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Check-in

376  Check-in

Check-in: Grundlagen überprüfen und trainieren

Bevor Sie die einzelnen Kapitel durcharbeiten, sollten Sie sich vergewissern, dass Sie die not-wendigen Grundlagen besitzen. Diese entsprechen bei jedem Kapitel den in der Checkliste dar-gestellten Kompetenzen. Übertragen Sie diese Checkliste in Ihr Heft und schätzen Sie zunächst ein, ob Sie glauben, dass Sie die einzelnen beschriebenen Aufgabentypen beherrschen. Kontrol-lieren Sie dann Ihre Selbsteinschätzung, indem Sie die entsprechenden Aufgaben rechnen und anschließend Ihre Ergebnisse mit den Lösungen hinten im Buch vergleichen. Wenn es anschließend noch Themen geben sollte, die Sie nicht so gut beherrschen, sollten Sie diese Inhalte nacharbeiten. Dies kann beispielsweise mithilfe der Bücher aus Klasse 9 und dem Band der Einführungsphase erfolgen. Sie können auch eine Formelsammlung benutzen oder jemanden fragen, der Ihnen weiterhelfen kann.

Kapitel I

Checkliste

Das kann ich

gut.

Da bin ich fast sicher.

Ich bin noch un-sicher.

Das kann

ich noch nicht.

1. Ich kann zu einem Funktionsgraphen den Graphen der Ableitungsfunktion skizzieren

2. Ich kann ganzrationale Funktionen rechnerisch ableiten.

3. Ich kann die Bedeutung der Ablei-tungsfunktion beschreiben.

4. Ich kann Tangentengleichungen auf-stellen.

5. Ich kann Hoch- und Tiefpunkte ganzra-tionaler Funktionen mithilfe des Vorzei-chenwechselkriteriums bestimmen.

6. Ich kann die Nullstellen einer Funkti-on durch Ausklammern, Ablesen und Anwenden der pq-Formel bestimmen.

7. Ich kann die Nullstellen einer Funkti-on durch das Ersetzen von Variablen bestimmen. (Substitution)

8. Ich kann Aussagen über die An-zahl charakteristischer Punkte einer ganzrationalen Funktion n-ten Grades machen.

9. Ich kann lineare Gleichungssysteme mit zwei Gleichungen und zwei Unbe-kannten lösen.

10. Ich kann Symmetrieeigenschaften einer ganzrationalen Funktion aus der Funk-tionsgleichung entnehmen.

Die in der Checkliste auf-geführten Kompetenzen werden in Kapitel I benö-tigt. Übertragen Sie die Tabelle in Ihr Heft und kreuzen Sie dort das Feld an, das Ihrer Meinung nach für Sie zutrifft.

Online-Codeaz8r59 Kopiervorlage Checkliste

Eine ausführlich Wieder-holung zur Berechnung und Deutung der Ablei-tung sowie zur Bestim-mung von Extremstellen mithilfe der ersten Ablei-tung (Punkte 1 – 5 der Checkliste) befindet sich auf den Seiten 10 – 15.

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Lösungen auf Seite 472. Check-in  377

Aufgaben

1 Ableitungsfunktionen skizzierenSkizzieren Sie die Graphen der Ableitungsfunktion zu den in Fig. 1 und Fig. 2 gegebenen Graphen.

2 Ableitungsfunktion bestimmenBestimmen Sie die Funktionsterme der ersten, zweiten und dritten Ableitung der Funktion f.a) f (x) = 2 x3 – 4 x2 + 5 b) f (x) = 1 _ 2 x4 – 2 _ 3 x3 + 3 _ 5 x – 2 c) f (x) = a x4 – b x2 + c

3 Bedeutung der Ableitungsfunktion im SachzusammenhangBeschreiben Sie jeweils, welche Bedeutung die Ableitungsfunktion f’ im vorliegenden Sachzu-sammenhang hat.(1) f (t) gibt die Strecke in km an, die ein Auto innerhalb der Zeit t (in h) gefahren ist.(2) f (x) beschreibt das Höhenprofil einer Straße (x in m, f (x) in m).

4 Tangentengleichungen aufstellenBestimmen Sie die Gleichung der Tangente t an den Graphen der Funktion f im Punkt B (x0 | f (x0)). a) f (x) = 0,75 x2 + 1; x0 = 2 b) f (x) = 0,2 x2 – 0,5 x + 2; x0 = 3

5 Hoch- und Tiefpunkte bestimmenBestimmen Sie alle Hoch- und Tiefpunkte der Funktion.a) f (x) = x2 + 4 x – 7 b) f (x) = x3 – 6 x2 + 9 x c) f (x) = 1 _ 4 x4 – 1 _ 3 x3 + 4

6 Nullstellen durch Ausklammern und pq-Formel bestimmenBestimmen Sie die Nullstellen der folgenden Funktionen durch Ablesen oder Anwendung der pq-Formel. Bei einigen Funktionen muss man zuvor ggf. Ausklammern.a) f (x) = (3 – 2 x) (5 x + 15) b) f (x) = x2 – 4 x + 3c) f (x) = 3 x2 + 6 x – 9 d) f (x) = 5 x3 – 10 x2 + 5 x

7 Nullstellen durch Substitution bestimmenBestimmen Sie die Nullstellen durch das Ersetzen von Variablen. Klammern Sie ggf. zuvor aus.a) f (x) = x4 – 5 x2 + 4 b) f (x) = x6 – 2 x4 – 8 x2 c) f (x) = –2 x6 + 20 x3 – 18

8 Aussagen über die Anzahl charakteristischer Punkte machen Welche der folgenden Aussagen ist richtig bzw. falsch? Begründen Sie.a) Eine ganzrationale Funktion vierten Grades kann höchstens vier Nullstellen haben.b) Eine ganzrationale Funktion dritten Grades kann höchstens zwei Extremstellen haben.c) Eine ganzrationale Funktion dritten Grades hat immer einen Wendepunkt.d) Eine ganzrationale Funktion vierten Grades hat mindestens eine Nullstelle.

9 Lineare Gleichungssysteme (LGS)Bestimmen Sie die Lösung des Gleichungssystems.a) 4 x + 2 y = 10 b) –x + 5 y = 4 c) 4 a – 6 b = –7 d) –10 a + 8 b = 2 3 x + 4 y = 10 7 x – 4 y = 3 –5 a + 8 b = 9,5 30 a + 2 b = 34

_ 3

10 Symmetrieeigenschaften aus der Funktionsgleichung entnehmen Welche der folgenden Funktionen hat einen zur y-Achse oder zum Ursprung symmetrischen Gra-phen? Begründen Sie.a) f (x) = x3 + x2 + x b) f (x) = a x4 + b x2 + c c) f (x) = a x5 + b x3 + c x

Die Aufgaben 1 – 10 bezie-hen sich auf die Punkte 1 – 10 der Checkliste.

4

2

1

–1

x

y

1 2 3 4O

f

1

–1

–2

–3

–4

x

y

1–3 –2 –1 O

f

Fig. 1

Fig. 2

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Kapitel I, Check-in, Seite 377

1zu Fig. 1: zu Fig. 2:

4

2

–2

–4

x

y

–4 –2 O 2

4

2

–2

–4

x

y

–4 –2 O 2

2a) f (x) = 2 x3 – 4 x2 + 5; f’ (x) = 6 x2 – 8 x; f” (x) = 12 x – 8; f’” (x) = 12

b) f (x) = 1 _ 2 x4 – 2 _ 3 x3 + 3 _ 5 x – 2; f’ (x) = 2 · x3 – 2 · x2 + 3 _ 5 ;

f” (x) = 6 x2 – 4 x; f’” (x) = 12 x – 4 c) f (x) = a x4 – b x2 + c; f’ (x) = 4 a x3 – 2 b x; f” (x) = 12 a x2 – 2 b; f’” (x) = 24 a x

3(1) Die Ableitung gibt die Geschwindigkeit in km

_ h an.(2) Die Ableitung beschreibt die Steigung der Straße.

4a) f (2) = 4; f’ (x) = 1,5 x; f’ (2) = 3 = mt ; t (x) = 3 x – 2b) f (3) = 2,3; f’ (x) = 0,4 x – 0,5; f’ (3) = 0,7 = mt ; t (x) = 0,7 x + 0,2

5a) T (–2 | –11) b) H (1 | 4); T (3 | 0)

c) T ( 1 | 47 _ 12 ) ; Sattelpunkt S (0 | 4)

6a) x1 = 1,5; x2 = –3 b) x1 = 3; x2 = 1 c) x1 = 1; x2 = –3d) f (x) = 5 x3 – 10 x2 + 5 x = 5 x (x2 – 2 x + 1) = 5 x (x – 1)2. Also x1 = 0; x2 = 1.

7a) Substitution: z = x2, also z2 – 5 z + 4 = 0. Also z1 = 4; z2 = 1. Rücksubstitution ergibt: x1 = 2; x2 = –2; x3 = 1 und x4 = –1.b) f (x) = x6 – 2 x4 – 8 x2 = x2 (x4 – 2 x2 – 8) = 0. Also x1 = 0. Substitution: z = x2, also z2 – 2 z – 8 = 0. Also z1 = 4; z2 = –2. Rücksubstitution ergibt: x1 = 0; x2 = 2; x3 = –2.c) f (x) = –2 x6 + 20 x3 – 18 = –2 (x6 – 10 x3 + 9) = 0. Substitution: z = x3, also z2 – 10 z + 9 = 0. Also z1 = 9; z2 = 1. Rücksubstitution ergibt: x1 = 3 90000 9 ; x2 = 1.

8a) Richtig, denn eine ganzrationale Funktion 4. Grades lässt sich als Produkt von höchstens 4 Linearfaktoren schreiben. Allgemein gilt: Eine ganzrationale Funktion n-ten Grades hat höchstens n Nullstellen.b) Richtig, denn die Ableitungsfunktion hat dann den Grad 2 und somit höchstens 2 Nullstellen. Die notwendige Bedingung für Ex-tremstellen kann also an höchstens zwei Stellen erfüllt werden.c) Richtig, denn die 2. Ableitung ist eine lineare Funktion vom Typ a x + b und die 3. Ableitung eine Konstante. Also ist die hinrei-chende Bedingung an der Stelle x = – b _ a erfüllt.

f” ( – b _ a ) = 0 und f’” ( – b _ a )=a≠0d) Falsch. Gegenbeispiel: f (x) = x4 + 2 hat keine Nullstelle.

9a) x = 2 und y = 1 b) x = 1 und y = 1c) a = 0,5 und b = 1,5 d) a = 1 _ 3 und b = 2 _ 3

10a) Keine Symmetrie, da es gerade und ungerade Exponenten gibt.b) Achsensymmetrisch zur y-Achse, da alle Exponenten gerade sind.c) Punktsymmetrisch zum Ursprung, da alle Exponenten ungerade sind.

Lösungen zu den Check-in-Aufgaben

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