Anhang: Fourier-Transformation

Die Fourier-Transformation tritt als wesentliches Hilfsmittel in diesem Buch auf, es sol­len deshalb hier die wichtigsten der benötigten Eigenschaften zusammengestellt werden. Ausführliche Abhandlungen zur Fourier-Analysis findet man z.B. in den Büchern [115] von Rudin und [140] von Yosida. Im folgenden sei f eine schnell fallende Funktion aus S(lRn ) oder eine Funktion aus L1(lRn ). Die Fourier-Transformierte von f ist erklärt als

wobei xT e = 2:;=1 Xlel ist. Mit (f, g) L2 = fEIn f( X )g( x) dx bezeichnen wir das Skalar­produkt auf L2 (lRn ). Es gilt die Parsevalsehe Relation

So kann die Fourier-Transformation auf L 2 (lRn ) und sogar auf den Raum der tem­perierten Distributionen S'(lRn ) fortgesetzt werden. Die Fourier-Transformation ist wegen der Parsevalschen Relation eine Isometrie auf L2(lRn ), sie wird also durch den adjungierten Operator invertiert; es gilt F-1 = F* mit

Die Relation (f,g)L' = (F*Ff,g)L2 = (Ff,Fgh. ist ausgeschrieben

und entsprechend folgt aus (F f, gh. = (f, F* gh. die Formel

Bezeichnen wir für hinreichend glatte Funktionen fund g mit f * g die Faltung von f und g, definiert als

(J*g)(x) = r f(y)g(x-y)dy= r f(X-y)g(y)dy, JEn JEn

298 Anhang: Fourier-Transformation

so ergibt die einfache Rechnung

(21r tn/21 (!*g)(:v)e-,,,,T{ de En

den Faltungssatz F(! * g) = (21rt/2 F/ Fg.

Für die in Kapitel 1.2 eingeführten affinen Operatoren gibt es einfache Zusammenhänge mit der Fourier-Transformation. Mit bE IRn folgt aus

r /(:v - b)e-,,,,T{ d:v = r /(y)e-'(Y+b)T{ dy JEn JEn

für den Translationsoperator Tb /(:v) = /(:v - b) die Relation

FTb = EbF,

wobei Eb eine Multiplikation gemäß Ebg(O = e-'b{g(O ist. Für a E IR, a i- 0, liefert

la l- n/2 1. J(a-l:v)e-,,,,Te dx = laln/2 r J(y)e-,yTae dy Rn JEn

für den Dilatationsoperator Da J(:v) = lal-n / 2 J( a-l:v) die Formel

FDa = Dl/aF.

Ist a E lNö ein Multiindex, :va = :v~' ... :v~n und

so gilt für die Ableitung nach e

d';e-,,,,T{ = (_z)lal:vae-,,,,T{ ,

damit haben wir da! = (_t)laIF(:vaf).

Die Ableitung der Fourier-Transformierten ist also die Fourier-Transformierte der Funktion 9 mit g(:v) = :va/(:v). Umgekehrt liefert für hinreichend glatte Funktio­nen / partielle Integration zusammen mit dem Verschwinden des Grenzwertes der Funktion / und ihrer Ableitungen für große Argumente

FWJ)(O (21rtn/2 r d~J(:v)e-,,,,Te d:v JEn

(21rtn/2(-1)lal r J(:v)d~e-,,,,Te d:v JEn

tlaleaF/(O .

Anhang: Fourier-Transformation 299

Die Fourier-Transformation der Ableitung geht also über in die Multiplikation der Fourier-Transformierten mit ihrem Argument

Basierend auf der Fourier-Transformierten der Funktion f definieren wir für s E IR folgende Normen

Ilfll, = (Ln (1 + leI 2)' If(ew de) 1/2,

wobei lel 2 = eTe für e E IRn bedeutet. Zunächst bezeichnen wir für s 2': 0 mit H'(IRn) den Sobolev-Raum

H'(IRn) = {f E L2(IRn) I Ilfll, < oo} .

Je größer der Index s, desto schneller muß i fallen, damit das Integral existiert. Es ergibt sich somit sofort die Einbettung H'+t(F) C H'(IRn) für t 2': O. Insbesondere ist wegen der Parsevalschen Relation HO(IRn) = L2(IRn). Für negatives s ist die gleiche Konstruktion möglich, statt fE p(IRn) starten wir nun von f E S'(IRn) :

Die Räume H'(IRn) und H-'(IRn) sind für s E IR Dualräume bezüglich des L2_

Skalarprodukts. Es sei nun f E Hmax("t)(IRn) und e E [O,lJ. Dann liefert die Anweadung der Hölder­schen Ungleichung

Ilfll~'+(1-8)t Ln (1 + leI 2)86+(1-8)tliw 2 de

Ln ((1 + leI2)'If(eW) 8 ((1 + leI 2)tlf(eW) 1-8 de

~ (Ln (1 + leI2)'If(ew de) 8 (Ln (1 + leI 2)tlf(eW de) 1-8 Ilfll!8 Ilfll:(1-8)

die Interpolationsabschätzung

IlfI18'+(1-8)t ~ Ilfll~llfll!-8 .

Ist 0 die Diracsche Delta-Distribution mit oyf = f(y), so ist Oy E S'(IRn) und 8y(O =

(21rtn/2e-·yTe, also 18Y{OI = (21rtn/2. Dies impliziert

Iloyll~ (21rtn r (1 + len' de JEtn (21r tnvol( sn-1) 1""(1 + r2)' rn- 1 dr ,

300 Anhang: Fourier-Transformation

und das letzte Integral ist endlich für s < -n/2. Wegen der Dualität der Sobolev­Räume und der Tatsache, daß die Delta-Distribution aus dem Dualraum der stetigen Funktionen ist, ergibt sich sofort der Sobolevsche Einbettungssatz

der zu H'(lRn) C Ck(lRn) für s > n/2 + k, k E !No,

verallgemeinert werden kann. Die obige Einbettung ist stetig.

Sowohl für Teilmengen n des lRn als auch für den lRn selbst wird häufig eine weitere Norm benutzt, insbesondere dann, wenn Differentialgleichungen studiert werden. Wir benutzen dasselbe Symbol wie oben, was durch eine Bemerkung nach der Definition gerechtfertigt wird. Für ganzzahliges m definieren wir

( )1/2

IlfIIH=(O) = L IId" flli.(o) . lal':::m

Es gilt wegen der Parsevalschen Relation

Aus

L Ileaflli. lal':::m

Ln ( L eali(ew) de· lal':::m

c1(1 + leI2)m:s L ea :s c2(1 + lel2)m lal':::m

folgt die Äquivalenz der beiden Normen.

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Index

Abbildung affin-lineare, 47

Abklingverhalten, 43, 44 Anisotropie, 124 Aubin-Nitsche-Trick, 254, 258

Basis-Funktion, 123 Battle-Lemarie--Wavelet, 137 Bilinearform, 252, 270

elliptische, 252 stetige, 253

biorthogonales System, 15 Bogenmaß, 290

numerisches, 291 B-Spline, 71, 137, 152

Cauchy-Ungleichung verschärfte, 276

CG-Verfahren, 263, 292 vor konditioniertes, 268, 295

charakteristische Funktion, 71 Cholesky-Zerlegung, 250, 264 Cohen-Kriterium, 143, 210 Coiflets, 202 Connection Coefficients, 271, 275, 279,

280, 286, 288

Daubechies-Skalierungsfunktion, 164 Daubechies-Wavelet, 136, 163, 164, 167,

171 Dilatation, 25 Dilatationsmatrix, 121-125 Distribution, 78

nicht reguläre, 45 reguläre, 70 temperierte, 70

Durchlaßbereich, 107

Einbettungsbereich, 290, 293 Einbettungssatz

Sobolevscher, 38, 75, 300 Einbettungsverfahren, 290 Eulersche Gamma-Funktion, 56, 161 Exponent

Hölder-, 172 kritischer, 173, 176

Faltungssatz, 26, 298 Faserraum, 69 Filter, 26, 156, 159

-operator, 29 Bandpaß-, 27, 33, 171 Conjugate Quadrature -, 160 Differenzen-, 29 diskreter, 160 endlicher, 160 Fourier-, 29, 114, 160, 164, 167, 171 Hochpaß-, 27 linearer Faltungs-, 26 Tiefpaß-, 27, 32, 107, 171

Fourier-Transformation, 44, 61, 297-299

gefensterte, 31, 51, 58 schnelle, 130

Fourier-Transformierte, 42 schnell abklingende, 97

Frame, 81, 93, 94 allgemeiner, 100 fester, 80, 94, 102 Pseudo-, 255, 256

Frequenzauflösung, 97, 102 Frequenzband, 104, 107, 171 Frequenzparameter , 28

Galerkin-Diskretisierung, 253, 269

INDEX

Wavelet-, 257, 269 Gibbs-Phänomen, 294 Gitter, 80, 98, 124

Quincunx-, 124, 125 Spalten-, 124 Zeilen -, 124

Glättungsparameter, 24 graphische Iteration, 151 Grenzschichten, 269, 294 Gruppe, 47

abelsche, 47 affin-lineare, 47, 48, 55, 78 affine, 25, 31 euklidische

mit Dilatation, 59 n-dimensionale, 59

lokalkompakte, 48, 50 orthogonale, 59 unimodulare, 50 Weyl-Heisenberg-, 31, 49, 57, 58

Gruppendarstellung, 47, 49, 54, 57 (stark) stetige, 47 irreduzible, 47 reduzible, 47 unitäre, 47

hölderstetige Funktion, 77, 78 Haar-Basis, 103 Haar-Maß, 48, 49

linksinvariantes, 48, 55, 59 rechtsinvariantes, 48, 55

Haar-Wavelet, 17, 28, 29, 43, 103, 109, 136, 159, 164

Heisenbergsche Unschärferelation, 29 Hilbert-Raum, 21, 50, 52, 78

mit reproduzierendem Kern, 73 separabler, 100

Hochfrequenzverhalten, 33

Isometrie, 15, 21, 51, 72 Isotropie, 124 Iteration

Landweber-, 101 Richardson-, 101

313

kompakter Träger, 136, 159, 163 Kompression digitalisiert er Bilder, 236 Kompressionsrate, 236 Kondition einer Matrix, 263 Konvergenz

lokale, 40 Konvergenzgeschwindigkeit

lokale, 40

Links-Transformation, 51, 55, 58

Mallat-Algorithmus, 127 periodisierter, 200

Mallat-Transformation periodische, 274

Matrix Iterations-, 276 positiv definite, 253 Steifigkeits-, 253, 271 zyklische, 272

Mexikanischer Hut, 18, 28, 99 Meyer-Wavelet, 42, 92-95, 97, 103, 120,

136 Momente

verschwindende, 164 Multi-Skalen-Analyse, 79, 103, 104,

107, 112, 114, 115, 118-120, 122, 139

eindimensionale, 123 mehrdimensionale, 121

Multi-Skalen-Zerlegung, 122, 171

Norm Energie-, 277 Operator-, 101

Normalverteilung, 99

Operator, 81 adjungierter, 15, 22, 26, 72 affiner, 26 Dilatations-, 25, 60 Dreh-,60 Faltungs-, 56 Frame-, 100 Glättungs-, 29

314

Impuls-,30 Lokalisierungs-, 15 Modulations-, 61 Positions-, 30 Translations-, 25, 60 unitärer, 46, 60, 61

orthogonale Zerlegung, 139 Orthogonalisierungsprozeß, 111, 119 Orthogonalitätsbedingung, 114, 136 Orthogonalitätsrelation, 23, 50, 54, 56 Orthogonalprojektor, 52, 106 Orthonormalbasis, 94, 107, 109, 115,

122, 139 orthonormales System, 109 Oszillation, 97

Parsevalsche Identität, 94, 116 Payley-Wiener

Satz von, 147 Penalisierungsparameter, 290 Penalisierungsverfahren, 290 penalty jfictitious domain formulation,

290 Phasenraum, 29

-darstellung, 15, 29 -gitter, 98 -lokalisierung, 32 -punkt, 32 gute -darstellung, 32

Poincare-Friedrichsche-Ungleichung, 252 Prä-Wavelet, 136 Prä-Wavelet-Transformation, 23 Projektor, 109

Qualitätssicherung, 231

Randwertprobleme, 251, 269 Regularisierung

Tikhonov-Phillips-, 250 Regularisierungsverfahren, 244 Rekonstruktion, 103

effiziente, 97 stabile, 102

Richtungsselektivität, 68

Riemannsche Funktion, 78, 227 Riesz-Basis, 104, 111, 122 Riesz-Kern, 56

INDEX

schwache Formulierung, 252, 269 Schwartz-Funktion, 66 Schwarz-Iteration

additive, 273, 275, 276, 287, 289 multiplikative, 279, 289

Shannonsches Abtasttheorem, 27 Singulärwertzerlegung, 187 Skalierungsfunktion, 105, 111, 120, 122

Daubechies-, 164 orthogonale, 113, 115, 119, 160 separable, 124 zweidimensionale, 123

Skalierungsgleichung, 106, 119, 124, 136, 140, 152, 159

Skalierungskoeffizienten, 119 Sobolev-Norm, 74, 299 Sobolev-Raum, 46, 69, 78, 252, 254, 299

lokaler, 77 mit periodischen Randbedingungen,

269 Spektralradius, 276 Sphäroid-Funktionen, 33 Spline

kubischer, 139 linearer, 139

Spline-Funktion, 137 Spline-Wavelet, 119, 136, 137, 234 Strang-Fix-Bedingung,l71

Tensorprodukt-Wavelet, 123 Transformation

affin-lineare, 54 Translation, 25, 121 translationsinvariant, 106

Unterraumkorrektur, 274

Vaguelettes, 186 variationelle Formulierung, 252

Wavelet, 15, 16, 20, 44, 56, 115-117

INDEX

-Zerlegung, 171 analysierendes, 23 Battle-Lemarie-, 137 biorthogonales, 136 Daubechies-, 136, 163, 164, 167, 171 diskretes, 63 duales, 136 Haar-, 17, 28, 29, 43, 103, 109, 136,

159, 164 kontinuierliches, 63 mehrdimensionales, 122 1ieyer-,42, 92-95, 97, 103,120,136 mit kompaktem Träger, 20 Ordnung eines, 34, 40 orthogonales, 113, 118, 119, 135,

136, 139, 163 Spline-, 119, 136, 137, 234 Tensorprodukt-, 123 zweidimensionales, 63, 64, 124

Wavelet-Analyse, 103 Wavelet-Basis, 103, 119

zweidimensionale, 124 Wavelet-Pakete,286 Wavelet-Synthese, 103 Wavelet-Transformation, 15, 33, 42, 44,

46, 56, 69, 78, 136 diskrete, 15, 44, 79 eindimensionale, 58 Inversionsformel, 15, 25, 56 kontinuierliche, 15, 23, 58 schnelle, 127, 130 zweidimensionale, 64, 68

Wavelet-Vaguelette-Zerlegung, 186, 189, 190

Wavelet-Wavelet-Zerlegung, 193, 195 Wavelets

auf dem Intervall, 199 biorthogonale, 178 mit kompaktem Träger, 41 periodisierte, 199

Youngsche Ungleichung, 42

Zoom-Effekt, 80

315

Zulässigkeitsbedingung, 16,46, 63

Teubner Studienbücher Mathematik Afflerbach: Statistik-Praktikum mit dem pe. DM 24,80/ÖS 194/SFr 24,80

AhlswedeiWegener: Suchprobleme. DM 37,-/ÖS 287,-/SFr 37,-

Aigner: Graphentheorie. DM 34,-/ÖS 265,-/SFr 34,-

Ansorge: Differenzenapproximationen partieller Anfangswertaufgaben. DM 32,-/ÖS 250,-/SFr 32,- (LAMM)

Behnen/Neuhaus: Grundkurs Stochastik. 2. Auft. DM 39,80/ÖS 311 ,-/SFr 39,80

Bohl: Finite Modelle gewöhnlicher Randwertaufgaben. DM 36,-/ÖS 281 ,-/SFr 36,- (LAMM)

Böhmer: Spline-Funktionen. DM 32,-/ÖS 250 ,-/SFr 32,-

Bröcker: Analysis in mehreren Variablen. DM 38,-/ÖS 297,-/SFr 38,­

Bunse/Bunse-Gerstner: Numerische Lineare Algebra. DM 38,-/ÖS 297,-/SFr 38,­

v. Collani: Optimale Wareneingangskontrolle. DM 29,80/ÖS 283,-/SFr 29,80

Collatz: Differentialgleichungen. 7. Auft. DM 38,-/ÖS 297,-/SFr 38,- (LAMM)

Collatz/Krabs: Approximationstheorie. DM 29,80/ÖS 233,-/SFr 29,80

Constantinescu: Distributionen und ihre Anwendungen in der Physik. DM 23,80/ÖS 186,-/SFr 23,80

Constantinescu/de Groote: Geometrische und algebraische Methoden der Physik: Supermannigfaltigkeiten und Virasoro-Algebren. DM 44,80/ÖS 350,-/SFr 44,80

Dinges/Rost: Prinzipien der Stochastik. DM 38,-/ÖS 297,-/SFr 38,­

Dufner/Jensen/Schumacher: Stastistik mit SAS. DM 42,-/ÖS 328,-/SFr 42,­

Fischer/Kaul: Mathematik für Physiker. Band 1: Grundkurs. 2. Auf!. DM 48,-/ÖS 375,-/SFr 48,-

Fischer/Sacher: Einführung in die Algebra. 3. Auf!. DM 28,80/ÖS 225,-/SFr 28,80

Floret: Maß- und Integrationstheorie. DM 39,80/ÖS 311 ,-/SFr 39,80

Gauß: Walsh-Funktionen für Ingenieure und Naturwissenschaftler. DM 36,80/ÖS 287,-/SFr 36,80

Großmann/Roos: Numerik partieller Differentialgleichungen. 2. Auf!. DM 49,80/ÖS 389,-/SFr 49,80

GroßmannITerno: Numerik der Optimierung. DM 36,80/ÖS 287,-/SFr 36,80

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Teubner Studienbücher Mathematik Hackbusch: Integralgleichungen. Theorie und Numerik. DM 38,-/ÖS 297,-/SFr 38,- (LAMM)

Hackbusch: Iterative Lösung großer schwachbesetzter Gleichungssysteme. 2. Aufl. DM 44,-/ÖS 350,-/SFr 44,- (LAMM)

Hackbusch: Theorie und Numerik elliptischer Diiferentialgleichungen. DM 38,-/ÖS 297,-/SFr 38,-

Hackenbroch: Integrationstheorie. DM 23,80/ ÖS 186,- / SFr 23,80

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Hässig: Graphentheoretische Methoden des Operations Research. DM 26,80/ÖS 209,-/SFr 26,80 (LAMM)

Hettich / Zencke: Numerische Methoden der Approximation und semi-infiniten Optimierung. DM 29,80/ÖS 233,-/SFr 29,80

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Jeggle: Nichtlineare Funktionalanalysis. DM 32,-/ÖS 250,-/SFr 32,­

Kali: Analysis für Ökonomen. DM 29,80/ÖS 233,-/SFr 29,80 (LAMM)

Kali: Lineare Algebra für Ökonomen. DM 26,80/ÖS 209,-/SFr 26,80 (LAMM)

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