3 – Morphologie Mathématiquescil.dinf.usherbrooke.ca/static/website/courses/imn530/... · 2020. 8. 28. · Master MINT – Analyse d’images Olivier Coulon 3 . Morphologie Mathématique

Laboratoire des Sciences de l’Information et des SystèmesUMR CNRS 6168

Analyse d’images3 – Morphologie Mathématique

Olivier Coulon

http://olivier.coulon.perso.esil.univmed.fr

Master MINT – Analyse d’imagesOlivier Coulon

3 . Morphologie Mathématique

Morphologie Mathématique : pour quoi faire ?

Comment éliminer ce bruit ?

Comment séparer ces deux composantes ?

Comment étiqueter différemment ces deux formes connexes ?

Comment comparer ces deux formes ?



Morphologie mathématique

! Techniques de filtrage et d’analyse basée sur des théories ensemblistes

et algébriques

! Un certain nombre de filtres qui permettent de modifier la forme et la

topologie des structures dans l’image

! L’idée générale est la comparaison locale des structures dans l’image

avec un élément de référence : l’élément structurant

! Morphologie mathématique binaire et en niveau de gris



Elément structurant

! Structure élémentaire qui va servir à analyser localement , par

comparaison, les formes d’intérêt.

! Choix de sa forme et de sa taille

! En général symétrique, connexe, et convexe…

! …mais pas toujours



Erosion morphologique binaire

! Si à tout u on associe une position B(u) de l’élément structurant B, alors

l’érodé de l’ensemble X par B est :

EB(X)={u:B(u)!X}

B

EB(X)

X



Dilatation morphologique binaire

! Si à tout u on associe une position B(u) de l’élément structurant B, alors

le dilaté de l’ensemble X par B est :

DB(X)={u:B(u)"X#$}

B

DB(X)

X



Dilatations et érosions : propriétés

! Deux propriétés de base :

EB(X) ! X ! DB(X)

! Effets :

!Bouche les trous plus petits que B,

!élargit les caps,

!comble chenaux étroits,

!soude deux formes proches.

!Elimine les composantes connexes

plus petites que B,

!élimine les caps étroits,

!élargit chenaux et trous,

!transforme une presque-île en île.

DilatationErosion



Dilatation et érosion

Erosion

Dilatation

disque 1 disque 2 disque 3 disque 4



Ouverture binaire

! Composition d’une érosion suivie d’une dilatation avec le même élément

structurant

OB(X)=DB(EB(X))



Fermeture binaire

! Composition d’une dilatation suivie d’une érosion avec le même élément

structurant

FB(X)=EB(DB(X))



Ouverture et fermeture : propriétés

! Propriétés de base :

• Ordre : OB(X) ! X ! FB(X)

• Idempotence : OB(OB(X) )= OB(X) et FB(FB(X))= FB(X)

!Bouche les trous plus petits que B,

!conserve souvent la taille et la forme

!Ne conserve pas la nécessairement

la topologie,

!En particulier : soude les formes

proches

!Lisse les formes,

!élimine les composantes connexes

plus petites que B,

!conserve souvent la taille et la forme

!ne conserve pas la nécessairement

la topologie.

FermetureOuverture



Ouverture et fermeture

Fermeture

Ouverture

disque 1 disque 2 disque 3 disque 4



Ouverture et fermeture

! Applications : images binaires donc souvent comme post-traitement d’une

segmentation

• Débruitage :

• Ouvertures pour enlever des pics isolés.

• Fermeture pour enlever des « creux » isolés.

• Lissage de forme :

• Ouverture pour lisser les « bosses ».

• Fermeture pour lisser les creux.

• Séparation en plusieurs composantes connexes (ouverture)

• Fusion de composantes séparées (fermeture)



Opérateurs de base : petite parenthèse informatique

! L’implémentation se fait comme un filtre linéaire, avec le test logique

correspondant :

! En chaque pixel (x,y) on fait (ici pour une érosion) :

0 1

1

0

0

1

1 0

10 00 0 11 1 11

char h[9]

int i,j,k=0;

int flag=1

for (j=-1; j<=1; j++)

for (i=-1; i<=1; i++)

{

vois=image[x+i, y+j];

if (h(k)!=1)

if (vois==0) flag=0;

k++;

}

if (flag==1) erosion=1;

else erosion=0;



Dilatation conditionnelle

! Dilatation conditionnelle : dilatation d’un ensemble X par un élément

structurant B, soumise à la condition d’appartenance à un masque M:

DCBM(X)=DB(X) " M

M

X

DCBM(X)



Dilatation conditionnelle : application

! Etiquetage de deux composantes connectées : séparation par érosion,

étiquetage, puis reconstruction par itérations de dilatation conditionnelle

XY=EB(X)

DCCX(Y)Lors de la reconstruction, on dilate

conditionnellement à X, itérativement

avec une boule de rayon 1 jusqu’à

convergence.



Morphologie mathématique en niveaux de gris! Extension simple : soit I une image et SG(I) le sous-graphe de I % SG(I)={

(x,t) : t&I(x) }

I SG(I)

x

t

Une définition simplifiée des

dilatations et érosions pour des

éléments structurants « plats » et

symétriques est :

EB(I)(x)=inf {I(y), y'Bx}

DB(I)(x)=sup {I(y), y'Bx}

Où Bx est le translaté de B en x



Morphologie Mathématique en NdG

DB(I)

x

t

x

t

EB(I)

B

En terme de sous graphe :

SG(EB(I))={(x,t) : SG(B(x,t))(SG(I)}

SG(DB(I))={(x,t) : SG(B(x,t))"SG(I)#

$}

B(x,t)

x

t

SG(B(x,t))

SG(B(x,t))



Morphologie Mathématique en NdG

! De même on définit ouverture et fermeture par composition des dilatations

et érosions.

! Ouverture : « érodes » les pics plus petits que B

! Fermeture : remplit les creux plus petits que B

x

t

OB(I)B

FB(I)

x

t



D’autres opérateurs de Morphologie Mathématique

! Amincissement homotopique: amincissement itératif qui mène ausquelette d’une forme (binaire).

! Ligne de partage des eaux : segmentation par partitionement en bassinsversants de la surface des niveaux de gris (NdG).

! Chapeau haut-de-forme : image-ouverture, pour extraire les picsd’intensité selon des critères de taille et de forme (NdG).

! …



Exemple : amincissement homotopique d’images binaires

! L’objectif est d’obtenir le squelette homotopique d’une forme.

! Applications :

• Rendre filiforme une région peu épaisse (ex : écriture).

• Caractériser une forme.

! Inconvénient : parfois instable, en fonction de la forme.



Transformation en tout ou rien

! On considère les éléments structurants S formés de deux parties

disjointes S0 et S1.

! Pour un pixel x, soit Sx (S0

x et S1x) le translaté de S en x.

! Pour un ensemble X, la transformation en tout-ou-rien X)S est

l ’ensemble des pixels x qui vérifient :

• *y ' S1

x, y ' S

• *y ' S0

x, y + S



Transformation en tout ou rien

! Soit les éléments structurants S suivants (1 représente les pixels dans S1, 0 dans S0, et * les pixels

non pris en compte)

! La transformation en tout ou rien appliquée à X successivement avec

chacun de ces E.S., permet d’obtenir les points du contour de X

000

*1*

111

00*

*011

*1*

*00

110

*1*

111

*1*

000

*1*

110

*00

0*1

011

0*1

1*0

110

1*0

*1*

011

00*

1 2 3 4

5 6 7 8



Amincissement homotopique! On supprime le contour de X itérativement : répétition de X\X)S (« \ »

représente la différence ensembliste) avec les 8 E.S. jusqu’à stabilisation.

* * * * * * * * *

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* * * * * * * * * * * * * *

* * * * * * * * * * * * *

* * * * * * * * * * * *

* * * * * * *

* * *

2 2 2 2 2 2 2 2 2

* * * * * * * * * * * 8

4 * * * * * * * * * * * 8

4 * * * * * * * * * * * * 3

6 * * * * * * * * * * * 3

6 * * * 5 1 1 6 * * * 3

1 1 1 6 * * 3

1 1 *



Ligne de partage des eaux sur image en niveaux de

gris! L’intensité est considérée comme un paysage « montagneux » (représentation

surfacique)

! On cherche les bassins versants pour partitionner ce paysage.



Ligne de partage des eaux : algorithmes

! Deux classes d’algorithme :

• Par montée des eaux

• Par amincissement homotopique

digues



Ligne de partage des eaux : utilisation! L’utilisation la plus courante est sur une image du gradient : Les bassins versants

de l’image du gradient sont les régions homogènes de l’image originale



Ligne de partage des eaux : avantages et inconvénients

! Un gros avantage : l’image est complètement partitionnée et les contours

sont fermés

! Un gros inconvénients : une sur-segmentation systématique



La sur-segmentation : solutions possibles

! Fusion des bassins sur des critères de contraste, où selon un critère

d’homogénéité dépendant de l’application

! Marqueurs pour initier la montée des eaux seulement dans quelques

bassins

! « remplir » des bassins avant la montée des eaux, avec une fermeture…



A suivre …

! Prochain cours :

Détection de contours

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