4. Funktionsansätze zur Beschreibung von Kaltfließkurven 4 ... · Die Ansätze (4.1.4.1), sowie (4.1.4.3) werden für die weiteren Untersuchungen in Funktion 7) und Funktion 10)

IAM-2005 Funktionsansätze zur Beschreibung von Kaltfließkurven

KALTFLIESSKURVEN.doc Seite 1 von 22

Doppelt-logarithmische Darstellung der datenreduzierten FließkurveProbe: 120 H7 (induktiver Wegaufnehmer)

6,0

6,2

6,4

6,6

6,8

7,0

7,2

7,4

7,6

-5,00 -4,00 -3,00 -2,00 -1,00 0,00 1,00

ln(ϕ)

ln(K

f)

Verlauf nach Ludwik

Meßreihe

4. Funktionsansätze zur Beschreibung von Kaltfließkurven 4.1 Funktionsansätze auf Basis der ‚Ludwik’-Gleichung 4.1.1 Eigenschaften der ‚Ludwik’-Gleichung Die ‚Ludwik’-Gleichung ist eine in der Umformtechnik gebräuchliche Funktion zur Be-schreibung von Kaltfließkurven. Es handelt sich bekanntlich um einen einfachen Potenz-ansatz der Form: (4.1.1.1) B

f AK ϕϕ ⋅=)(

Hierbei ist A eine werkstoffabhängige Konstante. B beschreibt die Steilheit der Fließkurve. Je größer B ist, umso steiler verläuft die Fließkurve (d.h.: desto mehr Widerstand setzt der Werkstoff seiner Umformung entgegen). Der Koeffezient B kann deshalb als Maß für die Verfestigung eines Werkstoffs angesehen werden und wird folglich auch als ‚Verfestigungs-exponent’ bezeichnet. Die ‚Ludwik’-Gleichung resultiert aus dem Versuch, die mathematische Form der Fließkurve auf ein lineares Problem zurückzuführen, indem man das Fließkurvendiagramm doppelt logarithmiert. Die ‚Ludwik’-Gleichung hat in diesem Fall die Form: (4.1.1.2) )ln()())(ln( ϕϕ ⋅+= BALnK f

Die Praxis zeigt jedoch, dass dies in guter Näherung nur für mittlere Umformgrade erfüllt ist, wie Bild 4.1.1.3 dokumentiert: Bild 4.1.1.3



Für kleine und große Umformgrade weicht der Verlauf der experimentell bestimmten Kurve (blau) vom mathematischen Modell (rot) deutlich ab. Der Grund für diese Abweichungen ist im Steigungsverhalten der Fließkurven zu suchen. Während sich für den Steigungsverlauf der experimentell ermittelten Fließkurven prinzipiell das Verhalten gemäß Bild 4.2.1.1 auf Seite 38 ergibt, lässt sich zur Beschreibung des Differentialverhaltens der Funktion folgender Zusammenhang angeben:

(4.1.1.4) )1()(')( −⋅⋅== B

ff BAK

ddK

ϕϕϕϕ

Ist B>1, so ergibt sich eine monoton steigende Funktion für die gilt: (4.1.1.5) 0)0(' =fK

und: (4.1.1.6) ∞=

∞→)('lim ϕ

ϕ fK

Für B<1 ergibt sich eine hyperbolische Funktion, welche bei 0=ϕ eine Singularität aufweist. Für ∞→ϕ gilt dabei: (4.1.1.6) 0)('lim =

∞→ϕ

ϕ fK

Der Fall B<1 lässt sich hierbei noch am ehesten mit den experimentellen Befunden in Einklang bringen. Allerdings weist die ‚Ludwik’-Gleichung eine Anzahl von prinzipiellen Schwächen hinsichtlich der Beschreibung von Fließkurvenverläufen auf: Die Singularität der ersten Ableitung für 0=ϕ steht nicht im Einklang mit den

experimentellen Resultaten. Zur Einleitung des plastischen Fließens der Stauchproben ist eine endliche Fließspannung erforderlich. Die Steigung der Fließkurve bei 0=ϕ wird dabei ebenfalls einen endlichen Wert annehmen.

Aus den Steigungsdiagrammen auf dem beigefügten Datenträger geht hervor, dass die

Steigung der Fließkurve für große Umformgrade anwächst. Dieses Verhalten der Steigungskurven ist mit der ersten Ableitung der ‚Ludwik’-Gleichung nicht modellierbar, da die Ableitung für große Umformgrade gegen Null konvergiert.

Schließlich weist die ‚Ludwik’-Gleichung für 0=ϕ eine Nullstelle auf. Somit ergeben sich

für kleine Umformgrade sehr große relative Fehler des Funktionsmodells zu den experimentellen Daten. Dabei tritt beim Umformgrad 0=ϕ der ungünstigste Fall mit einem relativen Fehler von 100% ein (die Abweichung entspricht hier dem Anfangswert der Fließspannung für 0=ϕ ).

Im weiteren Verlauf wird die ‚Ludwik’-Gleichung als Funktion 1) bezeichnet.



Die ‚Ludwik’-Gleichung bildet den Ausgangspunkt für verschiedene systematische Variationen, die nachfolgend vorgestellt werden. 4.1.2 Funktionsansätze auf Grundlage der Potenzfunktion Unter der Vielzahl von Gleichungen, die neuerdings versuchsweise zur Approximation von Fließkurven herangezogen werden, finden sich die folgenden Ansätze:

(4.1.2.1) ϕ

ϕϕ CBAK f +⋅+=)(

(4.1.2.2) 2)( ϕϕϕ ⋅+⋅+= CBAK f

Ansatz (4.1.2.1) weist für 0=ϕ , bedingt durch den Hyperbelterm in der Funktionsgleichung, eine Singularität auf. Damit gilt: (4.1.2.3) ±∞=

→)(lim

0ϕ

ϕ fK

Damit also keine positiv unendlichen Werte für die Fließspannungen erreicht werden, muss der Koeffezient C negative Werte annehmen. Für ∞=ϕ konvergiert der Funktionsansatz gegen eine Gerade der Form: (4.1.2.4) ϕϕ

ϕ⋅+=

→BAK f )(lim

0

Dies bedeutet für das Differentialverhalten der Funktion: (4.1.2.5) BK f =

→)('lim

0ϕ

ϕ

D.h.: für hohe Umformgrade wird sich die Fließkurvensteigung einem Grenzwert annähern. Dies stimmt mit den gefundenen Steigungsverläufen jedoch nicht überein. Somit ist dieser Funktionsansatz einerseits nicht imstande, die Fließkurve im Bereich kleiner Umformgrade nachzubilden, da (bedingt durch den negativen Hyperbelterm) ein Null-durchgang der Funktion stattfindet. Andererseits ist eine Übereinstimmung des Differential-verhaltens von Funktionsmodell und Fließkurvenverlauf nicht gegeben. Ansatz (4.1.2.1) wird im weiteren Verlauf als Funktion 2) bezeichnet. Auch Ansatz (4.1.2.2) ist zur Beschreibung von Fließkurven nur bedingt geeignet, weil die Funktion ein Extremum hat. Dies ist jedoch mit dem Fließkurvenverläufen prinzipiell nicht zu vereinbaren, da alle ermittelten Fließkurven monoton steigend sind. Ansatz (4.1.2.2) wird nachfolgend als Funktion 3) bezeichnet.



4.1.3 Funktionsansätze mit der Exponential- oder Logarithmusfunktion 4.1.3.1 Exponentialfunktion Anstatt eine Potenzfunktion für die Approximation zu verwenden, kann häufig auch auf Exponentialfunktionen zurückgegriffen werden. Exemplarisch werden folgende, auf der Exponentialfunktion basierende, Funktionsansätze aufgegriffen: (4.1.3.1.1) ϕϕ ⋅⋅= B

f eAK )(

(4.1.3.1.2) CB

f eAK2)(

)(−

⋅=ϕ

ϕ

Die erste Ableitung von Ansatz (4.1.3.1.1) ergibt sich zu: (4.1.3.1.3) ϕϕ ⋅⋅⋅= B

f eBAK )('

Damit Funktion (4.1.3.1.1) monoton ansteigt und positive Werte für die Fließspannung liefert, müssen die Koeffezienten A und B ebenfalls größer Null sein. In diesem Fall steigt jedoch auch die erste Ableitung monoton an, so dass der Abfall der Fließkurvensteigung im Bereich kleiner Umformgrade nicht approximiert werden kann. Funktion (4.1.3.1.2) wird prinzipiell ähnlich verlaufen. Betrachtet man den Term 2)( B−ϕ so wird klar, dass der Koeffezient B eine Verschiebung des Kurvenzuges entlang der Abszisse bewirkt. Die Potenz 2 erhöht die Steilheit der Kurve. Weitere Unterschiede zum Kurvenverlauf der Funktion (4.1.3.1.1) bestehen jedoch nicht. Ansatz (4.1.3.1.1) wird künftig als Funktion 4) bezeichnet, Funktion (4.1.3.1.2) wird für die weiteren Untersuchungen in Funktion 9) umbenannt. 4.1.3.2 Logarithmusfunktion Der logarithmische Funktionsansatz gründet nicht im eigentlichen Sinne auf der ‚Ludwik’-Gleichung, wird aber als Umkehrfunktion der Exponentialfunktion an dieser Stelle behandelt. Im Rahmen der vorliegenden Arbeit wurden eine logarithmische Funktion und ihre reziproke Funktion ausgewählt mit: (4.1.3.2.1) ϕϕ ln)( ⋅+= BAK f

(4.1.3.2.2) )ln(

1)(ϕ

ϕ⋅+

=BA

K f



Der Ansatz (4.1.3.2.1) hat für 0=ϕ eine Singularität. Damit gilt dann: (4.1.3.2.3) ±∞=

→)(lim

0ϕ

ϕ fK

Weiter ist für 1=ϕ : (4.1.3.2.4) AK f =)0(

Somit muss A größer als Null sein. Damit für 0→ϕ die Funktionswerte nicht unendlich groß werden, muß auch B größer als Null sein. Jedoch wird es einen Umformgrad größer Null geben, bei welchem der Funktionsgraph die Abszisse schneidet. Für alle kleineren Form-änderungen werden die Fließspannungen negativ. Die Approximation von Kaltfließkurven mit dieser Funktion führt somit, ebenfalls für den Bereich kleiner Umformgrade, zu unbefriedigenden Ergebnissen. Funktionsansatz (4.1.3.2.1) wird zu Funktion 5) abgekürzt. Betrachtet man Funktionsansatz (4.1.3.2.2), so wird für 1=ϕ :

(4.1.3.2.5) A

K f1)1( =

D.h.: Der Koeffezient A muss positiv sein und zudem recht geringe Werte in der Größenordnung von 10-3 MPa-1 aufweisen. Für 0→ϕ konvergiert die Funktion gegen Null. Somit ergibt sich für kleine Umformgrade dieselbe Problematik bezüglich der Beschreibungs-genauigkeit, wie bei der ‚Ludwik’-Gleichung. Damit Funktion (4.1.3.2.2) monoton ansteigt, muss der Nenner des Funktionsterms für wachsende Umformgrade fortlaufend kleiner werden. Dies ist durch negative Werte für den Koeffezienten B gewährleistet. Auch dieser Funktionsansatz weicht für geringe Umformgrade deutlich vom experimentellen Fließkurvenverlauf ab. Im weiteren Verlauf wird Ansatz (4.1.3.2.2) als Funktion 6) bezeichnet.



4.1.4 Weitere Funktionsansätze Durch Kombination können weitere Funktionsansätze gewonnen werden, von denen die folgenden Ansätze beispielhaft in die Untersuchungen übernommen werden: (4.1.4.1) C

f BAK ϕϕ ϕ ⋅⋅=)(

(4.1.4.2) Cf BAK ϕϕ ϕ ⋅⋅=

1

)(

(4.1.4.3) BC

f eB

AKϕϕϕ ⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛⋅=)(

Obschon die beiden Ansätze (4.1.4.1) und (4.1.4.3) im Verlauf der vorliegenden Unter-suchung getrennt behandelt werden, handelt es sich doch prinzipiell um denselben Funktionstyp, wie die Umformung von Funktion (4.1.4.3) verdeutlicht.

(4.1.4.4) CC

BBC

f BeAe

BAK ϕϕϕ

ϕϕ

⋅⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅=⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛⋅=

1)(1

Somit folgt durch weiteres Umstellen:

(4.1.4.5) CBCf e

BAK ϕϕ

ϕ

⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅=

1

)(

Gleichung (4.1.4.5) entspricht im Aufbau dem Funktionsansatz (4.1.4.1). Deshalb wird nur Ansatz (4.1.4.1), stellvertretend für Ansatz (4.1.4.3) behandelt. Damit sich bei Funktion (4.1.4.1) durchweg positive Fließspannungswerte ergeben, müssen die beiden Koeffezienten A und B positive Zahlenwerte haben. Die Art des Funktionsverlaufs ergibt sich letztlich aus dem Term CB ϕϕ ⋅ Je nach Kurvenverlauf der zu beschreibenden Kaltfließkurve, können B und C theoretisch verschiedenste Werte annehmen, so dass eine Aussage, bezüglich der Wertebereiche für diese beiden Koeffezienten, letztlich kaum möglich ist. Für 0=ϕ wird der Funktionswert Null. Auch hier ergibt sich, bezüglich der Beschreibungs-genauigkeit der Funktion bei kleinen Umformgraden, dieselbe Problematik, wie beim Funktionsansatz nach Ludwik. Die Ansätze (4.1.4.1), sowie (4.1.4.3) werden für die weiteren Untersuchungen in Funktion 7) und Funktion 10) umbenannt.



Die für die Funktionen 7) und 10) angestellten Überlegungen lassen sich komplett auf den Funktionsansatz (4.1.4.2) übertragen. Dieser Ansatz wird fortan als Funktion 8) bezeichnet. Alle behandelten Funktionsansätze sind in Tabelle 4.2.3.1 auf Seite 45 zusammengestellt. Die bislang diskutierten Funktionsansätze erlauben durchweg nicht die vollständige Beschreibung von Kaltfließkurven. Dies mag seinen Grund in der Herangehensweise an die Problematik der mathematischen Beschreibung von Fließkurven haben. Bei allen bisher vorgestellten Funktionsansätzen wird letztlich der Versuch unternommen, direkt auf die entsprechende Formel, zur Beschreibung des Fließkurvenverlaufs, zu schließen. Dabei wird erst im Anschluss das Differentialverhalten der betreffenden Funktion betrachtet, um den Funktionsansatz zu prüfen und unsinnige Lösungen auszufiltern. Der Steigungsverlauf der Fließspannungen ist jedoch untrennbar mit dem Verlauf der Fließkurve verknüpft, so dass der Grundgedanke erfolgversprechend erscheint, über den Steigungsverlauf zu einer Funktionsgleichung für die Fließspannungen zu finden. Dieser Idee liegt die Vorstellung zugrunde, dass den Steigungen der Fließkurve einfacher eine mathematische Funktion (oder aber eine Verknüpfung verschiedener Funktionstypen) zugeordnet werden kann, als der Fließkurve selbst. Ist aber ein mathematischer Ansatz vor-handen, welcher das Steigungsverhalten beschreibt, so kann ein Funktionsansatz, zur Nachbildung des Fließkurvenverlaufs, durch Integration dieser Steigungsfunktion, hergeleitet werden.



4.2 Funktionsansätze auf Grundlage des Steigungsverhaltens von Fließkurven 4.2.1 Anforderungen an einen Funktionsansatz Die folgende Abbildung zeigt skizzenhaft den prinzipiellen Steigungsverlauf der Fließkurven, wie sie für alle untersuchten Werkstoffe, mit Ausnahme des hochlegierten austenitischen Stahls, gefunden wurde: Bild 4.2.1.1 Es ergibt sich ein charakteristischer ‚badewannenförmiger‘ Verlauf der Steigungskurve. Man erkennt, dass sich die Kurve mithilfe zweier Funktionen f2(ϕ) und f1(ϕ) beschreiben lässt (gestrichelt eingezeichnete Kurvenverläufe in Bild 4.2.1.1). Dabei sind an die beiden Funktionen folgende Forderungen zu stellen: Die Funktionen f1(ϕ) und f2(ϕ) müssen integrierbar sein, da sie letztlich der Ermittlung

eines Funktionsansatzes, zur Berechnung von Kf, dienen sollen. f1(ϕ) und f2(ϕ) müssen stetige Funktionen sein. f1(ϕ) muss monoton steigend sein und für 0=ϕ einen endlichen Wert haben. Weiterhin legt der Kurvenverlauf der ermittelten Werte (vgl. Abb. xxx) die Vermutung

nahe, dass f1(ϕ) für ∞→ϕ keinen Grenzwert besitzt. f2(ϕ) muss monoton fallend sein und für 0=ϕ einen endlichen Wert haben. Für ∞→ϕ muss f2(ϕ) weiterhin gegen einen endlichen Wert konvergieren. f1(ϕ) und f2(ϕ) dürfen jeweils keine Wendepunkte haben.

Es ergibt sich der Steigungsverlauf der Fließkurven dann zu:

(4.2.1.2) )()( 21 ϕϕϕ

ffd

dK f +=

Ermittelte Werte

)(2 ϕf

)(1 ϕf

ϕ∆∆ fK

ϕ



Daraus folgt mit einem Anfangswert 00 =ϕ für einen beliebigen Umformgrad 0'>ϕ :

(4.2.1.3) ∫ ∫ ∫∫ +=+='

0

'

0

'

02121

'

0

)()()]()([)('ϕ ϕ ϕϕ

ϕϕϕϕϕϕϕϕϕ dfdfdffdK f

Also letztlich:

(4.2.1.4) )()()()'( 0

'

02

'

01 ϕϕϕϕϕϕ

ϕϕ

ff KdfdfK ++= ∫∫

4.2.2 Herleitung von Funktionsansätzen Die in 4.2.1 genannten Forderungen an f1(ϕ) und f2(ϕ) werden jeweils von bestimmten Funktionstypen erfüllt – im Fall von f1(ϕ) bietet sich deshalb die nähere Untersuchung sowohl der Exponential-, als auch der Potenzfunktion an: 4.2.2.1 Funktionsansatz für f1(ϕ) mit der Exponentialfunktion Ansatz: (4.2.2.1.1) 311

2)( MeMf M +⋅= ⋅ϕϕ Bei M1, M2 und M3 handelt es sich um Material-, bzw. verfahrensabhängige Parameter in Form reeller Zahlen. Es folgt daraus für das Integral der Funktion f1(ϕ) :

(4.2.2.1.2) [ ]'03

'

02

1'

01

2)( ϕϕ

ϕϕ

ϕϕϕ ⋅+⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⋅= ⋅∫ Me

MMdf M

Es folgt:

(4.2.2.1.3) ∫ −⋅+⋅= ⋅'

0 2

13

'

2

11 ')( 2

ϕϕ ϕϕϕ

MMMe

MMdf M

4.2.2.2 Funktionsansatz für f1(ϕ) mit der Potenzfunktion Ansatz: (4.2.2.2.1) 7

)1(541

6)()( MMMf M ++⋅= −ϕϕ



Wie beim Exponentialansatz handelt es sich bei den Parametern M4, M5, M6 und M7 um reelle Zahlen, welche vom Werkstoff und den Rahmenbedingungen des Umformvorgangs abhängig sind. Integriert man f1(ϕ), so erhält man folgenden Zusammenhang:

(4.2.2.2.2) [ ]'07

'

05

6

4'

01

6)()( ϕϕϕ

ϕϕϕϕ ⋅+⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+⋅=∫ MM

MMdf M

Somit:

(4.2.2.2.3) 6

5475

6

4'

01

6

6 ')'()(MMMMM

MMdf

MM ⋅

−⋅++⋅=∫ ϕϕϕϕϕ

4.2.2.3 Funktionsansatz für f2(ϕ) mit Hyperbelfunktionen Die Anforderungen an f2(ϕ) weisen auf eine hyperbolische Funktion hin. Diese muss jedoch um einen bestimmten (positiven) Betrag entlang der Abszisse verschoben werden, um zu gewährleisten, dass sich für 00 =ϕ ein endlicher Wert für die Fließkurvensteigung ergibt. Ansatz:

(4.2.2.3.1) 109

82 )(

)( MM

Mf ++

=ϕ

ϕ

In Analogie der Betrachtungen zu f1(ϕ) repräsentieren M8, M9 und M10 reelle Zahlen. Durch Integration von f2(ϕ) erhält man (speziell für diesen Ansatz) die Logarithmusfunktion als Stammfunktion:

(4.2.2.3.2) [ ] [ ]'010

'

098

'

02 )ln()( ϕϕ

ϕ

ϕϕϕϕ ⋅++⋅=∫ MMMdf

Also ergibt sich:

(4.2.2.3.3) )ln()ln()( 981098

'

02 MMMMMdf ⋅−⋅++⋅=∫ ϕϕϕϕ

ϕ

Allgemein kann man den Ansatz folgendermaßen formulieren:

(4.2.2.3.4) 10)1(9

82 11)(

)( MMMf M +

+= +ϕ

ϕ

Hierbei kann M11 eine beliebige reelle Zahl größer 0 sein (da es sich bei f2(ϕ) um eine Hyperbelfunktion handeln soll).



Die Integration der Funktion führt zu folgendem Ergebnis:

(4.2.2.3.5) [ ]'010

'

0911

8'

02 11)(

)( ϕϕϕ

ϕϕ

ϕϕ ⋅+⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

+⋅−=∫ M

MMMdf M

Daraus folgt:

(4.2.2.3.6) 1111

911

810

911

8'

02 '

)'()( MM MM

MMMM

Mdf⋅

+⋅++⋅

−=∫ ϕϕ

ϕϕϕ

Kombiniert man die Integrale (4.2.2.1.3) und (4.2.2.2.3) jeweils mit dem Integral (4.2.2.3.3), bzw. (4.2.2.3.6), so ergeben sich insgesamt 4 mögliche Funktionstypen zur Beschreibung der Fließspannung. Die resultierenden Funktionsgleichungen enthalten dabei jeweils ein lineares Glied: (4.2.2.1) ')('' 103103 ϕϕϕ ⋅+=⋅+⋅ MMMM oder auch: (4.2.2.2) ')('' 107107 ϕϕϕ ⋅+=⋅+⋅ MMMM Dabei wird vereinfachend festgelegt: (4.2.2.3/4) 12103 MMM ≅+ sowie: 13107 MMM ≅+

Damit ergeben sich folgende Funktionsansätze zur Fließkurvenapproximation: (4.2.2.5)

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅

+−+⋅++⋅

−⋅= ⋅

1111

2

911

8

2

1012

911

8'

2

1 )(')'(

)'( MfMM

f MMM

MMKM

MMMe

MMK ϕϕ

ϕϕ ϕ

(4.2.2.6)

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

⋅+

⋅−+⋅+

+⋅−+⋅=

11

6

11

6

911

8

6

54013

911

85

6

4 )(')'(

)'()'( M

M

fMM

f MMM

MMMKM

MMMM

MMK ϕϕ

ϕϕϕ

(4.2.2.7)

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅−−+⋅++⋅+⋅= ⋅ )ln()(')'ln()'( 98

2

101298

'

2

1 2 MMMMKMMMe

MMK f

Mf ϕϕϕϕ ϕ



(4.2.2.8)

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅−

⋅−+⋅++⋅++⋅= )ln()(')'ln()'()'( 98

6

54013985

6

46

6 MMM

MMKMMMMMMK

M

fM

f ϕϕϕϕϕ

Diese Funktionsgleichungen müssen vor der Regressionsanalyse soweit wie möglich vereinfacht werden: Zunächst wird die zur Herleitung verwendete Variable 'ϕ gegen die übliche

Schreibweise des Umformgrades ϕ substituiert. Als nächster Schritt werden die reellen Parameter A, B, C, D, E, F, G und K, eingeführt.

Ohne sich näher auf M1 bis M13 in den Funktionen (4.2.2.5) bis (4.2.2.8) zu beziehen, werden diese neuen Koeffezienten zur vereinfachten Darstellung der Funktionsansätze verwendet, indem sie an entsprechender Stelle die aus den bisherigen Parametern gebildeten komplizierten Ausdrücke ersetzen.

Es ergeben sich die folgenden vereinfachten Gleichungen für die Funktionsansätze: (4.2.2.9)

KGE

DeAK FB

f +⋅++

−⋅= ⋅ ϕϕ

ϕ ϕ

)()(

(4.2.2.10)

KGE

DBAK FC

f +⋅++

−+⋅= ϕϕ

ϕϕ)(

)()(

(4.2.2.11)

KGEDeAK Bf +⋅++⋅+⋅= ⋅ ϕϕϕ ϕ )ln()(

(4.2.2.12) KGEDBAK C

f +⋅++⋅++⋅= ϕϕϕϕ )ln()()(



Mit der vereinfachten Funktion (4.2.2.9) wurden zunächst versuchsweise einige Regressionen, anhand der ermittelten Fließkurven verschiedener Werkstoffe, durchgeführt. Die statistischen Auswertungen der Zahlenwerte, welche dabei für den Koeffezienten D gefunden wurden, offenbarten beim zugehörigen Konfidenzintervall Nulldurchgänge. Da jedoch bei diesen Regressionsversuchen gleichzeitig hohe Werte für das Bestimmtheitsmaß R2 erzielt und der Messwertverlauf zudem sehr gut angenähert wurde, scheint dennoch die Annahme gerechtfertigt, dass sich der Funktionsansatz prinzipiell zur mathematischen Beschreibung von Kaltfließkurven eignet. Die Nulldurchgänge bei den Konfidenzintervallen weisen darauf hin, dass der Koeffezient D in Funktion (4.2.2.9) überflüssig ist. Deshalb muss der hyperbolische Ausdruck in der Funktionsgleichung einer erneuten Prüfung unterzogen werden:

FED

)( +ϕ

Die Multiplikation mit dem Faktor D entspricht einer Streckung der Hyperbel in Richtung der Ordinate. Dabei ändert sich sowohl die Steilheit der Hyperbel, als auch der Achsenabschnitt. Derselbe Effekt lässt sich jedoch auch durch eine geeignete Verschiebung E in Richtung der Abzisse und eine entsprechende Potenz F erzielen, ohne dass man anschließend den Ausdruck mit einem Faktor multiplizieren muss. Daraus folgt, dass es durchaus sinnvoll ist, den Koeffezienten D wegzulassen, so dass sich Funktion (4.2.2.9) weiter zu folgendem Ausdruck vereinfacht: (4.2.2.13)

KGE

eAK FB

f +⋅++

−⋅= ⋅ ϕϕ

ϕ ϕ

)(1)(

Regressionsversuche mit Funktion (4.2.2.10) ergaben ebenfalls in einigen Fällen Nulldurchgänge bei den Konfidenzintervallen für die Koeffezienten A, B,C und G. Folglich müssen diese Parameter aus der Funktionsgleichung entfernt, bzw. mit 1 gleichgesetzt werden, da der Funktionsansatz andernfalls bei der Regressionsanalyse mehrdeutig ist. Dies bedeutet jedoch, dass linearer Ausdruck und Potenzterm in Funktionsgleichung (4.2.2.10) insgesamt zu einem linearen Glied entarten, gemäß: :

ϕϕϕϕϕ ⋅=+⎯⎯⎯⎯ →⎯⋅++⋅ == 2)( 0;1,, BGCAC GBA In der ersten Ableitung liefert der Funktionsteil also letztlich eine Konstante für dieses Modell der Fließspannung. Dies stimmt jedoch nicht mit den experimentellen Befunden überein, gemäß denen die Fließkurvensteigung mit wachsendem Umformgrad zunimmt (vgl. Bild 4.2.1.1).



Um zu einem sinnvollen Funktionsansatz auf der Basis einer Potenzfunktion zu gelangen, sei deshalb folgender Teil aus Funktion (4.2.2.10) näher betrachtet:

KBA C ++⋅ )(ϕ Der Ausdruck beschreibt einen Kurvenzug, welcher um B entlang der Abszisse und um K entlang der Ordinate verschoben ist. Hierbei ist allerdings zu beachten, dass K sowohl die Achsenverschiebung des Potenzterms, als auch die Verschiebung des Hyperbelteils in Ordinatenrichtung beinhaltet – der Koeffezient wird deshalb in der Regel von Null verschieden sein. Die Kurvensteilheit wird durch die Potenz C, sowie auch vom Faktor A bestimmt. Durch geeignete Wahl der Elemente A, C, sowie K erübrigt sich jedoch eine Verschiebung der Kurve entlang der Abszisse; d.h.: Koeffezient B kann weggelassen werden. Zusammen mit der Vereinfachung, die bereits bei Funktion (4.2.2.9) zur Anwendung gekommen ist, reduziert sich der Funktionsansatz (4.2.2.10) dann auf folgende Gleichung: (4.2.2.14)

KGE

AK FC

f +⋅++

−⋅= ϕϕ

ϕϕ)(

1)(

entsprechend ergeben sich die Funktionen (4.2.2.11) und (4.2.2.12) zu: (4.2.2.15) KGEDeAK B

f +⋅++⋅+⋅= ⋅ ϕϕϕ ϕ )ln()(

(4.2.2.16) KGEDAK C

f +⋅++⋅+⋅= ϕϕϕϕ )ln()(

Die Funktionen (4.2.2.13) – (4.2.2.16) werden zusätzlich zu den bereits vorgestellten Funktionen 1) bis 10) zur rechnergestützten Regressionsanalyse herangezogen. Sie repräsentieren Funktionstypen, die sich nicht aus der ‚Ludwik’-Gleichung herleiten und werden nachfolgend zu Funktion 11) – 14) abgekürzt.



4.2.3 Tabellarische Zusammenstellung der untersuchten Funktionsansätze Die in den vorangegangenen Abschnitten vorgestellten (bzw. hergeleiteten) Funktions-ansätze sind, mit ihren jeweiligen ersten Ableitungen, in der nachfolgenden tabellarischen Übersicht zusammengestellt. Tabelle 4.2.3.1

Funktionsansätze auf Basis der ‚Ludwik-Gleichung’ Funktion

Nr. Funktionsgleichung Erste Ableitung

1) Bf AK ϕϕ ⋅=)( )1()( −⋅⋅= Bf BA

ddK

ϕϕϕ

2) ϕ

ϕϕ CBAK f +⋅+=)( 2

2 )()(ϕϕ

ϕϕ CB

ddK f −⋅

=

3) 2)( ϕϕϕ ⋅+⋅+= CBAK f ϕϕϕ

⋅⋅+= CBd

dK f 2)(

4) ϕϕ ⋅⋅= Bf eAK )( ϕ

ϕϕ ⋅⋅⋅= Bf eBA

ddK )(

5) ϕϕ ln)( ⋅+= BAK f ϕϕ

ϕ Bd

dK f =)(

6) )ln(

1)(ϕ

ϕ⋅+

=BA

K f 2))ln((

)(ϕϕϕ

ϕ⋅+⋅

−=

BAB

ddK f

7) Cf BAK ϕϕ ϕ ⋅⋅=)( ))(ln(

)( )1( −⋅+⋅⋅⋅= CCf CBBAd

dKϕϕ

ϕϕ ϕ

8) Cf BAK ϕϕ ϕ ⋅⋅=

1

)( ))ln(()( )1()2(

1−− ⋅−⋅⋅⋅−= CCf CBBA

ddK

ϕϕϕϕ ϕ

9) CB

f eAK2)(

)(−

⋅=ϕ

ϕ CB

f eC

BAd

dK2)()(2)( −

⋅−⋅⋅

=ϕϕ

ϕϕ

10) BC

f eB

AKϕϕϕ ⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛⋅=)(

ϕϕϕ

ϕϕ ϕ

⋅+⋅

⋅⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⋅=

BCBe

BA

ddK

BC

f )()(

Funktionsansätze aus der Untersuchung der Fließkurvensteigungen

11) KGE

eAK FB

f +⋅++

−⋅= ⋅ ϕϕ

ϕ ϕ

)(1)( G

EFeBA

ddK

FBf +

++⋅⋅= +

⋅)1()(

)(ϕϕ

ϕ ϕ

12) KGE

AK FC

f +⋅++

−⋅= ϕϕ

ϕϕ)(

1)( GEFCA

ddK

FCf +

++⋅⋅= +

−)1(

)1(

)()(

ϕϕ

ϕϕ

13) KGEDeAK Bf +⋅++⋅+⋅= ⋅ ϕϕϕ ϕ )ln()( G

EDeBA

ddK Bf +

++⋅⋅= ⋅

)()(

ϕϕϕ ϕ

14) KGEDAK Cf +⋅++⋅+⋅= ϕϕϕϕ )ln()( G

EDCA

ddK Cf +

++⋅⋅= −

)()( )1(

ϕϕ

ϕϕ



A B047 V4 1256,68 0,372936047 V7 1251,27 0,380302047 M4 1242,70 0,368181047 M7 1246,18 0,387523

Mittelwert Xm: 1249,21 0,377236Staw σ (in [%] von Xm): 0,49 2,23

469 V7 1266,51 0,366960469 M4 1249,25 0,363751469 M7 1262,98 0,370679469 H4 1257,97 0,350690469 H7 1264,79 0,362058


120 H7 1217,12 0,354917

484 M4 1173,48 0,295232

23MnB3 659 V7 1064,38 0,217411

184 V4 1295,20 0,352152184 H4 1313,99 0,363432


887 V7 1084,94 0,214122

X3CrNiCu 18 9 4 143154 7 1471,05 0,474946

35B2

Koeffezienten

19MnB4Cr

Werkstoff Probenbezeichnung

A B C047 V4 536,63 746,144 -0,403066047 V7 516,91 761,371 0,687776047 M4 539,67 730,520 -0,764957047 M7 507,95 764,551 0,566383

Mittelwert Xm: 525,29 750,647 0,021534Staw σ (in [%] von Xm): 2,92 2,08 3326,73

469 V7 548,28 744,191 -0,282166469 M4 535,50 741,753 0,731227469 M7 533,82 756,797 0,615361469 H4 556,81 735,264 0,135869469 H7 540,55 752,507 1,490690


120 H7 539,59 703,930 0,202079

484 M4 622,53 579,030 -2,491410

23MnB3 659 V7 657,75 477,095 -3,240370

184 V4 576,42 754,970 -0,423401184 H4 564,38 789,159 -0,065605

Mittelwert Xm: 570,40 772,065 -0,244503Staw σ (in [%] von Xm): 1,49 3,13 103,48

887 V7 673,49 488,773 -3,352140

X3CrNiCu 18 9 4 143154 7 461,19 1085,390 -0,319511

35B2

19MnB4Cr

Werkstoff Probenbezeichnung Koeffezienten

A8/1 Koeffezientenvergleich für Funktion 1) (induktiver Wegaufnehmer)

A8/2 Koeffezientenvergleich für Funktion 2)

(induktiver Wegaufnehmer)



A B C047 V4 669,83 106,9220 507,157047 V7 678,12 37,2875 566,692047 M4 662,70 118,2600 493,381047 M7 670,86 28,0026 577,554


469 V7 681,11 115,9660 495,998469 M4 697,37 17,3873 566,250469 M7 697,34 20,4397 576,092469 H4 698,12 70,7912 534,247469 H7 709,30 24,2572 564,567


120 H7 669,54 110,6440 466,341

484 M4 646,41 381,7340 177,100

23MnB3 659 V7 590,21 671,2430 -137,837

184 V4 700,91 143,7820 499,941184 H4 703,94 113,0480 555,340


887 V7 610,13 649,2650 -100,021

X3CrNiCu 18 9 4 143154 7 508,25 804,4160 269,967

19MnB4Cr


35B2

A B047 V4 590,99 0,778204047 V7 582,00 0,792198047 M4 587,62 0,775784047 M7 572,56 0,804248


469 V7 603,75 0,763941469 M4 596,88 0,766374469 M7 596,22 0,777637469 H4 611,05 0,757281469 H7 608,95 0,759137


120 H7 595,13 0,740990

484 M4 644,78 0,624917

23MnB3 659 V7 640,10 0,612341

184 V4 628,28 0,759991184 H4 622,12 0,789153


887 V7 652,55 0,622799

X3CrNiCu 18 9 4 143154 7 562,92 1,056070

35B2

Koeffezienten

19MnB4Cr



(induktiver Wegaufnehmer) A8/4 Koeffezientenvergleich für Funktion 4)




A B047 V4 1197,14 255,847047 V7 1192,43 262,796047 M4 1184,29 252,099047 M7 1186,37 264,638


469 V7 1209,88 259,287469 M4 1194,52 257,549469 M7 1205,78 261,773469 H4 1202,56 253,076469 H7 1211,90 264,887


120 H7 1168,25 252,372

484 M4 1140,28 226,340

23MnB3 659 V7 1031,00 159,610

184 V4 1237,76 262,398184 H4 1250,61 268,802


887 V7 1050,29 160,387

X3CrNiCu 18 9 4 143154 7 1332,21 325,914

Koeffezienten

19MnB4Cr


35B2

A B047 V4 0,000776431 -0,000456608047 V7 0,000778259 -0,000470801047 M4 0,000784312 -0,000454398047 M7 0,000781265 -0,000484132

Mittelwert Xm: 0,00078 -0,00047Staw σ (in [%] von Xm): 0,44 2,96

469 V7 0,000771039 -0,000442121469 M4 0,000779459 -0,000448055469 M7 0,000771048 -0,000453603469 H4 0,000772016 -0,000426071469 H7 0,000770183 -0,000436736


120 H7 0,000802203 -0,000438453

484 M4 0,000836805 -0,000350391

23MnB3 659 V7 0,00091175 -0,000277311

184 V4 0,00074984 -0,000412912184 H4 0,000736603 -0,000426136


887 V7 0,000892707 -0,000269121

X3CrNiCu 18 9 4 143154 7 0,000639103 -0,000517458

Koeffezienten

19MnB4Cr


35B2






A B C047 V4 569,75 2,25827 -0,0190937047 V7 535,26 2,40051 -0,0441252047 M4 574,63 2,22137 -0,0115759047 M7 526,35 2,43066 -0,0443451


469 V7 580,74 2,23128 -0,0203621469 M4 544,65 2,35793 -0,0481102469 M7 545,79 2,37681 -0,0464401469 H4 572,76 2,27628 -0,0335045469 H7 551,04 2,36096 -0,0528418


120 H7 565,77 2,20675 -0,0266916

484 M4 704,29 1,70841 0,0459552

23MnB3 659 V7 829,26 1,36142 0,1145760

184 V4 608,53 2,20854 -0,0164911184 H4 592,39 2,31393 -0,0252242


887 V7 834,81 1,39009 0,1076310

X3CrNiCu 18 9 4 143154 7 701,04 2,26917 0,1094150

19MnB4Cr


35B2

A B C047 V4 1251,24 1,01358 0,431026047 V7 1240,74 1,02111 0,465126047 M4 1237,95 1,01264 0,422295047 M7 1235,13 1,02119 0,471755


469 V7 1259,62 1,01591 0,433975469 M4 1239,04 1,02160 0,451295469 M7 1253,13 1,02068 0,454848469 H4 1251,59 1,01903 0,431004469 H7 1250,10 1,02719 0,466985


120 H7 1205,82 1,02250 0,443877

484 M4 1166,74 1,01745 0,365234

23MnB3 659 V7 1068,68 1,00245 0,232837

184 V4 1289,51 1,01827 0,429320184 H4 1308,42 1,01923 0,444447


887 V7 1089,02 1,00202 0,227174

X3CrNiCu 18 9 4 143154 7 1471,01 1,01663 0,541792

19MnB4Cr


35B2






A B C047 V4 595,1550 -0,597694 3,3636047 V7 629,7970 -0,398114 2,7919047 M4 603,9050 -0,532466 3,1848047 M7 629,1660 -0,359161 2,6539

Mittelwert Xm: 614,5058 -0,471859 2,9986Staw σ (in [%] von Xm): 2,87 23,74 11,05

469 V7 601,2650 -0,629004 3,5089469 M4 657,7260 -0,334301 2,7135469 M7 656,5380 -0,342275 2,6993469 H4 647,5510 -0,430708 2,9584469 H7 671,5040 -0,327708 2,7150


120 H7 598,3750 -0,595875 3,5096

484 M4 154,7120 -5,230470 18,9241

23MnB3 659 V7 46,4010 -9,087870 31,3940

184 V4 625,4400 -0,605581 3,3934184 H4 638,9610 -0,515697 3,0262


887 V7 57,5318 -8,299270 28,2837

X3CrNiCu 18 9 4 143154 7 13,5464 -7,657960 15,6581

35B2

19MnB4Cr


A B C047 V4 568,363 1,22972 -0,0184732047 V7 532,947 1,14400 -0,0434304047 M4 574,097 1,25545 -0,0108795047 M7 524,452 1,12805 -0,0435937


469 V7 579,013 1,24819 -0,0197278469 M4 541,481 1,16792 -0,0474176469 M7 542,998 1,15717 -0,0457368469 H4 569,880 1,21794 -0,0328535469 H7 547,463 1,16616 -0,0521433


120 H7 563,063 1,26559 -0,0260684

484 M4 725,677 1,87038 0,0463751

23MnB3 659 V7 949,987 3,24903 0,1148290

184 V4 607,098 1,26437 -0,0158718184 H4 590,672 1,19414 -0,0245620


887 V7 942,045 3,04421 0,1079210

X3CrNiCu 18 9 4 143154 7 716,944 1,22124 0,1096540

19MnB4Cr


35B2






A B E F G K047 V4 13,805200 3,20348 0,1209120 2,83438 183,145 718,529047 V7 6,799090 3,75939 0,1005670 2,60948 233,186 709,738047 M4 0,902194 5,24388 0,0896017 2,48085 345,123 697,884047 M7 3,161340 4,34574 0,0995997 2,60029 278,409 698,961

Mittelwert Xm: 6,166956 4,13812 0,1026701 2,63125 259,96575 706,278Staw σ (in [%] von Xm): 91,49 21,08 12,79 5,61 26,47 1,38

469 V7 18,770100 2,98159 0,1338630 2,98836 152,817 730,447469 M4 8,817010 3,57739 0,1086780 2,72076 186,046 733,578469 M7 5,776810 3,88721 0,0945318 2,56036 233,681 728,339469 H4 6,528980 3,81655 0,0976882 2,59794 226,564 738,662469 H7 2,506640 4,50003 0,0892704 2,49467 290,322 729,430


120 H7 12,156000 3,24857 0,1240300 2,89172 179,597 716,489

484 M4 3,839640 3,68579 0,1267280 2,88387 313,293 717,088

23MnB3 659 V7 4,915620 3,81889 0,1198230 2,80717 265,811 716,314

184 V4 1,900880 4,74552 0,0722773 2,32620 343,875 736,245184 H4 2,616050 4,59484 0,0765784 2,37353 331,657 738,088


887 V7 3,872020 4,29774 0,0884256 2,50553 259,430 735,707

X3CrNiCu 18 9 4 143154 7 0,215312 6,93864 0,3420410 4,83573 845,105 557,019

19MnB4Cr


35B2

A C E F G K047 V4 214,555 4,56486 0,0934793 2,52075 313,650 714,011047 V7 201,425 5,06796 0,0746709 2,31535 334,922 698,995047 M4 132,653 6,59117 0,0721155 2,27813 394,015 686,509047 M7 178,215 5,66240 0,0736068 2,30645 357,487 685,609


469 V7 221,870 4,38438 0,1009420 2,61566 302,569 729,554469 M4 211,934 4,90180 0,0801157 2,39754 300,089 723,726469 M7 197,320 5,19719 0,0706740 2,28601 330,109 716,803469 H4 209,781 5,04658 0,0749599 2,33707 324,552 728,708469 H7 167,239 5,80780 0,0639090 2,21046 361,906 716,278


120 H7 198,664 4,60622 0,0927372 2,54283 300,292 710,854

484 M4 103,993 4,99856 0,1039520 2,63783 368,748 711,091

23MnB3 659 V7 170,435 4,36026 0,1116940 2,71379 317,149 715,430

184 V4 169,465 5,93199 0,0567343 2,14113 404,887 725,070184 H4 200,011 5,73451 0,0588951 2,16434 403,637 726,075


887 V7 228,295 4,57996 0,0825415 2,43465 310,748 733,509

X3CrNiCu 18 9 4 143154 7 208,447 7,07669 0,341944 4,80659 863,349 553,759

35B2

19MnB4Cr







A B D E G K047 V4 53,93170 2,41598 125,0520 -0,0000442 -288,08300 926,274047 V7 20,35670 3,07336 102,3140 -0,0063911 -100,49400 896,389047 M4 3,15000 4,37715 98,4748 -0,0039557 81,48870 882,001047 M7 8,99153 3,65815 98,5513 -0,0071006 -8,82046 882,210

Mittelwert Xm: 21,60748 3,38116 106,0980 -0,0043729 -78,97719 896,719Staw σ (in [%] von Xm): 105,07 24,72 12,03 72,83 200,01 2,32

469 V7 74,88020 2,21106 130,4200 -0,0005498 -362,41500 933,161469 M4 27,78520 2,87461 109,9540 -0,0065327 -187,07200 931,145469 M7 17,54760 3,18392 102,8190 -0,0070601 -96,92170 918,295469 H4 22,30480 3,03678 107,1880 -0,0064696 -136,61100 935,541469 H7 6,63127 3,85066 87,2952 -0,0121765 42,20360 892,511

Mittelwert Xm: 29,82981 3,03141 107,5352 -0,0065577 -148,16322 922,131Staw σ (in [%] von Xm): 88,37 19,46 14,42 62,84 99,20 1,94

120 H7 45,46090 2,47968 115,7490 -0,0065295 -244,46900 912,238

484 M4 28,78400 2,47290 104,8000 -0,0082986 -54,18 897,670

23MnB3 659 V7 4664,80000 0,45616 171,0500 0,0079527 -2606,2 -3563,9

184 V4 6,76214 3,87345 95,1691 -0,0089681 55,99320 919,441184 H4 8,60721 3,77806 98,1841 -0,0084121 27,53940 926,838

Mittelwert Xm: 7,68468 3,82576 96,6766 -0,0086901 41,76630 923,140Staw σ (in [%] von Xm): 16,98 1,76 2,21 4,52 48,17 0,57

887 V7 478,788 1,228620 152,975000 0,001628 -982,711 605,041

X3CrNiCu 18 9 4 143154 7 247,180 2,0374 8136 1,2293 -5275,9 -1515,5

19MnB4Cr


35B2

A C D E G K047 V4 308,675 3,88233 108,7840 -0,00220047 6,384 928,619047 V7 266,656 4,45538 87,8074 -0,00853856 100,722 869,710047 M4 179,492 5,75026 87,1881 -0,00540105 185,466 849,255047 M7 67,239 3,85534 108,1360 -0,00309723 -55,570 905,373


469 V7 321,253 3,73154 112,2280 -0,0031299 -17,2819 951,350469 M4 284,110 4,29009 93,8621 -0,0089246 46,1895 907,281469 M7 262,075 4,56135 88,6191 -0,0090383 94,5935 889,412469 H4 284,551 4,35889 93,4526 -0,0083732 67,9538 912,882469 H7 211,695 5,21302 74,3103 -0,0143672 178,1310 857,161


120 H7 280,969 3,94654 99,7611 -0,00908268 23,5392 907,124

484 M4 175,231 3,94335 93,7959 -0,0104558 117,785 892,528

23MnB3 659 V7 435,959 2,46931 152,993 0,0053291 -291,448 1048,67

184 V4 227,07700 5,13459 83,9307 -0,0103743 185,97700 888,772184 H4 261,76000 5,00532 85,7935 -0,0099995 176,19400 894,334


887 V7 492,554 2,61314 148,896 0,00133631 -307,215 1068,71

X3CrNiCu 18 9 4 143154 7 678,469 3,78483 7402,52 1,42993 -3389,97 -2233,24

35B2

19MnB4Cr





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4. Funktionsansätze zur Beschreibung von Kaltfließkurven 4 ... · Die Ansätze (4.1.4.1), sowie (4.1.4.3) werden für die weiteren Untersuchungen in Funktion 7) und Funktion 10)