Technische Universität München WS 2007/08Zentrum Mathematik Blatt 9

Prof. Dr. F. RoeslerDr. Ch. KarpfingerDr. B. Schmidt

Analysis 1

Zentralübung

Z 9.1 Über das Wachstumsverhalten von exp und log.

a) Für alle k ∈ N gilt

limx→∞

ex

xk = ∞, limx→∞

xke−x = 0 und limx→0

xke1x = ∞.

b)limx→∞

log x = ∞ und limx→0

log x =−∞.

c) Für jede reelle Zahl α > 0 gilt

limx↘0

xα = 0, limx↘0

x−α = ∞, limx→∞

log xxα

= 0 und limx↘0

xα log x = 0.

Z 9.2 Man bestimme alle stetigen Funktionen, die der folgenden Funktionalgleichung genügen:

a) f : R→ R, f (x+ y) = f (x)+ f (y).

b) g : R∗+ → R, g(x+ y) = g(x)g(y).

c) h : R∗+ → R, h(xy) = h(x)h(y).

Z 9.3 a) Es seien I,J Intervalle und g : I → R, f : J → R Funktionen mit g(I)⊂ J. Man zeige:

(i) Sind f und g beide streng monoton wachsend oder beide streng monoton fallend, so istf ◦g streng monoton wachsend.

(ii) Ist eine der beiden Funktionen streng monoton wachsend und die andere streng monotonfallend, so ist f ◦g streng monoton fallend.

b) Sei h : I → R∗+ eine streng monoton wachsende (bzw. fallende) Funktion. Man zeige, dass 1h

streng monoton fällt (bzw. wächst).

Tutorübung

T 9.1 Die (stetigen) Funktionen

sinh : R→ R (Sinus hyperbolicus) und cosh : R→ R (Cosinus hyperbolicus)

sind definiert durch

sinh(x) :=12

(exp(x)− exp(−x)) , cosh(x) :=12

(exp(x)+ exp(−x)) .

Bitte wenden

Man zeige:

a) Für alle x ∈ R gilt sinh(−x) =−sinh(x) und cosh(−x) = cosh(x).

b) Die Funktion sinh ist streng monoton wachsend auf R und bildet R bijektiv auf R ab.

c) Die Funktion cosh ist streng monoton fallend auf (−∞,0], streng monoton steigend auf [0,∞)und bildet R+ bijektiv auf [1,∞) ab.

d) Für die Umkehrfunktionen

Arsinh : R→ R (Area cosinus hyperbolici) undArcosh : [1,∞)→ R (Area sinus hyperbolici)

gelten die Beziehungen

Arsinh(x) = log(

x+√

x2 +1)

, Arcosh(x) = log(

x+√

x2−1)

.

T 9.2 Man beweiselimx↘0

xx = 1

und folgere darauslimn→∞

n√

n = 1.

T 9.3 Man zeige: Die Reihe∞

∑k=2

1k logk

divergiert und die Reihe∞

∑k=2

1k(logk)2

konvergiert.

Tipp: Verwende das Verdichtungskriterium (s. T5.2).

Hausaufgaben (Abgabetermin: Mittwoch, 19.12.2007, 15:00 Uhr)

H 9.1 Beweisen Sie, dass die Abbildungen Re, Im : C→ R, gegeben durch z 7→ Re(z), z 7→ Im(z), stetigsind.

H 9.2 Man zeige, dass die Reihen

∞

∑n=2

log(

1− 1n2

)und

∞

∑n=2

log(

1+1n2

)konvergieren und berechne den Summenwert der ersten.

H 9.3 Seien a,b∈R, a < b, und f : [a,b]→ [a,b] eine monoton wachsende (aber nicht notwendig stetige)Funktion. Zeigen Sie, dass f einen Fixpunkt im Intervall [a,b] besitzt, d.h. dass es ein x0 ∈ [a,b]gibt mit f (x0) = x0.

H 9.4 Gibt es eine bijektive Abbildung f : [0,1]→ [0,1], die auf keinem Teilintervall monoton ist? Be-gründen Sie Ihre Antwort.

Aktuelle Informationen zu Vorlesung und Übungen finden Sie unter:

http://www-lm.ma.tum.de/an1m078/ .