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Die Fehlerbetrachtung

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45 RAAbits Physik November 2016

IIIDie Fehlerbetrachtung – eine Notwendigkeit in den experimentellen Wissenschaften

Axel Donges, Isny im Allgäu

Jede Messung einer physikalischen Größe ist mit einer Unsicherheit behaftet. Der wahre Wert – beispielsweise die Masse eines Elek-trons – kann daher durch Messungen prin-zipiell nicht exakt bestimmt werden. Viele Messungen einer physikalischen Größe und Mittelwertbildung liefern stets nur den sog. Bestwert, der – mehr oder weniger – nahe beim wahren Wert liegt. Wie nahe der (falsche) Bestwert und der (unbekannte) wahre Wert aller Wahrscheinlichkeit nach beieinanderliegen, kann mithilfe der sog. Fehlerrechnung (besser wäre das Wort Fehlerabschätzung) abgeschätzt werden.

Der Beitrag gibt eine Übersicht zur Behand-lung von Messfehlern in den experimentellen Wissenschaften.

Der Beitrag im Überblick

Klasse: 10–12

Dauer: 11 Stunden

Ihr Plus:

üKurze und prägnante Darstellung zur Fehlerbetrachtung bei Experimenten

Inhalt:

· Bestwert

· absoluter und relativer Fehler

· Fehlerfortpflanzung

· Rechnen mit fehlerbehafteten Größen

Messergebnisse sind stets mit einem Fehler behaftet.

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Der Mangel an mathematischer Bildung gibt sich durch nichts so auffallend zu erkennen wie durch

maßlose Schärfe im Zahlenrechnen. (C. F. Gauß)

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IIIDidaktisch-methodische Hinweise

Die Unzulänglichkeit aller Messungen

Schüler, die erstmals ein quantitatives Experiment durchführen, sind oft ent-täuscht. Das Ergebnis, das sie erhalten haben, weicht – meist stark – von dem „theoretischen Ergebnis“ ab. In ihrer gedanklichen Welt existieren exakt gül-tige Werte für die verschiedensten physi-kalischen Größen (z.  B. Elementarladung, Masse eines Elektrons, Ohm’scher Wider-stand eines Drahtes).

Vielen Schülern ist nicht bewusst, dass diese „theoretischen Werte“ – gemeint sind natür-lich die Literaturwerte – ebenfalls mit Fehlern behaftet sind. Es gibt allerdings einen gro-ßen Unterschied: Die von professionellen Forschergruppen erhaltenen Ergebnisse sind i. d. R. mit geringeren Messunsicherheiten behaftet als die Messungen, die im Schulalltag durchgeführt werden. Tabelle 1 zeigt einige Beispiele.

Tabelle 1: Literaturwerte einiger physikalischer Größen

Physikalische Größe Bestwert absoluter Fehler

Elektronenmasse 9,10938356 • 10–31 kg 0,00000011 • 10–31 kg

Elementarladung 1,6021766208 • 10–19 C 0,0000000098 • 10–19 C

Boltzmann-Konstante 1,38064852 • 10–23 J/K 0,00000079 • 10–23 J/K

Planck-Konstante 6,626070040 • 10–34 Js 0,000000081 • 10–34 Js

Ziel dieser Unterrichtseinheit

Ihre Schüler sollen erkennen, dass alle Messungen mit Messunsicherheiten behaftet sind. Sie werden in die Lage versetzt, Messunsicherheiten zu beschreiben, zu berechnen und zu interpretieren.

Bezug zu den Bildungsstandards der Kultusministerkonferenz

Allg. physikali-sche Kompetenz

Inhaltsbezogene Kompetenzen

Die Schüler …

Anforderungs-bereich

F 1–F 4, E 7 … kennen die Begriffe Bestwert, Streuung, absoluter und relativer Fehler und können diese Größen berechnen,

I, II

F 1–F 4, E 7, E 9 … können Experimente bezüglich Messfehlern planen und auswerten,

I, II

F 1–F 4, E 9 … können mit fehlerbehafteten physikalischen Größen sinnvoll rechnen.

I, II

Für welche Kompetenzen und Anforderungsbereiche die Abkürzungen stehen, finden Sie auf der beiliegenden CD-ROM 45.

Abb. 1: Schüler im Labor beim Experimentieren

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IIIHinweise zur Gestaltung des UnterrichtsAblauf

In dem Material M 1 wird ein einfaches Experiment durchgeführt. Ihre Schüler erkennen, dass alle Messergebnisse prinzipiell fehlerbehaftet sind. In den Materialien M 2–M 4 ler-nen Ihre Schüler zwischen statistischen und systematischen Fehlern zu unterscheiden. Sie werden mit den Begriffen „Bestwert“, „Streuung“ sowie „absoluter und relativer Fehler“ vertraut gemacht. Sie lernen diese Begriffe anzuwenden. In Material M 5 geht es um die Frage, wie genau fehlerbehaftete Messwerte anzugeben sind. Im Material M 6 beschäf-tigen sich die Schüler mit dem Statistik-Modus des Taschenrechners. Die Materialien M 7–M 9 behandeln die Fehlerfortpflanzung von fehlerbehafteten Größen bei Summen, Differenzen, Produkten und Quotienten. In Material M 10 wird eine Zusammenfassung des Erlernten gegeben. Material M 11 dient der Lernerfolgskontrolle.

MediathekInternetlinks

zu M 1: https://av.tib.eu/media/10865?0

zu M 2: https://www.youtube.com/watch?v=T42lvogO6gs

https://www.youtube.com/watch?v=T3LiEwuJmQI

zu M 3: https://www.youtube.com/watch?v=MV-9NtHGK2I

zu M 4: https://www.youtube.com/watch?v=l1jSdiz3Swo

zu M 5: https://www.youtube.com/watch?v=hiUbkpcohXw

https://www.youtube.com/watch?v=kCDb08Xuo9U

https://www.youtube.com/watch?v=f0ZfJHU-p1k

zu M 6: https://www.youtube.com/watch?v=IiIfk6PFmEA

https://www.youtube.com/watch?v=nYXMVwqCDWM

https://www.youtube.com/watch?v=UZc13RalQsY

zu M 7: https://www.youtube.com/watch?v=owSqELDZfA8

zu M 8: https://www.youtube.com/watch?v=onSDbGWbnik

zu M 9: https://www.youtube.com/watch?v=tF4jYeaDiS4

https://www.youtube.com/watch?v=VRF-apc6670

zu M 10 : https://www.youtube.com/watch?v=Fegwu402YrM&list=-PLzSFbJ8TSbl4ndzNIlzQ_C3op32tMZ65u&index=1

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IIIMaterialübersicht

· V = Vorbereitungszeit SV = Schülerversuch Ab = Arbeitsblatt/Informationsblatt

· D = Durchführungszeit LEK = Lernerfolgskontrolle

M 1 SV Messung der Schwingungsdauer eines Pendels

· V: 5 min

· D: 40 min

r1 Faden

r1 Pendelkörper (z. B. Radiergummi)r1 Stativ

r1 Stoppuhr (z. B. eines Smartphones)

M 2 Ab Statistische und systematische Fehler

M 3 Ab Die Streuung

M 4 Ab Der Fehler des Bestwertes

M 5 Ab Wie genau soll man physikalische Größen angeben?

M 6 Ab Fehlerrechnung mit dem Taschenrechner

M 7 Ab Fehlerfortpflanzung (Summen und Differenzen)

M 8 Ab Fehlerfortpflanzung (Produkte und Quotienten)

M 9 Ab Rechnen mit physikalischen Größen

M 10 Ab Zusammenfassung

M 11 LEK Teste dein Wissen!

Die Erläuterungen und Lösungen zu den Materialien finden Sie ab Seite 17.

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