Abgeschlossene Mengen algebraiseher Zahlen

Herrn Prof. Dr. E. WITT zum 60. Geburtstag gewidmet

Von FRANZ HALTER-KocH in KSln

1. Die Mengen Sq und Sq

Far eine feste natarliche Zahl q 2 1 seien die Mengen Sq und Sq folgender- maBen definiert:

Sq besteht aus alien reellen algebraischen Zahlen O e ~, I O [ > 1, mit den Eigenschaften :

1 ist die einzige in Izl < 1 liegende Nullstelle eines Polynoms Q(z) ~ 7/[z] (1) ~

mit Q (0) -- q.

(2) Zu Q(z)existiert e inPolynom A(z) e7[z] mit A(-~)#O, A(O)>q und IA(z)l < [Q(z)] far lzl = 1 .

\~,/

Sq besteht aus allen nicht-reellen algebraischen Zahlen O e (E, ]O] > 1, mit den Eigenschaften:

(~) _1 und 1_ sind die einzigen in I zl _< 1 liegenden Nullstellen eines Polynoms O O

Q (z) e • [z] mit Q (0) = q.

(~) Zu Q(z)existiert ein Polynom A(z)~F[z] mit A l l ) # O, A(O)>q und

IA(z)l < IQ(z)l far Izl = 1. \t://

Da Q (z) weder irreduzibel noch primitiv zu sein braucht, ist Sq, C Sq far q' [ q. Die Mengen Sq wurden in [1] und [7] untersucht. In [7] wird bewiesen:

1 Sq ist abgeschlossen und far die Elemente O e Sq gilt ] O ] > 1 + 4" q" In [1]

wird dariiber hinaus eine Kennzeichnung der Mengen S' der t t i iufungspunkte q

yon Sq gegeben, und es werden einige Eigenschaften der Mengen S(~) bewiesen. (Far eine Menge S C C bezeichne S' die Menge der Hi~ufungspunkte yon S und S(m = (S(n-1))').

In der vorliegenden Arbeit beweise ich die Abgeschlossenheit der Mengen Sq u Sq, charakterisiere ihre tti~ufungspunkte und gebe einige Eigenschaften yon (Saw S-q)(m an. Die Abgeschlossenheit yon S 1 u $1 wurde mit anderen Methoden bereits in [5] gezeigt. Es ist mir nicht gelungen, eine vollstiindige

t r Charakterisierung yon (S~ u Sq) zu geben. Jedoch liiSt sich die in [4] an-

5 n~g.~m.Abh., B d . ~ x v m

66 Franz Hal ter-Koch

gegebene Kennze ichnung von S~' bzw. -1S(~) ohne Schwier igkei ten zu einer

Kennze i chnung yon (S x u $1)" bzw. (S 1 w $1)(:) erweitern.

I s t O e Sq und O < 0, so ist offensichtlich 1/O e H a, u n d alle re in- imaginaren Zahlen aus Sq haben diese Gestalt . E ine allgemeinere Klasse yon Zahlen aus

Sq erh/~lt m a n auf folgende Weise (f/it Sq vgl. [6], S. 132):

Satz 1: Sei s >_ 3 und Q ( z ) = q + q 2 z 2 + q a z a + . . . . . + q s z ~ Z [ z ] mit q~ ~ q und

q ~ > m a x q + ]q,[' 2 n" ]q,I �9 n = 3 n = 3

D a n n gilt :

(1) Q(z) h a t i n Izl < 1 genau zwei komplexe Nuilstellen a un4 ~ ; die iibrigen

Nullstellen yon Q(z) liegen in [z[ > 1.

(2) Es g ib t eine yon q, q3 . . . . . qs abh/~ngige Sehranke q0 ~ N derar t , dab

1 Sq, fails > ~ q2 - qo.

B e w e i s : Zu (1): Fiir [z I = 1 ist ]q + qzz ~ ] > q2 - q u n d

Iq3za+ . . . +q,z*] _< ~ [q.[ < q 2 - q , n = 3

also ha t Q(z) in ]z I < 1 naeh dem Satz yon Rouch6 gleich viele NuUsteilen

wie q + q~z 2, und das sind wegen q < qa genau zwei, e twa ~ u n d ~. Angel lommen, ~ und fl seien reell, u n d es sei a < fl; d a n n ha t Q' (z) mindestens

eine reeile Nullsteile 7 mi t a _< ? < ti- Es ist Q' (z) = 2q2z + 3q3z 2 + . . . . + sq~z s-l, also Q'(0) = 0.

Andrerse i t s ist f(ir ]z[ = 1

13qaz~+.. . +sq~z s-~] < ~ n[q,] < 2q~=]2q2z I, n = 3

und daher ha t naeh dem Satz yon Roueh6 Q' (z) in ]z[ < 1 gleich viele Null-

steUen wie 2q2z , also genau eine, n~mlich z = 0. Es ist also no twendig 7 = 0 u n d daher a < 0 < ft. fl ist aber die einzige NullsteUe yon Q (z) in [0, 1], also m(iBten Q(0) und Q(1) verschiedenes Vorzeiehen haben. I n Wir tdichkei t ist

a b e r Q ( 0 ) = q > 0 u n d

Q ( 1 ) = q + q 2 + q a + . . . +q~ >- q + q ~ . - ~ [q,[ > 2q > O, n = 3

was einen Widerspruch ergibt ; w~re a - - f l , so m/iBte wegen Q ( - 1 ) > 0 auch Q'(~) = 0 , also ~ = 0 sein, was n ieh t geht . Dahe r h a t Q(z) in fzl < 1 genau zwei komplexe 1qullstellen.

Abgeschlossene Mengen algebraischer Zahlen 67

Zu (2): Ffir h e N sei

Qh(Z) = Q(z) + hz n = q + (q2 + h) z 2 + qaz a + . . . ~- qs zs,

u n d es seien CCh, ~ h d i e N u l l s t e l l e n v o n Q h ( z ) i n [ z I < l . S e i P h ( Z ) = z s ' Q h ( 1 ) ;

ffir [z[ = 1 ist d a n n ]Ph(z)[ = [Qh(Z)[ und P h ( 0 ) = q s >-- q. I s t Ph(ah) ~ O, SO

ist 1 e ~q ; es genfigt also, zu zeigen: Fiir fast alle h e N s ind Ph (z) und Q, (z) gh

zue inander prim.

Sei Ph (z) = U h (z) �9 W a (z)

Qh (z) = V~(z)" W , (z),

und seien U h (z) a n d V h (z) zueinander prim. Wegen Vh (z) W h (z) - V k (z) W k (z) = ( h - k)z z und Wh(O ) ~ 0 s ind Wh(z ) und Wk(z ) ffir h ~ k zue inander pr im;

andrersei ts ist ftir jedes h ~ N

z P o (z) - - z s - a Q o (z) = ( z . U h (z) - z s -8 V h (z)) W h (z) ,

also W h (z) Teiler y o n z Po (z) - zs-aQo (z). I s t nun Q (z) = Qo (z) kein symmetr ischos 1)olynom 4. Grades, so ist z P o ( z ) - z s -3Qo(z ) ~ 0, und daher ist ffir fas t alle h Wh (z) v o m Grade 0, also s ind Ph (z) und Qh (z) zueinander pr im. Ffir den noeh verbleibenden Fall der symmet r i s chen Po lynome 4. Grades zeige ich genauer

(vgl. [8]):

Satz 2: Sei Q(z) = qz 4 + az a + bz n + az + q ~ Z[z] irreduzibel. D a n n gri t :

(1) Genau d a n n h a t Q(z) genau zwei konjugier t -komplexe Nullstellen in

[z] < 1 (und d a n n auch in [z[ > 1), wenn b >_ 2 q + l u n d a n <_ 4 q ( b - 2 q ) - - 3 .

(2) Sei a eine komplexe Nullstelle yon Q(z) m i t [ a l < 1. I s t ]a] > 4q oder

a n <_ 4q(b - 2q) - 2q, so ist 1 - e Sq; andernfalls ist sicher 1 e ~qn.

B e w e i s : Zu (1): Sei a eine komplexe Nullstelle y o n Q(z) mit ]a I < 1.

D a n n ist f l - - u Jr-1 n i ch t reell und Wurzel des i r reduziblen P o l y n o m s

qyn+ ay + ( b - 2q), woraus a n < 4 q ( b - 2q) folgt. Wegen a n ~ 0 rood 4 oder

a n = 1 rood 4 grit d a n n a n < 4 q ( b - 2 q ) - 3 und daher auch b - - 2 q > 0,

also b > 2 q + 1. Die andere R i c h t u n g ist trivial . 1

Zu (2) : Fiir ] z ] = 1, z = e ~ und A = cos qb ist ~ Q (z) = I Q (z) I = ~h (A) =

= 4 C l ) ~ n + 2 a , ~ + b - 2 q > 0. Das Min imum yon ~b(~) l iegt bei A = - a 4 . q '

a, - - , u n d e s i s g O -- a = b - - 2 q - - 4 q

5*

68 Franz Hal ter -Koch

I s t [ a [ > 4q, s o i s t - a 4q [ - 1 , 1] u n d fiir [z I = 1 ist

[Q(z)] _> min (~(1), ~ ( - 1 ) ) = b + 2 q - 2[a[ > O.

Also ist auch [Q(z)[ _> 1 und 0 <: [ Q ( z ) [ - 1 = [ Q ( z ) - z 2 [ < [Q(z)[.

Man k a n n daher A (z) = Q (z) - z 2 setzen u n d erh~lt 1 e Sq. Is t [a[ < 4q, so ist Of

( 4 q q ) a2 [Q(z)[ > 0 - a _ _ b _ 2 q _ 4 q .

a 2 1 I s t n u n a s < 4q (b - 2q) - 2q, so ist b - 2q - - - > - . Setzt m a n n u n wieder

4 q - 2 A (z) = Q (z) - z ~, so ist

"~i .~ =_1 A ( z ) > --_1>_ - ~ Q ( z ) , Q (z) > Q (z) - 1 z ~ - 2

also [ A (z) ] _< I Q (z) [, woraus wieder 1 - ~ Sq folgt. Of

a +: 3 I m n o c h verbleibenden Fall ist sicher IQ(z)[ >_ b - 2 q - - - > - - . 4q - 4q

Setz t m a n nun A ( z ) = q Q ( z ) - z 2, so ist

q q 1 1 q ]qQ(z)l = ~ Q ( z ) > ~ Q ( z ) - 1 = z ~ A(z) -> - - 4 > --Q(Z),z 2

also [ A (z) [ _< [qQ(z) [, woraus 1 ~ Sq2 folgt, q .e .d . Of

Korol la r 1:

Sei O ~ (~ eine nicht-reelle algebraische Zahl m i t I 0 [ > 1 u n d den Eigen- schaf ten :

a) O ist Wurze l eines irreduziblen ganzzahl igen P o l y n o m s der F o r m qz s + . . . . .

b) Die y o n O und O verschiedenen Kon j ug i e r t en y o n O liegen in [z[ < 1

c) ] N o r m (O) J _> 1.

D a n n gil t : I s t O keine reziproke b iquadra t i sche Zahl, so ist 0 e Sq, andernfal ls ist

0 e Sq~.

Korol lar 2: $1 bes teh t aus allen nicht-reellen ganz-a lgebra ischen Zahlen O e (~ mi t

[O I > 1, fiir die die yon O und O verschiedenen Konjugie r ten yon O in [z] < 1 liegen.

Abgesehlossene Mengen algebraischer Zahlen 69

2. Abgeschlossenheit yon ,9 q u ~tq

I ch gebe zungchs t eine Z u s a m m e n s t e h u n g der im folgenden benSt ig ten Resu l t a t e aus [7] (Theoreme A, B, C).

Theorem A: Ffir eine na t i i r l iche Zahl k _> 0 und eine reelle Zah l 5 > 0 sei C(q, k, 5)

die Menge der r a t i o n a l e n F u n k t i o n e n /(z) -- A (z) m i t fo lgenden E igenschaf t en : Q (z)

a) A(z) , Q(z) e Z[z], Q(0) = q.

b)Q(z) h a t in Izl g 1 hSchstens /c Nullstellen, die alle im Ringbere ich 5 _< [z[ < 1 liegen.

e) Ffir I zl = 1 is t I](z) l _< 1.

D a n n gilt : C(q, k, 5) is t k o m p a k t bezfiglich der gleichmgBigen K o n v e r g e n z in j edem

Bereich I z] _< r m i t 0 < r < 5.

Theorem B: 1

Die Menge Sq i s t abgeschlossen, und fiir O e Sq gilt I O I > 1 + - - . 4q

Theorem C:

Sei / ( z ) = ~. u ,z" eine in Izl _< I meromorphe , in z = 0 ho lomorphe n ~ 0

F u n k t i o n m i t i/(z) I _< 1 ffir I z I --- 1 u n d ] Uol >__ 1. D a n n gi l t :

a) I s t u i H 0 fiir m i n d e s t e n s ein j _> 1, so ha t ] (z) in ]z] < 1 mindes tens e inen Pol.

b) H a t f(z) in ]zl < 1 g e n a u / c Pole (/c _> 1), so ist u i H 0 f/ir mindes tens ein j _ < k ,

Die Zahlen aus Sq to Sq hgufen sich auf [ z ] -- 1 nicht. D a z u beweise ieh e twas a l lgemeiner :

Satz 3:

Sei ] (z) = A (z) e ine r a t iona le F u n k t i o n m i t folgenden E igenscha f t en : Q(z)

a) A(z), Q(z)~ Z[z] , Q ( 0 ) = q , A(O) >_ q.

b) ] (z) h a t in I z I < 1 g e n a u zwei Pole a, ft.

e) r ~ r Izl = 1 is t I/(z)l < 1.

1// sq: oaer i/~l < 1/- sq: Dann ist entwcder t<~1 < V Sq=+l l/ Sq=+l �9

70 Franz Hal te r -Koch

B e w e i s : S e i ] a l > ] / 8q2 u n d [ f l J > ] / 8q2 ;sei/(z) - A ( z ) - s u.z"; - V 8q2+1 -- V 8 q 2 + 1 Q(z) ,=o

wegen A (0) > Q (0) ist u o _ 1. Ich werde u 1 = u~ = 0 zeigen, womi t dann ein Widerspruch zu Theorem C erreicht ist.

Z--(X Z--~ Sei G(z) = [(z) . - -

1--az 1-flz" G(z) ist holomorph in [z[ < 1, u n d ffir [z[ = 1 isr [G(z)] _< 1, also auch

IG(0)I < 1.

Wegen G(0) = u 0 a fi folg~ daraus 1 _> Uo[afll > 8qa 8q~+ 1 u~

1 1 also u o _< 1 + ~ < 1 + -.q Nun ist aber qu o e 7'/und daher u 0 = 1.

Wegen uoQ(O ) = A(0) folgt daraus A ( 0 ) = q, u n d es ist q"u, e 77 f/ir alle n > 0 .

W~re [G(0 ) [= 1, so w~re G(z)= +_ 1, u n d a, fl wEren Nullstellen eines Po lynoms 2. Grades der F o r m qz ~ + qlz + q, was wegen [~fl[ < 1 n icht geht ; also ist IG(0)[ < 1.

o(z)-G(o) 1 Sei G 1 (Z) =

1-- G(0) G(z)" -z" Gl(Z ) ist ho lomorph in [z[ < 1, und ffir [z] = 1 ist IGl(Z)] < 1, also aueh

IGa(O) l <_ 1.

Es ist G 1 (0) = ut a f l - - ( ~ + f l ) ( 1 - ~ f l ) u n d dahe r 1 - a 2 f l 2

- (1 - ~/~) 0 - ~) (1 - / ~ ) _< ux~/~ _< (1 - ~/~) (1 + ~) 0 + / ~ ) .

I s t ~ f l < 0, e t w a ~ < 0, fl > 0, s o i s t

4 ( 1 _ / 8q ~ "x ! , 1 --(1 --aft) (1 --a) (1+1~/~ l) (1 +1~ I) (1 - - I# I) < < _

8 q 2 + 1 und (_/8,., (1--~,6) (1 +(x) ( l+ f l ) = (1+1~# I) (1- - I~ I) 0 +1.8 I) < < - ,

~/~ I oc/~l 8q ~ q

8 q ~ + l also wegen qu 1 ~ Z notwendig u i = O.

I s t ~fl > O, so ist / - - ( 1 - ~ f l ) ( 1 - ~ ) ( 1 - f l ) / < (1--~fl) ( ] + l ~ l ) (1+ 1,8 I)

Abgeschlossene Mengen algebraiseher Zahlen 71

und (l--aft) ( l + a ) (1+ft) < aft

8q2+I/ 1 aber (1--aft) ( l + [ a D ( l+ ] f t ] ) < <-,

aft 8q ' q 8q~+ l

also auch in diesem Falle u 1 = 0.

Fall 1: IG~(0)I = I.

(1-af t ) ( l + l a I) (1 +1 ft I)

aft

woraus wegen qSu 2 e Y/u~. = 0 folgt. Ist aft > 0, so ist u2 _< 0 und daher

lu , [ _< 2 (1 -a f t ) ( l + l a l ' ) (1+[ ft I') aft (1+aft)

also ebenfalls u~. = 0.

2 (1 + l a f t I )(1--a 2 ) (l--ft ~) ~ ] 1

us < laftl" (1 -1 aft I) ~ Sq ~ < --q" 8q~+l

< 8(1 8 .1)

8q~+ m

8q2 ( 1 + 8q~ ~ 8 q ~ + l \ 8q -~+ 1)

_<0. Is t aft < 0, so ist u~ _> 0 und daher

Dann ist Gx(z ) = ~ = + 1 und daher ](z) A ( z ) (1--az) (1--ftz) (af t+sz) - - ,

- Q(z) ( z - a ) ( z - f t ) ( l + s a f t z ) ,rro uzi ,o l o ,om Orator,

= ~" Q(z), und wegen A ( 0 ) = Q(0)= q hat Q(z) die Gestalt \ z /

Q(z) = q + qlz + q2 z~ + qz a. Sei O die drit te Nullstelle yon Q (z). Dann ist O e R und ]O[ > 1, also

1 1 O e S a. Andrerseits ist aber ] a f t O l = l und daher [ O l = [ a f t ~ < _ _ l + 8 q 2

< 1 + ~-~, im Widersprueh zu Theorem B.

Fall 2: ]GI(0)I < 1.

G ~ ( z ) - G ~ ( 0 ) 1 Sei G 2 (z) ---- �9 - - ,

1--G I(0) G l(z) z Gs(z ) ist holomorph in I zl -< 1, und fiir I z l = 1 ist [Gs(z) l < 1, also aueh

I Gs(0) I -< 1.

Es ist G s (0) = us aft (1--a s ft2) + (1 --aft) 2 (1 - a ~) (1--fts) (1--aft) s (1--a s) (1--ft 2)

und daher -- 2 (1 -- aft) (1 -- a 2) (1 -- fls) < u s a f t (1 + aft) und u~aft (1 -- aft)

72 Franz Halter-Koch

V 1 Korollar: Ist O e Sq, so ist I O [ > 1 + 8q-- ~

Satz 4: Sq w Sq ist abgeschlossen.

B e w e i s : Sei (On)n~u eine konvergente Folge aus Sq w Sq, und sei O = lim On.

n ---~oo

Sei 1 Wurzel des Polynoms Q.(z)~ 7/[z] mit Qn(0) q, und seien 1 1 O. On On

die einzige, Wurzeln yon Qn(z)in Izl _< 1; sei A . ( z ) e 7/[z] mit An(~ - ) r 0,

A. (0) _> q und I An (z) I -< I q. (z) I f ~ I z l = 1. ~ach Theorem A enth~ilt die

Folge / An (z)l ,, eine in einer Umgebung von z = 0 gleichm~l~ig konvergente ~Q, (z) / ~ u

Teilfolge, und ohne Einschr~nkung sei das die Folge l A" (z)~ - - n E i i I i i . \Q.(z)]

Sei A (z) _- lira An(z) - U o + Ulz + U~z~ + . . . Q(z) n-.~Qn(z )

A. (z) Setzt man - - - - U o n + U l , , Z + U ~ n z2+ . . . . . , SO ist U,---- lira u,., und Qn(z) ~-~

wegen uo, , >__ 1 ffir a l l en ist auch U o > 1, also A(0) _> q.

1 und 1 sind die einzigen mSgliehen Pole yon A (z) in I z ] < 1. Ist U 1 0, 0 0 Q(z)

1 so ist u~. = 0 ffir fast alle n, da sonst stets l ul. I ~ q2 w~re. Nach Theorem C

1 ist abet dann ffir fast a l l e n u~. ~ 0, also l u l l _> ~ , woraus U~ ~ 0 folgt;

also hat A (z) nach Theorem C in I zl _< 1 mindestens einen 1)ol. Q(z)

Ist nun O reell und A ( O ) r 0, so ist O e S q ; ist A ( ~ ) - - 0 , so hat Q(z) in \ - - ]

1 z = - eine Nullstelle zweiter Ordnung, und A (z) und Q(z) sind dureh das

O 1 Minimalpolynom y o n -

Daher ist O e Sq, C Sq

genau die Pole yon A (z) Q (z)

teilbar: A ( z ) - A0(z)mit Q 0 ( 1 ) = 0 und Ao ( 1 ) ~ 0. 0 Q(z) Qo(z)

ffir q '= Qo(0) I q. Ist O nicht-reell, so sind 1 und 1 O O

in Iz[ ~ 1 ; e s i s t a l s o A ( l / r 0 u n d O E S q . \ ~ /

3. Die H~iufungspunkte yon Sq w Sq

Es ist zweckm~Big, folgende Bezeichnung einzuffihren:

Is t P (z) = P0 + Pl z -~- . . . . . -~- psz 8 e 7/[z],

Abgeschlossene Mengen algebraischer Zahlon 73

so sei P(z ) = ps + lo~_lz + . . . . . +lOoZS=zSP(!)eT/[z]

d a s zu P(z) rez iproke P o l y n o m .

Lemma:

Seien A(z), Q(z)eT/[z] zwei te i lerfremde Po lynome u n d sei A ( O ) # O, Q (0) r O. D a n n s ind Kquivalent :

(1.) A ( z ) = + ~ ( z )

(2.) IA(z) l - - IQ(z) l fiir unendl ich viele z mi t Izl -- 1.

B e w e i s : Tr iv ia lerweise folgt (2.) aus (1.). Sei nun [ A (z) I = I Q (z) I ffir unendl ich viele z mi t I z I = 1. Fi i r diese z is t d a n n

Sei h der G r a d y o n A (z) u n d s der Grad yon Q (z). D a n n is t ftir unendl ieh viele z

z~ ~t (z) .~ (~) = zhQ (z)~ (z),

also gilt die Gle ichhei t ffir alle z, es ist aus Gradgr f inden h=s u n d A (z) ~ (z) = Q (z) ~ (z).

Wegen der Te i l e r f r emdhe i t yon A(z) und Q(z) ist d a n n _.4 ( z ) = 2Q(z), u n d es is t no twendig 2 = + 1. q . e .d .

Die I t ~ u f u n g s p u n k t e yon Sq u Ha lassen sich nun in fo lgender Weise charak te r i s ie ren :

Satz 5: (_:) 1 l Sei 0 ~ S~ u Sq, Q (z) e 7/[z] m i t Q (0) = q, Q = O, u n d die von - - u n d =

O O verseMedenen Nulls tel len y o n Q (z) liegen in I zl > 1. D a n n gi l t :

Genau d a n n is t O t t g u t h n g s p u n k t yon Sq w Sq, w e n n es ein zu Q(z) te i le r f remdes P o l y n o m A(z)~7/[z] gibt m i t A(0)_> , , A ( - ~ ) # 0 u n d IA(z) l

-< IQ(z) l f/Jr I zl = 1, wobei d a s Gleiehheitszeiehen haehst~ns a n endlieh vielen Stel len gilt.

B e w e i s : Sei O I-I i~ufungspunkt yon Sq u S~, O = |ira O n.

1, falls (9, e Sq / 1, falls O e Sq Sei an = 2, falls ~9 n e H a ' a = ~2, falls ~9 e S-~

SeienO.(z), An(z)~Z[z] mi tO.(O)=q,Q.(~)=o, l u n d L d i e e i n z i g e n

74 Franz Hal ter -Koch

fiir [z [ = 1. Naeh Theorem A besitzt [A. (z)t eine in einer U m g e b u n g y o n \Q. (z) ] . ~ N

z = 0 gleichmggig konvergente Teiffolge, u n d ohne E insch rgnkung sei

ll,-,, A . ( z ) A ( z )

. ~ Q,,(z) Q(z)

also A.(z)Q(z)-A(z)Q.(z)~zM..Tn(Z) mit 7 . ( z ) ~ Z [ z ] und l im M . - - o o .

Nach dem I ~ m m a genfigt es, A ( z ) ~ • zu zeigen. Angenommen , es sei A (z) = _ ~) (z). Dann ist

]A.(z)Q(z)[ = ]d.(z)'Q(z)[ <_ ]Q.(z)~J(z)] = [A(z)Q.(z)[.

A(z)Q.(z) h a t aber in [z] < 1 genau s + a . - a Nullstellen, wobei s der Grad

y o n Q(z) ist. Wegen lira M n =oo folgt nach dem Satz yon Rouch4 7 . ( z ) = 0 n ---~{X)

fiir M . > s + 2; also fiir a l l e n mi t M . > s + 2 schon A . (z) _ A (z) O. = O, Q. (z) Q (z) '

was e inen Widerspruch ergibt, da O ja t I ~ u f u n g s p u n k t sein sollte.

Sei n u n umgekehr t O ~ S q u S q , Q(z)~Z[z] irreduzibel mi t Q ( 0 ) = q ,

Q ( I / = 0 , u n d die yon --1 und =1 versehiedenen Nullstellen yon Q(z)liegen in \ o / O O

[ z [ > 1. Sei A(z) e7/[z] mit A(z) ~ -t-Q,(z), A(O) > q, d(1)=/=O u n d \ - - ]

[A(z)[ _< [Q(z)[ fiir ]z[ = 1. I s t O eSq, so folgt nach [1] Theorem 2.2 die Be- h a u p t u n g O e S'q; sei also O E Sq, h der Grad y o n A (z) und s der Grad y o n Q(z); ffir n _> max (1, s - h + 1) sei

A(z ) + z "+h-" ~2(z) l . (z) =

Q(z) + z".4(z)

Setz t m a n [(z) - A ( z ) - ~. UkZk,/n(Z)= s Uk, n z~', SO ist Uk=Uk, n fiir Q(z) ~=o ~=o

k < f i r , wobei N . eine yon n abhi~ngige Zahl mi t lira f i r = oo ist ; also n - -~oo

konverg ie r t (/.(z)) n ~ ~ in einer gewissen U m g e b u n g yon z = 0 gegen /(z). /(z) h a t in [ z ] < 1 genau zwei Pole, und dahe r ist g l r 0 oder u s ~ 0, also ftir ge-

nf igend groges n auch ul . ~ 0 oder u~. r 0. In (z) h a t also fiir n >__ n o (n o hinrei- chend grog) in ]z I < 1 mindestens e inen Pol. Andrersei ts ha t nach dem Satz von Rouch6 Q(z)+Zn..4(z) in Izl < 1 gleich viele Nullstellen wie Q(z), also

genau zwei, e twa fin und fl'. Sind fin u n d fl'n reell, so sei ~. = rain (ft., f l ' ) ; ist fin n i ch t reell, so ist ' -- - �9 fin -- fin, in diesem Falle sei a. = fin, falls sign I m (fin) = sign

I m u n d ~n = fin sonst.

H a t Q(z)+zn.d(z) eine Nullstelle ~ mi t 1~1=1 , so is~ wegen (Q(z) + zn..4(z)) ~.= A(z) + z n+h-s Q(z) ~ auch Nullstelle yon A(z) + z n+h-8 Q(z), und m a n k a n n durch das Min imalpo lynom yon ~ kiirzen. Ohne E inschr~nkung

Abgeschlossene Mengen algebraiseher Zahlen 75

sei also angenommen, dab Q (z) + z n .A (z) auf [z I = 1 keine Nullstellen hat, dann ist ffir ]z l= 1 [n(z) regular und [/n(z)[= 1. Nach Satz 3 folgt daraus:

] a , , l< / 8q~ lim a~---O. ~/8qZ+ l ' n - ~

Nun ist aber 0 = Q (an) + a~ -/~ (an) und wegen der Beschrgnktheit der Folge -4(~n) folgt daraus lira Q(an)=0, also nach Konstruktion der an notwendig

n--+oo 1

lira cr n = - - . n "--)'O0

Daher ist fiir fast alle n an nicht reell, also O. = 1 ~ ~q, O = lim O., und ~n n-+~

wegen A (z) # + ~)(z)ist (On)he ~ nicht konstant, q.e.d.

Korollar: Alle reziproken biquadratischen Zahlen O ~ Sq liegen bereits in S' .

q

4. Die Mengen (Sq ~9 ~q)(k)

In diesem Abschnitt werde ieh zeigen, da~ Sq w Sq nicht-leere Ableitungen (Sq • Sq)(~) fiir jede finite Ordnung k besitzt, aber jede Ableitung transfiniter Ordnung leer ist. Zum Beweis der ersten Behauptung zeige ieh :

Satz 6: (1) Seis > 2, k a M u n d

Q(z) = q + qlz + q~z ~ + . . . . + qs zs e Z [z]

mi tq s > q u n d q l > ( k + l ) q + ~ ]qn]. n = 2

Dann hat Q (z) in I zl < I genau eine Nullstelle a.

Ist 1 - e Sq (was fiir hinreichend grebes ql stets der Fall ist: vgl. [6], S. 132),

�9 1 k so 1st- ~ S() . q

(2) S e i s > 3, k e M u n d Q(z) = q + q~z z + qaz a + . . . . + q~z s e Z[z]

mitq~_> q u n d q ~ > m a x { ( k + l ) q + ~ ,q,,,,1 ~ n'qn'} n : 3 rim3

Dann ha t Q (z) in ]z] < 1 genau zwei komplexe Nullstellen ~ und ~. Ist

l e ~qq (was fiir hinreichend grebes q~ stets der Fall ist: vgl. Satz 1), so ist

q

Bewei s : du tch vollstandige Induktion nach k.

76 Franz Halter-Koch

Fiir k = 0 ist niehts zu zeigen; sei also k > 1 und sei der Satz f/it k - 1 bereits bewiesen.

Zu (1): Sei Q ( z ) = q + q ~ z + q ~ z ~ + . . . + q ~ z s e Z [ z ] mit q ~ > q und

ql > ( k + l ) q + ~ ]q.[. Ffir m > s s e i Q , , , ( z ) = Q ( z ) + q z m. n = 2

Q,,,(z) erf/illt die Voraussetzungen des Satzes f~r k - 1, hat also in [z I < 1 genau eine Nullstelle a n. Sei nun ~ > 0 so gew~hlt, dab

q~ (1 -e ) > 2 q + ~ ]q~]. n = 2

Dann ist fiir 1- -~ K lz] < 1

IQ,(z)l > q 1 ( 1 - e ) - 2 q - ~ Iq, I > O, / 1 = 2

also gilt f/Jr alle m ]aml < 1 - - ~ , l im a m = 0 .

- - m m ---~oo

Daraus folgt

also 1 1 lira Q(o~m) -- O, lira . . . .

m'-'->vo m - " ~ ' ~ O~ m O~

Ist 1 ~ Sq f/ir fast alle m, so ist 1 S(k_l) nach Induktionsvoraussetzung, t~ m a m tl

also 1E S(k). Es ist also die Existenz eines Poiynoms A m (z) e • [z] nachzuweisen q

mit A,.(a.,) ~ O, A m(O) >_ q und [A m(z) l --< JQ~(z) l fiir [ z [ = l . Setzt man A,(z)=Q, . (z ) , so ist .4m(0)=q, [..4 (z)l=lQ.,(z)l fiir ]z] = 1 und A (=~)

wegen

. _1 = 0~ Qm = r "4-O~mm " q" Ot~t Ot + q;

/ l h lim ~ Q { - - } = O ist lim A. , (~m)=q,

also sicher fiir fast alle m ~4~ (am) # 0, womit die Behauptung bewiesen ist.

Zu (2): In gleicher Weise wie bei (1) f/ihrt auch hier der Ansatz Qm (z) = Q (z) + qz m zum Ziel.

Um nun zu zeigen, dal] Mle Ableitungen transfiniter Ordnung yon Sq • H a leer sind, benutze ich denselben Gedankengang wie in [1].

Da nach 8atz 5 und den Ergebnissen yon [1] (S a u ~,)~) 8q = S(~) gilt und in [I] bereits gezeigt wurde, dab alle transfiniten Ableitungen yon Sq leer sind, geniigt es, den Beweis fiir Sa zu ffihren. Ich werde zeigen:

Abgeschlossene Mengen algebraischer Zahlen 77

Satz 7: 1

Is t O ~ ~(k) c~ Sq, so ist IOI > ~ .

Der Beweis geht fiber die Charakter is ierung der E lemen te yon S(k)c~ Sq

A(z) 2 auf [ z l = l . du t ch den Mit te lwer t yon Q (z)

Sei OeSq, Q(z) eZ[z] mi t Q ( 0 ) = q , Q(11 = 0 , u n d l u n d ~ l s ind die ein- \ o / O O

zigen Nullstellen v o n Q ( z ) i n Izl < 1; sei A(z) eZ[z] mit A(0) _> q,A (0) ~ 0

l ~ A(et~',l' - - - - d(p ein Mittel- u n d IA(z)l < IQ(z)l ffir Izl = 1. D a n n h e i B t # - - 2u 0 I Q(e ~')

wer t ffir O.

Lemma:

Sei O e ~k) n Sq; dann gibt es einen Mit te lwert # ffir O mi t p _< 1 -- k - - .

q41OIs

B e w e i s d e s L e m m a s : Durch vollst~Lndige Induk t ion naeh k. Fi i r k = 0 ist die B e h a u p t u n g klar ; sei also fiir k - 1 bereits alles bewiesen, u n d sei OeS-q (k) n S q . D a n n gibt es eine Folge (O*)neN mi t O * e ~ ( k - 1 ) n S q u n d l im O*----O; nach Induk t ionsvorausse tzung gibt es ffir jedes n e inen

n n -- -~oo

* fiir O* mi t * k - -1 das heiBt, es g ib t Po lynome Mit te lwer t p~ ~ #~ _< 1 q~ IO*1 ~'

( ~ . ) 1 1 Q* (z) e Z [z] und A* (z) e Z [zl mi t Q* (0) = q, Q* = 0, O--- ~ und ---~ s ind

11 n

die einzigen Nullstellen yon Q*(z)in I z ] < l , A * ( 0 ) _ > q , A * ( - ~ I . t r 0, A~* (z) [ -< l Q* (z) [ ffir [z [ = 1 u n d

__ ~ An ( e~q,) z �9 k -1 1 dq )=# , ,< l q410,,[

2 • o O . ( e ~*) - * s"

[A. - - n e l ~ l

Sei nun ~Q~ (z)] eine in e iner Umgebung yon z = 0 konve rgen te Teil-

[A~(z)l~ ,, u n d se iA (z) _ l im An(z) An(z) A(z). sei (@~).~N folge yon ~On (z) ] ~ ~' O (z) ~-+~ Qn (z~' Q - ~ # ~ '

o * und (#~) die yon (p: ) e N" die entspreehende Teilfolge yon ( , ) n e N n ~ N n

Es ist dann Q(z)~7[z]' Q(O)=q' Q(1) =O' l u n d l s i n d dio 0

stellen yon Q(z) in Iz[ < 1, A(O) > q, A ( l t r o und IA(z)l <_ IQ(z)l fiir I z I = 1. Also ist \~)]

1~ = 27: o Q(e ~q')

78 Franz Hal ter-Koch

ein Mit te lwer t fiir O. Ffir jedes n e b~ ist

u n d

12,~ A(eiq,) l_Oel~ l_~et~, l_O,,e*~, l_~9,,etq~ 2 ~t=2. o ~ O - e '~' ~ - e '~ O . - e '~' 0 . -

14 ,=2- - o I Q.( ~ O - e '~' 0 . - O ~ - e 'q' " t ~ t ~ " 6 ~ e tep e, t~ ~ "

Setz t m a n

u n d

u n d ist

so erh~lt m a n

O - z O - z / m=o

1--Oz 1--egz 1--O,,z. 1--~9,,z ~ d,, ,z", O - z ~ - z O . - z ~ . - z - ~ = o '

_ A . ( z ) A(z) ~ ~tmz', - ~ ~t.,.,,z", Q ( z ) m=O Q~(Z) ~ = 0

I 2 = dm_p~ p tn=O

~n = dm-p, nUp, n ,

m=O p=O

u n d m a n zeigt wie in [1], dab

1 /~ < lira inf p~

~ o q~ I O i s

ln=O

q'lOI s'

dq~

d(p

q .e .d .

B e w e i s d e s S a t z e s : Sei O e ~ k ) • ~ u n d /~ ein Mit te lwer t fiir O m i t k # < 1 - - - . Nach Defini t ion ist # > 0 und daher k < q 4 [ O l s , woraus

q~ lOP die Behauptung fo]gt,

q.e.d.

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Eingegangen am 15. 3. 1971