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Zentralübung 22. Oktober 2008
Stefan Schmid @ TU München, 2008 2
• Uebungsstunde: Besprechung von Uebungsblatt 1
• Ein Beispiel / eine „Präsenzaufgabe“
• Ein paar Tipps zum neuen Blatt
• Fragen
Allgemeines
Stefan Schmid @ TU München, 2008 3
• Blatt 1: Zahlensysteme
• Schulrechnen: Ziffern {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} => Zehnersystem
• Computer: arbeitet mit Bits („0“ + „1“) => Zweiersystem (oder Systeme die Potenzen von 2 sind, z.B. 4er-System, 8er-System, 16er-System etc.)
• Effizienter!
• Eine kleine Einleitung zum Thema... (Folien © Prof. Diepold)
Blatt 1
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DISTRIBUTED COMPUTING
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DISTRIBUTED COMPUTING
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DISTRIBUTED COMPUTING
Blatt 1 – Aufgabe 1 (1)
222: nächst kleinere Zweierpotenz? 2^x?
2^8 = 256 -> zu hoch
2^7 = 128 -> ok!
Stefan Schmid @ TU München, 2008 10
Blatt 1 – Aufgabe 1 (2)
222: nächst kleinere Zweierpotenz? 2^x?
2^8 = 256 -> zu hoch
2^7 = 128 -> ok!
222 – 128 = 94
2^6 = 64 -> ok!
94 – 64 = 30
2^5 = 32 -> zu hoch
2^4 = 16 -> ok!
30 – 16 = 14
2^3 = 8 -> ok!
14 – 8 = 6
2^2 = 4 -> ok
6 – 4 = 2
2^1 = 2 -> ok
2 – 2 = 0
2^0 -> zu hoch
1
1
0
1
1
1
1
0
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Blatt 1 – Aufgabe 1 (3)
222: nächst kleinere Zweierpotenz? 2^x?
2^8 = 256 -> zu hoch
2^7 = 128 -> ok!
222 – 128 = 94
2^6 = 64 -> ok!
94 – 64 = 30
2^5 = 32 -> zu hoch
2^4 = 16 -> ok!
30 – 16 = 14
2^3 = 8 -> ok!
14 – 8 = 6
2^2 = 4 -> ok
6 – 4 = 2
2^1 = 2 -> ok
2 – 2 = 0
2^0 -> zu hoch
1
1
0
1
1
1
1
0
4 Bits zusammen
geben eine Hex-
Ziffer! (über Binär-
darstellung gehen)
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0000, 0001, 0010, 0011, ...., 1110, 1111
Umwandlung Binärdarstellung -> Hexadezimal
0, 1, 2, 3, ...., E, F
Stefan Schmid @ TU München, 2008 13
Blatt 1 – Aufgabe 1 (3)
222: nächst kleinere Zweierpotenz? 2^x?
2^8 = 256 -> zu hoch
2^7 = 128 -> ok!
222 – 128 = 94
2^6 = 64 -> ok!
94 – 64 = 30
2^5 = 32 -> zu hoch
2^4 = 16 -> ok!
30 – 16 = 14
2^3 = 8 -> ok!
14 – 8 = 6
2^2 = 4 -> ok
6 – 4 = 2
2^1 = 2 -> ok
2 – 2 = 0
2^0 -> zu hoch
1
1
0
1
1
1
1
0
D
E
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Blatt 1 – Aufgabe 1 (4)
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Blatt 1 – Aufgabe 1 (5)
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DISTRIBUTED COMPUTING
Blatt 1 – Aufgabe 1 (6)
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Aufgabe 2
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Stefan Schmid @ TU München, 2008 28
Blatt 2
• Logik und Boolesche Algebra
• Logik = erlaubt es, automatisch Schlussfolgerungen zu ziehen!
Stefan Schmid @ TU München, 2008 29
Blatt 2
• Keine Tipps...
• ... aber eine kleine Repetition!
Stefan Schmid @ TU München, 2008 30
NAND-Gatter
• Logik = Operatoren AND, OR und NOT
• Basis Operatoren, mit denen sich alle Aussagen formalisieren lassen.
• Jeder dieser Operatoren braucht einen eigenen Baustein / ein eigenes Gatter => kommt man auch mit weniger Operatoren aus?
• Mit NAND (not AND) kann man sowohl AND, OR und NOT simulieren! Also lassen sich alle Aussagen nur durch NAND ausdrücken!
Stefan Schmid @ TU München, 2008 31
NOR-Gatter
• Wie geht‘s mit NOR Gatter?
• Zum Beispiel das NOT?
NOT X = X NOR X (= NOT (X OR X) )
• Zum Beispiel das AND?
X AND Y = (X NOR X ) NOR (Y NOR Y)
• Ueberprüfen: mittels Wahrheitstabelle zum Beispiel! Oder mit
Umformen, z.B. zweimal de Morgan
Stefan Schmid @ TU München, 2008 32
Surjektiv, Injektiv, Bijektiv: Definitionen
• Eigenschaften von mathematischen Funktionen
• Surjektiv: jedes Element der Zielmenge wird mindestens einmal als Funktionswert angenommen, hat also mindestens ein Urbild. (rechtstotal)
Stefan Schmid @ TU München, 2008 33
Surjektiv, Injektiv, Bijektiv: Definitionen
• Injektiv: jedes Element der Zielmenge wird höchstens einmal als Funktionswert angenommen. Es werden also keine zwei verschiedenen Elemente der Definitionsmenge auf ein und dasselbe Element der Zielmenge abgebildet. (linkseindeutig)
Stefan Schmid @ TU München, 2008 34
Surjektiv, Injektiv, Bijektiv: Definitionen
• Bijektiv: verschiedene Elemente im Definitionsbereich gehen auf verschiedene Elemente im Zielbereich. Ist also injektiv und surjektiv, und immer invertierbar.
