3. Erzwungene Schwingungenwandinger.userweb.mwn.de/LA_Elastodynamik_1/v3_3.pdfDeutung: – Für Ω = Ω T berechnet sich die Determinante zu – Damit gilt für die Verschiebung V

Prof. Dr. Wandinger 3. Systeme mit mehreren Freiheitsgraden Elastodynamik 13.3-1

3. Erzwungene Schwingungen

3.1 Grundlagen3.2 Tilger3.3 Kragbalken3.4 Fahrbahnanregung


3.1 Grundlagen

● Untersucht wird die Antwort des Systems auf eine Anre-gung mit harmonischem Zeitverlauf.

● Bewegungsgleichung:● Harmonische Last:

– An jedem Freiheitsgrad des Systems kann eine harmonische Last angreifen:

– Die Lasten werden zum Lastvektor zusammengefasst:

M üDu̇K u=F t

F t =F c cos t F s sin t

F i t =F ai sin t−i =F si sin t F cicos t


3.1 Grundlagen

– Wie bei Systemen mit einem Freiheitsgrad kann der Last-vektor in komplexer Form dargestellt werden:

– Dabei bestehen die Zusammenhänge

F t =12 F 0e

i t F0e−i t

F 0=F c−i F s , F c=ℜ F0 , F s=−ℑ F 0


3.1 Grundlagen

● Lösungsansatz für den eingeschwungenen Zustand:– Wie bei Systemen mit einem Freiheitsgrad hat die Antwort

für jeden Freiheitsgrad einen harmonischen Zeitverlauf, wobei die Frequenz gleich der Erregerfrequenz ist:

– Der Ansatz für den Verschiebungsvektor lautet daher

– Die komplexe Darstellung des Verschiebungsvektors lautet

ui t =uai sin t−i =usi sin t uci cos t

u t =us sin t uc cos t

u t =12

U ei t U e−it


3.1 Grundlagen

– Zwischen den reellen Amplituden us und u

c und der kom-

plexen Amplitude U bestehen die Zusammenhänge

– Ableitungen des Verschiebungsvektors:

U=uc−i us , uc=ℜ U , u s=−ℑ U

u̇ t = i2

¿ U ei t− U e−i t , ü t =−2

2U ei t U e−i t


3.1 Grundlagen

● Lösung:– Einsetzen des Lösungsansatzes in die Bewegungsglei-

chung führt auf

– Daraus folgt:

– Für jede Erregerfrequenz Ω kann die komplexe Verschie-bung U (Ω) durch Lösen eines komplexen linearen Glei-chungssystems berechnet werden.

−2MiDK U=F0

−2MiDK U ei t−F0ei t

−2M−iDK U e−i t− F0e−i t=0


3.1 Grundlagen

● Frequenzganganalyse:– Die Ermittlung der Antwort U(Ω) in Abhängigkeit von der Er-

regerfrequenz Ω wird als Frequenzganganalyse bezeichnet.– Direkte Frequenzganganalyse:

● Das komplexe Gleichungssystem wird für jede Er-regerfrequenz gelöst.

● Die direkte Frequenzganganalyse ist effizient, wenn die Glei-chung nur für wenige Erregerfrequenzen gelöst werden muss.

– Modale Frequenzganganalyse:● Das komplexe Gleichungssystem wird vor dem Lösen mit Hil-

fe der Eigenvektoren auf modale Koordinaten transformiert.


3.1 Grundlagen

● Die modale Freqenzganganalyse ist effizient, wenn die Glei-chung für viele Erregerfrequenzen gelöst werden muss und modale Dämpfung vorliegt.

– Modale Reduktion:● Bei Systemen mit einer großen Anzahl von Freiheitsgraden

werden bei der Transformation auf modale Koordinaten nur die Eigenvektoren zu den niedrigen Eigenfrequenzen benutzt.

● Diese Näherung ergibt gute Ergebnisse, wenn die Antwort der weggelassenen Eigenschwingungen quasi-statisch ist.

● Dazu müssen alle Eigenschwingungen berücksichtigt werden, deren Eigenfrequenz unterhalb des dreifachen Wertes der höchsten Erregerfrequenz liegt.


3.2 Tilger

● Als Beispiel für eine direkte Frequenzganganalyse wird ein ungedämpftes System mit zwei Freiheitsgraden be-trachtet.

● Verschiebungsvektor:

● Lastvektor:

F t =F 0cos t F0=[F 00 ]

U=[V 1V 2]c

1 /2 c1 /2

c2

m1

m2

F(t)

v1

v2


3.2 Tilger

c1 /2 c1 /2

c2

v1

F2

F1

c1 /2 c1 /2

c2

v2F

2

F1

[F 1F 2]=[c1c2−c2 ]v1 [F 1F 2]=[−c2c2 ]v2


3.2 Tilger

● Steifigkeits- und Massenmatrix:

● Komplexe Bewegungsgleichung:

K=[c1c2 −c2−c2 c2 ] M=[m1 00 m2]−2MK U=F 0

[−2m1c1c2 −c2−c2 −2m2c2][V 1V 2]=[F 00 ]


3.2 Tilger

– Lösung mit Cramerscher Regel:

V 1=∣F 0 −c20 −2m2c2∣

, V 2=

∣−2m1c1c2 F 0−c2 0 ∣

=∣−2m1c1c2 −c2−c2 −2m2c2∣


3.2 Tilger

● Ergebnis:

– Der Nenner verschwindet, wenn Ω mit einer der beiden Resonanzfrequenzen ω

1 oder ω

2 übereinstimmt.

– Die Verschiebung V1 der Masse m

1 verschwindet, wenn die

Erregerfrequenz Ω mit der Tilgerfrequenzübereinstimmt.

– Dieser Effekt wird technisch ausgenutzt, um die Amplitude der angeregten Struktur bei einer bestimmten Frequenz klein zu halten.

V 1=F 0 c2−2m2

, V 2=

F 0c2

T=c2/m2


3.2 Tilger

● Deutung:– Für Ω = Ω

T berechnet sich die Determinante zu

– Damit gilt für die Verschiebung V2:

– Die Kraft, die die Feder 2 auf die Masse m1 ausübt, ist im

Gleichgewicht mit der Anregung.

T =∣− c2m2 m1c1c2 −c2−c2 − c2m2m2c2∣=−c22V 2T =−

F 0c2


3.3 Kragbalken

● Aufgabenstellung:

x

yL L

v1

v2

F2(t)

m mEI EI

F1(t)

– Der Kragbalken wird durch die harmonischen Kräfte F

1(t) und F

2(t)

angeregt.– Gesucht sind die Ver-

schiebungen V1 und V

2 in

Abhängigkeit von der Er-regerfrequenz Ω für den eingeschwungenen Zu-stand.


3.3 Kragbalken

● Balkendaten:– Länge L = 1m– Biegesteifigkeit

EI = 700Nm2

– Masse m = 6kg– Modale Dämpfung mit

D1 = D

2 = 5%

● Verschiebungsvektor:

● Belastung:

– Amplituden: ● F

a1 = 20N

● Fa2

= 10N

– Phase: ● φ = 120°

F 1t =F a1cos t

F 2t =F a2cos t

U=[V 1V 2]


3.3 Kragbalken

– Komplexer Lastvektor:

– Zahlenwerte:

F c2=F a2 , F s 2=0, F 02=Fa 2

F1t =F a1cos t =F a1 cos t cos−sin t sin

F c1=F a 1cos , F s1=−F a 1sin

F 01=F a1 cosi sin=F a 1ei

F0=[F a 1eiF a 2 ]F 0=[−1017,32 i10 ]N


3.3 Kragbalken

● Die Verschiebungsantwort wird über eine modale Frequenzganganaylse ermittelt.

● Vorgehen:1. Bestimmung der Eigenschwingungen2. Transformation auf modale Koordinaten3. Lösung in modalen Koordinaten4. Rücktransformation auf physikalische Koordinaten


3.3 Kragbalken

● Bestimmung der Eigenschwingungen: siehe Abschnitt 3.3 in Kapitel 3.1– Eigenfrequenzen:

– Eigenvektoren:

m= 7L3

6EIm= 7m

3⋅6kg6⋅700Nm2

=0,01s2

1=6,3061s

f 1=1,004Hz , 2=41,961s

f 2=6,678Hz

x1=[0,32m1m ]x2=[ 1m−0,32m]


3.3 Kragbalken

● Transformation auf modale Koordinaten:– Zu lösende Gleichung:

– Modale Koordinaten:

– Q1 und Q

2 sind die komplexen modalen Koordinaten.

– Einsetzen der modalen Koordinaten:

−2MiDK U=F 0

U =x1Q1x2Q2

−2MiDK x1Q1x2Q2 =F0


3.3 Kragbalken

– Projektion auf x1 :

– Mit

folgt:– Entsprechend führt die Projektion auf x

2 auf

−2 x1T M x1i x1T Dx1x1T K x1 Q1=x1T F0

−2i x1T Dx1x1TM x1 x1T K x1x1T M x1 Q1= x1

T F0x1T M x1

12=x1T K x1x1TM x1

, 21D1=x1T D x1x1TM x1

, P1=x1T F0

x1T M x1

122i1D1−2 Q1=P1

222i2D2−2 Q2=P2


3.3 Kragbalken

● Lösung in modalen Koordinaten:– Das transformierte Gleichungssystem ist entkoppelt:

– Es hat die Lösung:

Q1=P1

122 i1D1−

2=P112−2−2 i1D1

12−2 241

2D122

Q2=P2

222i2D2−

2=P222−2−2i2D2

22−2 242

2D222

122 i1D1−2 Q1=P1222i2D2−2 Q2=P2


3.3 Kragbalken

– Modale Lasten:● Die Lasten P

1 und P

2 werden als modale Lasten bezeichnet:

● Sie hängen von den physikalischen Lasten und den Eigen-formen ab.

● Mit den angegebenen Zahlenwerten folgt:

M=[6 kg 00 6 kg ] x1TM x1=6,615 kgm

2

x2TM x2=6,614 kgm

2

P1=x1T F 0

x1T M x1

, P2=x2T F 0

x2T M x2


3.3 Kragbalken

P1=6,805,542 i Nm6,614 kgm2

=1,0280,8379 i 1s2

P2=−13,2017,32 i Nm

6,614 kgm2=−1,9962,619 i 1

s2

x1T F0=[0,32m 1m ] [−1017,32 i10 ]N=6,805,542 i Nmx2T F0=[1m −0,32m ][−1017,32i10 ]N=−13,2017,32 i Nm

● Ergebnis:


3.3 Kragbalken

– Q1(f):


3.3 Kragbalken

– Q2(f):


3.3 Kragbalken

● Rücktransformation auf physikalische Koordinaten:

– Die Beiträge der einzelnen Eigenschwingungen werden als modale Partizipationsfaktoren bezeichnet.

U =x1Q1x2Q2

[V 1V 2]=[0,32m1m ]Q1[ 1m−0,32m ]Q2

Beitrag der1. Eigenschwingung

Beitrag der2. Eigenschwingung


3.3 Kragbalken

– V1(f):

v1


3.3 Kragbalken

– V2(f):

v2


3.3 Kragbalken


3.4 Fahrbahnanregung

● Aufgabenstellung:

LA

LB

S

x

z

h(x)

v hx =h0 sin 2 x

– Das Fahrzeug fährt mit konstanter Geschwindig-keit v über die unebene Straße.

– Die Unebenheit wird be-schrieben durch

– Wie groß sind die Ampli-tuden der Hubbewegung und der Nickbewegung?



● Ersatzmodell:– Das Fahrzeug wird durch

einen starren Körper mit Masse m und Trägheits-radius i

S beschrieben.

– Radaufhängung und Reifen werden durch Er-satzfedern mit den Stei-figkeiten c

A und c

B be-

schrieben.

LA

LB

S

A Bc

Ac

B

m, iS



● Zahlenwerte:– Masse m = 1500kg, Trägheitsradius i

S = 1,4m

– Steifigkeiten cA = 100kN/m, c

B = 200kN/m

– Abstände LA = 1,5m, L

B = 0,8m

– Amplitude der Unebenheit: h0 = 3cm

– Wellenlänge der Unebenheit: λ = 8m– Fahrgeschwindigkeit: 10m/s ≤ v ≤ 25m/s– Dämpfung: d

A = αc

A, d

B = αc

B mit α = 0,005s



● Freiheitsgrade:

S

A B

wS

wA

wB

θ

– Gegeben:

– Gesucht:

u=[wSwAwB ]=[u fu p ]u p=[wAwB ]u f=[wS ]



● Steifigkeitsmatrix:

S

A B

FS

FA

MS

FB

wS

F=[ c AcBLBcB−LAc A−c A−cB ]wSS

A B

FS

FA

θM

S

FB

F=[LBcB−LAc ALB2 cBLA2 c ALAc A−LB cB ]



S

A B

FS

wA

MS

FA

FB

S

A B

FS

wB

MS

FA

FB

F=[ −cALAc Ac A0

]w A F=[ −cB−LBcB0cB ]wB



K=[ c AcB LBcB−LA c A −c A −cBLB cB−LAc A LB2 cBLA2 c A LAc A −LBcB−cA LAc A c A 0−cB −LBcB 0 cB ]=[K ff K fpK fpT K pp]K ff=[ cAcB LB cB−LA cALB cB−LAcA LB2 cBLA2 cA]K fp=[ −c A −cBLAc A −LB cB ] , K pp=[c A 00 cB ]



● Massenmatrix:

● Dämpfungsmatrix:

M=[m 0 0 00 miS2 0 00 0 0 00 0 0 0 ]=[M ff 00 0] , M ff=m[1 00 iS2 ]D= K



● Anregung:– Punkt B:

– Punkt A:

– Kreisfrequenz der Anregung:

– Phasenwinkel:

wBt =h v t =h0sin 2v t =h0 sin t wA t =h v t−LA−LB =h0sin t−

=2 v

=2LALB



– Komplexe Darstellung:

wBt =12 W Be

i t W Be−i t mit W B=−i h0

w A t =h0sin t− =h0 sin t cos−cos t sin

=12

W Aei t W A e−it

mit W A=−h0sin−i h0cos=−i h0 cos−i sin=−i h0e−i

U p=[W AW B ]=−i h0 [e−i

1 ]=[−0,029170,007 i−0,03i ]m



● Eingeschwungener Zustand:

– Verschiebung:

– Komplexe Bewegungsgleichung:

ut =12

U ei tU e−it

−2 [M ff 00 0]i1 [K ff K fpK fpT K pp ][U fU p ]=[ 0F0 p ]



– Die komplexe Verschiebungsamplitude Uf kann aus

bestimmt werden.– Die komplexe Amplitude F

0p der an den Rädern

angreifenden Kräfte kann dann aus

berechnet werden.

−2M ff1i K ff U f=−1i K fpU p

F0 p=1i K fpT U fK ppU p



● Modale Frequenzganganalyse:– Matrizen:

K ff=[300000N /m 10000N10000 N 353000Nm ]K fp=[−100000N /m −200000N /m150000N −160000N ]M ff=[1500 kg 0 kg m0 kg m 2940 kgm2 ]



– Eigenschwingungen: K ff−2M ff x=0

1=10,941s, f 1=1,742Hz , x1=[−0,08311m1 ]

2=14,151s, f 2=2,252Hz , x2=[ 1m0,04240 ]

x1TM ff x1=2950kgm

2 , x2T M ff x2=1505kgm

2



– Transformation auf modale Koordinaten:

● Die modalen Koordinaten berechnen sich aus

U f=x1Q1x2Q2

−21i 12 Q1=−1i x1T K fpU px1T M ff x1

−21i 22 Q2=−1ix2T K fpU px2TM ff x2



● Modale Lasten:

K fpU p=103 N /m [−100 −200150m −160m ][−0,029170,007 i−0,03 i ]m

=103N [ 2,9175,3 i−4,3765,85 i m ]x1T K fpU P=10

3N [−0,08311m 1 ][ 2,9175,3 i−4,3765,85 i m]=−46185410 i Nm

x2T K fpU P=10

3N [1m 0,04240 ][ 2,9175,3 i−4,3765,85 im ]=27315548 i Nm



x1T K fpU px1TM ff x1

=−46185410 i2950

Nmkgm2

=−1,5651,834 i 1s2

x2T K fpU px2TM ff x2

=27315548 i1505

Nmkgm2

=1,8153,686 i 1s2

P1=−10,005 s⋅ −1,5651,834 i 1s2

P2=−10,005 s⋅ 1,8153,686 i 1s2



● Ergebnisse:– Q

1(v) :


3.4 Fahrbahnanregung:

– Q2(v) :



– Hubbewegung:



– Nickbewegung:

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3. Erzwungene Schwingungenwandinger.userweb.mwn.de/LA_Elastodynamik_1/v3_3.pdfDeutung: – Für Ω = Ω T berechnet sich die Determinante zu – Damit gilt für die Verschiebung V