6. Kapitel Synthese zeitdiskreter · PDF fileFranklin(3) behandelt. • Polvorgabeverfahren ... Digital Control of Dynamic Systems; Addison-Wesley; 1990 Prof. Dr.-Ing. Michael Dlabka

Zeitdiskrete Regelsysteme 1-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

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6. Kapitel Synthese zeitdiskreter Regelkreise

6.1 Übersicht über die Reglerentwurfsverfahren Die Reglerentwurfsverfahren für zeitdiskrete Regler lassen sich in vier Kategorien einteilen: 1. Ein bereits für die gegebene Regelstrecke entworfener zeitkontinuierlicher Regler wird

mit einem numerischen Integrationsverfahren in einen Regelalgorithmus und damit in einen Regler im z-Bereich transformiert. Die Grundlagen hierzu sind im Abschnitt 4.10 und die Anwendung zur Transformation eines Reglers im Abschnitt 6.6 beschrieben. Diese Vorgehensweise liefert in vielen Fällen ein ausreichend gutes Verhalten des Regelkreises, sofern die Abtastzeit gegenüber der dominierenden Zeitkonstante ausreichen klein ist.

2. In der ersten Kategorie wird beim Entwurf des zeitkontinuierlichen Reglers nicht

berücksichtigt, dass tatsächlich ein zeitdiskreter Regler vorliegt. Will man die Ergebnisse des Reglerentwurfs gegenüber den nach der ersten Kategorie entworfenen Regler verbessern, muß der D/A- bzw. A/D- Umsetzer in der Regelschleife berücksichtigt werden. Diese wird in der einfachsten Fassung durch ein Totzeitglied mit der halben Abtastzeit erreicht. Diese Vorgehensweise ist ausführlich in dem Buch von Latzel (1) behandelt worden.

3. Die zeitdiskrete Regelstrecke wird mit der Bilinearen Transformation in einen neuen

Parameterbereich transformiert, der im wesentlichen die Eigenschaften des Laplace-Bereiches besitzt (Abschnitt 4.9). In diesem quasikontinuierlichen Parameterbereich wird der Regler entworfen, wobei die Verfahren beim Entwurf zeitkontinuierlicher Regler Anwendung finden. Die Strategie dieses Konzeptes zeigt das unten dargestellte Diagramm: Zeitkontinuierliche Regelstrecke: ~ ( )G sP

s-Bereich

↓ Abtasten A/D-Umsetzer Zeitdiskrete Regelstrecke G zP ( ) z-

Bereich ↓ q-Transformation z

qT

qT

A

A=

+

−

12

12

Transformierte Regelstrecke: G qP# ( ) q-

Bereich ↓

Quasikontinuierlicher Reglerentwurf

q-Bereich

q-Übertragungsfunktion des Reglers G qC# ( ) q-

Bereich 1 W.Latzel; Einführung in die digitalen Regelungen; VDI-Verlag, Düsseldorf, 1995

Prof. Dr.-Ing. Michael Dlabka SS 2007


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↓ Inverse q-Transformation qTzzA

=−+

2 11

z-Übertragungsfunktion des Reglers G zC ( ) z-Bereich

Im Abschnitt 6.5 wird diese Strategie in Verbindung mit dem Reglerentwurf anhand der (quasikontinuierlichen) Frequenzkennlinien der Schleifenübertragungsfunktion an einem Beispiel demonstriert.

4. Der Entwurf findet im z-Bereich statt. Diese vierte Kategorie läßt sich folgendermaßen einteilen: • Heuristische Einstellregeln

Das sind Regeln zur Einstellung von (vorab gewählten) Reglern auf der Basis von Größen, die aus einfachen Experimenten an der Regelstrecke gewonnen wurden. Als Experimente werden häufig der sogenannte Schwingversuch und die Sprungantwort benutzt. Mit diesen Experimenten werden Kenngrößen bestimmt, mit denen über eine empirisch gefundene Formel die Reglerparameter berechnet werden. Der Vorteil dieser Methode liegt darin, daß kein weiteres Modell der Regelstrecke benötigt wird. Allerdings kann man auch keine allzugroße Qualität der Regelung erwarten. Für zeitdiskrete Regelkreise werden häufig die Einstellregeln nach Takahashi(2) angewendet. Es gibt aber eine Vielzahl solcher Einstellregeln, die aber hier nicht behandelt werden sollen.

• Reglerentwurf anhand der Pol- und Nullstellen des Regelkreises. • Wurzelort-Verfahren

Bei dem Wurzelortverfahren werden Pol- und Nullstellen des Reglers vorgegeben und die Polstellen des Regelkreises als Funktion eines reellen Parameters K bestimmt und graphisch dargestellt:

N z K Z z Z z N z N zR C P C( ) ( ) ( ) ( ) ( )= ⋅ P+ , mit: ZC(z), NC(z): Zähler- bzw. Nennerpolynom des Reglers und ZP(z), NP(z) Zähler- bzw. Nennerpolynom der Regelstrecke.

Sollte sich nicht die gewünschte Polstellenkonfiguration für einen Parameterwert K einstellen, so wird durch systematisches Verändern der Regler- Pol- und Nullstellen versucht, die gewünschte Polstellenkonfiguration des Regelkreises zu erreichen. Ausführlich wird das Wurzelortverfahren für zeitdiskrete Regelkreise z.B. in den Büchern von Braun bzw. Franklin(3) behandelt.

• Polvorgabeverfahren Bei den Polvorgabeverfahren, die hier im Mittelpunkt stehen, werden die Polstellen des Regelkreises vorgegeben und die Reglerparameter explizit berechnet (Abschnitt 6.4).

2 Y.Takahashi, C.Chan, D.Auslander; Parametereinstellung bei linearen DDC-Algorithmen; Regelungstechnik 19 (1971), Seiten 237-244. 3 A.Braun; Digitale Regelungstechnik; R.Oldenburg Verlag, München, 1997 G.F.Franklin, J.D.Powell, M.L.Workman; Digital Control of Dynamic Systems; Addison-Wesley; 1990



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• Reglerentwurf durch Parameteroptimierung Das Prinzip dieser Methode besteht, darin unterschiedliche Anforderungen an eine Regelung als Kostenfunktion zu formulieren. Die Minimierung dieser Kostenfunktion mit einer Regelkreisstruktur bzw. einer vorgegebenen Reglerstruktur als Nebenbedingung, liefert den, im Sinne der Kostenfunktion, optimalen Regler. Diese Verfahren werden hier ebenfalls nicht betrachtet, da sie den vorgesehenen Rahmen sprengen. Näheres findet man in fortgeschrittenen Lehrbüchern unter den Stichworten ‘Optimale Regelung’ und ‘Robuste Regelung’.

6.2 Randbedingungen und Kriterien bei Reglerauswahl und Regler- entwurf Bei dem Reglerentwurf sind insbesondere die folgenden Punkte zu beachten, die in bestimmten Beispielen, in den folgenden Unterabschnitten, berücksichtigt werden. 1. Die Abtastzeit muss geeignet festgelegt werden. Die Kriterien zur Wahl der Abtastzeit

sind: a. die Streifenbedingung die für die Regelstrecke nicht verletzt werden darf, siehe

Abschnitt 4.6.1 und das Beispiel im Abschnitt 5.3.3, b. bei der Diskretisierung der Regelstrecke möglichst keine Nullstellen auf oder

außerhalb des Einheitskreises (Stabilität des inversen Systems) bzw. in der Nähe des Punktes z=1 (Summe des Regelfehlers) erzeugt werden, siehe Abschnitt 4.6.2 und 5.7,

c. das Abtasttheorem für die Ausgangsstörgröße, bzw. die auf den Ausgang umgerechnete Eingangsstörgröße ausreichend gut erfüllt ist. Gemeint ist, dass die Aliasanteile des Störspektrums ausreichend klein sind (Abschnitt 4.2 und 4.4). Gegebenenfalls ist ein Antialiasingfilter gemäß der Struktur nach Bild 5.1 einzufügen. Siehe auch das Beispiel im Abschnitt 5.4,

d. das Abtasttheorem für die Führungsgröße ausreichend erfüllt ist (sinngemäß wie bei 3), falls sie analog vorgegeben wird.

2. Die interne Stabilität darf auf keinen Fall verletzt werden. Bei den im nächsten Abschnitt vorgestellten Reglerentwurfsverfahren wird auf diesen Punkt extra eingegangen. Für den Standardregelkreis wurden die Bedingungen im Abschnitt 5.6 untersucht.

3. Das Führungsverhalten wird als zeitkontinuierliches Vergleichsystem nach Abschnitt 5.3.4 vorgegeben. Die Eigenschaften des Vergleichssystems werden aus den praktischen Randbedingungen abgeleitet und / oder aus der maximal zulässigen Stellgröße bestimmt (siehe auch Punkt 4).

4. Forderungen an das asymptotische Verhalten des Regelkreises. Die Bedingungen hierzu sind für den Standardregelkreis im Abschnitt 5.3.1 hergeleitet worden. Für andere Regelkreisstrukturen, wie für die Strukturen (3) (Abschnitt 6.4.4), (Abschnitt 6.4.5) und die IMC-Struktur (Abschnitt 6.4.6); müssen die Bedingungen neu hergeleitet werden.

5. Die Stellgröße sollte bei vorgegebener Führungs- und / oder Störgröße einen bestimmten (physikalisch begründeten) Wert nicht überschreiten. Gegebenenfalls ist die Geschwindigkeit (Bandbreite, Anstiegszeit) des Regelkreises zu reduzieren. Eine



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Vergrößerung der Abtastzeit (falls sie zulässig sein sollte) verringert ebenfalls die Stellgröße.

6. Besitzt das Stellverhalten und / oder das Eingangsstörverhalten einen unzulässigen Einschwingvorgang, der durch Kürzung von Pol- oder Nullstellen der Regelstrecke entstanden ist, so ist diese Kürzung zu vermeiden. Die in diesem Abschnitt vorgestellten Reglerentwurfsverfahren besitzen dabei unterschiedliche Eigenschaften.

6.3. Standard-Regler Katalog Die folgenden Regler werden in vielen Regeleinrichtungen standardmäßig eingesetzt. Die Bezeichnungsweise ist dabei im allgemeinen von den zeitkontinuierlichen Reglern übernommen. Für die gezeigten Sprungantworten gilt für alle Bilder: KP=1, KI=1, KD=3, K1=0.3 P-Regler (Grundglied) y k K u kP( ) ( )= G z Kp( ) =

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2Sprungantwort P-Regler

Bild 6.1a



-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

I-Regler (Grundglied) y k y k K u kI( ) ( ) ( )= − +1

G z KzzI

( ) =−1

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20Sprungantwort I-Regler

Bild 6.1b

D-Regler (Grundglied)

( )y k K u k u kD( ) ( ) ( )= − 1−

G z KzzD( ) =− 1

Das D-Glied wird als Regler nicht eingesetzt (warum?), ist als Grundglied in anderen Reglern aber enthalten.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5Sprungantwort D-Regler

Bild 6.1c

DT1-Regler (Grundglied)

( )y k K y k K u k u kD( ) ( ) ( ) ( )= − + − −1 1 1

G z Kzz KD( ) =−−1

1

Dieses Grundglied tritt ebenfalls nicht isoliert auf, sondern nur in Verbindung mit anderen Reglern.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5Sprungantwort DT1-Regler

Bild 6.1d



-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

PI-Regler

( )y k y k K K u k K u kP I P( ) ( ) ( ) ( )= − + + − −1 1

G z K Kzz

z K K Kz

p I

P I

( )

( )

= +−

=+ −−

1

1P

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

2

4

6

8

10

12

Sprungantwort PI-Regler

Bild 6.1e

PD-Regler

( )y k K K u k K u kP D D( ) ( ) ( )= + − −1

G z K Kzz

z K K Kz

P D

P D

( )

( )

= +−

=+ −

1

D

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

1

2

3

4

5

6Sprungantwort PD-Regler

Bild 6.1f

PDT1-Regler

( ) ( )y k K y k

K K u k K K K u kP D P D

( ) ( )

( ) ( )

= −

+ + − + −1

1

1

1

G z K Kzz K

z K K K K Kz K

P D

P D P

( )

( )

= +−−

=+ − −

−

1

1

1

1

D

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

1

2

3

4

5

6Sprungantwort PDT1-Regler

Bild 6.1g



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PID-Regler

( ) ( )y k y k K K K u k K K u k K u kP I D P D D( ) ( ) ( ) ( ) ( )= − + + + − + − + −1 2 1 2

G z K Kzz

Kzz

z K K K z K K Kz zp I D

P I D P D( )( ) (

( )= +

−+

−=

+ + − + +−1

1 21

2D)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

2

4

6

8

10

12

Sprungantwort PID-Regler

Bild 6.1h

PIDT1-Regler ( )( ) ( ) ( )

y k K y k K y k

K K K u k K K K K K u k K K K u kP I D P I D P D

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

= + − − −

+ + + − + + + − + + −

1 1 2

1 2 11 1

1 1 1 2

( ) ( )

G z K Kzz

Kzz K

z K K K z K K K K K K K Kz K z

p I D

P I D P I D P D

( )

( ) ( )( )( )

= +−

+−−

=+ + − + + + + +

− −

11

1 21

12

1 1 1

1

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

2

4

6

8

10

12

Sprungantwort PIDT1-Regler

Bild 6.1i



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6.4 Analytische Reglerentwurfsverfahren 6.4.1 Übersicht Die folgenden vier Konzepte gehen von der Übertragungsfunktion der Regelstrecke aus und bestimmen rechnerisch einen Regler. Unter Berücksichtigung von gewissen Randbedingungen, durch die Menge der zulässigen Übertragungsfunktionen des Regelkreises eingeschränkt wird, wird eine Übertragungsfunktion vorgegeben und eine Regeleinrichtung so bestimmt, daß damit die Übertragungsfunktion des Regelkreises mit der vorgegebenen Übertragungsfunktion exakt übereinstimmt. Diese vorgegebene Übertragungsfunktion des Regelkreises ist bei den ersten beiden Konzepten (Struktur mit einem Freiheitsgrad) die Führungsübertragungsfunktion, kann prinzipiell auch eine Störübertragungsfunktion sein. Das dritte Konzept geht von der Führungsübertragungsfunktion aus; und bei dem vierten Konzept, eine erweiterte Struktur mit zwei Freiheitsgraden, können zwei Übertragungsfunktionen unabhängig voneinander vorgegeben werden. Die Eigenschaften der vier Konzepte und die jeweiligen Voraussetzungen sind im folgenden zusammengefaßt. 1. Algebraischer Entwurf durch Polvorgabe

• Struktur mit einem Freiheitsgrad. • Regelstrecke kann instabil sein. • Nebenbedingungen können im Ansatz berücksichtigt werden. • Die Polstellen des Regelkreises können frei vorgegeben werden, wobei die

Anzahl der Polstellen durch die Ordnung der Regelstrecke und durch die Anzahl der Nebenbedingungen festgelegt ist.

• Die Nullstellen der Regelstrecke die nicht innerhalb des Einheitskreises liegen, können nicht gekürzt werden, d.h. bleiben im Führungsverhalten erhalten.

• Der Regler wird durch Lösen einer Diophantischen Gleichung (lineares Gleichungssystem) berechnet.

Hieraus folgt die Eigenschaft: • Bei diesem Entwurfsverfahren werden weder Pol- noch Nullstellen der

Regelstrecke (automatisch) gekürzt. 2. Kürzungsentwurf (des Führungsverhaltens)

• Es können alle Pol- und Nullstellen gekürzt werden, die nicht dem Kürzungsverbot unterliegen.

• Struktur mit einem Freiheitsgrad. • Regelstrecke kann instabil sein. • Nebenbedingungen, z.B. in Form von festgelegten Pol- und Nullstellen in der

Reglerübertragungsfunktion, können im Ansatz mit berücksichtigt werden. • Die Nullstellen der Regelstrecke die nicht innerhalb des Einheitskreises liegen,

können nicht gekürzt werden, d.h. bleiben im Führungsverhalten erhalten. Hieraus folgen die weiteren Eigenschaften: • Die Führungsübertragungsfunktion ist in Grenzen frei vorgebbar, d.h. die nicht

gekürzten Nullstellen der Regelstrecke bleiben im Führungsverhalten erhalten. • Die für das Führungsverhalten gekürzten Pol- und Nullstellen der Regelstrecke

sind in anderen Übertragungsfunktionen des Regelkreises weiterhin wirksam.



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• Äußerst einfacher Entwurf, falls die Regelstrecke stabil und minimalphasig ist und keine komplizierten Nebenbedingungen berücksichtigt werden müssen.

3. Erweiterung des algebraischen Entwurfes

• (Eingeschränkte) Struktur mit zwei Freiheitsgraden, die Regler-Nullstellen erscheinen nicht im Führungsverhalten, die Regelstrecken Nullstellen bleiben erhalten, falls sie nicht gekürzt wurden.

• Es treten neue Nullstellen im Führungsverhalten auf, deren Anzahl gleich der Ordnung-1 der für das asymptotische Fehlerverhalten vorgegebenen Reglerpolstellen ist.

• Im übrigen wie 1 bzw. 2. 4. Erweiterte Regelkreisstruktur mit zwei Freiheitsgraden

• Struktur mit zwei Freiheitsgraden. • Führungsverhalten: Entwurf eines Steuergliedes durch Kürzung der Pol- und

Nullstellen der Regelstrecke, wobei Nullstellen, die nicht innerhalb des Einheitskreises liegen, nicht gekürzt werden dürfen. Für die Polstellen der Regelstrecke gilt die Einschränkung nicht.

• Nebenbedingungen können im Ansatz berücksichtigt werden. • Störverhalten: Entwurf völlig unabhängig von dem Führungsverhalten. Hieraus folgen die weiteren Eigenschaften: • Die Führungsübertragungsfunktion ist in Grenzen frei vorgebbar, d.h. die nicht

gekürzten Nullstellen der Regelstrecke bleiben im Führungsverhalten erhalten. • Die für das Führungsverhalten gekürzten Pol- und Nullstellen der Regelstrecke

sind in anderen Übertragungsfunktionen weiterhin wirksam. • Äußerst einfacher Entwurf des Führungsverhaltens.

6.4.2 Reglerentwurf ohne Kürzung mit Polvorgabe für den Regelkreis (1) Vorbemerkungen Die Polstellen der Übertragungsfunktionen des Regelkreises können (bei vorgegebener Ordnung) frei vorgegeben werden. Es können Randbedingungen in Form von Reglerpolstellen vorgegeben werden, so daß für bestimmte Testfunktionen der asymptotische Regelfehler Null wird, siehe Abschnitt 5.3.1 und 5.3.2. Die Nullstellen der Regelstrecke bleiben im Führungsverhalten erhalten, hinzukommen aber noch die Nullstellen des Reglers. Nullstellen der Regelstrecke lassen sich durch Regelkreispolstellen kürzen, sofern sie innerhalb des Einheitskreises liegen. Die Details der einzelnen Schritte des Reglerentwurfs sind dadurch bestimmt, daß die interne Stabilität gesichert und daß der Regler kausal ist.



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(2) Regelkreisstruktur und Definition der Übertragungsfunktionen

R(z) U(z) Y(z)DE(z) DA(z)

E(z) GC(z) GP(z)_

Bild 6.2

Prozeßübertragungsfunktion G zZ zN zPP

P( )

( )( )

=

Reglerübertragungsfunktion G zZ zN zCC

C( )

( )( )

=

Schleifenübertragungsfunktion L z G z G zC P( ) ( ) ( )= Führungsübertragungsfunktion

T zY zR z

G z G zG z G z

Z z Z zZ z Z z N z N z

Z zN z

C P

C P

C P

C P C P

R

R( )

( )( )

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

( )( )

= =+

=+

=1

Ausgangsstörübertragungsfunktion

T zY zD z G z G z

N z N zZ z Z z N z N zDA

A C P

C P

C P C P( )

( )( ) ( ) ( )

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

= =+

=+

11

Eingangsstörübertragungsfunktion

T zY zD z

G zG z G z

N z Z zZ z Z z N z N zDE

E

P

C P

C P

C P C P( )

( )( )

( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

= =+

=+1

Stellübertragungsfunktion (bezüglich der Führungsgröße)

T zU zR z

G zG z G z

Z z N zZ z Z z N z N zUR

C

C P

C P

C P C P( )

( )( )

( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

= =+

=+1

(3) Synthese des Führungsverhaltens ohne Nebenbedingungen Gesucht ist die Reglerübertragungsfunktion:

( ) ( )G zZ zN z

grad Z z grad N z mCC

CC C( )

( )( )

( ) ( )= =mit = ,

so daß die Regelkreis-Übertragungsfunktionen ein vorgegebenes Nennerpolynom besitzen. Die Lösung dieser Aufgabe zerlegen wir in zwei Schritte: Im ersten Schritt werden wir die zunächst noch unbekannte Reglerordnung m bestimmen. Die Lösungsbedingungen des Gleichungssystems zur Bestimmung der Koeffizienten des Zähler- und Nennerpolynoms legen den Grad m der Reglerpolynome fest. Im zweiten Schritt berechnen wir die Koeffizienten des Zähler- und Nennerpolynoms des Reglers. Im Punkt (4) werden wir untersuchen, wie sich Nebenbedingungen berücksichtigen lassen, wie z.B. Vorgabe von Reglerpolstellen, um das stationäre Verhalten vorzugeben. Die Führungsübertragungsfunktion lautet:



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T zL zL z

Z z Z zZ z Z z N z N z

Z zN z

C P

C P C P

R

R( )

( )( )

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

( )( )

=+

=+

=1

Für die Polynome gelten die folgenden Bezeichnungen:

Z z b b z b z b zP nn( ) = + + + + −−

0 1 22

11

N z a a z a z a z zP nn n( ) = + + + + +−−

0 1 22

11

Z z z z z zC mm

mm( ) = + + + + +−

−β β β β β0 1 22

11

N z z z z zC mm m( ) = + + + + +−−α α α α0 1 2

21

1 N z z z z zR m n

m n m n( ) = + + + + ++ −+ − +γ γ γ γ0 1 2

21

1 mit zunächst unbekanntem Grad m der Reglerpolynome ZC(z) und NC(z). Dabei ist die Normierung der Koeffizienten zur höchsten Potenz von z zu 1 bei den Nennerpolynomen zu beachten! Bekannt sind die 2n Koeffizienten der Polynome der Regelstrecken-Übertragungsfunktion und unbekannt sind die 2m+1 Koeffizienten der Reglerpolynome. Multipliziert man die Polynome

N z Z z Z z N z N zR C P C P( ) ( ) ( ) ( ) ( )= + aus, und vergleicht die Koeffizienten der Potenzen von z auf jeder Seite, erhält man eine lineare Gleichung für jede Potenz von z, da diese Polynomgleichung für alle z∈÷ gelten muß. An dieser Stelle muß auf einen wichtigen Punkt hingewiesen werden. Auf Grund der Parametrierung der Polynome durch die Polynomkoeffizienten erhält man ein lineares Gleichungssystem, für das einfache Lösungsalgorithmen existieren. Wählt man allerdings die in der (analogen) Regelungstechnik üblichen Parametrierungen der Regler, wie z.B. für den PIDT1-Regler:

( )( )( )G s V

sT sT

sT sTV s T T V s T T V

sT s T TC CN V

N

C N V C N V

N N( )

( )=

+ +

+=

+ + ++

1 1

1 0

2

20

C ,

so erhält man ein nichtlineares Gleichungssystem in den unbekannten Parametern VC, TV, TN, T0. Gleiches gilt auch für die zeitdiskreten Standard-Regler im Abschnitt 6.3. Nichtlineare Gleichungssysteme sind aber weitaus schwieriger zu lösen als lineare Gleichungssysteme. Soll aber diese Parametrierung trotzdem benutzt werden, so bietet sich ein Zweischritt-Verfahren an: Im ersten Schritt wird ein Regler mit der oben angegebenen Polynom-Koeffizienten Parametrierung berechnet und dann im zweiten Schritt wird der Regler mit der gewünschten Parametrierung daraus berechnet. Im zweiten Schritt erhält man auch wieder nichtlineare Gleichungen, allerdings mit einer geringeren Komplexität im Vergleich zu dem oben beschriebenen direkten Verfahren.



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1

Eine notwendige Bedingung für die eindeutige Lösbarkeit eines Systems linearer Gleichungen ist die Gleichheit der Anzahl der Gleichungen und der Unbekannten. Durch auszählen erhält man:

Anzahl der Unbekannten: 2m+1: Das sind die Koeffizienten α0,..., αm-1, β0,..., βm der Polynome ZC(z) und NC(z).

Anzahl der Gleichungen: m+n: Aus der Ordnung des Nennerpolynoms NR(z) des Regelkreises grad(NR(z))=grad(NC(z))+grad(NP))=m+n erhält man durch Koeffizientenvergleich zwischen den Polynomen NR(z) und ZC(z)ZP(z)+NC(z)NP(z) die m+n Gleichungen, wobei der Koeffizientenvergleich für die Potenz zm+n keine Gleichung liefert da, die Koeffizienten 1 sind.

Hiermit folgt: m+n=2m+1 ⇒ m n= − . Hieraus folgt, daß der Grad der Reglerpolynome m=n-1 ist und daß der Grad des Nennerpolynoms des Regelkreises NR(z) gleich m+n=2n-1 ist. Dieses Verfahren sichert außerdem, daß weder Pol- noch Nullstellen der Regelstrecke gekürzt werden, sofern nicht entsprechende Vorgaben gemacht wurden. Damit werden auch keine Pol- oder Nullstellen auf oder außerhalb des Einheitskreises gekürzt, wodurch die interne Stabilität immer gesichert ist. Mit der Kürzung einer Nullstelle in NP(z) oder ZP(z) der Regelstrecke außerhalb oder auf dem Einheitskreis mit einer entsprechenden Nullstelle ZC(z) bzw. NC(z) des Reglers müßte auch das Nennerpolynom des Regelkreises NR(z) diese Nullstelle enthalten, wie man der Synthesegleichung unmittelbar ansieht:

N z Z z Z z N z N zR C P C P( ) ( ) ( ) ( ) ( ) .= + Wir nehmen nun an: Zählerpolynom der Regelstrecke:

Z z Z z Z zP P P( ) ( ) ( ), ,= ⋅1 2 soll durch Reglerpolstellen gekürzt werden, Z zP2, ( )Nennerpolynom der Regelstrecke:

N z N z N zP P( ) ( ) ( ), ,P= ⋅1 2 soll durch Reglernullstellen gekürzt werden. N zP2, ( )Dann lautet die Übertragungsfunktion des Reglers in der die zu kürzenden Teile der Regelstrecke enthalten sind:

G zZ zN z

N z Z zZ z N zC

C

C

P C

P C( )

( )( )

( ) ~ ( )( ) ~ ( )

,

,= = 2

2

und die Synthesegleichung:

( )( ) ( )(( )( )

N z Z z Z z N z N z

N z Z z Z z Z z Z z N z N z N z

Z z N z Z z Z z N z N z

R C P C P

P C P P P C P P

P P C P C P

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ~ ( ) ( ) ( ) ( ) ~ ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ~ ( ) ( ) ~ ( ) ( )

, , , , ,

, , , ,

),

= +

= +

= +

2 1 2 2 1

2 2 1 1

2

Hieran ist erkennbar, daß solche Kürzungen nur vorkommen können, wenn im Regelkreis-Nenner solche Vorgaben gemacht wurden, den NR(z) wird vorgegeben und Z2,P(z) sowie N2,P(z) sind in NR(z) als Faktor enthalten.



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))+

+

+

Bei diesem Reglerentwurfsverfahren können Nullstellen der Führungsübertragungsfunktion nicht vollständig vorgegeben werden. Die Nullstellen der Führungsübertragungsfunktion setzen sich aus den Nullstellen des Reglers, die durch den Reglerentwurf festliegen, und den der Regelstrecke zusammen. Es besteht aber die Möglichkeit, Streckennullstellen, die nicht dem Kürzungsverbot unterliegen, dadurch zu kürzen, in dem bei dem Regelkreis eine entsprechende Polstelle vorgegeben wird (siehe oben). Auch mit einem Vorfilter lassen sich die Nullstellen beeinflussen, in dem nicht erwünschte Nullstellen durch Polstellen des Vorfilters gekürzt und erwünschte Nullstellen durch das Vorfilter eingefügt werden. Auch hierbei ist das Kürzungsverbot zu beachten. Auf diesen Punkt kommen wir in den folgenden Abschnitten zurück. Jetzt müssen wir konkret dieses Gleichungssystem aufstellen. Durch Ausmultiplizieren der Polynome erhält man:

( )(( )(

Z z Z z N z N z

b b z b z b z b z z z z z

a a z a z a z a z z z z z

z b a

P C P C

nn

nn

nn

nn

nn

nn

nn

nn

( ) ( ) ( ) ( )+ =

+ + + + + + + + + +

+ + + + + + + + + + +

=

+

−−

−−

−−

−−

−−

−−

−−

0 1 22

22

11

0 1 22

22

11

0 1 22

11

0 1 22

22

11

00 0

β β β β β

α α α α α

β( )( )( )

( )

0 01

0 1 1 0 0 1 1 02

0 2 1 1 2 0 0 2 1 1 2 0

20 2 1 3 3 1 2 0 0 2 1 3 3 1 2 0

10 1 1 2 2 1

α

β β α α

β β β α α α

β β β β α α α α

β β β

+

+ + + +

+ + + + + +

+ + + + + + + + +

+ + + +

−− − − − − − − −

−− − − −

z b b a a

z b b b a a a

z b b b b a a a a

z b b b b

nn n n n n n n n

nn n n n( )

( )

( )

1 0 0 1 1 2 2 1 1 0

1 1 2 2 1 1 1 1 2 2 1 1 0

2 32 1 1 2 2 1 1 2 3

2 21 1

β α α α α

β β β α α α α

β β α α α

β

+ + + + +

+ + + + + + + + +

+ + + + +

+

− − − −

− − − − − −

−− − − − − − − − −

−− − −

a a a a

z b b b a a a a

z b b a a a

z b a

n n n nn

n n n n n n n

nn n n n n n n n n n

nn n n( )

( )1 1 2

2 11

0 1 22 2 2 2 2 2 1

α α

α

γ γ γ γ

n n nn

n n

Rn n n

a

z a

N z z z z z

− −

−−

− − −

+ +

= = + + + + +( )

mit an n= =−α 1 1 In Matrixform ((2n)x(2n)-Matrix) lautet dieses Gleichungssystem in zwei Versionen, die erste noch mit αn-1 als Unbekannte und mit der Gleichung für z2n-1:



-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0

0 0 0 0

0

0 00 0

1 1

2 1 2 1

1 2 1 1 2 3 1

0 1 2 1 0 1 2 2 1

0 3 2 0 1 3 2

4 3

ab a ab b a a a

b b b a a a a ab b b b a a a a a

b b b a a a ab b

n

n n n

n n n n n

n n n

n n n n

n n n n

n n

− −

− − − −

− −

− − − −

− − − −

− − 0 0

0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0

0 4 3

0 1 0 1

0 0

1

2

1

0

1

2

3

1

0

a a a

b b a ab a

n n

n

n

n

n

n− −

−

−

−

−

−

⋅

=

ββ

ββααα

αα

γ 2 1

2 2

2 3

1

2

3

1

0

n

n

n

n

n

n

n

−

−

−

−

−

−

γγ

γγγγ

γγ

und die zweite Version, bei der die erste Zeile (wegen an=1 und γ2n-1=1) und die n+1-te Spalte wegen αn-1=1 herausgezogen wurde: bb b a

b b b a a ab b b b a a a a

b b b a a a ab b a a a

b b

n

n n n

n n

n n n n

n n n n

n n n n

−

− − −

− −

− − − −

− − − −

− − − −

1

2 1 1

1 2 1 2 3 1

0 1 2 1 1 2 2 1

0 3 2 0 1 3 2

4 3 0 4 3

0 1

0 0 0 1 0 0 00 0 1 0 0

0 1

00 0 0

0 0 0 00 0 0 0 0 0

0 1

0 0

1

2

1

0

2

3

1

0

2 2

2 3

1

2

3

1

0

a ab a

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

⋅

=

−

−

−

−

−

−

−

−

−

ββ

ββαα

αα

γγ

γγγγ

γγ

−

−

−

aa

aa

n

n

1

2

1

0

00

00

Bei dieser zweiten Form hat die Koeffizientenmatrix das Format (2n-1)x(2n-1). Im Anhang 1 zu diesem Kapitel wird gezeigt, daß diese Matrix genau dann regulär ist, wenn die Polynome ZP(z) und NP(z) keine gemeinsamen Nullstellen besitzen. Diese Matrix, deren Elemente mit den Koeffizienten der Polynome ZP(z) und NP(z) gebildet wird, heißt Resultante R(ZP,NP) der Polynome ZP(z) und NP(z). Im Anhang 2 wird ein MATLAB-Skript angegeben, das diese Gleichung löst.



-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Zusammenfassung:

Regelstrecke: ( ) ( )Z zN z

grad Z z grad N z nPP

PP P( )

( )( )

( ) ( )= <mitG z =

nicht notwendig stabil!

Regler: ( ) ( )G zZ zN z

grad Z z grad N z mCC

CC C( )

( )( )

( ) ( )= =mit =

Reglerordnung: m=n-1 (Ohne weitere Zusatzbedingungen)

Vorgabe: Nennerpolynom des Regelkreises NR(z) mit grad(NR(z))=2n-1

Entwurfsgleichung: N z Z z Z z N z N zR C P C P( ) ( ) ( ) ( ) ( )= +

Diese läßt sich eindeutig lösen, wenn ZP(z) und NP(z) keine gemeinsamen Nullstellen aufweisen.

(4) Synthese des Führungsverhaltens mit Nebenbedingungen Wir wollen als nächstes zeigen, wie man Nebenbedingungen berücksichtigen kann, wie z.B. die Forderung nach stationärer Genauigkeit. Wir werden Reglerpolstellen vorgeben, um für bestimmte Testfunktionen einen verschwindenden asymptotischen Regelfehler zu erhalten (siehe Abschnitt 5.3.1). Den allgemeinen Fall behandeln wir im Abschnitt 6.4.3, im dem wir auch Nullstellen vorgeben werden. Hierzu setzen wir:

NC1(z), Grad(NC1(z))=m1, Teil des Nennerpolynoms, das für den Reglerentwurf frei ist, NC2(z), Grad(NC2(z))=m2, Teil des Nennerpolynoms, mit dem das asymptotische Fehlerverhalten festgelegt wird (z.B. (z-1)λ als Faktor in NC2(z) wie im Abschnitt 5.2.3(2)) und ZC(z), Grad(ZC(z))=m, das Zählerpolynom, mit m1+m2=m.

Durch Abzählen der Anzahl der unbekannten Koeffizienten und der Anzahl der Gleichungen, erhalten wir wieder: Anzahl der unbekannten Koeffizienten: m1+m+1=(m-m2)+m+1=2m-m2+1 Anzahl der Gleichungen: m+n Hieraus erhalten wir: m n -1 m2= + Im Anhang 2 wird ebenfalls ein MATLAB-Skript zur Berechnung der Reglerkoeffizienten, einschließlich der notwendigen Herleitungen, angegeben.



-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Zusammenfassung:

Regelstrecke: ( ) ( )Z zN z

grad Z z grad N z nPP

PP P( )

( )( )

( ) ( )= <mitG z =

nicht notwendig stabil! Nebenbedingung: der stationäre Regelfehler soll für eine der Testfunktionen

(Abschnitt 5.2(2)) Null werden

Regler: ( )( ) ( )G z

Z zN z N z

grad Z z m m m mgrad N z m grad N z mC

C

C C

C

C C( )

( )( ) ( )

( ) , ( )( ) , ( )

== = += =

1 2

1 2

1 1 2mit

2

und mit: als Testfunktion N zzzz

C22

3

111

( )( )( )( )

=−−−

für die Sprungfolgefür die Rampenfolgefür die Parabelfolge

Reglerordnung: m=n-1+m2

Vorgabe: Nennerpolynom des Regelkreises NR(z) mit grad(NR(z))=2n-1+m2

Entwurfsgleichung: N z Z z Z z N z N z N zR C P C C P( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )= + 1 2

Diese läßt sich eindeutig lösen, wenn ZP(z) und NP(z) keine gemeinsamen Nullstellen aufweisen.

(5) Beispiele Die beiden ersten Beispiele sollen den Rechengang demonstrieren, weshalb dieses Beispiel „zu Fuß“ gerechnet wird. Bei den weiteren Beispielen wird das Programmsystem MATLAB eingesetzt.



-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Beispiel 1

Gegeben ist die Regelstrecke G zz

z zP ( ) . .=

− +2 12 081, die die beiden Polstellen

besitzt. z j1 2 0 6 0 67, . .∞ = ±Die Sprungantwort der Regelstrecke weist ein stark schwingendes Verhalten auf, wie das folgende Bild 6.3 zeigt. Der Regelkreis soll ein dead-beat-Verhalten aufweisem, d.h. alle Polstellen des Regelkreises sollen bei Null liegen. Nach den obigen Überlegungen muß der Regler die Ordnung m=n-1=1 aufweisen, also

G zz

zC ( ) =++

β βα

0 1 .

Damit weist das Nennerpolynom des Regelkreises den Grad 2n-1=3 auf. Die Polstellen des Regelkreises lauten: z1 2 3 0, ,∞ =

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 500

0.5

1

1.5

2

2.5

3

Zeitindex

Sprungantwort der Regelstrecke

Bild 6.3

Das Nennerpolynom des Regelkreises lautet dann: N z Z z Z z N z N z

z z z z z z z zR C P C P( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )( . . ) ( . ) ( . . ) .

=

z .

+

= + + + − + = + − + + + − + =β β α β α β α α0 12 3 2

1 0312 081 12 081 12 081

Der Koeffizientenvergleich liefert: z z2

1 012 0 081 12 0 1 081 0: . , : . . , : .β α β α α− + = + − = = Woraus man unmittelbar die Koeffizienten der Reglerpolynome erhält:

α β β= = − =0 0810 1, . , 12. . Damit lautet der Regler:

G zzz

zzC ( )

. ..

..=

−=

−12 08112

0 675

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

Zeitindex

Sprungantwort des Regelkreises

Bild 6.4a

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

Zeitindex

Sprungantwort der Stellgröße des Regelkreises

Bild 6.4b Der stationäre Endwert der Sprungantwort beträgt: h(∞)=0.39.



-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Dieser Nachteil soll im Beispiel 2 beseitigt werden, im dem eine Polstelle im Regler bei 1 vorgegeben wird. Beispiel 2 (Fortsetzung Beispiel 1) Wir nehmen die gleiche Regelstrecke an, wie im Beispiel vorher, fordern aber, um den stationären Regelfehler für eine sprungförmige Führungsgröße zu Null zu machen, den Pol bei 1 im Regler. Damit weist der Regler die Ordnung 2, und der Regelkreis die Ordnung 4 auf. Für den Regler gilt dann:

G zz z

z zC ( ) ( )( )=

+ +− +

β β βα

0 1 22

1 .

Die Polstellen des Regelkreises sollen wieder alle bei liegen. z1 2 3 4 0, , ,∞ =

Das Nennerpolynom des Regelkreises lautet dann: N z Z z Z z N z N z N z

z z z z z z z

z z z z z z z

z z z z

R C P C C P( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )( )( . . )

( ) ( )( . . . )

( . ) ( . . ) ( .

= +

= + + + + − − +

= + + + + − + −

= + + − + + − + − +

2 1

0 1 22 2

0 1 22 3 2

4 32

21 0

1 12 081

2 2 2 01 081

2 2 2 01 2 2 081 2

β β β α

β β β α

β α β α β . ) .01 081 4α α− = z

Der Koeffizientenvergleich liefert: z z z3

22

1 02 2 0 2 01 2 2 0 081 2 01 0 1 081 0: . , : . . , : . . , : .β α β α β α α+ − = + − = − + = − = ,woraus man die Koeffizienten der Reglerpolynome erhält:

α β β β= = = − =0 2 2 2 01 02 1 0, . , . , 81. . Damit lautet der Regler:

G zz zz z

z j z jz zC ( )

. . .( )

.( . . )( . . )

( ).=

− +−

=− + − −

−2 2 2 01 081

12 2

0 4568 0 3994 0 4568 0 39941

2

Die beiden Bilder zeigen die Sprungantwort des Führungsverhaltens und die zugehörige Stellgröße:

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.5

1

1.5

2

2.5

Zeitindex

Sprungantwort des Regelkreises

Bild 6.5a

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-3

-2

-1

0

1

2

3

Zeitindex

Sprungantwort der Stellgröße des Regelkreises

Bild 6.5b



-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

In den weiteren Beispielen gehen wir von der Übertragungsfunktion des zeitkontinuierlichen Systems aus. Diese Übertragungsfunktion wird mit einem Abtast- und Halteglied 0-ter Ordnung diskretisiert, wodurch man die z-Übertragungsfunktion der Regelstrecke erhält. Diese Diskretisierung wird mit dem MATLAB m-File ‘c2dm’ vorgenommen. Es werden die zeitkontinuierlichen und die zeitdiskreten Zeitverläufe dargestellt, um immer erkennen zu können, welche Wirkung die Abtastung im Regelkreis hat, zumal die zeitkontinuierlichen Größen der Regelstrecke die (prozeßtechnische) Relevanz besitzen. Beispiel 3 Die Regelstrecke lautet:

( )~ ( )G s

sTP =+

11 3 mit T1=1sek.

Die Abtastzeit wird mit TA=0.5 sek. gewählt. Damit lautet die z-Übertragungsfunktion der Regelstrecke:

( )G z

z zz z z

z zzP ( )

. . .. . .

.( . )( . )

..=

+ +− + −

=+ +

−

0 01439 0 03973 0 006791819 11036 0 2231

0 014392 5785 01831

0 6065

2

3 2 3

Der asymptotische Regelfehler für eine sprungförmige Regelgröße soll Null sein, so daß eine Polstelle im Regler bei z=1 vorgegeben werden muß. Damit lautet der Ansatz für den Regler:

( )G zz z

z zC ( ) ( )=

+ +

− + +

β β βα α

0 1 22

0 121 z

.

Nun legen wir die Führungsübertragungsfunktion fest. Da der Regelkreis eine Ordnung von 6 besitzt, werden wir ein doppeltes konjugiert komplexes Polpaar und zwei reelle Pole für die Polstellen des Regelkreises wählen. Wir fordern, daß sich die Geschwindigkeit des Regelkreises nicht wesentlich ändern soll, der Einschwingvorgang soll aber mit einem Dämpfungsfaktor von d=1 / ablaufen. Es wird eine Kennkreisfrequenz von ω2 n= 2 sek-1 gewählt. Die beiden verbleibenden Polstellen werden

Sprungantwort der Regelstrecke und des zeitkontinuierlichen Vergleichssystems für das Führungsverhalten

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

Zeit in sek

Bild 6.6

zu s=-2sek-1 gewählt. Damit lauten die Polstellen des Nennerpolynoms der zeitkontinuierlichen Vergleichs - Führungs-übertragungsfunktion:

( )s j

s sek1 2 3 4

1

5 61

1

2, , ,

,

,

.

∞ −

∞ −

= − ±

= −

sek

Die Sprungantwort der Regelstrecke und des zeitkontinuierlichen Vergleichssystems sind im Bild 6 dargestellt. Die Polstellen des zugeordneten zeitdiskreten Systems liegen dann bei:



-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

,z j

z1 2 3 4

5 6

05323 0 2908

0 3679, , ,

,

. .

. .

∞

∞

= ±

=

Mit der Lösung der Diophantischen Gleichung erhält man den Regler:

G zz z z

z z zz z j z jz z j z j

C ( ). . . .

. . .

.( . )( . . )( . . )( )( . . )( . . )

.

=− + −

− + −

=− − − − +

− − − − −

71198 12 27 7154 1401611477 0 2725 01248

7119805084 0 6074 01352 0 6074 013521 0 0793 0 3454 0 0793 0 3454

3 2

3 2

Die Führungssprungantwort und die zugehörige Stellgröße zeigen die beiden Bilder 7a und 7b.

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

Zeit in sek.

Zeitkontinuierliche und zeitdiskrete Regelgröße

Bild 6.7a 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

Zeit in sek.

Stellgröße

Bild 6.7b Auffallend an der Führungssprungantwort ist das vergrößerte Überschwingen gegenüber der Sprungantwort des Vergleichssystems. Die Ursache sind die Nullstellen im Führungsverhalten, die durch den Regler hinzugekommen sind. Die Führungsübertragungsfunktion lautet:

T zz z z z j z j

z z j z j( ) .

( . )( . )( . )( . . )( . . )( . ) ( . . ) ( . . )

.=+ + − − − − +

− − − − +0 0990

2 5785 08131 05084 0 6074 01352 0 6074 013520 3679 05323 0 2908 05323 0 29082 2 2

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

Zeit in sek.

Zeitkontinuierliche und zeitdiskrete Regelgröße: Eingangsstörverhalten

Bild 6.8a

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-1.4

-1.2

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

Zeit in sek.

Eingangsstörverhalten: Stellgröße

Bild 6.8b



-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Bei dieser zugrunde gelegten Regelkreisstruktur liegt mit den Führungsverhalten auch das Störverhalten fest. Der Übersicht wegen wird die Sprungantwort des Eingangsstörverhaltens und der zugehörigen Stellgröße in den Bildern 8a und 8b angegeben. Die Sprungantwort des Ausgangsstörverhaltens ist aus der Sprungantwort des Führungsverhaltens zu entnehmen. Beispiel 4 Die Regelstrecke lautet:

( )( ) ( )( )( )~ ( )G s

seks sek s sek

seks sek s sek s sekP =

−

− +=

−

+ − +

−

− −

−

− −

1809 20

1803 3 20

2

2 2 1

2

1 1 −1 .

Die Abtastzeit wird mit TA=0.1 sek. gewählt. Damit lautet die z-Übertragungsfunktion der Regelstrecke:

G zz z

z z zz z

z z zP ( ). . .. . .

.( . )( . )

( . )( . )( .=− − −

− + −= −

+ +− − −

0 0196 0 05155 0 00732 226 1283 01353

0 01962 486 01502

135 0 7408 01353

2

3 2 ).

Diese Regelstrecke ist instabil und soll stabilisiert werden, wobei auch der stationäre Regelfehler für eine sprungförmige Führungsgröße zu Null gemacht werden soll. Nach den obigen Überlegungen muß der Regler die Ordnung m=n=3 aufweisen, also

G zz z zz z zC ( ) ( )(

=+ + +

− + +β β β

α α33

22

1 02

1 01 )β

.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

Zeit in sek

Sprungantwort des Vergleichssystems für das Führungsverhalten

Bild 6.9

Nun legen wir die Führungsübertragungsfunktion fest. Da die Regelstrecke im wesentlichen stabilisiert werden soll, und die Führungsübertragungsfunktion die Ordnung 6 aufweist, wählen wir wieder ein konjugiert komplexes Polpaar mit einem Dämpfungsfaktor d=1/ 2 und einer Kennkreisfrequenz ωn=3sek-1. Die fehlenden restlichen beiden Polstellen erhalten die Polstellen bei s=-10sek-1. Damit lauten die Polstellen des zeitkontinuierlichen Vergleichssystems:

( )s j

s sek

1 2 3 41

5 61

32

1

10

, , ,

,

∞ −

∞ −

= − ±

= −

sek

Die Sprungantwort des Vergleichssystems ist in Bild 9 dargestellt. Die Polstellen des zugeordneten zeitdiskreten Systems lauten dann:

z j z1 2 3 4 5 60 7907 01703 0 3679, , , ,. . , .∞ ∞= ± = Mit der Lösung der Diophantischen Gleichung erhält man den Regler:



-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

G zz z z

z z zz z z

z z j z j

C ( ). . . .

. . .

,( . )( . )( . )

( )( . . )( . . ).

=− + + −

− + −

= −− − +

− − + − −

2 3245 2 7724 0 4013 0876217181 10989 0 3808

2 32450 970 0 7445 0522

1 0 3591 05018 0 3591 05018

3 2

3 2


0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

Zeit in sek


Bild 6.10a 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

-4

-2

0

2

4

6

8

Zeit in sek

Stellgröße

Bild 6.10b Auch hier ist an der Führungssprungantwort das vergrößerte Überschwingen gegenüber der Sprungantwort des Vergleichssystems auffallend. Die Ursache sind wieder die Nullstellen im Führungsverhalten, die durch den Regler hinzugekommen sind. Die Führungsübertragungsfunktion lautet:

T zz z z z z

z z j z j( ) .

( . )( . )( . )( . )( . )( . ) ( . . ) ( . . )

=+ + − − +

− − − − +0 4556

2 486 01502 0 970 0 7554 05220 3679 0 7907 01703 0 7907 017032 2 2 .

Die Bilder 11a/b zeigen die Sprungantwort des Eingangsstörverhaltens und die zugehörige Stellgröße.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

Zeit in sek.


Bild 6.11a

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5-4.5

-4

-3.5

-3

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

Zeit in sek.


Bild 6.11b Beispiel 5



-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Wir greifen das Beispiel 3 noch einmal auf, jetzt besitzt aber die Regelstrecke eine Nullstelle in der rechten s-Halbebene. Die Regelstrecke lautet:

( )~ ( )

( )G s

sT

sTP =

−

+

1

12

13

Sprungantwort der Regelstrecke und des zeitkontinuierlichen

mit T1=1sek und T2=0.5sek.

Vergleichssystems für das Führungsverhalten

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

Zeit in sek.

Bild 6.12

Die Sprungantwort der Regelstrecke zeigt das Bild 12 (der Zeitverlauf ohne Überschwingen). Charakteristisch für die Sprungantwort einer zeitkontinuierlichen Regelstrecke mit einer Nullstelle ‘rechts’ ist das anfängliche Unterschwingen, das sich bei ausreichend kleinen Abtastzeiten ebenfalls bei der zeitdiskreten Regelstrecke zeigt. Die Abtastzeit wird wieder mit TA=0.5 sek. gewählt. Damit lautet die z-Übertragungsfunktion der Regelstrecke:

2

3 2

0.0235 0.05462 0.0298( )1.8196 1.1036 0.2231P

z zG zz z z− + +

=− + −

( )3( 2.7792)( 0.4557)( ) 0.0235 .

0.6065P

z zG zz

+ −= −

−

Der asymptotische Regelfehler für eine sprungförmige Regelgröße soll Null sein, so daß eine Polstelle im Regler bei z=1 vorgegeben werden muß. Damit lautet der Ansatz für den Regler:

( )G zz z

z zC ( ) ( )=

+ +

− + +

β β βα α

0 1 22

0 121 z

.

Die Polstellen des Regelkreises wählen wir wie bei dem Beispiel 3. Es handelt sich bis auf die Nullstelle ’rechts’ um die gleiche Regelstrecke. Die Sprungantwort des zeitkontinuierlichen Vergleichssystems für das Führungsverhalten (das natürlich die Nullstelle ‘rechts’ enthalten muß) mit der Übertragungsfunktion lautet:

T ssek T s

s sek s sek s sekV ( )( )

( ) (=

−+ + +− −

16 12 2 2

42

2 1 2 2 )−1 2

.

, T2=0.5sek

Die Polstellen des zugeordneten zeitdiskreten Systems liegen dann bei: z j z1 2 3 4 5 605323 0 2908 0 3679, , , ,. . , .∞ ∞= ± =

Mit der Lösung der Diophantischen Gleichung erhält man den Regler:

G zz z z

z z zz z j z jz z j z j

C ( ). . .

. . .

.( . )( . . )( . . )( )( . . )( . . )

.

=− + −

− + −=

=− − − − −

− + + + −

7 7417 135321 7 9665 1572708632 01552 0 2920

7 741705424 0 6192 0 0867 0 6192 0 08671 0 0684 05361 0 0684 05361

3 2

3 2



-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

Zeit in sek.


Bild 6.13a 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

Zeit in sek.

Stellgröße

Bild 6.13b Die Führungssprungantwort und die zugehörige Stellgröße zeigen die beiden Bilder 13a und 13b. Die Führungsübertragungsfunktion lautet:

T zz z z z j z j

z z j z j( ) .

( . )( . )( . )( . . )( . . )( . ) ( . . ) ( . . )

=+ + − − − − +

− − − − +01819

2 7792 0 4557 05236 0 6122 0115 0 6122 01150 3679 05323 0 2908 05323 0 29082 2 2 .

Das anfängliche Unterschwingen ist gegenüber der Regelstrecke noch verstärkt und das Überschwingen gegenüber der Sprungantwort des Vergleichssystems ebenfalls. Diese beiden Effekte werden auch hier durch die Nullstellen des Reglers verursacht. Die Bilder 14a/b zeigen die Sprungantwort des Eingangsstörverhaltens und die zugehörige Stellgröße.

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

Zeit in sek.


Bild 6.14a

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-1.4

-1.2

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

Zeit in sek.


Bild 6.14b



-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Beispiel 6 Die Regelstrecke lautet:

( )~ ( )

( )G s

sT

sTP =

+

+

1

12

13 mit T1=1sek und T2=10sek.

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

Zeit in sek.

Sprungantwort der Regelstrecke

Bild 6.15

Die Sprungantwort der Regelstrecke zeigt das Bild 15. Auffallend ist das Überschwingen der Sprungantwort, das durch die Nullstelle der Regelstrecke verursacht wird. In diesem Entwurf soll diese Nullstelle durch eine geeignete Wahl einer Polstelle des Regelkreises gekürzt werden und die Auswirkung auf die Regelkreiseigenschaften untersucht werden. Die Abtastzeit wird mit TA=0.5sek. gewählt. Damit lautet die z-Übertragungsfunktion der Regelstrecke:

( )

G zz z

z z zz z

z

P ( ). . .. . .

.( . )( . )

..

=− +

− + −

=− +

−

0 7726 0 2586 0 453118196 11036 0 2231

0 7760 9512 0 6165

0 6065

2

3 2

3

Die störende Nullstelle der zeitkontinuierlichen Übertragungsfunktion der Regelstrecke liegt bei s0=-0.1sek-1. Die zugeordnete Nullstelle der zeitdiskreten z-Übertragungsfunktion liegt bei z0=0.9512. In der Führungsübertragungsfunktion wählen wir eine Polstelle mit genau dem gleichen Wert, so daß eine Kürzung dieser Nullstelle zustande kommt. Als Vergleichsübertragungsfunktion wählen wir nun die gleiche Übertragungsfunktion wie in den Beispielen 3 und 5, da aber eine Polstelle (durch die Regelstreckennullstelle) gekürzt wird, lassen wir eine reelle Polstelle weg. Damit besitzt die Vergleichsübertragungsfunktion die Polstellen:

z j z z1 2 3 4 5 605323 0 2908 0 3679 0 9512, , , . . , . , .∞ ∞= ± = = .∞ Mit der Lösung der Diophantischen Gleichung erhält man den Regler:

G zz z z

z z zz z j z j

z z z

C ( ). . . .

. . .

.( . )( . . )( . . )

( )( . )( . ).

=− + −

− + −

=− − − − +

− − −

0 4696 0 7862 0 4492 0 085919914 10292 0 0378

0 46960 4586 0 6079 01717 0 6079 01717

1 0 9517 0 0397

3 2

3 2




-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

Zeit in sek.


Bild 6.16a

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Zeit in sek.

Stellgröße

Bild 6.16b

Das Überschwingen der Sprungantwort des Regelkreises ist gegenüber dem der Regelstrecke drastisch reduziert worden. Dafür kriecht die Stellgröße dem Endwert zu. Die Ursache ist eine Reglerpolstelle bei z=0.9517, nahe der durch den Regelkreis gekürzten Nullstelle der Regelstrecke. Die Führungsübertragungsfunktion lautet:

T zz z z z j z j

z z z j z jz z z j z j

z z j z

( ) .( . )( . )( . )( . . )( . .

( . )( . )( . . )( . . )

.( . )( . )( . . )( . . )

( . )( . . )( .

=− + )− − − − +

− − − − − +

=+ − − − − +

− − − − +

0 36440 9512 0 6165 0 4586 0 6079 01717 0 6079 01717

0 9512 0 3679 05323 0 2908 05323 0 2908

0 36440 6165 0 4586 0 6079 01717 0 6079 01717

0 3679 05323 0 2908 05323 j0 2908. ).

Die

Bilder 17a/b zeigen die Sprungantwort des Eingangsstörverhaltens und die zugehörige Stellgröße.

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

Zeit in sek.


Bild 6.17a

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-1.4

-1.2

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

Zeit in sek.


Bild 6.17b



-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Beispiel 7 Die Übertragungsfunktion der Regelstrecke lautet:

( )( )~ ( )

. ( ) ( ) . ( )G s

sek s sek s sek sP =+ + +

11 0 2 1 052 2 .

Die Polstellen der Regelstrecke liegen bei: ( )s sek s j sek1

12 3

12 01 0 995∞ − ∞= = − ±, . .,− .

Da dieses System schwingungsfähig ist, muß bei der Festlegung der Abtastzeit die Streifengrenze beachtet werden. Mit dem Imaginärteil der komplexen Polstellen von rund 1sek-1 lautet die größte Abtastzeit:

Ts

sekA,max Im( ). .= =∞

π314

Es wird wieder eine Abtastzeit von 0.5 sek gewählt. Die Übertragungsfunktion der zeitdiskreten Regelstrecke lautet dann:

( )( )( )( )( )

G zz z

z z zz z

z j z j z

P ( ). . .

. . .

.. .

. . . . ..

=+ +

− + −

=+ +

− − − + −

0 03176 0 0971 0 01842 04 152 0 333

0 031762 8559 0 2028

08359 0 454 08359 0 454 0 3679

2

3 2

Der Regelkreis soll etwa die gleiche Geschwindigkeit haben, und für eine sprungförmige Führungsgröße soll der Regelfehler Null werden. Da die Regelstrecke die Ordnung 3 aufweist, muß der Regler ebenfalls die 3 aufweisen. Der Ansatz für den Regler lautet dann:

Sprungantwort der Regelstrecke und des zeitkontinuierlichen Vergleichssystems für das Führungsverhalten

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

Zeit in sek.

Bild 6.18

( )G zz z

z zC ( ) ( )=

+ +

− + +

β β βα α

0 1 22

0 121 z

.

Wir wählen deshalb ein doppeltes konjugiert komplexes Polpaar mit der Dämpfung d=1/ und eine Kennkreisfrequenz von ω

2n=2sek-1. Die

beiden restlichen Pole werden bei s=-5sek-1 gelegt. Damit lauten die Polstellen des Führungsverhaltens:

( )s j sek s sek1 2 3 41

5 612 1 5, , , ,,∞ − ∞= − ± = − −

Die Polstellen des zugeordneten zeitdiskreten Vergleichssystems lauten:

z j

z1 2 3 4

5 6

0 3749 0 3203

0 0821, , ,

,

. .

.

∞

∞

= ±

=

Die Sprungantwort der Regelstrecke und des Vergleichssystems zeigt das Bild 18. Mit der Lösung der Diophantischen Gleichung erhält man den Regler:

G zz z z

z z zz z j z j

z z z

C ( ). . . .

. . .

.( . )( . . )( . . )

( )( . )( . ).

=− + −

− − −

=− − − − +

− + +

12 99 24 023 15513 308780 0364 0 7918 01718

12 990 3632 0 7430 0 3632 0 7430 0 3632

1 0 7275 0 2361

3 2

3 2



-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

Zeit in sek.


Bild 6.19a

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-20

-15

-10

-5

0

5

10

15

Zeit in sek.

Stellgröße

Bild 6.19b

Auffallend an der Führungssprungantwort ist das vergrößerte Überschwingen gegenüber der Sprungantwort des Vergleichssystems. Die Ursache sind die Nullstellen im Führungsverhalten, die durch den Regler hinzugekommen sind. Die Führungsübertragungsfunktion lautet:

T zz z z z j z j

z z j z j( ) .

( . )( . )( . )( . . )( . . )( . ) ( . . ) ( . . )

.=+ + − − − − +

− − − − +0 4126

2 8559 0 2028 0 3632 0 7430 0 3632 0 7430 0 36320 0821 0 3749 0 3203 0 3749 0 32032 2 2

Die Bilder 21a/b zeigen die Sprungantwort des Eingangsstörverhaltens und die zugehörige Stellgröße.

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45

Zeit in sek.


Bild 6.20a

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-1.6

-1.4

-1.2

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

Zeit in sek.


Bild 6.20b



-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Beispiel 8 Die Regelstrecke lautet:

~ ( )(

G sT s sTP =

+110 )

, T=1sek, T0=0.01sek

Die Abtastzeit wird mit TA=0.2 sek gewählt. Die Übertragungsfunktion der zeitdiskreten Regelstrecke lautet also:

G zz

z zP ( ) ..

( )( .=

)+

− −1873

0 93551 08187

.

Für diese Regelstrecke wird nach dem obigen Verfahren ein Regler entworfen, so daß alle Polstellen des Regelkreises bei Null liegen. Soll für eine sprungförmige Führungsgröße der asymptotische Regelfehler Null sein, braucht der Regler hier nur erster Ordnung sein, da in der Regelstrecke der geforderte Integrator bereits enthalten ist. Der Regler lautet also:

G zz

zzz

C ( ). .

.

...

.

=− +

+

= −−+

0 3244 0 60030 6944

0 3244054050 6944

Die beiden folgenden Bilder 22a/b zeigen die Regelgröße und die Stellgröße des so entworfenen Regelkreises:

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 20

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

Zeit in sek.


Bild 6.21a

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

Zeit in sek.

Stellgröße

Bild 6.21b

Abgesehen von dem erheblichen Überschwingen der Regelgröße, zeigt die kontinuierliche Regelgröße ein gutartiges Verhalten. Das erhebliche Überschwingen wird von den Reglernullstellen verursacht und kann mit dem im Abschnitt 6.4.4 beschriebenen Verfahren beseitigt werden. Dieses Beispiel 8 wird im folgenden Abschnitt für das Beispiel 14 als Referenz benutzt. Es wird dort gezeigt, welche Wirkung die Kürzung einer negativ reellen Nullstelle der Regelstrecke, hier die Nullstellen bei z0=-0.9355, zur Folge hat.


Zeitdiskrete Regelsysteme -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Prof. Dr.-Ing. Michael Dlabka

SS 2007

30

(6) Bewertung Dieses Verfahren kürzt vom Konzept her keine Pol- oder Nullstellen der Regelstrecke, also auch solche nicht, die außerhalb des Einheitskreises liegen. Damit ist immer die interne Stabilität gesichert. Allerdings ist die Reglerordnung mindestens n-1 (n=Ordnung der Regelstrecke) oder höher, wenn Nebenbedingungen berücksichtigt werden. Die hohe Reglerordnung führt zu einer entsprechenden komplizierten vorzugebenden Dynamik des Regelkreises, was zu einer schwierigen Auswahl für die Regelkreisdynamik führt. Hieraus folgt ein weiterer Nachteil dieses Verfahrens. Es entstehen Nullstellen im Führungsverhalten durch die Reglernullstellen, die häufig zu einem starkem Überschwingen der Sprungantwort im Führungsverhalten führen. Hierzu werden zwei Auswege vorgestellt. Im folgenden Abschnitt werden die Pol- und Nullstellen der Regelstrecke, die nicht dem Kürzungsverbot unterliegen, durch entsprechende Null- oder Polstellen des Reglers gekürzt. Das führt zu einer vereinfachten Dynamik des Regelkreises, zu einer einfacheren Wahl der Regelkreisdynamik und, das ist wesentlich, auch seltener zu Nullstellen, die die Regelkreisdynamik durch ein Überschwingen der Führungssprungantwort verschlechtern. Dafür muß die Wirkung der gekürzten Nullstellen der Regelstrecke beim Stellverhalten (da treten sie als Polstellen auf) beachtet werden, bzw. die Wirkung der gekürzten Polstellen der Regelstrecke beim Eingangsstörverhalten (da treten sie wieder als Polstellen auf) beachtet werden. Der andere Ausweg (Abschnitt 6.4.4) besteht darin, die Regelkreisstruktur so abzuändern, daß die Nullstellen des Reglers im Führungsverhalten nicht in Erscheinung treten. Dieser Weg ist häufig die beste Lösung, die auch bei einem Kürzungsentwurf (Abschnitt 6.4.3) eingesetzt werden kann.

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6. Kapitel Synthese zeitdiskreter · PDF fileFranklin(3) behandelt. • Polvorgabeverfahren ... Digital Control of Dynamic Systems; Addison-Wesley; 1990 Prof. Dr.-Ing. Michael Dlabka