Teil II: Systemtheorie für Informatiker

Autonome Mobile Systeme

Dr. Mohamed Oubbati

Institut für NeuroinformatikUniversität Ulm

SS 2007

Informatiker werden zunehmend mit Systemen konfrontiert, die eine Automatisierung benötigen.

Hierzu fehlen Informatikern “häufig” wichtige Grundlagen der Systemtheorie.

Diese Vorlesung soll Informatikstudenten den Einstieg in das Gebiet der Systemtheorie erleichtern, damit sie später mit Ingenieuren auf einer gemeinsamen begrifflichen Basis arbeiten können.

Warum Systemtheorie?

Einführung

• Autonome Systeme

• Systeme und ihre Eigenschaften

• LTI-Systeme

Was ist ein System?Ein System ist häufig ein kompliziertes technisches Gebilde, das über Ein- und Ausgangssignale mit seiner Umgebung in Wechselwirkung steht.

SystemEingangsignal Ausgangsignal

Umgebung

„autonom“ : selbständig, unabhängig, nach eigenen Gesetzen lebend, …

Was ist ein autonomes System?

Im Lexikon findet man zum Wort autonom:

Mit den Mitteln der Regelung werden Systeme autonom.

Regelung ist eine gezielte Beeinflussung (Stellgröße) dynamischer Systeme, so dass eine gewünschte Betriebsart (Regelgröße) eingestellt wird.

Was ist Regelung?

SystemStellgröße Regelgröße

Und was ist mit Steuerung!?

Unterschied Steuerung - Regelung

Steuerung (open loop control)

Die Steuerung wirkt auf das Eingangssignal und beeinflusst damit das Ausgangssignal.

Steuerung SystemAnforderung Stellgröße Regelgröße

ProblemDie Steuerung “weiß ” nicht , ob die Regelgröße den gewünschten Wert hat!

Störungen

Unterschied Steuerung - Regelung

Regelung (closed loop control)

Die Regelung wirkt auch auf das Eingangssignal um das Ausgangssignal zu beeinflussen, aber in diesem Vorgehen “weiß” man, ob das Ausgangsignal die gewünschte Wert hat.

Regelung System

AnforderungStellgröße Regelgröße

Störungen

Regelschleife

Unterschied Steuerung - Regelung

Autofahren: “Steuern” oder “Regeln”?

Wofür kann man so etwas brauchen?

Alles, was wichtig ist, muss geregelt werden!

Was will ich hier erreichen?

Ich will, dass Sie die Fähigkeit haben, um

• regelungsprobleme zu erkennen

• regelungslösungen zu diskutieren oder vorzustellen

Systeme und ihre Eigenschaften

Systeme und ihre Eigenschaften

Dynamik : Systeme verändern ihre Zustände im Laufe der Zeit oder durch Interaktion mit der Umgebung.

Kausalität : Ein System heißt kausal, wenn seine Reaktion erst eintreten kann, nachdem die Ursache eingetreten ist.

Linearität : Ein System wird als linear bezeichnet, wenn es zwei Bedingungen erfüllt:

1. Linearität: Bei Vergrößerung des Eingangssignals um den Faktor a, vergrößert sich auch das Ausgangssignal um den Faktor a.

2. Additivität::Wenn man z.B an den Eingang die Summe mehrere Signale legt, erhält man die Addition der entsprechende einzelnen Ausgangssignale als Ausgangssignal.

Zeitinvarianz : Ein System heißt zeitinvariant, wenn seine Eigenschaften mit der Zeit sich nicht ändern; ansonsten heißt das System zeitvariant.

Systeme und ihre Eigenschaften

Die lineare Systeme, die zeitinvariante sind, heißen LTI-Systems“LTI steht für: Linear and Time Invariant”.

Lineare zeitinvariante Systeme LTI-Systems

Das Verhalten von LTI-Systemen wird häufig durch Testsignale beschrieben.

Sprung- und Impulsantwort eines LTI-Systems

ImpulsantwortDie Impulsantwort ist das Ausgangssignal, dem am Eingang ein Dirac-Impulszugeführt wird.

=∞≠

=0

00)(

t

ttδ

)(tδ

t

1

Dirac-Impuls

∫+∞

∞−

= 1)( dttδ

∫+∞

∞−

= )0()()( fdxxxf δMore general

Sprung- und Impulsantwort eines LTI-Systems

Sprungsantwort

Die Antwort auf eine Sprungfunktion wird als Sprungantwort bezeichnet.

Die Sprungfunktion wird auch als Heaviside-Funktion bezeichnet

1

t

σ

Jetzt stellt sich die Frage: wie reagiert ein LTI System auf ein beliebiges Eingangsignal u(t)?

Und nun?

bzw. was ist die Transformation T sodass: y(t)=T{u(t)}

Ty(t)u(t)

System

(Die Tafel)

Faltungsintegral (engl. Convolution)

∫+∞

∞−

−= τττ dthuty )()()(

huy *=

wie reagiert ein LTI System auf ein beliebiges Eingangsignal u(t)?

Zusammenfassung

System h(t))(tδ

System Y(t)=u(t)*h(t)u(t)

Laplacetransformation

Mit der Laplacetransformation kann das Verhalten der LTI-Systemseinfach berechnet werden.

Warum Laplacetransformation?

Problem im Zeitbereich

Beschreibung Im Frequenzbereich

Lösung Im Frequenzbereich

Lösung Im Zeitbereich

Laplace-Transformation

Laplace-Rück-transformation

Laplacetransformation

Kausal stetig, dann definiert man die Laplacetransformation durch[ ]∞+,0:fsei

jws += σHin: ∫+∞

−=0

)()( dtetfsF st)}({)( tfLsF =

Rück: { } ∫+

−∞→

− ==jw

jw

stw dsesF

jsFLtf

σ

σπ)(

21

lim)()( 1

Wichtige Eigenschaften derLaplacetransformation

Linearitätssatz

{ } { } { })()()()( 22112211 tfLatfLatfatfaL +=+

Differentiationssatz { } )0()()(' +−= fssFtfL

{ } )0(...)0()0()()( )1('2)( +−+−+ −−−−= nnnnn ffsfssFstfL

Dämpfungssatz { } CaasFtfeL at ∈+=− ,)()(

Wichtige Eigenschaften derLaplacetransformation

Integrationssatz )(1

)(0

sFs

dxxfLt

=

∫

Faltung

{ }{ }gLsG

fLsF

==

)(

)(

{ } )()(* sGsFgfL =

wobei

Korrespondenztabelle

cos(wt)

sin(wt)

t

1

1

F(s)f(t)

)( tδ

s

1

2

1s

ate−as +

1

22 ws

w

+

22 ws

s

+

Laplacetransformation

Beispiel

Es soll die folgende Funktion und Differentialgleichungen mit Hilfe der Laplacetransformation gelöst werden:

)5)(2(1

)(++

=ss

sF

tetyty 3)(2)( =−& y(0)=0

f(t) ?

y(t) ?