Algorithmen der Grundrechenarten in verschiedenen Ländern Referentin: Julia Grote

Algorithmen der Algorithmen der Grundrechenarten in Grundrechenarten in

verschiedenen Ländernverschiedenen Ländern

Referentin: Julia GroteReferentin: Julia Grote

GliederungGliederung

• Was ist ein Algorithmus?Was ist ein Algorithmus?

• Das Beispiel Deutschland zur Das Beispiel Deutschland zur Verdeutlichung des AlgorithmusbegriffsVerdeutlichung des Algorithmusbegriffs

• Allgemeine UnterschiedeAllgemeine Unterschiede

• Andere Länder im VergleichAndere Länder im Vergleich

Was ist ein Algorithmus?Was ist ein Algorithmus?

• Unter einem Algorithmus versteht man allgemein eine Unter einem Algorithmus versteht man allgemein eine genau definierte Handlungsvorschrift zur Lösung eines genau definierte Handlungsvorschrift zur Lösung eines Problems oder einer bestimmten Art von Problemen.Problems oder einer bestimmten Art von Problemen.

• 5 Bedingungen:5 Bedingungen:– Allgemeingültigkeit: Allgemeingültigkeit: Die Anweisungen besitzen Gültigkeit für die Die Anweisungen besitzen Gültigkeit für die

Lösung einer ganzen Problemklasse, nicht nur für ein Einzelproblem.Lösung einer ganzen Problemklasse, nicht nur für ein Einzelproblem.

– Ausführbarkeit: Ausführbarkeit: Die Anweisungen müssen verständlich formuliert Die Anweisungen müssen verständlich formuliert sein für den Befehlsempfänger und für diesen ausführbar sein.sein für den Befehlsempfänger und für diesen ausführbar sein.

– Eindeutigkeit: Eindeutigkeit: An jeder Stelle muss der Ablauf der Anweisung An jeder Stelle muss der Ablauf der Anweisung eindeutig sein.eindeutig sein.

– Endlichkeit: Endlichkeit: Die Beschreibung der Anweisungsfolge muss in einem Die Beschreibung der Anweisungsfolge muss in einem endlichen Text erfolgen.endlichen Text erfolgen.

– Terminiertheit: Terminiertheit: Nach endlich vielen Schritten liefert dieNach endlich vielen Schritten liefert die Anweisungsfolge eine Lösung des gestellten Problems.Anweisungsfolge eine Lösung des gestellten Problems.

Das Beispiel Deutschland Das Beispiel Deutschland zur Verdeutlichung des zur Verdeutlichung des

Algorithmusbegriffs Algorithmusbegriffs

DeutschlandDeutschland

• Schriftliche Schriftliche AdditionAddition

529529++ 336336 ____________11____

865865

Schriftliche SubtraktionSchriftliche Subtraktion

• Unterscheidung zwischenUnterscheidung zwischen

– Wegnehmen als Subtraktion:Wegnehmen als Subtraktion:Norddeutsches Verfahren, Norddeutsches Verfahren, bzw. Borgeverfahrenbzw. Borgeverfahren

– Ergänzen als Subtraktion:Ergänzen als Subtraktion:Süddeutsches Verfahren, Süddeutsches Verfahren, bzw. Österreichische bzw. Österreichische SubtraktionsmethodeSubtraktionsmethode

Norddeutsches Norddeutsches BorgeverfahrenBorgeverfahren

Ausführliche Ausführliche SprechweiseSprechweise

„„8 minus 9 lässt sich 8 minus 9 lässt sich nicht rechen. Ein Zehner nicht rechen. Ein Zehner wird entbündelt. 18 wird entbündelt. 18 minus 9 gleich 9“.minus 9 gleich 9“.„„2 (Zehner) minus 5 2 (Zehner) minus 5 (Zehner) lässt sich nicht (Zehner) lässt sich nicht rechnen. Ein Hunderter rechnen. Ein Hunderter wird entbündelt. 12 wird entbündelt. 12 minus 5 gleich 7“.minus 5 gleich 7“.„„5 (Hunderter) minus 2 5 (Hunderter) minus 2 (Hunderter) gleich 3.“(Hunderter) gleich 3.“

Ausführliche Ausführliche SchreibweiseSchreibweise

10 10

638 -259

379

Schriftliche SubtraktionSchriftliche Subtraktion

Gemäß Vereinbarung der KMK:Gemäß Vereinbarung der KMK:

schriftliche Subtraktion durch schriftliche Subtraktion durch ErgänzenErgänzen

Süddeutsche Verfahren scheint Süddeutsche Verfahren scheint weniger fehleranfällig zu seinweniger fehleranfällig zu sein


• SchriftlicheSchriftliche

SubtraktionSubtraktion

638- 259__1 1__

379


• Schriftliche Schriftliche MultiplikatioMultiplikationn

369 * 124369 * 124 369369

738738 14761476

___ 1 1 1_______ 1 1 1____

4575645756


• Schriftliche Schriftliche DivisionDivision

108117 : 879 = 123108117 : 879 = 123 879879 20212021 17581758 26372637 26372637

00

Allgemeine UnterschiedeAllgemeine Unterschiede

Addition/Subtraktion:Addition/Subtraktion:– In vielen Ländern kein Aufschreiben der In vielen Ländern kein Aufschreiben der

ÜberträgeÜberträge

Subtraktion:Subtraktion:– Meist Sprechweise nicht additiv, sondern Meist Sprechweise nicht additiv, sondern

subtraktivsubtraktiv– Häufig Abziehen mit Entbündeln Häufig Abziehen mit Entbündeln

(Borgeverfahren)(Borgeverfahren)


Multiplikation:Multiplikation:– Rechenzeichen häufiger das Kreuz (x)Rechenzeichen häufiger das Kreuz (x)– Beide Faktoren werden zumeist Beide Faktoren werden zumeist

untereinander geschriebenuntereinander geschrieben– Häufig wird mit den Einern begonnenHäufig wird mit den Einern begonnen

Treppe verläuft von rechts nach linksTreppe verläuft von rechts nach links


Division:Division:– Häufig weder Divisions- noch Häufig weder Divisions- noch

GleichheitszeichenGleichheitszeichen– Eher:Eher:

•erste Zahl durch senkrechten Strich vom erste Zahl durch senkrechten Strich vom Divisor abgetrenntDivisor abgetrennt (unterschiedlich (unterschiedlich lang)lang)

•waagerechter Strich unter den Divisor und waagerechter Strich unter den Divisor und darunter der Quotientdarunter der Quotient

Andere Länder im VergleichAndere Länder im Vergleich

• SpanienSpanien• MexikoMexiko• ChinaChina

• RusslandRussland• UngarnUngarn

• GriechenlandGriechenland• EnglandEngland

• FrankreichFrankreich• ÄgyptenÄgypten

(Bezug auf Aussagen von Personen unterschiedlicher (Bezug auf Aussagen von Personen unterschiedlicher Nationalität)Nationalität)

AdditionAddition

Spanien Mexiko China Russland Spanien Mexiko China Russland UngarnUngarn

Griechenland England Frankreich Griechenland England Frankreich ÄgyptenÄgypten

Gemeinsamkeiten/UnterschiedeGemeinsamkeiten/Unterschiede

• Mexiko, Russland, Mexiko, Russland, Ungarn: Übertrag über Ungarn: Übertrag über den Summandenden Summanden

• Spanien, England, Spanien, England, Frankreich: Übertrag Frankreich: Übertrag unter die Summeunter die Summe

• China: Übertrag unter China: Übertrag unter den Summandenden Summanden

• Griechenland: Griechenland: Übertrag über die Übertrag über die SummeSumme

• Ägypten: Pluszeichen Ägypten: Pluszeichen auf der rechten Seiteauf der rechten Seite

SubtraktionSubtraktion




• Mexiko, Russland, Mexiko, Russland, England: England: Borgeverfahren, Borgeverfahren, subtraktive Sprechweisesubtraktive Sprechweise

• Spanien, Frankreich: Spanien, Frankreich: Übertrag unter die Übertrag unter die DifferenzDifferenz

• China, Ungarn: Übertrag China, Ungarn: Übertrag unter den Subtrahendenunter den Subtrahenden

• Griechenland: Griechenland: Übertrag über die Übertrag über die DifferenzDifferenz

• Ägypten: Ägypten: Minuszeichen auf der Minuszeichen auf der rechten Seiterechten Seite

Multiplizieren „mit der Feder“ nach Multiplizieren „mit der Feder“ nach Adam RiesAdam Ries

„Willst du nun eine Zahl mit einer Ziffer multiplizieren, so schreibe die Zahl, die du multiplizieren willst, oben und die Ziffer, mit der du multiplizieren willst, direkt unter die letzte Ziffer. Sodann multipliziere sie mit der letzten Ziffer. Kommt eine Zahl mit einer Ziffer heraus, so setze sie unten. Im Falle einer zweizifferigen Zahl schreibe die letzte Ziffer, die andere behalte im Sinn. Sodann multipliziere die untere Ziffer mit der zweitletzten der oberen Zahl und gib dazu, was du behalten hast. Schreibe abermals die letzte Ziffer und so fort. Zuletzt schreibe die Zahl ganz aus wie hier“

Multiplizieren „mit der Feder“ nach Multiplizieren „mit der Feder“ nach Adam RiesAdam Ries

„Willst du eine Zahl mit zwei Ziffern multiplizieren, so führe es mit der letzten Ziffer so durch, wie eben gesagt. Sodann führe es auch in gleicher Weise mit der anderen Ziffer durch, setzte aber das Ergebnis um eine Ziffer weiter nach links eingerückt. Danach zähle zusammen wie hier“

„In gleicher Weise multipliziere auch mit drei oder mehr Ziffern, nur setze die Ergebnisse jeweils um eine Ziffer weiter eingerückt, ... “

Zitiert nach der von S. Deschauer (1992) modernisierten Textfassung der Ausgabe von 1522 des zweiten Rechenbuchs von Adam Ries.

MultiplikationMultiplikation




• Spanien, Mexiko, China, Spanien, Mexiko, China, Griechenland, England, Griechenland, England, Ägypten: Verwendung Ägypten: Verwendung des „x“; Faktoren des „x“; Faktoren werden untereinander werden untereinander geschrieben; Beginn mit geschrieben; Beginn mit den Einernden Einern

• Russland, Ungarn: Russland, Ungarn: Verwendung des Verwendung des „Malpunktes“; Beginn „Malpunktes“; Beginn (hier) mit den (hier) mit den HunderternHundertern

• Ungarn: Ungarn: Abtrennungsstrich wird Abtrennungsstrich wird nur bis unter den ersten nur bis unter den ersten Faktor gezogenFaktor gezogen

• Frankreich: Verwendung Frankreich: Verwendung des „x“; Faktoren werden des „x“; Faktoren werden nebeneinander nebeneinander geschrieben; Beginn mit geschrieben; Beginn mit den Einernden Einern

• Ägypten: „x“-Zeichen auf Ägypten: „x“-Zeichen auf der rechten Seiteder rechten Seite

DivisionDivision




• Spanien, Mexiko, Russland, Spanien, Mexiko, Russland, Griechenland, England, Griechenland, England, Frankreich: Verwendung Frankreich: Verwendung von waagerechtem und von waagerechtem und senkrechtem Strich, senkrechtem Strich, unterschiedlich angelegt unterschiedlich angelegt und langund lang

• China, Ungarn: Verwendung China, Ungarn: Verwendung von Doppelpunkt und von Doppelpunkt und GleichheitszeichenGleichheitszeichen

• Ägypten: Dividend und Ägypten: Dividend und Divisor untereinander, Divisor untereinander, darunter ein waagrechter darunter ein waagrechter Strich, darunter der Strich, darunter der QuotientQuotient

108117108117 879879

123123108110811717

879 879 1081 - 879 = 202 1081 - 879 = 202 11

108110812021202177 879879 2021 - (2*879) = 263 2021 - (2*879) = 263

1122

108120211081202126312631 879879 2631 - (3*879) 2631 - (3*879)

= 0= 0 121233

LiteraturlisteLiteraturliste

• Arbeiter, J. (1974). Arbeiter, J. (1974). Algorithmen: schriftliche Algorithmen: schriftliche Rechenverfahren.Rechenverfahren. Weinheim: Julius Beltz Verlag Weinheim: Julius Beltz Verlag

• Damerow, P./ Schmidt, S. (2001). Damerow, P./ Schmidt, S. (2001). Arithmetik im historischen Arithmetik im historischen Prozeß: Wie „natürlich“ sind die „natürlichen Zahlen“ ?Prozeß: Wie „natürlich“ sind die „natürlichen Zahlen“ ? In: Müller, G.N./ Steinbring, H./ Wittmann E.Ch. (Hrsg.). Arithmetik als Prozeß. Stuttgart: Klett

• Prediger, S./ Schroeder, J. (2003). Prediger, S./ Schroeder, J. (2003). Mit der Vielfalt rechnen: Mit der Vielfalt rechnen: Interkulturelles Lernen im Mathematikunterricht.Interkulturelles Lernen im Mathematikunterricht.

• U. Harzer (1999).U. Harzer (1999). Algorithmen. Algorithmen. http://schulen.freiepresse.de/gymnasiumolbernhau/informathttp://schulen.freiepresse.de/gymnasiumolbernhau/informatik [07.06.06]ik [07.06.06]

• Wikipedia (2006). Wikipedia (2006). Algorithmus. Algorithmus. http://de.wikipedia.org/wiki/Algorithmus [07.06.06]http://de.wikipedia.org/wiki/Algorithmus [07.06.06]

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