Arbeitstitel: iBruLe, Lernen mit dem Tablet-PC: Eine ... · Eine Pizza wird in acht gleich große Stücke geteilt. Mia nimmt davon drei Stücke. Man sagt: „3 Achtel“, und schreibt

HochReinholdWernerReissRichter-Gebert

Gefördert von der Heinz-Nixdorf-Stiftung

Bruchrechnen. Bruchzahlen & Bruchteile greifen & begreifen3. überarbeitete Auflage

Stefan Hoch,Frank Reinhold,Bernhard Werner,Kristina Reiss,Jürgen Richter-Gebert

Technische Universität München, 2018.

Gefördert von der Heinz Nixdorf-Stiftung

Lizenzierung:

Dieses Werk ist lizenziert unter einer Creative Commons Namensnennung – Nichtkommerziell – Keine Bearbeitungen 4.0 International Lizenz.

Vorgeschlagene Zitation:

Hoch, S., Reinhold, F., Werner, B., Reiss, K. & Richter-Gebert, J. (2018). Bruchrech-nen. Bruchzahlen & Bruchteile greifen & begreifen (3. Aufl.). München, TechnischeUniversität München. doi:10.14459/2018md1436808

Digitale Version:

Hoch, S., Reinhold, F., Werner, B., Reiss, K. & Richter-Gebert, J. (2018). Bruchrech-nen. Bruchzahlen & Bruchteile greifen & begreifen [Apple iBooks Version] (4. Aufl.).München, Technische Universität München.

Technische Universität MünchenTUM School of EducationHeinz Nixdorf-Stiftungslehrstuhl für Didaktik der Mathematik

Arcisstraße 2180333 München

www.ma.edu.tum.de

Vorwort

Liebe Lehrkräfte, liebe Schülerinnen und Schüler, liebe Eltern,

in unserem Forschungsprojekt ALICE:Bruchrechnen haben wir den Einfluss von Tablet-PCs im Mathematikunterricht der sechsten Jahrgangsstufe untersucht. Dabei sind zweiunterschiedliche Lehrbücher entstanden: Eine digitale und interaktive Version für denEinsatz auf iPads und ein klassisches Arbeitsbuch in Papierform mit vielen Bildernund kurzen Texten. In beiden Lehrbüchern steht die Vermittlung eines intuitiven Ge-spürs für Bruchzahlen im Vordergrund.

Unsere Untersuchungen ergeben, dass sich beide Mathematikbücher für den Schulun-terricht sehr gut eignen. Daher freuen wir uns, Ihnen und euch nicht nur das digitaleSchulbuch (Link unten), sondern auch dieses Arbeitsbuch zur Verfügung stellen zukönnen, das für einen Druck auf DIN A5 Papier optimiert wurde.

Wir denken, dass ein intuitiver Zugang zu Bruchzahlen das Bruchrechnen erleichternkann und hoffen, dass Ihnen und euch das Arbeiten mit unserem Lehrwerk viel Freudebereitet.

München im Mai 2018Stefan Hoch, Frank Reinhold und Bernhard Werner

Die digitale Version des Schulbuches kann kostenfrei unter http://go.tum.de/623496heruntergeladen werden.

3

http://go.tum.de/623496

Vorworte der interaktiven Auflage

Alice was beginning to get very tired of sitting by her sister on the bank,and of having nothing to do: once or twice she had peeped into thebook her sister was reading, but it had no pictures or conversations init, “and what is the use of a book,” thought Alice “without pictures orconversation?”

So beginnt Lewis Carroll sein berühmtes Buch Alice in Wonderland.

Unser Buch zu Bruchzahlen hat zwar kaum Dialoge, aber dafür um so mehr Bilder –mehr noch – interaktive Bilder. Wir haben bei der Konzeption dieses iBooks konse-quent darauf geachtet, wo immer es möglich war, das manchmal etwas sperrige The-ma der Bruchzahlen – das zugegebenermaßen auch unintuitiv sein kann . . . „Ist 13

15 jetztgrößer oder kleiner als 7

8 ?“ – mit Bildern, Animationen und Interaktionen zu verknüp-fen. Unser Buch zu Bruchzahlen ist ein interaktives Arbeitsbuch geworden, in dem esviel zu tun gibt. Aufgaben – und natürlich auch Spiele – können direkt auf dem iPadbearbeitet und gespielt werden. Lösungsfelder können direkt mit dem Finger in ei-gener Handschrift ausgefüllt werden – immer vorausgesetzt, sie ist einigermaßen les-bar.

Auf diese Weise ist dieser kleine Band in zweifacher Weise zum Experiment gewor-den. Ein fachdidaktisches Experiment, das ist klar, aber auch ein technologisches Ex-periment. Ich glaube, wir können guten Gewissens sagen, dass wir versucht haben einiBook der ganz besonderen Art zu schreiben. Eben ein interaktives, mit eingebautenLernhilfen, Spielen, Aufgaben, Visualisierungen, Memories, in dem Pizza und Scho-kolade verteilt werden müssen.

Wir wünschen den Leserinnen und Lesern mindestens ebenso viel Spaß, wie wir beimAustüfteln der Aufgaben hatten.

München im März 2018Jürgen Richter-Gebert

4

Bruchrechnen. Bruchzahlen & Bruchteile greifen & begreifen

Inhaltsverzeichnis

Eine Pizza wird geteilt 6

Den Anteil von etwas berechnen 24

Pizza und Schokolade verteilen 36

Verschiedene Brüche mit gleichem Wert 48

Brüche auf dem Zahlenstrahl 66

Mehr als ein Ganzes 82

Welcher Bruch ist größer? 92

5

Eine Pizza wird geteilt

Eine Pizza wirdgeteilt

Anna möchte eine Pizza mit ihren fünf Freundinnen tei-len. Sie schneidet sie in gleich große Stücke.

6


Aufgabe 1 Was stimmt?

� Jedes Mädchen bekommt ein Sechs-tel der Pizza.

� Man kann die Pizza gerecht auf sechsPersonen verteilen.

� Man braucht mindestens sechst Schnit-te, um die Pizza so aufzuteilen.

� Vier der Stücke ergeben eine halbePizza.

� Die Pizza wurde in sechs Stücke ge-teilt.

7


Hier siehst du die Pizza noch einmal.

8


Aufgabe 2 Kannst du erklären, wie Anna geschnittenhat? Schreibe deine Antwort auf und vergleiche dann mitdeinem Banknachbarn.

9


Brüche schreiben

Eine Pizza wird in acht gleich große Stücke geteilt. Mianimmt davon drei Stücke.

Man sagt: „3 Achtel“, und schreibt kurz:

3

8

Zähler

Bruchstrich

Nenner

In der neuen Schreibweise 38 kommen zwei Zahlen mit un-

terschiedlicher Bedeutung vor:

„Die Acht sagt, in wie viele gleich große Teile man diePizza teilt. Die Drei gibt an, wie viele dieser Teile mandavon nimmt.“

10


11


Aufgabe 3 Eine Tafel Schokolade hat zwölf Stücke. Tomnimmt sieben Stücke.

Fülle den Lückentext aus.

Man sagt: „7 “und schreibt kurz:

7

12

„Die sagt, in wie viele gleich große Teile man

die Schokolade teilt. Die gibt an, wie viele

dieser Teile man davon nimmt.“

12


Aufgabe 4 Vergleiche deine Lösung jetzt mit deinemBanknachbarn. Stellt euch anschließend ähnliche Aufga-ben mit runden Pizzen und rechteckigen Schokoladen.

13


Merke

Teile von Ganzen können in der Bruchschreibweise ge-schrieben werden:

• Der Nenner gibt an, in wie viele gleich große Teiledas Ganze zerlegt wird.

• Der Zähler sagt, wie viele dieser Teile genommenwerden.

• Zähler und Nenner werden durch den Bruchstrichgetrennt.

Man sagt: „3 Viertel“, und schreibt:

3

4

Zähler

Bruchstrich

Nenner

14


Und noch ein Hinweis Der Zähler kann kleiner, gleichoder auch größer als der Nenner sein, z. B.:

34

44

54

74

Solche Brüche bezeichnen mehr als ein Ganzes.

15


Aufgabe 5 Wie liest du den Bruch?

a) 12

b) 23

c) 47

d) 1213

e) 2839

f) 5171

Aufgabe 6 Schreibe als Bruch.

a) drei Achtel

b) zwei Siebzehntel

c) elf Vierzehntel

d) neun Fünfzigstel

e) neunzehn Dreiundzwanzigstel

f) dreißig Einhundertstel

16


Aufgabe 7 Welcher Bruch ist hier dargestellt?

a) b) c)

d) e) f)

g) h) i)

17


Aufgabe 8 Markiere den Anteil des Rechtecks farbig.

a)14

b)46

c)1116

d)59

e)7

12f)

1320

Aufgabe 9 Markiere den Anteil des Kreises farbig.

a)14

b)37

c)59

18


d)712

e)58

f)26

Aufgabe 10 Markiere den Anteil des Kreises farbig. Ver-wende weder Geodreieck noch Lineal.

a)13

b)34

c)56

d)512

e)23

f)57

19


Aufgabe 11 Markiere den Anteil des Balkens farbig.Verwende weder Geodreieck noch Lineal.

a)13

b)34

c)56

d)57

e)23

f)710

g)68

h)512

20


Aufgabe 12 Stelle die Brüche 12, 2

3, 56, 3

8, 712 und 13

20 in jeeinem Rechteck dar.

21


Aufgabe 13

a) Umrande 58 der Figuren. b) Umrande 3

8 der Pepperonis.

c) Umrande 46 der Orangen. d) Umrande 5

9 der Eier.

22


Aufgabe 14 Bastle mit deinem Banknachbarn ein Bruch-Memory. Notiere auf den Karten jeweils den Anteil in derBruchschreibweise und auf einer anderen Karte als Bild.

23

Den Anteil von etwas berechnen

Den Anteil von etwasberechnen

Eine Wasserkaraffe füllen In diese Karaffe passt ein Li-ter Wasser. Sie ist nicht ganz gefüllt. Du kannst ablesen,welcher Bruchteil sich in der Karaffe befindet.

Aufgabe 15 Die Karaffe ist zu 710 befüllt. Sieh dir an,

wie man Schritt für Schritt den Bruchteil berechnet.

Bruchteil:

710

von 1000 ml sind 700 ml.

24


Schritt für Schritt

1. In wie viele gleich große Abschnitte muss die Karaffegeteilt werden?→ In 10 gleich große Teile.

2. Wie viel ml hat dann ein solcher Teil?→ 1000 ml : 10 = 100 ml

3. Wie viele solcher Teile werden genommen?→ 7 solcher Teile.

4. Wie viel Wasser ist das dann insgesamt?→ 100 ml · 7 = 700 ml

25


Strecken zerteilen Eine Strecke von 34 m Länge erhält

man, indem man ...

1. eine 1 m lange Strecke in vier gleich lange Teile zer-legt und dann ...

2. drei Teile davon nimmt:

1 m

: 4

14 m

· 3

34 m

34 m sind 3 Viertel von einem (ganzen) Meter.

Und ohne Skizze ...? Löse die nächste Aufgabe ohneHilfszeichnung.

26


Aufgabe 16 Bestimme 57 einer 21 m langen Strecke. Fül-

le die Lücken. Dazu kannst du in zwei Schritten vorge-hen:

1. In wie viele gleich große Stücke wird das Ganze, alsodie 21 m, geteilt?

Dann ist ein solches Stück

21 m : = m

lang.

2. Wie viele dieser gleich großen Stücke werden genom-men?

Dann ist der Bruchteil

m · = m

lang.

27


Merke

So bestimmt man den Bruchteil eines Ganzen ganz ein-fach:

57

von 21 m =(

21 m : 7)· 5 = 3 m · 5 = 15 m

Aufgabe 17 Rechne aus.

a)13

von 18 =

b)12

von 16 =

c)23

von 18 =

d)34

von 32 =

e)47

von 49 =

28


f)56

von 54 =

g)38

von 48 =

h)711

von 88 =

j)713

von 65 =

Aufgabe 18 Rechne aus.

a) Eine Müslipackung wiegt 72 g. Wie schwer sind 49 der

Müslipackung?

g

b) Ein Baumstamm ist 50 m lang. Wie lang sind 35 des

Baumstamms?

m

c) Eine Reise dauert 32 d. Wie lange dauern 58 der Reise?

d

29


Und umgekehrt ...? Wenn 13 einer Schulstunde 15 min

dauert, wie lange ist dann eine ganze Schulstunde?

15 min · 3 = 45 min

Aufgabe 19 Gib das Ergebnis an.

a) 14 eines Baumstamms ist 3 Meter lang. Wie lang ist derganze Baumstamm?

Meter

b) 16 einer Reise dauert 8 Tage. Wie lange dauert die gan-ze Reise?

Tage

c) 15 einer Müslipackung wiegt 80 Gramm. Wie schwerist die ganze Müslipackung?

Gramm

d) 13 eines Films dauert 25 Minuten. Wie lange dauert derganze Film?

Minuten

30


Merke

Brüche mit Zähler 1(z. B. 1

3, 12 oder 1

7)

heißen Stamm-brüche.

Wie du gerade gesehen hast, lässt sich das ursprüngli-che Ganze sehr einfach berechnen, wenn der Anteil einStammbruch ist.

Wir überlegen uns wieder mit einer Strecke, wie man vor-gehen muss, wenn der Anteil kein Stammbruch ist.

31


Zurück zur ganzen Strecke Geht man von einer Stre-cke von 3

4 m Länge aus, so erhält man eine Länge von ei-nem Meter, indem man ...

1. die Strecke zuerst in drei gleich lange Teile zerlegtund dann ...

2. vier solcher Teile aneinander legt:

1 m

: 3

14 m

· 4

34 m

34 m sind 3 Viertel von einem (ganzen) Meter.


32


Aufgabe 20 Wenn 57 einer Strecke 15 m sind, wie lang

ist dann die ganze Strecke? Fülle die Lücken. Dazu kannstdu in zwei Schritten vorgehen:

1. Wie viele gleich große Stücke wurden genommen?

Dann ist ein solches Stück

15 m : = m

lang.

2. In wie viele solcher Stücke wurde das unbekannteGanze geteilt?

Dann ist das Ganze

m · = m

lang.

33


Merke

Sind Anteil „57“ und Bruchteil „15 m“ gegeben, lässt

sich wieder das Ganze bestimmen. Im Prinzip geht das„rückwärts“:(

15 m : 5)· 7 = 3 m · 7 = 21 m

Aufgabe 21 Rechne aus: Wie lang ist die Strecke, ...

a) ... wenn 16 der Strecke 4 m lang sind?

b) ... wenn 58 der Strecke 10 m lang sind?

c) ... wenn 310 der Strecke 21 m lang sind?

d) ... wenn 89 der Strecke 64 m lang sind?

e) ... wenn 1119 der Strecke 55 m lang sind?

34


Aufgabe 22 Rechne aus: Wie groß ist das Ganze, ...

a) ... wenn 17 des Ganzen 5 ist?

b) ... wenn 56 des Ganzen 25 sind?

c) ... wenn 34 des Ganzen 24 sind?

d) ... wenn 710 des Ganzen 77 sind?

e) ... wenn 25 des Ganzen 14 sind?

f) ... wenn 911 des Ganzen 18 sind?

g) ... wenn 35 des Ganzen 18 sind?

h) ... wenn 38 des Ganzen 21 sind?

35

Pizza und Schokolade verteilen

Pizza und Schokoladeverteilen

Pizzabäcker Donatello hat Probleme in der Küche. Zu al-lem Überfluss wollen seine vier Gäste ihre Pizzen auchnoch teilen.

Aufgabe 23 Hilf Donatello dabei, die Pizzen gerecht andie vier Gäste zu verteilen.

a) Eine Pizza kommt auf den Tisch.

36


b) Drei Pizzen kommen auf den Tisch.

Zusammenfassung Die die Pizzen gerecht verteilt wer-den sollen, bekommt jeder Gast immer gleich viel.

Am Ende von Aufgabe b) hat jeder der Gäste jeweils 14 von

drei Pizzen. Das ist genauso viel wie 34 von einer Pizza.

37


Drei Schokoriegel werden an vier Kinder verteilt. Tim,Karl, Willi und Gabi freuen sich sehr auf die drei Schoko-riegel.

Aufgabe 24 Wie viel Schokolade bekommt jedes Kind?Verteile die Schokolade gerecht an die vier Kinder.

38


Aufgabe 25 Was stimmt?

� Gabi fehlt ein Stück zu einem gan-zen Schokoriegel.

� Karl bekommt 14 von der gesamten

Schokolade.

� Karl bekommt zwei Schokoladen-stücke.

� Willi bekommt 34 von einem Scho-

koriegel.

� Tim bekommt 14 von einem Scho-

koriegel.

39


Strecken anders zerteilen Den Bruchteil 34 m kann man

auch so erhalten:

1. Teile eine 3 m lange Strecke in 4 gleich lange Teileund ...

2. nimm 1 Teil davon.

1 m

· 3

3 m: 4

34 m

34 m ist auch 1

4 von drei (ganzen) Meter..


40


Aufgabe 26 Bestimme 57 einer 21 m langen Strecke nach

der anderen Methode. Fülle die Lücken. Dazu kannst duin zwei Schritten vorgehen:

1. Zuerst wird das Ganze ver- -facht:

21 m · = m

2. Das Ergebnis teilen wir in gleich große Stücke:

m : = m

41


Merke

Man kann den Bruchteil 57 von 21 m auf zwei verschie-

denen Arten berechnen:

57

von 21 m =(

21 m · 5)

: 7 = 105 m : 7 = 15 m

oder

57

von 21 m =(

21 m : 7)· 5 = 3 m · 5 = 15 m

Beide Rechenwege sind richtig. Man bekommt das sel-be Ergebnis.

Aufgabe 27 Löse die Aufgabe wie eben gelernt.

a)24

von 10 =

b)39

von 15 =

c)26

von 9 =

42


d)1216

von 4 =

e)36

von 16 =

f)610

von 5 =

g)820

von 5 =

Aufgabe 28 Löse die Aufgabe wie eben gelernt.

a) Eine Müslipackung wiegt 400 g. Wie schwer sind 312

der Müslipackung?

g

b) Ein Baumstamm ist 6 m lang. Wie lang sind 39 des Baum-

stamms?

m

c) Eine Reise dauert 5 d. Wie lange dauern 615 der Reise?

d

43


Pauls Mathehausaufgabe Paul ist in der vierten Klas-se, sein Bruder Max schon in der sechsten. Paul löst seineHausaufgaben und gibt sie Max zur Kontrolle.

a) 245 : 7 = 35X

b) 121 : 11 = 11X

c) 3 : 4 = ? Warte auf die 6. Klasse!

Aufgabe 29 Max hat mit rot korrigiert. Was ist ihmbei Aufgabe c) aufgefallen? Gib das Ergebnis an, das einSechstklässler notieren würde.

44


Beliebige Zahlen teilen Divisionsaufgaben, bei denender Divisor größer ist als der Dividend, hast du bishernicht lösen können. Du hast dafür die Schreibweise mitRest genutzt:

3 : 11 = 0 R 3

5 : 6 = 0 R 5

Mit den Brüchen kommen wir jetzt ohne die Rest-Schreibweiseaus. Die Rechnung 3 : 11 bedeutet:

„Teile 3 Ganze in 11 gleich große Stücke.“

Das Ergebnis ist der Bruch 311. Also:

3 : 11 =3

11

5 : 6 =56

Du kannst jede natürliche Zahl durch eine andere teilen,egal ob die Division aufgeht. Das Ergebnis schreibst duals Bruch.

45


Merke

Der Bruch 34 ist eine andere Schreibweise für den Quo-

tienten 3 : 4.

Mit Hilfe von Brüchen kann man alle natürlichen Zahledurcheinander teilen, z. B.:

3 : 4 =34

, 5 : 2 =52

, 3 : 7 =37

, 5 : 6 =56

46


Aufgabe 30 Kreuze an, ob die Aufgabe eine natürlicheZahl als Ergebnis hat, oder nicht.

Das Ergebnis ist ... eine natür-liche Zahl.

keine natür-liche Zahl.

a) 3 : 4 � �

b) 96 : 8 � �

c) 72 : 6 � �

d) 46 : 5 � �

e) 50 : 7 � �

f) 52 : 4 � �

g) 37 : 3 � �

h) 91 : 13 � �

i) 44 : 29 � �

j) 94 : 23 � �

k) 85 : 17 � �

l) 76 : 19 � �

m) 83 : 27 � �

47

Verschiedene Brüche mit gleichem Wert

Verschiedene Brüchemit gleichem Wert

Ein Papier wird gefaltet Schneide aus einem Blatt Pa-pier ein Quadrat aus. Markiere dann die Hälfte des Qua-drates farbig.

Aufgabe 31 Falte das Papier und rede mit deinem Ban-knachbarn darüber, wie du den markierten Bruch jetztnennen würdest. Notiere deine Beobachtungen.

48


Quadrat zerteilt Otto hat 34 seines Quadrats farbig mar-

kiert und es dann erneut gefaltet.

Aufgabe 32 Benenne die Brüche, die durch das Faltenauf Ottos Papier entstanden sind.

34

= =

49


Verschiedene Brüche bezeichnen den selben Anteil

13

=26

=39

34

=68

=912

25

=410

=615

50


Und jetzt ohne Bild ... Marie behauptet: „Ich habe ge-merkt, dass ich einfach oben und unten immer das Selbemachen muss.“

Was meint Marie damit?

Aufgabe 34 Notiere eine Strategie, wie man schnell Brü-che findet, die den gleichen Anteil bezeichnen. Vergleichedann mit deinem Banknachbarn.

51


Merke

Erweitern heißt: Zähler und Nenner mit der selbenZahl multiplizieren.

Wir schreiben die Zahl, mit der wir den Bruch erwei-tern, über das Gleichheitszeichen:

47

3=

4 · 37 · 3 =

1221

Beim Erweitern wird die Einteilung feiner:

Erweitern mit 3

47

1221

52


Merke

Kürzen heißt: Zähler und Nenner durch die selbe Zahldividieren.

Wir schreiben die Zahl, mit der wir den Bruch kürzen,unter das Gleichheitszeichen:

3248

=8

32 : 848 : 8

=46

Beim Kürzen wird die Einteilung gröber:

mit 8Kürzen32

4846

53


Immer weiter kürzen Du kannst Brüche mit gemeinsa-men Teilern von Zähler und Nenner kürzen.

Im Bruch 3248 haben der Zähler „32“ und der Nenner „48“

die gemeinsamen Teiler 8, 2 und 16. Wir können 3248 also

auf verschiedene Arten kürzen:

Kürzen mit 2 Kürzen mit 2

mit 8Kürzen

Kürzenmit 8

Kürzenm

it 16

3248

1624

46

23

54


Und jetzt ohne Bild ... Das können wir auch als Rech-nung notieren:

3248

=8

32 : 848 : 8

=46=2

4 : 26 : 2

=23

oder

3248

=2

32 : 248 : 2

=1624

=8

16 : 824 : 8

=23

oder

3248

=16

32 : 1648 : 16

=23

Im Bruch 23 haben Zähler und Nenner keine gemeinsamen

Teiler mehr. Einen solchen Bruch nennen wir vollständiggekürzt.

55


Merke

Erweitern und Kürzen ändert den Wert eines Bruchesnicht.

Ein Bruch kann nur durch gemeinsame Teiler von Zäh-ler und Nenner gekürzt werden.

Haben Zähler und Nenner eines Bruches keine gemein-samen Teiler, nennt man den Bruch vollständig ge-kürzt.

Aufgabe 35 Verbinde wertgleiche Brüche.

56



Aufgabe 37 Zu welchem vollständig gekürzten Bruchgehören die Bilder? Verbinde.

57


Aufgabe 38 Markiere den Anteil des Rechtecks farbig.

a)14

b)23

c)78

d)59

e)57

f)56

Aufgabe 39 Kürze den Bruch mit der angegebenen Zahl.Streiche dazu Linien durch.

a)46

mit 2 b)69

mit 3

c)915

mit 3 d)2436

mit 4

58


Aufgabe 40 Schreibe als Produkt.

a) 16 = · b) 36 = ·

c) 42 = · d) 30 = ·

e) 64 = · f) 72 = ·

Aufgabe 41 Erweitere mit der angegebenen Zahl.

a)34

5= b)

59

4=

c)23

8= d)

810

7=

e)1113

6= f)

1317

5=

Aufgabe 42 Kürze mit der angegebenen Zahl.

a)915

=3

b)4956

=7

c)2436

=12

d)3264

=2

e)77121

=11

f)5181

=3

59


Aufgabe 43 Mit welcher Zahl wurde erweitert?

a) Erweitert

mit .

b) Erweitert

mit .

c) Erweitert

mit .

d) Erweitert

mit .

Aufgabe 44 Mit welcher Zahl wurde gekürzt?

a)Gekürzt

mit .

b)Gekürzt

mit .

c)Gekürzt

mit .

d)Gekürzt

mit .

60


Aufgabe 45 Mit welcher Zahl wurde erweitert?

a) Erweitert

mit .

b) Erweitert

mit .

c) Erweitert

mit .

d) Erweitert

mit .

Aufgabe 46 Mit welcher Zahl wurde gekürzt?

a) Gekürzt

mit .

b) Gekürzt

mit .

c) Gekürzt

mit .

d) Gekürzt

mit .

61


Aufgabe 47 Kreise alle Zahlen ein, mit denen du denBruch kürzen kannst.

a) b)

c) d)

Aufgabe 48 Notiere die fehlende Zahl.

a)18

=2

b)420

=1

c)69

=48

d)424

=2

e)1012

=80

f)2472

=6

62


Aufgabe 49 Bringe den Bruch auf den angegebenenNenner.

a)14

=12

b)1221

=7

c)1416

=8

d)9

30=

90

e)3381

=27

f)9

24=

8

Aufgabe 50 Bringe die beiden Brüche auf einen gemein-samen Nenner.

a)34

=1

16=

b)428

=37

=

c)23

=34

=

d)46

=59

=

e)715

=3

10=

f)1121

=9

14=

63


Aufgabe 51 Der Bruch ist durch Erweitern entstanden.Aus welchem Bruch könnte er entstanden sein?

a)318

= b)6

12=

c)416

= d)1525

=

e)4256

= f)72108

=

g)140170

= h)3244

=

Aufgabe 52 Schreibe als Bruch.

a) 3 = b) 6 =

c) 2 =3

d) 4 =48

e) 10 =13

f) 5 =13

g) 12 =8

h) 14 =196

64


Aufgabe 53 Kreuze an, ob die Brüche wertgleich sind.

Die Brüche ...sind

wertgleich.sind nicht

wertgeleich.

a)265

und1920

� �

b)427

und35

� �

c)1524

und3815

� �

d)2658

und1329

� �

e)1856

und928

� �

f)418

und376

� �

g)22

100und

1150

� �

h)7698

und3749

� �

i)129

und93

� �

j)1826

und3652

� �

65

Brüche auf dem Zahlenstrahl

Brüche auf demZahlenstrahl

Einen Kreis abwickeln Was bedeuten Brüche auf demZahlenstrahl?

Aufgabe 54 Sieh dir die Abbildung an. Überlege dann,wie sie mit dem Nenner 4 aussehen würde.

13

23

33

0 1

13 2

333

0 1

0 1

13

23

33

66


Einen Balken schrumpfen Du kannst dir den Zahlen-strahl auch als „geschrumpften Balken“ vorstellen.

Aufgabe 55 Sieh dir die Abbildung an. Überlege dann,wie sie mit dem Bruch 2

5 aussehen würde.

14

24

34

14

24

34

0 114

24

34

67


Merke

Brüche können auf dem Zahlenstrahl dargestellt wer-den. Dabei kann man sich den Zahlenstrahl als abge-wickelten Kreis vorstellen:

Brüche, die weniger als ein Ganzes sind, heißen echteBrüche. Sie liegen auf dem Zahlenstrahl zwischen der0 und der 1. Ihr Zähler ist kleiner als ihr Nenner.

68


Aufgabe 56 Markiere den Bruch auf dem Zahlenstrahl.

a)23 0 1

b)15 0 1

c)34 0 1

d)47 0 1

e)710 0 1

Aufgabe 57 Gib den markierten Bruch an.

a)0 1

b)0 1

c)0 1

d)0 1

e)0 1

69


Und rechts von der 1? Rechts von der 1 ist auf demZahlenstrahl noch endlos Platz. Hier liegen Brüche, diemehr sind als ein Ganzes.


4 aussehen würde.

13

23

33

43

53

13

23

33

43

53

0 1 213

23

43

53

70


71


Merke

Brüche können auch mehr als ein Ganzes beschreiben.Auf dem Zahlenstrahl sieht das so aus:

Brüche, die mehr als ein Ganzes beschreiben, heißenunechte Brüche. Sie liegen auf dem Zahlenstrahl rechtsvon der 1. Ihr Zähler ist größer als ihr Nenner.

72



a)43 0 1 2

b)116 0 1 2

c)97 0 1 2

d)75 0 1 2

e)1410 0 1 2


a)0 1 2

b)0 1 2

c)0 1 2

d)0 1 2

e)0 1 2

73


Und zwischen den Einteilungen? Manchmal reicht dieEinteilung auf dem Zahlenstrahl nicht aus, um Brüche mitgrößerem Nenner eintragen zu können. Hier musst du dieEinteilung verfeinern.


8 und einer Unterteilung in Viertelaussehen würde.

16

26

36

46

0 112

16

26

36

46

0 112

0 1

16

26

36

46

56

12

74


75


Merke

Wenn die Einteilung auf dem Zahlenstrahl nicht aus-reicht, muss sie verfeinert werden:

76



a)56 0 1

b)58 0 1

c)914 0 1

d)16 0 1

e)78 0 1


a)0 1

b)0 1

c)0 1

d)0 1

e)0 1

77


Platz schon besetzt?! Manche Brüche teilen sich ihrenPlatz auf dem Zahlenstrahl:

Aufgabe 64 Markiere die Brüche 13, 1

2, 106 , 1

6, 26, 5

6, 53 und

103 auf dem Zahlenstrahl.

0 1 2 3 4

78


In der Aufgabe hast du gesehen, dass die Brüche 13 und 2

6an der selben Stelle auf dem Zahlenstrahl stehen. Bei denBrüchen 10

6 und 53 war das auch der Fall.

Wenn du an das letzte Kapitel denkst, fällt dir schnell auf,warum diese Brüche den selben Platz belegen:

13

2=

26

106

=2

53

Die Brüche haben den gleichen Wert, weil sie durch Er-weitern und Kürzen ineinander umgewandelt werden kön-nen.

79


Merke

Zu jedem Bruch gehört ein Punkt auf dem Zah-lenstrahl. Zu wertgleichen Brüchen gehört derselbePunkt.

0 118

28

38

48

58

68

78

14

24

34

12

80



a)106 0 1 2

b)118 0 1 2

c)74 0 1 2

d)1710 0 1 2

e)139 0 1 2


a)0 1 2

b)0 1 2

c)0 1 2

d)0 1 2

e)0 1 2

81

Mehr als ein Ganzes

Mehr als ein GanzesAufgabe 67 Zwei Arten von Brüchen.

Markiere die Brüche 13, 7

3, 23 und 11

3 auf dem Zahlenstrahl.

0 1 2 3 4

82

Mehr als ein Ganzes

Du kannst die vier Brüche in zwei Gruppen einteilen:

1. Anteile mehr als ein Ganzes und ...

2. Anteile weniger als ein Ganzes.

Aufgabe 68 Ordne die vier Brüche diesen beiden Grup-pen zu. Notiere, wie du die Gruppen am Zahlenstrahlleicht erkennen kannst. Vergleiche dann deine Ergebnis-se mit deinem Banknachbarn.

83

Mehr als ein Ganzes

Seltsame Brüche Der Bruch 113 ist ein unechter Bruch.

Er liegt auf dem Zahlenstrahl rechts von der 1.

Oft ist es hilfreich zu wissen, wie viele Ganze in einemunechten Bruch stecken. Hierfür gibt es eine besondereSchreibweise, die gemischten Zahlen.

Gemischte Zahlen Eine gemischte Zahl besteht aus zweiTeilen:

1. Einer natürlichen Zahl, die angibt, wie viele Ganze imunechten Bruch stecken und ...

2. einem echten Bruch, der den Rest angibt.

84

Mehr als ein Ganzes

Bei 113 sieht das so aus:

0 1 2 3 413

23

43

53

73

83

103

133

113

3 Ganze 23

Merke

In der gemischten Schreibweise können wir unechteBrüche viel kürzer schreiben:

113

= 3 Ganze +23= 3

23

85

Mehr als ein Ganzes

Und ohne Zahlenstrahl ...? Hier siehst du eine andereMöglichkeit, den unechten Bruch 11

3 in die gemischte Zahl3 2

3 umzuwandeln:

113

= +

93 = 3 2

3

= +

3 23

=

3 23

86

Mehr als ein Ganzes

Merke

Unechte Brüche kann man als gemischte Zahlen schrei-ben:

113

= 11 : 3 = 3 R 2 , also ist ...

113

= 11 : 3 = 3 +23= 3

23

Mit ein wenig Übung schaffst du den Umformungsschrittim Kopf! Du musst die Rechenschritte nicht aufschreiben.

Aufgabe 69 Wandle den unechten Bruch in eine ge-mischte Zahl um.

a)72

= b)154

=

c)233

= d)337

=

e)499

= f)5413

=

87

Mehr als ein Ganzes

Und anders herum ...? Wir können auch anders her-um aus einer gemischten Zahl wieder einen unechten Bruchmachen:

2 37

= +

2 37

= +

2 = 147

37

=

177

88

Mehr als ein Ganzes

Merke

Gemischte Zahlen kann man auch wieder als unechteBrüche schreiben:

237= 2 +

37=

147+

37=

177

Aufgabe 70 Wandle die gemischte Zahl in einen unech-ten Bruch um.

a) 512

= b) 757

=

c) 538

= d) 1216

=

e) 749

= f) 9511

=

g) 31213

= h) 41117

=

89

Mehr als ein Ganzes

Merke

Brüche, bei denen der Zähler größer ist als der Nenner,beschreiben mehr als ein Ganzes. Sie heißen unechteBrüche.

Wenn wir sie als gemischte Zahlen schreiben, wissenwir sofort, wo sie auf dem Zahlenstrahl liegen:

103

= 3 +13= 3

13

Er liegt auf dem Zahlenstrahl also zwischen 3 und 4.


90

Mehr als ein Ganzes

Aufgabe 72 Wandle in eine gemischte Zahl bzw. einenunechten Bruch um.

a)1311

= b) 137=

c) 258= d)

2319

=

e)635

= f) 379=

g) 41213

= h)5817

=

Aufgabe 73 Markiere den Anteil farbig.

a)54

b)127

c)138

d)1912

91

Welcher Bruch ist größer?

Welcher Bruch istgrößer?

Weniger oder mehr als ein Ganzes? Ob ein Bruch we-niger oder mehr als ein Ganzes ist, kann man leicht ent-scheiden: Liegt er auf dem Zahlenstrahl links oder rechtsvon der 1?

0 1 2 3 4

92


Aufgabe 74 Kreuze an, ob der Bruch links oder rechtsvon der 1 liegt.

Der Bruch ... liegt linksvon der 1.

liegt rechtsvon der 1.

a)38

� �

b)379

� �

c)135

� �

d)4378

� �

e)147

� �

f)5327

� �

Zur Erinnerung Unechte Brüche sind Brüche, die mehrsind als ein Ganzes

(z. B. 5

4 oder 97).

Echte Brüche sind Brüche, die weniger sind als ein Ganzes(z. B. 3

4 oder 78).

93


Merke

Unechte Brüche(z. B. 6

5)

sind mehr als ein Ganzes.

Sie sind immer größer als echte Brüche(z. B. 7

8).

65

78

Also ist65>

78

94


Nutze die Strategie, um die Aufgabe zu lösen:

Aufgabe 75 Welcher Bruch ist größer? Kreuze an.

a) �47

�54

b) �45

�98

c) �32

�78

d) �1312

�2730

e) �1517

�54

95


Mehr oder weniger als die Hälfte? Ob ein Bruch mehroder weniger als die Hälfte vom Ganzen bezeichnet, lässtsich leicht herausfinden.

Aufgabe 76 Ist in der Figur mehr oder weniger als dieHälfte markiert? Kreuze an.

Wenigerals 1

2.Mehrals 1

2.

a) � �

b) � �

c) � �

d) � �

96


Wenigerals 1

2.Mehrals 1

2.

e) � �

f) � �

g) � �

h) � �

i) � �

97


Merke

Ist ein Bruch mehr als die Hälfte(z. B. 4

7)

und ein an-derer Bruch weniger als die Hälfte

(z. B. 2

5), lassen sie

sich leicht vergleichen:

47

25

>

98


Nutze die Strategie, um die Aufgabe zu lösen:


a) �46

�14

b) �410

�712

c) �39

�58

d) �1321

�923

e) �1733

�1123

99


Brüche mit Zähler 1 Für die nächsten Aufgaben brauchstdu eine neue Strategie:

„Je kleiner der Nenner, desto größer die Stücke!“


a) �12

�13

b) �15

�14

c) �19

�18

d) �121

�123

e) �133

�123

Übrigens Brüche mit Zähler 1 nennt man Stammbrü-che.

100


Brüche mit gleichem Zähler Die neue Strategie funk-tioniert auch für Brüche mit gleichem Zähler:


a) �25

�23

b) �47

�49

c) �79

�78

d) �1113

�1117

e) �2327

�2325

101


Merke

Bei Brüchen mit gleichem Zähler ist derjenige größer,der den kleineren Nenner hat.

Also der Bruch, bei dem das Ganze in weniger Stückeaufgeteilt ist:

45

47

Also ist45>

47

102


103


Brüche mit gleichem Nenner Wenn der Nenner gleichist, musst du nur herausfinden, welcher Bruch mehr Stückebeschreibt:

„Je kleiner der Zähler, desto weniger Stücke!“


a) �25

�35

b) �79

�59

c) �713

�913

d) �415

�215

e) �2327

�2127

104


105


Merke

Brüche mit gleichem Nenner heißen gleichnamige Brü-che.

Bei gleichnamigen Brüchen ist der Bruch größer, derden größeren Zähler hat.

Also der Bruch, der mehr von den gleich großenStücken hat::

45

35

>

106


Achte in der nächsten Aufgabe darauf, ob die Brüche dengleichen Zähler oder den gleichen Nenner haben.


a) �15

�17

b) �38

�35

c) �47

�67

d) �1317

�1320

e) �917

�1117

107


Schokolade genascht Steffen und Franziska kaufensich in der Mittagspause jeder eine Tafel Schokolade. Stef-fen hat 1

4 und Franziska 932 der Tafel übrig.

Aufgabe 82 Markiere, wie viel Schokolade übrig ist.

Steffen hat 14 übrig:

Franziska hat 932 übrig:

Überlege jetzt, wer von beiden mehr Schokolade übrighat.

108


Auf gleicher Zähler oder gleichen Nenner bringen?Um zwei Brüche zu vergleichen, kannst du sie auf dengleichen Zähler oder den gleichen Nenner bringen. Meis-tens ist eine Variante einfacher:

Beispiel 1 Welcher Bruch ist größer,215

oder317

?

Mit gleichem Zähler: 645

<634

Mit gleichem Nenner: 34255

<45255

Beispiel 2 Welcher Bruch ist größer,1316

oder34

?

Mit gleichem Zähler: 3948

>3952

Mit gleichem Nenner: 1316

>1216

109


Was geht einfacher? Bringe die Brüche zum Vergleichauf einen gemeinsamen Zähler oder Nenner. Entscheideselbst.


a) �311

�1241

b) �715

�25

c) �1531

�513

d) �79

�1118

e) �313

�211

f) �1621

�57

Wähle in den nächsten Aufgaben deine Strategie selbst.

110



a) �123

�150

b) �1630

�1622

c) �3550

�2050

d) �64

�2022

e) �2012

�145

f) �1821

�34

Aufgabe 85 Sortiere die Brüche von klein nach groß.

a)17

,117

,123

,18

:

b)7

21,

321

,1521

,1321

:

c)28

,35

,36

,17

:

111


Aufgabe 86 Liegt der Bruch auf dem Zahlenstrahl linksoder rechts von 1

2? Kreuze an.

0 112

Der Bruch ...liegt links

von 12.

liegt rechtsvon 1

2.

a)38

� �

b)712

� �

c)1019

� �

d)3379

� �

e)4883

� �

f)3471

� �

g)1756

� �

h)4580

� �

112


Aufgabe 87 In welchem Kreisteil liegt der Bruch? Mar-kiere farbig.

a)12

b)4

10c)

68

d)1019

e)1416

f)2324

g)712

h)4

19i)

1113

113


Aufgabe 88 Welcher Bruch ist kleiner? Kreuze an.

a) � �

b) � �

c) � �

d) � �

e) � �

114

Documents

Arbeitstitel: iBruLe, Lernen mit dem Tablet-PC: Eine ... · Eine Pizza wird in acht gleich große Stücke geteilt. Mia nimmt davon drei Stücke. Man sagt: „3 Achtel“, und schreibt