Abfluss in offenen GerinnenSkript zur Ubung ’Abfluss in offenen Gerinnen’

zur Vorlesungsreihe ’Abwasserentsorgung I’ Prof. Krebs, Institut fur Siedlungs- und Indu-

striewasserwirtschaft, Technische Universitat Dresden

Kommentare und Ruckfragen an Thilo Koegst (thilo.koegst@tu-dresden.de)

Inhaltsverzeichnis

1 Einleitung 2

1.1 Modellarten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2 Charakterisierung des Abflussverhaltens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

2 Herleitung der Saint Venant Gleichungen 3

2.1 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2.2 Massererhaltungssatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2.3 Impulserhaltungssatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2.4 Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

3 Modellvereinfachung 6

3.1 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

3.2 Kinematische Welle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

3.3 Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

4 Losung der Saint Ventant Gleichungen 7

4.1 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

4.2 Verfahren der Charakteristiken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

4.3 Finiten Differenzen Methode (FDM) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

4.3.1 Explizite Differenzenverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

4.3.2 Implizite Differenzenverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

4.3.3 Explizites Differenzenverfahren fur die Kinematische Welle . . . . . . . . 10

5 Verstandnisfragen 11

6 Formelzeichen 11

A Appendix 13

1

1 Einleitung

Zielstellung ist die Berechnung des Abflusses in offenen und geschlossenen Gerinnen zur Vor-

hersage von Abfluss und Wasserstand in der Hydrologie und der Siedlungsentwasserung (z.B.

Vorhersage von Hochwasserpegeln oder zur detaillierten Abflussberechnung im Kanalsystem).

1.1 Modellarten

Modellkonzepte im Allgemeinen konnen unterschieden werden in [3] (S.421):

• Deterministische Modelle - mit der Eigenschaft, dass ein spezifische Eingangssignal immer

ein spezifisches Ausgangssignal erzeugt.

• Konzept oder Black-Box Modelle - beschreiben die wesentlichen Zusammenhange, die ein

Phanomen ausmachen.

• Stochastische Modelle - beschreiben eine Systemantwort auf sich verandernde Randbedin-

gungen auf Grund von Wahrscheinlichkeiten.

Bestehende Modellkonzepte zur Abflussberechnung konnen unterteilt werden in [2](S.85):

• hydraulische Modelle (auch hydrodynamische Modelle genannt) - mehr oder weniger de-

taillierte Beschreibung der physikalischen Vorgange (deterministischer Ansatz)

• hydrologische Modelle - deren Beschreibung nicht unmittelbar auf physikalische Vorgange

zuruckgefuhrt werden konnen. Hydrologische Modelle beschreiben meist eine Systemant-

wort auf einen definierten Eingangszustand, als Black-Box Modell oder Konzept Modell.

Bekannte Verfahren sind zum Beispiel die Einheitsganglinie oder die Speicherkaskade.

1.2 Charakterisierung des Abflussverhaltens

Die zwei wesentlichen Eigenschaftspaare zur Charakterisierung des Fließverhaltens sind

• stationar - instationar : Eine Stromung ist stationar, wenn sich die Geschwindigkeit am

Ort mit der Zeit nicht andert. δQδt

= 0 bzw. δvδt

= 0 ([1] S.105, 110, 333)

• gleichformig - ungleichformig : Hat die Geschwindigkeit zu einem festen Zeitpunkt

(t = const) in verschiedenen Querschnitten einer Stromrohre die gleiche Große, so heißt

die Stromung gleichformig. δQδx

= 0 bzw. δvδx

= 0 ([1] S.108, 110)

Um detaillierte Aussagen uber Fließvorgangen (z.B. Wellenausbreitung) in Flussen als auch in

Kanalsystemen treffen zu konnen, muss instationares ungleichformiges Fließverhalten berucksichtigt

werden.

2

2 Herleitung der Saint Venant Gleichungen

2.1 Einleitung

Eine eindimensionale instationare, ungleichformige Stromung in offenem Gerinnen kann mittels

zweier abhangiger Variablen beschrieben werden. Folgende Kombinationen sind dabei moglich:

• Wassertiefe (h) und Abfluss (Q)

• Wasserspiegellage (z) und Abfluss (Q)

• Wassertiefe (h) und Fliessgeschwindigkeit (v)

Diese Variablenpaare beschreiben den Zustand des fliessenden Wassers uber den Weg und uber

die Zeit als Funktionen der unabhangigen Variablen x, fur den Weg und t, fur die Zeit. Zur

Losung werden deshalb zwei unabhangige Gleichungen benotigt, die jeweils ein physikalisches

Gesetz beschreiben. Dafur kommen in Frage: Masseerhaltungssatz, Impulserhaltungssatz und

Energieerhaltungssatz. Da sowohl der Masseerhaltungssatz als auch der Impulserhaltungssatz

fur diskontinuierliche Bedingungen (z.B. Uberfall) anwendbar sind, werden sie in den Saint

Venant Gleichungen1 einbezogen.

2.2 Massererhaltungssatz

Das Gesetz von der Erhaltung der Masse (auch Kontinuitatsgesetz) stellt die Grundlage

der Kontiunitatsbeziehung dar (siehe [1] S.110). Fur ein Volumenelement gilt: ”Die Differenz

aus Zufluss und Abfluss uber die Lange dx ist gleich der Anderung des Speichervolumen je Zeit-

einheit.” In Abbildung 1 ist dieser Zusammenhang dargestellt. Die Bilanz kann durch folgende

Gleichungen beschrieben werden:

Zufluss Q + q△x

Abfluss Q +∂Q

∂x△x

Speicheranderung∂A

∂t△x (1)

mit Q dem Zufluss und q fur seitliche Zuflusse. Der Abfluss ergibt sich aus dem Zufluss Q und

der Anderung des Volumenstromes ∆Q innerhalb des Kontrollvolumens. Da die Anderung des

Volumenstromes eine Funktion von x ist gilt ∆Q = δQδx

∆x.

Die vollstandige Bilanz kann wie folgt beschrieben werden:

∂A

∂t+

∂Q

∂x− q = 0 (2)

Eine Anderung des Durchflusses bedeuten ebenso eine Anderung der Wassertiefe h und somit

der Querschnittsflache A. Vereinfacht kann die Querschnittsflache als alleinige Funktion der

1Erstmals wurde 1871 von Adhemar Jean Claude Barre De Saint-Venant (1797-1886) ein Gleichungssystemfur den sich langsam andernden instationaren Stromungszustand vorgestellt

3

Abbildung 1: Bilanzierung fur einen Wasserkorper [4]

Wassertiefe beschrieben werden. Somit ergibt sich mit B der Wasserspiegelbreite:

B∂h

∂t+

∂Q

∂x− q = 0 (3)

2.3 Impulserhaltungssatz

Ein Impuls ist die Summe aus Masse mal Geschwindigkeit (P = m · v). Der Impulssatz be-

sagt: ”Die Impulsanderung eines Massekorpers ist gleich der Summe der auf ihn einwirkenden

Krafte”, siehe Gleichung 4. Bezogen auf eine sich bewegende Flussigkeit besagt der Impulssatz:

”Die geometrische Summe aller an einer Flussigkeitsmasse angreifenden Krafte ist gleich der

Anderung des Impulsstoms dieser Masse”.

Dies bedeutet,wenn die Summe der angreifenden Krafte Null ist, so ist der Impuls konstant oder

Null. Anders ausgedruckt heisst dies, wenn die Summe der einwirkenden Krafte Null ist, bewegt

sich der Massekorper mit konstanter Geschwindigkeit oder gar nicht.

ΣF = m · a = ρ · Q · (v2 − v1) (4)

In Gleichung 4 stehen v1 und v2 fur die Fließgeschwindigkeiten des Zu- und des Abflusses aus

einem Kontrollvolumen. Analog zur Masse m eines festen Korpers und eines damit verbun-

den Impulses m · v verwendet man fur Flussigkeiten einen sogenannten Impulsstrom ρQv. Der

Impulssatz lasst sich somit wie folgt formulieren:

ΣF = d(ρ · Q · v) (5)

Analog zu der in Gleichung 2 beschriebenen Massebilanz kann abgeleitet werden, dass die Dif-

ferenz der Impulse aus Zu- und Abfluss gleich der Impulsanderung ist. Ohne Berucksichtigung

seitlicher Zuflusse kann die Impulsanderung wie folgt formuliert werden (siehe Appendix A):

4

Zufluss︷ ︸︸ ︷

ρ · Q · v−

Abfluss︷ ︸︸ ︷(

ρ · Q · v +∂(

ρ·Q2

A)

∂x△x

)

−

Impulsanderung uber Zeit︷ ︸︸ ︷

ρ · ∂Q

∂t△x = 0

ρ∂(Q2

A)

∂x△x + ρ

∂Q

∂t△x = 0 (6)

Krafte, die eine Verzogerung oder Beschleunigung auf einen bewegten Wasserkorper bewirken,

also eine Impulsanderung darstellen, sind: Gravitationskraft, Reibungskraft und Druck-

kraft.

Gravitationskraft FG:

FG = ρgA△x · sin α

≈ ρgA△x · IS (7)

Unter der Annahme eines geringen α, kann sin α mit IS = tan α ersetzt werden2.

Die Reibungsversluste konnen z.B. durch das Reibungsgesetz nach Manning-Strickler wie folgt

bestimmt werden,

v = kst · R2

3

hy · I1

2

E (8)

mit kst dem Reibungskoeffizienten, Rhy dem Hydraulischen Radius und IE dem Energielinien-

gefalle.

Reibungskraft FR:

FR = ρgA△x · IE (9)

Druckkraft FD:

FD = ρgA△x · ∂h

∂x(10)

Fur Rechteckgerinne vereinfacht sich Gleichung 10 zu:

FD =1

2· ρg · B · h2 (11)

mit B der Gerinnebreite.

Nach Einsetzen der Gleichungen 6, 7, 9 und 10 in Gleichung 4 erhalt man die Bewegungsglei-

chung.

∂(Q2

A)

∂x︸ ︷︷ ︸

konvektive Beschleunigung

+∂Q

∂t︸︷︷︸

lokale Beschleunigung

+ gA∂h

∂x︸ ︷︷ ︸

Druckterm

−gA( IE︸︷︷︸

Reibung

− IS︸︷︷︸

Gravitation

) = 0 (12)

2Dies ist sinnvoll da in der Regel IS und nicht der Neigungswinkel α bekannt ist.Es gilt dabei IS = Gegenkathete

Ankathete= tan α

5

2.4 Zusammenfassung

Die Saint-Ventant Gleichungen im Uberblick:

∂(Q2

A)

∂x+

∂Q

∂t+ gA

∂h

∂x− gA(IE − IS) = 0

B∂h

∂t+

∂Q

∂x= 0

Das Gleichungssystem beruht auf folgenden Annahmen:

• eindimensionale Stromung, d.h. Querstromungen werden vernachlassigt; die Wasserspie-

gellage quer zur Fließrichtung ist horizontal.

• Geschwindigkeitsverteilung uber die Abflusshohe ist gleichmaßig verteilt und weicht nur

geringfugig von der mittleren Geschwindigkeit ab; vertikale Beschleunigungen sind ver-

nachlassigbar

• hydrostatische Druckverteilung uber die gesamte Abflusstiefe (Freispiegelabfluss)

• das Transportmedium (i.e. Wasser) wird als homogen und inkompressibel angenommen

• Energie-, Wasserspiegel- und Sohlgefalle sind relativ klein

• Gerinnesohle, -profil und -gefalle sind uber den zu berechnenden Gerinneabschnitt und

uber die Zeit konstant

3 Modellvereinfachung

3.1 Einleitung

∂(Q2

A)

∂x+

∂Q

∂t+ gA

∂h

∂x− gA(IE − IS) = 0

∂Q

∂x︸ ︷︷ ︸

Normalabfluss

+∂A

∂t= 0

︸ ︷︷ ︸

kinematische Wellenapproximation︸ ︷︷ ︸

diffuse Wellenapproximation︸ ︷︷ ︸

dynamische Wellenapproximation (St. Venant)

(13)

3.2 Kinematische Welle

Die Bewegungsgleichung vereinfacht sich durch das gleichsetzen von S0 = SR. Unter Verwendung

der Gleichung 8 ergibt sich somit:

Q = kst · A · R 2

3 · S1

2

0 (14)

6

Kinematische Welle Diffuse Welle Dynamische Welle

Wellenausbreitung√ √ √

Ruckstau × √ √

Wellendampfung × √ √

Beschleunigung × × √

Tabelle 1: Ubersicht zur Anwendbarkeit der Modellvereinfachungen [3]

Wobei die Querschnittsflache als auch der Hydraulische Radius Funktionen der Wassertiefe h

sind. Daraus folgt:

• eindeutige Beziehung zwischen h und Q

• keine Wirkungsausbreitung stromaufwarts (Ruckstau), daher anwendbar fur die Berech-

nung des Abflusses in steilen Gerinnen

• zur Losung muss eine Randbedingung am oberen Ende bekannt sein

• die Schnelligkeit der Welle (engl. celerity) w ist von der Froude Zahl3 unabhangig und

ergibt sich zu w = 1, 5 · v mit v der Fliessgeschwindigkeit [5]

• die Wellenform unterliegt keiner Dampfung

3.3 Zusammenfassung

Eine Ubersicht zur Anwendbarkeit der Modellvereinfachungen zeigt Tabelle 1

4 Losung der Saint Ventant Gleichungen

4.1 Einleitung

Die Saint-Ventant Gleichungen stellen eine Gruppe von partiellen Differentialgleichungen dar,

da Q (oder v) und h sowohl Funktionen von x und t sind. Losungsmethoden zur Anwendung

der Saint-Ventant Gleichungen sind im folgenden beschrieben [3].

3FROUDE Zahl (Abkurzung Fr, dimensionslos); Die Froude Zahl stellt ein Maß fur das Verhaltnis vonTragheitskraften zu Schwerekraften innerhalb eines hydrodynamischen Systems dar.Stromender Stromungszustand (Fr < 1) , d.h. Storungen breiten sich sowohl nach unter- als auch nachoberstrom aus.Grenzabluss oder Kritischer Ablfluss (Fr = 1), d.h. die Wellenausbreitungsgeschwindigkeit stimmt nungenau mit der Fließgeschwindigkeit uberein. Wellen konnen sich nicht mehr gegen die Stromung fortpflanzen.Schießender Stromungszustand (Fr > 1), d.h. die Fließgeschwindigkeit ubersteigt jetzt die Ausbreitungsge-schwindigkeit. Eine Storung breitet sich jetzt nur nach unterstrom aus. siehe Wikipedia:Froude-Zahl

7

4.2 Verfahren der Charakteristiken

Das Verfahren der Charakteristiken beruht auf einer Umformung der beiden partiellen Differen-

tialgleichungen nach Saint Venant in ein System von vier gewohnlichen Differentialgleichungen.

Das so erhaltene Gleichungssystem bezeichnet man als die sogenannten Gleichungen der Cha-

rakteristik. Die Integration erfolgt entlang dieser Chatakteristiken (naturliche Methode) oder in

einem festem Gitter (lokale Methode). [5]

4.3 Finiten Differenzen Methode (FDM)

Bei direkten Differenzenverfahren werde die Differentialquotienten der Saint Venant Gleichungen

zu Differenzenquotienten umgeformt und die Gleichungen unter Berucksichtigung der Anfangs-

und Randbedingungen gelost.

Abbildung 2: Darstellung der Losungsebene - Projektion [5]

Abbildung 3: Darstellung der Losungsebene - Schnitt [5]

Die Ableitung ∂h∂x

im Punkt P entspricht der Neigung der Tangente T , siehe Abbildung 2 und

Abbildung 3. Naherungsmoglichkeiten ergeben sich wie folgt:

8

Neigung der Sehne AP (engl. backward difference)

(∂h

∂x

)n

j≈

hnj − hn

j−1

△xbzw.

(∂h

∂t

)n

j≈

hnj − hn−1

j

△t(15)

Steigung der Sehne PB (engl. forward difference)

(∂h

∂x

)n

j≈

hnj+1 − hn

j

△xbzw.

(∂h

∂t

)n

j≈

hn+1j − hn

j

△t(16)

Steigung der Sehne AB (engl. central difference)

(∂h

∂x

)n

j≈

hnj+1 − hn

j−1

2△xbzw.

(∂h

∂t

)n

j≈

hn+1j − hn−1

j

2△t(17)

Abbildung 4: Implizites vs. Explizites Differenzenverfahren [5]

4.3.1 Explizite Differenzenverfahren

Die verschiedenen expliziten Verfahren unterscheiden sich nach dem Schema des Losungsansatzes,

das fur die Appromixation der Orts- und Zeitableitungen gewahlt wird. In jedem Fall ist bei

expliziten Verfahren die numerische Stabilitat zu untersuchen. Es ist zu uberprufen, ob die

Losungen der Differenzengleichungen eine bestimmte Grenzabweichung von denjenigen der Dif-

ferentialgleichungen nicht uberschreiten. Wachsen diese Abweichungen (engl. Truncation Error)

9

zwischen den Differenzen- und den Differentiallosungen unbegrenzt an, so versagt die gewahlte

Losungsmethode. [5]

4.3.2 Implizite Differenzenverfahren

Die Impliziten Differenzenmethoden unterscheiden sich von den expliziten Verfahren dadurch,

dass sowohl in der Approximation der ortlichen und zeitlichen Ableitungen bekannte Zustande

an der Stelle j zur Zeit t als auch unbekannte Zustande an den Stellen ...,j-1, j, j+1,... zur

Zeit t+1 herangezogen werden Abbildung 4. Bei den impliziten Verfahren ist die numerische

Stabilitat von vornherein gegeben; zu uberprufen ist die Konsistenz. Grundsatzlich darf bei

impliziten Verfahren der Zeitschritt beliebig gewahlt werden. Haben die Tragheitskrafte einen

starken Einfluss auf die Stromung, so fuhrt die Wahl von grossen Zeitschritten bei impliziten

Schemata zu erheblichen Fehlern. Sind die Tragheitskrafte klein, jedoch nicht vernachlassigbar,

so konnen die Zeitschritte bedeutend großer gewahlt werden. Dadurch liegen die erforderlichen

Rechenzeiten erheblich unter denen der expliziten Verfahren. Ein weiterer Vorteil der impliziten

Verfahren besteht in der vom Ortsschritt unabhangigen Wahl des Zeitschrittes. Dies erlaubt

die Einfuhrung von verschieden großen Ortsschritten, wodurch eine Anpassung der Dichte der

Berechnungspunkte an die unterschiedlichen Verhaltnisse ermoglicht wird. [5]

4.3.3 Explizites Differenzenverfahren fur die Kinematische Welle

Ausgangsgleichung der Kinematischen Welle

−gA(IE − IS) = 0

IS = IE

B∂h

∂t+

∂Q

∂x= 0

nach Manning Strickler:

v = kst · R2

3

hy · I1

2

E

Q = kst · R2

3

hy · I1

2

E · A

Q = kst · R2

3

hy · I1

2

S · A(18)

Aus der Kontinuitatsgleichung ergibt sich:

∂h

∂t=

∂Q

∂x· 1

B

10

Einfuhren von Differenzen:

∂h

∂t≈ ∆hn

∆t=

hn+1i − hn

i

∆t∂Q

∂x≈ ∆Qi

∆x=

Qni+1 − Qn

i

∆x

−∆Qi

∆x=

Qni − Qn

i+1

∆x(19)

nach Einsetzen erhalt man:

hn+1i = hn

i +△t

B·Qn

i−1,i − Qni,i+1

△x

5 Verstandnisfragen

• Was ist ein Schmutzstoß, und wie entsteht dieser? (Wellengeschwindigkeit c > v)

• Welche Vereinfachung der Saint-Ventant Gleichungen gibt es und wann konnen sie ange-

wendet werden? (Randbedingungen, Konsquenzen der Vereinfachungen)

6 Formelzeichen

Abkurzung Beschreibung Einheit

ρ Dichte ML3

A Querschnittsflache des Wasserkorpers L

Q Volumentstrom L3

T

v Stromungsgeschwindigkeit LT

w Wellengeschwindigkeit (engl. celerity) LT

q lateraler Zufluss L2

T

x Weg in Fließrichtung L

t Zeit T

h Wassertiefe L

B Wasserspiegelbreite L

g Erdbeschleunigung (≈ 9, 81ms2 ) L

T 2

IS Sohlgefalle (oft auch mit S0 bezeichnet) −IE Energieliniengefalle (oft auch mit Sf bezeichnet, fur Friction

Slope)

−

11

Literatur

[1] Bollrich, G.: ”Technische Hydromechanik 1” Verlag fur Bauwesen Berlin 4. Auflage

[2] Gebhard, V.: ”Schmutzfrachtberechnung in Kanalistationen auf Basis einer dynamischen

detaillierten Modellierung des Sedimenttransportes”

[3] Butler, D. und Davis, J.W. (2000): ”Urban Drainage”

[4] Karvonen, T.: ”Exercise Saint Venant equation”

[5] Institut fur Hydraulik und landeskulturelle Wasserwirtschaft ”Hydraulik II”

[6] Schilling, R.: ”Einfuhrung zur 2. Ubung Modellbildung und Simulation”

[7] Mujumdar, P.: ”Flood Wave Propagation - The Saint Venant Equations”

12

A Appendix

Herleitung der Impulsgleichung

ImpulsstromZufluss − ImpulsstromAbfluss − Impulsanderung =∑

F

= FG − FR − FD

Impulszufluss

Impulszufluss = ρQv =ρQ2

A

Aus der Beziehung Q = A · v kann der Impulsstrom ρQv zu ρQ2

Aumgeformt werden.

Impulsabfluss

Impulsabfluss =ρQ2

A+

∂(ρQ2

A)

∂x∆x

Die Impulsstromanderung ∆(ρQ2

A) ist hier wieder als Funktion von x uber die Strecke ∆x be-

schrieben (Analog zum Abfluss beim Kontinuitatsgesetz).

Impulsanderung uber die Zeit

Das Volumen im Kontrollvolumen ist beschrieben mit A∆x. Der daraus resultierende Impuls-

strom lautet ρA∆xv oder ρQ∆x ([7] S.69). Die Impulsanderung uber die Zeit ergibt sich somit

zu:

Impulsanderung =∂(ρQ)

∂t∆x

Impulssatz

ρ · Q · v −(

ρ · Q · v +∂(

ρ·Q2

A)

∂x△x

)

− ρ · ∂Q

∂t△x =

ρ∂(Q2

A)

∂x△x + ρ

∂Q

∂t△x =

13

vollstandiger Impulssatz

= FG − FR − FD

ρ∂(Q2

A)

∂x△x + ρ

∂Q

∂t△x = ρgA∆xIS − ρgA∆xIE − ρgA∆x

∂h

∂x

∂Q

∂t+

∂(Q2

A)

∂x+ gA

∂h

∂x− gA(IE − IS) = 0

14