2. Vortag aus Quantentheorie

Von Alexander Falger am 26.06.2007

Überblick

• Einleitung:– Das Franck- Hertz- Experiment

• Das freie Teilchen

• Die eindimensionale Streuung– Potentialstufe– Potentialbarriere

• Der unendlich hohe Potentialtopf

Das Franck- Hertz- Experiment

• Ein experimenteller Beweis, dass bei Stoßprozessen die Energiequantelung eine Rolle spielt.

• Versuchsanordnung:– Glaskolben mit Hg Dampf gefüllt (10-2 mbar)– Kathode (Emission von e-)

MetallgitterAnode

Versuchsaufbau

Ergebnis

• Die Elektronenstoßanregung zeigt, dass Atome Energie nur in bestimmten Energiequanten aufnehmen können, deren Größe von der Struktur des Atoms und vom angeregten Zustand abhängt.

Das freie Teilchen

• In diesem speziellen Fall vereinfacht sich die stationäre Schrödingergleichung, da V(x)=0 ist.

• Mit

reduziert sichdie Gleichung zu:

xExdx

d

m

2

22

2

m

k

m

pE

22

222

xkdx

xd 22

2

• Die allgemeine Lösung lautet:

• wir können B=0 setzen und mit dieser speziellen Lösung weiterrechnen.

• Die zeitabhängige Wellenfunktion:

• Ergebnis:

ikxikx eBeAx

tiextx ,

t

m

kkxi

tkxi eAeAtx2

2

,

Wie gut wird das „Teilchen“ beschrieben?

• Die Ausbreitungsgeschwindigkeitklassisch:

• Phasengeschwindigkeit:

• daraus folgt:

• Ergebnis: vPh = 0.5vT

m

pv

m

pmvE klassisch

22

22

k

vdt

dxtkx

dt

dPh

0

m

kEmit

m

p

m

k

k 222

2

Wie gut wird das „Teilchen“ beschrieben?

• Wir können über den Aufenthaltsort nichts aussagen, da es sich um eine unendlich ausgedehnte Welle handelt.

• Da sich das „Teilchen“ irgendwoim Raum befindet (W=1)gilt Normierungsbedingung:

• Diese Lösung kann daher nicht als Teilchen interpretiert werden.

dxAdxeAeAdxt

m

kkxit

m

kkxi

222**

22

1*

dx

Wellenpakete

• Dieses erhalten wir, indem wir unendlich viele Lösungen der Schrödingergleichung aufsummieren. (Superpositionsprinzip)

2220 2//1

xxipex

0

22

200

2000 12

/

2

0

1

1, t

it

mtpxx

m

tipxxip

eee

tit

tx

Wie gelangen wir zu dieser Lösung?

• Die Fouriertransformation

Hier werden unendlich viele Wellen als Funktion des Impulses überlagert.

• Wird als Impuls-Raum Wellenfunktion bezeichnet

• Die inverse Fouriertransformation liefert:

dpepx ipx

/)(

2

1)(

dxexp ipx

/)(

2

1)(

• Betrachten wir eine normierte Gaußfunktion mit Erwartungswert p0 so ergibt sich:

• Beachte: wenn p=p0+1/α oder p=p0-1/α, dann ist |Φ(p)|2 auf 1/e der maximalen Wertes gefallen.

• Also ist 1/α verantwortlich für die Breite des Wellenpaketes.

2

20

2

)(pp

ep

Sektion8.5

• Indem wir Φ(p) in ψ(x) einsetzen und das Integral lösen erhalten wir:

• Der Satz von Plancherel besagt:Φ(p) normiert ψ(x) normiert ist.

2220 2//1

xxipex

dppdxx

22)()(

Sektion8.3 und Sektion8.4

Ausbreitungsgeschwindigkeit des Wellenpaketes

• Gruppengeschwindigkeitdes Wellenpakets:

• aus

• folgt:

• Teilchen werden durch Wellenpakete recht gut beschreiben

dk

dvg

m

k

m

pE

22

22

Tg vm

p

m

k

dk

dv

Streuung an einer Potentialstufe

• Raumgebiet wird in zwei Bereiche unterteilt:

• Lösung aus Bereich1 ist bereits Bekannt:

• Hier ist A die Amplitude der einfallenden Welle und B die an der Potentialstufe reflektierten Welle.

2

1

0

00)(

0

{Bereich

Bereich

xfür

xfür

VxV

ikxikx eBeAx 1

• Im Bereich2 lautet die Schrödingergleichung:

• Mit

reduziert sichdie Gleichung zu:

02

022

2

xVEm

dx

xd

2

02

EVm

022

2

xdx

xd

• Die allgemeine Lösung lautet:

• Da zwischen –∞ x ∞ ψ(x) eine Lösung der Schrödingergleichung sein soll, muss sie überall stetig differenzierbar sein.(sonst d2ψ/dx2 nicht def.)

• Randbedingungen:

xx eDeCx 2

DCBA 00 21

DCBAikdx

d

dx

d

0

2

0

1

Fallunterscheidung

• A) E < V0:

• Hieraus folgt: C=0, ansonsten ψ2(x)∞ für x ∞(nicht mehr normierbar)

• Ergebnis:

Aik

ikDundA

ik

ikB

2

xfüreik

ikeAx ikxikx

01

02

2

xfüreAik

ikx x

• Reflexion:

• Eindringwahrscheinlichkeit:

• Teilchen können mit einer von Null verschiedenen Wahrscheinlichkeit eindringen, was klassisch nicht möglich ist.

12

2

2

2

2

ik

ik

A

B

eA

eBR

ikx

ikx

xx eAk

keDx

22

22

222

2

4

• B) E > V0:• Klassisch würden alle Teilchen in den Bereich x>0

eintreten, jedoch langsamer werden. Ekin=E-V0

• Im Wellenmodell:

• Die allgemeine Lösung lautet:

• Da für x>0 keine Teichen in –x Richtung fließen ist C=0.

iVEmk

02

'

xikxik eDeCx ''2

• Ergebnis:

Akk

kDundA

kk

kkB

'

2

'

'

xfürekk

kkeAx ikxikx

0'

'1

0'

2 '2

xfüreA

kk

kx xik

• Reflexion:

• Da die Wellenzahl k in der Optikproportional zum Brechungsindexist (k=n*k0), kann man R schreiben:

• Transmission:

• Aus Teilchenerhaltung gilt:

2

2

2

2

2

'

'

kk

kk

A

B

eA

eBR

ikx

ikx

2

21

21

nn

nnR

22

2

'

'4'

kk

kk

Av

DvT

1RT

Sektion9.4

Streuung an einer Potentialbarriere

• In diesem Fall hat Potential nur eine endliche Breite:

• Lösungen:

30

20

100

)( 0{BereichLxfür

BereichLxfürV

Bereichxfür

xV

ikx

xx

ikxikx

eAx

eDeCx

eBeAx

')(

)(

)(

3

2

1

• Randbedingungen:

• Transmissionsvermögen für E<V0:

)(')(')0(')0('

)()()0()0(

3221

3221

LL

LL

EVmmit

LE

VVE

VE

A

AT

0

20

0

02

22

sinh4

1

1'

• Für große Breiten L der Potentialbarriere kann man sinh(x) durch ½*ex annähern.

• Die Transmission hängt also von der Höhe V0, der Breite L der Barriere und von der Energiedifferenz V0-E (Masse m des Teilchens) ab.

LeEVV

ET 2

020

16

Sektion9.6 bis Sektion9.9

Der unendlich hohe Potentialtopf

• Teilchen befindet sich mit Energie E in einem beschränkten Raumgebiet:

• Kann diese Teilchen beliebige stationäre Energiewerte annehmen?

• Um diese Frage zu beantworten müssen wir die Schrödingergleichung lösen.

sonst

LxfürxV

00

)( {

Lösen der Schrödingergleichung

• Im Bereich 0xL:

• Bekannte Lösung:

• Randbedingungen:

• Dies ergibt:

xExdx

d

m

2

22

2

ikxikx eBeAx )(

0)(0)0( Lund

00 ikLikL eBeAundBA

•

• Die möglichen Wellenfunktionen lauten:

• Aus Normierung folgt:

)sin()sin(2)( kxCkxiAeeAx ikxikx

,...3,2,10)sin( nnkLkLC

x

L

nCxn

sin)(

x

L

n

Lxn

sin2

)(

• Die Energiewerte sind gequantelt, da:

• Die minimale Energie ist nicht Null, sondern E1, da n=0 nicht erlaubt ist.

• Je breiter der Potentialtopf ist, desto kleiner wird die Nullpunktsenergie E1

21

22

222

22

222nEEodern

Lmk

mm

pE nnn

Sektion10.2

Die zeitabhängige Schrödingergleichung

• Im Bereich 0xL:

• Mit den Energiewerten En von ψn(x) ergeben sich die Lösungen:

• Einsetzen von ψn(x) liefert:

t

txi

dx

txd

m

),(),(

2 2

22

)(),( xetx nn

tniE

x

L

ne

Ltx mL

tni

n

sin2

),(2

22

2

Visualisierung

• Zwei mögliche Wege:• Aufspaltung in Real- und Imaginärteil

• Phasenänderungen mit Farben darstellen– Da ψn(x) real ist, ist nur e−iEt/ħ imaginär

– Daher ist −Ent/ħ = θn(t) ein Vektor

)(cos),(Re xtx ntE

nn

)(sin),(Im xtx ntE

nn

Sektion10.4 und Sektion10.8

Darstellung im Impulsraum

• Φn(p) erhalten wir über die Fouriertransformation

• Ergebnis:

L

ipxnn dxexp

0

/)(2

1)(

n

nin

n

ninipL

n eeeL

ip

sinsin

4)( 222

22

npL

undn

pL

nn

• Die Welle im Impulsraum hat ihre Maxima, wenn δn-=0 und δn+=0.

• Dies stimmt mit klassischen Überlegungen überein.

• Die Aufenthaltswahrscheinlichkeit ist gegeben durch das Absolutquadrat von ψn(x).

L

np

Sektion10.5

Überlagerung von zwei Wellen

• Einer der einfachsten nicht trivialen Überlagerungen ist gegeben durch:

• Die zeitabhängige relative Phase hängt vom Energieunterschied En2-En1 ab.

),(),(2

1),( 2121 txtxtx nnnn

)()(2

1),( 2121

121

xexetx n

tEEi

n

tiE

nn

nnn

Sektion10.6