r

minus + +rArr minusnabla = minus = = （點電荷的電場）

0 0

1 1 r r

noter r= =

nabla rarrinfin rarrinfin∵ 是不定值是因為 r = 0 處為最大值

「增加率」的方向無法確定

ex32 置一熱源於原點空間溫度分佈為1( )

( 2)T r

r=

+求溫度的梯度

解 2 2 2

ˆ( ) ( )( 2) ( 2) ( 2)

x rT r rr rT r

x r r r

minuspart minus

= rArrnabla = =part + + +

此處的負號表示梯

度指向熱源因為距熱源越遠溫度越低 ( 0)note T rnabla = 為不定值

因在最頂點「增加率」的方向無法確定

Ex33 地圖上山脈的等高線上各點的垂直方向由梯度決定現有一座

山是橢球 2)1(4 222 =+++ zyx 在 x-y 平面上方的

部分求地圖上這座山等高線的梯度

解 山高 142 22 minusminusminus== yxzh 所以等高線為橢

圓 222 )1(24 +minus=+ hyx 梯度

( ) ( ) ( )2 2 2 2

2 2

ˆ ˆ4ˆ ˆ2 4 1 2 4 1

2 4

xx y yh x x y y x y

x y x y

minus +part partnabla = minus minus minus + minus minus minus =

part part minus minus

所以自山腳（h=0）登山若由(012)開始 ˆ(01 2) 2h ynabla = minus 但若由

)02(minus 開始爬山 ˆ( 20) 2h xnabla minus = 可見 )02()210( minusnablagtnabla hh 這表

示由 y-軸登山山勢較陡所以「梯度」比由 x-軸登山為大這也更

清楚瞭解「梯度」的幾何意義

4-35

sect 432 Divergence 散度與 Curl 旋度

在(4-66) 我們建立了一個直角座標 vector operator 「del」

ˆ ˆ ˆx y zx y zpart part part

nabla equiv + +part part part

(4-66)

若與向量場 A 做「內積」與「外積」就建構了 A 的「散度」與「旋度」

散度 A A scalaryx zAA Adiv ax y z

partpart partequiv nabla sdot = + + =

part part part （4-69）

旋度

y yz x z x

ˆ ˆ ˆ y z A vector

A AA A A Aˆ ˆ ˆxy z z x x y

x y z

x y z

xcurl A a

A A A

y z

⎧⎪

= nablatimes = part part part =⎪⎪⎨⎪

part part⎛ ⎞ ⎛ ⎞part part part part⎛ ⎞⎪ = minus + minus + minus⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎪ part part part part part part⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎩

(4-70)

這裡定義的只是「散度」與「旋度」所謂「操作型的定義」告訴我

們如何計算的式子事實上她們都具有重要的物理意義我們在後面

會討論

ex34 ˆ ˆA xy yx= minus 求其散度與旋度

解 0 0y xAx ypart part

nablasdot = minus + =part part

ˆ ˆ ˆ y zˆ ˆ ˆ ˆ 0 0 ( 2) 2

0 x y z

xA x y z z

y xnablatimes = part part part = minus + minus = minus

minus

右圖示意了本向量場的分佈看得出像個漩渦也看到算出的旋度

0ne 看來旋度表現的應該是向量場「旋轉的程度」事實上我們在

後面會看到「旋度」表現的就是是向量場在空間各點「旋轉的程度」

本題的向量場在每一點的旋轉程度都一樣

4-36

Ex35 ( )ˆ ˆ ˆ A xx yy zz r= + + = 求其散度與旋度

解 3A rnablasdot = nablasdot = ˆ ˆ ˆ y z

0

x y z

xA

x y znablatimes = part part part =

由場分佈的示意圖可以看出本向量場是自原點向外射出好似在原

點有一個場線的「源頭 source」但是 3Anablasdot = 為一個常數表示好像到

處都有 source同時旋度為 0 也可以配合本場並無旋轉的形象事實

上「散度」表現的就是是向量場在空間各點產生「場線」的 source

記得靜電學裡的庫倫定律 0E ρ εnablasdot = 電場的散度就是「電荷密度」

(電場的 source)前一題的向量場看來對應的場線是封閉的所以沒有

source這也對應了其散度＝0不過一個向量場的散度旋度究竟是

多少應該詳細的計算場分佈圖形有時候不是那麼容易看的清楚

兩個 useful identities (恆等式)

(a) ( ) 0 0f curl of a gradnablatimes nabla = =

(b) ( ) 0 0A div of a curlnablasdot nablatimes = =

pf (a) ( )ˆ ˆ ˆ x y z

x y z

x y z

ff f f

nablatimes nabla = part part part

part part part

( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2xz zxˆ ˆ ˆx y f- f z 0yz yz xy yxf f f f= part minus part minus part part + part minuspart =

這個結果與真實的向量外積 ( ) AA 0=times 有相似之處但是這只是特

例要記得nabla並不是一個真正的向量

( ) ( ) ( )

( )

ˆ ˆ ˆ y zˆ ˆ ˆ x y z

0

x y z y z z y x z z x x y y x

x y z

xy z xz y xy z yz x xz y yz x

xA A A A A A A

A A A

A A A A A A A

nablatimes = part part part = part minus part minus part minus part + part minus part

nablasdot nablatimes = part minuspart minuspart +part +part minuspart =

4-37

此結果與真實的向量運算有相似之處 ( )( )0 (B A) BB B Asdot times = times perp∵

但是這仍只是特例因為我們可由下列例子 ( ) 0A Asdot nablatimes ne 看出事實上

nabla並不是一個真正的向量 Ex36 ˆ ˆ ˆA xy yx zx= minus +

( )

ˆ ˆ ˆ y zˆ ˆ ˆ 0 1 ( 2)

2 0

x y z

xA x y z

y x x

A A x x x

nablatimes = part part part = minus + minus

minus

sdot nablatimes = minus = minus ne

面積元素向量

物理上時常會遇到面積分例如電通量磁通

量等等考慮一個面積元素 ds定義「面積的

方向」為其「法線方向」並定義面積元素向量

ˆnds a dsequiv （4-71）

要注意的是(1)如果 ds 是一個「封閉面

closed surface」（即有裡外之分）的一部

份則 ˆna 定義為「由內向外」(2) 如果 ds

是一個「開放面 opened surface」（即分不

出裡外）的一部份那麼 ds 必被其邊緣

（一個封閉的曲線 C）所包圍這樣在定

出ds 的方向之前要先定義「邊緣曲線」

C 的方向再由右手定則定義 ˆna 的方向

既然面積已為一個向量就可以寫為分量表示以直角座標

ˆ ˆ ˆx y zds xds yds zds= + + (4-72)

那麼這些分量 dsx dsy dsz 會是什麼既然 dsx 的方向是 x 就表示 dsx

是躺在 y-z 平面上所以 dsx 的兩邊是 dy 與 dz rArr xds dydz= 依此類

4-38

推 dsy 的方向是 y 所以躺在 x-z 平面rArr yds dxdz= hellip可以得知

xds dydz= yds dxdz= zds dxdy= （4-73）

不過要注意在寫面積元素時要看討論的面實際

是什麼面上式的三個分量有可能會是負的例如

左圖座落在第一象限的立方體的 A 面方向就在 xminus

方向Arsquo面在 yminus Ardquo面在 zminus 方向寫面積元素最

好是先把討論的面的方向搞清楚把plusmn號寫在單位向量前面那麼分

量就都用＋的即可其實面積元素體積元素都可以由位移元素看出

ˆ ˆ ˆdr xdx ydy zdz= + +

dx dy dz 是沿著 ˆ ˆ ˆ x y z 方向的長度所以面積元素分量的兩邊長度就

是由其中兩個組成而體積的三邊也就是三個垂直方向的長度

x y zdV dx dy dz and ds dydz dxdz dxdyrArr = = （4-74）

這個概念在其他的座標系統也成立我們可以方便的寫出面積元素

Recall 柱座標的位移向量元素

cylindrical coordinate ˆ ˆ ˆdr d d dzzρρ ρ ϕϕ= + + （4-48）

ˆ ˆ ˆ zds ds ds zdsρ ϕρ ϕ= + + (4-75)

dsρ 躺在 zϕ minus 平面dsϕ 在 zρ minus 平面 zds 在ρ ϕminus 平面

rArr zds d dz ds d dz ds d d d dρ ϕρ ϕ ρ ρ ρ ϕ ρ ρ ϕ= = = sdot = （4-76）

上面的結果畫個圖看看吧球座標的位移向量元素

Spherical coordinate ˆ ˆˆ ( ) ( sin )dr rdr rd r dθ θ ϕ θ ϕ= + + （4-56）

ˆ ˆˆ rds rds ds dsθ ϕθ ϕ= + + （4-77）

rArr sin sin rds rd r d ds dr r d ds rd drθ ϕθ θ ϕ θ ϕ θ= sdot = sdot = sdot (4-78)

4-39

向量場 ( )A r 在 S 面上的「面積分（surface integral）」or「flux」

如左圖若有一「平面」S 且其上有「均勻」

場 B 分佈則通過 S 面的通量就是

ˆB B nSΦ = sdot

但考慮一任意「非均勻」向量場 ( )A r 在空間分佈選取任意曲面 S

探討 ( )A r 在 S 上之通量若ds 為 S 面上的面積元素在趨近於 0 的

小面積ds 上 A可視為均勻所以通過ds 之通量為 ( )d A r dsΦ = sdot 則 S

面之總通量為

Φ＝ ˆ cosS S S

A ds A nds A daϕsdot = sdot =int int int

( )OR

x x y y z zS

A da A da A da= + +int (4-75)

稱為 A 在 S 面上的「面積分」或「通量 flux」

上圖所繪就是一個任意面上分割出許多小面積舉出三個位置的通

量有+-與 0如果 S 面是為一「封閉面」則面積分寫為

S

A dssdotint （4-76）

4-40

ex37 Given 2ˆ ˆ ˆyzA xyz yx zx= + + 計算通量S

A dssdotint

S 面為在第一象限邊長＝1 的立方體表面封閉面

解立方體分為前後右左上下六個面分開算 1前面（x=1）

方向 x+ ˆ xA ds A xdydz A dydzsdot = sdot =int int int前 前 前

yzdydz= int前 ＝1 1

0 0

1 1 12 2 4

ydy zdz = sdot =int int

2後面(x=0)方向 xminus ˆ(- ) - xA ds A x dydz A dydzsdot = sdot =int int int後 後 後

yzdydz= minusint後1 1

0 0

-1 1 -12 2 4

ydy zdzminus = sdot =int int

3 右面（y=1）方向 y+ y ( 1)yA ds A dxdz A y dxdzsdot = sdot = =int int int右 右 右

( 1)x y zdxdz= =int右 ＝1 1

0 0

1 1 12 2 4

xdx zdz = sdot =int int

4 左面（y=0）方向 ˆ-y ˆ( y) - ( 0)yA ds A dxdz A y dxdzsdot = sdot minus = =int int int左 左 左

( 0) 0x y zdxdz= = =int左

5 上面（z=1）方向 z+ zz y (z 1) yA ds A dxd A dxdsdot = sdot = =int int int上 上 上

2 yx dxd= int上 ＝1 120 0

1 1y 13 3

x dx d = sdot =int int

6 下面（z=1）方向 ˆ-z zˆ(-z) y - (z 0) yA ds A dxd A dxdsdot = sdot = =int int int下 下 下

2 -1- y3

x dxd= =int下 ＝1 120 0

1 1y 13 3

x dx d = sdot =int int

S

A dssdotint ＝六個面的和＝1 1 1 1 1 1( ) ( 0) ( )4 4 4 3 3 4

minus minus+ + + + + =

ex38 Given ˆ ˆ ˆzA xyz yx zxy= + + 計算通量S

A dssdotint S 為圓 2 2 2x y a+ =

在第一項限的部分方向選為 z+ 2 2y a x= minus

4-41

解 2 2 4

0 0ˆ

8a a x

zS S S S

aA ds A zdxdy A dxdy xydxdy xdx ydyminus

sdot = sdot = = = =int int int int int int

Ex39 In cylindrical coordinate Given ˆ ˆaA zbzρρ

= + where a b are

constants Find S

A dssdotint over the surface of a

closed cylinder about z-axis specified by 3 2z ρ= plusmn =

解S 分為上下與周邊三面

zz (z 3)zA ds A ds A d dρ ρ ϕsdot = sdot = = sdotint int int上 上 上

= 23 3 2 12bd d b bρ ρ ϕ π πsdot = sdot =int上

ˆ(-z)A ds A d dρ ρ ϕsdot = sdot sdotint int下 下

= z- (z -3)A d dρ ρ ϕ= sdotint下 = 23 2 12b bπ πsdot =

周邊ds ˆ ( )d dzρ ρ ϕ= rArr ˆ ( ) z ( ) zA ds A d d A d dρρ ρ ϕ ρ ϕsdot = sdot =int int int周 周 周

2 3

0 3( ) z ( ) z=a 12aA d d d d d dz a

πρ ρ ϕ ρ ϕ ϕ π

ρ minus= = =int int int int周 周

加起來 S

A dssdotint ＝12 24 12 ( 2 )a b a bπ π π+ = +

ex40 一點電荷 q 置於原點計算在一個以原點為圓心 0r 為半徑的球

面上的電通量

解 2 20 0

ˆ ˆ4 4S S

qr q dsE ds rdsr rπε πε

sdot = sdot =int int int

=0 0 0

44 4S

q q qd ππε πε ε

sdot Ω = sdot =int

上式中 dΩ 2dsr

= 是 ds 所張開的「立體角」(solid angle)

4-42

div A and Flux 通量與散度的幾何物理意義

我們運用過nabla的符號來表示過散度 divF F= nablasdot yx zFF Fx y z

partpart part= + +part part part

但是也看到「散度」定義為

0( )

1( ) limSV

about x y z

divF x y z F da divergence of FVΔ rarr

equiv sdot =Δ int (4-77)

其中 VΔ 為 S 面所包含的體積即散

度為通量(體)密度的 0 體積極限

（4-77）的定義與 Fnablasdot 好像差的很

多她們是說同一回事嗎以下證明

這兩種「散度」的定義是等價的如

左圖考慮一個以點 ( ) x y z 為中心

的 立 方 體 其 相 鄰 三 邊 長 為

x y zΔ Δ Δ 體積 V x y zΔ = Δ Δ Δ 現在計算 F 在立方體的一組平行於 y-z平面的表面 S1 與 S2 的通量

( )1 1

ˆ ˆ xS S

F nds F xds F x y z dsrArr sdot = sdot =intint intint intint 2xxF x y z y zΔ⎛ ⎞asymp + Δ Δ⎜ ⎟

⎝ ⎠

其中 2xx y zΔ⎛ ⎞+⎜ ⎟

⎝ ⎠為 S1 面中心的座標而

2xx y zΔ⎛ ⎞minus⎜ ⎟

⎝ ⎠為 S2 面的中心

( ) ( )2 2 2

ˆ ˆ 2x x

S S S

xF nda F x ds F x y z ds F x y z y zΔ⎛ ⎞rArr sdot = sdot minus = minus asymp minus minus Δ Δ⎜ ⎟⎝ ⎠intint intint intint

上式中的負號來自 S2 面的方向是 xminus 所以合併兩個面積分

1 2

ˆ 2 2x x

S S

x xF nds F x y z F x y z y z+

Δ Δ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞rArr sdot asymp + minus minus Δ Δ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦intint

2 2x xx xF x y z F x y z

x y zx

Δ Δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠= Δ Δ Δ

Δ

2 2

x xx xF x y z F x y z

Vx

Δ Δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠= Δ

Δ

1 2

1 2 2ˆ

x x

S S

x xF x y z F x y zF nds

V x+

Δ Δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠rArr sdot asymp

Δ Δintint

4-43

當取體積向(xyz)點收縮至 0 時即 0 x 0as VΔ rarr Δ rarr 上式的近似

「asymp」就成了「＝」

1 20

1 ˆlimV

S S

F ndsVΔ rarr

+

sdotΔ intint

( )0

2 2limx x

x

x

x xF x y z F x y z F x y zx xΔ rarr

Δ Δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟ part⎝ ⎠ ⎝ ⎠= =Δ part

Similarly F 在立方體的一組平行於 x-z 平面的表面 S3 與 S4 的通量

3 3 3

ˆ ˆ yS S S

F nds F yds F dsrArr sdot = sdot =intint intint intint

2

2

y

y

yF x y zyF x y z x z x y z

y

Δ⎛ ⎞+⎜ ⎟Δ⎛ ⎞ ⎝ ⎠asymp + Δ Δ = Δ Δ Δ⎜ ⎟ Δ⎝ ⎠

( )4 4 4

2ˆ ˆ

y

yS S S

yF x y zF nds F y da F ds x y z

y

Δ⎛ ⎞minus⎜ ⎟⎝ ⎠rArr sdot = sdot minus = minus asymp Δ Δ Δ

Δintint intint intint

合併 S3 與 S4 兩個面積分並取體積向(xyz)點收縮至 0 時即當

0 y 0VΔ rarr Δ rarr 上式的近似asymp就成了＝

3 4

2 2ˆ

x x

S S

y yF x y z F x y zF nds V

y+

Δ Δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠rArr sdot cong Δ

Δintint

3 40 0

1 2 2ˆlim lim

x xy

V yS S

x yF x y z F x y z FF nds

V y yΔ rarr Δ rarr+

Δ Δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟ part⎝ ⎠ ⎝ ⎠rArr sdot = =Δ Δ partintint

與上面相同的作法計算 F 在立方體的一組平行於 x-y 平面的表面 S5

與 S6 的通量我們也會得到對應的結果

5 6

2 2ˆ

z x

S S

z zF x y z F x y zF nds V

z+

Δ Δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠rArr sdot cong Δ

Δintint

5 60 0

1 2 2ˆlim lim

z xz

V zS S

z zF x y z F x y zFF nds

V z zΔ rarr Δ rarr+

Δ Δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟ part⎝ ⎠ ⎝ ⎠rArr sdot = =Δ Δ partintint

所以合併立方體的 6 個面積分

4-44

1 2 3 4 5 6

ˆ ˆ ˆ ˆS S S S S S S

F nds F nds F nds F nds+ + +

rArr sdot = sdot + sdot + sdotint intint intint intint

0

1 ˆlim yx zV

FF FF nds div F FV x y zΔ rarr

partpart partrArr sdot = + + = = nablasdot

Δ part part partint (4-78)

在此我們得證這兩種「散度」的定義是等價的只是（4-77）的定義

充分的表現出「散度」的幾何物理意義他從通量著手由於場線

出自於 source（ex電場源自於點電荷）所以在點(xyz)必須有向量場

F 的 source 存在才能使得當面積縮到 0 時仍具有非 0 的通量所以「散

度」表現向量場 F 的 source 在這個定義之下是很清楚的當然在計算

「散度」時我們不必那麼麻煩用 divF F= nablasdot 就好了

Ex41 計算 2ˆ ˆ ˆF xx yxy zyz= + + 的散度

解 2 yx zFF Fx x yx y z

partpart part= = =

part part part F 2x x y 3x ydivrArr = + + = +

recall 在靜電學0

yx zEE EEx y z

ρε

partpart partnablasdot = = + +

part part part

散度定理 Divergence Theorem

若任意封閉面（又稱為「高斯面」）S 所包圍的

體積為 V 則

S VA ds Adτsdot = nablasdotint int （4-79）

pf 我們先將體積分割成 N 個小盒子考慮相鄰的兩個小盒子 1 2

兩小盒子的共用面面積 S0當 S0 是為 1 號盒子的一部份時其方向為

1n 但若當為 2 號盒子的表面時其方向為 12 ˆˆ nn minus= 如此在 S0 分別做

4-45

1 2 盒子的面積分後

0 0

0 0 0 0

1 2

1 2 1 1ˆ ˆ ˆ ˆ 0

S S

S S S S

A ds A ds

F n ds F n ds F n ds F n ds

sdot + sdot

= sdot + sdot = sdot minus sdot =

intint intintintint intint intint intint

所以若求場 A 在 1 2 盒子的總通量時交界面是沒有貢獻的總通量

就只有「外面積」才有貢獻如此我們計算 N 個小盒子的總通量

時所有的內部共用面都得 0只剩下「外表面」的貢獻了當 infinrarrN

時所有小盒子的「總外表面」就與 S 面重合了所以所有小盒子通量

的總和就等於 S 面的通量

1lim

i

N

S SN iA ds A ds

rarrinfin=

rArr sdot = sdotsumint int

現在我們做 N 個小盒子的總通量

1 1

1i i

N N

iS Si i i

A ds A ds VV= =

⎛ ⎞sdot = sdot Δ⎜ ⎟Δ⎝ ⎠

sum sumint int

當 0iN Vrarrinfin rArr Δ rarr 並用 dv 表示體積元素

( ) ( )1 1

1

1lim lim lim

lim

i ii

N N

iS SN N V oi i i

N

i VN i

A ds A ds VV

A V A dv

rarrinfin rarrinfin Δ rarr= =

rarrinfin=

⎛ ⎞sdot = sdot Δ⎜ ⎟Δ⎝ ⎠

= nablasdot Δ = nablasdot

sum sumint int

sum int

( )S V

A da A dvrArr sdot = nablasdotint int QED

所以得證散度定理上式中我們用了散度的（4-77）式定義要分辨

清楚 Anablasdot 是向量場 A 在空間中「某一點」的性質（ 0VΔ rarr ）而「散

度定理」說的是一個「有限體積」的性質

ex42 給定 ( ) ˆ ˆ ˆ A x y z xx yy zz r= + + = 計算在

半徑 R＝1 的球的上半球加底面的通量

4-46

解 ( )ˆˆS

A da A rda A k darArr sdot = sdot + sdot minusint int int上半球面 底面

( )

2

ˆ ˆ

0 2 1 2

A rda A z dxdy

r rds zdxdy rds ds π π

= sdot + sdot minus

= sdot minus = minus = = sdot =

int int

int int int int上半球面 底面

上半球面 底面 上半球面

底面的通量＝0 是因為 A 的 z 分量 Az=z 在底面的值為 0

也可以用散度定理更快的得出結果

∵ 3A rnablasdot = nablasdot =

31 43 3 1 22 3V V

Ad d πτ τ πnablasdot = = sdot sdot sdot =int int

ex43高斯定律的微分形式積 由 Gaussrsquo law 的積分形式用散度定理得出其

( )0 0

1 inS V

qE ds x y z dvρε ε

sdot = =int int

0S V VE ds Edv dvρ

εrArr sdot = nablasdot =int int int

上式最後的等式對「任意形狀」V 都成立所以兩者的被積函數相等

對於空間每一點 0

E ρε

nablasdot = （4-80）

ex44 Use 第一象限的單位力方體 check the divergence theorem using the function 2 2ˆ ˆ ˆ(2 ) 2A y x xy z y yzz= + + +

解2

2( ) (2 )(2 ) 2( )y yzA xy z x yx y z

part part partnablasdot = + + + = +

part part part

and 1 1 1 1 1 1

0 0 0 0 0 02 ( ) 2 ( )

VAdv x y dxdydz dz dy x y dxnablasdot = + = +int int int int int int int

1 1

0 0

1 12 ( ) 2 12 2

dz y dy= + = sdot =int int

面積分 1 1 2

0 0

1ˆ3

A ds A xdydz dz y dysdot = sdot = =intint intint int int前 前

4-47

1 1 2

0 0

1ˆ( )3

A ds A x dydz dz y dy minussdot = sdot minus = minus =intint intint int int

後 後

1 1 2

0 0ˆ (2 )A ds A ydxdz dz xy z dxsdot = sdot = +intint intint int int

右 右

1 1 1 12 2

0 0 0

4(2 ) (1 )3

ydz x z dx dz z

=

= + = + =int int int∵

1 1 2

0 0

0 1 1 12 2

0 0 0

ˆ( ) (2 )

1(1 )3

y

A ds A y dxdz dz xy z dx

dz z dx dz z=

sdot = sdot minus = minus +

minus= minus = + =

intint intint int int

int int int∵

左 左

11 1 1 1

0 0 0 0ˆ 2 2 1

zA ds A zdxdy dx yzdy dx ydy

=sdot = sdot = = =intint intint int int int int

∵

上 上

01 1

0 0ˆ 2 0

zA ds A zdxdy dx yzdy

=sdot = sdot minus = minus =intint intint int int

∵

下 下

前後右左上下六個面積分合併＝1＝V

Advnablasdotint QED

ex45 Continuity Equation 連續方程式

考慮某些「東西」的流動（物質電荷hellip）在時刻 t 時在點(xyz)

的 密 度 為 ( ) x y z tρ ρ= 並 具 有 速 度

( ) v v x y z t= 在時刻 t 時在體積 V 內的總量為

( ) x y z t dρ τintintint

這樣體積 V 內東東的時變率為

( ) ( ) d x y z t d x y z t ddt t

ρρ τ τpart=

partintintint intintint

注意體積分後的時間全微分移入積分內要改為偏微分這個東東

在表面的「流率 flow rate」可表為

ˆS

R v ndsρ= sdotintint

若體積內的物料無法自生自滅那麼體積內物料的變化必經由表面的

流出流入所造成

d v ndstρ τ ρpart

rArr = minus sdotpartintintint intint

由散度定理

4-48

( )ˆS

v nds v d dtρρ ρ τ τpart

sdot = nablasdot = minuspartintint intintint intintint

( )v Jtρ ρpart

rArr = minusnablasdot equiv minusnablasdotpart

0Jtρpart

rArr +nablasdot =part

（4-81）

(4-81) 即 continuity equation其中 J vρ= 為「物流密度」ex如果 ρ

是電荷密度 J 就是電流密度（4-81）是物質守恆的結果只對體

積內無 source（生成）or drain（消滅）的東東成立

ex46 Given a vector field ˆ ˆx yA ye xe= minus + (a) Find

Anablasdot (b)如圖一個金字塔狀的 5 面體高 2 底邊長

1計算 A在整個金字塔表面（封閉面）的總通量

解(a) Anablasdot = ( ) ( ) 0y xx ypart part

minus + =part part

(b) 金 字 塔 的 表 面 面 積 元 素 ds 不 好 寫 所 以 用 散 度 定 理

( )S V

A da A dvrArr sdot = nablasdotint int ＝0 Anablasdot 表示 A沒有 source 所以對封閉面而

言有多少場線進入就有多少出去所以總通量＝0

習題 7 With position vector r for an arbitrary volume V that is

bounded by surface S show that 13 S

r ds Vsdot =int

習題 8 已知一靜電場為 ˆ ˆ ˆ( )E xyz yxz zxyλ= + + 運用 Gaussrsquo law

試求包含在半球 2 2 2 2 0x y z R z+ + = ge 裡的總電荷 Ans 0

習題 9 (a) given ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( 2 )F r xf x yf y zf z= + + minus show that divF is

zero at point (c c -c2) (b) given ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( )G r xf x z yg x z zh x y= + +

show that ( ) 0G rnablasdot =

4-49

習題 10 Find the normal vector n for the surfaces (a) z = 2-x-y ans

ˆ ˆ ˆ( ) 3x y z+ + (b) z = (1-x2)12 ans ˆ ˆxx zz+ (c) z = x2+y2

ans ˆ ˆ ˆ( 2 2 ) 1 4xx yy z zminus minus + +

習題 11 Show that the unit vector normal to the plane ax+by+cz =d is

given by 2 2 2ˆ ˆ ˆ( ) ax by cz a b cplusmn + + + +

圓柱座標與球座標的nabla (del)

考慮一純量場在直角座標為 ( ) u x y z 在圓柱座標表為 ( ) u zρ φ

再考慮因位移 r r drrarr + 所造成 u ( )zρ φ 的變化

( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆz

z

u u udu d d dz u dr u d d zdzz

u u z u d d zdz

u d u d u dzρ ϕ

ρ ϕ

ρ ϕ ρ ρ ϕρ ϕρ ϕ

ρ ϕ ρ ρ ϕρ ϕ

ρ ρ ϕ

part part part= + + = nabla sdot = nabla sdot + +part part part

⎡ ⎤= nabla + nabla + nabla sdot + +⎣ ⎦= nabla + nabla + nabla

( ) ( ) ( )1

1ˆ ˆ ˆu

z

u u uu u uz

u u uzz

ρ ϕρ ρ ϕ

ρ ϕρ ρ ϕ

part part partrArr nabla = nabla = nabla =

part part partpart part part

rArrnabla = + +part part part

1ˆ ˆ ˆ zz

ρ ϕρ ρ ϕpart part part

nabla = + +part part part

（4-82）

注意nabla的ϕ -分量( 1ρ ϕ

partpart

)不是像直角座標裡單純的ϕpartpart

所以不要笨笨

的就把直角座標的形式硬套上去用我們也可以從「因次分析」來

看nabla因為是對空間的微分所以每一項的因次必須是「長度分之一」

運算 andzρ

part partpart part

都是「長度分之一」而「單純的ϕpartpart

」是沒有單位的

所以要1ρ ϕ

partpart

才 OK

由於圓柱座標裡的單位向量除了 z 之外 ˆ( )ρ ϕ 與 ˆ( )ϕ ϕ 都不是常

4-50

數所以在微分時不可以與微分運算交換而要考慮微分的作用所

以在「圓柱座標」寫「散度」 ( ) F zρ ϕnablasdot 也和直角座標不一樣

( )1ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ zF z F F zFz ρ ϕρ ϕ ρ ϕ

ρ ρ ϕpart part part⎛ ⎞

nabla sdot = + + sdot + +⎜ ⎟part part part⎝ ⎠

( ) ( )1ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆz zF F zF F F zFρ ϕ ρ ϕρ ρ ϕ ϕ ρ ϕρ ρ ϕpart part

= sdot + + + sdot + +part part

( )ˆ ˆˆ ˆ zz F F zFz ρ ϕρ ϕpart

+ sdot + +part

因為 ( ) ( )ˆ ˆ ˆ ˆ ρ ρ ϕ ϕ ϕ ϕ= = 所以做 andzρ

part partpart part

時 ˆ ˆ ρ ϕ 可視為常數

ˆ ˆ1ˆ ˆ ˆ zF F F FF F Fz

ρ ρ ϕρ φ

ρ ϕϕ ρ ϕρ ρ ϕ ϕ ϕ ϕ

part part part⎡ ⎤part part partrArrnablasdot = + sdot + + + +⎢ ⎥part part part part part part⎣ ⎦

還記得 ˆ ˆ ˆ ˆd d d dρ ϕ ϕ ϕ ρ ϕ= = minus 所以 ˆ ˆρ ϕϕpart

=part

ˆ ˆϕ ρϕpart

= minuspart

rArr

( )1 1 1z zF F F FF FF Fz z

ρ ρ ϕ ϕρρ

ρ ρ ρ ϕ ρ ρ ρ ϕpart part part part

nablasdot = + + + = + +part part part part part part

（4-83）

在球座標寫nabla也會遇到相似的問題其根源就是球座標 ( )r θ ϕ 裡

的 θ ϕ 的因次並非長度而三個單位向量 ˆ ˆˆ r θ ϕ（表為 ie ）都是( θ ϕ )

的函數以致

( )ˆ ˆ( ) ( )i ie f e fθ ϕ θ ϕθ θpart part

nepart part

且 ( )ˆ ˆ( ) ( )i ie f e fθ ϕ θ ϕϕ ϕpart part

nepart part

所以nabla也不似在直角座標那麼簡單我們不在這裡推導而是給出一

個歸納的統一的三個座標的結果還記得對每一個座標 iu i = 123

座標的變化 idu 與造成的長度變化 id

i i id h du= 123i = (4-84)

其中 ih 為對應的度量係數(metric coefficient)

4-51

1 2 3

1 1 2 2 3 3

1 1 1ˆ ˆ ˆu u ue e eh u h u h u

part part partnabla equiv + +

part part part （4-85A）

座標 1 2 3 u u u

度量係數

1 2 3 h h h

nabla grad del

直角 x y z

1 1 1 nabla ˆ ˆ ˆx y z

x y zpart part part

equiv + +part part part

圓柱

zρ ϕ

1 1ρ

1ˆ ˆ ˆ z

zρ ϕ

ρ ρ ϕpart part part

nabla equiv + +part part part

球

r θ ϕ

1 sinr r θ

1 1ˆ ˆˆ

sinr

r r rθ ϕ

θ θ ϕpart part part

nabla = + +part part part

（4-85B）

梯度gradient Vnabla grad(V) 散度divergence Anablasdot div( )A

直

角 nablaV ˆ ˆ ˆV V Vx y z

x y zpart part part

= + +part part part

yx zAA AAx y z

partpart partnablasdot = + +

part part part

圓

柱

1ˆ ˆ ˆ V V VV zz

ρ ϕρ ρ ϕpart part part

nabla = + +part part part

( )1 1

1

z

z

A AA Az

A A A Fz

ϕρ

ρ ρ ϕ

ρρ ρ ρ ϕ

ρ ρ ρ ϕ

partpart partnabla sdot = + +

part part partpart part part

= + + +part part part

球

1 1ˆ ˆˆ sin

V V VV rr r r

θ ϕθ θ ϕ

part part partnabla = + +

part part part

22

1 ( )rA r Ar r

partnabla sdot =

part

1 (sin )sin

Ar θθ

θ θpart

+ sdotpart

1sin

Ar

ϕ

θ ϕpart

+part

(4-86)

Ex47 Using spherical coordinate show that 1| |r r

nablaminus

= 2

ˆ| |

r rer r

minusminusminus

where

nabla是作用在 r 而 ˆr re minus 是向量 r rminus 方向的單位向量 解let r lies in z-axis so that the angle between r and r is just θ

4-52

rArr ( ) 122 21 1 2 cos | | ( ) ( )

r rr rr r r r r r

θminus

= = minus +minus minus sdot minus

( ) ( )12 122 2 2 21 1ˆˆ 2 cos 2 cos | |

r r rr r r rr rr r r r

θ θ θθ

minus minuspart partnabla = minus + + minus +

minus part part

( ) 322 21ˆ 2 cos (2 2 cos )2

r r rr r r rθ θminusminus

= minus + minus

( ) 322 21ˆ 2 cos (2 sin )2

r rr r rrθ θ θminusminus

+ minus +

3 3 3 3

ˆˆ ˆ( cos ) sin ( cos sin )ˆˆ| | | | | | | |r r r rr r rrr r r r r r r r

θ θ θ θ θθminus minus minus minus minus= + = +

minus minus minus minus

3 3 3ˆ ( )

| | | | | |r r z r r r rr r r r r rminus + minus + minus minus

= = =minus minus minus

＝ 2

ˆ| |

r rer r

minusminusminus

QED

證明最後我們用到 ˆˆˆ cos sinz r θ θ θ= minus 而 ˆ r r z= 因為我們選了 r 是

躺在 z-軸 Ex48 For arbitrary scalar field ( )f r and vector field ( )A r 證明恆等式

( )fA f A f Anablasdot = nabla sdot + nablasdot (4-87) 解 ˆ ˆ ˆx y zfA xfA yfA zfA= + +

( ) ( ) ( ) ( )x y zfA fA fA fAx y zpart part part

rArrnablasdot = + +part part part

yx zx x x

AAf f f AA f A f A fx x y y z z

partpartpart part part part= + + + + +part part part part part part

yx zx y z

AAf f f AA A A fx y z x y z

part⎛ ⎞partpart part part part= + + + + +⎜ ⎟part part part part part part⎝ ⎠

f A f A= nabla sdot + nablasdot QED 習題 12 一個位於原點的電偶極電偶極矩＝ ˆp pz= 已知其在遠處

的電位為 20

cos4p

rθ

πε試證該處的電場強度為 E = 3

0

ˆˆ( 2cos sin )4

p rr

θ θ θπε

+

(已知 E V= minusnabla )並請計算 Enablasdot ＝

習題 13 給定一向量場2

3cosˆD r

rϕ

= 現有兩個球心在原點的同心球

內球半徑 R＝1外球 R＝2(a)求面積分S

D dssdotint S 為同心球殼的表

面（有內外兩個面）(b)求體積分V

Ddvnablasdotint V 為兩同心球之間的

區域本題也是來 check 散度定理的Ans πminus

4-53

The Laplacian operator 2nabla equivnablasdotnabla

在直角座標可以用直接作用得到

2 2 2

22 2 2u u uu u

x y zpart part part

nabla equiv nablasdotnabla = + +part part part

(4-88)

圓柱座標

2 2

22 2 2

1 1( ) u u uu uz

ρρ ρ ρ ρ ϕ

part part part part⎛ ⎞nabla equiv nablasdot nabla = + +⎜ ⎟part part part part⎝ ⎠

(4-89)

球座標

2

2 22 2 2 2 2

1 1 1sinsin sin

u u uu rr r r r r

θθ θ θ θ ϕ

part part part part part⎛ ⎞ ⎛ ⎞nabla = + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟part part part part part⎝ ⎠ ⎝ ⎠ （4-90）

習題 14 verify (4-89) and (4-90)

習題 15 Given a dipole potential V= 20

cos4p

rθ

πε find 2Vminusnabla

sect 433 Line integral and curl A 線積分與與旋度的物理意義

線積分路徑積分

考慮一曲線 C 通過兩點 ( )i i i iP x y z 與

( )f f f fP x y z 現有一向量場 ( )A x y z 定義在

C 所在的空間若 sd 為 C 上位於(xyz)點的

「路徑元素」（ ˆd td= 方向沿該處切線）而

( )A x y z 為路徑元素d 處的場值則沿 C 經歷各點所做積分

cos cosf

CC C iA d Ad A dϕ ϕrarr rarrsdot = =int int int （4-91）

稱為向量場 ( )A x y z 沿路徑 C 自 pi 至 pf 的「線積分」「或「路徑積分」

積分裡 A 取值的點侷限在路徑 C 上面若為一個「封閉路徑」則對

C 的線積分也稱做「環路積分 closed contour integral」記做

C

A dsdotint （4-92）

4-54

物理量「做功」是最標準的線積分之一力 F 自 x = a 至 x = b「沿線」

x 軸做功

W＝ F dxsdotint ＝ ( )b

xaF x dxint （4-93）

質點在力場 )(rF 裡走一條曲線 C則力場做功

CW F d= sdotint （4-94）

還記得如果 ( )F r 是所謂「保守力」則上式只與始末點有關而與

路徑無關但如果 ( )F r 是所謂「非保守力」則做功與確實的路徑 C

有關

現考慮一質點在空間運動的位置 r 落在由曲線 C

描述的路徑則質點的位移元素與曲線 C 的路徑元

素相同 d dr= 若空間有向量場 A 分佈則 A 在 C 的

路徑積分以直角座標表示為

CA drarr rarrsdotint ＝

CA d rrarr rarrsdotint ＝ ( )x y zC

A dx A dy A dz+ +int （4-95）

上式中的 x y z 的積分限由 C 決定

Ex49 2 2 2ˆ ˆ ˆA xx yy zzrarr= + + 選定一路徑 C 為曲線

2y x= 由 (000)到 (2 20)的部分求C

A dsdotint

解 ˆ ˆd xdx ydy= +∵

CA dsdotint ＝ 2 2( )

Cx dx y dy+int ＝

2 22 2

0 0x dx y dy+int int

＝ )24(32

+

或由 2y x= rArr 2ydy dx= 2 12

y dy xdxrArr =

rArrC

A dsdotint ＝2 2

0

1( )2

x x dx+int ＝2 (4 2)3

+

4-55

ex50 ˆ ˆ( )f x y z xy yx= minus Do C

f dsdotint 其中的路徑 C 為一逆時針三角

形如圖 解∵路徑全部在 x-y 平面 ˆ ˆ ˆd td xdx ydy= = +

rArrC

f dsdotint ＝ x yC

f dx f dy+int ＝C

ydx xdyminusint

由於在 C1 上 y = 0 及 dy = 0 所以 01

=intC 又由於在

C3 上 x = 0 及 dx =0所以 03

=intC 所以只剩下 C2 可

能有貢獻由 2C 的方程式x + y =1rArr ⎩⎨⎧

minus=minus=

xyyx

11

rArr2Cydx xdyminusint ＝

0 1

1 0(1 ) (1 )x dx y dyminus minus minusint int ＝

0 12 2

1 0

( ) ( )2 2x yx yminus minus minus ＝-1

Cf dsdotint ＝-1

ex51 ( )f x y zrarr

= 2ˆ ˆxx yxyminus 如右圖doC

f dsdotint 其

中路徑 C 為第一象限的逆時針 14 圓弧

解∵ 全部在 x-y 平面 ˆ ˆd xdx ydy= +

Cf dsdotint ＝ 2

Cx dx xydyminusint

由於在 C 上 cosx R ϕ= rArr sindx R dϕ ϕ= minus

siny R ϕ= rArr cosdy R dϕ ϕ=

rArr 2

Cx dx xydyminusint ＝

2 2 2 2

0cos ( sin ) sin cos cosR R d R R d

πϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕminus minus sdotint

23 2

02 cos sinR d

πϕ ϕ ϕ= minus int ＝

323Rminus

又路徑為圓周一部份所以適合用極座標表示

ˆd Rdϕ ϕ= 又由左圖將 ˆ ˆx y 拆解（投影）到 ˆˆr ϕ

ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆcos sin sin cosx r y rϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ= minus = +

4-56

( )2ˆ ˆ ˆˆ ˆ( cos sin ) ( sin cos )C C

f d r x r xy Rdϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕsdot = minus minus + sdotint int 2

2 2 2

0

sin (cos )

sin ( cos ) (cos ) cos sin

Cx Rd xyRd

R Rd R Rdπ

ϕ ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ

= minus minus

= minus minus

intint

23 2

02 cos sinR d

πϕ ϕ ϕ= minus int ＝

323Rminus

這也驗證了散度定理

Path Independence 路徑獨立性

Ex52 證明庫倫力為「保守力」考慮

電荷 q0 位於原點及電荷 q 位於

( )r x y zrarr= q 受力 F

rarr＝ 0

20

14

qq urπε

and

求庫侖力作功因為球形對稱所以

用球座標由 ˆ ˆ ru rr

= = rArr Frarr

= 03

04qq r

rπε

庫侖力由 P1 至 P2 做功為 2

1

P

CPF drarrsdotint ＝

2

1

02

0

ˆ ˆ ˆˆ sin4

P

PC

qq r rdr rd r dr

θ θ ϕ θ ϕπε

⎡ ⎤sdot + +⎣ ⎦int ＝2

1

02

04P

P

qq drrπεint

＝20

2104

r

r

qq drrπε int ＝ 0

0 1 2

1 1( )4qq

r rπεminus for all C

所以庫侖力兩點間做功與路徑無關rArr保守力

對於「保守力 conservative force」 cF 自 p1 經

由兩條不同的路徑 C1 與 C2 到達 p2

1 ccF drarrsdotint ＝

2 ccF drarrsdotint ＝-

2 ccF drarr

minussdotint

rArr1 2c cc cF d F drarr rarr

minussdot + sdotint int = cF d

rarrsdotint ＝0 (4-96）

對於任何「封閉路徑」保守力做功為 0反之若

對任一封閉路徑 0F drarrsdot neint 則兩點之間的做功與路徑有關

rarr

F 為「非

保守力」

4-57

旋度 curl Anablatimes 的幾何物理意義

我們在（4-70）式已經看過旋度的計算方式但旋度另有其意義的

ex53 給定向量場2 2

0ˆ yv yv e λrarr

minus= 左圖為場的分佈

2 20

ˆ ˆ ˆ

0 0x y z

y

x y zcurl v

v e λ

rarr

minus

= part part part ＝ ˆ ˆ ˆ0 0 0 0x y zsdot minus sdot + sdot =

我們用了簡寫 x yx ypart part

part equiv part equivpart part

可以看出這個場裡沒有「漩渦」

但是有無「漩渦」有時也不是那麼明顯可以看出的請見下一個例子

Ex54 給定向量場2 2

0ˆ xv yv e λrarr

minus= 計算其旋度 vnablatimes

解向量場 vrarr

畫在右邊你看得出有無漩渦

先計算旋度

2 20

ˆ ˆ ˆ

0 0x y z

x

x y zcurl v

v e λ

rarr

minus

= part part part2 2

2 2

0

0

ˆ

ˆ 2 0 0

x

x

z v ex

z v xe for x

λ

λ

minus

minus

part=

part

= minus ne ne

vrarr

的旋度在大部分的地方不為 0 且隨位置而不同但是你看得出這個

向量場裡有「漩渦」其實要檢驗一個向量場裡有無「漩渦」有一

個很物理的方法就是放一個小「螺旋槳」（左圖）

在場內將軸朝各個方向測試一

下如果有「漩渦」的話這個

小「螺旋槳」就會轉動右圖就是將「螺旋槳」的

軸平行於 z 軸且放在 x gt 0 的地方就可以看出左

邊的 v 場比右邊的強造成螺旋槳順時針轉動rArrcurlv zminus for x gt 0

但如果放在 x = 0 的地方就會看到左右兩端的 v 場強度相同而且

4-58

curlv = 0 「螺旋槳」放在 x lt 0 的地方就可以看出右邊的v 場比左

邊的強造成螺旋槳逆時針轉動這完全符合 curl v k+ 的結果

環路積分與旋度 curl 的物理意義

如同「散度」一樣「旋度」除了 Ftimesnabla 之外

還有一個物理意義更清楚的定義這個定義由

「線積分」說明如圖考慮做「逆時針」長方形

路徑 C1 的一個「環路積分」C1 面平行於 x-y 平

面由 z-軸看下去環路 C1 可以分為可以分為

下 CB上 CT右 CR左 CL 4 部分

CA drarrsdotint ＝

B T L RC C C CA d A d A d A drarr rarr rarr rarrsdot + sdot + sdot + sdotint int int int

分別計算由於 CB 的中點座標為 ( )2yx y zΔ

minus

ˆB BC C

A d A xdxrarr rarrsdot = sdot =int int

BxC

A dxint ( )2xyA x y z xΔ

asymp minus Δ

similarly 由於 CT 的中點座標為 ( )2yx y zΔ

+

ˆ( )T TC C

A d A xdxrarr rarrsdot = sdot minus =int int

TxC

A dxminusint ( )2xyA x y z xΔ

asymp minus + Δ

合併 CB 與 CT

B TC CA drarr

+sdot =int

( ) ( )2 2x xy yA x y z A x y z

x yy

Δ Δ⎡ ⎤minus + minus minus⎢ ⎥⎣ ⎦ Δ ΔΔ

（4-97）

由 C1 所圍的面積 S x yΔ = Δ Δ

1B TC C

A dS

rarr

+sdot =

Δ int( ) ( )

2 2x xy yA x y z A x y z

y

Δ Δ⎡ ⎤minus + minus minus⎢ ⎥⎣ ⎦Δ

（4-98）

所以當取極限 C1 收縮到中心(xyz)時 SΔ 收縮到 0ie

4-59

0limsΔ rarr

1B TC C

A dS

rarr

+sdot =

Δ int xAy

partminuspart

（4-99）

Similarly with CR 的 ˆd ydy= CL 的 ˆd ydy= minus 可得

1L RC C

A dS

rarr

+sdot =

Δ int x

zyxxFzyxxF yy

Δ

Δminusminus

Δ+ )

2()

2(

（4-100）

同樣的當取極限 C1 收縮到中心(xyz)時 SΔ 收縮到 0

0

limsΔ rarr

1L RC C

A dS

rarr

+sdot =

Δ int yAx

partpart

（4-101）

最後合併 CBCTCRCL 為 C1

10

1limCs

A ds

rarr

Δ rarrsdot =

Δ int y xA Ax y

part partminus

part partˆ ( ) ( )zz A A= sdot nablatimes = nablatimes （4-102）

注意 C1 的方向就是在 z 上式的重要

意義是當向量場 A 在一個以點(xyz)為

中心「方向為 z 」的面積元素的「邊界」

所做的環路積分得到的就是 A 在(xyz)

處旋度的 z-分量明顯的只有當 A 在

(xyz)附近有 x-y 平面上的「漩渦」那麼 C1 的環路積分才不會為 0

Similarly 取一個逆時針繞著(xyz)的平行於 x-z 平面的長方形環路 C2

（左圖）做環路積分再取極限將 C2 收縮到(xyz)就會得到

20

1limCs

A ds

rarr

Δ rarrsdot =

Δ int x zA Az x

part partminus

part partˆ ( ) ( )yy A A= sdot nablatimes = nablatimes （4-103）

注意到 C2 所包圍的面積方向就在 y到

現在我們應該已經很有經驗了若取一

個逆時針繞著(xyz)的平行於 y-z 平面

的長方形環路 C3（左圖）做環路積分

再取極限將 C3 收縮到(xyz)就會得到

4-60

30

1limCs

A ds

rarr

Δ rarrsdot =

Δ int yz AAy z

partpartminus

part partˆ ( ) ( )xx A A= sdot nablatimes = nablatimes （4-104）

能把（4-103）與（4-104）變出來的同學我們有優待綜合以上

我們可以得到一個結論若取一個以點(xyz)為中心的任意環路 Cn（其

所包圍的面積方向在 n ）則

n curl Aand rarrsdot ＝

0

1lims

Cn

A ds

rarr

Δ rarrsdot

Δ int （4-105）

明顯的當 n ＝ x 或 y 或 z 時我們可以重複（4-102）到（4-104）的

結果（4-70）式的行列式所定義的旋度在此看見其幾何物理意義

至此「旋度」的「漩渦」形象應該已經很清楚了只有在(xyz)點附

近的小圈圈上有「漩渦」 A 在小圈圈做的環路積分才會有值這個

值就是向量場 A 的「旋度」在小圈圈面積方向的分量

Stokersquos 定理

考慮一個開放面 S被其「有方向的」邊界 C 圈住(bounded by)則

( )S

A dsrarr rarrnablatimes sdotint ＝

C

A drarrsdotint （4-106）

pf 先將 S 面分割為 N 個多邊形這會使得邊界變成一個「折線」形

成的環路 P環路 P 會隨著分割的多邊形個數的增多而越加近似於原

「光滑的」邊界 C現考慮相鄰的

兩個多邊形的線積分由於共用邊

的方向是相反的所以相鄰兩個多

邊形線積分的和只剩「外邊界」（見左圖）所以當把所有的多邊形的

4-61

線積分加起來時由於只有邊界 P 不是多邊形的共用邊所以

1k

N

k C

A drarr

=

sdotsum int ＝P

A drarrsdotint rArr

P

A drarrsdotint ＝

1

1

k

N

kk k C

A d l ss

rarr rarr

=

⎡ ⎤sdot Δ⎢ ⎥

Δ⎢ ⎥⎣ ⎦sum int

其中 ksΔ 為第 k 個多邊形的面積取極限 0kN srarrinfinrArrΔ rarr P CrArr rarr

C

A drarrsdotint ＝

10

1limkk

N

kN k k Cs

A d ss

rarr

rarrinfin=Δ rarr

⎡ ⎤sdot Δ⎢ ⎥

Δ⎢ ⎥⎣ ⎦sum int 01

ˆlim ( )k

k kskn A s

infin

Δ rarr=

⎡ ⎤= sdot nablatimes Δ⎣ ⎦sum

01

ˆlim ( )k

k kskA n s

infin

Δ rarr=

= nablatimes sdot Δsum = ( )S

A dsrarr

nablatimes sdotint QED

ex55 由 Amperersquos law 的積分形式導出其微分形式

解Amperersquos law 的積分形式 C

B drarrsdotint ＝ I0μ (4-107)

由 Stokersquos 定理及電流密度 j 的定義上式等號兩端可寫為

rArr ( )S

B dsrarr rarrnablatimes sdotint ＝ 0 S

j dsμrarrsdotint

由於上面的等式對任意面 S（路徑 C）都成立所以被積函數相等

0B jμrarr rarr rarr

rArrnablatimes = (4-108) 此即 Amperersquos law 的微分形式

Ex56 Given a vector field ˆ ˆx yA ye xe= minus + (a) Find Anablatimes

解

ˆ ˆ ˆˆ ˆ(1 ( 1) 2

0x y z

x y zA z z

y xnablatimes = part part part = minus minus =

minus

(b)如圖一個金字塔狀的 5 面體高 2底邊長＝1計算 ( )S

A dsnablatimes sdotint

其中 S 為金字塔在 x-y 平面以上的部分方向如同

封閉的金字塔（運用 Stokersquos law）

解金字塔上表面的面積元素ds 不好寫由 Stokersquos

4-62

law ( )S

A dsrarr rarrnablatimes sdotint ＝

C

A drarrsdotint 其中封閉路徑 C 就是上表面的邊界而且

是逆時針（由 z 軸向下看）

C

A drarrsdotint ＝

1 1 0 0

0 0 1 1ˆ ˆ ˆ ˆA xdx A ydy A xdx A ydysdot + sdot + sdot + sdotint int int int

＝1 1 0 0

0 0 1 1x y x yA dx A dy A dx A dy+ + +int int int int 1 1 0 0

0 0 1 1( 0) ( 1) ( 1) ( 0)y dx x dy y dx x dy= minus = + = + minus = + =int int int int

0 1 1 0 2 ( ) 2S

A ds= + + + = rArr nablatimes sdot =int

旋度與 path independence

已知保守場 cF 對所有封閉路徑 C 0cC

F drarrsdot =int 由 Stokersquos 定理

0cC

F drarrsdot =int ＝ ( )cS

F dsrarr rarrnablatimes sdotint rArr 0cF

rarr rarrnablatimes =

這表示保守場＝無旋度反之無旋度的場任兩點間路徑積分與路

徑無關

Ex57 Given a field 2 2ˆ ˆ ˆ2A x xy yx zz= + minus (a) Find Anablatimes A 保守場

解2 2

ˆ ˆ ˆ

2x y z

x y zA

xy x znablatimes = part part part

minus

( ) ( ) ( )2 2 2 2ˆ ˆ ˆ( ) 2 ( ) 2 0y z z x x yx z x y xy z z x xy= part minus minuspart + part minuspart minus + part minuspart =

yes A =保守場

(b)如左圖由 A 到 B 做路徑積分A BC

A drarr

sdotint 路徑 C 為橢圓

22 1

16yx + = 在 x-軸以上的部分

解橢圓部分的路徑元素 d 有點麻煩但因為 A

為保守場所以 A 到 B 做路徑積分可以用 x = -1 到

1 的積分取代

4-63

01 1 1

1 1 1ˆ 2 0

yB

xAA d A xdx A dx xydx

=

minus minus minussdot = sdot = = =int int int int

∵

旋度在柱座標與球座標

前面討論過nabla在不同座標系的寫法旋度也有歸納出的一致寫法

座標 1 2 3 u u u

度量係數

1 2 3 h h h

nabla grad del

直角 x y z

1 1 1 nabla ˆ ˆ ˆx y z

x y zpart part part

equiv + +part part part

圓柱 zρ ϕ

1 1ρ

1ˆ ˆ ˆ zz

ρ ϕρ ρ ϕpart part part

nabla equiv + +part part part

球 r θ ϕ

1 sinr r θ

1 1ˆ ˆˆ sin

rr r r

θ ϕθ θ ϕ

part part partnabla = + +

part part part

所以柱座標與球座標的旋度分別表為

柱座標

ˆ ˆ ˆ1

z

z

Az

AA Aρ ϕ

ρ ρϕ

ρ ρ ϕρ

part part partnablatimes =

part part part （4-109）

球座標 2

ˆ ˆˆ sin1sin

sinr

r r r

Ar r

A rA r Aθ ϕ

θ θϕ

θ θ ϕθ

part part partnablatimes =

part part part （4-110）

ex58 (a) Given the vector function ˆA ϕ= sin (ϕ 2) find Anablatimes

解 2

ˆ ˆˆ sin1sin

0 sin( 2) 0

r r r

Ar r

r

θ θϕ

θ θ ϕϕ

part part partnablatimes =

part part part

4-64

21 ˆˆ cos sin sinsin 2 2 2

rr rr

ϕ ϕθϕθ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

ˆˆ cos sin2 sin 2 2

rr r

ϕ ϕ ϕθ

minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

(b)如左圖一個底面在 x-y 平面半徑＝1高＝2 之圓錐 求面積分

SA dsnablatimes sdotint 面積範圍 S 為圓錐在 x-y 平面以上

部分 方向為由圓錐內向外

解由 Stokersquos law ( )S

A dsrarr rarrnablatimes sdotint ＝

C

A drarrsdotint 其中路

徑 C 為 x-y 平面圓心在原點之單位圓 ˆ ˆd rd dϕ ϕ ϕ ϕ= =

2

0ˆ ˆsin sin

2 2C

d dπϕ ϕϕ ϕ ϕ ϕ⎛ ⎞ ⎛ ⎞sdot =⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠int int ( )0

2 sin u duπ

= int 0cos | 2u π= minus =

習題 16 磁場 B 因為不是保守場所以沒有對應的純量位而對應一

個向量位 A (vector potential)而 B A= nablatimes 一個磁鐵的磁偶極矩

ˆm mz= 被置於原點已知在遠處的 vector potential 03ˆ sin

4mAr

μϕ θπ

=

計算該處的磁場 B Ans 03

ˆˆ( 2cos sin )4

mB rr

μ θ θ θπ

= + 與電偶極遠處

的電場形式一致都是偶極(dipole) 選幾個點畫一畫該處的場向量

把磁力線描出來

附錄本章講義的內容有部分可以經由直接計算得出列在附錄做為

參考

用「圓柱座標」寫 Atimesnabla

Ararr rarrnablatimes ＝ ( )1ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ zz A A zA

z ρ φρ ϕ ρ ϕρ ρ ϕpart part part⎛ ⎞+ + times + +⎜ ⎟part part part⎝ ⎠

4-65

因為rdquo sdotrdquo與rdquotimes rdquo都是向量間的運算所以

＝ ( )ˆ ˆ ˆ ˆ zA A zAρ φρ ρ ϕρpart

times + +part

＋ ( )1ˆ ˆ ˆ ˆ zA A zAρ φϕ ρ ϕρ ϕ

parttimes + +

part

＋ ( )ˆ ˆˆ ˆ zz A A zAz ρ φρ ϕpart

times + +part

直接做上式微分可以得到

＝1ˆ z AA

zϕρ

ρ ϕpart⎛ ⎞part

minus⎜ ⎟part part⎝ ⎠＋ ˆ zA A

zρϕ

ρpart⎛ ⎞part

minus⎜ ⎟part part⎝ ⎠＋

1 1ˆ ( )A

z A ρϕρ

ρ ρ ρ ϕpart⎛ ⎞part

minus⎜ ⎟part part⎝ ⎠

上式可以用一個行列式來表示

rarrrarr

timesnabla A＝

ˆ ˆ ˆ1

z

z

zA A Aρ ϕ

ρ ρϕ

ρ ρ ϕρ

part part partpart part part

（A-1）

A and Anabla nablasdot nablatimes in 球座標 spherical coordinate

如上圖球座標 )( ϕθr 其中 )0[ infinisinr ]0[ πθ isin ]20[ πϕ isin 只有 r

是長度而 ϕθ 為角度是用來說明方向的三個座標的單位向量 ˆ ˆˆ r θ ϕ 具

有下列性質

4-66

1 如上圖 ˆ ˆˆ r θ ϕ 都不是常數而是（ ϕθ ）的函數

ˆ ˆ( )ˆ ˆ( )ˆ ˆ( )

r r θ ϕ

θ θ θ ϕϕ ϕ ϕ

⎧ =⎪

=⎨⎪ =⎩

)( ϕθr 與(xyz)之間的轉換如下

sin cossin sincos

x ry rz r

θ φθ φθ

=⎧⎪ =⎨⎪ =⎩

( )122 2 2

2 2

tan

tan

r x y z

x yz

yx

θ

φ

⎧ = + +⎪⎪ +⎪ =⎨⎪⎪ =⎪⎩

（A-2）

2 ˆ ˆˆ r θ ϕ 形成一「歸一正交集」ie

ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ 1r r θ θ ϕ ϕsdot = sdot = sdot = ˆ ˆr θ ϕperp perp

ˆ ˆr θ ϕtimes = ˆ ˆ rθ ϕtimes = ˆˆ rϕ θtimes = （A-3）

3可以很容易的由他們在 xyz 軸上的投影由直角

座標的 ˆ ˆ ˆ x y z 表出

ˆ ˆ ˆ ˆsin cos sin sin cos ( 4 )ˆ ˆ ˆ ˆcos cos cos sin sin ( 4 )ˆ ˆ ˆsin cos ( 4 )

r x y z A a

x y z A bx y A c

θ φ θ φ θ

θ θ φ θ φ θϕ φ φ

= + + minus⎧⎪

= + minus minus⎨⎪ = minus + minus⎩

4 ˆdr = 由於 ˆ ˆ( )r r θ φ= 所以由 ϕθ 的變動來看

4-67

ˆ ˆˆ| |ˆ ˆˆ| | sin sin

d r d d

d r d d

θ θθ θθ

φ θ φφ θ φφ

⎧ rArr =⎪⎨

rArr =⎪⎩rArr ˆ ˆˆ sindr d dθ θ φ θ φ= + （A-5）

rArrˆ ˆr θθpart

=part

ˆ ˆsinr θφφpart

=part

（A-6）

（A-6）的結果也可以直接由（A-4a）對 ϕθ 偏微得到

5 ˆdθ ＝ 由於 ˆ ˆ( )θ θ θ φ= 所以由 ϕθ 的變動來看

ˆ ˆ ˆ| | ( )ˆ ˆ ˆ| | cos cos

d d r d r

d d d

θ θ θ θ

φ θ θ φφ φ θ φ

⎧ rArr minus = minus⎪⎨

rArr =⎪⎩rArr ˆdθ ＝ ˆˆ cosrd dθ φ θ φminus + （A-7）

ˆrθ

θpart

rArr = minuspart

ˆ ˆcosθ φ θφpart

=part

（A-8）

請直接由（A-4b）對 ϕθ 偏微的結果 check（A-8）

6 ˆdφ ＝由於φ )(ϕ 躺在 x-y 平面上變動φ時的方向可能不是那麼

容易看出來所以做圖看一看

ie ˆ ˆˆ(sin ) (cos )d r d dφ θ φ θ θ φ= minus minus （A-9）

4-68

ˆ ˆˆsin cosrφ θ θ θφpart

= minus minuspart

7 所有的向量 ˆ ˆˆ rA rA A Aθ φθ φrarr= + +

8 位置向量 ˆr rrrarr=

可以由左圖 ˆ ˆˆ r θ ϕ 三個方向的「長度

變化」輕易的看出

9 位移元素

ˆ ˆˆ ˆ sindr rdr rd dθ θ ϕ θ φ= + + (A-10)

10 體積元素

sindv dr r d rdθ φ θ= sdot sdot

＝ 2 sinr dr d dθ θ φ (A-11)

11 面積元素 2 sinrds r d dθ θ φ= plusmn sinds r drdθ θ φ= plusmn ds rdrdφ θ= plusmn (A-12)

plusmn號表示面的垂直方向有兩個端看 ds 周邊的方向是如何定的

nabladel 考慮 ( )u u r θ φ=

rArru u udu dr d dr

θ φθ φ

part part part= + +part part part

u d rrarr rarr

equiv nabla sdot

urarr

= nabla sdot ˆ ˆˆ( sin )rdr rd dθ θ φ θ φ+ +

rArr1 1ˆ ˆˆ

sinu u uu rr r r

θ ϕθ θ φ

rarr part part partnabla = + +

part part part

1 1ˆ ˆˆsin

rr r r

θ ϕθ θ φ

rarr part part partnabla equiv + +

part part part （A-13）

4-69

直接用（A-13）與 ˆ ˆˆ rA rA A Aθ φθ ϕrarr= + + 逐項內積加上（A-678）

rArr ϕθ

θθθ

ϕθ part

part+

partpart

+partpart

=sdotnablararrrarr A

rA

rAr

rrA r sin

1)(sinsin1)(1 2

2 （A-14）

（A-13）與 ϕθ ϕθ AAArA r

andandandrarr

++= 逐項外積整理之後

ϕθ θϕθ

ϕθθ

θArrAA

r

rrr

rA

r sin

sin

sin1

2 partpart

partpart

partpart

=timesnabla

andandand

rarrrarr

（A-15）

Laplacian uu nablasdotnabla=nabla2

2

2

2222

22

sin1)(sin

sin1)(1

ϕθθθ

θθ partpart

+partpart

partpart

+partpart

partpart

=nablau

ru

rrur

rru （A-16）

B推導「散度」在圓柱座標的寫法

讓我們先回顧一下在直角座標裡的「面積元素」可以由「位移元素」

得到

ˆˆ ˆ x y zdr idx jdy kdz da dydz dxdz dxdy= + + rArr =

比照辦理「圓柱座標」的位移元素

( )ˆˆ ˆ( )

( )z

da d dzdr d d zdz da d dz

da d d

ρ

φ

ρ φ

ρ ρ φ ρ φ ρ

ρ ρ φ

=⎧⎪= + + rArr =⎨⎪ =⎩

這個結論可以輕易的由面積元素在垂直於 zˆˆ ϕρ 三個方向的面積看

出如下圖考慮一個以 )( zϕρ 為中心的「圓柱體積元素」(cylindrical

cubiod)體積為 zdV ΔΔ=Δ ϕρρ 現計算在 ρ

方向的 12 兩個平行面(方向各為 ρplusmn )的通

量

4-70

zzF

dsFdsnFS S

ΔΔ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

+cong

=sdotintint intintϕρρϕρρρ

ρ

2

2

ˆ1 1

zzF

dsFdsnFS S

ΔΔ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

minus⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

minusminuscong

minus=sdotintint intintϕρρϕρρρ

ρ

2

2

ˆ2 2

intint+

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

minus⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

minusminus⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

+Δ

asympsdotΔ

rArr21

22

22

1ˆ1

SS

zFzFdsnFV

ϕρρρρϕρρρρρρ ρρ

( ) ( )

1 20

0

0

1 ˆlim

1lim 2 2 2 2

1 1lim 2 2

1

VS S

F ndsV

F z F z

F z F z

F

ρ ρρ

ρ ρρ

ρ

ρ ρ ρ ρρ ρ φ ρ ρ φρ ρ

ρ ρρ ρ φ ρ ρ φρ ρ

ρρ ρ

Δ rarr+

Δ rarr

Δ rarr

rArr sdotΔ

Δ Δ Δ Δ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + + minus minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥Δ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦Δ Δ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥Δ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

part ⎡ ⎤= ⎣ ⎦part

intint

娛樂一下用上述方式把圓柱的 Fsdotnabla 裡的z

FF z

partpart

+partϕρϕ1

變出來

球座標的nabla和 Fsdotnabla 也可以試試看

補充習題

H M Scheydiv grad curl and all that 4th edition

第二章習題 6 8 9 10 11 14 15 16 18 19 21 22 23 25 26 27

第三章習題 2 3 5 6 7 8 9 10 11 14 15 17 18 19 24

4-18

所 以 在 「 極 座 標 」 比 照 辦 理

ˆˆ ˆ( ) ( )dr dr r rdr dr r rdθθ= + = +

dA dr rd rdrdθ θ= sdot = (4-44)

像是切圓形蛋糕

ex15 求一個半徑 R 的圓的面積

解 2 2

2

0 0

22

R RA dA rdrd rdr d Rπ

θ θ π π= = = = sdot =int intint int int

妳可以試試用直角座標dA dx dy= sdot 算一下圓的面積

Ex16 求一個半徑 R質量 M密度σ 的均勻圓盤繞其直徑的轉動慣

量解 質量元素 dAdm σ= 到轉軸（直徑）的距

離 sinr θ=

2 2 2 2

23 2

0 0

4 22 2

sin

sin

14 4 4

R

I dm dA r rdrd

r dr d

R RR MR

π

σ σ θ θ

σ θ θ

σ π σπ

= = =

=

= = =

int int intintint int

娛樂一下算半個圓盤繞通過圓心且垂直盤面的軸的轉動慣量

ex 17 計算積分2xI e dx

infinminus

minusinfin

= int

解 2 2

0

2x xI e dx e dxinfin infin

minus minus

minusinfin

= =int int2 22

0 0

2 2x yI I I e dx e dyinfin infin

minus minusrArr = sdot = sdotint int

2 2 2 22

2 ( )

0 0 0 0 0 0

4 4 4x y r rI e dxdy e dA e rdr d

π

θinfin infin infin infin infin

minus + minus minusrArr = = =int int int int int int

在上面的積分裡我們運用了一個有關「無窮大平面」的技巧就是「無

4-19

窮大的平面」是可以是「正方形」或是「圓形」的

2

2

22

00 0 0

22

4 2 2( )2 2 2

(4 45)

u u u

x

dulet u r du rdr rdr

duI e d e du e

I e dx

π

π πθ π

π

infin infininfinminus minus minus

infinminus

minusinfin

= rArr = rArr =

rArr = = sdot = minus sdot =

rArr = = minus

int int int

int

ex18 重力位能

由位能差的定義 )()()( BAWBUAU rarrequivminus

（B）圓柱座標 cylindrical coordinates

3D 空間點 P(x y z)的位置向量 ˆ ˆ ˆr xx yy zz= + +

定義「圓柱座標」 ( )zρ ϕ 其中

0 [0 )P zρ ρ ρequiv ge there4 isin infin點 到 軸之垂直距離

ϕ ρequiv 在 x-y 平面的投影與 x 軸之夾角 [02 ]ϕ πisin

z zequiv同直角座標的

4-20

「圓柱座標」就是「極座標」（用 ( )ρ ϕ 取代 ( )r θ ）再加上第三維 z

所以圓柱座標 ( )zρ ϕ 裡 zρ 的因次為長度而ϕ 只是一個數字

( )zρ ϕ 與(x y z)間的轉換如下

2 2 cos

tan sin

x yx

y yx

z zz z

ρρ ϕ

ϕ ρ ϕ

⎧ = +=⎪ ⎧

⎪ ⎪= =⎨ ⎨⎪ ⎪ =⎩=⎪⎩

（4-46）

「圓柱座標」的三個方向單位向量 ˆ ˆ ˆ zρ ϕ 如圖

且 ˆ ˆ zρ ϕperp perp 可以看出ρ 的等值面為一個圓柱

面ϕ 的等值面是一扇門z 的等值面為一個垂

直 z 軸的平面但是

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( ) zρ ρ ϕ ϕ ϕ ϕ= = =常數

柱座標的位置向量 r 如左圖

ˆ ˆr zzρρ= + （4-47）

在柱座標寫位移元素dr 有兩種作法一

種是直接由（4-47）式取微分元素 借用

平面極座標的結果可得

ˆ ˆ ˆ( ) ( )

ˆ ˆ ˆdr d d dzz

d d dzzρ ρ ρ ρ

ρρ ρ ϕϕrArr = + +

= + + （4-48）

但也可以由三個座標方向的

位移來看由左圖可得沿 ρ 方向

的長度變化 ie 當座標ρ 有變

化dρ 時產生的長度變化就是

dρ 沿ϕ 的長度變化為 dρ ϕ

而沿 z 方向的長度變化為 dz

4-21

dr 是一個向量有三個分量ρ -分量就是沿 ρ 方向的長度變化

dρ ϕ -分量沿ϕ 的長度變化為 dρ ϕ 而 z-分量就是沿 z 方向的長度變

化為 dz合併寫出

ˆ ˆ ˆdr d d dzzρρ ρ ϕϕ= + +

與（4-48）式完全相同但是這種由幾何角度得到的結果要更方便

也更直觀Fig 27 非常重要因為只要你能把圖畫出來位移的各

分量就寫得出來有了位移元素dr 速度與加速度就可得出

ˆ ˆ ˆ (4 49)

ˆ ˆ ˆ( ) (2 ) (4 50)

drv zzdtdva zzdt

ρρ ρϕϕ

ρ ρϕ ρ ρϕ ρϕ ϕ

rArr = = + + minus

rArr = = minus + + + minus

由上圖與dr 的 3 個分量可得圓柱座標的體積元素

dV d d dz d d dzρ ρ ϕ ρ ρ ϕ= sdot sdot = （4-51）

ex19 底面半徑 R高 h 的圓柱體積＝ 2 2

2

0 0 0

22

R h RV dV d d dz h R hπ

ρ ρ ϕ π π= = = sdot sdot =int int int int

ex20 底面半徑 R高 h 的「圓錐」體積＝

解本圓錐裡點的座標分佈為 [02 ] [0 ]z hϕ πisin isin ( )zρ ρ=

( ) ( )( )

h z h Rz h zz R h

ρρminus

= rArr = minus

22( )( ) 2 2

0 0 0 0 0 0

002 2 2 3 2 32 2 2

2 2 2 20

( )2 2

2

1( )3 3 3

R h zzh h hh

h

h h

R h zhV d dz d d dz d dz

R R R u R hh z dz u du R hh h h h

ρ π

τ ρ ρ ϕ π ρ ρ π

π π π π π

minus

minus minus

minusthere4 = = = =

= minus = = = =

int int int int int int int

int int

如果我們把 3-D 的三個座標寫為 1 2 3( )u u u 或 123iu i = 當座

標 ui(在 ˆiu 方向)變動 dui 時造成的長度變化為 id 則定義

4-22

i i id h duequiv (4-52)

其 中 hi 稱 為 座 標 ui 的 度 量 係 數 (metric

coefficient)由 zρ 的因次為長度所以 zρ 的變

化 d dzρ 就是長度的變化所以 1 1zh hρ = =

然而ϕ 的變化造成的長度變化為

d d hϕ ϕρ ϕ ρ= rArr = (4-53)

很明顯的直角座標 xyz 都是長度所以度量係數 1x y zh h h= = =

(C) 球座標 spherical coordinates

3D 點 P(x y z)的位置向量 ˆ ˆ ˆr xx yy zz= + + 定義

「圓柱座標」 )( ϕθr 其中

[0 ] [0 ]

[02 ]

r P rr zr x y x

θ θ πϕ

ϕ π

⎧ equiv isin infin⎪

equiv isin⎪⎨

equiv minus⎪⎪ isin⎩

原點到 的距離

與 軸的夾角

在 軸投影與 軸的夾角

球座標的ϕ 與住座標的ϕ 相同

( )r θ ϕ 與(x y z)間的轉換如下下列為（4-54）

2 2 2

2 2 2

sin coscos sin sin

cos

tan

r x y zx r

z y rx y z z r

yx

θ ϕθ θ ϕ

θ

ϕ

⎧⎪ = + +⎪ =⎧⎪ ⎪= =⎨ ⎨

+ +⎪ ⎪ =⎩⎪⎪ =⎩

三個座標的單位向量 )ˆˆˆ( ϕθr 如左圖一可以看

出 r 的等值面是一個球面θ 的等值面為一個

以原點為頂點的圓錐ϕ 的等值面為一扇門

位置向量 ˆr rr= （4-55）

4-23

位移由 ˆ ˆˆ( )r θ ϕ 3 個方向的「長度

分量」可得 ˆ ˆˆ ( ) ( sin )dr rdr rd r dθ θ ϕ θ ϕ= + +

（4-56）

所以體積元素

2

( )( sin )(sin )

d dr rd r dr dr d d

τ θ θ ϕ

θ θ ϕ

=

= （4-57）

Fig 31 和 Fig 27 一樣重要只要

你能畫得出來就可以寫出球座

標位移的三個分量

ex21 求一半徑 R 的球體積 2

2 2 3

0 0 0

4sin sin3

R

V d r dr d d r dr d d Rπ π

τ θ θ ϕ θ θ ϕ π= = = =int intintint int int int

ex22 求一質量 M半徑 R密度 ( )3 4 3M Rρ π= 的實心球對直徑

旋轉的轉動慣量

解質量元素 2 sindm d r dr d dρ τ ρ θ θ ϕ= = 到 z 軸的垂直距離為 sinr θ=

22 4 3

0 0 0

5 52

sin

4 8 225 3 15 5

RI dm r dr d d

R R MR

π πρ θ θ φ

πρ π ρ

= =

= sdot sdot = =

intintint int int int

娛樂一下空心球對直徑的轉動慣量

(4-46)式與(4-54)式說明柱座標和球座標與直角座標之間的轉

換Fig 32 可得出柱座標和球座標之間轉換

2 2

sintan

cos

r zr

zz r

ρρ θ

ρϕ ϕ θθ ϕ ϕ

⎧ = += ⎪⎧

⎪ ⎪= =⎨ ⎨⎪ ⎪=⎩ =⎪

⎩

（4-58）

4-24

Ex23 點 P 的球座標為（31200 600）求柱座標＝

解2 3 33sin3 2πρ ⎛ ⎞= =⎜ ⎟

⎝ ⎠

23

ϕ π= 2 33cos3 2

z π minus⎛ ⎞= =⎜ ⎟⎝ ⎠

直角座標柱座標球座標單位向量之間的轉換

三種座標之間的轉換由(4-46)式(4-54)式與（4-58）式表出但

三種座標裡的的三個單位向量 ˆ ˆ ˆ x y z ˆ ˆ ˆ zρ ϕ ˆ ˆˆ r θ ϕ 若以 123ˆ iu =

表示則單種座標的單位向量之間都有正交歸一關係

ˆ ˆi j iju u δsdot = 與外積的循環關係

ˆ ˆ ˆ i j ku u u i j ktimes = cyclic in 123

ie 1 2 3 2 3 1 3 1 2ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ u u u u u u u u utimes = times = times = or ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆˆ ˆ r z z x yθ ϕ ϕ ρtimes = times = times =

然而不同座標系的單位向量之間關係如何我們畫圖來討論

球座標 ˆ ˆˆ( )r θ ϕ rarr直角座標 ˆ ˆ ˆ( )x y z

單位向量都是用來指方向的球座標的 ˆ ˆˆ( )r θ ϕ 都是「方向角」( )θ ϕ

的函數 r 在直角座標可以由 Fig33 看出

ˆ ˆ ˆ ˆsin cos sin sin cosr x y zθ ϕ θ ϕ θ= + + （4-59）

ex24 P 點的球座標為2 75 3 6π π⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠

試用球座標與直角座標求 P 點的位

置向量的單位向量 解位置向量 ˆr rr= 在球座標只有 r-分量標位置仔細一點把方向

角標出2 7ˆ 3 6

r π π⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

通常只是寫 r 令人有點摸不著頭緒用直角

4-25

座標比較「具像」 2 7 2 7 2ˆ ˆ ˆ ˆsin cos sin sin cos3 6 3 6 3

3 3 1ˆ ˆ ˆ4 4 2

r x y z

x y z

π π π π π⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞minus minus minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + +⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

單位向量θ 在某一組 ( )θ ϕ 的指向如 Fig 34a將θ 平移至原點更清楚

Fig34b 是由側面看 Fig34a可以看到θ 在 z 軸的投影為 sinθminus 而θ 在

x-y 平面的投影為cosθ使得θ 在 x-軸的投影為cos cosθ ϕy-軸投影

為cos sinθ ϕ於是

ˆ ˆ ˆ ˆcos cos cos sin sinx y zθ θ ϕ θ ϕ θ= + minus （4-60）

單位向量ϕ 如 Fig 35a 所示是在 x-y 平面畫出

Fig 35b 為自 z 軸向下看 Fig35a 圖可以看出ϕ 在 z 軸投影為 0且

ˆ ˆ ˆsin cosx yϕ ϕ ϕ= minus + （4-61）

ex25 一個質點的速率為 2( ) ( sin tan )v r rθ ϕ θ ϕ= 若經查該質點的運

動 是 在 z = 3 平 面 做 逆 時 針 圓 周 運 動 則 當 位 置 的 方 向 角

4-26

2( ) 4 3π πθ ϕ ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

時計算其速度用球座標與直角座標表出

解圓運動速度方向是沿切線所以球座標 ˆ ˆ( )v v v rϕ θ ϕ ϕ= =

z = 34πθ =

3 3 21cos cos 24

z zrπθ

rArr = = = =⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

所以該處的瞬時速率

2 2

2( ) 3 3 4 3

2 1 813 3sin tan 3 3 ( 3)4 3 22

v r v π πθ ϕ

π π

⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

⎡ ⎤ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = times minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

2 81 2ˆ3 3 4 3 2 4 3

v r π π π πθ ϕ ϕ⎛ ⎞ ⎛ ⎞rArr = = = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

在直角座標2 2 2ˆ ˆ ˆ sin cos

4 3 3 3x yπ π π πϕ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠3 1ˆ ˆ

2 2x y= minus minus

而且點23 3

4 3π π⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠

的直角座標為

2 1 3 3sin cos 3 3sin cos 3 34 3 2 22 2

x r π πθ ϕ minus minus⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

2 3 9sin sin 3 3sin sin 3 34 3 2 2 2 2

y r π πθ ϕ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = = =⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

z = 3

23 3 4 3

v π π⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

3 3 9 81 3 1ˆ ˆ 32 2 2 2 22 2

v x y⎛ ⎞ ⎛ ⎞

rArr = minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

以上兩個例子都只討論只有一個圓座標分量的向量in general 向量

ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( )r x y zA r rA A A A r xA yA zAθ ϕθ ϕ= + + hArr = + + （4-61）

若已知球座標的分量 ( )rA A Aθ ϕ 如何得到直角座標的

( )x y zA A A

4-27

ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( )ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( )

ˆ ˆˆˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( )

x r

y r

z r

A x A r x r A x A x A

A y A r y r A y A y A

A z A r z r A z A z A

θ ϕ

θ ϕ

θ ϕ

θ ϕ

θ ϕ

θ ϕ

⎧ = sdot = sdot + sdot + sdot⎪⎪ = sdot = sdot + sdot + sdot⎨⎪

= sdot = sdot + sdot + sdot⎪⎩

（4-62）

由式（4-59）（4-61） ˆ ˆ ˆ ˆsin cos sin sin cosr x y zθ ϕ θ ϕ θ= + + （4-59） ˆ ˆ ˆ ˆcos cos cos sin sinx y zθ θ ϕ θ ϕ θ= + minus （4-60）

ˆ ˆ ˆsin cosx yϕ ϕ ϕ= minus + （4-61） ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆsin cos cos cos sin ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆsin sin cos sin cos ˆ ˆˆˆ ˆcos sin 0

x r x x

y r y y

z r z z

θ ϕ θ θ ϕ ϕ ϕ

θ ϕ θ θ ϕ ϕ ϕ

θ θ θ ϕ

⎛ ⎞sdot = sdot = sdot = minus⎜ ⎟

rArr sdot = sdot = sdot =⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟sdot = sdot = minus sdot =⎝ ⎠

（4-63）

sin cos cos cos sin sin sin cos sin cos

cos sin 0

x r r

y RS

z

A A AA A M AA A A

θ θ

ϕ ϕ

θ ϕ θ ϕ ϕ

θ ϕ θ ϕ ϕ

θ θ

⎛ ⎞minus ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟rArr = equiv⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟minus⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

（4-64）

其中 SRM 為由球座標分量轉為直角座標分量的轉換矩陣且行列式

det SRM =1 表示反矩陣存在then 1SRM minus 就是將直角座標分量轉為球座

標分量之轉換矩陣其實嚴格講 (4-64)式還不是最終的表示因為

轉換完的直角

座標應該全部以 x y z 表出這裡保留用 θ ϕ 只是為了簡潔方便

習題 2 Find 1SRM minus

習題 3 用 xyz 表出(a)sinθ (b)cosθ (c)sinϕ (d)cosϕ

Ans (a)2 2

2 2 2sin

x yx y z

θ+

=+ +

(b)2 2 2

cos zx y z

θ =+ +

(c)2 2

sin yx y

ϕ =+

(d)2 2

cos xx y

ϕ =+

習題 4 用上面結果將 SRM 用 xyz 表出

Ex26 Given a field ( )A r θ ϕ ＝ ˆ ˆˆ2 3r θ ϕ+ minus in spherical coordinates

find the field in rectangular coordinates （直角座標）

4-28

解這裡的 ( )A r θ ϕ 不因其三個分量都是常數而只是「一個」向量

而是一 vector field這是因為 ˆ ˆˆ r θ ϕ 都不是定值而與 θ ϕ 有關而如

果 ( )A r θ ϕ 表示則單位向量所對應的角度 θ ϕ 必須要標定所以

sin cos cos cos sin 2sin sin cos sin cos 3

1cos sin 0

x

y

z

AAA

θ ϕ θ ϕ ϕ

θ ϕ θ ϕ ϕ

θ θ

⎛ ⎞minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ minusminus⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

(2sin 3cos )cos sin(2sin 3cos )sin cos

2cos 3sin

x

y

z

AAA

θ θ ϕ ϕθ θ ϕ ϕ

θ θ

+ +⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟rArr = + minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟minus⎝ ⎠ ⎝ ⎠

習題 5 Draw a diagram to show in the cylindrical coordinates

(a) ˆ ˆ ˆcos sinx yρ ϕ ϕ= + (b) ˆ ˆ ˆsin cosx yϕ ϕ ϕ= minus + (c) ˆ ˆz z=

習題 6 use the above results show that 由柱座標分量轉為直角座標分

量的轉換矩陣

x

y CR

z z

A AA M AA A

ρ

ϕ

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟=⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

CRM =

2 2 2 2

2 2 2 2

0cos sin 0sin cos 0 0

0 0 10 0 1

x yx y x y

y xx y x y

ϕ ϕ

ϕ ϕ

minus⎛ ⎞⎜ ⎟+ +⎜ ⎟⎛ ⎞minus⎜ ⎟⎜ ⎟

= ⎜ ⎟⎜ ⎟+ +⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

Ex27 Express vector ˆ ˆ ˆ(3cos ) 2 5A zρ ϕ ϕ ρ= minus + in Cartesian

coordinates Specifically the A at the position of (2 2 3π -3)

解

2cos sin 0 3cos 3cos 2 sinsin cos 0 2 3cos sin 2 cos

5 50 0 1

x

y

z

AAA

ϕ ϕ ϕ ϕ ρ ϕϕ ϕ ρ ϕ ϕ ρ ϕ

⎛ ⎞minus ⎛ ⎞+⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟= minus = minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

so that A (2 2 3π -3)= 3 3 3ˆ ˆ ˆ3 3 3 54 4

x y z⎛ ⎞⎛ ⎞+ + minus +⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠注意本

題裡 z 座標並非一變數

4-29

sect 43 Fields and its properties 場與其性質

「場 field」是什麼凡是在「某個空間中每一點」都有定義的量

就是一個「場」所以「場」也稱為「點函數 point function」簡單的

說凡是「空間的函數」都是「場」如果這個「空間的函數」是一個

純量 u(xyz)那麼 u(xyz)就是一個「純量場 scalar field」例如室內

的溫度 T(xyz)一塊豬肉的密度 ( )x y zρ 大氣中的壓力 p(xyz)等

都是純量場如果這個「空間的函數」是一個向量 )( zyxA 那麼

)( zyxA 就稱為「向量場 vector field」例如空間中的電場 )( zyxE

水流中的速度場 )( zyxv 重力場 )( zyxg 等等很顯然的不論是純量

場還是向量場「場」在空間中的分佈通常未必是均勻的那麼她有

什麼性質呢例如一塊豬肉內部密度是如何變化的水流中有沒有

漩渦大氣中的等壓線是如何變化的等等那麼有沒有什麼量可以

有系統的描述各種場的分佈有我們在以下分別討論

sect 431 Gradient of scalar fields 純量場的梯度

考慮一個純量場 f(xyz)可以視為 3 個變數 xyz 的函數當變數變動為

x+dx y+dy z+dy 時造成 f 的變化

f f fdf dx dy dzx y zpart part part

= + +part part part

（4-65）

由幾何意義來看上式更為具體上式表示純量場 )(rf 基於位置的變化

r r drrarr + (或由 ( ) ( )x y z x dx y dy z dzrarr + + + )所造成 f 的變動

我們現在定義一個向量算符 vector operator nabla (or nabla )（讀做 del）

ˆ ˆ ˆx y zx y zpart part part

nabla equiv + +part part part

(4-66)

如果將 del 作用在純量場 )(rf 上將產生出現一個新的「向量場」 fnabla

稱為純量場「 )(rf 的『梯度 gradient』」

4-30

ˆ ˆ ˆ( ) f f fgrad f f x y zx y zpart part part

equiv nabla = + +part part part

（4-67）

這使得由於任意位移 ˆ ˆ ˆdr xdx ydy zdz= + + 所造成 f 的變化量

df f drrArr =nabla sdot （4-61）

ex28 Given scalar field 2( )f r xy z= and 2 2 2

1 1( )g rrx y z

= =+ +

(a) find the value of ( )f r and fnabla at point P(2 1-1) 解 2(21 1) 2 1 ( 1) 2f minus = times times minus = minus

2 2 2

2 2

ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( )

ˆ ˆ ˆ( ) ( 2 ) ( )

f x xy z y xy z z xy zx y z

x y z y x yz z xy

part part partnabla = +

part part part

= +

＋

＋

ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ(21 1) ( 1) (2 2) (2) 4f x y z x y znabla minus = minus + timesminus = minus minus＋ ＋2 (b) find the value of ( )g r and gnabla at the point P

解2

1 1(21 1)62 1 1

g minus = =+ +

2 2 2 12 2 2 2 12

2 2 2 12

ˆ ˆ( ) ( )

ˆ ( )

g x x y z y x y zx y

z x y zz

minus minus

minus

part partnabla = + + + + +

part partpart

+ +part

＋

2 2 2 32 2 2 2 32 2 2 2 32

2 2 2 32 3 2

ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( )

ˆ ˆ ˆˆ( )( )

OR OR

xx yy zzgx y z x y z x y zxx yy zz r r

x y z r r

minus minus minusrArrnabla = + +

+ + + + + +minus + + minus minus

= = =+ +

32

ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ(2 ) 2(21 1)6 6 6

x y z x y zg minus + minus minus minus +rArrnabla minus = =

由 gnabla 看到一個粉常用的結果就是

3 2

ˆ1 ORr rr r r

minus minusnabla = = （4-62）

順便比較一下

2 2 2 12 2 2 2 12 2 2 2 12

2 2 2 12

ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( )

ˆ ˆ ˆ( ) ˆ (4 63)( )

r x x y z y x y z z x y zx y zxx yy zz r r

x y z r

part part partnabla = + + + + + + +

part part part+ +

= = = minus+ +

＋

4-31

(c) what is the angle between (21 1)fnabla minus and (21 1)gnabla minus

解 (21 1)fnabla minus (21 1)gsdotnabla minus ＝（ ˆ ˆ ˆ4x y zminus minus ＋2 ） sdotˆ ˆ ˆ26 6x y zminus minus +

＝2 4 2 4

6 6 3 6+ +

= ＝ | (21 1) |fnabla minus | (21 1) |gnabla minus cosθ

＝ 34 1 1 211 16 4 cos cos

6 6θ θ+ +

+ + =

1 4 2cos 07773 7

radθ minus ⎛ ⎞= =⎜ ⎟

⎝ ⎠

要注意隨然nabla有向量的性質但是他並不是一個真的向量真

實向量 A與純量 f ( )r 的乘法滿足交換率ie ( ) ( )Af r f r A= 但是

f fnabla ne nabla因為

( )f rnabla ＝ ˆ ˆ ˆf f fx y zx y zpart part part

+ +part part part

是一個向量函數而

ˆ ˆ ˆ( )f r x y zx y z

⎛ ⎞part part part+ +⎜ ⎟part part part⎝ ⎠

是一個算符（operator）

若nabla要與向量場 A 作用由於nabla與 A 都具有向量的性質先看「內積」

ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ( )

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

x y z

x y

z

y yx xz z

A x y z xA yA zAx y z

x y z xA x y z yAx y z x y z

x y z zAx y z

A AA AA Ax x x y x zx y z x y z

⎛ ⎞part part partrArrnablasdot = + + sdot + +⎜ ⎟part part part⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞part part part part part part= + + sdot + + + sdot⎜ ⎟ ⎜ ⎟part part part part part part⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞part part part

+ + + sdot⎜ ⎟part part part⎝ ⎠part partpart partpart part

= sdot + sdot + sdot + sdotsdot sdot = + +part part part part part part

yx zAA AAx y z

partpart partnablasdot = + +

part part part (4-64)

上式中的 Anablasdot 是向量場 A 的一個重要的性質稱為 A 的「散度」詳

細的內容在後面會仔細討論這裡引進 Anablasdot 主要是要表明nabla是個「算

符」表示一個運算不是一個真實的向量只是在「直角座標」裡

4-32

因為單位向量 ˆ ˆ ˆ x y z 是常數不受微分的作用以致nabla表現得好像也

是個一般的向量一樣事實上真實向量和nabla間的「內積」就不滿足交

換率

x y zA A A A an operator Ax y zpart part part

sdotnabla = + + = ne nablasdotpart part part

(4-65)

這也使得任意向量場 ( )A r 因位置變動 r r drrarr + 而產生的變化由於

)( zyxA 也是 3 個變數 xyz 的函數可以寫為

( )A A AdA dx dy dz dr Ax y z

part part part= + + = sdotnabla

part part part （4-66）

ex29 (a)Given field 2ˆ ˆ ˆ2A xxy y x zyz= minus + find Anablasdot at point (1-12)

解2( ) (2 ) ( ) 2xy x yzA y yz

x y zpart part part

nablasdot = + + = +part part part

(1 12)1 2( 1)2 3A

minusnabla sdot = minus + minus =

(b) find rnablasdot 解 rnablasdot = 3x y zx y zpart part part

+ + =part part part

梯度的意義

由（4-67）可以看到「f 的梯度 fnabla 」

是一個由「純量場 f」衍生出的向量

場由（4-26）也可以看出 fnabla 扮演類

似「變化率」的角色

空間中將相同值 f ( )r ＝f1 的點連

起來就得到一個 f ( )r ＝f1 的「等值面」如 Fig36考慮純量場 f( r )的

相鄰兩個等值面各對應定值 1f f= 與 1f f df= + 0df gt P1 點在 f1

等值面上相鄰兩點 P2P3 在 1f df+ 等值面上而向量 1 2 ˆnP P dn e dn= =

過 P1 點垂直於 f1 等值面 1 3 ˆP P d e d= = 與 ˆne dn夾角為α 由於不

論 1 2P Prarr 或 1 3P Prarr f 的變化量都是 df 但因距離 dn 係兩等值面最

4-33

短的距離d dngt 所以 1 2P Prarr 或 1 3P Prarr 造成的「變化率」df dfdn d

gt

而過 P1 點的最大變化率為dfdn

換言之向量 ˆndfedn

為過 P1 點垂直於

f1 等值面且指向最大「增加率」的方向 現在要證明

ˆndfe fdn

= nabla （4-67）

考慮 1 3P Prarr 造成的 f 值的變化率

ˆ ˆcos n ldf df dn df df e edl dn dl dn dn

α= = = sdot

ˆ ˆ ˆn l ndf dfdf e e dl e dldn dn

rArr = sdot = sdot

和（4-61）式df f dr= nabla sdot 相比即可得證 ˆndfe fdn

= nabla 所以可以知道

空間純量場 f ( )r 中任一點處的向量 fnabla 必「垂直」於「通過該點的 f的等值面」且指向 f 值最大「增加率」的方向| ( )f rnabla |就是 f 在 r 點

的最大增長率可以進一步定義等值面的「法線 normal」方向為

ˆ fnf

nabla=nabla

（4-68）

結論給定一個純量場 f( r )在每一點 r 可以定義一個稱做「梯度」

的向量 fnabla fnabla 垂直於過 r 點的 f 等值面且指向最 f 大增加率的方向

fnabla 的方向也定義了 f 等值面的法線方向

Ex30 考慮一個 2D 的 scalar field 2( )f x y y x= minus 計算該場在 )20( 的梯度與

法線方向

解 ˆ ˆ ˆ ˆ2f ff x y x yyx ypart part

nabla = + = minus +part part

ˆ ˆ(0 2) 2 2f i jnabla = minus + ˆ ˆ ˆ ˆ2 2 2 2ˆ(0 2)

31 8i j i jn minus + minus +

rArr = =+

4-34

ex31 點電荷 q 置於原點其產生電位為 ( ) qV rr

= 求負梯度qr

minusnabla

解 3

2 2 2 22 2 2

2 ( )2

q q q q x x y zr x rx y z

minuspart minus= rArr = sdot + +

part+ +

3 23

ˆˆ ˆ ˆ( )q ix jy kz r rq q qr r r r

minus + +rArr minusnabla = minus = = （點電荷的電場）

0 0

1 1 r r

noter r= =

nabla rarrinfin rarrinfin∵ 是不定值是因為 r = 0 處為最大值

「增加率」的方向無法確定

ex32 置一熱源於原點空間溫度分佈為1( )

( 2)T r

r=

+求溫度的梯度

解 2 2 2

ˆ( ) ( )( 2) ( 2) ( 2)

x rT r rr rT r

x r r r

minuspart minus

= rArrnabla = =part + + +

此處的負號表示梯

度指向熱源因為距熱源越遠溫度越低 ( 0)note T rnabla = 為不定值

因在最頂點「增加率」的方向無法確定

Ex33 地圖上山脈的等高線上各點的垂直方向由梯度決定現有一座

山是橢球 2)1(4 222 =+++ zyx 在 x-y 平面上方的

部分求地圖上這座山等高線的梯度

解 山高 142 22 minusminusminus== yxzh 所以等高線為橢

圓 222 )1(24 +minus=+ hyx 梯度

( ) ( ) ( )2 2 2 2

2 2

ˆ ˆ4ˆ ˆ2 4 1 2 4 1

2 4

xx y yh x x y y x y

x y x y

minus +part partnabla = minus minus minus + minus minus minus =

part part minus minus

所以自山腳（h=0）登山若由(012)開始 ˆ(01 2) 2h ynabla = minus 但若由

)02(minus 開始爬山 ˆ( 20) 2h xnabla minus = 可見 )02()210( minusnablagtnabla hh 這表

示由 y-軸登山山勢較陡所以「梯度」比由 x-軸登山為大這也更

清楚瞭解「梯度」的幾何意義

4-35

sect 432 Divergence 散度與 Curl 旋度

在(4-66) 我們建立了一個直角座標 vector operator 「del」

ˆ ˆ ˆx y zx y zpart part part

nabla equiv + +part part part

(4-66)

若與向量場 A 做「內積」與「外積」就建構了 A 的「散度」與「旋度」

散度 A A scalaryx zAA Adiv ax y z

partpart partequiv nabla sdot = + + =

part part part （4-69）

旋度

y yz x z x

ˆ ˆ ˆ y z A vector

A AA A A Aˆ ˆ ˆxy z z x x y

x y z

x y z

xcurl A a

A A A

y z

⎧⎪

= nablatimes = part part part =⎪⎪⎨⎪

part part⎛ ⎞ ⎛ ⎞part part part part⎛ ⎞⎪ = minus + minus + minus⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎪ part part part part part part⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎩

(4-70)

這裡定義的只是「散度」與「旋度」所謂「操作型的定義」告訴我

們如何計算的式子事實上她們都具有重要的物理意義我們在後面

會討論

ex34 ˆ ˆA xy yx= minus 求其散度與旋度

解 0 0y xAx ypart part

nablasdot = minus + =part part

ˆ ˆ ˆ y zˆ ˆ ˆ ˆ 0 0 ( 2) 2

0 x y z

xA x y z z

y xnablatimes = part part part = minus + minus = minus

minus

右圖示意了本向量場的分佈看得出像個漩渦也看到算出的旋度

0ne 看來旋度表現的應該是向量場「旋轉的程度」事實上我們在

後面會看到「旋度」表現的就是是向量場在空間各點「旋轉的程度」

本題的向量場在每一點的旋轉程度都一樣

4-36

Ex35 ( )ˆ ˆ ˆ A xx yy zz r= + + = 求其散度與旋度

解 3A rnablasdot = nablasdot = ˆ ˆ ˆ y z

0

x y z

xA

x y znablatimes = part part part =

由場分佈的示意圖可以看出本向量場是自原點向外射出好似在原

點有一個場線的「源頭 source」但是 3Anablasdot = 為一個常數表示好像到

處都有 source同時旋度為 0 也可以配合本場並無旋轉的形象事實

上「散度」表現的就是是向量場在空間各點產生「場線」的 source

記得靜電學裡的庫倫定律 0E ρ εnablasdot = 電場的散度就是「電荷密度」

(電場的 source)前一題的向量場看來對應的場線是封閉的所以沒有

source這也對應了其散度＝0不過一個向量場的散度旋度究竟是

多少應該詳細的計算場分佈圖形有時候不是那麼容易看的清楚

兩個 useful identities (恆等式)

(a) ( ) 0 0f curl of a gradnablatimes nabla = =

(b) ( ) 0 0A div of a curlnablasdot nablatimes = =

pf (a) ( )ˆ ˆ ˆ x y z

x y z

x y z

ff f f

nablatimes nabla = part part part

part part part

( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2xz zxˆ ˆ ˆx y f- f z 0yz yz xy yxf f f f= part minus part minus part part + part minuspart =

這個結果與真實的向量外積 ( ) AA 0=times 有相似之處但是這只是特

例要記得nabla並不是一個真正的向量

( ) ( ) ( )

( )

ˆ ˆ ˆ y zˆ ˆ ˆ x y z

0

x y z y z z y x z z x x y y x

x y z

xy z xz y xy z yz x xz y yz x

xA A A A A A A

A A A

A A A A A A A

nablatimes = part part part = part minus part minus part minus part + part minus part

nablasdot nablatimes = part minuspart minuspart +part +part minuspart =

4-37

此結果與真實的向量運算有相似之處 ( )( )0 (B A) BB B Asdot times = times perp∵

但是這仍只是特例因為我們可由下列例子 ( ) 0A Asdot nablatimes ne 看出事實上

nabla並不是一個真正的向量 Ex36 ˆ ˆ ˆA xy yx zx= minus +

( )

ˆ ˆ ˆ y zˆ ˆ ˆ 0 1 ( 2)

2 0

x y z

xA x y z

y x x

A A x x x

nablatimes = part part part = minus + minus

minus

sdot nablatimes = minus = minus ne

面積元素向量

物理上時常會遇到面積分例如電通量磁通

量等等考慮一個面積元素 ds定義「面積的

方向」為其「法線方向」並定義面積元素向量

ˆnds a dsequiv （4-71）

要注意的是(1)如果 ds 是一個「封閉面

closed surface」（即有裡外之分）的一部

份則 ˆna 定義為「由內向外」(2) 如果 ds

是一個「開放面 opened surface」（即分不

出裡外）的一部份那麼 ds 必被其邊緣

（一個封閉的曲線 C）所包圍這樣在定

出ds 的方向之前要先定義「邊緣曲線」

C 的方向再由右手定則定義 ˆna 的方向

既然面積已為一個向量就可以寫為分量表示以直角座標

ˆ ˆ ˆx y zds xds yds zds= + + (4-72)

那麼這些分量 dsx dsy dsz 會是什麼既然 dsx 的方向是 x 就表示 dsx

是躺在 y-z 平面上所以 dsx 的兩邊是 dy 與 dz rArr xds dydz= 依此類

4-38

推 dsy 的方向是 y 所以躺在 x-z 平面rArr yds dxdz= hellip可以得知

xds dydz= yds dxdz= zds dxdy= （4-73）

不過要注意在寫面積元素時要看討論的面實際

是什麼面上式的三個分量有可能會是負的例如

左圖座落在第一象限的立方體的 A 面方向就在 xminus

方向Arsquo面在 yminus Ardquo面在 zminus 方向寫面積元素最

好是先把討論的面的方向搞清楚把plusmn號寫在單位向量前面那麼分

量就都用＋的即可其實面積元素體積元素都可以由位移元素看出

ˆ ˆ ˆdr xdx ydy zdz= + +

dx dy dz 是沿著 ˆ ˆ ˆ x y z 方向的長度所以面積元素分量的兩邊長度就

是由其中兩個組成而體積的三邊也就是三個垂直方向的長度

x y zdV dx dy dz and ds dydz dxdz dxdyrArr = = （4-74）

這個概念在其他的座標系統也成立我們可以方便的寫出面積元素

Recall 柱座標的位移向量元素

cylindrical coordinate ˆ ˆ ˆdr d d dzzρρ ρ ϕϕ= + + （4-48）

ˆ ˆ ˆ zds ds ds zdsρ ϕρ ϕ= + + (4-75)

dsρ 躺在 zϕ minus 平面dsϕ 在 zρ minus 平面 zds 在ρ ϕminus 平面

rArr zds d dz ds d dz ds d d d dρ ϕρ ϕ ρ ρ ρ ϕ ρ ρ ϕ= = = sdot = （4-76）

上面的結果畫個圖看看吧球座標的位移向量元素

Spherical coordinate ˆ ˆˆ ( ) ( sin )dr rdr rd r dθ θ ϕ θ ϕ= + + （4-56）

ˆ ˆˆ rds rds ds dsθ ϕθ ϕ= + + （4-77）

rArr sin sin rds rd r d ds dr r d ds rd drθ ϕθ θ ϕ θ ϕ θ= sdot = sdot = sdot (4-78)

4-39

向量場 ( )A r 在 S 面上的「面積分（surface integral）」or「flux」

如左圖若有一「平面」S 且其上有「均勻」

場 B 分佈則通過 S 面的通量就是

ˆB B nSΦ = sdot

但考慮一任意「非均勻」向量場 ( )A r 在空間分佈選取任意曲面 S

探討 ( )A r 在 S 上之通量若ds 為 S 面上的面積元素在趨近於 0 的

小面積ds 上 A可視為均勻所以通過ds 之通量為 ( )d A r dsΦ = sdot 則 S

面之總通量為

Φ＝ ˆ cosS S S

A ds A nds A daϕsdot = sdot =int int int

( )OR

x x y y z zS

A da A da A da= + +int (4-75)

稱為 A 在 S 面上的「面積分」或「通量 flux」

上圖所繪就是一個任意面上分割出許多小面積舉出三個位置的通

量有+-與 0如果 S 面是為一「封閉面」則面積分寫為

S

A dssdotint （4-76）

4-40

ex37 Given 2ˆ ˆ ˆyzA xyz yx zx= + + 計算通量S

A dssdotint

S 面為在第一象限邊長＝1 的立方體表面封閉面

解立方體分為前後右左上下六個面分開算 1前面（x=1）

方向 x+ ˆ xA ds A xdydz A dydzsdot = sdot =int int int前 前 前

yzdydz= int前 ＝1 1

0 0

1 1 12 2 4

ydy zdz = sdot =int int

2後面(x=0)方向 xminus ˆ(- ) - xA ds A x dydz A dydzsdot = sdot =int int int後 後 後

yzdydz= minusint後1 1

0 0

-1 1 -12 2 4

ydy zdzminus = sdot =int int

3 右面（y=1）方向 y+ y ( 1)yA ds A dxdz A y dxdzsdot = sdot = =int int int右 右 右

( 1)x y zdxdz= =int右 ＝1 1

0 0

1 1 12 2 4

xdx zdz = sdot =int int

4 左面（y=0）方向 ˆ-y ˆ( y) - ( 0)yA ds A dxdz A y dxdzsdot = sdot minus = =int int int左 左 左

( 0) 0x y zdxdz= = =int左

5 上面（z=1）方向 z+ zz y (z 1) yA ds A dxd A dxdsdot = sdot = =int int int上 上 上

2 yx dxd= int上 ＝1 120 0

1 1y 13 3

x dx d = sdot =int int

6 下面（z=1）方向 ˆ-z zˆ(-z) y - (z 0) yA ds A dxd A dxdsdot = sdot = =int int int下 下 下

2 -1- y3

x dxd= =int下 ＝1 120 0

1 1y 13 3

x dx d = sdot =int int

S

A dssdotint ＝六個面的和＝1 1 1 1 1 1( ) ( 0) ( )4 4 4 3 3 4

minus minus+ + + + + =

ex38 Given ˆ ˆ ˆzA xyz yx zxy= + + 計算通量S

A dssdotint S 為圓 2 2 2x y a+ =

在第一項限的部分方向選為 z+ 2 2y a x= minus

4-41

解 2 2 4

0 0ˆ

8a a x

zS S S S

aA ds A zdxdy A dxdy xydxdy xdx ydyminus

sdot = sdot = = = =int int int int int int

Ex39 In cylindrical coordinate Given ˆ ˆaA zbzρρ

= + where a b are

constants Find S

A dssdotint over the surface of a

closed cylinder about z-axis specified by 3 2z ρ= plusmn =

解S 分為上下與周邊三面

zz (z 3)zA ds A ds A d dρ ρ ϕsdot = sdot = = sdotint int int上 上 上

= 23 3 2 12bd d b bρ ρ ϕ π πsdot = sdot =int上

ˆ(-z)A ds A d dρ ρ ϕsdot = sdot sdotint int下 下

= z- (z -3)A d dρ ρ ϕ= sdotint下 = 23 2 12b bπ πsdot =

周邊ds ˆ ( )d dzρ ρ ϕ= rArr ˆ ( ) z ( ) zA ds A d d A d dρρ ρ ϕ ρ ϕsdot = sdot =int int int周 周 周

2 3

0 3( ) z ( ) z=a 12aA d d d d d dz a

πρ ρ ϕ ρ ϕ ϕ π

ρ minus= = =int int int int周 周

加起來 S

A dssdotint ＝12 24 12 ( 2 )a b a bπ π π+ = +

ex40 一點電荷 q 置於原點計算在一個以原點為圓心 0r 為半徑的球

面上的電通量

解 2 20 0

ˆ ˆ4 4S S

qr q dsE ds rdsr rπε πε

sdot = sdot =int int int

=0 0 0

44 4S

q q qd ππε πε ε

sdot Ω = sdot =int

上式中 dΩ 2dsr

= 是 ds 所張開的「立體角」(solid angle)

4-42

div A and Flux 通量與散度的幾何物理意義

我們運用過nabla的符號來表示過散度 divF F= nablasdot yx zFF Fx y z

partpart part= + +part part part

但是也看到「散度」定義為

0( )

1( ) limSV

about x y z

divF x y z F da divergence of FVΔ rarr

equiv sdot =Δ int (4-77)

其中 VΔ 為 S 面所包含的體積即散

度為通量(體)密度的 0 體積極限

（4-77）的定義與 Fnablasdot 好像差的很

多她們是說同一回事嗎以下證明

這兩種「散度」的定義是等價的如

左圖考慮一個以點 ( ) x y z 為中心

的 立 方 體 其 相 鄰 三 邊 長 為

x y zΔ Δ Δ 體積 V x y zΔ = Δ Δ Δ 現在計算 F 在立方體的一組平行於 y-z平面的表面 S1 與 S2 的通量

( )1 1

ˆ ˆ xS S

F nds F xds F x y z dsrArr sdot = sdot =intint intint intint 2xxF x y z y zΔ⎛ ⎞asymp + Δ Δ⎜ ⎟

⎝ ⎠

其中 2xx y zΔ⎛ ⎞+⎜ ⎟

⎝ ⎠為 S1 面中心的座標而

2xx y zΔ⎛ ⎞minus⎜ ⎟

⎝ ⎠為 S2 面的中心

( ) ( )2 2 2

ˆ ˆ 2x x

S S S

xF nda F x ds F x y z ds F x y z y zΔ⎛ ⎞rArr sdot = sdot minus = minus asymp minus minus Δ Δ⎜ ⎟⎝ ⎠intint intint intint

上式中的負號來自 S2 面的方向是 xminus 所以合併兩個面積分

1 2

ˆ 2 2x x

S S

x xF nds F x y z F x y z y z+

Δ Δ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞rArr sdot asymp + minus minus Δ Δ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦intint

2 2x xx xF x y z F x y z

x y zx

Δ Δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠= Δ Δ Δ

Δ

2 2

x xx xF x y z F x y z

Vx

Δ Δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠= Δ

Δ

1 2

1 2 2ˆ

x x

S S

x xF x y z F x y zF nds

V x+

Δ Δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠rArr sdot asymp

Δ Δintint

4-43

當取體積向(xyz)點收縮至 0 時即 0 x 0as VΔ rarr Δ rarr 上式的近似

「asymp」就成了「＝」

1 20

1 ˆlimV

S S

F ndsVΔ rarr

+

sdotΔ intint

( )0

2 2limx x

x

x

x xF x y z F x y z F x y zx xΔ rarr

Δ Δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟ part⎝ ⎠ ⎝ ⎠= =Δ part

Similarly F 在立方體的一組平行於 x-z 平面的表面 S3 與 S4 的通量

3 3 3

ˆ ˆ yS S S

F nds F yds F dsrArr sdot = sdot =intint intint intint

2

2

y

y

yF x y zyF x y z x z x y z

y

Δ⎛ ⎞+⎜ ⎟Δ⎛ ⎞ ⎝ ⎠asymp + Δ Δ = Δ Δ Δ⎜ ⎟ Δ⎝ ⎠

( )4 4 4

2ˆ ˆ

y

yS S S

yF x y zF nds F y da F ds x y z

y

Δ⎛ ⎞minus⎜ ⎟⎝ ⎠rArr sdot = sdot minus = minus asymp Δ Δ Δ

Δintint intint intint

合併 S3 與 S4 兩個面積分並取體積向(xyz)點收縮至 0 時即當

0 y 0VΔ rarr Δ rarr 上式的近似asymp就成了＝

3 4

2 2ˆ

x x

S S

y yF x y z F x y zF nds V

y+

Δ Δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠rArr sdot cong Δ

Δintint

3 40 0

1 2 2ˆlim lim

x xy

V yS S

x yF x y z F x y z FF nds

V y yΔ rarr Δ rarr+

Δ Δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟ part⎝ ⎠ ⎝ ⎠rArr sdot = =Δ Δ partintint

與上面相同的作法計算 F 在立方體的一組平行於 x-y 平面的表面 S5

與 S6 的通量我們也會得到對應的結果

5 6

2 2ˆ

z x

S S

z zF x y z F x y zF nds V

z+

Δ Δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠rArr sdot cong Δ

Δintint

5 60 0

1 2 2ˆlim lim

z xz

V zS S

z zF x y z F x y zFF nds

V z zΔ rarr Δ rarr+

Δ Δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟ part⎝ ⎠ ⎝ ⎠rArr sdot = =Δ Δ partintint

所以合併立方體的 6 個面積分

4-44

1 2 3 4 5 6

ˆ ˆ ˆ ˆS S S S S S S

F nds F nds F nds F nds+ + +

rArr sdot = sdot + sdot + sdotint intint intint intint

0

1 ˆlim yx zV

FF FF nds div F FV x y zΔ rarr

partpart partrArr sdot = + + = = nablasdot

Δ part part partint (4-78)

在此我們得證這兩種「散度」的定義是等價的只是（4-77）的定義

充分的表現出「散度」的幾何物理意義他從通量著手由於場線

出自於 source（ex電場源自於點電荷）所以在點(xyz)必須有向量場

F 的 source 存在才能使得當面積縮到 0 時仍具有非 0 的通量所以「散

度」表現向量場 F 的 source 在這個定義之下是很清楚的當然在計算

「散度」時我們不必那麼麻煩用 divF F= nablasdot 就好了

Ex41 計算 2ˆ ˆ ˆF xx yxy zyz= + + 的散度

解 2 yx zFF Fx x yx y z

partpart part= = =

part part part F 2x x y 3x ydivrArr = + + = +

recall 在靜電學0

yx zEE EEx y z

ρε

partpart partnablasdot = = + +

part part part

散度定理 Divergence Theorem

若任意封閉面（又稱為「高斯面」）S 所包圍的

體積為 V 則

S VA ds Adτsdot = nablasdotint int （4-79）

pf 我們先將體積分割成 N 個小盒子考慮相鄰的兩個小盒子 1 2

兩小盒子的共用面面積 S0當 S0 是為 1 號盒子的一部份時其方向為

1n 但若當為 2 號盒子的表面時其方向為 12 ˆˆ nn minus= 如此在 S0 分別做

4-45

1 2 盒子的面積分後

0 0

0 0 0 0

1 2

1 2 1 1ˆ ˆ ˆ ˆ 0

S S

S S S S

A ds A ds

F n ds F n ds F n ds F n ds

sdot + sdot

= sdot + sdot = sdot minus sdot =

intint intintintint intint intint intint

所以若求場 A 在 1 2 盒子的總通量時交界面是沒有貢獻的總通量

就只有「外面積」才有貢獻如此我們計算 N 個小盒子的總通量

時所有的內部共用面都得 0只剩下「外表面」的貢獻了當 infinrarrN

時所有小盒子的「總外表面」就與 S 面重合了所以所有小盒子通量

的總和就等於 S 面的通量

1lim

i

N

S SN iA ds A ds

rarrinfin=

rArr sdot = sdotsumint int

現在我們做 N 個小盒子的總通量

1 1

1i i

N N

iS Si i i

A ds A ds VV= =

⎛ ⎞sdot = sdot Δ⎜ ⎟Δ⎝ ⎠

sum sumint int

當 0iN Vrarrinfin rArr Δ rarr 並用 dv 表示體積元素

( ) ( )1 1

1

1lim lim lim

lim

i ii

N N

iS SN N V oi i i

N

i VN i

A ds A ds VV

A V A dv

rarrinfin rarrinfin Δ rarr= =

rarrinfin=

⎛ ⎞sdot = sdot Δ⎜ ⎟Δ⎝ ⎠

= nablasdot Δ = nablasdot

sum sumint int

sum int

( )S V

A da A dvrArr sdot = nablasdotint int QED

所以得證散度定理上式中我們用了散度的（4-77）式定義要分辨

清楚 Anablasdot 是向量場 A 在空間中「某一點」的性質（ 0VΔ rarr ）而「散

度定理」說的是一個「有限體積」的性質

ex42 給定 ( ) ˆ ˆ ˆ A x y z xx yy zz r= + + = 計算在

半徑 R＝1 的球的上半球加底面的通量

4-46

解 ( )ˆˆS

A da A rda A k darArr sdot = sdot + sdot minusint int int上半球面 底面

( )

2

ˆ ˆ

0 2 1 2

A rda A z dxdy

r rds zdxdy rds ds π π

= sdot + sdot minus

= sdot minus = minus = = sdot =

int int

int int int int上半球面 底面

上半球面 底面 上半球面

底面的通量＝0 是因為 A 的 z 分量 Az=z 在底面的值為 0

也可以用散度定理更快的得出結果

∵ 3A rnablasdot = nablasdot =

31 43 3 1 22 3V V

Ad d πτ τ πnablasdot = = sdot sdot sdot =int int

ex43高斯定律的微分形式積 由 Gaussrsquo law 的積分形式用散度定理得出其

( )0 0

1 inS V

qE ds x y z dvρε ε

sdot = =int int

0S V VE ds Edv dvρ

εrArr sdot = nablasdot =int int int

上式最後的等式對「任意形狀」V 都成立所以兩者的被積函數相等

對於空間每一點 0

E ρε

nablasdot = （4-80）

ex44 Use 第一象限的單位力方體 check the divergence theorem using the function 2 2ˆ ˆ ˆ(2 ) 2A y x xy z y yzz= + + +

解2

2( ) (2 )(2 ) 2( )y yzA xy z x yx y z

part part partnablasdot = + + + = +

part part part

and 1 1 1 1 1 1

0 0 0 0 0 02 ( ) 2 ( )

VAdv x y dxdydz dz dy x y dxnablasdot = + = +int int int int int int int

1 1

0 0

1 12 ( ) 2 12 2

dz y dy= + = sdot =int int

面積分 1 1 2

0 0

1ˆ3

A ds A xdydz dz y dysdot = sdot = =intint intint int int前 前

4-47

1 1 2

0 0

1ˆ( )3

A ds A x dydz dz y dy minussdot = sdot minus = minus =intint intint int int

後 後

1 1 2

0 0ˆ (2 )A ds A ydxdz dz xy z dxsdot = sdot = +intint intint int int

右 右

1 1 1 12 2

0 0 0

4(2 ) (1 )3

ydz x z dx dz z

=

= + = + =int int int∵

1 1 2

0 0

0 1 1 12 2

0 0 0

ˆ( ) (2 )

1(1 )3

y

A ds A y dxdz dz xy z dx

dz z dx dz z=

sdot = sdot minus = minus +

minus= minus = + =

intint intint int int

int int int∵

左 左

11 1 1 1

0 0 0 0ˆ 2 2 1

zA ds A zdxdy dx yzdy dx ydy

=sdot = sdot = = =intint intint int int int int

∵

上 上

01 1

0 0ˆ 2 0

zA ds A zdxdy dx yzdy

=sdot = sdot minus = minus =intint intint int int

∵

下 下

前後右左上下六個面積分合併＝1＝V

Advnablasdotint QED

ex45 Continuity Equation 連續方程式

考慮某些「東西」的流動（物質電荷hellip）在時刻 t 時在點(xyz)

的 密 度 為 ( ) x y z tρ ρ= 並 具 有 速 度

( ) v v x y z t= 在時刻 t 時在體積 V 內的總量為

( ) x y z t dρ τintintint

這樣體積 V 內東東的時變率為

( ) ( ) d x y z t d x y z t ddt t

ρρ τ τpart=

partintintint intintint

注意體積分後的時間全微分移入積分內要改為偏微分這個東東

在表面的「流率 flow rate」可表為

ˆS

R v ndsρ= sdotintint

若體積內的物料無法自生自滅那麼體積內物料的變化必經由表面的

流出流入所造成

d v ndstρ τ ρpart

rArr = minus sdotpartintintint intint

由散度定理

4-48

( )ˆS

v nds v d dtρρ ρ τ τpart

sdot = nablasdot = minuspartintint intintint intintint

( )v Jtρ ρpart

rArr = minusnablasdot equiv minusnablasdotpart

0Jtρpart

rArr +nablasdot =part

（4-81）

(4-81) 即 continuity equation其中 J vρ= 為「物流密度」ex如果 ρ

是電荷密度 J 就是電流密度（4-81）是物質守恆的結果只對體

積內無 source（生成）or drain（消滅）的東東成立

ex46 Given a vector field ˆ ˆx yA ye xe= minus + (a) Find

Anablasdot (b)如圖一個金字塔狀的 5 面體高 2 底邊長

1計算 A在整個金字塔表面（封閉面）的總通量

解(a) Anablasdot = ( ) ( ) 0y xx ypart part

minus + =part part

(b) 金 字 塔 的 表 面 面 積 元 素 ds 不 好 寫 所 以 用 散 度 定 理

( )S V

A da A dvrArr sdot = nablasdotint int ＝0 Anablasdot 表示 A沒有 source 所以對封閉面而

言有多少場線進入就有多少出去所以總通量＝0

習題 7 With position vector r for an arbitrary volume V that is

bounded by surface S show that 13 S

r ds Vsdot =int

習題 8 已知一靜電場為 ˆ ˆ ˆ( )E xyz yxz zxyλ= + + 運用 Gaussrsquo law

試求包含在半球 2 2 2 2 0x y z R z+ + = ge 裡的總電荷 Ans 0

習題 9 (a) given ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( 2 )F r xf x yf y zf z= + + minus show that divF is

zero at point (c c -c2) (b) given ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( )G r xf x z yg x z zh x y= + +

show that ( ) 0G rnablasdot =

4-49

習題 10 Find the normal vector n for the surfaces (a) z = 2-x-y ans

ˆ ˆ ˆ( ) 3x y z+ + (b) z = (1-x2)12 ans ˆ ˆxx zz+ (c) z = x2+y2

ans ˆ ˆ ˆ( 2 2 ) 1 4xx yy z zminus minus + +

習題 11 Show that the unit vector normal to the plane ax+by+cz =d is

given by 2 2 2ˆ ˆ ˆ( ) ax by cz a b cplusmn + + + +

圓柱座標與球座標的nabla (del)

考慮一純量場在直角座標為 ( ) u x y z 在圓柱座標表為 ( ) u zρ φ

再考慮因位移 r r drrarr + 所造成 u ( )zρ φ 的變化

( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆz

z

u u udu d d dz u dr u d d zdzz

u u z u d d zdz

u d u d u dzρ ϕ

ρ ϕ

ρ ϕ ρ ρ ϕρ ϕρ ϕ

ρ ϕ ρ ρ ϕρ ϕ

ρ ρ ϕ

part part part= + + = nabla sdot = nabla sdot + +part part part

⎡ ⎤= nabla + nabla + nabla sdot + +⎣ ⎦= nabla + nabla + nabla

( ) ( ) ( )1

1ˆ ˆ ˆu

z

u u uu u uz

u u uzz

ρ ϕρ ρ ϕ

ρ ϕρ ρ ϕ

part part partrArr nabla = nabla = nabla =

part part partpart part part

rArrnabla = + +part part part

1ˆ ˆ ˆ zz

ρ ϕρ ρ ϕpart part part

nabla = + +part part part

（4-82）

注意nabla的ϕ -分量( 1ρ ϕ

partpart

)不是像直角座標裡單純的ϕpartpart

所以不要笨笨

的就把直角座標的形式硬套上去用我們也可以從「因次分析」來

看nabla因為是對空間的微分所以每一項的因次必須是「長度分之一」

運算 andzρ

part partpart part

都是「長度分之一」而「單純的ϕpartpart

」是沒有單位的

所以要1ρ ϕ

partpart

才 OK

由於圓柱座標裡的單位向量除了 z 之外 ˆ( )ρ ϕ 與 ˆ( )ϕ ϕ 都不是常

4-50

數所以在微分時不可以與微分運算交換而要考慮微分的作用所

以在「圓柱座標」寫「散度」 ( ) F zρ ϕnablasdot 也和直角座標不一樣

( )1ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ zF z F F zFz ρ ϕρ ϕ ρ ϕ

ρ ρ ϕpart part part⎛ ⎞

nabla sdot = + + sdot + +⎜ ⎟part part part⎝ ⎠

( ) ( )1ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆz zF F zF F F zFρ ϕ ρ ϕρ ρ ϕ ϕ ρ ϕρ ρ ϕpart part

= sdot + + + sdot + +part part

( )ˆ ˆˆ ˆ zz F F zFz ρ ϕρ ϕpart

+ sdot + +part

因為 ( ) ( )ˆ ˆ ˆ ˆ ρ ρ ϕ ϕ ϕ ϕ= = 所以做 andzρ

part partpart part

時 ˆ ˆ ρ ϕ 可視為常數

ˆ ˆ1ˆ ˆ ˆ zF F F FF F Fz

ρ ρ ϕρ φ

ρ ϕϕ ρ ϕρ ρ ϕ ϕ ϕ ϕ

part part part⎡ ⎤part part partrArrnablasdot = + sdot + + + +⎢ ⎥part part part part part part⎣ ⎦

還記得 ˆ ˆ ˆ ˆd d d dρ ϕ ϕ ϕ ρ ϕ= = minus 所以 ˆ ˆρ ϕϕpart

=part

ˆ ˆϕ ρϕpart

= minuspart

rArr

( )1 1 1z zF F F FF FF Fz z

ρ ρ ϕ ϕρρ

ρ ρ ρ ϕ ρ ρ ρ ϕpart part part part

nablasdot = + + + = + +part part part part part part

（4-83）

在球座標寫nabla也會遇到相似的問題其根源就是球座標 ( )r θ ϕ 裡

的 θ ϕ 的因次並非長度而三個單位向量 ˆ ˆˆ r θ ϕ（表為 ie ）都是( θ ϕ )

的函數以致

( )ˆ ˆ( ) ( )i ie f e fθ ϕ θ ϕθ θpart part

nepart part

且 ( )ˆ ˆ( ) ( )i ie f e fθ ϕ θ ϕϕ ϕpart part

nepart part

所以nabla也不似在直角座標那麼簡單我們不在這裡推導而是給出一

個歸納的統一的三個座標的結果還記得對每一個座標 iu i = 123

座標的變化 idu 與造成的長度變化 id

i i id h du= 123i = (4-84)

其中 ih 為對應的度量係數(metric coefficient)

4-51

1 2 3

1 1 2 2 3 3

1 1 1ˆ ˆ ˆu u ue e eh u h u h u

part part partnabla equiv + +

part part part （4-85A）

座標 1 2 3 u u u

度量係數

1 2 3 h h h

nabla grad del

直角 x y z

1 1 1 nabla ˆ ˆ ˆx y z

x y zpart part part

equiv + +part part part

圓柱

zρ ϕ

1 1ρ

1ˆ ˆ ˆ z

zρ ϕ

ρ ρ ϕpart part part

nabla equiv + +part part part

球

r θ ϕ

1 sinr r θ

1 1ˆ ˆˆ

sinr

r r rθ ϕ

θ θ ϕpart part part

nabla = + +part part part

（4-85B）

梯度gradient Vnabla grad(V) 散度divergence Anablasdot div( )A

直

角 nablaV ˆ ˆ ˆV V Vx y z

x y zpart part part

= + +part part part

yx zAA AAx y z

partpart partnablasdot = + +

part part part

圓

柱

1ˆ ˆ ˆ V V VV zz

ρ ϕρ ρ ϕpart part part

nabla = + +part part part

( )1 1

1

z

z

A AA Az

A A A Fz

ϕρ

ρ ρ ϕ

ρρ ρ ρ ϕ

ρ ρ ρ ϕ

partpart partnabla sdot = + +

part part partpart part part

= + + +part part part

球

1 1ˆ ˆˆ sin

V V VV rr r r

θ ϕθ θ ϕ

part part partnabla = + +

part part part

22

1 ( )rA r Ar r

partnabla sdot =

part

1 (sin )sin

Ar θθ

θ θpart

+ sdotpart

1sin

Ar

ϕ

θ ϕpart

+part

(4-86)

Ex47 Using spherical coordinate show that 1| |r r

nablaminus

= 2

ˆ| |

r rer r

minusminusminus

where

nabla是作用在 r 而 ˆr re minus 是向量 r rminus 方向的單位向量 解let r lies in z-axis so that the angle between r and r is just θ

4-52

rArr ( ) 122 21 1 2 cos | | ( ) ( )

r rr rr r r r r r

θminus

= = minus +minus minus sdot minus

( ) ( )12 122 2 2 21 1ˆˆ 2 cos 2 cos | |

r r rr r r rr rr r r r

θ θ θθ

minus minuspart partnabla = minus + + minus +

minus part part

( ) 322 21ˆ 2 cos (2 2 cos )2

r r rr r r rθ θminusminus

= minus + minus

( ) 322 21ˆ 2 cos (2 sin )2

r rr r rrθ θ θminusminus

+ minus +

3 3 3 3

ˆˆ ˆ( cos ) sin ( cos sin )ˆˆ| | | | | | | |r r r rr r rrr r r r r r r r

θ θ θ θ θθminus minus minus minus minus= + = +

minus minus minus minus

3 3 3ˆ ( )

| | | | | |r r z r r r rr r r r r rminus + minus + minus minus

= = =minus minus minus

＝ 2

ˆ| |

r rer r

minusminusminus

QED

證明最後我們用到 ˆˆˆ cos sinz r θ θ θ= minus 而 ˆ r r z= 因為我們選了 r 是

躺在 z-軸 Ex48 For arbitrary scalar field ( )f r and vector field ( )A r 證明恆等式

( )fA f A f Anablasdot = nabla sdot + nablasdot (4-87) 解 ˆ ˆ ˆx y zfA xfA yfA zfA= + +

( ) ( ) ( ) ( )x y zfA fA fA fAx y zpart part part

rArrnablasdot = + +part part part

yx zx x x

AAf f f AA f A f A fx x y y z z

partpartpart part part part= + + + + +part part part part part part

yx zx y z

AAf f f AA A A fx y z x y z

part⎛ ⎞partpart part part part= + + + + +⎜ ⎟part part part part part part⎝ ⎠

f A f A= nabla sdot + nablasdot QED 習題 12 一個位於原點的電偶極電偶極矩＝ ˆp pz= 已知其在遠處

的電位為 20

cos4p

rθ

πε試證該處的電場強度為 E = 3

0

ˆˆ( 2cos sin )4

p rr

θ θ θπε

+

(已知 E V= minusnabla )並請計算 Enablasdot ＝

習題 13 給定一向量場2

3cosˆD r

rϕ

= 現有兩個球心在原點的同心球

內球半徑 R＝1外球 R＝2(a)求面積分S

D dssdotint S 為同心球殼的表

面（有內外兩個面）(b)求體積分V

Ddvnablasdotint V 為兩同心球之間的

區域本題也是來 check 散度定理的Ans πminus

4-53

The Laplacian operator 2nabla equivnablasdotnabla

在直角座標可以用直接作用得到

2 2 2

22 2 2u u uu u

x y zpart part part

nabla equiv nablasdotnabla = + +part part part

(4-88)

圓柱座標

2 2

22 2 2

1 1( ) u u uu uz

ρρ ρ ρ ρ ϕ

part part part part⎛ ⎞nabla equiv nablasdot nabla = + +⎜ ⎟part part part part⎝ ⎠

(4-89)

球座標

2

2 22 2 2 2 2

1 1 1sinsin sin

u u uu rr r r r r

θθ θ θ θ ϕ

part part part part part⎛ ⎞ ⎛ ⎞nabla = + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟part part part part part⎝ ⎠ ⎝ ⎠ （4-90）

習題 14 verify (4-89) and (4-90)

習題 15 Given a dipole potential V= 20

cos4p

rθ

πε find 2Vminusnabla

sect 433 Line integral and curl A 線積分與與旋度的物理意義

線積分路徑積分

考慮一曲線 C 通過兩點 ( )i i i iP x y z 與

( )f f f fP x y z 現有一向量場 ( )A x y z 定義在

C 所在的空間若 sd 為 C 上位於(xyz)點的

「路徑元素」（ ˆd td= 方向沿該處切線）而

( )A x y z 為路徑元素d 處的場值則沿 C 經歷各點所做積分

cos cosf

CC C iA d Ad A dϕ ϕrarr rarrsdot = =int int int （4-91）

稱為向量場 ( )A x y z 沿路徑 C 自 pi 至 pf 的「線積分」「或「路徑積分」

積分裡 A 取值的點侷限在路徑 C 上面若為一個「封閉路徑」則對

C 的線積分也稱做「環路積分 closed contour integral」記做

C

A dsdotint （4-92）

4-54

物理量「做功」是最標準的線積分之一力 F 自 x = a 至 x = b「沿線」

x 軸做功

W＝ F dxsdotint ＝ ( )b

xaF x dxint （4-93）

質點在力場 )(rF 裡走一條曲線 C則力場做功

CW F d= sdotint （4-94）

還記得如果 ( )F r 是所謂「保守力」則上式只與始末點有關而與

路徑無關但如果 ( )F r 是所謂「非保守力」則做功與確實的路徑 C

有關

現考慮一質點在空間運動的位置 r 落在由曲線 C

描述的路徑則質點的位移元素與曲線 C 的路徑元

素相同 d dr= 若空間有向量場 A 分佈則 A 在 C 的

路徑積分以直角座標表示為

CA drarr rarrsdotint ＝

CA d rrarr rarrsdotint ＝ ( )x y zC

A dx A dy A dz+ +int （4-95）

上式中的 x y z 的積分限由 C 決定

Ex49 2 2 2ˆ ˆ ˆA xx yy zzrarr= + + 選定一路徑 C 為曲線

2y x= 由 (000)到 (2 20)的部分求C

A dsdotint

解 ˆ ˆd xdx ydy= +∵

CA dsdotint ＝ 2 2( )

Cx dx y dy+int ＝

2 22 2

0 0x dx y dy+int int

＝ )24(32

+

或由 2y x= rArr 2ydy dx= 2 12

y dy xdxrArr =

rArrC

A dsdotint ＝2 2

0

1( )2

x x dx+int ＝2 (4 2)3

+

4-55

ex50 ˆ ˆ( )f x y z xy yx= minus Do C

f dsdotint 其中的路徑 C 為一逆時針三角

形如圖 解∵路徑全部在 x-y 平面 ˆ ˆ ˆd td xdx ydy= = +

rArrC

f dsdotint ＝ x yC

f dx f dy+int ＝C

ydx xdyminusint

由於在 C1 上 y = 0 及 dy = 0 所以 01

=intC 又由於在

C3 上 x = 0 及 dx =0所以 03

=intC 所以只剩下 C2 可

能有貢獻由 2C 的方程式x + y =1rArr ⎩⎨⎧

minus=minus=

xyyx

11

rArr2Cydx xdyminusint ＝

0 1

1 0(1 ) (1 )x dx y dyminus minus minusint int ＝

0 12 2

1 0

( ) ( )2 2x yx yminus minus minus ＝-1

Cf dsdotint ＝-1

ex51 ( )f x y zrarr

= 2ˆ ˆxx yxyminus 如右圖doC

f dsdotint 其

中路徑 C 為第一象限的逆時針 14 圓弧

解∵ 全部在 x-y 平面 ˆ ˆd xdx ydy= +

Cf dsdotint ＝ 2

Cx dx xydyminusint

由於在 C 上 cosx R ϕ= rArr sindx R dϕ ϕ= minus

siny R ϕ= rArr cosdy R dϕ ϕ=

rArr 2

Cx dx xydyminusint ＝

2 2 2 2

0cos ( sin ) sin cos cosR R d R R d

πϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕminus minus sdotint

23 2

02 cos sinR d

πϕ ϕ ϕ= minus int ＝

323Rminus

又路徑為圓周一部份所以適合用極座標表示

ˆd Rdϕ ϕ= 又由左圖將 ˆ ˆx y 拆解（投影）到 ˆˆr ϕ

ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆcos sin sin cosx r y rϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ= minus = +

4-56

( )2ˆ ˆ ˆˆ ˆ( cos sin ) ( sin cos )C C

f d r x r xy Rdϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕsdot = minus minus + sdotint int 2

2 2 2

0

sin (cos )

sin ( cos ) (cos ) cos sin

Cx Rd xyRd

R Rd R Rdπ

ϕ ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ

= minus minus

= minus minus

intint

23 2

02 cos sinR d

πϕ ϕ ϕ= minus int ＝

323Rminus

這也驗證了散度定理

Path Independence 路徑獨立性

Ex52 證明庫倫力為「保守力」考慮

電荷 q0 位於原點及電荷 q 位於

( )r x y zrarr= q 受力 F

rarr＝ 0

20

14

qq urπε

and

求庫侖力作功因為球形對稱所以

用球座標由 ˆ ˆ ru rr

= = rArr Frarr

= 03

04qq r

rπε

庫侖力由 P1 至 P2 做功為 2

1

P

CPF drarrsdotint ＝

2

1

02

0

ˆ ˆ ˆˆ sin4

P

PC

qq r rdr rd r dr

θ θ ϕ θ ϕπε

⎡ ⎤sdot + +⎣ ⎦int ＝2

1

02

04P

P

qq drrπεint

＝20

2104

r

r

qq drrπε int ＝ 0

0 1 2

1 1( )4qq

r rπεminus for all C

所以庫侖力兩點間做功與路徑無關rArr保守力

對於「保守力 conservative force」 cF 自 p1 經

由兩條不同的路徑 C1 與 C2 到達 p2

1 ccF drarrsdotint ＝

2 ccF drarrsdotint ＝-

2 ccF drarr

minussdotint

rArr1 2c cc cF d F drarr rarr

minussdot + sdotint int = cF d

rarrsdotint ＝0 (4-96）

對於任何「封閉路徑」保守力做功為 0反之若

對任一封閉路徑 0F drarrsdot neint 則兩點之間的做功與路徑有關

rarr

F 為「非

保守力」

4-57

旋度 curl Anablatimes 的幾何物理意義

我們在（4-70）式已經看過旋度的計算方式但旋度另有其意義的

ex53 給定向量場2 2

0ˆ yv yv e λrarr

minus= 左圖為場的分佈

2 20

ˆ ˆ ˆ

0 0x y z

y

x y zcurl v

v e λ

rarr

minus

= part part part ＝ ˆ ˆ ˆ0 0 0 0x y zsdot minus sdot + sdot =

我們用了簡寫 x yx ypart part

part equiv part equivpart part

可以看出這個場裡沒有「漩渦」

但是有無「漩渦」有時也不是那麼明顯可以看出的請見下一個例子

Ex54 給定向量場2 2

0ˆ xv yv e λrarr

minus= 計算其旋度 vnablatimes

解向量場 vrarr

畫在右邊你看得出有無漩渦

先計算旋度

2 20

ˆ ˆ ˆ

0 0x y z

x

x y zcurl v

v e λ

rarr

minus

= part part part2 2

2 2

0

0

ˆ

ˆ 2 0 0

x

x

z v ex

z v xe for x

λ

λ

minus

minus

part=

part

= minus ne ne

vrarr

的旋度在大部分的地方不為 0 且隨位置而不同但是你看得出這個

向量場裡有「漩渦」其實要檢驗一個向量場裡有無「漩渦」有一

個很物理的方法就是放一個小「螺旋槳」（左圖）

在場內將軸朝各個方向測試一

下如果有「漩渦」的話這個

小「螺旋槳」就會轉動右圖就是將「螺旋槳」的

軸平行於 z 軸且放在 x gt 0 的地方就可以看出左

邊的 v 場比右邊的強造成螺旋槳順時針轉動rArrcurlv zminus for x gt 0

但如果放在 x = 0 的地方就會看到左右兩端的 v 場強度相同而且

4-58

curlv = 0 「螺旋槳」放在 x lt 0 的地方就可以看出右邊的v 場比左

邊的強造成螺旋槳逆時針轉動這完全符合 curl v k+ 的結果

環路積分與旋度 curl 的物理意義

如同「散度」一樣「旋度」除了 Ftimesnabla 之外

還有一個物理意義更清楚的定義這個定義由

「線積分」說明如圖考慮做「逆時針」長方形

路徑 C1 的一個「環路積分」C1 面平行於 x-y 平

面由 z-軸看下去環路 C1 可以分為可以分為

下 CB上 CT右 CR左 CL 4 部分

CA drarrsdotint ＝

B T L RC C C CA d A d A d A drarr rarr rarr rarrsdot + sdot + sdot + sdotint int int int

分別計算由於 CB 的中點座標為 ( )2yx y zΔ

minus

ˆB BC C

A d A xdxrarr rarrsdot = sdot =int int

BxC

A dxint ( )2xyA x y z xΔ

asymp minus Δ

similarly 由於 CT 的中點座標為 ( )2yx y zΔ

+

ˆ( )T TC C

A d A xdxrarr rarrsdot = sdot minus =int int

TxC

A dxminusint ( )2xyA x y z xΔ

asymp minus + Δ

合併 CB 與 CT

B TC CA drarr

+sdot =int

( ) ( )2 2x xy yA x y z A x y z

x yy

Δ Δ⎡ ⎤minus + minus minus⎢ ⎥⎣ ⎦ Δ ΔΔ

（4-97）

由 C1 所圍的面積 S x yΔ = Δ Δ

1B TC C

A dS

rarr

+sdot =

Δ int( ) ( )

2 2x xy yA x y z A x y z

y

Δ Δ⎡ ⎤minus + minus minus⎢ ⎥⎣ ⎦Δ

（4-98）

所以當取極限 C1 收縮到中心(xyz)時 SΔ 收縮到 0ie

4-59

0limsΔ rarr

1B TC C

A dS

rarr

+sdot =

Δ int xAy

partminuspart

（4-99）

Similarly with CR 的 ˆd ydy= CL 的 ˆd ydy= minus 可得

1L RC C

A dS

rarr

+sdot =

Δ int x

zyxxFzyxxF yy

Δ

Δminusminus

Δ+ )

2()

2(

（4-100）

同樣的當取極限 C1 收縮到中心(xyz)時 SΔ 收縮到 0

0

limsΔ rarr

1L RC C

A dS

rarr

+sdot =

Δ int yAx

partpart

（4-101）

最後合併 CBCTCRCL 為 C1

10

1limCs

A ds

rarr

Δ rarrsdot =

Δ int y xA Ax y

part partminus

part partˆ ( ) ( )zz A A= sdot nablatimes = nablatimes （4-102）

注意 C1 的方向就是在 z 上式的重要

意義是當向量場 A 在一個以點(xyz)為

中心「方向為 z 」的面積元素的「邊界」

所做的環路積分得到的就是 A 在(xyz)

處旋度的 z-分量明顯的只有當 A 在

(xyz)附近有 x-y 平面上的「漩渦」那麼 C1 的環路積分才不會為 0

Similarly 取一個逆時針繞著(xyz)的平行於 x-z 平面的長方形環路 C2

（左圖）做環路積分再取極限將 C2 收縮到(xyz)就會得到

20

1limCs

A ds

rarr

Δ rarrsdot =

Δ int x zA Az x

part partminus

part partˆ ( ) ( )yy A A= sdot nablatimes = nablatimes （4-103）

注意到 C2 所包圍的面積方向就在 y到

現在我們應該已經很有經驗了若取一

個逆時針繞著(xyz)的平行於 y-z 平面

的長方形環路 C3（左圖）做環路積分

再取極限將 C3 收縮到(xyz)就會得到

4-60

30

1limCs

A ds

rarr

Δ rarrsdot =

Δ int yz AAy z

partpartminus

part partˆ ( ) ( )xx A A= sdot nablatimes = nablatimes （4-104）

能把（4-103）與（4-104）變出來的同學我們有優待綜合以上

我們可以得到一個結論若取一個以點(xyz)為中心的任意環路 Cn（其

所包圍的面積方向在 n ）則

n curl Aand rarrsdot ＝

0

1lims

Cn

A ds

rarr

Δ rarrsdot

Δ int （4-105）

明顯的當 n ＝ x 或 y 或 z 時我們可以重複（4-102）到（4-104）的

結果（4-70）式的行列式所定義的旋度在此看見其幾何物理意義

至此「旋度」的「漩渦」形象應該已經很清楚了只有在(xyz)點附

近的小圈圈上有「漩渦」 A 在小圈圈做的環路積分才會有值這個

值就是向量場 A 的「旋度」在小圈圈面積方向的分量

Stokersquos 定理

考慮一個開放面 S被其「有方向的」邊界 C 圈住(bounded by)則

( )S

A dsrarr rarrnablatimes sdotint ＝

C

A drarrsdotint （4-106）

pf 先將 S 面分割為 N 個多邊形這會使得邊界變成一個「折線」形

成的環路 P環路 P 會隨著分割的多邊形個數的增多而越加近似於原

「光滑的」邊界 C現考慮相鄰的

兩個多邊形的線積分由於共用邊

的方向是相反的所以相鄰兩個多

邊形線積分的和只剩「外邊界」（見左圖）所以當把所有的多邊形的

4-61

線積分加起來時由於只有邊界 P 不是多邊形的共用邊所以

1k

N

k C

A drarr

=

sdotsum int ＝P

A drarrsdotint rArr

P

A drarrsdotint ＝

1

1

k

N

kk k C

A d l ss

rarr rarr

=

⎡ ⎤sdot Δ⎢ ⎥

Δ⎢ ⎥⎣ ⎦sum int

其中 ksΔ 為第 k 個多邊形的面積取極限 0kN srarrinfinrArrΔ rarr P CrArr rarr

C

A drarrsdotint ＝

10

1limkk

N

kN k k Cs

A d ss

rarr

rarrinfin=Δ rarr

⎡ ⎤sdot Δ⎢ ⎥

Δ⎢ ⎥⎣ ⎦sum int 01

ˆlim ( )k

k kskn A s

infin

Δ rarr=

⎡ ⎤= sdot nablatimes Δ⎣ ⎦sum

01

ˆlim ( )k

k kskA n s

infin

Δ rarr=

= nablatimes sdot Δsum = ( )S

A dsrarr

nablatimes sdotint QED

ex55 由 Amperersquos law 的積分形式導出其微分形式

解Amperersquos law 的積分形式 C

B drarrsdotint ＝ I0μ (4-107)

由 Stokersquos 定理及電流密度 j 的定義上式等號兩端可寫為

rArr ( )S

B dsrarr rarrnablatimes sdotint ＝ 0 S

j dsμrarrsdotint

由於上面的等式對任意面 S（路徑 C）都成立所以被積函數相等

0B jμrarr rarr rarr

rArrnablatimes = (4-108) 此即 Amperersquos law 的微分形式

Ex56 Given a vector field ˆ ˆx yA ye xe= minus + (a) Find Anablatimes

解

ˆ ˆ ˆˆ ˆ(1 ( 1) 2

0x y z

x y zA z z

y xnablatimes = part part part = minus minus =

minus

(b)如圖一個金字塔狀的 5 面體高 2底邊長＝1計算 ( )S

A dsnablatimes sdotint

其中 S 為金字塔在 x-y 平面以上的部分方向如同

封閉的金字塔（運用 Stokersquos law）

解金字塔上表面的面積元素ds 不好寫由 Stokersquos

4-62

law ( )S

A dsrarr rarrnablatimes sdotint ＝

C

A drarrsdotint 其中封閉路徑 C 就是上表面的邊界而且

是逆時針（由 z 軸向下看）

C

A drarrsdotint ＝

1 1 0 0

0 0 1 1ˆ ˆ ˆ ˆA xdx A ydy A xdx A ydysdot + sdot + sdot + sdotint int int int

＝1 1 0 0

0 0 1 1x y x yA dx A dy A dx A dy+ + +int int int int 1 1 0 0

0 0 1 1( 0) ( 1) ( 1) ( 0)y dx x dy y dx x dy= minus = + = + minus = + =int int int int

0 1 1 0 2 ( ) 2S

A ds= + + + = rArr nablatimes sdot =int

旋度與 path independence

已知保守場 cF 對所有封閉路徑 C 0cC

F drarrsdot =int 由 Stokersquos 定理

0cC

F drarrsdot =int ＝ ( )cS

F dsrarr rarrnablatimes sdotint rArr 0cF

rarr rarrnablatimes =

這表示保守場＝無旋度反之無旋度的場任兩點間路徑積分與路

徑無關

Ex57 Given a field 2 2ˆ ˆ ˆ2A x xy yx zz= + minus (a) Find Anablatimes A 保守場

解2 2

ˆ ˆ ˆ

2x y z

x y zA

xy x znablatimes = part part part

minus

( ) ( ) ( )2 2 2 2ˆ ˆ ˆ( ) 2 ( ) 2 0y z z x x yx z x y xy z z x xy= part minus minuspart + part minuspart minus + part minuspart =

yes A =保守場

(b)如左圖由 A 到 B 做路徑積分A BC

A drarr

sdotint 路徑 C 為橢圓

22 1

16yx + = 在 x-軸以上的部分

解橢圓部分的路徑元素 d 有點麻煩但因為 A

為保守場所以 A 到 B 做路徑積分可以用 x = -1 到

1 的積分取代

4-63

01 1 1

1 1 1ˆ 2 0

yB

xAA d A xdx A dx xydx

=

minus minus minussdot = sdot = = =int int int int

∵

旋度在柱座標與球座標

前面討論過nabla在不同座標系的寫法旋度也有歸納出的一致寫法

座標 1 2 3 u u u

度量係數

1 2 3 h h h

nabla grad del

直角 x y z

1 1 1 nabla ˆ ˆ ˆx y z

x y zpart part part

equiv + +part part part

圓柱 zρ ϕ

1 1ρ

1ˆ ˆ ˆ zz

ρ ϕρ ρ ϕpart part part

nabla equiv + +part part part

球 r θ ϕ

1 sinr r θ

1 1ˆ ˆˆ sin

rr r r

θ ϕθ θ ϕ

part part partnabla = + +

part part part

所以柱座標與球座標的旋度分別表為

柱座標

ˆ ˆ ˆ1

z

z

Az

AA Aρ ϕ

ρ ρϕ

ρ ρ ϕρ

part part partnablatimes =

part part part （4-109）

球座標 2

ˆ ˆˆ sin1sin

sinr

r r r

Ar r

A rA r Aθ ϕ

θ θϕ

θ θ ϕθ

part part partnablatimes =

part part part （4-110）

ex58 (a) Given the vector function ˆA ϕ= sin (ϕ 2) find Anablatimes

解 2

ˆ ˆˆ sin1sin

0 sin( 2) 0

r r r

Ar r

r

θ θϕ

θ θ ϕϕ

part part partnablatimes =

part part part

4-64

21 ˆˆ cos sin sinsin 2 2 2

rr rr

ϕ ϕθϕθ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

ˆˆ cos sin2 sin 2 2

rr r

ϕ ϕ ϕθ

minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

(b)如左圖一個底面在 x-y 平面半徑＝1高＝2 之圓錐 求面積分

SA dsnablatimes sdotint 面積範圍 S 為圓錐在 x-y 平面以上

部分 方向為由圓錐內向外

解由 Stokersquos law ( )S

A dsrarr rarrnablatimes sdotint ＝

C

A drarrsdotint 其中路

徑 C 為 x-y 平面圓心在原點之單位圓 ˆ ˆd rd dϕ ϕ ϕ ϕ= =

2

0ˆ ˆsin sin

2 2C

d dπϕ ϕϕ ϕ ϕ ϕ⎛ ⎞ ⎛ ⎞sdot =⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠int int ( )0

2 sin u duπ

= int 0cos | 2u π= minus =

習題 16 磁場 B 因為不是保守場所以沒有對應的純量位而對應一

個向量位 A (vector potential)而 B A= nablatimes 一個磁鐵的磁偶極矩

ˆm mz= 被置於原點已知在遠處的 vector potential 03ˆ sin

4mAr

μϕ θπ

=

計算該處的磁場 B Ans 03

ˆˆ( 2cos sin )4

mB rr

μ θ θ θπ

= + 與電偶極遠處

的電場形式一致都是偶極(dipole) 選幾個點畫一畫該處的場向量

把磁力線描出來

附錄本章講義的內容有部分可以經由直接計算得出列在附錄做為

參考

用「圓柱座標」寫 Atimesnabla

Ararr rarrnablatimes ＝ ( )1ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ zz A A zA

z ρ φρ ϕ ρ ϕρ ρ ϕpart part part⎛ ⎞+ + times + +⎜ ⎟part part part⎝ ⎠

4-65

因為rdquo sdotrdquo與rdquotimes rdquo都是向量間的運算所以

＝ ( )ˆ ˆ ˆ ˆ zA A zAρ φρ ρ ϕρpart

times + +part

＋ ( )1ˆ ˆ ˆ ˆ zA A zAρ φϕ ρ ϕρ ϕ

parttimes + +

part

＋ ( )ˆ ˆˆ ˆ zz A A zAz ρ φρ ϕpart

times + +part

直接做上式微分可以得到

＝1ˆ z AA

zϕρ

ρ ϕpart⎛ ⎞part

minus⎜ ⎟part part⎝ ⎠＋ ˆ zA A

zρϕ

ρpart⎛ ⎞part

minus⎜ ⎟part part⎝ ⎠＋

1 1ˆ ( )A

z A ρϕρ

ρ ρ ρ ϕpart⎛ ⎞part

minus⎜ ⎟part part⎝ ⎠

上式可以用一個行列式來表示

rarrrarr

timesnabla A＝

ˆ ˆ ˆ1

z

z

zA A Aρ ϕ

ρ ρϕ

ρ ρ ϕρ

part part partpart part part

（A-1）

A and Anabla nablasdot nablatimes in 球座標 spherical coordinate

如上圖球座標 )( ϕθr 其中 )0[ infinisinr ]0[ πθ isin ]20[ πϕ isin 只有 r

是長度而 ϕθ 為角度是用來說明方向的三個座標的單位向量 ˆ ˆˆ r θ ϕ 具

有下列性質

4-66

1 如上圖 ˆ ˆˆ r θ ϕ 都不是常數而是（ ϕθ ）的函數

ˆ ˆ( )ˆ ˆ( )ˆ ˆ( )

r r θ ϕ

θ θ θ ϕϕ ϕ ϕ

⎧ =⎪

=⎨⎪ =⎩

)( ϕθr 與(xyz)之間的轉換如下

sin cossin sincos

x ry rz r

θ φθ φθ

=⎧⎪ =⎨⎪ =⎩

( )122 2 2

2 2

tan

tan

r x y z

x yz

yx

θ

φ

⎧ = + +⎪⎪ +⎪ =⎨⎪⎪ =⎪⎩

（A-2）

2 ˆ ˆˆ r θ ϕ 形成一「歸一正交集」ie

ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ 1r r θ θ ϕ ϕsdot = sdot = sdot = ˆ ˆr θ ϕperp perp

ˆ ˆr θ ϕtimes = ˆ ˆ rθ ϕtimes = ˆˆ rϕ θtimes = （A-3）

3可以很容易的由他們在 xyz 軸上的投影由直角

座標的 ˆ ˆ ˆ x y z 表出

ˆ ˆ ˆ ˆsin cos sin sin cos ( 4 )ˆ ˆ ˆ ˆcos cos cos sin sin ( 4 )ˆ ˆ ˆsin cos ( 4 )

r x y z A a

x y z A bx y A c

θ φ θ φ θ

θ θ φ θ φ θϕ φ φ

= + + minus⎧⎪

= + minus minus⎨⎪ = minus + minus⎩

4 ˆdr = 由於 ˆ ˆ( )r r θ φ= 所以由 ϕθ 的變動來看

4-67

ˆ ˆˆ| |ˆ ˆˆ| | sin sin

d r d d

d r d d

θ θθ θθ

φ θ φφ θ φφ

⎧ rArr =⎪⎨

rArr =⎪⎩rArr ˆ ˆˆ sindr d dθ θ φ θ φ= + （A-5）

rArrˆ ˆr θθpart

=part

ˆ ˆsinr θφφpart

=part

（A-6）

（A-6）的結果也可以直接由（A-4a）對 ϕθ 偏微得到

5 ˆdθ ＝ 由於 ˆ ˆ( )θ θ θ φ= 所以由 ϕθ 的變動來看

ˆ ˆ ˆ| | ( )ˆ ˆ ˆ| | cos cos

d d r d r

d d d

θ θ θ θ

φ θ θ φφ φ θ φ

⎧ rArr minus = minus⎪⎨

rArr =⎪⎩rArr ˆdθ ＝ ˆˆ cosrd dθ φ θ φminus + （A-7）

ˆrθ

θpart

rArr = minuspart

ˆ ˆcosθ φ θφpart

=part

（A-8）

請直接由（A-4b）對 ϕθ 偏微的結果 check（A-8）

6 ˆdφ ＝由於φ )(ϕ 躺在 x-y 平面上變動φ時的方向可能不是那麼

容易看出來所以做圖看一看

ie ˆ ˆˆ(sin ) (cos )d r d dφ θ φ θ θ φ= minus minus （A-9）

4-68

ˆ ˆˆsin cosrφ θ θ θφpart

= minus minuspart

7 所有的向量 ˆ ˆˆ rA rA A Aθ φθ φrarr= + +

8 位置向量 ˆr rrrarr=

可以由左圖 ˆ ˆˆ r θ ϕ 三個方向的「長度

變化」輕易的看出

9 位移元素

ˆ ˆˆ ˆ sindr rdr rd dθ θ ϕ θ φ= + + (A-10)

10 體積元素

sindv dr r d rdθ φ θ= sdot sdot

＝ 2 sinr dr d dθ θ φ (A-11)

11 面積元素 2 sinrds r d dθ θ φ= plusmn sinds r drdθ θ φ= plusmn ds rdrdφ θ= plusmn (A-12)

plusmn號表示面的垂直方向有兩個端看 ds 周邊的方向是如何定的

nabladel 考慮 ( )u u r θ φ=

rArru u udu dr d dr

θ φθ φ

part part part= + +part part part

u d rrarr rarr

equiv nabla sdot

urarr

= nabla sdot ˆ ˆˆ( sin )rdr rd dθ θ φ θ φ+ +

rArr1 1ˆ ˆˆ

sinu u uu rr r r

θ ϕθ θ φ

rarr part part partnabla = + +

part part part

1 1ˆ ˆˆsin

rr r r

θ ϕθ θ φ

rarr part part partnabla equiv + +

part part part （A-13）

4-69

直接用（A-13）與 ˆ ˆˆ rA rA A Aθ φθ ϕrarr= + + 逐項內積加上（A-678）

rArr ϕθ

θθθ

ϕθ part

part+

partpart

+partpart

=sdotnablararrrarr A

rA

rAr

rrA r sin

1)(sinsin1)(1 2

2 （A-14）

（A-13）與 ϕθ ϕθ AAArA r

andandandrarr

++= 逐項外積整理之後

ϕθ θϕθ

ϕθθ

θArrAA

r

rrr

rA

r sin

sin

sin1

2 partpart

partpart

partpart

=timesnabla

andandand

rarrrarr

（A-15）

Laplacian uu nablasdotnabla=nabla2

2

2

2222

22

sin1)(sin

sin1)(1

ϕθθθ

θθ partpart

+partpart

partpart

+partpart

partpart

=nablau

ru

rrur

rru （A-16）

B推導「散度」在圓柱座標的寫法

讓我們先回顧一下在直角座標裡的「面積元素」可以由「位移元素」

得到

ˆˆ ˆ x y zdr idx jdy kdz da dydz dxdz dxdy= + + rArr =

比照辦理「圓柱座標」的位移元素

( )ˆˆ ˆ( )

( )z

da d dzdr d d zdz da d dz

da d d

ρ

φ

ρ φ

ρ ρ φ ρ φ ρ

ρ ρ φ

=⎧⎪= + + rArr =⎨⎪ =⎩

這個結論可以輕易的由面積元素在垂直於 zˆˆ ϕρ 三個方向的面積看

出如下圖考慮一個以 )( zϕρ 為中心的「圓柱體積元素」(cylindrical

cubiod)體積為 zdV ΔΔ=Δ ϕρρ 現計算在 ρ

方向的 12 兩個平行面(方向各為 ρplusmn )的通

量

4-70

zzF

dsFdsnFS S

ΔΔ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

+cong

=sdotintint intintϕρρϕρρρ

ρ

2

2

ˆ1 1

zzF

dsFdsnFS S

ΔΔ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

minus⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

minusminuscong

minus=sdotintint intintϕρρϕρρρ

ρ

2

2

ˆ2 2

intint+

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

minus⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

minusminus⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

+Δ

asympsdotΔ

rArr21

22

22

1ˆ1

SS

zFzFdsnFV

ϕρρρρϕρρρρρρ ρρ

( ) ( )

1 20

0

0

1 ˆlim

1lim 2 2 2 2

1 1lim 2 2

1

VS S

F ndsV

F z F z

F z F z

F

ρ ρρ

ρ ρρ

ρ

ρ ρ ρ ρρ ρ φ ρ ρ φρ ρ

ρ ρρ ρ φ ρ ρ φρ ρ

ρρ ρ

Δ rarr+

Δ rarr

Δ rarr

rArr sdotΔ

Δ Δ Δ Δ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + + minus minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥Δ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦Δ Δ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥Δ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

part ⎡ ⎤= ⎣ ⎦part

intint

娛樂一下用上述方式把圓柱的 Fsdotnabla 裡的z

FF z

partpart

+partϕρϕ1

變出來

球座標的nabla和 Fsdotnabla 也可以試試看

補充習題

H M Scheydiv grad curl and all that 4th edition

第二章習題 6 8 9 10 11 14 15 16 18 19 21 22 23 25 26 27

第三章習題 2 3 5 6 7 8 9 10 11 14 15 17 18 19 24

4-19

窮大的平面」是可以是「正方形」或是「圓形」的

2

2

22

00 0 0

22

4 2 2( )2 2 2

(4 45)

u u u

x

dulet u r du rdr rdr

duI e d e du e

I e dx

π

π πθ π

π

infin infininfinminus minus minus

infinminus

minusinfin

= rArr = rArr =

rArr = = sdot = minus sdot =

rArr = = minus

int int int

int

ex18 重力位能

由位能差的定義 )()()( BAWBUAU rarrequivminus

（B）圓柱座標 cylindrical coordinates

3D 空間點 P(x y z)的位置向量 ˆ ˆ ˆr xx yy zz= + +

定義「圓柱座標」 ( )zρ ϕ 其中

0 [0 )P zρ ρ ρequiv ge there4 isin infin點 到 軸之垂直距離

ϕ ρequiv 在 x-y 平面的投影與 x 軸之夾角 [02 ]ϕ πisin

z zequiv同直角座標的

4-20

「圓柱座標」就是「極座標」（用 ( )ρ ϕ 取代 ( )r θ ）再加上第三維 z

所以圓柱座標 ( )zρ ϕ 裡 zρ 的因次為長度而ϕ 只是一個數字

( )zρ ϕ 與(x y z)間的轉換如下

2 2 cos

tan sin

x yx

y yx

z zz z

ρρ ϕ

ϕ ρ ϕ

⎧ = +=⎪ ⎧

⎪ ⎪= =⎨ ⎨⎪ ⎪ =⎩=⎪⎩

（4-46）

「圓柱座標」的三個方向單位向量 ˆ ˆ ˆ zρ ϕ 如圖

且 ˆ ˆ zρ ϕperp perp 可以看出ρ 的等值面為一個圓柱

面ϕ 的等值面是一扇門z 的等值面為一個垂

直 z 軸的平面但是

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( ) zρ ρ ϕ ϕ ϕ ϕ= = =常數

柱座標的位置向量 r 如左圖

ˆ ˆr zzρρ= + （4-47）

在柱座標寫位移元素dr 有兩種作法一

種是直接由（4-47）式取微分元素 借用

平面極座標的結果可得

ˆ ˆ ˆ( ) ( )

ˆ ˆ ˆdr d d dzz

d d dzzρ ρ ρ ρ

ρρ ρ ϕϕrArr = + +

= + + （4-48）

但也可以由三個座標方向的

位移來看由左圖可得沿 ρ 方向

的長度變化 ie 當座標ρ 有變

化dρ 時產生的長度變化就是

dρ 沿ϕ 的長度變化為 dρ ϕ

而沿 z 方向的長度變化為 dz

4-21

dr 是一個向量有三個分量ρ -分量就是沿 ρ 方向的長度變化

dρ ϕ -分量沿ϕ 的長度變化為 dρ ϕ 而 z-分量就是沿 z 方向的長度變

化為 dz合併寫出

ˆ ˆ ˆdr d d dzzρρ ρ ϕϕ= + +

與（4-48）式完全相同但是這種由幾何角度得到的結果要更方便

也更直觀Fig 27 非常重要因為只要你能把圖畫出來位移的各

分量就寫得出來有了位移元素dr 速度與加速度就可得出

ˆ ˆ ˆ (4 49)

ˆ ˆ ˆ( ) (2 ) (4 50)

drv zzdtdva zzdt

ρρ ρϕϕ

ρ ρϕ ρ ρϕ ρϕ ϕ

rArr = = + + minus

rArr = = minus + + + minus

由上圖與dr 的 3 個分量可得圓柱座標的體積元素

dV d d dz d d dzρ ρ ϕ ρ ρ ϕ= sdot sdot = （4-51）

ex19 底面半徑 R高 h 的圓柱體積＝ 2 2

2

0 0 0

22

R h RV dV d d dz h R hπ

ρ ρ ϕ π π= = = sdot sdot =int int int int

ex20 底面半徑 R高 h 的「圓錐」體積＝

解本圓錐裡點的座標分佈為 [02 ] [0 ]z hϕ πisin isin ( )zρ ρ=

( ) ( )( )

h z h Rz h zz R h

ρρminus

= rArr = minus

22( )( ) 2 2

0 0 0 0 0 0

002 2 2 3 2 32 2 2

2 2 2 20

( )2 2

2

1( )3 3 3

R h zzh h hh

h

h h

R h zhV d dz d d dz d dz

R R R u R hh z dz u du R hh h h h

ρ π

τ ρ ρ ϕ π ρ ρ π

π π π π π

minus

minus minus

minusthere4 = = = =

= minus = = = =

int int int int int int int

int int

如果我們把 3-D 的三個座標寫為 1 2 3( )u u u 或 123iu i = 當座

標 ui(在 ˆiu 方向)變動 dui 時造成的長度變化為 id 則定義

4-22

i i id h duequiv (4-52)

其 中 hi 稱 為 座 標 ui 的 度 量 係 數 (metric

coefficient)由 zρ 的因次為長度所以 zρ 的變

化 d dzρ 就是長度的變化所以 1 1zh hρ = =

然而ϕ 的變化造成的長度變化為

d d hϕ ϕρ ϕ ρ= rArr = (4-53)

很明顯的直角座標 xyz 都是長度所以度量係數 1x y zh h h= = =

(C) 球座標 spherical coordinates

3D 點 P(x y z)的位置向量 ˆ ˆ ˆr xx yy zz= + + 定義

「圓柱座標」 )( ϕθr 其中

[0 ] [0 ]

[02 ]

r P rr zr x y x

θ θ πϕ

ϕ π

⎧ equiv isin infin⎪

equiv isin⎪⎨

equiv minus⎪⎪ isin⎩

原點到 的距離

與 軸的夾角

在 軸投影與 軸的夾角

球座標的ϕ 與住座標的ϕ 相同

( )r θ ϕ 與(x y z)間的轉換如下下列為（4-54）

2 2 2

2 2 2

sin coscos sin sin

cos

tan

r x y zx r

z y rx y z z r

yx

θ ϕθ θ ϕ

θ

ϕ

⎧⎪ = + +⎪ =⎧⎪ ⎪= =⎨ ⎨

+ +⎪ ⎪ =⎩⎪⎪ =⎩

三個座標的單位向量 )ˆˆˆ( ϕθr 如左圖一可以看

出 r 的等值面是一個球面θ 的等值面為一個

以原點為頂點的圓錐ϕ 的等值面為一扇門

位置向量 ˆr rr= （4-55）

4-23

位移由 ˆ ˆˆ( )r θ ϕ 3 個方向的「長度

分量」可得 ˆ ˆˆ ( ) ( sin )dr rdr rd r dθ θ ϕ θ ϕ= + +

（4-56）

所以體積元素

2

( )( sin )(sin )

d dr rd r dr dr d d

τ θ θ ϕ

θ θ ϕ

=

= （4-57）

Fig 31 和 Fig 27 一樣重要只要

你能畫得出來就可以寫出球座

標位移的三個分量

ex21 求一半徑 R 的球體積 2

2 2 3

0 0 0

4sin sin3

R

V d r dr d d r dr d d Rπ π

τ θ θ ϕ θ θ ϕ π= = = =int intintint int int int

ex22 求一質量 M半徑 R密度 ( )3 4 3M Rρ π= 的實心球對直徑

旋轉的轉動慣量

解質量元素 2 sindm d r dr d dρ τ ρ θ θ ϕ= = 到 z 軸的垂直距離為 sinr θ=

22 4 3

0 0 0

5 52

sin

4 8 225 3 15 5

RI dm r dr d d

R R MR

π πρ θ θ φ

πρ π ρ

= =

= sdot sdot = =

intintint int int int

娛樂一下空心球對直徑的轉動慣量

(4-46)式與(4-54)式說明柱座標和球座標與直角座標之間的轉

換Fig 32 可得出柱座標和球座標之間轉換

2 2

sintan

cos

r zr

zz r

ρρ θ

ρϕ ϕ θθ ϕ ϕ

⎧ = += ⎪⎧

⎪ ⎪= =⎨ ⎨⎪ ⎪=⎩ =⎪

⎩

（4-58）

4-24

Ex23 點 P 的球座標為（31200 600）求柱座標＝

解2 3 33sin3 2πρ ⎛ ⎞= =⎜ ⎟

⎝ ⎠

23

ϕ π= 2 33cos3 2

z π minus⎛ ⎞= =⎜ ⎟⎝ ⎠

直角座標柱座標球座標單位向量之間的轉換

三種座標之間的轉換由(4-46)式(4-54)式與（4-58）式表出但

三種座標裡的的三個單位向量 ˆ ˆ ˆ x y z ˆ ˆ ˆ zρ ϕ ˆ ˆˆ r θ ϕ 若以 123ˆ iu =

表示則單種座標的單位向量之間都有正交歸一關係

ˆ ˆi j iju u δsdot = 與外積的循環關係

ˆ ˆ ˆ i j ku u u i j ktimes = cyclic in 123

ie 1 2 3 2 3 1 3 1 2ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ u u u u u u u u utimes = times = times = or ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆˆ ˆ r z z x yθ ϕ ϕ ρtimes = times = times =

然而不同座標系的單位向量之間關係如何我們畫圖來討論

球座標 ˆ ˆˆ( )r θ ϕ rarr直角座標 ˆ ˆ ˆ( )x y z

單位向量都是用來指方向的球座標的 ˆ ˆˆ( )r θ ϕ 都是「方向角」( )θ ϕ

的函數 r 在直角座標可以由 Fig33 看出

ˆ ˆ ˆ ˆsin cos sin sin cosr x y zθ ϕ θ ϕ θ= + + （4-59）

ex24 P 點的球座標為2 75 3 6π π⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠

試用球座標與直角座標求 P 點的位

置向量的單位向量 解位置向量 ˆr rr= 在球座標只有 r-分量標位置仔細一點把方向

角標出2 7ˆ 3 6

r π π⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

通常只是寫 r 令人有點摸不著頭緒用直角

4-25

座標比較「具像」 2 7 2 7 2ˆ ˆ ˆ ˆsin cos sin sin cos3 6 3 6 3

3 3 1ˆ ˆ ˆ4 4 2

r x y z

x y z

π π π π π⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞minus minus minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + +⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

單位向量θ 在某一組 ( )θ ϕ 的指向如 Fig 34a將θ 平移至原點更清楚

Fig34b 是由側面看 Fig34a可以看到θ 在 z 軸的投影為 sinθminus 而θ 在

x-y 平面的投影為cosθ使得θ 在 x-軸的投影為cos cosθ ϕy-軸投影

為cos sinθ ϕ於是

ˆ ˆ ˆ ˆcos cos cos sin sinx y zθ θ ϕ θ ϕ θ= + minus （4-60）

單位向量ϕ 如 Fig 35a 所示是在 x-y 平面畫出

Fig 35b 為自 z 軸向下看 Fig35a 圖可以看出ϕ 在 z 軸投影為 0且

ˆ ˆ ˆsin cosx yϕ ϕ ϕ= minus + （4-61）

ex25 一個質點的速率為 2( ) ( sin tan )v r rθ ϕ θ ϕ= 若經查該質點的運

動 是 在 z = 3 平 面 做 逆 時 針 圓 周 運 動 則 當 位 置 的 方 向 角

4-26

2( ) 4 3π πθ ϕ ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

時計算其速度用球座標與直角座標表出

解圓運動速度方向是沿切線所以球座標 ˆ ˆ( )v v v rϕ θ ϕ ϕ= =

z = 34πθ =

3 3 21cos cos 24

z zrπθ

rArr = = = =⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

所以該處的瞬時速率

2 2

2( ) 3 3 4 3

2 1 813 3sin tan 3 3 ( 3)4 3 22

v r v π πθ ϕ

π π

⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

⎡ ⎤ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = times minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

2 81 2ˆ3 3 4 3 2 4 3

v r π π π πθ ϕ ϕ⎛ ⎞ ⎛ ⎞rArr = = = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

在直角座標2 2 2ˆ ˆ ˆ sin cos

4 3 3 3x yπ π π πϕ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠3 1ˆ ˆ

2 2x y= minus minus

而且點23 3

4 3π π⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠

的直角座標為

2 1 3 3sin cos 3 3sin cos 3 34 3 2 22 2

x r π πθ ϕ minus minus⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

2 3 9sin sin 3 3sin sin 3 34 3 2 2 2 2

y r π πθ ϕ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = = =⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

z = 3

23 3 4 3

v π π⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

3 3 9 81 3 1ˆ ˆ 32 2 2 2 22 2

v x y⎛ ⎞ ⎛ ⎞

rArr = minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

以上兩個例子都只討論只有一個圓座標分量的向量in general 向量

ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( )r x y zA r rA A A A r xA yA zAθ ϕθ ϕ= + + hArr = + + （4-61）

若已知球座標的分量 ( )rA A Aθ ϕ 如何得到直角座標的

( )x y zA A A

4-27

ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( )ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( )

ˆ ˆˆˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( )

x r

y r

z r

A x A r x r A x A x A

A y A r y r A y A y A

A z A r z r A z A z A

θ ϕ

θ ϕ

θ ϕ

θ ϕ

θ ϕ

θ ϕ

⎧ = sdot = sdot + sdot + sdot⎪⎪ = sdot = sdot + sdot + sdot⎨⎪

= sdot = sdot + sdot + sdot⎪⎩

（4-62）

由式（4-59）（4-61） ˆ ˆ ˆ ˆsin cos sin sin cosr x y zθ ϕ θ ϕ θ= + + （4-59） ˆ ˆ ˆ ˆcos cos cos sin sinx y zθ θ ϕ θ ϕ θ= + minus （4-60）

ˆ ˆ ˆsin cosx yϕ ϕ ϕ= minus + （4-61） ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆsin cos cos cos sin ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆsin sin cos sin cos ˆ ˆˆˆ ˆcos sin 0

x r x x

y r y y

z r z z

θ ϕ θ θ ϕ ϕ ϕ

θ ϕ θ θ ϕ ϕ ϕ

θ θ θ ϕ

⎛ ⎞sdot = sdot = sdot = minus⎜ ⎟

rArr sdot = sdot = sdot =⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟sdot = sdot = minus sdot =⎝ ⎠

（4-63）

sin cos cos cos sin sin sin cos sin cos

cos sin 0

x r r

y RS

z

A A AA A M AA A A

θ θ

ϕ ϕ

θ ϕ θ ϕ ϕ

θ ϕ θ ϕ ϕ

θ θ

⎛ ⎞minus ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟rArr = equiv⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟minus⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

（4-64）

其中 SRM 為由球座標分量轉為直角座標分量的轉換矩陣且行列式

det SRM =1 表示反矩陣存在then 1SRM minus 就是將直角座標分量轉為球座

標分量之轉換矩陣其實嚴格講 (4-64)式還不是最終的表示因為

轉換完的直角

座標應該全部以 x y z 表出這裡保留用 θ ϕ 只是為了簡潔方便

習題 2 Find 1SRM minus

習題 3 用 xyz 表出(a)sinθ (b)cosθ (c)sinϕ (d)cosϕ

Ans (a)2 2

2 2 2sin

x yx y z

θ+

=+ +

(b)2 2 2

cos zx y z

θ =+ +

(c)2 2

sin yx y

ϕ =+

(d)2 2

cos xx y

ϕ =+

習題 4 用上面結果將 SRM 用 xyz 表出

Ex26 Given a field ( )A r θ ϕ ＝ ˆ ˆˆ2 3r θ ϕ+ minus in spherical coordinates

find the field in rectangular coordinates （直角座標）

4-28

解這裡的 ( )A r θ ϕ 不因其三個分量都是常數而只是「一個」向量

而是一 vector field這是因為 ˆ ˆˆ r θ ϕ 都不是定值而與 θ ϕ 有關而如

果 ( )A r θ ϕ 表示則單位向量所對應的角度 θ ϕ 必須要標定所以

sin cos cos cos sin 2sin sin cos sin cos 3

1cos sin 0

x

y

z

AAA

θ ϕ θ ϕ ϕ

θ ϕ θ ϕ ϕ

θ θ

⎛ ⎞minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ minusminus⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

(2sin 3cos )cos sin(2sin 3cos )sin cos

2cos 3sin

x

y

z

AAA

θ θ ϕ ϕθ θ ϕ ϕ

θ θ

+ +⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟rArr = + minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟minus⎝ ⎠ ⎝ ⎠

習題 5 Draw a diagram to show in the cylindrical coordinates

(a) ˆ ˆ ˆcos sinx yρ ϕ ϕ= + (b) ˆ ˆ ˆsin cosx yϕ ϕ ϕ= minus + (c) ˆ ˆz z=

習題 6 use the above results show that 由柱座標分量轉為直角座標分

量的轉換矩陣

x

y CR

z z

A AA M AA A

ρ

ϕ

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟=⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

CRM =

2 2 2 2

2 2 2 2

0cos sin 0sin cos 0 0

0 0 10 0 1

x yx y x y

y xx y x y

ϕ ϕ

ϕ ϕ

minus⎛ ⎞⎜ ⎟+ +⎜ ⎟⎛ ⎞minus⎜ ⎟⎜ ⎟

= ⎜ ⎟⎜ ⎟+ +⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

Ex27 Express vector ˆ ˆ ˆ(3cos ) 2 5A zρ ϕ ϕ ρ= minus + in Cartesian

coordinates Specifically the A at the position of (2 2 3π -3)

解

2cos sin 0 3cos 3cos 2 sinsin cos 0 2 3cos sin 2 cos

5 50 0 1

x

y

z

AAA

ϕ ϕ ϕ ϕ ρ ϕϕ ϕ ρ ϕ ϕ ρ ϕ

⎛ ⎞minus ⎛ ⎞+⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟= minus = minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

so that A (2 2 3π -3)= 3 3 3ˆ ˆ ˆ3 3 3 54 4

x y z⎛ ⎞⎛ ⎞+ + minus +⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠注意本

題裡 z 座標並非一變數

4-29

sect 43 Fields and its properties 場與其性質

「場 field」是什麼凡是在「某個空間中每一點」都有定義的量

就是一個「場」所以「場」也稱為「點函數 point function」簡單的

說凡是「空間的函數」都是「場」如果這個「空間的函數」是一個

純量 u(xyz)那麼 u(xyz)就是一個「純量場 scalar field」例如室內

的溫度 T(xyz)一塊豬肉的密度 ( )x y zρ 大氣中的壓力 p(xyz)等

都是純量場如果這個「空間的函數」是一個向量 )( zyxA 那麼

)( zyxA 就稱為「向量場 vector field」例如空間中的電場 )( zyxE

水流中的速度場 )( zyxv 重力場 )( zyxg 等等很顯然的不論是純量

場還是向量場「場」在空間中的分佈通常未必是均勻的那麼她有

什麼性質呢例如一塊豬肉內部密度是如何變化的水流中有沒有

漩渦大氣中的等壓線是如何變化的等等那麼有沒有什麼量可以

有系統的描述各種場的分佈有我們在以下分別討論

sect 431 Gradient of scalar fields 純量場的梯度

考慮一個純量場 f(xyz)可以視為 3 個變數 xyz 的函數當變數變動為

x+dx y+dy z+dy 時造成 f 的變化

f f fdf dx dy dzx y zpart part part

= + +part part part

（4-65）

由幾何意義來看上式更為具體上式表示純量場 )(rf 基於位置的變化

r r drrarr + (或由 ( ) ( )x y z x dx y dy z dzrarr + + + )所造成 f 的變動

我們現在定義一個向量算符 vector operator nabla (or nabla )（讀做 del）

ˆ ˆ ˆx y zx y zpart part part

nabla equiv + +part part part

(4-66)

如果將 del 作用在純量場 )(rf 上將產生出現一個新的「向量場」 fnabla

稱為純量場「 )(rf 的『梯度 gradient』」

4-30

ˆ ˆ ˆ( ) f f fgrad f f x y zx y zpart part part

equiv nabla = + +part part part

（4-67）

這使得由於任意位移 ˆ ˆ ˆdr xdx ydy zdz= + + 所造成 f 的變化量

df f drrArr =nabla sdot （4-61）

ex28 Given scalar field 2( )f r xy z= and 2 2 2

1 1( )g rrx y z

= =+ +

(a) find the value of ( )f r and fnabla at point P(2 1-1) 解 2(21 1) 2 1 ( 1) 2f minus = times times minus = minus

2 2 2

2 2

ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( )

ˆ ˆ ˆ( ) ( 2 ) ( )

f x xy z y xy z z xy zx y z

x y z y x yz z xy

part part partnabla = +

part part part

= +

＋

＋

ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ(21 1) ( 1) (2 2) (2) 4f x y z x y znabla minus = minus + timesminus = minus minus＋ ＋2 (b) find the value of ( )g r and gnabla at the point P

解2

1 1(21 1)62 1 1

g minus = =+ +

2 2 2 12 2 2 2 12

2 2 2 12

ˆ ˆ( ) ( )

ˆ ( )

g x x y z y x y zx y

z x y zz

minus minus

minus

part partnabla = + + + + +

part partpart

+ +part

＋

2 2 2 32 2 2 2 32 2 2 2 32

2 2 2 32 3 2

ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( )

ˆ ˆ ˆˆ( )( )

OR OR

xx yy zzgx y z x y z x y zxx yy zz r r

x y z r r

minus minus minusrArrnabla = + +

+ + + + + +minus + + minus minus

= = =+ +

32

ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ(2 ) 2(21 1)6 6 6

x y z x y zg minus + minus minus minus +rArrnabla minus = =

由 gnabla 看到一個粉常用的結果就是

3 2

ˆ1 ORr rr r r

minus minusnabla = = （4-62）

順便比較一下

2 2 2 12 2 2 2 12 2 2 2 12

2 2 2 12

ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( )

ˆ ˆ ˆ( ) ˆ (4 63)( )

r x x y z y x y z z x y zx y zxx yy zz r r

x y z r

part part partnabla = + + + + + + +

part part part+ +

= = = minus+ +

＋

4-31

(c) what is the angle between (21 1)fnabla minus and (21 1)gnabla minus

解 (21 1)fnabla minus (21 1)gsdotnabla minus ＝（ ˆ ˆ ˆ4x y zminus minus ＋2 ） sdotˆ ˆ ˆ26 6x y zminus minus +

＝2 4 2 4

6 6 3 6+ +

= ＝ | (21 1) |fnabla minus | (21 1) |gnabla minus cosθ

＝ 34 1 1 211 16 4 cos cos

6 6θ θ+ +

+ + =

1 4 2cos 07773 7

radθ minus ⎛ ⎞= =⎜ ⎟

⎝ ⎠

要注意隨然nabla有向量的性質但是他並不是一個真的向量真

實向量 A與純量 f ( )r 的乘法滿足交換率ie ( ) ( )Af r f r A= 但是

f fnabla ne nabla因為

( )f rnabla ＝ ˆ ˆ ˆf f fx y zx y zpart part part

+ +part part part

是一個向量函數而

ˆ ˆ ˆ( )f r x y zx y z

⎛ ⎞part part part+ +⎜ ⎟part part part⎝ ⎠

是一個算符（operator）

若nabla要與向量場 A 作用由於nabla與 A 都具有向量的性質先看「內積」

ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ( )

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

x y z

x y

z

y yx xz z

A x y z xA yA zAx y z

x y z xA x y z yAx y z x y z

x y z zAx y z

A AA AA Ax x x y x zx y z x y z

⎛ ⎞part part partrArrnablasdot = + + sdot + +⎜ ⎟part part part⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞part part part part part part= + + sdot + + + sdot⎜ ⎟ ⎜ ⎟part part part part part part⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞part part part

+ + + sdot⎜ ⎟part part part⎝ ⎠part partpart partpart part

= sdot + sdot + sdot + sdotsdot sdot = + +part part part part part part

yx zAA AAx y z

partpart partnablasdot = + +

part part part (4-64)

上式中的 Anablasdot 是向量場 A 的一個重要的性質稱為 A 的「散度」詳

細的內容在後面會仔細討論這裡引進 Anablasdot 主要是要表明nabla是個「算

符」表示一個運算不是一個真實的向量只是在「直角座標」裡

4-32

因為單位向量 ˆ ˆ ˆ x y z 是常數不受微分的作用以致nabla表現得好像也

是個一般的向量一樣事實上真實向量和nabla間的「內積」就不滿足交

換率

x y zA A A A an operator Ax y zpart part part

sdotnabla = + + = ne nablasdotpart part part

(4-65)

這也使得任意向量場 ( )A r 因位置變動 r r drrarr + 而產生的變化由於

)( zyxA 也是 3 個變數 xyz 的函數可以寫為

( )A A AdA dx dy dz dr Ax y z

part part part= + + = sdotnabla

part part part （4-66）

ex29 (a)Given field 2ˆ ˆ ˆ2A xxy y x zyz= minus + find Anablasdot at point (1-12)

解2( ) (2 ) ( ) 2xy x yzA y yz

x y zpart part part

nablasdot = + + = +part part part

(1 12)1 2( 1)2 3A

minusnabla sdot = minus + minus =

(b) find rnablasdot 解 rnablasdot = 3x y zx y zpart part part

+ + =part part part

梯度的意義

由（4-67）可以看到「f 的梯度 fnabla 」

是一個由「純量場 f」衍生出的向量

場由（4-26）也可以看出 fnabla 扮演類

似「變化率」的角色

空間中將相同值 f ( )r ＝f1 的點連

起來就得到一個 f ( )r ＝f1 的「等值面」如 Fig36考慮純量場 f( r )的

相鄰兩個等值面各對應定值 1f f= 與 1f f df= + 0df gt P1 點在 f1

等值面上相鄰兩點 P2P3 在 1f df+ 等值面上而向量 1 2 ˆnP P dn e dn= =

過 P1 點垂直於 f1 等值面 1 3 ˆP P d e d= = 與 ˆne dn夾角為α 由於不

論 1 2P Prarr 或 1 3P Prarr f 的變化量都是 df 但因距離 dn 係兩等值面最

4-33

短的距離d dngt 所以 1 2P Prarr 或 1 3P Prarr 造成的「變化率」df dfdn d

gt

而過 P1 點的最大變化率為dfdn

換言之向量 ˆndfedn

為過 P1 點垂直於

f1 等值面且指向最大「增加率」的方向 現在要證明

ˆndfe fdn

= nabla （4-67）

考慮 1 3P Prarr 造成的 f 值的變化率

ˆ ˆcos n ldf df dn df df e edl dn dl dn dn

α= = = sdot

ˆ ˆ ˆn l ndf dfdf e e dl e dldn dn

rArr = sdot = sdot

和（4-61）式df f dr= nabla sdot 相比即可得證 ˆndfe fdn

= nabla 所以可以知道

空間純量場 f ( )r 中任一點處的向量 fnabla 必「垂直」於「通過該點的 f的等值面」且指向 f 值最大「增加率」的方向| ( )f rnabla |就是 f 在 r 點

的最大增長率可以進一步定義等值面的「法線 normal」方向為

ˆ fnf

nabla=nabla

（4-68）

結論給定一個純量場 f( r )在每一點 r 可以定義一個稱做「梯度」

的向量 fnabla fnabla 垂直於過 r 點的 f 等值面且指向最 f 大增加率的方向

fnabla 的方向也定義了 f 等值面的法線方向

Ex30 考慮一個 2D 的 scalar field 2( )f x y y x= minus 計算該場在 )20( 的梯度與

法線方向

解 ˆ ˆ ˆ ˆ2f ff x y x yyx ypart part

nabla = + = minus +part part

ˆ ˆ(0 2) 2 2f i jnabla = minus + ˆ ˆ ˆ ˆ2 2 2 2ˆ(0 2)

31 8i j i jn minus + minus +

rArr = =+

4-34

ex31 點電荷 q 置於原點其產生電位為 ( ) qV rr

= 求負梯度qr

minusnabla

解 3

2 2 2 22 2 2

2 ( )2

q q q q x x y zr x rx y z

minuspart minus= rArr = sdot + +

part+ +

3 23

ˆˆ ˆ ˆ( )q ix jy kz r rq q qr r r r

minus + +rArr minusnabla = minus = = （點電荷的電場）

0 0

1 1 r r

noter r= =

nabla rarrinfin rarrinfin∵ 是不定值是因為 r = 0 處為最大值

「增加率」的方向無法確定

ex32 置一熱源於原點空間溫度分佈為1( )

( 2)T r

r=

+求溫度的梯度

解 2 2 2

ˆ( ) ( )( 2) ( 2) ( 2)

x rT r rr rT r

x r r r

minuspart minus

= rArrnabla = =part + + +

此處的負號表示梯

度指向熱源因為距熱源越遠溫度越低 ( 0)note T rnabla = 為不定值

因在最頂點「增加率」的方向無法確定

Ex33 地圖上山脈的等高線上各點的垂直方向由梯度決定現有一座

山是橢球 2)1(4 222 =+++ zyx 在 x-y 平面上方的

部分求地圖上這座山等高線的梯度

解 山高 142 22 minusminusminus== yxzh 所以等高線為橢

圓 222 )1(24 +minus=+ hyx 梯度

( ) ( ) ( )2 2 2 2

2 2

ˆ ˆ4ˆ ˆ2 4 1 2 4 1

2 4

xx y yh x x y y x y

x y x y

minus +part partnabla = minus minus minus + minus minus minus =

part part minus minus

所以自山腳（h=0）登山若由(012)開始 ˆ(01 2) 2h ynabla = minus 但若由

)02(minus 開始爬山 ˆ( 20) 2h xnabla minus = 可見 )02()210( minusnablagtnabla hh 這表

示由 y-軸登山山勢較陡所以「梯度」比由 x-軸登山為大這也更

清楚瞭解「梯度」的幾何意義

4-35

sect 432 Divergence 散度與 Curl 旋度

在(4-66) 我們建立了一個直角座標 vector operator 「del」

ˆ ˆ ˆx y zx y zpart part part

nabla equiv + +part part part

(4-66)

若與向量場 A 做「內積」與「外積」就建構了 A 的「散度」與「旋度」

散度 A A scalaryx zAA Adiv ax y z

partpart partequiv nabla sdot = + + =

part part part （4-69）

旋度

y yz x z x

ˆ ˆ ˆ y z A vector

A AA A A Aˆ ˆ ˆxy z z x x y

x y z

x y z

xcurl A a

A A A

y z

⎧⎪

= nablatimes = part part part =⎪⎪⎨⎪

part part⎛ ⎞ ⎛ ⎞part part part part⎛ ⎞⎪ = minus + minus + minus⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎪ part part part part part part⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎩

(4-70)

這裡定義的只是「散度」與「旋度」所謂「操作型的定義」告訴我

們如何計算的式子事實上她們都具有重要的物理意義我們在後面

會討論

ex34 ˆ ˆA xy yx= minus 求其散度與旋度

解 0 0y xAx ypart part

nablasdot = minus + =part part

ˆ ˆ ˆ y zˆ ˆ ˆ ˆ 0 0 ( 2) 2

0 x y z

xA x y z z

y xnablatimes = part part part = minus + minus = minus

minus

右圖示意了本向量場的分佈看得出像個漩渦也看到算出的旋度

0ne 看來旋度表現的應該是向量場「旋轉的程度」事實上我們在

後面會看到「旋度」表現的就是是向量場在空間各點「旋轉的程度」

本題的向量場在每一點的旋轉程度都一樣

4-36

Ex35 ( )ˆ ˆ ˆ A xx yy zz r= + + = 求其散度與旋度

解 3A rnablasdot = nablasdot = ˆ ˆ ˆ y z

0

x y z

xA

x y znablatimes = part part part =

由場分佈的示意圖可以看出本向量場是自原點向外射出好似在原

點有一個場線的「源頭 source」但是 3Anablasdot = 為一個常數表示好像到

處都有 source同時旋度為 0 也可以配合本場並無旋轉的形象事實

上「散度」表現的就是是向量場在空間各點產生「場線」的 source

記得靜電學裡的庫倫定律 0E ρ εnablasdot = 電場的散度就是「電荷密度」

(電場的 source)前一題的向量場看來對應的場線是封閉的所以沒有

source這也對應了其散度＝0不過一個向量場的散度旋度究竟是

多少應該詳細的計算場分佈圖形有時候不是那麼容易看的清楚

兩個 useful identities (恆等式)

(a) ( ) 0 0f curl of a gradnablatimes nabla = =

(b) ( ) 0 0A div of a curlnablasdot nablatimes = =

pf (a) ( )ˆ ˆ ˆ x y z

x y z

x y z

ff f f

nablatimes nabla = part part part

part part part

( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2xz zxˆ ˆ ˆx y f- f z 0yz yz xy yxf f f f= part minus part minus part part + part minuspart =

這個結果與真實的向量外積 ( ) AA 0=times 有相似之處但是這只是特

例要記得nabla並不是一個真正的向量

( ) ( ) ( )

( )

ˆ ˆ ˆ y zˆ ˆ ˆ x y z

0

x y z y z z y x z z x x y y x

x y z

xy z xz y xy z yz x xz y yz x

xA A A A A A A

A A A

A A A A A A A

nablatimes = part part part = part minus part minus part minus part + part minus part

nablasdot nablatimes = part minuspart minuspart +part +part minuspart =

4-37

此結果與真實的向量運算有相似之處 ( )( )0 (B A) BB B Asdot times = times perp∵

但是這仍只是特例因為我們可由下列例子 ( ) 0A Asdot nablatimes ne 看出事實上

nabla並不是一個真正的向量 Ex36 ˆ ˆ ˆA xy yx zx= minus +

( )

ˆ ˆ ˆ y zˆ ˆ ˆ 0 1 ( 2)

2 0

x y z

xA x y z

y x x

A A x x x

nablatimes = part part part = minus + minus

minus

sdot nablatimes = minus = minus ne

面積元素向量

物理上時常會遇到面積分例如電通量磁通

量等等考慮一個面積元素 ds定義「面積的

方向」為其「法線方向」並定義面積元素向量

ˆnds a dsequiv （4-71）

要注意的是(1)如果 ds 是一個「封閉面

closed surface」（即有裡外之分）的一部

份則 ˆna 定義為「由內向外」(2) 如果 ds

是一個「開放面 opened surface」（即分不

出裡外）的一部份那麼 ds 必被其邊緣

（一個封閉的曲線 C）所包圍這樣在定

出ds 的方向之前要先定義「邊緣曲線」

C 的方向再由右手定則定義 ˆna 的方向

既然面積已為一個向量就可以寫為分量表示以直角座標

ˆ ˆ ˆx y zds xds yds zds= + + (4-72)

那麼這些分量 dsx dsy dsz 會是什麼既然 dsx 的方向是 x 就表示 dsx

是躺在 y-z 平面上所以 dsx 的兩邊是 dy 與 dz rArr xds dydz= 依此類

4-38

推 dsy 的方向是 y 所以躺在 x-z 平面rArr yds dxdz= hellip可以得知

xds dydz= yds dxdz= zds dxdy= （4-73）

不過要注意在寫面積元素時要看討論的面實際

是什麼面上式的三個分量有可能會是負的例如

左圖座落在第一象限的立方體的 A 面方向就在 xminus

方向Arsquo面在 yminus Ardquo面在 zminus 方向寫面積元素最

好是先把討論的面的方向搞清楚把plusmn號寫在單位向量前面那麼分

量就都用＋的即可其實面積元素體積元素都可以由位移元素看出

ˆ ˆ ˆdr xdx ydy zdz= + +

dx dy dz 是沿著 ˆ ˆ ˆ x y z 方向的長度所以面積元素分量的兩邊長度就

是由其中兩個組成而體積的三邊也就是三個垂直方向的長度

x y zdV dx dy dz and ds dydz dxdz dxdyrArr = = （4-74）

這個概念在其他的座標系統也成立我們可以方便的寫出面積元素

Recall 柱座標的位移向量元素

cylindrical coordinate ˆ ˆ ˆdr d d dzzρρ ρ ϕϕ= + + （4-48）

ˆ ˆ ˆ zds ds ds zdsρ ϕρ ϕ= + + (4-75)

dsρ 躺在 zϕ minus 平面dsϕ 在 zρ minus 平面 zds 在ρ ϕminus 平面

rArr zds d dz ds d dz ds d d d dρ ϕρ ϕ ρ ρ ρ ϕ ρ ρ ϕ= = = sdot = （4-76）

上面的結果畫個圖看看吧球座標的位移向量元素

Spherical coordinate ˆ ˆˆ ( ) ( sin )dr rdr rd r dθ θ ϕ θ ϕ= + + （4-56）

ˆ ˆˆ rds rds ds dsθ ϕθ ϕ= + + （4-77）

rArr sin sin rds rd r d ds dr r d ds rd drθ ϕθ θ ϕ θ ϕ θ= sdot = sdot = sdot (4-78)

4-39

向量場 ( )A r 在 S 面上的「面積分（surface integral）」or「flux」

如左圖若有一「平面」S 且其上有「均勻」

場 B 分佈則通過 S 面的通量就是

ˆB B nSΦ = sdot

但考慮一任意「非均勻」向量場 ( )A r 在空間分佈選取任意曲面 S

探討 ( )A r 在 S 上之通量若ds 為 S 面上的面積元素在趨近於 0 的

小面積ds 上 A可視為均勻所以通過ds 之通量為 ( )d A r dsΦ = sdot 則 S

面之總通量為

Φ＝ ˆ cosS S S

A ds A nds A daϕsdot = sdot =int int int

( )OR

x x y y z zS

A da A da A da= + +int (4-75)

稱為 A 在 S 面上的「面積分」或「通量 flux」

上圖所繪就是一個任意面上分割出許多小面積舉出三個位置的通

量有+-與 0如果 S 面是為一「封閉面」則面積分寫為

S

A dssdotint （4-76）

4-40

ex37 Given 2ˆ ˆ ˆyzA xyz yx zx= + + 計算通量S

A dssdotint

S 面為在第一象限邊長＝1 的立方體表面封閉面

解立方體分為前後右左上下六個面分開算 1前面（x=1）

方向 x+ ˆ xA ds A xdydz A dydzsdot = sdot =int int int前 前 前

yzdydz= int前 ＝1 1

0 0

1 1 12 2 4

ydy zdz = sdot =int int

2後面(x=0)方向 xminus ˆ(- ) - xA ds A x dydz A dydzsdot = sdot =int int int後 後 後

yzdydz= minusint後1 1

0 0

-1 1 -12 2 4

ydy zdzminus = sdot =int int

3 右面（y=1）方向 y+ y ( 1)yA ds A dxdz A y dxdzsdot = sdot = =int int int右 右 右

( 1)x y zdxdz= =int右 ＝1 1

0 0

1 1 12 2 4

xdx zdz = sdot =int int

4 左面（y=0）方向 ˆ-y ˆ( y) - ( 0)yA ds A dxdz A y dxdzsdot = sdot minus = =int int int左 左 左

( 0) 0x y zdxdz= = =int左

5 上面（z=1）方向 z+ zz y (z 1) yA ds A dxd A dxdsdot = sdot = =int int int上 上 上

2 yx dxd= int上 ＝1 120 0

1 1y 13 3

x dx d = sdot =int int

6 下面（z=1）方向 ˆ-z zˆ(-z) y - (z 0) yA ds A dxd A dxdsdot = sdot = =int int int下 下 下

2 -1- y3

x dxd= =int下 ＝1 120 0

1 1y 13 3

x dx d = sdot =int int

S

A dssdotint ＝六個面的和＝1 1 1 1 1 1( ) ( 0) ( )4 4 4 3 3 4

minus minus+ + + + + =

ex38 Given ˆ ˆ ˆzA xyz yx zxy= + + 計算通量S

A dssdotint S 為圓 2 2 2x y a+ =

在第一項限的部分方向選為 z+ 2 2y a x= minus

4-41

解 2 2 4

0 0ˆ

8a a x

zS S S S

aA ds A zdxdy A dxdy xydxdy xdx ydyminus

sdot = sdot = = = =int int int int int int

Ex39 In cylindrical coordinate Given ˆ ˆaA zbzρρ

= + where a b are

constants Find S

A dssdotint over the surface of a

closed cylinder about z-axis specified by 3 2z ρ= plusmn =

解S 分為上下與周邊三面

zz (z 3)zA ds A ds A d dρ ρ ϕsdot = sdot = = sdotint int int上 上 上

= 23 3 2 12bd d b bρ ρ ϕ π πsdot = sdot =int上

ˆ(-z)A ds A d dρ ρ ϕsdot = sdot sdotint int下 下

= z- (z -3)A d dρ ρ ϕ= sdotint下 = 23 2 12b bπ πsdot =

周邊ds ˆ ( )d dzρ ρ ϕ= rArr ˆ ( ) z ( ) zA ds A d d A d dρρ ρ ϕ ρ ϕsdot = sdot =int int int周 周 周

2 3

0 3( ) z ( ) z=a 12aA d d d d d dz a

πρ ρ ϕ ρ ϕ ϕ π

ρ minus= = =int int int int周 周

加起來 S

A dssdotint ＝12 24 12 ( 2 )a b a bπ π π+ = +

ex40 一點電荷 q 置於原點計算在一個以原點為圓心 0r 為半徑的球

面上的電通量

解 2 20 0

ˆ ˆ4 4S S

qr q dsE ds rdsr rπε πε

sdot = sdot =int int int

=0 0 0

44 4S

q q qd ππε πε ε

sdot Ω = sdot =int

上式中 dΩ 2dsr

= 是 ds 所張開的「立體角」(solid angle)

4-42

div A and Flux 通量與散度的幾何物理意義

我們運用過nabla的符號來表示過散度 divF F= nablasdot yx zFF Fx y z

partpart part= + +part part part

但是也看到「散度」定義為

0( )

1( ) limSV

about x y z

divF x y z F da divergence of FVΔ rarr

equiv sdot =Δ int (4-77)

其中 VΔ 為 S 面所包含的體積即散

度為通量(體)密度的 0 體積極限

（4-77）的定義與 Fnablasdot 好像差的很

多她們是說同一回事嗎以下證明

這兩種「散度」的定義是等價的如

左圖考慮一個以點 ( ) x y z 為中心

的 立 方 體 其 相 鄰 三 邊 長 為

x y zΔ Δ Δ 體積 V x y zΔ = Δ Δ Δ 現在計算 F 在立方體的一組平行於 y-z平面的表面 S1 與 S2 的通量

( )1 1

ˆ ˆ xS S

F nds F xds F x y z dsrArr sdot = sdot =intint intint intint 2xxF x y z y zΔ⎛ ⎞asymp + Δ Δ⎜ ⎟

⎝ ⎠

其中 2xx y zΔ⎛ ⎞+⎜ ⎟

⎝ ⎠為 S1 面中心的座標而

2xx y zΔ⎛ ⎞minus⎜ ⎟

⎝ ⎠為 S2 面的中心

( ) ( )2 2 2

ˆ ˆ 2x x

S S S

xF nda F x ds F x y z ds F x y z y zΔ⎛ ⎞rArr sdot = sdot minus = minus asymp minus minus Δ Δ⎜ ⎟⎝ ⎠intint intint intint

上式中的負號來自 S2 面的方向是 xminus 所以合併兩個面積分

1 2

ˆ 2 2x x

S S

x xF nds F x y z F x y z y z+

Δ Δ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞rArr sdot asymp + minus minus Δ Δ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦intint

2 2x xx xF x y z F x y z

x y zx

Δ Δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠= Δ Δ Δ

Δ

2 2

x xx xF x y z F x y z

Vx

Δ Δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠= Δ

Δ

1 2

1 2 2ˆ

x x

S S

x xF x y z F x y zF nds

V x+

Δ Δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠rArr sdot asymp

Δ Δintint

4-43

當取體積向(xyz)點收縮至 0 時即 0 x 0as VΔ rarr Δ rarr 上式的近似

「asymp」就成了「＝」

1 20

1 ˆlimV

S S

F ndsVΔ rarr

+

sdotΔ intint

( )0

2 2limx x

x

x

x xF x y z F x y z F x y zx xΔ rarr

Δ Δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟ part⎝ ⎠ ⎝ ⎠= =Δ part

Similarly F 在立方體的一組平行於 x-z 平面的表面 S3 與 S4 的通量

3 3 3

ˆ ˆ yS S S

F nds F yds F dsrArr sdot = sdot =intint intint intint

2

2

y

y

yF x y zyF x y z x z x y z

y

Δ⎛ ⎞+⎜ ⎟Δ⎛ ⎞ ⎝ ⎠asymp + Δ Δ = Δ Δ Δ⎜ ⎟ Δ⎝ ⎠

( )4 4 4

2ˆ ˆ

y

yS S S

yF x y zF nds F y da F ds x y z

y

Δ⎛ ⎞minus⎜ ⎟⎝ ⎠rArr sdot = sdot minus = minus asymp Δ Δ Δ

Δintint intint intint

合併 S3 與 S4 兩個面積分並取體積向(xyz)點收縮至 0 時即當

0 y 0VΔ rarr Δ rarr 上式的近似asymp就成了＝

3 4

2 2ˆ

x x

S S

y yF x y z F x y zF nds V

y+

Δ Δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠rArr sdot cong Δ

Δintint

3 40 0

1 2 2ˆlim lim

x xy

V yS S

x yF x y z F x y z FF nds

V y yΔ rarr Δ rarr+

Δ Δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟ part⎝ ⎠ ⎝ ⎠rArr sdot = =Δ Δ partintint

與上面相同的作法計算 F 在立方體的一組平行於 x-y 平面的表面 S5

與 S6 的通量我們也會得到對應的結果

5 6

2 2ˆ

z x

S S

z zF x y z F x y zF nds V

z+

Δ Δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠rArr sdot cong Δ

Δintint

5 60 0

1 2 2ˆlim lim

z xz

V zS S

z zF x y z F x y zFF nds

V z zΔ rarr Δ rarr+

Δ Δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟ part⎝ ⎠ ⎝ ⎠rArr sdot = =Δ Δ partintint

所以合併立方體的 6 個面積分

4-44

1 2 3 4 5 6

ˆ ˆ ˆ ˆS S S S S S S

F nds F nds F nds F nds+ + +

rArr sdot = sdot + sdot + sdotint intint intint intint

0

1 ˆlim yx zV

FF FF nds div F FV x y zΔ rarr

partpart partrArr sdot = + + = = nablasdot

Δ part part partint (4-78)

在此我們得證這兩種「散度」的定義是等價的只是（4-77）的定義

充分的表現出「散度」的幾何物理意義他從通量著手由於場線

出自於 source（ex電場源自於點電荷）所以在點(xyz)必須有向量場

F 的 source 存在才能使得當面積縮到 0 時仍具有非 0 的通量所以「散

度」表現向量場 F 的 source 在這個定義之下是很清楚的當然在計算

「散度」時我們不必那麼麻煩用 divF F= nablasdot 就好了

Ex41 計算 2ˆ ˆ ˆF xx yxy zyz= + + 的散度

解 2 yx zFF Fx x yx y z

partpart part= = =

part part part F 2x x y 3x ydivrArr = + + = +

recall 在靜電學0

yx zEE EEx y z

ρε

partpart partnablasdot = = + +

part part part

散度定理 Divergence Theorem

若任意封閉面（又稱為「高斯面」）S 所包圍的

體積為 V 則

S VA ds Adτsdot = nablasdotint int （4-79）

pf 我們先將體積分割成 N 個小盒子考慮相鄰的兩個小盒子 1 2

兩小盒子的共用面面積 S0當 S0 是為 1 號盒子的一部份時其方向為

1n 但若當為 2 號盒子的表面時其方向為 12 ˆˆ nn minus= 如此在 S0 分別做

4-45

1 2 盒子的面積分後

0 0

0 0 0 0

1 2

1 2 1 1ˆ ˆ ˆ ˆ 0

S S

S S S S

A ds A ds

F n ds F n ds F n ds F n ds

sdot + sdot

= sdot + sdot = sdot minus sdot =

intint intintintint intint intint intint

所以若求場 A 在 1 2 盒子的總通量時交界面是沒有貢獻的總通量

就只有「外面積」才有貢獻如此我們計算 N 個小盒子的總通量

時所有的內部共用面都得 0只剩下「外表面」的貢獻了當 infinrarrN

時所有小盒子的「總外表面」就與 S 面重合了所以所有小盒子通量

的總和就等於 S 面的通量

1lim

i

N

S SN iA ds A ds

rarrinfin=

rArr sdot = sdotsumint int

現在我們做 N 個小盒子的總通量

1 1

1i i

N N

iS Si i i

A ds A ds VV= =

⎛ ⎞sdot = sdot Δ⎜ ⎟Δ⎝ ⎠

sum sumint int

當 0iN Vrarrinfin rArr Δ rarr 並用 dv 表示體積元素

( ) ( )1 1

1

1lim lim lim

lim

i ii

N N

iS SN N V oi i i

N

i VN i

A ds A ds VV

A V A dv

rarrinfin rarrinfin Δ rarr= =

rarrinfin=

⎛ ⎞sdot = sdot Δ⎜ ⎟Δ⎝ ⎠

= nablasdot Δ = nablasdot

sum sumint int

sum int

( )S V

A da A dvrArr sdot = nablasdotint int QED

所以得證散度定理上式中我們用了散度的（4-77）式定義要分辨

清楚 Anablasdot 是向量場 A 在空間中「某一點」的性質（ 0VΔ rarr ）而「散

度定理」說的是一個「有限體積」的性質

ex42 給定 ( ) ˆ ˆ ˆ A x y z xx yy zz r= + + = 計算在

半徑 R＝1 的球的上半球加底面的通量

4-46

解 ( )ˆˆS

A da A rda A k darArr sdot = sdot + sdot minusint int int上半球面 底面

( )

2

ˆ ˆ

0 2 1 2

A rda A z dxdy

r rds zdxdy rds ds π π

= sdot + sdot minus

= sdot minus = minus = = sdot =

int int

int int int int上半球面 底面

上半球面 底面 上半球面

底面的通量＝0 是因為 A 的 z 分量 Az=z 在底面的值為 0

也可以用散度定理更快的得出結果

∵ 3A rnablasdot = nablasdot =

31 43 3 1 22 3V V

Ad d πτ τ πnablasdot = = sdot sdot sdot =int int

ex43高斯定律的微分形式積 由 Gaussrsquo law 的積分形式用散度定理得出其

( )0 0

1 inS V

qE ds x y z dvρε ε

sdot = =int int

0S V VE ds Edv dvρ

εrArr sdot = nablasdot =int int int

上式最後的等式對「任意形狀」V 都成立所以兩者的被積函數相等

對於空間每一點 0

E ρε

nablasdot = （4-80）

ex44 Use 第一象限的單位力方體 check the divergence theorem using the function 2 2ˆ ˆ ˆ(2 ) 2A y x xy z y yzz= + + +

解2

2( ) (2 )(2 ) 2( )y yzA xy z x yx y z

part part partnablasdot = + + + = +

part part part

and 1 1 1 1 1 1

0 0 0 0 0 02 ( ) 2 ( )

VAdv x y dxdydz dz dy x y dxnablasdot = + = +int int int int int int int

1 1

0 0

1 12 ( ) 2 12 2

dz y dy= + = sdot =int int

面積分 1 1 2

0 0

1ˆ3

A ds A xdydz dz y dysdot = sdot = =intint intint int int前 前

4-47

1 1 2

0 0

1ˆ( )3

A ds A x dydz dz y dy minussdot = sdot minus = minus =intint intint int int

後 後

1 1 2

0 0ˆ (2 )A ds A ydxdz dz xy z dxsdot = sdot = +intint intint int int

右 右

1 1 1 12 2

0 0 0

4(2 ) (1 )3

ydz x z dx dz z

=

= + = + =int int int∵

1 1 2

0 0

0 1 1 12 2

0 0 0

ˆ( ) (2 )

1(1 )3

y

A ds A y dxdz dz xy z dx

dz z dx dz z=

sdot = sdot minus = minus +

minus= minus = + =

intint intint int int

int int int∵

左 左

11 1 1 1

0 0 0 0ˆ 2 2 1

zA ds A zdxdy dx yzdy dx ydy

=sdot = sdot = = =intint intint int int int int

∵

上 上

01 1

0 0ˆ 2 0

zA ds A zdxdy dx yzdy

=sdot = sdot minus = minus =intint intint int int

∵

下 下

前後右左上下六個面積分合併＝1＝V

Advnablasdotint QED

ex45 Continuity Equation 連續方程式

考慮某些「東西」的流動（物質電荷hellip）在時刻 t 時在點(xyz)

的 密 度 為 ( ) x y z tρ ρ= 並 具 有 速 度

( ) v v x y z t= 在時刻 t 時在體積 V 內的總量為

( ) x y z t dρ τintintint

這樣體積 V 內東東的時變率為

( ) ( ) d x y z t d x y z t ddt t

ρρ τ τpart=

partintintint intintint

注意體積分後的時間全微分移入積分內要改為偏微分這個東東

在表面的「流率 flow rate」可表為

ˆS

R v ndsρ= sdotintint

若體積內的物料無法自生自滅那麼體積內物料的變化必經由表面的

流出流入所造成

d v ndstρ τ ρpart

rArr = minus sdotpartintintint intint

由散度定理

4-48

( )ˆS

v nds v d dtρρ ρ τ τpart

sdot = nablasdot = minuspartintint intintint intintint

( )v Jtρ ρpart

rArr = minusnablasdot equiv minusnablasdotpart

0Jtρpart

rArr +nablasdot =part

（4-81）

(4-81) 即 continuity equation其中 J vρ= 為「物流密度」ex如果 ρ

是電荷密度 J 就是電流密度（4-81）是物質守恆的結果只對體

積內無 source（生成）or drain（消滅）的東東成立

ex46 Given a vector field ˆ ˆx yA ye xe= minus + (a) Find

Anablasdot (b)如圖一個金字塔狀的 5 面體高 2 底邊長

1計算 A在整個金字塔表面（封閉面）的總通量

解(a) Anablasdot = ( ) ( ) 0y xx ypart part

minus + =part part

(b) 金 字 塔 的 表 面 面 積 元 素 ds 不 好 寫 所 以 用 散 度 定 理

( )S V

A da A dvrArr sdot = nablasdotint int ＝0 Anablasdot 表示 A沒有 source 所以對封閉面而

言有多少場線進入就有多少出去所以總通量＝0

習題 7 With position vector r for an arbitrary volume V that is

bounded by surface S show that 13 S

r ds Vsdot =int

習題 8 已知一靜電場為 ˆ ˆ ˆ( )E xyz yxz zxyλ= + + 運用 Gaussrsquo law

試求包含在半球 2 2 2 2 0x y z R z+ + = ge 裡的總電荷 Ans 0

習題 9 (a) given ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( 2 )F r xf x yf y zf z= + + minus show that divF is

zero at point (c c -c2) (b) given ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( )G r xf x z yg x z zh x y= + +

show that ( ) 0G rnablasdot =

4-49

習題 10 Find the normal vector n for the surfaces (a) z = 2-x-y ans

ˆ ˆ ˆ( ) 3x y z+ + (b) z = (1-x2)12 ans ˆ ˆxx zz+ (c) z = x2+y2

ans ˆ ˆ ˆ( 2 2 ) 1 4xx yy z zminus minus + +

習題 11 Show that the unit vector normal to the plane ax+by+cz =d is

given by 2 2 2ˆ ˆ ˆ( ) ax by cz a b cplusmn + + + +

圓柱座標與球座標的nabla (del)

考慮一純量場在直角座標為 ( ) u x y z 在圓柱座標表為 ( ) u zρ φ

再考慮因位移 r r drrarr + 所造成 u ( )zρ φ 的變化

( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆz

z

u u udu d d dz u dr u d d zdzz

u u z u d d zdz

u d u d u dzρ ϕ

ρ ϕ

ρ ϕ ρ ρ ϕρ ϕρ ϕ

ρ ϕ ρ ρ ϕρ ϕ

ρ ρ ϕ

part part part= + + = nabla sdot = nabla sdot + +part part part

⎡ ⎤= nabla + nabla + nabla sdot + +⎣ ⎦= nabla + nabla + nabla

( ) ( ) ( )1

1ˆ ˆ ˆu

z

u u uu u uz

u u uzz

ρ ϕρ ρ ϕ

ρ ϕρ ρ ϕ

part part partrArr nabla = nabla = nabla =

part part partpart part part

rArrnabla = + +part part part

1ˆ ˆ ˆ zz

ρ ϕρ ρ ϕpart part part

nabla = + +part part part

（4-82）

注意nabla的ϕ -分量( 1ρ ϕ

partpart

)不是像直角座標裡單純的ϕpartpart

所以不要笨笨

的就把直角座標的形式硬套上去用我們也可以從「因次分析」來

看nabla因為是對空間的微分所以每一項的因次必須是「長度分之一」

運算 andzρ

part partpart part

都是「長度分之一」而「單純的ϕpartpart

」是沒有單位的

所以要1ρ ϕ

partpart

才 OK

由於圓柱座標裡的單位向量除了 z 之外 ˆ( )ρ ϕ 與 ˆ( )ϕ ϕ 都不是常

4-50

數所以在微分時不可以與微分運算交換而要考慮微分的作用所

以在「圓柱座標」寫「散度」 ( ) F zρ ϕnablasdot 也和直角座標不一樣

( )1ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ zF z F F zFz ρ ϕρ ϕ ρ ϕ

ρ ρ ϕpart part part⎛ ⎞

nabla sdot = + + sdot + +⎜ ⎟part part part⎝ ⎠

( ) ( )1ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆz zF F zF F F zFρ ϕ ρ ϕρ ρ ϕ ϕ ρ ϕρ ρ ϕpart part

= sdot + + + sdot + +part part

( )ˆ ˆˆ ˆ zz F F zFz ρ ϕρ ϕpart

+ sdot + +part

因為 ( ) ( )ˆ ˆ ˆ ˆ ρ ρ ϕ ϕ ϕ ϕ= = 所以做 andzρ

part partpart part

時 ˆ ˆ ρ ϕ 可視為常數

ˆ ˆ1ˆ ˆ ˆ zF F F FF F Fz

ρ ρ ϕρ φ

ρ ϕϕ ρ ϕρ ρ ϕ ϕ ϕ ϕ

part part part⎡ ⎤part part partrArrnablasdot = + sdot + + + +⎢ ⎥part part part part part part⎣ ⎦

還記得 ˆ ˆ ˆ ˆd d d dρ ϕ ϕ ϕ ρ ϕ= = minus 所以 ˆ ˆρ ϕϕpart

=part

ˆ ˆϕ ρϕpart

= minuspart

rArr

( )1 1 1z zF F F FF FF Fz z

ρ ρ ϕ ϕρρ

ρ ρ ρ ϕ ρ ρ ρ ϕpart part part part

nablasdot = + + + = + +part part part part part part

（4-83）

在球座標寫nabla也會遇到相似的問題其根源就是球座標 ( )r θ ϕ 裡

的 θ ϕ 的因次並非長度而三個單位向量 ˆ ˆˆ r θ ϕ（表為 ie ）都是( θ ϕ )

的函數以致

( )ˆ ˆ( ) ( )i ie f e fθ ϕ θ ϕθ θpart part

nepart part

且 ( )ˆ ˆ( ) ( )i ie f e fθ ϕ θ ϕϕ ϕpart part

nepart part

所以nabla也不似在直角座標那麼簡單我們不在這裡推導而是給出一

個歸納的統一的三個座標的結果還記得對每一個座標 iu i = 123

座標的變化 idu 與造成的長度變化 id

i i id h du= 123i = (4-84)

其中 ih 為對應的度量係數(metric coefficient)

4-51

1 2 3

1 1 2 2 3 3

1 1 1ˆ ˆ ˆu u ue e eh u h u h u

part part partnabla equiv + +

part part part （4-85A）

座標 1 2 3 u u u

度量係數

1 2 3 h h h

nabla grad del

直角 x y z

1 1 1 nabla ˆ ˆ ˆx y z

x y zpart part part

equiv + +part part part

圓柱

zρ ϕ

1 1ρ

1ˆ ˆ ˆ z

zρ ϕ

ρ ρ ϕpart part part

nabla equiv + +part part part

球

r θ ϕ

1 sinr r θ

1 1ˆ ˆˆ

sinr

r r rθ ϕ

θ θ ϕpart part part

nabla = + +part part part

（4-85B）

梯度gradient Vnabla grad(V) 散度divergence Anablasdot div( )A

直

角 nablaV ˆ ˆ ˆV V Vx y z

x y zpart part part

= + +part part part

yx zAA AAx y z

partpart partnablasdot = + +

part part part

圓

柱

1ˆ ˆ ˆ V V VV zz

ρ ϕρ ρ ϕpart part part

nabla = + +part part part

( )1 1

1

z

z

A AA Az

A A A Fz

ϕρ

ρ ρ ϕ

ρρ ρ ρ ϕ

ρ ρ ρ ϕ

partpart partnabla sdot = + +

part part partpart part part

= + + +part part part

球

1 1ˆ ˆˆ sin

V V VV rr r r

θ ϕθ θ ϕ

part part partnabla = + +

part part part

22

1 ( )rA r Ar r

partnabla sdot =

part

1 (sin )sin

Ar θθ

θ θpart

+ sdotpart

1sin

Ar

ϕ

θ ϕpart

+part

(4-86)

Ex47 Using spherical coordinate show that 1| |r r

nablaminus

= 2

ˆ| |

r rer r

minusminusminus

where

nabla是作用在 r 而 ˆr re minus 是向量 r rminus 方向的單位向量 解let r lies in z-axis so that the angle between r and r is just θ

4-52

rArr ( ) 122 21 1 2 cos | | ( ) ( )

r rr rr r r r r r

θminus

= = minus +minus minus sdot minus

( ) ( )12 122 2 2 21 1ˆˆ 2 cos 2 cos | |

r r rr r r rr rr r r r

θ θ θθ

minus minuspart partnabla = minus + + minus +

minus part part

( ) 322 21ˆ 2 cos (2 2 cos )2

r r rr r r rθ θminusminus

= minus + minus

( ) 322 21ˆ 2 cos (2 sin )2

r rr r rrθ θ θminusminus

+ minus +

3 3 3 3

ˆˆ ˆ( cos ) sin ( cos sin )ˆˆ| | | | | | | |r r r rr r rrr r r r r r r r

θ θ θ θ θθminus minus minus minus minus= + = +

minus minus minus minus

3 3 3ˆ ( )

| | | | | |r r z r r r rr r r r r rminus + minus + minus minus

= = =minus minus minus

＝ 2

ˆ| |

r rer r

minusminusminus

QED

證明最後我們用到 ˆˆˆ cos sinz r θ θ θ= minus 而 ˆ r r z= 因為我們選了 r 是

躺在 z-軸 Ex48 For arbitrary scalar field ( )f r and vector field ( )A r 證明恆等式

( )fA f A f Anablasdot = nabla sdot + nablasdot (4-87) 解 ˆ ˆ ˆx y zfA xfA yfA zfA= + +

( ) ( ) ( ) ( )x y zfA fA fA fAx y zpart part part

rArrnablasdot = + +part part part

yx zx x x

AAf f f AA f A f A fx x y y z z

partpartpart part part part= + + + + +part part part part part part

yx zx y z

AAf f f AA A A fx y z x y z

part⎛ ⎞partpart part part part= + + + + +⎜ ⎟part part part part part part⎝ ⎠

f A f A= nabla sdot + nablasdot QED 習題 12 一個位於原點的電偶極電偶極矩＝ ˆp pz= 已知其在遠處

的電位為 20

cos4p

rθ

πε試證該處的電場強度為 E = 3

0

ˆˆ( 2cos sin )4

p rr

θ θ θπε

+

(已知 E V= minusnabla )並請計算 Enablasdot ＝

習題 13 給定一向量場2

3cosˆD r

rϕ

= 現有兩個球心在原點的同心球

內球半徑 R＝1外球 R＝2(a)求面積分S

D dssdotint S 為同心球殼的表

面（有內外兩個面）(b)求體積分V

Ddvnablasdotint V 為兩同心球之間的

區域本題也是來 check 散度定理的Ans πminus

4-53

The Laplacian operator 2nabla equivnablasdotnabla

在直角座標可以用直接作用得到

2 2 2

22 2 2u u uu u

x y zpart part part

nabla equiv nablasdotnabla = + +part part part

(4-88)

圓柱座標

2 2

22 2 2

1 1( ) u u uu uz

ρρ ρ ρ ρ ϕ

part part part part⎛ ⎞nabla equiv nablasdot nabla = + +⎜ ⎟part part part part⎝ ⎠

(4-89)

球座標

2

2 22 2 2 2 2

1 1 1sinsin sin

u u uu rr r r r r

θθ θ θ θ ϕ

part part part part part⎛ ⎞ ⎛ ⎞nabla = + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟part part part part part⎝ ⎠ ⎝ ⎠ （4-90）

習題 14 verify (4-89) and (4-90)

習題 15 Given a dipole potential V= 20

cos4p

rθ

πε find 2Vminusnabla

sect 433 Line integral and curl A 線積分與與旋度的物理意義

線積分路徑積分

考慮一曲線 C 通過兩點 ( )i i i iP x y z 與

( )f f f fP x y z 現有一向量場 ( )A x y z 定義在

C 所在的空間若 sd 為 C 上位於(xyz)點的

「路徑元素」（ ˆd td= 方向沿該處切線）而

( )A x y z 為路徑元素d 處的場值則沿 C 經歷各點所做積分

cos cosf

CC C iA d Ad A dϕ ϕrarr rarrsdot = =int int int （4-91）

稱為向量場 ( )A x y z 沿路徑 C 自 pi 至 pf 的「線積分」「或「路徑積分」

積分裡 A 取值的點侷限在路徑 C 上面若為一個「封閉路徑」則對

C 的線積分也稱做「環路積分 closed contour integral」記做

C

A dsdotint （4-92）

4-54

物理量「做功」是最標準的線積分之一力 F 自 x = a 至 x = b「沿線」

x 軸做功

W＝ F dxsdotint ＝ ( )b

xaF x dxint （4-93）

質點在力場 )(rF 裡走一條曲線 C則力場做功

CW F d= sdotint （4-94）

還記得如果 ( )F r 是所謂「保守力」則上式只與始末點有關而與

路徑無關但如果 ( )F r 是所謂「非保守力」則做功與確實的路徑 C

有關

現考慮一質點在空間運動的位置 r 落在由曲線 C

描述的路徑則質點的位移元素與曲線 C 的路徑元

素相同 d dr= 若空間有向量場 A 分佈則 A 在 C 的

路徑積分以直角座標表示為

CA drarr rarrsdotint ＝

CA d rrarr rarrsdotint ＝ ( )x y zC

A dx A dy A dz+ +int （4-95）

上式中的 x y z 的積分限由 C 決定

Ex49 2 2 2ˆ ˆ ˆA xx yy zzrarr= + + 選定一路徑 C 為曲線

2y x= 由 (000)到 (2 20)的部分求C

A dsdotint

解 ˆ ˆd xdx ydy= +∵

CA dsdotint ＝ 2 2( )

Cx dx y dy+int ＝

2 22 2

0 0x dx y dy+int int

＝ )24(32

+

或由 2y x= rArr 2ydy dx= 2 12

y dy xdxrArr =

rArrC

A dsdotint ＝2 2

0

1( )2

x x dx+int ＝2 (4 2)3

+

4-55

ex50 ˆ ˆ( )f x y z xy yx= minus Do C

f dsdotint 其中的路徑 C 為一逆時針三角

形如圖 解∵路徑全部在 x-y 平面 ˆ ˆ ˆd td xdx ydy= = +

rArrC

f dsdotint ＝ x yC

f dx f dy+int ＝C

ydx xdyminusint

由於在 C1 上 y = 0 及 dy = 0 所以 01

=intC 又由於在

C3 上 x = 0 及 dx =0所以 03

=intC 所以只剩下 C2 可

能有貢獻由 2C 的方程式x + y =1rArr ⎩⎨⎧

minus=minus=

xyyx

11

rArr2Cydx xdyminusint ＝

0 1

1 0(1 ) (1 )x dx y dyminus minus minusint int ＝

0 12 2

1 0

( ) ( )2 2x yx yminus minus minus ＝-1

Cf dsdotint ＝-1

ex51 ( )f x y zrarr

= 2ˆ ˆxx yxyminus 如右圖doC

f dsdotint 其

中路徑 C 為第一象限的逆時針 14 圓弧

解∵ 全部在 x-y 平面 ˆ ˆd xdx ydy= +

Cf dsdotint ＝ 2

Cx dx xydyminusint

由於在 C 上 cosx R ϕ= rArr sindx R dϕ ϕ= minus

siny R ϕ= rArr cosdy R dϕ ϕ=

rArr 2

Cx dx xydyminusint ＝

2 2 2 2

0cos ( sin ) sin cos cosR R d R R d

πϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕminus minus sdotint

23 2

02 cos sinR d

πϕ ϕ ϕ= minus int ＝

323Rminus

又路徑為圓周一部份所以適合用極座標表示

ˆd Rdϕ ϕ= 又由左圖將 ˆ ˆx y 拆解（投影）到 ˆˆr ϕ

ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆcos sin sin cosx r y rϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ= minus = +

4-56

( )2ˆ ˆ ˆˆ ˆ( cos sin ) ( sin cos )C C

f d r x r xy Rdϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕsdot = minus minus + sdotint int 2

2 2 2

0

sin (cos )

sin ( cos ) (cos ) cos sin

Cx Rd xyRd

R Rd R Rdπ

ϕ ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ

= minus minus

= minus minus

intint

23 2

02 cos sinR d

πϕ ϕ ϕ= minus int ＝

323Rminus

這也驗證了散度定理

Path Independence 路徑獨立性

Ex52 證明庫倫力為「保守力」考慮

電荷 q0 位於原點及電荷 q 位於

( )r x y zrarr= q 受力 F

rarr＝ 0

20

14

qq urπε

and

求庫侖力作功因為球形對稱所以

用球座標由 ˆ ˆ ru rr

= = rArr Frarr

= 03

04qq r

rπε

庫侖力由 P1 至 P2 做功為 2

1

P

CPF drarrsdotint ＝

2

1

02

0

ˆ ˆ ˆˆ sin4

P

PC

qq r rdr rd r dr

θ θ ϕ θ ϕπε

⎡ ⎤sdot + +⎣ ⎦int ＝2

1

02

04P

P

qq drrπεint

＝20

2104

r

r

qq drrπε int ＝ 0

0 1 2

1 1( )4qq

r rπεminus for all C

所以庫侖力兩點間做功與路徑無關rArr保守力

對於「保守力 conservative force」 cF 自 p1 經

由兩條不同的路徑 C1 與 C2 到達 p2

1 ccF drarrsdotint ＝

2 ccF drarrsdotint ＝-

2 ccF drarr

minussdotint

rArr1 2c cc cF d F drarr rarr

minussdot + sdotint int = cF d

rarrsdotint ＝0 (4-96）

對於任何「封閉路徑」保守力做功為 0反之若

對任一封閉路徑 0F drarrsdot neint 則兩點之間的做功與路徑有關

rarr

F 為「非

保守力」

4-57

旋度 curl Anablatimes 的幾何物理意義

我們在（4-70）式已經看過旋度的計算方式但旋度另有其意義的

ex53 給定向量場2 2

0ˆ yv yv e λrarr

minus= 左圖為場的分佈

2 20

ˆ ˆ ˆ

0 0x y z

y

x y zcurl v

v e λ

rarr

minus

= part part part ＝ ˆ ˆ ˆ0 0 0 0x y zsdot minus sdot + sdot =

我們用了簡寫 x yx ypart part

part equiv part equivpart part

可以看出這個場裡沒有「漩渦」

但是有無「漩渦」有時也不是那麼明顯可以看出的請見下一個例子

Ex54 給定向量場2 2

0ˆ xv yv e λrarr

minus= 計算其旋度 vnablatimes

解向量場 vrarr

畫在右邊你看得出有無漩渦

先計算旋度

2 20

ˆ ˆ ˆ

0 0x y z

x

x y zcurl v

v e λ

rarr

minus

= part part part2 2

2 2

0

0

ˆ

ˆ 2 0 0

x

x

z v ex

z v xe for x

λ

λ

minus

minus

part=

part

= minus ne ne

vrarr

的旋度在大部分的地方不為 0 且隨位置而不同但是你看得出這個

向量場裡有「漩渦」其實要檢驗一個向量場裡有無「漩渦」有一

個很物理的方法就是放一個小「螺旋槳」（左圖）

在場內將軸朝各個方向測試一

下如果有「漩渦」的話這個

小「螺旋槳」就會轉動右圖就是將「螺旋槳」的

軸平行於 z 軸且放在 x gt 0 的地方就可以看出左

邊的 v 場比右邊的強造成螺旋槳順時針轉動rArrcurlv zminus for x gt 0

但如果放在 x = 0 的地方就會看到左右兩端的 v 場強度相同而且

4-58

curlv = 0 「螺旋槳」放在 x lt 0 的地方就可以看出右邊的v 場比左

邊的強造成螺旋槳逆時針轉動這完全符合 curl v k+ 的結果

環路積分與旋度 curl 的物理意義

如同「散度」一樣「旋度」除了 Ftimesnabla 之外

還有一個物理意義更清楚的定義這個定義由

「線積分」說明如圖考慮做「逆時針」長方形

路徑 C1 的一個「環路積分」C1 面平行於 x-y 平

面由 z-軸看下去環路 C1 可以分為可以分為

下 CB上 CT右 CR左 CL 4 部分

CA drarrsdotint ＝

B T L RC C C CA d A d A d A drarr rarr rarr rarrsdot + sdot + sdot + sdotint int int int

分別計算由於 CB 的中點座標為 ( )2yx y zΔ

minus

ˆB BC C

A d A xdxrarr rarrsdot = sdot =int int

BxC

A dxint ( )2xyA x y z xΔ

asymp minus Δ

similarly 由於 CT 的中點座標為 ( )2yx y zΔ

+

ˆ( )T TC C

A d A xdxrarr rarrsdot = sdot minus =int int

TxC

A dxminusint ( )2xyA x y z xΔ

asymp minus + Δ

合併 CB 與 CT

B TC CA drarr

+sdot =int

( ) ( )2 2x xy yA x y z A x y z

x yy

Δ Δ⎡ ⎤minus + minus minus⎢ ⎥⎣ ⎦ Δ ΔΔ

（4-97）

由 C1 所圍的面積 S x yΔ = Δ Δ

1B TC C

A dS

rarr

+sdot =

Δ int( ) ( )

2 2x xy yA x y z A x y z

y

Δ Δ⎡ ⎤minus + minus minus⎢ ⎥⎣ ⎦Δ

（4-98）

所以當取極限 C1 收縮到中心(xyz)時 SΔ 收縮到 0ie

4-59

0limsΔ rarr

1B TC C

A dS

rarr

+sdot =

Δ int xAy

partminuspart

（4-99）

Similarly with CR 的 ˆd ydy= CL 的 ˆd ydy= minus 可得

1L RC C

A dS

rarr

+sdot =

Δ int x

zyxxFzyxxF yy

Δ

Δminusminus

Δ+ )

2()

2(

（4-100）

同樣的當取極限 C1 收縮到中心(xyz)時 SΔ 收縮到 0

0

limsΔ rarr

1L RC C

A dS

rarr

+sdot =

Δ int yAx

partpart

（4-101）

最後合併 CBCTCRCL 為 C1

10

1limCs

A ds

rarr

Δ rarrsdot =

Δ int y xA Ax y

part partminus

part partˆ ( ) ( )zz A A= sdot nablatimes = nablatimes （4-102）

注意 C1 的方向就是在 z 上式的重要

意義是當向量場 A 在一個以點(xyz)為

中心「方向為 z 」的面積元素的「邊界」

所做的環路積分得到的就是 A 在(xyz)

處旋度的 z-分量明顯的只有當 A 在

(xyz)附近有 x-y 平面上的「漩渦」那麼 C1 的環路積分才不會為 0

Similarly 取一個逆時針繞著(xyz)的平行於 x-z 平面的長方形環路 C2

（左圖）做環路積分再取極限將 C2 收縮到(xyz)就會得到

20

1limCs

A ds

rarr

Δ rarrsdot =

Δ int x zA Az x

part partminus

part partˆ ( ) ( )yy A A= sdot nablatimes = nablatimes （4-103）

注意到 C2 所包圍的面積方向就在 y到

現在我們應該已經很有經驗了若取一

個逆時針繞著(xyz)的平行於 y-z 平面

的長方形環路 C3（左圖）做環路積分

再取極限將 C3 收縮到(xyz)就會得到

4-60

30

1limCs

A ds

rarr

Δ rarrsdot =

Δ int yz AAy z

partpartminus

part partˆ ( ) ( )xx A A= sdot nablatimes = nablatimes （4-104）

能把（4-103）與（4-104）變出來的同學我們有優待綜合以上

我們可以得到一個結論若取一個以點(xyz)為中心的任意環路 Cn（其

所包圍的面積方向在 n ）則

n curl Aand rarrsdot ＝

0

1lims

Cn

A ds

rarr

Δ rarrsdot

Δ int （4-105）

明顯的當 n ＝ x 或 y 或 z 時我們可以重複（4-102）到（4-104）的

結果（4-70）式的行列式所定義的旋度在此看見其幾何物理意義

至此「旋度」的「漩渦」形象應該已經很清楚了只有在(xyz)點附

近的小圈圈上有「漩渦」 A 在小圈圈做的環路積分才會有值這個

值就是向量場 A 的「旋度」在小圈圈面積方向的分量

Stokersquos 定理

考慮一個開放面 S被其「有方向的」邊界 C 圈住(bounded by)則

( )S

A dsrarr rarrnablatimes sdotint ＝

C

A drarrsdotint （4-106）

pf 先將 S 面分割為 N 個多邊形這會使得邊界變成一個「折線」形

成的環路 P環路 P 會隨著分割的多邊形個數的增多而越加近似於原

「光滑的」邊界 C現考慮相鄰的

兩個多邊形的線積分由於共用邊

的方向是相反的所以相鄰兩個多

邊形線積分的和只剩「外邊界」（見左圖）所以當把所有的多邊形的

4-61

線積分加起來時由於只有邊界 P 不是多邊形的共用邊所以

1k

N

k C

A drarr

=

sdotsum int ＝P

A drarrsdotint rArr

P

A drarrsdotint ＝

1

1

k

N

kk k C

A d l ss

rarr rarr

=

⎡ ⎤sdot Δ⎢ ⎥

Δ⎢ ⎥⎣ ⎦sum int

其中 ksΔ 為第 k 個多邊形的面積取極限 0kN srarrinfinrArrΔ rarr P CrArr rarr

C

A drarrsdotint ＝

10

1limkk

N

kN k k Cs

A d ss

rarr

rarrinfin=Δ rarr

⎡ ⎤sdot Δ⎢ ⎥

Δ⎢ ⎥⎣ ⎦sum int 01

ˆlim ( )k

k kskn A s

infin

Δ rarr=

⎡ ⎤= sdot nablatimes Δ⎣ ⎦sum

01

ˆlim ( )k

k kskA n s

infin

Δ rarr=

= nablatimes sdot Δsum = ( )S

A dsrarr

nablatimes sdotint QED

ex55 由 Amperersquos law 的積分形式導出其微分形式

解Amperersquos law 的積分形式 C

B drarrsdotint ＝ I0μ (4-107)

由 Stokersquos 定理及電流密度 j 的定義上式等號兩端可寫為

rArr ( )S

B dsrarr rarrnablatimes sdotint ＝ 0 S

j dsμrarrsdotint

由於上面的等式對任意面 S（路徑 C）都成立所以被積函數相等

0B jμrarr rarr rarr

rArrnablatimes = (4-108) 此即 Amperersquos law 的微分形式

Ex56 Given a vector field ˆ ˆx yA ye xe= minus + (a) Find Anablatimes

解

ˆ ˆ ˆˆ ˆ(1 ( 1) 2

0x y z

x y zA z z

y xnablatimes = part part part = minus minus =

minus

(b)如圖一個金字塔狀的 5 面體高 2底邊長＝1計算 ( )S

A dsnablatimes sdotint

其中 S 為金字塔在 x-y 平面以上的部分方向如同

封閉的金字塔（運用 Stokersquos law）

解金字塔上表面的面積元素ds 不好寫由 Stokersquos

4-62

law ( )S

A dsrarr rarrnablatimes sdotint ＝

C

A drarrsdotint 其中封閉路徑 C 就是上表面的邊界而且

是逆時針（由 z 軸向下看）

C

A drarrsdotint ＝

1 1 0 0

0 0 1 1ˆ ˆ ˆ ˆA xdx A ydy A xdx A ydysdot + sdot + sdot + sdotint int int int

＝1 1 0 0

0 0 1 1x y x yA dx A dy A dx A dy+ + +int int int int 1 1 0 0

0 0 1 1( 0) ( 1) ( 1) ( 0)y dx x dy y dx x dy= minus = + = + minus = + =int int int int

0 1 1 0 2 ( ) 2S

A ds= + + + = rArr nablatimes sdot =int

旋度與 path independence

已知保守場 cF 對所有封閉路徑 C 0cC

F drarrsdot =int 由 Stokersquos 定理

0cC

F drarrsdot =int ＝ ( )cS

F dsrarr rarrnablatimes sdotint rArr 0cF

rarr rarrnablatimes =

這表示保守場＝無旋度反之無旋度的場任兩點間路徑積分與路

徑無關

Ex57 Given a field 2 2ˆ ˆ ˆ2A x xy yx zz= + minus (a) Find Anablatimes A 保守場

解2 2

ˆ ˆ ˆ

2x y z

x y zA

xy x znablatimes = part part part

minus

( ) ( ) ( )2 2 2 2ˆ ˆ ˆ( ) 2 ( ) 2 0y z z x x yx z x y xy z z x xy= part minus minuspart + part minuspart minus + part minuspart =

yes A =保守場

(b)如左圖由 A 到 B 做路徑積分A BC

A drarr

sdotint 路徑 C 為橢圓

22 1

16yx + = 在 x-軸以上的部分

解橢圓部分的路徑元素 d 有點麻煩但因為 A

為保守場所以 A 到 B 做路徑積分可以用 x = -1 到

1 的積分取代

4-63

01 1 1

1 1 1ˆ 2 0

yB

xAA d A xdx A dx xydx

=

minus minus minussdot = sdot = = =int int int int

∵

旋度在柱座標與球座標

前面討論過nabla在不同座標系的寫法旋度也有歸納出的一致寫法

座標 1 2 3 u u u

度量係數

1 2 3 h h h

nabla grad del

直角 x y z

1 1 1 nabla ˆ ˆ ˆx y z

x y zpart part part

equiv + +part part part

圓柱 zρ ϕ

1 1ρ

1ˆ ˆ ˆ zz

ρ ϕρ ρ ϕpart part part

nabla equiv + +part part part

球 r θ ϕ

1 sinr r θ

1 1ˆ ˆˆ sin

rr r r

θ ϕθ θ ϕ

part part partnabla = + +

part part part

所以柱座標與球座標的旋度分別表為

柱座標

ˆ ˆ ˆ1

z

z

Az

AA Aρ ϕ

ρ ρϕ

ρ ρ ϕρ

part part partnablatimes =

part part part （4-109）

球座標 2

ˆ ˆˆ sin1sin

sinr

r r r

Ar r

A rA r Aθ ϕ

θ θϕ

θ θ ϕθ

part part partnablatimes =

part part part （4-110）

ex58 (a) Given the vector function ˆA ϕ= sin (ϕ 2) find Anablatimes

解 2

ˆ ˆˆ sin1sin

0 sin( 2) 0

r r r

Ar r

r

θ θϕ

θ θ ϕϕ

part part partnablatimes =

part part part

4-64

21 ˆˆ cos sin sinsin 2 2 2

rr rr

ϕ ϕθϕθ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

ˆˆ cos sin2 sin 2 2

rr r

ϕ ϕ ϕθ

minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

(b)如左圖一個底面在 x-y 平面半徑＝1高＝2 之圓錐 求面積分

SA dsnablatimes sdotint 面積範圍 S 為圓錐在 x-y 平面以上

部分 方向為由圓錐內向外

解由 Stokersquos law ( )S

A dsrarr rarrnablatimes sdotint ＝

C

A drarrsdotint 其中路

徑 C 為 x-y 平面圓心在原點之單位圓 ˆ ˆd rd dϕ ϕ ϕ ϕ= =

2

0ˆ ˆsin sin

2 2C

d dπϕ ϕϕ ϕ ϕ ϕ⎛ ⎞ ⎛ ⎞sdot =⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠int int ( )0

2 sin u duπ

= int 0cos | 2u π= minus =

習題 16 磁場 B 因為不是保守場所以沒有對應的純量位而對應一

個向量位 A (vector potential)而 B A= nablatimes 一個磁鐵的磁偶極矩

ˆm mz= 被置於原點已知在遠處的 vector potential 03ˆ sin

4mAr

μϕ θπ

=

計算該處的磁場 B Ans 03

ˆˆ( 2cos sin )4

mB rr

μ θ θ θπ

= + 與電偶極遠處

的電場形式一致都是偶極(dipole) 選幾個點畫一畫該處的場向量

把磁力線描出來

附錄本章講義的內容有部分可以經由直接計算得出列在附錄做為

參考

用「圓柱座標」寫 Atimesnabla

Ararr rarrnablatimes ＝ ( )1ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ zz A A zA

z ρ φρ ϕ ρ ϕρ ρ ϕpart part part⎛ ⎞+ + times + +⎜ ⎟part part part⎝ ⎠

4-65

因為rdquo sdotrdquo與rdquotimes rdquo都是向量間的運算所以

＝ ( )ˆ ˆ ˆ ˆ zA A zAρ φρ ρ ϕρpart

times + +part

＋ ( )1ˆ ˆ ˆ ˆ zA A zAρ φϕ ρ ϕρ ϕ

parttimes + +

part

＋ ( )ˆ ˆˆ ˆ zz A A zAz ρ φρ ϕpart

times + +part

直接做上式微分可以得到

＝1ˆ z AA

zϕρ

ρ ϕpart⎛ ⎞part

minus⎜ ⎟part part⎝ ⎠＋ ˆ zA A

zρϕ

ρpart⎛ ⎞part

minus⎜ ⎟part part⎝ ⎠＋

1 1ˆ ( )A

z A ρϕρ

ρ ρ ρ ϕpart⎛ ⎞part

minus⎜ ⎟part part⎝ ⎠

上式可以用一個行列式來表示

rarrrarr

timesnabla A＝

ˆ ˆ ˆ1

z

z

zA A Aρ ϕ

ρ ρϕ

ρ ρ ϕρ

part part partpart part part

（A-1）

A and Anabla nablasdot nablatimes in 球座標 spherical coordinate

如上圖球座標 )( ϕθr 其中 )0[ infinisinr ]0[ πθ isin ]20[ πϕ isin 只有 r

是長度而 ϕθ 為角度是用來說明方向的三個座標的單位向量 ˆ ˆˆ r θ ϕ 具

有下列性質

4-66

1 如上圖 ˆ ˆˆ r θ ϕ 都不是常數而是（ ϕθ ）的函數

ˆ ˆ( )ˆ ˆ( )ˆ ˆ( )

r r θ ϕ

θ θ θ ϕϕ ϕ ϕ

⎧ =⎪

=⎨⎪ =⎩

)( ϕθr 與(xyz)之間的轉換如下

sin cossin sincos

x ry rz r

θ φθ φθ

=⎧⎪ =⎨⎪ =⎩

( )122 2 2

2 2

tan

tan

r x y z

x yz

yx

θ

φ

⎧ = + +⎪⎪ +⎪ =⎨⎪⎪ =⎪⎩

（A-2）

2 ˆ ˆˆ r θ ϕ 形成一「歸一正交集」ie

ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ 1r r θ θ ϕ ϕsdot = sdot = sdot = ˆ ˆr θ ϕperp perp

ˆ ˆr θ ϕtimes = ˆ ˆ rθ ϕtimes = ˆˆ rϕ θtimes = （A-3）

3可以很容易的由他們在 xyz 軸上的投影由直角

座標的 ˆ ˆ ˆ x y z 表出

ˆ ˆ ˆ ˆsin cos sin sin cos ( 4 )ˆ ˆ ˆ ˆcos cos cos sin sin ( 4 )ˆ ˆ ˆsin cos ( 4 )

r x y z A a

x y z A bx y A c

θ φ θ φ θ

θ θ φ θ φ θϕ φ φ

= + + minus⎧⎪

= + minus minus⎨⎪ = minus + minus⎩

4 ˆdr = 由於 ˆ ˆ( )r r θ φ= 所以由 ϕθ 的變動來看

4-67

ˆ ˆˆ| |ˆ ˆˆ| | sin sin

d r d d

d r d d

θ θθ θθ

φ θ φφ θ φφ

⎧ rArr =⎪⎨

rArr =⎪⎩rArr ˆ ˆˆ sindr d dθ θ φ θ φ= + （A-5）

rArrˆ ˆr θθpart

=part

ˆ ˆsinr θφφpart

=part

（A-6）

（A-6）的結果也可以直接由（A-4a）對 ϕθ 偏微得到

5 ˆdθ ＝ 由於 ˆ ˆ( )θ θ θ φ= 所以由 ϕθ 的變動來看

ˆ ˆ ˆ| | ( )ˆ ˆ ˆ| | cos cos

d d r d r

d d d

θ θ θ θ

φ θ θ φφ φ θ φ

⎧ rArr minus = minus⎪⎨

rArr =⎪⎩rArr ˆdθ ＝ ˆˆ cosrd dθ φ θ φminus + （A-7）

ˆrθ

θpart

rArr = minuspart

ˆ ˆcosθ φ θφpart

=part

（A-8）

請直接由（A-4b）對 ϕθ 偏微的結果 check（A-8）

6 ˆdφ ＝由於φ )(ϕ 躺在 x-y 平面上變動φ時的方向可能不是那麼

容易看出來所以做圖看一看

ie ˆ ˆˆ(sin ) (cos )d r d dφ θ φ θ θ φ= minus minus （A-9）

4-68

ˆ ˆˆsin cosrφ θ θ θφpart

= minus minuspart

7 所有的向量 ˆ ˆˆ rA rA A Aθ φθ φrarr= + +

8 位置向量 ˆr rrrarr=

可以由左圖 ˆ ˆˆ r θ ϕ 三個方向的「長度

變化」輕易的看出

9 位移元素

ˆ ˆˆ ˆ sindr rdr rd dθ θ ϕ θ φ= + + (A-10)

10 體積元素

sindv dr r d rdθ φ θ= sdot sdot

＝ 2 sinr dr d dθ θ φ (A-11)

11 面積元素 2 sinrds r d dθ θ φ= plusmn sinds r drdθ θ φ= plusmn ds rdrdφ θ= plusmn (A-12)

plusmn號表示面的垂直方向有兩個端看 ds 周邊的方向是如何定的

nabladel 考慮 ( )u u r θ φ=

rArru u udu dr d dr

θ φθ φ

part part part= + +part part part

u d rrarr rarr

equiv nabla sdot

urarr

= nabla sdot ˆ ˆˆ( sin )rdr rd dθ θ φ θ φ+ +

rArr1 1ˆ ˆˆ

sinu u uu rr r r

θ ϕθ θ φ

rarr part part partnabla = + +

part part part

1 1ˆ ˆˆsin

rr r r

θ ϕθ θ φ

rarr part part partnabla equiv + +

part part part （A-13）

4-69

直接用（A-13）與 ˆ ˆˆ rA rA A Aθ φθ ϕrarr= + + 逐項內積加上（A-678）

rArr ϕθ

θθθ

ϕθ part

part+

partpart

+partpart

=sdotnablararrrarr A

rA

rAr

rrA r sin

1)(sinsin1)(1 2

2 （A-14）

（A-13）與 ϕθ ϕθ AAArA r

andandandrarr

++= 逐項外積整理之後

ϕθ θϕθ

ϕθθ

θArrAA

r

rrr

rA

r sin

sin

sin1

2 partpart

partpart

partpart

=timesnabla

andandand

rarrrarr

（A-15）

Laplacian uu nablasdotnabla=nabla2

2

2

2222

22

sin1)(sin

sin1)(1

ϕθθθ

θθ partpart

+partpart

partpart

+partpart

partpart

=nablau

ru

rrur

rru （A-16）

B推導「散度」在圓柱座標的寫法

讓我們先回顧一下在直角座標裡的「面積元素」可以由「位移元素」

得到

ˆˆ ˆ x y zdr idx jdy kdz da dydz dxdz dxdy= + + rArr =

比照辦理「圓柱座標」的位移元素

( )ˆˆ ˆ( )

( )z

da d dzdr d d zdz da d dz

da d d

ρ

φ

ρ φ

ρ ρ φ ρ φ ρ

ρ ρ φ

=⎧⎪= + + rArr =⎨⎪ =⎩

這個結論可以輕易的由面積元素在垂直於 zˆˆ ϕρ 三個方向的面積看

出如下圖考慮一個以 )( zϕρ 為中心的「圓柱體積元素」(cylindrical

cubiod)體積為 zdV ΔΔ=Δ ϕρρ 現計算在 ρ

方向的 12 兩個平行面(方向各為 ρplusmn )的通

量

4-70

zzF

dsFdsnFS S

ΔΔ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

+cong

=sdotintint intintϕρρϕρρρ

ρ

2

2

ˆ1 1

zzF

dsFdsnFS S

ΔΔ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

minus⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

minusminuscong

minus=sdotintint intintϕρρϕρρρ

ρ

2

2

ˆ2 2

intint+

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

minus⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

minusminus⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

+Δ

asympsdotΔ

rArr21

22

22

1ˆ1

SS

zFzFdsnFV

ϕρρρρϕρρρρρρ ρρ

( ) ( )

1 20

0

0

1 ˆlim

1lim 2 2 2 2

1 1lim 2 2

1

VS S

F ndsV

F z F z

F z F z

F

ρ ρρ

ρ ρρ

ρ

ρ ρ ρ ρρ ρ φ ρ ρ φρ ρ

ρ ρρ ρ φ ρ ρ φρ ρ

ρρ ρ

Δ rarr+

Δ rarr

Δ rarr

rArr sdotΔ

Δ Δ Δ Δ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + + minus minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥Δ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦Δ Δ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥Δ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

part ⎡ ⎤= ⎣ ⎦part

intint

娛樂一下用上述方式把圓柱的 Fsdotnabla 裡的z

FF z

partpart

+partϕρϕ1

變出來

球座標的nabla和 Fsdotnabla 也可以試試看

補充習題

H M Scheydiv grad curl and all that 4th edition

第二章習題 6 8 9 10 11 14 15 16 18 19 21 22 23 25 26 27

第三章習題 2 3 5 6 7 8 9 10 11 14 15 17 18 19 24

4-20

「圓柱座標」就是「極座標」（用 ( )ρ ϕ 取代 ( )r θ ）再加上第三維 z

所以圓柱座標 ( )zρ ϕ 裡 zρ 的因次為長度而ϕ 只是一個數字

( )zρ ϕ 與(x y z)間的轉換如下

2 2 cos

tan sin

x yx

y yx

z zz z

ρρ ϕ

ϕ ρ ϕ

⎧ = +=⎪ ⎧

⎪ ⎪= =⎨ ⎨⎪ ⎪ =⎩=⎪⎩

（4-46）

「圓柱座標」的三個方向單位向量 ˆ ˆ ˆ zρ ϕ 如圖

且 ˆ ˆ zρ ϕperp perp 可以看出ρ 的等值面為一個圓柱

面ϕ 的等值面是一扇門z 的等值面為一個垂

直 z 軸的平面但是

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( ) zρ ρ ϕ ϕ ϕ ϕ= = =常數

柱座標的位置向量 r 如左圖

ˆ ˆr zzρρ= + （4-47）

在柱座標寫位移元素dr 有兩種作法一

種是直接由（4-47）式取微分元素 借用

平面極座標的結果可得

ˆ ˆ ˆ( ) ( )

ˆ ˆ ˆdr d d dzz

d d dzzρ ρ ρ ρ

ρρ ρ ϕϕrArr = + +

= + + （4-48）

但也可以由三個座標方向的

位移來看由左圖可得沿 ρ 方向

的長度變化 ie 當座標ρ 有變

化dρ 時產生的長度變化就是

dρ 沿ϕ 的長度變化為 dρ ϕ

而沿 z 方向的長度變化為 dz

4-21

dr 是一個向量有三個分量ρ -分量就是沿 ρ 方向的長度變化

dρ ϕ -分量沿ϕ 的長度變化為 dρ ϕ 而 z-分量就是沿 z 方向的長度變

化為 dz合併寫出

ˆ ˆ ˆdr d d dzzρρ ρ ϕϕ= + +

與（4-48）式完全相同但是這種由幾何角度得到的結果要更方便

也更直觀Fig 27 非常重要因為只要你能把圖畫出來位移的各

分量就寫得出來有了位移元素dr 速度與加速度就可得出

ˆ ˆ ˆ (4 49)

ˆ ˆ ˆ( ) (2 ) (4 50)

drv zzdtdva zzdt

ρρ ρϕϕ

ρ ρϕ ρ ρϕ ρϕ ϕ

rArr = = + + minus

rArr = = minus + + + minus

由上圖與dr 的 3 個分量可得圓柱座標的體積元素

dV d d dz d d dzρ ρ ϕ ρ ρ ϕ= sdot sdot = （4-51）

ex19 底面半徑 R高 h 的圓柱體積＝ 2 2

2

0 0 0

22

R h RV dV d d dz h R hπ

ρ ρ ϕ π π= = = sdot sdot =int int int int

ex20 底面半徑 R高 h 的「圓錐」體積＝

解本圓錐裡點的座標分佈為 [02 ] [0 ]z hϕ πisin isin ( )zρ ρ=

( ) ( )( )

h z h Rz h zz R h

ρρminus

= rArr = minus

22( )( ) 2 2

0 0 0 0 0 0

002 2 2 3 2 32 2 2

2 2 2 20

( )2 2

2

1( )3 3 3

R h zzh h hh

h

h h

R h zhV d dz d d dz d dz

R R R u R hh z dz u du R hh h h h

ρ π

τ ρ ρ ϕ π ρ ρ π

π π π π π

minus

minus minus

minusthere4 = = = =

= minus = = = =

int int int int int int int

int int

如果我們把 3-D 的三個座標寫為 1 2 3( )u u u 或 123iu i = 當座

標 ui(在 ˆiu 方向)變動 dui 時造成的長度變化為 id 則定義

4-22

i i id h duequiv (4-52)

其 中 hi 稱 為 座 標 ui 的 度 量 係 數 (metric

coefficient)由 zρ 的因次為長度所以 zρ 的變

化 d dzρ 就是長度的變化所以 1 1zh hρ = =

然而ϕ 的變化造成的長度變化為

d d hϕ ϕρ ϕ ρ= rArr = (4-53)

很明顯的直角座標 xyz 都是長度所以度量係數 1x y zh h h= = =

(C) 球座標 spherical coordinates

3D 點 P(x y z)的位置向量 ˆ ˆ ˆr xx yy zz= + + 定義

「圓柱座標」 )( ϕθr 其中

[0 ] [0 ]

[02 ]

r P rr zr x y x

θ θ πϕ

ϕ π

⎧ equiv isin infin⎪

equiv isin⎪⎨

equiv minus⎪⎪ isin⎩

原點到 的距離

與 軸的夾角

在 軸投影與 軸的夾角

球座標的ϕ 與住座標的ϕ 相同

( )r θ ϕ 與(x y z)間的轉換如下下列為（4-54）

2 2 2

2 2 2

sin coscos sin sin

cos

tan

r x y zx r

z y rx y z z r

yx

θ ϕθ θ ϕ

θ

ϕ

⎧⎪ = + +⎪ =⎧⎪ ⎪= =⎨ ⎨

+ +⎪ ⎪ =⎩⎪⎪ =⎩

三個座標的單位向量 )ˆˆˆ( ϕθr 如左圖一可以看

出 r 的等值面是一個球面θ 的等值面為一個

以原點為頂點的圓錐ϕ 的等值面為一扇門

位置向量 ˆr rr= （4-55）

4-23

位移由 ˆ ˆˆ( )r θ ϕ 3 個方向的「長度

分量」可得 ˆ ˆˆ ( ) ( sin )dr rdr rd r dθ θ ϕ θ ϕ= + +

（4-56）

所以體積元素

2

( )( sin )(sin )

d dr rd r dr dr d d

τ θ θ ϕ

θ θ ϕ

=

= （4-57）

Fig 31 和 Fig 27 一樣重要只要

你能畫得出來就可以寫出球座

標位移的三個分量

ex21 求一半徑 R 的球體積 2

2 2 3

0 0 0

4sin sin3

R

V d r dr d d r dr d d Rπ π

τ θ θ ϕ θ θ ϕ π= = = =int intintint int int int

ex22 求一質量 M半徑 R密度 ( )3 4 3M Rρ π= 的實心球對直徑

旋轉的轉動慣量

解質量元素 2 sindm d r dr d dρ τ ρ θ θ ϕ= = 到 z 軸的垂直距離為 sinr θ=

22 4 3

0 0 0

5 52

sin

4 8 225 3 15 5

RI dm r dr d d

R R MR

π πρ θ θ φ

πρ π ρ

= =

= sdot sdot = =

intintint int int int

娛樂一下空心球對直徑的轉動慣量

(4-46)式與(4-54)式說明柱座標和球座標與直角座標之間的轉

換Fig 32 可得出柱座標和球座標之間轉換

2 2

sintan

cos

r zr

zz r

ρρ θ

ρϕ ϕ θθ ϕ ϕ

⎧ = += ⎪⎧

⎪ ⎪= =⎨ ⎨⎪ ⎪=⎩ =⎪

⎩

（4-58）

4-24

Ex23 點 P 的球座標為（31200 600）求柱座標＝

解2 3 33sin3 2πρ ⎛ ⎞= =⎜ ⎟

⎝ ⎠

23

ϕ π= 2 33cos3 2

z π minus⎛ ⎞= =⎜ ⎟⎝ ⎠

直角座標柱座標球座標單位向量之間的轉換

三種座標之間的轉換由(4-46)式(4-54)式與（4-58）式表出但

三種座標裡的的三個單位向量 ˆ ˆ ˆ x y z ˆ ˆ ˆ zρ ϕ ˆ ˆˆ r θ ϕ 若以 123ˆ iu =

表示則單種座標的單位向量之間都有正交歸一關係

ˆ ˆi j iju u δsdot = 與外積的循環關係

ˆ ˆ ˆ i j ku u u i j ktimes = cyclic in 123

ie 1 2 3 2 3 1 3 1 2ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ u u u u u u u u utimes = times = times = or ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆˆ ˆ r z z x yθ ϕ ϕ ρtimes = times = times =

然而不同座標系的單位向量之間關係如何我們畫圖來討論

球座標 ˆ ˆˆ( )r θ ϕ rarr直角座標 ˆ ˆ ˆ( )x y z

單位向量都是用來指方向的球座標的 ˆ ˆˆ( )r θ ϕ 都是「方向角」( )θ ϕ

的函數 r 在直角座標可以由 Fig33 看出

ˆ ˆ ˆ ˆsin cos sin sin cosr x y zθ ϕ θ ϕ θ= + + （4-59）

ex24 P 點的球座標為2 75 3 6π π⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠

試用球座標與直角座標求 P 點的位

置向量的單位向量 解位置向量 ˆr rr= 在球座標只有 r-分量標位置仔細一點把方向

角標出2 7ˆ 3 6

r π π⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

通常只是寫 r 令人有點摸不著頭緒用直角

4-25

座標比較「具像」 2 7 2 7 2ˆ ˆ ˆ ˆsin cos sin sin cos3 6 3 6 3

3 3 1ˆ ˆ ˆ4 4 2

r x y z

x y z

π π π π π⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞minus minus minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + +⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

單位向量θ 在某一組 ( )θ ϕ 的指向如 Fig 34a將θ 平移至原點更清楚

Fig34b 是由側面看 Fig34a可以看到θ 在 z 軸的投影為 sinθminus 而θ 在

x-y 平面的投影為cosθ使得θ 在 x-軸的投影為cos cosθ ϕy-軸投影

為cos sinθ ϕ於是

ˆ ˆ ˆ ˆcos cos cos sin sinx y zθ θ ϕ θ ϕ θ= + minus （4-60）

單位向量ϕ 如 Fig 35a 所示是在 x-y 平面畫出

Fig 35b 為自 z 軸向下看 Fig35a 圖可以看出ϕ 在 z 軸投影為 0且

ˆ ˆ ˆsin cosx yϕ ϕ ϕ= minus + （4-61）

ex25 一個質點的速率為 2( ) ( sin tan )v r rθ ϕ θ ϕ= 若經查該質點的運

動 是 在 z = 3 平 面 做 逆 時 針 圓 周 運 動 則 當 位 置 的 方 向 角

4-26

2( ) 4 3π πθ ϕ ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

時計算其速度用球座標與直角座標表出

解圓運動速度方向是沿切線所以球座標 ˆ ˆ( )v v v rϕ θ ϕ ϕ= =

z = 34πθ =

3 3 21cos cos 24

z zrπθ

rArr = = = =⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

所以該處的瞬時速率

2 2

2( ) 3 3 4 3

2 1 813 3sin tan 3 3 ( 3)4 3 22

v r v π πθ ϕ

π π

⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

⎡ ⎤ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = times minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

2 81 2ˆ3 3 4 3 2 4 3

v r π π π πθ ϕ ϕ⎛ ⎞ ⎛ ⎞rArr = = = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

在直角座標2 2 2ˆ ˆ ˆ sin cos

4 3 3 3x yπ π π πϕ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠3 1ˆ ˆ

2 2x y= minus minus

而且點23 3

4 3π π⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠

的直角座標為

2 1 3 3sin cos 3 3sin cos 3 34 3 2 22 2

x r π πθ ϕ minus minus⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

2 3 9sin sin 3 3sin sin 3 34 3 2 2 2 2

y r π πθ ϕ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = = =⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

z = 3

23 3 4 3

v π π⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

3 3 9 81 3 1ˆ ˆ 32 2 2 2 22 2

v x y⎛ ⎞ ⎛ ⎞

rArr = minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

以上兩個例子都只討論只有一個圓座標分量的向量in general 向量

ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( )r x y zA r rA A A A r xA yA zAθ ϕθ ϕ= + + hArr = + + （4-61）

若已知球座標的分量 ( )rA A Aθ ϕ 如何得到直角座標的

( )x y zA A A

4-27

ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( )ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( )

ˆ ˆˆˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( )

x r

y r

z r

A x A r x r A x A x A

A y A r y r A y A y A

A z A r z r A z A z A

θ ϕ

θ ϕ

θ ϕ

θ ϕ

θ ϕ

θ ϕ

⎧ = sdot = sdot + sdot + sdot⎪⎪ = sdot = sdot + sdot + sdot⎨⎪

= sdot = sdot + sdot + sdot⎪⎩

（4-62）

由式（4-59）（4-61） ˆ ˆ ˆ ˆsin cos sin sin cosr x y zθ ϕ θ ϕ θ= + + （4-59） ˆ ˆ ˆ ˆcos cos cos sin sinx y zθ θ ϕ θ ϕ θ= + minus （4-60）

ˆ ˆ ˆsin cosx yϕ ϕ ϕ= minus + （4-61） ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆsin cos cos cos sin ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆsin sin cos sin cos ˆ ˆˆˆ ˆcos sin 0

x r x x

y r y y

z r z z

θ ϕ θ θ ϕ ϕ ϕ

θ ϕ θ θ ϕ ϕ ϕ

θ θ θ ϕ

⎛ ⎞sdot = sdot = sdot = minus⎜ ⎟

rArr sdot = sdot = sdot =⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟sdot = sdot = minus sdot =⎝ ⎠

（4-63）

sin cos cos cos sin sin sin cos sin cos

cos sin 0

x r r

y RS

z

A A AA A M AA A A

θ θ

ϕ ϕ

θ ϕ θ ϕ ϕ

θ ϕ θ ϕ ϕ

θ θ

⎛ ⎞minus ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟rArr = equiv⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟minus⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

（4-64）

其中 SRM 為由球座標分量轉為直角座標分量的轉換矩陣且行列式

det SRM =1 表示反矩陣存在then 1SRM minus 就是將直角座標分量轉為球座

標分量之轉換矩陣其實嚴格講 (4-64)式還不是最終的表示因為

轉換完的直角

座標應該全部以 x y z 表出這裡保留用 θ ϕ 只是為了簡潔方便

習題 2 Find 1SRM minus

習題 3 用 xyz 表出(a)sinθ (b)cosθ (c)sinϕ (d)cosϕ

Ans (a)2 2

2 2 2sin

x yx y z

θ+

=+ +

(b)2 2 2

cos zx y z

θ =+ +

(c)2 2

sin yx y

ϕ =+

(d)2 2

cos xx y

ϕ =+

習題 4 用上面結果將 SRM 用 xyz 表出

Ex26 Given a field ( )A r θ ϕ ＝ ˆ ˆˆ2 3r θ ϕ+ minus in spherical coordinates

find the field in rectangular coordinates （直角座標）

4-28

解這裡的 ( )A r θ ϕ 不因其三個分量都是常數而只是「一個」向量

而是一 vector field這是因為 ˆ ˆˆ r θ ϕ 都不是定值而與 θ ϕ 有關而如

果 ( )A r θ ϕ 表示則單位向量所對應的角度 θ ϕ 必須要標定所以

sin cos cos cos sin 2sin sin cos sin cos 3

1cos sin 0

x

y

z

AAA

θ ϕ θ ϕ ϕ

θ ϕ θ ϕ ϕ

θ θ

⎛ ⎞minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ minusminus⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

(2sin 3cos )cos sin(2sin 3cos )sin cos

2cos 3sin

x

y

z

AAA

θ θ ϕ ϕθ θ ϕ ϕ

θ θ

+ +⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟rArr = + minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟minus⎝ ⎠ ⎝ ⎠

習題 5 Draw a diagram to show in the cylindrical coordinates

(a) ˆ ˆ ˆcos sinx yρ ϕ ϕ= + (b) ˆ ˆ ˆsin cosx yϕ ϕ ϕ= minus + (c) ˆ ˆz z=

習題 6 use the above results show that 由柱座標分量轉為直角座標分

量的轉換矩陣

x

y CR

z z

A AA M AA A

ρ

ϕ

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟=⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

CRM =

2 2 2 2

2 2 2 2

0cos sin 0sin cos 0 0

0 0 10 0 1

x yx y x y

y xx y x y

ϕ ϕ

ϕ ϕ

minus⎛ ⎞⎜ ⎟+ +⎜ ⎟⎛ ⎞minus⎜ ⎟⎜ ⎟

= ⎜ ⎟⎜ ⎟+ +⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

Ex27 Express vector ˆ ˆ ˆ(3cos ) 2 5A zρ ϕ ϕ ρ= minus + in Cartesian

coordinates Specifically the A at the position of (2 2 3π -3)

解

2cos sin 0 3cos 3cos 2 sinsin cos 0 2 3cos sin 2 cos

5 50 0 1

x

y

z

AAA

ϕ ϕ ϕ ϕ ρ ϕϕ ϕ ρ ϕ ϕ ρ ϕ

⎛ ⎞minus ⎛ ⎞+⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟= minus = minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

so that A (2 2 3π -3)= 3 3 3ˆ ˆ ˆ3 3 3 54 4

x y z⎛ ⎞⎛ ⎞+ + minus +⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠注意本

題裡 z 座標並非一變數

4-29

sect 43 Fields and its properties 場與其性質

「場 field」是什麼凡是在「某個空間中每一點」都有定義的量

就是一個「場」所以「場」也稱為「點函數 point function」簡單的

說凡是「空間的函數」都是「場」如果這個「空間的函數」是一個

純量 u(xyz)那麼 u(xyz)就是一個「純量場 scalar field」例如室內

的溫度 T(xyz)一塊豬肉的密度 ( )x y zρ 大氣中的壓力 p(xyz)等

都是純量場如果這個「空間的函數」是一個向量 )( zyxA 那麼

)( zyxA 就稱為「向量場 vector field」例如空間中的電場 )( zyxE

水流中的速度場 )( zyxv 重力場 )( zyxg 等等很顯然的不論是純量

場還是向量場「場」在空間中的分佈通常未必是均勻的那麼她有

什麼性質呢例如一塊豬肉內部密度是如何變化的水流中有沒有

漩渦大氣中的等壓線是如何變化的等等那麼有沒有什麼量可以

有系統的描述各種場的分佈有我們在以下分別討論

sect 431 Gradient of scalar fields 純量場的梯度

考慮一個純量場 f(xyz)可以視為 3 個變數 xyz 的函數當變數變動為

x+dx y+dy z+dy 時造成 f 的變化

f f fdf dx dy dzx y zpart part part

= + +part part part

（4-65）

由幾何意義來看上式更為具體上式表示純量場 )(rf 基於位置的變化

r r drrarr + (或由 ( ) ( )x y z x dx y dy z dzrarr + + + )所造成 f 的變動

我們現在定義一個向量算符 vector operator nabla (or nabla )（讀做 del）

ˆ ˆ ˆx y zx y zpart part part

nabla equiv + +part part part

(4-66)

如果將 del 作用在純量場 )(rf 上將產生出現一個新的「向量場」 fnabla

稱為純量場「 )(rf 的『梯度 gradient』」

4-30

ˆ ˆ ˆ( ) f f fgrad f f x y zx y zpart part part

equiv nabla = + +part part part

（4-67）

這使得由於任意位移 ˆ ˆ ˆdr xdx ydy zdz= + + 所造成 f 的變化量

df f drrArr =nabla sdot （4-61）

ex28 Given scalar field 2( )f r xy z= and 2 2 2

1 1( )g rrx y z

= =+ +

(a) find the value of ( )f r and fnabla at point P(2 1-1) 解 2(21 1) 2 1 ( 1) 2f minus = times times minus = minus

2 2 2

2 2

ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( )

ˆ ˆ ˆ( ) ( 2 ) ( )

f x xy z y xy z z xy zx y z

x y z y x yz z xy

part part partnabla = +

part part part

= +

＋

＋

ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ(21 1) ( 1) (2 2) (2) 4f x y z x y znabla minus = minus + timesminus = minus minus＋ ＋2 (b) find the value of ( )g r and gnabla at the point P

解2

1 1(21 1)62 1 1

g minus = =+ +

2 2 2 12 2 2 2 12

2 2 2 12

ˆ ˆ( ) ( )

ˆ ( )

g x x y z y x y zx y

z x y zz

minus minus

minus

part partnabla = + + + + +

part partpart

+ +part

＋

2 2 2 32 2 2 2 32 2 2 2 32

2 2 2 32 3 2

ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( )

ˆ ˆ ˆˆ( )( )

OR OR

xx yy zzgx y z x y z x y zxx yy zz r r

x y z r r

minus minus minusrArrnabla = + +

+ + + + + +minus + + minus minus

= = =+ +

32

ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ(2 ) 2(21 1)6 6 6

x y z x y zg minus + minus minus minus +rArrnabla minus = =

由 gnabla 看到一個粉常用的結果就是

3 2

ˆ1 ORr rr r r

minus minusnabla = = （4-62）

順便比較一下

2 2 2 12 2 2 2 12 2 2 2 12

2 2 2 12

ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( )

ˆ ˆ ˆ( ) ˆ (4 63)( )

r x x y z y x y z z x y zx y zxx yy zz r r

x y z r

part part partnabla = + + + + + + +

part part part+ +

= = = minus+ +

＋

4-31

(c) what is the angle between (21 1)fnabla minus and (21 1)gnabla minus

解 (21 1)fnabla minus (21 1)gsdotnabla minus ＝（ ˆ ˆ ˆ4x y zminus minus ＋2 ） sdotˆ ˆ ˆ26 6x y zminus minus +

＝2 4 2 4

6 6 3 6+ +

= ＝ | (21 1) |fnabla minus | (21 1) |gnabla minus cosθ

＝ 34 1 1 211 16 4 cos cos

6 6θ θ+ +

+ + =

1 4 2cos 07773 7

radθ minus ⎛ ⎞= =⎜ ⎟

⎝ ⎠

要注意隨然nabla有向量的性質但是他並不是一個真的向量真

實向量 A與純量 f ( )r 的乘法滿足交換率ie ( ) ( )Af r f r A= 但是

f fnabla ne nabla因為

( )f rnabla ＝ ˆ ˆ ˆf f fx y zx y zpart part part

+ +part part part

是一個向量函數而

ˆ ˆ ˆ( )f r x y zx y z

⎛ ⎞part part part+ +⎜ ⎟part part part⎝ ⎠

是一個算符（operator）

若nabla要與向量場 A 作用由於nabla與 A 都具有向量的性質先看「內積」

ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ( )

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

x y z

x y

z

y yx xz z

A x y z xA yA zAx y z

x y z xA x y z yAx y z x y z

x y z zAx y z

A AA AA Ax x x y x zx y z x y z

⎛ ⎞part part partrArrnablasdot = + + sdot + +⎜ ⎟part part part⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞part part part part part part= + + sdot + + + sdot⎜ ⎟ ⎜ ⎟part part part part part part⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞part part part

+ + + sdot⎜ ⎟part part part⎝ ⎠part partpart partpart part

= sdot + sdot + sdot + sdotsdot sdot = + +part part part part part part

yx zAA AAx y z

partpart partnablasdot = + +

part part part (4-64)

上式中的 Anablasdot 是向量場 A 的一個重要的性質稱為 A 的「散度」詳

細的內容在後面會仔細討論這裡引進 Anablasdot 主要是要表明nabla是個「算

符」表示一個運算不是一個真實的向量只是在「直角座標」裡

4-32

因為單位向量 ˆ ˆ ˆ x y z 是常數不受微分的作用以致nabla表現得好像也

是個一般的向量一樣事實上真實向量和nabla間的「內積」就不滿足交

換率

x y zA A A A an operator Ax y zpart part part

sdotnabla = + + = ne nablasdotpart part part

(4-65)

這也使得任意向量場 ( )A r 因位置變動 r r drrarr + 而產生的變化由於

)( zyxA 也是 3 個變數 xyz 的函數可以寫為

( )A A AdA dx dy dz dr Ax y z

part part part= + + = sdotnabla

part part part （4-66）

ex29 (a)Given field 2ˆ ˆ ˆ2A xxy y x zyz= minus + find Anablasdot at point (1-12)

解2( ) (2 ) ( ) 2xy x yzA y yz

x y zpart part part

nablasdot = + + = +part part part

(1 12)1 2( 1)2 3A

minusnabla sdot = minus + minus =

(b) find rnablasdot 解 rnablasdot = 3x y zx y zpart part part

+ + =part part part

梯度的意義

由（4-67）可以看到「f 的梯度 fnabla 」

是一個由「純量場 f」衍生出的向量

場由（4-26）也可以看出 fnabla 扮演類

似「變化率」的角色

空間中將相同值 f ( )r ＝f1 的點連

起來就得到一個 f ( )r ＝f1 的「等值面」如 Fig36考慮純量場 f( r )的

相鄰兩個等值面各對應定值 1f f= 與 1f f df= + 0df gt P1 點在 f1

等值面上相鄰兩點 P2P3 在 1f df+ 等值面上而向量 1 2 ˆnP P dn e dn= =

過 P1 點垂直於 f1 等值面 1 3 ˆP P d e d= = 與 ˆne dn夾角為α 由於不

論 1 2P Prarr 或 1 3P Prarr f 的變化量都是 df 但因距離 dn 係兩等值面最

4-33

短的距離d dngt 所以 1 2P Prarr 或 1 3P Prarr 造成的「變化率」df dfdn d

gt

而過 P1 點的最大變化率為dfdn

換言之向量 ˆndfedn

為過 P1 點垂直於

f1 等值面且指向最大「增加率」的方向 現在要證明

ˆndfe fdn

= nabla （4-67）

考慮 1 3P Prarr 造成的 f 值的變化率

ˆ ˆcos n ldf df dn df df e edl dn dl dn dn

α= = = sdot

ˆ ˆ ˆn l ndf dfdf e e dl e dldn dn

rArr = sdot = sdot

和（4-61）式df f dr= nabla sdot 相比即可得證 ˆndfe fdn

= nabla 所以可以知道

空間純量場 f ( )r 中任一點處的向量 fnabla 必「垂直」於「通過該點的 f的等值面」且指向 f 值最大「增加率」的方向| ( )f rnabla |就是 f 在 r 點

的最大增長率可以進一步定義等值面的「法線 normal」方向為

ˆ fnf

nabla=nabla

（4-68）

結論給定一個純量場 f( r )在每一點 r 可以定義一個稱做「梯度」

的向量 fnabla fnabla 垂直於過 r 點的 f 等值面且指向最 f 大增加率的方向

fnabla 的方向也定義了 f 等值面的法線方向

Ex30 考慮一個 2D 的 scalar field 2( )f x y y x= minus 計算該場在 )20( 的梯度與

法線方向

解 ˆ ˆ ˆ ˆ2f ff x y x yyx ypart part

nabla = + = minus +part part

ˆ ˆ(0 2) 2 2f i jnabla = minus + ˆ ˆ ˆ ˆ2 2 2 2ˆ(0 2)

31 8i j i jn minus + minus +

rArr = =+

4-34

ex31 點電荷 q 置於原點其產生電位為 ( ) qV rr

= 求負梯度qr

minusnabla

解 3

2 2 2 22 2 2

2 ( )2

q q q q x x y zr x rx y z

minuspart minus= rArr = sdot + +

part+ +

3 23

ˆˆ ˆ ˆ( )q ix jy kz r rq q qr r r r

minus + +rArr minusnabla = minus = = （點電荷的電場）

0 0

1 1 r r

noter r= =

nabla rarrinfin rarrinfin∵ 是不定值是因為 r = 0 處為最大值

「增加率」的方向無法確定

ex32 置一熱源於原點空間溫度分佈為1( )

( 2)T r

r=

+求溫度的梯度

解 2 2 2

ˆ( ) ( )( 2) ( 2) ( 2)

x rT r rr rT r

x r r r

minuspart minus

= rArrnabla = =part + + +

此處的負號表示梯

度指向熱源因為距熱源越遠溫度越低 ( 0)note T rnabla = 為不定值

因在最頂點「增加率」的方向無法確定

Ex33 地圖上山脈的等高線上各點的垂直方向由梯度決定現有一座

山是橢球 2)1(4 222 =+++ zyx 在 x-y 平面上方的

部分求地圖上這座山等高線的梯度

解 山高 142 22 minusminusminus== yxzh 所以等高線為橢

圓 222 )1(24 +minus=+ hyx 梯度

( ) ( ) ( )2 2 2 2

2 2

ˆ ˆ4ˆ ˆ2 4 1 2 4 1

2 4

xx y yh x x y y x y

x y x y

minus +part partnabla = minus minus minus + minus minus minus =

part part minus minus

所以自山腳（h=0）登山若由(012)開始 ˆ(01 2) 2h ynabla = minus 但若由

)02(minus 開始爬山 ˆ( 20) 2h xnabla minus = 可見 )02()210( minusnablagtnabla hh 這表

示由 y-軸登山山勢較陡所以「梯度」比由 x-軸登山為大這也更

清楚瞭解「梯度」的幾何意義

4-35

sect 432 Divergence 散度與 Curl 旋度

在(4-66) 我們建立了一個直角座標 vector operator 「del」

ˆ ˆ ˆx y zx y zpart part part

nabla equiv + +part part part

(4-66)

若與向量場 A 做「內積」與「外積」就建構了 A 的「散度」與「旋度」

散度 A A scalaryx zAA Adiv ax y z

partpart partequiv nabla sdot = + + =

part part part （4-69）

旋度

y yz x z x

ˆ ˆ ˆ y z A vector

A AA A A Aˆ ˆ ˆxy z z x x y

x y z

x y z

xcurl A a

A A A

y z

⎧⎪

= nablatimes = part part part =⎪⎪⎨⎪

part part⎛ ⎞ ⎛ ⎞part part part part⎛ ⎞⎪ = minus + minus + minus⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎪ part part part part part part⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎩

(4-70)

這裡定義的只是「散度」與「旋度」所謂「操作型的定義」告訴我

們如何計算的式子事實上她們都具有重要的物理意義我們在後面

會討論

ex34 ˆ ˆA xy yx= minus 求其散度與旋度

解 0 0y xAx ypart part

nablasdot = minus + =part part

ˆ ˆ ˆ y zˆ ˆ ˆ ˆ 0 0 ( 2) 2

0 x y z

xA x y z z

y xnablatimes = part part part = minus + minus = minus

minus

右圖示意了本向量場的分佈看得出像個漩渦也看到算出的旋度

0ne 看來旋度表現的應該是向量場「旋轉的程度」事實上我們在

後面會看到「旋度」表現的就是是向量場在空間各點「旋轉的程度」

本題的向量場在每一點的旋轉程度都一樣

4-36

Ex35 ( )ˆ ˆ ˆ A xx yy zz r= + + = 求其散度與旋度

解 3A rnablasdot = nablasdot = ˆ ˆ ˆ y z

0

x y z

xA

x y znablatimes = part part part =

由場分佈的示意圖可以看出本向量場是自原點向外射出好似在原

點有一個場線的「源頭 source」但是 3Anablasdot = 為一個常數表示好像到

處都有 source同時旋度為 0 也可以配合本場並無旋轉的形象事實

上「散度」表現的就是是向量場在空間各點產生「場線」的 source

記得靜電學裡的庫倫定律 0E ρ εnablasdot = 電場的散度就是「電荷密度」

(電場的 source)前一題的向量場看來對應的場線是封閉的所以沒有

source這也對應了其散度＝0不過一個向量場的散度旋度究竟是

多少應該詳細的計算場分佈圖形有時候不是那麼容易看的清楚

兩個 useful identities (恆等式)

(a) ( ) 0 0f curl of a gradnablatimes nabla = =

(b) ( ) 0 0A div of a curlnablasdot nablatimes = =

pf (a) ( )ˆ ˆ ˆ x y z

x y z

x y z

ff f f

nablatimes nabla = part part part

part part part

( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2xz zxˆ ˆ ˆx y f- f z 0yz yz xy yxf f f f= part minus part minus part part + part minuspart =

這個結果與真實的向量外積 ( ) AA 0=times 有相似之處但是這只是特

例要記得nabla並不是一個真正的向量

( ) ( ) ( )

( )

ˆ ˆ ˆ y zˆ ˆ ˆ x y z

0

x y z y z z y x z z x x y y x

x y z

xy z xz y xy z yz x xz y yz x

xA A A A A A A

A A A

A A A A A A A

nablatimes = part part part = part minus part minus part minus part + part minus part

nablasdot nablatimes = part minuspart minuspart +part +part minuspart =

4-37

此結果與真實的向量運算有相似之處 ( )( )0 (B A) BB B Asdot times = times perp∵

但是這仍只是特例因為我們可由下列例子 ( ) 0A Asdot nablatimes ne 看出事實上

nabla並不是一個真正的向量 Ex36 ˆ ˆ ˆA xy yx zx= minus +

( )

ˆ ˆ ˆ y zˆ ˆ ˆ 0 1 ( 2)

2 0

x y z

xA x y z

y x x

A A x x x

nablatimes = part part part = minus + minus

minus

sdot nablatimes = minus = minus ne

面積元素向量

物理上時常會遇到面積分例如電通量磁通

量等等考慮一個面積元素 ds定義「面積的

方向」為其「法線方向」並定義面積元素向量

ˆnds a dsequiv （4-71）

要注意的是(1)如果 ds 是一個「封閉面

closed surface」（即有裡外之分）的一部

份則 ˆna 定義為「由內向外」(2) 如果 ds

是一個「開放面 opened surface」（即分不

出裡外）的一部份那麼 ds 必被其邊緣

（一個封閉的曲線 C）所包圍這樣在定

出ds 的方向之前要先定義「邊緣曲線」

C 的方向再由右手定則定義 ˆna 的方向

既然面積已為一個向量就可以寫為分量表示以直角座標

ˆ ˆ ˆx y zds xds yds zds= + + (4-72)

那麼這些分量 dsx dsy dsz 會是什麼既然 dsx 的方向是 x 就表示 dsx

是躺在 y-z 平面上所以 dsx 的兩邊是 dy 與 dz rArr xds dydz= 依此類

4-38

推 dsy 的方向是 y 所以躺在 x-z 平面rArr yds dxdz= hellip可以得知

xds dydz= yds dxdz= zds dxdy= （4-73）

不過要注意在寫面積元素時要看討論的面實際

是什麼面上式的三個分量有可能會是負的例如

左圖座落在第一象限的立方體的 A 面方向就在 xminus

方向Arsquo面在 yminus Ardquo面在 zminus 方向寫面積元素最

好是先把討論的面的方向搞清楚把plusmn號寫在單位向量前面那麼分

量就都用＋的即可其實面積元素體積元素都可以由位移元素看出

ˆ ˆ ˆdr xdx ydy zdz= + +

dx dy dz 是沿著 ˆ ˆ ˆ x y z 方向的長度所以面積元素分量的兩邊長度就

是由其中兩個組成而體積的三邊也就是三個垂直方向的長度

x y zdV dx dy dz and ds dydz dxdz dxdyrArr = = （4-74）

這個概念在其他的座標系統也成立我們可以方便的寫出面積元素

Recall 柱座標的位移向量元素

cylindrical coordinate ˆ ˆ ˆdr d d dzzρρ ρ ϕϕ= + + （4-48）

ˆ ˆ ˆ zds ds ds zdsρ ϕρ ϕ= + + (4-75)

dsρ 躺在 zϕ minus 平面dsϕ 在 zρ minus 平面 zds 在ρ ϕminus 平面

rArr zds d dz ds d dz ds d d d dρ ϕρ ϕ ρ ρ ρ ϕ ρ ρ ϕ= = = sdot = （4-76）

上面的結果畫個圖看看吧球座標的位移向量元素

Spherical coordinate ˆ ˆˆ ( ) ( sin )dr rdr rd r dθ θ ϕ θ ϕ= + + （4-56）

ˆ ˆˆ rds rds ds dsθ ϕθ ϕ= + + （4-77）

rArr sin sin rds rd r d ds dr r d ds rd drθ ϕθ θ ϕ θ ϕ θ= sdot = sdot = sdot (4-78)

4-39

向量場 ( )A r 在 S 面上的「面積分（surface integral）」or「flux」

如左圖若有一「平面」S 且其上有「均勻」

場 B 分佈則通過 S 面的通量就是

ˆB B nSΦ = sdot

但考慮一任意「非均勻」向量場 ( )A r 在空間分佈選取任意曲面 S

探討 ( )A r 在 S 上之通量若ds 為 S 面上的面積元素在趨近於 0 的

小面積ds 上 A可視為均勻所以通過ds 之通量為 ( )d A r dsΦ = sdot 則 S

面之總通量為

Φ＝ ˆ cosS S S

A ds A nds A daϕsdot = sdot =int int int

( )OR

x x y y z zS

A da A da A da= + +int (4-75)

稱為 A 在 S 面上的「面積分」或「通量 flux」

上圖所繪就是一個任意面上分割出許多小面積舉出三個位置的通

量有+-與 0如果 S 面是為一「封閉面」則面積分寫為

S

A dssdotint （4-76）

4-40

ex37 Given 2ˆ ˆ ˆyzA xyz yx zx= + + 計算通量S

A dssdotint

S 面為在第一象限邊長＝1 的立方體表面封閉面

解立方體分為前後右左上下六個面分開算 1前面（x=1）

方向 x+ ˆ xA ds A xdydz A dydzsdot = sdot =int int int前 前 前

yzdydz= int前 ＝1 1

0 0

1 1 12 2 4

ydy zdz = sdot =int int

2後面(x=0)方向 xminus ˆ(- ) - xA ds A x dydz A dydzsdot = sdot =int int int後 後 後

yzdydz= minusint後1 1

0 0

-1 1 -12 2 4

ydy zdzminus = sdot =int int

3 右面（y=1）方向 y+ y ( 1)yA ds A dxdz A y dxdzsdot = sdot = =int int int右 右 右

( 1)x y zdxdz= =int右 ＝1 1

0 0

1 1 12 2 4

xdx zdz = sdot =int int

4 左面（y=0）方向 ˆ-y ˆ( y) - ( 0)yA ds A dxdz A y dxdzsdot = sdot minus = =int int int左 左 左

( 0) 0x y zdxdz= = =int左

5 上面（z=1）方向 z+ zz y (z 1) yA ds A dxd A dxdsdot = sdot = =int int int上 上 上

2 yx dxd= int上 ＝1 120 0

1 1y 13 3

x dx d = sdot =int int

6 下面（z=1）方向 ˆ-z zˆ(-z) y - (z 0) yA ds A dxd A dxdsdot = sdot = =int int int下 下 下

2 -1- y3

x dxd= =int下 ＝1 120 0

1 1y 13 3

x dx d = sdot =int int

S

A dssdotint ＝六個面的和＝1 1 1 1 1 1( ) ( 0) ( )4 4 4 3 3 4

minus minus+ + + + + =

ex38 Given ˆ ˆ ˆzA xyz yx zxy= + + 計算通量S

A dssdotint S 為圓 2 2 2x y a+ =

在第一項限的部分方向選為 z+ 2 2y a x= minus

4-41

解 2 2 4

0 0ˆ

8a a x

zS S S S

aA ds A zdxdy A dxdy xydxdy xdx ydyminus

sdot = sdot = = = =int int int int int int

Ex39 In cylindrical coordinate Given ˆ ˆaA zbzρρ

= + where a b are

constants Find S

A dssdotint over the surface of a

closed cylinder about z-axis specified by 3 2z ρ= plusmn =

解S 分為上下與周邊三面

zz (z 3)zA ds A ds A d dρ ρ ϕsdot = sdot = = sdotint int int上 上 上

= 23 3 2 12bd d b bρ ρ ϕ π πsdot = sdot =int上

ˆ(-z)A ds A d dρ ρ ϕsdot = sdot sdotint int下 下

= z- (z -3)A d dρ ρ ϕ= sdotint下 = 23 2 12b bπ πsdot =

周邊ds ˆ ( )d dzρ ρ ϕ= rArr ˆ ( ) z ( ) zA ds A d d A d dρρ ρ ϕ ρ ϕsdot = sdot =int int int周 周 周

2 3

0 3( ) z ( ) z=a 12aA d d d d d dz a

πρ ρ ϕ ρ ϕ ϕ π

ρ minus= = =int int int int周 周

加起來 S

A dssdotint ＝12 24 12 ( 2 )a b a bπ π π+ = +

ex40 一點電荷 q 置於原點計算在一個以原點為圓心 0r 為半徑的球

面上的電通量

解 2 20 0

ˆ ˆ4 4S S

qr q dsE ds rdsr rπε πε

sdot = sdot =int int int

=0 0 0

44 4S

q q qd ππε πε ε

sdot Ω = sdot =int

上式中 dΩ 2dsr

= 是 ds 所張開的「立體角」(solid angle)

4-42

div A and Flux 通量與散度的幾何物理意義

我們運用過nabla的符號來表示過散度 divF F= nablasdot yx zFF Fx y z

partpart part= + +part part part

但是也看到「散度」定義為

0( )

1( ) limSV

about x y z

divF x y z F da divergence of FVΔ rarr

equiv sdot =Δ int (4-77)

其中 VΔ 為 S 面所包含的體積即散

度為通量(體)密度的 0 體積極限

（4-77）的定義與 Fnablasdot 好像差的很

多她們是說同一回事嗎以下證明

這兩種「散度」的定義是等價的如

左圖考慮一個以點 ( ) x y z 為中心

的 立 方 體 其 相 鄰 三 邊 長 為

x y zΔ Δ Δ 體積 V x y zΔ = Δ Δ Δ 現在計算 F 在立方體的一組平行於 y-z平面的表面 S1 與 S2 的通量

( )1 1

ˆ ˆ xS S

F nds F xds F x y z dsrArr sdot = sdot =intint intint intint 2xxF x y z y zΔ⎛ ⎞asymp + Δ Δ⎜ ⎟

⎝ ⎠

其中 2xx y zΔ⎛ ⎞+⎜ ⎟

⎝ ⎠為 S1 面中心的座標而

2xx y zΔ⎛ ⎞minus⎜ ⎟

⎝ ⎠為 S2 面的中心

( ) ( )2 2 2

ˆ ˆ 2x x

S S S

xF nda F x ds F x y z ds F x y z y zΔ⎛ ⎞rArr sdot = sdot minus = minus asymp minus minus Δ Δ⎜ ⎟⎝ ⎠intint intint intint

上式中的負號來自 S2 面的方向是 xminus 所以合併兩個面積分

1 2

ˆ 2 2x x

S S

x xF nds F x y z F x y z y z+

Δ Δ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞rArr sdot asymp + minus minus Δ Δ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦intint

2 2x xx xF x y z F x y z

x y zx

Δ Δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠= Δ Δ Δ

Δ

2 2

x xx xF x y z F x y z

Vx

Δ Δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠= Δ

Δ

1 2

1 2 2ˆ

x x

S S

x xF x y z F x y zF nds

V x+

Δ Δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠rArr sdot asymp

Δ Δintint

4-43

當取體積向(xyz)點收縮至 0 時即 0 x 0as VΔ rarr Δ rarr 上式的近似

「asymp」就成了「＝」

1 20

1 ˆlimV

S S

F ndsVΔ rarr

+

sdotΔ intint

( )0

2 2limx x

x

x

x xF x y z F x y z F x y zx xΔ rarr

Δ Δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟ part⎝ ⎠ ⎝ ⎠= =Δ part

Similarly F 在立方體的一組平行於 x-z 平面的表面 S3 與 S4 的通量

3 3 3

ˆ ˆ yS S S

F nds F yds F dsrArr sdot = sdot =intint intint intint

2

2

y

y

yF x y zyF x y z x z x y z

y

Δ⎛ ⎞+⎜ ⎟Δ⎛ ⎞ ⎝ ⎠asymp + Δ Δ = Δ Δ Δ⎜ ⎟ Δ⎝ ⎠

( )4 4 4

2ˆ ˆ

y

yS S S

yF x y zF nds F y da F ds x y z

y

Δ⎛ ⎞minus⎜ ⎟⎝ ⎠rArr sdot = sdot minus = minus asymp Δ Δ Δ

Δintint intint intint

合併 S3 與 S4 兩個面積分並取體積向(xyz)點收縮至 0 時即當

0 y 0VΔ rarr Δ rarr 上式的近似asymp就成了＝

3 4

2 2ˆ

x x

S S

y yF x y z F x y zF nds V

y+

Δ Δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠rArr sdot cong Δ

Δintint

3 40 0

1 2 2ˆlim lim

x xy

V yS S

x yF x y z F x y z FF nds

V y yΔ rarr Δ rarr+

Δ Δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟ part⎝ ⎠ ⎝ ⎠rArr sdot = =Δ Δ partintint

與上面相同的作法計算 F 在立方體的一組平行於 x-y 平面的表面 S5

與 S6 的通量我們也會得到對應的結果

5 6

2 2ˆ

z x

S S

z zF x y z F x y zF nds V

z+

Δ Δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠rArr sdot cong Δ

Δintint

5 60 0

1 2 2ˆlim lim

z xz

V zS S

z zF x y z F x y zFF nds

V z zΔ rarr Δ rarr+

Δ Δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟ part⎝ ⎠ ⎝ ⎠rArr sdot = =Δ Δ partintint

所以合併立方體的 6 個面積分

4-44

1 2 3 4 5 6

ˆ ˆ ˆ ˆS S S S S S S

F nds F nds F nds F nds+ + +

rArr sdot = sdot + sdot + sdotint intint intint intint

0

1 ˆlim yx zV

FF FF nds div F FV x y zΔ rarr

partpart partrArr sdot = + + = = nablasdot

Δ part part partint (4-78)

在此我們得證這兩種「散度」的定義是等價的只是（4-77）的定義

充分的表現出「散度」的幾何物理意義他從通量著手由於場線

出自於 source（ex電場源自於點電荷）所以在點(xyz)必須有向量場

F 的 source 存在才能使得當面積縮到 0 時仍具有非 0 的通量所以「散

度」表現向量場 F 的 source 在這個定義之下是很清楚的當然在計算

「散度」時我們不必那麼麻煩用 divF F= nablasdot 就好了

Ex41 計算 2ˆ ˆ ˆF xx yxy zyz= + + 的散度

解 2 yx zFF Fx x yx y z

partpart part= = =

part part part F 2x x y 3x ydivrArr = + + = +

recall 在靜電學0

yx zEE EEx y z

ρε

partpart partnablasdot = = + +

part part part

散度定理 Divergence Theorem

若任意封閉面（又稱為「高斯面」）S 所包圍的

體積為 V 則

S VA ds Adτsdot = nablasdotint int （4-79）

pf 我們先將體積分割成 N 個小盒子考慮相鄰的兩個小盒子 1 2

兩小盒子的共用面面積 S0當 S0 是為 1 號盒子的一部份時其方向為

1n 但若當為 2 號盒子的表面時其方向為 12 ˆˆ nn minus= 如此在 S0 分別做

4-45

1 2 盒子的面積分後

0 0

0 0 0 0

1 2

1 2 1 1ˆ ˆ ˆ ˆ 0

S S

S S S S

A ds A ds

F n ds F n ds F n ds F n ds

sdot + sdot

= sdot + sdot = sdot minus sdot =

intint intintintint intint intint intint

所以若求場 A 在 1 2 盒子的總通量時交界面是沒有貢獻的總通量

就只有「外面積」才有貢獻如此我們計算 N 個小盒子的總通量

時所有的內部共用面都得 0只剩下「外表面」的貢獻了當 infinrarrN

時所有小盒子的「總外表面」就與 S 面重合了所以所有小盒子通量

的總和就等於 S 面的通量

1lim

i

N

S SN iA ds A ds

rarrinfin=

rArr sdot = sdotsumint int

現在我們做 N 個小盒子的總通量

1 1

1i i

N N

iS Si i i

A ds A ds VV= =

⎛ ⎞sdot = sdot Δ⎜ ⎟Δ⎝ ⎠

sum sumint int

當 0iN Vrarrinfin rArr Δ rarr 並用 dv 表示體積元素

( ) ( )1 1

1

1lim lim lim

lim

i ii

N N

iS SN N V oi i i

N

i VN i

A ds A ds VV

A V A dv

rarrinfin rarrinfin Δ rarr= =

rarrinfin=

⎛ ⎞sdot = sdot Δ⎜ ⎟Δ⎝ ⎠

= nablasdot Δ = nablasdot

sum sumint int

sum int

( )S V

A da A dvrArr sdot = nablasdotint int QED

所以得證散度定理上式中我們用了散度的（4-77）式定義要分辨

清楚 Anablasdot 是向量場 A 在空間中「某一點」的性質（ 0VΔ rarr ）而「散

度定理」說的是一個「有限體積」的性質

ex42 給定 ( ) ˆ ˆ ˆ A x y z xx yy zz r= + + = 計算在

半徑 R＝1 的球的上半球加底面的通量

4-46

解 ( )ˆˆS

A da A rda A k darArr sdot = sdot + sdot minusint int int上半球面 底面

( )

2

ˆ ˆ

0 2 1 2

A rda A z dxdy

r rds zdxdy rds ds π π

= sdot + sdot minus

= sdot minus = minus = = sdot =

int int

int int int int上半球面 底面

上半球面 底面 上半球面

底面的通量＝0 是因為 A 的 z 分量 Az=z 在底面的值為 0

也可以用散度定理更快的得出結果

∵ 3A rnablasdot = nablasdot =

31 43 3 1 22 3V V

Ad d πτ τ πnablasdot = = sdot sdot sdot =int int

ex43高斯定律的微分形式積 由 Gaussrsquo law 的積分形式用散度定理得出其

( )0 0

1 inS V

qE ds x y z dvρε ε

sdot = =int int

0S V VE ds Edv dvρ

εrArr sdot = nablasdot =int int int

上式最後的等式對「任意形狀」V 都成立所以兩者的被積函數相等

對於空間每一點 0

E ρε

nablasdot = （4-80）

ex44 Use 第一象限的單位力方體 check the divergence theorem using the function 2 2ˆ ˆ ˆ(2 ) 2A y x xy z y yzz= + + +

解2

2( ) (2 )(2 ) 2( )y yzA xy z x yx y z

part part partnablasdot = + + + = +

part part part

and 1 1 1 1 1 1

0 0 0 0 0 02 ( ) 2 ( )

VAdv x y dxdydz dz dy x y dxnablasdot = + = +int int int int int int int

1 1

0 0

1 12 ( ) 2 12 2

dz y dy= + = sdot =int int

面積分 1 1 2

0 0

1ˆ3

A ds A xdydz dz y dysdot = sdot = =intint intint int int前 前

4-47

1 1 2

0 0

1ˆ( )3

A ds A x dydz dz y dy minussdot = sdot minus = minus =intint intint int int

後 後

1 1 2

0 0ˆ (2 )A ds A ydxdz dz xy z dxsdot = sdot = +intint intint int int

右 右

1 1 1 12 2

0 0 0

4(2 ) (1 )3

ydz x z dx dz z

=

= + = + =int int int∵

1 1 2

0 0

0 1 1 12 2

0 0 0

ˆ( ) (2 )

1(1 )3

y

A ds A y dxdz dz xy z dx

dz z dx dz z=

sdot = sdot minus = minus +

minus= minus = + =

intint intint int int

int int int∵

左 左

11 1 1 1

0 0 0 0ˆ 2 2 1

zA ds A zdxdy dx yzdy dx ydy

=sdot = sdot = = =intint intint int int int int

∵

上 上

01 1

0 0ˆ 2 0

zA ds A zdxdy dx yzdy

=sdot = sdot minus = minus =intint intint int int

∵

下 下

前後右左上下六個面積分合併＝1＝V

Advnablasdotint QED

ex45 Continuity Equation 連續方程式

考慮某些「東西」的流動（物質電荷hellip）在時刻 t 時在點(xyz)

的 密 度 為 ( ) x y z tρ ρ= 並 具 有 速 度

( ) v v x y z t= 在時刻 t 時在體積 V 內的總量為

( ) x y z t dρ τintintint

這樣體積 V 內東東的時變率為

( ) ( ) d x y z t d x y z t ddt t

ρρ τ τpart=

partintintint intintint

注意體積分後的時間全微分移入積分內要改為偏微分這個東東

在表面的「流率 flow rate」可表為

ˆS

R v ndsρ= sdotintint

若體積內的物料無法自生自滅那麼體積內物料的變化必經由表面的

流出流入所造成

d v ndstρ τ ρpart

rArr = minus sdotpartintintint intint

由散度定理

4-48

( )ˆS

v nds v d dtρρ ρ τ τpart

sdot = nablasdot = minuspartintint intintint intintint

( )v Jtρ ρpart

rArr = minusnablasdot equiv minusnablasdotpart

0Jtρpart

rArr +nablasdot =part

（4-81）

(4-81) 即 continuity equation其中 J vρ= 為「物流密度」ex如果 ρ

是電荷密度 J 就是電流密度（4-81）是物質守恆的結果只對體

積內無 source（生成）or drain（消滅）的東東成立

ex46 Given a vector field ˆ ˆx yA ye xe= minus + (a) Find

Anablasdot (b)如圖一個金字塔狀的 5 面體高 2 底邊長

1計算 A在整個金字塔表面（封閉面）的總通量

解(a) Anablasdot = ( ) ( ) 0y xx ypart part

minus + =part part

(b) 金 字 塔 的 表 面 面 積 元 素 ds 不 好 寫 所 以 用 散 度 定 理

( )S V

A da A dvrArr sdot = nablasdotint int ＝0 Anablasdot 表示 A沒有 source 所以對封閉面而

言有多少場線進入就有多少出去所以總通量＝0

習題 7 With position vector r for an arbitrary volume V that is

bounded by surface S show that 13 S

r ds Vsdot =int

習題 8 已知一靜電場為 ˆ ˆ ˆ( )E xyz yxz zxyλ= + + 運用 Gaussrsquo law

試求包含在半球 2 2 2 2 0x y z R z+ + = ge 裡的總電荷 Ans 0

習題 9 (a) given ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( 2 )F r xf x yf y zf z= + + minus show that divF is

zero at point (c c -c2) (b) given ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( )G r xf x z yg x z zh x y= + +

show that ( ) 0G rnablasdot =

4-49

習題 10 Find the normal vector n for the surfaces (a) z = 2-x-y ans

ˆ ˆ ˆ( ) 3x y z+ + (b) z = (1-x2)12 ans ˆ ˆxx zz+ (c) z = x2+y2

ans ˆ ˆ ˆ( 2 2 ) 1 4xx yy z zminus minus + +

習題 11 Show that the unit vector normal to the plane ax+by+cz =d is

given by 2 2 2ˆ ˆ ˆ( ) ax by cz a b cplusmn + + + +

圓柱座標與球座標的nabla (del)

考慮一純量場在直角座標為 ( ) u x y z 在圓柱座標表為 ( ) u zρ φ

再考慮因位移 r r drrarr + 所造成 u ( )zρ φ 的變化

( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆz

z

u u udu d d dz u dr u d d zdzz

u u z u d d zdz

u d u d u dzρ ϕ

ρ ϕ

ρ ϕ ρ ρ ϕρ ϕρ ϕ

ρ ϕ ρ ρ ϕρ ϕ

ρ ρ ϕ

part part part= + + = nabla sdot = nabla sdot + +part part part

⎡ ⎤= nabla + nabla + nabla sdot + +⎣ ⎦= nabla + nabla + nabla

( ) ( ) ( )1

1ˆ ˆ ˆu

z

u u uu u uz

u u uzz

ρ ϕρ ρ ϕ

ρ ϕρ ρ ϕ

part part partrArr nabla = nabla = nabla =

part part partpart part part

rArrnabla = + +part part part

1ˆ ˆ ˆ zz

ρ ϕρ ρ ϕpart part part

nabla = + +part part part

（4-82）

注意nabla的ϕ -分量( 1ρ ϕ

partpart

)不是像直角座標裡單純的ϕpartpart

所以不要笨笨

的就把直角座標的形式硬套上去用我們也可以從「因次分析」來

看nabla因為是對空間的微分所以每一項的因次必須是「長度分之一」

運算 andzρ

part partpart part

都是「長度分之一」而「單純的ϕpartpart

」是沒有單位的

所以要1ρ ϕ

partpart

才 OK

由於圓柱座標裡的單位向量除了 z 之外 ˆ( )ρ ϕ 與 ˆ( )ϕ ϕ 都不是常

4-50

數所以在微分時不可以與微分運算交換而要考慮微分的作用所

以在「圓柱座標」寫「散度」 ( ) F zρ ϕnablasdot 也和直角座標不一樣

( )1ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ zF z F F zFz ρ ϕρ ϕ ρ ϕ

ρ ρ ϕpart part part⎛ ⎞

nabla sdot = + + sdot + +⎜ ⎟part part part⎝ ⎠

( ) ( )1ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆz zF F zF F F zFρ ϕ ρ ϕρ ρ ϕ ϕ ρ ϕρ ρ ϕpart part

= sdot + + + sdot + +part part

( )ˆ ˆˆ ˆ zz F F zFz ρ ϕρ ϕpart

+ sdot + +part

因為 ( ) ( )ˆ ˆ ˆ ˆ ρ ρ ϕ ϕ ϕ ϕ= = 所以做 andzρ

part partpart part

時 ˆ ˆ ρ ϕ 可視為常數

ˆ ˆ1ˆ ˆ ˆ zF F F FF F Fz

ρ ρ ϕρ φ

ρ ϕϕ ρ ϕρ ρ ϕ ϕ ϕ ϕ

part part part⎡ ⎤part part partrArrnablasdot = + sdot + + + +⎢ ⎥part part part part part part⎣ ⎦

還記得 ˆ ˆ ˆ ˆd d d dρ ϕ ϕ ϕ ρ ϕ= = minus 所以 ˆ ˆρ ϕϕpart

=part

ˆ ˆϕ ρϕpart

= minuspart

rArr

( )1 1 1z zF F F FF FF Fz z

ρ ρ ϕ ϕρρ

ρ ρ ρ ϕ ρ ρ ρ ϕpart part part part

nablasdot = + + + = + +part part part part part part

（4-83）

在球座標寫nabla也會遇到相似的問題其根源就是球座標 ( )r θ ϕ 裡

的 θ ϕ 的因次並非長度而三個單位向量 ˆ ˆˆ r θ ϕ（表為 ie ）都是( θ ϕ )

的函數以致

( )ˆ ˆ( ) ( )i ie f e fθ ϕ θ ϕθ θpart part

nepart part

且 ( )ˆ ˆ( ) ( )i ie f e fθ ϕ θ ϕϕ ϕpart part

nepart part

所以nabla也不似在直角座標那麼簡單我們不在這裡推導而是給出一

個歸納的統一的三個座標的結果還記得對每一個座標 iu i = 123

座標的變化 idu 與造成的長度變化 id

i i id h du= 123i = (4-84)

其中 ih 為對應的度量係數(metric coefficient)

4-51

1 2 3

1 1 2 2 3 3

1 1 1ˆ ˆ ˆu u ue e eh u h u h u

part part partnabla equiv + +

part part part （4-85A）

座標 1 2 3 u u u

度量係數

1 2 3 h h h

nabla grad del

直角 x y z

1 1 1 nabla ˆ ˆ ˆx y z

x y zpart part part

equiv + +part part part

圓柱

zρ ϕ

1 1ρ

1ˆ ˆ ˆ z

zρ ϕ

ρ ρ ϕpart part part

nabla equiv + +part part part

球

r θ ϕ

1 sinr r θ

1 1ˆ ˆˆ

sinr

r r rθ ϕ

θ θ ϕpart part part

nabla = + +part part part

（4-85B）

梯度gradient Vnabla grad(V) 散度divergence Anablasdot div( )A

直

角 nablaV ˆ ˆ ˆV V Vx y z

x y zpart part part

= + +part part part

yx zAA AAx y z

partpart partnablasdot = + +

part part part

圓

柱

1ˆ ˆ ˆ V V VV zz

ρ ϕρ ρ ϕpart part part

nabla = + +part part part

( )1 1

1

z

z

A AA Az

A A A Fz

ϕρ

ρ ρ ϕ

ρρ ρ ρ ϕ

ρ ρ ρ ϕ

partpart partnabla sdot = + +

part part partpart part part

= + + +part part part

球

1 1ˆ ˆˆ sin

V V VV rr r r

θ ϕθ θ ϕ

part part partnabla = + +

part part part

22

1 ( )rA r Ar r

partnabla sdot =

part

1 (sin )sin

Ar θθ

θ θpart

+ sdotpart

1sin

Ar

ϕ

θ ϕpart

+part

(4-86)

Ex47 Using spherical coordinate show that 1| |r r

nablaminus

= 2

ˆ| |

r rer r

minusminusminus

where

nabla是作用在 r 而 ˆr re minus 是向量 r rminus 方向的單位向量 解let r lies in z-axis so that the angle between r and r is just θ

4-52

rArr ( ) 122 21 1 2 cos | | ( ) ( )

r rr rr r r r r r

θminus

= = minus +minus minus sdot minus

( ) ( )12 122 2 2 21 1ˆˆ 2 cos 2 cos | |

r r rr r r rr rr r r r

θ θ θθ

minus minuspart partnabla = minus + + minus +

minus part part

( ) 322 21ˆ 2 cos (2 2 cos )2

r r rr r r rθ θminusminus

= minus + minus

( ) 322 21ˆ 2 cos (2 sin )2

r rr r rrθ θ θminusminus

+ minus +

3 3 3 3

ˆˆ ˆ( cos ) sin ( cos sin )ˆˆ| | | | | | | |r r r rr r rrr r r r r r r r

θ θ θ θ θθminus minus minus minus minus= + = +

minus minus minus minus

3 3 3ˆ ( )

| | | | | |r r z r r r rr r r r r rminus + minus + minus minus

= = =minus minus minus

＝ 2

ˆ| |

r rer r

minusminusminus

QED

證明最後我們用到 ˆˆˆ cos sinz r θ θ θ= minus 而 ˆ r r z= 因為我們選了 r 是

躺在 z-軸 Ex48 For arbitrary scalar field ( )f r and vector field ( )A r 證明恆等式

( )fA f A f Anablasdot = nabla sdot + nablasdot (4-87) 解 ˆ ˆ ˆx y zfA xfA yfA zfA= + +

( ) ( ) ( ) ( )x y zfA fA fA fAx y zpart part part

rArrnablasdot = + +part part part

yx zx x x

AAf f f AA f A f A fx x y y z z

partpartpart part part part= + + + + +part part part part part part

yx zx y z

AAf f f AA A A fx y z x y z

part⎛ ⎞partpart part part part= + + + + +⎜ ⎟part part part part part part⎝ ⎠

f A f A= nabla sdot + nablasdot QED 習題 12 一個位於原點的電偶極電偶極矩＝ ˆp pz= 已知其在遠處

的電位為 20

cos4p

rθ

πε試證該處的電場強度為 E = 3

0

ˆˆ( 2cos sin )4

p rr

θ θ θπε

+

(已知 E V= minusnabla )並請計算 Enablasdot ＝

習題 13 給定一向量場2

3cosˆD r

rϕ

= 現有兩個球心在原點的同心球

內球半徑 R＝1外球 R＝2(a)求面積分S

D dssdotint S 為同心球殼的表

面（有內外兩個面）(b)求體積分V

Ddvnablasdotint V 為兩同心球之間的

區域本題也是來 check 散度定理的Ans πminus

4-53

The Laplacian operator 2nabla equivnablasdotnabla

在直角座標可以用直接作用得到

2 2 2

22 2 2u u uu u

x y zpart part part

nabla equiv nablasdotnabla = + +part part part

(4-88)

圓柱座標

2 2

22 2 2

1 1( ) u u uu uz

ρρ ρ ρ ρ ϕ

part part part part⎛ ⎞nabla equiv nablasdot nabla = + +⎜ ⎟part part part part⎝ ⎠

(4-89)

球座標

2

2 22 2 2 2 2

1 1 1sinsin sin

u u uu rr r r r r

θθ θ θ θ ϕ

part part part part part⎛ ⎞ ⎛ ⎞nabla = + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟part part part part part⎝ ⎠ ⎝ ⎠ （4-90）

習題 14 verify (4-89) and (4-90)

習題 15 Given a dipole potential V= 20

cos4p

rθ

πε find 2Vminusnabla

sect 433 Line integral and curl A 線積分與與旋度的物理意義

線積分路徑積分

考慮一曲線 C 通過兩點 ( )i i i iP x y z 與

( )f f f fP x y z 現有一向量場 ( )A x y z 定義在

C 所在的空間若 sd 為 C 上位於(xyz)點的

「路徑元素」（ ˆd td= 方向沿該處切線）而

( )A x y z 為路徑元素d 處的場值則沿 C 經歷各點所做積分

cos cosf

CC C iA d Ad A dϕ ϕrarr rarrsdot = =int int int （4-91）

稱為向量場 ( )A x y z 沿路徑 C 自 pi 至 pf 的「線積分」「或「路徑積分」

積分裡 A 取值的點侷限在路徑 C 上面若為一個「封閉路徑」則對

C 的線積分也稱做「環路積分 closed contour integral」記做

C

A dsdotint （4-92）

4-54

物理量「做功」是最標準的線積分之一力 F 自 x = a 至 x = b「沿線」

x 軸做功

W＝ F dxsdotint ＝ ( )b

xaF x dxint （4-93）

質點在力場 )(rF 裡走一條曲線 C則力場做功

CW F d= sdotint （4-94）

還記得如果 ( )F r 是所謂「保守力」則上式只與始末點有關而與

路徑無關但如果 ( )F r 是所謂「非保守力」則做功與確實的路徑 C

有關

現考慮一質點在空間運動的位置 r 落在由曲線 C

描述的路徑則質點的位移元素與曲線 C 的路徑元

素相同 d dr= 若空間有向量場 A 分佈則 A 在 C 的

路徑積分以直角座標表示為

CA drarr rarrsdotint ＝

CA d rrarr rarrsdotint ＝ ( )x y zC

A dx A dy A dz+ +int （4-95）

上式中的 x y z 的積分限由 C 決定

Ex49 2 2 2ˆ ˆ ˆA xx yy zzrarr= + + 選定一路徑 C 為曲線

2y x= 由 (000)到 (2 20)的部分求C

A dsdotint

解 ˆ ˆd xdx ydy= +∵

CA dsdotint ＝ 2 2( )

Cx dx y dy+int ＝

2 22 2

0 0x dx y dy+int int

＝ )24(32

+

或由 2y x= rArr 2ydy dx= 2 12

y dy xdxrArr =

rArrC

A dsdotint ＝2 2

0

1( )2

x x dx+int ＝2 (4 2)3

+

4-55

ex50 ˆ ˆ( )f x y z xy yx= minus Do C

f dsdotint 其中的路徑 C 為一逆時針三角

形如圖 解∵路徑全部在 x-y 平面 ˆ ˆ ˆd td xdx ydy= = +

rArrC

f dsdotint ＝ x yC

f dx f dy+int ＝C

ydx xdyminusint

由於在 C1 上 y = 0 及 dy = 0 所以 01

=intC 又由於在

C3 上 x = 0 及 dx =0所以 03

=intC 所以只剩下 C2 可

能有貢獻由 2C 的方程式x + y =1rArr ⎩⎨⎧

minus=minus=

xyyx

11

rArr2Cydx xdyminusint ＝

0 1

1 0(1 ) (1 )x dx y dyminus minus minusint int ＝

0 12 2

1 0

( ) ( )2 2x yx yminus minus minus ＝-1

Cf dsdotint ＝-1

ex51 ( )f x y zrarr

= 2ˆ ˆxx yxyminus 如右圖doC

f dsdotint 其

中路徑 C 為第一象限的逆時針 14 圓弧

解∵ 全部在 x-y 平面 ˆ ˆd xdx ydy= +

Cf dsdotint ＝ 2

Cx dx xydyminusint

由於在 C 上 cosx R ϕ= rArr sindx R dϕ ϕ= minus

siny R ϕ= rArr cosdy R dϕ ϕ=

rArr 2

Cx dx xydyminusint ＝

2 2 2 2

0cos ( sin ) sin cos cosR R d R R d

πϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕminus minus sdotint

23 2

02 cos sinR d

πϕ ϕ ϕ= minus int ＝

323Rminus

又路徑為圓周一部份所以適合用極座標表示

ˆd Rdϕ ϕ= 又由左圖將 ˆ ˆx y 拆解（投影）到 ˆˆr ϕ

ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆcos sin sin cosx r y rϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ= minus = +

4-56

( )2ˆ ˆ ˆˆ ˆ( cos sin ) ( sin cos )C C

f d r x r xy Rdϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕsdot = minus minus + sdotint int 2

2 2 2

0

sin (cos )

sin ( cos ) (cos ) cos sin

Cx Rd xyRd

R Rd R Rdπ

ϕ ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ

= minus minus

= minus minus

intint

23 2

02 cos sinR d

πϕ ϕ ϕ= minus int ＝

323Rminus

這也驗證了散度定理

Path Independence 路徑獨立性

Ex52 證明庫倫力為「保守力」考慮

電荷 q0 位於原點及電荷 q 位於

( )r x y zrarr= q 受力 F

rarr＝ 0

20

14

qq urπε

and

求庫侖力作功因為球形對稱所以

用球座標由 ˆ ˆ ru rr

= = rArr Frarr

= 03

04qq r

rπε

庫侖力由 P1 至 P2 做功為 2

1

P

CPF drarrsdotint ＝

2

1

02

0

ˆ ˆ ˆˆ sin4

P

PC

qq r rdr rd r dr

θ θ ϕ θ ϕπε

⎡ ⎤sdot + +⎣ ⎦int ＝2

1

02

04P

P

qq drrπεint

＝20

2104

r

r

qq drrπε int ＝ 0

0 1 2

1 1( )4qq

r rπεminus for all C

所以庫侖力兩點間做功與路徑無關rArr保守力

對於「保守力 conservative force」 cF 自 p1 經

由兩條不同的路徑 C1 與 C2 到達 p2

1 ccF drarrsdotint ＝

2 ccF drarrsdotint ＝-

2 ccF drarr

minussdotint

rArr1 2c cc cF d F drarr rarr

minussdot + sdotint int = cF d

rarrsdotint ＝0 (4-96）

對於任何「封閉路徑」保守力做功為 0反之若

對任一封閉路徑 0F drarrsdot neint 則兩點之間的做功與路徑有關

rarr

F 為「非

保守力」

4-57

旋度 curl Anablatimes 的幾何物理意義

我們在（4-70）式已經看過旋度的計算方式但旋度另有其意義的

ex53 給定向量場2 2

0ˆ yv yv e λrarr

minus= 左圖為場的分佈

2 20

ˆ ˆ ˆ

0 0x y z

y

x y zcurl v

v e λ

rarr

minus

= part part part ＝ ˆ ˆ ˆ0 0 0 0x y zsdot minus sdot + sdot =

我們用了簡寫 x yx ypart part

part equiv part equivpart part

可以看出這個場裡沒有「漩渦」

但是有無「漩渦」有時也不是那麼明顯可以看出的請見下一個例子

Ex54 給定向量場2 2

0ˆ xv yv e λrarr

minus= 計算其旋度 vnablatimes

解向量場 vrarr

畫在右邊你看得出有無漩渦

先計算旋度

2 20

ˆ ˆ ˆ

0 0x y z

x

x y zcurl v

v e λ

rarr

minus

= part part part2 2

2 2

0

0

ˆ

ˆ 2 0 0

x

x

z v ex

z v xe for x

λ

λ

minus

minus

part=

part

= minus ne ne

vrarr

的旋度在大部分的地方不為 0 且隨位置而不同但是你看得出這個

向量場裡有「漩渦」其實要檢驗一個向量場裡有無「漩渦」有一

個很物理的方法就是放一個小「螺旋槳」（左圖）

在場內將軸朝各個方向測試一

下如果有「漩渦」的話這個

小「螺旋槳」就會轉動右圖就是將「螺旋槳」的

軸平行於 z 軸且放在 x gt 0 的地方就可以看出左

邊的 v 場比右邊的強造成螺旋槳順時針轉動rArrcurlv zminus for x gt 0

但如果放在 x = 0 的地方就會看到左右兩端的 v 場強度相同而且

4-58

curlv = 0 「螺旋槳」放在 x lt 0 的地方就可以看出右邊的v 場比左

邊的強造成螺旋槳逆時針轉動這完全符合 curl v k+ 的結果

環路積分與旋度 curl 的物理意義

如同「散度」一樣「旋度」除了 Ftimesnabla 之外

還有一個物理意義更清楚的定義這個定義由

「線積分」說明如圖考慮做「逆時針」長方形

路徑 C1 的一個「環路積分」C1 面平行於 x-y 平

面由 z-軸看下去環路 C1 可以分為可以分為

下 CB上 CT右 CR左 CL 4 部分

CA drarrsdotint ＝

B T L RC C C CA d A d A d A drarr rarr rarr rarrsdot + sdot + sdot + sdotint int int int

分別計算由於 CB 的中點座標為 ( )2yx y zΔ

minus

ˆB BC C

A d A xdxrarr rarrsdot = sdot =int int

BxC

A dxint ( )2xyA x y z xΔ

asymp minus Δ

similarly 由於 CT 的中點座標為 ( )2yx y zΔ

+

ˆ( )T TC C

A d A xdxrarr rarrsdot = sdot minus =int int

TxC

A dxminusint ( )2xyA x y z xΔ

asymp minus + Δ

合併 CB 與 CT

B TC CA drarr

+sdot =int

( ) ( )2 2x xy yA x y z A x y z

x yy

Δ Δ⎡ ⎤minus + minus minus⎢ ⎥⎣ ⎦ Δ ΔΔ

（4-97）

由 C1 所圍的面積 S x yΔ = Δ Δ

1B TC C

A dS

rarr

+sdot =

Δ int( ) ( )

2 2x xy yA x y z A x y z

y

Δ Δ⎡ ⎤minus + minus minus⎢ ⎥⎣ ⎦Δ

（4-98）

所以當取極限 C1 收縮到中心(xyz)時 SΔ 收縮到 0ie

4-59

0limsΔ rarr

1B TC C

A dS

rarr

+sdot =

Δ int xAy

partminuspart

（4-99）

Similarly with CR 的 ˆd ydy= CL 的 ˆd ydy= minus 可得

1L RC C

A dS

rarr

+sdot =

Δ int x

zyxxFzyxxF yy

Δ

Δminusminus

Δ+ )

2()

2(

（4-100）

同樣的當取極限 C1 收縮到中心(xyz)時 SΔ 收縮到 0

0

limsΔ rarr

1L RC C

A dS

rarr

+sdot =

Δ int yAx

partpart

（4-101）

最後合併 CBCTCRCL 為 C1

10

1limCs

A ds

rarr

Δ rarrsdot =

Δ int y xA Ax y

part partminus

part partˆ ( ) ( )zz A A= sdot nablatimes = nablatimes （4-102）

注意 C1 的方向就是在 z 上式的重要

意義是當向量場 A 在一個以點(xyz)為

中心「方向為 z 」的面積元素的「邊界」

所做的環路積分得到的就是 A 在(xyz)

處旋度的 z-分量明顯的只有當 A 在

(xyz)附近有 x-y 平面上的「漩渦」那麼 C1 的環路積分才不會為 0

Similarly 取一個逆時針繞著(xyz)的平行於 x-z 平面的長方形環路 C2

（左圖）做環路積分再取極限將 C2 收縮到(xyz)就會得到

20

1limCs

A ds

rarr

Δ rarrsdot =

Δ int x zA Az x

part partminus

part partˆ ( ) ( )yy A A= sdot nablatimes = nablatimes （4-103）

注意到 C2 所包圍的面積方向就在 y到

現在我們應該已經很有經驗了若取一

個逆時針繞著(xyz)的平行於 y-z 平面

的長方形環路 C3（左圖）做環路積分

再取極限將 C3 收縮到(xyz)就會得到

4-60

30

1limCs

A ds

rarr

Δ rarrsdot =

Δ int yz AAy z

partpartminus

part partˆ ( ) ( )xx A A= sdot nablatimes = nablatimes （4-104）

能把（4-103）與（4-104）變出來的同學我們有優待綜合以上

我們可以得到一個結論若取一個以點(xyz)為中心的任意環路 Cn（其

所包圍的面積方向在 n ）則

n curl Aand rarrsdot ＝

0

1lims

Cn

A ds

rarr

Δ rarrsdot

Δ int （4-105）

明顯的當 n ＝ x 或 y 或 z 時我們可以重複（4-102）到（4-104）的

結果（4-70）式的行列式所定義的旋度在此看見其幾何物理意義

至此「旋度」的「漩渦」形象應該已經很清楚了只有在(xyz)點附

近的小圈圈上有「漩渦」 A 在小圈圈做的環路積分才會有值這個

值就是向量場 A 的「旋度」在小圈圈面積方向的分量

Stokersquos 定理

考慮一個開放面 S被其「有方向的」邊界 C 圈住(bounded by)則

( )S

A dsrarr rarrnablatimes sdotint ＝

C

A drarrsdotint （4-106）

pf 先將 S 面分割為 N 個多邊形這會使得邊界變成一個「折線」形

成的環路 P環路 P 會隨著分割的多邊形個數的增多而越加近似於原

「光滑的」邊界 C現考慮相鄰的

兩個多邊形的線積分由於共用邊

的方向是相反的所以相鄰兩個多

邊形線積分的和只剩「外邊界」（見左圖）所以當把所有的多邊形的

4-61

線積分加起來時由於只有邊界 P 不是多邊形的共用邊所以

1k

N

k C

A drarr

=

sdotsum int ＝P

A drarrsdotint rArr

P

A drarrsdotint ＝

1

1

k

N

kk k C

A d l ss

rarr rarr

=

⎡ ⎤sdot Δ⎢ ⎥

Δ⎢ ⎥⎣ ⎦sum int

其中 ksΔ 為第 k 個多邊形的面積取極限 0kN srarrinfinrArrΔ rarr P CrArr rarr

C

A drarrsdotint ＝

10

1limkk

N

kN k k Cs

A d ss

rarr

rarrinfin=Δ rarr

⎡ ⎤sdot Δ⎢ ⎥

Δ⎢ ⎥⎣ ⎦sum int 01

ˆlim ( )k

k kskn A s

infin

Δ rarr=

⎡ ⎤= sdot nablatimes Δ⎣ ⎦sum

01

ˆlim ( )k

k kskA n s

infin

Δ rarr=

= nablatimes sdot Δsum = ( )S

A dsrarr

nablatimes sdotint QED

ex55 由 Amperersquos law 的積分形式導出其微分形式

解Amperersquos law 的積分形式 C

B drarrsdotint ＝ I0μ (4-107)

由 Stokersquos 定理及電流密度 j 的定義上式等號兩端可寫為

rArr ( )S

B dsrarr rarrnablatimes sdotint ＝ 0 S

j dsμrarrsdotint

由於上面的等式對任意面 S（路徑 C）都成立所以被積函數相等

0B jμrarr rarr rarr

rArrnablatimes = (4-108) 此即 Amperersquos law 的微分形式

Ex56 Given a vector field ˆ ˆx yA ye xe= minus + (a) Find Anablatimes

解

ˆ ˆ ˆˆ ˆ(1 ( 1) 2

0x y z

x y zA z z

y xnablatimes = part part part = minus minus =

minus

(b)如圖一個金字塔狀的 5 面體高 2底邊長＝1計算 ( )S

A dsnablatimes sdotint

其中 S 為金字塔在 x-y 平面以上的部分方向如同

封閉的金字塔（運用 Stokersquos law）

解金字塔上表面的面積元素ds 不好寫由 Stokersquos

4-62

law ( )S

A dsrarr rarrnablatimes sdotint ＝

C

A drarrsdotint 其中封閉路徑 C 就是上表面的邊界而且

是逆時針（由 z 軸向下看）

C

A drarrsdotint ＝

1 1 0 0

0 0 1 1ˆ ˆ ˆ ˆA xdx A ydy A xdx A ydysdot + sdot + sdot + sdotint int int int

＝1 1 0 0

0 0 1 1x y x yA dx A dy A dx A dy+ + +int int int int 1 1 0 0

0 0 1 1( 0) ( 1) ( 1) ( 0)y dx x dy y dx x dy= minus = + = + minus = + =int int int int

0 1 1 0 2 ( ) 2S

A ds= + + + = rArr nablatimes sdot =int

旋度與 path independence

已知保守場 cF 對所有封閉路徑 C 0cC

F drarrsdot =int 由 Stokersquos 定理

0cC

F drarrsdot =int ＝ ( )cS

F dsrarr rarrnablatimes sdotint rArr 0cF

rarr rarrnablatimes =

這表示保守場＝無旋度反之無旋度的場任兩點間路徑積分與路

徑無關

Ex57 Given a field 2 2ˆ ˆ ˆ2A x xy yx zz= + minus (a) Find Anablatimes A 保守場

解2 2

ˆ ˆ ˆ

2x y z

x y zA

xy x znablatimes = part part part

minus

( ) ( ) ( )2 2 2 2ˆ ˆ ˆ( ) 2 ( ) 2 0y z z x x yx z x y xy z z x xy= part minus minuspart + part minuspart minus + part minuspart =

yes A =保守場

(b)如左圖由 A 到 B 做路徑積分A BC

A drarr

sdotint 路徑 C 為橢圓

22 1

16yx + = 在 x-軸以上的部分

解橢圓部分的路徑元素 d 有點麻煩但因為 A

為保守場所以 A 到 B 做路徑積分可以用 x = -1 到

1 的積分取代

4-63

01 1 1

1 1 1ˆ 2 0

yB

xAA d A xdx A dx xydx

=

minus minus minussdot = sdot = = =int int int int

∵

旋度在柱座標與球座標

前面討論過nabla在不同座標系的寫法旋度也有歸納出的一致寫法

座標 1 2 3 u u u

度量係數

1 2 3 h h h

nabla grad del

直角 x y z

1 1 1 nabla ˆ ˆ ˆx y z

x y zpart part part

equiv + +part part part

圓柱 zρ ϕ

1 1ρ

1ˆ ˆ ˆ zz

ρ ϕρ ρ ϕpart part part

nabla equiv + +part part part

球 r θ ϕ

1 sinr r θ

1 1ˆ ˆˆ sin

rr r r

θ ϕθ θ ϕ

part part partnabla = + +

part part part

所以柱座標與球座標的旋度分別表為

柱座標

ˆ ˆ ˆ1

z

z

Az

AA Aρ ϕ

ρ ρϕ

ρ ρ ϕρ

part part partnablatimes =

part part part （4-109）

球座標 2

ˆ ˆˆ sin1sin

sinr

r r r

Ar r

A rA r Aθ ϕ

θ θϕ

θ θ ϕθ

part part partnablatimes =

part part part （4-110）

ex58 (a) Given the vector function ˆA ϕ= sin (ϕ 2) find Anablatimes

解 2

ˆ ˆˆ sin1sin

0 sin( 2) 0

r r r

Ar r

r

θ θϕ

θ θ ϕϕ

part part partnablatimes =

part part part

4-64

21 ˆˆ cos sin sinsin 2 2 2

rr rr

ϕ ϕθϕθ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

ˆˆ cos sin2 sin 2 2

rr r

ϕ ϕ ϕθ

minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

(b)如左圖一個底面在 x-y 平面半徑＝1高＝2 之圓錐 求面積分

SA dsnablatimes sdotint 面積範圍 S 為圓錐在 x-y 平面以上

部分 方向為由圓錐內向外

解由 Stokersquos law ( )S

A dsrarr rarrnablatimes sdotint ＝

C

A drarrsdotint 其中路

徑 C 為 x-y 平面圓心在原點之單位圓 ˆ ˆd rd dϕ ϕ ϕ ϕ= =

2

0ˆ ˆsin sin

2 2C

d dπϕ ϕϕ ϕ ϕ ϕ⎛ ⎞ ⎛ ⎞sdot =⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠int int ( )0

2 sin u duπ

= int 0cos | 2u π= minus =

習題 16 磁場 B 因為不是保守場所以沒有對應的純量位而對應一

個向量位 A (vector potential)而 B A= nablatimes 一個磁鐵的磁偶極矩

ˆm mz= 被置於原點已知在遠處的 vector potential 03ˆ sin

4mAr

μϕ θπ

=

計算該處的磁場 B Ans 03

ˆˆ( 2cos sin )4

mB rr

μ θ θ θπ

= + 與電偶極遠處

的電場形式一致都是偶極(dipole) 選幾個點畫一畫該處的場向量

把磁力線描出來

附錄本章講義的內容有部分可以經由直接計算得出列在附錄做為

參考

用「圓柱座標」寫 Atimesnabla

Ararr rarrnablatimes ＝ ( )1ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ zz A A zA

z ρ φρ ϕ ρ ϕρ ρ ϕpart part part⎛ ⎞+ + times + +⎜ ⎟part part part⎝ ⎠

4-65

因為rdquo sdotrdquo與rdquotimes rdquo都是向量間的運算所以

＝ ( )ˆ ˆ ˆ ˆ zA A zAρ φρ ρ ϕρpart

times + +part

＋ ( )1ˆ ˆ ˆ ˆ zA A zAρ φϕ ρ ϕρ ϕ

parttimes + +

part

＋ ( )ˆ ˆˆ ˆ zz A A zAz ρ φρ ϕpart

times + +part

直接做上式微分可以得到

＝1ˆ z AA

zϕρ

ρ ϕpart⎛ ⎞part

minus⎜ ⎟part part⎝ ⎠＋ ˆ zA A

zρϕ

ρpart⎛ ⎞part

minus⎜ ⎟part part⎝ ⎠＋

1 1ˆ ( )A

z A ρϕρ

ρ ρ ρ ϕpart⎛ ⎞part

minus⎜ ⎟part part⎝ ⎠

上式可以用一個行列式來表示

rarrrarr

timesnabla A＝

ˆ ˆ ˆ1

z

z

zA A Aρ ϕ

ρ ρϕ

ρ ρ ϕρ

part part partpart part part

（A-1）

A and Anabla nablasdot nablatimes in 球座標 spherical coordinate

如上圖球座標 )( ϕθr 其中 )0[ infinisinr ]0[ πθ isin ]20[ πϕ isin 只有 r

是長度而 ϕθ 為角度是用來說明方向的三個座標的單位向量 ˆ ˆˆ r θ ϕ 具

有下列性質

4-66

1 如上圖 ˆ ˆˆ r θ ϕ 都不是常數而是（ ϕθ ）的函數

ˆ ˆ( )ˆ ˆ( )ˆ ˆ( )

r r θ ϕ

θ θ θ ϕϕ ϕ ϕ

⎧ =⎪

=⎨⎪ =⎩

)( ϕθr 與(xyz)之間的轉換如下

sin cossin sincos

x ry rz r

θ φθ φθ

=⎧⎪ =⎨⎪ =⎩

( )122 2 2

2 2

tan

tan

r x y z

x yz

yx

θ

φ

⎧ = + +⎪⎪ +⎪ =⎨⎪⎪ =⎪⎩

（A-2）

2 ˆ ˆˆ r θ ϕ 形成一「歸一正交集」ie

ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ 1r r θ θ ϕ ϕsdot = sdot = sdot = ˆ ˆr θ ϕperp perp

ˆ ˆr θ ϕtimes = ˆ ˆ rθ ϕtimes = ˆˆ rϕ θtimes = （A-3）

3可以很容易的由他們在 xyz 軸上的投影由直角

座標的 ˆ ˆ ˆ x y z 表出

ˆ ˆ ˆ ˆsin cos sin sin cos ( 4 )ˆ ˆ ˆ ˆcos cos cos sin sin ( 4 )ˆ ˆ ˆsin cos ( 4 )

r x y z A a

x y z A bx y A c

θ φ θ φ θ

θ θ φ θ φ θϕ φ φ

= + + minus⎧⎪

= + minus minus⎨⎪ = minus + minus⎩

4 ˆdr = 由於 ˆ ˆ( )r r θ φ= 所以由 ϕθ 的變動來看

4-67

ˆ ˆˆ| |ˆ ˆˆ| | sin sin

d r d d

d r d d

θ θθ θθ

φ θ φφ θ φφ

⎧ rArr =⎪⎨

rArr =⎪⎩rArr ˆ ˆˆ sindr d dθ θ φ θ φ= + （A-5）

rArrˆ ˆr θθpart

=part

ˆ ˆsinr θφφpart

=part

（A-6）

（A-6）的結果也可以直接由（A-4a）對 ϕθ 偏微得到

5 ˆdθ ＝ 由於 ˆ ˆ( )θ θ θ φ= 所以由 ϕθ 的變動來看

ˆ ˆ ˆ| | ( )ˆ ˆ ˆ| | cos cos

d d r d r

d d d

θ θ θ θ

φ θ θ φφ φ θ φ

⎧ rArr minus = minus⎪⎨

rArr =⎪⎩rArr ˆdθ ＝ ˆˆ cosrd dθ φ θ φminus + （A-7）

ˆrθ

θpart

rArr = minuspart

ˆ ˆcosθ φ θφpart

=part

（A-8）

請直接由（A-4b）對 ϕθ 偏微的結果 check（A-8）

6 ˆdφ ＝由於φ )(ϕ 躺在 x-y 平面上變動φ時的方向可能不是那麼

容易看出來所以做圖看一看

ie ˆ ˆˆ(sin ) (cos )d r d dφ θ φ θ θ φ= minus minus （A-9）

4-68

ˆ ˆˆsin cosrφ θ θ θφpart

= minus minuspart

7 所有的向量 ˆ ˆˆ rA rA A Aθ φθ φrarr= + +

8 位置向量 ˆr rrrarr=

可以由左圖 ˆ ˆˆ r θ ϕ 三個方向的「長度

變化」輕易的看出

9 位移元素

ˆ ˆˆ ˆ sindr rdr rd dθ θ ϕ θ φ= + + (A-10)

10 體積元素

sindv dr r d rdθ φ θ= sdot sdot

＝ 2 sinr dr d dθ θ φ (A-11)

11 面積元素 2 sinrds r d dθ θ φ= plusmn sinds r drdθ θ φ= plusmn ds rdrdφ θ= plusmn (A-12)

plusmn號表示面的垂直方向有兩個端看 ds 周邊的方向是如何定的

nabladel 考慮 ( )u u r θ φ=

rArru u udu dr d dr

θ φθ φ

part part part= + +part part part

u d rrarr rarr

equiv nabla sdot

urarr

= nabla sdot ˆ ˆˆ( sin )rdr rd dθ θ φ θ φ+ +

rArr1 1ˆ ˆˆ

sinu u uu rr r r

θ ϕθ θ φ

rarr part part partnabla = + +

part part part

1 1ˆ ˆˆsin

rr r r

θ ϕθ θ φ

rarr part part partnabla equiv + +

part part part （A-13）

4-69

直接用（A-13）與 ˆ ˆˆ rA rA A Aθ φθ ϕrarr= + + 逐項內積加上（A-678）

rArr ϕθ

θθθ

ϕθ part

part+

partpart

+partpart

=sdotnablararrrarr A

rA

rAr

rrA r sin

1)(sinsin1)(1 2

2 （A-14）

（A-13）與 ϕθ ϕθ AAArA r

andandandrarr

++= 逐項外積整理之後

ϕθ θϕθ

ϕθθ

θArrAA

r

rrr

rA

r sin

sin

sin1

2 partpart

partpart

partpart

=timesnabla

andandand

rarrrarr

（A-15）

Laplacian uu nablasdotnabla=nabla2

2

2

2222

22

sin1)(sin

sin1)(1

ϕθθθ

θθ partpart

+partpart

partpart

+partpart

partpart

=nablau

ru

rrur

rru （A-16）

B推導「散度」在圓柱座標的寫法

讓我們先回顧一下在直角座標裡的「面積元素」可以由「位移元素」

得到

ˆˆ ˆ x y zdr idx jdy kdz da dydz dxdz dxdy= + + rArr =

比照辦理「圓柱座標」的位移元素

( )ˆˆ ˆ( )

( )z

da d dzdr d d zdz da d dz

da d d

ρ

φ

ρ φ

ρ ρ φ ρ φ ρ

ρ ρ φ

=⎧⎪= + + rArr =⎨⎪ =⎩

這個結論可以輕易的由面積元素在垂直於 zˆˆ ϕρ 三個方向的面積看

出如下圖考慮一個以 )( zϕρ 為中心的「圓柱體積元素」(cylindrical

cubiod)體積為 zdV ΔΔ=Δ ϕρρ 現計算在 ρ

方向的 12 兩個平行面(方向各為 ρplusmn )的通

量

4-70

zzF

dsFdsnFS S

ΔΔ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

+cong

=sdotintint intintϕρρϕρρρ

ρ

2

2

ˆ1 1

zzF

dsFdsnFS S

ΔΔ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

minus⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

minusminuscong

minus=sdotintint intintϕρρϕρρρ

ρ

2

2

ˆ2 2

intint+

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

minus⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

minusminus⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

+Δ

asympsdotΔ

rArr21

22

22

1ˆ1

SS

zFzFdsnFV

ϕρρρρϕρρρρρρ ρρ

( ) ( )

1 20

0

0

1 ˆlim

1lim 2 2 2 2

1 1lim 2 2

1

VS S

F ndsV

F z F z

F z F z

F

ρ ρρ

ρ ρρ

ρ

ρ ρ ρ ρρ ρ φ ρ ρ φρ ρ

ρ ρρ ρ φ ρ ρ φρ ρ

ρρ ρ

Δ rarr+

Δ rarr

Δ rarr

rArr sdotΔ

Δ Δ Δ Δ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + + minus minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥Δ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦Δ Δ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥Δ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

part ⎡ ⎤= ⎣ ⎦part

intint

娛樂一下用上述方式把圓柱的 Fsdotnabla 裡的z

FF z

partpart

+partϕρϕ1

變出來

球座標的nabla和 Fsdotnabla 也可以試試看

補充習題

H M Scheydiv grad curl and all that 4th edition

第二章習題 6 8 9 10 11 14 15 16 18 19 21 22 23 25 26 27

第三章習題 2 3 5 6 7 8 9 10 11 14 15 17 18 19 24

4-21

dr 是一個向量有三個分量ρ -分量就是沿 ρ 方向的長度變化

dρ ϕ -分量沿ϕ 的長度變化為 dρ ϕ 而 z-分量就是沿 z 方向的長度變

化為 dz合併寫出

ˆ ˆ ˆdr d d dzzρρ ρ ϕϕ= + +

與（4-48）式完全相同但是這種由幾何角度得到的結果要更方便

也更直觀Fig 27 非常重要因為只要你能把圖畫出來位移的各

分量就寫得出來有了位移元素dr 速度與加速度就可得出

ˆ ˆ ˆ (4 49)

ˆ ˆ ˆ( ) (2 ) (4 50)

drv zzdtdva zzdt

ρρ ρϕϕ

ρ ρϕ ρ ρϕ ρϕ ϕ

rArr = = + + minus

rArr = = minus + + + minus

由上圖與dr 的 3 個分量可得圓柱座標的體積元素

dV d d dz d d dzρ ρ ϕ ρ ρ ϕ= sdot sdot = （4-51）

ex19 底面半徑 R高 h 的圓柱體積＝ 2 2

2

0 0 0

22

R h RV dV d d dz h R hπ

ρ ρ ϕ π π= = = sdot sdot =int int int int

ex20 底面半徑 R高 h 的「圓錐」體積＝

解本圓錐裡點的座標分佈為 [02 ] [0 ]z hϕ πisin isin ( )zρ ρ=

( ) ( )( )

h z h Rz h zz R h

ρρminus

= rArr = minus

22( )( ) 2 2

0 0 0 0 0 0

002 2 2 3 2 32 2 2

2 2 2 20

( )2 2

2

1( )3 3 3

R h zzh h hh

h

h h

R h zhV d dz d d dz d dz

R R R u R hh z dz u du R hh h h h

ρ π

τ ρ ρ ϕ π ρ ρ π

π π π π π

minus

minus minus

minusthere4 = = = =

= minus = = = =

int int int int int int int

int int

如果我們把 3-D 的三個座標寫為 1 2 3( )u u u 或 123iu i = 當座

標 ui(在 ˆiu 方向)變動 dui 時造成的長度變化為 id 則定義

4-22

i i id h duequiv (4-52)

其 中 hi 稱 為 座 標 ui 的 度 量 係 數 (metric

coefficient)由 zρ 的因次為長度所以 zρ 的變

化 d dzρ 就是長度的變化所以 1 1zh hρ = =

然而ϕ 的變化造成的長度變化為

d d hϕ ϕρ ϕ ρ= rArr = (4-53)

很明顯的直角座標 xyz 都是長度所以度量係數 1x y zh h h= = =

(C) 球座標 spherical coordinates

3D 點 P(x y z)的位置向量 ˆ ˆ ˆr xx yy zz= + + 定義

「圓柱座標」 )( ϕθr 其中

[0 ] [0 ]

[02 ]

r P rr zr x y x

θ θ πϕ

ϕ π

⎧ equiv isin infin⎪

equiv isin⎪⎨

equiv minus⎪⎪ isin⎩

原點到 的距離

與 軸的夾角

在 軸投影與 軸的夾角

球座標的ϕ 與住座標的ϕ 相同

( )r θ ϕ 與(x y z)間的轉換如下下列為（4-54）

2 2 2

2 2 2

sin coscos sin sin

cos

tan

r x y zx r

z y rx y z z r

yx

θ ϕθ θ ϕ

θ

ϕ

⎧⎪ = + +⎪ =⎧⎪ ⎪= =⎨ ⎨

+ +⎪ ⎪ =⎩⎪⎪ =⎩

三個座標的單位向量 )ˆˆˆ( ϕθr 如左圖一可以看

出 r 的等值面是一個球面θ 的等值面為一個

以原點為頂點的圓錐ϕ 的等值面為一扇門

位置向量 ˆr rr= （4-55）

4-23

位移由 ˆ ˆˆ( )r θ ϕ 3 個方向的「長度

分量」可得 ˆ ˆˆ ( ) ( sin )dr rdr rd r dθ θ ϕ θ ϕ= + +

（4-56）

所以體積元素

2

( )( sin )(sin )

d dr rd r dr dr d d

τ θ θ ϕ

θ θ ϕ

=

= （4-57）

Fig 31 和 Fig 27 一樣重要只要

你能畫得出來就可以寫出球座

標位移的三個分量

ex21 求一半徑 R 的球體積 2

2 2 3

0 0 0

4sin sin3

R

V d r dr d d r dr d d Rπ π

τ θ θ ϕ θ θ ϕ π= = = =int intintint int int int

ex22 求一質量 M半徑 R密度 ( )3 4 3M Rρ π= 的實心球對直徑

旋轉的轉動慣量

解質量元素 2 sindm d r dr d dρ τ ρ θ θ ϕ= = 到 z 軸的垂直距離為 sinr θ=

22 4 3

0 0 0

5 52

sin

4 8 225 3 15 5

RI dm r dr d d

R R MR

π πρ θ θ φ

πρ π ρ

= =

= sdot sdot = =

intintint int int int

娛樂一下空心球對直徑的轉動慣量

(4-46)式與(4-54)式說明柱座標和球座標與直角座標之間的轉

換Fig 32 可得出柱座標和球座標之間轉換

2 2

sintan

cos

r zr

zz r

ρρ θ

ρϕ ϕ θθ ϕ ϕ

⎧ = += ⎪⎧

⎪ ⎪= =⎨ ⎨⎪ ⎪=⎩ =⎪

⎩

（4-58）

4-24

Ex23 點 P 的球座標為（31200 600）求柱座標＝

解2 3 33sin3 2πρ ⎛ ⎞= =⎜ ⎟

⎝ ⎠

23

ϕ π= 2 33cos3 2

z π minus⎛ ⎞= =⎜ ⎟⎝ ⎠

直角座標柱座標球座標單位向量之間的轉換

三種座標之間的轉換由(4-46)式(4-54)式與（4-58）式表出但

三種座標裡的的三個單位向量 ˆ ˆ ˆ x y z ˆ ˆ ˆ zρ ϕ ˆ ˆˆ r θ ϕ 若以 123ˆ iu =

表示則單種座標的單位向量之間都有正交歸一關係

ˆ ˆi j iju u δsdot = 與外積的循環關係

ˆ ˆ ˆ i j ku u u i j ktimes = cyclic in 123

ie 1 2 3 2 3 1 3 1 2ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ u u u u u u u u utimes = times = times = or ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆˆ ˆ r z z x yθ ϕ ϕ ρtimes = times = times =

然而不同座標系的單位向量之間關係如何我們畫圖來討論

球座標 ˆ ˆˆ( )r θ ϕ rarr直角座標 ˆ ˆ ˆ( )x y z

單位向量都是用來指方向的球座標的 ˆ ˆˆ( )r θ ϕ 都是「方向角」( )θ ϕ

的函數 r 在直角座標可以由 Fig33 看出

ˆ ˆ ˆ ˆsin cos sin sin cosr x y zθ ϕ θ ϕ θ= + + （4-59）

ex24 P 點的球座標為2 75 3 6π π⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠

試用球座標與直角座標求 P 點的位

置向量的單位向量 解位置向量 ˆr rr= 在球座標只有 r-分量標位置仔細一點把方向

角標出2 7ˆ 3 6

r π π⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

通常只是寫 r 令人有點摸不著頭緒用直角

4-25

座標比較「具像」 2 7 2 7 2ˆ ˆ ˆ ˆsin cos sin sin cos3 6 3 6 3

3 3 1ˆ ˆ ˆ4 4 2

r x y z

x y z

π π π π π⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞minus minus minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + +⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

單位向量θ 在某一組 ( )θ ϕ 的指向如 Fig 34a將θ 平移至原點更清楚

Fig34b 是由側面看 Fig34a可以看到θ 在 z 軸的投影為 sinθminus 而θ 在

x-y 平面的投影為cosθ使得θ 在 x-軸的投影為cos cosθ ϕy-軸投影

為cos sinθ ϕ於是

ˆ ˆ ˆ ˆcos cos cos sin sinx y zθ θ ϕ θ ϕ θ= + minus （4-60）

單位向量ϕ 如 Fig 35a 所示是在 x-y 平面畫出

Fig 35b 為自 z 軸向下看 Fig35a 圖可以看出ϕ 在 z 軸投影為 0且

ˆ ˆ ˆsin cosx yϕ ϕ ϕ= minus + （4-61）

ex25 一個質點的速率為 2( ) ( sin tan )v r rθ ϕ θ ϕ= 若經查該質點的運

動 是 在 z = 3 平 面 做 逆 時 針 圓 周 運 動 則 當 位 置 的 方 向 角

4-26

2( ) 4 3π πθ ϕ ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

時計算其速度用球座標與直角座標表出

解圓運動速度方向是沿切線所以球座標 ˆ ˆ( )v v v rϕ θ ϕ ϕ= =

z = 34πθ =

3 3 21cos cos 24

z zrπθ

rArr = = = =⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

所以該處的瞬時速率

2 2

2( ) 3 3 4 3

2 1 813 3sin tan 3 3 ( 3)4 3 22

v r v π πθ ϕ

π π

⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

⎡ ⎤ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = times minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

2 81 2ˆ3 3 4 3 2 4 3

v r π π π πθ ϕ ϕ⎛ ⎞ ⎛ ⎞rArr = = = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

在直角座標2 2 2ˆ ˆ ˆ sin cos

4 3 3 3x yπ π π πϕ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠3 1ˆ ˆ

2 2x y= minus minus

而且點23 3

4 3π π⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠

的直角座標為

2 1 3 3sin cos 3 3sin cos 3 34 3 2 22 2

x r π πθ ϕ minus minus⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

2 3 9sin sin 3 3sin sin 3 34 3 2 2 2 2

y r π πθ ϕ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = = =⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

z = 3

23 3 4 3

v π π⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

3 3 9 81 3 1ˆ ˆ 32 2 2 2 22 2

v x y⎛ ⎞ ⎛ ⎞

rArr = minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

以上兩個例子都只討論只有一個圓座標分量的向量in general 向量

ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( )r x y zA r rA A A A r xA yA zAθ ϕθ ϕ= + + hArr = + + （4-61）

若已知球座標的分量 ( )rA A Aθ ϕ 如何得到直角座標的

( )x y zA A A

4-27

ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( )ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( )

ˆ ˆˆˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( )

x r

y r

z r

A x A r x r A x A x A

A y A r y r A y A y A

A z A r z r A z A z A

θ ϕ

θ ϕ

θ ϕ

θ ϕ

θ ϕ

θ ϕ

⎧ = sdot = sdot + sdot + sdot⎪⎪ = sdot = sdot + sdot + sdot⎨⎪

= sdot = sdot + sdot + sdot⎪⎩

（4-62）

由式（4-59）（4-61） ˆ ˆ ˆ ˆsin cos sin sin cosr x y zθ ϕ θ ϕ θ= + + （4-59） ˆ ˆ ˆ ˆcos cos cos sin sinx y zθ θ ϕ θ ϕ θ= + minus （4-60）

ˆ ˆ ˆsin cosx yϕ ϕ ϕ= minus + （4-61） ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆsin cos cos cos sin ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆsin sin cos sin cos ˆ ˆˆˆ ˆcos sin 0

x r x x

y r y y

z r z z

θ ϕ θ θ ϕ ϕ ϕ

θ ϕ θ θ ϕ ϕ ϕ

θ θ θ ϕ

⎛ ⎞sdot = sdot = sdot = minus⎜ ⎟

rArr sdot = sdot = sdot =⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟sdot = sdot = minus sdot =⎝ ⎠

（4-63）

sin cos cos cos sin sin sin cos sin cos

cos sin 0

x r r

y RS

z

A A AA A M AA A A

θ θ

ϕ ϕ

θ ϕ θ ϕ ϕ

θ ϕ θ ϕ ϕ

θ θ

⎛ ⎞minus ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟rArr = equiv⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟minus⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

（4-64）

其中 SRM 為由球座標分量轉為直角座標分量的轉換矩陣且行列式

det SRM =1 表示反矩陣存在then 1SRM minus 就是將直角座標分量轉為球座

標分量之轉換矩陣其實嚴格講 (4-64)式還不是最終的表示因為

轉換完的直角

座標應該全部以 x y z 表出這裡保留用 θ ϕ 只是為了簡潔方便

習題 2 Find 1SRM minus

習題 3 用 xyz 表出(a)sinθ (b)cosθ (c)sinϕ (d)cosϕ

Ans (a)2 2

2 2 2sin

x yx y z

θ+

=+ +

(b)2 2 2

cos zx y z

θ =+ +

(c)2 2

sin yx y

ϕ =+

(d)2 2

cos xx y

ϕ =+

習題 4 用上面結果將 SRM 用 xyz 表出

Ex26 Given a field ( )A r θ ϕ ＝ ˆ ˆˆ2 3r θ ϕ+ minus in spherical coordinates

find the field in rectangular coordinates （直角座標）

4-28

解這裡的 ( )A r θ ϕ 不因其三個分量都是常數而只是「一個」向量

而是一 vector field這是因為 ˆ ˆˆ r θ ϕ 都不是定值而與 θ ϕ 有關而如

果 ( )A r θ ϕ 表示則單位向量所對應的角度 θ ϕ 必須要標定所以

sin cos cos cos sin 2sin sin cos sin cos 3

1cos sin 0

x

y

z

AAA

θ ϕ θ ϕ ϕ

θ ϕ θ ϕ ϕ

θ θ

⎛ ⎞minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ minusminus⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

(2sin 3cos )cos sin(2sin 3cos )sin cos

2cos 3sin

x

y

z

AAA

θ θ ϕ ϕθ θ ϕ ϕ

θ θ

+ +⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟rArr = + minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟minus⎝ ⎠ ⎝ ⎠

習題 5 Draw a diagram to show in the cylindrical coordinates

(a) ˆ ˆ ˆcos sinx yρ ϕ ϕ= + (b) ˆ ˆ ˆsin cosx yϕ ϕ ϕ= minus + (c) ˆ ˆz z=

習題 6 use the above results show that 由柱座標分量轉為直角座標分

量的轉換矩陣

x

y CR

z z

A AA M AA A

ρ

ϕ

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟=⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

CRM =

2 2 2 2

2 2 2 2

0cos sin 0sin cos 0 0

0 0 10 0 1

x yx y x y

y xx y x y

ϕ ϕ

ϕ ϕ

minus⎛ ⎞⎜ ⎟+ +⎜ ⎟⎛ ⎞minus⎜ ⎟⎜ ⎟

= ⎜ ⎟⎜ ⎟+ +⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

Ex27 Express vector ˆ ˆ ˆ(3cos ) 2 5A zρ ϕ ϕ ρ= minus + in Cartesian

coordinates Specifically the A at the position of (2 2 3π -3)

解

2cos sin 0 3cos 3cos 2 sinsin cos 0 2 3cos sin 2 cos

5 50 0 1

x

y

z

AAA

ϕ ϕ ϕ ϕ ρ ϕϕ ϕ ρ ϕ ϕ ρ ϕ

⎛ ⎞minus ⎛ ⎞+⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟= minus = minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

so that A (2 2 3π -3)= 3 3 3ˆ ˆ ˆ3 3 3 54 4

x y z⎛ ⎞⎛ ⎞+ + minus +⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠注意本

題裡 z 座標並非一變數

4-29

sect 43 Fields and its properties 場與其性質

「場 field」是什麼凡是在「某個空間中每一點」都有定義的量

就是一個「場」所以「場」也稱為「點函數 point function」簡單的

說凡是「空間的函數」都是「場」如果這個「空間的函數」是一個

純量 u(xyz)那麼 u(xyz)就是一個「純量場 scalar field」例如室內

的溫度 T(xyz)一塊豬肉的密度 ( )x y zρ 大氣中的壓力 p(xyz)等

都是純量場如果這個「空間的函數」是一個向量 )( zyxA 那麼

)( zyxA 就稱為「向量場 vector field」例如空間中的電場 )( zyxE

水流中的速度場 )( zyxv 重力場 )( zyxg 等等很顯然的不論是純量

場還是向量場「場」在空間中的分佈通常未必是均勻的那麼她有

什麼性質呢例如一塊豬肉內部密度是如何變化的水流中有沒有

漩渦大氣中的等壓線是如何變化的等等那麼有沒有什麼量可以

有系統的描述各種場的分佈有我們在以下分別討論

sect 431 Gradient of scalar fields 純量場的梯度

考慮一個純量場 f(xyz)可以視為 3 個變數 xyz 的函數當變數變動為

x+dx y+dy z+dy 時造成 f 的變化

f f fdf dx dy dzx y zpart part part

= + +part part part

（4-65）

由幾何意義來看上式更為具體上式表示純量場 )(rf 基於位置的變化

r r drrarr + (或由 ( ) ( )x y z x dx y dy z dzrarr + + + )所造成 f 的變動

我們現在定義一個向量算符 vector operator nabla (or nabla )（讀做 del）

ˆ ˆ ˆx y zx y zpart part part

nabla equiv + +part part part

(4-66)

如果將 del 作用在純量場 )(rf 上將產生出現一個新的「向量場」 fnabla

稱為純量場「 )(rf 的『梯度 gradient』」

4-30

ˆ ˆ ˆ( ) f f fgrad f f x y zx y zpart part part

equiv nabla = + +part part part

（4-67）

這使得由於任意位移 ˆ ˆ ˆdr xdx ydy zdz= + + 所造成 f 的變化量

df f drrArr =nabla sdot （4-61）

ex28 Given scalar field 2( )f r xy z= and 2 2 2

1 1( )g rrx y z

= =+ +

(a) find the value of ( )f r and fnabla at point P(2 1-1) 解 2(21 1) 2 1 ( 1) 2f minus = times times minus = minus

2 2 2

2 2

ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( )

ˆ ˆ ˆ( ) ( 2 ) ( )

f x xy z y xy z z xy zx y z

x y z y x yz z xy

part part partnabla = +

part part part

= +

＋

＋

ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ(21 1) ( 1) (2 2) (2) 4f x y z x y znabla minus = minus + timesminus = minus minus＋ ＋2 (b) find the value of ( )g r and gnabla at the point P

解2

1 1(21 1)62 1 1

g minus = =+ +

2 2 2 12 2 2 2 12

2 2 2 12

ˆ ˆ( ) ( )

ˆ ( )

g x x y z y x y zx y

z x y zz

minus minus

minus

part partnabla = + + + + +

part partpart

+ +part

＋

2 2 2 32 2 2 2 32 2 2 2 32

2 2 2 32 3 2

ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( )

ˆ ˆ ˆˆ( )( )

OR OR

xx yy zzgx y z x y z x y zxx yy zz r r

x y z r r

minus minus minusrArrnabla = + +

+ + + + + +minus + + minus minus

= = =+ +

32

ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ(2 ) 2(21 1)6 6 6

x y z x y zg minus + minus minus minus +rArrnabla minus = =

由 gnabla 看到一個粉常用的結果就是

3 2

ˆ1 ORr rr r r

minus minusnabla = = （4-62）

順便比較一下

2 2 2 12 2 2 2 12 2 2 2 12

2 2 2 12

ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( )

ˆ ˆ ˆ( ) ˆ (4 63)( )

r x x y z y x y z z x y zx y zxx yy zz r r

x y z r

part part partnabla = + + + + + + +

part part part+ +

= = = minus+ +

＋

4-31

(c) what is the angle between (21 1)fnabla minus and (21 1)gnabla minus

解 (21 1)fnabla minus (21 1)gsdotnabla minus ＝（ ˆ ˆ ˆ4x y zminus minus ＋2 ） sdotˆ ˆ ˆ26 6x y zminus minus +

＝2 4 2 4

6 6 3 6+ +

= ＝ | (21 1) |fnabla minus | (21 1) |gnabla minus cosθ

＝ 34 1 1 211 16 4 cos cos

6 6θ θ+ +

+ + =

1 4 2cos 07773 7

radθ minus ⎛ ⎞= =⎜ ⎟

⎝ ⎠

要注意隨然nabla有向量的性質但是他並不是一個真的向量真

實向量 A與純量 f ( )r 的乘法滿足交換率ie ( ) ( )Af r f r A= 但是

f fnabla ne nabla因為

( )f rnabla ＝ ˆ ˆ ˆf f fx y zx y zpart part part

+ +part part part

是一個向量函數而

ˆ ˆ ˆ( )f r x y zx y z

⎛ ⎞part part part+ +⎜ ⎟part part part⎝ ⎠

是一個算符（operator）

若nabla要與向量場 A 作用由於nabla與 A 都具有向量的性質先看「內積」

ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ( )

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

x y z

x y

z

y yx xz z

A x y z xA yA zAx y z

x y z xA x y z yAx y z x y z

x y z zAx y z

A AA AA Ax x x y x zx y z x y z

⎛ ⎞part part partrArrnablasdot = + + sdot + +⎜ ⎟part part part⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞part part part part part part= + + sdot + + + sdot⎜ ⎟ ⎜ ⎟part part part part part part⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞part part part

+ + + sdot⎜ ⎟part part part⎝ ⎠part partpart partpart part

= sdot + sdot + sdot + sdotsdot sdot = + +part part part part part part

yx zAA AAx y z

partpart partnablasdot = + +

part part part (4-64)

上式中的 Anablasdot 是向量場 A 的一個重要的性質稱為 A 的「散度」詳

細的內容在後面會仔細討論這裡引進 Anablasdot 主要是要表明nabla是個「算

符」表示一個運算不是一個真實的向量只是在「直角座標」裡

4-32

因為單位向量 ˆ ˆ ˆ x y z 是常數不受微分的作用以致nabla表現得好像也

是個一般的向量一樣事實上真實向量和nabla間的「內積」就不滿足交

換率

x y zA A A A an operator Ax y zpart part part

sdotnabla = + + = ne nablasdotpart part part

(4-65)

這也使得任意向量場 ( )A r 因位置變動 r r drrarr + 而產生的變化由於

)( zyxA 也是 3 個變數 xyz 的函數可以寫為

( )A A AdA dx dy dz dr Ax y z

part part part= + + = sdotnabla

part part part （4-66）

ex29 (a)Given field 2ˆ ˆ ˆ2A xxy y x zyz= minus + find Anablasdot at point (1-12)

解2( ) (2 ) ( ) 2xy x yzA y yz

x y zpart part part

nablasdot = + + = +part part part

(1 12)1 2( 1)2 3A

minusnabla sdot = minus + minus =

(b) find rnablasdot 解 rnablasdot = 3x y zx y zpart part part

+ + =part part part

梯度的意義

由（4-67）可以看到「f 的梯度 fnabla 」

是一個由「純量場 f」衍生出的向量

場由（4-26）也可以看出 fnabla 扮演類

似「變化率」的角色

空間中將相同值 f ( )r ＝f1 的點連

起來就得到一個 f ( )r ＝f1 的「等值面」如 Fig36考慮純量場 f( r )的

相鄰兩個等值面各對應定值 1f f= 與 1f f df= + 0df gt P1 點在 f1

等值面上相鄰兩點 P2P3 在 1f df+ 等值面上而向量 1 2 ˆnP P dn e dn= =

過 P1 點垂直於 f1 等值面 1 3 ˆP P d e d= = 與 ˆne dn夾角為α 由於不

論 1 2P Prarr 或 1 3P Prarr f 的變化量都是 df 但因距離 dn 係兩等值面最

4-33

短的距離d dngt 所以 1 2P Prarr 或 1 3P Prarr 造成的「變化率」df dfdn d

gt

而過 P1 點的最大變化率為dfdn

換言之向量 ˆndfedn

為過 P1 點垂直於

f1 等值面且指向最大「增加率」的方向 現在要證明

ˆndfe fdn

= nabla （4-67）

考慮 1 3P Prarr 造成的 f 值的變化率

ˆ ˆcos n ldf df dn df df e edl dn dl dn dn

α= = = sdot

ˆ ˆ ˆn l ndf dfdf e e dl e dldn dn

rArr = sdot = sdot

和（4-61）式df f dr= nabla sdot 相比即可得證 ˆndfe fdn

= nabla 所以可以知道

空間純量場 f ( )r 中任一點處的向量 fnabla 必「垂直」於「通過該點的 f的等值面」且指向 f 值最大「增加率」的方向| ( )f rnabla |就是 f 在 r 點

的最大增長率可以進一步定義等值面的「法線 normal」方向為

ˆ fnf

nabla=nabla

（4-68）

結論給定一個純量場 f( r )在每一點 r 可以定義一個稱做「梯度」

的向量 fnabla fnabla 垂直於過 r 點的 f 等值面且指向最 f 大增加率的方向

fnabla 的方向也定義了 f 等值面的法線方向

Ex30 考慮一個 2D 的 scalar field 2( )f x y y x= minus 計算該場在 )20( 的梯度與

法線方向

解 ˆ ˆ ˆ ˆ2f ff x y x yyx ypart part

nabla = + = minus +part part

ˆ ˆ(0 2) 2 2f i jnabla = minus + ˆ ˆ ˆ ˆ2 2 2 2ˆ(0 2)

31 8i j i jn minus + minus +

rArr = =+

4-34

ex31 點電荷 q 置於原點其產生電位為 ( ) qV rr

= 求負梯度qr

minusnabla

解 3

2 2 2 22 2 2

2 ( )2

q q q q x x y zr x rx y z

minuspart minus= rArr = sdot + +

part+ +

3 23

ˆˆ ˆ ˆ( )q ix jy kz r rq q qr r r r

minus + +rArr minusnabla = minus = = （點電荷的電場）

0 0

1 1 r r

noter r= =

nabla rarrinfin rarrinfin∵ 是不定值是因為 r = 0 處為最大值

「增加率」的方向無法確定

ex32 置一熱源於原點空間溫度分佈為1( )

( 2)T r

r=

+求溫度的梯度

解 2 2 2

ˆ( ) ( )( 2) ( 2) ( 2)

x rT r rr rT r

x r r r

minuspart minus

= rArrnabla = =part + + +

此處的負號表示梯

度指向熱源因為距熱源越遠溫度越低 ( 0)note T rnabla = 為不定值

因在最頂點「增加率」的方向無法確定

Ex33 地圖上山脈的等高線上各點的垂直方向由梯度決定現有一座

山是橢球 2)1(4 222 =+++ zyx 在 x-y 平面上方的

部分求地圖上這座山等高線的梯度

解 山高 142 22 minusminusminus== yxzh 所以等高線為橢

圓 222 )1(24 +minus=+ hyx 梯度

( ) ( ) ( )2 2 2 2

2 2

ˆ ˆ4ˆ ˆ2 4 1 2 4 1

2 4

xx y yh x x y y x y

x y x y

minus +part partnabla = minus minus minus + minus minus minus =

part part minus minus

所以自山腳（h=0）登山若由(012)開始 ˆ(01 2) 2h ynabla = minus 但若由

)02(minus 開始爬山 ˆ( 20) 2h xnabla minus = 可見 )02()210( minusnablagtnabla hh 這表

示由 y-軸登山山勢較陡所以「梯度」比由 x-軸登山為大這也更

清楚瞭解「梯度」的幾何意義

4-35

sect 432 Divergence 散度與 Curl 旋度

在(4-66) 我們建立了一個直角座標 vector operator 「del」

ˆ ˆ ˆx y zx y zpart part part

nabla equiv + +part part part

(4-66)

若與向量場 A 做「內積」與「外積」就建構了 A 的「散度」與「旋度」

散度 A A scalaryx zAA Adiv ax y z

partpart partequiv nabla sdot = + + =

part part part （4-69）

旋度

y yz x z x

ˆ ˆ ˆ y z A vector

A AA A A Aˆ ˆ ˆxy z z x x y

x y z

x y z

xcurl A a

A A A

y z

⎧⎪

= nablatimes = part part part =⎪⎪⎨⎪

part part⎛ ⎞ ⎛ ⎞part part part part⎛ ⎞⎪ = minus + minus + minus⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎪ part part part part part part⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎩

(4-70)

這裡定義的只是「散度」與「旋度」所謂「操作型的定義」告訴我

們如何計算的式子事實上她們都具有重要的物理意義我們在後面

會討論

ex34 ˆ ˆA xy yx= minus 求其散度與旋度

解 0 0y xAx ypart part

nablasdot = minus + =part part

ˆ ˆ ˆ y zˆ ˆ ˆ ˆ 0 0 ( 2) 2

0 x y z

xA x y z z

y xnablatimes = part part part = minus + minus = minus

minus

右圖示意了本向量場的分佈看得出像個漩渦也看到算出的旋度

0ne 看來旋度表現的應該是向量場「旋轉的程度」事實上我們在

後面會看到「旋度」表現的就是是向量場在空間各點「旋轉的程度」

本題的向量場在每一點的旋轉程度都一樣

4-36

Ex35 ( )ˆ ˆ ˆ A xx yy zz r= + + = 求其散度與旋度

解 3A rnablasdot = nablasdot = ˆ ˆ ˆ y z

0

x y z

xA

x y znablatimes = part part part =

由場分佈的示意圖可以看出本向量場是自原點向外射出好似在原

點有一個場線的「源頭 source」但是 3Anablasdot = 為一個常數表示好像到

處都有 source同時旋度為 0 也可以配合本場並無旋轉的形象事實

上「散度」表現的就是是向量場在空間各點產生「場線」的 source

記得靜電學裡的庫倫定律 0E ρ εnablasdot = 電場的散度就是「電荷密度」

(電場的 source)前一題的向量場看來對應的場線是封閉的所以沒有

source這也對應了其散度＝0不過一個向量場的散度旋度究竟是

多少應該詳細的計算場分佈圖形有時候不是那麼容易看的清楚

兩個 useful identities (恆等式)

(a) ( ) 0 0f curl of a gradnablatimes nabla = =

(b) ( ) 0 0A div of a curlnablasdot nablatimes = =

pf (a) ( )ˆ ˆ ˆ x y z

x y z

x y z

ff f f

nablatimes nabla = part part part

part part part

( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2xz zxˆ ˆ ˆx y f- f z 0yz yz xy yxf f f f= part minus part minus part part + part minuspart =

這個結果與真實的向量外積 ( ) AA 0=times 有相似之處但是這只是特

例要記得nabla並不是一個真正的向量

( ) ( ) ( )

( )

ˆ ˆ ˆ y zˆ ˆ ˆ x y z

0

x y z y z z y x z z x x y y x

x y z

xy z xz y xy z yz x xz y yz x

xA A A A A A A

A A A

A A A A A A A

nablatimes = part part part = part minus part minus part minus part + part minus part

nablasdot nablatimes = part minuspart minuspart +part +part minuspart =

4-37

此結果與真實的向量運算有相似之處 ( )( )0 (B A) BB B Asdot times = times perp∵

但是這仍只是特例因為我們可由下列例子 ( ) 0A Asdot nablatimes ne 看出事實上

nabla並不是一個真正的向量 Ex36 ˆ ˆ ˆA xy yx zx= minus +

( )

ˆ ˆ ˆ y zˆ ˆ ˆ 0 1 ( 2)

2 0

x y z

xA x y z

y x x

A A x x x

nablatimes = part part part = minus + minus

minus

sdot nablatimes = minus = minus ne

面積元素向量

物理上時常會遇到面積分例如電通量磁通

量等等考慮一個面積元素 ds定義「面積的

方向」為其「法線方向」並定義面積元素向量

ˆnds a dsequiv （4-71）

要注意的是(1)如果 ds 是一個「封閉面

closed surface」（即有裡外之分）的一部

份則 ˆna 定義為「由內向外」(2) 如果 ds

是一個「開放面 opened surface」（即分不

出裡外）的一部份那麼 ds 必被其邊緣

（一個封閉的曲線 C）所包圍這樣在定

出ds 的方向之前要先定義「邊緣曲線」

C 的方向再由右手定則定義 ˆna 的方向

既然面積已為一個向量就可以寫為分量表示以直角座標

ˆ ˆ ˆx y zds xds yds zds= + + (4-72)

那麼這些分量 dsx dsy dsz 會是什麼既然 dsx 的方向是 x 就表示 dsx

是躺在 y-z 平面上所以 dsx 的兩邊是 dy 與 dz rArr xds dydz= 依此類

4-38

推 dsy 的方向是 y 所以躺在 x-z 平面rArr yds dxdz= hellip可以得知

xds dydz= yds dxdz= zds dxdy= （4-73）

不過要注意在寫面積元素時要看討論的面實際

是什麼面上式的三個分量有可能會是負的例如

左圖座落在第一象限的立方體的 A 面方向就在 xminus

方向Arsquo面在 yminus Ardquo面在 zminus 方向寫面積元素最

好是先把討論的面的方向搞清楚把plusmn號寫在單位向量前面那麼分

量就都用＋的即可其實面積元素體積元素都可以由位移元素看出

ˆ ˆ ˆdr xdx ydy zdz= + +

dx dy dz 是沿著 ˆ ˆ ˆ x y z 方向的長度所以面積元素分量的兩邊長度就

是由其中兩個組成而體積的三邊也就是三個垂直方向的長度

x y zdV dx dy dz and ds dydz dxdz dxdyrArr = = （4-74）

這個概念在其他的座標系統也成立我們可以方便的寫出面積元素

Recall 柱座標的位移向量元素

cylindrical coordinate ˆ ˆ ˆdr d d dzzρρ ρ ϕϕ= + + （4-48）

ˆ ˆ ˆ zds ds ds zdsρ ϕρ ϕ= + + (4-75)

dsρ 躺在 zϕ minus 平面dsϕ 在 zρ minus 平面 zds 在ρ ϕminus 平面

rArr zds d dz ds d dz ds d d d dρ ϕρ ϕ ρ ρ ρ ϕ ρ ρ ϕ= = = sdot = （4-76）

上面的結果畫個圖看看吧球座標的位移向量元素

Spherical coordinate ˆ ˆˆ ( ) ( sin )dr rdr rd r dθ θ ϕ θ ϕ= + + （4-56）

ˆ ˆˆ rds rds ds dsθ ϕθ ϕ= + + （4-77）

rArr sin sin rds rd r d ds dr r d ds rd drθ ϕθ θ ϕ θ ϕ θ= sdot = sdot = sdot (4-78)

4-39

向量場 ( )A r 在 S 面上的「面積分（surface integral）」or「flux」

如左圖若有一「平面」S 且其上有「均勻」

場 B 分佈則通過 S 面的通量就是

ˆB B nSΦ = sdot

但考慮一任意「非均勻」向量場 ( )A r 在空間分佈選取任意曲面 S

探討 ( )A r 在 S 上之通量若ds 為 S 面上的面積元素在趨近於 0 的

小面積ds 上 A可視為均勻所以通過ds 之通量為 ( )d A r dsΦ = sdot 則 S

面之總通量為

Φ＝ ˆ cosS S S

A ds A nds A daϕsdot = sdot =int int int

( )OR

x x y y z zS

A da A da A da= + +int (4-75)

稱為 A 在 S 面上的「面積分」或「通量 flux」

上圖所繪就是一個任意面上分割出許多小面積舉出三個位置的通

量有+-與 0如果 S 面是為一「封閉面」則面積分寫為

S

A dssdotint （4-76）

4-40

ex37 Given 2ˆ ˆ ˆyzA xyz yx zx= + + 計算通量S

A dssdotint

S 面為在第一象限邊長＝1 的立方體表面封閉面

解立方體分為前後右左上下六個面分開算 1前面（x=1）

方向 x+ ˆ xA ds A xdydz A dydzsdot = sdot =int int int前 前 前

yzdydz= int前 ＝1 1

0 0

1 1 12 2 4

ydy zdz = sdot =int int

2後面(x=0)方向 xminus ˆ(- ) - xA ds A x dydz A dydzsdot = sdot =int int int後 後 後

yzdydz= minusint後1 1

0 0

-1 1 -12 2 4

ydy zdzminus = sdot =int int

3 右面（y=1）方向 y+ y ( 1)yA ds A dxdz A y dxdzsdot = sdot = =int int int右 右 右

( 1)x y zdxdz= =int右 ＝1 1

0 0

1 1 12 2 4

xdx zdz = sdot =int int

4 左面（y=0）方向 ˆ-y ˆ( y) - ( 0)yA ds A dxdz A y dxdzsdot = sdot minus = =int int int左 左 左

( 0) 0x y zdxdz= = =int左

5 上面（z=1）方向 z+ zz y (z 1) yA ds A dxd A dxdsdot = sdot = =int int int上 上 上

2 yx dxd= int上 ＝1 120 0

1 1y 13 3

x dx d = sdot =int int

6 下面（z=1）方向 ˆ-z zˆ(-z) y - (z 0) yA ds A dxd A dxdsdot = sdot = =int int int下 下 下

2 -1- y3

x dxd= =int下 ＝1 120 0

1 1y 13 3

x dx d = sdot =int int

S

A dssdotint ＝六個面的和＝1 1 1 1 1 1( ) ( 0) ( )4 4 4 3 3 4

minus minus+ + + + + =

ex38 Given ˆ ˆ ˆzA xyz yx zxy= + + 計算通量S

A dssdotint S 為圓 2 2 2x y a+ =

在第一項限的部分方向選為 z+ 2 2y a x= minus

4-41

解 2 2 4

0 0ˆ

8a a x

zS S S S

aA ds A zdxdy A dxdy xydxdy xdx ydyminus

sdot = sdot = = = =int int int int int int

Ex39 In cylindrical coordinate Given ˆ ˆaA zbzρρ

= + where a b are

constants Find S

A dssdotint over the surface of a

closed cylinder about z-axis specified by 3 2z ρ= plusmn =

解S 分為上下與周邊三面

zz (z 3)zA ds A ds A d dρ ρ ϕsdot = sdot = = sdotint int int上 上 上

= 23 3 2 12bd d b bρ ρ ϕ π πsdot = sdot =int上

ˆ(-z)A ds A d dρ ρ ϕsdot = sdot sdotint int下 下

= z- (z -3)A d dρ ρ ϕ= sdotint下 = 23 2 12b bπ πsdot =

周邊ds ˆ ( )d dzρ ρ ϕ= rArr ˆ ( ) z ( ) zA ds A d d A d dρρ ρ ϕ ρ ϕsdot = sdot =int int int周 周 周

2 3

0 3( ) z ( ) z=a 12aA d d d d d dz a

πρ ρ ϕ ρ ϕ ϕ π

ρ minus= = =int int int int周 周

加起來 S

A dssdotint ＝12 24 12 ( 2 )a b a bπ π π+ = +

ex40 一點電荷 q 置於原點計算在一個以原點為圓心 0r 為半徑的球

面上的電通量

解 2 20 0

ˆ ˆ4 4S S

qr q dsE ds rdsr rπε πε

sdot = sdot =int int int

=0 0 0

44 4S

q q qd ππε πε ε

sdot Ω = sdot =int

上式中 dΩ 2dsr

= 是 ds 所張開的「立體角」(solid angle)

4-42

div A and Flux 通量與散度的幾何物理意義

我們運用過nabla的符號來表示過散度 divF F= nablasdot yx zFF Fx y z

partpart part= + +part part part

但是也看到「散度」定義為

0( )

1( ) limSV

about x y z

divF x y z F da divergence of FVΔ rarr

equiv sdot =Δ int (4-77)

其中 VΔ 為 S 面所包含的體積即散

度為通量(體)密度的 0 體積極限

（4-77）的定義與 Fnablasdot 好像差的很

多她們是說同一回事嗎以下證明

這兩種「散度」的定義是等價的如

左圖考慮一個以點 ( ) x y z 為中心

的 立 方 體 其 相 鄰 三 邊 長 為

x y zΔ Δ Δ 體積 V x y zΔ = Δ Δ Δ 現在計算 F 在立方體的一組平行於 y-z平面的表面 S1 與 S2 的通量

( )1 1

ˆ ˆ xS S

F nds F xds F x y z dsrArr sdot = sdot =intint intint intint 2xxF x y z y zΔ⎛ ⎞asymp + Δ Δ⎜ ⎟

⎝ ⎠

其中 2xx y zΔ⎛ ⎞+⎜ ⎟

⎝ ⎠為 S1 面中心的座標而

2xx y zΔ⎛ ⎞minus⎜ ⎟

⎝ ⎠為 S2 面的中心

( ) ( )2 2 2

ˆ ˆ 2x x

S S S

xF nda F x ds F x y z ds F x y z y zΔ⎛ ⎞rArr sdot = sdot minus = minus asymp minus minus Δ Δ⎜ ⎟⎝ ⎠intint intint intint

上式中的負號來自 S2 面的方向是 xminus 所以合併兩個面積分

1 2

ˆ 2 2x x

S S

x xF nds F x y z F x y z y z+

Δ Δ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞rArr sdot asymp + minus minus Δ Δ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦intint

2 2x xx xF x y z F x y z

x y zx

Δ Δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠= Δ Δ Δ

Δ

2 2

x xx xF x y z F x y z

Vx

Δ Δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠= Δ

Δ

1 2

1 2 2ˆ

x x

S S

x xF x y z F x y zF nds

V x+

Δ Δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠rArr sdot asymp

Δ Δintint

4-43

當取體積向(xyz)點收縮至 0 時即 0 x 0as VΔ rarr Δ rarr 上式的近似

「asymp」就成了「＝」

1 20

1 ˆlimV

S S

F ndsVΔ rarr

+

sdotΔ intint

( )0

2 2limx x

x

x

x xF x y z F x y z F x y zx xΔ rarr

Δ Δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟ part⎝ ⎠ ⎝ ⎠= =Δ part

Similarly F 在立方體的一組平行於 x-z 平面的表面 S3 與 S4 的通量

3 3 3

ˆ ˆ yS S S

F nds F yds F dsrArr sdot = sdot =intint intint intint

2

2

y

y

yF x y zyF x y z x z x y z

y

Δ⎛ ⎞+⎜ ⎟Δ⎛ ⎞ ⎝ ⎠asymp + Δ Δ = Δ Δ Δ⎜ ⎟ Δ⎝ ⎠

( )4 4 4

2ˆ ˆ

y

yS S S

yF x y zF nds F y da F ds x y z

y

Δ⎛ ⎞minus⎜ ⎟⎝ ⎠rArr sdot = sdot minus = minus asymp Δ Δ Δ

Δintint intint intint

合併 S3 與 S4 兩個面積分並取體積向(xyz)點收縮至 0 時即當

0 y 0VΔ rarr Δ rarr 上式的近似asymp就成了＝

3 4

2 2ˆ

x x

S S

y yF x y z F x y zF nds V

y+

Δ Δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠rArr sdot cong Δ

Δintint

3 40 0

1 2 2ˆlim lim

x xy

V yS S

x yF x y z F x y z FF nds

V y yΔ rarr Δ rarr+

Δ Δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟ part⎝ ⎠ ⎝ ⎠rArr sdot = =Δ Δ partintint

與上面相同的作法計算 F 在立方體的一組平行於 x-y 平面的表面 S5

與 S6 的通量我們也會得到對應的結果

5 6

2 2ˆ

z x

S S

z zF x y z F x y zF nds V

z+

Δ Δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠rArr sdot cong Δ

Δintint

5 60 0

1 2 2ˆlim lim

z xz

V zS S

z zF x y z F x y zFF nds

V z zΔ rarr Δ rarr+

Δ Δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟ part⎝ ⎠ ⎝ ⎠rArr sdot = =Δ Δ partintint

所以合併立方體的 6 個面積分

4-44

1 2 3 4 5 6

ˆ ˆ ˆ ˆS S S S S S S

F nds F nds F nds F nds+ + +

rArr sdot = sdot + sdot + sdotint intint intint intint

0

1 ˆlim yx zV

FF FF nds div F FV x y zΔ rarr

partpart partrArr sdot = + + = = nablasdot

Δ part part partint (4-78)

在此我們得證這兩種「散度」的定義是等價的只是（4-77）的定義

充分的表現出「散度」的幾何物理意義他從通量著手由於場線

出自於 source（ex電場源自於點電荷）所以在點(xyz)必須有向量場

F 的 source 存在才能使得當面積縮到 0 時仍具有非 0 的通量所以「散

度」表現向量場 F 的 source 在這個定義之下是很清楚的當然在計算

「散度」時我們不必那麼麻煩用 divF F= nablasdot 就好了

Ex41 計算 2ˆ ˆ ˆF xx yxy zyz= + + 的散度

解 2 yx zFF Fx x yx y z

partpart part= = =

part part part F 2x x y 3x ydivrArr = + + = +

recall 在靜電學0

yx zEE EEx y z

ρε

partpart partnablasdot = = + +

part part part

散度定理 Divergence Theorem

若任意封閉面（又稱為「高斯面」）S 所包圍的

體積為 V 則

S VA ds Adτsdot = nablasdotint int （4-79）

pf 我們先將體積分割成 N 個小盒子考慮相鄰的兩個小盒子 1 2

兩小盒子的共用面面積 S0當 S0 是為 1 號盒子的一部份時其方向為

1n 但若當為 2 號盒子的表面時其方向為 12 ˆˆ nn minus= 如此在 S0 分別做

4-45

1 2 盒子的面積分後

0 0

0 0 0 0

1 2

1 2 1 1ˆ ˆ ˆ ˆ 0

S S

S S S S

A ds A ds

F n ds F n ds F n ds F n ds

sdot + sdot

= sdot + sdot = sdot minus sdot =

intint intintintint intint intint intint

所以若求場 A 在 1 2 盒子的總通量時交界面是沒有貢獻的總通量

就只有「外面積」才有貢獻如此我們計算 N 個小盒子的總通量

時所有的內部共用面都得 0只剩下「外表面」的貢獻了當 infinrarrN

時所有小盒子的「總外表面」就與 S 面重合了所以所有小盒子通量

的總和就等於 S 面的通量

1lim

i

N

S SN iA ds A ds

rarrinfin=

rArr sdot = sdotsumint int

現在我們做 N 個小盒子的總通量

1 1

1i i

N N

iS Si i i

A ds A ds VV= =

⎛ ⎞sdot = sdot Δ⎜ ⎟Δ⎝ ⎠

sum sumint int

當 0iN Vrarrinfin rArr Δ rarr 並用 dv 表示體積元素

( ) ( )1 1

1

1lim lim lim

lim

i ii

N N

iS SN N V oi i i

N

i VN i

A ds A ds VV

A V A dv

rarrinfin rarrinfin Δ rarr= =

rarrinfin=

⎛ ⎞sdot = sdot Δ⎜ ⎟Δ⎝ ⎠

= nablasdot Δ = nablasdot

sum sumint int

sum int

( )S V

A da A dvrArr sdot = nablasdotint int QED

所以得證散度定理上式中我們用了散度的（4-77）式定義要分辨

清楚 Anablasdot 是向量場 A 在空間中「某一點」的性質（ 0VΔ rarr ）而「散

度定理」說的是一個「有限體積」的性質

ex42 給定 ( ) ˆ ˆ ˆ A x y z xx yy zz r= + + = 計算在

半徑 R＝1 的球的上半球加底面的通量

4-46

解 ( )ˆˆS

A da A rda A k darArr sdot = sdot + sdot minusint int int上半球面 底面

( )

2

ˆ ˆ

0 2 1 2

A rda A z dxdy

r rds zdxdy rds ds π π

= sdot + sdot minus

= sdot minus = minus = = sdot =

int int

int int int int上半球面 底面

上半球面 底面 上半球面

底面的通量＝0 是因為 A 的 z 分量 Az=z 在底面的值為 0

也可以用散度定理更快的得出結果

∵ 3A rnablasdot = nablasdot =

31 43 3 1 22 3V V

Ad d πτ τ πnablasdot = = sdot sdot sdot =int int

ex43高斯定律的微分形式積 由 Gaussrsquo law 的積分形式用散度定理得出其

( )0 0

1 inS V

qE ds x y z dvρε ε

sdot = =int int

0S V VE ds Edv dvρ

εrArr sdot = nablasdot =int int int

上式最後的等式對「任意形狀」V 都成立所以兩者的被積函數相等

對於空間每一點 0

E ρε

nablasdot = （4-80）

ex44 Use 第一象限的單位力方體 check the divergence theorem using the function 2 2ˆ ˆ ˆ(2 ) 2A y x xy z y yzz= + + +

解2

2( ) (2 )(2 ) 2( )y yzA xy z x yx y z

part part partnablasdot = + + + = +

part part part

and 1 1 1 1 1 1

0 0 0 0 0 02 ( ) 2 ( )

VAdv x y dxdydz dz dy x y dxnablasdot = + = +int int int int int int int

1 1

0 0

1 12 ( ) 2 12 2

dz y dy= + = sdot =int int

面積分 1 1 2

0 0

1ˆ3

A ds A xdydz dz y dysdot = sdot = =intint intint int int前 前

4-47

1 1 2

0 0

1ˆ( )3

A ds A x dydz dz y dy minussdot = sdot minus = minus =intint intint int int

後 後

1 1 2

0 0ˆ (2 )A ds A ydxdz dz xy z dxsdot = sdot = +intint intint int int

右 右

1 1 1 12 2

0 0 0

4(2 ) (1 )3

ydz x z dx dz z

=

= + = + =int int int∵

1 1 2

0 0

0 1 1 12 2

0 0 0

ˆ( ) (2 )

1(1 )3

y

A ds A y dxdz dz xy z dx

dz z dx dz z=

sdot = sdot minus = minus +

minus= minus = + =

intint intint int int

int int int∵

左 左

11 1 1 1

0 0 0 0ˆ 2 2 1

zA ds A zdxdy dx yzdy dx ydy

=sdot = sdot = = =intint intint int int int int

∵

上 上

01 1

0 0ˆ 2 0

zA ds A zdxdy dx yzdy

=sdot = sdot minus = minus =intint intint int int

∵

下 下

前後右左上下六個面積分合併＝1＝V

Advnablasdotint QED

ex45 Continuity Equation 連續方程式

考慮某些「東西」的流動（物質電荷hellip）在時刻 t 時在點(xyz)

的 密 度 為 ( ) x y z tρ ρ= 並 具 有 速 度

( ) v v x y z t= 在時刻 t 時在體積 V 內的總量為

( ) x y z t dρ τintintint

這樣體積 V 內東東的時變率為

( ) ( ) d x y z t d x y z t ddt t

ρρ τ τpart=

partintintint intintint

注意體積分後的時間全微分移入積分內要改為偏微分這個東東

在表面的「流率 flow rate」可表為

ˆS

R v ndsρ= sdotintint

若體積內的物料無法自生自滅那麼體積內物料的變化必經由表面的

流出流入所造成

d v ndstρ τ ρpart

rArr = minus sdotpartintintint intint

由散度定理

4-48

( )ˆS

v nds v d dtρρ ρ τ τpart

sdot = nablasdot = minuspartintint intintint intintint

( )v Jtρ ρpart

rArr = minusnablasdot equiv minusnablasdotpart

0Jtρpart

rArr +nablasdot =part

（4-81）

(4-81) 即 continuity equation其中 J vρ= 為「物流密度」ex如果 ρ

是電荷密度 J 就是電流密度（4-81）是物質守恆的結果只對體

積內無 source（生成）or drain（消滅）的東東成立

ex46 Given a vector field ˆ ˆx yA ye xe= minus + (a) Find

Anablasdot (b)如圖一個金字塔狀的 5 面體高 2 底邊長

1計算 A在整個金字塔表面（封閉面）的總通量

解(a) Anablasdot = ( ) ( ) 0y xx ypart part

minus + =part part

(b) 金 字 塔 的 表 面 面 積 元 素 ds 不 好 寫 所 以 用 散 度 定 理

( )S V

A da A dvrArr sdot = nablasdotint int ＝0 Anablasdot 表示 A沒有 source 所以對封閉面而

言有多少場線進入就有多少出去所以總通量＝0

習題 7 With position vector r for an arbitrary volume V that is

bounded by surface S show that 13 S

r ds Vsdot =int

習題 8 已知一靜電場為 ˆ ˆ ˆ( )E xyz yxz zxyλ= + + 運用 Gaussrsquo law

試求包含在半球 2 2 2 2 0x y z R z+ + = ge 裡的總電荷 Ans 0

習題 9 (a) given ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( 2 )F r xf x yf y zf z= + + minus show that divF is

zero at point (c c -c2) (b) given ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( )G r xf x z yg x z zh x y= + +

show that ( ) 0G rnablasdot =

4-49

習題 10 Find the normal vector n for the surfaces (a) z = 2-x-y ans

ˆ ˆ ˆ( ) 3x y z+ + (b) z = (1-x2)12 ans ˆ ˆxx zz+ (c) z = x2+y2

ans ˆ ˆ ˆ( 2 2 ) 1 4xx yy z zminus minus + +

習題 11 Show that the unit vector normal to the plane ax+by+cz =d is

given by 2 2 2ˆ ˆ ˆ( ) ax by cz a b cplusmn + + + +

圓柱座標與球座標的nabla (del)

考慮一純量場在直角座標為 ( ) u x y z 在圓柱座標表為 ( ) u zρ φ

再考慮因位移 r r drrarr + 所造成 u ( )zρ φ 的變化

( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆz

z

u u udu d d dz u dr u d d zdzz

u u z u d d zdz

u d u d u dzρ ϕ

ρ ϕ

ρ ϕ ρ ρ ϕρ ϕρ ϕ

ρ ϕ ρ ρ ϕρ ϕ

ρ ρ ϕ

part part part= + + = nabla sdot = nabla sdot + +part part part

⎡ ⎤= nabla + nabla + nabla sdot + +⎣ ⎦= nabla + nabla + nabla

( ) ( ) ( )1

1ˆ ˆ ˆu

z

u u uu u uz

u u uzz

ρ ϕρ ρ ϕ

ρ ϕρ ρ ϕ

part part partrArr nabla = nabla = nabla =

part part partpart part part

rArrnabla = + +part part part

1ˆ ˆ ˆ zz

ρ ϕρ ρ ϕpart part part

nabla = + +part part part

（4-82）

注意nabla的ϕ -分量( 1ρ ϕ

partpart

)不是像直角座標裡單純的ϕpartpart

所以不要笨笨

的就把直角座標的形式硬套上去用我們也可以從「因次分析」來

看nabla因為是對空間的微分所以每一項的因次必須是「長度分之一」

運算 andzρ

part partpart part

都是「長度分之一」而「單純的ϕpartpart

」是沒有單位的

所以要1ρ ϕ

partpart

才 OK

由於圓柱座標裡的單位向量除了 z 之外 ˆ( )ρ ϕ 與 ˆ( )ϕ ϕ 都不是常

4-50

數所以在微分時不可以與微分運算交換而要考慮微分的作用所

以在「圓柱座標」寫「散度」 ( ) F zρ ϕnablasdot 也和直角座標不一樣

( )1ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ zF z F F zFz ρ ϕρ ϕ ρ ϕ

ρ ρ ϕpart part part⎛ ⎞

nabla sdot = + + sdot + +⎜ ⎟part part part⎝ ⎠

( ) ( )1ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆz zF F zF F F zFρ ϕ ρ ϕρ ρ ϕ ϕ ρ ϕρ ρ ϕpart part

= sdot + + + sdot + +part part

( )ˆ ˆˆ ˆ zz F F zFz ρ ϕρ ϕpart

+ sdot + +part

因為 ( ) ( )ˆ ˆ ˆ ˆ ρ ρ ϕ ϕ ϕ ϕ= = 所以做 andzρ

part partpart part

時 ˆ ˆ ρ ϕ 可視為常數

ˆ ˆ1ˆ ˆ ˆ zF F F FF F Fz

ρ ρ ϕρ φ

ρ ϕϕ ρ ϕρ ρ ϕ ϕ ϕ ϕ

part part part⎡ ⎤part part partrArrnablasdot = + sdot + + + +⎢ ⎥part part part part part part⎣ ⎦

還記得 ˆ ˆ ˆ ˆd d d dρ ϕ ϕ ϕ ρ ϕ= = minus 所以 ˆ ˆρ ϕϕpart

=part

ˆ ˆϕ ρϕpart

= minuspart

rArr

( )1 1 1z zF F F FF FF Fz z

ρ ρ ϕ ϕρρ

ρ ρ ρ ϕ ρ ρ ρ ϕpart part part part

nablasdot = + + + = + +part part part part part part

（4-83）

在球座標寫nabla也會遇到相似的問題其根源就是球座標 ( )r θ ϕ 裡

的 θ ϕ 的因次並非長度而三個單位向量 ˆ ˆˆ r θ ϕ（表為 ie ）都是( θ ϕ )

的函數以致

( )ˆ ˆ( ) ( )i ie f e fθ ϕ θ ϕθ θpart part

nepart part

且 ( )ˆ ˆ( ) ( )i ie f e fθ ϕ θ ϕϕ ϕpart part

nepart part

所以nabla也不似在直角座標那麼簡單我們不在這裡推導而是給出一

個歸納的統一的三個座標的結果還記得對每一個座標 iu i = 123

座標的變化 idu 與造成的長度變化 id

i i id h du= 123i = (4-84)

其中 ih 為對應的度量係數(metric coefficient)

4-51

1 2 3

1 1 2 2 3 3

1 1 1ˆ ˆ ˆu u ue e eh u h u h u

part part partnabla equiv + +

part part part （4-85A）

座標 1 2 3 u u u

度量係數

1 2 3 h h h

nabla grad del

直角 x y z

1 1 1 nabla ˆ ˆ ˆx y z

x y zpart part part

equiv + +part part part

圓柱

zρ ϕ

1 1ρ

1ˆ ˆ ˆ z

zρ ϕ

ρ ρ ϕpart part part

nabla equiv + +part part part

球

r θ ϕ

1 sinr r θ

1 1ˆ ˆˆ

sinr

r r rθ ϕ

θ θ ϕpart part part

nabla = + +part part part

（4-85B）

梯度gradient Vnabla grad(V) 散度divergence Anablasdot div( )A

直

角 nablaV ˆ ˆ ˆV V Vx y z

x y zpart part part

= + +part part part

yx zAA AAx y z

partpart partnablasdot = + +

part part part

圓

柱

1ˆ ˆ ˆ V V VV zz

ρ ϕρ ρ ϕpart part part

nabla = + +part part part

( )1 1

1

z

z

A AA Az

A A A Fz

ϕρ

ρ ρ ϕ

ρρ ρ ρ ϕ

ρ ρ ρ ϕ

partpart partnabla sdot = + +

part part partpart part part

= + + +part part part

球

1 1ˆ ˆˆ sin

V V VV rr r r

θ ϕθ θ ϕ

part part partnabla = + +

part part part

22

1 ( )rA r Ar r

partnabla sdot =

part

1 (sin )sin

Ar θθ

θ θpart

+ sdotpart

1sin

Ar

ϕ

θ ϕpart

+part

(4-86)

Ex47 Using spherical coordinate show that 1| |r r

nablaminus

= 2

ˆ| |

r rer r

minusminusminus

where

nabla是作用在 r 而 ˆr re minus 是向量 r rminus 方向的單位向量 解let r lies in z-axis so that the angle between r and r is just θ

4-52

rArr ( ) 122 21 1 2 cos | | ( ) ( )

r rr rr r r r r r

θminus

= = minus +minus minus sdot minus

( ) ( )12 122 2 2 21 1ˆˆ 2 cos 2 cos | |

r r rr r r rr rr r r r

θ θ θθ

minus minuspart partnabla = minus + + minus +

minus part part

( ) 322 21ˆ 2 cos (2 2 cos )2

r r rr r r rθ θminusminus

= minus + minus

( ) 322 21ˆ 2 cos (2 sin )2

r rr r rrθ θ θminusminus

+ minus +

3 3 3 3

ˆˆ ˆ( cos ) sin ( cos sin )ˆˆ| | | | | | | |r r r rr r rrr r r r r r r r

θ θ θ θ θθminus minus minus minus minus= + = +

minus minus minus minus

3 3 3ˆ ( )

| | | | | |r r z r r r rr r r r r rminus + minus + minus minus

= = =minus minus minus

＝ 2

ˆ| |

r rer r

minusminusminus

QED

證明最後我們用到 ˆˆˆ cos sinz r θ θ θ= minus 而 ˆ r r z= 因為我們選了 r 是

躺在 z-軸 Ex48 For arbitrary scalar field ( )f r and vector field ( )A r 證明恆等式

( )fA f A f Anablasdot = nabla sdot + nablasdot (4-87) 解 ˆ ˆ ˆx y zfA xfA yfA zfA= + +

( ) ( ) ( ) ( )x y zfA fA fA fAx y zpart part part

rArrnablasdot = + +part part part

yx zx x x

AAf f f AA f A f A fx x y y z z

partpartpart part part part= + + + + +part part part part part part

yx zx y z

AAf f f AA A A fx y z x y z

part⎛ ⎞partpart part part part= + + + + +⎜ ⎟part part part part part part⎝ ⎠

f A f A= nabla sdot + nablasdot QED 習題 12 一個位於原點的電偶極電偶極矩＝ ˆp pz= 已知其在遠處

的電位為 20

cos4p

rθ

πε試證該處的電場強度為 E = 3

0

ˆˆ( 2cos sin )4

p rr

θ θ θπε

+

(已知 E V= minusnabla )並請計算 Enablasdot ＝

習題 13 給定一向量場2

3cosˆD r

rϕ

= 現有兩個球心在原點的同心球

內球半徑 R＝1外球 R＝2(a)求面積分S

D dssdotint S 為同心球殼的表

面（有內外兩個面）(b)求體積分V

Ddvnablasdotint V 為兩同心球之間的

區域本題也是來 check 散度定理的Ans πminus

4-53

The Laplacian operator 2nabla equivnablasdotnabla

在直角座標可以用直接作用得到

2 2 2

22 2 2u u uu u

x y zpart part part

nabla equiv nablasdotnabla = + +part part part

(4-88)

圓柱座標

2 2

22 2 2

1 1( ) u u uu uz

ρρ ρ ρ ρ ϕ

part part part part⎛ ⎞nabla equiv nablasdot nabla = + +⎜ ⎟part part part part⎝ ⎠

(4-89)

球座標

2

2 22 2 2 2 2

1 1 1sinsin sin

u u uu rr r r r r

θθ θ θ θ ϕ

part part part part part⎛ ⎞ ⎛ ⎞nabla = + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟part part part part part⎝ ⎠ ⎝ ⎠ （4-90）

習題 14 verify (4-89) and (4-90)

習題 15 Given a dipole potential V= 20

cos4p

rθ

πε find 2Vminusnabla

sect 433 Line integral and curl A 線積分與與旋度的物理意義

線積分路徑積分

考慮一曲線 C 通過兩點 ( )i i i iP x y z 與

( )f f f fP x y z 現有一向量場 ( )A x y z 定義在

C 所在的空間若 sd 為 C 上位於(xyz)點的

「路徑元素」（ ˆd td= 方向沿該處切線）而

( )A x y z 為路徑元素d 處的場值則沿 C 經歷各點所做積分

cos cosf

CC C iA d Ad A dϕ ϕrarr rarrsdot = =int int int （4-91）

稱為向量場 ( )A x y z 沿路徑 C 自 pi 至 pf 的「線積分」「或「路徑積分」

積分裡 A 取值的點侷限在路徑 C 上面若為一個「封閉路徑」則對

C 的線積分也稱做「環路積分 closed contour integral」記做

C

A dsdotint （4-92）

4-54

物理量「做功」是最標準的線積分之一力 F 自 x = a 至 x = b「沿線」

x 軸做功

W＝ F dxsdotint ＝ ( )b

xaF x dxint （4-93）

質點在力場 )(rF 裡走一條曲線 C則力場做功

CW F d= sdotint （4-94）

還記得如果 ( )F r 是所謂「保守力」則上式只與始末點有關而與

路徑無關但如果 ( )F r 是所謂「非保守力」則做功與確實的路徑 C

有關

現考慮一質點在空間運動的位置 r 落在由曲線 C

描述的路徑則質點的位移元素與曲線 C 的路徑元

素相同 d dr= 若空間有向量場 A 分佈則 A 在 C 的

路徑積分以直角座標表示為

CA drarr rarrsdotint ＝

CA d rrarr rarrsdotint ＝ ( )x y zC

A dx A dy A dz+ +int （4-95）

上式中的 x y z 的積分限由 C 決定

Ex49 2 2 2ˆ ˆ ˆA xx yy zzrarr= + + 選定一路徑 C 為曲線

2y x= 由 (000)到 (2 20)的部分求C

A dsdotint

解 ˆ ˆd xdx ydy= +∵

CA dsdotint ＝ 2 2( )

Cx dx y dy+int ＝

2 22 2

0 0x dx y dy+int int

＝ )24(32

+

或由 2y x= rArr 2ydy dx= 2 12

y dy xdxrArr =

rArrC

A dsdotint ＝2 2

0

1( )2

x x dx+int ＝2 (4 2)3

+

4-55

ex50 ˆ ˆ( )f x y z xy yx= minus Do C

f dsdotint 其中的路徑 C 為一逆時針三角

形如圖 解∵路徑全部在 x-y 平面 ˆ ˆ ˆd td xdx ydy= = +

rArrC

f dsdotint ＝ x yC

f dx f dy+int ＝C

ydx xdyminusint

由於在 C1 上 y = 0 及 dy = 0 所以 01

=intC 又由於在

C3 上 x = 0 及 dx =0所以 03

=intC 所以只剩下 C2 可

能有貢獻由 2C 的方程式x + y =1rArr ⎩⎨⎧

minus=minus=

xyyx

11

rArr2Cydx xdyminusint ＝

0 1

1 0(1 ) (1 )x dx y dyminus minus minusint int ＝

0 12 2

1 0

( ) ( )2 2x yx yminus minus minus ＝-1

Cf dsdotint ＝-1

ex51 ( )f x y zrarr

= 2ˆ ˆxx yxyminus 如右圖doC

f dsdotint 其

中路徑 C 為第一象限的逆時針 14 圓弧

解∵ 全部在 x-y 平面 ˆ ˆd xdx ydy= +

Cf dsdotint ＝ 2

Cx dx xydyminusint

由於在 C 上 cosx R ϕ= rArr sindx R dϕ ϕ= minus

siny R ϕ= rArr cosdy R dϕ ϕ=

rArr 2

Cx dx xydyminusint ＝

2 2 2 2

0cos ( sin ) sin cos cosR R d R R d

πϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕminus minus sdotint

23 2

02 cos sinR d

πϕ ϕ ϕ= minus int ＝

323Rminus

又路徑為圓周一部份所以適合用極座標表示

ˆd Rdϕ ϕ= 又由左圖將 ˆ ˆx y 拆解（投影）到 ˆˆr ϕ

ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆcos sin sin cosx r y rϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ= minus = +

4-56

( )2ˆ ˆ ˆˆ ˆ( cos sin ) ( sin cos )C C

f d r x r xy Rdϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕsdot = minus minus + sdotint int 2

2 2 2

0

sin (cos )

sin ( cos ) (cos ) cos sin

Cx Rd xyRd

R Rd R Rdπ

ϕ ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ

= minus minus

= minus minus

intint

23 2

02 cos sinR d

πϕ ϕ ϕ= minus int ＝

323Rminus

這也驗證了散度定理

Path Independence 路徑獨立性

Ex52 證明庫倫力為「保守力」考慮

電荷 q0 位於原點及電荷 q 位於

( )r x y zrarr= q 受力 F

rarr＝ 0

20

14

qq urπε

and

求庫侖力作功因為球形對稱所以

用球座標由 ˆ ˆ ru rr

= = rArr Frarr

= 03

04qq r

rπε

庫侖力由 P1 至 P2 做功為 2

1

P

CPF drarrsdotint ＝

2

1

02

0

ˆ ˆ ˆˆ sin4

P

PC

qq r rdr rd r dr

θ θ ϕ θ ϕπε

⎡ ⎤sdot + +⎣ ⎦int ＝2

1

02

04P

P

qq drrπεint

＝20

2104

r

r

qq drrπε int ＝ 0

0 1 2

1 1( )4qq

r rπεminus for all C

所以庫侖力兩點間做功與路徑無關rArr保守力

對於「保守力 conservative force」 cF 自 p1 經

由兩條不同的路徑 C1 與 C2 到達 p2

1 ccF drarrsdotint ＝

2 ccF drarrsdotint ＝-

2 ccF drarr

minussdotint

rArr1 2c cc cF d F drarr rarr

minussdot + sdotint int = cF d

rarrsdotint ＝0 (4-96）

對於任何「封閉路徑」保守力做功為 0反之若

對任一封閉路徑 0F drarrsdot neint 則兩點之間的做功與路徑有關

rarr

F 為「非

保守力」

4-57

旋度 curl Anablatimes 的幾何物理意義

我們在（4-70）式已經看過旋度的計算方式但旋度另有其意義的

ex53 給定向量場2 2

0ˆ yv yv e λrarr

minus= 左圖為場的分佈

2 20

ˆ ˆ ˆ

0 0x y z

y

x y zcurl v

v e λ

rarr

minus

= part part part ＝ ˆ ˆ ˆ0 0 0 0x y zsdot minus sdot + sdot =

我們用了簡寫 x yx ypart part

part equiv part equivpart part

可以看出這個場裡沒有「漩渦」

但是有無「漩渦」有時也不是那麼明顯可以看出的請見下一個例子

Ex54 給定向量場2 2

0ˆ xv yv e λrarr

minus= 計算其旋度 vnablatimes

解向量場 vrarr

畫在右邊你看得出有無漩渦

先計算旋度

2 20

ˆ ˆ ˆ

0 0x y z

x

x y zcurl v

v e λ

rarr

minus

= part part part2 2

2 2

0

0

ˆ

ˆ 2 0 0

x

x

z v ex

z v xe for x

λ

λ

minus

minus

part=

part

= minus ne ne

vrarr

的旋度在大部分的地方不為 0 且隨位置而不同但是你看得出這個

向量場裡有「漩渦」其實要檢驗一個向量場裡有無「漩渦」有一

個很物理的方法就是放一個小「螺旋槳」（左圖）

在場內將軸朝各個方向測試一

下如果有「漩渦」的話這個

小「螺旋槳」就會轉動右圖就是將「螺旋槳」的

軸平行於 z 軸且放在 x gt 0 的地方就可以看出左

邊的 v 場比右邊的強造成螺旋槳順時針轉動rArrcurlv zminus for x gt 0

但如果放在 x = 0 的地方就會看到左右兩端的 v 場強度相同而且

4-58

curlv = 0 「螺旋槳」放在 x lt 0 的地方就可以看出右邊的v 場比左

邊的強造成螺旋槳逆時針轉動這完全符合 curl v k+ 的結果

環路積分與旋度 curl 的物理意義

如同「散度」一樣「旋度」除了 Ftimesnabla 之外

還有一個物理意義更清楚的定義這個定義由

「線積分」說明如圖考慮做「逆時針」長方形

路徑 C1 的一個「環路積分」C1 面平行於 x-y 平

面由 z-軸看下去環路 C1 可以分為可以分為

下 CB上 CT右 CR左 CL 4 部分

CA drarrsdotint ＝

B T L RC C C CA d A d A d A drarr rarr rarr rarrsdot + sdot + sdot + sdotint int int int

分別計算由於 CB 的中點座標為 ( )2yx y zΔ

minus

ˆB BC C

A d A xdxrarr rarrsdot = sdot =int int

BxC

A dxint ( )2xyA x y z xΔ

asymp minus Δ

similarly 由於 CT 的中點座標為 ( )2yx y zΔ

+

ˆ( )T TC C

A d A xdxrarr rarrsdot = sdot minus =int int

TxC

A dxminusint ( )2xyA x y z xΔ

asymp minus + Δ

合併 CB 與 CT

B TC CA drarr

+sdot =int

( ) ( )2 2x xy yA x y z A x y z

x yy

Δ Δ⎡ ⎤minus + minus minus⎢ ⎥⎣ ⎦ Δ ΔΔ

（4-97）

由 C1 所圍的面積 S x yΔ = Δ Δ

1B TC C

A dS

rarr

+sdot =

Δ int( ) ( )

2 2x xy yA x y z A x y z

y

Δ Δ⎡ ⎤minus + minus minus⎢ ⎥⎣ ⎦Δ

（4-98）

所以當取極限 C1 收縮到中心(xyz)時 SΔ 收縮到 0ie

4-59

0limsΔ rarr

1B TC C

A dS

rarr

+sdot =

Δ int xAy

partminuspart

（4-99）

Similarly with CR 的 ˆd ydy= CL 的 ˆd ydy= minus 可得

1L RC C

A dS

rarr

+sdot =

Δ int x

zyxxFzyxxF yy

Δ

Δminusminus

Δ+ )

2()

2(

（4-100）

同樣的當取極限 C1 收縮到中心(xyz)時 SΔ 收縮到 0

0

limsΔ rarr

1L RC C

A dS

rarr

+sdot =

Δ int yAx

partpart

（4-101）

最後合併 CBCTCRCL 為 C1

10

1limCs

A ds

rarr

Δ rarrsdot =

Δ int y xA Ax y

part partminus

part partˆ ( ) ( )zz A A= sdot nablatimes = nablatimes （4-102）

注意 C1 的方向就是在 z 上式的重要

意義是當向量場 A 在一個以點(xyz)為

中心「方向為 z 」的面積元素的「邊界」

所做的環路積分得到的就是 A 在(xyz)

處旋度的 z-分量明顯的只有當 A 在

(xyz)附近有 x-y 平面上的「漩渦」那麼 C1 的環路積分才不會為 0

Similarly 取一個逆時針繞著(xyz)的平行於 x-z 平面的長方形環路 C2

（左圖）做環路積分再取極限將 C2 收縮到(xyz)就會得到

20

1limCs

A ds

rarr

Δ rarrsdot =

Δ int x zA Az x

part partminus

part partˆ ( ) ( )yy A A= sdot nablatimes = nablatimes （4-103）

注意到 C2 所包圍的面積方向就在 y到

現在我們應該已經很有經驗了若取一

個逆時針繞著(xyz)的平行於 y-z 平面

的長方形環路 C3（左圖）做環路積分

再取極限將 C3 收縮到(xyz)就會得到

4-60

30

1limCs

A ds

rarr

Δ rarrsdot =

Δ int yz AAy z

partpartminus

part partˆ ( ) ( )xx A A= sdot nablatimes = nablatimes （4-104）

能把（4-103）與（4-104）變出來的同學我們有優待綜合以上

我們可以得到一個結論若取一個以點(xyz)為中心的任意環路 Cn（其

所包圍的面積方向在 n ）則

n curl Aand rarrsdot ＝

0

1lims

Cn

A ds

rarr

Δ rarrsdot

Δ int （4-105）

明顯的當 n ＝ x 或 y 或 z 時我們可以重複（4-102）到（4-104）的

結果（4-70）式的行列式所定義的旋度在此看見其幾何物理意義

至此「旋度」的「漩渦」形象應該已經很清楚了只有在(xyz)點附

近的小圈圈上有「漩渦」 A 在小圈圈做的環路積分才會有值這個

值就是向量場 A 的「旋度」在小圈圈面積方向的分量

Stokersquos 定理

考慮一個開放面 S被其「有方向的」邊界 C 圈住(bounded by)則

( )S

A dsrarr rarrnablatimes sdotint ＝

C

A drarrsdotint （4-106）

pf 先將 S 面分割為 N 個多邊形這會使得邊界變成一個「折線」形

成的環路 P環路 P 會隨著分割的多邊形個數的增多而越加近似於原

「光滑的」邊界 C現考慮相鄰的

兩個多邊形的線積分由於共用邊

的方向是相反的所以相鄰兩個多

邊形線積分的和只剩「外邊界」（見左圖）所以當把所有的多邊形的

4-61

線積分加起來時由於只有邊界 P 不是多邊形的共用邊所以

1k

N

k C

A drarr

=

sdotsum int ＝P

A drarrsdotint rArr

P

A drarrsdotint ＝

1

1

k

N

kk k C

A d l ss

rarr rarr

=

⎡ ⎤sdot Δ⎢ ⎥

Δ⎢ ⎥⎣ ⎦sum int

其中 ksΔ 為第 k 個多邊形的面積取極限 0kN srarrinfinrArrΔ rarr P CrArr rarr

C

A drarrsdotint ＝

10

1limkk

N

kN k k Cs

A d ss

rarr

rarrinfin=Δ rarr

⎡ ⎤sdot Δ⎢ ⎥

Δ⎢ ⎥⎣ ⎦sum int 01

ˆlim ( )k

k kskn A s

infin

Δ rarr=

⎡ ⎤= sdot nablatimes Δ⎣ ⎦sum

01

ˆlim ( )k

k kskA n s

infin

Δ rarr=

= nablatimes sdot Δsum = ( )S

A dsrarr

nablatimes sdotint QED

ex55 由 Amperersquos law 的積分形式導出其微分形式

解Amperersquos law 的積分形式 C

B drarrsdotint ＝ I0μ (4-107)

由 Stokersquos 定理及電流密度 j 的定義上式等號兩端可寫為

rArr ( )S

B dsrarr rarrnablatimes sdotint ＝ 0 S

j dsμrarrsdotint

由於上面的等式對任意面 S（路徑 C）都成立所以被積函數相等

0B jμrarr rarr rarr

rArrnablatimes = (4-108) 此即 Amperersquos law 的微分形式

Ex56 Given a vector field ˆ ˆx yA ye xe= minus + (a) Find Anablatimes

解

ˆ ˆ ˆˆ ˆ(1 ( 1) 2

0x y z

x y zA z z

y xnablatimes = part part part = minus minus =

minus

(b)如圖一個金字塔狀的 5 面體高 2底邊長＝1計算 ( )S

A dsnablatimes sdotint

其中 S 為金字塔在 x-y 平面以上的部分方向如同

封閉的金字塔（運用 Stokersquos law）

解金字塔上表面的面積元素ds 不好寫由 Stokersquos

4-62

law ( )S

A dsrarr rarrnablatimes sdotint ＝

C

A drarrsdotint 其中封閉路徑 C 就是上表面的邊界而且

是逆時針（由 z 軸向下看）

C

A drarrsdotint ＝

1 1 0 0

0 0 1 1ˆ ˆ ˆ ˆA xdx A ydy A xdx A ydysdot + sdot + sdot + sdotint int int int

＝1 1 0 0

0 0 1 1x y x yA dx A dy A dx A dy+ + +int int int int 1 1 0 0

0 0 1 1( 0) ( 1) ( 1) ( 0)y dx x dy y dx x dy= minus = + = + minus = + =int int int int

0 1 1 0 2 ( ) 2S

A ds= + + + = rArr nablatimes sdot =int

旋度與 path independence

已知保守場 cF 對所有封閉路徑 C 0cC

F drarrsdot =int 由 Stokersquos 定理

0cC

F drarrsdot =int ＝ ( )cS

F dsrarr rarrnablatimes sdotint rArr 0cF

rarr rarrnablatimes =

這表示保守場＝無旋度反之無旋度的場任兩點間路徑積分與路

徑無關

Ex57 Given a field 2 2ˆ ˆ ˆ2A x xy yx zz= + minus (a) Find Anablatimes A 保守場

解2 2

ˆ ˆ ˆ

2x y z

x y zA

xy x znablatimes = part part part

minus

( ) ( ) ( )2 2 2 2ˆ ˆ ˆ( ) 2 ( ) 2 0y z z x x yx z x y xy z z x xy= part minus minuspart + part minuspart minus + part minuspart =

yes A =保守場

(b)如左圖由 A 到 B 做路徑積分A BC

A drarr

sdotint 路徑 C 為橢圓

22 1

16yx + = 在 x-軸以上的部分

解橢圓部分的路徑元素 d 有點麻煩但因為 A

為保守場所以 A 到 B 做路徑積分可以用 x = -1 到

1 的積分取代

4-63

01 1 1

1 1 1ˆ 2 0

yB

xAA d A xdx A dx xydx

=

minus minus minussdot = sdot = = =int int int int

∵

旋度在柱座標與球座標

前面討論過nabla在不同座標系的寫法旋度也有歸納出的一致寫法

座標 1 2 3 u u u

度量係數

1 2 3 h h h

nabla grad del

直角 x y z

1 1 1 nabla ˆ ˆ ˆx y z

x y zpart part part

equiv + +part part part

圓柱 zρ ϕ

1 1ρ

1ˆ ˆ ˆ zz

ρ ϕρ ρ ϕpart part part

nabla equiv + +part part part

球 r θ ϕ

1 sinr r θ

1 1ˆ ˆˆ sin

rr r r

θ ϕθ θ ϕ

part part partnabla = + +

part part part

所以柱座標與球座標的旋度分別表為

柱座標

ˆ ˆ ˆ1

z

z

Az

AA Aρ ϕ

ρ ρϕ

ρ ρ ϕρ

part part partnablatimes =

part part part （4-109）

球座標 2

ˆ ˆˆ sin1sin

sinr

r r r

Ar r

A rA r Aθ ϕ

θ θϕ

θ θ ϕθ

part part partnablatimes =

part part part （4-110）

ex58 (a) Given the vector function ˆA ϕ= sin (ϕ 2) find Anablatimes

解 2

ˆ ˆˆ sin1sin

0 sin( 2) 0

r r r

Ar r

r

θ θϕ

θ θ ϕϕ

part part partnablatimes =

part part part

4-64

21 ˆˆ cos sin sinsin 2 2 2

rr rr

ϕ ϕθϕθ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

ˆˆ cos sin2 sin 2 2

rr r

ϕ ϕ ϕθ

minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

(b)如左圖一個底面在 x-y 平面半徑＝1高＝2 之圓錐 求面積分

SA dsnablatimes sdotint 面積範圍 S 為圓錐在 x-y 平面以上

部分 方向為由圓錐內向外

解由 Stokersquos law ( )S

A dsrarr rarrnablatimes sdotint ＝

C

A drarrsdotint 其中路

徑 C 為 x-y 平面圓心在原點之單位圓 ˆ ˆd rd dϕ ϕ ϕ ϕ= =

2

0ˆ ˆsin sin

2 2C

d dπϕ ϕϕ ϕ ϕ ϕ⎛ ⎞ ⎛ ⎞sdot =⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠int int ( )0

2 sin u duπ

= int 0cos | 2u π= minus =

習題 16 磁場 B 因為不是保守場所以沒有對應的純量位而對應一

個向量位 A (vector potential)而 B A= nablatimes 一個磁鐵的磁偶極矩

ˆm mz= 被置於原點已知在遠處的 vector potential 03ˆ sin

4mAr

μϕ θπ

=

計算該處的磁場 B Ans 03

ˆˆ( 2cos sin )4

mB rr

μ θ θ θπ

= + 與電偶極遠處

的電場形式一致都是偶極(dipole) 選幾個點畫一畫該處的場向量

把磁力線描出來

附錄本章講義的內容有部分可以經由直接計算得出列在附錄做為

參考

用「圓柱座標」寫 Atimesnabla

Ararr rarrnablatimes ＝ ( )1ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ zz A A zA

z ρ φρ ϕ ρ ϕρ ρ ϕpart part part⎛ ⎞+ + times + +⎜ ⎟part part part⎝ ⎠

4-65

因為rdquo sdotrdquo與rdquotimes rdquo都是向量間的運算所以

＝ ( )ˆ ˆ ˆ ˆ zA A zAρ φρ ρ ϕρpart

times + +part

＋ ( )1ˆ ˆ ˆ ˆ zA A zAρ φϕ ρ ϕρ ϕ

parttimes + +

part

＋ ( )ˆ ˆˆ ˆ zz A A zAz ρ φρ ϕpart

times + +part

直接做上式微分可以得到

＝1ˆ z AA

zϕρ

ρ ϕpart⎛ ⎞part

minus⎜ ⎟part part⎝ ⎠＋ ˆ zA A

zρϕ

ρpart⎛ ⎞part

minus⎜ ⎟part part⎝ ⎠＋

1 1ˆ ( )A

z A ρϕρ

ρ ρ ρ ϕpart⎛ ⎞part

minus⎜ ⎟part part⎝ ⎠

上式可以用一個行列式來表示

rarrrarr

timesnabla A＝

ˆ ˆ ˆ1

z

z

zA A Aρ ϕ

ρ ρϕ

ρ ρ ϕρ

part part partpart part part

（A-1）

A and Anabla nablasdot nablatimes in 球座標 spherical coordinate

如上圖球座標 )( ϕθr 其中 )0[ infinisinr ]0[ πθ isin ]20[ πϕ isin 只有 r

是長度而 ϕθ 為角度是用來說明方向的三個座標的單位向量 ˆ ˆˆ r θ ϕ 具

有下列性質

4-66

1 如上圖 ˆ ˆˆ r θ ϕ 都不是常數而是（ ϕθ ）的函數

ˆ ˆ( )ˆ ˆ( )ˆ ˆ( )

r r θ ϕ

θ θ θ ϕϕ ϕ ϕ

⎧ =⎪

=⎨⎪ =⎩

)( ϕθr 與(xyz)之間的轉換如下

sin cossin sincos

x ry rz r

θ φθ φθ

=⎧⎪ =⎨⎪ =⎩

( )122 2 2

2 2

tan

tan

r x y z

x yz

yx

θ

φ

⎧ = + +⎪⎪ +⎪ =⎨⎪⎪ =⎪⎩

（A-2）

2 ˆ ˆˆ r θ ϕ 形成一「歸一正交集」ie

ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ 1r r θ θ ϕ ϕsdot = sdot = sdot = ˆ ˆr θ ϕperp perp

ˆ ˆr θ ϕtimes = ˆ ˆ rθ ϕtimes = ˆˆ rϕ θtimes = （A-3）

3可以很容易的由他們在 xyz 軸上的投影由直角

座標的 ˆ ˆ ˆ x y z 表出

ˆ ˆ ˆ ˆsin cos sin sin cos ( 4 )ˆ ˆ ˆ ˆcos cos cos sin sin ( 4 )ˆ ˆ ˆsin cos ( 4 )

r x y z A a

x y z A bx y A c

θ φ θ φ θ

θ θ φ θ φ θϕ φ φ

= + + minus⎧⎪

= + minus minus⎨⎪ = minus + minus⎩

4 ˆdr = 由於 ˆ ˆ( )r r θ φ= 所以由 ϕθ 的變動來看

4-67

ˆ ˆˆ| |ˆ ˆˆ| | sin sin

d r d d

d r d d

θ θθ θθ

φ θ φφ θ φφ

⎧ rArr =⎪⎨

rArr =⎪⎩rArr ˆ ˆˆ sindr d dθ θ φ θ φ= + （A-5）

rArrˆ ˆr θθpart

=part

ˆ ˆsinr θφφpart

=part

（A-6）

（A-6）的結果也可以直接由（A-4a）對 ϕθ 偏微得到

5 ˆdθ ＝ 由於 ˆ ˆ( )θ θ θ φ= 所以由 ϕθ 的變動來看

ˆ ˆ ˆ| | ( )ˆ ˆ ˆ| | cos cos

d d r d r

d d d

θ θ θ θ

φ θ θ φφ φ θ φ

⎧ rArr minus = minus⎪⎨

rArr =⎪⎩rArr ˆdθ ＝ ˆˆ cosrd dθ φ θ φminus + （A-7）

ˆrθ

θpart

rArr = minuspart

ˆ ˆcosθ φ θφpart

=part

（A-8）

請直接由（A-4b）對 ϕθ 偏微的結果 check（A-8）

6 ˆdφ ＝由於φ )(ϕ 躺在 x-y 平面上變動φ時的方向可能不是那麼

容易看出來所以做圖看一看

ie ˆ ˆˆ(sin ) (cos )d r d dφ θ φ θ θ φ= minus minus （A-9）

4-68

ˆ ˆˆsin cosrφ θ θ θφpart

= minus minuspart

7 所有的向量 ˆ ˆˆ rA rA A Aθ φθ φrarr= + +

8 位置向量 ˆr rrrarr=

可以由左圖 ˆ ˆˆ r θ ϕ 三個方向的「長度

變化」輕易的看出

9 位移元素

ˆ ˆˆ ˆ sindr rdr rd dθ θ ϕ θ φ= + + (A-10)

10 體積元素

sindv dr r d rdθ φ θ= sdot sdot

＝ 2 sinr dr d dθ θ φ (A-11)

11 面積元素 2 sinrds r d dθ θ φ= plusmn sinds r drdθ θ φ= plusmn ds rdrdφ θ= plusmn (A-12)

plusmn號表示面的垂直方向有兩個端看 ds 周邊的方向是如何定的

nabladel 考慮 ( )u u r θ φ=

rArru u udu dr d dr

θ φθ φ

part part part= + +part part part

u d rrarr rarr

equiv nabla sdot

urarr

= nabla sdot ˆ ˆˆ( sin )rdr rd dθ θ φ θ φ+ +

rArr1 1ˆ ˆˆ

sinu u uu rr r r

θ ϕθ θ φ

rarr part part partnabla = + +

part part part

1 1ˆ ˆˆsin

rr r r

θ ϕθ θ φ

rarr part part partnabla equiv + +

part part part （A-13）

4-69

直接用（A-13）與 ˆ ˆˆ rA rA A Aθ φθ ϕrarr= + + 逐項內積加上（A-678）

rArr ϕθ

θθθ

ϕθ part

part+

partpart

+partpart

=sdotnablararrrarr A

rA

rAr

rrA r sin

1)(sinsin1)(1 2

2 （A-14）

（A-13）與 ϕθ ϕθ AAArA r

andandandrarr

++= 逐項外積整理之後

ϕθ θϕθ

ϕθθ

θArrAA

r

rrr

rA

r sin

sin

sin1

2 partpart

partpart

partpart

=timesnabla

andandand

rarrrarr

（A-15）

Laplacian uu nablasdotnabla=nabla2

2

2

2222

22

sin1)(sin

sin1)(1

ϕθθθ

θθ partpart

+partpart

partpart

+partpart

partpart

=nablau

ru

rrur

rru （A-16）

B推導「散度」在圓柱座標的寫法

讓我們先回顧一下在直角座標裡的「面積元素」可以由「位移元素」

得到

ˆˆ ˆ x y zdr idx jdy kdz da dydz dxdz dxdy= + + rArr =

比照辦理「圓柱座標」的位移元素

( )ˆˆ ˆ( )

( )z

da d dzdr d d zdz da d dz

da d d

ρ

φ

ρ φ

ρ ρ φ ρ φ ρ

ρ ρ φ

=⎧⎪= + + rArr =⎨⎪ =⎩

這個結論可以輕易的由面積元素在垂直於 zˆˆ ϕρ 三個方向的面積看

出如下圖考慮一個以 )( zϕρ 為中心的「圓柱體積元素」(cylindrical

cubiod)體積為 zdV ΔΔ=Δ ϕρρ 現計算在 ρ

方向的 12 兩個平行面(方向各為 ρplusmn )的通

量

4-70

zzF

dsFdsnFS S

ΔΔ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

+cong

=sdotintint intintϕρρϕρρρ

ρ

2

2

ˆ1 1

zzF

dsFdsnFS S

ΔΔ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

minus⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

minusminuscong

minus=sdotintint intintϕρρϕρρρ

ρ

2

2

ˆ2 2

intint+

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

minus⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

minusminus⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

+Δ

asympsdotΔ

rArr21

22

22

1ˆ1

SS

zFzFdsnFV

ϕρρρρϕρρρρρρ ρρ

( ) ( )

1 20

0

0

1 ˆlim

1lim 2 2 2 2

1 1lim 2 2

1

VS S

F ndsV

F z F z

F z F z

F

ρ ρρ

ρ ρρ

ρ

ρ ρ ρ ρρ ρ φ ρ ρ φρ ρ

ρ ρρ ρ φ ρ ρ φρ ρ

ρρ ρ

Δ rarr+

Δ rarr

Δ rarr

rArr sdotΔ

Δ Δ Δ Δ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + + minus minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥Δ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦Δ Δ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥Δ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

part ⎡ ⎤= ⎣ ⎦part

intint

娛樂一下用上述方式把圓柱的 Fsdotnabla 裡的z

FF z

partpart

+partϕρϕ1

變出來

球座標的nabla和 Fsdotnabla 也可以試試看

補充習題

H M Scheydiv grad curl and all that 4th edition

第二章習題 6 8 9 10 11 14 15 16 18 19 21 22 23 25 26 27

第三章習題 2 3 5 6 7 8 9 10 11 14 15 17 18 19 24

4-22

i i id h duequiv (4-52)

其 中 hi 稱 為 座 標 ui 的 度 量 係 數 (metric

coefficient)由 zρ 的因次為長度所以 zρ 的變

化 d dzρ 就是長度的變化所以 1 1zh hρ = =

然而ϕ 的變化造成的長度變化為

d d hϕ ϕρ ϕ ρ= rArr = (4-53)

很明顯的直角座標 xyz 都是長度所以度量係數 1x y zh h h= = =

(C) 球座標 spherical coordinates

3D 點 P(x y z)的位置向量 ˆ ˆ ˆr xx yy zz= + + 定義

「圓柱座標」 )( ϕθr 其中

[0 ] [0 ]

[02 ]

r P rr zr x y x

θ θ πϕ

ϕ π

⎧ equiv isin infin⎪

equiv isin⎪⎨

equiv minus⎪⎪ isin⎩

原點到 的距離

與 軸的夾角

在 軸投影與 軸的夾角

球座標的ϕ 與住座標的ϕ 相同

( )r θ ϕ 與(x y z)間的轉換如下下列為（4-54）

2 2 2

2 2 2

sin coscos sin sin

cos

tan

r x y zx r

z y rx y z z r

yx

θ ϕθ θ ϕ

θ

ϕ

⎧⎪ = + +⎪ =⎧⎪ ⎪= =⎨ ⎨

+ +⎪ ⎪ =⎩⎪⎪ =⎩

三個座標的單位向量 )ˆˆˆ( ϕθr 如左圖一可以看

出 r 的等值面是一個球面θ 的等值面為一個

以原點為頂點的圓錐ϕ 的等值面為一扇門

位置向量 ˆr rr= （4-55）

4-23

位移由 ˆ ˆˆ( )r θ ϕ 3 個方向的「長度

分量」可得 ˆ ˆˆ ( ) ( sin )dr rdr rd r dθ θ ϕ θ ϕ= + +

（4-56）

所以體積元素

2

( )( sin )(sin )

d dr rd r dr dr d d

τ θ θ ϕ

θ θ ϕ

=

= （4-57）

Fig 31 和 Fig 27 一樣重要只要

你能畫得出來就可以寫出球座

標位移的三個分量

ex21 求一半徑 R 的球體積 2

2 2 3

0 0 0

4sin sin3

R

V d r dr d d r dr d d Rπ π

τ θ θ ϕ θ θ ϕ π= = = =int intintint int int int

ex22 求一質量 M半徑 R密度 ( )3 4 3M Rρ π= 的實心球對直徑

旋轉的轉動慣量

解質量元素 2 sindm d r dr d dρ τ ρ θ θ ϕ= = 到 z 軸的垂直距離為 sinr θ=

22 4 3

0 0 0

5 52

sin

4 8 225 3 15 5

RI dm r dr d d

R R MR

π πρ θ θ φ

πρ π ρ

= =

= sdot sdot = =

intintint int int int

娛樂一下空心球對直徑的轉動慣量

(4-46)式與(4-54)式說明柱座標和球座標與直角座標之間的轉

換Fig 32 可得出柱座標和球座標之間轉換

2 2

sintan

cos

r zr

zz r

ρρ θ

ρϕ ϕ θθ ϕ ϕ

⎧ = += ⎪⎧

⎪ ⎪= =⎨ ⎨⎪ ⎪=⎩ =⎪

⎩

（4-58）

4-24

Ex23 點 P 的球座標為（31200 600）求柱座標＝

解2 3 33sin3 2πρ ⎛ ⎞= =⎜ ⎟

⎝ ⎠

23

ϕ π= 2 33cos3 2

z π minus⎛ ⎞= =⎜ ⎟⎝ ⎠

直角座標柱座標球座標單位向量之間的轉換

三種座標之間的轉換由(4-46)式(4-54)式與（4-58）式表出但

三種座標裡的的三個單位向量 ˆ ˆ ˆ x y z ˆ ˆ ˆ zρ ϕ ˆ ˆˆ r θ ϕ 若以 123ˆ iu =

表示則單種座標的單位向量之間都有正交歸一關係

ˆ ˆi j iju u δsdot = 與外積的循環關係

ˆ ˆ ˆ i j ku u u i j ktimes = cyclic in 123

ie 1 2 3 2 3 1 3 1 2ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ u u u u u u u u utimes = times = times = or ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆˆ ˆ r z z x yθ ϕ ϕ ρtimes = times = times =

然而不同座標系的單位向量之間關係如何我們畫圖來討論

球座標 ˆ ˆˆ( )r θ ϕ rarr直角座標 ˆ ˆ ˆ( )x y z

單位向量都是用來指方向的球座標的 ˆ ˆˆ( )r θ ϕ 都是「方向角」( )θ ϕ

的函數 r 在直角座標可以由 Fig33 看出

ˆ ˆ ˆ ˆsin cos sin sin cosr x y zθ ϕ θ ϕ θ= + + （4-59）

ex24 P 點的球座標為2 75 3 6π π⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠

試用球座標與直角座標求 P 點的位

置向量的單位向量 解位置向量 ˆr rr= 在球座標只有 r-分量標位置仔細一點把方向

角標出2 7ˆ 3 6

r π π⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

通常只是寫 r 令人有點摸不著頭緒用直角

4-25

座標比較「具像」 2 7 2 7 2ˆ ˆ ˆ ˆsin cos sin sin cos3 6 3 6 3

3 3 1ˆ ˆ ˆ4 4 2

r x y z

x y z

π π π π π⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞minus minus minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + +⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

單位向量θ 在某一組 ( )θ ϕ 的指向如 Fig 34a將θ 平移至原點更清楚

Fig34b 是由側面看 Fig34a可以看到θ 在 z 軸的投影為 sinθminus 而θ 在

x-y 平面的投影為cosθ使得θ 在 x-軸的投影為cos cosθ ϕy-軸投影

為cos sinθ ϕ於是

ˆ ˆ ˆ ˆcos cos cos sin sinx y zθ θ ϕ θ ϕ θ= + minus （4-60）

單位向量ϕ 如 Fig 35a 所示是在 x-y 平面畫出

Fig 35b 為自 z 軸向下看 Fig35a 圖可以看出ϕ 在 z 軸投影為 0且

ˆ ˆ ˆsin cosx yϕ ϕ ϕ= minus + （4-61）

ex25 一個質點的速率為 2( ) ( sin tan )v r rθ ϕ θ ϕ= 若經查該質點的運

動 是 在 z = 3 平 面 做 逆 時 針 圓 周 運 動 則 當 位 置 的 方 向 角

4-26

2( ) 4 3π πθ ϕ ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

時計算其速度用球座標與直角座標表出

解圓運動速度方向是沿切線所以球座標 ˆ ˆ( )v v v rϕ θ ϕ ϕ= =

z = 34πθ =

3 3 21cos cos 24

z zrπθ

rArr = = = =⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

所以該處的瞬時速率

2 2

2( ) 3 3 4 3

2 1 813 3sin tan 3 3 ( 3)4 3 22

v r v π πθ ϕ

π π

⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

⎡ ⎤ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = times minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

2 81 2ˆ3 3 4 3 2 4 3

v r π π π πθ ϕ ϕ⎛ ⎞ ⎛ ⎞rArr = = = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

在直角座標2 2 2ˆ ˆ ˆ sin cos

4 3 3 3x yπ π π πϕ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠3 1ˆ ˆ

2 2x y= minus minus

而且點23 3

4 3π π⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠

的直角座標為

2 1 3 3sin cos 3 3sin cos 3 34 3 2 22 2

x r π πθ ϕ minus minus⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

2 3 9sin sin 3 3sin sin 3 34 3 2 2 2 2

y r π πθ ϕ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = = =⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

z = 3

23 3 4 3

v π π⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

3 3 9 81 3 1ˆ ˆ 32 2 2 2 22 2

v x y⎛ ⎞ ⎛ ⎞

rArr = minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

以上兩個例子都只討論只有一個圓座標分量的向量in general 向量

ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( )r x y zA r rA A A A r xA yA zAθ ϕθ ϕ= + + hArr = + + （4-61）

若已知球座標的分量 ( )rA A Aθ ϕ 如何得到直角座標的

( )x y zA A A

4-27

ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( )ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( )

ˆ ˆˆˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( )

x r

y r

z r

A x A r x r A x A x A

A y A r y r A y A y A

A z A r z r A z A z A

θ ϕ

θ ϕ

θ ϕ

θ ϕ

θ ϕ

θ ϕ

⎧ = sdot = sdot + sdot + sdot⎪⎪ = sdot = sdot + sdot + sdot⎨⎪

= sdot = sdot + sdot + sdot⎪⎩

（4-62）

由式（4-59）（4-61） ˆ ˆ ˆ ˆsin cos sin sin cosr x y zθ ϕ θ ϕ θ= + + （4-59） ˆ ˆ ˆ ˆcos cos cos sin sinx y zθ θ ϕ θ ϕ θ= + minus （4-60）

ˆ ˆ ˆsin cosx yϕ ϕ ϕ= minus + （4-61） ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆsin cos cos cos sin ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆsin sin cos sin cos ˆ ˆˆˆ ˆcos sin 0

x r x x

y r y y

z r z z

θ ϕ θ θ ϕ ϕ ϕ

θ ϕ θ θ ϕ ϕ ϕ

θ θ θ ϕ

⎛ ⎞sdot = sdot = sdot = minus⎜ ⎟

rArr sdot = sdot = sdot =⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟sdot = sdot = minus sdot =⎝ ⎠

（4-63）

sin cos cos cos sin sin sin cos sin cos

cos sin 0

x r r

y RS

z

A A AA A M AA A A

θ θ

ϕ ϕ

θ ϕ θ ϕ ϕ

θ ϕ θ ϕ ϕ

θ θ

⎛ ⎞minus ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟rArr = equiv⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟minus⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

（4-64）

其中 SRM 為由球座標分量轉為直角座標分量的轉換矩陣且行列式

det SRM =1 表示反矩陣存在then 1SRM minus 就是將直角座標分量轉為球座

標分量之轉換矩陣其實嚴格講 (4-64)式還不是最終的表示因為

轉換完的直角

座標應該全部以 x y z 表出這裡保留用 θ ϕ 只是為了簡潔方便

習題 2 Find 1SRM minus

習題 3 用 xyz 表出(a)sinθ (b)cosθ (c)sinϕ (d)cosϕ

Ans (a)2 2

2 2 2sin

x yx y z

θ+

=+ +

(b)2 2 2

cos zx y z

θ =+ +

(c)2 2

sin yx y

ϕ =+

(d)2 2

cos xx y

ϕ =+

習題 4 用上面結果將 SRM 用 xyz 表出

Ex26 Given a field ( )A r θ ϕ ＝ ˆ ˆˆ2 3r θ ϕ+ minus in spherical coordinates

find the field in rectangular coordinates （直角座標）

4-28

解這裡的 ( )A r θ ϕ 不因其三個分量都是常數而只是「一個」向量

而是一 vector field這是因為 ˆ ˆˆ r θ ϕ 都不是定值而與 θ ϕ 有關而如

果 ( )A r θ ϕ 表示則單位向量所對應的角度 θ ϕ 必須要標定所以

sin cos cos cos sin 2sin sin cos sin cos 3

1cos sin 0

x

y

z

AAA

θ ϕ θ ϕ ϕ

θ ϕ θ ϕ ϕ

θ θ

⎛ ⎞minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ minusminus⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

(2sin 3cos )cos sin(2sin 3cos )sin cos

2cos 3sin

x

y

z

AAA

θ θ ϕ ϕθ θ ϕ ϕ

θ θ

+ +⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟rArr = + minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟minus⎝ ⎠ ⎝ ⎠

習題 5 Draw a diagram to show in the cylindrical coordinates

(a) ˆ ˆ ˆcos sinx yρ ϕ ϕ= + (b) ˆ ˆ ˆsin cosx yϕ ϕ ϕ= minus + (c) ˆ ˆz z=

習題 6 use the above results show that 由柱座標分量轉為直角座標分

量的轉換矩陣

x

y CR

z z

A AA M AA A

ρ

ϕ

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟=⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

CRM =

2 2 2 2

2 2 2 2

0cos sin 0sin cos 0 0

0 0 10 0 1

x yx y x y

y xx y x y

ϕ ϕ

ϕ ϕ

minus⎛ ⎞⎜ ⎟+ +⎜ ⎟⎛ ⎞minus⎜ ⎟⎜ ⎟

= ⎜ ⎟⎜ ⎟+ +⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

Ex27 Express vector ˆ ˆ ˆ(3cos ) 2 5A zρ ϕ ϕ ρ= minus + in Cartesian

coordinates Specifically the A at the position of (2 2 3π -3)

解

2cos sin 0 3cos 3cos 2 sinsin cos 0 2 3cos sin 2 cos

5 50 0 1

x

y

z

AAA

ϕ ϕ ϕ ϕ ρ ϕϕ ϕ ρ ϕ ϕ ρ ϕ

⎛ ⎞minus ⎛ ⎞+⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟= minus = minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

so that A (2 2 3π -3)= 3 3 3ˆ ˆ ˆ3 3 3 54 4

x y z⎛ ⎞⎛ ⎞+ + minus +⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠注意本

題裡 z 座標並非一變數

4-29

sect 43 Fields and its properties 場與其性質

「場 field」是什麼凡是在「某個空間中每一點」都有定義的量

就是一個「場」所以「場」也稱為「點函數 point function」簡單的

說凡是「空間的函數」都是「場」如果這個「空間的函數」是一個

純量 u(xyz)那麼 u(xyz)就是一個「純量場 scalar field」例如室內

的溫度 T(xyz)一塊豬肉的密度 ( )x y zρ 大氣中的壓力 p(xyz)等

都是純量場如果這個「空間的函數」是一個向量 )( zyxA 那麼

)( zyxA 就稱為「向量場 vector field」例如空間中的電場 )( zyxE

水流中的速度場 )( zyxv 重力場 )( zyxg 等等很顯然的不論是純量

場還是向量場「場」在空間中的分佈通常未必是均勻的那麼她有

什麼性質呢例如一塊豬肉內部密度是如何變化的水流中有沒有

漩渦大氣中的等壓線是如何變化的等等那麼有沒有什麼量可以

有系統的描述各種場的分佈有我們在以下分別討論

sect 431 Gradient of scalar fields 純量場的梯度

考慮一個純量場 f(xyz)可以視為 3 個變數 xyz 的函數當變數變動為

x+dx y+dy z+dy 時造成 f 的變化

f f fdf dx dy dzx y zpart part part

= + +part part part

（4-65）

由幾何意義來看上式更為具體上式表示純量場 )(rf 基於位置的變化

r r drrarr + (或由 ( ) ( )x y z x dx y dy z dzrarr + + + )所造成 f 的變動

我們現在定義一個向量算符 vector operator nabla (or nabla )（讀做 del）

ˆ ˆ ˆx y zx y zpart part part

nabla equiv + +part part part

(4-66)

如果將 del 作用在純量場 )(rf 上將產生出現一個新的「向量場」 fnabla

稱為純量場「 )(rf 的『梯度 gradient』」

4-30

ˆ ˆ ˆ( ) f f fgrad f f x y zx y zpart part part

equiv nabla = + +part part part

（4-67）

這使得由於任意位移 ˆ ˆ ˆdr xdx ydy zdz= + + 所造成 f 的變化量

df f drrArr =nabla sdot （4-61）

ex28 Given scalar field 2( )f r xy z= and 2 2 2

1 1( )g rrx y z

= =+ +

(a) find the value of ( )f r and fnabla at point P(2 1-1) 解 2(21 1) 2 1 ( 1) 2f minus = times times minus = minus

2 2 2

2 2

ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( )

ˆ ˆ ˆ( ) ( 2 ) ( )

f x xy z y xy z z xy zx y z

x y z y x yz z xy

part part partnabla = +

part part part

= +

＋

＋

ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ(21 1) ( 1) (2 2) (2) 4f x y z x y znabla minus = minus + timesminus = minus minus＋ ＋2 (b) find the value of ( )g r and gnabla at the point P

解2

1 1(21 1)62 1 1

g minus = =+ +

2 2 2 12 2 2 2 12

2 2 2 12

ˆ ˆ( ) ( )

ˆ ( )

g x x y z y x y zx y

z x y zz

minus minus

minus

part partnabla = + + + + +

part partpart

+ +part

＋

2 2 2 32 2 2 2 32 2 2 2 32

2 2 2 32 3 2

ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( )

ˆ ˆ ˆˆ( )( )

OR OR

xx yy zzgx y z x y z x y zxx yy zz r r

x y z r r

minus minus minusrArrnabla = + +

+ + + + + +minus + + minus minus

= = =+ +

32

ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ(2 ) 2(21 1)6 6 6

x y z x y zg minus + minus minus minus +rArrnabla minus = =

由 gnabla 看到一個粉常用的結果就是

3 2

ˆ1 ORr rr r r

minus minusnabla = = （4-62）

順便比較一下

2 2 2 12 2 2 2 12 2 2 2 12

2 2 2 12

ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( )

ˆ ˆ ˆ( ) ˆ (4 63)( )

r x x y z y x y z z x y zx y zxx yy zz r r

x y z r

part part partnabla = + + + + + + +

part part part+ +

= = = minus+ +

＋

4-31

(c) what is the angle between (21 1)fnabla minus and (21 1)gnabla minus

解 (21 1)fnabla minus (21 1)gsdotnabla minus ＝（ ˆ ˆ ˆ4x y zminus minus ＋2 ） sdotˆ ˆ ˆ26 6x y zminus minus +

＝2 4 2 4

6 6 3 6+ +

= ＝ | (21 1) |fnabla minus | (21 1) |gnabla minus cosθ

＝ 34 1 1 211 16 4 cos cos

6 6θ θ+ +

+ + =

1 4 2cos 07773 7

radθ minus ⎛ ⎞= =⎜ ⎟

⎝ ⎠

要注意隨然nabla有向量的性質但是他並不是一個真的向量真

實向量 A與純量 f ( )r 的乘法滿足交換率ie ( ) ( )Af r f r A= 但是

f fnabla ne nabla因為

( )f rnabla ＝ ˆ ˆ ˆf f fx y zx y zpart part part

+ +part part part

是一個向量函數而

ˆ ˆ ˆ( )f r x y zx y z

⎛ ⎞part part part+ +⎜ ⎟part part part⎝ ⎠

是一個算符（operator）

若nabla要與向量場 A 作用由於nabla與 A 都具有向量的性質先看「內積」

ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ( )

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

x y z

x y

z

y yx xz z

A x y z xA yA zAx y z

x y z xA x y z yAx y z x y z

x y z zAx y z

A AA AA Ax x x y x zx y z x y z

⎛ ⎞part part partrArrnablasdot = + + sdot + +⎜ ⎟part part part⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞part part part part part part= + + sdot + + + sdot⎜ ⎟ ⎜ ⎟part part part part part part⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞part part part

+ + + sdot⎜ ⎟part part part⎝ ⎠part partpart partpart part

= sdot + sdot + sdot + sdotsdot sdot = + +part part part part part part

yx zAA AAx y z

partpart partnablasdot = + +

part part part (4-64)

上式中的 Anablasdot 是向量場 A 的一個重要的性質稱為 A 的「散度」詳

細的內容在後面會仔細討論這裡引進 Anablasdot 主要是要表明nabla是個「算

符」表示一個運算不是一個真實的向量只是在「直角座標」裡

4-32

因為單位向量 ˆ ˆ ˆ x y z 是常數不受微分的作用以致nabla表現得好像也

是個一般的向量一樣事實上真實向量和nabla間的「內積」就不滿足交

換率

x y zA A A A an operator Ax y zpart part part

sdotnabla = + + = ne nablasdotpart part part

(4-65)

這也使得任意向量場 ( )A r 因位置變動 r r drrarr + 而產生的變化由於

)( zyxA 也是 3 個變數 xyz 的函數可以寫為

( )A A AdA dx dy dz dr Ax y z

part part part= + + = sdotnabla

part part part （4-66）

ex29 (a)Given field 2ˆ ˆ ˆ2A xxy y x zyz= minus + find Anablasdot at point (1-12)

解2( ) (2 ) ( ) 2xy x yzA y yz

x y zpart part part

nablasdot = + + = +part part part

(1 12)1 2( 1)2 3A

minusnabla sdot = minus + minus =

(b) find rnablasdot 解 rnablasdot = 3x y zx y zpart part part

+ + =part part part

梯度的意義

由（4-67）可以看到「f 的梯度 fnabla 」

是一個由「純量場 f」衍生出的向量

場由（4-26）也可以看出 fnabla 扮演類

似「變化率」的角色

空間中將相同值 f ( )r ＝f1 的點連

起來就得到一個 f ( )r ＝f1 的「等值面」如 Fig36考慮純量場 f( r )的

相鄰兩個等值面各對應定值 1f f= 與 1f f df= + 0df gt P1 點在 f1

等值面上相鄰兩點 P2P3 在 1f df+ 等值面上而向量 1 2 ˆnP P dn e dn= =

過 P1 點垂直於 f1 等值面 1 3 ˆP P d e d= = 與 ˆne dn夾角為α 由於不

論 1 2P Prarr 或 1 3P Prarr f 的變化量都是 df 但因距離 dn 係兩等值面最

4-33

短的距離d dngt 所以 1 2P Prarr 或 1 3P Prarr 造成的「變化率」df dfdn d

gt

而過 P1 點的最大變化率為dfdn

換言之向量 ˆndfedn

為過 P1 點垂直於

f1 等值面且指向最大「增加率」的方向 現在要證明

ˆndfe fdn

= nabla （4-67）

考慮 1 3P Prarr 造成的 f 值的變化率

ˆ ˆcos n ldf df dn df df e edl dn dl dn dn

α= = = sdot

ˆ ˆ ˆn l ndf dfdf e e dl e dldn dn

rArr = sdot = sdot

和（4-61）式df f dr= nabla sdot 相比即可得證 ˆndfe fdn

= nabla 所以可以知道

空間純量場 f ( )r 中任一點處的向量 fnabla 必「垂直」於「通過該點的 f的等值面」且指向 f 值最大「增加率」的方向| ( )f rnabla |就是 f 在 r 點

的最大增長率可以進一步定義等值面的「法線 normal」方向為

ˆ fnf

nabla=nabla

（4-68）

結論給定一個純量場 f( r )在每一點 r 可以定義一個稱做「梯度」

的向量 fnabla fnabla 垂直於過 r 點的 f 等值面且指向最 f 大增加率的方向

fnabla 的方向也定義了 f 等值面的法線方向

Ex30 考慮一個 2D 的 scalar field 2( )f x y y x= minus 計算該場在 )20( 的梯度與

法線方向

解 ˆ ˆ ˆ ˆ2f ff x y x yyx ypart part

nabla = + = minus +part part

ˆ ˆ(0 2) 2 2f i jnabla = minus + ˆ ˆ ˆ ˆ2 2 2 2ˆ(0 2)

31 8i j i jn minus + minus +

rArr = =+

4-34

ex31 點電荷 q 置於原點其產生電位為 ( ) qV rr

= 求負梯度qr

minusnabla

解 3

2 2 2 22 2 2

2 ( )2

q q q q x x y zr x rx y z

minuspart minus= rArr = sdot + +

part+ +

3 23

ˆˆ ˆ ˆ( )q ix jy kz r rq q qr r r r

minus + +rArr minusnabla = minus = = （點電荷的電場）

0 0

1 1 r r

noter r= =

nabla rarrinfin rarrinfin∵ 是不定值是因為 r = 0 處為最大值

「增加率」的方向無法確定

ex32 置一熱源於原點空間溫度分佈為1( )

( 2)T r

r=

+求溫度的梯度

解 2 2 2

ˆ( ) ( )( 2) ( 2) ( 2)

x rT r rr rT r

x r r r

minuspart minus

= rArrnabla = =part + + +

此處的負號表示梯

度指向熱源因為距熱源越遠溫度越低 ( 0)note T rnabla = 為不定值

因在最頂點「增加率」的方向無法確定

Ex33 地圖上山脈的等高線上各點的垂直方向由梯度決定現有一座

山是橢球 2)1(4 222 =+++ zyx 在 x-y 平面上方的

部分求地圖上這座山等高線的梯度

解 山高 142 22 minusminusminus== yxzh 所以等高線為橢

圓 222 )1(24 +minus=+ hyx 梯度

( ) ( ) ( )2 2 2 2

2 2

ˆ ˆ4ˆ ˆ2 4 1 2 4 1

2 4

xx y yh x x y y x y

x y x y

minus +part partnabla = minus minus minus + minus minus minus =

part part minus minus

所以自山腳（h=0）登山若由(012)開始 ˆ(01 2) 2h ynabla = minus 但若由

)02(minus 開始爬山 ˆ( 20) 2h xnabla minus = 可見 )02()210( minusnablagtnabla hh 這表

示由 y-軸登山山勢較陡所以「梯度」比由 x-軸登山為大這也更

清楚瞭解「梯度」的幾何意義

4-35

sect 432 Divergence 散度與 Curl 旋度

在(4-66) 我們建立了一個直角座標 vector operator 「del」

ˆ ˆ ˆx y zx y zpart part part

nabla equiv + +part part part

(4-66)

若與向量場 A 做「內積」與「外積」就建構了 A 的「散度」與「旋度」

散度 A A scalaryx zAA Adiv ax y z

partpart partequiv nabla sdot = + + =

part part part （4-69）

旋度

y yz x z x

ˆ ˆ ˆ y z A vector

A AA A A Aˆ ˆ ˆxy z z x x y

x y z

x y z

xcurl A a

A A A

y z

⎧⎪

= nablatimes = part part part =⎪⎪⎨⎪

part part⎛ ⎞ ⎛ ⎞part part part part⎛ ⎞⎪ = minus + minus + minus⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎪ part part part part part part⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎩

(4-70)

這裡定義的只是「散度」與「旋度」所謂「操作型的定義」告訴我

們如何計算的式子事實上她們都具有重要的物理意義我們在後面

會討論

ex34 ˆ ˆA xy yx= minus 求其散度與旋度

解 0 0y xAx ypart part

nablasdot = minus + =part part

ˆ ˆ ˆ y zˆ ˆ ˆ ˆ 0 0 ( 2) 2

0 x y z

xA x y z z

y xnablatimes = part part part = minus + minus = minus

minus

右圖示意了本向量場的分佈看得出像個漩渦也看到算出的旋度

0ne 看來旋度表現的應該是向量場「旋轉的程度」事實上我們在

後面會看到「旋度」表現的就是是向量場在空間各點「旋轉的程度」

本題的向量場在每一點的旋轉程度都一樣

4-36

Ex35 ( )ˆ ˆ ˆ A xx yy zz r= + + = 求其散度與旋度

解 3A rnablasdot = nablasdot = ˆ ˆ ˆ y z

0

x y z

xA

x y znablatimes = part part part =

由場分佈的示意圖可以看出本向量場是自原點向外射出好似在原

點有一個場線的「源頭 source」但是 3Anablasdot = 為一個常數表示好像到

處都有 source同時旋度為 0 也可以配合本場並無旋轉的形象事實

上「散度」表現的就是是向量場在空間各點產生「場線」的 source

記得靜電學裡的庫倫定律 0E ρ εnablasdot = 電場的散度就是「電荷密度」

(電場的 source)前一題的向量場看來對應的場線是封閉的所以沒有

source這也對應了其散度＝0不過一個向量場的散度旋度究竟是

多少應該詳細的計算場分佈圖形有時候不是那麼容易看的清楚

兩個 useful identities (恆等式)

(a) ( ) 0 0f curl of a gradnablatimes nabla = =

(b) ( ) 0 0A div of a curlnablasdot nablatimes = =

pf (a) ( )ˆ ˆ ˆ x y z

x y z

x y z

ff f f

nablatimes nabla = part part part

part part part

( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2xz zxˆ ˆ ˆx y f- f z 0yz yz xy yxf f f f= part minus part minus part part + part minuspart =

這個結果與真實的向量外積 ( ) AA 0=times 有相似之處但是這只是特

例要記得nabla並不是一個真正的向量

( ) ( ) ( )

( )

ˆ ˆ ˆ y zˆ ˆ ˆ x y z

0

x y z y z z y x z z x x y y x

x y z

xy z xz y xy z yz x xz y yz x

xA A A A A A A

A A A

A A A A A A A

nablatimes = part part part = part minus part minus part minus part + part minus part

nablasdot nablatimes = part minuspart minuspart +part +part minuspart =

4-37

此結果與真實的向量運算有相似之處 ( )( )0 (B A) BB B Asdot times = times perp∵

但是這仍只是特例因為我們可由下列例子 ( ) 0A Asdot nablatimes ne 看出事實上

nabla並不是一個真正的向量 Ex36 ˆ ˆ ˆA xy yx zx= minus +

( )

ˆ ˆ ˆ y zˆ ˆ ˆ 0 1 ( 2)

2 0

x y z

xA x y z

y x x

A A x x x

nablatimes = part part part = minus + minus

minus

sdot nablatimes = minus = minus ne

面積元素向量

物理上時常會遇到面積分例如電通量磁通

量等等考慮一個面積元素 ds定義「面積的

方向」為其「法線方向」並定義面積元素向量

ˆnds a dsequiv （4-71）

要注意的是(1)如果 ds 是一個「封閉面

closed surface」（即有裡外之分）的一部

份則 ˆna 定義為「由內向外」(2) 如果 ds

是一個「開放面 opened surface」（即分不

出裡外）的一部份那麼 ds 必被其邊緣

（一個封閉的曲線 C）所包圍這樣在定

出ds 的方向之前要先定義「邊緣曲線」

C 的方向再由右手定則定義 ˆna 的方向

既然面積已為一個向量就可以寫為分量表示以直角座標

ˆ ˆ ˆx y zds xds yds zds= + + (4-72)

那麼這些分量 dsx dsy dsz 會是什麼既然 dsx 的方向是 x 就表示 dsx

是躺在 y-z 平面上所以 dsx 的兩邊是 dy 與 dz rArr xds dydz= 依此類

4-38

推 dsy 的方向是 y 所以躺在 x-z 平面rArr yds dxdz= hellip可以得知

xds dydz= yds dxdz= zds dxdy= （4-73）

不過要注意在寫面積元素時要看討論的面實際

是什麼面上式的三個分量有可能會是負的例如

左圖座落在第一象限的立方體的 A 面方向就在 xminus

方向Arsquo面在 yminus Ardquo面在 zminus 方向寫面積元素最

好是先把討論的面的方向搞清楚把plusmn號寫在單位向量前面那麼分

量就都用＋的即可其實面積元素體積元素都可以由位移元素看出

ˆ ˆ ˆdr xdx ydy zdz= + +

dx dy dz 是沿著 ˆ ˆ ˆ x y z 方向的長度所以面積元素分量的兩邊長度就

是由其中兩個組成而體積的三邊也就是三個垂直方向的長度

x y zdV dx dy dz and ds dydz dxdz dxdyrArr = = （4-74）

這個概念在其他的座標系統也成立我們可以方便的寫出面積元素

Recall 柱座標的位移向量元素

cylindrical coordinate ˆ ˆ ˆdr d d dzzρρ ρ ϕϕ= + + （4-48）

ˆ ˆ ˆ zds ds ds zdsρ ϕρ ϕ= + + (4-75)

dsρ 躺在 zϕ minus 平面dsϕ 在 zρ minus 平面 zds 在ρ ϕminus 平面

rArr zds d dz ds d dz ds d d d dρ ϕρ ϕ ρ ρ ρ ϕ ρ ρ ϕ= = = sdot = （4-76）

上面的結果畫個圖看看吧球座標的位移向量元素

Spherical coordinate ˆ ˆˆ ( ) ( sin )dr rdr rd r dθ θ ϕ θ ϕ= + + （4-56）

ˆ ˆˆ rds rds ds dsθ ϕθ ϕ= + + （4-77）

rArr sin sin rds rd r d ds dr r d ds rd drθ ϕθ θ ϕ θ ϕ θ= sdot = sdot = sdot (4-78)

4-39

向量場 ( )A r 在 S 面上的「面積分（surface integral）」or「flux」

如左圖若有一「平面」S 且其上有「均勻」

場 B 分佈則通過 S 面的通量就是

ˆB B nSΦ = sdot

但考慮一任意「非均勻」向量場 ( )A r 在空間分佈選取任意曲面 S

探討 ( )A r 在 S 上之通量若ds 為 S 面上的面積元素在趨近於 0 的

小面積ds 上 A可視為均勻所以通過ds 之通量為 ( )d A r dsΦ = sdot 則 S

面之總通量為

Φ＝ ˆ cosS S S

A ds A nds A daϕsdot = sdot =int int int

( )OR

x x y y z zS

A da A da A da= + +int (4-75)

稱為 A 在 S 面上的「面積分」或「通量 flux」

上圖所繪就是一個任意面上分割出許多小面積舉出三個位置的通

量有+-與 0如果 S 面是為一「封閉面」則面積分寫為

S

A dssdotint （4-76）

4-40

ex37 Given 2ˆ ˆ ˆyzA xyz yx zx= + + 計算通量S

A dssdotint

S 面為在第一象限邊長＝1 的立方體表面封閉面

解立方體分為前後右左上下六個面分開算 1前面（x=1）

方向 x+ ˆ xA ds A xdydz A dydzsdot = sdot =int int int前 前 前

yzdydz= int前 ＝1 1

0 0

1 1 12 2 4

ydy zdz = sdot =int int

2後面(x=0)方向 xminus ˆ(- ) - xA ds A x dydz A dydzsdot = sdot =int int int後 後 後

yzdydz= minusint後1 1

0 0

-1 1 -12 2 4

ydy zdzminus = sdot =int int

3 右面（y=1）方向 y+ y ( 1)yA ds A dxdz A y dxdzsdot = sdot = =int int int右 右 右

( 1)x y zdxdz= =int右 ＝1 1

0 0

1 1 12 2 4

xdx zdz = sdot =int int

4 左面（y=0）方向 ˆ-y ˆ( y) - ( 0)yA ds A dxdz A y dxdzsdot = sdot minus = =int int int左 左 左

( 0) 0x y zdxdz= = =int左

5 上面（z=1）方向 z+ zz y (z 1) yA ds A dxd A dxdsdot = sdot = =int int int上 上 上

2 yx dxd= int上 ＝1 120 0

1 1y 13 3

x dx d = sdot =int int

6 下面（z=1）方向 ˆ-z zˆ(-z) y - (z 0) yA ds A dxd A dxdsdot = sdot = =int int int下 下 下

2 -1- y3

x dxd= =int下 ＝1 120 0

1 1y 13 3

x dx d = sdot =int int

S

A dssdotint ＝六個面的和＝1 1 1 1 1 1( ) ( 0) ( )4 4 4 3 3 4

minus minus+ + + + + =

ex38 Given ˆ ˆ ˆzA xyz yx zxy= + + 計算通量S

A dssdotint S 為圓 2 2 2x y a+ =

在第一項限的部分方向選為 z+ 2 2y a x= minus

4-41

解 2 2 4

0 0ˆ

8a a x

zS S S S

aA ds A zdxdy A dxdy xydxdy xdx ydyminus

sdot = sdot = = = =int int int int int int

Ex39 In cylindrical coordinate Given ˆ ˆaA zbzρρ

= + where a b are

constants Find S

A dssdotint over the surface of a

closed cylinder about z-axis specified by 3 2z ρ= plusmn =

解S 分為上下與周邊三面

zz (z 3)zA ds A ds A d dρ ρ ϕsdot = sdot = = sdotint int int上 上 上

= 23 3 2 12bd d b bρ ρ ϕ π πsdot = sdot =int上

ˆ(-z)A ds A d dρ ρ ϕsdot = sdot sdotint int下 下

= z- (z -3)A d dρ ρ ϕ= sdotint下 = 23 2 12b bπ πsdot =

周邊ds ˆ ( )d dzρ ρ ϕ= rArr ˆ ( ) z ( ) zA ds A d d A d dρρ ρ ϕ ρ ϕsdot = sdot =int int int周 周 周

2 3

0 3( ) z ( ) z=a 12aA d d d d d dz a

πρ ρ ϕ ρ ϕ ϕ π

ρ minus= = =int int int int周 周

加起來 S

A dssdotint ＝12 24 12 ( 2 )a b a bπ π π+ = +

ex40 一點電荷 q 置於原點計算在一個以原點為圓心 0r 為半徑的球

面上的電通量

解 2 20 0

ˆ ˆ4 4S S

qr q dsE ds rdsr rπε πε

sdot = sdot =int int int

=0 0 0

44 4S

q q qd ππε πε ε

sdot Ω = sdot =int

上式中 dΩ 2dsr

= 是 ds 所張開的「立體角」(solid angle)

4-42

div A and Flux 通量與散度的幾何物理意義

我們運用過nabla的符號來表示過散度 divF F= nablasdot yx zFF Fx y z

partpart part= + +part part part

但是也看到「散度」定義為

0( )

1( ) limSV

about x y z

divF x y z F da divergence of FVΔ rarr

equiv sdot =Δ int (4-77)

其中 VΔ 為 S 面所包含的體積即散

度為通量(體)密度的 0 體積極限

（4-77）的定義與 Fnablasdot 好像差的很

多她們是說同一回事嗎以下證明

這兩種「散度」的定義是等價的如

左圖考慮一個以點 ( ) x y z 為中心

的 立 方 體 其 相 鄰 三 邊 長 為

x y zΔ Δ Δ 體積 V x y zΔ = Δ Δ Δ 現在計算 F 在立方體的一組平行於 y-z平面的表面 S1 與 S2 的通量

( )1 1

ˆ ˆ xS S

F nds F xds F x y z dsrArr sdot = sdot =intint intint intint 2xxF x y z y zΔ⎛ ⎞asymp + Δ Δ⎜ ⎟

⎝ ⎠

其中 2xx y zΔ⎛ ⎞+⎜ ⎟

⎝ ⎠為 S1 面中心的座標而

2xx y zΔ⎛ ⎞minus⎜ ⎟

⎝ ⎠為 S2 面的中心

( ) ( )2 2 2

ˆ ˆ 2x x

S S S

xF nda F x ds F x y z ds F x y z y zΔ⎛ ⎞rArr sdot = sdot minus = minus asymp minus minus Δ Δ⎜ ⎟⎝ ⎠intint intint intint

上式中的負號來自 S2 面的方向是 xminus 所以合併兩個面積分

1 2

ˆ 2 2x x

S S

x xF nds F x y z F x y z y z+

Δ Δ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞rArr sdot asymp + minus minus Δ Δ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦intint

2 2x xx xF x y z F x y z

x y zx

Δ Δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠= Δ Δ Δ

Δ

2 2

x xx xF x y z F x y z

Vx

Δ Δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠= Δ

Δ

1 2

1 2 2ˆ

x x

S S

x xF x y z F x y zF nds

V x+

Δ Δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠rArr sdot asymp

Δ Δintint

4-43

當取體積向(xyz)點收縮至 0 時即 0 x 0as VΔ rarr Δ rarr 上式的近似

「asymp」就成了「＝」

1 20

1 ˆlimV

S S

F ndsVΔ rarr

+

sdotΔ intint

( )0

2 2limx x

x

x

x xF x y z F x y z F x y zx xΔ rarr

Δ Δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟ part⎝ ⎠ ⎝ ⎠= =Δ part

Similarly F 在立方體的一組平行於 x-z 平面的表面 S3 與 S4 的通量

3 3 3

ˆ ˆ yS S S

F nds F yds F dsrArr sdot = sdot =intint intint intint

2

2

y

y

yF x y zyF x y z x z x y z

y

Δ⎛ ⎞+⎜ ⎟Δ⎛ ⎞ ⎝ ⎠asymp + Δ Δ = Δ Δ Δ⎜ ⎟ Δ⎝ ⎠

( )4 4 4

2ˆ ˆ

y

yS S S

yF x y zF nds F y da F ds x y z

y

Δ⎛ ⎞minus⎜ ⎟⎝ ⎠rArr sdot = sdot minus = minus asymp Δ Δ Δ

Δintint intint intint

合併 S3 與 S4 兩個面積分並取體積向(xyz)點收縮至 0 時即當

0 y 0VΔ rarr Δ rarr 上式的近似asymp就成了＝

3 4

2 2ˆ

x x

S S

y yF x y z F x y zF nds V

y+

Δ Δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠rArr sdot cong Δ

Δintint

3 40 0

1 2 2ˆlim lim

x xy

V yS S

x yF x y z F x y z FF nds

V y yΔ rarr Δ rarr+

Δ Δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟ part⎝ ⎠ ⎝ ⎠rArr sdot = =Δ Δ partintint

與上面相同的作法計算 F 在立方體的一組平行於 x-y 平面的表面 S5

與 S6 的通量我們也會得到對應的結果

5 6

2 2ˆ

z x

S S

z zF x y z F x y zF nds V

z+

Δ Δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠rArr sdot cong Δ

Δintint

5 60 0

1 2 2ˆlim lim

z xz

V zS S

z zF x y z F x y zFF nds

V z zΔ rarr Δ rarr+

Δ Δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟ part⎝ ⎠ ⎝ ⎠rArr sdot = =Δ Δ partintint

所以合併立方體的 6 個面積分

4-44

1 2 3 4 5 6

ˆ ˆ ˆ ˆS S S S S S S

F nds F nds F nds F nds+ + +

rArr sdot = sdot + sdot + sdotint intint intint intint

0

1 ˆlim yx zV

FF FF nds div F FV x y zΔ rarr

partpart partrArr sdot = + + = = nablasdot

Δ part part partint (4-78)

在此我們得證這兩種「散度」的定義是等價的只是（4-77）的定義

充分的表現出「散度」的幾何物理意義他從通量著手由於場線

出自於 source（ex電場源自於點電荷）所以在點(xyz)必須有向量場

F 的 source 存在才能使得當面積縮到 0 時仍具有非 0 的通量所以「散

度」表現向量場 F 的 source 在這個定義之下是很清楚的當然在計算

「散度」時我們不必那麼麻煩用 divF F= nablasdot 就好了

Ex41 計算 2ˆ ˆ ˆF xx yxy zyz= + + 的散度

解 2 yx zFF Fx x yx y z

partpart part= = =

part part part F 2x x y 3x ydivrArr = + + = +

recall 在靜電學0

yx zEE EEx y z

ρε

partpart partnablasdot = = + +

part part part

散度定理 Divergence Theorem

若任意封閉面（又稱為「高斯面」）S 所包圍的

體積為 V 則

S VA ds Adτsdot = nablasdotint int （4-79）

pf 我們先將體積分割成 N 個小盒子考慮相鄰的兩個小盒子 1 2

兩小盒子的共用面面積 S0當 S0 是為 1 號盒子的一部份時其方向為

1n 但若當為 2 號盒子的表面時其方向為 12 ˆˆ nn minus= 如此在 S0 分別做

4-45

1 2 盒子的面積分後

0 0

0 0 0 0

1 2

1 2 1 1ˆ ˆ ˆ ˆ 0

S S

S S S S

A ds A ds

F n ds F n ds F n ds F n ds

sdot + sdot

= sdot + sdot = sdot minus sdot =

intint intintintint intint intint intint

所以若求場 A 在 1 2 盒子的總通量時交界面是沒有貢獻的總通量

就只有「外面積」才有貢獻如此我們計算 N 個小盒子的總通量

時所有的內部共用面都得 0只剩下「外表面」的貢獻了當 infinrarrN

時所有小盒子的「總外表面」就與 S 面重合了所以所有小盒子通量

的總和就等於 S 面的通量

1lim

i

N

S SN iA ds A ds

rarrinfin=

rArr sdot = sdotsumint int

現在我們做 N 個小盒子的總通量

1 1

1i i

N N

iS Si i i

A ds A ds VV= =

⎛ ⎞sdot = sdot Δ⎜ ⎟Δ⎝ ⎠

sum sumint int

當 0iN Vrarrinfin rArr Δ rarr 並用 dv 表示體積元素

( ) ( )1 1

1

1lim lim lim

lim

i ii

N N

iS SN N V oi i i

N

i VN i

A ds A ds VV

A V A dv

rarrinfin rarrinfin Δ rarr= =

rarrinfin=

⎛ ⎞sdot = sdot Δ⎜ ⎟Δ⎝ ⎠

= nablasdot Δ = nablasdot

sum sumint int

sum int

( )S V

A da A dvrArr sdot = nablasdotint int QED

所以得證散度定理上式中我們用了散度的（4-77）式定義要分辨

清楚 Anablasdot 是向量場 A 在空間中「某一點」的性質（ 0VΔ rarr ）而「散

度定理」說的是一個「有限體積」的性質

ex42 給定 ( ) ˆ ˆ ˆ A x y z xx yy zz r= + + = 計算在

半徑 R＝1 的球的上半球加底面的通量

4-46

解 ( )ˆˆS

A da A rda A k darArr sdot = sdot + sdot minusint int int上半球面 底面

( )

2

ˆ ˆ

0 2 1 2

A rda A z dxdy

r rds zdxdy rds ds π π

= sdot + sdot minus

= sdot minus = minus = = sdot =

int int

int int int int上半球面 底面

上半球面 底面 上半球面

底面的通量＝0 是因為 A 的 z 分量 Az=z 在底面的值為 0

也可以用散度定理更快的得出結果

∵ 3A rnablasdot = nablasdot =

31 43 3 1 22 3V V

Ad d πτ τ πnablasdot = = sdot sdot sdot =int int

ex43高斯定律的微分形式積 由 Gaussrsquo law 的積分形式用散度定理得出其

( )0 0

1 inS V

qE ds x y z dvρε ε

sdot = =int int

0S V VE ds Edv dvρ

εrArr sdot = nablasdot =int int int

上式最後的等式對「任意形狀」V 都成立所以兩者的被積函數相等

對於空間每一點 0

E ρε

nablasdot = （4-80）

ex44 Use 第一象限的單位力方體 check the divergence theorem using the function 2 2ˆ ˆ ˆ(2 ) 2A y x xy z y yzz= + + +

解2

2( ) (2 )(2 ) 2( )y yzA xy z x yx y z

part part partnablasdot = + + + = +

part part part

and 1 1 1 1 1 1

0 0 0 0 0 02 ( ) 2 ( )

VAdv x y dxdydz dz dy x y dxnablasdot = + = +int int int int int int int

1 1

0 0

1 12 ( ) 2 12 2

dz y dy= + = sdot =int int

面積分 1 1 2

0 0

1ˆ3

A ds A xdydz dz y dysdot = sdot = =intint intint int int前 前

4-47

1 1 2

0 0

1ˆ( )3

A ds A x dydz dz y dy minussdot = sdot minus = minus =intint intint int int

後 後

1 1 2

0 0ˆ (2 )A ds A ydxdz dz xy z dxsdot = sdot = +intint intint int int

右 右

1 1 1 12 2

0 0 0

4(2 ) (1 )3

ydz x z dx dz z

=

= + = + =int int int∵

1 1 2

0 0

0 1 1 12 2

0 0 0

ˆ( ) (2 )

1(1 )3

y

A ds A y dxdz dz xy z dx

dz z dx dz z=

sdot = sdot minus = minus +

minus= minus = + =

intint intint int int

int int int∵

左 左

11 1 1 1

0 0 0 0ˆ 2 2 1

zA ds A zdxdy dx yzdy dx ydy

=sdot = sdot = = =intint intint int int int int

∵

上 上

01 1

0 0ˆ 2 0

zA ds A zdxdy dx yzdy

=sdot = sdot minus = minus =intint intint int int

∵

下 下

前後右左上下六個面積分合併＝1＝V

Advnablasdotint QED

ex45 Continuity Equation 連續方程式

考慮某些「東西」的流動（物質電荷hellip）在時刻 t 時在點(xyz)

的 密 度 為 ( ) x y z tρ ρ= 並 具 有 速 度

( ) v v x y z t= 在時刻 t 時在體積 V 內的總量為

( ) x y z t dρ τintintint

這樣體積 V 內東東的時變率為

( ) ( ) d x y z t d x y z t ddt t

ρρ τ τpart=

partintintint intintint

注意體積分後的時間全微分移入積分內要改為偏微分這個東東

在表面的「流率 flow rate」可表為

ˆS

R v ndsρ= sdotintint

若體積內的物料無法自生自滅那麼體積內物料的變化必經由表面的

流出流入所造成

d v ndstρ τ ρpart

rArr = minus sdotpartintintint intint

由散度定理

4-48

( )ˆS

v nds v d dtρρ ρ τ τpart

sdot = nablasdot = minuspartintint intintint intintint

( )v Jtρ ρpart

rArr = minusnablasdot equiv minusnablasdotpart

0Jtρpart

rArr +nablasdot =part

（4-81）

(4-81) 即 continuity equation其中 J vρ= 為「物流密度」ex如果 ρ

是電荷密度 J 就是電流密度（4-81）是物質守恆的結果只對體

積內無 source（生成）or drain（消滅）的東東成立

ex46 Given a vector field ˆ ˆx yA ye xe= minus + (a) Find

Anablasdot (b)如圖一個金字塔狀的 5 面體高 2 底邊長

1計算 A在整個金字塔表面（封閉面）的總通量

解(a) Anablasdot = ( ) ( ) 0y xx ypart part

minus + =part part

(b) 金 字 塔 的 表 面 面 積 元 素 ds 不 好 寫 所 以 用 散 度 定 理

( )S V

A da A dvrArr sdot = nablasdotint int ＝0 Anablasdot 表示 A沒有 source 所以對封閉面而

言有多少場線進入就有多少出去所以總通量＝0

習題 7 With position vector r for an arbitrary volume V that is

bounded by surface S show that 13 S

r ds Vsdot =int

習題 8 已知一靜電場為 ˆ ˆ ˆ( )E xyz yxz zxyλ= + + 運用 Gaussrsquo law

試求包含在半球 2 2 2 2 0x y z R z+ + = ge 裡的總電荷 Ans 0

習題 9 (a) given ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( 2 )F r xf x yf y zf z= + + minus show that divF is

zero at point (c c -c2) (b) given ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( )G r xf x z yg x z zh x y= + +

show that ( ) 0G rnablasdot =

4-49

習題 10 Find the normal vector n for the surfaces (a) z = 2-x-y ans

ˆ ˆ ˆ( ) 3x y z+ + (b) z = (1-x2)12 ans ˆ ˆxx zz+ (c) z = x2+y2

ans ˆ ˆ ˆ( 2 2 ) 1 4xx yy z zminus minus + +

習題 11 Show that the unit vector normal to the plane ax+by+cz =d is

given by 2 2 2ˆ ˆ ˆ( ) ax by cz a b cplusmn + + + +

圓柱座標與球座標的nabla (del)

考慮一純量場在直角座標為 ( ) u x y z 在圓柱座標表為 ( ) u zρ φ

再考慮因位移 r r drrarr + 所造成 u ( )zρ φ 的變化

( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆz

z

u u udu d d dz u dr u d d zdzz

u u z u d d zdz

u d u d u dzρ ϕ

ρ ϕ

ρ ϕ ρ ρ ϕρ ϕρ ϕ

ρ ϕ ρ ρ ϕρ ϕ

ρ ρ ϕ

part part part= + + = nabla sdot = nabla sdot + +part part part

⎡ ⎤= nabla + nabla + nabla sdot + +⎣ ⎦= nabla + nabla + nabla

( ) ( ) ( )1

1ˆ ˆ ˆu

z

u u uu u uz

u u uzz

ρ ϕρ ρ ϕ

ρ ϕρ ρ ϕ

part part partrArr nabla = nabla = nabla =

part part partpart part part

rArrnabla = + +part part part

1ˆ ˆ ˆ zz

ρ ϕρ ρ ϕpart part part

nabla = + +part part part

（4-82）

注意nabla的ϕ -分量( 1ρ ϕ

partpart

)不是像直角座標裡單純的ϕpartpart

所以不要笨笨

的就把直角座標的形式硬套上去用我們也可以從「因次分析」來

看nabla因為是對空間的微分所以每一項的因次必須是「長度分之一」

運算 andzρ

part partpart part

都是「長度分之一」而「單純的ϕpartpart

」是沒有單位的

所以要1ρ ϕ

partpart

才 OK

由於圓柱座標裡的單位向量除了 z 之外 ˆ( )ρ ϕ 與 ˆ( )ϕ ϕ 都不是常

4-50

數所以在微分時不可以與微分運算交換而要考慮微分的作用所

以在「圓柱座標」寫「散度」 ( ) F zρ ϕnablasdot 也和直角座標不一樣

( )1ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ zF z F F zFz ρ ϕρ ϕ ρ ϕ

ρ ρ ϕpart part part⎛ ⎞

nabla sdot = + + sdot + +⎜ ⎟part part part⎝ ⎠

( ) ( )1ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆz zF F zF F F zFρ ϕ ρ ϕρ ρ ϕ ϕ ρ ϕρ ρ ϕpart part

= sdot + + + sdot + +part part

( )ˆ ˆˆ ˆ zz F F zFz ρ ϕρ ϕpart

+ sdot + +part

因為 ( ) ( )ˆ ˆ ˆ ˆ ρ ρ ϕ ϕ ϕ ϕ= = 所以做 andzρ

part partpart part

時 ˆ ˆ ρ ϕ 可視為常數

ˆ ˆ1ˆ ˆ ˆ zF F F FF F Fz

ρ ρ ϕρ φ

ρ ϕϕ ρ ϕρ ρ ϕ ϕ ϕ ϕ

part part part⎡ ⎤part part partrArrnablasdot = + sdot + + + +⎢ ⎥part part part part part part⎣ ⎦

還記得 ˆ ˆ ˆ ˆd d d dρ ϕ ϕ ϕ ρ ϕ= = minus 所以 ˆ ˆρ ϕϕpart

=part

ˆ ˆϕ ρϕpart

= minuspart

rArr

( )1 1 1z zF F F FF FF Fz z

ρ ρ ϕ ϕρρ

ρ ρ ρ ϕ ρ ρ ρ ϕpart part part part

nablasdot = + + + = + +part part part part part part

（4-83）

在球座標寫nabla也會遇到相似的問題其根源就是球座標 ( )r θ ϕ 裡

的 θ ϕ 的因次並非長度而三個單位向量 ˆ ˆˆ r θ ϕ（表為 ie ）都是( θ ϕ )

的函數以致

( )ˆ ˆ( ) ( )i ie f e fθ ϕ θ ϕθ θpart part

nepart part

且 ( )ˆ ˆ( ) ( )i ie f e fθ ϕ θ ϕϕ ϕpart part

nepart part

所以nabla也不似在直角座標那麼簡單我們不在這裡推導而是給出一

個歸納的統一的三個座標的結果還記得對每一個座標 iu i = 123

座標的變化 idu 與造成的長度變化 id

i i id h du= 123i = (4-84)

其中 ih 為對應的度量係數(metric coefficient)

4-51

1 2 3

1 1 2 2 3 3

1 1 1ˆ ˆ ˆu u ue e eh u h u h u

part part partnabla equiv + +

part part part （4-85A）

座標 1 2 3 u u u

度量係數

1 2 3 h h h

nabla grad del

直角 x y z

1 1 1 nabla ˆ ˆ ˆx y z

x y zpart part part

equiv + +part part part

圓柱

zρ ϕ

1 1ρ

1ˆ ˆ ˆ z

zρ ϕ

ρ ρ ϕpart part part

nabla equiv + +part part part

球

r θ ϕ

1 sinr r θ

1 1ˆ ˆˆ

sinr

r r rθ ϕ

θ θ ϕpart part part

nabla = + +part part part

（4-85B）

梯度gradient Vnabla grad(V) 散度divergence Anablasdot div( )A

直

角 nablaV ˆ ˆ ˆV V Vx y z

x y zpart part part

= + +part part part

yx zAA AAx y z

partpart partnablasdot = + +

part part part

圓

柱

1ˆ ˆ ˆ V V VV zz

ρ ϕρ ρ ϕpart part part

nabla = + +part part part

( )1 1

1

z

z

A AA Az

A A A Fz

ϕρ

ρ ρ ϕ

ρρ ρ ρ ϕ

ρ ρ ρ ϕ

partpart partnabla sdot = + +

part part partpart part part

= + + +part part part

球

1 1ˆ ˆˆ sin

V V VV rr r r

θ ϕθ θ ϕ

part part partnabla = + +

part part part

22

1 ( )rA r Ar r

partnabla sdot =

part

1 (sin )sin

Ar θθ

θ θpart

+ sdotpart

1sin

Ar

ϕ

θ ϕpart

+part

(4-86)

Ex47 Using spherical coordinate show that 1| |r r

nablaminus

= 2

ˆ| |

r rer r

minusminusminus

where

nabla是作用在 r 而 ˆr re minus 是向量 r rminus 方向的單位向量 解let r lies in z-axis so that the angle between r and r is just θ

4-52

rArr ( ) 122 21 1 2 cos | | ( ) ( )

r rr rr r r r r r

θminus

= = minus +minus minus sdot minus

( ) ( )12 122 2 2 21 1ˆˆ 2 cos 2 cos | |

r r rr r r rr rr r r r

θ θ θθ

minus minuspart partnabla = minus + + minus +

minus part part

( ) 322 21ˆ 2 cos (2 2 cos )2

r r rr r r rθ θminusminus

= minus + minus

( ) 322 21ˆ 2 cos (2 sin )2

r rr r rrθ θ θminusminus

+ minus +

3 3 3 3

ˆˆ ˆ( cos ) sin ( cos sin )ˆˆ| | | | | | | |r r r rr r rrr r r r r r r r

θ θ θ θ θθminus minus minus minus minus= + = +

minus minus minus minus

3 3 3ˆ ( )

| | | | | |r r z r r r rr r r r r rminus + minus + minus minus

= = =minus minus minus

＝ 2

ˆ| |

r rer r

minusminusminus

QED

證明最後我們用到 ˆˆˆ cos sinz r θ θ θ= minus 而 ˆ r r z= 因為我們選了 r 是

躺在 z-軸 Ex48 For arbitrary scalar field ( )f r and vector field ( )A r 證明恆等式

( )fA f A f Anablasdot = nabla sdot + nablasdot (4-87) 解 ˆ ˆ ˆx y zfA xfA yfA zfA= + +

( ) ( ) ( ) ( )x y zfA fA fA fAx y zpart part part

rArrnablasdot = + +part part part

yx zx x x

AAf f f AA f A f A fx x y y z z

partpartpart part part part= + + + + +part part part part part part

yx zx y z

AAf f f AA A A fx y z x y z

part⎛ ⎞partpart part part part= + + + + +⎜ ⎟part part part part part part⎝ ⎠

f A f A= nabla sdot + nablasdot QED 習題 12 一個位於原點的電偶極電偶極矩＝ ˆp pz= 已知其在遠處

的電位為 20

cos4p

rθ

πε試證該處的電場強度為 E = 3

0

ˆˆ( 2cos sin )4

p rr

θ θ θπε

+

(已知 E V= minusnabla )並請計算 Enablasdot ＝

習題 13 給定一向量場2

3cosˆD r

rϕ

= 現有兩個球心在原點的同心球

內球半徑 R＝1外球 R＝2(a)求面積分S

D dssdotint S 為同心球殼的表

面（有內外兩個面）(b)求體積分V

Ddvnablasdotint V 為兩同心球之間的

區域本題也是來 check 散度定理的Ans πminus

4-53

The Laplacian operator 2nabla equivnablasdotnabla

在直角座標可以用直接作用得到

2 2 2

22 2 2u u uu u

x y zpart part part

nabla equiv nablasdotnabla = + +part part part

(4-88)

圓柱座標

2 2

22 2 2

1 1( ) u u uu uz

ρρ ρ ρ ρ ϕ

part part part part⎛ ⎞nabla equiv nablasdot nabla = + +⎜ ⎟part part part part⎝ ⎠

(4-89)

球座標

2

2 22 2 2 2 2

1 1 1sinsin sin

u u uu rr r r r r

θθ θ θ θ ϕ

part part part part part⎛ ⎞ ⎛ ⎞nabla = + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟part part part part part⎝ ⎠ ⎝ ⎠ （4-90）

習題 14 verify (4-89) and (4-90)

習題 15 Given a dipole potential V= 20

cos4p

rθ

πε find 2Vminusnabla

sect 433 Line integral and curl A 線積分與與旋度的物理意義

線積分路徑積分

考慮一曲線 C 通過兩點 ( )i i i iP x y z 與

( )f f f fP x y z 現有一向量場 ( )A x y z 定義在

C 所在的空間若 sd 為 C 上位於(xyz)點的

「路徑元素」（ ˆd td= 方向沿該處切線）而

( )A x y z 為路徑元素d 處的場值則沿 C 經歷各點所做積分

cos cosf

CC C iA d Ad A dϕ ϕrarr rarrsdot = =int int int （4-91）

稱為向量場 ( )A x y z 沿路徑 C 自 pi 至 pf 的「線積分」「或「路徑積分」

積分裡 A 取值的點侷限在路徑 C 上面若為一個「封閉路徑」則對

C 的線積分也稱做「環路積分 closed contour integral」記做

C

A dsdotint （4-92）

4-54

物理量「做功」是最標準的線積分之一力 F 自 x = a 至 x = b「沿線」

x 軸做功

W＝ F dxsdotint ＝ ( )b

xaF x dxint （4-93）

質點在力場 )(rF 裡走一條曲線 C則力場做功

CW F d= sdotint （4-94）

還記得如果 ( )F r 是所謂「保守力」則上式只與始末點有關而與

路徑無關但如果 ( )F r 是所謂「非保守力」則做功與確實的路徑 C

有關

現考慮一質點在空間運動的位置 r 落在由曲線 C

描述的路徑則質點的位移元素與曲線 C 的路徑元

素相同 d dr= 若空間有向量場 A 分佈則 A 在 C 的

路徑積分以直角座標表示為

CA drarr rarrsdotint ＝

CA d rrarr rarrsdotint ＝ ( )x y zC

A dx A dy A dz+ +int （4-95）

上式中的 x y z 的積分限由 C 決定

Ex49 2 2 2ˆ ˆ ˆA xx yy zzrarr= + + 選定一路徑 C 為曲線

2y x= 由 (000)到 (2 20)的部分求C

A dsdotint

解 ˆ ˆd xdx ydy= +∵

CA dsdotint ＝ 2 2( )

Cx dx y dy+int ＝

2 22 2

0 0x dx y dy+int int

＝ )24(32

+

或由 2y x= rArr 2ydy dx= 2 12

y dy xdxrArr =

rArrC

A dsdotint ＝2 2

0

1( )2

x x dx+int ＝2 (4 2)3

+

4-55

ex50 ˆ ˆ( )f x y z xy yx= minus Do C

f dsdotint 其中的路徑 C 為一逆時針三角

形如圖 解∵路徑全部在 x-y 平面 ˆ ˆ ˆd td xdx ydy= = +

rArrC

f dsdotint ＝ x yC

f dx f dy+int ＝C

ydx xdyminusint

由於在 C1 上 y = 0 及 dy = 0 所以 01

=intC 又由於在

C3 上 x = 0 及 dx =0所以 03

=intC 所以只剩下 C2 可

能有貢獻由 2C 的方程式x + y =1rArr ⎩⎨⎧

minus=minus=

xyyx

11

rArr2Cydx xdyminusint ＝

0 1

1 0(1 ) (1 )x dx y dyminus minus minusint int ＝

0 12 2

1 0

( ) ( )2 2x yx yminus minus minus ＝-1

Cf dsdotint ＝-1

ex51 ( )f x y zrarr

= 2ˆ ˆxx yxyminus 如右圖doC

f dsdotint 其

中路徑 C 為第一象限的逆時針 14 圓弧

解∵ 全部在 x-y 平面 ˆ ˆd xdx ydy= +

Cf dsdotint ＝ 2

Cx dx xydyminusint

由於在 C 上 cosx R ϕ= rArr sindx R dϕ ϕ= minus

siny R ϕ= rArr cosdy R dϕ ϕ=

rArr 2

Cx dx xydyminusint ＝

2 2 2 2

0cos ( sin ) sin cos cosR R d R R d

πϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕminus minus sdotint

23 2

02 cos sinR d

πϕ ϕ ϕ= minus int ＝

323Rminus

又路徑為圓周一部份所以適合用極座標表示

ˆd Rdϕ ϕ= 又由左圖將 ˆ ˆx y 拆解（投影）到 ˆˆr ϕ

ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆcos sin sin cosx r y rϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ= minus = +

4-56

( )2ˆ ˆ ˆˆ ˆ( cos sin ) ( sin cos )C C

f d r x r xy Rdϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕsdot = minus minus + sdotint int 2

2 2 2

0

sin (cos )

sin ( cos ) (cos ) cos sin

Cx Rd xyRd

R Rd R Rdπ

ϕ ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ

= minus minus

= minus minus

intint

23 2

02 cos sinR d

πϕ ϕ ϕ= minus int ＝

323Rminus

這也驗證了散度定理

Path Independence 路徑獨立性

Ex52 證明庫倫力為「保守力」考慮

電荷 q0 位於原點及電荷 q 位於

( )r x y zrarr= q 受力 F

rarr＝ 0

20

14

qq urπε

and

求庫侖力作功因為球形對稱所以

用球座標由 ˆ ˆ ru rr

= = rArr Frarr

= 03

04qq r

rπε

庫侖力由 P1 至 P2 做功為 2

1

P

CPF drarrsdotint ＝

2

1

02

0

ˆ ˆ ˆˆ sin4

P

PC

qq r rdr rd r dr

θ θ ϕ θ ϕπε

⎡ ⎤sdot + +⎣ ⎦int ＝2

1

02

04P

P

qq drrπεint

＝20

2104

r

r

qq drrπε int ＝ 0

0 1 2

1 1( )4qq

r rπεminus for all C

所以庫侖力兩點間做功與路徑無關rArr保守力

對於「保守力 conservative force」 cF 自 p1 經

由兩條不同的路徑 C1 與 C2 到達 p2

1 ccF drarrsdotint ＝

2 ccF drarrsdotint ＝-

2 ccF drarr

minussdotint

rArr1 2c cc cF d F drarr rarr

minussdot + sdotint int = cF d

rarrsdotint ＝0 (4-96）

對於任何「封閉路徑」保守力做功為 0反之若

對任一封閉路徑 0F drarrsdot neint 則兩點之間的做功與路徑有關

rarr

F 為「非

保守力」

4-57

旋度 curl Anablatimes 的幾何物理意義

我們在（4-70）式已經看過旋度的計算方式但旋度另有其意義的

ex53 給定向量場2 2

0ˆ yv yv e λrarr

minus= 左圖為場的分佈

2 20

ˆ ˆ ˆ

0 0x y z

y

x y zcurl v

v e λ

rarr

minus

= part part part ＝ ˆ ˆ ˆ0 0 0 0x y zsdot minus sdot + sdot =

我們用了簡寫 x yx ypart part

part equiv part equivpart part

可以看出這個場裡沒有「漩渦」

但是有無「漩渦」有時也不是那麼明顯可以看出的請見下一個例子

Ex54 給定向量場2 2

0ˆ xv yv e λrarr

minus= 計算其旋度 vnablatimes

解向量場 vrarr

畫在右邊你看得出有無漩渦

先計算旋度

2 20

ˆ ˆ ˆ

0 0x y z

x

x y zcurl v

v e λ

rarr

minus

= part part part2 2

2 2

0

0

ˆ

ˆ 2 0 0

x

x

z v ex

z v xe for x

λ

λ

minus

minus

part=

part

= minus ne ne

vrarr

的旋度在大部分的地方不為 0 且隨位置而不同但是你看得出這個

向量場裡有「漩渦」其實要檢驗一個向量場裡有無「漩渦」有一

個很物理的方法就是放一個小「螺旋槳」（左圖）

在場內將軸朝各個方向測試一

下如果有「漩渦」的話這個

小「螺旋槳」就會轉動右圖就是將「螺旋槳」的

軸平行於 z 軸且放在 x gt 0 的地方就可以看出左

邊的 v 場比右邊的強造成螺旋槳順時針轉動rArrcurlv zminus for x gt 0

但如果放在 x = 0 的地方就會看到左右兩端的 v 場強度相同而且

4-58

curlv = 0 「螺旋槳」放在 x lt 0 的地方就可以看出右邊的v 場比左

邊的強造成螺旋槳逆時針轉動這完全符合 curl v k+ 的結果

環路積分與旋度 curl 的物理意義

如同「散度」一樣「旋度」除了 Ftimesnabla 之外

還有一個物理意義更清楚的定義這個定義由

「線積分」說明如圖考慮做「逆時針」長方形

路徑 C1 的一個「環路積分」C1 面平行於 x-y 平

面由 z-軸看下去環路 C1 可以分為可以分為

下 CB上 CT右 CR左 CL 4 部分

CA drarrsdotint ＝

B T L RC C C CA d A d A d A drarr rarr rarr rarrsdot + sdot + sdot + sdotint int int int

分別計算由於 CB 的中點座標為 ( )2yx y zΔ

minus

ˆB BC C

A d A xdxrarr rarrsdot = sdot =int int

BxC

A dxint ( )2xyA x y z xΔ

asymp minus Δ

similarly 由於 CT 的中點座標為 ( )2yx y zΔ

+

ˆ( )T TC C

A d A xdxrarr rarrsdot = sdot minus =int int

TxC

A dxminusint ( )2xyA x y z xΔ

asymp minus + Δ

合併 CB 與 CT

B TC CA drarr

+sdot =int

( ) ( )2 2x xy yA x y z A x y z

x yy

Δ Δ⎡ ⎤minus + minus minus⎢ ⎥⎣ ⎦ Δ ΔΔ

（4-97）

由 C1 所圍的面積 S x yΔ = Δ Δ

1B TC C

A dS

rarr

+sdot =

Δ int( ) ( )

2 2x xy yA x y z A x y z

y

Δ Δ⎡ ⎤minus + minus minus⎢ ⎥⎣ ⎦Δ

（4-98）

所以當取極限 C1 收縮到中心(xyz)時 SΔ 收縮到 0ie

4-59

0limsΔ rarr

1B TC C

A dS

rarr

+sdot =

Δ int xAy

partminuspart

（4-99）

Similarly with CR 的 ˆd ydy= CL 的 ˆd ydy= minus 可得

1L RC C

A dS

rarr

+sdot =

Δ int x

zyxxFzyxxF yy

Δ

Δminusminus

Δ+ )

2()

2(

（4-100）

同樣的當取極限 C1 收縮到中心(xyz)時 SΔ 收縮到 0

0

limsΔ rarr

1L RC C

A dS

rarr

+sdot =

Δ int yAx

partpart

（4-101）

最後合併 CBCTCRCL 為 C1

10

1limCs

A ds

rarr

Δ rarrsdot =

Δ int y xA Ax y

part partminus

part partˆ ( ) ( )zz A A= sdot nablatimes = nablatimes （4-102）

注意 C1 的方向就是在 z 上式的重要

意義是當向量場 A 在一個以點(xyz)為

中心「方向為 z 」的面積元素的「邊界」

所做的環路積分得到的就是 A 在(xyz)

處旋度的 z-分量明顯的只有當 A 在

(xyz)附近有 x-y 平面上的「漩渦」那麼 C1 的環路積分才不會為 0

Similarly 取一個逆時針繞著(xyz)的平行於 x-z 平面的長方形環路 C2

（左圖）做環路積分再取極限將 C2 收縮到(xyz)就會得到

20

1limCs

A ds

rarr

Δ rarrsdot =

Δ int x zA Az x

part partminus

part partˆ ( ) ( )yy A A= sdot nablatimes = nablatimes （4-103）

注意到 C2 所包圍的面積方向就在 y到

現在我們應該已經很有經驗了若取一

個逆時針繞著(xyz)的平行於 y-z 平面

的長方形環路 C3（左圖）做環路積分

再取極限將 C3 收縮到(xyz)就會得到

4-60

30

1limCs

A ds

rarr

Δ rarrsdot =

Δ int yz AAy z

partpartminus

part partˆ ( ) ( )xx A A= sdot nablatimes = nablatimes （4-104）

能把（4-103）與（4-104）變出來的同學我們有優待綜合以上

我們可以得到一個結論若取一個以點(xyz)為中心的任意環路 Cn（其

所包圍的面積方向在 n ）則

n curl Aand rarrsdot ＝

0

1lims

Cn

A ds

rarr

Δ rarrsdot

Δ int （4-105）

明顯的當 n ＝ x 或 y 或 z 時我們可以重複（4-102）到（4-104）的

結果（4-70）式的行列式所定義的旋度在此看見其幾何物理意義

至此「旋度」的「漩渦」形象應該已經很清楚了只有在(xyz)點附

近的小圈圈上有「漩渦」 A 在小圈圈做的環路積分才會有值這個

值就是向量場 A 的「旋度」在小圈圈面積方向的分量

Stokersquos 定理

考慮一個開放面 S被其「有方向的」邊界 C 圈住(bounded by)則

( )S

A dsrarr rarrnablatimes sdotint ＝

C

A drarrsdotint （4-106）

pf 先將 S 面分割為 N 個多邊形這會使得邊界變成一個「折線」形

成的環路 P環路 P 會隨著分割的多邊形個數的增多而越加近似於原

「光滑的」邊界 C現考慮相鄰的

兩個多邊形的線積分由於共用邊

的方向是相反的所以相鄰兩個多

邊形線積分的和只剩「外邊界」（見左圖）所以當把所有的多邊形的

4-61

線積分加起來時由於只有邊界 P 不是多邊形的共用邊所以

1k

N

k C

A drarr

=

sdotsum int ＝P

A drarrsdotint rArr

P

A drarrsdotint ＝

1

1

k

N

kk k C

A d l ss

rarr rarr

=

⎡ ⎤sdot Δ⎢ ⎥

Δ⎢ ⎥⎣ ⎦sum int

其中 ksΔ 為第 k 個多邊形的面積取極限 0kN srarrinfinrArrΔ rarr P CrArr rarr

C

A drarrsdotint ＝

10

1limkk

N

kN k k Cs

A d ss

rarr

rarrinfin=Δ rarr

⎡ ⎤sdot Δ⎢ ⎥

Δ⎢ ⎥⎣ ⎦sum int 01

ˆlim ( )k

k kskn A s

infin

Δ rarr=

⎡ ⎤= sdot nablatimes Δ⎣ ⎦sum

01

ˆlim ( )k

k kskA n s

infin

Δ rarr=

= nablatimes sdot Δsum = ( )S

A dsrarr

nablatimes sdotint QED

ex55 由 Amperersquos law 的積分形式導出其微分形式

解Amperersquos law 的積分形式 C

B drarrsdotint ＝ I0μ (4-107)

由 Stokersquos 定理及電流密度 j 的定義上式等號兩端可寫為

rArr ( )S

B dsrarr rarrnablatimes sdotint ＝ 0 S

j dsμrarrsdotint

由於上面的等式對任意面 S（路徑 C）都成立所以被積函數相等

0B jμrarr rarr rarr

rArrnablatimes = (4-108) 此即 Amperersquos law 的微分形式

Ex56 Given a vector field ˆ ˆx yA ye xe= minus + (a) Find Anablatimes

解

ˆ ˆ ˆˆ ˆ(1 ( 1) 2

0x y z

x y zA z z

y xnablatimes = part part part = minus minus =

minus

(b)如圖一個金字塔狀的 5 面體高 2底邊長＝1計算 ( )S

A dsnablatimes sdotint

其中 S 為金字塔在 x-y 平面以上的部分方向如同

封閉的金字塔（運用 Stokersquos law）

解金字塔上表面的面積元素ds 不好寫由 Stokersquos

4-62

law ( )S

A dsrarr rarrnablatimes sdotint ＝

C

A drarrsdotint 其中封閉路徑 C 就是上表面的邊界而且

是逆時針（由 z 軸向下看）

C

A drarrsdotint ＝

1 1 0 0

0 0 1 1ˆ ˆ ˆ ˆA xdx A ydy A xdx A ydysdot + sdot + sdot + sdotint int int int

＝1 1 0 0

0 0 1 1x y x yA dx A dy A dx A dy+ + +int int int int 1 1 0 0

0 0 1 1( 0) ( 1) ( 1) ( 0)y dx x dy y dx x dy= minus = + = + minus = + =int int int int

0 1 1 0 2 ( ) 2S

A ds= + + + = rArr nablatimes sdot =int

旋度與 path independence

已知保守場 cF 對所有封閉路徑 C 0cC

F drarrsdot =int 由 Stokersquos 定理

0cC

F drarrsdot =int ＝ ( )cS

F dsrarr rarrnablatimes sdotint rArr 0cF

rarr rarrnablatimes =

這表示保守場＝無旋度反之無旋度的場任兩點間路徑積分與路

徑無關

Ex57 Given a field 2 2ˆ ˆ ˆ2A x xy yx zz= + minus (a) Find Anablatimes A 保守場

解2 2

ˆ ˆ ˆ

2x y z

x y zA

xy x znablatimes = part part part

minus

( ) ( ) ( )2 2 2 2ˆ ˆ ˆ( ) 2 ( ) 2 0y z z x x yx z x y xy z z x xy= part minus minuspart + part minuspart minus + part minuspart =

yes A =保守場

(b)如左圖由 A 到 B 做路徑積分A BC

A drarr

sdotint 路徑 C 為橢圓

22 1

16yx + = 在 x-軸以上的部分

解橢圓部分的路徑元素 d 有點麻煩但因為 A

為保守場所以 A 到 B 做路徑積分可以用 x = -1 到

1 的積分取代

4-63

01 1 1

1 1 1ˆ 2 0

yB

xAA d A xdx A dx xydx

=

minus minus minussdot = sdot = = =int int int int

∵

旋度在柱座標與球座標

前面討論過nabla在不同座標系的寫法旋度也有歸納出的一致寫法

座標 1 2 3 u u u

度量係數

1 2 3 h h h

nabla grad del

直角 x y z

1 1 1 nabla ˆ ˆ ˆx y z

x y zpart part part

equiv + +part part part

圓柱 zρ ϕ

1 1ρ

1ˆ ˆ ˆ zz

ρ ϕρ ρ ϕpart part part

nabla equiv + +part part part

球 r θ ϕ

1 sinr r θ

1 1ˆ ˆˆ sin

rr r r

θ ϕθ θ ϕ

part part partnabla = + +

part part part

所以柱座標與球座標的旋度分別表為

柱座標

ˆ ˆ ˆ1

z

z

Az

AA Aρ ϕ

ρ ρϕ

ρ ρ ϕρ

part part partnablatimes =

part part part （4-109）

球座標 2

ˆ ˆˆ sin1sin

sinr

r r r

Ar r

A rA r Aθ ϕ

θ θϕ

θ θ ϕθ

part part partnablatimes =

part part part （4-110）

ex58 (a) Given the vector function ˆA ϕ= sin (ϕ 2) find Anablatimes

解 2

ˆ ˆˆ sin1sin

0 sin( 2) 0

r r r

Ar r

r

θ θϕ

θ θ ϕϕ

part part partnablatimes =

part part part

4-64

21 ˆˆ cos sin sinsin 2 2 2

rr rr

ϕ ϕθϕθ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

ˆˆ cos sin2 sin 2 2

rr r

ϕ ϕ ϕθ

minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

(b)如左圖一個底面在 x-y 平面半徑＝1高＝2 之圓錐 求面積分

SA dsnablatimes sdotint 面積範圍 S 為圓錐在 x-y 平面以上

部分 方向為由圓錐內向外

解由 Stokersquos law ( )S

A dsrarr rarrnablatimes sdotint ＝

C

A drarrsdotint 其中路

徑 C 為 x-y 平面圓心在原點之單位圓 ˆ ˆd rd dϕ ϕ ϕ ϕ= =

2

0ˆ ˆsin sin

2 2C

d dπϕ ϕϕ ϕ ϕ ϕ⎛ ⎞ ⎛ ⎞sdot =⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠int int ( )0

2 sin u duπ

= int 0cos | 2u π= minus =

習題 16 磁場 B 因為不是保守場所以沒有對應的純量位而對應一

個向量位 A (vector potential)而 B A= nablatimes 一個磁鐵的磁偶極矩

ˆm mz= 被置於原點已知在遠處的 vector potential 03ˆ sin

4mAr

μϕ θπ

=

計算該處的磁場 B Ans 03

ˆˆ( 2cos sin )4

mB rr

μ θ θ θπ

= + 與電偶極遠處

的電場形式一致都是偶極(dipole) 選幾個點畫一畫該處的場向量

把磁力線描出來

附錄本章講義的內容有部分可以經由直接計算得出列在附錄做為

參考

用「圓柱座標」寫 Atimesnabla

Ararr rarrnablatimes ＝ ( )1ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ zz A A zA

z ρ φρ ϕ ρ ϕρ ρ ϕpart part part⎛ ⎞+ + times + +⎜ ⎟part part part⎝ ⎠

4-65

因為rdquo sdotrdquo與rdquotimes rdquo都是向量間的運算所以

＝ ( )ˆ ˆ ˆ ˆ zA A zAρ φρ ρ ϕρpart

times + +part

＋ ( )1ˆ ˆ ˆ ˆ zA A zAρ φϕ ρ ϕρ ϕ

parttimes + +

part

＋ ( )ˆ ˆˆ ˆ zz A A zAz ρ φρ ϕpart

times + +part

直接做上式微分可以得到

＝1ˆ z AA

zϕρ

ρ ϕpart⎛ ⎞part

minus⎜ ⎟part part⎝ ⎠＋ ˆ zA A

zρϕ

ρpart⎛ ⎞part

minus⎜ ⎟part part⎝ ⎠＋

1 1ˆ ( )A

z A ρϕρ

ρ ρ ρ ϕpart⎛ ⎞part

minus⎜ ⎟part part⎝ ⎠

上式可以用一個行列式來表示

rarrrarr

timesnabla A＝

ˆ ˆ ˆ1

z

z

zA A Aρ ϕ

ρ ρϕ

ρ ρ ϕρ

part part partpart part part

（A-1）

A and Anabla nablasdot nablatimes in 球座標 spherical coordinate

如上圖球座標 )( ϕθr 其中 )0[ infinisinr ]0[ πθ isin ]20[ πϕ isin 只有 r

是長度而 ϕθ 為角度是用來說明方向的三個座標的單位向量 ˆ ˆˆ r θ ϕ 具

有下列性質

4-66

1 如上圖 ˆ ˆˆ r θ ϕ 都不是常數而是（ ϕθ ）的函數

ˆ ˆ( )ˆ ˆ( )ˆ ˆ( )

r r θ ϕ

θ θ θ ϕϕ ϕ ϕ

⎧ =⎪

=⎨⎪ =⎩

)( ϕθr 與(xyz)之間的轉換如下

sin cossin sincos

x ry rz r

θ φθ φθ

=⎧⎪ =⎨⎪ =⎩

( )122 2 2

2 2

tan

tan

r x y z

x yz

yx

θ

φ

⎧ = + +⎪⎪ +⎪ =⎨⎪⎪ =⎪⎩

（A-2）

2 ˆ ˆˆ r θ ϕ 形成一「歸一正交集」ie

ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ 1r r θ θ ϕ ϕsdot = sdot = sdot = ˆ ˆr θ ϕperp perp

ˆ ˆr θ ϕtimes = ˆ ˆ rθ ϕtimes = ˆˆ rϕ θtimes = （A-3）

3可以很容易的由他們在 xyz 軸上的投影由直角

座標的 ˆ ˆ ˆ x y z 表出

ˆ ˆ ˆ ˆsin cos sin sin cos ( 4 )ˆ ˆ ˆ ˆcos cos cos sin sin ( 4 )ˆ ˆ ˆsin cos ( 4 )

r x y z A a

x y z A bx y A c

θ φ θ φ θ

θ θ φ θ φ θϕ φ φ

= + + minus⎧⎪

= + minus minus⎨⎪ = minus + minus⎩

4 ˆdr = 由於 ˆ ˆ( )r r θ φ= 所以由 ϕθ 的變動來看

4-67

ˆ ˆˆ| |ˆ ˆˆ| | sin sin

d r d d

d r d d

θ θθ θθ

φ θ φφ θ φφ

⎧ rArr =⎪⎨

rArr =⎪⎩rArr ˆ ˆˆ sindr d dθ θ φ θ φ= + （A-5）

rArrˆ ˆr θθpart

=part

ˆ ˆsinr θφφpart

=part

（A-6）

（A-6）的結果也可以直接由（A-4a）對 ϕθ 偏微得到

5 ˆdθ ＝ 由於 ˆ ˆ( )θ θ θ φ= 所以由 ϕθ 的變動來看

ˆ ˆ ˆ| | ( )ˆ ˆ ˆ| | cos cos

d d r d r

d d d

θ θ θ θ

φ θ θ φφ φ θ φ

⎧ rArr minus = minus⎪⎨

rArr =⎪⎩rArr ˆdθ ＝ ˆˆ cosrd dθ φ θ φminus + （A-7）

ˆrθ

θpart

rArr = minuspart

ˆ ˆcosθ φ θφpart

=part

（A-8）

請直接由（A-4b）對 ϕθ 偏微的結果 check（A-8）

6 ˆdφ ＝由於φ )(ϕ 躺在 x-y 平面上變動φ時的方向可能不是那麼

容易看出來所以做圖看一看

ie ˆ ˆˆ(sin ) (cos )d r d dφ θ φ θ θ φ= minus minus （A-9）

4-68

ˆ ˆˆsin cosrφ θ θ θφpart

= minus minuspart

7 所有的向量 ˆ ˆˆ rA rA A Aθ φθ φrarr= + +

8 位置向量 ˆr rrrarr=

可以由左圖 ˆ ˆˆ r θ ϕ 三個方向的「長度

變化」輕易的看出

9 位移元素

ˆ ˆˆ ˆ sindr rdr rd dθ θ ϕ θ φ= + + (A-10)

10 體積元素

sindv dr r d rdθ φ θ= sdot sdot

＝ 2 sinr dr d dθ θ φ (A-11)

11 面積元素 2 sinrds r d dθ θ φ= plusmn sinds r drdθ θ φ= plusmn ds rdrdφ θ= plusmn (A-12)

plusmn號表示面的垂直方向有兩個端看 ds 周邊的方向是如何定的

nabladel 考慮 ( )u u r θ φ=

rArru u udu dr d dr

θ φθ φ

part part part= + +part part part

u d rrarr rarr

equiv nabla sdot

urarr

= nabla sdot ˆ ˆˆ( sin )rdr rd dθ θ φ θ φ+ +

rArr1 1ˆ ˆˆ

sinu u uu rr r r

θ ϕθ θ φ

rarr part part partnabla = + +

part part part

1 1ˆ ˆˆsin

rr r r

θ ϕθ θ φ

rarr part part partnabla equiv + +

part part part （A-13）

4-69

直接用（A-13）與 ˆ ˆˆ rA rA A Aθ φθ ϕrarr= + + 逐項內積加上（A-678）

rArr ϕθ

θθθ

ϕθ part

part+

partpart

+partpart

=sdotnablararrrarr A

rA

rAr

rrA r sin

1)(sinsin1)(1 2

2 （A-14）

（A-13）與 ϕθ ϕθ AAArA r

andandandrarr

++= 逐項外積整理之後

ϕθ θϕθ

ϕθθ

θArrAA

r

rrr

rA

r sin

sin

sin1

2 partpart

partpart

partpart

=timesnabla

andandand

rarrrarr

（A-15）

Laplacian uu nablasdotnabla=nabla2

2

2

2222

22

sin1)(sin

sin1)(1

ϕθθθ

θθ partpart

+partpart

partpart

+partpart

partpart

=nablau

ru

rrur

rru （A-16）

B推導「散度」在圓柱座標的寫法

讓我們先回顧一下在直角座標裡的「面積元素」可以由「位移元素」

得到

ˆˆ ˆ x y zdr idx jdy kdz da dydz dxdz dxdy= + + rArr =

比照辦理「圓柱座標」的位移元素

( )ˆˆ ˆ( )

( )z

da d dzdr d d zdz da d dz

da d d

ρ

φ

ρ φ

ρ ρ φ ρ φ ρ

ρ ρ φ

=⎧⎪= + + rArr =⎨⎪ =⎩

這個結論可以輕易的由面積元素在垂直於 zˆˆ ϕρ 三個方向的面積看

出如下圖考慮一個以 )( zϕρ 為中心的「圓柱體積元素」(cylindrical

cubiod)體積為 zdV ΔΔ=Δ ϕρρ 現計算在 ρ

方向的 12 兩個平行面(方向各為 ρplusmn )的通

量

4-70

zzF

dsFdsnFS S

ΔΔ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

+cong

=sdotintint intintϕρρϕρρρ

ρ

2

2

ˆ1 1

zzF

dsFdsnFS S

ΔΔ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

minus⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

minusminuscong

minus=sdotintint intintϕρρϕρρρ

ρ

2

2

ˆ2 2

intint+

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

minus⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

minusminus⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

+Δ

asympsdotΔ

rArr21

22

22

1ˆ1

SS

zFzFdsnFV

ϕρρρρϕρρρρρρ ρρ

( ) ( )

1 20

0

0

1 ˆlim

1lim 2 2 2 2

1 1lim 2 2

1

VS S

F ndsV

F z F z

F z F z

F

ρ ρρ

ρ ρρ

ρ

ρ ρ ρ ρρ ρ φ ρ ρ φρ ρ

ρ ρρ ρ φ ρ ρ φρ ρ

ρρ ρ

Δ rarr+

Δ rarr

Δ rarr

rArr sdotΔ

Δ Δ Δ Δ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + + minus minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥Δ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦Δ Δ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥Δ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

part ⎡ ⎤= ⎣ ⎦part

intint

娛樂一下用上述方式把圓柱的 Fsdotnabla 裡的z

FF z

partpart

+partϕρϕ1

變出來

球座標的nabla和 Fsdotnabla 也可以試試看

補充習題

H M Scheydiv grad curl and all that 4th edition

第二章習題 6 8 9 10 11 14 15 16 18 19 21 22 23 25 26 27

第三章習題 2 3 5 6 7 8 9 10 11 14 15 17 18 19 24

4-23

位移由 ˆ ˆˆ( )r θ ϕ 3 個方向的「長度

分量」可得 ˆ ˆˆ ( ) ( sin )dr rdr rd r dθ θ ϕ θ ϕ= + +

（4-56）

所以體積元素

2

( )( sin )(sin )

d dr rd r dr dr d d

τ θ θ ϕ

θ θ ϕ

=

= （4-57）

Fig 31 和 Fig 27 一樣重要只要

你能畫得出來就可以寫出球座

標位移的三個分量

ex21 求一半徑 R 的球體積 2

2 2 3

0 0 0

4sin sin3

R

V d r dr d d r dr d d Rπ π

τ θ θ ϕ θ θ ϕ π= = = =int intintint int int int

ex22 求一質量 M半徑 R密度 ( )3 4 3M Rρ π= 的實心球對直徑

旋轉的轉動慣量

解質量元素 2 sindm d r dr d dρ τ ρ θ θ ϕ= = 到 z 軸的垂直距離為 sinr θ=

22 4 3

0 0 0

5 52

sin

4 8 225 3 15 5

RI dm r dr d d

R R MR

π πρ θ θ φ

πρ π ρ

= =

= sdot sdot = =

intintint int int int

娛樂一下空心球對直徑的轉動慣量

(4-46)式與(4-54)式說明柱座標和球座標與直角座標之間的轉

換Fig 32 可得出柱座標和球座標之間轉換

2 2

sintan

cos

r zr

zz r

ρρ θ

ρϕ ϕ θθ ϕ ϕ

⎧ = += ⎪⎧

⎪ ⎪= =⎨ ⎨⎪ ⎪=⎩ =⎪

⎩

（4-58）

4-24

Ex23 點 P 的球座標為（31200 600）求柱座標＝

解2 3 33sin3 2πρ ⎛ ⎞= =⎜ ⎟

⎝ ⎠

23

ϕ π= 2 33cos3 2

z π minus⎛ ⎞= =⎜ ⎟⎝ ⎠

直角座標柱座標球座標單位向量之間的轉換

三種座標之間的轉換由(4-46)式(4-54)式與（4-58）式表出但

三種座標裡的的三個單位向量 ˆ ˆ ˆ x y z ˆ ˆ ˆ zρ ϕ ˆ ˆˆ r θ ϕ 若以 123ˆ iu =

表示則單種座標的單位向量之間都有正交歸一關係

ˆ ˆi j iju u δsdot = 與外積的循環關係

ˆ ˆ ˆ i j ku u u i j ktimes = cyclic in 123

ie 1 2 3 2 3 1 3 1 2ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ u u u u u u u u utimes = times = times = or ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆˆ ˆ r z z x yθ ϕ ϕ ρtimes = times = times =

然而不同座標系的單位向量之間關係如何我們畫圖來討論

球座標 ˆ ˆˆ( )r θ ϕ rarr直角座標 ˆ ˆ ˆ( )x y z

單位向量都是用來指方向的球座標的 ˆ ˆˆ( )r θ ϕ 都是「方向角」( )θ ϕ

的函數 r 在直角座標可以由 Fig33 看出

ˆ ˆ ˆ ˆsin cos sin sin cosr x y zθ ϕ θ ϕ θ= + + （4-59）

ex24 P 點的球座標為2 75 3 6π π⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠

試用球座標與直角座標求 P 點的位

置向量的單位向量 解位置向量 ˆr rr= 在球座標只有 r-分量標位置仔細一點把方向

角標出2 7ˆ 3 6

r π π⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

通常只是寫 r 令人有點摸不著頭緒用直角

4-25

座標比較「具像」 2 7 2 7 2ˆ ˆ ˆ ˆsin cos sin sin cos3 6 3 6 3

3 3 1ˆ ˆ ˆ4 4 2

r x y z

x y z

π π π π π⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞minus minus minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + +⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

單位向量θ 在某一組 ( )θ ϕ 的指向如 Fig 34a將θ 平移至原點更清楚

Fig34b 是由側面看 Fig34a可以看到θ 在 z 軸的投影為 sinθminus 而θ 在

x-y 平面的投影為cosθ使得θ 在 x-軸的投影為cos cosθ ϕy-軸投影

為cos sinθ ϕ於是

ˆ ˆ ˆ ˆcos cos cos sin sinx y zθ θ ϕ θ ϕ θ= + minus （4-60）

單位向量ϕ 如 Fig 35a 所示是在 x-y 平面畫出

Fig 35b 為自 z 軸向下看 Fig35a 圖可以看出ϕ 在 z 軸投影為 0且

ˆ ˆ ˆsin cosx yϕ ϕ ϕ= minus + （4-61）

ex25 一個質點的速率為 2( ) ( sin tan )v r rθ ϕ θ ϕ= 若經查該質點的運

動 是 在 z = 3 平 面 做 逆 時 針 圓 周 運 動 則 當 位 置 的 方 向 角

4-26

2( ) 4 3π πθ ϕ ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

時計算其速度用球座標與直角座標表出

解圓運動速度方向是沿切線所以球座標 ˆ ˆ( )v v v rϕ θ ϕ ϕ= =

z = 34πθ =

3 3 21cos cos 24

z zrπθ

rArr = = = =⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

所以該處的瞬時速率

2 2

2( ) 3 3 4 3

2 1 813 3sin tan 3 3 ( 3)4 3 22

v r v π πθ ϕ

π π

⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

⎡ ⎤ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = times minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

2 81 2ˆ3 3 4 3 2 4 3

v r π π π πθ ϕ ϕ⎛ ⎞ ⎛ ⎞rArr = = = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

在直角座標2 2 2ˆ ˆ ˆ sin cos

4 3 3 3x yπ π π πϕ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠3 1ˆ ˆ

2 2x y= minus minus

而且點23 3

4 3π π⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠

的直角座標為

2 1 3 3sin cos 3 3sin cos 3 34 3 2 22 2

x r π πθ ϕ minus minus⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

2 3 9sin sin 3 3sin sin 3 34 3 2 2 2 2

y r π πθ ϕ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = = =⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

z = 3

23 3 4 3

v π π⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

3 3 9 81 3 1ˆ ˆ 32 2 2 2 22 2

v x y⎛ ⎞ ⎛ ⎞

rArr = minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

以上兩個例子都只討論只有一個圓座標分量的向量in general 向量

ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( )r x y zA r rA A A A r xA yA zAθ ϕθ ϕ= + + hArr = + + （4-61）

若已知球座標的分量 ( )rA A Aθ ϕ 如何得到直角座標的

( )x y zA A A

4-27

ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( )ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( )

ˆ ˆˆˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( )

x r

y r

z r

A x A r x r A x A x A

A y A r y r A y A y A

A z A r z r A z A z A

θ ϕ

θ ϕ

θ ϕ

θ ϕ

θ ϕ

θ ϕ

⎧ = sdot = sdot + sdot + sdot⎪⎪ = sdot = sdot + sdot + sdot⎨⎪

= sdot = sdot + sdot + sdot⎪⎩

（4-62）

由式（4-59）（4-61） ˆ ˆ ˆ ˆsin cos sin sin cosr x y zθ ϕ θ ϕ θ= + + （4-59） ˆ ˆ ˆ ˆcos cos cos sin sinx y zθ θ ϕ θ ϕ θ= + minus （4-60）

ˆ ˆ ˆsin cosx yϕ ϕ ϕ= minus + （4-61） ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆsin cos cos cos sin ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆsin sin cos sin cos ˆ ˆˆˆ ˆcos sin 0

x r x x

y r y y

z r z z

θ ϕ θ θ ϕ ϕ ϕ

θ ϕ θ θ ϕ ϕ ϕ

θ θ θ ϕ

⎛ ⎞sdot = sdot = sdot = minus⎜ ⎟

rArr sdot = sdot = sdot =⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟sdot = sdot = minus sdot =⎝ ⎠

（4-63）

sin cos cos cos sin sin sin cos sin cos

cos sin 0

x r r

y RS

z

A A AA A M AA A A

θ θ

ϕ ϕ

θ ϕ θ ϕ ϕ

θ ϕ θ ϕ ϕ

θ θ

⎛ ⎞minus ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟rArr = equiv⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟minus⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

（4-64）

其中 SRM 為由球座標分量轉為直角座標分量的轉換矩陣且行列式

det SRM =1 表示反矩陣存在then 1SRM minus 就是將直角座標分量轉為球座

標分量之轉換矩陣其實嚴格講 (4-64)式還不是最終的表示因為

轉換完的直角

座標應該全部以 x y z 表出這裡保留用 θ ϕ 只是為了簡潔方便

習題 2 Find 1SRM minus

習題 3 用 xyz 表出(a)sinθ (b)cosθ (c)sinϕ (d)cosϕ

Ans (a)2 2

2 2 2sin

x yx y z

θ+

=+ +

(b)2 2 2

cos zx y z

θ =+ +

(c)2 2

sin yx y

ϕ =+

(d)2 2

cos xx y

ϕ =+

習題 4 用上面結果將 SRM 用 xyz 表出

Ex26 Given a field ( )A r θ ϕ ＝ ˆ ˆˆ2 3r θ ϕ+ minus in spherical coordinates

find the field in rectangular coordinates （直角座標）

4-28

解這裡的 ( )A r θ ϕ 不因其三個分量都是常數而只是「一個」向量

而是一 vector field這是因為 ˆ ˆˆ r θ ϕ 都不是定值而與 θ ϕ 有關而如

果 ( )A r θ ϕ 表示則單位向量所對應的角度 θ ϕ 必須要標定所以

sin cos cos cos sin 2sin sin cos sin cos 3

1cos sin 0

x

y

z

AAA

θ ϕ θ ϕ ϕ

θ ϕ θ ϕ ϕ

θ θ

⎛ ⎞minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ minusminus⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

(2sin 3cos )cos sin(2sin 3cos )sin cos

2cos 3sin

x

y

z

AAA

θ θ ϕ ϕθ θ ϕ ϕ

θ θ

+ +⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟rArr = + minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟minus⎝ ⎠ ⎝ ⎠

習題 5 Draw a diagram to show in the cylindrical coordinates

(a) ˆ ˆ ˆcos sinx yρ ϕ ϕ= + (b) ˆ ˆ ˆsin cosx yϕ ϕ ϕ= minus + (c) ˆ ˆz z=

習題 6 use the above results show that 由柱座標分量轉為直角座標分

量的轉換矩陣

x

y CR

z z

A AA M AA A

ρ

ϕ

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟=⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

CRM =

2 2 2 2

2 2 2 2

0cos sin 0sin cos 0 0

0 0 10 0 1

x yx y x y

y xx y x y

ϕ ϕ

ϕ ϕ

minus⎛ ⎞⎜ ⎟+ +⎜ ⎟⎛ ⎞minus⎜ ⎟⎜ ⎟

= ⎜ ⎟⎜ ⎟+ +⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

Ex27 Express vector ˆ ˆ ˆ(3cos ) 2 5A zρ ϕ ϕ ρ= minus + in Cartesian

coordinates Specifically the A at the position of (2 2 3π -3)

解

2cos sin 0 3cos 3cos 2 sinsin cos 0 2 3cos sin 2 cos

5 50 0 1

x

y

z

AAA

ϕ ϕ ϕ ϕ ρ ϕϕ ϕ ρ ϕ ϕ ρ ϕ

⎛ ⎞minus ⎛ ⎞+⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟= minus = minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

so that A (2 2 3π -3)= 3 3 3ˆ ˆ ˆ3 3 3 54 4

x y z⎛ ⎞⎛ ⎞+ + minus +⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠注意本

題裡 z 座標並非一變數

4-29

sect 43 Fields and its properties 場與其性質

「場 field」是什麼凡是在「某個空間中每一點」都有定義的量

就是一個「場」所以「場」也稱為「點函數 point function」簡單的

說凡是「空間的函數」都是「場」如果這個「空間的函數」是一個

純量 u(xyz)那麼 u(xyz)就是一個「純量場 scalar field」例如室內

的溫度 T(xyz)一塊豬肉的密度 ( )x y zρ 大氣中的壓力 p(xyz)等

都是純量場如果這個「空間的函數」是一個向量 )( zyxA 那麼

)( zyxA 就稱為「向量場 vector field」例如空間中的電場 )( zyxE

水流中的速度場 )( zyxv 重力場 )( zyxg 等等很顯然的不論是純量

場還是向量場「場」在空間中的分佈通常未必是均勻的那麼她有

什麼性質呢例如一塊豬肉內部密度是如何變化的水流中有沒有

漩渦大氣中的等壓線是如何變化的等等那麼有沒有什麼量可以

有系統的描述各種場的分佈有我們在以下分別討論

sect 431 Gradient of scalar fields 純量場的梯度

考慮一個純量場 f(xyz)可以視為 3 個變數 xyz 的函數當變數變動為

x+dx y+dy z+dy 時造成 f 的變化

f f fdf dx dy dzx y zpart part part

= + +part part part

（4-65）

由幾何意義來看上式更為具體上式表示純量場 )(rf 基於位置的變化

r r drrarr + (或由 ( ) ( )x y z x dx y dy z dzrarr + + + )所造成 f 的變動

我們現在定義一個向量算符 vector operator nabla (or nabla )（讀做 del）

ˆ ˆ ˆx y zx y zpart part part

nabla equiv + +part part part

(4-66)

如果將 del 作用在純量場 )(rf 上將產生出現一個新的「向量場」 fnabla

稱為純量場「 )(rf 的『梯度 gradient』」

4-30

ˆ ˆ ˆ( ) f f fgrad f f x y zx y zpart part part

equiv nabla = + +part part part

（4-67）

這使得由於任意位移 ˆ ˆ ˆdr xdx ydy zdz= + + 所造成 f 的變化量

df f drrArr =nabla sdot （4-61）

ex28 Given scalar field 2( )f r xy z= and 2 2 2

1 1( )g rrx y z

= =+ +

(a) find the value of ( )f r and fnabla at point P(2 1-1) 解 2(21 1) 2 1 ( 1) 2f minus = times times minus = minus

2 2 2

2 2

ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( )

ˆ ˆ ˆ( ) ( 2 ) ( )

f x xy z y xy z z xy zx y z

x y z y x yz z xy

part part partnabla = +

part part part

= +

＋

＋

ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ(21 1) ( 1) (2 2) (2) 4f x y z x y znabla minus = minus + timesminus = minus minus＋ ＋2 (b) find the value of ( )g r and gnabla at the point P

解2

1 1(21 1)62 1 1

g minus = =+ +

2 2 2 12 2 2 2 12

2 2 2 12

ˆ ˆ( ) ( )

ˆ ( )

g x x y z y x y zx y

z x y zz

minus minus

minus

part partnabla = + + + + +

part partpart

+ +part

＋

2 2 2 32 2 2 2 32 2 2 2 32

2 2 2 32 3 2

ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( )

ˆ ˆ ˆˆ( )( )

OR OR

xx yy zzgx y z x y z x y zxx yy zz r r

x y z r r

minus minus minusrArrnabla = + +

+ + + + + +minus + + minus minus

= = =+ +

32

ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ(2 ) 2(21 1)6 6 6

x y z x y zg minus + minus minus minus +rArrnabla minus = =

由 gnabla 看到一個粉常用的結果就是

3 2

ˆ1 ORr rr r r

minus minusnabla = = （4-62）

順便比較一下

2 2 2 12 2 2 2 12 2 2 2 12

2 2 2 12

ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( )

ˆ ˆ ˆ( ) ˆ (4 63)( )

r x x y z y x y z z x y zx y zxx yy zz r r

x y z r

part part partnabla = + + + + + + +

part part part+ +

= = = minus+ +

＋

4-31

(c) what is the angle between (21 1)fnabla minus and (21 1)gnabla minus

解 (21 1)fnabla minus (21 1)gsdotnabla minus ＝（ ˆ ˆ ˆ4x y zminus minus ＋2 ） sdotˆ ˆ ˆ26 6x y zminus minus +

＝2 4 2 4

6 6 3 6+ +

= ＝ | (21 1) |fnabla minus | (21 1) |gnabla minus cosθ

＝ 34 1 1 211 16 4 cos cos

6 6θ θ+ +

+ + =

1 4 2cos 07773 7

radθ minus ⎛ ⎞= =⎜ ⎟

⎝ ⎠

要注意隨然nabla有向量的性質但是他並不是一個真的向量真

實向量 A與純量 f ( )r 的乘法滿足交換率ie ( ) ( )Af r f r A= 但是

f fnabla ne nabla因為

( )f rnabla ＝ ˆ ˆ ˆf f fx y zx y zpart part part

+ +part part part

是一個向量函數而

ˆ ˆ ˆ( )f r x y zx y z

⎛ ⎞part part part+ +⎜ ⎟part part part⎝ ⎠

是一個算符（operator）

若nabla要與向量場 A 作用由於nabla與 A 都具有向量的性質先看「內積」

ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ( )

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

x y z

x y

z

y yx xz z

A x y z xA yA zAx y z

x y z xA x y z yAx y z x y z

x y z zAx y z

A AA AA Ax x x y x zx y z x y z

⎛ ⎞part part partrArrnablasdot = + + sdot + +⎜ ⎟part part part⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞part part part part part part= + + sdot + + + sdot⎜ ⎟ ⎜ ⎟part part part part part part⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞part part part

+ + + sdot⎜ ⎟part part part⎝ ⎠part partpart partpart part

= sdot + sdot + sdot + sdotsdot sdot = + +part part part part part part

yx zAA AAx y z

partpart partnablasdot = + +

part part part (4-64)

上式中的 Anablasdot 是向量場 A 的一個重要的性質稱為 A 的「散度」詳

細的內容在後面會仔細討論這裡引進 Anablasdot 主要是要表明nabla是個「算

符」表示一個運算不是一個真實的向量只是在「直角座標」裡

4-32

因為單位向量 ˆ ˆ ˆ x y z 是常數不受微分的作用以致nabla表現得好像也

是個一般的向量一樣事實上真實向量和nabla間的「內積」就不滿足交

換率

x y zA A A A an operator Ax y zpart part part

sdotnabla = + + = ne nablasdotpart part part

(4-65)

這也使得任意向量場 ( )A r 因位置變動 r r drrarr + 而產生的變化由於

)( zyxA 也是 3 個變數 xyz 的函數可以寫為

( )A A AdA dx dy dz dr Ax y z

part part part= + + = sdotnabla

part part part （4-66）

ex29 (a)Given field 2ˆ ˆ ˆ2A xxy y x zyz= minus + find Anablasdot at point (1-12)

解2( ) (2 ) ( ) 2xy x yzA y yz

x y zpart part part

nablasdot = + + = +part part part

(1 12)1 2( 1)2 3A

minusnabla sdot = minus + minus =

(b) find rnablasdot 解 rnablasdot = 3x y zx y zpart part part

+ + =part part part

梯度的意義

由（4-67）可以看到「f 的梯度 fnabla 」

是一個由「純量場 f」衍生出的向量

場由（4-26）也可以看出 fnabla 扮演類

似「變化率」的角色

空間中將相同值 f ( )r ＝f1 的點連

起來就得到一個 f ( )r ＝f1 的「等值面」如 Fig36考慮純量場 f( r )的

相鄰兩個等值面各對應定值 1f f= 與 1f f df= + 0df gt P1 點在 f1

等值面上相鄰兩點 P2P3 在 1f df+ 等值面上而向量 1 2 ˆnP P dn e dn= =

過 P1 點垂直於 f1 等值面 1 3 ˆP P d e d= = 與 ˆne dn夾角為α 由於不

論 1 2P Prarr 或 1 3P Prarr f 的變化量都是 df 但因距離 dn 係兩等值面最

4-33

短的距離d dngt 所以 1 2P Prarr 或 1 3P Prarr 造成的「變化率」df dfdn d

gt

而過 P1 點的最大變化率為dfdn

換言之向量 ˆndfedn

為過 P1 點垂直於

f1 等值面且指向最大「增加率」的方向 現在要證明

ˆndfe fdn

= nabla （4-67）

考慮 1 3P Prarr 造成的 f 值的變化率

ˆ ˆcos n ldf df dn df df e edl dn dl dn dn

α= = = sdot

ˆ ˆ ˆn l ndf dfdf e e dl e dldn dn

rArr = sdot = sdot

和（4-61）式df f dr= nabla sdot 相比即可得證 ˆndfe fdn

= nabla 所以可以知道

空間純量場 f ( )r 中任一點處的向量 fnabla 必「垂直」於「通過該點的 f的等值面」且指向 f 值最大「增加率」的方向| ( )f rnabla |就是 f 在 r 點

的最大增長率可以進一步定義等值面的「法線 normal」方向為

ˆ fnf

nabla=nabla

（4-68）

結論給定一個純量場 f( r )在每一點 r 可以定義一個稱做「梯度」

的向量 fnabla fnabla 垂直於過 r 點的 f 等值面且指向最 f 大增加率的方向

fnabla 的方向也定義了 f 等值面的法線方向

Ex30 考慮一個 2D 的 scalar field 2( )f x y y x= minus 計算該場在 )20( 的梯度與

法線方向

解 ˆ ˆ ˆ ˆ2f ff x y x yyx ypart part

nabla = + = minus +part part

ˆ ˆ(0 2) 2 2f i jnabla = minus + ˆ ˆ ˆ ˆ2 2 2 2ˆ(0 2)

31 8i j i jn minus + minus +

rArr = =+

4-34

ex31 點電荷 q 置於原點其產生電位為 ( ) qV rr

= 求負梯度qr

minusnabla

解 3

2 2 2 22 2 2

2 ( )2

q q q q x x y zr x rx y z

minuspart minus= rArr = sdot + +

part+ +

3 23

ˆˆ ˆ ˆ( )q ix jy kz r rq q qr r r r

minus + +rArr minusnabla = minus = = （點電荷的電場）

0 0

1 1 r r

noter r= =

nabla rarrinfin rarrinfin∵ 是不定值是因為 r = 0 處為最大值

「增加率」的方向無法確定

ex32 置一熱源於原點空間溫度分佈為1( )

( 2)T r

r=

+求溫度的梯度

解 2 2 2

ˆ( ) ( )( 2) ( 2) ( 2)

x rT r rr rT r

x r r r

minuspart minus

= rArrnabla = =part + + +

此處的負號表示梯

度指向熱源因為距熱源越遠溫度越低 ( 0)note T rnabla = 為不定值

因在最頂點「增加率」的方向無法確定

Ex33 地圖上山脈的等高線上各點的垂直方向由梯度決定現有一座

山是橢球 2)1(4 222 =+++ zyx 在 x-y 平面上方的

部分求地圖上這座山等高線的梯度

解 山高 142 22 minusminusminus== yxzh 所以等高線為橢

圓 222 )1(24 +minus=+ hyx 梯度

( ) ( ) ( )2 2 2 2

2 2

ˆ ˆ4ˆ ˆ2 4 1 2 4 1

2 4

xx y yh x x y y x y

x y x y

minus +part partnabla = minus minus minus + minus minus minus =

part part minus minus

所以自山腳（h=0）登山若由(012)開始 ˆ(01 2) 2h ynabla = minus 但若由

)02(minus 開始爬山 ˆ( 20) 2h xnabla minus = 可見 )02()210( minusnablagtnabla hh 這表

示由 y-軸登山山勢較陡所以「梯度」比由 x-軸登山為大這也更

清楚瞭解「梯度」的幾何意義

4-35

sect 432 Divergence 散度與 Curl 旋度

在(4-66) 我們建立了一個直角座標 vector operator 「del」

ˆ ˆ ˆx y zx y zpart part part

nabla equiv + +part part part

(4-66)

若與向量場 A 做「內積」與「外積」就建構了 A 的「散度」與「旋度」

散度 A A scalaryx zAA Adiv ax y z

partpart partequiv nabla sdot = + + =

part part part （4-69）

旋度

y yz x z x

ˆ ˆ ˆ y z A vector

A AA A A Aˆ ˆ ˆxy z z x x y

x y z

x y z

xcurl A a

A A A

y z

⎧⎪

= nablatimes = part part part =⎪⎪⎨⎪

part part⎛ ⎞ ⎛ ⎞part part part part⎛ ⎞⎪ = minus + minus + minus⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎪ part part part part part part⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎩

(4-70)

這裡定義的只是「散度」與「旋度」所謂「操作型的定義」告訴我

們如何計算的式子事實上她們都具有重要的物理意義我們在後面

會討論

ex34 ˆ ˆA xy yx= minus 求其散度與旋度

解 0 0y xAx ypart part

nablasdot = minus + =part part

ˆ ˆ ˆ y zˆ ˆ ˆ ˆ 0 0 ( 2) 2

0 x y z

xA x y z z

y xnablatimes = part part part = minus + minus = minus

minus

右圖示意了本向量場的分佈看得出像個漩渦也看到算出的旋度

0ne 看來旋度表現的應該是向量場「旋轉的程度」事實上我們在

後面會看到「旋度」表現的就是是向量場在空間各點「旋轉的程度」

本題的向量場在每一點的旋轉程度都一樣

4-36

Ex35 ( )ˆ ˆ ˆ A xx yy zz r= + + = 求其散度與旋度

解 3A rnablasdot = nablasdot = ˆ ˆ ˆ y z

0

x y z

xA

x y znablatimes = part part part =

由場分佈的示意圖可以看出本向量場是自原點向外射出好似在原

點有一個場線的「源頭 source」但是 3Anablasdot = 為一個常數表示好像到

處都有 source同時旋度為 0 也可以配合本場並無旋轉的形象事實

上「散度」表現的就是是向量場在空間各點產生「場線」的 source

記得靜電學裡的庫倫定律 0E ρ εnablasdot = 電場的散度就是「電荷密度」

(電場的 source)前一題的向量場看來對應的場線是封閉的所以沒有

source這也對應了其散度＝0不過一個向量場的散度旋度究竟是

多少應該詳細的計算場分佈圖形有時候不是那麼容易看的清楚

兩個 useful identities (恆等式)

(a) ( ) 0 0f curl of a gradnablatimes nabla = =

(b) ( ) 0 0A div of a curlnablasdot nablatimes = =

pf (a) ( )ˆ ˆ ˆ x y z

x y z

x y z

ff f f

nablatimes nabla = part part part

part part part

( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2xz zxˆ ˆ ˆx y f- f z 0yz yz xy yxf f f f= part minus part minus part part + part minuspart =

這個結果與真實的向量外積 ( ) AA 0=times 有相似之處但是這只是特

例要記得nabla並不是一個真正的向量

( ) ( ) ( )

( )

ˆ ˆ ˆ y zˆ ˆ ˆ x y z

0

x y z y z z y x z z x x y y x

x y z

xy z xz y xy z yz x xz y yz x

xA A A A A A A

A A A

A A A A A A A

nablatimes = part part part = part minus part minus part minus part + part minus part

nablasdot nablatimes = part minuspart minuspart +part +part minuspart =

4-37

此結果與真實的向量運算有相似之處 ( )( )0 (B A) BB B Asdot times = times perp∵

但是這仍只是特例因為我們可由下列例子 ( ) 0A Asdot nablatimes ne 看出事實上

nabla並不是一個真正的向量 Ex36 ˆ ˆ ˆA xy yx zx= minus +

( )

ˆ ˆ ˆ y zˆ ˆ ˆ 0 1 ( 2)

2 0

x y z

xA x y z

y x x

A A x x x

nablatimes = part part part = minus + minus

minus

sdot nablatimes = minus = minus ne

面積元素向量

物理上時常會遇到面積分例如電通量磁通

量等等考慮一個面積元素 ds定義「面積的

方向」為其「法線方向」並定義面積元素向量

ˆnds a dsequiv （4-71）

要注意的是(1)如果 ds 是一個「封閉面

closed surface」（即有裡外之分）的一部

份則 ˆna 定義為「由內向外」(2) 如果 ds

是一個「開放面 opened surface」（即分不

出裡外）的一部份那麼 ds 必被其邊緣

（一個封閉的曲線 C）所包圍這樣在定

出ds 的方向之前要先定義「邊緣曲線」

C 的方向再由右手定則定義 ˆna 的方向

既然面積已為一個向量就可以寫為分量表示以直角座標

ˆ ˆ ˆx y zds xds yds zds= + + (4-72)

那麼這些分量 dsx dsy dsz 會是什麼既然 dsx 的方向是 x 就表示 dsx

是躺在 y-z 平面上所以 dsx 的兩邊是 dy 與 dz rArr xds dydz= 依此類

4-38

推 dsy 的方向是 y 所以躺在 x-z 平面rArr yds dxdz= hellip可以得知

xds dydz= yds dxdz= zds dxdy= （4-73）

不過要注意在寫面積元素時要看討論的面實際

是什麼面上式的三個分量有可能會是負的例如

左圖座落在第一象限的立方體的 A 面方向就在 xminus

方向Arsquo面在 yminus Ardquo面在 zminus 方向寫面積元素最

好是先把討論的面的方向搞清楚把plusmn號寫在單位向量前面那麼分

量就都用＋的即可其實面積元素體積元素都可以由位移元素看出

ˆ ˆ ˆdr xdx ydy zdz= + +

dx dy dz 是沿著 ˆ ˆ ˆ x y z 方向的長度所以面積元素分量的兩邊長度就

是由其中兩個組成而體積的三邊也就是三個垂直方向的長度

x y zdV dx dy dz and ds dydz dxdz dxdyrArr = = （4-74）

這個概念在其他的座標系統也成立我們可以方便的寫出面積元素

Recall 柱座標的位移向量元素

cylindrical coordinate ˆ ˆ ˆdr d d dzzρρ ρ ϕϕ= + + （4-48）

ˆ ˆ ˆ zds ds ds zdsρ ϕρ ϕ= + + (4-75)

dsρ 躺在 zϕ minus 平面dsϕ 在 zρ minus 平面 zds 在ρ ϕminus 平面

rArr zds d dz ds d dz ds d d d dρ ϕρ ϕ ρ ρ ρ ϕ ρ ρ ϕ= = = sdot = （4-76）

上面的結果畫個圖看看吧球座標的位移向量元素

Spherical coordinate ˆ ˆˆ ( ) ( sin )dr rdr rd r dθ θ ϕ θ ϕ= + + （4-56）

ˆ ˆˆ rds rds ds dsθ ϕθ ϕ= + + （4-77）

rArr sin sin rds rd r d ds dr r d ds rd drθ ϕθ θ ϕ θ ϕ θ= sdot = sdot = sdot (4-78)

4-39

向量場 ( )A r 在 S 面上的「面積分（surface integral）」or「flux」

如左圖若有一「平面」S 且其上有「均勻」

場 B 分佈則通過 S 面的通量就是

ˆB B nSΦ = sdot

但考慮一任意「非均勻」向量場 ( )A r 在空間分佈選取任意曲面 S

探討 ( )A r 在 S 上之通量若ds 為 S 面上的面積元素在趨近於 0 的

小面積ds 上 A可視為均勻所以通過ds 之通量為 ( )d A r dsΦ = sdot 則 S

面之總通量為

Φ＝ ˆ cosS S S

A ds A nds A daϕsdot = sdot =int int int

( )OR

x x y y z zS

A da A da A da= + +int (4-75)

稱為 A 在 S 面上的「面積分」或「通量 flux」

上圖所繪就是一個任意面上分割出許多小面積舉出三個位置的通

量有+-與 0如果 S 面是為一「封閉面」則面積分寫為

S

A dssdotint （4-76）

4-40

ex37 Given 2ˆ ˆ ˆyzA xyz yx zx= + + 計算通量S

A dssdotint

S 面為在第一象限邊長＝1 的立方體表面封閉面

解立方體分為前後右左上下六個面分開算 1前面（x=1）

方向 x+ ˆ xA ds A xdydz A dydzsdot = sdot =int int int前 前 前

yzdydz= int前 ＝1 1

0 0

1 1 12 2 4

ydy zdz = sdot =int int

2後面(x=0)方向 xminus ˆ(- ) - xA ds A x dydz A dydzsdot = sdot =int int int後 後 後

yzdydz= minusint後1 1

0 0

-1 1 -12 2 4

ydy zdzminus = sdot =int int

3 右面（y=1）方向 y+ y ( 1)yA ds A dxdz A y dxdzsdot = sdot = =int int int右 右 右

( 1)x y zdxdz= =int右 ＝1 1

0 0

1 1 12 2 4

xdx zdz = sdot =int int

4 左面（y=0）方向 ˆ-y ˆ( y) - ( 0)yA ds A dxdz A y dxdzsdot = sdot minus = =int int int左 左 左

( 0) 0x y zdxdz= = =int左

5 上面（z=1）方向 z+ zz y (z 1) yA ds A dxd A dxdsdot = sdot = =int int int上 上 上

2 yx dxd= int上 ＝1 120 0

1 1y 13 3

x dx d = sdot =int int

6 下面（z=1）方向 ˆ-z zˆ(-z) y - (z 0) yA ds A dxd A dxdsdot = sdot = =int int int下 下 下

2 -1- y3

x dxd= =int下 ＝1 120 0

1 1y 13 3

x dx d = sdot =int int

S

A dssdotint ＝六個面的和＝1 1 1 1 1 1( ) ( 0) ( )4 4 4 3 3 4

minus minus+ + + + + =

ex38 Given ˆ ˆ ˆzA xyz yx zxy= + + 計算通量S

A dssdotint S 為圓 2 2 2x y a+ =

在第一項限的部分方向選為 z+ 2 2y a x= minus

4-41

解 2 2 4

0 0ˆ

8a a x

zS S S S

aA ds A zdxdy A dxdy xydxdy xdx ydyminus

sdot = sdot = = = =int int int int int int

Ex39 In cylindrical coordinate Given ˆ ˆaA zbzρρ

= + where a b are

constants Find S

A dssdotint over the surface of a

closed cylinder about z-axis specified by 3 2z ρ= plusmn =

解S 分為上下與周邊三面

zz (z 3)zA ds A ds A d dρ ρ ϕsdot = sdot = = sdotint int int上 上 上

= 23 3 2 12bd d b bρ ρ ϕ π πsdot = sdot =int上

ˆ(-z)A ds A d dρ ρ ϕsdot = sdot sdotint int下 下

= z- (z -3)A d dρ ρ ϕ= sdotint下 = 23 2 12b bπ πsdot =

周邊ds ˆ ( )d dzρ ρ ϕ= rArr ˆ ( ) z ( ) zA ds A d d A d dρρ ρ ϕ ρ ϕsdot = sdot =int int int周 周 周

2 3

0 3( ) z ( ) z=a 12aA d d d d d dz a

πρ ρ ϕ ρ ϕ ϕ π

ρ minus= = =int int int int周 周

加起來 S

A dssdotint ＝12 24 12 ( 2 )a b a bπ π π+ = +

ex40 一點電荷 q 置於原點計算在一個以原點為圓心 0r 為半徑的球

面上的電通量

解 2 20 0

ˆ ˆ4 4S S

qr q dsE ds rdsr rπε πε

sdot = sdot =int int int

=0 0 0

44 4S

q q qd ππε πε ε

sdot Ω = sdot =int

上式中 dΩ 2dsr

= 是 ds 所張開的「立體角」(solid angle)

4-42

div A and Flux 通量與散度的幾何物理意義

我們運用過nabla的符號來表示過散度 divF F= nablasdot yx zFF Fx y z

partpart part= + +part part part

但是也看到「散度」定義為

0( )

1( ) limSV

about x y z

divF x y z F da divergence of FVΔ rarr

equiv sdot =Δ int (4-77)

其中 VΔ 為 S 面所包含的體積即散

度為通量(體)密度的 0 體積極限

（4-77）的定義與 Fnablasdot 好像差的很

多她們是說同一回事嗎以下證明

這兩種「散度」的定義是等價的如

左圖考慮一個以點 ( ) x y z 為中心

的 立 方 體 其 相 鄰 三 邊 長 為

x y zΔ Δ Δ 體積 V x y zΔ = Δ Δ Δ 現在計算 F 在立方體的一組平行於 y-z平面的表面 S1 與 S2 的通量

( )1 1

ˆ ˆ xS S

F nds F xds F x y z dsrArr sdot = sdot =intint intint intint 2xxF x y z y zΔ⎛ ⎞asymp + Δ Δ⎜ ⎟

⎝ ⎠

其中 2xx y zΔ⎛ ⎞+⎜ ⎟

⎝ ⎠為 S1 面中心的座標而

2xx y zΔ⎛ ⎞minus⎜ ⎟

⎝ ⎠為 S2 面的中心

( ) ( )2 2 2

ˆ ˆ 2x x

S S S

xF nda F x ds F x y z ds F x y z y zΔ⎛ ⎞rArr sdot = sdot minus = minus asymp minus minus Δ Δ⎜ ⎟⎝ ⎠intint intint intint

上式中的負號來自 S2 面的方向是 xminus 所以合併兩個面積分

1 2

ˆ 2 2x x

S S

x xF nds F x y z F x y z y z+

Δ Δ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞rArr sdot asymp + minus minus Δ Δ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦intint

2 2x xx xF x y z F x y z

x y zx

Δ Δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠= Δ Δ Δ

Δ

2 2

x xx xF x y z F x y z

Vx

Δ Δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠= Δ

Δ

1 2

1 2 2ˆ

x x

S S

x xF x y z F x y zF nds

V x+

Δ Δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠rArr sdot asymp

Δ Δintint

4-43

當取體積向(xyz)點收縮至 0 時即 0 x 0as VΔ rarr Δ rarr 上式的近似

「asymp」就成了「＝」

1 20

1 ˆlimV

S S

F ndsVΔ rarr

+

sdotΔ intint

( )0

2 2limx x

x

x

x xF x y z F x y z F x y zx xΔ rarr

Δ Δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟ part⎝ ⎠ ⎝ ⎠= =Δ part

Similarly F 在立方體的一組平行於 x-z 平面的表面 S3 與 S4 的通量

3 3 3

ˆ ˆ yS S S

F nds F yds F dsrArr sdot = sdot =intint intint intint

2

2

y

y

yF x y zyF x y z x z x y z

y

Δ⎛ ⎞+⎜ ⎟Δ⎛ ⎞ ⎝ ⎠asymp + Δ Δ = Δ Δ Δ⎜ ⎟ Δ⎝ ⎠

( )4 4 4

2ˆ ˆ

y

yS S S

yF x y zF nds F y da F ds x y z

y

Δ⎛ ⎞minus⎜ ⎟⎝ ⎠rArr sdot = sdot minus = minus asymp Δ Δ Δ

Δintint intint intint

合併 S3 與 S4 兩個面積分並取體積向(xyz)點收縮至 0 時即當

0 y 0VΔ rarr Δ rarr 上式的近似asymp就成了＝

3 4

2 2ˆ

x x

S S

y yF x y z F x y zF nds V

y+

Δ Δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠rArr sdot cong Δ

Δintint

3 40 0

1 2 2ˆlim lim

x xy

V yS S

x yF x y z F x y z FF nds

V y yΔ rarr Δ rarr+

Δ Δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟ part⎝ ⎠ ⎝ ⎠rArr sdot = =Δ Δ partintint

與上面相同的作法計算 F 在立方體的一組平行於 x-y 平面的表面 S5

與 S6 的通量我們也會得到對應的結果

5 6

2 2ˆ

z x

S S

z zF x y z F x y zF nds V

z+

Δ Δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠rArr sdot cong Δ

Δintint

5 60 0

1 2 2ˆlim lim

z xz

V zS S

z zF x y z F x y zFF nds

V z zΔ rarr Δ rarr+

Δ Δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟ part⎝ ⎠ ⎝ ⎠rArr sdot = =Δ Δ partintint

所以合併立方體的 6 個面積分

4-44

1 2 3 4 5 6

ˆ ˆ ˆ ˆS S S S S S S

F nds F nds F nds F nds+ + +

rArr sdot = sdot + sdot + sdotint intint intint intint

0

1 ˆlim yx zV

FF FF nds div F FV x y zΔ rarr

partpart partrArr sdot = + + = = nablasdot

Δ part part partint (4-78)

在此我們得證這兩種「散度」的定義是等價的只是（4-77）的定義

充分的表現出「散度」的幾何物理意義他從通量著手由於場線

出自於 source（ex電場源自於點電荷）所以在點(xyz)必須有向量場

F 的 source 存在才能使得當面積縮到 0 時仍具有非 0 的通量所以「散

度」表現向量場 F 的 source 在這個定義之下是很清楚的當然在計算

「散度」時我們不必那麼麻煩用 divF F= nablasdot 就好了

Ex41 計算 2ˆ ˆ ˆF xx yxy zyz= + + 的散度

解 2 yx zFF Fx x yx y z

partpart part= = =

part part part F 2x x y 3x ydivrArr = + + = +

recall 在靜電學0

yx zEE EEx y z

ρε

partpart partnablasdot = = + +

part part part

散度定理 Divergence Theorem

若任意封閉面（又稱為「高斯面」）S 所包圍的

體積為 V 則

S VA ds Adτsdot = nablasdotint int （4-79）

pf 我們先將體積分割成 N 個小盒子考慮相鄰的兩個小盒子 1 2

兩小盒子的共用面面積 S0當 S0 是為 1 號盒子的一部份時其方向為

1n 但若當為 2 號盒子的表面時其方向為 12 ˆˆ nn minus= 如此在 S0 分別做

4-45

1 2 盒子的面積分後

0 0

0 0 0 0

1 2

1 2 1 1ˆ ˆ ˆ ˆ 0

S S

S S S S

A ds A ds

F n ds F n ds F n ds F n ds

sdot + sdot

= sdot + sdot = sdot minus sdot =

intint intintintint intint intint intint

所以若求場 A 在 1 2 盒子的總通量時交界面是沒有貢獻的總通量

就只有「外面積」才有貢獻如此我們計算 N 個小盒子的總通量

時所有的內部共用面都得 0只剩下「外表面」的貢獻了當 infinrarrN

時所有小盒子的「總外表面」就與 S 面重合了所以所有小盒子通量

的總和就等於 S 面的通量

1lim

i

N

S SN iA ds A ds

rarrinfin=

rArr sdot = sdotsumint int

現在我們做 N 個小盒子的總通量

1 1

1i i

N N

iS Si i i

A ds A ds VV= =

⎛ ⎞sdot = sdot Δ⎜ ⎟Δ⎝ ⎠

sum sumint int

當 0iN Vrarrinfin rArr Δ rarr 並用 dv 表示體積元素

( ) ( )1 1

1

1lim lim lim

lim

i ii

N N

iS SN N V oi i i

N

i VN i

A ds A ds VV

A V A dv

rarrinfin rarrinfin Δ rarr= =

rarrinfin=

⎛ ⎞sdot = sdot Δ⎜ ⎟Δ⎝ ⎠

= nablasdot Δ = nablasdot

sum sumint int

sum int

( )S V

A da A dvrArr sdot = nablasdotint int QED

所以得證散度定理上式中我們用了散度的（4-77）式定義要分辨

清楚 Anablasdot 是向量場 A 在空間中「某一點」的性質（ 0VΔ rarr ）而「散

度定理」說的是一個「有限體積」的性質

ex42 給定 ( ) ˆ ˆ ˆ A x y z xx yy zz r= + + = 計算在

半徑 R＝1 的球的上半球加底面的通量

4-46

解 ( )ˆˆS

A da A rda A k darArr sdot = sdot + sdot minusint int int上半球面 底面

( )

2

ˆ ˆ

0 2 1 2

A rda A z dxdy

r rds zdxdy rds ds π π

= sdot + sdot minus

= sdot minus = minus = = sdot =

int int

int int int int上半球面 底面

上半球面 底面 上半球面

底面的通量＝0 是因為 A 的 z 分量 Az=z 在底面的值為 0

也可以用散度定理更快的得出結果

∵ 3A rnablasdot = nablasdot =

31 43 3 1 22 3V V

Ad d πτ τ πnablasdot = = sdot sdot sdot =int int

ex43高斯定律的微分形式積 由 Gaussrsquo law 的積分形式用散度定理得出其

( )0 0

1 inS V

qE ds x y z dvρε ε

sdot = =int int

0S V VE ds Edv dvρ

εrArr sdot = nablasdot =int int int

上式最後的等式對「任意形狀」V 都成立所以兩者的被積函數相等

對於空間每一點 0

E ρε

nablasdot = （4-80）

ex44 Use 第一象限的單位力方體 check the divergence theorem using the function 2 2ˆ ˆ ˆ(2 ) 2A y x xy z y yzz= + + +

解2

2( ) (2 )(2 ) 2( )y yzA xy z x yx y z

part part partnablasdot = + + + = +

part part part

and 1 1 1 1 1 1

0 0 0 0 0 02 ( ) 2 ( )

VAdv x y dxdydz dz dy x y dxnablasdot = + = +int int int int int int int

1 1

0 0

1 12 ( ) 2 12 2

dz y dy= + = sdot =int int

面積分 1 1 2

0 0

1ˆ3

A ds A xdydz dz y dysdot = sdot = =intint intint int int前 前

4-47

1 1 2

0 0

1ˆ( )3

A ds A x dydz dz y dy minussdot = sdot minus = minus =intint intint int int

後 後

1 1 2

0 0ˆ (2 )A ds A ydxdz dz xy z dxsdot = sdot = +intint intint int int

右 右

1 1 1 12 2

0 0 0

4(2 ) (1 )3

ydz x z dx dz z

=

= + = + =int int int∵

1 1 2

0 0

0 1 1 12 2

0 0 0

ˆ( ) (2 )

1(1 )3

y

A ds A y dxdz dz xy z dx

dz z dx dz z=

sdot = sdot minus = minus +

minus= minus = + =

intint intint int int

int int int∵

左 左

11 1 1 1

0 0 0 0ˆ 2 2 1

zA ds A zdxdy dx yzdy dx ydy

=sdot = sdot = = =intint intint int int int int

∵

上 上

01 1

0 0ˆ 2 0

zA ds A zdxdy dx yzdy

=sdot = sdot minus = minus =intint intint int int

∵

下 下

前後右左上下六個面積分合併＝1＝V

Advnablasdotint QED

ex45 Continuity Equation 連續方程式

考慮某些「東西」的流動（物質電荷hellip）在時刻 t 時在點(xyz)

的 密 度 為 ( ) x y z tρ ρ= 並 具 有 速 度

( ) v v x y z t= 在時刻 t 時在體積 V 內的總量為

( ) x y z t dρ τintintint

這樣體積 V 內東東的時變率為

( ) ( ) d x y z t d x y z t ddt t

ρρ τ τpart=

partintintint intintint

注意體積分後的時間全微分移入積分內要改為偏微分這個東東

在表面的「流率 flow rate」可表為

ˆS

R v ndsρ= sdotintint

若體積內的物料無法自生自滅那麼體積內物料的變化必經由表面的

流出流入所造成

d v ndstρ τ ρpart

rArr = minus sdotpartintintint intint

由散度定理

4-48

( )ˆS

v nds v d dtρρ ρ τ τpart

sdot = nablasdot = minuspartintint intintint intintint

( )v Jtρ ρpart

rArr = minusnablasdot equiv minusnablasdotpart

0Jtρpart

rArr +nablasdot =part

（4-81）

(4-81) 即 continuity equation其中 J vρ= 為「物流密度」ex如果 ρ

是電荷密度 J 就是電流密度（4-81）是物質守恆的結果只對體

積內無 source（生成）or drain（消滅）的東東成立

ex46 Given a vector field ˆ ˆx yA ye xe= minus + (a) Find

Anablasdot (b)如圖一個金字塔狀的 5 面體高 2 底邊長

1計算 A在整個金字塔表面（封閉面）的總通量

解(a) Anablasdot = ( ) ( ) 0y xx ypart part

minus + =part part

(b) 金 字 塔 的 表 面 面 積 元 素 ds 不 好 寫 所 以 用 散 度 定 理

( )S V

A da A dvrArr sdot = nablasdotint int ＝0 Anablasdot 表示 A沒有 source 所以對封閉面而

言有多少場線進入就有多少出去所以總通量＝0

習題 7 With position vector r for an arbitrary volume V that is

bounded by surface S show that 13 S

r ds Vsdot =int

習題 8 已知一靜電場為 ˆ ˆ ˆ( )E xyz yxz zxyλ= + + 運用 Gaussrsquo law

試求包含在半球 2 2 2 2 0x y z R z+ + = ge 裡的總電荷 Ans 0

習題 9 (a) given ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( 2 )F r xf x yf y zf z= + + minus show that divF is

zero at point (c c -c2) (b) given ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( )G r xf x z yg x z zh x y= + +

show that ( ) 0G rnablasdot =

4-49

習題 10 Find the normal vector n for the surfaces (a) z = 2-x-y ans

ˆ ˆ ˆ( ) 3x y z+ + (b) z = (1-x2)12 ans ˆ ˆxx zz+ (c) z = x2+y2

ans ˆ ˆ ˆ( 2 2 ) 1 4xx yy z zminus minus + +

習題 11 Show that the unit vector normal to the plane ax+by+cz =d is

given by 2 2 2ˆ ˆ ˆ( ) ax by cz a b cplusmn + + + +

圓柱座標與球座標的nabla (del)

考慮一純量場在直角座標為 ( ) u x y z 在圓柱座標表為 ( ) u zρ φ

再考慮因位移 r r drrarr + 所造成 u ( )zρ φ 的變化

( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆz

z

u u udu d d dz u dr u d d zdzz

u u z u d d zdz

u d u d u dzρ ϕ

ρ ϕ

ρ ϕ ρ ρ ϕρ ϕρ ϕ

ρ ϕ ρ ρ ϕρ ϕ

ρ ρ ϕ

part part part= + + = nabla sdot = nabla sdot + +part part part

⎡ ⎤= nabla + nabla + nabla sdot + +⎣ ⎦= nabla + nabla + nabla

( ) ( ) ( )1

1ˆ ˆ ˆu

z

u u uu u uz

u u uzz

ρ ϕρ ρ ϕ

ρ ϕρ ρ ϕ

part part partrArr nabla = nabla = nabla =

part part partpart part part

rArrnabla = + +part part part

1ˆ ˆ ˆ zz

ρ ϕρ ρ ϕpart part part

nabla = + +part part part

（4-82）

注意nabla的ϕ -分量( 1ρ ϕ

partpart

)不是像直角座標裡單純的ϕpartpart

所以不要笨笨

的就把直角座標的形式硬套上去用我們也可以從「因次分析」來

看nabla因為是對空間的微分所以每一項的因次必須是「長度分之一」

運算 andzρ

part partpart part

都是「長度分之一」而「單純的ϕpartpart

」是沒有單位的

所以要1ρ ϕ

partpart

才 OK

由於圓柱座標裡的單位向量除了 z 之外 ˆ( )ρ ϕ 與 ˆ( )ϕ ϕ 都不是常

4-50

數所以在微分時不可以與微分運算交換而要考慮微分的作用所

以在「圓柱座標」寫「散度」 ( ) F zρ ϕnablasdot 也和直角座標不一樣

( )1ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ zF z F F zFz ρ ϕρ ϕ ρ ϕ

ρ ρ ϕpart part part⎛ ⎞

nabla sdot = + + sdot + +⎜ ⎟part part part⎝ ⎠

( ) ( )1ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆz zF F zF F F zFρ ϕ ρ ϕρ ρ ϕ ϕ ρ ϕρ ρ ϕpart part

= sdot + + + sdot + +part part

( )ˆ ˆˆ ˆ zz F F zFz ρ ϕρ ϕpart

+ sdot + +part

因為 ( ) ( )ˆ ˆ ˆ ˆ ρ ρ ϕ ϕ ϕ ϕ= = 所以做 andzρ

part partpart part

時 ˆ ˆ ρ ϕ 可視為常數

ˆ ˆ1ˆ ˆ ˆ zF F F FF F Fz

ρ ρ ϕρ φ

ρ ϕϕ ρ ϕρ ρ ϕ ϕ ϕ ϕ

part part part⎡ ⎤part part partrArrnablasdot = + sdot + + + +⎢ ⎥part part part part part part⎣ ⎦

還記得 ˆ ˆ ˆ ˆd d d dρ ϕ ϕ ϕ ρ ϕ= = minus 所以 ˆ ˆρ ϕϕpart

=part

ˆ ˆϕ ρϕpart

= minuspart

rArr

( )1 1 1z zF F F FF FF Fz z

ρ ρ ϕ ϕρρ

ρ ρ ρ ϕ ρ ρ ρ ϕpart part part part

nablasdot = + + + = + +part part part part part part

（4-83）

在球座標寫nabla也會遇到相似的問題其根源就是球座標 ( )r θ ϕ 裡

的 θ ϕ 的因次並非長度而三個單位向量 ˆ ˆˆ r θ ϕ（表為 ie ）都是( θ ϕ )

的函數以致

( )ˆ ˆ( ) ( )i ie f e fθ ϕ θ ϕθ θpart part

nepart part

且 ( )ˆ ˆ( ) ( )i ie f e fθ ϕ θ ϕϕ ϕpart part

nepart part

所以nabla也不似在直角座標那麼簡單我們不在這裡推導而是給出一

個歸納的統一的三個座標的結果還記得對每一個座標 iu i = 123

座標的變化 idu 與造成的長度變化 id

i i id h du= 123i = (4-84)

其中 ih 為對應的度量係數(metric coefficient)

4-51

1 2 3

1 1 2 2 3 3

1 1 1ˆ ˆ ˆu u ue e eh u h u h u

part part partnabla equiv + +

part part part （4-85A）

座標 1 2 3 u u u

度量係數

1 2 3 h h h

nabla grad del

直角 x y z

1 1 1 nabla ˆ ˆ ˆx y z

x y zpart part part

equiv + +part part part

圓柱

zρ ϕ

1 1ρ

1ˆ ˆ ˆ z

zρ ϕ

ρ ρ ϕpart part part

nabla equiv + +part part part

球

r θ ϕ

1 sinr r θ

1 1ˆ ˆˆ

sinr

r r rθ ϕ

θ θ ϕpart part part

nabla = + +part part part

（4-85B）

梯度gradient Vnabla grad(V) 散度divergence Anablasdot div( )A

直

角 nablaV ˆ ˆ ˆV V Vx y z

x y zpart part part

= + +part part part

yx zAA AAx y z

partpart partnablasdot = + +

part part part

圓

柱

1ˆ ˆ ˆ V V VV zz

ρ ϕρ ρ ϕpart part part

nabla = + +part part part

( )1 1

1

z

z

A AA Az

A A A Fz

ϕρ

ρ ρ ϕ

ρρ ρ ρ ϕ

ρ ρ ρ ϕ

partpart partnabla sdot = + +

part part partpart part part

= + + +part part part

球

1 1ˆ ˆˆ sin

V V VV rr r r

θ ϕθ θ ϕ

part part partnabla = + +

part part part

22

1 ( )rA r Ar r

partnabla sdot =

part

1 (sin )sin

Ar θθ

θ θpart

+ sdotpart

1sin

Ar

ϕ

θ ϕpart

+part

(4-86)

Ex47 Using spherical coordinate show that 1| |r r

nablaminus

= 2

ˆ| |

r rer r

minusminusminus

where

nabla是作用在 r 而 ˆr re minus 是向量 r rminus 方向的單位向量 解let r lies in z-axis so that the angle between r and r is just θ

4-52

rArr ( ) 122 21 1 2 cos | | ( ) ( )

r rr rr r r r r r

θminus

= = minus +minus minus sdot minus

( ) ( )12 122 2 2 21 1ˆˆ 2 cos 2 cos | |

r r rr r r rr rr r r r

θ θ θθ

minus minuspart partnabla = minus + + minus +

minus part part

( ) 322 21ˆ 2 cos (2 2 cos )2

r r rr r r rθ θminusminus

= minus + minus

( ) 322 21ˆ 2 cos (2 sin )2

r rr r rrθ θ θminusminus

+ minus +

3 3 3 3

ˆˆ ˆ( cos ) sin ( cos sin )ˆˆ| | | | | | | |r r r rr r rrr r r r r r r r

θ θ θ θ θθminus minus minus minus minus= + = +

minus minus minus minus

3 3 3ˆ ( )

| | | | | |r r z r r r rr r r r r rminus + minus + minus minus

= = =minus minus minus

＝ 2

ˆ| |

r rer r

minusminusminus

QED

證明最後我們用到 ˆˆˆ cos sinz r θ θ θ= minus 而 ˆ r r z= 因為我們選了 r 是

躺在 z-軸 Ex48 For arbitrary scalar field ( )f r and vector field ( )A r 證明恆等式

( )fA f A f Anablasdot = nabla sdot + nablasdot (4-87) 解 ˆ ˆ ˆx y zfA xfA yfA zfA= + +

( ) ( ) ( ) ( )x y zfA fA fA fAx y zpart part part

rArrnablasdot = + +part part part

yx zx x x

AAf f f AA f A f A fx x y y z z

partpartpart part part part= + + + + +part part part part part part

yx zx y z

AAf f f AA A A fx y z x y z

part⎛ ⎞partpart part part part= + + + + +⎜ ⎟part part part part part part⎝ ⎠

f A f A= nabla sdot + nablasdot QED 習題 12 一個位於原點的電偶極電偶極矩＝ ˆp pz= 已知其在遠處

的電位為 20

cos4p

rθ

πε試證該處的電場強度為 E = 3

0

ˆˆ( 2cos sin )4

p rr

θ θ θπε

+

(已知 E V= minusnabla )並請計算 Enablasdot ＝

習題 13 給定一向量場2

3cosˆD r

rϕ

= 現有兩個球心在原點的同心球

內球半徑 R＝1外球 R＝2(a)求面積分S

D dssdotint S 為同心球殼的表

面（有內外兩個面）(b)求體積分V

Ddvnablasdotint V 為兩同心球之間的

區域本題也是來 check 散度定理的Ans πminus

4-53

The Laplacian operator 2nabla equivnablasdotnabla

在直角座標可以用直接作用得到

2 2 2

22 2 2u u uu u

x y zpart part part

nabla equiv nablasdotnabla = + +part part part

(4-88)

圓柱座標

2 2

22 2 2

1 1( ) u u uu uz

ρρ ρ ρ ρ ϕ

part part part part⎛ ⎞nabla equiv nablasdot nabla = + +⎜ ⎟part part part part⎝ ⎠

(4-89)

球座標

2

2 22 2 2 2 2

1 1 1sinsin sin

u u uu rr r r r r

θθ θ θ θ ϕ

part part part part part⎛ ⎞ ⎛ ⎞nabla = + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟part part part part part⎝ ⎠ ⎝ ⎠ （4-90）

習題 14 verify (4-89) and (4-90)

習題 15 Given a dipole potential V= 20

cos4p

rθ

πε find 2Vminusnabla

sect 433 Line integral and curl A 線積分與與旋度的物理意義

線積分路徑積分

考慮一曲線 C 通過兩點 ( )i i i iP x y z 與

( )f f f fP x y z 現有一向量場 ( )A x y z 定義在

C 所在的空間若 sd 為 C 上位於(xyz)點的

「路徑元素」（ ˆd td= 方向沿該處切線）而

( )A x y z 為路徑元素d 處的場值則沿 C 經歷各點所做積分

cos cosf

CC C iA d Ad A dϕ ϕrarr rarrsdot = =int int int （4-91）

稱為向量場 ( )A x y z 沿路徑 C 自 pi 至 pf 的「線積分」「或「路徑積分」

積分裡 A 取值的點侷限在路徑 C 上面若為一個「封閉路徑」則對

C 的線積分也稱做「環路積分 closed contour integral」記做

C

A dsdotint （4-92）

4-54

物理量「做功」是最標準的線積分之一力 F 自 x = a 至 x = b「沿線」

x 軸做功

W＝ F dxsdotint ＝ ( )b

xaF x dxint （4-93）

質點在力場 )(rF 裡走一條曲線 C則力場做功

CW F d= sdotint （4-94）

還記得如果 ( )F r 是所謂「保守力」則上式只與始末點有關而與

路徑無關但如果 ( )F r 是所謂「非保守力」則做功與確實的路徑 C

有關

現考慮一質點在空間運動的位置 r 落在由曲線 C

描述的路徑則質點的位移元素與曲線 C 的路徑元

素相同 d dr= 若空間有向量場 A 分佈則 A 在 C 的

路徑積分以直角座標表示為

CA drarr rarrsdotint ＝

CA d rrarr rarrsdotint ＝ ( )x y zC

A dx A dy A dz+ +int （4-95）

上式中的 x y z 的積分限由 C 決定

Ex49 2 2 2ˆ ˆ ˆA xx yy zzrarr= + + 選定一路徑 C 為曲線

2y x= 由 (000)到 (2 20)的部分求C

A dsdotint

解 ˆ ˆd xdx ydy= +∵

CA dsdotint ＝ 2 2( )

Cx dx y dy+int ＝

2 22 2

0 0x dx y dy+int int

＝ )24(32

+

或由 2y x= rArr 2ydy dx= 2 12

y dy xdxrArr =

rArrC

A dsdotint ＝2 2

0

1( )2

x x dx+int ＝2 (4 2)3

+

4-55

ex50 ˆ ˆ( )f x y z xy yx= minus Do C

f dsdotint 其中的路徑 C 為一逆時針三角

形如圖 解∵路徑全部在 x-y 平面 ˆ ˆ ˆd td xdx ydy= = +

rArrC

f dsdotint ＝ x yC

f dx f dy+int ＝C

ydx xdyminusint

由於在 C1 上 y = 0 及 dy = 0 所以 01

=intC 又由於在

C3 上 x = 0 及 dx =0所以 03

=intC 所以只剩下 C2 可

能有貢獻由 2C 的方程式x + y =1rArr ⎩⎨⎧

minus=minus=

xyyx

11

rArr2Cydx xdyminusint ＝

0 1

1 0(1 ) (1 )x dx y dyminus minus minusint int ＝

0 12 2

1 0

( ) ( )2 2x yx yminus minus minus ＝-1

Cf dsdotint ＝-1

ex51 ( )f x y zrarr

= 2ˆ ˆxx yxyminus 如右圖doC

f dsdotint 其

中路徑 C 為第一象限的逆時針 14 圓弧

解∵ 全部在 x-y 平面 ˆ ˆd xdx ydy= +

Cf dsdotint ＝ 2

Cx dx xydyminusint

由於在 C 上 cosx R ϕ= rArr sindx R dϕ ϕ= minus

siny R ϕ= rArr cosdy R dϕ ϕ=

rArr 2

Cx dx xydyminusint ＝

2 2 2 2

0cos ( sin ) sin cos cosR R d R R d

πϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕminus minus sdotint

23 2

02 cos sinR d

πϕ ϕ ϕ= minus int ＝

323Rminus

又路徑為圓周一部份所以適合用極座標表示

ˆd Rdϕ ϕ= 又由左圖將 ˆ ˆx y 拆解（投影）到 ˆˆr ϕ

ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆcos sin sin cosx r y rϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ= minus = +

4-56

( )2ˆ ˆ ˆˆ ˆ( cos sin ) ( sin cos )C C

f d r x r xy Rdϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕsdot = minus minus + sdotint int 2

2 2 2

0

sin (cos )

sin ( cos ) (cos ) cos sin

Cx Rd xyRd

R Rd R Rdπ

ϕ ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ

= minus minus

= minus minus

intint

23 2

02 cos sinR d

πϕ ϕ ϕ= minus int ＝

323Rminus

這也驗證了散度定理

Path Independence 路徑獨立性

Ex52 證明庫倫力為「保守力」考慮

電荷 q0 位於原點及電荷 q 位於

( )r x y zrarr= q 受力 F

rarr＝ 0

20

14

qq urπε

and

求庫侖力作功因為球形對稱所以

用球座標由 ˆ ˆ ru rr

= = rArr Frarr

= 03

04qq r

rπε

庫侖力由 P1 至 P2 做功為 2

1

P

CPF drarrsdotint ＝

2

1

02

0

ˆ ˆ ˆˆ sin4

P

PC

qq r rdr rd r dr

θ θ ϕ θ ϕπε

⎡ ⎤sdot + +⎣ ⎦int ＝2

1

02

04P

P

qq drrπεint

＝20

2104

r

r

qq drrπε int ＝ 0

0 1 2

1 1( )4qq

r rπεminus for all C

所以庫侖力兩點間做功與路徑無關rArr保守力

對於「保守力 conservative force」 cF 自 p1 經

由兩條不同的路徑 C1 與 C2 到達 p2

1 ccF drarrsdotint ＝

2 ccF drarrsdotint ＝-

2 ccF drarr

minussdotint

rArr1 2c cc cF d F drarr rarr

minussdot + sdotint int = cF d

rarrsdotint ＝0 (4-96）

對於任何「封閉路徑」保守力做功為 0反之若

對任一封閉路徑 0F drarrsdot neint 則兩點之間的做功與路徑有關

rarr

F 為「非

保守力」

4-57

旋度 curl Anablatimes 的幾何物理意義

我們在（4-70）式已經看過旋度的計算方式但旋度另有其意義的

ex53 給定向量場2 2

0ˆ yv yv e λrarr

minus= 左圖為場的分佈

2 20

ˆ ˆ ˆ

0 0x y z

y

x y zcurl v

v e λ

rarr

minus

= part part part ＝ ˆ ˆ ˆ0 0 0 0x y zsdot minus sdot + sdot =

我們用了簡寫 x yx ypart part

part equiv part equivpart part

可以看出這個場裡沒有「漩渦」

但是有無「漩渦」有時也不是那麼明顯可以看出的請見下一個例子

Ex54 給定向量場2 2

0ˆ xv yv e λrarr

minus= 計算其旋度 vnablatimes

解向量場 vrarr

畫在右邊你看得出有無漩渦

先計算旋度

2 20

ˆ ˆ ˆ

0 0x y z

x

x y zcurl v

v e λ

rarr

minus

= part part part2 2

2 2

0

0

ˆ

ˆ 2 0 0

x

x

z v ex

z v xe for x

λ

λ

minus

minus

part=

part

= minus ne ne

vrarr

的旋度在大部分的地方不為 0 且隨位置而不同但是你看得出這個

向量場裡有「漩渦」其實要檢驗一個向量場裡有無「漩渦」有一

個很物理的方法就是放一個小「螺旋槳」（左圖）

在場內將軸朝各個方向測試一

下如果有「漩渦」的話這個

小「螺旋槳」就會轉動右圖就是將「螺旋槳」的

軸平行於 z 軸且放在 x gt 0 的地方就可以看出左

邊的 v 場比右邊的強造成螺旋槳順時針轉動rArrcurlv zminus for x gt 0

但如果放在 x = 0 的地方就會看到左右兩端的 v 場強度相同而且

4-58

curlv = 0 「螺旋槳」放在 x lt 0 的地方就可以看出右邊的v 場比左

邊的強造成螺旋槳逆時針轉動這完全符合 curl v k+ 的結果

環路積分與旋度 curl 的物理意義

如同「散度」一樣「旋度」除了 Ftimesnabla 之外

還有一個物理意義更清楚的定義這個定義由

「線積分」說明如圖考慮做「逆時針」長方形

路徑 C1 的一個「環路積分」C1 面平行於 x-y 平

面由 z-軸看下去環路 C1 可以分為可以分為

下 CB上 CT右 CR左 CL 4 部分

CA drarrsdotint ＝

B T L RC C C CA d A d A d A drarr rarr rarr rarrsdot + sdot + sdot + sdotint int int int

分別計算由於 CB 的中點座標為 ( )2yx y zΔ

minus

ˆB BC C

A d A xdxrarr rarrsdot = sdot =int int

BxC

A dxint ( )2xyA x y z xΔ

asymp minus Δ

similarly 由於 CT 的中點座標為 ( )2yx y zΔ

+

ˆ( )T TC C

A d A xdxrarr rarrsdot = sdot minus =int int

TxC

A dxminusint ( )2xyA x y z xΔ

asymp minus + Δ

合併 CB 與 CT

B TC CA drarr

+sdot =int

( ) ( )2 2x xy yA x y z A x y z

x yy

Δ Δ⎡ ⎤minus + minus minus⎢ ⎥⎣ ⎦ Δ ΔΔ

（4-97）

由 C1 所圍的面積 S x yΔ = Δ Δ

1B TC C

A dS

rarr

+sdot =

Δ int( ) ( )

2 2x xy yA x y z A x y z

y

Δ Δ⎡ ⎤minus + minus minus⎢ ⎥⎣ ⎦Δ

（4-98）

所以當取極限 C1 收縮到中心(xyz)時 SΔ 收縮到 0ie

4-59

0limsΔ rarr

1B TC C

A dS

rarr

+sdot =

Δ int xAy

partminuspart

（4-99）

Similarly with CR 的 ˆd ydy= CL 的 ˆd ydy= minus 可得

1L RC C

A dS

rarr

+sdot =

Δ int x

zyxxFzyxxF yy

Δ

Δminusminus

Δ+ )

2()

2(

（4-100）

同樣的當取極限 C1 收縮到中心(xyz)時 SΔ 收縮到 0

0

limsΔ rarr

1L RC C

A dS

rarr

+sdot =

Δ int yAx

partpart

（4-101）

最後合併 CBCTCRCL 為 C1

10

1limCs

A ds

rarr

Δ rarrsdot =

Δ int y xA Ax y

part partminus

part partˆ ( ) ( )zz A A= sdot nablatimes = nablatimes （4-102）

注意 C1 的方向就是在 z 上式的重要

意義是當向量場 A 在一個以點(xyz)為

中心「方向為 z 」的面積元素的「邊界」

所做的環路積分得到的就是 A 在(xyz)

處旋度的 z-分量明顯的只有當 A 在

(xyz)附近有 x-y 平面上的「漩渦」那麼 C1 的環路積分才不會為 0

Similarly 取一個逆時針繞著(xyz)的平行於 x-z 平面的長方形環路 C2

（左圖）做環路積分再取極限將 C2 收縮到(xyz)就會得到

20

1limCs

A ds

rarr

Δ rarrsdot =

Δ int x zA Az x

part partminus

part partˆ ( ) ( )yy A A= sdot nablatimes = nablatimes （4-103）

注意到 C2 所包圍的面積方向就在 y到

現在我們應該已經很有經驗了若取一

個逆時針繞著(xyz)的平行於 y-z 平面

的長方形環路 C3（左圖）做環路積分

再取極限將 C3 收縮到(xyz)就會得到

4-60

30

1limCs

A ds

rarr

Δ rarrsdot =

Δ int yz AAy z

partpartminus

part partˆ ( ) ( )xx A A= sdot nablatimes = nablatimes （4-104）

能把（4-103）與（4-104）變出來的同學我們有優待綜合以上

我們可以得到一個結論若取一個以點(xyz)為中心的任意環路 Cn（其

所包圍的面積方向在 n ）則

n curl Aand rarrsdot ＝

0

1lims

Cn

A ds

rarr

Δ rarrsdot

Δ int （4-105）

明顯的當 n ＝ x 或 y 或 z 時我們可以重複（4-102）到（4-104）的

結果（4-70）式的行列式所定義的旋度在此看見其幾何物理意義

至此「旋度」的「漩渦」形象應該已經很清楚了只有在(xyz)點附

近的小圈圈上有「漩渦」 A 在小圈圈做的環路積分才會有值這個

值就是向量場 A 的「旋度」在小圈圈面積方向的分量

Stokersquos 定理

考慮一個開放面 S被其「有方向的」邊界 C 圈住(bounded by)則

( )S

A dsrarr rarrnablatimes sdotint ＝

C

A drarrsdotint （4-106）

pf 先將 S 面分割為 N 個多邊形這會使得邊界變成一個「折線」形

成的環路 P環路 P 會隨著分割的多邊形個數的增多而越加近似於原

「光滑的」邊界 C現考慮相鄰的

兩個多邊形的線積分由於共用邊

的方向是相反的所以相鄰兩個多

邊形線積分的和只剩「外邊界」（見左圖）所以當把所有的多邊形的

4-61

線積分加起來時由於只有邊界 P 不是多邊形的共用邊所以

1k

N

k C

A drarr

=

sdotsum int ＝P

A drarrsdotint rArr

P

A drarrsdotint ＝

1

1

k

N

kk k C

A d l ss

rarr rarr

=

⎡ ⎤sdot Δ⎢ ⎥

Δ⎢ ⎥⎣ ⎦sum int

其中 ksΔ 為第 k 個多邊形的面積取極限 0kN srarrinfinrArrΔ rarr P CrArr rarr

C

A drarrsdotint ＝

10

1limkk

N

kN k k Cs

A d ss

rarr

rarrinfin=Δ rarr

⎡ ⎤sdot Δ⎢ ⎥

Δ⎢ ⎥⎣ ⎦sum int 01

ˆlim ( )k

k kskn A s

infin

Δ rarr=

⎡ ⎤= sdot nablatimes Δ⎣ ⎦sum

01

ˆlim ( )k

k kskA n s

infin

Δ rarr=

= nablatimes sdot Δsum = ( )S

A dsrarr

nablatimes sdotint QED

ex55 由 Amperersquos law 的積分形式導出其微分形式

解Amperersquos law 的積分形式 C

B drarrsdotint ＝ I0μ (4-107)

由 Stokersquos 定理及電流密度 j 的定義上式等號兩端可寫為

rArr ( )S

B dsrarr rarrnablatimes sdotint ＝ 0 S

j dsμrarrsdotint

由於上面的等式對任意面 S（路徑 C）都成立所以被積函數相等

0B jμrarr rarr rarr

rArrnablatimes = (4-108) 此即 Amperersquos law 的微分形式

Ex56 Given a vector field ˆ ˆx yA ye xe= minus + (a) Find Anablatimes

解

ˆ ˆ ˆˆ ˆ(1 ( 1) 2

0x y z

x y zA z z

y xnablatimes = part part part = minus minus =

minus

(b)如圖一個金字塔狀的 5 面體高 2底邊長＝1計算 ( )S

A dsnablatimes sdotint

其中 S 為金字塔在 x-y 平面以上的部分方向如同

封閉的金字塔（運用 Stokersquos law）

解金字塔上表面的面積元素ds 不好寫由 Stokersquos

4-62

law ( )S

A dsrarr rarrnablatimes sdotint ＝

C

A drarrsdotint 其中封閉路徑 C 就是上表面的邊界而且

是逆時針（由 z 軸向下看）

C

A drarrsdotint ＝

1 1 0 0

0 0 1 1ˆ ˆ ˆ ˆA xdx A ydy A xdx A ydysdot + sdot + sdot + sdotint int int int

＝1 1 0 0

0 0 1 1x y x yA dx A dy A dx A dy+ + +int int int int 1 1 0 0

0 0 1 1( 0) ( 1) ( 1) ( 0)y dx x dy y dx x dy= minus = + = + minus = + =int int int int

0 1 1 0 2 ( ) 2S

A ds= + + + = rArr nablatimes sdot =int

旋度與 path independence

已知保守場 cF 對所有封閉路徑 C 0cC

F drarrsdot =int 由 Stokersquos 定理

0cC

F drarrsdot =int ＝ ( )cS

F dsrarr rarrnablatimes sdotint rArr 0cF

rarr rarrnablatimes =

這表示保守場＝無旋度反之無旋度的場任兩點間路徑積分與路

徑無關

Ex57 Given a field 2 2ˆ ˆ ˆ2A x xy yx zz= + minus (a) Find Anablatimes A 保守場

解2 2

ˆ ˆ ˆ

2x y z

x y zA

xy x znablatimes = part part part

minus

( ) ( ) ( )2 2 2 2ˆ ˆ ˆ( ) 2 ( ) 2 0y z z x x yx z x y xy z z x xy= part minus minuspart + part minuspart minus + part minuspart =

yes A =保守場

(b)如左圖由 A 到 B 做路徑積分A BC

A drarr

sdotint 路徑 C 為橢圓

22 1

16yx + = 在 x-軸以上的部分

解橢圓部分的路徑元素 d 有點麻煩但因為 A

為保守場所以 A 到 B 做路徑積分可以用 x = -1 到

1 的積分取代

4-63

01 1 1

1 1 1ˆ 2 0

yB

xAA d A xdx A dx xydx

=

minus minus minussdot = sdot = = =int int int int

∵

旋度在柱座標與球座標

前面討論過nabla在不同座標系的寫法旋度也有歸納出的一致寫法

座標 1 2 3 u u u

度量係數

1 2 3 h h h

nabla grad del

直角 x y z

1 1 1 nabla ˆ ˆ ˆx y z

x y zpart part part

equiv + +part part part

圓柱 zρ ϕ

1 1ρ

1ˆ ˆ ˆ zz

ρ ϕρ ρ ϕpart part part

nabla equiv + +part part part

球 r θ ϕ

1 sinr r θ

1 1ˆ ˆˆ sin

rr r r

θ ϕθ θ ϕ

part part partnabla = + +

part part part

所以柱座標與球座標的旋度分別表為

柱座標

ˆ ˆ ˆ1

z

z

Az

AA Aρ ϕ

ρ ρϕ

ρ ρ ϕρ

part part partnablatimes =

part part part （4-109）

球座標 2

ˆ ˆˆ sin1sin

sinr

r r r

Ar r

A rA r Aθ ϕ

θ θϕ

θ θ ϕθ

part part partnablatimes =

part part part （4-110）

ex58 (a) Given the vector function ˆA ϕ= sin (ϕ 2) find Anablatimes

解 2

ˆ ˆˆ sin1sin

0 sin( 2) 0

r r r

Ar r

r

θ θϕ

θ θ ϕϕ

part part partnablatimes =

part part part

4-64

21 ˆˆ cos sin sinsin 2 2 2

rr rr

ϕ ϕθϕθ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

ˆˆ cos sin2 sin 2 2

rr r

ϕ ϕ ϕθ

minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

(b)如左圖一個底面在 x-y 平面半徑＝1高＝2 之圓錐 求面積分

SA dsnablatimes sdotint 面積範圍 S 為圓錐在 x-y 平面以上

部分 方向為由圓錐內向外

解由 Stokersquos law ( )S

A dsrarr rarrnablatimes sdotint ＝

C

A drarrsdotint 其中路

徑 C 為 x-y 平面圓心在原點之單位圓 ˆ ˆd rd dϕ ϕ ϕ ϕ= =

2

0ˆ ˆsin sin

2 2C

d dπϕ ϕϕ ϕ ϕ ϕ⎛ ⎞ ⎛ ⎞sdot =⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠int int ( )0

2 sin u duπ

= int 0cos | 2u π= minus =

習題 16 磁場 B 因為不是保守場所以沒有對應的純量位而對應一

個向量位 A (vector potential)而 B A= nablatimes 一個磁鐵的磁偶極矩

ˆm mz= 被置於原點已知在遠處的 vector potential 03ˆ sin

4mAr

μϕ θπ

=

計算該處的磁場 B Ans 03

ˆˆ( 2cos sin )4

mB rr

μ θ θ θπ

= + 與電偶極遠處

的電場形式一致都是偶極(dipole) 選幾個點畫一畫該處的場向量

把磁力線描出來

附錄本章講義的內容有部分可以經由直接計算得出列在附錄做為

參考

用「圓柱座標」寫 Atimesnabla

Ararr rarrnablatimes ＝ ( )1ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ zz A A zA

z ρ φρ ϕ ρ ϕρ ρ ϕpart part part⎛ ⎞+ + times + +⎜ ⎟part part part⎝ ⎠

4-65

因為rdquo sdotrdquo與rdquotimes rdquo都是向量間的運算所以

＝ ( )ˆ ˆ ˆ ˆ zA A zAρ φρ ρ ϕρpart

times + +part

＋ ( )1ˆ ˆ ˆ ˆ zA A zAρ φϕ ρ ϕρ ϕ

parttimes + +

part

＋ ( )ˆ ˆˆ ˆ zz A A zAz ρ φρ ϕpart

times + +part

直接做上式微分可以得到

＝1ˆ z AA

zϕρ

ρ ϕpart⎛ ⎞part

minus⎜ ⎟part part⎝ ⎠＋ ˆ zA A

zρϕ

ρpart⎛ ⎞part

minus⎜ ⎟part part⎝ ⎠＋

1 1ˆ ( )A

z A ρϕρ

ρ ρ ρ ϕpart⎛ ⎞part

minus⎜ ⎟part part⎝ ⎠

上式可以用一個行列式來表示

rarrrarr

timesnabla A＝

ˆ ˆ ˆ1

z

z

zA A Aρ ϕ

ρ ρϕ

ρ ρ ϕρ

part part partpart part part

（A-1）

A and Anabla nablasdot nablatimes in 球座標 spherical coordinate

如上圖球座標 )( ϕθr 其中 )0[ infinisinr ]0[ πθ isin ]20[ πϕ isin 只有 r

是長度而 ϕθ 為角度是用來說明方向的三個座標的單位向量 ˆ ˆˆ r θ ϕ 具

有下列性質

4-66

1 如上圖 ˆ ˆˆ r θ ϕ 都不是常數而是（ ϕθ ）的函數

ˆ ˆ( )ˆ ˆ( )ˆ ˆ( )

r r θ ϕ

θ θ θ ϕϕ ϕ ϕ

⎧ =⎪

=⎨⎪ =⎩

)( ϕθr 與(xyz)之間的轉換如下

sin cossin sincos

x ry rz r

θ φθ φθ

=⎧⎪ =⎨⎪ =⎩

( )122 2 2

2 2

tan

tan

r x y z

x yz

yx

θ

φ

⎧ = + +⎪⎪ +⎪ =⎨⎪⎪ =⎪⎩

（A-2）

2 ˆ ˆˆ r θ ϕ 形成一「歸一正交集」ie

ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ 1r r θ θ ϕ ϕsdot = sdot = sdot = ˆ ˆr θ ϕperp perp

ˆ ˆr θ ϕtimes = ˆ ˆ rθ ϕtimes = ˆˆ rϕ θtimes = （A-3）

3可以很容易的由他們在 xyz 軸上的投影由直角

座標的 ˆ ˆ ˆ x y z 表出

ˆ ˆ ˆ ˆsin cos sin sin cos ( 4 )ˆ ˆ ˆ ˆcos cos cos sin sin ( 4 )ˆ ˆ ˆsin cos ( 4 )

r x y z A a

x y z A bx y A c

θ φ θ φ θ

θ θ φ θ φ θϕ φ φ

= + + minus⎧⎪

= + minus minus⎨⎪ = minus + minus⎩

4 ˆdr = 由於 ˆ ˆ( )r r θ φ= 所以由 ϕθ 的變動來看

4-67

ˆ ˆˆ| |ˆ ˆˆ| | sin sin

d r d d

d r d d

θ θθ θθ

φ θ φφ θ φφ

⎧ rArr =⎪⎨

rArr =⎪⎩rArr ˆ ˆˆ sindr d dθ θ φ θ φ= + （A-5）

rArrˆ ˆr θθpart

=part

ˆ ˆsinr θφφpart

=part

（A-6）

（A-6）的結果也可以直接由（A-4a）對 ϕθ 偏微得到

5 ˆdθ ＝ 由於 ˆ ˆ( )θ θ θ φ= 所以由 ϕθ 的變動來看

ˆ ˆ ˆ| | ( )ˆ ˆ ˆ| | cos cos

d d r d r

d d d

θ θ θ θ

φ θ θ φφ φ θ φ

⎧ rArr minus = minus⎪⎨

rArr =⎪⎩rArr ˆdθ ＝ ˆˆ cosrd dθ φ θ φminus + （A-7）

ˆrθ

θpart

rArr = minuspart

ˆ ˆcosθ φ θφpart

=part

（A-8）

請直接由（A-4b）對 ϕθ 偏微的結果 check（A-8）

6 ˆdφ ＝由於φ )(ϕ 躺在 x-y 平面上變動φ時的方向可能不是那麼

容易看出來所以做圖看一看

ie ˆ ˆˆ(sin ) (cos )d r d dφ θ φ θ θ φ= minus minus （A-9）

4-68

ˆ ˆˆsin cosrφ θ θ θφpart

= minus minuspart

7 所有的向量 ˆ ˆˆ rA rA A Aθ φθ φrarr= + +

8 位置向量 ˆr rrrarr=

可以由左圖 ˆ ˆˆ r θ ϕ 三個方向的「長度

變化」輕易的看出

9 位移元素

ˆ ˆˆ ˆ sindr rdr rd dθ θ ϕ θ φ= + + (A-10)

10 體積元素

sindv dr r d rdθ φ θ= sdot sdot

＝ 2 sinr dr d dθ θ φ (A-11)

11 面積元素 2 sinrds r d dθ θ φ= plusmn sinds r drdθ θ φ= plusmn ds rdrdφ θ= plusmn (A-12)

plusmn號表示面的垂直方向有兩個端看 ds 周邊的方向是如何定的

nabladel 考慮 ( )u u r θ φ=

rArru u udu dr d dr

θ φθ φ

part part part= + +part part part

u d rrarr rarr

equiv nabla sdot

urarr

= nabla sdot ˆ ˆˆ( sin )rdr rd dθ θ φ θ φ+ +

rArr1 1ˆ ˆˆ

sinu u uu rr r r

θ ϕθ θ φ

rarr part part partnabla = + +

part part part

1 1ˆ ˆˆsin

rr r r

θ ϕθ θ φ

rarr part part partnabla equiv + +

part part part （A-13）

4-69

直接用（A-13）與 ˆ ˆˆ rA rA A Aθ φθ ϕrarr= + + 逐項內積加上（A-678）

rArr ϕθ

θθθ

ϕθ part

part+

partpart

+partpart

=sdotnablararrrarr A

rA

rAr

rrA r sin

1)(sinsin1)(1 2

2 （A-14）

（A-13）與 ϕθ ϕθ AAArA r

andandandrarr

++= 逐項外積整理之後

ϕθ θϕθ

ϕθθ

θArrAA

r

rrr

rA

r sin

sin

sin1

2 partpart

partpart

partpart

=timesnabla

andandand

rarrrarr

（A-15）

Laplacian uu nablasdotnabla=nabla2

2

2

2222

22

sin1)(sin

sin1)(1

ϕθθθ

θθ partpart

+partpart

partpart

+partpart

partpart

=nablau

ru

rrur

rru （A-16）

B推導「散度」在圓柱座標的寫法

讓我們先回顧一下在直角座標裡的「面積元素」可以由「位移元素」

得到

ˆˆ ˆ x y zdr idx jdy kdz da dydz dxdz dxdy= + + rArr =

比照辦理「圓柱座標」的位移元素

( )ˆˆ ˆ( )

( )z

da d dzdr d d zdz da d dz

da d d

ρ

φ

ρ φ

ρ ρ φ ρ φ ρ

ρ ρ φ

=⎧⎪= + + rArr =⎨⎪ =⎩

這個結論可以輕易的由面積元素在垂直於 zˆˆ ϕρ 三個方向的面積看

出如下圖考慮一個以 )( zϕρ 為中心的「圓柱體積元素」(cylindrical

cubiod)體積為 zdV ΔΔ=Δ ϕρρ 現計算在 ρ

方向的 12 兩個平行面(方向各為 ρplusmn )的通

量

4-70

zzF

dsFdsnFS S

ΔΔ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

+cong

=sdotintint intintϕρρϕρρρ

ρ

2

2

ˆ1 1

zzF

dsFdsnFS S

ΔΔ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

minus⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

minusminuscong

minus=sdotintint intintϕρρϕρρρ

ρ

2

2

ˆ2 2

intint+

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

minus⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

minusminus⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

+Δ

asympsdotΔ

rArr21

22

22

1ˆ1

SS

zFzFdsnFV

ϕρρρρϕρρρρρρ ρρ

( ) ( )

1 20

0

0

1 ˆlim

1lim 2 2 2 2

1 1lim 2 2

1

VS S

F ndsV

F z F z

F z F z

F

ρ ρρ

ρ ρρ

ρ

ρ ρ ρ ρρ ρ φ ρ ρ φρ ρ

ρ ρρ ρ φ ρ ρ φρ ρ

ρρ ρ

Δ rarr+

Δ rarr

Δ rarr

rArr sdotΔ

Δ Δ Δ Δ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + + minus minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥Δ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦Δ Δ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥Δ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

part ⎡ ⎤= ⎣ ⎦part

intint

娛樂一下用上述方式把圓柱的 Fsdotnabla 裡的z

FF z

partpart

+partϕρϕ1

變出來

球座標的nabla和 Fsdotnabla 也可以試試看

補充習題

H M Scheydiv grad curl and all that 4th edition

第二章習題 6 8 9 10 11 14 15 16 18 19 21 22 23 25 26 27

第三章習題 2 3 5 6 7 8 9 10 11 14 15 17 18 19 24

4-24

Ex23 點 P 的球座標為（31200 600）求柱座標＝

解2 3 33sin3 2πρ ⎛ ⎞= =⎜ ⎟

⎝ ⎠

23

ϕ π= 2 33cos3 2

z π minus⎛ ⎞= =⎜ ⎟⎝ ⎠

直角座標柱座標球座標單位向量之間的轉換

三種座標之間的轉換由(4-46)式(4-54)式與（4-58）式表出但

三種座標裡的的三個單位向量 ˆ ˆ ˆ x y z ˆ ˆ ˆ zρ ϕ ˆ ˆˆ r θ ϕ 若以 123ˆ iu =

表示則單種座標的單位向量之間都有正交歸一關係

ˆ ˆi j iju u δsdot = 與外積的循環關係

ˆ ˆ ˆ i j ku u u i j ktimes = cyclic in 123

ie 1 2 3 2 3 1 3 1 2ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ u u u u u u u u utimes = times = times = or ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆˆ ˆ r z z x yθ ϕ ϕ ρtimes = times = times =

然而不同座標系的單位向量之間關係如何我們畫圖來討論

球座標 ˆ ˆˆ( )r θ ϕ rarr直角座標 ˆ ˆ ˆ( )x y z

單位向量都是用來指方向的球座標的 ˆ ˆˆ( )r θ ϕ 都是「方向角」( )θ ϕ

的函數 r 在直角座標可以由 Fig33 看出

ˆ ˆ ˆ ˆsin cos sin sin cosr x y zθ ϕ θ ϕ θ= + + （4-59）

ex24 P 點的球座標為2 75 3 6π π⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠

試用球座標與直角座標求 P 點的位

置向量的單位向量 解位置向量 ˆr rr= 在球座標只有 r-分量標位置仔細一點把方向

角標出2 7ˆ 3 6

r π π⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

通常只是寫 r 令人有點摸不著頭緒用直角

4-25

座標比較「具像」 2 7 2 7 2ˆ ˆ ˆ ˆsin cos sin sin cos3 6 3 6 3

3 3 1ˆ ˆ ˆ4 4 2

r x y z

x y z

π π π π π⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞minus minus minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + +⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

單位向量θ 在某一組 ( )θ ϕ 的指向如 Fig 34a將θ 平移至原點更清楚

Fig34b 是由側面看 Fig34a可以看到θ 在 z 軸的投影為 sinθminus 而θ 在

x-y 平面的投影為cosθ使得θ 在 x-軸的投影為cos cosθ ϕy-軸投影

為cos sinθ ϕ於是

ˆ ˆ ˆ ˆcos cos cos sin sinx y zθ θ ϕ θ ϕ θ= + minus （4-60）

單位向量ϕ 如 Fig 35a 所示是在 x-y 平面畫出

Fig 35b 為自 z 軸向下看 Fig35a 圖可以看出ϕ 在 z 軸投影為 0且

ˆ ˆ ˆsin cosx yϕ ϕ ϕ= minus + （4-61）

ex25 一個質點的速率為 2( ) ( sin tan )v r rθ ϕ θ ϕ= 若經查該質點的運

動 是 在 z = 3 平 面 做 逆 時 針 圓 周 運 動 則 當 位 置 的 方 向 角

4-26

2( ) 4 3π πθ ϕ ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

時計算其速度用球座標與直角座標表出

解圓運動速度方向是沿切線所以球座標 ˆ ˆ( )v v v rϕ θ ϕ ϕ= =

z = 34πθ =

3 3 21cos cos 24

z zrπθ

rArr = = = =⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

所以該處的瞬時速率

2 2

2( ) 3 3 4 3

2 1 813 3sin tan 3 3 ( 3)4 3 22

v r v π πθ ϕ

π π

⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

⎡ ⎤ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = times minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

2 81 2ˆ3 3 4 3 2 4 3

v r π π π πθ ϕ ϕ⎛ ⎞ ⎛ ⎞rArr = = = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

在直角座標2 2 2ˆ ˆ ˆ sin cos

4 3 3 3x yπ π π πϕ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠3 1ˆ ˆ

2 2x y= minus minus

而且點23 3

4 3π π⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠

的直角座標為

2 1 3 3sin cos 3 3sin cos 3 34 3 2 22 2

x r π πθ ϕ minus minus⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

2 3 9sin sin 3 3sin sin 3 34 3 2 2 2 2

y r π πθ ϕ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = = =⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

z = 3

23 3 4 3

v π π⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

3 3 9 81 3 1ˆ ˆ 32 2 2 2 22 2

v x y⎛ ⎞ ⎛ ⎞

rArr = minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

以上兩個例子都只討論只有一個圓座標分量的向量in general 向量

ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( )r x y zA r rA A A A r xA yA zAθ ϕθ ϕ= + + hArr = + + （4-61）

若已知球座標的分量 ( )rA A Aθ ϕ 如何得到直角座標的

( )x y zA A A

4-27

ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( )ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( )

ˆ ˆˆˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( )

x r

y r

z r

A x A r x r A x A x A

A y A r y r A y A y A

A z A r z r A z A z A

θ ϕ

θ ϕ

θ ϕ

θ ϕ

θ ϕ

θ ϕ

⎧ = sdot = sdot + sdot + sdot⎪⎪ = sdot = sdot + sdot + sdot⎨⎪

= sdot = sdot + sdot + sdot⎪⎩

（4-62）

由式（4-59）（4-61） ˆ ˆ ˆ ˆsin cos sin sin cosr x y zθ ϕ θ ϕ θ= + + （4-59） ˆ ˆ ˆ ˆcos cos cos sin sinx y zθ θ ϕ θ ϕ θ= + minus （4-60）

ˆ ˆ ˆsin cosx yϕ ϕ ϕ= minus + （4-61） ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆsin cos cos cos sin ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆsin sin cos sin cos ˆ ˆˆˆ ˆcos sin 0

x r x x

y r y y

z r z z

θ ϕ θ θ ϕ ϕ ϕ

θ ϕ θ θ ϕ ϕ ϕ

θ θ θ ϕ

⎛ ⎞sdot = sdot = sdot = minus⎜ ⎟

rArr sdot = sdot = sdot =⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟sdot = sdot = minus sdot =⎝ ⎠

（4-63）

sin cos cos cos sin sin sin cos sin cos

cos sin 0

x r r

y RS

z

A A AA A M AA A A

θ θ

ϕ ϕ

θ ϕ θ ϕ ϕ

θ ϕ θ ϕ ϕ

θ θ

⎛ ⎞minus ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟rArr = equiv⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟minus⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

（4-64）

其中 SRM 為由球座標分量轉為直角座標分量的轉換矩陣且行列式

det SRM =1 表示反矩陣存在then 1SRM minus 就是將直角座標分量轉為球座

標分量之轉換矩陣其實嚴格講 (4-64)式還不是最終的表示因為

轉換完的直角

座標應該全部以 x y z 表出這裡保留用 θ ϕ 只是為了簡潔方便

習題 2 Find 1SRM minus

習題 3 用 xyz 表出(a)sinθ (b)cosθ (c)sinϕ (d)cosϕ

Ans (a)2 2

2 2 2sin

x yx y z

θ+

=+ +

(b)2 2 2

cos zx y z

θ =+ +

(c)2 2

sin yx y

ϕ =+

(d)2 2

cos xx y

ϕ =+

習題 4 用上面結果將 SRM 用 xyz 表出

Ex26 Given a field ( )A r θ ϕ ＝ ˆ ˆˆ2 3r θ ϕ+ minus in spherical coordinates

find the field in rectangular coordinates （直角座標）

4-28

解這裡的 ( )A r θ ϕ 不因其三個分量都是常數而只是「一個」向量

而是一 vector field這是因為 ˆ ˆˆ r θ ϕ 都不是定值而與 θ ϕ 有關而如

果 ( )A r θ ϕ 表示則單位向量所對應的角度 θ ϕ 必須要標定所以

sin cos cos cos sin 2sin sin cos sin cos 3

1cos sin 0

x

y

z

AAA

θ ϕ θ ϕ ϕ

θ ϕ θ ϕ ϕ

θ θ

⎛ ⎞minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ minusminus⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

(2sin 3cos )cos sin(2sin 3cos )sin cos

2cos 3sin

x

y

z

AAA

θ θ ϕ ϕθ θ ϕ ϕ

θ θ

+ +⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟rArr = + minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟minus⎝ ⎠ ⎝ ⎠

習題 5 Draw a diagram to show in the cylindrical coordinates

(a) ˆ ˆ ˆcos sinx yρ ϕ ϕ= + (b) ˆ ˆ ˆsin cosx yϕ ϕ ϕ= minus + (c) ˆ ˆz z=

習題 6 use the above results show that 由柱座標分量轉為直角座標分

量的轉換矩陣

x

y CR

z z

A AA M AA A

ρ

ϕ

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟=⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

CRM =

2 2 2 2

2 2 2 2

0cos sin 0sin cos 0 0

0 0 10 0 1

x yx y x y

y xx y x y

ϕ ϕ

ϕ ϕ

minus⎛ ⎞⎜ ⎟+ +⎜ ⎟⎛ ⎞minus⎜ ⎟⎜ ⎟

= ⎜ ⎟⎜ ⎟+ +⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

Ex27 Express vector ˆ ˆ ˆ(3cos ) 2 5A zρ ϕ ϕ ρ= minus + in Cartesian

coordinates Specifically the A at the position of (2 2 3π -3)

解

2cos sin 0 3cos 3cos 2 sinsin cos 0 2 3cos sin 2 cos

5 50 0 1

x

y

z

AAA

ϕ ϕ ϕ ϕ ρ ϕϕ ϕ ρ ϕ ϕ ρ ϕ

⎛ ⎞minus ⎛ ⎞+⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟= minus = minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

so that A (2 2 3π -3)= 3 3 3ˆ ˆ ˆ3 3 3 54 4

x y z⎛ ⎞⎛ ⎞+ + minus +⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠注意本

題裡 z 座標並非一變數

4-29

sect 43 Fields and its properties 場與其性質

「場 field」是什麼凡是在「某個空間中每一點」都有定義的量

就是一個「場」所以「場」也稱為「點函數 point function」簡單的

說凡是「空間的函數」都是「場」如果這個「空間的函數」是一個

純量 u(xyz)那麼 u(xyz)就是一個「純量場 scalar field」例如室內

的溫度 T(xyz)一塊豬肉的密度 ( )x y zρ 大氣中的壓力 p(xyz)等

都是純量場如果這個「空間的函數」是一個向量 )( zyxA 那麼

)( zyxA 就稱為「向量場 vector field」例如空間中的電場 )( zyxE

水流中的速度場 )( zyxv 重力場 )( zyxg 等等很顯然的不論是純量

場還是向量場「場」在空間中的分佈通常未必是均勻的那麼她有

什麼性質呢例如一塊豬肉內部密度是如何變化的水流中有沒有

漩渦大氣中的等壓線是如何變化的等等那麼有沒有什麼量可以

有系統的描述各種場的分佈有我們在以下分別討論

sect 431 Gradient of scalar fields 純量場的梯度

考慮一個純量場 f(xyz)可以視為 3 個變數 xyz 的函數當變數變動為

x+dx y+dy z+dy 時造成 f 的變化

f f fdf dx dy dzx y zpart part part

= + +part part part

（4-65）

由幾何意義來看上式更為具體上式表示純量場 )(rf 基於位置的變化

r r drrarr + (或由 ( ) ( )x y z x dx y dy z dzrarr + + + )所造成 f 的變動

我們現在定義一個向量算符 vector operator nabla (or nabla )（讀做 del）

ˆ ˆ ˆx y zx y zpart part part

nabla equiv + +part part part

(4-66)

如果將 del 作用在純量場 )(rf 上將產生出現一個新的「向量場」 fnabla

稱為純量場「 )(rf 的『梯度 gradient』」

4-30

ˆ ˆ ˆ( ) f f fgrad f f x y zx y zpart part part

equiv nabla = + +part part part

（4-67）

這使得由於任意位移 ˆ ˆ ˆdr xdx ydy zdz= + + 所造成 f 的變化量

df f drrArr =nabla sdot （4-61）

ex28 Given scalar field 2( )f r xy z= and 2 2 2

1 1( )g rrx y z

= =+ +

(a) find the value of ( )f r and fnabla at point P(2 1-1) 解 2(21 1) 2 1 ( 1) 2f minus = times times minus = minus

2 2 2

2 2

ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( )

ˆ ˆ ˆ( ) ( 2 ) ( )

f x xy z y xy z z xy zx y z

x y z y x yz z xy

part part partnabla = +

part part part

= +

＋

＋

ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ(21 1) ( 1) (2 2) (2) 4f x y z x y znabla minus = minus + timesminus = minus minus＋ ＋2 (b) find the value of ( )g r and gnabla at the point P

解2

1 1(21 1)62 1 1

g minus = =+ +

2 2 2 12 2 2 2 12

2 2 2 12

ˆ ˆ( ) ( )

ˆ ( )

g x x y z y x y zx y

z x y zz

minus minus

minus

part partnabla = + + + + +

part partpart

+ +part

＋

2 2 2 32 2 2 2 32 2 2 2 32

2 2 2 32 3 2

ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( )

ˆ ˆ ˆˆ( )( )

OR OR

xx yy zzgx y z x y z x y zxx yy zz r r

x y z r r

minus minus minusrArrnabla = + +

+ + + + + +minus + + minus minus

= = =+ +

32

ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ(2 ) 2(21 1)6 6 6

x y z x y zg minus + minus minus minus +rArrnabla minus = =

由 gnabla 看到一個粉常用的結果就是

3 2

ˆ1 ORr rr r r

minus minusnabla = = （4-62）

順便比較一下

2 2 2 12 2 2 2 12 2 2 2 12

2 2 2 12

ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( )

ˆ ˆ ˆ( ) ˆ (4 63)( )

r x x y z y x y z z x y zx y zxx yy zz r r

x y z r

part part partnabla = + + + + + + +

part part part+ +

= = = minus+ +

＋

4-31

(c) what is the angle between (21 1)fnabla minus and (21 1)gnabla minus

解 (21 1)fnabla minus (21 1)gsdotnabla minus ＝（ ˆ ˆ ˆ4x y zminus minus ＋2 ） sdotˆ ˆ ˆ26 6x y zminus minus +

＝2 4 2 4

6 6 3 6+ +

= ＝ | (21 1) |fnabla minus | (21 1) |gnabla minus cosθ

＝ 34 1 1 211 16 4 cos cos

6 6θ θ+ +

+ + =

1 4 2cos 07773 7

radθ minus ⎛ ⎞= =⎜ ⎟

⎝ ⎠

要注意隨然nabla有向量的性質但是他並不是一個真的向量真

實向量 A與純量 f ( )r 的乘法滿足交換率ie ( ) ( )Af r f r A= 但是

f fnabla ne nabla因為

( )f rnabla ＝ ˆ ˆ ˆf f fx y zx y zpart part part

+ +part part part

是一個向量函數而

ˆ ˆ ˆ( )f r x y zx y z

⎛ ⎞part part part+ +⎜ ⎟part part part⎝ ⎠

是一個算符（operator）

若nabla要與向量場 A 作用由於nabla與 A 都具有向量的性質先看「內積」

ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ( )

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

x y z

x y

z

y yx xz z

A x y z xA yA zAx y z

x y z xA x y z yAx y z x y z

x y z zAx y z

A AA AA Ax x x y x zx y z x y z

⎛ ⎞part part partrArrnablasdot = + + sdot + +⎜ ⎟part part part⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞part part part part part part= + + sdot + + + sdot⎜ ⎟ ⎜ ⎟part part part part part part⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞part part part

+ + + sdot⎜ ⎟part part part⎝ ⎠part partpart partpart part

= sdot + sdot + sdot + sdotsdot sdot = + +part part part part part part

yx zAA AAx y z

partpart partnablasdot = + +

part part part (4-64)

上式中的 Anablasdot 是向量場 A 的一個重要的性質稱為 A 的「散度」詳

細的內容在後面會仔細討論這裡引進 Anablasdot 主要是要表明nabla是個「算

符」表示一個運算不是一個真實的向量只是在「直角座標」裡

4-32

因為單位向量 ˆ ˆ ˆ x y z 是常數不受微分的作用以致nabla表現得好像也

是個一般的向量一樣事實上真實向量和nabla間的「內積」就不滿足交

換率

x y zA A A A an operator Ax y zpart part part

sdotnabla = + + = ne nablasdotpart part part

(4-65)

這也使得任意向量場 ( )A r 因位置變動 r r drrarr + 而產生的變化由於

)( zyxA 也是 3 個變數 xyz 的函數可以寫為

( )A A AdA dx dy dz dr Ax y z

part part part= + + = sdotnabla

part part part （4-66）

ex29 (a)Given field 2ˆ ˆ ˆ2A xxy y x zyz= minus + find Anablasdot at point (1-12)

解2( ) (2 ) ( ) 2xy x yzA y yz

x y zpart part part

nablasdot = + + = +part part part

(1 12)1 2( 1)2 3A

minusnabla sdot = minus + minus =

(b) find rnablasdot 解 rnablasdot = 3x y zx y zpart part part

+ + =part part part

梯度的意義

由（4-67）可以看到「f 的梯度 fnabla 」

是一個由「純量場 f」衍生出的向量

場由（4-26）也可以看出 fnabla 扮演類

似「變化率」的角色

空間中將相同值 f ( )r ＝f1 的點連

起來就得到一個 f ( )r ＝f1 的「等值面」如 Fig36考慮純量場 f( r )的

相鄰兩個等值面各對應定值 1f f= 與 1f f df= + 0df gt P1 點在 f1

等值面上相鄰兩點 P2P3 在 1f df+ 等值面上而向量 1 2 ˆnP P dn e dn= =

過 P1 點垂直於 f1 等值面 1 3 ˆP P d e d= = 與 ˆne dn夾角為α 由於不

論 1 2P Prarr 或 1 3P Prarr f 的變化量都是 df 但因距離 dn 係兩等值面最

4-33

短的距離d dngt 所以 1 2P Prarr 或 1 3P Prarr 造成的「變化率」df dfdn d

gt

而過 P1 點的最大變化率為dfdn

換言之向量 ˆndfedn

為過 P1 點垂直於

f1 等值面且指向最大「增加率」的方向 現在要證明

ˆndfe fdn

= nabla （4-67）

考慮 1 3P Prarr 造成的 f 值的變化率

ˆ ˆcos n ldf df dn df df e edl dn dl dn dn

α= = = sdot

ˆ ˆ ˆn l ndf dfdf e e dl e dldn dn

rArr = sdot = sdot

和（4-61）式df f dr= nabla sdot 相比即可得證 ˆndfe fdn

= nabla 所以可以知道

空間純量場 f ( )r 中任一點處的向量 fnabla 必「垂直」於「通過該點的 f的等值面」且指向 f 值最大「增加率」的方向| ( )f rnabla |就是 f 在 r 點

的最大增長率可以進一步定義等值面的「法線 normal」方向為

ˆ fnf

nabla=nabla

（4-68）

結論給定一個純量場 f( r )在每一點 r 可以定義一個稱做「梯度」

的向量 fnabla fnabla 垂直於過 r 點的 f 等值面且指向最 f 大增加率的方向

fnabla 的方向也定義了 f 等值面的法線方向

Ex30 考慮一個 2D 的 scalar field 2( )f x y y x= minus 計算該場在 )20( 的梯度與

法線方向

解 ˆ ˆ ˆ ˆ2f ff x y x yyx ypart part

nabla = + = minus +part part

ˆ ˆ(0 2) 2 2f i jnabla = minus + ˆ ˆ ˆ ˆ2 2 2 2ˆ(0 2)

31 8i j i jn minus + minus +

rArr = =+

4-34

ex31 點電荷 q 置於原點其產生電位為 ( ) qV rr

= 求負梯度qr

minusnabla

解 3

2 2 2 22 2 2

2 ( )2

q q q q x x y zr x rx y z

minuspart minus= rArr = sdot + +

part+ +

3 23

ˆˆ ˆ ˆ( )q ix jy kz r rq q qr r r r

minus + +rArr minusnabla = minus = = （點電荷的電場）

0 0

1 1 r r

noter r= =

nabla rarrinfin rarrinfin∵ 是不定值是因為 r = 0 處為最大值

「增加率」的方向無法確定

ex32 置一熱源於原點空間溫度分佈為1( )

( 2)T r

r=

+求溫度的梯度

解 2 2 2

ˆ( ) ( )( 2) ( 2) ( 2)

x rT r rr rT r

x r r r

minuspart minus

= rArrnabla = =part + + +

此處的負號表示梯

度指向熱源因為距熱源越遠溫度越低 ( 0)note T rnabla = 為不定值

因在最頂點「增加率」的方向無法確定

Ex33 地圖上山脈的等高線上各點的垂直方向由梯度決定現有一座

山是橢球 2)1(4 222 =+++ zyx 在 x-y 平面上方的

部分求地圖上這座山等高線的梯度

解 山高 142 22 minusminusminus== yxzh 所以等高線為橢

圓 222 )1(24 +minus=+ hyx 梯度

( ) ( ) ( )2 2 2 2

2 2

ˆ ˆ4ˆ ˆ2 4 1 2 4 1

2 4

xx y yh x x y y x y

x y x y

minus +part partnabla = minus minus minus + minus minus minus =

part part minus minus

所以自山腳（h=0）登山若由(012)開始 ˆ(01 2) 2h ynabla = minus 但若由

)02(minus 開始爬山 ˆ( 20) 2h xnabla minus = 可見 )02()210( minusnablagtnabla hh 這表

示由 y-軸登山山勢較陡所以「梯度」比由 x-軸登山為大這也更

清楚瞭解「梯度」的幾何意義

4-35

sect 432 Divergence 散度與 Curl 旋度

在(4-66) 我們建立了一個直角座標 vector operator 「del」

ˆ ˆ ˆx y zx y zpart part part

nabla equiv + +part part part

(4-66)

若與向量場 A 做「內積」與「外積」就建構了 A 的「散度」與「旋度」

散度 A A scalaryx zAA Adiv ax y z

partpart partequiv nabla sdot = + + =

part part part （4-69）

旋度

y yz x z x

ˆ ˆ ˆ y z A vector

A AA A A Aˆ ˆ ˆxy z z x x y

x y z

x y z

xcurl A a

A A A

y z

⎧⎪

= nablatimes = part part part =⎪⎪⎨⎪

part part⎛ ⎞ ⎛ ⎞part part part part⎛ ⎞⎪ = minus + minus + minus⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎪ part part part part part part⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎩

(4-70)

這裡定義的只是「散度」與「旋度」所謂「操作型的定義」告訴我

們如何計算的式子事實上她們都具有重要的物理意義我們在後面

會討論

ex34 ˆ ˆA xy yx= minus 求其散度與旋度

解 0 0y xAx ypart part

nablasdot = minus + =part part

ˆ ˆ ˆ y zˆ ˆ ˆ ˆ 0 0 ( 2) 2

0 x y z

xA x y z z

y xnablatimes = part part part = minus + minus = minus

minus

右圖示意了本向量場的分佈看得出像個漩渦也看到算出的旋度

0ne 看來旋度表現的應該是向量場「旋轉的程度」事實上我們在

後面會看到「旋度」表現的就是是向量場在空間各點「旋轉的程度」

本題的向量場在每一點的旋轉程度都一樣

4-36

Ex35 ( )ˆ ˆ ˆ A xx yy zz r= + + = 求其散度與旋度

解 3A rnablasdot = nablasdot = ˆ ˆ ˆ y z

0

x y z

xA

x y znablatimes = part part part =

由場分佈的示意圖可以看出本向量場是自原點向外射出好似在原

點有一個場線的「源頭 source」但是 3Anablasdot = 為一個常數表示好像到

處都有 source同時旋度為 0 也可以配合本場並無旋轉的形象事實

上「散度」表現的就是是向量場在空間各點產生「場線」的 source

記得靜電學裡的庫倫定律 0E ρ εnablasdot = 電場的散度就是「電荷密度」

(電場的 source)前一題的向量場看來對應的場線是封閉的所以沒有

source這也對應了其散度＝0不過一個向量場的散度旋度究竟是

多少應該詳細的計算場分佈圖形有時候不是那麼容易看的清楚

兩個 useful identities (恆等式)

(a) ( ) 0 0f curl of a gradnablatimes nabla = =

(b) ( ) 0 0A div of a curlnablasdot nablatimes = =

pf (a) ( )ˆ ˆ ˆ x y z

x y z

x y z

ff f f

nablatimes nabla = part part part

part part part

( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2xz zxˆ ˆ ˆx y f- f z 0yz yz xy yxf f f f= part minus part minus part part + part minuspart =

這個結果與真實的向量外積 ( ) AA 0=times 有相似之處但是這只是特

例要記得nabla並不是一個真正的向量

( ) ( ) ( )

( )

ˆ ˆ ˆ y zˆ ˆ ˆ x y z

0

x y z y z z y x z z x x y y x

x y z

xy z xz y xy z yz x xz y yz x

xA A A A A A A

A A A

A A A A A A A

nablatimes = part part part = part minus part minus part minus part + part minus part

nablasdot nablatimes = part minuspart minuspart +part +part minuspart =

4-37

此結果與真實的向量運算有相似之處 ( )( )0 (B A) BB B Asdot times = times perp∵

但是這仍只是特例因為我們可由下列例子 ( ) 0A Asdot nablatimes ne 看出事實上

nabla並不是一個真正的向量 Ex36 ˆ ˆ ˆA xy yx zx= minus +

( )

ˆ ˆ ˆ y zˆ ˆ ˆ 0 1 ( 2)

2 0

x y z

xA x y z

y x x

A A x x x

nablatimes = part part part = minus + minus

minus

sdot nablatimes = minus = minus ne

面積元素向量

物理上時常會遇到面積分例如電通量磁通

量等等考慮一個面積元素 ds定義「面積的

方向」為其「法線方向」並定義面積元素向量

ˆnds a dsequiv （4-71）

要注意的是(1)如果 ds 是一個「封閉面

closed surface」（即有裡外之分）的一部

份則 ˆna 定義為「由內向外」(2) 如果 ds

是一個「開放面 opened surface」（即分不

出裡外）的一部份那麼 ds 必被其邊緣

（一個封閉的曲線 C）所包圍這樣在定

出ds 的方向之前要先定義「邊緣曲線」

C 的方向再由右手定則定義 ˆna 的方向

既然面積已為一個向量就可以寫為分量表示以直角座標

ˆ ˆ ˆx y zds xds yds zds= + + (4-72)

那麼這些分量 dsx dsy dsz 會是什麼既然 dsx 的方向是 x 就表示 dsx

是躺在 y-z 平面上所以 dsx 的兩邊是 dy 與 dz rArr xds dydz= 依此類

4-38

推 dsy 的方向是 y 所以躺在 x-z 平面rArr yds dxdz= hellip可以得知

xds dydz= yds dxdz= zds dxdy= （4-73）

不過要注意在寫面積元素時要看討論的面實際

是什麼面上式的三個分量有可能會是負的例如

左圖座落在第一象限的立方體的 A 面方向就在 xminus

方向Arsquo面在 yminus Ardquo面在 zminus 方向寫面積元素最

好是先把討論的面的方向搞清楚把plusmn號寫在單位向量前面那麼分

量就都用＋的即可其實面積元素體積元素都可以由位移元素看出

ˆ ˆ ˆdr xdx ydy zdz= + +

dx dy dz 是沿著 ˆ ˆ ˆ x y z 方向的長度所以面積元素分量的兩邊長度就

是由其中兩個組成而體積的三邊也就是三個垂直方向的長度

x y zdV dx dy dz and ds dydz dxdz dxdyrArr = = （4-74）

這個概念在其他的座標系統也成立我們可以方便的寫出面積元素

Recall 柱座標的位移向量元素

cylindrical coordinate ˆ ˆ ˆdr d d dzzρρ ρ ϕϕ= + + （4-48）

ˆ ˆ ˆ zds ds ds zdsρ ϕρ ϕ= + + (4-75)

dsρ 躺在 zϕ minus 平面dsϕ 在 zρ minus 平面 zds 在ρ ϕminus 平面

rArr zds d dz ds d dz ds d d d dρ ϕρ ϕ ρ ρ ρ ϕ ρ ρ ϕ= = = sdot = （4-76）

上面的結果畫個圖看看吧球座標的位移向量元素

Spherical coordinate ˆ ˆˆ ( ) ( sin )dr rdr rd r dθ θ ϕ θ ϕ= + + （4-56）

ˆ ˆˆ rds rds ds dsθ ϕθ ϕ= + + （4-77）

rArr sin sin rds rd r d ds dr r d ds rd drθ ϕθ θ ϕ θ ϕ θ= sdot = sdot = sdot (4-78)

4-39

向量場 ( )A r 在 S 面上的「面積分（surface integral）」or「flux」

如左圖若有一「平面」S 且其上有「均勻」

場 B 分佈則通過 S 面的通量就是

ˆB B nSΦ = sdot

但考慮一任意「非均勻」向量場 ( )A r 在空間分佈選取任意曲面 S

探討 ( )A r 在 S 上之通量若ds 為 S 面上的面積元素在趨近於 0 的

小面積ds 上 A可視為均勻所以通過ds 之通量為 ( )d A r dsΦ = sdot 則 S

面之總通量為

Φ＝ ˆ cosS S S

A ds A nds A daϕsdot = sdot =int int int

( )OR

x x y y z zS

A da A da A da= + +int (4-75)

稱為 A 在 S 面上的「面積分」或「通量 flux」

上圖所繪就是一個任意面上分割出許多小面積舉出三個位置的通

量有+-與 0如果 S 面是為一「封閉面」則面積分寫為

S

A dssdotint （4-76）

4-40

ex37 Given 2ˆ ˆ ˆyzA xyz yx zx= + + 計算通量S

A dssdotint

S 面為在第一象限邊長＝1 的立方體表面封閉面

解立方體分為前後右左上下六個面分開算 1前面（x=1）

方向 x+ ˆ xA ds A xdydz A dydzsdot = sdot =int int int前 前 前

yzdydz= int前 ＝1 1

0 0

1 1 12 2 4

ydy zdz = sdot =int int

2後面(x=0)方向 xminus ˆ(- ) - xA ds A x dydz A dydzsdot = sdot =int int int後 後 後

yzdydz= minusint後1 1

0 0

-1 1 -12 2 4

ydy zdzminus = sdot =int int

3 右面（y=1）方向 y+ y ( 1)yA ds A dxdz A y dxdzsdot = sdot = =int int int右 右 右

( 1)x y zdxdz= =int右 ＝1 1

0 0

1 1 12 2 4

xdx zdz = sdot =int int

4 左面（y=0）方向 ˆ-y ˆ( y) - ( 0)yA ds A dxdz A y dxdzsdot = sdot minus = =int int int左 左 左

( 0) 0x y zdxdz= = =int左

5 上面（z=1）方向 z+ zz y (z 1) yA ds A dxd A dxdsdot = sdot = =int int int上 上 上

2 yx dxd= int上 ＝1 120 0

1 1y 13 3

x dx d = sdot =int int

6 下面（z=1）方向 ˆ-z zˆ(-z) y - (z 0) yA ds A dxd A dxdsdot = sdot = =int int int下 下 下

2 -1- y3

x dxd= =int下 ＝1 120 0

1 1y 13 3

x dx d = sdot =int int

S

A dssdotint ＝六個面的和＝1 1 1 1 1 1( ) ( 0) ( )4 4 4 3 3 4

minus minus+ + + + + =

ex38 Given ˆ ˆ ˆzA xyz yx zxy= + + 計算通量S

A dssdotint S 為圓 2 2 2x y a+ =

在第一項限的部分方向選為 z+ 2 2y a x= minus

4-41

解 2 2 4

0 0ˆ

8a a x

zS S S S

aA ds A zdxdy A dxdy xydxdy xdx ydyminus

sdot = sdot = = = =int int int int int int

Ex39 In cylindrical coordinate Given ˆ ˆaA zbzρρ

= + where a b are

constants Find S

A dssdotint over the surface of a

closed cylinder about z-axis specified by 3 2z ρ= plusmn =

解S 分為上下與周邊三面

zz (z 3)zA ds A ds A d dρ ρ ϕsdot = sdot = = sdotint int int上 上 上

= 23 3 2 12bd d b bρ ρ ϕ π πsdot = sdot =int上

ˆ(-z)A ds A d dρ ρ ϕsdot = sdot sdotint int下 下

= z- (z -3)A d dρ ρ ϕ= sdotint下 = 23 2 12b bπ πsdot =

周邊ds ˆ ( )d dzρ ρ ϕ= rArr ˆ ( ) z ( ) zA ds A d d A d dρρ ρ ϕ ρ ϕsdot = sdot =int int int周 周 周

2 3

0 3( ) z ( ) z=a 12aA d d d d d dz a

πρ ρ ϕ ρ ϕ ϕ π

ρ minus= = =int int int int周 周

加起來 S

A dssdotint ＝12 24 12 ( 2 )a b a bπ π π+ = +

ex40 一點電荷 q 置於原點計算在一個以原點為圓心 0r 為半徑的球

面上的電通量

解 2 20 0

ˆ ˆ4 4S S

qr q dsE ds rdsr rπε πε

sdot = sdot =int int int

=0 0 0

44 4S

q q qd ππε πε ε

sdot Ω = sdot =int

上式中 dΩ 2dsr

= 是 ds 所張開的「立體角」(solid angle)

4-42

div A and Flux 通量與散度的幾何物理意義

我們運用過nabla的符號來表示過散度 divF F= nablasdot yx zFF Fx y z

partpart part= + +part part part

但是也看到「散度」定義為

0( )

1( ) limSV

about x y z

divF x y z F da divergence of FVΔ rarr

equiv sdot =Δ int (4-77)

其中 VΔ 為 S 面所包含的體積即散

度為通量(體)密度的 0 體積極限

（4-77）的定義與 Fnablasdot 好像差的很

多她們是說同一回事嗎以下證明

這兩種「散度」的定義是等價的如

左圖考慮一個以點 ( ) x y z 為中心

的 立 方 體 其 相 鄰 三 邊 長 為

x y zΔ Δ Δ 體積 V x y zΔ = Δ Δ Δ 現在計算 F 在立方體的一組平行於 y-z平面的表面 S1 與 S2 的通量

( )1 1

ˆ ˆ xS S

F nds F xds F x y z dsrArr sdot = sdot =intint intint intint 2xxF x y z y zΔ⎛ ⎞asymp + Δ Δ⎜ ⎟

⎝ ⎠

其中 2xx y zΔ⎛ ⎞+⎜ ⎟

⎝ ⎠為 S1 面中心的座標而

2xx y zΔ⎛ ⎞minus⎜ ⎟

⎝ ⎠為 S2 面的中心

( ) ( )2 2 2

ˆ ˆ 2x x

S S S

xF nda F x ds F x y z ds F x y z y zΔ⎛ ⎞rArr sdot = sdot minus = minus asymp minus minus Δ Δ⎜ ⎟⎝ ⎠intint intint intint

上式中的負號來自 S2 面的方向是 xminus 所以合併兩個面積分

1 2

ˆ 2 2x x

S S

x xF nds F x y z F x y z y z+

Δ Δ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞rArr sdot asymp + minus minus Δ Δ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦intint

2 2x xx xF x y z F x y z

x y zx

Δ Δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠= Δ Δ Δ

Δ

2 2

x xx xF x y z F x y z

Vx

Δ Δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠= Δ

Δ

1 2

1 2 2ˆ

x x

S S

x xF x y z F x y zF nds

V x+

Δ Δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠rArr sdot asymp

Δ Δintint

4-43

當取體積向(xyz)點收縮至 0 時即 0 x 0as VΔ rarr Δ rarr 上式的近似

「asymp」就成了「＝」

1 20

1 ˆlimV

S S

F ndsVΔ rarr

+

sdotΔ intint

( )0

2 2limx x

x

x

x xF x y z F x y z F x y zx xΔ rarr

Δ Δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟ part⎝ ⎠ ⎝ ⎠= =Δ part

Similarly F 在立方體的一組平行於 x-z 平面的表面 S3 與 S4 的通量

3 3 3

ˆ ˆ yS S S

F nds F yds F dsrArr sdot = sdot =intint intint intint

2

2

y

y

yF x y zyF x y z x z x y z

y

Δ⎛ ⎞+⎜ ⎟Δ⎛ ⎞ ⎝ ⎠asymp + Δ Δ = Δ Δ Δ⎜ ⎟ Δ⎝ ⎠

( )4 4 4

2ˆ ˆ

y

yS S S

yF x y zF nds F y da F ds x y z

y

Δ⎛ ⎞minus⎜ ⎟⎝ ⎠rArr sdot = sdot minus = minus asymp Δ Δ Δ

Δintint intint intint

合併 S3 與 S4 兩個面積分並取體積向(xyz)點收縮至 0 時即當

0 y 0VΔ rarr Δ rarr 上式的近似asymp就成了＝

3 4

2 2ˆ

x x

S S

y yF x y z F x y zF nds V

y+

Δ Δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠rArr sdot cong Δ

Δintint

3 40 0

1 2 2ˆlim lim

x xy

V yS S

x yF x y z F x y z FF nds

V y yΔ rarr Δ rarr+

Δ Δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟ part⎝ ⎠ ⎝ ⎠rArr sdot = =Δ Δ partintint

與上面相同的作法計算 F 在立方體的一組平行於 x-y 平面的表面 S5

與 S6 的通量我們也會得到對應的結果

5 6

2 2ˆ

z x

S S

z zF x y z F x y zF nds V

z+

Δ Δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠rArr sdot cong Δ

Δintint

5 60 0

1 2 2ˆlim lim

z xz

V zS S

z zF x y z F x y zFF nds

V z zΔ rarr Δ rarr+

Δ Δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟ part⎝ ⎠ ⎝ ⎠rArr sdot = =Δ Δ partintint

所以合併立方體的 6 個面積分

4-44

1 2 3 4 5 6

ˆ ˆ ˆ ˆS S S S S S S

F nds F nds F nds F nds+ + +

rArr sdot = sdot + sdot + sdotint intint intint intint

0

1 ˆlim yx zV

FF FF nds div F FV x y zΔ rarr

partpart partrArr sdot = + + = = nablasdot

Δ part part partint (4-78)

在此我們得證這兩種「散度」的定義是等價的只是（4-77）的定義

充分的表現出「散度」的幾何物理意義他從通量著手由於場線

出自於 source（ex電場源自於點電荷）所以在點(xyz)必須有向量場

F 的 source 存在才能使得當面積縮到 0 時仍具有非 0 的通量所以「散

度」表現向量場 F 的 source 在這個定義之下是很清楚的當然在計算

「散度」時我們不必那麼麻煩用 divF F= nablasdot 就好了

Ex41 計算 2ˆ ˆ ˆF xx yxy zyz= + + 的散度

解 2 yx zFF Fx x yx y z

partpart part= = =

part part part F 2x x y 3x ydivrArr = + + = +

recall 在靜電學0

yx zEE EEx y z

ρε

partpart partnablasdot = = + +

part part part

散度定理 Divergence Theorem

若任意封閉面（又稱為「高斯面」）S 所包圍的

體積為 V 則

S VA ds Adτsdot = nablasdotint int （4-79）

pf 我們先將體積分割成 N 個小盒子考慮相鄰的兩個小盒子 1 2

兩小盒子的共用面面積 S0當 S0 是為 1 號盒子的一部份時其方向為

1n 但若當為 2 號盒子的表面時其方向為 12 ˆˆ nn minus= 如此在 S0 分別做

4-45

1 2 盒子的面積分後

0 0

0 0 0 0

1 2

1 2 1 1ˆ ˆ ˆ ˆ 0

S S

S S S S

A ds A ds

F n ds F n ds F n ds F n ds

sdot + sdot

= sdot + sdot = sdot minus sdot =

intint intintintint intint intint intint

所以若求場 A 在 1 2 盒子的總通量時交界面是沒有貢獻的總通量

就只有「外面積」才有貢獻如此我們計算 N 個小盒子的總通量

時所有的內部共用面都得 0只剩下「外表面」的貢獻了當 infinrarrN

時所有小盒子的「總外表面」就與 S 面重合了所以所有小盒子通量

的總和就等於 S 面的通量

1lim

i

N

S SN iA ds A ds

rarrinfin=

rArr sdot = sdotsumint int

現在我們做 N 個小盒子的總通量

1 1

1i i

N N

iS Si i i

A ds A ds VV= =

⎛ ⎞sdot = sdot Δ⎜ ⎟Δ⎝ ⎠

sum sumint int

當 0iN Vrarrinfin rArr Δ rarr 並用 dv 表示體積元素

( ) ( )1 1

1

1lim lim lim

lim

i ii

N N

iS SN N V oi i i

N

i VN i

A ds A ds VV

A V A dv

rarrinfin rarrinfin Δ rarr= =

rarrinfin=

⎛ ⎞sdot = sdot Δ⎜ ⎟Δ⎝ ⎠

= nablasdot Δ = nablasdot

sum sumint int

sum int

( )S V

A da A dvrArr sdot = nablasdotint int QED

所以得證散度定理上式中我們用了散度的（4-77）式定義要分辨

清楚 Anablasdot 是向量場 A 在空間中「某一點」的性質（ 0VΔ rarr ）而「散

度定理」說的是一個「有限體積」的性質

ex42 給定 ( ) ˆ ˆ ˆ A x y z xx yy zz r= + + = 計算在

半徑 R＝1 的球的上半球加底面的通量

4-46

解 ( )ˆˆS

A da A rda A k darArr sdot = sdot + sdot minusint int int上半球面 底面

( )

2

ˆ ˆ

0 2 1 2

A rda A z dxdy

r rds zdxdy rds ds π π

= sdot + sdot minus

= sdot minus = minus = = sdot =

int int

int int int int上半球面 底面

上半球面 底面 上半球面

底面的通量＝0 是因為 A 的 z 分量 Az=z 在底面的值為 0

也可以用散度定理更快的得出結果

∵ 3A rnablasdot = nablasdot =

31 43 3 1 22 3V V

Ad d πτ τ πnablasdot = = sdot sdot sdot =int int

ex43高斯定律的微分形式積 由 Gaussrsquo law 的積分形式用散度定理得出其

( )0 0

1 inS V

qE ds x y z dvρε ε

sdot = =int int

0S V VE ds Edv dvρ

εrArr sdot = nablasdot =int int int

上式最後的等式對「任意形狀」V 都成立所以兩者的被積函數相等

對於空間每一點 0

E ρε

nablasdot = （4-80）

ex44 Use 第一象限的單位力方體 check the divergence theorem using the function 2 2ˆ ˆ ˆ(2 ) 2A y x xy z y yzz= + + +

解2

2( ) (2 )(2 ) 2( )y yzA xy z x yx y z

part part partnablasdot = + + + = +

part part part

and 1 1 1 1 1 1

0 0 0 0 0 02 ( ) 2 ( )

VAdv x y dxdydz dz dy x y dxnablasdot = + = +int int int int int int int

1 1

0 0

1 12 ( ) 2 12 2

dz y dy= + = sdot =int int

面積分 1 1 2

0 0

1ˆ3

A ds A xdydz dz y dysdot = sdot = =intint intint int int前 前

4-47

1 1 2

0 0

1ˆ( )3

A ds A x dydz dz y dy minussdot = sdot minus = minus =intint intint int int

後 後

1 1 2

0 0ˆ (2 )A ds A ydxdz dz xy z dxsdot = sdot = +intint intint int int

右 右

1 1 1 12 2

0 0 0

4(2 ) (1 )3

ydz x z dx dz z

=

= + = + =int int int∵

1 1 2

0 0

0 1 1 12 2

0 0 0

ˆ( ) (2 )

1(1 )3

y

A ds A y dxdz dz xy z dx

dz z dx dz z=

sdot = sdot minus = minus +

minus= minus = + =

intint intint int int

int int int∵

左 左

11 1 1 1

0 0 0 0ˆ 2 2 1

zA ds A zdxdy dx yzdy dx ydy

=sdot = sdot = = =intint intint int int int int

∵

上 上

01 1

0 0ˆ 2 0

zA ds A zdxdy dx yzdy

=sdot = sdot minus = minus =intint intint int int

∵

下 下

前後右左上下六個面積分合併＝1＝V

Advnablasdotint QED

ex45 Continuity Equation 連續方程式

考慮某些「東西」的流動（物質電荷hellip）在時刻 t 時在點(xyz)

的 密 度 為 ( ) x y z tρ ρ= 並 具 有 速 度

( ) v v x y z t= 在時刻 t 時在體積 V 內的總量為

( ) x y z t dρ τintintint

這樣體積 V 內東東的時變率為

( ) ( ) d x y z t d x y z t ddt t

ρρ τ τpart=

partintintint intintint

注意體積分後的時間全微分移入積分內要改為偏微分這個東東

在表面的「流率 flow rate」可表為

ˆS

R v ndsρ= sdotintint

若體積內的物料無法自生自滅那麼體積內物料的變化必經由表面的

流出流入所造成

d v ndstρ τ ρpart

rArr = minus sdotpartintintint intint

由散度定理

4-48

( )ˆS

v nds v d dtρρ ρ τ τpart

sdot = nablasdot = minuspartintint intintint intintint

( )v Jtρ ρpart

rArr = minusnablasdot equiv minusnablasdotpart

0Jtρpart

rArr +nablasdot =part

（4-81）

(4-81) 即 continuity equation其中 J vρ= 為「物流密度」ex如果 ρ

是電荷密度 J 就是電流密度（4-81）是物質守恆的結果只對體

積內無 source（生成）or drain（消滅）的東東成立

ex46 Given a vector field ˆ ˆx yA ye xe= minus + (a) Find

Anablasdot (b)如圖一個金字塔狀的 5 面體高 2 底邊長

1計算 A在整個金字塔表面（封閉面）的總通量

解(a) Anablasdot = ( ) ( ) 0y xx ypart part

minus + =part part

(b) 金 字 塔 的 表 面 面 積 元 素 ds 不 好 寫 所 以 用 散 度 定 理

( )S V

A da A dvrArr sdot = nablasdotint int ＝0 Anablasdot 表示 A沒有 source 所以對封閉面而

言有多少場線進入就有多少出去所以總通量＝0

習題 7 With position vector r for an arbitrary volume V that is

bounded by surface S show that 13 S

r ds Vsdot =int

習題 8 已知一靜電場為 ˆ ˆ ˆ( )E xyz yxz zxyλ= + + 運用 Gaussrsquo law

試求包含在半球 2 2 2 2 0x y z R z+ + = ge 裡的總電荷 Ans 0

習題 9 (a) given ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( 2 )F r xf x yf y zf z= + + minus show that divF is

zero at point (c c -c2) (b) given ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( )G r xf x z yg x z zh x y= + +

show that ( ) 0G rnablasdot =

4-49

習題 10 Find the normal vector n for the surfaces (a) z = 2-x-y ans

ˆ ˆ ˆ( ) 3x y z+ + (b) z = (1-x2)12 ans ˆ ˆxx zz+ (c) z = x2+y2

ans ˆ ˆ ˆ( 2 2 ) 1 4xx yy z zminus minus + +

習題 11 Show that the unit vector normal to the plane ax+by+cz =d is

given by 2 2 2ˆ ˆ ˆ( ) ax by cz a b cplusmn + + + +

圓柱座標與球座標的nabla (del)

考慮一純量場在直角座標為 ( ) u x y z 在圓柱座標表為 ( ) u zρ φ

再考慮因位移 r r drrarr + 所造成 u ( )zρ φ 的變化

( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆz

z

u u udu d d dz u dr u d d zdzz

u u z u d d zdz

u d u d u dzρ ϕ

ρ ϕ

ρ ϕ ρ ρ ϕρ ϕρ ϕ

ρ ϕ ρ ρ ϕρ ϕ

ρ ρ ϕ

part part part= + + = nabla sdot = nabla sdot + +part part part

⎡ ⎤= nabla + nabla + nabla sdot + +⎣ ⎦= nabla + nabla + nabla

( ) ( ) ( )1

1ˆ ˆ ˆu

z

u u uu u uz

u u uzz

ρ ϕρ ρ ϕ

ρ ϕρ ρ ϕ

part part partrArr nabla = nabla = nabla =

part part partpart part part

rArrnabla = + +part part part

1ˆ ˆ ˆ zz

ρ ϕρ ρ ϕpart part part

nabla = + +part part part

（4-82）

注意nabla的ϕ -分量( 1ρ ϕ

partpart

)不是像直角座標裡單純的ϕpartpart

所以不要笨笨

的就把直角座標的形式硬套上去用我們也可以從「因次分析」來

看nabla因為是對空間的微分所以每一項的因次必須是「長度分之一」

運算 andzρ

part partpart part

都是「長度分之一」而「單純的ϕpartpart

」是沒有單位的

所以要1ρ ϕ

partpart

才 OK

由於圓柱座標裡的單位向量除了 z 之外 ˆ( )ρ ϕ 與 ˆ( )ϕ ϕ 都不是常

4-50

數所以在微分時不可以與微分運算交換而要考慮微分的作用所

以在「圓柱座標」寫「散度」 ( ) F zρ ϕnablasdot 也和直角座標不一樣

( )1ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ zF z F F zFz ρ ϕρ ϕ ρ ϕ

ρ ρ ϕpart part part⎛ ⎞

nabla sdot = + + sdot + +⎜ ⎟part part part⎝ ⎠

( ) ( )1ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆz zF F zF F F zFρ ϕ ρ ϕρ ρ ϕ ϕ ρ ϕρ ρ ϕpart part

= sdot + + + sdot + +part part

( )ˆ ˆˆ ˆ zz F F zFz ρ ϕρ ϕpart

+ sdot + +part

因為 ( ) ( )ˆ ˆ ˆ ˆ ρ ρ ϕ ϕ ϕ ϕ= = 所以做 andzρ

part partpart part

時 ˆ ˆ ρ ϕ 可視為常數

ˆ ˆ1ˆ ˆ ˆ zF F F FF F Fz

ρ ρ ϕρ φ

ρ ϕϕ ρ ϕρ ρ ϕ ϕ ϕ ϕ

part part part⎡ ⎤part part partrArrnablasdot = + sdot + + + +⎢ ⎥part part part part part part⎣ ⎦

還記得 ˆ ˆ ˆ ˆd d d dρ ϕ ϕ ϕ ρ ϕ= = minus 所以 ˆ ˆρ ϕϕpart

=part

ˆ ˆϕ ρϕpart

= minuspart

rArr

( )1 1 1z zF F F FF FF Fz z

ρ ρ ϕ ϕρρ

ρ ρ ρ ϕ ρ ρ ρ ϕpart part part part

nablasdot = + + + = + +part part part part part part

（4-83）

在球座標寫nabla也會遇到相似的問題其根源就是球座標 ( )r θ ϕ 裡

的 θ ϕ 的因次並非長度而三個單位向量 ˆ ˆˆ r θ ϕ（表為 ie ）都是( θ ϕ )

的函數以致

( )ˆ ˆ( ) ( )i ie f e fθ ϕ θ ϕθ θpart part

nepart part

且 ( )ˆ ˆ( ) ( )i ie f e fθ ϕ θ ϕϕ ϕpart part

nepart part

所以nabla也不似在直角座標那麼簡單我們不在這裡推導而是給出一

個歸納的統一的三個座標的結果還記得對每一個座標 iu i = 123

座標的變化 idu 與造成的長度變化 id

i i id h du= 123i = (4-84)

其中 ih 為對應的度量係數(metric coefficient)

4-51

1 2 3

1 1 2 2 3 3

1 1 1ˆ ˆ ˆu u ue e eh u h u h u

part part partnabla equiv + +

part part part （4-85A）

座標 1 2 3 u u u

度量係數

1 2 3 h h h

nabla grad del

直角 x y z

1 1 1 nabla ˆ ˆ ˆx y z

x y zpart part part

equiv + +part part part

圓柱

zρ ϕ

1 1ρ

1ˆ ˆ ˆ z

zρ ϕ

ρ ρ ϕpart part part

nabla equiv + +part part part

球

r θ ϕ

1 sinr r θ

1 1ˆ ˆˆ

sinr

r r rθ ϕ

θ θ ϕpart part part

nabla = + +part part part

（4-85B）

梯度gradient Vnabla grad(V) 散度divergence Anablasdot div( )A

直

角 nablaV ˆ ˆ ˆV V Vx y z

x y zpart part part

= + +part part part

yx zAA AAx y z

partpart partnablasdot = + +

part part part

圓

柱

1ˆ ˆ ˆ V V VV zz

ρ ϕρ ρ ϕpart part part

nabla = + +part part part

( )1 1

1

z

z

A AA Az

A A A Fz

ϕρ

ρ ρ ϕ

ρρ ρ ρ ϕ

ρ ρ ρ ϕ

partpart partnabla sdot = + +

part part partpart part part

= + + +part part part

球

1 1ˆ ˆˆ sin

V V VV rr r r

θ ϕθ θ ϕ

part part partnabla = + +

part part part

22

1 ( )rA r Ar r

partnabla sdot =

part

1 (sin )sin

Ar θθ

θ θpart

+ sdotpart

1sin

Ar

ϕ

θ ϕpart

+part

(4-86)

Ex47 Using spherical coordinate show that 1| |r r

nablaminus

= 2

ˆ| |

r rer r

minusminusminus

where

nabla是作用在 r 而 ˆr re minus 是向量 r rminus 方向的單位向量 解let r lies in z-axis so that the angle between r and r is just θ

4-52

rArr ( ) 122 21 1 2 cos | | ( ) ( )

r rr rr r r r r r

θminus

= = minus +minus minus sdot minus

( ) ( )12 122 2 2 21 1ˆˆ 2 cos 2 cos | |

r r rr r r rr rr r r r

θ θ θθ

minus minuspart partnabla = minus + + minus +

minus part part

( ) 322 21ˆ 2 cos (2 2 cos )2

r r rr r r rθ θminusminus

= minus + minus

( ) 322 21ˆ 2 cos (2 sin )2

r rr r rrθ θ θminusminus

+ minus +

3 3 3 3

ˆˆ ˆ( cos ) sin ( cos sin )ˆˆ| | | | | | | |r r r rr r rrr r r r r r r r

θ θ θ θ θθminus minus minus minus minus= + = +

minus minus minus minus

3 3 3ˆ ( )

| | | | | |r r z r r r rr r r r r rminus + minus + minus minus

= = =minus minus minus

＝ 2

ˆ| |

r rer r

minusminusminus

QED

證明最後我們用到 ˆˆˆ cos sinz r θ θ θ= minus 而 ˆ r r z= 因為我們選了 r 是

躺在 z-軸 Ex48 For arbitrary scalar field ( )f r and vector field ( )A r 證明恆等式

( )fA f A f Anablasdot = nabla sdot + nablasdot (4-87) 解 ˆ ˆ ˆx y zfA xfA yfA zfA= + +

( ) ( ) ( ) ( )x y zfA fA fA fAx y zpart part part

rArrnablasdot = + +part part part

yx zx x x

AAf f f AA f A f A fx x y y z z

partpartpart part part part= + + + + +part part part part part part

yx zx y z

AAf f f AA A A fx y z x y z

part⎛ ⎞partpart part part part= + + + + +⎜ ⎟part part part part part part⎝ ⎠

f A f A= nabla sdot + nablasdot QED 習題 12 一個位於原點的電偶極電偶極矩＝ ˆp pz= 已知其在遠處

的電位為 20

cos4p

rθ

πε試證該處的電場強度為 E = 3

0

ˆˆ( 2cos sin )4

p rr

θ θ θπε

+

(已知 E V= minusnabla )並請計算 Enablasdot ＝

習題 13 給定一向量場2

3cosˆD r

rϕ

= 現有兩個球心在原點的同心球

內球半徑 R＝1外球 R＝2(a)求面積分S

D dssdotint S 為同心球殼的表

面（有內外兩個面）(b)求體積分V

Ddvnablasdotint V 為兩同心球之間的

區域本題也是來 check 散度定理的Ans πminus

4-53

The Laplacian operator 2nabla equivnablasdotnabla

在直角座標可以用直接作用得到

2 2 2

22 2 2u u uu u

x y zpart part part

nabla equiv nablasdotnabla = + +part part part

(4-88)

圓柱座標

2 2

22 2 2

1 1( ) u u uu uz

ρρ ρ ρ ρ ϕ

part part part part⎛ ⎞nabla equiv nablasdot nabla = + +⎜ ⎟part part part part⎝ ⎠

(4-89)

球座標

2

2 22 2 2 2 2

1 1 1sinsin sin

u u uu rr r r r r

θθ θ θ θ ϕ

part part part part part⎛ ⎞ ⎛ ⎞nabla = + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟part part part part part⎝ ⎠ ⎝ ⎠ （4-90）

習題 14 verify (4-89) and (4-90)

習題 15 Given a dipole potential V= 20

cos4p

rθ

πε find 2Vminusnabla

sect 433 Line integral and curl A 線積分與與旋度的物理意義

線積分路徑積分

考慮一曲線 C 通過兩點 ( )i i i iP x y z 與

( )f f f fP x y z 現有一向量場 ( )A x y z 定義在

C 所在的空間若 sd 為 C 上位於(xyz)點的

「路徑元素」（ ˆd td= 方向沿該處切線）而

( )A x y z 為路徑元素d 處的場值則沿 C 經歷各點所做積分

cos cosf

CC C iA d Ad A dϕ ϕrarr rarrsdot = =int int int （4-91）

稱為向量場 ( )A x y z 沿路徑 C 自 pi 至 pf 的「線積分」「或「路徑積分」

積分裡 A 取值的點侷限在路徑 C 上面若為一個「封閉路徑」則對

C 的線積分也稱做「環路積分 closed contour integral」記做

C

A dsdotint （4-92）

4-54

物理量「做功」是最標準的線積分之一力 F 自 x = a 至 x = b「沿線」

x 軸做功

W＝ F dxsdotint ＝ ( )b

xaF x dxint （4-93）

質點在力場 )(rF 裡走一條曲線 C則力場做功

CW F d= sdotint （4-94）

還記得如果 ( )F r 是所謂「保守力」則上式只與始末點有關而與

路徑無關但如果 ( )F r 是所謂「非保守力」則做功與確實的路徑 C

有關

現考慮一質點在空間運動的位置 r 落在由曲線 C

描述的路徑則質點的位移元素與曲線 C 的路徑元

素相同 d dr= 若空間有向量場 A 分佈則 A 在 C 的

路徑積分以直角座標表示為

CA drarr rarrsdotint ＝

CA d rrarr rarrsdotint ＝ ( )x y zC

A dx A dy A dz+ +int （4-95）

上式中的 x y z 的積分限由 C 決定

Ex49 2 2 2ˆ ˆ ˆA xx yy zzrarr= + + 選定一路徑 C 為曲線

2y x= 由 (000)到 (2 20)的部分求C

A dsdotint

解 ˆ ˆd xdx ydy= +∵

CA dsdotint ＝ 2 2( )

Cx dx y dy+int ＝

2 22 2

0 0x dx y dy+int int

＝ )24(32

+

或由 2y x= rArr 2ydy dx= 2 12

y dy xdxrArr =

rArrC

A dsdotint ＝2 2

0

1( )2

x x dx+int ＝2 (4 2)3

+

4-55

ex50 ˆ ˆ( )f x y z xy yx= minus Do C

f dsdotint 其中的路徑 C 為一逆時針三角

形如圖 解∵路徑全部在 x-y 平面 ˆ ˆ ˆd td xdx ydy= = +

rArrC

f dsdotint ＝ x yC

f dx f dy+int ＝C

ydx xdyminusint

由於在 C1 上 y = 0 及 dy = 0 所以 01

=intC 又由於在

C3 上 x = 0 及 dx =0所以 03

=intC 所以只剩下 C2 可

能有貢獻由 2C 的方程式x + y =1rArr ⎩⎨⎧

minus=minus=

xyyx

11

rArr2Cydx xdyminusint ＝

0 1

1 0(1 ) (1 )x dx y dyminus minus minusint int ＝

0 12 2

1 0

( ) ( )2 2x yx yminus minus minus ＝-1

Cf dsdotint ＝-1

ex51 ( )f x y zrarr

= 2ˆ ˆxx yxyminus 如右圖doC

f dsdotint 其

中路徑 C 為第一象限的逆時針 14 圓弧

解∵ 全部在 x-y 平面 ˆ ˆd xdx ydy= +

Cf dsdotint ＝ 2

Cx dx xydyminusint

由於在 C 上 cosx R ϕ= rArr sindx R dϕ ϕ= minus

siny R ϕ= rArr cosdy R dϕ ϕ=

rArr 2

Cx dx xydyminusint ＝

2 2 2 2

0cos ( sin ) sin cos cosR R d R R d

πϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕminus minus sdotint

23 2

02 cos sinR d

πϕ ϕ ϕ= minus int ＝

323Rminus

又路徑為圓周一部份所以適合用極座標表示

ˆd Rdϕ ϕ= 又由左圖將 ˆ ˆx y 拆解（投影）到 ˆˆr ϕ

ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆcos sin sin cosx r y rϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ= minus = +

4-56

( )2ˆ ˆ ˆˆ ˆ( cos sin ) ( sin cos )C C

f d r x r xy Rdϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕsdot = minus minus + sdotint int 2

2 2 2

0

sin (cos )

sin ( cos ) (cos ) cos sin

Cx Rd xyRd

R Rd R Rdπ

ϕ ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ

= minus minus

= minus minus

intint

23 2

02 cos sinR d

πϕ ϕ ϕ= minus int ＝

323Rminus

這也驗證了散度定理

Path Independence 路徑獨立性

Ex52 證明庫倫力為「保守力」考慮

電荷 q0 位於原點及電荷 q 位於

( )r x y zrarr= q 受力 F

rarr＝ 0

20

14

qq urπε

and

求庫侖力作功因為球形對稱所以

用球座標由 ˆ ˆ ru rr

= = rArr Frarr

= 03

04qq r

rπε

庫侖力由 P1 至 P2 做功為 2

1

P

CPF drarrsdotint ＝

2

1

02

0

ˆ ˆ ˆˆ sin4

P

PC

qq r rdr rd r dr

θ θ ϕ θ ϕπε

⎡ ⎤sdot + +⎣ ⎦int ＝2

1

02

04P

P

qq drrπεint

＝20

2104

r

r

qq drrπε int ＝ 0

0 1 2

1 1( )4qq

r rπεminus for all C

所以庫侖力兩點間做功與路徑無關rArr保守力

對於「保守力 conservative force」 cF 自 p1 經

由兩條不同的路徑 C1 與 C2 到達 p2

1 ccF drarrsdotint ＝

2 ccF drarrsdotint ＝-

2 ccF drarr

minussdotint

rArr1 2c cc cF d F drarr rarr

minussdot + sdotint int = cF d

rarrsdotint ＝0 (4-96）

對於任何「封閉路徑」保守力做功為 0反之若

對任一封閉路徑 0F drarrsdot neint 則兩點之間的做功與路徑有關

rarr

F 為「非

保守力」

4-57

旋度 curl Anablatimes 的幾何物理意義

我們在（4-70）式已經看過旋度的計算方式但旋度另有其意義的

ex53 給定向量場2 2

0ˆ yv yv e λrarr

minus= 左圖為場的分佈

2 20

ˆ ˆ ˆ

0 0x y z

y

x y zcurl v

v e λ

rarr

minus

= part part part ＝ ˆ ˆ ˆ0 0 0 0x y zsdot minus sdot + sdot =

我們用了簡寫 x yx ypart part

part equiv part equivpart part

可以看出這個場裡沒有「漩渦」

但是有無「漩渦」有時也不是那麼明顯可以看出的請見下一個例子

Ex54 給定向量場2 2

0ˆ xv yv e λrarr

minus= 計算其旋度 vnablatimes

解向量場 vrarr

畫在右邊你看得出有無漩渦

先計算旋度

2 20

ˆ ˆ ˆ

0 0x y z

x

x y zcurl v

v e λ

rarr

minus

= part part part2 2

2 2

0

0

ˆ

ˆ 2 0 0

x

x

z v ex

z v xe for x

λ

λ

minus

minus

part=

part

= minus ne ne

vrarr

的旋度在大部分的地方不為 0 且隨位置而不同但是你看得出這個

向量場裡有「漩渦」其實要檢驗一個向量場裡有無「漩渦」有一

個很物理的方法就是放一個小「螺旋槳」（左圖）

在場內將軸朝各個方向測試一

下如果有「漩渦」的話這個

小「螺旋槳」就會轉動右圖就是將「螺旋槳」的

軸平行於 z 軸且放在 x gt 0 的地方就可以看出左

邊的 v 場比右邊的強造成螺旋槳順時針轉動rArrcurlv zminus for x gt 0

但如果放在 x = 0 的地方就會看到左右兩端的 v 場強度相同而且

4-58

curlv = 0 「螺旋槳」放在 x lt 0 的地方就可以看出右邊的v 場比左

邊的強造成螺旋槳逆時針轉動這完全符合 curl v k+ 的結果

環路積分與旋度 curl 的物理意義

如同「散度」一樣「旋度」除了 Ftimesnabla 之外

還有一個物理意義更清楚的定義這個定義由

「線積分」說明如圖考慮做「逆時針」長方形

路徑 C1 的一個「環路積分」C1 面平行於 x-y 平

面由 z-軸看下去環路 C1 可以分為可以分為

下 CB上 CT右 CR左 CL 4 部分

CA drarrsdotint ＝

B T L RC C C CA d A d A d A drarr rarr rarr rarrsdot + sdot + sdot + sdotint int int int

分別計算由於 CB 的中點座標為 ( )2yx y zΔ

minus

ˆB BC C

A d A xdxrarr rarrsdot = sdot =int int

BxC

A dxint ( )2xyA x y z xΔ

asymp minus Δ

similarly 由於 CT 的中點座標為 ( )2yx y zΔ

+

ˆ( )T TC C

A d A xdxrarr rarrsdot = sdot minus =int int

TxC

A dxminusint ( )2xyA x y z xΔ

asymp minus + Δ

合併 CB 與 CT

B TC CA drarr

+sdot =int

( ) ( )2 2x xy yA x y z A x y z

x yy

Δ Δ⎡ ⎤minus + minus minus⎢ ⎥⎣ ⎦ Δ ΔΔ

（4-97）

由 C1 所圍的面積 S x yΔ = Δ Δ

1B TC C

A dS

rarr

+sdot =

Δ int( ) ( )

2 2x xy yA x y z A x y z

y

Δ Δ⎡ ⎤minus + minus minus⎢ ⎥⎣ ⎦Δ

（4-98）

所以當取極限 C1 收縮到中心(xyz)時 SΔ 收縮到 0ie

4-59

0limsΔ rarr

1B TC C

A dS

rarr

+sdot =

Δ int xAy

partminuspart

（4-99）

Similarly with CR 的 ˆd ydy= CL 的 ˆd ydy= minus 可得

1L RC C

A dS

rarr

+sdot =

Δ int x

zyxxFzyxxF yy

Δ

Δminusminus

Δ+ )

2()

2(

（4-100）

同樣的當取極限 C1 收縮到中心(xyz)時 SΔ 收縮到 0

0

limsΔ rarr

1L RC C

A dS

rarr

+sdot =

Δ int yAx

partpart

（4-101）

最後合併 CBCTCRCL 為 C1

10

1limCs

A ds

rarr

Δ rarrsdot =

Δ int y xA Ax y

part partminus

part partˆ ( ) ( )zz A A= sdot nablatimes = nablatimes （4-102）

注意 C1 的方向就是在 z 上式的重要

意義是當向量場 A 在一個以點(xyz)為

中心「方向為 z 」的面積元素的「邊界」

所做的環路積分得到的就是 A 在(xyz)

處旋度的 z-分量明顯的只有當 A 在

(xyz)附近有 x-y 平面上的「漩渦」那麼 C1 的環路積分才不會為 0

Similarly 取一個逆時針繞著(xyz)的平行於 x-z 平面的長方形環路 C2

（左圖）做環路積分再取極限將 C2 收縮到(xyz)就會得到

20

1limCs

A ds

rarr

Δ rarrsdot =

Δ int x zA Az x

part partminus

part partˆ ( ) ( )yy A A= sdot nablatimes = nablatimes （4-103）

注意到 C2 所包圍的面積方向就在 y到

現在我們應該已經很有經驗了若取一

個逆時針繞著(xyz)的平行於 y-z 平面

的長方形環路 C3（左圖）做環路積分

再取極限將 C3 收縮到(xyz)就會得到

4-60

30

1limCs

A ds

rarr

Δ rarrsdot =

Δ int yz AAy z

partpartminus

part partˆ ( ) ( )xx A A= sdot nablatimes = nablatimes （4-104）

能把（4-103）與（4-104）變出來的同學我們有優待綜合以上

我們可以得到一個結論若取一個以點(xyz)為中心的任意環路 Cn（其

所包圍的面積方向在 n ）則

n curl Aand rarrsdot ＝

0

1lims

Cn

A ds

rarr

Δ rarrsdot

Δ int （4-105）

明顯的當 n ＝ x 或 y 或 z 時我們可以重複（4-102）到（4-104）的

結果（4-70）式的行列式所定義的旋度在此看見其幾何物理意義

至此「旋度」的「漩渦」形象應該已經很清楚了只有在(xyz)點附

近的小圈圈上有「漩渦」 A 在小圈圈做的環路積分才會有值這個

值就是向量場 A 的「旋度」在小圈圈面積方向的分量

Stokersquos 定理

考慮一個開放面 S被其「有方向的」邊界 C 圈住(bounded by)則

( )S

A dsrarr rarrnablatimes sdotint ＝

C

A drarrsdotint （4-106）

pf 先將 S 面分割為 N 個多邊形這會使得邊界變成一個「折線」形

成的環路 P環路 P 會隨著分割的多邊形個數的增多而越加近似於原

「光滑的」邊界 C現考慮相鄰的

兩個多邊形的線積分由於共用邊

的方向是相反的所以相鄰兩個多

邊形線積分的和只剩「外邊界」（見左圖）所以當把所有的多邊形的

4-61

線積分加起來時由於只有邊界 P 不是多邊形的共用邊所以

1k

N

k C

A drarr

=

sdotsum int ＝P

A drarrsdotint rArr

P

A drarrsdotint ＝

1

1

k

N

kk k C

A d l ss

rarr rarr

=

⎡ ⎤sdot Δ⎢ ⎥

Δ⎢ ⎥⎣ ⎦sum int

其中 ksΔ 為第 k 個多邊形的面積取極限 0kN srarrinfinrArrΔ rarr P CrArr rarr

C

A drarrsdotint ＝

10

1limkk

N

kN k k Cs

A d ss

rarr

rarrinfin=Δ rarr

⎡ ⎤sdot Δ⎢ ⎥

Δ⎢ ⎥⎣ ⎦sum int 01

ˆlim ( )k

k kskn A s

infin

Δ rarr=

⎡ ⎤= sdot nablatimes Δ⎣ ⎦sum

01

ˆlim ( )k

k kskA n s

infin

Δ rarr=

= nablatimes sdot Δsum = ( )S

A dsrarr

nablatimes sdotint QED

ex55 由 Amperersquos law 的積分形式導出其微分形式

解Amperersquos law 的積分形式 C

B drarrsdotint ＝ I0μ (4-107)

由 Stokersquos 定理及電流密度 j 的定義上式等號兩端可寫為

rArr ( )S

B dsrarr rarrnablatimes sdotint ＝ 0 S

j dsμrarrsdotint

由於上面的等式對任意面 S（路徑 C）都成立所以被積函數相等

0B jμrarr rarr rarr

rArrnablatimes = (4-108) 此即 Amperersquos law 的微分形式

Ex56 Given a vector field ˆ ˆx yA ye xe= minus + (a) Find Anablatimes

解

ˆ ˆ ˆˆ ˆ(1 ( 1) 2

0x y z

x y zA z z

y xnablatimes = part part part = minus minus =

minus

(b)如圖一個金字塔狀的 5 面體高 2底邊長＝1計算 ( )S

A dsnablatimes sdotint

其中 S 為金字塔在 x-y 平面以上的部分方向如同

封閉的金字塔（運用 Stokersquos law）

解金字塔上表面的面積元素ds 不好寫由 Stokersquos

4-62

law ( )S

A dsrarr rarrnablatimes sdotint ＝

C

A drarrsdotint 其中封閉路徑 C 就是上表面的邊界而且

是逆時針（由 z 軸向下看）

C

A drarrsdotint ＝

1 1 0 0

0 0 1 1ˆ ˆ ˆ ˆA xdx A ydy A xdx A ydysdot + sdot + sdot + sdotint int int int

＝1 1 0 0

0 0 1 1x y x yA dx A dy A dx A dy+ + +int int int int 1 1 0 0

0 0 1 1( 0) ( 1) ( 1) ( 0)y dx x dy y dx x dy= minus = + = + minus = + =int int int int

0 1 1 0 2 ( ) 2S

A ds= + + + = rArr nablatimes sdot =int

旋度與 path independence

已知保守場 cF 對所有封閉路徑 C 0cC

F drarrsdot =int 由 Stokersquos 定理

0cC

F drarrsdot =int ＝ ( )cS

F dsrarr rarrnablatimes sdotint rArr 0cF

rarr rarrnablatimes =

這表示保守場＝無旋度反之無旋度的場任兩點間路徑積分與路

徑無關

Ex57 Given a field 2 2ˆ ˆ ˆ2A x xy yx zz= + minus (a) Find Anablatimes A 保守場

解2 2

ˆ ˆ ˆ

2x y z

x y zA

xy x znablatimes = part part part

minus

( ) ( ) ( )2 2 2 2ˆ ˆ ˆ( ) 2 ( ) 2 0y z z x x yx z x y xy z z x xy= part minus minuspart + part minuspart minus + part minuspart =

yes A =保守場

(b)如左圖由 A 到 B 做路徑積分A BC

A drarr

sdotint 路徑 C 為橢圓

22 1

16yx + = 在 x-軸以上的部分

解橢圓部分的路徑元素 d 有點麻煩但因為 A

為保守場所以 A 到 B 做路徑積分可以用 x = -1 到

1 的積分取代

4-63

01 1 1

1 1 1ˆ 2 0

yB

xAA d A xdx A dx xydx

=

minus minus minussdot = sdot = = =int int int int

∵

旋度在柱座標與球座標

前面討論過nabla在不同座標系的寫法旋度也有歸納出的一致寫法

座標 1 2 3 u u u

度量係數

1 2 3 h h h

nabla grad del

直角 x y z

1 1 1 nabla ˆ ˆ ˆx y z

x y zpart part part

equiv + +part part part

圓柱 zρ ϕ

1 1ρ

1ˆ ˆ ˆ zz

ρ ϕρ ρ ϕpart part part

nabla equiv + +part part part

球 r θ ϕ

1 sinr r θ

1 1ˆ ˆˆ sin

rr r r

θ ϕθ θ ϕ

part part partnabla = + +

part part part

所以柱座標與球座標的旋度分別表為

柱座標

ˆ ˆ ˆ1

z

z

Az

AA Aρ ϕ

ρ ρϕ

ρ ρ ϕρ

part part partnablatimes =

part part part （4-109）

球座標 2

ˆ ˆˆ sin1sin

sinr

r r r

Ar r

A rA r Aθ ϕ

θ θϕ

θ θ ϕθ

part part partnablatimes =

part part part （4-110）

ex58 (a) Given the vector function ˆA ϕ= sin (ϕ 2) find Anablatimes

解 2

ˆ ˆˆ sin1sin

0 sin( 2) 0

r r r

Ar r

r

θ θϕ

θ θ ϕϕ

part part partnablatimes =

part part part

4-64

21 ˆˆ cos sin sinsin 2 2 2

rr rr

ϕ ϕθϕθ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

ˆˆ cos sin2 sin 2 2

rr r

ϕ ϕ ϕθ

minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

(b)如左圖一個底面在 x-y 平面半徑＝1高＝2 之圓錐 求面積分

SA dsnablatimes sdotint 面積範圍 S 為圓錐在 x-y 平面以上

部分 方向為由圓錐內向外

解由 Stokersquos law ( )S

A dsrarr rarrnablatimes sdotint ＝

C

A drarrsdotint 其中路

徑 C 為 x-y 平面圓心在原點之單位圓 ˆ ˆd rd dϕ ϕ ϕ ϕ= =

2

0ˆ ˆsin sin

2 2C

d dπϕ ϕϕ ϕ ϕ ϕ⎛ ⎞ ⎛ ⎞sdot =⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠int int ( )0

2 sin u duπ

= int 0cos | 2u π= minus =

習題 16 磁場 B 因為不是保守場所以沒有對應的純量位而對應一

個向量位 A (vector potential)而 B A= nablatimes 一個磁鐵的磁偶極矩

ˆm mz= 被置於原點已知在遠處的 vector potential 03ˆ sin

4mAr

μϕ θπ

=

計算該處的磁場 B Ans 03

ˆˆ( 2cos sin )4

mB rr

μ θ θ θπ

= + 與電偶極遠處

的電場形式一致都是偶極(dipole) 選幾個點畫一畫該處的場向量

把磁力線描出來

附錄本章講義的內容有部分可以經由直接計算得出列在附錄做為

參考

用「圓柱座標」寫 Atimesnabla

Ararr rarrnablatimes ＝ ( )1ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ zz A A zA

z ρ φρ ϕ ρ ϕρ ρ ϕpart part part⎛ ⎞+ + times + +⎜ ⎟part part part⎝ ⎠

4-65

因為rdquo sdotrdquo與rdquotimes rdquo都是向量間的運算所以

＝ ( )ˆ ˆ ˆ ˆ zA A zAρ φρ ρ ϕρpart

times + +part

＋ ( )1ˆ ˆ ˆ ˆ zA A zAρ φϕ ρ ϕρ ϕ

parttimes + +

part

＋ ( )ˆ ˆˆ ˆ zz A A zAz ρ φρ ϕpart

times + +part

直接做上式微分可以得到

＝1ˆ z AA

zϕρ

ρ ϕpart⎛ ⎞part

minus⎜ ⎟part part⎝ ⎠＋ ˆ zA A

zρϕ

ρpart⎛ ⎞part

minus⎜ ⎟part part⎝ ⎠＋

1 1ˆ ( )A

z A ρϕρ

ρ ρ ρ ϕpart⎛ ⎞part

minus⎜ ⎟part part⎝ ⎠

上式可以用一個行列式來表示

rarrrarr

timesnabla A＝

ˆ ˆ ˆ1

z

z

zA A Aρ ϕ

ρ ρϕ

ρ ρ ϕρ

part part partpart part part

（A-1）

A and Anabla nablasdot nablatimes in 球座標 spherical coordinate

如上圖球座標 )( ϕθr 其中 )0[ infinisinr ]0[ πθ isin ]20[ πϕ isin 只有 r

是長度而 ϕθ 為角度是用來說明方向的三個座標的單位向量 ˆ ˆˆ r θ ϕ 具

有下列性質

4-66

1 如上圖 ˆ ˆˆ r θ ϕ 都不是常數而是（ ϕθ ）的函數

ˆ ˆ( )ˆ ˆ( )ˆ ˆ( )

r r θ ϕ

θ θ θ ϕϕ ϕ ϕ

⎧ =⎪

=⎨⎪ =⎩

)( ϕθr 與(xyz)之間的轉換如下

sin cossin sincos

x ry rz r

θ φθ φθ

=⎧⎪ =⎨⎪ =⎩

( )122 2 2

2 2

tan

tan

r x y z

x yz

yx

θ

φ

⎧ = + +⎪⎪ +⎪ =⎨⎪⎪ =⎪⎩

（A-2）

2 ˆ ˆˆ r θ ϕ 形成一「歸一正交集」ie

ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ 1r r θ θ ϕ ϕsdot = sdot = sdot = ˆ ˆr θ ϕperp perp

ˆ ˆr θ ϕtimes = ˆ ˆ rθ ϕtimes = ˆˆ rϕ θtimes = （A-3）

3可以很容易的由他們在 xyz 軸上的投影由直角

座標的 ˆ ˆ ˆ x y z 表出

ˆ ˆ ˆ ˆsin cos sin sin cos ( 4 )ˆ ˆ ˆ ˆcos cos cos sin sin ( 4 )ˆ ˆ ˆsin cos ( 4 )

r x y z A a

x y z A bx y A c

θ φ θ φ θ

θ θ φ θ φ θϕ φ φ

= + + minus⎧⎪

= + minus minus⎨⎪ = minus + minus⎩

4 ˆdr = 由於 ˆ ˆ( )r r θ φ= 所以由 ϕθ 的變動來看

4-67

ˆ ˆˆ| |ˆ ˆˆ| | sin sin

d r d d

d r d d

θ θθ θθ

φ θ φφ θ φφ

⎧ rArr =⎪⎨

rArr =⎪⎩rArr ˆ ˆˆ sindr d dθ θ φ θ φ= + （A-5）

rArrˆ ˆr θθpart

=part

ˆ ˆsinr θφφpart

=part

（A-6）

（A-6）的結果也可以直接由（A-4a）對 ϕθ 偏微得到

5 ˆdθ ＝ 由於 ˆ ˆ( )θ θ θ φ= 所以由 ϕθ 的變動來看

ˆ ˆ ˆ| | ( )ˆ ˆ ˆ| | cos cos

d d r d r

d d d

θ θ θ θ

φ θ θ φφ φ θ φ

⎧ rArr minus = minus⎪⎨

rArr =⎪⎩rArr ˆdθ ＝ ˆˆ cosrd dθ φ θ φminus + （A-7）

ˆrθ

θpart

rArr = minuspart

ˆ ˆcosθ φ θφpart

=part

（A-8）

請直接由（A-4b）對 ϕθ 偏微的結果 check（A-8）

6 ˆdφ ＝由於φ )(ϕ 躺在 x-y 平面上變動φ時的方向可能不是那麼

容易看出來所以做圖看一看

ie ˆ ˆˆ(sin ) (cos )d r d dφ θ φ θ θ φ= minus minus （A-9）

4-68

ˆ ˆˆsin cosrφ θ θ θφpart

= minus minuspart

7 所有的向量 ˆ ˆˆ rA rA A Aθ φθ φrarr= + +

8 位置向量 ˆr rrrarr=

可以由左圖 ˆ ˆˆ r θ ϕ 三個方向的「長度

變化」輕易的看出

9 位移元素

ˆ ˆˆ ˆ sindr rdr rd dθ θ ϕ θ φ= + + (A-10)

10 體積元素

sindv dr r d rdθ φ θ= sdot sdot

＝ 2 sinr dr d dθ θ φ (A-11)

11 面積元素 2 sinrds r d dθ θ φ= plusmn sinds r drdθ θ φ= plusmn ds rdrdφ θ= plusmn (A-12)

plusmn號表示面的垂直方向有兩個端看 ds 周邊的方向是如何定的

nabladel 考慮 ( )u u r θ φ=

rArru u udu dr d dr

θ φθ φ

part part part= + +part part part

u d rrarr rarr

equiv nabla sdot

urarr

= nabla sdot ˆ ˆˆ( sin )rdr rd dθ θ φ θ φ+ +

rArr1 1ˆ ˆˆ

sinu u uu rr r r

θ ϕθ θ φ

rarr part part partnabla = + +

part part part

1 1ˆ ˆˆsin

rr r r

θ ϕθ θ φ

rarr part part partnabla equiv + +

part part part （A-13）

4-69

直接用（A-13）與 ˆ ˆˆ rA rA A Aθ φθ ϕrarr= + + 逐項內積加上（A-678）

rArr ϕθ

θθθ

ϕθ part

part+

partpart

+partpart

=sdotnablararrrarr A

rA

rAr

rrA r sin

1)(sinsin1)(1 2

2 （A-14）

（A-13）與 ϕθ ϕθ AAArA r

andandandrarr

++= 逐項外積整理之後

ϕθ θϕθ

ϕθθ

θArrAA

r

rrr

rA

r sin

sin

sin1

2 partpart

partpart

partpart

=timesnabla

andandand

rarrrarr

（A-15）

Laplacian uu nablasdotnabla=nabla2

2

2

2222

22

sin1)(sin

sin1)(1

ϕθθθ

θθ partpart

+partpart

partpart

+partpart

partpart

=nablau

ru

rrur

rru （A-16）

B推導「散度」在圓柱座標的寫法

讓我們先回顧一下在直角座標裡的「面積元素」可以由「位移元素」

得到

ˆˆ ˆ x y zdr idx jdy kdz da dydz dxdz dxdy= + + rArr =

比照辦理「圓柱座標」的位移元素

( )ˆˆ ˆ( )

( )z

da d dzdr d d zdz da d dz

da d d

ρ

φ

ρ φ

ρ ρ φ ρ φ ρ

ρ ρ φ

=⎧⎪= + + rArr =⎨⎪ =⎩

這個結論可以輕易的由面積元素在垂直於 zˆˆ ϕρ 三個方向的面積看

出如下圖考慮一個以 )( zϕρ 為中心的「圓柱體積元素」(cylindrical

cubiod)體積為 zdV ΔΔ=Δ ϕρρ 現計算在 ρ

方向的 12 兩個平行面(方向各為 ρplusmn )的通

量

4-70

zzF

dsFdsnFS S

ΔΔ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

+cong

=sdotintint intintϕρρϕρρρ

ρ

2

2

ˆ1 1

zzF

dsFdsnFS S

ΔΔ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

minus⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

minusminuscong

minus=sdotintint intintϕρρϕρρρ

ρ

2

2

ˆ2 2

intint+

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

minus⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

minusminus⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

+Δ

asympsdotΔ

rArr21

22

22

1ˆ1

SS

zFzFdsnFV

ϕρρρρϕρρρρρρ ρρ

( ) ( )

1 20

0

0

1 ˆlim

1lim 2 2 2 2

1 1lim 2 2

1

VS S

F ndsV

F z F z

F z F z

F

ρ ρρ

ρ ρρ

ρ

ρ ρ ρ ρρ ρ φ ρ ρ φρ ρ

ρ ρρ ρ φ ρ ρ φρ ρ

ρρ ρ

Δ rarr+

Δ rarr

Δ rarr

rArr sdotΔ

Δ Δ Δ Δ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + + minus minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥Δ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦Δ Δ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥Δ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

part ⎡ ⎤= ⎣ ⎦part

intint

娛樂一下用上述方式把圓柱的 Fsdotnabla 裡的z

FF z

partpart

+partϕρϕ1

變出來

球座標的nabla和 Fsdotnabla 也可以試試看

補充習題

H M Scheydiv grad curl and all that 4th edition

第二章習題 6 8 9 10 11 14 15 16 18 19 21 22 23 25 26 27

第三章習題 2 3 5 6 7 8 9 10 11 14 15 17 18 19 24

4-25

座標比較「具像」 2 7 2 7 2ˆ ˆ ˆ ˆsin cos sin sin cos3 6 3 6 3

3 3 1ˆ ˆ ˆ4 4 2

r x y z

x y z

π π π π π⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞minus minus minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + +⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

單位向量θ 在某一組 ( )θ ϕ 的指向如 Fig 34a將θ 平移至原點更清楚

Fig34b 是由側面看 Fig34a可以看到θ 在 z 軸的投影為 sinθminus 而θ 在

x-y 平面的投影為cosθ使得θ 在 x-軸的投影為cos cosθ ϕy-軸投影

為cos sinθ ϕ於是

ˆ ˆ ˆ ˆcos cos cos sin sinx y zθ θ ϕ θ ϕ θ= + minus （4-60）

單位向量ϕ 如 Fig 35a 所示是在 x-y 平面畫出

Fig 35b 為自 z 軸向下看 Fig35a 圖可以看出ϕ 在 z 軸投影為 0且

ˆ ˆ ˆsin cosx yϕ ϕ ϕ= minus + （4-61）

ex25 一個質點的速率為 2( ) ( sin tan )v r rθ ϕ θ ϕ= 若經查該質點的運

動 是 在 z = 3 平 面 做 逆 時 針 圓 周 運 動 則 當 位 置 的 方 向 角

4-26

2( ) 4 3π πθ ϕ ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

時計算其速度用球座標與直角座標表出

解圓運動速度方向是沿切線所以球座標 ˆ ˆ( )v v v rϕ θ ϕ ϕ= =

z = 34πθ =

3 3 21cos cos 24

z zrπθ

rArr = = = =⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

所以該處的瞬時速率

2 2

2( ) 3 3 4 3

2 1 813 3sin tan 3 3 ( 3)4 3 22

v r v π πθ ϕ

π π

⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

⎡ ⎤ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = times minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

2 81 2ˆ3 3 4 3 2 4 3

v r π π π πθ ϕ ϕ⎛ ⎞ ⎛ ⎞rArr = = = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

在直角座標2 2 2ˆ ˆ ˆ sin cos

4 3 3 3x yπ π π πϕ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠3 1ˆ ˆ

2 2x y= minus minus

而且點23 3

4 3π π⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠

的直角座標為

2 1 3 3sin cos 3 3sin cos 3 34 3 2 22 2

x r π πθ ϕ minus minus⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

2 3 9sin sin 3 3sin sin 3 34 3 2 2 2 2

y r π πθ ϕ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = = =⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

z = 3

23 3 4 3

v π π⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

3 3 9 81 3 1ˆ ˆ 32 2 2 2 22 2

v x y⎛ ⎞ ⎛ ⎞

rArr = minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

以上兩個例子都只討論只有一個圓座標分量的向量in general 向量

ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( )r x y zA r rA A A A r xA yA zAθ ϕθ ϕ= + + hArr = + + （4-61）

若已知球座標的分量 ( )rA A Aθ ϕ 如何得到直角座標的

( )x y zA A A

4-27

ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( )ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( )

ˆ ˆˆˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( )

x r

y r

z r

A x A r x r A x A x A

A y A r y r A y A y A

A z A r z r A z A z A

θ ϕ

θ ϕ

θ ϕ

θ ϕ

θ ϕ

θ ϕ

⎧ = sdot = sdot + sdot + sdot⎪⎪ = sdot = sdot + sdot + sdot⎨⎪

= sdot = sdot + sdot + sdot⎪⎩

（4-62）

由式（4-59）（4-61） ˆ ˆ ˆ ˆsin cos sin sin cosr x y zθ ϕ θ ϕ θ= + + （4-59） ˆ ˆ ˆ ˆcos cos cos sin sinx y zθ θ ϕ θ ϕ θ= + minus （4-60）

ˆ ˆ ˆsin cosx yϕ ϕ ϕ= minus + （4-61） ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆsin cos cos cos sin ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆsin sin cos sin cos ˆ ˆˆˆ ˆcos sin 0

x r x x

y r y y

z r z z

θ ϕ θ θ ϕ ϕ ϕ

θ ϕ θ θ ϕ ϕ ϕ

θ θ θ ϕ

⎛ ⎞sdot = sdot = sdot = minus⎜ ⎟

rArr sdot = sdot = sdot =⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟sdot = sdot = minus sdot =⎝ ⎠

（4-63）

sin cos cos cos sin sin sin cos sin cos

cos sin 0

x r r

y RS

z

A A AA A M AA A A

θ θ

ϕ ϕ

θ ϕ θ ϕ ϕ

θ ϕ θ ϕ ϕ

θ θ

⎛ ⎞minus ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟rArr = equiv⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟minus⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

（4-64）

其中 SRM 為由球座標分量轉為直角座標分量的轉換矩陣且行列式

det SRM =1 表示反矩陣存在then 1SRM minus 就是將直角座標分量轉為球座

標分量之轉換矩陣其實嚴格講 (4-64)式還不是最終的表示因為

轉換完的直角

座標應該全部以 x y z 表出這裡保留用 θ ϕ 只是為了簡潔方便

習題 2 Find 1SRM minus

習題 3 用 xyz 表出(a)sinθ (b)cosθ (c)sinϕ (d)cosϕ

Ans (a)2 2

2 2 2sin

x yx y z

θ+

=+ +

(b)2 2 2

cos zx y z

θ =+ +

(c)2 2

sin yx y

ϕ =+

(d)2 2

cos xx y

ϕ =+

習題 4 用上面結果將 SRM 用 xyz 表出

Ex26 Given a field ( )A r θ ϕ ＝ ˆ ˆˆ2 3r θ ϕ+ minus in spherical coordinates

find the field in rectangular coordinates （直角座標）

4-28

解這裡的 ( )A r θ ϕ 不因其三個分量都是常數而只是「一個」向量

而是一 vector field這是因為 ˆ ˆˆ r θ ϕ 都不是定值而與 θ ϕ 有關而如

果 ( )A r θ ϕ 表示則單位向量所對應的角度 θ ϕ 必須要標定所以

sin cos cos cos sin 2sin sin cos sin cos 3

1cos sin 0

x

y

z

AAA

θ ϕ θ ϕ ϕ

θ ϕ θ ϕ ϕ

θ θ

⎛ ⎞minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ minusminus⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

(2sin 3cos )cos sin(2sin 3cos )sin cos

2cos 3sin

x

y

z

AAA

θ θ ϕ ϕθ θ ϕ ϕ

θ θ

+ +⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟rArr = + minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟minus⎝ ⎠ ⎝ ⎠

習題 5 Draw a diagram to show in the cylindrical coordinates

(a) ˆ ˆ ˆcos sinx yρ ϕ ϕ= + (b) ˆ ˆ ˆsin cosx yϕ ϕ ϕ= minus + (c) ˆ ˆz z=

習題 6 use the above results show that 由柱座標分量轉為直角座標分

量的轉換矩陣

x

y CR

z z

A AA M AA A

ρ

ϕ

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟=⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

CRM =

2 2 2 2

2 2 2 2

0cos sin 0sin cos 0 0

0 0 10 0 1

x yx y x y

y xx y x y

ϕ ϕ

ϕ ϕ

minus⎛ ⎞⎜ ⎟+ +⎜ ⎟⎛ ⎞minus⎜ ⎟⎜ ⎟

= ⎜ ⎟⎜ ⎟+ +⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

Ex27 Express vector ˆ ˆ ˆ(3cos ) 2 5A zρ ϕ ϕ ρ= minus + in Cartesian

coordinates Specifically the A at the position of (2 2 3π -3)

解

2cos sin 0 3cos 3cos 2 sinsin cos 0 2 3cos sin 2 cos

5 50 0 1

x

y

z

AAA

ϕ ϕ ϕ ϕ ρ ϕϕ ϕ ρ ϕ ϕ ρ ϕ

⎛ ⎞minus ⎛ ⎞+⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟= minus = minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

so that A (2 2 3π -3)= 3 3 3ˆ ˆ ˆ3 3 3 54 4

x y z⎛ ⎞⎛ ⎞+ + minus +⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠注意本

題裡 z 座標並非一變數

4-29

sect 43 Fields and its properties 場與其性質

「場 field」是什麼凡是在「某個空間中每一點」都有定義的量

就是一個「場」所以「場」也稱為「點函數 point function」簡單的

說凡是「空間的函數」都是「場」如果這個「空間的函數」是一個

純量 u(xyz)那麼 u(xyz)就是一個「純量場 scalar field」例如室內

的溫度 T(xyz)一塊豬肉的密度 ( )x y zρ 大氣中的壓力 p(xyz)等

都是純量場如果這個「空間的函數」是一個向量 )( zyxA 那麼

)( zyxA 就稱為「向量場 vector field」例如空間中的電場 )( zyxE

水流中的速度場 )( zyxv 重力場 )( zyxg 等等很顯然的不論是純量

場還是向量場「場」在空間中的分佈通常未必是均勻的那麼她有

什麼性質呢例如一塊豬肉內部密度是如何變化的水流中有沒有

漩渦大氣中的等壓線是如何變化的等等那麼有沒有什麼量可以

有系統的描述各種場的分佈有我們在以下分別討論

sect 431 Gradient of scalar fields 純量場的梯度

考慮一個純量場 f(xyz)可以視為 3 個變數 xyz 的函數當變數變動為

x+dx y+dy z+dy 時造成 f 的變化

f f fdf dx dy dzx y zpart part part

= + +part part part

（4-65）

由幾何意義來看上式更為具體上式表示純量場 )(rf 基於位置的變化

r r drrarr + (或由 ( ) ( )x y z x dx y dy z dzrarr + + + )所造成 f 的變動

我們現在定義一個向量算符 vector operator nabla (or nabla )（讀做 del）

ˆ ˆ ˆx y zx y zpart part part

nabla equiv + +part part part

(4-66)

如果將 del 作用在純量場 )(rf 上將產生出現一個新的「向量場」 fnabla

稱為純量場「 )(rf 的『梯度 gradient』」

4-30

ˆ ˆ ˆ( ) f f fgrad f f x y zx y zpart part part

equiv nabla = + +part part part

（4-67）

這使得由於任意位移 ˆ ˆ ˆdr xdx ydy zdz= + + 所造成 f 的變化量

df f drrArr =nabla sdot （4-61）

ex28 Given scalar field 2( )f r xy z= and 2 2 2

1 1( )g rrx y z

= =+ +

(a) find the value of ( )f r and fnabla at point P(2 1-1) 解 2(21 1) 2 1 ( 1) 2f minus = times times minus = minus

2 2 2

2 2

ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( )

ˆ ˆ ˆ( ) ( 2 ) ( )

f x xy z y xy z z xy zx y z

x y z y x yz z xy

part part partnabla = +

part part part

= +

＋

＋

ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ(21 1) ( 1) (2 2) (2) 4f x y z x y znabla minus = minus + timesminus = minus minus＋ ＋2 (b) find the value of ( )g r and gnabla at the point P

解2

1 1(21 1)62 1 1

g minus = =+ +

2 2 2 12 2 2 2 12

2 2 2 12

ˆ ˆ( ) ( )

ˆ ( )

g x x y z y x y zx y

z x y zz

minus minus

minus

part partnabla = + + + + +

part partpart

+ +part

＋

2 2 2 32 2 2 2 32 2 2 2 32

2 2 2 32 3 2

ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( )

ˆ ˆ ˆˆ( )( )

OR OR

xx yy zzgx y z x y z x y zxx yy zz r r

x y z r r

minus minus minusrArrnabla = + +

+ + + + + +minus + + minus minus

= = =+ +

32

ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ(2 ) 2(21 1)6 6 6

x y z x y zg minus + minus minus minus +rArrnabla minus = =

由 gnabla 看到一個粉常用的結果就是

3 2

ˆ1 ORr rr r r

minus minusnabla = = （4-62）

順便比較一下

2 2 2 12 2 2 2 12 2 2 2 12

2 2 2 12

ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( )

ˆ ˆ ˆ( ) ˆ (4 63)( )

r x x y z y x y z z x y zx y zxx yy zz r r

x y z r

part part partnabla = + + + + + + +

part part part+ +

= = = minus+ +

＋

4-31

(c) what is the angle between (21 1)fnabla minus and (21 1)gnabla minus

解 (21 1)fnabla minus (21 1)gsdotnabla minus ＝（ ˆ ˆ ˆ4x y zminus minus ＋2 ） sdotˆ ˆ ˆ26 6x y zminus minus +

＝2 4 2 4

6 6 3 6+ +

= ＝ | (21 1) |fnabla minus | (21 1) |gnabla minus cosθ

＝ 34 1 1 211 16 4 cos cos

6 6θ θ+ +

+ + =

1 4 2cos 07773 7

radθ minus ⎛ ⎞= =⎜ ⎟

⎝ ⎠

要注意隨然nabla有向量的性質但是他並不是一個真的向量真

實向量 A與純量 f ( )r 的乘法滿足交換率ie ( ) ( )Af r f r A= 但是

f fnabla ne nabla因為

( )f rnabla ＝ ˆ ˆ ˆf f fx y zx y zpart part part

+ +part part part

是一個向量函數而

ˆ ˆ ˆ( )f r x y zx y z

⎛ ⎞part part part+ +⎜ ⎟part part part⎝ ⎠

是一個算符（operator）

若nabla要與向量場 A 作用由於nabla與 A 都具有向量的性質先看「內積」

ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ( )

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

x y z

x y

z

y yx xz z

A x y z xA yA zAx y z

x y z xA x y z yAx y z x y z

x y z zAx y z

A AA AA Ax x x y x zx y z x y z

⎛ ⎞part part partrArrnablasdot = + + sdot + +⎜ ⎟part part part⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞part part part part part part= + + sdot + + + sdot⎜ ⎟ ⎜ ⎟part part part part part part⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞part part part

+ + + sdot⎜ ⎟part part part⎝ ⎠part partpart partpart part

= sdot + sdot + sdot + sdotsdot sdot = + +part part part part part part

yx zAA AAx y z

partpart partnablasdot = + +

part part part (4-64)

上式中的 Anablasdot 是向量場 A 的一個重要的性質稱為 A 的「散度」詳

細的內容在後面會仔細討論這裡引進 Anablasdot 主要是要表明nabla是個「算

符」表示一個運算不是一個真實的向量只是在「直角座標」裡

4-32

因為單位向量 ˆ ˆ ˆ x y z 是常數不受微分的作用以致nabla表現得好像也

是個一般的向量一樣事實上真實向量和nabla間的「內積」就不滿足交

換率

x y zA A A A an operator Ax y zpart part part

sdotnabla = + + = ne nablasdotpart part part

(4-65)

這也使得任意向量場 ( )A r 因位置變動 r r drrarr + 而產生的變化由於

)( zyxA 也是 3 個變數 xyz 的函數可以寫為

( )A A AdA dx dy dz dr Ax y z

part part part= + + = sdotnabla

part part part （4-66）

ex29 (a)Given field 2ˆ ˆ ˆ2A xxy y x zyz= minus + find Anablasdot at point (1-12)

解2( ) (2 ) ( ) 2xy x yzA y yz

x y zpart part part

nablasdot = + + = +part part part

(1 12)1 2( 1)2 3A

minusnabla sdot = minus + minus =

(b) find rnablasdot 解 rnablasdot = 3x y zx y zpart part part

+ + =part part part

梯度的意義

由（4-67）可以看到「f 的梯度 fnabla 」

是一個由「純量場 f」衍生出的向量

場由（4-26）也可以看出 fnabla 扮演類

似「變化率」的角色

空間中將相同值 f ( )r ＝f1 的點連

起來就得到一個 f ( )r ＝f1 的「等值面」如 Fig36考慮純量場 f( r )的

相鄰兩個等值面各對應定值 1f f= 與 1f f df= + 0df gt P1 點在 f1

等值面上相鄰兩點 P2P3 在 1f df+ 等值面上而向量 1 2 ˆnP P dn e dn= =

過 P1 點垂直於 f1 等值面 1 3 ˆP P d e d= = 與 ˆne dn夾角為α 由於不

論 1 2P Prarr 或 1 3P Prarr f 的變化量都是 df 但因距離 dn 係兩等值面最

4-33

短的距離d dngt 所以 1 2P Prarr 或 1 3P Prarr 造成的「變化率」df dfdn d

gt

而過 P1 點的最大變化率為dfdn

換言之向量 ˆndfedn

為過 P1 點垂直於

f1 等值面且指向最大「增加率」的方向 現在要證明

ˆndfe fdn

= nabla （4-67）

考慮 1 3P Prarr 造成的 f 值的變化率

ˆ ˆcos n ldf df dn df df e edl dn dl dn dn

α= = = sdot

ˆ ˆ ˆn l ndf dfdf e e dl e dldn dn

rArr = sdot = sdot

和（4-61）式df f dr= nabla sdot 相比即可得證 ˆndfe fdn

= nabla 所以可以知道

空間純量場 f ( )r 中任一點處的向量 fnabla 必「垂直」於「通過該點的 f的等值面」且指向 f 值最大「增加率」的方向| ( )f rnabla |就是 f 在 r 點

的最大增長率可以進一步定義等值面的「法線 normal」方向為

ˆ fnf

nabla=nabla

（4-68）

結論給定一個純量場 f( r )在每一點 r 可以定義一個稱做「梯度」

的向量 fnabla fnabla 垂直於過 r 點的 f 等值面且指向最 f 大增加率的方向

fnabla 的方向也定義了 f 等值面的法線方向

Ex30 考慮一個 2D 的 scalar field 2( )f x y y x= minus 計算該場在 )20( 的梯度與

法線方向

解 ˆ ˆ ˆ ˆ2f ff x y x yyx ypart part

nabla = + = minus +part part

ˆ ˆ(0 2) 2 2f i jnabla = minus + ˆ ˆ ˆ ˆ2 2 2 2ˆ(0 2)

31 8i j i jn minus + minus +

rArr = =+

4-34

ex31 點電荷 q 置於原點其產生電位為 ( ) qV rr

= 求負梯度qr

minusnabla

解 3

2 2 2 22 2 2

2 ( )2

q q q q x x y zr x rx y z

minuspart minus= rArr = sdot + +

part+ +

3 23

ˆˆ ˆ ˆ( )q ix jy kz r rq q qr r r r

minus + +rArr minusnabla = minus = = （點電荷的電場）

0 0

1 1 r r

noter r= =

nabla rarrinfin rarrinfin∵ 是不定值是因為 r = 0 處為最大值

「增加率」的方向無法確定

ex32 置一熱源於原點空間溫度分佈為1( )

( 2)T r

r=

+求溫度的梯度

解 2 2 2

ˆ( ) ( )( 2) ( 2) ( 2)

x rT r rr rT r

x r r r

minuspart minus

= rArrnabla = =part + + +

此處的負號表示梯

度指向熱源因為距熱源越遠溫度越低 ( 0)note T rnabla = 為不定值

因在最頂點「增加率」的方向無法確定

Ex33 地圖上山脈的等高線上各點的垂直方向由梯度決定現有一座

山是橢球 2)1(4 222 =+++ zyx 在 x-y 平面上方的

部分求地圖上這座山等高線的梯度

解 山高 142 22 minusminusminus== yxzh 所以等高線為橢

圓 222 )1(24 +minus=+ hyx 梯度

( ) ( ) ( )2 2 2 2

2 2

ˆ ˆ4ˆ ˆ2 4 1 2 4 1

2 4

xx y yh x x y y x y

x y x y

minus +part partnabla = minus minus minus + minus minus minus =

part part minus minus

所以自山腳（h=0）登山若由(012)開始 ˆ(01 2) 2h ynabla = minus 但若由

)02(minus 開始爬山 ˆ( 20) 2h xnabla minus = 可見 )02()210( minusnablagtnabla hh 這表

示由 y-軸登山山勢較陡所以「梯度」比由 x-軸登山為大這也更

清楚瞭解「梯度」的幾何意義

4-35

sect 432 Divergence 散度與 Curl 旋度

在(4-66) 我們建立了一個直角座標 vector operator 「del」

ˆ ˆ ˆx y zx y zpart part part

nabla equiv + +part part part

(4-66)

若與向量場 A 做「內積」與「外積」就建構了 A 的「散度」與「旋度」

散度 A A scalaryx zAA Adiv ax y z

partpart partequiv nabla sdot = + + =

part part part （4-69）

旋度

y yz x z x

ˆ ˆ ˆ y z A vector

A AA A A Aˆ ˆ ˆxy z z x x y

x y z

x y z

xcurl A a

A A A

y z

⎧⎪

= nablatimes = part part part =⎪⎪⎨⎪

part part⎛ ⎞ ⎛ ⎞part part part part⎛ ⎞⎪ = minus + minus + minus⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎪ part part part part part part⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎩

(4-70)

這裡定義的只是「散度」與「旋度」所謂「操作型的定義」告訴我

們如何計算的式子事實上她們都具有重要的物理意義我們在後面

會討論

ex34 ˆ ˆA xy yx= minus 求其散度與旋度

解 0 0y xAx ypart part

nablasdot = minus + =part part

ˆ ˆ ˆ y zˆ ˆ ˆ ˆ 0 0 ( 2) 2

0 x y z

xA x y z z

y xnablatimes = part part part = minus + minus = minus

minus

右圖示意了本向量場的分佈看得出像個漩渦也看到算出的旋度

0ne 看來旋度表現的應該是向量場「旋轉的程度」事實上我們在

後面會看到「旋度」表現的就是是向量場在空間各點「旋轉的程度」

本題的向量場在每一點的旋轉程度都一樣

4-36

Ex35 ( )ˆ ˆ ˆ A xx yy zz r= + + = 求其散度與旋度

解 3A rnablasdot = nablasdot = ˆ ˆ ˆ y z

0

x y z

xA

x y znablatimes = part part part =

由場分佈的示意圖可以看出本向量場是自原點向外射出好似在原

點有一個場線的「源頭 source」但是 3Anablasdot = 為一個常數表示好像到

處都有 source同時旋度為 0 也可以配合本場並無旋轉的形象事實

上「散度」表現的就是是向量場在空間各點產生「場線」的 source

記得靜電學裡的庫倫定律 0E ρ εnablasdot = 電場的散度就是「電荷密度」

(電場的 source)前一題的向量場看來對應的場線是封閉的所以沒有

source這也對應了其散度＝0不過一個向量場的散度旋度究竟是

多少應該詳細的計算場分佈圖形有時候不是那麼容易看的清楚

兩個 useful identities (恆等式)

(a) ( ) 0 0f curl of a gradnablatimes nabla = =

(b) ( ) 0 0A div of a curlnablasdot nablatimes = =

pf (a) ( )ˆ ˆ ˆ x y z

x y z

x y z

ff f f

nablatimes nabla = part part part

part part part

( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2xz zxˆ ˆ ˆx y f- f z 0yz yz xy yxf f f f= part minus part minus part part + part minuspart =

這個結果與真實的向量外積 ( ) AA 0=times 有相似之處但是這只是特

例要記得nabla並不是一個真正的向量

( ) ( ) ( )

( )

ˆ ˆ ˆ y zˆ ˆ ˆ x y z

0

x y z y z z y x z z x x y y x

x y z

xy z xz y xy z yz x xz y yz x

xA A A A A A A

A A A

A A A A A A A

nablatimes = part part part = part minus part minus part minus part + part minus part

nablasdot nablatimes = part minuspart minuspart +part +part minuspart =

4-37

此結果與真實的向量運算有相似之處 ( )( )0 (B A) BB B Asdot times = times perp∵

但是這仍只是特例因為我們可由下列例子 ( ) 0A Asdot nablatimes ne 看出事實上

nabla並不是一個真正的向量 Ex36 ˆ ˆ ˆA xy yx zx= minus +

( )

ˆ ˆ ˆ y zˆ ˆ ˆ 0 1 ( 2)

2 0

x y z

xA x y z

y x x

A A x x x

nablatimes = part part part = minus + minus

minus

sdot nablatimes = minus = minus ne

面積元素向量

物理上時常會遇到面積分例如電通量磁通

量等等考慮一個面積元素 ds定義「面積的

方向」為其「法線方向」並定義面積元素向量

ˆnds a dsequiv （4-71）

要注意的是(1)如果 ds 是一個「封閉面

closed surface」（即有裡外之分）的一部

份則 ˆna 定義為「由內向外」(2) 如果 ds

是一個「開放面 opened surface」（即分不

出裡外）的一部份那麼 ds 必被其邊緣

（一個封閉的曲線 C）所包圍這樣在定

出ds 的方向之前要先定義「邊緣曲線」

C 的方向再由右手定則定義 ˆna 的方向

既然面積已為一個向量就可以寫為分量表示以直角座標

ˆ ˆ ˆx y zds xds yds zds= + + (4-72)

那麼這些分量 dsx dsy dsz 會是什麼既然 dsx 的方向是 x 就表示 dsx

是躺在 y-z 平面上所以 dsx 的兩邊是 dy 與 dz rArr xds dydz= 依此類

4-38

推 dsy 的方向是 y 所以躺在 x-z 平面rArr yds dxdz= hellip可以得知

xds dydz= yds dxdz= zds dxdy= （4-73）

不過要注意在寫面積元素時要看討論的面實際

是什麼面上式的三個分量有可能會是負的例如

左圖座落在第一象限的立方體的 A 面方向就在 xminus

方向Arsquo面在 yminus Ardquo面在 zminus 方向寫面積元素最

好是先把討論的面的方向搞清楚把plusmn號寫在單位向量前面那麼分

量就都用＋的即可其實面積元素體積元素都可以由位移元素看出

ˆ ˆ ˆdr xdx ydy zdz= + +

dx dy dz 是沿著 ˆ ˆ ˆ x y z 方向的長度所以面積元素分量的兩邊長度就

是由其中兩個組成而體積的三邊也就是三個垂直方向的長度

x y zdV dx dy dz and ds dydz dxdz dxdyrArr = = （4-74）

這個概念在其他的座標系統也成立我們可以方便的寫出面積元素

Recall 柱座標的位移向量元素

cylindrical coordinate ˆ ˆ ˆdr d d dzzρρ ρ ϕϕ= + + （4-48）

ˆ ˆ ˆ zds ds ds zdsρ ϕρ ϕ= + + (4-75)

dsρ 躺在 zϕ minus 平面dsϕ 在 zρ minus 平面 zds 在ρ ϕminus 平面

rArr zds d dz ds d dz ds d d d dρ ϕρ ϕ ρ ρ ρ ϕ ρ ρ ϕ= = = sdot = （4-76）

上面的結果畫個圖看看吧球座標的位移向量元素

Spherical coordinate ˆ ˆˆ ( ) ( sin )dr rdr rd r dθ θ ϕ θ ϕ= + + （4-56）

ˆ ˆˆ rds rds ds dsθ ϕθ ϕ= + + （4-77）

rArr sin sin rds rd r d ds dr r d ds rd drθ ϕθ θ ϕ θ ϕ θ= sdot = sdot = sdot (4-78)

4-39

向量場 ( )A r 在 S 面上的「面積分（surface integral）」or「flux」

如左圖若有一「平面」S 且其上有「均勻」

場 B 分佈則通過 S 面的通量就是

ˆB B nSΦ = sdot

但考慮一任意「非均勻」向量場 ( )A r 在空間分佈選取任意曲面 S

探討 ( )A r 在 S 上之通量若ds 為 S 面上的面積元素在趨近於 0 的

小面積ds 上 A可視為均勻所以通過ds 之通量為 ( )d A r dsΦ = sdot 則 S

面之總通量為

Φ＝ ˆ cosS S S

A ds A nds A daϕsdot = sdot =int int int

( )OR

x x y y z zS

A da A da A da= + +int (4-75)

稱為 A 在 S 面上的「面積分」或「通量 flux」

上圖所繪就是一個任意面上分割出許多小面積舉出三個位置的通

量有+-與 0如果 S 面是為一「封閉面」則面積分寫為

S

A dssdotint （4-76）

4-40

ex37 Given 2ˆ ˆ ˆyzA xyz yx zx= + + 計算通量S

A dssdotint

S 面為在第一象限邊長＝1 的立方體表面封閉面

解立方體分為前後右左上下六個面分開算 1前面（x=1）

方向 x+ ˆ xA ds A xdydz A dydzsdot = sdot =int int int前 前 前

yzdydz= int前 ＝1 1

0 0

1 1 12 2 4

ydy zdz = sdot =int int

2後面(x=0)方向 xminus ˆ(- ) - xA ds A x dydz A dydzsdot = sdot =int int int後 後 後

yzdydz= minusint後1 1

0 0

-1 1 -12 2 4

ydy zdzminus = sdot =int int

3 右面（y=1）方向 y+ y ( 1)yA ds A dxdz A y dxdzsdot = sdot = =int int int右 右 右

( 1)x y zdxdz= =int右 ＝1 1

0 0

1 1 12 2 4

xdx zdz = sdot =int int

4 左面（y=0）方向 ˆ-y ˆ( y) - ( 0)yA ds A dxdz A y dxdzsdot = sdot minus = =int int int左 左 左

( 0) 0x y zdxdz= = =int左

5 上面（z=1）方向 z+ zz y (z 1) yA ds A dxd A dxdsdot = sdot = =int int int上 上 上

2 yx dxd= int上 ＝1 120 0

1 1y 13 3

x dx d = sdot =int int

6 下面（z=1）方向 ˆ-z zˆ(-z) y - (z 0) yA ds A dxd A dxdsdot = sdot = =int int int下 下 下

2 -1- y3

x dxd= =int下 ＝1 120 0

1 1y 13 3

x dx d = sdot =int int

S

A dssdotint ＝六個面的和＝1 1 1 1 1 1( ) ( 0) ( )4 4 4 3 3 4

minus minus+ + + + + =

ex38 Given ˆ ˆ ˆzA xyz yx zxy= + + 計算通量S

A dssdotint S 為圓 2 2 2x y a+ =

在第一項限的部分方向選為 z+ 2 2y a x= minus

4-41

解 2 2 4

0 0ˆ

8a a x

zS S S S

aA ds A zdxdy A dxdy xydxdy xdx ydyminus

sdot = sdot = = = =int int int int int int

Ex39 In cylindrical coordinate Given ˆ ˆaA zbzρρ

= + where a b are

constants Find S

A dssdotint over the surface of a

closed cylinder about z-axis specified by 3 2z ρ= plusmn =

解S 分為上下與周邊三面

zz (z 3)zA ds A ds A d dρ ρ ϕsdot = sdot = = sdotint int int上 上 上

= 23 3 2 12bd d b bρ ρ ϕ π πsdot = sdot =int上

ˆ(-z)A ds A d dρ ρ ϕsdot = sdot sdotint int下 下

= z- (z -3)A d dρ ρ ϕ= sdotint下 = 23 2 12b bπ πsdot =

周邊ds ˆ ( )d dzρ ρ ϕ= rArr ˆ ( ) z ( ) zA ds A d d A d dρρ ρ ϕ ρ ϕsdot = sdot =int int int周 周 周

2 3

0 3( ) z ( ) z=a 12aA d d d d d dz a

πρ ρ ϕ ρ ϕ ϕ π

ρ minus= = =int int int int周 周

加起來 S

A dssdotint ＝12 24 12 ( 2 )a b a bπ π π+ = +

ex40 一點電荷 q 置於原點計算在一個以原點為圓心 0r 為半徑的球

面上的電通量

解 2 20 0

ˆ ˆ4 4S S

qr q dsE ds rdsr rπε πε

sdot = sdot =int int int

=0 0 0

44 4S

q q qd ππε πε ε

sdot Ω = sdot =int

上式中 dΩ 2dsr

= 是 ds 所張開的「立體角」(solid angle)

4-42

div A and Flux 通量與散度的幾何物理意義

我們運用過nabla的符號來表示過散度 divF F= nablasdot yx zFF Fx y z

partpart part= + +part part part

但是也看到「散度」定義為

0( )

1( ) limSV

about x y z

divF x y z F da divergence of FVΔ rarr

equiv sdot =Δ int (4-77)

其中 VΔ 為 S 面所包含的體積即散

度為通量(體)密度的 0 體積極限

（4-77）的定義與 Fnablasdot 好像差的很

多她們是說同一回事嗎以下證明

這兩種「散度」的定義是等價的如

左圖考慮一個以點 ( ) x y z 為中心

的 立 方 體 其 相 鄰 三 邊 長 為

x y zΔ Δ Δ 體積 V x y zΔ = Δ Δ Δ 現在計算 F 在立方體的一組平行於 y-z平面的表面 S1 與 S2 的通量

( )1 1

ˆ ˆ xS S

F nds F xds F x y z dsrArr sdot = sdot =intint intint intint 2xxF x y z y zΔ⎛ ⎞asymp + Δ Δ⎜ ⎟

⎝ ⎠

其中 2xx y zΔ⎛ ⎞+⎜ ⎟

⎝ ⎠為 S1 面中心的座標而

2xx y zΔ⎛ ⎞minus⎜ ⎟

⎝ ⎠為 S2 面的中心

( ) ( )2 2 2

ˆ ˆ 2x x

S S S

xF nda F x ds F x y z ds F x y z y zΔ⎛ ⎞rArr sdot = sdot minus = minus asymp minus minus Δ Δ⎜ ⎟⎝ ⎠intint intint intint

上式中的負號來自 S2 面的方向是 xminus 所以合併兩個面積分

1 2

ˆ 2 2x x

S S

x xF nds F x y z F x y z y z+

Δ Δ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞rArr sdot asymp + minus minus Δ Δ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦intint

2 2x xx xF x y z F x y z

x y zx

Δ Δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠= Δ Δ Δ

Δ

2 2

x xx xF x y z F x y z

Vx

Δ Δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠= Δ

Δ

1 2

1 2 2ˆ

x x

S S

x xF x y z F x y zF nds

V x+

Δ Δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠rArr sdot asymp

Δ Δintint

4-43

當取體積向(xyz)點收縮至 0 時即 0 x 0as VΔ rarr Δ rarr 上式的近似

「asymp」就成了「＝」

1 20

1 ˆlimV

S S

F ndsVΔ rarr

+

sdotΔ intint

( )0

2 2limx x

x

x

x xF x y z F x y z F x y zx xΔ rarr

Δ Δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟ part⎝ ⎠ ⎝ ⎠= =Δ part

Similarly F 在立方體的一組平行於 x-z 平面的表面 S3 與 S4 的通量

3 3 3

ˆ ˆ yS S S

F nds F yds F dsrArr sdot = sdot =intint intint intint

2

2

y

y

yF x y zyF x y z x z x y z

y

Δ⎛ ⎞+⎜ ⎟Δ⎛ ⎞ ⎝ ⎠asymp + Δ Δ = Δ Δ Δ⎜ ⎟ Δ⎝ ⎠

( )4 4 4

2ˆ ˆ

y

yS S S

yF x y zF nds F y da F ds x y z

y

Δ⎛ ⎞minus⎜ ⎟⎝ ⎠rArr sdot = sdot minus = minus asymp Δ Δ Δ

Δintint intint intint

合併 S3 與 S4 兩個面積分並取體積向(xyz)點收縮至 0 時即當

0 y 0VΔ rarr Δ rarr 上式的近似asymp就成了＝

3 4

2 2ˆ

x x

S S

y yF x y z F x y zF nds V

y+

Δ Δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠rArr sdot cong Δ

Δintint

3 40 0

1 2 2ˆlim lim

x xy

V yS S

x yF x y z F x y z FF nds

V y yΔ rarr Δ rarr+

Δ Δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟ part⎝ ⎠ ⎝ ⎠rArr sdot = =Δ Δ partintint

與上面相同的作法計算 F 在立方體的一組平行於 x-y 平面的表面 S5

與 S6 的通量我們也會得到對應的結果

5 6

2 2ˆ

z x

S S

z zF x y z F x y zF nds V

z+

Δ Δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠rArr sdot cong Δ

Δintint

5 60 0

1 2 2ˆlim lim

z xz

V zS S

z zF x y z F x y zFF nds

V z zΔ rarr Δ rarr+

Δ Δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟ part⎝ ⎠ ⎝ ⎠rArr sdot = =Δ Δ partintint

所以合併立方體的 6 個面積分

4-44

1 2 3 4 5 6

ˆ ˆ ˆ ˆS S S S S S S

F nds F nds F nds F nds+ + +

rArr sdot = sdot + sdot + sdotint intint intint intint

0

1 ˆlim yx zV

FF FF nds div F FV x y zΔ rarr

partpart partrArr sdot = + + = = nablasdot

Δ part part partint (4-78)

在此我們得證這兩種「散度」的定義是等價的只是（4-77）的定義

充分的表現出「散度」的幾何物理意義他從通量著手由於場線

出自於 source（ex電場源自於點電荷）所以在點(xyz)必須有向量場

F 的 source 存在才能使得當面積縮到 0 時仍具有非 0 的通量所以「散

度」表現向量場 F 的 source 在這個定義之下是很清楚的當然在計算

「散度」時我們不必那麼麻煩用 divF F= nablasdot 就好了

Ex41 計算 2ˆ ˆ ˆF xx yxy zyz= + + 的散度

解 2 yx zFF Fx x yx y z

partpart part= = =

part part part F 2x x y 3x ydivrArr = + + = +

recall 在靜電學0

yx zEE EEx y z

ρε

partpart partnablasdot = = + +

part part part

散度定理 Divergence Theorem

若任意封閉面（又稱為「高斯面」）S 所包圍的

體積為 V 則

S VA ds Adτsdot = nablasdotint int （4-79）

pf 我們先將體積分割成 N 個小盒子考慮相鄰的兩個小盒子 1 2

兩小盒子的共用面面積 S0當 S0 是為 1 號盒子的一部份時其方向為

1n 但若當為 2 號盒子的表面時其方向為 12 ˆˆ nn minus= 如此在 S0 分別做

4-45

1 2 盒子的面積分後

0 0

0 0 0 0

1 2

1 2 1 1ˆ ˆ ˆ ˆ 0

S S

S S S S

A ds A ds

F n ds F n ds F n ds F n ds

sdot + sdot

= sdot + sdot = sdot minus sdot =

intint intintintint intint intint intint

所以若求場 A 在 1 2 盒子的總通量時交界面是沒有貢獻的總通量

就只有「外面積」才有貢獻如此我們計算 N 個小盒子的總通量

時所有的內部共用面都得 0只剩下「外表面」的貢獻了當 infinrarrN

時所有小盒子的「總外表面」就與 S 面重合了所以所有小盒子通量

的總和就等於 S 面的通量

1lim

i

N

S SN iA ds A ds

rarrinfin=

rArr sdot = sdotsumint int

現在我們做 N 個小盒子的總通量

1 1

1i i

N N

iS Si i i

A ds A ds VV= =

⎛ ⎞sdot = sdot Δ⎜ ⎟Δ⎝ ⎠

sum sumint int

當 0iN Vrarrinfin rArr Δ rarr 並用 dv 表示體積元素

( ) ( )1 1

1

1lim lim lim

lim

i ii

N N

iS SN N V oi i i

N

i VN i

A ds A ds VV

A V A dv

rarrinfin rarrinfin Δ rarr= =

rarrinfin=

⎛ ⎞sdot = sdot Δ⎜ ⎟Δ⎝ ⎠

= nablasdot Δ = nablasdot

sum sumint int

sum int

( )S V

A da A dvrArr sdot = nablasdotint int QED

所以得證散度定理上式中我們用了散度的（4-77）式定義要分辨

清楚 Anablasdot 是向量場 A 在空間中「某一點」的性質（ 0VΔ rarr ）而「散

度定理」說的是一個「有限體積」的性質

ex42 給定 ( ) ˆ ˆ ˆ A x y z xx yy zz r= + + = 計算在

半徑 R＝1 的球的上半球加底面的通量

4-46

解 ( )ˆˆS

A da A rda A k darArr sdot = sdot + sdot minusint int int上半球面 底面

( )

2

ˆ ˆ

0 2 1 2

A rda A z dxdy

r rds zdxdy rds ds π π

= sdot + sdot minus

= sdot minus = minus = = sdot =

int int

int int int int上半球面 底面

上半球面 底面 上半球面

底面的通量＝0 是因為 A 的 z 分量 Az=z 在底面的值為 0

也可以用散度定理更快的得出結果

∵ 3A rnablasdot = nablasdot =

31 43 3 1 22 3V V

Ad d πτ τ πnablasdot = = sdot sdot sdot =int int

ex43高斯定律的微分形式積 由 Gaussrsquo law 的積分形式用散度定理得出其

( )0 0

1 inS V

qE ds x y z dvρε ε

sdot = =int int

0S V VE ds Edv dvρ

εrArr sdot = nablasdot =int int int

上式最後的等式對「任意形狀」V 都成立所以兩者的被積函數相等

對於空間每一點 0

E ρε

nablasdot = （4-80）

ex44 Use 第一象限的單位力方體 check the divergence theorem using the function 2 2ˆ ˆ ˆ(2 ) 2A y x xy z y yzz= + + +

解2

2( ) (2 )(2 ) 2( )y yzA xy z x yx y z

part part partnablasdot = + + + = +

part part part

and 1 1 1 1 1 1

0 0 0 0 0 02 ( ) 2 ( )

VAdv x y dxdydz dz dy x y dxnablasdot = + = +int int int int int int int

1 1

0 0

1 12 ( ) 2 12 2

dz y dy= + = sdot =int int

面積分 1 1 2

0 0

1ˆ3

A ds A xdydz dz y dysdot = sdot = =intint intint int int前 前

4-47

1 1 2

0 0

1ˆ( )3

A ds A x dydz dz y dy minussdot = sdot minus = minus =intint intint int int

後 後

1 1 2

0 0ˆ (2 )A ds A ydxdz dz xy z dxsdot = sdot = +intint intint int int

右 右

1 1 1 12 2

0 0 0

4(2 ) (1 )3

ydz x z dx dz z

=

= + = + =int int int∵

1 1 2

0 0

0 1 1 12 2

0 0 0

ˆ( ) (2 )

1(1 )3

y

A ds A y dxdz dz xy z dx

dz z dx dz z=

sdot = sdot minus = minus +

minus= minus = + =

intint intint int int

int int int∵

左 左

11 1 1 1

0 0 0 0ˆ 2 2 1

zA ds A zdxdy dx yzdy dx ydy

=sdot = sdot = = =intint intint int int int int

∵

上 上

01 1

0 0ˆ 2 0

zA ds A zdxdy dx yzdy

=sdot = sdot minus = minus =intint intint int int

∵

下 下

前後右左上下六個面積分合併＝1＝V

Advnablasdotint QED

ex45 Continuity Equation 連續方程式

考慮某些「東西」的流動（物質電荷hellip）在時刻 t 時在點(xyz)

的 密 度 為 ( ) x y z tρ ρ= 並 具 有 速 度

( ) v v x y z t= 在時刻 t 時在體積 V 內的總量為

( ) x y z t dρ τintintint

這樣體積 V 內東東的時變率為

( ) ( ) d x y z t d x y z t ddt t

ρρ τ τpart=

partintintint intintint

注意體積分後的時間全微分移入積分內要改為偏微分這個東東

在表面的「流率 flow rate」可表為

ˆS

R v ndsρ= sdotintint

若體積內的物料無法自生自滅那麼體積內物料的變化必經由表面的

流出流入所造成

d v ndstρ τ ρpart

rArr = minus sdotpartintintint intint

由散度定理

4-48

( )ˆS

v nds v d dtρρ ρ τ τpart

sdot = nablasdot = minuspartintint intintint intintint

( )v Jtρ ρpart

rArr = minusnablasdot equiv minusnablasdotpart

0Jtρpart

rArr +nablasdot =part

（4-81）

(4-81) 即 continuity equation其中 J vρ= 為「物流密度」ex如果 ρ

是電荷密度 J 就是電流密度（4-81）是物質守恆的結果只對體

積內無 source（生成）or drain（消滅）的東東成立

ex46 Given a vector field ˆ ˆx yA ye xe= minus + (a) Find

Anablasdot (b)如圖一個金字塔狀的 5 面體高 2 底邊長

1計算 A在整個金字塔表面（封閉面）的總通量

解(a) Anablasdot = ( ) ( ) 0y xx ypart part

minus + =part part

(b) 金 字 塔 的 表 面 面 積 元 素 ds 不 好 寫 所 以 用 散 度 定 理

( )S V

A da A dvrArr sdot = nablasdotint int ＝0 Anablasdot 表示 A沒有 source 所以對封閉面而

言有多少場線進入就有多少出去所以總通量＝0

習題 7 With position vector r for an arbitrary volume V that is

bounded by surface S show that 13 S

r ds Vsdot =int

習題 8 已知一靜電場為 ˆ ˆ ˆ( )E xyz yxz zxyλ= + + 運用 Gaussrsquo law

試求包含在半球 2 2 2 2 0x y z R z+ + = ge 裡的總電荷 Ans 0

習題 9 (a) given ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( 2 )F r xf x yf y zf z= + + minus show that divF is

zero at point (c c -c2) (b) given ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( )G r xf x z yg x z zh x y= + +

show that ( ) 0G rnablasdot =

4-49

習題 10 Find the normal vector n for the surfaces (a) z = 2-x-y ans

ˆ ˆ ˆ( ) 3x y z+ + (b) z = (1-x2)12 ans ˆ ˆxx zz+ (c) z = x2+y2

ans ˆ ˆ ˆ( 2 2 ) 1 4xx yy z zminus minus + +

習題 11 Show that the unit vector normal to the plane ax+by+cz =d is

given by 2 2 2ˆ ˆ ˆ( ) ax by cz a b cplusmn + + + +

圓柱座標與球座標的nabla (del)

考慮一純量場在直角座標為 ( ) u x y z 在圓柱座標表為 ( ) u zρ φ

再考慮因位移 r r drrarr + 所造成 u ( )zρ φ 的變化

( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆz

z

u u udu d d dz u dr u d d zdzz

u u z u d d zdz

u d u d u dzρ ϕ

ρ ϕ

ρ ϕ ρ ρ ϕρ ϕρ ϕ

ρ ϕ ρ ρ ϕρ ϕ

ρ ρ ϕ

part part part= + + = nabla sdot = nabla sdot + +part part part

⎡ ⎤= nabla + nabla + nabla sdot + +⎣ ⎦= nabla + nabla + nabla

( ) ( ) ( )1

1ˆ ˆ ˆu

z

u u uu u uz

u u uzz

ρ ϕρ ρ ϕ

ρ ϕρ ρ ϕ

part part partrArr nabla = nabla = nabla =

part part partpart part part

rArrnabla = + +part part part

1ˆ ˆ ˆ zz

ρ ϕρ ρ ϕpart part part

nabla = + +part part part

（4-82）

注意nabla的ϕ -分量( 1ρ ϕ

partpart

)不是像直角座標裡單純的ϕpartpart

所以不要笨笨

的就把直角座標的形式硬套上去用我們也可以從「因次分析」來

看nabla因為是對空間的微分所以每一項的因次必須是「長度分之一」

運算 andzρ

part partpart part

都是「長度分之一」而「單純的ϕpartpart

」是沒有單位的

所以要1ρ ϕ

partpart

才 OK

由於圓柱座標裡的單位向量除了 z 之外 ˆ( )ρ ϕ 與 ˆ( )ϕ ϕ 都不是常

4-50

數所以在微分時不可以與微分運算交換而要考慮微分的作用所

以在「圓柱座標」寫「散度」 ( ) F zρ ϕnablasdot 也和直角座標不一樣

( )1ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ zF z F F zFz ρ ϕρ ϕ ρ ϕ

ρ ρ ϕpart part part⎛ ⎞

nabla sdot = + + sdot + +⎜ ⎟part part part⎝ ⎠

( ) ( )1ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆz zF F zF F F zFρ ϕ ρ ϕρ ρ ϕ ϕ ρ ϕρ ρ ϕpart part

= sdot + + + sdot + +part part

( )ˆ ˆˆ ˆ zz F F zFz ρ ϕρ ϕpart

+ sdot + +part

因為 ( ) ( )ˆ ˆ ˆ ˆ ρ ρ ϕ ϕ ϕ ϕ= = 所以做 andzρ

part partpart part

時 ˆ ˆ ρ ϕ 可視為常數

ˆ ˆ1ˆ ˆ ˆ zF F F FF F Fz

ρ ρ ϕρ φ

ρ ϕϕ ρ ϕρ ρ ϕ ϕ ϕ ϕ

part part part⎡ ⎤part part partrArrnablasdot = + sdot + + + +⎢ ⎥part part part part part part⎣ ⎦

還記得 ˆ ˆ ˆ ˆd d d dρ ϕ ϕ ϕ ρ ϕ= = minus 所以 ˆ ˆρ ϕϕpart

=part

ˆ ˆϕ ρϕpart

= minuspart

rArr

( )1 1 1z zF F F FF FF Fz z

ρ ρ ϕ ϕρρ

ρ ρ ρ ϕ ρ ρ ρ ϕpart part part part

nablasdot = + + + = + +part part part part part part

（4-83）

在球座標寫nabla也會遇到相似的問題其根源就是球座標 ( )r θ ϕ 裡

的 θ ϕ 的因次並非長度而三個單位向量 ˆ ˆˆ r θ ϕ（表為 ie ）都是( θ ϕ )

的函數以致

( )ˆ ˆ( ) ( )i ie f e fθ ϕ θ ϕθ θpart part

nepart part

且 ( )ˆ ˆ( ) ( )i ie f e fθ ϕ θ ϕϕ ϕpart part

nepart part

所以nabla也不似在直角座標那麼簡單我們不在這裡推導而是給出一

個歸納的統一的三個座標的結果還記得對每一個座標 iu i = 123

座標的變化 idu 與造成的長度變化 id

i i id h du= 123i = (4-84)

其中 ih 為對應的度量係數(metric coefficient)

4-51

1 2 3

1 1 2 2 3 3

1 1 1ˆ ˆ ˆu u ue e eh u h u h u

part part partnabla equiv + +

part part part （4-85A）

座標 1 2 3 u u u

度量係數

1 2 3 h h h

nabla grad del

直角 x y z

1 1 1 nabla ˆ ˆ ˆx y z

x y zpart part part

equiv + +part part part

圓柱

zρ ϕ

1 1ρ

1ˆ ˆ ˆ z

zρ ϕ

ρ ρ ϕpart part part

nabla equiv + +part part part

球

r θ ϕ

1 sinr r θ

1 1ˆ ˆˆ

sinr

r r rθ ϕ

θ θ ϕpart part part

nabla = + +part part part

（4-85B）

梯度gradient Vnabla grad(V) 散度divergence Anablasdot div( )A

直

角 nablaV ˆ ˆ ˆV V Vx y z

x y zpart part part

= + +part part part

yx zAA AAx y z

partpart partnablasdot = + +

part part part

圓

柱

1ˆ ˆ ˆ V V VV zz

ρ ϕρ ρ ϕpart part part

nabla = + +part part part

( )1 1

1

z

z

A AA Az

A A A Fz

ϕρ

ρ ρ ϕ

ρρ ρ ρ ϕ

ρ ρ ρ ϕ

partpart partnabla sdot = + +

part part partpart part part

= + + +part part part

球

1 1ˆ ˆˆ sin

V V VV rr r r

θ ϕθ θ ϕ

part part partnabla = + +

part part part

22

1 ( )rA r Ar r

partnabla sdot =

part

1 (sin )sin

Ar θθ

θ θpart

+ sdotpart

1sin

Ar

ϕ

θ ϕpart

+part

(4-86)

Ex47 Using spherical coordinate show that 1| |r r

nablaminus

= 2

ˆ| |

r rer r

minusminusminus

where

nabla是作用在 r 而 ˆr re minus 是向量 r rminus 方向的單位向量 解let r lies in z-axis so that the angle between r and r is just θ

4-52

rArr ( ) 122 21 1 2 cos | | ( ) ( )

r rr rr r r r r r

θminus

= = minus +minus minus sdot minus

( ) ( )12 122 2 2 21 1ˆˆ 2 cos 2 cos | |

r r rr r r rr rr r r r

θ θ θθ

minus minuspart partnabla = minus + + minus +

minus part part

( ) 322 21ˆ 2 cos (2 2 cos )2

r r rr r r rθ θminusminus

= minus + minus

( ) 322 21ˆ 2 cos (2 sin )2

r rr r rrθ θ θminusminus

+ minus +

3 3 3 3

ˆˆ ˆ( cos ) sin ( cos sin )ˆˆ| | | | | | | |r r r rr r rrr r r r r r r r

θ θ θ θ θθminus minus minus minus minus= + = +

minus minus minus minus

3 3 3ˆ ( )

| | | | | |r r z r r r rr r r r r rminus + minus + minus minus

= = =minus minus minus

＝ 2

ˆ| |

r rer r

minusminusminus

QED

證明最後我們用到 ˆˆˆ cos sinz r θ θ θ= minus 而 ˆ r r z= 因為我們選了 r 是

躺在 z-軸 Ex48 For arbitrary scalar field ( )f r and vector field ( )A r 證明恆等式

( )fA f A f Anablasdot = nabla sdot + nablasdot (4-87) 解 ˆ ˆ ˆx y zfA xfA yfA zfA= + +

( ) ( ) ( ) ( )x y zfA fA fA fAx y zpart part part

rArrnablasdot = + +part part part

yx zx x x

AAf f f AA f A f A fx x y y z z

partpartpart part part part= + + + + +part part part part part part

yx zx y z

AAf f f AA A A fx y z x y z

part⎛ ⎞partpart part part part= + + + + +⎜ ⎟part part part part part part⎝ ⎠

f A f A= nabla sdot + nablasdot QED 習題 12 一個位於原點的電偶極電偶極矩＝ ˆp pz= 已知其在遠處

的電位為 20

cos4p

rθ

πε試證該處的電場強度為 E = 3

0

ˆˆ( 2cos sin )4

p rr

θ θ θπε

+

(已知 E V= minusnabla )並請計算 Enablasdot ＝

習題 13 給定一向量場2

3cosˆD r

rϕ

= 現有兩個球心在原點的同心球

內球半徑 R＝1外球 R＝2(a)求面積分S

D dssdotint S 為同心球殼的表

面（有內外兩個面）(b)求體積分V

Ddvnablasdotint V 為兩同心球之間的

區域本題也是來 check 散度定理的Ans πminus

4-53

The Laplacian operator 2nabla equivnablasdotnabla

在直角座標可以用直接作用得到

2 2 2

22 2 2u u uu u

x y zpart part part

nabla equiv nablasdotnabla = + +part part part

(4-88)

圓柱座標

2 2

22 2 2

1 1( ) u u uu uz

ρρ ρ ρ ρ ϕ

part part part part⎛ ⎞nabla equiv nablasdot nabla = + +⎜ ⎟part part part part⎝ ⎠

(4-89)

球座標

2

2 22 2 2 2 2

1 1 1sinsin sin

u u uu rr r r r r

θθ θ θ θ ϕ

part part part part part⎛ ⎞ ⎛ ⎞nabla = + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟part part part part part⎝ ⎠ ⎝ ⎠ （4-90）

習題 14 verify (4-89) and (4-90)

習題 15 Given a dipole potential V= 20

cos4p

rθ

πε find 2Vminusnabla

sect 433 Line integral and curl A 線積分與與旋度的物理意義

線積分路徑積分

考慮一曲線 C 通過兩點 ( )i i i iP x y z 與

( )f f f fP x y z 現有一向量場 ( )A x y z 定義在

C 所在的空間若 sd 為 C 上位於(xyz)點的

「路徑元素」（ ˆd td= 方向沿該處切線）而

( )A x y z 為路徑元素d 處的場值則沿 C 經歷各點所做積分

cos cosf

CC C iA d Ad A dϕ ϕrarr rarrsdot = =int int int （4-91）

稱為向量場 ( )A x y z 沿路徑 C 自 pi 至 pf 的「線積分」「或「路徑積分」

積分裡 A 取值的點侷限在路徑 C 上面若為一個「封閉路徑」則對

C 的線積分也稱做「環路積分 closed contour integral」記做

C

A dsdotint （4-92）

4-54

物理量「做功」是最標準的線積分之一力 F 自 x = a 至 x = b「沿線」

x 軸做功

W＝ F dxsdotint ＝ ( )b

xaF x dxint （4-93）

質點在力場 )(rF 裡走一條曲線 C則力場做功

CW F d= sdotint （4-94）

還記得如果 ( )F r 是所謂「保守力」則上式只與始末點有關而與

路徑無關但如果 ( )F r 是所謂「非保守力」則做功與確實的路徑 C

有關

現考慮一質點在空間運動的位置 r 落在由曲線 C

描述的路徑則質點的位移元素與曲線 C 的路徑元

素相同 d dr= 若空間有向量場 A 分佈則 A 在 C 的

路徑積分以直角座標表示為

CA drarr rarrsdotint ＝

CA d rrarr rarrsdotint ＝ ( )x y zC

A dx A dy A dz+ +int （4-95）

上式中的 x y z 的積分限由 C 決定

Ex49 2 2 2ˆ ˆ ˆA xx yy zzrarr= + + 選定一路徑 C 為曲線

2y x= 由 (000)到 (2 20)的部分求C

A dsdotint

解 ˆ ˆd xdx ydy= +∵

CA dsdotint ＝ 2 2( )

Cx dx y dy+int ＝

2 22 2

0 0x dx y dy+int int

＝ )24(32

+

或由 2y x= rArr 2ydy dx= 2 12

y dy xdxrArr =

rArrC

A dsdotint ＝2 2

0

1( )2

x x dx+int ＝2 (4 2)3

+

4-55

ex50 ˆ ˆ( )f x y z xy yx= minus Do C

f dsdotint 其中的路徑 C 為一逆時針三角

形如圖 解∵路徑全部在 x-y 平面 ˆ ˆ ˆd td xdx ydy= = +

rArrC

f dsdotint ＝ x yC

f dx f dy+int ＝C

ydx xdyminusint

由於在 C1 上 y = 0 及 dy = 0 所以 01

=intC 又由於在

C3 上 x = 0 及 dx =0所以 03

=intC 所以只剩下 C2 可

能有貢獻由 2C 的方程式x + y =1rArr ⎩⎨⎧

minus=minus=

xyyx

11

rArr2Cydx xdyminusint ＝

0 1

1 0(1 ) (1 )x dx y dyminus minus minusint int ＝

0 12 2

1 0

( ) ( )2 2x yx yminus minus minus ＝-1

Cf dsdotint ＝-1

ex51 ( )f x y zrarr

= 2ˆ ˆxx yxyminus 如右圖doC

f dsdotint 其

中路徑 C 為第一象限的逆時針 14 圓弧

解∵ 全部在 x-y 平面 ˆ ˆd xdx ydy= +

Cf dsdotint ＝ 2

Cx dx xydyminusint

由於在 C 上 cosx R ϕ= rArr sindx R dϕ ϕ= minus

siny R ϕ= rArr cosdy R dϕ ϕ=

rArr 2

Cx dx xydyminusint ＝

2 2 2 2

0cos ( sin ) sin cos cosR R d R R d

πϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕminus minus sdotint

23 2

02 cos sinR d

πϕ ϕ ϕ= minus int ＝

323Rminus

又路徑為圓周一部份所以適合用極座標表示

ˆd Rdϕ ϕ= 又由左圖將 ˆ ˆx y 拆解（投影）到 ˆˆr ϕ

ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆcos sin sin cosx r y rϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ= minus = +

4-56

( )2ˆ ˆ ˆˆ ˆ( cos sin ) ( sin cos )C C

f d r x r xy Rdϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕsdot = minus minus + sdotint int 2

2 2 2

0

sin (cos )

sin ( cos ) (cos ) cos sin

Cx Rd xyRd

R Rd R Rdπ

ϕ ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ

= minus minus

= minus minus

intint

23 2

02 cos sinR d

πϕ ϕ ϕ= minus int ＝

323Rminus

這也驗證了散度定理

Path Independence 路徑獨立性

Ex52 證明庫倫力為「保守力」考慮

電荷 q0 位於原點及電荷 q 位於

( )r x y zrarr= q 受力 F

rarr＝ 0

20

14

qq urπε

and

求庫侖力作功因為球形對稱所以

用球座標由 ˆ ˆ ru rr

= = rArr Frarr

= 03

04qq r

rπε

庫侖力由 P1 至 P2 做功為 2

1

P

CPF drarrsdotint ＝

2

1

02

0

ˆ ˆ ˆˆ sin4

P

PC

qq r rdr rd r dr

θ θ ϕ θ ϕπε

⎡ ⎤sdot + +⎣ ⎦int ＝2

1

02

04P

P

qq drrπεint

＝20

2104

r

r

qq drrπε int ＝ 0

0 1 2

1 1( )4qq

r rπεminus for all C

所以庫侖力兩點間做功與路徑無關rArr保守力

對於「保守力 conservative force」 cF 自 p1 經

由兩條不同的路徑 C1 與 C2 到達 p2

1 ccF drarrsdotint ＝

2 ccF drarrsdotint ＝-

2 ccF drarr

minussdotint

rArr1 2c cc cF d F drarr rarr

minussdot + sdotint int = cF d

rarrsdotint ＝0 (4-96）

對於任何「封閉路徑」保守力做功為 0反之若

對任一封閉路徑 0F drarrsdot neint 則兩點之間的做功與路徑有關

rarr

F 為「非

保守力」

4-57

旋度 curl Anablatimes 的幾何物理意義

我們在（4-70）式已經看過旋度的計算方式但旋度另有其意義的

ex53 給定向量場2 2

0ˆ yv yv e λrarr

minus= 左圖為場的分佈

2 20

ˆ ˆ ˆ

0 0x y z

y

x y zcurl v

v e λ

rarr

minus

= part part part ＝ ˆ ˆ ˆ0 0 0 0x y zsdot minus sdot + sdot =

我們用了簡寫 x yx ypart part

part equiv part equivpart part

可以看出這個場裡沒有「漩渦」

但是有無「漩渦」有時也不是那麼明顯可以看出的請見下一個例子

Ex54 給定向量場2 2

0ˆ xv yv e λrarr

minus= 計算其旋度 vnablatimes

解向量場 vrarr

畫在右邊你看得出有無漩渦

先計算旋度

2 20

ˆ ˆ ˆ

0 0x y z

x

x y zcurl v

v e λ

rarr

minus

= part part part2 2

2 2

0

0

ˆ

ˆ 2 0 0

x

x

z v ex

z v xe for x

λ

λ

minus

minus

part=

part

= minus ne ne

vrarr

的旋度在大部分的地方不為 0 且隨位置而不同但是你看得出這個

向量場裡有「漩渦」其實要檢驗一個向量場裡有無「漩渦」有一

個很物理的方法就是放一個小「螺旋槳」（左圖）

在場內將軸朝各個方向測試一

下如果有「漩渦」的話這個

小「螺旋槳」就會轉動右圖就是將「螺旋槳」的

軸平行於 z 軸且放在 x gt 0 的地方就可以看出左

邊的 v 場比右邊的強造成螺旋槳順時針轉動rArrcurlv zminus for x gt 0

但如果放在 x = 0 的地方就會看到左右兩端的 v 場強度相同而且

4-58

curlv = 0 「螺旋槳」放在 x lt 0 的地方就可以看出右邊的v 場比左

邊的強造成螺旋槳逆時針轉動這完全符合 curl v k+ 的結果

環路積分與旋度 curl 的物理意義

如同「散度」一樣「旋度」除了 Ftimesnabla 之外

還有一個物理意義更清楚的定義這個定義由

「線積分」說明如圖考慮做「逆時針」長方形

路徑 C1 的一個「環路積分」C1 面平行於 x-y 平

面由 z-軸看下去環路 C1 可以分為可以分為

下 CB上 CT右 CR左 CL 4 部分

CA drarrsdotint ＝

B T L RC C C CA d A d A d A drarr rarr rarr rarrsdot + sdot + sdot + sdotint int int int

分別計算由於 CB 的中點座標為 ( )2yx y zΔ

minus

ˆB BC C

A d A xdxrarr rarrsdot = sdot =int int

BxC

A dxint ( )2xyA x y z xΔ

asymp minus Δ

similarly 由於 CT 的中點座標為 ( )2yx y zΔ

+

ˆ( )T TC C

A d A xdxrarr rarrsdot = sdot minus =int int

TxC

A dxminusint ( )2xyA x y z xΔ

asymp minus + Δ

合併 CB 與 CT

B TC CA drarr

+sdot =int

( ) ( )2 2x xy yA x y z A x y z

x yy

Δ Δ⎡ ⎤minus + minus minus⎢ ⎥⎣ ⎦ Δ ΔΔ

（4-97）

由 C1 所圍的面積 S x yΔ = Δ Δ

1B TC C

A dS

rarr

+sdot =

Δ int( ) ( )

2 2x xy yA x y z A x y z

y

Δ Δ⎡ ⎤minus + minus minus⎢ ⎥⎣ ⎦Δ

（4-98）

所以當取極限 C1 收縮到中心(xyz)時 SΔ 收縮到 0ie

4-59

0limsΔ rarr

1B TC C

A dS

rarr

+sdot =

Δ int xAy

partminuspart

（4-99）

Similarly with CR 的 ˆd ydy= CL 的 ˆd ydy= minus 可得

1L RC C

A dS

rarr

+sdot =

Δ int x

zyxxFzyxxF yy

Δ

Δminusminus

Δ+ )

2()

2(

（4-100）

同樣的當取極限 C1 收縮到中心(xyz)時 SΔ 收縮到 0

0

limsΔ rarr

1L RC C

A dS

rarr

+sdot =

Δ int yAx

partpart

（4-101）

最後合併 CBCTCRCL 為 C1

10

1limCs

A ds

rarr

Δ rarrsdot =

Δ int y xA Ax y

part partminus

part partˆ ( ) ( )zz A A= sdot nablatimes = nablatimes （4-102）

注意 C1 的方向就是在 z 上式的重要

意義是當向量場 A 在一個以點(xyz)為

中心「方向為 z 」的面積元素的「邊界」

所做的環路積分得到的就是 A 在(xyz)

處旋度的 z-分量明顯的只有當 A 在

(xyz)附近有 x-y 平面上的「漩渦」那麼 C1 的環路積分才不會為 0

Similarly 取一個逆時針繞著(xyz)的平行於 x-z 平面的長方形環路 C2

（左圖）做環路積分再取極限將 C2 收縮到(xyz)就會得到

20

1limCs

A ds

rarr

Δ rarrsdot =

Δ int x zA Az x

part partminus

part partˆ ( ) ( )yy A A= sdot nablatimes = nablatimes （4-103）

注意到 C2 所包圍的面積方向就在 y到

現在我們應該已經很有經驗了若取一

個逆時針繞著(xyz)的平行於 y-z 平面

的長方形環路 C3（左圖）做環路積分

再取極限將 C3 收縮到(xyz)就會得到

4-60

30

1limCs

A ds

rarr

Δ rarrsdot =

Δ int yz AAy z

partpartminus

part partˆ ( ) ( )xx A A= sdot nablatimes = nablatimes （4-104）

能把（4-103）與（4-104）變出來的同學我們有優待綜合以上

我們可以得到一個結論若取一個以點(xyz)為中心的任意環路 Cn（其

所包圍的面積方向在 n ）則

n curl Aand rarrsdot ＝

0

1lims

Cn

A ds

rarr

Δ rarrsdot

Δ int （4-105）

明顯的當 n ＝ x 或 y 或 z 時我們可以重複（4-102）到（4-104）的

結果（4-70）式的行列式所定義的旋度在此看見其幾何物理意義

至此「旋度」的「漩渦」形象應該已經很清楚了只有在(xyz)點附

近的小圈圈上有「漩渦」 A 在小圈圈做的環路積分才會有值這個

值就是向量場 A 的「旋度」在小圈圈面積方向的分量

Stokersquos 定理

考慮一個開放面 S被其「有方向的」邊界 C 圈住(bounded by)則

( )S

A dsrarr rarrnablatimes sdotint ＝

C

A drarrsdotint （4-106）

pf 先將 S 面分割為 N 個多邊形這會使得邊界變成一個「折線」形

成的環路 P環路 P 會隨著分割的多邊形個數的增多而越加近似於原

「光滑的」邊界 C現考慮相鄰的

兩個多邊形的線積分由於共用邊

的方向是相反的所以相鄰兩個多

邊形線積分的和只剩「外邊界」（見左圖）所以當把所有的多邊形的

4-61

線積分加起來時由於只有邊界 P 不是多邊形的共用邊所以

1k

N

k C

A drarr

=

sdotsum int ＝P

A drarrsdotint rArr

P

A drarrsdotint ＝

1

1

k

N

kk k C

A d l ss

rarr rarr

=

⎡ ⎤sdot Δ⎢ ⎥

Δ⎢ ⎥⎣ ⎦sum int

其中 ksΔ 為第 k 個多邊形的面積取極限 0kN srarrinfinrArrΔ rarr P CrArr rarr

C

A drarrsdotint ＝

10

1limkk

N

kN k k Cs

A d ss

rarr

rarrinfin=Δ rarr

⎡ ⎤sdot Δ⎢ ⎥

Δ⎢ ⎥⎣ ⎦sum int 01

ˆlim ( )k

k kskn A s

infin

Δ rarr=

⎡ ⎤= sdot nablatimes Δ⎣ ⎦sum

01

ˆlim ( )k

k kskA n s

infin

Δ rarr=

= nablatimes sdot Δsum = ( )S

A dsrarr

nablatimes sdotint QED

ex55 由 Amperersquos law 的積分形式導出其微分形式

解Amperersquos law 的積分形式 C

B drarrsdotint ＝ I0μ (4-107)

由 Stokersquos 定理及電流密度 j 的定義上式等號兩端可寫為

rArr ( )S

B dsrarr rarrnablatimes sdotint ＝ 0 S

j dsμrarrsdotint

由於上面的等式對任意面 S（路徑 C）都成立所以被積函數相等

0B jμrarr rarr rarr

rArrnablatimes = (4-108) 此即 Amperersquos law 的微分形式

Ex56 Given a vector field ˆ ˆx yA ye xe= minus + (a) Find Anablatimes

解

ˆ ˆ ˆˆ ˆ(1 ( 1) 2

0x y z

x y zA z z

y xnablatimes = part part part = minus minus =

minus

(b)如圖一個金字塔狀的 5 面體高 2底邊長＝1計算 ( )S

A dsnablatimes sdotint

其中 S 為金字塔在 x-y 平面以上的部分方向如同

封閉的金字塔（運用 Stokersquos law）

解金字塔上表面的面積元素ds 不好寫由 Stokersquos

4-62

law ( )S

A dsrarr rarrnablatimes sdotint ＝

C

A drarrsdotint 其中封閉路徑 C 就是上表面的邊界而且

是逆時針（由 z 軸向下看）

C

A drarrsdotint ＝

1 1 0 0

0 0 1 1ˆ ˆ ˆ ˆA xdx A ydy A xdx A ydysdot + sdot + sdot + sdotint int int int

＝1 1 0 0

0 0 1 1x y x yA dx A dy A dx A dy+ + +int int int int 1 1 0 0

0 0 1 1( 0) ( 1) ( 1) ( 0)y dx x dy y dx x dy= minus = + = + minus = + =int int int int

0 1 1 0 2 ( ) 2S

A ds= + + + = rArr nablatimes sdot =int

旋度與 path independence

已知保守場 cF 對所有封閉路徑 C 0cC

F drarrsdot =int 由 Stokersquos 定理

0cC

F drarrsdot =int ＝ ( )cS

F dsrarr rarrnablatimes sdotint rArr 0cF

rarr rarrnablatimes =

這表示保守場＝無旋度反之無旋度的場任兩點間路徑積分與路

徑無關

Ex57 Given a field 2 2ˆ ˆ ˆ2A x xy yx zz= + minus (a) Find Anablatimes A 保守場

解2 2

ˆ ˆ ˆ

2x y z

x y zA

xy x znablatimes = part part part

minus

( ) ( ) ( )2 2 2 2ˆ ˆ ˆ( ) 2 ( ) 2 0y z z x x yx z x y xy z z x xy= part minus minuspart + part minuspart minus + part minuspart =

yes A =保守場

(b)如左圖由 A 到 B 做路徑積分A BC

A drarr

sdotint 路徑 C 為橢圓

22 1

16yx + = 在 x-軸以上的部分

解橢圓部分的路徑元素 d 有點麻煩但因為 A

為保守場所以 A 到 B 做路徑積分可以用 x = -1 到

1 的積分取代

4-63

01 1 1

1 1 1ˆ 2 0

yB

xAA d A xdx A dx xydx

=

minus minus minussdot = sdot = = =int int int int

∵

旋度在柱座標與球座標

前面討論過nabla在不同座標系的寫法旋度也有歸納出的一致寫法

座標 1 2 3 u u u

度量係數

1 2 3 h h h

nabla grad del

直角 x y z

1 1 1 nabla ˆ ˆ ˆx y z

x y zpart part part

equiv + +part part part

圓柱 zρ ϕ

1 1ρ

1ˆ ˆ ˆ zz

ρ ϕρ ρ ϕpart part part

nabla equiv + +part part part

球 r θ ϕ

1 sinr r θ

1 1ˆ ˆˆ sin

rr r r

θ ϕθ θ ϕ

part part partnabla = + +

part part part

所以柱座標與球座標的旋度分別表為

柱座標

ˆ ˆ ˆ1

z

z

Az

AA Aρ ϕ

ρ ρϕ

ρ ρ ϕρ

part part partnablatimes =

part part part （4-109）

球座標 2

ˆ ˆˆ sin1sin

sinr

r r r

Ar r

A rA r Aθ ϕ

θ θϕ

θ θ ϕθ

part part partnablatimes =

part part part （4-110）

ex58 (a) Given the vector function ˆA ϕ= sin (ϕ 2) find Anablatimes

解 2

ˆ ˆˆ sin1sin

0 sin( 2) 0

r r r

Ar r

r

θ θϕ

θ θ ϕϕ

part part partnablatimes =

part part part

4-64

21 ˆˆ cos sin sinsin 2 2 2

rr rr

ϕ ϕθϕθ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

ˆˆ cos sin2 sin 2 2

rr r

ϕ ϕ ϕθ

minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

(b)如左圖一個底面在 x-y 平面半徑＝1高＝2 之圓錐 求面積分

SA dsnablatimes sdotint 面積範圍 S 為圓錐在 x-y 平面以上

部分 方向為由圓錐內向外

解由 Stokersquos law ( )S

A dsrarr rarrnablatimes sdotint ＝

C

A drarrsdotint 其中路

徑 C 為 x-y 平面圓心在原點之單位圓 ˆ ˆd rd dϕ ϕ ϕ ϕ= =

2

0ˆ ˆsin sin

2 2C

d dπϕ ϕϕ ϕ ϕ ϕ⎛ ⎞ ⎛ ⎞sdot =⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠int int ( )0

2 sin u duπ

= int 0cos | 2u π= minus =

習題 16 磁場 B 因為不是保守場所以沒有對應的純量位而對應一

個向量位 A (vector potential)而 B A= nablatimes 一個磁鐵的磁偶極矩

ˆm mz= 被置於原點已知在遠處的 vector potential 03ˆ sin

4mAr

μϕ θπ

=

計算該處的磁場 B Ans 03

ˆˆ( 2cos sin )4

mB rr

μ θ θ θπ

= + 與電偶極遠處

的電場形式一致都是偶極(dipole) 選幾個點畫一畫該處的場向量

把磁力線描出來

附錄本章講義的內容有部分可以經由直接計算得出列在附錄做為

參考

用「圓柱座標」寫 Atimesnabla

Ararr rarrnablatimes ＝ ( )1ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ zz A A zA

z ρ φρ ϕ ρ ϕρ ρ ϕpart part part⎛ ⎞+ + times + +⎜ ⎟part part part⎝ ⎠

4-65

因為rdquo sdotrdquo與rdquotimes rdquo都是向量間的運算所以

＝ ( )ˆ ˆ ˆ ˆ zA A zAρ φρ ρ ϕρpart

times + +part

＋ ( )1ˆ ˆ ˆ ˆ zA A zAρ φϕ ρ ϕρ ϕ

parttimes + +

part

＋ ( )ˆ ˆˆ ˆ zz A A zAz ρ φρ ϕpart

times + +part

直接做上式微分可以得到

＝1ˆ z AA

zϕρ

ρ ϕpart⎛ ⎞part

minus⎜ ⎟part part⎝ ⎠＋ ˆ zA A

zρϕ

ρpart⎛ ⎞part

minus⎜ ⎟part part⎝ ⎠＋

1 1ˆ ( )A

z A ρϕρ

ρ ρ ρ ϕpart⎛ ⎞part

minus⎜ ⎟part part⎝ ⎠

上式可以用一個行列式來表示

rarrrarr

timesnabla A＝

ˆ ˆ ˆ1

z

z

zA A Aρ ϕ

ρ ρϕ

ρ ρ ϕρ

part part partpart part part

（A-1）

A and Anabla nablasdot nablatimes in 球座標 spherical coordinate

如上圖球座標 )( ϕθr 其中 )0[ infinisinr ]0[ πθ isin ]20[ πϕ isin 只有 r

是長度而 ϕθ 為角度是用來說明方向的三個座標的單位向量 ˆ ˆˆ r θ ϕ 具

有下列性質

4-66

1 如上圖 ˆ ˆˆ r θ ϕ 都不是常數而是（ ϕθ ）的函數

ˆ ˆ( )ˆ ˆ( )ˆ ˆ( )

r r θ ϕ

θ θ θ ϕϕ ϕ ϕ

⎧ =⎪

=⎨⎪ =⎩

)( ϕθr 與(xyz)之間的轉換如下

sin cossin sincos

x ry rz r

θ φθ φθ

=⎧⎪ =⎨⎪ =⎩

( )122 2 2

2 2

tan

tan

r x y z

x yz

yx

θ

φ

⎧ = + +⎪⎪ +⎪ =⎨⎪⎪ =⎪⎩

（A-2）

2 ˆ ˆˆ r θ ϕ 形成一「歸一正交集」ie

ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ 1r r θ θ ϕ ϕsdot = sdot = sdot = ˆ ˆr θ ϕperp perp

ˆ ˆr θ ϕtimes = ˆ ˆ rθ ϕtimes = ˆˆ rϕ θtimes = （A-3）

3可以很容易的由他們在 xyz 軸上的投影由直角

座標的 ˆ ˆ ˆ x y z 表出

ˆ ˆ ˆ ˆsin cos sin sin cos ( 4 )ˆ ˆ ˆ ˆcos cos cos sin sin ( 4 )ˆ ˆ ˆsin cos ( 4 )

r x y z A a

x y z A bx y A c

θ φ θ φ θ

θ θ φ θ φ θϕ φ φ

= + + minus⎧⎪

= + minus minus⎨⎪ = minus + minus⎩

4 ˆdr = 由於 ˆ ˆ( )r r θ φ= 所以由 ϕθ 的變動來看

4-67

ˆ ˆˆ| |ˆ ˆˆ| | sin sin

d r d d

d r d d

θ θθ θθ

φ θ φφ θ φφ

⎧ rArr =⎪⎨

rArr =⎪⎩rArr ˆ ˆˆ sindr d dθ θ φ θ φ= + （A-5）

rArrˆ ˆr θθpart

=part

ˆ ˆsinr θφφpart

=part

（A-6）

（A-6）的結果也可以直接由（A-4a）對 ϕθ 偏微得到

5 ˆdθ ＝ 由於 ˆ ˆ( )θ θ θ φ= 所以由 ϕθ 的變動來看

ˆ ˆ ˆ| | ( )ˆ ˆ ˆ| | cos cos

d d r d r

d d d

θ θ θ θ

φ θ θ φφ φ θ φ

⎧ rArr minus = minus⎪⎨

rArr =⎪⎩rArr ˆdθ ＝ ˆˆ cosrd dθ φ θ φminus + （A-7）

ˆrθ

θpart

rArr = minuspart

ˆ ˆcosθ φ θφpart

=part

（A-8）

請直接由（A-4b）對 ϕθ 偏微的結果 check（A-8）

6 ˆdφ ＝由於φ )(ϕ 躺在 x-y 平面上變動φ時的方向可能不是那麼

容易看出來所以做圖看一看

ie ˆ ˆˆ(sin ) (cos )d r d dφ θ φ θ θ φ= minus minus （A-9）

4-68

ˆ ˆˆsin cosrφ θ θ θφpart

= minus minuspart

7 所有的向量 ˆ ˆˆ rA rA A Aθ φθ φrarr= + +

8 位置向量 ˆr rrrarr=

可以由左圖 ˆ ˆˆ r θ ϕ 三個方向的「長度

變化」輕易的看出

9 位移元素

ˆ ˆˆ ˆ sindr rdr rd dθ θ ϕ θ φ= + + (A-10)

10 體積元素

sindv dr r d rdθ φ θ= sdot sdot

＝ 2 sinr dr d dθ θ φ (A-11)

11 面積元素 2 sinrds r d dθ θ φ= plusmn sinds r drdθ θ φ= plusmn ds rdrdφ θ= plusmn (A-12)

plusmn號表示面的垂直方向有兩個端看 ds 周邊的方向是如何定的

nabladel 考慮 ( )u u r θ φ=

rArru u udu dr d dr

θ φθ φ

part part part= + +part part part

u d rrarr rarr

equiv nabla sdot

urarr

= nabla sdot ˆ ˆˆ( sin )rdr rd dθ θ φ θ φ+ +

rArr1 1ˆ ˆˆ

sinu u uu rr r r

θ ϕθ θ φ

rarr part part partnabla = + +

part part part

1 1ˆ ˆˆsin

rr r r

θ ϕθ θ φ

rarr part part partnabla equiv + +

part part part （A-13）

4-69

直接用（A-13）與 ˆ ˆˆ rA rA A Aθ φθ ϕrarr= + + 逐項內積加上（A-678）

rArr ϕθ

θθθ

ϕθ part

part+

partpart

+partpart

=sdotnablararrrarr A

rA

rAr

rrA r sin

1)(sinsin1)(1 2

2 （A-14）

（A-13）與 ϕθ ϕθ AAArA r

andandandrarr

++= 逐項外積整理之後

ϕθ θϕθ

ϕθθ

θArrAA

r

rrr

rA

r sin

sin

sin1

2 partpart

partpart

partpart

=timesnabla

andandand

rarrrarr

（A-15）

Laplacian uu nablasdotnabla=nabla2

2

2

2222

22

sin1)(sin

sin1)(1

ϕθθθ

θθ partpart

+partpart

partpart

+partpart

partpart

=nablau

ru

rrur

rru （A-16）

B推導「散度」在圓柱座標的寫法

讓我們先回顧一下在直角座標裡的「面積元素」可以由「位移元素」

得到

ˆˆ ˆ x y zdr idx jdy kdz da dydz dxdz dxdy= + + rArr =

比照辦理「圓柱座標」的位移元素

( )ˆˆ ˆ( )

( )z

da d dzdr d d zdz da d dz

da d d

ρ

φ

ρ φ

ρ ρ φ ρ φ ρ

ρ ρ φ

=⎧⎪= + + rArr =⎨⎪ =⎩

這個結論可以輕易的由面積元素在垂直於 zˆˆ ϕρ 三個方向的面積看

出如下圖考慮一個以 )( zϕρ 為中心的「圓柱體積元素」(cylindrical

cubiod)體積為 zdV ΔΔ=Δ ϕρρ 現計算在 ρ

方向的 12 兩個平行面(方向各為 ρplusmn )的通

量

4-70

zzF

dsFdsnFS S

ΔΔ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

+cong

=sdotintint intintϕρρϕρρρ

ρ

2

2

ˆ1 1

zzF

dsFdsnFS S

ΔΔ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

minus⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

minusminuscong

minus=sdotintint intintϕρρϕρρρ

ρ

2

2

ˆ2 2

intint+

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

minus⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

minusminus⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

+Δ

asympsdotΔ

rArr21

22

22

1ˆ1

SS

zFzFdsnFV

ϕρρρρϕρρρρρρ ρρ

( ) ( )

1 20

0

0

1 ˆlim

1lim 2 2 2 2

1 1lim 2 2

1

VS S

F ndsV

F z F z

F z F z

F

ρ ρρ

ρ ρρ

ρ

ρ ρ ρ ρρ ρ φ ρ ρ φρ ρ

ρ ρρ ρ φ ρ ρ φρ ρ

ρρ ρ

Δ rarr+

Δ rarr

Δ rarr

rArr sdotΔ

Δ Δ Δ Δ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + + minus minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥Δ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦Δ Δ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥Δ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

part ⎡ ⎤= ⎣ ⎦part

intint

娛樂一下用上述方式把圓柱的 Fsdotnabla 裡的z

FF z

partpart

+partϕρϕ1

變出來

球座標的nabla和 Fsdotnabla 也可以試試看

補充習題

H M Scheydiv grad curl and all that 4th edition

第二章習題 6 8 9 10 11 14 15 16 18 19 21 22 23 25 26 27

第三章習題 2 3 5 6 7 8 9 10 11 14 15 17 18 19 24

4-26

2( ) 4 3π πθ ϕ ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

時計算其速度用球座標與直角座標表出

解圓運動速度方向是沿切線所以球座標 ˆ ˆ( )v v v rϕ θ ϕ ϕ= =

z = 34πθ =

3 3 21cos cos 24

z zrπθ

rArr = = = =⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

所以該處的瞬時速率

2 2

2( ) 3 3 4 3

2 1 813 3sin tan 3 3 ( 3)4 3 22

v r v π πθ ϕ

π π

⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

⎡ ⎤ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = times minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

2 81 2ˆ3 3 4 3 2 4 3

v r π π π πθ ϕ ϕ⎛ ⎞ ⎛ ⎞rArr = = = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

在直角座標2 2 2ˆ ˆ ˆ sin cos

4 3 3 3x yπ π π πϕ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠3 1ˆ ˆ

2 2x y= minus minus

而且點23 3

4 3π π⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠

的直角座標為

2 1 3 3sin cos 3 3sin cos 3 34 3 2 22 2

x r π πθ ϕ minus minus⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

2 3 9sin sin 3 3sin sin 3 34 3 2 2 2 2

y r π πθ ϕ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = = =⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

z = 3

23 3 4 3

v π π⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

3 3 9 81 3 1ˆ ˆ 32 2 2 2 22 2

v x y⎛ ⎞ ⎛ ⎞

rArr = minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

以上兩個例子都只討論只有一個圓座標分量的向量in general 向量

ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( )r x y zA r rA A A A r xA yA zAθ ϕθ ϕ= + + hArr = + + （4-61）

若已知球座標的分量 ( )rA A Aθ ϕ 如何得到直角座標的

( )x y zA A A

4-27

ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( )ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( )

ˆ ˆˆˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( )

x r

y r

z r

A x A r x r A x A x A

A y A r y r A y A y A

A z A r z r A z A z A

θ ϕ

θ ϕ

θ ϕ

θ ϕ

θ ϕ

θ ϕ

⎧ = sdot = sdot + sdot + sdot⎪⎪ = sdot = sdot + sdot + sdot⎨⎪

= sdot = sdot + sdot + sdot⎪⎩

（4-62）

由式（4-59）（4-61） ˆ ˆ ˆ ˆsin cos sin sin cosr x y zθ ϕ θ ϕ θ= + + （4-59） ˆ ˆ ˆ ˆcos cos cos sin sinx y zθ θ ϕ θ ϕ θ= + minus （4-60）

ˆ ˆ ˆsin cosx yϕ ϕ ϕ= minus + （4-61） ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆsin cos cos cos sin ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆsin sin cos sin cos ˆ ˆˆˆ ˆcos sin 0

x r x x

y r y y

z r z z

θ ϕ θ θ ϕ ϕ ϕ

θ ϕ θ θ ϕ ϕ ϕ

θ θ θ ϕ

⎛ ⎞sdot = sdot = sdot = minus⎜ ⎟

rArr sdot = sdot = sdot =⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟sdot = sdot = minus sdot =⎝ ⎠

（4-63）

sin cos cos cos sin sin sin cos sin cos

cos sin 0

x r r

y RS

z

A A AA A M AA A A

θ θ

ϕ ϕ

θ ϕ θ ϕ ϕ

θ ϕ θ ϕ ϕ

θ θ

⎛ ⎞minus ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟rArr = equiv⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟minus⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

（4-64）

其中 SRM 為由球座標分量轉為直角座標分量的轉換矩陣且行列式

det SRM =1 表示反矩陣存在then 1SRM minus 就是將直角座標分量轉為球座

標分量之轉換矩陣其實嚴格講 (4-64)式還不是最終的表示因為

轉換完的直角

座標應該全部以 x y z 表出這裡保留用 θ ϕ 只是為了簡潔方便

習題 2 Find 1SRM minus

習題 3 用 xyz 表出(a)sinθ (b)cosθ (c)sinϕ (d)cosϕ

Ans (a)2 2

2 2 2sin

x yx y z

θ+

=+ +

(b)2 2 2

cos zx y z

θ =+ +

(c)2 2

sin yx y

ϕ =+

(d)2 2

cos xx y

ϕ =+

習題 4 用上面結果將 SRM 用 xyz 表出

Ex26 Given a field ( )A r θ ϕ ＝ ˆ ˆˆ2 3r θ ϕ+ minus in spherical coordinates

find the field in rectangular coordinates （直角座標）

4-28

解這裡的 ( )A r θ ϕ 不因其三個分量都是常數而只是「一個」向量

而是一 vector field這是因為 ˆ ˆˆ r θ ϕ 都不是定值而與 θ ϕ 有關而如

果 ( )A r θ ϕ 表示則單位向量所對應的角度 θ ϕ 必須要標定所以

sin cos cos cos sin 2sin sin cos sin cos 3

1cos sin 0

x

y

z

AAA

θ ϕ θ ϕ ϕ

θ ϕ θ ϕ ϕ

θ θ

⎛ ⎞minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ minusminus⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

(2sin 3cos )cos sin(2sin 3cos )sin cos

2cos 3sin

x

y

z

AAA

θ θ ϕ ϕθ θ ϕ ϕ

θ θ

+ +⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟rArr = + minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟minus⎝ ⎠ ⎝ ⎠

習題 5 Draw a diagram to show in the cylindrical coordinates

(a) ˆ ˆ ˆcos sinx yρ ϕ ϕ= + (b) ˆ ˆ ˆsin cosx yϕ ϕ ϕ= minus + (c) ˆ ˆz z=

習題 6 use the above results show that 由柱座標分量轉為直角座標分

量的轉換矩陣

x

y CR

z z

A AA M AA A

ρ

ϕ

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟=⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

CRM =

2 2 2 2

2 2 2 2

0cos sin 0sin cos 0 0

0 0 10 0 1

x yx y x y

y xx y x y

ϕ ϕ

ϕ ϕ

minus⎛ ⎞⎜ ⎟+ +⎜ ⎟⎛ ⎞minus⎜ ⎟⎜ ⎟

= ⎜ ⎟⎜ ⎟+ +⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

Ex27 Express vector ˆ ˆ ˆ(3cos ) 2 5A zρ ϕ ϕ ρ= minus + in Cartesian

coordinates Specifically the A at the position of (2 2 3π -3)

解

2cos sin 0 3cos 3cos 2 sinsin cos 0 2 3cos sin 2 cos

5 50 0 1

x

y

z

AAA

ϕ ϕ ϕ ϕ ρ ϕϕ ϕ ρ ϕ ϕ ρ ϕ

⎛ ⎞minus ⎛ ⎞+⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟= minus = minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

so that A (2 2 3π -3)= 3 3 3ˆ ˆ ˆ3 3 3 54 4

x y z⎛ ⎞⎛ ⎞+ + minus +⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠注意本

題裡 z 座標並非一變數

4-29

sect 43 Fields and its properties 場與其性質

「場 field」是什麼凡是在「某個空間中每一點」都有定義的量

就是一個「場」所以「場」也稱為「點函數 point function」簡單的

說凡是「空間的函數」都是「場」如果這個「空間的函數」是一個

純量 u(xyz)那麼 u(xyz)就是一個「純量場 scalar field」例如室內

的溫度 T(xyz)一塊豬肉的密度 ( )x y zρ 大氣中的壓力 p(xyz)等

都是純量場如果這個「空間的函數」是一個向量 )( zyxA 那麼

)( zyxA 就稱為「向量場 vector field」例如空間中的電場 )( zyxE

水流中的速度場 )( zyxv 重力場 )( zyxg 等等很顯然的不論是純量

場還是向量場「場」在空間中的分佈通常未必是均勻的那麼她有

什麼性質呢例如一塊豬肉內部密度是如何變化的水流中有沒有

漩渦大氣中的等壓線是如何變化的等等那麼有沒有什麼量可以

有系統的描述各種場的分佈有我們在以下分別討論

sect 431 Gradient of scalar fields 純量場的梯度

考慮一個純量場 f(xyz)可以視為 3 個變數 xyz 的函數當變數變動為

x+dx y+dy z+dy 時造成 f 的變化

f f fdf dx dy dzx y zpart part part

= + +part part part

（4-65）

由幾何意義來看上式更為具體上式表示純量場 )(rf 基於位置的變化

r r drrarr + (或由 ( ) ( )x y z x dx y dy z dzrarr + + + )所造成 f 的變動

我們現在定義一個向量算符 vector operator nabla (or nabla )（讀做 del）

ˆ ˆ ˆx y zx y zpart part part

nabla equiv + +part part part

(4-66)

如果將 del 作用在純量場 )(rf 上將產生出現一個新的「向量場」 fnabla

稱為純量場「 )(rf 的『梯度 gradient』」

4-30

ˆ ˆ ˆ( ) f f fgrad f f x y zx y zpart part part

equiv nabla = + +part part part

（4-67）

這使得由於任意位移 ˆ ˆ ˆdr xdx ydy zdz= + + 所造成 f 的變化量

df f drrArr =nabla sdot （4-61）

ex28 Given scalar field 2( )f r xy z= and 2 2 2

1 1( )g rrx y z

= =+ +

(a) find the value of ( )f r and fnabla at point P(2 1-1) 解 2(21 1) 2 1 ( 1) 2f minus = times times minus = minus

2 2 2

2 2

ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( )

ˆ ˆ ˆ( ) ( 2 ) ( )

f x xy z y xy z z xy zx y z

x y z y x yz z xy

part part partnabla = +

part part part

= +

＋

＋

ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ(21 1) ( 1) (2 2) (2) 4f x y z x y znabla minus = minus + timesminus = minus minus＋ ＋2 (b) find the value of ( )g r and gnabla at the point P

解2

1 1(21 1)62 1 1

g minus = =+ +

2 2 2 12 2 2 2 12

2 2 2 12

ˆ ˆ( ) ( )

ˆ ( )

g x x y z y x y zx y

z x y zz

minus minus

minus

part partnabla = + + + + +

part partpart

+ +part

＋

2 2 2 32 2 2 2 32 2 2 2 32

2 2 2 32 3 2

ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( )

ˆ ˆ ˆˆ( )( )

OR OR

xx yy zzgx y z x y z x y zxx yy zz r r

x y z r r

minus minus minusrArrnabla = + +

+ + + + + +minus + + minus minus

= = =+ +

32

ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ(2 ) 2(21 1)6 6 6

x y z x y zg minus + minus minus minus +rArrnabla minus = =

由 gnabla 看到一個粉常用的結果就是

3 2

ˆ1 ORr rr r r

minus minusnabla = = （4-62）

順便比較一下

2 2 2 12 2 2 2 12 2 2 2 12

2 2 2 12

ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( )

ˆ ˆ ˆ( ) ˆ (4 63)( )

r x x y z y x y z z x y zx y zxx yy zz r r

x y z r

part part partnabla = + + + + + + +

part part part+ +

= = = minus+ +

＋

4-31

(c) what is the angle between (21 1)fnabla minus and (21 1)gnabla minus

解 (21 1)fnabla minus (21 1)gsdotnabla minus ＝（ ˆ ˆ ˆ4x y zminus minus ＋2 ） sdotˆ ˆ ˆ26 6x y zminus minus +

＝2 4 2 4

6 6 3 6+ +

= ＝ | (21 1) |fnabla minus | (21 1) |gnabla minus cosθ

＝ 34 1 1 211 16 4 cos cos

6 6θ θ+ +

+ + =

1 4 2cos 07773 7

radθ minus ⎛ ⎞= =⎜ ⎟

⎝ ⎠

要注意隨然nabla有向量的性質但是他並不是一個真的向量真

實向量 A與純量 f ( )r 的乘法滿足交換率ie ( ) ( )Af r f r A= 但是

f fnabla ne nabla因為

( )f rnabla ＝ ˆ ˆ ˆf f fx y zx y zpart part part

+ +part part part

是一個向量函數而

ˆ ˆ ˆ( )f r x y zx y z

⎛ ⎞part part part+ +⎜ ⎟part part part⎝ ⎠

是一個算符（operator）

若nabla要與向量場 A 作用由於nabla與 A 都具有向量的性質先看「內積」

ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ( )

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

x y z

x y

z

y yx xz z

A x y z xA yA zAx y z

x y z xA x y z yAx y z x y z

x y z zAx y z

A AA AA Ax x x y x zx y z x y z

⎛ ⎞part part partrArrnablasdot = + + sdot + +⎜ ⎟part part part⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞part part part part part part= + + sdot + + + sdot⎜ ⎟ ⎜ ⎟part part part part part part⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞part part part

+ + + sdot⎜ ⎟part part part⎝ ⎠part partpart partpart part

= sdot + sdot + sdot + sdotsdot sdot = + +part part part part part part

yx zAA AAx y z

partpart partnablasdot = + +

part part part (4-64)

上式中的 Anablasdot 是向量場 A 的一個重要的性質稱為 A 的「散度」詳

細的內容在後面會仔細討論這裡引進 Anablasdot 主要是要表明nabla是個「算

符」表示一個運算不是一個真實的向量只是在「直角座標」裡

4-32

因為單位向量 ˆ ˆ ˆ x y z 是常數不受微分的作用以致nabla表現得好像也

是個一般的向量一樣事實上真實向量和nabla間的「內積」就不滿足交

換率

x y zA A A A an operator Ax y zpart part part

sdotnabla = + + = ne nablasdotpart part part

(4-65)

這也使得任意向量場 ( )A r 因位置變動 r r drrarr + 而產生的變化由於

)( zyxA 也是 3 個變數 xyz 的函數可以寫為

( )A A AdA dx dy dz dr Ax y z

part part part= + + = sdotnabla

part part part （4-66）

ex29 (a)Given field 2ˆ ˆ ˆ2A xxy y x zyz= minus + find Anablasdot at point (1-12)

解2( ) (2 ) ( ) 2xy x yzA y yz

x y zpart part part

nablasdot = + + = +part part part

(1 12)1 2( 1)2 3A

minusnabla sdot = minus + minus =

(b) find rnablasdot 解 rnablasdot = 3x y zx y zpart part part

+ + =part part part

梯度的意義

由（4-67）可以看到「f 的梯度 fnabla 」

是一個由「純量場 f」衍生出的向量

場由（4-26）也可以看出 fnabla 扮演類

似「變化率」的角色

空間中將相同值 f ( )r ＝f1 的點連

起來就得到一個 f ( )r ＝f1 的「等值面」如 Fig36考慮純量場 f( r )的

相鄰兩個等值面各對應定值 1f f= 與 1f f df= + 0df gt P1 點在 f1

等值面上相鄰兩點 P2P3 在 1f df+ 等值面上而向量 1 2 ˆnP P dn e dn= =

過 P1 點垂直於 f1 等值面 1 3 ˆP P d e d= = 與 ˆne dn夾角為α 由於不

論 1 2P Prarr 或 1 3P Prarr f 的變化量都是 df 但因距離 dn 係兩等值面最

4-33

短的距離d dngt 所以 1 2P Prarr 或 1 3P Prarr 造成的「變化率」df dfdn d

gt

而過 P1 點的最大變化率為dfdn

換言之向量 ˆndfedn

為過 P1 點垂直於

f1 等值面且指向最大「增加率」的方向 現在要證明

ˆndfe fdn

= nabla （4-67）

考慮 1 3P Prarr 造成的 f 值的變化率

ˆ ˆcos n ldf df dn df df e edl dn dl dn dn

α= = = sdot

ˆ ˆ ˆn l ndf dfdf e e dl e dldn dn

rArr = sdot = sdot

和（4-61）式df f dr= nabla sdot 相比即可得證 ˆndfe fdn

= nabla 所以可以知道

空間純量場 f ( )r 中任一點處的向量 fnabla 必「垂直」於「通過該點的 f的等值面」且指向 f 值最大「增加率」的方向| ( )f rnabla |就是 f 在 r 點

的最大增長率可以進一步定義等值面的「法線 normal」方向為

ˆ fnf

nabla=nabla

（4-68）

結論給定一個純量場 f( r )在每一點 r 可以定義一個稱做「梯度」

的向量 fnabla fnabla 垂直於過 r 點的 f 等值面且指向最 f 大增加率的方向

fnabla 的方向也定義了 f 等值面的法線方向

Ex30 考慮一個 2D 的 scalar field 2( )f x y y x= minus 計算該場在 )20( 的梯度與

法線方向

解 ˆ ˆ ˆ ˆ2f ff x y x yyx ypart part

nabla = + = minus +part part

ˆ ˆ(0 2) 2 2f i jnabla = minus + ˆ ˆ ˆ ˆ2 2 2 2ˆ(0 2)

31 8i j i jn minus + minus +

rArr = =+

4-34

ex31 點電荷 q 置於原點其產生電位為 ( ) qV rr

= 求負梯度qr

minusnabla

解 3

2 2 2 22 2 2

2 ( )2

q q q q x x y zr x rx y z

minuspart minus= rArr = sdot + +

part+ +

3 23

ˆˆ ˆ ˆ( )q ix jy kz r rq q qr r r r

minus + +rArr minusnabla = minus = = （點電荷的電場）

0 0

1 1 r r

noter r= =

nabla rarrinfin rarrinfin∵ 是不定值是因為 r = 0 處為最大值

「增加率」的方向無法確定

ex32 置一熱源於原點空間溫度分佈為1( )

( 2)T r

r=

+求溫度的梯度

解 2 2 2

ˆ( ) ( )( 2) ( 2) ( 2)

x rT r rr rT r

x r r r

minuspart minus

= rArrnabla = =part + + +

此處的負號表示梯

度指向熱源因為距熱源越遠溫度越低 ( 0)note T rnabla = 為不定值

因在最頂點「增加率」的方向無法確定

Ex33 地圖上山脈的等高線上各點的垂直方向由梯度決定現有一座

山是橢球 2)1(4 222 =+++ zyx 在 x-y 平面上方的

部分求地圖上這座山等高線的梯度

解 山高 142 22 minusminusminus== yxzh 所以等高線為橢

圓 222 )1(24 +minus=+ hyx 梯度

( ) ( ) ( )2 2 2 2

2 2

ˆ ˆ4ˆ ˆ2 4 1 2 4 1

2 4

xx y yh x x y y x y

x y x y

minus +part partnabla = minus minus minus + minus minus minus =

part part minus minus

所以自山腳（h=0）登山若由(012)開始 ˆ(01 2) 2h ynabla = minus 但若由

)02(minus 開始爬山 ˆ( 20) 2h xnabla minus = 可見 )02()210( minusnablagtnabla hh 這表

示由 y-軸登山山勢較陡所以「梯度」比由 x-軸登山為大這也更

清楚瞭解「梯度」的幾何意義

4-35

sect 432 Divergence 散度與 Curl 旋度

在(4-66) 我們建立了一個直角座標 vector operator 「del」

ˆ ˆ ˆx y zx y zpart part part

nabla equiv + +part part part

(4-66)

若與向量場 A 做「內積」與「外積」就建構了 A 的「散度」與「旋度」

散度 A A scalaryx zAA Adiv ax y z

partpart partequiv nabla sdot = + + =

part part part （4-69）

旋度

y yz x z x

ˆ ˆ ˆ y z A vector

A AA A A Aˆ ˆ ˆxy z z x x y

x y z

x y z

xcurl A a

A A A

y z

⎧⎪

= nablatimes = part part part =⎪⎪⎨⎪

part part⎛ ⎞ ⎛ ⎞part part part part⎛ ⎞⎪ = minus + minus + minus⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎪ part part part part part part⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎩

(4-70)

這裡定義的只是「散度」與「旋度」所謂「操作型的定義」告訴我

們如何計算的式子事實上她們都具有重要的物理意義我們在後面

會討論

ex34 ˆ ˆA xy yx= minus 求其散度與旋度

解 0 0y xAx ypart part

nablasdot = minus + =part part

ˆ ˆ ˆ y zˆ ˆ ˆ ˆ 0 0 ( 2) 2

0 x y z

xA x y z z

y xnablatimes = part part part = minus + minus = minus

minus

右圖示意了本向量場的分佈看得出像個漩渦也看到算出的旋度

0ne 看來旋度表現的應該是向量場「旋轉的程度」事實上我們在

後面會看到「旋度」表現的就是是向量場在空間各點「旋轉的程度」

本題的向量場在每一點的旋轉程度都一樣

4-36

Ex35 ( )ˆ ˆ ˆ A xx yy zz r= + + = 求其散度與旋度

解 3A rnablasdot = nablasdot = ˆ ˆ ˆ y z

0

x y z

xA

x y znablatimes = part part part =

由場分佈的示意圖可以看出本向量場是自原點向外射出好似在原

點有一個場線的「源頭 source」但是 3Anablasdot = 為一個常數表示好像到

處都有 source同時旋度為 0 也可以配合本場並無旋轉的形象事實

上「散度」表現的就是是向量場在空間各點產生「場線」的 source

記得靜電學裡的庫倫定律 0E ρ εnablasdot = 電場的散度就是「電荷密度」

(電場的 source)前一題的向量場看來對應的場線是封閉的所以沒有

source這也對應了其散度＝0不過一個向量場的散度旋度究竟是

多少應該詳細的計算場分佈圖形有時候不是那麼容易看的清楚

兩個 useful identities (恆等式)

(a) ( ) 0 0f curl of a gradnablatimes nabla = =

(b) ( ) 0 0A div of a curlnablasdot nablatimes = =

pf (a) ( )ˆ ˆ ˆ x y z

x y z

x y z

ff f f

nablatimes nabla = part part part

part part part

( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2xz zxˆ ˆ ˆx y f- f z 0yz yz xy yxf f f f= part minus part minus part part + part minuspart =

這個結果與真實的向量外積 ( ) AA 0=times 有相似之處但是這只是特

例要記得nabla並不是一個真正的向量

( ) ( ) ( )

( )

ˆ ˆ ˆ y zˆ ˆ ˆ x y z

0

x y z y z z y x z z x x y y x

x y z

xy z xz y xy z yz x xz y yz x

xA A A A A A A

A A A

A A A A A A A

nablatimes = part part part = part minus part minus part minus part + part minus part

nablasdot nablatimes = part minuspart minuspart +part +part minuspart =

4-37

此結果與真實的向量運算有相似之處 ( )( )0 (B A) BB B Asdot times = times perp∵

但是這仍只是特例因為我們可由下列例子 ( ) 0A Asdot nablatimes ne 看出事實上

nabla並不是一個真正的向量 Ex36 ˆ ˆ ˆA xy yx zx= minus +

( )

ˆ ˆ ˆ y zˆ ˆ ˆ 0 1 ( 2)

2 0

x y z

xA x y z

y x x

A A x x x

nablatimes = part part part = minus + minus

minus

sdot nablatimes = minus = minus ne

面積元素向量

物理上時常會遇到面積分例如電通量磁通

量等等考慮一個面積元素 ds定義「面積的

方向」為其「法線方向」並定義面積元素向量

ˆnds a dsequiv （4-71）

要注意的是(1)如果 ds 是一個「封閉面

closed surface」（即有裡外之分）的一部

份則 ˆna 定義為「由內向外」(2) 如果 ds

是一個「開放面 opened surface」（即分不

出裡外）的一部份那麼 ds 必被其邊緣

（一個封閉的曲線 C）所包圍這樣在定

出ds 的方向之前要先定義「邊緣曲線」

C 的方向再由右手定則定義 ˆna 的方向

既然面積已為一個向量就可以寫為分量表示以直角座標

ˆ ˆ ˆx y zds xds yds zds= + + (4-72)

那麼這些分量 dsx dsy dsz 會是什麼既然 dsx 的方向是 x 就表示 dsx

是躺在 y-z 平面上所以 dsx 的兩邊是 dy 與 dz rArr xds dydz= 依此類

4-38

推 dsy 的方向是 y 所以躺在 x-z 平面rArr yds dxdz= hellip可以得知

xds dydz= yds dxdz= zds dxdy= （4-73）

不過要注意在寫面積元素時要看討論的面實際

是什麼面上式的三個分量有可能會是負的例如

左圖座落在第一象限的立方體的 A 面方向就在 xminus

方向Arsquo面在 yminus Ardquo面在 zminus 方向寫面積元素最

好是先把討論的面的方向搞清楚把plusmn號寫在單位向量前面那麼分

量就都用＋的即可其實面積元素體積元素都可以由位移元素看出

ˆ ˆ ˆdr xdx ydy zdz= + +

dx dy dz 是沿著 ˆ ˆ ˆ x y z 方向的長度所以面積元素分量的兩邊長度就

是由其中兩個組成而體積的三邊也就是三個垂直方向的長度

x y zdV dx dy dz and ds dydz dxdz dxdyrArr = = （4-74）

這個概念在其他的座標系統也成立我們可以方便的寫出面積元素

Recall 柱座標的位移向量元素

cylindrical coordinate ˆ ˆ ˆdr d d dzzρρ ρ ϕϕ= + + （4-48）

ˆ ˆ ˆ zds ds ds zdsρ ϕρ ϕ= + + (4-75)

dsρ 躺在 zϕ minus 平面dsϕ 在 zρ minus 平面 zds 在ρ ϕminus 平面

rArr zds d dz ds d dz ds d d d dρ ϕρ ϕ ρ ρ ρ ϕ ρ ρ ϕ= = = sdot = （4-76）

上面的結果畫個圖看看吧球座標的位移向量元素

Spherical coordinate ˆ ˆˆ ( ) ( sin )dr rdr rd r dθ θ ϕ θ ϕ= + + （4-56）

ˆ ˆˆ rds rds ds dsθ ϕθ ϕ= + + （4-77）

rArr sin sin rds rd r d ds dr r d ds rd drθ ϕθ θ ϕ θ ϕ θ= sdot = sdot = sdot (4-78)

4-39

向量場 ( )A r 在 S 面上的「面積分（surface integral）」or「flux」

如左圖若有一「平面」S 且其上有「均勻」

場 B 分佈則通過 S 面的通量就是

ˆB B nSΦ = sdot

但考慮一任意「非均勻」向量場 ( )A r 在空間分佈選取任意曲面 S

探討 ( )A r 在 S 上之通量若ds 為 S 面上的面積元素在趨近於 0 的

小面積ds 上 A可視為均勻所以通過ds 之通量為 ( )d A r dsΦ = sdot 則 S

面之總通量為

Φ＝ ˆ cosS S S

A ds A nds A daϕsdot = sdot =int int int

( )OR

x x y y z zS

A da A da A da= + +int (4-75)

稱為 A 在 S 面上的「面積分」或「通量 flux」

上圖所繪就是一個任意面上分割出許多小面積舉出三個位置的通

量有+-與 0如果 S 面是為一「封閉面」則面積分寫為

S

A dssdotint （4-76）

4-40

ex37 Given 2ˆ ˆ ˆyzA xyz yx zx= + + 計算通量S

A dssdotint

S 面為在第一象限邊長＝1 的立方體表面封閉面

解立方體分為前後右左上下六個面分開算 1前面（x=1）

方向 x+ ˆ xA ds A xdydz A dydzsdot = sdot =int int int前 前 前

yzdydz= int前 ＝1 1

0 0

1 1 12 2 4

ydy zdz = sdot =int int

2後面(x=0)方向 xminus ˆ(- ) - xA ds A x dydz A dydzsdot = sdot =int int int後 後 後

yzdydz= minusint後1 1

0 0

-1 1 -12 2 4

ydy zdzminus = sdot =int int

3 右面（y=1）方向 y+ y ( 1)yA ds A dxdz A y dxdzsdot = sdot = =int int int右 右 右

( 1)x y zdxdz= =int右 ＝1 1

0 0

1 1 12 2 4

xdx zdz = sdot =int int

4 左面（y=0）方向 ˆ-y ˆ( y) - ( 0)yA ds A dxdz A y dxdzsdot = sdot minus = =int int int左 左 左

( 0) 0x y zdxdz= = =int左

5 上面（z=1）方向 z+ zz y (z 1) yA ds A dxd A dxdsdot = sdot = =int int int上 上 上

2 yx dxd= int上 ＝1 120 0

1 1y 13 3

x dx d = sdot =int int

6 下面（z=1）方向 ˆ-z zˆ(-z) y - (z 0) yA ds A dxd A dxdsdot = sdot = =int int int下 下 下

2 -1- y3

x dxd= =int下 ＝1 120 0

1 1y 13 3

x dx d = sdot =int int

S

A dssdotint ＝六個面的和＝1 1 1 1 1 1( ) ( 0) ( )4 4 4 3 3 4

minus minus+ + + + + =

ex38 Given ˆ ˆ ˆzA xyz yx zxy= + + 計算通量S

A dssdotint S 為圓 2 2 2x y a+ =

在第一項限的部分方向選為 z+ 2 2y a x= minus

4-41

解 2 2 4

0 0ˆ

8a a x

zS S S S

aA ds A zdxdy A dxdy xydxdy xdx ydyminus

sdot = sdot = = = =int int int int int int

Ex39 In cylindrical coordinate Given ˆ ˆaA zbzρρ

= + where a b are

constants Find S

A dssdotint over the surface of a

closed cylinder about z-axis specified by 3 2z ρ= plusmn =

解S 分為上下與周邊三面

zz (z 3)zA ds A ds A d dρ ρ ϕsdot = sdot = = sdotint int int上 上 上

= 23 3 2 12bd d b bρ ρ ϕ π πsdot = sdot =int上

ˆ(-z)A ds A d dρ ρ ϕsdot = sdot sdotint int下 下

= z- (z -3)A d dρ ρ ϕ= sdotint下 = 23 2 12b bπ πsdot =

周邊ds ˆ ( )d dzρ ρ ϕ= rArr ˆ ( ) z ( ) zA ds A d d A d dρρ ρ ϕ ρ ϕsdot = sdot =int int int周 周 周

2 3

0 3( ) z ( ) z=a 12aA d d d d d dz a

πρ ρ ϕ ρ ϕ ϕ π

ρ minus= = =int int int int周 周

加起來 S

A dssdotint ＝12 24 12 ( 2 )a b a bπ π π+ = +

ex40 一點電荷 q 置於原點計算在一個以原點為圓心 0r 為半徑的球

面上的電通量

解 2 20 0

ˆ ˆ4 4S S

qr q dsE ds rdsr rπε πε

sdot = sdot =int int int

=0 0 0

44 4S

q q qd ππε πε ε

sdot Ω = sdot =int

上式中 dΩ 2dsr

= 是 ds 所張開的「立體角」(solid angle)

4-42

div A and Flux 通量與散度的幾何物理意義

我們運用過nabla的符號來表示過散度 divF F= nablasdot yx zFF Fx y z

partpart part= + +part part part

但是也看到「散度」定義為

0( )

1( ) limSV

about x y z

divF x y z F da divergence of FVΔ rarr

equiv sdot =Δ int (4-77)

其中 VΔ 為 S 面所包含的體積即散

度為通量(體)密度的 0 體積極限

（4-77）的定義與 Fnablasdot 好像差的很

多她們是說同一回事嗎以下證明

這兩種「散度」的定義是等價的如

左圖考慮一個以點 ( ) x y z 為中心

的 立 方 體 其 相 鄰 三 邊 長 為

x y zΔ Δ Δ 體積 V x y zΔ = Δ Δ Δ 現在計算 F 在立方體的一組平行於 y-z平面的表面 S1 與 S2 的通量

( )1 1

ˆ ˆ xS S

F nds F xds F x y z dsrArr sdot = sdot =intint intint intint 2xxF x y z y zΔ⎛ ⎞asymp + Δ Δ⎜ ⎟

⎝ ⎠

其中 2xx y zΔ⎛ ⎞+⎜ ⎟

⎝ ⎠為 S1 面中心的座標而

2xx y zΔ⎛ ⎞minus⎜ ⎟

⎝ ⎠為 S2 面的中心

( ) ( )2 2 2

ˆ ˆ 2x x

S S S

xF nda F x ds F x y z ds F x y z y zΔ⎛ ⎞rArr sdot = sdot minus = minus asymp minus minus Δ Δ⎜ ⎟⎝ ⎠intint intint intint

上式中的負號來自 S2 面的方向是 xminus 所以合併兩個面積分

1 2

ˆ 2 2x x

S S

x xF nds F x y z F x y z y z+

Δ Δ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞rArr sdot asymp + minus minus Δ Δ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦intint

2 2x xx xF x y z F x y z

x y zx

Δ Δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠= Δ Δ Δ

Δ

2 2

x xx xF x y z F x y z

Vx

Δ Δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠= Δ

Δ

1 2

1 2 2ˆ

x x

S S

x xF x y z F x y zF nds

V x+

Δ Δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠rArr sdot asymp

Δ Δintint

4-43

當取體積向(xyz)點收縮至 0 時即 0 x 0as VΔ rarr Δ rarr 上式的近似

「asymp」就成了「＝」

1 20

1 ˆlimV

S S

F ndsVΔ rarr

+

sdotΔ intint

( )0

2 2limx x

x

x

x xF x y z F x y z F x y zx xΔ rarr

Δ Δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟ part⎝ ⎠ ⎝ ⎠= =Δ part

Similarly F 在立方體的一組平行於 x-z 平面的表面 S3 與 S4 的通量

3 3 3

ˆ ˆ yS S S

F nds F yds F dsrArr sdot = sdot =intint intint intint

2

2

y

y

yF x y zyF x y z x z x y z

y

Δ⎛ ⎞+⎜ ⎟Δ⎛ ⎞ ⎝ ⎠asymp + Δ Δ = Δ Δ Δ⎜ ⎟ Δ⎝ ⎠

( )4 4 4

2ˆ ˆ

y

yS S S

yF x y zF nds F y da F ds x y z

y

Δ⎛ ⎞minus⎜ ⎟⎝ ⎠rArr sdot = sdot minus = minus asymp Δ Δ Δ

Δintint intint intint

合併 S3 與 S4 兩個面積分並取體積向(xyz)點收縮至 0 時即當

0 y 0VΔ rarr Δ rarr 上式的近似asymp就成了＝

3 4

2 2ˆ

x x

S S

y yF x y z F x y zF nds V

y+

Δ Δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠rArr sdot cong Δ

Δintint

3 40 0

1 2 2ˆlim lim

x xy

V yS S

x yF x y z F x y z FF nds

V y yΔ rarr Δ rarr+

Δ Δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟ part⎝ ⎠ ⎝ ⎠rArr sdot = =Δ Δ partintint

與上面相同的作法計算 F 在立方體的一組平行於 x-y 平面的表面 S5

與 S6 的通量我們也會得到對應的結果

5 6

2 2ˆ

z x

S S

z zF x y z F x y zF nds V

z+

Δ Δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠rArr sdot cong Δ

Δintint

5 60 0

1 2 2ˆlim lim

z xz

V zS S

z zF x y z F x y zFF nds

V z zΔ rarr Δ rarr+

Δ Δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟ part⎝ ⎠ ⎝ ⎠rArr sdot = =Δ Δ partintint

所以合併立方體的 6 個面積分

4-44

1 2 3 4 5 6

ˆ ˆ ˆ ˆS S S S S S S

F nds F nds F nds F nds+ + +

rArr sdot = sdot + sdot + sdotint intint intint intint

0

1 ˆlim yx zV

FF FF nds div F FV x y zΔ rarr

partpart partrArr sdot = + + = = nablasdot

Δ part part partint (4-78)

在此我們得證這兩種「散度」的定義是等價的只是（4-77）的定義

充分的表現出「散度」的幾何物理意義他從通量著手由於場線

出自於 source（ex電場源自於點電荷）所以在點(xyz)必須有向量場

F 的 source 存在才能使得當面積縮到 0 時仍具有非 0 的通量所以「散

度」表現向量場 F 的 source 在這個定義之下是很清楚的當然在計算

「散度」時我們不必那麼麻煩用 divF F= nablasdot 就好了

Ex41 計算 2ˆ ˆ ˆF xx yxy zyz= + + 的散度

解 2 yx zFF Fx x yx y z

partpart part= = =

part part part F 2x x y 3x ydivrArr = + + = +

recall 在靜電學0

yx zEE EEx y z

ρε

partpart partnablasdot = = + +

part part part

散度定理 Divergence Theorem

若任意封閉面（又稱為「高斯面」）S 所包圍的

體積為 V 則

S VA ds Adτsdot = nablasdotint int （4-79）

pf 我們先將體積分割成 N 個小盒子考慮相鄰的兩個小盒子 1 2

兩小盒子的共用面面積 S0當 S0 是為 1 號盒子的一部份時其方向為

1n 但若當為 2 號盒子的表面時其方向為 12 ˆˆ nn minus= 如此在 S0 分別做

4-45

1 2 盒子的面積分後

0 0

0 0 0 0

1 2

1 2 1 1ˆ ˆ ˆ ˆ 0

S S

S S S S

A ds A ds

F n ds F n ds F n ds F n ds

sdot + sdot

= sdot + sdot = sdot minus sdot =

intint intintintint intint intint intint

所以若求場 A 在 1 2 盒子的總通量時交界面是沒有貢獻的總通量

就只有「外面積」才有貢獻如此我們計算 N 個小盒子的總通量

時所有的內部共用面都得 0只剩下「外表面」的貢獻了當 infinrarrN

時所有小盒子的「總外表面」就與 S 面重合了所以所有小盒子通量

的總和就等於 S 面的通量

1lim

i

N

S SN iA ds A ds

rarrinfin=

rArr sdot = sdotsumint int

現在我們做 N 個小盒子的總通量

1 1

1i i

N N

iS Si i i

A ds A ds VV= =

⎛ ⎞sdot = sdot Δ⎜ ⎟Δ⎝ ⎠

sum sumint int

當 0iN Vrarrinfin rArr Δ rarr 並用 dv 表示體積元素

( ) ( )1 1

1

1lim lim lim

lim

i ii

N N

iS SN N V oi i i

N

i VN i

A ds A ds VV

A V A dv

rarrinfin rarrinfin Δ rarr= =

rarrinfin=

⎛ ⎞sdot = sdot Δ⎜ ⎟Δ⎝ ⎠

= nablasdot Δ = nablasdot

sum sumint int

sum int

( )S V

A da A dvrArr sdot = nablasdotint int QED

所以得證散度定理上式中我們用了散度的（4-77）式定義要分辨

清楚 Anablasdot 是向量場 A 在空間中「某一點」的性質（ 0VΔ rarr ）而「散

度定理」說的是一個「有限體積」的性質

ex42 給定 ( ) ˆ ˆ ˆ A x y z xx yy zz r= + + = 計算在

半徑 R＝1 的球的上半球加底面的通量

4-46

解 ( )ˆˆS

A da A rda A k darArr sdot = sdot + sdot minusint int int上半球面 底面

( )

2

ˆ ˆ

0 2 1 2

A rda A z dxdy

r rds zdxdy rds ds π π

= sdot + sdot minus

= sdot minus = minus = = sdot =

int int

int int int int上半球面 底面

上半球面 底面 上半球面

底面的通量＝0 是因為 A 的 z 分量 Az=z 在底面的值為 0

也可以用散度定理更快的得出結果

∵ 3A rnablasdot = nablasdot =

31 43 3 1 22 3V V

Ad d πτ τ πnablasdot = = sdot sdot sdot =int int

ex43高斯定律的微分形式積 由 Gaussrsquo law 的積分形式用散度定理得出其

( )0 0

1 inS V

qE ds x y z dvρε ε

sdot = =int int

0S V VE ds Edv dvρ

εrArr sdot = nablasdot =int int int

上式最後的等式對「任意形狀」V 都成立所以兩者的被積函數相等

對於空間每一點 0

E ρε

nablasdot = （4-80）

ex44 Use 第一象限的單位力方體 check the divergence theorem using the function 2 2ˆ ˆ ˆ(2 ) 2A y x xy z y yzz= + + +

解2

2( ) (2 )(2 ) 2( )y yzA xy z x yx y z

part part partnablasdot = + + + = +

part part part

and 1 1 1 1 1 1

0 0 0 0 0 02 ( ) 2 ( )

VAdv x y dxdydz dz dy x y dxnablasdot = + = +int int int int int int int

1 1

0 0

1 12 ( ) 2 12 2

dz y dy= + = sdot =int int

面積分 1 1 2

0 0

1ˆ3

A ds A xdydz dz y dysdot = sdot = =intint intint int int前 前

4-47

1 1 2

0 0

1ˆ( )3

A ds A x dydz dz y dy minussdot = sdot minus = minus =intint intint int int

後 後

1 1 2

0 0ˆ (2 )A ds A ydxdz dz xy z dxsdot = sdot = +intint intint int int

右 右

1 1 1 12 2

0 0 0

4(2 ) (1 )3

ydz x z dx dz z

=

= + = + =int int int∵

1 1 2

0 0

0 1 1 12 2

0 0 0

ˆ( ) (2 )

1(1 )3

y

A ds A y dxdz dz xy z dx

dz z dx dz z=

sdot = sdot minus = minus +

minus= minus = + =

intint intint int int

int int int∵

左 左

11 1 1 1

0 0 0 0ˆ 2 2 1

zA ds A zdxdy dx yzdy dx ydy

=sdot = sdot = = =intint intint int int int int

∵

上 上

01 1

0 0ˆ 2 0

zA ds A zdxdy dx yzdy

=sdot = sdot minus = minus =intint intint int int

∵

下 下

前後右左上下六個面積分合併＝1＝V

Advnablasdotint QED

ex45 Continuity Equation 連續方程式

考慮某些「東西」的流動（物質電荷hellip）在時刻 t 時在點(xyz)

的 密 度 為 ( ) x y z tρ ρ= 並 具 有 速 度

( ) v v x y z t= 在時刻 t 時在體積 V 內的總量為

( ) x y z t dρ τintintint

這樣體積 V 內東東的時變率為

( ) ( ) d x y z t d x y z t ddt t

ρρ τ τpart=

partintintint intintint

注意體積分後的時間全微分移入積分內要改為偏微分這個東東

在表面的「流率 flow rate」可表為

ˆS

R v ndsρ= sdotintint

若體積內的物料無法自生自滅那麼體積內物料的變化必經由表面的

流出流入所造成

d v ndstρ τ ρpart

rArr = minus sdotpartintintint intint

由散度定理

4-48

( )ˆS

v nds v d dtρρ ρ τ τpart

sdot = nablasdot = minuspartintint intintint intintint

( )v Jtρ ρpart

rArr = minusnablasdot equiv minusnablasdotpart

0Jtρpart

rArr +nablasdot =part

（4-81）

(4-81) 即 continuity equation其中 J vρ= 為「物流密度」ex如果 ρ

是電荷密度 J 就是電流密度（4-81）是物質守恆的結果只對體

積內無 source（生成）or drain（消滅）的東東成立

ex46 Given a vector field ˆ ˆx yA ye xe= minus + (a) Find

Anablasdot (b)如圖一個金字塔狀的 5 面體高 2 底邊長

1計算 A在整個金字塔表面（封閉面）的總通量

解(a) Anablasdot = ( ) ( ) 0y xx ypart part

minus + =part part

(b) 金 字 塔 的 表 面 面 積 元 素 ds 不 好 寫 所 以 用 散 度 定 理

( )S V

A da A dvrArr sdot = nablasdotint int ＝0 Anablasdot 表示 A沒有 source 所以對封閉面而

言有多少場線進入就有多少出去所以總通量＝0

習題 7 With position vector r for an arbitrary volume V that is

bounded by surface S show that 13 S

r ds Vsdot =int

習題 8 已知一靜電場為 ˆ ˆ ˆ( )E xyz yxz zxyλ= + + 運用 Gaussrsquo law

試求包含在半球 2 2 2 2 0x y z R z+ + = ge 裡的總電荷 Ans 0

習題 9 (a) given ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( 2 )F r xf x yf y zf z= + + minus show that divF is

zero at point (c c -c2) (b) given ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( )G r xf x z yg x z zh x y= + +

show that ( ) 0G rnablasdot =

4-49

習題 10 Find the normal vector n for the surfaces (a) z = 2-x-y ans

ˆ ˆ ˆ( ) 3x y z+ + (b) z = (1-x2)12 ans ˆ ˆxx zz+ (c) z = x2+y2

ans ˆ ˆ ˆ( 2 2 ) 1 4xx yy z zminus minus + +

習題 11 Show that the unit vector normal to the plane ax+by+cz =d is

given by 2 2 2ˆ ˆ ˆ( ) ax by cz a b cplusmn + + + +

圓柱座標與球座標的nabla (del)

考慮一純量場在直角座標為 ( ) u x y z 在圓柱座標表為 ( ) u zρ φ

再考慮因位移 r r drrarr + 所造成 u ( )zρ φ 的變化

( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆz

z

u u udu d d dz u dr u d d zdzz

u u z u d d zdz

u d u d u dzρ ϕ

ρ ϕ

ρ ϕ ρ ρ ϕρ ϕρ ϕ

ρ ϕ ρ ρ ϕρ ϕ

ρ ρ ϕ

part part part= + + = nabla sdot = nabla sdot + +part part part

⎡ ⎤= nabla + nabla + nabla sdot + +⎣ ⎦= nabla + nabla + nabla

( ) ( ) ( )1

1ˆ ˆ ˆu

z

u u uu u uz

u u uzz

ρ ϕρ ρ ϕ

ρ ϕρ ρ ϕ

part part partrArr nabla = nabla = nabla =

part part partpart part part

rArrnabla = + +part part part

1ˆ ˆ ˆ zz

ρ ϕρ ρ ϕpart part part

nabla = + +part part part

（4-82）

注意nabla的ϕ -分量( 1ρ ϕ

partpart

)不是像直角座標裡單純的ϕpartpart

所以不要笨笨

的就把直角座標的形式硬套上去用我們也可以從「因次分析」來

看nabla因為是對空間的微分所以每一項的因次必須是「長度分之一」

運算 andzρ

part partpart part

都是「長度分之一」而「單純的ϕpartpart

」是沒有單位的

所以要1ρ ϕ

partpart

才 OK

由於圓柱座標裡的單位向量除了 z 之外 ˆ( )ρ ϕ 與 ˆ( )ϕ ϕ 都不是常

4-50

數所以在微分時不可以與微分運算交換而要考慮微分的作用所

以在「圓柱座標」寫「散度」 ( ) F zρ ϕnablasdot 也和直角座標不一樣

( )1ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ zF z F F zFz ρ ϕρ ϕ ρ ϕ

ρ ρ ϕpart part part⎛ ⎞

nabla sdot = + + sdot + +⎜ ⎟part part part⎝ ⎠

( ) ( )1ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆz zF F zF F F zFρ ϕ ρ ϕρ ρ ϕ ϕ ρ ϕρ ρ ϕpart part

= sdot + + + sdot + +part part

( )ˆ ˆˆ ˆ zz F F zFz ρ ϕρ ϕpart

+ sdot + +part

因為 ( ) ( )ˆ ˆ ˆ ˆ ρ ρ ϕ ϕ ϕ ϕ= = 所以做 andzρ

part partpart part

時 ˆ ˆ ρ ϕ 可視為常數

ˆ ˆ1ˆ ˆ ˆ zF F F FF F Fz

ρ ρ ϕρ φ

ρ ϕϕ ρ ϕρ ρ ϕ ϕ ϕ ϕ

part part part⎡ ⎤part part partrArrnablasdot = + sdot + + + +⎢ ⎥part part part part part part⎣ ⎦

還記得 ˆ ˆ ˆ ˆd d d dρ ϕ ϕ ϕ ρ ϕ= = minus 所以 ˆ ˆρ ϕϕpart

=part

ˆ ˆϕ ρϕpart

= minuspart

rArr

( )1 1 1z zF F F FF FF Fz z

ρ ρ ϕ ϕρρ

ρ ρ ρ ϕ ρ ρ ρ ϕpart part part part

nablasdot = + + + = + +part part part part part part

（4-83）

在球座標寫nabla也會遇到相似的問題其根源就是球座標 ( )r θ ϕ 裡

的 θ ϕ 的因次並非長度而三個單位向量 ˆ ˆˆ r θ ϕ（表為 ie ）都是( θ ϕ )

的函數以致

( )ˆ ˆ( ) ( )i ie f e fθ ϕ θ ϕθ θpart part

nepart part

且 ( )ˆ ˆ( ) ( )i ie f e fθ ϕ θ ϕϕ ϕpart part

nepart part

所以nabla也不似在直角座標那麼簡單我們不在這裡推導而是給出一

個歸納的統一的三個座標的結果還記得對每一個座標 iu i = 123

座標的變化 idu 與造成的長度變化 id

i i id h du= 123i = (4-84)

其中 ih 為對應的度量係數(metric coefficient)

4-51

1 2 3

1 1 2 2 3 3

1 1 1ˆ ˆ ˆu u ue e eh u h u h u

part part partnabla equiv + +

part part part （4-85A）

座標 1 2 3 u u u

度量係數

1 2 3 h h h

nabla grad del

直角 x y z

1 1 1 nabla ˆ ˆ ˆx y z

x y zpart part part

equiv + +part part part

圓柱

zρ ϕ

1 1ρ

1ˆ ˆ ˆ z

zρ ϕ

ρ ρ ϕpart part part

nabla equiv + +part part part

球

r θ ϕ

1 sinr r θ

1 1ˆ ˆˆ

sinr

r r rθ ϕ

θ θ ϕpart part part

nabla = + +part part part

（4-85B）

梯度gradient Vnabla grad(V) 散度divergence Anablasdot div( )A

直

角 nablaV ˆ ˆ ˆV V Vx y z

x y zpart part part

= + +part part part

yx zAA AAx y z

partpart partnablasdot = + +

part part part

圓

柱

1ˆ ˆ ˆ V V VV zz

ρ ϕρ ρ ϕpart part part

nabla = + +part part part

( )1 1

1

z

z

A AA Az

A A A Fz

ϕρ

ρ ρ ϕ

ρρ ρ ρ ϕ

ρ ρ ρ ϕ

partpart partnabla sdot = + +

part part partpart part part

= + + +part part part

球

1 1ˆ ˆˆ sin

V V VV rr r r

θ ϕθ θ ϕ

part part partnabla = + +

part part part

22

1 ( )rA r Ar r

partnabla sdot =

part

1 (sin )sin

Ar θθ

θ θpart

+ sdotpart

1sin

Ar

ϕ

θ ϕpart

+part

(4-86)

Ex47 Using spherical coordinate show that 1| |r r

nablaminus

= 2

ˆ| |

r rer r

minusminusminus

where

nabla是作用在 r 而 ˆr re minus 是向量 r rminus 方向的單位向量 解let r lies in z-axis so that the angle between r and r is just θ

4-52

rArr ( ) 122 21 1 2 cos | | ( ) ( )

r rr rr r r r r r

θminus

= = minus +minus minus sdot minus

( ) ( )12 122 2 2 21 1ˆˆ 2 cos 2 cos | |

r r rr r r rr rr r r r

θ θ θθ

minus minuspart partnabla = minus + + minus +

minus part part

( ) 322 21ˆ 2 cos (2 2 cos )2

r r rr r r rθ θminusminus

= minus + minus

( ) 322 21ˆ 2 cos (2 sin )2

r rr r rrθ θ θminusminus

+ minus +

3 3 3 3

ˆˆ ˆ( cos ) sin ( cos sin )ˆˆ| | | | | | | |r r r rr r rrr r r r r r r r

θ θ θ θ θθminus minus minus minus minus= + = +

minus minus minus minus

3 3 3ˆ ( )

| | | | | |r r z r r r rr r r r r rminus + minus + minus minus

= = =minus minus minus

＝ 2

ˆ| |

r rer r

minusminusminus

QED

證明最後我們用到 ˆˆˆ cos sinz r θ θ θ= minus 而 ˆ r r z= 因為我們選了 r 是

躺在 z-軸 Ex48 For arbitrary scalar field ( )f r and vector field ( )A r 證明恆等式

( )fA f A f Anablasdot = nabla sdot + nablasdot (4-87) 解 ˆ ˆ ˆx y zfA xfA yfA zfA= + +

( ) ( ) ( ) ( )x y zfA fA fA fAx y zpart part part

rArrnablasdot = + +part part part

yx zx x x

AAf f f AA f A f A fx x y y z z

partpartpart part part part= + + + + +part part part part part part

yx zx y z

AAf f f AA A A fx y z x y z

part⎛ ⎞partpart part part part= + + + + +⎜ ⎟part part part part part part⎝ ⎠

f A f A= nabla sdot + nablasdot QED 習題 12 一個位於原點的電偶極電偶極矩＝ ˆp pz= 已知其在遠處

的電位為 20

cos4p

rθ

πε試證該處的電場強度為 E = 3

0

ˆˆ( 2cos sin )4

p rr

θ θ θπε

+

(已知 E V= minusnabla )並請計算 Enablasdot ＝

習題 13 給定一向量場2

3cosˆD r

rϕ

= 現有兩個球心在原點的同心球

內球半徑 R＝1外球 R＝2(a)求面積分S

D dssdotint S 為同心球殼的表

面（有內外兩個面）(b)求體積分V

Ddvnablasdotint V 為兩同心球之間的

區域本題也是來 check 散度定理的Ans πminus

4-53

The Laplacian operator 2nabla equivnablasdotnabla

在直角座標可以用直接作用得到

2 2 2

22 2 2u u uu u

x y zpart part part

nabla equiv nablasdotnabla = + +part part part

(4-88)

圓柱座標

2 2

22 2 2

1 1( ) u u uu uz

ρρ ρ ρ ρ ϕ

part part part part⎛ ⎞nabla equiv nablasdot nabla = + +⎜ ⎟part part part part⎝ ⎠

(4-89)

球座標

2

2 22 2 2 2 2

1 1 1sinsin sin

u u uu rr r r r r

θθ θ θ θ ϕ

part part part part part⎛ ⎞ ⎛ ⎞nabla = + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟part part part part part⎝ ⎠ ⎝ ⎠ （4-90）

習題 14 verify (4-89) and (4-90)

習題 15 Given a dipole potential V= 20

cos4p

rθ

πε find 2Vminusnabla

sect 433 Line integral and curl A 線積分與與旋度的物理意義

線積分路徑積分

考慮一曲線 C 通過兩點 ( )i i i iP x y z 與

( )f f f fP x y z 現有一向量場 ( )A x y z 定義在

C 所在的空間若 sd 為 C 上位於(xyz)點的

「路徑元素」（ ˆd td= 方向沿該處切線）而

( )A x y z 為路徑元素d 處的場值則沿 C 經歷各點所做積分

cos cosf

CC C iA d Ad A dϕ ϕrarr rarrsdot = =int int int （4-91）

稱為向量場 ( )A x y z 沿路徑 C 自 pi 至 pf 的「線積分」「或「路徑積分」

積分裡 A 取值的點侷限在路徑 C 上面若為一個「封閉路徑」則對

C 的線積分也稱做「環路積分 closed contour integral」記做

C

A dsdotint （4-92）

4-54

物理量「做功」是最標準的線積分之一力 F 自 x = a 至 x = b「沿線」

x 軸做功

W＝ F dxsdotint ＝ ( )b

xaF x dxint （4-93）

質點在力場 )(rF 裡走一條曲線 C則力場做功

CW F d= sdotint （4-94）

還記得如果 ( )F r 是所謂「保守力」則上式只與始末點有關而與

路徑無關但如果 ( )F r 是所謂「非保守力」則做功與確實的路徑 C

有關

現考慮一質點在空間運動的位置 r 落在由曲線 C

描述的路徑則質點的位移元素與曲線 C 的路徑元

素相同 d dr= 若空間有向量場 A 分佈則 A 在 C 的

路徑積分以直角座標表示為

CA drarr rarrsdotint ＝

CA d rrarr rarrsdotint ＝ ( )x y zC

A dx A dy A dz+ +int （4-95）

上式中的 x y z 的積分限由 C 決定

Ex49 2 2 2ˆ ˆ ˆA xx yy zzrarr= + + 選定一路徑 C 為曲線

2y x= 由 (000)到 (2 20)的部分求C

A dsdotint

解 ˆ ˆd xdx ydy= +∵

CA dsdotint ＝ 2 2( )

Cx dx y dy+int ＝

2 22 2

0 0x dx y dy+int int

＝ )24(32

+

或由 2y x= rArr 2ydy dx= 2 12

y dy xdxrArr =

rArrC

A dsdotint ＝2 2

0

1( )2

x x dx+int ＝2 (4 2)3

+

4-55

ex50 ˆ ˆ( )f x y z xy yx= minus Do C

f dsdotint 其中的路徑 C 為一逆時針三角

形如圖 解∵路徑全部在 x-y 平面 ˆ ˆ ˆd td xdx ydy= = +

rArrC

f dsdotint ＝ x yC

f dx f dy+int ＝C

ydx xdyminusint

由於在 C1 上 y = 0 及 dy = 0 所以 01

=intC 又由於在

C3 上 x = 0 及 dx =0所以 03

=intC 所以只剩下 C2 可

能有貢獻由 2C 的方程式x + y =1rArr ⎩⎨⎧

minus=minus=

xyyx

11

rArr2Cydx xdyminusint ＝

0 1

1 0(1 ) (1 )x dx y dyminus minus minusint int ＝

0 12 2

1 0

( ) ( )2 2x yx yminus minus minus ＝-1

Cf dsdotint ＝-1

ex51 ( )f x y zrarr

= 2ˆ ˆxx yxyminus 如右圖doC

f dsdotint 其

中路徑 C 為第一象限的逆時針 14 圓弧

解∵ 全部在 x-y 平面 ˆ ˆd xdx ydy= +

Cf dsdotint ＝ 2

Cx dx xydyminusint

由於在 C 上 cosx R ϕ= rArr sindx R dϕ ϕ= minus

siny R ϕ= rArr cosdy R dϕ ϕ=

rArr 2

Cx dx xydyminusint ＝

2 2 2 2

0cos ( sin ) sin cos cosR R d R R d

πϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕminus minus sdotint

23 2

02 cos sinR d

πϕ ϕ ϕ= minus int ＝

323Rminus

又路徑為圓周一部份所以適合用極座標表示

ˆd Rdϕ ϕ= 又由左圖將 ˆ ˆx y 拆解（投影）到 ˆˆr ϕ

ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆcos sin sin cosx r y rϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ= minus = +

4-56

( )2ˆ ˆ ˆˆ ˆ( cos sin ) ( sin cos )C C

f d r x r xy Rdϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕsdot = minus minus + sdotint int 2

2 2 2

0

sin (cos )

sin ( cos ) (cos ) cos sin

Cx Rd xyRd

R Rd R Rdπ

ϕ ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ

= minus minus

= minus minus

intint

23 2

02 cos sinR d

πϕ ϕ ϕ= minus int ＝

323Rminus

這也驗證了散度定理

Path Independence 路徑獨立性

Ex52 證明庫倫力為「保守力」考慮

電荷 q0 位於原點及電荷 q 位於

( )r x y zrarr= q 受力 F

rarr＝ 0

20

14

qq urπε

and

求庫侖力作功因為球形對稱所以

用球座標由 ˆ ˆ ru rr

= = rArr Frarr

= 03

04qq r

rπε

庫侖力由 P1 至 P2 做功為 2

1

P

CPF drarrsdotint ＝

2

1

02

0

ˆ ˆ ˆˆ sin4

P

PC

qq r rdr rd r dr

θ θ ϕ θ ϕπε

⎡ ⎤sdot + +⎣ ⎦int ＝2

1

02

04P

P

qq drrπεint

＝20

2104

r

r

qq drrπε int ＝ 0

0 1 2

1 1( )4qq

r rπεminus for all C

所以庫侖力兩點間做功與路徑無關rArr保守力

對於「保守力 conservative force」 cF 自 p1 經

由兩條不同的路徑 C1 與 C2 到達 p2

1 ccF drarrsdotint ＝

2 ccF drarrsdotint ＝-

2 ccF drarr

minussdotint

rArr1 2c cc cF d F drarr rarr

minussdot + sdotint int = cF d

rarrsdotint ＝0 (4-96）

對於任何「封閉路徑」保守力做功為 0反之若

對任一封閉路徑 0F drarrsdot neint 則兩點之間的做功與路徑有關

rarr

F 為「非

保守力」

4-57

旋度 curl Anablatimes 的幾何物理意義

我們在（4-70）式已經看過旋度的計算方式但旋度另有其意義的

ex53 給定向量場2 2

0ˆ yv yv e λrarr

minus= 左圖為場的分佈

2 20

ˆ ˆ ˆ

0 0x y z

y

x y zcurl v

v e λ

rarr

minus

= part part part ＝ ˆ ˆ ˆ0 0 0 0x y zsdot minus sdot + sdot =

我們用了簡寫 x yx ypart part

part equiv part equivpart part

可以看出這個場裡沒有「漩渦」

但是有無「漩渦」有時也不是那麼明顯可以看出的請見下一個例子

Ex54 給定向量場2 2

0ˆ xv yv e λrarr

minus= 計算其旋度 vnablatimes

解向量場 vrarr

畫在右邊你看得出有無漩渦

先計算旋度

2 20

ˆ ˆ ˆ

0 0x y z

x

x y zcurl v

v e λ

rarr

minus

= part part part2 2

2 2

0

0

ˆ

ˆ 2 0 0

x

x

z v ex

z v xe for x

λ

λ

minus

minus

part=

part

= minus ne ne

vrarr

的旋度在大部分的地方不為 0 且隨位置而不同但是你看得出這個

向量場裡有「漩渦」其實要檢驗一個向量場裡有無「漩渦」有一

個很物理的方法就是放一個小「螺旋槳」（左圖）

在場內將軸朝各個方向測試一

下如果有「漩渦」的話這個

小「螺旋槳」就會轉動右圖就是將「螺旋槳」的

軸平行於 z 軸且放在 x gt 0 的地方就可以看出左

邊的 v 場比右邊的強造成螺旋槳順時針轉動rArrcurlv zminus for x gt 0

但如果放在 x = 0 的地方就會看到左右兩端的 v 場強度相同而且

4-58

curlv = 0 「螺旋槳」放在 x lt 0 的地方就可以看出右邊的v 場比左

邊的強造成螺旋槳逆時針轉動這完全符合 curl v k+ 的結果

環路積分與旋度 curl 的物理意義

如同「散度」一樣「旋度」除了 Ftimesnabla 之外

還有一個物理意義更清楚的定義這個定義由

「線積分」說明如圖考慮做「逆時針」長方形

路徑 C1 的一個「環路積分」C1 面平行於 x-y 平

面由 z-軸看下去環路 C1 可以分為可以分為

下 CB上 CT右 CR左 CL 4 部分

CA drarrsdotint ＝

B T L RC C C CA d A d A d A drarr rarr rarr rarrsdot + sdot + sdot + sdotint int int int

分別計算由於 CB 的中點座標為 ( )2yx y zΔ

minus

ˆB BC C

A d A xdxrarr rarrsdot = sdot =int int

BxC

A dxint ( )2xyA x y z xΔ

asymp minus Δ

similarly 由於 CT 的中點座標為 ( )2yx y zΔ

+

ˆ( )T TC C

A d A xdxrarr rarrsdot = sdot minus =int int

TxC

A dxminusint ( )2xyA x y z xΔ

asymp minus + Δ

合併 CB 與 CT

B TC CA drarr

+sdot =int

( ) ( )2 2x xy yA x y z A x y z

x yy

Δ Δ⎡ ⎤minus + minus minus⎢ ⎥⎣ ⎦ Δ ΔΔ

（4-97）

由 C1 所圍的面積 S x yΔ = Δ Δ

1B TC C

A dS

rarr

+sdot =

Δ int( ) ( )

2 2x xy yA x y z A x y z

y

Δ Δ⎡ ⎤minus + minus minus⎢ ⎥⎣ ⎦Δ

（4-98）

所以當取極限 C1 收縮到中心(xyz)時 SΔ 收縮到 0ie

4-59

0limsΔ rarr

1B TC C

A dS

rarr

+sdot =

Δ int xAy

partminuspart

（4-99）

Similarly with CR 的 ˆd ydy= CL 的 ˆd ydy= minus 可得

1L RC C

A dS

rarr

+sdot =

Δ int x

zyxxFzyxxF yy

Δ

Δminusminus

Δ+ )

2()

2(

（4-100）

同樣的當取極限 C1 收縮到中心(xyz)時 SΔ 收縮到 0

0

limsΔ rarr

1L RC C

A dS

rarr

+sdot =

Δ int yAx

partpart

（4-101）

最後合併 CBCTCRCL 為 C1

10

1limCs

A ds

rarr

Δ rarrsdot =

Δ int y xA Ax y

part partminus

part partˆ ( ) ( )zz A A= sdot nablatimes = nablatimes （4-102）

注意 C1 的方向就是在 z 上式的重要

意義是當向量場 A 在一個以點(xyz)為

中心「方向為 z 」的面積元素的「邊界」

所做的環路積分得到的就是 A 在(xyz)

處旋度的 z-分量明顯的只有當 A 在

(xyz)附近有 x-y 平面上的「漩渦」那麼 C1 的環路積分才不會為 0

Similarly 取一個逆時針繞著(xyz)的平行於 x-z 平面的長方形環路 C2

（左圖）做環路積分再取極限將 C2 收縮到(xyz)就會得到

20

1limCs

A ds

rarr

Δ rarrsdot =

Δ int x zA Az x

part partminus

part partˆ ( ) ( )yy A A= sdot nablatimes = nablatimes （4-103）

注意到 C2 所包圍的面積方向就在 y到

現在我們應該已經很有經驗了若取一

個逆時針繞著(xyz)的平行於 y-z 平面

的長方形環路 C3（左圖）做環路積分

再取極限將 C3 收縮到(xyz)就會得到

4-60

30

1limCs

A ds

rarr

Δ rarrsdot =

Δ int yz AAy z

partpartminus

part partˆ ( ) ( )xx A A= sdot nablatimes = nablatimes （4-104）

能把（4-103）與（4-104）變出來的同學我們有優待綜合以上

我們可以得到一個結論若取一個以點(xyz)為中心的任意環路 Cn（其

所包圍的面積方向在 n ）則

n curl Aand rarrsdot ＝

0

1lims

Cn

A ds

rarr

Δ rarrsdot

Δ int （4-105）

明顯的當 n ＝ x 或 y 或 z 時我們可以重複（4-102）到（4-104）的

結果（4-70）式的行列式所定義的旋度在此看見其幾何物理意義

至此「旋度」的「漩渦」形象應該已經很清楚了只有在(xyz)點附

近的小圈圈上有「漩渦」 A 在小圈圈做的環路積分才會有值這個

值就是向量場 A 的「旋度」在小圈圈面積方向的分量

Stokersquos 定理

考慮一個開放面 S被其「有方向的」邊界 C 圈住(bounded by)則

( )S

A dsrarr rarrnablatimes sdotint ＝

C

A drarrsdotint （4-106）

pf 先將 S 面分割為 N 個多邊形這會使得邊界變成一個「折線」形

成的環路 P環路 P 會隨著分割的多邊形個數的增多而越加近似於原

「光滑的」邊界 C現考慮相鄰的

兩個多邊形的線積分由於共用邊

的方向是相反的所以相鄰兩個多

邊形線積分的和只剩「外邊界」（見左圖）所以當把所有的多邊形的

4-61

線積分加起來時由於只有邊界 P 不是多邊形的共用邊所以

1k

N

k C

A drarr

=

sdotsum int ＝P

A drarrsdotint rArr

P

A drarrsdotint ＝

1

1

k

N

kk k C

A d l ss

rarr rarr

=

⎡ ⎤sdot Δ⎢ ⎥

Δ⎢ ⎥⎣ ⎦sum int

其中 ksΔ 為第 k 個多邊形的面積取極限 0kN srarrinfinrArrΔ rarr P CrArr rarr

C

A drarrsdotint ＝

10

1limkk

N

kN k k Cs

A d ss

rarr

rarrinfin=Δ rarr

⎡ ⎤sdot Δ⎢ ⎥

Δ⎢ ⎥⎣ ⎦sum int 01

ˆlim ( )k

k kskn A s

infin

Δ rarr=

⎡ ⎤= sdot nablatimes Δ⎣ ⎦sum

01

ˆlim ( )k

k kskA n s

infin

Δ rarr=

= nablatimes sdot Δsum = ( )S

A dsrarr

nablatimes sdotint QED

ex55 由 Amperersquos law 的積分形式導出其微分形式

解Amperersquos law 的積分形式 C

B drarrsdotint ＝ I0μ (4-107)

由 Stokersquos 定理及電流密度 j 的定義上式等號兩端可寫為

rArr ( )S

B dsrarr rarrnablatimes sdotint ＝ 0 S

j dsμrarrsdotint

由於上面的等式對任意面 S（路徑 C）都成立所以被積函數相等

0B jμrarr rarr rarr

rArrnablatimes = (4-108) 此即 Amperersquos law 的微分形式

Ex56 Given a vector field ˆ ˆx yA ye xe= minus + (a) Find Anablatimes

解

ˆ ˆ ˆˆ ˆ(1 ( 1) 2

0x y z

x y zA z z

y xnablatimes = part part part = minus minus =

minus

(b)如圖一個金字塔狀的 5 面體高 2底邊長＝1計算 ( )S

A dsnablatimes sdotint

其中 S 為金字塔在 x-y 平面以上的部分方向如同

封閉的金字塔（運用 Stokersquos law）

解金字塔上表面的面積元素ds 不好寫由 Stokersquos

4-62

law ( )S

A dsrarr rarrnablatimes sdotint ＝

C

A drarrsdotint 其中封閉路徑 C 就是上表面的邊界而且

是逆時針（由 z 軸向下看）

C

A drarrsdotint ＝

1 1 0 0

0 0 1 1ˆ ˆ ˆ ˆA xdx A ydy A xdx A ydysdot + sdot + sdot + sdotint int int int

＝1 1 0 0

0 0 1 1x y x yA dx A dy A dx A dy+ + +int int int int 1 1 0 0

0 0 1 1( 0) ( 1) ( 1) ( 0)y dx x dy y dx x dy= minus = + = + minus = + =int int int int

0 1 1 0 2 ( ) 2S

A ds= + + + = rArr nablatimes sdot =int

旋度與 path independence

已知保守場 cF 對所有封閉路徑 C 0cC

F drarrsdot =int 由 Stokersquos 定理

0cC

F drarrsdot =int ＝ ( )cS

F dsrarr rarrnablatimes sdotint rArr 0cF

rarr rarrnablatimes =

這表示保守場＝無旋度反之無旋度的場任兩點間路徑積分與路

徑無關

Ex57 Given a field 2 2ˆ ˆ ˆ2A x xy yx zz= + minus (a) Find Anablatimes A 保守場

解2 2

ˆ ˆ ˆ

2x y z

x y zA

xy x znablatimes = part part part

minus

( ) ( ) ( )2 2 2 2ˆ ˆ ˆ( ) 2 ( ) 2 0y z z x x yx z x y xy z z x xy= part minus minuspart + part minuspart minus + part minuspart =

yes A =保守場

(b)如左圖由 A 到 B 做路徑積分A BC

A drarr

sdotint 路徑 C 為橢圓

22 1

16yx + = 在 x-軸以上的部分

解橢圓部分的路徑元素 d 有點麻煩但因為 A

為保守場所以 A 到 B 做路徑積分可以用 x = -1 到

1 的積分取代

4-63

01 1 1

1 1 1ˆ 2 0

yB

xAA d A xdx A dx xydx

=

minus minus minussdot = sdot = = =int int int int

∵

旋度在柱座標與球座標

前面討論過nabla在不同座標系的寫法旋度也有歸納出的一致寫法

座標 1 2 3 u u u

度量係數

1 2 3 h h h

nabla grad del

直角 x y z

1 1 1 nabla ˆ ˆ ˆx y z

x y zpart part part

equiv + +part part part

圓柱 zρ ϕ

1 1ρ

1ˆ ˆ ˆ zz

ρ ϕρ ρ ϕpart part part

nabla equiv + +part part part

球 r θ ϕ

1 sinr r θ

1 1ˆ ˆˆ sin

rr r r

θ ϕθ θ ϕ

part part partnabla = + +

part part part

所以柱座標與球座標的旋度分別表為

柱座標

ˆ ˆ ˆ1

z

z

Az

AA Aρ ϕ

ρ ρϕ

ρ ρ ϕρ

part part partnablatimes =

part part part （4-109）

球座標 2

ˆ ˆˆ sin1sin

sinr

r r r

Ar r

A rA r Aθ ϕ

θ θϕ

θ θ ϕθ

part part partnablatimes =

part part part （4-110）

ex58 (a) Given the vector function ˆA ϕ= sin (ϕ 2) find Anablatimes

解 2

ˆ ˆˆ sin1sin

0 sin( 2) 0

r r r

Ar r

r

θ θϕ

θ θ ϕϕ

part part partnablatimes =

part part part

4-64

21 ˆˆ cos sin sinsin 2 2 2

rr rr

ϕ ϕθϕθ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

ˆˆ cos sin2 sin 2 2

rr r

ϕ ϕ ϕθ

minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

(b)如左圖一個底面在 x-y 平面半徑＝1高＝2 之圓錐 求面積分

SA dsnablatimes sdotint 面積範圍 S 為圓錐在 x-y 平面以上

部分 方向為由圓錐內向外

解由 Stokersquos law ( )S

A dsrarr rarrnablatimes sdotint ＝

C

A drarrsdotint 其中路

徑 C 為 x-y 平面圓心在原點之單位圓 ˆ ˆd rd dϕ ϕ ϕ ϕ= =

2

0ˆ ˆsin sin

2 2C

d dπϕ ϕϕ ϕ ϕ ϕ⎛ ⎞ ⎛ ⎞sdot =⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠int int ( )0

2 sin u duπ

= int 0cos | 2u π= minus =

習題 16 磁場 B 因為不是保守場所以沒有對應的純量位而對應一

個向量位 A (vector potential)而 B A= nablatimes 一個磁鐵的磁偶極矩

ˆm mz= 被置於原點已知在遠處的 vector potential 03ˆ sin

4mAr

μϕ θπ

=

計算該處的磁場 B Ans 03

ˆˆ( 2cos sin )4

mB rr

μ θ θ θπ

= + 與電偶極遠處

的電場形式一致都是偶極(dipole) 選幾個點畫一畫該處的場向量

把磁力線描出來

附錄本章講義的內容有部分可以經由直接計算得出列在附錄做為

參考

用「圓柱座標」寫 Atimesnabla

Ararr rarrnablatimes ＝ ( )1ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ zz A A zA

z ρ φρ ϕ ρ ϕρ ρ ϕpart part part⎛ ⎞+ + times + +⎜ ⎟part part part⎝ ⎠

4-65

因為rdquo sdotrdquo與rdquotimes rdquo都是向量間的運算所以

＝ ( )ˆ ˆ ˆ ˆ zA A zAρ φρ ρ ϕρpart

times + +part

＋ ( )1ˆ ˆ ˆ ˆ zA A zAρ φϕ ρ ϕρ ϕ

parttimes + +

part

＋ ( )ˆ ˆˆ ˆ zz A A zAz ρ φρ ϕpart

times + +part

直接做上式微分可以得到

＝1ˆ z AA

zϕρ

ρ ϕpart⎛ ⎞part

minus⎜ ⎟part part⎝ ⎠＋ ˆ zA A

zρϕ

ρpart⎛ ⎞part

minus⎜ ⎟part part⎝ ⎠＋

1 1ˆ ( )A

z A ρϕρ

ρ ρ ρ ϕpart⎛ ⎞part

minus⎜ ⎟part part⎝ ⎠

上式可以用一個行列式來表示

rarrrarr

timesnabla A＝

ˆ ˆ ˆ1

z

z

zA A Aρ ϕ

ρ ρϕ

ρ ρ ϕρ

part part partpart part part

（A-1）

A and Anabla nablasdot nablatimes in 球座標 spherical coordinate

如上圖球座標 )( ϕθr 其中 )0[ infinisinr ]0[ πθ isin ]20[ πϕ isin 只有 r

是長度而 ϕθ 為角度是用來說明方向的三個座標的單位向量 ˆ ˆˆ r θ ϕ 具

有下列性質

4-66

1 如上圖 ˆ ˆˆ r θ ϕ 都不是常數而是（ ϕθ ）的函數

ˆ ˆ( )ˆ ˆ( )ˆ ˆ( )

r r θ ϕ

θ θ θ ϕϕ ϕ ϕ

⎧ =⎪

=⎨⎪ =⎩

)( ϕθr 與(xyz)之間的轉換如下

sin cossin sincos

x ry rz r

θ φθ φθ

=⎧⎪ =⎨⎪ =⎩

( )122 2 2

2 2

tan

tan

r x y z

x yz

yx

θ

φ

⎧ = + +⎪⎪ +⎪ =⎨⎪⎪ =⎪⎩

（A-2）

2 ˆ ˆˆ r θ ϕ 形成一「歸一正交集」ie

ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ 1r r θ θ ϕ ϕsdot = sdot = sdot = ˆ ˆr θ ϕperp perp

ˆ ˆr θ ϕtimes = ˆ ˆ rθ ϕtimes = ˆˆ rϕ θtimes = （A-3）

3可以很容易的由他們在 xyz 軸上的投影由直角

座標的 ˆ ˆ ˆ x y z 表出

ˆ ˆ ˆ ˆsin cos sin sin cos ( 4 )ˆ ˆ ˆ ˆcos cos cos sin sin ( 4 )ˆ ˆ ˆsin cos ( 4 )

r x y z A a

x y z A bx y A c

θ φ θ φ θ

θ θ φ θ φ θϕ φ φ

= + + minus⎧⎪

= + minus minus⎨⎪ = minus + minus⎩

4 ˆdr = 由於 ˆ ˆ( )r r θ φ= 所以由 ϕθ 的變動來看

4-67

ˆ ˆˆ| |ˆ ˆˆ| | sin sin

d r d d

d r d d

θ θθ θθ

φ θ φφ θ φφ

⎧ rArr =⎪⎨

rArr =⎪⎩rArr ˆ ˆˆ sindr d dθ θ φ θ φ= + （A-5）

rArrˆ ˆr θθpart

=part

ˆ ˆsinr θφφpart

=part

（A-6）

（A-6）的結果也可以直接由（A-4a）對 ϕθ 偏微得到

5 ˆdθ ＝ 由於 ˆ ˆ( )θ θ θ φ= 所以由 ϕθ 的變動來看

ˆ ˆ ˆ| | ( )ˆ ˆ ˆ| | cos cos

d d r d r

d d d

θ θ θ θ

φ θ θ φφ φ θ φ

⎧ rArr minus = minus⎪⎨

rArr =⎪⎩rArr ˆdθ ＝ ˆˆ cosrd dθ φ θ φminus + （A-7）

ˆrθ

θpart

rArr = minuspart

ˆ ˆcosθ φ θφpart

=part

（A-8）

請直接由（A-4b）對 ϕθ 偏微的結果 check（A-8）

6 ˆdφ ＝由於φ )(ϕ 躺在 x-y 平面上變動φ時的方向可能不是那麼

容易看出來所以做圖看一看

ie ˆ ˆˆ(sin ) (cos )d r d dφ θ φ θ θ φ= minus minus （A-9）

4-68

ˆ ˆˆsin cosrφ θ θ θφpart

= minus minuspart

7 所有的向量 ˆ ˆˆ rA rA A Aθ φθ φrarr= + +

8 位置向量 ˆr rrrarr=

可以由左圖 ˆ ˆˆ r θ ϕ 三個方向的「長度

變化」輕易的看出

9 位移元素

ˆ ˆˆ ˆ sindr rdr rd dθ θ ϕ θ φ= + + (A-10)

10 體積元素

sindv dr r d rdθ φ θ= sdot sdot

＝ 2 sinr dr d dθ θ φ (A-11)

11 面積元素 2 sinrds r d dθ θ φ= plusmn sinds r drdθ θ φ= plusmn ds rdrdφ θ= plusmn (A-12)

plusmn號表示面的垂直方向有兩個端看 ds 周邊的方向是如何定的

nabladel 考慮 ( )u u r θ φ=

rArru u udu dr d dr

θ φθ φ

part part part= + +part part part

u d rrarr rarr

equiv nabla sdot

urarr

= nabla sdot ˆ ˆˆ( sin )rdr rd dθ θ φ θ φ+ +

rArr1 1ˆ ˆˆ

sinu u uu rr r r

θ ϕθ θ φ

rarr part part partnabla = + +

part part part

1 1ˆ ˆˆsin

rr r r

θ ϕθ θ φ

rarr part part partnabla equiv + +

part part part （A-13）

4-69

直接用（A-13）與 ˆ ˆˆ rA rA A Aθ φθ ϕrarr= + + 逐項內積加上（A-678）

rArr ϕθ

θθθ

ϕθ part

part+

partpart

+partpart

=sdotnablararrrarr A

rA

rAr

rrA r sin

1)(sinsin1)(1 2

2 （A-14）

（A-13）與 ϕθ ϕθ AAArA r

andandandrarr

++= 逐項外積整理之後

ϕθ θϕθ

ϕθθ

θArrAA

r

rrr

rA

r sin

sin

sin1

2 partpart

partpart

partpart

=timesnabla

andandand

rarrrarr

（A-15）

Laplacian uu nablasdotnabla=nabla2

2

2

2222

22

sin1)(sin

sin1)(1

ϕθθθ

θθ partpart

+partpart

partpart

+partpart

partpart

=nablau

ru

rrur

rru （A-16）

B推導「散度」在圓柱座標的寫法

讓我們先回顧一下在直角座標裡的「面積元素」可以由「位移元素」

得到

ˆˆ ˆ x y zdr idx jdy kdz da dydz dxdz dxdy= + + rArr =

比照辦理「圓柱座標」的位移元素

( )ˆˆ ˆ( )

( )z

da d dzdr d d zdz da d dz

da d d

ρ

φ

ρ φ

ρ ρ φ ρ φ ρ

ρ ρ φ

=⎧⎪= + + rArr =⎨⎪ =⎩

這個結論可以輕易的由面積元素在垂直於 zˆˆ ϕρ 三個方向的面積看

出如下圖考慮一個以 )( zϕρ 為中心的「圓柱體積元素」(cylindrical

cubiod)體積為 zdV ΔΔ=Δ ϕρρ 現計算在 ρ

方向的 12 兩個平行面(方向各為 ρplusmn )的通

量

4-70

zzF

dsFdsnFS S

ΔΔ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

+cong

=sdotintint intintϕρρϕρρρ

ρ

2

2

ˆ1 1

zzF

dsFdsnFS S

ΔΔ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

minus⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

minusminuscong

minus=sdotintint intintϕρρϕρρρ

ρ

2

2

ˆ2 2

intint+

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

minus⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

minusminus⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

+Δ

asympsdotΔ

rArr21

22

22

1ˆ1

SS

zFzFdsnFV

ϕρρρρϕρρρρρρ ρρ

( ) ( )

1 20

0

0

1 ˆlim

1lim 2 2 2 2

1 1lim 2 2

1

VS S

F ndsV

F z F z

F z F z

F

ρ ρρ

ρ ρρ

ρ

ρ ρ ρ ρρ ρ φ ρ ρ φρ ρ

ρ ρρ ρ φ ρ ρ φρ ρ

ρρ ρ

Δ rarr+

Δ rarr

Δ rarr

rArr sdotΔ

Δ Δ Δ Δ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + + minus minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥Δ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦Δ Δ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥Δ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

part ⎡ ⎤= ⎣ ⎦part

intint

娛樂一下用上述方式把圓柱的 Fsdotnabla 裡的z

FF z

partpart

+partϕρϕ1

變出來

球座標的nabla和 Fsdotnabla 也可以試試看

補充習題

H M Scheydiv grad curl and all that 4th edition

第二章習題 6 8 9 10 11 14 15 16 18 19 21 22 23 25 26 27

第三章習題 2 3 5 6 7 8 9 10 11 14 15 17 18 19 24

4-27

ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( )ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( )

ˆ ˆˆˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( )

x r

y r

z r

A x A r x r A x A x A

A y A r y r A y A y A

A z A r z r A z A z A

θ ϕ

θ ϕ

θ ϕ

θ ϕ

θ ϕ

θ ϕ

⎧ = sdot = sdot + sdot + sdot⎪⎪ = sdot = sdot + sdot + sdot⎨⎪

= sdot = sdot + sdot + sdot⎪⎩

（4-62）

由式（4-59）（4-61） ˆ ˆ ˆ ˆsin cos sin sin cosr x y zθ ϕ θ ϕ θ= + + （4-59） ˆ ˆ ˆ ˆcos cos cos sin sinx y zθ θ ϕ θ ϕ θ= + minus （4-60）

ˆ ˆ ˆsin cosx yϕ ϕ ϕ= minus + （4-61） ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆsin cos cos cos sin ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆsin sin cos sin cos ˆ ˆˆˆ ˆcos sin 0

x r x x

y r y y

z r z z

θ ϕ θ θ ϕ ϕ ϕ

θ ϕ θ θ ϕ ϕ ϕ

θ θ θ ϕ

⎛ ⎞sdot = sdot = sdot = minus⎜ ⎟

rArr sdot = sdot = sdot =⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟sdot = sdot = minus sdot =⎝ ⎠

（4-63）

sin cos cos cos sin sin sin cos sin cos

cos sin 0

x r r

y RS

z

A A AA A M AA A A

θ θ

ϕ ϕ

θ ϕ θ ϕ ϕ

θ ϕ θ ϕ ϕ

θ θ

⎛ ⎞minus ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟rArr = equiv⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟minus⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

（4-64）

其中 SRM 為由球座標分量轉為直角座標分量的轉換矩陣且行列式

det SRM =1 表示反矩陣存在then 1SRM minus 就是將直角座標分量轉為球座

標分量之轉換矩陣其實嚴格講 (4-64)式還不是最終的表示因為

轉換完的直角

座標應該全部以 x y z 表出這裡保留用 θ ϕ 只是為了簡潔方便

習題 2 Find 1SRM minus

習題 3 用 xyz 表出(a)sinθ (b)cosθ (c)sinϕ (d)cosϕ

Ans (a)2 2

2 2 2sin

x yx y z

θ+

=+ +

(b)2 2 2

cos zx y z

θ =+ +

(c)2 2

sin yx y

ϕ =+

(d)2 2

cos xx y

ϕ =+

習題 4 用上面結果將 SRM 用 xyz 表出

Ex26 Given a field ( )A r θ ϕ ＝ ˆ ˆˆ2 3r θ ϕ+ minus in spherical coordinates

find the field in rectangular coordinates （直角座標）

4-28

解這裡的 ( )A r θ ϕ 不因其三個分量都是常數而只是「一個」向量

而是一 vector field這是因為 ˆ ˆˆ r θ ϕ 都不是定值而與 θ ϕ 有關而如

果 ( )A r θ ϕ 表示則單位向量所對應的角度 θ ϕ 必須要標定所以

sin cos cos cos sin 2sin sin cos sin cos 3

1cos sin 0

x

y

z

AAA

θ ϕ θ ϕ ϕ

θ ϕ θ ϕ ϕ

θ θ

⎛ ⎞minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ minusminus⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

(2sin 3cos )cos sin(2sin 3cos )sin cos

2cos 3sin

x

y

z

AAA

θ θ ϕ ϕθ θ ϕ ϕ

θ θ

+ +⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟rArr = + minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟minus⎝ ⎠ ⎝ ⎠

習題 5 Draw a diagram to show in the cylindrical coordinates

(a) ˆ ˆ ˆcos sinx yρ ϕ ϕ= + (b) ˆ ˆ ˆsin cosx yϕ ϕ ϕ= minus + (c) ˆ ˆz z=

習題 6 use the above results show that 由柱座標分量轉為直角座標分

量的轉換矩陣

x

y CR

z z

A AA M AA A

ρ

ϕ

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟=⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

CRM =

2 2 2 2

2 2 2 2

0cos sin 0sin cos 0 0

0 0 10 0 1

x yx y x y

y xx y x y

ϕ ϕ

ϕ ϕ

minus⎛ ⎞⎜ ⎟+ +⎜ ⎟⎛ ⎞minus⎜ ⎟⎜ ⎟

= ⎜ ⎟⎜ ⎟+ +⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

Ex27 Express vector ˆ ˆ ˆ(3cos ) 2 5A zρ ϕ ϕ ρ= minus + in Cartesian

coordinates Specifically the A at the position of (2 2 3π -3)

解

2cos sin 0 3cos 3cos 2 sinsin cos 0 2 3cos sin 2 cos

5 50 0 1

x

y

z

AAA

ϕ ϕ ϕ ϕ ρ ϕϕ ϕ ρ ϕ ϕ ρ ϕ

⎛ ⎞minus ⎛ ⎞+⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟= minus = minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

so that A (2 2 3π -3)= 3 3 3ˆ ˆ ˆ3 3 3 54 4

x y z⎛ ⎞⎛ ⎞+ + minus +⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠注意本

題裡 z 座標並非一變數

4-29

sect 43 Fields and its properties 場與其性質

「場 field」是什麼凡是在「某個空間中每一點」都有定義的量

就是一個「場」所以「場」也稱為「點函數 point function」簡單的

說凡是「空間的函數」都是「場」如果這個「空間的函數」是一個

純量 u(xyz)那麼 u(xyz)就是一個「純量場 scalar field」例如室內

的溫度 T(xyz)一塊豬肉的密度 ( )x y zρ 大氣中的壓力 p(xyz)等

都是純量場如果這個「空間的函數」是一個向量 )( zyxA 那麼

)( zyxA 就稱為「向量場 vector field」例如空間中的電場 )( zyxE

水流中的速度場 )( zyxv 重力場 )( zyxg 等等很顯然的不論是純量

場還是向量場「場」在空間中的分佈通常未必是均勻的那麼她有

什麼性質呢例如一塊豬肉內部密度是如何變化的水流中有沒有

漩渦大氣中的等壓線是如何變化的等等那麼有沒有什麼量可以

有系統的描述各種場的分佈有我們在以下分別討論

sect 431 Gradient of scalar fields 純量場的梯度

考慮一個純量場 f(xyz)可以視為 3 個變數 xyz 的函數當變數變動為

x+dx y+dy z+dy 時造成 f 的變化

f f fdf dx dy dzx y zpart part part

= + +part part part

（4-65）

由幾何意義來看上式更為具體上式表示純量場 )(rf 基於位置的變化

r r drrarr + (或由 ( ) ( )x y z x dx y dy z dzrarr + + + )所造成 f 的變動

我們現在定義一個向量算符 vector operator nabla (or nabla )（讀做 del）

ˆ ˆ ˆx y zx y zpart part part

nabla equiv + +part part part

(4-66)

如果將 del 作用在純量場 )(rf 上將產生出現一個新的「向量場」 fnabla

稱為純量場「 )(rf 的『梯度 gradient』」

4-30

ˆ ˆ ˆ( ) f f fgrad f f x y zx y zpart part part

equiv nabla = + +part part part

（4-67）

這使得由於任意位移 ˆ ˆ ˆdr xdx ydy zdz= + + 所造成 f 的變化量

df f drrArr =nabla sdot （4-61）

ex28 Given scalar field 2( )f r xy z= and 2 2 2

1 1( )g rrx y z

= =+ +

(a) find the value of ( )f r and fnabla at point P(2 1-1) 解 2(21 1) 2 1 ( 1) 2f minus = times times minus = minus

2 2 2

2 2

ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( )

ˆ ˆ ˆ( ) ( 2 ) ( )

f x xy z y xy z z xy zx y z

x y z y x yz z xy

part part partnabla = +

part part part

= +

＋

＋

ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ(21 1) ( 1) (2 2) (2) 4f x y z x y znabla minus = minus + timesminus = minus minus＋ ＋2 (b) find the value of ( )g r and gnabla at the point P

解2

1 1(21 1)62 1 1

g minus = =+ +

2 2 2 12 2 2 2 12

2 2 2 12

ˆ ˆ( ) ( )

ˆ ( )

g x x y z y x y zx y

z x y zz

minus minus

minus

part partnabla = + + + + +

part partpart

+ +part

＋

2 2 2 32 2 2 2 32 2 2 2 32

2 2 2 32 3 2

ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( )

ˆ ˆ ˆˆ( )( )

OR OR

xx yy zzgx y z x y z x y zxx yy zz r r

x y z r r

minus minus minusrArrnabla = + +

+ + + + + +minus + + minus minus

= = =+ +

32

ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ(2 ) 2(21 1)6 6 6

x y z x y zg minus + minus minus minus +rArrnabla minus = =

由 gnabla 看到一個粉常用的結果就是

3 2

ˆ1 ORr rr r r

minus minusnabla = = （4-62）

順便比較一下

2 2 2 12 2 2 2 12 2 2 2 12

2 2 2 12

ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( )

ˆ ˆ ˆ( ) ˆ (4 63)( )

r x x y z y x y z z x y zx y zxx yy zz r r

x y z r

part part partnabla = + + + + + + +

part part part+ +

= = = minus+ +

＋

4-31

(c) what is the angle between (21 1)fnabla minus and (21 1)gnabla minus

解 (21 1)fnabla minus (21 1)gsdotnabla minus ＝（ ˆ ˆ ˆ4x y zminus minus ＋2 ） sdotˆ ˆ ˆ26 6x y zminus minus +

＝2 4 2 4

6 6 3 6+ +

= ＝ | (21 1) |fnabla minus | (21 1) |gnabla minus cosθ

＝ 34 1 1 211 16 4 cos cos

6 6θ θ+ +

+ + =

1 4 2cos 07773 7

radθ minus ⎛ ⎞= =⎜ ⎟

⎝ ⎠

要注意隨然nabla有向量的性質但是他並不是一個真的向量真

實向量 A與純量 f ( )r 的乘法滿足交換率ie ( ) ( )Af r f r A= 但是

f fnabla ne nabla因為

( )f rnabla ＝ ˆ ˆ ˆf f fx y zx y zpart part part

+ +part part part

是一個向量函數而

ˆ ˆ ˆ( )f r x y zx y z

⎛ ⎞part part part+ +⎜ ⎟part part part⎝ ⎠

是一個算符（operator）

若nabla要與向量場 A 作用由於nabla與 A 都具有向量的性質先看「內積」

ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ( )

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

x y z

x y

z

y yx xz z

A x y z xA yA zAx y z

x y z xA x y z yAx y z x y z

x y z zAx y z

A AA AA Ax x x y x zx y z x y z

⎛ ⎞part part partrArrnablasdot = + + sdot + +⎜ ⎟part part part⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞part part part part part part= + + sdot + + + sdot⎜ ⎟ ⎜ ⎟part part part part part part⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞part part part

+ + + sdot⎜ ⎟part part part⎝ ⎠part partpart partpart part

= sdot + sdot + sdot + sdotsdot sdot = + +part part part part part part

yx zAA AAx y z

partpart partnablasdot = + +

part part part (4-64)

上式中的 Anablasdot 是向量場 A 的一個重要的性質稱為 A 的「散度」詳

細的內容在後面會仔細討論這裡引進 Anablasdot 主要是要表明nabla是個「算

符」表示一個運算不是一個真實的向量只是在「直角座標」裡

4-32

因為單位向量 ˆ ˆ ˆ x y z 是常數不受微分的作用以致nabla表現得好像也

是個一般的向量一樣事實上真實向量和nabla間的「內積」就不滿足交

換率

x y zA A A A an operator Ax y zpart part part

sdotnabla = + + = ne nablasdotpart part part

(4-65)

這也使得任意向量場 ( )A r 因位置變動 r r drrarr + 而產生的變化由於

)( zyxA 也是 3 個變數 xyz 的函數可以寫為

( )A A AdA dx dy dz dr Ax y z

part part part= + + = sdotnabla

part part part （4-66）

ex29 (a)Given field 2ˆ ˆ ˆ2A xxy y x zyz= minus + find Anablasdot at point (1-12)

解2( ) (2 ) ( ) 2xy x yzA y yz

x y zpart part part

nablasdot = + + = +part part part

(1 12)1 2( 1)2 3A

minusnabla sdot = minus + minus =

(b) find rnablasdot 解 rnablasdot = 3x y zx y zpart part part

+ + =part part part

梯度的意義

由（4-67）可以看到「f 的梯度 fnabla 」

是一個由「純量場 f」衍生出的向量

場由（4-26）也可以看出 fnabla 扮演類

似「變化率」的角色

空間中將相同值 f ( )r ＝f1 的點連

起來就得到一個 f ( )r ＝f1 的「等值面」如 Fig36考慮純量場 f( r )的

相鄰兩個等值面各對應定值 1f f= 與 1f f df= + 0df gt P1 點在 f1

等值面上相鄰兩點 P2P3 在 1f df+ 等值面上而向量 1 2 ˆnP P dn e dn= =

過 P1 點垂直於 f1 等值面 1 3 ˆP P d e d= = 與 ˆne dn夾角為α 由於不

論 1 2P Prarr 或 1 3P Prarr f 的變化量都是 df 但因距離 dn 係兩等值面最

4-33

短的距離d dngt 所以 1 2P Prarr 或 1 3P Prarr 造成的「變化率」df dfdn d

gt

而過 P1 點的最大變化率為dfdn

換言之向量 ˆndfedn

為過 P1 點垂直於

f1 等值面且指向最大「增加率」的方向 現在要證明

ˆndfe fdn

= nabla （4-67）

考慮 1 3P Prarr 造成的 f 值的變化率

ˆ ˆcos n ldf df dn df df e edl dn dl dn dn

α= = = sdot

ˆ ˆ ˆn l ndf dfdf e e dl e dldn dn

rArr = sdot = sdot

和（4-61）式df f dr= nabla sdot 相比即可得證 ˆndfe fdn

= nabla 所以可以知道

空間純量場 f ( )r 中任一點處的向量 fnabla 必「垂直」於「通過該點的 f的等值面」且指向 f 值最大「增加率」的方向| ( )f rnabla |就是 f 在 r 點

的最大增長率可以進一步定義等值面的「法線 normal」方向為

ˆ fnf

nabla=nabla

（4-68）

結論給定一個純量場 f( r )在每一點 r 可以定義一個稱做「梯度」

的向量 fnabla fnabla 垂直於過 r 點的 f 等值面且指向最 f 大增加率的方向

fnabla 的方向也定義了 f 等值面的法線方向

Ex30 考慮一個 2D 的 scalar field 2( )f x y y x= minus 計算該場在 )20( 的梯度與

法線方向

解 ˆ ˆ ˆ ˆ2f ff x y x yyx ypart part

nabla = + = minus +part part

ˆ ˆ(0 2) 2 2f i jnabla = minus + ˆ ˆ ˆ ˆ2 2 2 2ˆ(0 2)

31 8i j i jn minus + minus +

rArr = =+

4-34

ex31 點電荷 q 置於原點其產生電位為 ( ) qV rr

= 求負梯度qr

minusnabla

解 3

2 2 2 22 2 2

2 ( )2

q q q q x x y zr x rx y z

minuspart minus= rArr = sdot + +

part+ +

3 23

ˆˆ ˆ ˆ( )q ix jy kz r rq q qr r r r

minus + +rArr minusnabla = minus = = （點電荷的電場）

0 0

1 1 r r

noter r= =

nabla rarrinfin rarrinfin∵ 是不定值是因為 r = 0 處為最大值

「增加率」的方向無法確定

ex32 置一熱源於原點空間溫度分佈為1( )

( 2)T r

r=

+求溫度的梯度

解 2 2 2

ˆ( ) ( )( 2) ( 2) ( 2)

x rT r rr rT r

x r r r

minuspart minus

= rArrnabla = =part + + +

此處的負號表示梯

度指向熱源因為距熱源越遠溫度越低 ( 0)note T rnabla = 為不定值

因在最頂點「增加率」的方向無法確定

Ex33 地圖上山脈的等高線上各點的垂直方向由梯度決定現有一座

山是橢球 2)1(4 222 =+++ zyx 在 x-y 平面上方的

部分求地圖上這座山等高線的梯度

解 山高 142 22 minusminusminus== yxzh 所以等高線為橢

圓 222 )1(24 +minus=+ hyx 梯度

( ) ( ) ( )2 2 2 2

2 2

ˆ ˆ4ˆ ˆ2 4 1 2 4 1

2 4

xx y yh x x y y x y

x y x y

minus +part partnabla = minus minus minus + minus minus minus =

part part minus minus

所以自山腳（h=0）登山若由(012)開始 ˆ(01 2) 2h ynabla = minus 但若由

)02(minus 開始爬山 ˆ( 20) 2h xnabla minus = 可見 )02()210( minusnablagtnabla hh 這表

示由 y-軸登山山勢較陡所以「梯度」比由 x-軸登山為大這也更

清楚瞭解「梯度」的幾何意義

4-35

sect 432 Divergence 散度與 Curl 旋度

在(4-66) 我們建立了一個直角座標 vector operator 「del」

ˆ ˆ ˆx y zx y zpart part part

nabla equiv + +part part part

(4-66)

若與向量場 A 做「內積」與「外積」就建構了 A 的「散度」與「旋度」

散度 A A scalaryx zAA Adiv ax y z

partpart partequiv nabla sdot = + + =

part part part （4-69）

旋度

y yz x z x

ˆ ˆ ˆ y z A vector

A AA A A Aˆ ˆ ˆxy z z x x y

x y z

x y z

xcurl A a

A A A

y z

⎧⎪

= nablatimes = part part part =⎪⎪⎨⎪

part part⎛ ⎞ ⎛ ⎞part part part part⎛ ⎞⎪ = minus + minus + minus⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎪ part part part part part part⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎩

(4-70)

這裡定義的只是「散度」與「旋度」所謂「操作型的定義」告訴我

們如何計算的式子事實上她們都具有重要的物理意義我們在後面

會討論

ex34 ˆ ˆA xy yx= minus 求其散度與旋度

解 0 0y xAx ypart part

nablasdot = minus + =part part

ˆ ˆ ˆ y zˆ ˆ ˆ ˆ 0 0 ( 2) 2

0 x y z

xA x y z z

y xnablatimes = part part part = minus + minus = minus

minus

右圖示意了本向量場的分佈看得出像個漩渦也看到算出的旋度

0ne 看來旋度表現的應該是向量場「旋轉的程度」事實上我們在

後面會看到「旋度」表現的就是是向量場在空間各點「旋轉的程度」

本題的向量場在每一點的旋轉程度都一樣

4-36

Ex35 ( )ˆ ˆ ˆ A xx yy zz r= + + = 求其散度與旋度

解 3A rnablasdot = nablasdot = ˆ ˆ ˆ y z

0

x y z

xA

x y znablatimes = part part part =

由場分佈的示意圖可以看出本向量場是自原點向外射出好似在原

點有一個場線的「源頭 source」但是 3Anablasdot = 為一個常數表示好像到

處都有 source同時旋度為 0 也可以配合本場並無旋轉的形象事實

上「散度」表現的就是是向量場在空間各點產生「場線」的 source

記得靜電學裡的庫倫定律 0E ρ εnablasdot = 電場的散度就是「電荷密度」

(電場的 source)前一題的向量場看來對應的場線是封閉的所以沒有

source這也對應了其散度＝0不過一個向量場的散度旋度究竟是

多少應該詳細的計算場分佈圖形有時候不是那麼容易看的清楚

兩個 useful identities (恆等式)

(a) ( ) 0 0f curl of a gradnablatimes nabla = =

(b) ( ) 0 0A div of a curlnablasdot nablatimes = =

pf (a) ( )ˆ ˆ ˆ x y z

x y z

x y z

ff f f

nablatimes nabla = part part part

part part part

( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2xz zxˆ ˆ ˆx y f- f z 0yz yz xy yxf f f f= part minus part minus part part + part minuspart =

這個結果與真實的向量外積 ( ) AA 0=times 有相似之處但是這只是特

例要記得nabla並不是一個真正的向量

( ) ( ) ( )

( )

ˆ ˆ ˆ y zˆ ˆ ˆ x y z

0

x y z y z z y x z z x x y y x

x y z

xy z xz y xy z yz x xz y yz x

xA A A A A A A

A A A

A A A A A A A

nablatimes = part part part = part minus part minus part minus part + part minus part

nablasdot nablatimes = part minuspart minuspart +part +part minuspart =

4-37

此結果與真實的向量運算有相似之處 ( )( )0 (B A) BB B Asdot times = times perp∵

但是這仍只是特例因為我們可由下列例子 ( ) 0A Asdot nablatimes ne 看出事實上

nabla並不是一個真正的向量 Ex36 ˆ ˆ ˆA xy yx zx= minus +

( )

ˆ ˆ ˆ y zˆ ˆ ˆ 0 1 ( 2)

2 0

x y z

xA x y z

y x x

A A x x x

nablatimes = part part part = minus + minus

minus

sdot nablatimes = minus = minus ne

面積元素向量

物理上時常會遇到面積分例如電通量磁通

量等等考慮一個面積元素 ds定義「面積的

方向」為其「法線方向」並定義面積元素向量

ˆnds a dsequiv （4-71）

要注意的是(1)如果 ds 是一個「封閉面

closed surface」（即有裡外之分）的一部

份則 ˆna 定義為「由內向外」(2) 如果 ds

是一個「開放面 opened surface」（即分不

出裡外）的一部份那麼 ds 必被其邊緣

（一個封閉的曲線 C）所包圍這樣在定

出ds 的方向之前要先定義「邊緣曲線」

C 的方向再由右手定則定義 ˆna 的方向

既然面積已為一個向量就可以寫為分量表示以直角座標

ˆ ˆ ˆx y zds xds yds zds= + + (4-72)

那麼這些分量 dsx dsy dsz 會是什麼既然 dsx 的方向是 x 就表示 dsx

是躺在 y-z 平面上所以 dsx 的兩邊是 dy 與 dz rArr xds dydz= 依此類

4-38

推 dsy 的方向是 y 所以躺在 x-z 平面rArr yds dxdz= hellip可以得知

xds dydz= yds dxdz= zds dxdy= （4-73）

不過要注意在寫面積元素時要看討論的面實際

是什麼面上式的三個分量有可能會是負的例如

左圖座落在第一象限的立方體的 A 面方向就在 xminus

方向Arsquo面在 yminus Ardquo面在 zminus 方向寫面積元素最

好是先把討論的面的方向搞清楚把plusmn號寫在單位向量前面那麼分

量就都用＋的即可其實面積元素體積元素都可以由位移元素看出

ˆ ˆ ˆdr xdx ydy zdz= + +

dx dy dz 是沿著 ˆ ˆ ˆ x y z 方向的長度所以面積元素分量的兩邊長度就

是由其中兩個組成而體積的三邊也就是三個垂直方向的長度

x y zdV dx dy dz and ds dydz dxdz dxdyrArr = = （4-74）

這個概念在其他的座標系統也成立我們可以方便的寫出面積元素

Recall 柱座標的位移向量元素

cylindrical coordinate ˆ ˆ ˆdr d d dzzρρ ρ ϕϕ= + + （4-48）

ˆ ˆ ˆ zds ds ds zdsρ ϕρ ϕ= + + (4-75)

dsρ 躺在 zϕ minus 平面dsϕ 在 zρ minus 平面 zds 在ρ ϕminus 平面

rArr zds d dz ds d dz ds d d d dρ ϕρ ϕ ρ ρ ρ ϕ ρ ρ ϕ= = = sdot = （4-76）

上面的結果畫個圖看看吧球座標的位移向量元素

Spherical coordinate ˆ ˆˆ ( ) ( sin )dr rdr rd r dθ θ ϕ θ ϕ= + + （4-56）

ˆ ˆˆ rds rds ds dsθ ϕθ ϕ= + + （4-77）

rArr sin sin rds rd r d ds dr r d ds rd drθ ϕθ θ ϕ θ ϕ θ= sdot = sdot = sdot (4-78)

4-39

向量場 ( )A r 在 S 面上的「面積分（surface integral）」or「flux」

如左圖若有一「平面」S 且其上有「均勻」

場 B 分佈則通過 S 面的通量就是

ˆB B nSΦ = sdot

但考慮一任意「非均勻」向量場 ( )A r 在空間分佈選取任意曲面 S

探討 ( )A r 在 S 上之通量若ds 為 S 面上的面積元素在趨近於 0 的

小面積ds 上 A可視為均勻所以通過ds 之通量為 ( )d A r dsΦ = sdot 則 S

面之總通量為

Φ＝ ˆ cosS S S

A ds A nds A daϕsdot = sdot =int int int

( )OR

x x y y z zS

A da A da A da= + +int (4-75)

稱為 A 在 S 面上的「面積分」或「通量 flux」

上圖所繪就是一個任意面上分割出許多小面積舉出三個位置的通

量有+-與 0如果 S 面是為一「封閉面」則面積分寫為

S

A dssdotint （4-76）

4-40

ex37 Given 2ˆ ˆ ˆyzA xyz yx zx= + + 計算通量S

A dssdotint

S 面為在第一象限邊長＝1 的立方體表面封閉面

解立方體分為前後右左上下六個面分開算 1前面（x=1）

方向 x+ ˆ xA ds A xdydz A dydzsdot = sdot =int int int前 前 前

yzdydz= int前 ＝1 1

0 0

1 1 12 2 4

ydy zdz = sdot =int int

2後面(x=0)方向 xminus ˆ(- ) - xA ds A x dydz A dydzsdot = sdot =int int int後 後 後

yzdydz= minusint後1 1

0 0

-1 1 -12 2 4

ydy zdzminus = sdot =int int

3 右面（y=1）方向 y+ y ( 1)yA ds A dxdz A y dxdzsdot = sdot = =int int int右 右 右

( 1)x y zdxdz= =int右 ＝1 1

0 0

1 1 12 2 4

xdx zdz = sdot =int int

4 左面（y=0）方向 ˆ-y ˆ( y) - ( 0)yA ds A dxdz A y dxdzsdot = sdot minus = =int int int左 左 左

( 0) 0x y zdxdz= = =int左

5 上面（z=1）方向 z+ zz y (z 1) yA ds A dxd A dxdsdot = sdot = =int int int上 上 上

2 yx dxd= int上 ＝1 120 0

1 1y 13 3

x dx d = sdot =int int

6 下面（z=1）方向 ˆ-z zˆ(-z) y - (z 0) yA ds A dxd A dxdsdot = sdot = =int int int下 下 下

2 -1- y3

x dxd= =int下 ＝1 120 0

1 1y 13 3

x dx d = sdot =int int

S

A dssdotint ＝六個面的和＝1 1 1 1 1 1( ) ( 0) ( )4 4 4 3 3 4

minus minus+ + + + + =

ex38 Given ˆ ˆ ˆzA xyz yx zxy= + + 計算通量S

A dssdotint S 為圓 2 2 2x y a+ =

在第一項限的部分方向選為 z+ 2 2y a x= minus

4-41

解 2 2 4

0 0ˆ

8a a x

zS S S S

aA ds A zdxdy A dxdy xydxdy xdx ydyminus

sdot = sdot = = = =int int int int int int

Ex39 In cylindrical coordinate Given ˆ ˆaA zbzρρ

= + where a b are

constants Find S

A dssdotint over the surface of a

closed cylinder about z-axis specified by 3 2z ρ= plusmn =

解S 分為上下與周邊三面

zz (z 3)zA ds A ds A d dρ ρ ϕsdot = sdot = = sdotint int int上 上 上

= 23 3 2 12bd d b bρ ρ ϕ π πsdot = sdot =int上

ˆ(-z)A ds A d dρ ρ ϕsdot = sdot sdotint int下 下

= z- (z -3)A d dρ ρ ϕ= sdotint下 = 23 2 12b bπ πsdot =

周邊ds ˆ ( )d dzρ ρ ϕ= rArr ˆ ( ) z ( ) zA ds A d d A d dρρ ρ ϕ ρ ϕsdot = sdot =int int int周 周 周

2 3

0 3( ) z ( ) z=a 12aA d d d d d dz a

πρ ρ ϕ ρ ϕ ϕ π

ρ minus= = =int int int int周 周

加起來 S

A dssdotint ＝12 24 12 ( 2 )a b a bπ π π+ = +

ex40 一點電荷 q 置於原點計算在一個以原點為圓心 0r 為半徑的球

面上的電通量

解 2 20 0

ˆ ˆ4 4S S

qr q dsE ds rdsr rπε πε

sdot = sdot =int int int

=0 0 0

44 4S

q q qd ππε πε ε

sdot Ω = sdot =int

上式中 dΩ 2dsr

= 是 ds 所張開的「立體角」(solid angle)

4-42

div A and Flux 通量與散度的幾何物理意義

我們運用過nabla的符號來表示過散度 divF F= nablasdot yx zFF Fx y z

partpart part= + +part part part

但是也看到「散度」定義為

0( )

1( ) limSV

about x y z

divF x y z F da divergence of FVΔ rarr

equiv sdot =Δ int (4-77)

其中 VΔ 為 S 面所包含的體積即散

度為通量(體)密度的 0 體積極限

（4-77）的定義與 Fnablasdot 好像差的很

多她們是說同一回事嗎以下證明

這兩種「散度」的定義是等價的如

左圖考慮一個以點 ( ) x y z 為中心

的 立 方 體 其 相 鄰 三 邊 長 為

x y zΔ Δ Δ 體積 V x y zΔ = Δ Δ Δ 現在計算 F 在立方體的一組平行於 y-z平面的表面 S1 與 S2 的通量

( )1 1

ˆ ˆ xS S

F nds F xds F x y z dsrArr sdot = sdot =intint intint intint 2xxF x y z y zΔ⎛ ⎞asymp + Δ Δ⎜ ⎟

⎝ ⎠

其中 2xx y zΔ⎛ ⎞+⎜ ⎟

⎝ ⎠為 S1 面中心的座標而

2xx y zΔ⎛ ⎞minus⎜ ⎟

⎝ ⎠為 S2 面的中心

( ) ( )2 2 2

ˆ ˆ 2x x

S S S

xF nda F x ds F x y z ds F x y z y zΔ⎛ ⎞rArr sdot = sdot minus = minus asymp minus minus Δ Δ⎜ ⎟⎝ ⎠intint intint intint

上式中的負號來自 S2 面的方向是 xminus 所以合併兩個面積分

1 2

ˆ 2 2x x

S S

x xF nds F x y z F x y z y z+

Δ Δ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞rArr sdot asymp + minus minus Δ Δ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦intint

2 2x xx xF x y z F x y z

x y zx

Δ Δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠= Δ Δ Δ

Δ

2 2

x xx xF x y z F x y z

Vx

Δ Δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠= Δ

Δ

1 2

1 2 2ˆ

x x

S S

x xF x y z F x y zF nds

V x+

Δ Δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠rArr sdot asymp

Δ Δintint

4-43

當取體積向(xyz)點收縮至 0 時即 0 x 0as VΔ rarr Δ rarr 上式的近似

「asymp」就成了「＝」

1 20

1 ˆlimV

S S

F ndsVΔ rarr

+

sdotΔ intint

( )0

2 2limx x

x

x

x xF x y z F x y z F x y zx xΔ rarr

Δ Δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟ part⎝ ⎠ ⎝ ⎠= =Δ part

Similarly F 在立方體的一組平行於 x-z 平面的表面 S3 與 S4 的通量

3 3 3

ˆ ˆ yS S S

F nds F yds F dsrArr sdot = sdot =intint intint intint

2

2

y

y

yF x y zyF x y z x z x y z

y

Δ⎛ ⎞+⎜ ⎟Δ⎛ ⎞ ⎝ ⎠asymp + Δ Δ = Δ Δ Δ⎜ ⎟ Δ⎝ ⎠

( )4 4 4

2ˆ ˆ

y

yS S S

yF x y zF nds F y da F ds x y z

y

Δ⎛ ⎞minus⎜ ⎟⎝ ⎠rArr sdot = sdot minus = minus asymp Δ Δ Δ

Δintint intint intint

合併 S3 與 S4 兩個面積分並取體積向(xyz)點收縮至 0 時即當

0 y 0VΔ rarr Δ rarr 上式的近似asymp就成了＝

3 4

2 2ˆ

x x

S S

y yF x y z F x y zF nds V

y+

Δ Δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠rArr sdot cong Δ

Δintint

3 40 0

1 2 2ˆlim lim

x xy

V yS S

x yF x y z F x y z FF nds

V y yΔ rarr Δ rarr+

Δ Δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟ part⎝ ⎠ ⎝ ⎠rArr sdot = =Δ Δ partintint

與上面相同的作法計算 F 在立方體的一組平行於 x-y 平面的表面 S5

與 S6 的通量我們也會得到對應的結果

5 6

2 2ˆ

z x

S S

z zF x y z F x y zF nds V

z+

Δ Δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠rArr sdot cong Δ

Δintint

5 60 0

1 2 2ˆlim lim

z xz

V zS S

z zF x y z F x y zFF nds

V z zΔ rarr Δ rarr+

Δ Δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟ part⎝ ⎠ ⎝ ⎠rArr sdot = =Δ Δ partintint

所以合併立方體的 6 個面積分

4-44

1 2 3 4 5 6

ˆ ˆ ˆ ˆS S S S S S S

F nds F nds F nds F nds+ + +

rArr sdot = sdot + sdot + sdotint intint intint intint

0

1 ˆlim yx zV

FF FF nds div F FV x y zΔ rarr

partpart partrArr sdot = + + = = nablasdot

Δ part part partint (4-78)

在此我們得證這兩種「散度」的定義是等價的只是（4-77）的定義

充分的表現出「散度」的幾何物理意義他從通量著手由於場線

出自於 source（ex電場源自於點電荷）所以在點(xyz)必須有向量場

F 的 source 存在才能使得當面積縮到 0 時仍具有非 0 的通量所以「散

度」表現向量場 F 的 source 在這個定義之下是很清楚的當然在計算

「散度」時我們不必那麼麻煩用 divF F= nablasdot 就好了

Ex41 計算 2ˆ ˆ ˆF xx yxy zyz= + + 的散度

解 2 yx zFF Fx x yx y z

partpart part= = =

part part part F 2x x y 3x ydivrArr = + + = +

recall 在靜電學0

yx zEE EEx y z

ρε

partpart partnablasdot = = + +

part part part

散度定理 Divergence Theorem

若任意封閉面（又稱為「高斯面」）S 所包圍的

體積為 V 則

S VA ds Adτsdot = nablasdotint int （4-79）

pf 我們先將體積分割成 N 個小盒子考慮相鄰的兩個小盒子 1 2

兩小盒子的共用面面積 S0當 S0 是為 1 號盒子的一部份時其方向為

1n 但若當為 2 號盒子的表面時其方向為 12 ˆˆ nn minus= 如此在 S0 分別做

4-45

1 2 盒子的面積分後

0 0

0 0 0 0

1 2

1 2 1 1ˆ ˆ ˆ ˆ 0

S S

S S S S

A ds A ds

F n ds F n ds F n ds F n ds

sdot + sdot

= sdot + sdot = sdot minus sdot =

intint intintintint intint intint intint

所以若求場 A 在 1 2 盒子的總通量時交界面是沒有貢獻的總通量

就只有「外面積」才有貢獻如此我們計算 N 個小盒子的總通量

時所有的內部共用面都得 0只剩下「外表面」的貢獻了當 infinrarrN

時所有小盒子的「總外表面」就與 S 面重合了所以所有小盒子通量

的總和就等於 S 面的通量

1lim

i

N

S SN iA ds A ds

rarrinfin=

rArr sdot = sdotsumint int

現在我們做 N 個小盒子的總通量

1 1

1i i

N N

iS Si i i

A ds A ds VV= =

⎛ ⎞sdot = sdot Δ⎜ ⎟Δ⎝ ⎠

sum sumint int

當 0iN Vrarrinfin rArr Δ rarr 並用 dv 表示體積元素

( ) ( )1 1

1

1lim lim lim

lim

i ii

N N

iS SN N V oi i i

N

i VN i

A ds A ds VV

A V A dv

rarrinfin rarrinfin Δ rarr= =

rarrinfin=

⎛ ⎞sdot = sdot Δ⎜ ⎟Δ⎝ ⎠

= nablasdot Δ = nablasdot

sum sumint int

sum int

( )S V

A da A dvrArr sdot = nablasdotint int QED

所以得證散度定理上式中我們用了散度的（4-77）式定義要分辨

清楚 Anablasdot 是向量場 A 在空間中「某一點」的性質（ 0VΔ rarr ）而「散

度定理」說的是一個「有限體積」的性質

ex42 給定 ( ) ˆ ˆ ˆ A x y z xx yy zz r= + + = 計算在

半徑 R＝1 的球的上半球加底面的通量

4-46

解 ( )ˆˆS

A da A rda A k darArr sdot = sdot + sdot minusint int int上半球面 底面

( )

2

ˆ ˆ

0 2 1 2

A rda A z dxdy

r rds zdxdy rds ds π π

= sdot + sdot minus

= sdot minus = minus = = sdot =

int int

int int int int上半球面 底面

上半球面 底面 上半球面

底面的通量＝0 是因為 A 的 z 分量 Az=z 在底面的值為 0

也可以用散度定理更快的得出結果

∵ 3A rnablasdot = nablasdot =

31 43 3 1 22 3V V

Ad d πτ τ πnablasdot = = sdot sdot sdot =int int

ex43高斯定律的微分形式積 由 Gaussrsquo law 的積分形式用散度定理得出其

( )0 0

1 inS V

qE ds x y z dvρε ε

sdot = =int int

0S V VE ds Edv dvρ

εrArr sdot = nablasdot =int int int

上式最後的等式對「任意形狀」V 都成立所以兩者的被積函數相等

對於空間每一點 0

E ρε

nablasdot = （4-80）

ex44 Use 第一象限的單位力方體 check the divergence theorem using the function 2 2ˆ ˆ ˆ(2 ) 2A y x xy z y yzz= + + +

解2

2( ) (2 )(2 ) 2( )y yzA xy z x yx y z

part part partnablasdot = + + + = +

part part part

and 1 1 1 1 1 1

0 0 0 0 0 02 ( ) 2 ( )

VAdv x y dxdydz dz dy x y dxnablasdot = + = +int int int int int int int

1 1

0 0

1 12 ( ) 2 12 2

dz y dy= + = sdot =int int

面積分 1 1 2

0 0

1ˆ3

A ds A xdydz dz y dysdot = sdot = =intint intint int int前 前

4-47

1 1 2

0 0

1ˆ( )3

A ds A x dydz dz y dy minussdot = sdot minus = minus =intint intint int int

後 後

1 1 2

0 0ˆ (2 )A ds A ydxdz dz xy z dxsdot = sdot = +intint intint int int

右 右

1 1 1 12 2

0 0 0

4(2 ) (1 )3

ydz x z dx dz z

=

= + = + =int int int∵

1 1 2

0 0

0 1 1 12 2

0 0 0

ˆ( ) (2 )

1(1 )3

y

A ds A y dxdz dz xy z dx

dz z dx dz z=

sdot = sdot minus = minus +

minus= minus = + =

intint intint int int

int int int∵

左 左

11 1 1 1

0 0 0 0ˆ 2 2 1

zA ds A zdxdy dx yzdy dx ydy

=sdot = sdot = = =intint intint int int int int

∵

上 上

01 1

0 0ˆ 2 0

zA ds A zdxdy dx yzdy

=sdot = sdot minus = minus =intint intint int int

∵

下 下

前後右左上下六個面積分合併＝1＝V

Advnablasdotint QED

ex45 Continuity Equation 連續方程式

考慮某些「東西」的流動（物質電荷hellip）在時刻 t 時在點(xyz)

的 密 度 為 ( ) x y z tρ ρ= 並 具 有 速 度

( ) v v x y z t= 在時刻 t 時在體積 V 內的總量為

( ) x y z t dρ τintintint

這樣體積 V 內東東的時變率為

( ) ( ) d x y z t d x y z t ddt t

ρρ τ τpart=

partintintint intintint

注意體積分後的時間全微分移入積分內要改為偏微分這個東東

在表面的「流率 flow rate」可表為

ˆS

R v ndsρ= sdotintint

若體積內的物料無法自生自滅那麼體積內物料的變化必經由表面的

流出流入所造成

d v ndstρ τ ρpart

rArr = minus sdotpartintintint intint

由散度定理

4-48

( )ˆS

v nds v d dtρρ ρ τ τpart

sdot = nablasdot = minuspartintint intintint intintint

( )v Jtρ ρpart

rArr = minusnablasdot equiv minusnablasdotpart

0Jtρpart

rArr +nablasdot =part

（4-81）

(4-81) 即 continuity equation其中 J vρ= 為「物流密度」ex如果 ρ

是電荷密度 J 就是電流密度（4-81）是物質守恆的結果只對體

積內無 source（生成）or drain（消滅）的東東成立

ex46 Given a vector field ˆ ˆx yA ye xe= minus + (a) Find

Anablasdot (b)如圖一個金字塔狀的 5 面體高 2 底邊長

1計算 A在整個金字塔表面（封閉面）的總通量

解(a) Anablasdot = ( ) ( ) 0y xx ypart part

minus + =part part

(b) 金 字 塔 的 表 面 面 積 元 素 ds 不 好 寫 所 以 用 散 度 定 理

( )S V

A da A dvrArr sdot = nablasdotint int ＝0 Anablasdot 表示 A沒有 source 所以對封閉面而

言有多少場線進入就有多少出去所以總通量＝0

習題 7 With position vector r for an arbitrary volume V that is

bounded by surface S show that 13 S

r ds Vsdot =int

習題 8 已知一靜電場為 ˆ ˆ ˆ( )E xyz yxz zxyλ= + + 運用 Gaussrsquo law

試求包含在半球 2 2 2 2 0x y z R z+ + = ge 裡的總電荷 Ans 0

習題 9 (a) given ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( 2 )F r xf x yf y zf z= + + minus show that divF is

zero at point (c c -c2) (b) given ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( )G r xf x z yg x z zh x y= + +

show that ( ) 0G rnablasdot =

4-49

習題 10 Find the normal vector n for the surfaces (a) z = 2-x-y ans

ˆ ˆ ˆ( ) 3x y z+ + (b) z = (1-x2)12 ans ˆ ˆxx zz+ (c) z = x2+y2

ans ˆ ˆ ˆ( 2 2 ) 1 4xx yy z zminus minus + +

習題 11 Show that the unit vector normal to the plane ax+by+cz =d is

given by 2 2 2ˆ ˆ ˆ( ) ax by cz a b cplusmn + + + +

圓柱座標與球座標的nabla (del)

考慮一純量場在直角座標為 ( ) u x y z 在圓柱座標表為 ( ) u zρ φ

再考慮因位移 r r drrarr + 所造成 u ( )zρ φ 的變化

( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆz

z

u u udu d d dz u dr u d d zdzz

u u z u d d zdz

u d u d u dzρ ϕ

ρ ϕ

ρ ϕ ρ ρ ϕρ ϕρ ϕ

ρ ϕ ρ ρ ϕρ ϕ

ρ ρ ϕ

part part part= + + = nabla sdot = nabla sdot + +part part part

⎡ ⎤= nabla + nabla + nabla sdot + +⎣ ⎦= nabla + nabla + nabla

( ) ( ) ( )1

1ˆ ˆ ˆu

z

u u uu u uz

u u uzz

ρ ϕρ ρ ϕ

ρ ϕρ ρ ϕ

part part partrArr nabla = nabla = nabla =

part part partpart part part

rArrnabla = + +part part part

1ˆ ˆ ˆ zz

ρ ϕρ ρ ϕpart part part

nabla = + +part part part

（4-82）

注意nabla的ϕ -分量( 1ρ ϕ

partpart

)不是像直角座標裡單純的ϕpartpart

所以不要笨笨

的就把直角座標的形式硬套上去用我們也可以從「因次分析」來

看nabla因為是對空間的微分所以每一項的因次必須是「長度分之一」

運算 andzρ

part partpart part

都是「長度分之一」而「單純的ϕpartpart

」是沒有單位的

所以要1ρ ϕ

partpart

才 OK

由於圓柱座標裡的單位向量除了 z 之外 ˆ( )ρ ϕ 與 ˆ( )ϕ ϕ 都不是常

4-50

數所以在微分時不可以與微分運算交換而要考慮微分的作用所

以在「圓柱座標」寫「散度」 ( ) F zρ ϕnablasdot 也和直角座標不一樣

( )1ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ zF z F F zFz ρ ϕρ ϕ ρ ϕ

ρ ρ ϕpart part part⎛ ⎞

nabla sdot = + + sdot + +⎜ ⎟part part part⎝ ⎠

( ) ( )1ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆz zF F zF F F zFρ ϕ ρ ϕρ ρ ϕ ϕ ρ ϕρ ρ ϕpart part

= sdot + + + sdot + +part part

( )ˆ ˆˆ ˆ zz F F zFz ρ ϕρ ϕpart

+ sdot + +part

因為 ( ) ( )ˆ ˆ ˆ ˆ ρ ρ ϕ ϕ ϕ ϕ= = 所以做 andzρ

part partpart part

時 ˆ ˆ ρ ϕ 可視為常數

ˆ ˆ1ˆ ˆ ˆ zF F F FF F Fz

ρ ρ ϕρ φ

ρ ϕϕ ρ ϕρ ρ ϕ ϕ ϕ ϕ

part part part⎡ ⎤part part partrArrnablasdot = + sdot + + + +⎢ ⎥part part part part part part⎣ ⎦

還記得 ˆ ˆ ˆ ˆd d d dρ ϕ ϕ ϕ ρ ϕ= = minus 所以 ˆ ˆρ ϕϕpart

=part

ˆ ˆϕ ρϕpart

= minuspart

rArr

( )1 1 1z zF F F FF FF Fz z

ρ ρ ϕ ϕρρ

ρ ρ ρ ϕ ρ ρ ρ ϕpart part part part

nablasdot = + + + = + +part part part part part part

（4-83）

在球座標寫nabla也會遇到相似的問題其根源就是球座標 ( )r θ ϕ 裡

的 θ ϕ 的因次並非長度而三個單位向量 ˆ ˆˆ r θ ϕ（表為 ie ）都是( θ ϕ )

的函數以致

( )ˆ ˆ( ) ( )i ie f e fθ ϕ θ ϕθ θpart part

nepart part

且 ( )ˆ ˆ( ) ( )i ie f e fθ ϕ θ ϕϕ ϕpart part

nepart part

所以nabla也不似在直角座標那麼簡單我們不在這裡推導而是給出一

個歸納的統一的三個座標的結果還記得對每一個座標 iu i = 123

座標的變化 idu 與造成的長度變化 id

i i id h du= 123i = (4-84)

其中 ih 為對應的度量係數(metric coefficient)

4-51

1 2 3

1 1 2 2 3 3

1 1 1ˆ ˆ ˆu u ue e eh u h u h u

part part partnabla equiv + +

part part part （4-85A）

座標 1 2 3 u u u

度量係數

1 2 3 h h h

nabla grad del

直角 x y z

1 1 1 nabla ˆ ˆ ˆx y z

x y zpart part part

equiv + +part part part

圓柱

zρ ϕ

1 1ρ

1ˆ ˆ ˆ z

zρ ϕ

ρ ρ ϕpart part part

nabla equiv + +part part part

球

r θ ϕ

1 sinr r θ

1 1ˆ ˆˆ

sinr

r r rθ ϕ

θ θ ϕpart part part

nabla = + +part part part

（4-85B）

梯度gradient Vnabla grad(V) 散度divergence Anablasdot div( )A

直

角 nablaV ˆ ˆ ˆV V Vx y z

x y zpart part part

= + +part part part

yx zAA AAx y z

partpart partnablasdot = + +

part part part

圓

柱

1ˆ ˆ ˆ V V VV zz

ρ ϕρ ρ ϕpart part part

nabla = + +part part part

( )1 1

1

z

z

A AA Az

A A A Fz

ϕρ

ρ ρ ϕ

ρρ ρ ρ ϕ

ρ ρ ρ ϕ

partpart partnabla sdot = + +

part part partpart part part

= + + +part part part

球

1 1ˆ ˆˆ sin

V V VV rr r r

θ ϕθ θ ϕ

part part partnabla = + +

part part part

22

1 ( )rA r Ar r

partnabla sdot =

part

1 (sin )sin

Ar θθ

θ θpart

+ sdotpart

1sin

Ar

ϕ

θ ϕpart

+part

(4-86)

Ex47 Using spherical coordinate show that 1| |r r

nablaminus

= 2

ˆ| |

r rer r

minusminusminus

where

nabla是作用在 r 而 ˆr re minus 是向量 r rminus 方向的單位向量 解let r lies in z-axis so that the angle between r and r is just θ

4-52

rArr ( ) 122 21 1 2 cos | | ( ) ( )

r rr rr r r r r r

θminus

= = minus +minus minus sdot minus

( ) ( )12 122 2 2 21 1ˆˆ 2 cos 2 cos | |

r r rr r r rr rr r r r

θ θ θθ

minus minuspart partnabla = minus + + minus +

minus part part

( ) 322 21ˆ 2 cos (2 2 cos )2

r r rr r r rθ θminusminus

= minus + minus

( ) 322 21ˆ 2 cos (2 sin )2

r rr r rrθ θ θminusminus

+ minus +

3 3 3 3

ˆˆ ˆ( cos ) sin ( cos sin )ˆˆ| | | | | | | |r r r rr r rrr r r r r r r r

θ θ θ θ θθminus minus minus minus minus= + = +

minus minus minus minus

3 3 3ˆ ( )

| | | | | |r r z r r r rr r r r r rminus + minus + minus minus

= = =minus minus minus

＝ 2

ˆ| |

r rer r

minusminusminus

QED

證明最後我們用到 ˆˆˆ cos sinz r θ θ θ= minus 而 ˆ r r z= 因為我們選了 r 是

躺在 z-軸 Ex48 For arbitrary scalar field ( )f r and vector field ( )A r 證明恆等式

( )fA f A f Anablasdot = nabla sdot + nablasdot (4-87) 解 ˆ ˆ ˆx y zfA xfA yfA zfA= + +

( ) ( ) ( ) ( )x y zfA fA fA fAx y zpart part part

rArrnablasdot = + +part part part

yx zx x x

AAf f f AA f A f A fx x y y z z

partpartpart part part part= + + + + +part part part part part part

yx zx y z

AAf f f AA A A fx y z x y z

part⎛ ⎞partpart part part part= + + + + +⎜ ⎟part part part part part part⎝ ⎠

f A f A= nabla sdot + nablasdot QED 習題 12 一個位於原點的電偶極電偶極矩＝ ˆp pz= 已知其在遠處

的電位為 20

cos4p

rθ

πε試證該處的電場強度為 E = 3

0

ˆˆ( 2cos sin )4

p rr

θ θ θπε

+

(已知 E V= minusnabla )並請計算 Enablasdot ＝

習題 13 給定一向量場2

3cosˆD r

rϕ

= 現有兩個球心在原點的同心球

內球半徑 R＝1外球 R＝2(a)求面積分S

D dssdotint S 為同心球殼的表

面（有內外兩個面）(b)求體積分V

Ddvnablasdotint V 為兩同心球之間的

區域本題也是來 check 散度定理的Ans πminus

4-53

The Laplacian operator 2nabla equivnablasdotnabla

在直角座標可以用直接作用得到

2 2 2

22 2 2u u uu u

x y zpart part part

nabla equiv nablasdotnabla = + +part part part

(4-88)

圓柱座標

2 2

22 2 2

1 1( ) u u uu uz

ρρ ρ ρ ρ ϕ

part part part part⎛ ⎞nabla equiv nablasdot nabla = + +⎜ ⎟part part part part⎝ ⎠

(4-89)

球座標

2

2 22 2 2 2 2

1 1 1sinsin sin

u u uu rr r r r r

θθ θ θ θ ϕ

part part part part part⎛ ⎞ ⎛ ⎞nabla = + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟part part part part part⎝ ⎠ ⎝ ⎠ （4-90）

習題 14 verify (4-89) and (4-90)

習題 15 Given a dipole potential V= 20

cos4p

rθ

πε find 2Vminusnabla

sect 433 Line integral and curl A 線積分與與旋度的物理意義

線積分路徑積分

考慮一曲線 C 通過兩點 ( )i i i iP x y z 與

( )f f f fP x y z 現有一向量場 ( )A x y z 定義在

C 所在的空間若 sd 為 C 上位於(xyz)點的

「路徑元素」（ ˆd td= 方向沿該處切線）而

( )A x y z 為路徑元素d 處的場值則沿 C 經歷各點所做積分

cos cosf

CC C iA d Ad A dϕ ϕrarr rarrsdot = =int int int （4-91）

稱為向量場 ( )A x y z 沿路徑 C 自 pi 至 pf 的「線積分」「或「路徑積分」

積分裡 A 取值的點侷限在路徑 C 上面若為一個「封閉路徑」則對

C 的線積分也稱做「環路積分 closed contour integral」記做

C

A dsdotint （4-92）

4-54

物理量「做功」是最標準的線積分之一力 F 自 x = a 至 x = b「沿線」

x 軸做功

W＝ F dxsdotint ＝ ( )b

xaF x dxint （4-93）

質點在力場 )(rF 裡走一條曲線 C則力場做功

CW F d= sdotint （4-94）

還記得如果 ( )F r 是所謂「保守力」則上式只與始末點有關而與

路徑無關但如果 ( )F r 是所謂「非保守力」則做功與確實的路徑 C

有關

現考慮一質點在空間運動的位置 r 落在由曲線 C

描述的路徑則質點的位移元素與曲線 C 的路徑元

素相同 d dr= 若空間有向量場 A 分佈則 A 在 C 的

路徑積分以直角座標表示為

CA drarr rarrsdotint ＝

CA d rrarr rarrsdotint ＝ ( )x y zC

A dx A dy A dz+ +int （4-95）

上式中的 x y z 的積分限由 C 決定

Ex49 2 2 2ˆ ˆ ˆA xx yy zzrarr= + + 選定一路徑 C 為曲線

2y x= 由 (000)到 (2 20)的部分求C

A dsdotint

解 ˆ ˆd xdx ydy= +∵

CA dsdotint ＝ 2 2( )

Cx dx y dy+int ＝

2 22 2

0 0x dx y dy+int int

＝ )24(32

+

或由 2y x= rArr 2ydy dx= 2 12

y dy xdxrArr =

rArrC

A dsdotint ＝2 2

0

1( )2

x x dx+int ＝2 (4 2)3

+

4-55

ex50 ˆ ˆ( )f x y z xy yx= minus Do C

f dsdotint 其中的路徑 C 為一逆時針三角

形如圖 解∵路徑全部在 x-y 平面 ˆ ˆ ˆd td xdx ydy= = +

rArrC

f dsdotint ＝ x yC

f dx f dy+int ＝C

ydx xdyminusint

由於在 C1 上 y = 0 及 dy = 0 所以 01

=intC 又由於在

C3 上 x = 0 及 dx =0所以 03

=intC 所以只剩下 C2 可

能有貢獻由 2C 的方程式x + y =1rArr ⎩⎨⎧

minus=minus=

xyyx

11

rArr2Cydx xdyminusint ＝

0 1

1 0(1 ) (1 )x dx y dyminus minus minusint int ＝

0 12 2

1 0

( ) ( )2 2x yx yminus minus minus ＝-1

Cf dsdotint ＝-1

ex51 ( )f x y zrarr

= 2ˆ ˆxx yxyminus 如右圖doC

f dsdotint 其

中路徑 C 為第一象限的逆時針 14 圓弧

解∵ 全部在 x-y 平面 ˆ ˆd xdx ydy= +

Cf dsdotint ＝ 2

Cx dx xydyminusint

由於在 C 上 cosx R ϕ= rArr sindx R dϕ ϕ= minus

siny R ϕ= rArr cosdy R dϕ ϕ=

rArr 2

Cx dx xydyminusint ＝

2 2 2 2

0cos ( sin ) sin cos cosR R d R R d

πϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕminus minus sdotint

23 2

02 cos sinR d

πϕ ϕ ϕ= minus int ＝

323Rminus

又路徑為圓周一部份所以適合用極座標表示

ˆd Rdϕ ϕ= 又由左圖將 ˆ ˆx y 拆解（投影）到 ˆˆr ϕ

ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆcos sin sin cosx r y rϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ= minus = +

4-56

( )2ˆ ˆ ˆˆ ˆ( cos sin ) ( sin cos )C C

f d r x r xy Rdϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕsdot = minus minus + sdotint int 2

2 2 2

0

sin (cos )

sin ( cos ) (cos ) cos sin

Cx Rd xyRd

R Rd R Rdπ

ϕ ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ

= minus minus

= minus minus

intint

23 2

02 cos sinR d

πϕ ϕ ϕ= minus int ＝

323Rminus

這也驗證了散度定理

Path Independence 路徑獨立性

Ex52 證明庫倫力為「保守力」考慮

電荷 q0 位於原點及電荷 q 位於

( )r x y zrarr= q 受力 F

rarr＝ 0

20

14

qq urπε

and

求庫侖力作功因為球形對稱所以

用球座標由 ˆ ˆ ru rr

= = rArr Frarr

= 03

04qq r

rπε

庫侖力由 P1 至 P2 做功為 2

1

P

CPF drarrsdotint ＝

2

1

02

0

ˆ ˆ ˆˆ sin4

P

PC

qq r rdr rd r dr

θ θ ϕ θ ϕπε

⎡ ⎤sdot + +⎣ ⎦int ＝2

1

02

04P

P

qq drrπεint

＝20

2104

r

r

qq drrπε int ＝ 0

0 1 2

1 1( )4qq

r rπεminus for all C

所以庫侖力兩點間做功與路徑無關rArr保守力

對於「保守力 conservative force」 cF 自 p1 經

由兩條不同的路徑 C1 與 C2 到達 p2

1 ccF drarrsdotint ＝

2 ccF drarrsdotint ＝-

2 ccF drarr

minussdotint

rArr1 2c cc cF d F drarr rarr

minussdot + sdotint int = cF d

rarrsdotint ＝0 (4-96）

對於任何「封閉路徑」保守力做功為 0反之若

對任一封閉路徑 0F drarrsdot neint 則兩點之間的做功與路徑有關

rarr

F 為「非

保守力」

4-57

旋度 curl Anablatimes 的幾何物理意義

我們在（4-70）式已經看過旋度的計算方式但旋度另有其意義的

ex53 給定向量場2 2

0ˆ yv yv e λrarr

minus= 左圖為場的分佈

2 20

ˆ ˆ ˆ

0 0x y z

y

x y zcurl v

v e λ

rarr

minus

= part part part ＝ ˆ ˆ ˆ0 0 0 0x y zsdot minus sdot + sdot =

我們用了簡寫 x yx ypart part

part equiv part equivpart part

可以看出這個場裡沒有「漩渦」

但是有無「漩渦」有時也不是那麼明顯可以看出的請見下一個例子

Ex54 給定向量場2 2

0ˆ xv yv e λrarr

minus= 計算其旋度 vnablatimes

解向量場 vrarr

畫在右邊你看得出有無漩渦

先計算旋度

2 20

ˆ ˆ ˆ

0 0x y z

x

x y zcurl v

v e λ

rarr

minus

= part part part2 2

2 2

0

0

ˆ

ˆ 2 0 0

x

x

z v ex

z v xe for x

λ

λ

minus

minus

part=

part

= minus ne ne

vrarr

的旋度在大部分的地方不為 0 且隨位置而不同但是你看得出這個

向量場裡有「漩渦」其實要檢驗一個向量場裡有無「漩渦」有一

個很物理的方法就是放一個小「螺旋槳」（左圖）

在場內將軸朝各個方向測試一

下如果有「漩渦」的話這個

小「螺旋槳」就會轉動右圖就是將「螺旋槳」的

軸平行於 z 軸且放在 x gt 0 的地方就可以看出左

邊的 v 場比右邊的強造成螺旋槳順時針轉動rArrcurlv zminus for x gt 0

但如果放在 x = 0 的地方就會看到左右兩端的 v 場強度相同而且

4-58

curlv = 0 「螺旋槳」放在 x lt 0 的地方就可以看出右邊的v 場比左

邊的強造成螺旋槳逆時針轉動這完全符合 curl v k+ 的結果

環路積分與旋度 curl 的物理意義

如同「散度」一樣「旋度」除了 Ftimesnabla 之外

還有一個物理意義更清楚的定義這個定義由

「線積分」說明如圖考慮做「逆時針」長方形

路徑 C1 的一個「環路積分」C1 面平行於 x-y 平

面由 z-軸看下去環路 C1 可以分為可以分為

下 CB上 CT右 CR左 CL 4 部分

CA drarrsdotint ＝

B T L RC C C CA d A d A d A drarr rarr rarr rarrsdot + sdot + sdot + sdotint int int int

分別計算由於 CB 的中點座標為 ( )2yx y zΔ

minus

ˆB BC C

A d A xdxrarr rarrsdot = sdot =int int

BxC

A dxint ( )2xyA x y z xΔ

asymp minus Δ

similarly 由於 CT 的中點座標為 ( )2yx y zΔ

+

ˆ( )T TC C

A d A xdxrarr rarrsdot = sdot minus =int int

TxC

A dxminusint ( )2xyA x y z xΔ

asymp minus + Δ

合併 CB 與 CT

B TC CA drarr

+sdot =int

( ) ( )2 2x xy yA x y z A x y z

x yy

Δ Δ⎡ ⎤minus + minus minus⎢ ⎥⎣ ⎦ Δ ΔΔ

（4-97）

由 C1 所圍的面積 S x yΔ = Δ Δ

1B TC C

A dS

rarr

+sdot =

Δ int( ) ( )

2 2x xy yA x y z A x y z

y

Δ Δ⎡ ⎤minus + minus minus⎢ ⎥⎣ ⎦Δ

（4-98）

所以當取極限 C1 收縮到中心(xyz)時 SΔ 收縮到 0ie

4-59

0limsΔ rarr

1B TC C

A dS

rarr

+sdot =

Δ int xAy

partminuspart

（4-99）

Similarly with CR 的 ˆd ydy= CL 的 ˆd ydy= minus 可得

1L RC C

A dS

rarr

+sdot =

Δ int x

zyxxFzyxxF yy

Δ

Δminusminus

Δ+ )

2()

2(

（4-100）

同樣的當取極限 C1 收縮到中心(xyz)時 SΔ 收縮到 0

0

limsΔ rarr

1L RC C

A dS

rarr

+sdot =

Δ int yAx

partpart

（4-101）

最後合併 CBCTCRCL 為 C1

10

1limCs

A ds

rarr

Δ rarrsdot =

Δ int y xA Ax y

part partminus

part partˆ ( ) ( )zz A A= sdot nablatimes = nablatimes （4-102）

注意 C1 的方向就是在 z 上式的重要

意義是當向量場 A 在一個以點(xyz)為

中心「方向為 z 」的面積元素的「邊界」

所做的環路積分得到的就是 A 在(xyz)

處旋度的 z-分量明顯的只有當 A 在

(xyz)附近有 x-y 平面上的「漩渦」那麼 C1 的環路積分才不會為 0

Similarly 取一個逆時針繞著(xyz)的平行於 x-z 平面的長方形環路 C2

（左圖）做環路積分再取極限將 C2 收縮到(xyz)就會得到

20

1limCs

A ds

rarr

Δ rarrsdot =

Δ int x zA Az x

part partminus

part partˆ ( ) ( )yy A A= sdot nablatimes = nablatimes （4-103）

注意到 C2 所包圍的面積方向就在 y到

現在我們應該已經很有經驗了若取一

個逆時針繞著(xyz)的平行於 y-z 平面

的長方形環路 C3（左圖）做環路積分

再取極限將 C3 收縮到(xyz)就會得到

4-60

30

1limCs

A ds

rarr

Δ rarrsdot =

Δ int yz AAy z

partpartminus

part partˆ ( ) ( )xx A A= sdot nablatimes = nablatimes （4-104）

能把（4-103）與（4-104）變出來的同學我們有優待綜合以上

我們可以得到一個結論若取一個以點(xyz)為中心的任意環路 Cn（其

所包圍的面積方向在 n ）則

n curl Aand rarrsdot ＝

0

1lims

Cn

A ds

rarr

Δ rarrsdot

Δ int （4-105）

明顯的當 n ＝ x 或 y 或 z 時我們可以重複（4-102）到（4-104）的

結果（4-70）式的行列式所定義的旋度在此看見其幾何物理意義

至此「旋度」的「漩渦」形象應該已經很清楚了只有在(xyz)點附

近的小圈圈上有「漩渦」 A 在小圈圈做的環路積分才會有值這個

值就是向量場 A 的「旋度」在小圈圈面積方向的分量

Stokersquos 定理

考慮一個開放面 S被其「有方向的」邊界 C 圈住(bounded by)則

( )S

A dsrarr rarrnablatimes sdotint ＝

C

A drarrsdotint （4-106）

pf 先將 S 面分割為 N 個多邊形這會使得邊界變成一個「折線」形

成的環路 P環路 P 會隨著分割的多邊形個數的增多而越加近似於原

「光滑的」邊界 C現考慮相鄰的

兩個多邊形的線積分由於共用邊

的方向是相反的所以相鄰兩個多

邊形線積分的和只剩「外邊界」（見左圖）所以當把所有的多邊形的

4-61

線積分加起來時由於只有邊界 P 不是多邊形的共用邊所以

1k

N

k C

A drarr

=

sdotsum int ＝P

A drarrsdotint rArr

P

A drarrsdotint ＝

1

1

k

N

kk k C

A d l ss

rarr rarr

=

⎡ ⎤sdot Δ⎢ ⎥

Δ⎢ ⎥⎣ ⎦sum int

其中 ksΔ 為第 k 個多邊形的面積取極限 0kN srarrinfinrArrΔ rarr P CrArr rarr

C

A drarrsdotint ＝

10

1limkk

N

kN k k Cs

A d ss

rarr

rarrinfin=Δ rarr

⎡ ⎤sdot Δ⎢ ⎥

Δ⎢ ⎥⎣ ⎦sum int 01

ˆlim ( )k

k kskn A s

infin

Δ rarr=

⎡ ⎤= sdot nablatimes Δ⎣ ⎦sum

01

ˆlim ( )k

k kskA n s

infin

Δ rarr=

= nablatimes sdot Δsum = ( )S

A dsrarr

nablatimes sdotint QED

ex55 由 Amperersquos law 的積分形式導出其微分形式

解Amperersquos law 的積分形式 C

B drarrsdotint ＝ I0μ (4-107)

由 Stokersquos 定理及電流密度 j 的定義上式等號兩端可寫為

rArr ( )S

B dsrarr rarrnablatimes sdotint ＝ 0 S

j dsμrarrsdotint

由於上面的等式對任意面 S（路徑 C）都成立所以被積函數相等

0B jμrarr rarr rarr

rArrnablatimes = (4-108) 此即 Amperersquos law 的微分形式

Ex56 Given a vector field ˆ ˆx yA ye xe= minus + (a) Find Anablatimes

解

ˆ ˆ ˆˆ ˆ(1 ( 1) 2

0x y z

x y zA z z

y xnablatimes = part part part = minus minus =

minus

(b)如圖一個金字塔狀的 5 面體高 2底邊長＝1計算 ( )S

A dsnablatimes sdotint

其中 S 為金字塔在 x-y 平面以上的部分方向如同

封閉的金字塔（運用 Stokersquos law）

解金字塔上表面的面積元素ds 不好寫由 Stokersquos

4-62

law ( )S

A dsrarr rarrnablatimes sdotint ＝

C

A drarrsdotint 其中封閉路徑 C 就是上表面的邊界而且

是逆時針（由 z 軸向下看）

C

A drarrsdotint ＝

1 1 0 0

0 0 1 1ˆ ˆ ˆ ˆA xdx A ydy A xdx A ydysdot + sdot + sdot + sdotint int int int

＝1 1 0 0

0 0 1 1x y x yA dx A dy A dx A dy+ + +int int int int 1 1 0 0

0 0 1 1( 0) ( 1) ( 1) ( 0)y dx x dy y dx x dy= minus = + = + minus = + =int int int int

0 1 1 0 2 ( ) 2S

A ds= + + + = rArr nablatimes sdot =int

旋度與 path independence

已知保守場 cF 對所有封閉路徑 C 0cC

F drarrsdot =int 由 Stokersquos 定理

0cC

F drarrsdot =int ＝ ( )cS

F dsrarr rarrnablatimes sdotint rArr 0cF

rarr rarrnablatimes =

這表示保守場＝無旋度反之無旋度的場任兩點間路徑積分與路

徑無關

Ex57 Given a field 2 2ˆ ˆ ˆ2A x xy yx zz= + minus (a) Find Anablatimes A 保守場

解2 2

ˆ ˆ ˆ

2x y z

x y zA

xy x znablatimes = part part part

minus

( ) ( ) ( )2 2 2 2ˆ ˆ ˆ( ) 2 ( ) 2 0y z z x x yx z x y xy z z x xy= part minus minuspart + part minuspart minus + part minuspart =

yes A =保守場

(b)如左圖由 A 到 B 做路徑積分A BC

A drarr

sdotint 路徑 C 為橢圓

22 1

16yx + = 在 x-軸以上的部分

解橢圓部分的路徑元素 d 有點麻煩但因為 A

為保守場所以 A 到 B 做路徑積分可以用 x = -1 到

1 的積分取代

4-63

01 1 1

1 1 1ˆ 2 0

yB

xAA d A xdx A dx xydx

=

minus minus minussdot = sdot = = =int int int int

∵

旋度在柱座標與球座標

前面討論過nabla在不同座標系的寫法旋度也有歸納出的一致寫法

座標 1 2 3 u u u

度量係數

1 2 3 h h h

nabla grad del

直角 x y z

1 1 1 nabla ˆ ˆ ˆx y z

x y zpart part part

equiv + +part part part

圓柱 zρ ϕ

1 1ρ

1ˆ ˆ ˆ zz

ρ ϕρ ρ ϕpart part part

nabla equiv + +part part part

球 r θ ϕ

1 sinr r θ

1 1ˆ ˆˆ sin

rr r r

θ ϕθ θ ϕ

part part partnabla = + +

part part part

所以柱座標與球座標的旋度分別表為

柱座標

ˆ ˆ ˆ1

z

z

Az

AA Aρ ϕ

ρ ρϕ

ρ ρ ϕρ

part part partnablatimes =

part part part （4-109）

球座標 2

ˆ ˆˆ sin1sin

sinr

r r r

Ar r

A rA r Aθ ϕ

θ θϕ

θ θ ϕθ

part part partnablatimes =

part part part （4-110）

ex58 (a) Given the vector function ˆA ϕ= sin (ϕ 2) find Anablatimes

解 2

ˆ ˆˆ sin1sin

0 sin( 2) 0

r r r

Ar r

r

θ θϕ

θ θ ϕϕ

part part partnablatimes =

part part part

4-64

21 ˆˆ cos sin sinsin 2 2 2

rr rr

ϕ ϕθϕθ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

ˆˆ cos sin2 sin 2 2

rr r

ϕ ϕ ϕθ

minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

(b)如左圖一個底面在 x-y 平面半徑＝1高＝2 之圓錐 求面積分

SA dsnablatimes sdotint 面積範圍 S 為圓錐在 x-y 平面以上

部分 方向為由圓錐內向外

解由 Stokersquos law ( )S

A dsrarr rarrnablatimes sdotint ＝

C

A drarrsdotint 其中路

徑 C 為 x-y 平面圓心在原點之單位圓 ˆ ˆd rd dϕ ϕ ϕ ϕ= =

2

0ˆ ˆsin sin

2 2C

d dπϕ ϕϕ ϕ ϕ ϕ⎛ ⎞ ⎛ ⎞sdot =⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠int int ( )0

2 sin u duπ

= int 0cos | 2u π= minus =

習題 16 磁場 B 因為不是保守場所以沒有對應的純量位而對應一

個向量位 A (vector potential)而 B A= nablatimes 一個磁鐵的磁偶極矩

ˆm mz= 被置於原點已知在遠處的 vector potential 03ˆ sin

4mAr

μϕ θπ

=

計算該處的磁場 B Ans 03

ˆˆ( 2cos sin )4

mB rr

μ θ θ θπ

= + 與電偶極遠處

的電場形式一致都是偶極(dipole) 選幾個點畫一畫該處的場向量

把磁力線描出來

附錄本章講義的內容有部分可以經由直接計算得出列在附錄做為

參考

用「圓柱座標」寫 Atimesnabla

Ararr rarrnablatimes ＝ ( )1ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ zz A A zA

z ρ φρ ϕ ρ ϕρ ρ ϕpart part part⎛ ⎞+ + times + +⎜ ⎟part part part⎝ ⎠

4-65

因為rdquo sdotrdquo與rdquotimes rdquo都是向量間的運算所以

＝ ( )ˆ ˆ ˆ ˆ zA A zAρ φρ ρ ϕρpart

times + +part

＋ ( )1ˆ ˆ ˆ ˆ zA A zAρ φϕ ρ ϕρ ϕ

parttimes + +

part

＋ ( )ˆ ˆˆ ˆ zz A A zAz ρ φρ ϕpart

times + +part

直接做上式微分可以得到

＝1ˆ z AA

zϕρ

ρ ϕpart⎛ ⎞part

minus⎜ ⎟part part⎝ ⎠＋ ˆ zA A

zρϕ

ρpart⎛ ⎞part

minus⎜ ⎟part part⎝ ⎠＋

1 1ˆ ( )A

z A ρϕρ

ρ ρ ρ ϕpart⎛ ⎞part

minus⎜ ⎟part part⎝ ⎠

上式可以用一個行列式來表示

rarrrarr

timesnabla A＝

ˆ ˆ ˆ1

z

z

zA A Aρ ϕ

ρ ρϕ

ρ ρ ϕρ

part part partpart part part

（A-1）

A and Anabla nablasdot nablatimes in 球座標 spherical coordinate

如上圖球座標 )( ϕθr 其中 )0[ infinisinr ]0[ πθ isin ]20[ πϕ isin 只有 r

是長度而 ϕθ 為角度是用來說明方向的三個座標的單位向量 ˆ ˆˆ r θ ϕ 具

有下列性質

4-66

1 如上圖 ˆ ˆˆ r θ ϕ 都不是常數而是（ ϕθ ）的函數

ˆ ˆ( )ˆ ˆ( )ˆ ˆ( )

r r θ ϕ

θ θ θ ϕϕ ϕ ϕ

⎧ =⎪

=⎨⎪ =⎩

)( ϕθr 與(xyz)之間的轉換如下

sin cossin sincos

x ry rz r

θ φθ φθ

=⎧⎪ =⎨⎪ =⎩

( )122 2 2

2 2

tan

tan

r x y z

x yz

yx

θ

φ

⎧ = + +⎪⎪ +⎪ =⎨⎪⎪ =⎪⎩

（A-2）

2 ˆ ˆˆ r θ ϕ 形成一「歸一正交集」ie

ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ 1r r θ θ ϕ ϕsdot = sdot = sdot = ˆ ˆr θ ϕperp perp

ˆ ˆr θ ϕtimes = ˆ ˆ rθ ϕtimes = ˆˆ rϕ θtimes = （A-3）

3可以很容易的由他們在 xyz 軸上的投影由直角

座標的 ˆ ˆ ˆ x y z 表出

ˆ ˆ ˆ ˆsin cos sin sin cos ( 4 )ˆ ˆ ˆ ˆcos cos cos sin sin ( 4 )ˆ ˆ ˆsin cos ( 4 )

r x y z A a

x y z A bx y A c

θ φ θ φ θ

θ θ φ θ φ θϕ φ φ

= + + minus⎧⎪

= + minus minus⎨⎪ = minus + minus⎩

4 ˆdr = 由於 ˆ ˆ( )r r θ φ= 所以由 ϕθ 的變動來看

4-67

ˆ ˆˆ| |ˆ ˆˆ| | sin sin

d r d d

d r d d

θ θθ θθ

φ θ φφ θ φφ

⎧ rArr =⎪⎨

rArr =⎪⎩rArr ˆ ˆˆ sindr d dθ θ φ θ φ= + （A-5）

rArrˆ ˆr θθpart

=part

ˆ ˆsinr θφφpart

=part

（A-6）

（A-6）的結果也可以直接由（A-4a）對 ϕθ 偏微得到

5 ˆdθ ＝ 由於 ˆ ˆ( )θ θ θ φ= 所以由 ϕθ 的變動來看

ˆ ˆ ˆ| | ( )ˆ ˆ ˆ| | cos cos

d d r d r

d d d

θ θ θ θ

φ θ θ φφ φ θ φ

⎧ rArr minus = minus⎪⎨

rArr =⎪⎩rArr ˆdθ ＝ ˆˆ cosrd dθ φ θ φminus + （A-7）

ˆrθ

θpart

rArr = minuspart

ˆ ˆcosθ φ θφpart

=part

（A-8）

請直接由（A-4b）對 ϕθ 偏微的結果 check（A-8）

6 ˆdφ ＝由於φ )(ϕ 躺在 x-y 平面上變動φ時的方向可能不是那麼

容易看出來所以做圖看一看

ie ˆ ˆˆ(sin ) (cos )d r d dφ θ φ θ θ φ= minus minus （A-9）

4-68

ˆ ˆˆsin cosrφ θ θ θφpart

= minus minuspart

7 所有的向量 ˆ ˆˆ rA rA A Aθ φθ φrarr= + +

8 位置向量 ˆr rrrarr=

可以由左圖 ˆ ˆˆ r θ ϕ 三個方向的「長度

變化」輕易的看出

9 位移元素

ˆ ˆˆ ˆ sindr rdr rd dθ θ ϕ θ φ= + + (A-10)

10 體積元素

sindv dr r d rdθ φ θ= sdot sdot

＝ 2 sinr dr d dθ θ φ (A-11)

11 面積元素 2 sinrds r d dθ θ φ= plusmn sinds r drdθ θ φ= plusmn ds rdrdφ θ= plusmn (A-12)

plusmn號表示面的垂直方向有兩個端看 ds 周邊的方向是如何定的

nabladel 考慮 ( )u u r θ φ=

rArru u udu dr d dr

θ φθ φ

part part part= + +part part part

u d rrarr rarr

equiv nabla sdot

urarr

= nabla sdot ˆ ˆˆ( sin )rdr rd dθ θ φ θ φ+ +

rArr1 1ˆ ˆˆ

sinu u uu rr r r

θ ϕθ θ φ

rarr part part partnabla = + +

part part part

1 1ˆ ˆˆsin

rr r r

θ ϕθ θ φ

rarr part part partnabla equiv + +

part part part （A-13）

4-69

直接用（A-13）與 ˆ ˆˆ rA rA A Aθ φθ ϕrarr= + + 逐項內積加上（A-678）

rArr ϕθ

θθθ

ϕθ part

part+

partpart

+partpart

=sdotnablararrrarr A

rA

rAr

rrA r sin

1)(sinsin1)(1 2

2 （A-14）

（A-13）與 ϕθ ϕθ AAArA r

andandandrarr

++= 逐項外積整理之後

ϕθ θϕθ

ϕθθ

θArrAA

r

rrr

rA

r sin

sin

sin1

2 partpart

partpart

partpart

=timesnabla

andandand

rarrrarr

（A-15）

Laplacian uu nablasdotnabla=nabla2

2

2

2222

22

sin1)(sin

sin1)(1

ϕθθθ

θθ partpart

+partpart

partpart

+partpart

partpart

=nablau

ru

rrur

rru （A-16）

B推導「散度」在圓柱座標的寫法

讓我們先回顧一下在直角座標裡的「面積元素」可以由「位移元素」

得到

ˆˆ ˆ x y zdr idx jdy kdz da dydz dxdz dxdy= + + rArr =

比照辦理「圓柱座標」的位移元素

( )ˆˆ ˆ( )

( )z

da d dzdr d d zdz da d dz

da d d

ρ

φ

ρ φ

ρ ρ φ ρ φ ρ

ρ ρ φ

=⎧⎪= + + rArr =⎨⎪ =⎩

這個結論可以輕易的由面積元素在垂直於 zˆˆ ϕρ 三個方向的面積看

出如下圖考慮一個以 )( zϕρ 為中心的「圓柱體積元素」(cylindrical

cubiod)體積為 zdV ΔΔ=Δ ϕρρ 現計算在 ρ

方向的 12 兩個平行面(方向各為 ρplusmn )的通

量

4-70

zzF

dsFdsnFS S

ΔΔ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

+cong

=sdotintint intintϕρρϕρρρ

ρ

2

2

ˆ1 1

zzF

dsFdsnFS S

ΔΔ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

minus⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

minusminuscong

minus=sdotintint intintϕρρϕρρρ

ρ

2

2

ˆ2 2

intint+

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

minus⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

minusminus⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

+Δ

asympsdotΔ

rArr21

22

22

1ˆ1

SS

zFzFdsnFV

ϕρρρρϕρρρρρρ ρρ

( ) ( )

1 20

0

0

1 ˆlim

1lim 2 2 2 2

1 1lim 2 2

1

VS S

F ndsV

F z F z

F z F z

F

ρ ρρ

ρ ρρ

ρ

ρ ρ ρ ρρ ρ φ ρ ρ φρ ρ

ρ ρρ ρ φ ρ ρ φρ ρ

ρρ ρ

Δ rarr+

Δ rarr

Δ rarr

rArr sdotΔ

Δ Δ Δ Δ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + + minus minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥Δ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦Δ Δ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥Δ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

part ⎡ ⎤= ⎣ ⎦part

intint

娛樂一下用上述方式把圓柱的 Fsdotnabla 裡的z

FF z

partpart

+partϕρϕ1

變出來

球座標的nabla和 Fsdotnabla 也可以試試看

補充習題

H M Scheydiv grad curl and all that 4th edition

第二章習題 6 8 9 10 11 14 15 16 18 19 21 22 23 25 26 27

第三章習題 2 3 5 6 7 8 9 10 11 14 15 17 18 19 24

4-28

解這裡的 ( )A r θ ϕ 不因其三個分量都是常數而只是「一個」向量

而是一 vector field這是因為 ˆ ˆˆ r θ ϕ 都不是定值而與 θ ϕ 有關而如

果 ( )A r θ ϕ 表示則單位向量所對應的角度 θ ϕ 必須要標定所以

sin cos cos cos sin 2sin sin cos sin cos 3

1cos sin 0

x

y

z

AAA

θ ϕ θ ϕ ϕ

θ ϕ θ ϕ ϕ

θ θ

⎛ ⎞minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ minusminus⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

(2sin 3cos )cos sin(2sin 3cos )sin cos

2cos 3sin

x

y

z

AAA

θ θ ϕ ϕθ θ ϕ ϕ

θ θ

+ +⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟rArr = + minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟minus⎝ ⎠ ⎝ ⎠

習題 5 Draw a diagram to show in the cylindrical coordinates

(a) ˆ ˆ ˆcos sinx yρ ϕ ϕ= + (b) ˆ ˆ ˆsin cosx yϕ ϕ ϕ= minus + (c) ˆ ˆz z=

習題 6 use the above results show that 由柱座標分量轉為直角座標分

量的轉換矩陣

x

y CR

z z

A AA M AA A

ρ

ϕ

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟=⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

CRM =

2 2 2 2

2 2 2 2

0cos sin 0sin cos 0 0

0 0 10 0 1

x yx y x y

y xx y x y

ϕ ϕ

ϕ ϕ

minus⎛ ⎞⎜ ⎟+ +⎜ ⎟⎛ ⎞minus⎜ ⎟⎜ ⎟

= ⎜ ⎟⎜ ⎟+ +⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

Ex27 Express vector ˆ ˆ ˆ(3cos ) 2 5A zρ ϕ ϕ ρ= minus + in Cartesian

coordinates Specifically the A at the position of (2 2 3π -3)

解

2cos sin 0 3cos 3cos 2 sinsin cos 0 2 3cos sin 2 cos

5 50 0 1

x

y

z

AAA

ϕ ϕ ϕ ϕ ρ ϕϕ ϕ ρ ϕ ϕ ρ ϕ

⎛ ⎞minus ⎛ ⎞+⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟= minus = minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

so that A (2 2 3π -3)= 3 3 3ˆ ˆ ˆ3 3 3 54 4

x y z⎛ ⎞⎛ ⎞+ + minus +⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠注意本

題裡 z 座標並非一變數

4-29

sect 43 Fields and its properties 場與其性質

「場 field」是什麼凡是在「某個空間中每一點」都有定義的量

就是一個「場」所以「場」也稱為「點函數 point function」簡單的

說凡是「空間的函數」都是「場」如果這個「空間的函數」是一個

純量 u(xyz)那麼 u(xyz)就是一個「純量場 scalar field」例如室內

的溫度 T(xyz)一塊豬肉的密度 ( )x y zρ 大氣中的壓力 p(xyz)等

都是純量場如果這個「空間的函數」是一個向量 )( zyxA 那麼

)( zyxA 就稱為「向量場 vector field」例如空間中的電場 )( zyxE

水流中的速度場 )( zyxv 重力場 )( zyxg 等等很顯然的不論是純量

場還是向量場「場」在空間中的分佈通常未必是均勻的那麼她有

什麼性質呢例如一塊豬肉內部密度是如何變化的水流中有沒有

漩渦大氣中的等壓線是如何變化的等等那麼有沒有什麼量可以

有系統的描述各種場的分佈有我們在以下分別討論

sect 431 Gradient of scalar fields 純量場的梯度

考慮一個純量場 f(xyz)可以視為 3 個變數 xyz 的函數當變數變動為

x+dx y+dy z+dy 時造成 f 的變化

f f fdf dx dy dzx y zpart part part

= + +part part part

（4-65）

由幾何意義來看上式更為具體上式表示純量場 )(rf 基於位置的變化

r r drrarr + (或由 ( ) ( )x y z x dx y dy z dzrarr + + + )所造成 f 的變動

我們現在定義一個向量算符 vector operator nabla (or nabla )（讀做 del）

ˆ ˆ ˆx y zx y zpart part part

nabla equiv + +part part part

(4-66)

如果將 del 作用在純量場 )(rf 上將產生出現一個新的「向量場」 fnabla

稱為純量場「 )(rf 的『梯度 gradient』」

4-30

ˆ ˆ ˆ( ) f f fgrad f f x y zx y zpart part part

equiv nabla = + +part part part

（4-67）

這使得由於任意位移 ˆ ˆ ˆdr xdx ydy zdz= + + 所造成 f 的變化量

df f drrArr =nabla sdot （4-61）

ex28 Given scalar field 2( )f r xy z= and 2 2 2

1 1( )g rrx y z

= =+ +

(a) find the value of ( )f r and fnabla at point P(2 1-1) 解 2(21 1) 2 1 ( 1) 2f minus = times times minus = minus

2 2 2

2 2

ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( )

ˆ ˆ ˆ( ) ( 2 ) ( )

f x xy z y xy z z xy zx y z

x y z y x yz z xy

part part partnabla = +

part part part

= +

＋

＋

ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ(21 1) ( 1) (2 2) (2) 4f x y z x y znabla minus = minus + timesminus = minus minus＋ ＋2 (b) find the value of ( )g r and gnabla at the point P

解2

1 1(21 1)62 1 1

g minus = =+ +

2 2 2 12 2 2 2 12

2 2 2 12

ˆ ˆ( ) ( )

ˆ ( )

g x x y z y x y zx y

z x y zz

minus minus

minus

part partnabla = + + + + +

part partpart

+ +part

＋

2 2 2 32 2 2 2 32 2 2 2 32

2 2 2 32 3 2

ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( )

ˆ ˆ ˆˆ( )( )

OR OR

xx yy zzgx y z x y z x y zxx yy zz r r

x y z r r

minus minus minusrArrnabla = + +

+ + + + + +minus + + minus minus

= = =+ +

32

ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ(2 ) 2(21 1)6 6 6

x y z x y zg minus + minus minus minus +rArrnabla minus = =

由 gnabla 看到一個粉常用的結果就是

3 2

ˆ1 ORr rr r r

minus minusnabla = = （4-62）

順便比較一下

2 2 2 12 2 2 2 12 2 2 2 12

2 2 2 12

ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( )

ˆ ˆ ˆ( ) ˆ (4 63)( )

r x x y z y x y z z x y zx y zxx yy zz r r

x y z r

part part partnabla = + + + + + + +

part part part+ +

= = = minus+ +

＋

4-31

(c) what is the angle between (21 1)fnabla minus and (21 1)gnabla minus

解 (21 1)fnabla minus (21 1)gsdotnabla minus ＝（ ˆ ˆ ˆ4x y zminus minus ＋2 ） sdotˆ ˆ ˆ26 6x y zminus minus +

＝2 4 2 4

6 6 3 6+ +

= ＝ | (21 1) |fnabla minus | (21 1) |gnabla minus cosθ

＝ 34 1 1 211 16 4 cos cos

6 6θ θ+ +

+ + =

1 4 2cos 07773 7

radθ minus ⎛ ⎞= =⎜ ⎟

⎝ ⎠

要注意隨然nabla有向量的性質但是他並不是一個真的向量真

實向量 A與純量 f ( )r 的乘法滿足交換率ie ( ) ( )Af r f r A= 但是

f fnabla ne nabla因為

( )f rnabla ＝ ˆ ˆ ˆf f fx y zx y zpart part part

+ +part part part

是一個向量函數而

ˆ ˆ ˆ( )f r x y zx y z

⎛ ⎞part part part+ +⎜ ⎟part part part⎝ ⎠

是一個算符（operator）

若nabla要與向量場 A 作用由於nabla與 A 都具有向量的性質先看「內積」

ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ( )

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

x y z

x y

z

y yx xz z

A x y z xA yA zAx y z

x y z xA x y z yAx y z x y z

x y z zAx y z

A AA AA Ax x x y x zx y z x y z

⎛ ⎞part part partrArrnablasdot = + + sdot + +⎜ ⎟part part part⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞part part part part part part= + + sdot + + + sdot⎜ ⎟ ⎜ ⎟part part part part part part⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞part part part

+ + + sdot⎜ ⎟part part part⎝ ⎠part partpart partpart part

= sdot + sdot + sdot + sdotsdot sdot = + +part part part part part part

yx zAA AAx y z

partpart partnablasdot = + +

part part part (4-64)

上式中的 Anablasdot 是向量場 A 的一個重要的性質稱為 A 的「散度」詳

細的內容在後面會仔細討論這裡引進 Anablasdot 主要是要表明nabla是個「算

符」表示一個運算不是一個真實的向量只是在「直角座標」裡

4-32

因為單位向量 ˆ ˆ ˆ x y z 是常數不受微分的作用以致nabla表現得好像也

是個一般的向量一樣事實上真實向量和nabla間的「內積」就不滿足交

換率

x y zA A A A an operator Ax y zpart part part

sdotnabla = + + = ne nablasdotpart part part

(4-65)

這也使得任意向量場 ( )A r 因位置變動 r r drrarr + 而產生的變化由於

)( zyxA 也是 3 個變數 xyz 的函數可以寫為

( )A A AdA dx dy dz dr Ax y z

part part part= + + = sdotnabla

part part part （4-66）

ex29 (a)Given field 2ˆ ˆ ˆ2A xxy y x zyz= minus + find Anablasdot at point (1-12)

解2( ) (2 ) ( ) 2xy x yzA y yz

x y zpart part part

nablasdot = + + = +part part part

(1 12)1 2( 1)2 3A

minusnabla sdot = minus + minus =

(b) find rnablasdot 解 rnablasdot = 3x y zx y zpart part part

+ + =part part part

梯度的意義

由（4-67）可以看到「f 的梯度 fnabla 」

是一個由「純量場 f」衍生出的向量

場由（4-26）也可以看出 fnabla 扮演類

似「變化率」的角色

空間中將相同值 f ( )r ＝f1 的點連

起來就得到一個 f ( )r ＝f1 的「等值面」如 Fig36考慮純量場 f( r )的

相鄰兩個等值面各對應定值 1f f= 與 1f f df= + 0df gt P1 點在 f1

等值面上相鄰兩點 P2P3 在 1f df+ 等值面上而向量 1 2 ˆnP P dn e dn= =

過 P1 點垂直於 f1 等值面 1 3 ˆP P d e d= = 與 ˆne dn夾角為α 由於不

論 1 2P Prarr 或 1 3P Prarr f 的變化量都是 df 但因距離 dn 係兩等值面最

4-33

短的距離d dngt 所以 1 2P Prarr 或 1 3P Prarr 造成的「變化率」df dfdn d

gt

而過 P1 點的最大變化率為dfdn

換言之向量 ˆndfedn

為過 P1 點垂直於

f1 等值面且指向最大「增加率」的方向 現在要證明

ˆndfe fdn

= nabla （4-67）

考慮 1 3P Prarr 造成的 f 值的變化率

ˆ ˆcos n ldf df dn df df e edl dn dl dn dn

α= = = sdot

ˆ ˆ ˆn l ndf dfdf e e dl e dldn dn

rArr = sdot = sdot

和（4-61）式df f dr= nabla sdot 相比即可得證 ˆndfe fdn

= nabla 所以可以知道

空間純量場 f ( )r 中任一點處的向量 fnabla 必「垂直」於「通過該點的 f的等值面」且指向 f 值最大「增加率」的方向| ( )f rnabla |就是 f 在 r 點

的最大增長率可以進一步定義等值面的「法線 normal」方向為

ˆ fnf

nabla=nabla

（4-68）

結論給定一個純量場 f( r )在每一點 r 可以定義一個稱做「梯度」

的向量 fnabla fnabla 垂直於過 r 點的 f 等值面且指向最 f 大增加率的方向

fnabla 的方向也定義了 f 等值面的法線方向

Ex30 考慮一個 2D 的 scalar field 2( )f x y y x= minus 計算該場在 )20( 的梯度與

法線方向

解 ˆ ˆ ˆ ˆ2f ff x y x yyx ypart part

nabla = + = minus +part part

ˆ ˆ(0 2) 2 2f i jnabla = minus + ˆ ˆ ˆ ˆ2 2 2 2ˆ(0 2)

31 8i j i jn minus + minus +

rArr = =+

4-34

ex31 點電荷 q 置於原點其產生電位為 ( ) qV rr

= 求負梯度qr

minusnabla

解 3

2 2 2 22 2 2

2 ( )2

q q q q x x y zr x rx y z

minuspart minus= rArr = sdot + +

part+ +

3 23

ˆˆ ˆ ˆ( )q ix jy kz r rq q qr r r r

minus + +rArr minusnabla = minus = = （點電荷的電場）

0 0

1 1 r r

noter r= =

nabla rarrinfin rarrinfin∵ 是不定值是因為 r = 0 處為最大值

「增加率」的方向無法確定

ex32 置一熱源於原點空間溫度分佈為1( )

( 2)T r

r=

+求溫度的梯度

解 2 2 2

ˆ( ) ( )( 2) ( 2) ( 2)

x rT r rr rT r

x r r r

minuspart minus

= rArrnabla = =part + + +

此處的負號表示梯

度指向熱源因為距熱源越遠溫度越低 ( 0)note T rnabla = 為不定值

因在最頂點「增加率」的方向無法確定

Ex33 地圖上山脈的等高線上各點的垂直方向由梯度決定現有一座

山是橢球 2)1(4 222 =+++ zyx 在 x-y 平面上方的

部分求地圖上這座山等高線的梯度

解 山高 142 22 minusminusminus== yxzh 所以等高線為橢

圓 222 )1(24 +minus=+ hyx 梯度

( ) ( ) ( )2 2 2 2

2 2

ˆ ˆ4ˆ ˆ2 4 1 2 4 1

2 4

xx y yh x x y y x y

x y x y

minus +part partnabla = minus minus minus + minus minus minus =

part part minus minus

所以自山腳（h=0）登山若由(012)開始 ˆ(01 2) 2h ynabla = minus 但若由

)02(minus 開始爬山 ˆ( 20) 2h xnabla minus = 可見 )02()210( minusnablagtnabla hh 這表

示由 y-軸登山山勢較陡所以「梯度」比由 x-軸登山為大這也更

清楚瞭解「梯度」的幾何意義

4-35

sect 432 Divergence 散度與 Curl 旋度

在(4-66) 我們建立了一個直角座標 vector operator 「del」

ˆ ˆ ˆx y zx y zpart part part

nabla equiv + +part part part

(4-66)

若與向量場 A 做「內積」與「外積」就建構了 A 的「散度」與「旋度」

散度 A A scalaryx zAA Adiv ax y z

partpart partequiv nabla sdot = + + =

part part part （4-69）

旋度

y yz x z x

ˆ ˆ ˆ y z A vector

A AA A A Aˆ ˆ ˆxy z z x x y

x y z

x y z

xcurl A a

A A A

y z

⎧⎪

= nablatimes = part part part =⎪⎪⎨⎪

part part⎛ ⎞ ⎛ ⎞part part part part⎛ ⎞⎪ = minus + minus + minus⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎪ part part part part part part⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎩

(4-70)

這裡定義的只是「散度」與「旋度」所謂「操作型的定義」告訴我

們如何計算的式子事實上她們都具有重要的物理意義我們在後面

會討論

ex34 ˆ ˆA xy yx= minus 求其散度與旋度

解 0 0y xAx ypart part

nablasdot = minus + =part part

ˆ ˆ ˆ y zˆ ˆ ˆ ˆ 0 0 ( 2) 2

0 x y z

xA x y z z

y xnablatimes = part part part = minus + minus = minus

minus

右圖示意了本向量場的分佈看得出像個漩渦也看到算出的旋度

0ne 看來旋度表現的應該是向量場「旋轉的程度」事實上我們在

後面會看到「旋度」表現的就是是向量場在空間各點「旋轉的程度」

本題的向量場在每一點的旋轉程度都一樣

4-36

Ex35 ( )ˆ ˆ ˆ A xx yy zz r= + + = 求其散度與旋度

解 3A rnablasdot = nablasdot = ˆ ˆ ˆ y z

0

x y z

xA

x y znablatimes = part part part =

由場分佈的示意圖可以看出本向量場是自原點向外射出好似在原

點有一個場線的「源頭 source」但是 3Anablasdot = 為一個常數表示好像到

處都有 source同時旋度為 0 也可以配合本場並無旋轉的形象事實

上「散度」表現的就是是向量場在空間各點產生「場線」的 source

記得靜電學裡的庫倫定律 0E ρ εnablasdot = 電場的散度就是「電荷密度」

(電場的 source)前一題的向量場看來對應的場線是封閉的所以沒有

source這也對應了其散度＝0不過一個向量場的散度旋度究竟是

多少應該詳細的計算場分佈圖形有時候不是那麼容易看的清楚

兩個 useful identities (恆等式)

(a) ( ) 0 0f curl of a gradnablatimes nabla = =

(b) ( ) 0 0A div of a curlnablasdot nablatimes = =

pf (a) ( )ˆ ˆ ˆ x y z

x y z

x y z

ff f f

nablatimes nabla = part part part

part part part

( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2xz zxˆ ˆ ˆx y f- f z 0yz yz xy yxf f f f= part minus part minus part part + part minuspart =

這個結果與真實的向量外積 ( ) AA 0=times 有相似之處但是這只是特

例要記得nabla並不是一個真正的向量

( ) ( ) ( )

( )

ˆ ˆ ˆ y zˆ ˆ ˆ x y z

0

x y z y z z y x z z x x y y x

x y z

xy z xz y xy z yz x xz y yz x

xA A A A A A A

A A A

A A A A A A A

nablatimes = part part part = part minus part minus part minus part + part minus part

nablasdot nablatimes = part minuspart minuspart +part +part minuspart =

4-37

此結果與真實的向量運算有相似之處 ( )( )0 (B A) BB B Asdot times = times perp∵

但是這仍只是特例因為我們可由下列例子 ( ) 0A Asdot nablatimes ne 看出事實上

nabla並不是一個真正的向量 Ex36 ˆ ˆ ˆA xy yx zx= minus +

( )

ˆ ˆ ˆ y zˆ ˆ ˆ 0 1 ( 2)

2 0

x y z

xA x y z

y x x

A A x x x

nablatimes = part part part = minus + minus

minus

sdot nablatimes = minus = minus ne

面積元素向量

物理上時常會遇到面積分例如電通量磁通

量等等考慮一個面積元素 ds定義「面積的

方向」為其「法線方向」並定義面積元素向量

ˆnds a dsequiv （4-71）

要注意的是(1)如果 ds 是一個「封閉面

closed surface」（即有裡外之分）的一部

份則 ˆna 定義為「由內向外」(2) 如果 ds

是一個「開放面 opened surface」（即分不

出裡外）的一部份那麼 ds 必被其邊緣

（一個封閉的曲線 C）所包圍這樣在定

出ds 的方向之前要先定義「邊緣曲線」

C 的方向再由右手定則定義 ˆna 的方向

既然面積已為一個向量就可以寫為分量表示以直角座標

ˆ ˆ ˆx y zds xds yds zds= + + (4-72)

那麼這些分量 dsx dsy dsz 會是什麼既然 dsx 的方向是 x 就表示 dsx

是躺在 y-z 平面上所以 dsx 的兩邊是 dy 與 dz rArr xds dydz= 依此類

4-38

推 dsy 的方向是 y 所以躺在 x-z 平面rArr yds dxdz= hellip可以得知

xds dydz= yds dxdz= zds dxdy= （4-73）

不過要注意在寫面積元素時要看討論的面實際

是什麼面上式的三個分量有可能會是負的例如

左圖座落在第一象限的立方體的 A 面方向就在 xminus

方向Arsquo面在 yminus Ardquo面在 zminus 方向寫面積元素最

好是先把討論的面的方向搞清楚把plusmn號寫在單位向量前面那麼分

量就都用＋的即可其實面積元素體積元素都可以由位移元素看出

ˆ ˆ ˆdr xdx ydy zdz= + +

dx dy dz 是沿著 ˆ ˆ ˆ x y z 方向的長度所以面積元素分量的兩邊長度就

是由其中兩個組成而體積的三邊也就是三個垂直方向的長度

x y zdV dx dy dz and ds dydz dxdz dxdyrArr = = （4-74）

這個概念在其他的座標系統也成立我們可以方便的寫出面積元素

Recall 柱座標的位移向量元素

cylindrical coordinate ˆ ˆ ˆdr d d dzzρρ ρ ϕϕ= + + （4-48）

ˆ ˆ ˆ zds ds ds zdsρ ϕρ ϕ= + + (4-75)

dsρ 躺在 zϕ minus 平面dsϕ 在 zρ minus 平面 zds 在ρ ϕminus 平面

rArr zds d dz ds d dz ds d d d dρ ϕρ ϕ ρ ρ ρ ϕ ρ ρ ϕ= = = sdot = （4-76）

上面的結果畫個圖看看吧球座標的位移向量元素

Spherical coordinate ˆ ˆˆ ( ) ( sin )dr rdr rd r dθ θ ϕ θ ϕ= + + （4-56）

ˆ ˆˆ rds rds ds dsθ ϕθ ϕ= + + （4-77）

rArr sin sin rds rd r d ds dr r d ds rd drθ ϕθ θ ϕ θ ϕ θ= sdot = sdot = sdot (4-78)

4-39

向量場 ( )A r 在 S 面上的「面積分（surface integral）」or「flux」

如左圖若有一「平面」S 且其上有「均勻」

場 B 分佈則通過 S 面的通量就是

ˆB B nSΦ = sdot

但考慮一任意「非均勻」向量場 ( )A r 在空間分佈選取任意曲面 S

探討 ( )A r 在 S 上之通量若ds 為 S 面上的面積元素在趨近於 0 的

小面積ds 上 A可視為均勻所以通過ds 之通量為 ( )d A r dsΦ = sdot 則 S

面之總通量為

Φ＝ ˆ cosS S S

A ds A nds A daϕsdot = sdot =int int int

( )OR

x x y y z zS

A da A da A da= + +int (4-75)

稱為 A 在 S 面上的「面積分」或「通量 flux」

上圖所繪就是一個任意面上分割出許多小面積舉出三個位置的通

量有+-與 0如果 S 面是為一「封閉面」則面積分寫為

S

A dssdotint （4-76）

4-40

ex37 Given 2ˆ ˆ ˆyzA xyz yx zx= + + 計算通量S

A dssdotint

S 面為在第一象限邊長＝1 的立方體表面封閉面

解立方體分為前後右左上下六個面分開算 1前面（x=1）

方向 x+ ˆ xA ds A xdydz A dydzsdot = sdot =int int int前 前 前

yzdydz= int前 ＝1 1

0 0

1 1 12 2 4

ydy zdz = sdot =int int

2後面(x=0)方向 xminus ˆ(- ) - xA ds A x dydz A dydzsdot = sdot =int int int後 後 後

yzdydz= minusint後1 1

0 0

-1 1 -12 2 4

ydy zdzminus = sdot =int int

3 右面（y=1）方向 y+ y ( 1)yA ds A dxdz A y dxdzsdot = sdot = =int int int右 右 右

( 1)x y zdxdz= =int右 ＝1 1

0 0

1 1 12 2 4

xdx zdz = sdot =int int

4 左面（y=0）方向 ˆ-y ˆ( y) - ( 0)yA ds A dxdz A y dxdzsdot = sdot minus = =int int int左 左 左

( 0) 0x y zdxdz= = =int左

5 上面（z=1）方向 z+ zz y (z 1) yA ds A dxd A dxdsdot = sdot = =int int int上 上 上

2 yx dxd= int上 ＝1 120 0

1 1y 13 3

x dx d = sdot =int int

6 下面（z=1）方向 ˆ-z zˆ(-z) y - (z 0) yA ds A dxd A dxdsdot = sdot = =int int int下 下 下

2 -1- y3

x dxd= =int下 ＝1 120 0

1 1y 13 3

x dx d = sdot =int int

S

A dssdotint ＝六個面的和＝1 1 1 1 1 1( ) ( 0) ( )4 4 4 3 3 4

minus minus+ + + + + =

ex38 Given ˆ ˆ ˆzA xyz yx zxy= + + 計算通量S

A dssdotint S 為圓 2 2 2x y a+ =

在第一項限的部分方向選為 z+ 2 2y a x= minus

4-41

解 2 2 4

0 0ˆ

8a a x

zS S S S

aA ds A zdxdy A dxdy xydxdy xdx ydyminus

sdot = sdot = = = =int int int int int int

Ex39 In cylindrical coordinate Given ˆ ˆaA zbzρρ

= + where a b are

constants Find S

A dssdotint over the surface of a

closed cylinder about z-axis specified by 3 2z ρ= plusmn =

解S 分為上下與周邊三面

zz (z 3)zA ds A ds A d dρ ρ ϕsdot = sdot = = sdotint int int上 上 上

= 23 3 2 12bd d b bρ ρ ϕ π πsdot = sdot =int上

ˆ(-z)A ds A d dρ ρ ϕsdot = sdot sdotint int下 下

= z- (z -3)A d dρ ρ ϕ= sdotint下 = 23 2 12b bπ πsdot =

周邊ds ˆ ( )d dzρ ρ ϕ= rArr ˆ ( ) z ( ) zA ds A d d A d dρρ ρ ϕ ρ ϕsdot = sdot =int int int周 周 周

2 3

0 3( ) z ( ) z=a 12aA d d d d d dz a

πρ ρ ϕ ρ ϕ ϕ π

ρ minus= = =int int int int周 周

加起來 S

A dssdotint ＝12 24 12 ( 2 )a b a bπ π π+ = +

ex40 一點電荷 q 置於原點計算在一個以原點為圓心 0r 為半徑的球

面上的電通量

解 2 20 0

ˆ ˆ4 4S S

qr q dsE ds rdsr rπε πε

sdot = sdot =int int int

=0 0 0

44 4S

q q qd ππε πε ε

sdot Ω = sdot =int

上式中 dΩ 2dsr

= 是 ds 所張開的「立體角」(solid angle)

4-42

div A and Flux 通量與散度的幾何物理意義

我們運用過nabla的符號來表示過散度 divF F= nablasdot yx zFF Fx y z

partpart part= + +part part part

但是也看到「散度」定義為

0( )

1( ) limSV

about x y z

divF x y z F da divergence of FVΔ rarr

equiv sdot =Δ int (4-77)

其中 VΔ 為 S 面所包含的體積即散

度為通量(體)密度的 0 體積極限

（4-77）的定義與 Fnablasdot 好像差的很

多她們是說同一回事嗎以下證明

這兩種「散度」的定義是等價的如

左圖考慮一個以點 ( ) x y z 為中心

的 立 方 體 其 相 鄰 三 邊 長 為

x y zΔ Δ Δ 體積 V x y zΔ = Δ Δ Δ 現在計算 F 在立方體的一組平行於 y-z平面的表面 S1 與 S2 的通量

( )1 1

ˆ ˆ xS S

F nds F xds F x y z dsrArr sdot = sdot =intint intint intint 2xxF x y z y zΔ⎛ ⎞asymp + Δ Δ⎜ ⎟

⎝ ⎠

其中 2xx y zΔ⎛ ⎞+⎜ ⎟

⎝ ⎠為 S1 面中心的座標而

2xx y zΔ⎛ ⎞minus⎜ ⎟

⎝ ⎠為 S2 面的中心

( ) ( )2 2 2

ˆ ˆ 2x x

S S S

xF nda F x ds F x y z ds F x y z y zΔ⎛ ⎞rArr sdot = sdot minus = minus asymp minus minus Δ Δ⎜ ⎟⎝ ⎠intint intint intint

上式中的負號來自 S2 面的方向是 xminus 所以合併兩個面積分

1 2

ˆ 2 2x x

S S

x xF nds F x y z F x y z y z+

Δ Δ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞rArr sdot asymp + minus minus Δ Δ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦intint

2 2x xx xF x y z F x y z

x y zx

Δ Δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠= Δ Δ Δ

Δ

2 2

x xx xF x y z F x y z

Vx

Δ Δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠= Δ

Δ

1 2

1 2 2ˆ

x x

S S

x xF x y z F x y zF nds

V x+

Δ Δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠rArr sdot asymp

Δ Δintint

4-43

當取體積向(xyz)點收縮至 0 時即 0 x 0as VΔ rarr Δ rarr 上式的近似

「asymp」就成了「＝」

1 20

1 ˆlimV

S S

F ndsVΔ rarr

+

sdotΔ intint

( )0

2 2limx x

x

x

x xF x y z F x y z F x y zx xΔ rarr

Δ Δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟ part⎝ ⎠ ⎝ ⎠= =Δ part

Similarly F 在立方體的一組平行於 x-z 平面的表面 S3 與 S4 的通量

3 3 3

ˆ ˆ yS S S

F nds F yds F dsrArr sdot = sdot =intint intint intint

2

2

y

y

yF x y zyF x y z x z x y z

y

Δ⎛ ⎞+⎜ ⎟Δ⎛ ⎞ ⎝ ⎠asymp + Δ Δ = Δ Δ Δ⎜ ⎟ Δ⎝ ⎠

( )4 4 4

2ˆ ˆ

y

yS S S

yF x y zF nds F y da F ds x y z

y

Δ⎛ ⎞minus⎜ ⎟⎝ ⎠rArr sdot = sdot minus = minus asymp Δ Δ Δ

Δintint intint intint

合併 S3 與 S4 兩個面積分並取體積向(xyz)點收縮至 0 時即當

0 y 0VΔ rarr Δ rarr 上式的近似asymp就成了＝

3 4

2 2ˆ

x x

S S

y yF x y z F x y zF nds V

y+

Δ Δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠rArr sdot cong Δ

Δintint

3 40 0

1 2 2ˆlim lim

x xy

V yS S

x yF x y z F x y z FF nds

V y yΔ rarr Δ rarr+

Δ Δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟ part⎝ ⎠ ⎝ ⎠rArr sdot = =Δ Δ partintint

與上面相同的作法計算 F 在立方體的一組平行於 x-y 平面的表面 S5

與 S6 的通量我們也會得到對應的結果

5 6

2 2ˆ

z x

S S

z zF x y z F x y zF nds V

z+

Δ Δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠rArr sdot cong Δ

Δintint

5 60 0

1 2 2ˆlim lim

z xz

V zS S

z zF x y z F x y zFF nds

V z zΔ rarr Δ rarr+

Δ Δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟ part⎝ ⎠ ⎝ ⎠rArr sdot = =Δ Δ partintint

所以合併立方體的 6 個面積分

4-44

1 2 3 4 5 6

ˆ ˆ ˆ ˆS S S S S S S

F nds F nds F nds F nds+ + +

rArr sdot = sdot + sdot + sdotint intint intint intint

0

1 ˆlim yx zV

FF FF nds div F FV x y zΔ rarr

partpart partrArr sdot = + + = = nablasdot

Δ part part partint (4-78)

在此我們得證這兩種「散度」的定義是等價的只是（4-77）的定義

充分的表現出「散度」的幾何物理意義他從通量著手由於場線

出自於 source（ex電場源自於點電荷）所以在點(xyz)必須有向量場

F 的 source 存在才能使得當面積縮到 0 時仍具有非 0 的通量所以「散

度」表現向量場 F 的 source 在這個定義之下是很清楚的當然在計算

「散度」時我們不必那麼麻煩用 divF F= nablasdot 就好了

Ex41 計算 2ˆ ˆ ˆF xx yxy zyz= + + 的散度

解 2 yx zFF Fx x yx y z

partpart part= = =

part part part F 2x x y 3x ydivrArr = + + = +

recall 在靜電學0

yx zEE EEx y z

ρε

partpart partnablasdot = = + +

part part part

散度定理 Divergence Theorem

若任意封閉面（又稱為「高斯面」）S 所包圍的

體積為 V 則

S VA ds Adτsdot = nablasdotint int （4-79）

pf 我們先將體積分割成 N 個小盒子考慮相鄰的兩個小盒子 1 2

兩小盒子的共用面面積 S0當 S0 是為 1 號盒子的一部份時其方向為

1n 但若當為 2 號盒子的表面時其方向為 12 ˆˆ nn minus= 如此在 S0 分別做

4-45

1 2 盒子的面積分後

0 0

0 0 0 0

1 2

1 2 1 1ˆ ˆ ˆ ˆ 0

S S

S S S S

A ds A ds

F n ds F n ds F n ds F n ds

sdot + sdot

= sdot + sdot = sdot minus sdot =

intint intintintint intint intint intint

所以若求場 A 在 1 2 盒子的總通量時交界面是沒有貢獻的總通量

就只有「外面積」才有貢獻如此我們計算 N 個小盒子的總通量

時所有的內部共用面都得 0只剩下「外表面」的貢獻了當 infinrarrN

時所有小盒子的「總外表面」就與 S 面重合了所以所有小盒子通量

的總和就等於 S 面的通量

1lim

i

N

S SN iA ds A ds

rarrinfin=

rArr sdot = sdotsumint int

現在我們做 N 個小盒子的總通量

1 1

1i i

N N

iS Si i i

A ds A ds VV= =

⎛ ⎞sdot = sdot Δ⎜ ⎟Δ⎝ ⎠

sum sumint int

當 0iN Vrarrinfin rArr Δ rarr 並用 dv 表示體積元素

( ) ( )1 1

1

1lim lim lim

lim

i ii

N N

iS SN N V oi i i

N

i VN i

A ds A ds VV

A V A dv

rarrinfin rarrinfin Δ rarr= =

rarrinfin=

⎛ ⎞sdot = sdot Δ⎜ ⎟Δ⎝ ⎠

= nablasdot Δ = nablasdot

sum sumint int

sum int

( )S V

A da A dvrArr sdot = nablasdotint int QED

所以得證散度定理上式中我們用了散度的（4-77）式定義要分辨

清楚 Anablasdot 是向量場 A 在空間中「某一點」的性質（ 0VΔ rarr ）而「散

度定理」說的是一個「有限體積」的性質

ex42 給定 ( ) ˆ ˆ ˆ A x y z xx yy zz r= + + = 計算在

半徑 R＝1 的球的上半球加底面的通量

4-46

解 ( )ˆˆS

A da A rda A k darArr sdot = sdot + sdot minusint int int上半球面 底面

( )

2

ˆ ˆ

0 2 1 2

A rda A z dxdy

r rds zdxdy rds ds π π

= sdot + sdot minus

= sdot minus = minus = = sdot =

int int

int int int int上半球面 底面

上半球面 底面 上半球面

底面的通量＝0 是因為 A 的 z 分量 Az=z 在底面的值為 0

也可以用散度定理更快的得出結果

∵ 3A rnablasdot = nablasdot =

31 43 3 1 22 3V V

Ad d πτ τ πnablasdot = = sdot sdot sdot =int int

ex43高斯定律的微分形式積 由 Gaussrsquo law 的積分形式用散度定理得出其

( )0 0

1 inS V

qE ds x y z dvρε ε

sdot = =int int

0S V VE ds Edv dvρ

εrArr sdot = nablasdot =int int int

上式最後的等式對「任意形狀」V 都成立所以兩者的被積函數相等

對於空間每一點 0

E ρε

nablasdot = （4-80）

ex44 Use 第一象限的單位力方體 check the divergence theorem using the function 2 2ˆ ˆ ˆ(2 ) 2A y x xy z y yzz= + + +

解2

2( ) (2 )(2 ) 2( )y yzA xy z x yx y z

part part partnablasdot = + + + = +

part part part

and 1 1 1 1 1 1

0 0 0 0 0 02 ( ) 2 ( )

VAdv x y dxdydz dz dy x y dxnablasdot = + = +int int int int int int int

1 1

0 0

1 12 ( ) 2 12 2

dz y dy= + = sdot =int int

面積分 1 1 2

0 0

1ˆ3

A ds A xdydz dz y dysdot = sdot = =intint intint int int前 前

4-47

1 1 2

0 0

1ˆ( )3

A ds A x dydz dz y dy minussdot = sdot minus = minus =intint intint int int

後 後

1 1 2

0 0ˆ (2 )A ds A ydxdz dz xy z dxsdot = sdot = +intint intint int int

右 右

1 1 1 12 2

0 0 0

4(2 ) (1 )3

ydz x z dx dz z

=

= + = + =int int int∵

1 1 2

0 0

0 1 1 12 2

0 0 0

ˆ( ) (2 )

1(1 )3

y

A ds A y dxdz dz xy z dx

dz z dx dz z=

sdot = sdot minus = minus +

minus= minus = + =

intint intint int int

int int int∵

左 左

11 1 1 1

0 0 0 0ˆ 2 2 1

zA ds A zdxdy dx yzdy dx ydy

=sdot = sdot = = =intint intint int int int int

∵

上 上

01 1

0 0ˆ 2 0

zA ds A zdxdy dx yzdy

=sdot = sdot minus = minus =intint intint int int

∵

下 下

前後右左上下六個面積分合併＝1＝V

Advnablasdotint QED

ex45 Continuity Equation 連續方程式

考慮某些「東西」的流動（物質電荷hellip）在時刻 t 時在點(xyz)

的 密 度 為 ( ) x y z tρ ρ= 並 具 有 速 度

( ) v v x y z t= 在時刻 t 時在體積 V 內的總量為

( ) x y z t dρ τintintint

這樣體積 V 內東東的時變率為

( ) ( ) d x y z t d x y z t ddt t

ρρ τ τpart=

partintintint intintint

注意體積分後的時間全微分移入積分內要改為偏微分這個東東

在表面的「流率 flow rate」可表為

ˆS

R v ndsρ= sdotintint

若體積內的物料無法自生自滅那麼體積內物料的變化必經由表面的

流出流入所造成

d v ndstρ τ ρpart

rArr = minus sdotpartintintint intint

由散度定理

4-48

( )ˆS

v nds v d dtρρ ρ τ τpart

sdot = nablasdot = minuspartintint intintint intintint

( )v Jtρ ρpart

rArr = minusnablasdot equiv minusnablasdotpart

0Jtρpart

rArr +nablasdot =part

（4-81）

(4-81) 即 continuity equation其中 J vρ= 為「物流密度」ex如果 ρ

是電荷密度 J 就是電流密度（4-81）是物質守恆的結果只對體

積內無 source（生成）or drain（消滅）的東東成立

ex46 Given a vector field ˆ ˆx yA ye xe= minus + (a) Find

Anablasdot (b)如圖一個金字塔狀的 5 面體高 2 底邊長

1計算 A在整個金字塔表面（封閉面）的總通量

解(a) Anablasdot = ( ) ( ) 0y xx ypart part

minus + =part part

(b) 金 字 塔 的 表 面 面 積 元 素 ds 不 好 寫 所 以 用 散 度 定 理

( )S V

A da A dvrArr sdot = nablasdotint int ＝0 Anablasdot 表示 A沒有 source 所以對封閉面而

言有多少場線進入就有多少出去所以總通量＝0

習題 7 With position vector r for an arbitrary volume V that is

bounded by surface S show that 13 S

r ds Vsdot =int

習題 8 已知一靜電場為 ˆ ˆ ˆ( )E xyz yxz zxyλ= + + 運用 Gaussrsquo law

試求包含在半球 2 2 2 2 0x y z R z+ + = ge 裡的總電荷 Ans 0

習題 9 (a) given ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( 2 )F r xf x yf y zf z= + + minus show that divF is

zero at point (c c -c2) (b) given ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( )G r xf x z yg x z zh x y= + +

show that ( ) 0G rnablasdot =

4-49

習題 10 Find the normal vector n for the surfaces (a) z = 2-x-y ans

ˆ ˆ ˆ( ) 3x y z+ + (b) z = (1-x2)12 ans ˆ ˆxx zz+ (c) z = x2+y2

ans ˆ ˆ ˆ( 2 2 ) 1 4xx yy z zminus minus + +

習題 11 Show that the unit vector normal to the plane ax+by+cz =d is

given by 2 2 2ˆ ˆ ˆ( ) ax by cz a b cplusmn + + + +

圓柱座標與球座標的nabla (del)

考慮一純量場在直角座標為 ( ) u x y z 在圓柱座標表為 ( ) u zρ φ

再考慮因位移 r r drrarr + 所造成 u ( )zρ φ 的變化

( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆz

z

u u udu d d dz u dr u d d zdzz

u u z u d d zdz

u d u d u dzρ ϕ

ρ ϕ

ρ ϕ ρ ρ ϕρ ϕρ ϕ

ρ ϕ ρ ρ ϕρ ϕ

ρ ρ ϕ

part part part= + + = nabla sdot = nabla sdot + +part part part

⎡ ⎤= nabla + nabla + nabla sdot + +⎣ ⎦= nabla + nabla + nabla

( ) ( ) ( )1

1ˆ ˆ ˆu

z

u u uu u uz

u u uzz

ρ ϕρ ρ ϕ

ρ ϕρ ρ ϕ

part part partrArr nabla = nabla = nabla =

part part partpart part part

rArrnabla = + +part part part

1ˆ ˆ ˆ zz

ρ ϕρ ρ ϕpart part part

nabla = + +part part part

（4-82）

注意nabla的ϕ -分量( 1ρ ϕ

partpart

)不是像直角座標裡單純的ϕpartpart

所以不要笨笨

的就把直角座標的形式硬套上去用我們也可以從「因次分析」來

看nabla因為是對空間的微分所以每一項的因次必須是「長度分之一」

運算 andzρ

part partpart part

都是「長度分之一」而「單純的ϕpartpart

」是沒有單位的

所以要1ρ ϕ

partpart

才 OK

由於圓柱座標裡的單位向量除了 z 之外 ˆ( )ρ ϕ 與 ˆ( )ϕ ϕ 都不是常

4-50

數所以在微分時不可以與微分運算交換而要考慮微分的作用所

以在「圓柱座標」寫「散度」 ( ) F zρ ϕnablasdot 也和直角座標不一樣

( )1ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ zF z F F zFz ρ ϕρ ϕ ρ ϕ

ρ ρ ϕpart part part⎛ ⎞

nabla sdot = + + sdot + +⎜ ⎟part part part⎝ ⎠

( ) ( )1ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆz zF F zF F F zFρ ϕ ρ ϕρ ρ ϕ ϕ ρ ϕρ ρ ϕpart part

= sdot + + + sdot + +part part

( )ˆ ˆˆ ˆ zz F F zFz ρ ϕρ ϕpart

+ sdot + +part

因為 ( ) ( )ˆ ˆ ˆ ˆ ρ ρ ϕ ϕ ϕ ϕ= = 所以做 andzρ

part partpart part

時 ˆ ˆ ρ ϕ 可視為常數

ˆ ˆ1ˆ ˆ ˆ zF F F FF F Fz

ρ ρ ϕρ φ

ρ ϕϕ ρ ϕρ ρ ϕ ϕ ϕ ϕ

part part part⎡ ⎤part part partrArrnablasdot = + sdot + + + +⎢ ⎥part part part part part part⎣ ⎦

還記得 ˆ ˆ ˆ ˆd d d dρ ϕ ϕ ϕ ρ ϕ= = minus 所以 ˆ ˆρ ϕϕpart

=part

ˆ ˆϕ ρϕpart

= minuspart

rArr

( )1 1 1z zF F F FF FF Fz z

ρ ρ ϕ ϕρρ

ρ ρ ρ ϕ ρ ρ ρ ϕpart part part part

nablasdot = + + + = + +part part part part part part

（4-83）

在球座標寫nabla也會遇到相似的問題其根源就是球座標 ( )r θ ϕ 裡

的 θ ϕ 的因次並非長度而三個單位向量 ˆ ˆˆ r θ ϕ（表為 ie ）都是( θ ϕ )

的函數以致

( )ˆ ˆ( ) ( )i ie f e fθ ϕ θ ϕθ θpart part

nepart part

且 ( )ˆ ˆ( ) ( )i ie f e fθ ϕ θ ϕϕ ϕpart part

nepart part

所以nabla也不似在直角座標那麼簡單我們不在這裡推導而是給出一

個歸納的統一的三個座標的結果還記得對每一個座標 iu i = 123

座標的變化 idu 與造成的長度變化 id

i i id h du= 123i = (4-84)

其中 ih 為對應的度量係數(metric coefficient)

4-51

1 2 3

1 1 2 2 3 3

1 1 1ˆ ˆ ˆu u ue e eh u h u h u

part part partnabla equiv + +

part part part （4-85A）

座標 1 2 3 u u u

度量係數

1 2 3 h h h

nabla grad del

直角 x y z

1 1 1 nabla ˆ ˆ ˆx y z

x y zpart part part

equiv + +part part part

圓柱

zρ ϕ

1 1ρ

1ˆ ˆ ˆ z

zρ ϕ

ρ ρ ϕpart part part

nabla equiv + +part part part

球

r θ ϕ

1 sinr r θ

1 1ˆ ˆˆ

sinr

r r rθ ϕ

θ θ ϕpart part part

nabla = + +part part part

（4-85B）

梯度gradient Vnabla grad(V) 散度divergence Anablasdot div( )A

直

角 nablaV ˆ ˆ ˆV V Vx y z

x y zpart part part

= + +part part part

yx zAA AAx y z

partpart partnablasdot = + +

part part part

圓

柱

1ˆ ˆ ˆ V V VV zz

ρ ϕρ ρ ϕpart part part

nabla = + +part part part

( )1 1

1

z

z

A AA Az

A A A Fz

ϕρ

ρ ρ ϕ

ρρ ρ ρ ϕ

ρ ρ ρ ϕ

partpart partnabla sdot = + +

part part partpart part part

= + + +part part part

球

1 1ˆ ˆˆ sin

V V VV rr r r

θ ϕθ θ ϕ

part part partnabla = + +

part part part

22

1 ( )rA r Ar r

partnabla sdot =

part

1 (sin )sin

Ar θθ

θ θpart

+ sdotpart

1sin

Ar

ϕ

θ ϕpart

+part

(4-86)

Ex47 Using spherical coordinate show that 1| |r r

nablaminus

= 2

ˆ| |

r rer r

minusminusminus

where

nabla是作用在 r 而 ˆr re minus 是向量 r rminus 方向的單位向量 解let r lies in z-axis so that the angle between r and r is just θ

4-52

rArr ( ) 122 21 1 2 cos | | ( ) ( )

r rr rr r r r r r

θminus

= = minus +minus minus sdot minus

( ) ( )12 122 2 2 21 1ˆˆ 2 cos 2 cos | |

r r rr r r rr rr r r r

θ θ θθ

minus minuspart partnabla = minus + + minus +

minus part part

( ) 322 21ˆ 2 cos (2 2 cos )2

r r rr r r rθ θminusminus

= minus + minus

( ) 322 21ˆ 2 cos (2 sin )2

r rr r rrθ θ θminusminus

+ minus +

3 3 3 3

ˆˆ ˆ( cos ) sin ( cos sin )ˆˆ| | | | | | | |r r r rr r rrr r r r r r r r

θ θ θ θ θθminus minus minus minus minus= + = +

minus minus minus minus

3 3 3ˆ ( )

| | | | | |r r z r r r rr r r r r rminus + minus + minus minus

= = =minus minus minus

＝ 2

ˆ| |

r rer r

minusminusminus

QED

證明最後我們用到 ˆˆˆ cos sinz r θ θ θ= minus 而 ˆ r r z= 因為我們選了 r 是

躺在 z-軸 Ex48 For arbitrary scalar field ( )f r and vector field ( )A r 證明恆等式

( )fA f A f Anablasdot = nabla sdot + nablasdot (4-87) 解 ˆ ˆ ˆx y zfA xfA yfA zfA= + +

( ) ( ) ( ) ( )x y zfA fA fA fAx y zpart part part

rArrnablasdot = + +part part part

yx zx x x

AAf f f AA f A f A fx x y y z z

partpartpart part part part= + + + + +part part part part part part

yx zx y z

AAf f f AA A A fx y z x y z

part⎛ ⎞partpart part part part= + + + + +⎜ ⎟part part part part part part⎝ ⎠

f A f A= nabla sdot + nablasdot QED 習題 12 一個位於原點的電偶極電偶極矩＝ ˆp pz= 已知其在遠處

的電位為 20

cos4p

rθ

πε試證該處的電場強度為 E = 3

0

ˆˆ( 2cos sin )4

p rr

θ θ θπε

+

(已知 E V= minusnabla )並請計算 Enablasdot ＝

習題 13 給定一向量場2

3cosˆD r

rϕ

= 現有兩個球心在原點的同心球

內球半徑 R＝1外球 R＝2(a)求面積分S

D dssdotint S 為同心球殼的表

面（有內外兩個面）(b)求體積分V

Ddvnablasdotint V 為兩同心球之間的

區域本題也是來 check 散度定理的Ans πminus

4-53

The Laplacian operator 2nabla equivnablasdotnabla

在直角座標可以用直接作用得到

2 2 2

22 2 2u u uu u

x y zpart part part

nabla equiv nablasdotnabla = + +part part part

(4-88)

圓柱座標

2 2

22 2 2

1 1( ) u u uu uz

ρρ ρ ρ ρ ϕ

part part part part⎛ ⎞nabla equiv nablasdot nabla = + +⎜ ⎟part part part part⎝ ⎠

(4-89)

球座標

2

2 22 2 2 2 2

1 1 1sinsin sin

u u uu rr r r r r

θθ θ θ θ ϕ

part part part part part⎛ ⎞ ⎛ ⎞nabla = + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟part part part part part⎝ ⎠ ⎝ ⎠ （4-90）

習題 14 verify (4-89) and (4-90)

習題 15 Given a dipole potential V= 20

cos4p

rθ

πε find 2Vminusnabla

sect 433 Line integral and curl A 線積分與與旋度的物理意義

線積分路徑積分

考慮一曲線 C 通過兩點 ( )i i i iP x y z 與

( )f f f fP x y z 現有一向量場 ( )A x y z 定義在

C 所在的空間若 sd 為 C 上位於(xyz)點的

「路徑元素」（ ˆd td= 方向沿該處切線）而

( )A x y z 為路徑元素d 處的場值則沿 C 經歷各點所做積分

cos cosf

CC C iA d Ad A dϕ ϕrarr rarrsdot = =int int int （4-91）

稱為向量場 ( )A x y z 沿路徑 C 自 pi 至 pf 的「線積分」「或「路徑積分」

積分裡 A 取值的點侷限在路徑 C 上面若為一個「封閉路徑」則對

C 的線積分也稱做「環路積分 closed contour integral」記做

C

A dsdotint （4-92）

4-54

物理量「做功」是最標準的線積分之一力 F 自 x = a 至 x = b「沿線」

x 軸做功

W＝ F dxsdotint ＝ ( )b

xaF x dxint （4-93）

質點在力場 )(rF 裡走一條曲線 C則力場做功

CW F d= sdotint （4-94）

還記得如果 ( )F r 是所謂「保守力」則上式只與始末點有關而與

路徑無關但如果 ( )F r 是所謂「非保守力」則做功與確實的路徑 C

有關

現考慮一質點在空間運動的位置 r 落在由曲線 C

描述的路徑則質點的位移元素與曲線 C 的路徑元

素相同 d dr= 若空間有向量場 A 分佈則 A 在 C 的

路徑積分以直角座標表示為

CA drarr rarrsdotint ＝

CA d rrarr rarrsdotint ＝ ( )x y zC

A dx A dy A dz+ +int （4-95）

上式中的 x y z 的積分限由 C 決定

Ex49 2 2 2ˆ ˆ ˆA xx yy zzrarr= + + 選定一路徑 C 為曲線

2y x= 由 (000)到 (2 20)的部分求C

A dsdotint

解 ˆ ˆd xdx ydy= +∵

CA dsdotint ＝ 2 2( )

Cx dx y dy+int ＝

2 22 2

0 0x dx y dy+int int

＝ )24(32

+

或由 2y x= rArr 2ydy dx= 2 12

y dy xdxrArr =

rArrC

A dsdotint ＝2 2

0

1( )2

x x dx+int ＝2 (4 2)3

+

4-55

ex50 ˆ ˆ( )f x y z xy yx= minus Do C

f dsdotint 其中的路徑 C 為一逆時針三角

形如圖 解∵路徑全部在 x-y 平面 ˆ ˆ ˆd td xdx ydy= = +

rArrC

f dsdotint ＝ x yC

f dx f dy+int ＝C

ydx xdyminusint

由於在 C1 上 y = 0 及 dy = 0 所以 01

=intC 又由於在

C3 上 x = 0 及 dx =0所以 03

=intC 所以只剩下 C2 可

能有貢獻由 2C 的方程式x + y =1rArr ⎩⎨⎧

minus=minus=

xyyx

11

rArr2Cydx xdyminusint ＝

0 1

1 0(1 ) (1 )x dx y dyminus minus minusint int ＝

0 12 2

1 0

( ) ( )2 2x yx yminus minus minus ＝-1

Cf dsdotint ＝-1

ex51 ( )f x y zrarr

= 2ˆ ˆxx yxyminus 如右圖doC

f dsdotint 其

中路徑 C 為第一象限的逆時針 14 圓弧

解∵ 全部在 x-y 平面 ˆ ˆd xdx ydy= +

Cf dsdotint ＝ 2

Cx dx xydyminusint

由於在 C 上 cosx R ϕ= rArr sindx R dϕ ϕ= minus

siny R ϕ= rArr cosdy R dϕ ϕ=

rArr 2

Cx dx xydyminusint ＝

2 2 2 2

0cos ( sin ) sin cos cosR R d R R d

πϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕminus minus sdotint

23 2

02 cos sinR d

πϕ ϕ ϕ= minus int ＝

323Rminus

又路徑為圓周一部份所以適合用極座標表示

ˆd Rdϕ ϕ= 又由左圖將 ˆ ˆx y 拆解（投影）到 ˆˆr ϕ

ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆcos sin sin cosx r y rϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ= minus = +

4-56

( )2ˆ ˆ ˆˆ ˆ( cos sin ) ( sin cos )C C

f d r x r xy Rdϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕsdot = minus minus + sdotint int 2

2 2 2

0

sin (cos )

sin ( cos ) (cos ) cos sin

Cx Rd xyRd

R Rd R Rdπ

ϕ ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ

= minus minus

= minus minus

intint

23 2

02 cos sinR d

πϕ ϕ ϕ= minus int ＝

323Rminus

這也驗證了散度定理

Path Independence 路徑獨立性

Ex52 證明庫倫力為「保守力」考慮

電荷 q0 位於原點及電荷 q 位於

( )r x y zrarr= q 受力 F

rarr＝ 0

20

14

qq urπε

and

求庫侖力作功因為球形對稱所以

用球座標由 ˆ ˆ ru rr

= = rArr Frarr

= 03

04qq r

rπε

庫侖力由 P1 至 P2 做功為 2

1

P

CPF drarrsdotint ＝

2

1

02

0

ˆ ˆ ˆˆ sin4

P

PC

qq r rdr rd r dr

θ θ ϕ θ ϕπε

⎡ ⎤sdot + +⎣ ⎦int ＝2

1

02

04P

P

qq drrπεint

＝20

2104

r

r

qq drrπε int ＝ 0

0 1 2

1 1( )4qq

r rπεminus for all C

所以庫侖力兩點間做功與路徑無關rArr保守力

對於「保守力 conservative force」 cF 自 p1 經

由兩條不同的路徑 C1 與 C2 到達 p2

1 ccF drarrsdotint ＝

2 ccF drarrsdotint ＝-

2 ccF drarr

minussdotint

rArr1 2c cc cF d F drarr rarr

minussdot + sdotint int = cF d

rarrsdotint ＝0 (4-96）

對於任何「封閉路徑」保守力做功為 0反之若

對任一封閉路徑 0F drarrsdot neint 則兩點之間的做功與路徑有關

rarr

F 為「非

保守力」

4-57

旋度 curl Anablatimes 的幾何物理意義

我們在（4-70）式已經看過旋度的計算方式但旋度另有其意義的

ex53 給定向量場2 2

0ˆ yv yv e λrarr

minus= 左圖為場的分佈

2 20

ˆ ˆ ˆ

0 0x y z

y

x y zcurl v

v e λ

rarr

minus

= part part part ＝ ˆ ˆ ˆ0 0 0 0x y zsdot minus sdot + sdot =

我們用了簡寫 x yx ypart part

part equiv part equivpart part

可以看出這個場裡沒有「漩渦」

但是有無「漩渦」有時也不是那麼明顯可以看出的請見下一個例子

Ex54 給定向量場2 2

0ˆ xv yv e λrarr

minus= 計算其旋度 vnablatimes

解向量場 vrarr

畫在右邊你看得出有無漩渦

先計算旋度

2 20

ˆ ˆ ˆ

0 0x y z

x

x y zcurl v

v e λ

rarr

minus

= part part part2 2

2 2

0

0

ˆ

ˆ 2 0 0

x

x

z v ex

z v xe for x

λ

λ

minus

minus

part=

part

= minus ne ne

vrarr

的旋度在大部分的地方不為 0 且隨位置而不同但是你看得出這個

向量場裡有「漩渦」其實要檢驗一個向量場裡有無「漩渦」有一

個很物理的方法就是放一個小「螺旋槳」（左圖）

在場內將軸朝各個方向測試一

下如果有「漩渦」的話這個

小「螺旋槳」就會轉動右圖就是將「螺旋槳」的

軸平行於 z 軸且放在 x gt 0 的地方就可以看出左

邊的 v 場比右邊的強造成螺旋槳順時針轉動rArrcurlv zminus for x gt 0

但如果放在 x = 0 的地方就會看到左右兩端的 v 場強度相同而且

4-58

curlv = 0 「螺旋槳」放在 x lt 0 的地方就可以看出右邊的v 場比左

邊的強造成螺旋槳逆時針轉動這完全符合 curl v k+ 的結果

環路積分與旋度 curl 的物理意義

如同「散度」一樣「旋度」除了 Ftimesnabla 之外

還有一個物理意義更清楚的定義這個定義由

「線積分」說明如圖考慮做「逆時針」長方形

路徑 C1 的一個「環路積分」C1 面平行於 x-y 平

面由 z-軸看下去環路 C1 可以分為可以分為

下 CB上 CT右 CR左 CL 4 部分

CA drarrsdotint ＝

B T L RC C C CA d A d A d A drarr rarr rarr rarrsdot + sdot + sdot + sdotint int int int

分別計算由於 CB 的中點座標為 ( )2yx y zΔ

minus

ˆB BC C

A d A xdxrarr rarrsdot = sdot =int int

BxC

A dxint ( )2xyA x y z xΔ

asymp minus Δ

similarly 由於 CT 的中點座標為 ( )2yx y zΔ

+

ˆ( )T TC C

A d A xdxrarr rarrsdot = sdot minus =int int

TxC

A dxminusint ( )2xyA x y z xΔ

asymp minus + Δ

合併 CB 與 CT

B TC CA drarr

+sdot =int

( ) ( )2 2x xy yA x y z A x y z

x yy

Δ Δ⎡ ⎤minus + minus minus⎢ ⎥⎣ ⎦ Δ ΔΔ

（4-97）

由 C1 所圍的面積 S x yΔ = Δ Δ

1B TC C

A dS

rarr

+sdot =

Δ int( ) ( )

2 2x xy yA x y z A x y z

y

Δ Δ⎡ ⎤minus + minus minus⎢ ⎥⎣ ⎦Δ

（4-98）

所以當取極限 C1 收縮到中心(xyz)時 SΔ 收縮到 0ie

4-59

0limsΔ rarr

1B TC C

A dS

rarr

+sdot =

Δ int xAy

partminuspart

（4-99）

Similarly with CR 的 ˆd ydy= CL 的 ˆd ydy= minus 可得

1L RC C

A dS

rarr

+sdot =

Δ int x

zyxxFzyxxF yy

Δ

Δminusminus

Δ+ )

2()

2(

（4-100）

同樣的當取極限 C1 收縮到中心(xyz)時 SΔ 收縮到 0

0

limsΔ rarr

1L RC C

A dS

rarr

+sdot =

Δ int yAx

partpart

（4-101）

最後合併 CBCTCRCL 為 C1

10

1limCs

A ds

rarr

Δ rarrsdot =

Δ int y xA Ax y

part partminus

part partˆ ( ) ( )zz A A= sdot nablatimes = nablatimes （4-102）

注意 C1 的方向就是在 z 上式的重要

意義是當向量場 A 在一個以點(xyz)為

中心「方向為 z 」的面積元素的「邊界」

所做的環路積分得到的就是 A 在(xyz)

處旋度的 z-分量明顯的只有當 A 在

(xyz)附近有 x-y 平面上的「漩渦」那麼 C1 的環路積分才不會為 0

Similarly 取一個逆時針繞著(xyz)的平行於 x-z 平面的長方形環路 C2

（左圖）做環路積分再取極限將 C2 收縮到(xyz)就會得到

20

1limCs

A ds

rarr

Δ rarrsdot =

Δ int x zA Az x

part partminus

part partˆ ( ) ( )yy A A= sdot nablatimes = nablatimes （4-103）

注意到 C2 所包圍的面積方向就在 y到

現在我們應該已經很有經驗了若取一

個逆時針繞著(xyz)的平行於 y-z 平面

的長方形環路 C3（左圖）做環路積分

再取極限將 C3 收縮到(xyz)就會得到

4-60

30

1limCs

A ds

rarr

Δ rarrsdot =

Δ int yz AAy z

partpartminus

part partˆ ( ) ( )xx A A= sdot nablatimes = nablatimes （4-104）

能把（4-103）與（4-104）變出來的同學我們有優待綜合以上

我們可以得到一個結論若取一個以點(xyz)為中心的任意環路 Cn（其

所包圍的面積方向在 n ）則

n curl Aand rarrsdot ＝

0

1lims

Cn

A ds

rarr

Δ rarrsdot

Δ int （4-105）

明顯的當 n ＝ x 或 y 或 z 時我們可以重複（4-102）到（4-104）的

結果（4-70）式的行列式所定義的旋度在此看見其幾何物理意義

至此「旋度」的「漩渦」形象應該已經很清楚了只有在(xyz)點附

近的小圈圈上有「漩渦」 A 在小圈圈做的環路積分才會有值這個

值就是向量場 A 的「旋度」在小圈圈面積方向的分量

Stokersquos 定理

考慮一個開放面 S被其「有方向的」邊界 C 圈住(bounded by)則

( )S

A dsrarr rarrnablatimes sdotint ＝

C

A drarrsdotint （4-106）

pf 先將 S 面分割為 N 個多邊形這會使得邊界變成一個「折線」形

成的環路 P環路 P 會隨著分割的多邊形個數的增多而越加近似於原

「光滑的」邊界 C現考慮相鄰的

兩個多邊形的線積分由於共用邊

的方向是相反的所以相鄰兩個多

邊形線積分的和只剩「外邊界」（見左圖）所以當把所有的多邊形的

4-61

線積分加起來時由於只有邊界 P 不是多邊形的共用邊所以

1k

N

k C

A drarr

=

sdotsum int ＝P

A drarrsdotint rArr

P

A drarrsdotint ＝

1

1

k

N

kk k C

A d l ss

rarr rarr

=

⎡ ⎤sdot Δ⎢ ⎥

Δ⎢ ⎥⎣ ⎦sum int

其中 ksΔ 為第 k 個多邊形的面積取極限 0kN srarrinfinrArrΔ rarr P CrArr rarr

C

A drarrsdotint ＝

10

1limkk

N

kN k k Cs

A d ss

rarr

rarrinfin=Δ rarr

⎡ ⎤sdot Δ⎢ ⎥

Δ⎢ ⎥⎣ ⎦sum int 01

ˆlim ( )k

k kskn A s

infin

Δ rarr=

⎡ ⎤= sdot nablatimes Δ⎣ ⎦sum

01

ˆlim ( )k

k kskA n s

infin

Δ rarr=

= nablatimes sdot Δsum = ( )S

A dsrarr

nablatimes sdotint QED

ex55 由 Amperersquos law 的積分形式導出其微分形式

解Amperersquos law 的積分形式 C

B drarrsdotint ＝ I0μ (4-107)

由 Stokersquos 定理及電流密度 j 的定義上式等號兩端可寫為

rArr ( )S

B dsrarr rarrnablatimes sdotint ＝ 0 S

j dsμrarrsdotint

由於上面的等式對任意面 S（路徑 C）都成立所以被積函數相等

0B jμrarr rarr rarr

rArrnablatimes = (4-108) 此即 Amperersquos law 的微分形式

Ex56 Given a vector field ˆ ˆx yA ye xe= minus + (a) Find Anablatimes

解

ˆ ˆ ˆˆ ˆ(1 ( 1) 2

0x y z

x y zA z z

y xnablatimes = part part part = minus minus =

minus

(b)如圖一個金字塔狀的 5 面體高 2底邊長＝1計算 ( )S

A dsnablatimes sdotint

其中 S 為金字塔在 x-y 平面以上的部分方向如同

封閉的金字塔（運用 Stokersquos law）

解金字塔上表面的面積元素ds 不好寫由 Stokersquos

4-62

law ( )S

A dsrarr rarrnablatimes sdotint ＝

C

A drarrsdotint 其中封閉路徑 C 就是上表面的邊界而且

是逆時針（由 z 軸向下看）

C

A drarrsdotint ＝

1 1 0 0

0 0 1 1ˆ ˆ ˆ ˆA xdx A ydy A xdx A ydysdot + sdot + sdot + sdotint int int int

＝1 1 0 0

0 0 1 1x y x yA dx A dy A dx A dy+ + +int int int int 1 1 0 0

0 0 1 1( 0) ( 1) ( 1) ( 0)y dx x dy y dx x dy= minus = + = + minus = + =int int int int

0 1 1 0 2 ( ) 2S

A ds= + + + = rArr nablatimes sdot =int

旋度與 path independence

已知保守場 cF 對所有封閉路徑 C 0cC

F drarrsdot =int 由 Stokersquos 定理

0cC

F drarrsdot =int ＝ ( )cS

F dsrarr rarrnablatimes sdotint rArr 0cF

rarr rarrnablatimes =

這表示保守場＝無旋度反之無旋度的場任兩點間路徑積分與路

徑無關

Ex57 Given a field 2 2ˆ ˆ ˆ2A x xy yx zz= + minus (a) Find Anablatimes A 保守場

解2 2

ˆ ˆ ˆ

2x y z

x y zA

xy x znablatimes = part part part

minus

( ) ( ) ( )2 2 2 2ˆ ˆ ˆ( ) 2 ( ) 2 0y z z x x yx z x y xy z z x xy= part minus minuspart + part minuspart minus + part minuspart =

yes A =保守場

(b)如左圖由 A 到 B 做路徑積分A BC

A drarr

sdotint 路徑 C 為橢圓

22 1

16yx + = 在 x-軸以上的部分

解橢圓部分的路徑元素 d 有點麻煩但因為 A

為保守場所以 A 到 B 做路徑積分可以用 x = -1 到

1 的積分取代

4-63

01 1 1

1 1 1ˆ 2 0

yB

xAA d A xdx A dx xydx

=

minus minus minussdot = sdot = = =int int int int

∵

旋度在柱座標與球座標

前面討論過nabla在不同座標系的寫法旋度也有歸納出的一致寫法

座標 1 2 3 u u u

度量係數

1 2 3 h h h

nabla grad del

直角 x y z

1 1 1 nabla ˆ ˆ ˆx y z

x y zpart part part

equiv + +part part part

圓柱 zρ ϕ

1 1ρ

1ˆ ˆ ˆ zz

ρ ϕρ ρ ϕpart part part

nabla equiv + +part part part

球 r θ ϕ

1 sinr r θ

1 1ˆ ˆˆ sin

rr r r

θ ϕθ θ ϕ

part part partnabla = + +

part part part

所以柱座標與球座標的旋度分別表為

柱座標

ˆ ˆ ˆ1

z

z

Az

AA Aρ ϕ

ρ ρϕ

ρ ρ ϕρ

part part partnablatimes =

part part part （4-109）

球座標 2

ˆ ˆˆ sin1sin

sinr

r r r

Ar r

A rA r Aθ ϕ

θ θϕ

θ θ ϕθ

part part partnablatimes =

part part part （4-110）

ex58 (a) Given the vector function ˆA ϕ= sin (ϕ 2) find Anablatimes

解 2

ˆ ˆˆ sin1sin

0 sin( 2) 0

r r r

Ar r

r

θ θϕ

θ θ ϕϕ

part part partnablatimes =

part part part

4-64

21 ˆˆ cos sin sinsin 2 2 2

rr rr

ϕ ϕθϕθ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

ˆˆ cos sin2 sin 2 2

rr r

ϕ ϕ ϕθ

minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

(b)如左圖一個底面在 x-y 平面半徑＝1高＝2 之圓錐 求面積分

SA dsnablatimes sdotint 面積範圍 S 為圓錐在 x-y 平面以上

部分 方向為由圓錐內向外

解由 Stokersquos law ( )S

A dsrarr rarrnablatimes sdotint ＝

C

A drarrsdotint 其中路

徑 C 為 x-y 平面圓心在原點之單位圓 ˆ ˆd rd dϕ ϕ ϕ ϕ= =

2

0ˆ ˆsin sin

2 2C

d dπϕ ϕϕ ϕ ϕ ϕ⎛ ⎞ ⎛ ⎞sdot =⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠int int ( )0

2 sin u duπ

= int 0cos | 2u π= minus =

習題 16 磁場 B 因為不是保守場所以沒有對應的純量位而對應一

個向量位 A (vector potential)而 B A= nablatimes 一個磁鐵的磁偶極矩

ˆm mz= 被置於原點已知在遠處的 vector potential 03ˆ sin

4mAr

μϕ θπ

=

計算該處的磁場 B Ans 03

ˆˆ( 2cos sin )4

mB rr

μ θ θ θπ

= + 與電偶極遠處

的電場形式一致都是偶極(dipole) 選幾個點畫一畫該處的場向量

把磁力線描出來

附錄本章講義的內容有部分可以經由直接計算得出列在附錄做為

參考

用「圓柱座標」寫 Atimesnabla

Ararr rarrnablatimes ＝ ( )1ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ zz A A zA

z ρ φρ ϕ ρ ϕρ ρ ϕpart part part⎛ ⎞+ + times + +⎜ ⎟part part part⎝ ⎠

4-65

因為rdquo sdotrdquo與rdquotimes rdquo都是向量間的運算所以

＝ ( )ˆ ˆ ˆ ˆ zA A zAρ φρ ρ ϕρpart

times + +part

＋ ( )1ˆ ˆ ˆ ˆ zA A zAρ φϕ ρ ϕρ ϕ

parttimes + +

part

＋ ( )ˆ ˆˆ ˆ zz A A zAz ρ φρ ϕpart

times + +part

直接做上式微分可以得到

＝1ˆ z AA

zϕρ

ρ ϕpart⎛ ⎞part

minus⎜ ⎟part part⎝ ⎠＋ ˆ zA A

zρϕ

ρpart⎛ ⎞part

minus⎜ ⎟part part⎝ ⎠＋

1 1ˆ ( )A

z A ρϕρ

ρ ρ ρ ϕpart⎛ ⎞part

minus⎜ ⎟part part⎝ ⎠

上式可以用一個行列式來表示

rarrrarr

timesnabla A＝

ˆ ˆ ˆ1

z

z

zA A Aρ ϕ

ρ ρϕ

ρ ρ ϕρ

part part partpart part part

（A-1）

A and Anabla nablasdot nablatimes in 球座標 spherical coordinate

如上圖球座標 )( ϕθr 其中 )0[ infinisinr ]0[ πθ isin ]20[ πϕ isin 只有 r

是長度而 ϕθ 為角度是用來說明方向的三個座標的單位向量 ˆ ˆˆ r θ ϕ 具

有下列性質

4-66

1 如上圖 ˆ ˆˆ r θ ϕ 都不是常數而是（ ϕθ ）的函數

ˆ ˆ( )ˆ ˆ( )ˆ ˆ( )

r r θ ϕ

θ θ θ ϕϕ ϕ ϕ

⎧ =⎪

=⎨⎪ =⎩

)( ϕθr 與(xyz)之間的轉換如下

sin cossin sincos

x ry rz r

θ φθ φθ

=⎧⎪ =⎨⎪ =⎩

( )122 2 2

2 2

tan

tan

r x y z

x yz

yx

θ

φ

⎧ = + +⎪⎪ +⎪ =⎨⎪⎪ =⎪⎩

（A-2）

2 ˆ ˆˆ r θ ϕ 形成一「歸一正交集」ie

ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ 1r r θ θ ϕ ϕsdot = sdot = sdot = ˆ ˆr θ ϕperp perp

ˆ ˆr θ ϕtimes = ˆ ˆ rθ ϕtimes = ˆˆ rϕ θtimes = （A-3）

3可以很容易的由他們在 xyz 軸上的投影由直角

座標的 ˆ ˆ ˆ x y z 表出

ˆ ˆ ˆ ˆsin cos sin sin cos ( 4 )ˆ ˆ ˆ ˆcos cos cos sin sin ( 4 )ˆ ˆ ˆsin cos ( 4 )

r x y z A a

x y z A bx y A c

θ φ θ φ θ

θ θ φ θ φ θϕ φ φ

= + + minus⎧⎪

= + minus minus⎨⎪ = minus + minus⎩

4 ˆdr = 由於 ˆ ˆ( )r r θ φ= 所以由 ϕθ 的變動來看

4-67

ˆ ˆˆ| |ˆ ˆˆ| | sin sin

d r d d

d r d d

θ θθ θθ

φ θ φφ θ φφ

⎧ rArr =⎪⎨

rArr =⎪⎩rArr ˆ ˆˆ sindr d dθ θ φ θ φ= + （A-5）

rArrˆ ˆr θθpart

=part

ˆ ˆsinr θφφpart

=part

（A-6）

（A-6）的結果也可以直接由（A-4a）對 ϕθ 偏微得到

5 ˆdθ ＝ 由於 ˆ ˆ( )θ θ θ φ= 所以由 ϕθ 的變動來看

ˆ ˆ ˆ| | ( )ˆ ˆ ˆ| | cos cos

d d r d r

d d d

θ θ θ θ

φ θ θ φφ φ θ φ

⎧ rArr minus = minus⎪⎨

rArr =⎪⎩rArr ˆdθ ＝ ˆˆ cosrd dθ φ θ φminus + （A-7）

ˆrθ

θpart

rArr = minuspart

ˆ ˆcosθ φ θφpart

=part

（A-8）

請直接由（A-4b）對 ϕθ 偏微的結果 check（A-8）

6 ˆdφ ＝由於φ )(ϕ 躺在 x-y 平面上變動φ時的方向可能不是那麼

容易看出來所以做圖看一看

ie ˆ ˆˆ(sin ) (cos )d r d dφ θ φ θ θ φ= minus minus （A-9）

4-68

ˆ ˆˆsin cosrφ θ θ θφpart

= minus minuspart

7 所有的向量 ˆ ˆˆ rA rA A Aθ φθ φrarr= + +

8 位置向量 ˆr rrrarr=

可以由左圖 ˆ ˆˆ r θ ϕ 三個方向的「長度

變化」輕易的看出

9 位移元素

ˆ ˆˆ ˆ sindr rdr rd dθ θ ϕ θ φ= + + (A-10)

10 體積元素

sindv dr r d rdθ φ θ= sdot sdot

＝ 2 sinr dr d dθ θ φ (A-11)

11 面積元素 2 sinrds r d dθ θ φ= plusmn sinds r drdθ θ φ= plusmn ds rdrdφ θ= plusmn (A-12)

plusmn號表示面的垂直方向有兩個端看 ds 周邊的方向是如何定的

nabladel 考慮 ( )u u r θ φ=

rArru u udu dr d dr

θ φθ φ

part part part= + +part part part

u d rrarr rarr

equiv nabla sdot

urarr

= nabla sdot ˆ ˆˆ( sin )rdr rd dθ θ φ θ φ+ +

rArr1 1ˆ ˆˆ

sinu u uu rr r r

θ ϕθ θ φ

rarr part part partnabla = + +

part part part

1 1ˆ ˆˆsin

rr r r

θ ϕθ θ φ

rarr part part partnabla equiv + +

part part part （A-13）

4-69

直接用（A-13）與 ˆ ˆˆ rA rA A Aθ φθ ϕrarr= + + 逐項內積加上（A-678）

rArr ϕθ

θθθ

ϕθ part

part+

partpart

+partpart

=sdotnablararrrarr A

rA

rAr

rrA r sin

1)(sinsin1)(1 2

2 （A-14）

（A-13）與 ϕθ ϕθ AAArA r

andandandrarr

++= 逐項外積整理之後

ϕθ θϕθ

ϕθθ

θArrAA

r

rrr

rA

r sin

sin

sin1

2 partpart

partpart

partpart

=timesnabla

andandand

rarrrarr

（A-15）

Laplacian uu nablasdotnabla=nabla2

2

2

2222

22

sin1)(sin

sin1)(1

ϕθθθ

θθ partpart

+partpart

partpart

+partpart

partpart

=nablau

ru

rrur

rru （A-16）

B推導「散度」在圓柱座標的寫法

讓我們先回顧一下在直角座標裡的「面積元素」可以由「位移元素」

得到

ˆˆ ˆ x y zdr idx jdy kdz da dydz dxdz dxdy= + + rArr =

比照辦理「圓柱座標」的位移元素

( )ˆˆ ˆ( )

( )z

da d dzdr d d zdz da d dz

da d d

ρ

φ

ρ φ

ρ ρ φ ρ φ ρ

ρ ρ φ

=⎧⎪= + + rArr =⎨⎪ =⎩

這個結論可以輕易的由面積元素在垂直於 zˆˆ ϕρ 三個方向的面積看

出如下圖考慮一個以 )( zϕρ 為中心的「圓柱體積元素」(cylindrical

cubiod)體積為 zdV ΔΔ=Δ ϕρρ 現計算在 ρ

方向的 12 兩個平行面(方向各為 ρplusmn )的通

量

4-70

zzF

dsFdsnFS S

ΔΔ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

+cong

=sdotintint intintϕρρϕρρρ

ρ

2

2

ˆ1 1

zzF

dsFdsnFS S

ΔΔ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

minus⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

minusminuscong

minus=sdotintint intintϕρρϕρρρ

ρ

2

2

ˆ2 2

intint+

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

minus⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

minusminus⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

+Δ

asympsdotΔ

rArr21

22

22

1ˆ1

SS

zFzFdsnFV

ϕρρρρϕρρρρρρ ρρ

( ) ( )

1 20

0

0

1 ˆlim

1lim 2 2 2 2

1 1lim 2 2

1

VS S

F ndsV

F z F z

F z F z

F

ρ ρρ

ρ ρρ

ρ

ρ ρ ρ ρρ ρ φ ρ ρ φρ ρ

ρ ρρ ρ φ ρ ρ φρ ρ

ρρ ρ

Δ rarr+

Δ rarr

Δ rarr

rArr sdotΔ

Δ Δ Δ Δ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + + minus minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥Δ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦Δ Δ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥Δ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

part ⎡ ⎤= ⎣ ⎦part

intint

娛樂一下用上述方式把圓柱的 Fsdotnabla 裡的z

FF z

partpart

+partϕρϕ1

變出來

球座標的nabla和 Fsdotnabla 也可以試試看

補充習題

H M Scheydiv grad curl and all that 4th edition

第二章習題 6 8 9 10 11 14 15 16 18 19 21 22 23 25 26 27

第三章習題 2 3 5 6 7 8 9 10 11 14 15 17 18 19 24

4-29

sect 43 Fields and its properties 場與其性質

「場 field」是什麼凡是在「某個空間中每一點」都有定義的量

就是一個「場」所以「場」也稱為「點函數 point function」簡單的

說凡是「空間的函數」都是「場」如果這個「空間的函數」是一個

純量 u(xyz)那麼 u(xyz)就是一個「純量場 scalar field」例如室內

的溫度 T(xyz)一塊豬肉的密度 ( )x y zρ 大氣中的壓力 p(xyz)等

都是純量場如果這個「空間的函數」是一個向量 )( zyxA 那麼

)( zyxA 就稱為「向量場 vector field」例如空間中的電場 )( zyxE

水流中的速度場 )( zyxv 重力場 )( zyxg 等等很顯然的不論是純量

場還是向量場「場」在空間中的分佈通常未必是均勻的那麼她有

什麼性質呢例如一塊豬肉內部密度是如何變化的水流中有沒有

漩渦大氣中的等壓線是如何變化的等等那麼有沒有什麼量可以

有系統的描述各種場的分佈有我們在以下分別討論

sect 431 Gradient of scalar fields 純量場的梯度

考慮一個純量場 f(xyz)可以視為 3 個變數 xyz 的函數當變數變動為

x+dx y+dy z+dy 時造成 f 的變化

f f fdf dx dy dzx y zpart part part

= + +part part part

（4-65）

由幾何意義來看上式更為具體上式表示純量場 )(rf 基於位置的變化

r r drrarr + (或由 ( ) ( )x y z x dx y dy z dzrarr + + + )所造成 f 的變動

我們現在定義一個向量算符 vector operator nabla (or nabla )（讀做 del）

ˆ ˆ ˆx y zx y zpart part part

nabla equiv + +part part part

(4-66)

如果將 del 作用在純量場 )(rf 上將產生出現一個新的「向量場」 fnabla

稱為純量場「 )(rf 的『梯度 gradient』」

4-30

ˆ ˆ ˆ( ) f f fgrad f f x y zx y zpart part part

equiv nabla = + +part part part

（4-67）

這使得由於任意位移 ˆ ˆ ˆdr xdx ydy zdz= + + 所造成 f 的變化量

df f drrArr =nabla sdot （4-61）

ex28 Given scalar field 2( )f r xy z= and 2 2 2

1 1( )g rrx y z

= =+ +

(a) find the value of ( )f r and fnabla at point P(2 1-1) 解 2(21 1) 2 1 ( 1) 2f minus = times times minus = minus

2 2 2

2 2

ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( )

ˆ ˆ ˆ( ) ( 2 ) ( )

f x xy z y xy z z xy zx y z

x y z y x yz z xy

part part partnabla = +

part part part

= +

＋

＋

ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ(21 1) ( 1) (2 2) (2) 4f x y z x y znabla minus = minus + timesminus = minus minus＋ ＋2 (b) find the value of ( )g r and gnabla at the point P

解2

1 1(21 1)62 1 1

g minus = =+ +

2 2 2 12 2 2 2 12

2 2 2 12

ˆ ˆ( ) ( )

ˆ ( )

g x x y z y x y zx y

z x y zz

minus minus

minus

part partnabla = + + + + +

part partpart

+ +part

＋

2 2 2 32 2 2 2 32 2 2 2 32

2 2 2 32 3 2

ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( )

ˆ ˆ ˆˆ( )( )

OR OR

xx yy zzgx y z x y z x y zxx yy zz r r

x y z r r

minus minus minusrArrnabla = + +

+ + + + + +minus + + minus minus

= = =+ +

32

ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ(2 ) 2(21 1)6 6 6

x y z x y zg minus + minus minus minus +rArrnabla minus = =

由 gnabla 看到一個粉常用的結果就是

3 2

ˆ1 ORr rr r r

minus minusnabla = = （4-62）

順便比較一下

2 2 2 12 2 2 2 12 2 2 2 12

2 2 2 12

ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( )

ˆ ˆ ˆ( ) ˆ (4 63)( )

r x x y z y x y z z x y zx y zxx yy zz r r

x y z r

part part partnabla = + + + + + + +

part part part+ +

= = = minus+ +

＋

4-31

(c) what is the angle between (21 1)fnabla minus and (21 1)gnabla minus

解 (21 1)fnabla minus (21 1)gsdotnabla minus ＝（ ˆ ˆ ˆ4x y zminus minus ＋2 ） sdotˆ ˆ ˆ26 6x y zminus minus +

＝2 4 2 4

6 6 3 6+ +

= ＝ | (21 1) |fnabla minus | (21 1) |gnabla minus cosθ

＝ 34 1 1 211 16 4 cos cos

6 6θ θ+ +

+ + =

1 4 2cos 07773 7

radθ minus ⎛ ⎞= =⎜ ⎟

⎝ ⎠

要注意隨然nabla有向量的性質但是他並不是一個真的向量真

實向量 A與純量 f ( )r 的乘法滿足交換率ie ( ) ( )Af r f r A= 但是

f fnabla ne nabla因為

( )f rnabla ＝ ˆ ˆ ˆf f fx y zx y zpart part part

+ +part part part

是一個向量函數而

ˆ ˆ ˆ( )f r x y zx y z

⎛ ⎞part part part+ +⎜ ⎟part part part⎝ ⎠

是一個算符（operator）

若nabla要與向量場 A 作用由於nabla與 A 都具有向量的性質先看「內積」

ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ( )

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

x y z

x y

z

y yx xz z

A x y z xA yA zAx y z

x y z xA x y z yAx y z x y z

x y z zAx y z

A AA AA Ax x x y x zx y z x y z

⎛ ⎞part part partrArrnablasdot = + + sdot + +⎜ ⎟part part part⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞part part part part part part= + + sdot + + + sdot⎜ ⎟ ⎜ ⎟part part part part part part⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞part part part

+ + + sdot⎜ ⎟part part part⎝ ⎠part partpart partpart part

= sdot + sdot + sdot + sdotsdot sdot = + +part part part part part part

yx zAA AAx y z

partpart partnablasdot = + +

part part part (4-64)

上式中的 Anablasdot 是向量場 A 的一個重要的性質稱為 A 的「散度」詳

細的內容在後面會仔細討論這裡引進 Anablasdot 主要是要表明nabla是個「算

符」表示一個運算不是一個真實的向量只是在「直角座標」裡

4-32

因為單位向量 ˆ ˆ ˆ x y z 是常數不受微分的作用以致nabla表現得好像也

是個一般的向量一樣事實上真實向量和nabla間的「內積」就不滿足交

換率

x y zA A A A an operator Ax y zpart part part

sdotnabla = + + = ne nablasdotpart part part

(4-65)

這也使得任意向量場 ( )A r 因位置變動 r r drrarr + 而產生的變化由於

)( zyxA 也是 3 個變數 xyz 的函數可以寫為

( )A A AdA dx dy dz dr Ax y z

part part part= + + = sdotnabla

part part part （4-66）

ex29 (a)Given field 2ˆ ˆ ˆ2A xxy y x zyz= minus + find Anablasdot at point (1-12)

解2( ) (2 ) ( ) 2xy x yzA y yz

x y zpart part part

nablasdot = + + = +part part part

(1 12)1 2( 1)2 3A

minusnabla sdot = minus + minus =

(b) find rnablasdot 解 rnablasdot = 3x y zx y zpart part part

+ + =part part part

梯度的意義

由（4-67）可以看到「f 的梯度 fnabla 」

是一個由「純量場 f」衍生出的向量

場由（4-26）也可以看出 fnabla 扮演類

似「變化率」的角色

空間中將相同值 f ( )r ＝f1 的點連

起來就得到一個 f ( )r ＝f1 的「等值面」如 Fig36考慮純量場 f( r )的

相鄰兩個等值面各對應定值 1f f= 與 1f f df= + 0df gt P1 點在 f1

等值面上相鄰兩點 P2P3 在 1f df+ 等值面上而向量 1 2 ˆnP P dn e dn= =

過 P1 點垂直於 f1 等值面 1 3 ˆP P d e d= = 與 ˆne dn夾角為α 由於不

論 1 2P Prarr 或 1 3P Prarr f 的變化量都是 df 但因距離 dn 係兩等值面最

4-33

短的距離d dngt 所以 1 2P Prarr 或 1 3P Prarr 造成的「變化率」df dfdn d

gt

而過 P1 點的最大變化率為dfdn

換言之向量 ˆndfedn

為過 P1 點垂直於

f1 等值面且指向最大「增加率」的方向 現在要證明

ˆndfe fdn

= nabla （4-67）

考慮 1 3P Prarr 造成的 f 值的變化率

ˆ ˆcos n ldf df dn df df e edl dn dl dn dn

α= = = sdot

ˆ ˆ ˆn l ndf dfdf e e dl e dldn dn

rArr = sdot = sdot

和（4-61）式df f dr= nabla sdot 相比即可得證 ˆndfe fdn

= nabla 所以可以知道

空間純量場 f ( )r 中任一點處的向量 fnabla 必「垂直」於「通過該點的 f的等值面」且指向 f 值最大「增加率」的方向| ( )f rnabla |就是 f 在 r 點

的最大增長率可以進一步定義等值面的「法線 normal」方向為

ˆ fnf

nabla=nabla

（4-68）

結論給定一個純量場 f( r )在每一點 r 可以定義一個稱做「梯度」

的向量 fnabla fnabla 垂直於過 r 點的 f 等值面且指向最 f 大增加率的方向

fnabla 的方向也定義了 f 等值面的法線方向

Ex30 考慮一個 2D 的 scalar field 2( )f x y y x= minus 計算該場在 )20( 的梯度與

法線方向

解 ˆ ˆ ˆ ˆ2f ff x y x yyx ypart part

nabla = + = minus +part part

ˆ ˆ(0 2) 2 2f i jnabla = minus + ˆ ˆ ˆ ˆ2 2 2 2ˆ(0 2)

31 8i j i jn minus + minus +

rArr = =+

4-34

ex31 點電荷 q 置於原點其產生電位為 ( ) qV rr

= 求負梯度qr

minusnabla

解 3

2 2 2 22 2 2

2 ( )2

q q q q x x y zr x rx y z

minuspart minus= rArr = sdot + +

part+ +

3 23

ˆˆ ˆ ˆ( )q ix jy kz r rq q qr r r r

minus + +rArr minusnabla = minus = = （點電荷的電場）

0 0

1 1 r r

noter r= =

nabla rarrinfin rarrinfin∵ 是不定值是因為 r = 0 處為最大值

「增加率」的方向無法確定

ex32 置一熱源於原點空間溫度分佈為1( )

( 2)T r

r=

+求溫度的梯度

解 2 2 2

ˆ( ) ( )( 2) ( 2) ( 2)

x rT r rr rT r

x r r r

minuspart minus

= rArrnabla = =part + + +

此處的負號表示梯

度指向熱源因為距熱源越遠溫度越低 ( 0)note T rnabla = 為不定值

因在最頂點「增加率」的方向無法確定

Ex33 地圖上山脈的等高線上各點的垂直方向由梯度決定現有一座

山是橢球 2)1(4 222 =+++ zyx 在 x-y 平面上方的

部分求地圖上這座山等高線的梯度

解 山高 142 22 minusminusminus== yxzh 所以等高線為橢

圓 222 )1(24 +minus=+ hyx 梯度

( ) ( ) ( )2 2 2 2

2 2

ˆ ˆ4ˆ ˆ2 4 1 2 4 1

2 4

xx y yh x x y y x y

x y x y

minus +part partnabla = minus minus minus + minus minus minus =

part part minus minus

所以自山腳（h=0）登山若由(012)開始 ˆ(01 2) 2h ynabla = minus 但若由

)02(minus 開始爬山 ˆ( 20) 2h xnabla minus = 可見 )02()210( minusnablagtnabla hh 這表

示由 y-軸登山山勢較陡所以「梯度」比由 x-軸登山為大這也更

清楚瞭解「梯度」的幾何意義

4-35

sect 432 Divergence 散度與 Curl 旋度

在(4-66) 我們建立了一個直角座標 vector operator 「del」

ˆ ˆ ˆx y zx y zpart part part

nabla equiv + +part part part

(4-66)

若與向量場 A 做「內積」與「外積」就建構了 A 的「散度」與「旋度」

散度 A A scalaryx zAA Adiv ax y z

partpart partequiv nabla sdot = + + =

part part part （4-69）

旋度

y yz x z x

ˆ ˆ ˆ y z A vector

A AA A A Aˆ ˆ ˆxy z z x x y

x y z

x y z

xcurl A a

A A A

y z

⎧⎪

= nablatimes = part part part =⎪⎪⎨⎪

part part⎛ ⎞ ⎛ ⎞part part part part⎛ ⎞⎪ = minus + minus + minus⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎪ part part part part part part⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎩

(4-70)

這裡定義的只是「散度」與「旋度」所謂「操作型的定義」告訴我

們如何計算的式子事實上她們都具有重要的物理意義我們在後面

會討論

ex34 ˆ ˆA xy yx= minus 求其散度與旋度

解 0 0y xAx ypart part

nablasdot = minus + =part part

ˆ ˆ ˆ y zˆ ˆ ˆ ˆ 0 0 ( 2) 2

0 x y z

xA x y z z

y xnablatimes = part part part = minus + minus = minus

minus

右圖示意了本向量場的分佈看得出像個漩渦也看到算出的旋度

0ne 看來旋度表現的應該是向量場「旋轉的程度」事實上我們在

後面會看到「旋度」表現的就是是向量場在空間各點「旋轉的程度」

本題的向量場在每一點的旋轉程度都一樣

4-36

Ex35 ( )ˆ ˆ ˆ A xx yy zz r= + + = 求其散度與旋度

解 3A rnablasdot = nablasdot = ˆ ˆ ˆ y z

0

x y z

xA

x y znablatimes = part part part =

由場分佈的示意圖可以看出本向量場是自原點向外射出好似在原

點有一個場線的「源頭 source」但是 3Anablasdot = 為一個常數表示好像到

處都有 source同時旋度為 0 也可以配合本場並無旋轉的形象事實

上「散度」表現的就是是向量場在空間各點產生「場線」的 source

記得靜電學裡的庫倫定律 0E ρ εnablasdot = 電場的散度就是「電荷密度」

(電場的 source)前一題的向量場看來對應的場線是封閉的所以沒有

source這也對應了其散度＝0不過一個向量場的散度旋度究竟是

多少應該詳細的計算場分佈圖形有時候不是那麼容易看的清楚

兩個 useful identities (恆等式)

(a) ( ) 0 0f curl of a gradnablatimes nabla = =

(b) ( ) 0 0A div of a curlnablasdot nablatimes = =

pf (a) ( )ˆ ˆ ˆ x y z

x y z

x y z

ff f f

nablatimes nabla = part part part

part part part

( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2xz zxˆ ˆ ˆx y f- f z 0yz yz xy yxf f f f= part minus part minus part part + part minuspart =

這個結果與真實的向量外積 ( ) AA 0=times 有相似之處但是這只是特

例要記得nabla並不是一個真正的向量

( ) ( ) ( )

( )

ˆ ˆ ˆ y zˆ ˆ ˆ x y z

0

x y z y z z y x z z x x y y x

x y z

xy z xz y xy z yz x xz y yz x

xA A A A A A A

A A A

A A A A A A A

nablatimes = part part part = part minus part minus part minus part + part minus part

nablasdot nablatimes = part minuspart minuspart +part +part minuspart =

4-37

此結果與真實的向量運算有相似之處 ( )( )0 (B A) BB B Asdot times = times perp∵

但是這仍只是特例因為我們可由下列例子 ( ) 0A Asdot nablatimes ne 看出事實上

nabla並不是一個真正的向量 Ex36 ˆ ˆ ˆA xy yx zx= minus +

( )

ˆ ˆ ˆ y zˆ ˆ ˆ 0 1 ( 2)

2 0

x y z

xA x y z

y x x

A A x x x

nablatimes = part part part = minus + minus

minus

sdot nablatimes = minus = minus ne

面積元素向量

物理上時常會遇到面積分例如電通量磁通

量等等考慮一個面積元素 ds定義「面積的

方向」為其「法線方向」並定義面積元素向量

ˆnds a dsequiv （4-71）

要注意的是(1)如果 ds 是一個「封閉面

closed surface」（即有裡外之分）的一部

份則 ˆna 定義為「由內向外」(2) 如果 ds

是一個「開放面 opened surface」（即分不

出裡外）的一部份那麼 ds 必被其邊緣

（一個封閉的曲線 C）所包圍這樣在定

出ds 的方向之前要先定義「邊緣曲線」

C 的方向再由右手定則定義 ˆna 的方向

既然面積已為一個向量就可以寫為分量表示以直角座標

ˆ ˆ ˆx y zds xds yds zds= + + (4-72)

那麼這些分量 dsx dsy dsz 會是什麼既然 dsx 的方向是 x 就表示 dsx

是躺在 y-z 平面上所以 dsx 的兩邊是 dy 與 dz rArr xds dydz= 依此類

4-38

推 dsy 的方向是 y 所以躺在 x-z 平面rArr yds dxdz= hellip可以得知

xds dydz= yds dxdz= zds dxdy= （4-73）

不過要注意在寫面積元素時要看討論的面實際

是什麼面上式的三個分量有可能會是負的例如

左圖座落在第一象限的立方體的 A 面方向就在 xminus

方向Arsquo面在 yminus Ardquo面在 zminus 方向寫面積元素最

好是先把討論的面的方向搞清楚把plusmn號寫在單位向量前面那麼分

量就都用＋的即可其實面積元素體積元素都可以由位移元素看出

ˆ ˆ ˆdr xdx ydy zdz= + +

dx dy dz 是沿著 ˆ ˆ ˆ x y z 方向的長度所以面積元素分量的兩邊長度就

是由其中兩個組成而體積的三邊也就是三個垂直方向的長度

x y zdV dx dy dz and ds dydz dxdz dxdyrArr = = （4-74）

這個概念在其他的座標系統也成立我們可以方便的寫出面積元素

Recall 柱座標的位移向量元素

cylindrical coordinate ˆ ˆ ˆdr d d dzzρρ ρ ϕϕ= + + （4-48）

ˆ ˆ ˆ zds ds ds zdsρ ϕρ ϕ= + + (4-75)

dsρ 躺在 zϕ minus 平面dsϕ 在 zρ minus 平面 zds 在ρ ϕminus 平面

rArr zds d dz ds d dz ds d d d dρ ϕρ ϕ ρ ρ ρ ϕ ρ ρ ϕ= = = sdot = （4-76）

上面的結果畫個圖看看吧球座標的位移向量元素

Spherical coordinate ˆ ˆˆ ( ) ( sin )dr rdr rd r dθ θ ϕ θ ϕ= + + （4-56）

ˆ ˆˆ rds rds ds dsθ ϕθ ϕ= + + （4-77）

rArr sin sin rds rd r d ds dr r d ds rd drθ ϕθ θ ϕ θ ϕ θ= sdot = sdot = sdot (4-78)

4-39

向量場 ( )A r 在 S 面上的「面積分（surface integral）」or「flux」

如左圖若有一「平面」S 且其上有「均勻」

場 B 分佈則通過 S 面的通量就是

ˆB B nSΦ = sdot

但考慮一任意「非均勻」向量場 ( )A r 在空間分佈選取任意曲面 S

探討 ( )A r 在 S 上之通量若ds 為 S 面上的面積元素在趨近於 0 的

小面積ds 上 A可視為均勻所以通過ds 之通量為 ( )d A r dsΦ = sdot 則 S

面之總通量為

Φ＝ ˆ cosS S S

A ds A nds A daϕsdot = sdot =int int int

( )OR

x x y y z zS

A da A da A da= + +int (4-75)

稱為 A 在 S 面上的「面積分」或「通量 flux」

上圖所繪就是一個任意面上分割出許多小面積舉出三個位置的通

量有+-與 0如果 S 面是為一「封閉面」則面積分寫為

S

A dssdotint （4-76）

4-40

ex37 Given 2ˆ ˆ ˆyzA xyz yx zx= + + 計算通量S

A dssdotint

S 面為在第一象限邊長＝1 的立方體表面封閉面

解立方體分為前後右左上下六個面分開算 1前面（x=1）

方向 x+ ˆ xA ds A xdydz A dydzsdot = sdot =int int int前 前 前

yzdydz= int前 ＝1 1

0 0

1 1 12 2 4

ydy zdz = sdot =int int

2後面(x=0)方向 xminus ˆ(- ) - xA ds A x dydz A dydzsdot = sdot =int int int後 後 後

yzdydz= minusint後1 1

0 0

-1 1 -12 2 4

ydy zdzminus = sdot =int int

3 右面（y=1）方向 y+ y ( 1)yA ds A dxdz A y dxdzsdot = sdot = =int int int右 右 右

( 1)x y zdxdz= =int右 ＝1 1

0 0

1 1 12 2 4

xdx zdz = sdot =int int

4 左面（y=0）方向 ˆ-y ˆ( y) - ( 0)yA ds A dxdz A y dxdzsdot = sdot minus = =int int int左 左 左

( 0) 0x y zdxdz= = =int左

5 上面（z=1）方向 z+ zz y (z 1) yA ds A dxd A dxdsdot = sdot = =int int int上 上 上

2 yx dxd= int上 ＝1 120 0

1 1y 13 3

x dx d = sdot =int int

6 下面（z=1）方向 ˆ-z zˆ(-z) y - (z 0) yA ds A dxd A dxdsdot = sdot = =int int int下 下 下

2 -1- y3

x dxd= =int下 ＝1 120 0

1 1y 13 3

x dx d = sdot =int int

S

A dssdotint ＝六個面的和＝1 1 1 1 1 1( ) ( 0) ( )4 4 4 3 3 4

minus minus+ + + + + =

ex38 Given ˆ ˆ ˆzA xyz yx zxy= + + 計算通量S

A dssdotint S 為圓 2 2 2x y a+ =

在第一項限的部分方向選為 z+ 2 2y a x= minus

4-41

解 2 2 4

0 0ˆ

8a a x

zS S S S

aA ds A zdxdy A dxdy xydxdy xdx ydyminus

sdot = sdot = = = =int int int int int int

Ex39 In cylindrical coordinate Given ˆ ˆaA zbzρρ

= + where a b are

constants Find S

A dssdotint over the surface of a

closed cylinder about z-axis specified by 3 2z ρ= plusmn =

解S 分為上下與周邊三面

zz (z 3)zA ds A ds A d dρ ρ ϕsdot = sdot = = sdotint int int上 上 上

= 23 3 2 12bd d b bρ ρ ϕ π πsdot = sdot =int上

ˆ(-z)A ds A d dρ ρ ϕsdot = sdot sdotint int下 下

= z- (z -3)A d dρ ρ ϕ= sdotint下 = 23 2 12b bπ πsdot =

周邊ds ˆ ( )d dzρ ρ ϕ= rArr ˆ ( ) z ( ) zA ds A d d A d dρρ ρ ϕ ρ ϕsdot = sdot =int int int周 周 周

2 3

0 3( ) z ( ) z=a 12aA d d d d d dz a

πρ ρ ϕ ρ ϕ ϕ π

ρ minus= = =int int int int周 周

加起來 S

A dssdotint ＝12 24 12 ( 2 )a b a bπ π π+ = +

ex40 一點電荷 q 置於原點計算在一個以原點為圓心 0r 為半徑的球

面上的電通量

解 2 20 0

ˆ ˆ4 4S S

qr q dsE ds rdsr rπε πε

sdot = sdot =int int int

=0 0 0

44 4S

q q qd ππε πε ε

sdot Ω = sdot =int

上式中 dΩ 2dsr

= 是 ds 所張開的「立體角」(solid angle)

4-42

div A and Flux 通量與散度的幾何物理意義

我們運用過nabla的符號來表示過散度 divF F= nablasdot yx zFF Fx y z

partpart part= + +part part part

但是也看到「散度」定義為

0( )

1( ) limSV

about x y z

divF x y z F da divergence of FVΔ rarr

equiv sdot =Δ int (4-77)

其中 VΔ 為 S 面所包含的體積即散

度為通量(體)密度的 0 體積極限

（4-77）的定義與 Fnablasdot 好像差的很

多她們是說同一回事嗎以下證明

這兩種「散度」的定義是等價的如

左圖考慮一個以點 ( ) x y z 為中心

的 立 方 體 其 相 鄰 三 邊 長 為

x y zΔ Δ Δ 體積 V x y zΔ = Δ Δ Δ 現在計算 F 在立方體的一組平行於 y-z平面的表面 S1 與 S2 的通量

( )1 1

ˆ ˆ xS S

F nds F xds F x y z dsrArr sdot = sdot =intint intint intint 2xxF x y z y zΔ⎛ ⎞asymp + Δ Δ⎜ ⎟

⎝ ⎠

其中 2xx y zΔ⎛ ⎞+⎜ ⎟

⎝ ⎠為 S1 面中心的座標而

2xx y zΔ⎛ ⎞minus⎜ ⎟

⎝ ⎠為 S2 面的中心

( ) ( )2 2 2

ˆ ˆ 2x x

S S S

xF nda F x ds F x y z ds F x y z y zΔ⎛ ⎞rArr sdot = sdot minus = minus asymp minus minus Δ Δ⎜ ⎟⎝ ⎠intint intint intint

上式中的負號來自 S2 面的方向是 xminus 所以合併兩個面積分

1 2

ˆ 2 2x x

S S

x xF nds F x y z F x y z y z+

Δ Δ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞rArr sdot asymp + minus minus Δ Δ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦intint

2 2x xx xF x y z F x y z

x y zx

Δ Δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠= Δ Δ Δ

Δ

2 2

x xx xF x y z F x y z

Vx

Δ Δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠= Δ

Δ

1 2

1 2 2ˆ

x x

S S

x xF x y z F x y zF nds

V x+

Δ Δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠rArr sdot asymp

Δ Δintint

4-43

當取體積向(xyz)點收縮至 0 時即 0 x 0as VΔ rarr Δ rarr 上式的近似

「asymp」就成了「＝」

1 20

1 ˆlimV

S S

F ndsVΔ rarr

+

sdotΔ intint

( )0

2 2limx x

x

x

x xF x y z F x y z F x y zx xΔ rarr

Δ Δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟ part⎝ ⎠ ⎝ ⎠= =Δ part

Similarly F 在立方體的一組平行於 x-z 平面的表面 S3 與 S4 的通量

3 3 3

ˆ ˆ yS S S

F nds F yds F dsrArr sdot = sdot =intint intint intint

2

2

y

y

yF x y zyF x y z x z x y z

y

Δ⎛ ⎞+⎜ ⎟Δ⎛ ⎞ ⎝ ⎠asymp + Δ Δ = Δ Δ Δ⎜ ⎟ Δ⎝ ⎠

( )4 4 4

2ˆ ˆ

y

yS S S

yF x y zF nds F y da F ds x y z

y

Δ⎛ ⎞minus⎜ ⎟⎝ ⎠rArr sdot = sdot minus = minus asymp Δ Δ Δ

Δintint intint intint

合併 S3 與 S4 兩個面積分並取體積向(xyz)點收縮至 0 時即當

0 y 0VΔ rarr Δ rarr 上式的近似asymp就成了＝

3 4

2 2ˆ

x x

S S

y yF x y z F x y zF nds V

y+

Δ Δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠rArr sdot cong Δ

Δintint

3 40 0

1 2 2ˆlim lim

x xy

V yS S

x yF x y z F x y z FF nds

V y yΔ rarr Δ rarr+

Δ Δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟ part⎝ ⎠ ⎝ ⎠rArr sdot = =Δ Δ partintint

與上面相同的作法計算 F 在立方體的一組平行於 x-y 平面的表面 S5

與 S6 的通量我們也會得到對應的結果

5 6

2 2ˆ

z x

S S

z zF x y z F x y zF nds V

z+

Δ Δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠rArr sdot cong Δ

Δintint

5 60 0

1 2 2ˆlim lim

z xz

V zS S

z zF x y z F x y zFF nds

V z zΔ rarr Δ rarr+

Δ Δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟ part⎝ ⎠ ⎝ ⎠rArr sdot = =Δ Δ partintint

所以合併立方體的 6 個面積分

4-44

1 2 3 4 5 6

ˆ ˆ ˆ ˆS S S S S S S

F nds F nds F nds F nds+ + +

rArr sdot = sdot + sdot + sdotint intint intint intint

0

1 ˆlim yx zV

FF FF nds div F FV x y zΔ rarr

partpart partrArr sdot = + + = = nablasdot

Δ part part partint (4-78)

在此我們得證這兩種「散度」的定義是等價的只是（4-77）的定義

充分的表現出「散度」的幾何物理意義他從通量著手由於場線

出自於 source（ex電場源自於點電荷）所以在點(xyz)必須有向量場

F 的 source 存在才能使得當面積縮到 0 時仍具有非 0 的通量所以「散

度」表現向量場 F 的 source 在這個定義之下是很清楚的當然在計算

「散度」時我們不必那麼麻煩用 divF F= nablasdot 就好了

Ex41 計算 2ˆ ˆ ˆF xx yxy zyz= + + 的散度

解 2 yx zFF Fx x yx y z

partpart part= = =

part part part F 2x x y 3x ydivrArr = + + = +

recall 在靜電學0

yx zEE EEx y z

ρε

partpart partnablasdot = = + +

part part part

散度定理 Divergence Theorem

若任意封閉面（又稱為「高斯面」）S 所包圍的

體積為 V 則

S VA ds Adτsdot = nablasdotint int （4-79）

pf 我們先將體積分割成 N 個小盒子考慮相鄰的兩個小盒子 1 2

兩小盒子的共用面面積 S0當 S0 是為 1 號盒子的一部份時其方向為

1n 但若當為 2 號盒子的表面時其方向為 12 ˆˆ nn minus= 如此在 S0 分別做

4-45

1 2 盒子的面積分後

0 0

0 0 0 0

1 2

1 2 1 1ˆ ˆ ˆ ˆ 0

S S

S S S S

A ds A ds

F n ds F n ds F n ds F n ds

sdot + sdot

= sdot + sdot = sdot minus sdot =

intint intintintint intint intint intint

所以若求場 A 在 1 2 盒子的總通量時交界面是沒有貢獻的總通量

就只有「外面積」才有貢獻如此我們計算 N 個小盒子的總通量

時所有的內部共用面都得 0只剩下「外表面」的貢獻了當 infinrarrN

時所有小盒子的「總外表面」就與 S 面重合了所以所有小盒子通量

的總和就等於 S 面的通量

1lim

i

N

S SN iA ds A ds

rarrinfin=

rArr sdot = sdotsumint int

現在我們做 N 個小盒子的總通量

1 1

1i i

N N

iS Si i i

A ds A ds VV= =

⎛ ⎞sdot = sdot Δ⎜ ⎟Δ⎝ ⎠

sum sumint int

當 0iN Vrarrinfin rArr Δ rarr 並用 dv 表示體積元素

( ) ( )1 1

1

1lim lim lim

lim

i ii

N N

iS SN N V oi i i

N

i VN i

A ds A ds VV

A V A dv

rarrinfin rarrinfin Δ rarr= =

rarrinfin=

⎛ ⎞sdot = sdot Δ⎜ ⎟Δ⎝ ⎠

= nablasdot Δ = nablasdot

sum sumint int

sum int

( )S V

A da A dvrArr sdot = nablasdotint int QED

所以得證散度定理上式中我們用了散度的（4-77）式定義要分辨

清楚 Anablasdot 是向量場 A 在空間中「某一點」的性質（ 0VΔ rarr ）而「散

度定理」說的是一個「有限體積」的性質

ex42 給定 ( ) ˆ ˆ ˆ A x y z xx yy zz r= + + = 計算在

半徑 R＝1 的球的上半球加底面的通量

4-46

解 ( )ˆˆS

A da A rda A k darArr sdot = sdot + sdot minusint int int上半球面 底面

( )

2

ˆ ˆ

0 2 1 2

A rda A z dxdy

r rds zdxdy rds ds π π

= sdot + sdot minus

= sdot minus = minus = = sdot =

int int

int int int int上半球面 底面

上半球面 底面 上半球面

底面的通量＝0 是因為 A 的 z 分量 Az=z 在底面的值為 0

也可以用散度定理更快的得出結果

∵ 3A rnablasdot = nablasdot =

31 43 3 1 22 3V V

Ad d πτ τ πnablasdot = = sdot sdot sdot =int int

ex43高斯定律的微分形式積 由 Gaussrsquo law 的積分形式用散度定理得出其

( )0 0

1 inS V

qE ds x y z dvρε ε

sdot = =int int

0S V VE ds Edv dvρ

εrArr sdot = nablasdot =int int int

上式最後的等式對「任意形狀」V 都成立所以兩者的被積函數相等

對於空間每一點 0

E ρε

nablasdot = （4-80）

ex44 Use 第一象限的單位力方體 check the divergence theorem using the function 2 2ˆ ˆ ˆ(2 ) 2A y x xy z y yzz= + + +

解2

2( ) (2 )(2 ) 2( )y yzA xy z x yx y z

part part partnablasdot = + + + = +

part part part

and 1 1 1 1 1 1

0 0 0 0 0 02 ( ) 2 ( )

VAdv x y dxdydz dz dy x y dxnablasdot = + = +int int int int int int int

1 1

0 0

1 12 ( ) 2 12 2

dz y dy= + = sdot =int int

面積分 1 1 2

0 0

1ˆ3

A ds A xdydz dz y dysdot = sdot = =intint intint int int前 前

4-47

1 1 2

0 0

1ˆ( )3

A ds A x dydz dz y dy minussdot = sdot minus = minus =intint intint int int

後 後

1 1 2

0 0ˆ (2 )A ds A ydxdz dz xy z dxsdot = sdot = +intint intint int int

右 右

1 1 1 12 2

0 0 0

4(2 ) (1 )3

ydz x z dx dz z

=

= + = + =int int int∵

1 1 2

0 0

0 1 1 12 2

0 0 0

ˆ( ) (2 )

1(1 )3

y

A ds A y dxdz dz xy z dx

dz z dx dz z=

sdot = sdot minus = minus +

minus= minus = + =

intint intint int int

int int int∵

左 左

11 1 1 1

0 0 0 0ˆ 2 2 1

zA ds A zdxdy dx yzdy dx ydy

=sdot = sdot = = =intint intint int int int int

∵

上 上

01 1

0 0ˆ 2 0

zA ds A zdxdy dx yzdy

=sdot = sdot minus = minus =intint intint int int

∵

下 下

前後右左上下六個面積分合併＝1＝V

Advnablasdotint QED

ex45 Continuity Equation 連續方程式

考慮某些「東西」的流動（物質電荷hellip）在時刻 t 時在點(xyz)

的 密 度 為 ( ) x y z tρ ρ= 並 具 有 速 度

( ) v v x y z t= 在時刻 t 時在體積 V 內的總量為

( ) x y z t dρ τintintint

這樣體積 V 內東東的時變率為

( ) ( ) d x y z t d x y z t ddt t

ρρ τ τpart=

partintintint intintint

注意體積分後的時間全微分移入積分內要改為偏微分這個東東

在表面的「流率 flow rate」可表為

ˆS

R v ndsρ= sdotintint

若體積內的物料無法自生自滅那麼體積內物料的變化必經由表面的

流出流入所造成

d v ndstρ τ ρpart

rArr = minus sdotpartintintint intint

由散度定理

4-48

( )ˆS

v nds v d dtρρ ρ τ τpart

sdot = nablasdot = minuspartintint intintint intintint

( )v Jtρ ρpart

rArr = minusnablasdot equiv minusnablasdotpart

0Jtρpart

rArr +nablasdot =part

（4-81）

(4-81) 即 continuity equation其中 J vρ= 為「物流密度」ex如果 ρ

是電荷密度 J 就是電流密度（4-81）是物質守恆的結果只對體

積內無 source（生成）or drain（消滅）的東東成立

ex46 Given a vector field ˆ ˆx yA ye xe= minus + (a) Find

Anablasdot (b)如圖一個金字塔狀的 5 面體高 2 底邊長

1計算 A在整個金字塔表面（封閉面）的總通量

解(a) Anablasdot = ( ) ( ) 0y xx ypart part

minus + =part part

(b) 金 字 塔 的 表 面 面 積 元 素 ds 不 好 寫 所 以 用 散 度 定 理

( )S V

A da A dvrArr sdot = nablasdotint int ＝0 Anablasdot 表示 A沒有 source 所以對封閉面而

言有多少場線進入就有多少出去所以總通量＝0

習題 7 With position vector r for an arbitrary volume V that is

bounded by surface S show that 13 S

r ds Vsdot =int

習題 8 已知一靜電場為 ˆ ˆ ˆ( )E xyz yxz zxyλ= + + 運用 Gaussrsquo law

試求包含在半球 2 2 2 2 0x y z R z+ + = ge 裡的總電荷 Ans 0

習題 9 (a) given ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( 2 )F r xf x yf y zf z= + + minus show that divF is

zero at point (c c -c2) (b) given ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( )G r xf x z yg x z zh x y= + +

show that ( ) 0G rnablasdot =

4-49

習題 10 Find the normal vector n for the surfaces (a) z = 2-x-y ans

ˆ ˆ ˆ( ) 3x y z+ + (b) z = (1-x2)12 ans ˆ ˆxx zz+ (c) z = x2+y2

ans ˆ ˆ ˆ( 2 2 ) 1 4xx yy z zminus minus + +

習題 11 Show that the unit vector normal to the plane ax+by+cz =d is

given by 2 2 2ˆ ˆ ˆ( ) ax by cz a b cplusmn + + + +

圓柱座標與球座標的nabla (del)

考慮一純量場在直角座標為 ( ) u x y z 在圓柱座標表為 ( ) u zρ φ

再考慮因位移 r r drrarr + 所造成 u ( )zρ φ 的變化

( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆz

z

u u udu d d dz u dr u d d zdzz

u u z u d d zdz

u d u d u dzρ ϕ

ρ ϕ

ρ ϕ ρ ρ ϕρ ϕρ ϕ

ρ ϕ ρ ρ ϕρ ϕ

ρ ρ ϕ

part part part= + + = nabla sdot = nabla sdot + +part part part

⎡ ⎤= nabla + nabla + nabla sdot + +⎣ ⎦= nabla + nabla + nabla

( ) ( ) ( )1

1ˆ ˆ ˆu

z

u u uu u uz

u u uzz

ρ ϕρ ρ ϕ

ρ ϕρ ρ ϕ

part part partrArr nabla = nabla = nabla =

part part partpart part part

rArrnabla = + +part part part

1ˆ ˆ ˆ zz

ρ ϕρ ρ ϕpart part part

nabla = + +part part part

（4-82）

注意nabla的ϕ -分量( 1ρ ϕ

partpart

)不是像直角座標裡單純的ϕpartpart

所以不要笨笨

的就把直角座標的形式硬套上去用我們也可以從「因次分析」來

看nabla因為是對空間的微分所以每一項的因次必須是「長度分之一」

運算 andzρ

part partpart part

都是「長度分之一」而「單純的ϕpartpart

」是沒有單位的

所以要1ρ ϕ

partpart

才 OK

由於圓柱座標裡的單位向量除了 z 之外 ˆ( )ρ ϕ 與 ˆ( )ϕ ϕ 都不是常

4-50

數所以在微分時不可以與微分運算交換而要考慮微分的作用所

以在「圓柱座標」寫「散度」 ( ) F zρ ϕnablasdot 也和直角座標不一樣

( )1ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ zF z F F zFz ρ ϕρ ϕ ρ ϕ

ρ ρ ϕpart part part⎛ ⎞

nabla sdot = + + sdot + +⎜ ⎟part part part⎝ ⎠

( ) ( )1ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆz zF F zF F F zFρ ϕ ρ ϕρ ρ ϕ ϕ ρ ϕρ ρ ϕpart part

= sdot + + + sdot + +part part

( )ˆ ˆˆ ˆ zz F F zFz ρ ϕρ ϕpart

+ sdot + +part

因為 ( ) ( )ˆ ˆ ˆ ˆ ρ ρ ϕ ϕ ϕ ϕ= = 所以做 andzρ

part partpart part

時 ˆ ˆ ρ ϕ 可視為常數

ˆ ˆ1ˆ ˆ ˆ zF F F FF F Fz

ρ ρ ϕρ φ

ρ ϕϕ ρ ϕρ ρ ϕ ϕ ϕ ϕ

part part part⎡ ⎤part part partrArrnablasdot = + sdot + + + +⎢ ⎥part part part part part part⎣ ⎦

還記得 ˆ ˆ ˆ ˆd d d dρ ϕ ϕ ϕ ρ ϕ= = minus 所以 ˆ ˆρ ϕϕpart

=part

ˆ ˆϕ ρϕpart

= minuspart

rArr

( )1 1 1z zF F F FF FF Fz z

ρ ρ ϕ ϕρρ

ρ ρ ρ ϕ ρ ρ ρ ϕpart part part part

nablasdot = + + + = + +part part part part part part

（4-83）

在球座標寫nabla也會遇到相似的問題其根源就是球座標 ( )r θ ϕ 裡

的 θ ϕ 的因次並非長度而三個單位向量 ˆ ˆˆ r θ ϕ（表為 ie ）都是( θ ϕ )

的函數以致

( )ˆ ˆ( ) ( )i ie f e fθ ϕ θ ϕθ θpart part

nepart part

且 ( )ˆ ˆ( ) ( )i ie f e fθ ϕ θ ϕϕ ϕpart part

nepart part

所以nabla也不似在直角座標那麼簡單我們不在這裡推導而是給出一

個歸納的統一的三個座標的結果還記得對每一個座標 iu i = 123

座標的變化 idu 與造成的長度變化 id

i i id h du= 123i = (4-84)

其中 ih 為對應的度量係數(metric coefficient)

4-51

1 2 3

1 1 2 2 3 3

1 1 1ˆ ˆ ˆu u ue e eh u h u h u

part part partnabla equiv + +

part part part （4-85A）

座標 1 2 3 u u u

度量係數

1 2 3 h h h

nabla grad del

直角 x y z

1 1 1 nabla ˆ ˆ ˆx y z

x y zpart part part

equiv + +part part part

圓柱

zρ ϕ

1 1ρ

1ˆ ˆ ˆ z

zρ ϕ

ρ ρ ϕpart part part

nabla equiv + +part part part

球

r θ ϕ

1 sinr r θ

1 1ˆ ˆˆ

sinr

r r rθ ϕ

θ θ ϕpart part part

nabla = + +part part part

（4-85B）

梯度gradient Vnabla grad(V) 散度divergence Anablasdot div( )A

直

角 nablaV ˆ ˆ ˆV V Vx y z

x y zpart part part

= + +part part part

yx zAA AAx y z

partpart partnablasdot = + +

part part part

圓

柱

1ˆ ˆ ˆ V V VV zz

ρ ϕρ ρ ϕpart part part

nabla = + +part part part

( )1 1

1

z

z

A AA Az

A A A Fz

ϕρ

ρ ρ ϕ

ρρ ρ ρ ϕ

ρ ρ ρ ϕ

partpart partnabla sdot = + +

part part partpart part part

= + + +part part part

球

1 1ˆ ˆˆ sin

V V VV rr r r

θ ϕθ θ ϕ

part part partnabla = + +

part part part

22

1 ( )rA r Ar r

partnabla sdot =

part

1 (sin )sin

Ar θθ

θ θpart

+ sdotpart

1sin

Ar

ϕ

θ ϕpart

+part

(4-86)

Ex47 Using spherical coordinate show that 1| |r r

nablaminus

= 2

ˆ| |

r rer r

minusminusminus

where

nabla是作用在 r 而 ˆr re minus 是向量 r rminus 方向的單位向量 解let r lies in z-axis so that the angle between r and r is just θ

4-52

rArr ( ) 122 21 1 2 cos | | ( ) ( )

r rr rr r r r r r

θminus

= = minus +minus minus sdot minus

( ) ( )12 122 2 2 21 1ˆˆ 2 cos 2 cos | |

r r rr r r rr rr r r r

θ θ θθ

minus minuspart partnabla = minus + + minus +

minus part part

( ) 322 21ˆ 2 cos (2 2 cos )2

r r rr r r rθ θminusminus

= minus + minus

( ) 322 21ˆ 2 cos (2 sin )2

r rr r rrθ θ θminusminus

+ minus +

3 3 3 3

ˆˆ ˆ( cos ) sin ( cos sin )ˆˆ| | | | | | | |r r r rr r rrr r r r r r r r

θ θ θ θ θθminus minus minus minus minus= + = +

minus minus minus minus

3 3 3ˆ ( )

| | | | | |r r z r r r rr r r r r rminus + minus + minus minus

= = =minus minus minus

＝ 2

ˆ| |

r rer r

minusminusminus

QED

證明最後我們用到 ˆˆˆ cos sinz r θ θ θ= minus 而 ˆ r r z= 因為我們選了 r 是

躺在 z-軸 Ex48 For arbitrary scalar field ( )f r and vector field ( )A r 證明恆等式

( )fA f A f Anablasdot = nabla sdot + nablasdot (4-87) 解 ˆ ˆ ˆx y zfA xfA yfA zfA= + +

( ) ( ) ( ) ( )x y zfA fA fA fAx y zpart part part

rArrnablasdot = + +part part part

yx zx x x

AAf f f AA f A f A fx x y y z z

partpartpart part part part= + + + + +part part part part part part

yx zx y z

AAf f f AA A A fx y z x y z

part⎛ ⎞partpart part part part= + + + + +⎜ ⎟part part part part part part⎝ ⎠

f A f A= nabla sdot + nablasdot QED 習題 12 一個位於原點的電偶極電偶極矩＝ ˆp pz= 已知其在遠處

的電位為 20

cos4p

rθ

πε試證該處的電場強度為 E = 3

0

ˆˆ( 2cos sin )4

p rr

θ θ θπε

+

(已知 E V= minusnabla )並請計算 Enablasdot ＝

習題 13 給定一向量場2

3cosˆD r

rϕ

= 現有兩個球心在原點的同心球

內球半徑 R＝1外球 R＝2(a)求面積分S

D dssdotint S 為同心球殼的表

面（有內外兩個面）(b)求體積分V

Ddvnablasdotint V 為兩同心球之間的

區域本題也是來 check 散度定理的Ans πminus

4-53

The Laplacian operator 2nabla equivnablasdotnabla

在直角座標可以用直接作用得到

2 2 2

22 2 2u u uu u

x y zpart part part

nabla equiv nablasdotnabla = + +part part part

(4-88)

圓柱座標

2 2

22 2 2

1 1( ) u u uu uz

ρρ ρ ρ ρ ϕ

part part part part⎛ ⎞nabla equiv nablasdot nabla = + +⎜ ⎟part part part part⎝ ⎠

(4-89)

球座標

2

2 22 2 2 2 2

1 1 1sinsin sin

u u uu rr r r r r

θθ θ θ θ ϕ

part part part part part⎛ ⎞ ⎛ ⎞nabla = + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟part part part part part⎝ ⎠ ⎝ ⎠ （4-90）

習題 14 verify (4-89) and (4-90)

習題 15 Given a dipole potential V= 20

cos4p

rθ

πε find 2Vminusnabla

sect 433 Line integral and curl A 線積分與與旋度的物理意義

線積分路徑積分

考慮一曲線 C 通過兩點 ( )i i i iP x y z 與

( )f f f fP x y z 現有一向量場 ( )A x y z 定義在

C 所在的空間若 sd 為 C 上位於(xyz)點的

「路徑元素」（ ˆd td= 方向沿該處切線）而

( )A x y z 為路徑元素d 處的場值則沿 C 經歷各點所做積分

cos cosf

CC C iA d Ad A dϕ ϕrarr rarrsdot = =int int int （4-91）

稱為向量場 ( )A x y z 沿路徑 C 自 pi 至 pf 的「線積分」「或「路徑積分」

積分裡 A 取值的點侷限在路徑 C 上面若為一個「封閉路徑」則對

C 的線積分也稱做「環路積分 closed contour integral」記做

C

A dsdotint （4-92）

4-54

物理量「做功」是最標準的線積分之一力 F 自 x = a 至 x = b「沿線」

x 軸做功

W＝ F dxsdotint ＝ ( )b

xaF x dxint （4-93）

質點在力場 )(rF 裡走一條曲線 C則力場做功

CW F d= sdotint （4-94）

還記得如果 ( )F r 是所謂「保守力」則上式只與始末點有關而與

路徑無關但如果 ( )F r 是所謂「非保守力」則做功與確實的路徑 C

有關

現考慮一質點在空間運動的位置 r 落在由曲線 C

描述的路徑則質點的位移元素與曲線 C 的路徑元

素相同 d dr= 若空間有向量場 A 分佈則 A 在 C 的

路徑積分以直角座標表示為

CA drarr rarrsdotint ＝

CA d rrarr rarrsdotint ＝ ( )x y zC

A dx A dy A dz+ +int （4-95）

上式中的 x y z 的積分限由 C 決定

Ex49 2 2 2ˆ ˆ ˆA xx yy zzrarr= + + 選定一路徑 C 為曲線

2y x= 由 (000)到 (2 20)的部分求C

A dsdotint

解 ˆ ˆd xdx ydy= +∵

CA dsdotint ＝ 2 2( )

Cx dx y dy+int ＝

2 22 2

0 0x dx y dy+int int

＝ )24(32

+

或由 2y x= rArr 2ydy dx= 2 12

y dy xdxrArr =

rArrC

A dsdotint ＝2 2

0

1( )2

x x dx+int ＝2 (4 2)3

+

4-55

ex50 ˆ ˆ( )f x y z xy yx= minus Do C

f dsdotint 其中的路徑 C 為一逆時針三角

形如圖 解∵路徑全部在 x-y 平面 ˆ ˆ ˆd td xdx ydy= = +

rArrC

f dsdotint ＝ x yC

f dx f dy+int ＝C

ydx xdyminusint

由於在 C1 上 y = 0 及 dy = 0 所以 01

=intC 又由於在

C3 上 x = 0 及 dx =0所以 03

=intC 所以只剩下 C2 可

能有貢獻由 2C 的方程式x + y =1rArr ⎩⎨⎧

minus=minus=

xyyx

11

rArr2Cydx xdyminusint ＝

0 1

1 0(1 ) (1 )x dx y dyminus minus minusint int ＝

0 12 2

1 0

( ) ( )2 2x yx yminus minus minus ＝-1

Cf dsdotint ＝-1

ex51 ( )f x y zrarr

= 2ˆ ˆxx yxyminus 如右圖doC

f dsdotint 其

中路徑 C 為第一象限的逆時針 14 圓弧

解∵ 全部在 x-y 平面 ˆ ˆd xdx ydy= +

Cf dsdotint ＝ 2

Cx dx xydyminusint

由於在 C 上 cosx R ϕ= rArr sindx R dϕ ϕ= minus

siny R ϕ= rArr cosdy R dϕ ϕ=

rArr 2

Cx dx xydyminusint ＝

2 2 2 2

0cos ( sin ) sin cos cosR R d R R d

πϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕminus minus sdotint

23 2

02 cos sinR d

πϕ ϕ ϕ= minus int ＝

323Rminus

又路徑為圓周一部份所以適合用極座標表示

ˆd Rdϕ ϕ= 又由左圖將 ˆ ˆx y 拆解（投影）到 ˆˆr ϕ

ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆcos sin sin cosx r y rϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ= minus = +

4-56

( )2ˆ ˆ ˆˆ ˆ( cos sin ) ( sin cos )C C

f d r x r xy Rdϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕsdot = minus minus + sdotint int 2

2 2 2

0

sin (cos )

sin ( cos ) (cos ) cos sin

Cx Rd xyRd

R Rd R Rdπ

ϕ ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ

= minus minus

= minus minus

intint

23 2

02 cos sinR d

πϕ ϕ ϕ= minus int ＝

323Rminus

這也驗證了散度定理

Path Independence 路徑獨立性

Ex52 證明庫倫力為「保守力」考慮

電荷 q0 位於原點及電荷 q 位於

( )r x y zrarr= q 受力 F

rarr＝ 0

20

14

qq urπε

and

求庫侖力作功因為球形對稱所以

用球座標由 ˆ ˆ ru rr

= = rArr Frarr

= 03

04qq r

rπε

庫侖力由 P1 至 P2 做功為 2

1

P

CPF drarrsdotint ＝

2

1

02

0

ˆ ˆ ˆˆ sin4

P

PC

qq r rdr rd r dr

θ θ ϕ θ ϕπε

⎡ ⎤sdot + +⎣ ⎦int ＝2

1

02

04P

P

qq drrπεint

＝20

2104

r

r

qq drrπε int ＝ 0

0 1 2

1 1( )4qq

r rπεminus for all C

所以庫侖力兩點間做功與路徑無關rArr保守力

對於「保守力 conservative force」 cF 自 p1 經

由兩條不同的路徑 C1 與 C2 到達 p2

1 ccF drarrsdotint ＝

2 ccF drarrsdotint ＝-

2 ccF drarr

minussdotint

rArr1 2c cc cF d F drarr rarr

minussdot + sdotint int = cF d

rarrsdotint ＝0 (4-96）

對於任何「封閉路徑」保守力做功為 0反之若

對任一封閉路徑 0F drarrsdot neint 則兩點之間的做功與路徑有關

rarr

F 為「非

保守力」

4-57

旋度 curl Anablatimes 的幾何物理意義

我們在（4-70）式已經看過旋度的計算方式但旋度另有其意義的

ex53 給定向量場2 2

0ˆ yv yv e λrarr

minus= 左圖為場的分佈

2 20

ˆ ˆ ˆ

0 0x y z

y

x y zcurl v

v e λ

rarr

minus

= part part part ＝ ˆ ˆ ˆ0 0 0 0x y zsdot minus sdot + sdot =

我們用了簡寫 x yx ypart part

part equiv part equivpart part

可以看出這個場裡沒有「漩渦」

但是有無「漩渦」有時也不是那麼明顯可以看出的請見下一個例子

Ex54 給定向量場2 2

0ˆ xv yv e λrarr

minus= 計算其旋度 vnablatimes

解向量場 vrarr

畫在右邊你看得出有無漩渦

先計算旋度

2 20

ˆ ˆ ˆ

0 0x y z

x

x y zcurl v

v e λ

rarr

minus

= part part part2 2

2 2

0

0

ˆ

ˆ 2 0 0

x

x

z v ex

z v xe for x

λ

λ

minus

minus

part=

part

= minus ne ne

vrarr

的旋度在大部分的地方不為 0 且隨位置而不同但是你看得出這個

向量場裡有「漩渦」其實要檢驗一個向量場裡有無「漩渦」有一

個很物理的方法就是放一個小「螺旋槳」（左圖）

在場內將軸朝各個方向測試一

下如果有「漩渦」的話這個

小「螺旋槳」就會轉動右圖就是將「螺旋槳」的

軸平行於 z 軸且放在 x gt 0 的地方就可以看出左

邊的 v 場比右邊的強造成螺旋槳順時針轉動rArrcurlv zminus for x gt 0

但如果放在 x = 0 的地方就會看到左右兩端的 v 場強度相同而且

4-58

curlv = 0 「螺旋槳」放在 x lt 0 的地方就可以看出右邊的v 場比左

邊的強造成螺旋槳逆時針轉動這完全符合 curl v k+ 的結果

環路積分與旋度 curl 的物理意義

如同「散度」一樣「旋度」除了 Ftimesnabla 之外

還有一個物理意義更清楚的定義這個定義由

「線積分」說明如圖考慮做「逆時針」長方形

路徑 C1 的一個「環路積分」C1 面平行於 x-y 平

面由 z-軸看下去環路 C1 可以分為可以分為

下 CB上 CT右 CR左 CL 4 部分

CA drarrsdotint ＝

B T L RC C C CA d A d A d A drarr rarr rarr rarrsdot + sdot + sdot + sdotint int int int

分別計算由於 CB 的中點座標為 ( )2yx y zΔ

minus

ˆB BC C

A d A xdxrarr rarrsdot = sdot =int int

BxC

A dxint ( )2xyA x y z xΔ

asymp minus Δ

similarly 由於 CT 的中點座標為 ( )2yx y zΔ

+

ˆ( )T TC C

A d A xdxrarr rarrsdot = sdot minus =int int

TxC

A dxminusint ( )2xyA x y z xΔ

asymp minus + Δ

合併 CB 與 CT

B TC CA drarr

+sdot =int

( ) ( )2 2x xy yA x y z A x y z

x yy

Δ Δ⎡ ⎤minus + minus minus⎢ ⎥⎣ ⎦ Δ ΔΔ

（4-97）

由 C1 所圍的面積 S x yΔ = Δ Δ

1B TC C

A dS

rarr

+sdot =

Δ int( ) ( )

2 2x xy yA x y z A x y z

y

Δ Δ⎡ ⎤minus + minus minus⎢ ⎥⎣ ⎦Δ

（4-98）

所以當取極限 C1 收縮到中心(xyz)時 SΔ 收縮到 0ie

4-59

0limsΔ rarr

1B TC C

A dS

rarr

+sdot =

Δ int xAy

partminuspart

（4-99）

Similarly with CR 的 ˆd ydy= CL 的 ˆd ydy= minus 可得

1L RC C

A dS

rarr

+sdot =

Δ int x

zyxxFzyxxF yy

Δ

Δminusminus

Δ+ )

2()

2(

（4-100）

同樣的當取極限 C1 收縮到中心(xyz)時 SΔ 收縮到 0

0

limsΔ rarr

1L RC C

A dS

rarr

+sdot =

Δ int yAx

partpart

（4-101）

最後合併 CBCTCRCL 為 C1

10

1limCs

A ds

rarr

Δ rarrsdot =

Δ int y xA Ax y

part partminus

part partˆ ( ) ( )zz A A= sdot nablatimes = nablatimes （4-102）

注意 C1 的方向就是在 z 上式的重要

意義是當向量場 A 在一個以點(xyz)為

中心「方向為 z 」的面積元素的「邊界」

所做的環路積分得到的就是 A 在(xyz)

處旋度的 z-分量明顯的只有當 A 在

(xyz)附近有 x-y 平面上的「漩渦」那麼 C1 的環路積分才不會為 0

Similarly 取一個逆時針繞著(xyz)的平行於 x-z 平面的長方形環路 C2

（左圖）做環路積分再取極限將 C2 收縮到(xyz)就會得到

20

1limCs

A ds

rarr

Δ rarrsdot =

Δ int x zA Az x

part partminus

part partˆ ( ) ( )yy A A= sdot nablatimes = nablatimes （4-103）

注意到 C2 所包圍的面積方向就在 y到

現在我們應該已經很有經驗了若取一

個逆時針繞著(xyz)的平行於 y-z 平面

的長方形環路 C3（左圖）做環路積分

再取極限將 C3 收縮到(xyz)就會得到

4-60

30

1limCs

A ds

rarr

Δ rarrsdot =

Δ int yz AAy z

partpartminus

part partˆ ( ) ( )xx A A= sdot nablatimes = nablatimes （4-104）

能把（4-103）與（4-104）變出來的同學我們有優待綜合以上

我們可以得到一個結論若取一個以點(xyz)為中心的任意環路 Cn（其

所包圍的面積方向在 n ）則

n curl Aand rarrsdot ＝

0

1lims

Cn

A ds

rarr

Δ rarrsdot

Δ int （4-105）

明顯的當 n ＝ x 或 y 或 z 時我們可以重複（4-102）到（4-104）的

結果（4-70）式的行列式所定義的旋度在此看見其幾何物理意義

至此「旋度」的「漩渦」形象應該已經很清楚了只有在(xyz)點附

近的小圈圈上有「漩渦」 A 在小圈圈做的環路積分才會有值這個

值就是向量場 A 的「旋度」在小圈圈面積方向的分量

Stokersquos 定理

考慮一個開放面 S被其「有方向的」邊界 C 圈住(bounded by)則

( )S

A dsrarr rarrnablatimes sdotint ＝

C

A drarrsdotint （4-106）

pf 先將 S 面分割為 N 個多邊形這會使得邊界變成一個「折線」形

成的環路 P環路 P 會隨著分割的多邊形個數的增多而越加近似於原

「光滑的」邊界 C現考慮相鄰的

兩個多邊形的線積分由於共用邊

的方向是相反的所以相鄰兩個多

邊形線積分的和只剩「外邊界」（見左圖）所以當把所有的多邊形的

4-61

線積分加起來時由於只有邊界 P 不是多邊形的共用邊所以

1k

N

k C

A drarr

=

sdotsum int ＝P

A drarrsdotint rArr

P

A drarrsdotint ＝

1

1

k

N

kk k C

A d l ss

rarr rarr

=

⎡ ⎤sdot Δ⎢ ⎥

Δ⎢ ⎥⎣ ⎦sum int

其中 ksΔ 為第 k 個多邊形的面積取極限 0kN srarrinfinrArrΔ rarr P CrArr rarr

C

A drarrsdotint ＝

10

1limkk

N

kN k k Cs

A d ss

rarr

rarrinfin=Δ rarr

⎡ ⎤sdot Δ⎢ ⎥

Δ⎢ ⎥⎣ ⎦sum int 01

ˆlim ( )k

k kskn A s

infin

Δ rarr=

⎡ ⎤= sdot nablatimes Δ⎣ ⎦sum

01

ˆlim ( )k

k kskA n s

infin

Δ rarr=

= nablatimes sdot Δsum = ( )S

A dsrarr

nablatimes sdotint QED

ex55 由 Amperersquos law 的積分形式導出其微分形式

解Amperersquos law 的積分形式 C

B drarrsdotint ＝ I0μ (4-107)

由 Stokersquos 定理及電流密度 j 的定義上式等號兩端可寫為

rArr ( )S

B dsrarr rarrnablatimes sdotint ＝ 0 S

j dsμrarrsdotint

由於上面的等式對任意面 S（路徑 C）都成立所以被積函數相等

0B jμrarr rarr rarr

rArrnablatimes = (4-108) 此即 Amperersquos law 的微分形式

Ex56 Given a vector field ˆ ˆx yA ye xe= minus + (a) Find Anablatimes

解

ˆ ˆ ˆˆ ˆ(1 ( 1) 2

0x y z

x y zA z z

y xnablatimes = part part part = minus minus =

minus

(b)如圖一個金字塔狀的 5 面體高 2底邊長＝1計算 ( )S

A dsnablatimes sdotint

其中 S 為金字塔在 x-y 平面以上的部分方向如同

封閉的金字塔（運用 Stokersquos law）

解金字塔上表面的面積元素ds 不好寫由 Stokersquos

4-62

law ( )S

A dsrarr rarrnablatimes sdotint ＝

C

A drarrsdotint 其中封閉路徑 C 就是上表面的邊界而且

是逆時針（由 z 軸向下看）

C

A drarrsdotint ＝

1 1 0 0

0 0 1 1ˆ ˆ ˆ ˆA xdx A ydy A xdx A ydysdot + sdot + sdot + sdotint int int int

＝1 1 0 0

0 0 1 1x y x yA dx A dy A dx A dy+ + +int int int int 1 1 0 0

0 0 1 1( 0) ( 1) ( 1) ( 0)y dx x dy y dx x dy= minus = + = + minus = + =int int int int

0 1 1 0 2 ( ) 2S

A ds= + + + = rArr nablatimes sdot =int

旋度與 path independence

已知保守場 cF 對所有封閉路徑 C 0cC

F drarrsdot =int 由 Stokersquos 定理

0cC

F drarrsdot =int ＝ ( )cS

F dsrarr rarrnablatimes sdotint rArr 0cF

rarr rarrnablatimes =

這表示保守場＝無旋度反之無旋度的場任兩點間路徑積分與路

徑無關

Ex57 Given a field 2 2ˆ ˆ ˆ2A x xy yx zz= + minus (a) Find Anablatimes A 保守場

解2 2

ˆ ˆ ˆ

2x y z

x y zA

xy x znablatimes = part part part

minus

( ) ( ) ( )2 2 2 2ˆ ˆ ˆ( ) 2 ( ) 2 0y z z x x yx z x y xy z z x xy= part minus minuspart + part minuspart minus + part minuspart =

yes A =保守場

(b)如左圖由 A 到 B 做路徑積分A BC

A drarr

sdotint 路徑 C 為橢圓

22 1

16yx + = 在 x-軸以上的部分

解橢圓部分的路徑元素 d 有點麻煩但因為 A

為保守場所以 A 到 B 做路徑積分可以用 x = -1 到

1 的積分取代

4-63

01 1 1

1 1 1ˆ 2 0

yB

xAA d A xdx A dx xydx

=

minus minus minussdot = sdot = = =int int int int

∵

旋度在柱座標與球座標

前面討論過nabla在不同座標系的寫法旋度也有歸納出的一致寫法

座標 1 2 3 u u u

度量係數

1 2 3 h h h

nabla grad del

直角 x y z

1 1 1 nabla ˆ ˆ ˆx y z

x y zpart part part

equiv + +part part part

圓柱 zρ ϕ

1 1ρ

1ˆ ˆ ˆ zz

ρ ϕρ ρ ϕpart part part

nabla equiv + +part part part

球 r θ ϕ

1 sinr r θ

1 1ˆ ˆˆ sin

rr r r

θ ϕθ θ ϕ

part part partnabla = + +

part part part

所以柱座標與球座標的旋度分別表為

柱座標

ˆ ˆ ˆ1

z

z

Az

AA Aρ ϕ

ρ ρϕ

ρ ρ ϕρ

part part partnablatimes =

part part part （4-109）

球座標 2

ˆ ˆˆ sin1sin

sinr

r r r

Ar r

A rA r Aθ ϕ

θ θϕ

θ θ ϕθ

part part partnablatimes =

part part part （4-110）

ex58 (a) Given the vector function ˆA ϕ= sin (ϕ 2) find Anablatimes

解 2

ˆ ˆˆ sin1sin

0 sin( 2) 0

r r r

Ar r

r

θ θϕ

θ θ ϕϕ

part part partnablatimes =

part part part

4-64

21 ˆˆ cos sin sinsin 2 2 2

rr rr

ϕ ϕθϕθ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

ˆˆ cos sin2 sin 2 2

rr r

ϕ ϕ ϕθ

minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

(b)如左圖一個底面在 x-y 平面半徑＝1高＝2 之圓錐 求面積分

SA dsnablatimes sdotint 面積範圍 S 為圓錐在 x-y 平面以上

部分 方向為由圓錐內向外

解由 Stokersquos law ( )S

A dsrarr rarrnablatimes sdotint ＝

C

A drarrsdotint 其中路

徑 C 為 x-y 平面圓心在原點之單位圓 ˆ ˆd rd dϕ ϕ ϕ ϕ= =

2

0ˆ ˆsin sin

2 2C

d dπϕ ϕϕ ϕ ϕ ϕ⎛ ⎞ ⎛ ⎞sdot =⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠int int ( )0

2 sin u duπ

= int 0cos | 2u π= minus =

習題 16 磁場 B 因為不是保守場所以沒有對應的純量位而對應一

個向量位 A (vector potential)而 B A= nablatimes 一個磁鐵的磁偶極矩

ˆm mz= 被置於原點已知在遠處的 vector potential 03ˆ sin

4mAr

μϕ θπ

=

計算該處的磁場 B Ans 03

ˆˆ( 2cos sin )4

mB rr

μ θ θ θπ

= + 與電偶極遠處

的電場形式一致都是偶極(dipole) 選幾個點畫一畫該處的場向量

把磁力線描出來

附錄本章講義的內容有部分可以經由直接計算得出列在附錄做為

參考

用「圓柱座標」寫 Atimesnabla

Ararr rarrnablatimes ＝ ( )1ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ zz A A zA

z ρ φρ ϕ ρ ϕρ ρ ϕpart part part⎛ ⎞+ + times + +⎜ ⎟part part part⎝ ⎠

4-65

因為rdquo sdotrdquo與rdquotimes rdquo都是向量間的運算所以

＝ ( )ˆ ˆ ˆ ˆ zA A zAρ φρ ρ ϕρpart

times + +part

＋ ( )1ˆ ˆ ˆ ˆ zA A zAρ φϕ ρ ϕρ ϕ

parttimes + +

part

＋ ( )ˆ ˆˆ ˆ zz A A zAz ρ φρ ϕpart

times + +part

直接做上式微分可以得到

＝1ˆ z AA

zϕρ

ρ ϕpart⎛ ⎞part

minus⎜ ⎟part part⎝ ⎠＋ ˆ zA A

zρϕ

ρpart⎛ ⎞part

minus⎜ ⎟part part⎝ ⎠＋

1 1ˆ ( )A

z A ρϕρ

ρ ρ ρ ϕpart⎛ ⎞part

minus⎜ ⎟part part⎝ ⎠

上式可以用一個行列式來表示

rarrrarr

timesnabla A＝

ˆ ˆ ˆ1

z

z

zA A Aρ ϕ

ρ ρϕ

ρ ρ ϕρ

part part partpart part part

（A-1）

A and Anabla nablasdot nablatimes in 球座標 spherical coordinate

如上圖球座標 )( ϕθr 其中 )0[ infinisinr ]0[ πθ isin ]20[ πϕ isin 只有 r

是長度而 ϕθ 為角度是用來說明方向的三個座標的單位向量 ˆ ˆˆ r θ ϕ 具

有下列性質

4-66

1 如上圖 ˆ ˆˆ r θ ϕ 都不是常數而是（ ϕθ ）的函數

ˆ ˆ( )ˆ ˆ( )ˆ ˆ( )

r r θ ϕ

θ θ θ ϕϕ ϕ ϕ

⎧ =⎪

=⎨⎪ =⎩

)( ϕθr 與(xyz)之間的轉換如下

sin cossin sincos

x ry rz r

θ φθ φθ

=⎧⎪ =⎨⎪ =⎩

( )122 2 2

2 2

tan

tan

r x y z

x yz

yx

θ

φ

⎧ = + +⎪⎪ +⎪ =⎨⎪⎪ =⎪⎩

（A-2）

2 ˆ ˆˆ r θ ϕ 形成一「歸一正交集」ie

ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ 1r r θ θ ϕ ϕsdot = sdot = sdot = ˆ ˆr θ ϕperp perp

ˆ ˆr θ ϕtimes = ˆ ˆ rθ ϕtimes = ˆˆ rϕ θtimes = （A-3）

3可以很容易的由他們在 xyz 軸上的投影由直角

座標的 ˆ ˆ ˆ x y z 表出

ˆ ˆ ˆ ˆsin cos sin sin cos ( 4 )ˆ ˆ ˆ ˆcos cos cos sin sin ( 4 )ˆ ˆ ˆsin cos ( 4 )

r x y z A a

x y z A bx y A c

θ φ θ φ θ

θ θ φ θ φ θϕ φ φ

= + + minus⎧⎪

= + minus minus⎨⎪ = minus + minus⎩

4 ˆdr = 由於 ˆ ˆ( )r r θ φ= 所以由 ϕθ 的變動來看

4-67

ˆ ˆˆ| |ˆ ˆˆ| | sin sin

d r d d

d r d d

θ θθ θθ

φ θ φφ θ φφ

⎧ rArr =⎪⎨

rArr =⎪⎩rArr ˆ ˆˆ sindr d dθ θ φ θ φ= + （A-5）

rArrˆ ˆr θθpart

=part

ˆ ˆsinr θφφpart

=part

（A-6）

（A-6）的結果也可以直接由（A-4a）對 ϕθ 偏微得到

5 ˆdθ ＝ 由於 ˆ ˆ( )θ θ θ φ= 所以由 ϕθ 的變動來看

ˆ ˆ ˆ| | ( )ˆ ˆ ˆ| | cos cos

d d r d r

d d d

θ θ θ θ

φ θ θ φφ φ θ φ

⎧ rArr minus = minus⎪⎨

rArr =⎪⎩rArr ˆdθ ＝ ˆˆ cosrd dθ φ θ φminus + （A-7）

ˆrθ

θpart

rArr = minuspart

ˆ ˆcosθ φ θφpart

=part

（A-8）

請直接由（A-4b）對 ϕθ 偏微的結果 check（A-8）

6 ˆdφ ＝由於φ )(ϕ 躺在 x-y 平面上變動φ時的方向可能不是那麼

容易看出來所以做圖看一看

ie ˆ ˆˆ(sin ) (cos )d r d dφ θ φ θ θ φ= minus minus （A-9）

4-68

ˆ ˆˆsin cosrφ θ θ θφpart

= minus minuspart

7 所有的向量 ˆ ˆˆ rA rA A Aθ φθ φrarr= + +

8 位置向量 ˆr rrrarr=

可以由左圖 ˆ ˆˆ r θ ϕ 三個方向的「長度

變化」輕易的看出

9 位移元素

ˆ ˆˆ ˆ sindr rdr rd dθ θ ϕ θ φ= + + (A-10)

10 體積元素

sindv dr r d rdθ φ θ= sdot sdot

＝ 2 sinr dr d dθ θ φ (A-11)

11 面積元素 2 sinrds r d dθ θ φ= plusmn sinds r drdθ θ φ= plusmn ds rdrdφ θ= plusmn (A-12)

plusmn號表示面的垂直方向有兩個端看 ds 周邊的方向是如何定的

nabladel 考慮 ( )u u r θ φ=

rArru u udu dr d dr

θ φθ φ

part part part= + +part part part

u d rrarr rarr

equiv nabla sdot

urarr

= nabla sdot ˆ ˆˆ( sin )rdr rd dθ θ φ θ φ+ +

rArr1 1ˆ ˆˆ

sinu u uu rr r r

θ ϕθ θ φ

rarr part part partnabla = + +

part part part

1 1ˆ ˆˆsin

rr r r

θ ϕθ θ φ

rarr part part partnabla equiv + +

part part part （A-13）

4-69

直接用（A-13）與 ˆ ˆˆ rA rA A Aθ φθ ϕrarr= + + 逐項內積加上（A-678）

rArr ϕθ

θθθ

ϕθ part

part+

partpart

+partpart

=sdotnablararrrarr A

rA

rAr

rrA r sin

1)(sinsin1)(1 2

2 （A-14）

（A-13）與 ϕθ ϕθ AAArA r

andandandrarr

++= 逐項外積整理之後

ϕθ θϕθ

ϕθθ

θArrAA

r

rrr

rA

r sin

sin

sin1

2 partpart

partpart

partpart

=timesnabla

andandand

rarrrarr

（A-15）

Laplacian uu nablasdotnabla=nabla2

2

2

2222

22

sin1)(sin

sin1)(1

ϕθθθ

θθ partpart

+partpart

partpart

+partpart

partpart

=nablau

ru

rrur

rru （A-16）

B推導「散度」在圓柱座標的寫法

讓我們先回顧一下在直角座標裡的「面積元素」可以由「位移元素」

得到

ˆˆ ˆ x y zdr idx jdy kdz da dydz dxdz dxdy= + + rArr =

比照辦理「圓柱座標」的位移元素

( )ˆˆ ˆ( )

( )z

da d dzdr d d zdz da d dz

da d d

ρ

φ

ρ φ

ρ ρ φ ρ φ ρ

ρ ρ φ

=⎧⎪= + + rArr =⎨⎪ =⎩

這個結論可以輕易的由面積元素在垂直於 zˆˆ ϕρ 三個方向的面積看

出如下圖考慮一個以 )( zϕρ 為中心的「圓柱體積元素」(cylindrical

cubiod)體積為 zdV ΔΔ=Δ ϕρρ 現計算在 ρ

方向的 12 兩個平行面(方向各為 ρplusmn )的通

量

4-70

zzF

dsFdsnFS S

ΔΔ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

+cong

=sdotintint intintϕρρϕρρρ

ρ

2

2

ˆ1 1

zzF

dsFdsnFS S

ΔΔ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

minus⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

minusminuscong

minus=sdotintint intintϕρρϕρρρ

ρ

2

2

ˆ2 2

intint+

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

minus⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

minusminus⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

+Δ

asympsdotΔ

rArr21

22

22

1ˆ1

SS

zFzFdsnFV

ϕρρρρϕρρρρρρ ρρ

( ) ( )

1 20

0

0

1 ˆlim

1lim 2 2 2 2

1 1lim 2 2

1

VS S

F ndsV

F z F z

F z F z

F

ρ ρρ

ρ ρρ

ρ

ρ ρ ρ ρρ ρ φ ρ ρ φρ ρ

ρ ρρ ρ φ ρ ρ φρ ρ

ρρ ρ

Δ rarr+

Δ rarr

Δ rarr

rArr sdotΔ

Δ Δ Δ Δ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + + minus minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥Δ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦Δ Δ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥Δ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

part ⎡ ⎤= ⎣ ⎦part

intint

娛樂一下用上述方式把圓柱的 Fsdotnabla 裡的z

FF z

partpart

+partϕρϕ1

變出來

球座標的nabla和 Fsdotnabla 也可以試試看

補充習題

H M Scheydiv grad curl and all that 4th edition

第二章習題 6 8 9 10 11 14 15 16 18 19 21 22 23 25 26 27

第三章習題 2 3 5 6 7 8 9 10 11 14 15 17 18 19 24

4-30

ˆ ˆ ˆ( ) f f fgrad f f x y zx y zpart part part

equiv nabla = + +part part part

（4-67）

這使得由於任意位移 ˆ ˆ ˆdr xdx ydy zdz= + + 所造成 f 的變化量

df f drrArr =nabla sdot （4-61）

ex28 Given scalar field 2( )f r xy z= and 2 2 2

1 1( )g rrx y z

= =+ +

(a) find the value of ( )f r and fnabla at point P(2 1-1) 解 2(21 1) 2 1 ( 1) 2f minus = times times minus = minus

2 2 2

2 2

ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( )

ˆ ˆ ˆ( ) ( 2 ) ( )

f x xy z y xy z z xy zx y z

x y z y x yz z xy

part part partnabla = +

part part part

= +

＋

＋

ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ(21 1) ( 1) (2 2) (2) 4f x y z x y znabla minus = minus + timesminus = minus minus＋ ＋2 (b) find the value of ( )g r and gnabla at the point P

解2

1 1(21 1)62 1 1

g minus = =+ +

2 2 2 12 2 2 2 12

2 2 2 12

ˆ ˆ( ) ( )

ˆ ( )

g x x y z y x y zx y

z x y zz

minus minus

minus

part partnabla = + + + + +

part partpart

+ +part

＋

2 2 2 32 2 2 2 32 2 2 2 32

2 2 2 32 3 2

ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( )

ˆ ˆ ˆˆ( )( )

OR OR

xx yy zzgx y z x y z x y zxx yy zz r r

x y z r r

minus minus minusrArrnabla = + +

+ + + + + +minus + + minus minus

= = =+ +

32

ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ(2 ) 2(21 1)6 6 6

x y z x y zg minus + minus minus minus +rArrnabla minus = =

由 gnabla 看到一個粉常用的結果就是

3 2

ˆ1 ORr rr r r

minus minusnabla = = （4-62）

順便比較一下

2 2 2 12 2 2 2 12 2 2 2 12

2 2 2 12

ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( )

ˆ ˆ ˆ( ) ˆ (4 63)( )

r x x y z y x y z z x y zx y zxx yy zz r r

x y z r

part part partnabla = + + + + + + +

part part part+ +

= = = minus+ +

＋

4-31

(c) what is the angle between (21 1)fnabla minus and (21 1)gnabla minus

解 (21 1)fnabla minus (21 1)gsdotnabla minus ＝（ ˆ ˆ ˆ4x y zminus minus ＋2 ） sdotˆ ˆ ˆ26 6x y zminus minus +

＝2 4 2 4

6 6 3 6+ +

= ＝ | (21 1) |fnabla minus | (21 1) |gnabla minus cosθ

＝ 34 1 1 211 16 4 cos cos

6 6θ θ+ +

+ + =

1 4 2cos 07773 7

radθ minus ⎛ ⎞= =⎜ ⎟

⎝ ⎠

要注意隨然nabla有向量的性質但是他並不是一個真的向量真

實向量 A與純量 f ( )r 的乘法滿足交換率ie ( ) ( )Af r f r A= 但是

f fnabla ne nabla因為

( )f rnabla ＝ ˆ ˆ ˆf f fx y zx y zpart part part

+ +part part part

是一個向量函數而

ˆ ˆ ˆ( )f r x y zx y z

⎛ ⎞part part part+ +⎜ ⎟part part part⎝ ⎠

是一個算符（operator）

若nabla要與向量場 A 作用由於nabla與 A 都具有向量的性質先看「內積」

ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ( )

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

x y z

x y

z

y yx xz z

A x y z xA yA zAx y z

x y z xA x y z yAx y z x y z

x y z zAx y z

A AA AA Ax x x y x zx y z x y z

⎛ ⎞part part partrArrnablasdot = + + sdot + +⎜ ⎟part part part⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞part part part part part part= + + sdot + + + sdot⎜ ⎟ ⎜ ⎟part part part part part part⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞part part part

+ + + sdot⎜ ⎟part part part⎝ ⎠part partpart partpart part

= sdot + sdot + sdot + sdotsdot sdot = + +part part part part part part

yx zAA AAx y z

partpart partnablasdot = + +

part part part (4-64)

上式中的 Anablasdot 是向量場 A 的一個重要的性質稱為 A 的「散度」詳

細的內容在後面會仔細討論這裡引進 Anablasdot 主要是要表明nabla是個「算

符」表示一個運算不是一個真實的向量只是在「直角座標」裡

4-32

因為單位向量 ˆ ˆ ˆ x y z 是常數不受微分的作用以致nabla表現得好像也

是個一般的向量一樣事實上真實向量和nabla間的「內積」就不滿足交

換率

x y zA A A A an operator Ax y zpart part part

sdotnabla = + + = ne nablasdotpart part part

(4-65)

這也使得任意向量場 ( )A r 因位置變動 r r drrarr + 而產生的變化由於

)( zyxA 也是 3 個變數 xyz 的函數可以寫為

( )A A AdA dx dy dz dr Ax y z

part part part= + + = sdotnabla

part part part （4-66）

ex29 (a)Given field 2ˆ ˆ ˆ2A xxy y x zyz= minus + find Anablasdot at point (1-12)

解2( ) (2 ) ( ) 2xy x yzA y yz

x y zpart part part

nablasdot = + + = +part part part

(1 12)1 2( 1)2 3A

minusnabla sdot = minus + minus =

(b) find rnablasdot 解 rnablasdot = 3x y zx y zpart part part

+ + =part part part

梯度的意義

由（4-67）可以看到「f 的梯度 fnabla 」

是一個由「純量場 f」衍生出的向量

場由（4-26）也可以看出 fnabla 扮演類

似「變化率」的角色

空間中將相同值 f ( )r ＝f1 的點連

起來就得到一個 f ( )r ＝f1 的「等值面」如 Fig36考慮純量場 f( r )的

相鄰兩個等值面各對應定值 1f f= 與 1f f df= + 0df gt P1 點在 f1

等值面上相鄰兩點 P2P3 在 1f df+ 等值面上而向量 1 2 ˆnP P dn e dn= =

過 P1 點垂直於 f1 等值面 1 3 ˆP P d e d= = 與 ˆne dn夾角為α 由於不

論 1 2P Prarr 或 1 3P Prarr f 的變化量都是 df 但因距離 dn 係兩等值面最

4-33

短的距離d dngt 所以 1 2P Prarr 或 1 3P Prarr 造成的「變化率」df dfdn d

gt

而過 P1 點的最大變化率為dfdn

換言之向量 ˆndfedn

為過 P1 點垂直於

f1 等值面且指向最大「增加率」的方向 現在要證明

ˆndfe fdn

= nabla （4-67）

考慮 1 3P Prarr 造成的 f 值的變化率

ˆ ˆcos n ldf df dn df df e edl dn dl dn dn

α= = = sdot

ˆ ˆ ˆn l ndf dfdf e e dl e dldn dn

rArr = sdot = sdot

和（4-61）式df f dr= nabla sdot 相比即可得證 ˆndfe fdn

= nabla 所以可以知道

空間純量場 f ( )r 中任一點處的向量 fnabla 必「垂直」於「通過該點的 f的等值面」且指向 f 值最大「增加率」的方向| ( )f rnabla |就是 f 在 r 點

的最大增長率可以進一步定義等值面的「法線 normal」方向為

ˆ fnf

nabla=nabla

（4-68）

結論給定一個純量場 f( r )在每一點 r 可以定義一個稱做「梯度」

的向量 fnabla fnabla 垂直於過 r 點的 f 等值面且指向最 f 大增加率的方向

fnabla 的方向也定義了 f 等值面的法線方向

Ex30 考慮一個 2D 的 scalar field 2( )f x y y x= minus 計算該場在 )20( 的梯度與

法線方向

解 ˆ ˆ ˆ ˆ2f ff x y x yyx ypart part

nabla = + = minus +part part

ˆ ˆ(0 2) 2 2f i jnabla = minus + ˆ ˆ ˆ ˆ2 2 2 2ˆ(0 2)

31 8i j i jn minus + minus +

rArr = =+

4-34

ex31 點電荷 q 置於原點其產生電位為 ( ) qV rr

= 求負梯度qr

minusnabla

解 3

2 2 2 22 2 2

2 ( )2

q q q q x x y zr x rx y z

minuspart minus= rArr = sdot + +

part+ +

3 23

ˆˆ ˆ ˆ( )q ix jy kz r rq q qr r r r

minus + +rArr minusnabla = minus = = （點電荷的電場）

0 0

1 1 r r

noter r= =

nabla rarrinfin rarrinfin∵ 是不定值是因為 r = 0 處為最大值

「增加率」的方向無法確定

ex32 置一熱源於原點空間溫度分佈為1( )

( 2)T r

r=

+求溫度的梯度

解 2 2 2

ˆ( ) ( )( 2) ( 2) ( 2)

x rT r rr rT r

x r r r

minuspart minus

= rArrnabla = =part + + +

此處的負號表示梯

度指向熱源因為距熱源越遠溫度越低 ( 0)note T rnabla = 為不定值

因在最頂點「增加率」的方向無法確定

Ex33 地圖上山脈的等高線上各點的垂直方向由梯度決定現有一座

山是橢球 2)1(4 222 =+++ zyx 在 x-y 平面上方的

部分求地圖上這座山等高線的梯度

解 山高 142 22 minusminusminus== yxzh 所以等高線為橢

圓 222 )1(24 +minus=+ hyx 梯度

( ) ( ) ( )2 2 2 2

2 2

ˆ ˆ4ˆ ˆ2 4 1 2 4 1

2 4

xx y yh x x y y x y

x y x y

minus +part partnabla = minus minus minus + minus minus minus =

part part minus minus

所以自山腳（h=0）登山若由(012)開始 ˆ(01 2) 2h ynabla = minus 但若由

)02(minus 開始爬山 ˆ( 20) 2h xnabla minus = 可見 )02()210( minusnablagtnabla hh 這表

示由 y-軸登山山勢較陡所以「梯度」比由 x-軸登山為大這也更

清楚瞭解「梯度」的幾何意義

4-35

sect 432 Divergence 散度與 Curl 旋度

在(4-66) 我們建立了一個直角座標 vector operator 「del」

ˆ ˆ ˆx y zx y zpart part part

nabla equiv + +part part part

(4-66)

若與向量場 A 做「內積」與「外積」就建構了 A 的「散度」與「旋度」

散度 A A scalaryx zAA Adiv ax y z

partpart partequiv nabla sdot = + + =

part part part （4-69）

旋度

y yz x z x

ˆ ˆ ˆ y z A vector

A AA A A Aˆ ˆ ˆxy z z x x y

x y z

x y z

xcurl A a

A A A

y z

⎧⎪

= nablatimes = part part part =⎪⎪⎨⎪

part part⎛ ⎞ ⎛ ⎞part part part part⎛ ⎞⎪ = minus + minus + minus⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎪ part part part part part part⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎩

(4-70)

這裡定義的只是「散度」與「旋度」所謂「操作型的定義」告訴我

們如何計算的式子事實上她們都具有重要的物理意義我們在後面

會討論

ex34 ˆ ˆA xy yx= minus 求其散度與旋度

解 0 0y xAx ypart part

nablasdot = minus + =part part

ˆ ˆ ˆ y zˆ ˆ ˆ ˆ 0 0 ( 2) 2

0 x y z

xA x y z z

y xnablatimes = part part part = minus + minus = minus

minus

右圖示意了本向量場的分佈看得出像個漩渦也看到算出的旋度

0ne 看來旋度表現的應該是向量場「旋轉的程度」事實上我們在

後面會看到「旋度」表現的就是是向量場在空間各點「旋轉的程度」

本題的向量場在每一點的旋轉程度都一樣

4-36

Ex35 ( )ˆ ˆ ˆ A xx yy zz r= + + = 求其散度與旋度

解 3A rnablasdot = nablasdot = ˆ ˆ ˆ y z

0

x y z

xA

x y znablatimes = part part part =

由場分佈的示意圖可以看出本向量場是自原點向外射出好似在原

點有一個場線的「源頭 source」但是 3Anablasdot = 為一個常數表示好像到

處都有 source同時旋度為 0 也可以配合本場並無旋轉的形象事實

上「散度」表現的就是是向量場在空間各點產生「場線」的 source

記得靜電學裡的庫倫定律 0E ρ εnablasdot = 電場的散度就是「電荷密度」

(電場的 source)前一題的向量場看來對應的場線是封閉的所以沒有

source這也對應了其散度＝0不過一個向量場的散度旋度究竟是

多少應該詳細的計算場分佈圖形有時候不是那麼容易看的清楚

兩個 useful identities (恆等式)

(a) ( ) 0 0f curl of a gradnablatimes nabla = =

(b) ( ) 0 0A div of a curlnablasdot nablatimes = =

pf (a) ( )ˆ ˆ ˆ x y z

x y z

x y z

ff f f

nablatimes nabla = part part part

part part part

( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2xz zxˆ ˆ ˆx y f- f z 0yz yz xy yxf f f f= part minus part minus part part + part minuspart =

這個結果與真實的向量外積 ( ) AA 0=times 有相似之處但是這只是特

例要記得nabla並不是一個真正的向量

( ) ( ) ( )

( )

ˆ ˆ ˆ y zˆ ˆ ˆ x y z

0

x y z y z z y x z z x x y y x

x y z

xy z xz y xy z yz x xz y yz x

xA A A A A A A

A A A

A A A A A A A

nablatimes = part part part = part minus part minus part minus part + part minus part

nablasdot nablatimes = part minuspart minuspart +part +part minuspart =

4-37

此結果與真實的向量運算有相似之處 ( )( )0 (B A) BB B Asdot times = times perp∵

但是這仍只是特例因為我們可由下列例子 ( ) 0A Asdot nablatimes ne 看出事實上

nabla並不是一個真正的向量 Ex36 ˆ ˆ ˆA xy yx zx= minus +

( )

ˆ ˆ ˆ y zˆ ˆ ˆ 0 1 ( 2)

2 0

x y z

xA x y z

y x x

A A x x x

nablatimes = part part part = minus + minus

minus

sdot nablatimes = minus = minus ne

面積元素向量

物理上時常會遇到面積分例如電通量磁通

量等等考慮一個面積元素 ds定義「面積的

方向」為其「法線方向」並定義面積元素向量

ˆnds a dsequiv （4-71）

要注意的是(1)如果 ds 是一個「封閉面

closed surface」（即有裡外之分）的一部

份則 ˆna 定義為「由內向外」(2) 如果 ds

是一個「開放面 opened surface」（即分不

出裡外）的一部份那麼 ds 必被其邊緣

（一個封閉的曲線 C）所包圍這樣在定

出ds 的方向之前要先定義「邊緣曲線」

C 的方向再由右手定則定義 ˆna 的方向

既然面積已為一個向量就可以寫為分量表示以直角座標

ˆ ˆ ˆx y zds xds yds zds= + + (4-72)

那麼這些分量 dsx dsy dsz 會是什麼既然 dsx 的方向是 x 就表示 dsx

是躺在 y-z 平面上所以 dsx 的兩邊是 dy 與 dz rArr xds dydz= 依此類

4-38

推 dsy 的方向是 y 所以躺在 x-z 平面rArr yds dxdz= hellip可以得知

xds dydz= yds dxdz= zds dxdy= （4-73）

不過要注意在寫面積元素時要看討論的面實際

是什麼面上式的三個分量有可能會是負的例如

左圖座落在第一象限的立方體的 A 面方向就在 xminus

方向Arsquo面在 yminus Ardquo面在 zminus 方向寫面積元素最

好是先把討論的面的方向搞清楚把plusmn號寫在單位向量前面那麼分

量就都用＋的即可其實面積元素體積元素都可以由位移元素看出

ˆ ˆ ˆdr xdx ydy zdz= + +

dx dy dz 是沿著 ˆ ˆ ˆ x y z 方向的長度所以面積元素分量的兩邊長度就

是由其中兩個組成而體積的三邊也就是三個垂直方向的長度

x y zdV dx dy dz and ds dydz dxdz dxdyrArr = = （4-74）

這個概念在其他的座標系統也成立我們可以方便的寫出面積元素

Recall 柱座標的位移向量元素

cylindrical coordinate ˆ ˆ ˆdr d d dzzρρ ρ ϕϕ= + + （4-48）

ˆ ˆ ˆ zds ds ds zdsρ ϕρ ϕ= + + (4-75)

dsρ 躺在 zϕ minus 平面dsϕ 在 zρ minus 平面 zds 在ρ ϕminus 平面

rArr zds d dz ds d dz ds d d d dρ ϕρ ϕ ρ ρ ρ ϕ ρ ρ ϕ= = = sdot = （4-76）

上面的結果畫個圖看看吧球座標的位移向量元素

Spherical coordinate ˆ ˆˆ ( ) ( sin )dr rdr rd r dθ θ ϕ θ ϕ= + + （4-56）

ˆ ˆˆ rds rds ds dsθ ϕθ ϕ= + + （4-77）

rArr sin sin rds rd r d ds dr r d ds rd drθ ϕθ θ ϕ θ ϕ θ= sdot = sdot = sdot (4-78)

4-39

向量場 ( )A r 在 S 面上的「面積分（surface integral）」or「flux」

如左圖若有一「平面」S 且其上有「均勻」

場 B 分佈則通過 S 面的通量就是

ˆB B nSΦ = sdot

但考慮一任意「非均勻」向量場 ( )A r 在空間分佈選取任意曲面 S

探討 ( )A r 在 S 上之通量若ds 為 S 面上的面積元素在趨近於 0 的

小面積ds 上 A可視為均勻所以通過ds 之通量為 ( )d A r dsΦ = sdot 則 S

面之總通量為

Φ＝ ˆ cosS S S

A ds A nds A daϕsdot = sdot =int int int

( )OR

x x y y z zS

A da A da A da= + +int (4-75)

稱為 A 在 S 面上的「面積分」或「通量 flux」

上圖所繪就是一個任意面上分割出許多小面積舉出三個位置的通

量有+-與 0如果 S 面是為一「封閉面」則面積分寫為

S

A dssdotint （4-76）

4-40

ex37 Given 2ˆ ˆ ˆyzA xyz yx zx= + + 計算通量S

A dssdotint

S 面為在第一象限邊長＝1 的立方體表面封閉面

解立方體分為前後右左上下六個面分開算 1前面（x=1）

方向 x+ ˆ xA ds A xdydz A dydzsdot = sdot =int int int前 前 前

yzdydz= int前 ＝1 1

0 0

1 1 12 2 4

ydy zdz = sdot =int int

2後面(x=0)方向 xminus ˆ(- ) - xA ds A x dydz A dydzsdot = sdot =int int int後 後 後

yzdydz= minusint後1 1

0 0

-1 1 -12 2 4

ydy zdzminus = sdot =int int

3 右面（y=1）方向 y+ y ( 1)yA ds A dxdz A y dxdzsdot = sdot = =int int int右 右 右

( 1)x y zdxdz= =int右 ＝1 1

0 0

1 1 12 2 4

xdx zdz = sdot =int int

4 左面（y=0）方向 ˆ-y ˆ( y) - ( 0)yA ds A dxdz A y dxdzsdot = sdot minus = =int int int左 左 左

( 0) 0x y zdxdz= = =int左

5 上面（z=1）方向 z+ zz y (z 1) yA ds A dxd A dxdsdot = sdot = =int int int上 上 上

2 yx dxd= int上 ＝1 120 0

1 1y 13 3

x dx d = sdot =int int

6 下面（z=1）方向 ˆ-z zˆ(-z) y - (z 0) yA ds A dxd A dxdsdot = sdot = =int int int下 下 下

2 -1- y3

x dxd= =int下 ＝1 120 0

1 1y 13 3

x dx d = sdot =int int

S

A dssdotint ＝六個面的和＝1 1 1 1 1 1( ) ( 0) ( )4 4 4 3 3 4

minus minus+ + + + + =

ex38 Given ˆ ˆ ˆzA xyz yx zxy= + + 計算通量S

A dssdotint S 為圓 2 2 2x y a+ =

在第一項限的部分方向選為 z+ 2 2y a x= minus

4-41

解 2 2 4

0 0ˆ

8a a x

zS S S S

aA ds A zdxdy A dxdy xydxdy xdx ydyminus

sdot = sdot = = = =int int int int int int

Ex39 In cylindrical coordinate Given ˆ ˆaA zbzρρ

= + where a b are

constants Find S

A dssdotint over the surface of a

closed cylinder about z-axis specified by 3 2z ρ= plusmn =

解S 分為上下與周邊三面

zz (z 3)zA ds A ds A d dρ ρ ϕsdot = sdot = = sdotint int int上 上 上

= 23 3 2 12bd d b bρ ρ ϕ π πsdot = sdot =int上

ˆ(-z)A ds A d dρ ρ ϕsdot = sdot sdotint int下 下

= z- (z -3)A d dρ ρ ϕ= sdotint下 = 23 2 12b bπ πsdot =

周邊ds ˆ ( )d dzρ ρ ϕ= rArr ˆ ( ) z ( ) zA ds A d d A d dρρ ρ ϕ ρ ϕsdot = sdot =int int int周 周 周

2 3

0 3( ) z ( ) z=a 12aA d d d d d dz a

πρ ρ ϕ ρ ϕ ϕ π

ρ minus= = =int int int int周 周

加起來 S

A dssdotint ＝12 24 12 ( 2 )a b a bπ π π+ = +

ex40 一點電荷 q 置於原點計算在一個以原點為圓心 0r 為半徑的球

面上的電通量

解 2 20 0

ˆ ˆ4 4S S

qr q dsE ds rdsr rπε πε

sdot = sdot =int int int

=0 0 0

44 4S

q q qd ππε πε ε

sdot Ω = sdot =int

上式中 dΩ 2dsr

= 是 ds 所張開的「立體角」(solid angle)

4-42

div A and Flux 通量與散度的幾何物理意義

我們運用過nabla的符號來表示過散度 divF F= nablasdot yx zFF Fx y z

partpart part= + +part part part

但是也看到「散度」定義為

0( )

1( ) limSV

about x y z

divF x y z F da divergence of FVΔ rarr

equiv sdot =Δ int (4-77)

其中 VΔ 為 S 面所包含的體積即散

度為通量(體)密度的 0 體積極限

（4-77）的定義與 Fnablasdot 好像差的很

多她們是說同一回事嗎以下證明

這兩種「散度」的定義是等價的如

左圖考慮一個以點 ( ) x y z 為中心

的 立 方 體 其 相 鄰 三 邊 長 為

x y zΔ Δ Δ 體積 V x y zΔ = Δ Δ Δ 現在計算 F 在立方體的一組平行於 y-z平面的表面 S1 與 S2 的通量

( )1 1

ˆ ˆ xS S

F nds F xds F x y z dsrArr sdot = sdot =intint intint intint 2xxF x y z y zΔ⎛ ⎞asymp + Δ Δ⎜ ⎟

⎝ ⎠

其中 2xx y zΔ⎛ ⎞+⎜ ⎟

⎝ ⎠為 S1 面中心的座標而

2xx y zΔ⎛ ⎞minus⎜ ⎟

⎝ ⎠為 S2 面的中心

( ) ( )2 2 2

ˆ ˆ 2x x

S S S

xF nda F x ds F x y z ds F x y z y zΔ⎛ ⎞rArr sdot = sdot minus = minus asymp minus minus Δ Δ⎜ ⎟⎝ ⎠intint intint intint

上式中的負號來自 S2 面的方向是 xminus 所以合併兩個面積分

1 2

ˆ 2 2x x

S S

x xF nds F x y z F x y z y z+

Δ Δ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞rArr sdot asymp + minus minus Δ Δ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦intint

2 2x xx xF x y z F x y z

x y zx

Δ Δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠= Δ Δ Δ

Δ

2 2

x xx xF x y z F x y z

Vx

Δ Δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠= Δ

Δ

1 2

1 2 2ˆ

x x

S S

x xF x y z F x y zF nds

V x+

Δ Δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠rArr sdot asymp

Δ Δintint

4-43

當取體積向(xyz)點收縮至 0 時即 0 x 0as VΔ rarr Δ rarr 上式的近似

「asymp」就成了「＝」

1 20

1 ˆlimV

S S

F ndsVΔ rarr

+

sdotΔ intint

( )0

2 2limx x

x

x

x xF x y z F x y z F x y zx xΔ rarr

Δ Δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟ part⎝ ⎠ ⎝ ⎠= =Δ part

Similarly F 在立方體的一組平行於 x-z 平面的表面 S3 與 S4 的通量

3 3 3

ˆ ˆ yS S S

F nds F yds F dsrArr sdot = sdot =intint intint intint

2

2

y

y

yF x y zyF x y z x z x y z

y

Δ⎛ ⎞+⎜ ⎟Δ⎛ ⎞ ⎝ ⎠asymp + Δ Δ = Δ Δ Δ⎜ ⎟ Δ⎝ ⎠

( )4 4 4

2ˆ ˆ

y

yS S S

yF x y zF nds F y da F ds x y z

y

Δ⎛ ⎞minus⎜ ⎟⎝ ⎠rArr sdot = sdot minus = minus asymp Δ Δ Δ

Δintint intint intint

合併 S3 與 S4 兩個面積分並取體積向(xyz)點收縮至 0 時即當

0 y 0VΔ rarr Δ rarr 上式的近似asymp就成了＝

3 4

2 2ˆ

x x

S S

y yF x y z F x y zF nds V

y+

Δ Δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠rArr sdot cong Δ

Δintint

3 40 0

1 2 2ˆlim lim

x xy

V yS S

x yF x y z F x y z FF nds

V y yΔ rarr Δ rarr+

Δ Δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟ part⎝ ⎠ ⎝ ⎠rArr sdot = =Δ Δ partintint

與上面相同的作法計算 F 在立方體的一組平行於 x-y 平面的表面 S5

與 S6 的通量我們也會得到對應的結果

5 6

2 2ˆ

z x

S S

z zF x y z F x y zF nds V

z+

Δ Δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠rArr sdot cong Δ

Δintint

5 60 0

1 2 2ˆlim lim

z xz

V zS S

z zF x y z F x y zFF nds

V z zΔ rarr Δ rarr+

Δ Δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟ part⎝ ⎠ ⎝ ⎠rArr sdot = =Δ Δ partintint

所以合併立方體的 6 個面積分

4-44

1 2 3 4 5 6

ˆ ˆ ˆ ˆS S S S S S S

F nds F nds F nds F nds+ + +

rArr sdot = sdot + sdot + sdotint intint intint intint

0

1 ˆlim yx zV

FF FF nds div F FV x y zΔ rarr

partpart partrArr sdot = + + = = nablasdot

Δ part part partint (4-78)

在此我們得證這兩種「散度」的定義是等價的只是（4-77）的定義

充分的表現出「散度」的幾何物理意義他從通量著手由於場線

出自於 source（ex電場源自於點電荷）所以在點(xyz)必須有向量場

F 的 source 存在才能使得當面積縮到 0 時仍具有非 0 的通量所以「散

度」表現向量場 F 的 source 在這個定義之下是很清楚的當然在計算

「散度」時我們不必那麼麻煩用 divF F= nablasdot 就好了

Ex41 計算 2ˆ ˆ ˆF xx yxy zyz= + + 的散度

解 2 yx zFF Fx x yx y z

partpart part= = =

part part part F 2x x y 3x ydivrArr = + + = +

recall 在靜電學0

yx zEE EEx y z

ρε

partpart partnablasdot = = + +

part part part

散度定理 Divergence Theorem

若任意封閉面（又稱為「高斯面」）S 所包圍的

體積為 V 則

S VA ds Adτsdot = nablasdotint int （4-79）

pf 我們先將體積分割成 N 個小盒子考慮相鄰的兩個小盒子 1 2

兩小盒子的共用面面積 S0當 S0 是為 1 號盒子的一部份時其方向為

1n 但若當為 2 號盒子的表面時其方向為 12 ˆˆ nn minus= 如此在 S0 分別做

4-45

1 2 盒子的面積分後

0 0

0 0 0 0

1 2

1 2 1 1ˆ ˆ ˆ ˆ 0

S S

S S S S

A ds A ds

F n ds F n ds F n ds F n ds

sdot + sdot

= sdot + sdot = sdot minus sdot =

intint intintintint intint intint intint

所以若求場 A 在 1 2 盒子的總通量時交界面是沒有貢獻的總通量

就只有「外面積」才有貢獻如此我們計算 N 個小盒子的總通量

時所有的內部共用面都得 0只剩下「外表面」的貢獻了當 infinrarrN

時所有小盒子的「總外表面」就與 S 面重合了所以所有小盒子通量

的總和就等於 S 面的通量

1lim

i

N

S SN iA ds A ds

rarrinfin=

rArr sdot = sdotsumint int

現在我們做 N 個小盒子的總通量

1 1

1i i

N N

iS Si i i

A ds A ds VV= =

⎛ ⎞sdot = sdot Δ⎜ ⎟Δ⎝ ⎠

sum sumint int

當 0iN Vrarrinfin rArr Δ rarr 並用 dv 表示體積元素

( ) ( )1 1

1

1lim lim lim

lim

i ii

N N

iS SN N V oi i i

N

i VN i

A ds A ds VV

A V A dv

rarrinfin rarrinfin Δ rarr= =

rarrinfin=

⎛ ⎞sdot = sdot Δ⎜ ⎟Δ⎝ ⎠

= nablasdot Δ = nablasdot

sum sumint int

sum int

( )S V

A da A dvrArr sdot = nablasdotint int QED

所以得證散度定理上式中我們用了散度的（4-77）式定義要分辨

清楚 Anablasdot 是向量場 A 在空間中「某一點」的性質（ 0VΔ rarr ）而「散

度定理」說的是一個「有限體積」的性質

ex42 給定 ( ) ˆ ˆ ˆ A x y z xx yy zz r= + + = 計算在

半徑 R＝1 的球的上半球加底面的通量

4-46

解 ( )ˆˆS

A da A rda A k darArr sdot = sdot + sdot minusint int int上半球面 底面

( )

2

ˆ ˆ

0 2 1 2

A rda A z dxdy

r rds zdxdy rds ds π π

= sdot + sdot minus

= sdot minus = minus = = sdot =

int int

int int int int上半球面 底面

上半球面 底面 上半球面

底面的通量＝0 是因為 A 的 z 分量 Az=z 在底面的值為 0

也可以用散度定理更快的得出結果

∵ 3A rnablasdot = nablasdot =

31 43 3 1 22 3V V

Ad d πτ τ πnablasdot = = sdot sdot sdot =int int

ex43高斯定律的微分形式積 由 Gaussrsquo law 的積分形式用散度定理得出其

( )0 0

1 inS V

qE ds x y z dvρε ε

sdot = =int int

0S V VE ds Edv dvρ

εrArr sdot = nablasdot =int int int

上式最後的等式對「任意形狀」V 都成立所以兩者的被積函數相等

對於空間每一點 0

E ρε

nablasdot = （4-80）

ex44 Use 第一象限的單位力方體 check the divergence theorem using the function 2 2ˆ ˆ ˆ(2 ) 2A y x xy z y yzz= + + +

解2

2( ) (2 )(2 ) 2( )y yzA xy z x yx y z

part part partnablasdot = + + + = +

part part part

and 1 1 1 1 1 1

0 0 0 0 0 02 ( ) 2 ( )

VAdv x y dxdydz dz dy x y dxnablasdot = + = +int int int int int int int

1 1

0 0

1 12 ( ) 2 12 2

dz y dy= + = sdot =int int

面積分 1 1 2

0 0

1ˆ3

A ds A xdydz dz y dysdot = sdot = =intint intint int int前 前

4-47

1 1 2

0 0

1ˆ( )3

A ds A x dydz dz y dy minussdot = sdot minus = minus =intint intint int int

後 後

1 1 2

0 0ˆ (2 )A ds A ydxdz dz xy z dxsdot = sdot = +intint intint int int

右 右

1 1 1 12 2

0 0 0

4(2 ) (1 )3

ydz x z dx dz z

=

= + = + =int int int∵

1 1 2

0 0

0 1 1 12 2

0 0 0

ˆ( ) (2 )

1(1 )3

y

A ds A y dxdz dz xy z dx

dz z dx dz z=

sdot = sdot minus = minus +

minus= minus = + =

intint intint int int

int int int∵

左 左

11 1 1 1

0 0 0 0ˆ 2 2 1

zA ds A zdxdy dx yzdy dx ydy

=sdot = sdot = = =intint intint int int int int

∵

上 上

01 1

0 0ˆ 2 0

zA ds A zdxdy dx yzdy

=sdot = sdot minus = minus =intint intint int int

∵

下 下

前後右左上下六個面積分合併＝1＝V

Advnablasdotint QED

ex45 Continuity Equation 連續方程式

考慮某些「東西」的流動（物質電荷hellip）在時刻 t 時在點(xyz)

的 密 度 為 ( ) x y z tρ ρ= 並 具 有 速 度

( ) v v x y z t= 在時刻 t 時在體積 V 內的總量為

( ) x y z t dρ τintintint

這樣體積 V 內東東的時變率為

( ) ( ) d x y z t d x y z t ddt t

ρρ τ τpart=

partintintint intintint

注意體積分後的時間全微分移入積分內要改為偏微分這個東東

在表面的「流率 flow rate」可表為

ˆS

R v ndsρ= sdotintint

若體積內的物料無法自生自滅那麼體積內物料的變化必經由表面的

流出流入所造成

d v ndstρ τ ρpart

rArr = minus sdotpartintintint intint

由散度定理

4-48

( )ˆS

v nds v d dtρρ ρ τ τpart

sdot = nablasdot = minuspartintint intintint intintint

( )v Jtρ ρpart

rArr = minusnablasdot equiv minusnablasdotpart

0Jtρpart

rArr +nablasdot =part

（4-81）

(4-81) 即 continuity equation其中 J vρ= 為「物流密度」ex如果 ρ

是電荷密度 J 就是電流密度（4-81）是物質守恆的結果只對體

積內無 source（生成）or drain（消滅）的東東成立

ex46 Given a vector field ˆ ˆx yA ye xe= minus + (a) Find

Anablasdot (b)如圖一個金字塔狀的 5 面體高 2 底邊長

1計算 A在整個金字塔表面（封閉面）的總通量

解(a) Anablasdot = ( ) ( ) 0y xx ypart part

minus + =part part

(b) 金 字 塔 的 表 面 面 積 元 素 ds 不 好 寫 所 以 用 散 度 定 理

( )S V

A da A dvrArr sdot = nablasdotint int ＝0 Anablasdot 表示 A沒有 source 所以對封閉面而

言有多少場線進入就有多少出去所以總通量＝0

習題 7 With position vector r for an arbitrary volume V that is

bounded by surface S show that 13 S

r ds Vsdot =int

習題 8 已知一靜電場為 ˆ ˆ ˆ( )E xyz yxz zxyλ= + + 運用 Gaussrsquo law

試求包含在半球 2 2 2 2 0x y z R z+ + = ge 裡的總電荷 Ans 0

習題 9 (a) given ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( 2 )F r xf x yf y zf z= + + minus show that divF is

zero at point (c c -c2) (b) given ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( )G r xf x z yg x z zh x y= + +

show that ( ) 0G rnablasdot =

4-49

習題 10 Find the normal vector n for the surfaces (a) z = 2-x-y ans

ˆ ˆ ˆ( ) 3x y z+ + (b) z = (1-x2)12 ans ˆ ˆxx zz+ (c) z = x2+y2

ans ˆ ˆ ˆ( 2 2 ) 1 4xx yy z zminus minus + +

習題 11 Show that the unit vector normal to the plane ax+by+cz =d is

given by 2 2 2ˆ ˆ ˆ( ) ax by cz a b cplusmn + + + +

圓柱座標與球座標的nabla (del)

考慮一純量場在直角座標為 ( ) u x y z 在圓柱座標表為 ( ) u zρ φ

再考慮因位移 r r drrarr + 所造成 u ( )zρ φ 的變化

( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆz

z

u u udu d d dz u dr u d d zdzz

u u z u d d zdz

u d u d u dzρ ϕ

ρ ϕ

ρ ϕ ρ ρ ϕρ ϕρ ϕ

ρ ϕ ρ ρ ϕρ ϕ

ρ ρ ϕ

part part part= + + = nabla sdot = nabla sdot + +part part part

⎡ ⎤= nabla + nabla + nabla sdot + +⎣ ⎦= nabla + nabla + nabla

( ) ( ) ( )1

1ˆ ˆ ˆu

z

u u uu u uz

u u uzz

ρ ϕρ ρ ϕ

ρ ϕρ ρ ϕ

part part partrArr nabla = nabla = nabla =

part part partpart part part

rArrnabla = + +part part part

1ˆ ˆ ˆ zz

ρ ϕρ ρ ϕpart part part

nabla = + +part part part

（4-82）

注意nabla的ϕ -分量( 1ρ ϕ

partpart

)不是像直角座標裡單純的ϕpartpart

所以不要笨笨

的就把直角座標的形式硬套上去用我們也可以從「因次分析」來

看nabla因為是對空間的微分所以每一項的因次必須是「長度分之一」

運算 andzρ

part partpart part

都是「長度分之一」而「單純的ϕpartpart

」是沒有單位的

所以要1ρ ϕ

partpart

才 OK

由於圓柱座標裡的單位向量除了 z 之外 ˆ( )ρ ϕ 與 ˆ( )ϕ ϕ 都不是常

4-50

數所以在微分時不可以與微分運算交換而要考慮微分的作用所

以在「圓柱座標」寫「散度」 ( ) F zρ ϕnablasdot 也和直角座標不一樣

( )1ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ zF z F F zFz ρ ϕρ ϕ ρ ϕ

ρ ρ ϕpart part part⎛ ⎞

nabla sdot = + + sdot + +⎜ ⎟part part part⎝ ⎠

( ) ( )1ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆz zF F zF F F zFρ ϕ ρ ϕρ ρ ϕ ϕ ρ ϕρ ρ ϕpart part

= sdot + + + sdot + +part part

( )ˆ ˆˆ ˆ zz F F zFz ρ ϕρ ϕpart

+ sdot + +part

因為 ( ) ( )ˆ ˆ ˆ ˆ ρ ρ ϕ ϕ ϕ ϕ= = 所以做 andzρ

part partpart part

時 ˆ ˆ ρ ϕ 可視為常數

ˆ ˆ1ˆ ˆ ˆ zF F F FF F Fz

ρ ρ ϕρ φ

ρ ϕϕ ρ ϕρ ρ ϕ ϕ ϕ ϕ

part part part⎡ ⎤part part partrArrnablasdot = + sdot + + + +⎢ ⎥part part part part part part⎣ ⎦

還記得 ˆ ˆ ˆ ˆd d d dρ ϕ ϕ ϕ ρ ϕ= = minus 所以 ˆ ˆρ ϕϕpart

=part

ˆ ˆϕ ρϕpart

= minuspart

rArr

( )1 1 1z zF F F FF FF Fz z

ρ ρ ϕ ϕρρ

ρ ρ ρ ϕ ρ ρ ρ ϕpart part part part

nablasdot = + + + = + +part part part part part part

（4-83）

在球座標寫nabla也會遇到相似的問題其根源就是球座標 ( )r θ ϕ 裡

的 θ ϕ 的因次並非長度而三個單位向量 ˆ ˆˆ r θ ϕ（表為 ie ）都是( θ ϕ )

的函數以致

( )ˆ ˆ( ) ( )i ie f e fθ ϕ θ ϕθ θpart part

nepart part

且 ( )ˆ ˆ( ) ( )i ie f e fθ ϕ θ ϕϕ ϕpart part

nepart part

所以nabla也不似在直角座標那麼簡單我們不在這裡推導而是給出一

個歸納的統一的三個座標的結果還記得對每一個座標 iu i = 123

座標的變化 idu 與造成的長度變化 id

i i id h du= 123i = (4-84)

其中 ih 為對應的度量係數(metric coefficient)

4-51

1 2 3

1 1 2 2 3 3

1 1 1ˆ ˆ ˆu u ue e eh u h u h u

part part partnabla equiv + +

part part part （4-85A）

座標 1 2 3 u u u

度量係數

1 2 3 h h h

nabla grad del

直角 x y z

1 1 1 nabla ˆ ˆ ˆx y z

x y zpart part part

equiv + +part part part

圓柱

zρ ϕ

1 1ρ

1ˆ ˆ ˆ z

zρ ϕ

ρ ρ ϕpart part part

nabla equiv + +part part part

球

r θ ϕ

1 sinr r θ

1 1ˆ ˆˆ

sinr

r r rθ ϕ

θ θ ϕpart part part

nabla = + +part part part

（4-85B）

梯度gradient Vnabla grad(V) 散度divergence Anablasdot div( )A

直

角 nablaV ˆ ˆ ˆV V Vx y z

x y zpart part part

= + +part part part

yx zAA AAx y z

partpart partnablasdot = + +

part part part

圓

柱

1ˆ ˆ ˆ V V VV zz

ρ ϕρ ρ ϕpart part part

nabla = + +part part part

( )1 1

1

z

z

A AA Az

A A A Fz

ϕρ

ρ ρ ϕ

ρρ ρ ρ ϕ

ρ ρ ρ ϕ

partpart partnabla sdot = + +

part part partpart part part

= + + +part part part

球

1 1ˆ ˆˆ sin

V V VV rr r r

θ ϕθ θ ϕ

part part partnabla = + +

part part part

22

1 ( )rA r Ar r

partnabla sdot =

part

1 (sin )sin

Ar θθ

θ θpart

+ sdotpart

1sin

Ar

ϕ

θ ϕpart

+part

(4-86)

Ex47 Using spherical coordinate show that 1| |r r

nablaminus

= 2

ˆ| |

r rer r

minusminusminus

where

nabla是作用在 r 而 ˆr re minus 是向量 r rminus 方向的單位向量 解let r lies in z-axis so that the angle between r and r is just θ

4-52

rArr ( ) 122 21 1 2 cos | | ( ) ( )

r rr rr r r r r r

θminus

= = minus +minus minus sdot minus

( ) ( )12 122 2 2 21 1ˆˆ 2 cos 2 cos | |

r r rr r r rr rr r r r

θ θ θθ

minus minuspart partnabla = minus + + minus +

minus part part

( ) 322 21ˆ 2 cos (2 2 cos )2

r r rr r r rθ θminusminus

= minus + minus

( ) 322 21ˆ 2 cos (2 sin )2

r rr r rrθ θ θminusminus

+ minus +

3 3 3 3

ˆˆ ˆ( cos ) sin ( cos sin )ˆˆ| | | | | | | |r r r rr r rrr r r r r r r r

θ θ θ θ θθminus minus minus minus minus= + = +

minus minus minus minus

3 3 3ˆ ( )

| | | | | |r r z r r r rr r r r r rminus + minus + minus minus

= = =minus minus minus

＝ 2

ˆ| |

r rer r

minusminusminus

QED

證明最後我們用到 ˆˆˆ cos sinz r θ θ θ= minus 而 ˆ r r z= 因為我們選了 r 是

躺在 z-軸 Ex48 For arbitrary scalar field ( )f r and vector field ( )A r 證明恆等式

( )fA f A f Anablasdot = nabla sdot + nablasdot (4-87) 解 ˆ ˆ ˆx y zfA xfA yfA zfA= + +

( ) ( ) ( ) ( )x y zfA fA fA fAx y zpart part part

rArrnablasdot = + +part part part

yx zx x x

AAf f f AA f A f A fx x y y z z

partpartpart part part part= + + + + +part part part part part part

yx zx y z

AAf f f AA A A fx y z x y z

part⎛ ⎞partpart part part part= + + + + +⎜ ⎟part part part part part part⎝ ⎠

f A f A= nabla sdot + nablasdot QED 習題 12 一個位於原點的電偶極電偶極矩＝ ˆp pz= 已知其在遠處

的電位為 20

cos4p

rθ

πε試證該處的電場強度為 E = 3

0

ˆˆ( 2cos sin )4

p rr

θ θ θπε

+

(已知 E V= minusnabla )並請計算 Enablasdot ＝

習題 13 給定一向量場2

3cosˆD r

rϕ

= 現有兩個球心在原點的同心球

內球半徑 R＝1外球 R＝2(a)求面積分S

D dssdotint S 為同心球殼的表

面（有內外兩個面）(b)求體積分V

Ddvnablasdotint V 為兩同心球之間的

區域本題也是來 check 散度定理的Ans πminus

4-53

The Laplacian operator 2nabla equivnablasdotnabla

在直角座標可以用直接作用得到

2 2 2

22 2 2u u uu u

x y zpart part part

nabla equiv nablasdotnabla = + +part part part

(4-88)

圓柱座標

2 2

22 2 2

1 1( ) u u uu uz

ρρ ρ ρ ρ ϕ

part part part part⎛ ⎞nabla equiv nablasdot nabla = + +⎜ ⎟part part part part⎝ ⎠

(4-89)

球座標

2

2 22 2 2 2 2

1 1 1sinsin sin

u u uu rr r r r r

θθ θ θ θ ϕ

part part part part part⎛ ⎞ ⎛ ⎞nabla = + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟part part part part part⎝ ⎠ ⎝ ⎠ （4-90）

習題 14 verify (4-89) and (4-90)

習題 15 Given a dipole potential V= 20

cos4p

rθ

πε find 2Vminusnabla

sect 433 Line integral and curl A 線積分與與旋度的物理意義

線積分路徑積分

考慮一曲線 C 通過兩點 ( )i i i iP x y z 與

( )f f f fP x y z 現有一向量場 ( )A x y z 定義在

C 所在的空間若 sd 為 C 上位於(xyz)點的

「路徑元素」（ ˆd td= 方向沿該處切線）而

( )A x y z 為路徑元素d 處的場值則沿 C 經歷各點所做積分

cos cosf

CC C iA d Ad A dϕ ϕrarr rarrsdot = =int int int （4-91）

稱為向量場 ( )A x y z 沿路徑 C 自 pi 至 pf 的「線積分」「或「路徑積分」

積分裡 A 取值的點侷限在路徑 C 上面若為一個「封閉路徑」則對

C 的線積分也稱做「環路積分 closed contour integral」記做

C

A dsdotint （4-92）

4-54

物理量「做功」是最標準的線積分之一力 F 自 x = a 至 x = b「沿線」

x 軸做功

W＝ F dxsdotint ＝ ( )b

xaF x dxint （4-93）

質點在力場 )(rF 裡走一條曲線 C則力場做功

CW F d= sdotint （4-94）

還記得如果 ( )F r 是所謂「保守力」則上式只與始末點有關而與

路徑無關但如果 ( )F r 是所謂「非保守力」則做功與確實的路徑 C

有關

現考慮一質點在空間運動的位置 r 落在由曲線 C

描述的路徑則質點的位移元素與曲線 C 的路徑元

素相同 d dr= 若空間有向量場 A 分佈則 A 在 C 的

路徑積分以直角座標表示為

CA drarr rarrsdotint ＝

CA d rrarr rarrsdotint ＝ ( )x y zC

A dx A dy A dz+ +int （4-95）

上式中的 x y z 的積分限由 C 決定

Ex49 2 2 2ˆ ˆ ˆA xx yy zzrarr= + + 選定一路徑 C 為曲線

2y x= 由 (000)到 (2 20)的部分求C

A dsdotint

解 ˆ ˆd xdx ydy= +∵

CA dsdotint ＝ 2 2( )

Cx dx y dy+int ＝

2 22 2

0 0x dx y dy+int int

＝ )24(32

+

或由 2y x= rArr 2ydy dx= 2 12

y dy xdxrArr =

rArrC

A dsdotint ＝2 2

0

1( )2

x x dx+int ＝2 (4 2)3

+

4-55

ex50 ˆ ˆ( )f x y z xy yx= minus Do C

f dsdotint 其中的路徑 C 為一逆時針三角

形如圖 解∵路徑全部在 x-y 平面 ˆ ˆ ˆd td xdx ydy= = +

rArrC

f dsdotint ＝ x yC

f dx f dy+int ＝C

ydx xdyminusint

由於在 C1 上 y = 0 及 dy = 0 所以 01

=intC 又由於在

C3 上 x = 0 及 dx =0所以 03

=intC 所以只剩下 C2 可

能有貢獻由 2C 的方程式x + y =1rArr ⎩⎨⎧

minus=minus=

xyyx

11

rArr2Cydx xdyminusint ＝

0 1

1 0(1 ) (1 )x dx y dyminus minus minusint int ＝

0 12 2

1 0

( ) ( )2 2x yx yminus minus minus ＝-1

Cf dsdotint ＝-1

ex51 ( )f x y zrarr

= 2ˆ ˆxx yxyminus 如右圖doC

f dsdotint 其

中路徑 C 為第一象限的逆時針 14 圓弧

解∵ 全部在 x-y 平面 ˆ ˆd xdx ydy= +

Cf dsdotint ＝ 2

Cx dx xydyminusint

由於在 C 上 cosx R ϕ= rArr sindx R dϕ ϕ= minus

siny R ϕ= rArr cosdy R dϕ ϕ=

rArr 2

Cx dx xydyminusint ＝

2 2 2 2

0cos ( sin ) sin cos cosR R d R R d

πϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕminus minus sdotint

23 2

02 cos sinR d

πϕ ϕ ϕ= minus int ＝

323Rminus

又路徑為圓周一部份所以適合用極座標表示

ˆd Rdϕ ϕ= 又由左圖將 ˆ ˆx y 拆解（投影）到 ˆˆr ϕ

ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆcos sin sin cosx r y rϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ= minus = +

4-56

( )2ˆ ˆ ˆˆ ˆ( cos sin ) ( sin cos )C C

f d r x r xy Rdϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕsdot = minus minus + sdotint int 2

2 2 2

0

sin (cos )

sin ( cos ) (cos ) cos sin

Cx Rd xyRd

R Rd R Rdπ

ϕ ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ

= minus minus

= minus minus

intint

23 2

02 cos sinR d

πϕ ϕ ϕ= minus int ＝

323Rminus

這也驗證了散度定理

Path Independence 路徑獨立性

Ex52 證明庫倫力為「保守力」考慮

電荷 q0 位於原點及電荷 q 位於

( )r x y zrarr= q 受力 F

rarr＝ 0

20

14

qq urπε

and

求庫侖力作功因為球形對稱所以

用球座標由 ˆ ˆ ru rr

= = rArr Frarr

= 03

04qq r

rπε

庫侖力由 P1 至 P2 做功為 2

1

P

CPF drarrsdotint ＝

2

1

02

0

ˆ ˆ ˆˆ sin4

P

PC

qq r rdr rd r dr

θ θ ϕ θ ϕπε

⎡ ⎤sdot + +⎣ ⎦int ＝2

1

02

04P

P

qq drrπεint

＝20

2104

r

r

qq drrπε int ＝ 0

0 1 2

1 1( )4qq

r rπεminus for all C

所以庫侖力兩點間做功與路徑無關rArr保守力

對於「保守力 conservative force」 cF 自 p1 經

由兩條不同的路徑 C1 與 C2 到達 p2

1 ccF drarrsdotint ＝

2 ccF drarrsdotint ＝-

2 ccF drarr

minussdotint

rArr1 2c cc cF d F drarr rarr

minussdot + sdotint int = cF d

rarrsdotint ＝0 (4-96）

對於任何「封閉路徑」保守力做功為 0反之若

對任一封閉路徑 0F drarrsdot neint 則兩點之間的做功與路徑有關

rarr

F 為「非

保守力」

4-57

旋度 curl Anablatimes 的幾何物理意義

我們在（4-70）式已經看過旋度的計算方式但旋度另有其意義的

ex53 給定向量場2 2

0ˆ yv yv e λrarr

minus= 左圖為場的分佈

2 20

ˆ ˆ ˆ

0 0x y z

y

x y zcurl v

v e λ

rarr

minus

= part part part ＝ ˆ ˆ ˆ0 0 0 0x y zsdot minus sdot + sdot =

我們用了簡寫 x yx ypart part

part equiv part equivpart part

可以看出這個場裡沒有「漩渦」

但是有無「漩渦」有時也不是那麼明顯可以看出的請見下一個例子

Ex54 給定向量場2 2

0ˆ xv yv e λrarr

minus= 計算其旋度 vnablatimes

解向量場 vrarr

畫在右邊你看得出有無漩渦

先計算旋度

2 20

ˆ ˆ ˆ

0 0x y z

x

x y zcurl v

v e λ

rarr

minus

= part part part2 2

2 2

0

0

ˆ

ˆ 2 0 0

x

x

z v ex

z v xe for x

λ

λ

minus

minus

part=

part

= minus ne ne

vrarr

的旋度在大部分的地方不為 0 且隨位置而不同但是你看得出這個

向量場裡有「漩渦」其實要檢驗一個向量場裡有無「漩渦」有一

個很物理的方法就是放一個小「螺旋槳」（左圖）

在場內將軸朝各個方向測試一

下如果有「漩渦」的話這個

小「螺旋槳」就會轉動右圖就是將「螺旋槳」的

軸平行於 z 軸且放在 x gt 0 的地方就可以看出左

邊的 v 場比右邊的強造成螺旋槳順時針轉動rArrcurlv zminus for x gt 0

但如果放在 x = 0 的地方就會看到左右兩端的 v 場強度相同而且

4-58

curlv = 0 「螺旋槳」放在 x lt 0 的地方就可以看出右邊的v 場比左

邊的強造成螺旋槳逆時針轉動這完全符合 curl v k+ 的結果

環路積分與旋度 curl 的物理意義

如同「散度」一樣「旋度」除了 Ftimesnabla 之外

還有一個物理意義更清楚的定義這個定義由

「線積分」說明如圖考慮做「逆時針」長方形

路徑 C1 的一個「環路積分」C1 面平行於 x-y 平

面由 z-軸看下去環路 C1 可以分為可以分為

下 CB上 CT右 CR左 CL 4 部分

CA drarrsdotint ＝

B T L RC C C CA d A d A d A drarr rarr rarr rarrsdot + sdot + sdot + sdotint int int int

分別計算由於 CB 的中點座標為 ( )2yx y zΔ

minus

ˆB BC C

A d A xdxrarr rarrsdot = sdot =int int

BxC

A dxint ( )2xyA x y z xΔ

asymp minus Δ

similarly 由於 CT 的中點座標為 ( )2yx y zΔ

+

ˆ( )T TC C

A d A xdxrarr rarrsdot = sdot minus =int int

TxC

A dxminusint ( )2xyA x y z xΔ

asymp minus + Δ

合併 CB 與 CT

B TC CA drarr

+sdot =int

( ) ( )2 2x xy yA x y z A x y z

x yy

Δ Δ⎡ ⎤minus + minus minus⎢ ⎥⎣ ⎦ Δ ΔΔ

（4-97）

由 C1 所圍的面積 S x yΔ = Δ Δ

1B TC C

A dS

rarr

+sdot =

Δ int( ) ( )

2 2x xy yA x y z A x y z

y

Δ Δ⎡ ⎤minus + minus minus⎢ ⎥⎣ ⎦Δ

（4-98）

所以當取極限 C1 收縮到中心(xyz)時 SΔ 收縮到 0ie

4-59

0limsΔ rarr

1B TC C

A dS

rarr

+sdot =

Δ int xAy

partminuspart

（4-99）

Similarly with CR 的 ˆd ydy= CL 的 ˆd ydy= minus 可得

1L RC C

A dS

rarr

+sdot =

Δ int x

zyxxFzyxxF yy

Δ

Δminusminus

Δ+ )

2()

2(

（4-100）

同樣的當取極限 C1 收縮到中心(xyz)時 SΔ 收縮到 0

0

limsΔ rarr

1L RC C

A dS

rarr

+sdot =

Δ int yAx

partpart

（4-101）

最後合併 CBCTCRCL 為 C1

10

1limCs

A ds

rarr

Δ rarrsdot =

Δ int y xA Ax y

part partminus

part partˆ ( ) ( )zz A A= sdot nablatimes = nablatimes （4-102）

注意 C1 的方向就是在 z 上式的重要

意義是當向量場 A 在一個以點(xyz)為

中心「方向為 z 」的面積元素的「邊界」

所做的環路積分得到的就是 A 在(xyz)

處旋度的 z-分量明顯的只有當 A 在

(xyz)附近有 x-y 平面上的「漩渦」那麼 C1 的環路積分才不會為 0

Similarly 取一個逆時針繞著(xyz)的平行於 x-z 平面的長方形環路 C2

（左圖）做環路積分再取極限將 C2 收縮到(xyz)就會得到

20

1limCs

A ds

rarr

Δ rarrsdot =

Δ int x zA Az x

part partminus

part partˆ ( ) ( )yy A A= sdot nablatimes = nablatimes （4-103）

注意到 C2 所包圍的面積方向就在 y到

現在我們應該已經很有經驗了若取一

個逆時針繞著(xyz)的平行於 y-z 平面

的長方形環路 C3（左圖）做環路積分

再取極限將 C3 收縮到(xyz)就會得到

4-60

30

1limCs

A ds

rarr

Δ rarrsdot =

Δ int yz AAy z

partpartminus

part partˆ ( ) ( )xx A A= sdot nablatimes = nablatimes （4-104）

能把（4-103）與（4-104）變出來的同學我們有優待綜合以上

我們可以得到一個結論若取一個以點(xyz)為中心的任意環路 Cn（其

所包圍的面積方向在 n ）則

n curl Aand rarrsdot ＝

0

1lims

Cn

A ds

rarr

Δ rarrsdot

Δ int （4-105）

明顯的當 n ＝ x 或 y 或 z 時我們可以重複（4-102）到（4-104）的

結果（4-70）式的行列式所定義的旋度在此看見其幾何物理意義

至此「旋度」的「漩渦」形象應該已經很清楚了只有在(xyz)點附

近的小圈圈上有「漩渦」 A 在小圈圈做的環路積分才會有值這個

值就是向量場 A 的「旋度」在小圈圈面積方向的分量

Stokersquos 定理

考慮一個開放面 S被其「有方向的」邊界 C 圈住(bounded by)則

( )S

A dsrarr rarrnablatimes sdotint ＝

C

A drarrsdotint （4-106）

pf 先將 S 面分割為 N 個多邊形這會使得邊界變成一個「折線」形

成的環路 P環路 P 會隨著分割的多邊形個數的增多而越加近似於原

「光滑的」邊界 C現考慮相鄰的

兩個多邊形的線積分由於共用邊

的方向是相反的所以相鄰兩個多

邊形線積分的和只剩「外邊界」（見左圖）所以當把所有的多邊形的

4-61

線積分加起來時由於只有邊界 P 不是多邊形的共用邊所以

1k

N

k C

A drarr

=

sdotsum int ＝P

A drarrsdotint rArr

P

A drarrsdotint ＝

1

1

k

N

kk k C

A d l ss

rarr rarr

=

⎡ ⎤sdot Δ⎢ ⎥

Δ⎢ ⎥⎣ ⎦sum int

其中 ksΔ 為第 k 個多邊形的面積取極限 0kN srarrinfinrArrΔ rarr P CrArr rarr

C

A drarrsdotint ＝

10

1limkk

N

kN k k Cs

A d ss

rarr

rarrinfin=Δ rarr

⎡ ⎤sdot Δ⎢ ⎥

Δ⎢ ⎥⎣ ⎦sum int 01

ˆlim ( )k

k kskn A s

infin

Δ rarr=

⎡ ⎤= sdot nablatimes Δ⎣ ⎦sum

01

ˆlim ( )k

k kskA n s

infin

Δ rarr=

= nablatimes sdot Δsum = ( )S

A dsrarr

nablatimes sdotint QED

ex55 由 Amperersquos law 的積分形式導出其微分形式

解Amperersquos law 的積分形式 C

B drarrsdotint ＝ I0μ (4-107)

由 Stokersquos 定理及電流密度 j 的定義上式等號兩端可寫為

rArr ( )S

B dsrarr rarrnablatimes sdotint ＝ 0 S

j dsμrarrsdotint

由於上面的等式對任意面 S（路徑 C）都成立所以被積函數相等

0B jμrarr rarr rarr

rArrnablatimes = (4-108) 此即 Amperersquos law 的微分形式

Ex56 Given a vector field ˆ ˆx yA ye xe= minus + (a) Find Anablatimes

解

ˆ ˆ ˆˆ ˆ(1 ( 1) 2

0x y z

x y zA z z

y xnablatimes = part part part = minus minus =

minus

(b)如圖一個金字塔狀的 5 面體高 2底邊長＝1計算 ( )S

A dsnablatimes sdotint

其中 S 為金字塔在 x-y 平面以上的部分方向如同

封閉的金字塔（運用 Stokersquos law）

解金字塔上表面的面積元素ds 不好寫由 Stokersquos

4-62

law ( )S

A dsrarr rarrnablatimes sdotint ＝

C

A drarrsdotint 其中封閉路徑 C 就是上表面的邊界而且

是逆時針（由 z 軸向下看）

C

A drarrsdotint ＝

1 1 0 0

0 0 1 1ˆ ˆ ˆ ˆA xdx A ydy A xdx A ydysdot + sdot + sdot + sdotint int int int

＝1 1 0 0

0 0 1 1x y x yA dx A dy A dx A dy+ + +int int int int 1 1 0 0

0 0 1 1( 0) ( 1) ( 1) ( 0)y dx x dy y dx x dy= minus = + = + minus = + =int int int int

0 1 1 0 2 ( ) 2S

A ds= + + + = rArr nablatimes sdot =int

旋度與 path independence

已知保守場 cF 對所有封閉路徑 C 0cC

F drarrsdot =int 由 Stokersquos 定理

0cC

F drarrsdot =int ＝ ( )cS

F dsrarr rarrnablatimes sdotint rArr 0cF

rarr rarrnablatimes =

這表示保守場＝無旋度反之無旋度的場任兩點間路徑積分與路

徑無關

Ex57 Given a field 2 2ˆ ˆ ˆ2A x xy yx zz= + minus (a) Find Anablatimes A 保守場

解2 2

ˆ ˆ ˆ

2x y z

x y zA

xy x znablatimes = part part part

minus

( ) ( ) ( )2 2 2 2ˆ ˆ ˆ( ) 2 ( ) 2 0y z z x x yx z x y xy z z x xy= part minus minuspart + part minuspart minus + part minuspart =

yes A =保守場

(b)如左圖由 A 到 B 做路徑積分A BC

A drarr

sdotint 路徑 C 為橢圓

22 1

16yx + = 在 x-軸以上的部分

解橢圓部分的路徑元素 d 有點麻煩但因為 A

為保守場所以 A 到 B 做路徑積分可以用 x = -1 到

1 的積分取代

4-63

01 1 1

1 1 1ˆ 2 0

yB

xAA d A xdx A dx xydx

=

minus minus minussdot = sdot = = =int int int int

∵

旋度在柱座標與球座標

前面討論過nabla在不同座標系的寫法旋度也有歸納出的一致寫法

座標 1 2 3 u u u

度量係數

1 2 3 h h h

nabla grad del

直角 x y z

1 1 1 nabla ˆ ˆ ˆx y z

x y zpart part part

equiv + +part part part

圓柱 zρ ϕ

1 1ρ

1ˆ ˆ ˆ zz

ρ ϕρ ρ ϕpart part part

nabla equiv + +part part part

球 r θ ϕ

1 sinr r θ

1 1ˆ ˆˆ sin

rr r r

θ ϕθ θ ϕ

part part partnabla = + +

part part part

所以柱座標與球座標的旋度分別表為

柱座標

ˆ ˆ ˆ1

z

z

Az

AA Aρ ϕ

ρ ρϕ

ρ ρ ϕρ

part part partnablatimes =

part part part （4-109）

球座標 2

ˆ ˆˆ sin1sin

sinr

r r r

Ar r

A rA r Aθ ϕ

θ θϕ

θ θ ϕθ

part part partnablatimes =

part part part （4-110）

ex58 (a) Given the vector function ˆA ϕ= sin (ϕ 2) find Anablatimes

解 2

ˆ ˆˆ sin1sin

0 sin( 2) 0

r r r

Ar r

r

θ θϕ

θ θ ϕϕ

part part partnablatimes =

part part part

4-64

21 ˆˆ cos sin sinsin 2 2 2

rr rr

ϕ ϕθϕθ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

ˆˆ cos sin2 sin 2 2

rr r

ϕ ϕ ϕθ

minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

(b)如左圖一個底面在 x-y 平面半徑＝1高＝2 之圓錐 求面積分

SA dsnablatimes sdotint 面積範圍 S 為圓錐在 x-y 平面以上

部分 方向為由圓錐內向外

解由 Stokersquos law ( )S

A dsrarr rarrnablatimes sdotint ＝

C

A drarrsdotint 其中路

徑 C 為 x-y 平面圓心在原點之單位圓 ˆ ˆd rd dϕ ϕ ϕ ϕ= =

2

0ˆ ˆsin sin

2 2C

d dπϕ ϕϕ ϕ ϕ ϕ⎛ ⎞ ⎛ ⎞sdot =⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠int int ( )0

2 sin u duπ

= int 0cos | 2u π= minus =

習題 16 磁場 B 因為不是保守場所以沒有對應的純量位而對應一

個向量位 A (vector potential)而 B A= nablatimes 一個磁鐵的磁偶極矩

ˆm mz= 被置於原點已知在遠處的 vector potential 03ˆ sin

4mAr

μϕ θπ

=

計算該處的磁場 B Ans 03

ˆˆ( 2cos sin )4

mB rr

μ θ θ θπ

= + 與電偶極遠處

的電場形式一致都是偶極(dipole) 選幾個點畫一畫該處的場向量

把磁力線描出來

附錄本章講義的內容有部分可以經由直接計算得出列在附錄做為

參考

用「圓柱座標」寫 Atimesnabla

Ararr rarrnablatimes ＝ ( )1ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ zz A A zA

z ρ φρ ϕ ρ ϕρ ρ ϕpart part part⎛ ⎞+ + times + +⎜ ⎟part part part⎝ ⎠

4-65

因為rdquo sdotrdquo與rdquotimes rdquo都是向量間的運算所以

＝ ( )ˆ ˆ ˆ ˆ zA A zAρ φρ ρ ϕρpart

times + +part

＋ ( )1ˆ ˆ ˆ ˆ zA A zAρ φϕ ρ ϕρ ϕ

parttimes + +

part

＋ ( )ˆ ˆˆ ˆ zz A A zAz ρ φρ ϕpart

times + +part

直接做上式微分可以得到

＝1ˆ z AA

zϕρ

ρ ϕpart⎛ ⎞part

minus⎜ ⎟part part⎝ ⎠＋ ˆ zA A

zρϕ

ρpart⎛ ⎞part

minus⎜ ⎟part part⎝ ⎠＋

1 1ˆ ( )A

z A ρϕρ

ρ ρ ρ ϕpart⎛ ⎞part

minus⎜ ⎟part part⎝ ⎠

上式可以用一個行列式來表示

rarrrarr

timesnabla A＝

ˆ ˆ ˆ1

z

z

zA A Aρ ϕ

ρ ρϕ

ρ ρ ϕρ

part part partpart part part

（A-1）

A and Anabla nablasdot nablatimes in 球座標 spherical coordinate

如上圖球座標 )( ϕθr 其中 )0[ infinisinr ]0[ πθ isin ]20[ πϕ isin 只有 r

是長度而 ϕθ 為角度是用來說明方向的三個座標的單位向量 ˆ ˆˆ r θ ϕ 具

有下列性質

4-66

1 如上圖 ˆ ˆˆ r θ ϕ 都不是常數而是（ ϕθ ）的函數

ˆ ˆ( )ˆ ˆ( )ˆ ˆ( )

r r θ ϕ

θ θ θ ϕϕ ϕ ϕ

⎧ =⎪

=⎨⎪ =⎩

)( ϕθr 與(xyz)之間的轉換如下

sin cossin sincos

x ry rz r

θ φθ φθ

=⎧⎪ =⎨⎪ =⎩

( )122 2 2

2 2

tan

tan

r x y z

x yz

yx

θ

φ

⎧ = + +⎪⎪ +⎪ =⎨⎪⎪ =⎪⎩

（A-2）

2 ˆ ˆˆ r θ ϕ 形成一「歸一正交集」ie

ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ 1r r θ θ ϕ ϕsdot = sdot = sdot = ˆ ˆr θ ϕperp perp

ˆ ˆr θ ϕtimes = ˆ ˆ rθ ϕtimes = ˆˆ rϕ θtimes = （A-3）

3可以很容易的由他們在 xyz 軸上的投影由直角

座標的 ˆ ˆ ˆ x y z 表出

ˆ ˆ ˆ ˆsin cos sin sin cos ( 4 )ˆ ˆ ˆ ˆcos cos cos sin sin ( 4 )ˆ ˆ ˆsin cos ( 4 )

r x y z A a

x y z A bx y A c

θ φ θ φ θ

θ θ φ θ φ θϕ φ φ

= + + minus⎧⎪

= + minus minus⎨⎪ = minus + minus⎩

4 ˆdr = 由於 ˆ ˆ( )r r θ φ= 所以由 ϕθ 的變動來看

4-67

ˆ ˆˆ| |ˆ ˆˆ| | sin sin

d r d d

d r d d

θ θθ θθ

φ θ φφ θ φφ

⎧ rArr =⎪⎨

rArr =⎪⎩rArr ˆ ˆˆ sindr d dθ θ φ θ φ= + （A-5）

rArrˆ ˆr θθpart

=part

ˆ ˆsinr θφφpart

=part

（A-6）

（A-6）的結果也可以直接由（A-4a）對 ϕθ 偏微得到

5 ˆdθ ＝ 由於 ˆ ˆ( )θ θ θ φ= 所以由 ϕθ 的變動來看

ˆ ˆ ˆ| | ( )ˆ ˆ ˆ| | cos cos

d d r d r

d d d

θ θ θ θ

φ θ θ φφ φ θ φ

⎧ rArr minus = minus⎪⎨

rArr =⎪⎩rArr ˆdθ ＝ ˆˆ cosrd dθ φ θ φminus + （A-7）

ˆrθ

θpart

rArr = minuspart

ˆ ˆcosθ φ θφpart

=part

（A-8）

請直接由（A-4b）對 ϕθ 偏微的結果 check（A-8）

6 ˆdφ ＝由於φ )(ϕ 躺在 x-y 平面上變動φ時的方向可能不是那麼

容易看出來所以做圖看一看

ie ˆ ˆˆ(sin ) (cos )d r d dφ θ φ θ θ φ= minus minus （A-9）

4-68

ˆ ˆˆsin cosrφ θ θ θφpart

= minus minuspart

7 所有的向量 ˆ ˆˆ rA rA A Aθ φθ φrarr= + +

8 位置向量 ˆr rrrarr=

可以由左圖 ˆ ˆˆ r θ ϕ 三個方向的「長度

變化」輕易的看出

9 位移元素

ˆ ˆˆ ˆ sindr rdr rd dθ θ ϕ θ φ= + + (A-10)

10 體積元素

sindv dr r d rdθ φ θ= sdot sdot

＝ 2 sinr dr d dθ θ φ (A-11)

11 面積元素 2 sinrds r d dθ θ φ= plusmn sinds r drdθ θ φ= plusmn ds rdrdφ θ= plusmn (A-12)

plusmn號表示面的垂直方向有兩個端看 ds 周邊的方向是如何定的

nabladel 考慮 ( )u u r θ φ=

rArru u udu dr d dr

θ φθ φ

part part part= + +part part part

u d rrarr rarr

equiv nabla sdot

urarr

= nabla sdot ˆ ˆˆ( sin )rdr rd dθ θ φ θ φ+ +

rArr1 1ˆ ˆˆ

sinu u uu rr r r

θ ϕθ θ φ

rarr part part partnabla = + +

part part part

1 1ˆ ˆˆsin

rr r r

θ ϕθ θ φ

rarr part part partnabla equiv + +

part part part （A-13）

4-69

直接用（A-13）與 ˆ ˆˆ rA rA A Aθ φθ ϕrarr= + + 逐項內積加上（A-678）

rArr ϕθ

θθθ

ϕθ part

part+

partpart

+partpart

=sdotnablararrrarr A

rA

rAr

rrA r sin

1)(sinsin1)(1 2

2 （A-14）

（A-13）與 ϕθ ϕθ AAArA r

andandandrarr

++= 逐項外積整理之後

ϕθ θϕθ

ϕθθ

θArrAA

r

rrr

rA

r sin

sin

sin1

2 partpart

partpart

partpart

=timesnabla

andandand

rarrrarr

（A-15）

Laplacian uu nablasdotnabla=nabla2

2

2

2222

22

sin1)(sin

sin1)(1

ϕθθθ

θθ partpart

+partpart

partpart

+partpart

partpart

=nablau

ru

rrur

rru （A-16）

B推導「散度」在圓柱座標的寫法

讓我們先回顧一下在直角座標裡的「面積元素」可以由「位移元素」

得到

ˆˆ ˆ x y zdr idx jdy kdz da dydz dxdz dxdy= + + rArr =

比照辦理「圓柱座標」的位移元素

( )ˆˆ ˆ( )

( )z

da d dzdr d d zdz da d dz

da d d

ρ

φ

ρ φ

ρ ρ φ ρ φ ρ

ρ ρ φ

=⎧⎪= + + rArr =⎨⎪ =⎩

這個結論可以輕易的由面積元素在垂直於 zˆˆ ϕρ 三個方向的面積看

出如下圖考慮一個以 )( zϕρ 為中心的「圓柱體積元素」(cylindrical

cubiod)體積為 zdV ΔΔ=Δ ϕρρ 現計算在 ρ

方向的 12 兩個平行面(方向各為 ρplusmn )的通

量

4-70

zzF

dsFdsnFS S

ΔΔ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

+cong

=sdotintint intintϕρρϕρρρ

ρ

2

2

ˆ1 1

zzF

dsFdsnFS S

ΔΔ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

minus⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

minusminuscong

minus=sdotintint intintϕρρϕρρρ

ρ

2

2

ˆ2 2

intint+

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

minus⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

minusminus⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

+Δ

asympsdotΔ

rArr21

22

22

1ˆ1

SS

zFzFdsnFV

ϕρρρρϕρρρρρρ ρρ

( ) ( )

1 20

0

0

1 ˆlim

1lim 2 2 2 2

1 1lim 2 2

1

VS S

F ndsV

F z F z

F z F z

F

ρ ρρ

ρ ρρ

ρ

ρ ρ ρ ρρ ρ φ ρ ρ φρ ρ

ρ ρρ ρ φ ρ ρ φρ ρ

ρρ ρ

Δ rarr+

Δ rarr

Δ rarr

rArr sdotΔ

Δ Δ Δ Δ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + + minus minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥Δ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦Δ Δ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥Δ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

part ⎡ ⎤= ⎣ ⎦part

intint

娛樂一下用上述方式把圓柱的 Fsdotnabla 裡的z

FF z

partpart

+partϕρϕ1

變出來

球座標的nabla和 Fsdotnabla 也可以試試看

補充習題

H M Scheydiv grad curl and all that 4th edition

第二章習題 6 8 9 10 11 14 15 16 18 19 21 22 23 25 26 27

第三章習題 2 3 5 6 7 8 9 10 11 14 15 17 18 19 24

4-31

(c) what is the angle between (21 1)fnabla minus and (21 1)gnabla minus

解 (21 1)fnabla minus (21 1)gsdotnabla minus ＝（ ˆ ˆ ˆ4x y zminus minus ＋2 ） sdotˆ ˆ ˆ26 6x y zminus minus +

＝2 4 2 4

6 6 3 6+ +

= ＝ | (21 1) |fnabla minus | (21 1) |gnabla minus cosθ

＝ 34 1 1 211 16 4 cos cos

6 6θ θ+ +

+ + =

1 4 2cos 07773 7

radθ minus ⎛ ⎞= =⎜ ⎟

⎝ ⎠

要注意隨然nabla有向量的性質但是他並不是一個真的向量真

實向量 A與純量 f ( )r 的乘法滿足交換率ie ( ) ( )Af r f r A= 但是

f fnabla ne nabla因為

( )f rnabla ＝ ˆ ˆ ˆf f fx y zx y zpart part part

+ +part part part

是一個向量函數而

ˆ ˆ ˆ( )f r x y zx y z

⎛ ⎞part part part+ +⎜ ⎟part part part⎝ ⎠

是一個算符（operator）

若nabla要與向量場 A 作用由於nabla與 A 都具有向量的性質先看「內積」

ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ( )

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

x y z

x y

z

y yx xz z

A x y z xA yA zAx y z

x y z xA x y z yAx y z x y z

x y z zAx y z

A AA AA Ax x x y x zx y z x y z

⎛ ⎞part part partrArrnablasdot = + + sdot + +⎜ ⎟part part part⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞part part part part part part= + + sdot + + + sdot⎜ ⎟ ⎜ ⎟part part part part part part⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞part part part

+ + + sdot⎜ ⎟part part part⎝ ⎠part partpart partpart part

= sdot + sdot + sdot + sdotsdot sdot = + +part part part part part part

yx zAA AAx y z

partpart partnablasdot = + +

part part part (4-64)

上式中的 Anablasdot 是向量場 A 的一個重要的性質稱為 A 的「散度」詳

細的內容在後面會仔細討論這裡引進 Anablasdot 主要是要表明nabla是個「算

符」表示一個運算不是一個真實的向量只是在「直角座標」裡

4-32

因為單位向量 ˆ ˆ ˆ x y z 是常數不受微分的作用以致nabla表現得好像也

是個一般的向量一樣事實上真實向量和nabla間的「內積」就不滿足交

換率

x y zA A A A an operator Ax y zpart part part

sdotnabla = + + = ne nablasdotpart part part

(4-65)

這也使得任意向量場 ( )A r 因位置變動 r r drrarr + 而產生的變化由於

)( zyxA 也是 3 個變數 xyz 的函數可以寫為

( )A A AdA dx dy dz dr Ax y z

part part part= + + = sdotnabla

part part part （4-66）

ex29 (a)Given field 2ˆ ˆ ˆ2A xxy y x zyz= minus + find Anablasdot at point (1-12)

解2( ) (2 ) ( ) 2xy x yzA y yz

x y zpart part part

nablasdot = + + = +part part part

(1 12)1 2( 1)2 3A

minusnabla sdot = minus + minus =

(b) find rnablasdot 解 rnablasdot = 3x y zx y zpart part part

+ + =part part part

梯度的意義

由（4-67）可以看到「f 的梯度 fnabla 」

是一個由「純量場 f」衍生出的向量

場由（4-26）也可以看出 fnabla 扮演類

似「變化率」的角色

空間中將相同值 f ( )r ＝f1 的點連

起來就得到一個 f ( )r ＝f1 的「等值面」如 Fig36考慮純量場 f( r )的

相鄰兩個等值面各對應定值 1f f= 與 1f f df= + 0df gt P1 點在 f1

等值面上相鄰兩點 P2P3 在 1f df+ 等值面上而向量 1 2 ˆnP P dn e dn= =

過 P1 點垂直於 f1 等值面 1 3 ˆP P d e d= = 與 ˆne dn夾角為α 由於不

論 1 2P Prarr 或 1 3P Prarr f 的變化量都是 df 但因距離 dn 係兩等值面最

4-33

短的距離d dngt 所以 1 2P Prarr 或 1 3P Prarr 造成的「變化率」df dfdn d

gt

而過 P1 點的最大變化率為dfdn

換言之向量 ˆndfedn

為過 P1 點垂直於

f1 等值面且指向最大「增加率」的方向 現在要證明

ˆndfe fdn

= nabla （4-67）

考慮 1 3P Prarr 造成的 f 值的變化率

ˆ ˆcos n ldf df dn df df e edl dn dl dn dn

α= = = sdot

ˆ ˆ ˆn l ndf dfdf e e dl e dldn dn

rArr = sdot = sdot

和（4-61）式df f dr= nabla sdot 相比即可得證 ˆndfe fdn

= nabla 所以可以知道

空間純量場 f ( )r 中任一點處的向量 fnabla 必「垂直」於「通過該點的 f的等值面」且指向 f 值最大「增加率」的方向| ( )f rnabla |就是 f 在 r 點

的最大增長率可以進一步定義等值面的「法線 normal」方向為

ˆ fnf

nabla=nabla

（4-68）

結論給定一個純量場 f( r )在每一點 r 可以定義一個稱做「梯度」

的向量 fnabla fnabla 垂直於過 r 點的 f 等值面且指向最 f 大增加率的方向

fnabla 的方向也定義了 f 等值面的法線方向

Ex30 考慮一個 2D 的 scalar field 2( )f x y y x= minus 計算該場在 )20( 的梯度與

法線方向

解 ˆ ˆ ˆ ˆ2f ff x y x yyx ypart part

nabla = + = minus +part part

ˆ ˆ(0 2) 2 2f i jnabla = minus + ˆ ˆ ˆ ˆ2 2 2 2ˆ(0 2)

31 8i j i jn minus + minus +

rArr = =+

4-34

ex31 點電荷 q 置於原點其產生電位為 ( ) qV rr

= 求負梯度qr

minusnabla

解 3

2 2 2 22 2 2

2 ( )2

q q q q x x y zr x rx y z

minuspart minus= rArr = sdot + +

part+ +

3 23

ˆˆ ˆ ˆ( )q ix jy kz r rq q qr r r r

minus + +rArr minusnabla = minus = = （點電荷的電場）

0 0

1 1 r r

noter r= =

nabla rarrinfin rarrinfin∵ 是不定值是因為 r = 0 處為最大值

「增加率」的方向無法確定

ex32 置一熱源於原點空間溫度分佈為1( )

( 2)T r

r=

+求溫度的梯度

解 2 2 2

ˆ( ) ( )( 2) ( 2) ( 2)

x rT r rr rT r

x r r r

minuspart minus

= rArrnabla = =part + + +

此處的負號表示梯

度指向熱源因為距熱源越遠溫度越低 ( 0)note T rnabla = 為不定值

因在最頂點「增加率」的方向無法確定

Ex33 地圖上山脈的等高線上各點的垂直方向由梯度決定現有一座

山是橢球 2)1(4 222 =+++ zyx 在 x-y 平面上方的

部分求地圖上這座山等高線的梯度

解 山高 142 22 minusminusminus== yxzh 所以等高線為橢

圓 222 )1(24 +minus=+ hyx 梯度

( ) ( ) ( )2 2 2 2

2 2

ˆ ˆ4ˆ ˆ2 4 1 2 4 1

2 4

xx y yh x x y y x y

x y x y

minus +part partnabla = minus minus minus + minus minus minus =

part part minus minus

所以自山腳（h=0）登山若由(012)開始 ˆ(01 2) 2h ynabla = minus 但若由

)02(minus 開始爬山 ˆ( 20) 2h xnabla minus = 可見 )02()210( minusnablagtnabla hh 這表

示由 y-軸登山山勢較陡所以「梯度」比由 x-軸登山為大這也更

清楚瞭解「梯度」的幾何意義

4-35

sect 432 Divergence 散度與 Curl 旋度

在(4-66) 我們建立了一個直角座標 vector operator 「del」

ˆ ˆ ˆx y zx y zpart part part

nabla equiv + +part part part

(4-66)

若與向量場 A 做「內積」與「外積」就建構了 A 的「散度」與「旋度」

散度 A A scalaryx zAA Adiv ax y z

partpart partequiv nabla sdot = + + =

part part part （4-69）

旋度

y yz x z x

ˆ ˆ ˆ y z A vector

A AA A A Aˆ ˆ ˆxy z z x x y

x y z

x y z

xcurl A a

A A A

y z

⎧⎪

= nablatimes = part part part =⎪⎪⎨⎪

part part⎛ ⎞ ⎛ ⎞part part part part⎛ ⎞⎪ = minus + minus + minus⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎪ part part part part part part⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎩

(4-70)

這裡定義的只是「散度」與「旋度」所謂「操作型的定義」告訴我

們如何計算的式子事實上她們都具有重要的物理意義我們在後面

會討論

ex34 ˆ ˆA xy yx= minus 求其散度與旋度

解 0 0y xAx ypart part

nablasdot = minus + =part part

ˆ ˆ ˆ y zˆ ˆ ˆ ˆ 0 0 ( 2) 2

0 x y z

xA x y z z

y xnablatimes = part part part = minus + minus = minus

minus

右圖示意了本向量場的分佈看得出像個漩渦也看到算出的旋度

0ne 看來旋度表現的應該是向量場「旋轉的程度」事實上我們在

後面會看到「旋度」表現的就是是向量場在空間各點「旋轉的程度」

本題的向量場在每一點的旋轉程度都一樣

4-36

Ex35 ( )ˆ ˆ ˆ A xx yy zz r= + + = 求其散度與旋度

解 3A rnablasdot = nablasdot = ˆ ˆ ˆ y z

0

x y z

xA

x y znablatimes = part part part =

由場分佈的示意圖可以看出本向量場是自原點向外射出好似在原

點有一個場線的「源頭 source」但是 3Anablasdot = 為一個常數表示好像到

處都有 source同時旋度為 0 也可以配合本場並無旋轉的形象事實

上「散度」表現的就是是向量場在空間各點產生「場線」的 source

記得靜電學裡的庫倫定律 0E ρ εnablasdot = 電場的散度就是「電荷密度」

(電場的 source)前一題的向量場看來對應的場線是封閉的所以沒有

source這也對應了其散度＝0不過一個向量場的散度旋度究竟是

多少應該詳細的計算場分佈圖形有時候不是那麼容易看的清楚

兩個 useful identities (恆等式)

(a) ( ) 0 0f curl of a gradnablatimes nabla = =

(b) ( ) 0 0A div of a curlnablasdot nablatimes = =

pf (a) ( )ˆ ˆ ˆ x y z

x y z

x y z

ff f f

nablatimes nabla = part part part

part part part

( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2xz zxˆ ˆ ˆx y f- f z 0yz yz xy yxf f f f= part minus part minus part part + part minuspart =

這個結果與真實的向量外積 ( ) AA 0=times 有相似之處但是這只是特

例要記得nabla並不是一個真正的向量

( ) ( ) ( )

( )

ˆ ˆ ˆ y zˆ ˆ ˆ x y z

0

x y z y z z y x z z x x y y x

x y z

xy z xz y xy z yz x xz y yz x

xA A A A A A A

A A A

A A A A A A A

nablatimes = part part part = part minus part minus part minus part + part minus part

nablasdot nablatimes = part minuspart minuspart +part +part minuspart =

4-37

此結果與真實的向量運算有相似之處 ( )( )0 (B A) BB B Asdot times = times perp∵

但是這仍只是特例因為我們可由下列例子 ( ) 0A Asdot nablatimes ne 看出事實上

nabla並不是一個真正的向量 Ex36 ˆ ˆ ˆA xy yx zx= minus +

( )

ˆ ˆ ˆ y zˆ ˆ ˆ 0 1 ( 2)

2 0

x y z

xA x y z

y x x

A A x x x

nablatimes = part part part = minus + minus

minus

sdot nablatimes = minus = minus ne

面積元素向量

物理上時常會遇到面積分例如電通量磁通

量等等考慮一個面積元素 ds定義「面積的

方向」為其「法線方向」並定義面積元素向量

ˆnds a dsequiv （4-71）

要注意的是(1)如果 ds 是一個「封閉面

closed surface」（即有裡外之分）的一部

份則 ˆna 定義為「由內向外」(2) 如果 ds

是一個「開放面 opened surface」（即分不

出裡外）的一部份那麼 ds 必被其邊緣

（一個封閉的曲線 C）所包圍這樣在定

出ds 的方向之前要先定義「邊緣曲線」

C 的方向再由右手定則定義 ˆna 的方向

既然面積已為一個向量就可以寫為分量表示以直角座標

ˆ ˆ ˆx y zds xds yds zds= + + (4-72)

那麼這些分量 dsx dsy dsz 會是什麼既然 dsx 的方向是 x 就表示 dsx

是躺在 y-z 平面上所以 dsx 的兩邊是 dy 與 dz rArr xds dydz= 依此類

4-38

推 dsy 的方向是 y 所以躺在 x-z 平面rArr yds dxdz= hellip可以得知

xds dydz= yds dxdz= zds dxdy= （4-73）

不過要注意在寫面積元素時要看討論的面實際

是什麼面上式的三個分量有可能會是負的例如

左圖座落在第一象限的立方體的 A 面方向就在 xminus

方向Arsquo面在 yminus Ardquo面在 zminus 方向寫面積元素最

好是先把討論的面的方向搞清楚把plusmn號寫在單位向量前面那麼分

量就都用＋的即可其實面積元素體積元素都可以由位移元素看出

ˆ ˆ ˆdr xdx ydy zdz= + +

dx dy dz 是沿著 ˆ ˆ ˆ x y z 方向的長度所以面積元素分量的兩邊長度就

是由其中兩個組成而體積的三邊也就是三個垂直方向的長度

x y zdV dx dy dz and ds dydz dxdz dxdyrArr = = （4-74）

這個概念在其他的座標系統也成立我們可以方便的寫出面積元素

Recall 柱座標的位移向量元素

cylindrical coordinate ˆ ˆ ˆdr d d dzzρρ ρ ϕϕ= + + （4-48）

ˆ ˆ ˆ zds ds ds zdsρ ϕρ ϕ= + + (4-75)

dsρ 躺在 zϕ minus 平面dsϕ 在 zρ minus 平面 zds 在ρ ϕminus 平面

rArr zds d dz ds d dz ds d d d dρ ϕρ ϕ ρ ρ ρ ϕ ρ ρ ϕ= = = sdot = （4-76）

上面的結果畫個圖看看吧球座標的位移向量元素

Spherical coordinate ˆ ˆˆ ( ) ( sin )dr rdr rd r dθ θ ϕ θ ϕ= + + （4-56）

ˆ ˆˆ rds rds ds dsθ ϕθ ϕ= + + （4-77）

rArr sin sin rds rd r d ds dr r d ds rd drθ ϕθ θ ϕ θ ϕ θ= sdot = sdot = sdot (4-78)

4-39

向量場 ( )A r 在 S 面上的「面積分（surface integral）」or「flux」

如左圖若有一「平面」S 且其上有「均勻」

場 B 分佈則通過 S 面的通量就是

ˆB B nSΦ = sdot

但考慮一任意「非均勻」向量場 ( )A r 在空間分佈選取任意曲面 S

探討 ( )A r 在 S 上之通量若ds 為 S 面上的面積元素在趨近於 0 的

小面積ds 上 A可視為均勻所以通過ds 之通量為 ( )d A r dsΦ = sdot 則 S

面之總通量為

Φ＝ ˆ cosS S S

A ds A nds A daϕsdot = sdot =int int int

( )OR

x x y y z zS

A da A da A da= + +int (4-75)

稱為 A 在 S 面上的「面積分」或「通量 flux」

上圖所繪就是一個任意面上分割出許多小面積舉出三個位置的通

量有+-與 0如果 S 面是為一「封閉面」則面積分寫為

S

A dssdotint （4-76）

4-40

ex37 Given 2ˆ ˆ ˆyzA xyz yx zx= + + 計算通量S

A dssdotint

S 面為在第一象限邊長＝1 的立方體表面封閉面

解立方體分為前後右左上下六個面分開算 1前面（x=1）

方向 x+ ˆ xA ds A xdydz A dydzsdot = sdot =int int int前 前 前

yzdydz= int前 ＝1 1

0 0

1 1 12 2 4

ydy zdz = sdot =int int

2後面(x=0)方向 xminus ˆ(- ) - xA ds A x dydz A dydzsdot = sdot =int int int後 後 後

yzdydz= minusint後1 1

0 0

-1 1 -12 2 4

ydy zdzminus = sdot =int int

3 右面（y=1）方向 y+ y ( 1)yA ds A dxdz A y dxdzsdot = sdot = =int int int右 右 右

( 1)x y zdxdz= =int右 ＝1 1

0 0

1 1 12 2 4

xdx zdz = sdot =int int

4 左面（y=0）方向 ˆ-y ˆ( y) - ( 0)yA ds A dxdz A y dxdzsdot = sdot minus = =int int int左 左 左

( 0) 0x y zdxdz= = =int左

5 上面（z=1）方向 z+ zz y (z 1) yA ds A dxd A dxdsdot = sdot = =int int int上 上 上

2 yx dxd= int上 ＝1 120 0

1 1y 13 3

x dx d = sdot =int int

6 下面（z=1）方向 ˆ-z zˆ(-z) y - (z 0) yA ds A dxd A dxdsdot = sdot = =int int int下 下 下

2 -1- y3

x dxd= =int下 ＝1 120 0

1 1y 13 3

x dx d = sdot =int int

S

A dssdotint ＝六個面的和＝1 1 1 1 1 1( ) ( 0) ( )4 4 4 3 3 4

minus minus+ + + + + =

ex38 Given ˆ ˆ ˆzA xyz yx zxy= + + 計算通量S

A dssdotint S 為圓 2 2 2x y a+ =

在第一項限的部分方向選為 z+ 2 2y a x= minus

4-41

解 2 2 4

0 0ˆ

8a a x

zS S S S

aA ds A zdxdy A dxdy xydxdy xdx ydyminus

sdot = sdot = = = =int int int int int int

Ex39 In cylindrical coordinate Given ˆ ˆaA zbzρρ

= + where a b are

constants Find S

A dssdotint over the surface of a

closed cylinder about z-axis specified by 3 2z ρ= plusmn =

解S 分為上下與周邊三面

zz (z 3)zA ds A ds A d dρ ρ ϕsdot = sdot = = sdotint int int上 上 上

= 23 3 2 12bd d b bρ ρ ϕ π πsdot = sdot =int上

ˆ(-z)A ds A d dρ ρ ϕsdot = sdot sdotint int下 下

= z- (z -3)A d dρ ρ ϕ= sdotint下 = 23 2 12b bπ πsdot =

周邊ds ˆ ( )d dzρ ρ ϕ= rArr ˆ ( ) z ( ) zA ds A d d A d dρρ ρ ϕ ρ ϕsdot = sdot =int int int周 周 周

2 3

0 3( ) z ( ) z=a 12aA d d d d d dz a

πρ ρ ϕ ρ ϕ ϕ π

ρ minus= = =int int int int周 周

加起來 S

A dssdotint ＝12 24 12 ( 2 )a b a bπ π π+ = +

ex40 一點電荷 q 置於原點計算在一個以原點為圓心 0r 為半徑的球

面上的電通量

解 2 20 0

ˆ ˆ4 4S S

qr q dsE ds rdsr rπε πε

sdot = sdot =int int int

=0 0 0

44 4S

q q qd ππε πε ε

sdot Ω = sdot =int

上式中 dΩ 2dsr

= 是 ds 所張開的「立體角」(solid angle)

4-42

div A and Flux 通量與散度的幾何物理意義

我們運用過nabla的符號來表示過散度 divF F= nablasdot yx zFF Fx y z

partpart part= + +part part part

但是也看到「散度」定義為

0( )

1( ) limSV

about x y z

divF x y z F da divergence of FVΔ rarr

equiv sdot =Δ int (4-77)

其中 VΔ 為 S 面所包含的體積即散

度為通量(體)密度的 0 體積極限

（4-77）的定義與 Fnablasdot 好像差的很

多她們是說同一回事嗎以下證明

這兩種「散度」的定義是等價的如

左圖考慮一個以點 ( ) x y z 為中心

的 立 方 體 其 相 鄰 三 邊 長 為

x y zΔ Δ Δ 體積 V x y zΔ = Δ Δ Δ 現在計算 F 在立方體的一組平行於 y-z平面的表面 S1 與 S2 的通量

( )1 1

ˆ ˆ xS S

F nds F xds F x y z dsrArr sdot = sdot =intint intint intint 2xxF x y z y zΔ⎛ ⎞asymp + Δ Δ⎜ ⎟

⎝ ⎠

其中 2xx y zΔ⎛ ⎞+⎜ ⎟

⎝ ⎠為 S1 面中心的座標而

2xx y zΔ⎛ ⎞minus⎜ ⎟

⎝ ⎠為 S2 面的中心

( ) ( )2 2 2

ˆ ˆ 2x x

S S S

xF nda F x ds F x y z ds F x y z y zΔ⎛ ⎞rArr sdot = sdot minus = minus asymp minus minus Δ Δ⎜ ⎟⎝ ⎠intint intint intint

上式中的負號來自 S2 面的方向是 xminus 所以合併兩個面積分

1 2

ˆ 2 2x x

S S

x xF nds F x y z F x y z y z+

Δ Δ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞rArr sdot asymp + minus minus Δ Δ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦intint

2 2x xx xF x y z F x y z

x y zx

Δ Δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠= Δ Δ Δ

Δ

2 2

x xx xF x y z F x y z

Vx

Δ Δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠= Δ

Δ

1 2

1 2 2ˆ

x x

S S

x xF x y z F x y zF nds

V x+

Δ Δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠rArr sdot asymp

Δ Δintint

4-43

當取體積向(xyz)點收縮至 0 時即 0 x 0as VΔ rarr Δ rarr 上式的近似

「asymp」就成了「＝」

1 20

1 ˆlimV

S S

F ndsVΔ rarr

+

sdotΔ intint

( )0

2 2limx x

x

x

x xF x y z F x y z F x y zx xΔ rarr

Δ Δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟ part⎝ ⎠ ⎝ ⎠= =Δ part

Similarly F 在立方體的一組平行於 x-z 平面的表面 S3 與 S4 的通量

3 3 3

ˆ ˆ yS S S

F nds F yds F dsrArr sdot = sdot =intint intint intint

2

2

y

y

yF x y zyF x y z x z x y z

y

Δ⎛ ⎞+⎜ ⎟Δ⎛ ⎞ ⎝ ⎠asymp + Δ Δ = Δ Δ Δ⎜ ⎟ Δ⎝ ⎠

( )4 4 4

2ˆ ˆ

y

yS S S

yF x y zF nds F y da F ds x y z

y

Δ⎛ ⎞minus⎜ ⎟⎝ ⎠rArr sdot = sdot minus = minus asymp Δ Δ Δ

Δintint intint intint

合併 S3 與 S4 兩個面積分並取體積向(xyz)點收縮至 0 時即當

0 y 0VΔ rarr Δ rarr 上式的近似asymp就成了＝

3 4

2 2ˆ

x x

S S

y yF x y z F x y zF nds V

y+

Δ Δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠rArr sdot cong Δ

Δintint

3 40 0

1 2 2ˆlim lim

x xy

V yS S

x yF x y z F x y z FF nds

V y yΔ rarr Δ rarr+

Δ Δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟ part⎝ ⎠ ⎝ ⎠rArr sdot = =Δ Δ partintint

與上面相同的作法計算 F 在立方體的一組平行於 x-y 平面的表面 S5

與 S6 的通量我們也會得到對應的結果

5 6

2 2ˆ

z x

S S

z zF x y z F x y zF nds V

z+

Δ Δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠rArr sdot cong Δ

Δintint

5 60 0

1 2 2ˆlim lim

z xz

V zS S

z zF x y z F x y zFF nds

V z zΔ rarr Δ rarr+

Δ Δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟ part⎝ ⎠ ⎝ ⎠rArr sdot = =Δ Δ partintint

所以合併立方體的 6 個面積分

4-44

1 2 3 4 5 6

ˆ ˆ ˆ ˆS S S S S S S

F nds F nds F nds F nds+ + +

rArr sdot = sdot + sdot + sdotint intint intint intint

0

1 ˆlim yx zV

FF FF nds div F FV x y zΔ rarr

partpart partrArr sdot = + + = = nablasdot

Δ part part partint (4-78)

在此我們得證這兩種「散度」的定義是等價的只是（4-77）的定義

充分的表現出「散度」的幾何物理意義他從通量著手由於場線

出自於 source（ex電場源自於點電荷）所以在點(xyz)必須有向量場

F 的 source 存在才能使得當面積縮到 0 時仍具有非 0 的通量所以「散

度」表現向量場 F 的 source 在這個定義之下是很清楚的當然在計算

「散度」時我們不必那麼麻煩用 divF F= nablasdot 就好了

Ex41 計算 2ˆ ˆ ˆF xx yxy zyz= + + 的散度

解 2 yx zFF Fx x yx y z

partpart part= = =

part part part F 2x x y 3x ydivrArr = + + = +

recall 在靜電學0

yx zEE EEx y z

ρε

partpart partnablasdot = = + +

part part part

散度定理 Divergence Theorem

若任意封閉面（又稱為「高斯面」）S 所包圍的

體積為 V 則

S VA ds Adτsdot = nablasdotint int （4-79）

pf 我們先將體積分割成 N 個小盒子考慮相鄰的兩個小盒子 1 2

兩小盒子的共用面面積 S0當 S0 是為 1 號盒子的一部份時其方向為

1n 但若當為 2 號盒子的表面時其方向為 12 ˆˆ nn minus= 如此在 S0 分別做

4-45

1 2 盒子的面積分後

0 0

0 0 0 0

1 2

1 2 1 1ˆ ˆ ˆ ˆ 0

S S

S S S S

A ds A ds

F n ds F n ds F n ds F n ds

sdot + sdot

= sdot + sdot = sdot minus sdot =

intint intintintint intint intint intint

所以若求場 A 在 1 2 盒子的總通量時交界面是沒有貢獻的總通量

就只有「外面積」才有貢獻如此我們計算 N 個小盒子的總通量

時所有的內部共用面都得 0只剩下「外表面」的貢獻了當 infinrarrN

時所有小盒子的「總外表面」就與 S 面重合了所以所有小盒子通量

的總和就等於 S 面的通量

1lim

i

N

S SN iA ds A ds

rarrinfin=

rArr sdot = sdotsumint int

現在我們做 N 個小盒子的總通量

1 1

1i i

N N

iS Si i i

A ds A ds VV= =

⎛ ⎞sdot = sdot Δ⎜ ⎟Δ⎝ ⎠

sum sumint int

當 0iN Vrarrinfin rArr Δ rarr 並用 dv 表示體積元素

( ) ( )1 1

1

1lim lim lim

lim

i ii

N N

iS SN N V oi i i

N

i VN i

A ds A ds VV

A V A dv

rarrinfin rarrinfin Δ rarr= =

rarrinfin=

⎛ ⎞sdot = sdot Δ⎜ ⎟Δ⎝ ⎠

= nablasdot Δ = nablasdot

sum sumint int

sum int

( )S V

A da A dvrArr sdot = nablasdotint int QED

所以得證散度定理上式中我們用了散度的（4-77）式定義要分辨

清楚 Anablasdot 是向量場 A 在空間中「某一點」的性質（ 0VΔ rarr ）而「散

度定理」說的是一個「有限體積」的性質

ex42 給定 ( ) ˆ ˆ ˆ A x y z xx yy zz r= + + = 計算在

半徑 R＝1 的球的上半球加底面的通量

4-46

解 ( )ˆˆS

A da A rda A k darArr sdot = sdot + sdot minusint int int上半球面 底面

( )

2

ˆ ˆ

0 2 1 2

A rda A z dxdy

r rds zdxdy rds ds π π

= sdot + sdot minus

= sdot minus = minus = = sdot =

int int

int int int int上半球面 底面

上半球面 底面 上半球面

底面的通量＝0 是因為 A 的 z 分量 Az=z 在底面的值為 0

也可以用散度定理更快的得出結果

∵ 3A rnablasdot = nablasdot =

31 43 3 1 22 3V V

Ad d πτ τ πnablasdot = = sdot sdot sdot =int int

ex43高斯定律的微分形式積 由 Gaussrsquo law 的積分形式用散度定理得出其

( )0 0

1 inS V

qE ds x y z dvρε ε

sdot = =int int

0S V VE ds Edv dvρ

εrArr sdot = nablasdot =int int int

上式最後的等式對「任意形狀」V 都成立所以兩者的被積函數相等

對於空間每一點 0

E ρε

nablasdot = （4-80）

ex44 Use 第一象限的單位力方體 check the divergence theorem using the function 2 2ˆ ˆ ˆ(2 ) 2A y x xy z y yzz= + + +

解2

2( ) (2 )(2 ) 2( )y yzA xy z x yx y z

part part partnablasdot = + + + = +

part part part

and 1 1 1 1 1 1

0 0 0 0 0 02 ( ) 2 ( )

VAdv x y dxdydz dz dy x y dxnablasdot = + = +int int int int int int int

1 1

0 0

1 12 ( ) 2 12 2

dz y dy= + = sdot =int int

面積分 1 1 2

0 0

1ˆ3

A ds A xdydz dz y dysdot = sdot = =intint intint int int前 前

4-47

1 1 2

0 0

1ˆ( )3

A ds A x dydz dz y dy minussdot = sdot minus = minus =intint intint int int

後 後

1 1 2

0 0ˆ (2 )A ds A ydxdz dz xy z dxsdot = sdot = +intint intint int int

右 右

1 1 1 12 2

0 0 0

4(2 ) (1 )3

ydz x z dx dz z

=

= + = + =int int int∵

1 1 2

0 0

0 1 1 12 2

0 0 0

ˆ( ) (2 )

1(1 )3

y

A ds A y dxdz dz xy z dx

dz z dx dz z=

sdot = sdot minus = minus +

minus= minus = + =

intint intint int int

int int int∵

左 左

11 1 1 1

0 0 0 0ˆ 2 2 1

zA ds A zdxdy dx yzdy dx ydy

=sdot = sdot = = =intint intint int int int int

∵

上 上

01 1

0 0ˆ 2 0

zA ds A zdxdy dx yzdy

=sdot = sdot minus = minus =intint intint int int

∵

下 下

前後右左上下六個面積分合併＝1＝V

Advnablasdotint QED

ex45 Continuity Equation 連續方程式

考慮某些「東西」的流動（物質電荷hellip）在時刻 t 時在點(xyz)

的 密 度 為 ( ) x y z tρ ρ= 並 具 有 速 度

( ) v v x y z t= 在時刻 t 時在體積 V 內的總量為

( ) x y z t dρ τintintint

這樣體積 V 內東東的時變率為

( ) ( ) d x y z t d x y z t ddt t

ρρ τ τpart=

partintintint intintint

注意體積分後的時間全微分移入積分內要改為偏微分這個東東

在表面的「流率 flow rate」可表為

ˆS

R v ndsρ= sdotintint

若體積內的物料無法自生自滅那麼體積內物料的變化必經由表面的

流出流入所造成

d v ndstρ τ ρpart

rArr = minus sdotpartintintint intint

由散度定理

4-48

( )ˆS

v nds v d dtρρ ρ τ τpart

sdot = nablasdot = minuspartintint intintint intintint

( )v Jtρ ρpart

rArr = minusnablasdot equiv minusnablasdotpart

0Jtρpart

rArr +nablasdot =part

（4-81）

(4-81) 即 continuity equation其中 J vρ= 為「物流密度」ex如果 ρ

是電荷密度 J 就是電流密度（4-81）是物質守恆的結果只對體

積內無 source（生成）or drain（消滅）的東東成立

ex46 Given a vector field ˆ ˆx yA ye xe= minus + (a) Find

Anablasdot (b)如圖一個金字塔狀的 5 面體高 2 底邊長

1計算 A在整個金字塔表面（封閉面）的總通量

解(a) Anablasdot = ( ) ( ) 0y xx ypart part

minus + =part part

(b) 金 字 塔 的 表 面 面 積 元 素 ds 不 好 寫 所 以 用 散 度 定 理

( )S V

A da A dvrArr sdot = nablasdotint int ＝0 Anablasdot 表示 A沒有 source 所以對封閉面而

言有多少場線進入就有多少出去所以總通量＝0

習題 7 With position vector r for an arbitrary volume V that is

bounded by surface S show that 13 S

r ds Vsdot =int

習題 8 已知一靜電場為 ˆ ˆ ˆ( )E xyz yxz zxyλ= + + 運用 Gaussrsquo law

試求包含在半球 2 2 2 2 0x y z R z+ + = ge 裡的總電荷 Ans 0

習題 9 (a) given ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( 2 )F r xf x yf y zf z= + + minus show that divF is

zero at point (c c -c2) (b) given ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( )G r xf x z yg x z zh x y= + +

show that ( ) 0G rnablasdot =

4-49

習題 10 Find the normal vector n for the surfaces (a) z = 2-x-y ans

ˆ ˆ ˆ( ) 3x y z+ + (b) z = (1-x2)12 ans ˆ ˆxx zz+ (c) z = x2+y2

ans ˆ ˆ ˆ( 2 2 ) 1 4xx yy z zminus minus + +

習題 11 Show that the unit vector normal to the plane ax+by+cz =d is

given by 2 2 2ˆ ˆ ˆ( ) ax by cz a b cplusmn + + + +

圓柱座標與球座標的nabla (del)

考慮一純量場在直角座標為 ( ) u x y z 在圓柱座標表為 ( ) u zρ φ

再考慮因位移 r r drrarr + 所造成 u ( )zρ φ 的變化

( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆz

z

u u udu d d dz u dr u d d zdzz

u u z u d d zdz

u d u d u dzρ ϕ

ρ ϕ

ρ ϕ ρ ρ ϕρ ϕρ ϕ

ρ ϕ ρ ρ ϕρ ϕ

ρ ρ ϕ

part part part= + + = nabla sdot = nabla sdot + +part part part

⎡ ⎤= nabla + nabla + nabla sdot + +⎣ ⎦= nabla + nabla + nabla

( ) ( ) ( )1

1ˆ ˆ ˆu

z

u u uu u uz

u u uzz

ρ ϕρ ρ ϕ

ρ ϕρ ρ ϕ

part part partrArr nabla = nabla = nabla =

part part partpart part part

rArrnabla = + +part part part

1ˆ ˆ ˆ zz

ρ ϕρ ρ ϕpart part part

nabla = + +part part part

（4-82）

注意nabla的ϕ -分量( 1ρ ϕ

partpart

)不是像直角座標裡單純的ϕpartpart

所以不要笨笨

的就把直角座標的形式硬套上去用我們也可以從「因次分析」來

看nabla因為是對空間的微分所以每一項的因次必須是「長度分之一」

運算 andzρ

part partpart part

都是「長度分之一」而「單純的ϕpartpart

」是沒有單位的

所以要1ρ ϕ

partpart

才 OK

由於圓柱座標裡的單位向量除了 z 之外 ˆ( )ρ ϕ 與 ˆ( )ϕ ϕ 都不是常

4-50

數所以在微分時不可以與微分運算交換而要考慮微分的作用所

以在「圓柱座標」寫「散度」 ( ) F zρ ϕnablasdot 也和直角座標不一樣

( )1ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ zF z F F zFz ρ ϕρ ϕ ρ ϕ

ρ ρ ϕpart part part⎛ ⎞

nabla sdot = + + sdot + +⎜ ⎟part part part⎝ ⎠

( ) ( )1ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆz zF F zF F F zFρ ϕ ρ ϕρ ρ ϕ ϕ ρ ϕρ ρ ϕpart part

= sdot + + + sdot + +part part

( )ˆ ˆˆ ˆ zz F F zFz ρ ϕρ ϕpart

+ sdot + +part

因為 ( ) ( )ˆ ˆ ˆ ˆ ρ ρ ϕ ϕ ϕ ϕ= = 所以做 andzρ

part partpart part

時 ˆ ˆ ρ ϕ 可視為常數

ˆ ˆ1ˆ ˆ ˆ zF F F FF F Fz

ρ ρ ϕρ φ

ρ ϕϕ ρ ϕρ ρ ϕ ϕ ϕ ϕ

part part part⎡ ⎤part part partrArrnablasdot = + sdot + + + +⎢ ⎥part part part part part part⎣ ⎦

還記得 ˆ ˆ ˆ ˆd d d dρ ϕ ϕ ϕ ρ ϕ= = minus 所以 ˆ ˆρ ϕϕpart

=part

ˆ ˆϕ ρϕpart

= minuspart

rArr

( )1 1 1z zF F F FF FF Fz z

ρ ρ ϕ ϕρρ

ρ ρ ρ ϕ ρ ρ ρ ϕpart part part part

nablasdot = + + + = + +part part part part part part

（4-83）

在球座標寫nabla也會遇到相似的問題其根源就是球座標 ( )r θ ϕ 裡

的 θ ϕ 的因次並非長度而三個單位向量 ˆ ˆˆ r θ ϕ（表為 ie ）都是( θ ϕ )

的函數以致

( )ˆ ˆ( ) ( )i ie f e fθ ϕ θ ϕθ θpart part

nepart part

且 ( )ˆ ˆ( ) ( )i ie f e fθ ϕ θ ϕϕ ϕpart part

nepart part

所以nabla也不似在直角座標那麼簡單我們不在這裡推導而是給出一

個歸納的統一的三個座標的結果還記得對每一個座標 iu i = 123

座標的變化 idu 與造成的長度變化 id

i i id h du= 123i = (4-84)

其中 ih 為對應的度量係數(metric coefficient)

4-51

1 2 3

1 1 2 2 3 3

1 1 1ˆ ˆ ˆu u ue e eh u h u h u

part part partnabla equiv + +

part part part （4-85A）

座標 1 2 3 u u u

度量係數

1 2 3 h h h

nabla grad del

直角 x y z

1 1 1 nabla ˆ ˆ ˆx y z

x y zpart part part

equiv + +part part part

圓柱

zρ ϕ

1 1ρ

1ˆ ˆ ˆ z

zρ ϕ

ρ ρ ϕpart part part

nabla equiv + +part part part

球

r θ ϕ

1 sinr r θ

1 1ˆ ˆˆ

sinr

r r rθ ϕ

θ θ ϕpart part part

nabla = + +part part part

（4-85B）

梯度gradient Vnabla grad(V) 散度divergence Anablasdot div( )A

直

角 nablaV ˆ ˆ ˆV V Vx y z

x y zpart part part

= + +part part part

yx zAA AAx y z

partpart partnablasdot = + +

part part part

圓

柱

1ˆ ˆ ˆ V V VV zz

ρ ϕρ ρ ϕpart part part

nabla = + +part part part

( )1 1

1

z

z

A AA Az

A A A Fz

ϕρ

ρ ρ ϕ

ρρ ρ ρ ϕ

ρ ρ ρ ϕ

partpart partnabla sdot = + +

part part partpart part part

= + + +part part part

球

1 1ˆ ˆˆ sin

V V VV rr r r

θ ϕθ θ ϕ

part part partnabla = + +

part part part

22

1 ( )rA r Ar r

partnabla sdot =

part

1 (sin )sin

Ar θθ

θ θpart

+ sdotpart

1sin

Ar

ϕ

θ ϕpart

+part

(4-86)

Ex47 Using spherical coordinate show that 1| |r r

nablaminus

= 2

ˆ| |

r rer r

minusminusminus

where

nabla是作用在 r 而 ˆr re minus 是向量 r rminus 方向的單位向量 解let r lies in z-axis so that the angle between r and r is just θ

4-52

rArr ( ) 122 21 1 2 cos | | ( ) ( )

r rr rr r r r r r

θminus

= = minus +minus minus sdot minus

( ) ( )12 122 2 2 21 1ˆˆ 2 cos 2 cos | |

r r rr r r rr rr r r r

θ θ θθ

minus minuspart partnabla = minus + + minus +

minus part part

( ) 322 21ˆ 2 cos (2 2 cos )2

r r rr r r rθ θminusminus

= minus + minus

( ) 322 21ˆ 2 cos (2 sin )2

r rr r rrθ θ θminusminus

+ minus +

3 3 3 3

ˆˆ ˆ( cos ) sin ( cos sin )ˆˆ| | | | | | | |r r r rr r rrr r r r r r r r

θ θ θ θ θθminus minus minus minus minus= + = +

minus minus minus minus

3 3 3ˆ ( )

| | | | | |r r z r r r rr r r r r rminus + minus + minus minus

= = =minus minus minus

＝ 2

ˆ| |

r rer r

minusminusminus

QED

證明最後我們用到 ˆˆˆ cos sinz r θ θ θ= minus 而 ˆ r r z= 因為我們選了 r 是

躺在 z-軸 Ex48 For arbitrary scalar field ( )f r and vector field ( )A r 證明恆等式

( )fA f A f Anablasdot = nabla sdot + nablasdot (4-87) 解 ˆ ˆ ˆx y zfA xfA yfA zfA= + +

( ) ( ) ( ) ( )x y zfA fA fA fAx y zpart part part

rArrnablasdot = + +part part part

yx zx x x

AAf f f AA f A f A fx x y y z z

partpartpart part part part= + + + + +part part part part part part

yx zx y z

AAf f f AA A A fx y z x y z

part⎛ ⎞partpart part part part= + + + + +⎜ ⎟part part part part part part⎝ ⎠

f A f A= nabla sdot + nablasdot QED 習題 12 一個位於原點的電偶極電偶極矩＝ ˆp pz= 已知其在遠處

的電位為 20

cos4p

rθ

πε試證該處的電場強度為 E = 3

0

ˆˆ( 2cos sin )4

p rr

θ θ θπε

+

(已知 E V= minusnabla )並請計算 Enablasdot ＝

習題 13 給定一向量場2

3cosˆD r

rϕ

= 現有兩個球心在原點的同心球

內球半徑 R＝1外球 R＝2(a)求面積分S

D dssdotint S 為同心球殼的表

面（有內外兩個面）(b)求體積分V

Ddvnablasdotint V 為兩同心球之間的

區域本題也是來 check 散度定理的Ans πminus

4-53

The Laplacian operator 2nabla equivnablasdotnabla

在直角座標可以用直接作用得到

2 2 2

22 2 2u u uu u

x y zpart part part

nabla equiv nablasdotnabla = + +part part part

(4-88)

圓柱座標

2 2

22 2 2

1 1( ) u u uu uz

ρρ ρ ρ ρ ϕ

part part part part⎛ ⎞nabla equiv nablasdot nabla = + +⎜ ⎟part part part part⎝ ⎠

(4-89)

球座標

2

2 22 2 2 2 2

1 1 1sinsin sin

u u uu rr r r r r

θθ θ θ θ ϕ

part part part part part⎛ ⎞ ⎛ ⎞nabla = + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟part part part part part⎝ ⎠ ⎝ ⎠ （4-90）

習題 14 verify (4-89) and (4-90)

習題 15 Given a dipole potential V= 20

cos4p

rθ

πε find 2Vminusnabla

sect 433 Line integral and curl A 線積分與與旋度的物理意義

線積分路徑積分

考慮一曲線 C 通過兩點 ( )i i i iP x y z 與

( )f f f fP x y z 現有一向量場 ( )A x y z 定義在

C 所在的空間若 sd 為 C 上位於(xyz)點的

「路徑元素」（ ˆd td= 方向沿該處切線）而

( )A x y z 為路徑元素d 處的場值則沿 C 經歷各點所做積分

cos cosf

CC C iA d Ad A dϕ ϕrarr rarrsdot = =int int int （4-91）

稱為向量場 ( )A x y z 沿路徑 C 自 pi 至 pf 的「線積分」「或「路徑積分」

積分裡 A 取值的點侷限在路徑 C 上面若為一個「封閉路徑」則對

C 的線積分也稱做「環路積分 closed contour integral」記做

C

A dsdotint （4-92）

4-54

物理量「做功」是最標準的線積分之一力 F 自 x = a 至 x = b「沿線」

x 軸做功

W＝ F dxsdotint ＝ ( )b

xaF x dxint （4-93）

質點在力場 )(rF 裡走一條曲線 C則力場做功

CW F d= sdotint （4-94）

還記得如果 ( )F r 是所謂「保守力」則上式只與始末點有關而與

路徑無關但如果 ( )F r 是所謂「非保守力」則做功與確實的路徑 C

有關

現考慮一質點在空間運動的位置 r 落在由曲線 C

描述的路徑則質點的位移元素與曲線 C 的路徑元

素相同 d dr= 若空間有向量場 A 分佈則 A 在 C 的

路徑積分以直角座標表示為

CA drarr rarrsdotint ＝

CA d rrarr rarrsdotint ＝ ( )x y zC

A dx A dy A dz+ +int （4-95）

上式中的 x y z 的積分限由 C 決定

Ex49 2 2 2ˆ ˆ ˆA xx yy zzrarr= + + 選定一路徑 C 為曲線

2y x= 由 (000)到 (2 20)的部分求C

A dsdotint

解 ˆ ˆd xdx ydy= +∵

CA dsdotint ＝ 2 2( )

Cx dx y dy+int ＝

2 22 2

0 0x dx y dy+int int

＝ )24(32

+

或由 2y x= rArr 2ydy dx= 2 12

y dy xdxrArr =

rArrC

A dsdotint ＝2 2

0

1( )2

x x dx+int ＝2 (4 2)3

+

4-55

ex50 ˆ ˆ( )f x y z xy yx= minus Do C

f dsdotint 其中的路徑 C 為一逆時針三角

形如圖 解∵路徑全部在 x-y 平面 ˆ ˆ ˆd td xdx ydy= = +

rArrC

f dsdotint ＝ x yC

f dx f dy+int ＝C

ydx xdyminusint

由於在 C1 上 y = 0 及 dy = 0 所以 01

=intC 又由於在

C3 上 x = 0 及 dx =0所以 03

=intC 所以只剩下 C2 可

能有貢獻由 2C 的方程式x + y =1rArr ⎩⎨⎧

minus=minus=

xyyx

11

rArr2Cydx xdyminusint ＝

0 1

1 0(1 ) (1 )x dx y dyminus minus minusint int ＝

0 12 2

1 0

( ) ( )2 2x yx yminus minus minus ＝-1

Cf dsdotint ＝-1

ex51 ( )f x y zrarr

= 2ˆ ˆxx yxyminus 如右圖doC

f dsdotint 其

中路徑 C 為第一象限的逆時針 14 圓弧

解∵ 全部在 x-y 平面 ˆ ˆd xdx ydy= +

Cf dsdotint ＝ 2

Cx dx xydyminusint

由於在 C 上 cosx R ϕ= rArr sindx R dϕ ϕ= minus

siny R ϕ= rArr cosdy R dϕ ϕ=

rArr 2

Cx dx xydyminusint ＝

2 2 2 2

0cos ( sin ) sin cos cosR R d R R d

πϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕminus minus sdotint

23 2

02 cos sinR d

πϕ ϕ ϕ= minus int ＝

323Rminus

又路徑為圓周一部份所以適合用極座標表示

ˆd Rdϕ ϕ= 又由左圖將 ˆ ˆx y 拆解（投影）到 ˆˆr ϕ

ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆcos sin sin cosx r y rϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ= minus = +

4-56

( )2ˆ ˆ ˆˆ ˆ( cos sin ) ( sin cos )C C

f d r x r xy Rdϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕsdot = minus minus + sdotint int 2

2 2 2

0

sin (cos )

sin ( cos ) (cos ) cos sin

Cx Rd xyRd

R Rd R Rdπ

ϕ ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ

= minus minus

= minus minus

intint

23 2

02 cos sinR d

πϕ ϕ ϕ= minus int ＝

323Rminus

這也驗證了散度定理

Path Independence 路徑獨立性

Ex52 證明庫倫力為「保守力」考慮

電荷 q0 位於原點及電荷 q 位於

( )r x y zrarr= q 受力 F

rarr＝ 0

20

14

qq urπε

and

求庫侖力作功因為球形對稱所以

用球座標由 ˆ ˆ ru rr

= = rArr Frarr

= 03

04qq r

rπε

庫侖力由 P1 至 P2 做功為 2

1

P

CPF drarrsdotint ＝

2

1

02

0

ˆ ˆ ˆˆ sin4

P

PC

qq r rdr rd r dr

θ θ ϕ θ ϕπε

⎡ ⎤sdot + +⎣ ⎦int ＝2

1

02

04P

P

qq drrπεint

＝20

2104

r

r

qq drrπε int ＝ 0

0 1 2

1 1( )4qq

r rπεminus for all C

所以庫侖力兩點間做功與路徑無關rArr保守力

對於「保守力 conservative force」 cF 自 p1 經

由兩條不同的路徑 C1 與 C2 到達 p2

1 ccF drarrsdotint ＝

2 ccF drarrsdotint ＝-

2 ccF drarr

minussdotint

rArr1 2c cc cF d F drarr rarr

minussdot + sdotint int = cF d

rarrsdotint ＝0 (4-96）

對於任何「封閉路徑」保守力做功為 0反之若

對任一封閉路徑 0F drarrsdot neint 則兩點之間的做功與路徑有關

rarr

F 為「非

保守力」

4-57

旋度 curl Anablatimes 的幾何物理意義

我們在（4-70）式已經看過旋度的計算方式但旋度另有其意義的

ex53 給定向量場2 2

0ˆ yv yv e λrarr

minus= 左圖為場的分佈

2 20

ˆ ˆ ˆ

0 0x y z

y

x y zcurl v

v e λ

rarr

minus

= part part part ＝ ˆ ˆ ˆ0 0 0 0x y zsdot minus sdot + sdot =

我們用了簡寫 x yx ypart part

part equiv part equivpart part

可以看出這個場裡沒有「漩渦」

但是有無「漩渦」有時也不是那麼明顯可以看出的請見下一個例子

Ex54 給定向量場2 2

0ˆ xv yv e λrarr

minus= 計算其旋度 vnablatimes

解向量場 vrarr

畫在右邊你看得出有無漩渦

先計算旋度

2 20

ˆ ˆ ˆ

0 0x y z

x

x y zcurl v

v e λ

rarr

minus

= part part part2 2

2 2

0

0

ˆ

ˆ 2 0 0

x

x

z v ex

z v xe for x

λ

λ

minus

minus

part=

part

= minus ne ne

vrarr

的旋度在大部分的地方不為 0 且隨位置而不同但是你看得出這個

向量場裡有「漩渦」其實要檢驗一個向量場裡有無「漩渦」有一

個很物理的方法就是放一個小「螺旋槳」（左圖）

在場內將軸朝各個方向測試一

下如果有「漩渦」的話這個

小「螺旋槳」就會轉動右圖就是將「螺旋槳」的

軸平行於 z 軸且放在 x gt 0 的地方就可以看出左

邊的 v 場比右邊的強造成螺旋槳順時針轉動rArrcurlv zminus for x gt 0

但如果放在 x = 0 的地方就會看到左右兩端的 v 場強度相同而且

4-58

curlv = 0 「螺旋槳」放在 x lt 0 的地方就可以看出右邊的v 場比左

邊的強造成螺旋槳逆時針轉動這完全符合 curl v k+ 的結果

環路積分與旋度 curl 的物理意義

如同「散度」一樣「旋度」除了 Ftimesnabla 之外

還有一個物理意義更清楚的定義這個定義由

「線積分」說明如圖考慮做「逆時針」長方形

路徑 C1 的一個「環路積分」C1 面平行於 x-y 平

面由 z-軸看下去環路 C1 可以分為可以分為

下 CB上 CT右 CR左 CL 4 部分

CA drarrsdotint ＝

B T L RC C C CA d A d A d A drarr rarr rarr rarrsdot + sdot + sdot + sdotint int int int

分別計算由於 CB 的中點座標為 ( )2yx y zΔ

minus

ˆB BC C

A d A xdxrarr rarrsdot = sdot =int int

BxC

A dxint ( )2xyA x y z xΔ

asymp minus Δ

similarly 由於 CT 的中點座標為 ( )2yx y zΔ

+

ˆ( )T TC C

A d A xdxrarr rarrsdot = sdot minus =int int

TxC

A dxminusint ( )2xyA x y z xΔ

asymp minus + Δ

合併 CB 與 CT

B TC CA drarr

+sdot =int

( ) ( )2 2x xy yA x y z A x y z

x yy

Δ Δ⎡ ⎤minus + minus minus⎢ ⎥⎣ ⎦ Δ ΔΔ

（4-97）

由 C1 所圍的面積 S x yΔ = Δ Δ

1B TC C

A dS

rarr

+sdot =

Δ int( ) ( )

2 2x xy yA x y z A x y z

y

Δ Δ⎡ ⎤minus + minus minus⎢ ⎥⎣ ⎦Δ

（4-98）

所以當取極限 C1 收縮到中心(xyz)時 SΔ 收縮到 0ie

4-59

0limsΔ rarr

1B TC C

A dS

rarr

+sdot =

Δ int xAy

partminuspart

（4-99）

Similarly with CR 的 ˆd ydy= CL 的 ˆd ydy= minus 可得

1L RC C

A dS

rarr

+sdot =

Δ int x

zyxxFzyxxF yy

Δ

Δminusminus

Δ+ )

2()

2(

（4-100）

同樣的當取極限 C1 收縮到中心(xyz)時 SΔ 收縮到 0

0

limsΔ rarr

1L RC C

A dS

rarr

+sdot =

Δ int yAx

partpart

（4-101）

最後合併 CBCTCRCL 為 C1

10

1limCs

A ds

rarr

Δ rarrsdot =

Δ int y xA Ax y

part partminus

part partˆ ( ) ( )zz A A= sdot nablatimes = nablatimes （4-102）

注意 C1 的方向就是在 z 上式的重要

意義是當向量場 A 在一個以點(xyz)為

中心「方向為 z 」的面積元素的「邊界」

所做的環路積分得到的就是 A 在(xyz)

處旋度的 z-分量明顯的只有當 A 在

(xyz)附近有 x-y 平面上的「漩渦」那麼 C1 的環路積分才不會為 0

Similarly 取一個逆時針繞著(xyz)的平行於 x-z 平面的長方形環路 C2

（左圖）做環路積分再取極限將 C2 收縮到(xyz)就會得到

20

1limCs

A ds

rarr

Δ rarrsdot =

Δ int x zA Az x

part partminus

part partˆ ( ) ( )yy A A= sdot nablatimes = nablatimes （4-103）

注意到 C2 所包圍的面積方向就在 y到

現在我們應該已經很有經驗了若取一

個逆時針繞著(xyz)的平行於 y-z 平面

的長方形環路 C3（左圖）做環路積分

再取極限將 C3 收縮到(xyz)就會得到

4-60

30

1limCs

A ds

rarr

Δ rarrsdot =

Δ int yz AAy z

partpartminus

part partˆ ( ) ( )xx A A= sdot nablatimes = nablatimes （4-104）

能把（4-103）與（4-104）變出來的同學我們有優待綜合以上

我們可以得到一個結論若取一個以點(xyz)為中心的任意環路 Cn（其

所包圍的面積方向在 n ）則

n curl Aand rarrsdot ＝

0

1lims

Cn

A ds

rarr

Δ rarrsdot

Δ int （4-105）

明顯的當 n ＝ x 或 y 或 z 時我們可以重複（4-102）到（4-104）的

結果（4-70）式的行列式所定義的旋度在此看見其幾何物理意義

至此「旋度」的「漩渦」形象應該已經很清楚了只有在(xyz)點附

近的小圈圈上有「漩渦」 A 在小圈圈做的環路積分才會有值這個

值就是向量場 A 的「旋度」在小圈圈面積方向的分量

Stokersquos 定理

考慮一個開放面 S被其「有方向的」邊界 C 圈住(bounded by)則

( )S

A dsrarr rarrnablatimes sdotint ＝

C

A drarrsdotint （4-106）

pf 先將 S 面分割為 N 個多邊形這會使得邊界變成一個「折線」形

成的環路 P環路 P 會隨著分割的多邊形個數的增多而越加近似於原

「光滑的」邊界 C現考慮相鄰的

兩個多邊形的線積分由於共用邊

的方向是相反的所以相鄰兩個多

邊形線積分的和只剩「外邊界」（見左圖）所以當把所有的多邊形的

4-61

線積分加起來時由於只有邊界 P 不是多邊形的共用邊所以

1k

N

k C

A drarr

=

sdotsum int ＝P

A drarrsdotint rArr

P

A drarrsdotint ＝

1

1

k

N

kk k C

A d l ss

rarr rarr

=

⎡ ⎤sdot Δ⎢ ⎥

Δ⎢ ⎥⎣ ⎦sum int

其中 ksΔ 為第 k 個多邊形的面積取極限 0kN srarrinfinrArrΔ rarr P CrArr rarr

C

A drarrsdotint ＝

10

1limkk

N

kN k k Cs

A d ss

rarr

rarrinfin=Δ rarr

⎡ ⎤sdot Δ⎢ ⎥

Δ⎢ ⎥⎣ ⎦sum int 01

ˆlim ( )k

k kskn A s

infin

Δ rarr=

⎡ ⎤= sdot nablatimes Δ⎣ ⎦sum

01

ˆlim ( )k

k kskA n s

infin

Δ rarr=

= nablatimes sdot Δsum = ( )S

A dsrarr

nablatimes sdotint QED

ex55 由 Amperersquos law 的積分形式導出其微分形式

解Amperersquos law 的積分形式 C

B drarrsdotint ＝ I0μ (4-107)

由 Stokersquos 定理及電流密度 j 的定義上式等號兩端可寫為

rArr ( )S

B dsrarr rarrnablatimes sdotint ＝ 0 S

j dsμrarrsdotint

由於上面的等式對任意面 S（路徑 C）都成立所以被積函數相等

0B jμrarr rarr rarr

rArrnablatimes = (4-108) 此即 Amperersquos law 的微分形式

Ex56 Given a vector field ˆ ˆx yA ye xe= minus + (a) Find Anablatimes

解

ˆ ˆ ˆˆ ˆ(1 ( 1) 2

0x y z

x y zA z z

y xnablatimes = part part part = minus minus =

minus

(b)如圖一個金字塔狀的 5 面體高 2底邊長＝1計算 ( )S

A dsnablatimes sdotint

其中 S 為金字塔在 x-y 平面以上的部分方向如同

封閉的金字塔（運用 Stokersquos law）

解金字塔上表面的面積元素ds 不好寫由 Stokersquos

4-62

law ( )S

A dsrarr rarrnablatimes sdotint ＝

C

A drarrsdotint 其中封閉路徑 C 就是上表面的邊界而且

是逆時針（由 z 軸向下看）

C

A drarrsdotint ＝

1 1 0 0

0 0 1 1ˆ ˆ ˆ ˆA xdx A ydy A xdx A ydysdot + sdot + sdot + sdotint int int int

＝1 1 0 0

0 0 1 1x y x yA dx A dy A dx A dy+ + +int int int int 1 1 0 0

0 0 1 1( 0) ( 1) ( 1) ( 0)y dx x dy y dx x dy= minus = + = + minus = + =int int int int

0 1 1 0 2 ( ) 2S

A ds= + + + = rArr nablatimes sdot =int

旋度與 path independence

已知保守場 cF 對所有封閉路徑 C 0cC

F drarrsdot =int 由 Stokersquos 定理

0cC

F drarrsdot =int ＝ ( )cS

F dsrarr rarrnablatimes sdotint rArr 0cF

rarr rarrnablatimes =

這表示保守場＝無旋度反之無旋度的場任兩點間路徑積分與路

徑無關

Ex57 Given a field 2 2ˆ ˆ ˆ2A x xy yx zz= + minus (a) Find Anablatimes A 保守場

解2 2

ˆ ˆ ˆ

2x y z

x y zA

xy x znablatimes = part part part

minus

( ) ( ) ( )2 2 2 2ˆ ˆ ˆ( ) 2 ( ) 2 0y z z x x yx z x y xy z z x xy= part minus minuspart + part minuspart minus + part minuspart =

yes A =保守場

(b)如左圖由 A 到 B 做路徑積分A BC

A drarr

sdotint 路徑 C 為橢圓

22 1

16yx + = 在 x-軸以上的部分

解橢圓部分的路徑元素 d 有點麻煩但因為 A

為保守場所以 A 到 B 做路徑積分可以用 x = -1 到

1 的積分取代

4-63

01 1 1

1 1 1ˆ 2 0

yB

xAA d A xdx A dx xydx

=

minus minus minussdot = sdot = = =int int int int

∵

旋度在柱座標與球座標

前面討論過nabla在不同座標系的寫法旋度也有歸納出的一致寫法

座標 1 2 3 u u u

度量係數

1 2 3 h h h

nabla grad del

直角 x y z

1 1 1 nabla ˆ ˆ ˆx y z

x y zpart part part

equiv + +part part part

圓柱 zρ ϕ

1 1ρ

1ˆ ˆ ˆ zz

ρ ϕρ ρ ϕpart part part

nabla equiv + +part part part

球 r θ ϕ

1 sinr r θ

1 1ˆ ˆˆ sin

rr r r

θ ϕθ θ ϕ

part part partnabla = + +

part part part

所以柱座標與球座標的旋度分別表為

柱座標

ˆ ˆ ˆ1

z

z

Az

AA Aρ ϕ

ρ ρϕ

ρ ρ ϕρ

part part partnablatimes =

part part part （4-109）

球座標 2

ˆ ˆˆ sin1sin

sinr

r r r

Ar r

A rA r Aθ ϕ

θ θϕ

θ θ ϕθ

part part partnablatimes =

part part part （4-110）

ex58 (a) Given the vector function ˆA ϕ= sin (ϕ 2) find Anablatimes

解 2

ˆ ˆˆ sin1sin

0 sin( 2) 0

r r r

Ar r

r

θ θϕ

θ θ ϕϕ

part part partnablatimes =

part part part

4-64

21 ˆˆ cos sin sinsin 2 2 2

rr rr

ϕ ϕθϕθ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

ˆˆ cos sin2 sin 2 2

rr r

ϕ ϕ ϕθ

minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

(b)如左圖一個底面在 x-y 平面半徑＝1高＝2 之圓錐 求面積分

SA dsnablatimes sdotint 面積範圍 S 為圓錐在 x-y 平面以上

部分 方向為由圓錐內向外

解由 Stokersquos law ( )S

A dsrarr rarrnablatimes sdotint ＝

C

A drarrsdotint 其中路

徑 C 為 x-y 平面圓心在原點之單位圓 ˆ ˆd rd dϕ ϕ ϕ ϕ= =

2

0ˆ ˆsin sin

2 2C

d dπϕ ϕϕ ϕ ϕ ϕ⎛ ⎞ ⎛ ⎞sdot =⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠int int ( )0

2 sin u duπ

= int 0cos | 2u π= minus =

習題 16 磁場 B 因為不是保守場所以沒有對應的純量位而對應一

個向量位 A (vector potential)而 B A= nablatimes 一個磁鐵的磁偶極矩

ˆm mz= 被置於原點已知在遠處的 vector potential 03ˆ sin

4mAr

μϕ θπ

=

計算該處的磁場 B Ans 03

ˆˆ( 2cos sin )4

mB rr

μ θ θ θπ

= + 與電偶極遠處

的電場形式一致都是偶極(dipole) 選幾個點畫一畫該處的場向量

把磁力線描出來

附錄本章講義的內容有部分可以經由直接計算得出列在附錄做為

參考

用「圓柱座標」寫 Atimesnabla

Ararr rarrnablatimes ＝ ( )1ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ zz A A zA

z ρ φρ ϕ ρ ϕρ ρ ϕpart part part⎛ ⎞+ + times + +⎜ ⎟part part part⎝ ⎠

4-65

因為rdquo sdotrdquo與rdquotimes rdquo都是向量間的運算所以

＝ ( )ˆ ˆ ˆ ˆ zA A zAρ φρ ρ ϕρpart

times + +part

＋ ( )1ˆ ˆ ˆ ˆ zA A zAρ φϕ ρ ϕρ ϕ

parttimes + +

part

＋ ( )ˆ ˆˆ ˆ zz A A zAz ρ φρ ϕpart

times + +part

直接做上式微分可以得到

＝1ˆ z AA

zϕρ

ρ ϕpart⎛ ⎞part

minus⎜ ⎟part part⎝ ⎠＋ ˆ zA A

zρϕ

ρpart⎛ ⎞part

minus⎜ ⎟part part⎝ ⎠＋

1 1ˆ ( )A

z A ρϕρ

ρ ρ ρ ϕpart⎛ ⎞part

minus⎜ ⎟part part⎝ ⎠

上式可以用一個行列式來表示

rarrrarr

timesnabla A＝

ˆ ˆ ˆ1

z

z

zA A Aρ ϕ

ρ ρϕ

ρ ρ ϕρ

part part partpart part part

（A-1）

A and Anabla nablasdot nablatimes in 球座標 spherical coordinate

如上圖球座標 )( ϕθr 其中 )0[ infinisinr ]0[ πθ isin ]20[ πϕ isin 只有 r

是長度而 ϕθ 為角度是用來說明方向的三個座標的單位向量 ˆ ˆˆ r θ ϕ 具

有下列性質

4-66

1 如上圖 ˆ ˆˆ r θ ϕ 都不是常數而是（ ϕθ ）的函數

ˆ ˆ( )ˆ ˆ( )ˆ ˆ( )

r r θ ϕ

θ θ θ ϕϕ ϕ ϕ

⎧ =⎪

=⎨⎪ =⎩

)( ϕθr 與(xyz)之間的轉換如下

sin cossin sincos

x ry rz r

θ φθ φθ

=⎧⎪ =⎨⎪ =⎩

( )122 2 2

2 2

tan

tan

r x y z

x yz

yx

θ

φ

⎧ = + +⎪⎪ +⎪ =⎨⎪⎪ =⎪⎩

（A-2）

2 ˆ ˆˆ r θ ϕ 形成一「歸一正交集」ie

ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ 1r r θ θ ϕ ϕsdot = sdot = sdot = ˆ ˆr θ ϕperp perp

ˆ ˆr θ ϕtimes = ˆ ˆ rθ ϕtimes = ˆˆ rϕ θtimes = （A-3）

3可以很容易的由他們在 xyz 軸上的投影由直角

座標的 ˆ ˆ ˆ x y z 表出

ˆ ˆ ˆ ˆsin cos sin sin cos ( 4 )ˆ ˆ ˆ ˆcos cos cos sin sin ( 4 )ˆ ˆ ˆsin cos ( 4 )

r x y z A a

x y z A bx y A c

θ φ θ φ θ

θ θ φ θ φ θϕ φ φ

= + + minus⎧⎪

= + minus minus⎨⎪ = minus + minus⎩

4 ˆdr = 由於 ˆ ˆ( )r r θ φ= 所以由 ϕθ 的變動來看

4-67

ˆ ˆˆ| |ˆ ˆˆ| | sin sin

d r d d

d r d d

θ θθ θθ

φ θ φφ θ φφ

⎧ rArr =⎪⎨

rArr =⎪⎩rArr ˆ ˆˆ sindr d dθ θ φ θ φ= + （A-5）

rArrˆ ˆr θθpart

=part

ˆ ˆsinr θφφpart

=part

（A-6）

（A-6）的結果也可以直接由（A-4a）對 ϕθ 偏微得到

5 ˆdθ ＝ 由於 ˆ ˆ( )θ θ θ φ= 所以由 ϕθ 的變動來看

ˆ ˆ ˆ| | ( )ˆ ˆ ˆ| | cos cos

d d r d r

d d d

θ θ θ θ

φ θ θ φφ φ θ φ

⎧ rArr minus = minus⎪⎨

rArr =⎪⎩rArr ˆdθ ＝ ˆˆ cosrd dθ φ θ φminus + （A-7）

ˆrθ

θpart

rArr = minuspart

ˆ ˆcosθ φ θφpart

=part

（A-8）

請直接由（A-4b）對 ϕθ 偏微的結果 check（A-8）

6 ˆdφ ＝由於φ )(ϕ 躺在 x-y 平面上變動φ時的方向可能不是那麼

容易看出來所以做圖看一看

ie ˆ ˆˆ(sin ) (cos )d r d dφ θ φ θ θ φ= minus minus （A-9）

4-68

ˆ ˆˆsin cosrφ θ θ θφpart

= minus minuspart

7 所有的向量 ˆ ˆˆ rA rA A Aθ φθ φrarr= + +

8 位置向量 ˆr rrrarr=

可以由左圖 ˆ ˆˆ r θ ϕ 三個方向的「長度

變化」輕易的看出

9 位移元素

ˆ ˆˆ ˆ sindr rdr rd dθ θ ϕ θ φ= + + (A-10)

10 體積元素

sindv dr r d rdθ φ θ= sdot sdot

＝ 2 sinr dr d dθ θ φ (A-11)

11 面積元素 2 sinrds r d dθ θ φ= plusmn sinds r drdθ θ φ= plusmn ds rdrdφ θ= plusmn (A-12)

plusmn號表示面的垂直方向有兩個端看 ds 周邊的方向是如何定的

nabladel 考慮 ( )u u r θ φ=

rArru u udu dr d dr

θ φθ φ

part part part= + +part part part

u d rrarr rarr

equiv nabla sdot

urarr

= nabla sdot ˆ ˆˆ( sin )rdr rd dθ θ φ θ φ+ +

rArr1 1ˆ ˆˆ

sinu u uu rr r r

θ ϕθ θ φ

rarr part part partnabla = + +

part part part

1 1ˆ ˆˆsin

rr r r

θ ϕθ θ φ

rarr part part partnabla equiv + +

part part part （A-13）

4-69

直接用（A-13）與 ˆ ˆˆ rA rA A Aθ φθ ϕrarr= + + 逐項內積加上（A-678）

rArr ϕθ

θθθ

ϕθ part

part+

partpart

+partpart

=sdotnablararrrarr A

rA

rAr

rrA r sin

1)(sinsin1)(1 2

2 （A-14）

（A-13）與 ϕθ ϕθ AAArA r

andandandrarr

++= 逐項外積整理之後

ϕθ θϕθ

ϕθθ

θArrAA

r

rrr

rA

r sin

sin

sin1

2 partpart

partpart

partpart

=timesnabla

andandand

rarrrarr

（A-15）

Laplacian uu nablasdotnabla=nabla2

2

2

2222

22

sin1)(sin

sin1)(1

ϕθθθ

θθ partpart

+partpart

partpart

+partpart

partpart

=nablau

ru

rrur

rru （A-16）

B推導「散度」在圓柱座標的寫法

讓我們先回顧一下在直角座標裡的「面積元素」可以由「位移元素」

得到

ˆˆ ˆ x y zdr idx jdy kdz da dydz dxdz dxdy= + + rArr =

比照辦理「圓柱座標」的位移元素

( )ˆˆ ˆ( )

( )z

da d dzdr d d zdz da d dz

da d d

ρ

φ

ρ φ

ρ ρ φ ρ φ ρ

ρ ρ φ

=⎧⎪= + + rArr =⎨⎪ =⎩

這個結論可以輕易的由面積元素在垂直於 zˆˆ ϕρ 三個方向的面積看

出如下圖考慮一個以 )( zϕρ 為中心的「圓柱體積元素」(cylindrical

cubiod)體積為 zdV ΔΔ=Δ ϕρρ 現計算在 ρ

方向的 12 兩個平行面(方向各為 ρplusmn )的通

量

4-70

zzF

dsFdsnFS S

ΔΔ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

+cong

=sdotintint intintϕρρϕρρρ

ρ

2

2

ˆ1 1

zzF

dsFdsnFS S

ΔΔ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

minus⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

minusminuscong

minus=sdotintint intintϕρρϕρρρ

ρ

2

2

ˆ2 2

intint+

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

minus⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

minusminus⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

+Δ

asympsdotΔ

rArr21

22

22

1ˆ1

SS

zFzFdsnFV

ϕρρρρϕρρρρρρ ρρ

( ) ( )

1 20

0

0

1 ˆlim

1lim 2 2 2 2

1 1lim 2 2

1

VS S

F ndsV

F z F z

F z F z

F

ρ ρρ

ρ ρρ

ρ

ρ ρ ρ ρρ ρ φ ρ ρ φρ ρ

ρ ρρ ρ φ ρ ρ φρ ρ

ρρ ρ

Δ rarr+

Δ rarr

Δ rarr

rArr sdotΔ

Δ Δ Δ Δ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + + minus minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥Δ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦Δ Δ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥Δ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

part ⎡ ⎤= ⎣ ⎦part

intint

娛樂一下用上述方式把圓柱的 Fsdotnabla 裡的z

FF z

partpart

+partϕρϕ1

變出來

球座標的nabla和 Fsdotnabla 也可以試試看

補充習題

H M Scheydiv grad curl and all that 4th edition

第二章習題 6 8 9 10 11 14 15 16 18 19 21 22 23 25 26 27

第三章習題 2 3 5 6 7 8 9 10 11 14 15 17 18 19 24

4-32

因為單位向量 ˆ ˆ ˆ x y z 是常數不受微分的作用以致nabla表現得好像也

是個一般的向量一樣事實上真實向量和nabla間的「內積」就不滿足交

換率

x y zA A A A an operator Ax y zpart part part

sdotnabla = + + = ne nablasdotpart part part

(4-65)

這也使得任意向量場 ( )A r 因位置變動 r r drrarr + 而產生的變化由於

)( zyxA 也是 3 個變數 xyz 的函數可以寫為

( )A A AdA dx dy dz dr Ax y z

part part part= + + = sdotnabla

part part part （4-66）

ex29 (a)Given field 2ˆ ˆ ˆ2A xxy y x zyz= minus + find Anablasdot at point (1-12)

解2( ) (2 ) ( ) 2xy x yzA y yz

x y zpart part part

nablasdot = + + = +part part part

(1 12)1 2( 1)2 3A

minusnabla sdot = minus + minus =

(b) find rnablasdot 解 rnablasdot = 3x y zx y zpart part part

+ + =part part part

梯度的意義

由（4-67）可以看到「f 的梯度 fnabla 」

是一個由「純量場 f」衍生出的向量

場由（4-26）也可以看出 fnabla 扮演類

似「變化率」的角色

空間中將相同值 f ( )r ＝f1 的點連

起來就得到一個 f ( )r ＝f1 的「等值面」如 Fig36考慮純量場 f( r )的

相鄰兩個等值面各對應定值 1f f= 與 1f f df= + 0df gt P1 點在 f1

等值面上相鄰兩點 P2P3 在 1f df+ 等值面上而向量 1 2 ˆnP P dn e dn= =

過 P1 點垂直於 f1 等值面 1 3 ˆP P d e d= = 與 ˆne dn夾角為α 由於不

論 1 2P Prarr 或 1 3P Prarr f 的變化量都是 df 但因距離 dn 係兩等值面最

4-33

短的距離d dngt 所以 1 2P Prarr 或 1 3P Prarr 造成的「變化率」df dfdn d

gt

而過 P1 點的最大變化率為dfdn

換言之向量 ˆndfedn

為過 P1 點垂直於

f1 等值面且指向最大「增加率」的方向 現在要證明

ˆndfe fdn

= nabla （4-67）

考慮 1 3P Prarr 造成的 f 值的變化率

ˆ ˆcos n ldf df dn df df e edl dn dl dn dn

α= = = sdot

ˆ ˆ ˆn l ndf dfdf e e dl e dldn dn

rArr = sdot = sdot

和（4-61）式df f dr= nabla sdot 相比即可得證 ˆndfe fdn

= nabla 所以可以知道

空間純量場 f ( )r 中任一點處的向量 fnabla 必「垂直」於「通過該點的 f的等值面」且指向 f 值最大「增加率」的方向| ( )f rnabla |就是 f 在 r 點

的最大增長率可以進一步定義等值面的「法線 normal」方向為

ˆ fnf

nabla=nabla

（4-68）

結論給定一個純量場 f( r )在每一點 r 可以定義一個稱做「梯度」

的向量 fnabla fnabla 垂直於過 r 點的 f 等值面且指向最 f 大增加率的方向

fnabla 的方向也定義了 f 等值面的法線方向

Ex30 考慮一個 2D 的 scalar field 2( )f x y y x= minus 計算該場在 )20( 的梯度與

法線方向

解 ˆ ˆ ˆ ˆ2f ff x y x yyx ypart part

nabla = + = minus +part part

ˆ ˆ(0 2) 2 2f i jnabla = minus + ˆ ˆ ˆ ˆ2 2 2 2ˆ(0 2)

31 8i j i jn minus + minus +

rArr = =+

4-34

ex31 點電荷 q 置於原點其產生電位為 ( ) qV rr

= 求負梯度qr

minusnabla

解 3

2 2 2 22 2 2

2 ( )2

q q q q x x y zr x rx y z

minuspart minus= rArr = sdot + +

part+ +

3 23

ˆˆ ˆ ˆ( )q ix jy kz r rq q qr r r r

minus + +rArr minusnabla = minus = = （點電荷的電場）

0 0

1 1 r r

noter r= =

nabla rarrinfin rarrinfin∵ 是不定值是因為 r = 0 處為最大值

「增加率」的方向無法確定

ex32 置一熱源於原點空間溫度分佈為1( )

( 2)T r

r=

+求溫度的梯度

解 2 2 2

ˆ( ) ( )( 2) ( 2) ( 2)

x rT r rr rT r

x r r r

minuspart minus

= rArrnabla = =part + + +

此處的負號表示梯

度指向熱源因為距熱源越遠溫度越低 ( 0)note T rnabla = 為不定值

因在最頂點「增加率」的方向無法確定

Ex33 地圖上山脈的等高線上各點的垂直方向由梯度決定現有一座

山是橢球 2)1(4 222 =+++ zyx 在 x-y 平面上方的

部分求地圖上這座山等高線的梯度

解 山高 142 22 minusminusminus== yxzh 所以等高線為橢

圓 222 )1(24 +minus=+ hyx 梯度

( ) ( ) ( )2 2 2 2

2 2

ˆ ˆ4ˆ ˆ2 4 1 2 4 1

2 4

xx y yh x x y y x y

x y x y

minus +part partnabla = minus minus minus + minus minus minus =

part part minus minus

所以自山腳（h=0）登山若由(012)開始 ˆ(01 2) 2h ynabla = minus 但若由

)02(minus 開始爬山 ˆ( 20) 2h xnabla minus = 可見 )02()210( minusnablagtnabla hh 這表

示由 y-軸登山山勢較陡所以「梯度」比由 x-軸登山為大這也更

清楚瞭解「梯度」的幾何意義

4-35

sect 432 Divergence 散度與 Curl 旋度

在(4-66) 我們建立了一個直角座標 vector operator 「del」

ˆ ˆ ˆx y zx y zpart part part

nabla equiv + +part part part

(4-66)

若與向量場 A 做「內積」與「外積」就建構了 A 的「散度」與「旋度」

散度 A A scalaryx zAA Adiv ax y z

partpart partequiv nabla sdot = + + =

part part part （4-69）

旋度

y yz x z x

ˆ ˆ ˆ y z A vector

A AA A A Aˆ ˆ ˆxy z z x x y

x y z

x y z

xcurl A a

A A A

y z

⎧⎪

= nablatimes = part part part =⎪⎪⎨⎪

part part⎛ ⎞ ⎛ ⎞part part part part⎛ ⎞⎪ = minus + minus + minus⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎪ part part part part part part⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎩

(4-70)

這裡定義的只是「散度」與「旋度」所謂「操作型的定義」告訴我

們如何計算的式子事實上她們都具有重要的物理意義我們在後面

會討論

ex34 ˆ ˆA xy yx= minus 求其散度與旋度

解 0 0y xAx ypart part

nablasdot = minus + =part part

ˆ ˆ ˆ y zˆ ˆ ˆ ˆ 0 0 ( 2) 2

0 x y z

xA x y z z

y xnablatimes = part part part = minus + minus = minus

minus

右圖示意了本向量場的分佈看得出像個漩渦也看到算出的旋度

0ne 看來旋度表現的應該是向量場「旋轉的程度」事實上我們在

後面會看到「旋度」表現的就是是向量場在空間各點「旋轉的程度」

本題的向量場在每一點的旋轉程度都一樣

4-36

Ex35 ( )ˆ ˆ ˆ A xx yy zz r= + + = 求其散度與旋度

解 3A rnablasdot = nablasdot = ˆ ˆ ˆ y z

0

x y z

xA

x y znablatimes = part part part =

由場分佈的示意圖可以看出本向量場是自原點向外射出好似在原

點有一個場線的「源頭 source」但是 3Anablasdot = 為一個常數表示好像到

處都有 source同時旋度為 0 也可以配合本場並無旋轉的形象事實

上「散度」表現的就是是向量場在空間各點產生「場線」的 source

記得靜電學裡的庫倫定律 0E ρ εnablasdot = 電場的散度就是「電荷密度」

(電場的 source)前一題的向量場看來對應的場線是封閉的所以沒有

source這也對應了其散度＝0不過一個向量場的散度旋度究竟是

多少應該詳細的計算場分佈圖形有時候不是那麼容易看的清楚

兩個 useful identities (恆等式)

(a) ( ) 0 0f curl of a gradnablatimes nabla = =

(b) ( ) 0 0A div of a curlnablasdot nablatimes = =

pf (a) ( )ˆ ˆ ˆ x y z

x y z

x y z

ff f f

nablatimes nabla = part part part

part part part

( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2xz zxˆ ˆ ˆx y f- f z 0yz yz xy yxf f f f= part minus part minus part part + part minuspart =

這個結果與真實的向量外積 ( ) AA 0=times 有相似之處但是這只是特

例要記得nabla並不是一個真正的向量

( ) ( ) ( )

( )

ˆ ˆ ˆ y zˆ ˆ ˆ x y z

0

x y z y z z y x z z x x y y x

x y z

xy z xz y xy z yz x xz y yz x

xA A A A A A A

A A A

A A A A A A A

nablatimes = part part part = part minus part minus part minus part + part minus part

nablasdot nablatimes = part minuspart minuspart +part +part minuspart =

4-37

此結果與真實的向量運算有相似之處 ( )( )0 (B A) BB B Asdot times = times perp∵

但是這仍只是特例因為我們可由下列例子 ( ) 0A Asdot nablatimes ne 看出事實上

nabla並不是一個真正的向量 Ex36 ˆ ˆ ˆA xy yx zx= minus +

( )

ˆ ˆ ˆ y zˆ ˆ ˆ 0 1 ( 2)

2 0

x y z

xA x y z

y x x

A A x x x

nablatimes = part part part = minus + minus

minus

sdot nablatimes = minus = minus ne

面積元素向量

物理上時常會遇到面積分例如電通量磁通

量等等考慮一個面積元素 ds定義「面積的

方向」為其「法線方向」並定義面積元素向量

ˆnds a dsequiv （4-71）

要注意的是(1)如果 ds 是一個「封閉面

closed surface」（即有裡外之分）的一部

份則 ˆna 定義為「由內向外」(2) 如果 ds

是一個「開放面 opened surface」（即分不

出裡外）的一部份那麼 ds 必被其邊緣

（一個封閉的曲線 C）所包圍這樣在定

出ds 的方向之前要先定義「邊緣曲線」

C 的方向再由右手定則定義 ˆna 的方向

既然面積已為一個向量就可以寫為分量表示以直角座標

ˆ ˆ ˆx y zds xds yds zds= + + (4-72)

那麼這些分量 dsx dsy dsz 會是什麼既然 dsx 的方向是 x 就表示 dsx

是躺在 y-z 平面上所以 dsx 的兩邊是 dy 與 dz rArr xds dydz= 依此類

4-38

推 dsy 的方向是 y 所以躺在 x-z 平面rArr yds dxdz= hellip可以得知

xds dydz= yds dxdz= zds dxdy= （4-73）

不過要注意在寫面積元素時要看討論的面實際

是什麼面上式的三個分量有可能會是負的例如

左圖座落在第一象限的立方體的 A 面方向就在 xminus

方向Arsquo面在 yminus Ardquo面在 zminus 方向寫面積元素最

好是先把討論的面的方向搞清楚把plusmn號寫在單位向量前面那麼分

量就都用＋的即可其實面積元素體積元素都可以由位移元素看出

ˆ ˆ ˆdr xdx ydy zdz= + +

dx dy dz 是沿著 ˆ ˆ ˆ x y z 方向的長度所以面積元素分量的兩邊長度就

是由其中兩個組成而體積的三邊也就是三個垂直方向的長度

x y zdV dx dy dz and ds dydz dxdz dxdyrArr = = （4-74）

這個概念在其他的座標系統也成立我們可以方便的寫出面積元素

Recall 柱座標的位移向量元素

cylindrical coordinate ˆ ˆ ˆdr d d dzzρρ ρ ϕϕ= + + （4-48）

ˆ ˆ ˆ zds ds ds zdsρ ϕρ ϕ= + + (4-75)

dsρ 躺在 zϕ minus 平面dsϕ 在 zρ minus 平面 zds 在ρ ϕminus 平面

rArr zds d dz ds d dz ds d d d dρ ϕρ ϕ ρ ρ ρ ϕ ρ ρ ϕ= = = sdot = （4-76）

上面的結果畫個圖看看吧球座標的位移向量元素

Spherical coordinate ˆ ˆˆ ( ) ( sin )dr rdr rd r dθ θ ϕ θ ϕ= + + （4-56）

ˆ ˆˆ rds rds ds dsθ ϕθ ϕ= + + （4-77）

rArr sin sin rds rd r d ds dr r d ds rd drθ ϕθ θ ϕ θ ϕ θ= sdot = sdot = sdot (4-78)

4-39

向量場 ( )A r 在 S 面上的「面積分（surface integral）」or「flux」

如左圖若有一「平面」S 且其上有「均勻」

場 B 分佈則通過 S 面的通量就是

ˆB B nSΦ = sdot

但考慮一任意「非均勻」向量場 ( )A r 在空間分佈選取任意曲面 S

探討 ( )A r 在 S 上之通量若ds 為 S 面上的面積元素在趨近於 0 的

小面積ds 上 A可視為均勻所以通過ds 之通量為 ( )d A r dsΦ = sdot 則 S

面之總通量為

Φ＝ ˆ cosS S S

A ds A nds A daϕsdot = sdot =int int int

( )OR

x x y y z zS

A da A da A da= + +int (4-75)

稱為 A 在 S 面上的「面積分」或「通量 flux」

上圖所繪就是一個任意面上分割出許多小面積舉出三個位置的通

量有+-與 0如果 S 面是為一「封閉面」則面積分寫為

S

A dssdotint （4-76）

4-40

ex37 Given 2ˆ ˆ ˆyzA xyz yx zx= + + 計算通量S

A dssdotint

S 面為在第一象限邊長＝1 的立方體表面封閉面

解立方體分為前後右左上下六個面分開算 1前面（x=1）

方向 x+ ˆ xA ds A xdydz A dydzsdot = sdot =int int int前 前 前

yzdydz= int前 ＝1 1

0 0

1 1 12 2 4

ydy zdz = sdot =int int

2後面(x=0)方向 xminus ˆ(- ) - xA ds A x dydz A dydzsdot = sdot =int int int後 後 後

yzdydz= minusint後1 1

0 0

-1 1 -12 2 4

ydy zdzminus = sdot =int int

3 右面（y=1）方向 y+ y ( 1)yA ds A dxdz A y dxdzsdot = sdot = =int int int右 右 右

( 1)x y zdxdz= =int右 ＝1 1

0 0

1 1 12 2 4

xdx zdz = sdot =int int

4 左面（y=0）方向 ˆ-y ˆ( y) - ( 0)yA ds A dxdz A y dxdzsdot = sdot minus = =int int int左 左 左

( 0) 0x y zdxdz= = =int左

5 上面（z=1）方向 z+ zz y (z 1) yA ds A dxd A dxdsdot = sdot = =int int int上 上 上

2 yx dxd= int上 ＝1 120 0

1 1y 13 3

x dx d = sdot =int int

6 下面（z=1）方向 ˆ-z zˆ(-z) y - (z 0) yA ds A dxd A dxdsdot = sdot = =int int int下 下 下

2 -1- y3

x dxd= =int下 ＝1 120 0

1 1y 13 3

x dx d = sdot =int int

S

A dssdotint ＝六個面的和＝1 1 1 1 1 1( ) ( 0) ( )4 4 4 3 3 4

minus minus+ + + + + =

ex38 Given ˆ ˆ ˆzA xyz yx zxy= + + 計算通量S

A dssdotint S 為圓 2 2 2x y a+ =

在第一項限的部分方向選為 z+ 2 2y a x= minus

4-41

解 2 2 4

0 0ˆ

8a a x

zS S S S

aA ds A zdxdy A dxdy xydxdy xdx ydyminus

sdot = sdot = = = =int int int int int int

Ex39 In cylindrical coordinate Given ˆ ˆaA zbzρρ

= + where a b are

constants Find S

A dssdotint over the surface of a

closed cylinder about z-axis specified by 3 2z ρ= plusmn =

解S 分為上下與周邊三面

zz (z 3)zA ds A ds A d dρ ρ ϕsdot = sdot = = sdotint int int上 上 上

= 23 3 2 12bd d b bρ ρ ϕ π πsdot = sdot =int上

ˆ(-z)A ds A d dρ ρ ϕsdot = sdot sdotint int下 下

= z- (z -3)A d dρ ρ ϕ= sdotint下 = 23 2 12b bπ πsdot =

周邊ds ˆ ( )d dzρ ρ ϕ= rArr ˆ ( ) z ( ) zA ds A d d A d dρρ ρ ϕ ρ ϕsdot = sdot =int int int周 周 周

2 3

0 3( ) z ( ) z=a 12aA d d d d d dz a

πρ ρ ϕ ρ ϕ ϕ π

ρ minus= = =int int int int周 周

加起來 S

A dssdotint ＝12 24 12 ( 2 )a b a bπ π π+ = +

ex40 一點電荷 q 置於原點計算在一個以原點為圓心 0r 為半徑的球

面上的電通量

解 2 20 0

ˆ ˆ4 4S S

qr q dsE ds rdsr rπε πε

sdot = sdot =int int int

=0 0 0

44 4S

q q qd ππε πε ε

sdot Ω = sdot =int

上式中 dΩ 2dsr

= 是 ds 所張開的「立體角」(solid angle)

4-42

div A and Flux 通量與散度的幾何物理意義

我們運用過nabla的符號來表示過散度 divF F= nablasdot yx zFF Fx y z

partpart part= + +part part part

但是也看到「散度」定義為

0( )

1( ) limSV

about x y z

divF x y z F da divergence of FVΔ rarr

equiv sdot =Δ int (4-77)

其中 VΔ 為 S 面所包含的體積即散

度為通量(體)密度的 0 體積極限

（4-77）的定義與 Fnablasdot 好像差的很

多她們是說同一回事嗎以下證明

這兩種「散度」的定義是等價的如

左圖考慮一個以點 ( ) x y z 為中心

的 立 方 體 其 相 鄰 三 邊 長 為

x y zΔ Δ Δ 體積 V x y zΔ = Δ Δ Δ 現在計算 F 在立方體的一組平行於 y-z平面的表面 S1 與 S2 的通量

( )1 1

ˆ ˆ xS S

F nds F xds F x y z dsrArr sdot = sdot =intint intint intint 2xxF x y z y zΔ⎛ ⎞asymp + Δ Δ⎜ ⎟

⎝ ⎠

其中 2xx y zΔ⎛ ⎞+⎜ ⎟

⎝ ⎠為 S1 面中心的座標而

2xx y zΔ⎛ ⎞minus⎜ ⎟

⎝ ⎠為 S2 面的中心

( ) ( )2 2 2

ˆ ˆ 2x x

S S S

xF nda F x ds F x y z ds F x y z y zΔ⎛ ⎞rArr sdot = sdot minus = minus asymp minus minus Δ Δ⎜ ⎟⎝ ⎠intint intint intint

上式中的負號來自 S2 面的方向是 xminus 所以合併兩個面積分

1 2

ˆ 2 2x x

S S

x xF nds F x y z F x y z y z+

Δ Δ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞rArr sdot asymp + minus minus Δ Δ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦intint

2 2x xx xF x y z F x y z

x y zx

Δ Δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠= Δ Δ Δ

Δ

2 2

x xx xF x y z F x y z

Vx

Δ Δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠= Δ

Δ

1 2

1 2 2ˆ

x x

S S

x xF x y z F x y zF nds

V x+

Δ Δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠rArr sdot asymp

Δ Δintint

4-43

當取體積向(xyz)點收縮至 0 時即 0 x 0as VΔ rarr Δ rarr 上式的近似

「asymp」就成了「＝」

1 20

1 ˆlimV

S S

F ndsVΔ rarr

+

sdotΔ intint

( )0

2 2limx x

x

x

x xF x y z F x y z F x y zx xΔ rarr

Δ Δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟ part⎝ ⎠ ⎝ ⎠= =Δ part

Similarly F 在立方體的一組平行於 x-z 平面的表面 S3 與 S4 的通量

3 3 3

ˆ ˆ yS S S

F nds F yds F dsrArr sdot = sdot =intint intint intint

2

2

y

y

yF x y zyF x y z x z x y z

y

Δ⎛ ⎞+⎜ ⎟Δ⎛ ⎞ ⎝ ⎠asymp + Δ Δ = Δ Δ Δ⎜ ⎟ Δ⎝ ⎠

( )4 4 4

2ˆ ˆ

y

yS S S

yF x y zF nds F y da F ds x y z

y

Δ⎛ ⎞minus⎜ ⎟⎝ ⎠rArr sdot = sdot minus = minus asymp Δ Δ Δ

Δintint intint intint

合併 S3 與 S4 兩個面積分並取體積向(xyz)點收縮至 0 時即當

0 y 0VΔ rarr Δ rarr 上式的近似asymp就成了＝

3 4

2 2ˆ

x x

S S

y yF x y z F x y zF nds V

y+

Δ Δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠rArr sdot cong Δ

Δintint

3 40 0

1 2 2ˆlim lim

x xy

V yS S

x yF x y z F x y z FF nds

V y yΔ rarr Δ rarr+

Δ Δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟ part⎝ ⎠ ⎝ ⎠rArr sdot = =Δ Δ partintint

與上面相同的作法計算 F 在立方體的一組平行於 x-y 平面的表面 S5

與 S6 的通量我們也會得到對應的結果

5 6

2 2ˆ

z x

S S

z zF x y z F x y zF nds V

z+

Δ Δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠rArr sdot cong Δ

Δintint

5 60 0

1 2 2ˆlim lim

z xz

V zS S

z zF x y z F x y zFF nds

V z zΔ rarr Δ rarr+

Δ Δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟ part⎝ ⎠ ⎝ ⎠rArr sdot = =Δ Δ partintint

所以合併立方體的 6 個面積分

4-44

1 2 3 4 5 6

ˆ ˆ ˆ ˆS S S S S S S

F nds F nds F nds F nds+ + +

rArr sdot = sdot + sdot + sdotint intint intint intint

0

1 ˆlim yx zV

FF FF nds div F FV x y zΔ rarr

partpart partrArr sdot = + + = = nablasdot

Δ part part partint (4-78)

在此我們得證這兩種「散度」的定義是等價的只是（4-77）的定義

充分的表現出「散度」的幾何物理意義他從通量著手由於場線

出自於 source（ex電場源自於點電荷）所以在點(xyz)必須有向量場

F 的 source 存在才能使得當面積縮到 0 時仍具有非 0 的通量所以「散

度」表現向量場 F 的 source 在這個定義之下是很清楚的當然在計算

「散度」時我們不必那麼麻煩用 divF F= nablasdot 就好了

Ex41 計算 2ˆ ˆ ˆF xx yxy zyz= + + 的散度

解 2 yx zFF Fx x yx y z

partpart part= = =

part part part F 2x x y 3x ydivrArr = + + = +

recall 在靜電學0

yx zEE EEx y z

ρε

partpart partnablasdot = = + +

part part part

散度定理 Divergence Theorem

若任意封閉面（又稱為「高斯面」）S 所包圍的

體積為 V 則

S VA ds Adτsdot = nablasdotint int （4-79）

pf 我們先將體積分割成 N 個小盒子考慮相鄰的兩個小盒子 1 2

兩小盒子的共用面面積 S0當 S0 是為 1 號盒子的一部份時其方向為

1n 但若當為 2 號盒子的表面時其方向為 12 ˆˆ nn minus= 如此在 S0 分別做

4-45

1 2 盒子的面積分後

0 0

0 0 0 0

1 2

1 2 1 1ˆ ˆ ˆ ˆ 0

S S

S S S S

A ds A ds

F n ds F n ds F n ds F n ds

sdot + sdot

= sdot + sdot = sdot minus sdot =

intint intintintint intint intint intint

所以若求場 A 在 1 2 盒子的總通量時交界面是沒有貢獻的總通量

就只有「外面積」才有貢獻如此我們計算 N 個小盒子的總通量

時所有的內部共用面都得 0只剩下「外表面」的貢獻了當 infinrarrN

時所有小盒子的「總外表面」就與 S 面重合了所以所有小盒子通量

的總和就等於 S 面的通量

1lim

i

N

S SN iA ds A ds

rarrinfin=

rArr sdot = sdotsumint int

現在我們做 N 個小盒子的總通量

1 1

1i i

N N

iS Si i i

A ds A ds VV= =

⎛ ⎞sdot = sdot Δ⎜ ⎟Δ⎝ ⎠

sum sumint int

當 0iN Vrarrinfin rArr Δ rarr 並用 dv 表示體積元素

( ) ( )1 1

1

1lim lim lim

lim

i ii

N N

iS SN N V oi i i

N

i VN i

A ds A ds VV

A V A dv

rarrinfin rarrinfin Δ rarr= =

rarrinfin=

⎛ ⎞sdot = sdot Δ⎜ ⎟Δ⎝ ⎠

= nablasdot Δ = nablasdot

sum sumint int

sum int

( )S V

A da A dvrArr sdot = nablasdotint int QED

所以得證散度定理上式中我們用了散度的（4-77）式定義要分辨

清楚 Anablasdot 是向量場 A 在空間中「某一點」的性質（ 0VΔ rarr ）而「散

度定理」說的是一個「有限體積」的性質

ex42 給定 ( ) ˆ ˆ ˆ A x y z xx yy zz r= + + = 計算在

半徑 R＝1 的球的上半球加底面的通量

4-46

解 ( )ˆˆS

A da A rda A k darArr sdot = sdot + sdot minusint int int上半球面 底面

( )

2

ˆ ˆ

0 2 1 2

A rda A z dxdy

r rds zdxdy rds ds π π

= sdot + sdot minus

= sdot minus = minus = = sdot =

int int

int int int int上半球面 底面

上半球面 底面 上半球面

底面的通量＝0 是因為 A 的 z 分量 Az=z 在底面的值為 0

也可以用散度定理更快的得出結果

∵ 3A rnablasdot = nablasdot =

31 43 3 1 22 3V V

Ad d πτ τ πnablasdot = = sdot sdot sdot =int int

ex43高斯定律的微分形式積 由 Gaussrsquo law 的積分形式用散度定理得出其

( )0 0

1 inS V

qE ds x y z dvρε ε

sdot = =int int

0S V VE ds Edv dvρ

εrArr sdot = nablasdot =int int int

上式最後的等式對「任意形狀」V 都成立所以兩者的被積函數相等

對於空間每一點 0

E ρε

nablasdot = （4-80）

ex44 Use 第一象限的單位力方體 check the divergence theorem using the function 2 2ˆ ˆ ˆ(2 ) 2A y x xy z y yzz= + + +

解2

2( ) (2 )(2 ) 2( )y yzA xy z x yx y z

part part partnablasdot = + + + = +

part part part

and 1 1 1 1 1 1

0 0 0 0 0 02 ( ) 2 ( )

VAdv x y dxdydz dz dy x y dxnablasdot = + = +int int int int int int int

1 1

0 0

1 12 ( ) 2 12 2

dz y dy= + = sdot =int int

面積分 1 1 2

0 0

1ˆ3

A ds A xdydz dz y dysdot = sdot = =intint intint int int前 前

4-47

1 1 2

0 0

1ˆ( )3

A ds A x dydz dz y dy minussdot = sdot minus = minus =intint intint int int

後 後

1 1 2

0 0ˆ (2 )A ds A ydxdz dz xy z dxsdot = sdot = +intint intint int int

右 右

1 1 1 12 2

0 0 0

4(2 ) (1 )3

ydz x z dx dz z

=

= + = + =int int int∵

1 1 2

0 0

0 1 1 12 2

0 0 0

ˆ( ) (2 )

1(1 )3

y

A ds A y dxdz dz xy z dx

dz z dx dz z=

sdot = sdot minus = minus +

minus= minus = + =

intint intint int int

int int int∵

左 左

11 1 1 1

0 0 0 0ˆ 2 2 1

zA ds A zdxdy dx yzdy dx ydy

=sdot = sdot = = =intint intint int int int int

∵

上 上

01 1

0 0ˆ 2 0

zA ds A zdxdy dx yzdy

=sdot = sdot minus = minus =intint intint int int

∵

下 下

前後右左上下六個面積分合併＝1＝V

Advnablasdotint QED

ex45 Continuity Equation 連續方程式

考慮某些「東西」的流動（物質電荷hellip）在時刻 t 時在點(xyz)

的 密 度 為 ( ) x y z tρ ρ= 並 具 有 速 度

( ) v v x y z t= 在時刻 t 時在體積 V 內的總量為

( ) x y z t dρ τintintint

這樣體積 V 內東東的時變率為

( ) ( ) d x y z t d x y z t ddt t

ρρ τ τpart=

partintintint intintint

注意體積分後的時間全微分移入積分內要改為偏微分這個東東

在表面的「流率 flow rate」可表為

ˆS

R v ndsρ= sdotintint

若體積內的物料無法自生自滅那麼體積內物料的變化必經由表面的

流出流入所造成

d v ndstρ τ ρpart

rArr = minus sdotpartintintint intint

由散度定理

4-48

( )ˆS

v nds v d dtρρ ρ τ τpart

sdot = nablasdot = minuspartintint intintint intintint

( )v Jtρ ρpart

rArr = minusnablasdot equiv minusnablasdotpart

0Jtρpart

rArr +nablasdot =part

（4-81）

(4-81) 即 continuity equation其中 J vρ= 為「物流密度」ex如果 ρ

是電荷密度 J 就是電流密度（4-81）是物質守恆的結果只對體

積內無 source（生成）or drain（消滅）的東東成立

ex46 Given a vector field ˆ ˆx yA ye xe= minus + (a) Find

Anablasdot (b)如圖一個金字塔狀的 5 面體高 2 底邊長

1計算 A在整個金字塔表面（封閉面）的總通量

解(a) Anablasdot = ( ) ( ) 0y xx ypart part

minus + =part part

(b) 金 字 塔 的 表 面 面 積 元 素 ds 不 好 寫 所 以 用 散 度 定 理

( )S V

A da A dvrArr sdot = nablasdotint int ＝0 Anablasdot 表示 A沒有 source 所以對封閉面而

言有多少場線進入就有多少出去所以總通量＝0

習題 7 With position vector r for an arbitrary volume V that is

bounded by surface S show that 13 S

r ds Vsdot =int

習題 8 已知一靜電場為 ˆ ˆ ˆ( )E xyz yxz zxyλ= + + 運用 Gaussrsquo law

試求包含在半球 2 2 2 2 0x y z R z+ + = ge 裡的總電荷 Ans 0

習題 9 (a) given ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( 2 )F r xf x yf y zf z= + + minus show that divF is

zero at point (c c -c2) (b) given ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( )G r xf x z yg x z zh x y= + +

show that ( ) 0G rnablasdot =

4-49

習題 10 Find the normal vector n for the surfaces (a) z = 2-x-y ans

ˆ ˆ ˆ( ) 3x y z+ + (b) z = (1-x2)12 ans ˆ ˆxx zz+ (c) z = x2+y2

ans ˆ ˆ ˆ( 2 2 ) 1 4xx yy z zminus minus + +

習題 11 Show that the unit vector normal to the plane ax+by+cz =d is

given by 2 2 2ˆ ˆ ˆ( ) ax by cz a b cplusmn + + + +

圓柱座標與球座標的nabla (del)

考慮一純量場在直角座標為 ( ) u x y z 在圓柱座標表為 ( ) u zρ φ

再考慮因位移 r r drrarr + 所造成 u ( )zρ φ 的變化

( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆz

z

u u udu d d dz u dr u d d zdzz

u u z u d d zdz

u d u d u dzρ ϕ

ρ ϕ

ρ ϕ ρ ρ ϕρ ϕρ ϕ

ρ ϕ ρ ρ ϕρ ϕ

ρ ρ ϕ

part part part= + + = nabla sdot = nabla sdot + +part part part

⎡ ⎤= nabla + nabla + nabla sdot + +⎣ ⎦= nabla + nabla + nabla

( ) ( ) ( )1

1ˆ ˆ ˆu

z

u u uu u uz

u u uzz

ρ ϕρ ρ ϕ

ρ ϕρ ρ ϕ

part part partrArr nabla = nabla = nabla =

part part partpart part part

rArrnabla = + +part part part

1ˆ ˆ ˆ zz

ρ ϕρ ρ ϕpart part part

nabla = + +part part part

（4-82）

注意nabla的ϕ -分量( 1ρ ϕ

partpart

)不是像直角座標裡單純的ϕpartpart

所以不要笨笨

的就把直角座標的形式硬套上去用我們也可以從「因次分析」來

看nabla因為是對空間的微分所以每一項的因次必須是「長度分之一」

運算 andzρ

part partpart part

都是「長度分之一」而「單純的ϕpartpart

」是沒有單位的

所以要1ρ ϕ

partpart

才 OK

由於圓柱座標裡的單位向量除了 z 之外 ˆ( )ρ ϕ 與 ˆ( )ϕ ϕ 都不是常

4-50

數所以在微分時不可以與微分運算交換而要考慮微分的作用所

以在「圓柱座標」寫「散度」 ( ) F zρ ϕnablasdot 也和直角座標不一樣

( )1ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ zF z F F zFz ρ ϕρ ϕ ρ ϕ

ρ ρ ϕpart part part⎛ ⎞

nabla sdot = + + sdot + +⎜ ⎟part part part⎝ ⎠

( ) ( )1ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆz zF F zF F F zFρ ϕ ρ ϕρ ρ ϕ ϕ ρ ϕρ ρ ϕpart part

= sdot + + + sdot + +part part

( )ˆ ˆˆ ˆ zz F F zFz ρ ϕρ ϕpart

+ sdot + +part

因為 ( ) ( )ˆ ˆ ˆ ˆ ρ ρ ϕ ϕ ϕ ϕ= = 所以做 andzρ

part partpart part

時 ˆ ˆ ρ ϕ 可視為常數

ˆ ˆ1ˆ ˆ ˆ zF F F FF F Fz

ρ ρ ϕρ φ

ρ ϕϕ ρ ϕρ ρ ϕ ϕ ϕ ϕ

part part part⎡ ⎤part part partrArrnablasdot = + sdot + + + +⎢ ⎥part part part part part part⎣ ⎦

還記得 ˆ ˆ ˆ ˆd d d dρ ϕ ϕ ϕ ρ ϕ= = minus 所以 ˆ ˆρ ϕϕpart

=part

ˆ ˆϕ ρϕpart

= minuspart

rArr

( )1 1 1z zF F F FF FF Fz z

ρ ρ ϕ ϕρρ

ρ ρ ρ ϕ ρ ρ ρ ϕpart part part part

nablasdot = + + + = + +part part part part part part

（4-83）

在球座標寫nabla也會遇到相似的問題其根源就是球座標 ( )r θ ϕ 裡

的 θ ϕ 的因次並非長度而三個單位向量 ˆ ˆˆ r θ ϕ（表為 ie ）都是( θ ϕ )

的函數以致

( )ˆ ˆ( ) ( )i ie f e fθ ϕ θ ϕθ θpart part

nepart part

且 ( )ˆ ˆ( ) ( )i ie f e fθ ϕ θ ϕϕ ϕpart part

nepart part

所以nabla也不似在直角座標那麼簡單我們不在這裡推導而是給出一

個歸納的統一的三個座標的結果還記得對每一個座標 iu i = 123

座標的變化 idu 與造成的長度變化 id

i i id h du= 123i = (4-84)

其中 ih 為對應的度量係數(metric coefficient)

4-51

1 2 3

1 1 2 2 3 3

1 1 1ˆ ˆ ˆu u ue e eh u h u h u

part part partnabla equiv + +

part part part （4-85A）

座標 1 2 3 u u u

度量係數

1 2 3 h h h

nabla grad del

直角 x y z

1 1 1 nabla ˆ ˆ ˆx y z

x y zpart part part

equiv + +part part part

圓柱

zρ ϕ

1 1ρ

1ˆ ˆ ˆ z

zρ ϕ

ρ ρ ϕpart part part

nabla equiv + +part part part

球

r θ ϕ

1 sinr r θ

1 1ˆ ˆˆ

sinr

r r rθ ϕ

θ θ ϕpart part part

nabla = + +part part part

（4-85B）

梯度gradient Vnabla grad(V) 散度divergence Anablasdot div( )A

直

角 nablaV ˆ ˆ ˆV V Vx y z

x y zpart part part

= + +part part part

yx zAA AAx y z

partpart partnablasdot = + +

part part part

圓

柱

1ˆ ˆ ˆ V V VV zz

ρ ϕρ ρ ϕpart part part

nabla = + +part part part

( )1 1

1

z

z

A AA Az

A A A Fz

ϕρ

ρ ρ ϕ

ρρ ρ ρ ϕ

ρ ρ ρ ϕ

partpart partnabla sdot = + +

part part partpart part part

= + + +part part part

球

1 1ˆ ˆˆ sin

V V VV rr r r

θ ϕθ θ ϕ

part part partnabla = + +

part part part

22

1 ( )rA r Ar r

partnabla sdot =

part

1 (sin )sin

Ar θθ

θ θpart

+ sdotpart

1sin

Ar

ϕ

θ ϕpart

+part

(4-86)

Ex47 Using spherical coordinate show that 1| |r r

nablaminus

= 2

ˆ| |

r rer r

minusminusminus

where

nabla是作用在 r 而 ˆr re minus 是向量 r rminus 方向的單位向量 解let r lies in z-axis so that the angle between r and r is just θ

4-52

rArr ( ) 122 21 1 2 cos | | ( ) ( )

r rr rr r r r r r

θminus

= = minus +minus minus sdot minus

( ) ( )12 122 2 2 21 1ˆˆ 2 cos 2 cos | |

r r rr r r rr rr r r r

θ θ θθ

minus minuspart partnabla = minus + + minus +

minus part part

( ) 322 21ˆ 2 cos (2 2 cos )2

r r rr r r rθ θminusminus

= minus + minus

( ) 322 21ˆ 2 cos (2 sin )2

r rr r rrθ θ θminusminus

+ minus +

3 3 3 3

ˆˆ ˆ( cos ) sin ( cos sin )ˆˆ| | | | | | | |r r r rr r rrr r r r r r r r

θ θ θ θ θθminus minus minus minus minus= + = +

minus minus minus minus

3 3 3ˆ ( )

| | | | | |r r z r r r rr r r r r rminus + minus + minus minus

= = =minus minus minus

＝ 2

ˆ| |

r rer r

minusminusminus

QED

證明最後我們用到 ˆˆˆ cos sinz r θ θ θ= minus 而 ˆ r r z= 因為我們選了 r 是

躺在 z-軸 Ex48 For arbitrary scalar field ( )f r and vector field ( )A r 證明恆等式

( )fA f A f Anablasdot = nabla sdot + nablasdot (4-87) 解 ˆ ˆ ˆx y zfA xfA yfA zfA= + +

( ) ( ) ( ) ( )x y zfA fA fA fAx y zpart part part

rArrnablasdot = + +part part part

yx zx x x

AAf f f AA f A f A fx x y y z z

partpartpart part part part= + + + + +part part part part part part

yx zx y z

AAf f f AA A A fx y z x y z

part⎛ ⎞partpart part part part= + + + + +⎜ ⎟part part part part part part⎝ ⎠

f A f A= nabla sdot + nablasdot QED 習題 12 一個位於原點的電偶極電偶極矩＝ ˆp pz= 已知其在遠處

的電位為 20

cos4p

rθ

πε試證該處的電場強度為 E = 3

0

ˆˆ( 2cos sin )4

p rr

θ θ θπε

+

(已知 E V= minusnabla )並請計算 Enablasdot ＝

習題 13 給定一向量場2

3cosˆD r

rϕ

= 現有兩個球心在原點的同心球

內球半徑 R＝1外球 R＝2(a)求面積分S

D dssdotint S 為同心球殼的表

面（有內外兩個面）(b)求體積分V

Ddvnablasdotint V 為兩同心球之間的

區域本題也是來 check 散度定理的Ans πminus

4-53

The Laplacian operator 2nabla equivnablasdotnabla

在直角座標可以用直接作用得到

2 2 2

22 2 2u u uu u

x y zpart part part

nabla equiv nablasdotnabla = + +part part part

(4-88)

圓柱座標

2 2

22 2 2

1 1( ) u u uu uz

ρρ ρ ρ ρ ϕ

part part part part⎛ ⎞nabla equiv nablasdot nabla = + +⎜ ⎟part part part part⎝ ⎠

(4-89)

球座標

2

2 22 2 2 2 2

1 1 1sinsin sin

u u uu rr r r r r

θθ θ θ θ ϕ

part part part part part⎛ ⎞ ⎛ ⎞nabla = + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟part part part part part⎝ ⎠ ⎝ ⎠ （4-90）

習題 14 verify (4-89) and (4-90)

習題 15 Given a dipole potential V= 20

cos4p

rθ

πε find 2Vminusnabla

sect 433 Line integral and curl A 線積分與與旋度的物理意義

線積分路徑積分

考慮一曲線 C 通過兩點 ( )i i i iP x y z 與

( )f f f fP x y z 現有一向量場 ( )A x y z 定義在

C 所在的空間若 sd 為 C 上位於(xyz)點的

「路徑元素」（ ˆd td= 方向沿該處切線）而

( )A x y z 為路徑元素d 處的場值則沿 C 經歷各點所做積分

cos cosf

CC C iA d Ad A dϕ ϕrarr rarrsdot = =int int int （4-91）

稱為向量場 ( )A x y z 沿路徑 C 自 pi 至 pf 的「線積分」「或「路徑積分」

積分裡 A 取值的點侷限在路徑 C 上面若為一個「封閉路徑」則對

C 的線積分也稱做「環路積分 closed contour integral」記做

C

A dsdotint （4-92）

4-54

物理量「做功」是最標準的線積分之一力 F 自 x = a 至 x = b「沿線」

x 軸做功

W＝ F dxsdotint ＝ ( )b

xaF x dxint （4-93）

質點在力場 )(rF 裡走一條曲線 C則力場做功

CW F d= sdotint （4-94）

還記得如果 ( )F r 是所謂「保守力」則上式只與始末點有關而與

路徑無關但如果 ( )F r 是所謂「非保守力」則做功與確實的路徑 C

有關

現考慮一質點在空間運動的位置 r 落在由曲線 C

描述的路徑則質點的位移元素與曲線 C 的路徑元

素相同 d dr= 若空間有向量場 A 分佈則 A 在 C 的

路徑積分以直角座標表示為

CA drarr rarrsdotint ＝

CA d rrarr rarrsdotint ＝ ( )x y zC

A dx A dy A dz+ +int （4-95）

上式中的 x y z 的積分限由 C 決定

Ex49 2 2 2ˆ ˆ ˆA xx yy zzrarr= + + 選定一路徑 C 為曲線

2y x= 由 (000)到 (2 20)的部分求C

A dsdotint

解 ˆ ˆd xdx ydy= +∵

CA dsdotint ＝ 2 2( )

Cx dx y dy+int ＝

2 22 2

0 0x dx y dy+int int

＝ )24(32

+

或由 2y x= rArr 2ydy dx= 2 12

y dy xdxrArr =

rArrC

A dsdotint ＝2 2

0

1( )2

x x dx+int ＝2 (4 2)3

+

4-55

ex50 ˆ ˆ( )f x y z xy yx= minus Do C

f dsdotint 其中的路徑 C 為一逆時針三角

形如圖 解∵路徑全部在 x-y 平面 ˆ ˆ ˆd td xdx ydy= = +

rArrC

f dsdotint ＝ x yC

f dx f dy+int ＝C

ydx xdyminusint

由於在 C1 上 y = 0 及 dy = 0 所以 01

=intC 又由於在

C3 上 x = 0 及 dx =0所以 03

=intC 所以只剩下 C2 可

能有貢獻由 2C 的方程式x + y =1rArr ⎩⎨⎧

minus=minus=

xyyx

11

rArr2Cydx xdyminusint ＝

0 1

1 0(1 ) (1 )x dx y dyminus minus minusint int ＝

0 12 2

1 0

( ) ( )2 2x yx yminus minus minus ＝-1

Cf dsdotint ＝-1

ex51 ( )f x y zrarr

= 2ˆ ˆxx yxyminus 如右圖doC

f dsdotint 其

中路徑 C 為第一象限的逆時針 14 圓弧

解∵ 全部在 x-y 平面 ˆ ˆd xdx ydy= +

Cf dsdotint ＝ 2

Cx dx xydyminusint

由於在 C 上 cosx R ϕ= rArr sindx R dϕ ϕ= minus

siny R ϕ= rArr cosdy R dϕ ϕ=

rArr 2

Cx dx xydyminusint ＝

2 2 2 2

0cos ( sin ) sin cos cosR R d R R d

πϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕminus minus sdotint

23 2

02 cos sinR d

πϕ ϕ ϕ= minus int ＝

323Rminus

又路徑為圓周一部份所以適合用極座標表示

ˆd Rdϕ ϕ= 又由左圖將 ˆ ˆx y 拆解（投影）到 ˆˆr ϕ

ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆcos sin sin cosx r y rϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ= minus = +

4-56

( )2ˆ ˆ ˆˆ ˆ( cos sin ) ( sin cos )C C

f d r x r xy Rdϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕsdot = minus minus + sdotint int 2

2 2 2

0

sin (cos )

sin ( cos ) (cos ) cos sin

Cx Rd xyRd

R Rd R Rdπ

ϕ ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ

= minus minus

= minus minus

intint

23 2

02 cos sinR d

πϕ ϕ ϕ= minus int ＝

323Rminus

這也驗證了散度定理

Path Independence 路徑獨立性

Ex52 證明庫倫力為「保守力」考慮

電荷 q0 位於原點及電荷 q 位於

( )r x y zrarr= q 受力 F

rarr＝ 0

20

14

qq urπε

and

求庫侖力作功因為球形對稱所以

用球座標由 ˆ ˆ ru rr

= = rArr Frarr

= 03

04qq r

rπε

庫侖力由 P1 至 P2 做功為 2

1

P

CPF drarrsdotint ＝

2

1

02

0

ˆ ˆ ˆˆ sin4

P

PC

qq r rdr rd r dr

θ θ ϕ θ ϕπε

⎡ ⎤sdot + +⎣ ⎦int ＝2

1

02

04P

P

qq drrπεint

＝20

2104

r

r

qq drrπε int ＝ 0

0 1 2

1 1( )4qq

r rπεminus for all C

所以庫侖力兩點間做功與路徑無關rArr保守力

對於「保守力 conservative force」 cF 自 p1 經

由兩條不同的路徑 C1 與 C2 到達 p2

1 ccF drarrsdotint ＝

2 ccF drarrsdotint ＝-

2 ccF drarr

minussdotint

rArr1 2c cc cF d F drarr rarr

minussdot + sdotint int = cF d

rarrsdotint ＝0 (4-96）

對於任何「封閉路徑」保守力做功為 0反之若

對任一封閉路徑 0F drarrsdot neint 則兩點之間的做功與路徑有關

rarr

F 為「非

保守力」

4-57

旋度 curl Anablatimes 的幾何物理意義

我們在（4-70）式已經看過旋度的計算方式但旋度另有其意義的

ex53 給定向量場2 2

0ˆ yv yv e λrarr

minus= 左圖為場的分佈

2 20

ˆ ˆ ˆ

0 0x y z

y

x y zcurl v

v e λ

rarr

minus

= part part part ＝ ˆ ˆ ˆ0 0 0 0x y zsdot minus sdot + sdot =

我們用了簡寫 x yx ypart part

part equiv part equivpart part

可以看出這個場裡沒有「漩渦」

但是有無「漩渦」有時也不是那麼明顯可以看出的請見下一個例子

Ex54 給定向量場2 2

0ˆ xv yv e λrarr

minus= 計算其旋度 vnablatimes

解向量場 vrarr

畫在右邊你看得出有無漩渦

先計算旋度

2 20

ˆ ˆ ˆ

0 0x y z

x

x y zcurl v

v e λ

rarr

minus

= part part part2 2

2 2

0

0

ˆ

ˆ 2 0 0

x

x

z v ex

z v xe for x

λ

λ

minus

minus

part=

part

= minus ne ne

vrarr

的旋度在大部分的地方不為 0 且隨位置而不同但是你看得出這個

向量場裡有「漩渦」其實要檢驗一個向量場裡有無「漩渦」有一

個很物理的方法就是放一個小「螺旋槳」（左圖）

在場內將軸朝各個方向測試一

下如果有「漩渦」的話這個

小「螺旋槳」就會轉動右圖就是將「螺旋槳」的

軸平行於 z 軸且放在 x gt 0 的地方就可以看出左

邊的 v 場比右邊的強造成螺旋槳順時針轉動rArrcurlv zminus for x gt 0

但如果放在 x = 0 的地方就會看到左右兩端的 v 場強度相同而且

4-58

curlv = 0 「螺旋槳」放在 x lt 0 的地方就可以看出右邊的v 場比左

邊的強造成螺旋槳逆時針轉動這完全符合 curl v k+ 的結果

環路積分與旋度 curl 的物理意義

如同「散度」一樣「旋度」除了 Ftimesnabla 之外

還有一個物理意義更清楚的定義這個定義由

「線積分」說明如圖考慮做「逆時針」長方形

路徑 C1 的一個「環路積分」C1 面平行於 x-y 平

面由 z-軸看下去環路 C1 可以分為可以分為

下 CB上 CT右 CR左 CL 4 部分

CA drarrsdotint ＝

B T L RC C C CA d A d A d A drarr rarr rarr rarrsdot + sdot + sdot + sdotint int int int

分別計算由於 CB 的中點座標為 ( )2yx y zΔ

minus

ˆB BC C

A d A xdxrarr rarrsdot = sdot =int int

BxC

A dxint ( )2xyA x y z xΔ

asymp minus Δ

similarly 由於 CT 的中點座標為 ( )2yx y zΔ

+

ˆ( )T TC C

A d A xdxrarr rarrsdot = sdot minus =int int

TxC

A dxminusint ( )2xyA x y z xΔ

asymp minus + Δ

合併 CB 與 CT

B TC CA drarr

+sdot =int

( ) ( )2 2x xy yA x y z A x y z

x yy

Δ Δ⎡ ⎤minus + minus minus⎢ ⎥⎣ ⎦ Δ ΔΔ

（4-97）

由 C1 所圍的面積 S x yΔ = Δ Δ

1B TC C

A dS

rarr

+sdot =

Δ int( ) ( )

2 2x xy yA x y z A x y z

y

Δ Δ⎡ ⎤minus + minus minus⎢ ⎥⎣ ⎦Δ

（4-98）

所以當取極限 C1 收縮到中心(xyz)時 SΔ 收縮到 0ie

4-59

0limsΔ rarr

1B TC C

A dS

rarr

+sdot =

Δ int xAy

partminuspart

（4-99）

Similarly with CR 的 ˆd ydy= CL 的 ˆd ydy= minus 可得

1L RC C

A dS

rarr

+sdot =

Δ int x

zyxxFzyxxF yy

Δ

Δminusminus

Δ+ )

2()

2(

（4-100）

同樣的當取極限 C1 收縮到中心(xyz)時 SΔ 收縮到 0

0

limsΔ rarr

1L RC C

A dS

rarr

+sdot =

Δ int yAx

partpart

（4-101）

最後合併 CBCTCRCL 為 C1

10

1limCs

A ds

rarr

Δ rarrsdot =

Δ int y xA Ax y

part partminus

part partˆ ( ) ( )zz A A= sdot nablatimes = nablatimes （4-102）

注意 C1 的方向就是在 z 上式的重要

意義是當向量場 A 在一個以點(xyz)為

中心「方向為 z 」的面積元素的「邊界」

所做的環路積分得到的就是 A 在(xyz)

處旋度的 z-分量明顯的只有當 A 在

(xyz)附近有 x-y 平面上的「漩渦」那麼 C1 的環路積分才不會為 0

Similarly 取一個逆時針繞著(xyz)的平行於 x-z 平面的長方形環路 C2

（左圖）做環路積分再取極限將 C2 收縮到(xyz)就會得到

20

1limCs

A ds

rarr

Δ rarrsdot =

Δ int x zA Az x

part partminus

part partˆ ( ) ( )yy A A= sdot nablatimes = nablatimes （4-103）

注意到 C2 所包圍的面積方向就在 y到

現在我們應該已經很有經驗了若取一

個逆時針繞著(xyz)的平行於 y-z 平面

的長方形環路 C3（左圖）做環路積分

再取極限將 C3 收縮到(xyz)就會得到

4-60

30

1limCs

A ds

rarr

Δ rarrsdot =

Δ int yz AAy z

partpartminus

part partˆ ( ) ( )xx A A= sdot nablatimes = nablatimes （4-104）

能把（4-103）與（4-104）變出來的同學我們有優待綜合以上

我們可以得到一個結論若取一個以點(xyz)為中心的任意環路 Cn（其

所包圍的面積方向在 n ）則

n curl Aand rarrsdot ＝

0

1lims

Cn

A ds

rarr

Δ rarrsdot

Δ int （4-105）

明顯的當 n ＝ x 或 y 或 z 時我們可以重複（4-102）到（4-104）的

結果（4-70）式的行列式所定義的旋度在此看見其幾何物理意義

至此「旋度」的「漩渦」形象應該已經很清楚了只有在(xyz)點附

近的小圈圈上有「漩渦」 A 在小圈圈做的環路積分才會有值這個

值就是向量場 A 的「旋度」在小圈圈面積方向的分量

Stokersquos 定理

考慮一個開放面 S被其「有方向的」邊界 C 圈住(bounded by)則

( )S

A dsrarr rarrnablatimes sdotint ＝

C

A drarrsdotint （4-106）

pf 先將 S 面分割為 N 個多邊形這會使得邊界變成一個「折線」形

成的環路 P環路 P 會隨著分割的多邊形個數的增多而越加近似於原

「光滑的」邊界 C現考慮相鄰的

兩個多邊形的線積分由於共用邊

的方向是相反的所以相鄰兩個多

邊形線積分的和只剩「外邊界」（見左圖）所以當把所有的多邊形的

4-61

線積分加起來時由於只有邊界 P 不是多邊形的共用邊所以

1k

N

k C

A drarr

=

sdotsum int ＝P

A drarrsdotint rArr

P

A drarrsdotint ＝

1

1

k

N

kk k C

A d l ss

rarr rarr

=

⎡ ⎤sdot Δ⎢ ⎥

Δ⎢ ⎥⎣ ⎦sum int

其中 ksΔ 為第 k 個多邊形的面積取極限 0kN srarrinfinrArrΔ rarr P CrArr rarr

C

A drarrsdotint ＝

10

1limkk

N

kN k k Cs

A d ss

rarr

rarrinfin=Δ rarr

⎡ ⎤sdot Δ⎢ ⎥

Δ⎢ ⎥⎣ ⎦sum int 01

ˆlim ( )k

k kskn A s

infin

Δ rarr=

⎡ ⎤= sdot nablatimes Δ⎣ ⎦sum

01

ˆlim ( )k

k kskA n s

infin

Δ rarr=

= nablatimes sdot Δsum = ( )S

A dsrarr

nablatimes sdotint QED

ex55 由 Amperersquos law 的積分形式導出其微分形式

解Amperersquos law 的積分形式 C

B drarrsdotint ＝ I0μ (4-107)

由 Stokersquos 定理及電流密度 j 的定義上式等號兩端可寫為

rArr ( )S

B dsrarr rarrnablatimes sdotint ＝ 0 S

j dsμrarrsdotint

由於上面的等式對任意面 S（路徑 C）都成立所以被積函數相等

0B jμrarr rarr rarr

rArrnablatimes = (4-108) 此即 Amperersquos law 的微分形式

Ex56 Given a vector field ˆ ˆx yA ye xe= minus + (a) Find Anablatimes

解

ˆ ˆ ˆˆ ˆ(1 ( 1) 2

0x y z

x y zA z z

y xnablatimes = part part part = minus minus =

minus

(b)如圖一個金字塔狀的 5 面體高 2底邊長＝1計算 ( )S

A dsnablatimes sdotint

其中 S 為金字塔在 x-y 平面以上的部分方向如同

封閉的金字塔（運用 Stokersquos law）

解金字塔上表面的面積元素ds 不好寫由 Stokersquos

4-62

law ( )S

A dsrarr rarrnablatimes sdotint ＝

C

A drarrsdotint 其中封閉路徑 C 就是上表面的邊界而且

是逆時針（由 z 軸向下看）

C

A drarrsdotint ＝

1 1 0 0

0 0 1 1ˆ ˆ ˆ ˆA xdx A ydy A xdx A ydysdot + sdot + sdot + sdotint int int int

＝1 1 0 0

0 0 1 1x y x yA dx A dy A dx A dy+ + +int int int int 1 1 0 0

0 0 1 1( 0) ( 1) ( 1) ( 0)y dx x dy y dx x dy= minus = + = + minus = + =int int int int

0 1 1 0 2 ( ) 2S

A ds= + + + = rArr nablatimes sdot =int

旋度與 path independence

已知保守場 cF 對所有封閉路徑 C 0cC

F drarrsdot =int 由 Stokersquos 定理

0cC

F drarrsdot =int ＝ ( )cS

F dsrarr rarrnablatimes sdotint rArr 0cF

rarr rarrnablatimes =

這表示保守場＝無旋度反之無旋度的場任兩點間路徑積分與路

徑無關

Ex57 Given a field 2 2ˆ ˆ ˆ2A x xy yx zz= + minus (a) Find Anablatimes A 保守場

解2 2

ˆ ˆ ˆ

2x y z

x y zA

xy x znablatimes = part part part

minus

( ) ( ) ( )2 2 2 2ˆ ˆ ˆ( ) 2 ( ) 2 0y z z x x yx z x y xy z z x xy= part minus minuspart + part minuspart minus + part minuspart =

yes A =保守場

(b)如左圖由 A 到 B 做路徑積分A BC

A drarr

sdotint 路徑 C 為橢圓

22 1

16yx + = 在 x-軸以上的部分

解橢圓部分的路徑元素 d 有點麻煩但因為 A

為保守場所以 A 到 B 做路徑積分可以用 x = -1 到

1 的積分取代

4-63

01 1 1

1 1 1ˆ 2 0

yB

xAA d A xdx A dx xydx

=

minus minus minussdot = sdot = = =int int int int

∵

旋度在柱座標與球座標

前面討論過nabla在不同座標系的寫法旋度也有歸納出的一致寫法

座標 1 2 3 u u u

度量係數

1 2 3 h h h

nabla grad del

直角 x y z

1 1 1 nabla ˆ ˆ ˆx y z

x y zpart part part

equiv + +part part part

圓柱 zρ ϕ

1 1ρ

1ˆ ˆ ˆ zz

ρ ϕρ ρ ϕpart part part

nabla equiv + +part part part

球 r θ ϕ

1 sinr r θ

1 1ˆ ˆˆ sin

rr r r

θ ϕθ θ ϕ

part part partnabla = + +

part part part

所以柱座標與球座標的旋度分別表為

柱座標

ˆ ˆ ˆ1

z

z

Az

AA Aρ ϕ

ρ ρϕ

ρ ρ ϕρ

part part partnablatimes =

part part part （4-109）

球座標 2

ˆ ˆˆ sin1sin

sinr

r r r

Ar r

A rA r Aθ ϕ

θ θϕ

θ θ ϕθ

part part partnablatimes =

part part part （4-110）

ex58 (a) Given the vector function ˆA ϕ= sin (ϕ 2) find Anablatimes

解 2

ˆ ˆˆ sin1sin

0 sin( 2) 0

r r r

Ar r

r

θ θϕ

θ θ ϕϕ

part part partnablatimes =

part part part

4-64

21 ˆˆ cos sin sinsin 2 2 2

rr rr

ϕ ϕθϕθ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

ˆˆ cos sin2 sin 2 2

rr r

ϕ ϕ ϕθ

minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

(b)如左圖一個底面在 x-y 平面半徑＝1高＝2 之圓錐 求面積分

SA dsnablatimes sdotint 面積範圍 S 為圓錐在 x-y 平面以上

部分 方向為由圓錐內向外

解由 Stokersquos law ( )S

A dsrarr rarrnablatimes sdotint ＝

C

A drarrsdotint 其中路

徑 C 為 x-y 平面圓心在原點之單位圓 ˆ ˆd rd dϕ ϕ ϕ ϕ= =

2

0ˆ ˆsin sin

2 2C

d dπϕ ϕϕ ϕ ϕ ϕ⎛ ⎞ ⎛ ⎞sdot =⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠int int ( )0

2 sin u duπ

= int 0cos | 2u π= minus =

習題 16 磁場 B 因為不是保守場所以沒有對應的純量位而對應一

個向量位 A (vector potential)而 B A= nablatimes 一個磁鐵的磁偶極矩

ˆm mz= 被置於原點已知在遠處的 vector potential 03ˆ sin

4mAr

μϕ θπ

=

計算該處的磁場 B Ans 03

ˆˆ( 2cos sin )4

mB rr

μ θ θ θπ

= + 與電偶極遠處

的電場形式一致都是偶極(dipole) 選幾個點畫一畫該處的場向量

把磁力線描出來

附錄本章講義的內容有部分可以經由直接計算得出列在附錄做為

參考

用「圓柱座標」寫 Atimesnabla

Ararr rarrnablatimes ＝ ( )1ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ zz A A zA

z ρ φρ ϕ ρ ϕρ ρ ϕpart part part⎛ ⎞+ + times + +⎜ ⎟part part part⎝ ⎠

4-65

因為rdquo sdotrdquo與rdquotimes rdquo都是向量間的運算所以

＝ ( )ˆ ˆ ˆ ˆ zA A zAρ φρ ρ ϕρpart

times + +part

＋ ( )1ˆ ˆ ˆ ˆ zA A zAρ φϕ ρ ϕρ ϕ

parttimes + +

part

＋ ( )ˆ ˆˆ ˆ zz A A zAz ρ φρ ϕpart

times + +part

直接做上式微分可以得到

＝1ˆ z AA

zϕρ

ρ ϕpart⎛ ⎞part

minus⎜ ⎟part part⎝ ⎠＋ ˆ zA A

zρϕ

ρpart⎛ ⎞part

minus⎜ ⎟part part⎝ ⎠＋

1 1ˆ ( )A

z A ρϕρ

ρ ρ ρ ϕpart⎛ ⎞part

minus⎜ ⎟part part⎝ ⎠

上式可以用一個行列式來表示

rarrrarr

timesnabla A＝

ˆ ˆ ˆ1

z

z

zA A Aρ ϕ

ρ ρϕ

ρ ρ ϕρ

part part partpart part part

（A-1）

A and Anabla nablasdot nablatimes in 球座標 spherical coordinate

如上圖球座標 )( ϕθr 其中 )0[ infinisinr ]0[ πθ isin ]20[ πϕ isin 只有 r

是長度而 ϕθ 為角度是用來說明方向的三個座標的單位向量 ˆ ˆˆ r θ ϕ 具

有下列性質

4-66

1 如上圖 ˆ ˆˆ r θ ϕ 都不是常數而是（ ϕθ ）的函數

ˆ ˆ( )ˆ ˆ( )ˆ ˆ( )

r r θ ϕ

θ θ θ ϕϕ ϕ ϕ

⎧ =⎪

=⎨⎪ =⎩

)( ϕθr 與(xyz)之間的轉換如下

sin cossin sincos

x ry rz r

θ φθ φθ

=⎧⎪ =⎨⎪ =⎩

( )122 2 2

2 2

tan

tan

r x y z

x yz

yx

θ

φ

⎧ = + +⎪⎪ +⎪ =⎨⎪⎪ =⎪⎩

（A-2）

2 ˆ ˆˆ r θ ϕ 形成一「歸一正交集」ie

ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ 1r r θ θ ϕ ϕsdot = sdot = sdot = ˆ ˆr θ ϕperp perp

ˆ ˆr θ ϕtimes = ˆ ˆ rθ ϕtimes = ˆˆ rϕ θtimes = （A-3）

3可以很容易的由他們在 xyz 軸上的投影由直角

座標的 ˆ ˆ ˆ x y z 表出

ˆ ˆ ˆ ˆsin cos sin sin cos ( 4 )ˆ ˆ ˆ ˆcos cos cos sin sin ( 4 )ˆ ˆ ˆsin cos ( 4 )

r x y z A a

x y z A bx y A c

θ φ θ φ θ

θ θ φ θ φ θϕ φ φ

= + + minus⎧⎪

= + minus minus⎨⎪ = minus + minus⎩

4 ˆdr = 由於 ˆ ˆ( )r r θ φ= 所以由 ϕθ 的變動來看

4-67

ˆ ˆˆ| |ˆ ˆˆ| | sin sin

d r d d

d r d d

θ θθ θθ

φ θ φφ θ φφ

⎧ rArr =⎪⎨

rArr =⎪⎩rArr ˆ ˆˆ sindr d dθ θ φ θ φ= + （A-5）

rArrˆ ˆr θθpart

=part

ˆ ˆsinr θφφpart

=part

（A-6）

（A-6）的結果也可以直接由（A-4a）對 ϕθ 偏微得到

5 ˆdθ ＝ 由於 ˆ ˆ( )θ θ θ φ= 所以由 ϕθ 的變動來看

ˆ ˆ ˆ| | ( )ˆ ˆ ˆ| | cos cos

d d r d r

d d d

θ θ θ θ

φ θ θ φφ φ θ φ

⎧ rArr minus = minus⎪⎨

rArr =⎪⎩rArr ˆdθ ＝ ˆˆ cosrd dθ φ θ φminus + （A-7）

ˆrθ

θpart

rArr = minuspart

ˆ ˆcosθ φ θφpart

=part

（A-8）

請直接由（A-4b）對 ϕθ 偏微的結果 check（A-8）

6 ˆdφ ＝由於φ )(ϕ 躺在 x-y 平面上變動φ時的方向可能不是那麼

容易看出來所以做圖看一看

ie ˆ ˆˆ(sin ) (cos )d r d dφ θ φ θ θ φ= minus minus （A-9）

4-68

ˆ ˆˆsin cosrφ θ θ θφpart

= minus minuspart

7 所有的向量 ˆ ˆˆ rA rA A Aθ φθ φrarr= + +

8 位置向量 ˆr rrrarr=

可以由左圖 ˆ ˆˆ r θ ϕ 三個方向的「長度

變化」輕易的看出

9 位移元素

ˆ ˆˆ ˆ sindr rdr rd dθ θ ϕ θ φ= + + (A-10)

10 體積元素

sindv dr r d rdθ φ θ= sdot sdot

＝ 2 sinr dr d dθ θ φ (A-11)

11 面積元素 2 sinrds r d dθ θ φ= plusmn sinds r drdθ θ φ= plusmn ds rdrdφ θ= plusmn (A-12)

plusmn號表示面的垂直方向有兩個端看 ds 周邊的方向是如何定的

nabladel 考慮 ( )u u r θ φ=

rArru u udu dr d dr

θ φθ φ

part part part= + +part part part

u d rrarr rarr

equiv nabla sdot

urarr

= nabla sdot ˆ ˆˆ( sin )rdr rd dθ θ φ θ φ+ +

rArr1 1ˆ ˆˆ

sinu u uu rr r r

θ ϕθ θ φ

rarr part part partnabla = + +

part part part

1 1ˆ ˆˆsin

rr r r

θ ϕθ θ φ

rarr part part partnabla equiv + +

part part part （A-13）

4-69

直接用（A-13）與 ˆ ˆˆ rA rA A Aθ φθ ϕrarr= + + 逐項內積加上（A-678）

rArr ϕθ

θθθ

ϕθ part

part+

partpart

+partpart

=sdotnablararrrarr A

rA

rAr

rrA r sin

1)(sinsin1)(1 2

2 （A-14）

（A-13）與 ϕθ ϕθ AAArA r

andandandrarr

++= 逐項外積整理之後

ϕθ θϕθ

ϕθθ

θArrAA

r

rrr

rA

r sin

sin

sin1

2 partpart

partpart

partpart

=timesnabla

andandand

rarrrarr

（A-15）

Laplacian uu nablasdotnabla=nabla2

2

2

2222

22

sin1)(sin

sin1)(1

ϕθθθ

θθ partpart

+partpart

partpart

+partpart

partpart

=nablau

ru

rrur

rru （A-16）

B推導「散度」在圓柱座標的寫法

讓我們先回顧一下在直角座標裡的「面積元素」可以由「位移元素」

得到

ˆˆ ˆ x y zdr idx jdy kdz da dydz dxdz dxdy= + + rArr =

比照辦理「圓柱座標」的位移元素

( )ˆˆ ˆ( )

( )z

da d dzdr d d zdz da d dz

da d d

ρ

φ

ρ φ

ρ ρ φ ρ φ ρ

ρ ρ φ

=⎧⎪= + + rArr =⎨⎪ =⎩

這個結論可以輕易的由面積元素在垂直於 zˆˆ ϕρ 三個方向的面積看

出如下圖考慮一個以 )( zϕρ 為中心的「圓柱體積元素」(cylindrical

cubiod)體積為 zdV ΔΔ=Δ ϕρρ 現計算在 ρ

方向的 12 兩個平行面(方向各為 ρplusmn )的通

量

4-70

zzF

dsFdsnFS S

ΔΔ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

+cong

=sdotintint intintϕρρϕρρρ

ρ

2

2

ˆ1 1

zzF

dsFdsnFS S

ΔΔ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

minus⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

minusminuscong

minus=sdotintint intintϕρρϕρρρ

ρ

2

2

ˆ2 2

intint+

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

minus⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

minusminus⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

+Δ

asympsdotΔ

rArr21

22

22

1ˆ1

SS

zFzFdsnFV

ϕρρρρϕρρρρρρ ρρ

( ) ( )

1 20

0

0

1 ˆlim

1lim 2 2 2 2

1 1lim 2 2

1

VS S

F ndsV

F z F z

F z F z

F

ρ ρρ

ρ ρρ

ρ

ρ ρ ρ ρρ ρ φ ρ ρ φρ ρ

ρ ρρ ρ φ ρ ρ φρ ρ

ρρ ρ

Δ rarr+

Δ rarr

Δ rarr

rArr sdotΔ

Δ Δ Δ Δ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + + minus minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥Δ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦Δ Δ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥Δ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

part ⎡ ⎤= ⎣ ⎦part

intint

娛樂一下用上述方式把圓柱的 Fsdotnabla 裡的z

FF z

partpart

+partϕρϕ1

變出來

球座標的nabla和 Fsdotnabla 也可以試試看

補充習題

H M Scheydiv grad curl and all that 4th edition

第二章習題 6 8 9 10 11 14 15 16 18 19 21 22 23 25 26 27

第三章習題 2 3 5 6 7 8 9 10 11 14 15 17 18 19 24

4-33

短的距離d dngt 所以 1 2P Prarr 或 1 3P Prarr 造成的「變化率」df dfdn d

gt

而過 P1 點的最大變化率為dfdn

換言之向量 ˆndfedn

為過 P1 點垂直於

f1 等值面且指向最大「增加率」的方向 現在要證明

ˆndfe fdn

= nabla （4-67）

考慮 1 3P Prarr 造成的 f 值的變化率

ˆ ˆcos n ldf df dn df df e edl dn dl dn dn

α= = = sdot

ˆ ˆ ˆn l ndf dfdf e e dl e dldn dn

rArr = sdot = sdot

和（4-61）式df f dr= nabla sdot 相比即可得證 ˆndfe fdn

= nabla 所以可以知道

空間純量場 f ( )r 中任一點處的向量 fnabla 必「垂直」於「通過該點的 f的等值面」且指向 f 值最大「增加率」的方向| ( )f rnabla |就是 f 在 r 點

的最大增長率可以進一步定義等值面的「法線 normal」方向為

ˆ fnf

nabla=nabla

（4-68）

結論給定一個純量場 f( r )在每一點 r 可以定義一個稱做「梯度」

的向量 fnabla fnabla 垂直於過 r 點的 f 等值面且指向最 f 大增加率的方向

fnabla 的方向也定義了 f 等值面的法線方向

Ex30 考慮一個 2D 的 scalar field 2( )f x y y x= minus 計算該場在 )20( 的梯度與

法線方向

解 ˆ ˆ ˆ ˆ2f ff x y x yyx ypart part

nabla = + = minus +part part

ˆ ˆ(0 2) 2 2f i jnabla = minus + ˆ ˆ ˆ ˆ2 2 2 2ˆ(0 2)

31 8i j i jn minus + minus +

rArr = =+

4-34

ex31 點電荷 q 置於原點其產生電位為 ( ) qV rr

= 求負梯度qr

minusnabla

解 3

2 2 2 22 2 2

2 ( )2

q q q q x x y zr x rx y z

minuspart minus= rArr = sdot + +

part+ +

3 23

ˆˆ ˆ ˆ( )q ix jy kz r rq q qr r r r

minus + +rArr minusnabla = minus = = （點電荷的電場）

0 0

1 1 r r

noter r= =

nabla rarrinfin rarrinfin∵ 是不定值是因為 r = 0 處為最大值

「增加率」的方向無法確定

ex32 置一熱源於原點空間溫度分佈為1( )

( 2)T r

r=

+求溫度的梯度

解 2 2 2

ˆ( ) ( )( 2) ( 2) ( 2)

x rT r rr rT r

x r r r

minuspart minus

= rArrnabla = =part + + +

此處的負號表示梯

度指向熱源因為距熱源越遠溫度越低 ( 0)note T rnabla = 為不定值

因在最頂點「增加率」的方向無法確定

Ex33 地圖上山脈的等高線上各點的垂直方向由梯度決定現有一座

山是橢球 2)1(4 222 =+++ zyx 在 x-y 平面上方的

部分求地圖上這座山等高線的梯度

解 山高 142 22 minusminusminus== yxzh 所以等高線為橢

圓 222 )1(24 +minus=+ hyx 梯度

( ) ( ) ( )2 2 2 2

2 2

ˆ ˆ4ˆ ˆ2 4 1 2 4 1

2 4

xx y yh x x y y x y

x y x y

minus +part partnabla = minus minus minus + minus minus minus =

part part minus minus

所以自山腳（h=0）登山若由(012)開始 ˆ(01 2) 2h ynabla = minus 但若由

)02(minus 開始爬山 ˆ( 20) 2h xnabla minus = 可見 )02()210( minusnablagtnabla hh 這表

示由 y-軸登山山勢較陡所以「梯度」比由 x-軸登山為大這也更

清楚瞭解「梯度」的幾何意義

4-35

sect 432 Divergence 散度與 Curl 旋度

在(4-66) 我們建立了一個直角座標 vector operator 「del」

ˆ ˆ ˆx y zx y zpart part part

nabla equiv + +part part part

(4-66)

若與向量場 A 做「內積」與「外積」就建構了 A 的「散度」與「旋度」

散度 A A scalaryx zAA Adiv ax y z

partpart partequiv nabla sdot = + + =

part part part （4-69）

旋度

y yz x z x

ˆ ˆ ˆ y z A vector

A AA A A Aˆ ˆ ˆxy z z x x y

x y z

x y z

xcurl A a

A A A

y z

⎧⎪

= nablatimes = part part part =⎪⎪⎨⎪

part part⎛ ⎞ ⎛ ⎞part part part part⎛ ⎞⎪ = minus + minus + minus⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎪ part part part part part part⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎩

(4-70)

這裡定義的只是「散度」與「旋度」所謂「操作型的定義」告訴我

們如何計算的式子事實上她們都具有重要的物理意義我們在後面

會討論

ex34 ˆ ˆA xy yx= minus 求其散度與旋度

解 0 0y xAx ypart part

nablasdot = minus + =part part

ˆ ˆ ˆ y zˆ ˆ ˆ ˆ 0 0 ( 2) 2

0 x y z

xA x y z z

y xnablatimes = part part part = minus + minus = minus

minus

右圖示意了本向量場的分佈看得出像個漩渦也看到算出的旋度

0ne 看來旋度表現的應該是向量場「旋轉的程度」事實上我們在

後面會看到「旋度」表現的就是是向量場在空間各點「旋轉的程度」

本題的向量場在每一點的旋轉程度都一樣

4-36

Ex35 ( )ˆ ˆ ˆ A xx yy zz r= + + = 求其散度與旋度

解 3A rnablasdot = nablasdot = ˆ ˆ ˆ y z

0

x y z

xA

x y znablatimes = part part part =

由場分佈的示意圖可以看出本向量場是自原點向外射出好似在原

點有一個場線的「源頭 source」但是 3Anablasdot = 為一個常數表示好像到

處都有 source同時旋度為 0 也可以配合本場並無旋轉的形象事實

上「散度」表現的就是是向量場在空間各點產生「場線」的 source

記得靜電學裡的庫倫定律 0E ρ εnablasdot = 電場的散度就是「電荷密度」

(電場的 source)前一題的向量場看來對應的場線是封閉的所以沒有

source這也對應了其散度＝0不過一個向量場的散度旋度究竟是

多少應該詳細的計算場分佈圖形有時候不是那麼容易看的清楚

兩個 useful identities (恆等式)

(a) ( ) 0 0f curl of a gradnablatimes nabla = =

(b) ( ) 0 0A div of a curlnablasdot nablatimes = =

pf (a) ( )ˆ ˆ ˆ x y z

x y z

x y z

ff f f

nablatimes nabla = part part part

part part part

( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2xz zxˆ ˆ ˆx y f- f z 0yz yz xy yxf f f f= part minus part minus part part + part minuspart =

這個結果與真實的向量外積 ( ) AA 0=times 有相似之處但是這只是特

例要記得nabla並不是一個真正的向量

( ) ( ) ( )

( )

ˆ ˆ ˆ y zˆ ˆ ˆ x y z

0

x y z y z z y x z z x x y y x

x y z

xy z xz y xy z yz x xz y yz x

xA A A A A A A

A A A

A A A A A A A

nablatimes = part part part = part minus part minus part minus part + part minus part

nablasdot nablatimes = part minuspart minuspart +part +part minuspart =

4-37

此結果與真實的向量運算有相似之處 ( )( )0 (B A) BB B Asdot times = times perp∵

但是這仍只是特例因為我們可由下列例子 ( ) 0A Asdot nablatimes ne 看出事實上

nabla並不是一個真正的向量 Ex36 ˆ ˆ ˆA xy yx zx= minus +

( )

ˆ ˆ ˆ y zˆ ˆ ˆ 0 1 ( 2)

2 0

x y z

xA x y z

y x x

A A x x x

nablatimes = part part part = minus + minus

minus

sdot nablatimes = minus = minus ne

面積元素向量

物理上時常會遇到面積分例如電通量磁通

量等等考慮一個面積元素 ds定義「面積的

方向」為其「法線方向」並定義面積元素向量

ˆnds a dsequiv （4-71）

要注意的是(1)如果 ds 是一個「封閉面

closed surface」（即有裡外之分）的一部

份則 ˆna 定義為「由內向外」(2) 如果 ds

是一個「開放面 opened surface」（即分不

出裡外）的一部份那麼 ds 必被其邊緣

（一個封閉的曲線 C）所包圍這樣在定

出ds 的方向之前要先定義「邊緣曲線」

C 的方向再由右手定則定義 ˆna 的方向

既然面積已為一個向量就可以寫為分量表示以直角座標

ˆ ˆ ˆx y zds xds yds zds= + + (4-72)

那麼這些分量 dsx dsy dsz 會是什麼既然 dsx 的方向是 x 就表示 dsx

是躺在 y-z 平面上所以 dsx 的兩邊是 dy 與 dz rArr xds dydz= 依此類

4-38

推 dsy 的方向是 y 所以躺在 x-z 平面rArr yds dxdz= hellip可以得知

xds dydz= yds dxdz= zds dxdy= （4-73）

不過要注意在寫面積元素時要看討論的面實際

是什麼面上式的三個分量有可能會是負的例如

左圖座落在第一象限的立方體的 A 面方向就在 xminus

方向Arsquo面在 yminus Ardquo面在 zminus 方向寫面積元素最

好是先把討論的面的方向搞清楚把plusmn號寫在單位向量前面那麼分

量就都用＋的即可其實面積元素體積元素都可以由位移元素看出

ˆ ˆ ˆdr xdx ydy zdz= + +

dx dy dz 是沿著 ˆ ˆ ˆ x y z 方向的長度所以面積元素分量的兩邊長度就

是由其中兩個組成而體積的三邊也就是三個垂直方向的長度

x y zdV dx dy dz and ds dydz dxdz dxdyrArr = = （4-74）

這個概念在其他的座標系統也成立我們可以方便的寫出面積元素

Recall 柱座標的位移向量元素

cylindrical coordinate ˆ ˆ ˆdr d d dzzρρ ρ ϕϕ= + + （4-48）

ˆ ˆ ˆ zds ds ds zdsρ ϕρ ϕ= + + (4-75)

dsρ 躺在 zϕ minus 平面dsϕ 在 zρ minus 平面 zds 在ρ ϕminus 平面

rArr zds d dz ds d dz ds d d d dρ ϕρ ϕ ρ ρ ρ ϕ ρ ρ ϕ= = = sdot = （4-76）

上面的結果畫個圖看看吧球座標的位移向量元素

Spherical coordinate ˆ ˆˆ ( ) ( sin )dr rdr rd r dθ θ ϕ θ ϕ= + + （4-56）

ˆ ˆˆ rds rds ds dsθ ϕθ ϕ= + + （4-77）

rArr sin sin rds rd r d ds dr r d ds rd drθ ϕθ θ ϕ θ ϕ θ= sdot = sdot = sdot (4-78)

4-39

向量場 ( )A r 在 S 面上的「面積分（surface integral）」or「flux」

如左圖若有一「平面」S 且其上有「均勻」

場 B 分佈則通過 S 面的通量就是

ˆB B nSΦ = sdot

但考慮一任意「非均勻」向量場 ( )A r 在空間分佈選取任意曲面 S

探討 ( )A r 在 S 上之通量若ds 為 S 面上的面積元素在趨近於 0 的

小面積ds 上 A可視為均勻所以通過ds 之通量為 ( )d A r dsΦ = sdot 則 S

面之總通量為

Φ＝ ˆ cosS S S

A ds A nds A daϕsdot = sdot =int int int

( )OR

x x y y z zS

A da A da A da= + +int (4-75)

稱為 A 在 S 面上的「面積分」或「通量 flux」

上圖所繪就是一個任意面上分割出許多小面積舉出三個位置的通

量有+-與 0如果 S 面是為一「封閉面」則面積分寫為

S

A dssdotint （4-76）

4-40

ex37 Given 2ˆ ˆ ˆyzA xyz yx zx= + + 計算通量S

A dssdotint

S 面為在第一象限邊長＝1 的立方體表面封閉面

解立方體分為前後右左上下六個面分開算 1前面（x=1）

方向 x+ ˆ xA ds A xdydz A dydzsdot = sdot =int int int前 前 前

yzdydz= int前 ＝1 1

0 0

1 1 12 2 4

ydy zdz = sdot =int int

2後面(x=0)方向 xminus ˆ(- ) - xA ds A x dydz A dydzsdot = sdot =int int int後 後 後

yzdydz= minusint後1 1

0 0

-1 1 -12 2 4

ydy zdzminus = sdot =int int

3 右面（y=1）方向 y+ y ( 1)yA ds A dxdz A y dxdzsdot = sdot = =int int int右 右 右

( 1)x y zdxdz= =int右 ＝1 1

0 0

1 1 12 2 4

xdx zdz = sdot =int int

4 左面（y=0）方向 ˆ-y ˆ( y) - ( 0)yA ds A dxdz A y dxdzsdot = sdot minus = =int int int左 左 左

( 0) 0x y zdxdz= = =int左

5 上面（z=1）方向 z+ zz y (z 1) yA ds A dxd A dxdsdot = sdot = =int int int上 上 上

2 yx dxd= int上 ＝1 120 0

1 1y 13 3

x dx d = sdot =int int

6 下面（z=1）方向 ˆ-z zˆ(-z) y - (z 0) yA ds A dxd A dxdsdot = sdot = =int int int下 下 下

2 -1- y3

x dxd= =int下 ＝1 120 0

1 1y 13 3

x dx d = sdot =int int

S

A dssdotint ＝六個面的和＝1 1 1 1 1 1( ) ( 0) ( )4 4 4 3 3 4

minus minus+ + + + + =

ex38 Given ˆ ˆ ˆzA xyz yx zxy= + + 計算通量S

A dssdotint S 為圓 2 2 2x y a+ =

在第一項限的部分方向選為 z+ 2 2y a x= minus

4-41

解 2 2 4

0 0ˆ

8a a x

zS S S S

aA ds A zdxdy A dxdy xydxdy xdx ydyminus

sdot = sdot = = = =int int int int int int

Ex39 In cylindrical coordinate Given ˆ ˆaA zbzρρ

= + where a b are

constants Find S

A dssdotint over the surface of a

closed cylinder about z-axis specified by 3 2z ρ= plusmn =

解S 分為上下與周邊三面

zz (z 3)zA ds A ds A d dρ ρ ϕsdot = sdot = = sdotint int int上 上 上

= 23 3 2 12bd d b bρ ρ ϕ π πsdot = sdot =int上

ˆ(-z)A ds A d dρ ρ ϕsdot = sdot sdotint int下 下

= z- (z -3)A d dρ ρ ϕ= sdotint下 = 23 2 12b bπ πsdot =

周邊ds ˆ ( )d dzρ ρ ϕ= rArr ˆ ( ) z ( ) zA ds A d d A d dρρ ρ ϕ ρ ϕsdot = sdot =int int int周 周 周

2 3

0 3( ) z ( ) z=a 12aA d d d d d dz a

πρ ρ ϕ ρ ϕ ϕ π

ρ minus= = =int int int int周 周

加起來 S

A dssdotint ＝12 24 12 ( 2 )a b a bπ π π+ = +

ex40 一點電荷 q 置於原點計算在一個以原點為圓心 0r 為半徑的球

面上的電通量

解 2 20 0

ˆ ˆ4 4S S

qr q dsE ds rdsr rπε πε

sdot = sdot =int int int

=0 0 0

44 4S

q q qd ππε πε ε

sdot Ω = sdot =int

上式中 dΩ 2dsr

= 是 ds 所張開的「立體角」(solid angle)

4-42

div A and Flux 通量與散度的幾何物理意義

我們運用過nabla的符號來表示過散度 divF F= nablasdot yx zFF Fx y z

partpart part= + +part part part

但是也看到「散度」定義為

0( )

1( ) limSV

about x y z

divF x y z F da divergence of FVΔ rarr

equiv sdot =Δ int (4-77)

其中 VΔ 為 S 面所包含的體積即散

度為通量(體)密度的 0 體積極限

（4-77）的定義與 Fnablasdot 好像差的很

多她們是說同一回事嗎以下證明

這兩種「散度」的定義是等價的如

左圖考慮一個以點 ( ) x y z 為中心

的 立 方 體 其 相 鄰 三 邊 長 為

x y zΔ Δ Δ 體積 V x y zΔ = Δ Δ Δ 現在計算 F 在立方體的一組平行於 y-z平面的表面 S1 與 S2 的通量

( )1 1

ˆ ˆ xS S

F nds F xds F x y z dsrArr sdot = sdot =intint intint intint 2xxF x y z y zΔ⎛ ⎞asymp + Δ Δ⎜ ⎟

⎝ ⎠

其中 2xx y zΔ⎛ ⎞+⎜ ⎟

⎝ ⎠為 S1 面中心的座標而

2xx y zΔ⎛ ⎞minus⎜ ⎟

⎝ ⎠為 S2 面的中心

( ) ( )2 2 2

ˆ ˆ 2x x

S S S

xF nda F x ds F x y z ds F x y z y zΔ⎛ ⎞rArr sdot = sdot minus = minus asymp minus minus Δ Δ⎜ ⎟⎝ ⎠intint intint intint

上式中的負號來自 S2 面的方向是 xminus 所以合併兩個面積分

1 2

ˆ 2 2x x

S S

x xF nds F x y z F x y z y z+

Δ Δ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞rArr sdot asymp + minus minus Δ Δ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦intint

2 2x xx xF x y z F x y z

x y zx

Δ Δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠= Δ Δ Δ

Δ

2 2

x xx xF x y z F x y z

Vx

Δ Δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠= Δ

Δ

1 2

1 2 2ˆ

x x

S S

x xF x y z F x y zF nds

V x+

Δ Δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠rArr sdot asymp

Δ Δintint

4-43

當取體積向(xyz)點收縮至 0 時即 0 x 0as VΔ rarr Δ rarr 上式的近似

「asymp」就成了「＝」

1 20

1 ˆlimV

S S

F ndsVΔ rarr

+

sdotΔ intint

( )0

2 2limx x

x

x

x xF x y z F x y z F x y zx xΔ rarr

Δ Δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟ part⎝ ⎠ ⎝ ⎠= =Δ part

Similarly F 在立方體的一組平行於 x-z 平面的表面 S3 與 S4 的通量

3 3 3

ˆ ˆ yS S S

F nds F yds F dsrArr sdot = sdot =intint intint intint

2

2

y

y

yF x y zyF x y z x z x y z

y

Δ⎛ ⎞+⎜ ⎟Δ⎛ ⎞ ⎝ ⎠asymp + Δ Δ = Δ Δ Δ⎜ ⎟ Δ⎝ ⎠

( )4 4 4

2ˆ ˆ

y

yS S S

yF x y zF nds F y da F ds x y z

y

Δ⎛ ⎞minus⎜ ⎟⎝ ⎠rArr sdot = sdot minus = minus asymp Δ Δ Δ

Δintint intint intint

合併 S3 與 S4 兩個面積分並取體積向(xyz)點收縮至 0 時即當

0 y 0VΔ rarr Δ rarr 上式的近似asymp就成了＝

3 4

2 2ˆ

x x

S S

y yF x y z F x y zF nds V

y+

Δ Δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠rArr sdot cong Δ

Δintint

3 40 0

1 2 2ˆlim lim

x xy

V yS S

x yF x y z F x y z FF nds

V y yΔ rarr Δ rarr+

Δ Δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟ part⎝ ⎠ ⎝ ⎠rArr sdot = =Δ Δ partintint

與上面相同的作法計算 F 在立方體的一組平行於 x-y 平面的表面 S5

與 S6 的通量我們也會得到對應的結果

5 6

2 2ˆ

z x

S S

z zF x y z F x y zF nds V

z+

Δ Δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠rArr sdot cong Δ

Δintint

5 60 0

1 2 2ˆlim lim

z xz

V zS S

z zF x y z F x y zFF nds

V z zΔ rarr Δ rarr+

Δ Δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟ part⎝ ⎠ ⎝ ⎠rArr sdot = =Δ Δ partintint

所以合併立方體的 6 個面積分

4-44

1 2 3 4 5 6

ˆ ˆ ˆ ˆS S S S S S S

F nds F nds F nds F nds+ + +

rArr sdot = sdot + sdot + sdotint intint intint intint

0

1 ˆlim yx zV

FF FF nds div F FV x y zΔ rarr

partpart partrArr sdot = + + = = nablasdot

Δ part part partint (4-78)

在此我們得證這兩種「散度」的定義是等價的只是（4-77）的定義

充分的表現出「散度」的幾何物理意義他從通量著手由於場線

出自於 source（ex電場源自於點電荷）所以在點(xyz)必須有向量場

F 的 source 存在才能使得當面積縮到 0 時仍具有非 0 的通量所以「散

度」表現向量場 F 的 source 在這個定義之下是很清楚的當然在計算

「散度」時我們不必那麼麻煩用 divF F= nablasdot 就好了

Ex41 計算 2ˆ ˆ ˆF xx yxy zyz= + + 的散度

解 2 yx zFF Fx x yx y z

partpart part= = =

part part part F 2x x y 3x ydivrArr = + + = +

recall 在靜電學0

yx zEE EEx y z

ρε

partpart partnablasdot = = + +

part part part

散度定理 Divergence Theorem

若任意封閉面（又稱為「高斯面」）S 所包圍的

體積為 V 則

S VA ds Adτsdot = nablasdotint int （4-79）

pf 我們先將體積分割成 N 個小盒子考慮相鄰的兩個小盒子 1 2

兩小盒子的共用面面積 S0當 S0 是為 1 號盒子的一部份時其方向為

1n 但若當為 2 號盒子的表面時其方向為 12 ˆˆ nn minus= 如此在 S0 分別做

4-45

1 2 盒子的面積分後

0 0

0 0 0 0

1 2

1 2 1 1ˆ ˆ ˆ ˆ 0

S S

S S S S

A ds A ds

F n ds F n ds F n ds F n ds

sdot + sdot

= sdot + sdot = sdot minus sdot =

intint intintintint intint intint intint

所以若求場 A 在 1 2 盒子的總通量時交界面是沒有貢獻的總通量

就只有「外面積」才有貢獻如此我們計算 N 個小盒子的總通量

時所有的內部共用面都得 0只剩下「外表面」的貢獻了當 infinrarrN

時所有小盒子的「總外表面」就與 S 面重合了所以所有小盒子通量

的總和就等於 S 面的通量

1lim

i

N

S SN iA ds A ds

rarrinfin=

rArr sdot = sdotsumint int

現在我們做 N 個小盒子的總通量

1 1

1i i

N N

iS Si i i

A ds A ds VV= =

⎛ ⎞sdot = sdot Δ⎜ ⎟Δ⎝ ⎠

sum sumint int

當 0iN Vrarrinfin rArr Δ rarr 並用 dv 表示體積元素

( ) ( )1 1

1

1lim lim lim

lim

i ii

N N

iS SN N V oi i i

N

i VN i

A ds A ds VV

A V A dv

rarrinfin rarrinfin Δ rarr= =

rarrinfin=

⎛ ⎞sdot = sdot Δ⎜ ⎟Δ⎝ ⎠

= nablasdot Δ = nablasdot

sum sumint int

sum int

( )S V

A da A dvrArr sdot = nablasdotint int QED

所以得證散度定理上式中我們用了散度的（4-77）式定義要分辨

清楚 Anablasdot 是向量場 A 在空間中「某一點」的性質（ 0VΔ rarr ）而「散

度定理」說的是一個「有限體積」的性質

ex42 給定 ( ) ˆ ˆ ˆ A x y z xx yy zz r= + + = 計算在

半徑 R＝1 的球的上半球加底面的通量

4-46

解 ( )ˆˆS

A da A rda A k darArr sdot = sdot + sdot minusint int int上半球面 底面

( )

2

ˆ ˆ

0 2 1 2

A rda A z dxdy

r rds zdxdy rds ds π π

= sdot + sdot minus

= sdot minus = minus = = sdot =

int int

int int int int上半球面 底面

上半球面 底面 上半球面

底面的通量＝0 是因為 A 的 z 分量 Az=z 在底面的值為 0

也可以用散度定理更快的得出結果

∵ 3A rnablasdot = nablasdot =

31 43 3 1 22 3V V

Ad d πτ τ πnablasdot = = sdot sdot sdot =int int

ex43高斯定律的微分形式積 由 Gaussrsquo law 的積分形式用散度定理得出其

( )0 0

1 inS V

qE ds x y z dvρε ε

sdot = =int int

0S V VE ds Edv dvρ

εrArr sdot = nablasdot =int int int

上式最後的等式對「任意形狀」V 都成立所以兩者的被積函數相等

對於空間每一點 0

E ρε

nablasdot = （4-80）

ex44 Use 第一象限的單位力方體 check the divergence theorem using the function 2 2ˆ ˆ ˆ(2 ) 2A y x xy z y yzz= + + +

解2

2( ) (2 )(2 ) 2( )y yzA xy z x yx y z

part part partnablasdot = + + + = +

part part part

and 1 1 1 1 1 1

0 0 0 0 0 02 ( ) 2 ( )

VAdv x y dxdydz dz dy x y dxnablasdot = + = +int int int int int int int

1 1

0 0

1 12 ( ) 2 12 2

dz y dy= + = sdot =int int

面積分 1 1 2

0 0

1ˆ3

A ds A xdydz dz y dysdot = sdot = =intint intint int int前 前

4-47

1 1 2

0 0

1ˆ( )3

A ds A x dydz dz y dy minussdot = sdot minus = minus =intint intint int int

後 後

1 1 2

0 0ˆ (2 )A ds A ydxdz dz xy z dxsdot = sdot = +intint intint int int

右 右

1 1 1 12 2

0 0 0

4(2 ) (1 )3

ydz x z dx dz z

=

= + = + =int int int∵

1 1 2

0 0

0 1 1 12 2

0 0 0

ˆ( ) (2 )

1(1 )3

y

A ds A y dxdz dz xy z dx

dz z dx dz z=

sdot = sdot minus = minus +

minus= minus = + =

intint intint int int

int int int∵

左 左

11 1 1 1

0 0 0 0ˆ 2 2 1

zA ds A zdxdy dx yzdy dx ydy

=sdot = sdot = = =intint intint int int int int

∵

上 上

01 1

0 0ˆ 2 0

zA ds A zdxdy dx yzdy

=sdot = sdot minus = minus =intint intint int int

∵

下 下

前後右左上下六個面積分合併＝1＝V

Advnablasdotint QED

ex45 Continuity Equation 連續方程式

考慮某些「東西」的流動（物質電荷hellip）在時刻 t 時在點(xyz)

的 密 度 為 ( ) x y z tρ ρ= 並 具 有 速 度

( ) v v x y z t= 在時刻 t 時在體積 V 內的總量為

( ) x y z t dρ τintintint

這樣體積 V 內東東的時變率為

( ) ( ) d x y z t d x y z t ddt t

ρρ τ τpart=

partintintint intintint

注意體積分後的時間全微分移入積分內要改為偏微分這個東東

在表面的「流率 flow rate」可表為

ˆS

R v ndsρ= sdotintint

若體積內的物料無法自生自滅那麼體積內物料的變化必經由表面的

流出流入所造成

d v ndstρ τ ρpart

rArr = minus sdotpartintintint intint

由散度定理

4-48

( )ˆS

v nds v d dtρρ ρ τ τpart

sdot = nablasdot = minuspartintint intintint intintint

( )v Jtρ ρpart

rArr = minusnablasdot equiv minusnablasdotpart

0Jtρpart

rArr +nablasdot =part

（4-81）

(4-81) 即 continuity equation其中 J vρ= 為「物流密度」ex如果 ρ

是電荷密度 J 就是電流密度（4-81）是物質守恆的結果只對體

積內無 source（生成）or drain（消滅）的東東成立

ex46 Given a vector field ˆ ˆx yA ye xe= minus + (a) Find

Anablasdot (b)如圖一個金字塔狀的 5 面體高 2 底邊長

1計算 A在整個金字塔表面（封閉面）的總通量

解(a) Anablasdot = ( ) ( ) 0y xx ypart part

minus + =part part

(b) 金 字 塔 的 表 面 面 積 元 素 ds 不 好 寫 所 以 用 散 度 定 理

( )S V

A da A dvrArr sdot = nablasdotint int ＝0 Anablasdot 表示 A沒有 source 所以對封閉面而

言有多少場線進入就有多少出去所以總通量＝0

習題 7 With position vector r for an arbitrary volume V that is

bounded by surface S show that 13 S

r ds Vsdot =int

習題 8 已知一靜電場為 ˆ ˆ ˆ( )E xyz yxz zxyλ= + + 運用 Gaussrsquo law

試求包含在半球 2 2 2 2 0x y z R z+ + = ge 裡的總電荷 Ans 0

習題 9 (a) given ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( 2 )F r xf x yf y zf z= + + minus show that divF is

zero at point (c c -c2) (b) given ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( )G r xf x z yg x z zh x y= + +

show that ( ) 0G rnablasdot =

4-49

習題 10 Find the normal vector n for the surfaces (a) z = 2-x-y ans

ˆ ˆ ˆ( ) 3x y z+ + (b) z = (1-x2)12 ans ˆ ˆxx zz+ (c) z = x2+y2

ans ˆ ˆ ˆ( 2 2 ) 1 4xx yy z zminus minus + +

習題 11 Show that the unit vector normal to the plane ax+by+cz =d is

given by 2 2 2ˆ ˆ ˆ( ) ax by cz a b cplusmn + + + +

圓柱座標與球座標的nabla (del)

考慮一純量場在直角座標為 ( ) u x y z 在圓柱座標表為 ( ) u zρ φ

再考慮因位移 r r drrarr + 所造成 u ( )zρ φ 的變化

( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆz

z

u u udu d d dz u dr u d d zdzz

u u z u d d zdz

u d u d u dzρ ϕ

ρ ϕ

ρ ϕ ρ ρ ϕρ ϕρ ϕ

ρ ϕ ρ ρ ϕρ ϕ

ρ ρ ϕ

part part part= + + = nabla sdot = nabla sdot + +part part part

⎡ ⎤= nabla + nabla + nabla sdot + +⎣ ⎦= nabla + nabla + nabla

( ) ( ) ( )1

1ˆ ˆ ˆu

z

u u uu u uz

u u uzz

ρ ϕρ ρ ϕ

ρ ϕρ ρ ϕ

part part partrArr nabla = nabla = nabla =

part part partpart part part

rArrnabla = + +part part part

1ˆ ˆ ˆ zz

ρ ϕρ ρ ϕpart part part

nabla = + +part part part

（4-82）

注意nabla的ϕ -分量( 1ρ ϕ

partpart

)不是像直角座標裡單純的ϕpartpart

所以不要笨笨

的就把直角座標的形式硬套上去用我們也可以從「因次分析」來

看nabla因為是對空間的微分所以每一項的因次必須是「長度分之一」

運算 andzρ

part partpart part

都是「長度分之一」而「單純的ϕpartpart

」是沒有單位的

所以要1ρ ϕ

partpart

才 OK

由於圓柱座標裡的單位向量除了 z 之外 ˆ( )ρ ϕ 與 ˆ( )ϕ ϕ 都不是常

4-50

數所以在微分時不可以與微分運算交換而要考慮微分的作用所

以在「圓柱座標」寫「散度」 ( ) F zρ ϕnablasdot 也和直角座標不一樣

( )1ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ zF z F F zFz ρ ϕρ ϕ ρ ϕ

ρ ρ ϕpart part part⎛ ⎞

nabla sdot = + + sdot + +⎜ ⎟part part part⎝ ⎠

( ) ( )1ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆz zF F zF F F zFρ ϕ ρ ϕρ ρ ϕ ϕ ρ ϕρ ρ ϕpart part

= sdot + + + sdot + +part part

( )ˆ ˆˆ ˆ zz F F zFz ρ ϕρ ϕpart

+ sdot + +part

因為 ( ) ( )ˆ ˆ ˆ ˆ ρ ρ ϕ ϕ ϕ ϕ= = 所以做 andzρ

part partpart part

時 ˆ ˆ ρ ϕ 可視為常數

ˆ ˆ1ˆ ˆ ˆ zF F F FF F Fz

ρ ρ ϕρ φ

ρ ϕϕ ρ ϕρ ρ ϕ ϕ ϕ ϕ

part part part⎡ ⎤part part partrArrnablasdot = + sdot + + + +⎢ ⎥part part part part part part⎣ ⎦

還記得 ˆ ˆ ˆ ˆd d d dρ ϕ ϕ ϕ ρ ϕ= = minus 所以 ˆ ˆρ ϕϕpart

=part

ˆ ˆϕ ρϕpart

= minuspart

rArr

( )1 1 1z zF F F FF FF Fz z

ρ ρ ϕ ϕρρ

ρ ρ ρ ϕ ρ ρ ρ ϕpart part part part

nablasdot = + + + = + +part part part part part part

（4-83）

在球座標寫nabla也會遇到相似的問題其根源就是球座標 ( )r θ ϕ 裡

的 θ ϕ 的因次並非長度而三個單位向量 ˆ ˆˆ r θ ϕ（表為 ie ）都是( θ ϕ )

的函數以致

( )ˆ ˆ( ) ( )i ie f e fθ ϕ θ ϕθ θpart part

nepart part

且 ( )ˆ ˆ( ) ( )i ie f e fθ ϕ θ ϕϕ ϕpart part

nepart part

所以nabla也不似在直角座標那麼簡單我們不在這裡推導而是給出一

個歸納的統一的三個座標的結果還記得對每一個座標 iu i = 123

座標的變化 idu 與造成的長度變化 id

i i id h du= 123i = (4-84)

其中 ih 為對應的度量係數(metric coefficient)

4-51

1 2 3

1 1 2 2 3 3

1 1 1ˆ ˆ ˆu u ue e eh u h u h u

part part partnabla equiv + +

part part part （4-85A）

座標 1 2 3 u u u

度量係數

1 2 3 h h h

nabla grad del

直角 x y z

1 1 1 nabla ˆ ˆ ˆx y z

x y zpart part part

equiv + +part part part

圓柱

zρ ϕ

1 1ρ

1ˆ ˆ ˆ z

zρ ϕ

ρ ρ ϕpart part part

nabla equiv + +part part part

球

r θ ϕ

1 sinr r θ

1 1ˆ ˆˆ

sinr

r r rθ ϕ

θ θ ϕpart part part

nabla = + +part part part

（4-85B）

梯度gradient Vnabla grad(V) 散度divergence Anablasdot div( )A

直

角 nablaV ˆ ˆ ˆV V Vx y z

x y zpart part part

= + +part part part

yx zAA AAx y z

partpart partnablasdot = + +

part part part

圓

柱

1ˆ ˆ ˆ V V VV zz

ρ ϕρ ρ ϕpart part part

nabla = + +part part part

( )1 1

1

z

z

A AA Az

A A A Fz

ϕρ

ρ ρ ϕ

ρρ ρ ρ ϕ

ρ ρ ρ ϕ

partpart partnabla sdot = + +

part part partpart part part

= + + +part part part

球

1 1ˆ ˆˆ sin

V V VV rr r r

θ ϕθ θ ϕ

part part partnabla = + +

part part part

22

1 ( )rA r Ar r

partnabla sdot =

part

1 (sin )sin

Ar θθ

θ θpart

+ sdotpart

1sin

Ar

ϕ

θ ϕpart

+part

(4-86)

Ex47 Using spherical coordinate show that 1| |r r

nablaminus

= 2

ˆ| |

r rer r

minusminusminus

where

nabla是作用在 r 而 ˆr re minus 是向量 r rminus 方向的單位向量 解let r lies in z-axis so that the angle between r and r is just θ

4-52

rArr ( ) 122 21 1 2 cos | | ( ) ( )

r rr rr r r r r r

θminus

= = minus +minus minus sdot minus

( ) ( )12 122 2 2 21 1ˆˆ 2 cos 2 cos | |

r r rr r r rr rr r r r

θ θ θθ

minus minuspart partnabla = minus + + minus +

minus part part

( ) 322 21ˆ 2 cos (2 2 cos )2

r r rr r r rθ θminusminus

= minus + minus

( ) 322 21ˆ 2 cos (2 sin )2

r rr r rrθ θ θminusminus

+ minus +

3 3 3 3

ˆˆ ˆ( cos ) sin ( cos sin )ˆˆ| | | | | | | |r r r rr r rrr r r r r r r r

θ θ θ θ θθminus minus minus minus minus= + = +

minus minus minus minus

3 3 3ˆ ( )

| | | | | |r r z r r r rr r r r r rminus + minus + minus minus

= = =minus minus minus

＝ 2

ˆ| |

r rer r

minusminusminus

QED

證明最後我們用到 ˆˆˆ cos sinz r θ θ θ= minus 而 ˆ r r z= 因為我們選了 r 是

躺在 z-軸 Ex48 For arbitrary scalar field ( )f r and vector field ( )A r 證明恆等式

( )fA f A f Anablasdot = nabla sdot + nablasdot (4-87) 解 ˆ ˆ ˆx y zfA xfA yfA zfA= + +

( ) ( ) ( ) ( )x y zfA fA fA fAx y zpart part part

rArrnablasdot = + +part part part

yx zx x x

AAf f f AA f A f A fx x y y z z

partpartpart part part part= + + + + +part part part part part part

yx zx y z

AAf f f AA A A fx y z x y z

part⎛ ⎞partpart part part part= + + + + +⎜ ⎟part part part part part part⎝ ⎠

f A f A= nabla sdot + nablasdot QED 習題 12 一個位於原點的電偶極電偶極矩＝ ˆp pz= 已知其在遠處

的電位為 20

cos4p

rθ

πε試證該處的電場強度為 E = 3

0

ˆˆ( 2cos sin )4

p rr

θ θ θπε

+

(已知 E V= minusnabla )並請計算 Enablasdot ＝

習題 13 給定一向量場2

3cosˆD r

rϕ

= 現有兩個球心在原點的同心球

內球半徑 R＝1外球 R＝2(a)求面積分S

D dssdotint S 為同心球殼的表

面（有內外兩個面）(b)求體積分V

Ddvnablasdotint V 為兩同心球之間的

區域本題也是來 check 散度定理的Ans πminus

4-53

The Laplacian operator 2nabla equivnablasdotnabla

在直角座標可以用直接作用得到

2 2 2

22 2 2u u uu u

x y zpart part part

nabla equiv nablasdotnabla = + +part part part

(4-88)

圓柱座標

2 2

22 2 2

1 1( ) u u uu uz

ρρ ρ ρ ρ ϕ

part part part part⎛ ⎞nabla equiv nablasdot nabla = + +⎜ ⎟part part part part⎝ ⎠

(4-89)

球座標

2

2 22 2 2 2 2

1 1 1sinsin sin

u u uu rr r r r r

θθ θ θ θ ϕ

part part part part part⎛ ⎞ ⎛ ⎞nabla = + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟part part part part part⎝ ⎠ ⎝ ⎠ （4-90）

習題 14 verify (4-89) and (4-90)

習題 15 Given a dipole potential V= 20

cos4p

rθ

πε find 2Vminusnabla

sect 433 Line integral and curl A 線積分與與旋度的物理意義

線積分路徑積分

考慮一曲線 C 通過兩點 ( )i i i iP x y z 與

( )f f f fP x y z 現有一向量場 ( )A x y z 定義在

C 所在的空間若 sd 為 C 上位於(xyz)點的

「路徑元素」（ ˆd td= 方向沿該處切線）而

( )A x y z 為路徑元素d 處的場值則沿 C 經歷各點所做積分

cos cosf

CC C iA d Ad A dϕ ϕrarr rarrsdot = =int int int （4-91）

稱為向量場 ( )A x y z 沿路徑 C 自 pi 至 pf 的「線積分」「或「路徑積分」

積分裡 A 取值的點侷限在路徑 C 上面若為一個「封閉路徑」則對

C 的線積分也稱做「環路積分 closed contour integral」記做

C

A dsdotint （4-92）

4-54

物理量「做功」是最標準的線積分之一力 F 自 x = a 至 x = b「沿線」

x 軸做功

W＝ F dxsdotint ＝ ( )b

xaF x dxint （4-93）

質點在力場 )(rF 裡走一條曲線 C則力場做功

CW F d= sdotint （4-94）

還記得如果 ( )F r 是所謂「保守力」則上式只與始末點有關而與

路徑無關但如果 ( )F r 是所謂「非保守力」則做功與確實的路徑 C

有關

現考慮一質點在空間運動的位置 r 落在由曲線 C

描述的路徑則質點的位移元素與曲線 C 的路徑元

素相同 d dr= 若空間有向量場 A 分佈則 A 在 C 的

路徑積分以直角座標表示為

CA drarr rarrsdotint ＝

CA d rrarr rarrsdotint ＝ ( )x y zC

A dx A dy A dz+ +int （4-95）

上式中的 x y z 的積分限由 C 決定

Ex49 2 2 2ˆ ˆ ˆA xx yy zzrarr= + + 選定一路徑 C 為曲線

2y x= 由 (000)到 (2 20)的部分求C

A dsdotint

解 ˆ ˆd xdx ydy= +∵

CA dsdotint ＝ 2 2( )

Cx dx y dy+int ＝

2 22 2

0 0x dx y dy+int int

＝ )24(32

+

或由 2y x= rArr 2ydy dx= 2 12

y dy xdxrArr =

rArrC

A dsdotint ＝2 2

0

1( )2

x x dx+int ＝2 (4 2)3

+

4-55

ex50 ˆ ˆ( )f x y z xy yx= minus Do C

f dsdotint 其中的路徑 C 為一逆時針三角

形如圖 解∵路徑全部在 x-y 平面 ˆ ˆ ˆd td xdx ydy= = +

rArrC

f dsdotint ＝ x yC

f dx f dy+int ＝C

ydx xdyminusint

由於在 C1 上 y = 0 及 dy = 0 所以 01

=intC 又由於在

C3 上 x = 0 及 dx =0所以 03

=intC 所以只剩下 C2 可

能有貢獻由 2C 的方程式x + y =1rArr ⎩⎨⎧

minus=minus=

xyyx

11

rArr2Cydx xdyminusint ＝

0 1

1 0(1 ) (1 )x dx y dyminus minus minusint int ＝

0 12 2

1 0

( ) ( )2 2x yx yminus minus minus ＝-1

Cf dsdotint ＝-1

ex51 ( )f x y zrarr

= 2ˆ ˆxx yxyminus 如右圖doC

f dsdotint 其

中路徑 C 為第一象限的逆時針 14 圓弧

解∵ 全部在 x-y 平面 ˆ ˆd xdx ydy= +

Cf dsdotint ＝ 2

Cx dx xydyminusint

由於在 C 上 cosx R ϕ= rArr sindx R dϕ ϕ= minus

siny R ϕ= rArr cosdy R dϕ ϕ=

rArr 2

Cx dx xydyminusint ＝

2 2 2 2

0cos ( sin ) sin cos cosR R d R R d

πϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕminus minus sdotint

23 2

02 cos sinR d

πϕ ϕ ϕ= minus int ＝

323Rminus

又路徑為圓周一部份所以適合用極座標表示

ˆd Rdϕ ϕ= 又由左圖將 ˆ ˆx y 拆解（投影）到 ˆˆr ϕ

ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆcos sin sin cosx r y rϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ= minus = +

4-56

( )2ˆ ˆ ˆˆ ˆ( cos sin ) ( sin cos )C C

f d r x r xy Rdϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕsdot = minus minus + sdotint int 2

2 2 2

0

sin (cos )

sin ( cos ) (cos ) cos sin

Cx Rd xyRd

R Rd R Rdπ

ϕ ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ

= minus minus

= minus minus

intint

23 2

02 cos sinR d

πϕ ϕ ϕ= minus int ＝

323Rminus

這也驗證了散度定理

Path Independence 路徑獨立性

Ex52 證明庫倫力為「保守力」考慮

電荷 q0 位於原點及電荷 q 位於

( )r x y zrarr= q 受力 F

rarr＝ 0

20

14

qq urπε

and

求庫侖力作功因為球形對稱所以

用球座標由 ˆ ˆ ru rr

= = rArr Frarr

= 03

04qq r

rπε

庫侖力由 P1 至 P2 做功為 2

1

P

CPF drarrsdotint ＝

2

1

02

0

ˆ ˆ ˆˆ sin4

P

PC

qq r rdr rd r dr

θ θ ϕ θ ϕπε

⎡ ⎤sdot + +⎣ ⎦int ＝2

1

02

04P

P

qq drrπεint

＝20

2104

r

r

qq drrπε int ＝ 0

0 1 2

1 1( )4qq

r rπεminus for all C

所以庫侖力兩點間做功與路徑無關rArr保守力

對於「保守力 conservative force」 cF 自 p1 經

由兩條不同的路徑 C1 與 C2 到達 p2

1 ccF drarrsdotint ＝

2 ccF drarrsdotint ＝-

2 ccF drarr

minussdotint

rArr1 2c cc cF d F drarr rarr

minussdot + sdotint int = cF d

rarrsdotint ＝0 (4-96）

對於任何「封閉路徑」保守力做功為 0反之若

對任一封閉路徑 0F drarrsdot neint 則兩點之間的做功與路徑有關

rarr

F 為「非

保守力」

4-57

旋度 curl Anablatimes 的幾何物理意義

我們在（4-70）式已經看過旋度的計算方式但旋度另有其意義的

ex53 給定向量場2 2

0ˆ yv yv e λrarr

minus= 左圖為場的分佈

2 20

ˆ ˆ ˆ

0 0x y z

y

x y zcurl v

v e λ

rarr

minus

= part part part ＝ ˆ ˆ ˆ0 0 0 0x y zsdot minus sdot + sdot =

我們用了簡寫 x yx ypart part

part equiv part equivpart part

可以看出這個場裡沒有「漩渦」

但是有無「漩渦」有時也不是那麼明顯可以看出的請見下一個例子

Ex54 給定向量場2 2

0ˆ xv yv e λrarr

minus= 計算其旋度 vnablatimes

解向量場 vrarr

畫在右邊你看得出有無漩渦

先計算旋度

2 20

ˆ ˆ ˆ

0 0x y z

x

x y zcurl v

v e λ

rarr

minus

= part part part2 2

2 2

0

0

ˆ

ˆ 2 0 0

x

x

z v ex

z v xe for x

λ

λ

minus

minus

part=

part

= minus ne ne

vrarr

的旋度在大部分的地方不為 0 且隨位置而不同但是你看得出這個

向量場裡有「漩渦」其實要檢驗一個向量場裡有無「漩渦」有一

個很物理的方法就是放一個小「螺旋槳」（左圖）

在場內將軸朝各個方向測試一

下如果有「漩渦」的話這個

小「螺旋槳」就會轉動右圖就是將「螺旋槳」的

軸平行於 z 軸且放在 x gt 0 的地方就可以看出左

邊的 v 場比右邊的強造成螺旋槳順時針轉動rArrcurlv zminus for x gt 0

但如果放在 x = 0 的地方就會看到左右兩端的 v 場強度相同而且

4-58

curlv = 0 「螺旋槳」放在 x lt 0 的地方就可以看出右邊的v 場比左

邊的強造成螺旋槳逆時針轉動這完全符合 curl v k+ 的結果

環路積分與旋度 curl 的物理意義

如同「散度」一樣「旋度」除了 Ftimesnabla 之外

還有一個物理意義更清楚的定義這個定義由

「線積分」說明如圖考慮做「逆時針」長方形

路徑 C1 的一個「環路積分」C1 面平行於 x-y 平

面由 z-軸看下去環路 C1 可以分為可以分為

下 CB上 CT右 CR左 CL 4 部分

CA drarrsdotint ＝

B T L RC C C CA d A d A d A drarr rarr rarr rarrsdot + sdot + sdot + sdotint int int int

分別計算由於 CB 的中點座標為 ( )2yx y zΔ

minus

ˆB BC C

A d A xdxrarr rarrsdot = sdot =int int

BxC

A dxint ( )2xyA x y z xΔ

asymp minus Δ

similarly 由於 CT 的中點座標為 ( )2yx y zΔ

+

ˆ( )T TC C

A d A xdxrarr rarrsdot = sdot minus =int int

TxC

A dxminusint ( )2xyA x y z xΔ

asymp minus + Δ

合併 CB 與 CT

B TC CA drarr

+sdot =int

( ) ( )2 2x xy yA x y z A x y z

x yy

Δ Δ⎡ ⎤minus + minus minus⎢ ⎥⎣ ⎦ Δ ΔΔ

（4-97）

由 C1 所圍的面積 S x yΔ = Δ Δ

1B TC C

A dS

rarr

+sdot =

Δ int( ) ( )

2 2x xy yA x y z A x y z

y

Δ Δ⎡ ⎤minus + minus minus⎢ ⎥⎣ ⎦Δ

（4-98）

所以當取極限 C1 收縮到中心(xyz)時 SΔ 收縮到 0ie

4-59

0limsΔ rarr

1B TC C

A dS

rarr

+sdot =

Δ int xAy

partminuspart

（4-99）

Similarly with CR 的 ˆd ydy= CL 的 ˆd ydy= minus 可得

1L RC C

A dS

rarr

+sdot =

Δ int x

zyxxFzyxxF yy

Δ

Δminusminus

Δ+ )

2()

2(

（4-100）

同樣的當取極限 C1 收縮到中心(xyz)時 SΔ 收縮到 0

0

limsΔ rarr

1L RC C

A dS

rarr

+sdot =

Δ int yAx

partpart

（4-101）

最後合併 CBCTCRCL 為 C1

10

1limCs

A ds

rarr

Δ rarrsdot =

Δ int y xA Ax y

part partminus

part partˆ ( ) ( )zz A A= sdot nablatimes = nablatimes （4-102）

注意 C1 的方向就是在 z 上式的重要

意義是當向量場 A 在一個以點(xyz)為

中心「方向為 z 」的面積元素的「邊界」

所做的環路積分得到的就是 A 在(xyz)

處旋度的 z-分量明顯的只有當 A 在

(xyz)附近有 x-y 平面上的「漩渦」那麼 C1 的環路積分才不會為 0

Similarly 取一個逆時針繞著(xyz)的平行於 x-z 平面的長方形環路 C2

（左圖）做環路積分再取極限將 C2 收縮到(xyz)就會得到

20

1limCs

A ds

rarr

Δ rarrsdot =

Δ int x zA Az x

part partminus

part partˆ ( ) ( )yy A A= sdot nablatimes = nablatimes （4-103）

注意到 C2 所包圍的面積方向就在 y到

現在我們應該已經很有經驗了若取一

個逆時針繞著(xyz)的平行於 y-z 平面

的長方形環路 C3（左圖）做環路積分

再取極限將 C3 收縮到(xyz)就會得到

4-60

30

1limCs

A ds

rarr

Δ rarrsdot =

Δ int yz AAy z

partpartminus

part partˆ ( ) ( )xx A A= sdot nablatimes = nablatimes （4-104）

能把（4-103）與（4-104）變出來的同學我們有優待綜合以上

我們可以得到一個結論若取一個以點(xyz)為中心的任意環路 Cn（其

所包圍的面積方向在 n ）則

n curl Aand rarrsdot ＝

0

1lims

Cn

A ds

rarr

Δ rarrsdot

Δ int （4-105）

明顯的當 n ＝ x 或 y 或 z 時我們可以重複（4-102）到（4-104）的

結果（4-70）式的行列式所定義的旋度在此看見其幾何物理意義

至此「旋度」的「漩渦」形象應該已經很清楚了只有在(xyz)點附

近的小圈圈上有「漩渦」 A 在小圈圈做的環路積分才會有值這個

值就是向量場 A 的「旋度」在小圈圈面積方向的分量

Stokersquos 定理

考慮一個開放面 S被其「有方向的」邊界 C 圈住(bounded by)則

( )S

A dsrarr rarrnablatimes sdotint ＝

C

A drarrsdotint （4-106）

pf 先將 S 面分割為 N 個多邊形這會使得邊界變成一個「折線」形

成的環路 P環路 P 會隨著分割的多邊形個數的增多而越加近似於原

「光滑的」邊界 C現考慮相鄰的

兩個多邊形的線積分由於共用邊

的方向是相反的所以相鄰兩個多

邊形線積分的和只剩「外邊界」（見左圖）所以當把所有的多邊形的

4-61

線積分加起來時由於只有邊界 P 不是多邊形的共用邊所以

1k

N

k C

A drarr

=

sdotsum int ＝P

A drarrsdotint rArr

P

A drarrsdotint ＝

1

1

k

N

kk k C

A d l ss

rarr rarr

=

⎡ ⎤sdot Δ⎢ ⎥

Δ⎢ ⎥⎣ ⎦sum int

其中 ksΔ 為第 k 個多邊形的面積取極限 0kN srarrinfinrArrΔ rarr P CrArr rarr

C

A drarrsdotint ＝

10

1limkk

N

kN k k Cs

A d ss

rarr

rarrinfin=Δ rarr

⎡ ⎤sdot Δ⎢ ⎥

Δ⎢ ⎥⎣ ⎦sum int 01

ˆlim ( )k

k kskn A s

infin

Δ rarr=

⎡ ⎤= sdot nablatimes Δ⎣ ⎦sum

01

ˆlim ( )k

k kskA n s

infin

Δ rarr=

= nablatimes sdot Δsum = ( )S

A dsrarr

nablatimes sdotint QED

ex55 由 Amperersquos law 的積分形式導出其微分形式

解Amperersquos law 的積分形式 C

B drarrsdotint ＝ I0μ (4-107)

由 Stokersquos 定理及電流密度 j 的定義上式等號兩端可寫為

rArr ( )S

B dsrarr rarrnablatimes sdotint ＝ 0 S

j dsμrarrsdotint

由於上面的等式對任意面 S（路徑 C）都成立所以被積函數相等

0B jμrarr rarr rarr

rArrnablatimes = (4-108) 此即 Amperersquos law 的微分形式

Ex56 Given a vector field ˆ ˆx yA ye xe= minus + (a) Find Anablatimes

解

ˆ ˆ ˆˆ ˆ(1 ( 1) 2

0x y z

x y zA z z

y xnablatimes = part part part = minus minus =

minus

(b)如圖一個金字塔狀的 5 面體高 2底邊長＝1計算 ( )S

A dsnablatimes sdotint

其中 S 為金字塔在 x-y 平面以上的部分方向如同

封閉的金字塔（運用 Stokersquos law）

解金字塔上表面的面積元素ds 不好寫由 Stokersquos

4-62

law ( )S

A dsrarr rarrnablatimes sdotint ＝

C

A drarrsdotint 其中封閉路徑 C 就是上表面的邊界而且

是逆時針（由 z 軸向下看）

C

A drarrsdotint ＝

1 1 0 0

0 0 1 1ˆ ˆ ˆ ˆA xdx A ydy A xdx A ydysdot + sdot + sdot + sdotint int int int

＝1 1 0 0

0 0 1 1x y x yA dx A dy A dx A dy+ + +int int int int 1 1 0 0

0 0 1 1( 0) ( 1) ( 1) ( 0)y dx x dy y dx x dy= minus = + = + minus = + =int int int int

0 1 1 0 2 ( ) 2S

A ds= + + + = rArr nablatimes sdot =int

旋度與 path independence

已知保守場 cF 對所有封閉路徑 C 0cC

F drarrsdot =int 由 Stokersquos 定理

0cC

F drarrsdot =int ＝ ( )cS

F dsrarr rarrnablatimes sdotint rArr 0cF

rarr rarrnablatimes =

這表示保守場＝無旋度反之無旋度的場任兩點間路徑積分與路

徑無關

Ex57 Given a field 2 2ˆ ˆ ˆ2A x xy yx zz= + minus (a) Find Anablatimes A 保守場

解2 2

ˆ ˆ ˆ

2x y z

x y zA

xy x znablatimes = part part part

minus

( ) ( ) ( )2 2 2 2ˆ ˆ ˆ( ) 2 ( ) 2 0y z z x x yx z x y xy z z x xy= part minus minuspart + part minuspart minus + part minuspart =

yes A =保守場

(b)如左圖由 A 到 B 做路徑積分A BC

A drarr

sdotint 路徑 C 為橢圓

22 1

16yx + = 在 x-軸以上的部分

解橢圓部分的路徑元素 d 有點麻煩但因為 A

為保守場所以 A 到 B 做路徑積分可以用 x = -1 到

1 的積分取代

4-63

01 1 1

1 1 1ˆ 2 0

yB

xAA d A xdx A dx xydx

=

minus minus minussdot = sdot = = =int int int int

∵

旋度在柱座標與球座標

前面討論過nabla在不同座標系的寫法旋度也有歸納出的一致寫法

座標 1 2 3 u u u

度量係數

1 2 3 h h h

nabla grad del

直角 x y z

1 1 1 nabla ˆ ˆ ˆx y z

x y zpart part part

equiv + +part part part

圓柱 zρ ϕ

1 1ρ

1ˆ ˆ ˆ zz

ρ ϕρ ρ ϕpart part part

nabla equiv + +part part part

球 r θ ϕ

1 sinr r θ

1 1ˆ ˆˆ sin

rr r r

θ ϕθ θ ϕ

part part partnabla = + +

part part part

所以柱座標與球座標的旋度分別表為

柱座標

ˆ ˆ ˆ1

z

z

Az

AA Aρ ϕ

ρ ρϕ

ρ ρ ϕρ

part part partnablatimes =

part part part （4-109）

球座標 2

ˆ ˆˆ sin1sin

sinr

r r r

Ar r

A rA r Aθ ϕ

θ θϕ

θ θ ϕθ

part part partnablatimes =

part part part （4-110）

ex58 (a) Given the vector function ˆA ϕ= sin (ϕ 2) find Anablatimes

解 2

ˆ ˆˆ sin1sin

0 sin( 2) 0

r r r

Ar r

r

θ θϕ

θ θ ϕϕ

part part partnablatimes =

part part part

4-64

21 ˆˆ cos sin sinsin 2 2 2

rr rr

ϕ ϕθϕθ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

ˆˆ cos sin2 sin 2 2

rr r

ϕ ϕ ϕθ

minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

(b)如左圖一個底面在 x-y 平面半徑＝1高＝2 之圓錐 求面積分

SA dsnablatimes sdotint 面積範圍 S 為圓錐在 x-y 平面以上

部分 方向為由圓錐內向外

解由 Stokersquos law ( )S

A dsrarr rarrnablatimes sdotint ＝

C

A drarrsdotint 其中路

徑 C 為 x-y 平面圓心在原點之單位圓 ˆ ˆd rd dϕ ϕ ϕ ϕ= =

2

0ˆ ˆsin sin

2 2C

d dπϕ ϕϕ ϕ ϕ ϕ⎛ ⎞ ⎛ ⎞sdot =⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠int int ( )0

2 sin u duπ

= int 0cos | 2u π= minus =

習題 16 磁場 B 因為不是保守場所以沒有對應的純量位而對應一

個向量位 A (vector potential)而 B A= nablatimes 一個磁鐵的磁偶極矩

ˆm mz= 被置於原點已知在遠處的 vector potential 03ˆ sin

4mAr

μϕ θπ

=

計算該處的磁場 B Ans 03

ˆˆ( 2cos sin )4

mB rr

μ θ θ θπ

= + 與電偶極遠處

的電場形式一致都是偶極(dipole) 選幾個點畫一畫該處的場向量

把磁力線描出來

附錄本章講義的內容有部分可以經由直接計算得出列在附錄做為

參考

用「圓柱座標」寫 Atimesnabla

Ararr rarrnablatimes ＝ ( )1ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ zz A A zA

z ρ φρ ϕ ρ ϕρ ρ ϕpart part part⎛ ⎞+ + times + +⎜ ⎟part part part⎝ ⎠

4-65

因為rdquo sdotrdquo與rdquotimes rdquo都是向量間的運算所以

＝ ( )ˆ ˆ ˆ ˆ zA A zAρ φρ ρ ϕρpart

times + +part

＋ ( )1ˆ ˆ ˆ ˆ zA A zAρ φϕ ρ ϕρ ϕ

parttimes + +

part

＋ ( )ˆ ˆˆ ˆ zz A A zAz ρ φρ ϕpart

times + +part

直接做上式微分可以得到

＝1ˆ z AA

zϕρ

ρ ϕpart⎛ ⎞part

minus⎜ ⎟part part⎝ ⎠＋ ˆ zA A

zρϕ

ρpart⎛ ⎞part

minus⎜ ⎟part part⎝ ⎠＋

1 1ˆ ( )A

z A ρϕρ

ρ ρ ρ ϕpart⎛ ⎞part

minus⎜ ⎟part part⎝ ⎠

上式可以用一個行列式來表示

rarrrarr

timesnabla A＝

ˆ ˆ ˆ1

z

z

zA A Aρ ϕ

ρ ρϕ

ρ ρ ϕρ

part part partpart part part

（A-1）

A and Anabla nablasdot nablatimes in 球座標 spherical coordinate

如上圖球座標 )( ϕθr 其中 )0[ infinisinr ]0[ πθ isin ]20[ πϕ isin 只有 r

是長度而 ϕθ 為角度是用來說明方向的三個座標的單位向量 ˆ ˆˆ r θ ϕ 具

有下列性質

4-66

1 如上圖 ˆ ˆˆ r θ ϕ 都不是常數而是（ ϕθ ）的函數

ˆ ˆ( )ˆ ˆ( )ˆ ˆ( )

r r θ ϕ

θ θ θ ϕϕ ϕ ϕ

⎧ =⎪

=⎨⎪ =⎩

)( ϕθr 與(xyz)之間的轉換如下

sin cossin sincos

x ry rz r

θ φθ φθ

=⎧⎪ =⎨⎪ =⎩

( )122 2 2

2 2

tan

tan

r x y z

x yz

yx

θ

φ

⎧ = + +⎪⎪ +⎪ =⎨⎪⎪ =⎪⎩

（A-2）

2 ˆ ˆˆ r θ ϕ 形成一「歸一正交集」ie

ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ 1r r θ θ ϕ ϕsdot = sdot = sdot = ˆ ˆr θ ϕperp perp

ˆ ˆr θ ϕtimes = ˆ ˆ rθ ϕtimes = ˆˆ rϕ θtimes = （A-3）

3可以很容易的由他們在 xyz 軸上的投影由直角

座標的 ˆ ˆ ˆ x y z 表出

ˆ ˆ ˆ ˆsin cos sin sin cos ( 4 )ˆ ˆ ˆ ˆcos cos cos sin sin ( 4 )ˆ ˆ ˆsin cos ( 4 )

r x y z A a

x y z A bx y A c

θ φ θ φ θ

θ θ φ θ φ θϕ φ φ

= + + minus⎧⎪

= + minus minus⎨⎪ = minus + minus⎩

4 ˆdr = 由於 ˆ ˆ( )r r θ φ= 所以由 ϕθ 的變動來看

4-67

ˆ ˆˆ| |ˆ ˆˆ| | sin sin

d r d d

d r d d

θ θθ θθ

φ θ φφ θ φφ

⎧ rArr =⎪⎨

rArr =⎪⎩rArr ˆ ˆˆ sindr d dθ θ φ θ φ= + （A-5）

rArrˆ ˆr θθpart

=part

ˆ ˆsinr θφφpart

=part

（A-6）

（A-6）的結果也可以直接由（A-4a）對 ϕθ 偏微得到

5 ˆdθ ＝ 由於 ˆ ˆ( )θ θ θ φ= 所以由 ϕθ 的變動來看

ˆ ˆ ˆ| | ( )ˆ ˆ ˆ| | cos cos

d d r d r

d d d

θ θ θ θ

φ θ θ φφ φ θ φ

⎧ rArr minus = minus⎪⎨

rArr =⎪⎩rArr ˆdθ ＝ ˆˆ cosrd dθ φ θ φminus + （A-7）

ˆrθ

θpart

rArr = minuspart

ˆ ˆcosθ φ θφpart

=part

（A-8）

請直接由（A-4b）對 ϕθ 偏微的結果 check（A-8）

6 ˆdφ ＝由於φ )(ϕ 躺在 x-y 平面上變動φ時的方向可能不是那麼

容易看出來所以做圖看一看

ie ˆ ˆˆ(sin ) (cos )d r d dφ θ φ θ θ φ= minus minus （A-9）

4-68

ˆ ˆˆsin cosrφ θ θ θφpart

= minus minuspart

7 所有的向量 ˆ ˆˆ rA rA A Aθ φθ φrarr= + +

8 位置向量 ˆr rrrarr=

可以由左圖 ˆ ˆˆ r θ ϕ 三個方向的「長度

變化」輕易的看出

9 位移元素

ˆ ˆˆ ˆ sindr rdr rd dθ θ ϕ θ φ= + + (A-10)

10 體積元素

sindv dr r d rdθ φ θ= sdot sdot

＝ 2 sinr dr d dθ θ φ (A-11)

11 面積元素 2 sinrds r d dθ θ φ= plusmn sinds r drdθ θ φ= plusmn ds rdrdφ θ= plusmn (A-12)

plusmn號表示面的垂直方向有兩個端看 ds 周邊的方向是如何定的

nabladel 考慮 ( )u u r θ φ=

rArru u udu dr d dr

θ φθ φ

part part part= + +part part part

u d rrarr rarr

equiv nabla sdot

urarr

= nabla sdot ˆ ˆˆ( sin )rdr rd dθ θ φ θ φ+ +

rArr1 1ˆ ˆˆ

sinu u uu rr r r

θ ϕθ θ φ

rarr part part partnabla = + +

part part part

1 1ˆ ˆˆsin

rr r r

θ ϕθ θ φ

rarr part part partnabla equiv + +

part part part （A-13）

4-69

直接用（A-13）與 ˆ ˆˆ rA rA A Aθ φθ ϕrarr= + + 逐項內積加上（A-678）

rArr ϕθ

θθθ

ϕθ part

part+

partpart

+partpart

=sdotnablararrrarr A

rA

rAr

rrA r sin

1)(sinsin1)(1 2

2 （A-14）

（A-13）與 ϕθ ϕθ AAArA r

andandandrarr

++= 逐項外積整理之後

ϕθ θϕθ

ϕθθ

θArrAA

r

rrr

rA

r sin

sin

sin1

2 partpart

partpart

partpart

=timesnabla

andandand

rarrrarr

（A-15）

Laplacian uu nablasdotnabla=nabla2

2

2

2222

22

sin1)(sin

sin1)(1

ϕθθθ

θθ partpart

+partpart

partpart

+partpart

partpart

=nablau

ru

rrur

rru （A-16）

B推導「散度」在圓柱座標的寫法

讓我們先回顧一下在直角座標裡的「面積元素」可以由「位移元素」

得到

ˆˆ ˆ x y zdr idx jdy kdz da dydz dxdz dxdy= + + rArr =

比照辦理「圓柱座標」的位移元素

( )ˆˆ ˆ( )

( )z

da d dzdr d d zdz da d dz

da d d

ρ

φ

ρ φ

ρ ρ φ ρ φ ρ

ρ ρ φ

=⎧⎪= + + rArr =⎨⎪ =⎩

這個結論可以輕易的由面積元素在垂直於 zˆˆ ϕρ 三個方向的面積看

出如下圖考慮一個以 )( zϕρ 為中心的「圓柱體積元素」(cylindrical

cubiod)體積為 zdV ΔΔ=Δ ϕρρ 現計算在 ρ

方向的 12 兩個平行面(方向各為 ρplusmn )的通

量

4-70

zzF

dsFdsnFS S

ΔΔ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

+cong

=sdotintint intintϕρρϕρρρ

ρ

2

2

ˆ1 1

zzF

dsFdsnFS S

ΔΔ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

minus⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

minusminuscong

minus=sdotintint intintϕρρϕρρρ

ρ

2

2

ˆ2 2

intint+

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

minus⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

minusminus⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

+Δ

asympsdotΔ

rArr21

22

22

1ˆ1

SS

zFzFdsnFV

ϕρρρρϕρρρρρρ ρρ

( ) ( )

1 20

0

0

1 ˆlim

1lim 2 2 2 2

1 1lim 2 2

1

VS S

F ndsV

F z F z

F z F z

F

ρ ρρ

ρ ρρ

ρ

ρ ρ ρ ρρ ρ φ ρ ρ φρ ρ

ρ ρρ ρ φ ρ ρ φρ ρ

ρρ ρ

Δ rarr+

Δ rarr

Δ rarr

rArr sdotΔ

Δ Δ Δ Δ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + + minus minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥Δ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦Δ Δ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥Δ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

part ⎡ ⎤= ⎣ ⎦part

intint

娛樂一下用上述方式把圓柱的 Fsdotnabla 裡的z

FF z

partpart

+partϕρϕ1

變出來

球座標的nabla和 Fsdotnabla 也可以試試看

補充習題

H M Scheydiv grad curl and all that 4th edition

第二章習題 6 8 9 10 11 14 15 16 18 19 21 22 23 25 26 27

第三章習題 2 3 5 6 7 8 9 10 11 14 15 17 18 19 24

4-34

ex31 點電荷 q 置於原點其產生電位為 ( ) qV rr

= 求負梯度qr

minusnabla

解 3

2 2 2 22 2 2

2 ( )2

q q q q x x y zr x rx y z

minuspart minus= rArr = sdot + +

part+ +

3 23

ˆˆ ˆ ˆ( )q ix jy kz r rq q qr r r r

minus + +rArr minusnabla = minus = = （點電荷的電場）

0 0

1 1 r r

noter r= =

nabla rarrinfin rarrinfin∵ 是不定值是因為 r = 0 處為最大值

「增加率」的方向無法確定

ex32 置一熱源於原點空間溫度分佈為1( )

( 2)T r

r=

+求溫度的梯度

解 2 2 2

ˆ( ) ( )( 2) ( 2) ( 2)

x rT r rr rT r

x r r r

minuspart minus

= rArrnabla = =part + + +

此處的負號表示梯

度指向熱源因為距熱源越遠溫度越低 ( 0)note T rnabla = 為不定值

因在最頂點「增加率」的方向無法確定

Ex33 地圖上山脈的等高線上各點的垂直方向由梯度決定現有一座

山是橢球 2)1(4 222 =+++ zyx 在 x-y 平面上方的

部分求地圖上這座山等高線的梯度

解 山高 142 22 minusminusminus== yxzh 所以等高線為橢

圓 222 )1(24 +minus=+ hyx 梯度

( ) ( ) ( )2 2 2 2

2 2

ˆ ˆ4ˆ ˆ2 4 1 2 4 1

2 4

xx y yh x x y y x y

x y x y

minus +part partnabla = minus minus minus + minus minus minus =

part part minus minus

所以自山腳（h=0）登山若由(012)開始 ˆ(01 2) 2h ynabla = minus 但若由

)02(minus 開始爬山 ˆ( 20) 2h xnabla minus = 可見 )02()210( minusnablagtnabla hh 這表

示由 y-軸登山山勢較陡所以「梯度」比由 x-軸登山為大這也更

清楚瞭解「梯度」的幾何意義

4-35

sect 432 Divergence 散度與 Curl 旋度

在(4-66) 我們建立了一個直角座標 vector operator 「del」

ˆ ˆ ˆx y zx y zpart part part

nabla equiv + +part part part

(4-66)

若與向量場 A 做「內積」與「外積」就建構了 A 的「散度」與「旋度」

散度 A A scalaryx zAA Adiv ax y z

partpart partequiv nabla sdot = + + =

part part part （4-69）

旋度

y yz x z x

ˆ ˆ ˆ y z A vector

A AA A A Aˆ ˆ ˆxy z z x x y

x y z

x y z

xcurl A a

A A A

y z

⎧⎪

= nablatimes = part part part =⎪⎪⎨⎪

part part⎛ ⎞ ⎛ ⎞part part part part⎛ ⎞⎪ = minus + minus + minus⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎪ part part part part part part⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎩

(4-70)

這裡定義的只是「散度」與「旋度」所謂「操作型的定義」告訴我

們如何計算的式子事實上她們都具有重要的物理意義我們在後面

會討論

ex34 ˆ ˆA xy yx= minus 求其散度與旋度

解 0 0y xAx ypart part

nablasdot = minus + =part part

ˆ ˆ ˆ y zˆ ˆ ˆ ˆ 0 0 ( 2) 2

0 x y z

xA x y z z

y xnablatimes = part part part = minus + minus = minus

minus

右圖示意了本向量場的分佈看得出像個漩渦也看到算出的旋度

0ne 看來旋度表現的應該是向量場「旋轉的程度」事實上我們在

後面會看到「旋度」表現的就是是向量場在空間各點「旋轉的程度」

本題的向量場在每一點的旋轉程度都一樣

4-36

Ex35 ( )ˆ ˆ ˆ A xx yy zz r= + + = 求其散度與旋度

解 3A rnablasdot = nablasdot = ˆ ˆ ˆ y z

0

x y z

xA

x y znablatimes = part part part =

由場分佈的示意圖可以看出本向量場是自原點向外射出好似在原

點有一個場線的「源頭 source」但是 3Anablasdot = 為一個常數表示好像到

處都有 source同時旋度為 0 也可以配合本場並無旋轉的形象事實

上「散度」表現的就是是向量場在空間各點產生「場線」的 source

記得靜電學裡的庫倫定律 0E ρ εnablasdot = 電場的散度就是「電荷密度」

(電場的 source)前一題的向量場看來對應的場線是封閉的所以沒有

source這也對應了其散度＝0不過一個向量場的散度旋度究竟是

多少應該詳細的計算場分佈圖形有時候不是那麼容易看的清楚

兩個 useful identities (恆等式)

(a) ( ) 0 0f curl of a gradnablatimes nabla = =

(b) ( ) 0 0A div of a curlnablasdot nablatimes = =

pf (a) ( )ˆ ˆ ˆ x y z

x y z

x y z

ff f f

nablatimes nabla = part part part

part part part

( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2xz zxˆ ˆ ˆx y f- f z 0yz yz xy yxf f f f= part minus part minus part part + part minuspart =

這個結果與真實的向量外積 ( ) AA 0=times 有相似之處但是這只是特

例要記得nabla並不是一個真正的向量

( ) ( ) ( )

( )

ˆ ˆ ˆ y zˆ ˆ ˆ x y z

0

x y z y z z y x z z x x y y x

x y z

xy z xz y xy z yz x xz y yz x

xA A A A A A A

A A A

A A A A A A A

nablatimes = part part part = part minus part minus part minus part + part minus part

nablasdot nablatimes = part minuspart minuspart +part +part minuspart =

4-37

此結果與真實的向量運算有相似之處 ( )( )0 (B A) BB B Asdot times = times perp∵

但是這仍只是特例因為我們可由下列例子 ( ) 0A Asdot nablatimes ne 看出事實上

nabla並不是一個真正的向量 Ex36 ˆ ˆ ˆA xy yx zx= minus +

( )

ˆ ˆ ˆ y zˆ ˆ ˆ 0 1 ( 2)

2 0

x y z

xA x y z

y x x

A A x x x

nablatimes = part part part = minus + minus

minus

sdot nablatimes = minus = minus ne

面積元素向量

物理上時常會遇到面積分例如電通量磁通

量等等考慮一個面積元素 ds定義「面積的

方向」為其「法線方向」並定義面積元素向量

ˆnds a dsequiv （4-71）

要注意的是(1)如果 ds 是一個「封閉面

closed surface」（即有裡外之分）的一部

份則 ˆna 定義為「由內向外」(2) 如果 ds

是一個「開放面 opened surface」（即分不

出裡外）的一部份那麼 ds 必被其邊緣

（一個封閉的曲線 C）所包圍這樣在定

出ds 的方向之前要先定義「邊緣曲線」

C 的方向再由右手定則定義 ˆna 的方向

既然面積已為一個向量就可以寫為分量表示以直角座標

ˆ ˆ ˆx y zds xds yds zds= + + (4-72)

那麼這些分量 dsx dsy dsz 會是什麼既然 dsx 的方向是 x 就表示 dsx

是躺在 y-z 平面上所以 dsx 的兩邊是 dy 與 dz rArr xds dydz= 依此類

4-38

推 dsy 的方向是 y 所以躺在 x-z 平面rArr yds dxdz= hellip可以得知

xds dydz= yds dxdz= zds dxdy= （4-73）

不過要注意在寫面積元素時要看討論的面實際

是什麼面上式的三個分量有可能會是負的例如

左圖座落在第一象限的立方體的 A 面方向就在 xminus

方向Arsquo面在 yminus Ardquo面在 zminus 方向寫面積元素最

好是先把討論的面的方向搞清楚把plusmn號寫在單位向量前面那麼分

量就都用＋的即可其實面積元素體積元素都可以由位移元素看出

ˆ ˆ ˆdr xdx ydy zdz= + +

dx dy dz 是沿著 ˆ ˆ ˆ x y z 方向的長度所以面積元素分量的兩邊長度就

是由其中兩個組成而體積的三邊也就是三個垂直方向的長度

x y zdV dx dy dz and ds dydz dxdz dxdyrArr = = （4-74）

這個概念在其他的座標系統也成立我們可以方便的寫出面積元素

Recall 柱座標的位移向量元素

cylindrical coordinate ˆ ˆ ˆdr d d dzzρρ ρ ϕϕ= + + （4-48）

ˆ ˆ ˆ zds ds ds zdsρ ϕρ ϕ= + + (4-75)

dsρ 躺在 zϕ minus 平面dsϕ 在 zρ minus 平面 zds 在ρ ϕminus 平面

rArr zds d dz ds d dz ds d d d dρ ϕρ ϕ ρ ρ ρ ϕ ρ ρ ϕ= = = sdot = （4-76）

上面的結果畫個圖看看吧球座標的位移向量元素

Spherical coordinate ˆ ˆˆ ( ) ( sin )dr rdr rd r dθ θ ϕ θ ϕ= + + （4-56）

ˆ ˆˆ rds rds ds dsθ ϕθ ϕ= + + （4-77）

rArr sin sin rds rd r d ds dr r d ds rd drθ ϕθ θ ϕ θ ϕ θ= sdot = sdot = sdot (4-78)

4-39

向量場 ( )A r 在 S 面上的「面積分（surface integral）」or「flux」

如左圖若有一「平面」S 且其上有「均勻」

場 B 分佈則通過 S 面的通量就是

ˆB B nSΦ = sdot

但考慮一任意「非均勻」向量場 ( )A r 在空間分佈選取任意曲面 S

探討 ( )A r 在 S 上之通量若ds 為 S 面上的面積元素在趨近於 0 的

小面積ds 上 A可視為均勻所以通過ds 之通量為 ( )d A r dsΦ = sdot 則 S

面之總通量為

Φ＝ ˆ cosS S S

A ds A nds A daϕsdot = sdot =int int int

( )OR

x x y y z zS

A da A da A da= + +int (4-75)

稱為 A 在 S 面上的「面積分」或「通量 flux」

上圖所繪就是一個任意面上分割出許多小面積舉出三個位置的通

量有+-與 0如果 S 面是為一「封閉面」則面積分寫為

S

A dssdotint （4-76）

4-40

ex37 Given 2ˆ ˆ ˆyzA xyz yx zx= + + 計算通量S

A dssdotint

S 面為在第一象限邊長＝1 的立方體表面封閉面

解立方體分為前後右左上下六個面分開算 1前面（x=1）

方向 x+ ˆ xA ds A xdydz A dydzsdot = sdot =int int int前 前 前

yzdydz= int前 ＝1 1

0 0

1 1 12 2 4

ydy zdz = sdot =int int

2後面(x=0)方向 xminus ˆ(- ) - xA ds A x dydz A dydzsdot = sdot =int int int後 後 後

yzdydz= minusint後1 1

0 0

-1 1 -12 2 4

ydy zdzminus = sdot =int int

3 右面（y=1）方向 y+ y ( 1)yA ds A dxdz A y dxdzsdot = sdot = =int int int右 右 右

( 1)x y zdxdz= =int右 ＝1 1

0 0

1 1 12 2 4

xdx zdz = sdot =int int

4 左面（y=0）方向 ˆ-y ˆ( y) - ( 0)yA ds A dxdz A y dxdzsdot = sdot minus = =int int int左 左 左

( 0) 0x y zdxdz= = =int左

5 上面（z=1）方向 z+ zz y (z 1) yA ds A dxd A dxdsdot = sdot = =int int int上 上 上

2 yx dxd= int上 ＝1 120 0

1 1y 13 3

x dx d = sdot =int int

6 下面（z=1）方向 ˆ-z zˆ(-z) y - (z 0) yA ds A dxd A dxdsdot = sdot = =int int int下 下 下

2 -1- y3

x dxd= =int下 ＝1 120 0

1 1y 13 3

x dx d = sdot =int int

S

A dssdotint ＝六個面的和＝1 1 1 1 1 1( ) ( 0) ( )4 4 4 3 3 4

minus minus+ + + + + =

ex38 Given ˆ ˆ ˆzA xyz yx zxy= + + 計算通量S

A dssdotint S 為圓 2 2 2x y a+ =

在第一項限的部分方向選為 z+ 2 2y a x= minus

4-41

解 2 2 4

0 0ˆ

8a a x

zS S S S

aA ds A zdxdy A dxdy xydxdy xdx ydyminus

sdot = sdot = = = =int int int int int int

Ex39 In cylindrical coordinate Given ˆ ˆaA zbzρρ

= + where a b are

constants Find S

A dssdotint over the surface of a

closed cylinder about z-axis specified by 3 2z ρ= plusmn =

解S 分為上下與周邊三面

zz (z 3)zA ds A ds A d dρ ρ ϕsdot = sdot = = sdotint int int上 上 上

= 23 3 2 12bd d b bρ ρ ϕ π πsdot = sdot =int上

ˆ(-z)A ds A d dρ ρ ϕsdot = sdot sdotint int下 下

= z- (z -3)A d dρ ρ ϕ= sdotint下 = 23 2 12b bπ πsdot =

周邊ds ˆ ( )d dzρ ρ ϕ= rArr ˆ ( ) z ( ) zA ds A d d A d dρρ ρ ϕ ρ ϕsdot = sdot =int int int周 周 周

2 3

0 3( ) z ( ) z=a 12aA d d d d d dz a

πρ ρ ϕ ρ ϕ ϕ π

ρ minus= = =int int int int周 周

加起來 S

A dssdotint ＝12 24 12 ( 2 )a b a bπ π π+ = +

ex40 一點電荷 q 置於原點計算在一個以原點為圓心 0r 為半徑的球

面上的電通量

解 2 20 0

ˆ ˆ4 4S S

qr q dsE ds rdsr rπε πε

sdot = sdot =int int int

=0 0 0

44 4S

q q qd ππε πε ε

sdot Ω = sdot =int

上式中 dΩ 2dsr

= 是 ds 所張開的「立體角」(solid angle)

4-42

div A and Flux 通量與散度的幾何物理意義

我們運用過nabla的符號來表示過散度 divF F= nablasdot yx zFF Fx y z

partpart part= + +part part part

但是也看到「散度」定義為

0( )

1( ) limSV

about x y z

divF x y z F da divergence of FVΔ rarr

equiv sdot =Δ int (4-77)

其中 VΔ 為 S 面所包含的體積即散

度為通量(體)密度的 0 體積極限

（4-77）的定義與 Fnablasdot 好像差的很

多她們是說同一回事嗎以下證明

這兩種「散度」的定義是等價的如

左圖考慮一個以點 ( ) x y z 為中心

的 立 方 體 其 相 鄰 三 邊 長 為

x y zΔ Δ Δ 體積 V x y zΔ = Δ Δ Δ 現在計算 F 在立方體的一組平行於 y-z平面的表面 S1 與 S2 的通量

( )1 1

ˆ ˆ xS S

F nds F xds F x y z dsrArr sdot = sdot =intint intint intint 2xxF x y z y zΔ⎛ ⎞asymp + Δ Δ⎜ ⎟

⎝ ⎠

其中 2xx y zΔ⎛ ⎞+⎜ ⎟

⎝ ⎠為 S1 面中心的座標而

2xx y zΔ⎛ ⎞minus⎜ ⎟

⎝ ⎠為 S2 面的中心

( ) ( )2 2 2

ˆ ˆ 2x x

S S S

xF nda F x ds F x y z ds F x y z y zΔ⎛ ⎞rArr sdot = sdot minus = minus asymp minus minus Δ Δ⎜ ⎟⎝ ⎠intint intint intint

上式中的負號來自 S2 面的方向是 xminus 所以合併兩個面積分

1 2

ˆ 2 2x x

S S

x xF nds F x y z F x y z y z+

Δ Δ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞rArr sdot asymp + minus minus Δ Δ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦intint

2 2x xx xF x y z F x y z

x y zx

Δ Δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠= Δ Δ Δ

Δ

2 2

x xx xF x y z F x y z

Vx

Δ Δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠= Δ

Δ

1 2

1 2 2ˆ

x x

S S

x xF x y z F x y zF nds

V x+

Δ Δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠rArr sdot asymp

Δ Δintint

4-43

當取體積向(xyz)點收縮至 0 時即 0 x 0as VΔ rarr Δ rarr 上式的近似

「asymp」就成了「＝」

1 20

1 ˆlimV

S S

F ndsVΔ rarr

+

sdotΔ intint

( )0

2 2limx x

x

x

x xF x y z F x y z F x y zx xΔ rarr

Δ Δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟ part⎝ ⎠ ⎝ ⎠= =Δ part

Similarly F 在立方體的一組平行於 x-z 平面的表面 S3 與 S4 的通量

3 3 3

ˆ ˆ yS S S

F nds F yds F dsrArr sdot = sdot =intint intint intint

2

2

y

y

yF x y zyF x y z x z x y z

y

Δ⎛ ⎞+⎜ ⎟Δ⎛ ⎞ ⎝ ⎠asymp + Δ Δ = Δ Δ Δ⎜ ⎟ Δ⎝ ⎠

( )4 4 4

2ˆ ˆ

y

yS S S

yF x y zF nds F y da F ds x y z

y

Δ⎛ ⎞minus⎜ ⎟⎝ ⎠rArr sdot = sdot minus = minus asymp Δ Δ Δ

Δintint intint intint

合併 S3 與 S4 兩個面積分並取體積向(xyz)點收縮至 0 時即當

0 y 0VΔ rarr Δ rarr 上式的近似asymp就成了＝

3 4

2 2ˆ

x x

S S

y yF x y z F x y zF nds V

y+

Δ Δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠rArr sdot cong Δ

Δintint

3 40 0

1 2 2ˆlim lim

x xy

V yS S

x yF x y z F x y z FF nds

V y yΔ rarr Δ rarr+

Δ Δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟ part⎝ ⎠ ⎝ ⎠rArr sdot = =Δ Δ partintint

與上面相同的作法計算 F 在立方體的一組平行於 x-y 平面的表面 S5

與 S6 的通量我們也會得到對應的結果

5 6

2 2ˆ

z x

S S

z zF x y z F x y zF nds V

z+

Δ Δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠rArr sdot cong Δ

Δintint

5 60 0

1 2 2ˆlim lim

z xz

V zS S

z zF x y z F x y zFF nds

V z zΔ rarr Δ rarr+

Δ Δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟ part⎝ ⎠ ⎝ ⎠rArr sdot = =Δ Δ partintint

所以合併立方體的 6 個面積分

4-44

1 2 3 4 5 6

ˆ ˆ ˆ ˆS S S S S S S

F nds F nds F nds F nds+ + +

rArr sdot = sdot + sdot + sdotint intint intint intint

0

1 ˆlim yx zV

FF FF nds div F FV x y zΔ rarr

partpart partrArr sdot = + + = = nablasdot

Δ part part partint (4-78)

在此我們得證這兩種「散度」的定義是等價的只是（4-77）的定義

充分的表現出「散度」的幾何物理意義他從通量著手由於場線

出自於 source（ex電場源自於點電荷）所以在點(xyz)必須有向量場

F 的 source 存在才能使得當面積縮到 0 時仍具有非 0 的通量所以「散

度」表現向量場 F 的 source 在這個定義之下是很清楚的當然在計算

「散度」時我們不必那麼麻煩用 divF F= nablasdot 就好了

Ex41 計算 2ˆ ˆ ˆF xx yxy zyz= + + 的散度

解 2 yx zFF Fx x yx y z

partpart part= = =

part part part F 2x x y 3x ydivrArr = + + = +

recall 在靜電學0

yx zEE EEx y z

ρε

partpart partnablasdot = = + +

part part part

散度定理 Divergence Theorem

若任意封閉面（又稱為「高斯面」）S 所包圍的

體積為 V 則

S VA ds Adτsdot = nablasdotint int （4-79）

pf 我們先將體積分割成 N 個小盒子考慮相鄰的兩個小盒子 1 2

兩小盒子的共用面面積 S0當 S0 是為 1 號盒子的一部份時其方向為

1n 但若當為 2 號盒子的表面時其方向為 12 ˆˆ nn minus= 如此在 S0 分別做

4-45

1 2 盒子的面積分後

0 0

0 0 0 0

1 2

1 2 1 1ˆ ˆ ˆ ˆ 0

S S

S S S S

A ds A ds

F n ds F n ds F n ds F n ds

sdot + sdot

= sdot + sdot = sdot minus sdot =

intint intintintint intint intint intint

所以若求場 A 在 1 2 盒子的總通量時交界面是沒有貢獻的總通量

就只有「外面積」才有貢獻如此我們計算 N 個小盒子的總通量

時所有的內部共用面都得 0只剩下「外表面」的貢獻了當 infinrarrN

時所有小盒子的「總外表面」就與 S 面重合了所以所有小盒子通量

的總和就等於 S 面的通量

1lim

i

N

S SN iA ds A ds

rarrinfin=

rArr sdot = sdotsumint int

現在我們做 N 個小盒子的總通量

1 1

1i i

N N

iS Si i i

A ds A ds VV= =

⎛ ⎞sdot = sdot Δ⎜ ⎟Δ⎝ ⎠

sum sumint int

當 0iN Vrarrinfin rArr Δ rarr 並用 dv 表示體積元素

( ) ( )1 1

1

1lim lim lim

lim

i ii

N N

iS SN N V oi i i

N

i VN i

A ds A ds VV

A V A dv

rarrinfin rarrinfin Δ rarr= =

rarrinfin=

⎛ ⎞sdot = sdot Δ⎜ ⎟Δ⎝ ⎠

= nablasdot Δ = nablasdot

sum sumint int

sum int

( )S V

A da A dvrArr sdot = nablasdotint int QED

所以得證散度定理上式中我們用了散度的（4-77）式定義要分辨

清楚 Anablasdot 是向量場 A 在空間中「某一點」的性質（ 0VΔ rarr ）而「散

度定理」說的是一個「有限體積」的性質

ex42 給定 ( ) ˆ ˆ ˆ A x y z xx yy zz r= + + = 計算在

半徑 R＝1 的球的上半球加底面的通量

4-46

解 ( )ˆˆS

A da A rda A k darArr sdot = sdot + sdot minusint int int上半球面 底面

( )

2

ˆ ˆ

0 2 1 2

A rda A z dxdy

r rds zdxdy rds ds π π

= sdot + sdot minus

= sdot minus = minus = = sdot =

int int

int int int int上半球面 底面

上半球面 底面 上半球面

底面的通量＝0 是因為 A 的 z 分量 Az=z 在底面的值為 0

也可以用散度定理更快的得出結果

∵ 3A rnablasdot = nablasdot =

31 43 3 1 22 3V V

Ad d πτ τ πnablasdot = = sdot sdot sdot =int int

ex43高斯定律的微分形式積 由 Gaussrsquo law 的積分形式用散度定理得出其

( )0 0

1 inS V

qE ds x y z dvρε ε

sdot = =int int

0S V VE ds Edv dvρ

εrArr sdot = nablasdot =int int int

上式最後的等式對「任意形狀」V 都成立所以兩者的被積函數相等

對於空間每一點 0

E ρε

nablasdot = （4-80）

ex44 Use 第一象限的單位力方體 check the divergence theorem using the function 2 2ˆ ˆ ˆ(2 ) 2A y x xy z y yzz= + + +

解2

2( ) (2 )(2 ) 2( )y yzA xy z x yx y z

part part partnablasdot = + + + = +

part part part

and 1 1 1 1 1 1

0 0 0 0 0 02 ( ) 2 ( )

VAdv x y dxdydz dz dy x y dxnablasdot = + = +int int int int int int int

1 1

0 0

1 12 ( ) 2 12 2

dz y dy= + = sdot =int int

面積分 1 1 2

0 0

1ˆ3

A ds A xdydz dz y dysdot = sdot = =intint intint int int前 前

4-47

1 1 2

0 0

1ˆ( )3

A ds A x dydz dz y dy minussdot = sdot minus = minus =intint intint int int

後 後

1 1 2

0 0ˆ (2 )A ds A ydxdz dz xy z dxsdot = sdot = +intint intint int int

右 右

1 1 1 12 2

0 0 0

4(2 ) (1 )3

ydz x z dx dz z

=

= + = + =int int int∵

1 1 2

0 0

0 1 1 12 2

0 0 0

ˆ( ) (2 )

1(1 )3

y

A ds A y dxdz dz xy z dx

dz z dx dz z=

sdot = sdot minus = minus +

minus= minus = + =

intint intint int int

int int int∵

左 左

11 1 1 1

0 0 0 0ˆ 2 2 1

zA ds A zdxdy dx yzdy dx ydy

=sdot = sdot = = =intint intint int int int int

∵

上 上

01 1

0 0ˆ 2 0

zA ds A zdxdy dx yzdy

=sdot = sdot minus = minus =intint intint int int

∵

下 下

前後右左上下六個面積分合併＝1＝V

Advnablasdotint QED

ex45 Continuity Equation 連續方程式

考慮某些「東西」的流動（物質電荷hellip）在時刻 t 時在點(xyz)

的 密 度 為 ( ) x y z tρ ρ= 並 具 有 速 度

( ) v v x y z t= 在時刻 t 時在體積 V 內的總量為

( ) x y z t dρ τintintint

這樣體積 V 內東東的時變率為

( ) ( ) d x y z t d x y z t ddt t

ρρ τ τpart=

partintintint intintint

注意體積分後的時間全微分移入積分內要改為偏微分這個東東

在表面的「流率 flow rate」可表為

ˆS

R v ndsρ= sdotintint

若體積內的物料無法自生自滅那麼體積內物料的變化必經由表面的

流出流入所造成

d v ndstρ τ ρpart

rArr = minus sdotpartintintint intint

由散度定理

4-48

( )ˆS

v nds v d dtρρ ρ τ τpart

sdot = nablasdot = minuspartintint intintint intintint

( )v Jtρ ρpart

rArr = minusnablasdot equiv minusnablasdotpart

0Jtρpart

rArr +nablasdot =part

（4-81）

(4-81) 即 continuity equation其中 J vρ= 為「物流密度」ex如果 ρ

是電荷密度 J 就是電流密度（4-81）是物質守恆的結果只對體

積內無 source（生成）or drain（消滅）的東東成立

ex46 Given a vector field ˆ ˆx yA ye xe= minus + (a) Find

Anablasdot (b)如圖一個金字塔狀的 5 面體高 2 底邊長

1計算 A在整個金字塔表面（封閉面）的總通量

解(a) Anablasdot = ( ) ( ) 0y xx ypart part

minus + =part part

(b) 金 字 塔 的 表 面 面 積 元 素 ds 不 好 寫 所 以 用 散 度 定 理

( )S V

A da A dvrArr sdot = nablasdotint int ＝0 Anablasdot 表示 A沒有 source 所以對封閉面而

言有多少場線進入就有多少出去所以總通量＝0

習題 7 With position vector r for an arbitrary volume V that is

bounded by surface S show that 13 S

r ds Vsdot =int

習題 8 已知一靜電場為 ˆ ˆ ˆ( )E xyz yxz zxyλ= + + 運用 Gaussrsquo law

試求包含在半球 2 2 2 2 0x y z R z+ + = ge 裡的總電荷 Ans 0

習題 9 (a) given ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( 2 )F r xf x yf y zf z= + + minus show that divF is

zero at point (c c -c2) (b) given ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( )G r xf x z yg x z zh x y= + +

show that ( ) 0G rnablasdot =

4-49

習題 10 Find the normal vector n for the surfaces (a) z = 2-x-y ans

ˆ ˆ ˆ( ) 3x y z+ + (b) z = (1-x2)12 ans ˆ ˆxx zz+ (c) z = x2+y2

ans ˆ ˆ ˆ( 2 2 ) 1 4xx yy z zminus minus + +

習題 11 Show that the unit vector normal to the plane ax+by+cz =d is

given by 2 2 2ˆ ˆ ˆ( ) ax by cz a b cplusmn + + + +

圓柱座標與球座標的nabla (del)

考慮一純量場在直角座標為 ( ) u x y z 在圓柱座標表為 ( ) u zρ φ

再考慮因位移 r r drrarr + 所造成 u ( )zρ φ 的變化

( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆz

z

u u udu d d dz u dr u d d zdzz

u u z u d d zdz

u d u d u dzρ ϕ

ρ ϕ

ρ ϕ ρ ρ ϕρ ϕρ ϕ

ρ ϕ ρ ρ ϕρ ϕ

ρ ρ ϕ

part part part= + + = nabla sdot = nabla sdot + +part part part

⎡ ⎤= nabla + nabla + nabla sdot + +⎣ ⎦= nabla + nabla + nabla

( ) ( ) ( )1

1ˆ ˆ ˆu

z

u u uu u uz

u u uzz

ρ ϕρ ρ ϕ

ρ ϕρ ρ ϕ

part part partrArr nabla = nabla = nabla =

part part partpart part part

rArrnabla = + +part part part

1ˆ ˆ ˆ zz

ρ ϕρ ρ ϕpart part part

nabla = + +part part part

（4-82）

注意nabla的ϕ -分量( 1ρ ϕ

partpart

)不是像直角座標裡單純的ϕpartpart

所以不要笨笨

的就把直角座標的形式硬套上去用我們也可以從「因次分析」來

看nabla因為是對空間的微分所以每一項的因次必須是「長度分之一」

運算 andzρ

part partpart part

都是「長度分之一」而「單純的ϕpartpart

」是沒有單位的

所以要1ρ ϕ

partpart

才 OK

由於圓柱座標裡的單位向量除了 z 之外 ˆ( )ρ ϕ 與 ˆ( )ϕ ϕ 都不是常

4-50

數所以在微分時不可以與微分運算交換而要考慮微分的作用所

以在「圓柱座標」寫「散度」 ( ) F zρ ϕnablasdot 也和直角座標不一樣

( )1ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ zF z F F zFz ρ ϕρ ϕ ρ ϕ

ρ ρ ϕpart part part⎛ ⎞

nabla sdot = + + sdot + +⎜ ⎟part part part⎝ ⎠

( ) ( )1ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆz zF F zF F F zFρ ϕ ρ ϕρ ρ ϕ ϕ ρ ϕρ ρ ϕpart part

= sdot + + + sdot + +part part

( )ˆ ˆˆ ˆ zz F F zFz ρ ϕρ ϕpart

+ sdot + +part

因為 ( ) ( )ˆ ˆ ˆ ˆ ρ ρ ϕ ϕ ϕ ϕ= = 所以做 andzρ

part partpart part

時 ˆ ˆ ρ ϕ 可視為常數

ˆ ˆ1ˆ ˆ ˆ zF F F FF F Fz

ρ ρ ϕρ φ

ρ ϕϕ ρ ϕρ ρ ϕ ϕ ϕ ϕ

part part part⎡ ⎤part part partrArrnablasdot = + sdot + + + +⎢ ⎥part part part part part part⎣ ⎦

還記得 ˆ ˆ ˆ ˆd d d dρ ϕ ϕ ϕ ρ ϕ= = minus 所以 ˆ ˆρ ϕϕpart

=part

ˆ ˆϕ ρϕpart

= minuspart

rArr

( )1 1 1z zF F F FF FF Fz z

ρ ρ ϕ ϕρρ

ρ ρ ρ ϕ ρ ρ ρ ϕpart part part part

nablasdot = + + + = + +part part part part part part

（4-83）

在球座標寫nabla也會遇到相似的問題其根源就是球座標 ( )r θ ϕ 裡

的 θ ϕ 的因次並非長度而三個單位向量 ˆ ˆˆ r θ ϕ（表為 ie ）都是( θ ϕ )

的函數以致

( )ˆ ˆ( ) ( )i ie f e fθ ϕ θ ϕθ θpart part

nepart part

且 ( )ˆ ˆ( ) ( )i ie f e fθ ϕ θ ϕϕ ϕpart part

nepart part

所以nabla也不似在直角座標那麼簡單我們不在這裡推導而是給出一

個歸納的統一的三個座標的結果還記得對每一個座標 iu i = 123

座標的變化 idu 與造成的長度變化 id

i i id h du= 123i = (4-84)

其中 ih 為對應的度量係數(metric coefficient)

4-51

1 2 3

1 1 2 2 3 3

1 1 1ˆ ˆ ˆu u ue e eh u h u h u

part part partnabla equiv + +

part part part （4-85A）

座標 1 2 3 u u u

度量係數

1 2 3 h h h

nabla grad del

直角 x y z

1 1 1 nabla ˆ ˆ ˆx y z

x y zpart part part

equiv + +part part part

圓柱

zρ ϕ

1 1ρ

1ˆ ˆ ˆ z

zρ ϕ

ρ ρ ϕpart part part

nabla equiv + +part part part

球

r θ ϕ

1 sinr r θ

1 1ˆ ˆˆ

sinr

r r rθ ϕ

θ θ ϕpart part part

nabla = + +part part part

（4-85B）

梯度gradient Vnabla grad(V) 散度divergence Anablasdot div( )A

直

角 nablaV ˆ ˆ ˆV V Vx y z

x y zpart part part

= + +part part part

yx zAA AAx y z

partpart partnablasdot = + +

part part part

圓

柱

1ˆ ˆ ˆ V V VV zz

ρ ϕρ ρ ϕpart part part

nabla = + +part part part

( )1 1

1

z

z

A AA Az

A A A Fz

ϕρ

ρ ρ ϕ

ρρ ρ ρ ϕ

ρ ρ ρ ϕ

partpart partnabla sdot = + +

part part partpart part part

= + + +part part part

球

1 1ˆ ˆˆ sin

V V VV rr r r

θ ϕθ θ ϕ

part part partnabla = + +

part part part

22

1 ( )rA r Ar r

partnabla sdot =

part

1 (sin )sin

Ar θθ

θ θpart

+ sdotpart

1sin

Ar

ϕ

θ ϕpart

+part

(4-86)

Ex47 Using spherical coordinate show that 1| |r r

nablaminus

= 2

ˆ| |

r rer r

minusminusminus

where

nabla是作用在 r 而 ˆr re minus 是向量 r rminus 方向的單位向量 解let r lies in z-axis so that the angle between r and r is just θ

4-52

rArr ( ) 122 21 1 2 cos | | ( ) ( )

r rr rr r r r r r

θminus

= = minus +minus minus sdot minus

( ) ( )12 122 2 2 21 1ˆˆ 2 cos 2 cos | |

r r rr r r rr rr r r r

θ θ θθ

minus minuspart partnabla = minus + + minus +

minus part part

( ) 322 21ˆ 2 cos (2 2 cos )2

r r rr r r rθ θminusminus

= minus + minus

( ) 322 21ˆ 2 cos (2 sin )2

r rr r rrθ θ θminusminus

+ minus +

3 3 3 3

ˆˆ ˆ( cos ) sin ( cos sin )ˆˆ| | | | | | | |r r r rr r rrr r r r r r r r

θ θ θ θ θθminus minus minus minus minus= + = +

minus minus minus minus

3 3 3ˆ ( )

| | | | | |r r z r r r rr r r r r rminus + minus + minus minus

= = =minus minus minus

＝ 2

ˆ| |

r rer r

minusminusminus

QED

證明最後我們用到 ˆˆˆ cos sinz r θ θ θ= minus 而 ˆ r r z= 因為我們選了 r 是

躺在 z-軸 Ex48 For arbitrary scalar field ( )f r and vector field ( )A r 證明恆等式

( )fA f A f Anablasdot = nabla sdot + nablasdot (4-87) 解 ˆ ˆ ˆx y zfA xfA yfA zfA= + +

( ) ( ) ( ) ( )x y zfA fA fA fAx y zpart part part

rArrnablasdot = + +part part part

yx zx x x

AAf f f AA f A f A fx x y y z z

partpartpart part part part= + + + + +part part part part part part

yx zx y z

AAf f f AA A A fx y z x y z

part⎛ ⎞partpart part part part= + + + + +⎜ ⎟part part part part part part⎝ ⎠

f A f A= nabla sdot + nablasdot QED 習題 12 一個位於原點的電偶極電偶極矩＝ ˆp pz= 已知其在遠處

的電位為 20

cos4p

rθ

πε試證該處的電場強度為 E = 3

0

ˆˆ( 2cos sin )4

p rr

θ θ θπε

+

(已知 E V= minusnabla )並請計算 Enablasdot ＝

習題 13 給定一向量場2

3cosˆD r

rϕ

= 現有兩個球心在原點的同心球

內球半徑 R＝1外球 R＝2(a)求面積分S

D dssdotint S 為同心球殼的表

面（有內外兩個面）(b)求體積分V

Ddvnablasdotint V 為兩同心球之間的

區域本題也是來 check 散度定理的Ans πminus

4-53

The Laplacian operator 2nabla equivnablasdotnabla

在直角座標可以用直接作用得到

2 2 2

22 2 2u u uu u

x y zpart part part

nabla equiv nablasdotnabla = + +part part part

(4-88)

圓柱座標

2 2

22 2 2

1 1( ) u u uu uz

ρρ ρ ρ ρ ϕ

part part part part⎛ ⎞nabla equiv nablasdot nabla = + +⎜ ⎟part part part part⎝ ⎠

(4-89)

球座標

2

2 22 2 2 2 2

1 1 1sinsin sin

u u uu rr r r r r

θθ θ θ θ ϕ

part part part part part⎛ ⎞ ⎛ ⎞nabla = + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟part part part part part⎝ ⎠ ⎝ ⎠ （4-90）

習題 14 verify (4-89) and (4-90)

習題 15 Given a dipole potential V= 20

cos4p

rθ

πε find 2Vminusnabla

sect 433 Line integral and curl A 線積分與與旋度的物理意義

線積分路徑積分

考慮一曲線 C 通過兩點 ( )i i i iP x y z 與

( )f f f fP x y z 現有一向量場 ( )A x y z 定義在

C 所在的空間若 sd 為 C 上位於(xyz)點的

「路徑元素」（ ˆd td= 方向沿該處切線）而

( )A x y z 為路徑元素d 處的場值則沿 C 經歷各點所做積分

cos cosf

CC C iA d Ad A dϕ ϕrarr rarrsdot = =int int int （4-91）

稱為向量場 ( )A x y z 沿路徑 C 自 pi 至 pf 的「線積分」「或「路徑積分」

積分裡 A 取值的點侷限在路徑 C 上面若為一個「封閉路徑」則對

C 的線積分也稱做「環路積分 closed contour integral」記做

C

A dsdotint （4-92）

4-54

物理量「做功」是最標準的線積分之一力 F 自 x = a 至 x = b「沿線」

x 軸做功

W＝ F dxsdotint ＝ ( )b

xaF x dxint （4-93）

質點在力場 )(rF 裡走一條曲線 C則力場做功

CW F d= sdotint （4-94）

還記得如果 ( )F r 是所謂「保守力」則上式只與始末點有關而與

路徑無關但如果 ( )F r 是所謂「非保守力」則做功與確實的路徑 C

有關

現考慮一質點在空間運動的位置 r 落在由曲線 C

描述的路徑則質點的位移元素與曲線 C 的路徑元

素相同 d dr= 若空間有向量場 A 分佈則 A 在 C 的

路徑積分以直角座標表示為

CA drarr rarrsdotint ＝

CA d rrarr rarrsdotint ＝ ( )x y zC

A dx A dy A dz+ +int （4-95）

上式中的 x y z 的積分限由 C 決定

Ex49 2 2 2ˆ ˆ ˆA xx yy zzrarr= + + 選定一路徑 C 為曲線

2y x= 由 (000)到 (2 20)的部分求C

A dsdotint

解 ˆ ˆd xdx ydy= +∵

CA dsdotint ＝ 2 2( )

Cx dx y dy+int ＝

2 22 2

0 0x dx y dy+int int

＝ )24(32

+

或由 2y x= rArr 2ydy dx= 2 12

y dy xdxrArr =

rArrC

A dsdotint ＝2 2

0

1( )2

x x dx+int ＝2 (4 2)3

+

4-55

ex50 ˆ ˆ( )f x y z xy yx= minus Do C

f dsdotint 其中的路徑 C 為一逆時針三角

形如圖 解∵路徑全部在 x-y 平面 ˆ ˆ ˆd td xdx ydy= = +

rArrC

f dsdotint ＝ x yC

f dx f dy+int ＝C

ydx xdyminusint

由於在 C1 上 y = 0 及 dy = 0 所以 01

=intC 又由於在

C3 上 x = 0 及 dx =0所以 03

=intC 所以只剩下 C2 可

能有貢獻由 2C 的方程式x + y =1rArr ⎩⎨⎧

minus=minus=

xyyx

11

rArr2Cydx xdyminusint ＝

0 1

1 0(1 ) (1 )x dx y dyminus minus minusint int ＝

0 12 2

1 0

( ) ( )2 2x yx yminus minus minus ＝-1

Cf dsdotint ＝-1

ex51 ( )f x y zrarr

= 2ˆ ˆxx yxyminus 如右圖doC

f dsdotint 其

中路徑 C 為第一象限的逆時針 14 圓弧

解∵ 全部在 x-y 平面 ˆ ˆd xdx ydy= +

Cf dsdotint ＝ 2

Cx dx xydyminusint

由於在 C 上 cosx R ϕ= rArr sindx R dϕ ϕ= minus

siny R ϕ= rArr cosdy R dϕ ϕ=

rArr 2

Cx dx xydyminusint ＝

2 2 2 2

0cos ( sin ) sin cos cosR R d R R d

πϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕminus minus sdotint

23 2

02 cos sinR d

πϕ ϕ ϕ= minus int ＝

323Rminus

又路徑為圓周一部份所以適合用極座標表示

ˆd Rdϕ ϕ= 又由左圖將 ˆ ˆx y 拆解（投影）到 ˆˆr ϕ

ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆcos sin sin cosx r y rϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ= minus = +

4-56

( )2ˆ ˆ ˆˆ ˆ( cos sin ) ( sin cos )C C

f d r x r xy Rdϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕsdot = minus minus + sdotint int 2

2 2 2

0

sin (cos )

sin ( cos ) (cos ) cos sin

Cx Rd xyRd

R Rd R Rdπ

ϕ ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ

= minus minus

= minus minus

intint

23 2

02 cos sinR d

πϕ ϕ ϕ= minus int ＝

323Rminus

這也驗證了散度定理

Path Independence 路徑獨立性

Ex52 證明庫倫力為「保守力」考慮

電荷 q0 位於原點及電荷 q 位於

( )r x y zrarr= q 受力 F

rarr＝ 0

20

14

qq urπε

and

求庫侖力作功因為球形對稱所以

用球座標由 ˆ ˆ ru rr

= = rArr Frarr

= 03

04qq r

rπε

庫侖力由 P1 至 P2 做功為 2

1

P

CPF drarrsdotint ＝

2

1

02

0

ˆ ˆ ˆˆ sin4

P

PC

qq r rdr rd r dr

θ θ ϕ θ ϕπε

⎡ ⎤sdot + +⎣ ⎦int ＝2

1

02

04P

P

qq drrπεint

＝20

2104

r

r

qq drrπε int ＝ 0

0 1 2

1 1( )4qq

r rπεminus for all C

所以庫侖力兩點間做功與路徑無關rArr保守力

對於「保守力 conservative force」 cF 自 p1 經

由兩條不同的路徑 C1 與 C2 到達 p2

1 ccF drarrsdotint ＝

2 ccF drarrsdotint ＝-

2 ccF drarr

minussdotint

rArr1 2c cc cF d F drarr rarr

minussdot + sdotint int = cF d

rarrsdotint ＝0 (4-96）

對於任何「封閉路徑」保守力做功為 0反之若

對任一封閉路徑 0F drarrsdot neint 則兩點之間的做功與路徑有關

rarr

F 為「非

保守力」

4-57

旋度 curl Anablatimes 的幾何物理意義

我們在（4-70）式已經看過旋度的計算方式但旋度另有其意義的

ex53 給定向量場2 2

0ˆ yv yv e λrarr

minus= 左圖為場的分佈

2 20

ˆ ˆ ˆ

0 0x y z

y

x y zcurl v

v e λ

rarr

minus

= part part part ＝ ˆ ˆ ˆ0 0 0 0x y zsdot minus sdot + sdot =

我們用了簡寫 x yx ypart part

part equiv part equivpart part

可以看出這個場裡沒有「漩渦」

但是有無「漩渦」有時也不是那麼明顯可以看出的請見下一個例子

Ex54 給定向量場2 2

0ˆ xv yv e λrarr

minus= 計算其旋度 vnablatimes

解向量場 vrarr

畫在右邊你看得出有無漩渦

先計算旋度

2 20

ˆ ˆ ˆ

0 0x y z

x

x y zcurl v

v e λ

rarr

minus

= part part part2 2

2 2

0

0

ˆ

ˆ 2 0 0

x

x

z v ex

z v xe for x

λ

λ

minus

minus

part=

part

= minus ne ne

vrarr

的旋度在大部分的地方不為 0 且隨位置而不同但是你看得出這個

向量場裡有「漩渦」其實要檢驗一個向量場裡有無「漩渦」有一

個很物理的方法就是放一個小「螺旋槳」（左圖）

在場內將軸朝各個方向測試一

下如果有「漩渦」的話這個

小「螺旋槳」就會轉動右圖就是將「螺旋槳」的

軸平行於 z 軸且放在 x gt 0 的地方就可以看出左

邊的 v 場比右邊的強造成螺旋槳順時針轉動rArrcurlv zminus for x gt 0

但如果放在 x = 0 的地方就會看到左右兩端的 v 場強度相同而且

4-58

curlv = 0 「螺旋槳」放在 x lt 0 的地方就可以看出右邊的v 場比左

邊的強造成螺旋槳逆時針轉動這完全符合 curl v k+ 的結果

環路積分與旋度 curl 的物理意義

如同「散度」一樣「旋度」除了 Ftimesnabla 之外

還有一個物理意義更清楚的定義這個定義由

「線積分」說明如圖考慮做「逆時針」長方形

路徑 C1 的一個「環路積分」C1 面平行於 x-y 平

面由 z-軸看下去環路 C1 可以分為可以分為

下 CB上 CT右 CR左 CL 4 部分

CA drarrsdotint ＝

B T L RC C C CA d A d A d A drarr rarr rarr rarrsdot + sdot + sdot + sdotint int int int

分別計算由於 CB 的中點座標為 ( )2yx y zΔ

minus

ˆB BC C

A d A xdxrarr rarrsdot = sdot =int int

BxC

A dxint ( )2xyA x y z xΔ

asymp minus Δ

similarly 由於 CT 的中點座標為 ( )2yx y zΔ

+

ˆ( )T TC C

A d A xdxrarr rarrsdot = sdot minus =int int

TxC

A dxminusint ( )2xyA x y z xΔ

asymp minus + Δ

合併 CB 與 CT

B TC CA drarr

+sdot =int

( ) ( )2 2x xy yA x y z A x y z

x yy

Δ Δ⎡ ⎤minus + minus minus⎢ ⎥⎣ ⎦ Δ ΔΔ

（4-97）

由 C1 所圍的面積 S x yΔ = Δ Δ

1B TC C

A dS

rarr

+sdot =

Δ int( ) ( )

2 2x xy yA x y z A x y z

y

Δ Δ⎡ ⎤minus + minus minus⎢ ⎥⎣ ⎦Δ

（4-98）

所以當取極限 C1 收縮到中心(xyz)時 SΔ 收縮到 0ie

4-59

0limsΔ rarr

1B TC C

A dS

rarr

+sdot =

Δ int xAy

partminuspart

（4-99）

Similarly with CR 的 ˆd ydy= CL 的 ˆd ydy= minus 可得

1L RC C

A dS

rarr

+sdot =

Δ int x

zyxxFzyxxF yy

Δ

Δminusminus

Δ+ )

2()

2(

（4-100）

同樣的當取極限 C1 收縮到中心(xyz)時 SΔ 收縮到 0

0

limsΔ rarr

1L RC C

A dS

rarr

+sdot =

Δ int yAx

partpart

（4-101）

最後合併 CBCTCRCL 為 C1

10

1limCs

A ds

rarr

Δ rarrsdot =

Δ int y xA Ax y

part partminus

part partˆ ( ) ( )zz A A= sdot nablatimes = nablatimes （4-102）

注意 C1 的方向就是在 z 上式的重要

意義是當向量場 A 在一個以點(xyz)為

中心「方向為 z 」的面積元素的「邊界」

所做的環路積分得到的就是 A 在(xyz)

處旋度的 z-分量明顯的只有當 A 在

(xyz)附近有 x-y 平面上的「漩渦」那麼 C1 的環路積分才不會為 0

Similarly 取一個逆時針繞著(xyz)的平行於 x-z 平面的長方形環路 C2

（左圖）做環路積分再取極限將 C2 收縮到(xyz)就會得到

20

1limCs

A ds

rarr

Δ rarrsdot =

Δ int x zA Az x

part partminus

part partˆ ( ) ( )yy A A= sdot nablatimes = nablatimes （4-103）

注意到 C2 所包圍的面積方向就在 y到

現在我們應該已經很有經驗了若取一

個逆時針繞著(xyz)的平行於 y-z 平面

的長方形環路 C3（左圖）做環路積分

再取極限將 C3 收縮到(xyz)就會得到

4-60

30

1limCs

A ds

rarr

Δ rarrsdot =

Δ int yz AAy z

partpartminus

part partˆ ( ) ( )xx A A= sdot nablatimes = nablatimes （4-104）

能把（4-103）與（4-104）變出來的同學我們有優待綜合以上

我們可以得到一個結論若取一個以點(xyz)為中心的任意環路 Cn（其

所包圍的面積方向在 n ）則

n curl Aand rarrsdot ＝

0

1lims

Cn

A ds

rarr

Δ rarrsdot

Δ int （4-105）

明顯的當 n ＝ x 或 y 或 z 時我們可以重複（4-102）到（4-104）的

結果（4-70）式的行列式所定義的旋度在此看見其幾何物理意義

至此「旋度」的「漩渦」形象應該已經很清楚了只有在(xyz)點附

近的小圈圈上有「漩渦」 A 在小圈圈做的環路積分才會有值這個

值就是向量場 A 的「旋度」在小圈圈面積方向的分量

Stokersquos 定理

考慮一個開放面 S被其「有方向的」邊界 C 圈住(bounded by)則

( )S

A dsrarr rarrnablatimes sdotint ＝

C

A drarrsdotint （4-106）

pf 先將 S 面分割為 N 個多邊形這會使得邊界變成一個「折線」形

成的環路 P環路 P 會隨著分割的多邊形個數的增多而越加近似於原

「光滑的」邊界 C現考慮相鄰的

兩個多邊形的線積分由於共用邊

的方向是相反的所以相鄰兩個多

邊形線積分的和只剩「外邊界」（見左圖）所以當把所有的多邊形的

4-61

線積分加起來時由於只有邊界 P 不是多邊形的共用邊所以

1k

N

k C

A drarr

=

sdotsum int ＝P

A drarrsdotint rArr

P

A drarrsdotint ＝

1

1

k

N

kk k C

A d l ss

rarr rarr

=

⎡ ⎤sdot Δ⎢ ⎥

Δ⎢ ⎥⎣ ⎦sum int

其中 ksΔ 為第 k 個多邊形的面積取極限 0kN srarrinfinrArrΔ rarr P CrArr rarr

C

A drarrsdotint ＝

10

1limkk

N

kN k k Cs

A d ss

rarr

rarrinfin=Δ rarr

⎡ ⎤sdot Δ⎢ ⎥

Δ⎢ ⎥⎣ ⎦sum int 01

ˆlim ( )k

k kskn A s

infin

Δ rarr=

⎡ ⎤= sdot nablatimes Δ⎣ ⎦sum

01

ˆlim ( )k

k kskA n s

infin

Δ rarr=

= nablatimes sdot Δsum = ( )S

A dsrarr

nablatimes sdotint QED

ex55 由 Amperersquos law 的積分形式導出其微分形式

解Amperersquos law 的積分形式 C

B drarrsdotint ＝ I0μ (4-107)

由 Stokersquos 定理及電流密度 j 的定義上式等號兩端可寫為

rArr ( )S

B dsrarr rarrnablatimes sdotint ＝ 0 S

j dsμrarrsdotint

由於上面的等式對任意面 S（路徑 C）都成立所以被積函數相等

0B jμrarr rarr rarr

rArrnablatimes = (4-108) 此即 Amperersquos law 的微分形式

Ex56 Given a vector field ˆ ˆx yA ye xe= minus + (a) Find Anablatimes

解

ˆ ˆ ˆˆ ˆ(1 ( 1) 2

0x y z

x y zA z z

y xnablatimes = part part part = minus minus =

minus

(b)如圖一個金字塔狀的 5 面體高 2底邊長＝1計算 ( )S

A dsnablatimes sdotint

其中 S 為金字塔在 x-y 平面以上的部分方向如同

封閉的金字塔（運用 Stokersquos law）

解金字塔上表面的面積元素ds 不好寫由 Stokersquos

4-62

law ( )S

A dsrarr rarrnablatimes sdotint ＝

C

A drarrsdotint 其中封閉路徑 C 就是上表面的邊界而且

是逆時針（由 z 軸向下看）

C

A drarrsdotint ＝

1 1 0 0

0 0 1 1ˆ ˆ ˆ ˆA xdx A ydy A xdx A ydysdot + sdot + sdot + sdotint int int int

＝1 1 0 0

0 0 1 1x y x yA dx A dy A dx A dy+ + +int int int int 1 1 0 0

0 0 1 1( 0) ( 1) ( 1) ( 0)y dx x dy y dx x dy= minus = + = + minus = + =int int int int

0 1 1 0 2 ( ) 2S

A ds= + + + = rArr nablatimes sdot =int

旋度與 path independence

已知保守場 cF 對所有封閉路徑 C 0cC

F drarrsdot =int 由 Stokersquos 定理

0cC

F drarrsdot =int ＝ ( )cS

F dsrarr rarrnablatimes sdotint rArr 0cF

rarr rarrnablatimes =

這表示保守場＝無旋度反之無旋度的場任兩點間路徑積分與路

徑無關

Ex57 Given a field 2 2ˆ ˆ ˆ2A x xy yx zz= + minus (a) Find Anablatimes A 保守場

解2 2

ˆ ˆ ˆ

2x y z

x y zA

xy x znablatimes = part part part

minus

( ) ( ) ( )2 2 2 2ˆ ˆ ˆ( ) 2 ( ) 2 0y z z x x yx z x y xy z z x xy= part minus minuspart + part minuspart minus + part minuspart =

yes A =保守場

(b)如左圖由 A 到 B 做路徑積分A BC

A drarr

sdotint 路徑 C 為橢圓

22 1

16yx + = 在 x-軸以上的部分

解橢圓部分的路徑元素 d 有點麻煩但因為 A

為保守場所以 A 到 B 做路徑積分可以用 x = -1 到

1 的積分取代

4-63

01 1 1

1 1 1ˆ 2 0

yB

xAA d A xdx A dx xydx

=

minus minus minussdot = sdot = = =int int int int

∵

旋度在柱座標與球座標

前面討論過nabla在不同座標系的寫法旋度也有歸納出的一致寫法

座標 1 2 3 u u u

度量係數

1 2 3 h h h

nabla grad del

直角 x y z

1 1 1 nabla ˆ ˆ ˆx y z

x y zpart part part

equiv + +part part part

圓柱 zρ ϕ

1 1ρ

1ˆ ˆ ˆ zz

ρ ϕρ ρ ϕpart part part

nabla equiv + +part part part

球 r θ ϕ

1 sinr r θ

1 1ˆ ˆˆ sin

rr r r

θ ϕθ θ ϕ

part part partnabla = + +

part part part

所以柱座標與球座標的旋度分別表為

柱座標

ˆ ˆ ˆ1

z

z

Az

AA Aρ ϕ

ρ ρϕ

ρ ρ ϕρ

part part partnablatimes =

part part part （4-109）

球座標 2

ˆ ˆˆ sin1sin

sinr

r r r

Ar r

A rA r Aθ ϕ

θ θϕ

θ θ ϕθ

part part partnablatimes =

part part part （4-110）

ex58 (a) Given the vector function ˆA ϕ= sin (ϕ 2) find Anablatimes

解 2

ˆ ˆˆ sin1sin

0 sin( 2) 0

r r r

Ar r

r

θ θϕ

θ θ ϕϕ

part part partnablatimes =

part part part

4-64

21 ˆˆ cos sin sinsin 2 2 2

rr rr

ϕ ϕθϕθ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

ˆˆ cos sin2 sin 2 2

rr r

ϕ ϕ ϕθ

minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

(b)如左圖一個底面在 x-y 平面半徑＝1高＝2 之圓錐 求面積分

SA dsnablatimes sdotint 面積範圍 S 為圓錐在 x-y 平面以上

部分 方向為由圓錐內向外

解由 Stokersquos law ( )S

A dsrarr rarrnablatimes sdotint ＝

C

A drarrsdotint 其中路

徑 C 為 x-y 平面圓心在原點之單位圓 ˆ ˆd rd dϕ ϕ ϕ ϕ= =

2

0ˆ ˆsin sin

2 2C

d dπϕ ϕϕ ϕ ϕ ϕ⎛ ⎞ ⎛ ⎞sdot =⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠int int ( )0

2 sin u duπ

= int 0cos | 2u π= minus =

習題 16 磁場 B 因為不是保守場所以沒有對應的純量位而對應一

個向量位 A (vector potential)而 B A= nablatimes 一個磁鐵的磁偶極矩

ˆm mz= 被置於原點已知在遠處的 vector potential 03ˆ sin

4mAr

μϕ θπ

=

計算該處的磁場 B Ans 03

ˆˆ( 2cos sin )4

mB rr

μ θ θ θπ

= + 與電偶極遠處

的電場形式一致都是偶極(dipole) 選幾個點畫一畫該處的場向量

把磁力線描出來

附錄本章講義的內容有部分可以經由直接計算得出列在附錄做為

參考

用「圓柱座標」寫 Atimesnabla

Ararr rarrnablatimes ＝ ( )1ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ zz A A zA

z ρ φρ ϕ ρ ϕρ ρ ϕpart part part⎛ ⎞+ + times + +⎜ ⎟part part part⎝ ⎠

4-65

因為rdquo sdotrdquo與rdquotimes rdquo都是向量間的運算所以

＝ ( )ˆ ˆ ˆ ˆ zA A zAρ φρ ρ ϕρpart

times + +part

＋ ( )1ˆ ˆ ˆ ˆ zA A zAρ φϕ ρ ϕρ ϕ

parttimes + +

part

＋ ( )ˆ ˆˆ ˆ zz A A zAz ρ φρ ϕpart

times + +part

直接做上式微分可以得到

＝1ˆ z AA

zϕρ

ρ ϕpart⎛ ⎞part

minus⎜ ⎟part part⎝ ⎠＋ ˆ zA A

zρϕ

ρpart⎛ ⎞part

minus⎜ ⎟part part⎝ ⎠＋

1 1ˆ ( )A

z A ρϕρ

ρ ρ ρ ϕpart⎛ ⎞part

minus⎜ ⎟part part⎝ ⎠

上式可以用一個行列式來表示

rarrrarr

timesnabla A＝

ˆ ˆ ˆ1

z

z

zA A Aρ ϕ

ρ ρϕ

ρ ρ ϕρ

part part partpart part part

（A-1）

A and Anabla nablasdot nablatimes in 球座標 spherical coordinate

如上圖球座標 )( ϕθr 其中 )0[ infinisinr ]0[ πθ isin ]20[ πϕ isin 只有 r

是長度而 ϕθ 為角度是用來說明方向的三個座標的單位向量 ˆ ˆˆ r θ ϕ 具

有下列性質

4-66

1 如上圖 ˆ ˆˆ r θ ϕ 都不是常數而是（ ϕθ ）的函數

ˆ ˆ( )ˆ ˆ( )ˆ ˆ( )

r r θ ϕ

θ θ θ ϕϕ ϕ ϕ

⎧ =⎪

=⎨⎪ =⎩

)( ϕθr 與(xyz)之間的轉換如下

sin cossin sincos

x ry rz r

θ φθ φθ

=⎧⎪ =⎨⎪ =⎩

( )122 2 2

2 2

tan

tan

r x y z

x yz

yx

θ

φ

⎧ = + +⎪⎪ +⎪ =⎨⎪⎪ =⎪⎩

（A-2）

2 ˆ ˆˆ r θ ϕ 形成一「歸一正交集」ie

ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ 1r r θ θ ϕ ϕsdot = sdot = sdot = ˆ ˆr θ ϕperp perp

ˆ ˆr θ ϕtimes = ˆ ˆ rθ ϕtimes = ˆˆ rϕ θtimes = （A-3）

3可以很容易的由他們在 xyz 軸上的投影由直角

座標的 ˆ ˆ ˆ x y z 表出

ˆ ˆ ˆ ˆsin cos sin sin cos ( 4 )ˆ ˆ ˆ ˆcos cos cos sin sin ( 4 )ˆ ˆ ˆsin cos ( 4 )

r x y z A a

x y z A bx y A c

θ φ θ φ θ

θ θ φ θ φ θϕ φ φ

= + + minus⎧⎪

= + minus minus⎨⎪ = minus + minus⎩

4 ˆdr = 由於 ˆ ˆ( )r r θ φ= 所以由 ϕθ 的變動來看

4-67

ˆ ˆˆ| |ˆ ˆˆ| | sin sin

d r d d

d r d d

θ θθ θθ

φ θ φφ θ φφ

⎧ rArr =⎪⎨

rArr =⎪⎩rArr ˆ ˆˆ sindr d dθ θ φ θ φ= + （A-5）

rArrˆ ˆr θθpart

=part

ˆ ˆsinr θφφpart

=part

（A-6）

（A-6）的結果也可以直接由（A-4a）對 ϕθ 偏微得到

5 ˆdθ ＝ 由於 ˆ ˆ( )θ θ θ φ= 所以由 ϕθ 的變動來看

ˆ ˆ ˆ| | ( )ˆ ˆ ˆ| | cos cos

d d r d r

d d d

θ θ θ θ

φ θ θ φφ φ θ φ

⎧ rArr minus = minus⎪⎨

rArr =⎪⎩rArr ˆdθ ＝ ˆˆ cosrd dθ φ θ φminus + （A-7）

ˆrθ

θpart

rArr = minuspart

ˆ ˆcosθ φ θφpart

=part

（A-8）

請直接由（A-4b）對 ϕθ 偏微的結果 check（A-8）

6 ˆdφ ＝由於φ )(ϕ 躺在 x-y 平面上變動φ時的方向可能不是那麼

容易看出來所以做圖看一看

ie ˆ ˆˆ(sin ) (cos )d r d dφ θ φ θ θ φ= minus minus （A-9）

4-68

ˆ ˆˆsin cosrφ θ θ θφpart

= minus minuspart

7 所有的向量 ˆ ˆˆ rA rA A Aθ φθ φrarr= + +

8 位置向量 ˆr rrrarr=

可以由左圖 ˆ ˆˆ r θ ϕ 三個方向的「長度

變化」輕易的看出

9 位移元素

ˆ ˆˆ ˆ sindr rdr rd dθ θ ϕ θ φ= + + (A-10)

10 體積元素

sindv dr r d rdθ φ θ= sdot sdot

＝ 2 sinr dr d dθ θ φ (A-11)

11 面積元素 2 sinrds r d dθ θ φ= plusmn sinds r drdθ θ φ= plusmn ds rdrdφ θ= plusmn (A-12)

plusmn號表示面的垂直方向有兩個端看 ds 周邊的方向是如何定的

nabladel 考慮 ( )u u r θ φ=

rArru u udu dr d dr

θ φθ φ

part part part= + +part part part

u d rrarr rarr

equiv nabla sdot

urarr

= nabla sdot ˆ ˆˆ( sin )rdr rd dθ θ φ θ φ+ +

rArr1 1ˆ ˆˆ

sinu u uu rr r r

θ ϕθ θ φ

rarr part part partnabla = + +

part part part

1 1ˆ ˆˆsin

rr r r

θ ϕθ θ φ

rarr part part partnabla equiv + +

part part part （A-13）

4-69

直接用（A-13）與 ˆ ˆˆ rA rA A Aθ φθ ϕrarr= + + 逐項內積加上（A-678）

rArr ϕθ

θθθ

ϕθ part

part+

partpart

+partpart

=sdotnablararrrarr A

rA

rAr

rrA r sin

1)(sinsin1)(1 2

2 （A-14）

（A-13）與 ϕθ ϕθ AAArA r

andandandrarr

++= 逐項外積整理之後

ϕθ θϕθ

ϕθθ

θArrAA

r

rrr

rA

r sin

sin

sin1

2 partpart

partpart

partpart

=timesnabla

andandand

rarrrarr

（A-15）

Laplacian uu nablasdotnabla=nabla2

2

2

2222

22

sin1)(sin

sin1)(1

ϕθθθ

θθ partpart

+partpart

partpart

+partpart

partpart

=nablau

ru

rrur

rru （A-16）

B推導「散度」在圓柱座標的寫法

讓我們先回顧一下在直角座標裡的「面積元素」可以由「位移元素」

得到

ˆˆ ˆ x y zdr idx jdy kdz da dydz dxdz dxdy= + + rArr =

比照辦理「圓柱座標」的位移元素

( )ˆˆ ˆ( )

( )z

da d dzdr d d zdz da d dz

da d d

ρ

φ

ρ φ

ρ ρ φ ρ φ ρ

ρ ρ φ

=⎧⎪= + + rArr =⎨⎪ =⎩

這個結論可以輕易的由面積元素在垂直於 zˆˆ ϕρ 三個方向的面積看

出如下圖考慮一個以 )( zϕρ 為中心的「圓柱體積元素」(cylindrical

cubiod)體積為 zdV ΔΔ=Δ ϕρρ 現計算在 ρ

方向的 12 兩個平行面(方向各為 ρplusmn )的通

量

4-70

zzF

dsFdsnFS S

ΔΔ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

+cong

=sdotintint intintϕρρϕρρρ

ρ

2

2

ˆ1 1

zzF

dsFdsnFS S

ΔΔ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

minus⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

minusminuscong

minus=sdotintint intintϕρρϕρρρ

ρ

2

2

ˆ2 2

intint+

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

minus⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

minusminus⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

+Δ

asympsdotΔ

rArr21

22

22

1ˆ1

SS

zFzFdsnFV

ϕρρρρϕρρρρρρ ρρ

( ) ( )

1 20

0

0

1 ˆlim

1lim 2 2 2 2

1 1lim 2 2

1

VS S

F ndsV

F z F z

F z F z

F

ρ ρρ

ρ ρρ

ρ

ρ ρ ρ ρρ ρ φ ρ ρ φρ ρ

ρ ρρ ρ φ ρ ρ φρ ρ

ρρ ρ

Δ rarr+

Δ rarr

Δ rarr

rArr sdotΔ

Δ Δ Δ Δ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + + minus minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥Δ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦Δ Δ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥Δ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

part ⎡ ⎤= ⎣ ⎦part

intint

娛樂一下用上述方式把圓柱的 Fsdotnabla 裡的z

FF z

partpart

+partϕρϕ1

變出來

球座標的nabla和 Fsdotnabla 也可以試試看

補充習題

H M Scheydiv grad curl and all that 4th edition

第二章習題 6 8 9 10 11 14 15 16 18 19 21 22 23 25 26 27

第三章習題 2 3 5 6 7 8 9 10 11 14 15 17 18 19 24

4-35

sect 432 Divergence 散度與 Curl 旋度

在(4-66) 我們建立了一個直角座標 vector operator 「del」

ˆ ˆ ˆx y zx y zpart part part

nabla equiv + +part part part

(4-66)

若與向量場 A 做「內積」與「外積」就建構了 A 的「散度」與「旋度」

散度 A A scalaryx zAA Adiv ax y z

partpart partequiv nabla sdot = + + =

part part part （4-69）

旋度

y yz x z x

ˆ ˆ ˆ y z A vector

A AA A A Aˆ ˆ ˆxy z z x x y

x y z

x y z

xcurl A a

A A A

y z

⎧⎪

= nablatimes = part part part =⎪⎪⎨⎪

part part⎛ ⎞ ⎛ ⎞part part part part⎛ ⎞⎪ = minus + minus + minus⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎪ part part part part part part⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎩

(4-70)

這裡定義的只是「散度」與「旋度」所謂「操作型的定義」告訴我

們如何計算的式子事實上她們都具有重要的物理意義我們在後面

會討論

ex34 ˆ ˆA xy yx= minus 求其散度與旋度

解 0 0y xAx ypart part

nablasdot = minus + =part part

ˆ ˆ ˆ y zˆ ˆ ˆ ˆ 0 0 ( 2) 2

0 x y z

xA x y z z

y xnablatimes = part part part = minus + minus = minus

minus

右圖示意了本向量場的分佈看得出像個漩渦也看到算出的旋度

0ne 看來旋度表現的應該是向量場「旋轉的程度」事實上我們在

後面會看到「旋度」表現的就是是向量場在空間各點「旋轉的程度」

本題的向量場在每一點的旋轉程度都一樣

4-36

Ex35 ( )ˆ ˆ ˆ A xx yy zz r= + + = 求其散度與旋度

解 3A rnablasdot = nablasdot = ˆ ˆ ˆ y z

0

x y z

xA

x y znablatimes = part part part =

由場分佈的示意圖可以看出本向量場是自原點向外射出好似在原

點有一個場線的「源頭 source」但是 3Anablasdot = 為一個常數表示好像到

處都有 source同時旋度為 0 也可以配合本場並無旋轉的形象事實

上「散度」表現的就是是向量場在空間各點產生「場線」的 source

記得靜電學裡的庫倫定律 0E ρ εnablasdot = 電場的散度就是「電荷密度」

(電場的 source)前一題的向量場看來對應的場線是封閉的所以沒有

source這也對應了其散度＝0不過一個向量場的散度旋度究竟是

多少應該詳細的計算場分佈圖形有時候不是那麼容易看的清楚

兩個 useful identities (恆等式)

(a) ( ) 0 0f curl of a gradnablatimes nabla = =

(b) ( ) 0 0A div of a curlnablasdot nablatimes = =

pf (a) ( )ˆ ˆ ˆ x y z

x y z

x y z

ff f f

nablatimes nabla = part part part

part part part

( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2xz zxˆ ˆ ˆx y f- f z 0yz yz xy yxf f f f= part minus part minus part part + part minuspart =

這個結果與真實的向量外積 ( ) AA 0=times 有相似之處但是這只是特

例要記得nabla並不是一個真正的向量

( ) ( ) ( )

( )

ˆ ˆ ˆ y zˆ ˆ ˆ x y z

0

x y z y z z y x z z x x y y x

x y z

xy z xz y xy z yz x xz y yz x

xA A A A A A A

A A A

A A A A A A A

nablatimes = part part part = part minus part minus part minus part + part minus part

nablasdot nablatimes = part minuspart minuspart +part +part minuspart =

4-37

此結果與真實的向量運算有相似之處 ( )( )0 (B A) BB B Asdot times = times perp∵

但是這仍只是特例因為我們可由下列例子 ( ) 0A Asdot nablatimes ne 看出事實上

nabla並不是一個真正的向量 Ex36 ˆ ˆ ˆA xy yx zx= minus +

( )

ˆ ˆ ˆ y zˆ ˆ ˆ 0 1 ( 2)

2 0

x y z

xA x y z

y x x

A A x x x

nablatimes = part part part = minus + minus

minus

sdot nablatimes = minus = minus ne

面積元素向量

物理上時常會遇到面積分例如電通量磁通

量等等考慮一個面積元素 ds定義「面積的

方向」為其「法線方向」並定義面積元素向量

ˆnds a dsequiv （4-71）

要注意的是(1)如果 ds 是一個「封閉面

closed surface」（即有裡外之分）的一部

份則 ˆna 定義為「由內向外」(2) 如果 ds

是一個「開放面 opened surface」（即分不

出裡外）的一部份那麼 ds 必被其邊緣

（一個封閉的曲線 C）所包圍這樣在定

出ds 的方向之前要先定義「邊緣曲線」

C 的方向再由右手定則定義 ˆna 的方向

既然面積已為一個向量就可以寫為分量表示以直角座標

ˆ ˆ ˆx y zds xds yds zds= + + (4-72)

那麼這些分量 dsx dsy dsz 會是什麼既然 dsx 的方向是 x 就表示 dsx

是躺在 y-z 平面上所以 dsx 的兩邊是 dy 與 dz rArr xds dydz= 依此類

4-38

推 dsy 的方向是 y 所以躺在 x-z 平面rArr yds dxdz= hellip可以得知

xds dydz= yds dxdz= zds dxdy= （4-73）

不過要注意在寫面積元素時要看討論的面實際

是什麼面上式的三個分量有可能會是負的例如

左圖座落在第一象限的立方體的 A 面方向就在 xminus

方向Arsquo面在 yminus Ardquo面在 zminus 方向寫面積元素最

好是先把討論的面的方向搞清楚把plusmn號寫在單位向量前面那麼分

量就都用＋的即可其實面積元素體積元素都可以由位移元素看出

ˆ ˆ ˆdr xdx ydy zdz= + +

dx dy dz 是沿著 ˆ ˆ ˆ x y z 方向的長度所以面積元素分量的兩邊長度就

是由其中兩個組成而體積的三邊也就是三個垂直方向的長度

x y zdV dx dy dz and ds dydz dxdz dxdyrArr = = （4-74）

這個概念在其他的座標系統也成立我們可以方便的寫出面積元素

Recall 柱座標的位移向量元素

cylindrical coordinate ˆ ˆ ˆdr d d dzzρρ ρ ϕϕ= + + （4-48）

ˆ ˆ ˆ zds ds ds zdsρ ϕρ ϕ= + + (4-75)

dsρ 躺在 zϕ minus 平面dsϕ 在 zρ minus 平面 zds 在ρ ϕminus 平面

rArr zds d dz ds d dz ds d d d dρ ϕρ ϕ ρ ρ ρ ϕ ρ ρ ϕ= = = sdot = （4-76）

上面的結果畫個圖看看吧球座標的位移向量元素

Spherical coordinate ˆ ˆˆ ( ) ( sin )dr rdr rd r dθ θ ϕ θ ϕ= + + （4-56）

ˆ ˆˆ rds rds ds dsθ ϕθ ϕ= + + （4-77）

rArr sin sin rds rd r d ds dr r d ds rd drθ ϕθ θ ϕ θ ϕ θ= sdot = sdot = sdot (4-78)

4-39

向量場 ( )A r 在 S 面上的「面積分（surface integral）」or「flux」

如左圖若有一「平面」S 且其上有「均勻」

場 B 分佈則通過 S 面的通量就是

ˆB B nSΦ = sdot

但考慮一任意「非均勻」向量場 ( )A r 在空間分佈選取任意曲面 S

探討 ( )A r 在 S 上之通量若ds 為 S 面上的面積元素在趨近於 0 的

小面積ds 上 A可視為均勻所以通過ds 之通量為 ( )d A r dsΦ = sdot 則 S

面之總通量為

Φ＝ ˆ cosS S S

A ds A nds A daϕsdot = sdot =int int int

( )OR

x x y y z zS

A da A da A da= + +int (4-75)

稱為 A 在 S 面上的「面積分」或「通量 flux」

上圖所繪就是一個任意面上分割出許多小面積舉出三個位置的通

量有+-與 0如果 S 面是為一「封閉面」則面積分寫為

S

A dssdotint （4-76）

4-40

ex37 Given 2ˆ ˆ ˆyzA xyz yx zx= + + 計算通量S

A dssdotint

S 面為在第一象限邊長＝1 的立方體表面封閉面

解立方體分為前後右左上下六個面分開算 1前面（x=1）

方向 x+ ˆ xA ds A xdydz A dydzsdot = sdot =int int int前 前 前

yzdydz= int前 ＝1 1

0 0

1 1 12 2 4

ydy zdz = sdot =int int

2後面(x=0)方向 xminus ˆ(- ) - xA ds A x dydz A dydzsdot = sdot =int int int後 後 後

yzdydz= minusint後1 1

0 0

-1 1 -12 2 4

ydy zdzminus = sdot =int int

3 右面（y=1）方向 y+ y ( 1)yA ds A dxdz A y dxdzsdot = sdot = =int int int右 右 右

( 1)x y zdxdz= =int右 ＝1 1

0 0

1 1 12 2 4

xdx zdz = sdot =int int

4 左面（y=0）方向 ˆ-y ˆ( y) - ( 0)yA ds A dxdz A y dxdzsdot = sdot minus = =int int int左 左 左

( 0) 0x y zdxdz= = =int左

5 上面（z=1）方向 z+ zz y (z 1) yA ds A dxd A dxdsdot = sdot = =int int int上 上 上

2 yx dxd= int上 ＝1 120 0

1 1y 13 3

x dx d = sdot =int int

6 下面（z=1）方向 ˆ-z zˆ(-z) y - (z 0) yA ds A dxd A dxdsdot = sdot = =int int int下 下 下

2 -1- y3

x dxd= =int下 ＝1 120 0

1 1y 13 3

x dx d = sdot =int int

S

A dssdotint ＝六個面的和＝1 1 1 1 1 1( ) ( 0) ( )4 4 4 3 3 4

minus minus+ + + + + =

ex38 Given ˆ ˆ ˆzA xyz yx zxy= + + 計算通量S

A dssdotint S 為圓 2 2 2x y a+ =

在第一項限的部分方向選為 z+ 2 2y a x= minus

4-41

解 2 2 4

0 0ˆ

8a a x

zS S S S

aA ds A zdxdy A dxdy xydxdy xdx ydyminus

sdot = sdot = = = =int int int int int int

Ex39 In cylindrical coordinate Given ˆ ˆaA zbzρρ

= + where a b are

constants Find S

A dssdotint over the surface of a

closed cylinder about z-axis specified by 3 2z ρ= plusmn =

解S 分為上下與周邊三面

zz (z 3)zA ds A ds A d dρ ρ ϕsdot = sdot = = sdotint int int上 上 上

= 23 3 2 12bd d b bρ ρ ϕ π πsdot = sdot =int上

ˆ(-z)A ds A d dρ ρ ϕsdot = sdot sdotint int下 下

= z- (z -3)A d dρ ρ ϕ= sdotint下 = 23 2 12b bπ πsdot =

周邊ds ˆ ( )d dzρ ρ ϕ= rArr ˆ ( ) z ( ) zA ds A d d A d dρρ ρ ϕ ρ ϕsdot = sdot =int int int周 周 周

2 3

0 3( ) z ( ) z=a 12aA d d d d d dz a

πρ ρ ϕ ρ ϕ ϕ π

ρ minus= = =int int int int周 周

加起來 S

A dssdotint ＝12 24 12 ( 2 )a b a bπ π π+ = +

ex40 一點電荷 q 置於原點計算在一個以原點為圓心 0r 為半徑的球

面上的電通量

解 2 20 0

ˆ ˆ4 4S S

qr q dsE ds rdsr rπε πε

sdot = sdot =int int int

=0 0 0

44 4S

q q qd ππε πε ε

sdot Ω = sdot =int

上式中 dΩ 2dsr

= 是 ds 所張開的「立體角」(solid angle)

4-42

div A and Flux 通量與散度的幾何物理意義

我們運用過nabla的符號來表示過散度 divF F= nablasdot yx zFF Fx y z

partpart part= + +part part part

但是也看到「散度」定義為

0( )

1( ) limSV

about x y z

divF x y z F da divergence of FVΔ rarr

equiv sdot =Δ int (4-77)

其中 VΔ 為 S 面所包含的體積即散

度為通量(體)密度的 0 體積極限

（4-77）的定義與 Fnablasdot 好像差的很

多她們是說同一回事嗎以下證明

這兩種「散度」的定義是等價的如

左圖考慮一個以點 ( ) x y z 為中心

的 立 方 體 其 相 鄰 三 邊 長 為

x y zΔ Δ Δ 體積 V x y zΔ = Δ Δ Δ 現在計算 F 在立方體的一組平行於 y-z平面的表面 S1 與 S2 的通量

( )1 1

ˆ ˆ xS S

F nds F xds F x y z dsrArr sdot = sdot =intint intint intint 2xxF x y z y zΔ⎛ ⎞asymp + Δ Δ⎜ ⎟

⎝ ⎠

其中 2xx y zΔ⎛ ⎞+⎜ ⎟

⎝ ⎠為 S1 面中心的座標而

2xx y zΔ⎛ ⎞minus⎜ ⎟

⎝ ⎠為 S2 面的中心

( ) ( )2 2 2

ˆ ˆ 2x x

S S S

xF nda F x ds F x y z ds F x y z y zΔ⎛ ⎞rArr sdot = sdot minus = minus asymp minus minus Δ Δ⎜ ⎟⎝ ⎠intint intint intint

上式中的負號來自 S2 面的方向是 xminus 所以合併兩個面積分

1 2

ˆ 2 2x x

S S

x xF nds F x y z F x y z y z+

Δ Δ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞rArr sdot asymp + minus minus Δ Δ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦intint

2 2x xx xF x y z F x y z

x y zx

Δ Δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠= Δ Δ Δ

Δ

2 2

x xx xF x y z F x y z

Vx

Δ Δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠= Δ

Δ

1 2

1 2 2ˆ

x x

S S

x xF x y z F x y zF nds

V x+

Δ Δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠rArr sdot asymp

Δ Δintint

4-43

當取體積向(xyz)點收縮至 0 時即 0 x 0as VΔ rarr Δ rarr 上式的近似

「asymp」就成了「＝」

1 20

1 ˆlimV

S S

F ndsVΔ rarr

+

sdotΔ intint

( )0

2 2limx x

x

x

x xF x y z F x y z F x y zx xΔ rarr

Δ Δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟ part⎝ ⎠ ⎝ ⎠= =Δ part

Similarly F 在立方體的一組平行於 x-z 平面的表面 S3 與 S4 的通量

3 3 3

ˆ ˆ yS S S

F nds F yds F dsrArr sdot = sdot =intint intint intint

2

2

y

y

yF x y zyF x y z x z x y z

y

Δ⎛ ⎞+⎜ ⎟Δ⎛ ⎞ ⎝ ⎠asymp + Δ Δ = Δ Δ Δ⎜ ⎟ Δ⎝ ⎠

( )4 4 4

2ˆ ˆ

y

yS S S

yF x y zF nds F y da F ds x y z

y

Δ⎛ ⎞minus⎜ ⎟⎝ ⎠rArr sdot = sdot minus = minus asymp Δ Δ Δ

Δintint intint intint

合併 S3 與 S4 兩個面積分並取體積向(xyz)點收縮至 0 時即當

0 y 0VΔ rarr Δ rarr 上式的近似asymp就成了＝

3 4

2 2ˆ

x x

S S

y yF x y z F x y zF nds V

y+

Δ Δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠rArr sdot cong Δ

Δintint

3 40 0

1 2 2ˆlim lim

x xy

V yS S

x yF x y z F x y z FF nds

V y yΔ rarr Δ rarr+

Δ Δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟ part⎝ ⎠ ⎝ ⎠rArr sdot = =Δ Δ partintint

與上面相同的作法計算 F 在立方體的一組平行於 x-y 平面的表面 S5

與 S6 的通量我們也會得到對應的結果

5 6

2 2ˆ

z x

S S

z zF x y z F x y zF nds V

z+

Δ Δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠rArr sdot cong Δ

Δintint

5 60 0

1 2 2ˆlim lim

z xz

V zS S

z zF x y z F x y zFF nds

V z zΔ rarr Δ rarr+

Δ Δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟ part⎝ ⎠ ⎝ ⎠rArr sdot = =Δ Δ partintint

所以合併立方體的 6 個面積分

4-44

1 2 3 4 5 6

ˆ ˆ ˆ ˆS S S S S S S

F nds F nds F nds F nds+ + +

rArr sdot = sdot + sdot + sdotint intint intint intint

0

1 ˆlim yx zV

FF FF nds div F FV x y zΔ rarr

partpart partrArr sdot = + + = = nablasdot

Δ part part partint (4-78)

在此我們得證這兩種「散度」的定義是等價的只是（4-77）的定義

充分的表現出「散度」的幾何物理意義他從通量著手由於場線

出自於 source（ex電場源自於點電荷）所以在點(xyz)必須有向量場

F 的 source 存在才能使得當面積縮到 0 時仍具有非 0 的通量所以「散

度」表現向量場 F 的 source 在這個定義之下是很清楚的當然在計算

「散度」時我們不必那麼麻煩用 divF F= nablasdot 就好了

Ex41 計算 2ˆ ˆ ˆF xx yxy zyz= + + 的散度

解 2 yx zFF Fx x yx y z

partpart part= = =

part part part F 2x x y 3x ydivrArr = + + = +

recall 在靜電學0

yx zEE EEx y z

ρε

partpart partnablasdot = = + +

part part part

散度定理 Divergence Theorem

若任意封閉面（又稱為「高斯面」）S 所包圍的

體積為 V 則

S VA ds Adτsdot = nablasdotint int （4-79）

pf 我們先將體積分割成 N 個小盒子考慮相鄰的兩個小盒子 1 2

兩小盒子的共用面面積 S0當 S0 是為 1 號盒子的一部份時其方向為

1n 但若當為 2 號盒子的表面時其方向為 12 ˆˆ nn minus= 如此在 S0 分別做

4-45

1 2 盒子的面積分後

0 0

0 0 0 0

1 2

1 2 1 1ˆ ˆ ˆ ˆ 0

S S

S S S S

A ds A ds

F n ds F n ds F n ds F n ds

sdot + sdot

= sdot + sdot = sdot minus sdot =

intint intintintint intint intint intint

所以若求場 A 在 1 2 盒子的總通量時交界面是沒有貢獻的總通量

就只有「外面積」才有貢獻如此我們計算 N 個小盒子的總通量

時所有的內部共用面都得 0只剩下「外表面」的貢獻了當 infinrarrN

時所有小盒子的「總外表面」就與 S 面重合了所以所有小盒子通量

的總和就等於 S 面的通量

1lim

i

N

S SN iA ds A ds

rarrinfin=

rArr sdot = sdotsumint int

現在我們做 N 個小盒子的總通量

1 1

1i i

N N

iS Si i i

A ds A ds VV= =

⎛ ⎞sdot = sdot Δ⎜ ⎟Δ⎝ ⎠

sum sumint int

當 0iN Vrarrinfin rArr Δ rarr 並用 dv 表示體積元素

( ) ( )1 1

1

1lim lim lim

lim

i ii

N N

iS SN N V oi i i

N

i VN i

A ds A ds VV

A V A dv

rarrinfin rarrinfin Δ rarr= =

rarrinfin=

⎛ ⎞sdot = sdot Δ⎜ ⎟Δ⎝ ⎠

= nablasdot Δ = nablasdot

sum sumint int

sum int

( )S V

A da A dvrArr sdot = nablasdotint int QED

所以得證散度定理上式中我們用了散度的（4-77）式定義要分辨

清楚 Anablasdot 是向量場 A 在空間中「某一點」的性質（ 0VΔ rarr ）而「散

度定理」說的是一個「有限體積」的性質

ex42 給定 ( ) ˆ ˆ ˆ A x y z xx yy zz r= + + = 計算在

半徑 R＝1 的球的上半球加底面的通量

4-46

解 ( )ˆˆS

A da A rda A k darArr sdot = sdot + sdot minusint int int上半球面 底面

( )

2

ˆ ˆ

0 2 1 2

A rda A z dxdy

r rds zdxdy rds ds π π

= sdot + sdot minus

= sdot minus = minus = = sdot =

int int

int int int int上半球面 底面

上半球面 底面 上半球面

底面的通量＝0 是因為 A 的 z 分量 Az=z 在底面的值為 0

也可以用散度定理更快的得出結果

∵ 3A rnablasdot = nablasdot =

31 43 3 1 22 3V V

Ad d πτ τ πnablasdot = = sdot sdot sdot =int int

ex43高斯定律的微分形式積 由 Gaussrsquo law 的積分形式用散度定理得出其

( )0 0

1 inS V

qE ds x y z dvρε ε

sdot = =int int

0S V VE ds Edv dvρ

εrArr sdot = nablasdot =int int int

上式最後的等式對「任意形狀」V 都成立所以兩者的被積函數相等

對於空間每一點 0

E ρε

nablasdot = （4-80）

ex44 Use 第一象限的單位力方體 check the divergence theorem using the function 2 2ˆ ˆ ˆ(2 ) 2A y x xy z y yzz= + + +

解2

2( ) (2 )(2 ) 2( )y yzA xy z x yx y z

part part partnablasdot = + + + = +

part part part

and 1 1 1 1 1 1

0 0 0 0 0 02 ( ) 2 ( )

VAdv x y dxdydz dz dy x y dxnablasdot = + = +int int int int int int int

1 1

0 0

1 12 ( ) 2 12 2

dz y dy= + = sdot =int int

面積分 1 1 2

0 0

1ˆ3

A ds A xdydz dz y dysdot = sdot = =intint intint int int前 前

4-47

1 1 2

0 0

1ˆ( )3

A ds A x dydz dz y dy minussdot = sdot minus = minus =intint intint int int

後 後

1 1 2

0 0ˆ (2 )A ds A ydxdz dz xy z dxsdot = sdot = +intint intint int int

右 右

1 1 1 12 2

0 0 0

4(2 ) (1 )3

ydz x z dx dz z

=

= + = + =int int int∵

1 1 2

0 0

0 1 1 12 2

0 0 0

ˆ( ) (2 )

1(1 )3

y

A ds A y dxdz dz xy z dx

dz z dx dz z=

sdot = sdot minus = minus +

minus= minus = + =

intint intint int int

int int int∵

左 左

11 1 1 1

0 0 0 0ˆ 2 2 1

zA ds A zdxdy dx yzdy dx ydy

=sdot = sdot = = =intint intint int int int int

∵

上 上

01 1

0 0ˆ 2 0

zA ds A zdxdy dx yzdy

=sdot = sdot minus = minus =intint intint int int

∵

下 下

前後右左上下六個面積分合併＝1＝V

Advnablasdotint QED

ex45 Continuity Equation 連續方程式

考慮某些「東西」的流動（物質電荷hellip）在時刻 t 時在點(xyz)

的 密 度 為 ( ) x y z tρ ρ= 並 具 有 速 度

( ) v v x y z t= 在時刻 t 時在體積 V 內的總量為

( ) x y z t dρ τintintint

這樣體積 V 內東東的時變率為

( ) ( ) d x y z t d x y z t ddt t

ρρ τ τpart=

partintintint intintint

注意體積分後的時間全微分移入積分內要改為偏微分這個東東

在表面的「流率 flow rate」可表為

ˆS

R v ndsρ= sdotintint

若體積內的物料無法自生自滅那麼體積內物料的變化必經由表面的

流出流入所造成

d v ndstρ τ ρpart

rArr = minus sdotpartintintint intint

由散度定理

4-48

( )ˆS

v nds v d dtρρ ρ τ τpart

sdot = nablasdot = minuspartintint intintint intintint

( )v Jtρ ρpart

rArr = minusnablasdot equiv minusnablasdotpart

0Jtρpart

rArr +nablasdot =part

（4-81）

(4-81) 即 continuity equation其中 J vρ= 為「物流密度」ex如果 ρ

是電荷密度 J 就是電流密度（4-81）是物質守恆的結果只對體

積內無 source（生成）or drain（消滅）的東東成立

ex46 Given a vector field ˆ ˆx yA ye xe= minus + (a) Find

Anablasdot (b)如圖一個金字塔狀的 5 面體高 2 底邊長

1計算 A在整個金字塔表面（封閉面）的總通量

解(a) Anablasdot = ( ) ( ) 0y xx ypart part

minus + =part part

(b) 金 字 塔 的 表 面 面 積 元 素 ds 不 好 寫 所 以 用 散 度 定 理

( )S V

A da A dvrArr sdot = nablasdotint int ＝0 Anablasdot 表示 A沒有 source 所以對封閉面而

言有多少場線進入就有多少出去所以總通量＝0

習題 7 With position vector r for an arbitrary volume V that is

bounded by surface S show that 13 S

r ds Vsdot =int

習題 8 已知一靜電場為 ˆ ˆ ˆ( )E xyz yxz zxyλ= + + 運用 Gaussrsquo law

試求包含在半球 2 2 2 2 0x y z R z+ + = ge 裡的總電荷 Ans 0

習題 9 (a) given ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( 2 )F r xf x yf y zf z= + + minus show that divF is

zero at point (c c -c2) (b) given ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( )G r xf x z yg x z zh x y= + +

show that ( ) 0G rnablasdot =

4-49

習題 10 Find the normal vector n for the surfaces (a) z = 2-x-y ans

ˆ ˆ ˆ( ) 3x y z+ + (b) z = (1-x2)12 ans ˆ ˆxx zz+ (c) z = x2+y2

ans ˆ ˆ ˆ( 2 2 ) 1 4xx yy z zminus minus + +

習題 11 Show that the unit vector normal to the plane ax+by+cz =d is

given by 2 2 2ˆ ˆ ˆ( ) ax by cz a b cplusmn + + + +

圓柱座標與球座標的nabla (del)

考慮一純量場在直角座標為 ( ) u x y z 在圓柱座標表為 ( ) u zρ φ

再考慮因位移 r r drrarr + 所造成 u ( )zρ φ 的變化

( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆz

z

u u udu d d dz u dr u d d zdzz

u u z u d d zdz

u d u d u dzρ ϕ

ρ ϕ

ρ ϕ ρ ρ ϕρ ϕρ ϕ

ρ ϕ ρ ρ ϕρ ϕ

ρ ρ ϕ

part part part= + + = nabla sdot = nabla sdot + +part part part

⎡ ⎤= nabla + nabla + nabla sdot + +⎣ ⎦= nabla + nabla + nabla

( ) ( ) ( )1

1ˆ ˆ ˆu

z

u u uu u uz

u u uzz

ρ ϕρ ρ ϕ

ρ ϕρ ρ ϕ

part part partrArr nabla = nabla = nabla =

part part partpart part part

rArrnabla = + +part part part

1ˆ ˆ ˆ zz

ρ ϕρ ρ ϕpart part part

nabla = + +part part part

（4-82）

注意nabla的ϕ -分量( 1ρ ϕ

partpart

)不是像直角座標裡單純的ϕpartpart

所以不要笨笨

的就把直角座標的形式硬套上去用我們也可以從「因次分析」來

看nabla因為是對空間的微分所以每一項的因次必須是「長度分之一」

運算 andzρ

part partpart part

都是「長度分之一」而「單純的ϕpartpart

」是沒有單位的

所以要1ρ ϕ

partpart

才 OK

由於圓柱座標裡的單位向量除了 z 之外 ˆ( )ρ ϕ 與 ˆ( )ϕ ϕ 都不是常

4-50

數所以在微分時不可以與微分運算交換而要考慮微分的作用所

以在「圓柱座標」寫「散度」 ( ) F zρ ϕnablasdot 也和直角座標不一樣

( )1ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ zF z F F zFz ρ ϕρ ϕ ρ ϕ

ρ ρ ϕpart part part⎛ ⎞

nabla sdot = + + sdot + +⎜ ⎟part part part⎝ ⎠

( ) ( )1ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆz zF F zF F F zFρ ϕ ρ ϕρ ρ ϕ ϕ ρ ϕρ ρ ϕpart part

= sdot + + + sdot + +part part

( )ˆ ˆˆ ˆ zz F F zFz ρ ϕρ ϕpart

+ sdot + +part

因為 ( ) ( )ˆ ˆ ˆ ˆ ρ ρ ϕ ϕ ϕ ϕ= = 所以做 andzρ

part partpart part

時 ˆ ˆ ρ ϕ 可視為常數

ˆ ˆ1ˆ ˆ ˆ zF F F FF F Fz

ρ ρ ϕρ φ

ρ ϕϕ ρ ϕρ ρ ϕ ϕ ϕ ϕ

part part part⎡ ⎤part part partrArrnablasdot = + sdot + + + +⎢ ⎥part part part part part part⎣ ⎦

還記得 ˆ ˆ ˆ ˆd d d dρ ϕ ϕ ϕ ρ ϕ= = minus 所以 ˆ ˆρ ϕϕpart

=part

ˆ ˆϕ ρϕpart

= minuspart

rArr

( )1 1 1z zF F F FF FF Fz z

ρ ρ ϕ ϕρρ

ρ ρ ρ ϕ ρ ρ ρ ϕpart part part part

nablasdot = + + + = + +part part part part part part

（4-83）

在球座標寫nabla也會遇到相似的問題其根源就是球座標 ( )r θ ϕ 裡

的 θ ϕ 的因次並非長度而三個單位向量 ˆ ˆˆ r θ ϕ（表為 ie ）都是( θ ϕ )

的函數以致

( )ˆ ˆ( ) ( )i ie f e fθ ϕ θ ϕθ θpart part

nepart part

且 ( )ˆ ˆ( ) ( )i ie f e fθ ϕ θ ϕϕ ϕpart part

nepart part

所以nabla也不似在直角座標那麼簡單我們不在這裡推導而是給出一

個歸納的統一的三個座標的結果還記得對每一個座標 iu i = 123

座標的變化 idu 與造成的長度變化 id

i i id h du= 123i = (4-84)

其中 ih 為對應的度量係數(metric coefficient)

4-51

1 2 3

1 1 2 2 3 3

1 1 1ˆ ˆ ˆu u ue e eh u h u h u

part part partnabla equiv + +

part part part （4-85A）

座標 1 2 3 u u u

度量係數

1 2 3 h h h

nabla grad del

直角 x y z

1 1 1 nabla ˆ ˆ ˆx y z

x y zpart part part

equiv + +part part part

圓柱

zρ ϕ

1 1ρ

1ˆ ˆ ˆ z

zρ ϕ

ρ ρ ϕpart part part

nabla equiv + +part part part

球

r θ ϕ

1 sinr r θ

1 1ˆ ˆˆ

sinr

r r rθ ϕ

θ θ ϕpart part part

nabla = + +part part part

（4-85B）

梯度gradient Vnabla grad(V) 散度divergence Anablasdot div( )A

直

角 nablaV ˆ ˆ ˆV V Vx y z

x y zpart part part

= + +part part part

yx zAA AAx y z

partpart partnablasdot = + +

part part part

圓

柱

1ˆ ˆ ˆ V V VV zz

ρ ϕρ ρ ϕpart part part

nabla = + +part part part

( )1 1

1

z

z

A AA Az

A A A Fz

ϕρ

ρ ρ ϕ

ρρ ρ ρ ϕ

ρ ρ ρ ϕ

partpart partnabla sdot = + +

part part partpart part part

= + + +part part part

球

1 1ˆ ˆˆ sin

V V VV rr r r

θ ϕθ θ ϕ

part part partnabla = + +

part part part

22

1 ( )rA r Ar r

partnabla sdot =

part

1 (sin )sin

Ar θθ

θ θpart

+ sdotpart

1sin

Ar

ϕ

θ ϕpart

+part

(4-86)

Ex47 Using spherical coordinate show that 1| |r r

nablaminus

= 2

ˆ| |

r rer r

minusminusminus

where

nabla是作用在 r 而 ˆr re minus 是向量 r rminus 方向的單位向量 解let r lies in z-axis so that the angle between r and r is just θ

4-52

rArr ( ) 122 21 1 2 cos | | ( ) ( )

r rr rr r r r r r

θminus

= = minus +minus minus sdot minus

( ) ( )12 122 2 2 21 1ˆˆ 2 cos 2 cos | |

r r rr r r rr rr r r r

θ θ θθ

minus minuspart partnabla = minus + + minus +

minus part part

( ) 322 21ˆ 2 cos (2 2 cos )2

r r rr r r rθ θminusminus

= minus + minus

( ) 322 21ˆ 2 cos (2 sin )2

r rr r rrθ θ θminusminus

+ minus +

3 3 3 3

ˆˆ ˆ( cos ) sin ( cos sin )ˆˆ| | | | | | | |r r r rr r rrr r r r r r r r

θ θ θ θ θθminus minus minus minus minus= + = +

minus minus minus minus

3 3 3ˆ ( )

| | | | | |r r z r r r rr r r r r rminus + minus + minus minus

= = =minus minus minus

＝ 2

ˆ| |

r rer r

minusminusminus

QED

證明最後我們用到 ˆˆˆ cos sinz r θ θ θ= minus 而 ˆ r r z= 因為我們選了 r 是

躺在 z-軸 Ex48 For arbitrary scalar field ( )f r and vector field ( )A r 證明恆等式

( )fA f A f Anablasdot = nabla sdot + nablasdot (4-87) 解 ˆ ˆ ˆx y zfA xfA yfA zfA= + +

( ) ( ) ( ) ( )x y zfA fA fA fAx y zpart part part

rArrnablasdot = + +part part part

yx zx x x

AAf f f AA f A f A fx x y y z z

partpartpart part part part= + + + + +part part part part part part

yx zx y z

AAf f f AA A A fx y z x y z

part⎛ ⎞partpart part part part= + + + + +⎜ ⎟part part part part part part⎝ ⎠

f A f A= nabla sdot + nablasdot QED 習題 12 一個位於原點的電偶極電偶極矩＝ ˆp pz= 已知其在遠處

的電位為 20

cos4p

rθ

πε試證該處的電場強度為 E = 3

0

ˆˆ( 2cos sin )4

p rr

θ θ θπε

+

(已知 E V= minusnabla )並請計算 Enablasdot ＝

習題 13 給定一向量場2

3cosˆD r

rϕ

= 現有兩個球心在原點的同心球

內球半徑 R＝1外球 R＝2(a)求面積分S

D dssdotint S 為同心球殼的表

面（有內外兩個面）(b)求體積分V

Ddvnablasdotint V 為兩同心球之間的

區域本題也是來 check 散度定理的Ans πminus

4-53

The Laplacian operator 2nabla equivnablasdotnabla

在直角座標可以用直接作用得到

2 2 2

22 2 2u u uu u

x y zpart part part

nabla equiv nablasdotnabla = + +part part part

(4-88)

圓柱座標

2 2

22 2 2

1 1( ) u u uu uz

ρρ ρ ρ ρ ϕ

part part part part⎛ ⎞nabla equiv nablasdot nabla = + +⎜ ⎟part part part part⎝ ⎠

(4-89)

球座標

2

2 22 2 2 2 2

1 1 1sinsin sin

u u uu rr r r r r

θθ θ θ θ ϕ

part part part part part⎛ ⎞ ⎛ ⎞nabla = + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟part part part part part⎝ ⎠ ⎝ ⎠ （4-90）

習題 14 verify (4-89) and (4-90)

習題 15 Given a dipole potential V= 20

cos4p

rθ

πε find 2Vminusnabla

sect 433 Line integral and curl A 線積分與與旋度的物理意義

線積分路徑積分

考慮一曲線 C 通過兩點 ( )i i i iP x y z 與

( )f f f fP x y z 現有一向量場 ( )A x y z 定義在

C 所在的空間若 sd 為 C 上位於(xyz)點的

「路徑元素」（ ˆd td= 方向沿該處切線）而

( )A x y z 為路徑元素d 處的場值則沿 C 經歷各點所做積分

cos cosf

CC C iA d Ad A dϕ ϕrarr rarrsdot = =int int int （4-91）

稱為向量場 ( )A x y z 沿路徑 C 自 pi 至 pf 的「線積分」「或「路徑積分」

積分裡 A 取值的點侷限在路徑 C 上面若為一個「封閉路徑」則對

C 的線積分也稱做「環路積分 closed contour integral」記做

C

A dsdotint （4-92）

4-54

物理量「做功」是最標準的線積分之一力 F 自 x = a 至 x = b「沿線」

x 軸做功

W＝ F dxsdotint ＝ ( )b

xaF x dxint （4-93）

質點在力場 )(rF 裡走一條曲線 C則力場做功

CW F d= sdotint （4-94）

還記得如果 ( )F r 是所謂「保守力」則上式只與始末點有關而與

路徑無關但如果 ( )F r 是所謂「非保守力」則做功與確實的路徑 C

有關

現考慮一質點在空間運動的位置 r 落在由曲線 C

描述的路徑則質點的位移元素與曲線 C 的路徑元

素相同 d dr= 若空間有向量場 A 分佈則 A 在 C 的

路徑積分以直角座標表示為

CA drarr rarrsdotint ＝

CA d rrarr rarrsdotint ＝ ( )x y zC

A dx A dy A dz+ +int （4-95）

上式中的 x y z 的積分限由 C 決定

Ex49 2 2 2ˆ ˆ ˆA xx yy zzrarr= + + 選定一路徑 C 為曲線

2y x= 由 (000)到 (2 20)的部分求C

A dsdotint

解 ˆ ˆd xdx ydy= +∵

CA dsdotint ＝ 2 2( )

Cx dx y dy+int ＝

2 22 2

0 0x dx y dy+int int

＝ )24(32

+

或由 2y x= rArr 2ydy dx= 2 12

y dy xdxrArr =

rArrC

A dsdotint ＝2 2

0

1( )2

x x dx+int ＝2 (4 2)3

+

4-55

ex50 ˆ ˆ( )f x y z xy yx= minus Do C

f dsdotint 其中的路徑 C 為一逆時針三角

形如圖 解∵路徑全部在 x-y 平面 ˆ ˆ ˆd td xdx ydy= = +

rArrC

f dsdotint ＝ x yC

f dx f dy+int ＝C

ydx xdyminusint

由於在 C1 上 y = 0 及 dy = 0 所以 01

=intC 又由於在

C3 上 x = 0 及 dx =0所以 03

=intC 所以只剩下 C2 可

能有貢獻由 2C 的方程式x + y =1rArr ⎩⎨⎧

minus=minus=

xyyx

11

rArr2Cydx xdyminusint ＝

0 1

1 0(1 ) (1 )x dx y dyminus minus minusint int ＝

0 12 2

1 0

( ) ( )2 2x yx yminus minus minus ＝-1

Cf dsdotint ＝-1

ex51 ( )f x y zrarr

= 2ˆ ˆxx yxyminus 如右圖doC

f dsdotint 其

中路徑 C 為第一象限的逆時針 14 圓弧

解∵ 全部在 x-y 平面 ˆ ˆd xdx ydy= +

Cf dsdotint ＝ 2

Cx dx xydyminusint

由於在 C 上 cosx R ϕ= rArr sindx R dϕ ϕ= minus

siny R ϕ= rArr cosdy R dϕ ϕ=

rArr 2

Cx dx xydyminusint ＝

2 2 2 2

0cos ( sin ) sin cos cosR R d R R d

πϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕminus minus sdotint

23 2

02 cos sinR d

πϕ ϕ ϕ= minus int ＝

323Rminus

又路徑為圓周一部份所以適合用極座標表示

ˆd Rdϕ ϕ= 又由左圖將 ˆ ˆx y 拆解（投影）到 ˆˆr ϕ

ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆcos sin sin cosx r y rϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ= minus = +

4-56

( )2ˆ ˆ ˆˆ ˆ( cos sin ) ( sin cos )C C

f d r x r xy Rdϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕsdot = minus minus + sdotint int 2

2 2 2

0

sin (cos )

sin ( cos ) (cos ) cos sin

Cx Rd xyRd

R Rd R Rdπ

ϕ ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ

= minus minus

= minus minus

intint

23 2

02 cos sinR d

πϕ ϕ ϕ= minus int ＝

323Rminus

這也驗證了散度定理

Path Independence 路徑獨立性

Ex52 證明庫倫力為「保守力」考慮

電荷 q0 位於原點及電荷 q 位於

( )r x y zrarr= q 受力 F

rarr＝ 0

20

14

qq urπε

and

求庫侖力作功因為球形對稱所以

用球座標由 ˆ ˆ ru rr

= = rArr Frarr

= 03

04qq r

rπε

庫侖力由 P1 至 P2 做功為 2

1

P

CPF drarrsdotint ＝

2

1

02

0

ˆ ˆ ˆˆ sin4

P

PC

qq r rdr rd r dr

θ θ ϕ θ ϕπε

⎡ ⎤sdot + +⎣ ⎦int ＝2

1

02

04P

P

qq drrπεint

＝20

2104

r

r

qq drrπε int ＝ 0

0 1 2

1 1( )4qq

r rπεminus for all C

所以庫侖力兩點間做功與路徑無關rArr保守力

對於「保守力 conservative force」 cF 自 p1 經

由兩條不同的路徑 C1 與 C2 到達 p2

1 ccF drarrsdotint ＝

2 ccF drarrsdotint ＝-

2 ccF drarr

minussdotint

rArr1 2c cc cF d F drarr rarr

minussdot + sdotint int = cF d

rarrsdotint ＝0 (4-96）

對於任何「封閉路徑」保守力做功為 0反之若

對任一封閉路徑 0F drarrsdot neint 則兩點之間的做功與路徑有關

rarr

F 為「非

保守力」

4-57

旋度 curl Anablatimes 的幾何物理意義

我們在（4-70）式已經看過旋度的計算方式但旋度另有其意義的

ex53 給定向量場2 2

0ˆ yv yv e λrarr

minus= 左圖為場的分佈

2 20

ˆ ˆ ˆ

0 0x y z

y

x y zcurl v

v e λ

rarr

minus

= part part part ＝ ˆ ˆ ˆ0 0 0 0x y zsdot minus sdot + sdot =

我們用了簡寫 x yx ypart part

part equiv part equivpart part

可以看出這個場裡沒有「漩渦」

但是有無「漩渦」有時也不是那麼明顯可以看出的請見下一個例子

Ex54 給定向量場2 2

0ˆ xv yv e λrarr

minus= 計算其旋度 vnablatimes

解向量場 vrarr

畫在右邊你看得出有無漩渦

先計算旋度

2 20

ˆ ˆ ˆ

0 0x y z

x

x y zcurl v

v e λ

rarr

minus

= part part part2 2

2 2

0

0

ˆ

ˆ 2 0 0

x

x

z v ex

z v xe for x

λ

λ

minus

minus

part=

part

= minus ne ne

vrarr

的旋度在大部分的地方不為 0 且隨位置而不同但是你看得出這個

向量場裡有「漩渦」其實要檢驗一個向量場裡有無「漩渦」有一

個很物理的方法就是放一個小「螺旋槳」（左圖）

在場內將軸朝各個方向測試一

下如果有「漩渦」的話這個

小「螺旋槳」就會轉動右圖就是將「螺旋槳」的

軸平行於 z 軸且放在 x gt 0 的地方就可以看出左

邊的 v 場比右邊的強造成螺旋槳順時針轉動rArrcurlv zminus for x gt 0

但如果放在 x = 0 的地方就會看到左右兩端的 v 場強度相同而且

4-58

curlv = 0 「螺旋槳」放在 x lt 0 的地方就可以看出右邊的v 場比左

邊的強造成螺旋槳逆時針轉動這完全符合 curl v k+ 的結果

環路積分與旋度 curl 的物理意義

如同「散度」一樣「旋度」除了 Ftimesnabla 之外

還有一個物理意義更清楚的定義這個定義由

「線積分」說明如圖考慮做「逆時針」長方形

路徑 C1 的一個「環路積分」C1 面平行於 x-y 平

面由 z-軸看下去環路 C1 可以分為可以分為

下 CB上 CT右 CR左 CL 4 部分

CA drarrsdotint ＝

B T L RC C C CA d A d A d A drarr rarr rarr rarrsdot + sdot + sdot + sdotint int int int

分別計算由於 CB 的中點座標為 ( )2yx y zΔ

minus

ˆB BC C

A d A xdxrarr rarrsdot = sdot =int int

BxC

A dxint ( )2xyA x y z xΔ

asymp minus Δ

similarly 由於 CT 的中點座標為 ( )2yx y zΔ

+

ˆ( )T TC C

A d A xdxrarr rarrsdot = sdot minus =int int

TxC

A dxminusint ( )2xyA x y z xΔ

asymp minus + Δ

合併 CB 與 CT

B TC CA drarr

+sdot =int

( ) ( )2 2x xy yA x y z A x y z

x yy

Δ Δ⎡ ⎤minus + minus minus⎢ ⎥⎣ ⎦ Δ ΔΔ

（4-97）

由 C1 所圍的面積 S x yΔ = Δ Δ

1B TC C

A dS

rarr

+sdot =

Δ int( ) ( )

2 2x xy yA x y z A x y z

y

Δ Δ⎡ ⎤minus + minus minus⎢ ⎥⎣ ⎦Δ

（4-98）

所以當取極限 C1 收縮到中心(xyz)時 SΔ 收縮到 0ie

4-59

0limsΔ rarr

1B TC C

A dS

rarr

+sdot =

Δ int xAy

partminuspart

（4-99）

Similarly with CR 的 ˆd ydy= CL 的 ˆd ydy= minus 可得

1L RC C

A dS

rarr

+sdot =

Δ int x

zyxxFzyxxF yy

Δ

Δminusminus

Δ+ )

2()

2(

（4-100）

同樣的當取極限 C1 收縮到中心(xyz)時 SΔ 收縮到 0

0

limsΔ rarr

1L RC C

A dS

rarr

+sdot =

Δ int yAx

partpart

（4-101）

最後合併 CBCTCRCL 為 C1

10

1limCs

A ds

rarr

Δ rarrsdot =

Δ int y xA Ax y

part partminus

part partˆ ( ) ( )zz A A= sdot nablatimes = nablatimes （4-102）

注意 C1 的方向就是在 z 上式的重要

意義是當向量場 A 在一個以點(xyz)為

中心「方向為 z 」的面積元素的「邊界」

所做的環路積分得到的就是 A 在(xyz)

處旋度的 z-分量明顯的只有當 A 在

(xyz)附近有 x-y 平面上的「漩渦」那麼 C1 的環路積分才不會為 0

Similarly 取一個逆時針繞著(xyz)的平行於 x-z 平面的長方形環路 C2

（左圖）做環路積分再取極限將 C2 收縮到(xyz)就會得到

20

1limCs

A ds

rarr

Δ rarrsdot =

Δ int x zA Az x

part partminus

part partˆ ( ) ( )yy A A= sdot nablatimes = nablatimes （4-103）

注意到 C2 所包圍的面積方向就在 y到

現在我們應該已經很有經驗了若取一

個逆時針繞著(xyz)的平行於 y-z 平面

的長方形環路 C3（左圖）做環路積分

再取極限將 C3 收縮到(xyz)就會得到

4-60

30

1limCs

A ds

rarr

Δ rarrsdot =

Δ int yz AAy z

partpartminus

part partˆ ( ) ( )xx A A= sdot nablatimes = nablatimes （4-104）

能把（4-103）與（4-104）變出來的同學我們有優待綜合以上

我們可以得到一個結論若取一個以點(xyz)為中心的任意環路 Cn（其

所包圍的面積方向在 n ）則

n curl Aand rarrsdot ＝

0

1lims

Cn

A ds

rarr

Δ rarrsdot

Δ int （4-105）

明顯的當 n ＝ x 或 y 或 z 時我們可以重複（4-102）到（4-104）的

結果（4-70）式的行列式所定義的旋度在此看見其幾何物理意義

至此「旋度」的「漩渦」形象應該已經很清楚了只有在(xyz)點附

近的小圈圈上有「漩渦」 A 在小圈圈做的環路積分才會有值這個

值就是向量場 A 的「旋度」在小圈圈面積方向的分量

Stokersquos 定理

考慮一個開放面 S被其「有方向的」邊界 C 圈住(bounded by)則

( )S

A dsrarr rarrnablatimes sdotint ＝

C

A drarrsdotint （4-106）

pf 先將 S 面分割為 N 個多邊形這會使得邊界變成一個「折線」形

成的環路 P環路 P 會隨著分割的多邊形個數的增多而越加近似於原

「光滑的」邊界 C現考慮相鄰的

兩個多邊形的線積分由於共用邊

的方向是相反的所以相鄰兩個多

邊形線積分的和只剩「外邊界」（見左圖）所以當把所有的多邊形的

4-61

線積分加起來時由於只有邊界 P 不是多邊形的共用邊所以

1k

N

k C

A drarr

=

sdotsum int ＝P

A drarrsdotint rArr

P

A drarrsdotint ＝

1

1

k

N

kk k C

A d l ss

rarr rarr

=

⎡ ⎤sdot Δ⎢ ⎥

Δ⎢ ⎥⎣ ⎦sum int

其中 ksΔ 為第 k 個多邊形的面積取極限 0kN srarrinfinrArrΔ rarr P CrArr rarr

C

A drarrsdotint ＝

10

1limkk

N

kN k k Cs

A d ss

rarr

rarrinfin=Δ rarr

⎡ ⎤sdot Δ⎢ ⎥

Δ⎢ ⎥⎣ ⎦sum int 01

ˆlim ( )k

k kskn A s

infin

Δ rarr=

⎡ ⎤= sdot nablatimes Δ⎣ ⎦sum

01

ˆlim ( )k

k kskA n s

infin

Δ rarr=

= nablatimes sdot Δsum = ( )S

A dsrarr

nablatimes sdotint QED

ex55 由 Amperersquos law 的積分形式導出其微分形式

解Amperersquos law 的積分形式 C

B drarrsdotint ＝ I0μ (4-107)

由 Stokersquos 定理及電流密度 j 的定義上式等號兩端可寫為

rArr ( )S

B dsrarr rarrnablatimes sdotint ＝ 0 S

j dsμrarrsdotint

由於上面的等式對任意面 S（路徑 C）都成立所以被積函數相等

0B jμrarr rarr rarr

rArrnablatimes = (4-108) 此即 Amperersquos law 的微分形式

Ex56 Given a vector field ˆ ˆx yA ye xe= minus + (a) Find Anablatimes

解

ˆ ˆ ˆˆ ˆ(1 ( 1) 2

0x y z

x y zA z z

y xnablatimes = part part part = minus minus =

minus

(b)如圖一個金字塔狀的 5 面體高 2底邊長＝1計算 ( )S

A dsnablatimes sdotint

其中 S 為金字塔在 x-y 平面以上的部分方向如同

封閉的金字塔（運用 Stokersquos law）

解金字塔上表面的面積元素ds 不好寫由 Stokersquos

4-62

law ( )S

A dsrarr rarrnablatimes sdotint ＝

C

A drarrsdotint 其中封閉路徑 C 就是上表面的邊界而且

是逆時針（由 z 軸向下看）

C

A drarrsdotint ＝

1 1 0 0

0 0 1 1ˆ ˆ ˆ ˆA xdx A ydy A xdx A ydysdot + sdot + sdot + sdotint int int int

＝1 1 0 0

0 0 1 1x y x yA dx A dy A dx A dy+ + +int int int int 1 1 0 0

0 0 1 1( 0) ( 1) ( 1) ( 0)y dx x dy y dx x dy= minus = + = + minus = + =int int int int

0 1 1 0 2 ( ) 2S

A ds= + + + = rArr nablatimes sdot =int

旋度與 path independence

已知保守場 cF 對所有封閉路徑 C 0cC

F drarrsdot =int 由 Stokersquos 定理

0cC

F drarrsdot =int ＝ ( )cS

F dsrarr rarrnablatimes sdotint rArr 0cF

rarr rarrnablatimes =

這表示保守場＝無旋度反之無旋度的場任兩點間路徑積分與路

徑無關

Ex57 Given a field 2 2ˆ ˆ ˆ2A x xy yx zz= + minus (a) Find Anablatimes A 保守場

解2 2

ˆ ˆ ˆ

2x y z

x y zA

xy x znablatimes = part part part

minus

( ) ( ) ( )2 2 2 2ˆ ˆ ˆ( ) 2 ( ) 2 0y z z x x yx z x y xy z z x xy= part minus minuspart + part minuspart minus + part minuspart =

yes A =保守場

(b)如左圖由 A 到 B 做路徑積分A BC

A drarr

sdotint 路徑 C 為橢圓

22 1

16yx + = 在 x-軸以上的部分

解橢圓部分的路徑元素 d 有點麻煩但因為 A

為保守場所以 A 到 B 做路徑積分可以用 x = -1 到

1 的積分取代

4-63

01 1 1

1 1 1ˆ 2 0

yB

xAA d A xdx A dx xydx

=

minus minus minussdot = sdot = = =int int int int

∵

旋度在柱座標與球座標

前面討論過nabla在不同座標系的寫法旋度也有歸納出的一致寫法

座標 1 2 3 u u u

度量係數

1 2 3 h h h

nabla grad del

直角 x y z

1 1 1 nabla ˆ ˆ ˆx y z

x y zpart part part

equiv + +part part part

圓柱 zρ ϕ

1 1ρ

1ˆ ˆ ˆ zz

ρ ϕρ ρ ϕpart part part

nabla equiv + +part part part

球 r θ ϕ

1 sinr r θ

1 1ˆ ˆˆ sin

rr r r

θ ϕθ θ ϕ

part part partnabla = + +

part part part

所以柱座標與球座標的旋度分別表為

柱座標

ˆ ˆ ˆ1

z

z

Az

AA Aρ ϕ

ρ ρϕ

ρ ρ ϕρ

part part partnablatimes =

part part part （4-109）

球座標 2

ˆ ˆˆ sin1sin

sinr

r r r

Ar r

A rA r Aθ ϕ

θ θϕ

θ θ ϕθ

part part partnablatimes =

part part part （4-110）

ex58 (a) Given the vector function ˆA ϕ= sin (ϕ 2) find Anablatimes

解 2

ˆ ˆˆ sin1sin

0 sin( 2) 0

r r r

Ar r

r

θ θϕ

θ θ ϕϕ

part part partnablatimes =

part part part

4-64

21 ˆˆ cos sin sinsin 2 2 2

rr rr

ϕ ϕθϕθ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

ˆˆ cos sin2 sin 2 2

rr r

ϕ ϕ ϕθ

minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

(b)如左圖一個底面在 x-y 平面半徑＝1高＝2 之圓錐 求面積分

SA dsnablatimes sdotint 面積範圍 S 為圓錐在 x-y 平面以上

部分 方向為由圓錐內向外

解由 Stokersquos law ( )S

A dsrarr rarrnablatimes sdotint ＝

C

A drarrsdotint 其中路

徑 C 為 x-y 平面圓心在原點之單位圓 ˆ ˆd rd dϕ ϕ ϕ ϕ= =

2

0ˆ ˆsin sin

2 2C

d dπϕ ϕϕ ϕ ϕ ϕ⎛ ⎞ ⎛ ⎞sdot =⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠int int ( )0

2 sin u duπ

= int 0cos | 2u π= minus =

習題 16 磁場 B 因為不是保守場所以沒有對應的純量位而對應一

個向量位 A (vector potential)而 B A= nablatimes 一個磁鐵的磁偶極矩

ˆm mz= 被置於原點已知在遠處的 vector potential 03ˆ sin

4mAr

μϕ θπ

=

計算該處的磁場 B Ans 03

ˆˆ( 2cos sin )4

mB rr

μ θ θ θπ

= + 與電偶極遠處

的電場形式一致都是偶極(dipole) 選幾個點畫一畫該處的場向量

把磁力線描出來

附錄本章講義的內容有部分可以經由直接計算得出列在附錄做為

參考

用「圓柱座標」寫 Atimesnabla

Ararr rarrnablatimes ＝ ( )1ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ zz A A zA

z ρ φρ ϕ ρ ϕρ ρ ϕpart part part⎛ ⎞+ + times + +⎜ ⎟part part part⎝ ⎠

4-65

因為rdquo sdotrdquo與rdquotimes rdquo都是向量間的運算所以

＝ ( )ˆ ˆ ˆ ˆ zA A zAρ φρ ρ ϕρpart

times + +part

＋ ( )1ˆ ˆ ˆ ˆ zA A zAρ φϕ ρ ϕρ ϕ

parttimes + +

part

＋ ( )ˆ ˆˆ ˆ zz A A zAz ρ φρ ϕpart

times + +part

直接做上式微分可以得到

＝1ˆ z AA

zϕρ

ρ ϕpart⎛ ⎞part

minus⎜ ⎟part part⎝ ⎠＋ ˆ zA A

zρϕ

ρpart⎛ ⎞part

minus⎜ ⎟part part⎝ ⎠＋

1 1ˆ ( )A

z A ρϕρ

ρ ρ ρ ϕpart⎛ ⎞part

minus⎜ ⎟part part⎝ ⎠

上式可以用一個行列式來表示

rarrrarr

timesnabla A＝

ˆ ˆ ˆ1

z

z

zA A Aρ ϕ

ρ ρϕ

ρ ρ ϕρ

part part partpart part part

（A-1）

A and Anabla nablasdot nablatimes in 球座標 spherical coordinate

如上圖球座標 )( ϕθr 其中 )0[ infinisinr ]0[ πθ isin ]20[ πϕ isin 只有 r

是長度而 ϕθ 為角度是用來說明方向的三個座標的單位向量 ˆ ˆˆ r θ ϕ 具

有下列性質

4-66

1 如上圖 ˆ ˆˆ r θ ϕ 都不是常數而是（ ϕθ ）的函數

ˆ ˆ( )ˆ ˆ( )ˆ ˆ( )

r r θ ϕ

θ θ θ ϕϕ ϕ ϕ

⎧ =⎪

=⎨⎪ =⎩

)( ϕθr 與(xyz)之間的轉換如下

sin cossin sincos

x ry rz r

θ φθ φθ

=⎧⎪ =⎨⎪ =⎩

( )122 2 2

2 2

tan

tan

r x y z

x yz

yx

θ

φ

⎧ = + +⎪⎪ +⎪ =⎨⎪⎪ =⎪⎩

（A-2）

2 ˆ ˆˆ r θ ϕ 形成一「歸一正交集」ie

ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ 1r r θ θ ϕ ϕsdot = sdot = sdot = ˆ ˆr θ ϕperp perp

ˆ ˆr θ ϕtimes = ˆ ˆ rθ ϕtimes = ˆˆ rϕ θtimes = （A-3）

3可以很容易的由他們在 xyz 軸上的投影由直角

座標的 ˆ ˆ ˆ x y z 表出

ˆ ˆ ˆ ˆsin cos sin sin cos ( 4 )ˆ ˆ ˆ ˆcos cos cos sin sin ( 4 )ˆ ˆ ˆsin cos ( 4 )

r x y z A a

x y z A bx y A c

θ φ θ φ θ

θ θ φ θ φ θϕ φ φ

= + + minus⎧⎪

= + minus minus⎨⎪ = minus + minus⎩

4 ˆdr = 由於 ˆ ˆ( )r r θ φ= 所以由 ϕθ 的變動來看

4-67

ˆ ˆˆ| |ˆ ˆˆ| | sin sin

d r d d

d r d d

θ θθ θθ

φ θ φφ θ φφ

⎧ rArr =⎪⎨

rArr =⎪⎩rArr ˆ ˆˆ sindr d dθ θ φ θ φ= + （A-5）

rArrˆ ˆr θθpart

=part

ˆ ˆsinr θφφpart

=part

（A-6）

（A-6）的結果也可以直接由（A-4a）對 ϕθ 偏微得到

5 ˆdθ ＝ 由於 ˆ ˆ( )θ θ θ φ= 所以由 ϕθ 的變動來看

ˆ ˆ ˆ| | ( )ˆ ˆ ˆ| | cos cos

d d r d r

d d d

θ θ θ θ

φ θ θ φφ φ θ φ

⎧ rArr minus = minus⎪⎨

rArr =⎪⎩rArr ˆdθ ＝ ˆˆ cosrd dθ φ θ φminus + （A-7）

ˆrθ

θpart

rArr = minuspart

ˆ ˆcosθ φ θφpart

=part

（A-8）

請直接由（A-4b）對 ϕθ 偏微的結果 check（A-8）

6 ˆdφ ＝由於φ )(ϕ 躺在 x-y 平面上變動φ時的方向可能不是那麼

容易看出來所以做圖看一看

ie ˆ ˆˆ(sin ) (cos )d r d dφ θ φ θ θ φ= minus minus （A-9）

4-68

ˆ ˆˆsin cosrφ θ θ θφpart

= minus minuspart

7 所有的向量 ˆ ˆˆ rA rA A Aθ φθ φrarr= + +

8 位置向量 ˆr rrrarr=

可以由左圖 ˆ ˆˆ r θ ϕ 三個方向的「長度

變化」輕易的看出

9 位移元素

ˆ ˆˆ ˆ sindr rdr rd dθ θ ϕ θ φ= + + (A-10)

10 體積元素

sindv dr r d rdθ φ θ= sdot sdot

＝ 2 sinr dr d dθ θ φ (A-11)

11 面積元素 2 sinrds r d dθ θ φ= plusmn sinds r drdθ θ φ= plusmn ds rdrdφ θ= plusmn (A-12)

plusmn號表示面的垂直方向有兩個端看 ds 周邊的方向是如何定的

nabladel 考慮 ( )u u r θ φ=

rArru u udu dr d dr

θ φθ φ

part part part= + +part part part

u d rrarr rarr

equiv nabla sdot

urarr

= nabla sdot ˆ ˆˆ( sin )rdr rd dθ θ φ θ φ+ +

rArr1 1ˆ ˆˆ

sinu u uu rr r r

θ ϕθ θ φ

rarr part part partnabla = + +

part part part

1 1ˆ ˆˆsin

rr r r

θ ϕθ θ φ

rarr part part partnabla equiv + +

part part part （A-13）

4-69

直接用（A-13）與 ˆ ˆˆ rA rA A Aθ φθ ϕrarr= + + 逐項內積加上（A-678）

rArr ϕθ

θθθ

ϕθ part

part+

partpart

+partpart

=sdotnablararrrarr A

rA

rAr

rrA r sin

1)(sinsin1)(1 2

2 （A-14）

（A-13）與 ϕθ ϕθ AAArA r

andandandrarr

++= 逐項外積整理之後

ϕθ θϕθ

ϕθθ

θArrAA

r

rrr

rA

r sin

sin

sin1

2 partpart

partpart

partpart

=timesnabla

andandand

rarrrarr

（A-15）

Laplacian uu nablasdotnabla=nabla2

2

2

2222

22

sin1)(sin

sin1)(1

ϕθθθ

θθ partpart

+partpart

partpart

+partpart

partpart

=nablau

ru

rrur

rru （A-16）

B推導「散度」在圓柱座標的寫法

讓我們先回顧一下在直角座標裡的「面積元素」可以由「位移元素」

得到

ˆˆ ˆ x y zdr idx jdy kdz da dydz dxdz dxdy= + + rArr =

比照辦理「圓柱座標」的位移元素

( )ˆˆ ˆ( )

( )z

da d dzdr d d zdz da d dz

da d d

ρ

φ

ρ φ

ρ ρ φ ρ φ ρ

ρ ρ φ

=⎧⎪= + + rArr =⎨⎪ =⎩

這個結論可以輕易的由面積元素在垂直於 zˆˆ ϕρ 三個方向的面積看

出如下圖考慮一個以 )( zϕρ 為中心的「圓柱體積元素」(cylindrical

cubiod)體積為 zdV ΔΔ=Δ ϕρρ 現計算在 ρ

方向的 12 兩個平行面(方向各為 ρplusmn )的通

量

4-70

zzF

dsFdsnFS S

ΔΔ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

+cong

=sdotintint intintϕρρϕρρρ

ρ

2

2

ˆ1 1

zzF

dsFdsnFS S

ΔΔ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

minus⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

minusminuscong

minus=sdotintint intintϕρρϕρρρ

ρ

2

2

ˆ2 2

intint+

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

minus⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

minusminus⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

+Δ

asympsdotΔ

rArr21

22

22

1ˆ1

SS

zFzFdsnFV

ϕρρρρϕρρρρρρ ρρ

( ) ( )

1 20

0

0

1 ˆlim

1lim 2 2 2 2

1 1lim 2 2

1

VS S

F ndsV

F z F z

F z F z

F

ρ ρρ

ρ ρρ

ρ

ρ ρ ρ ρρ ρ φ ρ ρ φρ ρ

ρ ρρ ρ φ ρ ρ φρ ρ

ρρ ρ

Δ rarr+

Δ rarr

Δ rarr

rArr sdotΔ

Δ Δ Δ Δ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + + minus minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥Δ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦Δ Δ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥Δ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

part ⎡ ⎤= ⎣ ⎦part

intint

娛樂一下用上述方式把圓柱的 Fsdotnabla 裡的z

FF z

partpart

+partϕρϕ1

變出來

球座標的nabla和 Fsdotnabla 也可以試試看

補充習題

H M Scheydiv grad curl and all that 4th edition

第二章習題 6 8 9 10 11 14 15 16 18 19 21 22 23 25 26 27

第三章習題 2 3 5 6 7 8 9 10 11 14 15 17 18 19 24

4-36

Ex35 ( )ˆ ˆ ˆ A xx yy zz r= + + = 求其散度與旋度

解 3A rnablasdot = nablasdot = ˆ ˆ ˆ y z

0

x y z

xA

x y znablatimes = part part part =

由場分佈的示意圖可以看出本向量場是自原點向外射出好似在原

點有一個場線的「源頭 source」但是 3Anablasdot = 為一個常數表示好像到

處都有 source同時旋度為 0 也可以配合本場並無旋轉的形象事實

上「散度」表現的就是是向量場在空間各點產生「場線」的 source

記得靜電學裡的庫倫定律 0E ρ εnablasdot = 電場的散度就是「電荷密度」

(電場的 source)前一題的向量場看來對應的場線是封閉的所以沒有

source這也對應了其散度＝0不過一個向量場的散度旋度究竟是

多少應該詳細的計算場分佈圖形有時候不是那麼容易看的清楚

兩個 useful identities (恆等式)

(a) ( ) 0 0f curl of a gradnablatimes nabla = =

(b) ( ) 0 0A div of a curlnablasdot nablatimes = =

pf (a) ( )ˆ ˆ ˆ x y z

x y z

x y z

ff f f

nablatimes nabla = part part part

part part part

( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2xz zxˆ ˆ ˆx y f- f z 0yz yz xy yxf f f f= part minus part minus part part + part minuspart =

這個結果與真實的向量外積 ( ) AA 0=times 有相似之處但是這只是特

例要記得nabla並不是一個真正的向量

( ) ( ) ( )

( )

ˆ ˆ ˆ y zˆ ˆ ˆ x y z

0

x y z y z z y x z z x x y y x

x y z

xy z xz y xy z yz x xz y yz x

xA A A A A A A

A A A

A A A A A A A

nablatimes = part part part = part minus part minus part minus part + part minus part

nablasdot nablatimes = part minuspart minuspart +part +part minuspart =

4-37

此結果與真實的向量運算有相似之處 ( )( )0 (B A) BB B Asdot times = times perp∵

但是這仍只是特例因為我們可由下列例子 ( ) 0A Asdot nablatimes ne 看出事實上

nabla並不是一個真正的向量 Ex36 ˆ ˆ ˆA xy yx zx= minus +

( )

ˆ ˆ ˆ y zˆ ˆ ˆ 0 1 ( 2)

2 0

x y z

xA x y z

y x x

A A x x x

nablatimes = part part part = minus + minus

minus

sdot nablatimes = minus = minus ne

面積元素向量

物理上時常會遇到面積分例如電通量磁通

量等等考慮一個面積元素 ds定義「面積的

方向」為其「法線方向」並定義面積元素向量

ˆnds a dsequiv （4-71）

要注意的是(1)如果 ds 是一個「封閉面

closed surface」（即有裡外之分）的一部

份則 ˆna 定義為「由內向外」(2) 如果 ds

是一個「開放面 opened surface」（即分不

出裡外）的一部份那麼 ds 必被其邊緣

（一個封閉的曲線 C）所包圍這樣在定

出ds 的方向之前要先定義「邊緣曲線」

C 的方向再由右手定則定義 ˆna 的方向

既然面積已為一個向量就可以寫為分量表示以直角座標

ˆ ˆ ˆx y zds xds yds zds= + + (4-72)

那麼這些分量 dsx dsy dsz 會是什麼既然 dsx 的方向是 x 就表示 dsx

是躺在 y-z 平面上所以 dsx 的兩邊是 dy 與 dz rArr xds dydz= 依此類

4-38

推 dsy 的方向是 y 所以躺在 x-z 平面rArr yds dxdz= hellip可以得知

xds dydz= yds dxdz= zds dxdy= （4-73）

不過要注意在寫面積元素時要看討論的面實際

是什麼面上式的三個分量有可能會是負的例如

左圖座落在第一象限的立方體的 A 面方向就在 xminus

方向Arsquo面在 yminus Ardquo面在 zminus 方向寫面積元素最

好是先把討論的面的方向搞清楚把plusmn號寫在單位向量前面那麼分

量就都用＋的即可其實面積元素體積元素都可以由位移元素看出

ˆ ˆ ˆdr xdx ydy zdz= + +

dx dy dz 是沿著 ˆ ˆ ˆ x y z 方向的長度所以面積元素分量的兩邊長度就

是由其中兩個組成而體積的三邊也就是三個垂直方向的長度

x y zdV dx dy dz and ds dydz dxdz dxdyrArr = = （4-74）

這個概念在其他的座標系統也成立我們可以方便的寫出面積元素

Recall 柱座標的位移向量元素

cylindrical coordinate ˆ ˆ ˆdr d d dzzρρ ρ ϕϕ= + + （4-48）

ˆ ˆ ˆ zds ds ds zdsρ ϕρ ϕ= + + (4-75)

dsρ 躺在 zϕ minus 平面dsϕ 在 zρ minus 平面 zds 在ρ ϕminus 平面

rArr zds d dz ds d dz ds d d d dρ ϕρ ϕ ρ ρ ρ ϕ ρ ρ ϕ= = = sdot = （4-76）

上面的結果畫個圖看看吧球座標的位移向量元素

Spherical coordinate ˆ ˆˆ ( ) ( sin )dr rdr rd r dθ θ ϕ θ ϕ= + + （4-56）

ˆ ˆˆ rds rds ds dsθ ϕθ ϕ= + + （4-77）

rArr sin sin rds rd r d ds dr r d ds rd drθ ϕθ θ ϕ θ ϕ θ= sdot = sdot = sdot (4-78)

4-39

向量場 ( )A r 在 S 面上的「面積分（surface integral）」or「flux」

如左圖若有一「平面」S 且其上有「均勻」

場 B 分佈則通過 S 面的通量就是

ˆB B nSΦ = sdot

但考慮一任意「非均勻」向量場 ( )A r 在空間分佈選取任意曲面 S

探討 ( )A r 在 S 上之通量若ds 為 S 面上的面積元素在趨近於 0 的

小面積ds 上 A可視為均勻所以通過ds 之通量為 ( )d A r dsΦ = sdot 則 S

面之總通量為

Φ＝ ˆ cosS S S

A ds A nds A daϕsdot = sdot =int int int

( )OR

x x y y z zS

A da A da A da= + +int (4-75)

稱為 A 在 S 面上的「面積分」或「通量 flux」

上圖所繪就是一個任意面上分割出許多小面積舉出三個位置的通

量有+-與 0如果 S 面是為一「封閉面」則面積分寫為

S

A dssdotint （4-76）

4-40

ex37 Given 2ˆ ˆ ˆyzA xyz yx zx= + + 計算通量S

A dssdotint

S 面為在第一象限邊長＝1 的立方體表面封閉面

解立方體分為前後右左上下六個面分開算 1前面（x=1）

方向 x+ ˆ xA ds A xdydz A dydzsdot = sdot =int int int前 前 前

yzdydz= int前 ＝1 1

0 0

1 1 12 2 4

ydy zdz = sdot =int int

2後面(x=0)方向 xminus ˆ(- ) - xA ds A x dydz A dydzsdot = sdot =int int int後 後 後

yzdydz= minusint後1 1

0 0

-1 1 -12 2 4

ydy zdzminus = sdot =int int

3 右面（y=1）方向 y+ y ( 1)yA ds A dxdz A y dxdzsdot = sdot = =int int int右 右 右

( 1)x y zdxdz= =int右 ＝1 1

0 0

1 1 12 2 4

xdx zdz = sdot =int int

4 左面（y=0）方向 ˆ-y ˆ( y) - ( 0)yA ds A dxdz A y dxdzsdot = sdot minus = =int int int左 左 左

( 0) 0x y zdxdz= = =int左

5 上面（z=1）方向 z+ zz y (z 1) yA ds A dxd A dxdsdot = sdot = =int int int上 上 上

2 yx dxd= int上 ＝1 120 0

1 1y 13 3

x dx d = sdot =int int

6 下面（z=1）方向 ˆ-z zˆ(-z) y - (z 0) yA ds A dxd A dxdsdot = sdot = =int int int下 下 下

2 -1- y3

x dxd= =int下 ＝1 120 0

1 1y 13 3

x dx d = sdot =int int

S

A dssdotint ＝六個面的和＝1 1 1 1 1 1( ) ( 0) ( )4 4 4 3 3 4

minus minus+ + + + + =

ex38 Given ˆ ˆ ˆzA xyz yx zxy= + + 計算通量S

A dssdotint S 為圓 2 2 2x y a+ =

在第一項限的部分方向選為 z+ 2 2y a x= minus

4-41

解 2 2 4

0 0ˆ

8a a x

zS S S S

aA ds A zdxdy A dxdy xydxdy xdx ydyminus

sdot = sdot = = = =int int int int int int

Ex39 In cylindrical coordinate Given ˆ ˆaA zbzρρ

= + where a b are

constants Find S

A dssdotint over the surface of a

closed cylinder about z-axis specified by 3 2z ρ= plusmn =

解S 分為上下與周邊三面

zz (z 3)zA ds A ds A d dρ ρ ϕsdot = sdot = = sdotint int int上 上 上

= 23 3 2 12bd d b bρ ρ ϕ π πsdot = sdot =int上

ˆ(-z)A ds A d dρ ρ ϕsdot = sdot sdotint int下 下

= z- (z -3)A d dρ ρ ϕ= sdotint下 = 23 2 12b bπ πsdot =

周邊ds ˆ ( )d dzρ ρ ϕ= rArr ˆ ( ) z ( ) zA ds A d d A d dρρ ρ ϕ ρ ϕsdot = sdot =int int int周 周 周

2 3

0 3( ) z ( ) z=a 12aA d d d d d dz a

πρ ρ ϕ ρ ϕ ϕ π

ρ minus= = =int int int int周 周

加起來 S

A dssdotint ＝12 24 12 ( 2 )a b a bπ π π+ = +

ex40 一點電荷 q 置於原點計算在一個以原點為圓心 0r 為半徑的球

面上的電通量

解 2 20 0

ˆ ˆ4 4S S

qr q dsE ds rdsr rπε πε

sdot = sdot =int int int

=0 0 0

44 4S

q q qd ππε πε ε

sdot Ω = sdot =int

上式中 dΩ 2dsr

= 是 ds 所張開的「立體角」(solid angle)

4-42

div A and Flux 通量與散度的幾何物理意義

我們運用過nabla的符號來表示過散度 divF F= nablasdot yx zFF Fx y z

partpart part= + +part part part

但是也看到「散度」定義為

0( )

1( ) limSV

about x y z

divF x y z F da divergence of FVΔ rarr

equiv sdot =Δ int (4-77)

其中 VΔ 為 S 面所包含的體積即散

度為通量(體)密度的 0 體積極限

（4-77）的定義與 Fnablasdot 好像差的很

多她們是說同一回事嗎以下證明

這兩種「散度」的定義是等價的如

左圖考慮一個以點 ( ) x y z 為中心

的 立 方 體 其 相 鄰 三 邊 長 為

x y zΔ Δ Δ 體積 V x y zΔ = Δ Δ Δ 現在計算 F 在立方體的一組平行於 y-z平面的表面 S1 與 S2 的通量

( )1 1

ˆ ˆ xS S

F nds F xds F x y z dsrArr sdot = sdot =intint intint intint 2xxF x y z y zΔ⎛ ⎞asymp + Δ Δ⎜ ⎟

⎝ ⎠

其中 2xx y zΔ⎛ ⎞+⎜ ⎟

⎝ ⎠為 S1 面中心的座標而

2xx y zΔ⎛ ⎞minus⎜ ⎟

⎝ ⎠為 S2 面的中心

( ) ( )2 2 2

ˆ ˆ 2x x

S S S

xF nda F x ds F x y z ds F x y z y zΔ⎛ ⎞rArr sdot = sdot minus = minus asymp minus minus Δ Δ⎜ ⎟⎝ ⎠intint intint intint

上式中的負號來自 S2 面的方向是 xminus 所以合併兩個面積分

1 2

ˆ 2 2x x

S S

x xF nds F x y z F x y z y z+

Δ Δ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞rArr sdot asymp + minus minus Δ Δ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦intint

2 2x xx xF x y z F x y z

x y zx

Δ Δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠= Δ Δ Δ

Δ

2 2

x xx xF x y z F x y z

Vx

Δ Δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠= Δ

Δ

1 2

1 2 2ˆ

x x

S S

x xF x y z F x y zF nds

V x+

Δ Δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠rArr sdot asymp

Δ Δintint

4-43

當取體積向(xyz)點收縮至 0 時即 0 x 0as VΔ rarr Δ rarr 上式的近似

「asymp」就成了「＝」

1 20

1 ˆlimV

S S

F ndsVΔ rarr

+

sdotΔ intint

( )0

2 2limx x

x

x

x xF x y z F x y z F x y zx xΔ rarr

Δ Δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟ part⎝ ⎠ ⎝ ⎠= =Δ part

Similarly F 在立方體的一組平行於 x-z 平面的表面 S3 與 S4 的通量

3 3 3

ˆ ˆ yS S S

F nds F yds F dsrArr sdot = sdot =intint intint intint

2

2

y

y

yF x y zyF x y z x z x y z

y

Δ⎛ ⎞+⎜ ⎟Δ⎛ ⎞ ⎝ ⎠asymp + Δ Δ = Δ Δ Δ⎜ ⎟ Δ⎝ ⎠

( )4 4 4

2ˆ ˆ

y

yS S S

yF x y zF nds F y da F ds x y z

y

Δ⎛ ⎞minus⎜ ⎟⎝ ⎠rArr sdot = sdot minus = minus asymp Δ Δ Δ

Δintint intint intint

合併 S3 與 S4 兩個面積分並取體積向(xyz)點收縮至 0 時即當

0 y 0VΔ rarr Δ rarr 上式的近似asymp就成了＝

3 4

2 2ˆ

x x

S S

y yF x y z F x y zF nds V

y+

Δ Δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠rArr sdot cong Δ

Δintint

3 40 0

1 2 2ˆlim lim

x xy

V yS S

x yF x y z F x y z FF nds

V y yΔ rarr Δ rarr+

Δ Δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟ part⎝ ⎠ ⎝ ⎠rArr sdot = =Δ Δ partintint

與上面相同的作法計算 F 在立方體的一組平行於 x-y 平面的表面 S5

與 S6 的通量我們也會得到對應的結果

5 6

2 2ˆ

z x

S S

z zF x y z F x y zF nds V

z+

Δ Δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠rArr sdot cong Δ

Δintint

5 60 0

1 2 2ˆlim lim

z xz

V zS S

z zF x y z F x y zFF nds

V z zΔ rarr Δ rarr+

Δ Δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟ part⎝ ⎠ ⎝ ⎠rArr sdot = =Δ Δ partintint

所以合併立方體的 6 個面積分

4-44

1 2 3 4 5 6

ˆ ˆ ˆ ˆS S S S S S S

F nds F nds F nds F nds+ + +

rArr sdot = sdot + sdot + sdotint intint intint intint

0

1 ˆlim yx zV

FF FF nds div F FV x y zΔ rarr

partpart partrArr sdot = + + = = nablasdot

Δ part part partint (4-78)

在此我們得證這兩種「散度」的定義是等價的只是（4-77）的定義

充分的表現出「散度」的幾何物理意義他從通量著手由於場線

出自於 source（ex電場源自於點電荷）所以在點(xyz)必須有向量場

F 的 source 存在才能使得當面積縮到 0 時仍具有非 0 的通量所以「散

度」表現向量場 F 的 source 在這個定義之下是很清楚的當然在計算

「散度」時我們不必那麼麻煩用 divF F= nablasdot 就好了

Ex41 計算 2ˆ ˆ ˆF xx yxy zyz= + + 的散度

解 2 yx zFF Fx x yx y z

partpart part= = =

part part part F 2x x y 3x ydivrArr = + + = +

recall 在靜電學0

yx zEE EEx y z

ρε

partpart partnablasdot = = + +

part part part

散度定理 Divergence Theorem

若任意封閉面（又稱為「高斯面」）S 所包圍的

體積為 V 則

S VA ds Adτsdot = nablasdotint int （4-79）

pf 我們先將體積分割成 N 個小盒子考慮相鄰的兩個小盒子 1 2

兩小盒子的共用面面積 S0當 S0 是為 1 號盒子的一部份時其方向為

1n 但若當為 2 號盒子的表面時其方向為 12 ˆˆ nn minus= 如此在 S0 分別做

4-45

1 2 盒子的面積分後

0 0

0 0 0 0

1 2

1 2 1 1ˆ ˆ ˆ ˆ 0

S S

S S S S

A ds A ds

F n ds F n ds F n ds F n ds

sdot + sdot

= sdot + sdot = sdot minus sdot =

intint intintintint intint intint intint

所以若求場 A 在 1 2 盒子的總通量時交界面是沒有貢獻的總通量

就只有「外面積」才有貢獻如此我們計算 N 個小盒子的總通量

時所有的內部共用面都得 0只剩下「外表面」的貢獻了當 infinrarrN

時所有小盒子的「總外表面」就與 S 面重合了所以所有小盒子通量

的總和就等於 S 面的通量

1lim

i

N

S SN iA ds A ds

rarrinfin=

rArr sdot = sdotsumint int

現在我們做 N 個小盒子的總通量

1 1

1i i

N N

iS Si i i

A ds A ds VV= =

⎛ ⎞sdot = sdot Δ⎜ ⎟Δ⎝ ⎠

sum sumint int

當 0iN Vrarrinfin rArr Δ rarr 並用 dv 表示體積元素

( ) ( )1 1

1

1lim lim lim

lim

i ii

N N

iS SN N V oi i i

N

i VN i

A ds A ds VV

A V A dv

rarrinfin rarrinfin Δ rarr= =

rarrinfin=

⎛ ⎞sdot = sdot Δ⎜ ⎟Δ⎝ ⎠

= nablasdot Δ = nablasdot

sum sumint int

sum int

( )S V

A da A dvrArr sdot = nablasdotint int QED

所以得證散度定理上式中我們用了散度的（4-77）式定義要分辨

清楚 Anablasdot 是向量場 A 在空間中「某一點」的性質（ 0VΔ rarr ）而「散

度定理」說的是一個「有限體積」的性質

ex42 給定 ( ) ˆ ˆ ˆ A x y z xx yy zz r= + + = 計算在

半徑 R＝1 的球的上半球加底面的通量

4-46

解 ( )ˆˆS

A da A rda A k darArr sdot = sdot + sdot minusint int int上半球面 底面

( )

2

ˆ ˆ

0 2 1 2

A rda A z dxdy

r rds zdxdy rds ds π π

= sdot + sdot minus

= sdot minus = minus = = sdot =

int int

int int int int上半球面 底面

上半球面 底面 上半球面

底面的通量＝0 是因為 A 的 z 分量 Az=z 在底面的值為 0

也可以用散度定理更快的得出結果

∵ 3A rnablasdot = nablasdot =

31 43 3 1 22 3V V

Ad d πτ τ πnablasdot = = sdot sdot sdot =int int

ex43高斯定律的微分形式積 由 Gaussrsquo law 的積分形式用散度定理得出其

( )0 0

1 inS V

qE ds x y z dvρε ε

sdot = =int int

0S V VE ds Edv dvρ

εrArr sdot = nablasdot =int int int

上式最後的等式對「任意形狀」V 都成立所以兩者的被積函數相等

對於空間每一點 0

E ρε

nablasdot = （4-80）

ex44 Use 第一象限的單位力方體 check the divergence theorem using the function 2 2ˆ ˆ ˆ(2 ) 2A y x xy z y yzz= + + +

解2

2( ) (2 )(2 ) 2( )y yzA xy z x yx y z

part part partnablasdot = + + + = +

part part part

and 1 1 1 1 1 1

0 0 0 0 0 02 ( ) 2 ( )

VAdv x y dxdydz dz dy x y dxnablasdot = + = +int int int int int int int

1 1

0 0

1 12 ( ) 2 12 2

dz y dy= + = sdot =int int

面積分 1 1 2

0 0

1ˆ3

A ds A xdydz dz y dysdot = sdot = =intint intint int int前 前

4-47

1 1 2

0 0

1ˆ( )3

A ds A x dydz dz y dy minussdot = sdot minus = minus =intint intint int int

後 後

1 1 2

0 0ˆ (2 )A ds A ydxdz dz xy z dxsdot = sdot = +intint intint int int

右 右

1 1 1 12 2

0 0 0

4(2 ) (1 )3

ydz x z dx dz z

=

= + = + =int int int∵

1 1 2

0 0

0 1 1 12 2

0 0 0

ˆ( ) (2 )

1(1 )3

y

A ds A y dxdz dz xy z dx

dz z dx dz z=

sdot = sdot minus = minus +

minus= minus = + =

intint intint int int

int int int∵

左 左

11 1 1 1

0 0 0 0ˆ 2 2 1

zA ds A zdxdy dx yzdy dx ydy

=sdot = sdot = = =intint intint int int int int

∵

上 上

01 1

0 0ˆ 2 0

zA ds A zdxdy dx yzdy

=sdot = sdot minus = minus =intint intint int int

∵

下 下

前後右左上下六個面積分合併＝1＝V

Advnablasdotint QED

ex45 Continuity Equation 連續方程式

考慮某些「東西」的流動（物質電荷hellip）在時刻 t 時在點(xyz)

的 密 度 為 ( ) x y z tρ ρ= 並 具 有 速 度

( ) v v x y z t= 在時刻 t 時在體積 V 內的總量為

( ) x y z t dρ τintintint

這樣體積 V 內東東的時變率為

( ) ( ) d x y z t d x y z t ddt t

ρρ τ τpart=

partintintint intintint

注意體積分後的時間全微分移入積分內要改為偏微分這個東東

在表面的「流率 flow rate」可表為

ˆS

R v ndsρ= sdotintint

若體積內的物料無法自生自滅那麼體積內物料的變化必經由表面的

流出流入所造成

d v ndstρ τ ρpart

rArr = minus sdotpartintintint intint

由散度定理

4-48

( )ˆS

v nds v d dtρρ ρ τ τpart

sdot = nablasdot = minuspartintint intintint intintint

( )v Jtρ ρpart

rArr = minusnablasdot equiv minusnablasdotpart

0Jtρpart

rArr +nablasdot =part

（4-81）

(4-81) 即 continuity equation其中 J vρ= 為「物流密度」ex如果 ρ

是電荷密度 J 就是電流密度（4-81）是物質守恆的結果只對體

積內無 source（生成）or drain（消滅）的東東成立

ex46 Given a vector field ˆ ˆx yA ye xe= minus + (a) Find

Anablasdot (b)如圖一個金字塔狀的 5 面體高 2 底邊長

1計算 A在整個金字塔表面（封閉面）的總通量

解(a) Anablasdot = ( ) ( ) 0y xx ypart part

minus + =part part

(b) 金 字 塔 的 表 面 面 積 元 素 ds 不 好 寫 所 以 用 散 度 定 理

( )S V

A da A dvrArr sdot = nablasdotint int ＝0 Anablasdot 表示 A沒有 source 所以對封閉面而

言有多少場線進入就有多少出去所以總通量＝0

習題 7 With position vector r for an arbitrary volume V that is

bounded by surface S show that 13 S

r ds Vsdot =int

習題 8 已知一靜電場為 ˆ ˆ ˆ( )E xyz yxz zxyλ= + + 運用 Gaussrsquo law

試求包含在半球 2 2 2 2 0x y z R z+ + = ge 裡的總電荷 Ans 0

習題 9 (a) given ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( 2 )F r xf x yf y zf z= + + minus show that divF is

zero at point (c c -c2) (b) given ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( )G r xf x z yg x z zh x y= + +

show that ( ) 0G rnablasdot =

4-49

習題 10 Find the normal vector n for the surfaces (a) z = 2-x-y ans

ˆ ˆ ˆ( ) 3x y z+ + (b) z = (1-x2)12 ans ˆ ˆxx zz+ (c) z = x2+y2

ans ˆ ˆ ˆ( 2 2 ) 1 4xx yy z zminus minus + +

習題 11 Show that the unit vector normal to the plane ax+by+cz =d is

given by 2 2 2ˆ ˆ ˆ( ) ax by cz a b cplusmn + + + +

圓柱座標與球座標的nabla (del)

考慮一純量場在直角座標為 ( ) u x y z 在圓柱座標表為 ( ) u zρ φ

再考慮因位移 r r drrarr + 所造成 u ( )zρ φ 的變化

( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆz

z

u u udu d d dz u dr u d d zdzz

u u z u d d zdz

u d u d u dzρ ϕ

ρ ϕ

ρ ϕ ρ ρ ϕρ ϕρ ϕ

ρ ϕ ρ ρ ϕρ ϕ

ρ ρ ϕ

part part part= + + = nabla sdot = nabla sdot + +part part part

⎡ ⎤= nabla + nabla + nabla sdot + +⎣ ⎦= nabla + nabla + nabla

( ) ( ) ( )1

1ˆ ˆ ˆu

z

u u uu u uz

u u uzz

ρ ϕρ ρ ϕ

ρ ϕρ ρ ϕ

part part partrArr nabla = nabla = nabla =

part part partpart part part

rArrnabla = + +part part part

1ˆ ˆ ˆ zz

ρ ϕρ ρ ϕpart part part

nabla = + +part part part

（4-82）

注意nabla的ϕ -分量( 1ρ ϕ

partpart

)不是像直角座標裡單純的ϕpartpart

所以不要笨笨

的就把直角座標的形式硬套上去用我們也可以從「因次分析」來

看nabla因為是對空間的微分所以每一項的因次必須是「長度分之一」

運算 andzρ

part partpart part

都是「長度分之一」而「單純的ϕpartpart

」是沒有單位的

所以要1ρ ϕ

partpart

才 OK

由於圓柱座標裡的單位向量除了 z 之外 ˆ( )ρ ϕ 與 ˆ( )ϕ ϕ 都不是常

4-50

數所以在微分時不可以與微分運算交換而要考慮微分的作用所

以在「圓柱座標」寫「散度」 ( ) F zρ ϕnablasdot 也和直角座標不一樣

( )1ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ zF z F F zFz ρ ϕρ ϕ ρ ϕ

ρ ρ ϕpart part part⎛ ⎞

nabla sdot = + + sdot + +⎜ ⎟part part part⎝ ⎠

( ) ( )1ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆz zF F zF F F zFρ ϕ ρ ϕρ ρ ϕ ϕ ρ ϕρ ρ ϕpart part

= sdot + + + sdot + +part part

( )ˆ ˆˆ ˆ zz F F zFz ρ ϕρ ϕpart

+ sdot + +part

因為 ( ) ( )ˆ ˆ ˆ ˆ ρ ρ ϕ ϕ ϕ ϕ= = 所以做 andzρ

part partpart part

時 ˆ ˆ ρ ϕ 可視為常數

ˆ ˆ1ˆ ˆ ˆ zF F F FF F Fz

ρ ρ ϕρ φ

ρ ϕϕ ρ ϕρ ρ ϕ ϕ ϕ ϕ

part part part⎡ ⎤part part partrArrnablasdot = + sdot + + + +⎢ ⎥part part part part part part⎣ ⎦

還記得 ˆ ˆ ˆ ˆd d d dρ ϕ ϕ ϕ ρ ϕ= = minus 所以 ˆ ˆρ ϕϕpart

=part

ˆ ˆϕ ρϕpart

= minuspart

rArr

( )1 1 1z zF F F FF FF Fz z

ρ ρ ϕ ϕρρ

ρ ρ ρ ϕ ρ ρ ρ ϕpart part part part

nablasdot = + + + = + +part part part part part part

（4-83）

在球座標寫nabla也會遇到相似的問題其根源就是球座標 ( )r θ ϕ 裡

的 θ ϕ 的因次並非長度而三個單位向量 ˆ ˆˆ r θ ϕ（表為 ie ）都是( θ ϕ )

的函數以致

( )ˆ ˆ( ) ( )i ie f e fθ ϕ θ ϕθ θpart part

nepart part

且 ( )ˆ ˆ( ) ( )i ie f e fθ ϕ θ ϕϕ ϕpart part

nepart part

所以nabla也不似在直角座標那麼簡單我們不在這裡推導而是給出一

個歸納的統一的三個座標的結果還記得對每一個座標 iu i = 123

座標的變化 idu 與造成的長度變化 id

i i id h du= 123i = (4-84)

其中 ih 為對應的度量係數(metric coefficient)

4-51

1 2 3

1 1 2 2 3 3

1 1 1ˆ ˆ ˆu u ue e eh u h u h u

part part partnabla equiv + +

part part part （4-85A）

座標 1 2 3 u u u

度量係數

1 2 3 h h h

nabla grad del

直角 x y z

1 1 1 nabla ˆ ˆ ˆx y z

x y zpart part part

equiv + +part part part

圓柱

zρ ϕ

1 1ρ

1ˆ ˆ ˆ z

zρ ϕ

ρ ρ ϕpart part part

nabla equiv + +part part part

球

r θ ϕ

1 sinr r θ

1 1ˆ ˆˆ

sinr

r r rθ ϕ

θ θ ϕpart part part

nabla = + +part part part

（4-85B）

梯度gradient Vnabla grad(V) 散度divergence Anablasdot div( )A

直

角 nablaV ˆ ˆ ˆV V Vx y z

x y zpart part part

= + +part part part

yx zAA AAx y z

partpart partnablasdot = + +

part part part

圓

柱

1ˆ ˆ ˆ V V VV zz

ρ ϕρ ρ ϕpart part part

nabla = + +part part part

( )1 1

1

z

z

A AA Az

A A A Fz

ϕρ

ρ ρ ϕ

ρρ ρ ρ ϕ

ρ ρ ρ ϕ

partpart partnabla sdot = + +

part part partpart part part

= + + +part part part

球

1 1ˆ ˆˆ sin

V V VV rr r r

θ ϕθ θ ϕ

part part partnabla = + +

part part part

22

1 ( )rA r Ar r

partnabla sdot =

part

1 (sin )sin

Ar θθ

θ θpart

+ sdotpart

1sin

Ar

ϕ

θ ϕpart

+part

(4-86)

Ex47 Using spherical coordinate show that 1| |r r

nablaminus

= 2

ˆ| |

r rer r

minusminusminus

where

nabla是作用在 r 而 ˆr re minus 是向量 r rminus 方向的單位向量 解let r lies in z-axis so that the angle between r and r is just θ

4-52

rArr ( ) 122 21 1 2 cos | | ( ) ( )

r rr rr r r r r r

θminus

= = minus +minus minus sdot minus

( ) ( )12 122 2 2 21 1ˆˆ 2 cos 2 cos | |

r r rr r r rr rr r r r

θ θ θθ

minus minuspart partnabla = minus + + minus +

minus part part

( ) 322 21ˆ 2 cos (2 2 cos )2

r r rr r r rθ θminusminus

= minus + minus

( ) 322 21ˆ 2 cos (2 sin )2

r rr r rrθ θ θminusminus

+ minus +

3 3 3 3

ˆˆ ˆ( cos ) sin ( cos sin )ˆˆ| | | | | | | |r r r rr r rrr r r r r r r r

θ θ θ θ θθminus minus minus minus minus= + = +

minus minus minus minus

3 3 3ˆ ( )

| | | | | |r r z r r r rr r r r r rminus + minus + minus minus

= = =minus minus minus

＝ 2

ˆ| |

r rer r

minusminusminus

QED

證明最後我們用到 ˆˆˆ cos sinz r θ θ θ= minus 而 ˆ r r z= 因為我們選了 r 是

躺在 z-軸 Ex48 For arbitrary scalar field ( )f r and vector field ( )A r 證明恆等式

( )fA f A f Anablasdot = nabla sdot + nablasdot (4-87) 解 ˆ ˆ ˆx y zfA xfA yfA zfA= + +

( ) ( ) ( ) ( )x y zfA fA fA fAx y zpart part part

rArrnablasdot = + +part part part

yx zx x x

AAf f f AA f A f A fx x y y z z

partpartpart part part part= + + + + +part part part part part part

yx zx y z

AAf f f AA A A fx y z x y z

part⎛ ⎞partpart part part part= + + + + +⎜ ⎟part part part part part part⎝ ⎠

f A f A= nabla sdot + nablasdot QED 習題 12 一個位於原點的電偶極電偶極矩＝ ˆp pz= 已知其在遠處

的電位為 20

cos4p

rθ

πε試證該處的電場強度為 E = 3

0

ˆˆ( 2cos sin )4

p rr

θ θ θπε

+

(已知 E V= minusnabla )並請計算 Enablasdot ＝

習題 13 給定一向量場2

3cosˆD r

rϕ

= 現有兩個球心在原點的同心球

內球半徑 R＝1外球 R＝2(a)求面積分S

D dssdotint S 為同心球殼的表

面（有內外兩個面）(b)求體積分V

Ddvnablasdotint V 為兩同心球之間的

區域本題也是來 check 散度定理的Ans πminus

4-53

The Laplacian operator 2nabla equivnablasdotnabla

在直角座標可以用直接作用得到

2 2 2

22 2 2u u uu u

x y zpart part part

nabla equiv nablasdotnabla = + +part part part

(4-88)

圓柱座標

2 2

22 2 2

1 1( ) u u uu uz

ρρ ρ ρ ρ ϕ

part part part part⎛ ⎞nabla equiv nablasdot nabla = + +⎜ ⎟part part part part⎝ ⎠

(4-89)

球座標

2

2 22 2 2 2 2

1 1 1sinsin sin

u u uu rr r r r r

θθ θ θ θ ϕ

part part part part part⎛ ⎞ ⎛ ⎞nabla = + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟part part part part part⎝ ⎠ ⎝ ⎠ （4-90）

習題 14 verify (4-89) and (4-90)

習題 15 Given a dipole potential V= 20

cos4p

rθ

πε find 2Vminusnabla

sect 433 Line integral and curl A 線積分與與旋度的物理意義

線積分路徑積分

考慮一曲線 C 通過兩點 ( )i i i iP x y z 與

( )f f f fP x y z 現有一向量場 ( )A x y z 定義在

C 所在的空間若 sd 為 C 上位於(xyz)點的

「路徑元素」（ ˆd td= 方向沿該處切線）而

( )A x y z 為路徑元素d 處的場值則沿 C 經歷各點所做積分

cos cosf

CC C iA d Ad A dϕ ϕrarr rarrsdot = =int int int （4-91）

稱為向量場 ( )A x y z 沿路徑 C 自 pi 至 pf 的「線積分」「或「路徑積分」

積分裡 A 取值的點侷限在路徑 C 上面若為一個「封閉路徑」則對

C 的線積分也稱做「環路積分 closed contour integral」記做

C

A dsdotint （4-92）

4-54

物理量「做功」是最標準的線積分之一力 F 自 x = a 至 x = b「沿線」

x 軸做功

W＝ F dxsdotint ＝ ( )b

xaF x dxint （4-93）

質點在力場 )(rF 裡走一條曲線 C則力場做功

CW F d= sdotint （4-94）

還記得如果 ( )F r 是所謂「保守力」則上式只與始末點有關而與

路徑無關但如果 ( )F r 是所謂「非保守力」則做功與確實的路徑 C

有關

現考慮一質點在空間運動的位置 r 落在由曲線 C

描述的路徑則質點的位移元素與曲線 C 的路徑元

素相同 d dr= 若空間有向量場 A 分佈則 A 在 C 的

路徑積分以直角座標表示為

CA drarr rarrsdotint ＝

CA d rrarr rarrsdotint ＝ ( )x y zC

A dx A dy A dz+ +int （4-95）

上式中的 x y z 的積分限由 C 決定

Ex49 2 2 2ˆ ˆ ˆA xx yy zzrarr= + + 選定一路徑 C 為曲線

2y x= 由 (000)到 (2 20)的部分求C

A dsdotint

解 ˆ ˆd xdx ydy= +∵

CA dsdotint ＝ 2 2( )

Cx dx y dy+int ＝

2 22 2

0 0x dx y dy+int int

＝ )24(32

+

或由 2y x= rArr 2ydy dx= 2 12

y dy xdxrArr =

rArrC

A dsdotint ＝2 2

0

1( )2

x x dx+int ＝2 (4 2)3

+

4-55

ex50 ˆ ˆ( )f x y z xy yx= minus Do C

f dsdotint 其中的路徑 C 為一逆時針三角

形如圖 解∵路徑全部在 x-y 平面 ˆ ˆ ˆd td xdx ydy= = +

rArrC

f dsdotint ＝ x yC

f dx f dy+int ＝C

ydx xdyminusint

由於在 C1 上 y = 0 及 dy = 0 所以 01

=intC 又由於在

C3 上 x = 0 及 dx =0所以 03

=intC 所以只剩下 C2 可

能有貢獻由 2C 的方程式x + y =1rArr ⎩⎨⎧

minus=minus=

xyyx

11

rArr2Cydx xdyminusint ＝

0 1

1 0(1 ) (1 )x dx y dyminus minus minusint int ＝

0 12 2

1 0

( ) ( )2 2x yx yminus minus minus ＝-1

Cf dsdotint ＝-1

ex51 ( )f x y zrarr

= 2ˆ ˆxx yxyminus 如右圖doC

f dsdotint 其

中路徑 C 為第一象限的逆時針 14 圓弧

解∵ 全部在 x-y 平面 ˆ ˆd xdx ydy= +

Cf dsdotint ＝ 2

Cx dx xydyminusint

由於在 C 上 cosx R ϕ= rArr sindx R dϕ ϕ= minus

siny R ϕ= rArr cosdy R dϕ ϕ=

rArr 2

Cx dx xydyminusint ＝

2 2 2 2

0cos ( sin ) sin cos cosR R d R R d

πϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕminus minus sdotint

23 2

02 cos sinR d

πϕ ϕ ϕ= minus int ＝

323Rminus

又路徑為圓周一部份所以適合用極座標表示

ˆd Rdϕ ϕ= 又由左圖將 ˆ ˆx y 拆解（投影）到 ˆˆr ϕ

ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆcos sin sin cosx r y rϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ= minus = +

4-56

( )2ˆ ˆ ˆˆ ˆ( cos sin ) ( sin cos )C C

f d r x r xy Rdϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕsdot = minus minus + sdotint int 2

2 2 2

0

sin (cos )

sin ( cos ) (cos ) cos sin

Cx Rd xyRd

R Rd R Rdπ

ϕ ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ

= minus minus

= minus minus

intint

23 2

02 cos sinR d

πϕ ϕ ϕ= minus int ＝

323Rminus

這也驗證了散度定理

Path Independence 路徑獨立性

Ex52 證明庫倫力為「保守力」考慮

電荷 q0 位於原點及電荷 q 位於

( )r x y zrarr= q 受力 F

rarr＝ 0

20

14

qq urπε

and

求庫侖力作功因為球形對稱所以

用球座標由 ˆ ˆ ru rr

= = rArr Frarr

= 03

04qq r

rπε

庫侖力由 P1 至 P2 做功為 2

1

P

CPF drarrsdotint ＝

2

1

02

0

ˆ ˆ ˆˆ sin4

P

PC

qq r rdr rd r dr

θ θ ϕ θ ϕπε

⎡ ⎤sdot + +⎣ ⎦int ＝2

1

02

04P

P

qq drrπεint

＝20

2104

r

r

qq drrπε int ＝ 0

0 1 2

1 1( )4qq

r rπεminus for all C

所以庫侖力兩點間做功與路徑無關rArr保守力

對於「保守力 conservative force」 cF 自 p1 經

由兩條不同的路徑 C1 與 C2 到達 p2

1 ccF drarrsdotint ＝

2 ccF drarrsdotint ＝-

2 ccF drarr

minussdotint

rArr1 2c cc cF d F drarr rarr

minussdot + sdotint int = cF d

rarrsdotint ＝0 (4-96）

對於任何「封閉路徑」保守力做功為 0反之若

對任一封閉路徑 0F drarrsdot neint 則兩點之間的做功與路徑有關

rarr

F 為「非

保守力」

4-57

旋度 curl Anablatimes 的幾何物理意義

我們在（4-70）式已經看過旋度的計算方式但旋度另有其意義的

ex53 給定向量場2 2

0ˆ yv yv e λrarr

minus= 左圖為場的分佈

2 20

ˆ ˆ ˆ

0 0x y z

y

x y zcurl v

v e λ

rarr

minus

= part part part ＝ ˆ ˆ ˆ0 0 0 0x y zsdot minus sdot + sdot =

我們用了簡寫 x yx ypart part

part equiv part equivpart part

可以看出這個場裡沒有「漩渦」

但是有無「漩渦」有時也不是那麼明顯可以看出的請見下一個例子

Ex54 給定向量場2 2

0ˆ xv yv e λrarr

minus= 計算其旋度 vnablatimes

解向量場 vrarr

畫在右邊你看得出有無漩渦

先計算旋度

2 20

ˆ ˆ ˆ

0 0x y z

x

x y zcurl v

v e λ

rarr

minus

= part part part2 2

2 2

0

0

ˆ

ˆ 2 0 0

x

x

z v ex

z v xe for x

λ

λ

minus

minus

part=

part

= minus ne ne

vrarr

的旋度在大部分的地方不為 0 且隨位置而不同但是你看得出這個

向量場裡有「漩渦」其實要檢驗一個向量場裡有無「漩渦」有一

個很物理的方法就是放一個小「螺旋槳」（左圖）

在場內將軸朝各個方向測試一

下如果有「漩渦」的話這個

小「螺旋槳」就會轉動右圖就是將「螺旋槳」的

軸平行於 z 軸且放在 x gt 0 的地方就可以看出左

邊的 v 場比右邊的強造成螺旋槳順時針轉動rArrcurlv zminus for x gt 0

但如果放在 x = 0 的地方就會看到左右兩端的 v 場強度相同而且

4-58

curlv = 0 「螺旋槳」放在 x lt 0 的地方就可以看出右邊的v 場比左

邊的強造成螺旋槳逆時針轉動這完全符合 curl v k+ 的結果

環路積分與旋度 curl 的物理意義

如同「散度」一樣「旋度」除了 Ftimesnabla 之外

還有一個物理意義更清楚的定義這個定義由

「線積分」說明如圖考慮做「逆時針」長方形

路徑 C1 的一個「環路積分」C1 面平行於 x-y 平

面由 z-軸看下去環路 C1 可以分為可以分為

下 CB上 CT右 CR左 CL 4 部分

CA drarrsdotint ＝

B T L RC C C CA d A d A d A drarr rarr rarr rarrsdot + sdot + sdot + sdotint int int int

分別計算由於 CB 的中點座標為 ( )2yx y zΔ

minus

ˆB BC C

A d A xdxrarr rarrsdot = sdot =int int

BxC

A dxint ( )2xyA x y z xΔ

asymp minus Δ

similarly 由於 CT 的中點座標為 ( )2yx y zΔ

+

ˆ( )T TC C

A d A xdxrarr rarrsdot = sdot minus =int int

TxC

A dxminusint ( )2xyA x y z xΔ

asymp minus + Δ

合併 CB 與 CT

B TC CA drarr

+sdot =int

( ) ( )2 2x xy yA x y z A x y z

x yy

Δ Δ⎡ ⎤minus + minus minus⎢ ⎥⎣ ⎦ Δ ΔΔ

（4-97）

由 C1 所圍的面積 S x yΔ = Δ Δ

1B TC C

A dS

rarr

+sdot =

Δ int( ) ( )

2 2x xy yA x y z A x y z

y

Δ Δ⎡ ⎤minus + minus minus⎢ ⎥⎣ ⎦Δ

（4-98）

所以當取極限 C1 收縮到中心(xyz)時 SΔ 收縮到 0ie

4-59

0limsΔ rarr

1B TC C

A dS

rarr

+sdot =

Δ int xAy

partminuspart

（4-99）

Similarly with CR 的 ˆd ydy= CL 的 ˆd ydy= minus 可得

1L RC C

A dS

rarr

+sdot =

Δ int x

zyxxFzyxxF yy

Δ

Δminusminus

Δ+ )

2()

2(

（4-100）

同樣的當取極限 C1 收縮到中心(xyz)時 SΔ 收縮到 0

0

limsΔ rarr

1L RC C

A dS

rarr

+sdot =

Δ int yAx

partpart

（4-101）

最後合併 CBCTCRCL 為 C1

10

1limCs

A ds

rarr

Δ rarrsdot =

Δ int y xA Ax y

part partminus

part partˆ ( ) ( )zz A A= sdot nablatimes = nablatimes （4-102）

注意 C1 的方向就是在 z 上式的重要

意義是當向量場 A 在一個以點(xyz)為

中心「方向為 z 」的面積元素的「邊界」

所做的環路積分得到的就是 A 在(xyz)

處旋度的 z-分量明顯的只有當 A 在

(xyz)附近有 x-y 平面上的「漩渦」那麼 C1 的環路積分才不會為 0

Similarly 取一個逆時針繞著(xyz)的平行於 x-z 平面的長方形環路 C2

（左圖）做環路積分再取極限將 C2 收縮到(xyz)就會得到

20

1limCs

A ds

rarr

Δ rarrsdot =

Δ int x zA Az x

part partminus

part partˆ ( ) ( )yy A A= sdot nablatimes = nablatimes （4-103）

注意到 C2 所包圍的面積方向就在 y到

現在我們應該已經很有經驗了若取一

個逆時針繞著(xyz)的平行於 y-z 平面

的長方形環路 C3（左圖）做環路積分

再取極限將 C3 收縮到(xyz)就會得到

4-60

30

1limCs

A ds

rarr

Δ rarrsdot =

Δ int yz AAy z

partpartminus

part partˆ ( ) ( )xx A A= sdot nablatimes = nablatimes （4-104）

能把（4-103）與（4-104）變出來的同學我們有優待綜合以上

我們可以得到一個結論若取一個以點(xyz)為中心的任意環路 Cn（其

所包圍的面積方向在 n ）則

n curl Aand rarrsdot ＝

0

1lims

Cn

A ds

rarr

Δ rarrsdot

Δ int （4-105）

明顯的當 n ＝ x 或 y 或 z 時我們可以重複（4-102）到（4-104）的

結果（4-70）式的行列式所定義的旋度在此看見其幾何物理意義

至此「旋度」的「漩渦」形象應該已經很清楚了只有在(xyz)點附

近的小圈圈上有「漩渦」 A 在小圈圈做的環路積分才會有值這個

值就是向量場 A 的「旋度」在小圈圈面積方向的分量

Stokersquos 定理

考慮一個開放面 S被其「有方向的」邊界 C 圈住(bounded by)則

( )S

A dsrarr rarrnablatimes sdotint ＝

C

A drarrsdotint （4-106）

pf 先將 S 面分割為 N 個多邊形這會使得邊界變成一個「折線」形

成的環路 P環路 P 會隨著分割的多邊形個數的增多而越加近似於原

「光滑的」邊界 C現考慮相鄰的

兩個多邊形的線積分由於共用邊

的方向是相反的所以相鄰兩個多

邊形線積分的和只剩「外邊界」（見左圖）所以當把所有的多邊形的

4-61

線積分加起來時由於只有邊界 P 不是多邊形的共用邊所以

1k

N

k C

A drarr

=

sdotsum int ＝P

A drarrsdotint rArr

P

A drarrsdotint ＝

1

1

k

N

kk k C

A d l ss

rarr rarr

=

⎡ ⎤sdot Δ⎢ ⎥

Δ⎢ ⎥⎣ ⎦sum int

其中 ksΔ 為第 k 個多邊形的面積取極限 0kN srarrinfinrArrΔ rarr P CrArr rarr

C

A drarrsdotint ＝

10

1limkk

N

kN k k Cs

A d ss

rarr

rarrinfin=Δ rarr

⎡ ⎤sdot Δ⎢ ⎥

Δ⎢ ⎥⎣ ⎦sum int 01

ˆlim ( )k

k kskn A s

infin

Δ rarr=

⎡ ⎤= sdot nablatimes Δ⎣ ⎦sum

01

ˆlim ( )k

k kskA n s

infin

Δ rarr=

= nablatimes sdot Δsum = ( )S

A dsrarr

nablatimes sdotint QED

ex55 由 Amperersquos law 的積分形式導出其微分形式

解Amperersquos law 的積分形式 C

B drarrsdotint ＝ I0μ (4-107)

由 Stokersquos 定理及電流密度 j 的定義上式等號兩端可寫為

rArr ( )S

B dsrarr rarrnablatimes sdotint ＝ 0 S

j dsμrarrsdotint

由於上面的等式對任意面 S（路徑 C）都成立所以被積函數相等

0B jμrarr rarr rarr

rArrnablatimes = (4-108) 此即 Amperersquos law 的微分形式

Ex56 Given a vector field ˆ ˆx yA ye xe= minus + (a) Find Anablatimes

解

ˆ ˆ ˆˆ ˆ(1 ( 1) 2

0x y z

x y zA z z

y xnablatimes = part part part = minus minus =

minus

(b)如圖一個金字塔狀的 5 面體高 2底邊長＝1計算 ( )S

A dsnablatimes sdotint

其中 S 為金字塔在 x-y 平面以上的部分方向如同

封閉的金字塔（運用 Stokersquos law）

解金字塔上表面的面積元素ds 不好寫由 Stokersquos

4-62

law ( )S

A dsrarr rarrnablatimes sdotint ＝

C

A drarrsdotint 其中封閉路徑 C 就是上表面的邊界而且

是逆時針（由 z 軸向下看）

C

A drarrsdotint ＝

1 1 0 0

0 0 1 1ˆ ˆ ˆ ˆA xdx A ydy A xdx A ydysdot + sdot + sdot + sdotint int int int

＝1 1 0 0

0 0 1 1x y x yA dx A dy A dx A dy+ + +int int int int 1 1 0 0

0 0 1 1( 0) ( 1) ( 1) ( 0)y dx x dy y dx x dy= minus = + = + minus = + =int int int int

0 1 1 0 2 ( ) 2S

A ds= + + + = rArr nablatimes sdot =int

旋度與 path independence

已知保守場 cF 對所有封閉路徑 C 0cC

F drarrsdot =int 由 Stokersquos 定理

0cC

F drarrsdot =int ＝ ( )cS

F dsrarr rarrnablatimes sdotint rArr 0cF

rarr rarrnablatimes =

這表示保守場＝無旋度反之無旋度的場任兩點間路徑積分與路

徑無關

Ex57 Given a field 2 2ˆ ˆ ˆ2A x xy yx zz= + minus (a) Find Anablatimes A 保守場

解2 2

ˆ ˆ ˆ

2x y z

x y zA

xy x znablatimes = part part part

minus

( ) ( ) ( )2 2 2 2ˆ ˆ ˆ( ) 2 ( ) 2 0y z z x x yx z x y xy z z x xy= part minus minuspart + part minuspart minus + part minuspart =

yes A =保守場

(b)如左圖由 A 到 B 做路徑積分A BC

A drarr

sdotint 路徑 C 為橢圓

22 1

16yx + = 在 x-軸以上的部分

解橢圓部分的路徑元素 d 有點麻煩但因為 A

為保守場所以 A 到 B 做路徑積分可以用 x = -1 到

1 的積分取代

4-63

01 1 1

1 1 1ˆ 2 0

yB

xAA d A xdx A dx xydx

=

minus minus minussdot = sdot = = =int int int int

∵

旋度在柱座標與球座標

前面討論過nabla在不同座標系的寫法旋度也有歸納出的一致寫法

座標 1 2 3 u u u

度量係數

1 2 3 h h h

nabla grad del

直角 x y z

1 1 1 nabla ˆ ˆ ˆx y z

x y zpart part part

equiv + +part part part

圓柱 zρ ϕ

1 1ρ

1ˆ ˆ ˆ zz

ρ ϕρ ρ ϕpart part part

nabla equiv + +part part part

球 r θ ϕ

1 sinr r θ

1 1ˆ ˆˆ sin

rr r r

θ ϕθ θ ϕ

part part partnabla = + +

part part part

所以柱座標與球座標的旋度分別表為

柱座標

ˆ ˆ ˆ1

z

z

Az

AA Aρ ϕ

ρ ρϕ

ρ ρ ϕρ

part part partnablatimes =

part part part （4-109）

球座標 2

ˆ ˆˆ sin1sin

sinr

r r r

Ar r

A rA r Aθ ϕ

θ θϕ

θ θ ϕθ

part part partnablatimes =

part part part （4-110）

ex58 (a) Given the vector function ˆA ϕ= sin (ϕ 2) find Anablatimes

解 2

ˆ ˆˆ sin1sin

0 sin( 2) 0

r r r

Ar r

r

θ θϕ

θ θ ϕϕ

part part partnablatimes =

part part part

4-64

21 ˆˆ cos sin sinsin 2 2 2

rr rr

ϕ ϕθϕθ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

ˆˆ cos sin2 sin 2 2

rr r

ϕ ϕ ϕθ

minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

(b)如左圖一個底面在 x-y 平面半徑＝1高＝2 之圓錐 求面積分

SA dsnablatimes sdotint 面積範圍 S 為圓錐在 x-y 平面以上

部分 方向為由圓錐內向外

解由 Stokersquos law ( )S

A dsrarr rarrnablatimes sdotint ＝

C

A drarrsdotint 其中路

徑 C 為 x-y 平面圓心在原點之單位圓 ˆ ˆd rd dϕ ϕ ϕ ϕ= =

2

0ˆ ˆsin sin

2 2C

d dπϕ ϕϕ ϕ ϕ ϕ⎛ ⎞ ⎛ ⎞sdot =⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠int int ( )0

2 sin u duπ

= int 0cos | 2u π= minus =

習題 16 磁場 B 因為不是保守場所以沒有對應的純量位而對應一

個向量位 A (vector potential)而 B A= nablatimes 一個磁鐵的磁偶極矩

ˆm mz= 被置於原點已知在遠處的 vector potential 03ˆ sin

4mAr

μϕ θπ

=

計算該處的磁場 B Ans 03

ˆˆ( 2cos sin )4

mB rr

μ θ θ θπ

= + 與電偶極遠處

的電場形式一致都是偶極(dipole) 選幾個點畫一畫該處的場向量

把磁力線描出來

附錄本章講義的內容有部分可以經由直接計算得出列在附錄做為

參考

用「圓柱座標」寫 Atimesnabla

Ararr rarrnablatimes ＝ ( )1ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ zz A A zA

z ρ φρ ϕ ρ ϕρ ρ ϕpart part part⎛ ⎞+ + times + +⎜ ⎟part part part⎝ ⎠

4-65

因為rdquo sdotrdquo與rdquotimes rdquo都是向量間的運算所以

＝ ( )ˆ ˆ ˆ ˆ zA A zAρ φρ ρ ϕρpart

times + +part

＋ ( )1ˆ ˆ ˆ ˆ zA A zAρ φϕ ρ ϕρ ϕ

parttimes + +

part

＋ ( )ˆ ˆˆ ˆ zz A A zAz ρ φρ ϕpart

times + +part

直接做上式微分可以得到

＝1ˆ z AA

zϕρ

ρ ϕpart⎛ ⎞part

minus⎜ ⎟part part⎝ ⎠＋ ˆ zA A

zρϕ

ρpart⎛ ⎞part

minus⎜ ⎟part part⎝ ⎠＋

1 1ˆ ( )A

z A ρϕρ

ρ ρ ρ ϕpart⎛ ⎞part

minus⎜ ⎟part part⎝ ⎠

上式可以用一個行列式來表示

rarrrarr

timesnabla A＝

ˆ ˆ ˆ1

z

z

zA A Aρ ϕ

ρ ρϕ

ρ ρ ϕρ

part part partpart part part

（A-1）

A and Anabla nablasdot nablatimes in 球座標 spherical coordinate

如上圖球座標 )( ϕθr 其中 )0[ infinisinr ]0[ πθ isin ]20[ πϕ isin 只有 r

是長度而 ϕθ 為角度是用來說明方向的三個座標的單位向量 ˆ ˆˆ r θ ϕ 具

有下列性質

4-66

1 如上圖 ˆ ˆˆ r θ ϕ 都不是常數而是（ ϕθ ）的函數

ˆ ˆ( )ˆ ˆ( )ˆ ˆ( )

r r θ ϕ

θ θ θ ϕϕ ϕ ϕ

⎧ =⎪

=⎨⎪ =⎩

)( ϕθr 與(xyz)之間的轉換如下

sin cossin sincos

x ry rz r

θ φθ φθ

=⎧⎪ =⎨⎪ =⎩

( )122 2 2

2 2

tan

tan

r x y z

x yz

yx

θ

φ

⎧ = + +⎪⎪ +⎪ =⎨⎪⎪ =⎪⎩

（A-2）

2 ˆ ˆˆ r θ ϕ 形成一「歸一正交集」ie

ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ 1r r θ θ ϕ ϕsdot = sdot = sdot = ˆ ˆr θ ϕperp perp

ˆ ˆr θ ϕtimes = ˆ ˆ rθ ϕtimes = ˆˆ rϕ θtimes = （A-3）

3可以很容易的由他們在 xyz 軸上的投影由直角

座標的 ˆ ˆ ˆ x y z 表出

ˆ ˆ ˆ ˆsin cos sin sin cos ( 4 )ˆ ˆ ˆ ˆcos cos cos sin sin ( 4 )ˆ ˆ ˆsin cos ( 4 )

r x y z A a

x y z A bx y A c

θ φ θ φ θ

θ θ φ θ φ θϕ φ φ

= + + minus⎧⎪

= + minus minus⎨⎪ = minus + minus⎩

4 ˆdr = 由於 ˆ ˆ( )r r θ φ= 所以由 ϕθ 的變動來看

4-67

ˆ ˆˆ| |ˆ ˆˆ| | sin sin

d r d d

d r d d

θ θθ θθ

φ θ φφ θ φφ

⎧ rArr =⎪⎨

rArr =⎪⎩rArr ˆ ˆˆ sindr d dθ θ φ θ φ= + （A-5）

rArrˆ ˆr θθpart

=part

ˆ ˆsinr θφφpart

=part

（A-6）

（A-6）的結果也可以直接由（A-4a）對 ϕθ 偏微得到

5 ˆdθ ＝ 由於 ˆ ˆ( )θ θ θ φ= 所以由 ϕθ 的變動來看

ˆ ˆ ˆ| | ( )ˆ ˆ ˆ| | cos cos

d d r d r

d d d

θ θ θ θ

φ θ θ φφ φ θ φ

⎧ rArr minus = minus⎪⎨

rArr =⎪⎩rArr ˆdθ ＝ ˆˆ cosrd dθ φ θ φminus + （A-7）

ˆrθ

θpart

rArr = minuspart

ˆ ˆcosθ φ θφpart

=part

（A-8）

請直接由（A-4b）對 ϕθ 偏微的結果 check（A-8）

6 ˆdφ ＝由於φ )(ϕ 躺在 x-y 平面上變動φ時的方向可能不是那麼

容易看出來所以做圖看一看

ie ˆ ˆˆ(sin ) (cos )d r d dφ θ φ θ θ φ= minus minus （A-9）

4-68

ˆ ˆˆsin cosrφ θ θ θφpart

= minus minuspart

7 所有的向量 ˆ ˆˆ rA rA A Aθ φθ φrarr= + +

8 位置向量 ˆr rrrarr=

可以由左圖 ˆ ˆˆ r θ ϕ 三個方向的「長度

變化」輕易的看出

9 位移元素

ˆ ˆˆ ˆ sindr rdr rd dθ θ ϕ θ φ= + + (A-10)

10 體積元素

sindv dr r d rdθ φ θ= sdot sdot

＝ 2 sinr dr d dθ θ φ (A-11)

11 面積元素 2 sinrds r d dθ θ φ= plusmn sinds r drdθ θ φ= plusmn ds rdrdφ θ= plusmn (A-12)

plusmn號表示面的垂直方向有兩個端看 ds 周邊的方向是如何定的

nabladel 考慮 ( )u u r θ φ=

rArru u udu dr d dr

θ φθ φ

part part part= + +part part part

u d rrarr rarr

equiv nabla sdot

urarr

= nabla sdot ˆ ˆˆ( sin )rdr rd dθ θ φ θ φ+ +

rArr1 1ˆ ˆˆ

sinu u uu rr r r

θ ϕθ θ φ

rarr part part partnabla = + +

part part part

1 1ˆ ˆˆsin

rr r r

θ ϕθ θ φ

rarr part part partnabla equiv + +

part part part （A-13）

4-69

直接用（A-13）與 ˆ ˆˆ rA rA A Aθ φθ ϕrarr= + + 逐項內積加上（A-678）

rArr ϕθ

θθθ

ϕθ part

part+

partpart

+partpart

=sdotnablararrrarr A

rA

rAr

rrA r sin

1)(sinsin1)(1 2

2 （A-14）

（A-13）與 ϕθ ϕθ AAArA r

andandandrarr

++= 逐項外積整理之後

ϕθ θϕθ

ϕθθ

θArrAA

r

rrr

rA

r sin

sin

sin1

2 partpart

partpart

partpart

=timesnabla

andandand

rarrrarr

（A-15）

Laplacian uu nablasdotnabla=nabla2

2

2

2222

22

sin1)(sin

sin1)(1

ϕθθθ

θθ partpart

+partpart

partpart

+partpart

partpart

=nablau

ru

rrur

rru （A-16）

B推導「散度」在圓柱座標的寫法

讓我們先回顧一下在直角座標裡的「面積元素」可以由「位移元素」

得到

ˆˆ ˆ x y zdr idx jdy kdz da dydz dxdz dxdy= + + rArr =

比照辦理「圓柱座標」的位移元素

( )ˆˆ ˆ( )

( )z

da d dzdr d d zdz da d dz

da d d

ρ

φ

ρ φ

ρ ρ φ ρ φ ρ

ρ ρ φ

=⎧⎪= + + rArr =⎨⎪ =⎩

這個結論可以輕易的由面積元素在垂直於 zˆˆ ϕρ 三個方向的面積看

出如下圖考慮一個以 )( zϕρ 為中心的「圓柱體積元素」(cylindrical

cubiod)體積為 zdV ΔΔ=Δ ϕρρ 現計算在 ρ

方向的 12 兩個平行面(方向各為 ρplusmn )的通

量

4-70

zzF

dsFdsnFS S

ΔΔ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

+cong

=sdotintint intintϕρρϕρρρ

ρ

2

2

ˆ1 1

zzF

dsFdsnFS S

ΔΔ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

minus⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

minusminuscong

minus=sdotintint intintϕρρϕρρρ

ρ

2

2

ˆ2 2

intint+

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

minus⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

minusminus⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

+Δ

asympsdotΔ

rArr21

22

22

1ˆ1

SS

zFzFdsnFV

ϕρρρρϕρρρρρρ ρρ

( ) ( )

1 20

0

0

1 ˆlim

1lim 2 2 2 2

1 1lim 2 2

1

VS S

F ndsV

F z F z

F z F z

F

ρ ρρ

ρ ρρ

ρ

ρ ρ ρ ρρ ρ φ ρ ρ φρ ρ

ρ ρρ ρ φ ρ ρ φρ ρ

ρρ ρ

Δ rarr+

Δ rarr

Δ rarr

rArr sdotΔ

Δ Δ Δ Δ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + + minus minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥Δ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦Δ Δ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥Δ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

part ⎡ ⎤= ⎣ ⎦part

intint

娛樂一下用上述方式把圓柱的 Fsdotnabla 裡的z

FF z

partpart

+partϕρϕ1

變出來

球座標的nabla和 Fsdotnabla 也可以試試看

補充習題

H M Scheydiv grad curl and all that 4th edition

第二章習題 6 8 9 10 11 14 15 16 18 19 21 22 23 25 26 27

第三章習題 2 3 5 6 7 8 9 10 11 14 15 17 18 19 24

4-37

此結果與真實的向量運算有相似之處 ( )( )0 (B A) BB B Asdot times = times perp∵

但是這仍只是特例因為我們可由下列例子 ( ) 0A Asdot nablatimes ne 看出事實上

nabla並不是一個真正的向量 Ex36 ˆ ˆ ˆA xy yx zx= minus +

( )

ˆ ˆ ˆ y zˆ ˆ ˆ 0 1 ( 2)

2 0

x y z

xA x y z

y x x

A A x x x

nablatimes = part part part = minus + minus

minus

sdot nablatimes = minus = minus ne

面積元素向量

物理上時常會遇到面積分例如電通量磁通

量等等考慮一個面積元素 ds定義「面積的

方向」為其「法線方向」並定義面積元素向量

ˆnds a dsequiv （4-71）

要注意的是(1)如果 ds 是一個「封閉面

closed surface」（即有裡外之分）的一部

份則 ˆna 定義為「由內向外」(2) 如果 ds

是一個「開放面 opened surface」（即分不

出裡外）的一部份那麼 ds 必被其邊緣

（一個封閉的曲線 C）所包圍這樣在定

出ds 的方向之前要先定義「邊緣曲線」

C 的方向再由右手定則定義 ˆna 的方向

既然面積已為一個向量就可以寫為分量表示以直角座標

ˆ ˆ ˆx y zds xds yds zds= + + (4-72)

那麼這些分量 dsx dsy dsz 會是什麼既然 dsx 的方向是 x 就表示 dsx

是躺在 y-z 平面上所以 dsx 的兩邊是 dy 與 dz rArr xds dydz= 依此類

4-38

推 dsy 的方向是 y 所以躺在 x-z 平面rArr yds dxdz= hellip可以得知

xds dydz= yds dxdz= zds dxdy= （4-73）

不過要注意在寫面積元素時要看討論的面實際

是什麼面上式的三個分量有可能會是負的例如

左圖座落在第一象限的立方體的 A 面方向就在 xminus

方向Arsquo面在 yminus Ardquo面在 zminus 方向寫面積元素最

好是先把討論的面的方向搞清楚把plusmn號寫在單位向量前面那麼分

量就都用＋的即可其實面積元素體積元素都可以由位移元素看出

ˆ ˆ ˆdr xdx ydy zdz= + +

dx dy dz 是沿著 ˆ ˆ ˆ x y z 方向的長度所以面積元素分量的兩邊長度就

是由其中兩個組成而體積的三邊也就是三個垂直方向的長度

x y zdV dx dy dz and ds dydz dxdz dxdyrArr = = （4-74）

這個概念在其他的座標系統也成立我們可以方便的寫出面積元素

Recall 柱座標的位移向量元素

cylindrical coordinate ˆ ˆ ˆdr d d dzzρρ ρ ϕϕ= + + （4-48）

ˆ ˆ ˆ zds ds ds zdsρ ϕρ ϕ= + + (4-75)

dsρ 躺在 zϕ minus 平面dsϕ 在 zρ minus 平面 zds 在ρ ϕminus 平面

rArr zds d dz ds d dz ds d d d dρ ϕρ ϕ ρ ρ ρ ϕ ρ ρ ϕ= = = sdot = （4-76）

上面的結果畫個圖看看吧球座標的位移向量元素

Spherical coordinate ˆ ˆˆ ( ) ( sin )dr rdr rd r dθ θ ϕ θ ϕ= + + （4-56）

ˆ ˆˆ rds rds ds dsθ ϕθ ϕ= + + （4-77）

rArr sin sin rds rd r d ds dr r d ds rd drθ ϕθ θ ϕ θ ϕ θ= sdot = sdot = sdot (4-78)

4-39

向量場 ( )A r 在 S 面上的「面積分（surface integral）」or「flux」

如左圖若有一「平面」S 且其上有「均勻」

場 B 分佈則通過 S 面的通量就是

ˆB B nSΦ = sdot

但考慮一任意「非均勻」向量場 ( )A r 在空間分佈選取任意曲面 S

探討 ( )A r 在 S 上之通量若ds 為 S 面上的面積元素在趨近於 0 的

小面積ds 上 A可視為均勻所以通過ds 之通量為 ( )d A r dsΦ = sdot 則 S

面之總通量為

Φ＝ ˆ cosS S S

A ds A nds A daϕsdot = sdot =int int int

( )OR

x x y y z zS

A da A da A da= + +int (4-75)

稱為 A 在 S 面上的「面積分」或「通量 flux」

上圖所繪就是一個任意面上分割出許多小面積舉出三個位置的通

量有+-與 0如果 S 面是為一「封閉面」則面積分寫為

S

A dssdotint （4-76）

4-40

ex37 Given 2ˆ ˆ ˆyzA xyz yx zx= + + 計算通量S

A dssdotint

S 面為在第一象限邊長＝1 的立方體表面封閉面

解立方體分為前後右左上下六個面分開算 1前面（x=1）

方向 x+ ˆ xA ds A xdydz A dydzsdot = sdot =int int int前 前 前

yzdydz= int前 ＝1 1

0 0

1 1 12 2 4

ydy zdz = sdot =int int

2後面(x=0)方向 xminus ˆ(- ) - xA ds A x dydz A dydzsdot = sdot =int int int後 後 後

yzdydz= minusint後1 1

0 0

-1 1 -12 2 4

ydy zdzminus = sdot =int int

3 右面（y=1）方向 y+ y ( 1)yA ds A dxdz A y dxdzsdot = sdot = =int int int右 右 右

( 1)x y zdxdz= =int右 ＝1 1

0 0

1 1 12 2 4

xdx zdz = sdot =int int

4 左面（y=0）方向 ˆ-y ˆ( y) - ( 0)yA ds A dxdz A y dxdzsdot = sdot minus = =int int int左 左 左

( 0) 0x y zdxdz= = =int左

5 上面（z=1）方向 z+ zz y (z 1) yA ds A dxd A dxdsdot = sdot = =int int int上 上 上

2 yx dxd= int上 ＝1 120 0

1 1y 13 3

x dx d = sdot =int int

6 下面（z=1）方向 ˆ-z zˆ(-z) y - (z 0) yA ds A dxd A dxdsdot = sdot = =int int int下 下 下

2 -1- y3

x dxd= =int下 ＝1 120 0

1 1y 13 3

x dx d = sdot =int int

S

A dssdotint ＝六個面的和＝1 1 1 1 1 1( ) ( 0) ( )4 4 4 3 3 4

minus minus+ + + + + =

ex38 Given ˆ ˆ ˆzA xyz yx zxy= + + 計算通量S

A dssdotint S 為圓 2 2 2x y a+ =

在第一項限的部分方向選為 z+ 2 2y a x= minus

4-41

解 2 2 4

0 0ˆ

8a a x

zS S S S

aA ds A zdxdy A dxdy xydxdy xdx ydyminus

sdot = sdot = = = =int int int int int int

Ex39 In cylindrical coordinate Given ˆ ˆaA zbzρρ

= + where a b are

constants Find S

A dssdotint over the surface of a

closed cylinder about z-axis specified by 3 2z ρ= plusmn =

解S 分為上下與周邊三面

zz (z 3)zA ds A ds A d dρ ρ ϕsdot = sdot = = sdotint int int上 上 上

= 23 3 2 12bd d b bρ ρ ϕ π πsdot = sdot =int上

ˆ(-z)A ds A d dρ ρ ϕsdot = sdot sdotint int下 下

= z- (z -3)A d dρ ρ ϕ= sdotint下 = 23 2 12b bπ πsdot =

周邊ds ˆ ( )d dzρ ρ ϕ= rArr ˆ ( ) z ( ) zA ds A d d A d dρρ ρ ϕ ρ ϕsdot = sdot =int int int周 周 周

2 3

0 3( ) z ( ) z=a 12aA d d d d d dz a

πρ ρ ϕ ρ ϕ ϕ π

ρ minus= = =int int int int周 周

加起來 S

A dssdotint ＝12 24 12 ( 2 )a b a bπ π π+ = +

ex40 一點電荷 q 置於原點計算在一個以原點為圓心 0r 為半徑的球

面上的電通量

解 2 20 0

ˆ ˆ4 4S S

qr q dsE ds rdsr rπε πε

sdot = sdot =int int int

=0 0 0

44 4S

q q qd ππε πε ε

sdot Ω = sdot =int

上式中 dΩ 2dsr

= 是 ds 所張開的「立體角」(solid angle)

4-42

div A and Flux 通量與散度的幾何物理意義

我們運用過nabla的符號來表示過散度 divF F= nablasdot yx zFF Fx y z

partpart part= + +part part part

但是也看到「散度」定義為

0( )

1( ) limSV

about x y z

divF x y z F da divergence of FVΔ rarr

equiv sdot =Δ int (4-77)

其中 VΔ 為 S 面所包含的體積即散

度為通量(體)密度的 0 體積極限

（4-77）的定義與 Fnablasdot 好像差的很

多她們是說同一回事嗎以下證明

這兩種「散度」的定義是等價的如

左圖考慮一個以點 ( ) x y z 為中心

的 立 方 體 其 相 鄰 三 邊 長 為

x y zΔ Δ Δ 體積 V x y zΔ = Δ Δ Δ 現在計算 F 在立方體的一組平行於 y-z平面的表面 S1 與 S2 的通量

( )1 1

ˆ ˆ xS S

F nds F xds F x y z dsrArr sdot = sdot =intint intint intint 2xxF x y z y zΔ⎛ ⎞asymp + Δ Δ⎜ ⎟

⎝ ⎠

其中 2xx y zΔ⎛ ⎞+⎜ ⎟

⎝ ⎠為 S1 面中心的座標而

2xx y zΔ⎛ ⎞minus⎜ ⎟

⎝ ⎠為 S2 面的中心

( ) ( )2 2 2

ˆ ˆ 2x x

S S S

xF nda F x ds F x y z ds F x y z y zΔ⎛ ⎞rArr sdot = sdot minus = minus asymp minus minus Δ Δ⎜ ⎟⎝ ⎠intint intint intint

上式中的負號來自 S2 面的方向是 xminus 所以合併兩個面積分

1 2

ˆ 2 2x x

S S

x xF nds F x y z F x y z y z+

Δ Δ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞rArr sdot asymp + minus minus Δ Δ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦intint

2 2x xx xF x y z F x y z

x y zx

Δ Δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠= Δ Δ Δ

Δ

2 2

x xx xF x y z F x y z

Vx

Δ Δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠= Δ

Δ

1 2

1 2 2ˆ

x x

S S

x xF x y z F x y zF nds

V x+

Δ Δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠rArr sdot asymp

Δ Δintint

4-43

當取體積向(xyz)點收縮至 0 時即 0 x 0as VΔ rarr Δ rarr 上式的近似

「asymp」就成了「＝」

1 20

1 ˆlimV

S S

F ndsVΔ rarr

+

sdotΔ intint

( )0

2 2limx x

x

x

x xF x y z F x y z F x y zx xΔ rarr

Δ Δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟ part⎝ ⎠ ⎝ ⎠= =Δ part

Similarly F 在立方體的一組平行於 x-z 平面的表面 S3 與 S4 的通量

3 3 3

ˆ ˆ yS S S

F nds F yds F dsrArr sdot = sdot =intint intint intint

2

2

y

y

yF x y zyF x y z x z x y z

y

Δ⎛ ⎞+⎜ ⎟Δ⎛ ⎞ ⎝ ⎠asymp + Δ Δ = Δ Δ Δ⎜ ⎟ Δ⎝ ⎠

( )4 4 4

2ˆ ˆ

y

yS S S

yF x y zF nds F y da F ds x y z

y

Δ⎛ ⎞minus⎜ ⎟⎝ ⎠rArr sdot = sdot minus = minus asymp Δ Δ Δ

Δintint intint intint

合併 S3 與 S4 兩個面積分並取體積向(xyz)點收縮至 0 時即當

0 y 0VΔ rarr Δ rarr 上式的近似asymp就成了＝

3 4

2 2ˆ

x x

S S

y yF x y z F x y zF nds V

y+

Δ Δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠rArr sdot cong Δ

Δintint

3 40 0

1 2 2ˆlim lim

x xy

V yS S

x yF x y z F x y z FF nds

V y yΔ rarr Δ rarr+

Δ Δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟ part⎝ ⎠ ⎝ ⎠rArr sdot = =Δ Δ partintint

與上面相同的作法計算 F 在立方體的一組平行於 x-y 平面的表面 S5

與 S6 的通量我們也會得到對應的結果

5 6

2 2ˆ

z x

S S

z zF x y z F x y zF nds V

z+

Δ Δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠rArr sdot cong Δ

Δintint

5 60 0

1 2 2ˆlim lim

z xz

V zS S

z zF x y z F x y zFF nds

V z zΔ rarr Δ rarr+

Δ Δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟ part⎝ ⎠ ⎝ ⎠rArr sdot = =Δ Δ partintint

所以合併立方體的 6 個面積分

4-44

1 2 3 4 5 6

ˆ ˆ ˆ ˆS S S S S S S

F nds F nds F nds F nds+ + +

rArr sdot = sdot + sdot + sdotint intint intint intint

0

1 ˆlim yx zV

FF FF nds div F FV x y zΔ rarr

partpart partrArr sdot = + + = = nablasdot

Δ part part partint (4-78)

在此我們得證這兩種「散度」的定義是等價的只是（4-77）的定義

充分的表現出「散度」的幾何物理意義他從通量著手由於場線

出自於 source（ex電場源自於點電荷）所以在點(xyz)必須有向量場

F 的 source 存在才能使得當面積縮到 0 時仍具有非 0 的通量所以「散

度」表現向量場 F 的 source 在這個定義之下是很清楚的當然在計算

「散度」時我們不必那麼麻煩用 divF F= nablasdot 就好了

Ex41 計算 2ˆ ˆ ˆF xx yxy zyz= + + 的散度

解 2 yx zFF Fx x yx y z

partpart part= = =

part part part F 2x x y 3x ydivrArr = + + = +

recall 在靜電學0

yx zEE EEx y z

ρε

partpart partnablasdot = = + +

part part part

散度定理 Divergence Theorem

若任意封閉面（又稱為「高斯面」）S 所包圍的

體積為 V 則

S VA ds Adτsdot = nablasdotint int （4-79）

pf 我們先將體積分割成 N 個小盒子考慮相鄰的兩個小盒子 1 2

兩小盒子的共用面面積 S0當 S0 是為 1 號盒子的一部份時其方向為

1n 但若當為 2 號盒子的表面時其方向為 12 ˆˆ nn minus= 如此在 S0 分別做

4-45

1 2 盒子的面積分後

0 0

0 0 0 0

1 2

1 2 1 1ˆ ˆ ˆ ˆ 0

S S

S S S S

A ds A ds

F n ds F n ds F n ds F n ds

sdot + sdot

= sdot + sdot = sdot minus sdot =

intint intintintint intint intint intint

所以若求場 A 在 1 2 盒子的總通量時交界面是沒有貢獻的總通量

就只有「外面積」才有貢獻如此我們計算 N 個小盒子的總通量

時所有的內部共用面都得 0只剩下「外表面」的貢獻了當 infinrarrN

時所有小盒子的「總外表面」就與 S 面重合了所以所有小盒子通量

的總和就等於 S 面的通量

1lim

i

N

S SN iA ds A ds

rarrinfin=

rArr sdot = sdotsumint int

現在我們做 N 個小盒子的總通量

1 1

1i i

N N

iS Si i i

A ds A ds VV= =

⎛ ⎞sdot = sdot Δ⎜ ⎟Δ⎝ ⎠

sum sumint int

當 0iN Vrarrinfin rArr Δ rarr 並用 dv 表示體積元素

( ) ( )1 1

1

1lim lim lim

lim

i ii

N N

iS SN N V oi i i

N

i VN i

A ds A ds VV

A V A dv

rarrinfin rarrinfin Δ rarr= =

rarrinfin=

⎛ ⎞sdot = sdot Δ⎜ ⎟Δ⎝ ⎠

= nablasdot Δ = nablasdot

sum sumint int

sum int

( )S V

A da A dvrArr sdot = nablasdotint int QED

所以得證散度定理上式中我們用了散度的（4-77）式定義要分辨

清楚 Anablasdot 是向量場 A 在空間中「某一點」的性質（ 0VΔ rarr ）而「散

度定理」說的是一個「有限體積」的性質

ex42 給定 ( ) ˆ ˆ ˆ A x y z xx yy zz r= + + = 計算在

半徑 R＝1 的球的上半球加底面的通量

4-46

解 ( )ˆˆS

A da A rda A k darArr sdot = sdot + sdot minusint int int上半球面 底面

( )

2

ˆ ˆ

0 2 1 2

A rda A z dxdy

r rds zdxdy rds ds π π

= sdot + sdot minus

= sdot minus = minus = = sdot =

int int

int int int int上半球面 底面

上半球面 底面 上半球面

底面的通量＝0 是因為 A 的 z 分量 Az=z 在底面的值為 0

也可以用散度定理更快的得出結果

∵ 3A rnablasdot = nablasdot =

31 43 3 1 22 3V V

Ad d πτ τ πnablasdot = = sdot sdot sdot =int int

ex43高斯定律的微分形式積 由 Gaussrsquo law 的積分形式用散度定理得出其

( )0 0

1 inS V

qE ds x y z dvρε ε

sdot = =int int

0S V VE ds Edv dvρ

εrArr sdot = nablasdot =int int int

上式最後的等式對「任意形狀」V 都成立所以兩者的被積函數相等

對於空間每一點 0

E ρε

nablasdot = （4-80）

ex44 Use 第一象限的單位力方體 check the divergence theorem using the function 2 2ˆ ˆ ˆ(2 ) 2A y x xy z y yzz= + + +

解2

2( ) (2 )(2 ) 2( )y yzA xy z x yx y z

part part partnablasdot = + + + = +

part part part

and 1 1 1 1 1 1

0 0 0 0 0 02 ( ) 2 ( )

VAdv x y dxdydz dz dy x y dxnablasdot = + = +int int int int int int int

1 1

0 0

1 12 ( ) 2 12 2

dz y dy= + = sdot =int int

面積分 1 1 2

0 0

1ˆ3

A ds A xdydz dz y dysdot = sdot = =intint intint int int前 前

4-47

1 1 2

0 0

1ˆ( )3

A ds A x dydz dz y dy minussdot = sdot minus = minus =intint intint int int

後 後

1 1 2

0 0ˆ (2 )A ds A ydxdz dz xy z dxsdot = sdot = +intint intint int int

右 右

1 1 1 12 2

0 0 0

4(2 ) (1 )3

ydz x z dx dz z

=

= + = + =int int int∵

1 1 2

0 0

0 1 1 12 2

0 0 0

ˆ( ) (2 )

1(1 )3

y

A ds A y dxdz dz xy z dx

dz z dx dz z=

sdot = sdot minus = minus +

minus= minus = + =

intint intint int int

int int int∵

左 左

11 1 1 1

0 0 0 0ˆ 2 2 1

zA ds A zdxdy dx yzdy dx ydy

=sdot = sdot = = =intint intint int int int int

∵

上 上

01 1

0 0ˆ 2 0

zA ds A zdxdy dx yzdy

=sdot = sdot minus = minus =intint intint int int

∵

下 下

前後右左上下六個面積分合併＝1＝V

Advnablasdotint QED

ex45 Continuity Equation 連續方程式

考慮某些「東西」的流動（物質電荷hellip）在時刻 t 時在點(xyz)

的 密 度 為 ( ) x y z tρ ρ= 並 具 有 速 度

( ) v v x y z t= 在時刻 t 時在體積 V 內的總量為

( ) x y z t dρ τintintint

這樣體積 V 內東東的時變率為

( ) ( ) d x y z t d x y z t ddt t

ρρ τ τpart=

partintintint intintint

注意體積分後的時間全微分移入積分內要改為偏微分這個東東

在表面的「流率 flow rate」可表為

ˆS

R v ndsρ= sdotintint

若體積內的物料無法自生自滅那麼體積內物料的變化必經由表面的

流出流入所造成

d v ndstρ τ ρpart

rArr = minus sdotpartintintint intint

由散度定理

4-48

( )ˆS

v nds v d dtρρ ρ τ τpart

sdot = nablasdot = minuspartintint intintint intintint

( )v Jtρ ρpart

rArr = minusnablasdot equiv minusnablasdotpart

0Jtρpart

rArr +nablasdot =part

（4-81）

(4-81) 即 continuity equation其中 J vρ= 為「物流密度」ex如果 ρ

是電荷密度 J 就是電流密度（4-81）是物質守恆的結果只對體

積內無 source（生成）or drain（消滅）的東東成立

ex46 Given a vector field ˆ ˆx yA ye xe= minus + (a) Find

Anablasdot (b)如圖一個金字塔狀的 5 面體高 2 底邊長

1計算 A在整個金字塔表面（封閉面）的總通量

解(a) Anablasdot = ( ) ( ) 0y xx ypart part

minus + =part part

(b) 金 字 塔 的 表 面 面 積 元 素 ds 不 好 寫 所 以 用 散 度 定 理

( )S V

A da A dvrArr sdot = nablasdotint int ＝0 Anablasdot 表示 A沒有 source 所以對封閉面而

言有多少場線進入就有多少出去所以總通量＝0

習題 7 With position vector r for an arbitrary volume V that is

bounded by surface S show that 13 S

r ds Vsdot =int

習題 8 已知一靜電場為 ˆ ˆ ˆ( )E xyz yxz zxyλ= + + 運用 Gaussrsquo law

試求包含在半球 2 2 2 2 0x y z R z+ + = ge 裡的總電荷 Ans 0

習題 9 (a) given ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( 2 )F r xf x yf y zf z= + + minus show that divF is

zero at point (c c -c2) (b) given ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( )G r xf x z yg x z zh x y= + +

show that ( ) 0G rnablasdot =

4-49

習題 10 Find the normal vector n for the surfaces (a) z = 2-x-y ans

ˆ ˆ ˆ( ) 3x y z+ + (b) z = (1-x2)12 ans ˆ ˆxx zz+ (c) z = x2+y2

ans ˆ ˆ ˆ( 2 2 ) 1 4xx yy z zminus minus + +

習題 11 Show that the unit vector normal to the plane ax+by+cz =d is

given by 2 2 2ˆ ˆ ˆ( ) ax by cz a b cplusmn + + + +

圓柱座標與球座標的nabla (del)

考慮一純量場在直角座標為 ( ) u x y z 在圓柱座標表為 ( ) u zρ φ

再考慮因位移 r r drrarr + 所造成 u ( )zρ φ 的變化

( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆz

z

u u udu d d dz u dr u d d zdzz

u u z u d d zdz

u d u d u dzρ ϕ

ρ ϕ

ρ ϕ ρ ρ ϕρ ϕρ ϕ

ρ ϕ ρ ρ ϕρ ϕ

ρ ρ ϕ

part part part= + + = nabla sdot = nabla sdot + +part part part

⎡ ⎤= nabla + nabla + nabla sdot + +⎣ ⎦= nabla + nabla + nabla

( ) ( ) ( )1

1ˆ ˆ ˆu

z

u u uu u uz

u u uzz

ρ ϕρ ρ ϕ

ρ ϕρ ρ ϕ

part part partrArr nabla = nabla = nabla =

part part partpart part part

rArrnabla = + +part part part

1ˆ ˆ ˆ zz

ρ ϕρ ρ ϕpart part part

nabla = + +part part part

（4-82）

注意nabla的ϕ -分量( 1ρ ϕ

partpart

)不是像直角座標裡單純的ϕpartpart

所以不要笨笨

的就把直角座標的形式硬套上去用我們也可以從「因次分析」來

看nabla因為是對空間的微分所以每一項的因次必須是「長度分之一」

運算 andzρ

part partpart part

都是「長度分之一」而「單純的ϕpartpart

」是沒有單位的

所以要1ρ ϕ

partpart

才 OK

由於圓柱座標裡的單位向量除了 z 之外 ˆ( )ρ ϕ 與 ˆ( )ϕ ϕ 都不是常

4-50

數所以在微分時不可以與微分運算交換而要考慮微分的作用所

以在「圓柱座標」寫「散度」 ( ) F zρ ϕnablasdot 也和直角座標不一樣

( )1ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ zF z F F zFz ρ ϕρ ϕ ρ ϕ

ρ ρ ϕpart part part⎛ ⎞

nabla sdot = + + sdot + +⎜ ⎟part part part⎝ ⎠

( ) ( )1ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆz zF F zF F F zFρ ϕ ρ ϕρ ρ ϕ ϕ ρ ϕρ ρ ϕpart part

= sdot + + + sdot + +part part

( )ˆ ˆˆ ˆ zz F F zFz ρ ϕρ ϕpart

+ sdot + +part

因為 ( ) ( )ˆ ˆ ˆ ˆ ρ ρ ϕ ϕ ϕ ϕ= = 所以做 andzρ

part partpart part

時 ˆ ˆ ρ ϕ 可視為常數

ˆ ˆ1ˆ ˆ ˆ zF F F FF F Fz

ρ ρ ϕρ φ

ρ ϕϕ ρ ϕρ ρ ϕ ϕ ϕ ϕ

part part part⎡ ⎤part part partrArrnablasdot = + sdot + + + +⎢ ⎥part part part part part part⎣ ⎦

還記得 ˆ ˆ ˆ ˆd d d dρ ϕ ϕ ϕ ρ ϕ= = minus 所以 ˆ ˆρ ϕϕpart

=part

ˆ ˆϕ ρϕpart

= minuspart

rArr

( )1 1 1z zF F F FF FF Fz z

ρ ρ ϕ ϕρρ

ρ ρ ρ ϕ ρ ρ ρ ϕpart part part part

nablasdot = + + + = + +part part part part part part

（4-83）

在球座標寫nabla也會遇到相似的問題其根源就是球座標 ( )r θ ϕ 裡

的 θ ϕ 的因次並非長度而三個單位向量 ˆ ˆˆ r θ ϕ（表為 ie ）都是( θ ϕ )

的函數以致

( )ˆ ˆ( ) ( )i ie f e fθ ϕ θ ϕθ θpart part

nepart part

且 ( )ˆ ˆ( ) ( )i ie f e fθ ϕ θ ϕϕ ϕpart part

nepart part

所以nabla也不似在直角座標那麼簡單我們不在這裡推導而是給出一

個歸納的統一的三個座標的結果還記得對每一個座標 iu i = 123

座標的變化 idu 與造成的長度變化 id

i i id h du= 123i = (4-84)

其中 ih 為對應的度量係數(metric coefficient)

4-51

1 2 3

1 1 2 2 3 3

1 1 1ˆ ˆ ˆu u ue e eh u h u h u

part part partnabla equiv + +

part part part （4-85A）

座標 1 2 3 u u u

度量係數

1 2 3 h h h

nabla grad del

直角 x y z

1 1 1 nabla ˆ ˆ ˆx y z

x y zpart part part

equiv + +part part part

圓柱

zρ ϕ

1 1ρ

1ˆ ˆ ˆ z

zρ ϕ

ρ ρ ϕpart part part

nabla equiv + +part part part

球

r θ ϕ

1 sinr r θ

1 1ˆ ˆˆ

sinr

r r rθ ϕ

θ θ ϕpart part part

nabla = + +part part part

（4-85B）

梯度gradient Vnabla grad(V) 散度divergence Anablasdot div( )A

直

角 nablaV ˆ ˆ ˆV V Vx y z

x y zpart part part

= + +part part part

yx zAA AAx y z

partpart partnablasdot = + +

part part part

圓

柱

1ˆ ˆ ˆ V V VV zz

ρ ϕρ ρ ϕpart part part

nabla = + +part part part

( )1 1

1

z

z

A AA Az

A A A Fz

ϕρ

ρ ρ ϕ

ρρ ρ ρ ϕ

ρ ρ ρ ϕ

partpart partnabla sdot = + +

part part partpart part part

= + + +part part part

球

1 1ˆ ˆˆ sin

V V VV rr r r

θ ϕθ θ ϕ

part part partnabla = + +

part part part

22

1 ( )rA r Ar r

partnabla sdot =

part

1 (sin )sin

Ar θθ

θ θpart

+ sdotpart

1sin

Ar

ϕ

θ ϕpart

+part

(4-86)

Ex47 Using spherical coordinate show that 1| |r r

nablaminus

= 2

ˆ| |

r rer r

minusminusminus

where

nabla是作用在 r 而 ˆr re minus 是向量 r rminus 方向的單位向量 解let r lies in z-axis so that the angle between r and r is just θ

4-52

rArr ( ) 122 21 1 2 cos | | ( ) ( )

r rr rr r r r r r

θminus

= = minus +minus minus sdot minus

( ) ( )12 122 2 2 21 1ˆˆ 2 cos 2 cos | |

r r rr r r rr rr r r r

θ θ θθ

minus minuspart partnabla = minus + + minus +

minus part part

( ) 322 21ˆ 2 cos (2 2 cos )2

r r rr r r rθ θminusminus

= minus + minus

( ) 322 21ˆ 2 cos (2 sin )2

r rr r rrθ θ θminusminus

+ minus +

3 3 3 3

ˆˆ ˆ( cos ) sin ( cos sin )ˆˆ| | | | | | | |r r r rr r rrr r r r r r r r

θ θ θ θ θθminus minus minus minus minus= + = +

minus minus minus minus

3 3 3ˆ ( )

| | | | | |r r z r r r rr r r r r rminus + minus + minus minus

= = =minus minus minus

＝ 2

ˆ| |

r rer r

minusminusminus

QED

證明最後我們用到 ˆˆˆ cos sinz r θ θ θ= minus 而 ˆ r r z= 因為我們選了 r 是

躺在 z-軸 Ex48 For arbitrary scalar field ( )f r and vector field ( )A r 證明恆等式

( )fA f A f Anablasdot = nabla sdot + nablasdot (4-87) 解 ˆ ˆ ˆx y zfA xfA yfA zfA= + +

( ) ( ) ( ) ( )x y zfA fA fA fAx y zpart part part

rArrnablasdot = + +part part part

yx zx x x

AAf f f AA f A f A fx x y y z z

partpartpart part part part= + + + + +part part part part part part

yx zx y z

AAf f f AA A A fx y z x y z

part⎛ ⎞partpart part part part= + + + + +⎜ ⎟part part part part part part⎝ ⎠

f A f A= nabla sdot + nablasdot QED 習題 12 一個位於原點的電偶極電偶極矩＝ ˆp pz= 已知其在遠處

的電位為 20

cos4p

rθ

πε試證該處的電場強度為 E = 3

0

ˆˆ( 2cos sin )4

p rr

θ θ θπε

+

(已知 E V= minusnabla )並請計算 Enablasdot ＝

習題 13 給定一向量場2

3cosˆD r

rϕ

= 現有兩個球心在原點的同心球

內球半徑 R＝1外球 R＝2(a)求面積分S

D dssdotint S 為同心球殼的表

面（有內外兩個面）(b)求體積分V

Ddvnablasdotint V 為兩同心球之間的

區域本題也是來 check 散度定理的Ans πminus

4-53

The Laplacian operator 2nabla equivnablasdotnabla

在直角座標可以用直接作用得到

2 2 2

22 2 2u u uu u

x y zpart part part

nabla equiv nablasdotnabla = + +part part part

(4-88)

圓柱座標

2 2

22 2 2

1 1( ) u u uu uz

ρρ ρ ρ ρ ϕ

part part part part⎛ ⎞nabla equiv nablasdot nabla = + +⎜ ⎟part part part part⎝ ⎠

(4-89)

球座標

2

2 22 2 2 2 2

1 1 1sinsin sin

u u uu rr r r r r

θθ θ θ θ ϕ

part part part part part⎛ ⎞ ⎛ ⎞nabla = + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟part part part part part⎝ ⎠ ⎝ ⎠ （4-90）

習題 14 verify (4-89) and (4-90)

習題 15 Given a dipole potential V= 20

cos4p

rθ

πε find 2Vminusnabla

sect 433 Line integral and curl A 線積分與與旋度的物理意義

線積分路徑積分

考慮一曲線 C 通過兩點 ( )i i i iP x y z 與

( )f f f fP x y z 現有一向量場 ( )A x y z 定義在

C 所在的空間若 sd 為 C 上位於(xyz)點的

「路徑元素」（ ˆd td= 方向沿該處切線）而

( )A x y z 為路徑元素d 處的場值則沿 C 經歷各點所做積分

cos cosf

CC C iA d Ad A dϕ ϕrarr rarrsdot = =int int int （4-91）

稱為向量場 ( )A x y z 沿路徑 C 自 pi 至 pf 的「線積分」「或「路徑積分」

積分裡 A 取值的點侷限在路徑 C 上面若為一個「封閉路徑」則對

C 的線積分也稱做「環路積分 closed contour integral」記做

C

A dsdotint （4-92）

4-54

物理量「做功」是最標準的線積分之一力 F 自 x = a 至 x = b「沿線」

x 軸做功

W＝ F dxsdotint ＝ ( )b

xaF x dxint （4-93）

質點在力場 )(rF 裡走一條曲線 C則力場做功

CW F d= sdotint （4-94）

還記得如果 ( )F r 是所謂「保守力」則上式只與始末點有關而與

路徑無關但如果 ( )F r 是所謂「非保守力」則做功與確實的路徑 C

有關

現考慮一質點在空間運動的位置 r 落在由曲線 C

描述的路徑則質點的位移元素與曲線 C 的路徑元

素相同 d dr= 若空間有向量場 A 分佈則 A 在 C 的

路徑積分以直角座標表示為

CA drarr rarrsdotint ＝

CA d rrarr rarrsdotint ＝ ( )x y zC

A dx A dy A dz+ +int （4-95）

上式中的 x y z 的積分限由 C 決定

Ex49 2 2 2ˆ ˆ ˆA xx yy zzrarr= + + 選定一路徑 C 為曲線

2y x= 由 (000)到 (2 20)的部分求C

A dsdotint

解 ˆ ˆd xdx ydy= +∵

CA dsdotint ＝ 2 2( )

Cx dx y dy+int ＝

2 22 2

0 0x dx y dy+int int

＝ )24(32

+

或由 2y x= rArr 2ydy dx= 2 12

y dy xdxrArr =

rArrC

A dsdotint ＝2 2

0

1( )2

x x dx+int ＝2 (4 2)3

+

4-55

ex50 ˆ ˆ( )f x y z xy yx= minus Do C

f dsdotint 其中的路徑 C 為一逆時針三角

形如圖 解∵路徑全部在 x-y 平面 ˆ ˆ ˆd td xdx ydy= = +

rArrC

f dsdotint ＝ x yC

f dx f dy+int ＝C

ydx xdyminusint

由於在 C1 上 y = 0 及 dy = 0 所以 01

=intC 又由於在

C3 上 x = 0 及 dx =0所以 03

=intC 所以只剩下 C2 可

能有貢獻由 2C 的方程式x + y =1rArr ⎩⎨⎧

minus=minus=

xyyx

11

rArr2Cydx xdyminusint ＝

0 1

1 0(1 ) (1 )x dx y dyminus minus minusint int ＝

0 12 2

1 0

( ) ( )2 2x yx yminus minus minus ＝-1

Cf dsdotint ＝-1

ex51 ( )f x y zrarr

= 2ˆ ˆxx yxyminus 如右圖doC

f dsdotint 其

中路徑 C 為第一象限的逆時針 14 圓弧

解∵ 全部在 x-y 平面 ˆ ˆd xdx ydy= +

Cf dsdotint ＝ 2

Cx dx xydyminusint

由於在 C 上 cosx R ϕ= rArr sindx R dϕ ϕ= minus

siny R ϕ= rArr cosdy R dϕ ϕ=

rArr 2

Cx dx xydyminusint ＝

2 2 2 2

0cos ( sin ) sin cos cosR R d R R d

πϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕminus minus sdotint

23 2

02 cos sinR d

πϕ ϕ ϕ= minus int ＝

323Rminus

又路徑為圓周一部份所以適合用極座標表示

ˆd Rdϕ ϕ= 又由左圖將 ˆ ˆx y 拆解（投影）到 ˆˆr ϕ

ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆcos sin sin cosx r y rϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ= minus = +

4-56

( )2ˆ ˆ ˆˆ ˆ( cos sin ) ( sin cos )C C

f d r x r xy Rdϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕsdot = minus minus + sdotint int 2

2 2 2

0

sin (cos )

sin ( cos ) (cos ) cos sin

Cx Rd xyRd

R Rd R Rdπ

ϕ ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ

= minus minus

= minus minus

intint

23 2

02 cos sinR d

πϕ ϕ ϕ= minus int ＝

323Rminus

這也驗證了散度定理

Path Independence 路徑獨立性

Ex52 證明庫倫力為「保守力」考慮

電荷 q0 位於原點及電荷 q 位於

( )r x y zrarr= q 受力 F

rarr＝ 0

20

14

qq urπε

and

求庫侖力作功因為球形對稱所以

用球座標由 ˆ ˆ ru rr

= = rArr Frarr

= 03

04qq r

rπε

庫侖力由 P1 至 P2 做功為 2

1

P

CPF drarrsdotint ＝

2

1

02

0

ˆ ˆ ˆˆ sin4

P

PC

qq r rdr rd r dr

θ θ ϕ θ ϕπε

⎡ ⎤sdot + +⎣ ⎦int ＝2

1

02

04P

P

qq drrπεint

＝20

2104

r

r

qq drrπε int ＝ 0

0 1 2

1 1( )4qq

r rπεminus for all C

所以庫侖力兩點間做功與路徑無關rArr保守力

對於「保守力 conservative force」 cF 自 p1 經

由兩條不同的路徑 C1 與 C2 到達 p2

1 ccF drarrsdotint ＝

2 ccF drarrsdotint ＝-

2 ccF drarr

minussdotint

rArr1 2c cc cF d F drarr rarr

minussdot + sdotint int = cF d

rarrsdotint ＝0 (4-96）

對於任何「封閉路徑」保守力做功為 0反之若

對任一封閉路徑 0F drarrsdot neint 則兩點之間的做功與路徑有關

rarr

F 為「非

保守力」

4-57

旋度 curl Anablatimes 的幾何物理意義

我們在（4-70）式已經看過旋度的計算方式但旋度另有其意義的

ex53 給定向量場2 2

0ˆ yv yv e λrarr

minus= 左圖為場的分佈

2 20

ˆ ˆ ˆ

0 0x y z

y

x y zcurl v

v e λ

rarr

minus

= part part part ＝ ˆ ˆ ˆ0 0 0 0x y zsdot minus sdot + sdot =

我們用了簡寫 x yx ypart part

part equiv part equivpart part

可以看出這個場裡沒有「漩渦」

但是有無「漩渦」有時也不是那麼明顯可以看出的請見下一個例子

Ex54 給定向量場2 2

0ˆ xv yv e λrarr

minus= 計算其旋度 vnablatimes

解向量場 vrarr

畫在右邊你看得出有無漩渦

先計算旋度

2 20

ˆ ˆ ˆ

0 0x y z

x

x y zcurl v

v e λ

rarr

minus

= part part part2 2

2 2

0

0

ˆ

ˆ 2 0 0

x

x

z v ex

z v xe for x

λ

λ

minus

minus

part=

part

= minus ne ne

vrarr

的旋度在大部分的地方不為 0 且隨位置而不同但是你看得出這個

向量場裡有「漩渦」其實要檢驗一個向量場裡有無「漩渦」有一

個很物理的方法就是放一個小「螺旋槳」（左圖）

在場內將軸朝各個方向測試一

下如果有「漩渦」的話這個

小「螺旋槳」就會轉動右圖就是將「螺旋槳」的

軸平行於 z 軸且放在 x gt 0 的地方就可以看出左

邊的 v 場比右邊的強造成螺旋槳順時針轉動rArrcurlv zminus for x gt 0

但如果放在 x = 0 的地方就會看到左右兩端的 v 場強度相同而且

4-58

curlv = 0 「螺旋槳」放在 x lt 0 的地方就可以看出右邊的v 場比左

邊的強造成螺旋槳逆時針轉動這完全符合 curl v k+ 的結果

環路積分與旋度 curl 的物理意義

如同「散度」一樣「旋度」除了 Ftimesnabla 之外

還有一個物理意義更清楚的定義這個定義由

「線積分」說明如圖考慮做「逆時針」長方形

路徑 C1 的一個「環路積分」C1 面平行於 x-y 平

面由 z-軸看下去環路 C1 可以分為可以分為

下 CB上 CT右 CR左 CL 4 部分

CA drarrsdotint ＝

B T L RC C C CA d A d A d A drarr rarr rarr rarrsdot + sdot + sdot + sdotint int int int

分別計算由於 CB 的中點座標為 ( )2yx y zΔ

minus

ˆB BC C

A d A xdxrarr rarrsdot = sdot =int int

BxC

A dxint ( )2xyA x y z xΔ

asymp minus Δ

similarly 由於 CT 的中點座標為 ( )2yx y zΔ

+

ˆ( )T TC C

A d A xdxrarr rarrsdot = sdot minus =int int

TxC

A dxminusint ( )2xyA x y z xΔ

asymp minus + Δ

合併 CB 與 CT

B TC CA drarr

+sdot =int

( ) ( )2 2x xy yA x y z A x y z

x yy

Δ Δ⎡ ⎤minus + minus minus⎢ ⎥⎣ ⎦ Δ ΔΔ

（4-97）

由 C1 所圍的面積 S x yΔ = Δ Δ

1B TC C

A dS

rarr

+sdot =

Δ int( ) ( )

2 2x xy yA x y z A x y z

y

Δ Δ⎡ ⎤minus + minus minus⎢ ⎥⎣ ⎦Δ

（4-98）

所以當取極限 C1 收縮到中心(xyz)時 SΔ 收縮到 0ie

4-59

0limsΔ rarr

1B TC C

A dS

rarr

+sdot =

Δ int xAy

partminuspart

（4-99）

Similarly with CR 的 ˆd ydy= CL 的 ˆd ydy= minus 可得

1L RC C

A dS

rarr

+sdot =

Δ int x

zyxxFzyxxF yy

Δ

Δminusminus

Δ+ )

2()

2(

（4-100）

同樣的當取極限 C1 收縮到中心(xyz)時 SΔ 收縮到 0

0

limsΔ rarr

1L RC C

A dS

rarr

+sdot =

Δ int yAx

partpart

（4-101）

最後合併 CBCTCRCL 為 C1

10

1limCs

A ds

rarr

Δ rarrsdot =

Δ int y xA Ax y

part partminus

part partˆ ( ) ( )zz A A= sdot nablatimes = nablatimes （4-102）

注意 C1 的方向就是在 z 上式的重要

意義是當向量場 A 在一個以點(xyz)為

中心「方向為 z 」的面積元素的「邊界」

所做的環路積分得到的就是 A 在(xyz)

處旋度的 z-分量明顯的只有當 A 在

(xyz)附近有 x-y 平面上的「漩渦」那麼 C1 的環路積分才不會為 0

Similarly 取一個逆時針繞著(xyz)的平行於 x-z 平面的長方形環路 C2

（左圖）做環路積分再取極限將 C2 收縮到(xyz)就會得到

20

1limCs

A ds

rarr

Δ rarrsdot =

Δ int x zA Az x

part partminus

part partˆ ( ) ( )yy A A= sdot nablatimes = nablatimes （4-103）

注意到 C2 所包圍的面積方向就在 y到

現在我們應該已經很有經驗了若取一

個逆時針繞著(xyz)的平行於 y-z 平面

的長方形環路 C3（左圖）做環路積分

再取極限將 C3 收縮到(xyz)就會得到

4-60

30

1limCs

A ds

rarr

Δ rarrsdot =

Δ int yz AAy z

partpartminus

part partˆ ( ) ( )xx A A= sdot nablatimes = nablatimes （4-104）

能把（4-103）與（4-104）變出來的同學我們有優待綜合以上

我們可以得到一個結論若取一個以點(xyz)為中心的任意環路 Cn（其

所包圍的面積方向在 n ）則

n curl Aand rarrsdot ＝

0

1lims

Cn

A ds

rarr

Δ rarrsdot

Δ int （4-105）

明顯的當 n ＝ x 或 y 或 z 時我們可以重複（4-102）到（4-104）的

結果（4-70）式的行列式所定義的旋度在此看見其幾何物理意義

至此「旋度」的「漩渦」形象應該已經很清楚了只有在(xyz)點附

近的小圈圈上有「漩渦」 A 在小圈圈做的環路積分才會有值這個

值就是向量場 A 的「旋度」在小圈圈面積方向的分量

Stokersquos 定理

考慮一個開放面 S被其「有方向的」邊界 C 圈住(bounded by)則

( )S

A dsrarr rarrnablatimes sdotint ＝

C

A drarrsdotint （4-106）

pf 先將 S 面分割為 N 個多邊形這會使得邊界變成一個「折線」形

成的環路 P環路 P 會隨著分割的多邊形個數的增多而越加近似於原

「光滑的」邊界 C現考慮相鄰的

兩個多邊形的線積分由於共用邊

的方向是相反的所以相鄰兩個多

邊形線積分的和只剩「外邊界」（見左圖）所以當把所有的多邊形的

4-61

線積分加起來時由於只有邊界 P 不是多邊形的共用邊所以

1k

N

k C

A drarr

=

sdotsum int ＝P

A drarrsdotint rArr

P

A drarrsdotint ＝

1

1

k

N

kk k C

A d l ss

rarr rarr

=

⎡ ⎤sdot Δ⎢ ⎥

Δ⎢ ⎥⎣ ⎦sum int

其中 ksΔ 為第 k 個多邊形的面積取極限 0kN srarrinfinrArrΔ rarr P CrArr rarr

C

A drarrsdotint ＝

10

1limkk

N

kN k k Cs

A d ss

rarr

rarrinfin=Δ rarr

⎡ ⎤sdot Δ⎢ ⎥

Δ⎢ ⎥⎣ ⎦sum int 01

ˆlim ( )k

k kskn A s

infin

Δ rarr=

⎡ ⎤= sdot nablatimes Δ⎣ ⎦sum

01

ˆlim ( )k

k kskA n s

infin

Δ rarr=

= nablatimes sdot Δsum = ( )S

A dsrarr

nablatimes sdotint QED

ex55 由 Amperersquos law 的積分形式導出其微分形式

解Amperersquos law 的積分形式 C

B drarrsdotint ＝ I0μ (4-107)

由 Stokersquos 定理及電流密度 j 的定義上式等號兩端可寫為

rArr ( )S

B dsrarr rarrnablatimes sdotint ＝ 0 S

j dsμrarrsdotint

由於上面的等式對任意面 S（路徑 C）都成立所以被積函數相等

0B jμrarr rarr rarr

rArrnablatimes = (4-108) 此即 Amperersquos law 的微分形式

Ex56 Given a vector field ˆ ˆx yA ye xe= minus + (a) Find Anablatimes

解

ˆ ˆ ˆˆ ˆ(1 ( 1) 2

0x y z

x y zA z z

y xnablatimes = part part part = minus minus =

minus

(b)如圖一個金字塔狀的 5 面體高 2底邊長＝1計算 ( )S

A dsnablatimes sdotint

其中 S 為金字塔在 x-y 平面以上的部分方向如同

封閉的金字塔（運用 Stokersquos law）

解金字塔上表面的面積元素ds 不好寫由 Stokersquos

4-62

law ( )S

A dsrarr rarrnablatimes sdotint ＝

C

A drarrsdotint 其中封閉路徑 C 就是上表面的邊界而且

是逆時針（由 z 軸向下看）

C

A drarrsdotint ＝

1 1 0 0

0 0 1 1ˆ ˆ ˆ ˆA xdx A ydy A xdx A ydysdot + sdot + sdot + sdotint int int int

＝1 1 0 0

0 0 1 1x y x yA dx A dy A dx A dy+ + +int int int int 1 1 0 0

0 0 1 1( 0) ( 1) ( 1) ( 0)y dx x dy y dx x dy= minus = + = + minus = + =int int int int

0 1 1 0 2 ( ) 2S

A ds= + + + = rArr nablatimes sdot =int

旋度與 path independence

已知保守場 cF 對所有封閉路徑 C 0cC

F drarrsdot =int 由 Stokersquos 定理

0cC

F drarrsdot =int ＝ ( )cS

F dsrarr rarrnablatimes sdotint rArr 0cF

rarr rarrnablatimes =

這表示保守場＝無旋度反之無旋度的場任兩點間路徑積分與路

徑無關

Ex57 Given a field 2 2ˆ ˆ ˆ2A x xy yx zz= + minus (a) Find Anablatimes A 保守場

解2 2

ˆ ˆ ˆ

2x y z

x y zA

xy x znablatimes = part part part

minus

( ) ( ) ( )2 2 2 2ˆ ˆ ˆ( ) 2 ( ) 2 0y z z x x yx z x y xy z z x xy= part minus minuspart + part minuspart minus + part minuspart =

yes A =保守場

(b)如左圖由 A 到 B 做路徑積分A BC

A drarr

sdotint 路徑 C 為橢圓

22 1

16yx + = 在 x-軸以上的部分

解橢圓部分的路徑元素 d 有點麻煩但因為 A

為保守場所以 A 到 B 做路徑積分可以用 x = -1 到

1 的積分取代

4-63

01 1 1

1 1 1ˆ 2 0

yB

xAA d A xdx A dx xydx

=

minus minus minussdot = sdot = = =int int int int

∵

旋度在柱座標與球座標

前面討論過nabla在不同座標系的寫法旋度也有歸納出的一致寫法

座標 1 2 3 u u u

度量係數

1 2 3 h h h

nabla grad del

直角 x y z

1 1 1 nabla ˆ ˆ ˆx y z

x y zpart part part

equiv + +part part part

圓柱 zρ ϕ

1 1ρ

1ˆ ˆ ˆ zz

ρ ϕρ ρ ϕpart part part

nabla equiv + +part part part

球 r θ ϕ

1 sinr r θ

1 1ˆ ˆˆ sin

rr r r

θ ϕθ θ ϕ

part part partnabla = + +

part part part

所以柱座標與球座標的旋度分別表為

柱座標

ˆ ˆ ˆ1

z

z

Az

AA Aρ ϕ

ρ ρϕ

ρ ρ ϕρ

part part partnablatimes =

part part part （4-109）

球座標 2

ˆ ˆˆ sin1sin

sinr

r r r

Ar r

A rA r Aθ ϕ

θ θϕ

θ θ ϕθ

part part partnablatimes =

part part part （4-110）

ex58 (a) Given the vector function ˆA ϕ= sin (ϕ 2) find Anablatimes

解 2

ˆ ˆˆ sin1sin

0 sin( 2) 0

r r r

Ar r

r

θ θϕ

θ θ ϕϕ

part part partnablatimes =

part part part

4-64

21 ˆˆ cos sin sinsin 2 2 2

rr rr

ϕ ϕθϕθ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

ˆˆ cos sin2 sin 2 2

rr r

ϕ ϕ ϕθ

minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

(b)如左圖一個底面在 x-y 平面半徑＝1高＝2 之圓錐 求面積分

SA dsnablatimes sdotint 面積範圍 S 為圓錐在 x-y 平面以上

部分 方向為由圓錐內向外

解由 Stokersquos law ( )S

A dsrarr rarrnablatimes sdotint ＝

C

A drarrsdotint 其中路

徑 C 為 x-y 平面圓心在原點之單位圓 ˆ ˆd rd dϕ ϕ ϕ ϕ= =

2

0ˆ ˆsin sin

2 2C

d dπϕ ϕϕ ϕ ϕ ϕ⎛ ⎞ ⎛ ⎞sdot =⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠int int ( )0

2 sin u duπ

= int 0cos | 2u π= minus =

習題 16 磁場 B 因為不是保守場所以沒有對應的純量位而對應一

個向量位 A (vector potential)而 B A= nablatimes 一個磁鐵的磁偶極矩

ˆm mz= 被置於原點已知在遠處的 vector potential 03ˆ sin

4mAr

μϕ θπ

=

計算該處的磁場 B Ans 03

ˆˆ( 2cos sin )4

mB rr

μ θ θ θπ

= + 與電偶極遠處

的電場形式一致都是偶極(dipole) 選幾個點畫一畫該處的場向量

把磁力線描出來

附錄本章講義的內容有部分可以經由直接計算得出列在附錄做為

參考

用「圓柱座標」寫 Atimesnabla

Ararr rarrnablatimes ＝ ( )1ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ zz A A zA

z ρ φρ ϕ ρ ϕρ ρ ϕpart part part⎛ ⎞+ + times + +⎜ ⎟part part part⎝ ⎠

4-65

因為rdquo sdotrdquo與rdquotimes rdquo都是向量間的運算所以

＝ ( )ˆ ˆ ˆ ˆ zA A zAρ φρ ρ ϕρpart

times + +part

＋ ( )1ˆ ˆ ˆ ˆ zA A zAρ φϕ ρ ϕρ ϕ

parttimes + +

part

＋ ( )ˆ ˆˆ ˆ zz A A zAz ρ φρ ϕpart

times + +part

直接做上式微分可以得到

＝1ˆ z AA

zϕρ

ρ ϕpart⎛ ⎞part

minus⎜ ⎟part part⎝ ⎠＋ ˆ zA A

zρϕ

ρpart⎛ ⎞part

minus⎜ ⎟part part⎝ ⎠＋

1 1ˆ ( )A

z A ρϕρ

ρ ρ ρ ϕpart⎛ ⎞part

minus⎜ ⎟part part⎝ ⎠

上式可以用一個行列式來表示

rarrrarr

timesnabla A＝

ˆ ˆ ˆ1

z

z

zA A Aρ ϕ

ρ ρϕ

ρ ρ ϕρ

part part partpart part part

（A-1）

A and Anabla nablasdot nablatimes in 球座標 spherical coordinate

如上圖球座標 )( ϕθr 其中 )0[ infinisinr ]0[ πθ isin ]20[ πϕ isin 只有 r

是長度而 ϕθ 為角度是用來說明方向的三個座標的單位向量 ˆ ˆˆ r θ ϕ 具

有下列性質

4-66

1 如上圖 ˆ ˆˆ r θ ϕ 都不是常數而是（ ϕθ ）的函數

ˆ ˆ( )ˆ ˆ( )ˆ ˆ( )

r r θ ϕ

θ θ θ ϕϕ ϕ ϕ

⎧ =⎪

=⎨⎪ =⎩

)( ϕθr 與(xyz)之間的轉換如下

sin cossin sincos

x ry rz r

θ φθ φθ

=⎧⎪ =⎨⎪ =⎩

( )122 2 2

2 2

tan

tan

r x y z

x yz

yx

θ

φ

⎧ = + +⎪⎪ +⎪ =⎨⎪⎪ =⎪⎩

（A-2）

2 ˆ ˆˆ r θ ϕ 形成一「歸一正交集」ie

ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ 1r r θ θ ϕ ϕsdot = sdot = sdot = ˆ ˆr θ ϕperp perp

ˆ ˆr θ ϕtimes = ˆ ˆ rθ ϕtimes = ˆˆ rϕ θtimes = （A-3）

3可以很容易的由他們在 xyz 軸上的投影由直角

座標的 ˆ ˆ ˆ x y z 表出

ˆ ˆ ˆ ˆsin cos sin sin cos ( 4 )ˆ ˆ ˆ ˆcos cos cos sin sin ( 4 )ˆ ˆ ˆsin cos ( 4 )

r x y z A a

x y z A bx y A c

θ φ θ φ θ

θ θ φ θ φ θϕ φ φ

= + + minus⎧⎪

= + minus minus⎨⎪ = minus + minus⎩

4 ˆdr = 由於 ˆ ˆ( )r r θ φ= 所以由 ϕθ 的變動來看

4-67

ˆ ˆˆ| |ˆ ˆˆ| | sin sin

d r d d

d r d d

θ θθ θθ

φ θ φφ θ φφ

⎧ rArr =⎪⎨

rArr =⎪⎩rArr ˆ ˆˆ sindr d dθ θ φ θ φ= + （A-5）

rArrˆ ˆr θθpart

=part

ˆ ˆsinr θφφpart

=part

（A-6）

（A-6）的結果也可以直接由（A-4a）對 ϕθ 偏微得到

5 ˆdθ ＝ 由於 ˆ ˆ( )θ θ θ φ= 所以由 ϕθ 的變動來看

ˆ ˆ ˆ| | ( )ˆ ˆ ˆ| | cos cos

d d r d r

d d d

θ θ θ θ

φ θ θ φφ φ θ φ

⎧ rArr minus = minus⎪⎨

rArr =⎪⎩rArr ˆdθ ＝ ˆˆ cosrd dθ φ θ φminus + （A-7）

ˆrθ

θpart

rArr = minuspart

ˆ ˆcosθ φ θφpart

=part

（A-8）

請直接由（A-4b）對 ϕθ 偏微的結果 check（A-8）

6 ˆdφ ＝由於φ )(ϕ 躺在 x-y 平面上變動φ時的方向可能不是那麼

容易看出來所以做圖看一看

ie ˆ ˆˆ(sin ) (cos )d r d dφ θ φ θ θ φ= minus minus （A-9）

4-68

ˆ ˆˆsin cosrφ θ θ θφpart

= minus minuspart

7 所有的向量 ˆ ˆˆ rA rA A Aθ φθ φrarr= + +

8 位置向量 ˆr rrrarr=

可以由左圖 ˆ ˆˆ r θ ϕ 三個方向的「長度

變化」輕易的看出

9 位移元素

ˆ ˆˆ ˆ sindr rdr rd dθ θ ϕ θ φ= + + (A-10)

10 體積元素

sindv dr r d rdθ φ θ= sdot sdot

＝ 2 sinr dr d dθ θ φ (A-11)

11 面積元素 2 sinrds r d dθ θ φ= plusmn sinds r drdθ θ φ= plusmn ds rdrdφ θ= plusmn (A-12)

plusmn號表示面的垂直方向有兩個端看 ds 周邊的方向是如何定的

nabladel 考慮 ( )u u r θ φ=

rArru u udu dr d dr

θ φθ φ

part part part= + +part part part

u d rrarr rarr

equiv nabla sdot

urarr

= nabla sdot ˆ ˆˆ( sin )rdr rd dθ θ φ θ φ+ +

rArr1 1ˆ ˆˆ

sinu u uu rr r r

θ ϕθ θ φ

rarr part part partnabla = + +

part part part

1 1ˆ ˆˆsin

rr r r

θ ϕθ θ φ

rarr part part partnabla equiv + +

part part part （A-13）

4-69

直接用（A-13）與 ˆ ˆˆ rA rA A Aθ φθ ϕrarr= + + 逐項內積加上（A-678）

rArr ϕθ

θθθ

ϕθ part

part+

partpart

+partpart

=sdotnablararrrarr A

rA

rAr

rrA r sin

1)(sinsin1)(1 2

2 （A-14）

（A-13）與 ϕθ ϕθ AAArA r

andandandrarr

++= 逐項外積整理之後

ϕθ θϕθ

ϕθθ

θArrAA

r

rrr

rA

r sin

sin

sin1

2 partpart

partpart

partpart

=timesnabla

andandand

rarrrarr

（A-15）

Laplacian uu nablasdotnabla=nabla2

2

2

2222

22

sin1)(sin

sin1)(1

ϕθθθ

θθ partpart

+partpart

partpart

+partpart

partpart

=nablau

ru

rrur

rru （A-16）

B推導「散度」在圓柱座標的寫法

讓我們先回顧一下在直角座標裡的「面積元素」可以由「位移元素」

得到

ˆˆ ˆ x y zdr idx jdy kdz da dydz dxdz dxdy= + + rArr =

比照辦理「圓柱座標」的位移元素

( )ˆˆ ˆ( )

( )z

da d dzdr d d zdz da d dz

da d d

ρ

φ

ρ φ

ρ ρ φ ρ φ ρ

ρ ρ φ

=⎧⎪= + + rArr =⎨⎪ =⎩

這個結論可以輕易的由面積元素在垂直於 zˆˆ ϕρ 三個方向的面積看

出如下圖考慮一個以 )( zϕρ 為中心的「圓柱體積元素」(cylindrical

cubiod)體積為 zdV ΔΔ=Δ ϕρρ 現計算在 ρ

方向的 12 兩個平行面(方向各為 ρplusmn )的通

量

4-70

zzF

dsFdsnFS S

ΔΔ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

+cong

=sdotintint intintϕρρϕρρρ

ρ

2

2

ˆ1 1

zzF

dsFdsnFS S

ΔΔ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

minus⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

minusminuscong

minus=sdotintint intintϕρρϕρρρ

ρ

2

2

ˆ2 2

intint+

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

minus⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

minusminus⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

+Δ

asympsdotΔ

rArr21

22

22

1ˆ1

SS

zFzFdsnFV

ϕρρρρϕρρρρρρ ρρ

( ) ( )

1 20

0

0

1 ˆlim

1lim 2 2 2 2

1 1lim 2 2

1

VS S

F ndsV

F z F z

F z F z

F

ρ ρρ

ρ ρρ

ρ

ρ ρ ρ ρρ ρ φ ρ ρ φρ ρ

ρ ρρ ρ φ ρ ρ φρ ρ

ρρ ρ

Δ rarr+

Δ rarr

Δ rarr

rArr sdotΔ

Δ Δ Δ Δ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + + minus minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥Δ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦Δ Δ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥Δ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

part ⎡ ⎤= ⎣ ⎦part

intint

娛樂一下用上述方式把圓柱的 Fsdotnabla 裡的z

FF z

partpart

+partϕρϕ1

變出來

球座標的nabla和 Fsdotnabla 也可以試試看

補充習題

H M Scheydiv grad curl and all that 4th edition

第二章習題 6 8 9 10 11 14 15 16 18 19 21 22 23 25 26 27

第三章習題 2 3 5 6 7 8 9 10 11 14 15 17 18 19 24

4-38

推 dsy 的方向是 y 所以躺在 x-z 平面rArr yds dxdz= hellip可以得知

xds dydz= yds dxdz= zds dxdy= （4-73）

不過要注意在寫面積元素時要看討論的面實際

是什麼面上式的三個分量有可能會是負的例如

左圖座落在第一象限的立方體的 A 面方向就在 xminus

方向Arsquo面在 yminus Ardquo面在 zminus 方向寫面積元素最

好是先把討論的面的方向搞清楚把plusmn號寫在單位向量前面那麼分

量就都用＋的即可其實面積元素體積元素都可以由位移元素看出

ˆ ˆ ˆdr xdx ydy zdz= + +

dx dy dz 是沿著 ˆ ˆ ˆ x y z 方向的長度所以面積元素分量的兩邊長度就

是由其中兩個組成而體積的三邊也就是三個垂直方向的長度

x y zdV dx dy dz and ds dydz dxdz dxdyrArr = = （4-74）

這個概念在其他的座標系統也成立我們可以方便的寫出面積元素

Recall 柱座標的位移向量元素

cylindrical coordinate ˆ ˆ ˆdr d d dzzρρ ρ ϕϕ= + + （4-48）

ˆ ˆ ˆ zds ds ds zdsρ ϕρ ϕ= + + (4-75)

dsρ 躺在 zϕ minus 平面dsϕ 在 zρ minus 平面 zds 在ρ ϕminus 平面

rArr zds d dz ds d dz ds d d d dρ ϕρ ϕ ρ ρ ρ ϕ ρ ρ ϕ= = = sdot = （4-76）

上面的結果畫個圖看看吧球座標的位移向量元素

Spherical coordinate ˆ ˆˆ ( ) ( sin )dr rdr rd r dθ θ ϕ θ ϕ= + + （4-56）

ˆ ˆˆ rds rds ds dsθ ϕθ ϕ= + + （4-77）

rArr sin sin rds rd r d ds dr r d ds rd drθ ϕθ θ ϕ θ ϕ θ= sdot = sdot = sdot (4-78)

4-39

向量場 ( )A r 在 S 面上的「面積分（surface integral）」or「flux」

如左圖若有一「平面」S 且其上有「均勻」

場 B 分佈則通過 S 面的通量就是

ˆB B nSΦ = sdot

但考慮一任意「非均勻」向量場 ( )A r 在空間分佈選取任意曲面 S

探討 ( )A r 在 S 上之通量若ds 為 S 面上的面積元素在趨近於 0 的

小面積ds 上 A可視為均勻所以通過ds 之通量為 ( )d A r dsΦ = sdot 則 S

面之總通量為

Φ＝ ˆ cosS S S

A ds A nds A daϕsdot = sdot =int int int

( )OR

x x y y z zS

A da A da A da= + +int (4-75)

稱為 A 在 S 面上的「面積分」或「通量 flux」

上圖所繪就是一個任意面上分割出許多小面積舉出三個位置的通

量有+-與 0如果 S 面是為一「封閉面」則面積分寫為

S

A dssdotint （4-76）

4-40

ex37 Given 2ˆ ˆ ˆyzA xyz yx zx= + + 計算通量S

A dssdotint

S 面為在第一象限邊長＝1 的立方體表面封閉面

解立方體分為前後右左上下六個面分開算 1前面（x=1）

方向 x+ ˆ xA ds A xdydz A dydzsdot = sdot =int int int前 前 前

yzdydz= int前 ＝1 1

0 0

1 1 12 2 4

ydy zdz = sdot =int int

2後面(x=0)方向 xminus ˆ(- ) - xA ds A x dydz A dydzsdot = sdot =int int int後 後 後

yzdydz= minusint後1 1

0 0

-1 1 -12 2 4

ydy zdzminus = sdot =int int

3 右面（y=1）方向 y+ y ( 1)yA ds A dxdz A y dxdzsdot = sdot = =int int int右 右 右

( 1)x y zdxdz= =int右 ＝1 1

0 0

1 1 12 2 4

xdx zdz = sdot =int int

4 左面（y=0）方向 ˆ-y ˆ( y) - ( 0)yA ds A dxdz A y dxdzsdot = sdot minus = =int int int左 左 左

( 0) 0x y zdxdz= = =int左

5 上面（z=1）方向 z+ zz y (z 1) yA ds A dxd A dxdsdot = sdot = =int int int上 上 上

2 yx dxd= int上 ＝1 120 0

1 1y 13 3

x dx d = sdot =int int

6 下面（z=1）方向 ˆ-z zˆ(-z) y - (z 0) yA ds A dxd A dxdsdot = sdot = =int int int下 下 下

2 -1- y3

x dxd= =int下 ＝1 120 0

1 1y 13 3

x dx d = sdot =int int

S

A dssdotint ＝六個面的和＝1 1 1 1 1 1( ) ( 0) ( )4 4 4 3 3 4

minus minus+ + + + + =

ex38 Given ˆ ˆ ˆzA xyz yx zxy= + + 計算通量S

A dssdotint S 為圓 2 2 2x y a+ =

在第一項限的部分方向選為 z+ 2 2y a x= minus

4-41

解 2 2 4

0 0ˆ

8a a x

zS S S S

aA ds A zdxdy A dxdy xydxdy xdx ydyminus

sdot = sdot = = = =int int int int int int

Ex39 In cylindrical coordinate Given ˆ ˆaA zbzρρ

= + where a b are

constants Find S

A dssdotint over the surface of a

closed cylinder about z-axis specified by 3 2z ρ= plusmn =

解S 分為上下與周邊三面

zz (z 3)zA ds A ds A d dρ ρ ϕsdot = sdot = = sdotint int int上 上 上

= 23 3 2 12bd d b bρ ρ ϕ π πsdot = sdot =int上

ˆ(-z)A ds A d dρ ρ ϕsdot = sdot sdotint int下 下

= z- (z -3)A d dρ ρ ϕ= sdotint下 = 23 2 12b bπ πsdot =

周邊ds ˆ ( )d dzρ ρ ϕ= rArr ˆ ( ) z ( ) zA ds A d d A d dρρ ρ ϕ ρ ϕsdot = sdot =int int int周 周 周

2 3

0 3( ) z ( ) z=a 12aA d d d d d dz a

πρ ρ ϕ ρ ϕ ϕ π

ρ minus= = =int int int int周 周

加起來 S

A dssdotint ＝12 24 12 ( 2 )a b a bπ π π+ = +

ex40 一點電荷 q 置於原點計算在一個以原點為圓心 0r 為半徑的球

面上的電通量

解 2 20 0

ˆ ˆ4 4S S

qr q dsE ds rdsr rπε πε

sdot = sdot =int int int

=0 0 0

44 4S

q q qd ππε πε ε

sdot Ω = sdot =int

上式中 dΩ 2dsr

= 是 ds 所張開的「立體角」(solid angle)

4-42

div A and Flux 通量與散度的幾何物理意義

我們運用過nabla的符號來表示過散度 divF F= nablasdot yx zFF Fx y z

partpart part= + +part part part

但是也看到「散度」定義為

0( )

1( ) limSV

about x y z

divF x y z F da divergence of FVΔ rarr

equiv sdot =Δ int (4-77)

其中 VΔ 為 S 面所包含的體積即散

度為通量(體)密度的 0 體積極限

（4-77）的定義與 Fnablasdot 好像差的很

多她們是說同一回事嗎以下證明

這兩種「散度」的定義是等價的如

左圖考慮一個以點 ( ) x y z 為中心

的 立 方 體 其 相 鄰 三 邊 長 為

x y zΔ Δ Δ 體積 V x y zΔ = Δ Δ Δ 現在計算 F 在立方體的一組平行於 y-z平面的表面 S1 與 S2 的通量

( )1 1

ˆ ˆ xS S

F nds F xds F x y z dsrArr sdot = sdot =intint intint intint 2xxF x y z y zΔ⎛ ⎞asymp + Δ Δ⎜ ⎟

⎝ ⎠

其中 2xx y zΔ⎛ ⎞+⎜ ⎟

⎝ ⎠為 S1 面中心的座標而

2xx y zΔ⎛ ⎞minus⎜ ⎟

⎝ ⎠為 S2 面的中心

( ) ( )2 2 2

ˆ ˆ 2x x

S S S

xF nda F x ds F x y z ds F x y z y zΔ⎛ ⎞rArr sdot = sdot minus = minus asymp minus minus Δ Δ⎜ ⎟⎝ ⎠intint intint intint

上式中的負號來自 S2 面的方向是 xminus 所以合併兩個面積分

1 2

ˆ 2 2x x

S S

x xF nds F x y z F x y z y z+

Δ Δ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞rArr sdot asymp + minus minus Δ Δ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦intint

2 2x xx xF x y z F x y z

x y zx

Δ Δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠= Δ Δ Δ

Δ

2 2

x xx xF x y z F x y z

Vx

Δ Δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠= Δ

Δ

1 2

1 2 2ˆ

x x

S S

x xF x y z F x y zF nds

V x+

Δ Δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠rArr sdot asymp

Δ Δintint

4-43

當取體積向(xyz)點收縮至 0 時即 0 x 0as VΔ rarr Δ rarr 上式的近似

「asymp」就成了「＝」

1 20

1 ˆlimV

S S

F ndsVΔ rarr

+

sdotΔ intint

( )0

2 2limx x

x

x

x xF x y z F x y z F x y zx xΔ rarr

Δ Δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟ part⎝ ⎠ ⎝ ⎠= =Δ part

Similarly F 在立方體的一組平行於 x-z 平面的表面 S3 與 S4 的通量

3 3 3

ˆ ˆ yS S S

F nds F yds F dsrArr sdot = sdot =intint intint intint

2

2

y

y

yF x y zyF x y z x z x y z

y

Δ⎛ ⎞+⎜ ⎟Δ⎛ ⎞ ⎝ ⎠asymp + Δ Δ = Δ Δ Δ⎜ ⎟ Δ⎝ ⎠

( )4 4 4

2ˆ ˆ

y

yS S S

yF x y zF nds F y da F ds x y z

y

Δ⎛ ⎞minus⎜ ⎟⎝ ⎠rArr sdot = sdot minus = minus asymp Δ Δ Δ

Δintint intint intint

合併 S3 與 S4 兩個面積分並取體積向(xyz)點收縮至 0 時即當

0 y 0VΔ rarr Δ rarr 上式的近似asymp就成了＝

3 4

2 2ˆ

x x

S S

y yF x y z F x y zF nds V

y+

Δ Δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠rArr sdot cong Δ

Δintint

3 40 0

1 2 2ˆlim lim

x xy

V yS S

x yF x y z F x y z FF nds

V y yΔ rarr Δ rarr+

Δ Δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟ part⎝ ⎠ ⎝ ⎠rArr sdot = =Δ Δ partintint

與上面相同的作法計算 F 在立方體的一組平行於 x-y 平面的表面 S5

與 S6 的通量我們也會得到對應的結果

5 6

2 2ˆ

z x

S S

z zF x y z F x y zF nds V

z+

Δ Δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠rArr sdot cong Δ

Δintint

5 60 0

1 2 2ˆlim lim

z xz

V zS S

z zF x y z F x y zFF nds

V z zΔ rarr Δ rarr+

Δ Δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟ part⎝ ⎠ ⎝ ⎠rArr sdot = =Δ Δ partintint

所以合併立方體的 6 個面積分

4-44

1 2 3 4 5 6

ˆ ˆ ˆ ˆS S S S S S S

F nds F nds F nds F nds+ + +

rArr sdot = sdot + sdot + sdotint intint intint intint

0

1 ˆlim yx zV

FF FF nds div F FV x y zΔ rarr

partpart partrArr sdot = + + = = nablasdot

Δ part part partint (4-78)

在此我們得證這兩種「散度」的定義是等價的只是（4-77）的定義

充分的表現出「散度」的幾何物理意義他從通量著手由於場線

出自於 source（ex電場源自於點電荷）所以在點(xyz)必須有向量場

F 的 source 存在才能使得當面積縮到 0 時仍具有非 0 的通量所以「散

度」表現向量場 F 的 source 在這個定義之下是很清楚的當然在計算

「散度」時我們不必那麼麻煩用 divF F= nablasdot 就好了

Ex41 計算 2ˆ ˆ ˆF xx yxy zyz= + + 的散度

解 2 yx zFF Fx x yx y z

partpart part= = =

part part part F 2x x y 3x ydivrArr = + + = +

recall 在靜電學0

yx zEE EEx y z

ρε

partpart partnablasdot = = + +

part part part

散度定理 Divergence Theorem

若任意封閉面（又稱為「高斯面」）S 所包圍的

體積為 V 則

S VA ds Adτsdot = nablasdotint int （4-79）

pf 我們先將體積分割成 N 個小盒子考慮相鄰的兩個小盒子 1 2

兩小盒子的共用面面積 S0當 S0 是為 1 號盒子的一部份時其方向為

1n 但若當為 2 號盒子的表面時其方向為 12 ˆˆ nn minus= 如此在 S0 分別做

4-45

1 2 盒子的面積分後

0 0

0 0 0 0

1 2

1 2 1 1ˆ ˆ ˆ ˆ 0

S S

S S S S

A ds A ds

F n ds F n ds F n ds F n ds

sdot + sdot

= sdot + sdot = sdot minus sdot =

intint intintintint intint intint intint

所以若求場 A 在 1 2 盒子的總通量時交界面是沒有貢獻的總通量

就只有「外面積」才有貢獻如此我們計算 N 個小盒子的總通量

時所有的內部共用面都得 0只剩下「外表面」的貢獻了當 infinrarrN

時所有小盒子的「總外表面」就與 S 面重合了所以所有小盒子通量

的總和就等於 S 面的通量

1lim

i

N

S SN iA ds A ds

rarrinfin=

rArr sdot = sdotsumint int

現在我們做 N 個小盒子的總通量

1 1

1i i

N N

iS Si i i

A ds A ds VV= =

⎛ ⎞sdot = sdot Δ⎜ ⎟Δ⎝ ⎠

sum sumint int

當 0iN Vrarrinfin rArr Δ rarr 並用 dv 表示體積元素

( ) ( )1 1

1

1lim lim lim

lim

i ii

N N

iS SN N V oi i i

N

i VN i

A ds A ds VV

A V A dv

rarrinfin rarrinfin Δ rarr= =

rarrinfin=

⎛ ⎞sdot = sdot Δ⎜ ⎟Δ⎝ ⎠

= nablasdot Δ = nablasdot

sum sumint int

sum int

( )S V

A da A dvrArr sdot = nablasdotint int QED

所以得證散度定理上式中我們用了散度的（4-77）式定義要分辨

清楚 Anablasdot 是向量場 A 在空間中「某一點」的性質（ 0VΔ rarr ）而「散

度定理」說的是一個「有限體積」的性質

ex42 給定 ( ) ˆ ˆ ˆ A x y z xx yy zz r= + + = 計算在

半徑 R＝1 的球的上半球加底面的通量

4-46

解 ( )ˆˆS

A da A rda A k darArr sdot = sdot + sdot minusint int int上半球面 底面

( )

2

ˆ ˆ

0 2 1 2

A rda A z dxdy

r rds zdxdy rds ds π π

= sdot + sdot minus

= sdot minus = minus = = sdot =

int int

int int int int上半球面 底面

上半球面 底面 上半球面

底面的通量＝0 是因為 A 的 z 分量 Az=z 在底面的值為 0

也可以用散度定理更快的得出結果

∵ 3A rnablasdot = nablasdot =

31 43 3 1 22 3V V

Ad d πτ τ πnablasdot = = sdot sdot sdot =int int

ex43高斯定律的微分形式積 由 Gaussrsquo law 的積分形式用散度定理得出其

( )0 0

1 inS V

qE ds x y z dvρε ε

sdot = =int int

0S V VE ds Edv dvρ

εrArr sdot = nablasdot =int int int

上式最後的等式對「任意形狀」V 都成立所以兩者的被積函數相等

對於空間每一點 0

E ρε

nablasdot = （4-80）

ex44 Use 第一象限的單位力方體 check the divergence theorem using the function 2 2ˆ ˆ ˆ(2 ) 2A y x xy z y yzz= + + +

解2

2( ) (2 )(2 ) 2( )y yzA xy z x yx y z

part part partnablasdot = + + + = +

part part part

and 1 1 1 1 1 1

0 0 0 0 0 02 ( ) 2 ( )

VAdv x y dxdydz dz dy x y dxnablasdot = + = +int int int int int int int

1 1

0 0

1 12 ( ) 2 12 2

dz y dy= + = sdot =int int

面積分 1 1 2

0 0

1ˆ3

A ds A xdydz dz y dysdot = sdot = =intint intint int int前 前

4-47

1 1 2

0 0

1ˆ( )3

A ds A x dydz dz y dy minussdot = sdot minus = minus =intint intint int int

後 後

1 1 2

0 0ˆ (2 )A ds A ydxdz dz xy z dxsdot = sdot = +intint intint int int

右 右

1 1 1 12 2

0 0 0

4(2 ) (1 )3

ydz x z dx dz z

=

= + = + =int int int∵

1 1 2

0 0

0 1 1 12 2

0 0 0

ˆ( ) (2 )

1(1 )3

y

A ds A y dxdz dz xy z dx

dz z dx dz z=

sdot = sdot minus = minus +

minus= minus = + =

intint intint int int

int int int∵

左 左

11 1 1 1

0 0 0 0ˆ 2 2 1

zA ds A zdxdy dx yzdy dx ydy

=sdot = sdot = = =intint intint int int int int

∵

上 上

01 1

0 0ˆ 2 0

zA ds A zdxdy dx yzdy

=sdot = sdot minus = minus =intint intint int int

∵

下 下

前後右左上下六個面積分合併＝1＝V

Advnablasdotint QED

ex45 Continuity Equation 連續方程式

考慮某些「東西」的流動（物質電荷hellip）在時刻 t 時在點(xyz)

的 密 度 為 ( ) x y z tρ ρ= 並 具 有 速 度

( ) v v x y z t= 在時刻 t 時在體積 V 內的總量為

( ) x y z t dρ τintintint

這樣體積 V 內東東的時變率為

( ) ( ) d x y z t d x y z t ddt t

ρρ τ τpart=

partintintint intintint

注意體積分後的時間全微分移入積分內要改為偏微分這個東東

在表面的「流率 flow rate」可表為

ˆS

R v ndsρ= sdotintint

若體積內的物料無法自生自滅那麼體積內物料的變化必經由表面的

流出流入所造成

d v ndstρ τ ρpart

rArr = minus sdotpartintintint intint

由散度定理

4-48

( )ˆS

v nds v d dtρρ ρ τ τpart

sdot = nablasdot = minuspartintint intintint intintint

( )v Jtρ ρpart

rArr = minusnablasdot equiv minusnablasdotpart

0Jtρpart

rArr +nablasdot =part

（4-81）

(4-81) 即 continuity equation其中 J vρ= 為「物流密度」ex如果 ρ

是電荷密度 J 就是電流密度（4-81）是物質守恆的結果只對體

積內無 source（生成）or drain（消滅）的東東成立

ex46 Given a vector field ˆ ˆx yA ye xe= minus + (a) Find

Anablasdot (b)如圖一個金字塔狀的 5 面體高 2 底邊長

1計算 A在整個金字塔表面（封閉面）的總通量

解(a) Anablasdot = ( ) ( ) 0y xx ypart part

minus + =part part

(b) 金 字 塔 的 表 面 面 積 元 素 ds 不 好 寫 所 以 用 散 度 定 理

( )S V

A da A dvrArr sdot = nablasdotint int ＝0 Anablasdot 表示 A沒有 source 所以對封閉面而

言有多少場線進入就有多少出去所以總通量＝0

習題 7 With position vector r for an arbitrary volume V that is

bounded by surface S show that 13 S

r ds Vsdot =int

習題 8 已知一靜電場為 ˆ ˆ ˆ( )E xyz yxz zxyλ= + + 運用 Gaussrsquo law

試求包含在半球 2 2 2 2 0x y z R z+ + = ge 裡的總電荷 Ans 0

習題 9 (a) given ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( 2 )F r xf x yf y zf z= + + minus show that divF is

zero at point (c c -c2) (b) given ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( )G r xf x z yg x z zh x y= + +

show that ( ) 0G rnablasdot =

4-49

習題 10 Find the normal vector n for the surfaces (a) z = 2-x-y ans

ˆ ˆ ˆ( ) 3x y z+ + (b) z = (1-x2)12 ans ˆ ˆxx zz+ (c) z = x2+y2

ans ˆ ˆ ˆ( 2 2 ) 1 4xx yy z zminus minus + +

習題 11 Show that the unit vector normal to the plane ax+by+cz =d is

given by 2 2 2ˆ ˆ ˆ( ) ax by cz a b cplusmn + + + +

圓柱座標與球座標的nabla (del)

考慮一純量場在直角座標為 ( ) u x y z 在圓柱座標表為 ( ) u zρ φ

再考慮因位移 r r drrarr + 所造成 u ( )zρ φ 的變化

( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆz

z

u u udu d d dz u dr u d d zdzz

u u z u d d zdz

u d u d u dzρ ϕ

ρ ϕ

ρ ϕ ρ ρ ϕρ ϕρ ϕ

ρ ϕ ρ ρ ϕρ ϕ

ρ ρ ϕ

part part part= + + = nabla sdot = nabla sdot + +part part part

⎡ ⎤= nabla + nabla + nabla sdot + +⎣ ⎦= nabla + nabla + nabla

( ) ( ) ( )1

1ˆ ˆ ˆu

z

u u uu u uz

u u uzz

ρ ϕρ ρ ϕ

ρ ϕρ ρ ϕ

part part partrArr nabla = nabla = nabla =

part part partpart part part

rArrnabla = + +part part part

1ˆ ˆ ˆ zz

ρ ϕρ ρ ϕpart part part

nabla = + +part part part

（4-82）

注意nabla的ϕ -分量( 1ρ ϕ

partpart

)不是像直角座標裡單純的ϕpartpart

所以不要笨笨

的就把直角座標的形式硬套上去用我們也可以從「因次分析」來

看nabla因為是對空間的微分所以每一項的因次必須是「長度分之一」

運算 andzρ

part partpart part

都是「長度分之一」而「單純的ϕpartpart

」是沒有單位的

所以要1ρ ϕ

partpart

才 OK

由於圓柱座標裡的單位向量除了 z 之外 ˆ( )ρ ϕ 與 ˆ( )ϕ ϕ 都不是常

4-50

數所以在微分時不可以與微分運算交換而要考慮微分的作用所

以在「圓柱座標」寫「散度」 ( ) F zρ ϕnablasdot 也和直角座標不一樣

( )1ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ zF z F F zFz ρ ϕρ ϕ ρ ϕ

ρ ρ ϕpart part part⎛ ⎞

nabla sdot = + + sdot + +⎜ ⎟part part part⎝ ⎠

( ) ( )1ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆz zF F zF F F zFρ ϕ ρ ϕρ ρ ϕ ϕ ρ ϕρ ρ ϕpart part

= sdot + + + sdot + +part part

( )ˆ ˆˆ ˆ zz F F zFz ρ ϕρ ϕpart

+ sdot + +part

因為 ( ) ( )ˆ ˆ ˆ ˆ ρ ρ ϕ ϕ ϕ ϕ= = 所以做 andzρ

part partpart part

時 ˆ ˆ ρ ϕ 可視為常數

ˆ ˆ1ˆ ˆ ˆ zF F F FF F Fz

ρ ρ ϕρ φ

ρ ϕϕ ρ ϕρ ρ ϕ ϕ ϕ ϕ

part part part⎡ ⎤part part partrArrnablasdot = + sdot + + + +⎢ ⎥part part part part part part⎣ ⎦

還記得 ˆ ˆ ˆ ˆd d d dρ ϕ ϕ ϕ ρ ϕ= = minus 所以 ˆ ˆρ ϕϕpart

=part

ˆ ˆϕ ρϕpart

= minuspart

rArr

( )1 1 1z zF F F FF FF Fz z

ρ ρ ϕ ϕρρ

ρ ρ ρ ϕ ρ ρ ρ ϕpart part part part

nablasdot = + + + = + +part part part part part part

（4-83）

在球座標寫nabla也會遇到相似的問題其根源就是球座標 ( )r θ ϕ 裡

的 θ ϕ 的因次並非長度而三個單位向量 ˆ ˆˆ r θ ϕ（表為 ie ）都是( θ ϕ )

的函數以致

( )ˆ ˆ( ) ( )i ie f e fθ ϕ θ ϕθ θpart part

nepart part

且 ( )ˆ ˆ( ) ( )i ie f e fθ ϕ θ ϕϕ ϕpart part

nepart part

所以nabla也不似在直角座標那麼簡單我們不在這裡推導而是給出一

個歸納的統一的三個座標的結果還記得對每一個座標 iu i = 123

座標的變化 idu 與造成的長度變化 id

i i id h du= 123i = (4-84)

其中 ih 為對應的度量係數(metric coefficient)

4-51

1 2 3

1 1 2 2 3 3

1 1 1ˆ ˆ ˆu u ue e eh u h u h u

part part partnabla equiv + +

part part part （4-85A）

座標 1 2 3 u u u

度量係數

1 2 3 h h h

nabla grad del

直角 x y z

1 1 1 nabla ˆ ˆ ˆx y z

x y zpart part part

equiv + +part part part

圓柱

zρ ϕ

1 1ρ

1ˆ ˆ ˆ z

zρ ϕ

ρ ρ ϕpart part part

nabla equiv + +part part part

球

r θ ϕ

1 sinr r θ

1 1ˆ ˆˆ

sinr

r r rθ ϕ

θ θ ϕpart part part

nabla = + +part part part

（4-85B）

梯度gradient Vnabla grad(V) 散度divergence Anablasdot div( )A

直

角 nablaV ˆ ˆ ˆV V Vx y z

x y zpart part part

= + +part part part

yx zAA AAx y z

partpart partnablasdot = + +

part part part

圓

柱

1ˆ ˆ ˆ V V VV zz

ρ ϕρ ρ ϕpart part part

nabla = + +part part part

( )1 1

1

z

z

A AA Az

A A A Fz

ϕρ

ρ ρ ϕ

ρρ ρ ρ ϕ

ρ ρ ρ ϕ

partpart partnabla sdot = + +

part part partpart part part

= + + +part part part

球

1 1ˆ ˆˆ sin

V V VV rr r r

θ ϕθ θ ϕ

part part partnabla = + +

part part part

22

1 ( )rA r Ar r

partnabla sdot =

part

1 (sin )sin

Ar θθ

θ θpart

+ sdotpart

1sin

Ar

ϕ

θ ϕpart

+part

(4-86)

Ex47 Using spherical coordinate show that 1| |r r

nablaminus

= 2

ˆ| |

r rer r

minusminusminus

where

nabla是作用在 r 而 ˆr re minus 是向量 r rminus 方向的單位向量 解let r lies in z-axis so that the angle between r and r is just θ

4-52

rArr ( ) 122 21 1 2 cos | | ( ) ( )

r rr rr r r r r r

θminus

= = minus +minus minus sdot minus

( ) ( )12 122 2 2 21 1ˆˆ 2 cos 2 cos | |

r r rr r r rr rr r r r

θ θ θθ

minus minuspart partnabla = minus + + minus +

minus part part

( ) 322 21ˆ 2 cos (2 2 cos )2

r r rr r r rθ θminusminus

= minus + minus

( ) 322 21ˆ 2 cos (2 sin )2

r rr r rrθ θ θminusminus

+ minus +

3 3 3 3

ˆˆ ˆ( cos ) sin ( cos sin )ˆˆ| | | | | | | |r r r rr r rrr r r r r r r r

θ θ θ θ θθminus minus minus minus minus= + = +

minus minus minus minus

3 3 3ˆ ( )

| | | | | |r r z r r r rr r r r r rminus + minus + minus minus

= = =minus minus minus

＝ 2

ˆ| |

r rer r

minusminusminus

QED

證明最後我們用到 ˆˆˆ cos sinz r θ θ θ= minus 而 ˆ r r z= 因為我們選了 r 是

躺在 z-軸 Ex48 For arbitrary scalar field ( )f r and vector field ( )A r 證明恆等式

( )fA f A f Anablasdot = nabla sdot + nablasdot (4-87) 解 ˆ ˆ ˆx y zfA xfA yfA zfA= + +

( ) ( ) ( ) ( )x y zfA fA fA fAx y zpart part part

rArrnablasdot = + +part part part

yx zx x x

AAf f f AA f A f A fx x y y z z

partpartpart part part part= + + + + +part part part part part part

yx zx y z

AAf f f AA A A fx y z x y z

part⎛ ⎞partpart part part part= + + + + +⎜ ⎟part part part part part part⎝ ⎠

f A f A= nabla sdot + nablasdot QED 習題 12 一個位於原點的電偶極電偶極矩＝ ˆp pz= 已知其在遠處

的電位為 20

cos4p

rθ

πε試證該處的電場強度為 E = 3

0

ˆˆ( 2cos sin )4

p rr

θ θ θπε

+

(已知 E V= minusnabla )並請計算 Enablasdot ＝

習題 13 給定一向量場2

3cosˆD r

rϕ

= 現有兩個球心在原點的同心球

內球半徑 R＝1外球 R＝2(a)求面積分S

D dssdotint S 為同心球殼的表

面（有內外兩個面）(b)求體積分V

Ddvnablasdotint V 為兩同心球之間的

區域本題也是來 check 散度定理的Ans πminus

4-53

The Laplacian operator 2nabla equivnablasdotnabla

在直角座標可以用直接作用得到

2 2 2

22 2 2u u uu u

x y zpart part part

nabla equiv nablasdotnabla = + +part part part

(4-88)

圓柱座標

2 2

22 2 2

1 1( ) u u uu uz

ρρ ρ ρ ρ ϕ

part part part part⎛ ⎞nabla equiv nablasdot nabla = + +⎜ ⎟part part part part⎝ ⎠

(4-89)

球座標

2

2 22 2 2 2 2

1 1 1sinsin sin

u u uu rr r r r r

θθ θ θ θ ϕ

part part part part part⎛ ⎞ ⎛ ⎞nabla = + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟part part part part part⎝ ⎠ ⎝ ⎠ （4-90）

習題 14 verify (4-89) and (4-90)

習題 15 Given a dipole potential V= 20

cos4p

rθ

πε find 2Vminusnabla

sect 433 Line integral and curl A 線積分與與旋度的物理意義

線積分路徑積分

考慮一曲線 C 通過兩點 ( )i i i iP x y z 與

( )f f f fP x y z 現有一向量場 ( )A x y z 定義在

C 所在的空間若 sd 為 C 上位於(xyz)點的

「路徑元素」（ ˆd td= 方向沿該處切線）而

( )A x y z 為路徑元素d 處的場值則沿 C 經歷各點所做積分

cos cosf

CC C iA d Ad A dϕ ϕrarr rarrsdot = =int int int （4-91）

稱為向量場 ( )A x y z 沿路徑 C 自 pi 至 pf 的「線積分」「或「路徑積分」

積分裡 A 取值的點侷限在路徑 C 上面若為一個「封閉路徑」則對

C 的線積分也稱做「環路積分 closed contour integral」記做

C

A dsdotint （4-92）

4-54

物理量「做功」是最標準的線積分之一力 F 自 x = a 至 x = b「沿線」

x 軸做功

W＝ F dxsdotint ＝ ( )b

xaF x dxint （4-93）

質點在力場 )(rF 裡走一條曲線 C則力場做功

CW F d= sdotint （4-94）

還記得如果 ( )F r 是所謂「保守力」則上式只與始末點有關而與

路徑無關但如果 ( )F r 是所謂「非保守力」則做功與確實的路徑 C

有關

現考慮一質點在空間運動的位置 r 落在由曲線 C

描述的路徑則質點的位移元素與曲線 C 的路徑元

素相同 d dr= 若空間有向量場 A 分佈則 A 在 C 的

路徑積分以直角座標表示為

CA drarr rarrsdotint ＝

CA d rrarr rarrsdotint ＝ ( )x y zC

A dx A dy A dz+ +int （4-95）

上式中的 x y z 的積分限由 C 決定

Ex49 2 2 2ˆ ˆ ˆA xx yy zzrarr= + + 選定一路徑 C 為曲線

2y x= 由 (000)到 (2 20)的部分求C

A dsdotint

解 ˆ ˆd xdx ydy= +∵

CA dsdotint ＝ 2 2( )

Cx dx y dy+int ＝

2 22 2

0 0x dx y dy+int int

＝ )24(32

+

或由 2y x= rArr 2ydy dx= 2 12

y dy xdxrArr =

rArrC

A dsdotint ＝2 2

0

1( )2

x x dx+int ＝2 (4 2)3

+

4-55

ex50 ˆ ˆ( )f x y z xy yx= minus Do C

f dsdotint 其中的路徑 C 為一逆時針三角

形如圖 解∵路徑全部在 x-y 平面 ˆ ˆ ˆd td xdx ydy= = +

rArrC

f dsdotint ＝ x yC

f dx f dy+int ＝C

ydx xdyminusint

由於在 C1 上 y = 0 及 dy = 0 所以 01

=intC 又由於在

C3 上 x = 0 及 dx =0所以 03

=intC 所以只剩下 C2 可

能有貢獻由 2C 的方程式x + y =1rArr ⎩⎨⎧

minus=minus=

xyyx

11

rArr2Cydx xdyminusint ＝

0 1

1 0(1 ) (1 )x dx y dyminus minus minusint int ＝

0 12 2

1 0

( ) ( )2 2x yx yminus minus minus ＝-1

Cf dsdotint ＝-1

ex51 ( )f x y zrarr

= 2ˆ ˆxx yxyminus 如右圖doC

f dsdotint 其

中路徑 C 為第一象限的逆時針 14 圓弧

解∵ 全部在 x-y 平面 ˆ ˆd xdx ydy= +

Cf dsdotint ＝ 2

Cx dx xydyminusint

由於在 C 上 cosx R ϕ= rArr sindx R dϕ ϕ= minus

siny R ϕ= rArr cosdy R dϕ ϕ=

rArr 2

Cx dx xydyminusint ＝

2 2 2 2

0cos ( sin ) sin cos cosR R d R R d

πϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕminus minus sdotint

23 2

02 cos sinR d

πϕ ϕ ϕ= minus int ＝

323Rminus

又路徑為圓周一部份所以適合用極座標表示

ˆd Rdϕ ϕ= 又由左圖將 ˆ ˆx y 拆解（投影）到 ˆˆr ϕ

ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆcos sin sin cosx r y rϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ= minus = +

4-56

( )2ˆ ˆ ˆˆ ˆ( cos sin ) ( sin cos )C C

f d r x r xy Rdϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕsdot = minus minus + sdotint int 2

2 2 2

0

sin (cos )

sin ( cos ) (cos ) cos sin

Cx Rd xyRd

R Rd R Rdπ

ϕ ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ

= minus minus

= minus minus

intint

23 2

02 cos sinR d

πϕ ϕ ϕ= minus int ＝

323Rminus

這也驗證了散度定理

Path Independence 路徑獨立性

Ex52 證明庫倫力為「保守力」考慮

電荷 q0 位於原點及電荷 q 位於

( )r x y zrarr= q 受力 F

rarr＝ 0

20

14

qq urπε

and

求庫侖力作功因為球形對稱所以

用球座標由 ˆ ˆ ru rr

= = rArr Frarr

= 03

04qq r

rπε

庫侖力由 P1 至 P2 做功為 2

1

P

CPF drarrsdotint ＝

2

1

02

0

ˆ ˆ ˆˆ sin4

P

PC

qq r rdr rd r dr

θ θ ϕ θ ϕπε

⎡ ⎤sdot + +⎣ ⎦int ＝2

1

02

04P

P

qq drrπεint

＝20

2104

r

r

qq drrπε int ＝ 0

0 1 2

1 1( )4qq

r rπεminus for all C

所以庫侖力兩點間做功與路徑無關rArr保守力

對於「保守力 conservative force」 cF 自 p1 經

由兩條不同的路徑 C1 與 C2 到達 p2

1 ccF drarrsdotint ＝

2 ccF drarrsdotint ＝-

2 ccF drarr

minussdotint

rArr1 2c cc cF d F drarr rarr

minussdot + sdotint int = cF d

rarrsdotint ＝0 (4-96）

對於任何「封閉路徑」保守力做功為 0反之若

對任一封閉路徑 0F drarrsdot neint 則兩點之間的做功與路徑有關

rarr

F 為「非

保守力」

4-57

旋度 curl Anablatimes 的幾何物理意義

我們在（4-70）式已經看過旋度的計算方式但旋度另有其意義的

ex53 給定向量場2 2

0ˆ yv yv e λrarr

minus= 左圖為場的分佈

2 20

ˆ ˆ ˆ

0 0x y z

y

x y zcurl v

v e λ

rarr

minus

= part part part ＝ ˆ ˆ ˆ0 0 0 0x y zsdot minus sdot + sdot =

我們用了簡寫 x yx ypart part

part equiv part equivpart part

可以看出這個場裡沒有「漩渦」

但是有無「漩渦」有時也不是那麼明顯可以看出的請見下一個例子

Ex54 給定向量場2 2

0ˆ xv yv e λrarr

minus= 計算其旋度 vnablatimes

解向量場 vrarr

畫在右邊你看得出有無漩渦

先計算旋度

2 20

ˆ ˆ ˆ

0 0x y z

x

x y zcurl v

v e λ

rarr

minus

= part part part2 2

2 2

0

0

ˆ

ˆ 2 0 0

x

x

z v ex

z v xe for x

λ

λ

minus

minus

part=

part

= minus ne ne

vrarr

的旋度在大部分的地方不為 0 且隨位置而不同但是你看得出這個

向量場裡有「漩渦」其實要檢驗一個向量場裡有無「漩渦」有一

個很物理的方法就是放一個小「螺旋槳」（左圖）

在場內將軸朝各個方向測試一

下如果有「漩渦」的話這個

小「螺旋槳」就會轉動右圖就是將「螺旋槳」的

軸平行於 z 軸且放在 x gt 0 的地方就可以看出左

邊的 v 場比右邊的強造成螺旋槳順時針轉動rArrcurlv zminus for x gt 0

但如果放在 x = 0 的地方就會看到左右兩端的 v 場強度相同而且

4-58

curlv = 0 「螺旋槳」放在 x lt 0 的地方就可以看出右邊的v 場比左

邊的強造成螺旋槳逆時針轉動這完全符合 curl v k+ 的結果

環路積分與旋度 curl 的物理意義

如同「散度」一樣「旋度」除了 Ftimesnabla 之外

還有一個物理意義更清楚的定義這個定義由

「線積分」說明如圖考慮做「逆時針」長方形

路徑 C1 的一個「環路積分」C1 面平行於 x-y 平

面由 z-軸看下去環路 C1 可以分為可以分為

下 CB上 CT右 CR左 CL 4 部分

CA drarrsdotint ＝

B T L RC C C CA d A d A d A drarr rarr rarr rarrsdot + sdot + sdot + sdotint int int int

分別計算由於 CB 的中點座標為 ( )2yx y zΔ

minus

ˆB BC C

A d A xdxrarr rarrsdot = sdot =int int

BxC

A dxint ( )2xyA x y z xΔ

asymp minus Δ

similarly 由於 CT 的中點座標為 ( )2yx y zΔ

+

ˆ( )T TC C

A d A xdxrarr rarrsdot = sdot minus =int int

TxC

A dxminusint ( )2xyA x y z xΔ

asymp minus + Δ

合併 CB 與 CT

B TC CA drarr

+sdot =int

( ) ( )2 2x xy yA x y z A x y z

x yy

Δ Δ⎡ ⎤minus + minus minus⎢ ⎥⎣ ⎦ Δ ΔΔ

（4-97）

由 C1 所圍的面積 S x yΔ = Δ Δ

1B TC C

A dS

rarr

+sdot =

Δ int( ) ( )

2 2x xy yA x y z A x y z

y

Δ Δ⎡ ⎤minus + minus minus⎢ ⎥⎣ ⎦Δ

（4-98）

所以當取極限 C1 收縮到中心(xyz)時 SΔ 收縮到 0ie

4-59

0limsΔ rarr

1B TC C

A dS

rarr

+sdot =

Δ int xAy

partminuspart

（4-99）

Similarly with CR 的 ˆd ydy= CL 的 ˆd ydy= minus 可得

1L RC C

A dS

rarr

+sdot =

Δ int x

zyxxFzyxxF yy

Δ

Δminusminus

Δ+ )

2()

2(

（4-100）

同樣的當取極限 C1 收縮到中心(xyz)時 SΔ 收縮到 0

0

limsΔ rarr

1L RC C

A dS

rarr

+sdot =

Δ int yAx

partpart

（4-101）

最後合併 CBCTCRCL 為 C1

10

1limCs

A ds

rarr

Δ rarrsdot =

Δ int y xA Ax y

part partminus

part partˆ ( ) ( )zz A A= sdot nablatimes = nablatimes （4-102）

注意 C1 的方向就是在 z 上式的重要

意義是當向量場 A 在一個以點(xyz)為

中心「方向為 z 」的面積元素的「邊界」

所做的環路積分得到的就是 A 在(xyz)

處旋度的 z-分量明顯的只有當 A 在

(xyz)附近有 x-y 平面上的「漩渦」那麼 C1 的環路積分才不會為 0

Similarly 取一個逆時針繞著(xyz)的平行於 x-z 平面的長方形環路 C2

（左圖）做環路積分再取極限將 C2 收縮到(xyz)就會得到

20

1limCs

A ds

rarr

Δ rarrsdot =

Δ int x zA Az x

part partminus

part partˆ ( ) ( )yy A A= sdot nablatimes = nablatimes （4-103）

注意到 C2 所包圍的面積方向就在 y到

現在我們應該已經很有經驗了若取一

個逆時針繞著(xyz)的平行於 y-z 平面

的長方形環路 C3（左圖）做環路積分

再取極限將 C3 收縮到(xyz)就會得到

4-60

30

1limCs

A ds

rarr

Δ rarrsdot =

Δ int yz AAy z

partpartminus

part partˆ ( ) ( )xx A A= sdot nablatimes = nablatimes （4-104）

能把（4-103）與（4-104）變出來的同學我們有優待綜合以上

我們可以得到一個結論若取一個以點(xyz)為中心的任意環路 Cn（其

所包圍的面積方向在 n ）則

n curl Aand rarrsdot ＝

0

1lims

Cn

A ds

rarr

Δ rarrsdot

Δ int （4-105）

明顯的當 n ＝ x 或 y 或 z 時我們可以重複（4-102）到（4-104）的

結果（4-70）式的行列式所定義的旋度在此看見其幾何物理意義

至此「旋度」的「漩渦」形象應該已經很清楚了只有在(xyz)點附

近的小圈圈上有「漩渦」 A 在小圈圈做的環路積分才會有值這個

值就是向量場 A 的「旋度」在小圈圈面積方向的分量

Stokersquos 定理

考慮一個開放面 S被其「有方向的」邊界 C 圈住(bounded by)則

( )S

A dsrarr rarrnablatimes sdotint ＝

C

A drarrsdotint （4-106）

pf 先將 S 面分割為 N 個多邊形這會使得邊界變成一個「折線」形

成的環路 P環路 P 會隨著分割的多邊形個數的增多而越加近似於原

「光滑的」邊界 C現考慮相鄰的

兩個多邊形的線積分由於共用邊

的方向是相反的所以相鄰兩個多

邊形線積分的和只剩「外邊界」（見左圖）所以當把所有的多邊形的

4-61

線積分加起來時由於只有邊界 P 不是多邊形的共用邊所以

1k

N

k C

A drarr

=

sdotsum int ＝P

A drarrsdotint rArr

P

A drarrsdotint ＝

1

1

k

N

kk k C

A d l ss

rarr rarr

=

⎡ ⎤sdot Δ⎢ ⎥

Δ⎢ ⎥⎣ ⎦sum int

其中 ksΔ 為第 k 個多邊形的面積取極限 0kN srarrinfinrArrΔ rarr P CrArr rarr

C

A drarrsdotint ＝

10

1limkk

N

kN k k Cs

A d ss

rarr

rarrinfin=Δ rarr

⎡ ⎤sdot Δ⎢ ⎥

Δ⎢ ⎥⎣ ⎦sum int 01

ˆlim ( )k

k kskn A s

infin

Δ rarr=

⎡ ⎤= sdot nablatimes Δ⎣ ⎦sum

01

ˆlim ( )k

k kskA n s

infin

Δ rarr=

= nablatimes sdot Δsum = ( )S

A dsrarr

nablatimes sdotint QED

ex55 由 Amperersquos law 的積分形式導出其微分形式

解Amperersquos law 的積分形式 C

B drarrsdotint ＝ I0μ (4-107)

由 Stokersquos 定理及電流密度 j 的定義上式等號兩端可寫為

rArr ( )S

B dsrarr rarrnablatimes sdotint ＝ 0 S

j dsμrarrsdotint

由於上面的等式對任意面 S（路徑 C）都成立所以被積函數相等

0B jμrarr rarr rarr

rArrnablatimes = (4-108) 此即 Amperersquos law 的微分形式

Ex56 Given a vector field ˆ ˆx yA ye xe= minus + (a) Find Anablatimes

解

ˆ ˆ ˆˆ ˆ(1 ( 1) 2

0x y z

x y zA z z

y xnablatimes = part part part = minus minus =

minus

(b)如圖一個金字塔狀的 5 面體高 2底邊長＝1計算 ( )S

A dsnablatimes sdotint

其中 S 為金字塔在 x-y 平面以上的部分方向如同

封閉的金字塔（運用 Stokersquos law）

解金字塔上表面的面積元素ds 不好寫由 Stokersquos

4-62

law ( )S

A dsrarr rarrnablatimes sdotint ＝

C

A drarrsdotint 其中封閉路徑 C 就是上表面的邊界而且

是逆時針（由 z 軸向下看）

C

A drarrsdotint ＝

1 1 0 0

0 0 1 1ˆ ˆ ˆ ˆA xdx A ydy A xdx A ydysdot + sdot + sdot + sdotint int int int

＝1 1 0 0

0 0 1 1x y x yA dx A dy A dx A dy+ + +int int int int 1 1 0 0

0 0 1 1( 0) ( 1) ( 1) ( 0)y dx x dy y dx x dy= minus = + = + minus = + =int int int int

0 1 1 0 2 ( ) 2S

A ds= + + + = rArr nablatimes sdot =int

旋度與 path independence

已知保守場 cF 對所有封閉路徑 C 0cC

F drarrsdot =int 由 Stokersquos 定理

0cC

F drarrsdot =int ＝ ( )cS

F dsrarr rarrnablatimes sdotint rArr 0cF

rarr rarrnablatimes =

這表示保守場＝無旋度反之無旋度的場任兩點間路徑積分與路

徑無關

Ex57 Given a field 2 2ˆ ˆ ˆ2A x xy yx zz= + minus (a) Find Anablatimes A 保守場

解2 2

ˆ ˆ ˆ

2x y z

x y zA

xy x znablatimes = part part part

minus

( ) ( ) ( )2 2 2 2ˆ ˆ ˆ( ) 2 ( ) 2 0y z z x x yx z x y xy z z x xy= part minus minuspart + part minuspart minus + part minuspart =

yes A =保守場

(b)如左圖由 A 到 B 做路徑積分A BC

A drarr

sdotint 路徑 C 為橢圓

22 1

16yx + = 在 x-軸以上的部分

解橢圓部分的路徑元素 d 有點麻煩但因為 A

為保守場所以 A 到 B 做路徑積分可以用 x = -1 到

1 的積分取代

4-63

01 1 1

1 1 1ˆ 2 0

yB

xAA d A xdx A dx xydx

=

minus minus minussdot = sdot = = =int int int int

∵

旋度在柱座標與球座標

前面討論過nabla在不同座標系的寫法旋度也有歸納出的一致寫法

座標 1 2 3 u u u

度量係數

1 2 3 h h h

nabla grad del

直角 x y z

1 1 1 nabla ˆ ˆ ˆx y z

x y zpart part part

equiv + +part part part

圓柱 zρ ϕ

1 1ρ

1ˆ ˆ ˆ zz

ρ ϕρ ρ ϕpart part part

nabla equiv + +part part part

球 r θ ϕ

1 sinr r θ

1 1ˆ ˆˆ sin

rr r r

θ ϕθ θ ϕ

part part partnabla = + +

part part part

所以柱座標與球座標的旋度分別表為

柱座標

ˆ ˆ ˆ1

z

z

Az

AA Aρ ϕ

ρ ρϕ

ρ ρ ϕρ

part part partnablatimes =

part part part （4-109）

球座標 2

ˆ ˆˆ sin1sin

sinr

r r r

Ar r

A rA r Aθ ϕ

θ θϕ

θ θ ϕθ

part part partnablatimes =

part part part （4-110）

ex58 (a) Given the vector function ˆA ϕ= sin (ϕ 2) find Anablatimes

解 2

ˆ ˆˆ sin1sin

0 sin( 2) 0

r r r

Ar r

r

θ θϕ

θ θ ϕϕ

part part partnablatimes =

part part part

4-64

21 ˆˆ cos sin sinsin 2 2 2

rr rr

ϕ ϕθϕθ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

ˆˆ cos sin2 sin 2 2

rr r

ϕ ϕ ϕθ

minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

(b)如左圖一個底面在 x-y 平面半徑＝1高＝2 之圓錐 求面積分

SA dsnablatimes sdotint 面積範圍 S 為圓錐在 x-y 平面以上

部分 方向為由圓錐內向外

解由 Stokersquos law ( )S

A dsrarr rarrnablatimes sdotint ＝

C

A drarrsdotint 其中路

徑 C 為 x-y 平面圓心在原點之單位圓 ˆ ˆd rd dϕ ϕ ϕ ϕ= =

2

0ˆ ˆsin sin

2 2C

d dπϕ ϕϕ ϕ ϕ ϕ⎛ ⎞ ⎛ ⎞sdot =⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠int int ( )0

2 sin u duπ

= int 0cos | 2u π= minus =

習題 16 磁場 B 因為不是保守場所以沒有對應的純量位而對應一

個向量位 A (vector potential)而 B A= nablatimes 一個磁鐵的磁偶極矩

ˆm mz= 被置於原點已知在遠處的 vector potential 03ˆ sin

4mAr

μϕ θπ

=

計算該處的磁場 B Ans 03

ˆˆ( 2cos sin )4

mB rr

μ θ θ θπ

= + 與電偶極遠處

的電場形式一致都是偶極(dipole) 選幾個點畫一畫該處的場向量

把磁力線描出來

附錄本章講義的內容有部分可以經由直接計算得出列在附錄做為

參考

用「圓柱座標」寫 Atimesnabla

Ararr rarrnablatimes ＝ ( )1ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ zz A A zA

z ρ φρ ϕ ρ ϕρ ρ ϕpart part part⎛ ⎞+ + times + +⎜ ⎟part part part⎝ ⎠

4-65

因為rdquo sdotrdquo與rdquotimes rdquo都是向量間的運算所以

＝ ( )ˆ ˆ ˆ ˆ zA A zAρ φρ ρ ϕρpart

times + +part

＋ ( )1ˆ ˆ ˆ ˆ zA A zAρ φϕ ρ ϕρ ϕ

parttimes + +

part

＋ ( )ˆ ˆˆ ˆ zz A A zAz ρ φρ ϕpart

times + +part

直接做上式微分可以得到

＝1ˆ z AA

zϕρ

ρ ϕpart⎛ ⎞part

minus⎜ ⎟part part⎝ ⎠＋ ˆ zA A

zρϕ

ρpart⎛ ⎞part

minus⎜ ⎟part part⎝ ⎠＋

1 1ˆ ( )A

z A ρϕρ

ρ ρ ρ ϕpart⎛ ⎞part

minus⎜ ⎟part part⎝ ⎠

上式可以用一個行列式來表示

rarrrarr

timesnabla A＝

ˆ ˆ ˆ1

z

z

zA A Aρ ϕ

ρ ρϕ

ρ ρ ϕρ

part part partpart part part

（A-1）

A and Anabla nablasdot nablatimes in 球座標 spherical coordinate

如上圖球座標 )( ϕθr 其中 )0[ infinisinr ]0[ πθ isin ]20[ πϕ isin 只有 r

是長度而 ϕθ 為角度是用來說明方向的三個座標的單位向量 ˆ ˆˆ r θ ϕ 具

有下列性質

4-66

1 如上圖 ˆ ˆˆ r θ ϕ 都不是常數而是（ ϕθ ）的函數

ˆ ˆ( )ˆ ˆ( )ˆ ˆ( )

r r θ ϕ

θ θ θ ϕϕ ϕ ϕ

⎧ =⎪

=⎨⎪ =⎩

)( ϕθr 與(xyz)之間的轉換如下

sin cossin sincos

x ry rz r

θ φθ φθ

=⎧⎪ =⎨⎪ =⎩

( )122 2 2

2 2

tan

tan

r x y z

x yz

yx

θ

φ

⎧ = + +⎪⎪ +⎪ =⎨⎪⎪ =⎪⎩

（A-2）

2 ˆ ˆˆ r θ ϕ 形成一「歸一正交集」ie

ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ 1r r θ θ ϕ ϕsdot = sdot = sdot = ˆ ˆr θ ϕperp perp

ˆ ˆr θ ϕtimes = ˆ ˆ rθ ϕtimes = ˆˆ rϕ θtimes = （A-3）

3可以很容易的由他們在 xyz 軸上的投影由直角

座標的 ˆ ˆ ˆ x y z 表出

ˆ ˆ ˆ ˆsin cos sin sin cos ( 4 )ˆ ˆ ˆ ˆcos cos cos sin sin ( 4 )ˆ ˆ ˆsin cos ( 4 )

r x y z A a

x y z A bx y A c

θ φ θ φ θ

θ θ φ θ φ θϕ φ φ

= + + minus⎧⎪

= + minus minus⎨⎪ = minus + minus⎩

4 ˆdr = 由於 ˆ ˆ( )r r θ φ= 所以由 ϕθ 的變動來看

4-67

ˆ ˆˆ| |ˆ ˆˆ| | sin sin

d r d d

d r d d

θ θθ θθ

φ θ φφ θ φφ

⎧ rArr =⎪⎨

rArr =⎪⎩rArr ˆ ˆˆ sindr d dθ θ φ θ φ= + （A-5）

rArrˆ ˆr θθpart

=part

ˆ ˆsinr θφφpart

=part

（A-6）

（A-6）的結果也可以直接由（A-4a）對 ϕθ 偏微得到

5 ˆdθ ＝ 由於 ˆ ˆ( )θ θ θ φ= 所以由 ϕθ 的變動來看

ˆ ˆ ˆ| | ( )ˆ ˆ ˆ| | cos cos

d d r d r

d d d

θ θ θ θ

φ θ θ φφ φ θ φ

⎧ rArr minus = minus⎪⎨

rArr =⎪⎩rArr ˆdθ ＝ ˆˆ cosrd dθ φ θ φminus + （A-7）

ˆrθ

θpart

rArr = minuspart

ˆ ˆcosθ φ θφpart

=part

（A-8）

請直接由（A-4b）對 ϕθ 偏微的結果 check（A-8）

6 ˆdφ ＝由於φ )(ϕ 躺在 x-y 平面上變動φ時的方向可能不是那麼

容易看出來所以做圖看一看

ie ˆ ˆˆ(sin ) (cos )d r d dφ θ φ θ θ φ= minus minus （A-9）

4-68

ˆ ˆˆsin cosrφ θ θ θφpart

= minus minuspart

7 所有的向量 ˆ ˆˆ rA rA A Aθ φθ φrarr= + +

8 位置向量 ˆr rrrarr=

可以由左圖 ˆ ˆˆ r θ ϕ 三個方向的「長度

變化」輕易的看出

9 位移元素

ˆ ˆˆ ˆ sindr rdr rd dθ θ ϕ θ φ= + + (A-10)

10 體積元素

sindv dr r d rdθ φ θ= sdot sdot

＝ 2 sinr dr d dθ θ φ (A-11)

11 面積元素 2 sinrds r d dθ θ φ= plusmn sinds r drdθ θ φ= plusmn ds rdrdφ θ= plusmn (A-12)

plusmn號表示面的垂直方向有兩個端看 ds 周邊的方向是如何定的

nabladel 考慮 ( )u u r θ φ=

rArru u udu dr d dr

θ φθ φ

part part part= + +part part part

u d rrarr rarr

equiv nabla sdot

urarr

= nabla sdot ˆ ˆˆ( sin )rdr rd dθ θ φ θ φ+ +

rArr1 1ˆ ˆˆ

sinu u uu rr r r

θ ϕθ θ φ

rarr part part partnabla = + +

part part part

1 1ˆ ˆˆsin

rr r r

θ ϕθ θ φ

rarr part part partnabla equiv + +

part part part （A-13）

4-69

直接用（A-13）與 ˆ ˆˆ rA rA A Aθ φθ ϕrarr= + + 逐項內積加上（A-678）

rArr ϕθ

θθθ

ϕθ part

part+

partpart

+partpart

=sdotnablararrrarr A

rA

rAr

rrA r sin

1)(sinsin1)(1 2

2 （A-14）

（A-13）與 ϕθ ϕθ AAArA r

andandandrarr

++= 逐項外積整理之後

ϕθ θϕθ

ϕθθ

θArrAA

r

rrr

rA

r sin

sin

sin1

2 partpart

partpart

partpart

=timesnabla

andandand

rarrrarr

（A-15）

Laplacian uu nablasdotnabla=nabla2

2

2

2222

22

sin1)(sin

sin1)(1

ϕθθθ

θθ partpart

+partpart

partpart

+partpart

partpart

=nablau

ru

rrur

rru （A-16）

B推導「散度」在圓柱座標的寫法

讓我們先回顧一下在直角座標裡的「面積元素」可以由「位移元素」

得到

ˆˆ ˆ x y zdr idx jdy kdz da dydz dxdz dxdy= + + rArr =

比照辦理「圓柱座標」的位移元素

( )ˆˆ ˆ( )

( )z

da d dzdr d d zdz da d dz

da d d

ρ

φ

ρ φ

ρ ρ φ ρ φ ρ

ρ ρ φ

=⎧⎪= + + rArr =⎨⎪ =⎩

這個結論可以輕易的由面積元素在垂直於 zˆˆ ϕρ 三個方向的面積看

出如下圖考慮一個以 )( zϕρ 為中心的「圓柱體積元素」(cylindrical

cubiod)體積為 zdV ΔΔ=Δ ϕρρ 現計算在 ρ

方向的 12 兩個平行面(方向各為 ρplusmn )的通

量

4-70

zzF

dsFdsnFS S

ΔΔ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

+cong

=sdotintint intintϕρρϕρρρ

ρ

2

2

ˆ1 1

zzF

dsFdsnFS S

ΔΔ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

minus⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

minusminuscong

minus=sdotintint intintϕρρϕρρρ

ρ

2

2

ˆ2 2

intint+

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

minus⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

minusminus⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

+Δ

asympsdotΔ

rArr21

22

22

1ˆ1

SS

zFzFdsnFV

ϕρρρρϕρρρρρρ ρρ

( ) ( )

1 20

0

0

1 ˆlim

1lim 2 2 2 2

1 1lim 2 2

1

VS S

F ndsV

F z F z

F z F z

F

ρ ρρ

ρ ρρ

ρ

ρ ρ ρ ρρ ρ φ ρ ρ φρ ρ

ρ ρρ ρ φ ρ ρ φρ ρ

ρρ ρ

Δ rarr+

Δ rarr

Δ rarr

rArr sdotΔ

Δ Δ Δ Δ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + + minus minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥Δ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦Δ Δ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥Δ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

part ⎡ ⎤= ⎣ ⎦part

intint

娛樂一下用上述方式把圓柱的 Fsdotnabla 裡的z

FF z

partpart

+partϕρϕ1

變出來

球座標的nabla和 Fsdotnabla 也可以試試看

補充習題

H M Scheydiv grad curl and all that 4th edition

第二章習題 6 8 9 10 11 14 15 16 18 19 21 22 23 25 26 27

第三章習題 2 3 5 6 7 8 9 10 11 14 15 17 18 19 24

4-39

向量場 ( )A r 在 S 面上的「面積分（surface integral）」or「flux」

如左圖若有一「平面」S 且其上有「均勻」

場 B 分佈則通過 S 面的通量就是

ˆB B nSΦ = sdot

但考慮一任意「非均勻」向量場 ( )A r 在空間分佈選取任意曲面 S

探討 ( )A r 在 S 上之通量若ds 為 S 面上的面積元素在趨近於 0 的

小面積ds 上 A可視為均勻所以通過ds 之通量為 ( )d A r dsΦ = sdot 則 S

面之總通量為

Φ＝ ˆ cosS S S

A ds A nds A daϕsdot = sdot =int int int

( )OR

x x y y z zS

A da A da A da= + +int (4-75)

稱為 A 在 S 面上的「面積分」或「通量 flux」

上圖所繪就是一個任意面上分割出許多小面積舉出三個位置的通

量有+-與 0如果 S 面是為一「封閉面」則面積分寫為

S

A dssdotint （4-76）

4-40

ex37 Given 2ˆ ˆ ˆyzA xyz yx zx= + + 計算通量S

A dssdotint

S 面為在第一象限邊長＝1 的立方體表面封閉面

解立方體分為前後右左上下六個面分開算 1前面（x=1）

方向 x+ ˆ xA ds A xdydz A dydzsdot = sdot =int int int前 前 前

yzdydz= int前 ＝1 1

0 0

1 1 12 2 4

ydy zdz = sdot =int int

2後面(x=0)方向 xminus ˆ(- ) - xA ds A x dydz A dydzsdot = sdot =int int int後 後 後

yzdydz= minusint後1 1

0 0

-1 1 -12 2 4

ydy zdzminus = sdot =int int

3 右面（y=1）方向 y+ y ( 1)yA ds A dxdz A y dxdzsdot = sdot = =int int int右 右 右

( 1)x y zdxdz= =int右 ＝1 1

0 0

1 1 12 2 4

xdx zdz = sdot =int int

4 左面（y=0）方向 ˆ-y ˆ( y) - ( 0)yA ds A dxdz A y dxdzsdot = sdot minus = =int int int左 左 左

( 0) 0x y zdxdz= = =int左

5 上面（z=1）方向 z+ zz y (z 1) yA ds A dxd A dxdsdot = sdot = =int int int上 上 上

2 yx dxd= int上 ＝1 120 0

1 1y 13 3

x dx d = sdot =int int

6 下面（z=1）方向 ˆ-z zˆ(-z) y - (z 0) yA ds A dxd A dxdsdot = sdot = =int int int下 下 下

2 -1- y3

x dxd= =int下 ＝1 120 0

1 1y 13 3

x dx d = sdot =int int

S

A dssdotint ＝六個面的和＝1 1 1 1 1 1( ) ( 0) ( )4 4 4 3 3 4

minus minus+ + + + + =

ex38 Given ˆ ˆ ˆzA xyz yx zxy= + + 計算通量S

A dssdotint S 為圓 2 2 2x y a+ =

在第一項限的部分方向選為 z+ 2 2y a x= minus

4-41

解 2 2 4

0 0ˆ

8a a x

zS S S S

aA ds A zdxdy A dxdy xydxdy xdx ydyminus

sdot = sdot = = = =int int int int int int

Ex39 In cylindrical coordinate Given ˆ ˆaA zbzρρ

= + where a b are

constants Find S

A dssdotint over the surface of a

closed cylinder about z-axis specified by 3 2z ρ= plusmn =

解S 分為上下與周邊三面

zz (z 3)zA ds A ds A d dρ ρ ϕsdot = sdot = = sdotint int int上 上 上

= 23 3 2 12bd d b bρ ρ ϕ π πsdot = sdot =int上

ˆ(-z)A ds A d dρ ρ ϕsdot = sdot sdotint int下 下

= z- (z -3)A d dρ ρ ϕ= sdotint下 = 23 2 12b bπ πsdot =

周邊ds ˆ ( )d dzρ ρ ϕ= rArr ˆ ( ) z ( ) zA ds A d d A d dρρ ρ ϕ ρ ϕsdot = sdot =int int int周 周 周

2 3

0 3( ) z ( ) z=a 12aA d d d d d dz a

πρ ρ ϕ ρ ϕ ϕ π

ρ minus= = =int int int int周 周

加起來 S

A dssdotint ＝12 24 12 ( 2 )a b a bπ π π+ = +

ex40 一點電荷 q 置於原點計算在一個以原點為圓心 0r 為半徑的球

面上的電通量

解 2 20 0

ˆ ˆ4 4S S

qr q dsE ds rdsr rπε πε

sdot = sdot =int int int

=0 0 0

44 4S

q q qd ππε πε ε

sdot Ω = sdot =int

上式中 dΩ 2dsr

= 是 ds 所張開的「立體角」(solid angle)

4-42

div A and Flux 通量與散度的幾何物理意義

我們運用過nabla的符號來表示過散度 divF F= nablasdot yx zFF Fx y z

partpart part= + +part part part

但是也看到「散度」定義為

0( )

1( ) limSV

about x y z

divF x y z F da divergence of FVΔ rarr

equiv sdot =Δ int (4-77)

其中 VΔ 為 S 面所包含的體積即散

度為通量(體)密度的 0 體積極限

（4-77）的定義與 Fnablasdot 好像差的很

多她們是說同一回事嗎以下證明

這兩種「散度」的定義是等價的如

左圖考慮一個以點 ( ) x y z 為中心

的 立 方 體 其 相 鄰 三 邊 長 為

x y zΔ Δ Δ 體積 V x y zΔ = Δ Δ Δ 現在計算 F 在立方體的一組平行於 y-z平面的表面 S1 與 S2 的通量

( )1 1

ˆ ˆ xS S

F nds F xds F x y z dsrArr sdot = sdot =intint intint intint 2xxF x y z y zΔ⎛ ⎞asymp + Δ Δ⎜ ⎟

⎝ ⎠

其中 2xx y zΔ⎛ ⎞+⎜ ⎟

⎝ ⎠為 S1 面中心的座標而

2xx y zΔ⎛ ⎞minus⎜ ⎟

⎝ ⎠為 S2 面的中心

( ) ( )2 2 2

ˆ ˆ 2x x

S S S

xF nda F x ds F x y z ds F x y z y zΔ⎛ ⎞rArr sdot = sdot minus = minus asymp minus minus Δ Δ⎜ ⎟⎝ ⎠intint intint intint

上式中的負號來自 S2 面的方向是 xminus 所以合併兩個面積分

1 2

ˆ 2 2x x

S S

x xF nds F x y z F x y z y z+

Δ Δ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞rArr sdot asymp + minus minus Δ Δ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦intint

2 2x xx xF x y z F x y z

x y zx

Δ Δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠= Δ Δ Δ

Δ

2 2

x xx xF x y z F x y z

Vx

Δ Δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠= Δ

Δ

1 2

1 2 2ˆ

x x

S S

x xF x y z F x y zF nds

V x+

Δ Δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠rArr sdot asymp

Δ Δintint

4-43

當取體積向(xyz)點收縮至 0 時即 0 x 0as VΔ rarr Δ rarr 上式的近似

「asymp」就成了「＝」

1 20

1 ˆlimV

S S

F ndsVΔ rarr

+

sdotΔ intint

( )0

2 2limx x

x

x

x xF x y z F x y z F x y zx xΔ rarr

Δ Δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟ part⎝ ⎠ ⎝ ⎠= =Δ part

Similarly F 在立方體的一組平行於 x-z 平面的表面 S3 與 S4 的通量

3 3 3

ˆ ˆ yS S S

F nds F yds F dsrArr sdot = sdot =intint intint intint

2

2

y

y

yF x y zyF x y z x z x y z

y

Δ⎛ ⎞+⎜ ⎟Δ⎛ ⎞ ⎝ ⎠asymp + Δ Δ = Δ Δ Δ⎜ ⎟ Δ⎝ ⎠

( )4 4 4

2ˆ ˆ

y

yS S S

yF x y zF nds F y da F ds x y z

y

Δ⎛ ⎞minus⎜ ⎟⎝ ⎠rArr sdot = sdot minus = minus asymp Δ Δ Δ

Δintint intint intint

合併 S3 與 S4 兩個面積分並取體積向(xyz)點收縮至 0 時即當

0 y 0VΔ rarr Δ rarr 上式的近似asymp就成了＝

3 4

2 2ˆ

x x

S S

y yF x y z F x y zF nds V

y+

Δ Δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠rArr sdot cong Δ

Δintint

3 40 0

1 2 2ˆlim lim

x xy

V yS S

x yF x y z F x y z FF nds

V y yΔ rarr Δ rarr+

Δ Δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟ part⎝ ⎠ ⎝ ⎠rArr sdot = =Δ Δ partintint

與上面相同的作法計算 F 在立方體的一組平行於 x-y 平面的表面 S5

與 S6 的通量我們也會得到對應的結果

5 6

2 2ˆ

z x

S S

z zF x y z F x y zF nds V

z+

Δ Δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠rArr sdot cong Δ

Δintint

5 60 0

1 2 2ˆlim lim

z xz

V zS S

z zF x y z F x y zFF nds

V z zΔ rarr Δ rarr+

Δ Δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟ part⎝ ⎠ ⎝ ⎠rArr sdot = =Δ Δ partintint

所以合併立方體的 6 個面積分

4-44

1 2 3 4 5 6

ˆ ˆ ˆ ˆS S S S S S S

F nds F nds F nds F nds+ + +

rArr sdot = sdot + sdot + sdotint intint intint intint

0

1 ˆlim yx zV

FF FF nds div F FV x y zΔ rarr

partpart partrArr sdot = + + = = nablasdot

Δ part part partint (4-78)

在此我們得證這兩種「散度」的定義是等價的只是（4-77）的定義

充分的表現出「散度」的幾何物理意義他從通量著手由於場線

出自於 source（ex電場源自於點電荷）所以在點(xyz)必須有向量場

F 的 source 存在才能使得當面積縮到 0 時仍具有非 0 的通量所以「散

度」表現向量場 F 的 source 在這個定義之下是很清楚的當然在計算

「散度」時我們不必那麼麻煩用 divF F= nablasdot 就好了

Ex41 計算 2ˆ ˆ ˆF xx yxy zyz= + + 的散度

解 2 yx zFF Fx x yx y z

partpart part= = =

part part part F 2x x y 3x ydivrArr = + + = +

recall 在靜電學0

yx zEE EEx y z

ρε

partpart partnablasdot = = + +

part part part

散度定理 Divergence Theorem

若任意封閉面（又稱為「高斯面」）S 所包圍的

體積為 V 則

S VA ds Adτsdot = nablasdotint int （4-79）

pf 我們先將體積分割成 N 個小盒子考慮相鄰的兩個小盒子 1 2

兩小盒子的共用面面積 S0當 S0 是為 1 號盒子的一部份時其方向為

1n 但若當為 2 號盒子的表面時其方向為 12 ˆˆ nn minus= 如此在 S0 分別做

4-45

1 2 盒子的面積分後

0 0

0 0 0 0

1 2

1 2 1 1ˆ ˆ ˆ ˆ 0

S S

S S S S

A ds A ds

F n ds F n ds F n ds F n ds

sdot + sdot

= sdot + sdot = sdot minus sdot =

intint intintintint intint intint intint

所以若求場 A 在 1 2 盒子的總通量時交界面是沒有貢獻的總通量

就只有「外面積」才有貢獻如此我們計算 N 個小盒子的總通量

時所有的內部共用面都得 0只剩下「外表面」的貢獻了當 infinrarrN

時所有小盒子的「總外表面」就與 S 面重合了所以所有小盒子通量

的總和就等於 S 面的通量

1lim

i

N

S SN iA ds A ds

rarrinfin=

rArr sdot = sdotsumint int

現在我們做 N 個小盒子的總通量

1 1

1i i

N N

iS Si i i

A ds A ds VV= =

⎛ ⎞sdot = sdot Δ⎜ ⎟Δ⎝ ⎠

sum sumint int

當 0iN Vrarrinfin rArr Δ rarr 並用 dv 表示體積元素

( ) ( )1 1

1

1lim lim lim

lim

i ii

N N

iS SN N V oi i i

N

i VN i

A ds A ds VV

A V A dv

rarrinfin rarrinfin Δ rarr= =

rarrinfin=

⎛ ⎞sdot = sdot Δ⎜ ⎟Δ⎝ ⎠

= nablasdot Δ = nablasdot

sum sumint int

sum int

( )S V

A da A dvrArr sdot = nablasdotint int QED

所以得證散度定理上式中我們用了散度的（4-77）式定義要分辨

清楚 Anablasdot 是向量場 A 在空間中「某一點」的性質（ 0VΔ rarr ）而「散

度定理」說的是一個「有限體積」的性質

ex42 給定 ( ) ˆ ˆ ˆ A x y z xx yy zz r= + + = 計算在

半徑 R＝1 的球的上半球加底面的通量

4-46

解 ( )ˆˆS

A da A rda A k darArr sdot = sdot + sdot minusint int int上半球面 底面

( )

2

ˆ ˆ

0 2 1 2

A rda A z dxdy

r rds zdxdy rds ds π π

= sdot + sdot minus

= sdot minus = minus = = sdot =

int int

int int int int上半球面 底面

上半球面 底面 上半球面

底面的通量＝0 是因為 A 的 z 分量 Az=z 在底面的值為 0

也可以用散度定理更快的得出結果

∵ 3A rnablasdot = nablasdot =

31 43 3 1 22 3V V

Ad d πτ τ πnablasdot = = sdot sdot sdot =int int

ex43高斯定律的微分形式積 由 Gaussrsquo law 的積分形式用散度定理得出其

( )0 0

1 inS V

qE ds x y z dvρε ε

sdot = =int int

0S V VE ds Edv dvρ

εrArr sdot = nablasdot =int int int

上式最後的等式對「任意形狀」V 都成立所以兩者的被積函數相等

對於空間每一點 0

E ρε

nablasdot = （4-80）

ex44 Use 第一象限的單位力方體 check the divergence theorem using the function 2 2ˆ ˆ ˆ(2 ) 2A y x xy z y yzz= + + +

解2

2( ) (2 )(2 ) 2( )y yzA xy z x yx y z

part part partnablasdot = + + + = +

part part part

and 1 1 1 1 1 1

0 0 0 0 0 02 ( ) 2 ( )

VAdv x y dxdydz dz dy x y dxnablasdot = + = +int int int int int int int

1 1

0 0

1 12 ( ) 2 12 2

dz y dy= + = sdot =int int

面積分 1 1 2

0 0

1ˆ3

A ds A xdydz dz y dysdot = sdot = =intint intint int int前 前

4-47

1 1 2

0 0

1ˆ( )3

A ds A x dydz dz y dy minussdot = sdot minus = minus =intint intint int int

後 後

1 1 2

0 0ˆ (2 )A ds A ydxdz dz xy z dxsdot = sdot = +intint intint int int

右 右

1 1 1 12 2

0 0 0

4(2 ) (1 )3

ydz x z dx dz z

=

= + = + =int int int∵

1 1 2

0 0

0 1 1 12 2

0 0 0

ˆ( ) (2 )

1(1 )3

y

A ds A y dxdz dz xy z dx

dz z dx dz z=

sdot = sdot minus = minus +

minus= minus = + =

intint intint int int

int int int∵

左 左

11 1 1 1

0 0 0 0ˆ 2 2 1

zA ds A zdxdy dx yzdy dx ydy

=sdot = sdot = = =intint intint int int int int

∵

上 上

01 1

0 0ˆ 2 0

zA ds A zdxdy dx yzdy

=sdot = sdot minus = minus =intint intint int int

∵

下 下

前後右左上下六個面積分合併＝1＝V

Advnablasdotint QED

ex45 Continuity Equation 連續方程式

考慮某些「東西」的流動（物質電荷hellip）在時刻 t 時在點(xyz)

的 密 度 為 ( ) x y z tρ ρ= 並 具 有 速 度

( ) v v x y z t= 在時刻 t 時在體積 V 內的總量為

( ) x y z t dρ τintintint

這樣體積 V 內東東的時變率為

( ) ( ) d x y z t d x y z t ddt t

ρρ τ τpart=

partintintint intintint

注意體積分後的時間全微分移入積分內要改為偏微分這個東東

在表面的「流率 flow rate」可表為

ˆS

R v ndsρ= sdotintint

若體積內的物料無法自生自滅那麼體積內物料的變化必經由表面的

流出流入所造成

d v ndstρ τ ρpart

rArr = minus sdotpartintintint intint

由散度定理

4-48

( )ˆS

v nds v d dtρρ ρ τ τpart

sdot = nablasdot = minuspartintint intintint intintint

( )v Jtρ ρpart

rArr = minusnablasdot equiv minusnablasdotpart

0Jtρpart

rArr +nablasdot =part

（4-81）

(4-81) 即 continuity equation其中 J vρ= 為「物流密度」ex如果 ρ

是電荷密度 J 就是電流密度（4-81）是物質守恆的結果只對體

積內無 source（生成）or drain（消滅）的東東成立

ex46 Given a vector field ˆ ˆx yA ye xe= minus + (a) Find

Anablasdot (b)如圖一個金字塔狀的 5 面體高 2 底邊長

1計算 A在整個金字塔表面（封閉面）的總通量

解(a) Anablasdot = ( ) ( ) 0y xx ypart part

minus + =part part

(b) 金 字 塔 的 表 面 面 積 元 素 ds 不 好 寫 所 以 用 散 度 定 理

( )S V

A da A dvrArr sdot = nablasdotint int ＝0 Anablasdot 表示 A沒有 source 所以對封閉面而

言有多少場線進入就有多少出去所以總通量＝0

習題 7 With position vector r for an arbitrary volume V that is

bounded by surface S show that 13 S

r ds Vsdot =int

習題 8 已知一靜電場為 ˆ ˆ ˆ( )E xyz yxz zxyλ= + + 運用 Gaussrsquo law

試求包含在半球 2 2 2 2 0x y z R z+ + = ge 裡的總電荷 Ans 0

習題 9 (a) given ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( 2 )F r xf x yf y zf z= + + minus show that divF is

zero at point (c c -c2) (b) given ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( )G r xf x z yg x z zh x y= + +

show that ( ) 0G rnablasdot =

4-49

習題 10 Find the normal vector n for the surfaces (a) z = 2-x-y ans

ˆ ˆ ˆ( ) 3x y z+ + (b) z = (1-x2)12 ans ˆ ˆxx zz+ (c) z = x2+y2

ans ˆ ˆ ˆ( 2 2 ) 1 4xx yy z zminus minus + +

習題 11 Show that the unit vector normal to the plane ax+by+cz =d is

given by 2 2 2ˆ ˆ ˆ( ) ax by cz a b cplusmn + + + +

圓柱座標與球座標的nabla (del)

考慮一純量場在直角座標為 ( ) u x y z 在圓柱座標表為 ( ) u zρ φ

再考慮因位移 r r drrarr + 所造成 u ( )zρ φ 的變化

( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆz

z

u u udu d d dz u dr u d d zdzz

u u z u d d zdz

u d u d u dzρ ϕ

ρ ϕ

ρ ϕ ρ ρ ϕρ ϕρ ϕ

ρ ϕ ρ ρ ϕρ ϕ

ρ ρ ϕ

part part part= + + = nabla sdot = nabla sdot + +part part part

⎡ ⎤= nabla + nabla + nabla sdot + +⎣ ⎦= nabla + nabla + nabla

( ) ( ) ( )1

1ˆ ˆ ˆu

z

u u uu u uz

u u uzz

ρ ϕρ ρ ϕ

ρ ϕρ ρ ϕ

part part partrArr nabla = nabla = nabla =

part part partpart part part

rArrnabla = + +part part part

1ˆ ˆ ˆ zz

ρ ϕρ ρ ϕpart part part

nabla = + +part part part

（4-82）

注意nabla的ϕ -分量( 1ρ ϕ

partpart

)不是像直角座標裡單純的ϕpartpart

所以不要笨笨

的就把直角座標的形式硬套上去用我們也可以從「因次分析」來

看nabla因為是對空間的微分所以每一項的因次必須是「長度分之一」

運算 andzρ

part partpart part

都是「長度分之一」而「單純的ϕpartpart

」是沒有單位的

所以要1ρ ϕ

partpart

才 OK

由於圓柱座標裡的單位向量除了 z 之外 ˆ( )ρ ϕ 與 ˆ( )ϕ ϕ 都不是常

4-50

數所以在微分時不可以與微分運算交換而要考慮微分的作用所

以在「圓柱座標」寫「散度」 ( ) F zρ ϕnablasdot 也和直角座標不一樣

( )1ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ zF z F F zFz ρ ϕρ ϕ ρ ϕ

ρ ρ ϕpart part part⎛ ⎞

nabla sdot = + + sdot + +⎜ ⎟part part part⎝ ⎠

( ) ( )1ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆz zF F zF F F zFρ ϕ ρ ϕρ ρ ϕ ϕ ρ ϕρ ρ ϕpart part

= sdot + + + sdot + +part part

( )ˆ ˆˆ ˆ zz F F zFz ρ ϕρ ϕpart

+ sdot + +part

因為 ( ) ( )ˆ ˆ ˆ ˆ ρ ρ ϕ ϕ ϕ ϕ= = 所以做 andzρ

part partpart part

時 ˆ ˆ ρ ϕ 可視為常數

ˆ ˆ1ˆ ˆ ˆ zF F F FF F Fz

ρ ρ ϕρ φ

ρ ϕϕ ρ ϕρ ρ ϕ ϕ ϕ ϕ

part part part⎡ ⎤part part partrArrnablasdot = + sdot + + + +⎢ ⎥part part part part part part⎣ ⎦

還記得 ˆ ˆ ˆ ˆd d d dρ ϕ ϕ ϕ ρ ϕ= = minus 所以 ˆ ˆρ ϕϕpart

=part

ˆ ˆϕ ρϕpart

= minuspart

rArr

( )1 1 1z zF F F FF FF Fz z

ρ ρ ϕ ϕρρ

ρ ρ ρ ϕ ρ ρ ρ ϕpart part part part

nablasdot = + + + = + +part part part part part part

（4-83）

在球座標寫nabla也會遇到相似的問題其根源就是球座標 ( )r θ ϕ 裡

的 θ ϕ 的因次並非長度而三個單位向量 ˆ ˆˆ r θ ϕ（表為 ie ）都是( θ ϕ )

的函數以致

( )ˆ ˆ( ) ( )i ie f e fθ ϕ θ ϕθ θpart part

nepart part

且 ( )ˆ ˆ( ) ( )i ie f e fθ ϕ θ ϕϕ ϕpart part

nepart part

所以nabla也不似在直角座標那麼簡單我們不在這裡推導而是給出一

個歸納的統一的三個座標的結果還記得對每一個座標 iu i = 123

座標的變化 idu 與造成的長度變化 id

i i id h du= 123i = (4-84)

其中 ih 為對應的度量係數(metric coefficient)

4-51

1 2 3

1 1 2 2 3 3

1 1 1ˆ ˆ ˆu u ue e eh u h u h u

part part partnabla equiv + +

part part part （4-85A）

座標 1 2 3 u u u

度量係數

1 2 3 h h h

nabla grad del

直角 x y z

1 1 1 nabla ˆ ˆ ˆx y z

x y zpart part part

equiv + +part part part

圓柱

zρ ϕ

1 1ρ

1ˆ ˆ ˆ z

zρ ϕ

ρ ρ ϕpart part part

nabla equiv + +part part part

球

r θ ϕ

1 sinr r θ

1 1ˆ ˆˆ

sinr

r r rθ ϕ

θ θ ϕpart part part

nabla = + +part part part

（4-85B）

梯度gradient Vnabla grad(V) 散度divergence Anablasdot div( )A

直

角 nablaV ˆ ˆ ˆV V Vx y z

x y zpart part part

= + +part part part

yx zAA AAx y z

partpart partnablasdot = + +

part part part

圓

柱

1ˆ ˆ ˆ V V VV zz

ρ ϕρ ρ ϕpart part part

nabla = + +part part part

( )1 1

1

z

z

A AA Az

A A A Fz

ϕρ

ρ ρ ϕ

ρρ ρ ρ ϕ

ρ ρ ρ ϕ

partpart partnabla sdot = + +

part part partpart part part

= + + +part part part

球

1 1ˆ ˆˆ sin

V V VV rr r r

θ ϕθ θ ϕ

part part partnabla = + +

part part part

22

1 ( )rA r Ar r

partnabla sdot =

part

1 (sin )sin

Ar θθ

θ θpart

+ sdotpart

1sin

Ar

ϕ

θ ϕpart

+part

(4-86)

Ex47 Using spherical coordinate show that 1| |r r

nablaminus

= 2

ˆ| |

r rer r

minusminusminus

where

nabla是作用在 r 而 ˆr re minus 是向量 r rminus 方向的單位向量 解let r lies in z-axis so that the angle between r and r is just θ

4-52

rArr ( ) 122 21 1 2 cos | | ( ) ( )

r rr rr r r r r r

θminus

= = minus +minus minus sdot minus

( ) ( )12 122 2 2 21 1ˆˆ 2 cos 2 cos | |

r r rr r r rr rr r r r

θ θ θθ

minus minuspart partnabla = minus + + minus +

minus part part

( ) 322 21ˆ 2 cos (2 2 cos )2

r r rr r r rθ θminusminus

= minus + minus

( ) 322 21ˆ 2 cos (2 sin )2

r rr r rrθ θ θminusminus

+ minus +

3 3 3 3

ˆˆ ˆ( cos ) sin ( cos sin )ˆˆ| | | | | | | |r r r rr r rrr r r r r r r r

θ θ θ θ θθminus minus minus minus minus= + = +

minus minus minus minus

3 3 3ˆ ( )

| | | | | |r r z r r r rr r r r r rminus + minus + minus minus

= = =minus minus minus

＝ 2

ˆ| |

r rer r

minusminusminus

QED

證明最後我們用到 ˆˆˆ cos sinz r θ θ θ= minus 而 ˆ r r z= 因為我們選了 r 是

躺在 z-軸 Ex48 For arbitrary scalar field ( )f r and vector field ( )A r 證明恆等式

( )fA f A f Anablasdot = nabla sdot + nablasdot (4-87) 解 ˆ ˆ ˆx y zfA xfA yfA zfA= + +

( ) ( ) ( ) ( )x y zfA fA fA fAx y zpart part part

rArrnablasdot = + +part part part

yx zx x x

AAf f f AA f A f A fx x y y z z

partpartpart part part part= + + + + +part part part part part part

yx zx y z

AAf f f AA A A fx y z x y z

part⎛ ⎞partpart part part part= + + + + +⎜ ⎟part part part part part part⎝ ⎠

f A f A= nabla sdot + nablasdot QED 習題 12 一個位於原點的電偶極電偶極矩＝ ˆp pz= 已知其在遠處

的電位為 20

cos4p

rθ

πε試證該處的電場強度為 E = 3

0

ˆˆ( 2cos sin )4

p rr

θ θ θπε

+

(已知 E V= minusnabla )並請計算 Enablasdot ＝

習題 13 給定一向量場2

3cosˆD r

rϕ

= 現有兩個球心在原點的同心球

內球半徑 R＝1外球 R＝2(a)求面積分S

D dssdotint S 為同心球殼的表

面（有內外兩個面）(b)求體積分V

Ddvnablasdotint V 為兩同心球之間的

區域本題也是來 check 散度定理的Ans πminus

4-53

The Laplacian operator 2nabla equivnablasdotnabla

在直角座標可以用直接作用得到

2 2 2

22 2 2u u uu u

x y zpart part part

nabla equiv nablasdotnabla = + +part part part

(4-88)

圓柱座標

2 2

22 2 2

1 1( ) u u uu uz

ρρ ρ ρ ρ ϕ

part part part part⎛ ⎞nabla equiv nablasdot nabla = + +⎜ ⎟part part part part⎝ ⎠

(4-89)

球座標

2

2 22 2 2 2 2

1 1 1sinsin sin

u u uu rr r r r r

θθ θ θ θ ϕ

part part part part part⎛ ⎞ ⎛ ⎞nabla = + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟part part part part part⎝ ⎠ ⎝ ⎠ （4-90）

習題 14 verify (4-89) and (4-90)

習題 15 Given a dipole potential V= 20

cos4p

rθ

πε find 2Vminusnabla

sect 433 Line integral and curl A 線積分與與旋度的物理意義

線積分路徑積分

考慮一曲線 C 通過兩點 ( )i i i iP x y z 與

( )f f f fP x y z 現有一向量場 ( )A x y z 定義在

C 所在的空間若 sd 為 C 上位於(xyz)點的

「路徑元素」（ ˆd td= 方向沿該處切線）而

( )A x y z 為路徑元素d 處的場值則沿 C 經歷各點所做積分

cos cosf

CC C iA d Ad A dϕ ϕrarr rarrsdot = =int int int （4-91）

稱為向量場 ( )A x y z 沿路徑 C 自 pi 至 pf 的「線積分」「或「路徑積分」

積分裡 A 取值的點侷限在路徑 C 上面若為一個「封閉路徑」則對

C 的線積分也稱做「環路積分 closed contour integral」記做

C

A dsdotint （4-92）

4-54

物理量「做功」是最標準的線積分之一力 F 自 x = a 至 x = b「沿線」

x 軸做功

W＝ F dxsdotint ＝ ( )b

xaF x dxint （4-93）

質點在力場 )(rF 裡走一條曲線 C則力場做功

CW F d= sdotint （4-94）

還記得如果 ( )F r 是所謂「保守力」則上式只與始末點有關而與

路徑無關但如果 ( )F r 是所謂「非保守力」則做功與確實的路徑 C

有關

現考慮一質點在空間運動的位置 r 落在由曲線 C

描述的路徑則質點的位移元素與曲線 C 的路徑元

素相同 d dr= 若空間有向量場 A 分佈則 A 在 C 的

路徑積分以直角座標表示為

CA drarr rarrsdotint ＝

CA d rrarr rarrsdotint ＝ ( )x y zC

A dx A dy A dz+ +int （4-95）

上式中的 x y z 的積分限由 C 決定

Ex49 2 2 2ˆ ˆ ˆA xx yy zzrarr= + + 選定一路徑 C 為曲線

2y x= 由 (000)到 (2 20)的部分求C

A dsdotint

解 ˆ ˆd xdx ydy= +∵

CA dsdotint ＝ 2 2( )

Cx dx y dy+int ＝

2 22 2

0 0x dx y dy+int int

＝ )24(32

+

或由 2y x= rArr 2ydy dx= 2 12

y dy xdxrArr =

rArrC

A dsdotint ＝2 2

0

1( )2

x x dx+int ＝2 (4 2)3

+

4-55

ex50 ˆ ˆ( )f x y z xy yx= minus Do C

f dsdotint 其中的路徑 C 為一逆時針三角

形如圖 解∵路徑全部在 x-y 平面 ˆ ˆ ˆd td xdx ydy= = +

rArrC

f dsdotint ＝ x yC

f dx f dy+int ＝C

ydx xdyminusint

由於在 C1 上 y = 0 及 dy = 0 所以 01

=intC 又由於在

C3 上 x = 0 及 dx =0所以 03

=intC 所以只剩下 C2 可

能有貢獻由 2C 的方程式x + y =1rArr ⎩⎨⎧

minus=minus=

xyyx

11

rArr2Cydx xdyminusint ＝

0 1

1 0(1 ) (1 )x dx y dyminus minus minusint int ＝

0 12 2

1 0

( ) ( )2 2x yx yminus minus minus ＝-1

Cf dsdotint ＝-1

ex51 ( )f x y zrarr

= 2ˆ ˆxx yxyminus 如右圖doC

f dsdotint 其

中路徑 C 為第一象限的逆時針 14 圓弧

解∵ 全部在 x-y 平面 ˆ ˆd xdx ydy= +

Cf dsdotint ＝ 2

Cx dx xydyminusint

由於在 C 上 cosx R ϕ= rArr sindx R dϕ ϕ= minus

siny R ϕ= rArr cosdy R dϕ ϕ=

rArr 2

Cx dx xydyminusint ＝

2 2 2 2

0cos ( sin ) sin cos cosR R d R R d

πϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕminus minus sdotint

23 2

02 cos sinR d

πϕ ϕ ϕ= minus int ＝

323Rminus

又路徑為圓周一部份所以適合用極座標表示

ˆd Rdϕ ϕ= 又由左圖將 ˆ ˆx y 拆解（投影）到 ˆˆr ϕ

ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆcos sin sin cosx r y rϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ= minus = +

4-56

( )2ˆ ˆ ˆˆ ˆ( cos sin ) ( sin cos )C C

f d r x r xy Rdϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕsdot = minus minus + sdotint int 2

2 2 2

0

sin (cos )

sin ( cos ) (cos ) cos sin

Cx Rd xyRd

R Rd R Rdπ

ϕ ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ

= minus minus

= minus minus

intint

23 2

02 cos sinR d

πϕ ϕ ϕ= minus int ＝

323Rminus

這也驗證了散度定理

Path Independence 路徑獨立性

Ex52 證明庫倫力為「保守力」考慮

電荷 q0 位於原點及電荷 q 位於

( )r x y zrarr= q 受力 F

rarr＝ 0

20

14

qq urπε

and

求庫侖力作功因為球形對稱所以

用球座標由 ˆ ˆ ru rr

= = rArr Frarr

= 03

04qq r

rπε

庫侖力由 P1 至 P2 做功為 2

1

P

CPF drarrsdotint ＝

2

1

02

0

ˆ ˆ ˆˆ sin4

P

PC

qq r rdr rd r dr

θ θ ϕ θ ϕπε

⎡ ⎤sdot + +⎣ ⎦int ＝2

1

02

04P

P

qq drrπεint

＝20

2104

r

r

qq drrπε int ＝ 0

0 1 2

1 1( )4qq

r rπεminus for all C

所以庫侖力兩點間做功與路徑無關rArr保守力

對於「保守力 conservative force」 cF 自 p1 經

由兩條不同的路徑 C1 與 C2 到達 p2

1 ccF drarrsdotint ＝

2 ccF drarrsdotint ＝-

2 ccF drarr

minussdotint

rArr1 2c cc cF d F drarr rarr

minussdot + sdotint int = cF d

rarrsdotint ＝0 (4-96）

對於任何「封閉路徑」保守力做功為 0反之若

對任一封閉路徑 0F drarrsdot neint 則兩點之間的做功與路徑有關

rarr

F 為「非

保守力」

4-57

旋度 curl Anablatimes 的幾何物理意義

我們在（4-70）式已經看過旋度的計算方式但旋度另有其意義的

ex53 給定向量場2 2

0ˆ yv yv e λrarr

minus= 左圖為場的分佈

2 20

ˆ ˆ ˆ

0 0x y z

y

x y zcurl v

v e λ

rarr

minus

= part part part ＝ ˆ ˆ ˆ0 0 0 0x y zsdot minus sdot + sdot =

我們用了簡寫 x yx ypart part

part equiv part equivpart part

可以看出這個場裡沒有「漩渦」

但是有無「漩渦」有時也不是那麼明顯可以看出的請見下一個例子

Ex54 給定向量場2 2

0ˆ xv yv e λrarr

minus= 計算其旋度 vnablatimes

解向量場 vrarr

畫在右邊你看得出有無漩渦

先計算旋度

2 20

ˆ ˆ ˆ

0 0x y z

x

x y zcurl v

v e λ

rarr

minus

= part part part2 2

2 2

0

0

ˆ

ˆ 2 0 0

x

x

z v ex

z v xe for x

λ

λ

minus

minus

part=

part

= minus ne ne

vrarr

的旋度在大部分的地方不為 0 且隨位置而不同但是你看得出這個

向量場裡有「漩渦」其實要檢驗一個向量場裡有無「漩渦」有一

個很物理的方法就是放一個小「螺旋槳」（左圖）

在場內將軸朝各個方向測試一

下如果有「漩渦」的話這個

小「螺旋槳」就會轉動右圖就是將「螺旋槳」的

軸平行於 z 軸且放在 x gt 0 的地方就可以看出左

邊的 v 場比右邊的強造成螺旋槳順時針轉動rArrcurlv zminus for x gt 0

但如果放在 x = 0 的地方就會看到左右兩端的 v 場強度相同而且

4-58

curlv = 0 「螺旋槳」放在 x lt 0 的地方就可以看出右邊的v 場比左

邊的強造成螺旋槳逆時針轉動這完全符合 curl v k+ 的結果

環路積分與旋度 curl 的物理意義

如同「散度」一樣「旋度」除了 Ftimesnabla 之外

還有一個物理意義更清楚的定義這個定義由

「線積分」說明如圖考慮做「逆時針」長方形

路徑 C1 的一個「環路積分」C1 面平行於 x-y 平

面由 z-軸看下去環路 C1 可以分為可以分為

下 CB上 CT右 CR左 CL 4 部分

CA drarrsdotint ＝

B T L RC C C CA d A d A d A drarr rarr rarr rarrsdot + sdot + sdot + sdotint int int int

分別計算由於 CB 的中點座標為 ( )2yx y zΔ

minus

ˆB BC C

A d A xdxrarr rarrsdot = sdot =int int

BxC

A dxint ( )2xyA x y z xΔ

asymp minus Δ

similarly 由於 CT 的中點座標為 ( )2yx y zΔ

+

ˆ( )T TC C

A d A xdxrarr rarrsdot = sdot minus =int int

TxC

A dxminusint ( )2xyA x y z xΔ

asymp minus + Δ

合併 CB 與 CT

B TC CA drarr

+sdot =int

( ) ( )2 2x xy yA x y z A x y z

x yy

Δ Δ⎡ ⎤minus + minus minus⎢ ⎥⎣ ⎦ Δ ΔΔ

（4-97）

由 C1 所圍的面積 S x yΔ = Δ Δ

1B TC C

A dS

rarr

+sdot =

Δ int( ) ( )

2 2x xy yA x y z A x y z

y

Δ Δ⎡ ⎤minus + minus minus⎢ ⎥⎣ ⎦Δ

（4-98）

所以當取極限 C1 收縮到中心(xyz)時 SΔ 收縮到 0ie

4-59

0limsΔ rarr

1B TC C

A dS

rarr

+sdot =

Δ int xAy

partminuspart

（4-99）

Similarly with CR 的 ˆd ydy= CL 的 ˆd ydy= minus 可得

1L RC C

A dS

rarr

+sdot =

Δ int x

zyxxFzyxxF yy

Δ

Δminusminus

Δ+ )

2()

2(

（4-100）

同樣的當取極限 C1 收縮到中心(xyz)時 SΔ 收縮到 0

0

limsΔ rarr

1L RC C

A dS

rarr

+sdot =

Δ int yAx

partpart

（4-101）

最後合併 CBCTCRCL 為 C1

10

1limCs

A ds

rarr

Δ rarrsdot =

Δ int y xA Ax y

part partminus

part partˆ ( ) ( )zz A A= sdot nablatimes = nablatimes （4-102）

注意 C1 的方向就是在 z 上式的重要

意義是當向量場 A 在一個以點(xyz)為

中心「方向為 z 」的面積元素的「邊界」

所做的環路積分得到的就是 A 在(xyz)

處旋度的 z-分量明顯的只有當 A 在

(xyz)附近有 x-y 平面上的「漩渦」那麼 C1 的環路積分才不會為 0

Similarly 取一個逆時針繞著(xyz)的平行於 x-z 平面的長方形環路 C2

（左圖）做環路積分再取極限將 C2 收縮到(xyz)就會得到

20

1limCs

A ds

rarr

Δ rarrsdot =

Δ int x zA Az x

part partminus

part partˆ ( ) ( )yy A A= sdot nablatimes = nablatimes （4-103）

注意到 C2 所包圍的面積方向就在 y到

現在我們應該已經很有經驗了若取一

個逆時針繞著(xyz)的平行於 y-z 平面

的長方形環路 C3（左圖）做環路積分

再取極限將 C3 收縮到(xyz)就會得到

4-60

30

1limCs

A ds

rarr

Δ rarrsdot =

Δ int yz AAy z

partpartminus

part partˆ ( ) ( )xx A A= sdot nablatimes = nablatimes （4-104）

能把（4-103）與（4-104）變出來的同學我們有優待綜合以上

我們可以得到一個結論若取一個以點(xyz)為中心的任意環路 Cn（其

所包圍的面積方向在 n ）則

n curl Aand rarrsdot ＝

0

1lims

Cn

A ds

rarr

Δ rarrsdot

Δ int （4-105）

明顯的當 n ＝ x 或 y 或 z 時我們可以重複（4-102）到（4-104）的

結果（4-70）式的行列式所定義的旋度在此看見其幾何物理意義

至此「旋度」的「漩渦」形象應該已經很清楚了只有在(xyz)點附

近的小圈圈上有「漩渦」 A 在小圈圈做的環路積分才會有值這個

值就是向量場 A 的「旋度」在小圈圈面積方向的分量

Stokersquos 定理

考慮一個開放面 S被其「有方向的」邊界 C 圈住(bounded by)則

( )S

A dsrarr rarrnablatimes sdotint ＝

C

A drarrsdotint （4-106）

pf 先將 S 面分割為 N 個多邊形這會使得邊界變成一個「折線」形

成的環路 P環路 P 會隨著分割的多邊形個數的增多而越加近似於原

「光滑的」邊界 C現考慮相鄰的

兩個多邊形的線積分由於共用邊

的方向是相反的所以相鄰兩個多

邊形線積分的和只剩「外邊界」（見左圖）所以當把所有的多邊形的

4-61

線積分加起來時由於只有邊界 P 不是多邊形的共用邊所以

1k

N

k C

A drarr

=

sdotsum int ＝P

A drarrsdotint rArr

P

A drarrsdotint ＝

1

1

k

N

kk k C

A d l ss

rarr rarr

=

⎡ ⎤sdot Δ⎢ ⎥

Δ⎢ ⎥⎣ ⎦sum int

其中 ksΔ 為第 k 個多邊形的面積取極限 0kN srarrinfinrArrΔ rarr P CrArr rarr

C

A drarrsdotint ＝

10

1limkk

N

kN k k Cs

A d ss

rarr

rarrinfin=Δ rarr

⎡ ⎤sdot Δ⎢ ⎥

Δ⎢ ⎥⎣ ⎦sum int 01

ˆlim ( )k

k kskn A s

infin

Δ rarr=

⎡ ⎤= sdot nablatimes Δ⎣ ⎦sum

01

ˆlim ( )k

k kskA n s

infin

Δ rarr=

= nablatimes sdot Δsum = ( )S

A dsrarr

nablatimes sdotint QED

ex55 由 Amperersquos law 的積分形式導出其微分形式

解Amperersquos law 的積分形式 C

B drarrsdotint ＝ I0μ (4-107)

由 Stokersquos 定理及電流密度 j 的定義上式等號兩端可寫為

rArr ( )S

B dsrarr rarrnablatimes sdotint ＝ 0 S

j dsμrarrsdotint

由於上面的等式對任意面 S（路徑 C）都成立所以被積函數相等

0B jμrarr rarr rarr

rArrnablatimes = (4-108) 此即 Amperersquos law 的微分形式

Ex56 Given a vector field ˆ ˆx yA ye xe= minus + (a) Find Anablatimes

解

ˆ ˆ ˆˆ ˆ(1 ( 1) 2

0x y z

x y zA z z

y xnablatimes = part part part = minus minus =

minus

(b)如圖一個金字塔狀的 5 面體高 2底邊長＝1計算 ( )S

A dsnablatimes sdotint

其中 S 為金字塔在 x-y 平面以上的部分方向如同

封閉的金字塔（運用 Stokersquos law）

解金字塔上表面的面積元素ds 不好寫由 Stokersquos

4-62

law ( )S

A dsrarr rarrnablatimes sdotint ＝

C

A drarrsdotint 其中封閉路徑 C 就是上表面的邊界而且

是逆時針（由 z 軸向下看）

C

A drarrsdotint ＝

1 1 0 0

0 0 1 1ˆ ˆ ˆ ˆA xdx A ydy A xdx A ydysdot + sdot + sdot + sdotint int int int

＝1 1 0 0

0 0 1 1x y x yA dx A dy A dx A dy+ + +int int int int 1 1 0 0

0 0 1 1( 0) ( 1) ( 1) ( 0)y dx x dy y dx x dy= minus = + = + minus = + =int int int int

0 1 1 0 2 ( ) 2S

A ds= + + + = rArr nablatimes sdot =int

旋度與 path independence

已知保守場 cF 對所有封閉路徑 C 0cC

F drarrsdot =int 由 Stokersquos 定理

0cC

F drarrsdot =int ＝ ( )cS

F dsrarr rarrnablatimes sdotint rArr 0cF

rarr rarrnablatimes =

這表示保守場＝無旋度反之無旋度的場任兩點間路徑積分與路

徑無關

Ex57 Given a field 2 2ˆ ˆ ˆ2A x xy yx zz= + minus (a) Find Anablatimes A 保守場

解2 2

ˆ ˆ ˆ

2x y z

x y zA

xy x znablatimes = part part part

minus

( ) ( ) ( )2 2 2 2ˆ ˆ ˆ( ) 2 ( ) 2 0y z z x x yx z x y xy z z x xy= part minus minuspart + part minuspart minus + part minuspart =

yes A =保守場

(b)如左圖由 A 到 B 做路徑積分A BC

A drarr

sdotint 路徑 C 為橢圓

22 1

16yx + = 在 x-軸以上的部分

解橢圓部分的路徑元素 d 有點麻煩但因為 A

為保守場所以 A 到 B 做路徑積分可以用 x = -1 到

1 的積分取代

4-63

01 1 1

1 1 1ˆ 2 0

yB

xAA d A xdx A dx xydx

=

minus minus minussdot = sdot = = =int int int int

∵

旋度在柱座標與球座標

前面討論過nabla在不同座標系的寫法旋度也有歸納出的一致寫法

座標 1 2 3 u u u

度量係數

1 2 3 h h h

nabla grad del

直角 x y z

1 1 1 nabla ˆ ˆ ˆx y z

x y zpart part part

equiv + +part part part

圓柱 zρ ϕ

1 1ρ

1ˆ ˆ ˆ zz

ρ ϕρ ρ ϕpart part part

nabla equiv + +part part part

球 r θ ϕ

1 sinr r θ

1 1ˆ ˆˆ sin

rr r r

θ ϕθ θ ϕ

part part partnabla = + +

part part part

所以柱座標與球座標的旋度分別表為

柱座標

ˆ ˆ ˆ1

z

z

Az

AA Aρ ϕ

ρ ρϕ

ρ ρ ϕρ

part part partnablatimes =

part part part （4-109）

球座標 2

ˆ ˆˆ sin1sin

sinr

r r r

Ar r

A rA r Aθ ϕ

θ θϕ

θ θ ϕθ

part part partnablatimes =

part part part （4-110）

ex58 (a) Given the vector function ˆA ϕ= sin (ϕ 2) find Anablatimes

解 2

ˆ ˆˆ sin1sin

0 sin( 2) 0

r r r

Ar r

r

θ θϕ

θ θ ϕϕ

part part partnablatimes =

part part part

4-64

21 ˆˆ cos sin sinsin 2 2 2

rr rr

ϕ ϕθϕθ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

ˆˆ cos sin2 sin 2 2

rr r

ϕ ϕ ϕθ

minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

(b)如左圖一個底面在 x-y 平面半徑＝1高＝2 之圓錐 求面積分

SA dsnablatimes sdotint 面積範圍 S 為圓錐在 x-y 平面以上

部分 方向為由圓錐內向外

解由 Stokersquos law ( )S

A dsrarr rarrnablatimes sdotint ＝

C

A drarrsdotint 其中路

徑 C 為 x-y 平面圓心在原點之單位圓 ˆ ˆd rd dϕ ϕ ϕ ϕ= =

2

0ˆ ˆsin sin

2 2C

d dπϕ ϕϕ ϕ ϕ ϕ⎛ ⎞ ⎛ ⎞sdot =⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠int int ( )0

2 sin u duπ

= int 0cos | 2u π= minus =

習題 16 磁場 B 因為不是保守場所以沒有對應的純量位而對應一

個向量位 A (vector potential)而 B A= nablatimes 一個磁鐵的磁偶極矩

ˆm mz= 被置於原點已知在遠處的 vector potential 03ˆ sin

4mAr

μϕ θπ

=

計算該處的磁場 B Ans 03

ˆˆ( 2cos sin )4

mB rr

μ θ θ θπ

= + 與電偶極遠處

的電場形式一致都是偶極(dipole) 選幾個點畫一畫該處的場向量

把磁力線描出來

附錄本章講義的內容有部分可以經由直接計算得出列在附錄做為

參考

用「圓柱座標」寫 Atimesnabla

Ararr rarrnablatimes ＝ ( )1ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ zz A A zA

z ρ φρ ϕ ρ ϕρ ρ ϕpart part part⎛ ⎞+ + times + +⎜ ⎟part part part⎝ ⎠

4-65

因為rdquo sdotrdquo與rdquotimes rdquo都是向量間的運算所以

＝ ( )ˆ ˆ ˆ ˆ zA A zAρ φρ ρ ϕρpart

times + +part

＋ ( )1ˆ ˆ ˆ ˆ zA A zAρ φϕ ρ ϕρ ϕ

parttimes + +

part

＋ ( )ˆ ˆˆ ˆ zz A A zAz ρ φρ ϕpart

times + +part

直接做上式微分可以得到

＝1ˆ z AA

zϕρ

ρ ϕpart⎛ ⎞part

minus⎜ ⎟part part⎝ ⎠＋ ˆ zA A

zρϕ

ρpart⎛ ⎞part

minus⎜ ⎟part part⎝ ⎠＋

1 1ˆ ( )A

z A ρϕρ

ρ ρ ρ ϕpart⎛ ⎞part

minus⎜ ⎟part part⎝ ⎠

上式可以用一個行列式來表示

rarrrarr

timesnabla A＝

ˆ ˆ ˆ1

z

z

zA A Aρ ϕ

ρ ρϕ

ρ ρ ϕρ

part part partpart part part

（A-1）

A and Anabla nablasdot nablatimes in 球座標 spherical coordinate

如上圖球座標 )( ϕθr 其中 )0[ infinisinr ]0[ πθ isin ]20[ πϕ isin 只有 r

是長度而 ϕθ 為角度是用來說明方向的三個座標的單位向量 ˆ ˆˆ r θ ϕ 具

有下列性質

4-66

1 如上圖 ˆ ˆˆ r θ ϕ 都不是常數而是（ ϕθ ）的函數

ˆ ˆ( )ˆ ˆ( )ˆ ˆ( )

r r θ ϕ

θ θ θ ϕϕ ϕ ϕ

⎧ =⎪

=⎨⎪ =⎩

)( ϕθr 與(xyz)之間的轉換如下

sin cossin sincos

x ry rz r

θ φθ φθ

=⎧⎪ =⎨⎪ =⎩

( )122 2 2

2 2

tan

tan

r x y z

x yz

yx

θ

φ

⎧ = + +⎪⎪ +⎪ =⎨⎪⎪ =⎪⎩

（A-2）

2 ˆ ˆˆ r θ ϕ 形成一「歸一正交集」ie

ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ 1r r θ θ ϕ ϕsdot = sdot = sdot = ˆ ˆr θ ϕperp perp

ˆ ˆr θ ϕtimes = ˆ ˆ rθ ϕtimes = ˆˆ rϕ θtimes = （A-3）

3可以很容易的由他們在 xyz 軸上的投影由直角

座標的 ˆ ˆ ˆ x y z 表出

ˆ ˆ ˆ ˆsin cos sin sin cos ( 4 )ˆ ˆ ˆ ˆcos cos cos sin sin ( 4 )ˆ ˆ ˆsin cos ( 4 )

r x y z A a

x y z A bx y A c

θ φ θ φ θ

θ θ φ θ φ θϕ φ φ

= + + minus⎧⎪

= + minus minus⎨⎪ = minus + minus⎩

4 ˆdr = 由於 ˆ ˆ( )r r θ φ= 所以由 ϕθ 的變動來看

4-67

ˆ ˆˆ| |ˆ ˆˆ| | sin sin

d r d d

d r d d

θ θθ θθ

φ θ φφ θ φφ

⎧ rArr =⎪⎨

rArr =⎪⎩rArr ˆ ˆˆ sindr d dθ θ φ θ φ= + （A-5）

rArrˆ ˆr θθpart

=part

ˆ ˆsinr θφφpart

=part

（A-6）

（A-6）的結果也可以直接由（A-4a）對 ϕθ 偏微得到

5 ˆdθ ＝ 由於 ˆ ˆ( )θ θ θ φ= 所以由 ϕθ 的變動來看

ˆ ˆ ˆ| | ( )ˆ ˆ ˆ| | cos cos

d d r d r

d d d

θ θ θ θ

φ θ θ φφ φ θ φ

⎧ rArr minus = minus⎪⎨

rArr =⎪⎩rArr ˆdθ ＝ ˆˆ cosrd dθ φ θ φminus + （A-7）

ˆrθ

θpart

rArr = minuspart

ˆ ˆcosθ φ θφpart

=part

（A-8）

請直接由（A-4b）對 ϕθ 偏微的結果 check（A-8）

6 ˆdφ ＝由於φ )(ϕ 躺在 x-y 平面上變動φ時的方向可能不是那麼

容易看出來所以做圖看一看

ie ˆ ˆˆ(sin ) (cos )d r d dφ θ φ θ θ φ= minus minus （A-9）

4-68

ˆ ˆˆsin cosrφ θ θ θφpart

= minus minuspart

7 所有的向量 ˆ ˆˆ rA rA A Aθ φθ φrarr= + +

8 位置向量 ˆr rrrarr=

可以由左圖 ˆ ˆˆ r θ ϕ 三個方向的「長度

變化」輕易的看出

9 位移元素

ˆ ˆˆ ˆ sindr rdr rd dθ θ ϕ θ φ= + + (A-10)

10 體積元素

sindv dr r d rdθ φ θ= sdot sdot

＝ 2 sinr dr d dθ θ φ (A-11)

11 面積元素 2 sinrds r d dθ θ φ= plusmn sinds r drdθ θ φ= plusmn ds rdrdφ θ= plusmn (A-12)

plusmn號表示面的垂直方向有兩個端看 ds 周邊的方向是如何定的

nabladel 考慮 ( )u u r θ φ=

rArru u udu dr d dr

θ φθ φ

part part part= + +part part part

u d rrarr rarr

equiv nabla sdot

urarr

= nabla sdot ˆ ˆˆ( sin )rdr rd dθ θ φ θ φ+ +

rArr1 1ˆ ˆˆ

sinu u uu rr r r

θ ϕθ θ φ

rarr part part partnabla = + +

part part part

1 1ˆ ˆˆsin

rr r r

θ ϕθ θ φ

rarr part part partnabla equiv + +

part part part （A-13）

4-69

直接用（A-13）與 ˆ ˆˆ rA rA A Aθ φθ ϕrarr= + + 逐項內積加上（A-678）

rArr ϕθ

θθθ

ϕθ part

part+

partpart

+partpart

=sdotnablararrrarr A

rA

rAr

rrA r sin

1)(sinsin1)(1 2

2 （A-14）

（A-13）與 ϕθ ϕθ AAArA r

andandandrarr

++= 逐項外積整理之後

ϕθ θϕθ

ϕθθ

θArrAA

r

rrr

rA

r sin

sin

sin1

2 partpart

partpart

partpart

=timesnabla

andandand

rarrrarr

（A-15）

Laplacian uu nablasdotnabla=nabla2

2

2

2222

22

sin1)(sin

sin1)(1

ϕθθθ

θθ partpart

+partpart

partpart

+partpart

partpart

=nablau

ru

rrur

rru （A-16）

B推導「散度」在圓柱座標的寫法

讓我們先回顧一下在直角座標裡的「面積元素」可以由「位移元素」

得到

ˆˆ ˆ x y zdr idx jdy kdz da dydz dxdz dxdy= + + rArr =

比照辦理「圓柱座標」的位移元素

( )ˆˆ ˆ( )

( )z

da d dzdr d d zdz da d dz

da d d

ρ

φ

ρ φ

ρ ρ φ ρ φ ρ

ρ ρ φ

=⎧⎪= + + rArr =⎨⎪ =⎩

這個結論可以輕易的由面積元素在垂直於 zˆˆ ϕρ 三個方向的面積看

出如下圖考慮一個以 )( zϕρ 為中心的「圓柱體積元素」(cylindrical

cubiod)體積為 zdV ΔΔ=Δ ϕρρ 現計算在 ρ

方向的 12 兩個平行面(方向各為 ρplusmn )的通

量

4-70

zzF

dsFdsnFS S

ΔΔ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

+cong

=sdotintint intintϕρρϕρρρ

ρ

2

2

ˆ1 1

zzF

dsFdsnFS S

ΔΔ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

minus⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

minusminuscong

minus=sdotintint intintϕρρϕρρρ

ρ

2

2

ˆ2 2

intint+

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

minus⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

minusminus⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

+Δ

asympsdotΔ

rArr21

22

22

1ˆ1

SS

zFzFdsnFV

ϕρρρρϕρρρρρρ ρρ

( ) ( )

1 20

0

0

1 ˆlim

1lim 2 2 2 2

1 1lim 2 2

1

VS S

F ndsV

F z F z

F z F z

F

ρ ρρ

ρ ρρ

ρ

ρ ρ ρ ρρ ρ φ ρ ρ φρ ρ

ρ ρρ ρ φ ρ ρ φρ ρ

ρρ ρ

Δ rarr+

Δ rarr

Δ rarr

rArr sdotΔ

Δ Δ Δ Δ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + + minus minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥Δ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦Δ Δ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥Δ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

part ⎡ ⎤= ⎣ ⎦part

intint

娛樂一下用上述方式把圓柱的 Fsdotnabla 裡的z

FF z

partpart

+partϕρϕ1

變出來

球座標的nabla和 Fsdotnabla 也可以試試看

補充習題

H M Scheydiv grad curl and all that 4th edition

第二章習題 6 8 9 10 11 14 15 16 18 19 21 22 23 25 26 27

第三章習題 2 3 5 6 7 8 9 10 11 14 15 17 18 19 24

4-40

ex37 Given 2ˆ ˆ ˆyzA xyz yx zx= + + 計算通量S

A dssdotint

S 面為在第一象限邊長＝1 的立方體表面封閉面

解立方體分為前後右左上下六個面分開算 1前面（x=1）

方向 x+ ˆ xA ds A xdydz A dydzsdot = sdot =int int int前 前 前

yzdydz= int前 ＝1 1

0 0

1 1 12 2 4

ydy zdz = sdot =int int

2後面(x=0)方向 xminus ˆ(- ) - xA ds A x dydz A dydzsdot = sdot =int int int後 後 後

yzdydz= minusint後1 1

0 0

-1 1 -12 2 4

ydy zdzminus = sdot =int int

3 右面（y=1）方向 y+ y ( 1)yA ds A dxdz A y dxdzsdot = sdot = =int int int右 右 右

( 1)x y zdxdz= =int右 ＝1 1

0 0

1 1 12 2 4

xdx zdz = sdot =int int

4 左面（y=0）方向 ˆ-y ˆ( y) - ( 0)yA ds A dxdz A y dxdzsdot = sdot minus = =int int int左 左 左

( 0) 0x y zdxdz= = =int左

5 上面（z=1）方向 z+ zz y (z 1) yA ds A dxd A dxdsdot = sdot = =int int int上 上 上

2 yx dxd= int上 ＝1 120 0

1 1y 13 3

x dx d = sdot =int int

6 下面（z=1）方向 ˆ-z zˆ(-z) y - (z 0) yA ds A dxd A dxdsdot = sdot = =int int int下 下 下

2 -1- y3

x dxd= =int下 ＝1 120 0

1 1y 13 3

x dx d = sdot =int int

S

A dssdotint ＝六個面的和＝1 1 1 1 1 1( ) ( 0) ( )4 4 4 3 3 4

minus minus+ + + + + =

ex38 Given ˆ ˆ ˆzA xyz yx zxy= + + 計算通量S

A dssdotint S 為圓 2 2 2x y a+ =

在第一項限的部分方向選為 z+ 2 2y a x= minus

4-41

解 2 2 4

0 0ˆ

8a a x

zS S S S

aA ds A zdxdy A dxdy xydxdy xdx ydyminus

sdot = sdot = = = =int int int int int int

Ex39 In cylindrical coordinate Given ˆ ˆaA zbzρρ

= + where a b are

constants Find S

A dssdotint over the surface of a

closed cylinder about z-axis specified by 3 2z ρ= plusmn =

解S 分為上下與周邊三面

zz (z 3)zA ds A ds A d dρ ρ ϕsdot = sdot = = sdotint int int上 上 上

= 23 3 2 12bd d b bρ ρ ϕ π πsdot = sdot =int上

ˆ(-z)A ds A d dρ ρ ϕsdot = sdot sdotint int下 下

= z- (z -3)A d dρ ρ ϕ= sdotint下 = 23 2 12b bπ πsdot =

周邊ds ˆ ( )d dzρ ρ ϕ= rArr ˆ ( ) z ( ) zA ds A d d A d dρρ ρ ϕ ρ ϕsdot = sdot =int int int周 周 周

2 3

0 3( ) z ( ) z=a 12aA d d d d d dz a

πρ ρ ϕ ρ ϕ ϕ π

ρ minus= = =int int int int周 周

加起來 S

A dssdotint ＝12 24 12 ( 2 )a b a bπ π π+ = +

ex40 一點電荷 q 置於原點計算在一個以原點為圓心 0r 為半徑的球

面上的電通量

解 2 20 0

ˆ ˆ4 4S S

qr q dsE ds rdsr rπε πε

sdot = sdot =int int int

=0 0 0

44 4S

q q qd ππε πε ε

sdot Ω = sdot =int

上式中 dΩ 2dsr

= 是 ds 所張開的「立體角」(solid angle)

4-42

div A and Flux 通量與散度的幾何物理意義

我們運用過nabla的符號來表示過散度 divF F= nablasdot yx zFF Fx y z

partpart part= + +part part part

但是也看到「散度」定義為

0( )

1( ) limSV

about x y z

divF x y z F da divergence of FVΔ rarr

equiv sdot =Δ int (4-77)

其中 VΔ 為 S 面所包含的體積即散

度為通量(體)密度的 0 體積極限

（4-77）的定義與 Fnablasdot 好像差的很

多她們是說同一回事嗎以下證明

這兩種「散度」的定義是等價的如

左圖考慮一個以點 ( ) x y z 為中心

的 立 方 體 其 相 鄰 三 邊 長 為

x y zΔ Δ Δ 體積 V x y zΔ = Δ Δ Δ 現在計算 F 在立方體的一組平行於 y-z平面的表面 S1 與 S2 的通量

( )1 1

ˆ ˆ xS S

F nds F xds F x y z dsrArr sdot = sdot =intint intint intint 2xxF x y z y zΔ⎛ ⎞asymp + Δ Δ⎜ ⎟

⎝ ⎠

其中 2xx y zΔ⎛ ⎞+⎜ ⎟

⎝ ⎠為 S1 面中心的座標而

2xx y zΔ⎛ ⎞minus⎜ ⎟

⎝ ⎠為 S2 面的中心

( ) ( )2 2 2

ˆ ˆ 2x x

S S S

xF nda F x ds F x y z ds F x y z y zΔ⎛ ⎞rArr sdot = sdot minus = minus asymp minus minus Δ Δ⎜ ⎟⎝ ⎠intint intint intint

上式中的負號來自 S2 面的方向是 xminus 所以合併兩個面積分

1 2

ˆ 2 2x x

S S

x xF nds F x y z F x y z y z+

Δ Δ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞rArr sdot asymp + minus minus Δ Δ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦intint

2 2x xx xF x y z F x y z

x y zx

Δ Δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠= Δ Δ Δ

Δ

2 2

x xx xF x y z F x y z

Vx

Δ Δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠= Δ

Δ

1 2

1 2 2ˆ

x x

S S

x xF x y z F x y zF nds

V x+

Δ Δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠rArr sdot asymp

Δ Δintint

4-43

當取體積向(xyz)點收縮至 0 時即 0 x 0as VΔ rarr Δ rarr 上式的近似

「asymp」就成了「＝」

1 20

1 ˆlimV

S S

F ndsVΔ rarr

+

sdotΔ intint

( )0

2 2limx x

x

x

x xF x y z F x y z F x y zx xΔ rarr

Δ Δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟ part⎝ ⎠ ⎝ ⎠= =Δ part

Similarly F 在立方體的一組平行於 x-z 平面的表面 S3 與 S4 的通量

3 3 3

ˆ ˆ yS S S

F nds F yds F dsrArr sdot = sdot =intint intint intint

2

2

y

y

yF x y zyF x y z x z x y z

y

Δ⎛ ⎞+⎜ ⎟Δ⎛ ⎞ ⎝ ⎠asymp + Δ Δ = Δ Δ Δ⎜ ⎟ Δ⎝ ⎠

( )4 4 4

2ˆ ˆ

y

yS S S

yF x y zF nds F y da F ds x y z

y

Δ⎛ ⎞minus⎜ ⎟⎝ ⎠rArr sdot = sdot minus = minus asymp Δ Δ Δ

Δintint intint intint

合併 S3 與 S4 兩個面積分並取體積向(xyz)點收縮至 0 時即當

0 y 0VΔ rarr Δ rarr 上式的近似asymp就成了＝

3 4

2 2ˆ

x x

S S

y yF x y z F x y zF nds V

y+

Δ Δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠rArr sdot cong Δ

Δintint

3 40 0

1 2 2ˆlim lim

x xy

V yS S

x yF x y z F x y z FF nds

V y yΔ rarr Δ rarr+

Δ Δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟ part⎝ ⎠ ⎝ ⎠rArr sdot = =Δ Δ partintint

與上面相同的作法計算 F 在立方體的一組平行於 x-y 平面的表面 S5

與 S6 的通量我們也會得到對應的結果

5 6

2 2ˆ

z x

S S

z zF x y z F x y zF nds V

z+

Δ Δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠rArr sdot cong Δ

Δintint

5 60 0

1 2 2ˆlim lim

z xz

V zS S

z zF x y z F x y zFF nds

V z zΔ rarr Δ rarr+

Δ Δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟ part⎝ ⎠ ⎝ ⎠rArr sdot = =Δ Δ partintint

所以合併立方體的 6 個面積分

4-44

1 2 3 4 5 6

ˆ ˆ ˆ ˆS S S S S S S

F nds F nds F nds F nds+ + +

rArr sdot = sdot + sdot + sdotint intint intint intint

0

1 ˆlim yx zV

FF FF nds div F FV x y zΔ rarr

partpart partrArr sdot = + + = = nablasdot

Δ part part partint (4-78)

在此我們得證這兩種「散度」的定義是等價的只是（4-77）的定義

充分的表現出「散度」的幾何物理意義他從通量著手由於場線

出自於 source（ex電場源自於點電荷）所以在點(xyz)必須有向量場

F 的 source 存在才能使得當面積縮到 0 時仍具有非 0 的通量所以「散

度」表現向量場 F 的 source 在這個定義之下是很清楚的當然在計算

「散度」時我們不必那麼麻煩用 divF F= nablasdot 就好了

Ex41 計算 2ˆ ˆ ˆF xx yxy zyz= + + 的散度

解 2 yx zFF Fx x yx y z

partpart part= = =

part part part F 2x x y 3x ydivrArr = + + = +

recall 在靜電學0

yx zEE EEx y z

ρε

partpart partnablasdot = = + +

part part part

散度定理 Divergence Theorem

若任意封閉面（又稱為「高斯面」）S 所包圍的

體積為 V 則

S VA ds Adτsdot = nablasdotint int （4-79）

pf 我們先將體積分割成 N 個小盒子考慮相鄰的兩個小盒子 1 2

兩小盒子的共用面面積 S0當 S0 是為 1 號盒子的一部份時其方向為

1n 但若當為 2 號盒子的表面時其方向為 12 ˆˆ nn minus= 如此在 S0 分別做

4-45

1 2 盒子的面積分後

0 0

0 0 0 0

1 2

1 2 1 1ˆ ˆ ˆ ˆ 0

S S

S S S S

A ds A ds

F n ds F n ds F n ds F n ds

sdot + sdot

= sdot + sdot = sdot minus sdot =

intint intintintint intint intint intint

所以若求場 A 在 1 2 盒子的總通量時交界面是沒有貢獻的總通量

就只有「外面積」才有貢獻如此我們計算 N 個小盒子的總通量

時所有的內部共用面都得 0只剩下「外表面」的貢獻了當 infinrarrN

時所有小盒子的「總外表面」就與 S 面重合了所以所有小盒子通量

的總和就等於 S 面的通量

1lim

i

N

S SN iA ds A ds

rarrinfin=

rArr sdot = sdotsumint int

現在我們做 N 個小盒子的總通量

1 1

1i i

N N

iS Si i i

A ds A ds VV= =

⎛ ⎞sdot = sdot Δ⎜ ⎟Δ⎝ ⎠

sum sumint int

當 0iN Vrarrinfin rArr Δ rarr 並用 dv 表示體積元素

( ) ( )1 1

1

1lim lim lim

lim

i ii

N N

iS SN N V oi i i

N

i VN i

A ds A ds VV

A V A dv

rarrinfin rarrinfin Δ rarr= =

rarrinfin=

⎛ ⎞sdot = sdot Δ⎜ ⎟Δ⎝ ⎠

= nablasdot Δ = nablasdot

sum sumint int

sum int

( )S V

A da A dvrArr sdot = nablasdotint int QED

所以得證散度定理上式中我們用了散度的（4-77）式定義要分辨

清楚 Anablasdot 是向量場 A 在空間中「某一點」的性質（ 0VΔ rarr ）而「散

度定理」說的是一個「有限體積」的性質

ex42 給定 ( ) ˆ ˆ ˆ A x y z xx yy zz r= + + = 計算在

半徑 R＝1 的球的上半球加底面的通量

4-46

解 ( )ˆˆS

A da A rda A k darArr sdot = sdot + sdot minusint int int上半球面 底面

( )

2

ˆ ˆ

0 2 1 2

A rda A z dxdy

r rds zdxdy rds ds π π

= sdot + sdot minus

= sdot minus = minus = = sdot =

int int

int int int int上半球面 底面

上半球面 底面 上半球面

底面的通量＝0 是因為 A 的 z 分量 Az=z 在底面的值為 0

也可以用散度定理更快的得出結果

∵ 3A rnablasdot = nablasdot =

31 43 3 1 22 3V V

Ad d πτ τ πnablasdot = = sdot sdot sdot =int int

ex43高斯定律的微分形式積 由 Gaussrsquo law 的積分形式用散度定理得出其

( )0 0

1 inS V

qE ds x y z dvρε ε

sdot = =int int

0S V VE ds Edv dvρ

εrArr sdot = nablasdot =int int int

上式最後的等式對「任意形狀」V 都成立所以兩者的被積函數相等

對於空間每一點 0

E ρε

nablasdot = （4-80）

ex44 Use 第一象限的單位力方體 check the divergence theorem using the function 2 2ˆ ˆ ˆ(2 ) 2A y x xy z y yzz= + + +

解2

2( ) (2 )(2 ) 2( )y yzA xy z x yx y z

part part partnablasdot = + + + = +

part part part

and 1 1 1 1 1 1

0 0 0 0 0 02 ( ) 2 ( )

VAdv x y dxdydz dz dy x y dxnablasdot = + = +int int int int int int int

1 1

0 0

1 12 ( ) 2 12 2

dz y dy= + = sdot =int int

面積分 1 1 2

0 0

1ˆ3

A ds A xdydz dz y dysdot = sdot = =intint intint int int前 前

4-47

1 1 2

0 0

1ˆ( )3

A ds A x dydz dz y dy minussdot = sdot minus = minus =intint intint int int

後 後

1 1 2

0 0ˆ (2 )A ds A ydxdz dz xy z dxsdot = sdot = +intint intint int int

右 右

1 1 1 12 2

0 0 0

4(2 ) (1 )3

ydz x z dx dz z

=

= + = + =int int int∵

1 1 2

0 0

0 1 1 12 2

0 0 0

ˆ( ) (2 )

1(1 )3

y

A ds A y dxdz dz xy z dx

dz z dx dz z=

sdot = sdot minus = minus +

minus= minus = + =

intint intint int int

int int int∵

左 左

11 1 1 1

0 0 0 0ˆ 2 2 1

zA ds A zdxdy dx yzdy dx ydy

=sdot = sdot = = =intint intint int int int int

∵

上 上

01 1

0 0ˆ 2 0

zA ds A zdxdy dx yzdy

=sdot = sdot minus = minus =intint intint int int

∵

下 下

前後右左上下六個面積分合併＝1＝V

Advnablasdotint QED

ex45 Continuity Equation 連續方程式

考慮某些「東西」的流動（物質電荷hellip）在時刻 t 時在點(xyz)

的 密 度 為 ( ) x y z tρ ρ= 並 具 有 速 度

( ) v v x y z t= 在時刻 t 時在體積 V 內的總量為

( ) x y z t dρ τintintint

這樣體積 V 內東東的時變率為

( ) ( ) d x y z t d x y z t ddt t

ρρ τ τpart=

partintintint intintint

注意體積分後的時間全微分移入積分內要改為偏微分這個東東

在表面的「流率 flow rate」可表為

ˆS

R v ndsρ= sdotintint

若體積內的物料無法自生自滅那麼體積內物料的變化必經由表面的

流出流入所造成

d v ndstρ τ ρpart

rArr = minus sdotpartintintint intint

由散度定理

4-48

( )ˆS

v nds v d dtρρ ρ τ τpart

sdot = nablasdot = minuspartintint intintint intintint

( )v Jtρ ρpart

rArr = minusnablasdot equiv minusnablasdotpart

0Jtρpart

rArr +nablasdot =part

（4-81）

(4-81) 即 continuity equation其中 J vρ= 為「物流密度」ex如果 ρ

是電荷密度 J 就是電流密度（4-81）是物質守恆的結果只對體

積內無 source（生成）or drain（消滅）的東東成立

ex46 Given a vector field ˆ ˆx yA ye xe= minus + (a) Find

Anablasdot (b)如圖一個金字塔狀的 5 面體高 2 底邊長

1計算 A在整個金字塔表面（封閉面）的總通量

解(a) Anablasdot = ( ) ( ) 0y xx ypart part

minus + =part part

(b) 金 字 塔 的 表 面 面 積 元 素 ds 不 好 寫 所 以 用 散 度 定 理

( )S V

A da A dvrArr sdot = nablasdotint int ＝0 Anablasdot 表示 A沒有 source 所以對封閉面而

言有多少場線進入就有多少出去所以總通量＝0

習題 7 With position vector r for an arbitrary volume V that is

bounded by surface S show that 13 S

r ds Vsdot =int

習題 8 已知一靜電場為 ˆ ˆ ˆ( )E xyz yxz zxyλ= + + 運用 Gaussrsquo law

試求包含在半球 2 2 2 2 0x y z R z+ + = ge 裡的總電荷 Ans 0

習題 9 (a) given ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( 2 )F r xf x yf y zf z= + + minus show that divF is

zero at point (c c -c2) (b) given ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( )G r xf x z yg x z zh x y= + +

show that ( ) 0G rnablasdot =

4-49

習題 10 Find the normal vector n for the surfaces (a) z = 2-x-y ans

ˆ ˆ ˆ( ) 3x y z+ + (b) z = (1-x2)12 ans ˆ ˆxx zz+ (c) z = x2+y2

ans ˆ ˆ ˆ( 2 2 ) 1 4xx yy z zminus minus + +

習題 11 Show that the unit vector normal to the plane ax+by+cz =d is

given by 2 2 2ˆ ˆ ˆ( ) ax by cz a b cplusmn + + + +

圓柱座標與球座標的nabla (del)

考慮一純量場在直角座標為 ( ) u x y z 在圓柱座標表為 ( ) u zρ φ

再考慮因位移 r r drrarr + 所造成 u ( )zρ φ 的變化

( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆz

z

u u udu d d dz u dr u d d zdzz

u u z u d d zdz

u d u d u dzρ ϕ

ρ ϕ

ρ ϕ ρ ρ ϕρ ϕρ ϕ

ρ ϕ ρ ρ ϕρ ϕ

ρ ρ ϕ

part part part= + + = nabla sdot = nabla sdot + +part part part

⎡ ⎤= nabla + nabla + nabla sdot + +⎣ ⎦= nabla + nabla + nabla

( ) ( ) ( )1

1ˆ ˆ ˆu

z

u u uu u uz

u u uzz

ρ ϕρ ρ ϕ

ρ ϕρ ρ ϕ

part part partrArr nabla = nabla = nabla =

part part partpart part part

rArrnabla = + +part part part

1ˆ ˆ ˆ zz

ρ ϕρ ρ ϕpart part part

nabla = + +part part part

（4-82）

注意nabla的ϕ -分量( 1ρ ϕ

partpart

)不是像直角座標裡單純的ϕpartpart

所以不要笨笨

的就把直角座標的形式硬套上去用我們也可以從「因次分析」來

看nabla因為是對空間的微分所以每一項的因次必須是「長度分之一」

運算 andzρ

part partpart part

都是「長度分之一」而「單純的ϕpartpart

」是沒有單位的

所以要1ρ ϕ

partpart

才 OK

由於圓柱座標裡的單位向量除了 z 之外 ˆ( )ρ ϕ 與 ˆ( )ϕ ϕ 都不是常

4-50

數所以在微分時不可以與微分運算交換而要考慮微分的作用所

以在「圓柱座標」寫「散度」 ( ) F zρ ϕnablasdot 也和直角座標不一樣

( )1ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ zF z F F zFz ρ ϕρ ϕ ρ ϕ

ρ ρ ϕpart part part⎛ ⎞

nabla sdot = + + sdot + +⎜ ⎟part part part⎝ ⎠

( ) ( )1ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆz zF F zF F F zFρ ϕ ρ ϕρ ρ ϕ ϕ ρ ϕρ ρ ϕpart part

= sdot + + + sdot + +part part

( )ˆ ˆˆ ˆ zz F F zFz ρ ϕρ ϕpart

+ sdot + +part

因為 ( ) ( )ˆ ˆ ˆ ˆ ρ ρ ϕ ϕ ϕ ϕ= = 所以做 andzρ

part partpart part

時 ˆ ˆ ρ ϕ 可視為常數

ˆ ˆ1ˆ ˆ ˆ zF F F FF F Fz

ρ ρ ϕρ φ

ρ ϕϕ ρ ϕρ ρ ϕ ϕ ϕ ϕ

part part part⎡ ⎤part part partrArrnablasdot = + sdot + + + +⎢ ⎥part part part part part part⎣ ⎦

還記得 ˆ ˆ ˆ ˆd d d dρ ϕ ϕ ϕ ρ ϕ= = minus 所以 ˆ ˆρ ϕϕpart

=part

ˆ ˆϕ ρϕpart

= minuspart

rArr

( )1 1 1z zF F F FF FF Fz z

ρ ρ ϕ ϕρρ

ρ ρ ρ ϕ ρ ρ ρ ϕpart part part part

nablasdot = + + + = + +part part part part part part

（4-83）

在球座標寫nabla也會遇到相似的問題其根源就是球座標 ( )r θ ϕ 裡

的 θ ϕ 的因次並非長度而三個單位向量 ˆ ˆˆ r θ ϕ（表為 ie ）都是( θ ϕ )

的函數以致

( )ˆ ˆ( ) ( )i ie f e fθ ϕ θ ϕθ θpart part

nepart part

且 ( )ˆ ˆ( ) ( )i ie f e fθ ϕ θ ϕϕ ϕpart part

nepart part

所以nabla也不似在直角座標那麼簡單我們不在這裡推導而是給出一

個歸納的統一的三個座標的結果還記得對每一個座標 iu i = 123

座標的變化 idu 與造成的長度變化 id

i i id h du= 123i = (4-84)

其中 ih 為對應的度量係數(metric coefficient)

4-51

1 2 3

1 1 2 2 3 3

1 1 1ˆ ˆ ˆu u ue e eh u h u h u

part part partnabla equiv + +

part part part （4-85A）

座標 1 2 3 u u u

度量係數

1 2 3 h h h

nabla grad del

直角 x y z

1 1 1 nabla ˆ ˆ ˆx y z

x y zpart part part

equiv + +part part part

圓柱

zρ ϕ

1 1ρ

1ˆ ˆ ˆ z

zρ ϕ

ρ ρ ϕpart part part

nabla equiv + +part part part

球

r θ ϕ

1 sinr r θ

1 1ˆ ˆˆ

sinr

r r rθ ϕ

θ θ ϕpart part part

nabla = + +part part part

（4-85B）

梯度gradient Vnabla grad(V) 散度divergence Anablasdot div( )A

直

角 nablaV ˆ ˆ ˆV V Vx y z

x y zpart part part

= + +part part part

yx zAA AAx y z

partpart partnablasdot = + +

part part part

圓

柱

1ˆ ˆ ˆ V V VV zz

ρ ϕρ ρ ϕpart part part

nabla = + +part part part

( )1 1

1

z

z

A AA Az

A A A Fz

ϕρ

ρ ρ ϕ

ρρ ρ ρ ϕ

ρ ρ ρ ϕ

partpart partnabla sdot = + +

part part partpart part part

= + + +part part part

球

1 1ˆ ˆˆ sin

V V VV rr r r

θ ϕθ θ ϕ

part part partnabla = + +

part part part

22

1 ( )rA r Ar r

partnabla sdot =

part

1 (sin )sin

Ar θθ

θ θpart

+ sdotpart

1sin

Ar

ϕ

θ ϕpart

+part

(4-86)

Ex47 Using spherical coordinate show that 1| |r r

nablaminus

= 2

ˆ| |

r rer r

minusminusminus

where

nabla是作用在 r 而 ˆr re minus 是向量 r rminus 方向的單位向量 解let r lies in z-axis so that the angle between r and r is just θ

4-52

rArr ( ) 122 21 1 2 cos | | ( ) ( )

r rr rr r r r r r

θminus

= = minus +minus minus sdot minus

( ) ( )12 122 2 2 21 1ˆˆ 2 cos 2 cos | |

r r rr r r rr rr r r r

θ θ θθ

minus minuspart partnabla = minus + + minus +

minus part part

( ) 322 21ˆ 2 cos (2 2 cos )2

r r rr r r rθ θminusminus

= minus + minus

( ) 322 21ˆ 2 cos (2 sin )2

r rr r rrθ θ θminusminus

+ minus +

3 3 3 3

ˆˆ ˆ( cos ) sin ( cos sin )ˆˆ| | | | | | | |r r r rr r rrr r r r r r r r

θ θ θ θ θθminus minus minus minus minus= + = +

minus minus minus minus

3 3 3ˆ ( )

| | | | | |r r z r r r rr r r r r rminus + minus + minus minus

= = =minus minus minus

＝ 2

ˆ| |

r rer r

minusminusminus

QED

證明最後我們用到 ˆˆˆ cos sinz r θ θ θ= minus 而 ˆ r r z= 因為我們選了 r 是

躺在 z-軸 Ex48 For arbitrary scalar field ( )f r and vector field ( )A r 證明恆等式

( )fA f A f Anablasdot = nabla sdot + nablasdot (4-87) 解 ˆ ˆ ˆx y zfA xfA yfA zfA= + +

( ) ( ) ( ) ( )x y zfA fA fA fAx y zpart part part

rArrnablasdot = + +part part part

yx zx x x

AAf f f AA f A f A fx x y y z z

partpartpart part part part= + + + + +part part part part part part

yx zx y z

AAf f f AA A A fx y z x y z

part⎛ ⎞partpart part part part= + + + + +⎜ ⎟part part part part part part⎝ ⎠

f A f A= nabla sdot + nablasdot QED 習題 12 一個位於原點的電偶極電偶極矩＝ ˆp pz= 已知其在遠處

的電位為 20

cos4p

rθ

πε試證該處的電場強度為 E = 3

0

ˆˆ( 2cos sin )4

p rr

θ θ θπε

+

(已知 E V= minusnabla )並請計算 Enablasdot ＝

習題 13 給定一向量場2

3cosˆD r

rϕ

= 現有兩個球心在原點的同心球

內球半徑 R＝1外球 R＝2(a)求面積分S

D dssdotint S 為同心球殼的表

面（有內外兩個面）(b)求體積分V

Ddvnablasdotint V 為兩同心球之間的

區域本題也是來 check 散度定理的Ans πminus

4-53

The Laplacian operator 2nabla equivnablasdotnabla

在直角座標可以用直接作用得到

2 2 2

22 2 2u u uu u

x y zpart part part

nabla equiv nablasdotnabla = + +part part part

(4-88)

圓柱座標

2 2

22 2 2

1 1( ) u u uu uz

ρρ ρ ρ ρ ϕ

part part part part⎛ ⎞nabla equiv nablasdot nabla = + +⎜ ⎟part part part part⎝ ⎠

(4-89)

球座標

2

2 22 2 2 2 2

1 1 1sinsin sin

u u uu rr r r r r

θθ θ θ θ ϕ

part part part part part⎛ ⎞ ⎛ ⎞nabla = + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟part part part part part⎝ ⎠ ⎝ ⎠ （4-90）

習題 14 verify (4-89) and (4-90)

習題 15 Given a dipole potential V= 20

cos4p

rθ

πε find 2Vminusnabla

sect 433 Line integral and curl A 線積分與與旋度的物理意義

線積分路徑積分

考慮一曲線 C 通過兩點 ( )i i i iP x y z 與

( )f f f fP x y z 現有一向量場 ( )A x y z 定義在

C 所在的空間若 sd 為 C 上位於(xyz)點的

「路徑元素」（ ˆd td= 方向沿該處切線）而

( )A x y z 為路徑元素d 處的場值則沿 C 經歷各點所做積分

cos cosf

CC C iA d Ad A dϕ ϕrarr rarrsdot = =int int int （4-91）

稱為向量場 ( )A x y z 沿路徑 C 自 pi 至 pf 的「線積分」「或「路徑積分」

積分裡 A 取值的點侷限在路徑 C 上面若為一個「封閉路徑」則對

C 的線積分也稱做「環路積分 closed contour integral」記做

C

A dsdotint （4-92）

4-54

物理量「做功」是最標準的線積分之一力 F 自 x = a 至 x = b「沿線」

x 軸做功

W＝ F dxsdotint ＝ ( )b

xaF x dxint （4-93）

質點在力場 )(rF 裡走一條曲線 C則力場做功

CW F d= sdotint （4-94）

還記得如果 ( )F r 是所謂「保守力」則上式只與始末點有關而與

路徑無關但如果 ( )F r 是所謂「非保守力」則做功與確實的路徑 C

有關

現考慮一質點在空間運動的位置 r 落在由曲線 C

描述的路徑則質點的位移元素與曲線 C 的路徑元

素相同 d dr= 若空間有向量場 A 分佈則 A 在 C 的

路徑積分以直角座標表示為

CA drarr rarrsdotint ＝

CA d rrarr rarrsdotint ＝ ( )x y zC

A dx A dy A dz+ +int （4-95）

上式中的 x y z 的積分限由 C 決定

Ex49 2 2 2ˆ ˆ ˆA xx yy zzrarr= + + 選定一路徑 C 為曲線

2y x= 由 (000)到 (2 20)的部分求C

A dsdotint

解 ˆ ˆd xdx ydy= +∵

CA dsdotint ＝ 2 2( )

Cx dx y dy+int ＝

2 22 2

0 0x dx y dy+int int

＝ )24(32

+

或由 2y x= rArr 2ydy dx= 2 12

y dy xdxrArr =

rArrC

A dsdotint ＝2 2

0

1( )2

x x dx+int ＝2 (4 2)3

+

4-55

ex50 ˆ ˆ( )f x y z xy yx= minus Do C

f dsdotint 其中的路徑 C 為一逆時針三角

形如圖 解∵路徑全部在 x-y 平面 ˆ ˆ ˆd td xdx ydy= = +

rArrC

f dsdotint ＝ x yC

f dx f dy+int ＝C

ydx xdyminusint

由於在 C1 上 y = 0 及 dy = 0 所以 01

=intC 又由於在

C3 上 x = 0 及 dx =0所以 03

=intC 所以只剩下 C2 可

能有貢獻由 2C 的方程式x + y =1rArr ⎩⎨⎧

minus=minus=

xyyx

11

rArr2Cydx xdyminusint ＝

0 1

1 0(1 ) (1 )x dx y dyminus minus minusint int ＝

0 12 2

1 0

( ) ( )2 2x yx yminus minus minus ＝-1

Cf dsdotint ＝-1

ex51 ( )f x y zrarr

= 2ˆ ˆxx yxyminus 如右圖doC

f dsdotint 其

中路徑 C 為第一象限的逆時針 14 圓弧

解∵ 全部在 x-y 平面 ˆ ˆd xdx ydy= +

Cf dsdotint ＝ 2

Cx dx xydyminusint

由於在 C 上 cosx R ϕ= rArr sindx R dϕ ϕ= minus

siny R ϕ= rArr cosdy R dϕ ϕ=

rArr 2

Cx dx xydyminusint ＝

2 2 2 2

0cos ( sin ) sin cos cosR R d R R d

πϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕminus minus sdotint

23 2

02 cos sinR d

πϕ ϕ ϕ= minus int ＝

323Rminus

又路徑為圓周一部份所以適合用極座標表示

ˆd Rdϕ ϕ= 又由左圖將 ˆ ˆx y 拆解（投影）到 ˆˆr ϕ

ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆcos sin sin cosx r y rϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ= minus = +

4-56

( )2ˆ ˆ ˆˆ ˆ( cos sin ) ( sin cos )C C

f d r x r xy Rdϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕsdot = minus minus + sdotint int 2

2 2 2

0

sin (cos )

sin ( cos ) (cos ) cos sin

Cx Rd xyRd

R Rd R Rdπ

ϕ ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ

= minus minus

= minus minus

intint

23 2

02 cos sinR d

πϕ ϕ ϕ= minus int ＝

323Rminus

這也驗證了散度定理

Path Independence 路徑獨立性

Ex52 證明庫倫力為「保守力」考慮

電荷 q0 位於原點及電荷 q 位於

( )r x y zrarr= q 受力 F

rarr＝ 0

20

14

qq urπε

and

求庫侖力作功因為球形對稱所以

用球座標由 ˆ ˆ ru rr

= = rArr Frarr

= 03

04qq r

rπε

庫侖力由 P1 至 P2 做功為 2

1

P

CPF drarrsdotint ＝

2

1

02

0

ˆ ˆ ˆˆ sin4

P

PC

qq r rdr rd r dr

θ θ ϕ θ ϕπε

⎡ ⎤sdot + +⎣ ⎦int ＝2

1

02

04P

P

qq drrπεint

＝20

2104

r

r

qq drrπε int ＝ 0

0 1 2

1 1( )4qq

r rπεminus for all C

所以庫侖力兩點間做功與路徑無關rArr保守力

對於「保守力 conservative force」 cF 自 p1 經

由兩條不同的路徑 C1 與 C2 到達 p2

1 ccF drarrsdotint ＝

2 ccF drarrsdotint ＝-

2 ccF drarr

minussdotint

rArr1 2c cc cF d F drarr rarr

minussdot + sdotint int = cF d

rarrsdotint ＝0 (4-96）

對於任何「封閉路徑」保守力做功為 0反之若

對任一封閉路徑 0F drarrsdot neint 則兩點之間的做功與路徑有關

rarr

F 為「非

保守力」

4-57

旋度 curl Anablatimes 的幾何物理意義

我們在（4-70）式已經看過旋度的計算方式但旋度另有其意義的

ex53 給定向量場2 2

0ˆ yv yv e λrarr

minus= 左圖為場的分佈

2 20

ˆ ˆ ˆ

0 0x y z

y

x y zcurl v

v e λ

rarr

minus

= part part part ＝ ˆ ˆ ˆ0 0 0 0x y zsdot minus sdot + sdot =

我們用了簡寫 x yx ypart part

part equiv part equivpart part

可以看出這個場裡沒有「漩渦」

但是有無「漩渦」有時也不是那麼明顯可以看出的請見下一個例子

Ex54 給定向量場2 2

0ˆ xv yv e λrarr

minus= 計算其旋度 vnablatimes

解向量場 vrarr

畫在右邊你看得出有無漩渦

先計算旋度

2 20

ˆ ˆ ˆ

0 0x y z

x

x y zcurl v

v e λ

rarr

minus

= part part part2 2

2 2

0

0

ˆ

ˆ 2 0 0

x

x

z v ex

z v xe for x

λ

λ

minus

minus

part=

part

= minus ne ne

vrarr

的旋度在大部分的地方不為 0 且隨位置而不同但是你看得出這個

向量場裡有「漩渦」其實要檢驗一個向量場裡有無「漩渦」有一

個很物理的方法就是放一個小「螺旋槳」（左圖）

在場內將軸朝各個方向測試一

下如果有「漩渦」的話這個

小「螺旋槳」就會轉動右圖就是將「螺旋槳」的

軸平行於 z 軸且放在 x gt 0 的地方就可以看出左

邊的 v 場比右邊的強造成螺旋槳順時針轉動rArrcurlv zminus for x gt 0

但如果放在 x = 0 的地方就會看到左右兩端的 v 場強度相同而且

4-58

curlv = 0 「螺旋槳」放在 x lt 0 的地方就可以看出右邊的v 場比左

邊的強造成螺旋槳逆時針轉動這完全符合 curl v k+ 的結果

環路積分與旋度 curl 的物理意義

如同「散度」一樣「旋度」除了 Ftimesnabla 之外

還有一個物理意義更清楚的定義這個定義由

「線積分」說明如圖考慮做「逆時針」長方形

路徑 C1 的一個「環路積分」C1 面平行於 x-y 平

面由 z-軸看下去環路 C1 可以分為可以分為

下 CB上 CT右 CR左 CL 4 部分

CA drarrsdotint ＝

B T L RC C C CA d A d A d A drarr rarr rarr rarrsdot + sdot + sdot + sdotint int int int

分別計算由於 CB 的中點座標為 ( )2yx y zΔ

minus

ˆB BC C

A d A xdxrarr rarrsdot = sdot =int int

BxC

A dxint ( )2xyA x y z xΔ

asymp minus Δ

similarly 由於 CT 的中點座標為 ( )2yx y zΔ

+

ˆ( )T TC C

A d A xdxrarr rarrsdot = sdot minus =int int

TxC

A dxminusint ( )2xyA x y z xΔ

asymp minus + Δ

合併 CB 與 CT

B TC CA drarr

+sdot =int

( ) ( )2 2x xy yA x y z A x y z

x yy

Δ Δ⎡ ⎤minus + minus minus⎢ ⎥⎣ ⎦ Δ ΔΔ

（4-97）

由 C1 所圍的面積 S x yΔ = Δ Δ

1B TC C

A dS

rarr

+sdot =

Δ int( ) ( )

2 2x xy yA x y z A x y z

y

Δ Δ⎡ ⎤minus + minus minus⎢ ⎥⎣ ⎦Δ

（4-98）

所以當取極限 C1 收縮到中心(xyz)時 SΔ 收縮到 0ie

4-59

0limsΔ rarr

1B TC C

A dS

rarr

+sdot =

Δ int xAy

partminuspart

（4-99）

Similarly with CR 的 ˆd ydy= CL 的 ˆd ydy= minus 可得

1L RC C

A dS

rarr

+sdot =

Δ int x

zyxxFzyxxF yy

Δ

Δminusminus

Δ+ )

2()

2(

（4-100）

同樣的當取極限 C1 收縮到中心(xyz)時 SΔ 收縮到 0

0

limsΔ rarr

1L RC C

A dS

rarr

+sdot =

Δ int yAx

partpart

（4-101）

最後合併 CBCTCRCL 為 C1

10

1limCs

A ds

rarr

Δ rarrsdot =

Δ int y xA Ax y

part partminus

part partˆ ( ) ( )zz A A= sdot nablatimes = nablatimes （4-102）

注意 C1 的方向就是在 z 上式的重要

意義是當向量場 A 在一個以點(xyz)為

中心「方向為 z 」的面積元素的「邊界」

所做的環路積分得到的就是 A 在(xyz)

處旋度的 z-分量明顯的只有當 A 在

(xyz)附近有 x-y 平面上的「漩渦」那麼 C1 的環路積分才不會為 0

Similarly 取一個逆時針繞著(xyz)的平行於 x-z 平面的長方形環路 C2

（左圖）做環路積分再取極限將 C2 收縮到(xyz)就會得到

20

1limCs

A ds

rarr

Δ rarrsdot =

Δ int x zA Az x

part partminus

part partˆ ( ) ( )yy A A= sdot nablatimes = nablatimes （4-103）

注意到 C2 所包圍的面積方向就在 y到

現在我們應該已經很有經驗了若取一

個逆時針繞著(xyz)的平行於 y-z 平面

的長方形環路 C3（左圖）做環路積分

再取極限將 C3 收縮到(xyz)就會得到

4-60

30

1limCs

A ds

rarr

Δ rarrsdot =

Δ int yz AAy z

partpartminus

part partˆ ( ) ( )xx A A= sdot nablatimes = nablatimes （4-104）

能把（4-103）與（4-104）變出來的同學我們有優待綜合以上

我們可以得到一個結論若取一個以點(xyz)為中心的任意環路 Cn（其

所包圍的面積方向在 n ）則

n curl Aand rarrsdot ＝

0

1lims

Cn

A ds

rarr

Δ rarrsdot

Δ int （4-105）

明顯的當 n ＝ x 或 y 或 z 時我們可以重複（4-102）到（4-104）的

結果（4-70）式的行列式所定義的旋度在此看見其幾何物理意義

至此「旋度」的「漩渦」形象應該已經很清楚了只有在(xyz)點附

近的小圈圈上有「漩渦」 A 在小圈圈做的環路積分才會有值這個

值就是向量場 A 的「旋度」在小圈圈面積方向的分量

Stokersquos 定理

考慮一個開放面 S被其「有方向的」邊界 C 圈住(bounded by)則

( )S

A dsrarr rarrnablatimes sdotint ＝

C

A drarrsdotint （4-106）

pf 先將 S 面分割為 N 個多邊形這會使得邊界變成一個「折線」形

成的環路 P環路 P 會隨著分割的多邊形個數的增多而越加近似於原

「光滑的」邊界 C現考慮相鄰的

兩個多邊形的線積分由於共用邊

的方向是相反的所以相鄰兩個多

邊形線積分的和只剩「外邊界」（見左圖）所以當把所有的多邊形的

4-61

線積分加起來時由於只有邊界 P 不是多邊形的共用邊所以

1k

N

k C

A drarr

=

sdotsum int ＝P

A drarrsdotint rArr

P

A drarrsdotint ＝

1

1

k

N

kk k C

A d l ss

rarr rarr

=

⎡ ⎤sdot Δ⎢ ⎥

Δ⎢ ⎥⎣ ⎦sum int

其中 ksΔ 為第 k 個多邊形的面積取極限 0kN srarrinfinrArrΔ rarr P CrArr rarr

C

A drarrsdotint ＝

10

1limkk

N

kN k k Cs

A d ss

rarr

rarrinfin=Δ rarr

⎡ ⎤sdot Δ⎢ ⎥

Δ⎢ ⎥⎣ ⎦sum int 01

ˆlim ( )k

k kskn A s

infin

Δ rarr=

⎡ ⎤= sdot nablatimes Δ⎣ ⎦sum

01

ˆlim ( )k

k kskA n s

infin

Δ rarr=

= nablatimes sdot Δsum = ( )S

A dsrarr

nablatimes sdotint QED

ex55 由 Amperersquos law 的積分形式導出其微分形式

解Amperersquos law 的積分形式 C

B drarrsdotint ＝ I0μ (4-107)

由 Stokersquos 定理及電流密度 j 的定義上式等號兩端可寫為

rArr ( )S

B dsrarr rarrnablatimes sdotint ＝ 0 S

j dsμrarrsdotint

由於上面的等式對任意面 S（路徑 C）都成立所以被積函數相等

0B jμrarr rarr rarr

rArrnablatimes = (4-108) 此即 Amperersquos law 的微分形式

Ex56 Given a vector field ˆ ˆx yA ye xe= minus + (a) Find Anablatimes

解

ˆ ˆ ˆˆ ˆ(1 ( 1) 2

0x y z

x y zA z z

y xnablatimes = part part part = minus minus =

minus

(b)如圖一個金字塔狀的 5 面體高 2底邊長＝1計算 ( )S

A dsnablatimes sdotint

其中 S 為金字塔在 x-y 平面以上的部分方向如同

封閉的金字塔（運用 Stokersquos law）

解金字塔上表面的面積元素ds 不好寫由 Stokersquos

4-62

law ( )S

A dsrarr rarrnablatimes sdotint ＝

C

A drarrsdotint 其中封閉路徑 C 就是上表面的邊界而且

是逆時針（由 z 軸向下看）

C

A drarrsdotint ＝

1 1 0 0

0 0 1 1ˆ ˆ ˆ ˆA xdx A ydy A xdx A ydysdot + sdot + sdot + sdotint int int int

＝1 1 0 0

0 0 1 1x y x yA dx A dy A dx A dy+ + +int int int int 1 1 0 0

0 0 1 1( 0) ( 1) ( 1) ( 0)y dx x dy y dx x dy= minus = + = + minus = + =int int int int

0 1 1 0 2 ( ) 2S

A ds= + + + = rArr nablatimes sdot =int

旋度與 path independence

已知保守場 cF 對所有封閉路徑 C 0cC

F drarrsdot =int 由 Stokersquos 定理

0cC

F drarrsdot =int ＝ ( )cS

F dsrarr rarrnablatimes sdotint rArr 0cF

rarr rarrnablatimes =

這表示保守場＝無旋度反之無旋度的場任兩點間路徑積分與路

徑無關

Ex57 Given a field 2 2ˆ ˆ ˆ2A x xy yx zz= + minus (a) Find Anablatimes A 保守場

解2 2

ˆ ˆ ˆ

2x y z

x y zA

xy x znablatimes = part part part

minus

( ) ( ) ( )2 2 2 2ˆ ˆ ˆ( ) 2 ( ) 2 0y z z x x yx z x y xy z z x xy= part minus minuspart + part minuspart minus + part minuspart =

yes A =保守場

(b)如左圖由 A 到 B 做路徑積分A BC

A drarr

sdotint 路徑 C 為橢圓

22 1

16yx + = 在 x-軸以上的部分

解橢圓部分的路徑元素 d 有點麻煩但因為 A

為保守場所以 A 到 B 做路徑積分可以用 x = -1 到

1 的積分取代

4-63

01 1 1

1 1 1ˆ 2 0

yB

xAA d A xdx A dx xydx

=

minus minus minussdot = sdot = = =int int int int

∵

旋度在柱座標與球座標

前面討論過nabla在不同座標系的寫法旋度也有歸納出的一致寫法

座標 1 2 3 u u u

度量係數

1 2 3 h h h

nabla grad del

直角 x y z

1 1 1 nabla ˆ ˆ ˆx y z

x y zpart part part

equiv + +part part part

圓柱 zρ ϕ

1 1ρ

1ˆ ˆ ˆ zz

ρ ϕρ ρ ϕpart part part

nabla equiv + +part part part

球 r θ ϕ

1 sinr r θ

1 1ˆ ˆˆ sin

rr r r

θ ϕθ θ ϕ

part part partnabla = + +

part part part

所以柱座標與球座標的旋度分別表為

柱座標

ˆ ˆ ˆ1

z

z

Az

AA Aρ ϕ

ρ ρϕ

ρ ρ ϕρ

part part partnablatimes =

part part part （4-109）

球座標 2

ˆ ˆˆ sin1sin

sinr

r r r

Ar r

A rA r Aθ ϕ

θ θϕ

θ θ ϕθ

part part partnablatimes =

part part part （4-110）

ex58 (a) Given the vector function ˆA ϕ= sin (ϕ 2) find Anablatimes

解 2

ˆ ˆˆ sin1sin

0 sin( 2) 0

r r r

Ar r

r

θ θϕ

θ θ ϕϕ

part part partnablatimes =

part part part

4-64

21 ˆˆ cos sin sinsin 2 2 2

rr rr

ϕ ϕθϕθ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

ˆˆ cos sin2 sin 2 2

rr r

ϕ ϕ ϕθ

minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

(b)如左圖一個底面在 x-y 平面半徑＝1高＝2 之圓錐 求面積分

SA dsnablatimes sdotint 面積範圍 S 為圓錐在 x-y 平面以上

部分 方向為由圓錐內向外

解由 Stokersquos law ( )S

A dsrarr rarrnablatimes sdotint ＝

C

A drarrsdotint 其中路

徑 C 為 x-y 平面圓心在原點之單位圓 ˆ ˆd rd dϕ ϕ ϕ ϕ= =

2

0ˆ ˆsin sin

2 2C

d dπϕ ϕϕ ϕ ϕ ϕ⎛ ⎞ ⎛ ⎞sdot =⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠int int ( )0

2 sin u duπ

= int 0cos | 2u π= minus =

習題 16 磁場 B 因為不是保守場所以沒有對應的純量位而對應一

個向量位 A (vector potential)而 B A= nablatimes 一個磁鐵的磁偶極矩

ˆm mz= 被置於原點已知在遠處的 vector potential 03ˆ sin

4mAr

μϕ θπ

=

計算該處的磁場 B Ans 03

ˆˆ( 2cos sin )4

mB rr

μ θ θ θπ

= + 與電偶極遠處

的電場形式一致都是偶極(dipole) 選幾個點畫一畫該處的場向量

把磁力線描出來

附錄本章講義的內容有部分可以經由直接計算得出列在附錄做為

參考

用「圓柱座標」寫 Atimesnabla

Ararr rarrnablatimes ＝ ( )1ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ zz A A zA

z ρ φρ ϕ ρ ϕρ ρ ϕpart part part⎛ ⎞+ + times + +⎜ ⎟part part part⎝ ⎠

4-65

因為rdquo sdotrdquo與rdquotimes rdquo都是向量間的運算所以

＝ ( )ˆ ˆ ˆ ˆ zA A zAρ φρ ρ ϕρpart

times + +part

＋ ( )1ˆ ˆ ˆ ˆ zA A zAρ φϕ ρ ϕρ ϕ

parttimes + +

part

＋ ( )ˆ ˆˆ ˆ zz A A zAz ρ φρ ϕpart

times + +part

直接做上式微分可以得到

＝1ˆ z AA

zϕρ

ρ ϕpart⎛ ⎞part

minus⎜ ⎟part part⎝ ⎠＋ ˆ zA A

zρϕ

ρpart⎛ ⎞part

minus⎜ ⎟part part⎝ ⎠＋

1 1ˆ ( )A

z A ρϕρ

ρ ρ ρ ϕpart⎛ ⎞part

minus⎜ ⎟part part⎝ ⎠

上式可以用一個行列式來表示

rarrrarr

timesnabla A＝

ˆ ˆ ˆ1

z

z

zA A Aρ ϕ

ρ ρϕ

ρ ρ ϕρ

part part partpart part part

（A-1）

A and Anabla nablasdot nablatimes in 球座標 spherical coordinate

如上圖球座標 )( ϕθr 其中 )0[ infinisinr ]0[ πθ isin ]20[ πϕ isin 只有 r

是長度而 ϕθ 為角度是用來說明方向的三個座標的單位向量 ˆ ˆˆ r θ ϕ 具

有下列性質

4-66

1 如上圖 ˆ ˆˆ r θ ϕ 都不是常數而是（ ϕθ ）的函數

ˆ ˆ( )ˆ ˆ( )ˆ ˆ( )

r r θ ϕ

θ θ θ ϕϕ ϕ ϕ

⎧ =⎪

=⎨⎪ =⎩

)( ϕθr 與(xyz)之間的轉換如下

sin cossin sincos

x ry rz r

θ φθ φθ

=⎧⎪ =⎨⎪ =⎩

( )122 2 2

2 2

tan

tan

r x y z

x yz

yx

θ

φ

⎧ = + +⎪⎪ +⎪ =⎨⎪⎪ =⎪⎩

（A-2）

2 ˆ ˆˆ r θ ϕ 形成一「歸一正交集」ie

ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ 1r r θ θ ϕ ϕsdot = sdot = sdot = ˆ ˆr θ ϕperp perp

ˆ ˆr θ ϕtimes = ˆ ˆ rθ ϕtimes = ˆˆ rϕ θtimes = （A-3）

3可以很容易的由他們在 xyz 軸上的投影由直角

座標的 ˆ ˆ ˆ x y z 表出

ˆ ˆ ˆ ˆsin cos sin sin cos ( 4 )ˆ ˆ ˆ ˆcos cos cos sin sin ( 4 )ˆ ˆ ˆsin cos ( 4 )

r x y z A a

x y z A bx y A c

θ φ θ φ θ

θ θ φ θ φ θϕ φ φ

= + + minus⎧⎪

= + minus minus⎨⎪ = minus + minus⎩

4 ˆdr = 由於 ˆ ˆ( )r r θ φ= 所以由 ϕθ 的變動來看

4-67

ˆ ˆˆ| |ˆ ˆˆ| | sin sin

d r d d

d r d d

θ θθ θθ

φ θ φφ θ φφ

⎧ rArr =⎪⎨

rArr =⎪⎩rArr ˆ ˆˆ sindr d dθ θ φ θ φ= + （A-5）

rArrˆ ˆr θθpart

=part

ˆ ˆsinr θφφpart

=part

（A-6）

（A-6）的結果也可以直接由（A-4a）對 ϕθ 偏微得到

5 ˆdθ ＝ 由於 ˆ ˆ( )θ θ θ φ= 所以由 ϕθ 的變動來看

ˆ ˆ ˆ| | ( )ˆ ˆ ˆ| | cos cos

d d r d r

d d d

θ θ θ θ

φ θ θ φφ φ θ φ

⎧ rArr minus = minus⎪⎨

rArr =⎪⎩rArr ˆdθ ＝ ˆˆ cosrd dθ φ θ φminus + （A-7）

ˆrθ

θpart

rArr = minuspart

ˆ ˆcosθ φ θφpart

=part

（A-8）

請直接由（A-4b）對 ϕθ 偏微的結果 check（A-8）

6 ˆdφ ＝由於φ )(ϕ 躺在 x-y 平面上變動φ時的方向可能不是那麼

容易看出來所以做圖看一看

ie ˆ ˆˆ(sin ) (cos )d r d dφ θ φ θ θ φ= minus minus （A-9）

4-68

ˆ ˆˆsin cosrφ θ θ θφpart

= minus minuspart

7 所有的向量 ˆ ˆˆ rA rA A Aθ φθ φrarr= + +

8 位置向量 ˆr rrrarr=

可以由左圖 ˆ ˆˆ r θ ϕ 三個方向的「長度

變化」輕易的看出

9 位移元素

ˆ ˆˆ ˆ sindr rdr rd dθ θ ϕ θ φ= + + (A-10)

10 體積元素

sindv dr r d rdθ φ θ= sdot sdot

＝ 2 sinr dr d dθ θ φ (A-11)

11 面積元素 2 sinrds r d dθ θ φ= plusmn sinds r drdθ θ φ= plusmn ds rdrdφ θ= plusmn (A-12)

plusmn號表示面的垂直方向有兩個端看 ds 周邊的方向是如何定的

nabladel 考慮 ( )u u r θ φ=

rArru u udu dr d dr

θ φθ φ

part part part= + +part part part

u d rrarr rarr

equiv nabla sdot

urarr

= nabla sdot ˆ ˆˆ( sin )rdr rd dθ θ φ θ φ+ +

rArr1 1ˆ ˆˆ

sinu u uu rr r r

θ ϕθ θ φ

rarr part part partnabla = + +

part part part

1 1ˆ ˆˆsin

rr r r

θ ϕθ θ φ

rarr part part partnabla equiv + +

part part part （A-13）

4-69

直接用（A-13）與 ˆ ˆˆ rA rA A Aθ φθ ϕrarr= + + 逐項內積加上（A-678）

rArr ϕθ

θθθ

ϕθ part

part+

partpart

+partpart

=sdotnablararrrarr A

rA

rAr

rrA r sin

1)(sinsin1)(1 2

2 （A-14）

（A-13）與 ϕθ ϕθ AAArA r

andandandrarr

++= 逐項外積整理之後

ϕθ θϕθ

ϕθθ

θArrAA

r

rrr

rA

r sin

sin

sin1

2 partpart

partpart

partpart

=timesnabla

andandand

rarrrarr

（A-15）

Laplacian uu nablasdotnabla=nabla2

2

2

2222

22

sin1)(sin

sin1)(1

ϕθθθ

θθ partpart

+partpart

partpart

+partpart

partpart

=nablau

ru

rrur

rru （A-16）

B推導「散度」在圓柱座標的寫法

讓我們先回顧一下在直角座標裡的「面積元素」可以由「位移元素」

得到

ˆˆ ˆ x y zdr idx jdy kdz da dydz dxdz dxdy= + + rArr =

比照辦理「圓柱座標」的位移元素

( )ˆˆ ˆ( )

( )z

da d dzdr d d zdz da d dz

da d d

ρ

φ

ρ φ

ρ ρ φ ρ φ ρ

ρ ρ φ

=⎧⎪= + + rArr =⎨⎪ =⎩

這個結論可以輕易的由面積元素在垂直於 zˆˆ ϕρ 三個方向的面積看

出如下圖考慮一個以 )( zϕρ 為中心的「圓柱體積元素」(cylindrical

cubiod)體積為 zdV ΔΔ=Δ ϕρρ 現計算在 ρ

方向的 12 兩個平行面(方向各為 ρplusmn )的通

量

4-70

zzF

dsFdsnFS S

ΔΔ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

+cong

=sdotintint intintϕρρϕρρρ

ρ

2

2

ˆ1 1

zzF

dsFdsnFS S

ΔΔ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

minus⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

minusminuscong

minus=sdotintint intintϕρρϕρρρ

ρ

2

2

ˆ2 2

intint+

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

minus⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

minusminus⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

+Δ

asympsdotΔ

rArr21

22

22

1ˆ1

SS

zFzFdsnFV

ϕρρρρϕρρρρρρ ρρ

( ) ( )

1 20

0

0

1 ˆlim

1lim 2 2 2 2

1 1lim 2 2

1

VS S

F ndsV

F z F z

F z F z

F

ρ ρρ

ρ ρρ

ρ

ρ ρ ρ ρρ ρ φ ρ ρ φρ ρ

ρ ρρ ρ φ ρ ρ φρ ρ

ρρ ρ

Δ rarr+

Δ rarr

Δ rarr

rArr sdotΔ

Δ Δ Δ Δ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + + minus minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥Δ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦Δ Δ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥Δ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

part ⎡ ⎤= ⎣ ⎦part

intint

娛樂一下用上述方式把圓柱的 Fsdotnabla 裡的z

FF z

partpart

+partϕρϕ1

變出來

球座標的nabla和 Fsdotnabla 也可以試試看

補充習題

H M Scheydiv grad curl and all that 4th edition

第二章習題 6 8 9 10 11 14 15 16 18 19 21 22 23 25 26 27

第三章習題 2 3 5 6 7 8 9 10 11 14 15 17 18 19 24

4-41

解 2 2 4

0 0ˆ

8a a x

zS S S S

aA ds A zdxdy A dxdy xydxdy xdx ydyminus

sdot = sdot = = = =int int int int int int

Ex39 In cylindrical coordinate Given ˆ ˆaA zbzρρ

= + where a b are

constants Find S

A dssdotint over the surface of a

closed cylinder about z-axis specified by 3 2z ρ= plusmn =

解S 分為上下與周邊三面

zz (z 3)zA ds A ds A d dρ ρ ϕsdot = sdot = = sdotint int int上 上 上

= 23 3 2 12bd d b bρ ρ ϕ π πsdot = sdot =int上

ˆ(-z)A ds A d dρ ρ ϕsdot = sdot sdotint int下 下

= z- (z -3)A d dρ ρ ϕ= sdotint下 = 23 2 12b bπ πsdot =

周邊ds ˆ ( )d dzρ ρ ϕ= rArr ˆ ( ) z ( ) zA ds A d d A d dρρ ρ ϕ ρ ϕsdot = sdot =int int int周 周 周

2 3

0 3( ) z ( ) z=a 12aA d d d d d dz a

πρ ρ ϕ ρ ϕ ϕ π

ρ minus= = =int int int int周 周

加起來 S

A dssdotint ＝12 24 12 ( 2 )a b a bπ π π+ = +

ex40 一點電荷 q 置於原點計算在一個以原點為圓心 0r 為半徑的球

面上的電通量

解 2 20 0

ˆ ˆ4 4S S

qr q dsE ds rdsr rπε πε

sdot = sdot =int int int

=0 0 0

44 4S

q q qd ππε πε ε

sdot Ω = sdot =int

上式中 dΩ 2dsr

= 是 ds 所張開的「立體角」(solid angle)

4-42

div A and Flux 通量與散度的幾何物理意義

我們運用過nabla的符號來表示過散度 divF F= nablasdot yx zFF Fx y z

partpart part= + +part part part

但是也看到「散度」定義為

0( )

1( ) limSV

about x y z

divF x y z F da divergence of FVΔ rarr

equiv sdot =Δ int (4-77)

其中 VΔ 為 S 面所包含的體積即散

度為通量(體)密度的 0 體積極限

（4-77）的定義與 Fnablasdot 好像差的很

多她們是說同一回事嗎以下證明

這兩種「散度」的定義是等價的如

左圖考慮一個以點 ( ) x y z 為中心

的 立 方 體 其 相 鄰 三 邊 長 為

x y zΔ Δ Δ 體積 V x y zΔ = Δ Δ Δ 現在計算 F 在立方體的一組平行於 y-z平面的表面 S1 與 S2 的通量

( )1 1

ˆ ˆ xS S

F nds F xds F x y z dsrArr sdot = sdot =intint intint intint 2xxF x y z y zΔ⎛ ⎞asymp + Δ Δ⎜ ⎟

⎝ ⎠

其中 2xx y zΔ⎛ ⎞+⎜ ⎟

⎝ ⎠為 S1 面中心的座標而

2xx y zΔ⎛ ⎞minus⎜ ⎟

⎝ ⎠為 S2 面的中心

( ) ( )2 2 2

ˆ ˆ 2x x

S S S

xF nda F x ds F x y z ds F x y z y zΔ⎛ ⎞rArr sdot = sdot minus = minus asymp minus minus Δ Δ⎜ ⎟⎝ ⎠intint intint intint

上式中的負號來自 S2 面的方向是 xminus 所以合併兩個面積分

1 2

ˆ 2 2x x

S S

x xF nds F x y z F x y z y z+

Δ Δ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞rArr sdot asymp + minus minus Δ Δ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦intint

2 2x xx xF x y z F x y z

x y zx

Δ Δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠= Δ Δ Δ

Δ

2 2

x xx xF x y z F x y z

Vx

Δ Δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠= Δ

Δ

1 2

1 2 2ˆ

x x

S S

x xF x y z F x y zF nds

V x+

Δ Δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠rArr sdot asymp

Δ Δintint

4-43

當取體積向(xyz)點收縮至 0 時即 0 x 0as VΔ rarr Δ rarr 上式的近似

「asymp」就成了「＝」

1 20

1 ˆlimV

S S

F ndsVΔ rarr

+

sdotΔ intint

( )0

2 2limx x

x

x

x xF x y z F x y z F x y zx xΔ rarr

Δ Δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟ part⎝ ⎠ ⎝ ⎠= =Δ part

Similarly F 在立方體的一組平行於 x-z 平面的表面 S3 與 S4 的通量

3 3 3

ˆ ˆ yS S S

F nds F yds F dsrArr sdot = sdot =intint intint intint

2

2

y

y

yF x y zyF x y z x z x y z

y

Δ⎛ ⎞+⎜ ⎟Δ⎛ ⎞ ⎝ ⎠asymp + Δ Δ = Δ Δ Δ⎜ ⎟ Δ⎝ ⎠

( )4 4 4

2ˆ ˆ

y

yS S S

yF x y zF nds F y da F ds x y z

y

Δ⎛ ⎞minus⎜ ⎟⎝ ⎠rArr sdot = sdot minus = minus asymp Δ Δ Δ

Δintint intint intint

合併 S3 與 S4 兩個面積分並取體積向(xyz)點收縮至 0 時即當

0 y 0VΔ rarr Δ rarr 上式的近似asymp就成了＝

3 4

2 2ˆ

x x

S S

y yF x y z F x y zF nds V

y+

Δ Δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠rArr sdot cong Δ

Δintint

3 40 0

1 2 2ˆlim lim

x xy

V yS S

x yF x y z F x y z FF nds

V y yΔ rarr Δ rarr+

Δ Δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟ part⎝ ⎠ ⎝ ⎠rArr sdot = =Δ Δ partintint

與上面相同的作法計算 F 在立方體的一組平行於 x-y 平面的表面 S5

與 S6 的通量我們也會得到對應的結果

5 6

2 2ˆ

z x

S S

z zF x y z F x y zF nds V

z+

Δ Δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠rArr sdot cong Δ

Δintint

5 60 0

1 2 2ˆlim lim

z xz

V zS S

z zF x y z F x y zFF nds

V z zΔ rarr Δ rarr+

Δ Δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟ part⎝ ⎠ ⎝ ⎠rArr sdot = =Δ Δ partintint

所以合併立方體的 6 個面積分

4-44

1 2 3 4 5 6

ˆ ˆ ˆ ˆS S S S S S S

F nds F nds F nds F nds+ + +

rArr sdot = sdot + sdot + sdotint intint intint intint

0

1 ˆlim yx zV

FF FF nds div F FV x y zΔ rarr

partpart partrArr sdot = + + = = nablasdot

Δ part part partint (4-78)

在此我們得證這兩種「散度」的定義是等價的只是（4-77）的定義

充分的表現出「散度」的幾何物理意義他從通量著手由於場線

出自於 source（ex電場源自於點電荷）所以在點(xyz)必須有向量場

F 的 source 存在才能使得當面積縮到 0 時仍具有非 0 的通量所以「散

度」表現向量場 F 的 source 在這個定義之下是很清楚的當然在計算

「散度」時我們不必那麼麻煩用 divF F= nablasdot 就好了

Ex41 計算 2ˆ ˆ ˆF xx yxy zyz= + + 的散度

解 2 yx zFF Fx x yx y z

partpart part= = =

part part part F 2x x y 3x ydivrArr = + + = +

recall 在靜電學0

yx zEE EEx y z

ρε

partpart partnablasdot = = + +

part part part

散度定理 Divergence Theorem

若任意封閉面（又稱為「高斯面」）S 所包圍的

體積為 V 則

S VA ds Adτsdot = nablasdotint int （4-79）

pf 我們先將體積分割成 N 個小盒子考慮相鄰的兩個小盒子 1 2

兩小盒子的共用面面積 S0當 S0 是為 1 號盒子的一部份時其方向為

1n 但若當為 2 號盒子的表面時其方向為 12 ˆˆ nn minus= 如此在 S0 分別做

4-45

1 2 盒子的面積分後

0 0

0 0 0 0

1 2

1 2 1 1ˆ ˆ ˆ ˆ 0

S S

S S S S

A ds A ds

F n ds F n ds F n ds F n ds

sdot + sdot

= sdot + sdot = sdot minus sdot =

intint intintintint intint intint intint

所以若求場 A 在 1 2 盒子的總通量時交界面是沒有貢獻的總通量

就只有「外面積」才有貢獻如此我們計算 N 個小盒子的總通量

時所有的內部共用面都得 0只剩下「外表面」的貢獻了當 infinrarrN

時所有小盒子的「總外表面」就與 S 面重合了所以所有小盒子通量

的總和就等於 S 面的通量

1lim

i

N

S SN iA ds A ds

rarrinfin=

rArr sdot = sdotsumint int

現在我們做 N 個小盒子的總通量

1 1

1i i

N N

iS Si i i

A ds A ds VV= =

⎛ ⎞sdot = sdot Δ⎜ ⎟Δ⎝ ⎠

sum sumint int

當 0iN Vrarrinfin rArr Δ rarr 並用 dv 表示體積元素

( ) ( )1 1

1

1lim lim lim

lim

i ii

N N

iS SN N V oi i i

N

i VN i

A ds A ds VV

A V A dv

rarrinfin rarrinfin Δ rarr= =

rarrinfin=

⎛ ⎞sdot = sdot Δ⎜ ⎟Δ⎝ ⎠

= nablasdot Δ = nablasdot

sum sumint int

sum int

( )S V

A da A dvrArr sdot = nablasdotint int QED

所以得證散度定理上式中我們用了散度的（4-77）式定義要分辨

清楚 Anablasdot 是向量場 A 在空間中「某一點」的性質（ 0VΔ rarr ）而「散

度定理」說的是一個「有限體積」的性質

ex42 給定 ( ) ˆ ˆ ˆ A x y z xx yy zz r= + + = 計算在

半徑 R＝1 的球的上半球加底面的通量

4-46

解 ( )ˆˆS

A da A rda A k darArr sdot = sdot + sdot minusint int int上半球面 底面

( )

2

ˆ ˆ

0 2 1 2

A rda A z dxdy

r rds zdxdy rds ds π π

= sdot + sdot minus

= sdot minus = minus = = sdot =

int int

int int int int上半球面 底面

上半球面 底面 上半球面

底面的通量＝0 是因為 A 的 z 分量 Az=z 在底面的值為 0

也可以用散度定理更快的得出結果

∵ 3A rnablasdot = nablasdot =

31 43 3 1 22 3V V

Ad d πτ τ πnablasdot = = sdot sdot sdot =int int

ex43高斯定律的微分形式積 由 Gaussrsquo law 的積分形式用散度定理得出其

( )0 0

1 inS V

qE ds x y z dvρε ε

sdot = =int int

0S V VE ds Edv dvρ

εrArr sdot = nablasdot =int int int

上式最後的等式對「任意形狀」V 都成立所以兩者的被積函數相等

對於空間每一點 0

E ρε

nablasdot = （4-80）

ex44 Use 第一象限的單位力方體 check the divergence theorem using the function 2 2ˆ ˆ ˆ(2 ) 2A y x xy z y yzz= + + +

解2

2( ) (2 )(2 ) 2( )y yzA xy z x yx y z

part part partnablasdot = + + + = +

part part part

and 1 1 1 1 1 1

0 0 0 0 0 02 ( ) 2 ( )

VAdv x y dxdydz dz dy x y dxnablasdot = + = +int int int int int int int

1 1

0 0

1 12 ( ) 2 12 2

dz y dy= + = sdot =int int

面積分 1 1 2

0 0

1ˆ3

A ds A xdydz dz y dysdot = sdot = =intint intint int int前 前

4-47

1 1 2

0 0

1ˆ( )3

A ds A x dydz dz y dy minussdot = sdot minus = minus =intint intint int int

後 後

1 1 2

0 0ˆ (2 )A ds A ydxdz dz xy z dxsdot = sdot = +intint intint int int

右 右

1 1 1 12 2

0 0 0

4(2 ) (1 )3

ydz x z dx dz z

=

= + = + =int int int∵

1 1 2

0 0

0 1 1 12 2

0 0 0

ˆ( ) (2 )

1(1 )3

y

A ds A y dxdz dz xy z dx

dz z dx dz z=

sdot = sdot minus = minus +

minus= minus = + =

intint intint int int

int int int∵

左 左

11 1 1 1

0 0 0 0ˆ 2 2 1

zA ds A zdxdy dx yzdy dx ydy

=sdot = sdot = = =intint intint int int int int

∵

上 上

01 1

0 0ˆ 2 0

zA ds A zdxdy dx yzdy

=sdot = sdot minus = minus =intint intint int int

∵

下 下

前後右左上下六個面積分合併＝1＝V

Advnablasdotint QED

ex45 Continuity Equation 連續方程式

考慮某些「東西」的流動（物質電荷hellip）在時刻 t 時在點(xyz)

的 密 度 為 ( ) x y z tρ ρ= 並 具 有 速 度

( ) v v x y z t= 在時刻 t 時在體積 V 內的總量為

( ) x y z t dρ τintintint

這樣體積 V 內東東的時變率為

( ) ( ) d x y z t d x y z t ddt t

ρρ τ τpart=

partintintint intintint

注意體積分後的時間全微分移入積分內要改為偏微分這個東東

在表面的「流率 flow rate」可表為

ˆS

R v ndsρ= sdotintint

若體積內的物料無法自生自滅那麼體積內物料的變化必經由表面的

流出流入所造成

d v ndstρ τ ρpart

rArr = minus sdotpartintintint intint

由散度定理

4-48

( )ˆS

v nds v d dtρρ ρ τ τpart

sdot = nablasdot = minuspartintint intintint intintint

( )v Jtρ ρpart

rArr = minusnablasdot equiv minusnablasdotpart

0Jtρpart

rArr +nablasdot =part

（4-81）

(4-81) 即 continuity equation其中 J vρ= 為「物流密度」ex如果 ρ

是電荷密度 J 就是電流密度（4-81）是物質守恆的結果只對體

積內無 source（生成）or drain（消滅）的東東成立

ex46 Given a vector field ˆ ˆx yA ye xe= minus + (a) Find

Anablasdot (b)如圖一個金字塔狀的 5 面體高 2 底邊長

1計算 A在整個金字塔表面（封閉面）的總通量

解(a) Anablasdot = ( ) ( ) 0y xx ypart part

minus + =part part

(b) 金 字 塔 的 表 面 面 積 元 素 ds 不 好 寫 所 以 用 散 度 定 理

( )S V

A da A dvrArr sdot = nablasdotint int ＝0 Anablasdot 表示 A沒有 source 所以對封閉面而

言有多少場線進入就有多少出去所以總通量＝0

習題 7 With position vector r for an arbitrary volume V that is

bounded by surface S show that 13 S

r ds Vsdot =int

習題 8 已知一靜電場為 ˆ ˆ ˆ( )E xyz yxz zxyλ= + + 運用 Gaussrsquo law

試求包含在半球 2 2 2 2 0x y z R z+ + = ge 裡的總電荷 Ans 0

習題 9 (a) given ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( 2 )F r xf x yf y zf z= + + minus show that divF is

zero at point (c c -c2) (b) given ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( )G r xf x z yg x z zh x y= + +

show that ( ) 0G rnablasdot =

4-49

習題 10 Find the normal vector n for the surfaces (a) z = 2-x-y ans

ˆ ˆ ˆ( ) 3x y z+ + (b) z = (1-x2)12 ans ˆ ˆxx zz+ (c) z = x2+y2

ans ˆ ˆ ˆ( 2 2 ) 1 4xx yy z zminus minus + +

習題 11 Show that the unit vector normal to the plane ax+by+cz =d is

given by 2 2 2ˆ ˆ ˆ( ) ax by cz a b cplusmn + + + +

圓柱座標與球座標的nabla (del)

考慮一純量場在直角座標為 ( ) u x y z 在圓柱座標表為 ( ) u zρ φ

再考慮因位移 r r drrarr + 所造成 u ( )zρ φ 的變化

( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆz

z

u u udu d d dz u dr u d d zdzz

u u z u d d zdz

u d u d u dzρ ϕ

ρ ϕ

ρ ϕ ρ ρ ϕρ ϕρ ϕ

ρ ϕ ρ ρ ϕρ ϕ

ρ ρ ϕ

part part part= + + = nabla sdot = nabla sdot + +part part part

⎡ ⎤= nabla + nabla + nabla sdot + +⎣ ⎦= nabla + nabla + nabla

( ) ( ) ( )1

1ˆ ˆ ˆu

z

u u uu u uz

u u uzz

ρ ϕρ ρ ϕ

ρ ϕρ ρ ϕ

part part partrArr nabla = nabla = nabla =

part part partpart part part

rArrnabla = + +part part part

1ˆ ˆ ˆ zz

ρ ϕρ ρ ϕpart part part

nabla = + +part part part

（4-82）

注意nabla的ϕ -分量( 1ρ ϕ

partpart

)不是像直角座標裡單純的ϕpartpart

所以不要笨笨

的就把直角座標的形式硬套上去用我們也可以從「因次分析」來

看nabla因為是對空間的微分所以每一項的因次必須是「長度分之一」

運算 andzρ

part partpart part

都是「長度分之一」而「單純的ϕpartpart

」是沒有單位的

所以要1ρ ϕ

partpart

才 OK

由於圓柱座標裡的單位向量除了 z 之外 ˆ( )ρ ϕ 與 ˆ( )ϕ ϕ 都不是常

4-50

數所以在微分時不可以與微分運算交換而要考慮微分的作用所

以在「圓柱座標」寫「散度」 ( ) F zρ ϕnablasdot 也和直角座標不一樣

( )1ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ zF z F F zFz ρ ϕρ ϕ ρ ϕ

ρ ρ ϕpart part part⎛ ⎞

nabla sdot = + + sdot + +⎜ ⎟part part part⎝ ⎠

( ) ( )1ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆz zF F zF F F zFρ ϕ ρ ϕρ ρ ϕ ϕ ρ ϕρ ρ ϕpart part

= sdot + + + sdot + +part part

( )ˆ ˆˆ ˆ zz F F zFz ρ ϕρ ϕpart

+ sdot + +part

因為 ( ) ( )ˆ ˆ ˆ ˆ ρ ρ ϕ ϕ ϕ ϕ= = 所以做 andzρ

part partpart part

時 ˆ ˆ ρ ϕ 可視為常數

ˆ ˆ1ˆ ˆ ˆ zF F F FF F Fz

ρ ρ ϕρ φ

ρ ϕϕ ρ ϕρ ρ ϕ ϕ ϕ ϕ

part part part⎡ ⎤part part partrArrnablasdot = + sdot + + + +⎢ ⎥part part part part part part⎣ ⎦

還記得 ˆ ˆ ˆ ˆd d d dρ ϕ ϕ ϕ ρ ϕ= = minus 所以 ˆ ˆρ ϕϕpart

=part

ˆ ˆϕ ρϕpart

= minuspart

rArr

( )1 1 1z zF F F FF FF Fz z

ρ ρ ϕ ϕρρ

ρ ρ ρ ϕ ρ ρ ρ ϕpart part part part

nablasdot = + + + = + +part part part part part part

（4-83）

在球座標寫nabla也會遇到相似的問題其根源就是球座標 ( )r θ ϕ 裡

的 θ ϕ 的因次並非長度而三個單位向量 ˆ ˆˆ r θ ϕ（表為 ie ）都是( θ ϕ )

的函數以致

( )ˆ ˆ( ) ( )i ie f e fθ ϕ θ ϕθ θpart part

nepart part

且 ( )ˆ ˆ( ) ( )i ie f e fθ ϕ θ ϕϕ ϕpart part

nepart part

所以nabla也不似在直角座標那麼簡單我們不在這裡推導而是給出一

個歸納的統一的三個座標的結果還記得對每一個座標 iu i = 123

座標的變化 idu 與造成的長度變化 id

i i id h du= 123i = (4-84)

其中 ih 為對應的度量係數(metric coefficient)

4-51

1 2 3

1 1 2 2 3 3

1 1 1ˆ ˆ ˆu u ue e eh u h u h u

part part partnabla equiv + +

part part part （4-85A）

座標 1 2 3 u u u

度量係數

1 2 3 h h h

nabla grad del

直角 x y z

1 1 1 nabla ˆ ˆ ˆx y z

x y zpart part part

equiv + +part part part

圓柱

zρ ϕ

1 1ρ

1ˆ ˆ ˆ z

zρ ϕ

ρ ρ ϕpart part part

nabla equiv + +part part part

球

r θ ϕ

1 sinr r θ

1 1ˆ ˆˆ

sinr

r r rθ ϕ

θ θ ϕpart part part

nabla = + +part part part

（4-85B）

梯度gradient Vnabla grad(V) 散度divergence Anablasdot div( )A

直

角 nablaV ˆ ˆ ˆV V Vx y z

x y zpart part part

= + +part part part

yx zAA AAx y z

partpart partnablasdot = + +

part part part

圓

柱

1ˆ ˆ ˆ V V VV zz

ρ ϕρ ρ ϕpart part part

nabla = + +part part part

( )1 1

1

z

z

A AA Az

A A A Fz

ϕρ

ρ ρ ϕ

ρρ ρ ρ ϕ

ρ ρ ρ ϕ

partpart partnabla sdot = + +

part part partpart part part

= + + +part part part

球

1 1ˆ ˆˆ sin

V V VV rr r r

θ ϕθ θ ϕ

part part partnabla = + +

part part part

22

1 ( )rA r Ar r

partnabla sdot =

part

1 (sin )sin

Ar θθ

θ θpart

+ sdotpart

1sin

Ar

ϕ

θ ϕpart

+part

(4-86)

Ex47 Using spherical coordinate show that 1| |r r

nablaminus

= 2

ˆ| |

r rer r

minusminusminus

where

nabla是作用在 r 而 ˆr re minus 是向量 r rminus 方向的單位向量 解let r lies in z-axis so that the angle between r and r is just θ

4-52

rArr ( ) 122 21 1 2 cos | | ( ) ( )

r rr rr r r r r r

θminus

= = minus +minus minus sdot minus

( ) ( )12 122 2 2 21 1ˆˆ 2 cos 2 cos | |

r r rr r r rr rr r r r

θ θ θθ

minus minuspart partnabla = minus + + minus +

minus part part

( ) 322 21ˆ 2 cos (2 2 cos )2

r r rr r r rθ θminusminus

= minus + minus

( ) 322 21ˆ 2 cos (2 sin )2

r rr r rrθ θ θminusminus

+ minus +

3 3 3 3

ˆˆ ˆ( cos ) sin ( cos sin )ˆˆ| | | | | | | |r r r rr r rrr r r r r r r r

θ θ θ θ θθminus minus minus minus minus= + = +

minus minus minus minus

3 3 3ˆ ( )

| | | | | |r r z r r r rr r r r r rminus + minus + minus minus

= = =minus minus minus

＝ 2

ˆ| |

r rer r

minusminusminus

QED

證明最後我們用到 ˆˆˆ cos sinz r θ θ θ= minus 而 ˆ r r z= 因為我們選了 r 是

躺在 z-軸 Ex48 For arbitrary scalar field ( )f r and vector field ( )A r 證明恆等式

( )fA f A f Anablasdot = nabla sdot + nablasdot (4-87) 解 ˆ ˆ ˆx y zfA xfA yfA zfA= + +

( ) ( ) ( ) ( )x y zfA fA fA fAx y zpart part part

rArrnablasdot = + +part part part

yx zx x x

AAf f f AA f A f A fx x y y z z

partpartpart part part part= + + + + +part part part part part part

yx zx y z

AAf f f AA A A fx y z x y z

part⎛ ⎞partpart part part part= + + + + +⎜ ⎟part part part part part part⎝ ⎠

f A f A= nabla sdot + nablasdot QED 習題 12 一個位於原點的電偶極電偶極矩＝ ˆp pz= 已知其在遠處

的電位為 20

cos4p

rθ

πε試證該處的電場強度為 E = 3

0

ˆˆ( 2cos sin )4

p rr

θ θ θπε

+

(已知 E V= minusnabla )並請計算 Enablasdot ＝

習題 13 給定一向量場2

3cosˆD r

rϕ

= 現有兩個球心在原點的同心球

內球半徑 R＝1外球 R＝2(a)求面積分S

D dssdotint S 為同心球殼的表

面（有內外兩個面）(b)求體積分V

Ddvnablasdotint V 為兩同心球之間的

區域本題也是來 check 散度定理的Ans πminus

4-53

The Laplacian operator 2nabla equivnablasdotnabla

在直角座標可以用直接作用得到

2 2 2

22 2 2u u uu u

x y zpart part part

nabla equiv nablasdotnabla = + +part part part

(4-88)

圓柱座標

2 2

22 2 2

1 1( ) u u uu uz

ρρ ρ ρ ρ ϕ

part part part part⎛ ⎞nabla equiv nablasdot nabla = + +⎜ ⎟part part part part⎝ ⎠

(4-89)

球座標

2

2 22 2 2 2 2

1 1 1sinsin sin

u u uu rr r r r r

θθ θ θ θ ϕ

part part part part part⎛ ⎞ ⎛ ⎞nabla = + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟part part part part part⎝ ⎠ ⎝ ⎠ （4-90）

習題 14 verify (4-89) and (4-90)

習題 15 Given a dipole potential V= 20

cos4p

rθ

πε find 2Vminusnabla

sect 433 Line integral and curl A 線積分與與旋度的物理意義

線積分路徑積分

考慮一曲線 C 通過兩點 ( )i i i iP x y z 與

( )f f f fP x y z 現有一向量場 ( )A x y z 定義在

C 所在的空間若 sd 為 C 上位於(xyz)點的

「路徑元素」（ ˆd td= 方向沿該處切線）而

( )A x y z 為路徑元素d 處的場值則沿 C 經歷各點所做積分

cos cosf

CC C iA d Ad A dϕ ϕrarr rarrsdot = =int int int （4-91）

稱為向量場 ( )A x y z 沿路徑 C 自 pi 至 pf 的「線積分」「或「路徑積分」

積分裡 A 取值的點侷限在路徑 C 上面若為一個「封閉路徑」則對

C 的線積分也稱做「環路積分 closed contour integral」記做

C

A dsdotint （4-92）

4-54

物理量「做功」是最標準的線積分之一力 F 自 x = a 至 x = b「沿線」

x 軸做功

W＝ F dxsdotint ＝ ( )b

xaF x dxint （4-93）

質點在力場 )(rF 裡走一條曲線 C則力場做功

CW F d= sdotint （4-94）

還記得如果 ( )F r 是所謂「保守力」則上式只與始末點有關而與

路徑無關但如果 ( )F r 是所謂「非保守力」則做功與確實的路徑 C

有關

現考慮一質點在空間運動的位置 r 落在由曲線 C

描述的路徑則質點的位移元素與曲線 C 的路徑元

素相同 d dr= 若空間有向量場 A 分佈則 A 在 C 的

路徑積分以直角座標表示為

CA drarr rarrsdotint ＝

CA d rrarr rarrsdotint ＝ ( )x y zC

A dx A dy A dz+ +int （4-95）

上式中的 x y z 的積分限由 C 決定

Ex49 2 2 2ˆ ˆ ˆA xx yy zzrarr= + + 選定一路徑 C 為曲線

2y x= 由 (000)到 (2 20)的部分求C

A dsdotint

解 ˆ ˆd xdx ydy= +∵

CA dsdotint ＝ 2 2( )

Cx dx y dy+int ＝

2 22 2

0 0x dx y dy+int int

＝ )24(32

+

或由 2y x= rArr 2ydy dx= 2 12

y dy xdxrArr =

rArrC

A dsdotint ＝2 2

0

1( )2

x x dx+int ＝2 (4 2)3

+

4-55

ex50 ˆ ˆ( )f x y z xy yx= minus Do C

f dsdotint 其中的路徑 C 為一逆時針三角

形如圖 解∵路徑全部在 x-y 平面 ˆ ˆ ˆd td xdx ydy= = +

rArrC

f dsdotint ＝ x yC

f dx f dy+int ＝C

ydx xdyminusint

由於在 C1 上 y = 0 及 dy = 0 所以 01

=intC 又由於在

C3 上 x = 0 及 dx =0所以 03

=intC 所以只剩下 C2 可

能有貢獻由 2C 的方程式x + y =1rArr ⎩⎨⎧

minus=minus=

xyyx

11

rArr2Cydx xdyminusint ＝

0 1

1 0(1 ) (1 )x dx y dyminus minus minusint int ＝

0 12 2

1 0

( ) ( )2 2x yx yminus minus minus ＝-1

Cf dsdotint ＝-1

ex51 ( )f x y zrarr

= 2ˆ ˆxx yxyminus 如右圖doC

f dsdotint 其

中路徑 C 為第一象限的逆時針 14 圓弧

解∵ 全部在 x-y 平面 ˆ ˆd xdx ydy= +

Cf dsdotint ＝ 2

Cx dx xydyminusint

由於在 C 上 cosx R ϕ= rArr sindx R dϕ ϕ= minus

siny R ϕ= rArr cosdy R dϕ ϕ=

rArr 2

Cx dx xydyminusint ＝

2 2 2 2

0cos ( sin ) sin cos cosR R d R R d

πϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕminus minus sdotint

23 2

02 cos sinR d

πϕ ϕ ϕ= minus int ＝

323Rminus

又路徑為圓周一部份所以適合用極座標表示

ˆd Rdϕ ϕ= 又由左圖將 ˆ ˆx y 拆解（投影）到 ˆˆr ϕ

ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆcos sin sin cosx r y rϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ= minus = +

4-56

( )2ˆ ˆ ˆˆ ˆ( cos sin ) ( sin cos )C C

f d r x r xy Rdϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕsdot = minus minus + sdotint int 2

2 2 2

0

sin (cos )

sin ( cos ) (cos ) cos sin

Cx Rd xyRd

R Rd R Rdπ

ϕ ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ

= minus minus

= minus minus

intint

23 2

02 cos sinR d

πϕ ϕ ϕ= minus int ＝

323Rminus

這也驗證了散度定理

Path Independence 路徑獨立性

Ex52 證明庫倫力為「保守力」考慮

電荷 q0 位於原點及電荷 q 位於

( )r x y zrarr= q 受力 F

rarr＝ 0

20

14

qq urπε

and

求庫侖力作功因為球形對稱所以

用球座標由 ˆ ˆ ru rr

= = rArr Frarr

= 03

04qq r

rπε

庫侖力由 P1 至 P2 做功為 2

1

P

CPF drarrsdotint ＝

2

1

02

0

ˆ ˆ ˆˆ sin4

P

PC

qq r rdr rd r dr

θ θ ϕ θ ϕπε

⎡ ⎤sdot + +⎣ ⎦int ＝2

1

02

04P

P

qq drrπεint

＝20

2104

r

r

qq drrπε int ＝ 0

0 1 2

1 1( )4qq

r rπεminus for all C

所以庫侖力兩點間做功與路徑無關rArr保守力

對於「保守力 conservative force」 cF 自 p1 經

由兩條不同的路徑 C1 與 C2 到達 p2

1 ccF drarrsdotint ＝

2 ccF drarrsdotint ＝-

2 ccF drarr

minussdotint

rArr1 2c cc cF d F drarr rarr

minussdot + sdotint int = cF d

rarrsdotint ＝0 (4-96）

對於任何「封閉路徑」保守力做功為 0反之若

對任一封閉路徑 0F drarrsdot neint 則兩點之間的做功與路徑有關

rarr

F 為「非

保守力」

4-57

旋度 curl Anablatimes 的幾何物理意義

我們在（4-70）式已經看過旋度的計算方式但旋度另有其意義的

ex53 給定向量場2 2

0ˆ yv yv e λrarr

minus= 左圖為場的分佈

2 20

ˆ ˆ ˆ

0 0x y z

y

x y zcurl v

v e λ

rarr

minus

= part part part ＝ ˆ ˆ ˆ0 0 0 0x y zsdot minus sdot + sdot =

我們用了簡寫 x yx ypart part

part equiv part equivpart part

可以看出這個場裡沒有「漩渦」

但是有無「漩渦」有時也不是那麼明顯可以看出的請見下一個例子

Ex54 給定向量場2 2

0ˆ xv yv e λrarr

minus= 計算其旋度 vnablatimes

解向量場 vrarr

畫在右邊你看得出有無漩渦

先計算旋度

2 20

ˆ ˆ ˆ

0 0x y z

x

x y zcurl v

v e λ

rarr

minus

= part part part2 2

2 2

0

0

ˆ

ˆ 2 0 0

x

x

z v ex

z v xe for x

λ

λ

minus

minus

part=

part

= minus ne ne

vrarr

的旋度在大部分的地方不為 0 且隨位置而不同但是你看得出這個

向量場裡有「漩渦」其實要檢驗一個向量場裡有無「漩渦」有一

個很物理的方法就是放一個小「螺旋槳」（左圖）

在場內將軸朝各個方向測試一

下如果有「漩渦」的話這個

小「螺旋槳」就會轉動右圖就是將「螺旋槳」的

軸平行於 z 軸且放在 x gt 0 的地方就可以看出左

邊的 v 場比右邊的強造成螺旋槳順時針轉動rArrcurlv zminus for x gt 0

但如果放在 x = 0 的地方就會看到左右兩端的 v 場強度相同而且

4-58

curlv = 0 「螺旋槳」放在 x lt 0 的地方就可以看出右邊的v 場比左

邊的強造成螺旋槳逆時針轉動這完全符合 curl v k+ 的結果

環路積分與旋度 curl 的物理意義

如同「散度」一樣「旋度」除了 Ftimesnabla 之外

還有一個物理意義更清楚的定義這個定義由

「線積分」說明如圖考慮做「逆時針」長方形

路徑 C1 的一個「環路積分」C1 面平行於 x-y 平

面由 z-軸看下去環路 C1 可以分為可以分為

下 CB上 CT右 CR左 CL 4 部分

CA drarrsdotint ＝

B T L RC C C CA d A d A d A drarr rarr rarr rarrsdot + sdot + sdot + sdotint int int int

分別計算由於 CB 的中點座標為 ( )2yx y zΔ

minus

ˆB BC C

A d A xdxrarr rarrsdot = sdot =int int

BxC

A dxint ( )2xyA x y z xΔ

asymp minus Δ

similarly 由於 CT 的中點座標為 ( )2yx y zΔ

+

ˆ( )T TC C

A d A xdxrarr rarrsdot = sdot minus =int int

TxC

A dxminusint ( )2xyA x y z xΔ

asymp minus + Δ

合併 CB 與 CT

B TC CA drarr

+sdot =int

( ) ( )2 2x xy yA x y z A x y z

x yy

Δ Δ⎡ ⎤minus + minus minus⎢ ⎥⎣ ⎦ Δ ΔΔ

（4-97）

由 C1 所圍的面積 S x yΔ = Δ Δ

1B TC C

A dS

rarr

+sdot =

Δ int( ) ( )

2 2x xy yA x y z A x y z

y

Δ Δ⎡ ⎤minus + minus minus⎢ ⎥⎣ ⎦Δ

（4-98）

所以當取極限 C1 收縮到中心(xyz)時 SΔ 收縮到 0ie

4-59

0limsΔ rarr

1B TC C

A dS

rarr

+sdot =

Δ int xAy

partminuspart

（4-99）

Similarly with CR 的 ˆd ydy= CL 的 ˆd ydy= minus 可得

1L RC C

A dS

rarr

+sdot =

Δ int x

zyxxFzyxxF yy

Δ

Δminusminus

Δ+ )

2()

2(

（4-100）

同樣的當取極限 C1 收縮到中心(xyz)時 SΔ 收縮到 0

0

limsΔ rarr

1L RC C

A dS

rarr

+sdot =

Δ int yAx

partpart

（4-101）

最後合併 CBCTCRCL 為 C1

10

1limCs

A ds

rarr

Δ rarrsdot =

Δ int y xA Ax y

part partminus

part partˆ ( ) ( )zz A A= sdot nablatimes = nablatimes （4-102）

注意 C1 的方向就是在 z 上式的重要

意義是當向量場 A 在一個以點(xyz)為

中心「方向為 z 」的面積元素的「邊界」

所做的環路積分得到的就是 A 在(xyz)

處旋度的 z-分量明顯的只有當 A 在

(xyz)附近有 x-y 平面上的「漩渦」那麼 C1 的環路積分才不會為 0

Similarly 取一個逆時針繞著(xyz)的平行於 x-z 平面的長方形環路 C2

（左圖）做環路積分再取極限將 C2 收縮到(xyz)就會得到

20

1limCs

A ds

rarr

Δ rarrsdot =

Δ int x zA Az x

part partminus

part partˆ ( ) ( )yy A A= sdot nablatimes = nablatimes （4-103）

注意到 C2 所包圍的面積方向就在 y到

現在我們應該已經很有經驗了若取一

個逆時針繞著(xyz)的平行於 y-z 平面

的長方形環路 C3（左圖）做環路積分

再取極限將 C3 收縮到(xyz)就會得到

4-60

30

1limCs

A ds

rarr

Δ rarrsdot =

Δ int yz AAy z

partpartminus

part partˆ ( ) ( )xx A A= sdot nablatimes = nablatimes （4-104）

能把（4-103）與（4-104）變出來的同學我們有優待綜合以上

我們可以得到一個結論若取一個以點(xyz)為中心的任意環路 Cn（其

所包圍的面積方向在 n ）則

n curl Aand rarrsdot ＝

0

1lims

Cn

A ds

rarr

Δ rarrsdot

Δ int （4-105）

明顯的當 n ＝ x 或 y 或 z 時我們可以重複（4-102）到（4-104）的

結果（4-70）式的行列式所定義的旋度在此看見其幾何物理意義

至此「旋度」的「漩渦」形象應該已經很清楚了只有在(xyz)點附

近的小圈圈上有「漩渦」 A 在小圈圈做的環路積分才會有值這個

值就是向量場 A 的「旋度」在小圈圈面積方向的分量

Stokersquos 定理

考慮一個開放面 S被其「有方向的」邊界 C 圈住(bounded by)則

( )S

A dsrarr rarrnablatimes sdotint ＝

C

A drarrsdotint （4-106）

pf 先將 S 面分割為 N 個多邊形這會使得邊界變成一個「折線」形

成的環路 P環路 P 會隨著分割的多邊形個數的增多而越加近似於原

「光滑的」邊界 C現考慮相鄰的

兩個多邊形的線積分由於共用邊

的方向是相反的所以相鄰兩個多

邊形線積分的和只剩「外邊界」（見左圖）所以當把所有的多邊形的

4-61

線積分加起來時由於只有邊界 P 不是多邊形的共用邊所以

1k

N

k C

A drarr

=

sdotsum int ＝P

A drarrsdotint rArr

P

A drarrsdotint ＝

1

1

k

N

kk k C

A d l ss

rarr rarr

=

⎡ ⎤sdot Δ⎢ ⎥

Δ⎢ ⎥⎣ ⎦sum int

其中 ksΔ 為第 k 個多邊形的面積取極限 0kN srarrinfinrArrΔ rarr P CrArr rarr

C

A drarrsdotint ＝

10

1limkk

N

kN k k Cs

A d ss

rarr

rarrinfin=Δ rarr

⎡ ⎤sdot Δ⎢ ⎥

Δ⎢ ⎥⎣ ⎦sum int 01

ˆlim ( )k

k kskn A s

infin

Δ rarr=

⎡ ⎤= sdot nablatimes Δ⎣ ⎦sum

01

ˆlim ( )k

k kskA n s

infin

Δ rarr=

= nablatimes sdot Δsum = ( )S

A dsrarr

nablatimes sdotint QED

ex55 由 Amperersquos law 的積分形式導出其微分形式

解Amperersquos law 的積分形式 C

B drarrsdotint ＝ I0μ (4-107)

由 Stokersquos 定理及電流密度 j 的定義上式等號兩端可寫為

rArr ( )S

B dsrarr rarrnablatimes sdotint ＝ 0 S

j dsμrarrsdotint

由於上面的等式對任意面 S（路徑 C）都成立所以被積函數相等

0B jμrarr rarr rarr

rArrnablatimes = (4-108) 此即 Amperersquos law 的微分形式

Ex56 Given a vector field ˆ ˆx yA ye xe= minus + (a) Find Anablatimes

解

ˆ ˆ ˆˆ ˆ(1 ( 1) 2

0x y z

x y zA z z

y xnablatimes = part part part = minus minus =

minus

(b)如圖一個金字塔狀的 5 面體高 2底邊長＝1計算 ( )S

A dsnablatimes sdotint

其中 S 為金字塔在 x-y 平面以上的部分方向如同

封閉的金字塔（運用 Stokersquos law）

解金字塔上表面的面積元素ds 不好寫由 Stokersquos

4-62

law ( )S

A dsrarr rarrnablatimes sdotint ＝

C

A drarrsdotint 其中封閉路徑 C 就是上表面的邊界而且

是逆時針（由 z 軸向下看）

C

A drarrsdotint ＝

1 1 0 0

0 0 1 1ˆ ˆ ˆ ˆA xdx A ydy A xdx A ydysdot + sdot + sdot + sdotint int int int

＝1 1 0 0

0 0 1 1x y x yA dx A dy A dx A dy+ + +int int int int 1 1 0 0

0 0 1 1( 0) ( 1) ( 1) ( 0)y dx x dy y dx x dy= minus = + = + minus = + =int int int int

0 1 1 0 2 ( ) 2S

A ds= + + + = rArr nablatimes sdot =int

旋度與 path independence

已知保守場 cF 對所有封閉路徑 C 0cC

F drarrsdot =int 由 Stokersquos 定理

0cC

F drarrsdot =int ＝ ( )cS

F dsrarr rarrnablatimes sdotint rArr 0cF

rarr rarrnablatimes =

這表示保守場＝無旋度反之無旋度的場任兩點間路徑積分與路

徑無關

Ex57 Given a field 2 2ˆ ˆ ˆ2A x xy yx zz= + minus (a) Find Anablatimes A 保守場

解2 2

ˆ ˆ ˆ

2x y z

x y zA

xy x znablatimes = part part part

minus

( ) ( ) ( )2 2 2 2ˆ ˆ ˆ( ) 2 ( ) 2 0y z z x x yx z x y xy z z x xy= part minus minuspart + part minuspart minus + part minuspart =

yes A =保守場

(b)如左圖由 A 到 B 做路徑積分A BC

A drarr

sdotint 路徑 C 為橢圓

22 1

16yx + = 在 x-軸以上的部分

解橢圓部分的路徑元素 d 有點麻煩但因為 A

為保守場所以 A 到 B 做路徑積分可以用 x = -1 到

1 的積分取代

4-63

01 1 1

1 1 1ˆ 2 0

yB

xAA d A xdx A dx xydx

=

minus minus minussdot = sdot = = =int int int int

∵

旋度在柱座標與球座標

前面討論過nabla在不同座標系的寫法旋度也有歸納出的一致寫法

座標 1 2 3 u u u

度量係數

1 2 3 h h h

nabla grad del

直角 x y z

1 1 1 nabla ˆ ˆ ˆx y z

x y zpart part part

equiv + +part part part

圓柱 zρ ϕ

1 1ρ

1ˆ ˆ ˆ zz

ρ ϕρ ρ ϕpart part part

nabla equiv + +part part part

球 r θ ϕ

1 sinr r θ

1 1ˆ ˆˆ sin

rr r r

θ ϕθ θ ϕ

part part partnabla = + +

part part part

所以柱座標與球座標的旋度分別表為

柱座標

ˆ ˆ ˆ1

z

z

Az

AA Aρ ϕ

ρ ρϕ

ρ ρ ϕρ

part part partnablatimes =

part part part （4-109）

球座標 2

ˆ ˆˆ sin1sin

sinr

r r r

Ar r

A rA r Aθ ϕ

θ θϕ

θ θ ϕθ

part part partnablatimes =

part part part （4-110）

ex58 (a) Given the vector function ˆA ϕ= sin (ϕ 2) find Anablatimes

解 2

ˆ ˆˆ sin1sin

0 sin( 2) 0

r r r

Ar r

r

θ θϕ

θ θ ϕϕ

part part partnablatimes =

part part part

4-64

21 ˆˆ cos sin sinsin 2 2 2

rr rr

ϕ ϕθϕθ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

ˆˆ cos sin2 sin 2 2

rr r

ϕ ϕ ϕθ

minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

(b)如左圖一個底面在 x-y 平面半徑＝1高＝2 之圓錐 求面積分

SA dsnablatimes sdotint 面積範圍 S 為圓錐在 x-y 平面以上

部分 方向為由圓錐內向外

解由 Stokersquos law ( )S

A dsrarr rarrnablatimes sdotint ＝

C

A drarrsdotint 其中路

徑 C 為 x-y 平面圓心在原點之單位圓 ˆ ˆd rd dϕ ϕ ϕ ϕ= =

2

0ˆ ˆsin sin

2 2C

d dπϕ ϕϕ ϕ ϕ ϕ⎛ ⎞ ⎛ ⎞sdot =⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠int int ( )0

2 sin u duπ

= int 0cos | 2u π= minus =

習題 16 磁場 B 因為不是保守場所以沒有對應的純量位而對應一

個向量位 A (vector potential)而 B A= nablatimes 一個磁鐵的磁偶極矩

ˆm mz= 被置於原點已知在遠處的 vector potential 03ˆ sin

4mAr

μϕ θπ

=

計算該處的磁場 B Ans 03

ˆˆ( 2cos sin )4

mB rr

μ θ θ θπ

= + 與電偶極遠處

的電場形式一致都是偶極(dipole) 選幾個點畫一畫該處的場向量

把磁力線描出來

附錄本章講義的內容有部分可以經由直接計算得出列在附錄做為

參考

用「圓柱座標」寫 Atimesnabla

Ararr rarrnablatimes ＝ ( )1ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ zz A A zA

z ρ φρ ϕ ρ ϕρ ρ ϕpart part part⎛ ⎞+ + times + +⎜ ⎟part part part⎝ ⎠

4-65

因為rdquo sdotrdquo與rdquotimes rdquo都是向量間的運算所以

＝ ( )ˆ ˆ ˆ ˆ zA A zAρ φρ ρ ϕρpart

times + +part

＋ ( )1ˆ ˆ ˆ ˆ zA A zAρ φϕ ρ ϕρ ϕ

parttimes + +

part

＋ ( )ˆ ˆˆ ˆ zz A A zAz ρ φρ ϕpart

times + +part

直接做上式微分可以得到

＝1ˆ z AA

zϕρ

ρ ϕpart⎛ ⎞part

minus⎜ ⎟part part⎝ ⎠＋ ˆ zA A

zρϕ

ρpart⎛ ⎞part

minus⎜ ⎟part part⎝ ⎠＋

1 1ˆ ( )A

z A ρϕρ

ρ ρ ρ ϕpart⎛ ⎞part

minus⎜ ⎟part part⎝ ⎠

上式可以用一個行列式來表示

rarrrarr

timesnabla A＝

ˆ ˆ ˆ1

z

z

zA A Aρ ϕ

ρ ρϕ

ρ ρ ϕρ

part part partpart part part

（A-1）

A and Anabla nablasdot nablatimes in 球座標 spherical coordinate

如上圖球座標 )( ϕθr 其中 )0[ infinisinr ]0[ πθ isin ]20[ πϕ isin 只有 r

是長度而 ϕθ 為角度是用來說明方向的三個座標的單位向量 ˆ ˆˆ r θ ϕ 具

有下列性質

4-66

1 如上圖 ˆ ˆˆ r θ ϕ 都不是常數而是（ ϕθ ）的函數

ˆ ˆ( )ˆ ˆ( )ˆ ˆ( )

r r θ ϕ

θ θ θ ϕϕ ϕ ϕ

⎧ =⎪

=⎨⎪ =⎩

)( ϕθr 與(xyz)之間的轉換如下

sin cossin sincos

x ry rz r

θ φθ φθ

=⎧⎪ =⎨⎪ =⎩

( )122 2 2

2 2

tan

tan

r x y z

x yz

yx

θ

φ

⎧ = + +⎪⎪ +⎪ =⎨⎪⎪ =⎪⎩

（A-2）

2 ˆ ˆˆ r θ ϕ 形成一「歸一正交集」ie

ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ 1r r θ θ ϕ ϕsdot = sdot = sdot = ˆ ˆr θ ϕperp perp

ˆ ˆr θ ϕtimes = ˆ ˆ rθ ϕtimes = ˆˆ rϕ θtimes = （A-3）

3可以很容易的由他們在 xyz 軸上的投影由直角

座標的 ˆ ˆ ˆ x y z 表出

ˆ ˆ ˆ ˆsin cos sin sin cos ( 4 )ˆ ˆ ˆ ˆcos cos cos sin sin ( 4 )ˆ ˆ ˆsin cos ( 4 )

r x y z A a

x y z A bx y A c

θ φ θ φ θ

θ θ φ θ φ θϕ φ φ

= + + minus⎧⎪

= + minus minus⎨⎪ = minus + minus⎩

4 ˆdr = 由於 ˆ ˆ( )r r θ φ= 所以由 ϕθ 的變動來看

4-67

ˆ ˆˆ| |ˆ ˆˆ| | sin sin

d r d d

d r d d

θ θθ θθ

φ θ φφ θ φφ

⎧ rArr =⎪⎨

rArr =⎪⎩rArr ˆ ˆˆ sindr d dθ θ φ θ φ= + （A-5）

rArrˆ ˆr θθpart

=part

ˆ ˆsinr θφφpart

=part

（A-6）

（A-6）的結果也可以直接由（A-4a）對 ϕθ 偏微得到

5 ˆdθ ＝ 由於 ˆ ˆ( )θ θ θ φ= 所以由 ϕθ 的變動來看

ˆ ˆ ˆ| | ( )ˆ ˆ ˆ| | cos cos

d d r d r

d d d

θ θ θ θ

φ θ θ φφ φ θ φ

⎧ rArr minus = minus⎪⎨

rArr =⎪⎩rArr ˆdθ ＝ ˆˆ cosrd dθ φ θ φminus + （A-7）

ˆrθ

θpart

rArr = minuspart

ˆ ˆcosθ φ θφpart

=part

（A-8）

請直接由（A-4b）對 ϕθ 偏微的結果 check（A-8）

6 ˆdφ ＝由於φ )(ϕ 躺在 x-y 平面上變動φ時的方向可能不是那麼

容易看出來所以做圖看一看

ie ˆ ˆˆ(sin ) (cos )d r d dφ θ φ θ θ φ= minus minus （A-9）

4-68

ˆ ˆˆsin cosrφ θ θ θφpart

= minus minuspart

7 所有的向量 ˆ ˆˆ rA rA A Aθ φθ φrarr= + +

8 位置向量 ˆr rrrarr=

可以由左圖 ˆ ˆˆ r θ ϕ 三個方向的「長度

變化」輕易的看出

9 位移元素

ˆ ˆˆ ˆ sindr rdr rd dθ θ ϕ θ φ= + + (A-10)

10 體積元素

sindv dr r d rdθ φ θ= sdot sdot

＝ 2 sinr dr d dθ θ φ (A-11)

11 面積元素 2 sinrds r d dθ θ φ= plusmn sinds r drdθ θ φ= plusmn ds rdrdφ θ= plusmn (A-12)

plusmn號表示面的垂直方向有兩個端看 ds 周邊的方向是如何定的

nabladel 考慮 ( )u u r θ φ=

rArru u udu dr d dr

θ φθ φ

part part part= + +part part part

u d rrarr rarr

equiv nabla sdot

urarr

= nabla sdot ˆ ˆˆ( sin )rdr rd dθ θ φ θ φ+ +

rArr1 1ˆ ˆˆ

sinu u uu rr r r

θ ϕθ θ φ

rarr part part partnabla = + +

part part part

1 1ˆ ˆˆsin

rr r r

θ ϕθ θ φ

rarr part part partnabla equiv + +

part part part （A-13）

4-69

直接用（A-13）與 ˆ ˆˆ rA rA A Aθ φθ ϕrarr= + + 逐項內積加上（A-678）

rArr ϕθ

θθθ

ϕθ part

part+

partpart

+partpart

=sdotnablararrrarr A

rA

rAr

rrA r sin

1)(sinsin1)(1 2

2 （A-14）

（A-13）與 ϕθ ϕθ AAArA r

andandandrarr

++= 逐項外積整理之後

ϕθ θϕθ

ϕθθ

θArrAA

r

rrr

rA

r sin

sin

sin1

2 partpart

partpart

partpart

=timesnabla

andandand

rarrrarr

（A-15）

Laplacian uu nablasdotnabla=nabla2

2

2

2222

22

sin1)(sin

sin1)(1

ϕθθθ

θθ partpart

+partpart

partpart

+partpart

partpart

=nablau

ru

rrur

rru （A-16）

B推導「散度」在圓柱座標的寫法

讓我們先回顧一下在直角座標裡的「面積元素」可以由「位移元素」

得到

ˆˆ ˆ x y zdr idx jdy kdz da dydz dxdz dxdy= + + rArr =

比照辦理「圓柱座標」的位移元素

( )ˆˆ ˆ( )

( )z

da d dzdr d d zdz da d dz

da d d

ρ

φ

ρ φ

ρ ρ φ ρ φ ρ

ρ ρ φ

=⎧⎪= + + rArr =⎨⎪ =⎩

這個結論可以輕易的由面積元素在垂直於 zˆˆ ϕρ 三個方向的面積看

出如下圖考慮一個以 )( zϕρ 為中心的「圓柱體積元素」(cylindrical

cubiod)體積為 zdV ΔΔ=Δ ϕρρ 現計算在 ρ

方向的 12 兩個平行面(方向各為 ρplusmn )的通

量

4-70

zzF

dsFdsnFS S

ΔΔ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

+cong

=sdotintint intintϕρρϕρρρ

ρ

2

2

ˆ1 1

zzF

dsFdsnFS S

ΔΔ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

minus⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

minusminuscong

minus=sdotintint intintϕρρϕρρρ

ρ

2

2

ˆ2 2

intint+

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

minus⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

minusminus⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

+Δ

asympsdotΔ

rArr21

22

22

1ˆ1

SS

zFzFdsnFV

ϕρρρρϕρρρρρρ ρρ

( ) ( )

1 20

0

0

1 ˆlim

1lim 2 2 2 2

1 1lim 2 2

1

VS S

F ndsV

F z F z

F z F z

F

ρ ρρ

ρ ρρ

ρ

ρ ρ ρ ρρ ρ φ ρ ρ φρ ρ

ρ ρρ ρ φ ρ ρ φρ ρ

ρρ ρ

Δ rarr+

Δ rarr

Δ rarr

rArr sdotΔ

Δ Δ Δ Δ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + + minus minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥Δ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦Δ Δ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥Δ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

part ⎡ ⎤= ⎣ ⎦part

intint

娛樂一下用上述方式把圓柱的 Fsdotnabla 裡的z

FF z

partpart

+partϕρϕ1

變出來

球座標的nabla和 Fsdotnabla 也可以試試看

補充習題

H M Scheydiv grad curl and all that 4th edition

第二章習題 6 8 9 10 11 14 15 16 18 19 21 22 23 25 26 27

第三章習題 2 3 5 6 7 8 9 10 11 14 15 17 18 19 24

4-42

div A and Flux 通量與散度的幾何物理意義

我們運用過nabla的符號來表示過散度 divF F= nablasdot yx zFF Fx y z

partpart part= + +part part part

但是也看到「散度」定義為

0( )

1( ) limSV

about x y z

divF x y z F da divergence of FVΔ rarr

equiv sdot =Δ int (4-77)

其中 VΔ 為 S 面所包含的體積即散

度為通量(體)密度的 0 體積極限

（4-77）的定義與 Fnablasdot 好像差的很

多她們是說同一回事嗎以下證明

這兩種「散度」的定義是等價的如

左圖考慮一個以點 ( ) x y z 為中心

的 立 方 體 其 相 鄰 三 邊 長 為

x y zΔ Δ Δ 體積 V x y zΔ = Δ Δ Δ 現在計算 F 在立方體的一組平行於 y-z平面的表面 S1 與 S2 的通量

( )1 1

ˆ ˆ xS S

F nds F xds F x y z dsrArr sdot = sdot =intint intint intint 2xxF x y z y zΔ⎛ ⎞asymp + Δ Δ⎜ ⎟

⎝ ⎠

其中 2xx y zΔ⎛ ⎞+⎜ ⎟

⎝ ⎠為 S1 面中心的座標而

2xx y zΔ⎛ ⎞minus⎜ ⎟

⎝ ⎠為 S2 面的中心

( ) ( )2 2 2

ˆ ˆ 2x x

S S S

xF nda F x ds F x y z ds F x y z y zΔ⎛ ⎞rArr sdot = sdot minus = minus asymp minus minus Δ Δ⎜ ⎟⎝ ⎠intint intint intint

上式中的負號來自 S2 面的方向是 xminus 所以合併兩個面積分

1 2

ˆ 2 2x x

S S

x xF nds F x y z F x y z y z+

Δ Δ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞rArr sdot asymp + minus minus Δ Δ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦intint

2 2x xx xF x y z F x y z

x y zx

Δ Δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠= Δ Δ Δ

Δ

2 2

x xx xF x y z F x y z

Vx

Δ Δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠= Δ

Δ

1 2

1 2 2ˆ

x x

S S

x xF x y z F x y zF nds

V x+

Δ Δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠rArr sdot asymp

Δ Δintint

4-43

當取體積向(xyz)點收縮至 0 時即 0 x 0as VΔ rarr Δ rarr 上式的近似

「asymp」就成了「＝」

1 20

1 ˆlimV

S S

F ndsVΔ rarr

+

sdotΔ intint

( )0

2 2limx x

x

x

x xF x y z F x y z F x y zx xΔ rarr

Δ Δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟ part⎝ ⎠ ⎝ ⎠= =Δ part

Similarly F 在立方體的一組平行於 x-z 平面的表面 S3 與 S4 的通量

3 3 3

ˆ ˆ yS S S

F nds F yds F dsrArr sdot = sdot =intint intint intint

2

2

y

y

yF x y zyF x y z x z x y z

y

Δ⎛ ⎞+⎜ ⎟Δ⎛ ⎞ ⎝ ⎠asymp + Δ Δ = Δ Δ Δ⎜ ⎟ Δ⎝ ⎠

( )4 4 4

2ˆ ˆ

y

yS S S

yF x y zF nds F y da F ds x y z

y

Δ⎛ ⎞minus⎜ ⎟⎝ ⎠rArr sdot = sdot minus = minus asymp Δ Δ Δ

Δintint intint intint

合併 S3 與 S4 兩個面積分並取體積向(xyz)點收縮至 0 時即當

0 y 0VΔ rarr Δ rarr 上式的近似asymp就成了＝

3 4

2 2ˆ

x x

S S

y yF x y z F x y zF nds V

y+

Δ Δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠rArr sdot cong Δ

Δintint

3 40 0

1 2 2ˆlim lim

x xy

V yS S

x yF x y z F x y z FF nds

V y yΔ rarr Δ rarr+

Δ Δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟ part⎝ ⎠ ⎝ ⎠rArr sdot = =Δ Δ partintint

與上面相同的作法計算 F 在立方體的一組平行於 x-y 平面的表面 S5

與 S6 的通量我們也會得到對應的結果

5 6

2 2ˆ

z x

S S

z zF x y z F x y zF nds V

z+

Δ Δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠rArr sdot cong Δ

Δintint

5 60 0

1 2 2ˆlim lim

z xz

V zS S

z zF x y z F x y zFF nds

V z zΔ rarr Δ rarr+

Δ Δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟ part⎝ ⎠ ⎝ ⎠rArr sdot = =Δ Δ partintint

所以合併立方體的 6 個面積分

4-44

1 2 3 4 5 6

ˆ ˆ ˆ ˆS S S S S S S

F nds F nds F nds F nds+ + +

rArr sdot = sdot + sdot + sdotint intint intint intint

0

1 ˆlim yx zV

FF FF nds div F FV x y zΔ rarr

partpart partrArr sdot = + + = = nablasdot

Δ part part partint (4-78)

在此我們得證這兩種「散度」的定義是等價的只是（4-77）的定義

充分的表現出「散度」的幾何物理意義他從通量著手由於場線

出自於 source（ex電場源自於點電荷）所以在點(xyz)必須有向量場

F 的 source 存在才能使得當面積縮到 0 時仍具有非 0 的通量所以「散

度」表現向量場 F 的 source 在這個定義之下是很清楚的當然在計算

「散度」時我們不必那麼麻煩用 divF F= nablasdot 就好了

Ex41 計算 2ˆ ˆ ˆF xx yxy zyz= + + 的散度

解 2 yx zFF Fx x yx y z

partpart part= = =

part part part F 2x x y 3x ydivrArr = + + = +

recall 在靜電學0

yx zEE EEx y z

ρε

partpart partnablasdot = = + +

part part part

散度定理 Divergence Theorem

若任意封閉面（又稱為「高斯面」）S 所包圍的

體積為 V 則

S VA ds Adτsdot = nablasdotint int （4-79）

pf 我們先將體積分割成 N 個小盒子考慮相鄰的兩個小盒子 1 2

兩小盒子的共用面面積 S0當 S0 是為 1 號盒子的一部份時其方向為

1n 但若當為 2 號盒子的表面時其方向為 12 ˆˆ nn minus= 如此在 S0 分別做

4-45

1 2 盒子的面積分後

0 0

0 0 0 0

1 2

1 2 1 1ˆ ˆ ˆ ˆ 0

S S

S S S S

A ds A ds

F n ds F n ds F n ds F n ds

sdot + sdot

= sdot + sdot = sdot minus sdot =

intint intintintint intint intint intint

所以若求場 A 在 1 2 盒子的總通量時交界面是沒有貢獻的總通量

就只有「外面積」才有貢獻如此我們計算 N 個小盒子的總通量

時所有的內部共用面都得 0只剩下「外表面」的貢獻了當 infinrarrN

時所有小盒子的「總外表面」就與 S 面重合了所以所有小盒子通量

的總和就等於 S 面的通量

1lim

i

N

S SN iA ds A ds

rarrinfin=

rArr sdot = sdotsumint int

現在我們做 N 個小盒子的總通量

1 1

1i i

N N

iS Si i i

A ds A ds VV= =

⎛ ⎞sdot = sdot Δ⎜ ⎟Δ⎝ ⎠

sum sumint int

當 0iN Vrarrinfin rArr Δ rarr 並用 dv 表示體積元素

( ) ( )1 1

1

1lim lim lim

lim

i ii

N N

iS SN N V oi i i

N

i VN i

A ds A ds VV

A V A dv

rarrinfin rarrinfin Δ rarr= =

rarrinfin=

⎛ ⎞sdot = sdot Δ⎜ ⎟Δ⎝ ⎠

= nablasdot Δ = nablasdot

sum sumint int

sum int

( )S V

A da A dvrArr sdot = nablasdotint int QED

所以得證散度定理上式中我們用了散度的（4-77）式定義要分辨

清楚 Anablasdot 是向量場 A 在空間中「某一點」的性質（ 0VΔ rarr ）而「散

度定理」說的是一個「有限體積」的性質

ex42 給定 ( ) ˆ ˆ ˆ A x y z xx yy zz r= + + = 計算在

半徑 R＝1 的球的上半球加底面的通量

4-46

解 ( )ˆˆS

A da A rda A k darArr sdot = sdot + sdot minusint int int上半球面 底面

( )

2

ˆ ˆ

0 2 1 2

A rda A z dxdy

r rds zdxdy rds ds π π

= sdot + sdot minus

= sdot minus = minus = = sdot =

int int

int int int int上半球面 底面

上半球面 底面 上半球面

底面的通量＝0 是因為 A 的 z 分量 Az=z 在底面的值為 0

也可以用散度定理更快的得出結果

∵ 3A rnablasdot = nablasdot =

31 43 3 1 22 3V V

Ad d πτ τ πnablasdot = = sdot sdot sdot =int int

ex43高斯定律的微分形式積 由 Gaussrsquo law 的積分形式用散度定理得出其

( )0 0

1 inS V

qE ds x y z dvρε ε

sdot = =int int

0S V VE ds Edv dvρ

εrArr sdot = nablasdot =int int int

上式最後的等式對「任意形狀」V 都成立所以兩者的被積函數相等

對於空間每一點 0

E ρε

nablasdot = （4-80）

ex44 Use 第一象限的單位力方體 check the divergence theorem using the function 2 2ˆ ˆ ˆ(2 ) 2A y x xy z y yzz= + + +

解2

2( ) (2 )(2 ) 2( )y yzA xy z x yx y z

part part partnablasdot = + + + = +

part part part

and 1 1 1 1 1 1

0 0 0 0 0 02 ( ) 2 ( )

VAdv x y dxdydz dz dy x y dxnablasdot = + = +int int int int int int int

1 1

0 0

1 12 ( ) 2 12 2

dz y dy= + = sdot =int int

面積分 1 1 2

0 0

1ˆ3

A ds A xdydz dz y dysdot = sdot = =intint intint int int前 前

4-47

1 1 2

0 0

1ˆ( )3

A ds A x dydz dz y dy minussdot = sdot minus = minus =intint intint int int

後 後

1 1 2

0 0ˆ (2 )A ds A ydxdz dz xy z dxsdot = sdot = +intint intint int int

右 右

1 1 1 12 2

0 0 0

4(2 ) (1 )3

ydz x z dx dz z

=

= + = + =int int int∵

1 1 2

0 0

0 1 1 12 2

0 0 0

ˆ( ) (2 )

1(1 )3

y

A ds A y dxdz dz xy z dx

dz z dx dz z=

sdot = sdot minus = minus +

minus= minus = + =

intint intint int int

int int int∵

左 左

11 1 1 1

0 0 0 0ˆ 2 2 1

zA ds A zdxdy dx yzdy dx ydy

=sdot = sdot = = =intint intint int int int int

∵

上 上

01 1

0 0ˆ 2 0

zA ds A zdxdy dx yzdy

=sdot = sdot minus = minus =intint intint int int

∵

下 下

前後右左上下六個面積分合併＝1＝V

Advnablasdotint QED

ex45 Continuity Equation 連續方程式

考慮某些「東西」的流動（物質電荷hellip）在時刻 t 時在點(xyz)

的 密 度 為 ( ) x y z tρ ρ= 並 具 有 速 度

( ) v v x y z t= 在時刻 t 時在體積 V 內的總量為

( ) x y z t dρ τintintint

這樣體積 V 內東東的時變率為

( ) ( ) d x y z t d x y z t ddt t

ρρ τ τpart=

partintintint intintint

注意體積分後的時間全微分移入積分內要改為偏微分這個東東

在表面的「流率 flow rate」可表為

ˆS

R v ndsρ= sdotintint

若體積內的物料無法自生自滅那麼體積內物料的變化必經由表面的

流出流入所造成

d v ndstρ τ ρpart

rArr = minus sdotpartintintint intint

由散度定理

4-48

( )ˆS

v nds v d dtρρ ρ τ τpart

sdot = nablasdot = minuspartintint intintint intintint

( )v Jtρ ρpart

rArr = minusnablasdot equiv minusnablasdotpart

0Jtρpart

rArr +nablasdot =part

（4-81）

(4-81) 即 continuity equation其中 J vρ= 為「物流密度」ex如果 ρ

是電荷密度 J 就是電流密度（4-81）是物質守恆的結果只對體

積內無 source（生成）or drain（消滅）的東東成立

ex46 Given a vector field ˆ ˆx yA ye xe= minus + (a) Find

Anablasdot (b)如圖一個金字塔狀的 5 面體高 2 底邊長

1計算 A在整個金字塔表面（封閉面）的總通量

解(a) Anablasdot = ( ) ( ) 0y xx ypart part

minus + =part part

(b) 金 字 塔 的 表 面 面 積 元 素 ds 不 好 寫 所 以 用 散 度 定 理

( )S V

A da A dvrArr sdot = nablasdotint int ＝0 Anablasdot 表示 A沒有 source 所以對封閉面而

言有多少場線進入就有多少出去所以總通量＝0

習題 7 With position vector r for an arbitrary volume V that is

bounded by surface S show that 13 S

r ds Vsdot =int

習題 8 已知一靜電場為 ˆ ˆ ˆ( )E xyz yxz zxyλ= + + 運用 Gaussrsquo law

試求包含在半球 2 2 2 2 0x y z R z+ + = ge 裡的總電荷 Ans 0

習題 9 (a) given ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( 2 )F r xf x yf y zf z= + + minus show that divF is

zero at point (c c -c2) (b) given ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( )G r xf x z yg x z zh x y= + +

show that ( ) 0G rnablasdot =

4-49

習題 10 Find the normal vector n for the surfaces (a) z = 2-x-y ans

ˆ ˆ ˆ( ) 3x y z+ + (b) z = (1-x2)12 ans ˆ ˆxx zz+ (c) z = x2+y2

ans ˆ ˆ ˆ( 2 2 ) 1 4xx yy z zminus minus + +

習題 11 Show that the unit vector normal to the plane ax+by+cz =d is

given by 2 2 2ˆ ˆ ˆ( ) ax by cz a b cplusmn + + + +

圓柱座標與球座標的nabla (del)

考慮一純量場在直角座標為 ( ) u x y z 在圓柱座標表為 ( ) u zρ φ

再考慮因位移 r r drrarr + 所造成 u ( )zρ φ 的變化

( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆz

z

u u udu d d dz u dr u d d zdzz

u u z u d d zdz

u d u d u dzρ ϕ

ρ ϕ

ρ ϕ ρ ρ ϕρ ϕρ ϕ

ρ ϕ ρ ρ ϕρ ϕ

ρ ρ ϕ

part part part= + + = nabla sdot = nabla sdot + +part part part

⎡ ⎤= nabla + nabla + nabla sdot + +⎣ ⎦= nabla + nabla + nabla

( ) ( ) ( )1

1ˆ ˆ ˆu

z

u u uu u uz

u u uzz

ρ ϕρ ρ ϕ

ρ ϕρ ρ ϕ

part part partrArr nabla = nabla = nabla =

part part partpart part part

rArrnabla = + +part part part

1ˆ ˆ ˆ zz

ρ ϕρ ρ ϕpart part part

nabla = + +part part part

（4-82）

注意nabla的ϕ -分量( 1ρ ϕ

partpart

)不是像直角座標裡單純的ϕpartpart

所以不要笨笨

的就把直角座標的形式硬套上去用我們也可以從「因次分析」來

看nabla因為是對空間的微分所以每一項的因次必須是「長度分之一」

運算 andzρ

part partpart part

都是「長度分之一」而「單純的ϕpartpart

」是沒有單位的

所以要1ρ ϕ

partpart

才 OK

由於圓柱座標裡的單位向量除了 z 之外 ˆ( )ρ ϕ 與 ˆ( )ϕ ϕ 都不是常

4-50

數所以在微分時不可以與微分運算交換而要考慮微分的作用所

以在「圓柱座標」寫「散度」 ( ) F zρ ϕnablasdot 也和直角座標不一樣

( )1ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ zF z F F zFz ρ ϕρ ϕ ρ ϕ

ρ ρ ϕpart part part⎛ ⎞

nabla sdot = + + sdot + +⎜ ⎟part part part⎝ ⎠

( ) ( )1ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆz zF F zF F F zFρ ϕ ρ ϕρ ρ ϕ ϕ ρ ϕρ ρ ϕpart part

= sdot + + + sdot + +part part

( )ˆ ˆˆ ˆ zz F F zFz ρ ϕρ ϕpart

+ sdot + +part

因為 ( ) ( )ˆ ˆ ˆ ˆ ρ ρ ϕ ϕ ϕ ϕ= = 所以做 andzρ

part partpart part

時 ˆ ˆ ρ ϕ 可視為常數

ˆ ˆ1ˆ ˆ ˆ zF F F FF F Fz

ρ ρ ϕρ φ

ρ ϕϕ ρ ϕρ ρ ϕ ϕ ϕ ϕ

part part part⎡ ⎤part part partrArrnablasdot = + sdot + + + +⎢ ⎥part part part part part part⎣ ⎦

還記得 ˆ ˆ ˆ ˆd d d dρ ϕ ϕ ϕ ρ ϕ= = minus 所以 ˆ ˆρ ϕϕpart

=part

ˆ ˆϕ ρϕpart

= minuspart

rArr

( )1 1 1z zF F F FF FF Fz z

ρ ρ ϕ ϕρρ

ρ ρ ρ ϕ ρ ρ ρ ϕpart part part part

nablasdot = + + + = + +part part part part part part

（4-83）

在球座標寫nabla也會遇到相似的問題其根源就是球座標 ( )r θ ϕ 裡

的 θ ϕ 的因次並非長度而三個單位向量 ˆ ˆˆ r θ ϕ（表為 ie ）都是( θ ϕ )

的函數以致

( )ˆ ˆ( ) ( )i ie f e fθ ϕ θ ϕθ θpart part

nepart part

且 ( )ˆ ˆ( ) ( )i ie f e fθ ϕ θ ϕϕ ϕpart part

nepart part

所以nabla也不似在直角座標那麼簡單我們不在這裡推導而是給出一

個歸納的統一的三個座標的結果還記得對每一個座標 iu i = 123

座標的變化 idu 與造成的長度變化 id

i i id h du= 123i = (4-84)

其中 ih 為對應的度量係數(metric coefficient)

4-51

1 2 3

1 1 2 2 3 3

1 1 1ˆ ˆ ˆu u ue e eh u h u h u

part part partnabla equiv + +

part part part （4-85A）

座標 1 2 3 u u u

度量係數

1 2 3 h h h

nabla grad del

直角 x y z

1 1 1 nabla ˆ ˆ ˆx y z

x y zpart part part

equiv + +part part part

圓柱

zρ ϕ

1 1ρ

1ˆ ˆ ˆ z

zρ ϕ

ρ ρ ϕpart part part

nabla equiv + +part part part

球

r θ ϕ

1 sinr r θ

1 1ˆ ˆˆ

sinr

r r rθ ϕ

θ θ ϕpart part part

nabla = + +part part part

（4-85B）

梯度gradient Vnabla grad(V) 散度divergence Anablasdot div( )A

直

角 nablaV ˆ ˆ ˆV V Vx y z

x y zpart part part

= + +part part part

yx zAA AAx y z

partpart partnablasdot = + +

part part part

圓

柱

1ˆ ˆ ˆ V V VV zz

ρ ϕρ ρ ϕpart part part

nabla = + +part part part

( )1 1

1

z

z

A AA Az

A A A Fz

ϕρ

ρ ρ ϕ

ρρ ρ ρ ϕ

ρ ρ ρ ϕ

partpart partnabla sdot = + +

part part partpart part part

= + + +part part part

球

1 1ˆ ˆˆ sin

V V VV rr r r

θ ϕθ θ ϕ

part part partnabla = + +

part part part

22

1 ( )rA r Ar r

partnabla sdot =

part

1 (sin )sin

Ar θθ

θ θpart

+ sdotpart

1sin

Ar

ϕ

θ ϕpart

+part

(4-86)

Ex47 Using spherical coordinate show that 1| |r r

nablaminus

= 2

ˆ| |

r rer r

minusminusminus

where

nabla是作用在 r 而 ˆr re minus 是向量 r rminus 方向的單位向量 解let r lies in z-axis so that the angle between r and r is just θ

4-52

rArr ( ) 122 21 1 2 cos | | ( ) ( )

r rr rr r r r r r

θminus

= = minus +minus minus sdot minus

( ) ( )12 122 2 2 21 1ˆˆ 2 cos 2 cos | |

r r rr r r rr rr r r r

θ θ θθ

minus minuspart partnabla = minus + + minus +

minus part part

( ) 322 21ˆ 2 cos (2 2 cos )2

r r rr r r rθ θminusminus

= minus + minus

( ) 322 21ˆ 2 cos (2 sin )2

r rr r rrθ θ θminusminus

+ minus +

3 3 3 3

ˆˆ ˆ( cos ) sin ( cos sin )ˆˆ| | | | | | | |r r r rr r rrr r r r r r r r

θ θ θ θ θθminus minus minus minus minus= + = +

minus minus minus minus

3 3 3ˆ ( )

| | | | | |r r z r r r rr r r r r rminus + minus + minus minus

= = =minus minus minus

＝ 2

ˆ| |

r rer r

minusminusminus

QED

證明最後我們用到 ˆˆˆ cos sinz r θ θ θ= minus 而 ˆ r r z= 因為我們選了 r 是

躺在 z-軸 Ex48 For arbitrary scalar field ( )f r and vector field ( )A r 證明恆等式

( )fA f A f Anablasdot = nabla sdot + nablasdot (4-87) 解 ˆ ˆ ˆx y zfA xfA yfA zfA= + +

( ) ( ) ( ) ( )x y zfA fA fA fAx y zpart part part

rArrnablasdot = + +part part part

yx zx x x

AAf f f AA f A f A fx x y y z z

partpartpart part part part= + + + + +part part part part part part

yx zx y z

AAf f f AA A A fx y z x y z

part⎛ ⎞partpart part part part= + + + + +⎜ ⎟part part part part part part⎝ ⎠

f A f A= nabla sdot + nablasdot QED 習題 12 一個位於原點的電偶極電偶極矩＝ ˆp pz= 已知其在遠處

的電位為 20

cos4p

rθ

πε試證該處的電場強度為 E = 3

0

ˆˆ( 2cos sin )4

p rr

θ θ θπε

+

(已知 E V= minusnabla )並請計算 Enablasdot ＝

習題 13 給定一向量場2

3cosˆD r

rϕ

= 現有兩個球心在原點的同心球

內球半徑 R＝1外球 R＝2(a)求面積分S

D dssdotint S 為同心球殼的表

面（有內外兩個面）(b)求體積分V

Ddvnablasdotint V 為兩同心球之間的

區域本題也是來 check 散度定理的Ans πminus

4-53

The Laplacian operator 2nabla equivnablasdotnabla

在直角座標可以用直接作用得到

2 2 2

22 2 2u u uu u

x y zpart part part

nabla equiv nablasdotnabla = + +part part part

(4-88)

圓柱座標

2 2

22 2 2

1 1( ) u u uu uz

ρρ ρ ρ ρ ϕ

part part part part⎛ ⎞nabla equiv nablasdot nabla = + +⎜ ⎟part part part part⎝ ⎠

(4-89)

球座標

2

2 22 2 2 2 2

1 1 1sinsin sin

u u uu rr r r r r

θθ θ θ θ ϕ

part part part part part⎛ ⎞ ⎛ ⎞nabla = + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟part part part part part⎝ ⎠ ⎝ ⎠ （4-90）

習題 14 verify (4-89) and (4-90)

習題 15 Given a dipole potential V= 20

cos4p

rθ

πε find 2Vminusnabla

sect 433 Line integral and curl A 線積分與與旋度的物理意義

線積分路徑積分

考慮一曲線 C 通過兩點 ( )i i i iP x y z 與

( )f f f fP x y z 現有一向量場 ( )A x y z 定義在

C 所在的空間若 sd 為 C 上位於(xyz)點的

「路徑元素」（ ˆd td= 方向沿該處切線）而

( )A x y z 為路徑元素d 處的場值則沿 C 經歷各點所做積分

cos cosf

CC C iA d Ad A dϕ ϕrarr rarrsdot = =int int int （4-91）

稱為向量場 ( )A x y z 沿路徑 C 自 pi 至 pf 的「線積分」「或「路徑積分」

積分裡 A 取值的點侷限在路徑 C 上面若為一個「封閉路徑」則對

C 的線積分也稱做「環路積分 closed contour integral」記做

C

A dsdotint （4-92）

4-54

物理量「做功」是最標準的線積分之一力 F 自 x = a 至 x = b「沿線」

x 軸做功

W＝ F dxsdotint ＝ ( )b

xaF x dxint （4-93）

質點在力場 )(rF 裡走一條曲線 C則力場做功

CW F d= sdotint （4-94）

還記得如果 ( )F r 是所謂「保守力」則上式只與始末點有關而與

路徑無關但如果 ( )F r 是所謂「非保守力」則做功與確實的路徑 C

有關

現考慮一質點在空間運動的位置 r 落在由曲線 C

描述的路徑則質點的位移元素與曲線 C 的路徑元

素相同 d dr= 若空間有向量場 A 分佈則 A 在 C 的

路徑積分以直角座標表示為

CA drarr rarrsdotint ＝

CA d rrarr rarrsdotint ＝ ( )x y zC

A dx A dy A dz+ +int （4-95）

上式中的 x y z 的積分限由 C 決定

Ex49 2 2 2ˆ ˆ ˆA xx yy zzrarr= + + 選定一路徑 C 為曲線

2y x= 由 (000)到 (2 20)的部分求C

A dsdotint

解 ˆ ˆd xdx ydy= +∵

CA dsdotint ＝ 2 2( )

Cx dx y dy+int ＝

2 22 2

0 0x dx y dy+int int

＝ )24(32

+

或由 2y x= rArr 2ydy dx= 2 12

y dy xdxrArr =

rArrC

A dsdotint ＝2 2

0

1( )2

x x dx+int ＝2 (4 2)3

+

4-55

ex50 ˆ ˆ( )f x y z xy yx= minus Do C

f dsdotint 其中的路徑 C 為一逆時針三角

形如圖 解∵路徑全部在 x-y 平面 ˆ ˆ ˆd td xdx ydy= = +

rArrC

f dsdotint ＝ x yC

f dx f dy+int ＝C

ydx xdyminusint

由於在 C1 上 y = 0 及 dy = 0 所以 01

=intC 又由於在

C3 上 x = 0 及 dx =0所以 03

=intC 所以只剩下 C2 可

能有貢獻由 2C 的方程式x + y =1rArr ⎩⎨⎧

minus=minus=

xyyx

11

rArr2Cydx xdyminusint ＝

0 1

1 0(1 ) (1 )x dx y dyminus minus minusint int ＝

0 12 2

1 0

( ) ( )2 2x yx yminus minus minus ＝-1

Cf dsdotint ＝-1

ex51 ( )f x y zrarr

= 2ˆ ˆxx yxyminus 如右圖doC

f dsdotint 其

中路徑 C 為第一象限的逆時針 14 圓弧

解∵ 全部在 x-y 平面 ˆ ˆd xdx ydy= +

Cf dsdotint ＝ 2

Cx dx xydyminusint

由於在 C 上 cosx R ϕ= rArr sindx R dϕ ϕ= minus

siny R ϕ= rArr cosdy R dϕ ϕ=

rArr 2

Cx dx xydyminusint ＝

2 2 2 2

0cos ( sin ) sin cos cosR R d R R d

πϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕminus minus sdotint

23 2

02 cos sinR d

πϕ ϕ ϕ= minus int ＝

323Rminus

又路徑為圓周一部份所以適合用極座標表示

ˆd Rdϕ ϕ= 又由左圖將 ˆ ˆx y 拆解（投影）到 ˆˆr ϕ

ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆcos sin sin cosx r y rϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ= minus = +

4-56

( )2ˆ ˆ ˆˆ ˆ( cos sin ) ( sin cos )C C

f d r x r xy Rdϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕsdot = minus minus + sdotint int 2

2 2 2

0

sin (cos )

sin ( cos ) (cos ) cos sin

Cx Rd xyRd

R Rd R Rdπ

ϕ ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ

= minus minus

= minus minus

intint

23 2

02 cos sinR d

πϕ ϕ ϕ= minus int ＝

323Rminus

這也驗證了散度定理

Path Independence 路徑獨立性

Ex52 證明庫倫力為「保守力」考慮

電荷 q0 位於原點及電荷 q 位於

( )r x y zrarr= q 受力 F

rarr＝ 0

20

14

qq urπε

and

求庫侖力作功因為球形對稱所以

用球座標由 ˆ ˆ ru rr

= = rArr Frarr

= 03

04qq r

rπε

庫侖力由 P1 至 P2 做功為 2

1

P

CPF drarrsdotint ＝

2

1

02

0

ˆ ˆ ˆˆ sin4

P

PC

qq r rdr rd r dr

θ θ ϕ θ ϕπε

⎡ ⎤sdot + +⎣ ⎦int ＝2

1

02

04P

P

qq drrπεint

＝20

2104

r

r

qq drrπε int ＝ 0

0 1 2

1 1( )4qq

r rπεminus for all C

所以庫侖力兩點間做功與路徑無關rArr保守力

對於「保守力 conservative force」 cF 自 p1 經

由兩條不同的路徑 C1 與 C2 到達 p2

1 ccF drarrsdotint ＝

2 ccF drarrsdotint ＝-

2 ccF drarr

minussdotint

rArr1 2c cc cF d F drarr rarr

minussdot + sdotint int = cF d

rarrsdotint ＝0 (4-96）

對於任何「封閉路徑」保守力做功為 0反之若

對任一封閉路徑 0F drarrsdot neint 則兩點之間的做功與路徑有關

rarr

F 為「非

保守力」

4-57

旋度 curl Anablatimes 的幾何物理意義

我們在（4-70）式已經看過旋度的計算方式但旋度另有其意義的

ex53 給定向量場2 2

0ˆ yv yv e λrarr

minus= 左圖為場的分佈

2 20

ˆ ˆ ˆ

0 0x y z

y

x y zcurl v

v e λ

rarr

minus

= part part part ＝ ˆ ˆ ˆ0 0 0 0x y zsdot minus sdot + sdot =

我們用了簡寫 x yx ypart part

part equiv part equivpart part

可以看出這個場裡沒有「漩渦」

但是有無「漩渦」有時也不是那麼明顯可以看出的請見下一個例子

Ex54 給定向量場2 2

0ˆ xv yv e λrarr

minus= 計算其旋度 vnablatimes

解向量場 vrarr

畫在右邊你看得出有無漩渦

先計算旋度

2 20

ˆ ˆ ˆ

0 0x y z

x

x y zcurl v

v e λ

rarr

minus

= part part part2 2

2 2

0

0

ˆ

ˆ 2 0 0

x

x

z v ex

z v xe for x

λ

λ

minus

minus

part=

part

= minus ne ne

vrarr

的旋度在大部分的地方不為 0 且隨位置而不同但是你看得出這個

向量場裡有「漩渦」其實要檢驗一個向量場裡有無「漩渦」有一

個很物理的方法就是放一個小「螺旋槳」（左圖）

在場內將軸朝各個方向測試一

下如果有「漩渦」的話這個

小「螺旋槳」就會轉動右圖就是將「螺旋槳」的

軸平行於 z 軸且放在 x gt 0 的地方就可以看出左

邊的 v 場比右邊的強造成螺旋槳順時針轉動rArrcurlv zminus for x gt 0

但如果放在 x = 0 的地方就會看到左右兩端的 v 場強度相同而且

4-58

curlv = 0 「螺旋槳」放在 x lt 0 的地方就可以看出右邊的v 場比左

邊的強造成螺旋槳逆時針轉動這完全符合 curl v k+ 的結果

環路積分與旋度 curl 的物理意義

如同「散度」一樣「旋度」除了 Ftimesnabla 之外

還有一個物理意義更清楚的定義這個定義由

「線積分」說明如圖考慮做「逆時針」長方形

路徑 C1 的一個「環路積分」C1 面平行於 x-y 平

面由 z-軸看下去環路 C1 可以分為可以分為

下 CB上 CT右 CR左 CL 4 部分

CA drarrsdotint ＝

B T L RC C C CA d A d A d A drarr rarr rarr rarrsdot + sdot + sdot + sdotint int int int

分別計算由於 CB 的中點座標為 ( )2yx y zΔ

minus

ˆB BC C

A d A xdxrarr rarrsdot = sdot =int int

BxC

A dxint ( )2xyA x y z xΔ

asymp minus Δ

similarly 由於 CT 的中點座標為 ( )2yx y zΔ

+

ˆ( )T TC C

A d A xdxrarr rarrsdot = sdot minus =int int

TxC

A dxminusint ( )2xyA x y z xΔ

asymp minus + Δ

合併 CB 與 CT

B TC CA drarr

+sdot =int

( ) ( )2 2x xy yA x y z A x y z

x yy

Δ Δ⎡ ⎤minus + minus minus⎢ ⎥⎣ ⎦ Δ ΔΔ

（4-97）

由 C1 所圍的面積 S x yΔ = Δ Δ

1B TC C

A dS

rarr

+sdot =

Δ int( ) ( )

2 2x xy yA x y z A x y z

y

Δ Δ⎡ ⎤minus + minus minus⎢ ⎥⎣ ⎦Δ

（4-98）

所以當取極限 C1 收縮到中心(xyz)時 SΔ 收縮到 0ie

4-59

0limsΔ rarr

1B TC C

A dS

rarr

+sdot =

Δ int xAy

partminuspart

（4-99）

Similarly with CR 的 ˆd ydy= CL 的 ˆd ydy= minus 可得

1L RC C

A dS

rarr

+sdot =

Δ int x

zyxxFzyxxF yy

Δ

Δminusminus

Δ+ )

2()

2(

（4-100）

同樣的當取極限 C1 收縮到中心(xyz)時 SΔ 收縮到 0

0

limsΔ rarr

1L RC C

A dS

rarr

+sdot =

Δ int yAx

partpart

（4-101）

最後合併 CBCTCRCL 為 C1

10

1limCs

A ds

rarr

Δ rarrsdot =

Δ int y xA Ax y

part partminus

part partˆ ( ) ( )zz A A= sdot nablatimes = nablatimes （4-102）

注意 C1 的方向就是在 z 上式的重要

意義是當向量場 A 在一個以點(xyz)為

中心「方向為 z 」的面積元素的「邊界」

所做的環路積分得到的就是 A 在(xyz)

處旋度的 z-分量明顯的只有當 A 在

(xyz)附近有 x-y 平面上的「漩渦」那麼 C1 的環路積分才不會為 0

Similarly 取一個逆時針繞著(xyz)的平行於 x-z 平面的長方形環路 C2

（左圖）做環路積分再取極限將 C2 收縮到(xyz)就會得到

20

1limCs

A ds

rarr

Δ rarrsdot =

Δ int x zA Az x

part partminus

part partˆ ( ) ( )yy A A= sdot nablatimes = nablatimes （4-103）

注意到 C2 所包圍的面積方向就在 y到

現在我們應該已經很有經驗了若取一

個逆時針繞著(xyz)的平行於 y-z 平面

的長方形環路 C3（左圖）做環路積分

再取極限將 C3 收縮到(xyz)就會得到

4-60

30

1limCs

A ds

rarr

Δ rarrsdot =

Δ int yz AAy z

partpartminus

part partˆ ( ) ( )xx A A= sdot nablatimes = nablatimes （4-104）

能把（4-103）與（4-104）變出來的同學我們有優待綜合以上

我們可以得到一個結論若取一個以點(xyz)為中心的任意環路 Cn（其

所包圍的面積方向在 n ）則

n curl Aand rarrsdot ＝

0

1lims

Cn

A ds

rarr

Δ rarrsdot

Δ int （4-105）

明顯的當 n ＝ x 或 y 或 z 時我們可以重複（4-102）到（4-104）的

結果（4-70）式的行列式所定義的旋度在此看見其幾何物理意義

至此「旋度」的「漩渦」形象應該已經很清楚了只有在(xyz)點附

近的小圈圈上有「漩渦」 A 在小圈圈做的環路積分才會有值這個

值就是向量場 A 的「旋度」在小圈圈面積方向的分量

Stokersquos 定理

考慮一個開放面 S被其「有方向的」邊界 C 圈住(bounded by)則

( )S

A dsrarr rarrnablatimes sdotint ＝

C

A drarrsdotint （4-106）

pf 先將 S 面分割為 N 個多邊形這會使得邊界變成一個「折線」形

成的環路 P環路 P 會隨著分割的多邊形個數的增多而越加近似於原

「光滑的」邊界 C現考慮相鄰的

兩個多邊形的線積分由於共用邊

的方向是相反的所以相鄰兩個多

邊形線積分的和只剩「外邊界」（見左圖）所以當把所有的多邊形的

4-61

線積分加起來時由於只有邊界 P 不是多邊形的共用邊所以

1k

N

k C

A drarr

=

sdotsum int ＝P

A drarrsdotint rArr

P

A drarrsdotint ＝

1

1

k

N

kk k C

A d l ss

rarr rarr

=

⎡ ⎤sdot Δ⎢ ⎥

Δ⎢ ⎥⎣ ⎦sum int

其中 ksΔ 為第 k 個多邊形的面積取極限 0kN srarrinfinrArrΔ rarr P CrArr rarr

C

A drarrsdotint ＝

10

1limkk

N

kN k k Cs

A d ss

rarr

rarrinfin=Δ rarr

⎡ ⎤sdot Δ⎢ ⎥

Δ⎢ ⎥⎣ ⎦sum int 01

ˆlim ( )k

k kskn A s

infin

Δ rarr=

⎡ ⎤= sdot nablatimes Δ⎣ ⎦sum

01

ˆlim ( )k

k kskA n s

infin

Δ rarr=

= nablatimes sdot Δsum = ( )S

A dsrarr

nablatimes sdotint QED

ex55 由 Amperersquos law 的積分形式導出其微分形式

解Amperersquos law 的積分形式 C

B drarrsdotint ＝ I0μ (4-107)

由 Stokersquos 定理及電流密度 j 的定義上式等號兩端可寫為

rArr ( )S

B dsrarr rarrnablatimes sdotint ＝ 0 S

j dsμrarrsdotint

由於上面的等式對任意面 S（路徑 C）都成立所以被積函數相等

0B jμrarr rarr rarr

rArrnablatimes = (4-108) 此即 Amperersquos law 的微分形式

Ex56 Given a vector field ˆ ˆx yA ye xe= minus + (a) Find Anablatimes

解

ˆ ˆ ˆˆ ˆ(1 ( 1) 2

0x y z

x y zA z z

y xnablatimes = part part part = minus minus =

minus

(b)如圖一個金字塔狀的 5 面體高 2底邊長＝1計算 ( )S

A dsnablatimes sdotint

其中 S 為金字塔在 x-y 平面以上的部分方向如同

封閉的金字塔（運用 Stokersquos law）

解金字塔上表面的面積元素ds 不好寫由 Stokersquos

4-62

law ( )S

A dsrarr rarrnablatimes sdotint ＝

C

A drarrsdotint 其中封閉路徑 C 就是上表面的邊界而且

是逆時針（由 z 軸向下看）

C

A drarrsdotint ＝

1 1 0 0

0 0 1 1ˆ ˆ ˆ ˆA xdx A ydy A xdx A ydysdot + sdot + sdot + sdotint int int int

＝1 1 0 0

0 0 1 1x y x yA dx A dy A dx A dy+ + +int int int int 1 1 0 0

0 0 1 1( 0) ( 1) ( 1) ( 0)y dx x dy y dx x dy= minus = + = + minus = + =int int int int

0 1 1 0 2 ( ) 2S

A ds= + + + = rArr nablatimes sdot =int

旋度與 path independence

已知保守場 cF 對所有封閉路徑 C 0cC

F drarrsdot =int 由 Stokersquos 定理

0cC

F drarrsdot =int ＝ ( )cS

F dsrarr rarrnablatimes sdotint rArr 0cF

rarr rarrnablatimes =

這表示保守場＝無旋度反之無旋度的場任兩點間路徑積分與路

徑無關

Ex57 Given a field 2 2ˆ ˆ ˆ2A x xy yx zz= + minus (a) Find Anablatimes A 保守場

解2 2

ˆ ˆ ˆ

2x y z

x y zA

xy x znablatimes = part part part

minus

( ) ( ) ( )2 2 2 2ˆ ˆ ˆ( ) 2 ( ) 2 0y z z x x yx z x y xy z z x xy= part minus minuspart + part minuspart minus + part minuspart =

yes A =保守場

(b)如左圖由 A 到 B 做路徑積分A BC

A drarr

sdotint 路徑 C 為橢圓

22 1

16yx + = 在 x-軸以上的部分

解橢圓部分的路徑元素 d 有點麻煩但因為 A

為保守場所以 A 到 B 做路徑積分可以用 x = -1 到

1 的積分取代

4-63

01 1 1

1 1 1ˆ 2 0

yB

xAA d A xdx A dx xydx

=

minus minus minussdot = sdot = = =int int int int

∵

旋度在柱座標與球座標

前面討論過nabla在不同座標系的寫法旋度也有歸納出的一致寫法

座標 1 2 3 u u u

度量係數

1 2 3 h h h

nabla grad del

直角 x y z

1 1 1 nabla ˆ ˆ ˆx y z

x y zpart part part

equiv + +part part part

圓柱 zρ ϕ

1 1ρ

1ˆ ˆ ˆ zz

ρ ϕρ ρ ϕpart part part

nabla equiv + +part part part

球 r θ ϕ

1 sinr r θ

1 1ˆ ˆˆ sin

rr r r

θ ϕθ θ ϕ

part part partnabla = + +

part part part

所以柱座標與球座標的旋度分別表為

柱座標

ˆ ˆ ˆ1

z

z

Az

AA Aρ ϕ

ρ ρϕ

ρ ρ ϕρ

part part partnablatimes =

part part part （4-109）

球座標 2

ˆ ˆˆ sin1sin

sinr

r r r

Ar r

A rA r Aθ ϕ

θ θϕ

θ θ ϕθ

part part partnablatimes =

part part part （4-110）

ex58 (a) Given the vector function ˆA ϕ= sin (ϕ 2) find Anablatimes

解 2

ˆ ˆˆ sin1sin

0 sin( 2) 0

r r r

Ar r

r

θ θϕ

θ θ ϕϕ

part part partnablatimes =

part part part

4-64

21 ˆˆ cos sin sinsin 2 2 2

rr rr

ϕ ϕθϕθ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

ˆˆ cos sin2 sin 2 2

rr r

ϕ ϕ ϕθ

minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

(b)如左圖一個底面在 x-y 平面半徑＝1高＝2 之圓錐 求面積分

SA dsnablatimes sdotint 面積範圍 S 為圓錐在 x-y 平面以上

部分 方向為由圓錐內向外

解由 Stokersquos law ( )S

A dsrarr rarrnablatimes sdotint ＝

C

A drarrsdotint 其中路

徑 C 為 x-y 平面圓心在原點之單位圓 ˆ ˆd rd dϕ ϕ ϕ ϕ= =

2

0ˆ ˆsin sin

2 2C

d dπϕ ϕϕ ϕ ϕ ϕ⎛ ⎞ ⎛ ⎞sdot =⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠int int ( )0

2 sin u duπ

= int 0cos | 2u π= minus =

習題 16 磁場 B 因為不是保守場所以沒有對應的純量位而對應一

個向量位 A (vector potential)而 B A= nablatimes 一個磁鐵的磁偶極矩

ˆm mz= 被置於原點已知在遠處的 vector potential 03ˆ sin

4mAr

μϕ θπ

=

計算該處的磁場 B Ans 03

ˆˆ( 2cos sin )4

mB rr

μ θ θ θπ

= + 與電偶極遠處

的電場形式一致都是偶極(dipole) 選幾個點畫一畫該處的場向量

把磁力線描出來

附錄本章講義的內容有部分可以經由直接計算得出列在附錄做為

參考

用「圓柱座標」寫 Atimesnabla

Ararr rarrnablatimes ＝ ( )1ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ zz A A zA

z ρ φρ ϕ ρ ϕρ ρ ϕpart part part⎛ ⎞+ + times + +⎜ ⎟part part part⎝ ⎠

4-65

因為rdquo sdotrdquo與rdquotimes rdquo都是向量間的運算所以

＝ ( )ˆ ˆ ˆ ˆ zA A zAρ φρ ρ ϕρpart

times + +part

＋ ( )1ˆ ˆ ˆ ˆ zA A zAρ φϕ ρ ϕρ ϕ

parttimes + +

part

＋ ( )ˆ ˆˆ ˆ zz A A zAz ρ φρ ϕpart

times + +part

直接做上式微分可以得到

＝1ˆ z AA

zϕρ

ρ ϕpart⎛ ⎞part

minus⎜ ⎟part part⎝ ⎠＋ ˆ zA A

zρϕ

ρpart⎛ ⎞part

minus⎜ ⎟part part⎝ ⎠＋

1 1ˆ ( )A

z A ρϕρ

ρ ρ ρ ϕpart⎛ ⎞part

minus⎜ ⎟part part⎝ ⎠

上式可以用一個行列式來表示

rarrrarr

timesnabla A＝

ˆ ˆ ˆ1

z

z

zA A Aρ ϕ

ρ ρϕ

ρ ρ ϕρ

part part partpart part part

（A-1）

A and Anabla nablasdot nablatimes in 球座標 spherical coordinate

如上圖球座標 )( ϕθr 其中 )0[ infinisinr ]0[ πθ isin ]20[ πϕ isin 只有 r

是長度而 ϕθ 為角度是用來說明方向的三個座標的單位向量 ˆ ˆˆ r θ ϕ 具

有下列性質

4-66

1 如上圖 ˆ ˆˆ r θ ϕ 都不是常數而是（ ϕθ ）的函數

ˆ ˆ( )ˆ ˆ( )ˆ ˆ( )

r r θ ϕ

θ θ θ ϕϕ ϕ ϕ

⎧ =⎪

=⎨⎪ =⎩

)( ϕθr 與(xyz)之間的轉換如下

sin cossin sincos

x ry rz r

θ φθ φθ

=⎧⎪ =⎨⎪ =⎩

( )122 2 2

2 2

tan

tan

r x y z

x yz

yx

θ

φ

⎧ = + +⎪⎪ +⎪ =⎨⎪⎪ =⎪⎩

（A-2）

2 ˆ ˆˆ r θ ϕ 形成一「歸一正交集」ie

ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ 1r r θ θ ϕ ϕsdot = sdot = sdot = ˆ ˆr θ ϕperp perp

ˆ ˆr θ ϕtimes = ˆ ˆ rθ ϕtimes = ˆˆ rϕ θtimes = （A-3）

3可以很容易的由他們在 xyz 軸上的投影由直角

座標的 ˆ ˆ ˆ x y z 表出

ˆ ˆ ˆ ˆsin cos sin sin cos ( 4 )ˆ ˆ ˆ ˆcos cos cos sin sin ( 4 )ˆ ˆ ˆsin cos ( 4 )

r x y z A a

x y z A bx y A c

θ φ θ φ θ

θ θ φ θ φ θϕ φ φ

= + + minus⎧⎪

= + minus minus⎨⎪ = minus + minus⎩

4 ˆdr = 由於 ˆ ˆ( )r r θ φ= 所以由 ϕθ 的變動來看

4-67

ˆ ˆˆ| |ˆ ˆˆ| | sin sin

d r d d

d r d d

θ θθ θθ

φ θ φφ θ φφ

⎧ rArr =⎪⎨

rArr =⎪⎩rArr ˆ ˆˆ sindr d dθ θ φ θ φ= + （A-5）

rArrˆ ˆr θθpart

=part

ˆ ˆsinr θφφpart

=part

（A-6）

（A-6）的結果也可以直接由（A-4a）對 ϕθ 偏微得到

5 ˆdθ ＝ 由於 ˆ ˆ( )θ θ θ φ= 所以由 ϕθ 的變動來看

ˆ ˆ ˆ| | ( )ˆ ˆ ˆ| | cos cos

d d r d r

d d d

θ θ θ θ

φ θ θ φφ φ θ φ

⎧ rArr minus = minus⎪⎨

rArr =⎪⎩rArr ˆdθ ＝ ˆˆ cosrd dθ φ θ φminus + （A-7）

ˆrθ

θpart

rArr = minuspart

ˆ ˆcosθ φ θφpart

=part

（A-8）

請直接由（A-4b）對 ϕθ 偏微的結果 check（A-8）

6 ˆdφ ＝由於φ )(ϕ 躺在 x-y 平面上變動φ時的方向可能不是那麼

容易看出來所以做圖看一看

ie ˆ ˆˆ(sin ) (cos )d r d dφ θ φ θ θ φ= minus minus （A-9）

4-68

ˆ ˆˆsin cosrφ θ θ θφpart

= minus minuspart

7 所有的向量 ˆ ˆˆ rA rA A Aθ φθ φrarr= + +

8 位置向量 ˆr rrrarr=

可以由左圖 ˆ ˆˆ r θ ϕ 三個方向的「長度

變化」輕易的看出

9 位移元素

ˆ ˆˆ ˆ sindr rdr rd dθ θ ϕ θ φ= + + (A-10)

10 體積元素

sindv dr r d rdθ φ θ= sdot sdot

＝ 2 sinr dr d dθ θ φ (A-11)

11 面積元素 2 sinrds r d dθ θ φ= plusmn sinds r drdθ θ φ= plusmn ds rdrdφ θ= plusmn (A-12)

plusmn號表示面的垂直方向有兩個端看 ds 周邊的方向是如何定的

nabladel 考慮 ( )u u r θ φ=

rArru u udu dr d dr

θ φθ φ

part part part= + +part part part

u d rrarr rarr

equiv nabla sdot

urarr

= nabla sdot ˆ ˆˆ( sin )rdr rd dθ θ φ θ φ+ +

rArr1 1ˆ ˆˆ

sinu u uu rr r r

θ ϕθ θ φ

rarr part part partnabla = + +

part part part

1 1ˆ ˆˆsin

rr r r

θ ϕθ θ φ

rarr part part partnabla equiv + +

part part part （A-13）

4-69

直接用（A-13）與 ˆ ˆˆ rA rA A Aθ φθ ϕrarr= + + 逐項內積加上（A-678）

rArr ϕθ

θθθ

ϕθ part

part+

partpart

+partpart

=sdotnablararrrarr A

rA

rAr

rrA r sin

1)(sinsin1)(1 2

2 （A-14）

（A-13）與 ϕθ ϕθ AAArA r

andandandrarr

++= 逐項外積整理之後

ϕθ θϕθ

ϕθθ

θArrAA

r

rrr

rA

r sin

sin

sin1

2 partpart

partpart

partpart

=timesnabla

andandand

rarrrarr

（A-15）

Laplacian uu nablasdotnabla=nabla2

2

2

2222

22

sin1)(sin

sin1)(1

ϕθθθ

θθ partpart

+partpart

partpart

+partpart

partpart

=nablau

ru

rrur

rru （A-16）

B推導「散度」在圓柱座標的寫法

讓我們先回顧一下在直角座標裡的「面積元素」可以由「位移元素」

得到

ˆˆ ˆ x y zdr idx jdy kdz da dydz dxdz dxdy= + + rArr =

比照辦理「圓柱座標」的位移元素

( )ˆˆ ˆ( )

( )z

da d dzdr d d zdz da d dz

da d d

ρ

φ

ρ φ

ρ ρ φ ρ φ ρ

ρ ρ φ

=⎧⎪= + + rArr =⎨⎪ =⎩

這個結論可以輕易的由面積元素在垂直於 zˆˆ ϕρ 三個方向的面積看

出如下圖考慮一個以 )( zϕρ 為中心的「圓柱體積元素」(cylindrical

cubiod)體積為 zdV ΔΔ=Δ ϕρρ 現計算在 ρ

方向的 12 兩個平行面(方向各為 ρplusmn )的通

量

4-70

zzF

dsFdsnFS S

ΔΔ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

+cong

=sdotintint intintϕρρϕρρρ

ρ

2

2

ˆ1 1

zzF

dsFdsnFS S

ΔΔ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

minus⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

minusminuscong

minus=sdotintint intintϕρρϕρρρ

ρ

2

2

ˆ2 2

intint+

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

minus⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

minusminus⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

+Δ

asympsdotΔ

rArr21

22

22

1ˆ1

SS

zFzFdsnFV

ϕρρρρϕρρρρρρ ρρ

( ) ( )

1 20

0

0

1 ˆlim

1lim 2 2 2 2

1 1lim 2 2

1

VS S

F ndsV

F z F z

F z F z

F

ρ ρρ

ρ ρρ

ρ

ρ ρ ρ ρρ ρ φ ρ ρ φρ ρ

ρ ρρ ρ φ ρ ρ φρ ρ

ρρ ρ

Δ rarr+

Δ rarr

Δ rarr

rArr sdotΔ

Δ Δ Δ Δ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + + minus minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥Δ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦Δ Δ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥Δ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

part ⎡ ⎤= ⎣ ⎦part

intint

娛樂一下用上述方式把圓柱的 Fsdotnabla 裡的z

FF z

partpart

+partϕρϕ1

變出來

球座標的nabla和 Fsdotnabla 也可以試試看

補充習題

H M Scheydiv grad curl and all that 4th edition

第二章習題 6 8 9 10 11 14 15 16 18 19 21 22 23 25 26 27

第三章習題 2 3 5 6 7 8 9 10 11 14 15 17 18 19 24

4-43

當取體積向(xyz)點收縮至 0 時即 0 x 0as VΔ rarr Δ rarr 上式的近似

「asymp」就成了「＝」

1 20

1 ˆlimV

S S

F ndsVΔ rarr

+

sdotΔ intint

( )0

2 2limx x

x

x

x xF x y z F x y z F x y zx xΔ rarr

Δ Δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟ part⎝ ⎠ ⎝ ⎠= =Δ part

Similarly F 在立方體的一組平行於 x-z 平面的表面 S3 與 S4 的通量

3 3 3

ˆ ˆ yS S S

F nds F yds F dsrArr sdot = sdot =intint intint intint

2

2

y

y

yF x y zyF x y z x z x y z

y

Δ⎛ ⎞+⎜ ⎟Δ⎛ ⎞ ⎝ ⎠asymp + Δ Δ = Δ Δ Δ⎜ ⎟ Δ⎝ ⎠

( )4 4 4

2ˆ ˆ

y

yS S S

yF x y zF nds F y da F ds x y z

y

Δ⎛ ⎞minus⎜ ⎟⎝ ⎠rArr sdot = sdot minus = minus asymp Δ Δ Δ

Δintint intint intint

合併 S3 與 S4 兩個面積分並取體積向(xyz)點收縮至 0 時即當

0 y 0VΔ rarr Δ rarr 上式的近似asymp就成了＝

3 4

2 2ˆ

x x

S S

y yF x y z F x y zF nds V

y+

Δ Δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠rArr sdot cong Δ

Δintint

3 40 0

1 2 2ˆlim lim

x xy

V yS S

x yF x y z F x y z FF nds

V y yΔ rarr Δ rarr+

Δ Δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟ part⎝ ⎠ ⎝ ⎠rArr sdot = =Δ Δ partintint

與上面相同的作法計算 F 在立方體的一組平行於 x-y 平面的表面 S5

與 S6 的通量我們也會得到對應的結果

5 6

2 2ˆ

z x

S S

z zF x y z F x y zF nds V

z+

Δ Δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠rArr sdot cong Δ

Δintint

5 60 0

1 2 2ˆlim lim

z xz

V zS S

z zF x y z F x y zFF nds

V z zΔ rarr Δ rarr+

Δ Δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟ part⎝ ⎠ ⎝ ⎠rArr sdot = =Δ Δ partintint

所以合併立方體的 6 個面積分

4-44

1 2 3 4 5 6

ˆ ˆ ˆ ˆS S S S S S S

F nds F nds F nds F nds+ + +

rArr sdot = sdot + sdot + sdotint intint intint intint

0

1 ˆlim yx zV

FF FF nds div F FV x y zΔ rarr

partpart partrArr sdot = + + = = nablasdot

Δ part part partint (4-78)

在此我們得證這兩種「散度」的定義是等價的只是（4-77）的定義

充分的表現出「散度」的幾何物理意義他從通量著手由於場線

出自於 source（ex電場源自於點電荷）所以在點(xyz)必須有向量場

F 的 source 存在才能使得當面積縮到 0 時仍具有非 0 的通量所以「散

度」表現向量場 F 的 source 在這個定義之下是很清楚的當然在計算

「散度」時我們不必那麼麻煩用 divF F= nablasdot 就好了

Ex41 計算 2ˆ ˆ ˆF xx yxy zyz= + + 的散度

解 2 yx zFF Fx x yx y z

partpart part= = =

part part part F 2x x y 3x ydivrArr = + + = +

recall 在靜電學0

yx zEE EEx y z

ρε

partpart partnablasdot = = + +

part part part

散度定理 Divergence Theorem

若任意封閉面（又稱為「高斯面」）S 所包圍的

體積為 V 則

S VA ds Adτsdot = nablasdotint int （4-79）

pf 我們先將體積分割成 N 個小盒子考慮相鄰的兩個小盒子 1 2

兩小盒子的共用面面積 S0當 S0 是為 1 號盒子的一部份時其方向為

1n 但若當為 2 號盒子的表面時其方向為 12 ˆˆ nn minus= 如此在 S0 分別做

4-45

1 2 盒子的面積分後

0 0

0 0 0 0

1 2

1 2 1 1ˆ ˆ ˆ ˆ 0

S S

S S S S

A ds A ds

F n ds F n ds F n ds F n ds

sdot + sdot

= sdot + sdot = sdot minus sdot =

intint intintintint intint intint intint

所以若求場 A 在 1 2 盒子的總通量時交界面是沒有貢獻的總通量

就只有「外面積」才有貢獻如此我們計算 N 個小盒子的總通量

時所有的內部共用面都得 0只剩下「外表面」的貢獻了當 infinrarrN

時所有小盒子的「總外表面」就與 S 面重合了所以所有小盒子通量

的總和就等於 S 面的通量

1lim

i

N

S SN iA ds A ds

rarrinfin=

rArr sdot = sdotsumint int

現在我們做 N 個小盒子的總通量

1 1

1i i

N N

iS Si i i

A ds A ds VV= =

⎛ ⎞sdot = sdot Δ⎜ ⎟Δ⎝ ⎠

sum sumint int

當 0iN Vrarrinfin rArr Δ rarr 並用 dv 表示體積元素

( ) ( )1 1

1

1lim lim lim

lim

i ii

N N

iS SN N V oi i i

N

i VN i

A ds A ds VV

A V A dv

rarrinfin rarrinfin Δ rarr= =

rarrinfin=

⎛ ⎞sdot = sdot Δ⎜ ⎟Δ⎝ ⎠

= nablasdot Δ = nablasdot

sum sumint int

sum int

( )S V

A da A dvrArr sdot = nablasdotint int QED

所以得證散度定理上式中我們用了散度的（4-77）式定義要分辨

清楚 Anablasdot 是向量場 A 在空間中「某一點」的性質（ 0VΔ rarr ）而「散

度定理」說的是一個「有限體積」的性質

ex42 給定 ( ) ˆ ˆ ˆ A x y z xx yy zz r= + + = 計算在

半徑 R＝1 的球的上半球加底面的通量

4-46

解 ( )ˆˆS

A da A rda A k darArr sdot = sdot + sdot minusint int int上半球面 底面

( )

2

ˆ ˆ

0 2 1 2

A rda A z dxdy

r rds zdxdy rds ds π π

= sdot + sdot minus

= sdot minus = minus = = sdot =

int int

int int int int上半球面 底面

上半球面 底面 上半球面

底面的通量＝0 是因為 A 的 z 分量 Az=z 在底面的值為 0

也可以用散度定理更快的得出結果

∵ 3A rnablasdot = nablasdot =

31 43 3 1 22 3V V

Ad d πτ τ πnablasdot = = sdot sdot sdot =int int

ex43高斯定律的微分形式積 由 Gaussrsquo law 的積分形式用散度定理得出其

( )0 0

1 inS V

qE ds x y z dvρε ε

sdot = =int int

0S V VE ds Edv dvρ

εrArr sdot = nablasdot =int int int

上式最後的等式對「任意形狀」V 都成立所以兩者的被積函數相等

對於空間每一點 0

E ρε

nablasdot = （4-80）

ex44 Use 第一象限的單位力方體 check the divergence theorem using the function 2 2ˆ ˆ ˆ(2 ) 2A y x xy z y yzz= + + +

解2

2( ) (2 )(2 ) 2( )y yzA xy z x yx y z

part part partnablasdot = + + + = +

part part part

and 1 1 1 1 1 1

0 0 0 0 0 02 ( ) 2 ( )

VAdv x y dxdydz dz dy x y dxnablasdot = + = +int int int int int int int

1 1

0 0

1 12 ( ) 2 12 2

dz y dy= + = sdot =int int

面積分 1 1 2

0 0

1ˆ3

A ds A xdydz dz y dysdot = sdot = =intint intint int int前 前

4-47

1 1 2

0 0

1ˆ( )3

A ds A x dydz dz y dy minussdot = sdot minus = minus =intint intint int int

後 後

1 1 2

0 0ˆ (2 )A ds A ydxdz dz xy z dxsdot = sdot = +intint intint int int

右 右

1 1 1 12 2

0 0 0

4(2 ) (1 )3

ydz x z dx dz z

=

= + = + =int int int∵

1 1 2

0 0

0 1 1 12 2

0 0 0

ˆ( ) (2 )

1(1 )3

y

A ds A y dxdz dz xy z dx

dz z dx dz z=

sdot = sdot minus = minus +

minus= minus = + =

intint intint int int

int int int∵

左 左

11 1 1 1

0 0 0 0ˆ 2 2 1

zA ds A zdxdy dx yzdy dx ydy

=sdot = sdot = = =intint intint int int int int

∵

上 上

01 1

0 0ˆ 2 0

zA ds A zdxdy dx yzdy

=sdot = sdot minus = minus =intint intint int int

∵

下 下

前後右左上下六個面積分合併＝1＝V

Advnablasdotint QED

ex45 Continuity Equation 連續方程式

考慮某些「東西」的流動（物質電荷hellip）在時刻 t 時在點(xyz)

的 密 度 為 ( ) x y z tρ ρ= 並 具 有 速 度

( ) v v x y z t= 在時刻 t 時在體積 V 內的總量為

( ) x y z t dρ τintintint

這樣體積 V 內東東的時變率為

( ) ( ) d x y z t d x y z t ddt t

ρρ τ τpart=

partintintint intintint

注意體積分後的時間全微分移入積分內要改為偏微分這個東東

在表面的「流率 flow rate」可表為

ˆS

R v ndsρ= sdotintint

若體積內的物料無法自生自滅那麼體積內物料的變化必經由表面的

流出流入所造成

d v ndstρ τ ρpart

rArr = minus sdotpartintintint intint

由散度定理

4-48

( )ˆS

v nds v d dtρρ ρ τ τpart

sdot = nablasdot = minuspartintint intintint intintint

( )v Jtρ ρpart

rArr = minusnablasdot equiv minusnablasdotpart

0Jtρpart

rArr +nablasdot =part

（4-81）

(4-81) 即 continuity equation其中 J vρ= 為「物流密度」ex如果 ρ

是電荷密度 J 就是電流密度（4-81）是物質守恆的結果只對體

積內無 source（生成）or drain（消滅）的東東成立

ex46 Given a vector field ˆ ˆx yA ye xe= minus + (a) Find

Anablasdot (b)如圖一個金字塔狀的 5 面體高 2 底邊長

1計算 A在整個金字塔表面（封閉面）的總通量

解(a) Anablasdot = ( ) ( ) 0y xx ypart part

minus + =part part

(b) 金 字 塔 的 表 面 面 積 元 素 ds 不 好 寫 所 以 用 散 度 定 理

( )S V

A da A dvrArr sdot = nablasdotint int ＝0 Anablasdot 表示 A沒有 source 所以對封閉面而

言有多少場線進入就有多少出去所以總通量＝0

習題 7 With position vector r for an arbitrary volume V that is

bounded by surface S show that 13 S

r ds Vsdot =int

習題 8 已知一靜電場為 ˆ ˆ ˆ( )E xyz yxz zxyλ= + + 運用 Gaussrsquo law

試求包含在半球 2 2 2 2 0x y z R z+ + = ge 裡的總電荷 Ans 0

習題 9 (a) given ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( 2 )F r xf x yf y zf z= + + minus show that divF is

zero at point (c c -c2) (b) given ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( )G r xf x z yg x z zh x y= + +

show that ( ) 0G rnablasdot =

4-49

習題 10 Find the normal vector n for the surfaces (a) z = 2-x-y ans

ˆ ˆ ˆ( ) 3x y z+ + (b) z = (1-x2)12 ans ˆ ˆxx zz+ (c) z = x2+y2

ans ˆ ˆ ˆ( 2 2 ) 1 4xx yy z zminus minus + +

習題 11 Show that the unit vector normal to the plane ax+by+cz =d is

given by 2 2 2ˆ ˆ ˆ( ) ax by cz a b cplusmn + + + +

圓柱座標與球座標的nabla (del)

考慮一純量場在直角座標為 ( ) u x y z 在圓柱座標表為 ( ) u zρ φ

再考慮因位移 r r drrarr + 所造成 u ( )zρ φ 的變化

( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆz

z

u u udu d d dz u dr u d d zdzz

u u z u d d zdz

u d u d u dzρ ϕ

ρ ϕ

ρ ϕ ρ ρ ϕρ ϕρ ϕ

ρ ϕ ρ ρ ϕρ ϕ

ρ ρ ϕ

part part part= + + = nabla sdot = nabla sdot + +part part part

⎡ ⎤= nabla + nabla + nabla sdot + +⎣ ⎦= nabla + nabla + nabla

( ) ( ) ( )1

1ˆ ˆ ˆu

z

u u uu u uz

u u uzz

ρ ϕρ ρ ϕ

ρ ϕρ ρ ϕ

part part partrArr nabla = nabla = nabla =

part part partpart part part

rArrnabla = + +part part part

1ˆ ˆ ˆ zz

ρ ϕρ ρ ϕpart part part

nabla = + +part part part

（4-82）

注意nabla的ϕ -分量( 1ρ ϕ

partpart

)不是像直角座標裡單純的ϕpartpart

所以不要笨笨

的就把直角座標的形式硬套上去用我們也可以從「因次分析」來

看nabla因為是對空間的微分所以每一項的因次必須是「長度分之一」

運算 andzρ

part partpart part

都是「長度分之一」而「單純的ϕpartpart

」是沒有單位的

所以要1ρ ϕ

partpart

才 OK

由於圓柱座標裡的單位向量除了 z 之外 ˆ( )ρ ϕ 與 ˆ( )ϕ ϕ 都不是常

4-50

數所以在微分時不可以與微分運算交換而要考慮微分的作用所

以在「圓柱座標」寫「散度」 ( ) F zρ ϕnablasdot 也和直角座標不一樣

( )1ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ zF z F F zFz ρ ϕρ ϕ ρ ϕ

ρ ρ ϕpart part part⎛ ⎞

nabla sdot = + + sdot + +⎜ ⎟part part part⎝ ⎠

( ) ( )1ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆz zF F zF F F zFρ ϕ ρ ϕρ ρ ϕ ϕ ρ ϕρ ρ ϕpart part

= sdot + + + sdot + +part part

( )ˆ ˆˆ ˆ zz F F zFz ρ ϕρ ϕpart

+ sdot + +part

因為 ( ) ( )ˆ ˆ ˆ ˆ ρ ρ ϕ ϕ ϕ ϕ= = 所以做 andzρ

part partpart part

時 ˆ ˆ ρ ϕ 可視為常數

ˆ ˆ1ˆ ˆ ˆ zF F F FF F Fz

ρ ρ ϕρ φ

ρ ϕϕ ρ ϕρ ρ ϕ ϕ ϕ ϕ

part part part⎡ ⎤part part partrArrnablasdot = + sdot + + + +⎢ ⎥part part part part part part⎣ ⎦

還記得 ˆ ˆ ˆ ˆd d d dρ ϕ ϕ ϕ ρ ϕ= = minus 所以 ˆ ˆρ ϕϕpart

=part

ˆ ˆϕ ρϕpart

= minuspart

rArr

( )1 1 1z zF F F FF FF Fz z

ρ ρ ϕ ϕρρ

ρ ρ ρ ϕ ρ ρ ρ ϕpart part part part

nablasdot = + + + = + +part part part part part part

（4-83）

在球座標寫nabla也會遇到相似的問題其根源就是球座標 ( )r θ ϕ 裡

的 θ ϕ 的因次並非長度而三個單位向量 ˆ ˆˆ r θ ϕ（表為 ie ）都是( θ ϕ )

的函數以致

( )ˆ ˆ( ) ( )i ie f e fθ ϕ θ ϕθ θpart part

nepart part

且 ( )ˆ ˆ( ) ( )i ie f e fθ ϕ θ ϕϕ ϕpart part

nepart part

所以nabla也不似在直角座標那麼簡單我們不在這裡推導而是給出一

個歸納的統一的三個座標的結果還記得對每一個座標 iu i = 123

座標的變化 idu 與造成的長度變化 id

i i id h du= 123i = (4-84)

其中 ih 為對應的度量係數(metric coefficient)

4-51

1 2 3

1 1 2 2 3 3

1 1 1ˆ ˆ ˆu u ue e eh u h u h u

part part partnabla equiv + +

part part part （4-85A）

座標 1 2 3 u u u

度量係數

1 2 3 h h h

nabla grad del

直角 x y z

1 1 1 nabla ˆ ˆ ˆx y z

x y zpart part part

equiv + +part part part

圓柱

zρ ϕ

1 1ρ

1ˆ ˆ ˆ z

zρ ϕ

ρ ρ ϕpart part part

nabla equiv + +part part part

球

r θ ϕ

1 sinr r θ

1 1ˆ ˆˆ

sinr

r r rθ ϕ

θ θ ϕpart part part

nabla = + +part part part

（4-85B）

梯度gradient Vnabla grad(V) 散度divergence Anablasdot div( )A

直

角 nablaV ˆ ˆ ˆV V Vx y z

x y zpart part part

= + +part part part

yx zAA AAx y z

partpart partnablasdot = + +

part part part

圓

柱

1ˆ ˆ ˆ V V VV zz

ρ ϕρ ρ ϕpart part part

nabla = + +part part part

( )1 1

1

z

z

A AA Az

A A A Fz

ϕρ

ρ ρ ϕ

ρρ ρ ρ ϕ

ρ ρ ρ ϕ

partpart partnabla sdot = + +

part part partpart part part

= + + +part part part

球

1 1ˆ ˆˆ sin

V V VV rr r r

θ ϕθ θ ϕ

part part partnabla = + +

part part part

22

1 ( )rA r Ar r

partnabla sdot =

part

1 (sin )sin

Ar θθ

θ θpart

+ sdotpart

1sin

Ar

ϕ

θ ϕpart

+part

(4-86)

Ex47 Using spherical coordinate show that 1| |r r

nablaminus

= 2

ˆ| |

r rer r

minusminusminus

where

nabla是作用在 r 而 ˆr re minus 是向量 r rminus 方向的單位向量 解let r lies in z-axis so that the angle between r and r is just θ

4-52

rArr ( ) 122 21 1 2 cos | | ( ) ( )

r rr rr r r r r r

θminus

= = minus +minus minus sdot minus

( ) ( )12 122 2 2 21 1ˆˆ 2 cos 2 cos | |

r r rr r r rr rr r r r

θ θ θθ

minus minuspart partnabla = minus + + minus +

minus part part

( ) 322 21ˆ 2 cos (2 2 cos )2

r r rr r r rθ θminusminus

= minus + minus

( ) 322 21ˆ 2 cos (2 sin )2

r rr r rrθ θ θminusminus

+ minus +

3 3 3 3

ˆˆ ˆ( cos ) sin ( cos sin )ˆˆ| | | | | | | |r r r rr r rrr r r r r r r r

θ θ θ θ θθminus minus minus minus minus= + = +

minus minus minus minus

3 3 3ˆ ( )

| | | | | |r r z r r r rr r r r r rminus + minus + minus minus

= = =minus minus minus

＝ 2

ˆ| |

r rer r

minusminusminus

QED

證明最後我們用到 ˆˆˆ cos sinz r θ θ θ= minus 而 ˆ r r z= 因為我們選了 r 是

躺在 z-軸 Ex48 For arbitrary scalar field ( )f r and vector field ( )A r 證明恆等式

( )fA f A f Anablasdot = nabla sdot + nablasdot (4-87) 解 ˆ ˆ ˆx y zfA xfA yfA zfA= + +

( ) ( ) ( ) ( )x y zfA fA fA fAx y zpart part part

rArrnablasdot = + +part part part

yx zx x x

AAf f f AA f A f A fx x y y z z

partpartpart part part part= + + + + +part part part part part part

yx zx y z

AAf f f AA A A fx y z x y z

part⎛ ⎞partpart part part part= + + + + +⎜ ⎟part part part part part part⎝ ⎠

f A f A= nabla sdot + nablasdot QED 習題 12 一個位於原點的電偶極電偶極矩＝ ˆp pz= 已知其在遠處

的電位為 20

cos4p

rθ

πε試證該處的電場強度為 E = 3

0

ˆˆ( 2cos sin )4

p rr

θ θ θπε

+

(已知 E V= minusnabla )並請計算 Enablasdot ＝

習題 13 給定一向量場2

3cosˆD r

rϕ

= 現有兩個球心在原點的同心球

內球半徑 R＝1外球 R＝2(a)求面積分S

D dssdotint S 為同心球殼的表

面（有內外兩個面）(b)求體積分V

Ddvnablasdotint V 為兩同心球之間的

區域本題也是來 check 散度定理的Ans πminus

4-53

The Laplacian operator 2nabla equivnablasdotnabla

在直角座標可以用直接作用得到

2 2 2

22 2 2u u uu u

x y zpart part part

nabla equiv nablasdotnabla = + +part part part

(4-88)

圓柱座標

2 2

22 2 2

1 1( ) u u uu uz

ρρ ρ ρ ρ ϕ

part part part part⎛ ⎞nabla equiv nablasdot nabla = + +⎜ ⎟part part part part⎝ ⎠

(4-89)

球座標

2

2 22 2 2 2 2

1 1 1sinsin sin

u u uu rr r r r r

θθ θ θ θ ϕ

part part part part part⎛ ⎞ ⎛ ⎞nabla = + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟part part part part part⎝ ⎠ ⎝ ⎠ （4-90）

習題 14 verify (4-89) and (4-90)

習題 15 Given a dipole potential V= 20

cos4p

rθ

πε find 2Vminusnabla

sect 433 Line integral and curl A 線積分與與旋度的物理意義

線積分路徑積分

考慮一曲線 C 通過兩點 ( )i i i iP x y z 與

( )f f f fP x y z 現有一向量場 ( )A x y z 定義在

C 所在的空間若 sd 為 C 上位於(xyz)點的

「路徑元素」（ ˆd td= 方向沿該處切線）而

( )A x y z 為路徑元素d 處的場值則沿 C 經歷各點所做積分

cos cosf

CC C iA d Ad A dϕ ϕrarr rarrsdot = =int int int （4-91）

稱為向量場 ( )A x y z 沿路徑 C 自 pi 至 pf 的「線積分」「或「路徑積分」

積分裡 A 取值的點侷限在路徑 C 上面若為一個「封閉路徑」則對

C 的線積分也稱做「環路積分 closed contour integral」記做

C

A dsdotint （4-92）

4-54

物理量「做功」是最標準的線積分之一力 F 自 x = a 至 x = b「沿線」

x 軸做功

W＝ F dxsdotint ＝ ( )b

xaF x dxint （4-93）

質點在力場 )(rF 裡走一條曲線 C則力場做功

CW F d= sdotint （4-94）

還記得如果 ( )F r 是所謂「保守力」則上式只與始末點有關而與

路徑無關但如果 ( )F r 是所謂「非保守力」則做功與確實的路徑 C

有關

現考慮一質點在空間運動的位置 r 落在由曲線 C

描述的路徑則質點的位移元素與曲線 C 的路徑元

素相同 d dr= 若空間有向量場 A 分佈則 A 在 C 的

路徑積分以直角座標表示為

CA drarr rarrsdotint ＝

CA d rrarr rarrsdotint ＝ ( )x y zC

A dx A dy A dz+ +int （4-95）

上式中的 x y z 的積分限由 C 決定

Ex49 2 2 2ˆ ˆ ˆA xx yy zzrarr= + + 選定一路徑 C 為曲線

2y x= 由 (000)到 (2 20)的部分求C

A dsdotint

解 ˆ ˆd xdx ydy= +∵

CA dsdotint ＝ 2 2( )

Cx dx y dy+int ＝

2 22 2

0 0x dx y dy+int int

＝ )24(32

+

或由 2y x= rArr 2ydy dx= 2 12

y dy xdxrArr =

rArrC

A dsdotint ＝2 2

0

1( )2

x x dx+int ＝2 (4 2)3

+

4-55

ex50 ˆ ˆ( )f x y z xy yx= minus Do C

f dsdotint 其中的路徑 C 為一逆時針三角

形如圖 解∵路徑全部在 x-y 平面 ˆ ˆ ˆd td xdx ydy= = +

rArrC

f dsdotint ＝ x yC

f dx f dy+int ＝C

ydx xdyminusint

由於在 C1 上 y = 0 及 dy = 0 所以 01

=intC 又由於在

C3 上 x = 0 及 dx =0所以 03

=intC 所以只剩下 C2 可

能有貢獻由 2C 的方程式x + y =1rArr ⎩⎨⎧

minus=minus=

xyyx

11

rArr2Cydx xdyminusint ＝

0 1

1 0(1 ) (1 )x dx y dyminus minus minusint int ＝

0 12 2

1 0

( ) ( )2 2x yx yminus minus minus ＝-1

Cf dsdotint ＝-1

ex51 ( )f x y zrarr

= 2ˆ ˆxx yxyminus 如右圖doC

f dsdotint 其

中路徑 C 為第一象限的逆時針 14 圓弧

解∵ 全部在 x-y 平面 ˆ ˆd xdx ydy= +

Cf dsdotint ＝ 2

Cx dx xydyminusint

由於在 C 上 cosx R ϕ= rArr sindx R dϕ ϕ= minus

siny R ϕ= rArr cosdy R dϕ ϕ=

rArr 2

Cx dx xydyminusint ＝

2 2 2 2

0cos ( sin ) sin cos cosR R d R R d

πϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕminus minus sdotint

23 2

02 cos sinR d

πϕ ϕ ϕ= minus int ＝

323Rminus

又路徑為圓周一部份所以適合用極座標表示

ˆd Rdϕ ϕ= 又由左圖將 ˆ ˆx y 拆解（投影）到 ˆˆr ϕ

ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆcos sin sin cosx r y rϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ= minus = +

4-56

( )2ˆ ˆ ˆˆ ˆ( cos sin ) ( sin cos )C C

f d r x r xy Rdϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕsdot = minus minus + sdotint int 2

2 2 2

0

sin (cos )

sin ( cos ) (cos ) cos sin

Cx Rd xyRd

R Rd R Rdπ

ϕ ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ

= minus minus

= minus minus

intint

23 2

02 cos sinR d

πϕ ϕ ϕ= minus int ＝

323Rminus

這也驗證了散度定理

Path Independence 路徑獨立性

Ex52 證明庫倫力為「保守力」考慮

電荷 q0 位於原點及電荷 q 位於

( )r x y zrarr= q 受力 F

rarr＝ 0

20

14

qq urπε

and

求庫侖力作功因為球形對稱所以

用球座標由 ˆ ˆ ru rr

= = rArr Frarr

= 03

04qq r

rπε

庫侖力由 P1 至 P2 做功為 2

1

P

CPF drarrsdotint ＝

2

1

02

0

ˆ ˆ ˆˆ sin4

P

PC

qq r rdr rd r dr

θ θ ϕ θ ϕπε

⎡ ⎤sdot + +⎣ ⎦int ＝2

1

02

04P

P

qq drrπεint

＝20

2104

r

r

qq drrπε int ＝ 0

0 1 2

1 1( )4qq

r rπεminus for all C

所以庫侖力兩點間做功與路徑無關rArr保守力

對於「保守力 conservative force」 cF 自 p1 經

由兩條不同的路徑 C1 與 C2 到達 p2

1 ccF drarrsdotint ＝

2 ccF drarrsdotint ＝-

2 ccF drarr

minussdotint

rArr1 2c cc cF d F drarr rarr

minussdot + sdotint int = cF d

rarrsdotint ＝0 (4-96）

對於任何「封閉路徑」保守力做功為 0反之若

對任一封閉路徑 0F drarrsdot neint 則兩點之間的做功與路徑有關

rarr

F 為「非

保守力」

4-57

旋度 curl Anablatimes 的幾何物理意義

我們在（4-70）式已經看過旋度的計算方式但旋度另有其意義的

ex53 給定向量場2 2

0ˆ yv yv e λrarr

minus= 左圖為場的分佈

2 20

ˆ ˆ ˆ

0 0x y z

y

x y zcurl v

v e λ

rarr

minus

= part part part ＝ ˆ ˆ ˆ0 0 0 0x y zsdot minus sdot + sdot =

我們用了簡寫 x yx ypart part

part equiv part equivpart part

可以看出這個場裡沒有「漩渦」

但是有無「漩渦」有時也不是那麼明顯可以看出的請見下一個例子

Ex54 給定向量場2 2

0ˆ xv yv e λrarr

minus= 計算其旋度 vnablatimes

解向量場 vrarr

畫在右邊你看得出有無漩渦

先計算旋度

2 20

ˆ ˆ ˆ

0 0x y z

x

x y zcurl v

v e λ

rarr

minus

= part part part2 2

2 2

0

0

ˆ

ˆ 2 0 0

x

x

z v ex

z v xe for x

λ

λ

minus

minus

part=

part

= minus ne ne

vrarr

的旋度在大部分的地方不為 0 且隨位置而不同但是你看得出這個

向量場裡有「漩渦」其實要檢驗一個向量場裡有無「漩渦」有一

個很物理的方法就是放一個小「螺旋槳」（左圖）

在場內將軸朝各個方向測試一

下如果有「漩渦」的話這個

小「螺旋槳」就會轉動右圖就是將「螺旋槳」的

軸平行於 z 軸且放在 x gt 0 的地方就可以看出左

邊的 v 場比右邊的強造成螺旋槳順時針轉動rArrcurlv zminus for x gt 0

但如果放在 x = 0 的地方就會看到左右兩端的 v 場強度相同而且

4-58

curlv = 0 「螺旋槳」放在 x lt 0 的地方就可以看出右邊的v 場比左

邊的強造成螺旋槳逆時針轉動這完全符合 curl v k+ 的結果

環路積分與旋度 curl 的物理意義

如同「散度」一樣「旋度」除了 Ftimesnabla 之外

還有一個物理意義更清楚的定義這個定義由

「線積分」說明如圖考慮做「逆時針」長方形

路徑 C1 的一個「環路積分」C1 面平行於 x-y 平

面由 z-軸看下去環路 C1 可以分為可以分為

下 CB上 CT右 CR左 CL 4 部分

CA drarrsdotint ＝

B T L RC C C CA d A d A d A drarr rarr rarr rarrsdot + sdot + sdot + sdotint int int int

分別計算由於 CB 的中點座標為 ( )2yx y zΔ

minus

ˆB BC C

A d A xdxrarr rarrsdot = sdot =int int

BxC

A dxint ( )2xyA x y z xΔ

asymp minus Δ

similarly 由於 CT 的中點座標為 ( )2yx y zΔ

+

ˆ( )T TC C

A d A xdxrarr rarrsdot = sdot minus =int int

TxC

A dxminusint ( )2xyA x y z xΔ

asymp minus + Δ

合併 CB 與 CT

B TC CA drarr

+sdot =int

( ) ( )2 2x xy yA x y z A x y z

x yy

Δ Δ⎡ ⎤minus + minus minus⎢ ⎥⎣ ⎦ Δ ΔΔ

（4-97）

由 C1 所圍的面積 S x yΔ = Δ Δ

1B TC C

A dS

rarr

+sdot =

Δ int( ) ( )

2 2x xy yA x y z A x y z

y

Δ Δ⎡ ⎤minus + minus minus⎢ ⎥⎣ ⎦Δ

（4-98）

所以當取極限 C1 收縮到中心(xyz)時 SΔ 收縮到 0ie

4-59

0limsΔ rarr

1B TC C

A dS

rarr

+sdot =

Δ int xAy

partminuspart

（4-99）

Similarly with CR 的 ˆd ydy= CL 的 ˆd ydy= minus 可得

1L RC C

A dS

rarr

+sdot =

Δ int x

zyxxFzyxxF yy

Δ

Δminusminus

Δ+ )

2()

2(

（4-100）

同樣的當取極限 C1 收縮到中心(xyz)時 SΔ 收縮到 0

0

limsΔ rarr

1L RC C

A dS

rarr

+sdot =

Δ int yAx

partpart

（4-101）

最後合併 CBCTCRCL 為 C1

10

1limCs

A ds

rarr

Δ rarrsdot =

Δ int y xA Ax y

part partminus

part partˆ ( ) ( )zz A A= sdot nablatimes = nablatimes （4-102）

注意 C1 的方向就是在 z 上式的重要

意義是當向量場 A 在一個以點(xyz)為

中心「方向為 z 」的面積元素的「邊界」

所做的環路積分得到的就是 A 在(xyz)

處旋度的 z-分量明顯的只有當 A 在

(xyz)附近有 x-y 平面上的「漩渦」那麼 C1 的環路積分才不會為 0

Similarly 取一個逆時針繞著(xyz)的平行於 x-z 平面的長方形環路 C2

（左圖）做環路積分再取極限將 C2 收縮到(xyz)就會得到

20

1limCs

A ds

rarr

Δ rarrsdot =

Δ int x zA Az x

part partminus

part partˆ ( ) ( )yy A A= sdot nablatimes = nablatimes （4-103）

注意到 C2 所包圍的面積方向就在 y到

現在我們應該已經很有經驗了若取一

個逆時針繞著(xyz)的平行於 y-z 平面

的長方形環路 C3（左圖）做環路積分

再取極限將 C3 收縮到(xyz)就會得到

4-60

30

1limCs

A ds

rarr

Δ rarrsdot =

Δ int yz AAy z

partpartminus

part partˆ ( ) ( )xx A A= sdot nablatimes = nablatimes （4-104）

能把（4-103）與（4-104）變出來的同學我們有優待綜合以上

我們可以得到一個結論若取一個以點(xyz)為中心的任意環路 Cn（其

所包圍的面積方向在 n ）則

n curl Aand rarrsdot ＝

0

1lims

Cn

A ds

rarr

Δ rarrsdot

Δ int （4-105）

明顯的當 n ＝ x 或 y 或 z 時我們可以重複（4-102）到（4-104）的

結果（4-70）式的行列式所定義的旋度在此看見其幾何物理意義

至此「旋度」的「漩渦」形象應該已經很清楚了只有在(xyz)點附

近的小圈圈上有「漩渦」 A 在小圈圈做的環路積分才會有值這個

值就是向量場 A 的「旋度」在小圈圈面積方向的分量

Stokersquos 定理

考慮一個開放面 S被其「有方向的」邊界 C 圈住(bounded by)則

( )S

A dsrarr rarrnablatimes sdotint ＝

C

A drarrsdotint （4-106）

pf 先將 S 面分割為 N 個多邊形這會使得邊界變成一個「折線」形

成的環路 P環路 P 會隨著分割的多邊形個數的增多而越加近似於原

「光滑的」邊界 C現考慮相鄰的

兩個多邊形的線積分由於共用邊

的方向是相反的所以相鄰兩個多

邊形線積分的和只剩「外邊界」（見左圖）所以當把所有的多邊形的

4-61

線積分加起來時由於只有邊界 P 不是多邊形的共用邊所以

1k

N

k C

A drarr

=

sdotsum int ＝P

A drarrsdotint rArr

P

A drarrsdotint ＝

1

1

k

N

kk k C

A d l ss

rarr rarr

=

⎡ ⎤sdot Δ⎢ ⎥

Δ⎢ ⎥⎣ ⎦sum int

其中 ksΔ 為第 k 個多邊形的面積取極限 0kN srarrinfinrArrΔ rarr P CrArr rarr

C

A drarrsdotint ＝

10

1limkk

N

kN k k Cs

A d ss

rarr

rarrinfin=Δ rarr

⎡ ⎤sdot Δ⎢ ⎥

Δ⎢ ⎥⎣ ⎦sum int 01

ˆlim ( )k

k kskn A s

infin

Δ rarr=

⎡ ⎤= sdot nablatimes Δ⎣ ⎦sum

01

ˆlim ( )k

k kskA n s

infin

Δ rarr=

= nablatimes sdot Δsum = ( )S

A dsrarr

nablatimes sdotint QED

ex55 由 Amperersquos law 的積分形式導出其微分形式

解Amperersquos law 的積分形式 C

B drarrsdotint ＝ I0μ (4-107)

由 Stokersquos 定理及電流密度 j 的定義上式等號兩端可寫為

rArr ( )S

B dsrarr rarrnablatimes sdotint ＝ 0 S

j dsμrarrsdotint

由於上面的等式對任意面 S（路徑 C）都成立所以被積函數相等

0B jμrarr rarr rarr

rArrnablatimes = (4-108) 此即 Amperersquos law 的微分形式

Ex56 Given a vector field ˆ ˆx yA ye xe= minus + (a) Find Anablatimes

解

ˆ ˆ ˆˆ ˆ(1 ( 1) 2

0x y z

x y zA z z

y xnablatimes = part part part = minus minus =

minus

(b)如圖一個金字塔狀的 5 面體高 2底邊長＝1計算 ( )S

A dsnablatimes sdotint

其中 S 為金字塔在 x-y 平面以上的部分方向如同

封閉的金字塔（運用 Stokersquos law）

解金字塔上表面的面積元素ds 不好寫由 Stokersquos

4-62

law ( )S

A dsrarr rarrnablatimes sdotint ＝

C

A drarrsdotint 其中封閉路徑 C 就是上表面的邊界而且

是逆時針（由 z 軸向下看）

C

A drarrsdotint ＝

1 1 0 0

0 0 1 1ˆ ˆ ˆ ˆA xdx A ydy A xdx A ydysdot + sdot + sdot + sdotint int int int

＝1 1 0 0

0 0 1 1x y x yA dx A dy A dx A dy+ + +int int int int 1 1 0 0

0 0 1 1( 0) ( 1) ( 1) ( 0)y dx x dy y dx x dy= minus = + = + minus = + =int int int int

0 1 1 0 2 ( ) 2S

A ds= + + + = rArr nablatimes sdot =int

旋度與 path independence

已知保守場 cF 對所有封閉路徑 C 0cC

F drarrsdot =int 由 Stokersquos 定理

0cC

F drarrsdot =int ＝ ( )cS

F dsrarr rarrnablatimes sdotint rArr 0cF

rarr rarrnablatimes =

這表示保守場＝無旋度反之無旋度的場任兩點間路徑積分與路

徑無關

Ex57 Given a field 2 2ˆ ˆ ˆ2A x xy yx zz= + minus (a) Find Anablatimes A 保守場

解2 2

ˆ ˆ ˆ

2x y z

x y zA

xy x znablatimes = part part part

minus

( ) ( ) ( )2 2 2 2ˆ ˆ ˆ( ) 2 ( ) 2 0y z z x x yx z x y xy z z x xy= part minus minuspart + part minuspart minus + part minuspart =

yes A =保守場

(b)如左圖由 A 到 B 做路徑積分A BC

A drarr

sdotint 路徑 C 為橢圓

22 1

16yx + = 在 x-軸以上的部分

解橢圓部分的路徑元素 d 有點麻煩但因為 A

為保守場所以 A 到 B 做路徑積分可以用 x = -1 到

1 的積分取代

4-63

01 1 1

1 1 1ˆ 2 0

yB

xAA d A xdx A dx xydx

=

minus minus minussdot = sdot = = =int int int int

∵

旋度在柱座標與球座標

前面討論過nabla在不同座標系的寫法旋度也有歸納出的一致寫法

座標 1 2 3 u u u

度量係數

1 2 3 h h h

nabla grad del

直角 x y z

1 1 1 nabla ˆ ˆ ˆx y z

x y zpart part part

equiv + +part part part

圓柱 zρ ϕ

1 1ρ

1ˆ ˆ ˆ zz

ρ ϕρ ρ ϕpart part part

nabla equiv + +part part part

球 r θ ϕ

1 sinr r θ

1 1ˆ ˆˆ sin

rr r r

θ ϕθ θ ϕ

part part partnabla = + +

part part part

所以柱座標與球座標的旋度分別表為

柱座標

ˆ ˆ ˆ1

z

z

Az

AA Aρ ϕ

ρ ρϕ

ρ ρ ϕρ

part part partnablatimes =

part part part （4-109）

球座標 2

ˆ ˆˆ sin1sin

sinr

r r r

Ar r

A rA r Aθ ϕ

θ θϕ

θ θ ϕθ

part part partnablatimes =

part part part （4-110）

ex58 (a) Given the vector function ˆA ϕ= sin (ϕ 2) find Anablatimes

解 2

ˆ ˆˆ sin1sin

0 sin( 2) 0

r r r

Ar r

r

θ θϕ

θ θ ϕϕ

part part partnablatimes =

part part part

4-64

21 ˆˆ cos sin sinsin 2 2 2

rr rr

ϕ ϕθϕθ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

ˆˆ cos sin2 sin 2 2

rr r

ϕ ϕ ϕθ

minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

(b)如左圖一個底面在 x-y 平面半徑＝1高＝2 之圓錐 求面積分

SA dsnablatimes sdotint 面積範圍 S 為圓錐在 x-y 平面以上

部分 方向為由圓錐內向外

解由 Stokersquos law ( )S

A dsrarr rarrnablatimes sdotint ＝

C

A drarrsdotint 其中路

徑 C 為 x-y 平面圓心在原點之單位圓 ˆ ˆd rd dϕ ϕ ϕ ϕ= =

2

0ˆ ˆsin sin

2 2C

d dπϕ ϕϕ ϕ ϕ ϕ⎛ ⎞ ⎛ ⎞sdot =⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠int int ( )0

2 sin u duπ

= int 0cos | 2u π= minus =

習題 16 磁場 B 因為不是保守場所以沒有對應的純量位而對應一

個向量位 A (vector potential)而 B A= nablatimes 一個磁鐵的磁偶極矩

ˆm mz= 被置於原點已知在遠處的 vector potential 03ˆ sin

4mAr

μϕ θπ

=

計算該處的磁場 B Ans 03

ˆˆ( 2cos sin )4

mB rr

μ θ θ θπ

= + 與電偶極遠處

的電場形式一致都是偶極(dipole) 選幾個點畫一畫該處的場向量

把磁力線描出來

附錄本章講義的內容有部分可以經由直接計算得出列在附錄做為

參考

用「圓柱座標」寫 Atimesnabla

Ararr rarrnablatimes ＝ ( )1ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ zz A A zA

z ρ φρ ϕ ρ ϕρ ρ ϕpart part part⎛ ⎞+ + times + +⎜ ⎟part part part⎝ ⎠

4-65

因為rdquo sdotrdquo與rdquotimes rdquo都是向量間的運算所以

＝ ( )ˆ ˆ ˆ ˆ zA A zAρ φρ ρ ϕρpart

times + +part

＋ ( )1ˆ ˆ ˆ ˆ zA A zAρ φϕ ρ ϕρ ϕ

parttimes + +

part

＋ ( )ˆ ˆˆ ˆ zz A A zAz ρ φρ ϕpart

times + +part

直接做上式微分可以得到

＝1ˆ z AA

zϕρ

ρ ϕpart⎛ ⎞part

minus⎜ ⎟part part⎝ ⎠＋ ˆ zA A

zρϕ

ρpart⎛ ⎞part

minus⎜ ⎟part part⎝ ⎠＋

1 1ˆ ( )A

z A ρϕρ

ρ ρ ρ ϕpart⎛ ⎞part

minus⎜ ⎟part part⎝ ⎠

上式可以用一個行列式來表示

rarrrarr

timesnabla A＝

ˆ ˆ ˆ1

z

z

zA A Aρ ϕ

ρ ρϕ

ρ ρ ϕρ

part part partpart part part

（A-1）

A and Anabla nablasdot nablatimes in 球座標 spherical coordinate

如上圖球座標 )( ϕθr 其中 )0[ infinisinr ]0[ πθ isin ]20[ πϕ isin 只有 r

是長度而 ϕθ 為角度是用來說明方向的三個座標的單位向量 ˆ ˆˆ r θ ϕ 具

有下列性質

4-66

1 如上圖 ˆ ˆˆ r θ ϕ 都不是常數而是（ ϕθ ）的函數

ˆ ˆ( )ˆ ˆ( )ˆ ˆ( )

r r θ ϕ

θ θ θ ϕϕ ϕ ϕ

⎧ =⎪

=⎨⎪ =⎩

)( ϕθr 與(xyz)之間的轉換如下

sin cossin sincos

x ry rz r

θ φθ φθ

=⎧⎪ =⎨⎪ =⎩

( )122 2 2

2 2

tan

tan

r x y z

x yz

yx

θ

φ

⎧ = + +⎪⎪ +⎪ =⎨⎪⎪ =⎪⎩

（A-2）

2 ˆ ˆˆ r θ ϕ 形成一「歸一正交集」ie

ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ 1r r θ θ ϕ ϕsdot = sdot = sdot = ˆ ˆr θ ϕperp perp

ˆ ˆr θ ϕtimes = ˆ ˆ rθ ϕtimes = ˆˆ rϕ θtimes = （A-3）

3可以很容易的由他們在 xyz 軸上的投影由直角

座標的 ˆ ˆ ˆ x y z 表出

ˆ ˆ ˆ ˆsin cos sin sin cos ( 4 )ˆ ˆ ˆ ˆcos cos cos sin sin ( 4 )ˆ ˆ ˆsin cos ( 4 )

r x y z A a

x y z A bx y A c

θ φ θ φ θ

θ θ φ θ φ θϕ φ φ

= + + minus⎧⎪

= + minus minus⎨⎪ = minus + minus⎩

4 ˆdr = 由於 ˆ ˆ( )r r θ φ= 所以由 ϕθ 的變動來看

4-67

ˆ ˆˆ| |ˆ ˆˆ| | sin sin

d r d d

d r d d

θ θθ θθ

φ θ φφ θ φφ

⎧ rArr =⎪⎨

rArr =⎪⎩rArr ˆ ˆˆ sindr d dθ θ φ θ φ= + （A-5）

rArrˆ ˆr θθpart

=part

ˆ ˆsinr θφφpart

=part

（A-6）

（A-6）的結果也可以直接由（A-4a）對 ϕθ 偏微得到

5 ˆdθ ＝ 由於 ˆ ˆ( )θ θ θ φ= 所以由 ϕθ 的變動來看

ˆ ˆ ˆ| | ( )ˆ ˆ ˆ| | cos cos

d d r d r

d d d

θ θ θ θ

φ θ θ φφ φ θ φ

⎧ rArr minus = minus⎪⎨

rArr =⎪⎩rArr ˆdθ ＝ ˆˆ cosrd dθ φ θ φminus + （A-7）

ˆrθ

θpart

rArr = minuspart

ˆ ˆcosθ φ θφpart

=part

（A-8）

請直接由（A-4b）對 ϕθ 偏微的結果 check（A-8）

6 ˆdφ ＝由於φ )(ϕ 躺在 x-y 平面上變動φ時的方向可能不是那麼

容易看出來所以做圖看一看

ie ˆ ˆˆ(sin ) (cos )d r d dφ θ φ θ θ φ= minus minus （A-9）

4-68

ˆ ˆˆsin cosrφ θ θ θφpart

= minus minuspart

7 所有的向量 ˆ ˆˆ rA rA A Aθ φθ φrarr= + +

8 位置向量 ˆr rrrarr=

可以由左圖 ˆ ˆˆ r θ ϕ 三個方向的「長度

變化」輕易的看出

9 位移元素

ˆ ˆˆ ˆ sindr rdr rd dθ θ ϕ θ φ= + + (A-10)

10 體積元素

sindv dr r d rdθ φ θ= sdot sdot

＝ 2 sinr dr d dθ θ φ (A-11)

11 面積元素 2 sinrds r d dθ θ φ= plusmn sinds r drdθ θ φ= plusmn ds rdrdφ θ= plusmn (A-12)

plusmn號表示面的垂直方向有兩個端看 ds 周邊的方向是如何定的

nabladel 考慮 ( )u u r θ φ=

rArru u udu dr d dr

θ φθ φ

part part part= + +part part part

u d rrarr rarr

equiv nabla sdot

urarr

= nabla sdot ˆ ˆˆ( sin )rdr rd dθ θ φ θ φ+ +

rArr1 1ˆ ˆˆ

sinu u uu rr r r

θ ϕθ θ φ

rarr part part partnabla = + +

part part part

1 1ˆ ˆˆsin

rr r r

θ ϕθ θ φ

rarr part part partnabla equiv + +

part part part （A-13）

4-69

直接用（A-13）與 ˆ ˆˆ rA rA A Aθ φθ ϕrarr= + + 逐項內積加上（A-678）

rArr ϕθ

θθθ

ϕθ part

part+

partpart

+partpart

=sdotnablararrrarr A

rA

rAr

rrA r sin

1)(sinsin1)(1 2

2 （A-14）

（A-13）與 ϕθ ϕθ AAArA r

andandandrarr

++= 逐項外積整理之後

ϕθ θϕθ

ϕθθ

θArrAA

r

rrr

rA

r sin

sin

sin1

2 partpart

partpart

partpart

=timesnabla

andandand

rarrrarr

（A-15）

Laplacian uu nablasdotnabla=nabla2

2

2

2222

22

sin1)(sin

sin1)(1

ϕθθθ

θθ partpart

+partpart

partpart

+partpart

partpart

=nablau

ru

rrur

rru （A-16）

B推導「散度」在圓柱座標的寫法

讓我們先回顧一下在直角座標裡的「面積元素」可以由「位移元素」

得到

ˆˆ ˆ x y zdr idx jdy kdz da dydz dxdz dxdy= + + rArr =

比照辦理「圓柱座標」的位移元素

( )ˆˆ ˆ( )

( )z

da d dzdr d d zdz da d dz

da d d

ρ

φ

ρ φ

ρ ρ φ ρ φ ρ

ρ ρ φ

=⎧⎪= + + rArr =⎨⎪ =⎩

這個結論可以輕易的由面積元素在垂直於 zˆˆ ϕρ 三個方向的面積看

出如下圖考慮一個以 )( zϕρ 為中心的「圓柱體積元素」(cylindrical

cubiod)體積為 zdV ΔΔ=Δ ϕρρ 現計算在 ρ

方向的 12 兩個平行面(方向各為 ρplusmn )的通

量

4-70

zzF

dsFdsnFS S

ΔΔ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

+cong

=sdotintint intintϕρρϕρρρ

ρ

2

2

ˆ1 1

zzF

dsFdsnFS S

ΔΔ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

minus⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

minusminuscong

minus=sdotintint intintϕρρϕρρρ

ρ

2

2

ˆ2 2

intint+

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

minus⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

minusminus⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

+Δ

asympsdotΔ

rArr21

22

22

1ˆ1

SS

zFzFdsnFV

ϕρρρρϕρρρρρρ ρρ

( ) ( )

1 20

0

0

1 ˆlim

1lim 2 2 2 2

1 1lim 2 2

1

VS S

F ndsV

F z F z

F z F z

F

ρ ρρ

ρ ρρ

ρ

ρ ρ ρ ρρ ρ φ ρ ρ φρ ρ

ρ ρρ ρ φ ρ ρ φρ ρ

ρρ ρ

Δ rarr+

Δ rarr

Δ rarr

rArr sdotΔ

Δ Δ Δ Δ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + + minus minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥Δ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦Δ Δ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥Δ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

part ⎡ ⎤= ⎣ ⎦part

intint

娛樂一下用上述方式把圓柱的 Fsdotnabla 裡的z

FF z

partpart

+partϕρϕ1

變出來

球座標的nabla和 Fsdotnabla 也可以試試看

補充習題

H M Scheydiv grad curl and all that 4th edition

第二章習題 6 8 9 10 11 14 15 16 18 19 21 22 23 25 26 27

第三章習題 2 3 5 6 7 8 9 10 11 14 15 17 18 19 24

4-44

1 2 3 4 5 6

ˆ ˆ ˆ ˆS S S S S S S

F nds F nds F nds F nds+ + +

rArr sdot = sdot + sdot + sdotint intint intint intint

0

1 ˆlim yx zV

FF FF nds div F FV x y zΔ rarr

partpart partrArr sdot = + + = = nablasdot

Δ part part partint (4-78)

在此我們得證這兩種「散度」的定義是等價的只是（4-77）的定義

充分的表現出「散度」的幾何物理意義他從通量著手由於場線

出自於 source（ex電場源自於點電荷）所以在點(xyz)必須有向量場

F 的 source 存在才能使得當面積縮到 0 時仍具有非 0 的通量所以「散

度」表現向量場 F 的 source 在這個定義之下是很清楚的當然在計算

「散度」時我們不必那麼麻煩用 divF F= nablasdot 就好了

Ex41 計算 2ˆ ˆ ˆF xx yxy zyz= + + 的散度

解 2 yx zFF Fx x yx y z

partpart part= = =

part part part F 2x x y 3x ydivrArr = + + = +

recall 在靜電學0

yx zEE EEx y z

ρε

partpart partnablasdot = = + +

part part part

散度定理 Divergence Theorem

若任意封閉面（又稱為「高斯面」）S 所包圍的

體積為 V 則

S VA ds Adτsdot = nablasdotint int （4-79）

pf 我們先將體積分割成 N 個小盒子考慮相鄰的兩個小盒子 1 2

兩小盒子的共用面面積 S0當 S0 是為 1 號盒子的一部份時其方向為

1n 但若當為 2 號盒子的表面時其方向為 12 ˆˆ nn minus= 如此在 S0 分別做

4-45

1 2 盒子的面積分後

0 0

0 0 0 0

1 2

1 2 1 1ˆ ˆ ˆ ˆ 0

S S

S S S S

A ds A ds

F n ds F n ds F n ds F n ds

sdot + sdot

= sdot + sdot = sdot minus sdot =

intint intintintint intint intint intint

所以若求場 A 在 1 2 盒子的總通量時交界面是沒有貢獻的總通量

就只有「外面積」才有貢獻如此我們計算 N 個小盒子的總通量

時所有的內部共用面都得 0只剩下「外表面」的貢獻了當 infinrarrN

時所有小盒子的「總外表面」就與 S 面重合了所以所有小盒子通量

的總和就等於 S 面的通量

1lim

i

N

S SN iA ds A ds

rarrinfin=

rArr sdot = sdotsumint int

現在我們做 N 個小盒子的總通量

1 1

1i i

N N

iS Si i i

A ds A ds VV= =

⎛ ⎞sdot = sdot Δ⎜ ⎟Δ⎝ ⎠

sum sumint int

當 0iN Vrarrinfin rArr Δ rarr 並用 dv 表示體積元素

( ) ( )1 1

1

1lim lim lim

lim

i ii

N N

iS SN N V oi i i

N

i VN i

A ds A ds VV

A V A dv

rarrinfin rarrinfin Δ rarr= =

rarrinfin=

⎛ ⎞sdot = sdot Δ⎜ ⎟Δ⎝ ⎠

= nablasdot Δ = nablasdot

sum sumint int

sum int

( )S V

A da A dvrArr sdot = nablasdotint int QED

所以得證散度定理上式中我們用了散度的（4-77）式定義要分辨

清楚 Anablasdot 是向量場 A 在空間中「某一點」的性質（ 0VΔ rarr ）而「散

度定理」說的是一個「有限體積」的性質

ex42 給定 ( ) ˆ ˆ ˆ A x y z xx yy zz r= + + = 計算在

半徑 R＝1 的球的上半球加底面的通量

4-46

解 ( )ˆˆS

A da A rda A k darArr sdot = sdot + sdot minusint int int上半球面 底面

( )

2

ˆ ˆ

0 2 1 2

A rda A z dxdy

r rds zdxdy rds ds π π

= sdot + sdot minus

= sdot minus = minus = = sdot =

int int

int int int int上半球面 底面

上半球面 底面 上半球面

底面的通量＝0 是因為 A 的 z 分量 Az=z 在底面的值為 0

也可以用散度定理更快的得出結果

∵ 3A rnablasdot = nablasdot =

31 43 3 1 22 3V V

Ad d πτ τ πnablasdot = = sdot sdot sdot =int int

ex43高斯定律的微分形式積 由 Gaussrsquo law 的積分形式用散度定理得出其

( )0 0

1 inS V

qE ds x y z dvρε ε

sdot = =int int

0S V VE ds Edv dvρ

εrArr sdot = nablasdot =int int int

上式最後的等式對「任意形狀」V 都成立所以兩者的被積函數相等

對於空間每一點 0

E ρε

nablasdot = （4-80）

ex44 Use 第一象限的單位力方體 check the divergence theorem using the function 2 2ˆ ˆ ˆ(2 ) 2A y x xy z y yzz= + + +

解2

2( ) (2 )(2 ) 2( )y yzA xy z x yx y z

part part partnablasdot = + + + = +

part part part

and 1 1 1 1 1 1

0 0 0 0 0 02 ( ) 2 ( )

VAdv x y dxdydz dz dy x y dxnablasdot = + = +int int int int int int int

1 1

0 0

1 12 ( ) 2 12 2

dz y dy= + = sdot =int int

面積分 1 1 2

0 0

1ˆ3

A ds A xdydz dz y dysdot = sdot = =intint intint int int前 前

4-47

1 1 2

0 0

1ˆ( )3

A ds A x dydz dz y dy minussdot = sdot minus = minus =intint intint int int

後 後

1 1 2

0 0ˆ (2 )A ds A ydxdz dz xy z dxsdot = sdot = +intint intint int int

右 右

1 1 1 12 2

0 0 0

4(2 ) (1 )3

ydz x z dx dz z

=

= + = + =int int int∵

1 1 2

0 0

0 1 1 12 2

0 0 0

ˆ( ) (2 )

1(1 )3

y

A ds A y dxdz dz xy z dx

dz z dx dz z=

sdot = sdot minus = minus +

minus= minus = + =

intint intint int int

int int int∵

左 左

11 1 1 1

0 0 0 0ˆ 2 2 1

zA ds A zdxdy dx yzdy dx ydy

=sdot = sdot = = =intint intint int int int int

∵

上 上

01 1

0 0ˆ 2 0

zA ds A zdxdy dx yzdy

=sdot = sdot minus = minus =intint intint int int

∵

下 下

前後右左上下六個面積分合併＝1＝V

Advnablasdotint QED

ex45 Continuity Equation 連續方程式

考慮某些「東西」的流動（物質電荷hellip）在時刻 t 時在點(xyz)

的 密 度 為 ( ) x y z tρ ρ= 並 具 有 速 度

( ) v v x y z t= 在時刻 t 時在體積 V 內的總量為

( ) x y z t dρ τintintint

這樣體積 V 內東東的時變率為

( ) ( ) d x y z t d x y z t ddt t

ρρ τ τpart=

partintintint intintint

注意體積分後的時間全微分移入積分內要改為偏微分這個東東

在表面的「流率 flow rate」可表為

ˆS

R v ndsρ= sdotintint

若體積內的物料無法自生自滅那麼體積內物料的變化必經由表面的

流出流入所造成

d v ndstρ τ ρpart

rArr = minus sdotpartintintint intint

由散度定理

4-48

( )ˆS

v nds v d dtρρ ρ τ τpart

sdot = nablasdot = minuspartintint intintint intintint

( )v Jtρ ρpart

rArr = minusnablasdot equiv minusnablasdotpart

0Jtρpart

rArr +nablasdot =part

（4-81）

(4-81) 即 continuity equation其中 J vρ= 為「物流密度」ex如果 ρ

是電荷密度 J 就是電流密度（4-81）是物質守恆的結果只對體

積內無 source（生成）or drain（消滅）的東東成立

ex46 Given a vector field ˆ ˆx yA ye xe= minus + (a) Find

Anablasdot (b)如圖一個金字塔狀的 5 面體高 2 底邊長

1計算 A在整個金字塔表面（封閉面）的總通量

解(a) Anablasdot = ( ) ( ) 0y xx ypart part

minus + =part part

(b) 金 字 塔 的 表 面 面 積 元 素 ds 不 好 寫 所 以 用 散 度 定 理

( )S V

A da A dvrArr sdot = nablasdotint int ＝0 Anablasdot 表示 A沒有 source 所以對封閉面而

言有多少場線進入就有多少出去所以總通量＝0

習題 7 With position vector r for an arbitrary volume V that is

bounded by surface S show that 13 S

r ds Vsdot =int

習題 8 已知一靜電場為 ˆ ˆ ˆ( )E xyz yxz zxyλ= + + 運用 Gaussrsquo law

試求包含在半球 2 2 2 2 0x y z R z+ + = ge 裡的總電荷 Ans 0

習題 9 (a) given ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( 2 )F r xf x yf y zf z= + + minus show that divF is

zero at point (c c -c2) (b) given ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( )G r xf x z yg x z zh x y= + +

show that ( ) 0G rnablasdot =

4-49

習題 10 Find the normal vector n for the surfaces (a) z = 2-x-y ans

ˆ ˆ ˆ( ) 3x y z+ + (b) z = (1-x2)12 ans ˆ ˆxx zz+ (c) z = x2+y2

ans ˆ ˆ ˆ( 2 2 ) 1 4xx yy z zminus minus + +

習題 11 Show that the unit vector normal to the plane ax+by+cz =d is

given by 2 2 2ˆ ˆ ˆ( ) ax by cz a b cplusmn + + + +

圓柱座標與球座標的nabla (del)

考慮一純量場在直角座標為 ( ) u x y z 在圓柱座標表為 ( ) u zρ φ

再考慮因位移 r r drrarr + 所造成 u ( )zρ φ 的變化

( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆz

z

u u udu d d dz u dr u d d zdzz

u u z u d d zdz

u d u d u dzρ ϕ

ρ ϕ

ρ ϕ ρ ρ ϕρ ϕρ ϕ

ρ ϕ ρ ρ ϕρ ϕ

ρ ρ ϕ

part part part= + + = nabla sdot = nabla sdot + +part part part

⎡ ⎤= nabla + nabla + nabla sdot + +⎣ ⎦= nabla + nabla + nabla

( ) ( ) ( )1

1ˆ ˆ ˆu

z

u u uu u uz

u u uzz

ρ ϕρ ρ ϕ

ρ ϕρ ρ ϕ

part part partrArr nabla = nabla = nabla =

part part partpart part part

rArrnabla = + +part part part

1ˆ ˆ ˆ zz

ρ ϕρ ρ ϕpart part part

nabla = + +part part part

（4-82）

注意nabla的ϕ -分量( 1ρ ϕ

partpart

)不是像直角座標裡單純的ϕpartpart

所以不要笨笨

的就把直角座標的形式硬套上去用我們也可以從「因次分析」來

看nabla因為是對空間的微分所以每一項的因次必須是「長度分之一」

運算 andzρ

part partpart part

都是「長度分之一」而「單純的ϕpartpart

」是沒有單位的

所以要1ρ ϕ

partpart

才 OK

由於圓柱座標裡的單位向量除了 z 之外 ˆ( )ρ ϕ 與 ˆ( )ϕ ϕ 都不是常

4-50

數所以在微分時不可以與微分運算交換而要考慮微分的作用所

以在「圓柱座標」寫「散度」 ( ) F zρ ϕnablasdot 也和直角座標不一樣

( )1ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ zF z F F zFz ρ ϕρ ϕ ρ ϕ

ρ ρ ϕpart part part⎛ ⎞

nabla sdot = + + sdot + +⎜ ⎟part part part⎝ ⎠

( ) ( )1ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆz zF F zF F F zFρ ϕ ρ ϕρ ρ ϕ ϕ ρ ϕρ ρ ϕpart part

= sdot + + + sdot + +part part

( )ˆ ˆˆ ˆ zz F F zFz ρ ϕρ ϕpart

+ sdot + +part

因為 ( ) ( )ˆ ˆ ˆ ˆ ρ ρ ϕ ϕ ϕ ϕ= = 所以做 andzρ

part partpart part

時 ˆ ˆ ρ ϕ 可視為常數

ˆ ˆ1ˆ ˆ ˆ zF F F FF F Fz

ρ ρ ϕρ φ

ρ ϕϕ ρ ϕρ ρ ϕ ϕ ϕ ϕ

part part part⎡ ⎤part part partrArrnablasdot = + sdot + + + +⎢ ⎥part part part part part part⎣ ⎦

還記得 ˆ ˆ ˆ ˆd d d dρ ϕ ϕ ϕ ρ ϕ= = minus 所以 ˆ ˆρ ϕϕpart

=part

ˆ ˆϕ ρϕpart

= minuspart

rArr

( )1 1 1z zF F F FF FF Fz z

ρ ρ ϕ ϕρρ

ρ ρ ρ ϕ ρ ρ ρ ϕpart part part part

nablasdot = + + + = + +part part part part part part

（4-83）

在球座標寫nabla也會遇到相似的問題其根源就是球座標 ( )r θ ϕ 裡

的 θ ϕ 的因次並非長度而三個單位向量 ˆ ˆˆ r θ ϕ（表為 ie ）都是( θ ϕ )

的函數以致

( )ˆ ˆ( ) ( )i ie f e fθ ϕ θ ϕθ θpart part

nepart part

且 ( )ˆ ˆ( ) ( )i ie f e fθ ϕ θ ϕϕ ϕpart part

nepart part

所以nabla也不似在直角座標那麼簡單我們不在這裡推導而是給出一

個歸納的統一的三個座標的結果還記得對每一個座標 iu i = 123

座標的變化 idu 與造成的長度變化 id

i i id h du= 123i = (4-84)

其中 ih 為對應的度量係數(metric coefficient)

4-51

1 2 3

1 1 2 2 3 3

1 1 1ˆ ˆ ˆu u ue e eh u h u h u

part part partnabla equiv + +

part part part （4-85A）

座標 1 2 3 u u u

度量係數

1 2 3 h h h

nabla grad del

直角 x y z

1 1 1 nabla ˆ ˆ ˆx y z

x y zpart part part

equiv + +part part part

圓柱

zρ ϕ

1 1ρ

1ˆ ˆ ˆ z

zρ ϕ

ρ ρ ϕpart part part

nabla equiv + +part part part

球

r θ ϕ

1 sinr r θ

1 1ˆ ˆˆ

sinr

r r rθ ϕ

θ θ ϕpart part part

nabla = + +part part part

（4-85B）

梯度gradient Vnabla grad(V) 散度divergence Anablasdot div( )A

直

角 nablaV ˆ ˆ ˆV V Vx y z

x y zpart part part

= + +part part part

yx zAA AAx y z

partpart partnablasdot = + +

part part part

圓

柱

1ˆ ˆ ˆ V V VV zz

ρ ϕρ ρ ϕpart part part

nabla = + +part part part

( )1 1

1

z

z

A AA Az

A A A Fz

ϕρ

ρ ρ ϕ

ρρ ρ ρ ϕ

ρ ρ ρ ϕ

partpart partnabla sdot = + +

part part partpart part part

= + + +part part part

球

1 1ˆ ˆˆ sin

V V VV rr r r

θ ϕθ θ ϕ

part part partnabla = + +

part part part

22

1 ( )rA r Ar r

partnabla sdot =

part

1 (sin )sin

Ar θθ

θ θpart

+ sdotpart

1sin

Ar

ϕ

θ ϕpart

+part

(4-86)

Ex47 Using spherical coordinate show that 1| |r r

nablaminus

= 2

ˆ| |

r rer r

minusminusminus

where

nabla是作用在 r 而 ˆr re minus 是向量 r rminus 方向的單位向量 解let r lies in z-axis so that the angle between r and r is just θ

4-52

rArr ( ) 122 21 1 2 cos | | ( ) ( )

r rr rr r r r r r

θminus

= = minus +minus minus sdot minus

( ) ( )12 122 2 2 21 1ˆˆ 2 cos 2 cos | |

r r rr r r rr rr r r r

θ θ θθ

minus minuspart partnabla = minus + + minus +

minus part part

( ) 322 21ˆ 2 cos (2 2 cos )2

r r rr r r rθ θminusminus

= minus + minus

( ) 322 21ˆ 2 cos (2 sin )2

r rr r rrθ θ θminusminus

+ minus +

3 3 3 3

ˆˆ ˆ( cos ) sin ( cos sin )ˆˆ| | | | | | | |r r r rr r rrr r r r r r r r

θ θ θ θ θθminus minus minus minus minus= + = +

minus minus minus minus

3 3 3ˆ ( )

| | | | | |r r z r r r rr r r r r rminus + minus + minus minus

= = =minus minus minus

＝ 2

ˆ| |

r rer r

minusminusminus

QED

證明最後我們用到 ˆˆˆ cos sinz r θ θ θ= minus 而 ˆ r r z= 因為我們選了 r 是

躺在 z-軸 Ex48 For arbitrary scalar field ( )f r and vector field ( )A r 證明恆等式

( )fA f A f Anablasdot = nabla sdot + nablasdot (4-87) 解 ˆ ˆ ˆx y zfA xfA yfA zfA= + +

( ) ( ) ( ) ( )x y zfA fA fA fAx y zpart part part

rArrnablasdot = + +part part part

yx zx x x

AAf f f AA f A f A fx x y y z z

partpartpart part part part= + + + + +part part part part part part

yx zx y z

AAf f f AA A A fx y z x y z

part⎛ ⎞partpart part part part= + + + + +⎜ ⎟part part part part part part⎝ ⎠

f A f A= nabla sdot + nablasdot QED 習題 12 一個位於原點的電偶極電偶極矩＝ ˆp pz= 已知其在遠處

的電位為 20

cos4p

rθ

πε試證該處的電場強度為 E = 3

0

ˆˆ( 2cos sin )4

p rr

θ θ θπε

+

(已知 E V= minusnabla )並請計算 Enablasdot ＝

習題 13 給定一向量場2

3cosˆD r

rϕ

= 現有兩個球心在原點的同心球

內球半徑 R＝1外球 R＝2(a)求面積分S

D dssdotint S 為同心球殼的表

面（有內外兩個面）(b)求體積分V

Ddvnablasdotint V 為兩同心球之間的

區域本題也是來 check 散度定理的Ans πminus

4-53

The Laplacian operator 2nabla equivnablasdotnabla

在直角座標可以用直接作用得到

2 2 2

22 2 2u u uu u

x y zpart part part

nabla equiv nablasdotnabla = + +part part part

(4-88)

圓柱座標

2 2

22 2 2

1 1( ) u u uu uz

ρρ ρ ρ ρ ϕ

part part part part⎛ ⎞nabla equiv nablasdot nabla = + +⎜ ⎟part part part part⎝ ⎠

(4-89)

球座標

2

2 22 2 2 2 2

1 1 1sinsin sin

u u uu rr r r r r

θθ θ θ θ ϕ

part part part part part⎛ ⎞ ⎛ ⎞nabla = + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟part part part part part⎝ ⎠ ⎝ ⎠ （4-90）

習題 14 verify (4-89) and (4-90)

習題 15 Given a dipole potential V= 20

cos4p

rθ

πε find 2Vminusnabla

sect 433 Line integral and curl A 線積分與與旋度的物理意義

線積分路徑積分

考慮一曲線 C 通過兩點 ( )i i i iP x y z 與

( )f f f fP x y z 現有一向量場 ( )A x y z 定義在

C 所在的空間若 sd 為 C 上位於(xyz)點的

「路徑元素」（ ˆd td= 方向沿該處切線）而

( )A x y z 為路徑元素d 處的場值則沿 C 經歷各點所做積分

cos cosf

CC C iA d Ad A dϕ ϕrarr rarrsdot = =int int int （4-91）

稱為向量場 ( )A x y z 沿路徑 C 自 pi 至 pf 的「線積分」「或「路徑積分」

積分裡 A 取值的點侷限在路徑 C 上面若為一個「封閉路徑」則對

C 的線積分也稱做「環路積分 closed contour integral」記做

C

A dsdotint （4-92）

4-54

物理量「做功」是最標準的線積分之一力 F 自 x = a 至 x = b「沿線」

x 軸做功

W＝ F dxsdotint ＝ ( )b

xaF x dxint （4-93）

質點在力場 )(rF 裡走一條曲線 C則力場做功

CW F d= sdotint （4-94）

還記得如果 ( )F r 是所謂「保守力」則上式只與始末點有關而與

路徑無關但如果 ( )F r 是所謂「非保守力」則做功與確實的路徑 C

有關

現考慮一質點在空間運動的位置 r 落在由曲線 C

描述的路徑則質點的位移元素與曲線 C 的路徑元

素相同 d dr= 若空間有向量場 A 分佈則 A 在 C 的

路徑積分以直角座標表示為

CA drarr rarrsdotint ＝

CA d rrarr rarrsdotint ＝ ( )x y zC

A dx A dy A dz+ +int （4-95）

上式中的 x y z 的積分限由 C 決定

Ex49 2 2 2ˆ ˆ ˆA xx yy zzrarr= + + 選定一路徑 C 為曲線

2y x= 由 (000)到 (2 20)的部分求C

A dsdotint

解 ˆ ˆd xdx ydy= +∵

CA dsdotint ＝ 2 2( )

Cx dx y dy+int ＝

2 22 2

0 0x dx y dy+int int

＝ )24(32

+

或由 2y x= rArr 2ydy dx= 2 12

y dy xdxrArr =

rArrC

A dsdotint ＝2 2

0

1( )2

x x dx+int ＝2 (4 2)3

+

4-55

ex50 ˆ ˆ( )f x y z xy yx= minus Do C

f dsdotint 其中的路徑 C 為一逆時針三角

形如圖 解∵路徑全部在 x-y 平面 ˆ ˆ ˆd td xdx ydy= = +

rArrC

f dsdotint ＝ x yC

f dx f dy+int ＝C

ydx xdyminusint

由於在 C1 上 y = 0 及 dy = 0 所以 01

=intC 又由於在

C3 上 x = 0 及 dx =0所以 03

=intC 所以只剩下 C2 可

能有貢獻由 2C 的方程式x + y =1rArr ⎩⎨⎧

minus=minus=

xyyx

11

rArr2Cydx xdyminusint ＝

0 1

1 0(1 ) (1 )x dx y dyminus minus minusint int ＝

0 12 2

1 0

( ) ( )2 2x yx yminus minus minus ＝-1

Cf dsdotint ＝-1

ex51 ( )f x y zrarr

= 2ˆ ˆxx yxyminus 如右圖doC

f dsdotint 其

中路徑 C 為第一象限的逆時針 14 圓弧

解∵ 全部在 x-y 平面 ˆ ˆd xdx ydy= +

Cf dsdotint ＝ 2

Cx dx xydyminusint

由於在 C 上 cosx R ϕ= rArr sindx R dϕ ϕ= minus

siny R ϕ= rArr cosdy R dϕ ϕ=

rArr 2

Cx dx xydyminusint ＝

2 2 2 2

0cos ( sin ) sin cos cosR R d R R d

πϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕminus minus sdotint

23 2

02 cos sinR d

πϕ ϕ ϕ= minus int ＝

323Rminus

又路徑為圓周一部份所以適合用極座標表示

ˆd Rdϕ ϕ= 又由左圖將 ˆ ˆx y 拆解（投影）到 ˆˆr ϕ

ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆcos sin sin cosx r y rϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ= minus = +

4-56

( )2ˆ ˆ ˆˆ ˆ( cos sin ) ( sin cos )C C

f d r x r xy Rdϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕsdot = minus minus + sdotint int 2

2 2 2

0

sin (cos )

sin ( cos ) (cos ) cos sin

Cx Rd xyRd

R Rd R Rdπ

ϕ ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ

= minus minus

= minus minus

intint

23 2

02 cos sinR d

πϕ ϕ ϕ= minus int ＝

323Rminus

這也驗證了散度定理

Path Independence 路徑獨立性

Ex52 證明庫倫力為「保守力」考慮

電荷 q0 位於原點及電荷 q 位於

( )r x y zrarr= q 受力 F

rarr＝ 0

20

14

qq urπε

and

求庫侖力作功因為球形對稱所以

用球座標由 ˆ ˆ ru rr

= = rArr Frarr

= 03

04qq r

rπε

庫侖力由 P1 至 P2 做功為 2

1

P

CPF drarrsdotint ＝

2

1

02

0

ˆ ˆ ˆˆ sin4

P

PC

qq r rdr rd r dr

θ θ ϕ θ ϕπε

⎡ ⎤sdot + +⎣ ⎦int ＝2

1

02

04P

P

qq drrπεint

＝20

2104

r

r

qq drrπε int ＝ 0

0 1 2

1 1( )4qq

r rπεminus for all C

所以庫侖力兩點間做功與路徑無關rArr保守力

對於「保守力 conservative force」 cF 自 p1 經

由兩條不同的路徑 C1 與 C2 到達 p2

1 ccF drarrsdotint ＝

2 ccF drarrsdotint ＝-

2 ccF drarr

minussdotint

rArr1 2c cc cF d F drarr rarr

minussdot + sdotint int = cF d

rarrsdotint ＝0 (4-96）

對於任何「封閉路徑」保守力做功為 0反之若

對任一封閉路徑 0F drarrsdot neint 則兩點之間的做功與路徑有關

rarr

F 為「非

保守力」

4-57

旋度 curl Anablatimes 的幾何物理意義

我們在（4-70）式已經看過旋度的計算方式但旋度另有其意義的

ex53 給定向量場2 2

0ˆ yv yv e λrarr

minus= 左圖為場的分佈

2 20

ˆ ˆ ˆ

0 0x y z

y

x y zcurl v

v e λ

rarr

minus

= part part part ＝ ˆ ˆ ˆ0 0 0 0x y zsdot minus sdot + sdot =

我們用了簡寫 x yx ypart part

part equiv part equivpart part

可以看出這個場裡沒有「漩渦」

但是有無「漩渦」有時也不是那麼明顯可以看出的請見下一個例子

Ex54 給定向量場2 2

0ˆ xv yv e λrarr

minus= 計算其旋度 vnablatimes

解向量場 vrarr

畫在右邊你看得出有無漩渦

先計算旋度

2 20

ˆ ˆ ˆ

0 0x y z

x

x y zcurl v

v e λ

rarr

minus

= part part part2 2

2 2

0

0

ˆ

ˆ 2 0 0

x

x

z v ex

z v xe for x

λ

λ

minus

minus

part=

part

= minus ne ne

vrarr

的旋度在大部分的地方不為 0 且隨位置而不同但是你看得出這個

向量場裡有「漩渦」其實要檢驗一個向量場裡有無「漩渦」有一

個很物理的方法就是放一個小「螺旋槳」（左圖）

在場內將軸朝各個方向測試一

下如果有「漩渦」的話這個

小「螺旋槳」就會轉動右圖就是將「螺旋槳」的

軸平行於 z 軸且放在 x gt 0 的地方就可以看出左

邊的 v 場比右邊的強造成螺旋槳順時針轉動rArrcurlv zminus for x gt 0

但如果放在 x = 0 的地方就會看到左右兩端的 v 場強度相同而且

4-58

curlv = 0 「螺旋槳」放在 x lt 0 的地方就可以看出右邊的v 場比左

邊的強造成螺旋槳逆時針轉動這完全符合 curl v k+ 的結果

環路積分與旋度 curl 的物理意義

如同「散度」一樣「旋度」除了 Ftimesnabla 之外

還有一個物理意義更清楚的定義這個定義由

「線積分」說明如圖考慮做「逆時針」長方形

路徑 C1 的一個「環路積分」C1 面平行於 x-y 平

面由 z-軸看下去環路 C1 可以分為可以分為

下 CB上 CT右 CR左 CL 4 部分

CA drarrsdotint ＝

B T L RC C C CA d A d A d A drarr rarr rarr rarrsdot + sdot + sdot + sdotint int int int

分別計算由於 CB 的中點座標為 ( )2yx y zΔ

minus

ˆB BC C

A d A xdxrarr rarrsdot = sdot =int int

BxC

A dxint ( )2xyA x y z xΔ

asymp minus Δ

similarly 由於 CT 的中點座標為 ( )2yx y zΔ

+

ˆ( )T TC C

A d A xdxrarr rarrsdot = sdot minus =int int

TxC

A dxminusint ( )2xyA x y z xΔ

asymp minus + Δ

合併 CB 與 CT

B TC CA drarr

+sdot =int

( ) ( )2 2x xy yA x y z A x y z

x yy

Δ Δ⎡ ⎤minus + minus minus⎢ ⎥⎣ ⎦ Δ ΔΔ

（4-97）

由 C1 所圍的面積 S x yΔ = Δ Δ

1B TC C

A dS

rarr

+sdot =

Δ int( ) ( )

2 2x xy yA x y z A x y z

y

Δ Δ⎡ ⎤minus + minus minus⎢ ⎥⎣ ⎦Δ

（4-98）

所以當取極限 C1 收縮到中心(xyz)時 SΔ 收縮到 0ie

4-59

0limsΔ rarr

1B TC C

A dS

rarr

+sdot =

Δ int xAy

partminuspart

（4-99）

Similarly with CR 的 ˆd ydy= CL 的 ˆd ydy= minus 可得

1L RC C

A dS

rarr

+sdot =

Δ int x

zyxxFzyxxF yy

Δ

Δminusminus

Δ+ )

2()

2(

（4-100）

同樣的當取極限 C1 收縮到中心(xyz)時 SΔ 收縮到 0

0

limsΔ rarr

1L RC C

A dS

rarr

+sdot =

Δ int yAx

partpart

（4-101）

最後合併 CBCTCRCL 為 C1

10

1limCs

A ds

rarr

Δ rarrsdot =

Δ int y xA Ax y

part partminus

part partˆ ( ) ( )zz A A= sdot nablatimes = nablatimes （4-102）

注意 C1 的方向就是在 z 上式的重要

意義是當向量場 A 在一個以點(xyz)為

中心「方向為 z 」的面積元素的「邊界」

所做的環路積分得到的就是 A 在(xyz)

處旋度的 z-分量明顯的只有當 A 在

(xyz)附近有 x-y 平面上的「漩渦」那麼 C1 的環路積分才不會為 0

Similarly 取一個逆時針繞著(xyz)的平行於 x-z 平面的長方形環路 C2

（左圖）做環路積分再取極限將 C2 收縮到(xyz)就會得到

20

1limCs

A ds

rarr

Δ rarrsdot =

Δ int x zA Az x

part partminus

part partˆ ( ) ( )yy A A= sdot nablatimes = nablatimes （4-103）

注意到 C2 所包圍的面積方向就在 y到

現在我們應該已經很有經驗了若取一

個逆時針繞著(xyz)的平行於 y-z 平面

的長方形環路 C3（左圖）做環路積分

再取極限將 C3 收縮到(xyz)就會得到

4-60

30

1limCs

A ds

rarr

Δ rarrsdot =

Δ int yz AAy z

partpartminus

part partˆ ( ) ( )xx A A= sdot nablatimes = nablatimes （4-104）

能把（4-103）與（4-104）變出來的同學我們有優待綜合以上

我們可以得到一個結論若取一個以點(xyz)為中心的任意環路 Cn（其

所包圍的面積方向在 n ）則

n curl Aand rarrsdot ＝

0

1lims

Cn

A ds

rarr

Δ rarrsdot

Δ int （4-105）

明顯的當 n ＝ x 或 y 或 z 時我們可以重複（4-102）到（4-104）的

結果（4-70）式的行列式所定義的旋度在此看見其幾何物理意義

至此「旋度」的「漩渦」形象應該已經很清楚了只有在(xyz)點附

近的小圈圈上有「漩渦」 A 在小圈圈做的環路積分才會有值這個

值就是向量場 A 的「旋度」在小圈圈面積方向的分量

Stokersquos 定理

考慮一個開放面 S被其「有方向的」邊界 C 圈住(bounded by)則

( )S

A dsrarr rarrnablatimes sdotint ＝

C

A drarrsdotint （4-106）

pf 先將 S 面分割為 N 個多邊形這會使得邊界變成一個「折線」形

成的環路 P環路 P 會隨著分割的多邊形個數的增多而越加近似於原

「光滑的」邊界 C現考慮相鄰的

兩個多邊形的線積分由於共用邊

的方向是相反的所以相鄰兩個多

邊形線積分的和只剩「外邊界」（見左圖）所以當把所有的多邊形的

4-61

線積分加起來時由於只有邊界 P 不是多邊形的共用邊所以

1k

N

k C

A drarr

=

sdotsum int ＝P

A drarrsdotint rArr

P

A drarrsdotint ＝

1

1

k

N

kk k C

A d l ss

rarr rarr

=

⎡ ⎤sdot Δ⎢ ⎥

Δ⎢ ⎥⎣ ⎦sum int

其中 ksΔ 為第 k 個多邊形的面積取極限 0kN srarrinfinrArrΔ rarr P CrArr rarr

C

A drarrsdotint ＝

10

1limkk

N

kN k k Cs

A d ss

rarr

rarrinfin=Δ rarr

⎡ ⎤sdot Δ⎢ ⎥

Δ⎢ ⎥⎣ ⎦sum int 01

ˆlim ( )k

k kskn A s

infin

Δ rarr=

⎡ ⎤= sdot nablatimes Δ⎣ ⎦sum

01

ˆlim ( )k

k kskA n s

infin

Δ rarr=

= nablatimes sdot Δsum = ( )S

A dsrarr

nablatimes sdotint QED

ex55 由 Amperersquos law 的積分形式導出其微分形式

解Amperersquos law 的積分形式 C

B drarrsdotint ＝ I0μ (4-107)

由 Stokersquos 定理及電流密度 j 的定義上式等號兩端可寫為

rArr ( )S

B dsrarr rarrnablatimes sdotint ＝ 0 S

j dsμrarrsdotint

由於上面的等式對任意面 S（路徑 C）都成立所以被積函數相等

0B jμrarr rarr rarr

rArrnablatimes = (4-108) 此即 Amperersquos law 的微分形式

Ex56 Given a vector field ˆ ˆx yA ye xe= minus + (a) Find Anablatimes

解

ˆ ˆ ˆˆ ˆ(1 ( 1) 2

0x y z

x y zA z z

y xnablatimes = part part part = minus minus =

minus

(b)如圖一個金字塔狀的 5 面體高 2底邊長＝1計算 ( )S

A dsnablatimes sdotint

其中 S 為金字塔在 x-y 平面以上的部分方向如同

封閉的金字塔（運用 Stokersquos law）

解金字塔上表面的面積元素ds 不好寫由 Stokersquos

4-62

law ( )S

A dsrarr rarrnablatimes sdotint ＝

C

A drarrsdotint 其中封閉路徑 C 就是上表面的邊界而且

是逆時針（由 z 軸向下看）

C

A drarrsdotint ＝

1 1 0 0

0 0 1 1ˆ ˆ ˆ ˆA xdx A ydy A xdx A ydysdot + sdot + sdot + sdotint int int int

＝1 1 0 0

0 0 1 1x y x yA dx A dy A dx A dy+ + +int int int int 1 1 0 0

0 0 1 1( 0) ( 1) ( 1) ( 0)y dx x dy y dx x dy= minus = + = + minus = + =int int int int

0 1 1 0 2 ( ) 2S

A ds= + + + = rArr nablatimes sdot =int

旋度與 path independence

已知保守場 cF 對所有封閉路徑 C 0cC

F drarrsdot =int 由 Stokersquos 定理

0cC

F drarrsdot =int ＝ ( )cS

F dsrarr rarrnablatimes sdotint rArr 0cF

rarr rarrnablatimes =

這表示保守場＝無旋度反之無旋度的場任兩點間路徑積分與路

徑無關

Ex57 Given a field 2 2ˆ ˆ ˆ2A x xy yx zz= + minus (a) Find Anablatimes A 保守場

解2 2

ˆ ˆ ˆ

2x y z

x y zA

xy x znablatimes = part part part

minus

( ) ( ) ( )2 2 2 2ˆ ˆ ˆ( ) 2 ( ) 2 0y z z x x yx z x y xy z z x xy= part minus minuspart + part minuspart minus + part minuspart =

yes A =保守場

(b)如左圖由 A 到 B 做路徑積分A BC

A drarr

sdotint 路徑 C 為橢圓

22 1

16yx + = 在 x-軸以上的部分

解橢圓部分的路徑元素 d 有點麻煩但因為 A

為保守場所以 A 到 B 做路徑積分可以用 x = -1 到

1 的積分取代

4-63

01 1 1

1 1 1ˆ 2 0

yB

xAA d A xdx A dx xydx

=

minus minus minussdot = sdot = = =int int int int

∵

旋度在柱座標與球座標

前面討論過nabla在不同座標系的寫法旋度也有歸納出的一致寫法

座標 1 2 3 u u u

度量係數

1 2 3 h h h

nabla grad del

直角 x y z

1 1 1 nabla ˆ ˆ ˆx y z

x y zpart part part

equiv + +part part part

圓柱 zρ ϕ

1 1ρ

1ˆ ˆ ˆ zz

ρ ϕρ ρ ϕpart part part

nabla equiv + +part part part

球 r θ ϕ

1 sinr r θ

1 1ˆ ˆˆ sin

rr r r

θ ϕθ θ ϕ

part part partnabla = + +

part part part

所以柱座標與球座標的旋度分別表為

柱座標

ˆ ˆ ˆ1

z

z

Az

AA Aρ ϕ

ρ ρϕ

ρ ρ ϕρ

part part partnablatimes =

part part part （4-109）

球座標 2

ˆ ˆˆ sin1sin

sinr

r r r

Ar r

A rA r Aθ ϕ

θ θϕ

θ θ ϕθ

part part partnablatimes =

part part part （4-110）

ex58 (a) Given the vector function ˆA ϕ= sin (ϕ 2) find Anablatimes

解 2

ˆ ˆˆ sin1sin

0 sin( 2) 0

r r r

Ar r

r

θ θϕ

θ θ ϕϕ

part part partnablatimes =

part part part

4-64

21 ˆˆ cos sin sinsin 2 2 2

rr rr

ϕ ϕθϕθ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

ˆˆ cos sin2 sin 2 2

rr r

ϕ ϕ ϕθ

minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

(b)如左圖一個底面在 x-y 平面半徑＝1高＝2 之圓錐 求面積分

SA dsnablatimes sdotint 面積範圍 S 為圓錐在 x-y 平面以上

部分 方向為由圓錐內向外

解由 Stokersquos law ( )S

A dsrarr rarrnablatimes sdotint ＝

C

A drarrsdotint 其中路

徑 C 為 x-y 平面圓心在原點之單位圓 ˆ ˆd rd dϕ ϕ ϕ ϕ= =

2

0ˆ ˆsin sin

2 2C

d dπϕ ϕϕ ϕ ϕ ϕ⎛ ⎞ ⎛ ⎞sdot =⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠int int ( )0

2 sin u duπ

= int 0cos | 2u π= minus =

習題 16 磁場 B 因為不是保守場所以沒有對應的純量位而對應一

個向量位 A (vector potential)而 B A= nablatimes 一個磁鐵的磁偶極矩

ˆm mz= 被置於原點已知在遠處的 vector potential 03ˆ sin

4mAr

μϕ θπ

=

計算該處的磁場 B Ans 03

ˆˆ( 2cos sin )4

mB rr

μ θ θ θπ

= + 與電偶極遠處

的電場形式一致都是偶極(dipole) 選幾個點畫一畫該處的場向量

把磁力線描出來

附錄本章講義的內容有部分可以經由直接計算得出列在附錄做為

參考

用「圓柱座標」寫 Atimesnabla

Ararr rarrnablatimes ＝ ( )1ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ zz A A zA

z ρ φρ ϕ ρ ϕρ ρ ϕpart part part⎛ ⎞+ + times + +⎜ ⎟part part part⎝ ⎠

4-65

因為rdquo sdotrdquo與rdquotimes rdquo都是向量間的運算所以

＝ ( )ˆ ˆ ˆ ˆ zA A zAρ φρ ρ ϕρpart

times + +part

＋ ( )1ˆ ˆ ˆ ˆ zA A zAρ φϕ ρ ϕρ ϕ

parttimes + +

part

＋ ( )ˆ ˆˆ ˆ zz A A zAz ρ φρ ϕpart

times + +part

直接做上式微分可以得到

＝1ˆ z AA

zϕρ

ρ ϕpart⎛ ⎞part

minus⎜ ⎟part part⎝ ⎠＋ ˆ zA A

zρϕ

ρpart⎛ ⎞part

minus⎜ ⎟part part⎝ ⎠＋

1 1ˆ ( )A

z A ρϕρ

ρ ρ ρ ϕpart⎛ ⎞part

minus⎜ ⎟part part⎝ ⎠

上式可以用一個行列式來表示

rarrrarr

timesnabla A＝

ˆ ˆ ˆ1

z

z

zA A Aρ ϕ

ρ ρϕ

ρ ρ ϕρ

part part partpart part part

（A-1）

A and Anabla nablasdot nablatimes in 球座標 spherical coordinate

如上圖球座標 )( ϕθr 其中 )0[ infinisinr ]0[ πθ isin ]20[ πϕ isin 只有 r

是長度而 ϕθ 為角度是用來說明方向的三個座標的單位向量 ˆ ˆˆ r θ ϕ 具

有下列性質

4-66

1 如上圖 ˆ ˆˆ r θ ϕ 都不是常數而是（ ϕθ ）的函數

ˆ ˆ( )ˆ ˆ( )ˆ ˆ( )

r r θ ϕ

θ θ θ ϕϕ ϕ ϕ

⎧ =⎪

=⎨⎪ =⎩

)( ϕθr 與(xyz)之間的轉換如下

sin cossin sincos

x ry rz r

θ φθ φθ

=⎧⎪ =⎨⎪ =⎩

( )122 2 2

2 2

tan

tan

r x y z

x yz

yx

θ

φ

⎧ = + +⎪⎪ +⎪ =⎨⎪⎪ =⎪⎩

（A-2）

2 ˆ ˆˆ r θ ϕ 形成一「歸一正交集」ie

ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ 1r r θ θ ϕ ϕsdot = sdot = sdot = ˆ ˆr θ ϕperp perp

ˆ ˆr θ ϕtimes = ˆ ˆ rθ ϕtimes = ˆˆ rϕ θtimes = （A-3）

3可以很容易的由他們在 xyz 軸上的投影由直角

座標的 ˆ ˆ ˆ x y z 表出

ˆ ˆ ˆ ˆsin cos sin sin cos ( 4 )ˆ ˆ ˆ ˆcos cos cos sin sin ( 4 )ˆ ˆ ˆsin cos ( 4 )

r x y z A a

x y z A bx y A c

θ φ θ φ θ

θ θ φ θ φ θϕ φ φ

= + + minus⎧⎪

= + minus minus⎨⎪ = minus + minus⎩

4 ˆdr = 由於 ˆ ˆ( )r r θ φ= 所以由 ϕθ 的變動來看

4-67

ˆ ˆˆ| |ˆ ˆˆ| | sin sin

d r d d

d r d d

θ θθ θθ

φ θ φφ θ φφ

⎧ rArr =⎪⎨

rArr =⎪⎩rArr ˆ ˆˆ sindr d dθ θ φ θ φ= + （A-5）

rArrˆ ˆr θθpart

=part

ˆ ˆsinr θφφpart

=part

（A-6）

（A-6）的結果也可以直接由（A-4a）對 ϕθ 偏微得到

5 ˆdθ ＝ 由於 ˆ ˆ( )θ θ θ φ= 所以由 ϕθ 的變動來看

ˆ ˆ ˆ| | ( )ˆ ˆ ˆ| | cos cos

d d r d r

d d d

θ θ θ θ

φ θ θ φφ φ θ φ

⎧ rArr minus = minus⎪⎨

rArr =⎪⎩rArr ˆdθ ＝ ˆˆ cosrd dθ φ θ φminus + （A-7）

ˆrθ

θpart

rArr = minuspart

ˆ ˆcosθ φ θφpart

=part

（A-8）

請直接由（A-4b）對 ϕθ 偏微的結果 check（A-8）

6 ˆdφ ＝由於φ )(ϕ 躺在 x-y 平面上變動φ時的方向可能不是那麼

容易看出來所以做圖看一看

ie ˆ ˆˆ(sin ) (cos )d r d dφ θ φ θ θ φ= minus minus （A-9）

4-68

ˆ ˆˆsin cosrφ θ θ θφpart

= minus minuspart

7 所有的向量 ˆ ˆˆ rA rA A Aθ φθ φrarr= + +

8 位置向量 ˆr rrrarr=

可以由左圖 ˆ ˆˆ r θ ϕ 三個方向的「長度

變化」輕易的看出

9 位移元素

ˆ ˆˆ ˆ sindr rdr rd dθ θ ϕ θ φ= + + (A-10)

10 體積元素

sindv dr r d rdθ φ θ= sdot sdot

＝ 2 sinr dr d dθ θ φ (A-11)

11 面積元素 2 sinrds r d dθ θ φ= plusmn sinds r drdθ θ φ= plusmn ds rdrdφ θ= plusmn (A-12)

plusmn號表示面的垂直方向有兩個端看 ds 周邊的方向是如何定的

nabladel 考慮 ( )u u r θ φ=

rArru u udu dr d dr

θ φθ φ

part part part= + +part part part

u d rrarr rarr

equiv nabla sdot

urarr

= nabla sdot ˆ ˆˆ( sin )rdr rd dθ θ φ θ φ+ +

rArr1 1ˆ ˆˆ

sinu u uu rr r r

θ ϕθ θ φ

rarr part part partnabla = + +

part part part

1 1ˆ ˆˆsin

rr r r

θ ϕθ θ φ

rarr part part partnabla equiv + +

part part part （A-13）

4-69

直接用（A-13）與 ˆ ˆˆ rA rA A Aθ φθ ϕrarr= + + 逐項內積加上（A-678）

rArr ϕθ

θθθ

ϕθ part

part+

partpart

+partpart

=sdotnablararrrarr A

rA

rAr

rrA r sin

1)(sinsin1)(1 2

2 （A-14）

（A-13）與 ϕθ ϕθ AAArA r

andandandrarr

++= 逐項外積整理之後

ϕθ θϕθ

ϕθθ

θArrAA

r

rrr

rA

r sin

sin

sin1

2 partpart

partpart

partpart

=timesnabla

andandand

rarrrarr

（A-15）

Laplacian uu nablasdotnabla=nabla2

2

2

2222

22

sin1)(sin

sin1)(1

ϕθθθ

θθ partpart

+partpart

partpart

+partpart

partpart

=nablau

ru

rrur

rru （A-16）

B推導「散度」在圓柱座標的寫法

讓我們先回顧一下在直角座標裡的「面積元素」可以由「位移元素」

得到

ˆˆ ˆ x y zdr idx jdy kdz da dydz dxdz dxdy= + + rArr =

比照辦理「圓柱座標」的位移元素

( )ˆˆ ˆ( )

( )z

da d dzdr d d zdz da d dz

da d d

ρ

φ

ρ φ

ρ ρ φ ρ φ ρ

ρ ρ φ

=⎧⎪= + + rArr =⎨⎪ =⎩

這個結論可以輕易的由面積元素在垂直於 zˆˆ ϕρ 三個方向的面積看

出如下圖考慮一個以 )( zϕρ 為中心的「圓柱體積元素」(cylindrical

cubiod)體積為 zdV ΔΔ=Δ ϕρρ 現計算在 ρ

方向的 12 兩個平行面(方向各為 ρplusmn )的通

量

4-70

zzF

dsFdsnFS S

ΔΔ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

+cong

=sdotintint intintϕρρϕρρρ

ρ

2

2

ˆ1 1

zzF

dsFdsnFS S

ΔΔ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

minus⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

minusminuscong

minus=sdotintint intintϕρρϕρρρ

ρ

2

2

ˆ2 2

intint+

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

minus⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

minusminus⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

+Δ

asympsdotΔ

rArr21

22

22

1ˆ1

SS

zFzFdsnFV

ϕρρρρϕρρρρρρ ρρ

( ) ( )

1 20

0

0

1 ˆlim

1lim 2 2 2 2

1 1lim 2 2

1

VS S

F ndsV

F z F z

F z F z

F

ρ ρρ

ρ ρρ

ρ

ρ ρ ρ ρρ ρ φ ρ ρ φρ ρ

ρ ρρ ρ φ ρ ρ φρ ρ

ρρ ρ

Δ rarr+

Δ rarr

Δ rarr

rArr sdotΔ

Δ Δ Δ Δ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + + minus minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥Δ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦Δ Δ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥Δ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

part ⎡ ⎤= ⎣ ⎦part

intint

娛樂一下用上述方式把圓柱的 Fsdotnabla 裡的z

FF z

partpart

+partϕρϕ1

變出來

球座標的nabla和 Fsdotnabla 也可以試試看

補充習題

H M Scheydiv grad curl and all that 4th edition

第二章習題 6 8 9 10 11 14 15 16 18 19 21 22 23 25 26 27

第三章習題 2 3 5 6 7 8 9 10 11 14 15 17 18 19 24

4-45

1 2 盒子的面積分後

0 0

0 0 0 0

1 2

1 2 1 1ˆ ˆ ˆ ˆ 0

S S

S S S S

A ds A ds

F n ds F n ds F n ds F n ds

sdot + sdot

= sdot + sdot = sdot minus sdot =

intint intintintint intint intint intint

所以若求場 A 在 1 2 盒子的總通量時交界面是沒有貢獻的總通量

就只有「外面積」才有貢獻如此我們計算 N 個小盒子的總通量

時所有的內部共用面都得 0只剩下「外表面」的貢獻了當 infinrarrN

時所有小盒子的「總外表面」就與 S 面重合了所以所有小盒子通量

的總和就等於 S 面的通量

1lim

i

N

S SN iA ds A ds

rarrinfin=

rArr sdot = sdotsumint int

現在我們做 N 個小盒子的總通量

1 1

1i i

N N

iS Si i i

A ds A ds VV= =

⎛ ⎞sdot = sdot Δ⎜ ⎟Δ⎝ ⎠

sum sumint int

當 0iN Vrarrinfin rArr Δ rarr 並用 dv 表示體積元素

( ) ( )1 1

1

1lim lim lim

lim

i ii

N N

iS SN N V oi i i

N

i VN i

A ds A ds VV

A V A dv

rarrinfin rarrinfin Δ rarr= =

rarrinfin=

⎛ ⎞sdot = sdot Δ⎜ ⎟Δ⎝ ⎠

= nablasdot Δ = nablasdot

sum sumint int

sum int

( )S V

A da A dvrArr sdot = nablasdotint int QED

所以得證散度定理上式中我們用了散度的（4-77）式定義要分辨

清楚 Anablasdot 是向量場 A 在空間中「某一點」的性質（ 0VΔ rarr ）而「散

度定理」說的是一個「有限體積」的性質

ex42 給定 ( ) ˆ ˆ ˆ A x y z xx yy zz r= + + = 計算在

半徑 R＝1 的球的上半球加底面的通量

4-46

解 ( )ˆˆS

A da A rda A k darArr sdot = sdot + sdot minusint int int上半球面 底面

( )

2

ˆ ˆ

0 2 1 2

A rda A z dxdy

r rds zdxdy rds ds π π

= sdot + sdot minus

= sdot minus = minus = = sdot =

int int

int int int int上半球面 底面

上半球面 底面 上半球面

底面的通量＝0 是因為 A 的 z 分量 Az=z 在底面的值為 0

也可以用散度定理更快的得出結果

∵ 3A rnablasdot = nablasdot =

31 43 3 1 22 3V V

Ad d πτ τ πnablasdot = = sdot sdot sdot =int int

ex43高斯定律的微分形式積 由 Gaussrsquo law 的積分形式用散度定理得出其

( )0 0

1 inS V

qE ds x y z dvρε ε

sdot = =int int

0S V VE ds Edv dvρ

εrArr sdot = nablasdot =int int int

上式最後的等式對「任意形狀」V 都成立所以兩者的被積函數相等

對於空間每一點 0

E ρε

nablasdot = （4-80）

ex44 Use 第一象限的單位力方體 check the divergence theorem using the function 2 2ˆ ˆ ˆ(2 ) 2A y x xy z y yzz= + + +

解2

2( ) (2 )(2 ) 2( )y yzA xy z x yx y z

part part partnablasdot = + + + = +

part part part

and 1 1 1 1 1 1

0 0 0 0 0 02 ( ) 2 ( )

VAdv x y dxdydz dz dy x y dxnablasdot = + = +int int int int int int int

1 1

0 0

1 12 ( ) 2 12 2

dz y dy= + = sdot =int int

面積分 1 1 2

0 0

1ˆ3

A ds A xdydz dz y dysdot = sdot = =intint intint int int前 前

4-47

1 1 2

0 0

1ˆ( )3

A ds A x dydz dz y dy minussdot = sdot minus = minus =intint intint int int

後 後

1 1 2

0 0ˆ (2 )A ds A ydxdz dz xy z dxsdot = sdot = +intint intint int int

右 右

1 1 1 12 2

0 0 0

4(2 ) (1 )3

ydz x z dx dz z

=

= + = + =int int int∵

1 1 2

0 0

0 1 1 12 2

0 0 0

ˆ( ) (2 )

1(1 )3

y

A ds A y dxdz dz xy z dx

dz z dx dz z=

sdot = sdot minus = minus +

minus= minus = + =

intint intint int int

int int int∵

左 左

11 1 1 1

0 0 0 0ˆ 2 2 1

zA ds A zdxdy dx yzdy dx ydy

=sdot = sdot = = =intint intint int int int int

∵

上 上

01 1

0 0ˆ 2 0

zA ds A zdxdy dx yzdy

=sdot = sdot minus = minus =intint intint int int

∵

下 下

前後右左上下六個面積分合併＝1＝V

Advnablasdotint QED

ex45 Continuity Equation 連續方程式

考慮某些「東西」的流動（物質電荷hellip）在時刻 t 時在點(xyz)

的 密 度 為 ( ) x y z tρ ρ= 並 具 有 速 度

( ) v v x y z t= 在時刻 t 時在體積 V 內的總量為

( ) x y z t dρ τintintint

這樣體積 V 內東東的時變率為

( ) ( ) d x y z t d x y z t ddt t

ρρ τ τpart=

partintintint intintint

注意體積分後的時間全微分移入積分內要改為偏微分這個東東

在表面的「流率 flow rate」可表為

ˆS

R v ndsρ= sdotintint

若體積內的物料無法自生自滅那麼體積內物料的變化必經由表面的

流出流入所造成

d v ndstρ τ ρpart

rArr = minus sdotpartintintint intint

由散度定理

4-48

( )ˆS

v nds v d dtρρ ρ τ τpart

sdot = nablasdot = minuspartintint intintint intintint

( )v Jtρ ρpart

rArr = minusnablasdot equiv minusnablasdotpart

0Jtρpart

rArr +nablasdot =part

（4-81）

(4-81) 即 continuity equation其中 J vρ= 為「物流密度」ex如果 ρ

是電荷密度 J 就是電流密度（4-81）是物質守恆的結果只對體

積內無 source（生成）or drain（消滅）的東東成立

ex46 Given a vector field ˆ ˆx yA ye xe= minus + (a) Find

Anablasdot (b)如圖一個金字塔狀的 5 面體高 2 底邊長

1計算 A在整個金字塔表面（封閉面）的總通量

解(a) Anablasdot = ( ) ( ) 0y xx ypart part

minus + =part part

(b) 金 字 塔 的 表 面 面 積 元 素 ds 不 好 寫 所 以 用 散 度 定 理

( )S V

A da A dvrArr sdot = nablasdotint int ＝0 Anablasdot 表示 A沒有 source 所以對封閉面而

言有多少場線進入就有多少出去所以總通量＝0

習題 7 With position vector r for an arbitrary volume V that is

bounded by surface S show that 13 S

r ds Vsdot =int

習題 8 已知一靜電場為 ˆ ˆ ˆ( )E xyz yxz zxyλ= + + 運用 Gaussrsquo law

試求包含在半球 2 2 2 2 0x y z R z+ + = ge 裡的總電荷 Ans 0

習題 9 (a) given ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( 2 )F r xf x yf y zf z= + + minus show that divF is

zero at point (c c -c2) (b) given ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( )G r xf x z yg x z zh x y= + +

show that ( ) 0G rnablasdot =

4-49

習題 10 Find the normal vector n for the surfaces (a) z = 2-x-y ans

ˆ ˆ ˆ( ) 3x y z+ + (b) z = (1-x2)12 ans ˆ ˆxx zz+ (c) z = x2+y2

ans ˆ ˆ ˆ( 2 2 ) 1 4xx yy z zminus minus + +

習題 11 Show that the unit vector normal to the plane ax+by+cz =d is

given by 2 2 2ˆ ˆ ˆ( ) ax by cz a b cplusmn + + + +

圓柱座標與球座標的nabla (del)

考慮一純量場在直角座標為 ( ) u x y z 在圓柱座標表為 ( ) u zρ φ

再考慮因位移 r r drrarr + 所造成 u ( )zρ φ 的變化

( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆz

z

u u udu d d dz u dr u d d zdzz

u u z u d d zdz

u d u d u dzρ ϕ

ρ ϕ

ρ ϕ ρ ρ ϕρ ϕρ ϕ

ρ ϕ ρ ρ ϕρ ϕ

ρ ρ ϕ

part part part= + + = nabla sdot = nabla sdot + +part part part

⎡ ⎤= nabla + nabla + nabla sdot + +⎣ ⎦= nabla + nabla + nabla

( ) ( ) ( )1

1ˆ ˆ ˆu

z

u u uu u uz

u u uzz

ρ ϕρ ρ ϕ

ρ ϕρ ρ ϕ

part part partrArr nabla = nabla = nabla =

part part partpart part part

rArrnabla = + +part part part

1ˆ ˆ ˆ zz

ρ ϕρ ρ ϕpart part part

nabla = + +part part part

（4-82）

注意nabla的ϕ -分量( 1ρ ϕ

partpart

)不是像直角座標裡單純的ϕpartpart

所以不要笨笨

的就把直角座標的形式硬套上去用我們也可以從「因次分析」來

看nabla因為是對空間的微分所以每一項的因次必須是「長度分之一」

運算 andzρ

part partpart part

都是「長度分之一」而「單純的ϕpartpart

」是沒有單位的

所以要1ρ ϕ

partpart

才 OK

由於圓柱座標裡的單位向量除了 z 之外 ˆ( )ρ ϕ 與 ˆ( )ϕ ϕ 都不是常

4-50

數所以在微分時不可以與微分運算交換而要考慮微分的作用所

以在「圓柱座標」寫「散度」 ( ) F zρ ϕnablasdot 也和直角座標不一樣

( )1ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ zF z F F zFz ρ ϕρ ϕ ρ ϕ

ρ ρ ϕpart part part⎛ ⎞

nabla sdot = + + sdot + +⎜ ⎟part part part⎝ ⎠

( ) ( )1ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆz zF F zF F F zFρ ϕ ρ ϕρ ρ ϕ ϕ ρ ϕρ ρ ϕpart part

= sdot + + + sdot + +part part

( )ˆ ˆˆ ˆ zz F F zFz ρ ϕρ ϕpart

+ sdot + +part

因為 ( ) ( )ˆ ˆ ˆ ˆ ρ ρ ϕ ϕ ϕ ϕ= = 所以做 andzρ

part partpart part

時 ˆ ˆ ρ ϕ 可視為常數

ˆ ˆ1ˆ ˆ ˆ zF F F FF F Fz

ρ ρ ϕρ φ

ρ ϕϕ ρ ϕρ ρ ϕ ϕ ϕ ϕ

part part part⎡ ⎤part part partrArrnablasdot = + sdot + + + +⎢ ⎥part part part part part part⎣ ⎦

還記得 ˆ ˆ ˆ ˆd d d dρ ϕ ϕ ϕ ρ ϕ= = minus 所以 ˆ ˆρ ϕϕpart

=part

ˆ ˆϕ ρϕpart

= minuspart

rArr

( )1 1 1z zF F F FF FF Fz z

ρ ρ ϕ ϕρρ

ρ ρ ρ ϕ ρ ρ ρ ϕpart part part part

nablasdot = + + + = + +part part part part part part

（4-83）

在球座標寫nabla也會遇到相似的問題其根源就是球座標 ( )r θ ϕ 裡

的 θ ϕ 的因次並非長度而三個單位向量 ˆ ˆˆ r θ ϕ（表為 ie ）都是( θ ϕ )

的函數以致

( )ˆ ˆ( ) ( )i ie f e fθ ϕ θ ϕθ θpart part

nepart part

且 ( )ˆ ˆ( ) ( )i ie f e fθ ϕ θ ϕϕ ϕpart part

nepart part

所以nabla也不似在直角座標那麼簡單我們不在這裡推導而是給出一

個歸納的統一的三個座標的結果還記得對每一個座標 iu i = 123

座標的變化 idu 與造成的長度變化 id

i i id h du= 123i = (4-84)

其中 ih 為對應的度量係數(metric coefficient)

4-51

1 2 3

1 1 2 2 3 3

1 1 1ˆ ˆ ˆu u ue e eh u h u h u

part part partnabla equiv + +

part part part （4-85A）

座標 1 2 3 u u u

度量係數

1 2 3 h h h

nabla grad del

直角 x y z

1 1 1 nabla ˆ ˆ ˆx y z

x y zpart part part

equiv + +part part part

圓柱

zρ ϕ

1 1ρ

1ˆ ˆ ˆ z

zρ ϕ

ρ ρ ϕpart part part

nabla equiv + +part part part

球

r θ ϕ

1 sinr r θ

1 1ˆ ˆˆ

sinr

r r rθ ϕ

θ θ ϕpart part part

nabla = + +part part part

（4-85B）

梯度gradient Vnabla grad(V) 散度divergence Anablasdot div( )A

直

角 nablaV ˆ ˆ ˆV V Vx y z

x y zpart part part

= + +part part part

yx zAA AAx y z

partpart partnablasdot = + +

part part part

圓

柱

1ˆ ˆ ˆ V V VV zz

ρ ϕρ ρ ϕpart part part

nabla = + +part part part

( )1 1

1

z

z

A AA Az

A A A Fz

ϕρ

ρ ρ ϕ

ρρ ρ ρ ϕ

ρ ρ ρ ϕ

partpart partnabla sdot = + +

part part partpart part part

= + + +part part part

球

1 1ˆ ˆˆ sin

V V VV rr r r

θ ϕθ θ ϕ

part part partnabla = + +

part part part

22

1 ( )rA r Ar r

partnabla sdot =

part

1 (sin )sin

Ar θθ

θ θpart

+ sdotpart

1sin

Ar

ϕ

θ ϕpart

+part

(4-86)

Ex47 Using spherical coordinate show that 1| |r r

nablaminus

= 2

ˆ| |

r rer r

minusminusminus

where

nabla是作用在 r 而 ˆr re minus 是向量 r rminus 方向的單位向量 解let r lies in z-axis so that the angle between r and r is just θ

4-52

rArr ( ) 122 21 1 2 cos | | ( ) ( )

r rr rr r r r r r

θminus

= = minus +minus minus sdot minus

( ) ( )12 122 2 2 21 1ˆˆ 2 cos 2 cos | |

r r rr r r rr rr r r r

θ θ θθ

minus minuspart partnabla = minus + + minus +

minus part part

( ) 322 21ˆ 2 cos (2 2 cos )2

r r rr r r rθ θminusminus

= minus + minus

( ) 322 21ˆ 2 cos (2 sin )2

r rr r rrθ θ θminusminus

+ minus +

3 3 3 3

ˆˆ ˆ( cos ) sin ( cos sin )ˆˆ| | | | | | | |r r r rr r rrr r r r r r r r

θ θ θ θ θθminus minus minus minus minus= + = +

minus minus minus minus

3 3 3ˆ ( )

| | | | | |r r z r r r rr r r r r rminus + minus + minus minus

= = =minus minus minus

＝ 2

ˆ| |

r rer r

minusminusminus

QED

證明最後我們用到 ˆˆˆ cos sinz r θ θ θ= minus 而 ˆ r r z= 因為我們選了 r 是

躺在 z-軸 Ex48 For arbitrary scalar field ( )f r and vector field ( )A r 證明恆等式

( )fA f A f Anablasdot = nabla sdot + nablasdot (4-87) 解 ˆ ˆ ˆx y zfA xfA yfA zfA= + +

( ) ( ) ( ) ( )x y zfA fA fA fAx y zpart part part

rArrnablasdot = + +part part part

yx zx x x

AAf f f AA f A f A fx x y y z z

partpartpart part part part= + + + + +part part part part part part

yx zx y z

AAf f f AA A A fx y z x y z

part⎛ ⎞partpart part part part= + + + + +⎜ ⎟part part part part part part⎝ ⎠

f A f A= nabla sdot + nablasdot QED 習題 12 一個位於原點的電偶極電偶極矩＝ ˆp pz= 已知其在遠處

的電位為 20

cos4p

rθ

πε試證該處的電場強度為 E = 3

0

ˆˆ( 2cos sin )4

p rr

θ θ θπε

+

(已知 E V= minusnabla )並請計算 Enablasdot ＝

習題 13 給定一向量場2

3cosˆD r

rϕ

= 現有兩個球心在原點的同心球

內球半徑 R＝1外球 R＝2(a)求面積分S

D dssdotint S 為同心球殼的表

面（有內外兩個面）(b)求體積分V

Ddvnablasdotint V 為兩同心球之間的

區域本題也是來 check 散度定理的Ans πminus

4-53

The Laplacian operator 2nabla equivnablasdotnabla

在直角座標可以用直接作用得到

2 2 2

22 2 2u u uu u

x y zpart part part

nabla equiv nablasdotnabla = + +part part part

(4-88)

圓柱座標

2 2

22 2 2

1 1( ) u u uu uz

ρρ ρ ρ ρ ϕ

part part part part⎛ ⎞nabla equiv nablasdot nabla = + +⎜ ⎟part part part part⎝ ⎠

(4-89)

球座標

2

2 22 2 2 2 2

1 1 1sinsin sin

u u uu rr r r r r

θθ θ θ θ ϕ

part part part part part⎛ ⎞ ⎛ ⎞nabla = + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟part part part part part⎝ ⎠ ⎝ ⎠ （4-90）

習題 14 verify (4-89) and (4-90)

習題 15 Given a dipole potential V= 20

cos4p

rθ

πε find 2Vminusnabla

sect 433 Line integral and curl A 線積分與與旋度的物理意義

線積分路徑積分

考慮一曲線 C 通過兩點 ( )i i i iP x y z 與

( )f f f fP x y z 現有一向量場 ( )A x y z 定義在

C 所在的空間若 sd 為 C 上位於(xyz)點的

「路徑元素」（ ˆd td= 方向沿該處切線）而

( )A x y z 為路徑元素d 處的場值則沿 C 經歷各點所做積分

cos cosf

CC C iA d Ad A dϕ ϕrarr rarrsdot = =int int int （4-91）

稱為向量場 ( )A x y z 沿路徑 C 自 pi 至 pf 的「線積分」「或「路徑積分」

積分裡 A 取值的點侷限在路徑 C 上面若為一個「封閉路徑」則對

C 的線積分也稱做「環路積分 closed contour integral」記做

C

A dsdotint （4-92）

4-54

物理量「做功」是最標準的線積分之一力 F 自 x = a 至 x = b「沿線」

x 軸做功

W＝ F dxsdotint ＝ ( )b

xaF x dxint （4-93）

質點在力場 )(rF 裡走一條曲線 C則力場做功

CW F d= sdotint （4-94）

還記得如果 ( )F r 是所謂「保守力」則上式只與始末點有關而與

路徑無關但如果 ( )F r 是所謂「非保守力」則做功與確實的路徑 C

有關

現考慮一質點在空間運動的位置 r 落在由曲線 C

描述的路徑則質點的位移元素與曲線 C 的路徑元

素相同 d dr= 若空間有向量場 A 分佈則 A 在 C 的

路徑積分以直角座標表示為

CA drarr rarrsdotint ＝

CA d rrarr rarrsdotint ＝ ( )x y zC

A dx A dy A dz+ +int （4-95）

上式中的 x y z 的積分限由 C 決定

Ex49 2 2 2ˆ ˆ ˆA xx yy zzrarr= + + 選定一路徑 C 為曲線

2y x= 由 (000)到 (2 20)的部分求C

A dsdotint

解 ˆ ˆd xdx ydy= +∵

CA dsdotint ＝ 2 2( )

Cx dx y dy+int ＝

2 22 2

0 0x dx y dy+int int

＝ )24(32

+

或由 2y x= rArr 2ydy dx= 2 12

y dy xdxrArr =

rArrC

A dsdotint ＝2 2

0

1( )2

x x dx+int ＝2 (4 2)3

+

4-55

ex50 ˆ ˆ( )f x y z xy yx= minus Do C

f dsdotint 其中的路徑 C 為一逆時針三角

形如圖 解∵路徑全部在 x-y 平面 ˆ ˆ ˆd td xdx ydy= = +

rArrC

f dsdotint ＝ x yC

f dx f dy+int ＝C

ydx xdyminusint

由於在 C1 上 y = 0 及 dy = 0 所以 01

=intC 又由於在

C3 上 x = 0 及 dx =0所以 03

=intC 所以只剩下 C2 可

能有貢獻由 2C 的方程式x + y =1rArr ⎩⎨⎧

minus=minus=

xyyx

11

rArr2Cydx xdyminusint ＝

0 1

1 0(1 ) (1 )x dx y dyminus minus minusint int ＝

0 12 2

1 0

( ) ( )2 2x yx yminus minus minus ＝-1

Cf dsdotint ＝-1

ex51 ( )f x y zrarr

= 2ˆ ˆxx yxyminus 如右圖doC

f dsdotint 其

中路徑 C 為第一象限的逆時針 14 圓弧

解∵ 全部在 x-y 平面 ˆ ˆd xdx ydy= +

Cf dsdotint ＝ 2

Cx dx xydyminusint

由於在 C 上 cosx R ϕ= rArr sindx R dϕ ϕ= minus

siny R ϕ= rArr cosdy R dϕ ϕ=

rArr 2

Cx dx xydyminusint ＝

2 2 2 2

0cos ( sin ) sin cos cosR R d R R d

πϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕminus minus sdotint

23 2

02 cos sinR d

πϕ ϕ ϕ= minus int ＝

323Rminus

又路徑為圓周一部份所以適合用極座標表示

ˆd Rdϕ ϕ= 又由左圖將 ˆ ˆx y 拆解（投影）到 ˆˆr ϕ

ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆcos sin sin cosx r y rϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ= minus = +

4-56

( )2ˆ ˆ ˆˆ ˆ( cos sin ) ( sin cos )C C

f d r x r xy Rdϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕsdot = minus minus + sdotint int 2

2 2 2

0

sin (cos )

sin ( cos ) (cos ) cos sin

Cx Rd xyRd

R Rd R Rdπ

ϕ ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ

= minus minus

= minus minus

intint

23 2

02 cos sinR d

πϕ ϕ ϕ= minus int ＝

323Rminus

這也驗證了散度定理

Path Independence 路徑獨立性

Ex52 證明庫倫力為「保守力」考慮

電荷 q0 位於原點及電荷 q 位於

( )r x y zrarr= q 受力 F

rarr＝ 0

20

14

qq urπε

and

求庫侖力作功因為球形對稱所以

用球座標由 ˆ ˆ ru rr

= = rArr Frarr

= 03

04qq r

rπε

庫侖力由 P1 至 P2 做功為 2

1

P

CPF drarrsdotint ＝

2

1

02

0

ˆ ˆ ˆˆ sin4

P

PC

qq r rdr rd r dr

θ θ ϕ θ ϕπε

⎡ ⎤sdot + +⎣ ⎦int ＝2

1

02

04P

P

qq drrπεint

＝20

2104

r

r

qq drrπε int ＝ 0

0 1 2

1 1( )4qq

r rπεminus for all C

所以庫侖力兩點間做功與路徑無關rArr保守力

對於「保守力 conservative force」 cF 自 p1 經

由兩條不同的路徑 C1 與 C2 到達 p2

1 ccF drarrsdotint ＝

2 ccF drarrsdotint ＝-

2 ccF drarr

minussdotint

rArr1 2c cc cF d F drarr rarr

minussdot + sdotint int = cF d

rarrsdotint ＝0 (4-96）

對於任何「封閉路徑」保守力做功為 0反之若

對任一封閉路徑 0F drarrsdot neint 則兩點之間的做功與路徑有關

rarr

F 為「非

保守力」

4-57

旋度 curl Anablatimes 的幾何物理意義

我們在（4-70）式已經看過旋度的計算方式但旋度另有其意義的

ex53 給定向量場2 2

0ˆ yv yv e λrarr

minus= 左圖為場的分佈

2 20

ˆ ˆ ˆ

0 0x y z

y

x y zcurl v

v e λ

rarr

minus

= part part part ＝ ˆ ˆ ˆ0 0 0 0x y zsdot minus sdot + sdot =

我們用了簡寫 x yx ypart part

part equiv part equivpart part

可以看出這個場裡沒有「漩渦」

但是有無「漩渦」有時也不是那麼明顯可以看出的請見下一個例子

Ex54 給定向量場2 2

0ˆ xv yv e λrarr

minus= 計算其旋度 vnablatimes

解向量場 vrarr

畫在右邊你看得出有無漩渦

先計算旋度

2 20

ˆ ˆ ˆ

0 0x y z

x

x y zcurl v

v e λ

rarr

minus

= part part part2 2

2 2

0

0

ˆ

ˆ 2 0 0

x

x

z v ex

z v xe for x

λ

λ

minus

minus

part=

part

= minus ne ne

vrarr

的旋度在大部分的地方不為 0 且隨位置而不同但是你看得出這個

向量場裡有「漩渦」其實要檢驗一個向量場裡有無「漩渦」有一

個很物理的方法就是放一個小「螺旋槳」（左圖）

在場內將軸朝各個方向測試一

下如果有「漩渦」的話這個

小「螺旋槳」就會轉動右圖就是將「螺旋槳」的

軸平行於 z 軸且放在 x gt 0 的地方就可以看出左

邊的 v 場比右邊的強造成螺旋槳順時針轉動rArrcurlv zminus for x gt 0

但如果放在 x = 0 的地方就會看到左右兩端的 v 場強度相同而且

4-58

curlv = 0 「螺旋槳」放在 x lt 0 的地方就可以看出右邊的v 場比左

邊的強造成螺旋槳逆時針轉動這完全符合 curl v k+ 的結果

環路積分與旋度 curl 的物理意義

如同「散度」一樣「旋度」除了 Ftimesnabla 之外

還有一個物理意義更清楚的定義這個定義由

「線積分」說明如圖考慮做「逆時針」長方形

路徑 C1 的一個「環路積分」C1 面平行於 x-y 平

面由 z-軸看下去環路 C1 可以分為可以分為

下 CB上 CT右 CR左 CL 4 部分

CA drarrsdotint ＝

B T L RC C C CA d A d A d A drarr rarr rarr rarrsdot + sdot + sdot + sdotint int int int

分別計算由於 CB 的中點座標為 ( )2yx y zΔ

minus

ˆB BC C

A d A xdxrarr rarrsdot = sdot =int int

BxC

A dxint ( )2xyA x y z xΔ

asymp minus Δ

similarly 由於 CT 的中點座標為 ( )2yx y zΔ

+

ˆ( )T TC C

A d A xdxrarr rarrsdot = sdot minus =int int

TxC

A dxminusint ( )2xyA x y z xΔ

asymp minus + Δ

合併 CB 與 CT

B TC CA drarr

+sdot =int

( ) ( )2 2x xy yA x y z A x y z

x yy

Δ Δ⎡ ⎤minus + minus minus⎢ ⎥⎣ ⎦ Δ ΔΔ

（4-97）

由 C1 所圍的面積 S x yΔ = Δ Δ

1B TC C

A dS

rarr

+sdot =

Δ int( ) ( )

2 2x xy yA x y z A x y z

y

Δ Δ⎡ ⎤minus + minus minus⎢ ⎥⎣ ⎦Δ

（4-98）

所以當取極限 C1 收縮到中心(xyz)時 SΔ 收縮到 0ie

4-59

0limsΔ rarr

1B TC C

A dS

rarr

+sdot =

Δ int xAy

partminuspart

（4-99）

Similarly with CR 的 ˆd ydy= CL 的 ˆd ydy= minus 可得

1L RC C

A dS

rarr

+sdot =

Δ int x

zyxxFzyxxF yy

Δ

Δminusminus

Δ+ )

2()

2(

（4-100）

同樣的當取極限 C1 收縮到中心(xyz)時 SΔ 收縮到 0

0

limsΔ rarr

1L RC C

A dS

rarr

+sdot =

Δ int yAx

partpart

（4-101）

最後合併 CBCTCRCL 為 C1

10

1limCs

A ds

rarr

Δ rarrsdot =

Δ int y xA Ax y

part partminus

part partˆ ( ) ( )zz A A= sdot nablatimes = nablatimes （4-102）

注意 C1 的方向就是在 z 上式的重要

意義是當向量場 A 在一個以點(xyz)為

中心「方向為 z 」的面積元素的「邊界」

所做的環路積分得到的就是 A 在(xyz)

處旋度的 z-分量明顯的只有當 A 在

(xyz)附近有 x-y 平面上的「漩渦」那麼 C1 的環路積分才不會為 0

Similarly 取一個逆時針繞著(xyz)的平行於 x-z 平面的長方形環路 C2

（左圖）做環路積分再取極限將 C2 收縮到(xyz)就會得到

20

1limCs

A ds

rarr

Δ rarrsdot =

Δ int x zA Az x

part partminus

part partˆ ( ) ( )yy A A= sdot nablatimes = nablatimes （4-103）

注意到 C2 所包圍的面積方向就在 y到

現在我們應該已經很有經驗了若取一

個逆時針繞著(xyz)的平行於 y-z 平面

的長方形環路 C3（左圖）做環路積分

再取極限將 C3 收縮到(xyz)就會得到

4-60

30

1limCs

A ds

rarr

Δ rarrsdot =

Δ int yz AAy z

partpartminus

part partˆ ( ) ( )xx A A= sdot nablatimes = nablatimes （4-104）

能把（4-103）與（4-104）變出來的同學我們有優待綜合以上

我們可以得到一個結論若取一個以點(xyz)為中心的任意環路 Cn（其

所包圍的面積方向在 n ）則

n curl Aand rarrsdot ＝

0

1lims

Cn

A ds

rarr

Δ rarrsdot

Δ int （4-105）

明顯的當 n ＝ x 或 y 或 z 時我們可以重複（4-102）到（4-104）的

結果（4-70）式的行列式所定義的旋度在此看見其幾何物理意義

至此「旋度」的「漩渦」形象應該已經很清楚了只有在(xyz)點附

近的小圈圈上有「漩渦」 A 在小圈圈做的環路積分才會有值這個

值就是向量場 A 的「旋度」在小圈圈面積方向的分量

Stokersquos 定理

考慮一個開放面 S被其「有方向的」邊界 C 圈住(bounded by)則

( )S

A dsrarr rarrnablatimes sdotint ＝

C

A drarrsdotint （4-106）

pf 先將 S 面分割為 N 個多邊形這會使得邊界變成一個「折線」形

成的環路 P環路 P 會隨著分割的多邊形個數的增多而越加近似於原

「光滑的」邊界 C現考慮相鄰的

兩個多邊形的線積分由於共用邊

的方向是相反的所以相鄰兩個多

邊形線積分的和只剩「外邊界」（見左圖）所以當把所有的多邊形的

4-61

線積分加起來時由於只有邊界 P 不是多邊形的共用邊所以

1k

N

k C

A drarr

=

sdotsum int ＝P

A drarrsdotint rArr

P

A drarrsdotint ＝

1

1

k

N

kk k C

A d l ss

rarr rarr

=

⎡ ⎤sdot Δ⎢ ⎥

Δ⎢ ⎥⎣ ⎦sum int

其中 ksΔ 為第 k 個多邊形的面積取極限 0kN srarrinfinrArrΔ rarr P CrArr rarr

C

A drarrsdotint ＝

10

1limkk

N

kN k k Cs

A d ss

rarr

rarrinfin=Δ rarr

⎡ ⎤sdot Δ⎢ ⎥

Δ⎢ ⎥⎣ ⎦sum int 01

ˆlim ( )k

k kskn A s

infin

Δ rarr=

⎡ ⎤= sdot nablatimes Δ⎣ ⎦sum

01

ˆlim ( )k

k kskA n s

infin

Δ rarr=

= nablatimes sdot Δsum = ( )S

A dsrarr

nablatimes sdotint QED

ex55 由 Amperersquos law 的積分形式導出其微分形式

解Amperersquos law 的積分形式 C

B drarrsdotint ＝ I0μ (4-107)

由 Stokersquos 定理及電流密度 j 的定義上式等號兩端可寫為

rArr ( )S

B dsrarr rarrnablatimes sdotint ＝ 0 S

j dsμrarrsdotint

由於上面的等式對任意面 S（路徑 C）都成立所以被積函數相等

0B jμrarr rarr rarr

rArrnablatimes = (4-108) 此即 Amperersquos law 的微分形式

Ex56 Given a vector field ˆ ˆx yA ye xe= minus + (a) Find Anablatimes

解

ˆ ˆ ˆˆ ˆ(1 ( 1) 2

0x y z

x y zA z z

y xnablatimes = part part part = minus minus =

minus

(b)如圖一個金字塔狀的 5 面體高 2底邊長＝1計算 ( )S

A dsnablatimes sdotint

其中 S 為金字塔在 x-y 平面以上的部分方向如同

封閉的金字塔（運用 Stokersquos law）

解金字塔上表面的面積元素ds 不好寫由 Stokersquos

4-62

law ( )S

A dsrarr rarrnablatimes sdotint ＝

C

A drarrsdotint 其中封閉路徑 C 就是上表面的邊界而且

是逆時針（由 z 軸向下看）

C

A drarrsdotint ＝

1 1 0 0

0 0 1 1ˆ ˆ ˆ ˆA xdx A ydy A xdx A ydysdot + sdot + sdot + sdotint int int int

＝1 1 0 0

0 0 1 1x y x yA dx A dy A dx A dy+ + +int int int int 1 1 0 0

0 0 1 1( 0) ( 1) ( 1) ( 0)y dx x dy y dx x dy= minus = + = + minus = + =int int int int

0 1 1 0 2 ( ) 2S

A ds= + + + = rArr nablatimes sdot =int

旋度與 path independence

已知保守場 cF 對所有封閉路徑 C 0cC

F drarrsdot =int 由 Stokersquos 定理

0cC

F drarrsdot =int ＝ ( )cS

F dsrarr rarrnablatimes sdotint rArr 0cF

rarr rarrnablatimes =

這表示保守場＝無旋度反之無旋度的場任兩點間路徑積分與路

徑無關

Ex57 Given a field 2 2ˆ ˆ ˆ2A x xy yx zz= + minus (a) Find Anablatimes A 保守場

解2 2

ˆ ˆ ˆ

2x y z

x y zA

xy x znablatimes = part part part

minus

( ) ( ) ( )2 2 2 2ˆ ˆ ˆ( ) 2 ( ) 2 0y z z x x yx z x y xy z z x xy= part minus minuspart + part minuspart minus + part minuspart =

yes A =保守場

(b)如左圖由 A 到 B 做路徑積分A BC

A drarr

sdotint 路徑 C 為橢圓

22 1

16yx + = 在 x-軸以上的部分

解橢圓部分的路徑元素 d 有點麻煩但因為 A

為保守場所以 A 到 B 做路徑積分可以用 x = -1 到

1 的積分取代

4-63

01 1 1

1 1 1ˆ 2 0

yB

xAA d A xdx A dx xydx

=

minus minus minussdot = sdot = = =int int int int

∵

旋度在柱座標與球座標

前面討論過nabla在不同座標系的寫法旋度也有歸納出的一致寫法

座標 1 2 3 u u u

度量係數

1 2 3 h h h

nabla grad del

直角 x y z

1 1 1 nabla ˆ ˆ ˆx y z

x y zpart part part

equiv + +part part part

圓柱 zρ ϕ

1 1ρ

1ˆ ˆ ˆ zz

ρ ϕρ ρ ϕpart part part

nabla equiv + +part part part

球 r θ ϕ

1 sinr r θ

1 1ˆ ˆˆ sin

rr r r

θ ϕθ θ ϕ

part part partnabla = + +

part part part

所以柱座標與球座標的旋度分別表為

柱座標

ˆ ˆ ˆ1

z

z

Az

AA Aρ ϕ

ρ ρϕ

ρ ρ ϕρ

part part partnablatimes =

part part part （4-109）

球座標 2

ˆ ˆˆ sin1sin

sinr

r r r

Ar r

A rA r Aθ ϕ

θ θϕ

θ θ ϕθ

part part partnablatimes =

part part part （4-110）

ex58 (a) Given the vector function ˆA ϕ= sin (ϕ 2) find Anablatimes

解 2

ˆ ˆˆ sin1sin

0 sin( 2) 0

r r r

Ar r

r

θ θϕ

θ θ ϕϕ

part part partnablatimes =

part part part

4-64

21 ˆˆ cos sin sinsin 2 2 2

rr rr

ϕ ϕθϕθ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

ˆˆ cos sin2 sin 2 2

rr r

ϕ ϕ ϕθ

minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

(b)如左圖一個底面在 x-y 平面半徑＝1高＝2 之圓錐 求面積分

SA dsnablatimes sdotint 面積範圍 S 為圓錐在 x-y 平面以上

部分 方向為由圓錐內向外

解由 Stokersquos law ( )S

A dsrarr rarrnablatimes sdotint ＝

C

A drarrsdotint 其中路

徑 C 為 x-y 平面圓心在原點之單位圓 ˆ ˆd rd dϕ ϕ ϕ ϕ= =

2

0ˆ ˆsin sin

2 2C

d dπϕ ϕϕ ϕ ϕ ϕ⎛ ⎞ ⎛ ⎞sdot =⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠int int ( )0

2 sin u duπ

= int 0cos | 2u π= minus =

習題 16 磁場 B 因為不是保守場所以沒有對應的純量位而對應一

個向量位 A (vector potential)而 B A= nablatimes 一個磁鐵的磁偶極矩

ˆm mz= 被置於原點已知在遠處的 vector potential 03ˆ sin

4mAr

μϕ θπ

=

計算該處的磁場 B Ans 03

ˆˆ( 2cos sin )4

mB rr

μ θ θ θπ

= + 與電偶極遠處

的電場形式一致都是偶極(dipole) 選幾個點畫一畫該處的場向量

把磁力線描出來

附錄本章講義的內容有部分可以經由直接計算得出列在附錄做為

參考

用「圓柱座標」寫 Atimesnabla

Ararr rarrnablatimes ＝ ( )1ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ zz A A zA

z ρ φρ ϕ ρ ϕρ ρ ϕpart part part⎛ ⎞+ + times + +⎜ ⎟part part part⎝ ⎠

4-65

因為rdquo sdotrdquo與rdquotimes rdquo都是向量間的運算所以

＝ ( )ˆ ˆ ˆ ˆ zA A zAρ φρ ρ ϕρpart

times + +part

＋ ( )1ˆ ˆ ˆ ˆ zA A zAρ φϕ ρ ϕρ ϕ

parttimes + +

part

＋ ( )ˆ ˆˆ ˆ zz A A zAz ρ φρ ϕpart

times + +part

直接做上式微分可以得到

＝1ˆ z AA

zϕρ

ρ ϕpart⎛ ⎞part

minus⎜ ⎟part part⎝ ⎠＋ ˆ zA A

zρϕ

ρpart⎛ ⎞part

minus⎜ ⎟part part⎝ ⎠＋

1 1ˆ ( )A

z A ρϕρ

ρ ρ ρ ϕpart⎛ ⎞part

minus⎜ ⎟part part⎝ ⎠

上式可以用一個行列式來表示

rarrrarr

timesnabla A＝

ˆ ˆ ˆ1

z

z

zA A Aρ ϕ

ρ ρϕ

ρ ρ ϕρ

part part partpart part part

（A-1）

A and Anabla nablasdot nablatimes in 球座標 spherical coordinate

如上圖球座標 )( ϕθr 其中 )0[ infinisinr ]0[ πθ isin ]20[ πϕ isin 只有 r

是長度而 ϕθ 為角度是用來說明方向的三個座標的單位向量 ˆ ˆˆ r θ ϕ 具

有下列性質

4-66

1 如上圖 ˆ ˆˆ r θ ϕ 都不是常數而是（ ϕθ ）的函數

ˆ ˆ( )ˆ ˆ( )ˆ ˆ( )

r r θ ϕ

θ θ θ ϕϕ ϕ ϕ

⎧ =⎪

=⎨⎪ =⎩

)( ϕθr 與(xyz)之間的轉換如下

sin cossin sincos

x ry rz r

θ φθ φθ

=⎧⎪ =⎨⎪ =⎩

( )122 2 2

2 2

tan

tan

r x y z

x yz

yx

θ

φ

⎧ = + +⎪⎪ +⎪ =⎨⎪⎪ =⎪⎩

（A-2）

2 ˆ ˆˆ r θ ϕ 形成一「歸一正交集」ie

ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ 1r r θ θ ϕ ϕsdot = sdot = sdot = ˆ ˆr θ ϕperp perp

ˆ ˆr θ ϕtimes = ˆ ˆ rθ ϕtimes = ˆˆ rϕ θtimes = （A-3）

3可以很容易的由他們在 xyz 軸上的投影由直角

座標的 ˆ ˆ ˆ x y z 表出

ˆ ˆ ˆ ˆsin cos sin sin cos ( 4 )ˆ ˆ ˆ ˆcos cos cos sin sin ( 4 )ˆ ˆ ˆsin cos ( 4 )

r x y z A a

x y z A bx y A c

θ φ θ φ θ

θ θ φ θ φ θϕ φ φ

= + + minus⎧⎪

= + minus minus⎨⎪ = minus + minus⎩

4 ˆdr = 由於 ˆ ˆ( )r r θ φ= 所以由 ϕθ 的變動來看

4-67

ˆ ˆˆ| |ˆ ˆˆ| | sin sin

d r d d

d r d d

θ θθ θθ

φ θ φφ θ φφ

⎧ rArr =⎪⎨

rArr =⎪⎩rArr ˆ ˆˆ sindr d dθ θ φ θ φ= + （A-5）

rArrˆ ˆr θθpart

=part

ˆ ˆsinr θφφpart

=part

（A-6）

（A-6）的結果也可以直接由（A-4a）對 ϕθ 偏微得到

5 ˆdθ ＝ 由於 ˆ ˆ( )θ θ θ φ= 所以由 ϕθ 的變動來看

ˆ ˆ ˆ| | ( )ˆ ˆ ˆ| | cos cos

d d r d r

d d d

θ θ θ θ

φ θ θ φφ φ θ φ

⎧ rArr minus = minus⎪⎨

rArr =⎪⎩rArr ˆdθ ＝ ˆˆ cosrd dθ φ θ φminus + （A-7）

ˆrθ

θpart

rArr = minuspart

ˆ ˆcosθ φ θφpart

=part

（A-8）

請直接由（A-4b）對 ϕθ 偏微的結果 check（A-8）

6 ˆdφ ＝由於φ )(ϕ 躺在 x-y 平面上變動φ時的方向可能不是那麼

容易看出來所以做圖看一看

ie ˆ ˆˆ(sin ) (cos )d r d dφ θ φ θ θ φ= minus minus （A-9）

4-68

ˆ ˆˆsin cosrφ θ θ θφpart

= minus minuspart

7 所有的向量 ˆ ˆˆ rA rA A Aθ φθ φrarr= + +

8 位置向量 ˆr rrrarr=

可以由左圖 ˆ ˆˆ r θ ϕ 三個方向的「長度

變化」輕易的看出

9 位移元素

ˆ ˆˆ ˆ sindr rdr rd dθ θ ϕ θ φ= + + (A-10)

10 體積元素

sindv dr r d rdθ φ θ= sdot sdot

＝ 2 sinr dr d dθ θ φ (A-11)

11 面積元素 2 sinrds r d dθ θ φ= plusmn sinds r drdθ θ φ= plusmn ds rdrdφ θ= plusmn (A-12)

plusmn號表示面的垂直方向有兩個端看 ds 周邊的方向是如何定的

nabladel 考慮 ( )u u r θ φ=

rArru u udu dr d dr

θ φθ φ

part part part= + +part part part

u d rrarr rarr

equiv nabla sdot

urarr

= nabla sdot ˆ ˆˆ( sin )rdr rd dθ θ φ θ φ+ +

rArr1 1ˆ ˆˆ

sinu u uu rr r r

θ ϕθ θ φ

rarr part part partnabla = + +

part part part

1 1ˆ ˆˆsin

rr r r

θ ϕθ θ φ

rarr part part partnabla equiv + +

part part part （A-13）

4-69

直接用（A-13）與 ˆ ˆˆ rA rA A Aθ φθ ϕrarr= + + 逐項內積加上（A-678）

rArr ϕθ

θθθ

ϕθ part

part+

partpart

+partpart

=sdotnablararrrarr A

rA

rAr

rrA r sin

1)(sinsin1)(1 2

2 （A-14）

（A-13）與 ϕθ ϕθ AAArA r

andandandrarr

++= 逐項外積整理之後

ϕθ θϕθ

ϕθθ

θArrAA

r

rrr

rA

r sin

sin

sin1

2 partpart

partpart

partpart

=timesnabla

andandand

rarrrarr

（A-15）

Laplacian uu nablasdotnabla=nabla2

2

2

2222

22

sin1)(sin

sin1)(1

ϕθθθ

θθ partpart

+partpart

partpart

+partpart

partpart

=nablau

ru

rrur

rru （A-16）

B推導「散度」在圓柱座標的寫法

讓我們先回顧一下在直角座標裡的「面積元素」可以由「位移元素」

得到

ˆˆ ˆ x y zdr idx jdy kdz da dydz dxdz dxdy= + + rArr =

比照辦理「圓柱座標」的位移元素

( )ˆˆ ˆ( )

( )z

da d dzdr d d zdz da d dz

da d d

ρ

φ

ρ φ

ρ ρ φ ρ φ ρ

ρ ρ φ

=⎧⎪= + + rArr =⎨⎪ =⎩

這個結論可以輕易的由面積元素在垂直於 zˆˆ ϕρ 三個方向的面積看

出如下圖考慮一個以 )( zϕρ 為中心的「圓柱體積元素」(cylindrical

cubiod)體積為 zdV ΔΔ=Δ ϕρρ 現計算在 ρ

方向的 12 兩個平行面(方向各為 ρplusmn )的通

量

4-70

zzF

dsFdsnFS S

ΔΔ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

+cong

=sdotintint intintϕρρϕρρρ

ρ

2

2

ˆ1 1

zzF

dsFdsnFS S

ΔΔ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

minus⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

minusminuscong

minus=sdotintint intintϕρρϕρρρ

ρ

2

2

ˆ2 2

intint+

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

minus⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

minusminus⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

+Δ

asympsdotΔ

rArr21

22

22

1ˆ1

SS

zFzFdsnFV

ϕρρρρϕρρρρρρ ρρ

( ) ( )

1 20

0

0

1 ˆlim

1lim 2 2 2 2

1 1lim 2 2

1

VS S

F ndsV

F z F z

F z F z

F

ρ ρρ

ρ ρρ

ρ

ρ ρ ρ ρρ ρ φ ρ ρ φρ ρ

ρ ρρ ρ φ ρ ρ φρ ρ

ρρ ρ

Δ rarr+

Δ rarr

Δ rarr

rArr sdotΔ

Δ Δ Δ Δ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + + minus minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥Δ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦Δ Δ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥Δ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

part ⎡ ⎤= ⎣ ⎦part

intint

娛樂一下用上述方式把圓柱的 Fsdotnabla 裡的z

FF z

partpart

+partϕρϕ1

變出來

球座標的nabla和 Fsdotnabla 也可以試試看

補充習題

H M Scheydiv grad curl and all that 4th edition

第二章習題 6 8 9 10 11 14 15 16 18 19 21 22 23 25 26 27

第三章習題 2 3 5 6 7 8 9 10 11 14 15 17 18 19 24

4-46

解 ( )ˆˆS

A da A rda A k darArr sdot = sdot + sdot minusint int int上半球面 底面

( )

2

ˆ ˆ

0 2 1 2

A rda A z dxdy

r rds zdxdy rds ds π π

= sdot + sdot minus

= sdot minus = minus = = sdot =

int int

int int int int上半球面 底面

上半球面 底面 上半球面

底面的通量＝0 是因為 A 的 z 分量 Az=z 在底面的值為 0

也可以用散度定理更快的得出結果

∵ 3A rnablasdot = nablasdot =

31 43 3 1 22 3V V

Ad d πτ τ πnablasdot = = sdot sdot sdot =int int

ex43高斯定律的微分形式積 由 Gaussrsquo law 的積分形式用散度定理得出其

( )0 0

1 inS V

qE ds x y z dvρε ε

sdot = =int int

0S V VE ds Edv dvρ

εrArr sdot = nablasdot =int int int

上式最後的等式對「任意形狀」V 都成立所以兩者的被積函數相等

對於空間每一點 0

E ρε

nablasdot = （4-80）

ex44 Use 第一象限的單位力方體 check the divergence theorem using the function 2 2ˆ ˆ ˆ(2 ) 2A y x xy z y yzz= + + +

解2

2( ) (2 )(2 ) 2( )y yzA xy z x yx y z

part part partnablasdot = + + + = +

part part part

and 1 1 1 1 1 1

0 0 0 0 0 02 ( ) 2 ( )

VAdv x y dxdydz dz dy x y dxnablasdot = + = +int int int int int int int

1 1

0 0

1 12 ( ) 2 12 2

dz y dy= + = sdot =int int

面積分 1 1 2

0 0

1ˆ3

A ds A xdydz dz y dysdot = sdot = =intint intint int int前 前

4-47

1 1 2

0 0

1ˆ( )3

A ds A x dydz dz y dy minussdot = sdot minus = minus =intint intint int int

後 後

1 1 2

0 0ˆ (2 )A ds A ydxdz dz xy z dxsdot = sdot = +intint intint int int

右 右

1 1 1 12 2

0 0 0

4(2 ) (1 )3

ydz x z dx dz z

=

= + = + =int int int∵

1 1 2

0 0

0 1 1 12 2

0 0 0

ˆ( ) (2 )

1(1 )3

y

A ds A y dxdz dz xy z dx

dz z dx dz z=

sdot = sdot minus = minus +

minus= minus = + =

intint intint int int

int int int∵

左 左

11 1 1 1

0 0 0 0ˆ 2 2 1

zA ds A zdxdy dx yzdy dx ydy

=sdot = sdot = = =intint intint int int int int

∵

上 上

01 1

0 0ˆ 2 0

zA ds A zdxdy dx yzdy

=sdot = sdot minus = minus =intint intint int int

∵

下 下

前後右左上下六個面積分合併＝1＝V

Advnablasdotint QED

ex45 Continuity Equation 連續方程式

考慮某些「東西」的流動（物質電荷hellip）在時刻 t 時在點(xyz)

的 密 度 為 ( ) x y z tρ ρ= 並 具 有 速 度

( ) v v x y z t= 在時刻 t 時在體積 V 內的總量為

( ) x y z t dρ τintintint

這樣體積 V 內東東的時變率為

( ) ( ) d x y z t d x y z t ddt t

ρρ τ τpart=

partintintint intintint

注意體積分後的時間全微分移入積分內要改為偏微分這個東東

在表面的「流率 flow rate」可表為

ˆS

R v ndsρ= sdotintint

若體積內的物料無法自生自滅那麼體積內物料的變化必經由表面的

流出流入所造成

d v ndstρ τ ρpart

rArr = minus sdotpartintintint intint

由散度定理

4-48

( )ˆS

v nds v d dtρρ ρ τ τpart

sdot = nablasdot = minuspartintint intintint intintint

( )v Jtρ ρpart

rArr = minusnablasdot equiv minusnablasdotpart

0Jtρpart

rArr +nablasdot =part

（4-81）

(4-81) 即 continuity equation其中 J vρ= 為「物流密度」ex如果 ρ

是電荷密度 J 就是電流密度（4-81）是物質守恆的結果只對體

積內無 source（生成）or drain（消滅）的東東成立

ex46 Given a vector field ˆ ˆx yA ye xe= minus + (a) Find

Anablasdot (b)如圖一個金字塔狀的 5 面體高 2 底邊長

1計算 A在整個金字塔表面（封閉面）的總通量

解(a) Anablasdot = ( ) ( ) 0y xx ypart part

minus + =part part

(b) 金 字 塔 的 表 面 面 積 元 素 ds 不 好 寫 所 以 用 散 度 定 理

( )S V

A da A dvrArr sdot = nablasdotint int ＝0 Anablasdot 表示 A沒有 source 所以對封閉面而

言有多少場線進入就有多少出去所以總通量＝0

習題 7 With position vector r for an arbitrary volume V that is

bounded by surface S show that 13 S

r ds Vsdot =int

習題 8 已知一靜電場為 ˆ ˆ ˆ( )E xyz yxz zxyλ= + + 運用 Gaussrsquo law

試求包含在半球 2 2 2 2 0x y z R z+ + = ge 裡的總電荷 Ans 0

習題 9 (a) given ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( 2 )F r xf x yf y zf z= + + minus show that divF is

zero at point (c c -c2) (b) given ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( )G r xf x z yg x z zh x y= + +

show that ( ) 0G rnablasdot =

4-49

習題 10 Find the normal vector n for the surfaces (a) z = 2-x-y ans

ˆ ˆ ˆ( ) 3x y z+ + (b) z = (1-x2)12 ans ˆ ˆxx zz+ (c) z = x2+y2

ans ˆ ˆ ˆ( 2 2 ) 1 4xx yy z zminus minus + +

習題 11 Show that the unit vector normal to the plane ax+by+cz =d is

given by 2 2 2ˆ ˆ ˆ( ) ax by cz a b cplusmn + + + +

圓柱座標與球座標的nabla (del)

考慮一純量場在直角座標為 ( ) u x y z 在圓柱座標表為 ( ) u zρ φ

再考慮因位移 r r drrarr + 所造成 u ( )zρ φ 的變化

( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆz

z

u u udu d d dz u dr u d d zdzz

u u z u d d zdz

u d u d u dzρ ϕ

ρ ϕ

ρ ϕ ρ ρ ϕρ ϕρ ϕ

ρ ϕ ρ ρ ϕρ ϕ

ρ ρ ϕ

part part part= + + = nabla sdot = nabla sdot + +part part part

⎡ ⎤= nabla + nabla + nabla sdot + +⎣ ⎦= nabla + nabla + nabla

( ) ( ) ( )1

1ˆ ˆ ˆu

z

u u uu u uz

u u uzz

ρ ϕρ ρ ϕ

ρ ϕρ ρ ϕ

part part partrArr nabla = nabla = nabla =

part part partpart part part

rArrnabla = + +part part part

1ˆ ˆ ˆ zz

ρ ϕρ ρ ϕpart part part

nabla = + +part part part

（4-82）

注意nabla的ϕ -分量( 1ρ ϕ

partpart

)不是像直角座標裡單純的ϕpartpart

所以不要笨笨

的就把直角座標的形式硬套上去用我們也可以從「因次分析」來

看nabla因為是對空間的微分所以每一項的因次必須是「長度分之一」

運算 andzρ

part partpart part

都是「長度分之一」而「單純的ϕpartpart

」是沒有單位的

所以要1ρ ϕ

partpart

才 OK

由於圓柱座標裡的單位向量除了 z 之外 ˆ( )ρ ϕ 與 ˆ( )ϕ ϕ 都不是常

4-50

數所以在微分時不可以與微分運算交換而要考慮微分的作用所

以在「圓柱座標」寫「散度」 ( ) F zρ ϕnablasdot 也和直角座標不一樣

( )1ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ zF z F F zFz ρ ϕρ ϕ ρ ϕ

ρ ρ ϕpart part part⎛ ⎞

nabla sdot = + + sdot + +⎜ ⎟part part part⎝ ⎠

( ) ( )1ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆz zF F zF F F zFρ ϕ ρ ϕρ ρ ϕ ϕ ρ ϕρ ρ ϕpart part

= sdot + + + sdot + +part part

( )ˆ ˆˆ ˆ zz F F zFz ρ ϕρ ϕpart

+ sdot + +part

因為 ( ) ( )ˆ ˆ ˆ ˆ ρ ρ ϕ ϕ ϕ ϕ= = 所以做 andzρ

part partpart part

時 ˆ ˆ ρ ϕ 可視為常數

ˆ ˆ1ˆ ˆ ˆ zF F F FF F Fz

ρ ρ ϕρ φ

ρ ϕϕ ρ ϕρ ρ ϕ ϕ ϕ ϕ

part part part⎡ ⎤part part partrArrnablasdot = + sdot + + + +⎢ ⎥part part part part part part⎣ ⎦

還記得 ˆ ˆ ˆ ˆd d d dρ ϕ ϕ ϕ ρ ϕ= = minus 所以 ˆ ˆρ ϕϕpart

=part

ˆ ˆϕ ρϕpart

= minuspart

rArr

( )1 1 1z zF F F FF FF Fz z

ρ ρ ϕ ϕρρ

ρ ρ ρ ϕ ρ ρ ρ ϕpart part part part

nablasdot = + + + = + +part part part part part part

（4-83）

在球座標寫nabla也會遇到相似的問題其根源就是球座標 ( )r θ ϕ 裡

的 θ ϕ 的因次並非長度而三個單位向量 ˆ ˆˆ r θ ϕ（表為 ie ）都是( θ ϕ )

的函數以致

( )ˆ ˆ( ) ( )i ie f e fθ ϕ θ ϕθ θpart part

nepart part

且 ( )ˆ ˆ( ) ( )i ie f e fθ ϕ θ ϕϕ ϕpart part

nepart part

所以nabla也不似在直角座標那麼簡單我們不在這裡推導而是給出一

個歸納的統一的三個座標的結果還記得對每一個座標 iu i = 123

座標的變化 idu 與造成的長度變化 id

i i id h du= 123i = (4-84)

其中 ih 為對應的度量係數(metric coefficient)

4-51

1 2 3

1 1 2 2 3 3

1 1 1ˆ ˆ ˆu u ue e eh u h u h u

part part partnabla equiv + +

part part part （4-85A）

座標 1 2 3 u u u

度量係數

1 2 3 h h h

nabla grad del

直角 x y z

1 1 1 nabla ˆ ˆ ˆx y z

x y zpart part part

equiv + +part part part

圓柱

zρ ϕ

1 1ρ

1ˆ ˆ ˆ z

zρ ϕ

ρ ρ ϕpart part part

nabla equiv + +part part part

球

r θ ϕ

1 sinr r θ

1 1ˆ ˆˆ

sinr

r r rθ ϕ

θ θ ϕpart part part

nabla = + +part part part

（4-85B）

梯度gradient Vnabla grad(V) 散度divergence Anablasdot div( )A

直

角 nablaV ˆ ˆ ˆV V Vx y z

x y zpart part part

= + +part part part

yx zAA AAx y z

partpart partnablasdot = + +

part part part

圓

柱

1ˆ ˆ ˆ V V VV zz

ρ ϕρ ρ ϕpart part part

nabla = + +part part part

( )1 1

1

z

z

A AA Az

A A A Fz

ϕρ

ρ ρ ϕ

ρρ ρ ρ ϕ

ρ ρ ρ ϕ

partpart partnabla sdot = + +

part part partpart part part

= + + +part part part

球

1 1ˆ ˆˆ sin

V V VV rr r r

θ ϕθ θ ϕ

part part partnabla = + +

part part part

22

1 ( )rA r Ar r

partnabla sdot =

part

1 (sin )sin

Ar θθ

θ θpart

+ sdotpart

1sin

Ar

ϕ

θ ϕpart

+part

(4-86)

Ex47 Using spherical coordinate show that 1| |r r

nablaminus

= 2

ˆ| |

r rer r

minusminusminus

where

nabla是作用在 r 而 ˆr re minus 是向量 r rminus 方向的單位向量 解let r lies in z-axis so that the angle between r and r is just θ

4-52

rArr ( ) 122 21 1 2 cos | | ( ) ( )

r rr rr r r r r r

θminus

= = minus +minus minus sdot minus

( ) ( )12 122 2 2 21 1ˆˆ 2 cos 2 cos | |

r r rr r r rr rr r r r

θ θ θθ

minus minuspart partnabla = minus + + minus +

minus part part

( ) 322 21ˆ 2 cos (2 2 cos )2

r r rr r r rθ θminusminus

= minus + minus

( ) 322 21ˆ 2 cos (2 sin )2

r rr r rrθ θ θminusminus

+ minus +

3 3 3 3

ˆˆ ˆ( cos ) sin ( cos sin )ˆˆ| | | | | | | |r r r rr r rrr r r r r r r r

θ θ θ θ θθminus minus minus minus minus= + = +

minus minus minus minus

3 3 3ˆ ( )

| | | | | |r r z r r r rr r r r r rminus + minus + minus minus

= = =minus minus minus

＝ 2

ˆ| |

r rer r

minusminusminus

QED

證明最後我們用到 ˆˆˆ cos sinz r θ θ θ= minus 而 ˆ r r z= 因為我們選了 r 是

躺在 z-軸 Ex48 For arbitrary scalar field ( )f r and vector field ( )A r 證明恆等式

( )fA f A f Anablasdot = nabla sdot + nablasdot (4-87) 解 ˆ ˆ ˆx y zfA xfA yfA zfA= + +

( ) ( ) ( ) ( )x y zfA fA fA fAx y zpart part part

rArrnablasdot = + +part part part

yx zx x x

AAf f f AA f A f A fx x y y z z

partpartpart part part part= + + + + +part part part part part part

yx zx y z

AAf f f AA A A fx y z x y z

part⎛ ⎞partpart part part part= + + + + +⎜ ⎟part part part part part part⎝ ⎠

f A f A= nabla sdot + nablasdot QED 習題 12 一個位於原點的電偶極電偶極矩＝ ˆp pz= 已知其在遠處

的電位為 20

cos4p

rθ

πε試證該處的電場強度為 E = 3

0

ˆˆ( 2cos sin )4

p rr

θ θ θπε

+

(已知 E V= minusnabla )並請計算 Enablasdot ＝

習題 13 給定一向量場2

3cosˆD r

rϕ

= 現有兩個球心在原點的同心球

內球半徑 R＝1外球 R＝2(a)求面積分S

D dssdotint S 為同心球殼的表

面（有內外兩個面）(b)求體積分V

Ddvnablasdotint V 為兩同心球之間的

區域本題也是來 check 散度定理的Ans πminus

4-53

The Laplacian operator 2nabla equivnablasdotnabla

在直角座標可以用直接作用得到

2 2 2

22 2 2u u uu u

x y zpart part part

nabla equiv nablasdotnabla = + +part part part

(4-88)

圓柱座標

2 2

22 2 2

1 1( ) u u uu uz

ρρ ρ ρ ρ ϕ

part part part part⎛ ⎞nabla equiv nablasdot nabla = + +⎜ ⎟part part part part⎝ ⎠

(4-89)

球座標

2

2 22 2 2 2 2

1 1 1sinsin sin

u u uu rr r r r r

θθ θ θ θ ϕ

part part part part part⎛ ⎞ ⎛ ⎞nabla = + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟part part part part part⎝ ⎠ ⎝ ⎠ （4-90）

習題 14 verify (4-89) and (4-90)

習題 15 Given a dipole potential V= 20

cos4p

rθ

πε find 2Vminusnabla

sect 433 Line integral and curl A 線積分與與旋度的物理意義

線積分路徑積分

考慮一曲線 C 通過兩點 ( )i i i iP x y z 與

( )f f f fP x y z 現有一向量場 ( )A x y z 定義在

C 所在的空間若 sd 為 C 上位於(xyz)點的

「路徑元素」（ ˆd td= 方向沿該處切線）而

( )A x y z 為路徑元素d 處的場值則沿 C 經歷各點所做積分

cos cosf

CC C iA d Ad A dϕ ϕrarr rarrsdot = =int int int （4-91）

稱為向量場 ( )A x y z 沿路徑 C 自 pi 至 pf 的「線積分」「或「路徑積分」

積分裡 A 取值的點侷限在路徑 C 上面若為一個「封閉路徑」則對

C 的線積分也稱做「環路積分 closed contour integral」記做

C

A dsdotint （4-92）

4-54

物理量「做功」是最標準的線積分之一力 F 自 x = a 至 x = b「沿線」

x 軸做功

W＝ F dxsdotint ＝ ( )b

xaF x dxint （4-93）

質點在力場 )(rF 裡走一條曲線 C則力場做功

CW F d= sdotint （4-94）

還記得如果 ( )F r 是所謂「保守力」則上式只與始末點有關而與

路徑無關但如果 ( )F r 是所謂「非保守力」則做功與確實的路徑 C

有關

現考慮一質點在空間運動的位置 r 落在由曲線 C

描述的路徑則質點的位移元素與曲線 C 的路徑元

素相同 d dr= 若空間有向量場 A 分佈則 A 在 C 的

路徑積分以直角座標表示為

CA drarr rarrsdotint ＝

CA d rrarr rarrsdotint ＝ ( )x y zC

A dx A dy A dz+ +int （4-95）

上式中的 x y z 的積分限由 C 決定

Ex49 2 2 2ˆ ˆ ˆA xx yy zzrarr= + + 選定一路徑 C 為曲線

2y x= 由 (000)到 (2 20)的部分求C

A dsdotint

解 ˆ ˆd xdx ydy= +∵

CA dsdotint ＝ 2 2( )

Cx dx y dy+int ＝

2 22 2

0 0x dx y dy+int int

＝ )24(32

+

或由 2y x= rArr 2ydy dx= 2 12

y dy xdxrArr =

rArrC

A dsdotint ＝2 2

0

1( )2

x x dx+int ＝2 (4 2)3

+

4-55

ex50 ˆ ˆ( )f x y z xy yx= minus Do C

f dsdotint 其中的路徑 C 為一逆時針三角

形如圖 解∵路徑全部在 x-y 平面 ˆ ˆ ˆd td xdx ydy= = +

rArrC

f dsdotint ＝ x yC

f dx f dy+int ＝C

ydx xdyminusint

由於在 C1 上 y = 0 及 dy = 0 所以 01

=intC 又由於在

C3 上 x = 0 及 dx =0所以 03

=intC 所以只剩下 C2 可

能有貢獻由 2C 的方程式x + y =1rArr ⎩⎨⎧

minus=minus=

xyyx

11

rArr2Cydx xdyminusint ＝

0 1

1 0(1 ) (1 )x dx y dyminus minus minusint int ＝

0 12 2

1 0

( ) ( )2 2x yx yminus minus minus ＝-1

Cf dsdotint ＝-1

ex51 ( )f x y zrarr

= 2ˆ ˆxx yxyminus 如右圖doC

f dsdotint 其

中路徑 C 為第一象限的逆時針 14 圓弧

解∵ 全部在 x-y 平面 ˆ ˆd xdx ydy= +

Cf dsdotint ＝ 2

Cx dx xydyminusint

由於在 C 上 cosx R ϕ= rArr sindx R dϕ ϕ= minus

siny R ϕ= rArr cosdy R dϕ ϕ=

rArr 2

Cx dx xydyminusint ＝

2 2 2 2

0cos ( sin ) sin cos cosR R d R R d

πϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕminus minus sdotint

23 2

02 cos sinR d

πϕ ϕ ϕ= minus int ＝

323Rminus

又路徑為圓周一部份所以適合用極座標表示

ˆd Rdϕ ϕ= 又由左圖將 ˆ ˆx y 拆解（投影）到 ˆˆr ϕ

ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆcos sin sin cosx r y rϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ= minus = +

4-56

( )2ˆ ˆ ˆˆ ˆ( cos sin ) ( sin cos )C C

f d r x r xy Rdϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕsdot = minus minus + sdotint int 2

2 2 2

0

sin (cos )

sin ( cos ) (cos ) cos sin

Cx Rd xyRd

R Rd R Rdπ

ϕ ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ

= minus minus

= minus minus

intint

23 2

02 cos sinR d

πϕ ϕ ϕ= minus int ＝

323Rminus

這也驗證了散度定理

Path Independence 路徑獨立性

Ex52 證明庫倫力為「保守力」考慮

電荷 q0 位於原點及電荷 q 位於

( )r x y zrarr= q 受力 F

rarr＝ 0

20

14

qq urπε

and

求庫侖力作功因為球形對稱所以

用球座標由 ˆ ˆ ru rr

= = rArr Frarr

= 03

04qq r

rπε

庫侖力由 P1 至 P2 做功為 2

1

P

CPF drarrsdotint ＝

2

1

02

0

ˆ ˆ ˆˆ sin4

P

PC

qq r rdr rd r dr

θ θ ϕ θ ϕπε

⎡ ⎤sdot + +⎣ ⎦int ＝2

1

02

04P

P

qq drrπεint

＝20

2104

r

r

qq drrπε int ＝ 0

0 1 2

1 1( )4qq

r rπεminus for all C

所以庫侖力兩點間做功與路徑無關rArr保守力

對於「保守力 conservative force」 cF 自 p1 經

由兩條不同的路徑 C1 與 C2 到達 p2

1 ccF drarrsdotint ＝

2 ccF drarrsdotint ＝-

2 ccF drarr

minussdotint

rArr1 2c cc cF d F drarr rarr

minussdot + sdotint int = cF d

rarrsdotint ＝0 (4-96）

對於任何「封閉路徑」保守力做功為 0反之若

對任一封閉路徑 0F drarrsdot neint 則兩點之間的做功與路徑有關

rarr

F 為「非

保守力」

4-57

旋度 curl Anablatimes 的幾何物理意義

我們在（4-70）式已經看過旋度的計算方式但旋度另有其意義的

ex53 給定向量場2 2

0ˆ yv yv e λrarr

minus= 左圖為場的分佈

2 20

ˆ ˆ ˆ

0 0x y z

y

x y zcurl v

v e λ

rarr

minus

= part part part ＝ ˆ ˆ ˆ0 0 0 0x y zsdot minus sdot + sdot =

我們用了簡寫 x yx ypart part

part equiv part equivpart part

可以看出這個場裡沒有「漩渦」

但是有無「漩渦」有時也不是那麼明顯可以看出的請見下一個例子

Ex54 給定向量場2 2

0ˆ xv yv e λrarr

minus= 計算其旋度 vnablatimes

解向量場 vrarr

畫在右邊你看得出有無漩渦

先計算旋度

2 20

ˆ ˆ ˆ

0 0x y z

x

x y zcurl v

v e λ

rarr

minus

= part part part2 2

2 2

0

0

ˆ

ˆ 2 0 0

x

x

z v ex

z v xe for x

λ

λ

minus

minus

part=

part

= minus ne ne

vrarr

的旋度在大部分的地方不為 0 且隨位置而不同但是你看得出這個

向量場裡有「漩渦」其實要檢驗一個向量場裡有無「漩渦」有一

個很物理的方法就是放一個小「螺旋槳」（左圖）

在場內將軸朝各個方向測試一

下如果有「漩渦」的話這個

小「螺旋槳」就會轉動右圖就是將「螺旋槳」的

軸平行於 z 軸且放在 x gt 0 的地方就可以看出左

邊的 v 場比右邊的強造成螺旋槳順時針轉動rArrcurlv zminus for x gt 0

但如果放在 x = 0 的地方就會看到左右兩端的 v 場強度相同而且

4-58

curlv = 0 「螺旋槳」放在 x lt 0 的地方就可以看出右邊的v 場比左

邊的強造成螺旋槳逆時針轉動這完全符合 curl v k+ 的結果

環路積分與旋度 curl 的物理意義

如同「散度」一樣「旋度」除了 Ftimesnabla 之外

還有一個物理意義更清楚的定義這個定義由

「線積分」說明如圖考慮做「逆時針」長方形

路徑 C1 的一個「環路積分」C1 面平行於 x-y 平

面由 z-軸看下去環路 C1 可以分為可以分為

下 CB上 CT右 CR左 CL 4 部分

CA drarrsdotint ＝

B T L RC C C CA d A d A d A drarr rarr rarr rarrsdot + sdot + sdot + sdotint int int int

分別計算由於 CB 的中點座標為 ( )2yx y zΔ

minus

ˆB BC C

A d A xdxrarr rarrsdot = sdot =int int

BxC

A dxint ( )2xyA x y z xΔ

asymp minus Δ

similarly 由於 CT 的中點座標為 ( )2yx y zΔ

+

ˆ( )T TC C

A d A xdxrarr rarrsdot = sdot minus =int int

TxC

A dxminusint ( )2xyA x y z xΔ

asymp minus + Δ

合併 CB 與 CT

B TC CA drarr

+sdot =int

( ) ( )2 2x xy yA x y z A x y z

x yy

Δ Δ⎡ ⎤minus + minus minus⎢ ⎥⎣ ⎦ Δ ΔΔ

（4-97）

由 C1 所圍的面積 S x yΔ = Δ Δ

1B TC C

A dS

rarr

+sdot =

Δ int( ) ( )

2 2x xy yA x y z A x y z

y

Δ Δ⎡ ⎤minus + minus minus⎢ ⎥⎣ ⎦Δ

（4-98）

所以當取極限 C1 收縮到中心(xyz)時 SΔ 收縮到 0ie

4-59

0limsΔ rarr

1B TC C

A dS

rarr

+sdot =

Δ int xAy

partminuspart

（4-99）

Similarly with CR 的 ˆd ydy= CL 的 ˆd ydy= minus 可得

1L RC C

A dS

rarr

+sdot =

Δ int x

zyxxFzyxxF yy

Δ

Δminusminus

Δ+ )

2()

2(

（4-100）

同樣的當取極限 C1 收縮到中心(xyz)時 SΔ 收縮到 0

0

limsΔ rarr

1L RC C

A dS

rarr

+sdot =

Δ int yAx

partpart

（4-101）

最後合併 CBCTCRCL 為 C1

10

1limCs

A ds

rarr

Δ rarrsdot =

Δ int y xA Ax y

part partminus

part partˆ ( ) ( )zz A A= sdot nablatimes = nablatimes （4-102）

注意 C1 的方向就是在 z 上式的重要

意義是當向量場 A 在一個以點(xyz)為

中心「方向為 z 」的面積元素的「邊界」

所做的環路積分得到的就是 A 在(xyz)

處旋度的 z-分量明顯的只有當 A 在

(xyz)附近有 x-y 平面上的「漩渦」那麼 C1 的環路積分才不會為 0

Similarly 取一個逆時針繞著(xyz)的平行於 x-z 平面的長方形環路 C2

（左圖）做環路積分再取極限將 C2 收縮到(xyz)就會得到

20

1limCs

A ds

rarr

Δ rarrsdot =

Δ int x zA Az x

part partminus

part partˆ ( ) ( )yy A A= sdot nablatimes = nablatimes （4-103）

注意到 C2 所包圍的面積方向就在 y到

現在我們應該已經很有經驗了若取一

個逆時針繞著(xyz)的平行於 y-z 平面

的長方形環路 C3（左圖）做環路積分

再取極限將 C3 收縮到(xyz)就會得到

4-60

30

1limCs

A ds

rarr

Δ rarrsdot =

Δ int yz AAy z

partpartminus

part partˆ ( ) ( )xx A A= sdot nablatimes = nablatimes （4-104）

能把（4-103）與（4-104）變出來的同學我們有優待綜合以上

我們可以得到一個結論若取一個以點(xyz)為中心的任意環路 Cn（其

所包圍的面積方向在 n ）則

n curl Aand rarrsdot ＝

0

1lims

Cn

A ds

rarr

Δ rarrsdot

Δ int （4-105）

明顯的當 n ＝ x 或 y 或 z 時我們可以重複（4-102）到（4-104）的

結果（4-70）式的行列式所定義的旋度在此看見其幾何物理意義

至此「旋度」的「漩渦」形象應該已經很清楚了只有在(xyz)點附

近的小圈圈上有「漩渦」 A 在小圈圈做的環路積分才會有值這個

值就是向量場 A 的「旋度」在小圈圈面積方向的分量

Stokersquos 定理

考慮一個開放面 S被其「有方向的」邊界 C 圈住(bounded by)則

( )S

A dsrarr rarrnablatimes sdotint ＝

C

A drarrsdotint （4-106）

pf 先將 S 面分割為 N 個多邊形這會使得邊界變成一個「折線」形

成的環路 P環路 P 會隨著分割的多邊形個數的增多而越加近似於原

「光滑的」邊界 C現考慮相鄰的

兩個多邊形的線積分由於共用邊

的方向是相反的所以相鄰兩個多

邊形線積分的和只剩「外邊界」（見左圖）所以當把所有的多邊形的

4-61

線積分加起來時由於只有邊界 P 不是多邊形的共用邊所以

1k

N

k C

A drarr

=

sdotsum int ＝P

A drarrsdotint rArr

P

A drarrsdotint ＝

1

1

k

N

kk k C

A d l ss

rarr rarr

=

⎡ ⎤sdot Δ⎢ ⎥

Δ⎢ ⎥⎣ ⎦sum int

其中 ksΔ 為第 k 個多邊形的面積取極限 0kN srarrinfinrArrΔ rarr P CrArr rarr

C

A drarrsdotint ＝

10

1limkk

N

kN k k Cs

A d ss

rarr

rarrinfin=Δ rarr

⎡ ⎤sdot Δ⎢ ⎥

Δ⎢ ⎥⎣ ⎦sum int 01

ˆlim ( )k

k kskn A s

infin

Δ rarr=

⎡ ⎤= sdot nablatimes Δ⎣ ⎦sum

01

ˆlim ( )k

k kskA n s

infin

Δ rarr=

= nablatimes sdot Δsum = ( )S

A dsrarr

nablatimes sdotint QED

ex55 由 Amperersquos law 的積分形式導出其微分形式

解Amperersquos law 的積分形式 C

B drarrsdotint ＝ I0μ (4-107)

由 Stokersquos 定理及電流密度 j 的定義上式等號兩端可寫為

rArr ( )S

B dsrarr rarrnablatimes sdotint ＝ 0 S

j dsμrarrsdotint

由於上面的等式對任意面 S（路徑 C）都成立所以被積函數相等

0B jμrarr rarr rarr

rArrnablatimes = (4-108) 此即 Amperersquos law 的微分形式

Ex56 Given a vector field ˆ ˆx yA ye xe= minus + (a) Find Anablatimes

解

ˆ ˆ ˆˆ ˆ(1 ( 1) 2

0x y z

x y zA z z

y xnablatimes = part part part = minus minus =

minus

(b)如圖一個金字塔狀的 5 面體高 2底邊長＝1計算 ( )S

A dsnablatimes sdotint

其中 S 為金字塔在 x-y 平面以上的部分方向如同

封閉的金字塔（運用 Stokersquos law）

解金字塔上表面的面積元素ds 不好寫由 Stokersquos

4-62

law ( )S

A dsrarr rarrnablatimes sdotint ＝

C

A drarrsdotint 其中封閉路徑 C 就是上表面的邊界而且

是逆時針（由 z 軸向下看）

C

A drarrsdotint ＝

1 1 0 0

0 0 1 1ˆ ˆ ˆ ˆA xdx A ydy A xdx A ydysdot + sdot + sdot + sdotint int int int

＝1 1 0 0

0 0 1 1x y x yA dx A dy A dx A dy+ + +int int int int 1 1 0 0

0 0 1 1( 0) ( 1) ( 1) ( 0)y dx x dy y dx x dy= minus = + = + minus = + =int int int int

0 1 1 0 2 ( ) 2S

A ds= + + + = rArr nablatimes sdot =int

旋度與 path independence

已知保守場 cF 對所有封閉路徑 C 0cC

F drarrsdot =int 由 Stokersquos 定理

0cC

F drarrsdot =int ＝ ( )cS

F dsrarr rarrnablatimes sdotint rArr 0cF

rarr rarrnablatimes =

這表示保守場＝無旋度反之無旋度的場任兩點間路徑積分與路

徑無關

Ex57 Given a field 2 2ˆ ˆ ˆ2A x xy yx zz= + minus (a) Find Anablatimes A 保守場

解2 2

ˆ ˆ ˆ

2x y z

x y zA

xy x znablatimes = part part part

minus

( ) ( ) ( )2 2 2 2ˆ ˆ ˆ( ) 2 ( ) 2 0y z z x x yx z x y xy z z x xy= part minus minuspart + part minuspart minus + part minuspart =

yes A =保守場

(b)如左圖由 A 到 B 做路徑積分A BC

A drarr

sdotint 路徑 C 為橢圓

22 1

16yx + = 在 x-軸以上的部分

解橢圓部分的路徑元素 d 有點麻煩但因為 A

為保守場所以 A 到 B 做路徑積分可以用 x = -1 到

1 的積分取代

4-63

01 1 1

1 1 1ˆ 2 0

yB

xAA d A xdx A dx xydx

=

minus minus minussdot = sdot = = =int int int int

∵

旋度在柱座標與球座標

前面討論過nabla在不同座標系的寫法旋度也有歸納出的一致寫法

座標 1 2 3 u u u

度量係數

1 2 3 h h h

nabla grad del

直角 x y z

1 1 1 nabla ˆ ˆ ˆx y z

x y zpart part part

equiv + +part part part

圓柱 zρ ϕ

1 1ρ

1ˆ ˆ ˆ zz

ρ ϕρ ρ ϕpart part part

nabla equiv + +part part part

球 r θ ϕ

1 sinr r θ

1 1ˆ ˆˆ sin

rr r r

θ ϕθ θ ϕ

part part partnabla = + +

part part part

所以柱座標與球座標的旋度分別表為

柱座標

ˆ ˆ ˆ1

z

z

Az

AA Aρ ϕ

ρ ρϕ

ρ ρ ϕρ

part part partnablatimes =

part part part （4-109）

球座標 2

ˆ ˆˆ sin1sin

sinr

r r r

Ar r

A rA r Aθ ϕ

θ θϕ

θ θ ϕθ

part part partnablatimes =

part part part （4-110）

ex58 (a) Given the vector function ˆA ϕ= sin (ϕ 2) find Anablatimes

解 2

ˆ ˆˆ sin1sin

0 sin( 2) 0

r r r

Ar r

r

θ θϕ

θ θ ϕϕ

part part partnablatimes =

part part part

4-64

21 ˆˆ cos sin sinsin 2 2 2

rr rr

ϕ ϕθϕθ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

ˆˆ cos sin2 sin 2 2

rr r

ϕ ϕ ϕθ

minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

(b)如左圖一個底面在 x-y 平面半徑＝1高＝2 之圓錐 求面積分

SA dsnablatimes sdotint 面積範圍 S 為圓錐在 x-y 平面以上

部分 方向為由圓錐內向外

解由 Stokersquos law ( )S

A dsrarr rarrnablatimes sdotint ＝

C

A drarrsdotint 其中路

徑 C 為 x-y 平面圓心在原點之單位圓 ˆ ˆd rd dϕ ϕ ϕ ϕ= =

2

0ˆ ˆsin sin

2 2C

d dπϕ ϕϕ ϕ ϕ ϕ⎛ ⎞ ⎛ ⎞sdot =⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠int int ( )0

2 sin u duπ

= int 0cos | 2u π= minus =

習題 16 磁場 B 因為不是保守場所以沒有對應的純量位而對應一

個向量位 A (vector potential)而 B A= nablatimes 一個磁鐵的磁偶極矩

ˆm mz= 被置於原點已知在遠處的 vector potential 03ˆ sin

4mAr

μϕ θπ

=

計算該處的磁場 B Ans 03

ˆˆ( 2cos sin )4

mB rr

μ θ θ θπ

= + 與電偶極遠處

的電場形式一致都是偶極(dipole) 選幾個點畫一畫該處的場向量

把磁力線描出來

附錄本章講義的內容有部分可以經由直接計算得出列在附錄做為

參考

用「圓柱座標」寫 Atimesnabla

Ararr rarrnablatimes ＝ ( )1ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ zz A A zA

z ρ φρ ϕ ρ ϕρ ρ ϕpart part part⎛ ⎞+ + times + +⎜ ⎟part part part⎝ ⎠

4-65

因為rdquo sdotrdquo與rdquotimes rdquo都是向量間的運算所以

＝ ( )ˆ ˆ ˆ ˆ zA A zAρ φρ ρ ϕρpart

times + +part

＋ ( )1ˆ ˆ ˆ ˆ zA A zAρ φϕ ρ ϕρ ϕ

parttimes + +

part

＋ ( )ˆ ˆˆ ˆ zz A A zAz ρ φρ ϕpart

times + +part

直接做上式微分可以得到

＝1ˆ z AA

zϕρ

ρ ϕpart⎛ ⎞part

minus⎜ ⎟part part⎝ ⎠＋ ˆ zA A

zρϕ

ρpart⎛ ⎞part

minus⎜ ⎟part part⎝ ⎠＋

1 1ˆ ( )A

z A ρϕρ

ρ ρ ρ ϕpart⎛ ⎞part

minus⎜ ⎟part part⎝ ⎠

上式可以用一個行列式來表示

rarrrarr

timesnabla A＝

ˆ ˆ ˆ1

z

z

zA A Aρ ϕ

ρ ρϕ

ρ ρ ϕρ

part part partpart part part

（A-1）

A and Anabla nablasdot nablatimes in 球座標 spherical coordinate

如上圖球座標 )( ϕθr 其中 )0[ infinisinr ]0[ πθ isin ]20[ πϕ isin 只有 r

是長度而 ϕθ 為角度是用來說明方向的三個座標的單位向量 ˆ ˆˆ r θ ϕ 具

有下列性質

4-66

1 如上圖 ˆ ˆˆ r θ ϕ 都不是常數而是（ ϕθ ）的函數

ˆ ˆ( )ˆ ˆ( )ˆ ˆ( )

r r θ ϕ

θ θ θ ϕϕ ϕ ϕ

⎧ =⎪

=⎨⎪ =⎩

)( ϕθr 與(xyz)之間的轉換如下

sin cossin sincos

x ry rz r

θ φθ φθ

=⎧⎪ =⎨⎪ =⎩

( )122 2 2

2 2

tan

tan

r x y z

x yz

yx

θ

φ

⎧ = + +⎪⎪ +⎪ =⎨⎪⎪ =⎪⎩

（A-2）

2 ˆ ˆˆ r θ ϕ 形成一「歸一正交集」ie

ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ 1r r θ θ ϕ ϕsdot = sdot = sdot = ˆ ˆr θ ϕperp perp

ˆ ˆr θ ϕtimes = ˆ ˆ rθ ϕtimes = ˆˆ rϕ θtimes = （A-3）

3可以很容易的由他們在 xyz 軸上的投影由直角

座標的 ˆ ˆ ˆ x y z 表出

ˆ ˆ ˆ ˆsin cos sin sin cos ( 4 )ˆ ˆ ˆ ˆcos cos cos sin sin ( 4 )ˆ ˆ ˆsin cos ( 4 )

r x y z A a

x y z A bx y A c

θ φ θ φ θ

θ θ φ θ φ θϕ φ φ

= + + minus⎧⎪

= + minus minus⎨⎪ = minus + minus⎩

4 ˆdr = 由於 ˆ ˆ( )r r θ φ= 所以由 ϕθ 的變動來看

4-67

ˆ ˆˆ| |ˆ ˆˆ| | sin sin

d r d d

d r d d

θ θθ θθ

φ θ φφ θ φφ

⎧ rArr =⎪⎨

rArr =⎪⎩rArr ˆ ˆˆ sindr d dθ θ φ θ φ= + （A-5）

rArrˆ ˆr θθpart

=part

ˆ ˆsinr θφφpart

=part

（A-6）

（A-6）的結果也可以直接由（A-4a）對 ϕθ 偏微得到

5 ˆdθ ＝ 由於 ˆ ˆ( )θ θ θ φ= 所以由 ϕθ 的變動來看

ˆ ˆ ˆ| | ( )ˆ ˆ ˆ| | cos cos

d d r d r

d d d

θ θ θ θ

φ θ θ φφ φ θ φ

⎧ rArr minus = minus⎪⎨

rArr =⎪⎩rArr ˆdθ ＝ ˆˆ cosrd dθ φ θ φminus + （A-7）

ˆrθ

θpart

rArr = minuspart

ˆ ˆcosθ φ θφpart

=part

（A-8）

請直接由（A-4b）對 ϕθ 偏微的結果 check（A-8）

6 ˆdφ ＝由於φ )(ϕ 躺在 x-y 平面上變動φ時的方向可能不是那麼

容易看出來所以做圖看一看

ie ˆ ˆˆ(sin ) (cos )d r d dφ θ φ θ θ φ= minus minus （A-9）

4-68

ˆ ˆˆsin cosrφ θ θ θφpart

= minus minuspart

7 所有的向量 ˆ ˆˆ rA rA A Aθ φθ φrarr= + +

8 位置向量 ˆr rrrarr=

可以由左圖 ˆ ˆˆ r θ ϕ 三個方向的「長度

變化」輕易的看出

9 位移元素

ˆ ˆˆ ˆ sindr rdr rd dθ θ ϕ θ φ= + + (A-10)

10 體積元素

sindv dr r d rdθ φ θ= sdot sdot

＝ 2 sinr dr d dθ θ φ (A-11)

11 面積元素 2 sinrds r d dθ θ φ= plusmn sinds r drdθ θ φ= plusmn ds rdrdφ θ= plusmn (A-12)

plusmn號表示面的垂直方向有兩個端看 ds 周邊的方向是如何定的

nabladel 考慮 ( )u u r θ φ=

rArru u udu dr d dr

θ φθ φ

part part part= + +part part part

u d rrarr rarr

equiv nabla sdot

urarr

= nabla sdot ˆ ˆˆ( sin )rdr rd dθ θ φ θ φ+ +

rArr1 1ˆ ˆˆ

sinu u uu rr r r

θ ϕθ θ φ

rarr part part partnabla = + +

part part part

1 1ˆ ˆˆsin

rr r r

θ ϕθ θ φ

rarr part part partnabla equiv + +

part part part （A-13）

4-69

直接用（A-13）與 ˆ ˆˆ rA rA A Aθ φθ ϕrarr= + + 逐項內積加上（A-678）

rArr ϕθ

θθθ

ϕθ part

part+

partpart

+partpart

=sdotnablararrrarr A

rA

rAr

rrA r sin

1)(sinsin1)(1 2

2 （A-14）

（A-13）與 ϕθ ϕθ AAArA r

andandandrarr

++= 逐項外積整理之後

ϕθ θϕθ

ϕθθ

θArrAA

r

rrr

rA

r sin

sin

sin1

2 partpart

partpart

partpart

=timesnabla

andandand

rarrrarr

（A-15）

Laplacian uu nablasdotnabla=nabla2

2

2

2222

22

sin1)(sin

sin1)(1

ϕθθθ

θθ partpart

+partpart

partpart

+partpart

partpart

=nablau

ru

rrur

rru （A-16）

B推導「散度」在圓柱座標的寫法

讓我們先回顧一下在直角座標裡的「面積元素」可以由「位移元素」

得到

ˆˆ ˆ x y zdr idx jdy kdz da dydz dxdz dxdy= + + rArr =

比照辦理「圓柱座標」的位移元素

( )ˆˆ ˆ( )

( )z

da d dzdr d d zdz da d dz

da d d

ρ

φ

ρ φ

ρ ρ φ ρ φ ρ

ρ ρ φ

=⎧⎪= + + rArr =⎨⎪ =⎩

這個結論可以輕易的由面積元素在垂直於 zˆˆ ϕρ 三個方向的面積看

出如下圖考慮一個以 )( zϕρ 為中心的「圓柱體積元素」(cylindrical

cubiod)體積為 zdV ΔΔ=Δ ϕρρ 現計算在 ρ

方向的 12 兩個平行面(方向各為 ρplusmn )的通

量

4-70

zzF

dsFdsnFS S

ΔΔ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

+cong

=sdotintint intintϕρρϕρρρ

ρ

2

2

ˆ1 1

zzF

dsFdsnFS S

ΔΔ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

minus⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

minusminuscong

minus=sdotintint intintϕρρϕρρρ

ρ

2

2

ˆ2 2

intint+

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

minus⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

minusminus⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

+Δ

asympsdotΔ

rArr21

22

22

1ˆ1

SS

zFzFdsnFV

ϕρρρρϕρρρρρρ ρρ

( ) ( )

1 20

0

0

1 ˆlim

1lim 2 2 2 2

1 1lim 2 2

1

VS S

F ndsV

F z F z

F z F z

F

ρ ρρ

ρ ρρ

ρ

ρ ρ ρ ρρ ρ φ ρ ρ φρ ρ

ρ ρρ ρ φ ρ ρ φρ ρ

ρρ ρ

Δ rarr+

Δ rarr

Δ rarr

rArr sdotΔ

Δ Δ Δ Δ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + + minus minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥Δ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦Δ Δ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥Δ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

part ⎡ ⎤= ⎣ ⎦part

intint

娛樂一下用上述方式把圓柱的 Fsdotnabla 裡的z

FF z

partpart

+partϕρϕ1

變出來

球座標的nabla和 Fsdotnabla 也可以試試看

補充習題

H M Scheydiv grad curl and all that 4th edition

第二章習題 6 8 9 10 11 14 15 16 18 19 21 22 23 25 26 27

第三章習題 2 3 5 6 7 8 9 10 11 14 15 17 18 19 24

4-47

1 1 2

0 0

1ˆ( )3

A ds A x dydz dz y dy minussdot = sdot minus = minus =intint intint int int

後 後

1 1 2

0 0ˆ (2 )A ds A ydxdz dz xy z dxsdot = sdot = +intint intint int int

右 右

1 1 1 12 2

0 0 0

4(2 ) (1 )3

ydz x z dx dz z

=

= + = + =int int int∵

1 1 2

0 0

0 1 1 12 2

0 0 0

ˆ( ) (2 )

1(1 )3

y

A ds A y dxdz dz xy z dx

dz z dx dz z=

sdot = sdot minus = minus +

minus= minus = + =

intint intint int int

int int int∵

左 左

11 1 1 1

0 0 0 0ˆ 2 2 1

zA ds A zdxdy dx yzdy dx ydy

=sdot = sdot = = =intint intint int int int int

∵

上 上

01 1

0 0ˆ 2 0

zA ds A zdxdy dx yzdy

=sdot = sdot minus = minus =intint intint int int

∵

下 下

前後右左上下六個面積分合併＝1＝V

Advnablasdotint QED

ex45 Continuity Equation 連續方程式

考慮某些「東西」的流動（物質電荷hellip）在時刻 t 時在點(xyz)

的 密 度 為 ( ) x y z tρ ρ= 並 具 有 速 度

( ) v v x y z t= 在時刻 t 時在體積 V 內的總量為

( ) x y z t dρ τintintint

這樣體積 V 內東東的時變率為

( ) ( ) d x y z t d x y z t ddt t

ρρ τ τpart=

partintintint intintint

注意體積分後的時間全微分移入積分內要改為偏微分這個東東

在表面的「流率 flow rate」可表為

ˆS

R v ndsρ= sdotintint

若體積內的物料無法自生自滅那麼體積內物料的變化必經由表面的

流出流入所造成

d v ndstρ τ ρpart

rArr = minus sdotpartintintint intint

由散度定理

4-48

( )ˆS

v nds v d dtρρ ρ τ τpart

sdot = nablasdot = minuspartintint intintint intintint

( )v Jtρ ρpart

rArr = minusnablasdot equiv minusnablasdotpart

0Jtρpart

rArr +nablasdot =part

（4-81）

(4-81) 即 continuity equation其中 J vρ= 為「物流密度」ex如果 ρ

是電荷密度 J 就是電流密度（4-81）是物質守恆的結果只對體

積內無 source（生成）or drain（消滅）的東東成立

ex46 Given a vector field ˆ ˆx yA ye xe= minus + (a) Find

Anablasdot (b)如圖一個金字塔狀的 5 面體高 2 底邊長

1計算 A在整個金字塔表面（封閉面）的總通量

解(a) Anablasdot = ( ) ( ) 0y xx ypart part

minus + =part part

(b) 金 字 塔 的 表 面 面 積 元 素 ds 不 好 寫 所 以 用 散 度 定 理

( )S V

A da A dvrArr sdot = nablasdotint int ＝0 Anablasdot 表示 A沒有 source 所以對封閉面而

言有多少場線進入就有多少出去所以總通量＝0

習題 7 With position vector r for an arbitrary volume V that is

bounded by surface S show that 13 S

r ds Vsdot =int

習題 8 已知一靜電場為 ˆ ˆ ˆ( )E xyz yxz zxyλ= + + 運用 Gaussrsquo law

試求包含在半球 2 2 2 2 0x y z R z+ + = ge 裡的總電荷 Ans 0

習題 9 (a) given ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( 2 )F r xf x yf y zf z= + + minus show that divF is

zero at point (c c -c2) (b) given ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( )G r xf x z yg x z zh x y= + +

show that ( ) 0G rnablasdot =

4-49

習題 10 Find the normal vector n for the surfaces (a) z = 2-x-y ans

ˆ ˆ ˆ( ) 3x y z+ + (b) z = (1-x2)12 ans ˆ ˆxx zz+ (c) z = x2+y2

ans ˆ ˆ ˆ( 2 2 ) 1 4xx yy z zminus minus + +

習題 11 Show that the unit vector normal to the plane ax+by+cz =d is

given by 2 2 2ˆ ˆ ˆ( ) ax by cz a b cplusmn + + + +

圓柱座標與球座標的nabla (del)

考慮一純量場在直角座標為 ( ) u x y z 在圓柱座標表為 ( ) u zρ φ

再考慮因位移 r r drrarr + 所造成 u ( )zρ φ 的變化

( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆz

z

u u udu d d dz u dr u d d zdzz

u u z u d d zdz

u d u d u dzρ ϕ

ρ ϕ

ρ ϕ ρ ρ ϕρ ϕρ ϕ

ρ ϕ ρ ρ ϕρ ϕ

ρ ρ ϕ

part part part= + + = nabla sdot = nabla sdot + +part part part

⎡ ⎤= nabla + nabla + nabla sdot + +⎣ ⎦= nabla + nabla + nabla

( ) ( ) ( )1

1ˆ ˆ ˆu

z

u u uu u uz

u u uzz

ρ ϕρ ρ ϕ

ρ ϕρ ρ ϕ

part part partrArr nabla = nabla = nabla =

part part partpart part part

rArrnabla = + +part part part

1ˆ ˆ ˆ zz

ρ ϕρ ρ ϕpart part part

nabla = + +part part part

（4-82）

注意nabla的ϕ -分量( 1ρ ϕ

partpart

)不是像直角座標裡單純的ϕpartpart

所以不要笨笨

的就把直角座標的形式硬套上去用我們也可以從「因次分析」來

看nabla因為是對空間的微分所以每一項的因次必須是「長度分之一」

運算 andzρ

part partpart part

都是「長度分之一」而「單純的ϕpartpart

」是沒有單位的

所以要1ρ ϕ

partpart

才 OK

由於圓柱座標裡的單位向量除了 z 之外 ˆ( )ρ ϕ 與 ˆ( )ϕ ϕ 都不是常

4-50

數所以在微分時不可以與微分運算交換而要考慮微分的作用所

以在「圓柱座標」寫「散度」 ( ) F zρ ϕnablasdot 也和直角座標不一樣

( )1ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ zF z F F zFz ρ ϕρ ϕ ρ ϕ

ρ ρ ϕpart part part⎛ ⎞

nabla sdot = + + sdot + +⎜ ⎟part part part⎝ ⎠

( ) ( )1ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆz zF F zF F F zFρ ϕ ρ ϕρ ρ ϕ ϕ ρ ϕρ ρ ϕpart part

= sdot + + + sdot + +part part

( )ˆ ˆˆ ˆ zz F F zFz ρ ϕρ ϕpart

+ sdot + +part

因為 ( ) ( )ˆ ˆ ˆ ˆ ρ ρ ϕ ϕ ϕ ϕ= = 所以做 andzρ

part partpart part

時 ˆ ˆ ρ ϕ 可視為常數

ˆ ˆ1ˆ ˆ ˆ zF F F FF F Fz

ρ ρ ϕρ φ

ρ ϕϕ ρ ϕρ ρ ϕ ϕ ϕ ϕ

part part part⎡ ⎤part part partrArrnablasdot = + sdot + + + +⎢ ⎥part part part part part part⎣ ⎦

還記得 ˆ ˆ ˆ ˆd d d dρ ϕ ϕ ϕ ρ ϕ= = minus 所以 ˆ ˆρ ϕϕpart

=part

ˆ ˆϕ ρϕpart

= minuspart

rArr

( )1 1 1z zF F F FF FF Fz z

ρ ρ ϕ ϕρρ

ρ ρ ρ ϕ ρ ρ ρ ϕpart part part part

nablasdot = + + + = + +part part part part part part

（4-83）

在球座標寫nabla也會遇到相似的問題其根源就是球座標 ( )r θ ϕ 裡

的 θ ϕ 的因次並非長度而三個單位向量 ˆ ˆˆ r θ ϕ（表為 ie ）都是( θ ϕ )

的函數以致

( )ˆ ˆ( ) ( )i ie f e fθ ϕ θ ϕθ θpart part

nepart part

且 ( )ˆ ˆ( ) ( )i ie f e fθ ϕ θ ϕϕ ϕpart part

nepart part

所以nabla也不似在直角座標那麼簡單我們不在這裡推導而是給出一

個歸納的統一的三個座標的結果還記得對每一個座標 iu i = 123

座標的變化 idu 與造成的長度變化 id

i i id h du= 123i = (4-84)

其中 ih 為對應的度量係數(metric coefficient)

4-51

1 2 3

1 1 2 2 3 3

1 1 1ˆ ˆ ˆu u ue e eh u h u h u

part part partnabla equiv + +

part part part （4-85A）

座標 1 2 3 u u u

度量係數

1 2 3 h h h

nabla grad del

直角 x y z

1 1 1 nabla ˆ ˆ ˆx y z

x y zpart part part

equiv + +part part part

圓柱

zρ ϕ

1 1ρ

1ˆ ˆ ˆ z

zρ ϕ

ρ ρ ϕpart part part

nabla equiv + +part part part

球

r θ ϕ

1 sinr r θ

1 1ˆ ˆˆ

sinr

r r rθ ϕ

θ θ ϕpart part part

nabla = + +part part part

（4-85B）

梯度gradient Vnabla grad(V) 散度divergence Anablasdot div( )A

直

角 nablaV ˆ ˆ ˆV V Vx y z

x y zpart part part

= + +part part part

yx zAA AAx y z

partpart partnablasdot = + +

part part part

圓

柱

1ˆ ˆ ˆ V V VV zz

ρ ϕρ ρ ϕpart part part

nabla = + +part part part

( )1 1

1

z

z

A AA Az

A A A Fz

ϕρ

ρ ρ ϕ

ρρ ρ ρ ϕ

ρ ρ ρ ϕ

partpart partnabla sdot = + +

part part partpart part part

= + + +part part part

球

1 1ˆ ˆˆ sin

V V VV rr r r

θ ϕθ θ ϕ

part part partnabla = + +

part part part

22

1 ( )rA r Ar r

partnabla sdot =

part

1 (sin )sin

Ar θθ

θ θpart

+ sdotpart

1sin

Ar

ϕ

θ ϕpart

+part

(4-86)

Ex47 Using spherical coordinate show that 1| |r r

nablaminus

= 2

ˆ| |

r rer r

minusminusminus

where

nabla是作用在 r 而 ˆr re minus 是向量 r rminus 方向的單位向量 解let r lies in z-axis so that the angle between r and r is just θ

4-52

rArr ( ) 122 21 1 2 cos | | ( ) ( )

r rr rr r r r r r

θminus

= = minus +minus minus sdot minus

( ) ( )12 122 2 2 21 1ˆˆ 2 cos 2 cos | |

r r rr r r rr rr r r r

θ θ θθ

minus minuspart partnabla = minus + + minus +

minus part part

( ) 322 21ˆ 2 cos (2 2 cos )2

r r rr r r rθ θminusminus

= minus + minus

( ) 322 21ˆ 2 cos (2 sin )2

r rr r rrθ θ θminusminus

+ minus +

3 3 3 3

ˆˆ ˆ( cos ) sin ( cos sin )ˆˆ| | | | | | | |r r r rr r rrr r r r r r r r

θ θ θ θ θθminus minus minus minus minus= + = +

minus minus minus minus

3 3 3ˆ ( )

| | | | | |r r z r r r rr r r r r rminus + minus + minus minus

= = =minus minus minus

＝ 2

ˆ| |

r rer r

minusminusminus

QED

證明最後我們用到 ˆˆˆ cos sinz r θ θ θ= minus 而 ˆ r r z= 因為我們選了 r 是

躺在 z-軸 Ex48 For arbitrary scalar field ( )f r and vector field ( )A r 證明恆等式

( )fA f A f Anablasdot = nabla sdot + nablasdot (4-87) 解 ˆ ˆ ˆx y zfA xfA yfA zfA= + +

( ) ( ) ( ) ( )x y zfA fA fA fAx y zpart part part

rArrnablasdot = + +part part part

yx zx x x

AAf f f AA f A f A fx x y y z z

partpartpart part part part= + + + + +part part part part part part

yx zx y z

AAf f f AA A A fx y z x y z

part⎛ ⎞partpart part part part= + + + + +⎜ ⎟part part part part part part⎝ ⎠

f A f A= nabla sdot + nablasdot QED 習題 12 一個位於原點的電偶極電偶極矩＝ ˆp pz= 已知其在遠處

的電位為 20

cos4p

rθ

πε試證該處的電場強度為 E = 3

0

ˆˆ( 2cos sin )4

p rr

θ θ θπε

+

(已知 E V= minusnabla )並請計算 Enablasdot ＝

習題 13 給定一向量場2

3cosˆD r

rϕ

= 現有兩個球心在原點的同心球

內球半徑 R＝1外球 R＝2(a)求面積分S

D dssdotint S 為同心球殼的表

面（有內外兩個面）(b)求體積分V

Ddvnablasdotint V 為兩同心球之間的

區域本題也是來 check 散度定理的Ans πminus

4-53

The Laplacian operator 2nabla equivnablasdotnabla

在直角座標可以用直接作用得到

2 2 2

22 2 2u u uu u

x y zpart part part

nabla equiv nablasdotnabla = + +part part part

(4-88)

圓柱座標

2 2

22 2 2

1 1( ) u u uu uz

ρρ ρ ρ ρ ϕ

part part part part⎛ ⎞nabla equiv nablasdot nabla = + +⎜ ⎟part part part part⎝ ⎠

(4-89)

球座標

2

2 22 2 2 2 2

1 1 1sinsin sin

u u uu rr r r r r

θθ θ θ θ ϕ

part part part part part⎛ ⎞ ⎛ ⎞nabla = + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟part part part part part⎝ ⎠ ⎝ ⎠ （4-90）

習題 14 verify (4-89) and (4-90)

習題 15 Given a dipole potential V= 20

cos4p

rθ

πε find 2Vminusnabla

sect 433 Line integral and curl A 線積分與與旋度的物理意義

線積分路徑積分

考慮一曲線 C 通過兩點 ( )i i i iP x y z 與

( )f f f fP x y z 現有一向量場 ( )A x y z 定義在

C 所在的空間若 sd 為 C 上位於(xyz)點的

「路徑元素」（ ˆd td= 方向沿該處切線）而

( )A x y z 為路徑元素d 處的場值則沿 C 經歷各點所做積分

cos cosf

CC C iA d Ad A dϕ ϕrarr rarrsdot = =int int int （4-91）

稱為向量場 ( )A x y z 沿路徑 C 自 pi 至 pf 的「線積分」「或「路徑積分」

積分裡 A 取值的點侷限在路徑 C 上面若為一個「封閉路徑」則對

C 的線積分也稱做「環路積分 closed contour integral」記做

C

A dsdotint （4-92）

4-54

物理量「做功」是最標準的線積分之一力 F 自 x = a 至 x = b「沿線」

x 軸做功

W＝ F dxsdotint ＝ ( )b

xaF x dxint （4-93）

質點在力場 )(rF 裡走一條曲線 C則力場做功

CW F d= sdotint （4-94）

還記得如果 ( )F r 是所謂「保守力」則上式只與始末點有關而與

路徑無關但如果 ( )F r 是所謂「非保守力」則做功與確實的路徑 C

有關

現考慮一質點在空間運動的位置 r 落在由曲線 C

描述的路徑則質點的位移元素與曲線 C 的路徑元

素相同 d dr= 若空間有向量場 A 分佈則 A 在 C 的

路徑積分以直角座標表示為

CA drarr rarrsdotint ＝

CA d rrarr rarrsdotint ＝ ( )x y zC

A dx A dy A dz+ +int （4-95）

上式中的 x y z 的積分限由 C 決定

Ex49 2 2 2ˆ ˆ ˆA xx yy zzrarr= + + 選定一路徑 C 為曲線

2y x= 由 (000)到 (2 20)的部分求C

A dsdotint

解 ˆ ˆd xdx ydy= +∵

CA dsdotint ＝ 2 2( )

Cx dx y dy+int ＝

2 22 2

0 0x dx y dy+int int

＝ )24(32

+

或由 2y x= rArr 2ydy dx= 2 12

y dy xdxrArr =

rArrC

A dsdotint ＝2 2

0

1( )2

x x dx+int ＝2 (4 2)3

+

4-55

ex50 ˆ ˆ( )f x y z xy yx= minus Do C

f dsdotint 其中的路徑 C 為一逆時針三角

形如圖 解∵路徑全部在 x-y 平面 ˆ ˆ ˆd td xdx ydy= = +

rArrC

f dsdotint ＝ x yC

f dx f dy+int ＝C

ydx xdyminusint

由於在 C1 上 y = 0 及 dy = 0 所以 01

=intC 又由於在

C3 上 x = 0 及 dx =0所以 03

=intC 所以只剩下 C2 可

能有貢獻由 2C 的方程式x + y =1rArr ⎩⎨⎧

minus=minus=

xyyx

11

rArr2Cydx xdyminusint ＝

0 1

1 0(1 ) (1 )x dx y dyminus minus minusint int ＝

0 12 2

1 0

( ) ( )2 2x yx yminus minus minus ＝-1

Cf dsdotint ＝-1

ex51 ( )f x y zrarr

= 2ˆ ˆxx yxyminus 如右圖doC

f dsdotint 其

中路徑 C 為第一象限的逆時針 14 圓弧

解∵ 全部在 x-y 平面 ˆ ˆd xdx ydy= +

Cf dsdotint ＝ 2

Cx dx xydyminusint

由於在 C 上 cosx R ϕ= rArr sindx R dϕ ϕ= minus

siny R ϕ= rArr cosdy R dϕ ϕ=

rArr 2

Cx dx xydyminusint ＝

2 2 2 2

0cos ( sin ) sin cos cosR R d R R d

πϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕminus minus sdotint

23 2

02 cos sinR d

πϕ ϕ ϕ= minus int ＝

323Rminus

又路徑為圓周一部份所以適合用極座標表示

ˆd Rdϕ ϕ= 又由左圖將 ˆ ˆx y 拆解（投影）到 ˆˆr ϕ

ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆcos sin sin cosx r y rϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ= minus = +

4-56

( )2ˆ ˆ ˆˆ ˆ( cos sin ) ( sin cos )C C

f d r x r xy Rdϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕsdot = minus minus + sdotint int 2

2 2 2

0

sin (cos )

sin ( cos ) (cos ) cos sin

Cx Rd xyRd

R Rd R Rdπ

ϕ ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ

= minus minus

= minus minus

intint

23 2

02 cos sinR d

πϕ ϕ ϕ= minus int ＝

323Rminus

這也驗證了散度定理

Path Independence 路徑獨立性

Ex52 證明庫倫力為「保守力」考慮

電荷 q0 位於原點及電荷 q 位於

( )r x y zrarr= q 受力 F

rarr＝ 0

20

14

qq urπε

and

求庫侖力作功因為球形對稱所以

用球座標由 ˆ ˆ ru rr

= = rArr Frarr

= 03

04qq r

rπε

庫侖力由 P1 至 P2 做功為 2

1

P

CPF drarrsdotint ＝

2

1

02

0

ˆ ˆ ˆˆ sin4

P

PC

qq r rdr rd r dr

θ θ ϕ θ ϕπε

⎡ ⎤sdot + +⎣ ⎦int ＝2

1

02

04P

P

qq drrπεint

＝20

2104

r

r

qq drrπε int ＝ 0

0 1 2

1 1( )4qq

r rπεminus for all C

所以庫侖力兩點間做功與路徑無關rArr保守力

對於「保守力 conservative force」 cF 自 p1 經

由兩條不同的路徑 C1 與 C2 到達 p2

1 ccF drarrsdotint ＝

2 ccF drarrsdotint ＝-

2 ccF drarr

minussdotint

rArr1 2c cc cF d F drarr rarr

minussdot + sdotint int = cF d

rarrsdotint ＝0 (4-96）

對於任何「封閉路徑」保守力做功為 0反之若

對任一封閉路徑 0F drarrsdot neint 則兩點之間的做功與路徑有關

rarr

F 為「非

保守力」

4-57

旋度 curl Anablatimes 的幾何物理意義

我們在（4-70）式已經看過旋度的計算方式但旋度另有其意義的

ex53 給定向量場2 2

0ˆ yv yv e λrarr

minus= 左圖為場的分佈

2 20

ˆ ˆ ˆ

0 0x y z

y

x y zcurl v

v e λ

rarr

minus

= part part part ＝ ˆ ˆ ˆ0 0 0 0x y zsdot minus sdot + sdot =

我們用了簡寫 x yx ypart part

part equiv part equivpart part

可以看出這個場裡沒有「漩渦」

但是有無「漩渦」有時也不是那麼明顯可以看出的請見下一個例子

Ex54 給定向量場2 2

0ˆ xv yv e λrarr

minus= 計算其旋度 vnablatimes

解向量場 vrarr

畫在右邊你看得出有無漩渦

先計算旋度

2 20

ˆ ˆ ˆ

0 0x y z

x

x y zcurl v

v e λ

rarr

minus

= part part part2 2

2 2

0

0

ˆ

ˆ 2 0 0

x

x

z v ex

z v xe for x

λ

λ

minus

minus

part=

part

= minus ne ne

vrarr

的旋度在大部分的地方不為 0 且隨位置而不同但是你看得出這個

向量場裡有「漩渦」其實要檢驗一個向量場裡有無「漩渦」有一

個很物理的方法就是放一個小「螺旋槳」（左圖）

在場內將軸朝各個方向測試一

下如果有「漩渦」的話這個

小「螺旋槳」就會轉動右圖就是將「螺旋槳」的

軸平行於 z 軸且放在 x gt 0 的地方就可以看出左

邊的 v 場比右邊的強造成螺旋槳順時針轉動rArrcurlv zminus for x gt 0

但如果放在 x = 0 的地方就會看到左右兩端的 v 場強度相同而且

4-58

curlv = 0 「螺旋槳」放在 x lt 0 的地方就可以看出右邊的v 場比左

邊的強造成螺旋槳逆時針轉動這完全符合 curl v k+ 的結果

環路積分與旋度 curl 的物理意義

如同「散度」一樣「旋度」除了 Ftimesnabla 之外

還有一個物理意義更清楚的定義這個定義由

「線積分」說明如圖考慮做「逆時針」長方形

路徑 C1 的一個「環路積分」C1 面平行於 x-y 平

面由 z-軸看下去環路 C1 可以分為可以分為

下 CB上 CT右 CR左 CL 4 部分

CA drarrsdotint ＝

B T L RC C C CA d A d A d A drarr rarr rarr rarrsdot + sdot + sdot + sdotint int int int

分別計算由於 CB 的中點座標為 ( )2yx y zΔ

minus

ˆB BC C

A d A xdxrarr rarrsdot = sdot =int int

BxC

A dxint ( )2xyA x y z xΔ

asymp minus Δ

similarly 由於 CT 的中點座標為 ( )2yx y zΔ

+

ˆ( )T TC C

A d A xdxrarr rarrsdot = sdot minus =int int

TxC

A dxminusint ( )2xyA x y z xΔ

asymp minus + Δ

合併 CB 與 CT

B TC CA drarr

+sdot =int

( ) ( )2 2x xy yA x y z A x y z

x yy

Δ Δ⎡ ⎤minus + minus minus⎢ ⎥⎣ ⎦ Δ ΔΔ

（4-97）

由 C1 所圍的面積 S x yΔ = Δ Δ

1B TC C

A dS

rarr

+sdot =

Δ int( ) ( )

2 2x xy yA x y z A x y z

y

Δ Δ⎡ ⎤minus + minus minus⎢ ⎥⎣ ⎦Δ

（4-98）

所以當取極限 C1 收縮到中心(xyz)時 SΔ 收縮到 0ie

4-59

0limsΔ rarr

1B TC C

A dS

rarr

+sdot =

Δ int xAy

partminuspart

（4-99）

Similarly with CR 的 ˆd ydy= CL 的 ˆd ydy= minus 可得

1L RC C

A dS

rarr

+sdot =

Δ int x

zyxxFzyxxF yy

Δ

Δminusminus

Δ+ )

2()

2(

（4-100）

同樣的當取極限 C1 收縮到中心(xyz)時 SΔ 收縮到 0

0

limsΔ rarr

1L RC C

A dS

rarr

+sdot =

Δ int yAx

partpart

（4-101）

最後合併 CBCTCRCL 為 C1

10

1limCs

A ds

rarr

Δ rarrsdot =

Δ int y xA Ax y

part partminus

part partˆ ( ) ( )zz A A= sdot nablatimes = nablatimes （4-102）

注意 C1 的方向就是在 z 上式的重要

意義是當向量場 A 在一個以點(xyz)為

中心「方向為 z 」的面積元素的「邊界」

所做的環路積分得到的就是 A 在(xyz)

處旋度的 z-分量明顯的只有當 A 在

(xyz)附近有 x-y 平面上的「漩渦」那麼 C1 的環路積分才不會為 0

Similarly 取一個逆時針繞著(xyz)的平行於 x-z 平面的長方形環路 C2

（左圖）做環路積分再取極限將 C2 收縮到(xyz)就會得到

20

1limCs

A ds

rarr

Δ rarrsdot =

Δ int x zA Az x

part partminus

part partˆ ( ) ( )yy A A= sdot nablatimes = nablatimes （4-103）

注意到 C2 所包圍的面積方向就在 y到

現在我們應該已經很有經驗了若取一

個逆時針繞著(xyz)的平行於 y-z 平面

的長方形環路 C3（左圖）做環路積分

再取極限將 C3 收縮到(xyz)就會得到

4-60

30

1limCs

A ds

rarr

Δ rarrsdot =

Δ int yz AAy z

partpartminus

part partˆ ( ) ( )xx A A= sdot nablatimes = nablatimes （4-104）

能把（4-103）與（4-104）變出來的同學我們有優待綜合以上

我們可以得到一個結論若取一個以點(xyz)為中心的任意環路 Cn（其

所包圍的面積方向在 n ）則

n curl Aand rarrsdot ＝

0

1lims

Cn

A ds

rarr

Δ rarrsdot

Δ int （4-105）

明顯的當 n ＝ x 或 y 或 z 時我們可以重複（4-102）到（4-104）的

結果（4-70）式的行列式所定義的旋度在此看見其幾何物理意義

至此「旋度」的「漩渦」形象應該已經很清楚了只有在(xyz)點附

近的小圈圈上有「漩渦」 A 在小圈圈做的環路積分才會有值這個

值就是向量場 A 的「旋度」在小圈圈面積方向的分量

Stokersquos 定理

考慮一個開放面 S被其「有方向的」邊界 C 圈住(bounded by)則

( )S

A dsrarr rarrnablatimes sdotint ＝

C

A drarrsdotint （4-106）

pf 先將 S 面分割為 N 個多邊形這會使得邊界變成一個「折線」形

成的環路 P環路 P 會隨著分割的多邊形個數的增多而越加近似於原

「光滑的」邊界 C現考慮相鄰的

兩個多邊形的線積分由於共用邊

的方向是相反的所以相鄰兩個多

邊形線積分的和只剩「外邊界」（見左圖）所以當把所有的多邊形的

4-61

線積分加起來時由於只有邊界 P 不是多邊形的共用邊所以

1k

N

k C

A drarr

=

sdotsum int ＝P

A drarrsdotint rArr

P

A drarrsdotint ＝

1

1

k

N

kk k C

A d l ss

rarr rarr

=

⎡ ⎤sdot Δ⎢ ⎥

Δ⎢ ⎥⎣ ⎦sum int

其中 ksΔ 為第 k 個多邊形的面積取極限 0kN srarrinfinrArrΔ rarr P CrArr rarr

C

A drarrsdotint ＝

10

1limkk

N

kN k k Cs

A d ss

rarr

rarrinfin=Δ rarr

⎡ ⎤sdot Δ⎢ ⎥

Δ⎢ ⎥⎣ ⎦sum int 01

ˆlim ( )k

k kskn A s

infin

Δ rarr=

⎡ ⎤= sdot nablatimes Δ⎣ ⎦sum

01

ˆlim ( )k

k kskA n s

infin

Δ rarr=

= nablatimes sdot Δsum = ( )S

A dsrarr

nablatimes sdotint QED

ex55 由 Amperersquos law 的積分形式導出其微分形式

解Amperersquos law 的積分形式 C

B drarrsdotint ＝ I0μ (4-107)

由 Stokersquos 定理及電流密度 j 的定義上式等號兩端可寫為

rArr ( )S

B dsrarr rarrnablatimes sdotint ＝ 0 S

j dsμrarrsdotint

由於上面的等式對任意面 S（路徑 C）都成立所以被積函數相等

0B jμrarr rarr rarr

rArrnablatimes = (4-108) 此即 Amperersquos law 的微分形式

Ex56 Given a vector field ˆ ˆx yA ye xe= minus + (a) Find Anablatimes

解

ˆ ˆ ˆˆ ˆ(1 ( 1) 2

0x y z

x y zA z z

y xnablatimes = part part part = minus minus =

minus

(b)如圖一個金字塔狀的 5 面體高 2底邊長＝1計算 ( )S

A dsnablatimes sdotint

其中 S 為金字塔在 x-y 平面以上的部分方向如同

封閉的金字塔（運用 Stokersquos law）

解金字塔上表面的面積元素ds 不好寫由 Stokersquos

4-62

law ( )S

A dsrarr rarrnablatimes sdotint ＝

C

A drarrsdotint 其中封閉路徑 C 就是上表面的邊界而且

是逆時針（由 z 軸向下看）

C

A drarrsdotint ＝

1 1 0 0

0 0 1 1ˆ ˆ ˆ ˆA xdx A ydy A xdx A ydysdot + sdot + sdot + sdotint int int int

＝1 1 0 0

0 0 1 1x y x yA dx A dy A dx A dy+ + +int int int int 1 1 0 0

0 0 1 1( 0) ( 1) ( 1) ( 0)y dx x dy y dx x dy= minus = + = + minus = + =int int int int

0 1 1 0 2 ( ) 2S

A ds= + + + = rArr nablatimes sdot =int

旋度與 path independence

已知保守場 cF 對所有封閉路徑 C 0cC

F drarrsdot =int 由 Stokersquos 定理

0cC

F drarrsdot =int ＝ ( )cS

F dsrarr rarrnablatimes sdotint rArr 0cF

rarr rarrnablatimes =

這表示保守場＝無旋度反之無旋度的場任兩點間路徑積分與路

徑無關

Ex57 Given a field 2 2ˆ ˆ ˆ2A x xy yx zz= + minus (a) Find Anablatimes A 保守場

解2 2

ˆ ˆ ˆ

2x y z

x y zA

xy x znablatimes = part part part

minus

( ) ( ) ( )2 2 2 2ˆ ˆ ˆ( ) 2 ( ) 2 0y z z x x yx z x y xy z z x xy= part minus minuspart + part minuspart minus + part minuspart =

yes A =保守場

(b)如左圖由 A 到 B 做路徑積分A BC

A drarr

sdotint 路徑 C 為橢圓

22 1

16yx + = 在 x-軸以上的部分

解橢圓部分的路徑元素 d 有點麻煩但因為 A

為保守場所以 A 到 B 做路徑積分可以用 x = -1 到

1 的積分取代

4-63

01 1 1

1 1 1ˆ 2 0

yB

xAA d A xdx A dx xydx

=

minus minus minussdot = sdot = = =int int int int

∵

旋度在柱座標與球座標

前面討論過nabla在不同座標系的寫法旋度也有歸納出的一致寫法

座標 1 2 3 u u u

度量係數

1 2 3 h h h

nabla grad del

直角 x y z

1 1 1 nabla ˆ ˆ ˆx y z

x y zpart part part

equiv + +part part part

圓柱 zρ ϕ

1 1ρ

1ˆ ˆ ˆ zz

ρ ϕρ ρ ϕpart part part

nabla equiv + +part part part

球 r θ ϕ

1 sinr r θ

1 1ˆ ˆˆ sin

rr r r

θ ϕθ θ ϕ

part part partnabla = + +

part part part

所以柱座標與球座標的旋度分別表為

柱座標

ˆ ˆ ˆ1

z

z

Az

AA Aρ ϕ

ρ ρϕ

ρ ρ ϕρ

part part partnablatimes =

part part part （4-109）

球座標 2

ˆ ˆˆ sin1sin

sinr

r r r

Ar r

A rA r Aθ ϕ

θ θϕ

θ θ ϕθ

part part partnablatimes =

part part part （4-110）

ex58 (a) Given the vector function ˆA ϕ= sin (ϕ 2) find Anablatimes

解 2

ˆ ˆˆ sin1sin

0 sin( 2) 0

r r r

Ar r

r

θ θϕ

θ θ ϕϕ

part part partnablatimes =

part part part

4-64

21 ˆˆ cos sin sinsin 2 2 2

rr rr

ϕ ϕθϕθ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

ˆˆ cos sin2 sin 2 2

rr r

ϕ ϕ ϕθ

minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

(b)如左圖一個底面在 x-y 平面半徑＝1高＝2 之圓錐 求面積分

SA dsnablatimes sdotint 面積範圍 S 為圓錐在 x-y 平面以上

部分 方向為由圓錐內向外

解由 Stokersquos law ( )S

A dsrarr rarrnablatimes sdotint ＝

C

A drarrsdotint 其中路

徑 C 為 x-y 平面圓心在原點之單位圓 ˆ ˆd rd dϕ ϕ ϕ ϕ= =

2

0ˆ ˆsin sin

2 2C

d dπϕ ϕϕ ϕ ϕ ϕ⎛ ⎞ ⎛ ⎞sdot =⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠int int ( )0

2 sin u duπ

= int 0cos | 2u π= minus =

習題 16 磁場 B 因為不是保守場所以沒有對應的純量位而對應一

個向量位 A (vector potential)而 B A= nablatimes 一個磁鐵的磁偶極矩

ˆm mz= 被置於原點已知在遠處的 vector potential 03ˆ sin

4mAr

μϕ θπ

=

計算該處的磁場 B Ans 03

ˆˆ( 2cos sin )4

mB rr

μ θ θ θπ

= + 與電偶極遠處

的電場形式一致都是偶極(dipole) 選幾個點畫一畫該處的場向量

把磁力線描出來

附錄本章講義的內容有部分可以經由直接計算得出列在附錄做為

參考

用「圓柱座標」寫 Atimesnabla

Ararr rarrnablatimes ＝ ( )1ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ zz A A zA

z ρ φρ ϕ ρ ϕρ ρ ϕpart part part⎛ ⎞+ + times + +⎜ ⎟part part part⎝ ⎠

4-65

因為rdquo sdotrdquo與rdquotimes rdquo都是向量間的運算所以

＝ ( )ˆ ˆ ˆ ˆ zA A zAρ φρ ρ ϕρpart

times + +part

＋ ( )1ˆ ˆ ˆ ˆ zA A zAρ φϕ ρ ϕρ ϕ

parttimes + +

part

＋ ( )ˆ ˆˆ ˆ zz A A zAz ρ φρ ϕpart

times + +part

直接做上式微分可以得到

＝1ˆ z AA

zϕρ

ρ ϕpart⎛ ⎞part

minus⎜ ⎟part part⎝ ⎠＋ ˆ zA A

zρϕ

ρpart⎛ ⎞part

minus⎜ ⎟part part⎝ ⎠＋

1 1ˆ ( )A

z A ρϕρ

ρ ρ ρ ϕpart⎛ ⎞part

minus⎜ ⎟part part⎝ ⎠

上式可以用一個行列式來表示

rarrrarr

timesnabla A＝

ˆ ˆ ˆ1

z

z

zA A Aρ ϕ

ρ ρϕ

ρ ρ ϕρ

part part partpart part part

（A-1）

A and Anabla nablasdot nablatimes in 球座標 spherical coordinate

如上圖球座標 )( ϕθr 其中 )0[ infinisinr ]0[ πθ isin ]20[ πϕ isin 只有 r

是長度而 ϕθ 為角度是用來說明方向的三個座標的單位向量 ˆ ˆˆ r θ ϕ 具

有下列性質

4-66

1 如上圖 ˆ ˆˆ r θ ϕ 都不是常數而是（ ϕθ ）的函數

ˆ ˆ( )ˆ ˆ( )ˆ ˆ( )

r r θ ϕ

θ θ θ ϕϕ ϕ ϕ

⎧ =⎪

=⎨⎪ =⎩

)( ϕθr 與(xyz)之間的轉換如下

sin cossin sincos

x ry rz r

θ φθ φθ

=⎧⎪ =⎨⎪ =⎩

( )122 2 2

2 2

tan

tan

r x y z

x yz

yx

θ

φ

⎧ = + +⎪⎪ +⎪ =⎨⎪⎪ =⎪⎩

（A-2）

2 ˆ ˆˆ r θ ϕ 形成一「歸一正交集」ie

ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ 1r r θ θ ϕ ϕsdot = sdot = sdot = ˆ ˆr θ ϕperp perp

ˆ ˆr θ ϕtimes = ˆ ˆ rθ ϕtimes = ˆˆ rϕ θtimes = （A-3）

3可以很容易的由他們在 xyz 軸上的投影由直角

座標的 ˆ ˆ ˆ x y z 表出

ˆ ˆ ˆ ˆsin cos sin sin cos ( 4 )ˆ ˆ ˆ ˆcos cos cos sin sin ( 4 )ˆ ˆ ˆsin cos ( 4 )

r x y z A a

x y z A bx y A c

θ φ θ φ θ

θ θ φ θ φ θϕ φ φ

= + + minus⎧⎪

= + minus minus⎨⎪ = minus + minus⎩

4 ˆdr = 由於 ˆ ˆ( )r r θ φ= 所以由 ϕθ 的變動來看

4-67

ˆ ˆˆ| |ˆ ˆˆ| | sin sin

d r d d

d r d d

θ θθ θθ

φ θ φφ θ φφ

⎧ rArr =⎪⎨

rArr =⎪⎩rArr ˆ ˆˆ sindr d dθ θ φ θ φ= + （A-5）

rArrˆ ˆr θθpart

=part

ˆ ˆsinr θφφpart

=part

（A-6）

（A-6）的結果也可以直接由（A-4a）對 ϕθ 偏微得到

5 ˆdθ ＝ 由於 ˆ ˆ( )θ θ θ φ= 所以由 ϕθ 的變動來看

ˆ ˆ ˆ| | ( )ˆ ˆ ˆ| | cos cos

d d r d r

d d d

θ θ θ θ

φ θ θ φφ φ θ φ

⎧ rArr minus = minus⎪⎨

rArr =⎪⎩rArr ˆdθ ＝ ˆˆ cosrd dθ φ θ φminus + （A-7）

ˆrθ

θpart

rArr = minuspart

ˆ ˆcosθ φ θφpart

=part

（A-8）

請直接由（A-4b）對 ϕθ 偏微的結果 check（A-8）

6 ˆdφ ＝由於φ )(ϕ 躺在 x-y 平面上變動φ時的方向可能不是那麼

容易看出來所以做圖看一看

ie ˆ ˆˆ(sin ) (cos )d r d dφ θ φ θ θ φ= minus minus （A-9）

4-68

ˆ ˆˆsin cosrφ θ θ θφpart

= minus minuspart

7 所有的向量 ˆ ˆˆ rA rA A Aθ φθ φrarr= + +

8 位置向量 ˆr rrrarr=

可以由左圖 ˆ ˆˆ r θ ϕ 三個方向的「長度

變化」輕易的看出

9 位移元素

ˆ ˆˆ ˆ sindr rdr rd dθ θ ϕ θ φ= + + (A-10)

10 體積元素

sindv dr r d rdθ φ θ= sdot sdot

＝ 2 sinr dr d dθ θ φ (A-11)

11 面積元素 2 sinrds r d dθ θ φ= plusmn sinds r drdθ θ φ= plusmn ds rdrdφ θ= plusmn (A-12)

plusmn號表示面的垂直方向有兩個端看 ds 周邊的方向是如何定的

nabladel 考慮 ( )u u r θ φ=

rArru u udu dr d dr

θ φθ φ

part part part= + +part part part

u d rrarr rarr

equiv nabla sdot

urarr

= nabla sdot ˆ ˆˆ( sin )rdr rd dθ θ φ θ φ+ +

rArr1 1ˆ ˆˆ

sinu u uu rr r r

θ ϕθ θ φ

rarr part part partnabla = + +

part part part

1 1ˆ ˆˆsin

rr r r

θ ϕθ θ φ

rarr part part partnabla equiv + +

part part part （A-13）

4-69

直接用（A-13）與 ˆ ˆˆ rA rA A Aθ φθ ϕrarr= + + 逐項內積加上（A-678）

rArr ϕθ

θθθ

ϕθ part

part+

partpart

+partpart

=sdotnablararrrarr A

rA

rAr

rrA r sin

1)(sinsin1)(1 2

2 （A-14）

（A-13）與 ϕθ ϕθ AAArA r

andandandrarr

++= 逐項外積整理之後

ϕθ θϕθ

ϕθθ

θArrAA

r

rrr

rA

r sin

sin

sin1

2 partpart

partpart

partpart

=timesnabla

andandand

rarrrarr

（A-15）

Laplacian uu nablasdotnabla=nabla2

2

2

2222

22

sin1)(sin

sin1)(1

ϕθθθ

θθ partpart

+partpart

partpart

+partpart

partpart

=nablau

ru

rrur

rru （A-16）

B推導「散度」在圓柱座標的寫法

讓我們先回顧一下在直角座標裡的「面積元素」可以由「位移元素」

得到

ˆˆ ˆ x y zdr idx jdy kdz da dydz dxdz dxdy= + + rArr =

比照辦理「圓柱座標」的位移元素

( )ˆˆ ˆ( )

( )z

da d dzdr d d zdz da d dz

da d d

ρ

φ

ρ φ

ρ ρ φ ρ φ ρ

ρ ρ φ

=⎧⎪= + + rArr =⎨⎪ =⎩

這個結論可以輕易的由面積元素在垂直於 zˆˆ ϕρ 三個方向的面積看

出如下圖考慮一個以 )( zϕρ 為中心的「圓柱體積元素」(cylindrical

cubiod)體積為 zdV ΔΔ=Δ ϕρρ 現計算在 ρ

方向的 12 兩個平行面(方向各為 ρplusmn )的通

量

4-70

zzF

dsFdsnFS S

ΔΔ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

+cong

=sdotintint intintϕρρϕρρρ

ρ

2

2

ˆ1 1

zzF

dsFdsnFS S

ΔΔ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

minus⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

minusminuscong

minus=sdotintint intintϕρρϕρρρ

ρ

2

2

ˆ2 2

intint+

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

minus⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

minusminus⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

+Δ

asympsdotΔ

rArr21

22

22

1ˆ1

SS

zFzFdsnFV

ϕρρρρϕρρρρρρ ρρ

( ) ( )

1 20

0

0

1 ˆlim

1lim 2 2 2 2

1 1lim 2 2

1

VS S

F ndsV

F z F z

F z F z

F

ρ ρρ

ρ ρρ

ρ

ρ ρ ρ ρρ ρ φ ρ ρ φρ ρ

ρ ρρ ρ φ ρ ρ φρ ρ

ρρ ρ

Δ rarr+

Δ rarr

Δ rarr

rArr sdotΔ

Δ Δ Δ Δ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + + minus minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥Δ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦Δ Δ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥Δ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

part ⎡ ⎤= ⎣ ⎦part

intint

娛樂一下用上述方式把圓柱的 Fsdotnabla 裡的z

FF z

partpart

+partϕρϕ1

變出來

球座標的nabla和 Fsdotnabla 也可以試試看

補充習題

H M Scheydiv grad curl and all that 4th edition

第二章習題 6 8 9 10 11 14 15 16 18 19 21 22 23 25 26 27

第三章習題 2 3 5 6 7 8 9 10 11 14 15 17 18 19 24

4-48

( )ˆS

v nds v d dtρρ ρ τ τpart

sdot = nablasdot = minuspartintint intintint intintint

( )v Jtρ ρpart

rArr = minusnablasdot equiv minusnablasdotpart

0Jtρpart

rArr +nablasdot =part

（4-81）

(4-81) 即 continuity equation其中 J vρ= 為「物流密度」ex如果 ρ

是電荷密度 J 就是電流密度（4-81）是物質守恆的結果只對體

積內無 source（生成）or drain（消滅）的東東成立

ex46 Given a vector field ˆ ˆx yA ye xe= minus + (a) Find

Anablasdot (b)如圖一個金字塔狀的 5 面體高 2 底邊長

1計算 A在整個金字塔表面（封閉面）的總通量

解(a) Anablasdot = ( ) ( ) 0y xx ypart part

minus + =part part

(b) 金 字 塔 的 表 面 面 積 元 素 ds 不 好 寫 所 以 用 散 度 定 理

( )S V

A da A dvrArr sdot = nablasdotint int ＝0 Anablasdot 表示 A沒有 source 所以對封閉面而

言有多少場線進入就有多少出去所以總通量＝0

習題 7 With position vector r for an arbitrary volume V that is

bounded by surface S show that 13 S

r ds Vsdot =int

習題 8 已知一靜電場為 ˆ ˆ ˆ( )E xyz yxz zxyλ= + + 運用 Gaussrsquo law

試求包含在半球 2 2 2 2 0x y z R z+ + = ge 裡的總電荷 Ans 0

習題 9 (a) given ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( 2 )F r xf x yf y zf z= + + minus show that divF is

zero at point (c c -c2) (b) given ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( )G r xf x z yg x z zh x y= + +

show that ( ) 0G rnablasdot =

4-49

習題 10 Find the normal vector n for the surfaces (a) z = 2-x-y ans

ˆ ˆ ˆ( ) 3x y z+ + (b) z = (1-x2)12 ans ˆ ˆxx zz+ (c) z = x2+y2

ans ˆ ˆ ˆ( 2 2 ) 1 4xx yy z zminus minus + +

習題 11 Show that the unit vector normal to the plane ax+by+cz =d is

given by 2 2 2ˆ ˆ ˆ( ) ax by cz a b cplusmn + + + +

圓柱座標與球座標的nabla (del)

考慮一純量場在直角座標為 ( ) u x y z 在圓柱座標表為 ( ) u zρ φ

再考慮因位移 r r drrarr + 所造成 u ( )zρ φ 的變化

( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆz

z

u u udu d d dz u dr u d d zdzz

u u z u d d zdz

u d u d u dzρ ϕ

ρ ϕ

ρ ϕ ρ ρ ϕρ ϕρ ϕ

ρ ϕ ρ ρ ϕρ ϕ

ρ ρ ϕ

part part part= + + = nabla sdot = nabla sdot + +part part part

⎡ ⎤= nabla + nabla + nabla sdot + +⎣ ⎦= nabla + nabla + nabla

( ) ( ) ( )1

1ˆ ˆ ˆu

z

u u uu u uz

u u uzz

ρ ϕρ ρ ϕ

ρ ϕρ ρ ϕ

part part partrArr nabla = nabla = nabla =

part part partpart part part

rArrnabla = + +part part part

1ˆ ˆ ˆ zz

ρ ϕρ ρ ϕpart part part

nabla = + +part part part

（4-82）

注意nabla的ϕ -分量( 1ρ ϕ

partpart

)不是像直角座標裡單純的ϕpartpart

所以不要笨笨

的就把直角座標的形式硬套上去用我們也可以從「因次分析」來

看nabla因為是對空間的微分所以每一項的因次必須是「長度分之一」

運算 andzρ

part partpart part

都是「長度分之一」而「單純的ϕpartpart

」是沒有單位的

所以要1ρ ϕ

partpart

才 OK

由於圓柱座標裡的單位向量除了 z 之外 ˆ( )ρ ϕ 與 ˆ( )ϕ ϕ 都不是常

4-50

數所以在微分時不可以與微分運算交換而要考慮微分的作用所

以在「圓柱座標」寫「散度」 ( ) F zρ ϕnablasdot 也和直角座標不一樣

( )1ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ zF z F F zFz ρ ϕρ ϕ ρ ϕ

ρ ρ ϕpart part part⎛ ⎞

nabla sdot = + + sdot + +⎜ ⎟part part part⎝ ⎠

( ) ( )1ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆz zF F zF F F zFρ ϕ ρ ϕρ ρ ϕ ϕ ρ ϕρ ρ ϕpart part

= sdot + + + sdot + +part part

( )ˆ ˆˆ ˆ zz F F zFz ρ ϕρ ϕpart

+ sdot + +part

因為 ( ) ( )ˆ ˆ ˆ ˆ ρ ρ ϕ ϕ ϕ ϕ= = 所以做 andzρ

part partpart part

時 ˆ ˆ ρ ϕ 可視為常數

ˆ ˆ1ˆ ˆ ˆ zF F F FF F Fz

ρ ρ ϕρ φ

ρ ϕϕ ρ ϕρ ρ ϕ ϕ ϕ ϕ

part part part⎡ ⎤part part partrArrnablasdot = + sdot + + + +⎢ ⎥part part part part part part⎣ ⎦

還記得 ˆ ˆ ˆ ˆd d d dρ ϕ ϕ ϕ ρ ϕ= = minus 所以 ˆ ˆρ ϕϕpart

=part

ˆ ˆϕ ρϕpart

= minuspart

rArr

( )1 1 1z zF F F FF FF Fz z

ρ ρ ϕ ϕρρ

ρ ρ ρ ϕ ρ ρ ρ ϕpart part part part

nablasdot = + + + = + +part part part part part part

（4-83）

在球座標寫nabla也會遇到相似的問題其根源就是球座標 ( )r θ ϕ 裡

的 θ ϕ 的因次並非長度而三個單位向量 ˆ ˆˆ r θ ϕ（表為 ie ）都是( θ ϕ )

的函數以致

( )ˆ ˆ( ) ( )i ie f e fθ ϕ θ ϕθ θpart part

nepart part

且 ( )ˆ ˆ( ) ( )i ie f e fθ ϕ θ ϕϕ ϕpart part

nepart part

所以nabla也不似在直角座標那麼簡單我們不在這裡推導而是給出一

個歸納的統一的三個座標的結果還記得對每一個座標 iu i = 123

座標的變化 idu 與造成的長度變化 id

i i id h du= 123i = (4-84)

其中 ih 為對應的度量係數(metric coefficient)

4-51

1 2 3

1 1 2 2 3 3

1 1 1ˆ ˆ ˆu u ue e eh u h u h u

part part partnabla equiv + +

part part part （4-85A）

座標 1 2 3 u u u

度量係數

1 2 3 h h h

nabla grad del

直角 x y z

1 1 1 nabla ˆ ˆ ˆx y z

x y zpart part part

equiv + +part part part

圓柱

zρ ϕ

1 1ρ

1ˆ ˆ ˆ z

zρ ϕ

ρ ρ ϕpart part part

nabla equiv + +part part part

球

r θ ϕ

1 sinr r θ

1 1ˆ ˆˆ

sinr

r r rθ ϕ

θ θ ϕpart part part

nabla = + +part part part

（4-85B）

梯度gradient Vnabla grad(V) 散度divergence Anablasdot div( )A

直

角 nablaV ˆ ˆ ˆV V Vx y z

x y zpart part part

= + +part part part

yx zAA AAx y z

partpart partnablasdot = + +

part part part

圓

柱

1ˆ ˆ ˆ V V VV zz

ρ ϕρ ρ ϕpart part part

nabla = + +part part part

( )1 1

1

z

z

A AA Az

A A A Fz

ϕρ

ρ ρ ϕ

ρρ ρ ρ ϕ

ρ ρ ρ ϕ

partpart partnabla sdot = + +

part part partpart part part

= + + +part part part

球

1 1ˆ ˆˆ sin

V V VV rr r r

θ ϕθ θ ϕ

part part partnabla = + +

part part part

22

1 ( )rA r Ar r

partnabla sdot =

part

1 (sin )sin

Ar θθ

θ θpart

+ sdotpart

1sin

Ar

ϕ

θ ϕpart

+part

(4-86)

Ex47 Using spherical coordinate show that 1| |r r

nablaminus

= 2

ˆ| |

r rer r

minusminusminus

where

nabla是作用在 r 而 ˆr re minus 是向量 r rminus 方向的單位向量 解let r lies in z-axis so that the angle between r and r is just θ

4-52

rArr ( ) 122 21 1 2 cos | | ( ) ( )

r rr rr r r r r r

θminus

= = minus +minus minus sdot minus

( ) ( )12 122 2 2 21 1ˆˆ 2 cos 2 cos | |

r r rr r r rr rr r r r

θ θ θθ

minus minuspart partnabla = minus + + minus +

minus part part

( ) 322 21ˆ 2 cos (2 2 cos )2

r r rr r r rθ θminusminus

= minus + minus

( ) 322 21ˆ 2 cos (2 sin )2

r rr r rrθ θ θminusminus

+ minus +

3 3 3 3

ˆˆ ˆ( cos ) sin ( cos sin )ˆˆ| | | | | | | |r r r rr r rrr r r r r r r r

θ θ θ θ θθminus minus minus minus minus= + = +

minus minus minus minus

3 3 3ˆ ( )

| | | | | |r r z r r r rr r r r r rminus + minus + minus minus

= = =minus minus minus

＝ 2

ˆ| |

r rer r

minusminusminus

QED

證明最後我們用到 ˆˆˆ cos sinz r θ θ θ= minus 而 ˆ r r z= 因為我們選了 r 是

躺在 z-軸 Ex48 For arbitrary scalar field ( )f r and vector field ( )A r 證明恆等式

( )fA f A f Anablasdot = nabla sdot + nablasdot (4-87) 解 ˆ ˆ ˆx y zfA xfA yfA zfA= + +

( ) ( ) ( ) ( )x y zfA fA fA fAx y zpart part part

rArrnablasdot = + +part part part

yx zx x x

AAf f f AA f A f A fx x y y z z

partpartpart part part part= + + + + +part part part part part part

yx zx y z

AAf f f AA A A fx y z x y z

part⎛ ⎞partpart part part part= + + + + +⎜ ⎟part part part part part part⎝ ⎠

f A f A= nabla sdot + nablasdot QED 習題 12 一個位於原點的電偶極電偶極矩＝ ˆp pz= 已知其在遠處

的電位為 20

cos4p

rθ

πε試證該處的電場強度為 E = 3

0

ˆˆ( 2cos sin )4

p rr

θ θ θπε

+

(已知 E V= minusnabla )並請計算 Enablasdot ＝

習題 13 給定一向量場2

3cosˆD r

rϕ

= 現有兩個球心在原點的同心球

內球半徑 R＝1外球 R＝2(a)求面積分S

D dssdotint S 為同心球殼的表

面（有內外兩個面）(b)求體積分V

Ddvnablasdotint V 為兩同心球之間的

區域本題也是來 check 散度定理的Ans πminus

4-53

The Laplacian operator 2nabla equivnablasdotnabla

在直角座標可以用直接作用得到

2 2 2

22 2 2u u uu u

x y zpart part part

nabla equiv nablasdotnabla = + +part part part

(4-88)

圓柱座標

2 2

22 2 2

1 1( ) u u uu uz

ρρ ρ ρ ρ ϕ

part part part part⎛ ⎞nabla equiv nablasdot nabla = + +⎜ ⎟part part part part⎝ ⎠

(4-89)

球座標

2

2 22 2 2 2 2

1 1 1sinsin sin

u u uu rr r r r r

θθ θ θ θ ϕ

part part part part part⎛ ⎞ ⎛ ⎞nabla = + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟part part part part part⎝ ⎠ ⎝ ⎠ （4-90）

習題 14 verify (4-89) and (4-90)

習題 15 Given a dipole potential V= 20

cos4p

rθ

πε find 2Vminusnabla

sect 433 Line integral and curl A 線積分與與旋度的物理意義

線積分路徑積分

考慮一曲線 C 通過兩點 ( )i i i iP x y z 與

( )f f f fP x y z 現有一向量場 ( )A x y z 定義在

C 所在的空間若 sd 為 C 上位於(xyz)點的

「路徑元素」（ ˆd td= 方向沿該處切線）而

( )A x y z 為路徑元素d 處的場值則沿 C 經歷各點所做積分

cos cosf

CC C iA d Ad A dϕ ϕrarr rarrsdot = =int int int （4-91）

稱為向量場 ( )A x y z 沿路徑 C 自 pi 至 pf 的「線積分」「或「路徑積分」

積分裡 A 取值的點侷限在路徑 C 上面若為一個「封閉路徑」則對

C 的線積分也稱做「環路積分 closed contour integral」記做

C

A dsdotint （4-92）

4-54

物理量「做功」是最標準的線積分之一力 F 自 x = a 至 x = b「沿線」

x 軸做功

W＝ F dxsdotint ＝ ( )b

xaF x dxint （4-93）

質點在力場 )(rF 裡走一條曲線 C則力場做功

CW F d= sdotint （4-94）

還記得如果 ( )F r 是所謂「保守力」則上式只與始末點有關而與

路徑無關但如果 ( )F r 是所謂「非保守力」則做功與確實的路徑 C

有關

現考慮一質點在空間運動的位置 r 落在由曲線 C

描述的路徑則質點的位移元素與曲線 C 的路徑元

素相同 d dr= 若空間有向量場 A 分佈則 A 在 C 的

路徑積分以直角座標表示為

CA drarr rarrsdotint ＝

CA d rrarr rarrsdotint ＝ ( )x y zC

A dx A dy A dz+ +int （4-95）

上式中的 x y z 的積分限由 C 決定

Ex49 2 2 2ˆ ˆ ˆA xx yy zzrarr= + + 選定一路徑 C 為曲線

2y x= 由 (000)到 (2 20)的部分求C

A dsdotint

解 ˆ ˆd xdx ydy= +∵

CA dsdotint ＝ 2 2( )

Cx dx y dy+int ＝

2 22 2

0 0x dx y dy+int int

＝ )24(32

+

或由 2y x= rArr 2ydy dx= 2 12

y dy xdxrArr =

rArrC

A dsdotint ＝2 2

0

1( )2

x x dx+int ＝2 (4 2)3

+

4-55

ex50 ˆ ˆ( )f x y z xy yx= minus Do C

f dsdotint 其中的路徑 C 為一逆時針三角

形如圖 解∵路徑全部在 x-y 平面 ˆ ˆ ˆd td xdx ydy= = +

rArrC

f dsdotint ＝ x yC

f dx f dy+int ＝C

ydx xdyminusint

由於在 C1 上 y = 0 及 dy = 0 所以 01

=intC 又由於在

C3 上 x = 0 及 dx =0所以 03

=intC 所以只剩下 C2 可

能有貢獻由 2C 的方程式x + y =1rArr ⎩⎨⎧

minus=minus=

xyyx

11

rArr2Cydx xdyminusint ＝

0 1

1 0(1 ) (1 )x dx y dyminus minus minusint int ＝

0 12 2

1 0

( ) ( )2 2x yx yminus minus minus ＝-1

Cf dsdotint ＝-1

ex51 ( )f x y zrarr

= 2ˆ ˆxx yxyminus 如右圖doC

f dsdotint 其

中路徑 C 為第一象限的逆時針 14 圓弧

解∵ 全部在 x-y 平面 ˆ ˆd xdx ydy= +

Cf dsdotint ＝ 2

Cx dx xydyminusint

由於在 C 上 cosx R ϕ= rArr sindx R dϕ ϕ= minus

siny R ϕ= rArr cosdy R dϕ ϕ=

rArr 2

Cx dx xydyminusint ＝

2 2 2 2

0cos ( sin ) sin cos cosR R d R R d

πϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕminus minus sdotint

23 2

02 cos sinR d

πϕ ϕ ϕ= minus int ＝

323Rminus

又路徑為圓周一部份所以適合用極座標表示

ˆd Rdϕ ϕ= 又由左圖將 ˆ ˆx y 拆解（投影）到 ˆˆr ϕ

ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆcos sin sin cosx r y rϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ= minus = +

4-56

( )2ˆ ˆ ˆˆ ˆ( cos sin ) ( sin cos )C C

f d r x r xy Rdϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕsdot = minus minus + sdotint int 2

2 2 2

0

sin (cos )

sin ( cos ) (cos ) cos sin

Cx Rd xyRd

R Rd R Rdπ

ϕ ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ

= minus minus

= minus minus

intint

23 2

02 cos sinR d

πϕ ϕ ϕ= minus int ＝

323Rminus

這也驗證了散度定理

Path Independence 路徑獨立性

Ex52 證明庫倫力為「保守力」考慮

電荷 q0 位於原點及電荷 q 位於

( )r x y zrarr= q 受力 F

rarr＝ 0

20

14

qq urπε

and

求庫侖力作功因為球形對稱所以

用球座標由 ˆ ˆ ru rr

= = rArr Frarr

= 03

04qq r

rπε

庫侖力由 P1 至 P2 做功為 2

1

P

CPF drarrsdotint ＝

2

1

02

0

ˆ ˆ ˆˆ sin4

P

PC

qq r rdr rd r dr

θ θ ϕ θ ϕπε

⎡ ⎤sdot + +⎣ ⎦int ＝2

1

02

04P

P

qq drrπεint

＝20

2104

r

r

qq drrπε int ＝ 0

0 1 2

1 1( )4qq

r rπεminus for all C

所以庫侖力兩點間做功與路徑無關rArr保守力

對於「保守力 conservative force」 cF 自 p1 經

由兩條不同的路徑 C1 與 C2 到達 p2

1 ccF drarrsdotint ＝

2 ccF drarrsdotint ＝-

2 ccF drarr

minussdotint

rArr1 2c cc cF d F drarr rarr

minussdot + sdotint int = cF d

rarrsdotint ＝0 (4-96）

對於任何「封閉路徑」保守力做功為 0反之若

對任一封閉路徑 0F drarrsdot neint 則兩點之間的做功與路徑有關

rarr

F 為「非

保守力」

4-57

旋度 curl Anablatimes 的幾何物理意義

我們在（4-70）式已經看過旋度的計算方式但旋度另有其意義的

ex53 給定向量場2 2

0ˆ yv yv e λrarr

minus= 左圖為場的分佈

2 20

ˆ ˆ ˆ

0 0x y z

y

x y zcurl v

v e λ

rarr

minus

= part part part ＝ ˆ ˆ ˆ0 0 0 0x y zsdot minus sdot + sdot =

我們用了簡寫 x yx ypart part

part equiv part equivpart part

可以看出這個場裡沒有「漩渦」

但是有無「漩渦」有時也不是那麼明顯可以看出的請見下一個例子

Ex54 給定向量場2 2

0ˆ xv yv e λrarr

minus= 計算其旋度 vnablatimes

解向量場 vrarr

畫在右邊你看得出有無漩渦

先計算旋度

2 20

ˆ ˆ ˆ

0 0x y z

x

x y zcurl v

v e λ

rarr

minus

= part part part2 2

2 2

0

0

ˆ

ˆ 2 0 0

x

x

z v ex

z v xe for x

λ

λ

minus

minus

part=

part

= minus ne ne

vrarr

的旋度在大部分的地方不為 0 且隨位置而不同但是你看得出這個

向量場裡有「漩渦」其實要檢驗一個向量場裡有無「漩渦」有一

個很物理的方法就是放一個小「螺旋槳」（左圖）

在場內將軸朝各個方向測試一

下如果有「漩渦」的話這個

小「螺旋槳」就會轉動右圖就是將「螺旋槳」的

軸平行於 z 軸且放在 x gt 0 的地方就可以看出左

邊的 v 場比右邊的強造成螺旋槳順時針轉動rArrcurlv zminus for x gt 0

但如果放在 x = 0 的地方就會看到左右兩端的 v 場強度相同而且

4-58

curlv = 0 「螺旋槳」放在 x lt 0 的地方就可以看出右邊的v 場比左

邊的強造成螺旋槳逆時針轉動這完全符合 curl v k+ 的結果

環路積分與旋度 curl 的物理意義

如同「散度」一樣「旋度」除了 Ftimesnabla 之外

還有一個物理意義更清楚的定義這個定義由

「線積分」說明如圖考慮做「逆時針」長方形

路徑 C1 的一個「環路積分」C1 面平行於 x-y 平

面由 z-軸看下去環路 C1 可以分為可以分為

下 CB上 CT右 CR左 CL 4 部分

CA drarrsdotint ＝

B T L RC C C CA d A d A d A drarr rarr rarr rarrsdot + sdot + sdot + sdotint int int int

分別計算由於 CB 的中點座標為 ( )2yx y zΔ

minus

ˆB BC C

A d A xdxrarr rarrsdot = sdot =int int

BxC

A dxint ( )2xyA x y z xΔ

asymp minus Δ

similarly 由於 CT 的中點座標為 ( )2yx y zΔ

+

ˆ( )T TC C

A d A xdxrarr rarrsdot = sdot minus =int int

TxC

A dxminusint ( )2xyA x y z xΔ

asymp minus + Δ

合併 CB 與 CT

B TC CA drarr

+sdot =int

( ) ( )2 2x xy yA x y z A x y z

x yy

Δ Δ⎡ ⎤minus + minus minus⎢ ⎥⎣ ⎦ Δ ΔΔ

（4-97）

由 C1 所圍的面積 S x yΔ = Δ Δ

1B TC C

A dS

rarr

+sdot =

Δ int( ) ( )

2 2x xy yA x y z A x y z

y

Δ Δ⎡ ⎤minus + minus minus⎢ ⎥⎣ ⎦Δ

（4-98）

所以當取極限 C1 收縮到中心(xyz)時 SΔ 收縮到 0ie

4-59

0limsΔ rarr

1B TC C

A dS

rarr

+sdot =

Δ int xAy

partminuspart

（4-99）

Similarly with CR 的 ˆd ydy= CL 的 ˆd ydy= minus 可得

1L RC C

A dS

rarr

+sdot =

Δ int x

zyxxFzyxxF yy

Δ

Δminusminus

Δ+ )

2()

2(

（4-100）

同樣的當取極限 C1 收縮到中心(xyz)時 SΔ 收縮到 0

0

limsΔ rarr

1L RC C

A dS

rarr

+sdot =

Δ int yAx

partpart

（4-101）

最後合併 CBCTCRCL 為 C1

10

1limCs

A ds

rarr

Δ rarrsdot =

Δ int y xA Ax y

part partminus

part partˆ ( ) ( )zz A A= sdot nablatimes = nablatimes （4-102）

注意 C1 的方向就是在 z 上式的重要

意義是當向量場 A 在一個以點(xyz)為

中心「方向為 z 」的面積元素的「邊界」

所做的環路積分得到的就是 A 在(xyz)

處旋度的 z-分量明顯的只有當 A 在

(xyz)附近有 x-y 平面上的「漩渦」那麼 C1 的環路積分才不會為 0

Similarly 取一個逆時針繞著(xyz)的平行於 x-z 平面的長方形環路 C2

（左圖）做環路積分再取極限將 C2 收縮到(xyz)就會得到

20

1limCs

A ds

rarr

Δ rarrsdot =

Δ int x zA Az x

part partminus

part partˆ ( ) ( )yy A A= sdot nablatimes = nablatimes （4-103）

注意到 C2 所包圍的面積方向就在 y到

現在我們應該已經很有經驗了若取一

個逆時針繞著(xyz)的平行於 y-z 平面

的長方形環路 C3（左圖）做環路積分

再取極限將 C3 收縮到(xyz)就會得到

4-60

30

1limCs

A ds

rarr

Δ rarrsdot =

Δ int yz AAy z

partpartminus

part partˆ ( ) ( )xx A A= sdot nablatimes = nablatimes （4-104）

能把（4-103）與（4-104）變出來的同學我們有優待綜合以上

我們可以得到一個結論若取一個以點(xyz)為中心的任意環路 Cn（其

所包圍的面積方向在 n ）則

n curl Aand rarrsdot ＝

0

1lims

Cn

A ds

rarr

Δ rarrsdot

Δ int （4-105）

明顯的當 n ＝ x 或 y 或 z 時我們可以重複（4-102）到（4-104）的

結果（4-70）式的行列式所定義的旋度在此看見其幾何物理意義

至此「旋度」的「漩渦」形象應該已經很清楚了只有在(xyz)點附

近的小圈圈上有「漩渦」 A 在小圈圈做的環路積分才會有值這個

值就是向量場 A 的「旋度」在小圈圈面積方向的分量

Stokersquos 定理

考慮一個開放面 S被其「有方向的」邊界 C 圈住(bounded by)則

( )S

A dsrarr rarrnablatimes sdotint ＝

C

A drarrsdotint （4-106）

pf 先將 S 面分割為 N 個多邊形這會使得邊界變成一個「折線」形

成的環路 P環路 P 會隨著分割的多邊形個數的增多而越加近似於原

「光滑的」邊界 C現考慮相鄰的

兩個多邊形的線積分由於共用邊

的方向是相反的所以相鄰兩個多

邊形線積分的和只剩「外邊界」（見左圖）所以當把所有的多邊形的

4-61

線積分加起來時由於只有邊界 P 不是多邊形的共用邊所以

1k

N

k C

A drarr

=

sdotsum int ＝P

A drarrsdotint rArr

P

A drarrsdotint ＝

1

1

k

N

kk k C

A d l ss

rarr rarr

=

⎡ ⎤sdot Δ⎢ ⎥

Δ⎢ ⎥⎣ ⎦sum int

其中 ksΔ 為第 k 個多邊形的面積取極限 0kN srarrinfinrArrΔ rarr P CrArr rarr

C

A drarrsdotint ＝

10

1limkk

N

kN k k Cs

A d ss

rarr

rarrinfin=Δ rarr

⎡ ⎤sdot Δ⎢ ⎥

Δ⎢ ⎥⎣ ⎦sum int 01

ˆlim ( )k

k kskn A s

infin

Δ rarr=

⎡ ⎤= sdot nablatimes Δ⎣ ⎦sum

01

ˆlim ( )k

k kskA n s

infin

Δ rarr=

= nablatimes sdot Δsum = ( )S

A dsrarr

nablatimes sdotint QED

ex55 由 Amperersquos law 的積分形式導出其微分形式

解Amperersquos law 的積分形式 C

B drarrsdotint ＝ I0μ (4-107)

由 Stokersquos 定理及電流密度 j 的定義上式等號兩端可寫為

rArr ( )S

B dsrarr rarrnablatimes sdotint ＝ 0 S

j dsμrarrsdotint

由於上面的等式對任意面 S（路徑 C）都成立所以被積函數相等

0B jμrarr rarr rarr

rArrnablatimes = (4-108) 此即 Amperersquos law 的微分形式

Ex56 Given a vector field ˆ ˆx yA ye xe= minus + (a) Find Anablatimes

解

ˆ ˆ ˆˆ ˆ(1 ( 1) 2

0x y z

x y zA z z

y xnablatimes = part part part = minus minus =

minus

(b)如圖一個金字塔狀的 5 面體高 2底邊長＝1計算 ( )S

A dsnablatimes sdotint

其中 S 為金字塔在 x-y 平面以上的部分方向如同

封閉的金字塔（運用 Stokersquos law）

解金字塔上表面的面積元素ds 不好寫由 Stokersquos

4-62

law ( )S

A dsrarr rarrnablatimes sdotint ＝

C

A drarrsdotint 其中封閉路徑 C 就是上表面的邊界而且

是逆時針（由 z 軸向下看）

C

A drarrsdotint ＝

1 1 0 0

0 0 1 1ˆ ˆ ˆ ˆA xdx A ydy A xdx A ydysdot + sdot + sdot + sdotint int int int

＝1 1 0 0

0 0 1 1x y x yA dx A dy A dx A dy+ + +int int int int 1 1 0 0

0 0 1 1( 0) ( 1) ( 1) ( 0)y dx x dy y dx x dy= minus = + = + minus = + =int int int int

0 1 1 0 2 ( ) 2S

A ds= + + + = rArr nablatimes sdot =int

旋度與 path independence

已知保守場 cF 對所有封閉路徑 C 0cC

F drarrsdot =int 由 Stokersquos 定理

0cC

F drarrsdot =int ＝ ( )cS

F dsrarr rarrnablatimes sdotint rArr 0cF

rarr rarrnablatimes =

這表示保守場＝無旋度反之無旋度的場任兩點間路徑積分與路

徑無關

Ex57 Given a field 2 2ˆ ˆ ˆ2A x xy yx zz= + minus (a) Find Anablatimes A 保守場

解2 2

ˆ ˆ ˆ

2x y z

x y zA

xy x znablatimes = part part part

minus

( ) ( ) ( )2 2 2 2ˆ ˆ ˆ( ) 2 ( ) 2 0y z z x x yx z x y xy z z x xy= part minus minuspart + part minuspart minus + part minuspart =

yes A =保守場

(b)如左圖由 A 到 B 做路徑積分A BC

A drarr

sdotint 路徑 C 為橢圓

22 1

16yx + = 在 x-軸以上的部分

解橢圓部分的路徑元素 d 有點麻煩但因為 A

為保守場所以 A 到 B 做路徑積分可以用 x = -1 到

1 的積分取代

4-63

01 1 1

1 1 1ˆ 2 0

yB

xAA d A xdx A dx xydx

=

minus minus minussdot = sdot = = =int int int int

∵

旋度在柱座標與球座標

前面討論過nabla在不同座標系的寫法旋度也有歸納出的一致寫法

座標 1 2 3 u u u

度量係數

1 2 3 h h h

nabla grad del

直角 x y z

1 1 1 nabla ˆ ˆ ˆx y z

x y zpart part part

equiv + +part part part

圓柱 zρ ϕ

1 1ρ

1ˆ ˆ ˆ zz

ρ ϕρ ρ ϕpart part part

nabla equiv + +part part part

球 r θ ϕ

1 sinr r θ

1 1ˆ ˆˆ sin

rr r r

θ ϕθ θ ϕ

part part partnabla = + +

part part part

所以柱座標與球座標的旋度分別表為

柱座標

ˆ ˆ ˆ1

z

z

Az

AA Aρ ϕ

ρ ρϕ

ρ ρ ϕρ

part part partnablatimes =

part part part （4-109）

球座標 2

ˆ ˆˆ sin1sin

sinr

r r r

Ar r

A rA r Aθ ϕ

θ θϕ

θ θ ϕθ

part part partnablatimes =

part part part （4-110）

ex58 (a) Given the vector function ˆA ϕ= sin (ϕ 2) find Anablatimes

解 2

ˆ ˆˆ sin1sin

0 sin( 2) 0

r r r

Ar r

r

θ θϕ

θ θ ϕϕ

part part partnablatimes =

part part part

4-64

21 ˆˆ cos sin sinsin 2 2 2

rr rr

ϕ ϕθϕθ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

ˆˆ cos sin2 sin 2 2

rr r

ϕ ϕ ϕθ

minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

(b)如左圖一個底面在 x-y 平面半徑＝1高＝2 之圓錐 求面積分

SA dsnablatimes sdotint 面積範圍 S 為圓錐在 x-y 平面以上

部分 方向為由圓錐內向外

解由 Stokersquos law ( )S

A dsrarr rarrnablatimes sdotint ＝

C

A drarrsdotint 其中路

徑 C 為 x-y 平面圓心在原點之單位圓 ˆ ˆd rd dϕ ϕ ϕ ϕ= =

2

0ˆ ˆsin sin

2 2C

d dπϕ ϕϕ ϕ ϕ ϕ⎛ ⎞ ⎛ ⎞sdot =⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠int int ( )0

2 sin u duπ

= int 0cos | 2u π= minus =

習題 16 磁場 B 因為不是保守場所以沒有對應的純量位而對應一

個向量位 A (vector potential)而 B A= nablatimes 一個磁鐵的磁偶極矩

ˆm mz= 被置於原點已知在遠處的 vector potential 03ˆ sin

4mAr

μϕ θπ

=

計算該處的磁場 B Ans 03

ˆˆ( 2cos sin )4

mB rr

μ θ θ θπ

= + 與電偶極遠處

的電場形式一致都是偶極(dipole) 選幾個點畫一畫該處的場向量

把磁力線描出來

附錄本章講義的內容有部分可以經由直接計算得出列在附錄做為

參考

用「圓柱座標」寫 Atimesnabla

Ararr rarrnablatimes ＝ ( )1ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ zz A A zA

z ρ φρ ϕ ρ ϕρ ρ ϕpart part part⎛ ⎞+ + times + +⎜ ⎟part part part⎝ ⎠

4-65

因為rdquo sdotrdquo與rdquotimes rdquo都是向量間的運算所以

＝ ( )ˆ ˆ ˆ ˆ zA A zAρ φρ ρ ϕρpart

times + +part

＋ ( )1ˆ ˆ ˆ ˆ zA A zAρ φϕ ρ ϕρ ϕ

parttimes + +

part

＋ ( )ˆ ˆˆ ˆ zz A A zAz ρ φρ ϕpart

times + +part

直接做上式微分可以得到

＝1ˆ z AA

zϕρ

ρ ϕpart⎛ ⎞part

minus⎜ ⎟part part⎝ ⎠＋ ˆ zA A

zρϕ

ρpart⎛ ⎞part

minus⎜ ⎟part part⎝ ⎠＋

1 1ˆ ( )A

z A ρϕρ

ρ ρ ρ ϕpart⎛ ⎞part

minus⎜ ⎟part part⎝ ⎠

上式可以用一個行列式來表示

rarrrarr

timesnabla A＝

ˆ ˆ ˆ1

z

z

zA A Aρ ϕ

ρ ρϕ

ρ ρ ϕρ

part part partpart part part

（A-1）

A and Anabla nablasdot nablatimes in 球座標 spherical coordinate

如上圖球座標 )( ϕθr 其中 )0[ infinisinr ]0[ πθ isin ]20[ πϕ isin 只有 r

是長度而 ϕθ 為角度是用來說明方向的三個座標的單位向量 ˆ ˆˆ r θ ϕ 具

有下列性質

4-66

1 如上圖 ˆ ˆˆ r θ ϕ 都不是常數而是（ ϕθ ）的函數

ˆ ˆ( )ˆ ˆ( )ˆ ˆ( )

r r θ ϕ

θ θ θ ϕϕ ϕ ϕ

⎧ =⎪

=⎨⎪ =⎩

)( ϕθr 與(xyz)之間的轉換如下

sin cossin sincos

x ry rz r

θ φθ φθ

=⎧⎪ =⎨⎪ =⎩

( )122 2 2

2 2

tan

tan

r x y z

x yz

yx

θ

φ

⎧ = + +⎪⎪ +⎪ =⎨⎪⎪ =⎪⎩

（A-2）

2 ˆ ˆˆ r θ ϕ 形成一「歸一正交集」ie

ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ 1r r θ θ ϕ ϕsdot = sdot = sdot = ˆ ˆr θ ϕperp perp

ˆ ˆr θ ϕtimes = ˆ ˆ rθ ϕtimes = ˆˆ rϕ θtimes = （A-3）

3可以很容易的由他們在 xyz 軸上的投影由直角

座標的 ˆ ˆ ˆ x y z 表出

ˆ ˆ ˆ ˆsin cos sin sin cos ( 4 )ˆ ˆ ˆ ˆcos cos cos sin sin ( 4 )ˆ ˆ ˆsin cos ( 4 )

r x y z A a

x y z A bx y A c

θ φ θ φ θ

θ θ φ θ φ θϕ φ φ

= + + minus⎧⎪

= + minus minus⎨⎪ = minus + minus⎩

4 ˆdr = 由於 ˆ ˆ( )r r θ φ= 所以由 ϕθ 的變動來看

4-67

ˆ ˆˆ| |ˆ ˆˆ| | sin sin

d r d d

d r d d

θ θθ θθ

φ θ φφ θ φφ

⎧ rArr =⎪⎨

rArr =⎪⎩rArr ˆ ˆˆ sindr d dθ θ φ θ φ= + （A-5）

rArrˆ ˆr θθpart

=part

ˆ ˆsinr θφφpart

=part

（A-6）

（A-6）的結果也可以直接由（A-4a）對 ϕθ 偏微得到

5 ˆdθ ＝ 由於 ˆ ˆ( )θ θ θ φ= 所以由 ϕθ 的變動來看

ˆ ˆ ˆ| | ( )ˆ ˆ ˆ| | cos cos

d d r d r

d d d

θ θ θ θ

φ θ θ φφ φ θ φ

⎧ rArr minus = minus⎪⎨

rArr =⎪⎩rArr ˆdθ ＝ ˆˆ cosrd dθ φ θ φminus + （A-7）

ˆrθ

θpart

rArr = minuspart

ˆ ˆcosθ φ θφpart

=part

（A-8）

請直接由（A-4b）對 ϕθ 偏微的結果 check（A-8）

6 ˆdφ ＝由於φ )(ϕ 躺在 x-y 平面上變動φ時的方向可能不是那麼

容易看出來所以做圖看一看

ie ˆ ˆˆ(sin ) (cos )d r d dφ θ φ θ θ φ= minus minus （A-9）

4-68

ˆ ˆˆsin cosrφ θ θ θφpart

= minus minuspart

7 所有的向量 ˆ ˆˆ rA rA A Aθ φθ φrarr= + +

8 位置向量 ˆr rrrarr=

可以由左圖 ˆ ˆˆ r θ ϕ 三個方向的「長度

變化」輕易的看出

9 位移元素

ˆ ˆˆ ˆ sindr rdr rd dθ θ ϕ θ φ= + + (A-10)

10 體積元素

sindv dr r d rdθ φ θ= sdot sdot

＝ 2 sinr dr d dθ θ φ (A-11)

11 面積元素 2 sinrds r d dθ θ φ= plusmn sinds r drdθ θ φ= plusmn ds rdrdφ θ= plusmn (A-12)

plusmn號表示面的垂直方向有兩個端看 ds 周邊的方向是如何定的

nabladel 考慮 ( )u u r θ φ=

rArru u udu dr d dr

θ φθ φ

part part part= + +part part part

u d rrarr rarr

equiv nabla sdot

urarr

= nabla sdot ˆ ˆˆ( sin )rdr rd dθ θ φ θ φ+ +

rArr1 1ˆ ˆˆ

sinu u uu rr r r

θ ϕθ θ φ

rarr part part partnabla = + +

part part part

1 1ˆ ˆˆsin

rr r r

θ ϕθ θ φ

rarr part part partnabla equiv + +

part part part （A-13）

4-69

直接用（A-13）與 ˆ ˆˆ rA rA A Aθ φθ ϕrarr= + + 逐項內積加上（A-678）

rArr ϕθ

θθθ

ϕθ part

part+

partpart

+partpart

=sdotnablararrrarr A

rA

rAr

rrA r sin

1)(sinsin1)(1 2

2 （A-14）

（A-13）與 ϕθ ϕθ AAArA r

andandandrarr

++= 逐項外積整理之後

ϕθ θϕθ

ϕθθ

θArrAA

r

rrr

rA

r sin

sin

sin1

2 partpart

partpart

partpart

=timesnabla

andandand

rarrrarr

（A-15）

Laplacian uu nablasdotnabla=nabla2

2

2

2222

22

sin1)(sin

sin1)(1

ϕθθθ

θθ partpart

+partpart

partpart

+partpart

partpart

=nablau

ru

rrur

rru （A-16）

B推導「散度」在圓柱座標的寫法

讓我們先回顧一下在直角座標裡的「面積元素」可以由「位移元素」

得到

ˆˆ ˆ x y zdr idx jdy kdz da dydz dxdz dxdy= + + rArr =

比照辦理「圓柱座標」的位移元素

( )ˆˆ ˆ( )

( )z

da d dzdr d d zdz da d dz

da d d

ρ

φ

ρ φ

ρ ρ φ ρ φ ρ

ρ ρ φ

=⎧⎪= + + rArr =⎨⎪ =⎩

這個結論可以輕易的由面積元素在垂直於 zˆˆ ϕρ 三個方向的面積看

出如下圖考慮一個以 )( zϕρ 為中心的「圓柱體積元素」(cylindrical

cubiod)體積為 zdV ΔΔ=Δ ϕρρ 現計算在 ρ

方向的 12 兩個平行面(方向各為 ρplusmn )的通

量

4-70

zzF

dsFdsnFS S

ΔΔ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

+cong

=sdotintint intintϕρρϕρρρ

ρ

2

2

ˆ1 1

zzF

dsFdsnFS S

ΔΔ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

minus⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

minusminuscong

minus=sdotintint intintϕρρϕρρρ

ρ

2

2

ˆ2 2

intint+

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

minus⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

minusminus⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

+Δ

asympsdotΔ

rArr21

22

22

1ˆ1

SS

zFzFdsnFV

ϕρρρρϕρρρρρρ ρρ

( ) ( )

1 20

0

0

1 ˆlim

1lim 2 2 2 2

1 1lim 2 2

1

VS S

F ndsV

F z F z

F z F z

F

ρ ρρ

ρ ρρ

ρ

ρ ρ ρ ρρ ρ φ ρ ρ φρ ρ

ρ ρρ ρ φ ρ ρ φρ ρ

ρρ ρ

Δ rarr+

Δ rarr

Δ rarr

rArr sdotΔ

Δ Δ Δ Δ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + + minus minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥Δ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦Δ Δ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥Δ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

part ⎡ ⎤= ⎣ ⎦part

intint

娛樂一下用上述方式把圓柱的 Fsdotnabla 裡的z

FF z

partpart

+partϕρϕ1

變出來

球座標的nabla和 Fsdotnabla 也可以試試看

補充習題

H M Scheydiv grad curl and all that 4th edition

第二章習題 6 8 9 10 11 14 15 16 18 19 21 22 23 25 26 27

第三章習題 2 3 5 6 7 8 9 10 11 14 15 17 18 19 24

4-49

習題 10 Find the normal vector n for the surfaces (a) z = 2-x-y ans

ˆ ˆ ˆ( ) 3x y z+ + (b) z = (1-x2)12 ans ˆ ˆxx zz+ (c) z = x2+y2

ans ˆ ˆ ˆ( 2 2 ) 1 4xx yy z zminus minus + +

習題 11 Show that the unit vector normal to the plane ax+by+cz =d is

given by 2 2 2ˆ ˆ ˆ( ) ax by cz a b cplusmn + + + +

圓柱座標與球座標的nabla (del)

考慮一純量場在直角座標為 ( ) u x y z 在圓柱座標表為 ( ) u zρ φ

再考慮因位移 r r drrarr + 所造成 u ( )zρ φ 的變化

( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆz

z

u u udu d d dz u dr u d d zdzz

u u z u d d zdz

u d u d u dzρ ϕ

ρ ϕ

ρ ϕ ρ ρ ϕρ ϕρ ϕ

ρ ϕ ρ ρ ϕρ ϕ

ρ ρ ϕ

part part part= + + = nabla sdot = nabla sdot + +part part part

⎡ ⎤= nabla + nabla + nabla sdot + +⎣ ⎦= nabla + nabla + nabla

( ) ( ) ( )1

1ˆ ˆ ˆu

z

u u uu u uz

u u uzz

ρ ϕρ ρ ϕ

ρ ϕρ ρ ϕ

part part partrArr nabla = nabla = nabla =

part part partpart part part

rArrnabla = + +part part part

1ˆ ˆ ˆ zz

ρ ϕρ ρ ϕpart part part

nabla = + +part part part

（4-82）

注意nabla的ϕ -分量( 1ρ ϕ

partpart

)不是像直角座標裡單純的ϕpartpart

所以不要笨笨

的就把直角座標的形式硬套上去用我們也可以從「因次分析」來

看nabla因為是對空間的微分所以每一項的因次必須是「長度分之一」

運算 andzρ

part partpart part

都是「長度分之一」而「單純的ϕpartpart

」是沒有單位的

所以要1ρ ϕ

partpart

才 OK

由於圓柱座標裡的單位向量除了 z 之外 ˆ( )ρ ϕ 與 ˆ( )ϕ ϕ 都不是常

4-50

數所以在微分時不可以與微分運算交換而要考慮微分的作用所

以在「圓柱座標」寫「散度」 ( ) F zρ ϕnablasdot 也和直角座標不一樣

( )1ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ zF z F F zFz ρ ϕρ ϕ ρ ϕ

ρ ρ ϕpart part part⎛ ⎞

nabla sdot = + + sdot + +⎜ ⎟part part part⎝ ⎠

( ) ( )1ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆz zF F zF F F zFρ ϕ ρ ϕρ ρ ϕ ϕ ρ ϕρ ρ ϕpart part

= sdot + + + sdot + +part part

( )ˆ ˆˆ ˆ zz F F zFz ρ ϕρ ϕpart

+ sdot + +part

因為 ( ) ( )ˆ ˆ ˆ ˆ ρ ρ ϕ ϕ ϕ ϕ= = 所以做 andzρ

part partpart part

時 ˆ ˆ ρ ϕ 可視為常數

ˆ ˆ1ˆ ˆ ˆ zF F F FF F Fz

ρ ρ ϕρ φ

ρ ϕϕ ρ ϕρ ρ ϕ ϕ ϕ ϕ

part part part⎡ ⎤part part partrArrnablasdot = + sdot + + + +⎢ ⎥part part part part part part⎣ ⎦

還記得 ˆ ˆ ˆ ˆd d d dρ ϕ ϕ ϕ ρ ϕ= = minus 所以 ˆ ˆρ ϕϕpart

=part

ˆ ˆϕ ρϕpart

= minuspart

rArr

( )1 1 1z zF F F FF FF Fz z

ρ ρ ϕ ϕρρ

ρ ρ ρ ϕ ρ ρ ρ ϕpart part part part

nablasdot = + + + = + +part part part part part part

（4-83）

在球座標寫nabla也會遇到相似的問題其根源就是球座標 ( )r θ ϕ 裡

的 θ ϕ 的因次並非長度而三個單位向量 ˆ ˆˆ r θ ϕ（表為 ie ）都是( θ ϕ )

的函數以致

( )ˆ ˆ( ) ( )i ie f e fθ ϕ θ ϕθ θpart part

nepart part

且 ( )ˆ ˆ( ) ( )i ie f e fθ ϕ θ ϕϕ ϕpart part

nepart part

所以nabla也不似在直角座標那麼簡單我們不在這裡推導而是給出一

個歸納的統一的三個座標的結果還記得對每一個座標 iu i = 123

座標的變化 idu 與造成的長度變化 id

i i id h du= 123i = (4-84)

其中 ih 為對應的度量係數(metric coefficient)

4-51

1 2 3

1 1 2 2 3 3

1 1 1ˆ ˆ ˆu u ue e eh u h u h u

part part partnabla equiv + +

part part part （4-85A）

座標 1 2 3 u u u

度量係數

1 2 3 h h h

nabla grad del

直角 x y z

1 1 1 nabla ˆ ˆ ˆx y z

x y zpart part part

equiv + +part part part

圓柱

zρ ϕ

1 1ρ

1ˆ ˆ ˆ z

zρ ϕ

ρ ρ ϕpart part part

nabla equiv + +part part part

球

r θ ϕ

1 sinr r θ

1 1ˆ ˆˆ

sinr

r r rθ ϕ

θ θ ϕpart part part

nabla = + +part part part

（4-85B）

梯度gradient Vnabla grad(V) 散度divergence Anablasdot div( )A

直

角 nablaV ˆ ˆ ˆV V Vx y z

x y zpart part part

= + +part part part

yx zAA AAx y z

partpart partnablasdot = + +

part part part

圓

柱

1ˆ ˆ ˆ V V VV zz

ρ ϕρ ρ ϕpart part part

nabla = + +part part part

( )1 1

1

z

z

A AA Az

A A A Fz

ϕρ

ρ ρ ϕ

ρρ ρ ρ ϕ

ρ ρ ρ ϕ

partpart partnabla sdot = + +

part part partpart part part

= + + +part part part

球

1 1ˆ ˆˆ sin

V V VV rr r r

θ ϕθ θ ϕ

part part partnabla = + +

part part part

22

1 ( )rA r Ar r

partnabla sdot =

part

1 (sin )sin

Ar θθ

θ θpart

+ sdotpart

1sin

Ar

ϕ

θ ϕpart

+part

(4-86)

Ex47 Using spherical coordinate show that 1| |r r

nablaminus

= 2

ˆ| |

r rer r

minusminusminus

where

nabla是作用在 r 而 ˆr re minus 是向量 r rminus 方向的單位向量 解let r lies in z-axis so that the angle between r and r is just θ

4-52

rArr ( ) 122 21 1 2 cos | | ( ) ( )

r rr rr r r r r r

θminus

= = minus +minus minus sdot minus

( ) ( )12 122 2 2 21 1ˆˆ 2 cos 2 cos | |

r r rr r r rr rr r r r

θ θ θθ

minus minuspart partnabla = minus + + minus +

minus part part

( ) 322 21ˆ 2 cos (2 2 cos )2

r r rr r r rθ θminusminus

= minus + minus

( ) 322 21ˆ 2 cos (2 sin )2

r rr r rrθ θ θminusminus

+ minus +

3 3 3 3

ˆˆ ˆ( cos ) sin ( cos sin )ˆˆ| | | | | | | |r r r rr r rrr r r r r r r r

θ θ θ θ θθminus minus minus minus minus= + = +

minus minus minus minus

3 3 3ˆ ( )

| | | | | |r r z r r r rr r r r r rminus + minus + minus minus

= = =minus minus minus

＝ 2

ˆ| |

r rer r

minusminusminus

QED

證明最後我們用到 ˆˆˆ cos sinz r θ θ θ= minus 而 ˆ r r z= 因為我們選了 r 是

躺在 z-軸 Ex48 For arbitrary scalar field ( )f r and vector field ( )A r 證明恆等式

( )fA f A f Anablasdot = nabla sdot + nablasdot (4-87) 解 ˆ ˆ ˆx y zfA xfA yfA zfA= + +

( ) ( ) ( ) ( )x y zfA fA fA fAx y zpart part part

rArrnablasdot = + +part part part

yx zx x x

AAf f f AA f A f A fx x y y z z

partpartpart part part part= + + + + +part part part part part part

yx zx y z

AAf f f AA A A fx y z x y z

part⎛ ⎞partpart part part part= + + + + +⎜ ⎟part part part part part part⎝ ⎠

f A f A= nabla sdot + nablasdot QED 習題 12 一個位於原點的電偶極電偶極矩＝ ˆp pz= 已知其在遠處

的電位為 20

cos4p

rθ

πε試證該處的電場強度為 E = 3

0

ˆˆ( 2cos sin )4

p rr

θ θ θπε

+

(已知 E V= minusnabla )並請計算 Enablasdot ＝

習題 13 給定一向量場2

3cosˆD r

rϕ

= 現有兩個球心在原點的同心球

內球半徑 R＝1外球 R＝2(a)求面積分S

D dssdotint S 為同心球殼的表

面（有內外兩個面）(b)求體積分V

Ddvnablasdotint V 為兩同心球之間的

區域本題也是來 check 散度定理的Ans πminus

4-53

The Laplacian operator 2nabla equivnablasdotnabla

在直角座標可以用直接作用得到

2 2 2

22 2 2u u uu u

x y zpart part part

nabla equiv nablasdotnabla = + +part part part

(4-88)

圓柱座標

2 2

22 2 2

1 1( ) u u uu uz

ρρ ρ ρ ρ ϕ

part part part part⎛ ⎞nabla equiv nablasdot nabla = + +⎜ ⎟part part part part⎝ ⎠

(4-89)

球座標

2

2 22 2 2 2 2

1 1 1sinsin sin

u u uu rr r r r r

θθ θ θ θ ϕ

part part part part part⎛ ⎞ ⎛ ⎞nabla = + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟part part part part part⎝ ⎠ ⎝ ⎠ （4-90）

習題 14 verify (4-89) and (4-90)

習題 15 Given a dipole potential V= 20

cos4p

rθ

πε find 2Vminusnabla

sect 433 Line integral and curl A 線積分與與旋度的物理意義

線積分路徑積分

考慮一曲線 C 通過兩點 ( )i i i iP x y z 與

( )f f f fP x y z 現有一向量場 ( )A x y z 定義在

C 所在的空間若 sd 為 C 上位於(xyz)點的

「路徑元素」（ ˆd td= 方向沿該處切線）而

( )A x y z 為路徑元素d 處的場值則沿 C 經歷各點所做積分

cos cosf

CC C iA d Ad A dϕ ϕrarr rarrsdot = =int int int （4-91）

稱為向量場 ( )A x y z 沿路徑 C 自 pi 至 pf 的「線積分」「或「路徑積分」

積分裡 A 取值的點侷限在路徑 C 上面若為一個「封閉路徑」則對

C 的線積分也稱做「環路積分 closed contour integral」記做

C

A dsdotint （4-92）

4-54

物理量「做功」是最標準的線積分之一力 F 自 x = a 至 x = b「沿線」

x 軸做功

W＝ F dxsdotint ＝ ( )b

xaF x dxint （4-93）

質點在力場 )(rF 裡走一條曲線 C則力場做功

CW F d= sdotint （4-94）

還記得如果 ( )F r 是所謂「保守力」則上式只與始末點有關而與

路徑無關但如果 ( )F r 是所謂「非保守力」則做功與確實的路徑 C

有關

現考慮一質點在空間運動的位置 r 落在由曲線 C

描述的路徑則質點的位移元素與曲線 C 的路徑元

素相同 d dr= 若空間有向量場 A 分佈則 A 在 C 的

路徑積分以直角座標表示為

CA drarr rarrsdotint ＝

CA d rrarr rarrsdotint ＝ ( )x y zC

A dx A dy A dz+ +int （4-95）

上式中的 x y z 的積分限由 C 決定

Ex49 2 2 2ˆ ˆ ˆA xx yy zzrarr= + + 選定一路徑 C 為曲線

2y x= 由 (000)到 (2 20)的部分求C

A dsdotint

解 ˆ ˆd xdx ydy= +∵

CA dsdotint ＝ 2 2( )

Cx dx y dy+int ＝

2 22 2

0 0x dx y dy+int int

＝ )24(32

+

或由 2y x= rArr 2ydy dx= 2 12

y dy xdxrArr =

rArrC

A dsdotint ＝2 2

0

1( )2

x x dx+int ＝2 (4 2)3

+

4-55

ex50 ˆ ˆ( )f x y z xy yx= minus Do C

f dsdotint 其中的路徑 C 為一逆時針三角

形如圖 解∵路徑全部在 x-y 平面 ˆ ˆ ˆd td xdx ydy= = +

rArrC

f dsdotint ＝ x yC

f dx f dy+int ＝C

ydx xdyminusint

由於在 C1 上 y = 0 及 dy = 0 所以 01

=intC 又由於在

C3 上 x = 0 及 dx =0所以 03

=intC 所以只剩下 C2 可

能有貢獻由 2C 的方程式x + y =1rArr ⎩⎨⎧

minus=minus=

xyyx

11

rArr2Cydx xdyminusint ＝

0 1

1 0(1 ) (1 )x dx y dyminus minus minusint int ＝

0 12 2

1 0

( ) ( )2 2x yx yminus minus minus ＝-1

Cf dsdotint ＝-1

ex51 ( )f x y zrarr

= 2ˆ ˆxx yxyminus 如右圖doC

f dsdotint 其

中路徑 C 為第一象限的逆時針 14 圓弧

解∵ 全部在 x-y 平面 ˆ ˆd xdx ydy= +

Cf dsdotint ＝ 2

Cx dx xydyminusint

由於在 C 上 cosx R ϕ= rArr sindx R dϕ ϕ= minus

siny R ϕ= rArr cosdy R dϕ ϕ=

rArr 2

Cx dx xydyminusint ＝

2 2 2 2

0cos ( sin ) sin cos cosR R d R R d

πϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕminus minus sdotint

23 2

02 cos sinR d

πϕ ϕ ϕ= minus int ＝

323Rminus

又路徑為圓周一部份所以適合用極座標表示

ˆd Rdϕ ϕ= 又由左圖將 ˆ ˆx y 拆解（投影）到 ˆˆr ϕ

ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆcos sin sin cosx r y rϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ= minus = +

4-56

( )2ˆ ˆ ˆˆ ˆ( cos sin ) ( sin cos )C C

f d r x r xy Rdϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕsdot = minus minus + sdotint int 2

2 2 2

0

sin (cos )

sin ( cos ) (cos ) cos sin

Cx Rd xyRd

R Rd R Rdπ

ϕ ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ

= minus minus

= minus minus

intint

23 2

02 cos sinR d

πϕ ϕ ϕ= minus int ＝

323Rminus

這也驗證了散度定理

Path Independence 路徑獨立性

Ex52 證明庫倫力為「保守力」考慮

電荷 q0 位於原點及電荷 q 位於

( )r x y zrarr= q 受力 F

rarr＝ 0

20

14

qq urπε

and

求庫侖力作功因為球形對稱所以

用球座標由 ˆ ˆ ru rr

= = rArr Frarr

= 03

04qq r

rπε

庫侖力由 P1 至 P2 做功為 2

1

P

CPF drarrsdotint ＝

2

1

02

0

ˆ ˆ ˆˆ sin4

P

PC

qq r rdr rd r dr

θ θ ϕ θ ϕπε

⎡ ⎤sdot + +⎣ ⎦int ＝2

1

02

04P

P

qq drrπεint

＝20

2104

r

r

qq drrπε int ＝ 0

0 1 2

1 1( )4qq

r rπεminus for all C

所以庫侖力兩點間做功與路徑無關rArr保守力

對於「保守力 conservative force」 cF 自 p1 經

由兩條不同的路徑 C1 與 C2 到達 p2

1 ccF drarrsdotint ＝

2 ccF drarrsdotint ＝-

2 ccF drarr

minussdotint

rArr1 2c cc cF d F drarr rarr

minussdot + sdotint int = cF d

rarrsdotint ＝0 (4-96）

對於任何「封閉路徑」保守力做功為 0反之若

對任一封閉路徑 0F drarrsdot neint 則兩點之間的做功與路徑有關

rarr

F 為「非

保守力」

4-57

旋度 curl Anablatimes 的幾何物理意義

我們在（4-70）式已經看過旋度的計算方式但旋度另有其意義的

ex53 給定向量場2 2

0ˆ yv yv e λrarr

minus= 左圖為場的分佈

2 20

ˆ ˆ ˆ

0 0x y z

y

x y zcurl v

v e λ

rarr

minus

= part part part ＝ ˆ ˆ ˆ0 0 0 0x y zsdot minus sdot + sdot =

我們用了簡寫 x yx ypart part

part equiv part equivpart part

可以看出這個場裡沒有「漩渦」

但是有無「漩渦」有時也不是那麼明顯可以看出的請見下一個例子

Ex54 給定向量場2 2

0ˆ xv yv e λrarr

minus= 計算其旋度 vnablatimes

解向量場 vrarr

畫在右邊你看得出有無漩渦

先計算旋度

2 20

ˆ ˆ ˆ

0 0x y z

x

x y zcurl v

v e λ

rarr

minus

= part part part2 2

2 2

0

0

ˆ

ˆ 2 0 0

x

x

z v ex

z v xe for x

λ

λ

minus

minus

part=

part

= minus ne ne

vrarr

的旋度在大部分的地方不為 0 且隨位置而不同但是你看得出這個

向量場裡有「漩渦」其實要檢驗一個向量場裡有無「漩渦」有一

個很物理的方法就是放一個小「螺旋槳」（左圖）

在場內將軸朝各個方向測試一

下如果有「漩渦」的話這個

小「螺旋槳」就會轉動右圖就是將「螺旋槳」的

軸平行於 z 軸且放在 x gt 0 的地方就可以看出左

邊的 v 場比右邊的強造成螺旋槳順時針轉動rArrcurlv zminus for x gt 0

但如果放在 x = 0 的地方就會看到左右兩端的 v 場強度相同而且

4-58

curlv = 0 「螺旋槳」放在 x lt 0 的地方就可以看出右邊的v 場比左

邊的強造成螺旋槳逆時針轉動這完全符合 curl v k+ 的結果

環路積分與旋度 curl 的物理意義

如同「散度」一樣「旋度」除了 Ftimesnabla 之外

還有一個物理意義更清楚的定義這個定義由

「線積分」說明如圖考慮做「逆時針」長方形

路徑 C1 的一個「環路積分」C1 面平行於 x-y 平

面由 z-軸看下去環路 C1 可以分為可以分為

下 CB上 CT右 CR左 CL 4 部分

CA drarrsdotint ＝

B T L RC C C CA d A d A d A drarr rarr rarr rarrsdot + sdot + sdot + sdotint int int int

分別計算由於 CB 的中點座標為 ( )2yx y zΔ

minus

ˆB BC C

A d A xdxrarr rarrsdot = sdot =int int

BxC

A dxint ( )2xyA x y z xΔ

asymp minus Δ

similarly 由於 CT 的中點座標為 ( )2yx y zΔ

+

ˆ( )T TC C

A d A xdxrarr rarrsdot = sdot minus =int int

TxC

A dxminusint ( )2xyA x y z xΔ

asymp minus + Δ

合併 CB 與 CT

B TC CA drarr

+sdot =int

( ) ( )2 2x xy yA x y z A x y z

x yy

Δ Δ⎡ ⎤minus + minus minus⎢ ⎥⎣ ⎦ Δ ΔΔ

（4-97）

由 C1 所圍的面積 S x yΔ = Δ Δ

1B TC C

A dS

rarr

+sdot =

Δ int( ) ( )

2 2x xy yA x y z A x y z

y

Δ Δ⎡ ⎤minus + minus minus⎢ ⎥⎣ ⎦Δ

（4-98）

所以當取極限 C1 收縮到中心(xyz)時 SΔ 收縮到 0ie

4-59

0limsΔ rarr

1B TC C

A dS

rarr

+sdot =

Δ int xAy

partminuspart

（4-99）

Similarly with CR 的 ˆd ydy= CL 的 ˆd ydy= minus 可得

1L RC C

A dS

rarr

+sdot =

Δ int x

zyxxFzyxxF yy

Δ

Δminusminus

Δ+ )

2()

2(

（4-100）

同樣的當取極限 C1 收縮到中心(xyz)時 SΔ 收縮到 0

0

limsΔ rarr

1L RC C

A dS

rarr

+sdot =

Δ int yAx

partpart

（4-101）

最後合併 CBCTCRCL 為 C1

10

1limCs

A ds

rarr

Δ rarrsdot =

Δ int y xA Ax y

part partminus

part partˆ ( ) ( )zz A A= sdot nablatimes = nablatimes （4-102）

注意 C1 的方向就是在 z 上式的重要

意義是當向量場 A 在一個以點(xyz)為

中心「方向為 z 」的面積元素的「邊界」

所做的環路積分得到的就是 A 在(xyz)

處旋度的 z-分量明顯的只有當 A 在

(xyz)附近有 x-y 平面上的「漩渦」那麼 C1 的環路積分才不會為 0

Similarly 取一個逆時針繞著(xyz)的平行於 x-z 平面的長方形環路 C2

（左圖）做環路積分再取極限將 C2 收縮到(xyz)就會得到

20

1limCs

A ds

rarr

Δ rarrsdot =

Δ int x zA Az x

part partminus

part partˆ ( ) ( )yy A A= sdot nablatimes = nablatimes （4-103）

注意到 C2 所包圍的面積方向就在 y到

現在我們應該已經很有經驗了若取一

個逆時針繞著(xyz)的平行於 y-z 平面

的長方形環路 C3（左圖）做環路積分

再取極限將 C3 收縮到(xyz)就會得到

4-60

30

1limCs

A ds

rarr

Δ rarrsdot =

Δ int yz AAy z

partpartminus

part partˆ ( ) ( )xx A A= sdot nablatimes = nablatimes （4-104）

能把（4-103）與（4-104）變出來的同學我們有優待綜合以上

我們可以得到一個結論若取一個以點(xyz)為中心的任意環路 Cn（其

所包圍的面積方向在 n ）則

n curl Aand rarrsdot ＝

0

1lims

Cn

A ds

rarr

Δ rarrsdot

Δ int （4-105）

明顯的當 n ＝ x 或 y 或 z 時我們可以重複（4-102）到（4-104）的

結果（4-70）式的行列式所定義的旋度在此看見其幾何物理意義

至此「旋度」的「漩渦」形象應該已經很清楚了只有在(xyz)點附

近的小圈圈上有「漩渦」 A 在小圈圈做的環路積分才會有值這個

值就是向量場 A 的「旋度」在小圈圈面積方向的分量

Stokersquos 定理

考慮一個開放面 S被其「有方向的」邊界 C 圈住(bounded by)則

( )S

A dsrarr rarrnablatimes sdotint ＝

C

A drarrsdotint （4-106）

pf 先將 S 面分割為 N 個多邊形這會使得邊界變成一個「折線」形

成的環路 P環路 P 會隨著分割的多邊形個數的增多而越加近似於原

「光滑的」邊界 C現考慮相鄰的

兩個多邊形的線積分由於共用邊

的方向是相反的所以相鄰兩個多

邊形線積分的和只剩「外邊界」（見左圖）所以當把所有的多邊形的

4-61

線積分加起來時由於只有邊界 P 不是多邊形的共用邊所以

1k

N

k C

A drarr

=

sdotsum int ＝P

A drarrsdotint rArr

P

A drarrsdotint ＝

1

1

k

N

kk k C

A d l ss

rarr rarr

=

⎡ ⎤sdot Δ⎢ ⎥

Δ⎢ ⎥⎣ ⎦sum int

其中 ksΔ 為第 k 個多邊形的面積取極限 0kN srarrinfinrArrΔ rarr P CrArr rarr

C

A drarrsdotint ＝

10

1limkk

N

kN k k Cs

A d ss

rarr

rarrinfin=Δ rarr

⎡ ⎤sdot Δ⎢ ⎥

Δ⎢ ⎥⎣ ⎦sum int 01

ˆlim ( )k

k kskn A s

infin

Δ rarr=

⎡ ⎤= sdot nablatimes Δ⎣ ⎦sum

01

ˆlim ( )k

k kskA n s

infin

Δ rarr=

= nablatimes sdot Δsum = ( )S

A dsrarr

nablatimes sdotint QED

ex55 由 Amperersquos law 的積分形式導出其微分形式

解Amperersquos law 的積分形式 C

B drarrsdotint ＝ I0μ (4-107)

由 Stokersquos 定理及電流密度 j 的定義上式等號兩端可寫為

rArr ( )S

B dsrarr rarrnablatimes sdotint ＝ 0 S

j dsμrarrsdotint

由於上面的等式對任意面 S（路徑 C）都成立所以被積函數相等

0B jμrarr rarr rarr

rArrnablatimes = (4-108) 此即 Amperersquos law 的微分形式

Ex56 Given a vector field ˆ ˆx yA ye xe= minus + (a) Find Anablatimes

解

ˆ ˆ ˆˆ ˆ(1 ( 1) 2

0x y z

x y zA z z

y xnablatimes = part part part = minus minus =

minus

(b)如圖一個金字塔狀的 5 面體高 2底邊長＝1計算 ( )S

A dsnablatimes sdotint

其中 S 為金字塔在 x-y 平面以上的部分方向如同

封閉的金字塔（運用 Stokersquos law）

解金字塔上表面的面積元素ds 不好寫由 Stokersquos

4-62

law ( )S

A dsrarr rarrnablatimes sdotint ＝

C

A drarrsdotint 其中封閉路徑 C 就是上表面的邊界而且

是逆時針（由 z 軸向下看）

C

A drarrsdotint ＝

1 1 0 0

0 0 1 1ˆ ˆ ˆ ˆA xdx A ydy A xdx A ydysdot + sdot + sdot + sdotint int int int

＝1 1 0 0

0 0 1 1x y x yA dx A dy A dx A dy+ + +int int int int 1 1 0 0

0 0 1 1( 0) ( 1) ( 1) ( 0)y dx x dy y dx x dy= minus = + = + minus = + =int int int int

0 1 1 0 2 ( ) 2S

A ds= + + + = rArr nablatimes sdot =int

旋度與 path independence

已知保守場 cF 對所有封閉路徑 C 0cC

F drarrsdot =int 由 Stokersquos 定理

0cC

F drarrsdot =int ＝ ( )cS

F dsrarr rarrnablatimes sdotint rArr 0cF

rarr rarrnablatimes =

這表示保守場＝無旋度反之無旋度的場任兩點間路徑積分與路

徑無關

Ex57 Given a field 2 2ˆ ˆ ˆ2A x xy yx zz= + minus (a) Find Anablatimes A 保守場

解2 2

ˆ ˆ ˆ

2x y z

x y zA

xy x znablatimes = part part part

minus

( ) ( ) ( )2 2 2 2ˆ ˆ ˆ( ) 2 ( ) 2 0y z z x x yx z x y xy z z x xy= part minus minuspart + part minuspart minus + part minuspart =

yes A =保守場

(b)如左圖由 A 到 B 做路徑積分A BC

A drarr

sdotint 路徑 C 為橢圓

22 1

16yx + = 在 x-軸以上的部分

解橢圓部分的路徑元素 d 有點麻煩但因為 A

為保守場所以 A 到 B 做路徑積分可以用 x = -1 到

1 的積分取代

4-63

01 1 1

1 1 1ˆ 2 0

yB

xAA d A xdx A dx xydx

=

minus minus minussdot = sdot = = =int int int int

∵

旋度在柱座標與球座標

前面討論過nabla在不同座標系的寫法旋度也有歸納出的一致寫法

座標 1 2 3 u u u

度量係數

1 2 3 h h h

nabla grad del

直角 x y z

1 1 1 nabla ˆ ˆ ˆx y z

x y zpart part part

equiv + +part part part

圓柱 zρ ϕ

1 1ρ

1ˆ ˆ ˆ zz

ρ ϕρ ρ ϕpart part part

nabla equiv + +part part part

球 r θ ϕ

1 sinr r θ

1 1ˆ ˆˆ sin

rr r r

θ ϕθ θ ϕ

part part partnabla = + +

part part part

所以柱座標與球座標的旋度分別表為

柱座標

ˆ ˆ ˆ1

z

z

Az

AA Aρ ϕ

ρ ρϕ

ρ ρ ϕρ

part part partnablatimes =

part part part （4-109）

球座標 2

ˆ ˆˆ sin1sin

sinr

r r r

Ar r

A rA r Aθ ϕ

θ θϕ

θ θ ϕθ

part part partnablatimes =

part part part （4-110）

ex58 (a) Given the vector function ˆA ϕ= sin (ϕ 2) find Anablatimes

解 2

ˆ ˆˆ sin1sin

0 sin( 2) 0

r r r

Ar r

r

θ θϕ

θ θ ϕϕ

part part partnablatimes =

part part part

4-64

21 ˆˆ cos sin sinsin 2 2 2

rr rr

ϕ ϕθϕθ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

ˆˆ cos sin2 sin 2 2

rr r

ϕ ϕ ϕθ

minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

(b)如左圖一個底面在 x-y 平面半徑＝1高＝2 之圓錐 求面積分

SA dsnablatimes sdotint 面積範圍 S 為圓錐在 x-y 平面以上

部分 方向為由圓錐內向外

解由 Stokersquos law ( )S

A dsrarr rarrnablatimes sdotint ＝

C

A drarrsdotint 其中路

徑 C 為 x-y 平面圓心在原點之單位圓 ˆ ˆd rd dϕ ϕ ϕ ϕ= =

2

0ˆ ˆsin sin

2 2C

d dπϕ ϕϕ ϕ ϕ ϕ⎛ ⎞ ⎛ ⎞sdot =⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠int int ( )0

2 sin u duπ

= int 0cos | 2u π= minus =

習題 16 磁場 B 因為不是保守場所以沒有對應的純量位而對應一

個向量位 A (vector potential)而 B A= nablatimes 一個磁鐵的磁偶極矩

ˆm mz= 被置於原點已知在遠處的 vector potential 03ˆ sin

4mAr

μϕ θπ

=

計算該處的磁場 B Ans 03

ˆˆ( 2cos sin )4

mB rr

μ θ θ θπ

= + 與電偶極遠處

的電場形式一致都是偶極(dipole) 選幾個點畫一畫該處的場向量

把磁力線描出來

附錄本章講義的內容有部分可以經由直接計算得出列在附錄做為

參考

用「圓柱座標」寫 Atimesnabla

Ararr rarrnablatimes ＝ ( )1ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ zz A A zA

z ρ φρ ϕ ρ ϕρ ρ ϕpart part part⎛ ⎞+ + times + +⎜ ⎟part part part⎝ ⎠

4-65

因為rdquo sdotrdquo與rdquotimes rdquo都是向量間的運算所以

＝ ( )ˆ ˆ ˆ ˆ zA A zAρ φρ ρ ϕρpart

times + +part

＋ ( )1ˆ ˆ ˆ ˆ zA A zAρ φϕ ρ ϕρ ϕ

parttimes + +

part

＋ ( )ˆ ˆˆ ˆ zz A A zAz ρ φρ ϕpart

times + +part

直接做上式微分可以得到

＝1ˆ z AA

zϕρ

ρ ϕpart⎛ ⎞part

minus⎜ ⎟part part⎝ ⎠＋ ˆ zA A

zρϕ

ρpart⎛ ⎞part

minus⎜ ⎟part part⎝ ⎠＋

1 1ˆ ( )A

z A ρϕρ

ρ ρ ρ ϕpart⎛ ⎞part

minus⎜ ⎟part part⎝ ⎠

上式可以用一個行列式來表示

rarrrarr

timesnabla A＝

ˆ ˆ ˆ1

z

z

zA A Aρ ϕ

ρ ρϕ

ρ ρ ϕρ

part part partpart part part

（A-1）

A and Anabla nablasdot nablatimes in 球座標 spherical coordinate

如上圖球座標 )( ϕθr 其中 )0[ infinisinr ]0[ πθ isin ]20[ πϕ isin 只有 r

是長度而 ϕθ 為角度是用來說明方向的三個座標的單位向量 ˆ ˆˆ r θ ϕ 具

有下列性質

4-66

1 如上圖 ˆ ˆˆ r θ ϕ 都不是常數而是（ ϕθ ）的函數

ˆ ˆ( )ˆ ˆ( )ˆ ˆ( )

r r θ ϕ

θ θ θ ϕϕ ϕ ϕ

⎧ =⎪

=⎨⎪ =⎩

)( ϕθr 與(xyz)之間的轉換如下

sin cossin sincos

x ry rz r

θ φθ φθ

=⎧⎪ =⎨⎪ =⎩

( )122 2 2

2 2

tan

tan

r x y z

x yz

yx

θ

φ

⎧ = + +⎪⎪ +⎪ =⎨⎪⎪ =⎪⎩

（A-2）

2 ˆ ˆˆ r θ ϕ 形成一「歸一正交集」ie

ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ 1r r θ θ ϕ ϕsdot = sdot = sdot = ˆ ˆr θ ϕperp perp

ˆ ˆr θ ϕtimes = ˆ ˆ rθ ϕtimes = ˆˆ rϕ θtimes = （A-3）

3可以很容易的由他們在 xyz 軸上的投影由直角

座標的 ˆ ˆ ˆ x y z 表出

ˆ ˆ ˆ ˆsin cos sin sin cos ( 4 )ˆ ˆ ˆ ˆcos cos cos sin sin ( 4 )ˆ ˆ ˆsin cos ( 4 )

r x y z A a

x y z A bx y A c

θ φ θ φ θ

θ θ φ θ φ θϕ φ φ

= + + minus⎧⎪

= + minus minus⎨⎪ = minus + minus⎩

4 ˆdr = 由於 ˆ ˆ( )r r θ φ= 所以由 ϕθ 的變動來看

4-67

ˆ ˆˆ| |ˆ ˆˆ| | sin sin

d r d d

d r d d

θ θθ θθ

φ θ φφ θ φφ

⎧ rArr =⎪⎨

rArr =⎪⎩rArr ˆ ˆˆ sindr d dθ θ φ θ φ= + （A-5）

rArrˆ ˆr θθpart

=part

ˆ ˆsinr θφφpart

=part

（A-6）

（A-6）的結果也可以直接由（A-4a）對 ϕθ 偏微得到

5 ˆdθ ＝ 由於 ˆ ˆ( )θ θ θ φ= 所以由 ϕθ 的變動來看

ˆ ˆ ˆ| | ( )ˆ ˆ ˆ| | cos cos

d d r d r

d d d

θ θ θ θ

φ θ θ φφ φ θ φ

⎧ rArr minus = minus⎪⎨

rArr =⎪⎩rArr ˆdθ ＝ ˆˆ cosrd dθ φ θ φminus + （A-7）

ˆrθ

θpart

rArr = minuspart

ˆ ˆcosθ φ θφpart

=part

（A-8）

請直接由（A-4b）對 ϕθ 偏微的結果 check（A-8）

6 ˆdφ ＝由於φ )(ϕ 躺在 x-y 平面上變動φ時的方向可能不是那麼

容易看出來所以做圖看一看

ie ˆ ˆˆ(sin ) (cos )d r d dφ θ φ θ θ φ= minus minus （A-9）

4-68

ˆ ˆˆsin cosrφ θ θ θφpart

= minus minuspart

7 所有的向量 ˆ ˆˆ rA rA A Aθ φθ φrarr= + +

8 位置向量 ˆr rrrarr=

可以由左圖 ˆ ˆˆ r θ ϕ 三個方向的「長度

變化」輕易的看出

9 位移元素

ˆ ˆˆ ˆ sindr rdr rd dθ θ ϕ θ φ= + + (A-10)

10 體積元素

sindv dr r d rdθ φ θ= sdot sdot

＝ 2 sinr dr d dθ θ φ (A-11)

11 面積元素 2 sinrds r d dθ θ φ= plusmn sinds r drdθ θ φ= plusmn ds rdrdφ θ= plusmn (A-12)

plusmn號表示面的垂直方向有兩個端看 ds 周邊的方向是如何定的

nabladel 考慮 ( )u u r θ φ=

rArru u udu dr d dr

θ φθ φ

part part part= + +part part part

u d rrarr rarr

equiv nabla sdot

urarr

= nabla sdot ˆ ˆˆ( sin )rdr rd dθ θ φ θ φ+ +

rArr1 1ˆ ˆˆ

sinu u uu rr r r

θ ϕθ θ φ

rarr part part partnabla = + +

part part part

1 1ˆ ˆˆsin

rr r r

θ ϕθ θ φ

rarr part part partnabla equiv + +

part part part （A-13）

4-69

直接用（A-13）與 ˆ ˆˆ rA rA A Aθ φθ ϕrarr= + + 逐項內積加上（A-678）

rArr ϕθ

θθθ

ϕθ part

part+

partpart

+partpart

=sdotnablararrrarr A

rA

rAr

rrA r sin

1)(sinsin1)(1 2

2 （A-14）

（A-13）與 ϕθ ϕθ AAArA r

andandandrarr

++= 逐項外積整理之後

ϕθ θϕθ

ϕθθ

θArrAA

r

rrr

rA

r sin

sin

sin1

2 partpart

partpart

partpart

=timesnabla

andandand

rarrrarr

（A-15）

Laplacian uu nablasdotnabla=nabla2

2

2

2222

22

sin1)(sin

sin1)(1

ϕθθθ

θθ partpart

+partpart

partpart

+partpart

partpart

=nablau

ru

rrur

rru （A-16）

B推導「散度」在圓柱座標的寫法

讓我們先回顧一下在直角座標裡的「面積元素」可以由「位移元素」

得到

ˆˆ ˆ x y zdr idx jdy kdz da dydz dxdz dxdy= + + rArr =

比照辦理「圓柱座標」的位移元素

( )ˆˆ ˆ( )

( )z

da d dzdr d d zdz da d dz

da d d

ρ

φ

ρ φ

ρ ρ φ ρ φ ρ

ρ ρ φ

=⎧⎪= + + rArr =⎨⎪ =⎩

這個結論可以輕易的由面積元素在垂直於 zˆˆ ϕρ 三個方向的面積看

出如下圖考慮一個以 )( zϕρ 為中心的「圓柱體積元素」(cylindrical

cubiod)體積為 zdV ΔΔ=Δ ϕρρ 現計算在 ρ

方向的 12 兩個平行面(方向各為 ρplusmn )的通

量

4-70

zzF

dsFdsnFS S

ΔΔ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

+cong

=sdotintint intintϕρρϕρρρ

ρ

2

2

ˆ1 1

zzF

dsFdsnFS S

ΔΔ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

minus⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

minusminuscong

minus=sdotintint intintϕρρϕρρρ

ρ

2

2

ˆ2 2

intint+

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

minus⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

minusminus⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

+Δ

asympsdotΔ

rArr21

22

22

1ˆ1

SS

zFzFdsnFV

ϕρρρρϕρρρρρρ ρρ

( ) ( )

1 20

0

0

1 ˆlim

1lim 2 2 2 2

1 1lim 2 2

1

VS S

F ndsV

F z F z

F z F z

F

ρ ρρ

ρ ρρ

ρ

ρ ρ ρ ρρ ρ φ ρ ρ φρ ρ

ρ ρρ ρ φ ρ ρ φρ ρ

ρρ ρ

Δ rarr+

Δ rarr

Δ rarr

rArr sdotΔ

Δ Δ Δ Δ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + + minus minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥Δ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦Δ Δ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥Δ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

part ⎡ ⎤= ⎣ ⎦part

intint

娛樂一下用上述方式把圓柱的 Fsdotnabla 裡的z

FF z

partpart

+partϕρϕ1

變出來

球座標的nabla和 Fsdotnabla 也可以試試看

補充習題

H M Scheydiv grad curl and all that 4th edition

第二章習題 6 8 9 10 11 14 15 16 18 19 21 22 23 25 26 27

第三章習題 2 3 5 6 7 8 9 10 11 14 15 17 18 19 24

4-50

數所以在微分時不可以與微分運算交換而要考慮微分的作用所

以在「圓柱座標」寫「散度」 ( ) F zρ ϕnablasdot 也和直角座標不一樣

( )1ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ zF z F F zFz ρ ϕρ ϕ ρ ϕ

ρ ρ ϕpart part part⎛ ⎞

nabla sdot = + + sdot + +⎜ ⎟part part part⎝ ⎠

( ) ( )1ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆz zF F zF F F zFρ ϕ ρ ϕρ ρ ϕ ϕ ρ ϕρ ρ ϕpart part

= sdot + + + sdot + +part part

( )ˆ ˆˆ ˆ zz F F zFz ρ ϕρ ϕpart

+ sdot + +part

因為 ( ) ( )ˆ ˆ ˆ ˆ ρ ρ ϕ ϕ ϕ ϕ= = 所以做 andzρ

part partpart part

時 ˆ ˆ ρ ϕ 可視為常數

ˆ ˆ1ˆ ˆ ˆ zF F F FF F Fz

ρ ρ ϕρ φ

ρ ϕϕ ρ ϕρ ρ ϕ ϕ ϕ ϕ

part part part⎡ ⎤part part partrArrnablasdot = + sdot + + + +⎢ ⎥part part part part part part⎣ ⎦

還記得 ˆ ˆ ˆ ˆd d d dρ ϕ ϕ ϕ ρ ϕ= = minus 所以 ˆ ˆρ ϕϕpart

=part

ˆ ˆϕ ρϕpart

= minuspart

rArr

( )1 1 1z zF F F FF FF Fz z

ρ ρ ϕ ϕρρ

ρ ρ ρ ϕ ρ ρ ρ ϕpart part part part

nablasdot = + + + = + +part part part part part part

（4-83）

在球座標寫nabla也會遇到相似的問題其根源就是球座標 ( )r θ ϕ 裡

的 θ ϕ 的因次並非長度而三個單位向量 ˆ ˆˆ r θ ϕ（表為 ie ）都是( θ ϕ )

的函數以致

( )ˆ ˆ( ) ( )i ie f e fθ ϕ θ ϕθ θpart part

nepart part

且 ( )ˆ ˆ( ) ( )i ie f e fθ ϕ θ ϕϕ ϕpart part

nepart part

所以nabla也不似在直角座標那麼簡單我們不在這裡推導而是給出一

個歸納的統一的三個座標的結果還記得對每一個座標 iu i = 123

座標的變化 idu 與造成的長度變化 id

i i id h du= 123i = (4-84)

其中 ih 為對應的度量係數(metric coefficient)

4-51

1 2 3

1 1 2 2 3 3

1 1 1ˆ ˆ ˆu u ue e eh u h u h u

part part partnabla equiv + +

part part part （4-85A）

座標 1 2 3 u u u

度量係數

1 2 3 h h h

nabla grad del

直角 x y z

1 1 1 nabla ˆ ˆ ˆx y z

x y zpart part part

equiv + +part part part

圓柱

zρ ϕ

1 1ρ

1ˆ ˆ ˆ z

zρ ϕ

ρ ρ ϕpart part part

nabla equiv + +part part part

球

r θ ϕ

1 sinr r θ

1 1ˆ ˆˆ

sinr

r r rθ ϕ

θ θ ϕpart part part

nabla = + +part part part

（4-85B）

梯度gradient Vnabla grad(V) 散度divergence Anablasdot div( )A

直

角 nablaV ˆ ˆ ˆV V Vx y z

x y zpart part part

= + +part part part

yx zAA AAx y z

partpart partnablasdot = + +

part part part

圓

柱

1ˆ ˆ ˆ V V VV zz

ρ ϕρ ρ ϕpart part part

nabla = + +part part part

( )1 1

1

z

z

A AA Az

A A A Fz

ϕρ

ρ ρ ϕ

ρρ ρ ρ ϕ

ρ ρ ρ ϕ

partpart partnabla sdot = + +

part part partpart part part

= + + +part part part

球

1 1ˆ ˆˆ sin

V V VV rr r r

θ ϕθ θ ϕ

part part partnabla = + +

part part part

22

1 ( )rA r Ar r

partnabla sdot =

part

1 (sin )sin

Ar θθ

θ θpart

+ sdotpart

1sin

Ar

ϕ

θ ϕpart

+part

(4-86)

Ex47 Using spherical coordinate show that 1| |r r

nablaminus

= 2

ˆ| |

r rer r

minusminusminus

where

nabla是作用在 r 而 ˆr re minus 是向量 r rminus 方向的單位向量 解let r lies in z-axis so that the angle between r and r is just θ

4-52

rArr ( ) 122 21 1 2 cos | | ( ) ( )

r rr rr r r r r r

θminus

= = minus +minus minus sdot minus

( ) ( )12 122 2 2 21 1ˆˆ 2 cos 2 cos | |

r r rr r r rr rr r r r

θ θ θθ

minus minuspart partnabla = minus + + minus +

minus part part

( ) 322 21ˆ 2 cos (2 2 cos )2

r r rr r r rθ θminusminus

= minus + minus

( ) 322 21ˆ 2 cos (2 sin )2

r rr r rrθ θ θminusminus

+ minus +

3 3 3 3

ˆˆ ˆ( cos ) sin ( cos sin )ˆˆ| | | | | | | |r r r rr r rrr r r r r r r r

θ θ θ θ θθminus minus minus minus minus= + = +

minus minus minus minus

3 3 3ˆ ( )

| | | | | |r r z r r r rr r r r r rminus + minus + minus minus

= = =minus minus minus

＝ 2

ˆ| |

r rer r

minusminusminus

QED

證明最後我們用到 ˆˆˆ cos sinz r θ θ θ= minus 而 ˆ r r z= 因為我們選了 r 是

躺在 z-軸 Ex48 For arbitrary scalar field ( )f r and vector field ( )A r 證明恆等式

( )fA f A f Anablasdot = nabla sdot + nablasdot (4-87) 解 ˆ ˆ ˆx y zfA xfA yfA zfA= + +

( ) ( ) ( ) ( )x y zfA fA fA fAx y zpart part part

rArrnablasdot = + +part part part

yx zx x x

AAf f f AA f A f A fx x y y z z

partpartpart part part part= + + + + +part part part part part part

yx zx y z

AAf f f AA A A fx y z x y z

part⎛ ⎞partpart part part part= + + + + +⎜ ⎟part part part part part part⎝ ⎠

f A f A= nabla sdot + nablasdot QED 習題 12 一個位於原點的電偶極電偶極矩＝ ˆp pz= 已知其在遠處

的電位為 20

cos4p

rθ

πε試證該處的電場強度為 E = 3

0

ˆˆ( 2cos sin )4

p rr

θ θ θπε

+

(已知 E V= minusnabla )並請計算 Enablasdot ＝

習題 13 給定一向量場2

3cosˆD r

rϕ

= 現有兩個球心在原點的同心球

內球半徑 R＝1外球 R＝2(a)求面積分S

D dssdotint S 為同心球殼的表

面（有內外兩個面）(b)求體積分V

Ddvnablasdotint V 為兩同心球之間的

區域本題也是來 check 散度定理的Ans πminus

4-53

The Laplacian operator 2nabla equivnablasdotnabla

在直角座標可以用直接作用得到

2 2 2

22 2 2u u uu u

x y zpart part part

nabla equiv nablasdotnabla = + +part part part

(4-88)

圓柱座標

2 2

22 2 2

1 1( ) u u uu uz

ρρ ρ ρ ρ ϕ

part part part part⎛ ⎞nabla equiv nablasdot nabla = + +⎜ ⎟part part part part⎝ ⎠

(4-89)

球座標

2

2 22 2 2 2 2

1 1 1sinsin sin

u u uu rr r r r r

θθ θ θ θ ϕ

part part part part part⎛ ⎞ ⎛ ⎞nabla = + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟part part part part part⎝ ⎠ ⎝ ⎠ （4-90）

習題 14 verify (4-89) and (4-90)

習題 15 Given a dipole potential V= 20

cos4p

rθ

πε find 2Vminusnabla

sect 433 Line integral and curl A 線積分與與旋度的物理意義

線積分路徑積分

考慮一曲線 C 通過兩點 ( )i i i iP x y z 與

( )f f f fP x y z 現有一向量場 ( )A x y z 定義在

C 所在的空間若 sd 為 C 上位於(xyz)點的

「路徑元素」（ ˆd td= 方向沿該處切線）而

( )A x y z 為路徑元素d 處的場值則沿 C 經歷各點所做積分

cos cosf

CC C iA d Ad A dϕ ϕrarr rarrsdot = =int int int （4-91）

稱為向量場 ( )A x y z 沿路徑 C 自 pi 至 pf 的「線積分」「或「路徑積分」

積分裡 A 取值的點侷限在路徑 C 上面若為一個「封閉路徑」則對

C 的線積分也稱做「環路積分 closed contour integral」記做

C

A dsdotint （4-92）

4-54

物理量「做功」是最標準的線積分之一力 F 自 x = a 至 x = b「沿線」

x 軸做功

W＝ F dxsdotint ＝ ( )b

xaF x dxint （4-93）

質點在力場 )(rF 裡走一條曲線 C則力場做功

CW F d= sdotint （4-94）

還記得如果 ( )F r 是所謂「保守力」則上式只與始末點有關而與

路徑無關但如果 ( )F r 是所謂「非保守力」則做功與確實的路徑 C

有關

現考慮一質點在空間運動的位置 r 落在由曲線 C

描述的路徑則質點的位移元素與曲線 C 的路徑元

素相同 d dr= 若空間有向量場 A 分佈則 A 在 C 的

路徑積分以直角座標表示為

CA drarr rarrsdotint ＝

CA d rrarr rarrsdotint ＝ ( )x y zC

A dx A dy A dz+ +int （4-95）

上式中的 x y z 的積分限由 C 決定

Ex49 2 2 2ˆ ˆ ˆA xx yy zzrarr= + + 選定一路徑 C 為曲線

2y x= 由 (000)到 (2 20)的部分求C

A dsdotint

解 ˆ ˆd xdx ydy= +∵

CA dsdotint ＝ 2 2( )

Cx dx y dy+int ＝

2 22 2

0 0x dx y dy+int int

＝ )24(32

+

或由 2y x= rArr 2ydy dx= 2 12

y dy xdxrArr =

rArrC

A dsdotint ＝2 2

0

1( )2

x x dx+int ＝2 (4 2)3

+

4-55

ex50 ˆ ˆ( )f x y z xy yx= minus Do C

f dsdotint 其中的路徑 C 為一逆時針三角

形如圖 解∵路徑全部在 x-y 平面 ˆ ˆ ˆd td xdx ydy= = +

rArrC

f dsdotint ＝ x yC

f dx f dy+int ＝C

ydx xdyminusint

由於在 C1 上 y = 0 及 dy = 0 所以 01

=intC 又由於在

C3 上 x = 0 及 dx =0所以 03

=intC 所以只剩下 C2 可

能有貢獻由 2C 的方程式x + y =1rArr ⎩⎨⎧

minus=minus=

xyyx

11

rArr2Cydx xdyminusint ＝

0 1

1 0(1 ) (1 )x dx y dyminus minus minusint int ＝

0 12 2

1 0

( ) ( )2 2x yx yminus minus minus ＝-1

Cf dsdotint ＝-1

ex51 ( )f x y zrarr

= 2ˆ ˆxx yxyminus 如右圖doC

f dsdotint 其

中路徑 C 為第一象限的逆時針 14 圓弧

解∵ 全部在 x-y 平面 ˆ ˆd xdx ydy= +

Cf dsdotint ＝ 2

Cx dx xydyminusint

由於在 C 上 cosx R ϕ= rArr sindx R dϕ ϕ= minus

siny R ϕ= rArr cosdy R dϕ ϕ=

rArr 2

Cx dx xydyminusint ＝

2 2 2 2

0cos ( sin ) sin cos cosR R d R R d

πϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕminus minus sdotint

23 2

02 cos sinR d

πϕ ϕ ϕ= minus int ＝

323Rminus

又路徑為圓周一部份所以適合用極座標表示

ˆd Rdϕ ϕ= 又由左圖將 ˆ ˆx y 拆解（投影）到 ˆˆr ϕ

ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆcos sin sin cosx r y rϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ= minus = +

4-56

( )2ˆ ˆ ˆˆ ˆ( cos sin ) ( sin cos )C C

f d r x r xy Rdϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕsdot = minus minus + sdotint int 2

2 2 2

0

sin (cos )

sin ( cos ) (cos ) cos sin

Cx Rd xyRd

R Rd R Rdπ

ϕ ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ

= minus minus

= minus minus

intint

23 2

02 cos sinR d

πϕ ϕ ϕ= minus int ＝

323Rminus

這也驗證了散度定理

Path Independence 路徑獨立性

Ex52 證明庫倫力為「保守力」考慮

電荷 q0 位於原點及電荷 q 位於

( )r x y zrarr= q 受力 F

rarr＝ 0

20

14

qq urπε

and

求庫侖力作功因為球形對稱所以

用球座標由 ˆ ˆ ru rr

= = rArr Frarr

= 03

04qq r

rπε

庫侖力由 P1 至 P2 做功為 2

1

P

CPF drarrsdotint ＝

2

1

02

0

ˆ ˆ ˆˆ sin4

P

PC

qq r rdr rd r dr

θ θ ϕ θ ϕπε

⎡ ⎤sdot + +⎣ ⎦int ＝2

1

02

04P

P

qq drrπεint

＝20

2104

r

r

qq drrπε int ＝ 0

0 1 2

1 1( )4qq

r rπεminus for all C

所以庫侖力兩點間做功與路徑無關rArr保守力

對於「保守力 conservative force」 cF 自 p1 經

由兩條不同的路徑 C1 與 C2 到達 p2

1 ccF drarrsdotint ＝

2 ccF drarrsdotint ＝-

2 ccF drarr

minussdotint

rArr1 2c cc cF d F drarr rarr

minussdot + sdotint int = cF d

rarrsdotint ＝0 (4-96）

對於任何「封閉路徑」保守力做功為 0反之若

對任一封閉路徑 0F drarrsdot neint 則兩點之間的做功與路徑有關

rarr

F 為「非

保守力」

4-57

旋度 curl Anablatimes 的幾何物理意義

我們在（4-70）式已經看過旋度的計算方式但旋度另有其意義的

ex53 給定向量場2 2

0ˆ yv yv e λrarr

minus= 左圖為場的分佈

2 20

ˆ ˆ ˆ

0 0x y z

y

x y zcurl v

v e λ

rarr

minus

= part part part ＝ ˆ ˆ ˆ0 0 0 0x y zsdot minus sdot + sdot =

我們用了簡寫 x yx ypart part

part equiv part equivpart part

可以看出這個場裡沒有「漩渦」

但是有無「漩渦」有時也不是那麼明顯可以看出的請見下一個例子

Ex54 給定向量場2 2

0ˆ xv yv e λrarr

minus= 計算其旋度 vnablatimes

解向量場 vrarr

畫在右邊你看得出有無漩渦

先計算旋度

2 20

ˆ ˆ ˆ

0 0x y z

x

x y zcurl v

v e λ

rarr

minus

= part part part2 2

2 2

0

0

ˆ

ˆ 2 0 0

x

x

z v ex

z v xe for x

λ

λ

minus

minus

part=

part

= minus ne ne

vrarr

的旋度在大部分的地方不為 0 且隨位置而不同但是你看得出這個

向量場裡有「漩渦」其實要檢驗一個向量場裡有無「漩渦」有一

個很物理的方法就是放一個小「螺旋槳」（左圖）

在場內將軸朝各個方向測試一

下如果有「漩渦」的話這個

小「螺旋槳」就會轉動右圖就是將「螺旋槳」的

軸平行於 z 軸且放在 x gt 0 的地方就可以看出左

邊的 v 場比右邊的強造成螺旋槳順時針轉動rArrcurlv zminus for x gt 0

但如果放在 x = 0 的地方就會看到左右兩端的 v 場強度相同而且

4-58

curlv = 0 「螺旋槳」放在 x lt 0 的地方就可以看出右邊的v 場比左

邊的強造成螺旋槳逆時針轉動這完全符合 curl v k+ 的結果

環路積分與旋度 curl 的物理意義

如同「散度」一樣「旋度」除了 Ftimesnabla 之外

還有一個物理意義更清楚的定義這個定義由

「線積分」說明如圖考慮做「逆時針」長方形

路徑 C1 的一個「環路積分」C1 面平行於 x-y 平

面由 z-軸看下去環路 C1 可以分為可以分為

下 CB上 CT右 CR左 CL 4 部分

CA drarrsdotint ＝

B T L RC C C CA d A d A d A drarr rarr rarr rarrsdot + sdot + sdot + sdotint int int int

分別計算由於 CB 的中點座標為 ( )2yx y zΔ

minus

ˆB BC C

A d A xdxrarr rarrsdot = sdot =int int

BxC

A dxint ( )2xyA x y z xΔ

asymp minus Δ

similarly 由於 CT 的中點座標為 ( )2yx y zΔ

+

ˆ( )T TC C

A d A xdxrarr rarrsdot = sdot minus =int int

TxC

A dxminusint ( )2xyA x y z xΔ

asymp minus + Δ

合併 CB 與 CT

B TC CA drarr

+sdot =int

( ) ( )2 2x xy yA x y z A x y z

x yy

Δ Δ⎡ ⎤minus + minus minus⎢ ⎥⎣ ⎦ Δ ΔΔ

（4-97）

由 C1 所圍的面積 S x yΔ = Δ Δ

1B TC C

A dS

rarr

+sdot =

Δ int( ) ( )

2 2x xy yA x y z A x y z

y

Δ Δ⎡ ⎤minus + minus minus⎢ ⎥⎣ ⎦Δ

（4-98）

所以當取極限 C1 收縮到中心(xyz)時 SΔ 收縮到 0ie

4-59

0limsΔ rarr

1B TC C

A dS

rarr

+sdot =

Δ int xAy

partminuspart

（4-99）

Similarly with CR 的 ˆd ydy= CL 的 ˆd ydy= minus 可得

1L RC C

A dS

rarr

+sdot =

Δ int x

zyxxFzyxxF yy

Δ

Δminusminus

Δ+ )

2()

2(

（4-100）

同樣的當取極限 C1 收縮到中心(xyz)時 SΔ 收縮到 0

0

limsΔ rarr

1L RC C

A dS

rarr

+sdot =

Δ int yAx

partpart

（4-101）

最後合併 CBCTCRCL 為 C1

10

1limCs

A ds

rarr

Δ rarrsdot =

Δ int y xA Ax y

part partminus

part partˆ ( ) ( )zz A A= sdot nablatimes = nablatimes （4-102）

注意 C1 的方向就是在 z 上式的重要

意義是當向量場 A 在一個以點(xyz)為

中心「方向為 z 」的面積元素的「邊界」

所做的環路積分得到的就是 A 在(xyz)

處旋度的 z-分量明顯的只有當 A 在

(xyz)附近有 x-y 平面上的「漩渦」那麼 C1 的環路積分才不會為 0

Similarly 取一個逆時針繞著(xyz)的平行於 x-z 平面的長方形環路 C2

（左圖）做環路積分再取極限將 C2 收縮到(xyz)就會得到

20

1limCs

A ds

rarr

Δ rarrsdot =

Δ int x zA Az x

part partminus

part partˆ ( ) ( )yy A A= sdot nablatimes = nablatimes （4-103）

注意到 C2 所包圍的面積方向就在 y到

現在我們應該已經很有經驗了若取一

個逆時針繞著(xyz)的平行於 y-z 平面

的長方形環路 C3（左圖）做環路積分

再取極限將 C3 收縮到(xyz)就會得到

4-60

30

1limCs

A ds

rarr

Δ rarrsdot =

Δ int yz AAy z

partpartminus

part partˆ ( ) ( )xx A A= sdot nablatimes = nablatimes （4-104）

能把（4-103）與（4-104）變出來的同學我們有優待綜合以上

我們可以得到一個結論若取一個以點(xyz)為中心的任意環路 Cn（其

所包圍的面積方向在 n ）則

n curl Aand rarrsdot ＝

0

1lims

Cn

A ds

rarr

Δ rarrsdot

Δ int （4-105）

明顯的當 n ＝ x 或 y 或 z 時我們可以重複（4-102）到（4-104）的

結果（4-70）式的行列式所定義的旋度在此看見其幾何物理意義

至此「旋度」的「漩渦」形象應該已經很清楚了只有在(xyz)點附

近的小圈圈上有「漩渦」 A 在小圈圈做的環路積分才會有值這個

值就是向量場 A 的「旋度」在小圈圈面積方向的分量

Stokersquos 定理

考慮一個開放面 S被其「有方向的」邊界 C 圈住(bounded by)則

( )S

A dsrarr rarrnablatimes sdotint ＝

C

A drarrsdotint （4-106）

pf 先將 S 面分割為 N 個多邊形這會使得邊界變成一個「折線」形

成的環路 P環路 P 會隨著分割的多邊形個數的增多而越加近似於原

「光滑的」邊界 C現考慮相鄰的

兩個多邊形的線積分由於共用邊

的方向是相反的所以相鄰兩個多

邊形線積分的和只剩「外邊界」（見左圖）所以當把所有的多邊形的

4-61

線積分加起來時由於只有邊界 P 不是多邊形的共用邊所以

1k

N

k C

A drarr

=

sdotsum int ＝P

A drarrsdotint rArr

P

A drarrsdotint ＝

1

1

k

N

kk k C

A d l ss

rarr rarr

=

⎡ ⎤sdot Δ⎢ ⎥

Δ⎢ ⎥⎣ ⎦sum int

其中 ksΔ 為第 k 個多邊形的面積取極限 0kN srarrinfinrArrΔ rarr P CrArr rarr

C

A drarrsdotint ＝

10

1limkk

N

kN k k Cs

A d ss

rarr

rarrinfin=Δ rarr

⎡ ⎤sdot Δ⎢ ⎥

Δ⎢ ⎥⎣ ⎦sum int 01

ˆlim ( )k

k kskn A s

infin

Δ rarr=

⎡ ⎤= sdot nablatimes Δ⎣ ⎦sum

01

ˆlim ( )k

k kskA n s

infin

Δ rarr=

= nablatimes sdot Δsum = ( )S

A dsrarr

nablatimes sdotint QED

ex55 由 Amperersquos law 的積分形式導出其微分形式

解Amperersquos law 的積分形式 C

B drarrsdotint ＝ I0μ (4-107)

由 Stokersquos 定理及電流密度 j 的定義上式等號兩端可寫為

rArr ( )S

B dsrarr rarrnablatimes sdotint ＝ 0 S

j dsμrarrsdotint

由於上面的等式對任意面 S（路徑 C）都成立所以被積函數相等

0B jμrarr rarr rarr

rArrnablatimes = (4-108) 此即 Amperersquos law 的微分形式

Ex56 Given a vector field ˆ ˆx yA ye xe= minus + (a) Find Anablatimes

解

ˆ ˆ ˆˆ ˆ(1 ( 1) 2

0x y z

x y zA z z

y xnablatimes = part part part = minus minus =

minus

(b)如圖一個金字塔狀的 5 面體高 2底邊長＝1計算 ( )S

A dsnablatimes sdotint

其中 S 為金字塔在 x-y 平面以上的部分方向如同

封閉的金字塔（運用 Stokersquos law）

解金字塔上表面的面積元素ds 不好寫由 Stokersquos

4-62

law ( )S

A dsrarr rarrnablatimes sdotint ＝

C

A drarrsdotint 其中封閉路徑 C 就是上表面的邊界而且

是逆時針（由 z 軸向下看）

C

A drarrsdotint ＝

1 1 0 0

0 0 1 1ˆ ˆ ˆ ˆA xdx A ydy A xdx A ydysdot + sdot + sdot + sdotint int int int

＝1 1 0 0

0 0 1 1x y x yA dx A dy A dx A dy+ + +int int int int 1 1 0 0

0 0 1 1( 0) ( 1) ( 1) ( 0)y dx x dy y dx x dy= minus = + = + minus = + =int int int int

0 1 1 0 2 ( ) 2S

A ds= + + + = rArr nablatimes sdot =int

旋度與 path independence

已知保守場 cF 對所有封閉路徑 C 0cC

F drarrsdot =int 由 Stokersquos 定理

0cC

F drarrsdot =int ＝ ( )cS

F dsrarr rarrnablatimes sdotint rArr 0cF

rarr rarrnablatimes =

這表示保守場＝無旋度反之無旋度的場任兩點間路徑積分與路

徑無關

Ex57 Given a field 2 2ˆ ˆ ˆ2A x xy yx zz= + minus (a) Find Anablatimes A 保守場

解2 2

ˆ ˆ ˆ

2x y z

x y zA

xy x znablatimes = part part part

minus

( ) ( ) ( )2 2 2 2ˆ ˆ ˆ( ) 2 ( ) 2 0y z z x x yx z x y xy z z x xy= part minus minuspart + part minuspart minus + part minuspart =

yes A =保守場

(b)如左圖由 A 到 B 做路徑積分A BC

A drarr

sdotint 路徑 C 為橢圓

22 1

16yx + = 在 x-軸以上的部分

解橢圓部分的路徑元素 d 有點麻煩但因為 A

為保守場所以 A 到 B 做路徑積分可以用 x = -1 到

1 的積分取代

4-63

01 1 1

1 1 1ˆ 2 0

yB

xAA d A xdx A dx xydx

=

minus minus minussdot = sdot = = =int int int int

∵

旋度在柱座標與球座標

前面討論過nabla在不同座標系的寫法旋度也有歸納出的一致寫法

座標 1 2 3 u u u

度量係數

1 2 3 h h h

nabla grad del

直角 x y z

1 1 1 nabla ˆ ˆ ˆx y z

x y zpart part part

equiv + +part part part

圓柱 zρ ϕ

1 1ρ

1ˆ ˆ ˆ zz

ρ ϕρ ρ ϕpart part part

nabla equiv + +part part part

球 r θ ϕ

1 sinr r θ

1 1ˆ ˆˆ sin

rr r r

θ ϕθ θ ϕ

part part partnabla = + +

part part part

所以柱座標與球座標的旋度分別表為

柱座標

ˆ ˆ ˆ1

z

z

Az

AA Aρ ϕ

ρ ρϕ

ρ ρ ϕρ

part part partnablatimes =

part part part （4-109）

球座標 2

ˆ ˆˆ sin1sin

sinr

r r r

Ar r

A rA r Aθ ϕ

θ θϕ

θ θ ϕθ

part part partnablatimes =

part part part （4-110）

ex58 (a) Given the vector function ˆA ϕ= sin (ϕ 2) find Anablatimes

解 2

ˆ ˆˆ sin1sin

0 sin( 2) 0

r r r

Ar r

r

θ θϕ

θ θ ϕϕ

part part partnablatimes =

part part part

4-64

21 ˆˆ cos sin sinsin 2 2 2

rr rr

ϕ ϕθϕθ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

ˆˆ cos sin2 sin 2 2

rr r

ϕ ϕ ϕθ

minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

(b)如左圖一個底面在 x-y 平面半徑＝1高＝2 之圓錐 求面積分

SA dsnablatimes sdotint 面積範圍 S 為圓錐在 x-y 平面以上

部分 方向為由圓錐內向外

解由 Stokersquos law ( )S

A dsrarr rarrnablatimes sdotint ＝

C

A drarrsdotint 其中路

徑 C 為 x-y 平面圓心在原點之單位圓 ˆ ˆd rd dϕ ϕ ϕ ϕ= =

2

0ˆ ˆsin sin

2 2C

d dπϕ ϕϕ ϕ ϕ ϕ⎛ ⎞ ⎛ ⎞sdot =⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠int int ( )0

2 sin u duπ

= int 0cos | 2u π= minus =

習題 16 磁場 B 因為不是保守場所以沒有對應的純量位而對應一

個向量位 A (vector potential)而 B A= nablatimes 一個磁鐵的磁偶極矩

ˆm mz= 被置於原點已知在遠處的 vector potential 03ˆ sin

4mAr

μϕ θπ

=

計算該處的磁場 B Ans 03

ˆˆ( 2cos sin )4

mB rr

μ θ θ θπ

= + 與電偶極遠處

的電場形式一致都是偶極(dipole) 選幾個點畫一畫該處的場向量

把磁力線描出來

附錄本章講義的內容有部分可以經由直接計算得出列在附錄做為

參考

用「圓柱座標」寫 Atimesnabla

Ararr rarrnablatimes ＝ ( )1ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ zz A A zA

z ρ φρ ϕ ρ ϕρ ρ ϕpart part part⎛ ⎞+ + times + +⎜ ⎟part part part⎝ ⎠

4-65

因為rdquo sdotrdquo與rdquotimes rdquo都是向量間的運算所以

＝ ( )ˆ ˆ ˆ ˆ zA A zAρ φρ ρ ϕρpart

times + +part

＋ ( )1ˆ ˆ ˆ ˆ zA A zAρ φϕ ρ ϕρ ϕ

parttimes + +

part

＋ ( )ˆ ˆˆ ˆ zz A A zAz ρ φρ ϕpart

times + +part

直接做上式微分可以得到

＝1ˆ z AA

zϕρ

ρ ϕpart⎛ ⎞part

minus⎜ ⎟part part⎝ ⎠＋ ˆ zA A

zρϕ

ρpart⎛ ⎞part

minus⎜ ⎟part part⎝ ⎠＋

1 1ˆ ( )A

z A ρϕρ

ρ ρ ρ ϕpart⎛ ⎞part

minus⎜ ⎟part part⎝ ⎠

上式可以用一個行列式來表示

rarrrarr

timesnabla A＝

ˆ ˆ ˆ1

z

z

zA A Aρ ϕ

ρ ρϕ

ρ ρ ϕρ

part part partpart part part

（A-1）

A and Anabla nablasdot nablatimes in 球座標 spherical coordinate

如上圖球座標 )( ϕθr 其中 )0[ infinisinr ]0[ πθ isin ]20[ πϕ isin 只有 r

是長度而 ϕθ 為角度是用來說明方向的三個座標的單位向量 ˆ ˆˆ r θ ϕ 具

有下列性質

4-66

1 如上圖 ˆ ˆˆ r θ ϕ 都不是常數而是（ ϕθ ）的函數

ˆ ˆ( )ˆ ˆ( )ˆ ˆ( )

r r θ ϕ

θ θ θ ϕϕ ϕ ϕ

⎧ =⎪

=⎨⎪ =⎩

)( ϕθr 與(xyz)之間的轉換如下

sin cossin sincos

x ry rz r

θ φθ φθ

=⎧⎪ =⎨⎪ =⎩

( )122 2 2

2 2

tan

tan

r x y z

x yz

yx

θ

φ

⎧ = + +⎪⎪ +⎪ =⎨⎪⎪ =⎪⎩

（A-2）

2 ˆ ˆˆ r θ ϕ 形成一「歸一正交集」ie

ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ 1r r θ θ ϕ ϕsdot = sdot = sdot = ˆ ˆr θ ϕperp perp

ˆ ˆr θ ϕtimes = ˆ ˆ rθ ϕtimes = ˆˆ rϕ θtimes = （A-3）

3可以很容易的由他們在 xyz 軸上的投影由直角

座標的 ˆ ˆ ˆ x y z 表出

ˆ ˆ ˆ ˆsin cos sin sin cos ( 4 )ˆ ˆ ˆ ˆcos cos cos sin sin ( 4 )ˆ ˆ ˆsin cos ( 4 )

r x y z A a

x y z A bx y A c

θ φ θ φ θ

θ θ φ θ φ θϕ φ φ

= + + minus⎧⎪

= + minus minus⎨⎪ = minus + minus⎩

4 ˆdr = 由於 ˆ ˆ( )r r θ φ= 所以由 ϕθ 的變動來看

4-67

ˆ ˆˆ| |ˆ ˆˆ| | sin sin

d r d d

d r d d

θ θθ θθ

φ θ φφ θ φφ

⎧ rArr =⎪⎨

rArr =⎪⎩rArr ˆ ˆˆ sindr d dθ θ φ θ φ= + （A-5）

rArrˆ ˆr θθpart

=part

ˆ ˆsinr θφφpart

=part

（A-6）

（A-6）的結果也可以直接由（A-4a）對 ϕθ 偏微得到

5 ˆdθ ＝ 由於 ˆ ˆ( )θ θ θ φ= 所以由 ϕθ 的變動來看

ˆ ˆ ˆ| | ( )ˆ ˆ ˆ| | cos cos

d d r d r

d d d

θ θ θ θ

φ θ θ φφ φ θ φ

⎧ rArr minus = minus⎪⎨

rArr =⎪⎩rArr ˆdθ ＝ ˆˆ cosrd dθ φ θ φminus + （A-7）

ˆrθ

θpart

rArr = minuspart

ˆ ˆcosθ φ θφpart

=part

（A-8）

請直接由（A-4b）對 ϕθ 偏微的結果 check（A-8）

6 ˆdφ ＝由於φ )(ϕ 躺在 x-y 平面上變動φ時的方向可能不是那麼

容易看出來所以做圖看一看

ie ˆ ˆˆ(sin ) (cos )d r d dφ θ φ θ θ φ= minus minus （A-9）

4-68

ˆ ˆˆsin cosrφ θ θ θφpart

= minus minuspart

7 所有的向量 ˆ ˆˆ rA rA A Aθ φθ φrarr= + +

8 位置向量 ˆr rrrarr=

可以由左圖 ˆ ˆˆ r θ ϕ 三個方向的「長度

變化」輕易的看出

9 位移元素

ˆ ˆˆ ˆ sindr rdr rd dθ θ ϕ θ φ= + + (A-10)

10 體積元素

sindv dr r d rdθ φ θ= sdot sdot

＝ 2 sinr dr d dθ θ φ (A-11)

11 面積元素 2 sinrds r d dθ θ φ= plusmn sinds r drdθ θ φ= plusmn ds rdrdφ θ= plusmn (A-12)

plusmn號表示面的垂直方向有兩個端看 ds 周邊的方向是如何定的

nabladel 考慮 ( )u u r θ φ=

rArru u udu dr d dr

θ φθ φ

part part part= + +part part part

u d rrarr rarr

equiv nabla sdot

urarr

= nabla sdot ˆ ˆˆ( sin )rdr rd dθ θ φ θ φ+ +

rArr1 1ˆ ˆˆ

sinu u uu rr r r

θ ϕθ θ φ

rarr part part partnabla = + +

part part part

1 1ˆ ˆˆsin

rr r r

θ ϕθ θ φ

rarr part part partnabla equiv + +

part part part （A-13）

4-69

直接用（A-13）與 ˆ ˆˆ rA rA A Aθ φθ ϕrarr= + + 逐項內積加上（A-678）

rArr ϕθ

θθθ

ϕθ part

part+

partpart

+partpart

=sdotnablararrrarr A

rA

rAr

rrA r sin

1)(sinsin1)(1 2

2 （A-14）

（A-13）與 ϕθ ϕθ AAArA r

andandandrarr

++= 逐項外積整理之後

ϕθ θϕθ

ϕθθ

θArrAA

r

rrr

rA

r sin

sin

sin1

2 partpart

partpart

partpart

=timesnabla

andandand

rarrrarr

（A-15）

Laplacian uu nablasdotnabla=nabla2

2

2

2222

22

sin1)(sin

sin1)(1

ϕθθθ

θθ partpart

+partpart

partpart

+partpart

partpart

=nablau

ru

rrur

rru （A-16）

B推導「散度」在圓柱座標的寫法

讓我們先回顧一下在直角座標裡的「面積元素」可以由「位移元素」

得到

ˆˆ ˆ x y zdr idx jdy kdz da dydz dxdz dxdy= + + rArr =

比照辦理「圓柱座標」的位移元素

( )ˆˆ ˆ( )

( )z

da d dzdr d d zdz da d dz

da d d

ρ

φ

ρ φ

ρ ρ φ ρ φ ρ

ρ ρ φ

=⎧⎪= + + rArr =⎨⎪ =⎩

這個結論可以輕易的由面積元素在垂直於 zˆˆ ϕρ 三個方向的面積看

出如下圖考慮一個以 )( zϕρ 為中心的「圓柱體積元素」(cylindrical

cubiod)體積為 zdV ΔΔ=Δ ϕρρ 現計算在 ρ

方向的 12 兩個平行面(方向各為 ρplusmn )的通

量

4-70

zzF

dsFdsnFS S

ΔΔ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

+cong

=sdotintint intintϕρρϕρρρ

ρ

2

2

ˆ1 1

zzF

dsFdsnFS S

ΔΔ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

minus⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

minusminuscong

minus=sdotintint intintϕρρϕρρρ

ρ

2

2

ˆ2 2

intint+

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

minus⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

minusminus⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

+Δ

asympsdotΔ

rArr21

22

22

1ˆ1

SS

zFzFdsnFV

ϕρρρρϕρρρρρρ ρρ

( ) ( )

1 20

0

0

1 ˆlim

1lim 2 2 2 2

1 1lim 2 2

1

VS S

F ndsV

F z F z

F z F z

F

ρ ρρ

ρ ρρ

ρ

ρ ρ ρ ρρ ρ φ ρ ρ φρ ρ

ρ ρρ ρ φ ρ ρ φρ ρ

ρρ ρ

Δ rarr+

Δ rarr

Δ rarr

rArr sdotΔ

Δ Δ Δ Δ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + + minus minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥Δ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦Δ Δ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥Δ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

part ⎡ ⎤= ⎣ ⎦part

intint

娛樂一下用上述方式把圓柱的 Fsdotnabla 裡的z

FF z

partpart

+partϕρϕ1

變出來

球座標的nabla和 Fsdotnabla 也可以試試看

補充習題

H M Scheydiv grad curl and all that 4th edition

第二章習題 6 8 9 10 11 14 15 16 18 19 21 22 23 25 26 27

第三章習題 2 3 5 6 7 8 9 10 11 14 15 17 18 19 24

4-51

1 2 3

1 1 2 2 3 3

1 1 1ˆ ˆ ˆu u ue e eh u h u h u

part part partnabla equiv + +

part part part （4-85A）

座標 1 2 3 u u u

度量係數

1 2 3 h h h

nabla grad del

直角 x y z

1 1 1 nabla ˆ ˆ ˆx y z

x y zpart part part

equiv + +part part part

圓柱

zρ ϕ

1 1ρ

1ˆ ˆ ˆ z

zρ ϕ

ρ ρ ϕpart part part

nabla equiv + +part part part

球

r θ ϕ

1 sinr r θ

1 1ˆ ˆˆ

sinr

r r rθ ϕ

θ θ ϕpart part part

nabla = + +part part part

（4-85B）

梯度gradient Vnabla grad(V) 散度divergence Anablasdot div( )A

直

角 nablaV ˆ ˆ ˆV V Vx y z

x y zpart part part

= + +part part part

yx zAA AAx y z

partpart partnablasdot = + +

part part part

圓

柱

1ˆ ˆ ˆ V V VV zz

ρ ϕρ ρ ϕpart part part

nabla = + +part part part

( )1 1

1

z

z

A AA Az

A A A Fz

ϕρ

ρ ρ ϕ

ρρ ρ ρ ϕ

ρ ρ ρ ϕ

partpart partnabla sdot = + +

part part partpart part part

= + + +part part part

球

1 1ˆ ˆˆ sin

V V VV rr r r

θ ϕθ θ ϕ

part part partnabla = + +

part part part

22

1 ( )rA r Ar r

partnabla sdot =

part

1 (sin )sin

Ar θθ

θ θpart

+ sdotpart

1sin

Ar

ϕ

θ ϕpart

+part

(4-86)

Ex47 Using spherical coordinate show that 1| |r r

nablaminus

= 2

ˆ| |

r rer r

minusminusminus

where

nabla是作用在 r 而 ˆr re minus 是向量 r rminus 方向的單位向量 解let r lies in z-axis so that the angle between r and r is just θ

4-52

rArr ( ) 122 21 1 2 cos | | ( ) ( )

r rr rr r r r r r

θminus

= = minus +minus minus sdot minus

( ) ( )12 122 2 2 21 1ˆˆ 2 cos 2 cos | |

r r rr r r rr rr r r r

θ θ θθ

minus minuspart partnabla = minus + + minus +

minus part part

( ) 322 21ˆ 2 cos (2 2 cos )2

r r rr r r rθ θminusminus

= minus + minus

( ) 322 21ˆ 2 cos (2 sin )2

r rr r rrθ θ θminusminus

+ minus +

3 3 3 3

ˆˆ ˆ( cos ) sin ( cos sin )ˆˆ| | | | | | | |r r r rr r rrr r r r r r r r

θ θ θ θ θθminus minus minus minus minus= + = +

minus minus minus minus

3 3 3ˆ ( )

| | | | | |r r z r r r rr r r r r rminus + minus + minus minus

= = =minus minus minus

＝ 2

ˆ| |

r rer r

minusminusminus

QED

證明最後我們用到 ˆˆˆ cos sinz r θ θ θ= minus 而 ˆ r r z= 因為我們選了 r 是

躺在 z-軸 Ex48 For arbitrary scalar field ( )f r and vector field ( )A r 證明恆等式

( )fA f A f Anablasdot = nabla sdot + nablasdot (4-87) 解 ˆ ˆ ˆx y zfA xfA yfA zfA= + +

( ) ( ) ( ) ( )x y zfA fA fA fAx y zpart part part

rArrnablasdot = + +part part part

yx zx x x

AAf f f AA f A f A fx x y y z z

partpartpart part part part= + + + + +part part part part part part

yx zx y z

AAf f f AA A A fx y z x y z

part⎛ ⎞partpart part part part= + + + + +⎜ ⎟part part part part part part⎝ ⎠

f A f A= nabla sdot + nablasdot QED 習題 12 一個位於原點的電偶極電偶極矩＝ ˆp pz= 已知其在遠處

的電位為 20

cos4p

rθ

πε試證該處的電場強度為 E = 3

0

ˆˆ( 2cos sin )4

p rr

θ θ θπε

+

(已知 E V= minusnabla )並請計算 Enablasdot ＝

習題 13 給定一向量場2

3cosˆD r

rϕ

= 現有兩個球心在原點的同心球

內球半徑 R＝1外球 R＝2(a)求面積分S

D dssdotint S 為同心球殼的表

面（有內外兩個面）(b)求體積分V

Ddvnablasdotint V 為兩同心球之間的

區域本題也是來 check 散度定理的Ans πminus

4-53

The Laplacian operator 2nabla equivnablasdotnabla

在直角座標可以用直接作用得到

2 2 2

22 2 2u u uu u

x y zpart part part

nabla equiv nablasdotnabla = + +part part part

(4-88)

圓柱座標

2 2

22 2 2

1 1( ) u u uu uz

ρρ ρ ρ ρ ϕ

part part part part⎛ ⎞nabla equiv nablasdot nabla = + +⎜ ⎟part part part part⎝ ⎠

(4-89)

球座標

2

2 22 2 2 2 2

1 1 1sinsin sin

u u uu rr r r r r

θθ θ θ θ ϕ

part part part part part⎛ ⎞ ⎛ ⎞nabla = + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟part part part part part⎝ ⎠ ⎝ ⎠ （4-90）

習題 14 verify (4-89) and (4-90)

習題 15 Given a dipole potential V= 20

cos4p

rθ

πε find 2Vminusnabla

sect 433 Line integral and curl A 線積分與與旋度的物理意義

線積分路徑積分

考慮一曲線 C 通過兩點 ( )i i i iP x y z 與

( )f f f fP x y z 現有一向量場 ( )A x y z 定義在

C 所在的空間若 sd 為 C 上位於(xyz)點的

「路徑元素」（ ˆd td= 方向沿該處切線）而

( )A x y z 為路徑元素d 處的場值則沿 C 經歷各點所做積分

cos cosf

CC C iA d Ad A dϕ ϕrarr rarrsdot = =int int int （4-91）

稱為向量場 ( )A x y z 沿路徑 C 自 pi 至 pf 的「線積分」「或「路徑積分」

積分裡 A 取值的點侷限在路徑 C 上面若為一個「封閉路徑」則對

C 的線積分也稱做「環路積分 closed contour integral」記做

C

A dsdotint （4-92）

4-54

物理量「做功」是最標準的線積分之一力 F 自 x = a 至 x = b「沿線」

x 軸做功

W＝ F dxsdotint ＝ ( )b

xaF x dxint （4-93）

質點在力場 )(rF 裡走一條曲線 C則力場做功

CW F d= sdotint （4-94）

還記得如果 ( )F r 是所謂「保守力」則上式只與始末點有關而與

路徑無關但如果 ( )F r 是所謂「非保守力」則做功與確實的路徑 C

有關

現考慮一質點在空間運動的位置 r 落在由曲線 C

描述的路徑則質點的位移元素與曲線 C 的路徑元

素相同 d dr= 若空間有向量場 A 分佈則 A 在 C 的

路徑積分以直角座標表示為

CA drarr rarrsdotint ＝

CA d rrarr rarrsdotint ＝ ( )x y zC

A dx A dy A dz+ +int （4-95）

上式中的 x y z 的積分限由 C 決定

Ex49 2 2 2ˆ ˆ ˆA xx yy zzrarr= + + 選定一路徑 C 為曲線

2y x= 由 (000)到 (2 20)的部分求C

A dsdotint

解 ˆ ˆd xdx ydy= +∵

CA dsdotint ＝ 2 2( )

Cx dx y dy+int ＝

2 22 2

0 0x dx y dy+int int

＝ )24(32

+

或由 2y x= rArr 2ydy dx= 2 12

y dy xdxrArr =

rArrC

A dsdotint ＝2 2

0

1( )2

x x dx+int ＝2 (4 2)3

+

4-55

ex50 ˆ ˆ( )f x y z xy yx= minus Do C

f dsdotint 其中的路徑 C 為一逆時針三角

形如圖 解∵路徑全部在 x-y 平面 ˆ ˆ ˆd td xdx ydy= = +

rArrC

f dsdotint ＝ x yC

f dx f dy+int ＝C

ydx xdyminusint

由於在 C1 上 y = 0 及 dy = 0 所以 01

=intC 又由於在

C3 上 x = 0 及 dx =0所以 03

=intC 所以只剩下 C2 可

能有貢獻由 2C 的方程式x + y =1rArr ⎩⎨⎧

minus=minus=

xyyx

11

rArr2Cydx xdyminusint ＝

0 1

1 0(1 ) (1 )x dx y dyminus minus minusint int ＝

0 12 2

1 0

( ) ( )2 2x yx yminus minus minus ＝-1

Cf dsdotint ＝-1

ex51 ( )f x y zrarr

= 2ˆ ˆxx yxyminus 如右圖doC

f dsdotint 其

中路徑 C 為第一象限的逆時針 14 圓弧

解∵ 全部在 x-y 平面 ˆ ˆd xdx ydy= +

Cf dsdotint ＝ 2

Cx dx xydyminusint

由於在 C 上 cosx R ϕ= rArr sindx R dϕ ϕ= minus

siny R ϕ= rArr cosdy R dϕ ϕ=

rArr 2

Cx dx xydyminusint ＝

2 2 2 2

0cos ( sin ) sin cos cosR R d R R d

πϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕminus minus sdotint

23 2

02 cos sinR d

πϕ ϕ ϕ= minus int ＝

323Rminus

又路徑為圓周一部份所以適合用極座標表示

ˆd Rdϕ ϕ= 又由左圖將 ˆ ˆx y 拆解（投影）到 ˆˆr ϕ

ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆcos sin sin cosx r y rϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ= minus = +

4-56

( )2ˆ ˆ ˆˆ ˆ( cos sin ) ( sin cos )C C

f d r x r xy Rdϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕsdot = minus minus + sdotint int 2

2 2 2

0

sin (cos )

sin ( cos ) (cos ) cos sin

Cx Rd xyRd

R Rd R Rdπ

ϕ ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ

= minus minus

= minus minus

intint

23 2

02 cos sinR d

πϕ ϕ ϕ= minus int ＝

323Rminus

這也驗證了散度定理

Path Independence 路徑獨立性

Ex52 證明庫倫力為「保守力」考慮

電荷 q0 位於原點及電荷 q 位於

( )r x y zrarr= q 受力 F

rarr＝ 0

20

14

qq urπε

and

求庫侖力作功因為球形對稱所以

用球座標由 ˆ ˆ ru rr

= = rArr Frarr

= 03

04qq r

rπε

庫侖力由 P1 至 P2 做功為 2

1

P

CPF drarrsdotint ＝

2

1

02

0

ˆ ˆ ˆˆ sin4

P

PC

qq r rdr rd r dr

θ θ ϕ θ ϕπε

⎡ ⎤sdot + +⎣ ⎦int ＝2

1

02

04P

P

qq drrπεint

＝20

2104

r

r

qq drrπε int ＝ 0

0 1 2

1 1( )4qq

r rπεminus for all C

所以庫侖力兩點間做功與路徑無關rArr保守力

對於「保守力 conservative force」 cF 自 p1 經

由兩條不同的路徑 C1 與 C2 到達 p2

1 ccF drarrsdotint ＝

2 ccF drarrsdotint ＝-

2 ccF drarr

minussdotint

rArr1 2c cc cF d F drarr rarr

minussdot + sdotint int = cF d

rarrsdotint ＝0 (4-96）

對於任何「封閉路徑」保守力做功為 0反之若

對任一封閉路徑 0F drarrsdot neint 則兩點之間的做功與路徑有關

rarr

F 為「非

保守力」

4-57

旋度 curl Anablatimes 的幾何物理意義

我們在（4-70）式已經看過旋度的計算方式但旋度另有其意義的

ex53 給定向量場2 2

0ˆ yv yv e λrarr

minus= 左圖為場的分佈

2 20

ˆ ˆ ˆ

0 0x y z

y

x y zcurl v

v e λ

rarr

minus

= part part part ＝ ˆ ˆ ˆ0 0 0 0x y zsdot minus sdot + sdot =

我們用了簡寫 x yx ypart part

part equiv part equivpart part

可以看出這個場裡沒有「漩渦」

但是有無「漩渦」有時也不是那麼明顯可以看出的請見下一個例子

Ex54 給定向量場2 2

0ˆ xv yv e λrarr

minus= 計算其旋度 vnablatimes

解向量場 vrarr

畫在右邊你看得出有無漩渦

先計算旋度

2 20

ˆ ˆ ˆ

0 0x y z

x

x y zcurl v

v e λ

rarr

minus

= part part part2 2

2 2

0

0

ˆ

ˆ 2 0 0

x

x

z v ex

z v xe for x

λ

λ

minus

minus

part=

part

= minus ne ne

vrarr

的旋度在大部分的地方不為 0 且隨位置而不同但是你看得出這個

向量場裡有「漩渦」其實要檢驗一個向量場裡有無「漩渦」有一

個很物理的方法就是放一個小「螺旋槳」（左圖）

在場內將軸朝各個方向測試一

下如果有「漩渦」的話這個

小「螺旋槳」就會轉動右圖就是將「螺旋槳」的

軸平行於 z 軸且放在 x gt 0 的地方就可以看出左

邊的 v 場比右邊的強造成螺旋槳順時針轉動rArrcurlv zminus for x gt 0

但如果放在 x = 0 的地方就會看到左右兩端的 v 場強度相同而且

4-58

curlv = 0 「螺旋槳」放在 x lt 0 的地方就可以看出右邊的v 場比左

邊的強造成螺旋槳逆時針轉動這完全符合 curl v k+ 的結果

環路積分與旋度 curl 的物理意義

如同「散度」一樣「旋度」除了 Ftimesnabla 之外

還有一個物理意義更清楚的定義這個定義由

「線積分」說明如圖考慮做「逆時針」長方形

路徑 C1 的一個「環路積分」C1 面平行於 x-y 平

面由 z-軸看下去環路 C1 可以分為可以分為

下 CB上 CT右 CR左 CL 4 部分

CA drarrsdotint ＝

B T L RC C C CA d A d A d A drarr rarr rarr rarrsdot + sdot + sdot + sdotint int int int

分別計算由於 CB 的中點座標為 ( )2yx y zΔ

minus

ˆB BC C

A d A xdxrarr rarrsdot = sdot =int int

BxC

A dxint ( )2xyA x y z xΔ

asymp minus Δ

similarly 由於 CT 的中點座標為 ( )2yx y zΔ

+

ˆ( )T TC C

A d A xdxrarr rarrsdot = sdot minus =int int

TxC

A dxminusint ( )2xyA x y z xΔ

asymp minus + Δ

合併 CB 與 CT

B TC CA drarr

+sdot =int

( ) ( )2 2x xy yA x y z A x y z

x yy

Δ Δ⎡ ⎤minus + minus minus⎢ ⎥⎣ ⎦ Δ ΔΔ

（4-97）

由 C1 所圍的面積 S x yΔ = Δ Δ

1B TC C

A dS

rarr

+sdot =

Δ int( ) ( )

2 2x xy yA x y z A x y z

y

Δ Δ⎡ ⎤minus + minus minus⎢ ⎥⎣ ⎦Δ

（4-98）

所以當取極限 C1 收縮到中心(xyz)時 SΔ 收縮到 0ie

4-59

0limsΔ rarr

1B TC C

A dS

rarr

+sdot =

Δ int xAy

partminuspart

（4-99）

Similarly with CR 的 ˆd ydy= CL 的 ˆd ydy= minus 可得

1L RC C

A dS

rarr

+sdot =

Δ int x

zyxxFzyxxF yy

Δ

Δminusminus

Δ+ )

2()

2(

（4-100）

同樣的當取極限 C1 收縮到中心(xyz)時 SΔ 收縮到 0

0

limsΔ rarr

1L RC C

A dS

rarr

+sdot =

Δ int yAx

partpart

（4-101）

最後合併 CBCTCRCL 為 C1

10

1limCs

A ds

rarr

Δ rarrsdot =

Δ int y xA Ax y

part partminus

part partˆ ( ) ( )zz A A= sdot nablatimes = nablatimes （4-102）

注意 C1 的方向就是在 z 上式的重要

意義是當向量場 A 在一個以點(xyz)為

中心「方向為 z 」的面積元素的「邊界」

所做的環路積分得到的就是 A 在(xyz)

處旋度的 z-分量明顯的只有當 A 在

(xyz)附近有 x-y 平面上的「漩渦」那麼 C1 的環路積分才不會為 0

Similarly 取一個逆時針繞著(xyz)的平行於 x-z 平面的長方形環路 C2

（左圖）做環路積分再取極限將 C2 收縮到(xyz)就會得到

20

1limCs

A ds

rarr

Δ rarrsdot =

Δ int x zA Az x

part partminus

part partˆ ( ) ( )yy A A= sdot nablatimes = nablatimes （4-103）

注意到 C2 所包圍的面積方向就在 y到

現在我們應該已經很有經驗了若取一

個逆時針繞著(xyz)的平行於 y-z 平面

的長方形環路 C3（左圖）做環路積分

再取極限將 C3 收縮到(xyz)就會得到

4-60

30

1limCs

A ds

rarr

Δ rarrsdot =

Δ int yz AAy z

partpartminus

part partˆ ( ) ( )xx A A= sdot nablatimes = nablatimes （4-104）

能把（4-103）與（4-104）變出來的同學我們有優待綜合以上

我們可以得到一個結論若取一個以點(xyz)為中心的任意環路 Cn（其

所包圍的面積方向在 n ）則

n curl Aand rarrsdot ＝

0

1lims

Cn

A ds

rarr

Δ rarrsdot

Δ int （4-105）

明顯的當 n ＝ x 或 y 或 z 時我們可以重複（4-102）到（4-104）的

結果（4-70）式的行列式所定義的旋度在此看見其幾何物理意義

至此「旋度」的「漩渦」形象應該已經很清楚了只有在(xyz)點附

近的小圈圈上有「漩渦」 A 在小圈圈做的環路積分才會有值這個

值就是向量場 A 的「旋度」在小圈圈面積方向的分量

Stokersquos 定理

考慮一個開放面 S被其「有方向的」邊界 C 圈住(bounded by)則

( )S

A dsrarr rarrnablatimes sdotint ＝

C

A drarrsdotint （4-106）

pf 先將 S 面分割為 N 個多邊形這會使得邊界變成一個「折線」形

成的環路 P環路 P 會隨著分割的多邊形個數的增多而越加近似於原

「光滑的」邊界 C現考慮相鄰的

兩個多邊形的線積分由於共用邊

的方向是相反的所以相鄰兩個多

邊形線積分的和只剩「外邊界」（見左圖）所以當把所有的多邊形的

4-61

線積分加起來時由於只有邊界 P 不是多邊形的共用邊所以

1k

N

k C

A drarr

=

sdotsum int ＝P

A drarrsdotint rArr

P

A drarrsdotint ＝

1

1

k

N

kk k C

A d l ss

rarr rarr

=

⎡ ⎤sdot Δ⎢ ⎥

Δ⎢ ⎥⎣ ⎦sum int

其中 ksΔ 為第 k 個多邊形的面積取極限 0kN srarrinfinrArrΔ rarr P CrArr rarr

C

A drarrsdotint ＝

10

1limkk

N

kN k k Cs

A d ss

rarr

rarrinfin=Δ rarr

⎡ ⎤sdot Δ⎢ ⎥

Δ⎢ ⎥⎣ ⎦sum int 01

ˆlim ( )k

k kskn A s

infin

Δ rarr=

⎡ ⎤= sdot nablatimes Δ⎣ ⎦sum

01

ˆlim ( )k

k kskA n s

infin

Δ rarr=

= nablatimes sdot Δsum = ( )S

A dsrarr

nablatimes sdotint QED

ex55 由 Amperersquos law 的積分形式導出其微分形式

解Amperersquos law 的積分形式 C

B drarrsdotint ＝ I0μ (4-107)

由 Stokersquos 定理及電流密度 j 的定義上式等號兩端可寫為

rArr ( )S

B dsrarr rarrnablatimes sdotint ＝ 0 S

j dsμrarrsdotint

由於上面的等式對任意面 S（路徑 C）都成立所以被積函數相等

0B jμrarr rarr rarr

rArrnablatimes = (4-108) 此即 Amperersquos law 的微分形式

Ex56 Given a vector field ˆ ˆx yA ye xe= minus + (a) Find Anablatimes

解

ˆ ˆ ˆˆ ˆ(1 ( 1) 2

0x y z

x y zA z z

y xnablatimes = part part part = minus minus =

minus

(b)如圖一個金字塔狀的 5 面體高 2底邊長＝1計算 ( )S

A dsnablatimes sdotint

其中 S 為金字塔在 x-y 平面以上的部分方向如同

封閉的金字塔（運用 Stokersquos law）

解金字塔上表面的面積元素ds 不好寫由 Stokersquos

4-62

law ( )S

A dsrarr rarrnablatimes sdotint ＝

C

A drarrsdotint 其中封閉路徑 C 就是上表面的邊界而且

是逆時針（由 z 軸向下看）

C

A drarrsdotint ＝

1 1 0 0

0 0 1 1ˆ ˆ ˆ ˆA xdx A ydy A xdx A ydysdot + sdot + sdot + sdotint int int int

＝1 1 0 0

0 0 1 1x y x yA dx A dy A dx A dy+ + +int int int int 1 1 0 0

0 0 1 1( 0) ( 1) ( 1) ( 0)y dx x dy y dx x dy= minus = + = + minus = + =int int int int

0 1 1 0 2 ( ) 2S

A ds= + + + = rArr nablatimes sdot =int

旋度與 path independence

已知保守場 cF 對所有封閉路徑 C 0cC

F drarrsdot =int 由 Stokersquos 定理

0cC

F drarrsdot =int ＝ ( )cS

F dsrarr rarrnablatimes sdotint rArr 0cF

rarr rarrnablatimes =

這表示保守場＝無旋度反之無旋度的場任兩點間路徑積分與路

徑無關

Ex57 Given a field 2 2ˆ ˆ ˆ2A x xy yx zz= + minus (a) Find Anablatimes A 保守場

解2 2

ˆ ˆ ˆ

2x y z

x y zA

xy x znablatimes = part part part

minus

( ) ( ) ( )2 2 2 2ˆ ˆ ˆ( ) 2 ( ) 2 0y z z x x yx z x y xy z z x xy= part minus minuspart + part minuspart minus + part minuspart =

yes A =保守場

(b)如左圖由 A 到 B 做路徑積分A BC

A drarr

sdotint 路徑 C 為橢圓

22 1

16yx + = 在 x-軸以上的部分

解橢圓部分的路徑元素 d 有點麻煩但因為 A

為保守場所以 A 到 B 做路徑積分可以用 x = -1 到

1 的積分取代

4-63

01 1 1

1 1 1ˆ 2 0

yB

xAA d A xdx A dx xydx

=

minus minus minussdot = sdot = = =int int int int

∵

旋度在柱座標與球座標

前面討論過nabla在不同座標系的寫法旋度也有歸納出的一致寫法

座標 1 2 3 u u u

度量係數

1 2 3 h h h

nabla grad del

直角 x y z

1 1 1 nabla ˆ ˆ ˆx y z

x y zpart part part

equiv + +part part part

圓柱 zρ ϕ

1 1ρ

1ˆ ˆ ˆ zz

ρ ϕρ ρ ϕpart part part

nabla equiv + +part part part

球 r θ ϕ

1 sinr r θ

1 1ˆ ˆˆ sin

rr r r

θ ϕθ θ ϕ

part part partnabla = + +

part part part

所以柱座標與球座標的旋度分別表為

柱座標

ˆ ˆ ˆ1

z

z

Az

AA Aρ ϕ

ρ ρϕ

ρ ρ ϕρ

part part partnablatimes =

part part part （4-109）

球座標 2

ˆ ˆˆ sin1sin

sinr

r r r

Ar r

A rA r Aθ ϕ

θ θϕ

θ θ ϕθ

part part partnablatimes =

part part part （4-110）

ex58 (a) Given the vector function ˆA ϕ= sin (ϕ 2) find Anablatimes

解 2

ˆ ˆˆ sin1sin

0 sin( 2) 0

r r r

Ar r

r

θ θϕ

θ θ ϕϕ

part part partnablatimes =

part part part

4-64

21 ˆˆ cos sin sinsin 2 2 2

rr rr

ϕ ϕθϕθ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

ˆˆ cos sin2 sin 2 2

rr r

ϕ ϕ ϕθ

minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

(b)如左圖一個底面在 x-y 平面半徑＝1高＝2 之圓錐 求面積分

SA dsnablatimes sdotint 面積範圍 S 為圓錐在 x-y 平面以上

部分 方向為由圓錐內向外

解由 Stokersquos law ( )S

A dsrarr rarrnablatimes sdotint ＝

C

A drarrsdotint 其中路

徑 C 為 x-y 平面圓心在原點之單位圓 ˆ ˆd rd dϕ ϕ ϕ ϕ= =

2

0ˆ ˆsin sin

2 2C

d dπϕ ϕϕ ϕ ϕ ϕ⎛ ⎞ ⎛ ⎞sdot =⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠int int ( )0

2 sin u duπ

= int 0cos | 2u π= minus =

習題 16 磁場 B 因為不是保守場所以沒有對應的純量位而對應一

個向量位 A (vector potential)而 B A= nablatimes 一個磁鐵的磁偶極矩

ˆm mz= 被置於原點已知在遠處的 vector potential 03ˆ sin

4mAr

μϕ θπ

=

計算該處的磁場 B Ans 03

ˆˆ( 2cos sin )4

mB rr

μ θ θ θπ

= + 與電偶極遠處

的電場形式一致都是偶極(dipole) 選幾個點畫一畫該處的場向量

把磁力線描出來

附錄本章講義的內容有部分可以經由直接計算得出列在附錄做為

參考

用「圓柱座標」寫 Atimesnabla

Ararr rarrnablatimes ＝ ( )1ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ zz A A zA

z ρ φρ ϕ ρ ϕρ ρ ϕpart part part⎛ ⎞+ + times + +⎜ ⎟part part part⎝ ⎠

4-65

因為rdquo sdotrdquo與rdquotimes rdquo都是向量間的運算所以

＝ ( )ˆ ˆ ˆ ˆ zA A zAρ φρ ρ ϕρpart

times + +part

＋ ( )1ˆ ˆ ˆ ˆ zA A zAρ φϕ ρ ϕρ ϕ

parttimes + +

part

＋ ( )ˆ ˆˆ ˆ zz A A zAz ρ φρ ϕpart

times + +part

直接做上式微分可以得到

＝1ˆ z AA

zϕρ

ρ ϕpart⎛ ⎞part

minus⎜ ⎟part part⎝ ⎠＋ ˆ zA A

zρϕ

ρpart⎛ ⎞part

minus⎜ ⎟part part⎝ ⎠＋

1 1ˆ ( )A

z A ρϕρ

ρ ρ ρ ϕpart⎛ ⎞part

minus⎜ ⎟part part⎝ ⎠

上式可以用一個行列式來表示

rarrrarr

timesnabla A＝

ˆ ˆ ˆ1

z

z

zA A Aρ ϕ

ρ ρϕ

ρ ρ ϕρ

part part partpart part part

（A-1）

A and Anabla nablasdot nablatimes in 球座標 spherical coordinate

如上圖球座標 )( ϕθr 其中 )0[ infinisinr ]0[ πθ isin ]20[ πϕ isin 只有 r

是長度而 ϕθ 為角度是用來說明方向的三個座標的單位向量 ˆ ˆˆ r θ ϕ 具

有下列性質

4-66

1 如上圖 ˆ ˆˆ r θ ϕ 都不是常數而是（ ϕθ ）的函數

ˆ ˆ( )ˆ ˆ( )ˆ ˆ( )

r r θ ϕ

θ θ θ ϕϕ ϕ ϕ

⎧ =⎪

=⎨⎪ =⎩

)( ϕθr 與(xyz)之間的轉換如下

sin cossin sincos

x ry rz r

θ φθ φθ

=⎧⎪ =⎨⎪ =⎩

( )122 2 2

2 2

tan

tan

r x y z

x yz

yx

θ

φ

⎧ = + +⎪⎪ +⎪ =⎨⎪⎪ =⎪⎩

（A-2）

2 ˆ ˆˆ r θ ϕ 形成一「歸一正交集」ie

ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ 1r r θ θ ϕ ϕsdot = sdot = sdot = ˆ ˆr θ ϕperp perp

ˆ ˆr θ ϕtimes = ˆ ˆ rθ ϕtimes = ˆˆ rϕ θtimes = （A-3）

3可以很容易的由他們在 xyz 軸上的投影由直角

座標的 ˆ ˆ ˆ x y z 表出

ˆ ˆ ˆ ˆsin cos sin sin cos ( 4 )ˆ ˆ ˆ ˆcos cos cos sin sin ( 4 )ˆ ˆ ˆsin cos ( 4 )

r x y z A a

x y z A bx y A c

θ φ θ φ θ

θ θ φ θ φ θϕ φ φ

= + + minus⎧⎪

= + minus minus⎨⎪ = minus + minus⎩

4 ˆdr = 由於 ˆ ˆ( )r r θ φ= 所以由 ϕθ 的變動來看

4-67

ˆ ˆˆ| |ˆ ˆˆ| | sin sin

d r d d

d r d d

θ θθ θθ

φ θ φφ θ φφ

⎧ rArr =⎪⎨

rArr =⎪⎩rArr ˆ ˆˆ sindr d dθ θ φ θ φ= + （A-5）

rArrˆ ˆr θθpart

=part

ˆ ˆsinr θφφpart

=part

（A-6）

（A-6）的結果也可以直接由（A-4a）對 ϕθ 偏微得到

5 ˆdθ ＝ 由於 ˆ ˆ( )θ θ θ φ= 所以由 ϕθ 的變動來看

ˆ ˆ ˆ| | ( )ˆ ˆ ˆ| | cos cos

d d r d r

d d d

θ θ θ θ

φ θ θ φφ φ θ φ

⎧ rArr minus = minus⎪⎨

rArr =⎪⎩rArr ˆdθ ＝ ˆˆ cosrd dθ φ θ φminus + （A-7）

ˆrθ

θpart

rArr = minuspart

ˆ ˆcosθ φ θφpart

=part

（A-8）

請直接由（A-4b）對 ϕθ 偏微的結果 check（A-8）

6 ˆdφ ＝由於φ )(ϕ 躺在 x-y 平面上變動φ時的方向可能不是那麼

容易看出來所以做圖看一看

ie ˆ ˆˆ(sin ) (cos )d r d dφ θ φ θ θ φ= minus minus （A-9）

4-68

ˆ ˆˆsin cosrφ θ θ θφpart

= minus minuspart

7 所有的向量 ˆ ˆˆ rA rA A Aθ φθ φrarr= + +

8 位置向量 ˆr rrrarr=

可以由左圖 ˆ ˆˆ r θ ϕ 三個方向的「長度

變化」輕易的看出

9 位移元素

ˆ ˆˆ ˆ sindr rdr rd dθ θ ϕ θ φ= + + (A-10)

10 體積元素

sindv dr r d rdθ φ θ= sdot sdot

＝ 2 sinr dr d dθ θ φ (A-11)

11 面積元素 2 sinrds r d dθ θ φ= plusmn sinds r drdθ θ φ= plusmn ds rdrdφ θ= plusmn (A-12)

plusmn號表示面的垂直方向有兩個端看 ds 周邊的方向是如何定的

nabladel 考慮 ( )u u r θ φ=

rArru u udu dr d dr

θ φθ φ

part part part= + +part part part

u d rrarr rarr

equiv nabla sdot

urarr

= nabla sdot ˆ ˆˆ( sin )rdr rd dθ θ φ θ φ+ +

rArr1 1ˆ ˆˆ

sinu u uu rr r r

θ ϕθ θ φ

rarr part part partnabla = + +

part part part

1 1ˆ ˆˆsin

rr r r

θ ϕθ θ φ

rarr part part partnabla equiv + +

part part part （A-13）

4-69

直接用（A-13）與 ˆ ˆˆ rA rA A Aθ φθ ϕrarr= + + 逐項內積加上（A-678）

rArr ϕθ

θθθ

ϕθ part

part+

partpart

+partpart

=sdotnablararrrarr A

rA

rAr

rrA r sin

1)(sinsin1)(1 2

2 （A-14）

（A-13）與 ϕθ ϕθ AAArA r

andandandrarr

++= 逐項外積整理之後

ϕθ θϕθ

ϕθθ

θArrAA

r

rrr

rA

r sin

sin

sin1

2 partpart

partpart

partpart

=timesnabla

andandand

rarrrarr

（A-15）

Laplacian uu nablasdotnabla=nabla2

2

2

2222

22

sin1)(sin

sin1)(1

ϕθθθ

θθ partpart

+partpart

partpart

+partpart

partpart

=nablau

ru

rrur

rru （A-16）

B推導「散度」在圓柱座標的寫法

讓我們先回顧一下在直角座標裡的「面積元素」可以由「位移元素」

得到

ˆˆ ˆ x y zdr idx jdy kdz da dydz dxdz dxdy= + + rArr =

比照辦理「圓柱座標」的位移元素

( )ˆˆ ˆ( )

( )z

da d dzdr d d zdz da d dz

da d d

ρ

φ

ρ φ

ρ ρ φ ρ φ ρ

ρ ρ φ

=⎧⎪= + + rArr =⎨⎪ =⎩

這個結論可以輕易的由面積元素在垂直於 zˆˆ ϕρ 三個方向的面積看

出如下圖考慮一個以 )( zϕρ 為中心的「圓柱體積元素」(cylindrical

cubiod)體積為 zdV ΔΔ=Δ ϕρρ 現計算在 ρ

方向的 12 兩個平行面(方向各為 ρplusmn )的通

量

4-70

zzF

dsFdsnFS S

ΔΔ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

+cong

=sdotintint intintϕρρϕρρρ

ρ

2

2

ˆ1 1

zzF

dsFdsnFS S

ΔΔ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

minus⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

minusminuscong

minus=sdotintint intintϕρρϕρρρ

ρ

2

2

ˆ2 2

intint+

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

minus⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

minusminus⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

+Δ

asympsdotΔ

rArr21

22

22

1ˆ1

SS

zFzFdsnFV

ϕρρρρϕρρρρρρ ρρ

( ) ( )

1 20

0

0

1 ˆlim

1lim 2 2 2 2

1 1lim 2 2

1

VS S

F ndsV

F z F z

F z F z

F

ρ ρρ

ρ ρρ

ρ

ρ ρ ρ ρρ ρ φ ρ ρ φρ ρ

ρ ρρ ρ φ ρ ρ φρ ρ

ρρ ρ

Δ rarr+

Δ rarr

Δ rarr

rArr sdotΔ

Δ Δ Δ Δ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + + minus minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥Δ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦Δ Δ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥Δ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

part ⎡ ⎤= ⎣ ⎦part

intint

娛樂一下用上述方式把圓柱的 Fsdotnabla 裡的z

FF z

partpart

+partϕρϕ1

變出來

球座標的nabla和 Fsdotnabla 也可以試試看

補充習題

H M Scheydiv grad curl and all that 4th edition

第二章習題 6 8 9 10 11 14 15 16 18 19 21 22 23 25 26 27

第三章習題 2 3 5 6 7 8 9 10 11 14 15 17 18 19 24

4-52

rArr ( ) 122 21 1 2 cos | | ( ) ( )

r rr rr r r r r r

θminus

= = minus +minus minus sdot minus

( ) ( )12 122 2 2 21 1ˆˆ 2 cos 2 cos | |

r r rr r r rr rr r r r

θ θ θθ

minus minuspart partnabla = minus + + minus +

minus part part

( ) 322 21ˆ 2 cos (2 2 cos )2

r r rr r r rθ θminusminus

= minus + minus

( ) 322 21ˆ 2 cos (2 sin )2

r rr r rrθ θ θminusminus

+ minus +

3 3 3 3

ˆˆ ˆ( cos ) sin ( cos sin )ˆˆ| | | | | | | |r r r rr r rrr r r r r r r r

θ θ θ θ θθminus minus minus minus minus= + = +

minus minus minus minus

3 3 3ˆ ( )

| | | | | |r r z r r r rr r r r r rminus + minus + minus minus

= = =minus minus minus

＝ 2

ˆ| |

r rer r

minusminusminus

QED

證明最後我們用到 ˆˆˆ cos sinz r θ θ θ= minus 而 ˆ r r z= 因為我們選了 r 是

躺在 z-軸 Ex48 For arbitrary scalar field ( )f r and vector field ( )A r 證明恆等式

( )fA f A f Anablasdot = nabla sdot + nablasdot (4-87) 解 ˆ ˆ ˆx y zfA xfA yfA zfA= + +

( ) ( ) ( ) ( )x y zfA fA fA fAx y zpart part part

rArrnablasdot = + +part part part

yx zx x x

AAf f f AA f A f A fx x y y z z

partpartpart part part part= + + + + +part part part part part part

yx zx y z

AAf f f AA A A fx y z x y z

part⎛ ⎞partpart part part part= + + + + +⎜ ⎟part part part part part part⎝ ⎠

f A f A= nabla sdot + nablasdot QED 習題 12 一個位於原點的電偶極電偶極矩＝ ˆp pz= 已知其在遠處

的電位為 20

cos4p

rθ

πε試證該處的電場強度為 E = 3

0

ˆˆ( 2cos sin )4

p rr

θ θ θπε

+

(已知 E V= minusnabla )並請計算 Enablasdot ＝

習題 13 給定一向量場2

3cosˆD r

rϕ

= 現有兩個球心在原點的同心球

內球半徑 R＝1外球 R＝2(a)求面積分S

D dssdotint S 為同心球殼的表

面（有內外兩個面）(b)求體積分V

Ddvnablasdotint V 為兩同心球之間的

區域本題也是來 check 散度定理的Ans πminus

4-53

The Laplacian operator 2nabla equivnablasdotnabla

在直角座標可以用直接作用得到

2 2 2

22 2 2u u uu u

x y zpart part part

nabla equiv nablasdotnabla = + +part part part

(4-88)

圓柱座標

2 2

22 2 2

1 1( ) u u uu uz

ρρ ρ ρ ρ ϕ

part part part part⎛ ⎞nabla equiv nablasdot nabla = + +⎜ ⎟part part part part⎝ ⎠

(4-89)

球座標

2

2 22 2 2 2 2

1 1 1sinsin sin

u u uu rr r r r r

θθ θ θ θ ϕ

part part part part part⎛ ⎞ ⎛ ⎞nabla = + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟part part part part part⎝ ⎠ ⎝ ⎠ （4-90）

習題 14 verify (4-89) and (4-90)

習題 15 Given a dipole potential V= 20

cos4p

rθ

πε find 2Vminusnabla

sect 433 Line integral and curl A 線積分與與旋度的物理意義

線積分路徑積分

考慮一曲線 C 通過兩點 ( )i i i iP x y z 與

( )f f f fP x y z 現有一向量場 ( )A x y z 定義在

C 所在的空間若 sd 為 C 上位於(xyz)點的

「路徑元素」（ ˆd td= 方向沿該處切線）而

( )A x y z 為路徑元素d 處的場值則沿 C 經歷各點所做積分

cos cosf

CC C iA d Ad A dϕ ϕrarr rarrsdot = =int int int （4-91）

稱為向量場 ( )A x y z 沿路徑 C 自 pi 至 pf 的「線積分」「或「路徑積分」

積分裡 A 取值的點侷限在路徑 C 上面若為一個「封閉路徑」則對

C 的線積分也稱做「環路積分 closed contour integral」記做

C

A dsdotint （4-92）

4-54

物理量「做功」是最標準的線積分之一力 F 自 x = a 至 x = b「沿線」

x 軸做功

W＝ F dxsdotint ＝ ( )b

xaF x dxint （4-93）

質點在力場 )(rF 裡走一條曲線 C則力場做功

CW F d= sdotint （4-94）

還記得如果 ( )F r 是所謂「保守力」則上式只與始末點有關而與

路徑無關但如果 ( )F r 是所謂「非保守力」則做功與確實的路徑 C

有關

現考慮一質點在空間運動的位置 r 落在由曲線 C

描述的路徑則質點的位移元素與曲線 C 的路徑元

素相同 d dr= 若空間有向量場 A 分佈則 A 在 C 的

路徑積分以直角座標表示為

CA drarr rarrsdotint ＝

CA d rrarr rarrsdotint ＝ ( )x y zC

A dx A dy A dz+ +int （4-95）

上式中的 x y z 的積分限由 C 決定

Ex49 2 2 2ˆ ˆ ˆA xx yy zzrarr= + + 選定一路徑 C 為曲線

2y x= 由 (000)到 (2 20)的部分求C

A dsdotint

解 ˆ ˆd xdx ydy= +∵

CA dsdotint ＝ 2 2( )

Cx dx y dy+int ＝

2 22 2

0 0x dx y dy+int int

＝ )24(32

+

或由 2y x= rArr 2ydy dx= 2 12

y dy xdxrArr =

rArrC

A dsdotint ＝2 2

0

1( )2

x x dx+int ＝2 (4 2)3

+

4-55

ex50 ˆ ˆ( )f x y z xy yx= minus Do C

f dsdotint 其中的路徑 C 為一逆時針三角

形如圖 解∵路徑全部在 x-y 平面 ˆ ˆ ˆd td xdx ydy= = +

rArrC

f dsdotint ＝ x yC

f dx f dy+int ＝C

ydx xdyminusint

由於在 C1 上 y = 0 及 dy = 0 所以 01

=intC 又由於在

C3 上 x = 0 及 dx =0所以 03

=intC 所以只剩下 C2 可

能有貢獻由 2C 的方程式x + y =1rArr ⎩⎨⎧

minus=minus=

xyyx

11

rArr2Cydx xdyminusint ＝

0 1

1 0(1 ) (1 )x dx y dyminus minus minusint int ＝

0 12 2

1 0

( ) ( )2 2x yx yminus minus minus ＝-1

Cf dsdotint ＝-1

ex51 ( )f x y zrarr

= 2ˆ ˆxx yxyminus 如右圖doC

f dsdotint 其

中路徑 C 為第一象限的逆時針 14 圓弧

解∵ 全部在 x-y 平面 ˆ ˆd xdx ydy= +

Cf dsdotint ＝ 2

Cx dx xydyminusint

由於在 C 上 cosx R ϕ= rArr sindx R dϕ ϕ= minus

siny R ϕ= rArr cosdy R dϕ ϕ=

rArr 2

Cx dx xydyminusint ＝

2 2 2 2

0cos ( sin ) sin cos cosR R d R R d

πϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕminus minus sdotint

23 2

02 cos sinR d

πϕ ϕ ϕ= minus int ＝

323Rminus

又路徑為圓周一部份所以適合用極座標表示

ˆd Rdϕ ϕ= 又由左圖將 ˆ ˆx y 拆解（投影）到 ˆˆr ϕ

ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆcos sin sin cosx r y rϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ= minus = +

4-56

( )2ˆ ˆ ˆˆ ˆ( cos sin ) ( sin cos )C C

f d r x r xy Rdϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕsdot = minus minus + sdotint int 2

2 2 2

0

sin (cos )

sin ( cos ) (cos ) cos sin

Cx Rd xyRd

R Rd R Rdπ

ϕ ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ

= minus minus

= minus minus

intint

23 2

02 cos sinR d

πϕ ϕ ϕ= minus int ＝

323Rminus

這也驗證了散度定理

Path Independence 路徑獨立性

Ex52 證明庫倫力為「保守力」考慮

電荷 q0 位於原點及電荷 q 位於

( )r x y zrarr= q 受力 F

rarr＝ 0

20

14

qq urπε

and

求庫侖力作功因為球形對稱所以

用球座標由 ˆ ˆ ru rr

= = rArr Frarr

= 03

04qq r

rπε

庫侖力由 P1 至 P2 做功為 2

1

P

CPF drarrsdotint ＝

2

1

02

0

ˆ ˆ ˆˆ sin4

P

PC

qq r rdr rd r dr

θ θ ϕ θ ϕπε

⎡ ⎤sdot + +⎣ ⎦int ＝2

1

02

04P

P

qq drrπεint

＝20

2104

r

r

qq drrπε int ＝ 0

0 1 2

1 1( )4qq

r rπεminus for all C

所以庫侖力兩點間做功與路徑無關rArr保守力

對於「保守力 conservative force」 cF 自 p1 經

由兩條不同的路徑 C1 與 C2 到達 p2

1 ccF drarrsdotint ＝

2 ccF drarrsdotint ＝-

2 ccF drarr

minussdotint

rArr1 2c cc cF d F drarr rarr

minussdot + sdotint int = cF d

rarrsdotint ＝0 (4-96）

對於任何「封閉路徑」保守力做功為 0反之若

對任一封閉路徑 0F drarrsdot neint 則兩點之間的做功與路徑有關

rarr

F 為「非

保守力」

4-57

旋度 curl Anablatimes 的幾何物理意義

我們在（4-70）式已經看過旋度的計算方式但旋度另有其意義的

ex53 給定向量場2 2

0ˆ yv yv e λrarr

minus= 左圖為場的分佈

2 20

ˆ ˆ ˆ

0 0x y z

y

x y zcurl v

v e λ

rarr

minus

= part part part ＝ ˆ ˆ ˆ0 0 0 0x y zsdot minus sdot + sdot =

我們用了簡寫 x yx ypart part

part equiv part equivpart part

可以看出這個場裡沒有「漩渦」

但是有無「漩渦」有時也不是那麼明顯可以看出的請見下一個例子

Ex54 給定向量場2 2

0ˆ xv yv e λrarr

minus= 計算其旋度 vnablatimes

解向量場 vrarr

畫在右邊你看得出有無漩渦

先計算旋度

2 20

ˆ ˆ ˆ

0 0x y z

x

x y zcurl v

v e λ

rarr

minus

= part part part2 2

2 2

0

0

ˆ

ˆ 2 0 0

x

x

z v ex

z v xe for x

λ

λ

minus

minus

part=

part

= minus ne ne

vrarr

的旋度在大部分的地方不為 0 且隨位置而不同但是你看得出這個

向量場裡有「漩渦」其實要檢驗一個向量場裡有無「漩渦」有一

個很物理的方法就是放一個小「螺旋槳」（左圖）

在場內將軸朝各個方向測試一

下如果有「漩渦」的話這個

小「螺旋槳」就會轉動右圖就是將「螺旋槳」的

軸平行於 z 軸且放在 x gt 0 的地方就可以看出左

邊的 v 場比右邊的強造成螺旋槳順時針轉動rArrcurlv zminus for x gt 0

但如果放在 x = 0 的地方就會看到左右兩端的 v 場強度相同而且

4-58

curlv = 0 「螺旋槳」放在 x lt 0 的地方就可以看出右邊的v 場比左

邊的強造成螺旋槳逆時針轉動這完全符合 curl v k+ 的結果

環路積分與旋度 curl 的物理意義

如同「散度」一樣「旋度」除了 Ftimesnabla 之外

還有一個物理意義更清楚的定義這個定義由

「線積分」說明如圖考慮做「逆時針」長方形

路徑 C1 的一個「環路積分」C1 面平行於 x-y 平

面由 z-軸看下去環路 C1 可以分為可以分為

下 CB上 CT右 CR左 CL 4 部分

CA drarrsdotint ＝

B T L RC C C CA d A d A d A drarr rarr rarr rarrsdot + sdot + sdot + sdotint int int int

分別計算由於 CB 的中點座標為 ( )2yx y zΔ

minus

ˆB BC C

A d A xdxrarr rarrsdot = sdot =int int

BxC

A dxint ( )2xyA x y z xΔ

asymp minus Δ

similarly 由於 CT 的中點座標為 ( )2yx y zΔ

+

ˆ( )T TC C

A d A xdxrarr rarrsdot = sdot minus =int int

TxC

A dxminusint ( )2xyA x y z xΔ

asymp minus + Δ

合併 CB 與 CT

B TC CA drarr

+sdot =int

( ) ( )2 2x xy yA x y z A x y z

x yy

Δ Δ⎡ ⎤minus + minus minus⎢ ⎥⎣ ⎦ Δ ΔΔ

（4-97）

由 C1 所圍的面積 S x yΔ = Δ Δ

1B TC C

A dS

rarr

+sdot =

Δ int( ) ( )

2 2x xy yA x y z A x y z

y

Δ Δ⎡ ⎤minus + minus minus⎢ ⎥⎣ ⎦Δ

（4-98）

所以當取極限 C1 收縮到中心(xyz)時 SΔ 收縮到 0ie

4-59

0limsΔ rarr

1B TC C

A dS

rarr

+sdot =

Δ int xAy

partminuspart

（4-99）

Similarly with CR 的 ˆd ydy= CL 的 ˆd ydy= minus 可得

1L RC C

A dS

rarr

+sdot =

Δ int x

zyxxFzyxxF yy

Δ

Δminusminus

Δ+ )

2()

2(

（4-100）

同樣的當取極限 C1 收縮到中心(xyz)時 SΔ 收縮到 0

0

limsΔ rarr

1L RC C

A dS

rarr

+sdot =

Δ int yAx

partpart

（4-101）

最後合併 CBCTCRCL 為 C1

10

1limCs

A ds

rarr

Δ rarrsdot =

Δ int y xA Ax y

part partminus

part partˆ ( ) ( )zz A A= sdot nablatimes = nablatimes （4-102）

注意 C1 的方向就是在 z 上式的重要

意義是當向量場 A 在一個以點(xyz)為

中心「方向為 z 」的面積元素的「邊界」

所做的環路積分得到的就是 A 在(xyz)

處旋度的 z-分量明顯的只有當 A 在

(xyz)附近有 x-y 平面上的「漩渦」那麼 C1 的環路積分才不會為 0

Similarly 取一個逆時針繞著(xyz)的平行於 x-z 平面的長方形環路 C2

（左圖）做環路積分再取極限將 C2 收縮到(xyz)就會得到

20

1limCs

A ds

rarr

Δ rarrsdot =

Δ int x zA Az x

part partminus

part partˆ ( ) ( )yy A A= sdot nablatimes = nablatimes （4-103）

注意到 C2 所包圍的面積方向就在 y到

現在我們應該已經很有經驗了若取一

個逆時針繞著(xyz)的平行於 y-z 平面

的長方形環路 C3（左圖）做環路積分

再取極限將 C3 收縮到(xyz)就會得到

4-60

30

1limCs

A ds

rarr

Δ rarrsdot =

Δ int yz AAy z

partpartminus

part partˆ ( ) ( )xx A A= sdot nablatimes = nablatimes （4-104）

能把（4-103）與（4-104）變出來的同學我們有優待綜合以上

我們可以得到一個結論若取一個以點(xyz)為中心的任意環路 Cn（其

所包圍的面積方向在 n ）則

n curl Aand rarrsdot ＝

0

1lims

Cn

A ds

rarr

Δ rarrsdot

Δ int （4-105）

明顯的當 n ＝ x 或 y 或 z 時我們可以重複（4-102）到（4-104）的

結果（4-70）式的行列式所定義的旋度在此看見其幾何物理意義

至此「旋度」的「漩渦」形象應該已經很清楚了只有在(xyz)點附

近的小圈圈上有「漩渦」 A 在小圈圈做的環路積分才會有值這個

值就是向量場 A 的「旋度」在小圈圈面積方向的分量

Stokersquos 定理

考慮一個開放面 S被其「有方向的」邊界 C 圈住(bounded by)則

( )S

A dsrarr rarrnablatimes sdotint ＝

C

A drarrsdotint （4-106）

pf 先將 S 面分割為 N 個多邊形這會使得邊界變成一個「折線」形

成的環路 P環路 P 會隨著分割的多邊形個數的增多而越加近似於原

「光滑的」邊界 C現考慮相鄰的

兩個多邊形的線積分由於共用邊

的方向是相反的所以相鄰兩個多

邊形線積分的和只剩「外邊界」（見左圖）所以當把所有的多邊形的

4-61

線積分加起來時由於只有邊界 P 不是多邊形的共用邊所以

1k

N

k C

A drarr

=

sdotsum int ＝P

A drarrsdotint rArr

P

A drarrsdotint ＝

1

1

k

N

kk k C

A d l ss

rarr rarr

=

⎡ ⎤sdot Δ⎢ ⎥

Δ⎢ ⎥⎣ ⎦sum int

其中 ksΔ 為第 k 個多邊形的面積取極限 0kN srarrinfinrArrΔ rarr P CrArr rarr

C

A drarrsdotint ＝

10

1limkk

N

kN k k Cs

A d ss

rarr

rarrinfin=Δ rarr

⎡ ⎤sdot Δ⎢ ⎥

Δ⎢ ⎥⎣ ⎦sum int 01

ˆlim ( )k

k kskn A s

infin

Δ rarr=

⎡ ⎤= sdot nablatimes Δ⎣ ⎦sum

01

ˆlim ( )k

k kskA n s

infin

Δ rarr=

= nablatimes sdot Δsum = ( )S

A dsrarr

nablatimes sdotint QED

ex55 由 Amperersquos law 的積分形式導出其微分形式

解Amperersquos law 的積分形式 C

B drarrsdotint ＝ I0μ (4-107)

由 Stokersquos 定理及電流密度 j 的定義上式等號兩端可寫為

rArr ( )S

B dsrarr rarrnablatimes sdotint ＝ 0 S

j dsμrarrsdotint

由於上面的等式對任意面 S（路徑 C）都成立所以被積函數相等

0B jμrarr rarr rarr

rArrnablatimes = (4-108) 此即 Amperersquos law 的微分形式

Ex56 Given a vector field ˆ ˆx yA ye xe= minus + (a) Find Anablatimes

解

ˆ ˆ ˆˆ ˆ(1 ( 1) 2

0x y z

x y zA z z

y xnablatimes = part part part = minus minus =

minus

(b)如圖一個金字塔狀的 5 面體高 2底邊長＝1計算 ( )S

A dsnablatimes sdotint

其中 S 為金字塔在 x-y 平面以上的部分方向如同

封閉的金字塔（運用 Stokersquos law）

解金字塔上表面的面積元素ds 不好寫由 Stokersquos

4-62

law ( )S

A dsrarr rarrnablatimes sdotint ＝

C

A drarrsdotint 其中封閉路徑 C 就是上表面的邊界而且

是逆時針（由 z 軸向下看）

C

A drarrsdotint ＝

1 1 0 0

0 0 1 1ˆ ˆ ˆ ˆA xdx A ydy A xdx A ydysdot + sdot + sdot + sdotint int int int

＝1 1 0 0

0 0 1 1x y x yA dx A dy A dx A dy+ + +int int int int 1 1 0 0

0 0 1 1( 0) ( 1) ( 1) ( 0)y dx x dy y dx x dy= minus = + = + minus = + =int int int int

0 1 1 0 2 ( ) 2S

A ds= + + + = rArr nablatimes sdot =int

旋度與 path independence

已知保守場 cF 對所有封閉路徑 C 0cC

F drarrsdot =int 由 Stokersquos 定理

0cC

F drarrsdot =int ＝ ( )cS

F dsrarr rarrnablatimes sdotint rArr 0cF

rarr rarrnablatimes =

這表示保守場＝無旋度反之無旋度的場任兩點間路徑積分與路

徑無關

Ex57 Given a field 2 2ˆ ˆ ˆ2A x xy yx zz= + minus (a) Find Anablatimes A 保守場

解2 2

ˆ ˆ ˆ

2x y z

x y zA

xy x znablatimes = part part part

minus

( ) ( ) ( )2 2 2 2ˆ ˆ ˆ( ) 2 ( ) 2 0y z z x x yx z x y xy z z x xy= part minus minuspart + part minuspart minus + part minuspart =

yes A =保守場

(b)如左圖由 A 到 B 做路徑積分A BC

A drarr

sdotint 路徑 C 為橢圓

22 1

16yx + = 在 x-軸以上的部分

解橢圓部分的路徑元素 d 有點麻煩但因為 A

為保守場所以 A 到 B 做路徑積分可以用 x = -1 到

1 的積分取代

4-63

01 1 1

1 1 1ˆ 2 0

yB

xAA d A xdx A dx xydx

=

minus minus minussdot = sdot = = =int int int int

∵

旋度在柱座標與球座標

前面討論過nabla在不同座標系的寫法旋度也有歸納出的一致寫法

座標 1 2 3 u u u

度量係數

1 2 3 h h h

nabla grad del

直角 x y z

1 1 1 nabla ˆ ˆ ˆx y z

x y zpart part part

equiv + +part part part

圓柱 zρ ϕ

1 1ρ

1ˆ ˆ ˆ zz

ρ ϕρ ρ ϕpart part part

nabla equiv + +part part part

球 r θ ϕ

1 sinr r θ

1 1ˆ ˆˆ sin

rr r r

θ ϕθ θ ϕ

part part partnabla = + +

part part part

所以柱座標與球座標的旋度分別表為

柱座標

ˆ ˆ ˆ1

z

z

Az

AA Aρ ϕ

ρ ρϕ

ρ ρ ϕρ

part part partnablatimes =

part part part （4-109）

球座標 2

ˆ ˆˆ sin1sin

sinr

r r r

Ar r

A rA r Aθ ϕ

θ θϕ

θ θ ϕθ

part part partnablatimes =

part part part （4-110）

ex58 (a) Given the vector function ˆA ϕ= sin (ϕ 2) find Anablatimes

解 2

ˆ ˆˆ sin1sin

0 sin( 2) 0

r r r

Ar r

r

θ θϕ

θ θ ϕϕ

part part partnablatimes =

part part part

4-64

21 ˆˆ cos sin sinsin 2 2 2

rr rr

ϕ ϕθϕθ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

ˆˆ cos sin2 sin 2 2

rr r

ϕ ϕ ϕθ

minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

(b)如左圖一個底面在 x-y 平面半徑＝1高＝2 之圓錐 求面積分

SA dsnablatimes sdotint 面積範圍 S 為圓錐在 x-y 平面以上

部分 方向為由圓錐內向外

解由 Stokersquos law ( )S

A dsrarr rarrnablatimes sdotint ＝

C

A drarrsdotint 其中路

徑 C 為 x-y 平面圓心在原點之單位圓 ˆ ˆd rd dϕ ϕ ϕ ϕ= =

2

0ˆ ˆsin sin

2 2C

d dπϕ ϕϕ ϕ ϕ ϕ⎛ ⎞ ⎛ ⎞sdot =⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠int int ( )0

2 sin u duπ

= int 0cos | 2u π= minus =

習題 16 磁場 B 因為不是保守場所以沒有對應的純量位而對應一

個向量位 A (vector potential)而 B A= nablatimes 一個磁鐵的磁偶極矩

ˆm mz= 被置於原點已知在遠處的 vector potential 03ˆ sin

4mAr

μϕ θπ

=

計算該處的磁場 B Ans 03

ˆˆ( 2cos sin )4

mB rr

μ θ θ θπ

= + 與電偶極遠處

的電場形式一致都是偶極(dipole) 選幾個點畫一畫該處的場向量

把磁力線描出來

附錄本章講義的內容有部分可以經由直接計算得出列在附錄做為

參考

用「圓柱座標」寫 Atimesnabla

Ararr rarrnablatimes ＝ ( )1ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ zz A A zA

z ρ φρ ϕ ρ ϕρ ρ ϕpart part part⎛ ⎞+ + times + +⎜ ⎟part part part⎝ ⎠

4-65

因為rdquo sdotrdquo與rdquotimes rdquo都是向量間的運算所以

＝ ( )ˆ ˆ ˆ ˆ zA A zAρ φρ ρ ϕρpart

times + +part

＋ ( )1ˆ ˆ ˆ ˆ zA A zAρ φϕ ρ ϕρ ϕ

parttimes + +

part

＋ ( )ˆ ˆˆ ˆ zz A A zAz ρ φρ ϕpart

times + +part

直接做上式微分可以得到

＝1ˆ z AA

zϕρ

ρ ϕpart⎛ ⎞part

minus⎜ ⎟part part⎝ ⎠＋ ˆ zA A

zρϕ

ρpart⎛ ⎞part

minus⎜ ⎟part part⎝ ⎠＋

1 1ˆ ( )A

z A ρϕρ

ρ ρ ρ ϕpart⎛ ⎞part

minus⎜ ⎟part part⎝ ⎠

上式可以用一個行列式來表示

rarrrarr

timesnabla A＝

ˆ ˆ ˆ1

z

z

zA A Aρ ϕ

ρ ρϕ

ρ ρ ϕρ

part part partpart part part

（A-1）

A and Anabla nablasdot nablatimes in 球座標 spherical coordinate

如上圖球座標 )( ϕθr 其中 )0[ infinisinr ]0[ πθ isin ]20[ πϕ isin 只有 r

是長度而 ϕθ 為角度是用來說明方向的三個座標的單位向量 ˆ ˆˆ r θ ϕ 具

有下列性質

4-66

1 如上圖 ˆ ˆˆ r θ ϕ 都不是常數而是（ ϕθ ）的函數

ˆ ˆ( )ˆ ˆ( )ˆ ˆ( )

r r θ ϕ

θ θ θ ϕϕ ϕ ϕ

⎧ =⎪

=⎨⎪ =⎩

)( ϕθr 與(xyz)之間的轉換如下

sin cossin sincos

x ry rz r

θ φθ φθ

=⎧⎪ =⎨⎪ =⎩

( )122 2 2

2 2

tan

tan

r x y z

x yz

yx

θ

φ

⎧ = + +⎪⎪ +⎪ =⎨⎪⎪ =⎪⎩

（A-2）

2 ˆ ˆˆ r θ ϕ 形成一「歸一正交集」ie

ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ 1r r θ θ ϕ ϕsdot = sdot = sdot = ˆ ˆr θ ϕperp perp

ˆ ˆr θ ϕtimes = ˆ ˆ rθ ϕtimes = ˆˆ rϕ θtimes = （A-3）

3可以很容易的由他們在 xyz 軸上的投影由直角

座標的 ˆ ˆ ˆ x y z 表出

ˆ ˆ ˆ ˆsin cos sin sin cos ( 4 )ˆ ˆ ˆ ˆcos cos cos sin sin ( 4 )ˆ ˆ ˆsin cos ( 4 )

r x y z A a

x y z A bx y A c

θ φ θ φ θ

θ θ φ θ φ θϕ φ φ

= + + minus⎧⎪

= + minus minus⎨⎪ = minus + minus⎩

4 ˆdr = 由於 ˆ ˆ( )r r θ φ= 所以由 ϕθ 的變動來看

4-67

ˆ ˆˆ| |ˆ ˆˆ| | sin sin

d r d d

d r d d

θ θθ θθ

φ θ φφ θ φφ

⎧ rArr =⎪⎨

rArr =⎪⎩rArr ˆ ˆˆ sindr d dθ θ φ θ φ= + （A-5）

rArrˆ ˆr θθpart

=part

ˆ ˆsinr θφφpart

=part

（A-6）

（A-6）的結果也可以直接由（A-4a）對 ϕθ 偏微得到

5 ˆdθ ＝ 由於 ˆ ˆ( )θ θ θ φ= 所以由 ϕθ 的變動來看

ˆ ˆ ˆ| | ( )ˆ ˆ ˆ| | cos cos

d d r d r

d d d

θ θ θ θ

φ θ θ φφ φ θ φ

⎧ rArr minus = minus⎪⎨

rArr =⎪⎩rArr ˆdθ ＝ ˆˆ cosrd dθ φ θ φminus + （A-7）

ˆrθ

θpart

rArr = minuspart

ˆ ˆcosθ φ θφpart

=part

（A-8）

請直接由（A-4b）對 ϕθ 偏微的結果 check（A-8）

6 ˆdφ ＝由於φ )(ϕ 躺在 x-y 平面上變動φ時的方向可能不是那麼

容易看出來所以做圖看一看

ie ˆ ˆˆ(sin ) (cos )d r d dφ θ φ θ θ φ= minus minus （A-9）

4-68

ˆ ˆˆsin cosrφ θ θ θφpart

= minus minuspart

7 所有的向量 ˆ ˆˆ rA rA A Aθ φθ φrarr= + +

8 位置向量 ˆr rrrarr=

可以由左圖 ˆ ˆˆ r θ ϕ 三個方向的「長度

變化」輕易的看出

9 位移元素

ˆ ˆˆ ˆ sindr rdr rd dθ θ ϕ θ φ= + + (A-10)

10 體積元素

sindv dr r d rdθ φ θ= sdot sdot

＝ 2 sinr dr d dθ θ φ (A-11)

11 面積元素 2 sinrds r d dθ θ φ= plusmn sinds r drdθ θ φ= plusmn ds rdrdφ θ= plusmn (A-12)

plusmn號表示面的垂直方向有兩個端看 ds 周邊的方向是如何定的

nabladel 考慮 ( )u u r θ φ=

rArru u udu dr d dr

θ φθ φ

part part part= + +part part part

u d rrarr rarr

equiv nabla sdot

urarr

= nabla sdot ˆ ˆˆ( sin )rdr rd dθ θ φ θ φ+ +

rArr1 1ˆ ˆˆ

sinu u uu rr r r

θ ϕθ θ φ

rarr part part partnabla = + +

part part part

1 1ˆ ˆˆsin

rr r r

θ ϕθ θ φ

rarr part part partnabla equiv + +

part part part （A-13）

4-69

直接用（A-13）與 ˆ ˆˆ rA rA A Aθ φθ ϕrarr= + + 逐項內積加上（A-678）

rArr ϕθ

θθθ

ϕθ part

part+

partpart

+partpart

=sdotnablararrrarr A

rA

rAr

rrA r sin

1)(sinsin1)(1 2

2 （A-14）

（A-13）與 ϕθ ϕθ AAArA r

andandandrarr

++= 逐項外積整理之後

ϕθ θϕθ

ϕθθ

θArrAA

r

rrr

rA

r sin

sin

sin1

2 partpart

partpart

partpart

=timesnabla

andandand

rarrrarr

（A-15）

Laplacian uu nablasdotnabla=nabla2

2

2

2222

22

sin1)(sin

sin1)(1

ϕθθθ

θθ partpart

+partpart

partpart

+partpart

partpart

=nablau

ru

rrur

rru （A-16）

B推導「散度」在圓柱座標的寫法

讓我們先回顧一下在直角座標裡的「面積元素」可以由「位移元素」

得到

ˆˆ ˆ x y zdr idx jdy kdz da dydz dxdz dxdy= + + rArr =

比照辦理「圓柱座標」的位移元素

( )ˆˆ ˆ( )

( )z

da d dzdr d d zdz da d dz

da d d

ρ

φ

ρ φ

ρ ρ φ ρ φ ρ

ρ ρ φ

=⎧⎪= + + rArr =⎨⎪ =⎩

這個結論可以輕易的由面積元素在垂直於 zˆˆ ϕρ 三個方向的面積看

出如下圖考慮一個以 )( zϕρ 為中心的「圓柱體積元素」(cylindrical

cubiod)體積為 zdV ΔΔ=Δ ϕρρ 現計算在 ρ

方向的 12 兩個平行面(方向各為 ρplusmn )的通

量

4-70

zzF

dsFdsnFS S

ΔΔ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

+cong

=sdotintint intintϕρρϕρρρ

ρ

2

2

ˆ1 1

zzF

dsFdsnFS S

ΔΔ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

minus⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

minusminuscong

minus=sdotintint intintϕρρϕρρρ

ρ

2

2

ˆ2 2

intint+

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

minus⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

minusminus⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

+Δ

asympsdotΔ

rArr21

22

22

1ˆ1

SS

zFzFdsnFV

ϕρρρρϕρρρρρρ ρρ

( ) ( )

1 20

0

0

1 ˆlim

1lim 2 2 2 2

1 1lim 2 2

1

VS S

F ndsV

F z F z

F z F z

F

ρ ρρ

ρ ρρ

ρ

ρ ρ ρ ρρ ρ φ ρ ρ φρ ρ

ρ ρρ ρ φ ρ ρ φρ ρ

ρρ ρ

Δ rarr+

Δ rarr

Δ rarr

rArr sdotΔ

Δ Δ Δ Δ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + + minus minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥Δ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦Δ Δ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥Δ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

part ⎡ ⎤= ⎣ ⎦part

intint

娛樂一下用上述方式把圓柱的 Fsdotnabla 裡的z

FF z

partpart

+partϕρϕ1

變出來

球座標的nabla和 Fsdotnabla 也可以試試看

補充習題

H M Scheydiv grad curl and all that 4th edition

第二章習題 6 8 9 10 11 14 15 16 18 19 21 22 23 25 26 27

第三章習題 2 3 5 6 7 8 9 10 11 14 15 17 18 19 24

4-53

The Laplacian operator 2nabla equivnablasdotnabla

在直角座標可以用直接作用得到

2 2 2

22 2 2u u uu u

x y zpart part part

nabla equiv nablasdotnabla = + +part part part

(4-88)

圓柱座標

2 2

22 2 2

1 1( ) u u uu uz

ρρ ρ ρ ρ ϕ

part part part part⎛ ⎞nabla equiv nablasdot nabla = + +⎜ ⎟part part part part⎝ ⎠

(4-89)

球座標

2

2 22 2 2 2 2

1 1 1sinsin sin

u u uu rr r r r r

θθ θ θ θ ϕ

part part part part part⎛ ⎞ ⎛ ⎞nabla = + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟part part part part part⎝ ⎠ ⎝ ⎠ （4-90）

習題 14 verify (4-89) and (4-90)

習題 15 Given a dipole potential V= 20

cos4p

rθ

πε find 2Vminusnabla

sect 433 Line integral and curl A 線積分與與旋度的物理意義

線積分路徑積分

考慮一曲線 C 通過兩點 ( )i i i iP x y z 與

( )f f f fP x y z 現有一向量場 ( )A x y z 定義在

C 所在的空間若 sd 為 C 上位於(xyz)點的

「路徑元素」（ ˆd td= 方向沿該處切線）而

( )A x y z 為路徑元素d 處的場值則沿 C 經歷各點所做積分

cos cosf

CC C iA d Ad A dϕ ϕrarr rarrsdot = =int int int （4-91）

稱為向量場 ( )A x y z 沿路徑 C 自 pi 至 pf 的「線積分」「或「路徑積分」

積分裡 A 取值的點侷限在路徑 C 上面若為一個「封閉路徑」則對

C 的線積分也稱做「環路積分 closed contour integral」記做

C

A dsdotint （4-92）

4-54

物理量「做功」是最標準的線積分之一力 F 自 x = a 至 x = b「沿線」

x 軸做功

W＝ F dxsdotint ＝ ( )b

xaF x dxint （4-93）

質點在力場 )(rF 裡走一條曲線 C則力場做功

CW F d= sdotint （4-94）

還記得如果 ( )F r 是所謂「保守力」則上式只與始末點有關而與

路徑無關但如果 ( )F r 是所謂「非保守力」則做功與確實的路徑 C

有關

現考慮一質點在空間運動的位置 r 落在由曲線 C

描述的路徑則質點的位移元素與曲線 C 的路徑元

素相同 d dr= 若空間有向量場 A 分佈則 A 在 C 的

路徑積分以直角座標表示為

CA drarr rarrsdotint ＝

CA d rrarr rarrsdotint ＝ ( )x y zC

A dx A dy A dz+ +int （4-95）

上式中的 x y z 的積分限由 C 決定

Ex49 2 2 2ˆ ˆ ˆA xx yy zzrarr= + + 選定一路徑 C 為曲線

2y x= 由 (000)到 (2 20)的部分求C

A dsdotint

解 ˆ ˆd xdx ydy= +∵

CA dsdotint ＝ 2 2( )

Cx dx y dy+int ＝

2 22 2

0 0x dx y dy+int int

＝ )24(32

+

或由 2y x= rArr 2ydy dx= 2 12

y dy xdxrArr =

rArrC

A dsdotint ＝2 2

0

1( )2

x x dx+int ＝2 (4 2)3

+

4-55

ex50 ˆ ˆ( )f x y z xy yx= minus Do C

f dsdotint 其中的路徑 C 為一逆時針三角

形如圖 解∵路徑全部在 x-y 平面 ˆ ˆ ˆd td xdx ydy= = +

rArrC

f dsdotint ＝ x yC

f dx f dy+int ＝C

ydx xdyminusint

由於在 C1 上 y = 0 及 dy = 0 所以 01

=intC 又由於在

C3 上 x = 0 及 dx =0所以 03

=intC 所以只剩下 C2 可

能有貢獻由 2C 的方程式x + y =1rArr ⎩⎨⎧

minus=minus=

xyyx

11

rArr2Cydx xdyminusint ＝

0 1

1 0(1 ) (1 )x dx y dyminus minus minusint int ＝

0 12 2

1 0

( ) ( )2 2x yx yminus minus minus ＝-1

Cf dsdotint ＝-1

ex51 ( )f x y zrarr

= 2ˆ ˆxx yxyminus 如右圖doC

f dsdotint 其

中路徑 C 為第一象限的逆時針 14 圓弧

解∵ 全部在 x-y 平面 ˆ ˆd xdx ydy= +

Cf dsdotint ＝ 2

Cx dx xydyminusint

由於在 C 上 cosx R ϕ= rArr sindx R dϕ ϕ= minus

siny R ϕ= rArr cosdy R dϕ ϕ=

rArr 2

Cx dx xydyminusint ＝

2 2 2 2

0cos ( sin ) sin cos cosR R d R R d

πϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕminus minus sdotint

23 2

02 cos sinR d

πϕ ϕ ϕ= minus int ＝

323Rminus

又路徑為圓周一部份所以適合用極座標表示

ˆd Rdϕ ϕ= 又由左圖將 ˆ ˆx y 拆解（投影）到 ˆˆr ϕ

ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆcos sin sin cosx r y rϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ= minus = +

4-56

( )2ˆ ˆ ˆˆ ˆ( cos sin ) ( sin cos )C C

f d r x r xy Rdϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕsdot = minus minus + sdotint int 2

2 2 2

0

sin (cos )

sin ( cos ) (cos ) cos sin

Cx Rd xyRd

R Rd R Rdπ

ϕ ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ

= minus minus

= minus minus

intint

23 2

02 cos sinR d

πϕ ϕ ϕ= minus int ＝

323Rminus

這也驗證了散度定理

Path Independence 路徑獨立性

Ex52 證明庫倫力為「保守力」考慮

電荷 q0 位於原點及電荷 q 位於

( )r x y zrarr= q 受力 F

rarr＝ 0

20

14

qq urπε

and

求庫侖力作功因為球形對稱所以

用球座標由 ˆ ˆ ru rr

= = rArr Frarr

= 03

04qq r

rπε

庫侖力由 P1 至 P2 做功為 2

1

P

CPF drarrsdotint ＝

2

1

02

0

ˆ ˆ ˆˆ sin4

P

PC

qq r rdr rd r dr

θ θ ϕ θ ϕπε

⎡ ⎤sdot + +⎣ ⎦int ＝2

1

02

04P

P

qq drrπεint

＝20

2104

r

r

qq drrπε int ＝ 0

0 1 2

1 1( )4qq

r rπεminus for all C

所以庫侖力兩點間做功與路徑無關rArr保守力

對於「保守力 conservative force」 cF 自 p1 經

由兩條不同的路徑 C1 與 C2 到達 p2

1 ccF drarrsdotint ＝

2 ccF drarrsdotint ＝-

2 ccF drarr

minussdotint

rArr1 2c cc cF d F drarr rarr

minussdot + sdotint int = cF d

rarrsdotint ＝0 (4-96）

對於任何「封閉路徑」保守力做功為 0反之若

對任一封閉路徑 0F drarrsdot neint 則兩點之間的做功與路徑有關

rarr

F 為「非

保守力」

4-57

旋度 curl Anablatimes 的幾何物理意義

我們在（4-70）式已經看過旋度的計算方式但旋度另有其意義的

ex53 給定向量場2 2

0ˆ yv yv e λrarr

minus= 左圖為場的分佈

2 20

ˆ ˆ ˆ

0 0x y z

y

x y zcurl v

v e λ

rarr

minus

= part part part ＝ ˆ ˆ ˆ0 0 0 0x y zsdot minus sdot + sdot =

我們用了簡寫 x yx ypart part

part equiv part equivpart part

可以看出這個場裡沒有「漩渦」

但是有無「漩渦」有時也不是那麼明顯可以看出的請見下一個例子

Ex54 給定向量場2 2

0ˆ xv yv e λrarr

minus= 計算其旋度 vnablatimes

解向量場 vrarr

畫在右邊你看得出有無漩渦

先計算旋度

2 20

ˆ ˆ ˆ

0 0x y z

x

x y zcurl v

v e λ

rarr

minus

= part part part2 2

2 2

0

0

ˆ

ˆ 2 0 0

x

x

z v ex

z v xe for x

λ

λ

minus

minus

part=

part

= minus ne ne

vrarr

的旋度在大部分的地方不為 0 且隨位置而不同但是你看得出這個

向量場裡有「漩渦」其實要檢驗一個向量場裡有無「漩渦」有一

個很物理的方法就是放一個小「螺旋槳」（左圖）

在場內將軸朝各個方向測試一

下如果有「漩渦」的話這個

小「螺旋槳」就會轉動右圖就是將「螺旋槳」的

軸平行於 z 軸且放在 x gt 0 的地方就可以看出左

邊的 v 場比右邊的強造成螺旋槳順時針轉動rArrcurlv zminus for x gt 0

但如果放在 x = 0 的地方就會看到左右兩端的 v 場強度相同而且

4-58

curlv = 0 「螺旋槳」放在 x lt 0 的地方就可以看出右邊的v 場比左

邊的強造成螺旋槳逆時針轉動這完全符合 curl v k+ 的結果

環路積分與旋度 curl 的物理意義

如同「散度」一樣「旋度」除了 Ftimesnabla 之外

還有一個物理意義更清楚的定義這個定義由

「線積分」說明如圖考慮做「逆時針」長方形

路徑 C1 的一個「環路積分」C1 面平行於 x-y 平

面由 z-軸看下去環路 C1 可以分為可以分為

下 CB上 CT右 CR左 CL 4 部分

CA drarrsdotint ＝

B T L RC C C CA d A d A d A drarr rarr rarr rarrsdot + sdot + sdot + sdotint int int int

分別計算由於 CB 的中點座標為 ( )2yx y zΔ

minus

ˆB BC C

A d A xdxrarr rarrsdot = sdot =int int

BxC

A dxint ( )2xyA x y z xΔ

asymp minus Δ

similarly 由於 CT 的中點座標為 ( )2yx y zΔ

+

ˆ( )T TC C

A d A xdxrarr rarrsdot = sdot minus =int int

TxC

A dxminusint ( )2xyA x y z xΔ

asymp minus + Δ

合併 CB 與 CT

B TC CA drarr

+sdot =int

( ) ( )2 2x xy yA x y z A x y z

x yy

Δ Δ⎡ ⎤minus + minus minus⎢ ⎥⎣ ⎦ Δ ΔΔ

（4-97）

由 C1 所圍的面積 S x yΔ = Δ Δ

1B TC C

A dS

rarr

+sdot =

Δ int( ) ( )

2 2x xy yA x y z A x y z

y

Δ Δ⎡ ⎤minus + minus minus⎢ ⎥⎣ ⎦Δ

（4-98）

所以當取極限 C1 收縮到中心(xyz)時 SΔ 收縮到 0ie

4-59

0limsΔ rarr

1B TC C

A dS

rarr

+sdot =

Δ int xAy

partminuspart

（4-99）

Similarly with CR 的 ˆd ydy= CL 的 ˆd ydy= minus 可得

1L RC C

A dS

rarr

+sdot =

Δ int x

zyxxFzyxxF yy

Δ

Δminusminus

Δ+ )

2()

2(

（4-100）

同樣的當取極限 C1 收縮到中心(xyz)時 SΔ 收縮到 0

0

limsΔ rarr

1L RC C

A dS

rarr

+sdot =

Δ int yAx

partpart

（4-101）

最後合併 CBCTCRCL 為 C1

10

1limCs

A ds

rarr

Δ rarrsdot =

Δ int y xA Ax y

part partminus

part partˆ ( ) ( )zz A A= sdot nablatimes = nablatimes （4-102）

注意 C1 的方向就是在 z 上式的重要

意義是當向量場 A 在一個以點(xyz)為

中心「方向為 z 」的面積元素的「邊界」

所做的環路積分得到的就是 A 在(xyz)

處旋度的 z-分量明顯的只有當 A 在

(xyz)附近有 x-y 平面上的「漩渦」那麼 C1 的環路積分才不會為 0

Similarly 取一個逆時針繞著(xyz)的平行於 x-z 平面的長方形環路 C2

（左圖）做環路積分再取極限將 C2 收縮到(xyz)就會得到

20

1limCs

A ds

rarr

Δ rarrsdot =

Δ int x zA Az x

part partminus

part partˆ ( ) ( )yy A A= sdot nablatimes = nablatimes （4-103）

注意到 C2 所包圍的面積方向就在 y到

現在我們應該已經很有經驗了若取一

個逆時針繞著(xyz)的平行於 y-z 平面

的長方形環路 C3（左圖）做環路積分

再取極限將 C3 收縮到(xyz)就會得到

4-60

30

1limCs

A ds

rarr

Δ rarrsdot =

Δ int yz AAy z

partpartminus

part partˆ ( ) ( )xx A A= sdot nablatimes = nablatimes （4-104）

能把（4-103）與（4-104）變出來的同學我們有優待綜合以上

我們可以得到一個結論若取一個以點(xyz)為中心的任意環路 Cn（其

所包圍的面積方向在 n ）則

n curl Aand rarrsdot ＝

0

1lims

Cn

A ds

rarr

Δ rarrsdot

Δ int （4-105）

明顯的當 n ＝ x 或 y 或 z 時我們可以重複（4-102）到（4-104）的

結果（4-70）式的行列式所定義的旋度在此看見其幾何物理意義

至此「旋度」的「漩渦」形象應該已經很清楚了只有在(xyz)點附

近的小圈圈上有「漩渦」 A 在小圈圈做的環路積分才會有值這個

值就是向量場 A 的「旋度」在小圈圈面積方向的分量

Stokersquos 定理

考慮一個開放面 S被其「有方向的」邊界 C 圈住(bounded by)則

( )S

A dsrarr rarrnablatimes sdotint ＝

C

A drarrsdotint （4-106）

pf 先將 S 面分割為 N 個多邊形這會使得邊界變成一個「折線」形

成的環路 P環路 P 會隨著分割的多邊形個數的增多而越加近似於原

「光滑的」邊界 C現考慮相鄰的

兩個多邊形的線積分由於共用邊

的方向是相反的所以相鄰兩個多

邊形線積分的和只剩「外邊界」（見左圖）所以當把所有的多邊形的

4-61

線積分加起來時由於只有邊界 P 不是多邊形的共用邊所以

1k

N

k C

A drarr

=

sdotsum int ＝P

A drarrsdotint rArr

P

A drarrsdotint ＝

1

1

k

N

kk k C

A d l ss

rarr rarr

=

⎡ ⎤sdot Δ⎢ ⎥

Δ⎢ ⎥⎣ ⎦sum int

其中 ksΔ 為第 k 個多邊形的面積取極限 0kN srarrinfinrArrΔ rarr P CrArr rarr

C

A drarrsdotint ＝

10

1limkk

N

kN k k Cs

A d ss

rarr

rarrinfin=Δ rarr

⎡ ⎤sdot Δ⎢ ⎥

Δ⎢ ⎥⎣ ⎦sum int 01

ˆlim ( )k

k kskn A s

infin

Δ rarr=

⎡ ⎤= sdot nablatimes Δ⎣ ⎦sum

01

ˆlim ( )k

k kskA n s

infin

Δ rarr=

= nablatimes sdot Δsum = ( )S

A dsrarr

nablatimes sdotint QED

ex55 由 Amperersquos law 的積分形式導出其微分形式

解Amperersquos law 的積分形式 C

B drarrsdotint ＝ I0μ (4-107)

由 Stokersquos 定理及電流密度 j 的定義上式等號兩端可寫為

rArr ( )S

B dsrarr rarrnablatimes sdotint ＝ 0 S

j dsμrarrsdotint

由於上面的等式對任意面 S（路徑 C）都成立所以被積函數相等

0B jμrarr rarr rarr

rArrnablatimes = (4-108) 此即 Amperersquos law 的微分形式

Ex56 Given a vector field ˆ ˆx yA ye xe= minus + (a) Find Anablatimes

解

ˆ ˆ ˆˆ ˆ(1 ( 1) 2

0x y z

x y zA z z

y xnablatimes = part part part = minus minus =

minus

(b)如圖一個金字塔狀的 5 面體高 2底邊長＝1計算 ( )S

A dsnablatimes sdotint

其中 S 為金字塔在 x-y 平面以上的部分方向如同

封閉的金字塔（運用 Stokersquos law）

解金字塔上表面的面積元素ds 不好寫由 Stokersquos

4-62

law ( )S

A dsrarr rarrnablatimes sdotint ＝

C

A drarrsdotint 其中封閉路徑 C 就是上表面的邊界而且

是逆時針（由 z 軸向下看）

C

A drarrsdotint ＝

1 1 0 0

0 0 1 1ˆ ˆ ˆ ˆA xdx A ydy A xdx A ydysdot + sdot + sdot + sdotint int int int

＝1 1 0 0

0 0 1 1x y x yA dx A dy A dx A dy+ + +int int int int 1 1 0 0

0 0 1 1( 0) ( 1) ( 1) ( 0)y dx x dy y dx x dy= minus = + = + minus = + =int int int int

0 1 1 0 2 ( ) 2S

A ds= + + + = rArr nablatimes sdot =int

旋度與 path independence

已知保守場 cF 對所有封閉路徑 C 0cC

F drarrsdot =int 由 Stokersquos 定理

0cC

F drarrsdot =int ＝ ( )cS

F dsrarr rarrnablatimes sdotint rArr 0cF

rarr rarrnablatimes =

這表示保守場＝無旋度反之無旋度的場任兩點間路徑積分與路

徑無關

Ex57 Given a field 2 2ˆ ˆ ˆ2A x xy yx zz= + minus (a) Find Anablatimes A 保守場

解2 2

ˆ ˆ ˆ

2x y z

x y zA

xy x znablatimes = part part part

minus

( ) ( ) ( )2 2 2 2ˆ ˆ ˆ( ) 2 ( ) 2 0y z z x x yx z x y xy z z x xy= part minus minuspart + part minuspart minus + part minuspart =

yes A =保守場

(b)如左圖由 A 到 B 做路徑積分A BC

A drarr

sdotint 路徑 C 為橢圓

22 1

16yx + = 在 x-軸以上的部分

解橢圓部分的路徑元素 d 有點麻煩但因為 A

為保守場所以 A 到 B 做路徑積分可以用 x = -1 到

1 的積分取代

4-63

01 1 1

1 1 1ˆ 2 0

yB

xAA d A xdx A dx xydx

=

minus minus minussdot = sdot = = =int int int int

∵

旋度在柱座標與球座標

前面討論過nabla在不同座標系的寫法旋度也有歸納出的一致寫法

座標 1 2 3 u u u

度量係數

1 2 3 h h h

nabla grad del

直角 x y z

1 1 1 nabla ˆ ˆ ˆx y z

x y zpart part part

equiv + +part part part

圓柱 zρ ϕ

1 1ρ

1ˆ ˆ ˆ zz

ρ ϕρ ρ ϕpart part part

nabla equiv + +part part part

球 r θ ϕ

1 sinr r θ

1 1ˆ ˆˆ sin

rr r r

θ ϕθ θ ϕ

part part partnabla = + +

part part part

所以柱座標與球座標的旋度分別表為

柱座標

ˆ ˆ ˆ1

z

z

Az

AA Aρ ϕ

ρ ρϕ

ρ ρ ϕρ

part part partnablatimes =

part part part （4-109）

球座標 2

ˆ ˆˆ sin1sin

sinr

r r r

Ar r

A rA r Aθ ϕ

θ θϕ

θ θ ϕθ

part part partnablatimes =

part part part （4-110）

ex58 (a) Given the vector function ˆA ϕ= sin (ϕ 2) find Anablatimes

解 2

ˆ ˆˆ sin1sin

0 sin( 2) 0

r r r

Ar r

r

θ θϕ

θ θ ϕϕ

part part partnablatimes =

part part part

4-64

21 ˆˆ cos sin sinsin 2 2 2

rr rr

ϕ ϕθϕθ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

ˆˆ cos sin2 sin 2 2

rr r

ϕ ϕ ϕθ

minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

(b)如左圖一個底面在 x-y 平面半徑＝1高＝2 之圓錐 求面積分

SA dsnablatimes sdotint 面積範圍 S 為圓錐在 x-y 平面以上

部分 方向為由圓錐內向外

解由 Stokersquos law ( )S

A dsrarr rarrnablatimes sdotint ＝

C

A drarrsdotint 其中路

徑 C 為 x-y 平面圓心在原點之單位圓 ˆ ˆd rd dϕ ϕ ϕ ϕ= =

2

0ˆ ˆsin sin

2 2C

d dπϕ ϕϕ ϕ ϕ ϕ⎛ ⎞ ⎛ ⎞sdot =⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠int int ( )0

2 sin u duπ

= int 0cos | 2u π= minus =

習題 16 磁場 B 因為不是保守場所以沒有對應的純量位而對應一

個向量位 A (vector potential)而 B A= nablatimes 一個磁鐵的磁偶極矩

ˆm mz= 被置於原點已知在遠處的 vector potential 03ˆ sin

4mAr

μϕ θπ

=

計算該處的磁場 B Ans 03

ˆˆ( 2cos sin )4

mB rr

μ θ θ θπ

= + 與電偶極遠處

的電場形式一致都是偶極(dipole) 選幾個點畫一畫該處的場向量

把磁力線描出來

附錄本章講義的內容有部分可以經由直接計算得出列在附錄做為

參考

用「圓柱座標」寫 Atimesnabla

Ararr rarrnablatimes ＝ ( )1ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ zz A A zA

z ρ φρ ϕ ρ ϕρ ρ ϕpart part part⎛ ⎞+ + times + +⎜ ⎟part part part⎝ ⎠

4-65

因為rdquo sdotrdquo與rdquotimes rdquo都是向量間的運算所以

＝ ( )ˆ ˆ ˆ ˆ zA A zAρ φρ ρ ϕρpart

times + +part

＋ ( )1ˆ ˆ ˆ ˆ zA A zAρ φϕ ρ ϕρ ϕ

parttimes + +

part

＋ ( )ˆ ˆˆ ˆ zz A A zAz ρ φρ ϕpart

times + +part

直接做上式微分可以得到

＝1ˆ z AA

zϕρ

ρ ϕpart⎛ ⎞part

minus⎜ ⎟part part⎝ ⎠＋ ˆ zA A

zρϕ

ρpart⎛ ⎞part

minus⎜ ⎟part part⎝ ⎠＋

1 1ˆ ( )A

z A ρϕρ

ρ ρ ρ ϕpart⎛ ⎞part

minus⎜ ⎟part part⎝ ⎠

上式可以用一個行列式來表示

rarrrarr

timesnabla A＝

ˆ ˆ ˆ1

z

z

zA A Aρ ϕ

ρ ρϕ

ρ ρ ϕρ

part part partpart part part

（A-1）

A and Anabla nablasdot nablatimes in 球座標 spherical coordinate

如上圖球座標 )( ϕθr 其中 )0[ infinisinr ]0[ πθ isin ]20[ πϕ isin 只有 r

是長度而 ϕθ 為角度是用來說明方向的三個座標的單位向量 ˆ ˆˆ r θ ϕ 具

有下列性質

4-66

1 如上圖 ˆ ˆˆ r θ ϕ 都不是常數而是（ ϕθ ）的函數

ˆ ˆ( )ˆ ˆ( )ˆ ˆ( )

r r θ ϕ

θ θ θ ϕϕ ϕ ϕ

⎧ =⎪

=⎨⎪ =⎩

)( ϕθr 與(xyz)之間的轉換如下

sin cossin sincos

x ry rz r

θ φθ φθ

=⎧⎪ =⎨⎪ =⎩

( )122 2 2

2 2

tan

tan

r x y z

x yz

yx

θ

φ

⎧ = + +⎪⎪ +⎪ =⎨⎪⎪ =⎪⎩

（A-2）

2 ˆ ˆˆ r θ ϕ 形成一「歸一正交集」ie

ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ 1r r θ θ ϕ ϕsdot = sdot = sdot = ˆ ˆr θ ϕperp perp

ˆ ˆr θ ϕtimes = ˆ ˆ rθ ϕtimes = ˆˆ rϕ θtimes = （A-3）

3可以很容易的由他們在 xyz 軸上的投影由直角

座標的 ˆ ˆ ˆ x y z 表出

ˆ ˆ ˆ ˆsin cos sin sin cos ( 4 )ˆ ˆ ˆ ˆcos cos cos sin sin ( 4 )ˆ ˆ ˆsin cos ( 4 )

r x y z A a

x y z A bx y A c

θ φ θ φ θ

θ θ φ θ φ θϕ φ φ

= + + minus⎧⎪

= + minus minus⎨⎪ = minus + minus⎩

4 ˆdr = 由於 ˆ ˆ( )r r θ φ= 所以由 ϕθ 的變動來看

4-67

ˆ ˆˆ| |ˆ ˆˆ| | sin sin

d r d d

d r d d

θ θθ θθ

φ θ φφ θ φφ

⎧ rArr =⎪⎨

rArr =⎪⎩rArr ˆ ˆˆ sindr d dθ θ φ θ φ= + （A-5）

rArrˆ ˆr θθpart

=part

ˆ ˆsinr θφφpart

=part

（A-6）

（A-6）的結果也可以直接由（A-4a）對 ϕθ 偏微得到

5 ˆdθ ＝ 由於 ˆ ˆ( )θ θ θ φ= 所以由 ϕθ 的變動來看

ˆ ˆ ˆ| | ( )ˆ ˆ ˆ| | cos cos

d d r d r

d d d

θ θ θ θ

φ θ θ φφ φ θ φ

⎧ rArr minus = minus⎪⎨

rArr =⎪⎩rArr ˆdθ ＝ ˆˆ cosrd dθ φ θ φminus + （A-7）

ˆrθ

θpart

rArr = minuspart

ˆ ˆcosθ φ θφpart

=part

（A-8）

請直接由（A-4b）對 ϕθ 偏微的結果 check（A-8）

6 ˆdφ ＝由於φ )(ϕ 躺在 x-y 平面上變動φ時的方向可能不是那麼

容易看出來所以做圖看一看

ie ˆ ˆˆ(sin ) (cos )d r d dφ θ φ θ θ φ= minus minus （A-9）

4-68

ˆ ˆˆsin cosrφ θ θ θφpart

= minus minuspart

7 所有的向量 ˆ ˆˆ rA rA A Aθ φθ φrarr= + +

8 位置向量 ˆr rrrarr=

可以由左圖 ˆ ˆˆ r θ ϕ 三個方向的「長度

變化」輕易的看出

9 位移元素

ˆ ˆˆ ˆ sindr rdr rd dθ θ ϕ θ φ= + + (A-10)

10 體積元素

sindv dr r d rdθ φ θ= sdot sdot

＝ 2 sinr dr d dθ θ φ (A-11)

11 面積元素 2 sinrds r d dθ θ φ= plusmn sinds r drdθ θ φ= plusmn ds rdrdφ θ= plusmn (A-12)

plusmn號表示面的垂直方向有兩個端看 ds 周邊的方向是如何定的

nabladel 考慮 ( )u u r θ φ=

rArru u udu dr d dr

θ φθ φ

part part part= + +part part part

u d rrarr rarr

equiv nabla sdot

urarr

= nabla sdot ˆ ˆˆ( sin )rdr rd dθ θ φ θ φ+ +

rArr1 1ˆ ˆˆ

sinu u uu rr r r

θ ϕθ θ φ

rarr part part partnabla = + +

part part part

1 1ˆ ˆˆsin

rr r r

θ ϕθ θ φ

rarr part part partnabla equiv + +

part part part （A-13）

4-69

直接用（A-13）與 ˆ ˆˆ rA rA A Aθ φθ ϕrarr= + + 逐項內積加上（A-678）

rArr ϕθ

θθθ

ϕθ part

part+

partpart

+partpart

=sdotnablararrrarr A

rA

rAr

rrA r sin

1)(sinsin1)(1 2

2 （A-14）

（A-13）與 ϕθ ϕθ AAArA r

andandandrarr

++= 逐項外積整理之後

ϕθ θϕθ

ϕθθ

θArrAA

r

rrr

rA

r sin

sin

sin1

2 partpart

partpart

partpart

=timesnabla

andandand

rarrrarr

（A-15）

Laplacian uu nablasdotnabla=nabla2

2

2

2222

22

sin1)(sin

sin1)(1

ϕθθθ

θθ partpart

+partpart

partpart

+partpart

partpart

=nablau

ru

rrur

rru （A-16）

B推導「散度」在圓柱座標的寫法

讓我們先回顧一下在直角座標裡的「面積元素」可以由「位移元素」

得到

ˆˆ ˆ x y zdr idx jdy kdz da dydz dxdz dxdy= + + rArr =

比照辦理「圓柱座標」的位移元素

( )ˆˆ ˆ( )

( )z

da d dzdr d d zdz da d dz

da d d

ρ

φ

ρ φ

ρ ρ φ ρ φ ρ

ρ ρ φ

=⎧⎪= + + rArr =⎨⎪ =⎩

這個結論可以輕易的由面積元素在垂直於 zˆˆ ϕρ 三個方向的面積看

出如下圖考慮一個以 )( zϕρ 為中心的「圓柱體積元素」(cylindrical

cubiod)體積為 zdV ΔΔ=Δ ϕρρ 現計算在 ρ

方向的 12 兩個平行面(方向各為 ρplusmn )的通

量

4-70

zzF

dsFdsnFS S

ΔΔ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

+cong

=sdotintint intintϕρρϕρρρ

ρ

2

2

ˆ1 1

zzF

dsFdsnFS S

ΔΔ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

minus⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

minusminuscong

minus=sdotintint intintϕρρϕρρρ

ρ

2

2

ˆ2 2

intint+

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

minus⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

minusminus⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

+Δ

asympsdotΔ

rArr21

22

22

1ˆ1

SS

zFzFdsnFV

ϕρρρρϕρρρρρρ ρρ

( ) ( )

1 20

0

0

1 ˆlim

1lim 2 2 2 2

1 1lim 2 2

1

VS S

F ndsV

F z F z

F z F z

F

ρ ρρ

ρ ρρ

ρ

ρ ρ ρ ρρ ρ φ ρ ρ φρ ρ

ρ ρρ ρ φ ρ ρ φρ ρ

ρρ ρ

Δ rarr+

Δ rarr

Δ rarr

rArr sdotΔ

Δ Δ Δ Δ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + + minus minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥Δ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦Δ Δ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥Δ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

part ⎡ ⎤= ⎣ ⎦part

intint

娛樂一下用上述方式把圓柱的 Fsdotnabla 裡的z

FF z

partpart

+partϕρϕ1

變出來

球座標的nabla和 Fsdotnabla 也可以試試看

補充習題

H M Scheydiv grad curl and all that 4th edition

第二章習題 6 8 9 10 11 14 15 16 18 19 21 22 23 25 26 27

第三章習題 2 3 5 6 7 8 9 10 11 14 15 17 18 19 24

4-54

物理量「做功」是最標準的線積分之一力 F 自 x = a 至 x = b「沿線」

x 軸做功

W＝ F dxsdotint ＝ ( )b

xaF x dxint （4-93）

質點在力場 )(rF 裡走一條曲線 C則力場做功

CW F d= sdotint （4-94）

還記得如果 ( )F r 是所謂「保守力」則上式只與始末點有關而與

路徑無關但如果 ( )F r 是所謂「非保守力」則做功與確實的路徑 C

有關

現考慮一質點在空間運動的位置 r 落在由曲線 C

描述的路徑則質點的位移元素與曲線 C 的路徑元

素相同 d dr= 若空間有向量場 A 分佈則 A 在 C 的

路徑積分以直角座標表示為

CA drarr rarrsdotint ＝

CA d rrarr rarrsdotint ＝ ( )x y zC

A dx A dy A dz+ +int （4-95）

上式中的 x y z 的積分限由 C 決定

Ex49 2 2 2ˆ ˆ ˆA xx yy zzrarr= + + 選定一路徑 C 為曲線

2y x= 由 (000)到 (2 20)的部分求C

A dsdotint

解 ˆ ˆd xdx ydy= +∵

CA dsdotint ＝ 2 2( )

Cx dx y dy+int ＝

2 22 2

0 0x dx y dy+int int

＝ )24(32

+

或由 2y x= rArr 2ydy dx= 2 12

y dy xdxrArr =

rArrC

A dsdotint ＝2 2

0

1( )2

x x dx+int ＝2 (4 2)3

+

4-55

ex50 ˆ ˆ( )f x y z xy yx= minus Do C

f dsdotint 其中的路徑 C 為一逆時針三角

形如圖 解∵路徑全部在 x-y 平面 ˆ ˆ ˆd td xdx ydy= = +

rArrC

f dsdotint ＝ x yC

f dx f dy+int ＝C

ydx xdyminusint

由於在 C1 上 y = 0 及 dy = 0 所以 01

=intC 又由於在

C3 上 x = 0 及 dx =0所以 03

=intC 所以只剩下 C2 可

能有貢獻由 2C 的方程式x + y =1rArr ⎩⎨⎧

minus=minus=

xyyx

11

rArr2Cydx xdyminusint ＝

0 1

1 0(1 ) (1 )x dx y dyminus minus minusint int ＝

0 12 2

1 0

( ) ( )2 2x yx yminus minus minus ＝-1

Cf dsdotint ＝-1

ex51 ( )f x y zrarr

= 2ˆ ˆxx yxyminus 如右圖doC

f dsdotint 其

中路徑 C 為第一象限的逆時針 14 圓弧

解∵ 全部在 x-y 平面 ˆ ˆd xdx ydy= +

Cf dsdotint ＝ 2

Cx dx xydyminusint

由於在 C 上 cosx R ϕ= rArr sindx R dϕ ϕ= minus

siny R ϕ= rArr cosdy R dϕ ϕ=

rArr 2

Cx dx xydyminusint ＝

2 2 2 2

0cos ( sin ) sin cos cosR R d R R d

πϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕminus minus sdotint

23 2

02 cos sinR d

πϕ ϕ ϕ= minus int ＝

323Rminus

又路徑為圓周一部份所以適合用極座標表示

ˆd Rdϕ ϕ= 又由左圖將 ˆ ˆx y 拆解（投影）到 ˆˆr ϕ

ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆcos sin sin cosx r y rϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ= minus = +

4-56

( )2ˆ ˆ ˆˆ ˆ( cos sin ) ( sin cos )C C

f d r x r xy Rdϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕsdot = minus minus + sdotint int 2

2 2 2

0

sin (cos )

sin ( cos ) (cos ) cos sin

Cx Rd xyRd

R Rd R Rdπ

ϕ ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ

= minus minus

= minus minus

intint

23 2

02 cos sinR d

πϕ ϕ ϕ= minus int ＝

323Rminus

這也驗證了散度定理

Path Independence 路徑獨立性

Ex52 證明庫倫力為「保守力」考慮

電荷 q0 位於原點及電荷 q 位於

( )r x y zrarr= q 受力 F

rarr＝ 0

20

14

qq urπε

and

求庫侖力作功因為球形對稱所以

用球座標由 ˆ ˆ ru rr

= = rArr Frarr

= 03

04qq r

rπε

庫侖力由 P1 至 P2 做功為 2

1

P

CPF drarrsdotint ＝

2

1

02

0

ˆ ˆ ˆˆ sin4

P

PC

qq r rdr rd r dr

θ θ ϕ θ ϕπε

⎡ ⎤sdot + +⎣ ⎦int ＝2

1

02

04P

P

qq drrπεint

＝20

2104

r

r

qq drrπε int ＝ 0

0 1 2

1 1( )4qq

r rπεminus for all C

所以庫侖力兩點間做功與路徑無關rArr保守力

對於「保守力 conservative force」 cF 自 p1 經

由兩條不同的路徑 C1 與 C2 到達 p2

1 ccF drarrsdotint ＝

2 ccF drarrsdotint ＝-

2 ccF drarr

minussdotint

rArr1 2c cc cF d F drarr rarr

minussdot + sdotint int = cF d

rarrsdotint ＝0 (4-96）

對於任何「封閉路徑」保守力做功為 0反之若

對任一封閉路徑 0F drarrsdot neint 則兩點之間的做功與路徑有關

rarr

F 為「非

保守力」

4-57

旋度 curl Anablatimes 的幾何物理意義

我們在（4-70）式已經看過旋度的計算方式但旋度另有其意義的

ex53 給定向量場2 2

0ˆ yv yv e λrarr

minus= 左圖為場的分佈

2 20

ˆ ˆ ˆ

0 0x y z

y

x y zcurl v

v e λ

rarr

minus

= part part part ＝ ˆ ˆ ˆ0 0 0 0x y zsdot minus sdot + sdot =

我們用了簡寫 x yx ypart part

part equiv part equivpart part

可以看出這個場裡沒有「漩渦」

但是有無「漩渦」有時也不是那麼明顯可以看出的請見下一個例子

Ex54 給定向量場2 2

0ˆ xv yv e λrarr

minus= 計算其旋度 vnablatimes

解向量場 vrarr

畫在右邊你看得出有無漩渦

先計算旋度

2 20

ˆ ˆ ˆ

0 0x y z

x

x y zcurl v

v e λ

rarr

minus

= part part part2 2

2 2

0

0

ˆ

ˆ 2 0 0

x

x

z v ex

z v xe for x

λ

λ

minus

minus

part=

part

= minus ne ne

vrarr

的旋度在大部分的地方不為 0 且隨位置而不同但是你看得出這個

向量場裡有「漩渦」其實要檢驗一個向量場裡有無「漩渦」有一

個很物理的方法就是放一個小「螺旋槳」（左圖）

在場內將軸朝各個方向測試一

下如果有「漩渦」的話這個

小「螺旋槳」就會轉動右圖就是將「螺旋槳」的

軸平行於 z 軸且放在 x gt 0 的地方就可以看出左

邊的 v 場比右邊的強造成螺旋槳順時針轉動rArrcurlv zminus for x gt 0

但如果放在 x = 0 的地方就會看到左右兩端的 v 場強度相同而且

4-58

curlv = 0 「螺旋槳」放在 x lt 0 的地方就可以看出右邊的v 場比左

邊的強造成螺旋槳逆時針轉動這完全符合 curl v k+ 的結果

環路積分與旋度 curl 的物理意義

如同「散度」一樣「旋度」除了 Ftimesnabla 之外

還有一個物理意義更清楚的定義這個定義由

「線積分」說明如圖考慮做「逆時針」長方形

路徑 C1 的一個「環路積分」C1 面平行於 x-y 平

面由 z-軸看下去環路 C1 可以分為可以分為

下 CB上 CT右 CR左 CL 4 部分

CA drarrsdotint ＝

B T L RC C C CA d A d A d A drarr rarr rarr rarrsdot + sdot + sdot + sdotint int int int

分別計算由於 CB 的中點座標為 ( )2yx y zΔ

minus

ˆB BC C

A d A xdxrarr rarrsdot = sdot =int int

BxC

A dxint ( )2xyA x y z xΔ

asymp minus Δ

similarly 由於 CT 的中點座標為 ( )2yx y zΔ

+

ˆ( )T TC C

A d A xdxrarr rarrsdot = sdot minus =int int

TxC

A dxminusint ( )2xyA x y z xΔ

asymp minus + Δ

合併 CB 與 CT

B TC CA drarr

+sdot =int

( ) ( )2 2x xy yA x y z A x y z

x yy

Δ Δ⎡ ⎤minus + minus minus⎢ ⎥⎣ ⎦ Δ ΔΔ

（4-97）

由 C1 所圍的面積 S x yΔ = Δ Δ

1B TC C

A dS

rarr

+sdot =

Δ int( ) ( )

2 2x xy yA x y z A x y z

y

Δ Δ⎡ ⎤minus + minus minus⎢ ⎥⎣ ⎦Δ

（4-98）

所以當取極限 C1 收縮到中心(xyz)時 SΔ 收縮到 0ie

4-59

0limsΔ rarr

1B TC C

A dS

rarr

+sdot =

Δ int xAy

partminuspart

（4-99）

Similarly with CR 的 ˆd ydy= CL 的 ˆd ydy= minus 可得

1L RC C

A dS

rarr

+sdot =

Δ int x

zyxxFzyxxF yy

Δ

Δminusminus

Δ+ )

2()

2(

（4-100）

同樣的當取極限 C1 收縮到中心(xyz)時 SΔ 收縮到 0

0

limsΔ rarr

1L RC C

A dS

rarr

+sdot =

Δ int yAx

partpart

（4-101）

最後合併 CBCTCRCL 為 C1

10

1limCs

A ds

rarr

Δ rarrsdot =

Δ int y xA Ax y

part partminus

part partˆ ( ) ( )zz A A= sdot nablatimes = nablatimes （4-102）

注意 C1 的方向就是在 z 上式的重要

意義是當向量場 A 在一個以點(xyz)為

中心「方向為 z 」的面積元素的「邊界」

所做的環路積分得到的就是 A 在(xyz)

處旋度的 z-分量明顯的只有當 A 在

(xyz)附近有 x-y 平面上的「漩渦」那麼 C1 的環路積分才不會為 0

Similarly 取一個逆時針繞著(xyz)的平行於 x-z 平面的長方形環路 C2

（左圖）做環路積分再取極限將 C2 收縮到(xyz)就會得到

20

1limCs

A ds

rarr

Δ rarrsdot =

Δ int x zA Az x

part partminus

part partˆ ( ) ( )yy A A= sdot nablatimes = nablatimes （4-103）

注意到 C2 所包圍的面積方向就在 y到

現在我們應該已經很有經驗了若取一

個逆時針繞著(xyz)的平行於 y-z 平面

的長方形環路 C3（左圖）做環路積分

再取極限將 C3 收縮到(xyz)就會得到

4-60

30

1limCs

A ds

rarr

Δ rarrsdot =

Δ int yz AAy z

partpartminus

part partˆ ( ) ( )xx A A= sdot nablatimes = nablatimes （4-104）

能把（4-103）與（4-104）變出來的同學我們有優待綜合以上

我們可以得到一個結論若取一個以點(xyz)為中心的任意環路 Cn（其

所包圍的面積方向在 n ）則

n curl Aand rarrsdot ＝

0

1lims

Cn

A ds

rarr

Δ rarrsdot

Δ int （4-105）

明顯的當 n ＝ x 或 y 或 z 時我們可以重複（4-102）到（4-104）的

結果（4-70）式的行列式所定義的旋度在此看見其幾何物理意義

至此「旋度」的「漩渦」形象應該已經很清楚了只有在(xyz)點附

近的小圈圈上有「漩渦」 A 在小圈圈做的環路積分才會有值這個

值就是向量場 A 的「旋度」在小圈圈面積方向的分量

Stokersquos 定理

考慮一個開放面 S被其「有方向的」邊界 C 圈住(bounded by)則

( )S

A dsrarr rarrnablatimes sdotint ＝

C

A drarrsdotint （4-106）

pf 先將 S 面分割為 N 個多邊形這會使得邊界變成一個「折線」形

成的環路 P環路 P 會隨著分割的多邊形個數的增多而越加近似於原

「光滑的」邊界 C現考慮相鄰的

兩個多邊形的線積分由於共用邊

的方向是相反的所以相鄰兩個多

邊形線積分的和只剩「外邊界」（見左圖）所以當把所有的多邊形的

4-61

線積分加起來時由於只有邊界 P 不是多邊形的共用邊所以

1k

N

k C

A drarr

=

sdotsum int ＝P

A drarrsdotint rArr

P

A drarrsdotint ＝

1

1

k

N

kk k C

A d l ss

rarr rarr

=

⎡ ⎤sdot Δ⎢ ⎥

Δ⎢ ⎥⎣ ⎦sum int

其中 ksΔ 為第 k 個多邊形的面積取極限 0kN srarrinfinrArrΔ rarr P CrArr rarr

C

A drarrsdotint ＝

10

1limkk

N

kN k k Cs

A d ss

rarr

rarrinfin=Δ rarr

⎡ ⎤sdot Δ⎢ ⎥

Δ⎢ ⎥⎣ ⎦sum int 01

ˆlim ( )k

k kskn A s

infin

Δ rarr=

⎡ ⎤= sdot nablatimes Δ⎣ ⎦sum

01

ˆlim ( )k

k kskA n s

infin

Δ rarr=

= nablatimes sdot Δsum = ( )S

A dsrarr

nablatimes sdotint QED

ex55 由 Amperersquos law 的積分形式導出其微分形式

解Amperersquos law 的積分形式 C

B drarrsdotint ＝ I0μ (4-107)

由 Stokersquos 定理及電流密度 j 的定義上式等號兩端可寫為

rArr ( )S

B dsrarr rarrnablatimes sdotint ＝ 0 S

j dsμrarrsdotint

由於上面的等式對任意面 S（路徑 C）都成立所以被積函數相等

0B jμrarr rarr rarr

rArrnablatimes = (4-108) 此即 Amperersquos law 的微分形式

Ex56 Given a vector field ˆ ˆx yA ye xe= minus + (a) Find Anablatimes

解

ˆ ˆ ˆˆ ˆ(1 ( 1) 2

0x y z

x y zA z z

y xnablatimes = part part part = minus minus =

minus

(b)如圖一個金字塔狀的 5 面體高 2底邊長＝1計算 ( )S

A dsnablatimes sdotint

其中 S 為金字塔在 x-y 平面以上的部分方向如同

封閉的金字塔（運用 Stokersquos law）

解金字塔上表面的面積元素ds 不好寫由 Stokersquos

4-62

law ( )S

A dsrarr rarrnablatimes sdotint ＝

C

A drarrsdotint 其中封閉路徑 C 就是上表面的邊界而且

是逆時針（由 z 軸向下看）

C

A drarrsdotint ＝

1 1 0 0

0 0 1 1ˆ ˆ ˆ ˆA xdx A ydy A xdx A ydysdot + sdot + sdot + sdotint int int int

＝1 1 0 0

0 0 1 1x y x yA dx A dy A dx A dy+ + +int int int int 1 1 0 0

0 0 1 1( 0) ( 1) ( 1) ( 0)y dx x dy y dx x dy= minus = + = + minus = + =int int int int

0 1 1 0 2 ( ) 2S

A ds= + + + = rArr nablatimes sdot =int

旋度與 path independence

已知保守場 cF 對所有封閉路徑 C 0cC

F drarrsdot =int 由 Stokersquos 定理

0cC

F drarrsdot =int ＝ ( )cS

F dsrarr rarrnablatimes sdotint rArr 0cF

rarr rarrnablatimes =

這表示保守場＝無旋度反之無旋度的場任兩點間路徑積分與路

徑無關

Ex57 Given a field 2 2ˆ ˆ ˆ2A x xy yx zz= + minus (a) Find Anablatimes A 保守場

解2 2

ˆ ˆ ˆ

2x y z

x y zA

xy x znablatimes = part part part

minus

( ) ( ) ( )2 2 2 2ˆ ˆ ˆ( ) 2 ( ) 2 0y z z x x yx z x y xy z z x xy= part minus minuspart + part minuspart minus + part minuspart =

yes A =保守場

(b)如左圖由 A 到 B 做路徑積分A BC

A drarr

sdotint 路徑 C 為橢圓

22 1

16yx + = 在 x-軸以上的部分

解橢圓部分的路徑元素 d 有點麻煩但因為 A

為保守場所以 A 到 B 做路徑積分可以用 x = -1 到

1 的積分取代

4-63

01 1 1

1 1 1ˆ 2 0

yB

xAA d A xdx A dx xydx

=

minus minus minussdot = sdot = = =int int int int

∵

旋度在柱座標與球座標

前面討論過nabla在不同座標系的寫法旋度也有歸納出的一致寫法

座標 1 2 3 u u u

度量係數

1 2 3 h h h

nabla grad del

直角 x y z

1 1 1 nabla ˆ ˆ ˆx y z

x y zpart part part

equiv + +part part part

圓柱 zρ ϕ

1 1ρ

1ˆ ˆ ˆ zz

ρ ϕρ ρ ϕpart part part

nabla equiv + +part part part

球 r θ ϕ

1 sinr r θ

1 1ˆ ˆˆ sin

rr r r

θ ϕθ θ ϕ

part part partnabla = + +

part part part

所以柱座標與球座標的旋度分別表為

柱座標

ˆ ˆ ˆ1

z

z

Az

AA Aρ ϕ

ρ ρϕ

ρ ρ ϕρ

part part partnablatimes =

part part part （4-109）

球座標 2

ˆ ˆˆ sin1sin

sinr

r r r

Ar r

A rA r Aθ ϕ

θ θϕ

θ θ ϕθ

part part partnablatimes =

part part part （4-110）

ex58 (a) Given the vector function ˆA ϕ= sin (ϕ 2) find Anablatimes

解 2

ˆ ˆˆ sin1sin

0 sin( 2) 0

r r r

Ar r

r

θ θϕ

θ θ ϕϕ

part part partnablatimes =

part part part

4-64

21 ˆˆ cos sin sinsin 2 2 2

rr rr

ϕ ϕθϕθ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

ˆˆ cos sin2 sin 2 2

rr r

ϕ ϕ ϕθ

minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

(b)如左圖一個底面在 x-y 平面半徑＝1高＝2 之圓錐 求面積分

SA dsnablatimes sdotint 面積範圍 S 為圓錐在 x-y 平面以上

部分 方向為由圓錐內向外

解由 Stokersquos law ( )S

A dsrarr rarrnablatimes sdotint ＝

C

A drarrsdotint 其中路

徑 C 為 x-y 平面圓心在原點之單位圓 ˆ ˆd rd dϕ ϕ ϕ ϕ= =

2

0ˆ ˆsin sin

2 2C

d dπϕ ϕϕ ϕ ϕ ϕ⎛ ⎞ ⎛ ⎞sdot =⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠int int ( )0

2 sin u duπ

= int 0cos | 2u π= minus =

習題 16 磁場 B 因為不是保守場所以沒有對應的純量位而對應一

個向量位 A (vector potential)而 B A= nablatimes 一個磁鐵的磁偶極矩

ˆm mz= 被置於原點已知在遠處的 vector potential 03ˆ sin

4mAr

μϕ θπ

=

計算該處的磁場 B Ans 03

ˆˆ( 2cos sin )4

mB rr

μ θ θ θπ

= + 與電偶極遠處

的電場形式一致都是偶極(dipole) 選幾個點畫一畫該處的場向量

把磁力線描出來

附錄本章講義的內容有部分可以經由直接計算得出列在附錄做為

參考

用「圓柱座標」寫 Atimesnabla

Ararr rarrnablatimes ＝ ( )1ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ zz A A zA

z ρ φρ ϕ ρ ϕρ ρ ϕpart part part⎛ ⎞+ + times + +⎜ ⎟part part part⎝ ⎠

4-65

因為rdquo sdotrdquo與rdquotimes rdquo都是向量間的運算所以

＝ ( )ˆ ˆ ˆ ˆ zA A zAρ φρ ρ ϕρpart

times + +part

＋ ( )1ˆ ˆ ˆ ˆ zA A zAρ φϕ ρ ϕρ ϕ

parttimes + +

part

＋ ( )ˆ ˆˆ ˆ zz A A zAz ρ φρ ϕpart

times + +part

直接做上式微分可以得到

＝1ˆ z AA

zϕρ

ρ ϕpart⎛ ⎞part

minus⎜ ⎟part part⎝ ⎠＋ ˆ zA A

zρϕ

ρpart⎛ ⎞part

minus⎜ ⎟part part⎝ ⎠＋

1 1ˆ ( )A

z A ρϕρ

ρ ρ ρ ϕpart⎛ ⎞part

minus⎜ ⎟part part⎝ ⎠

上式可以用一個行列式來表示

rarrrarr

timesnabla A＝

ˆ ˆ ˆ1

z

z

zA A Aρ ϕ

ρ ρϕ

ρ ρ ϕρ

part part partpart part part

（A-1）

A and Anabla nablasdot nablatimes in 球座標 spherical coordinate

如上圖球座標 )( ϕθr 其中 )0[ infinisinr ]0[ πθ isin ]20[ πϕ isin 只有 r

是長度而 ϕθ 為角度是用來說明方向的三個座標的單位向量 ˆ ˆˆ r θ ϕ 具

有下列性質

4-66

1 如上圖 ˆ ˆˆ r θ ϕ 都不是常數而是（ ϕθ ）的函數

ˆ ˆ( )ˆ ˆ( )ˆ ˆ( )

r r θ ϕ

θ θ θ ϕϕ ϕ ϕ

⎧ =⎪

=⎨⎪ =⎩

)( ϕθr 與(xyz)之間的轉換如下

sin cossin sincos

x ry rz r

θ φθ φθ

=⎧⎪ =⎨⎪ =⎩

( )122 2 2

2 2

tan

tan

r x y z

x yz

yx

θ

φ

⎧ = + +⎪⎪ +⎪ =⎨⎪⎪ =⎪⎩

（A-2）

2 ˆ ˆˆ r θ ϕ 形成一「歸一正交集」ie

ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ 1r r θ θ ϕ ϕsdot = sdot = sdot = ˆ ˆr θ ϕperp perp

ˆ ˆr θ ϕtimes = ˆ ˆ rθ ϕtimes = ˆˆ rϕ θtimes = （A-3）

3可以很容易的由他們在 xyz 軸上的投影由直角

座標的 ˆ ˆ ˆ x y z 表出

ˆ ˆ ˆ ˆsin cos sin sin cos ( 4 )ˆ ˆ ˆ ˆcos cos cos sin sin ( 4 )ˆ ˆ ˆsin cos ( 4 )

r x y z A a

x y z A bx y A c

θ φ θ φ θ

θ θ φ θ φ θϕ φ φ

= + + minus⎧⎪

= + minus minus⎨⎪ = minus + minus⎩

4 ˆdr = 由於 ˆ ˆ( )r r θ φ= 所以由 ϕθ 的變動來看

4-67

ˆ ˆˆ| |ˆ ˆˆ| | sin sin

d r d d

d r d d

θ θθ θθ

φ θ φφ θ φφ

⎧ rArr =⎪⎨

rArr =⎪⎩rArr ˆ ˆˆ sindr d dθ θ φ θ φ= + （A-5）

rArrˆ ˆr θθpart

=part

ˆ ˆsinr θφφpart

=part

（A-6）

（A-6）的結果也可以直接由（A-4a）對 ϕθ 偏微得到

5 ˆdθ ＝ 由於 ˆ ˆ( )θ θ θ φ= 所以由 ϕθ 的變動來看

ˆ ˆ ˆ| | ( )ˆ ˆ ˆ| | cos cos

d d r d r

d d d

θ θ θ θ

φ θ θ φφ φ θ φ

⎧ rArr minus = minus⎪⎨

rArr =⎪⎩rArr ˆdθ ＝ ˆˆ cosrd dθ φ θ φminus + （A-7）

ˆrθ

θpart

rArr = minuspart

ˆ ˆcosθ φ θφpart

=part

（A-8）

請直接由（A-4b）對 ϕθ 偏微的結果 check（A-8）

6 ˆdφ ＝由於φ )(ϕ 躺在 x-y 平面上變動φ時的方向可能不是那麼

容易看出來所以做圖看一看

ie ˆ ˆˆ(sin ) (cos )d r d dφ θ φ θ θ φ= minus minus （A-9）

4-68

ˆ ˆˆsin cosrφ θ θ θφpart

= minus minuspart

7 所有的向量 ˆ ˆˆ rA rA A Aθ φθ φrarr= + +

8 位置向量 ˆr rrrarr=

可以由左圖 ˆ ˆˆ r θ ϕ 三個方向的「長度

變化」輕易的看出

9 位移元素

ˆ ˆˆ ˆ sindr rdr rd dθ θ ϕ θ φ= + + (A-10)

10 體積元素

sindv dr r d rdθ φ θ= sdot sdot

＝ 2 sinr dr d dθ θ φ (A-11)

11 面積元素 2 sinrds r d dθ θ φ= plusmn sinds r drdθ θ φ= plusmn ds rdrdφ θ= plusmn (A-12)

plusmn號表示面的垂直方向有兩個端看 ds 周邊的方向是如何定的

nabladel 考慮 ( )u u r θ φ=

rArru u udu dr d dr

θ φθ φ

part part part= + +part part part

u d rrarr rarr

equiv nabla sdot

urarr

= nabla sdot ˆ ˆˆ( sin )rdr rd dθ θ φ θ φ+ +

rArr1 1ˆ ˆˆ

sinu u uu rr r r

θ ϕθ θ φ

rarr part part partnabla = + +

part part part

1 1ˆ ˆˆsin

rr r r

θ ϕθ θ φ

rarr part part partnabla equiv + +

part part part （A-13）

4-69

直接用（A-13）與 ˆ ˆˆ rA rA A Aθ φθ ϕrarr= + + 逐項內積加上（A-678）

rArr ϕθ

θθθ

ϕθ part

part+

partpart

+partpart

=sdotnablararrrarr A

rA

rAr

rrA r sin

1)(sinsin1)(1 2

2 （A-14）

（A-13）與 ϕθ ϕθ AAArA r

andandandrarr

++= 逐項外積整理之後

ϕθ θϕθ

ϕθθ

θArrAA

r

rrr

rA

r sin

sin

sin1

2 partpart

partpart

partpart

=timesnabla

andandand

rarrrarr

（A-15）

Laplacian uu nablasdotnabla=nabla2

2

2

2222

22

sin1)(sin

sin1)(1

ϕθθθ

θθ partpart

+partpart

partpart

+partpart

partpart

=nablau

ru

rrur

rru （A-16）

B推導「散度」在圓柱座標的寫法

讓我們先回顧一下在直角座標裡的「面積元素」可以由「位移元素」

得到

ˆˆ ˆ x y zdr idx jdy kdz da dydz dxdz dxdy= + + rArr =

比照辦理「圓柱座標」的位移元素

( )ˆˆ ˆ( )

( )z

da d dzdr d d zdz da d dz

da d d

ρ

φ

ρ φ

ρ ρ φ ρ φ ρ

ρ ρ φ

=⎧⎪= + + rArr =⎨⎪ =⎩

這個結論可以輕易的由面積元素在垂直於 zˆˆ ϕρ 三個方向的面積看

出如下圖考慮一個以 )( zϕρ 為中心的「圓柱體積元素」(cylindrical

cubiod)體積為 zdV ΔΔ=Δ ϕρρ 現計算在 ρ

方向的 12 兩個平行面(方向各為 ρplusmn )的通

量

4-70

zzF

dsFdsnFS S

ΔΔ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

+cong

=sdotintint intintϕρρϕρρρ

ρ

2

2

ˆ1 1

zzF

dsFdsnFS S

ΔΔ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

minus⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

minusminuscong

minus=sdotintint intintϕρρϕρρρ

ρ

2

2

ˆ2 2

intint+

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

minus⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

minusminus⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

+Δ

asympsdotΔ

rArr21

22

22

1ˆ1

SS

zFzFdsnFV

ϕρρρρϕρρρρρρ ρρ

( ) ( )

1 20

0

0

1 ˆlim

1lim 2 2 2 2

1 1lim 2 2

1

VS S

F ndsV

F z F z

F z F z

F

ρ ρρ

ρ ρρ

ρ

ρ ρ ρ ρρ ρ φ ρ ρ φρ ρ

ρ ρρ ρ φ ρ ρ φρ ρ

ρρ ρ

Δ rarr+

Δ rarr

Δ rarr

rArr sdotΔ

Δ Δ Δ Δ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + + minus minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥Δ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦Δ Δ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥Δ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

part ⎡ ⎤= ⎣ ⎦part

intint

娛樂一下用上述方式把圓柱的 Fsdotnabla 裡的z

FF z

partpart

+partϕρϕ1

變出來

球座標的nabla和 Fsdotnabla 也可以試試看

補充習題

H M Scheydiv grad curl and all that 4th edition

第二章習題 6 8 9 10 11 14 15 16 18 19 21 22 23 25 26 27

第三章習題 2 3 5 6 7 8 9 10 11 14 15 17 18 19 24

4-55

ex50 ˆ ˆ( )f x y z xy yx= minus Do C

f dsdotint 其中的路徑 C 為一逆時針三角

形如圖 解∵路徑全部在 x-y 平面 ˆ ˆ ˆd td xdx ydy= = +

rArrC

f dsdotint ＝ x yC

f dx f dy+int ＝C

ydx xdyminusint

由於在 C1 上 y = 0 及 dy = 0 所以 01

=intC 又由於在

C3 上 x = 0 及 dx =0所以 03

=intC 所以只剩下 C2 可

能有貢獻由 2C 的方程式x + y =1rArr ⎩⎨⎧

minus=minus=

xyyx

11

rArr2Cydx xdyminusint ＝

0 1

1 0(1 ) (1 )x dx y dyminus minus minusint int ＝

0 12 2

1 0

( ) ( )2 2x yx yminus minus minus ＝-1

Cf dsdotint ＝-1

ex51 ( )f x y zrarr

= 2ˆ ˆxx yxyminus 如右圖doC

f dsdotint 其

中路徑 C 為第一象限的逆時針 14 圓弧

解∵ 全部在 x-y 平面 ˆ ˆd xdx ydy= +

Cf dsdotint ＝ 2

Cx dx xydyminusint

由於在 C 上 cosx R ϕ= rArr sindx R dϕ ϕ= minus

siny R ϕ= rArr cosdy R dϕ ϕ=

rArr 2

Cx dx xydyminusint ＝

2 2 2 2

0cos ( sin ) sin cos cosR R d R R d

πϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕminus minus sdotint

23 2

02 cos sinR d

πϕ ϕ ϕ= minus int ＝

323Rminus

又路徑為圓周一部份所以適合用極座標表示

ˆd Rdϕ ϕ= 又由左圖將 ˆ ˆx y 拆解（投影）到 ˆˆr ϕ

ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆcos sin sin cosx r y rϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ= minus = +

4-56

( )2ˆ ˆ ˆˆ ˆ( cos sin ) ( sin cos )C C

f d r x r xy Rdϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕsdot = minus minus + sdotint int 2

2 2 2

0

sin (cos )

sin ( cos ) (cos ) cos sin

Cx Rd xyRd

R Rd R Rdπ

ϕ ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ

= minus minus

= minus minus

intint

23 2

02 cos sinR d

πϕ ϕ ϕ= minus int ＝

323Rminus

這也驗證了散度定理

Path Independence 路徑獨立性

Ex52 證明庫倫力為「保守力」考慮

電荷 q0 位於原點及電荷 q 位於

( )r x y zrarr= q 受力 F

rarr＝ 0

20

14

qq urπε

and

求庫侖力作功因為球形對稱所以

用球座標由 ˆ ˆ ru rr

= = rArr Frarr

= 03

04qq r

rπε

庫侖力由 P1 至 P2 做功為 2

1

P

CPF drarrsdotint ＝

2

1

02

0

ˆ ˆ ˆˆ sin4

P

PC

qq r rdr rd r dr

θ θ ϕ θ ϕπε

⎡ ⎤sdot + +⎣ ⎦int ＝2

1

02

04P

P

qq drrπεint

＝20

2104

r

r

qq drrπε int ＝ 0

0 1 2

1 1( )4qq

r rπεminus for all C

所以庫侖力兩點間做功與路徑無關rArr保守力

對於「保守力 conservative force」 cF 自 p1 經

由兩條不同的路徑 C1 與 C2 到達 p2

1 ccF drarrsdotint ＝

2 ccF drarrsdotint ＝-

2 ccF drarr

minussdotint

rArr1 2c cc cF d F drarr rarr

minussdot + sdotint int = cF d

rarrsdotint ＝0 (4-96）

對於任何「封閉路徑」保守力做功為 0反之若

對任一封閉路徑 0F drarrsdot neint 則兩點之間的做功與路徑有關

rarr

F 為「非

保守力」

4-57

旋度 curl Anablatimes 的幾何物理意義

我們在（4-70）式已經看過旋度的計算方式但旋度另有其意義的

ex53 給定向量場2 2

0ˆ yv yv e λrarr

minus= 左圖為場的分佈

2 20

ˆ ˆ ˆ

0 0x y z

y

x y zcurl v

v e λ

rarr

minus

= part part part ＝ ˆ ˆ ˆ0 0 0 0x y zsdot minus sdot + sdot =

我們用了簡寫 x yx ypart part

part equiv part equivpart part

可以看出這個場裡沒有「漩渦」

但是有無「漩渦」有時也不是那麼明顯可以看出的請見下一個例子

Ex54 給定向量場2 2

0ˆ xv yv e λrarr

minus= 計算其旋度 vnablatimes

解向量場 vrarr

畫在右邊你看得出有無漩渦

先計算旋度

2 20

ˆ ˆ ˆ

0 0x y z

x

x y zcurl v

v e λ

rarr

minus

= part part part2 2

2 2

0

0

ˆ

ˆ 2 0 0

x

x

z v ex

z v xe for x

λ

λ

minus

minus

part=

part

= minus ne ne

vrarr

的旋度在大部分的地方不為 0 且隨位置而不同但是你看得出這個

向量場裡有「漩渦」其實要檢驗一個向量場裡有無「漩渦」有一

個很物理的方法就是放一個小「螺旋槳」（左圖）

在場內將軸朝各個方向測試一

下如果有「漩渦」的話這個

小「螺旋槳」就會轉動右圖就是將「螺旋槳」的

軸平行於 z 軸且放在 x gt 0 的地方就可以看出左

邊的 v 場比右邊的強造成螺旋槳順時針轉動rArrcurlv zminus for x gt 0

但如果放在 x = 0 的地方就會看到左右兩端的 v 場強度相同而且

4-58

curlv = 0 「螺旋槳」放在 x lt 0 的地方就可以看出右邊的v 場比左

邊的強造成螺旋槳逆時針轉動這完全符合 curl v k+ 的結果

環路積分與旋度 curl 的物理意義

如同「散度」一樣「旋度」除了 Ftimesnabla 之外

還有一個物理意義更清楚的定義這個定義由

「線積分」說明如圖考慮做「逆時針」長方形

路徑 C1 的一個「環路積分」C1 面平行於 x-y 平

面由 z-軸看下去環路 C1 可以分為可以分為

下 CB上 CT右 CR左 CL 4 部分

CA drarrsdotint ＝

B T L RC C C CA d A d A d A drarr rarr rarr rarrsdot + sdot + sdot + sdotint int int int

分別計算由於 CB 的中點座標為 ( )2yx y zΔ

minus

ˆB BC C

A d A xdxrarr rarrsdot = sdot =int int

BxC

A dxint ( )2xyA x y z xΔ

asymp minus Δ

similarly 由於 CT 的中點座標為 ( )2yx y zΔ

+

ˆ( )T TC C

A d A xdxrarr rarrsdot = sdot minus =int int

TxC

A dxminusint ( )2xyA x y z xΔ

asymp minus + Δ

合併 CB 與 CT

B TC CA drarr

+sdot =int

( ) ( )2 2x xy yA x y z A x y z

x yy

Δ Δ⎡ ⎤minus + minus minus⎢ ⎥⎣ ⎦ Δ ΔΔ

（4-97）

由 C1 所圍的面積 S x yΔ = Δ Δ

1B TC C

A dS

rarr

+sdot =

Δ int( ) ( )

2 2x xy yA x y z A x y z

y

Δ Δ⎡ ⎤minus + minus minus⎢ ⎥⎣ ⎦Δ

（4-98）

所以當取極限 C1 收縮到中心(xyz)時 SΔ 收縮到 0ie

4-59

0limsΔ rarr

1B TC C

A dS

rarr

+sdot =

Δ int xAy

partminuspart

（4-99）

Similarly with CR 的 ˆd ydy= CL 的 ˆd ydy= minus 可得

1L RC C

A dS

rarr

+sdot =

Δ int x

zyxxFzyxxF yy

Δ

Δminusminus

Δ+ )

2()

2(

（4-100）

同樣的當取極限 C1 收縮到中心(xyz)時 SΔ 收縮到 0

0

limsΔ rarr

1L RC C

A dS

rarr

+sdot =

Δ int yAx

partpart

（4-101）

最後合併 CBCTCRCL 為 C1

10

1limCs

A ds

rarr

Δ rarrsdot =

Δ int y xA Ax y

part partminus

part partˆ ( ) ( )zz A A= sdot nablatimes = nablatimes （4-102）

注意 C1 的方向就是在 z 上式的重要

意義是當向量場 A 在一個以點(xyz)為

中心「方向為 z 」的面積元素的「邊界」

所做的環路積分得到的就是 A 在(xyz)

處旋度的 z-分量明顯的只有當 A 在

(xyz)附近有 x-y 平面上的「漩渦」那麼 C1 的環路積分才不會為 0

Similarly 取一個逆時針繞著(xyz)的平行於 x-z 平面的長方形環路 C2

（左圖）做環路積分再取極限將 C2 收縮到(xyz)就會得到

20

1limCs

A ds

rarr

Δ rarrsdot =

Δ int x zA Az x

part partminus

part partˆ ( ) ( )yy A A= sdot nablatimes = nablatimes （4-103）

注意到 C2 所包圍的面積方向就在 y到

現在我們應該已經很有經驗了若取一

個逆時針繞著(xyz)的平行於 y-z 平面

的長方形環路 C3（左圖）做環路積分

再取極限將 C3 收縮到(xyz)就會得到

4-60

30

1limCs

A ds

rarr

Δ rarrsdot =

Δ int yz AAy z

partpartminus

part partˆ ( ) ( )xx A A= sdot nablatimes = nablatimes （4-104）

能把（4-103）與（4-104）變出來的同學我們有優待綜合以上

我們可以得到一個結論若取一個以點(xyz)為中心的任意環路 Cn（其

所包圍的面積方向在 n ）則

n curl Aand rarrsdot ＝

0

1lims

Cn

A ds

rarr

Δ rarrsdot

Δ int （4-105）

明顯的當 n ＝ x 或 y 或 z 時我們可以重複（4-102）到（4-104）的

結果（4-70）式的行列式所定義的旋度在此看見其幾何物理意義

至此「旋度」的「漩渦」形象應該已經很清楚了只有在(xyz)點附

近的小圈圈上有「漩渦」 A 在小圈圈做的環路積分才會有值這個

值就是向量場 A 的「旋度」在小圈圈面積方向的分量

Stokersquos 定理

考慮一個開放面 S被其「有方向的」邊界 C 圈住(bounded by)則

( )S

A dsrarr rarrnablatimes sdotint ＝

C

A drarrsdotint （4-106）

pf 先將 S 面分割為 N 個多邊形這會使得邊界變成一個「折線」形

成的環路 P環路 P 會隨著分割的多邊形個數的增多而越加近似於原

「光滑的」邊界 C現考慮相鄰的

兩個多邊形的線積分由於共用邊

的方向是相反的所以相鄰兩個多

邊形線積分的和只剩「外邊界」（見左圖）所以當把所有的多邊形的

4-61

線積分加起來時由於只有邊界 P 不是多邊形的共用邊所以

1k

N

k C

A drarr

=

sdotsum int ＝P

A drarrsdotint rArr

P

A drarrsdotint ＝

1

1

k

N

kk k C

A d l ss

rarr rarr

=

⎡ ⎤sdot Δ⎢ ⎥

Δ⎢ ⎥⎣ ⎦sum int

其中 ksΔ 為第 k 個多邊形的面積取極限 0kN srarrinfinrArrΔ rarr P CrArr rarr

C

A drarrsdotint ＝

10

1limkk

N

kN k k Cs

A d ss

rarr

rarrinfin=Δ rarr

⎡ ⎤sdot Δ⎢ ⎥

Δ⎢ ⎥⎣ ⎦sum int 01

ˆlim ( )k

k kskn A s

infin

Δ rarr=

⎡ ⎤= sdot nablatimes Δ⎣ ⎦sum

01

ˆlim ( )k

k kskA n s

infin

Δ rarr=

= nablatimes sdot Δsum = ( )S

A dsrarr

nablatimes sdotint QED

ex55 由 Amperersquos law 的積分形式導出其微分形式

解Amperersquos law 的積分形式 C

B drarrsdotint ＝ I0μ (4-107)

由 Stokersquos 定理及電流密度 j 的定義上式等號兩端可寫為

rArr ( )S

B dsrarr rarrnablatimes sdotint ＝ 0 S

j dsμrarrsdotint

由於上面的等式對任意面 S（路徑 C）都成立所以被積函數相等

0B jμrarr rarr rarr

rArrnablatimes = (4-108) 此即 Amperersquos law 的微分形式

Ex56 Given a vector field ˆ ˆx yA ye xe= minus + (a) Find Anablatimes

解

ˆ ˆ ˆˆ ˆ(1 ( 1) 2

0x y z

x y zA z z

y xnablatimes = part part part = minus minus =

minus

(b)如圖一個金字塔狀的 5 面體高 2底邊長＝1計算 ( )S

A dsnablatimes sdotint

其中 S 為金字塔在 x-y 平面以上的部分方向如同

封閉的金字塔（運用 Stokersquos law）

解金字塔上表面的面積元素ds 不好寫由 Stokersquos

4-62

law ( )S

A dsrarr rarrnablatimes sdotint ＝

C

A drarrsdotint 其中封閉路徑 C 就是上表面的邊界而且

是逆時針（由 z 軸向下看）

C

A drarrsdotint ＝

1 1 0 0

0 0 1 1ˆ ˆ ˆ ˆA xdx A ydy A xdx A ydysdot + sdot + sdot + sdotint int int int

＝1 1 0 0

0 0 1 1x y x yA dx A dy A dx A dy+ + +int int int int 1 1 0 0

0 0 1 1( 0) ( 1) ( 1) ( 0)y dx x dy y dx x dy= minus = + = + minus = + =int int int int

0 1 1 0 2 ( ) 2S

A ds= + + + = rArr nablatimes sdot =int

旋度與 path independence

已知保守場 cF 對所有封閉路徑 C 0cC

F drarrsdot =int 由 Stokersquos 定理

0cC

F drarrsdot =int ＝ ( )cS

F dsrarr rarrnablatimes sdotint rArr 0cF

rarr rarrnablatimes =

這表示保守場＝無旋度反之無旋度的場任兩點間路徑積分與路

徑無關

Ex57 Given a field 2 2ˆ ˆ ˆ2A x xy yx zz= + minus (a) Find Anablatimes A 保守場

解2 2

ˆ ˆ ˆ

2x y z

x y zA

xy x znablatimes = part part part

minus

( ) ( ) ( )2 2 2 2ˆ ˆ ˆ( ) 2 ( ) 2 0y z z x x yx z x y xy z z x xy= part minus minuspart + part minuspart minus + part minuspart =

yes A =保守場

(b)如左圖由 A 到 B 做路徑積分A BC

A drarr

sdotint 路徑 C 為橢圓

22 1

16yx + = 在 x-軸以上的部分

解橢圓部分的路徑元素 d 有點麻煩但因為 A

為保守場所以 A 到 B 做路徑積分可以用 x = -1 到

1 的積分取代

4-63

01 1 1

1 1 1ˆ 2 0

yB

xAA d A xdx A dx xydx

=

minus minus minussdot = sdot = = =int int int int

∵

旋度在柱座標與球座標

前面討論過nabla在不同座標系的寫法旋度也有歸納出的一致寫法

座標 1 2 3 u u u

度量係數

1 2 3 h h h

nabla grad del

直角 x y z

1 1 1 nabla ˆ ˆ ˆx y z

x y zpart part part

equiv + +part part part

圓柱 zρ ϕ

1 1ρ

1ˆ ˆ ˆ zz

ρ ϕρ ρ ϕpart part part

nabla equiv + +part part part

球 r θ ϕ

1 sinr r θ

1 1ˆ ˆˆ sin

rr r r

θ ϕθ θ ϕ

part part partnabla = + +

part part part

所以柱座標與球座標的旋度分別表為

柱座標

ˆ ˆ ˆ1

z

z

Az

AA Aρ ϕ

ρ ρϕ

ρ ρ ϕρ

part part partnablatimes =

part part part （4-109）

球座標 2

ˆ ˆˆ sin1sin

sinr

r r r

Ar r

A rA r Aθ ϕ

θ θϕ

θ θ ϕθ

part part partnablatimes =

part part part （4-110）

ex58 (a) Given the vector function ˆA ϕ= sin (ϕ 2) find Anablatimes

解 2

ˆ ˆˆ sin1sin

0 sin( 2) 0

r r r

Ar r

r

θ θϕ

θ θ ϕϕ

part part partnablatimes =

part part part

4-64

21 ˆˆ cos sin sinsin 2 2 2

rr rr

ϕ ϕθϕθ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

ˆˆ cos sin2 sin 2 2

rr r

ϕ ϕ ϕθ

minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

(b)如左圖一個底面在 x-y 平面半徑＝1高＝2 之圓錐 求面積分

SA dsnablatimes sdotint 面積範圍 S 為圓錐在 x-y 平面以上

部分 方向為由圓錐內向外

解由 Stokersquos law ( )S

A dsrarr rarrnablatimes sdotint ＝

C

A drarrsdotint 其中路

徑 C 為 x-y 平面圓心在原點之單位圓 ˆ ˆd rd dϕ ϕ ϕ ϕ= =

2

0ˆ ˆsin sin

2 2C

d dπϕ ϕϕ ϕ ϕ ϕ⎛ ⎞ ⎛ ⎞sdot =⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠int int ( )0

2 sin u duπ

= int 0cos | 2u π= minus =

習題 16 磁場 B 因為不是保守場所以沒有對應的純量位而對應一

個向量位 A (vector potential)而 B A= nablatimes 一個磁鐵的磁偶極矩

ˆm mz= 被置於原點已知在遠處的 vector potential 03ˆ sin

4mAr

μϕ θπ

=

計算該處的磁場 B Ans 03

ˆˆ( 2cos sin )4

mB rr

μ θ θ θπ

= + 與電偶極遠處

的電場形式一致都是偶極(dipole) 選幾個點畫一畫該處的場向量

把磁力線描出來

附錄本章講義的內容有部分可以經由直接計算得出列在附錄做為

參考

用「圓柱座標」寫 Atimesnabla

Ararr rarrnablatimes ＝ ( )1ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ zz A A zA

z ρ φρ ϕ ρ ϕρ ρ ϕpart part part⎛ ⎞+ + times + +⎜ ⎟part part part⎝ ⎠

4-65

因為rdquo sdotrdquo與rdquotimes rdquo都是向量間的運算所以

＝ ( )ˆ ˆ ˆ ˆ zA A zAρ φρ ρ ϕρpart

times + +part

＋ ( )1ˆ ˆ ˆ ˆ zA A zAρ φϕ ρ ϕρ ϕ

parttimes + +

part

＋ ( )ˆ ˆˆ ˆ zz A A zAz ρ φρ ϕpart

times + +part

直接做上式微分可以得到

＝1ˆ z AA

zϕρ

ρ ϕpart⎛ ⎞part

minus⎜ ⎟part part⎝ ⎠＋ ˆ zA A

zρϕ

ρpart⎛ ⎞part

minus⎜ ⎟part part⎝ ⎠＋

1 1ˆ ( )A

z A ρϕρ

ρ ρ ρ ϕpart⎛ ⎞part

minus⎜ ⎟part part⎝ ⎠

上式可以用一個行列式來表示

rarrrarr

timesnabla A＝

ˆ ˆ ˆ1

z

z

zA A Aρ ϕ

ρ ρϕ

ρ ρ ϕρ

part part partpart part part

（A-1）

A and Anabla nablasdot nablatimes in 球座標 spherical coordinate

如上圖球座標 )( ϕθr 其中 )0[ infinisinr ]0[ πθ isin ]20[ πϕ isin 只有 r

是長度而 ϕθ 為角度是用來說明方向的三個座標的單位向量 ˆ ˆˆ r θ ϕ 具

有下列性質

4-66

1 如上圖 ˆ ˆˆ r θ ϕ 都不是常數而是（ ϕθ ）的函數

ˆ ˆ( )ˆ ˆ( )ˆ ˆ( )

r r θ ϕ

θ θ θ ϕϕ ϕ ϕ

⎧ =⎪

=⎨⎪ =⎩

)( ϕθr 與(xyz)之間的轉換如下

sin cossin sincos

x ry rz r

θ φθ φθ

=⎧⎪ =⎨⎪ =⎩

( )122 2 2

2 2

tan

tan

r x y z

x yz

yx

θ

φ

⎧ = + +⎪⎪ +⎪ =⎨⎪⎪ =⎪⎩

（A-2）

2 ˆ ˆˆ r θ ϕ 形成一「歸一正交集」ie

ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ 1r r θ θ ϕ ϕsdot = sdot = sdot = ˆ ˆr θ ϕperp perp

ˆ ˆr θ ϕtimes = ˆ ˆ rθ ϕtimes = ˆˆ rϕ θtimes = （A-3）

3可以很容易的由他們在 xyz 軸上的投影由直角

座標的 ˆ ˆ ˆ x y z 表出

ˆ ˆ ˆ ˆsin cos sin sin cos ( 4 )ˆ ˆ ˆ ˆcos cos cos sin sin ( 4 )ˆ ˆ ˆsin cos ( 4 )

r x y z A a

x y z A bx y A c

θ φ θ φ θ

θ θ φ θ φ θϕ φ φ

= + + minus⎧⎪

= + minus minus⎨⎪ = minus + minus⎩

4 ˆdr = 由於 ˆ ˆ( )r r θ φ= 所以由 ϕθ 的變動來看

4-67

ˆ ˆˆ| |ˆ ˆˆ| | sin sin

d r d d

d r d d

θ θθ θθ

φ θ φφ θ φφ

⎧ rArr =⎪⎨

rArr =⎪⎩rArr ˆ ˆˆ sindr d dθ θ φ θ φ= + （A-5）

rArrˆ ˆr θθpart

=part

ˆ ˆsinr θφφpart

=part

（A-6）

（A-6）的結果也可以直接由（A-4a）對 ϕθ 偏微得到

5 ˆdθ ＝ 由於 ˆ ˆ( )θ θ θ φ= 所以由 ϕθ 的變動來看

ˆ ˆ ˆ| | ( )ˆ ˆ ˆ| | cos cos

d d r d r

d d d

θ θ θ θ

φ θ θ φφ φ θ φ

⎧ rArr minus = minus⎪⎨

rArr =⎪⎩rArr ˆdθ ＝ ˆˆ cosrd dθ φ θ φminus + （A-7）

ˆrθ

θpart

rArr = minuspart

ˆ ˆcosθ φ θφpart

=part

（A-8）

請直接由（A-4b）對 ϕθ 偏微的結果 check（A-8）

6 ˆdφ ＝由於φ )(ϕ 躺在 x-y 平面上變動φ時的方向可能不是那麼

容易看出來所以做圖看一看

ie ˆ ˆˆ(sin ) (cos )d r d dφ θ φ θ θ φ= minus minus （A-9）

4-68

ˆ ˆˆsin cosrφ θ θ θφpart

= minus minuspart

7 所有的向量 ˆ ˆˆ rA rA A Aθ φθ φrarr= + +

8 位置向量 ˆr rrrarr=

可以由左圖 ˆ ˆˆ r θ ϕ 三個方向的「長度

變化」輕易的看出

9 位移元素

ˆ ˆˆ ˆ sindr rdr rd dθ θ ϕ θ φ= + + (A-10)

10 體積元素

sindv dr r d rdθ φ θ= sdot sdot

＝ 2 sinr dr d dθ θ φ (A-11)

11 面積元素 2 sinrds r d dθ θ φ= plusmn sinds r drdθ θ φ= plusmn ds rdrdφ θ= plusmn (A-12)

plusmn號表示面的垂直方向有兩個端看 ds 周邊的方向是如何定的

nabladel 考慮 ( )u u r θ φ=

rArru u udu dr d dr

θ φθ φ

part part part= + +part part part

u d rrarr rarr

equiv nabla sdot

urarr

= nabla sdot ˆ ˆˆ( sin )rdr rd dθ θ φ θ φ+ +

rArr1 1ˆ ˆˆ

sinu u uu rr r r

θ ϕθ θ φ

rarr part part partnabla = + +

part part part

1 1ˆ ˆˆsin

rr r r

θ ϕθ θ φ

rarr part part partnabla equiv + +

part part part （A-13）

4-69

直接用（A-13）與 ˆ ˆˆ rA rA A Aθ φθ ϕrarr= + + 逐項內積加上（A-678）

rArr ϕθ

θθθ

ϕθ part

part+

partpart

+partpart

=sdotnablararrrarr A

rA

rAr

rrA r sin

1)(sinsin1)(1 2

2 （A-14）

（A-13）與 ϕθ ϕθ AAArA r

andandandrarr

++= 逐項外積整理之後

ϕθ θϕθ

ϕθθ

θArrAA

r

rrr

rA

r sin

sin

sin1

2 partpart

partpart

partpart

=timesnabla

andandand

rarrrarr

（A-15）

Laplacian uu nablasdotnabla=nabla2

2

2

2222

22

sin1)(sin

sin1)(1

ϕθθθ

θθ partpart

+partpart

partpart

+partpart

partpart

=nablau

ru

rrur

rru （A-16）

B推導「散度」在圓柱座標的寫法

讓我們先回顧一下在直角座標裡的「面積元素」可以由「位移元素」

得到

ˆˆ ˆ x y zdr idx jdy kdz da dydz dxdz dxdy= + + rArr =

比照辦理「圓柱座標」的位移元素

( )ˆˆ ˆ( )

( )z

da d dzdr d d zdz da d dz

da d d

ρ

φ

ρ φ

ρ ρ φ ρ φ ρ

ρ ρ φ

=⎧⎪= + + rArr =⎨⎪ =⎩

這個結論可以輕易的由面積元素在垂直於 zˆˆ ϕρ 三個方向的面積看

出如下圖考慮一個以 )( zϕρ 為中心的「圓柱體積元素」(cylindrical

cubiod)體積為 zdV ΔΔ=Δ ϕρρ 現計算在 ρ

方向的 12 兩個平行面(方向各為 ρplusmn )的通

量

4-70

zzF

dsFdsnFS S

ΔΔ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

+cong

=sdotintint intintϕρρϕρρρ

ρ

2

2

ˆ1 1

zzF

dsFdsnFS S

ΔΔ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

minus⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

minusminuscong

minus=sdotintint intintϕρρϕρρρ

ρ

2

2

ˆ2 2

intint+

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

minus⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

minusminus⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

+Δ

asympsdotΔ

rArr21

22

22

1ˆ1

SS

zFzFdsnFV

ϕρρρρϕρρρρρρ ρρ

( ) ( )

1 20

0

0

1 ˆlim

1lim 2 2 2 2

1 1lim 2 2

1

VS S

F ndsV

F z F z

F z F z

F

ρ ρρ

ρ ρρ

ρ

ρ ρ ρ ρρ ρ φ ρ ρ φρ ρ

ρ ρρ ρ φ ρ ρ φρ ρ

ρρ ρ

Δ rarr+

Δ rarr

Δ rarr

rArr sdotΔ

Δ Δ Δ Δ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + + minus minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥Δ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦Δ Δ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥Δ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

part ⎡ ⎤= ⎣ ⎦part

intint

娛樂一下用上述方式把圓柱的 Fsdotnabla 裡的z

FF z

partpart

+partϕρϕ1

變出來

球座標的nabla和 Fsdotnabla 也可以試試看

補充習題

H M Scheydiv grad curl and all that 4th edition

第二章習題 6 8 9 10 11 14 15 16 18 19 21 22 23 25 26 27

第三章習題 2 3 5 6 7 8 9 10 11 14 15 17 18 19 24

4-56

( )2ˆ ˆ ˆˆ ˆ( cos sin ) ( sin cos )C C

f d r x r xy Rdϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕsdot = minus minus + sdotint int 2

2 2 2

0

sin (cos )

sin ( cos ) (cos ) cos sin

Cx Rd xyRd

R Rd R Rdπ

ϕ ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ

= minus minus

= minus minus

intint

23 2

02 cos sinR d

πϕ ϕ ϕ= minus int ＝

323Rminus

這也驗證了散度定理

Path Independence 路徑獨立性

Ex52 證明庫倫力為「保守力」考慮

電荷 q0 位於原點及電荷 q 位於

( )r x y zrarr= q 受力 F

rarr＝ 0

20

14

qq urπε

and

求庫侖力作功因為球形對稱所以

用球座標由 ˆ ˆ ru rr

= = rArr Frarr

= 03

04qq r

rπε

庫侖力由 P1 至 P2 做功為 2

1

P

CPF drarrsdotint ＝

2

1

02

0

ˆ ˆ ˆˆ sin4

P

PC

qq r rdr rd r dr

θ θ ϕ θ ϕπε

⎡ ⎤sdot + +⎣ ⎦int ＝2

1

02

04P

P

qq drrπεint

＝20

2104

r

r

qq drrπε int ＝ 0

0 1 2

1 1( )4qq

r rπεminus for all C

所以庫侖力兩點間做功與路徑無關rArr保守力

對於「保守力 conservative force」 cF 自 p1 經

由兩條不同的路徑 C1 與 C2 到達 p2

1 ccF drarrsdotint ＝

2 ccF drarrsdotint ＝-

2 ccF drarr

minussdotint

rArr1 2c cc cF d F drarr rarr

minussdot + sdotint int = cF d

rarrsdotint ＝0 (4-96）

對於任何「封閉路徑」保守力做功為 0反之若

對任一封閉路徑 0F drarrsdot neint 則兩點之間的做功與路徑有關

rarr

F 為「非

保守力」

4-57

旋度 curl Anablatimes 的幾何物理意義

我們在（4-70）式已經看過旋度的計算方式但旋度另有其意義的

ex53 給定向量場2 2

0ˆ yv yv e λrarr

minus= 左圖為場的分佈

2 20

ˆ ˆ ˆ

0 0x y z

y

x y zcurl v

v e λ

rarr

minus

= part part part ＝ ˆ ˆ ˆ0 0 0 0x y zsdot minus sdot + sdot =

我們用了簡寫 x yx ypart part

part equiv part equivpart part

可以看出這個場裡沒有「漩渦」

但是有無「漩渦」有時也不是那麼明顯可以看出的請見下一個例子

Ex54 給定向量場2 2

0ˆ xv yv e λrarr

minus= 計算其旋度 vnablatimes

解向量場 vrarr

畫在右邊你看得出有無漩渦

先計算旋度

2 20

ˆ ˆ ˆ

0 0x y z

x

x y zcurl v

v e λ

rarr

minus

= part part part2 2

2 2

0

0

ˆ

ˆ 2 0 0

x

x

z v ex

z v xe for x

λ

λ

minus

minus

part=

part

= minus ne ne

vrarr

的旋度在大部分的地方不為 0 且隨位置而不同但是你看得出這個

向量場裡有「漩渦」其實要檢驗一個向量場裡有無「漩渦」有一

個很物理的方法就是放一個小「螺旋槳」（左圖）

在場內將軸朝各個方向測試一

下如果有「漩渦」的話這個

小「螺旋槳」就會轉動右圖就是將「螺旋槳」的

軸平行於 z 軸且放在 x gt 0 的地方就可以看出左

邊的 v 場比右邊的強造成螺旋槳順時針轉動rArrcurlv zminus for x gt 0

但如果放在 x = 0 的地方就會看到左右兩端的 v 場強度相同而且

4-58

curlv = 0 「螺旋槳」放在 x lt 0 的地方就可以看出右邊的v 場比左

邊的強造成螺旋槳逆時針轉動這完全符合 curl v k+ 的結果

環路積分與旋度 curl 的物理意義

如同「散度」一樣「旋度」除了 Ftimesnabla 之外

還有一個物理意義更清楚的定義這個定義由

「線積分」說明如圖考慮做「逆時針」長方形

路徑 C1 的一個「環路積分」C1 面平行於 x-y 平

面由 z-軸看下去環路 C1 可以分為可以分為

下 CB上 CT右 CR左 CL 4 部分

CA drarrsdotint ＝

B T L RC C C CA d A d A d A drarr rarr rarr rarrsdot + sdot + sdot + sdotint int int int

分別計算由於 CB 的中點座標為 ( )2yx y zΔ

minus

ˆB BC C

A d A xdxrarr rarrsdot = sdot =int int

BxC

A dxint ( )2xyA x y z xΔ

asymp minus Δ

similarly 由於 CT 的中點座標為 ( )2yx y zΔ

+

ˆ( )T TC C

A d A xdxrarr rarrsdot = sdot minus =int int

TxC

A dxminusint ( )2xyA x y z xΔ

asymp minus + Δ

合併 CB 與 CT

B TC CA drarr

+sdot =int

( ) ( )2 2x xy yA x y z A x y z

x yy

Δ Δ⎡ ⎤minus + minus minus⎢ ⎥⎣ ⎦ Δ ΔΔ

（4-97）

由 C1 所圍的面積 S x yΔ = Δ Δ

1B TC C

A dS

rarr

+sdot =

Δ int( ) ( )

2 2x xy yA x y z A x y z

y

Δ Δ⎡ ⎤minus + minus minus⎢ ⎥⎣ ⎦Δ

（4-98）

所以當取極限 C1 收縮到中心(xyz)時 SΔ 收縮到 0ie

4-59

0limsΔ rarr

1B TC C

A dS

rarr

+sdot =

Δ int xAy

partminuspart

（4-99）

Similarly with CR 的 ˆd ydy= CL 的 ˆd ydy= minus 可得

1L RC C

A dS

rarr

+sdot =

Δ int x

zyxxFzyxxF yy

Δ

Δminusminus

Δ+ )

2()

2(

（4-100）

同樣的當取極限 C1 收縮到中心(xyz)時 SΔ 收縮到 0

0

limsΔ rarr

1L RC C

A dS

rarr

+sdot =

Δ int yAx

partpart

（4-101）

最後合併 CBCTCRCL 為 C1

10

1limCs

A ds

rarr

Δ rarrsdot =

Δ int y xA Ax y

part partminus

part partˆ ( ) ( )zz A A= sdot nablatimes = nablatimes （4-102）

注意 C1 的方向就是在 z 上式的重要

意義是當向量場 A 在一個以點(xyz)為

中心「方向為 z 」的面積元素的「邊界」

所做的環路積分得到的就是 A 在(xyz)

處旋度的 z-分量明顯的只有當 A 在

(xyz)附近有 x-y 平面上的「漩渦」那麼 C1 的環路積分才不會為 0

Similarly 取一個逆時針繞著(xyz)的平行於 x-z 平面的長方形環路 C2

（左圖）做環路積分再取極限將 C2 收縮到(xyz)就會得到

20

1limCs

A ds

rarr

Δ rarrsdot =

Δ int x zA Az x

part partminus

part partˆ ( ) ( )yy A A= sdot nablatimes = nablatimes （4-103）

注意到 C2 所包圍的面積方向就在 y到

現在我們應該已經很有經驗了若取一

個逆時針繞著(xyz)的平行於 y-z 平面

的長方形環路 C3（左圖）做環路積分

再取極限將 C3 收縮到(xyz)就會得到

4-60

30

1limCs

A ds

rarr

Δ rarrsdot =

Δ int yz AAy z

partpartminus

part partˆ ( ) ( )xx A A= sdot nablatimes = nablatimes （4-104）

能把（4-103）與（4-104）變出來的同學我們有優待綜合以上

我們可以得到一個結論若取一個以點(xyz)為中心的任意環路 Cn（其

所包圍的面積方向在 n ）則

n curl Aand rarrsdot ＝

0

1lims

Cn

A ds

rarr

Δ rarrsdot

Δ int （4-105）

明顯的當 n ＝ x 或 y 或 z 時我們可以重複（4-102）到（4-104）的

結果（4-70）式的行列式所定義的旋度在此看見其幾何物理意義

至此「旋度」的「漩渦」形象應該已經很清楚了只有在(xyz)點附

近的小圈圈上有「漩渦」 A 在小圈圈做的環路積分才會有值這個

值就是向量場 A 的「旋度」在小圈圈面積方向的分量

Stokersquos 定理

考慮一個開放面 S被其「有方向的」邊界 C 圈住(bounded by)則

( )S

A dsrarr rarrnablatimes sdotint ＝

C

A drarrsdotint （4-106）

pf 先將 S 面分割為 N 個多邊形這會使得邊界變成一個「折線」形

成的環路 P環路 P 會隨著分割的多邊形個數的增多而越加近似於原

「光滑的」邊界 C現考慮相鄰的

兩個多邊形的線積分由於共用邊

的方向是相反的所以相鄰兩個多

邊形線積分的和只剩「外邊界」（見左圖）所以當把所有的多邊形的

4-61

線積分加起來時由於只有邊界 P 不是多邊形的共用邊所以

1k

N

k C

A drarr

=

sdotsum int ＝P

A drarrsdotint rArr

P

A drarrsdotint ＝

1

1

k

N

kk k C

A d l ss

rarr rarr

=

⎡ ⎤sdot Δ⎢ ⎥

Δ⎢ ⎥⎣ ⎦sum int

其中 ksΔ 為第 k 個多邊形的面積取極限 0kN srarrinfinrArrΔ rarr P CrArr rarr

C

A drarrsdotint ＝

10

1limkk

N

kN k k Cs

A d ss

rarr

rarrinfin=Δ rarr

⎡ ⎤sdot Δ⎢ ⎥

Δ⎢ ⎥⎣ ⎦sum int 01

ˆlim ( )k

k kskn A s

infin

Δ rarr=

⎡ ⎤= sdot nablatimes Δ⎣ ⎦sum

01

ˆlim ( )k

k kskA n s

infin

Δ rarr=

= nablatimes sdot Δsum = ( )S

A dsrarr

nablatimes sdotint QED

ex55 由 Amperersquos law 的積分形式導出其微分形式

解Amperersquos law 的積分形式 C

B drarrsdotint ＝ I0μ (4-107)

由 Stokersquos 定理及電流密度 j 的定義上式等號兩端可寫為

rArr ( )S

B dsrarr rarrnablatimes sdotint ＝ 0 S

j dsμrarrsdotint

由於上面的等式對任意面 S（路徑 C）都成立所以被積函數相等

0B jμrarr rarr rarr

rArrnablatimes = (4-108) 此即 Amperersquos law 的微分形式

Ex56 Given a vector field ˆ ˆx yA ye xe= minus + (a) Find Anablatimes

解

ˆ ˆ ˆˆ ˆ(1 ( 1) 2

0x y z

x y zA z z

y xnablatimes = part part part = minus minus =

minus

(b)如圖一個金字塔狀的 5 面體高 2底邊長＝1計算 ( )S

A dsnablatimes sdotint

其中 S 為金字塔在 x-y 平面以上的部分方向如同

封閉的金字塔（運用 Stokersquos law）

解金字塔上表面的面積元素ds 不好寫由 Stokersquos

4-62

law ( )S

A dsrarr rarrnablatimes sdotint ＝

C

A drarrsdotint 其中封閉路徑 C 就是上表面的邊界而且

是逆時針（由 z 軸向下看）

C

A drarrsdotint ＝

1 1 0 0

0 0 1 1ˆ ˆ ˆ ˆA xdx A ydy A xdx A ydysdot + sdot + sdot + sdotint int int int

＝1 1 0 0

0 0 1 1x y x yA dx A dy A dx A dy+ + +int int int int 1 1 0 0

0 0 1 1( 0) ( 1) ( 1) ( 0)y dx x dy y dx x dy= minus = + = + minus = + =int int int int

0 1 1 0 2 ( ) 2S

A ds= + + + = rArr nablatimes sdot =int

旋度與 path independence

已知保守場 cF 對所有封閉路徑 C 0cC

F drarrsdot =int 由 Stokersquos 定理

0cC

F drarrsdot =int ＝ ( )cS

F dsrarr rarrnablatimes sdotint rArr 0cF

rarr rarrnablatimes =

這表示保守場＝無旋度反之無旋度的場任兩點間路徑積分與路

徑無關

Ex57 Given a field 2 2ˆ ˆ ˆ2A x xy yx zz= + minus (a) Find Anablatimes A 保守場

解2 2

ˆ ˆ ˆ

2x y z

x y zA

xy x znablatimes = part part part

minus

( ) ( ) ( )2 2 2 2ˆ ˆ ˆ( ) 2 ( ) 2 0y z z x x yx z x y xy z z x xy= part minus minuspart + part minuspart minus + part minuspart =

yes A =保守場

(b)如左圖由 A 到 B 做路徑積分A BC

A drarr

sdotint 路徑 C 為橢圓

22 1

16yx + = 在 x-軸以上的部分

解橢圓部分的路徑元素 d 有點麻煩但因為 A

為保守場所以 A 到 B 做路徑積分可以用 x = -1 到

1 的積分取代

4-63

01 1 1

1 1 1ˆ 2 0

yB

xAA d A xdx A dx xydx

=

minus minus minussdot = sdot = = =int int int int

∵

旋度在柱座標與球座標

前面討論過nabla在不同座標系的寫法旋度也有歸納出的一致寫法

座標 1 2 3 u u u

度量係數

1 2 3 h h h

nabla grad del

直角 x y z

1 1 1 nabla ˆ ˆ ˆx y z

x y zpart part part

equiv + +part part part

圓柱 zρ ϕ

1 1ρ

1ˆ ˆ ˆ zz

ρ ϕρ ρ ϕpart part part

nabla equiv + +part part part

球 r θ ϕ

1 sinr r θ

1 1ˆ ˆˆ sin

rr r r

θ ϕθ θ ϕ

part part partnabla = + +

part part part

所以柱座標與球座標的旋度分別表為

柱座標

ˆ ˆ ˆ1

z

z

Az

AA Aρ ϕ

ρ ρϕ

ρ ρ ϕρ

part part partnablatimes =

part part part （4-109）

球座標 2

ˆ ˆˆ sin1sin

sinr

r r r

Ar r

A rA r Aθ ϕ

θ θϕ

θ θ ϕθ

part part partnablatimes =

part part part （4-110）

ex58 (a) Given the vector function ˆA ϕ= sin (ϕ 2) find Anablatimes

解 2

ˆ ˆˆ sin1sin

0 sin( 2) 0

r r r

Ar r

r

θ θϕ

θ θ ϕϕ

part part partnablatimes =

part part part

4-64

21 ˆˆ cos sin sinsin 2 2 2

rr rr

ϕ ϕθϕθ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

ˆˆ cos sin2 sin 2 2

rr r

ϕ ϕ ϕθ

minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

(b)如左圖一個底面在 x-y 平面半徑＝1高＝2 之圓錐 求面積分

SA dsnablatimes sdotint 面積範圍 S 為圓錐在 x-y 平面以上

部分 方向為由圓錐內向外

解由 Stokersquos law ( )S

A dsrarr rarrnablatimes sdotint ＝

C

A drarrsdotint 其中路

徑 C 為 x-y 平面圓心在原點之單位圓 ˆ ˆd rd dϕ ϕ ϕ ϕ= =

2

0ˆ ˆsin sin

2 2C

d dπϕ ϕϕ ϕ ϕ ϕ⎛ ⎞ ⎛ ⎞sdot =⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠int int ( )0

2 sin u duπ

= int 0cos | 2u π= minus =

習題 16 磁場 B 因為不是保守場所以沒有對應的純量位而對應一

個向量位 A (vector potential)而 B A= nablatimes 一個磁鐵的磁偶極矩

ˆm mz= 被置於原點已知在遠處的 vector potential 03ˆ sin

4mAr

μϕ θπ

=

計算該處的磁場 B Ans 03

ˆˆ( 2cos sin )4

mB rr

μ θ θ θπ

= + 與電偶極遠處

的電場形式一致都是偶極(dipole) 選幾個點畫一畫該處的場向量

把磁力線描出來

附錄本章講義的內容有部分可以經由直接計算得出列在附錄做為

參考

用「圓柱座標」寫 Atimesnabla

Ararr rarrnablatimes ＝ ( )1ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ zz A A zA

z ρ φρ ϕ ρ ϕρ ρ ϕpart part part⎛ ⎞+ + times + +⎜ ⎟part part part⎝ ⎠

4-65

因為rdquo sdotrdquo與rdquotimes rdquo都是向量間的運算所以

＝ ( )ˆ ˆ ˆ ˆ zA A zAρ φρ ρ ϕρpart

times + +part

＋ ( )1ˆ ˆ ˆ ˆ zA A zAρ φϕ ρ ϕρ ϕ

parttimes + +

part

＋ ( )ˆ ˆˆ ˆ zz A A zAz ρ φρ ϕpart

times + +part

直接做上式微分可以得到

＝1ˆ z AA

zϕρ

ρ ϕpart⎛ ⎞part

minus⎜ ⎟part part⎝ ⎠＋ ˆ zA A

zρϕ

ρpart⎛ ⎞part

minus⎜ ⎟part part⎝ ⎠＋

1 1ˆ ( )A

z A ρϕρ

ρ ρ ρ ϕpart⎛ ⎞part

minus⎜ ⎟part part⎝ ⎠

上式可以用一個行列式來表示

rarrrarr

timesnabla A＝

ˆ ˆ ˆ1

z

z

zA A Aρ ϕ

ρ ρϕ

ρ ρ ϕρ

part part partpart part part

（A-1）

A and Anabla nablasdot nablatimes in 球座標 spherical coordinate

如上圖球座標 )( ϕθr 其中 )0[ infinisinr ]0[ πθ isin ]20[ πϕ isin 只有 r

是長度而 ϕθ 為角度是用來說明方向的三個座標的單位向量 ˆ ˆˆ r θ ϕ 具

有下列性質

4-66

1 如上圖 ˆ ˆˆ r θ ϕ 都不是常數而是（ ϕθ ）的函數

ˆ ˆ( )ˆ ˆ( )ˆ ˆ( )

r r θ ϕ

θ θ θ ϕϕ ϕ ϕ

⎧ =⎪

=⎨⎪ =⎩

)( ϕθr 與(xyz)之間的轉換如下

sin cossin sincos

x ry rz r

θ φθ φθ

=⎧⎪ =⎨⎪ =⎩

( )122 2 2

2 2

tan

tan

r x y z

x yz

yx

θ

φ

⎧ = + +⎪⎪ +⎪ =⎨⎪⎪ =⎪⎩

（A-2）

2 ˆ ˆˆ r θ ϕ 形成一「歸一正交集」ie

ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ 1r r θ θ ϕ ϕsdot = sdot = sdot = ˆ ˆr θ ϕperp perp

ˆ ˆr θ ϕtimes = ˆ ˆ rθ ϕtimes = ˆˆ rϕ θtimes = （A-3）

3可以很容易的由他們在 xyz 軸上的投影由直角

座標的 ˆ ˆ ˆ x y z 表出

ˆ ˆ ˆ ˆsin cos sin sin cos ( 4 )ˆ ˆ ˆ ˆcos cos cos sin sin ( 4 )ˆ ˆ ˆsin cos ( 4 )

r x y z A a

x y z A bx y A c

θ φ θ φ θ

θ θ φ θ φ θϕ φ φ

= + + minus⎧⎪

= + minus minus⎨⎪ = minus + minus⎩

4 ˆdr = 由於 ˆ ˆ( )r r θ φ= 所以由 ϕθ 的變動來看

4-67

ˆ ˆˆ| |ˆ ˆˆ| | sin sin

d r d d

d r d d

θ θθ θθ

φ θ φφ θ φφ

⎧ rArr =⎪⎨

rArr =⎪⎩rArr ˆ ˆˆ sindr d dθ θ φ θ φ= + （A-5）

rArrˆ ˆr θθpart

=part

ˆ ˆsinr θφφpart

=part

（A-6）

（A-6）的結果也可以直接由（A-4a）對 ϕθ 偏微得到

5 ˆdθ ＝ 由於 ˆ ˆ( )θ θ θ φ= 所以由 ϕθ 的變動來看

ˆ ˆ ˆ| | ( )ˆ ˆ ˆ| | cos cos

d d r d r

d d d

θ θ θ θ

φ θ θ φφ φ θ φ

⎧ rArr minus = minus⎪⎨

rArr =⎪⎩rArr ˆdθ ＝ ˆˆ cosrd dθ φ θ φminus + （A-7）

ˆrθ

θpart

rArr = minuspart

ˆ ˆcosθ φ θφpart

=part

（A-8）

請直接由（A-4b）對 ϕθ 偏微的結果 check（A-8）

6 ˆdφ ＝由於φ )(ϕ 躺在 x-y 平面上變動φ時的方向可能不是那麼

容易看出來所以做圖看一看

ie ˆ ˆˆ(sin ) (cos )d r d dφ θ φ θ θ φ= minus minus （A-9）

4-68

ˆ ˆˆsin cosrφ θ θ θφpart

= minus minuspart

7 所有的向量 ˆ ˆˆ rA rA A Aθ φθ φrarr= + +

8 位置向量 ˆr rrrarr=

可以由左圖 ˆ ˆˆ r θ ϕ 三個方向的「長度

變化」輕易的看出

9 位移元素

ˆ ˆˆ ˆ sindr rdr rd dθ θ ϕ θ φ= + + (A-10)

10 體積元素

sindv dr r d rdθ φ θ= sdot sdot

＝ 2 sinr dr d dθ θ φ (A-11)

11 面積元素 2 sinrds r d dθ θ φ= plusmn sinds r drdθ θ φ= plusmn ds rdrdφ θ= plusmn (A-12)

plusmn號表示面的垂直方向有兩個端看 ds 周邊的方向是如何定的

nabladel 考慮 ( )u u r θ φ=

rArru u udu dr d dr

θ φθ φ

part part part= + +part part part

u d rrarr rarr

equiv nabla sdot

urarr

= nabla sdot ˆ ˆˆ( sin )rdr rd dθ θ φ θ φ+ +

rArr1 1ˆ ˆˆ

sinu u uu rr r r

θ ϕθ θ φ

rarr part part partnabla = + +

part part part

1 1ˆ ˆˆsin

rr r r

θ ϕθ θ φ

rarr part part partnabla equiv + +

part part part （A-13）

4-69

直接用（A-13）與 ˆ ˆˆ rA rA A Aθ φθ ϕrarr= + + 逐項內積加上（A-678）

rArr ϕθ

θθθ

ϕθ part

part+

partpart

+partpart

=sdotnablararrrarr A

rA

rAr

rrA r sin

1)(sinsin1)(1 2

2 （A-14）

（A-13）與 ϕθ ϕθ AAArA r

andandandrarr

++= 逐項外積整理之後

ϕθ θϕθ

ϕθθ

θArrAA

r

rrr

rA

r sin

sin

sin1

2 partpart

partpart

partpart

=timesnabla

andandand

rarrrarr

（A-15）

Laplacian uu nablasdotnabla=nabla2

2

2

2222

22

sin1)(sin

sin1)(1

ϕθθθ

θθ partpart

+partpart

partpart

+partpart

partpart

=nablau

ru

rrur

rru （A-16）

B推導「散度」在圓柱座標的寫法

讓我們先回顧一下在直角座標裡的「面積元素」可以由「位移元素」

得到

ˆˆ ˆ x y zdr idx jdy kdz da dydz dxdz dxdy= + + rArr =

比照辦理「圓柱座標」的位移元素

( )ˆˆ ˆ( )

( )z

da d dzdr d d zdz da d dz

da d d

ρ

φ

ρ φ

ρ ρ φ ρ φ ρ

ρ ρ φ

=⎧⎪= + + rArr =⎨⎪ =⎩

這個結論可以輕易的由面積元素在垂直於 zˆˆ ϕρ 三個方向的面積看

出如下圖考慮一個以 )( zϕρ 為中心的「圓柱體積元素」(cylindrical

cubiod)體積為 zdV ΔΔ=Δ ϕρρ 現計算在 ρ

方向的 12 兩個平行面(方向各為 ρplusmn )的通

量

4-70

zzF

dsFdsnFS S

ΔΔ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

+cong

=sdotintint intintϕρρϕρρρ

ρ

2

2

ˆ1 1

zzF

dsFdsnFS S

ΔΔ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

minus⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

minusminuscong

minus=sdotintint intintϕρρϕρρρ

ρ

2

2

ˆ2 2

intint+

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

minus⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

minusminus⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

+Δ

asympsdotΔ

rArr21

22

22

1ˆ1

SS

zFzFdsnFV

ϕρρρρϕρρρρρρ ρρ

( ) ( )

1 20

0

0

1 ˆlim

1lim 2 2 2 2

1 1lim 2 2

1

VS S

F ndsV

F z F z

F z F z

F

ρ ρρ

ρ ρρ

ρ

ρ ρ ρ ρρ ρ φ ρ ρ φρ ρ

ρ ρρ ρ φ ρ ρ φρ ρ

ρρ ρ

Δ rarr+

Δ rarr

Δ rarr

rArr sdotΔ

Δ Δ Δ Δ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + + minus minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥Δ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦Δ Δ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥Δ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

part ⎡ ⎤= ⎣ ⎦part

intint

娛樂一下用上述方式把圓柱的 Fsdotnabla 裡的z

FF z

partpart

+partϕρϕ1

變出來

球座標的nabla和 Fsdotnabla 也可以試試看

補充習題

H M Scheydiv grad curl and all that 4th edition

第二章習題 6 8 9 10 11 14 15 16 18 19 21 22 23 25 26 27

第三章習題 2 3 5 6 7 8 9 10 11 14 15 17 18 19 24

4-57

旋度 curl Anablatimes 的幾何物理意義

我們在（4-70）式已經看過旋度的計算方式但旋度另有其意義的

ex53 給定向量場2 2

0ˆ yv yv e λrarr

minus= 左圖為場的分佈

2 20

ˆ ˆ ˆ

0 0x y z

y

x y zcurl v

v e λ

rarr

minus

= part part part ＝ ˆ ˆ ˆ0 0 0 0x y zsdot minus sdot + sdot =

我們用了簡寫 x yx ypart part

part equiv part equivpart part

可以看出這個場裡沒有「漩渦」

但是有無「漩渦」有時也不是那麼明顯可以看出的請見下一個例子

Ex54 給定向量場2 2

0ˆ xv yv e λrarr

minus= 計算其旋度 vnablatimes

解向量場 vrarr

畫在右邊你看得出有無漩渦

先計算旋度

2 20

ˆ ˆ ˆ

0 0x y z

x

x y zcurl v

v e λ

rarr

minus

= part part part2 2

2 2

0

0

ˆ

ˆ 2 0 0

x

x

z v ex

z v xe for x

λ

λ

minus

minus

part=

part

= minus ne ne

vrarr

的旋度在大部分的地方不為 0 且隨位置而不同但是你看得出這個

向量場裡有「漩渦」其實要檢驗一個向量場裡有無「漩渦」有一

個很物理的方法就是放一個小「螺旋槳」（左圖）

在場內將軸朝各個方向測試一

下如果有「漩渦」的話這個

小「螺旋槳」就會轉動右圖就是將「螺旋槳」的

軸平行於 z 軸且放在 x gt 0 的地方就可以看出左

邊的 v 場比右邊的強造成螺旋槳順時針轉動rArrcurlv zminus for x gt 0

但如果放在 x = 0 的地方就會看到左右兩端的 v 場強度相同而且

4-58

curlv = 0 「螺旋槳」放在 x lt 0 的地方就可以看出右邊的v 場比左

邊的強造成螺旋槳逆時針轉動這完全符合 curl v k+ 的結果

環路積分與旋度 curl 的物理意義

如同「散度」一樣「旋度」除了 Ftimesnabla 之外

還有一個物理意義更清楚的定義這個定義由

「線積分」說明如圖考慮做「逆時針」長方形

路徑 C1 的一個「環路積分」C1 面平行於 x-y 平

面由 z-軸看下去環路 C1 可以分為可以分為

下 CB上 CT右 CR左 CL 4 部分

CA drarrsdotint ＝

B T L RC C C CA d A d A d A drarr rarr rarr rarrsdot + sdot + sdot + sdotint int int int

分別計算由於 CB 的中點座標為 ( )2yx y zΔ

minus

ˆB BC C

A d A xdxrarr rarrsdot = sdot =int int

BxC

A dxint ( )2xyA x y z xΔ

asymp minus Δ

similarly 由於 CT 的中點座標為 ( )2yx y zΔ

+

ˆ( )T TC C

A d A xdxrarr rarrsdot = sdot minus =int int

TxC

A dxminusint ( )2xyA x y z xΔ

asymp minus + Δ

合併 CB 與 CT

B TC CA drarr

+sdot =int

( ) ( )2 2x xy yA x y z A x y z

x yy

Δ Δ⎡ ⎤minus + minus minus⎢ ⎥⎣ ⎦ Δ ΔΔ

（4-97）

由 C1 所圍的面積 S x yΔ = Δ Δ

1B TC C

A dS

rarr

+sdot =

Δ int( ) ( )

2 2x xy yA x y z A x y z

y

Δ Δ⎡ ⎤minus + minus minus⎢ ⎥⎣ ⎦Δ

（4-98）

所以當取極限 C1 收縮到中心(xyz)時 SΔ 收縮到 0ie

4-59

0limsΔ rarr

1B TC C

A dS

rarr

+sdot =

Δ int xAy

partminuspart

（4-99）

Similarly with CR 的 ˆd ydy= CL 的 ˆd ydy= minus 可得

1L RC C

A dS

rarr

+sdot =

Δ int x

zyxxFzyxxF yy

Δ

Δminusminus

Δ+ )

2()

2(

（4-100）

同樣的當取極限 C1 收縮到中心(xyz)時 SΔ 收縮到 0

0

limsΔ rarr

1L RC C

A dS

rarr

+sdot =

Δ int yAx

partpart

（4-101）

最後合併 CBCTCRCL 為 C1

10

1limCs

A ds

rarr

Δ rarrsdot =

Δ int y xA Ax y

part partminus

part partˆ ( ) ( )zz A A= sdot nablatimes = nablatimes （4-102）

注意 C1 的方向就是在 z 上式的重要

意義是當向量場 A 在一個以點(xyz)為

中心「方向為 z 」的面積元素的「邊界」

所做的環路積分得到的就是 A 在(xyz)

處旋度的 z-分量明顯的只有當 A 在

(xyz)附近有 x-y 平面上的「漩渦」那麼 C1 的環路積分才不會為 0

Similarly 取一個逆時針繞著(xyz)的平行於 x-z 平面的長方形環路 C2

（左圖）做環路積分再取極限將 C2 收縮到(xyz)就會得到

20

1limCs

A ds

rarr

Δ rarrsdot =

Δ int x zA Az x

part partminus

part partˆ ( ) ( )yy A A= sdot nablatimes = nablatimes （4-103）

注意到 C2 所包圍的面積方向就在 y到

現在我們應該已經很有經驗了若取一

個逆時針繞著(xyz)的平行於 y-z 平面

的長方形環路 C3（左圖）做環路積分

再取極限將 C3 收縮到(xyz)就會得到

4-60

30

1limCs

A ds

rarr

Δ rarrsdot =

Δ int yz AAy z

partpartminus

part partˆ ( ) ( )xx A A= sdot nablatimes = nablatimes （4-104）

能把（4-103）與（4-104）變出來的同學我們有優待綜合以上

我們可以得到一個結論若取一個以點(xyz)為中心的任意環路 Cn（其

所包圍的面積方向在 n ）則

n curl Aand rarrsdot ＝

0

1lims

Cn

A ds

rarr

Δ rarrsdot

Δ int （4-105）

明顯的當 n ＝ x 或 y 或 z 時我們可以重複（4-102）到（4-104）的

結果（4-70）式的行列式所定義的旋度在此看見其幾何物理意義

至此「旋度」的「漩渦」形象應該已經很清楚了只有在(xyz)點附

近的小圈圈上有「漩渦」 A 在小圈圈做的環路積分才會有值這個

值就是向量場 A 的「旋度」在小圈圈面積方向的分量

Stokersquos 定理

考慮一個開放面 S被其「有方向的」邊界 C 圈住(bounded by)則

( )S

A dsrarr rarrnablatimes sdotint ＝

C

A drarrsdotint （4-106）

pf 先將 S 面分割為 N 個多邊形這會使得邊界變成一個「折線」形

成的環路 P環路 P 會隨著分割的多邊形個數的增多而越加近似於原

「光滑的」邊界 C現考慮相鄰的

兩個多邊形的線積分由於共用邊

的方向是相反的所以相鄰兩個多

邊形線積分的和只剩「外邊界」（見左圖）所以當把所有的多邊形的

4-61

線積分加起來時由於只有邊界 P 不是多邊形的共用邊所以

1k

N

k C

A drarr

=

sdotsum int ＝P

A drarrsdotint rArr

P

A drarrsdotint ＝

1

1

k

N

kk k C

A d l ss

rarr rarr

=

⎡ ⎤sdot Δ⎢ ⎥

Δ⎢ ⎥⎣ ⎦sum int

其中 ksΔ 為第 k 個多邊形的面積取極限 0kN srarrinfinrArrΔ rarr P CrArr rarr

C

A drarrsdotint ＝

10

1limkk

N

kN k k Cs

A d ss

rarr

rarrinfin=Δ rarr

⎡ ⎤sdot Δ⎢ ⎥

Δ⎢ ⎥⎣ ⎦sum int 01

ˆlim ( )k

k kskn A s

infin

Δ rarr=

⎡ ⎤= sdot nablatimes Δ⎣ ⎦sum

01

ˆlim ( )k

k kskA n s

infin

Δ rarr=

= nablatimes sdot Δsum = ( )S

A dsrarr

nablatimes sdotint QED

ex55 由 Amperersquos law 的積分形式導出其微分形式

解Amperersquos law 的積分形式 C

B drarrsdotint ＝ I0μ (4-107)

由 Stokersquos 定理及電流密度 j 的定義上式等號兩端可寫為

rArr ( )S

B dsrarr rarrnablatimes sdotint ＝ 0 S

j dsμrarrsdotint

由於上面的等式對任意面 S（路徑 C）都成立所以被積函數相等

0B jμrarr rarr rarr

rArrnablatimes = (4-108) 此即 Amperersquos law 的微分形式

Ex56 Given a vector field ˆ ˆx yA ye xe= minus + (a) Find Anablatimes

解

ˆ ˆ ˆˆ ˆ(1 ( 1) 2

0x y z

x y zA z z

y xnablatimes = part part part = minus minus =

minus

(b)如圖一個金字塔狀的 5 面體高 2底邊長＝1計算 ( )S

A dsnablatimes sdotint

其中 S 為金字塔在 x-y 平面以上的部分方向如同

封閉的金字塔（運用 Stokersquos law）

解金字塔上表面的面積元素ds 不好寫由 Stokersquos

4-62

law ( )S

A dsrarr rarrnablatimes sdotint ＝

C

A drarrsdotint 其中封閉路徑 C 就是上表面的邊界而且

是逆時針（由 z 軸向下看）

C

A drarrsdotint ＝

1 1 0 0

0 0 1 1ˆ ˆ ˆ ˆA xdx A ydy A xdx A ydysdot + sdot + sdot + sdotint int int int

＝1 1 0 0

0 0 1 1x y x yA dx A dy A dx A dy+ + +int int int int 1 1 0 0

0 0 1 1( 0) ( 1) ( 1) ( 0)y dx x dy y dx x dy= minus = + = + minus = + =int int int int

0 1 1 0 2 ( ) 2S

A ds= + + + = rArr nablatimes sdot =int

旋度與 path independence

已知保守場 cF 對所有封閉路徑 C 0cC

F drarrsdot =int 由 Stokersquos 定理

0cC

F drarrsdot =int ＝ ( )cS

F dsrarr rarrnablatimes sdotint rArr 0cF

rarr rarrnablatimes =

這表示保守場＝無旋度反之無旋度的場任兩點間路徑積分與路

徑無關

Ex57 Given a field 2 2ˆ ˆ ˆ2A x xy yx zz= + minus (a) Find Anablatimes A 保守場

解2 2

ˆ ˆ ˆ

2x y z

x y zA

xy x znablatimes = part part part

minus

( ) ( ) ( )2 2 2 2ˆ ˆ ˆ( ) 2 ( ) 2 0y z z x x yx z x y xy z z x xy= part minus minuspart + part minuspart minus + part minuspart =

yes A =保守場

(b)如左圖由 A 到 B 做路徑積分A BC

A drarr

sdotint 路徑 C 為橢圓

22 1

16yx + = 在 x-軸以上的部分

解橢圓部分的路徑元素 d 有點麻煩但因為 A

為保守場所以 A 到 B 做路徑積分可以用 x = -1 到

1 的積分取代

4-63

01 1 1

1 1 1ˆ 2 0

yB

xAA d A xdx A dx xydx

=

minus minus minussdot = sdot = = =int int int int

∵

旋度在柱座標與球座標

前面討論過nabla在不同座標系的寫法旋度也有歸納出的一致寫法

座標 1 2 3 u u u

度量係數

1 2 3 h h h

nabla grad del

直角 x y z

1 1 1 nabla ˆ ˆ ˆx y z

x y zpart part part

equiv + +part part part

圓柱 zρ ϕ

1 1ρ

1ˆ ˆ ˆ zz

ρ ϕρ ρ ϕpart part part

nabla equiv + +part part part

球 r θ ϕ

1 sinr r θ

1 1ˆ ˆˆ sin

rr r r

θ ϕθ θ ϕ

part part partnabla = + +

part part part

所以柱座標與球座標的旋度分別表為

柱座標

ˆ ˆ ˆ1

z

z

Az

AA Aρ ϕ

ρ ρϕ

ρ ρ ϕρ

part part partnablatimes =

part part part （4-109）

球座標 2

ˆ ˆˆ sin1sin

sinr

r r r

Ar r

A rA r Aθ ϕ

θ θϕ

θ θ ϕθ

part part partnablatimes =

part part part （4-110）

ex58 (a) Given the vector function ˆA ϕ= sin (ϕ 2) find Anablatimes

解 2

ˆ ˆˆ sin1sin

0 sin( 2) 0

r r r

Ar r

r

θ θϕ

θ θ ϕϕ

part part partnablatimes =

part part part

4-64

21 ˆˆ cos sin sinsin 2 2 2

rr rr

ϕ ϕθϕθ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

ˆˆ cos sin2 sin 2 2

rr r

ϕ ϕ ϕθ

minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

(b)如左圖一個底面在 x-y 平面半徑＝1高＝2 之圓錐 求面積分

SA dsnablatimes sdotint 面積範圍 S 為圓錐在 x-y 平面以上

部分 方向為由圓錐內向外

解由 Stokersquos law ( )S

A dsrarr rarrnablatimes sdotint ＝

C

A drarrsdotint 其中路

徑 C 為 x-y 平面圓心在原點之單位圓 ˆ ˆd rd dϕ ϕ ϕ ϕ= =

2

0ˆ ˆsin sin

2 2C

d dπϕ ϕϕ ϕ ϕ ϕ⎛ ⎞ ⎛ ⎞sdot =⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠int int ( )0

2 sin u duπ

= int 0cos | 2u π= minus =

習題 16 磁場 B 因為不是保守場所以沒有對應的純量位而對應一

個向量位 A (vector potential)而 B A= nablatimes 一個磁鐵的磁偶極矩

ˆm mz= 被置於原點已知在遠處的 vector potential 03ˆ sin

4mAr

μϕ θπ

=

計算該處的磁場 B Ans 03

ˆˆ( 2cos sin )4

mB rr

μ θ θ θπ

= + 與電偶極遠處

的電場形式一致都是偶極(dipole) 選幾個點畫一畫該處的場向量

把磁力線描出來

附錄本章講義的內容有部分可以經由直接計算得出列在附錄做為

參考

用「圓柱座標」寫 Atimesnabla

Ararr rarrnablatimes ＝ ( )1ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ zz A A zA

z ρ φρ ϕ ρ ϕρ ρ ϕpart part part⎛ ⎞+ + times + +⎜ ⎟part part part⎝ ⎠

4-65

因為rdquo sdotrdquo與rdquotimes rdquo都是向量間的運算所以

＝ ( )ˆ ˆ ˆ ˆ zA A zAρ φρ ρ ϕρpart

times + +part

＋ ( )1ˆ ˆ ˆ ˆ zA A zAρ φϕ ρ ϕρ ϕ

parttimes + +

part

＋ ( )ˆ ˆˆ ˆ zz A A zAz ρ φρ ϕpart

times + +part

直接做上式微分可以得到

＝1ˆ z AA

zϕρ

ρ ϕpart⎛ ⎞part

minus⎜ ⎟part part⎝ ⎠＋ ˆ zA A

zρϕ

ρpart⎛ ⎞part

minus⎜ ⎟part part⎝ ⎠＋

1 1ˆ ( )A

z A ρϕρ

ρ ρ ρ ϕpart⎛ ⎞part

minus⎜ ⎟part part⎝ ⎠

上式可以用一個行列式來表示

rarrrarr

timesnabla A＝

ˆ ˆ ˆ1

z

z

zA A Aρ ϕ

ρ ρϕ

ρ ρ ϕρ

part part partpart part part

（A-1）

A and Anabla nablasdot nablatimes in 球座標 spherical coordinate

如上圖球座標 )( ϕθr 其中 )0[ infinisinr ]0[ πθ isin ]20[ πϕ isin 只有 r

是長度而 ϕθ 為角度是用來說明方向的三個座標的單位向量 ˆ ˆˆ r θ ϕ 具

有下列性質

4-66

1 如上圖 ˆ ˆˆ r θ ϕ 都不是常數而是（ ϕθ ）的函數

ˆ ˆ( )ˆ ˆ( )ˆ ˆ( )

r r θ ϕ

θ θ θ ϕϕ ϕ ϕ

⎧ =⎪

=⎨⎪ =⎩

)( ϕθr 與(xyz)之間的轉換如下

sin cossin sincos

x ry rz r

θ φθ φθ

=⎧⎪ =⎨⎪ =⎩

( )122 2 2

2 2

tan

tan

r x y z

x yz

yx

θ

φ

⎧ = + +⎪⎪ +⎪ =⎨⎪⎪ =⎪⎩

（A-2）

2 ˆ ˆˆ r θ ϕ 形成一「歸一正交集」ie

ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ 1r r θ θ ϕ ϕsdot = sdot = sdot = ˆ ˆr θ ϕperp perp

ˆ ˆr θ ϕtimes = ˆ ˆ rθ ϕtimes = ˆˆ rϕ θtimes = （A-3）

3可以很容易的由他們在 xyz 軸上的投影由直角

座標的 ˆ ˆ ˆ x y z 表出

ˆ ˆ ˆ ˆsin cos sin sin cos ( 4 )ˆ ˆ ˆ ˆcos cos cos sin sin ( 4 )ˆ ˆ ˆsin cos ( 4 )

r x y z A a

x y z A bx y A c

θ φ θ φ θ

θ θ φ θ φ θϕ φ φ

= + + minus⎧⎪

= + minus minus⎨⎪ = minus + minus⎩

4 ˆdr = 由於 ˆ ˆ( )r r θ φ= 所以由 ϕθ 的變動來看

4-67

ˆ ˆˆ| |ˆ ˆˆ| | sin sin

d r d d

d r d d

θ θθ θθ

φ θ φφ θ φφ

⎧ rArr =⎪⎨

rArr =⎪⎩rArr ˆ ˆˆ sindr d dθ θ φ θ φ= + （A-5）

rArrˆ ˆr θθpart

=part

ˆ ˆsinr θφφpart

=part

（A-6）

（A-6）的結果也可以直接由（A-4a）對 ϕθ 偏微得到

5 ˆdθ ＝ 由於 ˆ ˆ( )θ θ θ φ= 所以由 ϕθ 的變動來看

ˆ ˆ ˆ| | ( )ˆ ˆ ˆ| | cos cos

d d r d r

d d d

θ θ θ θ

φ θ θ φφ φ θ φ

⎧ rArr minus = minus⎪⎨

rArr =⎪⎩rArr ˆdθ ＝ ˆˆ cosrd dθ φ θ φminus + （A-7）

ˆrθ

θpart

rArr = minuspart

ˆ ˆcosθ φ θφpart

=part

（A-8）

請直接由（A-4b）對 ϕθ 偏微的結果 check（A-8）

6 ˆdφ ＝由於φ )(ϕ 躺在 x-y 平面上變動φ時的方向可能不是那麼

容易看出來所以做圖看一看

ie ˆ ˆˆ(sin ) (cos )d r d dφ θ φ θ θ φ= minus minus （A-9）

4-68

ˆ ˆˆsin cosrφ θ θ θφpart

= minus minuspart

7 所有的向量 ˆ ˆˆ rA rA A Aθ φθ φrarr= + +

8 位置向量 ˆr rrrarr=

可以由左圖 ˆ ˆˆ r θ ϕ 三個方向的「長度

變化」輕易的看出

9 位移元素

ˆ ˆˆ ˆ sindr rdr rd dθ θ ϕ θ φ= + + (A-10)

10 體積元素

sindv dr r d rdθ φ θ= sdot sdot

＝ 2 sinr dr d dθ θ φ (A-11)

11 面積元素 2 sinrds r d dθ θ φ= plusmn sinds r drdθ θ φ= plusmn ds rdrdφ θ= plusmn (A-12)

plusmn號表示面的垂直方向有兩個端看 ds 周邊的方向是如何定的

nabladel 考慮 ( )u u r θ φ=

rArru u udu dr d dr

θ φθ φ

part part part= + +part part part

u d rrarr rarr

equiv nabla sdot

urarr

= nabla sdot ˆ ˆˆ( sin )rdr rd dθ θ φ θ φ+ +

rArr1 1ˆ ˆˆ

sinu u uu rr r r

θ ϕθ θ φ

rarr part part partnabla = + +

part part part

1 1ˆ ˆˆsin

rr r r

θ ϕθ θ φ

rarr part part partnabla equiv + +

part part part （A-13）

4-69

直接用（A-13）與 ˆ ˆˆ rA rA A Aθ φθ ϕrarr= + + 逐項內積加上（A-678）

rArr ϕθ

θθθ

ϕθ part

part+

partpart

+partpart

=sdotnablararrrarr A

rA

rAr

rrA r sin

1)(sinsin1)(1 2

2 （A-14）

（A-13）與 ϕθ ϕθ AAArA r

andandandrarr

++= 逐項外積整理之後

ϕθ θϕθ

ϕθθ

θArrAA

r

rrr

rA

r sin

sin

sin1

2 partpart

partpart

partpart

=timesnabla

andandand

rarrrarr

（A-15）

Laplacian uu nablasdotnabla=nabla2

2

2

2222

22

sin1)(sin

sin1)(1

ϕθθθ

θθ partpart

+partpart

partpart

+partpart

partpart

=nablau

ru

rrur

rru （A-16）

B推導「散度」在圓柱座標的寫法

讓我們先回顧一下在直角座標裡的「面積元素」可以由「位移元素」

得到

ˆˆ ˆ x y zdr idx jdy kdz da dydz dxdz dxdy= + + rArr =

比照辦理「圓柱座標」的位移元素

( )ˆˆ ˆ( )

( )z

da d dzdr d d zdz da d dz

da d d

ρ

φ

ρ φ

ρ ρ φ ρ φ ρ

ρ ρ φ

=⎧⎪= + + rArr =⎨⎪ =⎩

這個結論可以輕易的由面積元素在垂直於 zˆˆ ϕρ 三個方向的面積看

出如下圖考慮一個以 )( zϕρ 為中心的「圓柱體積元素」(cylindrical

cubiod)體積為 zdV ΔΔ=Δ ϕρρ 現計算在 ρ

方向的 12 兩個平行面(方向各為 ρplusmn )的通

量

4-70

zzF

dsFdsnFS S

ΔΔ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

+cong

=sdotintint intintϕρρϕρρρ

ρ

2

2

ˆ1 1

zzF

dsFdsnFS S

ΔΔ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

minus⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

minusminuscong

minus=sdotintint intintϕρρϕρρρ

ρ

2

2

ˆ2 2

intint+

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

minus⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

minusminus⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

+Δ

asympsdotΔ

rArr21

22

22

1ˆ1

SS

zFzFdsnFV

ϕρρρρϕρρρρρρ ρρ

( ) ( )

1 20

0

0

1 ˆlim

1lim 2 2 2 2

1 1lim 2 2

1

VS S

F ndsV

F z F z

F z F z

F

ρ ρρ

ρ ρρ

ρ

ρ ρ ρ ρρ ρ φ ρ ρ φρ ρ

ρ ρρ ρ φ ρ ρ φρ ρ

ρρ ρ

Δ rarr+

Δ rarr

Δ rarr

rArr sdotΔ

Δ Δ Δ Δ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + + minus minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥Δ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦Δ Δ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥Δ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

part ⎡ ⎤= ⎣ ⎦part

intint

娛樂一下用上述方式把圓柱的 Fsdotnabla 裡的z

FF z

partpart

+partϕρϕ1

變出來

球座標的nabla和 Fsdotnabla 也可以試試看

補充習題

H M Scheydiv grad curl and all that 4th edition

第二章習題 6 8 9 10 11 14 15 16 18 19 21 22 23 25 26 27

第三章習題 2 3 5 6 7 8 9 10 11 14 15 17 18 19 24

4-58

curlv = 0 「螺旋槳」放在 x lt 0 的地方就可以看出右邊的v 場比左

邊的強造成螺旋槳逆時針轉動這完全符合 curl v k+ 的結果

環路積分與旋度 curl 的物理意義

如同「散度」一樣「旋度」除了 Ftimesnabla 之外

還有一個物理意義更清楚的定義這個定義由

「線積分」說明如圖考慮做「逆時針」長方形

路徑 C1 的一個「環路積分」C1 面平行於 x-y 平

面由 z-軸看下去環路 C1 可以分為可以分為

下 CB上 CT右 CR左 CL 4 部分

CA drarrsdotint ＝

B T L RC C C CA d A d A d A drarr rarr rarr rarrsdot + sdot + sdot + sdotint int int int

分別計算由於 CB 的中點座標為 ( )2yx y zΔ

minus

ˆB BC C

A d A xdxrarr rarrsdot = sdot =int int

BxC

A dxint ( )2xyA x y z xΔ

asymp minus Δ

similarly 由於 CT 的中點座標為 ( )2yx y zΔ

+

ˆ( )T TC C

A d A xdxrarr rarrsdot = sdot minus =int int

TxC

A dxminusint ( )2xyA x y z xΔ

asymp minus + Δ

合併 CB 與 CT

B TC CA drarr

+sdot =int

( ) ( )2 2x xy yA x y z A x y z

x yy

Δ Δ⎡ ⎤minus + minus minus⎢ ⎥⎣ ⎦ Δ ΔΔ

（4-97）

由 C1 所圍的面積 S x yΔ = Δ Δ

1B TC C

A dS

rarr

+sdot =

Δ int( ) ( )

2 2x xy yA x y z A x y z

y

Δ Δ⎡ ⎤minus + minus minus⎢ ⎥⎣ ⎦Δ

（4-98）

所以當取極限 C1 收縮到中心(xyz)時 SΔ 收縮到 0ie

4-59

0limsΔ rarr

1B TC C

A dS

rarr

+sdot =

Δ int xAy

partminuspart

（4-99）

Similarly with CR 的 ˆd ydy= CL 的 ˆd ydy= minus 可得

1L RC C

A dS

rarr

+sdot =

Δ int x

zyxxFzyxxF yy

Δ

Δminusminus

Δ+ )

2()

2(

（4-100）

同樣的當取極限 C1 收縮到中心(xyz)時 SΔ 收縮到 0

0

limsΔ rarr

1L RC C

A dS

rarr

+sdot =

Δ int yAx

partpart

（4-101）

最後合併 CBCTCRCL 為 C1

10

1limCs

A ds

rarr

Δ rarrsdot =

Δ int y xA Ax y

part partminus

part partˆ ( ) ( )zz A A= sdot nablatimes = nablatimes （4-102）

注意 C1 的方向就是在 z 上式的重要

意義是當向量場 A 在一個以點(xyz)為

中心「方向為 z 」的面積元素的「邊界」

所做的環路積分得到的就是 A 在(xyz)

處旋度的 z-分量明顯的只有當 A 在

(xyz)附近有 x-y 平面上的「漩渦」那麼 C1 的環路積分才不會為 0

Similarly 取一個逆時針繞著(xyz)的平行於 x-z 平面的長方形環路 C2

（左圖）做環路積分再取極限將 C2 收縮到(xyz)就會得到

20

1limCs

A ds

rarr

Δ rarrsdot =

Δ int x zA Az x

part partminus

part partˆ ( ) ( )yy A A= sdot nablatimes = nablatimes （4-103）

注意到 C2 所包圍的面積方向就在 y到

現在我們應該已經很有經驗了若取一

個逆時針繞著(xyz)的平行於 y-z 平面

的長方形環路 C3（左圖）做環路積分

再取極限將 C3 收縮到(xyz)就會得到

4-60

30

1limCs

A ds

rarr

Δ rarrsdot =

Δ int yz AAy z

partpartminus

part partˆ ( ) ( )xx A A= sdot nablatimes = nablatimes （4-104）

能把（4-103）與（4-104）變出來的同學我們有優待綜合以上

我們可以得到一個結論若取一個以點(xyz)為中心的任意環路 Cn（其

所包圍的面積方向在 n ）則

n curl Aand rarrsdot ＝

0

1lims

Cn

A ds

rarr

Δ rarrsdot

Δ int （4-105）

明顯的當 n ＝ x 或 y 或 z 時我們可以重複（4-102）到（4-104）的

結果（4-70）式的行列式所定義的旋度在此看見其幾何物理意義

至此「旋度」的「漩渦」形象應該已經很清楚了只有在(xyz)點附

近的小圈圈上有「漩渦」 A 在小圈圈做的環路積分才會有值這個

值就是向量場 A 的「旋度」在小圈圈面積方向的分量

Stokersquos 定理

考慮一個開放面 S被其「有方向的」邊界 C 圈住(bounded by)則

( )S

A dsrarr rarrnablatimes sdotint ＝

C

A drarrsdotint （4-106）

pf 先將 S 面分割為 N 個多邊形這會使得邊界變成一個「折線」形

成的環路 P環路 P 會隨著分割的多邊形個數的增多而越加近似於原

「光滑的」邊界 C現考慮相鄰的

兩個多邊形的線積分由於共用邊

的方向是相反的所以相鄰兩個多

邊形線積分的和只剩「外邊界」（見左圖）所以當把所有的多邊形的

4-61

線積分加起來時由於只有邊界 P 不是多邊形的共用邊所以

1k

N

k C

A drarr

=

sdotsum int ＝P

A drarrsdotint rArr

P

A drarrsdotint ＝

1

1

k

N

kk k C

A d l ss

rarr rarr

=

⎡ ⎤sdot Δ⎢ ⎥

Δ⎢ ⎥⎣ ⎦sum int

其中 ksΔ 為第 k 個多邊形的面積取極限 0kN srarrinfinrArrΔ rarr P CrArr rarr

C

A drarrsdotint ＝

10

1limkk

N

kN k k Cs

A d ss

rarr

rarrinfin=Δ rarr

⎡ ⎤sdot Δ⎢ ⎥

Δ⎢ ⎥⎣ ⎦sum int 01

ˆlim ( )k

k kskn A s

infin

Δ rarr=

⎡ ⎤= sdot nablatimes Δ⎣ ⎦sum

01

ˆlim ( )k

k kskA n s

infin

Δ rarr=

= nablatimes sdot Δsum = ( )S

A dsrarr

nablatimes sdotint QED

ex55 由 Amperersquos law 的積分形式導出其微分形式

解Amperersquos law 的積分形式 C

B drarrsdotint ＝ I0μ (4-107)

由 Stokersquos 定理及電流密度 j 的定義上式等號兩端可寫為

rArr ( )S

B dsrarr rarrnablatimes sdotint ＝ 0 S

j dsμrarrsdotint

由於上面的等式對任意面 S（路徑 C）都成立所以被積函數相等

0B jμrarr rarr rarr

rArrnablatimes = (4-108) 此即 Amperersquos law 的微分形式

Ex56 Given a vector field ˆ ˆx yA ye xe= minus + (a) Find Anablatimes

解

ˆ ˆ ˆˆ ˆ(1 ( 1) 2

0x y z

x y zA z z

y xnablatimes = part part part = minus minus =

minus

(b)如圖一個金字塔狀的 5 面體高 2底邊長＝1計算 ( )S

A dsnablatimes sdotint

其中 S 為金字塔在 x-y 平面以上的部分方向如同

封閉的金字塔（運用 Stokersquos law）

解金字塔上表面的面積元素ds 不好寫由 Stokersquos

4-62

law ( )S

A dsrarr rarrnablatimes sdotint ＝

C

A drarrsdotint 其中封閉路徑 C 就是上表面的邊界而且

是逆時針（由 z 軸向下看）

C

A drarrsdotint ＝

1 1 0 0

0 0 1 1ˆ ˆ ˆ ˆA xdx A ydy A xdx A ydysdot + sdot + sdot + sdotint int int int

＝1 1 0 0

0 0 1 1x y x yA dx A dy A dx A dy+ + +int int int int 1 1 0 0

0 0 1 1( 0) ( 1) ( 1) ( 0)y dx x dy y dx x dy= minus = + = + minus = + =int int int int

0 1 1 0 2 ( ) 2S

A ds= + + + = rArr nablatimes sdot =int

旋度與 path independence

已知保守場 cF 對所有封閉路徑 C 0cC

F drarrsdot =int 由 Stokersquos 定理

0cC

F drarrsdot =int ＝ ( )cS

F dsrarr rarrnablatimes sdotint rArr 0cF

rarr rarrnablatimes =

這表示保守場＝無旋度反之無旋度的場任兩點間路徑積分與路

徑無關

Ex57 Given a field 2 2ˆ ˆ ˆ2A x xy yx zz= + minus (a) Find Anablatimes A 保守場

解2 2

ˆ ˆ ˆ

2x y z

x y zA

xy x znablatimes = part part part

minus

( ) ( ) ( )2 2 2 2ˆ ˆ ˆ( ) 2 ( ) 2 0y z z x x yx z x y xy z z x xy= part minus minuspart + part minuspart minus + part minuspart =

yes A =保守場

(b)如左圖由 A 到 B 做路徑積分A BC

A drarr

sdotint 路徑 C 為橢圓

22 1

16yx + = 在 x-軸以上的部分

解橢圓部分的路徑元素 d 有點麻煩但因為 A

為保守場所以 A 到 B 做路徑積分可以用 x = -1 到

1 的積分取代

4-63

01 1 1

1 1 1ˆ 2 0

yB

xAA d A xdx A dx xydx

=

minus minus minussdot = sdot = = =int int int int

∵

旋度在柱座標與球座標

前面討論過nabla在不同座標系的寫法旋度也有歸納出的一致寫法

座標 1 2 3 u u u

度量係數

1 2 3 h h h

nabla grad del

直角 x y z

1 1 1 nabla ˆ ˆ ˆx y z

x y zpart part part

equiv + +part part part

圓柱 zρ ϕ

1 1ρ

1ˆ ˆ ˆ zz

ρ ϕρ ρ ϕpart part part

nabla equiv + +part part part

球 r θ ϕ

1 sinr r θ

1 1ˆ ˆˆ sin

rr r r

θ ϕθ θ ϕ

part part partnabla = + +

part part part

所以柱座標與球座標的旋度分別表為

柱座標

ˆ ˆ ˆ1

z

z

Az

AA Aρ ϕ

ρ ρϕ

ρ ρ ϕρ

part part partnablatimes =

part part part （4-109）

球座標 2

ˆ ˆˆ sin1sin

sinr

r r r

Ar r

A rA r Aθ ϕ

θ θϕ

θ θ ϕθ

part part partnablatimes =

part part part （4-110）

ex58 (a) Given the vector function ˆA ϕ= sin (ϕ 2) find Anablatimes

解 2

ˆ ˆˆ sin1sin

0 sin( 2) 0

r r r

Ar r

r

θ θϕ

θ θ ϕϕ

part part partnablatimes =

part part part

4-64

21 ˆˆ cos sin sinsin 2 2 2

rr rr

ϕ ϕθϕθ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

ˆˆ cos sin2 sin 2 2

rr r

ϕ ϕ ϕθ

minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

(b)如左圖一個底面在 x-y 平面半徑＝1高＝2 之圓錐 求面積分

SA dsnablatimes sdotint 面積範圍 S 為圓錐在 x-y 平面以上

部分 方向為由圓錐內向外

解由 Stokersquos law ( )S

A dsrarr rarrnablatimes sdotint ＝

C

A drarrsdotint 其中路

徑 C 為 x-y 平面圓心在原點之單位圓 ˆ ˆd rd dϕ ϕ ϕ ϕ= =

2

0ˆ ˆsin sin

2 2C

d dπϕ ϕϕ ϕ ϕ ϕ⎛ ⎞ ⎛ ⎞sdot =⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠int int ( )0

2 sin u duπ

= int 0cos | 2u π= minus =

習題 16 磁場 B 因為不是保守場所以沒有對應的純量位而對應一

個向量位 A (vector potential)而 B A= nablatimes 一個磁鐵的磁偶極矩

ˆm mz= 被置於原點已知在遠處的 vector potential 03ˆ sin

4mAr

μϕ θπ

=

計算該處的磁場 B Ans 03

ˆˆ( 2cos sin )4

mB rr

μ θ θ θπ

= + 與電偶極遠處

的電場形式一致都是偶極(dipole) 選幾個點畫一畫該處的場向量

把磁力線描出來

附錄本章講義的內容有部分可以經由直接計算得出列在附錄做為

參考

用「圓柱座標」寫 Atimesnabla

Ararr rarrnablatimes ＝ ( )1ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ zz A A zA

z ρ φρ ϕ ρ ϕρ ρ ϕpart part part⎛ ⎞+ + times + +⎜ ⎟part part part⎝ ⎠

4-65

因為rdquo sdotrdquo與rdquotimes rdquo都是向量間的運算所以

＝ ( )ˆ ˆ ˆ ˆ zA A zAρ φρ ρ ϕρpart

times + +part

＋ ( )1ˆ ˆ ˆ ˆ zA A zAρ φϕ ρ ϕρ ϕ

parttimes + +

part

＋ ( )ˆ ˆˆ ˆ zz A A zAz ρ φρ ϕpart

times + +part

直接做上式微分可以得到

＝1ˆ z AA

zϕρ

ρ ϕpart⎛ ⎞part

minus⎜ ⎟part part⎝ ⎠＋ ˆ zA A

zρϕ

ρpart⎛ ⎞part

minus⎜ ⎟part part⎝ ⎠＋

1 1ˆ ( )A

z A ρϕρ

ρ ρ ρ ϕpart⎛ ⎞part

minus⎜ ⎟part part⎝ ⎠

上式可以用一個行列式來表示

rarrrarr

timesnabla A＝

ˆ ˆ ˆ1

z

z

zA A Aρ ϕ

ρ ρϕ

ρ ρ ϕρ

part part partpart part part

（A-1）

A and Anabla nablasdot nablatimes in 球座標 spherical coordinate

如上圖球座標 )( ϕθr 其中 )0[ infinisinr ]0[ πθ isin ]20[ πϕ isin 只有 r

是長度而 ϕθ 為角度是用來說明方向的三個座標的單位向量 ˆ ˆˆ r θ ϕ 具

有下列性質

4-66

1 如上圖 ˆ ˆˆ r θ ϕ 都不是常數而是（ ϕθ ）的函數

ˆ ˆ( )ˆ ˆ( )ˆ ˆ( )

r r θ ϕ

θ θ θ ϕϕ ϕ ϕ

⎧ =⎪

=⎨⎪ =⎩

)( ϕθr 與(xyz)之間的轉換如下

sin cossin sincos

x ry rz r

θ φθ φθ

=⎧⎪ =⎨⎪ =⎩

( )122 2 2

2 2

tan

tan

r x y z

x yz

yx

θ

φ

⎧ = + +⎪⎪ +⎪ =⎨⎪⎪ =⎪⎩

（A-2）

2 ˆ ˆˆ r θ ϕ 形成一「歸一正交集」ie

ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ 1r r θ θ ϕ ϕsdot = sdot = sdot = ˆ ˆr θ ϕperp perp

ˆ ˆr θ ϕtimes = ˆ ˆ rθ ϕtimes = ˆˆ rϕ θtimes = （A-3）

3可以很容易的由他們在 xyz 軸上的投影由直角

座標的 ˆ ˆ ˆ x y z 表出

ˆ ˆ ˆ ˆsin cos sin sin cos ( 4 )ˆ ˆ ˆ ˆcos cos cos sin sin ( 4 )ˆ ˆ ˆsin cos ( 4 )

r x y z A a

x y z A bx y A c

θ φ θ φ θ

θ θ φ θ φ θϕ φ φ

= + + minus⎧⎪

= + minus minus⎨⎪ = minus + minus⎩

4 ˆdr = 由於 ˆ ˆ( )r r θ φ= 所以由 ϕθ 的變動來看

4-67

ˆ ˆˆ| |ˆ ˆˆ| | sin sin

d r d d

d r d d

θ θθ θθ

φ θ φφ θ φφ

⎧ rArr =⎪⎨

rArr =⎪⎩rArr ˆ ˆˆ sindr d dθ θ φ θ φ= + （A-5）

rArrˆ ˆr θθpart

=part

ˆ ˆsinr θφφpart

=part

（A-6）

（A-6）的結果也可以直接由（A-4a）對 ϕθ 偏微得到

5 ˆdθ ＝ 由於 ˆ ˆ( )θ θ θ φ= 所以由 ϕθ 的變動來看

ˆ ˆ ˆ| | ( )ˆ ˆ ˆ| | cos cos

d d r d r

d d d

θ θ θ θ

φ θ θ φφ φ θ φ

⎧ rArr minus = minus⎪⎨

rArr =⎪⎩rArr ˆdθ ＝ ˆˆ cosrd dθ φ θ φminus + （A-7）

ˆrθ

θpart

rArr = minuspart

ˆ ˆcosθ φ θφpart

=part

（A-8）

請直接由（A-4b）對 ϕθ 偏微的結果 check（A-8）

6 ˆdφ ＝由於φ )(ϕ 躺在 x-y 平面上變動φ時的方向可能不是那麼

容易看出來所以做圖看一看

ie ˆ ˆˆ(sin ) (cos )d r d dφ θ φ θ θ φ= minus minus （A-9）

4-68

ˆ ˆˆsin cosrφ θ θ θφpart

= minus minuspart

7 所有的向量 ˆ ˆˆ rA rA A Aθ φθ φrarr= + +

8 位置向量 ˆr rrrarr=

可以由左圖 ˆ ˆˆ r θ ϕ 三個方向的「長度

變化」輕易的看出

9 位移元素

ˆ ˆˆ ˆ sindr rdr rd dθ θ ϕ θ φ= + + (A-10)

10 體積元素

sindv dr r d rdθ φ θ= sdot sdot

＝ 2 sinr dr d dθ θ φ (A-11)

11 面積元素 2 sinrds r d dθ θ φ= plusmn sinds r drdθ θ φ= plusmn ds rdrdφ θ= plusmn (A-12)

plusmn號表示面的垂直方向有兩個端看 ds 周邊的方向是如何定的

nabladel 考慮 ( )u u r θ φ=

rArru u udu dr d dr

θ φθ φ

part part part= + +part part part

u d rrarr rarr

equiv nabla sdot

urarr

= nabla sdot ˆ ˆˆ( sin )rdr rd dθ θ φ θ φ+ +

rArr1 1ˆ ˆˆ

sinu u uu rr r r

θ ϕθ θ φ

rarr part part partnabla = + +

part part part

1 1ˆ ˆˆsin

rr r r

θ ϕθ θ φ

rarr part part partnabla equiv + +

part part part （A-13）

4-69

直接用（A-13）與 ˆ ˆˆ rA rA A Aθ φθ ϕrarr= + + 逐項內積加上（A-678）

rArr ϕθ

θθθ

ϕθ part

part+

partpart

+partpart

=sdotnablararrrarr A

rA

rAr

rrA r sin

1)(sinsin1)(1 2

2 （A-14）

（A-13）與 ϕθ ϕθ AAArA r

andandandrarr

++= 逐項外積整理之後

ϕθ θϕθ

ϕθθ

θArrAA

r

rrr

rA

r sin

sin

sin1

2 partpart

partpart

partpart

=timesnabla

andandand

rarrrarr

（A-15）

Laplacian uu nablasdotnabla=nabla2

2

2

2222

22

sin1)(sin

sin1)(1

ϕθθθ

θθ partpart

+partpart

partpart

+partpart

partpart

=nablau

ru

rrur

rru （A-16）

B推導「散度」在圓柱座標的寫法

讓我們先回顧一下在直角座標裡的「面積元素」可以由「位移元素」

得到

ˆˆ ˆ x y zdr idx jdy kdz da dydz dxdz dxdy= + + rArr =

比照辦理「圓柱座標」的位移元素

( )ˆˆ ˆ( )

( )z

da d dzdr d d zdz da d dz

da d d

ρ

φ

ρ φ

ρ ρ φ ρ φ ρ

ρ ρ φ

=⎧⎪= + + rArr =⎨⎪ =⎩

這個結論可以輕易的由面積元素在垂直於 zˆˆ ϕρ 三個方向的面積看

出如下圖考慮一個以 )( zϕρ 為中心的「圓柱體積元素」(cylindrical

cubiod)體積為 zdV ΔΔ=Δ ϕρρ 現計算在 ρ

方向的 12 兩個平行面(方向各為 ρplusmn )的通

量

4-70

zzF

dsFdsnFS S

ΔΔ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

+cong

=sdotintint intintϕρρϕρρρ

ρ

2

2

ˆ1 1

zzF

dsFdsnFS S

ΔΔ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

minus⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

minusminuscong

minus=sdotintint intintϕρρϕρρρ

ρ

2

2

ˆ2 2

intint+

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

minus⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

minusminus⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

+Δ

asympsdotΔ

rArr21

22

22

1ˆ1

SS

zFzFdsnFV

ϕρρρρϕρρρρρρ ρρ

( ) ( )

1 20

0

0

1 ˆlim

1lim 2 2 2 2

1 1lim 2 2

1

VS S

F ndsV

F z F z

F z F z

F

ρ ρρ

ρ ρρ

ρ

ρ ρ ρ ρρ ρ φ ρ ρ φρ ρ

ρ ρρ ρ φ ρ ρ φρ ρ

ρρ ρ

Δ rarr+

Δ rarr

Δ rarr

rArr sdotΔ

Δ Δ Δ Δ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + + minus minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥Δ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦Δ Δ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥Δ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

part ⎡ ⎤= ⎣ ⎦part

intint

娛樂一下用上述方式把圓柱的 Fsdotnabla 裡的z

FF z

partpart

+partϕρϕ1

變出來

球座標的nabla和 Fsdotnabla 也可以試試看

補充習題

H M Scheydiv grad curl and all that 4th edition

第二章習題 6 8 9 10 11 14 15 16 18 19 21 22 23 25 26 27

第三章習題 2 3 5 6 7 8 9 10 11 14 15 17 18 19 24

4-59

0limsΔ rarr

1B TC C

A dS

rarr

+sdot =

Δ int xAy

partminuspart

（4-99）

Similarly with CR 的 ˆd ydy= CL 的 ˆd ydy= minus 可得

1L RC C

A dS

rarr

+sdot =

Δ int x

zyxxFzyxxF yy

Δ

Δminusminus

Δ+ )

2()

2(

（4-100）

同樣的當取極限 C1 收縮到中心(xyz)時 SΔ 收縮到 0

0

limsΔ rarr

1L RC C

A dS

rarr

+sdot =

Δ int yAx

partpart

（4-101）

最後合併 CBCTCRCL 為 C1

10

1limCs

A ds

rarr

Δ rarrsdot =

Δ int y xA Ax y

part partminus

part partˆ ( ) ( )zz A A= sdot nablatimes = nablatimes （4-102）

注意 C1 的方向就是在 z 上式的重要

意義是當向量場 A 在一個以點(xyz)為

中心「方向為 z 」的面積元素的「邊界」

所做的環路積分得到的就是 A 在(xyz)

處旋度的 z-分量明顯的只有當 A 在

(xyz)附近有 x-y 平面上的「漩渦」那麼 C1 的環路積分才不會為 0

Similarly 取一個逆時針繞著(xyz)的平行於 x-z 平面的長方形環路 C2

（左圖）做環路積分再取極限將 C2 收縮到(xyz)就會得到

20

1limCs

A ds

rarr

Δ rarrsdot =

Δ int x zA Az x

part partminus

part partˆ ( ) ( )yy A A= sdot nablatimes = nablatimes （4-103）

注意到 C2 所包圍的面積方向就在 y到

現在我們應該已經很有經驗了若取一

個逆時針繞著(xyz)的平行於 y-z 平面

的長方形環路 C3（左圖）做環路積分

再取極限將 C3 收縮到(xyz)就會得到

4-60

30

1limCs

A ds

rarr

Δ rarrsdot =

Δ int yz AAy z

partpartminus

part partˆ ( ) ( )xx A A= sdot nablatimes = nablatimes （4-104）

能把（4-103）與（4-104）變出來的同學我們有優待綜合以上

我們可以得到一個結論若取一個以點(xyz)為中心的任意環路 Cn（其

所包圍的面積方向在 n ）則

n curl Aand rarrsdot ＝

0

1lims

Cn

A ds

rarr

Δ rarrsdot

Δ int （4-105）

明顯的當 n ＝ x 或 y 或 z 時我們可以重複（4-102）到（4-104）的

結果（4-70）式的行列式所定義的旋度在此看見其幾何物理意義

至此「旋度」的「漩渦」形象應該已經很清楚了只有在(xyz)點附

近的小圈圈上有「漩渦」 A 在小圈圈做的環路積分才會有值這個

值就是向量場 A 的「旋度」在小圈圈面積方向的分量

Stokersquos 定理

考慮一個開放面 S被其「有方向的」邊界 C 圈住(bounded by)則

( )S

A dsrarr rarrnablatimes sdotint ＝

C

A drarrsdotint （4-106）

pf 先將 S 面分割為 N 個多邊形這會使得邊界變成一個「折線」形

成的環路 P環路 P 會隨著分割的多邊形個數的增多而越加近似於原

「光滑的」邊界 C現考慮相鄰的

兩個多邊形的線積分由於共用邊

的方向是相反的所以相鄰兩個多

邊形線積分的和只剩「外邊界」（見左圖）所以當把所有的多邊形的

4-61

線積分加起來時由於只有邊界 P 不是多邊形的共用邊所以

1k

N

k C

A drarr

=

sdotsum int ＝P

A drarrsdotint rArr

P

A drarrsdotint ＝

1

1

k

N

kk k C

A d l ss

rarr rarr

=

⎡ ⎤sdot Δ⎢ ⎥

Δ⎢ ⎥⎣ ⎦sum int

其中 ksΔ 為第 k 個多邊形的面積取極限 0kN srarrinfinrArrΔ rarr P CrArr rarr

C

A drarrsdotint ＝

10

1limkk

N

kN k k Cs

A d ss

rarr

rarrinfin=Δ rarr

⎡ ⎤sdot Δ⎢ ⎥

Δ⎢ ⎥⎣ ⎦sum int 01

ˆlim ( )k

k kskn A s

infin

Δ rarr=

⎡ ⎤= sdot nablatimes Δ⎣ ⎦sum

01

ˆlim ( )k

k kskA n s

infin

Δ rarr=

= nablatimes sdot Δsum = ( )S

A dsrarr

nablatimes sdotint QED

ex55 由 Amperersquos law 的積分形式導出其微分形式

解Amperersquos law 的積分形式 C

B drarrsdotint ＝ I0μ (4-107)

由 Stokersquos 定理及電流密度 j 的定義上式等號兩端可寫為

rArr ( )S

B dsrarr rarrnablatimes sdotint ＝ 0 S

j dsμrarrsdotint

由於上面的等式對任意面 S（路徑 C）都成立所以被積函數相等

0B jμrarr rarr rarr

rArrnablatimes = (4-108) 此即 Amperersquos law 的微分形式

Ex56 Given a vector field ˆ ˆx yA ye xe= minus + (a) Find Anablatimes

解

ˆ ˆ ˆˆ ˆ(1 ( 1) 2

0x y z

x y zA z z

y xnablatimes = part part part = minus minus =

minus

(b)如圖一個金字塔狀的 5 面體高 2底邊長＝1計算 ( )S

A dsnablatimes sdotint

其中 S 為金字塔在 x-y 平面以上的部分方向如同

封閉的金字塔（運用 Stokersquos law）

解金字塔上表面的面積元素ds 不好寫由 Stokersquos

4-62

law ( )S

A dsrarr rarrnablatimes sdotint ＝

C

A drarrsdotint 其中封閉路徑 C 就是上表面的邊界而且

是逆時針（由 z 軸向下看）

C

A drarrsdotint ＝

1 1 0 0

0 0 1 1ˆ ˆ ˆ ˆA xdx A ydy A xdx A ydysdot + sdot + sdot + sdotint int int int

＝1 1 0 0

0 0 1 1x y x yA dx A dy A dx A dy+ + +int int int int 1 1 0 0

0 0 1 1( 0) ( 1) ( 1) ( 0)y dx x dy y dx x dy= minus = + = + minus = + =int int int int

0 1 1 0 2 ( ) 2S

A ds= + + + = rArr nablatimes sdot =int

旋度與 path independence

已知保守場 cF 對所有封閉路徑 C 0cC

F drarrsdot =int 由 Stokersquos 定理

0cC

F drarrsdot =int ＝ ( )cS

F dsrarr rarrnablatimes sdotint rArr 0cF

rarr rarrnablatimes =

這表示保守場＝無旋度反之無旋度的場任兩點間路徑積分與路

徑無關

Ex57 Given a field 2 2ˆ ˆ ˆ2A x xy yx zz= + minus (a) Find Anablatimes A 保守場

解2 2

ˆ ˆ ˆ

2x y z

x y zA

xy x znablatimes = part part part

minus

( ) ( ) ( )2 2 2 2ˆ ˆ ˆ( ) 2 ( ) 2 0y z z x x yx z x y xy z z x xy= part minus minuspart + part minuspart minus + part minuspart =

yes A =保守場

(b)如左圖由 A 到 B 做路徑積分A BC

A drarr

sdotint 路徑 C 為橢圓

22 1

16yx + = 在 x-軸以上的部分

解橢圓部分的路徑元素 d 有點麻煩但因為 A

為保守場所以 A 到 B 做路徑積分可以用 x = -1 到

1 的積分取代

4-63

01 1 1

1 1 1ˆ 2 0

yB

xAA d A xdx A dx xydx

=

minus minus minussdot = sdot = = =int int int int

∵

旋度在柱座標與球座標

前面討論過nabla在不同座標系的寫法旋度也有歸納出的一致寫法

座標 1 2 3 u u u

度量係數

1 2 3 h h h

nabla grad del

直角 x y z

1 1 1 nabla ˆ ˆ ˆx y z

x y zpart part part

equiv + +part part part

圓柱 zρ ϕ

1 1ρ

1ˆ ˆ ˆ zz

ρ ϕρ ρ ϕpart part part

nabla equiv + +part part part

球 r θ ϕ

1 sinr r θ

1 1ˆ ˆˆ sin

rr r r

θ ϕθ θ ϕ

part part partnabla = + +

part part part

所以柱座標與球座標的旋度分別表為

柱座標

ˆ ˆ ˆ1

z

z

Az

AA Aρ ϕ

ρ ρϕ

ρ ρ ϕρ

part part partnablatimes =

part part part （4-109）

球座標 2

ˆ ˆˆ sin1sin

sinr

r r r

Ar r

A rA r Aθ ϕ

θ θϕ

θ θ ϕθ

part part partnablatimes =

part part part （4-110）

ex58 (a) Given the vector function ˆA ϕ= sin (ϕ 2) find Anablatimes

解 2

ˆ ˆˆ sin1sin

0 sin( 2) 0

r r r

Ar r

r

θ θϕ

θ θ ϕϕ

part part partnablatimes =

part part part

4-64

21 ˆˆ cos sin sinsin 2 2 2

rr rr

ϕ ϕθϕθ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

ˆˆ cos sin2 sin 2 2

rr r

ϕ ϕ ϕθ

minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

(b)如左圖一個底面在 x-y 平面半徑＝1高＝2 之圓錐 求面積分

SA dsnablatimes sdotint 面積範圍 S 為圓錐在 x-y 平面以上

部分 方向為由圓錐內向外

解由 Stokersquos law ( )S

A dsrarr rarrnablatimes sdotint ＝

C

A drarrsdotint 其中路

徑 C 為 x-y 平面圓心在原點之單位圓 ˆ ˆd rd dϕ ϕ ϕ ϕ= =

2

0ˆ ˆsin sin

2 2C

d dπϕ ϕϕ ϕ ϕ ϕ⎛ ⎞ ⎛ ⎞sdot =⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠int int ( )0

2 sin u duπ

= int 0cos | 2u π= minus =

習題 16 磁場 B 因為不是保守場所以沒有對應的純量位而對應一

個向量位 A (vector potential)而 B A= nablatimes 一個磁鐵的磁偶極矩

ˆm mz= 被置於原點已知在遠處的 vector potential 03ˆ sin

4mAr

μϕ θπ

=

計算該處的磁場 B Ans 03

ˆˆ( 2cos sin )4

mB rr

μ θ θ θπ

= + 與電偶極遠處

的電場形式一致都是偶極(dipole) 選幾個點畫一畫該處的場向量

把磁力線描出來

附錄本章講義的內容有部分可以經由直接計算得出列在附錄做為

參考

用「圓柱座標」寫 Atimesnabla

Ararr rarrnablatimes ＝ ( )1ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ zz A A zA

z ρ φρ ϕ ρ ϕρ ρ ϕpart part part⎛ ⎞+ + times + +⎜ ⎟part part part⎝ ⎠

4-65

因為rdquo sdotrdquo與rdquotimes rdquo都是向量間的運算所以

＝ ( )ˆ ˆ ˆ ˆ zA A zAρ φρ ρ ϕρpart

times + +part

＋ ( )1ˆ ˆ ˆ ˆ zA A zAρ φϕ ρ ϕρ ϕ

parttimes + +

part

＋ ( )ˆ ˆˆ ˆ zz A A zAz ρ φρ ϕpart

times + +part

直接做上式微分可以得到

＝1ˆ z AA

zϕρ

ρ ϕpart⎛ ⎞part

minus⎜ ⎟part part⎝ ⎠＋ ˆ zA A

zρϕ

ρpart⎛ ⎞part

minus⎜ ⎟part part⎝ ⎠＋

1 1ˆ ( )A

z A ρϕρ

ρ ρ ρ ϕpart⎛ ⎞part

minus⎜ ⎟part part⎝ ⎠

上式可以用一個行列式來表示

rarrrarr

timesnabla A＝

ˆ ˆ ˆ1

z

z

zA A Aρ ϕ

ρ ρϕ

ρ ρ ϕρ

part part partpart part part

（A-1）

A and Anabla nablasdot nablatimes in 球座標 spherical coordinate

如上圖球座標 )( ϕθr 其中 )0[ infinisinr ]0[ πθ isin ]20[ πϕ isin 只有 r

是長度而 ϕθ 為角度是用來說明方向的三個座標的單位向量 ˆ ˆˆ r θ ϕ 具

有下列性質

4-66

1 如上圖 ˆ ˆˆ r θ ϕ 都不是常數而是（ ϕθ ）的函數

ˆ ˆ( )ˆ ˆ( )ˆ ˆ( )

r r θ ϕ

θ θ θ ϕϕ ϕ ϕ

⎧ =⎪

=⎨⎪ =⎩

)( ϕθr 與(xyz)之間的轉換如下

sin cossin sincos

x ry rz r

θ φθ φθ

=⎧⎪ =⎨⎪ =⎩

( )122 2 2

2 2

tan

tan

r x y z

x yz

yx

θ

φ

⎧ = + +⎪⎪ +⎪ =⎨⎪⎪ =⎪⎩

（A-2）

2 ˆ ˆˆ r θ ϕ 形成一「歸一正交集」ie

ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ 1r r θ θ ϕ ϕsdot = sdot = sdot = ˆ ˆr θ ϕperp perp

ˆ ˆr θ ϕtimes = ˆ ˆ rθ ϕtimes = ˆˆ rϕ θtimes = （A-3）

3可以很容易的由他們在 xyz 軸上的投影由直角

座標的 ˆ ˆ ˆ x y z 表出

ˆ ˆ ˆ ˆsin cos sin sin cos ( 4 )ˆ ˆ ˆ ˆcos cos cos sin sin ( 4 )ˆ ˆ ˆsin cos ( 4 )

r x y z A a

x y z A bx y A c

θ φ θ φ θ

θ θ φ θ φ θϕ φ φ

= + + minus⎧⎪

= + minus minus⎨⎪ = minus + minus⎩

4 ˆdr = 由於 ˆ ˆ( )r r θ φ= 所以由 ϕθ 的變動來看

4-67

ˆ ˆˆ| |ˆ ˆˆ| | sin sin

d r d d

d r d d

θ θθ θθ

φ θ φφ θ φφ

⎧ rArr =⎪⎨

rArr =⎪⎩rArr ˆ ˆˆ sindr d dθ θ φ θ φ= + （A-5）

rArrˆ ˆr θθpart

=part

ˆ ˆsinr θφφpart

=part

（A-6）

（A-6）的結果也可以直接由（A-4a）對 ϕθ 偏微得到

5 ˆdθ ＝ 由於 ˆ ˆ( )θ θ θ φ= 所以由 ϕθ 的變動來看

ˆ ˆ ˆ| | ( )ˆ ˆ ˆ| | cos cos

d d r d r

d d d

θ θ θ θ

φ θ θ φφ φ θ φ

⎧ rArr minus = minus⎪⎨

rArr =⎪⎩rArr ˆdθ ＝ ˆˆ cosrd dθ φ θ φminus + （A-7）

ˆrθ

θpart

rArr = minuspart

ˆ ˆcosθ φ θφpart

=part

（A-8）

請直接由（A-4b）對 ϕθ 偏微的結果 check（A-8）

6 ˆdφ ＝由於φ )(ϕ 躺在 x-y 平面上變動φ時的方向可能不是那麼

容易看出來所以做圖看一看

ie ˆ ˆˆ(sin ) (cos )d r d dφ θ φ θ θ φ= minus minus （A-9）

4-68

ˆ ˆˆsin cosrφ θ θ θφpart

= minus minuspart

7 所有的向量 ˆ ˆˆ rA rA A Aθ φθ φrarr= + +

8 位置向量 ˆr rrrarr=

可以由左圖 ˆ ˆˆ r θ ϕ 三個方向的「長度

變化」輕易的看出

9 位移元素

ˆ ˆˆ ˆ sindr rdr rd dθ θ ϕ θ φ= + + (A-10)

10 體積元素

sindv dr r d rdθ φ θ= sdot sdot

＝ 2 sinr dr d dθ θ φ (A-11)

11 面積元素 2 sinrds r d dθ θ φ= plusmn sinds r drdθ θ φ= plusmn ds rdrdφ θ= plusmn (A-12)

plusmn號表示面的垂直方向有兩個端看 ds 周邊的方向是如何定的

nabladel 考慮 ( )u u r θ φ=

rArru u udu dr d dr

θ φθ φ

part part part= + +part part part

u d rrarr rarr

equiv nabla sdot

urarr

= nabla sdot ˆ ˆˆ( sin )rdr rd dθ θ φ θ φ+ +

rArr1 1ˆ ˆˆ

sinu u uu rr r r

θ ϕθ θ φ

rarr part part partnabla = + +

part part part

1 1ˆ ˆˆsin

rr r r

θ ϕθ θ φ

rarr part part partnabla equiv + +

part part part （A-13）

4-69

直接用（A-13）與 ˆ ˆˆ rA rA A Aθ φθ ϕrarr= + + 逐項內積加上（A-678）

rArr ϕθ

θθθ

ϕθ part

part+

partpart

+partpart

=sdotnablararrrarr A

rA

rAr

rrA r sin

1)(sinsin1)(1 2

2 （A-14）

（A-13）與 ϕθ ϕθ AAArA r

andandandrarr

++= 逐項外積整理之後

ϕθ θϕθ

ϕθθ

θArrAA

r

rrr

rA

r sin

sin

sin1

2 partpart

partpart

partpart

=timesnabla

andandand

rarrrarr

（A-15）

Laplacian uu nablasdotnabla=nabla2

2

2

2222

22

sin1)(sin

sin1)(1

ϕθθθ

θθ partpart

+partpart

partpart

+partpart

partpart

=nablau

ru

rrur

rru （A-16）

B推導「散度」在圓柱座標的寫法

讓我們先回顧一下在直角座標裡的「面積元素」可以由「位移元素」

得到

ˆˆ ˆ x y zdr idx jdy kdz da dydz dxdz dxdy= + + rArr =

比照辦理「圓柱座標」的位移元素

( )ˆˆ ˆ( )

( )z

da d dzdr d d zdz da d dz

da d d

ρ

φ

ρ φ

ρ ρ φ ρ φ ρ

ρ ρ φ

=⎧⎪= + + rArr =⎨⎪ =⎩

這個結論可以輕易的由面積元素在垂直於 zˆˆ ϕρ 三個方向的面積看

出如下圖考慮一個以 )( zϕρ 為中心的「圓柱體積元素」(cylindrical

cubiod)體積為 zdV ΔΔ=Δ ϕρρ 現計算在 ρ

方向的 12 兩個平行面(方向各為 ρplusmn )的通

量

4-70

zzF

dsFdsnFS S

ΔΔ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

+cong

=sdotintint intintϕρρϕρρρ

ρ

2

2

ˆ1 1

zzF

dsFdsnFS S

ΔΔ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

minus⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

minusminuscong

minus=sdotintint intintϕρρϕρρρ

ρ

2

2

ˆ2 2

intint+

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

minus⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

minusminus⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

+Δ

asympsdotΔ

rArr21

22

22

1ˆ1

SS

zFzFdsnFV

ϕρρρρϕρρρρρρ ρρ

( ) ( )

1 20

0

0

1 ˆlim

1lim 2 2 2 2

1 1lim 2 2

1

VS S

F ndsV

F z F z

F z F z

F

ρ ρρ

ρ ρρ

ρ

ρ ρ ρ ρρ ρ φ ρ ρ φρ ρ

ρ ρρ ρ φ ρ ρ φρ ρ

ρρ ρ

Δ rarr+

Δ rarr

Δ rarr

rArr sdotΔ

Δ Δ Δ Δ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + + minus minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥Δ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦Δ Δ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥Δ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

part ⎡ ⎤= ⎣ ⎦part

intint

娛樂一下用上述方式把圓柱的 Fsdotnabla 裡的z

FF z

partpart

+partϕρϕ1

變出來

球座標的nabla和 Fsdotnabla 也可以試試看

補充習題

H M Scheydiv grad curl and all that 4th edition

第二章習題 6 8 9 10 11 14 15 16 18 19 21 22 23 25 26 27

第三章習題 2 3 5 6 7 8 9 10 11 14 15 17 18 19 24

4-60

30

1limCs

A ds

rarr

Δ rarrsdot =

Δ int yz AAy z

partpartminus

part partˆ ( ) ( )xx A A= sdot nablatimes = nablatimes （4-104）

能把（4-103）與（4-104）變出來的同學我們有優待綜合以上

我們可以得到一個結論若取一個以點(xyz)為中心的任意環路 Cn（其

所包圍的面積方向在 n ）則

n curl Aand rarrsdot ＝

0

1lims

Cn

A ds

rarr

Δ rarrsdot

Δ int （4-105）

明顯的當 n ＝ x 或 y 或 z 時我們可以重複（4-102）到（4-104）的

結果（4-70）式的行列式所定義的旋度在此看見其幾何物理意義

至此「旋度」的「漩渦」形象應該已經很清楚了只有在(xyz)點附

近的小圈圈上有「漩渦」 A 在小圈圈做的環路積分才會有值這個

值就是向量場 A 的「旋度」在小圈圈面積方向的分量

Stokersquos 定理

考慮一個開放面 S被其「有方向的」邊界 C 圈住(bounded by)則

( )S

A dsrarr rarrnablatimes sdotint ＝

C

A drarrsdotint （4-106）

pf 先將 S 面分割為 N 個多邊形這會使得邊界變成一個「折線」形

成的環路 P環路 P 會隨著分割的多邊形個數的增多而越加近似於原

「光滑的」邊界 C現考慮相鄰的

兩個多邊形的線積分由於共用邊

的方向是相反的所以相鄰兩個多

邊形線積分的和只剩「外邊界」（見左圖）所以當把所有的多邊形的

4-61

線積分加起來時由於只有邊界 P 不是多邊形的共用邊所以

1k

N

k C

A drarr

=

sdotsum int ＝P

A drarrsdotint rArr

P

A drarrsdotint ＝

1

1

k

N

kk k C

A d l ss

rarr rarr

=

⎡ ⎤sdot Δ⎢ ⎥

Δ⎢ ⎥⎣ ⎦sum int

其中 ksΔ 為第 k 個多邊形的面積取極限 0kN srarrinfinrArrΔ rarr P CrArr rarr

C

A drarrsdotint ＝

10

1limkk

N

kN k k Cs

A d ss

rarr

rarrinfin=Δ rarr

⎡ ⎤sdot Δ⎢ ⎥

Δ⎢ ⎥⎣ ⎦sum int 01

ˆlim ( )k

k kskn A s

infin

Δ rarr=

⎡ ⎤= sdot nablatimes Δ⎣ ⎦sum

01

ˆlim ( )k

k kskA n s

infin

Δ rarr=

= nablatimes sdot Δsum = ( )S

A dsrarr

nablatimes sdotint QED

ex55 由 Amperersquos law 的積分形式導出其微分形式

解Amperersquos law 的積分形式 C

B drarrsdotint ＝ I0μ (4-107)

由 Stokersquos 定理及電流密度 j 的定義上式等號兩端可寫為

rArr ( )S

B dsrarr rarrnablatimes sdotint ＝ 0 S

j dsμrarrsdotint

由於上面的等式對任意面 S（路徑 C）都成立所以被積函數相等

0B jμrarr rarr rarr

rArrnablatimes = (4-108) 此即 Amperersquos law 的微分形式

Ex56 Given a vector field ˆ ˆx yA ye xe= minus + (a) Find Anablatimes

解

ˆ ˆ ˆˆ ˆ(1 ( 1) 2

0x y z

x y zA z z

y xnablatimes = part part part = minus minus =

minus

(b)如圖一個金字塔狀的 5 面體高 2底邊長＝1計算 ( )S

A dsnablatimes sdotint

其中 S 為金字塔在 x-y 平面以上的部分方向如同

封閉的金字塔（運用 Stokersquos law）

解金字塔上表面的面積元素ds 不好寫由 Stokersquos

4-62

law ( )S

A dsrarr rarrnablatimes sdotint ＝

C

A drarrsdotint 其中封閉路徑 C 就是上表面的邊界而且

是逆時針（由 z 軸向下看）

C

A drarrsdotint ＝

1 1 0 0

0 0 1 1ˆ ˆ ˆ ˆA xdx A ydy A xdx A ydysdot + sdot + sdot + sdotint int int int

＝1 1 0 0

0 0 1 1x y x yA dx A dy A dx A dy+ + +int int int int 1 1 0 0

0 0 1 1( 0) ( 1) ( 1) ( 0)y dx x dy y dx x dy= minus = + = + minus = + =int int int int

0 1 1 0 2 ( ) 2S

A ds= + + + = rArr nablatimes sdot =int

旋度與 path independence

已知保守場 cF 對所有封閉路徑 C 0cC

F drarrsdot =int 由 Stokersquos 定理

0cC

F drarrsdot =int ＝ ( )cS

F dsrarr rarrnablatimes sdotint rArr 0cF

rarr rarrnablatimes =

這表示保守場＝無旋度反之無旋度的場任兩點間路徑積分與路

徑無關

Ex57 Given a field 2 2ˆ ˆ ˆ2A x xy yx zz= + minus (a) Find Anablatimes A 保守場

解2 2

ˆ ˆ ˆ

2x y z

x y zA

xy x znablatimes = part part part

minus

( ) ( ) ( )2 2 2 2ˆ ˆ ˆ( ) 2 ( ) 2 0y z z x x yx z x y xy z z x xy= part minus minuspart + part minuspart minus + part minuspart =

yes A =保守場

(b)如左圖由 A 到 B 做路徑積分A BC

A drarr

sdotint 路徑 C 為橢圓

22 1

16yx + = 在 x-軸以上的部分

解橢圓部分的路徑元素 d 有點麻煩但因為 A

為保守場所以 A 到 B 做路徑積分可以用 x = -1 到

1 的積分取代

4-63

01 1 1

1 1 1ˆ 2 0

yB

xAA d A xdx A dx xydx

=

minus minus minussdot = sdot = = =int int int int

∵

旋度在柱座標與球座標

前面討論過nabla在不同座標系的寫法旋度也有歸納出的一致寫法

座標 1 2 3 u u u

度量係數

1 2 3 h h h

nabla grad del

直角 x y z

1 1 1 nabla ˆ ˆ ˆx y z

x y zpart part part

equiv + +part part part

圓柱 zρ ϕ

1 1ρ

1ˆ ˆ ˆ zz

ρ ϕρ ρ ϕpart part part

nabla equiv + +part part part

球 r θ ϕ

1 sinr r θ

1 1ˆ ˆˆ sin

rr r r

θ ϕθ θ ϕ

part part partnabla = + +

part part part

所以柱座標與球座標的旋度分別表為

柱座標

ˆ ˆ ˆ1

z

z

Az

AA Aρ ϕ

ρ ρϕ

ρ ρ ϕρ

part part partnablatimes =

part part part （4-109）

球座標 2

ˆ ˆˆ sin1sin

sinr

r r r

Ar r

A rA r Aθ ϕ

θ θϕ

θ θ ϕθ

part part partnablatimes =

part part part （4-110）

ex58 (a) Given the vector function ˆA ϕ= sin (ϕ 2) find Anablatimes

解 2

ˆ ˆˆ sin1sin

0 sin( 2) 0

r r r

Ar r

r

θ θϕ

θ θ ϕϕ

part part partnablatimes =

part part part

4-64

21 ˆˆ cos sin sinsin 2 2 2

rr rr

ϕ ϕθϕθ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

ˆˆ cos sin2 sin 2 2

rr r

ϕ ϕ ϕθ

minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

(b)如左圖一個底面在 x-y 平面半徑＝1高＝2 之圓錐 求面積分

SA dsnablatimes sdotint 面積範圍 S 為圓錐在 x-y 平面以上

部分 方向為由圓錐內向外

解由 Stokersquos law ( )S

A dsrarr rarrnablatimes sdotint ＝

C

A drarrsdotint 其中路

徑 C 為 x-y 平面圓心在原點之單位圓 ˆ ˆd rd dϕ ϕ ϕ ϕ= =

2

0ˆ ˆsin sin

2 2C

d dπϕ ϕϕ ϕ ϕ ϕ⎛ ⎞ ⎛ ⎞sdot =⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠int int ( )0

2 sin u duπ

= int 0cos | 2u π= minus =

習題 16 磁場 B 因為不是保守場所以沒有對應的純量位而對應一

個向量位 A (vector potential)而 B A= nablatimes 一個磁鐵的磁偶極矩

ˆm mz= 被置於原點已知在遠處的 vector potential 03ˆ sin

4mAr

μϕ θπ

=

計算該處的磁場 B Ans 03

ˆˆ( 2cos sin )4

mB rr

μ θ θ θπ

= + 與電偶極遠處

的電場形式一致都是偶極(dipole) 選幾個點畫一畫該處的場向量

把磁力線描出來

附錄本章講義的內容有部分可以經由直接計算得出列在附錄做為

參考

用「圓柱座標」寫 Atimesnabla

Ararr rarrnablatimes ＝ ( )1ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ zz A A zA

z ρ φρ ϕ ρ ϕρ ρ ϕpart part part⎛ ⎞+ + times + +⎜ ⎟part part part⎝ ⎠

4-65

因為rdquo sdotrdquo與rdquotimes rdquo都是向量間的運算所以

＝ ( )ˆ ˆ ˆ ˆ zA A zAρ φρ ρ ϕρpart

times + +part

＋ ( )1ˆ ˆ ˆ ˆ zA A zAρ φϕ ρ ϕρ ϕ

parttimes + +

part

＋ ( )ˆ ˆˆ ˆ zz A A zAz ρ φρ ϕpart

times + +part

直接做上式微分可以得到

＝1ˆ z AA

zϕρ

ρ ϕpart⎛ ⎞part

minus⎜ ⎟part part⎝ ⎠＋ ˆ zA A

zρϕ

ρpart⎛ ⎞part

minus⎜ ⎟part part⎝ ⎠＋

1 1ˆ ( )A

z A ρϕρ

ρ ρ ρ ϕpart⎛ ⎞part

minus⎜ ⎟part part⎝ ⎠

上式可以用一個行列式來表示

rarrrarr

timesnabla A＝

ˆ ˆ ˆ1

z

z

zA A Aρ ϕ

ρ ρϕ

ρ ρ ϕρ

part part partpart part part

（A-1）

A and Anabla nablasdot nablatimes in 球座標 spherical coordinate

如上圖球座標 )( ϕθr 其中 )0[ infinisinr ]0[ πθ isin ]20[ πϕ isin 只有 r

是長度而 ϕθ 為角度是用來說明方向的三個座標的單位向量 ˆ ˆˆ r θ ϕ 具

有下列性質

4-66

1 如上圖 ˆ ˆˆ r θ ϕ 都不是常數而是（ ϕθ ）的函數

ˆ ˆ( )ˆ ˆ( )ˆ ˆ( )

r r θ ϕ

θ θ θ ϕϕ ϕ ϕ

⎧ =⎪

=⎨⎪ =⎩

)( ϕθr 與(xyz)之間的轉換如下

sin cossin sincos

x ry rz r

θ φθ φθ

=⎧⎪ =⎨⎪ =⎩

( )122 2 2

2 2

tan

tan

r x y z

x yz

yx

θ

φ

⎧ = + +⎪⎪ +⎪ =⎨⎪⎪ =⎪⎩

（A-2）

2 ˆ ˆˆ r θ ϕ 形成一「歸一正交集」ie

ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ 1r r θ θ ϕ ϕsdot = sdot = sdot = ˆ ˆr θ ϕperp perp

ˆ ˆr θ ϕtimes = ˆ ˆ rθ ϕtimes = ˆˆ rϕ θtimes = （A-3）

3可以很容易的由他們在 xyz 軸上的投影由直角

座標的 ˆ ˆ ˆ x y z 表出

ˆ ˆ ˆ ˆsin cos sin sin cos ( 4 )ˆ ˆ ˆ ˆcos cos cos sin sin ( 4 )ˆ ˆ ˆsin cos ( 4 )

r x y z A a

x y z A bx y A c

θ φ θ φ θ

θ θ φ θ φ θϕ φ φ

= + + minus⎧⎪

= + minus minus⎨⎪ = minus + minus⎩

4 ˆdr = 由於 ˆ ˆ( )r r θ φ= 所以由 ϕθ 的變動來看

4-67

ˆ ˆˆ| |ˆ ˆˆ| | sin sin

d r d d

d r d d

θ θθ θθ

φ θ φφ θ φφ

⎧ rArr =⎪⎨

rArr =⎪⎩rArr ˆ ˆˆ sindr d dθ θ φ θ φ= + （A-5）

rArrˆ ˆr θθpart

=part

ˆ ˆsinr θφφpart

=part

（A-6）

（A-6）的結果也可以直接由（A-4a）對 ϕθ 偏微得到

5 ˆdθ ＝ 由於 ˆ ˆ( )θ θ θ φ= 所以由 ϕθ 的變動來看

ˆ ˆ ˆ| | ( )ˆ ˆ ˆ| | cos cos

d d r d r

d d d

θ θ θ θ

φ θ θ φφ φ θ φ

⎧ rArr minus = minus⎪⎨

rArr =⎪⎩rArr ˆdθ ＝ ˆˆ cosrd dθ φ θ φminus + （A-7）

ˆrθ

θpart

rArr = minuspart

ˆ ˆcosθ φ θφpart

=part

（A-8）

請直接由（A-4b）對 ϕθ 偏微的結果 check（A-8）

6 ˆdφ ＝由於φ )(ϕ 躺在 x-y 平面上變動φ時的方向可能不是那麼

容易看出來所以做圖看一看

ie ˆ ˆˆ(sin ) (cos )d r d dφ θ φ θ θ φ= minus minus （A-9）

4-68

ˆ ˆˆsin cosrφ θ θ θφpart

= minus minuspart

7 所有的向量 ˆ ˆˆ rA rA A Aθ φθ φrarr= + +

8 位置向量 ˆr rrrarr=

可以由左圖 ˆ ˆˆ r θ ϕ 三個方向的「長度

變化」輕易的看出

9 位移元素

ˆ ˆˆ ˆ sindr rdr rd dθ θ ϕ θ φ= + + (A-10)

10 體積元素

sindv dr r d rdθ φ θ= sdot sdot

＝ 2 sinr dr d dθ θ φ (A-11)

11 面積元素 2 sinrds r d dθ θ φ= plusmn sinds r drdθ θ φ= plusmn ds rdrdφ θ= plusmn (A-12)

plusmn號表示面的垂直方向有兩個端看 ds 周邊的方向是如何定的

nabladel 考慮 ( )u u r θ φ=

rArru u udu dr d dr

θ φθ φ

part part part= + +part part part

u d rrarr rarr

equiv nabla sdot

urarr

= nabla sdot ˆ ˆˆ( sin )rdr rd dθ θ φ θ φ+ +

rArr1 1ˆ ˆˆ

sinu u uu rr r r

θ ϕθ θ φ

rarr part part partnabla = + +

part part part

1 1ˆ ˆˆsin

rr r r

θ ϕθ θ φ

rarr part part partnabla equiv + +

part part part （A-13）

4-69

直接用（A-13）與 ˆ ˆˆ rA rA A Aθ φθ ϕrarr= + + 逐項內積加上（A-678）

rArr ϕθ

θθθ

ϕθ part

part+

partpart

+partpart

=sdotnablararrrarr A

rA

rAr

rrA r sin

1)(sinsin1)(1 2

2 （A-14）

（A-13）與 ϕθ ϕθ AAArA r

andandandrarr

++= 逐項外積整理之後

ϕθ θϕθ

ϕθθ

θArrAA

r

rrr

rA

r sin

sin

sin1

2 partpart

partpart

partpart

=timesnabla

andandand

rarrrarr

（A-15）

Laplacian uu nablasdotnabla=nabla2

2

2

2222

22

sin1)(sin

sin1)(1

ϕθθθ

θθ partpart

+partpart

partpart

+partpart

partpart

=nablau

ru

rrur

rru （A-16）

B推導「散度」在圓柱座標的寫法

讓我們先回顧一下在直角座標裡的「面積元素」可以由「位移元素」

得到

ˆˆ ˆ x y zdr idx jdy kdz da dydz dxdz dxdy= + + rArr =

比照辦理「圓柱座標」的位移元素

( )ˆˆ ˆ( )

( )z

da d dzdr d d zdz da d dz

da d d

ρ

φ

ρ φ

ρ ρ φ ρ φ ρ

ρ ρ φ

=⎧⎪= + + rArr =⎨⎪ =⎩

這個結論可以輕易的由面積元素在垂直於 zˆˆ ϕρ 三個方向的面積看

出如下圖考慮一個以 )( zϕρ 為中心的「圓柱體積元素」(cylindrical

cubiod)體積為 zdV ΔΔ=Δ ϕρρ 現計算在 ρ

方向的 12 兩個平行面(方向各為 ρplusmn )的通

量

4-70

zzF

dsFdsnFS S

ΔΔ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

+cong

=sdotintint intintϕρρϕρρρ

ρ

2

2

ˆ1 1

zzF

dsFdsnFS S

ΔΔ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

minus⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

minusminuscong

minus=sdotintint intintϕρρϕρρρ

ρ

2

2

ˆ2 2

intint+

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

minus⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

minusminus⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

+Δ

asympsdotΔ

rArr21

22

22

1ˆ1

SS

zFzFdsnFV

ϕρρρρϕρρρρρρ ρρ

( ) ( )

1 20

0

0

1 ˆlim

1lim 2 2 2 2

1 1lim 2 2

1

VS S

F ndsV

F z F z

F z F z

F

ρ ρρ

ρ ρρ

ρ

ρ ρ ρ ρρ ρ φ ρ ρ φρ ρ

ρ ρρ ρ φ ρ ρ φρ ρ

ρρ ρ

Δ rarr+

Δ rarr

Δ rarr

rArr sdotΔ

Δ Δ Δ Δ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + + minus minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥Δ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦Δ Δ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥Δ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

part ⎡ ⎤= ⎣ ⎦part

intint

娛樂一下用上述方式把圓柱的 Fsdotnabla 裡的z

FF z

partpart

+partϕρϕ1

變出來

球座標的nabla和 Fsdotnabla 也可以試試看

補充習題

H M Scheydiv grad curl and all that 4th edition

第二章習題 6 8 9 10 11 14 15 16 18 19 21 22 23 25 26 27

第三章習題 2 3 5 6 7 8 9 10 11 14 15 17 18 19 24

4-61

線積分加起來時由於只有邊界 P 不是多邊形的共用邊所以

1k

N

k C

A drarr

=

sdotsum int ＝P

A drarrsdotint rArr

P

A drarrsdotint ＝

1

1

k

N

kk k C

A d l ss

rarr rarr

=

⎡ ⎤sdot Δ⎢ ⎥

Δ⎢ ⎥⎣ ⎦sum int

其中 ksΔ 為第 k 個多邊形的面積取極限 0kN srarrinfinrArrΔ rarr P CrArr rarr

C

A drarrsdotint ＝

10

1limkk

N

kN k k Cs

A d ss

rarr

rarrinfin=Δ rarr

⎡ ⎤sdot Δ⎢ ⎥

Δ⎢ ⎥⎣ ⎦sum int 01

ˆlim ( )k

k kskn A s

infin

Δ rarr=

⎡ ⎤= sdot nablatimes Δ⎣ ⎦sum

01

ˆlim ( )k

k kskA n s

infin

Δ rarr=

= nablatimes sdot Δsum = ( )S

A dsrarr

nablatimes sdotint QED

ex55 由 Amperersquos law 的積分形式導出其微分形式

解Amperersquos law 的積分形式 C

B drarrsdotint ＝ I0μ (4-107)

由 Stokersquos 定理及電流密度 j 的定義上式等號兩端可寫為

rArr ( )S

B dsrarr rarrnablatimes sdotint ＝ 0 S

j dsμrarrsdotint

由於上面的等式對任意面 S（路徑 C）都成立所以被積函數相等

0B jμrarr rarr rarr

rArrnablatimes = (4-108) 此即 Amperersquos law 的微分形式

Ex56 Given a vector field ˆ ˆx yA ye xe= minus + (a) Find Anablatimes

解

ˆ ˆ ˆˆ ˆ(1 ( 1) 2

0x y z

x y zA z z

y xnablatimes = part part part = minus minus =

minus

(b)如圖一個金字塔狀的 5 面體高 2底邊長＝1計算 ( )S

A dsnablatimes sdotint

其中 S 為金字塔在 x-y 平面以上的部分方向如同

封閉的金字塔（運用 Stokersquos law）

解金字塔上表面的面積元素ds 不好寫由 Stokersquos

4-62

law ( )S

A dsrarr rarrnablatimes sdotint ＝

C

A drarrsdotint 其中封閉路徑 C 就是上表面的邊界而且

是逆時針（由 z 軸向下看）

C

A drarrsdotint ＝

1 1 0 0

0 0 1 1ˆ ˆ ˆ ˆA xdx A ydy A xdx A ydysdot + sdot + sdot + sdotint int int int

＝1 1 0 0

0 0 1 1x y x yA dx A dy A dx A dy+ + +int int int int 1 1 0 0

0 0 1 1( 0) ( 1) ( 1) ( 0)y dx x dy y dx x dy= minus = + = + minus = + =int int int int

0 1 1 0 2 ( ) 2S

A ds= + + + = rArr nablatimes sdot =int

旋度與 path independence

已知保守場 cF 對所有封閉路徑 C 0cC

F drarrsdot =int 由 Stokersquos 定理

0cC

F drarrsdot =int ＝ ( )cS

F dsrarr rarrnablatimes sdotint rArr 0cF

rarr rarrnablatimes =

這表示保守場＝無旋度反之無旋度的場任兩點間路徑積分與路

徑無關

Ex57 Given a field 2 2ˆ ˆ ˆ2A x xy yx zz= + minus (a) Find Anablatimes A 保守場

解2 2

ˆ ˆ ˆ

2x y z

x y zA

xy x znablatimes = part part part

minus

( ) ( ) ( )2 2 2 2ˆ ˆ ˆ( ) 2 ( ) 2 0y z z x x yx z x y xy z z x xy= part minus minuspart + part minuspart minus + part minuspart =

yes A =保守場

(b)如左圖由 A 到 B 做路徑積分A BC

A drarr

sdotint 路徑 C 為橢圓

22 1

16yx + = 在 x-軸以上的部分

解橢圓部分的路徑元素 d 有點麻煩但因為 A

為保守場所以 A 到 B 做路徑積分可以用 x = -1 到

1 的積分取代

4-63

01 1 1

1 1 1ˆ 2 0

yB

xAA d A xdx A dx xydx

=

minus minus minussdot = sdot = = =int int int int

∵

旋度在柱座標與球座標

前面討論過nabla在不同座標系的寫法旋度也有歸納出的一致寫法

座標 1 2 3 u u u

度量係數

1 2 3 h h h

nabla grad del

直角 x y z

1 1 1 nabla ˆ ˆ ˆx y z

x y zpart part part

equiv + +part part part

圓柱 zρ ϕ

1 1ρ

1ˆ ˆ ˆ zz

ρ ϕρ ρ ϕpart part part

nabla equiv + +part part part

球 r θ ϕ

1 sinr r θ

1 1ˆ ˆˆ sin

rr r r

θ ϕθ θ ϕ

part part partnabla = + +

part part part

所以柱座標與球座標的旋度分別表為

柱座標

ˆ ˆ ˆ1

z

z

Az

AA Aρ ϕ

ρ ρϕ

ρ ρ ϕρ

part part partnablatimes =

part part part （4-109）

球座標 2

ˆ ˆˆ sin1sin

sinr

r r r

Ar r

A rA r Aθ ϕ

θ θϕ

θ θ ϕθ

part part partnablatimes =

part part part （4-110）

ex58 (a) Given the vector function ˆA ϕ= sin (ϕ 2) find Anablatimes

解 2

ˆ ˆˆ sin1sin

0 sin( 2) 0

r r r

Ar r

r

θ θϕ

θ θ ϕϕ

part part partnablatimes =

part part part

4-64

21 ˆˆ cos sin sinsin 2 2 2

rr rr

ϕ ϕθϕθ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

ˆˆ cos sin2 sin 2 2

rr r

ϕ ϕ ϕθ

minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

(b)如左圖一個底面在 x-y 平面半徑＝1高＝2 之圓錐 求面積分

SA dsnablatimes sdotint 面積範圍 S 為圓錐在 x-y 平面以上

部分 方向為由圓錐內向外

解由 Stokersquos law ( )S

A dsrarr rarrnablatimes sdotint ＝

C

A drarrsdotint 其中路

徑 C 為 x-y 平面圓心在原點之單位圓 ˆ ˆd rd dϕ ϕ ϕ ϕ= =

2

0ˆ ˆsin sin

2 2C

d dπϕ ϕϕ ϕ ϕ ϕ⎛ ⎞ ⎛ ⎞sdot =⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠int int ( )0

2 sin u duπ

= int 0cos | 2u π= minus =

習題 16 磁場 B 因為不是保守場所以沒有對應的純量位而對應一

個向量位 A (vector potential)而 B A= nablatimes 一個磁鐵的磁偶極矩

ˆm mz= 被置於原點已知在遠處的 vector potential 03ˆ sin

4mAr

μϕ θπ

=

計算該處的磁場 B Ans 03

ˆˆ( 2cos sin )4

mB rr

μ θ θ θπ

= + 與電偶極遠處

的電場形式一致都是偶極(dipole) 選幾個點畫一畫該處的場向量

把磁力線描出來

附錄本章講義的內容有部分可以經由直接計算得出列在附錄做為

參考

用「圓柱座標」寫 Atimesnabla

Ararr rarrnablatimes ＝ ( )1ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ zz A A zA

z ρ φρ ϕ ρ ϕρ ρ ϕpart part part⎛ ⎞+ + times + +⎜ ⎟part part part⎝ ⎠

4-65

因為rdquo sdotrdquo與rdquotimes rdquo都是向量間的運算所以

＝ ( )ˆ ˆ ˆ ˆ zA A zAρ φρ ρ ϕρpart

times + +part

＋ ( )1ˆ ˆ ˆ ˆ zA A zAρ φϕ ρ ϕρ ϕ

parttimes + +

part

＋ ( )ˆ ˆˆ ˆ zz A A zAz ρ φρ ϕpart

times + +part

直接做上式微分可以得到

＝1ˆ z AA

zϕρ

ρ ϕpart⎛ ⎞part

minus⎜ ⎟part part⎝ ⎠＋ ˆ zA A

zρϕ

ρpart⎛ ⎞part

minus⎜ ⎟part part⎝ ⎠＋

1 1ˆ ( )A

z A ρϕρ

ρ ρ ρ ϕpart⎛ ⎞part

minus⎜ ⎟part part⎝ ⎠

上式可以用一個行列式來表示

rarrrarr

timesnabla A＝

ˆ ˆ ˆ1

z

z

zA A Aρ ϕ

ρ ρϕ

ρ ρ ϕρ

part part partpart part part

（A-1）

A and Anabla nablasdot nablatimes in 球座標 spherical coordinate

如上圖球座標 )( ϕθr 其中 )0[ infinisinr ]0[ πθ isin ]20[ πϕ isin 只有 r

是長度而 ϕθ 為角度是用來說明方向的三個座標的單位向量 ˆ ˆˆ r θ ϕ 具

有下列性質

4-66

1 如上圖 ˆ ˆˆ r θ ϕ 都不是常數而是（ ϕθ ）的函數

ˆ ˆ( )ˆ ˆ( )ˆ ˆ( )

r r θ ϕ

θ θ θ ϕϕ ϕ ϕ

⎧ =⎪

=⎨⎪ =⎩

)( ϕθr 與(xyz)之間的轉換如下

sin cossin sincos

x ry rz r

θ φθ φθ

=⎧⎪ =⎨⎪ =⎩

( )122 2 2

2 2

tan

tan

r x y z

x yz

yx

θ

φ

⎧ = + +⎪⎪ +⎪ =⎨⎪⎪ =⎪⎩

（A-2）

2 ˆ ˆˆ r θ ϕ 形成一「歸一正交集」ie

ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ 1r r θ θ ϕ ϕsdot = sdot = sdot = ˆ ˆr θ ϕperp perp

ˆ ˆr θ ϕtimes = ˆ ˆ rθ ϕtimes = ˆˆ rϕ θtimes = （A-3）

3可以很容易的由他們在 xyz 軸上的投影由直角

座標的 ˆ ˆ ˆ x y z 表出

ˆ ˆ ˆ ˆsin cos sin sin cos ( 4 )ˆ ˆ ˆ ˆcos cos cos sin sin ( 4 )ˆ ˆ ˆsin cos ( 4 )

r x y z A a

x y z A bx y A c

θ φ θ φ θ

θ θ φ θ φ θϕ φ φ

= + + minus⎧⎪

= + minus minus⎨⎪ = minus + minus⎩

4 ˆdr = 由於 ˆ ˆ( )r r θ φ= 所以由 ϕθ 的變動來看

4-67

ˆ ˆˆ| |ˆ ˆˆ| | sin sin

d r d d

d r d d

θ θθ θθ

φ θ φφ θ φφ

⎧ rArr =⎪⎨

rArr =⎪⎩rArr ˆ ˆˆ sindr d dθ θ φ θ φ= + （A-5）

rArrˆ ˆr θθpart

=part

ˆ ˆsinr θφφpart

=part

（A-6）

（A-6）的結果也可以直接由（A-4a）對 ϕθ 偏微得到

5 ˆdθ ＝ 由於 ˆ ˆ( )θ θ θ φ= 所以由 ϕθ 的變動來看

ˆ ˆ ˆ| | ( )ˆ ˆ ˆ| | cos cos

d d r d r

d d d

θ θ θ θ

φ θ θ φφ φ θ φ

⎧ rArr minus = minus⎪⎨

rArr =⎪⎩rArr ˆdθ ＝ ˆˆ cosrd dθ φ θ φminus + （A-7）

ˆrθ

θpart

rArr = minuspart

ˆ ˆcosθ φ θφpart

=part

（A-8）

請直接由（A-4b）對 ϕθ 偏微的結果 check（A-8）

6 ˆdφ ＝由於φ )(ϕ 躺在 x-y 平面上變動φ時的方向可能不是那麼

容易看出來所以做圖看一看

ie ˆ ˆˆ(sin ) (cos )d r d dφ θ φ θ θ φ= minus minus （A-9）

4-68

ˆ ˆˆsin cosrφ θ θ θφpart

= minus minuspart

7 所有的向量 ˆ ˆˆ rA rA A Aθ φθ φrarr= + +

8 位置向量 ˆr rrrarr=

可以由左圖 ˆ ˆˆ r θ ϕ 三個方向的「長度

變化」輕易的看出

9 位移元素

ˆ ˆˆ ˆ sindr rdr rd dθ θ ϕ θ φ= + + (A-10)

10 體積元素

sindv dr r d rdθ φ θ= sdot sdot

＝ 2 sinr dr d dθ θ φ (A-11)

11 面積元素 2 sinrds r d dθ θ φ= plusmn sinds r drdθ θ φ= plusmn ds rdrdφ θ= plusmn (A-12)

plusmn號表示面的垂直方向有兩個端看 ds 周邊的方向是如何定的

nabladel 考慮 ( )u u r θ φ=

rArru u udu dr d dr

θ φθ φ

part part part= + +part part part

u d rrarr rarr

equiv nabla sdot

urarr

= nabla sdot ˆ ˆˆ( sin )rdr rd dθ θ φ θ φ+ +

rArr1 1ˆ ˆˆ

sinu u uu rr r r

θ ϕθ θ φ

rarr part part partnabla = + +

part part part

1 1ˆ ˆˆsin

rr r r

θ ϕθ θ φ

rarr part part partnabla equiv + +

part part part （A-13）

4-69

直接用（A-13）與 ˆ ˆˆ rA rA A Aθ φθ ϕrarr= + + 逐項內積加上（A-678）

rArr ϕθ

θθθ

ϕθ part

part+

partpart

+partpart

=sdotnablararrrarr A

rA

rAr

rrA r sin

1)(sinsin1)(1 2

2 （A-14）

（A-13）與 ϕθ ϕθ AAArA r

andandandrarr

++= 逐項外積整理之後

ϕθ θϕθ

ϕθθ

θArrAA

r

rrr

rA

r sin

sin

sin1

2 partpart

partpart

partpart

=timesnabla

andandand

rarrrarr

（A-15）

Laplacian uu nablasdotnabla=nabla2

2

2

2222

22

sin1)(sin

sin1)(1

ϕθθθ

θθ partpart

+partpart

partpart

+partpart

partpart

=nablau

ru

rrur

rru （A-16）

B推導「散度」在圓柱座標的寫法

讓我們先回顧一下在直角座標裡的「面積元素」可以由「位移元素」

得到

ˆˆ ˆ x y zdr idx jdy kdz da dydz dxdz dxdy= + + rArr =

比照辦理「圓柱座標」的位移元素

( )ˆˆ ˆ( )

( )z

da d dzdr d d zdz da d dz

da d d

ρ

φ

ρ φ

ρ ρ φ ρ φ ρ

ρ ρ φ

=⎧⎪= + + rArr =⎨⎪ =⎩

這個結論可以輕易的由面積元素在垂直於 zˆˆ ϕρ 三個方向的面積看

出如下圖考慮一個以 )( zϕρ 為中心的「圓柱體積元素」(cylindrical

cubiod)體積為 zdV ΔΔ=Δ ϕρρ 現計算在 ρ

方向的 12 兩個平行面(方向各為 ρplusmn )的通

量

4-70

zzF

dsFdsnFS S

ΔΔ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

+cong

=sdotintint intintϕρρϕρρρ

ρ

2

2

ˆ1 1

zzF

dsFdsnFS S

ΔΔ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

minus⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

minusminuscong

minus=sdotintint intintϕρρϕρρρ

ρ

2

2

ˆ2 2

intint+

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

minus⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

minusminus⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

+Δ

asympsdotΔ

rArr21

22

22

1ˆ1

SS

zFzFdsnFV

ϕρρρρϕρρρρρρ ρρ

( ) ( )

1 20

0

0

1 ˆlim

1lim 2 2 2 2

1 1lim 2 2

1

VS S

F ndsV

F z F z

F z F z

F

ρ ρρ

ρ ρρ

ρ

ρ ρ ρ ρρ ρ φ ρ ρ φρ ρ

ρ ρρ ρ φ ρ ρ φρ ρ

ρρ ρ

Δ rarr+

Δ rarr

Δ rarr

rArr sdotΔ

Δ Δ Δ Δ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + + minus minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥Δ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦Δ Δ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥Δ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

part ⎡ ⎤= ⎣ ⎦part

intint

娛樂一下用上述方式把圓柱的 Fsdotnabla 裡的z

FF z

partpart

+partϕρϕ1

變出來

球座標的nabla和 Fsdotnabla 也可以試試看

補充習題

H M Scheydiv grad curl and all that 4th edition

第二章習題 6 8 9 10 11 14 15 16 18 19 21 22 23 25 26 27

第三章習題 2 3 5 6 7 8 9 10 11 14 15 17 18 19 24

4-62

law ( )S

A dsrarr rarrnablatimes sdotint ＝

C

A drarrsdotint 其中封閉路徑 C 就是上表面的邊界而且

是逆時針（由 z 軸向下看）

C

A drarrsdotint ＝

1 1 0 0

0 0 1 1ˆ ˆ ˆ ˆA xdx A ydy A xdx A ydysdot + sdot + sdot + sdotint int int int

＝1 1 0 0

0 0 1 1x y x yA dx A dy A dx A dy+ + +int int int int 1 1 0 0

0 0 1 1( 0) ( 1) ( 1) ( 0)y dx x dy y dx x dy= minus = + = + minus = + =int int int int

0 1 1 0 2 ( ) 2S

A ds= + + + = rArr nablatimes sdot =int

旋度與 path independence

已知保守場 cF 對所有封閉路徑 C 0cC

F drarrsdot =int 由 Stokersquos 定理

0cC

F drarrsdot =int ＝ ( )cS

F dsrarr rarrnablatimes sdotint rArr 0cF

rarr rarrnablatimes =

這表示保守場＝無旋度反之無旋度的場任兩點間路徑積分與路

徑無關

Ex57 Given a field 2 2ˆ ˆ ˆ2A x xy yx zz= + minus (a) Find Anablatimes A 保守場

解2 2

ˆ ˆ ˆ

2x y z

x y zA

xy x znablatimes = part part part

minus

( ) ( ) ( )2 2 2 2ˆ ˆ ˆ( ) 2 ( ) 2 0y z z x x yx z x y xy z z x xy= part minus minuspart + part minuspart minus + part minuspart =

yes A =保守場

(b)如左圖由 A 到 B 做路徑積分A BC

A drarr

sdotint 路徑 C 為橢圓

22 1

16yx + = 在 x-軸以上的部分

解橢圓部分的路徑元素 d 有點麻煩但因為 A

為保守場所以 A 到 B 做路徑積分可以用 x = -1 到

1 的積分取代

4-63

01 1 1

1 1 1ˆ 2 0

yB

xAA d A xdx A dx xydx

=

minus minus minussdot = sdot = = =int int int int

∵

旋度在柱座標與球座標

前面討論過nabla在不同座標系的寫法旋度也有歸納出的一致寫法

座標 1 2 3 u u u

度量係數

1 2 3 h h h

nabla grad del

直角 x y z

1 1 1 nabla ˆ ˆ ˆx y z

x y zpart part part

equiv + +part part part

圓柱 zρ ϕ

1 1ρ

1ˆ ˆ ˆ zz

ρ ϕρ ρ ϕpart part part

nabla equiv + +part part part

球 r θ ϕ

1 sinr r θ

1 1ˆ ˆˆ sin

rr r r

θ ϕθ θ ϕ

part part partnabla = + +

part part part

所以柱座標與球座標的旋度分別表為

柱座標

ˆ ˆ ˆ1

z

z

Az

AA Aρ ϕ

ρ ρϕ

ρ ρ ϕρ

part part partnablatimes =

part part part （4-109）

球座標 2

ˆ ˆˆ sin1sin

sinr

r r r

Ar r

A rA r Aθ ϕ

θ θϕ

θ θ ϕθ

part part partnablatimes =

part part part （4-110）

ex58 (a) Given the vector function ˆA ϕ= sin (ϕ 2) find Anablatimes

解 2

ˆ ˆˆ sin1sin

0 sin( 2) 0

r r r

Ar r

r

θ θϕ

θ θ ϕϕ

part part partnablatimes =

part part part

4-64

21 ˆˆ cos sin sinsin 2 2 2

rr rr

ϕ ϕθϕθ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

ˆˆ cos sin2 sin 2 2

rr r

ϕ ϕ ϕθ

minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

(b)如左圖一個底面在 x-y 平面半徑＝1高＝2 之圓錐 求面積分

SA dsnablatimes sdotint 面積範圍 S 為圓錐在 x-y 平面以上

部分 方向為由圓錐內向外

解由 Stokersquos law ( )S

A dsrarr rarrnablatimes sdotint ＝

C

A drarrsdotint 其中路

徑 C 為 x-y 平面圓心在原點之單位圓 ˆ ˆd rd dϕ ϕ ϕ ϕ= =

2

0ˆ ˆsin sin

2 2C

d dπϕ ϕϕ ϕ ϕ ϕ⎛ ⎞ ⎛ ⎞sdot =⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠int int ( )0

2 sin u duπ

= int 0cos | 2u π= minus =

習題 16 磁場 B 因為不是保守場所以沒有對應的純量位而對應一

個向量位 A (vector potential)而 B A= nablatimes 一個磁鐵的磁偶極矩

ˆm mz= 被置於原點已知在遠處的 vector potential 03ˆ sin

4mAr

μϕ θπ

=

計算該處的磁場 B Ans 03

ˆˆ( 2cos sin )4

mB rr

μ θ θ θπ

= + 與電偶極遠處

的電場形式一致都是偶極(dipole) 選幾個點畫一畫該處的場向量

把磁力線描出來

附錄本章講義的內容有部分可以經由直接計算得出列在附錄做為

參考

用「圓柱座標」寫 Atimesnabla

Ararr rarrnablatimes ＝ ( )1ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ zz A A zA

z ρ φρ ϕ ρ ϕρ ρ ϕpart part part⎛ ⎞+ + times + +⎜ ⎟part part part⎝ ⎠

4-65

因為rdquo sdotrdquo與rdquotimes rdquo都是向量間的運算所以

＝ ( )ˆ ˆ ˆ ˆ zA A zAρ φρ ρ ϕρpart

times + +part

＋ ( )1ˆ ˆ ˆ ˆ zA A zAρ φϕ ρ ϕρ ϕ

parttimes + +

part

＋ ( )ˆ ˆˆ ˆ zz A A zAz ρ φρ ϕpart

times + +part

直接做上式微分可以得到

＝1ˆ z AA

zϕρ

ρ ϕpart⎛ ⎞part

minus⎜ ⎟part part⎝ ⎠＋ ˆ zA A

zρϕ

ρpart⎛ ⎞part

minus⎜ ⎟part part⎝ ⎠＋

1 1ˆ ( )A

z A ρϕρ

ρ ρ ρ ϕpart⎛ ⎞part

minus⎜ ⎟part part⎝ ⎠

上式可以用一個行列式來表示

rarrrarr

timesnabla A＝

ˆ ˆ ˆ1

z

z

zA A Aρ ϕ

ρ ρϕ

ρ ρ ϕρ

part part partpart part part

（A-1）

A and Anabla nablasdot nablatimes in 球座標 spherical coordinate

如上圖球座標 )( ϕθr 其中 )0[ infinisinr ]0[ πθ isin ]20[ πϕ isin 只有 r

是長度而 ϕθ 為角度是用來說明方向的三個座標的單位向量 ˆ ˆˆ r θ ϕ 具

有下列性質

4-66

1 如上圖 ˆ ˆˆ r θ ϕ 都不是常數而是（ ϕθ ）的函數

ˆ ˆ( )ˆ ˆ( )ˆ ˆ( )

r r θ ϕ

θ θ θ ϕϕ ϕ ϕ

⎧ =⎪

=⎨⎪ =⎩

)( ϕθr 與(xyz)之間的轉換如下

sin cossin sincos

x ry rz r

θ φθ φθ

=⎧⎪ =⎨⎪ =⎩

( )122 2 2

2 2

tan

tan

r x y z

x yz

yx

θ

φ

⎧ = + +⎪⎪ +⎪ =⎨⎪⎪ =⎪⎩

（A-2）

2 ˆ ˆˆ r θ ϕ 形成一「歸一正交集」ie

ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ 1r r θ θ ϕ ϕsdot = sdot = sdot = ˆ ˆr θ ϕperp perp

ˆ ˆr θ ϕtimes = ˆ ˆ rθ ϕtimes = ˆˆ rϕ θtimes = （A-3）

3可以很容易的由他們在 xyz 軸上的投影由直角

座標的 ˆ ˆ ˆ x y z 表出

ˆ ˆ ˆ ˆsin cos sin sin cos ( 4 )ˆ ˆ ˆ ˆcos cos cos sin sin ( 4 )ˆ ˆ ˆsin cos ( 4 )

r x y z A a

x y z A bx y A c

θ φ θ φ θ

θ θ φ θ φ θϕ φ φ

= + + minus⎧⎪

= + minus minus⎨⎪ = minus + minus⎩

4 ˆdr = 由於 ˆ ˆ( )r r θ φ= 所以由 ϕθ 的變動來看

4-67

ˆ ˆˆ| |ˆ ˆˆ| | sin sin

d r d d

d r d d

θ θθ θθ

φ θ φφ θ φφ

⎧ rArr =⎪⎨

rArr =⎪⎩rArr ˆ ˆˆ sindr d dθ θ φ θ φ= + （A-5）

rArrˆ ˆr θθpart

=part

ˆ ˆsinr θφφpart

=part

（A-6）

（A-6）的結果也可以直接由（A-4a）對 ϕθ 偏微得到

5 ˆdθ ＝ 由於 ˆ ˆ( )θ θ θ φ= 所以由 ϕθ 的變動來看

ˆ ˆ ˆ| | ( )ˆ ˆ ˆ| | cos cos

d d r d r

d d d

θ θ θ θ

φ θ θ φφ φ θ φ

⎧ rArr minus = minus⎪⎨

rArr =⎪⎩rArr ˆdθ ＝ ˆˆ cosrd dθ φ θ φminus + （A-7）

ˆrθ

θpart

rArr = minuspart

ˆ ˆcosθ φ θφpart

=part

（A-8）

請直接由（A-4b）對 ϕθ 偏微的結果 check（A-8）

6 ˆdφ ＝由於φ )(ϕ 躺在 x-y 平面上變動φ時的方向可能不是那麼

容易看出來所以做圖看一看

ie ˆ ˆˆ(sin ) (cos )d r d dφ θ φ θ θ φ= minus minus （A-9）

4-68

ˆ ˆˆsin cosrφ θ θ θφpart

= minus minuspart

7 所有的向量 ˆ ˆˆ rA rA A Aθ φθ φrarr= + +

8 位置向量 ˆr rrrarr=

可以由左圖 ˆ ˆˆ r θ ϕ 三個方向的「長度

變化」輕易的看出

9 位移元素

ˆ ˆˆ ˆ sindr rdr rd dθ θ ϕ θ φ= + + (A-10)

10 體積元素

sindv dr r d rdθ φ θ= sdot sdot

＝ 2 sinr dr d dθ θ φ (A-11)

11 面積元素 2 sinrds r d dθ θ φ= plusmn sinds r drdθ θ φ= plusmn ds rdrdφ θ= plusmn (A-12)

plusmn號表示面的垂直方向有兩個端看 ds 周邊的方向是如何定的

nabladel 考慮 ( )u u r θ φ=

rArru u udu dr d dr

θ φθ φ

part part part= + +part part part

u d rrarr rarr

equiv nabla sdot

urarr

= nabla sdot ˆ ˆˆ( sin )rdr rd dθ θ φ θ φ+ +

rArr1 1ˆ ˆˆ

sinu u uu rr r r

θ ϕθ θ φ

rarr part part partnabla = + +

part part part

1 1ˆ ˆˆsin

rr r r

θ ϕθ θ φ

rarr part part partnabla equiv + +

part part part （A-13）

4-69

直接用（A-13）與 ˆ ˆˆ rA rA A Aθ φθ ϕrarr= + + 逐項內積加上（A-678）

rArr ϕθ

θθθ

ϕθ part

part+

partpart

+partpart

=sdotnablararrrarr A

rA

rAr

rrA r sin

1)(sinsin1)(1 2

2 （A-14）

（A-13）與 ϕθ ϕθ AAArA r

andandandrarr

++= 逐項外積整理之後

ϕθ θϕθ

ϕθθ

θArrAA

r

rrr

rA

r sin

sin

sin1

2 partpart

partpart

partpart

=timesnabla

andandand

rarrrarr

（A-15）

Laplacian uu nablasdotnabla=nabla2

2

2

2222

22

sin1)(sin

sin1)(1

ϕθθθ

θθ partpart

+partpart

partpart

+partpart

partpart

=nablau

ru

rrur

rru （A-16）

B推導「散度」在圓柱座標的寫法

讓我們先回顧一下在直角座標裡的「面積元素」可以由「位移元素」

得到

ˆˆ ˆ x y zdr idx jdy kdz da dydz dxdz dxdy= + + rArr =

比照辦理「圓柱座標」的位移元素

( )ˆˆ ˆ( )

( )z

da d dzdr d d zdz da d dz

da d d

ρ

φ

ρ φ

ρ ρ φ ρ φ ρ

ρ ρ φ

=⎧⎪= + + rArr =⎨⎪ =⎩

這個結論可以輕易的由面積元素在垂直於 zˆˆ ϕρ 三個方向的面積看

出如下圖考慮一個以 )( zϕρ 為中心的「圓柱體積元素」(cylindrical

cubiod)體積為 zdV ΔΔ=Δ ϕρρ 現計算在 ρ

方向的 12 兩個平行面(方向各為 ρplusmn )的通

量

4-70

zzF

dsFdsnFS S

ΔΔ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

+cong

=sdotintint intintϕρρϕρρρ

ρ

2

2

ˆ1 1

zzF

dsFdsnFS S

ΔΔ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

minus⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

minusminuscong

minus=sdotintint intintϕρρϕρρρ

ρ

2

2

ˆ2 2

intint+

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

minus⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

minusminus⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

+Δ

asympsdotΔ

rArr21

22

22

1ˆ1

SS

zFzFdsnFV

ϕρρρρϕρρρρρρ ρρ

( ) ( )

1 20

0

0

1 ˆlim

1lim 2 2 2 2

1 1lim 2 2

1

VS S

F ndsV

F z F z

F z F z

F

ρ ρρ

ρ ρρ

ρ

ρ ρ ρ ρρ ρ φ ρ ρ φρ ρ

ρ ρρ ρ φ ρ ρ φρ ρ

ρρ ρ

Δ rarr+

Δ rarr

Δ rarr

rArr sdotΔ

Δ Δ Δ Δ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + + minus minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥Δ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦Δ Δ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥Δ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

part ⎡ ⎤= ⎣ ⎦part

intint

娛樂一下用上述方式把圓柱的 Fsdotnabla 裡的z

FF z

partpart

+partϕρϕ1

變出來

球座標的nabla和 Fsdotnabla 也可以試試看

補充習題

H M Scheydiv grad curl and all that 4th edition

第二章習題 6 8 9 10 11 14 15 16 18 19 21 22 23 25 26 27

第三章習題 2 3 5 6 7 8 9 10 11 14 15 17 18 19 24

4-63

01 1 1

1 1 1ˆ 2 0

yB

xAA d A xdx A dx xydx

=

minus minus minussdot = sdot = = =int int int int

∵

旋度在柱座標與球座標

前面討論過nabla在不同座標系的寫法旋度也有歸納出的一致寫法

座標 1 2 3 u u u

度量係數

1 2 3 h h h

nabla grad del

直角 x y z

1 1 1 nabla ˆ ˆ ˆx y z

x y zpart part part

equiv + +part part part

圓柱 zρ ϕ

1 1ρ

1ˆ ˆ ˆ zz

ρ ϕρ ρ ϕpart part part

nabla equiv + +part part part

球 r θ ϕ

1 sinr r θ

1 1ˆ ˆˆ sin

rr r r

θ ϕθ θ ϕ

part part partnabla = + +

part part part

所以柱座標與球座標的旋度分別表為

柱座標

ˆ ˆ ˆ1

z

z

Az

AA Aρ ϕ

ρ ρϕ

ρ ρ ϕρ

part part partnablatimes =

part part part （4-109）

球座標 2

ˆ ˆˆ sin1sin

sinr

r r r

Ar r

A rA r Aθ ϕ

θ θϕ

θ θ ϕθ

part part partnablatimes =

part part part （4-110）

ex58 (a) Given the vector function ˆA ϕ= sin (ϕ 2) find Anablatimes

解 2

ˆ ˆˆ sin1sin

0 sin( 2) 0

r r r

Ar r

r

θ θϕ

θ θ ϕϕ

part part partnablatimes =

part part part

4-64

21 ˆˆ cos sin sinsin 2 2 2

rr rr

ϕ ϕθϕθ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

ˆˆ cos sin2 sin 2 2

rr r

ϕ ϕ ϕθ

minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

(b)如左圖一個底面在 x-y 平面半徑＝1高＝2 之圓錐 求面積分

SA dsnablatimes sdotint 面積範圍 S 為圓錐在 x-y 平面以上

部分 方向為由圓錐內向外

解由 Stokersquos law ( )S

A dsrarr rarrnablatimes sdotint ＝

C

A drarrsdotint 其中路

徑 C 為 x-y 平面圓心在原點之單位圓 ˆ ˆd rd dϕ ϕ ϕ ϕ= =

2

0ˆ ˆsin sin

2 2C

d dπϕ ϕϕ ϕ ϕ ϕ⎛ ⎞ ⎛ ⎞sdot =⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠int int ( )0

2 sin u duπ

= int 0cos | 2u π= minus =

習題 16 磁場 B 因為不是保守場所以沒有對應的純量位而對應一

個向量位 A (vector potential)而 B A= nablatimes 一個磁鐵的磁偶極矩

ˆm mz= 被置於原點已知在遠處的 vector potential 03ˆ sin

4mAr

μϕ θπ

=

計算該處的磁場 B Ans 03

ˆˆ( 2cos sin )4

mB rr

μ θ θ θπ

= + 與電偶極遠處

的電場形式一致都是偶極(dipole) 選幾個點畫一畫該處的場向量

把磁力線描出來

附錄本章講義的內容有部分可以經由直接計算得出列在附錄做為

參考

用「圓柱座標」寫 Atimesnabla

Ararr rarrnablatimes ＝ ( )1ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ zz A A zA

z ρ φρ ϕ ρ ϕρ ρ ϕpart part part⎛ ⎞+ + times + +⎜ ⎟part part part⎝ ⎠

4-65

因為rdquo sdotrdquo與rdquotimes rdquo都是向量間的運算所以

＝ ( )ˆ ˆ ˆ ˆ zA A zAρ φρ ρ ϕρpart

times + +part

＋ ( )1ˆ ˆ ˆ ˆ zA A zAρ φϕ ρ ϕρ ϕ

parttimes + +

part

＋ ( )ˆ ˆˆ ˆ zz A A zAz ρ φρ ϕpart

times + +part

直接做上式微分可以得到

＝1ˆ z AA

zϕρ

ρ ϕpart⎛ ⎞part

minus⎜ ⎟part part⎝ ⎠＋ ˆ zA A

zρϕ

ρpart⎛ ⎞part

minus⎜ ⎟part part⎝ ⎠＋

1 1ˆ ( )A

z A ρϕρ

ρ ρ ρ ϕpart⎛ ⎞part

minus⎜ ⎟part part⎝ ⎠

上式可以用一個行列式來表示

rarrrarr

timesnabla A＝

ˆ ˆ ˆ1

z

z

zA A Aρ ϕ

ρ ρϕ

ρ ρ ϕρ

part part partpart part part

（A-1）

A and Anabla nablasdot nablatimes in 球座標 spherical coordinate

如上圖球座標 )( ϕθr 其中 )0[ infinisinr ]0[ πθ isin ]20[ πϕ isin 只有 r

是長度而 ϕθ 為角度是用來說明方向的三個座標的單位向量 ˆ ˆˆ r θ ϕ 具

有下列性質

4-66

1 如上圖 ˆ ˆˆ r θ ϕ 都不是常數而是（ ϕθ ）的函數

ˆ ˆ( )ˆ ˆ( )ˆ ˆ( )

r r θ ϕ

θ θ θ ϕϕ ϕ ϕ

⎧ =⎪

=⎨⎪ =⎩

)( ϕθr 與(xyz)之間的轉換如下

sin cossin sincos

x ry rz r

θ φθ φθ

=⎧⎪ =⎨⎪ =⎩

( )122 2 2

2 2

tan

tan

r x y z

x yz

yx

θ

φ

⎧ = + +⎪⎪ +⎪ =⎨⎪⎪ =⎪⎩

（A-2）

2 ˆ ˆˆ r θ ϕ 形成一「歸一正交集」ie

ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ 1r r θ θ ϕ ϕsdot = sdot = sdot = ˆ ˆr θ ϕperp perp

ˆ ˆr θ ϕtimes = ˆ ˆ rθ ϕtimes = ˆˆ rϕ θtimes = （A-3）

3可以很容易的由他們在 xyz 軸上的投影由直角

座標的 ˆ ˆ ˆ x y z 表出

ˆ ˆ ˆ ˆsin cos sin sin cos ( 4 )ˆ ˆ ˆ ˆcos cos cos sin sin ( 4 )ˆ ˆ ˆsin cos ( 4 )

r x y z A a

x y z A bx y A c

θ φ θ φ θ

θ θ φ θ φ θϕ φ φ

= + + minus⎧⎪

= + minus minus⎨⎪ = minus + minus⎩

4 ˆdr = 由於 ˆ ˆ( )r r θ φ= 所以由 ϕθ 的變動來看

4-67

ˆ ˆˆ| |ˆ ˆˆ| | sin sin

d r d d

d r d d

θ θθ θθ

φ θ φφ θ φφ

⎧ rArr =⎪⎨

rArr =⎪⎩rArr ˆ ˆˆ sindr d dθ θ φ θ φ= + （A-5）

rArrˆ ˆr θθpart

=part

ˆ ˆsinr θφφpart

=part

（A-6）

（A-6）的結果也可以直接由（A-4a）對 ϕθ 偏微得到

5 ˆdθ ＝ 由於 ˆ ˆ( )θ θ θ φ= 所以由 ϕθ 的變動來看

ˆ ˆ ˆ| | ( )ˆ ˆ ˆ| | cos cos

d d r d r

d d d

θ θ θ θ

φ θ θ φφ φ θ φ

⎧ rArr minus = minus⎪⎨

rArr =⎪⎩rArr ˆdθ ＝ ˆˆ cosrd dθ φ θ φminus + （A-7）

ˆrθ

θpart

rArr = minuspart

ˆ ˆcosθ φ θφpart

=part

（A-8）

請直接由（A-4b）對 ϕθ 偏微的結果 check（A-8）

6 ˆdφ ＝由於φ )(ϕ 躺在 x-y 平面上變動φ時的方向可能不是那麼

容易看出來所以做圖看一看

ie ˆ ˆˆ(sin ) (cos )d r d dφ θ φ θ θ φ= minus minus （A-9）

4-68

ˆ ˆˆsin cosrφ θ θ θφpart

= minus minuspart

7 所有的向量 ˆ ˆˆ rA rA A Aθ φθ φrarr= + +

8 位置向量 ˆr rrrarr=

可以由左圖 ˆ ˆˆ r θ ϕ 三個方向的「長度

變化」輕易的看出

9 位移元素

ˆ ˆˆ ˆ sindr rdr rd dθ θ ϕ θ φ= + + (A-10)

10 體積元素

sindv dr r d rdθ φ θ= sdot sdot

＝ 2 sinr dr d dθ θ φ (A-11)

11 面積元素 2 sinrds r d dθ θ φ= plusmn sinds r drdθ θ φ= plusmn ds rdrdφ θ= plusmn (A-12)

plusmn號表示面的垂直方向有兩個端看 ds 周邊的方向是如何定的

nabladel 考慮 ( )u u r θ φ=

rArru u udu dr d dr

θ φθ φ

part part part= + +part part part

u d rrarr rarr

equiv nabla sdot

urarr

= nabla sdot ˆ ˆˆ( sin )rdr rd dθ θ φ θ φ+ +

rArr1 1ˆ ˆˆ

sinu u uu rr r r

θ ϕθ θ φ

rarr part part partnabla = + +

part part part

1 1ˆ ˆˆsin

rr r r

θ ϕθ θ φ

rarr part part partnabla equiv + +

part part part （A-13）

4-69

直接用（A-13）與 ˆ ˆˆ rA rA A Aθ φθ ϕrarr= + + 逐項內積加上（A-678）

rArr ϕθ

θθθ

ϕθ part

part+

partpart

+partpart

=sdotnablararrrarr A

rA

rAr

rrA r sin

1)(sinsin1)(1 2

2 （A-14）

（A-13）與 ϕθ ϕθ AAArA r

andandandrarr

++= 逐項外積整理之後

ϕθ θϕθ

ϕθθ

θArrAA

r

rrr

rA

r sin

sin

sin1

2 partpart

partpart

partpart

=timesnabla

andandand

rarrrarr

（A-15）

Laplacian uu nablasdotnabla=nabla2

2

2

2222

22

sin1)(sin

sin1)(1

ϕθθθ

θθ partpart

+partpart

partpart

+partpart

partpart

=nablau

ru

rrur

rru （A-16）

B推導「散度」在圓柱座標的寫法

讓我們先回顧一下在直角座標裡的「面積元素」可以由「位移元素」

得到

ˆˆ ˆ x y zdr idx jdy kdz da dydz dxdz dxdy= + + rArr =

比照辦理「圓柱座標」的位移元素

( )ˆˆ ˆ( )

( )z

da d dzdr d d zdz da d dz

da d d

ρ

φ

ρ φ

ρ ρ φ ρ φ ρ

ρ ρ φ

=⎧⎪= + + rArr =⎨⎪ =⎩

這個結論可以輕易的由面積元素在垂直於 zˆˆ ϕρ 三個方向的面積看

出如下圖考慮一個以 )( zϕρ 為中心的「圓柱體積元素」(cylindrical

cubiod)體積為 zdV ΔΔ=Δ ϕρρ 現計算在 ρ

方向的 12 兩個平行面(方向各為 ρplusmn )的通

量

4-70

zzF

dsFdsnFS S

ΔΔ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

+cong

=sdotintint intintϕρρϕρρρ

ρ

2

2

ˆ1 1

zzF

dsFdsnFS S

ΔΔ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

minus⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

minusminuscong

minus=sdotintint intintϕρρϕρρρ

ρ

2

2

ˆ2 2

intint+

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

minus⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

minusminus⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

+Δ

asympsdotΔ

rArr21

22

22

1ˆ1

SS

zFzFdsnFV

ϕρρρρϕρρρρρρ ρρ

( ) ( )

1 20

0

0

1 ˆlim

1lim 2 2 2 2

1 1lim 2 2

1

VS S

F ndsV

F z F z

F z F z

F

ρ ρρ

ρ ρρ

ρ

ρ ρ ρ ρρ ρ φ ρ ρ φρ ρ

ρ ρρ ρ φ ρ ρ φρ ρ

ρρ ρ

Δ rarr+

Δ rarr

Δ rarr

rArr sdotΔ

Δ Δ Δ Δ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + + minus minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥Δ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦Δ Δ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥Δ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

part ⎡ ⎤= ⎣ ⎦part

intint

娛樂一下用上述方式把圓柱的 Fsdotnabla 裡的z

FF z

partpart

+partϕρϕ1

變出來

球座標的nabla和 Fsdotnabla 也可以試試看

補充習題

H M Scheydiv grad curl and all that 4th edition

第二章習題 6 8 9 10 11 14 15 16 18 19 21 22 23 25 26 27

第三章習題 2 3 5 6 7 8 9 10 11 14 15 17 18 19 24

4-64

21 ˆˆ cos sin sinsin 2 2 2

rr rr

ϕ ϕθϕθ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

ˆˆ cos sin2 sin 2 2

rr r

ϕ ϕ ϕθ

minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

(b)如左圖一個底面在 x-y 平面半徑＝1高＝2 之圓錐 求面積分

SA dsnablatimes sdotint 面積範圍 S 為圓錐在 x-y 平面以上

部分 方向為由圓錐內向外

解由 Stokersquos law ( )S

A dsrarr rarrnablatimes sdotint ＝

C

A drarrsdotint 其中路

徑 C 為 x-y 平面圓心在原點之單位圓 ˆ ˆd rd dϕ ϕ ϕ ϕ= =

2

0ˆ ˆsin sin

2 2C

d dπϕ ϕϕ ϕ ϕ ϕ⎛ ⎞ ⎛ ⎞sdot =⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠int int ( )0

2 sin u duπ

= int 0cos | 2u π= minus =

習題 16 磁場 B 因為不是保守場所以沒有對應的純量位而對應一

個向量位 A (vector potential)而 B A= nablatimes 一個磁鐵的磁偶極矩

ˆm mz= 被置於原點已知在遠處的 vector potential 03ˆ sin

4mAr

μϕ θπ

=

計算該處的磁場 B Ans 03

ˆˆ( 2cos sin )4

mB rr

μ θ θ θπ

= + 與電偶極遠處

的電場形式一致都是偶極(dipole) 選幾個點畫一畫該處的場向量

把磁力線描出來

附錄本章講義的內容有部分可以經由直接計算得出列在附錄做為

參考

用「圓柱座標」寫 Atimesnabla

Ararr rarrnablatimes ＝ ( )1ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ zz A A zA

z ρ φρ ϕ ρ ϕρ ρ ϕpart part part⎛ ⎞+ + times + +⎜ ⎟part part part⎝ ⎠

4-65

因為rdquo sdotrdquo與rdquotimes rdquo都是向量間的運算所以

＝ ( )ˆ ˆ ˆ ˆ zA A zAρ φρ ρ ϕρpart

times + +part

＋ ( )1ˆ ˆ ˆ ˆ zA A zAρ φϕ ρ ϕρ ϕ

parttimes + +

part

＋ ( )ˆ ˆˆ ˆ zz A A zAz ρ φρ ϕpart

times + +part

直接做上式微分可以得到

＝1ˆ z AA

zϕρ

ρ ϕpart⎛ ⎞part

minus⎜ ⎟part part⎝ ⎠＋ ˆ zA A

zρϕ

ρpart⎛ ⎞part

minus⎜ ⎟part part⎝ ⎠＋

1 1ˆ ( )A

z A ρϕρ

ρ ρ ρ ϕpart⎛ ⎞part

minus⎜ ⎟part part⎝ ⎠

上式可以用一個行列式來表示

rarrrarr

timesnabla A＝

ˆ ˆ ˆ1

z

z

zA A Aρ ϕ

ρ ρϕ

ρ ρ ϕρ

part part partpart part part

（A-1）

A and Anabla nablasdot nablatimes in 球座標 spherical coordinate

如上圖球座標 )( ϕθr 其中 )0[ infinisinr ]0[ πθ isin ]20[ πϕ isin 只有 r

是長度而 ϕθ 為角度是用來說明方向的三個座標的單位向量 ˆ ˆˆ r θ ϕ 具

有下列性質

4-66

1 如上圖 ˆ ˆˆ r θ ϕ 都不是常數而是（ ϕθ ）的函數

ˆ ˆ( )ˆ ˆ( )ˆ ˆ( )

r r θ ϕ

θ θ θ ϕϕ ϕ ϕ

⎧ =⎪

=⎨⎪ =⎩

)( ϕθr 與(xyz)之間的轉換如下

sin cossin sincos

x ry rz r

θ φθ φθ

=⎧⎪ =⎨⎪ =⎩

( )122 2 2

2 2

tan

tan

r x y z

x yz

yx

θ

φ

⎧ = + +⎪⎪ +⎪ =⎨⎪⎪ =⎪⎩

（A-2）

2 ˆ ˆˆ r θ ϕ 形成一「歸一正交集」ie

ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ 1r r θ θ ϕ ϕsdot = sdot = sdot = ˆ ˆr θ ϕperp perp

ˆ ˆr θ ϕtimes = ˆ ˆ rθ ϕtimes = ˆˆ rϕ θtimes = （A-3）

3可以很容易的由他們在 xyz 軸上的投影由直角

座標的 ˆ ˆ ˆ x y z 表出

ˆ ˆ ˆ ˆsin cos sin sin cos ( 4 )ˆ ˆ ˆ ˆcos cos cos sin sin ( 4 )ˆ ˆ ˆsin cos ( 4 )

r x y z A a

x y z A bx y A c

θ φ θ φ θ

θ θ φ θ φ θϕ φ φ

= + + minus⎧⎪

= + minus minus⎨⎪ = minus + minus⎩

4 ˆdr = 由於 ˆ ˆ( )r r θ φ= 所以由 ϕθ 的變動來看

4-67

ˆ ˆˆ| |ˆ ˆˆ| | sin sin

d r d d

d r d d

θ θθ θθ

φ θ φφ θ φφ

⎧ rArr =⎪⎨

rArr =⎪⎩rArr ˆ ˆˆ sindr d dθ θ φ θ φ= + （A-5）

rArrˆ ˆr θθpart

=part

ˆ ˆsinr θφφpart

=part

（A-6）

（A-6）的結果也可以直接由（A-4a）對 ϕθ 偏微得到

5 ˆdθ ＝ 由於 ˆ ˆ( )θ θ θ φ= 所以由 ϕθ 的變動來看

ˆ ˆ ˆ| | ( )ˆ ˆ ˆ| | cos cos

d d r d r

d d d

θ θ θ θ

φ θ θ φφ φ θ φ

⎧ rArr minus = minus⎪⎨

rArr =⎪⎩rArr ˆdθ ＝ ˆˆ cosrd dθ φ θ φminus + （A-7）

ˆrθ

θpart

rArr = minuspart

ˆ ˆcosθ φ θφpart

=part

（A-8）

請直接由（A-4b）對 ϕθ 偏微的結果 check（A-8）

6 ˆdφ ＝由於φ )(ϕ 躺在 x-y 平面上變動φ時的方向可能不是那麼

容易看出來所以做圖看一看

ie ˆ ˆˆ(sin ) (cos )d r d dφ θ φ θ θ φ= minus minus （A-9）

4-68

ˆ ˆˆsin cosrφ θ θ θφpart

= minus minuspart

7 所有的向量 ˆ ˆˆ rA rA A Aθ φθ φrarr= + +

8 位置向量 ˆr rrrarr=

可以由左圖 ˆ ˆˆ r θ ϕ 三個方向的「長度

變化」輕易的看出

9 位移元素

ˆ ˆˆ ˆ sindr rdr rd dθ θ ϕ θ φ= + + (A-10)

10 體積元素

sindv dr r d rdθ φ θ= sdot sdot

＝ 2 sinr dr d dθ θ φ (A-11)

11 面積元素 2 sinrds r d dθ θ φ= plusmn sinds r drdθ θ φ= plusmn ds rdrdφ θ= plusmn (A-12)

plusmn號表示面的垂直方向有兩個端看 ds 周邊的方向是如何定的

nabladel 考慮 ( )u u r θ φ=

rArru u udu dr d dr

θ φθ φ

part part part= + +part part part

u d rrarr rarr

equiv nabla sdot

urarr

= nabla sdot ˆ ˆˆ( sin )rdr rd dθ θ φ θ φ+ +

rArr1 1ˆ ˆˆ

sinu u uu rr r r

θ ϕθ θ φ

rarr part part partnabla = + +

part part part

1 1ˆ ˆˆsin

rr r r

θ ϕθ θ φ

rarr part part partnabla equiv + +

part part part （A-13）

4-69

直接用（A-13）與 ˆ ˆˆ rA rA A Aθ φθ ϕrarr= + + 逐項內積加上（A-678）

rArr ϕθ

θθθ

ϕθ part

part+

partpart

+partpart

=sdotnablararrrarr A

rA

rAr

rrA r sin

1)(sinsin1)(1 2

2 （A-14）

（A-13）與 ϕθ ϕθ AAArA r

andandandrarr

++= 逐項外積整理之後

ϕθ θϕθ

ϕθθ

θArrAA

r

rrr

rA

r sin

sin

sin1

2 partpart

partpart

partpart

=timesnabla

andandand

rarrrarr

（A-15）

Laplacian uu nablasdotnabla=nabla2

2

2

2222

22

sin1)(sin

sin1)(1

ϕθθθ

θθ partpart

+partpart

partpart

+partpart

partpart

=nablau

ru

rrur

rru （A-16）

B推導「散度」在圓柱座標的寫法

讓我們先回顧一下在直角座標裡的「面積元素」可以由「位移元素」

得到

ˆˆ ˆ x y zdr idx jdy kdz da dydz dxdz dxdy= + + rArr =

比照辦理「圓柱座標」的位移元素

( )ˆˆ ˆ( )

( )z

da d dzdr d d zdz da d dz

da d d

ρ

φ

ρ φ

ρ ρ φ ρ φ ρ

ρ ρ φ

=⎧⎪= + + rArr =⎨⎪ =⎩

這個結論可以輕易的由面積元素在垂直於 zˆˆ ϕρ 三個方向的面積看

出如下圖考慮一個以 )( zϕρ 為中心的「圓柱體積元素」(cylindrical

cubiod)體積為 zdV ΔΔ=Δ ϕρρ 現計算在 ρ

方向的 12 兩個平行面(方向各為 ρplusmn )的通

量

4-70

zzF

dsFdsnFS S

ΔΔ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

+cong

=sdotintint intintϕρρϕρρρ

ρ

2

2

ˆ1 1

zzF

dsFdsnFS S

ΔΔ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

minus⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

minusminuscong

minus=sdotintint intintϕρρϕρρρ

ρ

2

2

ˆ2 2

intint+

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

minus⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

minusminus⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

+Δ

asympsdotΔ

rArr21

22

22

1ˆ1

SS

zFzFdsnFV

ϕρρρρϕρρρρρρ ρρ

( ) ( )

1 20

0

0

1 ˆlim

1lim 2 2 2 2

1 1lim 2 2

1

VS S

F ndsV

F z F z

F z F z

F

ρ ρρ

ρ ρρ

ρ

ρ ρ ρ ρρ ρ φ ρ ρ φρ ρ

ρ ρρ ρ φ ρ ρ φρ ρ

ρρ ρ

Δ rarr+

Δ rarr

Δ rarr

rArr sdotΔ

Δ Δ Δ Δ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + + minus minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥Δ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦Δ Δ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥Δ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

part ⎡ ⎤= ⎣ ⎦part

intint

娛樂一下用上述方式把圓柱的 Fsdotnabla 裡的z

FF z

partpart

+partϕρϕ1

變出來

球座標的nabla和 Fsdotnabla 也可以試試看

補充習題

H M Scheydiv grad curl and all that 4th edition

第二章習題 6 8 9 10 11 14 15 16 18 19 21 22 23 25 26 27

第三章習題 2 3 5 6 7 8 9 10 11 14 15 17 18 19 24

4-65

因為rdquo sdotrdquo與rdquotimes rdquo都是向量間的運算所以

＝ ( )ˆ ˆ ˆ ˆ zA A zAρ φρ ρ ϕρpart

times + +part

＋ ( )1ˆ ˆ ˆ ˆ zA A zAρ φϕ ρ ϕρ ϕ

parttimes + +

part

＋ ( )ˆ ˆˆ ˆ zz A A zAz ρ φρ ϕpart

times + +part

直接做上式微分可以得到

＝1ˆ z AA

zϕρ

ρ ϕpart⎛ ⎞part

minus⎜ ⎟part part⎝ ⎠＋ ˆ zA A

zρϕ

ρpart⎛ ⎞part

minus⎜ ⎟part part⎝ ⎠＋

1 1ˆ ( )A

z A ρϕρ

ρ ρ ρ ϕpart⎛ ⎞part

minus⎜ ⎟part part⎝ ⎠

上式可以用一個行列式來表示

rarrrarr

timesnabla A＝

ˆ ˆ ˆ1

z

z

zA A Aρ ϕ

ρ ρϕ

ρ ρ ϕρ

part part partpart part part

（A-1）

A and Anabla nablasdot nablatimes in 球座標 spherical coordinate

如上圖球座標 )( ϕθr 其中 )0[ infinisinr ]0[ πθ isin ]20[ πϕ isin 只有 r

是長度而 ϕθ 為角度是用來說明方向的三個座標的單位向量 ˆ ˆˆ r θ ϕ 具

有下列性質

4-66

1 如上圖 ˆ ˆˆ r θ ϕ 都不是常數而是（ ϕθ ）的函數

ˆ ˆ( )ˆ ˆ( )ˆ ˆ( )

r r θ ϕ

θ θ θ ϕϕ ϕ ϕ

⎧ =⎪

=⎨⎪ =⎩

)( ϕθr 與(xyz)之間的轉換如下

sin cossin sincos

x ry rz r

θ φθ φθ

=⎧⎪ =⎨⎪ =⎩

( )122 2 2

2 2

tan

tan

r x y z

x yz

yx

θ

φ

⎧ = + +⎪⎪ +⎪ =⎨⎪⎪ =⎪⎩

（A-2）

2 ˆ ˆˆ r θ ϕ 形成一「歸一正交集」ie

ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ 1r r θ θ ϕ ϕsdot = sdot = sdot = ˆ ˆr θ ϕperp perp

ˆ ˆr θ ϕtimes = ˆ ˆ rθ ϕtimes = ˆˆ rϕ θtimes = （A-3）

3可以很容易的由他們在 xyz 軸上的投影由直角

座標的 ˆ ˆ ˆ x y z 表出

ˆ ˆ ˆ ˆsin cos sin sin cos ( 4 )ˆ ˆ ˆ ˆcos cos cos sin sin ( 4 )ˆ ˆ ˆsin cos ( 4 )

r x y z A a

x y z A bx y A c

θ φ θ φ θ

θ θ φ θ φ θϕ φ φ

= + + minus⎧⎪

= + minus minus⎨⎪ = minus + minus⎩

4 ˆdr = 由於 ˆ ˆ( )r r θ φ= 所以由 ϕθ 的變動來看

4-67

ˆ ˆˆ| |ˆ ˆˆ| | sin sin

d r d d

d r d d

θ θθ θθ

φ θ φφ θ φφ

⎧ rArr =⎪⎨

rArr =⎪⎩rArr ˆ ˆˆ sindr d dθ θ φ θ φ= + （A-5）

rArrˆ ˆr θθpart

=part

ˆ ˆsinr θφφpart

=part

（A-6）

（A-6）的結果也可以直接由（A-4a）對 ϕθ 偏微得到

5 ˆdθ ＝ 由於 ˆ ˆ( )θ θ θ φ= 所以由 ϕθ 的變動來看

ˆ ˆ ˆ| | ( )ˆ ˆ ˆ| | cos cos

d d r d r

d d d

θ θ θ θ

φ θ θ φφ φ θ φ

⎧ rArr minus = minus⎪⎨

rArr =⎪⎩rArr ˆdθ ＝ ˆˆ cosrd dθ φ θ φminus + （A-7）

ˆrθ

θpart

rArr = minuspart

ˆ ˆcosθ φ θφpart

=part

（A-8）

請直接由（A-4b）對 ϕθ 偏微的結果 check（A-8）

6 ˆdφ ＝由於φ )(ϕ 躺在 x-y 平面上變動φ時的方向可能不是那麼

容易看出來所以做圖看一看

ie ˆ ˆˆ(sin ) (cos )d r d dφ θ φ θ θ φ= minus minus （A-9）

4-68

ˆ ˆˆsin cosrφ θ θ θφpart

= minus minuspart

7 所有的向量 ˆ ˆˆ rA rA A Aθ φθ φrarr= + +

8 位置向量 ˆr rrrarr=

可以由左圖 ˆ ˆˆ r θ ϕ 三個方向的「長度

變化」輕易的看出

9 位移元素

ˆ ˆˆ ˆ sindr rdr rd dθ θ ϕ θ φ= + + (A-10)

10 體積元素

sindv dr r d rdθ φ θ= sdot sdot

＝ 2 sinr dr d dθ θ φ (A-11)

11 面積元素 2 sinrds r d dθ θ φ= plusmn sinds r drdθ θ φ= plusmn ds rdrdφ θ= plusmn (A-12)

plusmn號表示面的垂直方向有兩個端看 ds 周邊的方向是如何定的

nabladel 考慮 ( )u u r θ φ=

rArru u udu dr d dr

θ φθ φ

part part part= + +part part part

u d rrarr rarr

equiv nabla sdot

urarr

= nabla sdot ˆ ˆˆ( sin )rdr rd dθ θ φ θ φ+ +

rArr1 1ˆ ˆˆ

sinu u uu rr r r

θ ϕθ θ φ

rarr part part partnabla = + +

part part part

1 1ˆ ˆˆsin

rr r r

θ ϕθ θ φ

rarr part part partnabla equiv + +

part part part （A-13）

4-69

直接用（A-13）與 ˆ ˆˆ rA rA A Aθ φθ ϕrarr= + + 逐項內積加上（A-678）

rArr ϕθ

θθθ

ϕθ part

part+

partpart

+partpart

=sdotnablararrrarr A

rA

rAr

rrA r sin

1)(sinsin1)(1 2

2 （A-14）

（A-13）與 ϕθ ϕθ AAArA r

andandandrarr

++= 逐項外積整理之後

ϕθ θϕθ

ϕθθ

θArrAA

r

rrr

rA

r sin

sin

sin1

2 partpart

partpart

partpart

=timesnabla

andandand

rarrrarr

（A-15）

Laplacian uu nablasdotnabla=nabla2

2

2

2222

22

sin1)(sin

sin1)(1

ϕθθθ

θθ partpart

+partpart

partpart

+partpart

partpart

=nablau

ru

rrur

rru （A-16）

B推導「散度」在圓柱座標的寫法

讓我們先回顧一下在直角座標裡的「面積元素」可以由「位移元素」

得到

ˆˆ ˆ x y zdr idx jdy kdz da dydz dxdz dxdy= + + rArr =

比照辦理「圓柱座標」的位移元素

( )ˆˆ ˆ( )

( )z

da d dzdr d d zdz da d dz

da d d

ρ

φ

ρ φ

ρ ρ φ ρ φ ρ

ρ ρ φ

=⎧⎪= + + rArr =⎨⎪ =⎩

這個結論可以輕易的由面積元素在垂直於 zˆˆ ϕρ 三個方向的面積看

出如下圖考慮一個以 )( zϕρ 為中心的「圓柱體積元素」(cylindrical

cubiod)體積為 zdV ΔΔ=Δ ϕρρ 現計算在 ρ

方向的 12 兩個平行面(方向各為 ρplusmn )的通

量

4-70

zzF

dsFdsnFS S

ΔΔ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

+cong

=sdotintint intintϕρρϕρρρ

ρ

2

2

ˆ1 1

zzF

dsFdsnFS S

ΔΔ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

minus⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

minusminuscong

minus=sdotintint intintϕρρϕρρρ

ρ

2

2

ˆ2 2

intint+

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

minus⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

minusminus⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

+Δ

asympsdotΔ

rArr21

22

22

1ˆ1

SS

zFzFdsnFV

ϕρρρρϕρρρρρρ ρρ

( ) ( )

1 20

0

0

1 ˆlim

1lim 2 2 2 2

1 1lim 2 2

1

VS S

F ndsV

F z F z

F z F z

F

ρ ρρ

ρ ρρ

ρ

ρ ρ ρ ρρ ρ φ ρ ρ φρ ρ

ρ ρρ ρ φ ρ ρ φρ ρ

ρρ ρ

Δ rarr+

Δ rarr

Δ rarr

rArr sdotΔ

Δ Δ Δ Δ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + + minus minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥Δ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦Δ Δ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥Δ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

part ⎡ ⎤= ⎣ ⎦part

intint

娛樂一下用上述方式把圓柱的 Fsdotnabla 裡的z

FF z

partpart

+partϕρϕ1

變出來

球座標的nabla和 Fsdotnabla 也可以試試看

補充習題

H M Scheydiv grad curl and all that 4th edition

第二章習題 6 8 9 10 11 14 15 16 18 19 21 22 23 25 26 27

第三章習題 2 3 5 6 7 8 9 10 11 14 15 17 18 19 24

4-66

1 如上圖 ˆ ˆˆ r θ ϕ 都不是常數而是（ ϕθ ）的函數

ˆ ˆ( )ˆ ˆ( )ˆ ˆ( )

r r θ ϕ

θ θ θ ϕϕ ϕ ϕ

⎧ =⎪

=⎨⎪ =⎩

)( ϕθr 與(xyz)之間的轉換如下

sin cossin sincos

x ry rz r

θ φθ φθ

=⎧⎪ =⎨⎪ =⎩

( )122 2 2

2 2

tan

tan

r x y z

x yz

yx

θ

φ

⎧ = + +⎪⎪ +⎪ =⎨⎪⎪ =⎪⎩

（A-2）

2 ˆ ˆˆ r θ ϕ 形成一「歸一正交集」ie

ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ 1r r θ θ ϕ ϕsdot = sdot = sdot = ˆ ˆr θ ϕperp perp

ˆ ˆr θ ϕtimes = ˆ ˆ rθ ϕtimes = ˆˆ rϕ θtimes = （A-3）

3可以很容易的由他們在 xyz 軸上的投影由直角

座標的 ˆ ˆ ˆ x y z 表出

ˆ ˆ ˆ ˆsin cos sin sin cos ( 4 )ˆ ˆ ˆ ˆcos cos cos sin sin ( 4 )ˆ ˆ ˆsin cos ( 4 )

r x y z A a

x y z A bx y A c

θ φ θ φ θ

θ θ φ θ φ θϕ φ φ

= + + minus⎧⎪

= + minus minus⎨⎪ = minus + minus⎩

4 ˆdr = 由於 ˆ ˆ( )r r θ φ= 所以由 ϕθ 的變動來看

4-67

ˆ ˆˆ| |ˆ ˆˆ| | sin sin

d r d d

d r d d

θ θθ θθ

φ θ φφ θ φφ

⎧ rArr =⎪⎨

rArr =⎪⎩rArr ˆ ˆˆ sindr d dθ θ φ θ φ= + （A-5）

rArrˆ ˆr θθpart

=part

ˆ ˆsinr θφφpart

=part

（A-6）

（A-6）的結果也可以直接由（A-4a）對 ϕθ 偏微得到

5 ˆdθ ＝ 由於 ˆ ˆ( )θ θ θ φ= 所以由 ϕθ 的變動來看

ˆ ˆ ˆ| | ( )ˆ ˆ ˆ| | cos cos

d d r d r

d d d

θ θ θ θ

φ θ θ φφ φ θ φ

⎧ rArr minus = minus⎪⎨

rArr =⎪⎩rArr ˆdθ ＝ ˆˆ cosrd dθ φ θ φminus + （A-7）

ˆrθ

θpart

rArr = minuspart

ˆ ˆcosθ φ θφpart

=part

（A-8）

請直接由（A-4b）對 ϕθ 偏微的結果 check（A-8）

6 ˆdφ ＝由於φ )(ϕ 躺在 x-y 平面上變動φ時的方向可能不是那麼

容易看出來所以做圖看一看

ie ˆ ˆˆ(sin ) (cos )d r d dφ θ φ θ θ φ= minus minus （A-9）

4-68

ˆ ˆˆsin cosrφ θ θ θφpart

= minus minuspart

7 所有的向量 ˆ ˆˆ rA rA A Aθ φθ φrarr= + +

8 位置向量 ˆr rrrarr=

可以由左圖 ˆ ˆˆ r θ ϕ 三個方向的「長度

變化」輕易的看出

9 位移元素

ˆ ˆˆ ˆ sindr rdr rd dθ θ ϕ θ φ= + + (A-10)

10 體積元素

sindv dr r d rdθ φ θ= sdot sdot

＝ 2 sinr dr d dθ θ φ (A-11)

11 面積元素 2 sinrds r d dθ θ φ= plusmn sinds r drdθ θ φ= plusmn ds rdrdφ θ= plusmn (A-12)

plusmn號表示面的垂直方向有兩個端看 ds 周邊的方向是如何定的

nabladel 考慮 ( )u u r θ φ=

rArru u udu dr d dr

θ φθ φ

part part part= + +part part part

u d rrarr rarr

equiv nabla sdot

urarr

= nabla sdot ˆ ˆˆ( sin )rdr rd dθ θ φ θ φ+ +

rArr1 1ˆ ˆˆ

sinu u uu rr r r

θ ϕθ θ φ

rarr part part partnabla = + +

part part part

1 1ˆ ˆˆsin

rr r r

θ ϕθ θ φ

rarr part part partnabla equiv + +

part part part （A-13）

4-69

直接用（A-13）與 ˆ ˆˆ rA rA A Aθ φθ ϕrarr= + + 逐項內積加上（A-678）

rArr ϕθ

θθθ

ϕθ part

part+

partpart

+partpart

=sdotnablararrrarr A

rA

rAr

rrA r sin

1)(sinsin1)(1 2

2 （A-14）

（A-13）與 ϕθ ϕθ AAArA r

andandandrarr

++= 逐項外積整理之後

ϕθ θϕθ

ϕθθ

θArrAA

r

rrr

rA

r sin

sin

sin1

2 partpart

partpart

partpart

=timesnabla

andandand

rarrrarr

（A-15）

Laplacian uu nablasdotnabla=nabla2

2

2

2222

22

sin1)(sin

sin1)(1

ϕθθθ

θθ partpart

+partpart

partpart

+partpart

partpart

=nablau

ru

rrur

rru （A-16）

B推導「散度」在圓柱座標的寫法

讓我們先回顧一下在直角座標裡的「面積元素」可以由「位移元素」

得到

ˆˆ ˆ x y zdr idx jdy kdz da dydz dxdz dxdy= + + rArr =

比照辦理「圓柱座標」的位移元素

( )ˆˆ ˆ( )

( )z

da d dzdr d d zdz da d dz

da d d

ρ

φ

ρ φ

ρ ρ φ ρ φ ρ

ρ ρ φ

=⎧⎪= + + rArr =⎨⎪ =⎩

這個結論可以輕易的由面積元素在垂直於 zˆˆ ϕρ 三個方向的面積看

出如下圖考慮一個以 )( zϕρ 為中心的「圓柱體積元素」(cylindrical

cubiod)體積為 zdV ΔΔ=Δ ϕρρ 現計算在 ρ

方向的 12 兩個平行面(方向各為 ρplusmn )的通

量

4-70

zzF

dsFdsnFS S

ΔΔ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

+cong

=sdotintint intintϕρρϕρρρ

ρ

2

2

ˆ1 1

zzF

dsFdsnFS S

ΔΔ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

minus⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

minusminuscong

minus=sdotintint intintϕρρϕρρρ

ρ

2

2

ˆ2 2

intint+

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

minus⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

minusminus⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

+Δ

asympsdotΔ

rArr21

22

22

1ˆ1

SS

zFzFdsnFV

ϕρρρρϕρρρρρρ ρρ

( ) ( )

1 20

0

0

1 ˆlim

1lim 2 2 2 2

1 1lim 2 2

1

VS S

F ndsV

F z F z

F z F z

F

ρ ρρ

ρ ρρ

ρ

ρ ρ ρ ρρ ρ φ ρ ρ φρ ρ

ρ ρρ ρ φ ρ ρ φρ ρ

ρρ ρ

Δ rarr+

Δ rarr

Δ rarr

rArr sdotΔ

Δ Δ Δ Δ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + + minus minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥Δ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦Δ Δ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥Δ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

part ⎡ ⎤= ⎣ ⎦part

intint

娛樂一下用上述方式把圓柱的 Fsdotnabla 裡的z

FF z

partpart

+partϕρϕ1

變出來

球座標的nabla和 Fsdotnabla 也可以試試看

補充習題

H M Scheydiv grad curl and all that 4th edition

第二章習題 6 8 9 10 11 14 15 16 18 19 21 22 23 25 26 27

第三章習題 2 3 5 6 7 8 9 10 11 14 15 17 18 19 24

4-67

ˆ ˆˆ| |ˆ ˆˆ| | sin sin

d r d d

d r d d

θ θθ θθ

φ θ φφ θ φφ

⎧ rArr =⎪⎨

rArr =⎪⎩rArr ˆ ˆˆ sindr d dθ θ φ θ φ= + （A-5）

rArrˆ ˆr θθpart

=part

ˆ ˆsinr θφφpart

=part

（A-6）

（A-6）的結果也可以直接由（A-4a）對 ϕθ 偏微得到

5 ˆdθ ＝ 由於 ˆ ˆ( )θ θ θ φ= 所以由 ϕθ 的變動來看

ˆ ˆ ˆ| | ( )ˆ ˆ ˆ| | cos cos

d d r d r

d d d

θ θ θ θ

φ θ θ φφ φ θ φ

⎧ rArr minus = minus⎪⎨

rArr =⎪⎩rArr ˆdθ ＝ ˆˆ cosrd dθ φ θ φminus + （A-7）

ˆrθ

θpart

rArr = minuspart

ˆ ˆcosθ φ θφpart

=part

（A-8）

請直接由（A-4b）對 ϕθ 偏微的結果 check（A-8）

6 ˆdφ ＝由於φ )(ϕ 躺在 x-y 平面上變動φ時的方向可能不是那麼

容易看出來所以做圖看一看

ie ˆ ˆˆ(sin ) (cos )d r d dφ θ φ θ θ φ= minus minus （A-9）

4-68

ˆ ˆˆsin cosrφ θ θ θφpart

= minus minuspart

7 所有的向量 ˆ ˆˆ rA rA A Aθ φθ φrarr= + +

8 位置向量 ˆr rrrarr=

可以由左圖 ˆ ˆˆ r θ ϕ 三個方向的「長度

變化」輕易的看出

9 位移元素

ˆ ˆˆ ˆ sindr rdr rd dθ θ ϕ θ φ= + + (A-10)

10 體積元素

sindv dr r d rdθ φ θ= sdot sdot

＝ 2 sinr dr d dθ θ φ (A-11)

11 面積元素 2 sinrds r d dθ θ φ= plusmn sinds r drdθ θ φ= plusmn ds rdrdφ θ= plusmn (A-12)

plusmn號表示面的垂直方向有兩個端看 ds 周邊的方向是如何定的

nabladel 考慮 ( )u u r θ φ=

rArru u udu dr d dr

θ φθ φ

part part part= + +part part part

u d rrarr rarr

equiv nabla sdot

urarr

= nabla sdot ˆ ˆˆ( sin )rdr rd dθ θ φ θ φ+ +

rArr1 1ˆ ˆˆ

sinu u uu rr r r

θ ϕθ θ φ

rarr part part partnabla = + +

part part part

1 1ˆ ˆˆsin

rr r r

θ ϕθ θ φ

rarr part part partnabla equiv + +

part part part （A-13）

4-69

直接用（A-13）與 ˆ ˆˆ rA rA A Aθ φθ ϕrarr= + + 逐項內積加上（A-678）

rArr ϕθ

θθθ

ϕθ part

part+

partpart

+partpart

=sdotnablararrrarr A

rA

rAr

rrA r sin

1)(sinsin1)(1 2

2 （A-14）

（A-13）與 ϕθ ϕθ AAArA r

andandandrarr

++= 逐項外積整理之後

ϕθ θϕθ

ϕθθ

θArrAA

r

rrr

rA

r sin

sin

sin1

2 partpart

partpart

partpart

=timesnabla

andandand

rarrrarr

（A-15）

Laplacian uu nablasdotnabla=nabla2

2

2

2222

22

sin1)(sin

sin1)(1

ϕθθθ

θθ partpart

+partpart

partpart

+partpart

partpart

=nablau

ru

rrur

rru （A-16）

B推導「散度」在圓柱座標的寫法

讓我們先回顧一下在直角座標裡的「面積元素」可以由「位移元素」

得到

ˆˆ ˆ x y zdr idx jdy kdz da dydz dxdz dxdy= + + rArr =

比照辦理「圓柱座標」的位移元素

( )ˆˆ ˆ( )

( )z

da d dzdr d d zdz da d dz

da d d

ρ

φ

ρ φ

ρ ρ φ ρ φ ρ

ρ ρ φ

=⎧⎪= + + rArr =⎨⎪ =⎩

這個結論可以輕易的由面積元素在垂直於 zˆˆ ϕρ 三個方向的面積看

出如下圖考慮一個以 )( zϕρ 為中心的「圓柱體積元素」(cylindrical

cubiod)體積為 zdV ΔΔ=Δ ϕρρ 現計算在 ρ

方向的 12 兩個平行面(方向各為 ρplusmn )的通

量

4-70

zzF

dsFdsnFS S

ΔΔ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

+cong

=sdotintint intintϕρρϕρρρ

ρ

2

2

ˆ1 1

zzF

dsFdsnFS S

ΔΔ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

minus⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

minusminuscong

minus=sdotintint intintϕρρϕρρρ

ρ

2

2

ˆ2 2

intint+

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

minus⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

minusminus⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

+Δ

asympsdotΔ

rArr21

22

22

1ˆ1

SS

zFzFdsnFV

ϕρρρρϕρρρρρρ ρρ

( ) ( )

1 20

0

0

1 ˆlim

1lim 2 2 2 2

1 1lim 2 2

1

VS S

F ndsV

F z F z

F z F z

F

ρ ρρ

ρ ρρ

ρ

ρ ρ ρ ρρ ρ φ ρ ρ φρ ρ

ρ ρρ ρ φ ρ ρ φρ ρ

ρρ ρ

Δ rarr+

Δ rarr

Δ rarr

rArr sdotΔ

Δ Δ Δ Δ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + + minus minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥Δ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦Δ Δ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥Δ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

part ⎡ ⎤= ⎣ ⎦part

intint

娛樂一下用上述方式把圓柱的 Fsdotnabla 裡的z

FF z

partpart

+partϕρϕ1

變出來

球座標的nabla和 Fsdotnabla 也可以試試看

補充習題

H M Scheydiv grad curl and all that 4th edition

第二章習題 6 8 9 10 11 14 15 16 18 19 21 22 23 25 26 27

第三章習題 2 3 5 6 7 8 9 10 11 14 15 17 18 19 24

4-68

ˆ ˆˆsin cosrφ θ θ θφpart

= minus minuspart

7 所有的向量 ˆ ˆˆ rA rA A Aθ φθ φrarr= + +

8 位置向量 ˆr rrrarr=

可以由左圖 ˆ ˆˆ r θ ϕ 三個方向的「長度

變化」輕易的看出

9 位移元素

ˆ ˆˆ ˆ sindr rdr rd dθ θ ϕ θ φ= + + (A-10)

10 體積元素

sindv dr r d rdθ φ θ= sdot sdot

＝ 2 sinr dr d dθ θ φ (A-11)

11 面積元素 2 sinrds r d dθ θ φ= plusmn sinds r drdθ θ φ= plusmn ds rdrdφ θ= plusmn (A-12)

plusmn號表示面的垂直方向有兩個端看 ds 周邊的方向是如何定的

nabladel 考慮 ( )u u r θ φ=

rArru u udu dr d dr

θ φθ φ

part part part= + +part part part

u d rrarr rarr

equiv nabla sdot

urarr

= nabla sdot ˆ ˆˆ( sin )rdr rd dθ θ φ θ φ+ +

rArr1 1ˆ ˆˆ

sinu u uu rr r r

θ ϕθ θ φ

rarr part part partnabla = + +

part part part

1 1ˆ ˆˆsin

rr r r

θ ϕθ θ φ

rarr part part partnabla equiv + +

part part part （A-13）

4-69

直接用（A-13）與 ˆ ˆˆ rA rA A Aθ φθ ϕrarr= + + 逐項內積加上（A-678）

rArr ϕθ

θθθ

ϕθ part

part+

partpart

+partpart

=sdotnablararrrarr A

rA

rAr

rrA r sin

1)(sinsin1)(1 2

2 （A-14）

（A-13）與 ϕθ ϕθ AAArA r

andandandrarr

++= 逐項外積整理之後

ϕθ θϕθ

ϕθθ

θArrAA

r

rrr

rA

r sin

sin

sin1

2 partpart

partpart

partpart

=timesnabla

andandand

rarrrarr

（A-15）

Laplacian uu nablasdotnabla=nabla2

2

2

2222

22

sin1)(sin

sin1)(1

ϕθθθ

θθ partpart

+partpart

partpart

+partpart

partpart

=nablau

ru

rrur

rru （A-16）

B推導「散度」在圓柱座標的寫法

讓我們先回顧一下在直角座標裡的「面積元素」可以由「位移元素」

得到

ˆˆ ˆ x y zdr idx jdy kdz da dydz dxdz dxdy= + + rArr =

比照辦理「圓柱座標」的位移元素

( )ˆˆ ˆ( )

( )z

da d dzdr d d zdz da d dz

da d d

ρ

φ

ρ φ

ρ ρ φ ρ φ ρ

ρ ρ φ

=⎧⎪= + + rArr =⎨⎪ =⎩

這個結論可以輕易的由面積元素在垂直於 zˆˆ ϕρ 三個方向的面積看

出如下圖考慮一個以 )( zϕρ 為中心的「圓柱體積元素」(cylindrical

cubiod)體積為 zdV ΔΔ=Δ ϕρρ 現計算在 ρ

方向的 12 兩個平行面(方向各為 ρplusmn )的通

量

4-70

zzF

dsFdsnFS S

ΔΔ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

+cong

=sdotintint intintϕρρϕρρρ

ρ

2

2

ˆ1 1

zzF

dsFdsnFS S

ΔΔ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

minus⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

minusminuscong

minus=sdotintint intintϕρρϕρρρ

ρ

2

2

ˆ2 2

intint+

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

minus⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

minusminus⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

+Δ

asympsdotΔ

rArr21

22

22

1ˆ1

SS

zFzFdsnFV

ϕρρρρϕρρρρρρ ρρ

( ) ( )

1 20

0

0

1 ˆlim

1lim 2 2 2 2

1 1lim 2 2

1

VS S

F ndsV

F z F z

F z F z

F

ρ ρρ

ρ ρρ

ρ

ρ ρ ρ ρρ ρ φ ρ ρ φρ ρ

ρ ρρ ρ φ ρ ρ φρ ρ

ρρ ρ

Δ rarr+

Δ rarr

Δ rarr

rArr sdotΔ

Δ Δ Δ Δ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + + minus minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥Δ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦Δ Δ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥Δ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

part ⎡ ⎤= ⎣ ⎦part

intint

娛樂一下用上述方式把圓柱的 Fsdotnabla 裡的z

FF z

partpart

+partϕρϕ1

變出來

球座標的nabla和 Fsdotnabla 也可以試試看

補充習題

H M Scheydiv grad curl and all that 4th edition

第二章習題 6 8 9 10 11 14 15 16 18 19 21 22 23 25 26 27

第三章習題 2 3 5 6 7 8 9 10 11 14 15 17 18 19 24

4-69

直接用（A-13）與 ˆ ˆˆ rA rA A Aθ φθ ϕrarr= + + 逐項內積加上（A-678）

rArr ϕθ

θθθ

ϕθ part

part+

partpart

+partpart

=sdotnablararrrarr A

rA

rAr

rrA r sin

1)(sinsin1)(1 2

2 （A-14）

（A-13）與 ϕθ ϕθ AAArA r

andandandrarr

++= 逐項外積整理之後

ϕθ θϕθ

ϕθθ

θArrAA

r

rrr

rA

r sin

sin

sin1

2 partpart

partpart

partpart

=timesnabla

andandand

rarrrarr

（A-15）

Laplacian uu nablasdotnabla=nabla2

2

2

2222

22

sin1)(sin

sin1)(1

ϕθθθ

θθ partpart

+partpart

partpart

+partpart

partpart

=nablau

ru

rrur

rru （A-16）

B推導「散度」在圓柱座標的寫法

讓我們先回顧一下在直角座標裡的「面積元素」可以由「位移元素」

得到

ˆˆ ˆ x y zdr idx jdy kdz da dydz dxdz dxdy= + + rArr =

比照辦理「圓柱座標」的位移元素

( )ˆˆ ˆ( )

( )z

da d dzdr d d zdz da d dz

da d d

ρ

φ

ρ φ

ρ ρ φ ρ φ ρ

ρ ρ φ

=⎧⎪= + + rArr =⎨⎪ =⎩

這個結論可以輕易的由面積元素在垂直於 zˆˆ ϕρ 三個方向的面積看

出如下圖考慮一個以 )( zϕρ 為中心的「圓柱體積元素」(cylindrical

cubiod)體積為 zdV ΔΔ=Δ ϕρρ 現計算在 ρ

方向的 12 兩個平行面(方向各為 ρplusmn )的通

量

4-70

zzF

dsFdsnFS S

ΔΔ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

+cong

=sdotintint intintϕρρϕρρρ

ρ

2

2

ˆ1 1

zzF

dsFdsnFS S

ΔΔ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

minus⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

minusminuscong

minus=sdotintint intintϕρρϕρρρ

ρ

2

2

ˆ2 2

intint+

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

minus⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

minusminus⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

+Δ

asympsdotΔ

rArr21

22

22

1ˆ1

SS

zFzFdsnFV

ϕρρρρϕρρρρρρ ρρ

( ) ( )

1 20

0

0

1 ˆlim

1lim 2 2 2 2

1 1lim 2 2

1

VS S

F ndsV

F z F z

F z F z

F

ρ ρρ

ρ ρρ

ρ

ρ ρ ρ ρρ ρ φ ρ ρ φρ ρ

ρ ρρ ρ φ ρ ρ φρ ρ

ρρ ρ

Δ rarr+

Δ rarr

Δ rarr

rArr sdotΔ

Δ Δ Δ Δ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + + minus minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥Δ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦Δ Δ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥Δ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

part ⎡ ⎤= ⎣ ⎦part

intint

娛樂一下用上述方式把圓柱的 Fsdotnabla 裡的z

FF z

partpart

+partϕρϕ1

變出來

球座標的nabla和 Fsdotnabla 也可以試試看

補充習題

H M Scheydiv grad curl and all that 4th edition

第二章習題 6 8 9 10 11 14 15 16 18 19 21 22 23 25 26 27

第三章習題 2 3 5 6 7 8 9 10 11 14 15 17 18 19 24

4-70

zzF

dsFdsnFS S

ΔΔ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

+cong

=sdotintint intintϕρρϕρρρ

ρ

2

2

ˆ1 1

zzF

dsFdsnFS S

ΔΔ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

minus⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

minusminuscong

minus=sdotintint intintϕρρϕρρρ

ρ

2

2

ˆ2 2

intint+

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

minus⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

minusminus⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

+Δ

asympsdotΔ

rArr21

22

22

1ˆ1

SS

zFzFdsnFV

ϕρρρρϕρρρρρρ ρρ

( ) ( )

1 20

0

0

1 ˆlim

1lim 2 2 2 2

1 1lim 2 2

1

VS S

F ndsV

F z F z

F z F z

F

ρ ρρ

ρ ρρ

ρ

ρ ρ ρ ρρ ρ φ ρ ρ φρ ρ

ρ ρρ ρ φ ρ ρ φρ ρ

ρρ ρ

Δ rarr+

Δ rarr

Δ rarr

rArr sdotΔ

Δ Δ Δ Δ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + + minus minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥Δ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦Δ Δ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥Δ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

part ⎡ ⎤= ⎣ ⎦part

intint

娛樂一下用上述方式把圓柱的 Fsdotnabla 裡的z

FF z

partpart

+partϕρϕ1

變出來

球座標的nabla和 Fsdotnabla 也可以試試看

補充習題

H M Scheydiv grad curl and all that 4th edition

第二章習題 6 8 9 10 11 14 15 16 18 19 21 22 23 25 26 27

第三章習題 2 3 5 6 7 8 9 10 11 14 15 17 18 19 24