128 Ann8len der Physik * 7. Folge * Band 19, Heft 3/4 1967

AMaitung und Untersuchung einer kinetisdren Oleichung fir raumlich homogene Systems mit kollektiver Wechselwirkung. II I)

Von R. BESSENRODT

Mit 2 Abbildungen

Inhaltsii bersicht Im AnschluB an eine vorhergehende Arbeit [l] wird die zweitunterste Gleichung der

BBGKY-Hierarchie fur den Fell thermodynamischen Gleichgewichte niiherungsweise gel&-&, indem sie in eine Differentialgleichug verwandelt und deren asymptotische Losun- gen aneinander angepaBt werden; 8u8 der Fesultierenden Zweiteilchenverteilung ergeben sich Korrekturen zur thermischen und kalorischen Zustmndsgleichung des ideelen Gases sowie zur mittleren quadratischen FeldsGrke a m Ort eines Teilchens. Sodann werden kinetische Gleichungen fur Mehrkomponentensyeteme aufgeetellt und el8 Anwendungs- beispiele die relative Bedeutung der Anteile der FOKKER-PLANoK-Koeffizienten, die Zwei- teilchenverteilungen, die Viskoeitet und die Wiirmeleitfirhigkeit des vollstBndig ionisierten Wasserstoffplasmas sowie die Wechaelwirkung zweier Romponenten mit verschiedener Stromungsgeschwindigkeit berechnet.

Abstract Following earlier work [l] the second equation of the. BBGKY-hierarchy is solved

approximately for thermodynamik equilibrium by transforming i t into a differential equation and fitting its asymptotic solutions. The resultant pair correlation is used to correct the equations of state of the ideal gas and the mean square of the electric micro- field on a plasma-particle. Next kinetic equations for multicomponent systems are established and applied t o study the relative importance of the contributions of the FOKKER-PLANCK-Coefficients, the pair correlations, viscosity and heat conductivity of the fully ionized hydrogen p188m8. Finally we compute the interaction of two components with a non-vanishing drift velocity.

1. A usgangsgleichungen In einer vorangehenden Arbeit Elle war a m der untersten Gleichung der

BBGKY-Hierarchie ohne Verwendung raumlicher FOnaIERtransformationen eine einfache kinetische Gleichung hergeleitet worden ; dabei wurde die Zwei- teilchenverteilung schliel3lich nur grob-schematisch durch Wahl geeigneter Integrationsgrenzen berucksichtigt. Jetzt sol1 mit Hilfe der nachath6heren Hierarchie-Gleichung gezeigt werden, wie die Zweiteilchenverteilung auf dem eingeschlagenen Wege insbesondere fur den Fall thennodynamischen Gleich-

I ) Dissertation Hannover 1965, Kurzfwung, 2. Teil. *) I m folgenden als I zitiert; entsprechend bedeute 2. B. (I 3): GI. (3) 8 U S I.

R. BESSENRODT: Ableitung und Untersuchung einer kinetischen Gteichung 129

gewichts genauer bestimmt werden kanms) Das wird den Cbarakter der bisher benutzten Naherungen verdeutlichen und einige Anwendungen ermoglichen (8. auch [2, 0 . e , 51).

Setzen wir wie in I voraus, daB nur eke , raumlich homogen verteilte Teil- chensorte vorliegt, die Dreiteilchenverteilung F,,, gemaB GI. (I 32) durch Ein- und Zweiteilchenverteilungen auegedriickt werden kann und die Zweiteilcben- verteilungen vom Ort nur uber den Betrag des Abstandes der beiden Teilchen abhiingen, so ergibt sich aus GI. (I 19) (in der dortigen Bezeichnungsweise):

Darin bedeutet das liegende Kreuz ,, x " die Ersetzungen

(2) P1 P3 m m tl + r, - - t, r2 + r, - - t,

ferner gilt wegen des vorausgesetzten thermodynamischen Gleichgewichts :

t -+ t - t,

wobei pik nur vom Betreg von r i k - ri - rk, aber nicht von den Impulsen abhangen sol1 (vgl. die kanonieche Verteilung). Damit erhalten wir als Ausgangs- gleichung

mit - P1 -P2 g,, = -m-'

2. Integrationen

driicken; die (unter Weglassung der Indizes ,,12") entstehende Beziehung A. In einer ersten Xaherung wollen wir die Terme -n in G1. (5) unter-

heiI3e die ,,verkiirzte" Integralgleichung. Sie liiBt sich fiir beliebige radial- symmetrische Potentialkriifte integrieren, wenn man beachtet, daB fiir jede

J) Die Zeitabhiingigkeit der Peerverteilung untereucht z. B. G. L. LAMB jr., Phys.

Ann. Physlk. 7. Folae. Bd. 19

Fluid6 6 (1963) 1507. 9

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Funktion 1, die nur von I r I E r abhiingt und fur die f(oo) = 0 ist, gilt:

Macht man niimlich den Ansatz

so liiBt sich G1. (7) in die Form

bringen. Die verkiirzte Integrdgleichung liefert also gerade den bekannten BoLTzMaNN-Faktor.

B. Bei der Integration der vollstiindigen Integralgleichung wollen wir uns auf den Fall der COULOMB-&aft beschriinken und zuniichst die Terme -n vereinfachen: Fiihrt man Kugelkoordinaten mit r& ale Achee ein, so erhiilt man durch Auefiihrung der Winkelintegrationen mittels der Definition

r: u(r,X,) = - $ p(r) 4nr2dr:

0

Insbesondere ist also wegen KG = - K X e l . - J K , x , P W , = - $ K , X , p w b

und damit ergibt sich

dies ist aber

wenn man nach r x statt nach r integriert. Insgesamt lautet also die vollstiindige Gleichung, wenn man noch den dichtefreien Term ebenso umformt,

setzt und alle Litngen auf I/tE-.& bezieht, ohne die Bezeichnungen zu Lndern ( ! ) :

R. BEESENRODT: Ableitung nnd Untersuchung einer kinetischen Gleichung 131

Diese Integralgleichung liiDt sich aber sofort in eine Differentialgleichung ver- wandeln : Ableiten, Multiplizieren mit r2 und nochmaliges Ableiten liefert :

oder mittels der Substitution

U’I = aa (1 + +$)u. Die Gsungen dieser Qleichung k6nnen in guter Niiherung durch Zusammen- passen asymptotischer Ltisungen konstruiert werden ;

Fiir r < 1 gilt

was die allgemeine L6sung

besitzt. Mithin hat man wegen der Anfangsbedingung

lim p ( r ) = - 1 (23) -0

(die beliebig dichte Anniiherungen zweier Teilchen ausschlieDt) : U --

p = - 1 + C , e r ; (24)

uff = & 2 U , (26)

u = C3eur + C4e-(lr (26)

fur r > 1 ist

also

und wegen der (das Verschwinden der Ortskorrelationen fur groBe r sichernden) An fangibedingung

l imp(r) = 0 : r+ m

= c( e-ur. r

Nun ist infolge der hohen r-Potenz in der runden Klammer auf der rechten Seite der G1. (20) daa ubergangsgebiet zwischen den Giiltigkeitsbereichen der asymptotischen L6sungen sehr schmel. Deshalb wird man eine gute Niiherung erhalten, wenn man sie an der Stelle r = 1 stetig und mit stetiger Tangenten- lage ineinander ubergehen lafit. So bekommt man, da unter unseren allgemeinen Voraussetzungen stets u < 1 ist :

C , = 1 und C 4 = -a , b) 9.

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und damit

Fiir kleine Abstiinde ergibt sich also der bekannte BOLTZMANN-Faktor, f i i r groSe die DEBYE-Abschirmung ; das Obergangsgebiet liegt beim geometrischen Mittel a w LANDAU- und DEBYE-Llinge.

3. Anwendungen A. Durch diese Zweiteilchenverteilungsdiahte iet festgelegt, wie das Ver-

halten des Plasmas von dem des idealen Gases abweicht. So lautet z. B. nach GBEEN [6] die thermische und die kalorieche Zustandsgleichung

bzw.

womit sich im Falle a < 1 nach einfacher Rechnung ergibt :

P = nkT 1 -- ( 3 und

(33)

(vgl. [3, .. -, 61; in [5] ist auch die 2. Nliherung ausgefiihrt).

B. Beschriinken wir uns, da wir bieher allein Einkomponentensysteme' be- trachtet haben, auf die Beitriige der dem Probeteilchen gleichartigen Teilchen, so k h n e n wir auch das mittlere Feldstiirkequadrat am 01% eines Plasma- teilchens berechnen (was f i i r die Theorie dea Mikrofeldes von Interesse ist, 8. z. B. "71). Da die Feldstiirkebeitriige nicht von den Impulsen abhlingen, fiihren wir zunlichst rliumliche Verteilungsfunktionen ein, indem wir alle Impulse ausintegrieren :

Wegen der vorausgesetzten rliumlichen Homogenitat des Systems h h g t d a m die N-Teilchenverteilung f l . . . N nur von den Koordinatendifferenzen ab, so daB speziell f1 = 1 ist. Damit erhiilt man

R. BESSEHRODT: Ableitung und Untersuchung einer kinetischen Gleichung 133

und wenn die (aus der Gleichartigkeit der Partikeln resultierende) Symmetrie von fl ...N in den Teilchenkoordinaten sowie N > 1 benutzt wird:

Fiir f l Z 3 eetzen wir die in I fiir den Fall schwacher Wechselwirkung erhaltene Niiherung, also

flZ3 = fa + f 3 1 + f l 2 - (39)

ein und fur f i k den Ausdruck 1 + p i k mit nur von rik abhangigem b k . Dann ergibt sich im Falle a < 1 :

2- @ = nkT(1 - a2). 4) 4n

Die Korrektur durch die Dreiteilchenverteilung verkleinert 5, weil bei ab- stof3enden Kriiften die Anniiherung eines Teilchens an die Probepartikel stiirker behindert wird, wenn sich schon ein anderes Teilchen in ihrer Niihe befindet.

4. Mehrkomponentensysteme 4.1. Qrundglebhangen

Wir wollen nun noch einen Niiherungsschritt weitergehen und auch die ,,Kornigkeit" der zweiten, zur Ladungsneutralisation erforderlichen Plasma- komponente beriicksichtigen ; zuniichst konnen wir sogar ein beliebiges Medium mit unbeschriinkter Komponentenzahl betrachten. Bei der Anfstellung der Qrundgleichungen hat man lediglich zu beachten, daB die N-Teilchenverteilung F(N) jetzt n u noch symmetrisch bezuglich Teilchen derselben Komponente ist (8. z. B. [a]). Fiihrt man im ubrigen die gleichen Annahmen und Vereinfachun- gen wie in I ein, so ergibt sich fur die Zweiteilchenverteilung

und fur die Einteilchenverteilung (in Tensorschreibweise)

: (D@)Fa), a a * ( Fa) + - - aFa - a

w ?Pa ?Pa .?Pa - - --

wobei hier aber gilt :

1 - 3 8n 2

4) Vgl. [7], wo unter Mitberiicksichtigung der Ionen - Eg m -nkT resultiert.

134

mit

h a l e n der Phyeik 7. Folge * Band 19, Heft 3/4 * 1967

R(oJ’)(Po, t )

Dabei bedeutet F, die Einteilchenverteilung der Komponente a, K& die Kraft zwiachen zwei Teilchen der Komponenten a und b new.; die Summen sind uber alle Komponenten zu erstrecken.

4.e. Anwendung On! &a8 WPsW&OffplPsm8 An Hand dieser Gleichungen sol1 jetzt f i i r ein vollstiindig ionisiertes Wasser-

stoffplaama im lokalen thermodynamischen Qleichgewicht

1.

2.

3.

Protonen die relative Bedeutung der Elektronen fiir die kinetische Qleichung der Elektronen Protonen als Funktion des Impulses,

die Form, die die Zweiteilchenverteilungen in unserer Nlherung an- nehmen, und die Werte von Viskositlt und Wiirmeleitfiihigkeit des Plasmas

diskutiert werden. Die FoKKER-PLANCK-Koeffizienten fur die COULOMB-Kraft erhiilt man wie

in I ; man hat lediglich die Indizes a und b mitzufiihren, die die beiden Kompo- nenten unterscheiden. Mit den Abkiirzungen

kT ( n = ha lbe Gesamtdichte), A =- 5 (48) ea

4n- 2n - ez 1, 1==m, r,=

n e4 n n e4 A = 4 n l n A - ET’

B = - In A - fl vkT

R. BESSENBODT: Ableitung und Unterauchung einer kinetischen Gleichung 135

wird :

4.2.1. Z u r r e l a t i v e n B e d e u t u n g d e r Ante i le d e r FOKKER-PLANCK- Koef f iz ien t e n

(45) festzustellen, betrachten wir die Quotienten Urn die relative Bedeutung der einzelnen Summanden in den Gln. (43) und

als Funktion des Impulses. Den EinfluB der Protonen auf die FOKKER-PLANCK-Koeffkienten fur die

Elektronen erhalten wir im Falle a = e, b = p. Dann gilt wegen y = yCp > 1:

- Wie Abb. 1 zeigt, werden sehr langsame Elektronen, d. h. aolche mit v8< 1/!, durch die Protonen beherrscht, thermische und achnelle dagegen etwa zu

m9

Abb. 1. Einflu6 der Protonen auf die PLANCK-Koeffizienten der Elektronen

FOKKER-

hl I

gleichen Teilen von Protonen und Elektronen. Wie zu erwarten, kann also die ,,Ktirnigkeit" der Protonen in der kinetischen Gleichung der Elektronen nicht vernachliissigt werden .

Andera liegen - wie ebenfalls zu erwarten - die Verhtiltnisse beziiglich des Einflusses der Elektronen auf die FOKKER-PLANCK-Koeffizienten der Pro-

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tonen, also im Falle a = p, b = e. Denn dann gilt wegen ypyps = - < 1:

Annalen der Phyeik * 7. Folge Band 19, Heft 3/4 * 1967

1 Y

'B",*) @(pi) , 1 p . r ) ' A(#,.) l p , S ) ? (&) s p . 9 ) A(S.9). -- -- - = 2 -

Abb. 2 zeigt, daD la&same und thermische Protonen durch die Teilchen glei- cher Art beherrscht werden, nu t die sehr wenigen schnellen durch die Elek- tronen ; deren EinfluD kann also im allgemeinen vernachliiseigt werden.

4.2.2. Zweite i lchenverte i lungen Urn die Zweiteilchenverteilungen des vollionisierten Waeserstoff plasmas in

unserer Naherung zu bestimmen, haben wir G1. (41) auszuwerten. Daa kann wie beim Einkomponentensystem geschehen, indem man die dort angegebenen Variablemubstitutionen durchfiihrt und dann zu Differentialgleichungen iiber- geht. Wird

(56) 1 aa= I = 2- L A

gesetzt und die Llnge r ohne Bezeichnungshderung ( ! ) auf vm bezogen, so e rhdt man (mit -. e ' = - - - -) : d

dr r2& + (2r - a) p$ - m2r2(pdd - pbp) = O

bzw.

Fuhrt man darin

r2p& + (2r + a)& - a e e r (pep - pc6) = 0.

") = Pddf P4p 2)

(57)

(58)

(59)

ein, benutzt die Anfangsbedingungen l i m U = O r-m

R. BESSENRODT: Ableitung und Untsrsuchung einer kinetiechen Gleichung 137

sow ie lim (r2u') = 0 r d -

1 d dx und geht zu der neuen Veriinderliohen x = - iiber, so wird (mit .:. = - . . a ) :

u = - a v und

Die letzte Gleichung hat die von GI. (20) her bekannte Struktur, wir werden die gesnchte L6sung also wieder naherungsweise durch Zusammenpassen asympto- tischer Losungen ermitteln konnen. Mit den Anfangsbedingungen (60), (61) und

l impm= - 1 -0

ergibt sich im Falle a << 1 :

und

Fur Teilchenabstiinde r m I D erhalt man also in beiden Fallen DEBYE-Terme, fur r w 1~ dagegen BoLTzMANN-Faktoren (infolgedeseen wekt pCp die bekannte - im Rahmen einer klassischen Theorie anscheinend unvermeidliche - Diver- genz fiir r -+ 0 auf).

4.2.3. Viskos i t i i t u n d Wii rmele i t f i ih igke i t Zur Berechnung der Viskositat r]pl und der Wiirmeleitfiihigkeit Apl des voll-

ionisierten Wasseratoffplasmas miisaen wir natiirlich - unseren bisherigen An- nahmen entgegen - voraussetzen, daB das betrachtete System riiudich in- homogen ist. Wenn jedoch die diese Inhomogenitiit charakterisierenden Litngen groD gegen die mikroskopischen sind, wird man wie im Fall der BOLTZMANN- Gleichung damit auskommen, die linke Seite der kinetischen Gleichung um die bekannten Orts- und Geschwindigkeitsableitungen der Verteilungsfunktion zu ergiinzen, die rechte aber ungeiindert zu lassen. Wiihlen wir hier die Geschwin- digkeit u ale unabhangige Variable und unterdrucken alle Indizes, so lautet demnach die Ausgangsgleichung (mit der iiuBeren Kraft F) :

aF aF F aF at & m h -+ u * - + - * -= S [ F ]

mit S [ F ] = a ( - F ) R" f z a a =: ( $ F )

h m

138

und der Normierung

Annelen der Phyeik * 7. Folge * Band 19, Heft 3/4 L 1967

l F d u = n . (69) Bildet man davon die vier niedrigsten Momenbngleichungen, berechnet die auf den linken Seiten auftzetenden Geschwindigkeitsmittel gem56 einem in [9] beschriebenen Niiherungeverfahren mit der MaxwELL-Verteilung

und fiihrt die Abkiirzungen

d a a &a

--- &=at +fa- ein, so erhiilt man zunirchst :

= m / uiukur S [ F ] du = sikl .

In der letzten Gleichung kann v = 0 gesetzt werden, in der vorletzten wollen wir

gegen 2 Pcik vernachllissigen. Wegen

(8. [9], S. 299, G1. (25); Q = Wirrmestromvektor) bedeutet dies Vernachliissi- gung der Wiirmequellung und der Leistung der Scherkriifte. Damit wird ein- facher :

2PEik = 8ik, (78)

speziell :

R. BESSLNRODT: Ableitung und Untersuchung einer kinetiechen Gleichung 139

Die Hauptaufgabe ist nun die Berechnung der StoBmomente sib und aikl. Dazu wird F in der Form

1 1 a 6 e &,&&a>

entwickelt, wobei die Tensoren a, und Qrr geschwindigkeitsunabhangig und in allen Indues symmetrisch sind ; Ableitungen erster Ordnung treten wegen der Forderung

J u F d u = / u F O d u nicht auf, ferner ist wegen

J ( U - v ) ' F d u = J ( u - v ) ~ FOdu: (83) aPp = 0, (84)

a, also spurfrei. Die durch Eintragen in sib und sikI entstehenden Integrale sind elemental und ergeben mit

und y als Masaenverhiiltnis :

bzw.

(85a, b)

X D (Qni QU + Qrrt Qil + Qrrl &t).

Andererseits ist die Viskositiit r ] definiert durch

aik = -2r]cik (88)

und die Wiirmeleitfiihigkeit 1 durch

(da die Komponenten des Wiirmestromvektors $- u 2 q F d u nach GI. (81)

gleich 1 Qiir sind). Also folgt :

15 1 1 vm(kT)6'2 1

140 Annelen der Physik * 7. Folge * Band 19, Heft 3/4 * 1967

Daraus erhiilt man, da bei unserem Vorgehen die kinetischen Gleichungen f i i r die Elektronen bzw. Protonen nicht gekoppelt sind, die GesamtgrBBen qpl

und Apl einfach dnrch Addition der Eiektronen-Werte, Protonen d. h. wegen 3 > -1 : ma

x [cal cm-1 8-1 OK-'].

Zum Vergleich: SPITZER [ lo] gibt praktisch daeselbe Apl und ein nm einen Faktor 1,5 gr6Beres qpl an.

4.8. Wecheelwirknng zweier Pomponenten mit versehiedener Str6mnngsgewhwindlgkeit AbschlieBend wollen wir die Wechselwirkung zweier vollstiindig ionisierter

Komponenten mit verschiedenen Str6mungsgeachwindigkeiten betrachten. Schreibt man

S(a,a) wobei S(a,b) den EinflnB der zweiten Komponente a d die erste Komponente

darstellt. Fiir S(a*b) ergibt sich mittels (44) und (46) :

x dre d r d x b ,

wir kijnnen u~ls aber auf den Hauptteil beschriinken, indem wir 2 und den Dreierkonelationeterm nur durch geeignete Begrenzung der I rb rhtegrat ion beriicbichtigen ; dann gilt einfacher :

R. BESSENRODT: Ableitung und Untersuchung ciner kinetiachen Gleichung 141

Ferner wollen wir im folgenden schematisierend annehmen, daB fur c = a, b

gilt, die beiden Verteilungsfunktionen Fa und F, also nfherungsweise stets MaXwELL-Verteilungen mit derselben Temperatur T sind. Das ftihrt auf

80 dal3 sich ergibt :

(102)

Die auftretenden Integrationen lassen sich nach Einfiihrung von Kugelkoordi- naten geschlossen ausfiihren, die (etwas langwierige) Rechnung ergibt :

mit ma, = ?*. Folglich lautet die Bewegungsgleichung : ma + mb

die Impulsubertragung der beiden Komponenten wird also (wie einleuchtet) vom Koeffizienten der dynamischen Reibung beherrscht. Wegen der Anti- symmetrie des Ausdrucks

ft, R(a,b) 1 + Yab

in den Indizes a, b ist der Impulssatz -- fiir das Gesamtsystem erfiillt. Fur Relativ-

geschwindigkeiten Jv, - 'v , I < f2E hat man mnb

(105)

142

so daB sich der Koeffizient aab des phiinomenologischen Ansatzes

Annalen der Phyeik * 7. Folge Band 19, Heft 314 * 1967

bestimmt ; fiir ein Wasserstoffplaema ergibt sich daraus der bekannte Wert

Auf die gleiche W e b Ii iDt sich auch der Energieaustausch der beiden Kom- ponenten behandeln. Auszuf uhren iat wegen

1; pi 5 at dp, = / pa S a s a ) dp, + j- pa . S a , b ) dp, (109)

(110) jetzt

$ pa * Sash) dp,

Die Integrationen Bind wiederum etwas langwierig, aber elementar, so daB wir n u die Ergebnisse angeben wollen. Trennen wir thermische und Striimungs- energie, so ergibt sich fur deren zeitliche Anderung

waB erwartungsgemiiB stets 2 0 ist, und

Auch fiir den Energieaustausch ist also der Koeffizient der dynamischen Rei- bung entscheidend.

Damit scheinen urn einige Anhaltspunkte iiber die Brauchbarkeit der auf- gestellten einfachen kinetischen Gleichung gewonnen. Andererseits iat klar, daO obige Ober legungen weder dem Umfang noch dem traktierbaren Approxima- tionsgrad nach die in dem sehr allgemeinen Amatz steckenden Miiglichkeiten ersch6pf en.

Meinem verehrten Lehrer, Herrn Prof. Dr. G. BURKHARDT, bin ich fiir an- regende und kritische Diskussionen zu Dank verpflichtet.

R. BESSENRODT: Ableitung und Untersuchung einer kinetischen Gleichung

Literaturverzeichnis [l] BESSENRODT, R., Ann. Phyeik, [7] 18, (1966) 219. [2] WOLFP, P. A., Phyu. Fluids 6 (1962) 316. [3] GUERNSEY, R. L., Phys. Fluids 7 (1964) 792. [4] GUEBNSEY, R. L., Phys. Fluids 7 (1964) 1600. [ 6 ] O’NEIL, TH., u. N. ROSTOKEB, Phye. Fluids 8 (1966) 1109. [6] GBEEN, H. S., Nuclear Fusion 1(1961) 76. [7] HUNOER, K., u. R. W. LABENZ, Z. Ph . 168 (1961) 246. [8] TOHEN, C. M., Phys. Rev. 114 (1969) &. [9] SOMXEBFELD. A., Vorl. iiber theoret. Phyeik V, Wieebaden 1962, 0 44. [lo] SPITZER, L., Physics of Fully Ionized Gaw, New York/London 1962.

143

H anno ver , Institut fur Theoretieche Physik der Techhiachen Hochschule.

Bei der Redaktion eingegangen am 23. Mai 1966.