1

5. Schwingungen und Wellen

Bewegungsgleichung:

a) Wiederholung freier ungedämpfter harmonischer Oszillator, keine Reibung

5.1. Schwingungen

5.1.1. Freier gedämpfter harmonischer Oszillator

02

02

2

xdt

xdkx

dt

xdm

2

2

mit ,0m

k

k

mT 20

Lösung: 000 sin txtx

b) freier gedämpfter harmonischer Oszillator, mit Reibung

freier harmonischer Oszillator mit Stokes Reibung,

RvkxFxFxm SR Bewegungsgleichung:

m

R

202 2

02

2

xdt

dx

dt

xd

m

K0mit

(homogene Differentialgleichung 2. Ordnung)

und Dämpfungskonstante

vRFS

Reibungskraft:

0 kxxRxm

*

2

Lösungsansatz: tcetx 21,**

allg. Lösung: ttecectx 21

21

*** mit c1, c2 durch zwei Anfangsbedingungen bestimmt:

z. Bsp.: 00 0,0 vtxxtx

Einsetzen von ** in * liefert 1 , 2 :

02 2

0

2 ttt ceecec

02 2

0

2

2

0

2

2/1

allg. Lösung ***:

ttt ececetx20

220

2

11

Grenzfall schwache Dämpfung: Es gilt 0

2

0

22

0

2

2/1 1

i2/1mit

22

0 und imaginärer Einheit 1i

Lösung: 𝑥 𝑡 = 𝑒−𝛾𝑡 𝑐1𝑒𝑖𝜔´𝑡 + 𝑐2𝑒 −

𝑖𝜔´𝑡

3

Da x(t) eine reelle Zahl sein muss gilt 𝑐1 = 𝑐, 𝑐2 = 𝑐∗

𝑥 𝑡 = 𝑐 𝑒−𝛾𝑡 𝑒𝑖 𝜔´𝑡+𝜑 + 𝑒 −𝑖 𝜔´𝑡+𝜑

mit Euler Gln. 𝑒𝑖𝛼 = 𝑐𝑜𝑠𝛼 + 𝑖 𝑠𝑖𝑛𝛼 und 𝑠𝑖𝑛 −𝛼 = −𝑠𝑖𝑛𝛼, 𝑐𝑜𝑠 −𝛼 = 𝑐𝑜𝑠𝛼

folgt 𝑥 𝑡 = 2 𝑐 𝑒−𝛾𝑡𝑐𝑜𝑠 𝜔´𝑡 + 𝜑 2 𝑐 =A

𝑥 𝑡 = 𝐴𝑒−𝛾𝑡𝑐𝑜𝑠 𝜔´𝑡 + 𝜑

Amplitude A und Phasenkonstante ergeben sind aus zwei Anfangsbedingungen bestimmbar:

z. Bsp. 00 0,0 vtxxtx

Gedämpfte Schwingung mit Frequenz 𝜔´ = 𝜔02 − 𝛾2 < 𝜔0

und Schwingungsdauer 𝑇´ =2𝜋

𝜔02−𝛾2

> 𝑇0=2𝜋

𝜔0

4

xEinhüllende: tAe

Dämpfung,

Verlust an mechanischer Energie

infolge von Reibung

A = x0 und = 0 für 00,0 0 txxtx

Dämpfungsverhältnis D zweier aufeinander folgender Amplitudenmaxima: 𝐷 =𝑥 𝑡

𝑥 𝑡 + 𝑇= 𝑒𝛾𝑡

𝛾 =ln𝐷

𝑇mit logarithmischen Dekrement ln D

5

Exp.: gedämpfte Schwingung, physikalisches Pendel im Magnet

ሷ𝑥 + 2𝛾 ሶ𝑥 + 𝜔02𝑥 = 0, 00,0 0 txxtx

𝛾

𝛾 < 𝜔0a) gedämpfte Schwingung

𝑥 𝑡 = 𝐴𝑒−𝛾𝑡𝑐𝑜𝑠 𝜔´𝑡 + 𝜑 , 𝜔´ = 𝜔02 − 𝛾2

𝛾 > 𝜔0b) starke Dämpfung, keine Schwingung

𝑥 𝑡 =1

2𝑥0 𝑒

−𝛾+ 𝛾2−𝜔02𝑡+ 𝑒

−𝛾− 𝛾2−𝜔02𝑡

(siehe oben)

(ohne Herleitung)

𝛾 = 𝜔0c) aperiodischer Grenzfall, keine Schwingung

𝑥 𝑡 = 𝑥0 1 + 𝛾𝑡 𝑒−𝛾𝑡

(ohne Herleitung)

𝑒−𝛾𝑡

𝑒−𝛾𝑡

𝑒−𝛾+ 𝛾2−𝜔0

2𝑡

6

5.1.2. Erzwungene Schwingung

gedämpfter harmonischer Oszillator mit periodischer äußerer Kraftanregung

K x tFtF cos0

Bewegungsgleichung: mit

(inhomogene Differentialgleichung 2. Ordnung)

m

Ff 0*tfx

dt

dx

dt

xd cos2 2

02

2

Lösungsansatz: 𝑥 𝑡 = 𝑥ℎ𝑜𝑚 𝑡 +𝑥𝑖𝑛ℎ𝑜𝑚 𝑡

allg. Lösung der homogenen Differentialgleichung 2. Ordnung,𝑥ℎ𝑜𝑚 𝑡

ሷ𝑥 + 2𝛾 ሶ𝑥 + 𝜔02𝑥 = 0 für 𝛾 < 𝜔0

beschreibt Einschwingverhalten, 𝑥ℎ𝑜𝑚 𝑡 → ∞ = 0

𝑥ℎ𝑜𝑚 𝑡 = 𝐴𝑒−𝛾𝑡𝑐𝑜𝑠 𝜔´𝑡 + 𝜑 ,

da 𝑒−𝛾𝑡𝑡→∞

0

eine spezielle Lösung der inhomogenen Differentialgleichung 2. Ordnung,𝑥𝑖𝑛ℎ𝑜𝑚 𝑡

beschreibt stationäre Lösung für t

7

Bestimmung von :𝒙𝒊𝒏𝒉𝒐𝒎 𝒕

Lösung von mit komplexen Ansatzሷ𝑥 + 2𝛾 ሶ𝑥 + 𝜔02𝑥 = 𝑓𝑐𝑜𝑠𝜔𝑡

𝑓𝑐𝑜𝑠𝜔𝑡 = 𝑅𝑒 𝑓𝑒𝑖𝜔𝑡 mit 𝑥 𝑡 = 𝑅𝑒 𝑧 𝑡 , 𝑧 𝑡 = 𝐶𝑒𝑖𝜔𝑡

*

Einsetzen von z(t) in *: ሷ𝑧 + 2𝛾 ሶ𝑧 + 𝜔02𝑧 = 𝑓𝑐𝑜𝑠𝜔𝑡

𝜔2𝑧 + 𝑖2𝛾𝑧 + 𝜔02𝑧 = 𝑓𝑒𝑖𝜔𝑡 =

𝑓𝑧

𝐶

𝐶 =𝑓

𝜔02−𝜔2 +𝑖2𝛾𝜔

𝐶 =𝑓

𝜔02−𝜔2 2

+4𝛾2𝜔2 𝑒𝑖𝛼mit tanα =

2𝛾𝜔

𝜔02−𝜔2

komplexe Lösung: 𝑧 = 𝐶𝑒𝑖𝜔𝑡 =𝑓

𝜔02−𝜔2 2

+4𝛾2𝜔2

𝑒𝑖 𝜔𝑡+𝛼

txtx cos

tf

tx cos

4 22222

0

reelle Lösung 𝑥 𝑡 = 𝑅𝑒 𝑧 𝑡 :

8

Resonanzkurve

Diskussion der stationären Lösung:

a) Oszillator schwingt mit Erregerfrequenz der anregenden Kraft

und Schwingungsdauer

tFtF cos0

/2T

b) Amplitude 22222

0 4

f

x

und hat Maximum bei der Resonanzfrequenz

ist abhängig von Erregerfrequenz (Resonanzkurve)

220 2 r

0

d

xdfolgt aus

x

rx max

max. Energieabsorption bei

r

0 r

9

c)

220

2tan

0

frequenzabhängige Phasenverschiebung zwischen periodischer Kraftanregung und Oszillator

Nahe der Resonanzfrequenz r bei 0 ist Phasenverschiebung zwischen periodischer

Kraftanregung und Oszillator /2

Exp.: erzwungene Schwingungen an Spiralfeder und Pohlschen Drehpendel,

Video Tacoma Bridge

10

5.1.3. Überlagerung von Schwingungen

Betrachten ungedämpfte harmonische Schwingungen

a) Zwei Schwingungen mit gleicher Frequenz und unterschiedlichen Phasenkonstanten 1, 2

101 cos txtx 202 cos txtxund

Superposition: txtxtx 21

210 coscos ttxtx

2

1

2

1cos2coscos os

2cos

2cos2 2121

0

txtx

txatx cos,00 mit cos2 0xa

2

21

2

21

Superposition ist ungedämpfte Schwingung mit

Frequenz , aber mit phasenabhängiger

Amplitude a und Phasenkonstante .

Exp.: Überlagerung zweier elektrischer Schwingungen

am Oszilloskop

= 4/10

= 0

=

11

b) Zwei Schwingungen mit unterschiedlichen Frequenzen 1, 2 und Phasenkonstanten 1, 2

1101 cos txtx 2202 cos txtxund

Superposition: txtxtx 21

21110 coscos ttxtx

2

1

2

1cos2coscos os

ttxtx

2cos

2cos2 2121

0

Superposition ist ungedämpfte Schwingung mit

Frequenz

und Amplitudenmodulation mit Frequenz

2

21

2

21

Schwebung mit Frequenz 21

212

2

S

und Periodendauer21

2

ST

TS

Exp.: Schwebung zweier elektrischer Schwingungen am Oszilloskop,

Schwebung mit Schallwellen

12

5.1.4. Gekoppelte Oszillatoren

Zwei mit zusätzlicher Feder

gekoppelte Federschwinger

K1 K12 K2

2121121111 xKxKxKxm Bewegungsgleichung für m1, m2:

1122122222 xKxKxKxm

,21 mmm :21 KKK 211211 xxKKxxm

211222 xxKKxxm

2 gekoppelte Differential-

gleichungen

*

Lösungsidee für System von gekoppelten Differentialgleichungen:

Koordinatentransformation in Normalkoordinaten +, -:

212

1xx 21

2

1xx

Mittlere Position von

m1 und m2

Halber Abstand zwischen

m1 und m2

13

Addition und Subtraktion von * liefert zwei entkoppelte Differentialgleichungen mit Variablen +, -: Km

122KKm

Diese Lösungen liefern folgende einfach zwei Lösungen in

den Normalkoordinaten +, -:

111 cos tAt 1 2 1cost A t

m

K2

1m

KK 122

2

2

und

undmit

Superposition von zweier ungedämpfter harmonischen Schwingungen mit Frequenzen 1, 2

Rücktransformation von Normalkoordinaten +, - zu Koordinaten x1, x2:

1x

22111 coscos ttAx

2

1cos

2

1cos2coscos

22cos

22cos2 21212121

1

ttAx

1x

2 1 1 2 2cos cosx A t t

2

1sin

2

1sin2coscos

1 2 1 2 1 2 1 22 2 sin sin

2 2 2 2x A t t

14

Diskussion:

Schwingung mit Frequenz2

21

Schwebung mit Frequenz und Periodendauer 21

212

2

21

2

ST

21

2

ST

Oszillatoren x1(t), x2(t) haben Phasenverschiebung von /2.

Periodischer Transfer von mechanischer Energie zwischen beiden Oszillatoren.

Exp.: gekoppelte Oszillatoren

Federschwinger auf Luftkissenban, gekoppelte Pendel, Wippendorfsches Pendel

15

5.2. Wellen

Eine Welle ist eine periodische Änderung einer physikalischen Größe, z. Bsp. Auslenkung

einer PM gegenüber ihrer Gleichgewichtslage, in Zeit und Raum.

z

rt

,

Exp.: gekoppelter Oszillator

Schwingungszustand breitet sich mit Phasengeschwindigkeit vp im Raum aus.

Transport von Energie ohne Transport von Materie.

1616

5.2.1.1. Longitudinale eindimensionale harmonische Welle

t

21T

0, zzt

z

zk

2

ztt ,0

Auslenkung in Richtung ±z der Wellenausbreitung zt,

Ausbreitungsrichtung: +z Auslenkung in ±z Richtung

00 sin, ztAzt z

zktAzt zt 00 sin,

5.2.1. Mathematische Beschreibung

17

A - Amplitude

- Wellenlänge

2zk - Wellenzahl

Exp.: longitudinale Welle auf Spiralfeder

zkt z - Phase der Welle

[] = m

[kz] = m-1

zeAA

- Amplitudenvektor

zkteAzt zz sin,Wellenfunktion:

(Weg-Zeit-Gesetz)

Vorsicht bei Ausbreitung in –z Richtung:

zkteAzt zz sin,

Vergleich der Phasen liefert: ,00 zkz zz 00 ttt

18

5.2.1.2. Transversale eindimensionale harmonische Welle

zkteAzt zyx sin, ,

Ausbreitungsrichtung: +z Auslenkung in ±x oder ±y Richtung

Wellenfunktion:

(Weg-Zeit-Gesetz)

t

21T

0, zzt

z

zk

2

yxtt oder,0

Exp.: transversale Wellen auf Wellenmaschine

Wellenmodell

Vorsicht bei Ausbreitung in –z Richtung:

zkteAzt zyx sin, ,

Auslenkung in Richtung ±x oder ±y senkrecht zur Wellenausbreitung zt,

19

5.2.2.1. Phasengeschwindigkeit vp

Phasengeschwindigkeit –Ausbreitungsgeschwindigkeit der Welle,

genauer, Geschwindigkeit mir der sich eine spezielle Phase, ,

z. Bsp. ein Maximum der Wellenfunktion bewegt:

zkt z

constzkt z

0 zktdt

dz

Bedingung:

0dt

dzkz pv

dt

dzmit

z

pk

vPhasengeschwindigkeit

0 pzvk

zkteAzt zyx sin, ,

Maximum

5.2.2. Ausbreitungsgeschwindigkeit der Wellen

mit ,2

2zk

- Frequenz

Explizite Formel für Phasengeschwindigkeit hängt vom speziellen Typ der Welle und Medium

in dem sich die Welle ausbreitet ab!

20

Beispiele für Wellentypen und Phasengeschwindigkeit

a) Seilwellen Transversalwellen

lm

Fvph

F – Zugkraft im Seil

m – Masse des Seils

l – Länge des Seils Exp.: Seilwelle

Im allgemeinen gilt: - p sinkt mit Masse der schwingenden Teilchen

- p wächst mit zunehmenden elastischen, rückstellenden Kräften

zwischen den Teilchen

21 21

b) Elastische Wellen in Festkörpern

Longitudinalwellen

Ev lp ,

E – Elastizitätsmodul

– Dichte

Exp.: Simulation von Wellen im Festkörper

Phasengeschwindigkeit einer Longitudinalwelle in Al-Stab

A

ln/2 ln/2

l

nF

nF

Dehnung

Spannung

ll

AFE

n

n

/

/

Transversalwellen

Gv tp ,

G – Schub- bzw. Torsionsmodul

l

lt

tF

Beispiel Stahl: ph,l = 5000 ms-1

ph,t = 3000 ms-1

allg. gilt: ph,l > ph,t

ngVerschiebu

tScherrkraf

ll

AFG

t

t

/

/

22

d) Schallwellen in Gasen

pvp

Longitudinalwellen p – Druck

– Dichte

–Adiabatenkoeffizient

Exp.: Simulation von Schallwelle

c) Druckwellen in Flüssigkeiten

Kvp

Longitudinalwellen

p – Druck

K– KompressionsmodulV

pVK

Wasser:

p (T = 20°C) = 1483 ms-1

K = 2 109 Nm-2

Luft:

p (T = 0°C) = 331,5 ms-1

V

p

c

c

– Dichte

23

5.2.2.2. Gruppengeschwindigkeit vg

Zur Signalübertragung ist Modulation der Welle oder ein Wellenpacket nötig.

Bsp. Amplitudenmodulation:

Superposition zweier Wellen mit 1, 2, und k1, k1 mit gleicher Ausbreitungsrichtung

2121212

1, 212121

2

1, zzzzzzzz kkkkkkkk

Wellenfunktion:

ztztzt ,,, 21

zktAzktAzt zz 2211 sinsin,

2sin

2cos2sinsin

zktzk

tAzt zz

2sin

22cos2,

Wellenfunktionmodulierte Amplitude: A´(t,z)

gv

pv

24

Wellenberg bewegt sich mit Gruppengeschwindigkeit vg!

Amplitudenmaximum von Wellenberg ist bei 022

zk

t zg

z

vkt

z

0zk

zk

z

gdk

dv

Gruppengeschwindigkeit

mit = vpkz

2zk

z

p

zpgdk

dvkvv

p

pg

dvvv

Wenn ist 0

pdvgp vv Dispersion

Wellenberge bzw. Wellenpakete verbreitern mit

zunehmender Ausbreitung und verschmieren.

Exp.: Dispersion mit zwei Folien und Animation

25

5.2.3. Wellengleichung

Wellengleichung ist Bewegungsgleichung für Wellen.

a) Eindimensionale Wellengleichung

zktAzt z sin,Wellenfunktion:

Geschwindigkeit eines

Massenelementes: zktA

tz

cos

Beschleunigung eines

Massenelementes:

22

2

2

sin

zktA

tz

1. Ableitung nach z: zktAkz

zz

sin

2. Ableitung nach z:

2

222

2

2

sinp

zzzv

kzktAkz

*

**

Vergleich von Gleichung * mit **:

2

2

22

2 1

tvz p

0

12

22

2

2

2

zv

tvp

p

eindimensionale Wellengleichung

mit Phasengeschwindigkeit

z

pk

v

26

2

22

kvp

b) Dreidimensionale Wellengleichung

rktArt

sin,Wellenfunktion: bzw. in komplexer Form rktieArt

,

k

r

- Ortsvektor - Wellenzahlvektor mit ,,, zyx kkkk

,/2 k

dreidimensionale Wellengleichung:

02

2

2

2

2

22

2

2

zyxv

tp

02

2

2

pvt

2

2

2

2

2

2

zyx

mit Laplace-Operator

und

27

1.5.4. Überlagerung von Wellen

1.5.4.1. Stehende von Wellen

Superposition zweier Wellen gleicher Frequenz und Wellenzahl aber entgegengesetzter

Ausbreitungsrichtung

Welle in -z Richtung:

Welle in +z Richtung:

zktA z sin1

Superposition: zktzktA zz sinsin21

2cos

2sin2sinsin

2sin

2cos2

tzkA z

- Phasenunterschied

Schwingung

2sin

t

2cos2

zkA zmit ortsabhängiger Amplitude

zktA zsin2

Periodizitäten in Zeit und Raum sind nun entkoppelt!

Resultat

2828

2sin

2cos2

tzkA z

Diskussion:

Schwingungsknoten: 02

cos

zkz

212

2

nzkz

12

42212

1nn

kz

z

Schwingungsbäuche: 12

cos

zkz

nzkz

2

nn

kz

z

242

1

Amplitude oszilliert zwischen

-A und +A mit Schwingungsdauer

2T

Anwendung: Resonatoren, LASER

Knotenabstand:2

z

29

Exp.: stehende Wellen

Reflektion am freien und festen Ende (Simulation)

Seilwelle

Wellenmaschine

stehende Welle im Hörsaal

Fallunterscheidung: Reflektion am festen und freien Ende

festes Ende freies Ende

Randbedingung

tzkA z cossin2

00 z Az 20

0

tzkA z sincos2

3030

1.5.4.2. Interferenz von Wellen

Superposition zweier Wellen gleicher Frequenz, gleicher Wellenzahl und gleicher Ausbreitungsrichtung,

aber konstanter Phasendifferenz = const

2sin1

zktA z

Superposition:

zktA z

sin2

cos2

2sin2

zktA z

21

2cos

2sin2sinsin

Amplitude ist abhängig von Phasendifferenz

destruktive Interferenz:

(Auslöschung)

konstruktive Interferenz:

(Verstärkung)

0 02

cos 12 n

A2 12

cos n2

31

betrachte Phasendifferenz als Gangunterschied z = z2 –z1

zkz

2zGangunterschied:

destruktive Interferenz:

(Auslöschung)

konstruktive Interferenz:

(Verstärkung)

122

nz

nz

Exp.: Interferenz von Wasserwellen

(Simulation)

Interferenz von Schallwellen

Anwendung: Lichtbeugung,

Röntgenbeugung,

Elektronen- und

Neutronenbeugung

12 n

n2

z2z1 z

Quelle 1 Quelle 2 Beobachter