Méthodes d’ondelettes pour la segmentation d’images. … · 2004-09-24 · Méthodes d’ondelettes pour la segmentation d’images. Applications à l’imagerie médicale et

Méthodes d’ondelettes pour lasegmentation d’images. Applicationsà l’imagerie médicale et au tatouage

d’images.Olivier Le Cadet

LMC-IMAG

Methodes d’ondelettes pour la segmentation d’images. Applications a l’imagerie medicale et au tatouage d’images. – p. 1

Objectifs

Contrat avec la région Rhône-Alpes → ondelettesappliquées à l’imagerie médicale.

Thème de recherche : détection des contours devertèbres sur des radios ; approche frontière.

Problème de la définition d’une arête.

Problème de la classification des arêtes → régularitélipschitzienne.


Objectifs






Objectifs






Objectifs






La modélisation des arêtes

Définition 1 (intuitive) Un point (x0, y0) d’une imageappartient à une arete si en ce point le module dugradient de l’intensité lumineuse |~∇I| est localement

maximum dans la direction de ~∇I .

x++

gradienten x

FIG. 1 – le gradient de l’image en × est supérieur à celui

en les points marqués +Methodes d’ondelettes pour la segmentation d’images. Applications a l’imagerie medicale et au tatouage d’images. – p. 3


Définition 2 (Canny) Un point (x0, y0) d’une image appartient à

une arete si en ce point le module du gradient de l’intensité

lumineuse lissée par un noyau θa, |~∇(I ? θa)|, est localement

maximum dans la direction de ~∇(I ? θa).

50 100 150 200 250

50

100

150

200

250

50 100 150 200 250

50

100

150

200

250

FIG. 2 – variation d’intensité de loi gaussienne ; y-a-t-il

une arête et si oui où ?Methodes d’ondelettes pour la segmentation d’images. Applications a l’imagerie medicale et au tatouage d’images. – p. 3


Définition 3 (Mallat-Zhong, Mallat-Hwang) f image lissée par

un noyau de convolution θa d’échelle a variant continuement entre 0

et amax ; Posons ga = f ? θa. Alors s’il existe une chaîne

ininterrompue à travers les échelles reliant des max locaux dans la

direction ~∇ga du gradient de ga, le sommet (x0, y0) de cette chaîne

vers les échelles fines est alors un point de contour.

a=1

a=N(échelle la

plus grossière)

Point de contour

significatifcontour non

Point de

significatif

FIG. 3 – Chaînage à travers les échelles


Plan de l’exposé

I Détection de points de contour par ondelettes.

II Caractérisation des points de contour d’une imagepar leur régularité lipschitzienne.

III Application à l’imagerie médicale : reconstructionde la forme 3D d’une vertèbre en chirurgieinterventionnelle.

IV Tatouage d’images.


Plan de l’exposé






Plan de l’exposé






Plan de l’exposé






Détection de points de contour parondelettes.


I. Détection de points de contour par ondelettes.

Rappels sur la transformée en ondelettes continue.

Une transformée adaptée à la recherche de points decontour : la Transformée Multi-échelles de Canny(TMC).

Implémentation efficace.


La transformée en ondelettes continue (TOC)

ψ ondelette : Cψ =∫ +∞

0|ψ(ξ)|2ξ

dξ < +∞

f(t)

~ a 1

~ a2

x

y

x x1 2

Wf(x, a) = < f, ψx,a >

=∫

Rf(t) 1√

aψ( t−x

a)dt



f(t)

~ a 1

~ a2

x

y

x x1 2

Wf(x, a) = < f, ψx,a >

=∫

Rf(t) 1√

aψ(

t− xa

)dt

x ∈ R est le paramètre de translation



f(t)

~ a 1

~ a2

x

y

x x1 2

Wf(x, a) = < f, ψx,a >

=∫

Rf(t) 1

r

aψ( t−x

a)dt

a ∈ R∗+ est le paramètre de dilatation



ψ ondelette : Cψ =∫ +∞

0|ψ(ξ)|2ξ

dξ < +∞

On sait inverser la TOC : si ψ réelle,

f(t) =1

Cψ

∫ +∞

0

∫ +∞

−∞Wf(x, a)

1√aψ(t− x

a)dx

da

a2

Wf(x, a) = < f, ψx,a >

=∫

Rf(t) 1√ψ( t−)dt


Généralisation en deux dimensions.

50 100 150 200 250

50

100

150

200

250

ContinueWf(~x, a, θ ) = < f, (ψoR−θ)~x,a >

=∫∫

R2 f(~t) 1aψ(R−θ ~t−~x

a)d~t

(Murenzi90)

θ ∈ [O, 2π[ est le paramètre d’ orientation. Rθ désigne la matrice2 × 2 de rotation.


Généralisation en deux dimensions.

On sait inverser une telle transformée :

Si

Cψ =

∫∫

R2

|ψ(~ω)|2|~ω|2 d~ω < +∞

f(~t) =1

Cψ

∫ 2π

0

∫ +∞

0

∫∫

R2

Wf(~b, a, θ)1

aψ(R−θ~t−~b

a)dθ

da

a3d~b

→ Construire une transformée directionnelle adaptée àla recherche de points de contours.

→ Elle doit délivrer des infos sur le module et ladirection du gradient de l’image lissée.







Formulation mathématique de la TMC

Soit Θ un noyau de lissage.∫∫

R2

Θ = 1

0 ≤ Θ ≤ 1

Θ(x, y) isotrope ou

Θ(x, y) = Θ1(x)Θ2(y)

ex : la gaussienne

Θ(x, y) =1

2πσ2e−

x2+y2

2σ2


Formulation mathématique de la TMC

Soit Θ un noyau de lissage.

On utilise deux ondelettes directionnelles(typiquement ~Ψ = (ψ1, ψ2) = (∂Θ

∂x, ∂Θ

∂y) )

→ deux transformées en ondelettes :

W pf(u, v, a) =

∫∫

R2

f(x, y)1

aψp(

x− u

a,y − v

a)dxdy = f?ψ1

a(u, v)

ψpa(x, y) =1

aψp(

x

a,y

a) et ψpa(x, y) = ψpa(−x,−y) pour p = 1, 2

W 1f détecte les singularités verticales, W 2f lessingularités horizontales.


Propriétés mathématiques de la TMC

La TMC :~Wf(u, v, a) = (W 1f(u, v, a),W 2f(u, v, a))

= < f(x, y), ~Ψa(x− u, y − u) >




= < f(x, y), ~Ψa(x− u, y − u) >

est proportionnelle au gradient :

~Wf(u, v, a) = a~∇(f ? Θa)(u, v)




= < f(x, y), ~Ψa(x− u, y − u) >

est proportionnelle au gradient :

~Wf(u, v, a) = a~∇(f ? Θa)(u, v)

ce qui suggère de le représenter par :

Mf(u, v, a) = | ~Wf(u, v, a)| prop. au module

du gradient

Af(u, v, a) = Arg(

~Wf(u, v, a))

orientation

du gradient


TMC et transformée en ondelettes directionnelle.

Proposition 1 Si Θ est isotrope,(W 1

θ f(u, v, a, θ)

W 2θ f(u, v, a, θ)

)

=

(cos θ sin θ

− sin θ cos θ

)(W 1f(u, v, a)

W 2f(u, v, a)

)

Autrement dit, il suffit de multiplier la TMC par une matrice derotation pour obtenir une transformée directionnelle ~Wθ :

~Wθ = R−θ ~W

Ã Permet d’obtenir une formule de reconstruction pourla TMC.


Inversion de la TMC

L’approche continue

On a vu que la TMC peut être interprétée comme unetransformée en ondelettes directionnelle...

En adaptant la formule d’inversion d’une transformée en

ondelettes directionnelle à la TMC :

Proposition 2

f(~x) =π

Cψ

∫

a>0

da

a3

∫∫

R2

d~b−→Wf(~b, a).~Ψ

a,~b

et on discrétise en fonction des échelles dont on disposeeffectivement


Inversion de la TMC





Proposition 2

f(~x) =π

Cψ

∫

a>0

da

a3

∫∫

R2


a,~b



Inversion de la TMC





Proposition 2

f(~x) =π

Cψ

∫

a>0

da

a3

∫∫

R2


a,~b



Inversion de la TMC





Proposition 2

f(~x) =π

Cψ

∫

a>0

da

a3

∫∫

R2


a,~b








Idées classiques pour une programmation efficace

Calculer f ? ∂Θa

∂x(u, v), Θa noyau de lissage à la

résolution a.

Vision par ordinateur → Cascade de gaussienne Θ(Crowley, Fayolle) : tire profit du fait que

n−1 convolutions︷︸︸︷

Θ~Θ · · ·~Θ(x, y) =1

nΘ(

x√n,y√n

) ; a =√n

Théorie des ondelettes : algorithme à trous (Mallat).filtres issus d’une AMR : Θ, et les filtres dedérivation Dx et Dy ; a = 2n.



Calculer f ? ∂Θa


résolution a.



Θ~Θ · · ·~Θ(x, y) =1

nΘ(

x√n,y√n

) ; a =√n




Calculer f ? ∂Θa


résolution a.



Θ~Θ · · ·~Θ(x, y) =1

nΘ(

x√n,y√n

) ; a =√n



Choix d’implémentation

tirer partie des deux approches → banc de filtrage sansdécimation.

filtres : Θ = 1

16

0

B

B

@

1 2 1

2 4 2

1 2 1

1

C

C

A

, Dx = [0, 1,−1] et Dy = DTx .

Convolutions en cascade par Θ et dérivation

W 1f(., .,

√n

2) =

√n

2(f ? (


Θ ~ Θ · · · ~ Θ)) ? Dx.

Or (


Θ ~ Θ · · · ~ Θ)(i, j) ≈√

1πne−

i2+j2

n (Unser 92) →(W 1f(., .,

√n2),W 2f(., .,

√n2))

approxime une TMC utilisant

un gradient de gaussienne.




filtres : Θ = 1

16

0

B

B

@

1 2 1

2 4 2

1 2 1

1

C

C

A

, Dx = [0, 1,−1] et Dy = DTx .


W 1f(., .,

√n

2) =

√n

2(f ? (


Θ ~ Θ · · · ~ Θ)) ? Dx.

Or (


Θ ~ Θ · · · ~ Θ)(i, j) ≈√

1πne−

i2+j2

n (Unser 92) →(W 1f(., .,

√n2),W 2f(., .,

√n2))






filtres : Θ = 1

16

0

B

B

@

1 2 1

2 4 2

1 2 1

1

C

C

A

, Dx = [0, 1,−1] et Dy = DTx .


W 1f(., .,

√n

2) =

√n

2(f ? (


Θ ~ Θ · · · ~ Θ)) ? Dx.

Or (


Θ ~ Θ · · · ~ Θ)(i, j) ≈√

1πne−

i2+j2

n (Unser 92) →(W 1f(., .,

√n2),W 2f(., .,

√n2))






filtres : Θ = 1

16

0

B

B

@

1 2 1

2 4 2

1 2 1

1

C

C

A

, Dx = [0, 1,−1] et Dy = DTx .


W 1f(., .,

√n

2) =

√n

2(f ? (


Θ ~ Θ · · · ~ Θ)) ? Dx.

Or (


Θ ~ Θ · · · ~ Θ)(i, j) ≈√

1πne−

i2+j2

n (Unser 92) →(W 1f(., .,

√n2),W 2f(., .,

√n2))


un gradient de gaussienne.Methodes d’ondelettes pour la segmentation d’images. Applications a l’imagerie medicale et au tatouage d’images. – p. 17

Programmation efficace du détecteur.

Θ −→ gaussienne ou B-spline

HHHHHHj?

��

��

��

�+

@@

@R

XXXXXXXXXXXXXz

...

?

PPPPPPPPPPq ?

Imagef

f ? Θ f ? Dx f ? Dy

f ? (Θ ~ Θ) f ? (Θ ~ Dx) f ? (Θ ~ Dy)

f ? (

N convolutions︷︸︸︷

Θ ~ Θ · · ·~ Θ) f ? (

N−1 convolutions︷︸︸︷

Θ ~ Θ · · ·~ Θ ~Dx) f ? (


Θ ~ Θ · · ·~ Θ~Dy)

Fig. 1 – L’algorithme cascade B-spline vu comme un banc de filtrage

1


Inversion de la TMC : une autre approche

On va chercher des filtres de reconstructioncorrespondant à Θ, Dx, et Dy.On démontre queProposition 2 Il existe des filtres de reconstruction Θ, Dx et Dy vérifiant

f = (f ?Θ) ? Θ + (f ? Dx) ? Dx + (f ? Dy) ? Dy

Par exemple,

Θ =

0

B

B

@

0 0 0

0 1 0

0 0 0

1

C

C

A

Dx = 1

16

0

B

B

@

− 1

2

1

20

−3 3 0

− 1

2

1

20

1

C

C

A

Dy = DxT

= 1

16

0

B

B

@

− 1

2−3 − 1

2

1

23 1

2

0 0 0

1

C

C

A

conviennent.


Idée de la démonstration

On cherche Θ, Dx, Dy vérifiantδ = Θ~ Θ +Dx ~ Dx +Dy ~ Dy (1).

fonction de transfert d’un filtre h[n] de l2(Z) :h(ω) =

∑+∞p=−∞ h[p]e−2iπωp

En prenant les fonctions de transfert de (1) et en

imposant par symétrie Dx = DyT

:

cos2 πω1 cos2 πω2ˆθ(ω1, ω2)+

sin2 πω1ˆ

Dx(ω1, ω2) + sin2 πω2ˆ

Dx(ω2, ω1) = 1

Choix simples de θ(θ = δ, θ = θ) ⇒ Dx.Methodes d’ondelettes pour la segmentation d’images. Applications a l’imagerie medicale et au tatouage d’images. – p. 20

Transformée en ondelettes et détection d’arêtes

La TMC aux échelles fines (a petit) ...

A gauche : modules Mf(., ., 1) (les plus forts en vert).A droite : maxima locaux de Mf(., ., 1) (sans seuillage ; les plusforts en bleu, les plus faibles en rouge).



La TMC aux échelles fines (a petit) ...




et aux échelles grossières.




Trouver un moyen de caractériser les contours, lesdifférencier les uns des autres ! → régularitélipschitzienne


II. Caractérisation des points de contour d’une image

Définition de la régularité lipschitzienne d’un pointde contour d’une image.

Lien entre les ondelettes et la régularitélipschitzienne.

Calcul de la régularité lipschitzienne d’un point decontour à partir des coefficients de la TMC.


Régularité Lipschitzienne α d’une fonction f réelle

Définir α d’autant plus grand que f est régulière.




Soit n = E(α) ; f Lipschitz-α en x0 si :

∀h ∈ R, |f(x0 + h) − Pn

(h)| ≤ A|h|α

Ordre de dérivabilité de f





∀h ∈ R, |f(x0 + h) − Pn(h)| ≤ A|h|α

Polynôme de Taylor de f





∀h ∈ R, |f(x0 + h) − Pn(h)| ≤ A |h|α

f(x) uniformément Lipschitz-α sur ]a, b[ si f

Lipschitz-α en x0 ∀x0 ∈]a, b[ avec A indépendant dex0.





∀h ∈ R, |f(x0 + h) − Pn(h)| ≤ A |h|α

f(x) uniformément Lipschitz-α sur ]a, b[ si f

Lipschitz-α en x0 ∀x0 ∈]a, b[ avec A indépendant dex0.

f distribution tempérée : f uniformément Lipschitz-α sur]a, b[ si sa primitive est Lipschitz-(α + 1) sur ]a, b[.


2D : Régularité lipschitzienne d’un point (x0, y0)

Soit 0 ≤ α < 1

f(x,y) Lipschitz-α en (x0, y0) si ∃A t.q. ∀~h = (h1, h2),

|f(x0 + h1, y0 + h2) − f(x0, y0)| ≤ A|~h|α.

+

Contour


2D : Régularité lipschitzienne d’un point de contour

Soit 0 ≤ α < 1f(x,y) Lipschitz-α en (x0, y0) si ∃A t.q. ∀h ∈ R,|f(x0 + h cos θ, y0 + h sin θ) − f(x0, y0)| ≤ A|h|α.

+

Contour

(x ,y )0 0(x ,y )0 0grad f

θ

Sur une courbe de discontinuité, le calcul de la régularitépeut se ramener au cas monodimensionnel, en observantle contour dans la direction de régularité minimale...



Définition de la régularité lipschitzienne.




Lien entre les ondelettes et la régularité lipschitzienne

ψ → Cn, à sup. compact, n moments nuls, α ≤ n.

Si f Lipschitz-α en x0, alors ∀x tq |x− x0| < C.a,|Wf(x, a)| ≤ Aaα+ 1

2 , et inversement, si α nonentier. (Holschneider, Tchamitchian, Jaffard)

α estimé asymptotiquement en calculant la pente delog |Wf(x, a)| = logA+ (α + 1

2) log a

0 1

1

0

échellea

Positionx

Chaine de maxima d’ondelettes

x


Les lignes de maxima

module max : un point (x0, a0) du planespace-échelle où x 7→ |Wf(x, a0)| est localementmaximum en x = x0.

ligne de maxima(Mallat-Hwang) : courbe continuea(x) dans le plan espace-échelle reliant des modulesmax.


Lignes de maxima → régularité Lipschitzienne

• hyp ψ = (−1)nθ(n), α < n ; f Lipschitz-α en x0 etsans singularité oscillante en x0.• ∀a < a0, |Wf(x, a)| possède un maximum local(x0, a) dans le cône d’influence de x0.• On peut donc trouver une séquence de maximaconvergeant vers (x0, 0) à travers leséchelles.(Mallat)

Mais ils n’appartiennent pas forcément à la mêmeligne de max...Si ψ = (−1)nθ(n) où θ gaussienne ⇒ les modulesmax de Wf(x, a) appartiennent à une courbecontinue. (Poggio, Yuille)


La fonction |x− 0.25|13 + |x− 0.7|23

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10.5

1

1.5representation temporelle

(a) Le Dirac200 400 600 800 1000

50

100

150

200

250

(b) les coefficients d’ondelettes

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

0

1

2

3

4

5

−lo

g2(s

cale

)

(c) chaînage

Chaînage des maxima1 2

3

4

0 1 2 3 4 5−10

−9

−8

−7

−6

−5

−4chaîne 2 et 3:

(d) évaluation de la singularité en 0.7 (trait continu) et 0.25 (trait pointillé)



Définition de la régularité lipschitzienne.




A l’aide de la TMC, on a calculé les modules et les orientations

Mf(., .,√

n2) et Af(., .,

√n2).

On ne garde que les coefficients de Mf qui sont des max

locaux.

on chaîne à travers les échelles.a=1

a=N(échelle la

plus grossière)

Point de contour

significatifcontour non

Point de

significatif

FIG. 4 – Chaînage à travers les échellesMethodes d’ondelettes pour la segmentation d’images. Applications a l’imagerie medicale et au tatouage d’images. – p. 32

Le chaînage des modules max.

Soit Mf(x0, y0, adep) un max local qu’on veut associer à unmax de l’échelle adep+1.

On considère les 9 modules Mf(x0(±1), y0(±1), adep+1)

a+1

aMax à

chainer

(Xa,Ya, a+1)

(Xa,Ya,a)

on chaîne avec celui dont l’orientation du gradAf(x1, y1, adep+1) est la plus proche de Af(x0, y0, adep).





a+1

aMax à

chainer

(Xa,Ya, a+1)

(Xa,Ya,a)






a+1

aMax à

chainer

(Xa,Ya, a+1)

(Xa,Ya,a)



RésultatsLe long de chaque chaîne qui traverse les échelles, on évalue la régularité lipschitzienne du point de

contour qu’elle caractérise (en calculant la pente de logMf(xc, yc, a) = g(log a))

Trois régions bruitées : carte des modules, des régularités, sélectionsur les régularités pour débruiter


Résultats

Mandrill : régularités, échelle fine, échelle grossière


Résultats

FIG. 5 – interface java de l’algorithme de détection et de

caractérisation de contours


Application à l’imagerie médicaleCollaboration avec Anne Bilgot et Laurent Desbat

(TIMC : Techniques de l’Imagerie, de laModélisation, et de la Cognition)


Reconstruction de la forme 3D d’une vertèbre

Médecine → signaux, images qui traduisent l’état dupatient.

Exemple : placement d’une vis dans le pédiculed’une vertèbre

a) b) c)

Besoin d’info 3D pour guider le geste chirurgical →scanner, mais il est invasif et encombrant.





a) b) c)






a) b) c)



Utilisation de 2 radios et d’un modèle de vertèbre

FIG. 6 – à gauche : faisceau de rétroprojection à droite : fluoro-

scopie virtuelle

Segmenter automatiquement deux vues de lavertèbre (face et profil)

Déformer un modèle moyen de vertèbre jusqu’à ce que sesprojections sur ces deux vues correspondent à la segmentation.


Le modèle statistique de vertèbre (Fleute-Lavallée)

Il est déterminé par une Analyse en ComposantesPrincipales et consiste en :

• Une forme moyenne de vertèbre


Le modèle statistique de vertèbre (Fleute-Lavallée)

Il est déterminé par une Analyse en ComposantesPrincipales et consiste en :

• Des modes de deformation autorisés

Mode 1

Mode 2

Mode 4

Mode 5

-2SD +2SD -2SD -2SD+2SD +2SD

Mean Shape Mean ShapeMean Shape

Mode 3


Algorithme de reconstruction 3D d’une vertèbre

Segmentation des deux radios

FIG. 7 – Détection des contours sur une vertèbre sèche (en haut) et sur une vertèbre plongée dans

un environnement (cas réel, en bas)



Segmentation des deux radios

FIG. 8 – Détection des contours sur une vertèbre sèche (en haut) et sur une vertèbre plongée dans

un environnement (cas réel, en bas)

; Sélection interactive des arêtes significativesMethodes d’ondelettes pour la segmentation d’images. Applications a l’imagerie medicale et au tatouage d’images. – p. 39


Recalage du modèle moyen de vertèbre sur les contourssegmentés

FIG. 9 – Recalage du modèle dans les faisceaux de rétro-

projectionMethodes d’ondelettes pour la segmentation d’images. Applications a l’imagerie medicale et au tatouage d’images. – p. 39

Tests de validation

A partir d’un échantillon de vertèbre, on simule desradiographies d’une vertèbre isolée, et d’une vertèbreplongée dans un environnement.

FIG. 10 – Segmentation de radios d’une vertèbre, isolée ou plongée dans un environnement


Résultats

FIG. 11 – Vues 3D (à gauche, de face, à droite, de profil) de la vertèbre reconstruite (en haut :

vertèbre sèche ; en bas : vertèbre plongée dans un environnement. La forme de la vertèbre reconstruite

est en vert, celle de la vertèbre de référence, en jauneMethodes d’ondelettes pour la segmentation d’images. Applications a l’imagerie medicale et au tatouage d’images. – p. 41

Résultats

FIG. 12 – Résultats : en blanc, la vertèbre reconstruite, en sombre, la vertèbre de référence.

Reconstruction à l’issue d’une segmentation manuelle, sur une vertèbre isolée, et pour une vertèbre

“réelle”.


En combinant avec des contours actifs...

Comparaison : reconstruction à partir de tous les contours, de ceux de la TMC, et ceux des C.A.

Utiliser les contours actifs pour fermer le contourextérieur.


Application au tatouage d’imagesCollaboration avec Anne-Sophie Piquemal (Univ.

Valencia)


But du watermarking

Multiplication des échanges de données, via internetpar ex → protéger ces données.

Watermarking : protection par insertion discrèted’une marque dans l’image.

Le marquage doit être imperceptible, fiable, etrobuste.

; cacher la marque dans les contours


But du watermarking






But du watermarking






But du watermarking






Le tatouage d’images

Principe du watermarking

ImageOriginale

Image Marquée

ImageAttaquée

Attaque de

l’image (compression,

rotation, ...)

M

Extraction de la marque

d’ajout de la marque

Procédure

Marque

M’

Marque

Clefs secrètes

Connaissance de l’algorithme d’extraction

FIG. 13 – Principe d’un algorithme de watermarking : la

marque incluse dans l’image originale, M , et la marque

extraite après attaque de l’image marquée, M ′, doivent

être aussi semblables que possible.


Algorithme de marquage proposé

?

Etape 1

Image

des aretes

Cf

Image

originale

f

Fig. 1 – Algorithme de marquage

1



?

Etape 1

-

Etape 2

-

Etape 2

Image

des aretes

Cf

Image

originale

f

Transfo

Ond.

WT Cf

Transfo

Ond.

WT f


1



?

Etape 1

-Etape 2

-

-Etape 2

6Etape 3

positions

clefs secretes

R1, sImage

des aretes

Cf

Image

originale

f

Transfo

Ond.

WT Cf

Transfo

Ond.

WT f

Transfo

Ond. marquee

WT Cf∗

Marque

m


1



?

Etape 1

-Etape 2

-

-Etape 2

6Etape 3

��Etape 4

AAAUEtape 4

positions

clefs secretes

R2%

R1, sImage

des aretes

Cf

Image

originale

f

Transfo

Ond.

WT Cf

Transfo

Ond.

WT f

Transfo

Ond. marquee

WT Cf∗

Marque

m

Transfo

Ond.

WT g


1



?

Etape 1

-Etape 2

-

-Etape 2

��Etape 4

AAAUEtape 4

-Etape 5

6Etape 3

positions

clefs secretes

R2%

R1, sImage

des aretes

Cf

Transfo

Ond.

WT Cf

Transfo

Ond. marquee

WT Cf∗

Image

originale

f

Transfo

Ond.

WT f

Marque

m

Transfo

Ond.

WT g

Image

marquee

g


1


Résultats de marquage

Image marquée g Différence originale-marquée

R1 = 500, R2 = 0.08 : PSNR = 30.03 dB

R1 = 500, R2 = 0.2 : PSNR = 22.07 dB


Les attaques

Lenna dans tous ses états : quelques exemples d’images attaquéesproduites par CheckMark sur l’image de Lenna (rotation,déformation, changement de la taille de l’image, compression,filtrage ...)


L’extraction de la marque

On connaît :

la constante de marquage R1 ;

le taux d’inclusion R2 ;

la profondeur s, donnant l’échelle où est cachée lamarque ;

les positions des points de contour marqués ;

on dispose de l’image originale.


Tests d’extraction

Image attaquee Profondeur 2 Profondeur 3 PSNR (dB)

Image marquée 100% 100% 27.77

medfilt2_J100.jpg 68.8% 93.8% 23.47

gaussian1_J100.jpg 95.3% 95.3% 25.02

hardthresh1_J100.jpg 75% 95.3% 24.14

jpegcompression1_J50.jpg 98.4% 100% 24.56

jpegcompression1_J15.jpg 67.2% 92.2% 23.22

templateremove1_J100.jpg 81.3% 100% 24.78

trimmedmean1_J100.jpg 76.6% 95.3% 23.34

waveletcompression1_W150.jpg 93.8% 98.4% 25.83

wiener1_J100.jpg 81.3% 100% 24.79

rotationscale9_W150.jpg 43.75% 42.19 13.07

FIG. 14 – Extraction d’une marque alétoire 8 × 8 dans

Lenna 128 × 128, avec R1 = 500, R2 = 0.08.Methodes d’ondelettes pour la segmentation d’images. Applications a l’imagerie medicale et au tatouage d’images. – p. 50

Un bilan sur l’algo de marquage

Résiste très bien aux algo de compression

Résiste à différents filtrages (Wiener, gaussien, ...)

Mais problème face aux attaques géométriques

→ En perspective : utiliser la régularité lipschitzienne

→ Stocker le kème point de la marque dans les pointsde contour de régularité αk ≤ α < αk+1.


Conclusion et perspectives

Etude et mise en œuvre de la TransforméeMulti-échelles de Canny, interprétée comme unetransformée en ondelettes 2D directionnelle.

Etude de plusieurs méthodes d’inversion, continuesou discrètes, de la TMC.

Définition d’un algorithme efficace de détection etde caractérisation des arêtes dans une image.













Application à la reconstruction de formes 3D devertèbres → marche bien, les limitations viennent dumodèle statistique.

→ Perspectives : application au problème de ladétection de tumeurs dans des images IRM, aurecalage d’images 2D,...

Définition et test d’un algorithme de marquaged’images.

→ Perspectives : adapter l’algorithme de marquagepour qu’il résiste aux attaques géométriques(utilisation de la régularité lipschitzienne)




















Fin


Programmation efficace du détecteur


HHHHHHj?

��

��

��+

@@

@R

XXXXXXXXXXXXXz

...

?

PPPPPPPPPPq ?

6

PPPPPPPPPi �

?Θ ?Dx?Dy

Imagef


f ? (Θ ~ Θ) f ? (Θ ~ Dx) f ? (Θ ~ Dy)

f ? (


Θ ~ Θ · · ·~ Θ) f ? (


Θ ~ Θ · · ·~ Θ ~Dx) f ? (


Θ ~ Θ · · ·~ Θ ~Dy)

Fig. 1 – L’algorithme cascade B-spline vu comme un banc de filtrage : re-construction

1


Deuxième algorithme de marquage.

Etape 1

?

-

-

αk < α < αk + ε

Etape 2

Etape 3

6

��

��

��3

Etape 4

6

-@

@@R

Etape 5

Imagedes aretes

Cf

PositionsPts a marquer

(xk, yk)

Imageoriginale

f

Module Ond.ech. a

Maf

Marquem

taille M2

Modulemarque

Maf

Imagemarquee

g

Fig. 1 – Deuxieme algorithme de marquage

1


Test de l’algo de marquage

20 40 60 80 100 120

20

40

60

80

100

120

20 40 60 80 100 120

20

40

60

80

100

120

20 40 60 80 100 120

20

40

60

80

100

120

20 40 60 80 100 120

20

40

60

80

100

120

FIG. 15 – Résultats pour Lenna avec deux valeurs de R2, 7 et 300 : si R2 est trop important, la

marque se voit dans l’image reconstruiteMethodes d’ondelettes pour la segmentation d’images. Applications a l’imagerie medicale et au tatouage d’images. – p. 57

Procédure d’extraction : ce qu’on connaît

On dispose de l’image attaquee et de l’imageoriginale

Le taux d’inclusion de la marque

L’echelle a indiquant dans quels coef d’ondelettesest cachée la marque.

Les régularités αk, k = 1 · · ·M ×M des points oùont été cachés les éléments de la marque.



On dispose de l’image attaquee et de l’imageoriginaleLe taux d’inclusion de la marque














Procédure d’extraction.

Relancer l’algo de détection et de caractérisation sur l’image

attaquée g → Regularites des points de contour de g.

Calculer les coeff de la TMC de l’image g jusqu’à l’échelle a

→Mg(., ., a).

Tester si le kème élément de la marque est un 0 ou un 1 : en

regardant dans Mg(., ., a) aux positions des points de

régularités comprises entre αk et αk + ε.

L’extraction a réussi si au moins 90% des coefficients sont

bons.






→Mg(., ., a).





bons.






→Mg(., ., a).





bons.






→Mg(., ., a).





bons.


Programmation efficace de la transformée


HHHHHHj?

��

��

��

�+

@@

@R

XXXXXXXXXXXXXz

...

?

PPPPPPPPPq ?

Imagef


f ? (Θ ~ Θ ↑2)f ? (Θ ~ Dx ↑2)= D1f(., ., 2)

f ? (Θ ~ Dy ↑2)= D2f(., ., 2)

f ? (


Θ ~ Θ ↑2 · · · ~ Θ ↑2N−1)f ? (


Θ ~ Θ ↑2 · · · ~ Θ ↑2N−2 ~Dx ↑2N−1)= D1f(., ., 2N)

f ? (


Θ ~ Θ ↑2 · · ·~ Θ ↑2N−2 ~Dy ↑2N−1)= D2f(., ., 2N)

Fig. 1 – Schema de la transformee dyadique

1


exemple : le Dirac

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

0.2

0.4

0.6

0.8

1representation temporelle

(a) Le Dirac200 400 600 800 1000

50

100

150

200

250

(b) les coefficients d’ondelettes

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

0

1

2

3

4

5

−lo

g2(s

cale

)

(c) chaînage

Chaînage des maxima

1

2 3

3 3.5 4 4.5 5−10

−9.8

−9.6

−9.4

−9.2

−9

−8.8chaîne 1:

(d) évaluation de la singularité en 0.5


Documents

Méthodes d’ondelettes pour la segmentation d’images. … · 2004-09-24 · Méthodes d’ondelettes pour la segmentation d’images. Applications à l’imagerie médicale et