50. Mathematik-Olympiade 1. Stufe (Schulstufe) Aufgaben f ... · 50. Mathematik-Olympiade 1. Stufe (Schulstufe) Aufgaben f¨ur die 6. Klasse Nicht nur die eigentliche L¨osung der

50. Mathematik-Olympiade1. Stufe (Schulstufe)

Aufgaben fur die 5. Klasse

Nicht nur die eigentliche Losung der Aufgaben, auch dein Losungsweg ist wichtig.

Notiere daher auch die notwendigen Begrundungen und Nebenrechnungen.

Aufgabe 1: Hier findest du sieben Zahlenfolgen. Sie fangen – bis auf die letzte – immer mitden Zahlen 2 und 3 an, gehen dann aber unterschiedlich weiter: Sie sind jeweils nach eineranderen Vorschrift aufgebaut.

Setze jede Zahlenfolge um drei Zahlen fort und gib jeweils die Vorschrift an.

a) 2, 3, 5, 8, 12, 17, 23, 30, , ,

b) 2, 3, 4, 5, 3, 4, 5, 6, 4, 5, 6, , ,

c) 2, 3, 6, 7, 14, 15, 30, 31, 62, , ,

d) 2, 3, 4, 3, 5, 7, 5, 8, 11, 8, 12, 16, , ,

e) 2, 3, 3, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 6, , ,

f) 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, , ,

g) 1, 1, 2, 4, 8, 16, , ,

Aufgabe 2: Jens kommt kurz vor seinem Geburtstag zu seinem Opa. Opa holt einen großenSack mit vielen Munzen und sagt:

”Pass’ mal auf, Jens. In diesem Sack sind viele Munzen mit

allen Werten, die es gibt, also 1 Cent, 2 Cent, 5 Cent, 10 Cent, 20 Cent, 50 Cent, 1 Euro und2 Euro. Du darfst dir davon 20 Munzen aussuchen – halt, stopp, warte – aber du musst ausdiesen 20 Munzen zwei Geldbetrage gleichzeitig auf den Tisch legen konnen; einer soll 5,34ebetragen, der andere 4,66e. Zehn Euro sind dir also sicher. Ach ja, unter den Munzen, die dudir aussuchst, soll jeder Munzwert mindestens einmal vorkommen. So, wie viel Geld schenkeich dir maximal?“

a) Beantworte die Frage fur Jens.

b) Wie viel hatte Jens maximal geschenkt bekommen, wenn er die Geldbetrage 5,35e und4,65e hatte legen sollen und Opa immer noch gefordert hatte, dass unter den Munzen,die Jens sich aussucht, alle Munzwerte mindestens einmal vorkommen?

Aufgabe 3: Niklas hat die gegebene Figur in der rechten Abbildung ge-zeichnet und will die in ihr vorkommenden Vierecke zahlen. Dazu uberlegter erst einmal, welche verschiedenen Formen und Großen von Viereckenvorkommen; er entschließt sich, sich auf Quadrate, Rechtecke, die keineQuadrate sind, und Parallelogramme, die keine Rechtecke sind, zu be-schranken.

Suche nach diesen Quadraten, Rechtecken und Parallelogrammen in derFigur. Dabei sollen sich diese Vierecke in Form oder Große unterscheiden, sie sollen also nichtdeckungsgleich sein.

Zeichne fur jedes der verschieden aussehenden Vierecke eine neue Grundfigur und kennzeichnedas Viereck farbig. Schreibe neben jede Zeichnung, wie oft man dieses Viereck in der Grund-figur finden kann.





Hinweis: In Absprache mit deiner Mathelehrerin / deinem Mathelehrer kann vereinbartwerden, dass aus den folgenden vier Aufgaben drei ausgewahlt werden:

Aufgabe 1: Maria und Rebecca kramen auf dem Dachboden beim Opa in alten Kisten. Opawar Mathematiklehrer und hat sich gerne Kryptogramme ausgedacht. Sie finden vier Stuckund wollen sie nun losen. Beim Knobeln stellen sie fest, dass das gar nicht so einfach geht,denn es sind Kryptogramme dabei, die mehrere Losungen haben.

A B B

+ B B A

C A B C

Kryptogramm (1)

A B

+ A C

D C B

Kryptogramm (2)

A B C

+ D E F

G H I

Kryptogramm (3)

A B C

− F A C

B A G

Kryptogramm (4)

In einem Kryptogramm werden gleiche Buchstaben durch gleiche Ziffern ersetzt und verschie-dene Buchstaben durch verschiedene Ziffern. Der erste Buchstabe jeder Zahl darf keine 0 sein.

a) Finde eine Losung des Kryptogramms (1).

b) Finde alle Losungen des Kryptogramms (2).

c) Finde eine Losung des Kryptogramms (3).

d) Finde drei verschiedene Losungen des Kryptogramms (4). In jeder der drei Losungensoll der Buchstabe A durch eine andere Ziffer ersetzt werden.

Aufgabe 2: Jede naturliche Zahl hat eine eindeutige Zerlegung in Primfaktoren (PFZ). ZumBeispiel ist 36 = 2 · 2 · 3 · 3 = 22 · 32 oder 1230 = 2 · 3 · 5 · 41. Wir nennen in dieser Aufgabedie Anzahl der Primfaktoren einer Zahl ihre Primlange. Die beiden Zahlen 36 und 1230 habenalso beide die Primlange 4.

a) Welche Primlange konnen zweistellige Zahlen hochstens haben?

b) Gib alle zweistelligen Zahlen an, die diese großtmogliche Primlange aufweisen.

c) Gib alle zweistelligen Zahlen mit der Primlange 5 an.

d) Finde die großte Primlange fur dreistellige Zahlen.

e) Gib alle dreistelligen Zahlen an, die diese großte Primlange aufweisen.

Aufgabe 3: Die drei Freunde Michi, Niki und Omar aus Hamburg kommen zum Abschlussihrer Schulzeit auf eine ausgefallene Idee. Sie wollen einen Ausflug zur 150 km entferntenFloßburg machen. Das Ausgefallene an ihrem Plan ist, dass sie nur einen Motorroller fur zweiPersonen zur Verfugung haben. Naturlich konnen sie auch zu Fuß gehen; ein Fußganger schafft5 km in der Stunde. Sie sprechen mehrere Moglichkeiten durch, um ihr Vorhaben umzusetzen.

a) Omar sagt:”Keiner von uns soll laufen. Und wir lassen den Roller ganz gemutlich mit

60 km/h fahren.“ Wie konnen sie es machen und wie lange dauert es dann, bis alle dreian der Floßburg sind?

b) Das dauert Niki zu lange. Er erklart sich bereit, zur selben Zeit, in der seine beidenFreunde mit dem Roller zur Floßburg starten, in Hamburg loszulaufen. Er will vierStunden gehen und dann warten, bis ihn einer seiner Freunde abholt. Er mochte aberauch, dass der Roller solange mit 70 km/h gefahren wird, bis er abgeholt wird; danachsoll der Roller mit 65 km/h fahren.Wie lange ware dann die Wartezeit fur Niki, und wie lange dauert es, bis alle an derFloßburg sind?

c) Michi sagt:”Der Roller kann auch 75 km/h fahren. Ich laufe in Hamburg los, ihr fahrt

zur Floßburg, dann soll einer sofort umdrehen und mich unterwegs aufnehmen.“Wie weit muss Michi nach seiner Idee laufen? Wie lange dauert es, bis alle drei Freundeauf diese Weise zur Floßburg kommen? (Vor einer genauen Losung ist eine Schatzungsinnvoll.)

Aufgabe 4: In einem Puzzle gibt es acht verschiedene, rechtwinklige, flachengleiche Formen,die jeweils 8 Kastchen umfassen. Von jeder Form sind ausreichend viele Teile vorhanden, dieauch gedreht und umgeklappt verwendet werden durfen.

(1) (2) (3) (4)

(5) (6) (7) (8)

a) Wahle drei verschiedene Teile aus den 8 Puzzle-Formen aus und lege daraus ein Rechteck.Finde zwei Moglichkeiten, in denen alle drei Puzzle-Formen unterschiedlich sind.

b) Wie viele dieser Rechtecke aus a) benotigst du, um daraus das kleinstmogliche Quadratzu legen? Wie groß ist die Seitenlange dieses Quadrates?

c) Lege ein Quadrat (12×12 Kastchen) mit nur zwei verschiedenen Puzzle-Formen aus; siemussen nicht in der gleichen Anzahl vorkommen.Gib zwei Moglichkeiten an, in denen nicht die beiden gleichen Puzzle-Formen verwendetwerden.

d) Wahle funf verschiedene Formen aus und lege aus diesen funf Teilen ein Rechteck.

e) Wenn du Zeit und Lust hast : Lege aus acht verschiedenen Puzzle-Teilen ein Quadrat.



Hinweis: Der Losungsweg mit Begrundungen und Nebenrechnungen soll deutlich erkennbarsein. Du musst also auch erklaren, wie du zu Ergebnissen bzw. Teilergebnissen gelangt bist.Stelle deinen Losungsweg logisch korrekt und in grammatisch einwandfreien Satzen dar.

Aufgabe 1: Tim und Stefanie unterhalten sich und stellen fest, dass die Mathematik-Olympiade dieses Jahr ihren 50. Geburtstag feiert. Darauf meint Stefanie, dass sie ein gutesRatsel kenne. Tim will es sofort horen. Also sagt Stefanie:

”Denke dir eine Zahl und addiere

zu ihr 17, multipliziere das Ergebnis mit 3 und subtrahiere deine Zahl. Anschließend subtra-hiere 1. Danach dividiere das Ergebnis durch 2 und subtrahiere erneut die von dir gedachteZahl, abschließend multipliziere mit 2. Wetten, du erhaltst 50?“ Obwohl Tim das vorausge-sagte Ergebnis erhalt, will er nicht glauben, dass jede beliebige Zahl die Geburtstagszahl derMathematik-Olympiade liefert.

a) Zeige an einem selbstgewahlten Beispiel, dass Stefanie bei diesem Beispiel recht hat.

b) Untersuche, ob man bei jeder gedachten Zahl tatsachlich das von Stefanie vorausgesagteErgebnis erhalt.

Aufgabe 2: Auf einem Tisch stehen 4 geschlossene Kastchen. Eines davon enthalt Goldklum-pen, eines Sand, eines Kieselsteine und eines Holzkugeln. Drei dieser Kastchen sind beschrif-tet. Auf einem steht

”Gold oder Sand“, auf einem anderen

”Kieselsteine oder Holz“ und auf

dem dritten”Gold oder Holz“. Anna darf sich eines dieser Kastchen auswahlen und mochte

naturlich das mit dem Gold bekommen. Sie erfahrt, dass alle Aufschriften der Wahrheit ent-sprechen. Anna darf zwar keines der Kastchen anfassen, aber bevor sie eines auswahlt, darfsie sich eines offnen lassen und hineinschauen.

Untersuche, ob es fur Anna eine Moglichkeit gibt, mit Sicherheit das Kastchen mit dem Goldzu erhalten.

Aufgabe 3: Ein Dreieck ABC hat die folgenden Eigenschaften:

(1) Die Strecken AC und BC sind gleich lang.

(2) Die Winkelhalbierende des Innenwinkels BAC schneidet die Seite BC im Punkt E.

(3) Die Gerade AE steht senkrecht auf der Seite BC.

Untersuche, ob sich aus diesen Angaben die Großen der Innenwinkel im Dreieck ABC eindeutigbestimmen lassen. Wenn dies der Fall ist, dann gib diese Winkelgroßen an.

Mathematische Grundlagen: Viele mathematische Aufgaben kann man den Grundtypen Beweis-

aufgabe oder Bestimmungsaufgabe zuordnen.

Eine Beweisaufgabe enthalt gegebene Bedingungen oderGroßen. Das herzuleitende Ziel ist bekannt.Wie beim Beweis eines mathematischen Satzes lassen sich die Aussagen in Voraussetzung und Be-

hauptung aufspalten und in der”Wenn-dann-Form“ formulieren. Ein Beweis ist erbracht, wenn man

von den Voraussetzungen ausgehend in endlich vielen Schritten uber logisch abgeleitete Feststellungen

zur Behauptung gelangt. Jeder Beweisschritt ist eine Schlussfolgerung. Eine Schlussfolgerung kannnotiert werden, indem festgehalten wird, von welchen Voraussetzungen oder abgeleiteten Feststellun-gen ausgehend man zu welcher neuen Feststellung gelangt und welches Beweismittel dabei eingesetztwurde. Als Beweismittel durfen mathematische Satze, Definitionen, Formeln oder Umformungsregelnverwendet werden.

Jede Bestimmungsaufgabe, hier Aufgabe 3, enthalt gegebene Bedingungen oderGroßen und gesuch-

te, unbekannte Großen. Eine gesuchte Große im mathematischen Sinne zu bestimmen heißt, dieseGroße aus den gegebenen Großen und eventuell weiteren wahren Aussagen durch korrektes logischesSchließen durch Anwendung mathematischer Satze und mathematisch zulassiger Umformungen zu er-mitteln. Es ist dabei im Allgemeinen auch zu untersuchen, ob das zu bestimmende Objekt uberhauptexistiert und, wenn es existiert, ob es eindeutig bestimmt ist. Die Losung einer Bestimmungsaufgabekann man daher im Allgemeinen in zwei Schritte gliedern: Im ersten Schritt nimmt man die Exis-tenz der Losung an und zeigt, dass die Losungen zu einer hergeleiteten Menge gehoren mussen. Imzweiten Schritt zeigt man, dass die Elemente dieser Menge tatsachlich Losungen sind. Dieser Schrittheißt daher auch Existenzbeweis oder Probe. Eine Bestimmungsaufgabe kann also mehrere Beweisebeinhalten.

Etwas komplizierter ist die Situation bei Aufgaben, bei denen zu untersuchen ist, ob etwas existiert.Je nachdem, ob man die Nichtexistenz oder die Existenz vermutet, sind unterschiedliche Beweise zufuhren. Bei der Nichtexistenz konnte es ein Widerspruchsbeweis sein und wir hatten eine Beweisauf-gabe. Zum Nachweis der Existenz einer Losung konnte man zum Beispiel eine Losung angeben. DieseLosung herzuleiten ist eine Bestimmungsaufgabe.

Um angeben zu konnen, aus welcher gegebenen Bedingung eine Schlussfolgerung gezogen wurde, ist

es gunstig, die gegebenen Bedingungen zu bezeichnen, im Fall von Aufgabe 3 mit (1), (2) und (3).

Dies trifft auch auf abgeleitete Feststellungen zu, auf die spater zuruckgegriffen wird. Diese konnen

bei Aufgabe 3 mit (4), (5) usw. bezeichnet werden. Aus der Formulierung”Ein Dreieck ABC hat“

ist hier zu entnehmen, dass die zu bestimmenden Innenwinkel existieren. Deren Existenz ist hier

also nicht mehr zu beweisen. Zu zeigen ist aber noch, dass es unter den gegebenen Voraussetzungen

nur eine Losung gibt. Im Allgemeinen wurde die Formulierung”untersuche, ob“ die Existenz des

Objektes aber offen lassen.

Alternativaufgabe:

Kurt spielt mit einem Satz Bauklotze.

a) Er hat genau einen Wurfel mit der Kantenlange 7 cm, je funf Wurfel mit den Kan-tenlangen 4 cm und 3 cm, sechs Wurfel mit der Kantenlange 2 cm und zwolf Wurfel mitder Kantenlange 1 cm.

Weise nach, dass Kurt aus diesen Spielwurfeln keinen vollstandigen Quader bauen kann,wenn er dabei alle Wurfel verwenden will.

b) Nun hat Kurt genau einen Wurfel mit der Kantenlange 6 cm, acht Wurfel mit der Kan-tenlange 4 cm, funfzehn Wurfel mit der Kantenlange 2 cm und zehn Wurfel mit derKantenlange 1 cm zur Verfugung.

Untersuche, ob Kurt aus diesen Spielwurfeln einen vollstandigen Quader bauen kann,wenn er dabei wieder alle Wurfel verwenden will. Begrunde deine Antwort auch hier.





Aufgabe 1: Anlasslich des 50. Geburtstages der Mathematik-Olympiade ladt Professor Kno-belfix eine gewisse Anzahl guter Schuler zu einem mathematischen Ferienlager ein. In seinerEroffnungsrede stellt Prof. Knobelfix fest:

”Wenn jeder Teilnehmer am Ende der Veranstaltung

mit jedem anderen genau eine Fotografie von sich selbst austauschen wurde, dann mussteninsgesamt genau 2450 Fotos verteilt werden.“

Untersuche, ob aus der Feststellung von Prof. Knobelfix eindeutig bestimmt werden kann, wieviele Schuler am Ferienlager teilnehmen. Ist dies der Fall, dann gib die Anzahl dieser Schuleran.

Aufgabe 2:

Paul hat die rechts stehende Methode fur das Quadrieren zweistelliger Zah-len entdeckt.

a) Erklare diese Methode und berechne auf die gleiche Weise 592, 822

und 192.

b) Erklare, warum dieses Rechenverfahren funktioniert.

c) Finde und erklare ein entsprechendes Verfahren fur das Quadrierendreistelliger Zahlen.

672

42364942

4489

Aufgabe 3: Gegeben ist ein Dreieck ABC mit folgenden Eigenschaften:

(1) Auf der Strecke AB liegt ein Punkt D.

(2) Die Große α des Innenwinkels BAC ist kleiner als 45◦.

(3) Die Große des Winkels BDC ist gleich dem Dreifachen von α.

(4) Die Großen der Winkel ACB und BDC sind gleich.

a) Ermittle die Große β des Winkels CBA fur den Fall, dass α = 20◦ gilt.

b) Ermittle fur alle moglichen Werte von α die Große β des Winkels CBA in Abhangigkeitvon α.

c) Ermittle alle Werte α, fur die ABC ein rechtwinkliges Dreieck ist.

Hinweis : Bei Aufgabenteil c) kann auf den Existenznachweis der Dreiecke verzichtet werden.

Mathematische Grundlagen: Viele mathematische Aufgaben kann man den Grundtypen Beweis-

aufgabe oder Bestimmungsaufgabe zuordnen.

Eine Beweisaufgabe enthalt gegebene Bedingungen oder Großen. Das herzuleitende Ziel ist bekannt.Wie beim Beweis eines mathematischen Satzes lassen sich die Aussagen in Voraussetzung und Be-

hauptung aufspalten und in der”Wenn-dann-Form“ formulieren. Ein Beweis ist erbracht, wenn man

von den Voraussetzungen ausgehend in endlich vielen Schritten uber logisch abgeleitete Feststellungen

zur Behauptung gelangt. Jeder Beweisschritt ist eine Schlussfolgerung. Eine Schlussfolgerung kannnotiert werden, indem festgehalten wird, von welchen Voraussetzungen oder abgeleiteten Feststellun-gen ausgehend man zu welcher neuen Feststellung gelangt und welches Beweismittel dabei eingesetztwurde. Als Beweismittel durfen mathematische Satze, Definitionen, Formeln oder Umformungsregelnverwendet werden.

Jede Bestimmungsaufgabe, hier Aufgabe 3, enthalt gegebene Bedingungen oder Großen und gesuch-

te, unbekannte Großen. Eine gesuchte Große im mathematischen Sinne zu bestimmen heißt, dieseGroße aus den gegebenen Großen und eventuell weiteren wahren Aussagen durch korrektes logischesSchließen durch Anwendung mathematischer Satze und mathematisch zulassiger Umformungen zu er-mitteln. Es ist dabei im Allgemeinen auch zu untersuchen, ob das zu bestimmende Objekt uberhauptexistiert und, wenn es existiert, ob es eindeutig bestimmt ist. Die Losung einer Bestimmungsaufgabekann man daher im Allgemeinen in zwei Schritte gliedern: Im ersten Schritt nimmt man die Exis-tenz der Losung an und zeigt, dass die Losungen zu einer hergeleiteten Menge gehoren mussen. Imzweiten Schritt zeigt man, dass die Elemente dieser Menge tatsachlich Losungen sind. Dieser Schrittheißt daher auch Existenzbeweis oder Probe. Eine Bestimmungsaufgabe kann also mehrere Beweisebeinhalten.

Etwas komplizierter ist die Situation bei Aufgaben, bei denen zu untersuchen ist, ob etwas existiert.Je nachdem, ob man die Nichtexistenz oder die Existenz vermutet, sind unterschiedliche Beweise zufuhren. Bei der Nichtexistenz konnte es ein Widerspruchsbeweis sein und wir hatten eine Beweisauf-gabe. Zum Nachweis der Existenz einer Losung konnte man zum Beispiel eine Losung angeben. DieseLosung herzuleiten ist eine Bestimmungsaufgabe.

Um angeben zu konnen, aus welcher gegebenen Bedingung eine Schlussfolgerung gezogen wurde,

ist es gunstig, die gegebenen Bedingungen zu bezeichnen, im Fall von Aufgabe 3 mit (1), (2),

(3) und (4). Dies trifft auch auf abgeleitete Feststellungen zu, auf die spater zuruckgegriffen

wird. Diese konnen bei Aufgabe 3 mit (5), (6) usw. bezeichnet werden. Aus der Formulierung

”Gegeben ist ein Dreieck ABC“ ist hier zu entnehmen, dass die zu bestimmenden Innenwinkel

existieren. Deren Existenz ist hier also nicht mehr zu beweisen. Zu zeigen ist aber noch, dass es

unter den gegebenen Voraussetzungen bei den Aufgabenteilen a) und b) nur eine Losung gibt.

Im Allgemeinen wurde die Formulierung”untersuche, ob“ die Existenz des Objektes aber offen lassen.

Alternativaufgabe:

Auf einem Kreis k liegen in dieser Reihenfolge sechs paarweise voneinander verschiedene Punk-te A, B, C, D, E und F .

a) Ermittle die Anzahl der Dreiecke, die jeweils drei dieser sechs Punkte als Eckpunktehaben.

b) Ermittle die Anzahl der konvexen Vierecke, die jeweils vier dieser sechs Punkte als Eck-punkte haben.

c) Ermittle die Anzahl der konvexen Funfecke, die jeweils funf dieser sechs Punkte alsEckpunkte haben.

Hinweis : Ein n-Eck P1P2 . . . Pn mit Ecken auf einem Kreis ist genau dann konvex, wenn seineEckpunkte P1, P2, . . . , Pn in dieser Reihenfolge auf diesem Kreis liegen.





Aufgabe 1: Jenny schreibt die ersten vier positiven Quadratzahlen auf: 1, 4, 9, 16. In dernachsten Zeile notiert sie jeweils unter dem Zwischenraum zweier benachbarter Quadratzahlenderen Differenz: 3, 5, 7. Darunter schreibt sie die Differenzen dieser Zahlen.

1 4 9 16

3 5 7

2 2

a) Bestatige am Beispiel der Zahlen 25 und 36, dass auch bei einer Verlangerung der erstenZahlenfolge die Differenzen in der dritten Zeile nur noch den Wert 2 annehmen.

b) Fuhre eine entsprechende fortgesetzte Differenzbildung fur die Folge der Kubikzahlen13 bis 53 so lange durch, bis erstmals eine Zeile mit unveranderten Werten erscheint.Beweise, dass diese Differenz auch bei der Verwendung weiterer Kubikzahlen auftretenmuss.

c) Weite deine Untersuchungen auf Potenzen mit großeren Exponenten aus. Nutze die da-bei erkannten Gesetzmaßigkeiten zur Vorhersage, nach wie vielen Zeilen bei zehntenPotenzen erstmals ein konstanter Wert auftritt und wie groß dieser sein muss.

Aufgabe 2: Gegeben ist ein Winkel mit dem Scheitel A und mit der Große α, wobei gilt0◦ < α < 180◦. Auf den Schenkeln dieses Winkels wahle man sich je einen von A verschiedenenPunkt B bzw. C aus, so dass ein Dreieck ABC entsteht. In diesem Dreieck schneiden sich diedurch B bzw. C verlaufenden Winkelhalbierenden des Dreiecks ABC in einem Punkt I.

Zeige, dass die Große δ des Winkels <) BIC nicht von der gewahlten Lage der Punkte B undC abhangt.

Aufgabe 3: Man kann eine achtstellige Zahl bilden, indem man sich eine vierstellige Zahlausdenkt und diese zweimal hintereinander schreibt.

Finde

a) die großte und

b) die kleinste

von eins verschiedene naturliche Zahl, durch die jede achtstellige Zahl dieser Form teilbar ist.

Hinweis : Eine Zahl heißt n-stellig, wenn sie n Ziffern besitzt, wobei die erste nicht Null seindarf.

Aufgabe 4: Aus der Menge M = {1; 2; 3; . . . ; 179} werden drei verschiedene Zahlen zufalligund ohne Berucksichtigung der Reihenfolge ausgewahlt.

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass sie die Gradzahlen der Innenwinkel eines Dreieckssind?





Aufgabe 1: Jenny schreibt die ersten vier positiven Quadratzahlen auf: 1, 4, 9, 16. In dernachsten Zeile notiert sie jeweils unter dem Zwischenraum zweier benachbarter Quadratzahlenderen Differenz: 3, 5, 7. Darunter schreibt sie die Differenzen dieser Zahlen.

1 4 9 16

3 5 7

2 2

a) Bestatige am Beispiel der Zahlen 25 und 36, dass auch bei einer Verlangerung der erstenZahlenfolge die Differenzen in der dritten Zeile nur noch den Wert 2 annehmen.

b) Fuhre eine entsprechende fortgesetzte Differenzbildung fur die Folge der Kubikzahlen13 bis 53 so lange durch, bis erstmals eine Zeile mit unveranderten Werten erscheint.Beweise, dass diese Differenz auch bei der Verwendung weiterer Kubikzahlen auftretenmuss.

c) Weite deine Untersuchungen auf Potenzen mit großeren Exponenten aus. Nutze die da-bei erkannten Gesetzmaßigkeiten zur Vorhersage, nach wie vielen Zeilen bei zehntenPotenzen erstmals ein konstanter Wert auftritt und wie groß dieser sein muss.

Aufgabe 2: Zwei Kreise mit gleichem Radius r schneidensich so, dass der Mittelpunkt jedes Kreises auf dem Randdes jeweils anderen Kreises liegt, vgl. nebenstehende Ab-bildung.

Man bestimme den Flacheninhalt und den Umfang derschraffierten Flache.

Aufgabe 3: Man bestimme alle reellen Zahlen x, die die folgende Ungleichung erfullen:√

x + 2

x< 1.

Gegeben sind ein Dreieck ABC mit dem Flacheninhalt f sowie von den Eckpunkten verschie-dene Punkte D auf AB, E auf BC und F auf AC. Letztere bestimmen zusammen mit denEckpunkten des Dreiecks vier Teildreiecke ADF , DBE, FEC und DEF , deren Flacheninhaltein dieser Reihenfolge mit v, w, x bzw. y bezeichnet seien.

Die Punkte D, E, F erfullen weiter die folgenden drei Eigenschaften:

EF ‖ AB (1)

v + w = 25

f (2)

x : y = v : w (3)

Bestimmen Sie aus diesen Angaben v, w, x und y in Abhangigkeit von f .


Aufgaben fur die 11–13. Klasse



Aufgabe 1: Zwei Kreise mit gleichem Radius r schneidensich so, dass der Mittelpunkt jedes Kreises auf dem Randdes jeweils anderen Kreises liegt, vgl. nebenstehende Ab-bildung.

Man bestimme den Flacheninhalt und den Umfang derschraffierten Flache.

Aufgabe 2: Gegeben sei das Gleichungssystem

−x − yz + w = 50 (1)

x2 + y2 = 13 (2)

x2y = 12 (3)

xy − yz2 + w = 0, (4)

und es sollen nur positive reelle Losungsquadrupel (x, y, z, w) dieses Gleichungssystems be-trachtet werden. Was ist der großtmogliche Wert, den das Produkt xyzw fur ein solchesLosungsquadrupel annimmt?

Aufgabe 3: Man bestimme alle reellen Zahlen x, die die folgende Ungleichung erfullen:

√x + 2

x< 1.

Aufgabe 4: In einem Kurbad gibt es 100 Duschkabinen. In jeder Kabine befindet sich einHahn, der die Wasserzufuhr zur Dusche dieser Kabine regelt. Durch ein Versehen bei derInstallation setzt aber jeder Hahn außerdem auch die Duschen in genau 5 anderen Kabinen inBetrieb.

Man beweise, dass die Kurverwaltung dann immer 10 Kabinen auswahlen kann, in denen vonder Fehlfunktion nichts zu bemerken ist, wenn die ubrigen 90 Kabinen gesperrt werden.



Aufgabe 1 - Losung 10 Punkte

a) 2, 3, 5, 8, 12, 17, 23, 30, 38, 47, 57Vorschrift: + 1; + 2; + 3; + 4; + 5; . . .Also: Es wird immer eine um 1 großere Zahl addiert als im letzten Schritt.

b) 2, 3, 4, 5, 3, 4, 5, 6, 4, 5, 6, 7, 5, 6Vorschrift: + 1; + 1; + 1; − 2; + 1; + 1; . . .Also: Dreimal 1 addieren, dann 2 abziehen, dann wieder dreimal 1 addieren, usw.

c) 2, 3, 6, 7, 14, 15, 30, 31, 62, 63, 126, 127Vorschrift: Abwechselnd 1 addieren und mit 2 multiplizieren.

d) 2, 3, 4, 3, 5, 7, 5, 8, 11, 8, 12, 16, 12, 17, 22Vorschrift: + 1; + 1; − 1, dann + 2; + 2; − 2, dann + 3; + 3; − 3 und weiter + 4;+ 4; − 4, . . .

e) 2, 3, 3, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 6, 6 (es geht dann weiter: 6, 7)Vorschrift: Einmal die 2, zweimal die 3, dreimal die 4, viermal die 5, funfmal die 6,sechsmal die 7, . . .

f) 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377Vorschrift: Jede Zahl ist die Summe der beiden vorangehenden Zahlen.

g) 1, 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128Dies sind ab der zweiten Zahl die Zweierpotenzen; ebenso ist ab der zweiten Zahl aberjede Zahl der Folge die Summe aller vorangehenden Zahlen.


Teil a) Fur Jens kann das Ziel nur sein, die beiden Geldbetrage mit moglichst wenig Munzenzusammenzustellen; fur die restliche Anzahl von Munzen bis zur zwanzigsten kann er dannimmer 2-e-Munzen wahlen, um moglichst viel Geld geschenkt zu bekommen.

Die 5,34e kann er zusammenstellen durch 2-mal 2e, 1-mal 1e, 1-mal 20 Cent, 1-mal 10 Cent,2-mal 2 Cent.

Die 4,66e kann er zusammenstellen durch 2-mal 2e, 1-mal 50 Cent, 1-mal 10 Cent, 1-mal5 Cent, 1-mal 1 Cent.

Bisher braucht Jens 13 Munzen, und alle acht Munzwerte kommen vor. Fur die restlichen sie-ben Munzen kann Jens also 2-e-Munzen wahlen. Also erhalt er von Opa (10e+14e =) 24e.

Teil b) Fur die neuen Betrage kommt Jens mit 11 Munzen aus:5,35e = 2 · 2e + 1e + 20 Cent + 10 Cent + 5 Cent (das sind sechs Munzen) und4,65e = 2 · 2e + 50 Cent + 10 Cent + 5 Cent (das sind funf Munzen).

Wenn er noch jeweils einmal Munzen zu 2 Cent und 1 Cent hinzunimmt, hat er die Bedingungenerfullt und 13 Munzen verbraucht. Zusammen mit sieben 2-e-Munzen kommt er auf 24,03e.

1


Es ist sinnvoll, nach verschiedenen Arten von Vierecken zu suchen und sie dann zu kennzeich-nen.

Quadrate:

1-mal 1-mal 4-mal 4-mal

Rechtecke: Parallelogramme:

4-mal 4-mal 8-mal

2




Teil a) Die Ziffer C muss als Ubertrag 1 sein. In der Zehnerspalte ergibt sich dann durchden Ubertrag aus der Einerspalte B = 9. Schließlich muss A = 2 sein.

Die einzige Losung ist 299 + 992 = 1291.

Teil b) Wegen B + C = B in der Einerspalte muss C = 0 gelten. In der Zehnerspalte giltdann A + A = 10, woraus A = 5 und D = 1 folgt.

Nur B ist jetzt noch nicht festgelegt; fur B kommen noch die Ziffern 2, 3, 4, 6, 7, 8 und 9 inFrage – dies ergibt genau sieben Losungen.

Teil c) Eine Losung ist z. B. 123 + 467 = 590.

Teil d) Wegen C − C = G in der Einerspalte muss G = 0 gelten. Der Hunderterspalteist zu entnehmen, dass A > B gilt. Der Zehnerspalte ist dann zu entnehmen, dass nichtA + A = B (ohne Ubertrag), sondern nur A + A = B + 10 gelten kann, woraus A > 5 unddaher A ∈ {6, 7, 8, 9} folgt.

Aus jedem zulassigen A kann man dann zunachst das zugehorige B und hieraus dann Fberechnen. Fur C bleiben dann die noch nicht verwendeten Ziffern ubrig. Fur A = 9 erhaltman B = 8 und hieraus F = 0. Da die erste Ziffer einer Zahl niemals eine Null ist, kann A = 9nicht gelten. Fur A ∈ {6, 7, 8} erhalt man dann folgende Losungen des Kryptogramms (4):

6 2 C− 3 6 C

2 6 0

C ∈ {1, 4, 5, 7, 8, 9}

7 4 C− 2 7 C

4 7 0

C ∈ {1, 3, 5, 6, 8, 9}

8 6 C− 1 8 C

6 8 0

C ∈ {2, 3, 4, 5, 7, 9}


Teil a) Wenn man bei Zahlen mit begrenzter Ziffernzahl moglichst viele Primfaktoren habenmochte, so mussen die Primfaktoren moglichst klein sein. Die kleinste Primzahl ist 2, alsohaben die Zweierpotenzen unter allen Zahlen mit gleicher Ziffernzahl die großte Primlange.

Die großte Zweierpotenz unterhalb von 100 ist die Zahl 64 (64 = 26), die eine Primlange von 6hat. Also konnen zweistellige Zahlen hochstens die Primlange 6 aufweisen.

Teil b) Neben der 64 ist die 96 die einzige andere Zahl unterhalb von 100 mit der Primlange 6(denn 96 = 2 ·2 ·2 ·2 ·2 ·3). Ersetzt man einen der sechs Faktoren 2 durch eine großere Primzahlals 3 (die nachstgroßere Primzahl ist 5), so ergibt sich bereits eine Zahl uber 100, ebenso, wennman zwei der Faktoren durch Primzahlen großer als 2 ersetzt (denn 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 5 = 160 und2 · 2 · 2 · 2 · 3 · 3 = 144).

Teil c) Es sind die Zahlen 32 (32 = 25), 48 (48 = 24 · 3), 80 (80 = 24 · 5) und 72 (72 = 23 · 32).Wenn man bei bei den letzten beiden Zahlen eine der Zweien durch eine Drei ersetzt, ist dieentstehende Zahl großer als 100.

3

Teil d) Da die Zahl 512 (512 = 29) die großte Zweierpotenz unterhalb von 1000 ist, habenalle dreistelligen Zahlen hochstens die Primlange 9.

Teil e) Auch hier gibt es wieder nur zwei Zahlen, namlich die 512 und die 768 (768 = 28 · 3),denn die Zahlen 1152 (1152 = 27 · 3 · 3) und 1280 (1280 = 28 · 5) sind bereits großer als 1000.


Teil a) Der Roller muss mit zwei Leuten hin, mit einem zuruck und wieder mit zweien hinfahren, also zusammen 450 km. Das dauert dann (450/60 =) 71/2 Stunden.

Teil b) Niki will vier Stunden laufen, also 20 km. Der Roller muss daher 280 km fahren,bis er am Treffpunkt mit Niki ankommt, was bei der Geschwindigkeit von 70 km/h ebenfallsvier Stunden dauert. Also muss Niki gar nicht warten. Fur die restlichen 130 km zur Floßburgbraucht der Roller mit 65 km/h genau zwei Stunden, so dass der gesamte Transport in sechsStunden abgewickelt ist.

Teil c) Nach zwei Stunden ist der Roller in Floßburg, Niki ist 10 km gelaufen, es bleibennoch 140 km. Wenn der Roller ihm entgegenkommt, fahrt er 15-mal so schnell wie Niki, erlegt also 15

16des Weges von 140 km, also 131,25 km, zuruck. Den Rest lauft Niki, das sind

(140 − 131,25 =) 8,75 km. Niki muss also insgesamt 18,75 km laufen.

Fur die Fahrtstrecke von 131,25 km braucht der Roller (131,25/75 =) 7/4 Stunden, so dass diegesamte Transportzeit nun 2 h + 7/4 h + 7/4 h = 5 h 30 min betragt.

Elegante Alternativlosung : In einer Stunde legen Michi und der Roller zusammen 80 kmzuruck. Sie treffen sich nach genau 300 km Gesamtstrecke. Daraus folgt, dass das Treffennach 3 h45 min erfolgt, oder nach 18,75 km fur Michi. Insgesamt dauert die Reise 3 h 45 min +1 h 45 min = 5 h 30 min.


Teil a) Drei Puzzle-Teile haben einen Flacheninhalt von (3 · 8 =) 24 Kastchen. MoglicheSeitenlangen fur das Rechteck sind 1×24, 2×12, 3×8 und 4×6.

1×24 entfallt, weil alle Teile breiter sind. 2×12 entfallt, weil nur zwei Teile der Breite 2vorhanden sind. Das 3×8-Rechteck kann man nicht mit drei verschiedenen Teilen auslegen,man braucht immer eine Form doppelt.

Fur das 4×6-Rechteck kann man z.B. die folgenden Moglichkeiten finden:

(2), (3), (1) (5), (8), (1) (5), (4), (7)

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Teil b) Da 24 = 23 · 3 gilt, ist 24 · 32 = 144 die kleinste Quadratzahl alsVielfaches von 24 und man kann aus sechs dieser Rechtecke ein Quadratlegen, wie in der nebenstehenden Abbildung gezeigt.

Die Seitenlange des Quadrats betragt 12 Kastchenlangen.

Teil c) Die Beispiele zeigen mogliche Losungen:

(1) & (3) (2) & (5) (1) & (2) (2) & (5)

Teil d) Hier sind drei mogliche Losungen angegeben:

(1), (2), (4), (7), (8) (1), (3), (4), (5), (7) (2), (3), (4), (5), (7)

Teil e) Das Beispiel zeigt eine mogliche Losung:

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Teil a) Stefanies Behauptung kann beispielhaft und ubersichtlich in folgender Tabelle uber-pruft werden, wobei die rechte Spalte schon Teil der Losung von Aufgabenteil b) ist:

Schritt Teilaufgabe Beispiel Allgemein

1. Denke dir eine Zahl, 12 x

2. addiere 17, (12 + 17 =) 29 x + 17

3. multipliziere mit 3, (29 · 3 =) 87 (x + 17) · 34. subtrahiere deine Zahl, (87 − 12 =) 75 (x + 17) · 3 − x

5. subtrahiere 1, (75 − 1 =) 74 (x + 17) · 3 − x − 1

6. dividiere durch 2, (74 : 2 =) 37(x + 17) · 3 − x − 1

2

7. subtrahiere deine Zahl, (37 − 12 =) 25(x + 17) · 3 − x − 1

2− x

8. multipliziere mit 2. (25 · 2 =) 50((x + 17) · 3 − x − 1

2− x

)

· 2

Teil b) Bezeichnet man mit x die gedachte Zahl, dann folgt aus der Erzahlung fur die letzteZahl

(

(x + 17) · 3 − x − 12

− x)

· 2 =(

2x + 502

− x)

· 2 = (x + 25 − x) · 2 = 25 · 2 = 50.

Daher liefert Stefanies Verfahren fur jede beliebige gedachte Zahl als Ergebnis die 50, also dieGeburtstagszahl der Mathematik-Olympiade.


Wir bezeichnen das Kastchen mit der Aufschrift”Gold oder Sand“ mit K1, das Kastchen mit

der Aufschrift”Kieselsteine oder Holz“ mit K2, das Kastchen mit der Aufschrift

”Gold oder

Holz“ mit K3 und das Kastchen ohne Aufschrift mit K4.

Da jedes Kastchen nur ein Material enthalt, kann keines der Materialien mehrfach vorkommen.Kame eines mehrfach vor, gabe es fur die anderen Materialien zu wenige Kastchen.

Wir zeigen nun durch eine vollstandige Fallunterscheidung, dass Anna mit Sicherheit dasKastchen mit Gold erhalten kann, wenn sie sich das Kastchen ohne Aufschrift zeigen lasst:

Fall 1: Wenn K4 Gold enthalt, so hat sie das richtige Kastchen schon gefunden.

Fall 2: Wenn K4 Sand enthalt, so muss K1 Gold enthalten, da K1 nicht noch einmal Sandenthalten kann.

Fall 3: Wenn K4 Kieselsteine enthalt, so muss K2 Holz enthalten, da K2 nicht noch einmalKieselsteine enthalten kann. Da K3 nun nicht noch einmal Holz enthalten kann, muss K3 Goldenthalten.

Fall 4: Wenn K4 Holz enthalt, so muss K3 Gold enthalten, da K3 nicht noch einmal Holzenthalten kann.

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In jedem Fall kann Anna folglich nach der Prufung des Inhalts des Kastchens ohne Aufschrifteindeutig ermitteln, welches Kastchen Gold enthalt und sich dann fur dieses Kastchen ent-scheiden.

Hinweis : Aus der Aufgabenstellung kann fur die jeweiligen Falle (nach Prufung des Inhaltsdes Kastchens ohne Aufschrift) der Inhalt der anderen Kastchen ermittelt werden. Dies wirdjedoch laut Aufgabenstellung nicht gefordert.


12αα

γ

β

⊕⊕E

C

BA

Abbildung L 3 a

Die Großen der Innenwinkel im Dreieck ABC werden wieublich mit α, β und γ bezeichnet, siehe Abbildung L 3 a.Zusatzlich wurde mit ⊕ die Gleichschenkligkeit gekenn-zeichnet. Die mathematische Formalisierung der drei An-gaben lautet dann:

(1) |AC| = |BC|.(2) |<) BAE| = |<) EAC| = 1

2α und E liegt auf BC .

(3) |<) AEB| = 90◦.

Wegen (1) ist das Dreieck ABC gleichschenklig und mitdem Basiswinkelsatz folgt

α = β. (4)

Aus (2) und (3) folgt fur das Dreieck ABE mit dem Innenwinkelsatz 12α + β + 90◦ = 180◦,

also 12α + β = 90◦ und daher

α + 2β = 180◦. (5)

Aus (4) und (5) folgt durch Einsetzen α + 2α = 180◦, also 3α = 180◦ und daher α = 60◦.Wegen (4) folgt hieraus β = 60◦. Mit dem Innenwinkelsatz fur das Dreieck ABC folgt dannγ = 60◦.

Somit ist nachgewiesen, dass sich aus den Angaben (1), (2) und (3) die Großen der Innenwinkelim Dreieck ABC eindeutig ermitteln lassen, und es gilt α = β = γ = 60◦.

Hinweis : Zur Uberprufung der logischen Korrektheit der Losung kann der Losungsgraph inAbbildung L 3 b hilfreich sein.

(3)

(2)

(1)

(5)

(4)

α = 60◦

β = 60◦

γ = 60◦

Bws

b Iws

bE; U

b Eb Iws

Abbildung L 3 b

Dabei werden links die gegebenen Bedingungen notiert und die abgeleiteten Feststellungendurch Kanten mit diesen verbunden. Die Kanten des Graphen werden dabei mit den zur

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Begrundung verwendeten Satzen und Schlussregeln belegt. Es wurden die Abkurzungen Ba-siswinkelsatz (Bws), Innenwinkelsatz (Iws), Einsetzen (E) und Umformen (U) verwendet.

Aufgabe 4 (”Alternativaufgabe“) - Losung 10 Punkte

Teil a) Wir ermitteln das in Kubikzentimeter gemessene Gesamtvolumen V aller Wurfel:

1 · 73 = 1 · 343 = 343,

5 · 43 = 5 · 64 = 320,

5 · 33 = 5 · 27 = 135,

6 · 23 = 6 · 8 = 48,

12 · 13 = 12 · 1 = 12,

V = 858.

Wenn es einen Quader gibt, der sich aus allen diesen Wurfeln zusammensetzen lasst, dann mussV = a·b·c gelten, wobei die positiven ganzen Zahlen a, b und c die Maßzahlen der Kantenlangendes zu bauenden Quaders sind. Da der großte Wurfel die Kantenlange 7 cm hat, muss ohneBeschrankung der Allgemeinheit 7 ≤ a ≤ b ≤ c gelten. Aus der Primfaktorenzerlegung 858 =2 ·3 ·11 ·13 folgt jedoch a ≤ 6. Folglich kann Kurt aus den vorhandenen Wurfeln keinen Quaderbauen, wenn er dabei alle Wurfel verwenden will.

Damit ist nachgewiesen, dass die zu zeigende Aussage gilt.

Teil b) Angenommen, es ware moglich, einen Quader aus allen vorgegebenen Wurfeln zu bau-en. Wir ermitteln wieder das in Kubikzentimeter gemessene Gesamtvolumen V aller Wurfel:

1 · 63 = 1 · 216 = 216,

8 · 43 = 8 · 64 = 512,

15 · 23 = 15 · 8 = 120,

10 · 13 = 10 · 1 = 10,

V = 858.

Wegen 858 = 2 · 3 · 11 · 13 und da der großte zur Verfugung stehende Wurfel die Kantenlange6 cm hat, muss der Quader die Kantenlangen 6 cm, 11 cm, 13 cm haben. Ohne Beschrankungder Allgemeinheit habe er die Hohe 6 cm.

Wir schauen nun von oben auf den Quader. Wir sehen ein Rechteck mit der Lange 13 cm undmit der Breite 11 cm, dieses hat einen Flacheninhalt von (11 cm·13 cm =) 143 cm2. Von diesemFlacheninhalt werden 36 cm2 schon vom Wurfel mit der Kantenlange 6 cm beansprucht. Da dieHohe nur 6 cm betragt, konnen keine der Wurfel mit der Kantenlange 4 cm auch nur teilweiseubereinander liegen. In der Draufsicht mussen die Grundflachen dieser 8 Wurfel folglich in denRestflacheninhalt von (143 cm2 − 36 cm2 =) 107 cm2 hineinpassen. Sie benotigen dafur jedoch(8 · 4 cm · 4 cm =) 128 cm2. Wir erhalten also einen Widerspruch.

Kurt kann also wieder keinen Quader unter Verwendung aller zur Verfugung gestellten Wurfelbauen.

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I. Es bezeichne x die Anzahl der teilnehmenden Schuler. Dann erhalt beim Fototausch jederSchuler x − 1 Fotos. Also gilt

x · (x − 1) = 2450. (1)

Weil 50 · 49 = 2450 gilt, ist 50 eine Losung von (1).

II. Da fur ganze Zahlen x mit x > 50

x · (x − 1) > (x − 1)2 ≥ 502 > 2450

gilt und da fur ganze Zahlen x mit 0 < x < 50

x · (x − 1) < x2 ≤ 492 < 2450

gilt, konnen keine weiteren ganzen Zahlen Losung von (1) sein.

Aus I. und II. folgt, dass die Anzahl der Schuler, die am Ferienlager teilgenommen haben,eindeutig bestimmt werden kann und dass diese Anzahl 50 ist.

Hinweis : Auch aus der Primfaktorzerlegung 2450 = 2 ·52 ·72 erhalt man durch systematischesProbieren nur 50 als einzige Losung der Aufgabe.


Teil a) Das angewendete Verfahren lautet:

– Schreibe in die zweite und in die vierte Zeile des Schemas das Produkt der beiden Ziffernder zu quadrierenden Zahl als zweistellige Zahl (bei einem einstelligen Produkt durchVoranstellen einer 0). Die erste Ziffer des Produkts steht jeweils an der Hunderterstelle.

– Schreibe in die dritte Zeile des Schemas die vierstellige Zahl, die man erhalt, indem mandas Quadrat der Zehnerziffer und das Quadrat der Einerziffer der zu quadrierenden Zahlnebeneinander schreibt. Einstellige Quadrate sind dabei durch eine vorangestellte 0 zuerganzen. Die erste Ziffer dieser Zahl steht an der Tausenderstelle.

– Addiere die drei in der angegebenen Anordnung eingetragenen Zahlen unter Berucksich-tigung der Stellen.

Nach dem Verfahren ergeben sich fur die Quadratzahlen von 59, 82 und 19 folglich:

592

45258145

3481

822

16640416

6724

192

09018109

361

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Teil b) Fur jede zweistellige Zahl x mit der Zehnerziffer a und der Einerziffer b gilt x = 10a+b.Hieraus folgt

x2 = (10a + b)2 = 100a2 + 20ab + b2 = 10ab + (100a2 + b2) + 10ab. (1)

Da 100a2 auf zwei Nullen endet und a2 und b2 hochstens zweistellig sind, ist 100a2 + b2

eine hochstens vierstellige Zahl, bei der die beiden Quadratzahlen von a und b nebeneinanderstehen, wobei b2 links durch eine 0 erganzt werden muss, wenn b2 einstellig ist. An der Stellungvon ab in der Addition erkennt man, dass eigentlich 10ab unter dem oberen und uber demunterem Strich steht. Die Rechnung lautet daher

(10a + b)2

10ab100a2 + b2

+ 10ab

100a2 + 20ab + b2

und ist wegen (1) richtig.

Teil c) Es sei nun x = 100a + 10b + c eine dreistellige Zahl mit den Ziffern a, b und c. Danngilt

x2 = (100a + 10b + c)2

= 10000a2 + 1000ab + 100ac + 1000ab + 100b2 + 10bc + 100ac + 10bc + c2

= 100ac + (1000ab + 10bc) + (10000a2 + 100b2 + c2) + (1000ab + 10bc) + 100ac. (2)

Dies kann schematisch dargestellt werden als

(100a + 10b + c)2

100ac1000ab + 10bc

10000a2 + 100b2 + c2

1000ab + 10bc+ 100ac

10000a2 + 1000ab + 100ac + 1000ab + 100b2 + 10bc + 100ac + 10bc + c2

Das Produkt ac ist also in der zweiten und sechsten Zeile um zwei Stellen nach links ein-zurucken. In der dritten Zeile und funften Zeile ist das Produkt ab um drei Stellen nachlinks, das Produkt bc um eine Stelle nach links einzurucken. Da bc nur hochstens zweistelligist, mussen die fehlenden Stellen mit 0 besetzt werden. In der vierten Zeile werden a2 umvier Stellen nach links, b2 um zwei Stellen nach links eingeruckt und c2 eingetragen. Da dieQuadrate hochstens zweistellig sind, mussen eventuell fehlende Stellen mit 0 besetzt werden.

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Das gefundene Verfahren lautet:

– Schreibe in die zweite und in die sechste Zeile des Schemas das Produkt der erstenund der dritten Ziffer der zu quadrierenden Zahl. Ein einstelliges Produkt ist dabeidurch eine vorangestellte 0 zu erganzen. Die erste Ziffer dieser Zahl steht jeweils an derTausenderstelle.

– Schreibe in die dritte und in die funfte Zeile des Schemas die vierstellige Zahl, die manerhalt, indem man das Produkt aus der ersten und der zweiten Ziffer und das Produktaus der zweiten und der dritten Ziffer der zu quadrierenden Zahl nebeneinander schreibt.Einstellige Produkte sind dabei wieder durch eine vorangestellte 0 zu erganzen. Die ersteZiffer der zu bildenden Zahl steht an der Zehntausenderstelle.

– Schreibe in die vierte Zeile des Schemas die sechsstellige Zahl, die man erhalt, indem mandie Quadrate der drei Ziffern nebeneinander schreibt. Einstellige Quadrate sind dabeiwieder durch eine vorangestellte 0 zu erganzen. Die erste Ziffer der zu bildenden Zahlsteht an der Hunderttausenderstelle.

– Addiere die eingetragenen Zahlen analog wie bei dem Verfahren fur zweistellige Zahlen.

Wir berechnen nun 5242 = 274576, einmal indem wir die Zahlen wie oben beschrieben anord-nen, und einmal indem wir das Einrucken durch Nullen kennzeichnen:

524

201008

250416100820

274576

524

200010080

250416100802000

274576


Nach Aufgabenstellung bezeichnen α und β die Großen der Innenwinkel BAC und CBA imDreieck ABC. Weiterhin bezeichne γ die Große des Innenwinkels ACB und δ die Große desWinkels BDC.

α β3α

γ

C

A DB

Abbildung L 3 a

Die mathematische Formalisierung der vier Anga-ben lautet dann:

(1) D liegt auf AB.

(2) α < 45◦.

(3) δ = 3α.

(4) γ = δ.

Wir losen zuerst Aufgabenteil b).

Teil b) Aus (3) und (4) folgt durch Einsetzen γ = 3α. Aus dem Innenwinkelsatz fur dasDreieck ABC folgt hieraus β = 180◦− α − γ = 180◦− α − 3α, also

β = 180◦− 4α. (5)

Wegen (2) gilt β = 180◦− 4α > 0◦.

Teil a) Aus α = 20◦ und (5) folgt β = 180◦− 4α = 180◦− 80◦, also β = 100◦.

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Teil c) (Die Aufgabenstellung”Ermittle alle“ erfordert (I.) die Bestimmung aller moglichen

Werte und (II.) den Nachweis, dass zu diesen Werten auch tatsachlich ein Dreieck mit dengeforderten Eigenschaften existiert. Laut Aufgabenstellung darf hier auf II. verzichtet werden,wird aber fur den interessierten Schuler trotzdem abgedruckt.)

I. Wegen (2) konnen nur die Winkel ACB und CBA die Große 90◦ haben.

Wenn β = 90◦ gilt, so folgt aus (5), dass 90◦ = 180◦−4α gilt und daher α = 22,5◦ gelten muss.

Wenn γ = 90◦ gilt, dann folgt aus (3) und (4), dass 90◦ = γ = δ = 3α gilt und daher α = 30◦

gelten muss.

II. Es existiert ein Dreieck ABC mit den Winkelgroßen α = 22,5◦, β = 90◦ und γ = 67,5◦,da die Summe dieser Großen 180◦ ist. Offenbar ist dieses Dreieck rechtwinklig und es gilt(2). Es gibt genau eine Gerade g, welche durch den Eckpunkt C verlauft, mit der GeradenBC den Winkel 22,5◦ einschließt und die Strecke AB schneidet. Letzteres ist moglich, weil22,5◦ < γ gilt. Damit erfullt der Schnittpunkt D von g mit AB die Bedingung (1). Aus demInnenwinkelsatz fur das Dreieck DBC folgt |<) BDC| = 67,5◦. Daher sind auch (3) und (4)erfullt.

Es existiert auch ein Dreieck ABC mit den Winkelgroßen α = 30◦, β = 60◦ und γ = 90◦, daauch hier die Summe dieser Großen 180◦ ist. Offenbar ist dieses Dreieck rechtwinklig und esgilt (2). Es sei D der Lotfußpunkt des Punktes C auf die Gerade AB. Da das Dreieck ABCrechtwinklig bei C ist, folgt (1) und |<) BDC| = 90◦ = 3α = γ. Daher sind auch (3) und (4)erfullt.

Aus I. und II. folgt, dass ein rechtwinkliges Dreieck ABC mit den Eigenschaften (1), (2), (3)und (4) genau dann existiert, wenn α = 22,5◦ oder α = 30◦ gilt.

Hinweis : Um fur den Aufgabenteil b) einen Losungsweg zu finden, ist es gunstig, zunachstden Teil a) zu losen, indem man in eine geeignet gezeichnete (u.U. sogar konstruierte) Figurfur α und 3α die gegebenen Werte 20◦ und 60◦ eintragt. Dann lassen sich alle anderen Winkelallein mit Hilfe des Innenwinkelsatzes und des Nebenwinkelsatzes berechnen.

Beim Darstellen der Losung ist es gunstig, mit Teil b) zu beginnen, da man dann die Losungvon Teil a) sofort durch Einsetzen erhalten kann. Durch Verwenden des (aus dem Neben-winkelsatz und dem Innenwinkelsatz folgenden) Außenwinkelsatzes lasst sich die dargestellteLosung verkurzen.

Aufgabe 4 (”Alternativaufgabe“) - Losung 10 Punkte

Teil a) Wahlt man A und B als Eckpunkte eines Dreiecks aus, so kommt noch einer derPunkte C, D, E, F als dritter Eckpunkt infrage. Folglich gibt es 4 verschiedene Dreiecke dieserArt.

Wahlt man A und C als Eckpunkte eines Dreiecks aus, so kommt noch einer der Punkte D,E, F als dritter Eckpunkt infrage, da das Dreieck ABC bereits gezahlt wurde. Im Folgendenwerden bereits gezahlte Objekte nicht mehr erwahnt. Folglich gibt es 3 verschiedene Dreieckedieser Art.

Wahlt man A und D als Eckpunkte eines Dreiecks aus, so kommt noch einer der Punkte E,F als dritter Eckpunkt infrage. Folglich gibt es 2 verschiedene Dreiecke dieser Art.

Wahlt man A und E als Eckpunkte eines Dreiecks aus, so kommt nur noch F als dritterEckpunkt infrage. Folglich gibt es 1 Dreieck dieser Art.

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Wahlt man B und C als Eckpunkte eines Dreiecks aus, so kommt noch einer der Punkte D,E, F als dritter Eckpunkt infrage. Folglich gibt es 3 verschiedene Dreiecke dieser Art.

Wahlt man B und D als Eckpunkte eines Dreiecks aus, so kommt noch einer der Punkte E,F als dritter Eckpunkt infrage. Folglich gibt es 2 verschiedene Dreiecke dieser Art.

Wahlt man B und E als Eckpunkte eines Dreiecks aus, so kommt nur noch F als dritterEckpunkt infrage. Folglich gibt es 1 Dreieck dieser Art.

Wahlt man C und D als Eckpunkte eines Dreiecks aus, so kommt noch einer der Punkte E,F als dritter Eckpunkt infrage. Folglich gibt es 2 verschiedene Dreiecke dieser Art.

Wahlt man C und E als Eckpunkte eines Dreiecks aus, so kommt nur noch F als dritterEckpunkt infrage. Folglich gibt es 1 Dreieck dieser Art.

Wahlt man D und E als Eckpunkte eines Dreiecks aus, so kommt nur noch F als dritterEckpunkt infrage. Folglich gibt es 1 Dreieck dieser Art.

Wegen 4 + 3 + 2 + 1 + 3 + 2 + 1 + 2 + 1 + 1 = 20 kann man folglich genau 20 verschiedeneDreiecke zeichnen.

Teil b) Bei der Auswahl von zwei nicht benachbarten Sehnen (und damit vier Eckpunkten)fur ein Sehnenviereck wird dieses genau dann konvex, wenn man dabei nur solche Sehnenbeachtet, die einander nicht schneiden.

Wahlt man AB als eine Seite des Sehnenvierecks, dann konnen mit den Sehnen CD, CE, CF ,DE, DF und EF insgesamt 6 verschiedene Sehnenvierecke gebildet werden.

Wahlt man AC als eine Seite des Sehnenvierecks, dann konnen mit den Sehnen DE, DF undEF insgesamt 3 verschiedene Sehnenvierecke gebildet werden.

Wahlt man AD als eine Seite des Sehnenvierecks, dann kann nur mit der Sehne EF noch 1Sehnenviereck gebildet werden.

Wahlt man BC als eine Seite des Sehnenvierecks, dann konnen mit den Sehnen DE, DF undEF insgesamt 3 verschiedene Sehnenvierecke gebildet werden.

Wahlt man BD als eine Seite des Sehnenvierecks, dann kann nur mit der Sehne EF noch 1Sehnenviereck gebildet werden.

Wahlt man CD als eine Seite des Sehnenvierecks, dann kann nur mit der Sehne EF noch 1Sehnenviereck gebildet werden.

Wegen 6+3+1+3+1+1 = 15 gibt es genau 15 verschiedene Sehnenvierecke der gefordertenArt.

Teil c) Jeweils einer der sechs Punkte kommt als Eckpunkt eines Funfecks nicht infrage. Ausden verbleibenden 5 Punkten kann man jeweils nur ein konvexes Funfeck bilden, so dass esgenau 6 verschiedene konvexe Funfecke der geforderten Art gibt.

13




Teil a) Auch bei Fortsetzung der Folge der Quadratzahlen liefert die zweite Differenzenfolgeden Wert 2:

1 4 9 16 25 36

3 5 7 9 11

2 2 2 2

Teil b) Bei Kubikzahlen ergibt die dritte Differenzenfolge den konstanten Wert 6:

1 8 27 64 125 216

7 19 37 61 91

12 18 24 30

6 6 6

Diese an Beispielen gewonnene Aussage lasst sich unter Verwendung von

(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

beweisen. Es seien n3, (n + 1)3, (n + 2)3 und (n + 3)3 vier beliebige aufeinander folgendeKubikzahlen. Es gilt

(n + 1)3 = n3 + 3n2 + 3n + 1

(n + 2)3 = n3 + 6n2 + 12n + 8

(n + 3)3 = n3 + 9n2 + 27n + 27

Die entsprechende Differenzenbildung lautet:

n3 (n + 1)3 (n + 2)3 (n + 3)3

3n2 + 3n + 1 3n2 + 9n + 7 3n2 + 15n + 19

6n + 6 6n + 12

6

Teil c) Betrachten wir noch einmal die ersten zwei Differenzenfolgen der Quadratzahlen a2,(a + 1)2, und (a + 2)2, wobei wir statt (a + 2) auch (a + 1) + 1 schreiben konnen. Die erstenDifferenzen sind dann 2a+1 bzw. 2 (a+1)+1, die Differenz daraus ist 2. Wir halten fest: Diezweite Differenz aus der Folge der Quadratzahlen ist konstant 2.

Fur Kubikzahlen gilt (a + 1)3 = a3 + 3 a2 + 3a + 1. Damit haben die aufeinander folgendenKubikzahlen a3, (a+1)3, ((a+1)+1)3 und ((a+2)+1)3 folgende erste Differenzen: 3a2+3a+1,3 (a+1)2+3 (a+1)+1 und 3 (a+2)2+3 (a+2)+1. In der zweiten Differenzenfolge verschwindetjeweils der letzte Summand 1, denn 1 − 1 ist immer Null. Die mittleren Summanden 3a,3 (a + 1) und 3 (a + 2) haben jeweils die konstante Differenz 3, die ihrerseits in der drittenDifferenzenfolge zu Null wird. Damit wird die dritte Differenzenfolge nur durch zweimaligeDifferenzbildung der Werte 3a2, 3 (a+1)2 und 3 (a+2)2 aus der ersten Differenzenfolge gebildet.Wenn aber die zweite Differenz aus der Folge a2, (a + 1)2, (a + 2)2 konstant 2 war, muss die

14

zweite Differenz aus 3a2, 3 (a + 1)2 und 3 (a + 2)2 konstant 3 · 2 = 6 sein. Wir halten fest: Diedritte Differenz aus der Folge der dritten Potenzen ist konstant 6 = 3 · 2 = 3!.

Fur vierte Potenzen gilt (a + 1)4 = a4 + 4 a3 + 6a2 + 4a + 1. Die Differenzen zwischen denaufeinander folgenden vierten Potenzen sind damit 4a3 +6a2 +4a+1, 4 (a+1)3 +6 (a+1)2 +4 (a + 1) + 1, 4 (a + 2)3 + 6 (a + 2)2 + 4 (a + 2) + 1 und 4 (a + 3)3 + 6 (a + 3)2 + 4 (a + 3) + 1.Bei mehrfacher Differenzenbildung verschwinden die letzten Summanden, maßgebend ist diedritte Differenz der Teilfolge 4a3, 4 (a + 1)3, 4 (a + 2)3, 4 (a + 3)3. Da wir hier das Vierfachevon Kubikzahlen haben, hat die vierte Differenzenfolge der vierten Potenzen den konstantenWert 24 = 4 · 3 · 2 = 4!

Eine Fortsetzung dieser Betrachtungen mit (a + 1)5 = a5 +5 a4 + 10a3 +10a2 + 5a +1, ergibt,dass die funfte Differenzenfolge der funften Potenzen den konstanten Wert 120 = 5 ·4 ·3 ·2 = 5!hat.

Die bisherigen Ergebnisse lassen auf folgende Vermutung schließen: Bei zehnten Potenzentritt erstmals bei der zehnten Differenzenfolge ein konstanter Wert auf. Dieser Wert ist10! = 10 · 9 · 8 · 7 · 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1.

Diese Vermutung kann u. a. mittels handischer Rechnung uberpruft werden. Potenzen derForm (a + 1)10 konnen durch fortlaufendes Ausmultiplizieren (a + 1)(a + 1)(a + 1) · · · (a + 1)oder mit dem Binomischen Satz (siehe auch Pascalsches Dreieck) entwickelt werden.

Hinweis : Die Aufgabenstellung zu Teil c) fordert eine Vorhersage, es ist nicht verlangt, denexakten Nachweis zu fuhren.


α δ

β2

γ2

A I

C

B

Abbildung L 2

(Der Schnittpunkt I der Innenwinkelhal-bierenden ist der Inkreismittelpunkt undliegt deshalb im Inneren des DreiecksABC.) Die Winkelgroßen von <) CBAund <) ACB seien mit β und γ bezeich-net.

Aus der Innenwinkelsumme in den Drei-ecken BCI und ABC ergibt sich

δ = |<) BIC|= 180◦− 1

2(β + γ)

= 180◦− 12

(180◦− α)

= 90◦ + 12

α

Die Große des Winkels hangt also in derTat nicht von der Lage der Punkte B undC auf den Schenkeln ab.


Die ausgedachte vierstellige Zahl bestehe aus der Ziffernfolge [abcd], daraus wird die achtstel-lige Zahl [abcdabcd]. Nun gilt

[abcdabcd] = 10000 · [abcd] + [abcd] = 10001 · [abcd]

15

Damit ist jede Zahl der vorgegeben Form durch 10001 teilbar.

Teil a) Es lasst sich zeigen, dass 10001 der großte gemeinsame Teiler aller derartigen Zahlenist.

Der gesuchte großte gemeinsame Teiler muss insbesondere auch ein gemeinsamer Teiler derzwei kleinsten so gebildeten achtstelligen Zahlen sein. Diese kleinsten Zahlen sind

10001000 = 1000 · 10001 und 10011001 = 1001 · 10001.

Da die Faktoren 1000 und 1001 teilerfremd sind, ist 10001 der großte gemeinsame Teiler derZahlen 10001000 und 10011001. Deshalb kann der großte gemeinsame Teiler aller derartigenachtstelligen Zahlen nur die Zahl 10001 sein.

Teil b) Jeder gemeinsame Teiler ist auch ein Teiler des großten gemeinsamen Teilers. Zerlegtman den großten gemeinsamen Teiler 10001 in Primfaktoren, ergibt sich 10001 = 73 · 137.

Sowohl 73 als auch 137 sind Primzahlen und somit nicht weiter in kleinere (von 1 verschiedene)Faktoren zerlegbar. Damit ist 73 der kleinste von 1 verschiedene gemeinsame Teiler allerbetrachteten achtstelligen Zahlen.


Die Anzahl der Elemente einer endlichen Menge P bezeichnen wir mit |P |. Die gesuchte

Wahrscheinlichkeit ist|R||S| , wobei S die Menge aller Tripel (a; b; c) mit a, b, c ∈ M und a < b < c

ist und R die Teilmenge von S mit a + b + c = 180.

Die Zahl |S| lasst sich folgendermaßen bestimmen: Fur die Auswahl der ersten Zahl hat man179 Moglichkeiten, fur die der zweiten 178 und fur die der dritten noch 177 Moglichkeiten;insgesamt also 179 · 178 · 177 Moglichkeiten. Allerdings ergeben jeweils 6 dieser Moglichkeitendasselbe Tripel (a; b; c) mit a < b < c. Somit ist S = 179 · 178 · 177

6= 939 929.

Kurz: Es gilt |S| =(

1793

)

= 179 · 178 · 1771 · 2 · 3 = 939 929.

|R| bestimmen wir wie folgt: Fur jedes mogliche a untersuchen wir, welche Moglichkeiten esfur die Belegung von b gibt. Fur jedes mogliche a ist c durch die Wahl einer zulassigen Zahl beindeutig bestimmt. Es ergibt sich folgende Tabelle:

a b c Anzahl

1 2 . . . 89 177 . . . 90 88

2 3 . . . 88 175 . . . 90 86

3 4 . . . 88 173 . . . 89 85

4 5 . . . 87 171 . . . 89 83

5 6 . . . 87 169 . . . 88 82

6 7 . . . 86 167 . . . 88 80...

......

...

57 58 . . . 61 65 . . . 62 4

58 59 . . . 60 63 . . . 62 2

59 60 61 1

16

Es fallt auf, dass fur ungerade a die Anzahl zum nachfolgenden ungeraden a um genau 3abnimmt. Ebenso verhalt es sich fur gerade a. Daraus kann man anschaulich entnehmen:

|R| = (88 + 85 + · · ·+ 7 + 4 + 1) + (86 + 83 + · · · + 5 + 2)

= (88 + 2) + (85 + 5) + · · · + (7 + 83) + (4 + 86) + 1

= 29 · 90 + 1 = 2611.

Bei der exakten Herleitung betrachten wir im Folgenden stets Tripel (a; b; c) mit a, b, c ∈ M .Aus a < b < c und a + b + c = 180 folgt sofort:

3 · a < 180, also a ≤ 59,

a + 1 ≤ b, b + c = 180 − a und damit a + 1 ≤ b < 180 − a2

und schließlich c = 180 − a − b.

Gilt umgekehrt

a ≤ 59, a + 1 ≤ b < 180 − a2

und c = 180 − a − b,

dann folgt c > 180 − a2

und damit a < b < c und a + b + c = 180.

Damit ist bewiesen: Ein Tripel (a; b; c) ist genau dann Element von R, wenn

a ≤ 59, a + 1 ≤ b < 180 − a2

und c = 180 − a − b gilt.

Fur jedes ungerade a ≤ 59 gibt es deshalb fur b genau die Moglichkeiten a + 1, . . . , 90− a + 12

.

In diesem Fall erhalt man also (90 − a + 12

) − a = 91 − 32(a + 1) mogliche Tripel.

Fur ungerade a ergeben sich also insgesamt(

91 − 32

(1 + 1))

+(

91 − 32(3 + 1)

)

+ · · ·+(

91 − 32

(59 + 1))

Tripel; dies lasst sich zusammenfassen zu

30 · 91 − 32(2 + 4 + · · ·+ 60) = 30 · 91 − 3 · (1 + 2 + · · · + 30)

= 30 · 91 − 3 · 30 · 312

= 1335.

Fur jedes gerade a ≤ 58 gibt es fur b genau die Moglichkeiten a + 1, . . . , 89 − a2, man erhalt

also (89 − a2) − a = 89 − 3

2a mogliche Tripel.

Fur gerade a erhalt man also insgesamt(

89− 32· 2)

+(

89− 32· 4)

+ · · ·+(

89− 32· 58)

Tripel;

dies lasst sich zusammenfassen zu

29 · 89 − 32

(2 + 4 + · · · + 58) = 29 · 89 − 3 · (1 + 2 + · · ·+ 29)

= 29 · 89 − 3 · 29 · 302

= 1276.

Damit ergibt sich |R| = 1335 + 1276 = 2611.

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit betragt|R||S| = 2611

939929≈ 0,0028.

17




Teil a) Auch bei Fortsetzung der Folge der Quadratzahlen liefert die zweite Differenzenfolgeden Wert 2:

1 4 9 16 25 36

3 5 7 9 11

2 2 2 2

Teil b) Bei Kubikzahlen ergibt die dritte Differenzenfolge den konstanten Wert 6:

1 8 27 64 125 216

7 19 37 61 91

12 18 24 30

6 6 6

Diese an Beispielen gewonnene Aussage lasst sich unter Verwendung von

(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

beweisen. Es seien n3, (n + 1)3, (n + 2)3 und (n + 3)3 vier beliebige aufeinander folgendeKubikzahlen. Es gilt

(n + 1)3 = n3 + 3n2 + 3n + 1

(n + 2)3 = n3 + 6n2 + 12n + 8

(n + 3)3 = n3 + 9n2 + 27n + 27

Die entsprechende Differenzenbildung lautet:

n3 (n + 1)3 (n + 2)3 (n + 3)3

3n2 + 3n + 1 3n2 + 9n + 7 3n2 + 15n + 19

6n + 6 6n + 12

6

Teil c) Betrachten wir noch einmal die ersten zwei Differenzenfolgen der Quadratzahlen a2,(a + 1)2, und (a + 2)2, wobei wir statt (a + 2) auch (a + 1) + 1 schreiben konnen. Die erstenDifferenzen sind dann 2a+1 bzw. 2 (a+1)+1, die Differenz daraus ist 2. Wir halten fest: Diezweite Differenz aus der Folge der Quadratzahlen ist konstant 2.

Fur Kubikzahlen gilt (a + 1)3 = a3 + 3 a2 + 3a + 1. Damit haben die aufeinander folgendenKubikzahlen a3, (a+1)3, ((a+1)+1)3 und ((a+2)+1)3 folgende erste Differenzen: 3a2+3a+1,3 (a+1)2+3 (a+1)+1 und 3 (a+2)2+3 (a+2)+1. In der zweiten Differenzenfolge verschwindetjeweils der letzte Summand 1, denn 1 − 1 ist immer Null. Die mittleren Summanden 3a,3 (a + 1) und 3 (a + 2) haben jeweils die konstante Differenz 3, die ihrerseits in der drittenDifferenzenfolge zu Null wird. Damit wird die dritte Differenzenfolge nur durch zweimaligeDifferenzbildung der Werte 3a2, 3 (a+1)2 und 3 (a+2)2 aus der ersten Differenzenfolge gebildet.Wenn aber die zweite Differenz aus der Folge a2, (a + 1)2, (a + 2)2 konstant 2 war, muss die

18

zweite Differenz aus 3a2, 3 (a + 1)2 und 3 (a + 2)2 konstant 3 · 2 = 6 sein. Wir halten fest: Diedritte Differenz aus der Folge der dritten Potenzen ist konstant 6 = 3 · 2 = 3!.

Fur vierte Potenzen gilt (a + 1)4 = a4 + 4 a3 + 6a2 + 4a + 1. Die Differenzen zwischen denaufeinander folgenden vierten Potenzen sind damit 4a3 +6a2 +4a+1, 4 (a+1)3 +6 (a+1)2 +4 (a + 1) + 1, 4 (a + 2)3 + 6 (a + 2)2 + 4 (a + 2) + 1 und 4 (a + 3)3 + 6 (a + 3)2 + 4 (a + 3) + 1.Bei mehrfacher Differenzenbildung verschwinden die letzten Summanden, maßgebend ist diedritte Differenz der Teilfolge 4a3, 4 (a + 1)3, 4 (a + 2)3, 4 (a + 3)3. Da wir hier das Vierfachevon Kubikzahlen haben, hat die vierte Differenzenfolge der vierten Potenzen den konstantenWert 24 = 4 · 3 · 2 = 4!

Eine Fortsetzung dieser Betrachtungen mit (a + 1)5 = a5 +5 a4 + 10a3 +10a2 + 5a +1, ergibt,dass die funfte Differenzenfolge der funften Potenzen den konstanten Wert 120 = 5 ·4 ·3 ·2 = 5!hat.

Die bisherigen Ergebnisse lassen auf folgende Vermutung schließen: Bei zehnten Potenzentritt erstmals bei der zehnten Differenzenfolge ein konstanter Wert auf. Dieser Wert ist10! = 10 · 9 · 8 · 7 · 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1.

Diese Vermutung kann u. a. mittels handischer Rechnung uberpruft werden. Potenzen derForm (a + 1)10 konnen durch fortlaufendes Ausmultiplizieren (a + 1)(a + 1)(a + 1) · · · (a + 1)oder mit dem Binomischen Satz (siehe auch Pascalsches Dreieck) entwickelt werden.

Hinweis : Die Aufgabenstellung zu Teil c) fordert eine Vorhersage, es ist nicht verlangt, denexakten Nachweis zu fuhren.


Den beiden Kreisen werden regulare Sechsecke mit der Kantenlange r so einbeschrieben, dassjeweils zwei Eckpunkte der Sechsecke mit den Schnittpunkten der beiden Kreise zusammen-fallen, vgl. Abbildung L 2.

Abbildung L 2

Die gesuchte Flache besteht aus 10 gleichseitigen Dreiecken mit der Seitenlange r und 8 Kreis-abschnitten uber einer Sehne mit der Lange r. Der Flacheninhalt eines der Dreiecke betragt

√3

4r2.

Der Flacheninhalt eines Kreisabschnittes ergibt sich aus der Differenz der Flache eines Sechstelseines Kreises mit dem Radius r und dem Flacheninhalt eines gleichseitigen Dreiecks mit derKantenlange r zu

1

6πr2 −

√3

4r2.

19

Somit ergibt sich als Inhalt der Gesamtflache

10

√3

4r2 + 8

(

1

6πr2 −

√3

4r2

)

=

(

4

3π +

√3

2

)

r2.

Zur Bestimmung des Umfangs der schraffierten Flache ist zu berucksichtigen, dass 46

des Um-

fanges eines Kreises im Inneren der Flache liegen. Somit betragt der Umfang der schraffiertenFlache

(

2 · 2π − 4

6· 2π

)

r =8

3πr.


1. Es wird angenommen, dass eine reelle Zahl x die Ungleichung erfullt.

2. Damit die Wurzel existiert, muss dann x + 2 ≥ 0 gelten, also muss x ≥ −2 sein.

3. Fur die Division in der Aufgabenstellung muss außerdem x 6= 0 vorausgesetzt werden.Es gilt also entweder −2 ≤ x < 0 oder x > 0.

4. Gilt x < 0, so ist die linke Seite der Ungleichung negativ, also ist die Ungleichung furalle x aus dem Intervall −2 ≤ x < 0 erfullt.

5. Im Fall x > 0 (dann ist auch x + 1 > 0) kann die Ungleichung aquivalent umgeformtwerden:

√x + 2

x< 1 | · x, x > 0

√x + 2 < x | Quadrieren

x + 2 < x2 | − x − 2

0 < x2 − x − 2 = (x − 2)(x + 1) | : (x + 1), x > 0

0 < x − 2 | + 2

2 < x

Das ergibt eine zweite Teilmenge der Losungsmenge.

6. Da die Fallunterscheidung in den Punkten 4 und 5 nach der Bemerkung in Punkt 3vollstandig ist, gibt es keine weiteren Losungen.

7. Ergebnis: Die Menge der gesuchten reellen Zahlen besteht aus allen Werten x, die eineder beiden Bedingungen −2 ≤ x < 0 oder x > 2 erfullen.


A B

D

EF

C

h2

h1

h

c1 c2

c

Abbildung L 4 a

Wir fuhren die folgenden Bezeichnungen ein:c = |AB|, c1 = |AD|, c2 = |DB|, siehe Abbil-dung L 4 a. Da D ein innerer Punkt der StreckeAB ist, gilt c = c1 + c2. Des Weiteren sei h dieLange der Hohe aus C im Dreieck ABC und h2

der Abstand der Parallelen EF zur GeradenAB. Zudem sei h1 der Abstand des Punktes

20

C zur Geraden EF . Da E ein innerer Punktder Strecke BC ist, folgt h = h1 + h2.

Die Flacheninhaltsformel fur Dreiecke liefert

v = 12· c1 · h2 (4)

w = 12· c2 · h2 (5)

x = 12· |EF | · h1 (6)

y = 12· |EF | · h2 (7)

f = 12· c · h (8)

Aus (4) und (5) folgt

v + w = 12· (c1 + c2) · h2 = 1

2· c · h2.

Zusammen mit (8) und Eigenschaft (2) ergibt sich

12· c · h2 = v + w

(2)= 2

5f

(8)= 2

5· 1

2· c · h ,

woraus h2 = 25h und h1 = 3

5h folgt. Zusammen mit (6) und (7) folgt

x

y=

12· |EF | · h1

12· |EF | · h2

=h1

h2=

35

h

25

h=

3

2. (9)

Also gilt x = 32

y und daher wissen wir

f = v + w + x + y(2)= 2

5f + x + y = 2

5f + 3

2y + y,

also 35

f = 52

y und somit y = 625

f und x = 32

y = 925

f .

Aus Eigenschaft (3) folgt mit (9)

vw

(3)= x

y

(9)= 3

2,

also v = 32

w und damit

25

f(2)= v + w = 3

2w + w = 5

2w,

also w = 425

f und v = 32

w = 625

f .

21

A B

D

EF

C

h2

h1

h

c1 c2

c

Abbildung L 4b

Losungsvariante: Mit den oben eingefuhrtenBezeichnungen gilt: Wie Dreieck ADF hatauch das Dreieck ADE den Flacheninhalt v(gleiche Grundseite, gemeinsame Hohe). Da-mit hat das Dreieck ABE den Inhalt v + w =25

f . Da die Dreiecke ABC und ABE eine ge-

meinsame Grundseite besitzen, folgt h2 = 25

h,

damit ergibt sich h1 = 35

h. Die Dreiecke FEC

und ABC sind wegen EF ‖ AB ahnlich, derAhnlichkeitsfaktor ist h1 : h = 3

5. Damit gilt

x =(

35

)2f = 9

25f . Mit v + w = 2

5f erhalt

man y = f − 925

f − 25

f = 625

f . Das Verhaltnis x : y ist also 925

: 625

= 3 : 2, damit gilt auch

v : w = 3 : 2 = 6 : 4. Wegen v + w = 25

f = 1025

f muss v = 625

f und w = 425

f gelten.

22


Aufgaben fur die 11–13. Klasse


Den beiden Kreisen werden regulare Sechsecke mit der Kantenlange r so einbeschrieben, dassjeweils zwei Eckpunkte der Sechsecke mit den Schnittpunkten der beiden Kreise zusammen-fallen, vgl. Abbildung L 1.

Abbildung L 1

Die gesuchte Flache besteht aus 10 gleichseitigen Dreiecken mit der Seitenlange r und 8 Kreis-abschnitten uber einer Sehne mit der Lange r. Der Flacheninhalt eines der Dreiecke betragt

√3

4r2.

Der Flacheninhalt eines Kreisabschnittes ergibt sich aus der Differenz der Flache eines Sechstelseines Kreises mit dem Radius r und dem Flacheninhalt eines gleichseitigen Dreiecks mit derKantenlange r zu

1

6πr2 −

√3

4r2.

Somit ergibt sich als Inhalt der Gesamtflache

10

√3

4r2 + 8

(

1

6πr2 −

√3

4r2

)

=

(

4

3π +

√3

2

)

r2.

Zur Bestimmung des Umfangs der schraffierten Flache ist zu berucksichtigen, dass 46

des Um-

fanges eines Kreises im Inneren der Flache liegen. Somit betragt der Umfang der schraffiertenFlache

(

2 · 2π − 4

6· 2π

)

r =8

3πr.

23


Angenommen, (x, y, z, w) sei eine Losung des Gleichungssystems.

Aus (2) und (3) werden zunachst die Werte fur x und y bestimmt. (3) in (2) eingesetzt liefert

x2 +

(

12

x2

)2

= 13

x6 − 13x4 + 144 = 0

(x2 − 12)(x2 − 4)(x2 + 3) = 0

mit den Losungen x = ±2 und x = ±2√

3. Dabei entfallen nach Aufgabenstellung die negati-ven Werte.

Aus (3) ergibt sich zu x = 2 der Wert y = 3 und zu x = 2√

3 der Wert y = 1.

Fall 1: x = 2 und y = 3.

Aus (1) ergibt sich −2 − 3z + w = 50, also w = 52 + 3z. Eingesetzt in (4) erhalt man

8 − 3z2 + 52 + 3z = 0

mit den Losungen z = 5; z = −4, wobei der negative Wert entfallt.

Aus (1) ergibt sich weiter −2 − 15 + w = 50, also w = 67.

Durch Einsetzen bestatigt man, dass es sich tatsachlich um eine Losung handelt.

Das Produkt hat den Wert xyzw = 2 · 3 · 5 · 67 = 2010.

Fall 2: x = 2√

3 und y = 1.

Aus (1) ergibt sich −2√

3 − z + w = 50, also w = 50 + 2√

3 + z. Eingesetzt in (4) erhalt man

2√

3 − z2 + 50 + 2√

3 + z = 0

mit den Losungen z =1

2±√

201

4+ 4

√3, wobei der negative Wert entfallt.

Aus (1) ergibt sich weiter −2√

3 −(

1

2+

√

201

4+ 4

√3

)

+ w = 50, also w = 50 + 2√

3 +1

2+

√

201

4+ 4

√3.

Durch Einsetzen bestatigt man, dass es sich tatsachlich um eine Losung handelt.

Das Produkt hat den Wert

xyzw = 2√

3 · 1 ·(

1

2+

√

201

4+ 4

√3

)

·(

50 + 2√

3 +1

2+

√

201

4+ 4

√3

)

< 2√

3 ·(

1

2+ 8

)

·(

50 +7

2+

1

2+ 8

)

=√

3 · 1054 < 2010

und ist damit kleiner als im ersten Fall.

Zusammenfassend stellen wir fest, dass der großte Wert des Produktes xyzw fur ein positivesreelles Losungsquadrupel des Gleichungssystems 2010 betragt.

24


1. Es wird angenommen, dass eine reelle Zahl x die Ungleichung erfullt.

2. Damit die Wurzel existiert, muss dann x + 2 ≥ 0 gelten, also muss x ≥ −2 sein.

3. Fur die Division in der Aufgabenstellung muss außerdem x 6= 0 vorausgesetzt werden.Es gilt also entweder −2 ≤ x < 0 oder x > 0.

4. Gilt x < 0, so ist die linke Seite der Ungleichung negativ, also ist die Ungleichung furalle x aus dem Intervall −2 ≤ x < 0 erfullt.

5. Im Fall x > 0 (dann ist auch x + 1 > 0) kann die Ungleichung aquivalent umgeformtwerden:

√x + 2

x< 1 | · x, x > 0

√x + 2 < x | Quadrieren

x + 2 < x2 | − x − 2

0 < x2 − x − 2 = (x − 2)(x + 1) | : (x + 1), x > 0

0 < x − 2 | + 2

2 < x

Das ergibt eine zweite Teilmenge der Losungsmenge.

6. Da die Fallunterscheidung in den Punkten 4 und 5 nach der Bemerkung in Punkt 3vollstandig ist, gibt es keine weiteren Losungen.

7. Ergebnis: Die Menge der gesuchten reellen Zahlen besteht aus allen Werten x, die eineder beiden Bedingungen −2 ≤ x < 0 oder x > 2 erfullen.


Wir zeigen zunachst, dass es (mindestens) eine Dusche gibt, die von hochstens 5 anderenKabinen aus in Betrieb gesetzt wird. Wir betrachten dazu samtliche (geordneten) Paare (H, D)von Hahnen und Duschen mit der Eigenschaft, dass D in Funktion tritt, wenn man H aufdreht.Weil jeder Hahn H nach Aufgabenstellung in genau 6 dieser Paare vorkommt, ist ihre Anzahlgenau 6 ·100. Gabe es nun zu jeder Dusche 6 (oder mehr) Hahne in anderen Kabinen (und denHahn in der eigenen Kabine), durch deren Betatigung sie in Betrieb gesetzt wird, so gabe esmindestens 7 · 100 derartige Paare (H, D). Dieser Widerspruch zeigt, dass die Annahme falschsein muss.

Wir wahlen nun eine der Duschen aus, die durch hochstens 5 andere Hahne ausgelost werdenkann. In diese Kabine hangen wir ein Handtuch und nennen sie belegt. Alle (hochstens 5)Kabinen, von denen aus die Dusche der belegten Kabine in Betrieb gesetzt wird, werdengesperrt. Durch Offnen des Hahns der belegten Kabine werden genau 5 andere Duschen inBetrieb gesetzt, deren Kabinen ebenfalls gesperrt werden (wenn das nicht bereits geschehenist). Die verbleibenden offenen Kabinen ohne Handtuch nennen wir frei. Ihre Anzahl betragtdann mindestens 100 − 11 = 89.

Ab jetzt betrachten wir nur noch diejenigen Paare (H, D), bei denen H und D sich in freienKabinen befinden. Jeder Hahn H kommt in hochstens 6 Paaren vor, also gibt es insgesamthochstens 6·89 Paare. Wie oben sehen wir nun, dass es (mindestens) eine Dusche in einer freienKabine geben muss, die von hochstens 5 anderen freien Kabinen aus betatigt werden kann.Wir wahlen eine solche Dusche aus, belegen ihre Kabine mit einem Handtuch und sperren

25

alle anderen Kabinen, die diese Dusche auslosen. Durch Offnen des Hahns der zuletzt beleg-ten Kabine finden wir hochstens funf weitere bis dahin freie Kabinen, die ebenfalls gesperrtwerden mussen. Die Anzahl der freien Kabinen (weder gesperrt noch belegt) betragt danachmindestens noch 100 − 2 · 11 = 78.

Durch Fortsetzung dieses Prozesses erhalt man in jedem Schritt eine weitere belegte Kabineund muss maximal 10 Kabinen sperren. Nach 9 solchen Schritten sind genau 9 Kabinen belegt(mit Handtuch) und hochstens 9 · 10 Kabinen gesperrt. Es gibt also wenigstens noch eine freieKabine. Wir belegen eine solche mit dem zehnten Handtuch und sperren alle ubrigen freienKabinen.

Durch das obige Vorgehen werden alle Kabinen gesperrt, von denen aus Duschen der belegtenKabinen in Betrieb gesetzt werden konnen. Weil durch die Hahne der belegten Kabinen auchnur die eigene Dusche und funf weitere in gesperrten Kabinen betatigt werden, funktionierenin den zehn belegten Kabinen alle Duschen korrekt.

Abschließend entferne man die nassen Handtucher.

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