Plenum: Die „h – Methode“Mathematik EinführungsphaseMathematik Einführungsphase

Vom graphischen Differenzieren

zum

rechnerischen Differenzieren

f‘(x0) = lim f(x0+h) – f(x0)hh → 0

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Die h-Methode

Wir wollen die Steigung einer Funktion bestimmen

Das können wir bereits!

Oder nicht?

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Können wir!

3

4

64

m =4 - 36 - 4

Sind 2 Punkte einer linearen Funktion gegeben, können wir die Steigung m einfach berechnen.

4 - 3

6 - 4m = 0,5

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Das war einfach!Aber wie geht das nun bei nicht-linearen Funktionen?

x0 x

f(x0)

f(x)

m =f(x) – f(x0)

x - x0Differenzenquotient

Wir wollen die Steigung im Punkt (x0/f(x0)) berechnen. Dazu nehmen wir einen weiteren Punkt der Funktion zu Hilfe und können so die Steigung m berechnen.

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War das schon alles?

Natürlich nicht !

Wir haben zwar eine Steigung berechnet, nicht aberdie Steigung der Funktion im Punkt (x0/f(x0)), sondern die der Geraden durch die beiden Punkte.

Was nun?

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Ein Trick muss her!

x0 x0+h

f(x0)

f(x0+h)

Der Hilfspunkt zu x liegt um h weiter als x0 , wo wir die Steigung suchen.Würden die Punkte näher zusammen liegen, wäre das Ergebnis viel genauer.

Wird also h sehr klein, ist das Ergebnis viel genauer !

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Berechnen wir m, dann sieht das nun so aus:

m =f(x0+h) – f(x0)

x0+h - x0

Und wie soll uns das jetzt weiterhelfen ???

m =f(x0+h) – f(x0)

h

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Ein Beispiel muss her! Zahlen!

m = (2+h)2 - 4

2 + h - 2 =

4 + 4h + h2 - 4

h =

h2 + 4h h

= h (h + 4)

h + 4 h

=

Wir suchen die Steigung der Funktion

f(x) = x2 an der Stelle x0 = 2 .

Dazu brauchen wir einen Hilfspunkt, der um „h“ weiter liegt.Die beiden Punkte lauten dann also (2 | 4) und (2+h | f(2+h))Na wunderbar, mit 2 Punkten können wir arbeiten! Dann mal los...

Es ist m =f(x0 + h) – f(x0)

x0 + h - x0

m =f(x0+h) – f(x0)

h

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Klasse!Die Steigung der Funktion im gesuchten Punkt ist also h + 4.

Aber Moment mal....

Was sollen wir denn mit dem h anfangen?

Wir haben doch immer noch die Steigung mit 2 Punkten berechnet?

Wir sind ja auch noch nicht ganz fertig!

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Die Überlegung war, dass die beiden Punkte sehr nah zusammenliegen sollten, damit das Ergebnis möglichst genau wird.

Wenn der zweite Punkt um „h“ entfernt liegt, machen wir h ganz einfach unendlich klein (sehr sehr klein)

lim (h + 4) =h->0

4

Die Steigung der Funktion f(x) = x2 an der Stelle x0=2 beträgt also 4.

Das machen wir jetzt!

Man bildet den Grenzwert (limes) für h gegen 0.Die beiden Punkte liegen damit sozusagen aufeinander und wirhaben nicht mehr die Steigung einer Geraden, sondern die Steigung in einem Punkt berechnet.

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Wie ging das noch mal ?1. Ich berechne den Differen-

zenquotienten m mit Hilfe eines weiteren Punktes,

dessen x-Wert von der zu untersuchenden Stelle x0

den Abstand „h“ hat.

2. Ich bilde den Grenzwertfür h gegen 0 und erhalte die Ableitung (= Steigung)an der Stelle x0

m =f(x0+h) – f(x0)

h

f‘ (x0) = lim f(x0+h) – f(x0)hh → 0

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m =f(x) – f(x0)

x – x0

Der Differenzenquotient m

wird für x = x0 + h

oder - vereinfacht - zu

Und die Ableitung von f(x) an der Stelle x0 , kurz f‘(xo) ,

ist, wenn h gegen 0 geht,

der Grenzwert des Differenzenquotienten, also:

f‘(x0) = lim f(x0+h) – f(x0)hh → 0

f(x0 + h) – f(x0)x0 + h - x0

zu m =

m =f(x0+h) – f(x0)

h

Zusammengefasst:

Alles klar ?

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Die drei Fragen:

1. Wie ist der Differenzenquotient definiert?

2. Was bedeutet die Ableitung einer Funktion an einer Stelle x0 ?

3. Wie kann die Ableitung einer Funktion an einer Stelle x0 berechnet werden ?

m =f(x0+h) – f(x0)

h

f‘(x0) = lim f(x0+h) – f(x0)hh → 0

Setze die Werte für x0 und h in den Funktionsterm f(x) ein! Setze dies in den Differentenquotienten ein !Forme um, kürze h, und lasse dann h gegen Null gehen.

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Aufgaben (Lösungen siehe AB 1) :Berechne zu f(x) = 4x² + 2 x - 1

den Differenzenquotienten m und f‘(x0)

mit … 1.) h = 2 und x0 = 1

2.) h = 1 und x0 = 2

3.) h = 1 und x0 = 0

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Aufgaben: Stunden I II

Basics AB Plenum

S. 156

Aufg. 21

S.155 Bsp. C +

Aufg. 17

Tops Ermittle die Steigung von f(x) an der Stelle a mithilfe der h-Methode:

f(x)=2x-x4 für a=0f(x)= -6/x für a=2

S. 155

Aufg. 19

Ermittle mithilfe der h-Methode an der Stelle a

die Steigung von für a=4

Stunden I II

Basics AB Plenum

S. 156

Aufg. 21

S.155 Bsp. C +

Aufg. 17

Tops Ermittle die Steigung von f(x) an der Stelle a mithilfe der h-Methode:

f(x)=2x-x4 für a=0f(x)= -6/x für a=2

S. 155

Aufg. 19

Ermittle mithilfe der h-Methode an der Stelle a

die Steigung von für a=42)( xxf