35

5 Kinematik der Starrkörperbewegung

Ein starrer Körper ist eine Idealisierung eines Maschinenteils, bei der man Verformungenvernachlässigt. Verbindet man mit dem Körper in einem beliebigen Bezugspunkt ein kör-perfestes Koordinatensystem, können sich die einzelnen materiellen Punkte des Körpersrelativ dazu nicht verschieben. Daher lässt sich die Bewegung eines starren Körpers voll-ständig als Bewegung des körperfesten Koordinatensystems relativ zu einem Inertialsy-stem beschreiben.

Wie bereits aus der Relativkinematik bekannt, kann die Orientierung eines bewegten Koor-dinatensystems durch eine orthogonale Drehungsmatrix beschrieben werden. Diese ent-hält 9 Richtungskosinusse, die aufgrund der Orthogonalität 6 Bindungsgleichungen unter-liegen. Daher sind nur 3 Größen frei wählbar, d.h. die freie Drehbewegung eines starrenKörpers hat 3 Freiheitsgrade, die z.B. durch drei hintereinandergeschaltete Elementardre-hungen beschrieben werden können. Die Gesamtdrehungsmatrix ergibt sich dann als Pro-dukt der Elementardrehmatrizen, der Winkelgeschwindigkeitsvektor als Vektorsumme derElementarwinkelgeschwindigkeiten.

Eine allgemeine Bewegung des Starrkörpers setzt sich aus der Translation des Bezugs-punktes und der Drehbewegung des körperfesten Koordinatensystems um den Bezugs-punkt mit jeweils 3 Freiheitsgraden zusammen, so dass der freie starre Körper insgesamt6 Freiheitsgrade hat. Aus den Beziehungen der Relativkinematik folgen unter Berücksichti-gung des Verschwindens der Relativbewegung sofort die Beziehungen der Starrkörperki-nematik. Das Geschwindigkeitsfeld der allgemeinen Starrkörperbewegung lässt sich alsvektorielle Überlagerung der Geschwindigkeitsfelder der Translation und der Rotation inter-pretieren. Bei der Translation haben alle Punkte die gleiche Geschwindigkeit wie der Be-zugspunkt, bei der Rotation bewegen sich alle Punkte auf Kreisbahnen um den Bezugs-punkt mit Geschwindigkeiten proportional zum Abstand vom Bezugspunkt.

Bei vielen technischen Problemstellungen genügt eine ebene Betrachtung, d.h. die Transla-tion erfolgt in einer Ebene, die Drehung um eine Achse senkrecht dazu. Jede solche ebeneBewegung kann momentan als reine Drehbewegung um einen Momentanpol aufgefasstwerden, so dass die Geschwindigkeiten aller Körperpunkte senkrecht auf den Polstrahlenstehen und proportional zum Polabstand sind. Der Momentanpol ist ein mathematischerPunkt, der momentan mit dem körperfesten Punkt ohne Geschwindigkeit zusammenfällt,sich selbst i. Allg. aber sowohl relativ zum Inertialsystem als auch relativ zum körperfestenKoordinatensystem bewegt. Die Bahn des Momentanpols im Inertialsystem bezeichnetman als Spurkurve, im körperfesten Koordinatensystem als Polkurve.

5 Kinematik der Starrkörperbewegung36

5.1 Beschreibung von Drehbewegungen

Drehbewegung eines starren Körpers

Bewegung eines starren Körpers um einen zusammenfallenden raum- und körperfe-sten Punkt O � O�, beschreibbar mit Mitteln der Relativkinematik

rK � S�rK�

Drehungsmatrix S ����

�

�S11�

S21

S31

�S12�

S22

S32

�S13�

S23

S33

���

�� 9 Richtungskosinusse Sij

� Orthogonalität STS � E

�^ 6 Bindungen

Die Drehbewegung hat 3 Freiheitsgrade

beschreibbar durch 3 voneinander unabhängige Koordinaten

Darstellung von Drehbewegungen durch Elementardrehungen

Elementardrehungen

� um x−Achse Sx,� ����100

0��cos���sin�

0 sin�cos�

���

�.

K � �.

K� ������.�

00���

� um y−Achse Sy,� ���

�

cos�

0 sin �

0

��1��0

sin �

0cos�

��

�

�.

K � �.

K� ���

�

0

��.

�

0

��

�

x x� y

y�

O � O�

z

z�

x � x� y

y�

zz�

�

�.

�

y � y�

��.

�

x�

z

z�

x

5 Kinematik der Starrkörperbewegung 37

� um z−Achse Sz,� ���

�

cos �

sin �

0

� sin ���

cos �

0

0

0

1

��

�

�.

K � �.

K� ����00��.����

Jede räumliche Drehung ist darstellbar durch eine Hintereinanderschaltung vondrei Elementardrehungen

(Beispiel: Eulerwinkel �� � �� � �)

Drehungsmatrix

Multiplikation der Elementardrehmatrizen

Beispiel: Eulerwinkel

S � Sz,��Sx,��Sz,�

���

�

cos�

sin�

0

sin�

cos�

0

�0�

0

1��

���

�

1

0

0

0

cos�

sin�

0

sin �

cos���

���

�

cos�

sin�

0

sin�

cos�

0

�0�

0

1��

�

���

�

cos� cos� sin� cos� sin�

sin� cos�� cos� cos� sin�

sin� sin�

���cos� sin� sin� cos� cos����

sin� sin�� cos� cos� cos�

sin� cos�

sin� sin �

cos� sin�

cos���

�

�

�.

�

y�

x�y

z � z�

x

�

�

�

�

�

�

�.

�.

O � O�

�.

y�

x� y

z

x

z�

5 Kinematik der Starrkörperbewegung38

Winkelgeschwindigkeit

1.Weg: Differentiation der Drehmatrix und Rösselsprung

�~K � S.

ST���

�

0

�z

�y

�z

0

�x

�y

�x

0��

� Rösselsprung �K ��

���x�y

�z

���

2.Weg: Addition der Elementardrehgeschwindigkeiten

Beispiel: Eulerwinkel

� � �

.� �

.� �

.

in körperfesten Koordinaten:

�K� ���

�

sin�� sin�

sin�� cos�

cos�

��

���.����

cos�

sin�

0�����.

����001�����.

���

�x��y��z�

���

���

�

sin�� sin�

sin�� cos�

cos�

cos�

�� sin����

0

0

0

1

��

���

��

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�.

�.

���

� kinematische Eulergleichungen

�

�

�

�

�

�

�.

�.

O � O�

�.

y�

x� y

z

x

z�

5 Kinematik der Starrkörperbewegung 39

5.2 Allgemeine Bewegung eines starren Körpers

Zusammengesetzte Bewegung

x

r

O�(t)

y

O

z

O�

v

O�

x x� y

y�

O � O�

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räumliche Punktbewegung rO�(t) räumliche Drehbewegung rK � S�rK� , STS � E

x

r

O�(t)

y

O

z

O�v

O�

x�

y�

z��

allgemeine Starrkörperbewegung

5 Kinematik der Starrkörperbewegung40

allg. Relativkinematik

r � r

O� � r

�

v � v

O� � �

� r�� v

�

a � a

O� � �

.

� r�� �

� �� r�� � 2��

� v�� a

�

Starrkörper

Starrkörperkinematik

r � r

O� � r

�

v � v

O� � �

� r�

a � a

O� � �

.

� r�� �

� �� r��

Geschwindigkeitsfeld

v� v

O� � �

� r�

Sonderfälle:

� v

O� � 0

Körper mit Fixpunkt reine Drehbewegung

� � � 0

reine Translation

x

r

O�

y

O

z

O�r�

Qr

�

O�

vO�

�

O�

O�

vO�

5 Kinematik der Starrkörperbewegung 41

5.3 Ebene Bewegung

In vielen Fällen genügt eine ebene Betrachtung des Systems, z.B. Bewegung in derx, y-Ebene, Drehung um die z-Achse.

Drehung um einen Fixpunkt

vO� � 0 v � �~�r� v � ��r�

� �d�

dt�rad

s�

Allgemeine Bewegung

v � vO� � �~�r�

�

O� vO�

�

O� O� vO�

Drehung um O’ Translation

+=

�

O�

5 Kinematik der Starrkörperbewegung42

Momentanpol

Jede ebene Bewegung kann zu jedem Zeitpunkt als reine Drehung um einen Be-zugspunkt P (Momentanpol) aufgefasst werden:

r�P �

�� v

O�

�2

Eigenschaften:

� Der Momentanpol verändert seine Lage sowohl

bez. des raumfesten Koordinatensystems Spurkurve rPK(t) � rO�K � r�PK

als auch bez. des körperfesten Systems Polkurve r�PK�(t)

� Pol- und Spurkurve berühren sich im Momentanpol und rollen aufeinander ab.

� Der mit dem Momentanpol zusammenfallende körperfeste Punkt hat zwar momentankeine Geschwindigkeit (v

P � 0

), erfährt im Allgemeinen aber eine Beschleunigung

(a

P � 0

).

� Sind für zwei körperfeste Punkte die Geschwindigkeiten bekannt, so ergibt sich derMomentanpol als Schnittpunkt der dazu jeweils Senkrechten in diesen Punkten.

� Die Geschwindigkeiten zweier körperfester Punkte A und B verhalten sich zueinanderwie die Polabstände: vA : vB � PA : PB.