geometricdesign Sterne der Platonischen Körper

© Ueli Wittorf 1

Sterne der Platonischen Körper Der Griechische Philosoph Platon (428 – 348 v. Chr.) ordnete die regelmässigen geometrischen Körper den Naturelementen und dem Himmelsraum zu.

Feuer Luft Wasser Erde Himmelsraum

Wie präsentieren sich die Platonischen Körper als Sterne, wenn deren Strukturprinzipien in den Umraum strahlend eingehalten werden? Dazu werden die ebenen Seitenflächen der Körper über ihre Kanten hinaus so weit ausgedehnt, bis sie sich mit einer anderen erweiterten Seitenfläche schneiden. Dadurch werden über die Flächen des Körpers Sternzacken errichtet. Die auf diese Art gebildeten „Sterne“ sind charakteristisch für die Platonischen Körper und verstärken deren Eindruck in Bezug zu den Naturelementen.

Die fünf einfachen „Sterne“ Pentagondodekaeder (Himmelsraum) Als Erweiterung der Fünfeckoberflächen ergeben sich Fünfsterne (Pentagramme). Ihre 12 x 5 Spitzen errichten über den 12 Fünfecksflächen steile Pyramiden. Das Pentagondodekaeder wird zum echten Stern, dem Kleinen Keplerstern.

Eine fortgesetzte Flächenerweiterung führt noch zu zwei weiteren sternartigen Stufen: Poinsots Sternkörper und zum grossen Ikosaederstern mit 20 Zacken, dem Grossen Keplerstern. (siehe unten: Sterne des Pentagondodekaders)

Sterne der Platonischen Körper geometricdesign

2 © Ueli Wittorf

Ikosaeder (Wasser) Über den 20 Dreiecksflächen bilden sich aus den 20 sechseckigen Bauelementen über den Dreiecksflächen sehr flache Pyramiden als Sternzacken. Das Ikosaeder ist der rundeste aller Platonsichen Körpe, aber auch sein erster Stern ist sehr rund.

Wird die Flächenerweiterung fortgesetzt, so ergen sich stufenweise eine ganze Reihe sehr verschieden geformter Sterne (siehe weiter unten: Sterne des Ikosaeders) Mit Ikosaedern wie auch mit Pentagondodekaedern lässt sich keine raumfüllende Struktur bilden. Ikosaeder und Pentagondodekaeder sind als kugelig, sphärische Körper Individualisten. Oktaeder (Luft) Die Erweiterung führt zu vier Mal so grossen Dreiecken. Über jeder Oktaederfläche kommt ein Tetraeder als Sternzacke zu liegen. Johannes Kepler nannte diesen Stern auch stella octangula. Man erkennt aber den Körper auch als zwei sich durchdringende grosse Tetraeder, die als gemeinsamen Kern das Oktaeder einschliessen.

Mit seinen Spitzen spannt dieser Stern einen Würfel auf. in den Lücken zwischen den Zacken würden weitere Oktaeder hineinpassen, und zusammen mit weiteren kleinen Tetraedern könnte diese Struktur lückenlos in allen drei Dimensionen den Raum füllen fortgesetzt werden.

geometricdesign Sterne der Platonischen Körper

© Ueli Wittorf 3

Hexaeder/Würfel (Erde) Die Bauelemente sind Kreuze, deren Enden eigentlich im Unendlichen liegen. Der Würfelstern hat seine Spitzen im Unendlichen (gemäss der Projektiven Geometrie schneiden sich Parallenen im Unendlichen). Mit Würfeln allein lässt sich der Raum in allen drei Dimensionen lückenlos füllen. Der Würfel gehört ganz der Mineralwelt.

Teraeder (Feuer) Die vier Bauelemente sind eine Art dreiflüglige Propeller (das Warnzeichen für Stahlung im Dreieck zeigt auch dieses Bild). Über den vier Dreiecken des Tetraeders kommt es nicht zur Bildung einer Spitze, sondern im Gegenteil zu einem Trichter, der sich nach aussen öffnet. Vier Zacken aus dem Umkreis zusammen treffend schaffen das Tetraeder (den göttlichen Funken). Das Tetraeder ist ein Antistern.

Sterne der Platonischen Körper geometricdesign

4 © Ueli Wittorf

Kantenwinkel und Sternbildung Die grosse Verschiedenheit der fünf „Sterne“ hat seinen Grund in den Winkeln, in welchen sich zwei benachbarte Körperflächen treffen.

Tetraeder Hexaeder Oktaeder

70.53° 90° 109.47°

4 Flächen 6 Flächen 8 Flächen

Dodekaeder Ikosaeder

116.57° 138.19°

12 Flächen 20 Flächen

Die Platonischen Körper sind orthogonal, d.h. senkrecht zu einer Kante geschnitten dargestellt. Mit zunehmender Flächenzahl vergrössert sich der Kantenwinkel. Die gelben Rechtecke zeigen die Massverhältnisse in der Projektionsrichtung an. Der Kantenwinkel des Tetraeders ist um den gleichen Winkel kleiner als der Winkel des Würfels von 90°, wie der Kantenwinkel des Oktaeders grösser ist. Sie ergänzen sich auf 70.53° + 109.47° = 180°. Der Stern des Oktaeders ist ein Doppeltetraeder im Würfel, mit dem Oktaeder als Kern der Tetraeder-Durchdringung. 8 kleine Tetraeder bilden die Sternspitzen. Würfel, Oktaeder und Tetraeder vereinen sich ineinander liegend dicht gepackt in der kubischen Struktur, welche in alle drei Raumesrichtungen erweitert werden kann. Die Lücken zwischen den Zacken liessen sich mit weiteren Oktaeder ausfüllen.

Den stumpfsten Winkel von 138.18° finden wir beim Ikosaeder. Als Projektion im Quadrat (Würfe) eingeschrieben, erscheint das Dodekaeder mit dem Kantenwinkel von 116.57° wesentlich kantiger.

geometricdesign Sterne der Platonischen Körper

© Ueli Wittorf 5

Die Elemente Je nach Kriterium ergibt sich offenbar eine andere Reihenfolge der Platonischen Körper. An die Darstellung der Platonischen Körper als Stern sei hier eine kurze Betrachtung im Hinblick auf die Elemente gewagt.

Feuer Strahlt aus dem Unendlichen ein und muss sich dauernd erneuer.

Erde Erscheint als ewig Festes und Ruhendes. Mit seinen Enden ist das Element im Unendlichen verankert.

Luft Sich ausbreitend, aufsteigend, von der Erde zurückgehalten. Sie facht das Feuer auf der Erde an (Doppeltetraeder).

Himmelsraum Stellt den unendlichen Raum zur Verfügung, in den alles eingebettet ist.

Wasser Vermittlerin zwischen Himmel und Erde, die das Leben auf die Erde bringt und es möglich macht.

Erweiterte Sterne Oktaeder, Ikosaeder und Pentagondodekaeder sind die Platonischen Körper, welche Sternenstationen durchmachen, wenn ihre Flächen erweitert werden. Eine weitere Ausdehnung der Flächen wird so lange weitere Sternstadien ergeben, wie es Flächen gibt, die zusammenlaufen. Laufen sie parallel oder auseinander wie beim Hexaeder oder Tetraeder, so sind keine Pyramidenbildungen mehr zu erwarten. Das Doppetetraeder (stella octangula) ist der einzige Sternzustand des Oktaeder. Am Pentagondodekaeder beobachtet man fünf interessante Zustände und das Ikosaeder soll, wie es in der Literatur heisst, 58 Stufen haben. Oktaeder Die Flächen des Oktaedersterns laufen parallel oder bilden nach aussen geöffnete Tricher, laufen also ausseinander und es kommt zu keinem weiteren Sternzustand. Die Oktaederstern-Struktur spannt einen Würfelstumpf auf und zeigt damit ihre kubischen Eigenschaften.

Oktaederstern-Struktur Oktaederstern Bauelement des Oktaedersterns, darunter die Erweiterung des Bauelementes

Sterne der Platonischen Körper geometricdesign

6 © Ueli Wittorf

Sterne des Pentagondodekaeders Der erste Dodekaederstern oder der kleine Kepplerstern (in der Mitte) wird aus 12 Pentagrammen zusammengebaut. Das Sternelement, zum Fünfeck ausgedehnt, führt zur ikosaedrischen Struktur von Poinsots Sternkörper (rechts). Auch dieses Fünfeck lässt sich zum Fünfstern erweitern. Zusammengebaut erhalten wir den grossen Keplerstern mit 20 Spitzen, auch Ikosaederstern genannt. Dieser spannt mit seinen Enden wieder ein Dodekaeder auf, dessen 12 Flächen allerdings als Fünfsterne erscheinen. Man könnte ihn Pentagramm-Dodekaeder nennen. Ausgehend vom Pentagondodekaeder enthält er den Dodekaederstern, Poinsots Sternkörper (mit ikosaedrischen Umrissen), den Ikosaederstern und dieser das Pentagramm-Dodekaeder, also fünf Körper übereinander, gebaut aus 12 identischen ebenene Bauelementen.

geometricdesign Sterne der Platonischen Körper

© Ueli Wittorf 7

Die Schnittstrukturen von Oktaeder, Pentagondiodekaeder und Ikosaeder Zum Entwerfen der Bauelemente der Sterne muss man sich die Schnittstrukturen der Flächen der Grundkörper vergegenwärtigen. Die Struktur für das Ikosaeder ist ein Vielfaches als diejenige des Pentagondodekaeders.

Oktaeder

Pentagondodekaeder

Ikosaeder

Sterne der Platonischen Körper geometricdesign

8 © Ueli Wittorf

Sterne des Ikosaeders Einige „Sterne“ des Ikosaeders wurden, wie auch die oben beschriebenen, aus transparentem, 0.25 mm dickem Hart-PVC-Platenmaterial nach dem System der Verschränkung von geschlitzten Bauelementen angefertigt. Neben dem Bild des Modells ist jeweils das 20-fach verwendete Bauelement in der Schnittstruktur getönt eingezeichent, beginnend beim Ikosaeder, das in allen weiteren Sternkörper als Kern vorhanden ist.

Ikosaeder (Kern aller Sterngebilde)

erster Ikosaederstern Pyramidenikosaeder Bindelstern

Oktaederfünfling

Tetraederfünfling

geometricdesign Sterne der Platonischen Körper

© Ueli Wittorf 9

Ikosaederstern mit 20 sechsflächigen Zacken

Bindelstern Ikosaederstern mit 12 fünfflächigen Spitzen

blauer Bindelstern im transparenten Dodekaederstern Ab einer bestimmten Komplexität sind durchgehende Flächenelemente nicht mehr möglich, der Kern muss weggelassen werden.