Aufgaben zur Einfuhrung in die Geometrie und Topologie

Prof. Dr. C.-F. Bodigheimer, M. Sc. Felix BoesSommersemester 2016

Blatt 9 Abgabetermin: Donnerstag, den 23.06.16, 10:00 (vor der Vorlesung)

Aus van Dalen: L.E.J. Brouwer — Topologist, Intuitionist, Philosopher, Seite 417

Aufgabe 49 (Lokal-kompakte Raume)

Es sei X ein Hausdorff-Raum.

1. Ist X kompakt, so ist X lokal kompakt.

2. Ist X lokal-kompakt, so ist X regular.

3. Ist X lokal-kompakt sowie A ⊂ X abgeschlossen und B ⊂ X offen, so ist Y = A ∩B ebenfalls lokal-kompakt(und hausdorffsch).

Aufgabe 50 (Eigentliche Abbildungen)

Gegeben seien stetige Abbildungen f : X → Y und g : Y → Z. Zeigen Sie :

1. Wenn f eigentlich ist, dann ist f−1(C) kompakt in X fur jede kompakte Teilmenge C ⊂ Y .

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2. Sind f und g eigentlich, so ist auch g f eigentlich; die Identitat idX : X → X ist eigentlich.

3. Ist g f eigentlich und f surjektiv, so ist g eigentlich.

4. Ist g f eigentlich und g injektiv, so ist f eigentlich.

5. Ist f eigentlich und B ⊂ Y beliebig, so ist die Einschrankung von f auf f−1(B) eigentlich.

Aufgabe 51 (Die Ein-Punkt-Kompaktifizierung)

Fur einen Raum X konstruieren wir einen neuen Raum X∞, indem wir zu der Menge X einen neuen Punkt ∞hinzufugen; die Topologie ist gegeben durch T ∞ = T ∪ X∞ − K | K ⊆ X kompakt und abgeschlossen . DieInklusion sei ι : X → X∞. Man zeige:

1. X∞ ist kompakt und die Inklusion ι ist eine Einbettung.

2. Es ist X lokal-kompakt und hausdorffsch genau dann, wenn X∞ ein Hausdorff-Raum ist.

3. Ist X nicht kompakt, so ist ι(X) dicht in X∞; ist X kompakt so ist X∞ ∼= Xt∞ eine topologische Summe.

4. Ist f : X → Y eigentlich, so existiert eine Fortsetzung f∞ : X∞ → Y∞. Fur komponierbare, eigentlicheAbbildungen f und g ist (g f)∞ = g∞ f∞ und es gilt (idX)∞ = idX∞ .

5. Es ist (Rn)∞ ∼= Sn. Tip: Nutzen Sie die stereographische Projektion.

Aufgabe 52 (Polynome und rationale Funktionen sind offen)

Es sei f ∈ C[z] ein nicht-konstantes Polynom, welches wir als stetige Funktion f : C → C auffassen wollen. Wirzeigen nun, dass f eine offene Abbildung ist. Dazu gehen wir wie folgt vor.

1. Identifizieren Sie S2 mit C∪∞ vermoge der stereographischen Projektion. Dann ist f : S2 → S2 mit f |C = f

und f(∞) =∞ stetig.

2. Deshalb sind f und f = f |C eigentliche Abbildungen.

3. Die surjektiven, abgeschlossenen Abbildungen f und f sind somit offen.

Betrachten Sie nun f, g ∈ C[z] vom selben, positiven Grad und f/g nicht konstant. Fassen Sie f/g als Funktionf/g : S2 → S2 auf und zeigen Sie, dass f/g offen ist. Tip: Es reicht zu zeigen, dass die Abbildung C × C → S2,(z1, z2) 7→ z1/z2 offen ist.

Aufgabe 53 (Parakompakte Raume sind normal)

Es sei X ein parakompakter Hausdorff-Raum. Zeigen Sie:

1. X ist regular.

2. X ist normal.

Aufgabe 54* (Der große Tychonoff)

Fur diese — zugegebenermaßen aus allen Nahten platzende — Aufgabe konsultiere man Kapitel I.6 in BredonGeometry and Topology. Wir wollen nicht nur den Satz von Tychonoff beweisen, sondern auch Netze als Verallge-meinerungen von Folgen kennenlernen; mit ihnen kann man z.B. die Stetigkeit von Abbildungen testen oder Punkteim Abschluß einer Menge approximieren, auch wenn das erste Abzahlbarkeitsaxiom nicht gilt.

Eine Menge Ω mit einer Ordnungsrelation ≤ heißt gerichtet, wenn fur je zwei ω0, ω1 ∈ Ω ein ω ∈ Ω existiert mitωi ≤ ω. Es sei Ω′ eine weitere gerichtete Menge und ϕ : Ω′ → Ω eine monotone Funktion (d.h. ω0 ≤ ω1 ⇒ ϕ(ω0) ≤

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ϕ(ω1). Dann heißt ϕ kofinal, wenn zu jedem ω ∈ Ω ein ω′ ∈ Ω′ existiert mit ω ≤ ϕ(ω′).

Ein Netz in einem topologischen Raum X ist eine Funktion x : Ω → X von einer gerichteten Menge nach X. Ein

Teilnetz x′ ist eine Komposition x′ = x ϕ : Ω′ϕ→ Ω

x→ X, wobei ϕ eine kofinale ordnungserhaltende Funktion voneiner weiteren gerichteten Menge Ω′ nach Ω ist. Man beachte, dass ϕ keine Inklusion und auch nicht injektiv zusein braucht.

Man sagt, x sei oft in M ⊂ X, falls es zu jedem ω ∈ Ω ein ω′ ∈ Ω gibt mit ω ≤ ω′ und x(ω′) ∈M . Man sagt, x seischließlich in M ⊂ X, falls es ein ω′ ∈ Ω gibt mit x(ω) ∈M fur alle ω ≥ ω′. Man sagt, x konvergiere gegen a ∈ X,falls x schließlich in jeder Umgebung von a ist. Ferner heiße ein Netz entschieden, wenn fur jede Teilmenge M ⊂ Xgilt: entweder ist x schließlich in M oder schließlich in X \M .

Nun zeige man die folgenden Satze:

Satz 1 Sei A ⊂ X, b ∈ X. Dann gilt b ∈ A genau dann, wenn es ein Netz in A gibt, das (als Netz in X betrachtet)gegen b konvergiert.

Satz 2 Sei f : X → Y eine Funktion und a ∈ X. Dann ist f genau dann stetig an der Stelle a, wenn fur jedes Netzin X, das gegen a konvergiert, das Bildnetz f x gegen f(a) konvergiert.

Satz 3 Ein Netz ist genau dann oft in jeder Umgebung von a ∈ X, wenn es ein Teilnetz x′ gibt, das gegen akonvergiert.

Satz 4 Jedes Netz besitzt ein entschiedenes Teilnetz.

Satz 5 Fur einen Raum X sind aquivalent:

• X ist kompakt.

• Jedes entschiedene Netz konvergiert.

• Jedes Netz hat ein konvergentes Teilnetz.

Satz von Tychonoff Ein beliebiges Produkt∏

i∈I Xi ist genau dann kompakt, wenn alle Xi kompakt sind.

Aus Mumford, Series, Wright: Indra’s Pearls, Seite 69.

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