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苏苏 涛涛
西安电子科技大学，电子工程学院西安电子科技大学，电子工程学院710071710071
2222、、General General ChebyshevChebyshev滤波器滤波器设计设计
介质滤波器双工器
General General ChebyshevChebyshev综合综合
1. General 1. General ChebyshevChebyshev函数和综合函数和综合
2. 2. 耦合矩阵求解耦合矩阵求解
General General ChebyshevChebyshev综合综合
11、、General General ChebyshevChebyshev函数和综合函数和综合
1.1 General 1.1 General ChebyshevChebyshev函数函数
1.2 General 1.2 General ChebyshevChebyshev有理分式求解有理分式求解
1.3 General 1.3 General ChebyshevChebyshev函数例子函数例子
22、耦合矩阵求解、耦合矩阵求解
1.1 General Chebyshev函数
对于任意的双口，耦合谐振腔网络，传输和反射
可以表示为N阶多项式的比值
其中， 是实数频率，对应的复频率拓展为ω ωjs =
等波纹系数为
上面的多项式已经归一化了，即其最高次项的系数为1。
根据能量守恒定理
称为N阶滤波函数，定义其为General Chebyshev函数
对比Chebyshev函数
是复平面传输零点；
即，如果传输零点都在无穷远处，即为传统的
Chebyshev函数。
• 传输零点的位置关于虚轴对称，以保证滤波函数
CN 的分子和分母多项式的系数为纯实数。
• 有限传输零点的个数小于等于(N-2)，其他零点都
在无穷远。（谐振腔交叉耦合滤波器实现）
1.2 General Chebyshev有理分式求解
与Chebyshev函数类似，现在求解General Chebyshev函数的有理分式表示。
首先进行cos-1的恒等变换：
其中，
上式第二项分子和分母同乘以
有
即
带入整理得到：
其中，
求 的迭代算法：
其中，
令
其中，
可以通过迭代的方法得到UN和VN。
类似地，对于G’N 进行处理
显然的，得到
即
NN UF =
( )
( )21
21
1
11
11
1
−′=
−=
ωωω
ωωω
V
U1、n=1时，初始化
2、重复迭代，直到n=N。其中包括无穷零点同样也要计入。
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )ωωωω
ωωωω
ωωωω
ωωωω
1
21
21
1
1
21
21
1
11
11
−−
−
−−
−
′
−+−=
′
−+−=
nnn
nnn
nnn
nnn
UVVV
VUUU
迭代步骤：
3、Fn=Un，其根是反射的n个带内零点；Vn的根是反射的n-1个带内最大点。
1.3 General Chebyshev函数例子
[例] 4阶General Chebyshev函数，零点在j1.3217、j1.8082和两个无穷远零点，求该函数
Mathematics软件计算
输出结果：
-3 -2 -1 1 2 3
-60
-40
-20
-3 -2 -1 1 2 3
-60
-40
-20
1515、、General General ChebyshevChebyshev滤波器设计滤波器设计
11、、General General ChebyshevChebyshev函数和综合函数和综合
22、耦合矩阵求解、耦合矩阵求解
3.1 3.1 耦合矩阵的解析解法耦合矩阵的解析解法
3.2 3.2 耦合矩阵的优化解法耦合矩阵的优化解法
3.3 3.3 耦合矩阵的耦合矩阵的CADCAD解法解法
General Chebyshev函数响应可以采用交叉耦合谐振腔滤波器的形式实现，此时传输零点
的数目小于或等于(N-2)
采用何种拓扑结构？各个耦合值是多少？
结构上，采用N个谐振腔之间均有耦合的全耦合形式，结构复杂，是不现实的。
3.1 耦合矩阵的解析解法
解析方法，速度快，拓扑结构固定
•本征值和正交基展开，全耦合矩阵；
E/F/P ---- Y ---- M
•坐标旋转，消元，“折叠标准矩阵”等。
输入阻抗函数，用阻抗和导纳矩阵表示为
( ) [ ] [ ]1
111
22
2211
22
221111 +
+=
++
=z
yzRz
RyzsZN
N
其中，负载阻抗归一。再考虑源内阻归一，
( ) ( )( )
( ) ( )( ) ( ) 22
11
11
1111 1
1nmnm
sFsEsFsE
sSsSsZ
++
=±
=+−
=m
( ) [ ]22
11111
1nm
nmnsZ+
+=
1122 mny =
偶数阶时，
y21和y22的分母相同，且零点和S21相同，则
( ) 121 msPy ε=
类似地，n是奇数时
( ) 1211122 , nsPynmy ε==
其中， ( ) ( )sFsEnm +=+ 11
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) L
L
++++++=
++++++=2
2211001
22211001
ImReIm
ReImRe
sfesfefensfesfefem
称为复偶和复奇多项式，这样保证了系数均为实数。
E/F/P
y
y
m
[ ] [ ][ ] [ ]
⋅
=
NNNN
N
N vv
yyyy
ii 1
1
1111
( ) [ ] [ ] [ ]
( ) [ ] [ ] [ ]
( ) ( ) [ ] [ ] [ ] 11
11
01
112112
11
01
122
111
111
01
111111
1
−−
=
−
−−
=
−
−−
=
−
−−−=+−=−
===
−−−=+−=−
==
−−=+===
NNv
NN
NNNNv
NNN
v
IMjsIjMvizsysy
IMjsIjMvizsy
IMjsIjMvizsy
N
N
ω
ω
ω
矩阵M中元素是实数，且关于对角线对称；则其
所有本征值都是实数。因此存在包含行正交向量的
N*N矩阵T满足，
tTTM ⋅Λ⋅=−
其中， [ ]Ndiag λλλ ,,, 21 L=Λ
ITT t =⋅
特征值
( ) [ ]( ) [ ] 1
22
1121
−
−
−⋅Λ⋅−=
−⋅Λ⋅−=
NNt
Nt
ITTjsy
ITTjsy
ω
ω
上式右边的本证矩阵中，i j 位置元素的通解为
[ ] NjiTT
ITTN
k k
jkikij
t ,,2,1,,1
1L=
−=−⋅Λ⋅ ∑
=
−
λωω
( ) ( )( ) ∑
= −−==
N
k k
kNk
d
n TTjsysysy
1
12121 λω
( ) ( )( ) ∑
= −−==
N
k k
Nk
d
n Tjsysysy
1
222
22 λω
• -M的本征值，导纳函数函数y21和y22的公共分母
多项式的根；
• 可以令，本征值对应y21和y22的留数分别与T1kTNk
和TNk2相等；
• 从而确定正交矩阵T的第一行和最后一行，正交
化得到全耦合矩阵。
( ) ( )( ) ∑
= −−==
N
k k
k
d
n rjsysysy
1
212121 λω
( ) ( )( ) ∑
= −−==
N
k k
k
d
n rjsysysy
1
222222 λω
得到，
kNk rT 22=
k
k
Nk
kk r
rTrT
22
21211 ==
通常与网络直接连接的负载没有归一化，为使阻抗匹配：
∑∑==
====N
kNkL
N
kks TRnTRn
1
222
1
21
21 ,
则，
2
111
nTTnTT
NkNk
kk
=′=′
上面的过程可知，只要保证特征值和留数，响应
相同。可以进一步通过旋转消元（坐标旋转，基函数
变换）的方式化简，任何耦合矩阵都可以化为某些标
准形式，比如折叠型。
对于多数工程情况，还可能存在更多的零值，表
示没有该项交叉耦合。一般的，多数采用CT、CQ或者
典型嵌套结构。
General Coupling Matrix Synthesis Methods for ChebyshevFiltering Functions, Richard J. Cameron, IEEE MTT, Vol.47, No.4, April 1999
3.2 耦合矩阵的优化解法
优化解法：数值解法，通常可以预先给定耦合拓
扑；可能收敛到多个解。
优化算法在给定耦合拓扑时，首先需要保证给定
的耦合线路足以产生需要的零点，可以利用CT、CQ，或者更多的“标准结构”来搭建整个电路；既可以保证实现，又比较容易实现；但不一定是最小阶数
的。
确定耦合拓扑后，所有存在的耦合值都是优
化变量（异步调谐时，自耦合系数也是优化变
量）；耦合矩阵的初值常用两种方式给出：
（1）根据耦合设定，存在感性耦合，对应耦合系
数初值为1；容性耦合，对应耦合系数设为-1；没
有耦合，对应耦合系数恒定为0；（4腔1-4交叉同
步调谐的设定如下）；
−
−
0101101001011010
（2）先设滤波器是级联耦合谐振腔滤波器，即交叉耦合设定为0，只有辅对角线上耦合元素为Chebyshev级联耦合值；根据耦合设定，存在交叉耦合的耦合系数为优化变量，其它交叉耦合项恒定
为0（ 4腔1-4交叉同步调谐的设定如下）。
0312.000312.00247.000247.00312.000312.00
代价函数的设定：
如果直接由耦合矩阵得到增益表示，并全频段
均匀抽样，使通带和阻带都满足指标，一般也能得
到结果，但有几点不足：
1、抽样点的确定：太密，影响优化速度；太疏，影响计算精度；
2、没有进一步利用确定的逼近函数。
其中， 函数Fn的零点和极点。
提出下面的代价函数，使其最小化
这样，仅仅在“特征点”上进行计算，最少而且足够了。
有了代价函数，对优化变量进行优化计算；可以
采用各种优化算法，比如：
•遗传算法：可以得到全局最优解，但收敛速度慢；•共轭梯度下降法：收敛速度慢，局部极小点；————或者结合多种优化算法计算。
3.3 耦合矩阵的CAD解法
PRLC
C=L=R=
ID=
C1 pFL1 nHR1 OhmRLC5
PRLC
C=L=R=
ID=
C1 pFL1 nHR1 OhmRLC1
PRLC
C=L=R=
ID=
C1 pFL1 nHR1 OhmRLC2
PRLC
C=L=R=
ID=
C1 pFL1 nHR1 OhmRLC3
TLIN
F0=EL=Z0=ID=
_FREQ/1E6 MHz90 Deg1/K14 OhmTL5
TLIN
F0=EL=Z0=ID=
_FREQ/1E6 MHz90 DegK45 OhmTL4
TLIN
F0=EL=Z0=ID=
_FREQ/1E6 MHz90 Deg1/K34 OhmTL3
TLIN
F0=EL=Z0=ID=
_FREQ/1E6 MHz90 Deg1/K23 OhmTL2
TLIN
F0=EL=Z0=ID=
_FREQ/1E6 MHz90 Deg1/K12 OhmTL1
TLIN
F0=EL=Z0=ID=
_FREQ/1E6 MHz90 DegK01 OhmTL7
PORT
Z=P=
50 Ohm1
PORT
Z=P=
50 Ohm2
• MWO ( Microwave Office )• ADS ( Advanced Design System )• Designer ( Ansoft Corp. )
