Animationen im Internet

Zu einigen Kapiteln dieses Lehrbuches wurden zur Veranschaulichung desStoffes Animationen erstellt, die der Leser im Internet auf der Seite

http://www-tet.ee.tu-berlin.de/ElektromagnetischeFelder/

einsehen kann. Die folgende Auflistung gibt einen Überblick über die zurZeit verfügbaren Animationen mit Hinweis auf das entsprechende Kapitel imBuch.

Dielektrische Kugel im homogenen Feld (§ 4.3)Zweidimensionale Fourier-Entwicklung (§ 6.2.1)Randwertaufgabe in kartesischen Koordinaten (§ 6.2.1)Randwertaufgabe in Polarkoordinaten (§ 6.2.3)Fourier-Bessel-Entwicklung (§ 6.2.4)Geladener Rechteckleiter, Integralmethode (§ 6.4.1)Plattenkondensator, FDM (§ 6.4.2)Diffusion im Quader (§ 12.5.1)Diffusion im Zylinder (§ 12.5.2)Diffusionswelle (§ 12.7)Skineffekt im Rechteckleiter (§ 12.8)Magnetschwebebahn, Linearmotor (§ 12.10)Ebene Welle (§ 14.2)Rechteckhohlleiter (§ 14.5.1)Rechteckresonator (§ 14.5.1)Hertz’scher Dipol (§ 16.3)Feld einer bewegten Punktladung (§ 16.6)

Weitere Animationen sind in Arbeit.

H. Henke, Elektromagnetische Felder, DOI 10.1007/978-3-642-19746-8,© Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2011

Übersicht über Symbole und Einheiten

Symbol physikalische Größe EinheitA Arbeit J = VAs = WsA magnetisches Vektorpotential Vsm−1 (B=∇×A)

A (H=∇×A)

B magnetische Induktion T = Vsm−2

C Kapazität F = AsV−1

D dielektrische Verschiebung Asm−2

e Elementarladung C = AsE elektrische Feldstärke Vm−1

f Frequenz Hz = s−1

F Fläche m2

H magnetische Feldstärke Am−1

i, I Stromstärke AJ , Jmag Stromdichte Am−2

JF , JFmag Flächenstromdichte Am−1

k Kraftdichte Nm−3

K Kraft N = VAsm−1

L Induktivität H = VsA−1

m Masse kg = VAs3m−2

M Magnetisierung Am−1

O Oberfläche m2

P elektrische Polarisation Asm−2

pe elektrisches Dipolmoment Asmpm magnetisches Dipolmoment Am2

pV Verlustleistungsdichte Wm−3 = AVm−3

PV Verlustleistung W = AVq, Q Ladung C = As

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488 Übersicht über Symbole und Einheiten

Symbol physikalische Größe EinheitqL Linienladungsdichte Asm−1

qF , qFpol Flächenladungsdichte Asm−2

qV , qV pol Raumladungsdichte Asm−3

R elektrischer Widerstand Ω = VA−1

Rm magnetischer Widerstand Ss−1 = AV−1s−1

s Weg mS, Sk Poynting’scher Vektor Wm−2 = VAm−2

T Drehmoment J = Nm = VAsT Maxwell’scher Spannungstensor Nm−2 = VAsm−3

u, U elektrische Spannung VV Volumen m3

v Geschwindigkeit ms−1

we, wm Energiedichte Jm−3 = AVsm−3

We, Wm Energie J = AVsZ, ZL Wellenwiderstand Ω = VA−1

δS Eindringtiefe mε Dielektrizitätskonstante AsV−1m−1

φ elektrisches Skalarpotential Vφm magnetisches Skalarpotential Aκ elektrische Leitfähigkeit Sm−1 = AV−1m−1

λ Wellenlänge mμ Permeabilitätskonstante VsA−1m−1

τr Relaxationszeit sω Kreisfrequenz s−1

ω Winkelgeschwindigkeit s−1

ψe elektrischer Fluss C = Asψm, Ψm magnetischer Fluss Wb = Tm2

A=Ampere, C=Coulomb, F=Farad, H=Hertz, J=Joule, kg=Kilogramm,m=Meter, N=Newton, s=Sekunde, S=Siemens, T=Tesla, V=Volt, W=Watt,Wb=Weber, Ω=Ohm

Literaturverzeichnis

Mathematische Grundlagen

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Physikalische Grundlagen. Historie

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Umfassende Lehrbücher über die elektromagnetische Theorie

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Elektromagnetische Theorie

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490 Literaturverzeichnis

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[Zhou] Zhou, Pei-bai: Numerical analysis of electromagnetic fields. Springer, Berlin,1993.

Sachverzeichnis

Abschirmung, 271Absorbierende Randbedingungen, 484Äquipotentialflächen, 60Äquivalente Leitschichtdicke, 268Äther, 435Ampère’sches Gesetz, 45, 171Ampère, Maßeinheit, 173Analytische Funktion, 132Anpassung, einer Leitung, 362Ausbreitungskonstante– einer Leitung, 358Avancierte Lösung, 380

Barlowsches Rad, 247Basisfunktion, 462Basisvektor, 9Bernoulli, Produktansatz von, 115, 257Bessel’sche Differentialgleichung, 122Bessel-Funktion, 122– modifizierte, 123– sphärische, 342Betatron, 242Bewegungs-EMK, 241, 243Biot-Savart’sches Gesetz, 45, 174, 183Bloch-Wände, 199Bohr’sches Magneton, 191Boltzmann-Gesetz, 68Brechung, 312Brewster’scher Polarisationswinkel, 317

Cauchy-Riemann’sche Differentialglei-chungen, 130

Child-Langmuir-Gesetz, 227Clausius-Mosotti-Formel, 95Coulomb’sches Gesetz, 43Coulomb-Eichung, 379Coulomb-Integral, 63Courant– Stabilitätskriterium, 478Curie-Temperatur, 201cut-off-Frequenz, 326

D’Alembert’sche Lösungen derWellengleichung, 298, 380

Dämpfung– einer ebenen Welle, 431Dämpfungskonstante, 304Debye-Abschirmung, 68Debye-Relaxation, 426Diamagnetismus, 193Dielektrika, 425– polare, 87, 89– unpolare, 87, 88Dielektrische Verschiebung, 96Dielektrischer Wellenleiter, 322– Platte, 319– Rundstab, 338Dielektrizitätskonstante– im Vakuum, 43– komplexe, 316, 423– relative, 95– Tabelle, 96Differential, totales, 15Differentiation– zentrale, 148Differentiation, partielle, 15Diffusion, durch dünnwandige Leiter,253

Diffusionsgleichung, 249– in kartesischen Koordinaten, 258– in Zylinderkoordinaten, 261Diffusionskonstante, 259Diffusionswelle, 266Dipol– Energie im elektrischen Feld, 90– elektrischer, 60– Hertz’scher, 384– magnetischer, 181, 185Dipolmoment– elektrisches, 61– magnetisches, 174, 181Dipolmomentendichte, 88, 193Dipolstrahler

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492 Sachverzeichnis

– elektrischer, 381– magnetischer, 387Dirac’sche Deltafunktion, 34– dreidimensionale, 35– Filtereigenschaft, 35Dirichlet’sches Randwertproblem, 119Dispersion, 417– anomale, 421, 424– normale, 421, 424Dispersionsparameter, 433Dispersionsrelation, 306Dispersive Medien, 417Distribution, 35Divergenz, 17Doppelleitung über Erde, 83Doppelschicht– magnetische, 181Doppler-Effekt, 310– in relativistischer Formulierung, 456Drahtantenne, 390Drehimpulsdichte– elektromagnetische, 294Drehmoment– auf eine Stromschleife, 173Dualität, der Felder, 343Durchflutungssatz, 45, 169

E-Welle, 301– im Rechteckhohlleiter, 329Ebene Welle, 301, 302– Feldbild, 305– in dispersiven Medien, 431– Reflexion und Brechung, 312Ebener Feldpuls, 303Eichtransformation, 182, 378Eichung, 182Eigenfunktion, 119Eigenmasse, 445Eigenwelle, 321Eigenwert, 119Eigenwertproblem, 345Eigenzeit, 444Eindeutigkeitsbeweis, 114Eindringtiefe, 265– Tabelle, 268Einfallsebene, 313Eingangsimpedanz– einer Leitung, 362Einheitsvektor, 5Einschwingvorgänge– auf Leitungen, 370Elektrete, 87Elektrische Feldstärke, 43

Elektrische Flussdichte, 43Elektrischer Fluss, 43Elektrokardiogramm, 166Elektromagnet, 217Elektromotorische Kraft, 159elektronische Polarisierung, 89elektrostatische Linse, 227Elementarladung, 41EMK, 159– lokale, 160– verteilte, 160, 238Energie– elektrische, 104– magnetische, 211, 250, 281Energiedichte– elektrische, 105– magnetische, 212, 250– mittlere, 287Energieerhaltung, 285, 286Energieflussdichte, 286– mittlere, 287Energiegeschwindigkeit, 308EPR, 195Erdmagnetfeld, 235Erhaltungssätze, 284Euklidischer Raum– vierdimensionaler, 442Euler’sche Formel, 343

Faraday’sches Induktionsgesetz, 47, 238– differentielle Form, 245FDM, 147, 463– Zeitbereich, 476FDTD, 481FEL, 412Feld– elektrostatisches, 51– konservatives, 25– lokales, 93, 198– magnetostatisches, 52– quasistationäres, 52– skalares, 5– zeitlich beliebig veränderliches, 53– zeitlich langsam veränderliches, 53Feldbegriff, 293Feldlinien, 39Feldpuls, ebener, 303Feldstärke– elektrische, 43– magnetische, 202Feldstärketensor, 451Feldwellenwiderstand, 330FEM, 463

Sachverzeichnis 493

– in einer Dimension, 469– in zwei Dimensionen, 471Fermat’sches Prinzip, 314Fernfeld, 383Fernwirkung, 294Ferrite, 192Ferroelektrika, 98Ferromagnetismus, 199Finite-Differenzen-Methode, 147, 345,463

– Zeitbereich, 476Finite-Differenzen-Time-Domain, 481Finite-Elemente-Methode, 463, 465– in einer Dimension, 469– in zwei Dimensionen, 471Flächenelement, 12Flächenladung– kugelförmige, 57– rotierende, kugelförmige, 184Flächenladungsdichte, 41Flächenstromdichte, 42Fluss– elektrischer, 43– magnetischer, 183– verketteter, 209Flussdichte– elektrische, 43Flussintegral, 16Formfunktion, 472Fourier-Bessel-Entwicklung, 125, 263Fourier-Reihe, 118Fredholm’sche Integralgleichung, 269Freier-Elektronen-Laser, 412Fresnel’sche Beziehungen, 316Funktional, 466

Gütewert, 334Galerkin– Methode von, 465Galilei-Transformation, 239, 435Gauß– Satz von, 43, 58Gauß’scher Integralsatz, 25Gauß-Seidel Iteration, 150Gegeninduktivität, 208Gegenkapazität, 80Gewichtsfunktion, 119, 464Gitterdispersion, 477, 480Glasfaser, 339Gradient, 16Green’sche Integralsätze, 27Grenzfrequenz, 326Gruppengeschwindigkeit, 306, 433

H-Welle, 301– im Rechteckhohlleiter, 330Hauptsatz– der Integralrechnung, 24Helmholtz’sches Theorem, 36, 300Helmholtz-Gleichung, 265, 304, 327– in kartesischen Koordinaten, 328– in Kugelkoordinaten, 340– in Zylinderkoordinaten, 335Helmholtz-Spule, 175Hering, Versuch von, 247Hertz’scher Dipol, 384– Feldbild, 385– Fernfeld, 385– Nahfeld, 385– Strahlungsdiagramm, 387Hohlraumresonator, 332Hysteresekurve, 201Hystereseverluste, 250, 251

Impedanzinverter, 363Impulsdichte, elektromagnetische, 293Impulserhaltung, 290Impulserhaltungssatz, 293Impulsflussdichte, elektromagnetische,293

Induktionsgesetz, 47, 238– differentielle Form, 245Induktionsheizung, 274Induktivität, 208, 279– äußere, 210– innere, 210Inertialsystem, 435ionische Polarisierung, 89

Kapazität, 78Kartesische Koordinaten, 11Kathodenstrahlröhre, 224, 231Kausalität, 418Kelvin, 74Kernspinresonanz, magnetische, 195Kirchhoff’sche Knotenregel, 161, 219Kirchhoff’sche Maschenregel, 162, 219Koaxialkabel– Kapazitätsbelag, 73, 136– Leistungstransport, 288– Selbstinduktivität, 214– TEM-Welle, 336Koerzitivfeld, 201– Tabelle, 252Kohärenzlänge– der Synchrotronstrahlung, 412Komplexer Zeiger, 264

494 Sachverzeichnis

Komplexes Potential, 133, 186Kondensator, 77Konforme Abbildung, 129, 133Konservatives Feld, 25Kontinuitätsgleichung, 50, 157, 285Koordinatensystem, 9– orthogonales, 9Kraft– im elektrischen Feld, 107– im elektromagnetischen Feld, 292– im magnetischen Feld, 215Kraftdichte– im elektrischen Feld, 109– im elektromagnetischen Feld, 292Kramers-Kronig-Relationen, 419, 420Kreuzprodukt, 7Kronecker-Symbol, 118Kugel– dielektrische, im homogenen Feld, 98– homogen magnetisierte, 197– homogen polarisierte, 92Kugelfunktion, 127Kugelkoordinaten, 13

Längenkontraktion, 439Ladungserhaltung, 284λ/4-Transformator, 363Laplace-Gleichung, 66– in kartesischen Koordinaten, 116– in Kugelkoordinaten, 127– in Zylinderkoordinaten, 121Laplace-Operator, 23– vierdimensionaler, 448Larmor-Formel, 402Larmor-Frequenz, 193Larmor-Radius, 230Leckwellen, 339Legendre’sche Differentialgleichung,127

Legendre’sche Polynome, 63, 128Leitende Körper, 71Leiter, 427– ideale, 429Leitfähigkeit, 427Leitfähigkeit, elektrische, 158– Tabelle, 158Leitung– als Schaltungselement, 362– angepaßte, 362– Eingangsimpedanz, 362– Einschwingvorgänge, 370– mit niedrigen Verlusten, 360– Reflexionsfaktor, 362

– verlustlose, 359– verzerrungsfreie, 360Leitungsgleichungen, 356– Ersatzschaltbild, 357– mit Verlusten, 357– zeitharmonische, 358Leitungswellenwiderstand, 358Lenz’sche Regel, 242Levitation, 274Liénard-Wiechert-Potentiale, 393, 395Lichtaberration, 456Lichtgeschwindigkeit, 46, 302Liebmann Iteration, 150Lineare Medien, 418Linearmotor, 274Liniendipol– magnetischer, 187Linienladung– ringförmige, 56– unendlich lange, 65Linienladungsdichte, 41Linienstrom, 42– unendlich langer, 174, 186London’sche Eindringtiefe, 430– Tabelle, 430London’sche Gleichungen, 430London’sche Theorie, 429Lorentz-Drude-Resonatormodell, 422Lorentz-Kraft, 45, 172Lorentz-Skalare, 444Lorentz-Transformation, 439– als Orthogonaltransformation, 441Lorenz-Eichung, 300, 379

Magnetfeld– der Erde, 235Magnetische Feldstärke, 202magnetische Flasche, 235Magnetische Induktion, 45Magnetische Spannung, 219Magnetischer Fluss, 183Magnetischer Kreis, 218, 220magnetischer Spiegel, 233, 234Magnetischer Strom, 219Magnetischer Widerstand, 219Magnetisierbare Materie, 191Magnetisierter Körper, 195Magnetisierung, 192– spontane, 200Magnetisierungsflächenstromdichte,197

Magnetisierungsstromdichte, 196Magnetismus

Sachverzeichnis 495

– als relativistisches Phänomen, 456Magnetomotorische Kraft, 219Magnetschwebebahn, 275Materie– antiferromagnetische, 192– diamagnetische, 191– dielektrische, 87– ferrimagnetische, 192– ferroelektrische, 87– ferromagnetische, 192– hart magnetische, 252– magnetisierbare, 191– paramagnetische, 192– weich magnetische, 252Maxwell’s Gleichung, 48Maxwell’sche Gleichungen, 49– Differentialform, 50– Diskretisierung, 481– in linearer Materie, 284– Integralform, 49– mit eingeprägten Quellen, 377– quellenfreie, 297Maxwell’scher Spannungstensor, 290,291

Meissner-Ochsenfeld-Effekt, 429Metrikfaktoren, 12Michelson-Morley-Experiment, 436Minkowski-Raum, 443Mod, 319, 321, 331Momentenmethode, 463Multipolentwicklung, 60

Nabla-Operator, 21Neukurve, 201Neumann’sche Formel, 209Neumann’sches Randwertproblem, 119Neumann-Funktion, 122NMR, 195Norm, 120Normalkomponente, 7Numerische Integration, 29Numerische Simulation, 142, 462

Oberflächenintegral, 16Oberflächenwelle, 319Oberflächenwiderstand, 268Oersted, 45Ohm’sches Gesetz, 52, 158Orthogonalitätsrelation, 118– für Bessel-Funktionen, 125Orthonormal, 120Ortsvektor, 10

parachsiale Näherung, 227

Parallelplattenleitung, 323, 326– numerische Behandlung, 343Paramagnetische Elektronenresonanz,195

Paramagnetismus, 194Parseval’sche Gleichung, 121Partielle Differentiation, 15Permanentmagnet, 205Permeabilitätskonstante– im Vakuum, 46, 173– relative, 202– Tabelle, 203Phasengeschwindigkeit, 306– einer ebenen Welle, 431Phasenkonstante, 305Phasor, 264Plancksche Konstante, 191Plasma, 69, 427Plasmafrequenz, 69, 70, 423Plasmaschwingungen, 69Plattenkondensator, 78– Kraft, 108– mit Dielektrikum, 97– mit geschichtetem Dielektrikum, 108– zweidimensionaler, 149pn-Übergang, 67Point-Matching-Methode, 463, 465Poisson-Gleichung, 66– vektorielle, 182Polarisation– einer Welle, 309– – elliptische, 310– – lineare, 309– – parallele, 316– – senkrechte, 315– – zirkulare, 309– elektrische, 88Polarisationsflächenladung, 92Polarisationsraumladung, 92Polarisationsstromdichte, 97Polarisierbarkeit, 89Polarisierte Körper, 91Polarisierung– elektronische, 89– ionische, 89Potential– elektrisches, 59– komplexes, 133, 186Potentialkoeffizienten, 81Poynting’scher Satz, 285, 286– komplexer, 286, 287Poynting’scher Vektor, 286– komplexer, 287

496 Sachverzeichnis

Probefunktion, 462Produkt– äußeres, 7– inneres, 6– vektorielles, 7Punktladung, 41, 55– beliebig bewegte, 392– gleichförmig bewegte, 290, 399, 452– oszillierende, 400Punktprodukt, 6

Q-Wert, 334Quadrupollinse, elektrostatische, 135Quantenzahl, 191

Randbedingungen– an leitenden Oberflächen, 71Randwertproblem– Dirichlet’sches, 119– gemischtes, 119– Neumann’sches, 119Raumladung– kugelförmige, 64– zylindrische, 58Raumladungsdichte, 42Raumwinkel, 178Rechte Handregel, 7Rechteckhohlleiter, 328– E-Wellen, 329– Feldbilder, 332– H-Wellen, 330Rechteckhohlraumresonator, 332Rechteckleiter– geladener, 143– Skineffekt im, 268Reflexion, 312– am ideal leitenden Halbraum, 323– am metallischen Halbraum, 322– Verschwinden der, 317Reflexionsfaktor, 315, 316– einer Leitung, 362Reguläre Funktion, 132Relativistischer Faktor, 406Relativistisches Prinzip, 238, 441Relativitätstheorie– spezielle, 435Relaxation– Debye-, 426– dielektrische, 426Relaxationszeit, 165, 426Remanenz, 201– Tabelle, 252Residuensatz, 419

Retardierte Lösung, 380Retardierte Zeit, 380Retardiertes Skalarpotential, 381Retardiertes Vektorpotential, 381Richtdiagramm, 386– der Synchrotronstrahlung, 409, 410Riemann’sche Fläche, 137Rotation, 18Ruhemasse, 445Rundhohlleiter, 336

Sättigungsmagnetisierung, 201Schirmfaktor, 272Schwarz’scher Vertauschungssatz, 24Schwarz-Christoffel-Abbildung, 139Schwarz-Christoffelsche Gleichung, 140Selbstinduktivität, 210– äußere, 210, 214– einer Toroidspule, 211– einer Zweidrahtleitung, 215– eines Koaxialkabels, 214– innere, 210, 214Separation– der Diffusionsgleichung, 257– der Helmholtz-Gleichung, 327– der Laplace-Gleichung, 115Separationskonstante, 116, 119Singulärer Punkt, 133Skalarpotential, 248– elektrisches, 59– magnetisches, 177– retardiertes, 381Skalarprodukt, 6Skineffekt, 265, 322– im Rechteckleiter, 268Skintiefe, 265, 266Smith-Diagramm, 365Snellius, Gesetz von, 314Spannungs-Reflexions-Diagramm, 371Spannungstensor, 290, 291Spatprodukt, 8Spezielle Relativitätstheorie, 435Spiegelung– am leitenden Halbraum, 74– am leitenden Zylinder, 77– an der leitenden Kugel, 75– an dielektrischen Grenzflächen, 100– an permeablen Grenzflächen, 205– an zwei leitenden Ebenen, 76– im stationären Strömungsfeld, 163Spiegelungsmethode, 74Stationäres Strömungsfeld, 155, 157Stehwellenverhältnis, 364

Sachverzeichnis 497

Stetigkeitsbedingungen– an dielektrischen Grenzflächen, 97– an permeablen Grenzflächen, 203– im elektromagnetischen Feld, 311– im stationären Strömungsfeld, 163Stokes’scher Integralsatz, 28Strömungsfeld– stationäres, 52Strahlung, 377Strahlungsdämpfung, 403Strahlungsdiagramm, 386Strahlungsdruck, 309Strahlungseichung, 379Strahlungsfeld, 383Strahlungswiderstand, 390Stromdichte, 42, 155Stromfunktion, 130Sturm-Liouville-System, 119Summenregel, 421Superposition, 55, 60Supraleiter, 429– Hochtemperatur-, 431Suszeptibilität– elektrische, 95– magnetische, 199Synchrotronstrahlung, 404– abgestrahlte Leistung, 406– Kohärenzlänge, 412– kritische Frequenz, 412– Richtdiagramm, 409, 410

Tangentialkomponente, 7TE-Welle, 301Teilkapazität, 80Telegraphengleichung, 357TEM-Welle, 301, 327, 352TEM-Wellenleiter, 351Tensor, 291Thomson-Streuung, 403TM-Welle, 301Toroidspule, 170– Selbstinduktivität, 211Totales Differential, 15Totalreflexion, 317– Grenzwinkel, 318Transformation– elektromagnetischer Felder, 450– lineare, orthogonale, 443Transformator-EMK, 241Transmissionsfaktor, 315, 316

Überrelaxationsverfahren, 150Unipolarmaschine, 246

Vakuumdiode, 225Variationsrechnung, 466Vektor, 5– Komponenten, 9Vektoranalysis, 15Vektorfeld, 5, 36Vektorpotential, 248– für E-und H-Wellen, 300– magnetisches, 182– retardiertes, 381Verlustleistungsdichte, 159– mittlere, 287Verschiebungstrom, 48Verschiebungstromdichte, 48Verzweigungspunkt, 137Verzweigungsschnitt, 137Viererdivergenz, 449Vierergradient, 449Vierervektor– der Geschwindigkeit, 444– der Potentiale, 448– der Stromdichte, 447– der Wellenzahl, 455– des Impulses, 445– elektromagnetischer, 446– Ortsvektor, 443Virtuelle Verrückung, 107, 216Vollständigkeitsrelation, 120, 121Volumenelement, 12Vorwärtsdifferentiation, 148

Wassermolekül, 89Wechselstromgenerator, 244Wegelement, 12Wegintegral, 15Weiß’sche Bezirke, 201Weiland, 481Welle– ebene, 301, 302– zeitharmonische, 304Wellengleichung– der schwingenden Saite, 299– homogene, 297, 299– inhomogene, 379Wellenleiter– dielektrische Platte, 319– dielektrischer Rundstab, 338– für TEM-Wellen, 351– Parallelplattenleitung, 323– Rechteckhohlleiter, 328– Rundhohlleiter, 336Wellentyp, 319Wellenvektor, 307

498 Sachverzeichnis

Wellenwiderstand, 302– einer Leitung, 358Wellenzahl– komplexe, 304Wirbelfeld, 20, 24Wirbelströme, 274Wirkungsgrad einer Antenne, 390

Yee– Methode von, 481

Zeitdilatation, 439zentrale Differentiation, 148Zweidrahtleitung– Selbstinduktivität, 215Zyklotron, 232Zyklotronfrequenz, 229, 230, 232Zylinderfunktion, 122– modifizierte, 123Zylinderkoordinaten, 13

Wichtige Formeln

Vektoridentitäten

Dreifachprodukte

(A×B) ·C = (C ×A) ·B = (B ×C) ·A

A× (B ×C) = B(A ·C) −C(A ·B)

(A×B) · (C ×D) = (A ·C)(B ·D) − (A ·D)(B ·C) .

Einfache Ableitungen

∇(φψ) = ψ∇φ + φ∇ψ

∇(A ·B) = A× (∇ ×B) +B × (∇ ×A) + (A · ∇)B + (B · ∇)A

∇ · (φA) = A · ∇φ + φ∇ ·A

∇ · (A×B) = B · (∇ ×A) −A · (∇ ×B)

∇ × (φA) = ∇φ ×A+ φ∇ ×A

∇ × (A×B) = (B · ∇)A−B(∇ ·A) +A(∇ ·B)− (A · ∇)B

Zweifache Ableitungen

∇ · (∇ ×A) = 0 , ∇ × (∇φ) = 0

∇ × (∇ ×A) = ∇(∇ ·A)− ∇2A

H. Henke, Elektromagnetische Felder, DOI 10.1007/978-3-642-19746-8,© Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2011

Integralsätze

Gau߈V

∇ ·A dV =˛O

A · dFˆV

∇φdV =˛O

φdF

ˆV

∇ ×B dV = −˛O

B × dF

GreenˆV

[φ∇2ψ +∇φ · ∇ψ

]dV =

˛O

φ∇ψ · dFˆV

[φ∇2ψ − ψ∇2φ

]dV =

˛O

[φ∇ψ − ψ∇φ] · dF

StokesˆF

(∇ ×A) · dF =˛S

A · dsˆF

∇φ × dF = −˛S

φds

Differentialoperatoren in verschiedenen Koordinaten

Kartesische Koordinaten (x, y, z)

ds = dxex + dy ey + dz ez , dV = dxdy dz

∇φ = ∂φ

∂xex +

∂φ

∂yey +

∂φ

∂zez

∇ ·A = ∂Ax

∂x+ ∂Ay

∂y+ ∂Az

∂z

∇ ×A =(

∂Az

∂y− ∂Ay

∂z

)ex +

(∂Ax

∂z− ∂Az

∂x

)ey +

+(

∂Ay

∂x− ∂Ax

∂y

)ez

∇2φ = ∂2φ

∂x2 +∂2φ

∂y2 + ∂2φ

∂z2

Zylinderkoordinaten (�, ϕ, z)

x = � cosϕ , y = � sinϕ

ds = d� e� + � dϕeϕ + dz ez , dV = � d� dϕdz

∇φ = ∂φ

∂�e� +

1�

∂φ

∂ϕeϕ +

∂φ

∂zez

∇ ·A = 1�

∂(�A�)∂�

+ 1�

∂Aϕ

∂ϕ+ ∂Az

∂z

∇ ×A =(1�

∂Az

∂ϕ− ∂Aϕ

∂z

)e� +

(∂A�

∂z− ∂Az

∂�

)eϕ +

+1�

(∂(�Aϕ)

∂�− ∂A�

∂ϕ

)ez

∇2φ = 1�

∂

∂�

(�

∂φ

∂�

)+ 1

�2∂2φ

∂ϕ2 +∂2φ

∂z2

Kugelkoordinaten (r, ϑ, ϕ)

x = r sinϑ cosϕ , y = r sinϑ sinϕ , z = r cosϑ

ds = dr er + r dϑ eϑ + r sinϑ dϕeϕ , dV = r2 sin ϑ dr dϑ dϕ

∇φ = ∂φ

∂rer +

1r

∂φ

∂ϑeϑ +

1r sinϑ

∂φ

∂ϕeϕ

∇ ·A = 1r2

∂(r2Ar)∂r

+ 1r sin ϑ

∂(Aϑ sinϑ)∂ϑ

+ 1r sinϑ

∂Aϕ

∂ϕ

∇ ×A = 1r sinϑ

(∂(Aϕ sin ϑ)

∂ϑ− ∂Aϑ

∂ϕ

)er +

+1r

(1

sinϑ

∂Ar

∂ϕ− ∂(rAϕ)

∂r

)eϑ +

+1r

(∂(rAϑ)

∂r− ∂Ar

∂ϑ

)eϕ

∇2φ = 1r2

∂

∂r

(r2 ∂φ

∂r

)+ 1

r2 sinϑ

∂

∂ϑ

(sin ϑ

∂φ

∂ϑ

)+ 1

r2 sin2 ϑ

∂2φ

∂ϕ2

Formeln der Elektrodynamik

Maxwell’sche Gleichungen

∇ ×H = J + ∂D

∂t, ∇ ×E = −∂B

∂t

∇ ·D = qV , ∇ ·B = 0

Materialgleichungen

D = ε0E + P , B = μ0(H +M)

lineare Medien: P = ε0χeED = εE

,M = χmHB = μH

, J = κE

Potentiale E = −∇φ − ∂A

∂tB = ∇ ×A

Lorentz-Kraft K = Q(E + v ×B)

Energiedichte w = 12E ·D + 1

2H ·B

w = 14E ·D∗ + 1

4H ·B∗

Poynting’scher Vektor S = E ×H

Sk =12E ×H∗

Impulsdichte im Vakuum pem = μ0ε0S

Konstanten

Vakuum

Dielektrizitätskonstante ε0 = 8.854 · 10−12 As/VmPermeabilitätskonstante μ0 = 4π · 10−7 Vs/AmLichtgeschwindigkeit c0 = 1/

√μ0ε0 = 2.9979 · 108m/s

Wellenwiderstand Z0 =√μ0/ε0 = 376.7Ω

Elektronenladung e = 1.602 · 10−19 AsElektronenmasse me = 9.11 · 10−31 kgProtonenmasse mp = 1.67 · 10−27 kg