Theoretische Physik fur Quantentechnologien

Prof. Dr. Frank Wilhelm-MauchProf. Dr. Giovanna Morigi

SS 2016 21.07.2016Blatt 7 Falligkeitsdatum: 26.07.2016

Achtung: Dieses Ubungsblatt wird aufgrund der spaten Veroffentlichung dienstags besprochen.

Aufgabe 1: SQUID mit Selbstinduktion (15 Punkte)

Betrachten Sie das in Abb.1 abgebildete Squid, bestehend aus zwei Josephson-Kontakten (A,B)mit identischer kritischer Stromstarke Ic.

(a) Wie groß ist der Gesamtstrom I? (2 Punkte)

(b) Es ist handlich, die Phasendifferenz ϕ1 und ϕ2 von A nach B auszudrucken. Was gilt furϕ1 − ϕ2? (2 Punkte)

Der zirkulierende Suprastrom ist durch

Is =Ic2

(sin (ϕ1)− sin (ϕ2))

gegeben. Dieser tragt aufgrund der Selbstinduktion (Induktivitat L) mit einem Beitrag Φs = LIszum gesamten Fluss Φ innerhalb des SQUIDs bei.

(c) Geben Sie eine Gleichung an, aus der sich der Gesamtfluss Φ als Funktion des externenFlusses Φx bestimmen lasst. Nehmen Sie dazu vereinfachend an, dass I ≈ 0. (4 Punkte)

(d) Losen Sie das Problem numerisch und plotten Sie Φ(Φx) fur LIc/Φ0 = 2. (4 Punkte)

(e) Interpretieren Sie Ihre Grafik. (3 Punkte)

Aufgabe 2: Quantisierung des Fluss Qbuits (20 Punkte)

Die Quantisierung elektrischer Schaltkreise ist ein wichtiges mathematisches Werkzeug in derStromkreisquantendynamik. Ziel ist es anhand des zugehorigen Schaltkreises eines elektrischenBauteiles seinen Hamiltonoperator herzuleiten. Wir wollen in dieser Aufgabe Schritt fur Schrittdas sogenannte Fluss-Qubit quantisieren.Das Fluss-Qubit nutzt Zustande des quantisierten magnetischen Flusses. Der Aufbau des Fluss-Qubits ist in Abb. 2 dargestellt. Der gesamte magnetische Fluss Φ kann geschrieben werdenals:

Abbildung 1: SQUID mit zwei Josephson Kontakten (A,B).

1

Φ = Φx − CLI,

wobei Φx der extern zugefuhrte elektrische Fluss ist und cLI die selbstinduzierte komponenteangibt. L ist dabie die Selbstinduktion und I der fließenede Strom.

a) Zeigen Sie, dass der Strom mithilfe der Josephson-Gleichungen durch die Phasendifferenz ϕfolgendermaßen ausgedruckt werden kann:

I =~2eCϕ+ I0sin (ϕ) ,

wobei I0 die kritische Stromstarke, C die Kapazitat des Josephson Ubergangs und e dieElektronenladung sind. (3 Punkte)

b) Zeigen Sie, dass Sie das aus der Flussquantisierung

Φ

ΦSC=

ϕ

2πmod1,

mit ΦSc = hC2e , der in a) hergeleiteten Ausdruck fur I zu folgender Gleichung umformuliert

werden kann:

(~2e

)2

Cϕ+ EJsin (ϕ) +~2ω2

LC

2EC

(ϕ− 2πΦx

ΦSC

)= 0, (1)

mit der Jospehson Energie EJ = ~I02e , die Cooper-Paar Ladungsenergie EC = (2e)2

2C und derPlasmafrequenz ωLC = 1√

LC. (3 Punkte)

c) Da die mechanischen Gesetze auch fur elektrische Schaltkreise gultig sein mussen, existierteine Lagrangefunktion, die zur Bewegungsgleichung (1) fuhrt. Leiten Sie eine solche Lagran-gefunktion her. Skizzieren Sie das resultierende Potenzial, einmal ohne Selbstinduktion desRinges und einmal mit. (6 Punkte)

d) Fuhren Sie eine geeignete konjugierte Variable ein und leiten Sie mittels Legendre Transfor-mation einen Hamiltonoperator fur das Fluss-Qubit her. (5 Punkte)

e) Diskutieren Sie die Abhangigkeit des Potenzials von dem außeren Fluss Φx und begrundenSie unter anderem mit Hilfe einer Skizze, warum man das Potenzial leicht vom Gleichge-wichtspunkt

Φx

ΦSC=

1

2mod1

verstimmen muss, um diesen Aufbau tatsachlich als supraleitendes Qubit nutzen zu konnen.(3 Punkte)

2

Abbildung 2: Fluss qubit Schalkreismodell (links) und Basisloop (rechts). Die Spule in der rechtenAbbildung besitzt die Selbstindultion L. Die gestrichelte Linie in der linken Abbildung verdeutlichenden Integrationspfad Γ zur Herleitung des Meissner Effekts.

Aufgabe 3: Transmon-Qubit (10 Punkte)

Ein Transmon-Qubit ist im Wesentlichen eine Cooper-Pair-Box (CPB), die im Limit EJ/Ec � 1betrieben wird, wobei EJ die Josephson- und Ec die Ladungsenergie bezeichnet. In diesem Limitsind die Energielevel – und damit die Qubitfrequenz – unabhangig von Ladungsfluktuationen,was die Koharenzzeit im Vergleich zu herkommlichen Ladungs-Qubits um zwei Großenordnungenverbessert. Der Hamiltonian der CPB lasst sich darstellen als

H = Ec (n− ng)2 − EJcos (ϕ)

=∑n∈Z

[Ec (n− ng)

2 |n〉〈n| − EJ

2(|n〉〈n + 1|+ |n + 1〉〈n|)

].

Hierbei steht |n〉 fur den Ladungszustand mit n Cooper-Paaren. Stellen Sie die ersten dreiEnergielevel grafisch als Funktion von ng fur ein Veraltnis EJ/Ec von (i) 0.1 (ii) 1 (iii) 10 dar.

Hinweis: Nutzliche Literatur: Koch et al. PRA 76, 042319 (2007)

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