4.7 DIE ELEKTRISCHE SPANNUNG 214.8 DEFINITION POTENTIALFLÄCHE 214.8.1 EKG UND EEG 214.9 GAUẞSCHER SATZ 224.10 ZWISCHENBILANZ 23

5 ANWENDUNG DER GESETZE DER ELEKTROSTATIK 25

5.1 DAS ELEKTROSTATISCHE FELD LADUNGSSCHICHT 255.2 LEITER IM ELEKTROSTATISCHEN FELD 255.3 KONDENSATOR 285.3.1 KAPAZITÄT 285.3.2 SCHALTUNGEN MIT KONDENSATOREN 295.3.2A PARALLELSCHALTUNG 295.3.2.B SERIENSCHALTUNG 305.3.3 ENERGIE IM KONDENSATOR 305.4 GRADIENT DES ELEKTRISCHEN POTENTIALS 315.5 INFLUENZ 315.6 DIELEKTRIKA IM ELEKTRISCHEN FELD 325.6.1 ELEKTRISCHE POLARISATION 325.6.2 VERSCHIEBUNGSPOLARISATION 335.6.3 ORIENTIERUNGSPOLARISATION 355.7 PIEZOELEKTRISCHER EFFEKT 365.8 DAS ELEKTRISCHE FELD IM INNERN EINER HOMOGEN GELADENEN KUGEL 365.9 DAS ELEKTRISCHE FELD IM PLATTENKONDENSATOR MIT DIELEKTRIKUM 37

6. GLEICHSTROMKREISE 39

6.1 STROMDICHTE 396.2 ELEKTRISCHE WIDERSTÄNDE 396.2.1 DAS OHMSCHE GESETZ 396.2.2 WEITERE WIDERSTÄNDE 426.2.3 POTENTIOMETER: 436.3 KIRCHHOFFSCHE REGELN MIT ANWENDUNGEN 436.3.1 KIRCHHOFF 436.3.1A PARALLELSCHALTUNG VON WIDERSTÄNDEN 446.3.1B REIHENSCHALTUNG VON WIDERSTÄNDEN 446.3.2 WHEATSTONESCHE BRÜCKE 446.3.3 AMPEREMETER 456.3.4 SPANNUNGSMESSUNG 466.3.5 BESTIMMUNG DES WERTES EINES WIDERSTANDES 476.3.6 RC- GLIED 486.3.1A ENTLADUNG: 486.3.1B AUFLADUNG 48

Seite 21

4.7 Die elektrische Spannung

Die Spannung U zwischen zwei Punkten des elektrischen Feldes ist gleich dem Quotienten aus der Verschiebungsarbeit (von nach ) und der Probeladung q bzw. der Differenz der Potentiale Vi. Im Unendlichen soll das Potential gleich Null sein.

in (kurz könnte man sagen: Spannung =

Arbeit pro Ladung). Wenn E konstant ist in V

in V

4.8 Definition Potentialfläche

Alle Punkte gleichen Potentials ergeben Potentialflächen. Für eine punktförmige Ladung sind diese Potentialflächen Kugelschalen.

Die Feldlinien einer punktförmigen Ladung sind Radiallinien, die senkrecht zu den Äquipo-tentialflächen verlaufen. Die Coulombkraft tritt nur bei Existenz von mindestens zwei Ladun-gen auf. Wenn Ladungen ruhen, beginnen die Feldlinien an positiven Ladungen und enden an negativen Ladungen. Sie enden nie im freien Raum!

Senkrecht zu den Äquipotentialflächen ändert sich das elektrische Feld am stärksten, weil sich das Potential am stärksten ändert.

Das skalare Produkt vor ist am größten, wenn E und ds parallel liegen. Da es nur eine Richtung geben kann, in der die Potentialänderung am größten ist, können Feldlinien sich nicht schneiden!

4.8.1 EKG und EEG

Im menschlichen Körper laufen Prozesse ab, die Potentialschwankungen an der Körperober-fläche zur Folge haben. Solche Potentialdifferenzen können mit großflächigen Elektroden abgegriffen werden. Die Potentialdifferenz kann mit sehr empfindlichen Voltmetern gemes-sen werden. Zeichnet man den zeitlichen Verlauf der Spannungsschwankungen auf, erhält man ein EEG (Elektroenzephalogramm).

Durch die Herztätigkeit entstehen im Brustkorb Äquipotentialflächen, die die Hautoberflä-chen in Linien schneiden. Mit Elektroden werden an mehreren Stellen am Körper Potential-differenzen gemessen und aufgezeichnet (EKG = Elektrokardiogramm). Es gibt verschiedene Auswertungsmethoden des so gewonnenen EKG's.

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4.9 Gaußscher Satz

Wenn Feldlinien nirgends frei enden, treten z.B. durch aufeinander folgenden Kugelschalen um eine Punktladung gleich viele Feldlinien hindurch. Rechnerisch bedeutet dies, daß das Produkt von konstant ist. D.h. in dem Maße, wie E abnimmt, nimmt A zu.

= konstant. Das Produkt gibt den elektrischen Vektorfluß durch die Oberfläche an.

Berechnung von

ist ein Vektor, dessen Länge den Flächeninhalt angibt und der senkrecht zur Fläche ge-richtet ist.

in N m2/C = V m

Der Term ist unabhängig von r (funktioniert nur wegen der - Abhängigkeit im Cou-

lomb- Gesetz).

Gaußscher Satz der Elektrostatik:

Der gesamte elektrische Fluß aus einer geschlossenen Fläche heraus (Fläche A) ist gleich der gesamten Ladung, die sich innerhalb der Fläche befindet, dividiert durch .

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in Vm

Die Gesamtladung Q ist gleich der Summe der N Teilladungen qi =>

Ist die Ladung im Volumen V kontinuierlich verteilt, kann als Ladungsdichte

definiert werden.

Es folgt:

in V m

oder mit

D ist die sogenannte dielektrische Verschiebungsdichte.

in C

4.10 Zwischenbilanz

Wichtige Beziehungen:

Lorentzkraft: oder in N

Coulombsches Gesetz: in N mit

elektrische Feldstärke: in

Verschiebungsarbeit: in Nm

elektrisches Potential: in (Volt)

in J/C

Potential:

elektrische Spannung: in V = J/C

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elektrische Feldstärke: in N/C

Ladung ist auf Volumen t verteilt in (Ladungsdichte)

Ladung ist auf Fläche A verteilt in (Flächenladungsdichte)

Das Potential berechnet sich aus der Formel:

mit

bzw.

Es folgt: bzw.

(A: Fläche in m2, t: Volumen in m3)

Der Beitrag eines kleinen Volumenelementes mit Ladungen zum elektrischen Gesamtfeld ist dann:

bzw.

Es folgt:

bzw.

Elektrischer Fluß: in mit

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5 ANWENDUNG DER GESETZE DER ELEKTROSTATIK

5.1 Das elektrostatische Feld Ladungsschicht

Die ebene Ladungsschicht sei unendlich ausgedehnt. muß senkrecht auf der Ebene stehen und entgegengesetzt gleich sein. A1 und A2 sind Seitenflächen eines Volumens, das einen Teil der Flächenladung umgibt.

ist parallel zu allen anderen Flächen gerichtet. hat nur x-Komponenten.

Links: Rechts:

5.2 Leiter im elektrostatischen Feld

Aus dem glühelektrischen Effekt folgt:

es gibt in Leitern frei bewegliche Ladungen, und zwar die negativ geladenen Elektronen. Die positiv geladenen Ionen sind unbeweglich. Kommt ein Leiter in ein Feld, bildet sich ein Gleichgewichtszustand, der dadurch gekennzeichnet ist, daß im Innern des Leiters = 0 sein muß. Sonst würde es einen Strom geben (nicht statische Situation).

Wegen des Gaußschen Satzes gilt:

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Im Innern gibt es keine Ladungen.

Die Ladungen verteilen sich auf der Oberfläche. Im Gleichgewicht stehen die Feldlinien senkrecht auf der Leiteroberfläche. (Sonst würden Ladungen bewegt.). Da senkrecht zur Oberfläche steht, ist die Wv (Arbeit) für eine Probeladung parallel zur Oberfläche gleich Null.

Die Oberfläche ist Äquipotentialfläche.

oder

Leiter im Feld:

ohne Leiter mit Leiter

Es soll der Fluß berechnet werden (siehe folgende Abbildung)

also

Wegen ergibt sich und wie zuvor:

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Feld einer geladenen Metallkugel mit den Radius (RK und sq sind konstant):

Das Potential ist:

Es folgt:

E: elektrisches Feld; V: elektrisches Potential

Da nun einerseits die Leiteroberfläche gleiches Potential hat, andererseits RK nicht überall gleich zu sein braucht, folgt:

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5.3 Kondensator

5.3.1 Kapazität

Ein Kondensator besteht aus zwei entgegengesetzt gleich geladenen Metallen.

Die positive Arbeit WV (V wie Verschiebung), die man verrichten muß, um eine positive La-dung gegen das Feld zu bewegen, ist proportional zu Q. Damit ist auch U proportional zu Q, daraus folgt:

Q = C U

C ist eine Konstante und heißt Kapazität

in

Die Einheit heißt Farad F

Die Oberflächen der beiden Metallkörper sind Äquipotentialflächen Die Verschiebungsar-beit ist unabhängig vom gewählten Weg (und U ist konstant). Die Kapazität C ist also nur von der geometrischen Anordnung abhängig.

Spezialfall Plattenkondensator:

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d: Plattenabstand in m. Außerhalb der Platten heben sich die Felder auf! (Superposition bzw. Überlagerung). Für eine Platte gilt (s. 5.1)

in V

Es folgt:

mit in F

Falls zwischen die Platten ein sogenanntes Dielektrikum (Isolator) geschoben wird, kann die Spannung um den Faktor r erhöht werden. r heißt relative Dielektrizitätskonstante und ist dimensionslos. Falls ein Dielektrikum eine Rolle spielt, ist in allen Formel 0 durch 0r zu

ersetzen also z.B. .

Die Kapazität C wird in Farad F gemessen.

A: Kondensatorfläche; d: Plattenabstand

5.3.2 Schaltungen mit Kondensatoren

Ein Kondensator wird durch eine Spannungsquelle aufgeladen.

U

C

bzw. bzw.

5.3.2a Parallelschaltung

Die Spannung U ist an beiden Kondensatoren gleich =>

Seite 30

5.3.2.b Serienschaltung

In diesem Fall sind die Ladungen gleich =>

und

.

5.3.3 Energie im Kondensator

Ist ein Kondensator zum Teil aufgeladen, gilt:

in J/C

Um dazu noch eine weitere Ladung dq aus dem Unendlichen auf den Leiter zu bringen, ist die Verschiebungsarbeit

in J

notwendig.

Um die Ladung Q auf die Kondensatorplatten zu bringen, ist die Gesamtarbeit Wv notwendig:

Nun ist U = E d und :

mit Vpl = A d

Vpl ist das Volumen des Plattenkondensators. Als Energiedichte ergibt sich:

5.4 Gradient des elektrischen Potentials

in V

Der Vektor ist dreidimensional zu behandeln

Seite 31

(I)

mit

, und

Nun ist das Potential V eine skalare Funktion des Ortes und damit V = V(x,y,z) Läßt man y und z konstant und ändert man x um x , so gelangt man zum Ort (x+x, y, z).

Es folgt:

Analog folgt:

und

In Gleichung (I) eingesetzt folgt:

Die erste Klammer kann man aber auch wie folgt schreiben:

. Den Klammerausdruck nennt man

Vektor Nabla: . Dann ist:

5.5 Influenz

In 5.2 wurde festgestellt, daß das Innere eines Leiters feldfrei ist. Bringt man einen Leiter in ein Feld, bilden sich Influenzladungen. Das Feld der Influenzladung ist entgegengesetzt gleich Im Innern gibt es kein Feld.

Bringt man eine positive Punktladung in die Nähe einer Metallplatte, so bildet sich ein Feld.

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Dies ist ein Halbfeld des Dipols.

Man kann in die Ebene V = 0 eine Metallplatte bringen, ohne das Feld zu ändern. Andererseits ist das Feld zwischen Ladung Q und Metallplatte richtig beschrieben, wenn man eine Bildladung im Abstand a hinter der Metallplatte annimmt. Die Kraft dieser Bildladung wird Bildkraft genannt.

in N

Auf der Platte sitzen Ladungen, deren Summe = q ist.

5.6 Dielektrika im elektrischen Feld

5.6.1 Elektrische Polarisation

Man betrachtet Isolatoren (Dielektrika). im elektrischen Feld ( Feld).

Verschiebungspolarisation:

Ein äußeres Feld verschiebt bei an sich neutralen Atomen oder Molekülen die Ladungs-schwerpunkte der positiven und negativen Ladung gegeneinander. Es entsteht ein induziertes

Seite 33

elektrisches Dipolmoment in Richtung von .

Orientierungspolarisation:

Moleküle haben von sich aus ein Dipolmoment wie z.B. H2O. Diese Dipolmomente werden ausgerichtet.

In beiden Fällen versteht man unter elektrischer Polarisation (Polarisationsvektor) einer Substanz das Verhältnis des gesamten Dipolmomentes des Volumens V pro V.

wobei die Summe aller Dipolmomente pi der einzelnen Moleküle ist.

5.6.2 Verschiebungspolarisation

Durch ein äußeres Feld werden Dipolmomente induziert. Für jedes einzelne Dipolmoment, das induziert wird, gilt:

prop.

: atomare Polarisierbarkeit in m3

: induziertes Dipolmoment in Cm

: elektrische Feldstärke in N/C

Atomare Polarisierbarkeit einiger Elemente

Element H He Li Be C Ne Na in 10-24 cm3 0,66 0,21 12 9,3 111,5 0,4 27

Im elektrischen Feld werden positive und negative Ladungen um eine Strecke a getrennt (s. Abschnitt 5.9).

Im Kondensator eingebracht bilden sich im Innern des Dielektrikums Dipolketten. Die Ladungen kompensieren sich gegenseitig bis auf die an den Kettenenden auf der

Oberfläche des Dielektrikums entstehen Oberflächenladungen in C/m2.

pD: Dipolmoment in Cm sq: Ladungen/Fläche in C/m2 n: Anzahl/Volumen in 1/m3 D: Dicke des Dielektrikums in m

Seite 34

Aus der Flächenladungsdichte sq ergibt sich für den Isolator ein gesamtes Dipolmoment = gesamte Oberflächenladungen Dicke, also:

Für die Polarisation folgt:

in C/m2

Man hätte auch wie folgt argumentieren können:

Das Dielektrikum läßt sich in D/a Schichten zerlegen ( a: Dipolabstand). In jeder Schicht sind N Dipole. Alle Dipole im Volumen sind demnach:

Für die Polarisation folgt:

Aus den Überlegungen folgt: P = sq also elektrische Polarisation = Oberflächenladung.

Die Polarisation ist außer bei Elektreten proportional zu

Wegen ist . Zwischen dielektrische Suzeptibilität e

und Polarisierbarkeit besteht also der einfache Zusammenhang:

n = e

N: Anzahl aller DipolmomenteV: Volumen in m3 n: Anzahl der Dipolmomente pro Volumen in 1/m3

: Elektrische Polarisation in C/m2

e: dielektrische Suszeptibilität (ohne Dimension).

Das elektrische Feld wird durch ein Dielektrikum beeinflußt. Es gilt:

E = E0 - Ep

Ep: Feld der Polarisationsladungen (gebundene Ladungen)E0: Feld ohne Dielektrikum

Seite 35

sk: Oberflächenladung des Kondensatorssq: Oberflächenladung des Dielektrikums

Mit

Im Folgenden steht als Abkürzung für das Produkt steht.

mit

Material r

Wasser, flüssig, 1bar, 293K 81Nitrobenzol, flüssig, 293 K 37Wasser, gasf., 1bar, 383 K 1,0126Luft, gasf., 273 K 1,00059Glas, 293 K 5-10Hartgummi, 293 K 2,5-3,5Keramik, 293 K 10-104

Porzellan, 293 K 4Paraffin, 293 K 2,1SrTiO3, 10 K 12000

Die Angaben schwanken in der Literatur stark.

5.6.3 Orientierungspolarisation

Im Molekül gibt es permanente Dipole. Z.B. im HCl-Molekül ist das H-Atom um 0,2·10-10m gegen das Cl-Atom verschoben. Daraus resultiert ein permanentes Dipolmoment, das vier Größenordnungen über dem induzierten Dipolmoment liegt. Die Theorie sagt aus, daß Ver-schiebungspolarisation sich nicht mit der Temperatur ändert, während Orientierungspolarisa-tion geändert (wegen der Wärmebewegung der Dipole!) wird.

Wasser hat eine große Dielektrizitätskonstanten . Wirken Wassermoleküle auf z. B. NaCl ein, wird die Feldstärke vermindert und damit die anziehende Kraft zwischen Na und Cl. Dies nennt man Dissoziationsvermögen des Wassers.

oder wegen

Uv: Spannung ohne WasserU: Spannung mit Wasser in V

Seite 36

5.7 Piezoelektrischer Effekt

Deformiert man Kristalle mit einer sogenannten polaren Achse, so wird er "polarisiert". D.h. durch Krafteinwirkung treten im Kristall Dipolmomente auf, die an der Oberfläche Ladungen bedingen. Legt man an einem Kristall Metallplatten an, kann man diese Ladungen bzw. Span-nungen messen. Umgekehrt legt man Spannungen an, so bewirkt man Deformationen (Quarz-uhrprinzip).

5.8 Das elektrische Feld im Innern einer homogen geladenen Kugel

Die geladene Kugel hat den Radius R0. Man berechnet nun den elektrischen Fluß durch eine Kugelschale im Innern der Kugel. Dabei ist s der Abstand der Kugelschale vom Mittelpunkt.

: Fluß in N m2/C0: elektrische Feldkonstante in C /(N m2) (Wert = 8,85419 10-12 )R0 Radius der geladenen Kugel in ms: Abstand in mdV: Volumenelement einer Kugel im Abstand s in m3

q: Ladungsdichte der Kugel in C/m3

An einer Stelle im Innern der homogen geladenen Kugel im Abstand s vom Mittelpunkt hat die Feldstärke E den errechneten Wert.

Seite 37

Ein äußeres Feld würde die Homogenität der Ladungsverteilung innerhalb der Kugel solange stören bis sich ein Gleichgewicht zwischen äußerem Feld und Kugelfeld einstellt. Dies sei bei einer Feldstärke, die der beim Abstand s entspricht. Man könnte sagen, daß durch das äußere Feld ein Dipol p entstanden ist. Es würde dann gelten:

5.9 Das elektrische Feld im Plattenkondensator mit Dielektrikum

An einen Plattenkondensator ist die Spannung U gelegt. Ohne Dielektrikum gilt:

Q = C U

Mit einem Dielektrikum gilt:

Q = r C Ur

Ur = U/r also auch

Er = E/r

Die Spannung Ur ist kleiner geworden. Wenn man die Spannung wieder auf den Wert U bringt (mit Dielektrikum), erhöht sich die Ladung auf den neuen Wert:

Qr = r Q

Man kann also Qr - Q mehr Ladungen auf die Platten bringen. Die dazu nötige Energie wird von der Spannungsquelle geliefert:

W = Q U = U (Qr - Q) = U Q (r -1)

Die Energiedichte im Kondensator nimmt zu.

Ohne Dielektrikum ist die Energiedichte (s. Abschnitt 5.4):

Mit Dielektrikum (Spannung U in beiden Fällen gleich groß):

Wenn man die Differenz ausrechnet, ergibt sich nur 0,5QU, also nur die Hälfte der hineingesteckten Arbeit. In das Feld wurde zusätzlich die Energie

Wf =0,5 Q U = ½ W gespeichert.

Man kann vermuten, daß der Rest in mechanische Arbeit Wm umgewandelt worden ist. Man beobachtet, daß dielektrische Flüssigkeiten, in die ein Kondensator senkrecht eingetaucht ist, innerhalb des Kondensators um die Höhe h angehoben werden. Dann sollte:

W = Wf + Wm sein. Wobei Wm = m g h ist.

Die Höhe h, um die die Flüssigkeit angehoben wird, läßt sich ausrechnen.

h = (U2 0 (r-1))/(2 g d2 ) (Skript Bormann p 73)

Seite 38

6. GLEICHSTROMKREISE

Stromerzeugung wird erst später behandelt! Zunächst ist nur der Bandgenerator als Span-nungsquelle bekannt.

6.1 Stromdichte

Unter Stromdichte G versteht man die Ladungsmenge Q, die pro Zeit senkrecht durch eine

Fläche A (Querschnittsfläche) ( ist der Vektor der Flächennormalen mit der Länge 1) fließt.

in

Wegen folgt:

ist der Einheitsvektor in Richtung der Flächennormale. Die Stromdichte ist im Ge-gensatz zu I ein Vektor. Wenn n die Anzahl N aller Ladungen pro Volumen V=AL ist (n in

, A: Fläche in m2, L: Länge in m) und alle N Ladungen die gleiche Geschwindigkeit

haben, fließen Ladungen pro Sekunde durch die Querschnittsfläche A

. Dimensionsprobe:

(wegen )

Wenn nicht alle Ladungen gleich schnell fließen, führt man eine mittlere Geschwindigkeit ein.

; wobei Driftgeschwindigkeit heißt.

6.2 Elektrische Widerstände

6.2.1 Das Ohmsche Gesetz

Das Ohmsche Gesetz gilt vor allem für metallische Leiter. Es zeigt sich, daß die Spannung U proportional zur Stromstärke I ist. Die Proportionalitätskonstante heißt elektrischer Wider-stand R:

mit R in (Ohm)

Man stellt fest, daß R proportional zur Leiterlänge L und umgekehrt proportional zur Quer-schnittsfläche des Leiter A ist:

mit in

heißt spezifischer Widerstand. hängt vom Material und der Temperatur ab.

Unter Leitfähigkeit s versteht man den Kehrwert von :

Seite 39

in 1/

Außerdem gilt: ; und

Für das Ohmsche Gesetz gibt es zwei gleichwertige Formulierungen:

oder

Daraus ergibt sich auch:

Falls I nicht durch alle Flächenelemente mit gleicher Stärke fließt, muß integriert werden:

Kennlinie

Wie kommt so ein glatter Verlauf zustande? Im -Feld werden geladene Teilchen beschleu-nigt. . Man stellt sich vor, daß im Leiter die Elektronen mit den Atomen zusam-menstoßen und dabei ihre Energie wieder verlieren und so im Mittel nicht schneller werden. Unmittelbar vor dem nächsten Stoß haben sie eine maximale Geschwindigkeit.

wo die mittlere Geschwindigkeit ist.

Seite 40

Nimmt man an, daß es auch eine mittlere Stoßzeit t = t gibt, folgt:

mit

Diese Energie kann übertragen werden.

Im Volumen A L sind N = n A L Teilchen => während der Zeit t wird die Energie N Ekin übertragen:

in W (Watt)

Dies nennt man Ohmsche Heizleistung (Wärmewirkung des Stroms).

Das Ohmsche Gesetz gilt nur in bestimmten stoffabhängigen Grenzen. Widerstände sind im allgemeinen temperaturabhängig.

T1: Sprungtemperatur; wenn T<T1 => Supraleitung. Bei einigen Stoffen (Edelgase) ist:

in K-1

Seite 41

6.2.2 Weitere Widerstände

Das Ohmsche Gesetz beschreibt eigentlich nur den Sonderfall der ohmschen Widerstände. Die meisten Stoffe haben ein nicht ohmsches Wi-derstandsverhalten.

Bei Metallen nimmt die Schwingung der Atome mit steigender Temperatur zu. Da-durch wird die gerichtete Strö-mung der freien Metallelektro-nen mehr gehindert. R wird größer.

Bei Halbleitern besonderer Art kann die Temperaturabhängig-keit exponentiell sein PTC

Bei Isolatoren ist R zunächst sehr groß. Bei Erwärmung ent-stehen freie Elektronen Wi-derstand wird klein (NTC).

Außerdem gibt es LDR-Wider-stände: Lichtempfindliche Wi-derstände

Halbleiter

VDR-Widerstände: Voltage Dependent Resistor

PTC-Widerstände: Positiver Temperatur Coeffizient

NTC-Widerstände: Negativer Temperatur Koeffizient

Seite 42

6.2.3 Potentiometer:

und

6.3 Kirchhoffsche Regeln mit Anwendungen

6.3.1 Kirchhoff

1. Die Summe aller Ströme an einem Knotenpunkt ist Null. Dabei erhalten zufließende Ströme ein +-Zeichen, abfließende ein -Zeichen.

2. Die Summe aller Teilspannungen in einem Stromkreis ist gleich der angelegten Spannung.(Maschenregel).

Seite 43

6.3.1a Parallelschaltung von Widerständen

6.3.1b Reihenschaltung von Widerständen

6.3.2 Wheatstonesche Brücke

Man kann den Kontakt bei Punkt D solange verschieben bis der Strom (s. Abbildung) über das Amperemeter IA = 0 ist, es folgt: UCD = 0 => UAC=UAC und UCB=UDB , d.h.:

und

und damit

Seite 44

Wenn die spezifischen Widerstände 1 = 2 und die Querschnittsflächen A1 = A2 der Widerstände R1 und R2 gleich sind, =>

6.3.3 Amperemeter

Der Gesamtstrom, der fließt, sei I. Über den Shunt soll der Strom I2 und über das Meßwerk I1

fließen.

Ist

mit

und

z.B.: Ein Amperemeter zeigt Vollausschlag, wenn IA=1 mA =I1 ist. Soll der Gesamtstrom I

=10 mA gemessen werden können, so wird ein "Shunt" parallel geschaltet mit . Über

den Shunt sollen also 9 mA = I2 fließen.

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6.3.4 Spannungsmessung

RI

Wenn I1 sehr klein und .

Wenn der Meßbereich erweitert werden soll, muß dem Innenwiderstand ein Widerstand vorgeschaltet weren.

Soll der Meßbereich verzehnfacht werden, so muß Rv + RI = 10 RI sein => Rv = 9 RI .

6.3.5 Bestimmung des Wertes eines Widerstandes

Bei dieser Schaltung wird der Strom Ix falsch gemessen, da das Amperemeter den Ge-samtstrom I mißt (Stromfehlerschaltung).

Seite 46

also

Wenn Rx << Rv folgt:

In dieser Schaltung mißt das Voltmeter die Gesamtspannung und daher den Spannungsabfall Ux über den unbekannten Widerstand Rx falsch (Spannungsfehlerschaltung).

da

Wenn nun Rx >> Ra ist, folgt:

6.3.6 RC- Glied

6.3.1a Entladung:

und

Seite 47

mit

Trennung der Variablen UC und t (mathematisches Verfahren):

Zur Zeit t = 0 soll UC = U0 sein => die Integrationskonstante konst = ln U0

6.3.1b Aufladung

Zur Zeit t = soll UC = 0 sein => b = -ln U0

also

Es folgt:

Seite 48