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Technische Universität München WS 2007/08Zentrum Mathematik Blatt 9
Prof. Dr. F. RoeslerDr. Ch. KarpfingerDr. B. Schmidt
Analysis 1
Zentralübung
Z 9.1 Über das Wachstumsverhalten von exp und log.
a) Für alle k ∈ N gilt
limx→∞
ex
xk = ∞, limx→∞
xke−x = 0 und limx→0
xke1x = ∞.
b)limx→∞
log x = ∞ und limx→0
log x =−∞.
c) Für jede reelle Zahl α > 0 gilt
limx↘0
xα = 0, limx↘0
x−α = ∞, limx→∞
log xxα
= 0 und limx↘0
xα log x = 0.
Z 9.2 Man bestimme alle stetigen Funktionen, die der folgenden Funktionalgleichung genügen:
a) f : R→ R, f (x+ y) = f (x)+ f (y).
b) g : R∗+ → R, g(x+ y) = g(x)g(y).
c) h : R∗+ → R, h(xy) = h(x)h(y).
Z 9.3 a) Es seien I,J Intervalle und g : I → R, f : J → R Funktionen mit g(I)⊂ J. Man zeige:
(i) Sind f und g beide streng monoton wachsend oder beide streng monoton fallend, so istf ◦g streng monoton wachsend.
(ii) Ist eine der beiden Funktionen streng monoton wachsend und die andere streng monotonfallend, so ist f ◦g streng monoton fallend.
b) Sei h : I → R∗+ eine streng monoton wachsende (bzw. fallende) Funktion. Man zeige, dass 1h
streng monoton fällt (bzw. wächst).
Tutorübung
T 9.1 Die (stetigen) Funktionen
sinh : R→ R (Sinus hyperbolicus) und cosh : R→ R (Cosinus hyperbolicus)
sind definiert durch
sinh(x) :=12
(exp(x)− exp(−x)) , cosh(x) :=12
(exp(x)+ exp(−x)) .
Bitte wenden
Man zeige:
a) Für alle x ∈ R gilt sinh(−x) =−sinh(x) und cosh(−x) = cosh(x).
b) Die Funktion sinh ist streng monoton wachsend auf R und bildet R bijektiv auf R ab.
c) Die Funktion cosh ist streng monoton fallend auf (−∞,0], streng monoton steigend auf [0,∞)und bildet R+ bijektiv auf [1,∞) ab.
d) Für die Umkehrfunktionen
Arsinh : R→ R (Area cosinus hyperbolici) undArcosh : [1,∞)→ R (Area sinus hyperbolici)
gelten die Beziehungen
Arsinh(x) = log(
x+√
x2 +1)
, Arcosh(x) = log(
x+√
x2−1)
.
T 9.2 Man beweiselimx↘0
xx = 1
und folgere darauslimn→∞
n√
n = 1.
T 9.3 Man zeige: Die Reihe∞
∑k=2
1k logk
divergiert und die Reihe∞
∑k=2
1k(logk)2
konvergiert.
Tipp: Verwende das Verdichtungskriterium (s. T5.2).
Hausaufgaben (Abgabetermin: Mittwoch, 19.12.2007, 15:00 Uhr)
H 9.1 Beweisen Sie, dass die Abbildungen Re, Im : C→ R, gegeben durch z 7→ Re(z), z 7→ Im(z), stetigsind.
H 9.2 Man zeige, dass die Reihen
∞
∑n=2
log(
1− 1n2
)und
∞
∑n=2
log(
1+1n2
)konvergieren und berechne den Summenwert der ersten.
H 9.3 Seien a,b∈R, a < b, und f : [a,b]→ [a,b] eine monoton wachsende (aber nicht notwendig stetige)Funktion. Zeigen Sie, dass f einen Fixpunkt im Intervall [a,b] besitzt, d.h. dass es ein x0 ∈ [a,b]gibt mit f (x0) = x0.
H 9.4 Gibt es eine bijektive Abbildung f : [0,1]→ [0,1], die auf keinem Teilintervall monoton ist? Be-gründen Sie Ihre Antwort.
Aktuelle Informationen zu Vorlesung und Übungen finden Sie unter:
http://www-lm.ma.tum.de/an1m078/ .
