ALGEBRA

ALGEBRA 1

A. RECHNEN MIT RATIONALEN ZAHLEN

1. a) d)

(+3) + (+7) (–4) + (–9)

b) e)

(+2) + (+20) (–13) + (–15)

c) (–2) + (–20)

2. a) d)

(+3) + (–7) (+4) + (–9)

b) e)

(+2) + (–20) (–13) + (+15)

c) (–2) + (+20)

3. a) d)

(+9) + (–15) (–5) + (+18)

b) e)

(–18) + (+6) (+21) + (–26)

c) (+7) + (–12)

4. a)

�

+ 23

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟ + + 1

3⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

�

− 14

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟ + + 3

4⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

b)

�

+ 34

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟ + + 5

4⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

�

− 78

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟ + − 5

8⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

c)

�

− 35

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟ + − 1

5⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

5. a) d)

(+5) – (+3) 5 – (+12)

b) e)

(+7) – (+9) (+13) – 6

c) 8 – 13

6. a) d)

(–8) – (–2) (–6) – (–10)

b) e)

(–3) – (–1) (–10) – (–15)

c) (–5) – (–8)

7. a) d)

(+5) – (–3) (–9) – (+11)

b) e)

(–7) – (+6) (–3) – (+10)

c) (+8) – (–10)

8. a) d) g)

–25+(–25)+3+7 5+ (–7)+(–3)+8+(–11) 17+(–3)+23+(–37)+(+1)

b) e) h)

–43+(–15)+29+(–1) 15+(–29)+29+(–3) –35+(–11)+(–23)+4+(+11)

c) f)

–16+(–23)+8+9+(–2) +44+(–154)+(–166)

9. a)

�

−2 13

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟ − − 2

3⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

b)

�

25−11

5

c)

�

27− − 5

7⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

10. a) d)

(–2) · (–5) (–5) · 6

b) e)

(+2) · (–7) 8 · (–4)

c) (+3) · (+8)

11. a) d)

�

− 13

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟ ⋅ − 2

3⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

�

− 35

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟ ⋅ − 1

3⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

b)

�

− 49

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟ ⋅ + 1

3⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

c)

�

15⋅ + 2

3⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

12. a) d)

(–5)2

�

+ 12

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟ 2

b) e)

(–4)3

�

− 34

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟ 2

c) (–2)5

13. a) d)

4·(–3)+(–2)·5+(–2)·(–3) (–6)·(+3)–2·(–8)–5·(–9)

b) e)

(–4)·(–3)+7·(–2)+(–6)·(–5) (–4)·3–(–2)·(–8)–(–5)3

c) (–5)·(–9)+2·(–4)–(–5)·(–3)

14. a) (+35) : (+7) b) (+25) : (–5) c) (+18) : 6 15. a) (–24) : (–4) b) (–27) : 3 16. a) (–36):(–4)+5·(–2)+(–

6):(–3) b) (–48):(+6)+8:(–4)+9:(–3) c) (–2)5+(–15):(–3)–8:4

d) (–3)3–(–12):4–9:(–3) e) (–24):(–12)+(–6):(+3)–(–10):(–1) 17. a)

d) (–3)2 + (–1)2 (–4)3 + (–2)4

b) e)

(–2)3 + (–1)3 (–4)3 + ( 1)5

c) (–3)4 + (–2)3

18. a) d)

(+2)3 + (–2)2 43 – (–3)2

b) e)

(+1)5 + (–3)3 (–5)3 – (–2)5

c) 25 – ( 2)3

19. a) d)

(–2) · [2 + (–5)] 12 · [(–1) + (+7)]

b) e)

(–3) · [(–1) + (–4)] (+3) · [4 + (–6)]

c) 2 · [(–3) + (–5)]

ALGEBRA 2

20. a) d)

(+3) · [(–2) – 5] 3 · [8 – (–5)]

b) e)

4 · [(–2) – (–3)] (–7) · [( –1) – (–4)]

c) (–5) · [(+2) – (–6)]

21. a) d)

(–5)3 + (–4) · 2 (–9) : 3 + (–12) : (–6)

b) e)

(–8) : (+4) + (–12) : (–3) (–3) – (+10)

c) (–2)5 + (–7) · (–3)

22. a) (–6)2 + (–3) · (–2) + (–5) · (+3) b) (–3)3 + (–5) · (–1 ) + (–2)4 23. a) (+4) · [(–2) + (+3)] b) (–6) · [( –1) – (–6)] B. ADDITION UND SUBTRAKTION

1. a) c) e)

12a – 2a – 5a 17i – 9i – i – 3i 1193r – 195r – 63r – 5r

b) d) f)

124b – 7b – 13b 155f – 15f – 23f – 17f 1273c – 859c – 274c – c

2. a) c)

16a + 5b – 10a – 2b 183a + 105b – 64a

b) d)

14x + 26y – 12y – 5x 100a + 1211b – 647b

3. a) c)

19a – 3b + 4b – 5a 156x – 44y + 219y – 28x

b) d)

56c – 15d – 24c + 2d 105x – 218a – 54x + 63a

4. a) c) e)

31x + 12y + 7x – 9x – 10y – 2y 40p + 15q – 20p + 6q – 20p – q 16p – 2q – 6 – 5p – 4 – 8n

b) d)

44f – 5g – 15g + 3h + 7f – 5 25f – 19q – 5 – 18f – 7 – g

5. a) b)

14a – 9b + c – 5a – 3b – c – 9a – 12c – b + 4a 25x – 3y + z – 6x – 5y – z – 4x – 15y + x – 2z

6. a) c) e)

–2abc – (–10abc) 7ac – (+15ac) –95xy – (+78xy)

b) d) f)

5ab – (+3ab) 895ab2 – (–277ab2) –104mn – 128mn

7. a) c) e)

–5x2 – (+3x2) 17m3 – (–m3) 55a3 – (+56a3)

b) d) f)

–5a2 – (–10a2) –35a2 – (54a2) –15x2y2 – x2y2

8. a) c)

2c + (3c + 6) 30x + (5x + 2y)

b) x + 7 + (2x + 5)

9. a) c) e)

4m – 5 + (3m – 1) 5x + 9y + (–4y + x) 4a – b + (b – 4a)

b) d) f)

6a + x + (3a – x) 6 – 5x + (5x – 6) 1 + 17x + (5x – 1)

10. a) c)

3 + (9 + x) 109c3 +(212c3 – 42)

b) (3a – b) + 15a

11. a) c) e)

15a – (2a – b) 4q – (p –1) 395a – (148a – 39)

b) d) f)

27x – (10y – 3z) 9a – (4b – 3a) 67x – (1300y – 109x)

12. a) c) e) g)

26a – (6a + 5a) 6 – (p – 1) 576c – (399c + 1) 333a – (466 + 471a)

b) d) f)

9x – (4x + y) 628a – (453a + 74) 7194m – (800n + 6504m)

13. a) c)

a + b – (a – b) 6a – 2b + 5b – (–7b + 4c)

b) d)

2a + 4b – (4a – 5b) x + 2ax + a – (x – 2ax + a)

14. a) 3a – b + 7c – (3a – 5c) – (–9a – b – 3c) b) + b – (12x + 6b) – (4x + 8b – 10x + 10b) 15. a)

c) 5a – (13a + 15b) + (13b – 7a) 3a – 4b – (–5a + 7b) – (–9a – 10b)

b) 16a – (3b + 8c – 5a) – (b – 3c)

16. a) c)

(7x + 3y – z) – (5x – 2y – z) 4a4 + 2a3 + a2 – (3a3 + 5a2 + a – 7)

b)

(–19m – 5n + 1) – (4m – 2n – 3)

ALGEBRA 3

17. a) 16x – y – (3x – y) + (4x – 1) – (x + y) b) 17a – (5a – 3) – (15a + 1) + (3a – 2) – 1 18. a)

b) c)

–ab + 7a – 13 – (–4ab + 8a – 25) + (–8ab + a – 21) 105r – (57r + 36s) + (62r – 54s) 50x – (20y + 24z) + (20x + 23y) – (45x + 11z – 32y)

19. a) (225a – 69b + 83c) – (78a – 272c – 85d)

b) (84a – 29x) – (73a – 125x)

20. a) c) e)

20a – [16a – (2a + b)] 15x – [5x – (2x – y)] 187a – 53b – [93a – (76b + 34)]

b) d) f)

141 – [73 – (94a + 1)] 6x2 – [15x – (3x2 – 9x)] 175c2 – [108c2 – 19c – (24c2 – 185c)]

21. a) b) c) d)

12p – 4q – (6p – 4q) – [(3p + 4q) – (2p + 9q)] 15t – [(3t – 6u) – v] – [5u – (20t + 4v)] 108a – (24a + 15) – [76a – (15a + 23) – (74a – 7)] 55m2 – 33n2 – [–(72n2 – 14m2) + (3m2 – 19n2)]

22. a) b) c) d)

16a – [6b + (9a – 3b + c + 5a – 2c + b) – 2b] 25a – [36b – (19a – 11b) – 12a] 18a – [(14a – 8b – 2c) – (8a + 12b – 3c)] a + b + c +d – [(d + a) – (b + c – a)]

23. a) b) c) d)

6m + 5n – (8p + 6q) – [5m – 3n – (7p – 4q)] 7x – 4y + 7z – [3x + 6y – (12x – 5z) – 2x] 24a – [(13a – 8b + 2c) – (9a + 12b – 3c)] 37a + [22b – (17c + 12b – 11a) + 25c] – [18a – (7b – 3c)]

24. a) b) c) d)

(x – y) + {z + [2x – 3y + (2z – 3x) + p] – y} [(4r – 2s) – (5s – 2t)] – {6s – [5t – (3r + 5t)] – 9s} 7 – {[(26x + 37y – 25z) + 19y – 16a] – 8x + 9z + 6} [(–3cd + 5) – 25] – [18 – (7 + 3cd)] + [6 – (ay + 10) – (3ay – 9)]

25. a) b) c) d)

(3a + 4x) – {6a – [5x – (9a – 8x)] + 13a} 4x + 6y – {6x – [7y – (5x + 3y) – (6y – 8x) – 3x] – 3x} 4xy – 8xz – {2yz – [3xy – (5xz + 6yz) + 7yz] – 2xy} a – {[(b – 3ab) – (a + 3ab)] – (6a – 3b)}

ALGEBRA 4

C. MULTIPLIKATION

1. a) (+1)(+1) b) (+1)(–1) c) (–1)(+1) d) (–1)(–1) 2. a) (–1)(–1)(–1) b) (–1)(–1)(+1) c) (–1)(+1)(–1)(+1)(–1)(+1) 3. a)

e) (–1)2 (–1)20

b) f)

(–1)3 (–1)25

c) g)

(–1)4 (–1)2n

d) h)

(–1)5 (–1)2n+1

4. a) (–1)2(–1)4 b) (–1)3(–1)5 c) (–1)4(–1)3 5. a)

e) i)

(–7)(–12) (–2) 6 (–1)(–c)

b) f) k)

3(–9) (–3)a c(–1)

c) g) l)

(+4)(–6) b(–5) (–2f)(+3g)

d) h) m)

(–15)(–8) (–c)(–2a) +h)(–h)

6. a) (+3)(–1) b) (+9)(+a) c) (+a)(+b) d) (+a)(–b) 7. a) (–2)(+5) b) (–3)(–1) c) (–6)(+a) d) (–a)(+b) 8. a) 0 · (–5) b) –5 · 0 c) –a · 0 d) 0(a–b) 9. a) (–3)(–5) b) (–1)(–a) c) (–7)(–c) d) (–n)(–a)

10. a) e)

(–a)(–a) (–2n)(+3n)

b) f)

(–2a)(+3a) 3x2(–2x2)

c) g)

(–bc)b ac (–2a2c3)

d) (–1)7n

11. a) (–m)2 b) (–a)5 c) (–2ab)2 d) (–2cd)3 12. a)

e) (–2)(–3)(+5) 7(–2)(–3)(+5)

b) f)

(–2)(+7)(–1) (–2)(–17)(–5)3

c) g)

(–5)(–1)(–4) (–2)(+3)(–4)(+5)(–6)

d) (+2)(–3)(+3)

h) (–1)(–3)(+5)(+7)(–9)(–11) 13. a) a(–b)(–c) b) –4c(–c)(2c) c) 2a(–b)(–c)(–3d) d) 4a(–2a)(–a)(3a)(–

a) e)

g) 5ab(–ac)(9c)(–b)(–2c)(–a) 8a(–125b)(25ab)(–16b)(–a)

f) h)

–am(–an)(ap)(–aq) –15(–12ac)(–25a)(ac)(–a)

14. a) c) e) g)

(–5n2)(+2n3)(–n2) (–7a3)(–2ab)(–a2b) 3a2 · 5b(–2c)d 12a2(–14a3)(–15a2)

b) d) f) h)

–7xy3(–2x3y)(–1) –5(–12a)3a2b(–4ab2) –4(–2a)(–5x)(–y)2 –6(–2a)(–15a)2(–a)3

15. a) 6(40 + 5) b) 7(80 + 6) c) 5(200 + 40 + 6) 16. a) 6(a + b) b) 5(c + d) c) (a + 1) 17. a) 7(2b + 2) b) a(a + c) c) b(2b + 1) 18. a) d(3a + d) b) a(f + g) c) a(5a2 + a) 19. a) 6b(2b2 – 1) b) 3a2(a3 – a2) c) x3(x3 + 4x2)

20. a) 5(2a + 3b + 1) b) 6(a3 + 2a2 + 3a) c)

�

13a(a3 + 1

2ab + 1)

21. a) 6a4(2a2 + b + c) b)

�

12ab(3a + 3b + 1) c) 9ac(a + b + c)

22. a) 5b(3c – 2a) b) 10c(a – b + c) c) 12xy(5x – 7y) 23. a) a(5a2 – 2ab) b) mn(m2 + n2 – mn) c) 7(4u + 3v)

24. a)

�

(m + n) 12

b) (2ab + b)a c) (3a2 + b)4ab

25. a) (a3 + b3)ab b) (5a + 3b – 7c)2abc c) (3c – 5d)a2 26. a) 4(b + c) + 3(b + c) b) 5(c + 1) + 3(c + 1) 27. a) a(a – b) + b(a + b) b) m(x – 5) + n(x – 5) 28. a) (a + b)(c + d) b) (p + q)(x + 3) c) (4c + d)(a + 2) 29. a)

d) (2a + b)(x + y) (4m + l)(a + 1)

b) (3x + 2y)(m + n) c) (4a + 3b)(5m + 2n)

30. a) (5x + 6y)(4a – 3b) b) (8x – 9y)(16a – 9b) c) (32a – 25b)(5x + 6y) 31. a) (8p – 5q)(7x – 6y) b) (9x – 7y)(8x – 5y) c) (4a – 3b)(3a – 4b)

ALGEBRA 5

32. a) 4(a – b) + (2a – 3)(a – 2b) b) (5a – 3b)(4a – 7b) + (a – b)21b 33. a) (3a + 4b)(5a – 2b)+(2a – 7b)(4a–3b) b) (2x – 5y)(6x + y) + (5x – 7y)(3x – 2y) 34. a) (3m + 4n)(5x + 6y) – (m + 8n)3y b) (10m + 13n)(11x + 12y) – (x + 2y) 15m 35. a) (a + 1)(b + 1) – (a – 1)(b – 1) b) (x – 3)(x + 4) – (x – 2)(x – 1) 36. a) (6x – 5y)(3x + 4y) – (9x + 2y)(2x –

3y) b) (8x – 3y)(2x + 4y) – (8x + 3y)(2x – 4y)

37. a) (4a + 3b)2 b) (5x + 4y)2 c) (3x – 4y)2 38. a) (25r + 13s)2 b) (14s + 16t)2 c) (13s – 25r)2 39. a)

�

12a + 2b( )2

b)

�

14u + 1

2v( )2

c)

�

13r + 1

2s( )2

40. a)

�

4x + 2 12

y( )2

b)

�

2 14a + 4b( )2

c)

�

134

x + 4y( )2

41. a) (3x + 4y – 2z)(3a + 2b) b) (4a – 5b + 6c)(5x – 3y) 42. a)

d) (4x + 3y)(7x + 6y – 3z) (4x + 3y)(7x – 6y + 3z)

b) (4x – 3y)(7x + 6y – 3z) c) (7x – 6y – 3z)(4x – 3y)

43. a) d)

(a + 1)(a + 2)(a + 3) (x – 4)(x + 3)(x – 2)

b) (a – 1)(a – 2)(a – 3) c) (b + 2)(b – 3)(b + 5)

44. a) (2x + 3)(3x – 2)(4x + 5) b) (2a + 1)(3a – 2)(4a – 3) c) (2ab – 3)(3ab + 4bc)(4ab – 5bc)

D. DIVISION

1. a) d)

7x : x 20,25ab : 6,75a

b) 3a : a c) 105cd : 7c

2. a) d) g) k)

6mn : n 7c6 : c b2 : b2 (144 : 12) · 12

b) e) h) l)

5a2 : a a : a 4c3 : 4c3 (a : b) · b

c) f) i) m)

4d3 : d 2x : 2x (12 : 6) · 6 ((a + b) : b) · b

3. a) d)

12c : 2c 6abc : 3a

b) e)

36a : 4a 18,2xz : 13z

c) f)

4,5xy : 5x 67,5axy : 7,5a

4. a) d)

108a2 : 9a 28ab2 : 4a

b) e)

52b4 : 2,6b 528a6bc : 88a

c) f)

135c3 : 15c 1872a3b : 36ab

5. a) d)

54abc : 3ab 27ab2 : 3ab

b) e)

54abc : 5ac 17,78aq2 : 1,4aq

c) f)

60am : 20am 10,23abc4 : 11b

6. a) d)

55a3b3c3 : 11abc 105,4ax4 : 527ax3

b) e)

0,2a2b4c2 : 10a2c2 852a3x4 : 12a3x2

c)

�

10 12

x3yz4 : 35xyz

7. a) (4a + 6) : 2 b) (6m + 4) : 2 c) (15x + 3y) : 3 8. a)

d) (28u + 21v) : 7 (3ab – b) : b

b) e)

(5x + 5) : 5 (75 – 75c) : 75

c) f)

(4ac – 4) : 4 (22xy + 121x) : 11

9. a) (4xyz + 6xy) : 2x b) (7axy – ax) : ax c) (529axz – 23ax) : 23ax 10. a) (5a2 + 2ab) : a b) (9hi + i2) : i c) (195x2 – 39x) : 195x

11. a) (4a2b + 4b2) : b b) (15a3x2 + 5a2x2) : 5a2x2 c)

�

26m2n2 - m3n3( ) : 12m2n2 d) (28c9 + 196c3d) : 28c3

e)

�

23abc - 1

5ab( ) : 1

2ab f)

�

2 14

xyz + 1,6xz( ) : 1,6xz

12. a) (m3 + m2n + mn2) : m (a7+ a6b2 + a5b3) : a3 (x7y + x6y2 + x5y3) : x5 (72a4b + 60a3b2 + 48a2b3) : 12a2b (82,62az6+65,61az5+8,91az4):0,81z4 (20c5d3 + 15c2d3 + 5c2d2) : 0,5c2d2

ALGEBRA 6

E. FAKTORISIEREN

1. a) b) c) d)

25 · 11 + 15 · 25 – 2 · 25 3 · 15 · 8 + 5 · 15 · 8 – 2 · 15 · 8 19 · 32 · 43 + 5 · 32 · 43 – 20 · 43 · 32 25 · 24 + 2 · 25 · 24 + 24 · 25 · 7

2. a) d)

13 · 27 + 7 · 27 47 · 17 + 47 · 3

b) e)

9 · 35 + 11 · 35 36 · 9 + 36 · 11

c) f)

87 · 24 + 87 · 6 28 · 16 + 28 · 4

3. a) d) g)

2a + 2b 15x – 12y x2 – xy

b) e) h)

5x – 5y ab + ac at – vt2

c) f)

6b – 3a mn – nx

4. a) d) g)

9p + 9q ma – mb am + ap

b) e) h)

7x + 7y x + 3y 5mx – 5my

c) f)

8a – 8b 7ax – 7bx

5. a) d)

6ax + 6ay 24a3 – 16a2

b) e)

3bx – 3ax 28acd – 21ac

c)

5c2 + 5cd

6. a) d)

8a + 8 13a2 – 13a

b)

7b – 7

c)

z3 + z2

7. a) d) g)

xy – xz

�

2 − a 2 x2y – xy

b) e) h)

21 – 28c a – ab e2fg2 + ef2g

c) f)

mx + m

�

m 2 −m

8. a) d)

18x2 + 12xy 7x2 – 7xy

b)

8x2 – 4xy

c)

6xy + 3x2

9. a) mx + my + mz b) am + bm – cm c) ax – ay + az 10. a) 6x – 3y + 9z b) 7x + 14y – 21 c) 12x – 36y – 84z 11. a) ax – 4az + 5ay b) 21abx – 6by + 15bz c) 24ab – 12bc + 48 ab 12. a) 5bx – bx – 15bx b) 25ab + 125ac + 75ax c) am + bm – cm + xm 13. a)

d) 39x + 65y – 117z 69x + 92y + 23

b) e)

75x – 120y + 45z 32 + 48b – 96a

c) f)

34a – 51b – 85c 72a – 24 + 144b

14. a) mx – my + m b) am + bm – m c) m – mx + my 15. a) 14ax – 21 bx + 28 cx b) 20ab + 16ab2 – 12bc 16. a)

d) am + bm – cm + dm 51a – 85b + 153c – 34

b) 10a – 15b + 20c – 25 c) 36a – 24b + 12c – 12

17. a) d)

16my – 24ny + 18y 9ax3 – 12a2x2 – 15a3x

b) e)

10ab – 20a2b + 30ab2 10xy4–15xy3+20xy2–25xy

c)

4a5 – 8a4 + 6a3 – 12a2

18. a) 8x4 + 12x3 b) 64a2c3 + 56a3c2 c) 85a5b4 – 119a4b5 19. a)

b) 60a3b3c2 + 70a2b2c2 – 30ab3c3 45a2y2 – 63a2y3 + 36a3y2

20. a) 15a2b2 + 25ab3 b) 6x3y3 – 8x2y3 c) 12a4 – 20a3 – 12a2 21. a)

b) –125a4y4 + 75a2y4 – 150a3y3 4a3b2 – 12a2b3 – 16ab2

22. a) d)

x(b – c) + y(b – c) m(x – 4) + n(x – 4)

b)

a(b + 3) – 7(b + 3)

c) 2t(u – v) – 3(u – v)

23. a) d)

(x + y) · 3 + (x + y) · 4 (7y – 9)z – (7y – 9)5

b) e)

(a – z) · m + (a – z) · n a(8 – 3m) – b(8 – 3m)

c) f)

(b + 2e)5x – (b + 2e)3y k(k – 4) – 4(k – 4)

24. a) c) f)

Klammern Sie (–1) aus: –mx + n –2a – 9b + 1

a) d) g)

–x – 1 –a + b – 1 –4m – n + 1

b) e) h)

–c – d – e –r + x – y –(a + b)–(c – d)

25. a) d)

2a(a – b) – c(a – b) 5b(3a –1) – (3a – 1)

b) e)

4m(m – n) – 3n(m – n) (5d –1) – a(5d – 1)

c) f)

2x(2a – 1) – (2a – 1) f + g – a(f + g)

ALGEBRA 7

26. a) (a + b)n + (a + b)m b) (b – c) z + b – c 27. a) (4n + 3m) b – a + b b) a(x + y) b – x – y 28. a) 3x(a – b) – a + b b) (c + 3d)4a – c – 3d 29. a)

d) 4a(x + y) + x + y 7(4a – 3) – 4a + 3

b) 5a(2a – b) + 2a – b

c) 3c(2d – 1) – 2d + 1

30. a) a2(2ab+c) + a3(2ab+c) b) 4x2(3a + 5c) + x3(3a + 5c) 31. a)

d) ax + ay + 2x + 2y 12bx – 16b + 27x – 36

b) e)

x2 + xy + 2x + 2y ac + bc – ad – bd

c) f)

2ax – ay + 4bx – 2by 52c+39d–56bc–42bd

32. a) d) g)

ab – ap + bq – pq xy + xz + 4y + 4z cd + 21cf – 2d – 6f

b) e) h)

mp + mq – np – nq 14x – 4xz – 21y + 6yz 2ac – 18a – 3bc + 27b

c) f)

ab + ac – 3b – 3c 4mn – 8mp + 3n – 6p

33. a) d)

ax – bx + ay – by 2ax + 2ay + 3bx + 3by

b) e)

mx + my – nx – ny

c) f)

axnd–axnc+abnd–abnc

34. a) d)

a2 + ab + ac + bc mx – am + nx – an

b) e)

a2 – ac + ab – bc 5ax – 3x + 5a – 3

c) f)

x2 – ax + 5x – 5a 7bx – 5b + 7x – 5

35. a) b) c)

2ax + ay + az – 2bx – by – bz 2ax – 2ay + bx – by – cx + cy 2dx + 2ax + 2nx – dy – ay – ny

36. a) b)

(4a – 2b)(x + y) – (3a + 4b)(x + y) (5m + 2n) (x – y) + (3m + 2n) (x – y)

37. a) b)

(3x + 4y)(a – b) + (2x + y)(a – b) (9x + 8y)(a + b) – (5x + 4y)(a + b)

38. a) b) c) d)

(5ax – 4by)(m + 2n) + (3ax – 4by)(m + 2n) (2m – 3n)(10by + 7ax) – (2m – 3n)(3ax – 2by) (3u + 4v)(6xy – 7ab) + (4xy + 3ab)(3u + 4v) (a – b)(13r2 – 5t) – (11r2 + 3t)(b – a)

39. a) b) c)

(a + c)(c + d) + ( 2a + 3b)(c + d) (2a – c)(4m + 5n) – (2a + c)(4m + 5n) (5a – 1)(2x – 3y) – (4a + 1)(2x – 3y)

40. a) b)

6(3x – 5y) – (3x – 5y)(5 – 3a) – 2(3x – 5y)a 2n(3x + z) – (2n + 3)(3x + z) – 3x – z

41. a) b)

4x(a + b) – 5y(a + b) + (a + b) – 3x(a + b) 7m(a – b) – 3n(a – b) – (a – b) + 3n(a – b)

ALGEBRA 8

F. GLEICHUNGEN

1. a) x + 5 = 8 b)

�

x + 7 = 12 34

c)

�

x + 20 = 436 12

2. a)

�

x + 2 34

= 25 b)

�

x + 7 23

= 18 c)

�

x + 5 13

= 26

3. a)

�

x - 2 12

= 12 b)

�

x - 8 34

= 12 12 c)

�

x - 4 13

= 3 16

4. a) x + 10 = 16 b) x + 22 = 43 c) x – 28 = 12 d)

�

x + 13

= 12

e) 13 + x = 56 f) 63 + x = 81

g)

�

y - 4 89

= 5 13

h)

�

x − 13

= 12

5. a) x + 12 = 45 b) x + 52 = 46 c)

�

x + 3 13

= 5 13

d) x – 55 = 45 e) y – 23 = 56 f) y – 66 = 12 g) x – 13 = 27 h) x – 17 = 17

6. a) 27 = 21 + x b) 66 = x + 17 c) 14 = x – 7 d)

�

2 12

= y + 3 14

e) 23 = x – 6 f) 25 = x + 25

g) 13 = x + 13 h)

�

7 13

= 11 + z

7. a)

�

7 = 13

x b) –11 = 0,11x c) –0,25 = –5x

d) 0 · x = 0 e)

�

32 = 4 47

x f) –2,56 = –0,16x

g)

�

34

x = - 512

h) 0 · x = 17

8. a) 2x + 6 = 14 b) 3x + 15 = 27 c)

�

7x + 4 12

= 8

9. a) 4z – 4 = 6 b) 6z – 9 = 18 c) 3,5z + 15 = 29

10. a)

�

34

x + 5 = 11 b)

�

23

x - 7 = 3 c)

�

14

x - 3 = 2

11. a) d)

2x + 17 = 35 73 + 5x = 79

b) e)

5x – 23 = 56 51x – 1 = 67

c) f)

56 + 2x = 73 45x – 34 = 56

12. a) d)

x – 15 = 29 –4x + 25 = 61

b) e)

37 = 22 – x 14 + 3x = 13

c) f)

–2x + 17 =33 6 + 5x = 29

13. a)

�

12

x = - 0,34 b)

�

1114

= 33 12

- x c) 4,63 = 0,05 – x

d)

�

9,75 = 10 16

- y e)

�

- 12

x = 14 f) 13,5 – 0,8x = 26,3

14. a) d) g) k)

4 · (–x) = 56 10 = (–5x) – 10 96 = (–6y) (–18) = (–7x) – 4

b) e) h)

(–5z) = (–40) (–11) = (–5) – 3 (–2y) + 10 = 40

c) f) i)

(–3y) + 5 = (–16) 15 · (–y) = (–165) 19 = (–11z) – 3

15. a) d)

6x – 10 = x – 5 –x – 2 = x + 6

b) e)

4x – 6 = x – 3 15x – 9 = 4x + 90

c) f)

9x – 9 = x + 7 1 – 8x = 1 – 5x

16. a) d)

5 – x = 25 + 3x – 4 15x –21x = 4 + 2x

b) e)

16 + 2x = 56 – 8x – 20 3 – 4x = 5 – 2x – 16

c) f)

3x – 9 – 5x = 9x + 24 x – 19 = 5x + 23

17. a) d) g)

(–8x) + 5 = (–6x) – 7 (–8x) – 4 = (–13x) + 6 (–7x) + 8 = (–13)

b) e) h)

7 – 3x = (–1) – (–5x) 7 + (–4x) = (–6x) – 11 (–6) – 8x = 6 – (–4x)

c) f)

15 = (–90) – (–x) 15 – 2x = (–10) – (–3x)

18. a) c)

2x – 22 – 9x = 42 + 11x – 100 3x – 15 – 4x = –9 + x – 13

b) d)

2x + 7 – 16x = 8 + 6x + 39 15x – 73 – 24x = 59 – 16 + 20x

19. a) c)

5x – 3 = 4x – 3 + 7 x – 11 – 3x = 4x + 12 – 3x

b) d)

5 – x = 3 – 2x + 5 15 – 4x – 2 = 3 – 4x + 1 + x

ALGEBRA 9

20. a) b) c) d)

14x – 6 + 5x + 15 = 3x + 22 + 13x – 7 10x – 12 + 19 + 5x = 23x – 12x + 66 + 17 34x + 80 – 16x – 31 = 23 + 22x – 13x – 28 18x – 25x – 44 + 13 = 19x + 32 – 13x + 41

21. a) b) c) d)

19x – 32 + 17x = 18x – 30 + 16x – 4 25x – 16 – 9x = 20 + 24x – 10 – 10x 105 – 72x – 53 – 69 = 55x + 43x – 23 – 170x + 6 56x – 43 – 52 – 19x = 7 – 72x – 56x + 165x – 102

22. a) b) c) d)

3x – 19 – 5x + 7 – 3x – 1 = 4x – 5 + 6x + 7 – 2x – 1 19x – 24 – x = 13x – 24 + 5x – 16 – x – 17 – 8x x + 16 – 15x – 29 + 11x + 26 = 0 0 = 21 – 19x – 12 – 39 + 14x – 10

23. a) 10 + (6 – x) = 8 b) 10 + (6 + x) = 18 c) 10 – (6 + x) = 3 d) 10 – (6 – x) = 8 e)

�

3 12

- ( 14

+ x) = 2 14

f) 4,5 – (0,3 – x) = 4,2

24. a) d)

6x + (5x – 3) = 41 15 – (10 – x) = 0

b) e)

7x – (5x + 1) = x (4x – 5) – 3 = 1

c) f)

0 = 8x – (4x + 12) 16x – (5x + 22) = 0

25. a) 2x + 3 = 16 – (2x – 3) b) 15 – (3x–2) = 19 – (2x+4) c) 3x+(8–2x) = 8x+(4–6x) d) 15x – (12 + 11x) + (23 – 3x) = 12

26. a) d)

4(x – 3) = 3(x – 2) 5(x + 9) – (17 – 2x) = 0

b) e)

7(x + 1) = 6(x – 1) 105(1 – x) = (x – 3)100

c) f)

15(x–22) – 13(x–24)=0 x + 9 – (2x – 1) = 10

27. a) d)

14 – (x–15) = 3 – (2x+1) (14 – x) – (5 – 2x) = 14

b) 7x – 10 = 15 – (x – 14) c) 105 – 13x = 5 – (6x+3)

28. a) d)

8(25 – 2x) – 88 = 0 12(x + 1) = 9(x – 2)

b) e)

10(13 – x) = 120 16(9 – x) + 8(5 + x) = 8

c) f)

24(x – 1) = 15(x – 2) 14(x – 3) + 7(x – 1)=14

29. a) 3(x – 18) = 2(9 + x) b) 5(x – 6) = 3(6 – x) c) 7(x – 5) = 9(5 – x) d) 10(x – 9) = 3(9 – x) – 26 e) 8(x–1) + 17(x–3) = 4(6x–9) + 4 f) 10x – 2(15 – 7x) = 5(5x – 7)

30. a) 15 – 3(2x – 1) = 16(x + 1) – 2(x – 1) b) 23(x – 11) – 5(x – 40) = 106 – (x + 53) 31. a)

b) c) d) e) f)

6(7 – x) + 9 = 2(x + 19) – 7(x – 2) – (2x – 1) 8(x – 3) – (6 – 2x) = 2(x + 2) – 5(5 – x) – (2x – 11) 18(2x – 3) – 11(4 + 3x) = 2(x – 50) 5x + 3(x – 7) = 7(x – 4) + 6 x – 4(12 – x) – 3(20 – 3x) – 18 = 0 40 – 21(3x + 5) – 12(3 – 5x) + 8 = 0

32. a) c) e) g) i)

(–x) + 5 = 20 – 3(x + 3) (–1) – 2(x + 5) = 17 – 6(x + 6) (–2x) + 4(3 – 4x) = (–12x) – 5(2 – x) (–5x) – (4 – 30x) = 8 – 4(3 –2x) 19 – 5(6 – x) = (–6) + 5(3 – x)

b) d) f) h) k)

4x – 7(1 – 2x) = 8(x + 3) – 1 (–16) – 3(3x + 7) = (–10) + 9(x – 3) 15 + 3(4 – x) = 50 – 7(x – 3) (–25) – 7(x – 2) = (–5) – 2(x + 8) (–16) – (57 + 4x) = (–5) – 4(x + 17)

33. a) c) e) g) i) l) n)

3x – 4 = 7 – 12x – 2 3(x + 1) = 4 – 3x + 6(x – 6) 2(4x – 3) = –2(6x – 1) + 2x – 4 x – 2(x – 6) = 2x – 6(x + 3) 10(x – 3) – 5(1 – 6x) = 5(x – 7) a(x + b) + c(x + d) = ax + bx 3(3x – 2) – 7(x – 1) = 2(x – 5)

b) d) f) h) k) m)

3(x – 2) + 2(3x – 4) = 5x – 2(3x + 1) ax + b = cx + f – dx 2(3x + 4) – 5(6x – 7) = –8(9 – 10x) 4(3x – 5) + 2(8 – 5x) = 2x – 4 2(9x – 3) + 6(4 – 3x) = 0

�

12(x - 2) - 1

3(5x - 6) = 2(x

6 - 1

4)

34. a) c) e)

10(2 – x) – 4(x + 3) + 15(1 + x) = 12 4(3x – 1) – 11(x – 7) + x + 15 = 2 5(x + 7) + 2(x + 7) – 4(x + 7) = 3

b) d)

15(x – 3) + 12(x + 1) – 25(x – 3) = –92 6(2x – 9) – 15(3x + 1) – x – 14 = 19

ALGEBRA 10

35. a) c)

(x + l)(x + 7) = (x + 2)(x + 3) (x – 5)(x – 2) = (x – 4)(x – 3) – 2

b) (x – 5)(x – 2) = (x + 3)(x – 4)

36. a) (x + 4)2 + (x – 6)2 = 2x2 b) (x – 3)(x + 3) = (x + 4)2 – 5(x – 7) c)

d) (x + 2)(2x – 9) + (x + 3)2 = (2x – 1)2 – (x + 5)(x – 5) (7x – 2)2 – (x – 4)(x + 4) = (8x + 1)(8x – 1) – (4x + 3)2 + 30

37. a) c) e)

(x – 6)(x – 7) = (x – 8)(x – 4) (x – 4)(x – 5) = (x + 1)(x – 7) (2x – 5)(x + 1) = (2x – 4)(x – 1) + 21

b) d)

(x – 3)(x – 4) = (x – 6)(x + 2) (x – 5)(x + 8) = (x – 6)(x + 7) + 26

38. a) c)

(x – 4)(x – 8) = (x – 2)(x – 6) (8 + x)(x – 3) = (6 + x)(x – 4)

b) d)

(x – 1)(x – 3) = (x + 3)(x – 5) (8 – x)(2 + x) = (7 – x)(x + 1)

39. a) (3x + 4)(x – 8) = (7 – 3x)(4 – x) b) (x – 3)(x – 5) = (x – 2)(x – 6) c)

d) (x – 2)(2x – 3) + (3x – 1)(4x – 6) – (2x – 5)(7x + 9) – 39 = 0 (x – 2)(x – 3) – (4x – 5)(6x – 7) = 10x2 – 11x(3x – 4) + 7

40. a) (x – 1)(2x + 1) = (x + 3)(2x + 3) – 14 b) 2(x + 1)(x + 3) + 8 = (2x + 1)(x + 5) c)

d) 3(x – 2)(2x – 3) – (3x – 4)(2x – 1) – 4(5 – 3x) = 0 (2x – 1)(x – 3) – (x + 1)(2x + 5) + 10x – 2 = 0

41. a) (x + 3)(x – 2) – (x – 3)2 = 4x b) (x – 2)2 + (x – 1)2 = x2 + (x – 5)2 c)

d) (x – 5)2 + (x + 2)2 = (x + 3)2 + (x – 10)2 (4x + 1)2 – (4x)2 – (x – 1)2 + (x – 10)2 = 0

42. a) 2(x + 2)(x + 5) = (2x + 7)(x + 3) b) 3(x + 1)(x + 4) = (3x + 5)(x + 3) 43. a)

c) 2x2 – (x + 3)(x – 3) = (x + 1) – 2x + 8 (x + 2)(x – 3) – 3(2x – 3)=(x – 6)2 +2

b) d)

2x(x – 5) – (x – 5) = (x – 10) + 20x – 125 (x – 3)(2x – 5) + 4(2 – x) + 12 = 2(1 – x)2

44. a) b)

(2x – 3)2 – (x – 5)2 – 3x(x – 7) + 17 = 0 5x(x – 1) – (2x + 3)2 – (x – 5)(x + 3) – 6 = 0

45. a) b) c) d)

(x + 1)(2x + 3) = 2(x + 1)2 + 8 (x + 1)2 – (x2 – 1) = x(2x + 1) – 2(x + 2)(x + 1) + 20 (x – 11)2 + (2x)2 = (2x + 1)2 + (x – 20)2 (2x – 1)2 – (x + 3)2 = (2x – 9)(2x + 2) + (5 – x)(x + 5) + 1

46. a) c) e)

(x – 2)2 – x2 + 2 = 3 (x – 2)(x + 3) – x2 = 6 21(x + 1)2 – (3x + 1)7x = 0

b) d) f)

(x + 4)2 – (x – 3)2 = 0 (x – 5)(x + 5) – x2 – 5 = 0 x(2x + 4) – 2(x – 8)2 = –4

g) (7 – x)2 – (x – 7)2 = 1 h)

�

12

x + 13( )2

- 14

x x - 1( ) = 0

i)

�

x - 7( ) x + 7( ) - 12

2x + 3( )x = 0 k) (x + 13)2 – (x – 13)2 = 0 l) x2 – (x + 5)2 = 5 m) (2x + 6)(2x – 6) – 4x2 = 2

47. a) c)

4x – [3x – (2x + 1) – 9] = 1 20 + 4(x – 1) – [5x – 2(x + 1)] = 0

b) d)

6x – 3 – [5 – (2x – 1)] = 1 17 – (3x – 1) – [4x – 3(2x – 1)]= 0

48. a) b) c) d)

– 3[x – (3x – 1) – 4(x + 1) – 7]= 16 – 2(x + 15) – 17 53 – 2[2x – 4(x + 1) – 9(x – 1)] = 12(2x – 5) – 19 x – 3{x – 3[x – 3(x – 3)]} = 0 x – 5{x + 5 [x – 5 (x + 5)]} – 7 · 7 = 0

49. a) b) c) d) e) f)

13 –[(7x – 9) + (23x – 11) – (18x + 19)]= 3x – (2x + 13) (12x – 7) – [37 – (9x + 105) + (39 – 28x)] – 14 – (17x – 26) + 6 = 0 100(3x – 2) – [5(4x – 1) + 2] = 6(8x – 11) + 333 5[16 – 3(2x – 3) + 3x] = 7(3x – 21) + 4[2(3x –1) – 4(x + 5) + 13] 2,4x – 7 [3(4x – 5) – 6(7x – 8)] – 6[5(4x – 3) + 2(x + 5)]= 0 2[5(9x – 4) + 3(1 – 5x)]+ 12x – 6[(x – 4) – 2(5 – 6x)] = 46

ALGEBRA 11

50. a) d) g)

x + a = 1 0,75a – 0,5x = 1 0,4x + 0,5t = 0,4 t

b) e)

x + 1 = a 2c + x = c + 2

c) f)

2x + 3a = 0 x – 0,5b = 0,25b

51. a) d) g)

ax = 1 3ax = a 4k = kx

b) e) h)

ax = 0 bx = b + 1 4d = dx + 1

c) f)

ax = a cx + 2 = 2c

52. a) d)

x + a = x + a 0,6x + 0,5a = x – 0,7a

b)

4x – b = 2x + b

c)

7x + n = 3x + m

53. a) ax + c = 5c b) cx – d = 7d c) px + r = r 54. a)

d) g)

(b + 1)x = 2 4 = (3 – 2r)x 3b = (4 – b)x

b) e) h)

(2 – a)x = 1 (3d – 1)x = d 2(a – 1)x = 6

c) f)

(2n + 1)x = 3 2a = x(a + 1)

55. a) ax + bx = c b) mx – nx = p + q c) ay – y = 1 56. a) cx + c = dx b) rx – f = 2f + x c) qx = 1 – px 57. a) rx = px – 1 b) my – ny – 1 = 0 c) ax + 1 = bx + 1 58. a)

d) g)

tx + x = 0 2kx – x = 3 2kx – 3 = 4x + 1

b) e) h)

2x – tx = 0 4x = 1 + ax 3tx – 5 = 3 – x

c) f)

x – ax = 1 0,5bx – 3 = 4x

59. a) fx = f2 + f b) dz = d3 – d2 + d c) (a + b)x = (a + b)2 60. a)

d) ax + bx = a + b cy + 2y = c2 + 4c + 4

b) mx – nx = 2m – 2n

c) c) qx – x = q2 – 1

61. a) d)

2(t – x) = 5(2x – t) 3kx – (5 – kx) = k

b) 2(0,5 – bx) – 2b(x + 1)= 0

c) 1 – (x – a) = 2(a – 3x)

62. a) d) g)

ax + b = 0 t = 2tx – 1 ax – c = x

b) e) h)

ax + b = 1 (k + 1 )x = n bx = n – 2x

c) f)

ax + b = a (r – 1 )x = c

63. a) c)

8a – 4x + 3b = 9a – 6x + 4b 4t + 3(x – s) + tx = 0

b) d)

3(2a – x) – 5(3a – 2x) = 3(2b – 3x) ux + v = v(x + 1 ) + u – v

64. a) c) e) g)

2a(x – a) = 0 4k(2n – x) = 0 8cx + 4bx = 0 px + 4pq = 0

b) d) f) h)

(b – 2x)3b = 0 5x – 3ux = 0 6a – 3abx = 0 px + 4pq = 1

65. a) c)

a + x + 8 – b = 12 + 5a – 5b 6a – b – 3x = 2x + 5a – 2b – 4x

b) d)

3b – 4x = 3a – 5x x + 4a – 3b + 2x = 7x + 3a – 4b – 3x

66. a) 10(2b + x) = 4a + 2b b) 7(a + x) + 11(b + x) = 43a + 83b c)

d) 5(5x – 2p) – 5(x + 3q) = 11(2p – 3q) – 2(21q – 4p) (x – a)(x – b) = x(x – a) + 2x

67. a) c)

ay + by = a – cy 4(ax – b) = 2(ax + x – cx)

b) d)

qx = rx + x + 1 2(bx – cx) = x + bx – c

68. a) 4x – 2(ax + b) = b(x – 1) b) 5ax – c = a(x + 1) – 2(c + x) 69. Wählen Sie nacheinander a, b, c oder d als Lösungsvariable. Formen Sie die gegebe-

nen Gleichungen so um, dass die Lösungsvariable allein auf einer Seite steht: a)

c) e) g)

a + b = c + d ab = c + d ab + cd = 1 a(b – c) = d

b) d) f) h)

a – b = c – d ab = cd ac + d = b a(b + cd) = 1

70. Formen Sie die Ihnen sicher bekannten Formeln ebenfalls wie in der Aufg. 69 um. a)

c) e) g)

A = a · b V = G · h A = 2(ab + bc + ac) y = mx + c

b) d) f)

U = 2(a + b) s = v t gb = bf + fg

ALGEBRA 12

G. ZAHLENRÄTSEL

1. a) Addiert man 8 zum Doppelten der gesuchten Zahl, so erhält man 26. b) Subtrahiert man das Dreifache der gesuchten Zahl von 34, so gibt es 13. c) Das Sechsfache der gesuchten Zahl ist gleich der Summe aus dem Vierfachen

dieser Zahl und 16. d) Der 4.Teil der gesuchten Zahl ist um 21 kleiner als das Doppelte dieser Zahl e) Multipliziert man die gesuchte Zahl mit 4, so erhält man 26 weniger als das

Sechsfache der gesuchten Zahl. f) Addiert man 35 zum Siebenfachen der gesuchten Zahl, so ergibt sich gleichviel,

wie wenn man 69 vom 20fachen der gesuchten Zahl subtrahiert. g) Multipliziert man die Summe von 28 und der gesuchten Zahl mit 6, so ist das

Ergebnis das 30fache der gesuchten Zahl. h) Zählt man die gesuchte Zahl von 160 ab und dividiert das Ergebnis durch 8, so

ergibt sich eine Zahl, die um 2 grösser ist als die gesuchte Zahl.

2. a) Wenn man zum Siebenfachen einer Zahl ihr Vierfaches addiert, so ergibt sich 121.

b) Vermindert man das Neunfache einer Zahl um ihr Sechsfaches, so erhält man 1 mehr als das Doppelte dieser Zahl.

c) Vermehrt man den dritten Teil einer Zahl um 10, so ergibt sich gleichviel, wie wenn man das Achtfache dieser Zahl um 105 vermindert.

d) Addiert man die Summe von 30 und dem Doppelten einer Zahl zu 100, so er-hält man zweimal soviel, wie wenn man zum 10fachen der Zahl 2 addiert.

e) Die Summe des Vierfachen, Dreifachen und Doppelten einer Zahl ist der neunte Teil von 324.

f) Vermindert man das 38fache einer Zahl um die Summe von 14 und 24, so er-gibt sich das um 4 vermehrte 12fache der doppelten Zahl.

g) Die Summe aus dem dritten, vierten und fünften Teil einer Zahl ist um 13 kleiner als diese Zahl.

h) Der 8. Teil des um 90 vermehrten 3fachen einer Zahl ist gleich dem 5. Teil der Differenz, um welche 95 grösser ist als das Doppelte der Zahl.

3. a) Multipliziert man (–7) mit einer Zahl, so erhält man gleichviel wie wenn man 64 zu dieser Zahl addiert.

b) Welche Zahl muss man von (–100) subtrahieren, um ihr Vierfaches zu erhal-ten?

c) Multipliziert man eine Zahl mit (–3), so entsteht eine um 52 grössere Zahl. d) Wenn Sie eine Zahl von (–50) subtrahieren, erhalten Sie gleichviel wie wenn

Sie 50 zur gleichen Zahl addieren. e) Welche Zahl müssen Sie mit (–15) multiplizieren, um 165 zu erhalten?

ALGEBRA 13

H. VERMISCHTE TEXTAUFGABEN

1. Denken Sie sich eine Zahl, multiplizieren Sie diese mit 3, addieren Sie 20 dazu, halbieren Sie das Ergebnis, subtrahieren Sie davon die gedachte Zahl und subtra-hieren Sie vom Ergebnis 10. Wie kann man sofort die gedachte Zahl finden?

2. a) Vier auf einander folgende Zahlen haben die Summe 2. Wie heissen die Zah-len?

b) Eine Folge von 5 Zahlen, von denen jede um 3 grösser ist als die vorherge-hende Zahl, hat die Summe 5. Wie heissen die Zahlen?

3. Addiert man zum Quadrat einer Zahl 25, so erhält man das Quadrat der um 1 grö-sseren Zahl.

4. Subtrahiert man von einer Zahl ihren fünften Teil und dividiert das Ergebnis durch 2, so erhält man 30.

5. Vertauscht man bei einer zweistelligen Zahl mit der Quersumme 11 die Ziffern, so erhält man eine Zahl, die um 27 grösser ist.

6. Die Mutter ist 8mal so alt wie die Tochter. In vier Jahren wird sie nur noch 4mal so alt sein. Wie alt sind beide im Moment?

7. Vater und Sohn sind zusammen 44 Jahre alt. in 13 Jahren wird das Alter des Soh-nes 3/7 vom Alter des Vaters betragen. Wie alt werden sie in jenem Zeitpunkt sein?

8. Tante Erna ist 4mal so alt wie Anna. In 7 Jahren wird sie nur noch 3mal so alt sein. Wie alt sind beide heute?

9. „Papa, wenn ich dein Alter mit 3 multipliziere, bekomme ich dasselbe heraus, wie das 7fache deines Alters vor 20 Jahren.“ Wie alt war der Vater damals?

10. Benjamin ist 2 Jahre älter als Daniel. In 15 Jahren sind sie zusammen 40 Jahre alt. Wie alt werden sie dann sein?

11. Martin ist halb so alt wie Florian. Christina ist drei Jahre jünger als Florian. In 10 Jahren werden sie zusammen 52 Jahre alt sein. Wie alt sind sie im Moment?

12. Onkel Fritz ist 52 Jahre alt und sein Neffe Gustav 27. In wie vielen Jahren wird der Onkel doppelt so alt sein wie sein Neffe?

13. Ich denke mir eine Zahl und zähle 4 dazu. Das Ergebnis multipliziere ich mit 7. Jetzt vergrössere ich das Ergebnis um 37 und erhalte somit die Zahl 100. Welche Zahl habe ich mir anfangs gedacht?

14. In einer Klasse sitzen 35 Schülerinnen und Schüler. Es sind 7 Schülerinnen mehr als Schüler. Wie viele Schülerinnen hat die Klasse?

15. Von allen Schülerinnen und Schülern einer Klasse kommt die Hälfte zu Fuss zur Schule, ein Drittel benutzt das Fahrrad, ein Neuntel fährt mit dem Bus und zwei Schüler werden von den Eltern mit dem Auto zur Schule gebracht. Wie viele kom-men zu Fuss zur Schule?

16. Der fünfte Teil eines Brückenpfeilers ist im Erdboden versenkt. Zwei Drittel des Pfei-lers ragen aus dem Wasser heraus. Die restlichen 2 Meter des Pfeilers sind im Wasser. Wie lang ist der ganze Brückenpfeiler?

17. In einem Käfig sind Kaninchen und Hühner eingesperrt. Die Tiere haben zusammen 35 Köpfe und 94 Beine. Berechnen Sie die Anzahl Kaninchen und Hühner.

18. Auf einem Bauernhof gibt es Schweine und Hühner. Sie haben zusammen 33 Köp-fe und 82 Füsse. Wieviele Schweine hat es?

ALGEBRA 14

19. Arno und Bert wollen 945 Fr. so unter sich aufteilen, dass a) Bert dreimal soviel erhält wie Arno b) Bert 35% des Anteils von Arno erhält c) Bert 10% mehr erhält als Arno. Wie viele Franken erhält jeder der beiden?

20. Fr. 2500.– sollen so unter vier Geschwister verteilt werden, dass jedes folgende Kind Fr. 50.– mehr erhält als das vorhergehende. Wie wird das Geld verteilt?

21. Ein Kaufmann schenkt die Hälfte seines Vermögens seiner Ehefrau, einen Drittel seiner Tochter und die restlichen 24 000 Fr. einer wohltätigen Organisation. Wie gross war sein Vermögen?

22. Frank soll einen 2,8 m langen Stab so teilen, dass der zweite Teil a) doppelt so lang ist wie der erste, und der dritte Teil doppelt so lang ist wie der

zweite. b) um 8 cm kürzer ist als der erste und der dritte 4mal so lang ist wie der zweite. Wie lang sind jeweils die drei Teile?

23. Das Verhältnis der Seitenzahlen zweier Bücher ist 8 : 21, wobei das dickere Buch 143 Seiten mehr hat als das dünnere. Wie viele Seiten hat das dünnere Buch?

24. Zwei Zahlen verhalten sich wie 13:29, wobei die grössere Zahl um 21 grösser ist als das Doppelte der kleineren Zahl. Wie heissen die beiden Zahlen?

ALGEBRA 15

I. KÜRZEN VON BRÜCHEN

1. a)

�

1734

b)

�

1618

c)

�

5b15

d)

�

−1216

e)

�

75125

f)

�

912c

g)

�

60a75c

h)

�

7c8c

i)

�

−12c−15b

k)

�

16x2

4x2

2. a)

�

6a9

b)

�

12x8

c)

�

15x10x

d)

�

1421a

3. a)

�

14ab21a2

b)

�

12r2

20rs c)

�

4abc6bcd

d)

�

5mn25m2n2

e)

�

16u2

24u2v f)

�

20x2y2

30x3y3 g)

�

13rst2

13rs h)

�

40xy2

10xy

i)

�

abc−a2bc2

k)

�

60uv2w72u2vw

4. a)

�

0.01ab0.1a

b)

�

16m2

20mn c)

�

−9z2

−12yz d)

�

24a2

24ab

e)

�

12xyz15xz

f)

�

32a2bc2

48abc g)

�

x4y3z5

2x3yz2 h)

�

−72ax3y6

−60ax3y5

i)

�

4az2

8az3 k)

�

60uv2w72u2vw

5. a)

�

b5

b3 b)

�

x8

x3 c)

�

2a3

2a5 d)

�

4n7x4

8n3x4

e)

�

15x3n2b5x4n3b2

f)

�

a−b⎛ ⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟ 5

a−b⎛ ⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟ 3

g)

�

n+ x⎛ ⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟ 5

n+ x⎛ ⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟ 8

h)

�

n+ a⎛ ⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟

n+ a⎛ ⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟ 3

6. a)

�

anx⎛ ⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟ x

nx b)

�

2b2 ⋅15a3a2 ⋅12b2

c)

�

6x3 ⋅8y2

y6 ⋅9x6 d)

�

4a2y6 ⋅15n3x3

5n3x2 ⋅20ay5

e)

�

3ab ⋅28xy6

14xy5 ⋅12ab f)

�

4x2 ⋅aby4

3y ⋅16nx3

7. a)

�

2x3

⋅ 6x

b)

�

−25x

⋅ 15x2

4 c)

�

−4a3

⋅ −1a3

d)

�

6x⋅ −1

3⋅ x2

2

e)

�

2x⎛ ⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟ 2

5⋅ 258x

8. a)

�

5 x + y⎛ ⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟

7 x + y⎛ ⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟ b)

�

15 y + z⎛ ⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟

5 y + z⎛ ⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟

c)

�

6 a + b⎛ ⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟

3 a + b⎛ ⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟ 2

d)

�

4 2u+ 3v⎛ ⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟ 2

8 2u+ 3v⎛ ⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟

e)

�

18 a−3b⎛ ⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟ 2

24 a−3b⎛ ⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟ 3

f)

�

5 3 + a⎛ ⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟

5 a + 3⎛ ⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟ g)

�

42x y + 1⎛ ⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟ 2

56x3 y + 1⎛ ⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟

9. a)

�

5a + 205

b)

�

14a−107

c)

�

28x−35y21

d)

�

60c− 40d20c

e)

�

ab−acab

f)

�

x2 + xyxy

g)

�

360c2 −90c45c

h)

�

225z−1515

ALGEBRA 16

10. a)

�

255x + 10

b)

�

369a−18b

c)

�

acab + ac

d)

�

44a + 4

e)

�

2a4ac−2a

f)

�

−bb2 + b

11. a)

�

1214c−16

b)

�

18ab−12a2 −30a

c)

�

yzy2 − 4y

d)

�

42a2b14ab−28ab2

12. a)

�

7a + 147a−21

b)

�

3x−3y6x + 6y

c)

�

ab−acad + ac

d)

�

a2 −aab + a

e)

�

a3 −a2

a3 + a2 f)

�

4xy + 4x4xy − 4x

g)

�

3a + 3b4a + 4b

h)

�

4c− 4d6c−6d

13. a)

�

1+ xx + 1

b)

�

2 + 2aa + 1

c)

�

3−6x4−8x

d)

�

6x + x2

x + 6

e)

�

7−21x15x−5

f)

�

84a−8414a + 14

14. a)

�

6p−2412p + 60

b)

�

3ab + 6ac3ab−12ac

c)

�

4m2 − 4mn8m2 + 8mn

In den folgenden Aufgaben hilft eine Operation mit –1:

15. a)

�

a−33−a

b)

�

5− zz−5

c)

�

7 3− x⎛ ⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟

x−3 d)

�

4 d− c⎛ ⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟

8 c−d⎛ ⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟

e)

�

a− 4at4tx− x

f)

�

3u2 −u1−3u

ALGEBRA 17

K. MULTIPLIKATION MIT BRÜCHEN

1. a)

�

910

⋅ 712

b)

�

1225

⋅ −1516

⎛

⎝

⎜ ⎜

⎞

⎠

⎟ ⎟ c)

�

−6 34

⎛

⎝

⎜ ⎜

⎞

⎠

⎟ ⎟ ⋅ −

1112

⎛

⎝

⎜ ⎜

⎞

⎠

⎟ ⎟ d)

�

2 29⋅3 3

4⋅6 3

10

2. a)

�

−1112

⋅30 b)

�

44 ⋅ 1116

c)

�

3 516

⋅ −18⎛ ⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟ d)

�

8 ⋅ 4 512

3. a)

�

3 ⋅ ab

b)

�

m ⋅ 5q

c)

�

x ⋅ abx

d)

�

c ⋅ bdc

4. a)

�

34⋅ 5x2y

b)

�

3y10x

⋅ 56

c)

�

8xy5z

⋅ 10xy3y

d)

�

4a5b

⋅ 25b2

12a2

5. a)

�

3a4b

⋅b b)

�

x4y

⋅8y c)

�

5x6y

⋅ 3y2 d)

�

3a2

8b⋅ 4b2

6. a)

�

−3⎛ ⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟ ⋅ y

z b)

�

−8⎛ ⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟ ⋅ 2b

3c

⎛

⎝

⎜ ⎜

⎞

⎠

⎟ ⎟ c)

�

4c2

13b⋅ −9c⎛ ⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟ d)

�

−7x2⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟ − 3x

4y

⎛

⎝

⎜ ⎜

⎞

⎠

⎟ ⎟

7. a)

�

−4⎛ ⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟ ⋅ xy

12 b)

�

−12a⎛ ⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟ ⋅ 1

8a2 c)

�

− 5a

18b3

⎛

⎝

⎜ ⎜ ⎜

⎞

⎠

⎟ ⎟ ⎟ ⋅ 24b2 d)

�

−8mn⎛ ⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟ − 7n

20m2

⎛

⎝

⎜ ⎜

⎞

⎠

⎟ ⎟

8. a)

�

−15m3n ⋅ 3ab10mn2

b)

�

15a2bc3 ⋅ 5mp2

18ab3c2 c)

�

−4ax⎛ ⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟ − 3a2y

10x2

⎛

⎝

⎜ ⎜ ⎜

⎞

⎠

⎟ ⎟ ⎟

9. a)

�

1x

⎛

⎝

⎜ ⎜

⎞

⎠

⎟ ⎟

2

b)

�

−2y3

⎛

⎝

⎜ ⎜

⎞

⎠

⎟ ⎟

2

c)

�

−5z2

⎛

⎝

⎜ ⎜

⎞

⎠

⎟ ⎟

2

d)

�

− 2y2

⎛

⎝

⎜ ⎜ ⎜

⎞

⎠

⎟ ⎟ ⎟

3

e)

�

−4z5

⎛

⎝

⎜ ⎜

⎞

⎠

⎟ ⎟

3

10. a)

�

16 ⋅ a + 3b32

b)

�

18x ⋅ 2y −124x2

c)

�

p2q ⋅ 2r − 3s3pq2

d)

�

14c −116c3

⋅12c2d

11. a)

�

a + 1⎛ ⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟ ⋅ b

4 a + 1⎛ ⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟ b)

�

4z5 x − y⎛ ⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟ ⋅ x − y⎛ ⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟ c)

�

11c a − 3b⎛ ⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟ ⋅ a − 3b⎛ ⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟

12. a)

�

a + b( ) ⋅ 4b9a + 9b

b)

�

2s22r −11s

⋅ 2r − s( ) c)

�

p − 2q( ) ⋅ −137pt −14qt

13. a)

�

a + bc

⋅ a − bc

b)

�

5a14 a + b( ) ⋅

7 a + b( )10b

c)

�

m − n3m

⋅ 5m2m − 2n

d)

�

15ab + c

⋅4 b + c( )45a2

e)

�

a + b4x + 4y

⋅ 5x + 5ya − b

14. a)

�

2cx

⋅ 5axc

+ 34

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟ b)

�

20a3b

⋅ 9b8a

− 6b25a

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟ c)

�

3ax

+ 2a − 4a6x

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟ ⋅ − 2x

3a⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

15. a)

�

1x− 1

y⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟ 2

b)

�

x − 56b

⋅ 4xx − 5

⋅ −4 18

b⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟ c)

�

3a + 3b5x − 5y

⋅ 10x −10y9a + 9b

ALGEBRA 18

L. DIVISION MIT BRÜCHEN

1. a)

�

45

: 2 b)

�

ac

: a c)

�

− 2a3

c: a2 d)

�

15m4

n: −5m2( )

2. a)

�

2a + 2ba

: 2 b)

�

333x−374

: 37 c)

�

a2 + abc

: a d)

�

xy − x2

y: x

3. a)

�

a + bc

: (a + b) b)

�

4a(c−d)b

: (c−d) c)

�

1n

: n d)

�

12

: (−2)

4. a)

�

a + bc

: (2a + 2b) b)

�

m2 −mn5

: (3m−3n) c)

�

12x−12ya + b

:12a d)

�

−a6q⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟ : (−1)

e)

�

−uv3

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟ : (−w)

5. a)

�

12a13b

: 8a2 b)

�

x4y

: 4x c)

�

−35x2

36y2

⎛

⎝ ⎜ ⎜

⎞

⎠ ⎟ ⎟ : 5x d)

�

z−13

: (1− z)

e)

�

4(p−1)3

: (1−p) f)

�

a−bc

: 2(b−a)

6. a)

�

a4

: 23

b)

�

74x

: 2z9

c)

�

ax

: bx

d)

�

1x2

: 1x3

e)

�

x3

z: − x2

z

⎛

⎝ ⎜ ⎜

⎞

⎠ ⎟ ⎟ f)

�

4fgh

: 2fgh

g)

�

3a2b2c2

: 6ab2c2

h)

�

−14xy9z2

: 21x2

9z2

7. a)

�

27

: 421

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟ 10 b)

�

27

: 421

⋅10⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟ c)

�

1011

⋅ 665

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟ :

13

8. a)

�

2mn15p

: 4m5p2

b)

�

−3xy( ) : 9x7y

c)

�

− 2z3

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟ : − 2

z3

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟ d)

�

8y2

3z: − 9x

6z⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

e)

�

− 13c15d2

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟ :

13c5d

f)

�

− x3y

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟ :

x3y

9. a)

�

6x− 4x2

3: 2x

5 b)

�

32p

: 3 + p7p−8pq

c)

�

135a4b3

c4: 105a3b3

c3 d)

�

−58a2bc3v2

: 6a4bc15v2

e)

�

910

⋅ 712

f)

�

a2 + aa−1

: a + 12a−2

g)

�

xy − y2

x + y: 3x + 3y

x− y

10. a)

�

6x + 3y4a− 4b

: 12ax + 6ay7ax−7bx

b)

�

8m + 8n3a−3b

: 4m + 4n9a−9b

11. a)

�

9a2bc2 : 6a3b2cxyz

b)

�

2p + 2q( ) : p + qc

c)

�

3 57

a : 39a14b

d)

�

−6 35

x⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟ :

55x10a

12. a)

�

18bc5x

+ 21abc2y

− 12ab5c

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟ : 3ab b)

�

15x28ab

− 20x21b

− 10x7a

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟ :

5x7a

c)

�

22pq39n

− 99ps25v

+ 55ps17w

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟ :11pq c)

�

−15ab8xy

− 25ac12x

+ 5a16y

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟ : −15ab

6xy⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

13. a)

�

12bx−12by5bx

: 27b−27c4cn

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟ :

16bx−16by5bx−5cx

b)

�

8ax ⋅ a + b( )5n

:2ax ⋅ a + b( )25n ⋅ c−n( )

⎛

⎝ ⎜ ⎜

⎞

⎠ ⎟ ⎟ :

c−n2b

c)

�

3 a−1( )a x−1( ) :

5 1−a( )a x + 1( )

⎛

⎝ ⎜ ⎜

⎞

⎠ ⎟ ⎟ :

115 1− x( ) c)

�

3cnx−3bcx5ab

: 9nx−9bx20bx + 20by

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟ :

4cx + 4cy3ad

ALGEBRA 19

14. a)

�

3445

b)

�

2325

c)

�

abcd

d)

�

anbn

e)

�

14ab19mn70a2b38m2n

M. ERWEITERN, GLEICHNAMIG MACHEN Erweitern Sie:

1. a)

�

49

mit 5 b)

�

ab

mit 3 c)

�

29

mit a d)

�

78

mit cd

2. a)

�

4a5b

mit c b)

�

7xy9z

mit 2x c)

�

6a7cd

mit 2ac d)

�

x + y2y

mit x− z

Erweitern Sie mit –1:

3. a)

�

xy

mit −1 b)

�

v−w

mit −1 c)

�

b− c3

mit −1 d)

�

a−bb−a

mit −1

4. a)

�

8c + 4bx

mit 3a b)

�

2a + 3ad−7ac5ab + 7ac

mit −2x

Bringen Sie die Brüche auf die angegebenen Nenner:

5. a)

�

34

auf Nenner 84 b)

�

xy

auf Nenner y3 c)

�

aa + 2

auf Nenner 3a + 6

6. a)

�

u+ vu

auf Nenner u(u+ v) b)

�

5(x−1)3(x + 1)

auf Nenner 9(x + 1)

Schreiben Sie 1 als Bruch mit folgendem Nenner: 7. a) 5 b) -3 c) -2b d) (a + b)2

Schreiben Sie 2 als Bruch mit folgendem Nenner: 8. a) 8 b) -2v

Schreiben Sie –3c als Bruch mit folgendem Nenner: 9. a) 9 b) Ab c) -d3

Schreiben Sie –2s als Bruch mit folgendem Zähler: 10. a) 8rst b) -4r2s

Bringen Sie folgende Brüche auf den Nenner 48x2y2

11. a)

�

712x

b)

�

3a8xy

c)

�

x24y2

Bestimmen Sie die fehlenden Zähler

12. a)

�

7b15a

=60a2b2

b)

�

− 3s4r

= −24r3

c)

�

3xx− y

=5x−5y

13. a)

�

ab + c

=2b + 2c

b)

�

19x2

=9x2y2

Bringen Sie die folgenden Bruchterme auf den neben dem Bruchterm stehenden Nen-ner:

14. a)

�

4x3a

, 21ab b)

�

3a−2b4x + 2y

, 8cx+4cy c)

�

a + 3b3x−1

, 6x – 2

Bestimmen Sie die fehlenden Zähler und geben Sie den Erweiterungsfaktor an:

15. a)

�

−3x5y

=−25y

b)

�

−9a−7b

=28bc

ALGEBRA 20

16.

�

3c + 2d5a−3b

=35axy −21bxy

Machen Sie die Bruchterme gleichnamig:

17. a)

�

a2b

, c4b2

b)

�

3a4b2c3

, 5b6ac4

c)

�

5abc

, 9abd

, a3cd

N. ADDITION UND SUBTRAKTION GLEICHNAMIGER BRÜCHE

1. a)

�

47

+ 37

b)

�

13t

− 23t

c)

�

4s9r

+ 2s9r

− s9r

d)

�

x3

+ y3

2. a)

�

5abc

− 4dbc

− 3abc

− 2dbc

b)

�

53n

+ 23n

+ 53n

c)

�

5n6

− n6

d)

�

−29

− 19

3. a)

�

−ab

− 2ab

b)

�

5a11b

+ 2a11b

− 4a11b

+ 8a11b

c)

�

23

+ x−23

d)

�

92a35b

− 8a35b

4. a)

�

2a + 3a

− a + 3a

b)

�

3x2

+ 1x2

− 5x2

c)

�

v(v−1)v

+ 2vv

d)

�

3a + 74

+ 2a−94

5. a)

�

8a−3by

+ 5b−9ay

b)

�

8z + 7a

− 2z + 1a

c)

�

2x−74w

− 3x−114w

d)

�

16−17z20y

− 13z−1620y

6. a)

�

u+ 2v13t

− u−2v13t

− 3v13t

b)

�

a− xab

− x−aab

+ 2a−3xab

c)

�

9−2vu2

− 3v + 4u2

− 2− vu2

d)

�

6x−3z2a

− 4x−3z2a

7. a)

�

58a2

27− 58a2 −81

27 b)

�

a + b−2c3a

− 5a + 2b− c3a

+ a + b + c3a

c)

�

a + x4a

− 3x−2a4a

+ 5a + 6x4a

8. a)

�

x + 116x

+ 5x−1116x

b)

�

2x−1x2

− 3x−1x2

c)

�

1−3x2

2x− 2− x

2x d)

�

3a + b2

+ a + b2

9. a)

�

x + y3

+ 2x− y3

b)

�

26m−5n13

+ 13m−8n13

c)

�

5x−3z6

+ 7x + 12z6

10. a)

�

a + b2

+ a−b2

b)

�

a + b2

− a−b2

c)

�

a + nb2

− a−nb2

d)

�

a−5c18

− a + 5c18

11. a)

�

n+ x4n

− n− x4n

b)

�

6ab + x5c

− ab− x5c

c)

�

2 + ax

− 2−2a + 5bx

d)

�

xy + y5m

− xy − y5m

12. a)

�

x + 7−2b

+ 3−2b

− x−6−2b

b)

�

5a + b−5x

− a + b−5x

− a + 7b−5x

ALGEBRA 21

c)

�

11b + ab5b

− 2b− 4ab5b

− 4b−5ab5b

ALGEBRA 22

13. a)

�

3 + a−7a

− 6−a−7a

+ 7a−5−7a

b)

�

4x + 5y + 6z3a

− 3x−6y −6z3a

14. a)

�

x + y −72c2

− 3x−5y −92c2

b)

�

a−7b + 3mnp

− 8b−9a + 10mnp

O. ADDITION UND SUBTRAKTION UNGLEICHNAMIGER BRÜCHE

1. a)

�

718

− 521

+ 863

+ 16

b)

�

1928

+ 14

+ 114

+ 1 c)

�

112

+ 514

+ 1128

+ 1

2. a)

�

3x6

+ 5x9

b)

�

4a9

+ 8b27

c)

�

7b10

− 9a20

+ 12c30

3. a)

�

34x

− 2x

b)

�

92z

− 74z

c)

�

a2− b

m

d)

�

p2m

− q4m

+ 34m2

e)

�

173x

− 76x

+ 3x

4. a)

�

34x

− 45x

b)

�

94a

+ 310a

c)

�

512pq

− 38q

d)

�

d20bc

+ b25cd

e)

�

118r

+ 16r2

5. a)

�

512m

+ 718m

− 49m

b)

�

34xy

− 117xy

− 514xy

c)

�

3c10ab

+ b6ac

− 15a

d)

�

zmx

+ xmz

+ mxz

e)

�

724m2

− 536mp

+ 1172mq

6. a)

�

4z + 13z

+ z−82z

b)

�

b + 39

− b−55a

c)

�

c− 413c

− 3c−82c

d)

�

3m−15m

+ m−210m

− 4− 2m + 1m

e)

�

8x + 7y10x

− 9x−5y15x

− 23

7. a)

�

n− x4a

− n+ x5a

+ n+ x3a

b)

�

2x + 4n2x

+ 2x− 4n6x

− x12x

c)

�

3a−54

− 4a−65

d)

�

2b− c3

− 5b− c8

e)

�

x−5y2x

− 2x−3y4x

f)

�

4x−5y6x

− 5x− y12x

8. a)

�

3x2 + 49x

− 12− x27x

−1+ x( )22x2

+ 3− x3

3x2 b)

�

1−a2( )a4a4

− 9−2a36a

− 3 + a2

9a2− 4a + 3

12a3

c)

�

3y −840y2

+ 8x3 −3xy12x5y

− 10y −3x2

15x2y2− x3 −5

30x3y

Welche Aussagen sind wahr?

9. a)

�

49

< 1121

b)

�

1712

< 2518

c)

�

2x

< 5x

d)

�

2a3

< 7a10

ALGEBRA 23

P. BRUCHGLEICHUNGEN

1. a)

�

x7

+ 8=13 b)

�

x3

+ x4

= 7 c)

�

x2− x

5= 6

2. a)

�

9x14

+ 12

= 2x− 67

b)

�

4x3

+ 2x5

= 2x−8 c)

�

4x3

+ 2x5

= 2x−4

3. a)

�

−8x17

−5=11 b)

�

2x4

-36= 2x5

-34 c)

�

x18

+ x3

= x9

+ 50

4. a)

�

7x10

− 25

= x2

b)

�

5x6

− 12

= 7x10

c)

�

34− x

2= 5x

6+ 7

12

5. a)

�

5x6

− 12

= 7x12

b)

�

5x4

+ 23− 7x

6= 4

3 c)

�

5x4

+ x2

= 3x2

+ 52

6. a)

�

3x5

− x6− 5x

12− x

15= x−9 b)

�

x2

+ 23− 3x

4− 7

6= 29

12− 5x

6

7. a)

�

x2− 2x

3= 3x

5− 3x

4− 5

3 b)

�

12

x − 23

x + 34

x − 56

x + 712

x = 1112

8. a)

�

35

x + 38

x − 85

+ 710

x − 12

x − 34

= 0 b)

�

2x− 12− 3

4x + 2

3= 1

6+ 5

4x

9. a)

�

3x5

= 62

b)

�

x14

= 67

c)

�

−8x9

= 727

10. a)

�

11x15

= −113

b)

�

4x35

= 45

c)

�

7x90

= −79

11. a)

�

5x7

= 2x3

b)

�

5x12

= 2x9

c)

�

112

= x−315

12. a)

�

x−12

= x−23

b)

�

x12

= x−24

c)

�

x−32

= x + 53

13. a)

�

−2x + 154

= 8x−1112

b)

�

2x + 34

=2 x−1( )

6 c)

�

x−87

= x−111

14. a)

�

x− 45

− x−23

= 4 b)

�

x− 45

− x−32

= 7 c)

�

x + 414

+ x− 46

= 2

15. a)

�

2x + 828

+ x− 46

= 2 b)

�

3− 2x−34

= 8x−1112

c)

�

x + 14

− x−13

= 0

16. a)

�

x−35

− x−53

= 0 b)

�

2x = 12x + 1412

− 2x + 816

c)

�

1415

− 4x−610

= 6x−830

17. a)

�

x−318

− 2x + 78

= 29

b)

�

715

− 2x−310

= 3x− 430

18. a)

�

x + 13

− 3x−15

= x−2 b)

�

18−2x4

+ 3x = 8x3

+ x +1

19. a)

�

3x + 5x + 53

= 8x− 10x + 15

b)

�

7− x− 4x + 69

= 6− 5x + 14

20. a)

�

2x + 3x + 14

= 5x− 6x− 42

b)

�

19 x− 4( )3

+2 9− x( )

3=

2 5x−3( )7

−5x

21. a)

�

5x−36

− 4x− 44

= 2x−39

− x−52

b)

�

5x−24

− 4x−13

= 3x + 216

− x− 42

22. a)

�

3x−54

+ 2x−36

− x + 63

= x−32

b)

�

4x + 910

− 7x−125

= x + 54

− x + 320

23. a)

�

2x + 108

− x + 320

= 4x + 910

− 14x−250

b)

�

2x−0.25

+ 4x + 0.63

= 4x−1.2

ALGEBRA 24

24. a)

�

6x−100,25

+ 10− 8x−24,5

= 2x + 0.40,15

b)

�

8− 9x− 454

+ x−12

= 7x−53

− 5x−256

25. a)

�

16

2x−57( ) − 53

= x− 3x− 2x−510

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

26. a)

�

4x

= −5 b)

�

1x

= 25

c)

�

1x

= 0.1 d)

�

1x

= 0.01

27. a)

�

4x

= 5 b)

�

32x

= 4 c)

�

−2x

= 1 d)

�

2x

+ 7 = 8

28. a)

�

92x

+ 5 = 17x

b)

�

12− 4x

= 11 c)

�

5 = 7− 4x

29. a)

�

1x

+ 12

= 1 b)

�

1x− 1

4= 1

12 c)

�

12− 1

x= 3

10

30. a)

�

1x

+ 13x

= 89

b)

�

34x

+ 36x

= 78

c)

�

2x

= 1+ 2x

31. a)

�

13x

− 14x

= 124

b)

�

15x

+ 29x

= 4x

+ 5

32. a)

�

72x

+ 53x

+ 12

= 512

b)

�

1x

+ 16x

+ 14x

= 1 512

33. a)

�

12

+ 7x

+ 14

= 12x

+ 34

b)

�

214x

− 356x

+ 712x

= 512

34. a)

�

12

+ 4x

+ 710

− 5x− 4

5+ 1

x= 0 b)

�

− 13

+ 12x

+ 56− 4

3x− 7

2= 11

6x

35. a)

�

13

+ 12x

+ 14

= 13x

+ 1+ 34x

b)

�

910x

− 15

+ 35x

+ 1315

− 32x

+ 13

= 1

36. a)

�

x−5x

= 2x−7x

+ 1x

b)

�

2x

= x−33x

− x + 54x

c)

�

4x + 62x

− 2x3x

= x + 3x

37. a)

�

x4− x

+ 3xx + 1

= 2 b)

�

17x−3

− 5− x22 + x

= 1

38. a)

�

3x−6x−3

+ 4x−303x−9

= 2x + 12x−3

b)

�

12 x−1( ) −

1x−1

− 12

= 0

39. a)

�

cxm

+ b = 2a b)

�

mxa

− c = b c)

�

xa

= m− pq

40. a)

�

xm

−a = pq

b)

�

xa

+ xb

= 1 c)

�

xc

= 2m + xd

41. a)

�

amx

−3b = m b)

�

max

+ p = 1 c)

�

ax

+ mp

= 4p

42. a)

�

my−3m = 1

a b)

�

mx− p

x= a c)

�

az

+ bc

= 1

Lösen Sie die folgenden Gleichungen nacheinander nach allen Variablen auf:

43. a)

�

I = UR

b)

�

A =a + c( )h

2 c)

�

p = 1V

44. a)

�

1g

+ 1b

= 1f

b) 2F = p(a + b + c) c)

�

K' =K 100 + p( )

100

ALGEBRA 25

Q. Textgleichungen mit Bruchtermen 1. Zwei Drittel einer Zahl ist gleich drei Fünftel der um acht vergrösserten Zahl.

2. Addiert man zu 3/4 einer Zahl 1/9 des Doppelten dieser Zahl, so erhält man 70.

3. Subtrahiert man eine Zahl von 2/7, so erhält man 2/7 der Zahl.

4. Welche Zahl muss man zum Zähler und zum Nenner des Bruches 7/12 addieren, um 3/4 zu erhalten?

5. Der Wert eines Bruches beträgt 1/4. Vermindert man den Zähler um 1 und vergrössert den Nenner um 2, so erhält man den Wert 3/14. Wie heisst der veränderte Bruch?

6. Die Flusslängen von Rhein und Elbe verhalten sich wie 12 : 10. Die Elbe ist 1100 km lang. Wie lang ist der Rhein?

7. Bei einem Staudamm beträgt die Ausflussgeschwindigkeit des Wassers 12.5 m/s bei einer Druckhöhe 8,20 m. Wie hoch wird die Ausflussgeschwindigkeit sein, wenn der Wasserspiegel auf 25 m steigt? (Die Ausflussgeschwindigkeiten verhalten sich wie die Quadratwurzeln aus den Druckhöhen: v1 : v2 =

�

h1 : h2 )

8. Wie tief ist der Schacht eines Bergwerkes, wenn der Förderkorb bei 6 m/s Geschwindig-keit zur Fahrt 1 min. und 12 s braucht?

9. Die Zahl 279 soll so in zwei Summanden zerlegt werden, dass bei Division des einen Summanden durch 4 und des anderen Summanden durch 7 die Summe der Quotienten 57 ist. Wie heissen die beiden Summanden?

10. Wie viel cm3 72%igen Alkohol muss man mit 435 cm3 32%igem Alkohol mischen, um 42%igen Alkohol zu erhalten?

11. Man mischt 150 g Kupfer (Dichte = 8.85 g/cm3) mit 45 g Zink (Dichte = 7.1 g/cm3). Wie gross ist die Dichte der Legierung?

12. In einen Wasserbehälter münden 3 Rohre. Das erste allein füllt den Behälter in zehn Mi-nuten, das Zweite allein in achtzehn Minuten, das Dritte allein in 22 Minuten. In welcher Zeit wird der Behälter gefüllt, wenn Wasser durch alle Rohre gleichzeitig fliesst?

13. Ein Bruch stellt die Zahl 5/6 dar. Er geht in seine Kehrzahl über, wenn man den Nenner um 11 vermindert. Wie heisst der Bruch?

14. Der Zähler eines Bruches ist um 6 kleiner als der Nenner. Vermindern Sie Zähler und Nenner um 11, so stellt der Bruch die Zahl 4/7 dar. Wie heisst der Bruch?

15. Der Umfang eines Rechteckes ist 2,1m. Die Breite 8/13 der Länge. Berechnen Sie Länge und Flächeninhalt des Rechtecks!

16. In einem Trapez von 360 cm2 Fläche und 24 cm Höhe verhalten sich die beiden paralle-len Seiten wie 2 : 3. Berechnen Sie diese beiden Parallelseiten.

17. Vom Geschäftsgewinn einer Firma werden 4/7 an die Aktionäre ausgerichtet; 1/12 fliesst in die Krankenkasse der Angestellten und Fr. 70‘000 werden als Reserve zurückgelegt. Wie gross war der Geschäftsgewinn?

18. In der Bibliothek von Peter sind zwei Fünftel aller Bücher naturwissenschaftliche und technische Bücher. Drei Zehntel enthalten Reisebeschreibungen. Dazu kommen noch einundzwanzig Bücher mit anderem Inhalt. Wie viele Bücher enthält seine Bibliothek?

19. Ein Knabe hat beim Spiel Murmeln gewonnen. Zwei Siebtel der gewonnenen Murmeln schenkt er seinem Bruder. Vom Rest verspielt er am nächsten Tag die Hälfte und verliert dann auf dem Heimweg drei, so dass sein Gewinn schliesslich auf zwei Murmeln zu-sammengeschmolzen ist. Wie viele Murmeln hatte er gewonnen?

ALGEBRA 26

20. Ein Vermögen von Fr. 24‘000.-- ist auf zwei Konten (= Posten) verteilt angelegt. Der erste Posten wird mit 4,5%, der zweite zu 4% verzinst. Würden die Zinsfüsse der beiden Po-sten vertauscht, so würde der gesamte Jahreszins um Fr. 60.-- kleiner. Wie gross sind die beiden Posten?

21. Eine Autofahrerin fährt am ersten Tag den fünften Teil des ganzen Weges und noch 300 km, am zweiten Tag den vierten Teil des ganzen Weges und noch 250 km, doch an beiden Tagen gleich viele Kilometer. Wie viele Kilometer betrug der ganze Weg? Tragen Sie eine entsprechende Strecke auf einer Europakarte ab!

22. Durch eine eingeschaltete Glühbirne fliesst ein Strom von 0.43 Ampère. Die Spannung beträgt 230 V. Wie gross ist demnach der Widerstand der Glühlampe?

ALGEBRA 27

Rezepte

1. Bei der Multiplikation und Division von Termen gilt:

- zwei gleiche Vorzeichen miteinander verknüpft ergibt + - zwei ungleiche Vorzeichen miteinander verknüpft ergibt – - eine gerade Anzahl negativer Faktoren ergibt + - eine ungerade Anzahl negativer Faktoren ergibt –

2. Immer Punktoperationen vor Strichoperationen ausführen. 3. Klammerterme zuerst ausrechnen. 4. Es können nur gleichartige Terme (gleiche Buchstaben oder Kombinationen von Buch-

staben mit denselben Hochzahlen) addiert oder subtrahiert werden. 5. Klammern, vor denen ein Pluszeichen steht, können weggelassen werden. Klammern,

vor denen ein Minuszeichen steht, können nur weggelassen werden, wenn alle Zeichen innerhalb der Klammer gewechselt werden.

6. Bei Termen mit ineinander verschachtelten Klammern werden die Klammern von in-

nen nach aussen aufgelöst. 7. Bei der Multiplikation und Division empfiehlt sich folgendes Vorgehen:

- das Vorzeichen des Resultates bestimmen. - die Koeffizienten (Zahlen) berechnen. - die Variablen (Buchstaben) berechnen.

8. Algebraische Summen werden multipliziert oder dividiert, indem man jeden Summan-

den einzeln multipliziert oder dividiert.

�

Bsp : 3(2a + 3b) = 6a + 9b 9. Zwei algebraische Summen werden miteinander multipliziert, indem man jeden Sum-

manden der ersten Summe mit jedem Summanden der zweiten Summe multipliziert und anschliessend die Produkte addiert.

10. Beim Faktorisieren macht man folgende Teilschritte: 1. Man bestimmt die gemeinsamen Faktoren (Zahlen und Variable). 2. Die gemeinsamen Faktoren werden ausgeklammert und die einzelnen Summanden durch den gemeinsamen Faktor dividiert. Bsp: 21bx + 6by - 15bz

1. 3b 3b (21bx : 3b + 6by : 3b - 15bz : 3b) = 3b(7x + 2y - 5z)

11. Primzahlen haben genau zwei verschiedene Teiler (1 und sich selber)

Beispiele: 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97 101 103 109 113 127 131 137 139 149 151

ALGEBRA 28

12. Begriffe:

Bruch

�

3a2b

Der Kehrwert von

�

15a4b

ist

�

4b15a

13. Kürzen heisst: Zähler und Nenner eines Bruches durch die gleiche Zahl oder die gleiche Variable dividieren. Aufgepasst: Es dürfen nur Brüche gekürzt werden, deren Zähler und Nenner Produkte sind. Beispiel:

�

3 + 53

≠ 5 Nie!! 14. Erweitern heisst: Zähler und Nenner eines Bruches mit derselben Zahl oder der gleichen

Variablen multiplizieren. 15. Brüche mit gleichen Nennern heissen gleichnamig. Ungleichnamige Brüche können

durch Erweitern gleichnamig gemacht werden. 16. Gleichnamige Brüche werden addiert oder subtrahiert, indem man die Zähler addiert oder

subtrahiert und den gemeinsamen Nenner beibehält. Ungleichnamige Brüche müssen zuerst durch Erweitern gleichnamig gemacht werden.

17. Brüche werden miteinander multipliziert, indem man die Zähler und die Nenner miteinan-

der multipliziert. (Zähler mal Zähler, Nenner mal Nenner) Stehen im Zähler oder Nenner eines Bruches algebraische Summen, so müssen die Zähler und Nenner vor dem Multiplizieren in Klammern gesetzt werden.

Beispiel:

�

4x + 5x−7

⋅ 17 + xx−3

=4x + 5( ) ⋅ 17 + x( )x−7( ) ⋅ x−3( )

18. Brüche werden dividiert, indem man mit dem Kehrwert des Divisors multipliziert. Jede

Division kann durch eine Multiplikation mit dem Kehrwert des Divisors ersetzt werden.

Zähler

Nenner