Grundwissen

Mit rationalen Zahlen rechnen

1 Berechne ohne Taschenrechner.

a) (+86) – (–44) = b) (+2,4) – (+3,6) = (–112) – (+36) = (–4,8) + (–1,9) = (–250) + (–185) = (+3,9) + (+12,1) =

c) ( + 4 __ 5 ) + ( –1 2 __ 5 ) = d) ( – 2 __ 3 ) + ( – 1 __ 9 ) = ( –2 3 __ 4 ) – ( –1 1 __ 4 ) = ( + 3

___ 10 ) – ( + 7 ___ 50 ) =

( –3 5 __ 6 ) + (–2) = ( –1 1 __ 6 ) – ( –2 4 ___ 15 ) =

2 Berechne vorteilhaft ohne Taschenrechner.

a) 20 · (–6) = b) – 1 __ 2 · ( – 1 __ 3 ) = –50 · (+0,5) = 5 __ 8 · ( – 8 __ 5 ) = –1,5 · (–22) = – 3 __ 4 · 8 =

–30 · 2,6 = 4 1 __ 2 · 8 __ 3 =

c) –144 : (–12) = d) 15 : (–2,5) = 143 : (+13) = –9,6 : (+1,2) = (–195) : (+15) = –8,75 : (–1,25) = 198 : (–11) = (+3,5) : (–0,05) =

3 Berechne ohne Taschenrechner.

a) 3 __ 2 : ( 5 __ 6 – 5 __ 9 ) b) ( 1 __ 4 + 7 ___ 12 ) 2 : ( 2 __ 7 – 1 __ 6 )

c) 13: (0,75 · 6 – 2) d) 3,75 – 0,345 : 0,15

4 Berechne ohne Taschenrechner. Nutze Rechen-gesetze.

a) (–5) · 3,5 + (–5) · 4,5 =

b) 36,7 + (–12,9) + (–6,7) – 5,1 =

c) 1 __ 4 – 1 __ 6 + ( – 7 __ 8 ) + ( – 5 ___ 12 ) =

d) –22,1 · 98 + 5,6 · (–98) =

e) ( – 3 __ 4 ) · (–14,7) – ( – 4 __ 3 ) · (–14,7) =

f) 0,01 · (–27,1) + (–15,9) · 0,01 =

5 Der Platzwart eines Fußballvereins mäht den Rasen. Nachdem er eine Platzhälfte ganz und ein Drittel der zweiten Hälfte gemäht hat, beginnt es plötzlich zu regnen und er muss aufhören. Welchen Anteil des Fußballplatzes muss er nach der Regenpause noch mähen?

6 Lisa steht auf einem 100 m langen Rollband im Flughafen und legt die Strecke in 20 s zurück. Zu Fuß würde sie 72 s brauchen. Wie lange würde sie gehend auf dem Rollband für 100 m brauchen?

Addition und Subtraktion von BrüchenUngleichnamige Brüche werden zunächst gleich-namig gemacht. Anschließend werden die Zähler addiert bzw. subtrahiert. Der gleichnamige Nenner wird beibehalten.

Beispiel: 2 __ 5 + 3 ___ 10 = 4

___ 10 + 3 ___ 10 = 4 + 3

____ 10 = 7 ___ 10

Multiplikation und Division von BrüchenBrüche werden multipliziert, indem man Zähler mit Zähler und Nenner mit Nenner multipliziert.Man dividiert durch einen Bruch, indem man mit seinem Kehrbruch multipliziert.

Beispiel: 2 __ 3 · 5 __ 7 = 10 ___ 21 ; 4 __ 7 : 8 __ 9 = 4 __ 7 · 9 __ 8 = 4 · 9

____ 7 · 8 = 9 ___ 14

Addition und Subtraktion rationaler ZahlenBei gleichen Vorzeichen der Summanden werden die Beträge addiert; das gemeinsame Vorzeichen bleibt.

Beispiel: (–4,2) + (–1,4) = –5,6

Bei verschiedenen Vorzeichen der Summanden wird der kleinere Betrag vom größeren Betrag subtrahiert; das Ergebnis hat das Vorzeichen des Summanden mit dem größeren Betrag.

Beispiel: (–6,3) + (+1,7) = –4,6

Die Subtraktion einer rationalen Zahl lässt sich stets durch die Addition ihrer Gegenzahl ersetzen.

Multiplikation und Division rationaler ZahlenZwei rationale Zahlen werden multipliziert (dividiert), indem man zunächst deren Beträge multi pliziert (dividiert). Haben beide Zahlen dasselbe Vorzeichen, so ist das Ergebnis positiv, andernfalls negativ.

Beispiel: –2,3 · (–1,5) = 3,45 3,45 : (–1,5) = 2,3

Rechengesetze in (für alle a, b, c X )

Kommutativgesetza + b = b + a a · b = b · a

Beispiel: (4,2) + (–2,3) + (3,8) = (4,2) + (3,8) + (–2,3)(2,5) · (–1,8) · (–6) = (2,5) · (–6) · (–1,8)

Assoziativgesetza + (b + c) = (a + b) + c a · (b · c) = (a · b) · c

Beispiel: (–0,8) + [(2,8) + (–1)] = [(–0,8) + (2,8)] + (–1)

( – 3 __ 4 ) · [ ( – 1 __ 2 ) · ( + 5 __ 7 ) ] = [ ( – 3 __ 4 ) · ( – 1 __ 2 ) ] · ( + 5 __ 7 ) Distributivgesetza · (b + c) = ab + ac a · (b – c) = ab – ac

Beispiel: (–5) · (3 + 8) = (–5) · 3 + (–5) · 8

Die Lösungen zum Grundwissen fi ndest du im Anhang.

1

2

6

Potenzgesetze

7 Vereinfache den Term und berechne seinen Wert. Es gilt: a1 = a (a X ); a0 = 1 (a X \{0})

a) 43 · 40 · 4–5 = b) (4–2 · 43) : 4–2 =

c) (2–3 + 2–2) · 24 = d) 1,24 · (1,2–3 – 1,2–4) =

e) (–2)8 · (–2)–4 · (–2)–2 = f) (24 · 2–7) : (2–3 · 20) =

8 Vereinfache so weit wie möglich.

a) 210 · a5

________ (2a2)5 · 24 = b)

(–6)4 · a5

________ 6a3 · (–6)2 =

c) 3x5 · 2x4

_______ 2x2 · 3x3 = d) ( x

4y ____

x2y3 ) –2 =

e) (5x2)3 – (–3)3 · x6

____________ (x–1)2 · (2x2)4 = f) 25x2

_____ 5 · x–3 + 30x4

____ 6x–5 =

g) (x3 – x2 + x – 1) · x–3 = h) 1 ____ x – 2 + 3 – 1 – x ____ 2 – x =

1 Werden Potenzen mit gleicher Basis multipliziert (dividiert), bleibt die Basis erhalten. Der Exponent ist die Summe (Differenz) der Exponenten.

Beispiel: (–3)5 · (–3)3 = (–3)5 + 3 = (–3)8

(–3)5 : (–3)3 = (–3)5 – 3 = (–3)2

2 Werden Potenzen mit demselben Exponenten multipliziert (dividiert), dann bleibt der gemein-same Exponent erhalten. Die Basis ist dabei das Produkt (der Quotient) der einzelnen Basen.

Beispiel: (–8)5 · 25 = (–8 · 2)5 = (–16)5

(–8)5 : 25 = (–8 : 2)5 = (–4)5

3 Wird eine Potenz potenziert, werden die Exponenten multipliziert. Die Basis bleibt erhalten.

Beispiel: (73)5 = 73 · 5 = 715

Rechnen mit Wurzeln

9 Bestimme die Lösungsmenge rechnerisch.

a) x2 – 49 = 0 b) x2 = 2,25 c) x2 = 0

d) 1 __ 2 x2 = 8 e) x2 + 1 = 0 f) 49x2 = 9

g) 4 – 9x2 = 0 h) 1 + 36x2 = 0 i) 25 + 4x2 = 0

10 Gib zur angegebenen Lösungsmenge eine rein-quadratische Gleichung an.

a) = {–3; 3} b) = {–1; 1} c) = {– 2 __ 3 ; 2 __ 3 }

d) = {–2,5; 2,5} e) = f) = {– √__

2 ; √__

2 }

11 Rechne im Kopf.

a) √_____

25 · 9 = b) √_______

196 · 16 = c) √______

361 · 9 =

d) √___

36 ___ 81 = e) √

___

49 ___ 64 = f) √

______

81 · 16 ______ 121 =

12 Vereinfache folgende Terme.

a) √________

144 · a3b2 = b) √____

8a2

___ b2 =

c) √____

xy2

___ 49 = d) √________

1 ________ 0,81 · x2y4

=

13 Fasse zusammen.

a) 2 · √__

8 + 3 · √__

8 = b) 9 · √__

3 – √___

12 + √__

3 =

c) 6 · √___

15 – 2 · √___

60 = d) 7 · √___

63 – 5 · √___

28 =

14 Setze Ziffern so in die Lücken ein, dass die Rechnungen stimmen.

a) √__

2 · √__

= √___

50 b) √___

9 · √__

= √____

196

c) √___

0 · √__

5 = √___

1 d) √____

432 : √__

= 6

Addition und Subtraktion von WurzelnZwei Quadratwurzeln lassen sich im Allgemeinen nicht zu einer Quadratwurzel zusammenfassen(Ausnahme: Wurzeln mit gleichen Radikanden).

Beispiel: √__

9 + √___

16 ≠ √______

9 + 16 = √___

25 3 + 4 ≠ 5

Bei Summen gilt das Distributivgesetz:

a · √__

c + b · √__

c = (a + b) · √__

c , c 0

Beispiel: 3 · √__

2 + 5 · √__

2 = (3 + 5) · √__

2 = 8 · √__

2

Multiplikation und Division von WurzelnMultiplikation zweier Quadratwurzeln

√__

a · √__

b = √____

a · b für a, b 0

Beispiel: √___

16 · √__

9 = √_____

16 · 9

Division zweier Quadratwurzeln

√__

a ___

√__

b = √

__ a __

b für a 0, b 0

Beispiel: √__

9 ____

√___

16 = √

___

9 ___ 16

Lässt sich der Radikand in ein Produkt zerlegen, bei dem ein Faktor eine Quadratzahl ist, dann wird häufi g nur für diesen Teil die Wurzel gezogen.

Für b 0 gilt: √_____

a2 · b = |a| · √__

b

Beispiel: √___

12 = √_____

22 · 3 = √__

22 · √__

3 = 2 · √__

3

7

Grundwissen

Potenzen, Wurzeln höherer Ordnung und Logarithmen

15 Übertrage die Tabelle ins Heft und vervollständige die Lücken.

16 Bestimme den Wert unter der Wurzel. Schreibe dazu als Potenz und notiere auch die zugehörige Umkehraufgabe.

Beispiel: 4 √___

81 = 81 1 __ 4 = 3

Umkehraufgabe: 34 = 81

a) 4 √___

16 b) 3 √____

512 c) 5 √_____

3125

d) 6 √____

729 e) 7 √____

128 f) 10

√______

59049

g) 3 √___

1 ___ 27 h) 4 √____

16 ____ 256 i)

7 √_____

1 _____ 2187

17 Bestimme die Lösungsmenge der Gleichungen.

Beispiel: x3 = 8 x = 3 √__

8 = 8 1 __ 3 = 3

a) x4 = 256 b) x5 = 3125

c) x3 = 343 d) x6 = 0,000064

e) x5 = 0,00032 f) x7 = 0,0000001

g) x8 = 1 ____ 256 h) x6 = 64 ____ 729

18 Berechne mit dem Taschenrechner. Runde auf zwei Stellen nach dem Komma.

Beispiel: log4 8 = log 8

_____ log 4

a) log2 9 b) log3 25 c) log7 38

d) log8 50 e) log9 127 f) log12 1500

g) log 25 h) log 1750 i) log 82

j) log 0,5 k) log 0,08 l) log 1 __ 4

Das Radizieren ist die Umkehroperation zum Poten-zieren, wenn die Basis gesucht wird.Allgemein:an = c Umkehrung: a =

n √__

c

Weiterhin gelten folgende Zusammenhänge:

n √__

a = a 1 __ n und

n √___

am = a n __ m

Beispiel:54 = 625

Umkehrung: 5 = 4 √____

625 bzw. 5 = 625 1 __ 4

Das Logarithmieren ist die Umkehroperation zum Potenzieren, wenn der Exponent gesucht wird. Der Exponent in der Gleichung an = c heißtLogarithmus von c zur Basis a.Allgemein:an = c Umkehrung: n = loga c

Beispiel:54 = 625 Umkehrung: 4 = log5 625

Der dekadische Logarithmus oder Zehnerlogarith-mus hat die Basis 10.Statt log10 schreibt man oft auch nur log oder kurz: lg

Weiterhin gelten folgende Zusammenhänge:1 loga c =

log c ____

log a und

2 loga un = n · loga u bzw. log un = n · log u

Auf deinem Taschenrechner fi ndest du folgende Taste für den Logarithmus. Man gibt jeweils nur den Potenzwert ein.

Für die Berechnung beliebiger Logarithmen mit dem Taschenrechner gilt:

loga c = LOG c

______ LOG a

Potenz Wurzel Logarithmusa) 23 = 8b) 34 = 81c) 45 = 1024

Potenz Wurzel Logarithmus

d) 3 √___

64 = 4

e) 6 √____

729 = 3

f) 9 √____

512 = 2

Potenz Wurzel Logarithmus

g) log3 27 = 3

h) log6 1296 = 4

i) log8 64 = 2

LOG bzw. LGLogarithmus zur Basis 10:log10 x = LOG x oder log10 x = LG x

8

19 Rechne im Kopf. Erkläre Gesetzmäßigkeiten.

a) log 10 log 100 log 1000 log 10 000

b) log 1 ___ 10 log 1 ____ 100 log 1 _____ 1000 log 1 ______ 10 000

c) log2 4 log2 8 log2 16 log2 32

20 Berechne im Kopf und notiere jeweils die Umkehr-aufgabe.

Beispiel: log2 8 = 3, da 23 = 8

a) log3 9 b) log2 128 c) log5 125

d) log6 216 e) log4 1024 f) log7 7

g) log2 1 __ 8 h) log5 1 ____ 625 i) log7 1 ___ 49

21 Löse die Gleichungen. Notiere bei a) bis f) die zugehörige Potenz.

a) logx 9 = 2 b) logx 64 = 3 c) logx 9 = 1

d) log2 x = 3 e) log3 x = 2 f) log7 x = 1

g) 3x = 1 ____ 243 h) 2x = 1 ____ 256 i) 55 + 7 · 5x = 90

Gleichungen, bei denen die Variable im Exponenten auftaucht, können durch Logarithmieren beider Sei-ten gelöst werden.

Wir fassen den Ausdruck 5x = 625 als Gleichung auf und wenden auf beiden Seiten den Logarithmus an. 5x = 625 log 5x = log 625 x · log 5 = log 625

x = log 625

______ log 5

= 4

Allgemeine Zusammenhänge:

Mit Termen rechnen

22 Vereinfache so weit, wie möglich.

a) 9x – (5x + 11) + (7x + 21)

b) x – [x + (3 – x) – (x – 3)] + (5 – 3x)

c) 4x – 8 – [3 + (3,3 – 2,5x) – (–8,7 – 3,5x)]

d) 2 · (x + 0,5) + 5 · (x – 5,2)

e) x · (x + 1) + x2 – (4 + x) · x

f) (x – 3) · (–2) + 5 · (3x + 11)

23 Die Terme 1 bis 6 sind jeweils äquivalent zur Summe oder Differenz zweier Terme auf den grünen Kärtchen. Ordne zu.

1 4 + 7x 2 12 – 10x 3 8x

4 20 – x 5 40 + 2x 6 4 – 2x

T1 (x) = 16 + x T2 (x) = 4 + 2x T3 (x) = 8 – 4x

T4 (x) = 24 + x T5 (x) = 6x – 4 T6 (x) = 12 + 3x

24 Wie lautet ein gemeinsamer Faktor? Klammere ihn aus und vereinfache.

a) 7x2 + 21x b) 12ab – 36a2 + 18ab2

c) 15x3 + 12x2y d) 0,4klm + 2k2lm – 1,6kl

e) 0,8x2 + 0,4ax – 0,2x f) –t4 – 1,2t2 – 4,8t3s

1 Gleiche Summanden kann man zusammenfassen.

Beispiel: 3xy + 7xz – 7xy + 2xy – 2xz = –2xy + 5xz

2 Wird eine Summe (Differenz) addiert, dann blei-ben nach Aufl ösen der Klammer die Vorzeichen in der Klammer gleich.

Beispiel: x + (y – z) = x + y – z

3 Wird eine Summe (Differenz) subtrahiert, dann kehren sich nach Aufl ösen der Klammer die Vor-zeichen in der Klammer um.

Beispiel: x – (y – z) = x – y + z

4 Wird eine Summe mit einem Faktor multipliziert, dann wird jeder Summand mit dem Faktor (aus-) multipliziert. Die entstandenen Produkte werden mit ihren Vorzeichen addiert.

Beispiel: x · (y + 12) = x · y + 12x

5 Kommt in einer Summe von Produkten in jedem Summanden derselbe Faktor vor, dann kann die-ser ausgeklammert werden.

Beispiel: x2y + 12xy = xy · (x + 12)

an = c

Potenzwert

Exponent

Basis log

a c = n

| logAnwendung von 2| : log 5

9

Grundwissen

Summenterme und binomische Formeln

25 Berechne das Produkt und vereinfache.

a) (x – 3) · (x + 1) b) (a – b) · (a – 2)

c) (–3x + 2) · (x – 4) d) (2,5y + 7) · (x – y)

e) (1,2s – 0,5) · (1,2s – t) f) (–0,9a + b) · (a – 6)

26 Multipliziere die Klammern aus. Nutze die binomischen Formeln.

a) (x – 1,5)2 b) (8x + 2y) (8x – 2y)

c) 3 · (3 + h)2 d) (2x + 6)2

e) –(9y – 5x)2 f) 3 __ 4 · (0,5a – 0,25b)2

27 Faktorisiere.

a) a2 – 4ab + 4b2 b) 9 + 16z2 + 24z

c) 6,25 – 4y2 d) –1 – 4r – 4r2

e) 1,44x2 – 0,64a2 f) 289y2 – 4

Beim Multiplizieren von Summentermen muss jeder Summand der ersten Klammer mit jedem Sum-manden der zweiten Klammer multipliziert werden.Beispiel:

(a – b) · (c – d) = ac – ad – bc + bd

Mithilfe der binomischen Formeln lassen sich bestimmte Terme umformen.

1 (a + b)2 = a2 + 2ab + b2

2 (a – b)2 = a2 – 2ab + b2

3 (a + b) · (a – b) = a2 – b2

Lineare Gleichungen

28 Übertrage die Additionsmauer in dein Heft. Bestimme den Term im obersten Stein. Finde he-raus, für welchen Wert x steht, wenn das Ergebnis auf dem oberen Stein …

a) 0 b) 36 c) –36 d) 144 ist.

29 Gib jeweils die Lösungsmenge an.

a) 12x – 1 = 2 · (5x + 8) =

b) –2,5 + 4x = 4 – (x – 2,5 + 4x) =

c) –z · (2 – z) = (2 – z)2 =

d) (2x + 3)2 = 4x · (x + 6) =

30 Finde die gesuchte Zahl.

a) Subtrahiert man vom Achtfachen einer natür-lichen Zahl die Zahl 56, so erhält man 128.

b) Welche ganze Zahl ist um 162 größer als das Achtfache ihrer Gegenzahl?

c) Der Summenwert von fünf aufeinander- folgenden Vielfachen von 5 ist 600. Bestimme die kleinste dieser Zahlen.

Gleichungen, die die Variable in der ersten Potenz enthalten, heißen lineare Gleichungen.Die Grundmenge gibt an, welche Zahlen für die Variable eingesetzt werden dürfen.Die Lösungsmenge gibt die Zahlen aus an, die man für die Variable einsetzen kann, damit eine wahre Aussage entsteht.

Gleichungen kann man auch durch Äquivalenz-umformungen lösen. Es gilt:• Man addiert (subtrahiert) auf beiden Seiten der

Gleichung die gleiche Zahl oder den gleichen Term.

• Man multipliziert (dividiert) auf beiden Seiten die gleiche Zahl (die nicht null sein darf).

Beispiel:4 · (2 + x) – x = –1 I ausmultiplizieren 8 + 4x – x = –1 I zusammenfassen 8 + 3x = –1 I – 8 3x = –9 I : 3 x = –3 = {–3}

3 – 2x x + 3425 8

10

Lineare Gleichungssysteme

31 Ermittle graphisch die Lösungsmenge des linearen Gleichungssystems.

a) I 2x – y = 2 b) I 2y – x = –3 II – x + y = 1 II 2x + y = 6

c) I 3x + 2y = 5 d) I 6y – 2x = +3 II 3y = –x – 3 II 3y – x = –3

e) I y – 0,5x = 1,5 f) I y – 2x – 3 = 0 II 2y – x = 3 II x = 0,5y+ 1,5

32 Bestimme die Lösungsmenge rechnerisch mit einem Verfahren deiner Wahl.

a) I x = y + 5 b) I 2x – 5y = 31 II x + y = 29 II 2x = 16 – 10y

c) I 5y + 32 = 4x d) I 2x + 4y = 10 II 12x – 6y = 42 II 0,5x = 8 – y

e) I x – 2y = 6 f) I 22y – 6x + 15 = 0 II y + 1 = 0,5x – 2 II x = 2 __ 3 y + 7

33

34 In einem rechtwinkligen Dreieck stehen die Längen der Katheten im Verhältnis 3 : 1. Verlän-gert man beide Katheten um jeweils 2 cm, dann nimmt der Flächeninhalt um 10 cm2 zu. Wie lang sind die Katheten?

35 Die Notenverteilung einer Schulaufgabe der 10. Klasse mit 28 Schülern ist unvollständig.

Bestimme die fehlenden Anzahlen, wenn der Notendurchschnitt 3,25 beträgt.

Sollen Zahlenpaare (x | y) zwei lineare Gleichungen gleichzeitig erfüllen, so spricht man von einem linearen Gleichungssystem.

Es gibt drei Fälle:

1 genau 2 keine 3 unendlich viele eine Lösung Lösung Lösungen

Rechnerische Verfahren:

EinsetzungsverfahrenLöst man eine der Gleichungen nach einer Variable (z. B. y) auf, dann kann man diesen Term in die an-dere Gleichung einsetzen.

Beispiel: I –x – 2y = 3 II y = 2x –x – 2 · (2x) = 3 …

GleichsetzungsverfahrenLöst man beide Gleichungen nach einer Variable(z. B. y) auf, dann kann man die Terme gleichsetzen.

Beispiel: I y = 2x – 1

II y = –x + 5 2x – 1 = –x + 5 …

AdditionsverfahrenMan addiert beide Gleichungen, wenn vor einer Variable betragsgleiche Koeffi zienten stehen, die ein unterschiedliches Vorzeichen haben.

Beispiel: I 2x – 2y = –5 II 4x + 2y = –7

I + II 6x = –12 | : 6 …

Die Nachmittags-vorstellung eines Wanderzirkus (300 Plätze) war zur Hälfte ausverkauft. Finde mit-hilfe des abgebildeten Preisschilds heraus, wie viele Erwachsene und wie viele Kinder diese Vorstellung besucht haben, wenn die Einnahmen für diese Vorstellung 1 325 f betrugen. Wie hätten sich die Einnahmen an diesem Nachmittag geändert, wenn anstelle jedes erwachsenen Besuchers ein Kind und anstelle jedes Kinds ein Erwachsener gekommen wäre?

Note 1 2 3 4 5 6

Anzahl 1 6 7 0

1

1

2

3

y

x2x

1

2

3

y

2

1

x1

1

2

3

y

2 x

gleich-setzen

11

Grundwissen

Prozentrechnung

36 Barbara hat sich eine Skijacke gekauft und dabei 30 f gespart. Der Händler hat 15 % Nachlass gewährt. Berechne den ursprünglichen Preis der Jacke.

37 Beim Kauf eines Fahrrades wurden 30 % Anzah-lung geleistet. Berechne den Kaufpreis, wenn die Anzahlung 126 f beträgt.

38 Sandra geht mit ihrer Mutter einkaufen. Im Laden sind einige Produkte mit Rabattschildern versehen. Berechne, wie viel Sandra für ihr neues Outfi t insgesamt noch bezahlen muss.

a) b) c)

39 Eine Schokoladentafel der Firma „Zuckersüß“ kostet 0,89 f. Der Händler möchte den Preis um 15 % erhöhen. Damit der Käufer die Erhöhung nicht direkt bemerkt, beschließt er, den Preis zunächst um 8 % zu erhöhen. Einige Wochen später steigt der dann aktuelle Preis nochmals um 7 %. Untersuche, ob sich damit der ursprüngliche Preis um insgesamt 15 % erhöht hat.

40 Bei einer Sonnenblume hat man folgendes Wachs-tum beobachtet:

a) Wie viel Prozent der vollen Pfl anzenhöhe (82 cm) hat die Sonnenblume an den beobach-teten Tagen jeweils erreicht? Runde geeignet.

b) Um wie viel Prozent ist die Pfl anze zwischen den beobachteten Tagen jeweils gewachsen?

Runde geeignet.

41 Nachdem ein Paar Schuhe zweimal hintereinander um je 25 % ermäßigt wurde, kosten sie jetzt 54 f.

Wie teuer waren die Schuhe ursprünglich?

Bei der Prozentrechnung gibt der Grundwert GW das Ganze an, der Prozentwert PW den Teil vom Ganzen sowie der Prozentsatz p die Anzahl der Hundertstel, die dem Prozentwert entsprechen.

Es gilt: PW ___ p = GW ____ 100

Entspricht der Grundwert einem Prozentsatz von mehr als 100, so spricht man von einemvermehrten Grundwert.

Beispiel: 0,5 l Eistee kosten inkl. 10 %Bedienungsgeld 3,30 f.

GWvermehrt = 3,30 f

GW = 3,30 f

______ 110 · 100 = 3,00 f

Preis ohne Bedienungsgeld: 3,00 f

Berechnung mit dem Wachstumsfaktor: GW = 3,30 f : 1,1 = 3,00 f Preis ohne Bedienungsgeld: 3,00 f

Entspricht der Grundwert einem Prozentsatz von weniger als 100, so spricht man von einemverminderten Grundwert.

Beispiel: Der Preis eines Snakeboards wurde um 20 % reduziert. Es kostet jetzt noch 52 f.

GWvermindert = 52 f

GW = 52 f

____ 80 · 100 = 65 f

Berechnung mit dem Wachstumsfaktor: GW = 52 f : 0,8 = 65 f Ursprünglicher Preis: 65 f

GWvermehrt GW

Preis in f 3,30Prozentsatz p 100 + 10 100

Preis für Eistee ohne Bedienungsgeld: 100 %

Bedienungs-geld: 10 %

Preis, der zu zahlen ist: 110 %

ursprünglicher Verkaufspreis: 100 %

Preis, der zu zahlen ist: 80 % Nachlass: 20 %

GWvermindert GW

Preis in f 52Prozentsatz p 100 – 20 100

SALE

52,30 f

– 20 %

SALE36,76 f– 25 %

SALE

12,95 f

– 40 %

Alter in Tagen 5 10 15 20 25 30 35Höhe in cm 16 24 38 55 80 82 82

12

Statistische Kennwerte und Häufi gkeiten

42 Bestimme das arithmetische Mittel, den Median und den Modalwert der folgenden Datenreihen:

a) 2; 4; 5; 6; 4; 3; 5; 3; 3; 2; 1

b) 5,00 m; 5,20 m; 5,40 m, 5,20 m; 5,24 m

c) 0,1; 0,4; 0,4; 0,2; 0,22; 0,34; 0,1; 0,3

43 Christian misst eine Woche lang, wie viele Minuten er am Tag fernsieht:

a) Er möchte einen Mittelwert seiner täglichen Fernsehzeit berechnen. Hilf ihm dabei.Welchen Mittelwert würdest du Christianempfehlen? Begründe.

b) Seit neuestem kommt dienstags eine 30-minü-tige Serie, die Christian gern zusätzlich sehen möchte. Begründe, welche Mittelwerte sich dadurch ändern würden und welche nicht.

c) Christian nimmt sich vor, dass das arithme-tische Mittel seiner täglichen Fernsehzeit nur noch 45 Minuten betragen darf. Wie lange dürfte er samstags noch fernsehen, wenn er an den restlichen Tagen genauso lange wie in der Tabelle angegeben schaut?

44 Die Schüler der 10a wurden nach der Anzahl ihrer Geschwister gefragt. Die Tabelle zeigt die Ergeb-nisse.

a) Stelle die Daten in einem Kreisdiagramm und einem Balkendiagramm dar. Runde geeignet.

b) Berechne das arithmetische Mittel der Geschwisteranzahl in der Klasse 10a.

c) Begründe, in welchem Diagramm aus a) man das arithmetische Mittel gut darstellen kann.

d) Gib den Median und den Modalwert der Umfrage an. Begründe, wecher Mittelwertdie Umfrage besser beschreibt.

Kennwerte, die die Streuung von Daten beschreiben:Minimum xmin: kleinster Datenwert

Maximum xmax: größter Datenwert

Spannweite R: Unterschied zwischen Minimumund Maximum

Kennwerte, die Daten durch einen zentralen Wert beschreiben:

Modalwert xmod: häufi gster Wert

Median xmed: Wert in der Mitte einer geordnetenDatenreihe

arithmetisches Mittel: _

x = Summe aller Einzelwerte ___________________

Anzahl der Einzelwerte

Beispiel:

Die tatsächliche Anzahl, wie oft ein Ergebnis vor-kommt, bezeichnet man als absolute Häufi gkeit H.

Den Anteil, mit dem ein Ergebnis in Bezug auf die Gesamtanzahl aller Daten vorkommt, nennt man relative Häufi gkeit h.

Zur Darstellung absoluter Häufi gkeiten verwendet man Säulen- oder Balkendiagramme.

Zur Darstellung relativer Häufi gkeiten eignen sich Streifen- oder Kreisdiagramme.

Kreisdiagramm Streifendiagramm

Mo Di Mi Do Fr Sa So

20 30 25 35 60 180 35

Anzahl der Geschwister 0 1 2 3 4Häufi gkeit 6 10 4 2 1

0

1

2

3

4

5Anzahl

36

Minimum MaximumMedian 38,5

Modalwert 38

Spannweite 42 – 36 = 6

37 38 39 40 41 42

_

x = 36 + 37 + 37 + … + 41 + 42 ___________________ 14 38,7

0 % 50 % 100 %

25 % 25 %

100 mm = 10 cm1

2

1

2

90°

13

Grundwissen

Flächeninhalte von ebenen Figuren

45 Bestimme den Flächeninhalt der Figuren. Übertra-ge sie zunächst und miss die nötigen Längen.

46

a) Übertrage das Sechseck in dein Heft und bestimme seinen Flächeninhalt.

b) Henriette meint: „Ich zerlege das Sechseck in das Dreieck ABF, das Trapez FBCD und ein rechtwinkliges Dreieck EFD. Von allen Teil-fl ächen kann ich leicht den Flächeninhalt be-stimmen.“ Begründe, warum dieses Verfahren geschickt ist, und wende es an.

c) Ergänze das Sechseck zu einem Rechteck und zeige so, dass A = 17,5 cm2.

47 a) Ein Kreis hat den Radius r = 3 cm.Berechne seinen Flächeninhalt und Umfang.

b) Ein Kreis hat einen Umfang von 14,7 cm, der Radius eines zweiten Kreises ist 3,5 cm groß. Welcher Kreis hat den größeren Flächeninhalt?

c) Ein Kreis hat den Umfang u = 36 cm. Welchen Radius hat ein Kreis mit fünffachem Umfang?

48 Berechne jeweils den Inhalt der gelben Fläche.

a) b)

49 Bestimme die Länge desKreis bogens b und denFlächeninhalt A.

Rechtecke und QuadrateFür den Flächeninhalt eines Rechtecks und Quadrats gilt:

uR = 2 · a + 2 · b uQ = 4 · a AR = a · b AQ = a · a = a2

DreieckeFür den Flächeninhalt eines Dreiecks mit der Grund-seite g und der dazugehörigen Höhe h gilt:

AD = 1 __ 2 · g · h

hier:

AD = 1 __ 2 · c · hc

uD = a + b + c

ParallelogrammeFür den Flächeninhalt eines Parallelogramms gilt:

AP = Grundseite · zugehörige Höhe

AP = g · h

hier:

AP = a · ha oder AP = b · hb

uP= 2 · (a + b)

TrapezeDer Flächeninhalt eines Trapezes lässt sich mit folgender Formel berechnen:

ATr = a + c ____ 2 · h = 1 __ 2 · (a + c) · h

uTr = a + b + c + d

KreiseFür den Flächeninhalt eines Kreises gilt:

A = π · r2

u = π · d bzw. mit d = 2r

u = 2 · π · r

a) b) c)

1

0

2

3

y

x10 2 3

A

B

CD

E

F

4 5 6 7 8

r = 2 cm

r = 2 cmR = 4 cm

M

MR = 4 cm

a a

ab

c

hc

ab

a

bd

c

h

a

hb

hab

rM

14

r = 2,3 cm

b

155°

Satz des Pythagoras

50 Berechne die Längen der gelben Strecken.

a) b)

c) d)

51 Übertrage die Tabelle in dein Heft und berechne die fehlenden Werte.

52 Bestimme rechnerisch die Breite des Sees an der angegebenen Stelle.

53 Wie lang ist die Raumdiagonale eines Würfels mit der Kantenlänge a = 5 cm? Zeichne zunächst ein Schrägbild dieses Körpers.

Der Satz des Pythagoras in der EbeneIn einem rechtwinkligen Dreieck hat das Quadrat über der Hypotenuse den gleichen Flächeninhalt wie die Quadrate über den Katheten zusammen.

Allgemein gilt:Kathete2 + Kathete2 = Hypotenuse2

Mit den Bezeichnungen in der Abbildung gilt kurz:a2 + b2 = c2

Der Satz des Pythagoras in Körpern

In Quadern:

Flächendiagonale Raumdiagonalee2 = a2 + b2 d2 = e2 + c2

e = √______

a2 + b2 d2 = a2 + b2 + c2

d = √_________

a2 + b2 + c2

Bei Würfeln gilt speziell:

e = a √__

2 d = a √__

3

Satz des Thales

54 Zeichne fünf verschiedene rechtwinklige Dreiecke ABC1, ABC2, ... und ABC5 mit gemeinsamer Hypote-nuse

___ AB der Länge 8,5 cm.

55 Konstruiere jeweils ein rechtwinkliges Dreieck ABC aus den gegebenen Bestimmungsstücken.

a) a = 5 cm = b, γ = 90°

b) a = 5 cm, c = 7 cm, γ = 90°

Satz des ThalesLiegt der Punkt C eines Dreiecks ABC auf einemHalbkreis („Thaleskreis“) über der Strecke

___ AB

(C x ___

AB ), dann hat das Dreieck bei C einen rechten Winkel.

4 cm

3 cm 2 cm 5 cm

7 cm

5 cm 10 cm

5,8 cm

Länge von … a) b) c) d)Kathete 1 12 cm 7 m 8 dm

Kathete 2 9 cm 24 cm 240 dm

Hypothenuse 17 dm 26 m

50 m

43 m

BA

Ca2

c2

b2

acb

KatheteKathete

Hypotenuse

cd

e b

a

ad

e a

a

C

BMA

15

Grundwissen

Zusammenhänge im Dreieck

56 Ermittle die Größen aller Innenwinkel eines Drei-ecks ABC. Begründe deine Berechnungen.

a) α = β = γ b) γ = 5 · α; β = 3 · α.

57 Konstruiere, wenn möglich, das Dreieck ABC (Planfi gur, Zeichnung, Beschreibung). Nenne den verwendeten Kongruenzsatz.

a) a = 5,2 cm; c = 3,8 cm; β = 70°

b) a = 4,8 cm; b = 6,0 cm; c = 7,0 cm

c) b = 4,3 cm; α = 57°; γ = 80°

d) a = 5,4 cm; γ = 3α; α = 2β

Summe der InnenwinkelIn jedem Dreieck beträgt die Summe der Innenwinkel stets 180°.

Kongruenzsätze für DreieckeDreiecke sind genau dann kongruent, wenn sie …

• in der Länge aller Seiten übereinstimmen (SSS).

• in der Länge zweier Seiten und dem Maß des ein-geschlossenen Winkels übereinstimmen (SWS).

• in der Länge einer Seite und dem Maß beider anliegenden Winkel übereinstimmen (WSW).

Strahlensätze

58 Bestimme die Länge der rot markierten Strecken (g || h).

a) b)

c) d)

59 Ergänze im Heft die Verhältnisgleichungen (g || h).

a) | ___

SC | ____

| ___

SD | = |

___ SA | ____ b) |

___ SA | ____

| ___

SB | = ____

| ___

BD | c) |

___ AC | ____

| ___

SA | = |

___ BD | ____

d) | ___

LN | ____

| ___

NK | = ____

| ___

OK | e) |

___ LK | ____

| ___

NK | = |

___ KM | ____ f) |

___ OK | ____ = ____

| ___

NL |

Werden zwei sich in Z schneidende Geraden von zwei Parallelen geschnitten, ...

• dann stehen einander entsprechende Strecken-abschnitte auf den Geraden durch Z im gleichen Verhältnis (1. Strahlensatz).

• dann ist das Verhältnis der Streckenabschnitte auf den Parallelen gleich dem zugehörigen Strecken-verhältnis auf jeder der Geraden durch Z(2. Strahlensatz).

5 cm

8 cm

4 cm

3 cm

2 cm

1,2 dm

12 cm

10 mm

40 mm

8 mm

7 cm

5 cm

hh

h

h

g

g

g

g

C

SA

B

D M

L

N

O

Kh

h

g

g

Zh

g || h

b

a

g

AA’

BB’

Zh

g || h

b

a

g

AA’

BB’

Zh g || h

g

A

A’B

B’

b

a

Z

h

g || h

b

ag

AA’

BB’

Zh g || h

g

A

A’

B

B’

| ___

ZA | ____

| ___

ZA’ | = |

___ ZB | ____

| ___

ZB’ | |

___ ZA | ____

| ___

AA’ | = |

___ ZB | ____

| ___

BB’ |

| ___

ZA | ____

| ___

ZA’ | = |

___ ZB | ____

| ___

ZB’ |

| ___

ZA | ____

| ___

ZA’ | = |

___ AB | _____

| ____

A’B’ | |

___ ZA | ____

| ___

ZA’ | = |

___ AB | _____

| ____

A’B’ |

16