Plenum: Die „h – Methode“Mathematik EinführungsphaseMathematik Einführungsphase

Vom graphischen Differenzieren

f‘(x0) = limf(x0 + h) – f(x0)

hh → 0

zum

rechnerischen Differenzieren

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Die h-Methode

Wir wollen die Steigung einer Funktion bestimmen

Das können wir bereits!

Oder nicht?

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Können wir!

3

4

64

m =4 - 36 - 4

Sind 2 Punkte einer linearen Funktion gegeben, können wir die Steigung m einfach berechnen.

4 - 3

6 - 4m = 0,5

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Das war einfach!Aber wie geht das nun bei nicht-linearen Funktionen?

x0 x

f(x0)

f(x)

m =f(x) – f(x0)

x - x0

Differenzenquotient

Wir wollen die Steigung im Punkt (x0/f(x0)) berechnen. Dazu nehmen wir einen weiteren Punkt der Funktion zu Hilfe und können so die Steigung m berechnen.

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War das schon alles?

Natürlich nicht !

Wir haben zwar eine Steigung berechnet, nicht aberdie Steigung der Funktion im Punkt (x0/f(x0)), sondern die der Geraden durch die beiden Punkte.

Was nun?

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Ein Trick muss her!Würden die zwei Punkte näher zusammen liegen,

so wäre das Ergebnis auch genauer.

x0 x0+h

f(x0)

f(x0+h)

Der Hilfspunkt liegt nun um h weiter als der Punkt, in dem wir die Steigung suchen.Wäre h nun sehr sehr klein, so müsste das Ergebnis auch ganz gut sein.

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Berechnen wir m, dann sieht das nun so aus:

m =f(x0+h) – f(x0)

x0+h - x0

Wie soll mir das jetzt weiterhelfen???

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Ein Beispiel muss her! Zahlen!

m = (2+h)2 - 4

m =f(x0+h) – f(x0)

h

2 + h - 2 =

4 + 4h + h2 - 4

h =

h2 + 4h h

= h (h + 4)

h + 4 h

=

Wir suchen die Steigung der Funktion f(x) = x2

an der Stelle x0 = 2.Wir brauchen nun wieder einen Hilfspunkt, der um „h“ weiter liegt.Die beiden Punkte lauten dann also (2/4) und (2+h/f(2+h))Na wunderbar, mit 2 Punkten können wir arbeiten! Dann mal los...

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Klasse!Die Steigung der Funktion im gesuchten Punkt ist also h + 4.

Aber Moment mal....

Was sollen wir denn mit dem h anfangen?

Wir haben doch immer noch die Steigung mit 2 Punkten berechnet?

Wir sind ja auch noch nicht ganz fertig!

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Die Überlegung war, dass die beiden Punkte sehr nah zusammenliegen sollten, damit das Ergebnis möglichst genau wird.

Wenn der zweite Punkt um „h“ entfernt liegt, machen wir h ganz einfach unendlich klein (sehr sehr klein)

lim (h + 4) =h->0

4

Die Steigung der Funktion f(x) = x2 an der Stelle x0=2 beträgt also 4.

Das machen wir jetzt!

Man bildet den Grenzwert (limes) für h gegen 0.Die beiden Punkte liegen damit sozusagen aufeinander und wirhaben nicht mehr die Steigung einer Geraden, sondern die Steigung in einem Punkt berechnet.

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Wie ging das noch mal ?1. Ich berechne den Differen-

zenquotienten m mit Hilfe eines weiteren Punktes,

dessen x-Wert von der zu untersuchenden Stelle x0

den Abstand „h“ hat.

2. Ich bilde den Grenzwertfür h gegen 0 und erhalte die Ableitung (=Steigung)an der Stelle x0

m =f(x0+h) – f(x0)

h

f‘(x0) = limf(x0+h) – f(x0)

hh → 0

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m =f(x) – f(x0)

x – x0

Der Differenzenquotient und die Ableitung:

oder m =f(x0 + h) – f(x0)

x0 + h - x0

m =f(x0 + h) – f(x0)

h

Die Ableitung f‘(xo) von f(x) an der Stelle x0 ist also:

f‘(x0) = limf(x0 + h) – f(x0)

hh → 0

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Die drei Fragen:

1. Wie ist der Differenzenquotient definiert?

2. Was bedeutet die Ableitung einer Funktion an einer Stelle x0?3. Wie kann die Ableitung einer Funktion an einer Stelle x0 berechnet werden?

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Aufgaben

Stunden I II

Basics S. 156

Aufg. 21

S.155 Bsp. C +

Aufg. 17

TopsErmittle die Steigung von f(x) an

der Stelle a mithilfe der h-Methode:

f(x)=2x-x4 für a=0

f(x)=-6/x für a=2

S. 155

Aufg. 19

Ermittle die Steigung von f(x) an der Stelle a mithilfe der h-Methode

für a=4

2)( xxf