Elektrodynamik - TKM (KIT) - Startseite · Klassische Theoretische Physik III Abbildung1.2:ZummathematischenSatzvonGauß E~~ndS= q 4ˇ 0 cos r2 dS= q 4ˇ 0 d (1.13) wobei d ein Raumwinkel-Element

Klassische Theoretische Physik III

Elektrodynamik

gehalten von Prof. Dr. Alexander Mirlin im WS 12/13,gehalten von Prof. Dr. Alexander Shnirman im WS 14/15

23. Februar 2015

geschrieben von Steffen Hahn im WS 12/13, überarbeitet von A.Shnirman im WS 14/15


Inhaltsverzeichnis

1 Elektrostatik 51.1 Das Coulomb-Gesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2 Einheitensysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2.1 SI-Einheitensystem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2.2 Gauß-System . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.3 Ladungsverteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.4 Gauß’sche Gesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.4.1 Integrale Form . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.4.2 Differentielle Form . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.5 Das Skalarpotential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.6 Anwendung auf Randbedingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.7 Poisson-Gleichung und Laplace-Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.8 Elektrostatische Energie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.9 Randwertprobleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.10 Matrix der Kapazitäten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.11 Methode der Bildladungen/Spiegelladungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.11.1 Geerdete, unendliche, metallische Platte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.11.2 Punktladung und geerdete metallische Kugel . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.11.3 Punktladung und isolierte metallische Kugel . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.11.4 Punktladung und metallische Kugel mit Potential Φ . . . . . . . . . . . . . 13

1.12 Formale Lösung des Randwertproblems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.12.1 Green’sche Identitäten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.12.2 Eindeutigkeit der Lösung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.12.3 Green’sche Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.13 Entwicklung nach orthogonalen Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.14 Kartesische Koordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.15 Kugelkoordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.16 Multipolentwicklung (Kartesische Koordinaten) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.17 Multipolentwicklung (Kugel-Koordinaten) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211.18 Energie im äußeren Feld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2 Magnetostatik 242.1 Strom und die Kontinuitätsgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.1.1 Biot Savart-Gesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.2 Magnetfeld im Gauß-System . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.3 Kraft zwischen zwei parallelen Drähten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.4 Allgemeine Formulierung des B.-S.-Gesetzes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.5 Feldgleichung, Vektorpotential, Ampere-Gesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.5.1 Integralform des Ampere-Gesetzes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.5.2 Randbedingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.6 Multipolentwicklung, magnetischer Dipol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282.7 Gyromagnetisches Verhältnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302.8 Kraft und Drehmoment auf magnet. Moment im äußeren Magnetfeld . . . . . . . . 302.9 Faraday’sches Induktionsgesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312.10 Magnetische Energie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.10.1 Induktivitätskoeffizienten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2

2.10.2 Gesamtenergie einer Anordnung der Stromschleifen . . . . . . . . . . . . . . 32

3 Maxwell-Gleichungen, el./magn. Wellen, Strahlen 343.1 Maxwell-Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343.2 Vektor- und Skalarpotential, Eichtransformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

3.2.1 Eichfreiheit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353.3 Energie- und Impulserhaltung, Poynting-Vektor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363.4 Elektromagnetische Wellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3.4.1 1-D Lösungen der Wellengleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393.4.2 Ebene Wellen in 3D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403.4.3 Ebene el/mag Wellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3.5 Polarisation, lineare, zirkulare, elliptische . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413.5.1 Lineare Polarisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413.5.2 Elliptische Polarisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

3.6 Energie-Dichte und -Fluß . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423.7 Hohlraumwellen: Hohlraumresonatoren und Wellenleiter . . . . . . . . . . . . . . . 43

3.7.1 Quader-Hohlraum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433.7.2 Wellenleiter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

3.8 Green’sche Funktion der Wellengleichung, Retardierte Potentiale . . . . . . . . . . 463.9 Strahlung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

3.9.1 Nahfeld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 483.9.2 Fernfeld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

3.10 Strahlungsleistung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 493.11 Multipolentwicklung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 503.12 Elektrische Dipolstrahlung (Hertzscher Dipol) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

3.12.1 Kurze Dipolantenne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 513.13 Magnetische Dipol- und elektrische Quadrupolstrahlung . . . . . . . . . . . . . . . 52

4 Elektrodynamik in Materie 544.1 Makroskopische Maxwell-Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 544.2 Suszeptibilitäten, Dielektrizitätskonstante, mag. Permeabilität . . . . . . . . . . . . 574.3 Energiebilanz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 574.4 Randbedingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 584.5 Elektrostatik in Materialien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

4.5.1 Dielektrikum im Kondensator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 594.5.2 Punktladung und Dielektrikum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 604.5.3 Dielektrische Kugel in einem homogenen elektrischen Feld . . . . . . . . . . 61

4.6 Dielektrische Funktion, Lorentz-Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 634.6.1 Lorentz-Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 634.6.2 Kausalität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

4.7 Elektromagnetische Wellen in Materie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 654.8 Reflexion und Brechung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

4.8.1 Intensitätsbeziehungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 684.9 Brechung und Reflexion an der Grenze eines absorbierenden Mediums . . . . . . . 704.10 Elektromagnetische Wellen in Metallen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

4.10.1 Skin-Effekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 724.10.2 Plasma-Wellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

5 Spezielle Relativitätstheorie, kovariante Formulierung der ED 755.1 Einstein’sches Relativitätsprinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 755.2 Lorentz-Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

5.2.1 Raum- und zeitartige Abstände . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 785.2.2 Transformation der Geschwindigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

5.3 Viervektoren, Tensoren und Lorentz-Gruppe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

5.4 Kovariante Formulierung der Elektrodynamik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 845.5 El/mag. Feldtensor, Maxwell-Gl für E- und B-Feld in kov. Form . . . . . . . . . . 855.6 Lorentz-Transformationen der elektromagnetischen Felder . . . . . . . . . . . . . . 865.7 Felder einer gleichförmig bewegten Punktladung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 875.8 Beschleunigte Ladungen, Liénard-Wichert-Potential, Strahlung . . . . . . . . . . . 885.9 Dopplereffekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

5.9.1 Nichtrelativistischer Fall (Schallwellen) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 885.9.2 Relativistischer Fall, E.M. Wellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88


1 Elektrostatik

1.1 Das Coulomb-Gesetz22.10.2014Ladungen wirken aufeinander Kräfte aus. Die Kraft auf eine Ladung q1 erzeugt von einer anderen

Ladung q2 kann über das Coulomb-Gesetz

~F = kq1q2~r1 − ~r2

|~r1 − ~r2|3(1.1)

beschrieben werden. Das elektrische Feld ~E einer Ladung qi ist die Kraft pro Ladungseinheit derProbeladung q. Das führt über Gleichung (1.1) auf

~F = q ~E ⇔ ~E(~r) = kqi~r − ~ri|~r − ~ri|3

. (1.2)

1.2 EinheitensystemeIm Allgemeinen gibt es zwei wichtige Einheitensysteme in denen Probleme der Elektrodynamikgelöst werden. Das von der theoretischen Physik präferierte ist das Gauß-System, das internationalakzeptierte das SI-Einheitensystem.

1.2.1 SI-EinheitensystemDas ∼ baut auf den Basiseinheiten Meter, Kilogramm und Sekunde auf. Die Stromstärke ist einedefinierte Basiseinheit und gibt an wie viel Ladung pro Sekunde fließt. Der Proportionalitätsfaktork des Coulomb-Gesetzes ist definiert als

k =1

4πε0:= 10−7 c2

NA2 mit Lichtsgeschwindigkeit c = 3 · 108m

s. (1.3)

Das ergibt

ε0 ≈ 8, 864 · 10−12 C2

Nm2. (1.4)

Die Elektron-Ladung im SI-System beträgt e ≈ 1, 602 · 10−19C.

1.2.2 Gauß-SystemDas ∼ baut auf den Basiseinheiten Zentimeter, Gramm und Sekunde auf. Der Proportionalitäts-faktor k ist auf den einheitenlosen Wert 1 gesetzt. Die Ladung besitzt die Einheit ESE (Elektro-statische Einheiten). Sie wird im englischen „esu“ teilweise auch 1 Fr (Franklin), 1 statC (staticCoulomb) genannt. Die Kraft wird in „dyn“ angegeben, dabei entspricht

1 dyn = 1g · cms2

= 1ESE2

cm2(1.5)

und ESE besitzt die Einheit

1ESE = 1cm

32 g

12

smit e ≈ 4.803 · 10−10 ESE. (1.6)

5


Abbildung 1.1: Eine Punktladung in einer geschlossenen Oberfläche

Es ist zu beachten, dass die zwei Systeme von unterschiedlichen Standpunkten ausgehen. Man sollnie die beiden Systeme gleichzeitlich (z.B. in einer Gleichung) benutzten.

1.3 LadungsverteilungEine Ladungsverteilung lässt sich leicht über

~E(~r) =1

4πε0

n∑i=1

qi~r − ~ri|~r − ~ri|3

(1.7)

darstellen. Bei einer kontinuierlichen Ladungsdichte ρ(~r) können wir in eine Integralform wechseln:

~E(~r) =1

4πε0

∫d3r′ ρ(~r ′)

~r − ~r ′|~r − ~r ′|3 . (1.8)

Die Ladungsdichte setzt sich dabei aus allen Ladungen zusammen, wobei

ρ(~r ) =

n∑i=1

qiδ(~r − ~ri) (1.9)

für die Dichte geschrieben werden kann. Dabei ist δ die Dirac-Delta-Distribution bei der es sichum eine „verallgemeinerte Funktion“ handelt. Für diese gilt∫ b

a

dx δ(x− x0) =

1 a < x0 < b0 x0 < a oder b < x0

(1.10)

und ∫R

dx f(x)δ(x− x0) = f(x0). (1.11)

Die Dirac-Distribution ist auch im Mehrdimensionalen definiert. Hier wird sie oft in Dichten, wieoben in Gleichung (1.9) benutzt. Sie lässt sich schreiben als

δ(~r ) = δ(x)δ(y)δ(z). (1.12)

1.4 Gauß’sche Gesetz

1.4.1 Integrale FormWir betrachten eine Ladung die von einer beliebigen Fläche S umschlossen wird, die den Norma-lenvektor ~n(~r) hat. Siehe Abb. 1.1. Es gilt

6


Abbildung 1.2: Zum mathematischen Satz von Gauß

~E ·~n dS =q

4πε0

cos θ

r2dS =

q

4πε0dΩ (1.13)

wobei dΩ ein Raumwinkel-Element ist. Der Raumwinkel-Element ist definiert als dΩ = dS′/r2.Hier ist dS′ = dS cos θ die Fläche der Projektion des Oberfächenelements dS die senkrecht zu~r ‖ ~E ist. Falls die Ladung innerhalb der Fläche liegt muss das gerichtete Oberflächenintegral überdie el. Feldstärke ∮

S

~E ·~n dS =q

ε0(1.14)

sein. Daraus kann man folgern, wenn alle Ladungen sich innerhalb befinden, dass∮S

~E ·~n dS =1

ε0

∑i

qi ⇒∮S

~E ·~n dS =1

ε0

∫V (S)

d3r ρ(~r ). (1.15)

1.4.2 Differentielle Form24.10.2014Mathematischer Satz von Gauß: für ein beliebiges Vektorfeld ~v(~r) gilt (siehe Abb. 1.2)∫

V (S)

dV (~∇ · ~v) =

∫S

dS (~v · ~n) (1.16)

Wir ersetzen ~v mit ~E und erhalten∫V (S)

dV (~∇ · ~E) =

∫S

dS (~E · ~n) =1

ε0

∫V (S)

dV ρ (1.17)

Da wir das Volumen V (S) beliebig klein wählen können erhalten wir

~∇ · ~E =ρ

ε0(1.18)

1.5 Das SkalarpotentialAus dem Zusammenhang

~r − ~r ′|~r − ~r ′|3 = −∇r

1

|~r − ~r ′| (1.19)

erhalten wir~E(~r) = − 1

4πε0∇∫

d3r′ ρ(~r ′)1

|~r − ~r ′| =: −∇Φ (1.20)

7


Abbildung 1.3: Zur Herleitung der Randbedingungen

Hier wurde das Skalarpotential Φ definiert

Φ(~r) ≡ 1

4πε0

∫d3r′ ρ(~r ′)

1

|~r − ~r ′| (1.21)

Für Punktladungen ergibt das

Φ(~r) =1

4πε0

∑i=1

qi|~r − ~ri|

. (1.22)

Daraus folgt, dass die Rotation des elektrischen Feldes verschwindet

∇× ~E = ∇× (−∇Φ) = 0. (1.23)

Das Potential des elektrischen Feldes drückt aus, welche Arbeit pro Ladung nötig ist, um eineLadung von einem Ort zu einen anderen Ort zu bewegen. Dabei ist zu beachten, das es sich beimE-Feld in diesem Fall um ein konservatives Feld handelt: Daher gilt auch Wegunabhängigkeitzwischen zwei Punkten mit unterschiedlichem Potential und zudem für die elektrische Ene

W = −∫ B

A

~F · d~l = −q∫ B

A

~E · d~l = q

∫ B

A

~∇Φ · d~l = q(ΦB − ΦA). (1.24)

Dieses Integral ist unabhängig vom Pfad zwischen den Punkten A und B. Das folgt vom Satzvon Stokes, dass für ein beliebiges Vektorfeld ~v besagt, dass ein Linien-Integral von ~v über einegeschlossene Kontour γ ist gleich dem Fluss der Rotation von ~v durch die Oberfläche der Kontour:∮

γ

d~l · ~v =

∫S(γ)

dS ~n · (~∇× ~v) (1.25)

Mit ~v→ ~E und ∇× ~E = 0 erhalten wir∫C

~E · d~l = 0 (1.26)

Also ~E ist ein konservatives Feld und wir definieren die potentielle Energie U(~r) = qΦ(~r).

1.6 Anwendung auf RandbedingungenEs sei σ(~r) die Flächenladungsdichte. Wir betrachten ein infinitesimales Oberflächenelement undwenden darauf das Gauß’sche Gesetz an indem wir eine Art Kasten so darum legen, das dessen bei-den Deckflächen parallel zur Oberfläche liegen (Abb. 1.3 (links)). Danach lassen wir, wie gewohnt,den Abstand zwischen beiden Flächen gegen 0 gehen und kommen so auf

( ~E2 − ~E1) ·~n =σ

ε0⇒ E2,⊥ − E1,⊥ =

σ

ε0. (1.27)

Daraus folgt, dass die Senkrechtkomponente des E-Feldes nicht stetig bei Übergang zwischen zweiMaterialien ist. Nun betrachten wir eine geschlossene Kurve in Form eines Rechtecks, die so an

8


der Randfläche liegt, dass sie zur Hälfte darin und zur Hälfte draußen verläuft und orthogonalzur Oberfläche ist (Abb. 1.3 (rechts)). Wir lassen den Abstand zwischen Randkurve die innen undaußen geht gegen 0 gehen und kommen so darauf∮

C

~E d~l = 0⇒ E2,‖ − E1,‖ = 0. (1.28)

Daraus folgt, dass die Parallelkomponente des E-Feldes stetig ist.Wir zeigen jetzt, dass das Skalarpotential stetig ist. Wir betrachten zwei Orte A und B die aufverschiedenen Seiten der Oberfläche liegen und sehr nah zur Oberfläche sind. Dann gilt ΦB−ΦA =

−B∫A

~E · d~l. Da das elektrische Feld endlich ist, verschwindet das Integral wenn der Abstand zwischen

A und B gegen null geht. Das bereutet die Randbedingung lautet ΦA = ΦB .

1.7 Poisson-Gleichung und Laplace-Gleichung29.10.2014Die Poisson-Gleichung folgt aus der Überlegung

∇ ~E =ρ

ε0und ~E = −∇Φ⇒ ∆Φ = − ρ

ε0. (1.29)

Die Laplace-Gleichung findet sich dann, wenn keine Ladungsdichte herrscht. Sie kann als ∆Φ = 0ausgedrückt werden. Denn

Φ(~r) ≡ 1

4πε0

∫d3r′ ρ(~r ′)

1

|~r − ~r ′| (1.30)

eine Lösung der Poisson-Gleichung ist es ergibt sich die folgende wichtige Relation

− 1

ε0ρ(~r ) =

1

4πε0

∫d3r′ ρ(~r ′)∇2

r

1

|~r − ~r ′| , also ∇2r

1

|~r − ~r ′| = −4πδ(~r − ~r ′) (1.31)

1.8 Elektrostatische EnergieEs seien n−1 Punktladungen gegeben. Wie groß ist jetzt die Arbeit eine weitere Punktladung ausdem unendlichen an die Position rn zu bringen?

Wn = qnΦ(~rn)⇒ Φ(~rn) =1

4πε0

n−1∑i=1

qi|~rn − ~ri|

. (1.32)

Die gesamte Potentielle Energie des Systems liegt bei

W =1

4πε0

n∑i=1

∑j<i

qiqj|~ri − ~rj |

=1

8πε0

∑i 6=j

qiqj|~ri − ~rj |

=1

2

∑i

qiΦ(~ri) , mit Φ(~ri) =1

4πε0

∑j 6=i

qj|~ri − ~rj |

(1.33)Bei einer kontinuierlichen Ladungsverteilung ρ(~r) gilt

W kont =1

8πε0

∫d3rd3r′

ρ(~r)ρ(~r ′)|~r − ~r ′| =

1

2

∫d3r ρ(~r)Φ(~r) (1.34)

=−ε0

2

∫d3r Φ(~r)∇2Φ(~r) =

ε02

∫d3r ∇Φ · ∇Φ (1.35)

=ε02

∫d3r | ~E|2 ⇒ w(~r) =

ε02~E2 Energiedichte (1.36)

Da die Integration im Unendlichen liegt fällt dabei der integrierte Term nach dem Satz von Gaußbeim Anwenden der partiellen Integration weg. Man erhält einen scheinbaren Widerspruch

9


Abbildung 1.4: Elektrisches Feld auf Metalloberfläche

W kont =ε02

∫d3r | ~E|2 > 0 (1.37)

ist immer positiv. Jedoch können bei der kontinuierlichen Ladungsverteilung in Gleichung (1.33)auch negative Werte herauskommen. Das Paradoxon löst sich auf, da in W kont über alle qi und qjintegriert wird, auch wenn sie gleich sind! Man sollte deshalb eher auf die anfängliche Ladungs-verteilung zurückgreifen.

1.9 RandwertproblemeDie einfachste Situation in der Elektrostatik ist wenn die Ladungsdichte ρ(~r) ist im gesamtenRaum gegeben. Dann gilt

Φ(~r) =1

4πε0

∫d3r′ ρ(~r ′)

1

|~r − ~r ′| (1.38)

und das elektrische Feld ergibt sich aus ~E = −∇Φ. Damit ist das Problem gelöst.Eine andere Situation tritt auf wenn die Ladungsdichte nicht im gesamten Raum gegeben ist.Das ist so wenn es, z.B., Metalle im Raum gibt. In Metallen gilt immer im Inneren ~E = 0und Φ = const, da es sonst zur internen Ladungsverschiebung kommen würde. Wohingegen ander Oberfläche treten induzierte Ladungen auf. Das Elektrische Feld ist dabei immer senkrechtzur Oberfläche, (siehe Abb. 1.4). Es gilt E⊥(~r ) = 1

ε0σ(~r ), wobei σ(~r ) die Ladungsdichte auf

der Oberfläche ist. Die Ladungsdichte σ(~r ) ist nicht bekannt und muss bestimmt werden. Mankann zwei typische Situationen betrachten: 1) das Skalarpotential von jedem Metallstück Φi istbekannt. Das ist so wenn, z.B., die Metalle geerdet sind oder die Metalloberfläche an eine Batterieangeschlossen, deren anderer Pol geerdet ist (siehe Abb. 1.5 (linke Seite)); 2) die gesamte Ladungvon jedem Metallstück ist Qi ist gegeben (siehe Abb. 1.5 (rechte Seite)). Diese Situation tritt aufwenn das Metallstück isoliert ist. Obwohl Qi =

∫SidS σ(~r), die ~r-Abhängigkeit von σ(~r) ist nicht

bekannt.1) Im ersten Fall soll man die Poisson-Gleichung

∇2Φ = − 1

ε0ρ (1.39)

im äusserem Raum der Metalle lösen (wo die Ladungsdichte ρ gegeben ist) mit den Randbedin-gungen Φ(~r) = Φi für ~r ∈ Si. Diese Randbedingung nennt man Dirichlet-Randbedingung. 2) Imzweiten Fall der Algorithmus ist wie folgt:

1. löse mit beliebigen Φi

2. finde Ladungsdichten auf den Oberflächen σ[Φi]

3. bestimme Qi =∫

dSi σ

10


Abbildung 1.5: Linke Seite: Die Potentiale Φi sind gegeben. Rechte Seite: Die gesamte Ladun-gen Qi sind gegeben.

4. falls Qi falsch ist korrigiere Φi und versuche noch mal

Eine weitere Randbedingung ist die Neumann-Randbedingung. In diesem Fall ∂Φ∂n (~r ) = ∇Φ ·~n ist

gegeben auf der Oberfläche.

1.10 Matrix der Kapazitäten30.10.2014Wir betrachten n Leiter im sonst leeren Raum. Wir nehmen an alle Potentiale Φi seien angegeben

(Abb. 1.5 (linke Seite)). Wie sieht nun die Relation von Gesamtladungen Qi und Potentialen Φjaus? Denn die Poisson-Gleichung ist linear, die Relation muss auch linear sein:

Qi =

n∑j=1

CijΦj , mit Cij-Kapazitätskoeffizient (Matrix der Kapazitäten). (1.40)

Jetzt nehmen wir an die Leiter seien isoliert (Abb. 1.5 (rechte Seite)). Wir kennen jetzt die Po-tentiale nicht, aber die Ladungen. Daher müssen wir die Relation invertieren

Φi =

n∑j=1

(C−1)ijQj . (1.41)

Über die Formel der elektrostatische Energie gilt darüber hinaus

1

2

∫d3r ρ(~r )Φ(~r ) =

1

2

∑i

QiΦi =1

2

∑ij

(C−1)ijQjQi =1

2

∑ij

CijΦiΦj . (1.42)

1.11 Methode der Bildladungen/Spiegelladungen

1.11.1 Geerdete, unendliche, metallische PlatteWir betrachten eine unendliche, metallische Platte, die geerdet ist. Wir nehmen an ihr Potentialsei 0. Nun denken wir uns eine Ladung q im Abstand a in x-Richtung von der Platte (Abb. 1.6(linke Seite)), d.h., im Ort ~r1 = (a, 0, 0). Wir können dieses Problem sehr einfach lösen durcheine Konstruktion die in Abb. 1.6 (rechte Seite) gezeigt wird. Wir spiegeln die Ladung an derPlatte und erhalten so eine „imaginäre“ Ladung −q im Ort ~r2 = (−a, 0, 0). Nun betrachten wirdas Potential beider Ladungen. Dieses Potential interessiert uns nur für x > 0.

Φ(~r) =1

4πε0

[q

|~r − ~r1|+

−q|~r − ~r2|

]. (1.43)

11


Abbildung 1.6: Spiegelladung

Die Poisson-Gleichung ist offensichtlich erfüllt für x > 0:

∇2Φ∣∣x>0

= − q

ε0

δ(~r − ~r1)− δ(~r − ~r2)︸︷︷︸=0

. (1.44)

Die Randwertbedingung ist damit auch erfüllt, da genau in der Mitte das Potential der Platteimmernoch 0 sein muss. Über das berechnete Potential können wir das Elektrische Feld bestimmen

~E = −∇Φ =q

4πε0

[~r − ~r1

|~r − ~r1|3− ~r − ~r2

|~r − ~r2|3]. (1.45)

Die Oberflächenladungsdichte (x = 0) ist dabei

σ(y, z) =−qa

2π(a2 + y2 + z2)32

≡ −qa2π(a2 +R2)

32

. (1.46)

Die Dichte ist nur vom Abstand des Lotpunktes von q abhängig. Die Gesamtladung auf derMetallplatte (Influenzladung) ergibt sich als

qinfl = 2π

∫dR R ·σ(R) = −q. (1.47)

was zu erwarten war. Physikalische existiert die Spiegelladung nicht, aber sie vereinfacht die Rech-nung mit der induzierten Ladung für das Potential in der Halbebene, wo die ursprüngliche Ladungsitzt. Für die Kraft auf die reelle Punktladung gilt

~F1 = q ~E′, mit ~E′ =q

4πε0

~r − ~r2

|~r − ~r2|3(1.48)

Daraus ergibt sich direkt

~F =1

4πε0

q2

4a2(−~ex) (1.49)

und damit eine Anziehung zwischen Ladung und Platte. Diese Methode funktioniert nicht beibeliebigen Oberflächen. Es funktioniert nur für einfache Situationen.

1.11.2 Punktladung und geerdete metallische KugelWir betrachten eine Kugel mit dem Potential Φ = 0 und Radius R (siehe Abb. 1.7 a)). EinePunktladung q sitzt auf der z-Achse, die durch den Mittelpunkt der Kugel verläuft. Wir wollendas Potential ausserhalb der Kugel berechnen.

12


Abbildung 1.7: Bildladungen für Kugel: a) geerdete Kugel; b) isolierte Kugel.

Wir benutzen wieder die Methode der Spiegelladungen. Diesmal ist es nicht trivial, da wir nichtdirekt die Position von der Spiegelladung und deren Ladung wissen. Die Punktladung sitzt bei~r1 = (0, 0, a), a > R, die Spiegelladung auf der unbekannten Position ~r2 = (0, 0, b), b < R. Daherprüfen wir wieder die Poisson-Gleichung. Das Potential wird die Form

Φ =1

4πε0

[q

|~r − ~r1|+

q′

|~r − ~r2|

](1.50)

haben. Wir nehmen einen beliebigen Punkt R auf der Kugeloberfläche

Φ(|~r| = R) =1

4πε0

[q√

R2 + a2 − 2Ra cos θ+

q′√R2 + b2 − 2Rb cos θ

]= 0. (1.51)

Das ergibt

q

a√

(R/a)2 + 1− 2(R/a) cos θ+

q′

R√

1 + (b/R)2 − 2(b/R) cos θ= 0 (1.52)

Als Lösung ergibt sich damit q′ = −Rqa und b = R2

a .

1.11.3 Punktladung und isolierte metallische KugelSiehe Abb. 1.7 b. Die Punktladung liegt auf derselben Position. Wir suchen wieder die Bildladung,die irgendwo auf der z - Achse in der oberen Halbkugel liegt. Wir benutzen dieselben Gleichungenwie im geerdeten Fall für die erste Bildladung. Zudem existiert eine weitere Bildladung, wie beieiner aufgeladen Kugel, die wir in der Mitte annehmen können.

Φ =1

4πε0

[q

|~r − ~r1|+

q′

|~r − ~r2|+q′′

|~r |

], mit q′′ = Q− q′ (1.53)

1.11.4 Punktladung und metallische Kugel mit Potential ΦDiesmal ist die Kugel nicht isoliert (es hängt eine geerdete Batterie dran). Die Lösung ist in demFall identisch zum letzten Fall. Jedoch muss q′′ so gewählt werden, damit das Potential am Randkorrekt ist.

Φ =1

4πε0

q′′

R⇒ q′′ = 4πε0RΦ , Q = q′ + q′′ (1.54)

13


1.12 Formale Lösung des Randwertproblems05.11.141.12.1 Green’sche Identitäten

Wir betrachten ein Volumen V , welches durch eine Oberfläche S begrenzt wird. Wir benutzen denSatz von Gauß ∫

V (S)

dV (~∇ · ~v) =

∫S

dS (~v · ~n) (1.55)

In unserem speziellen Fall wählen wir ~v = φ∇ψ und damit ∇~v = ∇φ∇ψ + φ∇2ψ. Damit gilt∮dS φ∇ψ ·~n =

∫d3r

(∇φ∇ψ + φ∇2ψ

)=

∮dS φ

∂ψ

∂~n. (1.56)

(Hier benutzen wir die Abkürzung ∂ψ∂~n ≡ (~∇ψ) ·~n.) Dies wird erste Greensche Identität genannt.

Die Zweite greensche Identität erhalten wir direkt durch φ↔ ψ und Subtraktion∮dS

(φ∂ψ

∂~n− ψ∂φ

∂~n

)=

∫d3r

(φ∇2ψ − ψ∇2φ

). (1.57)

Mit diesen beiden Hilfsmittel betrachten wir weiter das Randwertproblem ∇2Φ = − 1ε0ρ mit Di-

richlet oder Neumann Randbedingungen.

1.12.2 Eindeutigkeit der LösungWir beweisen erst die Eindeutlichkeit der Lösung des Randwertproblems. Zunächst, nehmen wiran, dass es zwei Lösungen Φ1und Φ2 gibt. Dann U(~r ) = Φ1 − Φ2, genügt der Laplace-Gleichung∇2U = 0 mit Null-Randbedingungen, z.B. U(~r ∈ Si) = 0 für Dirichlet oder ~n · ~∇U |~r∈Si = 0 fürNeumann. Über die erste Greensche Identität folgt mit φ = ψ = U∫

d3r (∇U∇U + U ∇2U︸︷︷︸=0

) =

∮dS U

∂U

∂~n= 0 (1.58)

Daraus gilt ~∇U = 0. Mit den Dirichlet-Randbedingungen erhalten wir U = 0. D.h. die Lösung isteindeutig.

1.12.3 Green’sche FunktionWir definieren eine Green’sche Funktion als Lösung der folgenden Gleichung

∇2rG(~r, ~r ′) = −4πδ(~r − ~r ′). (1.59)

Es wäre auch äquivalent bei der Ableitung nach r′, d.h., ∇2r′G(~r, ~r ′) = −4πδ(~r− ~r ′). Die 4π sind

ein Normierungsfaktor. Eine Lösung dieser Gleichung sieht beispielsweise folgendermaßen aus

G(~r, ~r ′) =1

|~r − ~r ′| + F (~r, ~r ′) mit ∇2rF (~r, ~r ′) = 0 (1.60)

Betrachten wir eine der möglichen Lösungen für G. Wir benutzen die zweite Green’sche Identität∮dS

(φ∂ψ

∂~n− ψ∂φ

∂~n

)=

∫d3r

(φ∇2ψ − ψ∇2φ

). (1.61)

mit φ(~r ′) = Φ(~r ′) und ψ(~r ′) = G(~r, ~r ′). Als Oberfläche S nehmen wir die sämtlichen Oberflächender Leiter und die ”Oberfläche” im Unendlichen. Als Volumen nehmen wir das gesamte Volumen

14


zwischen den Leiter. Das ergibt∫S

dS ′(

Φ(~r ′)∂G(~r, ~r ′)∂~n ′

−G(~r, ~r ′)∂Φ(~r ′)∂~n ′

)=

∫V (S)

dV ′ [Φ(~r ′)∆r′G(~r, ~r ′)−G(~r, ~r ′)∆r′Φ(~r ′)]

=

∫V (S)

dV ′[Φ(~r ′)(−4πδ(~r − ~r ′))−G(~r, ~r ′)

(−ρ(~r ′)

ε0

)](1.62)

und weiter durch die Integration der Delta-Funktion auf der rechten Seite in Gl. (1.62)

Φ(~r) =1

4πε0

∫V (S)

dV ′G(~r, ~r ′)ρ(~r ′) +1

4π

∫S

dS ′(

Φ(~r ′)∂G(~r, ~r ′)∂n ′

−G(~r, ~r ′)∂Φ(~r ′)∂n ′

)(1.63)

Für das Dirichlet-Problem wäre es nett eine Green’sche Funktion zu finden, sodass

G(~r, ~r ′)|~r ′∈S = 0 = G(~r, ~r ′)|~r∈S (1.64)

Dann würden wir die folgende Relation erhalten

Φ(~r) =1

4πε0

∫V (S)

dV ′G(~r, ~r ′)ρ(~r ′) +1

4π

∫S

dS ′Φ(~r ′)∂G(~r, ~r ′)∂n ′

(1.65)

Diese Relation erlaubt uns das Potential Φ zu bestimmen, wenn wir die Ladungsdichte ρ und dieDirichlet-Randbedingungen haben. Damit ist das Problem gelöst.Eine weitere Frage ist, was wir für einen Leiter im Unendlichen Verlangen sollen. Das Potentialist bekannt

Φ(~r) =1

4πε0

∫d3r′ ρ(~r ′)

1

|~r − ~r ′| , mit G(~r, ~r ′) =1

|~r − ~r ′| (1.66)

Daraus folgt direkt die Dirichlet-Randbedingung im Unendlichen.

G(~r, ~r ′) →r→∞

0 (1.67)

Physikalische Interpretation: G(~r, ~r ′) ist die Lösung der Poisson-Gleichung ∆rG(~r, ~r ′) =−ρ(~r)/ε0 mit einer Punktladung 4πε0 im Ort ~r ′, d.h., ρ(~r) = 4πε0δ(~r − ~r ′) und den geerdetenLeitern, sodass auf allen Oberflächen gilt G(~r, ~r ′) = 0 für ~r ∈ S. Für das Spiegelladung-Problemmit der Metall-Platte in der x = 0 Ebene (oder äquivalent ein leitender Halbraum x ≤ 0) erhaltenwir für ~r = (x > 0, y, z) und ~r ′ = (x′ > 0, y′, z′)

G(~r, ~r ′) =1

|~r − ~r ′| −1

|~r − ~r ′′| , (1.68)

wobei ~r ′′ = (−x′, y′, z′) der Ort der ”Spiegellading” zu einer Ladung im ~r ′ ist.

15


1.13 Entwicklung nach orthogonalen Funktionen07.11.2014Wir betrachten zuerst 1-Dimensionale Funktionen, dh. g(x) mit x ∈ [a, b]. Das Skalarprodukt

(h, g) =∫ ba

dx h∗(x)g(x). Im Fall von (g, h) = 0 heißt dies die Funktionen sind Orthogonal. ImFall von (g, g) = 1 ist die Funktion normiert. Für eine Reihe von Funktionen (mit fn), die unendlichist, sodass (fm, fn) = δmn gilt und damit orthonomiert ist. Die Vollständigkeit bedeutet, für einebeliebige quadratintegrable Funktion g(x) gilt

g(x) =

∞∑n=1

anfn(x) , an = (fn, g), (1.69)

wenn ∫dx

∣∣∣∣∣g −N∑n=1

anfn(x)

∣∣∣∣∣→ 0. (1.70)

erfüllt wird. Wir schreiben g(x) als eine Summe

g(x) =

∞∑n=1

∫dx′ g(x′) · f∗n(x′)fn(x) =

∫dx′ g(x′)

∞∑n=1

f∗n(x′)fn(x) =

∫dx′ g(x′)δ(x′−x). (1.71)

Daraus folgt die Vollständigkeitsrelation∑n f∗n(x′)fn(x) = δ(x− x′)

Ein bekanntes Beispiel für ein vollständiges Orthonormalsystem ist die Fourierreihe im Intervallx ∈ [−L/2, L/2] . Für diese gilt

fn =

√2

L

1√2, sin

2πx

L, cos

2πx

L, sin

4πx

L. . .︸︷︷︸

sin 2mπxL ,cos 2mπx

L

. (1.72)

Man kann sie jedoch auch über die komplexe Exponentialfunktion ausdrücken:

fn =

√1

Lei2πnx/L

. (1.73)

Damit gilt

g(x) =1√L

∞∑m=−∞

amei2πmx/L mit am =1√L

∫ L/2

−L/2dx g(x)e−i2πmx/L. (1.74)

Bemerkung: Für L → ∞ wird die Fourierreihe zum Fourierintegral, da die „Abstände“ immerkleiner werden. Es gilt dann 2πm

L → k,∑m → L

2π

∫∞−∞ dk und am =

√2πL a(k) und damit:

g(x) =1√2π

∫ ∞−∞

a(k)eikxdk mit a(k) =1√2π

∫ ∞−∞

g(x) e−ikxdx. (1.75)

Die Orthonomierung ist über

1

2π

∫dx ei(k−k′)x = δ(k − k′) (1.76)

und die Vollständigkeit über

1

2π

∫dk ei(x−x′)k = δ(x− x′) (1.77)

erfüllt.

16


1.14 Kartesische KoordinatenÜber den Seperationsansatz können wir versuchen eine Allgemeine Vorschrift für die Lösung derLaplace-Gleichung zu finden. Wir setzen Φ als ein Produkt aus drei voneinander, unabhängigenFunktionen A(x), B(y) und C(z) an und setzen in

∇2Φ⇒ ∂2xΦ + ∂2

yΦ + ∂2zΦ = 0, (1.78)

ein. Danach dividieren wird durch Φ. Es folgt

1

A(x)

d2A(x)

dx2+

1

B(y)

d2B(y)

dy2+

1

C(z)

d2C(z)

dz2= α2 + β2 + γ2. (1.79)

Daraus folgt, dass alle Summanden auf der linken Seite der Gleichung Konstanten seien müssen, wirnennen die Konstanten α2, β2 und γ2. Daraus können wir drei Differentialgleichungen aufstellen:

d2A(x)

dx2= α2A(x)⇒ A(x) = a1eαx + a2e−αx. (1.80)

Analog gilt dies für die anderen Funktionen B und C. Wir betrachten einen Quader im Ursprungmit der Länge a in x-Richtung, der Länge b in y-Richtung und der Länge c in z-Richtung. Jetztsuchen wir das Potential innerhalb des Quaders, unter der Randbedingung, dass dieses auf 5Seitenflächen 0 ist. Auf dem Deckel bei z = c wird das Potential als Φ = V (x, y) angesetzt. Esmuss also gelten A(x = 0) = 0 ⇒ A(x) ∝ eαx − e−αx ∝ sinhαx. Dies gilt analog für die anderenFunktionen. Daraus folgt

A(x = a) = 0⇒ sinhαa⇒ αn = inπ

a⇒ A(x) ∝ sin

nπ

ax (1.81)

B(y = b) = 0⇒ βm = imπ

b,B(y) ∝ sin

mπ

by (1.82)

Aus (1.78) und (1.79) folgt

γ2 = −α2 − β2 ⇒ γmn = π

√n2

a2+m2

b2. (1.83)

Das Potential lautet dann

Φ =

∞∑n,m=1

Dnm sin(nπax)

sin(mπby)

sinh

(π

√n2

a2+m2

b2z

)(1.84)

Jetzt bleibt noch eine Randbedingung übrig. Diese nutzen wir jetzt:

Φ(z = c) = V (x, y) =

∞∑n,m=1

Dnm sin(nπax)

sin(mπby)

sinh

(π

√n2

a2+m2

b2c

). (1.85)

Daraus können wir auf eine doppelte Fourierentwicklung schließen. Wir müssen beachten, dasswir keine negativen n nehmen müssen, da sonst voneinander abhängige Funktionen entstehen:sin πx

a = − sin −πxa . Es gilt nun

fnm =

√2

a

√2

bsin(nπax)

sin(mπby)

(1.86)

und damit die Koeffizienten Dnm bestimmen über

Dnm =4

ab sinh

(π√

n2

a2 + m2

b2 c

) ∫ a

0

dx

∫ b

0

dy V (x, y) sin(nπax)

sin(mπby). (1.87)

17


1.15 KugelkoordinatenDasselbe wollen wir nun in Kugelkoordinaten durchführen. Die Kugelkoordinaten werden definiertdurch

x = r sin θ cosϕ, y = r sin θ sinϕ, z = r cos θ. (1.88)

Der Laplace-Operator in Kugelkoordinaten hat die Form:

∇2Φ =1

r2∂r(r

2∂rΦ) +1

r2 sin θ∂θ(sin θ ∂θΦ) +

1

r2 sin2 θ∂2ϕΦ = 0. (1.89)

Als Lösungsansatz wählen wieder den Seperationsansatz mit Φ = U(r)r P (θ)Q(ϕ). Damit

∇2Φ =1

r2

∂2U

∂r2PQ+

UQ

r

1

r2 sin θ

∂

∂θ

(sin θ

∂P

∂θ

)+UP

r

1

r2 sin2 θ

∂2Q

∂ϕ2= 0. (1.90)

Dies multiplizeren wir mit r3 sin2 θUPQ , daraus ergibt sich

r2 sin2 θ

[1

U

d2U

dr2+

1

P

1

r2 sin θ

d

dθ

(sin θ

dP

dθ

)]+

1

Q

d2Q

dϕ2= 0. (1.91)

Der erste Term ist ϕ-Unabhängig wobei der zweite ist nur ϕ-Abhängig. Daher muss der zweiteTerm konstant sein.

1

Q

d2Q

dϕ2= −m2 ⇒ Q = Ce±imϕ (1.92)

und setzen dies direkt ein

r2

U

d2U

dr2+

1

P

1

sin θ

d

dθ

(sin θ

dP

dθ

)− m2

sin2 θ= 0. (1.93)

Der erste Summand ist nun von r Abhängig und die letzten beiden nicht. Daher müssen siekonstant alt Funktion von r sein

r2

U

d2U

dr2= l(l + 1) ,

1

P

1

sin θ

d

dθ

(sin θ

dP

dθ

)− m2

sin2 θ= −l(l + 1) (1.94)

Hier, zunächst, ist l(l+1) eine ”Bezeichnung” für die Konstante. Wir schreiben die erste Gleichungum:

d2U

dr2− l(l + 1)

r2U = 0. (1.95)

Die allgemeine Lösung muss eine Summe von Potenzen sein muss:

U(r) = Arl+1 +Br−l. (1.96)

Für die zweite Gleichung wechseln wir die Variable als x ≡ cos θ. Mit dx = sin θ dθ gilt dann

d

dx

[(1− x2)

dP

dx

]+

[l(l + 1)− m2

1− x2

]P = 0. (1.97)

Die Lösungen dieser Gleichung sind Legendre-Polynome Pl(x) mit l = 0, 1, 2, 3, . . . , d.h., l ∈ IN0.Sonst (für l 6= 0, 1, 2, 3, . . . ) ist die Lösung singulär für x = ±1. Es gilt

Pl(x) =1

2ll!

dl

dxl(x2 − 1)l, l ∈ IN0 (1.98)

Die ersten Legendre-Polinome kann man berechnen: P0(x) = 1, P1(x) = x, P2(x) = 12 (3x2 − 1),

P3(x) = 12 (5x3 − 3x), P4(x) = 1

8 (35x4 − 30x2 + 3).

18


Die Polynome sind so normiert, sodass Pl(1) = 1 gilt. Es gilt∫ 1

−1

dxPl(x)Pl′(x) =2

2l + 1δl,l′ . (1.99)

Einen vollständigen orthonormalen Satz ergibt sich durch

fl(x) =

√2l + 1

2Pl(x) . (1.100)

Nun betrachten wir, was für ein beliebiges m passiert. Wir betrachten Gleichung (1.97). DieLösungen davon sind die zugeordneten Legrendepolynome: Für m > 0, d.h., für m = 1, 2, 3, . . .gilt

Pml (x) = (−1)m(1− x)m/2dmPl(x)

dxm, (1.101)

Offensichtlich die nichttriviale Lösungen gibt es nur für m ≤ l. Für die negativen m erhalten wirdie Lösung aus der folgenden Gleichung

P−ml (x) = (−1)m(l −m)!

(l +m)!Pml (x). (1.102)

Für alle m=-l,-l+1,. . . ,l-1,l gilt somit:

Pml (x) =(−1)m

2ll!(1− x)m/2

dl+m

dxl+mPl(x). (1.103)

Anstatt Gleichung (1.99) erhalten wir∫ 1

−1

dxPml (x)Pml′ (x) =2

2l + 1

(l −m)!

(l +m)!δl,l′ . (1.104)

Bei festem m bilden Pml (x) einen vollständigen orthogonalen Satz auf x ∈ [−1, 1], genauso wieQm(ϕ) = e±imϕ auf φ ∈ [0, 2π]. Deswegen können wir sagen, dass

Pml Qm = Pml (cos θ)eimϕ, für l = 0, 1, 2 . . . , und m = −l, . . . l (1.105)

ein vollständiger orthogonaler Satz der Funktionen auf der Kugelfläche ist. Man definiert damit

Ylm(θ, ϕ) =

√2l + 1

4π

(l −m)!

(l +m)!Pml (cos θ)eimϕ. (1.106)

Dies ist die Kugelflächenfunktion auf der Oberfläche einer Einheitskugel. Wir zeigen die Orthono-mierung ∫ 2π

0

dϕ

∫ π

0

dθ sin θ Y ∗l′m′Ylm = δll′δmm′ , (1.107)

für die Vollständigkeit gilt darüberhinaus

∞∑l=0

l∑m=−l

Y ∗lm(θ′, ϕ′)Ylm(θ, ϕ) = δ(ϕ− ϕ′)δ(cos θ − cos θ′). (1.108)

Zwei Eigenschaften sind leicht einzusehen:

Yl,−m = (−1)mY ∗lm , Yl,0 =

√2l + 1

4πPl(cos θ). (1.109)

Für einige l gilt damit

19


l = 0 : Y0,0 =1√4π

(1.110)

l = 1 : Y1,0 =

√3

4πcos θ (1.111)

Y1,±1 = ∓√

3

8πsin(θ)e±iϕ (1.112)

l = 2 : Y2,0 =

√5

4π

(3

2cos2 θ − 1

2

)(1.113)

Y2,±1 = ∓√

15

4πsin θ cos θ e±iϕ (1.114)

Y2,±2 = ±1

4

√15

2πsin2 θ e±2iϕ (1.115)

Für eine beliebige Lösung der Laplace-Gleichung gilt damit

Φ =U(r)

rPQ =

U(r)

rYlm =

∞∑l=0

l∑m=−l

(Almr

l +Blmr−l−1

)Ylm. (1.116)

Betrachten wir ein Beispiel. Wir wollen zwischen zwei Kugelflächen, die ineinander liegen einRandwertproblem lösen, wobei Φ(R1, θ, ϕ) = V1(θ, ϕ) und Φ(R2, θ, ϕ) = V2(θ, ϕ) ist. Wir wollenim inneren das Potential wissen. Falls der erste Radius R1 = 0, dann müssen alle Blm Null sein,ansonsten käme es zu einer Singularität. Analog dazu, falls R2 =∞ müssen alle Alm verschwinden.

1.16 Multipolentwicklung (Kartesische Koordinaten)Es gebe eine Ladungsdichte ρ(~r ′), welche sich in einem bestimmten Bereich lokalisieren lässt. Wirwählen den Ursprung der Koordinaten in diesem Bereich und wollen das Potential Φ(~r) weit vondiesem Bereich finden. Dann gilt |~r| |~r ′|. Wir beginnen bei

Φ(~r ) =1

4πε0

∫V

dVρ(~r ′)|~r − ~r ′| , (1.117)

und entwickeln um ~r ′ = 0:

1

|~r − ~r ′| =1

r−∑i

r′i∂

∂ri

1

r+

1

2

∑ij

r′ir′j

∂2

∂ri∂rj

1

r. . . . , (1.118)

wobei r ≡ |~r|. Wir berechnen die drei ersten Beiträge

1

|~r − ~r ′| =1

r+∑i

r′irir3

+1

2

∑ij

r′ir′j

(3rirj − r2δij

)r5

+ . . . . (1.119)

Das lässt sich umschreiben als

1

|~r − ~r ′| =1

r+∑i

rir3r′i +

1

2

∑ij

rirjr5

(3r′ir

′j − (r′)2δij

)+ . . . . (1.120)

Für das Potential gilt dementsprechend

Φ(~r ) =1

4πε0

1

rQ(0) +

∑i

rir3Q

(1)i +

1

2

∑ij

rirjr5

Q(2)ij + . . .

. (1.121)

20


Abbildung 1.8: Multipolenteicklung

Die Qs werden dabei über

Q(0) =

∫V

dV ρ(~r ′) = q Monopol (1.122)

Q(1)i =

∫V

dV riρ(~r ′) = pi Dipol (1.123)

Q(2)ji =

∫V

dV(3r′ir

′j − (r′)2δij

)ρ(~r ′) Quadrupol (1.124)

dargestellt. Siehe Fig. 1.8

1.17 Multipolentwicklung (Kugel-Koordinaten)14.11.14Es gilt (ohne Beweis) das Additionstheorem:

1

|~r − ~r ′| =

∞∑l=0

l∑m=−l

4π

2l + 1

rl<rl+1>

Y ∗lm(θ′, ϕ′)Ylm(θ, ϕ) , (1.125)

wobei r> = max(|~r|, |~r ′|) und r< = min(|~r|, |~r ′|). Für die Multipolentwicklung gilt |~r ′| |~r|, alsor> = r und r< = r′.

4πε0Φ(~r) =

∫V

dVρ(~r ′)|~r − ~r ′| =

∫V

dV ρ(~r ′)∞∑l=0

l∑m=−l

4π

2l + 1

(r′)l

rl+1Y ∗lm(θ′, ϕ′)Ylm(θ, ϕ) (1.126)

oder vereinfacht

Φ(~r ) =1

ε0

∞∑l=0

l∑m=−l

1

2l + 1

qlmrl+1

Ylm(θ, ϕ), mit qlm =

∫V

dV ρ(~r ′)(r′)lY ∗lm(θ′, ϕ′). (1.127)

Diese nennt man manchmal Kugelmultipolmomente. Teilweise besitzen die qlm in der Literaturunterschiedliche Vorfaktoren.Der Zusammenhang zwischen Kartesischen Koordinaten und Kugelkoordinaten ist für die erstenpaar Terme:

21


q00 =1√4π

∫V

dV ρ(~r ′) =1√4πq (1.128)

q10 =

√3

4π

∫V

dV z′ρ(~r ′) =

√3

4πpz (1.129)

q11 = −√

3

8π

∫V

dV (x′ − iy′)ρ(~r ′) = −√

3

8π(px − ipy) (1.130)

q20 =

√5

16π

∫V

dV (3(z′)2 − (r′)2)ρ(~r ′) =

√5

16πQzz (1.131)

q21 = −√

15

8π

∫V

dV z′(x′ − iy′)ρ(~r ′) = −1

3

√15

8π(Qxz − iQyz) (1.132)

q22 =1

4

√15

2π

∫V

dV (x′ − iy′)2ρ(~r ′) =1

12

√15

8π(Qxx − 2iQxy −Qyy) (1.133)

Man kann zeigen, dass der erste nicht verschwindende Term dieser Reihe unabhängig von der Wahldes Ursprungs ist.

1.18 Energie im äußeren FeldWir nehmen an es gebe eine Ladungsverteilung zentriert um ~r0 mit ρ(~r) = 0 für |~r−~r0| > R. Wirdefinieren ~r−~r0 = ~r ′. Wenn wir nun auf die Ladungskonfiguration ein äußeres Feld ~Eext = −∇Φextwirken lassen, können wir unter der Annahme, dass das äußere Feld sich nur wenig im Bereich derLadungsverteilung ändert, eine Taylorreihenentwicklung für das Feld durchführen:

Φext(~r ) = Φext(~r0 + ~r ′) = Φext(~r0) +∑i

∂Φext

∂ri

∣∣∣~r0r′i +

1

2

∑ij

∂2Φext

∂ri∂rj

∣∣∣~r0r′ir′j + . . . (1.134)

= Φext(~r0) +∑i

∂Φext

∂ri

∣∣∣~r0r′i +

1

6

∑ij

∂2Φext

∂ri∂rj

∣∣∣~r0

(3r′ir

′j − (r′)2δij

)+ . . . . (1.135)

Der letzte Schritt kann vollzogen werden, weil ∇2Φext = 0 ist. Für die Ladungsverteilung wählenwir ~r0 als Koordinaten-Ursprung und definieren wir ρ(~r ′) ≡ ρ(~r) = ρ(~r0 + ~r ′). Es gilt

W =

∫V

dV ρ(~r )Φext(~r ) =

∫V

dV ρ(~r ′)Φext(~r0 + ~r ′) (1.136)

= Φext(~r0) q +∑i

∂Φext

∂ri

∣∣∣~r0pi +

1

6

∑ij

∂2Φext

∂ri∂rj

∣∣∣~r0Qij + . . . . (1.137)

= qΦext(~r0)− ~p ~Eext(~r0)− 1

6

∑ij

Qij∂Eext,i(~r0)

∂rj+ . . . . (1.138)

Also 1) Ladung koppelt mit Potential; 2) Dipol-Moment - mit elektrischem Feld; 3) Quadrupol-Moment - mit dem Gradienten des Feldes.Als nächtes berechnen wir die Kraft, die auf eine Ladungsverteilung wirkt. Wenn das Monopol-Moment nicht verschwindet der leitende Beitrag lautet

~F (~r0) = −~∇r0W (~r0) = q ~Eext(~r0) (1.139)

Die Kraft auf ein Dipol-Moment ergibt sich als (wir ersetzen ~r0 → ~r, ~Eext → ~E)

Fj =∑i

pi∂Ei∂rj

=∑i

pi∂Ej∂ri

. (1.140)

22


Hier haben wir benutzt ∇× ~E = 0→ ∂Ei/∂rj = ∂Ej/∂ri. Also

~F = (~p · ~∇) ~Eext . (1.141)

Für das Drehmoment auf Dipol ergibt sich durch d ~N = ~r × d~F

~N = −∫d3r′ ρ(~r ′)~r ′ × ~Eext(~r0) = ~p× ~Eext . (1.142)

23


2 Magnetostatik

2.1 Strom und die KontinuitätsgleichungRuhende Ladungen „produzieren“ elektrische Felder. Jetzt betrachten wir bewegte Ladungen. Die-se „produzieren“ Ströme, welche ein Magnetfeld erzeugen. Wir nehmen im Folgenden stationäre(zeitunabhängige) Ströme an. Dies ist die Magnetostatik. Elektrischer Strom ist definiert als

I =dQ

dtmit dI = ~j~n dS, (2.1)

wobei ~j die Stromdichte darstellt.Wir nutzen die Ladungserhaltung zur Herleitung. Wir betrachten ein beliebiges Volumen V miteiner geschlossenen Oberfläche S. Die Ladung ist erhalten, wenn

d

dt

∫V

dV ρ(~r, t) +

∫S

dS ~n~j(~r, t) = 0 (2.2)

gilt. Wir nutzen den Gaußschen Satz und ziehen die Ableitung in das Integral hinein∫V

dV

[∂

∂tρ(~r, t) +∇~j(~r, t)

]= 0⇒ ∂ρ(~r, t)

∂t+∇~j(~r, t) = 0. (2.3)

In der Magnetostatik ist der erste Summand 0 und daher ist die Divergenz der Stromdichte 0.

2.1.1 Biot Savart-GesetzWir betrachten zwei geschlossene Wege C1 und C2 durch die der Strom I1 und I2 fließt. Wir fragennun welche Kraft auf das Element d~l1 bei ~r1 von einem Element d~l2 an Position ~r2 erzeugt wird.Es gilt

d~F12 =µ0

4πI1I2

d~l1 × (d~l2 × (~r1 − ~r2))

|~r1 − ~r2|3(2.4)

und in integraler Form

~F12 =µ0

4πI1I2

∮ ∮d~l1 × (d~l2 × (~r1 − ~r2))

|~r1 − ~r2|3. (2.5)

Die Konstante µ0 (SI Einheitssystem) ist gegeben durch µ0 = 4π · 10−7N/A2.Darüber können wir die magnetische Flussdichte/Induktion ~B (manchmal falschweise als Magnet-feld genannt) als

d ~B12 =µ0

4πI2

d~l2 × (~r1 − ~r2)

|~r1 − ~r2|3(2.6)

definieren. Dies ist magnetische Induktion, die vom Stromelementen I2d~l2 in der Position ~r1 erzeugtwird. Für die Kraft auf das Stromelement I1d~l1 gilt damit

d~F12 = I1d~l1 × d ~B12, (2.7)

worüber man integrieren kann. Die Einheit der magnetischen Induktion im SI-System heisst Tesla(T). Das Magnetfeld ist im SI Einheitssystem definiert als ~H = ~B/µ0.

24


Abbildung 2.1: Zu Berechnung magnetischer Induktion eines Drahtes

2.2 Magnetfeld im Gauß-SystemWir definieren ~r12 = ~r1 − ~r2. Im Gauß-System gilt für die Kraft auf ein Stromelement

d~F12 =I1I2c2

d~l1 × (d~l2 × ~r12)

|~r12|3(2.8)

und

d~F12 =1

cI1d~l1 × ~B12. (2.9)

Die magnetische Induktion ist dabei definiert als

d ~B12 =1

cI2

d~l2 × ~r12

|~r12|3. (2.10)

Man wählt 1c in den beiden letzten Gleichungen als „Normierung“, weil es im relativistischen

geschickter ist. Im Vakuum gilt zudem ~H = ~B. Im Gauß-System ist die Einheit der magnetischenFlussdichte Gauß mit der Umrechnung 1T←→ 104 G.

2.3 Kraft zwischen zwei parallelen Drähten19.11.14Als Anwendungsbeispiel wollen wir nun die Kraft zwischen zwei parallel Drähten berechnen. Dazu

nehmen wir zuerst an, dass der Draht mit Strom I2 auf der z-Achse liegt (siehe Abb. 2.1). Nunwollen wir die magnetische Feldstärke an einem Punkt ~r1 = (0, R, z1) bestimmen, der in deryz-Ebene mit Abstand R vom Draht liegt (siehe Abb. 2.1). Es gilt

~B(~r1) =µ0

4πI2

∫d~l2 × ~r12

|~r12|3= −µ0

4πI2~ex

∫dz2

R

(R/ sin θ)3, (2.11)

wobei z2 ist die z-Koordinate des Ortes ~r2. Mir z1 − z2 = R cot θ und dz2 = Rdθ/ sin2 θ erhaltenwir

~B2 = −µ0

4πI2~ex

1

R

∫ π

0

sin θdθ = −µ0

2π

I2R~ex. (2.12)

Wir betrachten nun einen zweiten Draht, mit dem Strom I1. Der Draht ist in z-Richtung ausge-richtet und läuft durch den Ort ~r1. Die Kraft auf den Draht mit Strom I1 ergibt sich als

25


d~F12 = I1~ezdz1 × ~B(~r1) = −~eyµ0

2π

I2I1R

dz1. (2.13)

Für den Fall I1 = I2 = 1A und R = 1m gilt

d|F12|dz1

= 2 · 10−7 N/m. (2.14)

2.4 Allgemeine Formulierung des B.-S.-Gesetzes

Wir nehmen an es gäbe in einem Raum eine beliebige Verteilung der Stromdichte ~j. Nun wollenwir feststellen, welche magnetische Feldstärke aus dieser Anordnung folgt. Nach dem B.-S.-Gesetzfolgt

~B(~r ) =µ0

4π

∫V

dV~j(~r ′)× (~r − ~r ′)|~r − ~r ′|3 . (2.15)

Dies sieht gravierend ähnlich aus, wie das Coloumbgesetz, wobei das letztere durch einen Skalar„produziert“ wird, während diese hier durch einen Vektor „produziert“ wird. Darüber hinaus dieKraft die auf eine Stromverteilung ~j(~r) wirkt ergibt sich als

~F (~r ) =

∫V

dV ~j(~r )× ~B(~r ). (2.16)

Kraft auf Punktladung: Wir bestimmen zuerst die Stromdichte einer Punktladung die sich imOrt ~r0 befindet und mit Geschwindigkeit v sich bewegt. Diese können wir über ihre Geschwindigkeitangeben:

~j = q~vδ(~r − ~r0)⇒ ~F = q~v × ~B(~r0). (2.17)

Dies ist natürlich die Lorentzkraft.

2.5 Feldgleichung, Vektorpotential, Ampere-GesetzWir gehen analog wie beim elektrischen Feld vor. Mit

~∇r1

|~r − ~r ′| = − ~r − ~r ′|~r − ~r ′|3 (2.18)

erhalten wir aus (2.15)

~B = −µ0

4π

∫d3r′~j(r′)×∇r

1

|~r − ~r ′| = ∇× ~A(~r) =µ0

4π∇r ×

∫d3r′

~j(r′)|~r − ~r ′| . (2.19)

Wir definieren das Vektorpotential durch:

~A(~r) =µ0

4π

∫d3r′

~j(r′)|~r − ~r ′| (2.20)

sodass

~B = ∇× ~A(~r) (2.21)

Hier gilt die Eichfreiheit: man kann das andere Vektorpotential definieren durch ~A′ = ~A+∇χ(~r),wobei das Skalarfeld χ(~r) beliebig ist. Damit wird ~B sich nicht ändern, d.h., ~∇ × ~A = ~∇ × ~A′.Jedoch, hier werden wir χ = 0 wählen und die Formel (2.20) benutzen.

26


Damit erhalten wir

∇ · ~A =µ0

4π

∫d3r′~j(~r ′)∇r

1

|~r − ~r ′| = −µ0

4π

∫d3r′~j(~r ′)∇r′

1

|~r − ~r ′|

=µ0

4π

∫d3r′∇r′~j(~r ′)︸︷︷︸

=0

1

|~r − ~r ′| = 0 , (2.22)

wobei wir die partielle Integration benutzt haben. Dabei ist zu beachten, dass ~∇ · ~A = 0 nur inder Eichung gilt, die wir oben gewählt haben. Diese heisst Coulomb-Eichung.Wir wollen die Rotation von ~B und Divergenz von ~B berechnen:

∇ ~B = ∇(∇× ~A) = 0. (2.23)

Daraus kann man folgern, dass das B-Feld nicht einzelne feste Quellen besitzt. Aus der Rotationdes B-Feldes folgt das Ampere-Gesetz:

∇× ~B = ∇× (∇× ~A) = ∇(∇ ~A)︸︷︷︸=0

−∇2 ~A = −µ0

4π

∫d3r′~j(r′) ∇2

r

1

|~r − ~r ′|︸︷︷︸=−4πδ(~r−~r ′)

= µ0~j(~r). (2.24)

2.5.1 Integralform des Ampere-GesetzesWir nutzen das Stokes’sche Gesetz:∮

C

d~l ~B =

∫S

dS ~n (∇× ~B) = µ0

∫S

dS ~n ~j = µ0IC . (2.25)

Man sieht, dass es unabhänig von den Form der Fläche ist. Es zählt nur der Strom, welcher durchdiese hindurchfließt.

2.5.2 Randbedingungen21.11.2014Wir wollen jetzt analog zur Oberflächenladungsdichte in der Elektrostatik eine Flächenstromdichte

~K(~r) definieren über die wir die Randbedingungen für Probleme der Magnetostatik definieren. DieDimensionalität von ~K sei

[ ~K] =

[StromLänge

]=

A

m. (2.26)

fest. Wir gehen ähnlich vor, wie bei der Elektrostatik und denken uns erst ein gauss’sches Käst-chen an einer Oberfläche (Abb. 2.2 linke Seite). Danach nutzen wir Gleichung (2.23) mit demGauss’schen Satz. Dadurch erhalten wir∫

S

dS ~n ~B =

∫V

dV ∇ ~B ⇒ ( ~B1 − ~B2)~n = 0, (2.27)

wenn wir die beiden Oberflächen immer weiter zusammenlaufen lassen. Als nächstes betrachtenwir über das Ampersche Gesetz ein Rechteck, dessen Seitenflächen parallel zur Oberfläche liegen(eine darin, eine draußen) (siehe Abb. 2.2 rechte Seite):∫

d~l ~B = µIC ⇒ ~n× ( ~B2 − ~B1) = µ0~K. (2.28)

Daher gilt

B2,⊥ −B1,⊥ = 0 , B2,‖ −B1,‖ = µ0~K × ~n. (2.29)

27


Abbildung 2.2: Randbedingungen für ~B

Wir fragen uns nun, welche Bedingung dies für das Vektorpotential mit sich führt. Wir nutzen diegleiche Form wie beim letzten mal:∮

C

~A d~l =

∫S

(∇× ~A) ~ndS =

∫S

~B d~Sδ→0−→ 0. (2.30)

Es folgt daher ~A1,‖ = ~A2,‖. Zusätzlich gilt nur in Coulomb-Eichung (~∇ · ~A) ~A1,⊥ = ~A2,⊥.

2.6 Multipolentwicklung, magnetischer DipolWir beginnen mit der Formel für das Vektorpotential und betrachten große Abstände von derStromverteilung ~j(~r ′). Also ~j(~r ′) 6= 0 nur wenn r′ < R. Wir betrachten aber das Vektorpotentialim Ort ~r, sodass r R.

~A(~r ) =µ0

4π

∫d3r′

~j(~r ′)|~r − ~r ′| (2.31)

Wir nutzen die Multipolentwicklung aus der Elektrostatik

~A(~r ) =µ0

4π

1

r

∫d3r′~j(~r ′)︸︷︷︸

= ~A(0)(~r)

+∑i

rir3

∫d3r′ r′i~j(~r

′)︸︷︷︸= ~A(1)(~r)

+ . . .

, (2.32)

und zeigen, dass ~A(0)(r) = 0 ist.Erst bekommen wir eine nützliche Identität: Für beliebige f(~r), g(~r) und für die Stromverteilung~j(~r), sodass ~j(r) = 0 für r > R und ∇~j = 0 (Magnetostatik) gilt:

∫dV[f(~j ~∇g) + g(~j ~∇f)

]= 0.

Das kann man beweisen mit Hilfe partieller Integration.Erst wählen wir f = 1, g = ri. Das führt zu

f = 1, g = ri ⇒∫

d3r ji = 0. (2.33)

Damit ist bewiesen, dass ~A(0) = 0, also es gibt keinen Monopol-Beitrag.Für den Dipolbeitrag wählen wir f = rk, g = ri. Das führt zu

f = rk, g = ri ⇒∫

d3r (rijk + rkji) = 0 (2.34)

und damit

28


Abbildung 2.3: Das ~B-Feld eines magnetischen Dipols mit ~m ‖ ~ez

A(1)k =

1

r3

µ0

4π

∑i

ri

∫d3r′ r′i jk(~r ′) =

1

2r3

µ0

4π

∑i

ri

∫d3r′ (rijk − rkji). (2.35)

Über den Epsilon-Tensor folgt:

A(1)k =

1

2r3

µ0

4π

∑il

riεikl

∫d3r′

[~r ′ ×~j(~r ′)

]l

= − 1

2r3

µ0

4π

[~r ×

∫d3r′

[~r ′ ×~j(~r ′)

]]k

, (2.36)

was wiederum

~A (1) = − 1

2r3

µ0

4π~r ×

∫d3r′

[~r ′ ×~j(~r ′)

]. (2.37)

impliziert. Dies kann auch über das magnetische Dipolmoment ausgedrückt werden:

~m =1

2

∫d3r′

[~r ′ ×~j(~r ′)

]. (2.38)

Jetzt können wir das Magnetfeld eines Dipols berechnen. Wir erhalten

~A (1) =µ0

4π

~m× ~rr3

. (2.39)

Das ergibt (die Rechnung wird hier nicht gezeigt)

~B(~r ) = ∇× ~A ≈ ∇× ~A(1) =µ0

4π

[3~n(~n · ~m)− ~m

r3

](2.40)

Der Vektor ~n ≡ ~r/r zeigt in Richtung des Vektors ~r. Das ~B-Feld eines Dipols wird in Abb. 2.3gezeigt.Magnetisches Moment einer Leiterschleife, die in einer Ebene liegt:

~m =1

2

∫d3r′ ~r ′ ×~j(~r ′) =

I

2

∫~r × d~l (2.41)

Jetzt nutzen wir 12~r × d~l = dS~n.

~m = I

∫dS~n = IS~n (2.42)

Hier ist S die Fläche der Stromschleife.

29


2.7 Gyromagnetisches VerhältnisWir betrachten einen starren Körper, der mit einer Winkelgeschwindigkeit um eine feste Achserotiert. Es gibt also ein Geschwindigkeitsfeld ~v(~r) = ~ω × ~r. Die Stromdichte sei ~j(~r) = ρ(~r)~v(~r),wobei ρ(~r) die Ladungsdichte ist. Wir nehmen zusätzlich an, der Körper besitze eine Massendichteρm(~r). Das magnetische Moment lautet

~m =1

2

∫d3r′ ρ(~r )~r ′ × ~v(~r ′) (2.43)

Der Drehimpuls ist

~L =

∫d3r ρm(~r )~r × ~v(~r ). (2.44)

Annahme: ρ und ρm sind gleich verteilt. Daher gilt ρρm

= const = qM . Damit kommt man auf

~m =q

2M~L (2.45)

Diese Formel ist rein klassisch. Für Elektron gilt

~m = −g e

2me

~L (2.46)

hit g ≈ 2 (Elektron hat negative Lading). Das bekommt man aus Dirac-Gleichung.

2.8 Kraft und Drehmoment auf magnet. Moment im äußerenMagnetfeld

26.11.2012Wir betrachten Stromdichte ~j(~r) die sich in einem endlichen (kleinen) Bereich (Ausdehnung R0

) um den Koordinatenursprung von 0 unterscheidet. D.h., ~j(~r) = 0 für r R0. Dann gilt für dieKraft auf die Stromverteilung

~F =

∫d3r ~j(~r )× ~B(~r) =

∫d3r ~j(~r )×

[~B(0) +

∑i

ri∇i ~B(0) + . . .

]. (2.47)

Wir betrachten nur den Dipolbeitrag (erster Summand ist 0 denn∫dV~j = 0):

Fk =∑ilm

∫d3r εklmjl(r)ri∇iBm(0) =

1

2

∑ilm

∫d3r εklm(jlri − jirl)∇iBm(0) (2.48)

=1

2

∑ilmp

∫d3r εklmεpil(~r ×~j)p∇iBm(0) (2.49)

=1

2

∑imp

∫d3r (δmpδki − δmiδkp)(~r ×~j)p∇iBm(0) (2.50)

=1

2

∑m

∫d3r

(~r ×~j)m∇kBm(0)− (~r ×~j)k∇mBm(0)︸︷︷︸=0,∇ ~B=0

(2.51)

=∑m

mm∇kBm(0) =∑j

mj∇kBj(0)⇒ ~F = ∇(~m · ~B). (2.52)

Das bedeutet die potentielle Energie eines magnetischen Momentes im äußeren Magnetfeld beträgtU = −~m · ~B, sodass F = −~∇U .

30


Für das Drehmoment auf die Stromverteilung gilt

d ~N = ~r × d~F ⇒ ~N =

∫d3r ~r × (~j × ~B) = ~m× ~B (2.53)

Der Beweis wird als Übung angeboten.

2.9 Faraday’sches Induktionsgesetz

Elektrostatik (∂ρ∂t = 0): Es gilt ∇ ~E = 1ε0ρ,∇× ~E = 0, ~E = −∇Φ. Magnetostatik (∇~j = 0): Es gilt

∇ ~B = 0,∇ × ~B = µ0~j, ~B = ∇ × ~A. Faraday entdeckte, dass eine zeitliche Änderung von ~B das

elektrische Feld ~E induziert. Für eine beliebige Kontour C gilt

E ≡∮C

d~l ~E = − d

dt

∫S

d~S ~B. (2.54)

E ist genannt als elektromotorische Kraft (EMK). Der magnetische Fluss ist definiert durch

Φ ≡∫S

d~S (2.55)

(wir müssen jetzt das Skalarpotential als ϕ nennen)Das Faraday-Gesetz lautet

E = −dΦ

dt. (2.56)

Nun wollen wir es in Differentialform bringen:∮C

d~l ~E =

∫S

d~S = − d

dt

∫S

d~S ~B (∇× ~E)⇒ ∇× ~E = −∂~B

∂t. (2.57)

2.10 Magnetische EnergieMagnetische Energie ist die Arbeit die gegen die EMK geleistet werden muss. Z.B., man erzeugtdie Ströme in den Stromschleifen, die Ströme erzeugen die zeitabhängigen magnetischen Flüsse,die Flüsse erzeugen die EMK. Gegen die EMK muss Arbeit geleistet werden um den Strom weiterzu erhöhen.

dWmag

dt=∑i

~Fi~vi = −∑

qi

(~Ei + ~vi × ~Bi

)~vi = −

∫d3r ~E ·~j. (2.58)

Für mehreren Stromschleifen ist die Formel einfach zu schreiben

dWmag

dt= −

∑i

Ii

∮Ci

d~l ~E = −∑

IiEi. (2.59)

Wir benutzten jetzt das Ampere-Gesetz µ0~j = ~∇× ~B und mit (2.58) erhalten wir

dWmag

dt= − 1

µ0

∫d3r ~E · (~∇× ~B) = − 1

µ0

∫d3r ~B · (~∇× ~E) (2.60)

(hier wurde partielle Integralion benutzt)Mit dem Faradey-Gesetz ~∇× ~E = −∂ ~B/∂t bekommen wir

dWmag

dt=

1

µ0

∫d3r

∂ ~B

∂t~B =

d

dt

1

2µ0

∫d3r ~B2 ⇒Wmag =

1

2µ0

∫d3r ~B2. (2.61)

31


2.10.1 Induktivitätskoeffizienten28.11.14Wir betrachten wieder eine Anordnung von Stromschleifen (C1, C2, . . . , Cn) mit den Strömen

I1, I2, . . . , In. Wir berechnen zunächst das Vektor-Potential das von dieser Stromverteilung er-zeugt wird

~A(~r) =µ0

4π

∫d3r′

~j(~r ′)|~r − ~r ′| =

µ0

4π

∑i

∫d3ri

~j(~ri)

|~r − ~ri|. (2.62)

Hier ~ri ∈ Ci.Wir nehmen die Vereinfachung an, das die Schleifen (Drähte) extrem dünn sind:

~A(~r) =µ0

4π

∑i

Ii

∮Ci

d~li|~r − ~ri|

. (2.63)

Magnetischer Fluss durch die Schleife j lautet

Φj =

∫Sj

d~Sj ~B(~rj) =

∫Cj

d~lj ~A(rj) =µ0

4π

∑i

Ii

∮Ci

∮Cj

d~li ·d~lj|~ri − ~rj |

=∑i

Mji Ii (2.64)

Die Koeffizienten

Mij =µ0

4π

∮Ci

∮Cj

d~li ·d~lj|~ri − ~rj |

(2.65)

nennt man Induktivitätskoeffizienten.Man unterscheidet die Selbstinduktivitäten Li ≡Mii und die Gegeninduktivitäten Mij für i 6= j.Die Formel (2.65) ist für die Selbstinguktivitäten problematisch, denn in diesem Fall "laufen"~riund ~rj entlang der selbem Schleife. Falls die Schleife unendlich Dünn ist, kommt es zu Divergenz(nur logarithmisch).Lösung des Problems: endliche Dicke des Drahtes. Z.B., für einen ringförmigen Draht mit RadiusR und Dicke a gilt

Mii = Li ∝µ0

4πR ln

R

a(2.66)

2.10.2 Gesamtenergie einer Anordnung der StromschleifenWir nehmen an, es fließen Ströme und wir wissen alle Induktionskoeffizienten. Nun wollen wirwissen, welche magnetische Energie in dieser Anordnung steckt:

Wmag =

∫dt

dWmag

dt=

∫dt

(dWEMK

dt+

dWmech

dt

)(2.67)

Damit gilt

dWmag

dt= −

∑i

IiEi =∑i

IidΦidt

=∑ij

Iid

dt(MijIj) (2.68)

Nun gibt es Möglichkeiten die Konfigurationen zu bringen

1. erst Schleifen in die entgültige Position bringen, dann Strom erzeugen

2. erst Ströme im Leiter weit weg voneinander erzeugen und dann zusammenbringen.

dWmag

dt=

dWEMK

dt+

dWmech

dt=∑ij

Iid

dt(MijIj) +

dWmech

dt(2.69)

32


Im ersten Fall bewegen sich die Schleifen nicht (nur am Anfang wenn keine Kräfte wirken). Daherverschwindet die mechanische Arbeit. In der endgültigen Position der Schleifen, wo der Stromerzeugt wird, sind Mij zeit unabhängig. Das ergibt

dWmag

dt=∑ij

Iid

dt(MijIj) =

∑ij

MijIid

dtIj =

d

dt

1

2

∑ij

MijIiIj ⇒Wmag =1

2

∑ij

MijIiIj (2.70)

Im zweiten Fall ist es umgekehrt. Ströme sind konstant und Schleifen bewegen sich. In diesem Fallist die mechanische Arbeit wichtig

dWmag

dt=∑ij

IiIjd

dt(Mij) +

dWmech

dt= 2

dWmag

dt+

dWmech

dt⇒ dWmech

dt= −dWmag

dt. (2.71)

Die RelationΦi =

∑j

MijIj (2.72)

kann invertiert werden:Ii =

∑j

(M−1)ijΦj . (2.73)

Dabei gilt für die Magnetische Energie

Wmag =1

2

∑ij

MijIiIj =1

2

∑i

IiΦi =1

2

∑ij

(M−1)ijΦiΦj . (2.74)

Dies kann man über die Definition des magnetischen Flusses umschreiben

Wmag =1

2

∑ij

Ii

∫Ci

d~li ~A(~ri)⇒1

2

∫d3r ~j(~r) · ~A(~r) (2.75)

und danach partiell Integrieren (mit der Annahme, das alle Randterme im Unendlichen verschwin-den):

Wmag =1

2µ0

∫d3r ~A · (~∇× ~B) =

1

2µ0

∫d3r ~B · (~∇× ~A) =

1

2µ0

∫d3r ~B2. (2.76)

Dies ist äquivalent zum früher gefundenen Energiewert.

33


3 Maxwell-Gleichungen, el./magn.Wellen, Strahlen

3.1 Maxwell-GleichungenWir schreiben nun alle Gleichungen ein weiteres mal aus:

∇ ~E =1

ε0ρ, Gauß-Gesetz (3.1)

∇× ~E +∂ ~B

∂t= 0, Faraday-Gesetz (3.2)

∇ ~B = 0 (3.3)

∇× ~B = µ0~j, Ampere-Gesetz (3.4)

Das Ampere-Gesetz ist unvollständig, da das der Ladungserhaltung, d.h., der Kontinuitätsglei-chung ~∇ ·~j + ∂ρ

∂t = 0 widerspricht. Um das zu zeigen berechnen wir

0 = ∇ · (∇× ~B) = µ0∇ ·~j (3.5)

D.h., das Ampere-Gesetz ist nur im statischen Fall, ∂ρ∂t = 0, gültig.Maxwell erkannte diesen Widerspruch und modifizierte die vierte Gleichung zu

∇× ~B = µ0~j + µ0ε0

∂ ~E

∂t= µ0

(~j + ε0

∂ ~E

∂t

). (3.6)

Die Divergenz dieser Gleichung ergibt die Ladungserhaltung und damit ist Konsistent:

0 = ∇ · (∇× ~B) = µ0

(∇ ·~j + ε0

∂

∂t∇ · ~E

)= µ0

(∇ ·~j +

∂ρ

∂t

)(3.7)

Hier haben wir das Gauß-Gesetz benutzt.Die Größe ε0∂E/∂t nennt man Verschiebungsstromdichte.Im Gaußsystem sehen die Maxwell-Gleichungen so aus

∇ ~E = 4πρ, Gauß-Gesetz (3.8)

∇× ~E +1

c

∂ ~B

∂t= 0, Faraday-Gesetz (3.9)

∇ ~B = 0 (3.10)

∇× ~B − 1

c

∂ ~E

∂t=

4π

c~j, von Maxwell geändertes Ampere-Gesetz (3.11)

Wir werden ab jetzt das Gaußsystem benutzen.

34


3.2 Vektor- und Skalarpotential, Eichtransformation03.12.2014Die Zwei homogenen Maxwell-Gleichungen

∇ ~B = 0 und ∇× ~E +1

c

∂ ~B

∂t= 0 (3.12)

erlauben eine bequeme Parametrisierung von ~E und ~B. Aus ~∇ · ~B = 0 folgt, dass es ~A existiert,sodass ~B = ~∇× ~A. Dann, die zweite homogene Maxwell-Gleichung lässt sich umschreiben als

∇×(~E +

1

c

∂ ~A

∂t

)= 0⇒ ~E +

1

c

∂ ~A

∂t= −∇ϕ. (3.13)

Hier ist ~A das Vektor-Potential und ϕ ist das Skalar-Potential. Also

~B = ~∇× ~A , (3.14)

~E = −~∇ϕ− 1

c

∂ ~A

∂t. (3.15)

Die Inhomogenen Maxwell-Gleichungen sind:

−∇2ϕ− 1

c

∂

∂t

(∇ ~A)

= 4πρ (3.16)

und für die allerletzte

∇2 ~A− 1

c2∂2 ~A

∂t2−∇

(∇ ~A+

1

c

∂ϕ

∂t

)= −4π

c~j. (3.17)

3.2.1 EichfreiheitDie Eichtransformation ist

~A ′ = ~A+∇χ ϕ′ = ϕ− 1

c

∂χ

∂t. (3.18)

Dadurch verändern sich weder ~B noch ~E-Feld. D.h.

~B′ = ∇× ~A′ = ∇× ~A = ~B , (3.19)

~E′ = −∇ϕ′ − 1

c

∂ ~A′

∂t= −∇ϕ− 1

c

∂ ~A

∂t= ~E . (3.20)

Daher haben wir eine gewisse Freiheit (Eichfreiheit) in der Wahl der Potentiale ϕ, ~A. Dies kannman mit Bedingungen fixieren. Diese heißen Eichungen. Die zwei wichtigsten sollen nun diskutiertwerden.

1. Coulomb-Eichung (auch Strahlungseichung): ∇ ~A = 0 (vor allem bei Strahlungsproblemen)

2. Lorenz-Eichung: ∇ ~A+ 1c∂ϕ∂t = 0 (explizit relativistisch invariant)

Die Lorenz-Eichung ist nach dem dänischen Physiker Ludwig Valentin Lorenz (1829-1891) genannt.Später werden wir sehen, dass Lorenz-Eichung invariant bezüglich Lorentz-Transformationen ist(genannt nach dem holländischen Physiker Hendrik Anton Lorentz (1853-1928), Nobelpreis 1902).Wir zeigen jetzt, dass man immer die Eichtransformation finden kann, die uns die Potentiale inder Lorenz-Eichung (oder Coulomb-Eichung) ergibt. Wir fangen an mit Potentialen ϕ, ~A die keineEichbedingung erfüllen. Dann suchen wir nach χ sodass

~A ′ = ~A+∇χ ϕ′ = ϕ− 1

c

∂χ

∂t⇒ ∇ ~A ′ + 1

c

∂ϕ′

∂t= 0. (3.21)

35


Es ergibt sich dann die Differenzialgleichung für χ

∇2χ− 1

c2∂2χ

∂t2= −

(∇ ~A+

1

c

∂ϕ

∂t

). (3.22)

Wir werden später sehen, dass solche (Wellen-)Gleichungen immer gelöst werden können.Zu Bemerken ist, dass die Lorenzeichung nicht die Freiheit komplett einschränkt. Offensichtlich eineweitere Transformation mit einem χ, dass die homogene Wellen-Gleichung erfüllt ∇2χ− 1

c2∂2χ∂t2 = 0

verletzt die Lorenz-Bedingung nicht.

Inhomogene Maxwell-Gl. in Lorenz-Eichung

Wir nehmen an die Lorenz-Eichung gilt:

∇2ϕ− 1

c2∂2ϕ

∂t2= −4πρ , ∇2 ~A− 1

c2∂2 ~A

∂t2= −4π

c~j (3.23)

Inhomogene Maxwel-Gl. in Coulomb-Eichung

Wir nehmen an die Coulomb-Eichung gilt:

∇2ϕ = −4πρ , ∇2 ~A− 1

c2∂2 ~A

∂t2= −4π

c~j +∇

(1

c

∂ϕ

∂t

)(3.24)

Die erste Gleichung können wir einfach mit dem Ansatz

ϕ(~r, t) =

∫d3r′

ρ(~r ′, t)|~r − ~r ′| . (3.25)

Nun zerlegen wir die Stromdichte in senkrechte (transversale) und parallele (longitudinale) Kom-ponenten. Es gilt

~j = ~j⊥ +~j|| ⇒ ∇~j⊥ = 0,∇×~j|| = 0. (3.26)

Die Zerlegung ist immer möglich falls ~j im Unendlichen verschwindet.Aus der zwei folgenden Gleichungen

∇×(

1

c∇∂ϕ∂t

)= 0 , ∇

(1

c∇∂ϕ∂t

)=

4π

c~j (3.27)

(die zweite ergibt sich aus Poisson-Gleichung und der Kontinuitätsgleichung) folgt

1

c∇∂ϕ∂t

=4π

c~j||. (3.28)

aufstellen. Damit ergibt sich:

∇2 ~A− 1

c2∂2 ~A

∂t2= −4π

c~j⊥. (3.29)

3.3 Energie- und Impulserhaltung, Poynting-Vektor

Wir betrachten ein System el/mag Felder ~E, ~B und geladene Teilchen [ρ,~j] und möchten sehen,wie die Energieerhaltung in diesem Funktioniert. Dazu berechnen wir die geleistete Arbeit derFelder an Ladungen (Materie)

dWmat =

N∑i=1

qi

(~E +

~vic× ~B

)·~vidt =

∑i

qi ~E ·~vidt⇒dWmat

dt=

∫d3r ~E~j. (3.30)

36


Jetzt benutzen wir

∇× ~E +1

c

∂ ~B

∂t= 0 und ∇× ~B − 1

c

∂ ~E

∂t=

4π

c~j. (3.31)

Wir multiplizieren die erste mit ~B und die zweite mit ~E und subtrahieren sie voneinander

1

c

∂ ~B

∂t~B +

1

c

∂ ~E

∂t~E = −4π

c~j ~E− ~B · (∇× ~E) + ~E · (∇× ~B)︸︷︷︸

=−∇ · (~E× ~B)

. (3.32)

Es ergibt sich also

∂

∂t

~E 2 + ~B 2

8π= −~j ~E − c

4π∇( ~E × ~B). (3.33)

Die Energiedichte des el/mag Feldes in Gauß-System lautet

wem =~E 2 + ~B 2

8π. (3.34)

Im SI-System ist es

wem =ε02~E 2 +

1

2µ0

~B 2 (3.35)

Der Vektor

~S =c

4π~E × ~B (3.36)

heißt Poyntingvektor. Darüber können wir das Poyntingtheorem aufschreiben:

∂wem

∂t+∇~S = −~j ~E. (3.37)

Der erste Teil beschreibt die Veränderung der Energie des e/m Feldes. Der letzte Teil bezeichnetdie Umwandlung der Energie des e/m Feldes in mechanische Energie von Teilchen (Materie).Der mittlere Term bezeichnet den Energiefluss (Energiestromdichte). Nun wollen wir dies in eineIntegralform bringen. Wir betrachten ein Volumen V, welches von der Fläche S umschlossen wird.Die Teilchen dürfen nicht die Oberfläche S durchqueren. Wir betrachten ein Flächenelement d~sund integrieren über das gesamte Volumen V:

d

dt

∫V

d3r wem +

∫V

d3r ~j · ~E = −∮s

d~s ~S ⇒ d

dt(Wem +Wmat) = −

∮s

d~s ~S. (3.38)

Also, die zeitliche Änderung der Gesamtenergie im Volumen V ist durch den Fluss des Poynting-Vektors (Energiestromdichte) durch die Oberfläche gegeben ist.

05.12.14Nun wollen wir eine ähnliche Betrachtung für die Impulserhaltung anstellen. Wir beginnen mitdem Impuls der Materie

d ~Pmat

dt=

N∑i=1

d~pidt

=∑i

~Fi =∑i

qi

(~E +

~vic× ~B

)⇒∫

d3r

(ρ · ~E +

1

c~j × ~B

). (3.39)

Wir nutzen

∇ ~E = 4πρ , ∇× ~B − 1

c

∂ ~E

∂t=

4π

c~j (3.40)

und erhalten

d ~Pmat

dt=

1

4π

∫d3r

[~E(∇ ~E)− ~B × (∇ ~B)− 1

c

∂ ~E

∂t× ~B

]. (3.41)

37


Wir betrachten die Kombination

∂ ~E

∂t× ~B =

∂

∂t( ~E × ~B)− ~E × ∂ ~B

∂t=

∂

∂t( ~E × ~B) + c ~E × (∇× ~E) (3.42)

Hier haben wir das Faraday-Gesetz ∇× ~E = −(1/c)∂ ~B/∂t benutzt.Es ergibt sich dann

d ~Pmat

dt+

d

dt

∫d3r

~E × ~B

4πc=

1

4π

∫d3r

~E(∇ ~E)− ~E × (∇ ~E) + ~B(∇ ~B)︸︷︷︸=0

− ~B × (∇× ~B)

. (3.43)Wir schreiben als letztes nun

[~E(∇ ~E)− ~E × (∇× ~E)

]j

= Ej∑i

∇iEi −∑klmp

εjklεlmpEk∇mEp (3.44)

= Ej∑i

∇iEi −∑kmp

(δjmδkp − δjpδkm)Ek∇mEp (3.45)

=∑k

(Ej∇kEk − Ek∇jEk − Ek∇kEj) (3.46)

=∑k

∇k(EjEk −1

2δjk ~E

2). (3.47)

Damit können wir den Maxwellschen Spannungstensor

Tjk =1

4π

[EjEk +BjBk −

δjk2

(~E 2 + ~B 2

)](3.48)

definieren. Damit ergibt sich:[d ~Pmat

dt+

d

dt

∫d3r

~E × ~B

4πc

]j

=

∫d3r

∑k

∇kTjk. (3.49)

Dies hat wieder die Struktur eines Erhaltungssatzes. Dabei ist der zweite Summand der Impulsdes el/mag Feldes. der Rechte Teil ist somit die zeitliche Änderung des Impulses. Damit ist

~gem =~E × ~B

4πc=

1

c2~S (3.50)

die Impulsdichte des el/mag Feldes. Der Impuls des Feldes ergibt sich als

~Pem =

∫d3r ~gem. (3.51)

Die Struktur des Erhaltungssatzes ist[d ~Pmat

dt+

d ~Pemdt

]j

=

∫V

d3r∑k

∇kTjk =∑k

∮dskTjk. (3.52)

Tjk ist die negative Impulsflussdichte (Flussdichte in Richtung k der Impuls-Komponente j). Wirwollen nun den Impulserhaltungssatz in Differentialform schreiben:(

ρ ~E +1

c~j × ~B +

∂~gem∂t

)j

=∑k

∇kTjk. (3.53)

Über den Spannungstensor kann beispielsweise die Kraft von einer Ladung auf eine metallischeKugel bestimmt werden (wie auch mit der Methode der Spiegelladungen).

38


3.4 Elektromagnetische Wellen

Wir betrachten die Maxwell-Gleichungen in ϕ und ~A Darstellung. Wir verwenden die Coulomb-Eichung:

∇2ϕ = −4πρ , ∇2 ~A− 1

c2∂2 ~A

∂t2= −4π

c~j⊥. (3.54)

Wir betrachten den freien Raum: ρ = 0,~j = 0. Wir nehmen an, dass aus ∇2ϕ = 0 ⇒ ϕ = 0, dadiese Lösung sich „gut“ im unendlichen verhält. Damit vereinfacht sich die zweite Gleichung vonGleichung (3.54):

∇2 ~A− 1

c2∂2 ~A

∂t2= 0. (3.55)

Das sind 3 entkoppelten Wellengleichungen der gleiche Struktur

f ≡ ∇2f − 1

c2∂2f

∂t2= 0. (3.56)

Diese müssen nun gelöst werden.

3.4.1 1-D Lösungen der WellengleichungDamit vereinfacht sich die Wellengleichung auf

∂2f

∂x2− 1

c2∂2f

∂t2= 0⇔

(∂

∂x+

1

c

∂

∂t

)(∂

∂x− 1

c

∂

∂t

)f = 0. (3.57)

Daraus folgt, dass

f(x, t) = f1(x− ct) + f2(x+ ct) (3.58)

für beliebige Funktionen f1, f2 Lösung der Wellengleichung ist. Dabei läuft die erste nach rechtsund die zweite nach Links mit der Geschwindigkeit c. Wir benutzen eine Fouriertransformation

fj(x) =

∫dk

2πfj(k)eikx (3.59)

Da fj reell ist, folgt fj(k) = f∗j (−k). Dann erhalten wir

f(x, t) =

∫dk

2π

[f1(k)eik(x−ct) + f2(k)eik(x+ct)

](3.60)

=

∫dk

2π

[f1(k)ei(kx−ωt) + f2(k)ei(kx+ωt)

], (3.61)

wobei wir zunächst ω als ω = ck definiert haben. Die Lösungen bestehen also aus harmonischenLösungen (ebene Wellen).Wir betrachten jetzt eine einzige ebene Welle ei(kx−ωt). Diese ist komplex. Die physikalische Lösungist dann der Realteil davon f = Re

[ei(kx−ωt)] = Re

[e−i(kx−ωt)

]. Alle Möglichkeiten werden

ausgeschöpft, wenn wir die ebene Welle immer als ei(kx−ωt) schreiben und die Kreisfrequenz ωimmer positiv wählen ω = c|k| > 0. Dann die Welle mit k > 0 breitet sich nach rechts aus unddie Welle mit k < 0 breitet sich nach links aus. Häufig lässt man das „Re“ weg und mach alleRechnungen mit komplexen Größen. Das muss aber sorgfältig gemacht werden, z.B., wenn mandie Energie berechnet (da muss man die Felder quadrieren).

39


3.4.2 Ebene Wellen in 3D10.12.14Analog zu 1D finden wir in 3D die ebene Welle als Lösung der Wellengleichung:

∇2f − 1

c2∂2f

∂t2= 0⇒ f(~r, t) = ei(~k~r−ωt) , (3.62)

wobei ω = c|~k| = ck.

3.4.3 Ebene el/mag WellenIn der Coulomb-Eichung müssen wir die Wellen-Gleichung mit 3 Komponenten

∇2 ~A− 1

c2∂2 ~A

∂t2, (3.63)

unter Eichbedingung ~∇ · ~A lösen. Die Lösung ergibt sich als

~A(~r, t) = ~A0ei(~k~r−ωt) mit ω = ck. (3.64)

Hier ~A0 ist eine zunächst beliebige komplexe Amplitude. D.h., ~A0 ist ein Vektor mit 3 komplexenKomponentn. Die Coulomb-Eichung ergibt eine Beschränkung:

∇ ~A = 0⇒ ~k ~A0 = 0 . (3.65)

Jetzt berechnen wir die Felder. Für das elektrische Feld gilt

~E(~r, t) = −1

c

∂ ~A

∂t=

iω

c~A0ei(~k~r−ωt) = ik ~A0ei(~k~r−ωt) (3.66)

und für das magnetische Feld gilt

~B(~r, t) = ∇× ~A = i~k × ~A0ei(~k~r−ωt). (3.67)

Daraus folgt~E(~r, t) = ~E0e

i(~k~r−ωt) und ~B(~r, t) = ~B0ei(~k~r−ωt) . (3.68)

Hier ~E0 ≡ ik ~A0 und ~B0 ≡ i~k × ~A0. Wir wollen nun die Amplituden näher betrachten:

~A0~k = 0⇒ ~E0

~k = 0 , ~B0 = i~k × ~A0 ⇒ ~B0~k = 0. (3.69)

Daraus folgt, dass el/mag Wellen transversal sind, da das E- und das B-Feld senkrecht zur Aus-breitungsrichtung stehen. Beide Felder stehen senkrechtaufeinander:

~B =~k

k× ~E ⇒ | ~B| = | ~E|, ~B⊥ ~E. (3.70)

Das sind die wichtigstens Eigenschaften der Felder einer Elektromagnetischen Welle. Den Vektor~k nennt man Wellenvektor, er bestimmt die Ausbreitungsrichtung der Welle. Dies folgt aus einerBetrachtung der Phasenfläche ~k~r − ωt = const. Dies ist eine 2D-Fläche im 3D-Raum. Dies ver-schiebt sich in Richtung von ~k/k mit der Geschwindigkeit von c = ω/k. Ein weiteres Argumentist die berechnung der Energierichtung. Dafür nutzen wir die Formel für die Energiestromdichte(Poynting-Vektor):

~S =c

4π~E × ~B , ~S‖~k. (3.71)

Damit ist ~k auch die Richtung des Energietransportes. Das E- und B-Feld haben maximale Am-plitude an gleichen Stellen, dies folgt aus der Gleichheit der Beträge. Daher folgt, dass beide inPhase sind.

40


Abbildung 3.1: Linear polarisierte ebene Welle

3.5 Polarisation, lineare, zirkulare, elliptische

Wir legen die z-Achse in Richtung von ~k

3.5.1 Lineare Polarisation~A(~r, t) = ~A0ei(~k~r−ωt) (3.72)

Wir nehmen zunächst an, dass ~A0 reel ist (oder einen komplexen Phasenfaktor besitzt eiα). Wirwählen ~A0 = A0~ex und A0 ist reell. Dann gilt

~A = A0~exei(kz−ωt) , Re ~A = A0~ex cos (kz − ωt) (3.73)~E = ikA0~exei(kz−ωt) , Re ~E = −kA0~ex sin (kz − ωt) (3.74)~B = ikA0~ez × ~exei(kz−ωt) , Re ~B = −kA0~ey sin (kz − ωt). (3.75)

Diese Lösung stellt eine linear polarisierte ebene Welle dar. Siehe Abb. 3.1.

3.5.2 Elliptische Polarisation

Jetzt wollen eine allgemeine komplexe Amplitude betrachten ~A0. Im Fall von:

~A0 = eiα · reeller Vektor⇒ lineare Polarisation. (3.76)

Im allgemeinen Fall ~A0 und entsprechend ~E0 sind beliebig komplex. Daher ~E0 kann zerlegt werdenals ~E0 = ~a1 +i~a2. Hiere sind ~a1 und ~a2 reelle Vektoren. Wir berechnen ~E2

0 = (~a1 +i~a2)2. Das ist imallgemeinen Fall eine komplexe Zahl ~E2

0 = | ~E20 |eiγ . Wir extrahieren dann die Phase α = γ/2 aus

~E0. Also ~E0 = eiα(~b1 + i~b2), wobei ~b1 und ~b2 zwei neue reelle Vektoren sind. Damit ist (~b1 + i~b2)2

reell:| ~E 2

0 | = (~b1 + i~b2)2 = ~b 21 +~b 2

2 + 2i~b1~b2 . (3.77)

Daraus folgt, dass ~b1 orthogonal zu ~b2 ist. Falls entweder ~b1 oder ~b2 verschwindet, liegt wiederlineare Polarisation vor. Diesen Fall wollen wir nicht betrachten. Wegen ~E0

~k = 0 sind die beidenVektoren ~b1 und ~b2 orthogonal zum Wellenvektor ~k. Wir wählen

~e1 =~b1b1, ~e2 = ∓

~b2b2, ~e3 =

~k

k(3.78)

Das Vorzeichen vor ~b2 wird so gewählt, dass das System ~e1, ~e2, ~e3 rechtshändig ist. Wir betrach-ten die Koordinatentransformation ~e1, ~e2, ~e3 → ~ex, ~ey, ~ez. Das elektrische Feld wird dadurch

~E = (b1~e1 ∓ ib2~e2)ei(~k~r−ωt+α) = (b1~ex ∓ ib2~ey)ei(~k~r−ωt) (3.79)

für das magentische feld gilt dagegen

41


~B = ~ez × ~E = (b1~ey ± ib2~ex)ei(~k~r−ωt). (3.80)

Betrachten wir die Physikalischen reellen Felder, so gilt:

~E = ~exb1 cos (kz − ωt)± ~eyb2 sin (kz − ωt) (3.81)~B = ~eyb1 cos (kz − ωt)∓ ~exb2 sin (kz − ωt) (3.82)

An einem festen Raumpunkt beschreibt ~E somit eine Ellipse in der (x, y)-Ebene

~E2x

b21+~E2y

b21= 1

~B2x

b22+~B2y

b21= 1. (3.83)

Je nachdem welches Vorzeichen in Gleichung (3.82) steht rotieren diese gegen- oder mit demUhrzeigersinn. Es gibt einige Spezialfälle:

• b1 = 0 oder b2 = 0 folgt lineare Polarisation

• b1 = b2, dann liegt eine zirkulare Polarisation vor

Im letzten Falle nennt man die Drehung linkszirkularpolarisiert, wenn eine Drehung gegen denUhrzeigersinn vorliegt. Eine allgemeine elliptische Polarisation kann man als Überlagerung vonzwei linearen Polarisationen auffassen (Bspw. ~E‖~ex und ~E‖~ey) oder als zwei unabhängige zirku-larpolarisierte Wellen.

3.6 Energie-Dichte und -FlußWir betrachen eine allgemeine ebene Welle

~E = Re ~E0ei(~k~r−ωt) ~B = Re ~B0ei(~k~r−ωt). (3.84)

und die Größen

ωem =1

8π( ~E 2 + ~B 2) und ~S =

c

4π~E × ~B. (3.85)

Hier ωem ist die Energiedichte und ~S die Energiestromdichte.Nun wollen wir die zeitgemittelten Größen berechnen. Wir nehmen an es gibt zwei ebene Wellen

~a = Re~a0ei(~k~r−ωt) =1

2

[~a0ei(~k~r−ωt) + ~a∗0ei(~k~r−ωt)

](3.86)

~b = Re~b0ei(~k~r−ωt) = [. . .] . (3.87)

Wir wollen, z.B., den zeitgemittelten Skalar-Produkt bestimmen:⟨~a ·~b

⟩=

1

4

⟨~a0~b∗0 + ~a∗0~b0 + . . .

⟩=

1

2Re(~a0

~b∗0) . (3.88)

Hier . . . bezeichnen die schnell oszillierenden Beiträge, die wegen der Zeitmittelung verschwinden.Jetzt berechnen wir die gemittelte Energie-Dichte:

〈ωem〉 =1

16π( ~E0

~E∗0 + ~B0~B∗0) =

1

8π~E0~E∗0 . (3.89)

Die letzte Gleichung folgt aus ~B0 = (~k/k)× ~E0. Für den Poynting-Vektor erhalten wir⟨~S⟩

=c

8πRe ( ~E0 × ~B∗0) =

c

8πRe(~E0 ×

[(~k/k)× ~E∗0

])= 〈ωem〉 c

~k

k. (3.90)

Die Welle transportiert Energie mit Geschwindigkeit c in Richtung des Wellenvektors ~k.

42


3.7 Hohlraumwellen: Hohlraumresonatoren und Wellenleiter12.12.14Wir betrachten el/mag Wellen in einem Volumen, welches durch Metallwände begrenzt ist. Im

inneren herrschen freie Maxwellgleichungen und am Rand muss man die Randbedingungen be-trachten:

Bilder von Hohlraumresonatoren

Wir werden das Metall, als idealen Leiter betrachten. Das bedeutet, dass die Leitfähigkeit un-endlich hoch ist, σ → ∞. (Das Ohmsche Gesetzt lautet ~j = σ ~E, wobei σ die Leitfähigkeit ist.)Die Ladungen können sich unendlich schnell bewegen (daher gilt ~E = 0. Dies macht vorerst dieRandbedingungen einfacher. Wir wollen jetzt eine an der Grenze des Metalls finden. Aus derMaxwell-Gl. ∇× ~E = − 1

c∂ ~B∂t und der Tatsache, dass ~B endlich bleibt (nicht divergiert) folgt

~E‖ stetig ⇒ ~E‖(~r, t) = 0 an der Grenzfläche. (3.91)

Die Randbedingungen für das B-Feld erhalten wir aus den Maxwell-Gleichungen. Für ein harmo-nisch oszillierendes ~B ∝ e−iωt gilt

∇× ~E = −1

c

∂ ~B

∂t=

iω

c~B ⇒ ~B⊥ ≡ ~B ·~n = 0. (3.92)

Wir leiten die Wellengleichung für das E und B-Feld ab

∇2 ~E = −∇× (∇× ~E)︸︷︷︸=− 1

c∂ ~B∂t

+∇(∇ ~E)︸︷︷︸=0

=

(∇2 − 1

c2∂2

∂t2

)~E = 0 (3.93)

3.7.1 Quader-HohlraumJetzt betrachten wir den Hohlraumresonator, 0 ≤ x ≤ L, 0 ≤ y ≤ L2, 0 ≤ z ≤ L3. Wir wähleneinen Seperationsansatz für Ex

Ex(x, y, z, t) = X(x)Y (y)Z(z)T (t)⇒ X ′′

X+Y ′′

Y+Z ′′

Z− 1

c2T ′′

T= 0. (3.94)

Da alle vier Beiträge konstant sein müssen (die hängen nur von jeweils x, y, z, t ab), wählenwir X ′′/X = −k2

1, Y ′′/Y = −k22, Z ′′/Z = −k2

3 und T ′′/T = −ω2. Darüber folgt, dass ω2 =c2(k2

1 + k22 + k2

3). Aus der Randbedingungen folgt: k1, k2, k3 ∈ R. Wir setzen einen sin- und cos-Ansatz an.

X ′′ = −k21X = a sin(k1x+ α1) ≡ b sin k1x+ c cos k1x ≡ deik1x + fe−ik1x. (3.95)

Darüber gilt

Ex = Re[c1 sin(k1x+ α1) sin(k2x+ α2) sin(k3x+ α3)e−iωx

]. (3.96)

Die Randbedingungen sagen nun aus Ex = 0 an y = 0, L2 bzw. z = 0, L3. Daraus gilt k2 =mπ/L2,k3 = nπ/L3, mit α1 = α2.

Ex = Re[c1X(x) sin

(myπ

L2

)sin

(nzπ

L3

)e−iωx

]. (3.97)

Nun vollziehen wir dies für die y- und z-Komponente

Ey = c2Y (y) sin

(lxπ

L1

)sin

(nzπ

L3

)e−iω′x (3.98)

Ez = c3Z(z) sin

(lxπ

L1

)sin

(myπ

L2

)e−iω′′x. (3.99)

43


Wir nutzen, dass ∇ ~E = 0 innerhalb des Quaders:

∇ ~E = c1

(dX(x)

dx· . . .

)+ c2

(dY (y)

dy· . . .

)+ c3

(dZ(z)

dz· . . .

). (3.100)

Daraus folgt, dass ω = ω′ = ω′′, l = l′,m = m′, n = n′ und

dX(x)

dx∝ sin

lπx

L1⇒ X(x) = cos

lπx

L1. (3.101)

Damit gilt für die allgemeine Lösung:

Ex = c1 cos

(lπx

L1

)sin

(myπ

L2

)sin

(nzπ

L3

)e−iωt (3.102)

Ey = c2 cos

(mπy

L2

)sin

(lxπ

L1

)sin

(nzπ

L3

)e−iωt (3.103)

Ez = c3 cos

(nπz

L3

)sin

(mxπ

L1

)sin

(myπ

L2

)e−iωt. (3.104)

Es gilt l,m, n ∈ N0 (Maximal eine Komponente darf immer Null werden!). Nun können wir zudemdie Kreisfrequenz berechnen:

ω2 = c2(k21 + k2

2 + k23), k1 =

lπ

L1, k2 =

mπ

L2, k3 =

nπ

L3⇒ ω = πc

√l2

L21

+m2

L22

+n2

L23

. (3.105)

Wegen ∇ ~E = 0 gilt zudem

c1lπ

L1+ c2

mπ

L2+ c3

nπ

L3= 0 (3.106)

Zwei von den Cs können frei gewählt werden. Wir berechnen das B-Feld über die maxwellschenGleichungen

∇× ~E = −1

c

∂ ~B

∂t= i

ω

c~B ⇒ Bx = − ic

ω

(c3mπ

L2− c2

nπ

L3

)sin

lπx

L1cos

mπy

L2cos

nπz

L3e−iωt. (3.107)

Diese Lösungen nennt man Eigenmoden (Eigenschwingungen) des Resonators. ωlmn nennt manEigenfrequenzen.

Bild von Eigenmoden (nur Abhänigkeit von z Komponente)

Die Wellen stehen (daher die Nullstellen bleiben fest).

3.7.2 WellenleiterNun wollen wir einen Wellenleiter in z-Richtung betrachten, welcher unbegrenzt ist und rechteckig0 ≤ x ≤ L1 und 0 ≤ y ≤ L2. Wir nutzen zur Lösung, denselben Seperationsansatz

Z(z) = eikz (3.108)

Die restlichen Faktoren bleiben.

44


Ex = c1 cos

(lπx

L1

)sin

(myπ

L2

)ei(kz−ωt) (3.109)

Ey = c2 cos

(mπy

L2

)sin

(lxπ

L1

)ei(kz−ωt) (3.110)

Ez = c3 sin

(mxπ

L1

)sin

(myπ

L2

)ei(kz−ωt). (3.111)

Für die Kreisfrequenz gilt nun

ω2 = c2(π2l2

L21

+π2m2

L22

+ k2

). (3.112)

Zudem gilt dieselbe Randbedingung mit der Divergenz innerhalb des Wellenleiters:

c1lπ

L1+ c2

mπ

L2− ic3k = 0. (3.113)

Das magnetische Feld können wir auch analog zum letzten Beispiel berechnen:

Bz = − cω

(−c1

lπ

L1+ c2

mπ

L2

)cos

(mxπ

L1

)cos

(myπ

L2

)ei(kz−ωt) . (3.114)

Für freie el/mag Wellen liegen TEM-Wellen (Transversal sowohl elektrisch als auch magnetisch)vor. Für einen Wellenleiter mit rechteckigen Querschnitt existieren solche TEM-Moden (Lösungen)nicht. Es existieren transversal Elektrische (TE) und transversal Magnetische (TM) Lösungen. Inanderen Wellenleitern können auch TEM-Wellen geben.Für TE-Wellen braucht man

Ez = 0⇒ c3 = 0 . (3.115)

Für TM-Wellen braucht man

Bz = 0⇒ c2lπ

L1− c1

mπ

L2= 0 . (3.116)

Die beide Bedingungen können nicht gleichzeitig erfüllt werden:

Bz = 0⇒ c2lπ

L1− c1

mπ

L2= 0, Ez = 0⇒ c3 = 0⇒ c3 = 0⇒ c2

lπ

L1+ c1

mπ

L2= 0⇒ c1 = c2 = 0.

(3.117)Wir betrachten nun zuerst die TE-Moden (Ez = 0, Bz 6= 0 für l = m = 0 nicht erlaubt, dahermax. eine ist Null). Wir wollen die niedrigste Frequenz im Fall L1 > L2 betrachten, daher wählenwir (l,m) = (1, 0).

ω ≡ ω1,0 = c

√π2

L21

+ k2 > ωcr, ωcr =cπ

L1. (3.118)

Im Wellenleiter können sich keine Wellen mit ω ≤ ωcr ausbreiten. Im freien Raum herrscht einelineare Abhängigkeit zwischen ω und k, ω = ck. Im Wellenleiter für die Mode (1, 0) ist dies einasymptotisches Verhalten für k π/L1. Für alle anderen Moden gilt

ω ≡ ωl,m = c

√l2π2

L21

+m2π2

L21

+ k2 . (3.119)

Für große k strebt diese gegen ck. Die TE-Moden gibt es für (lm) = (01), (lm) = (10) und füralle (l > 0 und m > 0). Die TM-Moden gibt es nur für (l > 0 und m > 0).

45


3.8 Green’sche Funktion der Wellengleichung, RetardiertePotentiale

17.12.14Wir betrachten die Lorenz-Eichung. Die nicht-homogenen Maxwell-Gleichungen dann lauten:

∇2ϕ− 1

c2∂2ϕ

∂t2= −4πρ , ∇2 ~A− 1

c2∂2 ~A

∂t2= −4π

c~j (3.120)

Diese 4 Gleichungen haben die selbe Struktur der Wellengleichung:

∇2Ψ− 1

c2∂2Ψ

∂t2= −4πf. (3.121)

Dafür definieren wir die Green’sche Funktion G für Wellengleichung mit(∇2 − 1

c2∂2

∂t2

)G(~r, t, ~r ′, t′) = −4πδ(~r − ~r ′)δ(t− t′). (3.122)

Die Allgemeine Lösung der Wellengleichung (3.121) ist nun

Ψ(~r, t) =

∫d3r′dt′G(~r, t, ~r ′, t′)f(~r ′, t′) + Ψ0(~r, t). (3.123)

Dies sieht man, wenn man den Wellenoperator in Gleichung (3.121), auf die obere Gleichung(3.123) anwendet. Der Summand Ψ0 löst den homogenen Teil der Wellengleichung. Jetzt Fourier-transformieren wir dies nach der Zeit:

Ψ(~r, t) =

∫dω

2πΨ(~r, ω)e−iωt , Ψ(~r, ω) =

∫dt Ψ(~r, t)eiωt (3.124)

Wir setzen dies in (3.121)∫dω

2πe−iωt

(∇2 +

ω2

c2

)Ψ(r, ω) = −4π

∫dω

2πe−iωtf . (3.125)

Die Transformierte Gleichung nennt man Helmoltzgleichung:(∇2 +

ω2

c2

)Ψ(~r, ω) = −4πf(~r, ω). (3.126)

Speziell in der Physik lässt man oft die Tilde weg und unterscheidet die normale und Fouriertrans-formierte über das Argument. Die Green’sche Funktion der Helmholtzgleichung ist definiert dabeials

(∇2r + k2)Gk(~r, ~r ′) = −4πδ(~r − ~r ′) (3.127)

Hier ist k ≡ ω/c. In Helmholz-Gleichung sowie in der Green-Funktion (3.127) ist k ein Parameter.Wir machen einen Ansatz Gk(~r, ~r ′) = Gk(R), wobei R ≡ |~r−~r′|. Wir betrachten zunächst R 6= 0:

(∇2 + k2)Gk(R) = 0⇒ d2

dR2[RGk(R)] + k2 [RGk(R)] = 0. (3.128)

Die Lösung ist klar und lautet

RGk(R) = AeikR +Be−ikR ⇒ Gk(R) =A

ReikR +

B

Re−ikR. (3.129)

oder

Gk(R) = AG+k (R) +BG−k (R) , G±k (R) =

e±ikR

R. (3.130)

46


In der Nähe der Singularität R→ 0 gilt kR 1 und

G±k (R) →R→0

1

Roder lim

R→0RG±k (R) = 1 . (3.131)

Aus ∇2 1R = −4πδ(~R) folgt

(∇2 + k2)G±k = −4πδ(~R) (3.132)

D.h., G±k sind beide die Green’sche Funktionen der Helmholz-Gleichung, sowie Gk(R) = AG+k (R)+

BG−k (R) mit A+B = 1.Nun finden wir die Green-Funktion der Wellen-Gleichung. Wir betrachten wieder die Gleichung(

∇2 − 1

c2∂2

∂t2

)G(~r, t, ~r ′, t′) = −4πδ(~r − ~r ′)δ(t− t′). (3.133)

und führen die Fourier-Transformation bezüglich t durch. Das ergibt(∇2 + k2

)G(~r, ω, ~r ′, t′) = −4πδ(~r − ~r ′)eiωt′ . (3.134)

Hier k = ω/c. Die Lösungen der Gleichung sind die oben eingeführten G±k , d.h.,

G±(~r, ω, ~r ′, t′) =e±ik|~r−~r ′|

|~r − ~r ′| eiωt′ . (3.135)

Damit ergibt sich durch die inverse Fourier-Transformation

G±(~r, t, ~r ′, t′) =δ(t− t′ ∓ 1

c |~r − ~r ′|)|~r − ~r ′| . (3.136)

Damit ergibt sich weiterhin als Lösung der Wellengleichung:

Ψ =

∫d3r′

f(~r ′, t∓ 1c |~r − ~r ′|)

|~r − ~r ′| + Ψ0 (3.137)

G+ nennen wir retardierte Green’sche Funktion (wird normalerweise benutzt), sie entspricht derKausalität, da t′ = t− 1

c |~r− ~r ′| < t. D.h., die Quelle im Ort ~r ′ erzeugt die Welle bevor die Welleim Ort ~r beobachtet wird. Die Verzögerung beträgt |~r − ~r′|/c. G− heißt avancierte Green’scheFunktion. Die Retardierten Potentiale sind somit:

ϕ =

∫d3r′

ρ(~r ′, t− 1c |~r − ~r ′|)

|~r − ~r ′| (3.138)

~A =1

c

∫d3r′

~j(~r ′, t− 1c |~r − ~r ′|)

|~r − ~r ′| . (3.139)

Jetzt wollen wir das noch Analysieren. Wir wählen eine Quelle, die im Punkt ~r ′ zur Zeit t′ liegt.Jetzt fragen wir an welchen Punkten ~r und t das Feld verursacht wird. Diese Punkte liegen an sogenannten Lichtskegel t− t′ = 1

c |~r − ~r ′|.

Lichtkegel im vierdimensionalen Raum.

3.9 Strahlung19.12.14Als Quellen der Strahlung betrachten wir Ladungs- und Stromdichte, ρ(~r, t) und ~j(~r, t), die in

einem kleinen Bereich lokalisiert sind und wir wollen die Felder ~E und ~B außerhalb dieses Bereichsberechnen. Wir betrachten harmonisch oszillierende Quellen

ρ(~r, t) = ρ0(~r)e−iωt , ~j(~r, t) = ~j0(~r)e−iωt (3.140)

47


und erwarten, dass es sich harmonisch oszillierende Felder ergeben: ~A = ~A0(~r)e−iωt, ~E = ~E0(~r)e−iωt,~B = ~B0(~r)e−iωt. Wir bestimmen erst das Vektor-Potential, denn damit lassen sich auch das ma-gnetische und elektrische Feld zu finden. Für das Magnetfeld gilt ~B = ∇ × ~A. Das elektrischeFeld ergibt sich aus der Maxwell-Gl. ∇× ~B − 1

c∂ ~E∂t = 4π

c~j. Da im Außenraum ~j = 0, erhalten wir

~E = icω∇× ~B. Diese formen wir weiter um

~E =ic

ω∇× ~B =

i

k∇× (∇× ~A). (3.141)

Wir können ~A mithilfe der retardierten Potentialen bestimmen

~A(~r, t) =1

c

∫d3r′

~j(~r ′, t− 1c |~r − ~r ′|)

|~r − ~r ′| =1

c

∫d3r′

~j0(~r ′)eik|~r−~r ′| e−iωt

|~r − ~r ′| = ~A0e−iωt. (3.142)

Es ergibt sich also

~A0(~r) =1

c

∫d3r′

~j0(~r ′)eik|~r−~r ′|

|~r − ~r ′| . (3.143)

Wir nehmen an, dass die Ausdehnung der Quelle kleiner als die Wellenlänge λ = 2π/k ist. Dasheisst es gilt d λ⇔ kd 2π, wobei d ungefähr der Ausdehnung der Quelle ist.Wir bezeichnen den Bereich der näher als λ zur Quelle liegt als Nahzone (statische Zone) unddas Feld in diesem Bereich als Nahfeld.Den Bereich der weiter als λ von der Quelle liegt nennen wir Fernzone (das Feld dort ist Fern-feld).Wir wählen den Ursprung der Koordinaten im Bereich der Quelle.

3.9.1 NahfeldIn der Nahzone gilt eik|~r−~r ′| ≈ 1. Daher erhalten wir

~A(~r, t) ≈ 1

c

∫d3r′

~j0(~r ′)e−iωt

|~r − ~r ′| =1

c

∫d3r′

~j0(~r ′, t)|~r − ~r ′| . (3.144)

Daher spielen Retardierungseffekte hier keine Rolle. Dies entspricht der Formel aus der Magne-tostatik (für jeden Zeitpunkt t). Dasselbe gilt auch für φ(~r, t). Die Felder und die Quellen sindzeitabhängig. Zu jedem Zeitpunkt können sie aber miteinander durch die statischen Formeln ver-knüpft werden. So eine Situation heisst Quasi-Statik.

3.9.2 FernfeldIn der Fernzone gilt |~r − ~r ′| 2π

k |~r ′|. Daher können wir |~r − ~r ′| nach ~r ′ entwickeln.

|~r − ~r ′| = r − ~n~r ′ + . . . , (3.145)

wobei ~n ≡ ~r/r und r ≡ |~r|. Wir entwickeln die folgende exakte Formel

~A0(~r) =1

c

∫d3r′

~j0(~r ′)eik|~r−~r ′|

|~r − ~r ′| . (3.146)

nach ~r ′ und sammeln die Terme die nicht schneller als 1/r abklingen. Man kann sich leichtüberzeugen, dass nur in der Exponent eik|~r−~r ′| muss es bis zur ersten Ordnung entwickelt werden.Das ergibt

~A0(~r) =eikr

cr

∫d3r′ ~j0(~r ′)e−ik~n~r ′

︸︷︷︸≡~g(k~n)

+O(1/r2) =eikr

cr~g(k~n) +O(1/r2). (3.147)

48


Nun wollen wir die Felder berechnen:

~B0(~r) = ∇× ~A0(~r) = ∇×[

eikr

crg(k~n)

]. (3.148)

Wir wollen wieder nur die Beiträge behalten die nicht schneller als 1/r abklingen. Nun zeigen wir,dass bei einer Ableitung der führende Term aus dem Exponenten kommt:

∂

∂r

eikr

r=

eikr

r

(ik − 1

r

)=

ikeikr

r

(1 +

i

kr

)=

∂eikr

∂r

r(1 +O(1/kr)). (3.149)

Auch beim Ableiten von g(k~n) ergibt sich sicherlich einen weiteren Faktor 1/r. Wir müssen dieAbleitung also nur auf die Exponent in (3.147) anwenden:

~B0(~r) ≈ ∇eikr

cr× ~g(k~n) +O(1/r2) =

ikeikr

cr~n× ~g(k~n). (3.150)

Daraus wollen wir nun das elektrische Feld berechnen. Es gilt ~E0 = ik∇× ~B0. Wieder soll ∇ nur

auf die Exponent eikr angewendet werden (sonst ergeben sich weitere 1/r Faktoren). Wir erhalten

~E0(~r) = − ikeikr

cr~n× (~n× ~g) +O(1/r2), (3.151)

Es gilt damit

~E, ~B⊥~n, ~E ≈ −~n× ~B, ~E, ~B ∝ ei(kr−ωt)

r. (3.152)

Dies ist eine Kugelwelle. Lokal sieht sie aber als eine ebene Welle mit Wellenvektor ~k = k~n aus.

3.10 StrahlungsleistungWir berechnen den zeitgemittelten Poyntingvektor

⟨~S⟩

=c

4π

⟨Re ~E × Re ~B

⟩=

c

8πRe(~E ∗0 × ~B0

)=

c

8πRe(−(~n× ~B ∗0 )× ~B0

)(3.153)

=c

8πRe(~n(~B0~B ∗0)− ~B ∗0

(~n ~B0

))=

c

8π~n( ~B ∗0 ~B0) (3.154)

=k2~n

8πcr2|~n× ~g|2 +O(1/r3). (3.155)

Damit können wir die abgestrahlte Leistung in den Raumwinkel dΩ in Richtung ~n berechnen:

dP =⟨~S⟩~nr2dΩ (3.156)

Damit ergibt sich für r →∞

dP

dΩ=

k2

8πc|~n× ~g|2 (3.157)

Dies ist natürlich nicht von r abhängig! Das Verhalten E,B ∝ 1/r ist charakteristisch für Strah-lungsfelder. Es führt dazu, dass

⟨~S⟩∝ 1/r2 und damit

⟨~S⟩~nr2 im Limes r →∞ unabhängig von

r ist.

49


3.11 MultipolentwicklungWir führen nun eine Multipolentwicklung von ~g(k~n) aus:

~g(k~n) =

∫d3r′ ~j0(~r ′)e−ik~n~r ′

=

∫d3r′ ~j0(~r ′)(1− ik~n~r ′ + . . . ) (3.158)

Diese Entwicklung ist gerechtfertigt denn k|~r ′| 1. Das ergibt

~g(k~n) = ~g (0) − ik~g (1) + . . . , (3.159)

wobei

~g (0) =

∫d3r′ ~j0(~r ′) (3.160)

~g (1) =

∫d3r′ ~j0(~r ′)(~n~r ′) (3.161)

Es fällt auf, dass ~g (0) dem elektrischen Dipol entspricht, wobei ~g (1) sowohl den Beitrag des ma-gnetischen Dipols als auch den Beitrag des elektrischen Quadrupols beinhaltet. Es existiert keinelektrischer Monopolterm, da ω 6= 0 ist (die gesamte elektrische Ladung der Quelle ist erhaltenund kann nicht oszillieren).

3.12 Elektrische Dipolstrahlung (Hertzscher Dipol)Wir betrachten hier den Dipol-Beitrag, d.h.,

~A0(~r) =eikr

cr~g (0). (3.162)

Wir betrachten eine Komponente von ~g(0)

g(0)j =

∫d3r′ j0,j(~r

′) =

∫d3r′

∑k

j0,k(~r ′)∇′kr′j = −∫

d3r′∑k

[∇′kj0,k(~r ′)] r′j (3.163)

= −iω

∫d3r′ ρ0(~r ′)r′j ⇒ ~g (0) = −iω

∫d3r′ ρ0(~r ′)~r ′ = −iω~p0, (3.164)

Wobei ~p0 die Amplitude des oszillierenden Dipolmoment der Quelle ist. Wir haben hier die Kon-tinuitätsgleichung ∇~j + ∂ρ/∂t = 0⇒ ∇~j0 = −iωρ0 benutzt. Damit folgt:

~A0(~r) =eikr

cr~g (0) = −ik

eikr

r~p0. (3.165)

Für das Fernfeld erhalten wir damit

~B0(~r) = −k2 eikr

r~n× (~n× ~p0) ~E0 = −k2 eikr

r~n× (~n× ~p0) (3.166)

Die abgestrahlte Leistung eines el. Dipols pro Raumwinkel ergibt sich als (dabei wollen wir dieθ-Abhänigkeit der Strahlungsleistung berechnen):

dP

dΩ=

k2

8πc|~n× ~g (0)|2 =

ω4

8πc3|~n× ~p0|2 =

ω4

8πc3|~p0|2 sin2 θ. (3.167)

Das Ergebnis wird in Abb. 3.2 gezeigt.Die Gesamte abgestrahlte Leistung eines Dipols ergibt sich durch Integration

P =

∫dΩ

dP

dΩ=

ω4

8πc3|~p0|2 · 2π

∫ π

0

dθ sin θ sin2 θ =ω4

3c3|~p0|2 (3.168)

50


Abbildung 3.2: Strahlungsdiagramm eines Dipols

I(t)

d/2

d/2

Abbildung 3.3: Kurze Dipol-Antenne

Elektrische Dipolstrahlung in der Nahzone

Nun wollen wir die elektrische Dipolstrahlung in der Nahzone betrachten. Dort gilt

~A0(~r) =1

c

∫d3r′

~j0(~r ′)|~r − ~r ′| . (3.169)

Die Multipolentwicklung von 1/|~r − ~r ′| ergibt für den Dipol-Beitrag

~A0(~r) ≈ − ik

r~p0. (3.170)

Darüber lassen sich E- und B-Feld berechnen

~B0 = ∇× ~A0 = −ik∇1

r× ~p0 = ik

~n× ~p0

r2(3.171)

~E0 =i

k∇× ~B0 = −∇×

(~n× ~p0

r2

)=

3~n(~n · ~p0)− ~p0

r3. (3.172)

Man sieht, dass das E-Feld, wesentlich größer ist, als das B-Feld, | ~B0| ≈ kr| ~E0| | ~E0| (in derNahzone kr 1). Damit gilt im Nahfeld (nur da!):

| ~E| ∝ 1/r3, | ~B| ∝ k/r2 ⇒ | ~B| | ~E|. (3.173)

3.12.1 Kurze DipolantenneWir betrachten als Beispiel eine kurze Dipolantenne (Abb. 3.3):Wir legen die z-Achse in Richtung der Antenne. Die Länge der Antenne ist d ((0, 0, d/2) bis(0, 0,−d/2)). Für die kurze Antenne gilt d λ, also kd 1. Der eingespritzte Strom muss

51


maximal in der Mitte sein und muss an Endpunkten verschwinden. Für eine kurze Antenne ist diefolgende lineare Näherung vernünftig (wir müssen die hier postulieren):

I(z) = I0

(1− 2|z|

d

)e−iωt ⇒ ρ0(z) = i

2I0ωd

sgn z. (3.174)

Daraus berechnen wir das elektrische Dipolmoment

p0 =

∫ d/2

−d/2dz zρ0(z) = i

I0d

2ω(3.175)

und daraus über die Winkelverteilung der Strahlung die gesamte abgestrahlte Leistung.

dP

dΩ=ω2I2

0d2

32πc3sin2 θ =

(I0kd)2

32πcsin2 θ ⇒ P =

(I0kd)2

12c. (3.176)

Wir stellen jetzt die gesamte abgestrahlte Leistung als P = 12I

20RS dar, wobei Rs = (kd)2

6c .Man kann Rs als Widerstand interpretieren, das von der Stromquelle, die den Strom I0e

−iωt

in die Antenne einspritzt, ”erfahren” wird. Auf diesem ”Widerstand” wird, wie üblich, die Leis-tung P = 1

2I20RS dissipiert (1/2 wegen ac-Strom). Dabei wird Rs Strahlungswiderstand genannt

(Widerstand: 1/c in Gauß-Einheiten entspricht 30Ω im SI, Rs ≈ (kd)2 5Ω).

3.13 Magnetische Dipol- und elektrische QuadrupolstrahlungNun betrachten wir ~g (1), d.h. die magn. Dipol und el. Quadrupol Beiträge. Es gilt

~g (1) =

∫d3r′ (~n~r ′)~j0(~r ′) . (3.177)

Wir betrachten die p-te Komponente

g(1)p =

∑l

nl

∫d3r′ r′lj0,p =

∑l

nl

∫d3r′

[j0,pr

′l − j0,lr′p

2+j0,pr

′l + j0,lr

′p

2

]. (3.178)

Der erste Term ergibt

∑l

nl

∫d3r′

[j0,pr

′l − j0,lr′p

2

]= −c(~n× ~m0)p, mit ~m0 =

1

2c

∫d3r ~r ×~j0. (3.179)

Hier ~m0 ist die Amplitude des oszillierenden magnetischen Dipols.Der zweite Term lässt sich wie folgt umformen

∑l

nl

∫d3r′

j0,pr′l + j0,lr

′p

2=∑l

nl

∫d3r′

∑q j0,q∇′q(r′lr′p)

2(3.180)

part.Int.= −

∑l

nl

∫d3r′

r′lr′p

2

∑q

∇qj0,q (3.181)

Kont.−Gl.= −

∑l

nl

∫d3r′

r′lr′p

2iωρ0 (3.182)

=∑l

−iωnl6

[Q0,lp + δlp

∫d3r′ (r′)2ρ0(~r ′)

]. (3.183)

Dabei ist Q0,lp das elektrische Quadrupolmoment:

Q0,lp =

∫d3r′ρ0(~r ′)(3r′pr

′l − (r′)2δlp) (3.184)

52


Es ergibt sich also

~g (1) = −c~n× ~m0 −iω

6

∑lp

nlQ0,lp~eρ −iω

6~n

∫d3r′ (r′)2ρ0 (3.185)

Der letzte Term spielt keine Rolle, da ∇ × (~nF (r)) = 0 und keine Beiträge zu E- und B-Felderentstehen. Wir berechnen nun das B- und E-Feld

~B(1)0 = ∇× ~A

(0)0 ≈ k2eikr

cr~n× ~g (1) Fernzone. (3.186)

und

~E(1)0 = −~n× ~B

(1)0 . (3.187)

Damit gilt für die magnetische Dipolstrahlung

~g (1,mag) = −c~n× ~m0 (3.188)

Daraus folgt:

~B(1,mag)0 = −k

2eikr

r(~n× (~n×m0)) , ~E

(1,mag)0 = −k

2eikr

r~n× ~m0. (3.189)

Dies entspricht den Formeln für das elektrische Dipolmoment (Gl. 3.166), wobei ~E und ~B ver-tauscht werden. Damit können wir die gleiche Formeln für die Leistung benutzen.

dP

dΩ=

ω4

8πc3|~m0|2 sin2 θ ⇒ P =

ω4

3c3|~m0|2. (3.190)

Wir betrachten als Beispiel eine einfache Stromschleife mit Fläche A. In die Schleife wird derStrom I = I0e

−iωt eingespritzt. Damit m0 = I0A/c.

P =ω4

3c3I20A

2

c2=k4A2I2

0

3c=

1

2I20RS , RS =

2

3

k4A2

c⇒ 20Ω · (k2A)2. (3.191)

53


4 Elektrodynamik in Materie

4.1 Makroskopische Maxwell-Gleichungen07.01.15In Zukunft werden wir mikrospkopische Felder mit kleinen Buchstaben beschreiben:

∇~b = 0 ∇× ~e+1

c

∂~b

∂t= 0 (4.1)

∇~e = 4πρ ∇×~b− 1

c

∂~e

∂t=

4π

c~j (4.2)

Es gilt also: Mikroskopische Felder: ~e,~b, mikroskopische Ladungs/Stromdichten: ρ,~j. Wir wollenüber mikroskopischen Schwankungen mitteln. Die charakteristische Längenskala der mikroskopi-schen Schwankungen von atomaren Ladungen wird a benannt, a ∼ 10−10m.Für das Mitteln benutzen wir eine Funktion f(~r) für die gilt:

•∫

d3rf(~r) = 1

• f(~r), in einem Bereich mit charakteristische Abmessung b in Umgebung von ~r = 0 lokalisiertund glatt

• a b λ

Ein gutes Beispiel dafür ist die Gauß’sche Funktion:

f(~r) =1

π3/2b3e−r

2/b2 . (4.3)

Wir realisierung die Mittelung durch eine Faltung:

F (~r, t)→ 〈F 〉 (~r, t) =

∫d3r′ F (~r ′, t)f(~r − ~r ′) (4.4)

Damit erhalten wir dann die makroskopischen Größen über

〈~e 〉 = ~E,⟨~b⟩

= ~B. (4.5)

Wir können nun die Maxwell-Gleichungen schreiben als:

∇ ~B = 0 ∇× ~E +1

c

∂ ~B

∂t= 0 (4.6)

∇ ~E = 4π 〈ρ〉 ∇ × ~B − 1

c

∂ ~E

∂t=

4π

c

⟨~j⟩

(4.7)

Nun müssen wir die restlichen gemittelten Größen bestimmen. Wir betrachten die Ladungensdichte

ρ(~r) = ρfrei(~r) + ρgeb(~r). (4.8)

Diese setzt sich aus freien und gebunden Ladungsträger (letztere entstehen durch Polarisation derMaterie) zusammen. Ein beispiel für letztere sind sich verschiebende Elektronenwolken (gegenüberKernen) oder bereits existierende Dipole von Molekülen. Es gilt

54


〈ρgeb〉 (~r) =

∫d3r′ f(~r − ~r ′)

∑k

∑j(u)

qjδ(~r′ − (~rn + ~anj)), (4.9)

wobei ~rn die Koordinate der Mitte der Moleküle ist und ~anj die Verschiebung der Ladung ~j in derMolekül n bezüglich ~rn ist. Daraus ergibt sich

〈ρgeb〉 (~r) =∑k

∑j(u)

qjf(~r − (~rn + ~anj) (4.10)

was wir entwickeln können, denn |~anj | b:

〈ρgeb〉 (~r) =∑k

∑j(u)

qj (f(~r − ~rn)− ~anj∇f(~r − ~rn) + . . .) . (4.11)

Wir summieren über j, d.h., über die verschiedenen Ladungen einer Molekül. Das ergibt

〈ρgeb〉 (~r) =∑n

qnf(~r − ~rn)−∑n

~pn∇f(~r − ~rn) + . . . , (4.12)

wobei qn =∑j(n) qj die Gesamtladung der Molekül n und ~pn das gesamte Dipolmoment der

Molekül n sind. Wir vernachlässigen alle weiteren Terme.Der erste Summand muss 0 sein, denn die Moleküle neutral sind. Dann bleibt der Dipol-Term

〈ρgeb〉 (~r) = −∑n

~pn∇f(~r − ~rn) = −∇r∑n

~pnf(~r − ~rn) = −∇~P (~r). (4.13)

Der Vektor ~P =∑n ~pnf(~r − ~rn) ist dabei die gemittelte elektrische Dipolmomentdichte bzw. die

elektrische Polarisation.

〈ρ〉 = ρfrei + 〈ρgeb〉 = ρfrei −∇~P . (4.14)

Nun gilt

∇ ~E = 4π 〈ρ〉 = 4π(ρfrei −∇~P ) . (4.15)

Wir führen ein neues Feld an: ~D ≡ ~E + 4π ~P . Das ist das Verschiebungsfeld. Dann gilt

∇ ~D = 4πρfrei. (4.16)

Wir wollen nun eine Ähnliche Betrachtung bei der Stromdichte durchführen⟨~jgeb

⟩(~r) =

∑k

∑j(u)

qj~anj (f(~r − ~rn)− ~anj∇f(~r − ~rn) + . . .) . (4.17)

Wir betrachten den ersten Term∑n

∑j(n)

qj~anjf(~r − ~rn) =∂

∂t

∑n

~pnf(~r − ~rn) =∂P

∂t(4.18)

Der zweite Term ist etwas schwieriger in der Auswertung:

−∑n

∑j(n)

qj~anj (~anj∇f(~r − ~rn)) = . . . (4.19)

mit

55


ai(~a ·~b) =∑l

aialbl =1

2

∑l

(aial + alai)bl +1

2

∑l

(aial − alai)bl (4.20)

=1

2

∑l

[∂

∂t(alai)

]bl +

1

2

∑lk

[~a× ~a

]kεilkbl (4.21)

ergibt sich

. . . =1

2

∑n

∑j(n)

qj∇f(~r − ~rn)× (~anj × ~an)− 1

2

∂

∂t

∑n

∑j(n)

qj~an [~an · ∇f(~r − ~rn)] . (4.22)

Den letzteren können wir Vernachlässigen (el. Quadrupolterm). Wir führen die Magnetisierungein:

~M(~r) =1

2c

∑n

∑j(n)

qjf(~r − ~rn)~anj × ~anj =

⟨∑n

~mnδ(~r − ~rn)

⟩(4.23)

und

~mn =1

2c

∑j(n)

qj~anj × ~anj . (4.24)

Denn ~mn das magnetische Dipolmoment der Molekül ist, ist die magnetisierung ~M(~r) die gemit-telte mag. Dipolmomentdichte.Es hat sich also die folgende Relation ergeben⟨

~jgeb

⟩=∂ ~P

∂t+ c∇× ~M (4.25)

Damit ergibt sich für die Maxwell-Gleichung

∇× ~B − 1

c

∂ ~E

∂t=

4π

c

⟨~j⟩

=4π

c[jfrei + 〈jgeb〉] =

4π

c

(~jfrei +

∂ ~P

∂t+ c∇× ~M

)(4.26)

Die neue Magnetfeld ~H ist definiert durch

~H = ~B − 4π ~M. (4.27)

Wir können nun die makrospkopischen Maxwell-Gleichungen aufschreiben

∇ ~B = 0 , ∇× ~E +1

c

∂ ~B

∂t= 0 (4.28)

∇ ~D = 4πρfrei , ∇× ~H − 1

c

∂ ~D

∂t=

4π

c~jfrei. (4.29)

Dies wollen wir jetzt etwas vereinfachen. Wir definieren freie, markoskopische Ladungsdichte

ρmakr = ρfrei = ρ = ρext, (4.30)

die Polarisationsladung

〈ρgeb〉 = ρpol (4.31)

und die Gesamtdichte

56


ρtot = ρ+ ρpol (4.32)

um.Jetzt lauten die Maxwell-Gleichungen

∇ ~B = 0 , ∇× ~E +1

c

∂ ~B

∂t= 0 (4.33)

∇ ~D = 4πρ , ∇× ~H − 1

c

∂ ~D

∂t=

4π

c~j. (4.34)

Denn die homogenen Gleichungen haben sich nicht geändert, können wir wieder das Skalar- unddas Vektor-Potential einführen durch

~B = ∇× ~A , ~E = −∇ϕ− 1

c

∂ ~A

∂t

Jedoch brauchen wir, um die inhomogenen Gleichungen lösen zu können, Informationen über denZusammenhang zwischen ~E und ~D, sowie ~B und ~H.

4.2 Suszeptibilitäten, Dielektrizitätskonstante, mag.Permeabilität

09.01.15Für viele Substanzen gelten in schwachen Feldern linieare Zusammenhänge zwischen Polarisationund Magnetisierung und E-Feld und H-Feld:

~P = χe ~E , ~M = χm ~H (4.35)

Man bezeichnet χe elektrische und χm magnetische Suszeptibilität. Zur Vereinfachung nehmen wirIsotropie (also normale Skalare und keine Tensoren) und nicht ferromagnetische und ferroelektri-sche Materialien an. Somit gilt

~D = ~E + 4π ~P = (1 + 4πχe) ~E = ε ~E (4.36)

und

~B = ~H + 4π ~M = (1 + 4πχm) ~H = µ ~H. (4.37)

Die Größe ε heißt Dielektriziätskonstante, die Größe µ heißt magnetische Permeabilität. Im allge-meinen sind sie von der Frequenz und dem Wellevektor abhängig. Im Moment betrachten wir εund µ als Konstanten. Beispielsweise gilt für Wasser bei 20 C liegt ε bei 80 und µ bei 0,999992.Für übliche (nicht ferromagnetische) Materialien ist |χm| 1. Materialen für die gilt χm > 0heißen paramagnetisch und Materialien für die gilt χm < 0 diamagnetische.

4.3 EnergiebilanzDies geschieht Analog zum letzten Kapitel:

~H ·[∇× ~E +

1

c

∂ ~B

∂t= 0

], − ~E ·

[∇× ~H +

1

c

∂ ~D

∂t=

4π

c~j

]. (4.38)

Wir addieren beide Terme:

57


1

c

(~H∂ ~B

∂t+ ~E

∂ ~D

∂t

)= −4π

c~j ~E − ~H

(∇× ~E

)+ ~E

(∇× ~H

). (4.39)

Daher ist der Poyntingvektor gleich (Vektoridentität ausnutzen!)

~S =c

4π~E × ~H. (4.40)

Dabei ist

dWmat

dt=

∫d3r~j ~E. (4.41)

die Arbeit die von el/mag. Feldern geleistet wird (Änderung der Energie der freien Ladungen).Der erste Term bezeichnet die Energiedichteänderung des el/mag. Feldes. Insgesamt gilt

∂ωem∂t

+∇~S = −~j ~E. (4.42)

Hier für die Energiedichte des e.m. Feldes ωem gilt

∂ωem∂t

≡ 1

4π

(~H∂ ~B

∂t+ ~E

∂ ~D

∂t

)(4.43)

Wir können ωem noch umschreiben (das ist aber nicht allgemein, nur falls ε und µ konstant sind):

∂ωem∂t

=1

4π

(µ ~H

∂ ~H

∂t+ ε ~E

∂ ~E

∂t

)=

1

8π

∂1

∂t

(µ ~H 2 + ε ~E 2

)=

1

8π

∂1

∂t

(~H ~B + ~E ~D

)(4.44)

Damit gilt

ωem =1

8π

(~H ~B + ~E ~D

)(4.45)

4.4 RandbedingungenWir betrachten eine Randfläche zwischen zwei Medien (M1 (ε1, µ1), M2 (ε2, µ2))

Bild einer Randfläche, Normalenvektor, Grenzfläche, Flächenladungsdichte etc...

Wir schauen zuerst auf die Seite der Grenzfläche und legen ein gauß’sches Kästchen mitten hinein,über ∇ ~D = 4πρ gilt

D2⊥ −D1⊥ = 4πσ ⇔(~D2 − ~D1

)·~n = 4πσ. (4.46)

Jetzt betrachten wir eine Grenzfläche zwischen zwei Dielektrika (keine externen Ladungen, metal-lische Schicht). Dann wäre σ = 0 und die Normalkomponente stetig. Jetzt legen wir eine Konturan den Rand der Grenzfläche über ∇× ~E + 1

c∂ ~B∂t = 0 gilt

~E2‖ = ~E1‖ ⇔ ~n×(~E2 − ~E1

)= 0 (4.47)

Nun legen wir wieder ein Gauß’sches Kästchen an die Randfläche betrachten aber das B-Feld(∇ ~B = 0)

B2⊥ = B1⊥ ⇔(~B2 − ~B1

)·~n = 0. (4.48)

58


z

d/2

d/2

b/2

b/2

0

Flache A, Ladung Q

Vakuum v = 1

Dielektrikum 6= 1

Flache A, Ladung Q

pol

pol

Abbildung 4.1: Bild eines Platten-Kondensators mit Fläche A, Ladung Q und Dielektrikum, wel-ches nicht den gesamten Innenraum ausfüllt.

Die letzte Randbedingung erhalten wir über die übrige Maxwellgleichung ∇ × ~H − 1c∂ ~D∂t = 4π

c~j.

Wir betrachten wieder die Kontur und erhalten

~H2‖ − ~H1‖ =4π

c~K × ~n⇔ ~n×

(~H2 − ~H1

)=

4π

c~K. (4.49)

An der Grenzfläche zwischen zwei Dielektrika gibt es keine freien Ladungen, damit gilt in diesemFall:

~H2‖ = ~H1‖. (4.50)

4.5 Elektrostatik in Materialien14.01.15Wir betrachten

∇ ~D = 4πρ⇒ ∇(ε(~r ) ~E(~r )

)= 4πρ . (4.51)

Wenn ε konstant ist (unabhängig von ~r) bekommt man

∇ ~E(~r ) = −∇2ϕ =4πρ

ε. (4.52)

Wir betrachten eine Grenzfläche zwischen zwei Dielektrika (ε1, ε2). Dies stellt eine typische Situa-tion dar. Ein spezialfall davon ist ε1 = 1 (Vakuum). Die Lösungstrategie dabei ist: die Gleichung(4.52) in beiden Bereichen entsprechend lösen und die Randbedingungen an den Grenzflächen an-wenden. Da∇× ~E im gesamten Raum gilt, gibt es ein Potential ϕ, welches stetig an der Grenzflächeist.

4.5.1 Dielektrikum im KondensatorWir betrachten einen Kondensator wie in Abb. 4.1. Alle Felder hier sind entlang z-Achse ausge-richtet, d.h., ~D = D(z)~ez, ~E = E(z)~ez, ~P = P (z)~ez. Außerhalb des Kondensators (|z| > d/2) ist~D = 0. Für |z| < d/2 gilt ∇ ~D = 0 (Da ~D nur die freien Ladungen erfasst ist dies überall im Innendes Kondensators gleich groß.). Es folgt daraus ∂D

∂z = 0, D(z) = const. Über die Randbedingungenan den beiden Platten gilt D = 4πσ = 4πQ/A. Hier σ = Q/A ist die Ladungsdichte auf derunteren Platte. Daraus können wir E und P finden:

E =

DD/ε

P =

0 Vakuum1

4π (D − E) = 14π

ε−1ε D Dielektrikum (4.53)

59


Nun wollen wir die Kapazität des Kondensators berechnen. Dazu berechnen wir zuerst die Span-nung

U ≡ ϕ(−d/2)− ϕ(d/2) =

∫ d/2

−d/2E dz =

Db

ε+D(d− b) =

(b

ε+ (d− b)

)· 4πQ

A≡ C−1Q (4.54)

daraus folgt

C =1

4π

A

b/ε+ (d− b) . (4.55)

Betrachten wir nun den Fall b = d (Kondensator völlig vom Dielektrikum ausgefüllt). Dann gilt

C =1

4π

εA

d= εC0 , (4.56)

wobei C0 = A/(4πd) die Kapazität ohne Dielektrikum (im Vakuum) ist. Im allgemeinen Fall(b < d) gilt dann

C = C0 ·d

b/ε+ (b− d). (4.57)

wobei C0 = A/(4πd) die Kapazität im Vakuum ist (C = εC0).Nächst betrachten wir die Grenzfläche zwischen Vakuum und Dielektrikum (z.B. die untere). DiePolarisierung ~P ist nicht stetig. Es gilt

∇~P = −〈ρgeb〉 ⇒ σpol = −(~Pdiel − ~Pvak)~n , (4.58)

wobei σpol die Polarisationsflächenladungsdichte unteren Grenzfläche ist (siehe Abb. 4.1). Jetztkönnen wir σpol berechnen:

σpol = −ε− 1

ε

D

4π= −ε− 1

εσ , (4.59)

Dies ist auf den Grenzflächen vorzufinden. Sie entsteht durch eine Verschiebung der gebundenenElektronen und Protonen. Es ist also ein Atomarer Abstand (Schicht) an den Grenzflächen (einenegativ, eine positiv). Deswegen ist im Dielektrikum keine Ladungsdichte, sondern nur an denRändern.Nun betrachten wir den Grenzfall ε → ∞. Dann folgt σpol → −σ und E → 0. Dies wäre gleichdem Fall wie bei einem Metall. Daher eine Vollständige Abschirmung.

4.5.2 Punktladung und DielektrikumWir betrachten eine Punktladung mit Lotabstand a zu einem unendlichen Dielektrikum mit ε > 1.Wir legen die Punktladung auf die x-Achse und das Dielektrikum orthogonal dazu. Es gilt imVakuum

~D = ~E ⇒ ∇ ~E = 4πqδ(~r − a~ex). (4.60)

Innerhalb des Dielektrikums gilt

~D = ε ~E ⇒ ∇(ε ~E) = 0⇒ ∇ ~E = 0. (4.61)

Die Randbedingungen (x = 0) lauten: ~E‖,V = ~E‖,D; E⊥,V = εE⊥,D. Dieses Problem können wirmit Bildladungen bestimmen. Für das Feld im Vakuum legen wir eine Spiegelladung q′ an diePosition (−a, 0, 0). Für das Feld im Dielektrikum benutzen wir eine Ladung q′′ an der Position(a, 0, 0). D.h.,

60


~E(~r ) =

q ~r−a~ex|~r−a~ex|3 + q′ ~r+a~ex|~r+a~ex|3 x > 0(V)

q′′ ~r−a~ex|~r−a~ex|3 x < 0(D)

(4.62)

Die Werte von q′ und q′′ lassen sich durch die Randbedingungen bestimmen. Zuerst betrachtenwir die y-Komponente des E-Feldes an der Grenzfläche, d.h., für x = 0:

qy

(a2 + y2 + z2)3/2+ q′

y

(a2 + y2 + z2)3/2= q′′

y

(a2 + y2 + z2)3/2⇒ q + q′ = q′′. (4.63)

Das gleiche gilt für die z-Komponente. Nun Betrachten wir die orthogonale x-Komponente (EV =εED):

q−a

(a2 + y2 + z2)3/2+ q′

a

(a2 + y2 + z2)3/2= −εq′′ a

(a2 + y2 + z2)3/2⇒ q − q′ = εq′′. (4.64)

Daraus ergibt sich

q′ = −q ε− 1

ε+ 1, q′′ =

2q

ε+ 1(4.65)

Nun betrachten wir wieder die Grenzfälle

• ε = 1⇒ q′ = 0, q′′ = q, überall im Raum das Vektorfeld der Punktladung

• ε =∞⇒ q′ = −q, q′′ = 0, wie bei einem Metall, kein elektrisches Feld im Dielektrikum.

Die Linien des E-Feldes werden beim Übergang ins Dielektrikum gekrümmt.

4.5.3 Dielektrische Kugel in einem homogenen elektrischen Feld

Es gebe ein homogenes äußeres (angelegtes) elektrisches Feld ~E0 und eine Kugel mit der dielektri-schen Konstante ε und dem Radius R. Für sehr große Abstände gilt natürlich für das resultierendeelektrische Feld ~E(r R) = ~E0 = E0~ez. Weil ∇× ~E = 0 gilt ~E = −∇φ, zudem gilt ∇ ~D = 0 unddamit

~D =

~E, r > R (V)

ε ~E, r < R (D)(4.66)

Wir versuchen die Laplacegleichung (∇2φ = 0) für die zwei Bereiche zu lösen:

∇2φ = 0⇒ φ(~r ) =

∞∑l=0

l∑m=−l

(Almrl +Blmr

−r−1) ·Ylm(θ, ϕ). (4.67)

In diesem Abschnitt bezeichnen wir das Skalarpotential mit φ und den Winkel in sphärischenKoordinaten mit ϕ.Wegen der axialen Symmetrie gilt die Vereinfachung

φ(~r ) =

∞∑l=0

(Al0rl +Bl0r

−l−1) ·Yl0(θ) (4.68)

mit Yl0 =√

2l+14π Pl(cos θ) (Pl(x) sind die Legendre-Polinome).

Im Innenraum müssen alle Koeffizienten Bl0 verschwinden, denn sonst würde φ(~r) für ~r → 0divergieren. Es gilt nun (r < R)

φ(r, θ) =

∞∑l=0

AlrlPl(cos θ), (4.69)

61


im Außenraum hingegen (r > R)

φ(r, θ) =

∞∑l=0

(Blrl + Clr

−l−1)Pl(cos θ). (4.70)

Wir analysieren die erste Randbedingung bei r =∞

~E = E0~ez ⇒ φ = −E0z ≡ −E0r cos θ = −E0rP1(cos θ) , (4.71)

(P1(x) = x). Damit gilt B1 = −E0 und Bl = 0 für l 6= 1. Nun analysieren wir die Randbedingungenbei r = R.

1. ~E‖ stetig ⇒ ∂φ∂θ

∣∣∣r=R+0

= ∂φ∂θ

∣∣∣r=R−0

2. φ stetig ⇒ φ|r=R+0 = φ|r=R−0

3. ~D⊥ stetig ⇒ ∂φ∂r

∣∣∣r=R+0

= ε · ∂φ∂r∣∣∣r=R−0

Aus (2) folgt RA1 = −RE0 + C1/R2 für l = 1 und

RlAl =ClRl+1

für l 6= 1.Aus (3) folgt εA1 = −E0 − 2C1/R

3 für l = 1 und

εlRl−1Al = −(l + 1)ClRl+2

Die beiden Bedingungen für l 6= 1 ergeben nur die triviale Lösung Al = 0 und Cl = 0. Damitbleiben wir ausschliesslich mit l = 1 und müssen noch A1 und C1 bestimmen. Wir erhalten

A1 = −E03

ε+ 2, C1 = R3E0

ε− 1

ε+ 2

Damit folgt für das innere Feld

φ = − 3

ε+ 2E0r cos θ ≡ − 3

ε+ 2~E0 ·~r (4.72)

und für das äußere Feld

φ = −E0r cos θ +ε− 1

ε+ 2E0

R3

r2cos θ ≡ − ~E0 ·~r +

ε− 1

ε+ 2R3

~E0 ·~rr3

. (4.73)

Innerhalb der Kugel ist somit das Elektrische Feld

~Ei =3

ε+ 2~E0 , (4.74)

und die Polarisation ist damit

~P =~D − ~E

4π=ε− 1

4π~Ei =

3

4π· ε− 1

ε+ 2~E0. (4.75)

Diese ist homogen über das ganze Volumen der Kugel verteilt. Das Dipolmoment der Kugel kannjetzt darüber bestimmt werden. Es gilt

~p = V · ~P =4

3πR3 · ~P =

ε− 1

ε+ 2R3 ~E0. (4.76)

62


Bild einer Kugel mit und ohne Flächenladungsdichte.

Jetzt betrachten wir den Außenbereich der Kugel. Wir beobachten aus (4.73), dass es gilt

φ(~r) = − ~E0~r +~r · ~pr3

, ~p =ε− 1

ε+ 2R3 ~E0. (4.77)

Wir sehen, dass sich dies aus dem äußeren Feld und dem Feld eines Dipols in der mitte der Kugelzusammensetzt.

4.6 Dielektrische Funktion, Lorentz-ModellWir betrachten schwache Felder in homogener Materie und untersuchen die Polarisation. Im all-gemeinem gilt die lineare Antwort:

~P (~r, t) =

∫d3r′dt′ χe(~r − ~r ′, t− t′) · ~E(~r ′, t′). (4.78)

Das χe ist die elektrische Suszeptibilität. Hier wird das elektrische Feld im Ort ~r ′ zur Zeit t′, d.h.,~E(~r ′, t′), als (schwache) Störung betrachten die die Polarisation ~P (~r, t) verursacht. Die Suszepti-bilität χe hängt nur von ~r−~r ′ ab, weil die Materie homogen ist. Die Suszeptibilität χe hängt nurvon t− t′ ab, weil die Zeit homogen ist.Das Integral in (4.78) können wir nun Fouriertransformieren. Es handelt sich um eine Faltung undes gilt

~P (~k, ω) = χe(~k, ω) · ~E(~k, ω). (4.79)

Jetzt betrachten wir die dielektrische Verschiebung ~D

~D(~k, ω) = ~E(~k, ω) + 4π ~P (~k, ω) =[1 + 4πχ(~k, ω)

]~E(~k, ω) = ε(~k, ω) ~E(~k, ω). (4.80)

Damit haben wir die dielektrische Funktion ε(~k, t) definiert.

4.6.1 Lorentz-ModelNun betrachten wir ein Modell, welches die lineare Antwort näher beschreibt. Wir betrachtendie Elektronen und Kerne des Materials. Die Elektronen sind verschiebbar und wir wollen dieBindung zwischen Kern und Elektron als harmonischer Oszillator modellieren. Die Verschiebungdes Elektrons heisst ~a. Die Bewegungsgleichung lautet

m(~a+ γ~a+ ω20~a) = ~F (t) . (4.81)

Dabei ist γ der Reibungskoeffizient der die Dämpfung (Energieverluste) beschreibt. Die auf dasElektron wirkende Kraft wird mit ~F (t) = q ~E(t) bezeichnet. Als Störung betrachten wir das elektri-sche Feld einer ebenen Welle: ~E = ~E0e

i(~k~r−ωt). Als Ursprung der Koordinaten können wir den Ortdes Kerns annehmen. Dann gilt ~E = ~E0e

i(~k~a−ωt). Wir nehmen an, dass die Wellenlänge viel größerals |~a| ist (|~a| ∼ Abstand zwischen Atomen). Dann gilt ~E ≈ ~E0e

−iωt und die Bewegungsgleichunglautet

m(~a+ γ~a+ ω20~a) = q ~E0e

−iωt . (4.82)

Die Lösung wird in der folgenden Form gesucht: ~a(t) = ~a0e−iωt.Dies setzen wir in die DGL ein:

m(−ω2 − iωγ + ω20)~a0 = q ~E0 ⇒ ~a0 =

q ~E0

m(−ω2 − iωγ + ω20). (4.83)

Dies können wir zur Bestimmung des Dipolmoment nutzen

63


~p(t) = q~a(t) = ~p0e−iωt, mit ~p0 =q2 ~E0

m(−ω2 − iωγ + ω20)

(4.84)

oder

~p0 = αe(ω) ~E0 , αe(ω) =q2 ~E0

m(−ω2 − iωγ + ω20)

, (4.85)

wobei αe(ω) heisst die elektrische Polarisierbarkeit des Oszillators.Nächst berechnen wir die Polarisation ~P (~r, t) =

∑~pk(t)δ(~r − ~rk). Hierbei zählt der Index k die

Oszillatoren (z.B. Atome) die sich in den Orten ~rk befinden. Es ergibt sich ~P (~r, t) = ~P0(r)e−iωt

mit

~P0(~r) =

⟨∑k

q2kδ(~r − ~rk)

mk(ω20k − ω2 − iωγk)

⟩~E0(~r). (4.86)

Hierbei bedeutet 〈. . . 〉 das Mitteln mithilfe der Funktion f(~r) (Das elektrische Feld ist schon einelangsam variierende Funktion und muss nicht gemittelt werden). Das ergibt

~P0(~r) =∑k

q2kf(~r − ~rk)

mk(ω20k − ω2 − iωγk)

~E0(~r). (4.87)

Wir nehmen nun an, alle Oszillatoren seien identisch, also qk = q, γk = γ, mk = m, ω0k = ω0

Wir führen die Dichte n der Oszillationen ein. Damit gilt

~P0 =q2n

m(ω20 − ω2 − iωγ)

~E0 ≡ χe ~E0 . (4.88)

Also

χe(ω) =q2n

m(ω20 − ω2 − iωγ)

. (4.89)

Im fall von Elektronen gilt q = −e, damit gilt für die dielektrische Funktion

ε(ω) = 1 + 4πχe(ω) = 1 +4πηe2

m(ω20 − ω2 − iωγ)

. (4.90)

Bild der Dieelektrischen Funktion (Realteil und Imaginärteil)

Bei mehreren Arten von Oszillatoren mit Dichten nj gilt einfach

ε(ω) = 1 +∑j

4πχ(j)e (ω) = 1 + 4πe2

∑j

njmj(ω2

j − ω2 − iωγj). (4.91)

4.6.2 Kausalität16.01.15Wir betrachten jetzt ε(ω) als Funktion einer komplexen Variable ω also in der komplexen Ebene

von ω. Für Im(ω) > 0 ist ε(ω) analytisch. Das bedeutet, dass χe(ω) (und auch ε(ω)) keine Pole inder oberen Halbebene hat. Diese Eigenschaft bedeutet Kausalität. Um dies zu verstehen betrachtenwir die Fourier-Transform:

χe(t− t′) =

∫dω

2πχe(ω)e−iω(t−t′) . (4.92)

Für t < t′ ist die Exponent e−iω(t−t′) exponentiell klein für Im(ω) > 0. Dann können wir dasIntegral in der oberen Halbebene abschließen. Dort gibt es keine Pole und damit χe(t− t′) = 0 fürt < t′. Das ist die Kausalität. Denn gilt

P (t) =

∫dt′χe(t− t′) ~E(t′) , (4.93)

64


verstehen wir, dass das E-Feld in der Vergangenheit kann nicht die Polarisation in der Zukunfterzeugen.

4.7 Elektromagnetische Wellen in MaterieDie Maxwell-Gleichungen in der Materie lauten

∇ ~B = 0 , ∇× ~E +1

c

∂ ~B

∂t= 0 (4.94)

∇ ~D = 4πρ , ∇× ~H − 1

c

∂ ~D

∂t=

4π

c~j. (4.95)

Denn die homogenen Gleichungen haben sich nicht geändert, können wir wieder das Skalar- unddas Vektor-Potential einführen durch

~B = ∇× ~A , ~E = −∇ϕ− 1

c

∂ ~A

∂t

Wir betrachten ein homogenes, isotropes Medium mit ε(ω), µ(ω). Wir transformieren diese Glei-chungen per Fourier-Transformation.

i~k ~D = 4πρ, i~k × ~H +iω

c~D =

4π

c~j (4.96)

~B = i~k × ~A, ~E = −i~kϕ+iω

c~A (4.97)

Wir machen die Annahme, dass es keine Quellen gibt (ρ,~j = 0). Der Zusammenhang zwischenden Feldern ist ~D(~k, ω) = ε(~k, ω) ~E(~k, ω) und ~B(~k, ω) = µ(~k, ω) ~H(~k, ω). Aus den Gleichungen folgtnun.

⇒ i~k · ~D = 0⇒ iε~k

(−i~kϕ+

iω

c~A

)= 0 (4.98)

⇒ i~k × ~H +iω

c~D = 0⇒ iµ−1~k × (i~k × ~A) +

iωε

c

(−i~kϕ+

iω

c~A

)= 0 (4.99)

Wir wählen die Coloumb-Eichung (~k · ~A = 0). Aus der ersten Gleichung dann folgt ϕ = 0. Diezweite Gleichung dann ergibt

iµ−1~k × (i~k × ~A) +iωε

c

(iω

c~A

)= 0 .

(~k2 − εµω2

c2

)~A = 0 .

Wir führen die Rückfouriertransformieren durch und erhalten eine modifizierte Wellengleichung(∇2 − εµ

c2∂2

∂t2

)~A(~r, t) = 0 . (4.100)

Dies entspricht der Wellengleichung im Vakuum, jedoch mit der Geschwindigkeit c′ = c/√εµ. Für

die Lösung der Wellengleichung können wir eine ebene Welle ansetzen: ~A(~r, t) = ~A0ei(~k~r−ωt). Esgilt

ω2 = c′2~k 2 =c2

εµ~k 2 =

c2

n2~k 2, (4.101)

65


wobei n der komplexe Brechungsindex ist, n(ω) = nr(ω) + iκ(ω). Die direkte Folge daraus ist

~k 2 =n2ω2

c2, ~k = ~k ′ + i~k ′′. (4.102)

Im Allgemeinen zeigen ~k ′ und ~k ′′ nicht in die gleiche Richtung (Ebenen der konstanten Phaseund konstanter Amplitude nicht parallel). Jetzt betrachten wir aber eine nicht allgemeine Situation~k ′ ‖ ~k ′′. Dann gilt

~k = k~ek, k =nω

c=ω

c′. (4.103)

Damit kommen wir über ~A ·~k = 0 auf ~A⊥~ek. Es gibt also zwei Polarisationen, wie im Vakuum.Es gilt also

~A(~r, t) = ~A0ei(~k~r−ωt), ~A0 = a1~e1 + a2~e2. (4.104)

mit ~e1 ⊥ ~ek und ~e2 ⊥ ~ek. Darüber erhalten wir

~A(~r, t) = ~A0ei(~k~r−ωt) = ~A0exp[i(nrω

c~ek~r − ωt

)]e−

κωc ~ek~r = ~A0 ·T. (4.105)

Damit gilt

~E(~r, t) = ~E0 ·T , ~E0 =iω

c~A0 (4.106)

~B(~r, t) = ~B0 ·T , ~B0 = i~k × ~A0 = n~ek × ~E0 (4.107)

Wir betrachten nun die Eigenschaften

• Transversalität: ~E0⊥~k, ~B0⊥~k wie im Vakuum

• zwei lineare Polarisationen, im allgemeinen elliptische Polarisation. Für lineare Polarisatio-nen ist ~E0⊥ ~B0, wie im Vakuum.

• Phasengeschwindigkeit vp = c/nr

• Wellenlänge λ = (2πc)/(nrω) = λ0/nr

• Aplitudenverhältnis und Phasenverschiebung n = |n|eiδ mit δ = arctan(κ/nr). Darüberergibt sich ~B(~r, t) = |n|~ek × ~E(~r, t− δ/ω)

• |n| = | ~B(~r, t+ δ/ω)|/| ~E(~r, t)|

Der Dämpfungsfaktor ist

e−κωc ~ek~r = e−~ek~r/d , (4.108)

Wir nennen d = c/(ωκ) die Eindringtiefe (so tief kann die Welle in die Materie eindringen). Dennüblicherweise µ ≈ 1, können wir annähern

d−1 =ω

cIm√εµ ≈ ω

cIm√ε . (4.109)

66


x

z

↵e ↵r

↵g

~ke~kr

~kg

Abbildung 4.2: Brechung auf einer Grenzfläche zweier Medien.

4.8 Reflexion und Brechung21.01.15Wir betrachten eine Welle, die auf eine Grenzfläche zwischen zwei Medien einfällt. Diese wird nun

teilweise reflektiert und teilweise gebrochen (siehe Abb. 4.2). Wir definieren αe als den Winkel zwi-schen einfallender Welle und Flächennormale, αr zwischen reflektierter Welle und Flächennormalenund αg der Winkel zwischen gebrochener Welle und Flächennormale. Wir vernachlässigen nun denImaginärteil des komplexen Brechungsindex. Das heisst, das untere Medium wird durch den Bre-chungsindex n1 =

√ε1µ1 ∈ R und das obere Medium durch den Brechungsindex n2 =

√ε2µ2 ∈ R

charakterisiert . Es gilt

~Ae(~r, t) = ~Ae0ei(~ke~r−ωet) (4.110)

und damit analog dies für ~Ar und ~Ag. Die Winkelbeziehungen erhalten wir aus folgenden überle-gungen bei den Randbedingungen. Bei z = 0 gilt:

• ~E‖(z = −0) = ~E‖(z = +0)

• ~H‖(z = −0) = ~H‖(z = +0)

• ε1 ~E⊥(z = −0) = ε2 ~E⊥(z = +0)

• µ1~H⊥(z = −0) = µ2

~H⊥(z = +0)

Es folgt

~Ae(z = −0, x, y, t) = ~Ae0ei(kexx+keyy−ωet), ~Ee, ~He(z = −0) ∝ ~Ae. (4.111)

Dies gilt wiederum analog für r und g. Wir verstehen, dass die Randbedingungen nur dann erfühltwerden können, wenn die Exponenten ei(kxx+kyy−ωt) aller drei Wellen auf der Grenze (z = 0)gleich sind. Das bedeutet ωe = ωr = ωg = ω und kex = krx = kgx = kx und key = kry = kgy = ky.Die Vektoren ~ke, ~kr und ~kg liegen in einer Ebene, die durch ~ke und ~ez definiert wird. Wir wählendas Koordinatensystem so, dass ky = 0 wird. Nun benutzen wir die allgemeine Formel: k = nω/c:

kx =

ke,x = ke sinαe = n1(ω/c) sinαekr,x = kr sinαr = n1(ω/c) sinαrkg,x = kg sinαg = n2(ω/c) sinαg

(4.112)

Daraus folgt

67


x

z

~H~E

~H

~E

~H~E

Abbildung 4.3: Schaubild zur ersten Polarisation (Das E-Feld zeigt in die Papierebene, da H-Feldin die Einfallsebene).

αr = αe ≡ α1 und n1 sinα1 = n2 sinα2, αg ≡ α2 (4.113)

Dies nennt man Snellius-Gesetz. Für die z-Komponenten gilt

kez = ke cosα1 = n1ω

ccosα1

kr,z = −kr cosα1 = −n1ω

ccosα1

kg,z = kg cosα2 = n2ω

ccosα2 = n2

ω

c

√1− n2

1

n22

sin2 α1 (4.114)

Für (n1/n2) sinα1 > 1 ist kg,z imaginär. Dies ist der Fall der Totalreflexion.

4.8.1 IntensitätsbeziehungenJetzt wollen wir die Intensitätsbeziehungen aufstellen. Wir benutzen die Beziehungen:

~E =iω

c~A‖ ~A, ~B = i~k × ~A, ~E, ~B⊥~k, ~E⊥ ~B (4.115)

Es gibt zwei Polarisationen. Im ersten Fall gilt: ~H‖ Einfallsebene und ~E ∝ ~A⊥ Einfallsebene (sieheAbb. 4.3). Im zweiten Fall ist dies einfach umgekehrt. Der allgemeine Fall ist die Superpositionbeider Fälle, wir betrachten sie einzeln.

Polarisation 1

Wir wollen den ersten Fall explizit lösen. Wir schreiben alle Randbedingungunen auf. Es gilt

Ey(z = −0) = Ey(z = 0)⇒ Ae,y +Ar,y = Ag,y (4.116)

und

µ1Hz(z = −0) = µ2Hz(z = 0) , µHz = ikxAy, , kex = krx = kgr. (4.117)

Damit folgt das Gleiche und wir erhalten keine neunen Informationen. Die Bedingung der Stetig-keit der Senkrechtskomponente des D-Feldes ε1 ~E⊥(z = −0) = ε2 ~E⊥(z = +0) ist trivial erfüllt, daes keine Senkrechtskomponente in der Polarisation 1 gibt. Nun betrachten wir die letzte Randbe-dingung ~H‖(z = −0) = ~H‖(z = +0). Denn es gilt µHx = −ikzAy erhalten wir

µ−11 (ke,zAe,y + kr,zAr,y) = µ−1

2 kg,zAg,y. (4.118)

68


Wir benutzen zuerst die Beziehungen zwischen den Wellenvektoren (siehe 4.114). Damit folgt ausder Gleichung (4.118)

n1

µ1cos(α1)(Ae,y −Ar,y) =

n2

µ2cos(α2)Ag,y. (4.119)

Nun haben wir zwei Gleichungen (4.116 und 4.119) für zwei Unbekannte Ar,y und Ag,y. Die Lösunglautet

Eg,yEe,y

=Ag,yAe,y

=2n1 cosα1

n1 cosα1 + µ1

µ2n2 cosα2

(4.120)

und

Er,yEe,y

=Ar,yAe,y

=n1 cosα1 − µ1

µ2n2 cosα2

n1 cosα1 + µ1

µ2n2 cosα2

Snellius,µ≈1≈ sin(α1 − α2)

sin(α1 + α2). (4.121)

Üblicherweise vereinfachen sich diese beiden Gleichungen, da µ1 ≈ µ2 ≈ 1 ist. Wir wollen dieIntensitäten berechnen. Wir betrachten den Poynting-Vektor ~S = 4π

c~E × ~H. Denn ~H = µ−1 ~B =

µ−1i~k × ~A, ~E = i(ω/c) ~A, und |~k| = nω/c, erhalten wir |~S| ∝ (n/µ)|E|2 ≈ n|E|2). Es ergibt sichder Reflexionskoeffizient von

R =|Sr,z||Se,z|

=n1 cosα1 |Er,y|2n1 cosα1 |Ee,y|2

µ=1=

sin2(α2 − α1)

sin2(α2 + α1). (4.122)

Beachten Sie, dass die z-Komponenten des Poynting-Vektors hier benutzt werden müssen. Für denTransmissionskoeffizient erhalten wir

T =|Sg,z||Se,z|

=n2 cosα2

n1 cosα1

|Eg,y|2|Ee,y|2

=4n1n2 cosα1 cosα2

(n1 cosα1 + n2 cosα2)2=

sin 2α1 sin 2α2

sin2(α1 + α2). (4.123)

Es gilt R+ T = 1 (Energieerhaltung, die Absoption wurde vernachlässigt.)

Polarisation 2

Für die Polarisation 2 gilt hingegen

Hr,y

He,y=

µ1

µ2n2 cosα1 − n1 cosα2

µ1

µ2n2 cosα1 + n1 cosα2

µt=1=

n2 cosα1 − n1 cosα2

n2 cosα1 + n1 cosα2=

tan(α1 − α2)

tan(α1 + α2)(4.124)

und

Hg,y

He,y=

2µ1

µ2n2 cosα1

µ1

µ2n2 cosα1 + n1 cosα2

µt=1=

2n2 cosα1

n2 cosα1 + n1 cosα2=

2 sin 2α1

sin 2α1 + sin 2α2. (4.125)

Damit folgt für den Reflexionskoeffizient (|~S| ∝ (µ/n)|H|2 ≈ (1/n)|H|2)

R =|Sr,z||Se,z|

=|Hr,y|2|He,y|2

=tan2(α1 − α2)

tan2(α1 + α2). (4.126)

Dieser unterscheidet sich stark von der Polarisation 1. Wenn α1 +α2 = π/2 so kommt es zu R = 0und damit zu keiner Reflexion bei Polarisation 2. Es gilt

cosα1 = sinα2 mit sinα1 =n2

n1sinα2 ⇒ tanα1 =

n2

n1. (4.127)

Den Winkel α1 nennt man dabei Brewsterwinkel.

Schaubild von R in Abhängigkeit zum Winkel fürPolarisation 1 und 2 (n1<n2) (Brewsterwinkel!)

69


x

z

↵e ↵r~ke

~kr

~kg0

~kg00

Abbildung 4.4: Brechung mit Absorption.

Schaubild von R in ... (n1>n2) (Brewsterwinkel totalreflexion)

Für α1 = 0 gilt R⊥ = R‖ =(n1−n2

n1+n2

)2

.

4.9 Brechung und Reflexion an der Grenze einesabsorbierenden Mediums

23.01.2015Wir nehmen an µ1 = µ2 = 1, n1 =√ε1 ∈ R und n2 =

√ε2 = n2r + iκ2 ∈ C. Für den Wellenvektor

gilt nun

~k 2 =n2ω2

c2µ=1= ε

ω2

c2. (4.128)

Wenn ε komplex ist, ist auch der Wellenvektor ~k komplex (~k = ~k ′ + i~k ′′) und ~k ′ und ~k ′′ müssennicht parallel sein. Im allgemeinen zeigen dabei die beiden Komponenten von ~k in unterschiedlicheRichtungen. Das gilt jetzt für ~kg, also ~kg = ~kg

′ + i~kg′′. Analog zu dem Fall ohne Absorption

erhalten wir

ke,x = kr,x = kg,x = kx , ke,y = kr,y = kg,y = ky = 0 (Einfallsebene!) (4.129)

Natürlich alle drei Frequenzen sind auch gleich. Daraus folgt, dass k′′g,x = 0 (weil ke,x reell ist) unddamit ist ~kg ′′‖~ez (siehe Abb. 4.4).Über den Zusammenhang ~k2 = n2(ω/c)2 folgt nun

kx =

ke,x = ke sinαe = n1ωc sinαe

kr,x = kr sinαr = n1ωc sinαr

kg,x = n1ωc sinα1

∣∣∣∣∣∣⇐ α1 ≡ αr = αe (4.130)

Für den komplexen Vektor ~kg gilt ~k2g = k2

g,x + k2g,z = (ω/c)ε2.

Es gilt für die z-Komponente

kg,z =ω

c

√ε2 − ε1 sin2 α1 ∈ C. (4.131)

Die Eindringtiefe ist nun

d =1

k′′g,z

α1=0−→ c

ω

1

Im√ε2

=c

ωκ2. (4.132)

Wir betrachten nun die Intensitätsbeziehungen. Für die Polarisation 1 gilt nun

70


R⊥ =

∣∣∣∣∣∣n1 cosα1 −

√n2

2 − n21 sin2 α1

n1 cosα1 +√n2

2 − n21 sin2 α1

∣∣∣∣∣∣2

. (4.133)

Für α1 = 0 vereinfacht sich R zu

R =

∣∣∣∣√ε1 −√ε2√ε1 +

√ε2

∣∣∣∣2 =

∣∣∣∣n1 − n2r − iκ2

n1 + n2r + iκ2

∣∣∣∣2 . (4.134)

4.10 Elektromagnetische Wellen in MetallenWir betrachten nun Materialien mit frei beweglichen Elektronen. Die Leitfähigkeit sei σ(ω) unddie Stromdichte damit ~j(ω) = σ(ω) ~E(ω). Wir betrachten nun die nicht homogenen Maxwell-Gl.

i~k × ~H(~k, ω) +iω

c~D(~k, ω) =

4π

c~j(~k, ω) (4.135)

i~k ~D(~k, ω) = 4πρ(~k, ω) (4.136)

Mithilfe der Kontinuitätsgleichung ~k~j = ωρ und der Beziehung ~D = ε ~E erhalten wir

i~k × ~H(~k, ω) +iω

c

[ε(ω)− 4π

iωσ(ω)

]~E(~k, ω) = 0 (4.137)[

ε(ω)− 4π

iωσ(ω)

]i~k ~E(~k, ω) = 0 (4.138)

Wir definieren

εΣ(ω) = ε(ω)− 4π

iωσ(ω). (4.139)

Wir betrachten nun εΣ(ω) als dielektrische Funktion eines leitenden Mediums. Hier ε beschreibtdie gebundenen Ladungen, wobei σ beschreibt die freien Ladungen. Wir bezeichnen nun εΣ als εund das Alte ε als εgeb. Wir verallgemeinern nun das Lorentz-Modell, sodass es auch für ein Metallgilt.

Drude-Modell Wir betrachten weitere Oszillatoren, die den freien Elektronen entsprechen. Daherihre Frequenz ωf = 0, die Dämpfung sei γf = 1/τ :

m

(~r +

1

τ~r

)= q ~E(t) (4.140)

Daher gilt

ε(ω) = 1 +∑j

4πnje2

mj(ω2j − ω2 − iωγj)︸︷︷︸

εgeb(ε)

+4πnfe

2

m(−ω2 − iω/τ). (4.141)

Wir vergleichen, dies mit den Ergebnissen aus den Maxwell-Gleichungen:

ε(ω) = εgeb(ω)− 4πσ(ω)

iω. (4.142)

Daraus folgt für σ(ω), aus der vorletzten Gleichung:

71


σ(ω) =nfe

2

m

1

1/τ − iω. (4.143)

Dieser Zusammenhang nennt man Drude-Formel. Im Grenzfall kleiner Frequenzen ωτ 1 folgtbei Näherung

σ(ω) ≈ nfe2τ

m≡ σD (4.144)

und σD heisst die Drude-Leitfähigkeit. Damit gilt für beliebige Frequenzen

σ(ω) =σD

1− iωτ. (4.145)

Für ωτ 1 können wir

ε(ω) ≈ εgeb −4πσD

iω

ωσD≈ −4πσDiω

(4.146)

annähern. Für gute Leiter gilt σDτ 1. Daher folgt aus ωτ 1 die Relation ω σD. Wirbetrachten als Beispiel Kupfer:

1/τ = 3.7 · 1013 s−1 σD = 5.8 · 1017 s−1 ⇒ σDτ = 1.6 · 104 1. (4.147)

Wir definieren

ωp =

√4πnfe2

m=

√4πσDτ

(4.148)

als Plasmafrequenz. Wir erhalten ωpτ =√

4πσDτ . D.h., im guten Leiter gilt auch ωpτ 1.Bei niedrigen Frequenzen ist εgeb eine reelle Konstante. Es folgt

ε(ω) = εgeb −ω2p

ω(ω + i/τ)=

(εgeb −

ω2p

ω2 − τ−2

)+ i

(ω2pτ−1

ω(ω2 + τ−2)

). (4.149)

Es ergeben sich drei interessante Bereiche: ω 1/τ , 1/τ ω < ωp/√εgeb und ω > ωp/

√εgeb.

4.10.1 Skin-EffektIm Bereich der niedrigen Frequenzen ωτ 1 findet der Skin-Effekt statt. Es folgt ω σD unddamit ε ≈ −4πσD/(iω). Wir berechnen den Reflexionskoeffizient für Brechung an einer Metal-loberfläche. Die Einfallswelle breitet in einem Dielektrikum (ε1 ∼ 1) aus. Der Einfallswinkel seiα1 = 0. Wir benutzen die oben hergeleiteten Formeln

R =

∣∣∣∣√ε1 −√ε2√ε1 +

√ε2

∣∣∣∣2 ≈ ∣∣∣∣1−√ε21 +√ε2

∣∣∣∣2 . (4.150)

Es gilt für die dielektrische Funktion ε2 im Metall

√ε2 =

1 + i√2

√4πσDω

, |√ε2| 1. (4.151)

Daher erhalten wir volle Reflexion, R ≈ 1. (Metalle sind gute Spiegel.)Die Eindringtiefe erhalten wir dann über

d =c

ω

1

Im√ε2

=c√

2πσDω. (4.152)

Beispielsweise bei Kupfer ω = 2π × 109 Hz folgt eine Eindringtiefe von d = 2 · 10−4 cm. Fürω = 2π × 50Hz folgt eine Eindringtiefe von d ≈ 1 cm. Daher fließt der 50Hz-Strom in einerSchicht von ca. 1cm.

72


4.10.2 Plasma-Wellen28.01.15Transversale Wellen im Bereich ωτ 1.

Wir betrachten nun den Fall ωτ 1. Hier eine gute Näherung für die dielektrische Funktion(siehe 4.149) lautet

ε(ω) ≈ εgeb −ω2p

ω2. (4.153)

Wir vernachlässigen hier den Imaginärteil von ε(ω). Damit können wir den Brechungsindex be-trachten

n(ω) =√ε(ω) =

iκ = i√ω2p/ω

2 − εgeb, ω < ωp/√εgeb

nr =√εgeb − ω2

p/ω2, ω > ωp/

√εgeb

(4.154)

Im ersten Fall, ω < ωp/√εgeb, haben wir dann laut (4.150)

R ≈∣∣∣∣1−√ε1 +

√ε

∣∣∣∣2 =

∣∣∣∣1− iκ1 + iκ

∣∣∣∣2 = 1 . (4.155)

Das heisst es ergibt sich volle Reflexivität. Das Metall ist ein guter Spiegel.Im zweiten Fall, ω > ωp/

√εgeb ist n reell. Das heisst das Metall ist in diesem Frequenzbereich

(Ultravioletten) durchlässig. Die Dispersionsrelation in diesem Fall ergibt sich aus

ω2 =c2

n2k2 =

c2

εgeb − ω2p

ω2

k2 . (4.156)

Dann folgt

ω2 =ω2p + c2k2

εgeb. (4.157)

Longitudinale Wellen: Plasma Wellen

Wir betrachten noch mal die nicht-homogenen Maxwell-Gleichungen (4.98):

⇒ i~k · ~D = 0⇒ iε~k

(−i~kϕ+

iω

c~A

)= 0 (4.158)

⇒ i~k × ~H +iω

c~D = 0⇒ iµ−1~k × (i~k × ~A) +

iωε

c

(−i~kϕ+

iω

c~A

)= 0 (4.159)

In der Coulomb-Eichung ~k ~A = 0 und mit ε(ω) 6= 0 es ergibt sich ϕ = 0 und wir erhalten dieWellengleichungen für die transversalen e.m. Wellen. Es gibt aber noch die Möglichkeit, dassε(ω) = 0. Dann folgt ~k × ~A = 0. Zusammen mit ~k ~A = 0 bedeutet das ~A = 0. Andersrum mussjetzt das Skalarpotential ϕ nicht verschwinden. Also ϕ 6= 0. Das ergibt die Plasma-Wellen. Inunserem Modell existieren die Plasma-Wellen nur für eine einzige Frequenz ω = ωp/

√εgeb. Damit

ist ~k beliebig. Also wir erhalten (ab jetzt εgeb = 1)

ϕ(~r, t) = ϕ0 ei(~k~r−ωpt) (4.160)

Für das elektrische Feld folgt

~E(~r, t) = −~∇ϕ = ~E0 ei(~k~r−ωpt) = −i~kϕ0 e

i(~k~r−ωpt) . (4.161)

Das ist eine Longitudinalwelle: ~E0 ‖ ~k. Es gibt kein Magnetfeld. Die Ladungsdichte ergibt sich als

ρ(~r, t) =1

4π~∇ ~E = ρ0 e

i(~k~r−ωpt) =k2ϕ0

4πei(~k~r−ωpt) . (4.162)

73


Alternative Herleitung

Eine einfache Herleitung beginnt mit der klassischen Bewegungsgleichung eines Elektrons m~r +mτ ~r = −e ~E. In Fourier-Darstellung ergibt sichm(−ω2−iω/τ)~r = −e ~E. Im Fall ωτ 1 vernachläs-sigen wir die Dämpfung und erhaltenm~r = −e ~E. Für die Stromdichte~j = −enf ~r (nf sei die Dichteder freien Elektronen) ergibt sich dannm~j = e2nf ~E. In Fourier-Darstellung: −iωm~j = e2nf ~E. Da-zu kommt noch die Kontinuitätsgleichung i~k ·~j = iωρ und das Gauß-Gesetz i~k · ~E = 4πρ. Wir neh-

men an, dass ~k ‖ ~E ‖ ~j. Die drei Gleichung lassen sich gleichzeitig lösen nur für ω = ωp =

√4πnfe2

m .

74


5 Spezielle Relativitätstheorie, kovarianteFormulierung der ED

5.1 Einstein’sches RelativitätsprinzipDie „gewöhnliche“ Mechanik: Galilei-Invarianz. Gesetze der Newton-Mechanik gelten in gleicherForm in allen Inertialsystemen (IS’). Wir betrachten die zwei IS K und K ′. Das IS K ′ bewegt sichmit Geschwindigkeit ~v relativ zum IS ~K.

Bild zweier relativ zueinander Bewegender IS.

Die Newton’sche Mechanik ist Galilei invariant. Als Beispiel betrachten wir Teilchen i = 1, 2, . . .bei einem zwei Körper-Potential V (|~ri − ~rj |). Die Lagrange-Funktion lautet

L =∑i

mi(~ri)2

2− 1

2

∑i 6=j

V (|~ri − ~rj |) . (5.1)

Es ergeben sich die Bewegungsgleichungen

mi~ri = −∇i∑j 6=i

V (|~rj − ~ri|) (5.2)

Wir führen jetzt die Galileitransformation (t′ = t, ~r ′ = ~r − ~vt) durch und bekommen

mi~ri′ = −∇′i

∑j 6=i

V (|~rj ′ − ~ri ′|) . (5.3)

Die Bewegungsgleichungen im IS K ′ haben dieselbe Form wie im K. D.h., das System ist Galilei-Invariant. Die Wechselwirkung durch V (~r) lässt auf augenblicklicher Ausbreitung der Wirkungschließen.Bei Wellenphänomenen gibt es keine Galilei-Invarianz (Änderung der Form bei Transformationder Gleichung). Wir nehmen an es gebe eine Wellengleichung:

K :

(∇2 − 1

c2∂2

∂t2

)f(~r, t) = 0 (5.4)

Nun führen wir eine Galileitransformation durch. Es gilt

∂

∂t=

∂

∂t′− ~v∇′,∇ = ∇′. (5.5)

Daraus folgt

K ′ :

(∇′2 − 1

c2

[∂2

∂t′2− 2~v∇′ ∂

∂t′+ (~v∇′)2

])f ′(~r ′, t′) = 0 (5.6)

Andere Form, also keine Invarianz. Bei Schallwellen beispielsweise ist dies klar, sie breiten sich ineinem Medium aus und besitzen daher ein ausgezeichnetes System (K) in dem das Medium ruht(daher sind rechtslaufende und linkslaufende Wellen von gleichem Geschwindigkeitsbetrag). Wäh-rend im transformierten Bezugssystem dies nicht mehr gilt (c′L = c+v, c′R = c−v). Da die Maxwell-Gleichungen zu den elektromagnetischen Wellengleichungen führen, sind die Maxwell-Gleichungennicht Galilei-Invariant. Vor Einstein (T<1905) gab es dafür verschiedene Erklärungsmöglichkeiten:

75


1. Maxwell-Gleichungen sind nicht korrekt. Die richtige Theorie des Elektromagnetismus istGalilei-Invariant.

2. Galilei-Relativitätsprinzip ist nur auf die Mechanik anwendbar. Für den Elektromagnetismusgibt es ein ausgezeichnetes Bezugssystem in dem sich die Lichttragende Substanz (Äther) inRuhe befindet.

3. Es gibt ein neues, allgemeines Relativitätsprinzip, welches sowohl für die Mechanik, als auchfür den Elektromagnetismus gilt. Daraus folgt, dass die Gesetze der Mechanik modifiziertwerden müssen.

Die erste Möglichkeit wurde über Experimente „widerlegt“ (Maxwellleichungen bestätigt). Diezweite Möglichkeit wurde von den meisten Physikern damals akzeptiert. Es wurde angenommen,es gäbe ein Äther in welchem sich die Elektromagnetischen Wellen verbreiten. Es wurden Bemü-hungen angestellt die Bewegung der Erde relativ zum „Äther“ zu beobachten (Michelson,Morley(1887)). Es ergab sich dabei ein Null-Resultat. Geschwindigkeit des Lichts unabhänig von derAusbreitungsrichtung. Damit musste die letzte Möglichkeit stimmen. Es folgt das Einsteinsche-Relativitätsprinzip (dritte Möglichkeit).

Postulate:

1. Die physikalischen Gesetze sind in allen IS identisch.

2. Lichtgeschwindigkeit ist gleich in allen IS und unabhängig von der Geschwindigkeit derQuelle.

5.2 Lorentz-TransformationWir betrachten zwei Bezugssysteme, die sich mit einer relativen Geschwindigkeit ~v zueinanderbewegen.

Zwei Bezugssysteme bewegen sich relativ zueinander

Wir wollen nun die Koordinaten beider Systeme miteinander verbinden. Wir nehmen an, dass beit = t′ = 0 gilt ~r = ~0 und ~r ′ = ~0. Punkte im vierdimensionalen Raum nennt man Ereignise. Wirbetrachten nun zwei Ereignisse:

• Ereignis 1: vom Punkt ~r = 0 wird zum Zeitpunkt t = 0 ein Signal mit Lichtgeschwindigkeitabgesendet

• Ereignis 2: das Signal gelangt zur Zeit t zum Punkt ~r = (x, y, z)

Die Lichtgeschwindigkeit ist konstant und besitzt den Wert c. Daraus folgt für den Abstand

x2 + y2 + z2 = c2t2. (5.7)

Im System K’ gilt demnach

x′2 + y′2 + z′2 = c2t′2. (5.8)

Im Allgemienen gilt für den Abstand zwischen zwei Ereignissen

s2 = c2(t1 − t2)2 − (x1 − x2)2 − (y1 − y2)2 − (z1 − z2)2. (5.9)

Wenn in einem System s2 = 0, dann muss dies auch in einem anderen System gelten: s′2 = 0.Das Raum-Zeit-Kontinuum ist homogen und isotrop (da egal von wo aus betrachtet die Lichtge-schwindigkeit konstant ist). Der Zusammenhang zwischen beiden Koordinatensystemen ist linear:s2 = λs′2. Für eine inverse Transformation soll auch gelten s′2 = λs2, daher ist λ = 1 und s2 = s′2.

76


Wir betrachten nun die folgende Situation: das IS K ′ bewegt sich in x-Richtung mit Geschwin-30.01.15digkeit v bezüglich des IS K. Wir suchen nach einer lineare Transformation die die Koordinaten

x und t betrifft:

x′ = Ax+Bct ⇒ s2 = s′2 ⇒ x2 − c2t2 = x′2 − c2t′2 (5.10)y′ = y (5.11)z′ = z (5.12)ct′ = Cx+Dct ct = iτ , ct′ = iτ ′ (5.13)

Es gilt also x2 + τ2 = x′2 + τ ′2. Eine geeignete Transformation ist Rotation im zweidimensionaleneuklidischen Raum

x′ = cosαx+ sinα τ (5.14)τ ′ = −sinαx+ cosα τ (5.15)

Wir vergleichen mit

x′ = Ax+ iBτ (5.16)τ ′ = −iCx+Dτ (5.17)

Das ergibt

A = D = cosα (5.18)B = C = −i sinα (5.19)

Es muss gelten A,B,C,D ∈ R. Damit muss der Drehwinkel α imaginär sein, γ = iα ∈ R. Dasergibt

A = D = cosα = cosh γ (5.20)B = C = −i sinα = − sinh γ (5.21)

Damit folgt

x′ = x cosh γ − ct sinh γ (5.22)ct′ = −x sinh γ + ct cosh γ (5.23)

Ursprung von K ′ bewegt sich in K mit der Geschwinigkeit v:

x′ = 0⇔ x = vt⇒ x cosh γ − ct sinh γ = 0⇒ tanh γ = v/c (5.24)

Damit können wir nun cosh γ und sinh γ bestimmen:

cosh γ =1√

1− v2/c2, sinh γ =

v/c√1− v2/c2

(5.25)

Damit kommen wir auf die Endformel:

x′ =x− vt√1− v2/c2

, t′ =t− xv/c2√1− v2/c2

(5.26)

Die Rücktransformationen sind dann

x =x′ + vt′√1− v2/c2

, t =t′ + x′v/c2√

1− v2/c2. (5.27)

77


Zeitdilatation Wir betrachten eine Uhr, die in K ′ ruht. Wir betrachten nun zwei Erreignise dieim K ′ die folgenden Koordinaten haben x′1 = 0, t′1 und x′2 = 0, t′2. Dann gilt

t2 − t1 =t′2 − t′1√1− v2/c2

. (5.28)

Dies nennt man Zeitdilatation: ∆t > ∆t′. Die vergangene Zeit im ruhenden System ist größer.Eine bewegte Uhr geht langsamer.

Bild beider Systeme mit vergleichendnen Uhren.

Man kann den Uhrenvergleich durch eine dritte Uhr durchführen. Wir synchronisieren die beidenUhren (bzw. alle Uhren in allen Systemen) im System K und lassen das System K’ sich in Rich-tung von der dritten Uhr bewegen. Der Vorgang ist nicht symmetrisch. Es gibt demnach keinenWiderspruch. Wenn man nun erlaubt, dass das System K’ eine endliche Beschleunigung erfahrenkann kann man die Uhr auch wieder zur ersten Uhr bringen (was bei normalen Inertialsystemennicht möglich ist).Wir wollen den Begriff Eigenzeit definieren: Wir betrachten eine Uhr, die sich mit einer beliebigenGeschwindigkeit ~v(t) (i.A. kein Inertialsystem) relativ zum IS K bewegt. Zu jedem Zeitpunkt gibtes ein Inertialsystem K’ in dem sich die Uhr momentan in Ruhe befindet.

dτ ≡ dt′ = dt√

1− v2/c2 , v = v(t) = |~v(t)|. (5.29)

Dabei ist τ die Eigenzeit. Es gilt

τ2 − τ1 =

∫ (2)

(1)

dt√

1− v2/c2 < t2 − t1. (5.30)

Die Uhr wird, wenn sie eine geschlossene Bewegung ausführt geht im verlgiech zur ruhenden Uhrnach.

Bilder von Weltlinien.

Längenkontraktion: Wir betrachten einen Maßstab, der in K’ ruht und in der Richtung derBewegung (K’ relativ zu K) ausgedehnt ist. Wir messen die Länge im K sodass t1 = t2. Dannerhalten wir

∆x′ = x′2 − x′1 ∆x = x2 − x1 ⇒ x′2 − x′1 =x2 − x1√1− v2/c2

⇒ ∆x = ∆x′√

1− v2/c2 (5.31)

Die Entfernungen senkrecht zur Bewegungsrichtung bleiben unverändert.

5.2.1 Raum- und zeitartige AbständeWir nehmen ein Ereignis zum Zeitpunkt t = 0 und ~r = 0 und können nun alle anderen Ereigniseklassifizieren.

x, t Diagramm... mit zwei Geraden, die durch das Schaubild gehen.

Man nennt

s2 = c2t2 − ~r 2 > 0 (5.32)

zeitartige Abstände. Es existiert ein System K’ in dem die beiden Ereignisse am selben Ort stattfin-den. In diesem System wird ~r ′ = 0 und c2t′2 = s2. Dieser Ereignisse kann manin absolute Zukunftund absolute Vergangenheit einteilen, wir wir immer sagen können, welches Ereignis früher/späterwar (in allen Systemen). Man nennt

78


s2 = c2t2 − ~r 2 < 0 (5.33)

raumartiger Abstand. Es existiert ein System K’ an dem beide Ereignisse gleichzeitig sind. Mannennt

s2 = 0 (5.34)

Lichtartiger Abstand. Beide Ereignisse sind mit Lichtausbreitung verbunden. Zwei Ereignisse kön-nen nur dann Kausal verbunden sein, wenn der Abstand ein zeitartiger Abstand ist.

5.2.2 Transformation der GeschwindigkeitWir nehmen an K ′ bewegt sich mit der Geschwindigkeit v in x-Richtung relativ zu K. Sei ~u dieGeschwindigkeit eines Teilchens in K. Die entsprechende Geschwindigkeit des Teilchens in K ′ ist~u ′. Wir betrachten eine infinitisimale Verschiebung des Teilchens

dx =dx′ + vdt′√

1− v2/c2,dy = dy′,dz = dz′,dt =

dt′ + v/c2dx′√1− v2/c2

. (5.35)

Es folgt

ux =dx

dt=

dx′ + vdt′

dt′ + v/c2dx′=

u′x + v

1 +vu′x

c2

(5.36)

uy =dy

dt=

dy′√

1− v2/c2

dt′ + v/c2dx′=u′y√

1− v2/c2

1 +vu′x

c2

. (5.37)

Die Transformation für uz verläuft analog zu uy. Im Grenzwert von kleinen Geschwindigkeitenfolgt die „übliche“ Addition der Geschwindigkeiten. Für den speziellen Fall ~u′‖ x-Achse folgt

u′x = u′, u′y = u′z = 0⇒ ux = u =u′ + v

1 + u′vc2

. (5.38)

Zudem folgt |~u ′| ≤ c, |~v| ≤ c⇒ |~u| ≤ c und |~u ′| = c, |~v| beliebig⇒ |~u| = c

5.3 Viervektoren, Tensoren und Lorentz-GruppeWir definieren

(xµ), µ = 0, 1, 2, 3⇒ (xµ) ≡ (ct, ~r), (5.39)

dabei ist wichtig, dass das µ oben steht. Solche Vektoren, nennen wir kontravariante Vierervekto-ren, dabei sind

x0 = ct, x1 = x, x2 = y, x3 = z (5.40)

die kontravarianten Komponenten des 4-Vektor. Nun definieren wir

(xµ) : x0 = ct, x1 = −x, x2 = −y, x3 = −z. (5.41)

Solche Vierervektoren nennen wir kovariante Vierervektoren. Es gilt nun

s2 = c2t2 − ~r 2 =

3∑µ=0

xµxµ ≡ xµxµ. (5.42)

79


Ab jetzt nutzen wir die Einsteinsche Summenkonvention (Summation über doppelt auftretendeIndizes, einer kontravariant, der andere kovariant). Darüber ist nun

s2 = xµxµ ds2 = dxµdxµ. (5.43)

Nun machen wir eine weitere Definition

gµν = gµν =

1 0 0 00 −1 0 00 0 −1 00 0 0 −1

. (5.44)

Dies nennt man den metrischen Tensor. Mithilfe von gµν kann man den Index ”hoch ziehen”:

xµ = gµνxν (5.45)

Analog kann man den Index "nach unten ziehen"

xµ = gµνxν (5.46)

Es gilt

s2 = xµxµ = gµνx

µxν = gµνxµxν (5.47)

und darüber

ds2 = gµνdxµdxν . (5.48)

Dies nennt man Minkowski-Raum.

Lorentz-Gruppe Allgemein gilt für eine Gruppe G, g ∈ G

• Multiplikation/lineare Operation: G×G→ G : (g1, g2) 7→ g1g2 ∈ G

• Assoziativität: g1(g2g3) = (g1g2)g3 ≡ g1g2g3

• Es gibt ein neutrales Element e: eg = ge = g

• Es gibt ein inverses Element: g 7→ g−1, gg−1 = g−1g = e

Die Lotentz-Transformation für die kontravarianten Komponenten bezeichnen wir durch

x′µ = Λµνxν und . (5.49)

Es gilt

s2 ≡ xµxµ = s′2 = x′µx′µ. (5.50)

daraus folgt

gµνx′µx′ν = gµνΛµαx

αΛνβxβ !

= gµνxµxν . (5.51)

Durch den Vergleich erhalten wir

gµνΛναΛνβ = gαβ . (5.52)

Damit ergibt sich (mit (Λµα) ≡ Λ und (gαβ) ≡ g)

ΛT gΛ = g ⇒ det Λ = ±1 (5.53)

Wir wollen nun zeigen, dass dies Gruppeneigenschaften besitzt:

80


• Λ1,Λ2 sind Lorentztransformationen, Λ1Λ2 ist eine L-Tra.

• (Λ1Λ2)T gΛ1Λ2 = ΛT2 ΛT1 gΛ1Λ2 = ΛT2 gΛ2 = g

Man kann dies für alle Eigenschaften zeigen. Lorentz-Gruppe wird auch als O(3, 1) bezeichnet. Diesin Analogie zu, z.B., O(N)-Gruppe der linearen Transformationen, die die Länge eines beliebigenVektors in einem N-dimensionalen euklidischen Raum erhalten lassen. In diesem Fall der metrischerTensor ist eine Einheitsmatrix und R ∈ O(N) ist äquivalent zu RTR = 1. Das O steht dabei fürorthogonal.Die Lorentz-Gruppe ist 6-parametrisch (3 Rotationen, 3 Lorentz-Boosts). Für Rotationen gilt

Λµν =

1 0 0 00 cosαz sinαz 00 − sinαz cosαz 00 0 0 1

(5.54)

für die Rotation um die z-Achse

Λµν =

1 0 0 00 cosαy 0 sinαy0 0 1 00 − sinαy 0 cosαy

(5.55)

für eine Rotation um die y-Achse und

Λµν =

1 0 0 00 1 0 00 0 cosαx sinαx0 0 − sinαx cosαx

(5.56)

für eine Rotation um die z-Achse. Für die Boosts schreiben wir

Λµν =

cosh γx − sinh γx 0 0− sinh γx cosh γx 0 0

0 0 1 00 0 0 1

(5.57)

in x-Richtung,

Λµν =

cosh γy 0 − sinh γy 0

0 1 0 0− sinh γy 0 cosh γy 0

0 0 0 1

(5.58)

in y-Richtung und

Λµν =

cosh γz 0 0 − sinh γz

0 1 0 00 0 1 0

− sinh γz 0 0 cosh γz

(5.59)

in z-Richtung. Die 6 Parameter sind αx, αy, αz und γx, γy, γz. Die oben gegebenen Transformatio-nen gehören der so genannten ëigentlichen L-Gruppe", denn die mit der Identität stetig zusam-menhängen. Mann kann, z.B., den Limes γz → 0 betrachten in dem Λµν → 1.Die Volle Lorentzgruppe besteht aus 4 Zusammenhängenden Komponenten

1. eigentliche L-Gruppe, beinhaltet 1.

81


2. beinhaltet zeitliche Spiegelung:

ΛZ =

−1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 1

(5.60)

3. beinhaltet räumliche Spiegelung:

ΛR =

1 0 0 00 −1 0 00 0 1 00 0 0 1

(5.61)

4. beinhaltet räumliche und zeitliche Spiegelung:

ΛZR = ΛZΛR =

−1 0 0 00 −1 0 00 0 1 00 0 0 1

(5.62)

Für die Elementen der eigentlichen L-G gilt ΛT gΛ = g, det(Λ) = 1, Λ00 > 0.

1.2.2012

Tensordefinition Wir wollen die Objekte mit mehreren Idizes definieren. Tensor N-ter Stufe isteine Größe mit mehreren Indizes.

Tα1,...αN kontravarianter Tensor, (5.63)

wenn T such bei Lorentz-Transformationen wie folgt transformiert

Tα1,...,αN = Λα1

β1· . . .ΛαNβNT

β1,...,βN . (5.64)

Eine ähnliche definition finden wir auch für kovariante Komponenten von Tensoren

Tα1,α2 = gα1,β1gα2,β2Tβ1,β2 . (5.65)

Man kann ko- und kontravariante Komponenten mischen

T α2α1

= gα1,β1Tβ1,α2 . (5.66)

Jetzt wollen wir herausfinden, was gµν ist.

gµν = gµ,αgα,ν = 1 = δνµ = g νµ . (5.67)

Damit können wir auch die Lorentzmatricen transformieren

Λ βα = gαµg

βνΛµν . (5.68)

Die Matrix Λ νµ ergibt die Lorentz-Tranformation für die kovarianten Komponenenten:

x′µ = Λ νµ xν . (5.69)

Beachten Sie, dass Λ νµ 6= Λµν . Wir benennen Λµν ≡ Λ, wobei Λ ν

µ ≡ Λ.Es gilt also

T ′α1,α2,...,αN = Λ β1α1· . . . ·Λ βN

αN Tβ1...βN . (5.70)

Wir betrachten jetzt die Relation ΛT gΛ = g:

82


gµνΛµαΛνβ = gαβ . (5.71)

Damit ergibt sich

ΛµαΛ βµ = δβα, ΛTΛ = 1. (5.72)

4-Gradient

Wir untersuchen nun den 4er-Gradient ∂∂xν . Ist das ein kontravariantes oder ein kovariantes Objekt.

Um das entscheiden zu können wechseln wir die Variablen:

∂

∂x′µ=

∂xν

∂x′µ∂

∂xν= Λ ν

µ

∂

∂xν. (5.73)

Es folgt

∂

∂xµ≡ ∂µ ⇒ ∂′µ = Λ ν

µ ∂ν (5.74)

und

∂

∂xµ≡ ∂µ ⇒ ∂′µ = Λµν∂

ν . (5.75)

Besonders wichtig ist die Darstellung des D’Alembert-Operator

− ≡ 1

c2∂2

∂t2−∇2 = ∂α∂α = ∂α∂

α. (5.76)

Dies ist ein Lorentzskalar. Das bedeutet, dass die Wellengleichung Lorentz-Invaiant ist. Es gilt

∂µ =∂

∂xν=

(1

c

∂

∂t,∇)

(5.77)

∂µ =∂

∂xν=

(1

c

∂

∂t,−∇

)(5.78)

Vierergeschwindigkeit: Es gilt

xµ(t) = (ct, ~r(t)), ~v =d~r

dt. (5.79)

Damit definieren wir die 4-Geschwindigkeit als

uν =dxν

dτ=

dxν

dt

dt

dτ=

1√1− v2/c2

(c,~v). (5.80)

Hier ist τ die Eigenzeit. Wir sehen, dass uµ wie dxµ ein 4er-Vektor ist mit u′µ = Λµνuν

uµuµ =dxµdxµ

dτ2=

ds2

dτ2= c2. (5.81)

Operationen mit Tensoren:

• Addition: aSα1...αN + bTα1...αN ist ein Tensor der Stufe N

• Multiplikation: Sα1...αNT β1...βN ist ein Tensor der Stufe N+M

• Kontraktion: gαβT γ1...α...β...γN Tensor der Stufe N-2

• Tensorgleichungen: z.B. Sα = UαβTβ

83


5.4 Kovariante Formulierung der Elektrodynamik06.02.15„Kovarianz“ bedeutet hier „Forminvarianz“. Nun wollen wir alle Größen der Maxwellgleichung, als

Lorentztensoren definieren um diese dann umzuschreiben:

Ladungs- und Stromdichte als Vierervektor: Wir betrachten die Kontinuitätsgleichung

∇~j +∂ρ

∂t= 0. (5.82)

Wir definieren zunächst nur

jµ ≡ (cρ,~j). (5.83)

Jetzt wollen wir zeigen, dass dies ein Vierervektor ist. Aus der Kontinuitätsgleichung folgt

∂µjµ = 0. (5.84)

Dies ist ein Hinweis auf die 4-Vektor-Eigenschaft

jµ = (cρ,~vρ) = ρ(c,~v) = ρ√

1− v2/c2uν . (5.85)

Nun betrachten wir die Ladungsdichte

ρ =dq

dV=

1√1− v2/c2

dq

dV0

. (5.86)

Diese muss daher ein Lorentzskalar sein (dabei wurde die Invarianz der Ladung angenommen,Experimentel bestätigt).

4er-Potential: Wir definieren wieder zuerst im vorraus

Aµ ≡ (ϕ, ~A). (5.87)

Wir wollen wieder zeigen, dass Aµ ein Vierervektor ist. Wir wollen Lorenz-Eichung annehmen

∇ ~A+1

c

∂ϕ

∂t= 0⇒ ∂µA

µ = 0. (5.88)

Nun wollen wir die Maxwellgleichungen umschreiben.

(∇2 − 1

c2∂2

∂t2

)ϕ = −4πρ (5.89)(

∇2 − 1

c2∂2

∂t2

)~A = −4π

c~j (5.90)

Daraus folgt

−∂ν∂νAµ = −4π

cjµ (5.91)

bzw.

Aµ = −4π

cjµ. (5.92)

Dies sind die Maxwellgleichungen kovarianter Form.

84


5.5 El/mag. Feldtensor, Maxwell-Gl für E- und B-Feld inkov. Form

Es gilt

~E = −∇ϕ− 1

c

∂ ~A

∂t, ~B = ∇× ~A (5.93)

und darüber den antisymmetrischen Feldstärketensor

Fµν ≡ ∂µAν − ∂νAµ. (5.94)

Für ihn gilt

F νµ =

0 −Ex −Ey −EzEx 0 −Bz ByEy Bz 0 −BxEz −By Bx 0

(5.95)

und

Fνµ =

0 Ex Ey Ez−Ex 0 Bz By−Ey Bz 0 −Bx−Ez −By Bx 0

(5.96)

und

Fµν = −Fµν . (5.97)

Nun gilt

∂µ∂µAν =

4π

cjν → ∂µ(∂µAν − ∂νAµ) =

4π

cjν . (5.98)

Daraus folgt

∂µFµν =

4π

cjν . (5.99)

Dies sind de inhomogenen Maxwellgleichungen für ~E und ~B in kovarianter Form.

• ν = 0⇒ ∇ ~E = 4πρ

• ν = 1, 2, 3⇒ ∇× ~B − 1c∂ ~E∂t = 4π

c~j

Die homogenen Gleichungen folgen automatisch aus F νµ = ∂µAν − ∂νAµ. Somit folgt der dualeFeldstärketensor (Pseudotensor), der völlig antisymmetrisch ist:

F νµ =1

2εµναβFαβ . (5.100)

Wir wollen uns das an einem Beispiel näher klar machen:

F 01 =1

2

(ε0123F23 + ε0132F32

)= F23, (5.101)

für Fµν folgt

F νµ =

0 −Bx −By −BzBx 0 Ez −EyBy −Ez 0 ExBz Ey −Ex 0

. (5.102)

85


Wegen

∂µFµν =

1

2εµναβ∂µ (∂αAβ − ∂βAα) = 0 (5.103)

folgt

∂µFµν = 0. (5.104)

Dies entspricht für ν = 0

∇ ~B = 0 (5.105)

und für ν = 1, 2, 3

∇× ~E +1

c

∂ ~B

∂t= 0. (5.106)

Es gilt

∂µFαβ + ∂αF βµ + ∂βFαµ = 0. (5.107)

Falls es magnetische Monopole gäbe müsste

∂µFµν =

4π

cjνmag (5.108)

gelten.

5.6 Lorentz-Transformationen der elektromagnetischenFelder

Wir betrachten einen bewegung in x-Richtung:

F ′µν = ΛµαΛνβFαβ . (5.109)

mit

Λµν =

cosh γ − sinh γ 0 0− sinh γ cosh γ 0 0

0 0 1 00 0 0 1

(5.110)

und

Fµν =

0 −E1 −E2 −E3

E1 0 −B3 B2

E2 B3 0 −B1

E3 −B2 B1 0

. (5.111)

Beispielsweise würde jetzt gelten

E′2 = F ′20 = Λ2αΛ0

βFαβ = Λ2

2Λ0βF

2β = Λ0βF

2β = Λ00F

20 + Λ01F

21 = cosh γE2 − sinh γB3.(5.112)

Die ähnliche Analyse zeigt, dass die parallelen zur ~v Komponenten bleiben dabei erhalten: E′1 = E1

und B′1 = B1 bzw. ~E‖ ′ = ~E‖, ~B‖ ′ = ~B‖. Für die transversalen Komponenten erhalten wir

86


E′2 = cosh γE2 − sinh γB3 (5.113)E′3 = cosh γE3 + sinh γB2 (5.114)B′2 = cosh γB2 + sinh γE3 (5.115)B′3 = cosh γB3 − sinh γE2. (5.116)

Wir können dies in der Vektor-Form ausdrücken

~E⊥′ =

1√1− v2/c2

(~E⊥ +

~v × ~B⊥c

), ~B⊥

′ =1√

1− v2/c2

(~B⊥ −

~v × ~E⊥c

). (5.117)

Dabei gilt ~E′‖ = ~E‖, ~B′‖ = ~B‖.

5.7 Felder einer gleichförmig bewegten PunktladungWir nehmen an im System K bewegt sich eine Ladung mit der Geschwindigkeit ~v parallel zurx-Achse. Im System K’ ruht diese Ladung ( ~E ′ = q~r ′/r′3, ~B ′ = 0).Die Lorentz-Transformation lautet

x′ =x− vt√1− v2/c2

, t′ =t− xv/c2√1− v2/c2

(5.118)

Es gilt für die parallelen Komponente des E-Feldes

Ex = E′x =qx′

r′3=

q(x− vt)r′3√

1− v2/c2, mit r′3 =

[(x− vt)2

1− v2/c2+ y2 + z2

]3/2

. (5.119)

für die beiden anderen Komponenten gilt

Ey =E′y√

1− v2/c2=

qy′

r′3√. . .

, Ez =E′z√

1− v2/c2=

qz′

r′3√. . .. (5.120)

Damit gilt insgesamt

~E =q

r′3√. . .

(x− vt, y, z). (5.121)

Für das B-Feld gilt nun mit Bx = B′x = 0 (die Formeln (5.117) müssen wir mit ~v → −~v verwenden):

By = −vcE′z = − qvz′

cr′3√. . .

, Bz =v

cE′y =

qvy′

cr′3√. . .

(5.122)

und damit insgesamt

~B =qv

cr′3√. . .

(0,−z, y). (5.123)

Für v c folgt

~E =q~r ′nrr′3nr

+O(v2

c2

), ~r ′nr = (x− vt, y, z) (5.124)

und

~B =q

c

~v × ~r ′nrr′3nr

+O(v3

c3

). (5.125)

Es gilt also | ~B|/| ~E| ∝ v/c.

87


5.8 Beschleunigte Ladungen, Liénard-Wichert-Potential,Strahlung

Wir werden die Rechnung hier nicht durchführen. Sie ist nachzulesen im Kapitel 23 vom FließbachII.

5.9 Dopplereffekt

5.9.1 Nichtrelativistischer Fall (Schallwellen)Wir betrachten zuerst den nichtrelativistischen Fall (beispielsweise Schall). In diesem Fall gibt esein ausgezeichnetes Bezugsystem in dem die Substanz ruht. In diesem System gilt

δρ = δρ0e−iϕ, ϕ = ωt− ~k~r (5.126)

mit ω = c|k|. Hier ist c die Schallgeschwindigkeit.1. Fall: Der Sender ist in Ruhe im System K (wo auch die Substanz ruht) und der Beobachterbewegt sich mit der Geschwindigkeit ~v in K und ruht entsprechend im K’.Im K gilt ϕ = ωt− ~k~r mit ω = c|~k|. Darüber hinaus

~r ′ = ~r − ~vt. (5.127)

Es gilt

ϕ = ωt− ~k(~r ′ + ~vt) = ω′t− ~k~r ′ (5.128)

mit

ω′ = ω − ~k~v = ω(

1− v

ccos Θ

). (5.129)

Hier ist Θ der Winkel zwischen ~k und ~v.2. Fall: der Beobachter ruht im K’ (wo auch die Substanz ruht) und der Sender bewegt sich mitGeschwindigkeit ~v in K’ und ruht entsprechend im K. Jetzt gilt im K’ (wo die Substanz ruht)ϕ = ω ′t− ~k~r ′ mit ω′ = c|~k|. Darüber hinaus ~r = ~r ′ − ~vt. Damit gilt

ω = ω′ − ~k~v = ω′(

1− v

ccos Θ

). (5.130)

undω′ =

ω

1− vc cos Θ

. (5.131)

In beiden Fällen ist ω die eigene Frequenz des Senders.

5.9.2 Relativistischer Fall, E.M. WellenNun führen wir die Betrachtung für die El/mag-Welle durch (Licht). In diesem Fall gibt es keinausgezeichnetes System, denn es gibt keine Substanz. In jedem System gilt

~E = ~E0e−iϕ, ϕ = ωt− ~k~r = kµxµ, kµ = (

ω

c,~k) (5.132)

Die Phase ist ein Lorentz-Skalar. Damit ist kµ ein 4-Vektor. Eine Argumentation warum dies giltist, dass bei der Fouriertransformtaion kµ ⇔ −i∂µ. Es gilt

kµkµ =ω2

c2− ~k 2 = 0. (5.133)

88


Es gebe eine relative Geschwindigkeit ~v des Senders relativ zum Beobachter. K sei das Ruhesystemdes Senders und K’ das Ruhesystem des Beobachters. Wir erwarten, dass ω = c|~k| die Frequenzder Quelle ist und ω′ = c|~k ′| die Frequenz, die der Beobachter misst ist. Nun transformieren wirdie Größen wie 4-Vektoren mithilfe der Lorentz-Transformation:

kx =k′x − vω′

c2√1− v2/c2

, ω =ω′ − vk′x√1− v2/c2

(5.134)

Für die restlichen gilt: ky = k′y, kz = k′z und

vk′x = vk′ cos Θ =vω′

ccos Θ. (5.135)

Es gilt damit für die Frequenz

ω =ω′(1− v

c cos Θ)√1− v2/c2

. (5.136)

Dies kann nach ω′ umgestellt werden:

ω′ =ω√

1− v2/c2

(1− vc cos Θ)

. (5.137)

Dies ist der Dopplereffekt für elektromagnetische Wellen.

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Elektrodynamik - TKM (KIT) - Startseite · Klassische Theoretische Physik III Abbildung1.2:ZummathematischenSatzvonGauß E~~ndS= q 4ˇ 0 cos r2 dS= q 4ˇ 0 d (1.13) wobei d ein Raumwinkel-Element