THEORETISCHE PHYSIK III

Quantenmechanik I

Mini-Repetitorium zur Vorlesung im Sommer-Semester 2007

Wolfram Weise

Hinweis zum Gebrauch:

Dies ist kein ausgearbeitetes Skript, sondern lediglich eine kurzgefasste Sammlungvon Stichworten, Notizen und Materialien zur Vorlesung.

Literatur• S. Gasiorowicz

Quantenphysik

(deutsch: Oldenbourg Verlag, München)

• F. SchwablQuantenmechanik (5. Auflage (1998), Springer Verlag, Berlin)

• C. Cohen-Tannoudji, B. Diu, F. LaloeQuantum Mechanics (1977, Wiley & Sons, New York)

“Klassiker”:

• “Quantum Mechanics” - Bände von:L. Schiff, A. Davidov, E. Merzbacher, K. Gottfried

• L.D. Landau, E.M. LifschitzTheoretische Physik Bd. III: Quantenmechanik

(8. Auflage (1988), H. DeutschVerlag, Frankfurt/M)

• R.P. Feynman, R.B. Leighton, M. SandsThe Feynman Lectures on Physics Vol. 3: Quantum Mechanics(1965, Addison-Wesley, Reading, Mass.)

(9. Auflage (2005), Oldenbourg Verlag, München)

0. Einleitung: Historische Entwicklung und empirische Grundlagen

Quantenmechanik:

Grundlage für alle modernen Disziplinen der Physik

• Atom- und Molekülphysik

• Physik der kondensierten Materie

• Kern- und Elementarteilchenphysik

und benachbarte Wissenschaften:

-> auch: Chemie, Molekularbiologie, ...

-> Festkörperphysik und verwandte Gebiete

-> Physik der Atomkerne, -> Physik der fundamentalen Teilchen und ihrer Wechselwirkungen

0-1

ftnonnnscff Pnrsm III - QurrnmrncllAmK

0. Vortenerkuns und Historisches

x Atom- und Molektilphysik (Chemie)

x Physik der kondensierten Materie (Festkorperphysik)

x Kernphysik

x Physik der Elementarteilchen (Hochenergiephysik)

+ bis ca. 1900: a) NEWTON'sche (klassische) Mechanik (TEILCHEN)

b) MAXWELL'sche Elektrodynamik (WELLE)

1897: Entdeckung des Elektrons (THOMSON)

Entdeckung der RONTGEN - Strahlung

1900: PLANCK'sches Strahlungsgesetz:

Spektrum einer (schwarzen) Hohlraum - Strahlungsquelle im thermischen Gleichge-

wicht;

Hvpothese: a) Licht wird in Quanten (Photoned absorbiert oder emitiert

b) Energie dieser Quanten steht in fester Beziehung zur Frequenz:

co = 2nv

1905' A.EINSTEIN:

E n e r s i e : I E = h o IL I

t ' l = 2nv

1927: DAVISSON, GNNUSR'

-+ "Elektronen haben

Plancksches Wirkungsquantumr

h =# = 6,582 ' 10-16 eV'sec = 1,055 ' 10-sa ; 'sec

Photoelektrischer Effekt

1913:

1924t

e -

Licht

o = Zrrv

-+ "Licht hat sowohl WELLEN, als

N.BonR' Atommodell

L. a* BnoGLIE: MATERIEwELLEN

Energie des Elektrons:

E. =+ *.vlr.* = ho - W (W-+ Ausldsearbeit)

T927 /28: E.SCHN6OINGER _

M.Boru,r l _W.HETsENBERG f

-

.)-lT - l _ z tTl ^

_ X

Elektronenbeugung

sowohl TEILCHEN,

WELLE _ TEILCHEN _ DUALITAT

Impuls: F = hFl

Wellenmechanik

Matrizenmechanik

auch TEILCHEN - Charakter"

( k'+ Wellenvektor)

an ZnO - Pulver

als auch WELLEN - Charakter"

\ orunt.ntheorieJ -

0-2

(-> TEILCHEN)(-> WELLEN)

u(!,T) =d"

d!=

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c3

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h!

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• PLANCKsches WIRKUNGSQUANTUM:

h = 6.626 ! 10!34

J sec

h !

h

2!

= 1.055 · 10!34

J sec

Spektrale Strahlungsdichte (Energiedichte pro Frequenzintervall):

ftnonnnscff Pnrsm III - QurrnmrncllAmK

0. Vortenerkuns und Historisches

x Atom- und Molektilphysik (Chemie)

x Physik der kondensierten Materie (Festkorperphysik)

x Kernphysik

x Physik der Elementarteilchen (Hochenergiephysik)

+ bis ca. 1900: a) NEWTON'sche (klassische) Mechanik (TEILCHEN)

b) MAXWELL'sche Elektrodynamik (WELLE)

1897: Entdeckung des Elektrons (THOMSON)

Entdeckung der RONTGEN - Strahlung

1900: PLANCK'sches Strahlungsgesetz:

Spektrum einer (schwarzen) Hohlraum - Strahlungsquelle im thermischen Gleichge-

wicht;

Hvpothese: a) Licht wird in Quanten (Photoned absorbiert oder emitiert

b) Energie dieser Quanten steht in fester Beziehung zur Frequenz:

co = 2nv

1905' A.EINSTEIN:

E n e r s i e : I E = h o IL I

t ' l = 2nv

1927: DAVISSON, GNNUSR'

-+ "Elektronen haben

Plancksches Wirkungsquantumr

h =# = 6,582 ' 10-16 eV'sec = 1,055 ' 10-sa ; 'sec

Photoelektrischer Effekt

1913:

1924t

e -

Licht

o = Zrrv

-+ "Licht hat sowohl WELLEN, als

N.BonR' Atommodell

L. a* BnoGLIE: MATERIEwELLEN

Energie des Elektrons:

E. =+ *.vlr.* = ho - W (W-+ Ausldsearbeit)

T927 /28: E.SCHN6OINGER _

M.Boru,r l _W.HETsENBERG f

-

.)-lT - l _ z tTl ^

_ X

Elektronenbeugung

sowohl TEILCHEN,

WELLE _ TEILCHEN _ DUALITAT

Impuls: F = hFl

Wellenmechanik

Matrizenmechanik

auch TEILCHEN - Charakter"

( k'+ Wellenvektor)

an ZnO - Pulver

als auch WELLEN - Charakter"

\ orunt.ntheorieJ -

0-3

*itii$;:tif

Wellen - Eigenschaften oes E,lektrons

al

Figure I.3 (a) Interference

pattern caused by the scattering

of red light on a sharp edge. The

edge is the border line of an

absorbing half -plane, the position

of which is indicated at the top

of the 6gure. (b) Interference

pattern caused by the scattering

of electrons on a sharp edge.

b

Sources: (a) From R. W. Pohl,

Opttk arul Atomphgsik, nnrh

edition, copyright o 1954 by

Springer-Verlag Berlin, Gottingen,Heidelberg, reprinted by

permission. (b) From H. Boersch,

Ph7sikalische Zeitschrift, 44(1943) 202, copyright o 1943 by

S. -Hirzel-Verl ag, Leipzig,

reprinted by permission.

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Teilchen - Eigenschaften von Lichtwellen

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Figure 1.2 The Compton effect.

(a) Kinematics of the process. A

photon of momentum p., is

scattered by a free elechon at

rest, one with momentum p. = 0,

After t}te scattering process t}le

two particles have t}le momenta

pi and p!, respectively. The

direction of the scattered photon

forms an angle 0 with its original

direction. From energv and

momentum conservation in the

collision, the absolute value pl

of the momentum of the scattered

photon and the corresponding

wavelength X =h / p', can be

computed.

(b) Compton's results.

Compton used monochromatic

X-rays from the K"-line of

molvbdenum to bombard a

graphite target. The wavelength

spectrum of tle incident photons

shows the rather sharp K"-line

at the top. Observations of the

photons scattered at three

different angles 0 (45", 90",

135') yielded spectra showing

that most of them had drifted to

the longer wavelength N. There

are also many photons at the

original wavelength \, photons

which were not scattered by

single electrons in the graphite.

From A. H. Compton, The

Phgsical Reaieu 22 (1923) 409,

copyright O 1923 by the American

Physical Society, reprinted by

Dermission.

Beugung von Elektronen Compton-Streuung0-4

l. WEU-ENMECIIANIK des frrlen fgll.'hF''*

U._freie_leweggg_d Kraftefreie Bewegung in einer Dimension

Enereie, E=# ; Igp-u- !g- i p=mv , v=x

Y ( x , t ) = c e i k x - i " r t

E = n ( l ) . p = n K

vtx,t) = C exp[* tpx - Et)]

C: komplexe Konstante

b) Freie dreidimensionale Bewegune

i= l y l = ( x , y , z )

Y(r-,t) = c eiFi - i-t

Welleneisenschaft:

-------+ Forderunqr

WELLENFUNKTIONdes freien Teilchens mit

Energie E und Impuls p'

-2 -\2r: ts : : - _ ILY___!

2rn Jxz

_ /d,/dx \v = l d , / d y I

\ d /dz J

F - (k*,k'k") Wellenvektor ;

rmpuls P = nK

Y(F, t )=C"rpf t tpr- r t r ]

Finder lineare partielle Differentialgleichung, zu der YF,t) Ldsung ist mit der Bedingung= _ t = r : I p p r )t s = n o u n o p = n K I E - t n )

Ansatz: a) zunlichst in einer r?iumlichen Dimension: Y(x,t) = C eilh(P* - Et)

d9 (x , t ) - ^ . d ' 9 ( x , t )

c ) t -

I dx?

r-f El cexp[fr (px -Et)] =y (-#) c exp[f (px - Et)]

*u= - t# ; m i t de r Fo rde rung E=* .

b) Dreidimensionale Schrijdinger - Gleichung eines freien Teilchens (Masse m)

ih* Y(r-,r) = -r,- ts V'YtF,t)

Y(F,t) = C exp[iEr-- iot]

Schriidinger - Gleichung fiir die freie, eindimensionale

Bewegung eines Teilchens mit der Masse m

E = n t ' P = n K E=* -

- 2 d 2 a 2 a 2 ^; v - d x r r d l r d z r = a

1. Quantenmechanik eines Teilchens1.1 Wellenmechanik des freien Teilchens

Wellenfunktion eines freien Teilchens mit Energie E und Impuls !p

1-1

l. WEU-ENMECIIANIK des frrlen fgll.'hF''*

U._freie_leweggg_d Kraftefreie Bewegung in einer Dimension

Enereie, E=# ; Igp-u- !g- i p=mv , v=x

Y ( x , t ) = c e i k x - i " r t

E = n ( l ) . p = n K

vtx,t) = C exp[* tpx - Et)]

C: komplexe Konstante

b) Freie dreidimensionale Bewegune

i= l y l = ( x , y , z )

Y(r-,t) = c eiFi - i-t

Welleneisenschaft:

-------+ Forderunqr

WELLENFUNKTIONdes freien Teilchens mit

Energie E und Impuls p'

-2 -\2r: ts : : - _ ILY___!

2rn Jxz

_ /d,/dx \v = l d , / d y I

\ d /dz J

F - (k*,k'k") Wellenvektor ;

rmpuls P = nK

Y(F, t )=C"rpf t tpr- r t r ]

Finder lineare partielle Differentialgleichung, zu der YF,t) Ldsung ist mit der Bedingung= _ t = r : I p p r )t s = n o u n o p = n K I E - t n )

Ansatz: a) zunlichst in einer r?iumlichen Dimension: Y(x,t) = C eilh(P* - Et)

d9 (x , t ) - ^ . d ' 9 ( x , t )

c ) t -

I dx?

r-f El cexp[fr (px -Et)] =y (-#) c exp[f (px - Et)]

*u= - t# ; m i t de r Fo rde rung E=* .

b) Dreidimensionale Schrijdinger - Gleichung eines freien Teilchens (Masse m)

ih* Y(r-,r) = -r,- ts V'YtF,t)

Y(F,t) = C exp[iEr-- iot]

Schriidinger - Gleichung fiir die freie, eindimensionale

Bewegung eines Teilchens mit der Masse m

E = n t ' P = n K E=* -

- 2 d 2 a 2 a 2 ^; v - d x r r d l r d z r = a

1.2 Schrödinger-Gleichung des freien Teilchens1-2

_ . - dL , - ' . )

t

. - > , i h v

Energie

Impuls

-2

H= ; ; stellt Energie dar ( freies Teilchen J pot' i rnergre = v t r , =u . /

---'----+ Hamilton - operator: ff = - 5*3 eines freien Teilchens

--j Schrddinger - Gleichung: ff vrl,tr = ih* YF,r)

f iY t t - , t l=EY( i , t )

Zusammenfassung:

1) euantenmechanisch werden TEILCHEN durch eine WEI-LENFUNKTION Y(i,t) beschrieben;

2) die Wellenfunktion ist LOSUNG der Schrddinger - Gleichung

ff vr.-,tt = i h+ Y(r,t) - E v(i,t) E: Eigenwert des

Hamilton - Operators ff

A: Hamilton - Operator ; E: Energre

ff entsteht aus der klassischen Hamilton Funktion H(p=,F)

Freies Tei lchen: n=Ttu=t ; f t=-51v'

-ffvr"-,tt = ih* yc,t) = E y(f,t) i

durch die Ersetzung F= - iRV

E _ _ L- - 2 r n

L6sune: Y(i , t) = c."p[f tp' . r t l ]

x Die zeitliche Anderung der Wellenfunktion Y(i,t) wird durch den

stimmt;

x Falls V(i,t) einen Zustand mil wohldefinierter Energie beschreibt,

Y(f,t) = f(i) e-iEtlh

gegeben.

Hamilton Operator be-

dann ist sie in der Form

1.4. rler Heurrrox-o (des frcier Teifchens)

klassische (NEwToN -) Mechanik

_ . - dL , - ' . )

t

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--j Schrddinger - Gleichung: ff vrl,tr = ih* YF,r)

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Zusammenfassung:

1) euantenmechanisch werden TEILCHEN durch eine WEI-LENFUNKTION Y(i,t) beschrieben;

2) die Wellenfunktion ist LOSUNG der Schrddinger - Gleichung

ff vr.-,tt = i h+ Y(r,t) - E v(i,t) E: Eigenwert des

Hamilton - Operators ff

A: Hamilton - Operator ; E: Energre

ff entsteht aus der klassischen Hamilton Funktion H(p=,F)

Freies Tei lchen: n=Ttu=t ; f t=-51v'

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durch die Ersetzung F= - iRV

E _ _ L- - 2 r n

L6sune: Y(i , t) = c."p[f tp' . r t l ]

x Die zeitliche Anderung der Wellenfunktion Y(i,t) wird durch den

stimmt;

x Falls V(i,t) einen Zustand mil wohldefinierter Energie beschreibt,

Y(f,t) = f(i) e-iEtlh

gegeben.

Hamilton Operator be-

dann ist sie in der Form

1.4. rler Heurrrox-o (des frcier Teifchens)

klassische (NEwToN -) Mechanik

1.3 Energie und Impuls als Differentialoperatoren

1.4 HAMILTON - Operator

Klassische Mechanik: Hamilton-Funktion

Energie:

Impuls:

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!p ! "ih!#

1-3

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t

. - > , i h v

Energie

Impuls

-2

H= ; ; stellt Energie dar ( freies Teilchen J pot' i rnergre = v t r , =u . /

---'----+ Hamilton - operator: ff = - 5*3 eines freien Teilchens

--j Schrddinger - Gleichung: ff vrl,tr = ih* YF,r)

f iY t t - , t l=EY( i , t )

Zusammenfassung:

1) euantenmechanisch werden TEILCHEN durch eine WEI-LENFUNKTION Y(i,t) beschrieben;

2) die Wellenfunktion ist LOSUNG der Schrddinger - Gleichung

ff vr.-,tt = i h+ Y(r,t) - E v(i,t) E: Eigenwert des

Hamilton - Operators ff

A: Hamilton - Operator ; E: Energre

ff entsteht aus der klassischen Hamilton Funktion H(p=,F)

Freies Tei lchen: n=Ttu=t ; f t=-51v'

-ffvr"-,tt = ih* yc,t) = E y(f,t) i

durch die Ersetzung F= - iRV

E _ _ L- - 2 r n

L6sune: Y(i , t) = c."p[f tp' . r t l ]

x Die zeitliche Anderung der Wellenfunktion Y(i,t) wird durch den

stimmt;

x Falls V(i,t) einen Zustand mil wohldefinierter Energie beschreibt,

Y(f,t) = f(i) e-iEtlh

gegeben.

Hamilton Operator be-

dann ist sie in der Form

1.4. rler Heurrrox-o (des frcier Teifchens)

klassische (NEwToN -) Mechanik

• Teilchen mit Wechselwirkung: Hamilton-Funktion H =p2

2m+ V

• Schrödinger - Gleichung: H!(!r, t) =

!

−h2!∇2

2m+ V

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1-4

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1.5 Interpretation der Wellenfunktion

1.6 Wahrscheinlichkeits-Stromdichte und Kontinuitätsgleichung

1-5

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1.9 Mathematischer Anhang: kurzer Exkursüber Delta-Distribution und

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1.10 Wellenfunktion im Impulsraum(Impulsverteilung)

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1.11 Kommutatoren

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1.12 Drehimpuls