Bachelorarbeit Entwurf einer zeitdiskreten Stromregelung ... · PDF fileSimulink ist somit eine von vielen Matlab Toolboxen. Mit Simulink lässt sich der zeitliche Verlauf dynamischer

Bachelorarbeit

Entwurf einer zeitdiskreten Stromregelung für einen

Permanentmagnet-Synchronmotor

Verfasser

Jens Wurster Studiengang Fahrzeugelektronik

Matrikelnummer: 3101345 WS 2011/12

Erstgutachter

Prof. Dr.-Ing. Claus Kröger

Fakultät Elektrotechnik und Informationstechnik

Jens Wurster

Entwurf einer zeitdiskreten Stromregelung für einen Permanentmagnet-

Synchronmotor

Bachelorarbeit eingereicht im Rahmen der Bachelorprüfung für den Studiengang

Fahrzeugelektronik der Fakultät Elektrotechnik und Informationstechnik der Hochschule

Ulm.

Erstgutachter: Prof. Dr.-Ing. Claus Kröger

Zweitgutachter: Prof. Dr.-Ing. Wolfgang Schroer

Bearbeitungszeitraum: 8. August 2011 bis 2. November 2011

Hochschule Ulm


Bachelorarbeit S e i t e | i Jens Wurster

Thema der Bachelorarbeit:

Entwurf einer zeitdiskreten Stromregelung für einen Permanentmagnet-Synchronmotor

Stichworte:

Dead-Beat-Regler, Windup-Effekt, Störgrößenaufschaltung, feldorientierte Regelung,

Matlab/Simulink

Kurzbeschreibung:

Inhalt dieser Bachelorarbeit ist die Bewertung verschiedener Dead-Beat-Stromregler für

einen Permanentmagnet-Synchronmotor. Der Dead Beat-Regler wird mit

Stellgrößenvorgabe verwendet, die Anzahl an zusätzlichen Stellgrößenvorgaben wird

minimal gehalten.

Die Realisierung und die Simulation erfolgt in Matlab/Simulink.

Title of the paper:

Design of a discrete-time current control for permanent magnet synchronous motor

Keywords:

Dead beat controller, Windup-effect, feed forward control, field-oriented control,

Matlab/Simulink

Abstract:

Contents of this bachelor thesis is the evaluation of various dead beat current controller for

permanent magnet synchronous motor. The dead beat controller is used with plant output

and the number of additional manipulated variables is kept to a minimum.

Implementation and Simulation is done in Matlab/Simulink.

Erklärung Hochschule Ulm


Bachelorarbeit S e i t e | i i Jens Wurster

I. Erklärung

Hiermit erkläre ich, dass ich die vorliegende Bachelorarbeit selbstständig angefertigt habe.

Es wurden nur, die in der Arbeit ausdrücklich benannten Quellen verwendet. Wörtlich oder

sinngemäß übernommenes Gedankengut habe ich als solches kenntlich gemacht.

Ort, Datum Unterschrift: Jens Wurster

Danksagung Hochschule Ulm


Bachelorarbeit S e i t e | i i i Jens Wurster

II. Danksagung

Hiermit möchte ich mich bei Herrn Prof. Dr.-Ing. Claus Kröger für die Betreuung während

meiner Abschlussarbeit bedanken. Er ermöglichte mir diese Arbeit durchzuführen und war

während der Durchführung ein sehr wichtiger Ansprechpartner für mich.

Ich möchte mich natürlich auch bei meinem Umfeld bedanken. Meiner Familie, die mich

während der Arbeit voll unterstützte und meinem Freundeskreis, der mich auch mal auf

andere Gedanken gebracht hat.

Inhaltsverzeichnis Hochschule Ulm


Bachelorarbeit S e i t e | i v Jens Wurster

III. Inhaltsverzeichnis

I. Erklärung ............................................................................................................................ ii

II. Danksagung ....................................................................................................................... iii

III. Inhaltsverzeichnis .............................................................................................................. iv

1 Einleitung ............................................................................................................................ 1

2 Aufgabenstellung ............................................................................................................... 2

3 Theorie ............................................................................................................................... 3

3.1 MATLAB/Simulink ........................................................................................................ 3

3.1.1 MATLAB ................................................................................................................. 3

3.1.2 Simulink ................................................................................................................. 4

3.2 Elektrische Antriebsmaschinen ................................................................................... 5

3.3 Die Gleichstrommaschine ............................................................................................ 5

3.3.1 Der Aufbau ............................................................................................................. 6

3.3.2 Elektrisches Ersatzschaltbild der Gleichstrommaschine ....................................... 8

3.3.3 Drehzahl-Drehmomentverhalten ........................................................................ 13

3.3.3.1 Gleichstrom-Nebenschlussverhalten .......................................................... 13

3.3.3.2 Gleichstrom-Reihenschlussverhalten ......................................................... 14

3.4 Clarke-Park-Transformation ...................................................................................... 16

3.4.1 Die Inverse-Clarke-Park-Transformation ............................................................. 17

3.4.2 Die Clarke-Transformation .................................................................................. 18

3.4.3 Die Park Transformation ..................................................................................... 20

3.5 Der Synchronmotor ................................................................................................... 22

3.5.1 Der Aufbau ........................................................................................................... 22

3.5.2 Das Modell der Synchronmaschine ..................................................................... 24

3.5.2.1 Simulationsmodell der Synchronmaschine ................................................ 29

3.6 Zeitdiskrete Regelungen ............................................................................................ 31

3.6.1 Beschreibung zeitdiskreter Vorgänge ................................................................. 31

3.6.1.1 Das Abtast- und Halteglied ......................................................................... 32

3.6.1.2 Darstellung kontinuierlicher Systeme als diskretes System ....................... 33

3.6.1.3 Stabilität zeitdiskreter Systeme .................................................................. 35

3.6.2 Die Testfunktionen im z-Bereich ......................................................................... 36

3.6.2.1 Die Sprungfunktion ..................................................................................... 36



Bachelorarbeit S e i t e | v Jens Wurster

3.6.2.2 Der Dirac-Impuls ......................................................................................... 37

3.6.3 Zeitdiskrete Regler ............................................................................................... 38

3.6.3.1 Dead-Beat-Regler ........................................................................................ 39

3.6.3.2 Herleitung des Dead-Beat Reglers ohne Stellgrößenvorgabe .................... 40

3.6.3.3 Dead-Beat-Regler mit Vorgabe des ersten Stellgrößenwerts .................... 50

3.6.3.4 Dead-Beat Regler mit zwei Stellgrößenvorgaben ....................................... 57

3.7 Raumzeigermodulation ............................................................................................. 62

3.7.1 Berechnung beliebiger Raumzeiger .................................................................... 67

3.7.1.1 Der Aussteuerungsgrad............................................................................... 68

4 Das Simulationsmodell ..................................................................................................... 69

4.1 Modelldaten .............................................................................................................. 69

4.2 Der Regelkreis ............................................................................................................ 70

4.2.1 Das Motormodell ................................................................................................. 72

4.2.1.1 Das mechanische Modell ............................................................................ 73

4.2.2 Regelung und Leistungselektronik ...................................................................... 74

4.2.2.1 Störgrößenaufschaltung ............................................................................. 78

4.2.2.2 Soll- oder Iststrom als Eingangsgröße der Störgrößenaufschaltung .......... 79

4.2.2.3 Regler Windup ............................................................................................ 80

4.3 Dimensionierung der Dead Beat Regler .................................................................... 82

4.3.1 Die Regelstrecke .................................................................................................. 82

4.3.2 Dead Beat Regler ohne Stellgrößenvorgabe ....................................................... 83

4.3.2.1 Simulationsergebnisse ohne Stellgrößenvorgabe ...................................... 85

4.3.2.2 Fazit ............................................................................................................. 90

4.3.3 Dead Beat Regler mit erster Stellgrößenvorgabe ............................................... 91

4.3.3.1 Simulationsergebnisse mit einer Stellgrößenvorgabe ................................ 93

4.3.3.2 Fazit ............................................................................................................. 94

4.3.4 Dead Beat Regler mit zwei Stellgrößenvorgaben ................................................ 95

4.3.4.1 Simulationsergebnisse mit zwei Stellgrößenvorgaben ............................... 97

4.3.4.2 Fazit ............................................................................................................. 99

4.3.5 Dead Beat Regler mit sieben Stellgrößenvorgaben ............................................ 99

4.3.5.1 Simulationsergebnisse mit sieben Stellgrößenvorgaben ......................... 101

4.3.5.2 Simulationsergebnisse mit sieben Stellgrößenvorgaben und aktiver Pulsweitenmodulation .............................................................................. 103

4.3.5.3 Fazit ........................................................................................................... 105

4.3.6 Dead Beat Regler mit acht Stellgrößenvorgaben .............................................. 106

4.3.6.1 Simulationsergebnisse mit acht Stellgrößenvorgaben ............................. 110



Bachelorarbeit S e i t e | v i Jens Wurster

4.3.6.2 Dynamische Betrachtung mit aktiver Pulsweitenmodulation .................. 113

4.3.6.3 Fazit ........................................................................................................... 117

5 Gesamtfazit .................................................................................................................... 119

IV. Abbildungsverzeichnis .................................................................................................... 120

V. Tabellenverzeichnis ........................................................................................................ 124

VI. Literaturverzeichnis ........................................................................................................ 125

Einleitung Hochschule Ulm


Bachelorarbeit S e i t e | 1 Jens Wurster

1 Einleitung

Es war im Jahr 1900, als der Pionier Ferdinand Porsche auf der Weltausstellung in Paris das

erste Hybridfahrzeug vorstellte [1]. Es hat jedoch fast hundert Jahre gedauert bis Toyota mit

dem ersten Hybrid in Serie ging. Der Verkauf des Toyota Prius begann im Dezember 1997,

vorerst nur in Japan [2]. Damit begann die Erfolgsgeschichte des Hybrids. Heutzutage sind

die Hybridtechnik oder rein elektrisch betriebene Fahrzeuge aus der Automobilwelt nicht

mehr wegzudenken, somit auch der Elektromotor als Traktionsmotor.

Mit dem Einzug der e-Mobility in die Fahrzeugtechnik hat sich das Berufsfeld des

Fahrzeugtechnik Ingenieurs verändert. Der Fokus rückt dabei zusätzlich auf die

Batterietechnik, die Leistungselektronik und elektrische Traktionsmotoren. Diese Bereiche

stellen den Ingenieur in der Automobilbranche vor neue Herausforderungen.

Bei der Batterietechnik stehen wir heute noch am Anfang. Zur Zeit sind mit rein elektrisch

betriebenen Fahrzeugen Reichweiten von ca. 100 km pro Akkuladung möglich. Bei dieser

Reichweite beginnt bei herkömmlichen Autos mit Verbrennungsmotor der rote Bereich der

Tankanzeige. Experten meinen, dass bis zum Jahr 2015 Reichweiten von ca. 200 km mit rein

elektrisch betriebenen Fahrzeugen möglich sind.

Im Automobil werden Drehfeldmotoren als Antriebsmotor verwendet. Es werden synchrone

und asynchrone Drehfeldmotoren eingesetzt. Aufgrund von Wirkungsgradvorteilen werden

vermehrt permanentmagneterregte Synchronmaschinen eingesetzt. Diese sind jedoch

aufwändiger zu regeln als Asynchron-Maschinen.

Aufgabenstellung Hochschule Ulm



2 Aufgabenstellung

Der Elektromotor ist aus modernen Forschung und Lehre durch den Einzug als

Traktionsmotor in der Fahrzeugtechnik nicht mehr wegzudenken. Für den Student ist somit

der Umgang mit dieser Technologie bereits im Studium wichtig.

Im Automotive-Center der Hochschule Ulm gibt es zu Lehrzwecken einen Motorenprüfstand,

der aus zwei Elektromotoren besteht. Dabei ist die antreibende Maschine ein

Permanentmagnet-Synchronmotor mit Oberflächenmagnet Anker und die Lastmaschine ein

Asynchrondrehstrommotor. Beide Motoren arbeiten bis jetzt im ungeregelten Betrieb. Für

den Synchronmotor wird in dieser Arbeit eine zeitdiskrete Regelung entworfen. Dabei wird

als zeitdiskreter Regler der Dead-Beat Regler verwendet. Die Anzahl an zusätzlichen

Stellgrößen wird dabei so gering wie möglich gehalten.

Die Bewertung und die Simulation der einzelnen Reglerentwürfe wird in Matlab/Simulink

durchgeführt.

Ziel dieser Arbeit ist es, einen Dead-Beat Stromregler für den Synchronmotor anhand von

Simulationsergebnissen zu bewerten und die Realisierbarkeit in der Praxis zu überprüfen.

Theorie Hochschule Ulm



3 Theorie

Dieses Kapitel soll dem Leser das Verständnis der Arbeit erleichtern. In den einzelnen

Theorieteilen ist immer auf weiterführende Literatur verwiesen, die einen tieferen Einblick in

den Themenbereich ermöglicht.

3.1 MATLAB/Simulink

Matlab/Simulink ist ein Computerprogramm welches von „The MathWorks“ entwickelt wird.

Die Einsatzschwerpunkte der Software liegen in der Regelungstechnik, der Mathematik und

der Signalverarbeitung.

Die Simulation des Regelungsmodells erfolgt in Simulink, die Auswertung und Initialisierung

des Modells geschieht in Matlab.

3.1.1 MATLAB

Der Name Matlab lässt sich von „MATrix LABoratory“ ableiten [3]. Matlab rechnet mit

Matrizen, welche nur aus einem Element bestehen können, beziehungsweise nur eine Zeile

oder Spalte enthalten können. Dadurch lassen sich einzelne Werte und Zeilenvektoren sowie

Spaltenvektoren darstellen. Zur Berechnung verwendet Matlab numerische

Lösungsalgorithmen. Wie aus den Hochsprachen bekannt bietet MATLAB eine Vielzahl von

Funktionen. So lässt sich beispielsweise eine Einheitsmatrix der Größe (n, n) mit dem Befehl

eye(n) erstellen.

Um Programme in MATLAB zu programmieren, gibt es sogenannte m-Files. Diese Files sind

ASCII-Dateien, welche in einem Editor bearbeitet werden. Die m-Files lassen sich mit dem

Matlab-Compiler ausführen. Die Programmiersprache, die Matlab verwendet unterscheidet

sich zum Teil von der Programmiersprache C/C++. Hierbei sei auf die ausführliche Hilfe von

Matlab verwiesen.




3.1.2 Simulink

Bei Simulink handelt es sich um ein Simulationswerkzeug, welches auf MATLAB beruht.

Simulink ist somit eine von vielen Matlab Toolboxen.

Mit Simulink lässt sich der zeitliche Verlauf dynamischer Systeme simulieren. Es lassen sich

sowohl lineare als auch nichtlineare Vorgänge simulieren. Simulationsmodelle werden durch

Blockschaltbilder aufgebaut. Einzelne Blockschaltbilder zusammengefasst durch

Signalflusspfeile, ergeben den Signalflussplan. Auf diese Art wird in Simulink grafisch

programmiert.

Der Aufbau der Modelle erfolgt in mdl-Files. Die Blockschaltbilder sind in verschiedenen

Bibliotheken, „Librarys“ unterteilt.




3.2 Elektrische Antriebsmaschinen

Es gibt eine Vielzahl unterschiedlicher Ausführungen elektrischer Antriebsmaschinen.

Elektrische Maschinen lassen sich in ihre technologischen Eigenschaften unterteilen. Die

gebräuchlichsten sind [4],

Bewegungsart (rotatorisch, translatorisch),

Erregerfeld (z. B. Drehfeld, Permanentmagnet, steuerbar),

Drehmoment-Drehzahlkennlinie (z. B. Nebenschlussverhalten,

Reihenschlussverhalten),

Synchron/Asynchron.

Im Folgenden wird auf die Theorie der Gleichstrommaschine eingegangen und das

elektrische Ersatzschaltbild abgeleitet, da dieses bei der Modellbildung der

Synchronmaschine wieder erscheint.

3.3 Die Gleichstrommaschine

Die Gleichstrommaschine ist die älteste und die technisch einfachste elektrische Maschine

[5]. Bedingt durch ihren einfachen Aufbau und gute Regeleigenschaften wird die

Gleichstrommaschine heute immer noch eingesetzt, obwohl diese höhere

Wartungsintervalle als die Synchron- und Asynchronmaschine hat. Zusätzlich ist ihr

Wirkungsgrad schlechter als bei Drehfeldmaschinen.




3.3.1 Der Aufbau

Die Gleichstrommaschine besteht aus einem feststehenden Gehäuse, dem Ständer und

einem sich drehendem Anker. Am Umfang des Ständers sind Dauermagnete oder

Erregerwicklungen angebracht, die Anzahl der Dauermagnete bzw. Erregerwicklungen

dividiert durch zwei beschreibt die Polpaarzahl einer Maschine. Der Anker der

Gleichstrommaschine wird über Kohlebürsten elektrisch verbunden. Durch die Rotation des

Ankers wird der Strom in der Ankerwicklung kommutiert.

Abbildung 3-1: Permanentmagnetiesierte Gleichstrommaschine

Abbildung 3-1 zeigt den technisch einfachsten Aufbau einer Gleichstrommaschine. Der

Erregerfluss wird von zwei Permanentmagneten geliefert und ist dadurch als konstant zu

betrachten. Die Polpaarzahl der Maschine ist eins, da diese Maschine zwei Pole hat. Die

Ankerwicklung wurde aus Darstellungsgründen durch eine einzelne Wicklung dargestellt.

Aufgrund des Ankerstroms und der daraus resultierenden Lorenzkraft dreht sich der

Motor im Uhrzeigersinn, da das Kreuzprodukt

(3.1)

einen Kraftvektor für den oberen Leiter nach rechts erzeugt und für den unteren Leiter nach

links. Die unterschiedliche Richtung der beiden Kraftvektoren folgt aus der




entgegengesetzten Stromrichtung in den beiden Leiterstücken. Im oberen Leiterstück fließt

der Strom aus der Zeichenebene heraus und im unteren Leiterstück in die Zeichenebene

hinein. Die Kraft am Hebelarm erzeugt ein Drehmoment nach:

(3.2)

Dreht sich der Anker beginnend bei der Position, siehe (Abbildung 3-2-a), mit der

mechanischen Winkelgeschwindigkeit , so erreicht er in (Abbildung 3-2-b) die

neutrale Zone. In dieser neutralen Zone ist das Kreuzprodukt (3.2) gleich null, da der

Kraftvektor parallel zum Hebelarm ist. Im Moment des Kommutierungsvorgangs fließt

für einen kurzen Zeitraum kein Strom (Abbildung 3-2-b).

Abbildung 3-2: Eine halbe Umdrehung einer Gleichstrommaschine

Abbildung 3-2-c zeigt die Gleichstrommaschine kurz nach dem Kommutierungsvorgang. Die

Stromrichtung in der Leiterschleife wurde umgepolt, durch diese Umpolung zeigt der Vektor

in die andere Richtung und somit auch . In Abbildung 3-2-d hat die Gleichstrommaschine




eine halbe Umdrehung zurückgelegt und befindet sich kurz vor dem nächsten

Kommutierungsvorgang.

3.3.2 Elektrisches Ersatzschaltbild der Gleichstrommaschine

Um die Vorgänge in der Gleichstrommaschine besser zu verstehen, ist die Bildung eines

mathematischen Modells notwendig. Die Darstellung als Signalfußplan und als elektrisches

Ersatzschaltbild erleichtert das Verständnis des Modells.

Das Drehmoment lässt sich als Funktion des mechanischen Winkels darstellen. Aufgrund der

Rotation des Ankers verläuft das Drehmoment für eine Leiterschleife als Cosinusfunktion, da

sich der wirkende Hebelarm des Kraftvektors nach dieser Funktion verhält.

Abbildung 3-3: Drehmoment der Gleichstrommaschine mit einer Leiterschleife

Der in Abbildung 3-3 dargestellte Graph des Drehmoments stellt den Verlauf mit

Kommutierung (durchgezogene Linie) und ohne Kommutierung (gestrichelte Linie) dar. Der

Drehmomentverlauf ist für eine Spule, die in einer Nut gewickelt ist, abgebildet. Die

Scheitelwerte der Kraft sind laut Gleichung (3.1) proportional zum Strom in den

Leiterschleifen und somit ist auch das Drehmoment proportional dazu. Wird die Anzahl an

räumlich versetzten Spulen auf zwei erhöht, ergibt sich folgender Verlauf des Drehmoments:




Abbildung 3-4: Drehmomentverlauf einer Gleichstrommaschine mit zwei Spulen

Abbildung 3-4 zeigt das Drehmoment zweier um 90° versetzter Spulen. Zusätzlich ist das

Summendrehmoment ersichtlich. Wird die Anzahl der räumlich versetzter Spulen weiter

erhöht, so ist das Summendrehmoment als konstant zu betrachten, da die Oberwellen

mit steigender Anzahl an Spulen immer kleiner werden. Somit ist das Drehmoment

proportional zum Strom und einer Konstanten, die noch näher bestimmt werden muss.

(3.3)

Die drehmomentbildende Kraft ist abhängig von Radius , Spulenlänge und von dem B-Feld

. Da die Kraft an beiden Leiterstücken wirkt, wird der Faktor mit zwei multipliziert. Somit

spannt der Faktor (Abbildung 3-5) die Fläche der Leiterschleife auf. Die Konstante aus

Gleichung (3.3) lässt sich durch beschreiben.

Abbildung 3-5: Eine Leiterschleife im B-Feld



Bachelorarbeit S e i t e | 1 0 Jens Wurster

Die Definition des magnetischen Fluss lautet:

(3.4)

Über die Definition (3.4) und die zuvor abgeleiteten Zusammenhänge ergibt sich die erste

Gleichung der Gleichstrommaschine. Durch die Vielzahl an räumlich versetzten

Leiterschleifen ist der Einfluss der Flussänderung durch die Rotation des Ankers

vernachlässigbar. Die Konstante kann als Erregerfluss angenommen werden, dieser Fluss

wird vom Erregerkreis erzeugt. Je nach Motorbauart ist dieser Fluss konstant oder eine

Funktion des Erregerstroms .

(3.5)

Durch die Rotation des Ankers wird in der Ankerinduktivität eine Spannung induziert. Diese

Spannung lässt sich laut Induktionsgesetz beschreiben durch:

(3.6)

Der Erregerfluss bei gleichmäßiger Rotation beschreibt die folgende Gleichung:

(3.7)

Eingesetzt in Gleichung (3.6) ergibt sich für die induzierte Spannung Folgendes:

(3.8)

Aufgrund der Vielzahl der räumlich versetzten Spulen in der Gleichstrommaschine ist die

Winkelabhängigkeit der induzierten Spannung vernachlässigbar. Somit gilt:

(3.9)

In der Ableitung der induzierten Spannung wurde bewusst auf die Kommutierung

verzichtet, da die Spannung umgepolt wird und der Betrag erst nach der Differenzierung

gebildet wird.

Wird im Ankerkreis der Ankerwiderstand und die Ankerinduktivität in das mathematische

Modell eingebunden, so ergeben sich weitere Gleichungen des Modells.

(3.10)




(3.11)

Laut Definition gilt für die mechanische Leistung der Zusammenhang:

(3.12)

Aus Gleichung (3.10) folgt folgendes Ersatzschaltbild der Gleichstrommaschine:

UA

UR UL

IA

RA LA

Ui

Abbildung 3-6: Ersatzschaltbild der Gleichstrommaschine

Das Ersatzschaltbild der Gleichstrommaschine besteht aus drei Bauelementen. Der

Ankerwiderstand bildet die elektrischen Verluste im Ankerkreis ab, d. h. die

Verlustleistung lässt sich beschreiben durch:

(3.13)

Die Ankerinduktivität des Ersatzschaltbilds wird als ideal angenommen und hat bei

dynamischen Vorgängen einen nicht vernachlässigbaren Spannungsabfall. Die ideale

Spannungsquelle mit der induzierten Spannung stellt die elektromotorische Kraft (EMK)

dar und bildet den Übergang zwischen dem elektrischen und dem mechanischen System,

siehe Gleichung (3.9).

Das Ersatzschaltbild kann für den stationären Fall vereinfacht dargestellt werden.

UA

UR

IARA

Ui

Abbildung 3-7: Stationäres Ersatzschaltbild der Gleichstrommaschine




Im stationären Fall gilt ., dadurch ist der Spannungsabfall an der Induktivität

nicht vorhanden. Wird die Gleichstrommaschine nicht belastet, so ist das Lastmoment

gleich null. Demnach fließt kein Ankerstrom und daraus folgt .

Eine weitere Möglichkeit das mathematische Modell darzustellen ist der Signalflussplan.

Durch Umstellen der Gleichung (3.10), (3.5), (3.9) und durch Einbeziehen der

Differenzialgleichung (3.14) für das mechanische Teilsystem, ergibt sich folgender

Signalflussplan:

(3.14)

Abbildung 3-8: Vereinfachter Signalflussplan des Gleichstrommotors

In dieser Darstellung wurde ebenfalls die Ankerinduktivität im Signalflussplan

vernachlässigt. Die Ankerspannung ist die Eingangsgröße des Systems. Die

Ausgangsgröße ist die mechanische Winkelgeschwindigkeit . Das Lastmoment

stellt die Störgröße dar. Die Laplace-Übertragungsfunktion des Motormodells lautet:

(3.15)

Das Modell einer Gleichstrommaschine beschreibt ein PT1-Verhalten mit der Zeitkonstante:

(3.16)




Die Störübertragungsfunktion lautet:

(3.17)

Mit derselben Zeitkonstante wie Gleichung (3.15). (Index „z“ für Störübertragungsfunktion in

Gleichung (3.17) )

3.3.3 Drehzahl-Drehmomentverhalten

In Abschnitt 3.3.1 wurde die Funktion der Gleichstrommaschine anhand einer

permanentmagneterregten Gleichstrommaschine erklärt. Diese Variante wird nur bei

kleinen Leistungen eingesetzt [4]. Es gibt jedoch verschiedene Ausführungen einer

Gleichstrommaschine, die sich durch die unterschiedlichen Erregungen unterscheiden.

Im Folgenden wird auf die beiden häufigsten Typen eingegangen. Weiterführende

Informationen über andere Gleichstrommotorentypen liefern die unter ( [6], [4], [5])

genannten Bücher.

3.3.3.1 Gleichstrom-Nebenschlussverhalten

Der Erregerkreis der Gleichstrommaschine wird hierbei von einem vom Ankerstrom

unabhängigen Erregerstrom durchflossen.

M

A1

A2

E1E2

UA UE

IA IE

Abbildung 3-9: Gleichstrom-Nebenschlussmotor

Durch die Variation von und sind Drehzahlstellmethoden möglich [4]. In den meisten

Fällen gilt jedoch Bei dem verwendeten Verbraucherzählpfeilsystem in Abbildung

3-9, stellt sich für den dargestellten Nebenschlussmotor Rechtslauf ein [7]. Der Erregerfluss

ist abhängig von Erregerstrom , wie auch von der Sättigungskurve der Erreger-

induktivität.




Abbildung 3-10: Drehzahl-Drehmomentkennlinie der Nebenschlussmaschine

In Abbildung 3-10 ist das Drehzahl-Drehmomentverhalten der Nebenschlussmaschine bei

konstanter Ankerspannung und konstantem Erregerfluss dargestellt. Bei der

Nebenschlussmaschine existiert eine Leerlaufdrehzahl und ein Anzugsmoment im

Stillstand. Der Kennlinienverlauf der Nebenschlussmaschine ist linear.

3.3.3.2 Gleichstrom-Reihenschlussverhalten

Bei einer Reihenschlussmaschine sind Erregerwicklung und Ankerkreis in Reihe geschaltet,

dadurch fließt durch beide Wicklungen derselbe Strom.

M

A1

A2

D1D2

U

I

Abbildung 3-11: Gleichstrom-Reihenschlussmotor

Beim Reihenschlussmotor ist der Erregerfluss abhängig vom Ankerstrom . Für den

Erregerfluss gilt . In Abbildung 3-11 ist der Motor im Rechtslauf verschaltet [7].




Abbildung 3-12: Drehzahl-Drehmomentkennlinie der Reihenschlussmaschine

Abbildung 3-12 zeigt das Drehzahl-Drehmomentverhalten der Reihenschlussmaschine bei

konstanter Spannung . Auffallend ist, dass keine Leerlaufdrehzahl existiert. Im

Leerlauffall gilt die Bedingung . Aus Gleichung (3.9) folgt dadurch, dass

gegen null geht, sodass gegen unendlich gehen muss. Theoretisch existiert daher

keine Leerlaufdrehzahl. Der Motor geht im Leerlauffall durch. Aufgrund der Reibverluste, die

im Modell vernachlässigt wurden, erreicht der Motor eine endliche, aber sehr hohe

Leerlaufdrehzahl. Die hohen Fliehkräfte, die bei dieser Leerlaufdrehzahl vorhanden sind,

können auf den Motor zerstörend wirken. Die typische Anwendung für eine

Reihenschlussmaschine ist aufgrund des hohen Anzugmoments der Anlasser im PKW.




3.4 Clarke-Park-Transformation

Die häufigste Anwendung der Clarke-Park-Transformation ist bei der Regelung elektrischer

Drehfeldmaschinen. Für Drehfeldmaschinen kann ein mathematisches Modell abgeleitet

werden, welches aus zwei gekoppelten Ersatzschaltbildern besteht (siehe Abschnitt 3.5.2).

Hierbei wird das dreiphasige Drehstromnetz (L1, L2, L3) in ein System mit den neuen

Bezugsgrößen des Motormodells transformiert. Bezugsgrößen werden im rotorfesten

Koordinatensystem dargestellt, wobei sich das Koordinatensystem mit der elektrischen

Winkelgeschwindigkeit des Rotors dreht. Für den Betrachter im rotorfesten

Koordinatensystem steht somit der Rotor still. Dies bietet den Vorteil, dass im stationären

Fall alle sinusförmigen Wechselgrößen zu Gleichgrößen werden.

Um aus dem dreiphasigen Drehstromnetz (L1, L2, L3) ein zweiphasiges, orthogonales System

zu bilden, wird die Clarke-Transformation angewandt. Hierbei wird aus dem dreiphasigen

Netz ein zweiphasiges Bezugssystem mit einem feststehenden Koordinatensystem. Die

Abszissenachse dieses Koordinatensystems wird mit α bezeichnet, die Ordinatenachse mit β.

Daher lautet diese Transformation manchmal auch α/β- Transformation.

In einem zweiten Schritt wird das orthogonale und feststehende Koordinatensystem α, β auf

ein mit der elektrischen Winkelgeschwindigkeit rotierendes Koordinatensystem

transformiert. Die Achsen heißen in diesem Fall d-Achse für die rotierende x-Achse und q-

Achse für die rotierende y-Achse. Diese Transformation wird als Park-Transformation

bezeichnet oder alternativ als d/q-Transformation.

Abbildung 3-13: Wirkungsplan der Clarke-Park Transformation

Abbildung 3-13 zeigt den Wirkungsplan der Clarke-Park-Transformation. Der Block Clarke-

Transformation hat die drei Ströme der Phasen L1, L2 und L3 als Eingangsgröße und die




Größen α und β als Ausgangsvektor. Bei diesem Block kann der Eingangsvektor auf zwei

Ströme verringert werden, denn im Dreiphasennetz gilt:

(3.18)

Der Messaufwand verringert sich, da nur noch zwei der drei Ströme gemessen werden

müssen.

Der Block Park-Transformation hat als Eingangsvektor die beiden Größen α, β und zusätzlich

noch den elektrischen Winkel . Die Ausgangsgrößen der d/q-Transformation sind die

Größen d und q des rotierenden Koordinatensystems.

In dieser Arbeit wird die Clarke-Park-Transformation immer in zwei Schritten durchgeführt

und nicht, wie es in der Literatur zum Teil der Fall ist, in einem Schritt. Dadurch bleibt die

Transformation übersichtlicher. Die Clarke-Park-Transformation wird hier für Ströme

abgeleitet, da diese in der Aufgabenstellung für eine Transformation dieser physikalischen

Größe erforderlich ist. Die Transformation ist natürlich auch für Spannungen oder andere

physikalische Größen möglich.

3.4.1 Die Inverse-Clarke-Park-Transformation

Um aus den d/q-Größen die netzrelevanten Größen L1, L2 und L3 zu gewinnen, verwendet

man die Inverse-Clarke-Park-Transformation, bei der eine Transformation von den beiden

orthogonalen Größen d, q nach L1, L2, L3 stattfindet.

Abbildung 3-14: Wirkungsplan der Inversen-Clarke-Park-Transformation

Die Blockdarstellung der Inversen-Clarke-Park-Transformation ist aus Abbildung 3-14

ersichtlich. Der Block der Inversen-Park-Transformation hat als Eingangsvektor die Größen d,

q und der mechanische Winkel , die beiden Ausgangsgrößen sind α und β.




Die Inverse-Clarke-Transformation hat als Eingangsgrößen α und β und als Ausgangsvektor

die drei Phasen des Drehstromnetzes L1, L2, L3.

3.4.2 Die Clarke-Transformation

Bei der Clarke-Transformation wird aus dem dreiphasigen Netz ein orthogonales System mit

den Ausgangsgrößen α, β gebildet.

Abbildung 3-15: Clarke Transformation

Nun müssen die Größen L1, L2 und L3 auf das neue Koordinatensystem in α/β-Koordinaten

abgebildet werden. Somit ergibt sich für die α-Richtung folgende Gleichung:

(3.19)

Und in β-Richtung:

(3.20)

Die Gleichungen (3.19) und (3.20) lassen sich über die Winkelfunktionen ,

, und darstellen:

(3.21)

(3.22)




Gleichungen (3.21) und (3.22) lauten in Matrixschreibweise wie folgt:

(3.23)

Der Faktor in Gleichung (3.23) normiert und auf den Betrag der Eingangsgrößen.

Die Transformation mit diesem Vorfaktor nennt man Längeninvariante-Transformation. Sie

hat den Vorteil, dass die Scheitelwerte der einzelnen Ströme im stationären Fall gleich groß

sind.

Um von den Größen α und β wieder auf die Wechselspannungsgrößen L1, L2, L3 zu

gelangen, ist die Inverse-Clarke-Transformation nötig. Für die Inverse-Clarke-Transformation

ist die Inverse der Transformationsmatrix aus Gleichung (3.23) nötig. Bei dieser Matrix

handelt es sich um eine nicht quadratische Matrix, diese ist somit nicht invertierbar. Wird

die Knotengleichung (3.18) in die Matrix von Gleichung (3.23) eingebunden, erhält man

folgende quadratische Matrix:

(3.24)

Die Matrix in Gleichung (3.24) ist nun invertierbar, da die Determinante der Matrix ungleich

null ist. Somit erhält man folgende Gleichung für die Inverse-Clarke-Transformation:

(3.25)

Die Knotengleichung, die in die Matrix eingebunden wurde kann nun wieder entfernt

werden. Da die Transformationsmatrix der Clarke-Transformation durch eine Erweiterung

invertierbar ist, ist die Clarke-Transformation eindeutig umkehrbar.




Die vereinfachte Transformationsgleichung lautet nun:

(3.26)

3.4.3 Die Park Transformation

Die Park-Transformation bildet das statorfeste α/β-Koordinatensystem auf ein rotierendes

Koordinatensystem d,q ab.

Abbildung 3-16: Die Park Transformation

In Abbildung 3-16 lässt sich der Punkt P in beiden Koordinatensystemen beschreiben.

Beschreibung in α, β:

(3.27)

(3.28)

Beschreibung in d,q:

(3.29)

(3.30)

Mit dem Additionstheoremen

(3.31)

(3.32)

lassen sich die beiden Gleichungen (3.29) und (3.30) umformen. Durch Einsetzten der

Gleichung (3.27) bzw. (3.28) erhält man:




(3.33)

(3.34)

Durch Anpassung an die Problemstellung von Gleichungen (3.33) und (3.34), ergibt sich

folgende Transformationsgleichung in Matrixnotation für die Park-Transformation:

(3.35)

Bei der Transformationsmatrix in Gleichung (3.35) handelt es sich um eine orthogonale

Matrix. Laut [8] gilt für orthogonale Matrizen der Zusammenhang:

(3.36)

Um bei der Inversen-Park-Transformation dieselbe Transformationsmatrix wie bei der Park-

Transformation verwenden zu können, muss der elektrische Winkel mit minus eins

multipliziert werden. Aufgrund der Achsensymmetrie des Cosinus und der Punktsymmetrie

des Sinus ergibt sich für den negativen Winkel die gleiche Matrix wie nach Gleichung (3.36)

(3.37)




3.5 Der Synchronmotor

Beim Synchronmotor dreht sich der Läufer im stationären Zustand mit der synchronen

Drehzahl des Drehfelds. Diese Drehzahl lässt sich aus der Frequenz und der Polpaarzahl

bestimmen (3.38). Im Leerlauf ist der Polradwinkel (Differenz zwischen Drehfeld und

Polrad) gleich null. Wird die Maschine mit einem Lastmoment belastet, entsteht eine

mechanische Drehwinkeldifferenz. Diese Differenz ist im motorischen Betrieb negativ und im

generatorischen positiv. Ist das Lastmoment zu groß, sodass der Polradwinkel

misst, so gerät die Maschine außer Tritt und bleibt stehen.

(3.38)

Drehstrom-Synchronmaschinen können als Motor, wie auch als Generator eingesetzt

werden. Die bekannteste Anwendung der fremderregten Synchronmaschine ist als

Generator bei der Erzeugung von Elektrizität [6]. Permanenterregte Synchronmotoren

werden vermehrt als Traktionsantrieb bei Elektro-und Hybridfahrzeugen eingesetzt.

Um bei einem Synchronmotor stufenlos die Drehzahl regeln zu können, muss laut (3.38) die

Frequenz des Netzes geändert werden. Dies geschieht mit einem leistungselektronischen

Stellglied. Wird die Synchronmaschine am Netz betrieben, so ist beim Anlaufen ein

Frequenzhochlauf von null bis zur Sollfrequenz nötig, da sonst die Maschine außer Tritt

gerät.

3.5.1 Der Aufbau

Synchronmaschinen werden in verschiedenen Bauformen ausgeführt. In dieser Arbeit wird

der Aufbau und die Funktionsweise von Permanentmagnet Synchronmaschinen abgeleitet,

da diese in der Aufgabenstellung verwendet wird. Für Informationen über die

unterschiedlichen Bauformen sei auf [6] verwiesen.

Die Synchronmaschine hat drei um 120° räumlich versetzte Spulen. Diese drei Spulen

können entweder im Stern oder im Dreieck verschalten werden. In der folgenden Erklärung

sind die Spulen 1,2,3 an die Außenleiter L1, L2, L3 angeschlossen. Die Frequenz des

Drehstromnetz und somit des Drehfelds beträgt , da es sich um eine Maschine mit

der Polpaarzahl eins handelt.




Abbildung 3-17: Das dreiphasige Drehstromnetz mit den Strömen i1, i2 und i3

Abbildung 3-18: Das Drehfeld einer Synchronmaschine

In Abbildung 3-18 wird das Drehfeld einer Synchronmaschine zu vier ausgewählten

Zeitpunkten aus Abbildung 3-17 grafisch dargestellt. Zum Zeitpunkt ist die Summe

der Einzelflüsse ein Zeiger, der in der Waagrechten liegt und nach rechts zeigt. Zu diesem




Zeitpunkt liefert Spule 1 keinen Flussbeitrag, da der Strom durch sie null ist. Die Summe der

Flüsse lässt sich berechnen durch:

(3.39)

Die Länge des Zeigers bleibt zu jedem Zeitpunkt gleich lang. Zum Zeitpunkt

fließt durch alle drei Spulen ein Strom, dadurch liefert jede Spule einen Flussanteil zum

Gesamtfluss. Vergleicht man die vier Teilabbildungen aus Abbildung 3-18, so lässt sich das

linksdrehende Drehfeld der Synchronmaschine erkennen.

Baut man nun in der Mitte des Synchronmotors einen Stabmagneten ein, so rotiert dieser

mit der Drehzahl des Drehfelds umher.

Abbildung 3-19: Belasteter Synchronmotor mir Drehwinkeldifferenz

Abbildung 3-19 zeigt den Synchronmotor mit dem Rotor. Der Rotor wurde durch einen

Stabmagneten angenähert. Auf Details im Rotoraufbau wird hier nicht weiter eingegangen,

es sei auf [4] und [7] verwiesen. Die belastete Synchronmaschine ist durch ihren

Polradwinkel , zwischen Drehfeld und Rotor charakterisiert.

3.5.2 Das Modell der Synchronmaschine

Der Statorstrom aus Abbildung 3-20 wird mithilfe der Clarke-Park-Transformation berechnet.

Dieser Strom lässt sich in beiden Koordinatensystemen darstellen. Das hochgestellte „S“

steht für das statorfeste Koordinatensystem, das hochgestellte „R“ für rotorfest.




(3.40)

(3.41)

Abbildung 3-20: Der Statorstrom im statorfesten- und rotorfesten Koordinatensystem

Mithilfe der komplexen e-Funktion bildet sich folgender Zusammenhang.

(3.42)

Dieselbe Transformation lässt sich auch für den Statorfluss durchführen. Betrachtet man in

Abbildung 3-21 den Statorfluss, so ist der Permanentfluss nach Definition in Richtung der

d-Achse ausgerichtet.

Abbildung 3-21: Statorfluss im statorfesten- und im rotorfesten Koordinatensystem




Der Statorkreis im statorfesten Koordinatensystem lässt sich durch dieses Ersatzschaltbild

ableiten.

isS

usS

Ls

Abbildung 3-22: Ersatzschaltbild des Statorkreis in erster Näherung

Aus dem Ersatzschaltbild in Abbildung 3-22 lässt sich Folgendes ablesen:

(3.43)

Wird das Ersatzschaltbild aus Abbildung 3-22 durch einen Statorwiderstand erweitert, ergibt

sich Folgendes:

isS

usS

Ls Rs

uv

Abbildung 3-23: Erweitertes Ersatzschaltbild des Stators

Für den ohmschen Spannungsabfall an gilt in statorfesten Koordinaten:

(3.44)

Für die rotorfesten Koordinaten gilt dieser Zusammenhang:

(3.45)

Aus einem Vergleich von Gleichung (3.44) und (3.45) und der Tatsache, dass es sich um einen

ohmschen Spannungsabfall handelt, ergibt sich:

(3.46)

Für den Statorfluss lässt sich derselbe Zusammenhang ableiten wie in Gleichung (3.42).

(3.47)

Des Weiteren gilt die Verbindung:

(3.48)

Durch Ableiten von Gleichung (3.47) und Einsetzen von Gleichung (3.48) und (3.44) ergibt

sich:

(3.49)




Durch Umformen von Gleichung (3.49) und unter Berücksichtigung des ohmschen

Spannungsabfalls ergibt sich die folgende Gleichung für den Statorspannungsabfall im

rotorfesten Koordinatensystem.

(3.50)

Durch Bildung von Real- und Imaginärteil von Gleichung (3.50) erhält man zwei Gleichungen.

(3.51)

(3.52)

(3.53)

(3.54)

Analysiert man Gleichung (2.40) und (2.41), so fällt die Kreuzkopplung der beiden Flüsse auf.

Der Fluss in d-Richtung wirkt positiv auf die Spannung und der Fluss in q-Richtung

wirkt negativ auf die Spannung .

Aus diesen beiden Gleichungen lassen sich zwei Ersatzschaltbilder erstellen, die

Ähnlichkeiten zum Ersatzschaltbild der Gleichstrommaschine aufweisen.

id

Rsid

LdRs

Lddid/dt

-ωelΨqud

Abbildung 3-24: Ersatzschaltbild der Synchronmaschine für ud

iq

Rsiq

LqRs

Lqdiq/dt

ωelΨduq

Abbildung 3-25: Ersatzschaltbild der Synchronmaschine für uq

Vergleicht man die beiden Ersatzschaltbilder mit dem Ersatzschaltbild aus Abbildung 3-6, so

lässt sich erkennen, dass die beiden Spannungen und der elektromotorischen

Kraft entsprechen. Die innere Leistung lässt sich berechnen durch:




(3.55)

Durch Umstellen und Einsetzen der Bedingung

(3.56)

erhält man für Gleichung (3.55) folgenden Zusammenhang:

(3.57)

Der Faktor setzt sich aus mehreren Faktoren zusammen. Der Faktor drei kommt daher,

da es sich beim Ersatzschaltbild um ein einphasiges Ersatzschaltbild handelt, der

Synchronmotor jedoch drei Phasen hat. Der Faktor setzt sich zusammen aus

da es

sich sowohl bei , als auch bei um Scheitelwerte handelt. Durch erfolgt die

Korrektur auf Effektivwerte.

Aus Abbildung 3-21 und den bereits abgeleiteten Zusammenhängen lassen sich noch

folgende Flussgleichungen ablesen.

(3.58)

(3.59)

Durch Einsetzen von Gleichung (3.58) und (3.59) in (3.57), erhält man die Gleichung für die

mechanische Leistung .

Verglichen mit Gleichung (3.12) erhält man für das Drehmoment folgende Gleichung:

(3.60)

Das Drehmoment aus Gleichung (3.60) setzt sich aus zwei Summanden zusammen. Der

vordere Summand ist das sogenannte Reluktanzdrehmoment und der hintere

Summand das sogenannte Hauptdrehmoment . Das Reluktanzdrehmoment resultiert

aus der magnetischen Asymmetrie des Polrades in der d- und q- Achse [4].

(3.61)

(3.62)




Bei dem am Prüfstand verwendeten Oberflächenmagnetmotor ist der Rotor

rotationssymmetrisch aufgebaut, weshalb nicht zwischen einer Induktivität in d- und in q-

Richtung unterschieden werden muss [9].

(3.63)

Dadurch entfällt in Gleichung (3.60) das Reluktanzdrehmoment und die Momentgleichung

lässt sich vereinfacht darstellen.

(3.64)

Der Strom wird auch momentenbildender Strom genannt, da dieser für die

Drehmomentbildung verantwortlich ist.

Aus Gleichung (3.64) lässt sich noch ein weiteres Merkmal des Oberflächenmagnetmotors

ableiten. Der Strom trägt nicht zur Momentbildung bei. Gleichung (3.58) zeigt, dass nur

die Höhe des magnetischen Flusses in d-Richtung beeinflusst. Dieser Strom wird daher auch

Flussstrom genannt.

3.5.2.1 Simulationsmodell der Synchronmaschine

In diesem Abschnitt wird ein Motormodell abgeleitet, mit welchem in Matlab/Simulink der

Synchronmotor simuliert werden kann. Dieses Modell dient als Grundlage für einen späteren

Reglerentwurf. Als Grundlage für dieses Modell dienen die im Abschnitt 3.5.2 abgeleiteten

Gleichungen der Synchronmaschine.

Durch Umstellen der Gleichungen (3.53) und (3.54) wird Folgendes ersichtlich.

(3.65)

(3.66)

Aus den Gleichungen (3.65) und (3.66) und den beiden Flussgleichungen (3.58) und (3.59)

lässt sich das Motormodell der Synchronmaschine im Signalflussplan darstellen.




Abbildung 3-26: Signalflussplan der Synchronmaschine aus Simulink

In Abbildung 3-26 ist die Kreuzkopplung erkennbar. Der Fluss multipliziert mit der

Kreisfrequenz liefert einen positiven Spannungsbeitrag zu . Der Fluss multipliziert

mit der Kreisfrequenz liefert zu einen negativen Spannungsbeitrag. Zusätzlich wird in

diesem Motormodell noch das Moment ausgerechnet, welches sich aus Gleichung (3.64)

ergibt. Die Eingangsgrößen in diesem Modell sind die beiden Spannungen und sowie

die Kreisfrequenz . Daher wird das Modell auch „spannungsgesteuertes Modell“ genannt.

Die Ausgangsgrößen sind die beiden Ströme und und zusätzlich das Hauptdrehmoment

der Synchronmaschine.




3.6 Zeitdiskrete Regelungen

In der heutigen Zeit laufen immer mehr Regelungsalgorithmen auf einem Mikrocontroller

ab. Diese Mikrocontroller arbeiten jedoch zeitdiskret d. h. sie fragen zyklisch mit einer

bestimmten Abtastzeit die Wertinformationen an den Eingängen ab. Hierzu benötigen

diese an den Eingängen einen Analog-Digital-Wandler und an den Ausgängen einen Digital-

Analog-Wandler. Durch die A/D-Wandlung am Eingang des Mikrocontrollers entsteht aus

dem zeitdiskreten und wertkontinuierlichen Signal ein zeit- und wertdiskretes Signal. Der

Quantisierungsfehler kann wegen der großen Wortbreite vernachlässigt werden. Der

Algorithmus der auf dem Mikrocontroller abläuft kennt somit nur diskrete Eingangswerte.

Die Abtastzeit ist anwendungsabhängig. Werden schnelle Vorgänge geregelt, z. B.

Drehzahlen, so ist die Abtastzeit sehr kurz, werden jedoch langsame Vorgänge geregelt, z. B.

Füllstandsabfragen, so ist die Abtastzeit größer. Für den Synchronmotor soll eine

Stromregelung entworfen werden, das elektrische Teilsystem ist ein schnelles Teilsystem.

Das überlagerte mechanische Teilsystem ist langsamer als das elektrische. Die Faustformel

besagt, dass ein Zehntel der schnellsten Zeitkonstanten als Abtastzeit verwendet wird.

3.6.1 Beschreibung zeitdiskreter Vorgänge

Wird ein kontinuierliches Zeitsignal zeitdiskret abgetastet, so ist eine mathematische

Beschreibung dieser Abtastfolge notwendig.

Abbildung 3-27: Abtastung und Abtasthalteglied

In Abbildung 3-27 links wird ein zeitkontinuierliches Signal zu diskreten Abtastpunkten

abgetastet. Bei der Abtastung entsteht eine Folge von Funktionswerten. Diese Werte lassen




sich beschreiben durch oder

zusammenfassend als Folge:

(3.67)

Mithilfe von Dirac-Impulsen lässt sich die Folge als Summe umschreiben zu:

(3.68)

Wendet man nun zur Beschreibung im Frequenzbereich die Laplacetransformation auf

Gleichung (3.68) an, so erhält man die folgende Transformierte:

(3.69)

Zur Beschreibung zeitdiskreter Vorgänge wird die z-Transformation angewandt. Durch

Definition der Substitution bzw.

erhält man die z-Transformierte der

Impulsfolgefunktion. Für weitere Informationen sei auf [10] verwiesen.

(3.70)

Die Gleichung (3.70) lautet ausgeschrieben:

(3.71)

3.6.1.1 Das Abtast- und Halteglied

Im vorangegangenen Abschnitt wurde das Abtast- und Halteglied bereits erwähnt, nur noch

nicht näher erläutert und definiert. In Abbildung 3-27 rechts ist ein diskretes Zeitsignal nach

dem Abtast- und Halteglied zu erkennen. Beim Abtastglied wird zu einem bestimmten

Zeitpunkt das kontinuierliche Zeitsignal abgetastet. Das Halteglied hat hierbei die

Aufgabe, den Wert für den Zeitraum kT bis (k+1)T zu halten.




Abbildung 3-28: Das Halteglied

In Abbildung 3-28 wird der Funktionswert der Höhe „w“ für einen Abtastzeitraum gehalten.

Im Zeitbereich lässt sich dies Ausdrücken durch:

(3.72)

Durch Anwendung der Laplacetransformation auf Gleichung (3.72) und des

Verschiebungssatz aus [10], erhält man die Laplaceübertragungsfunktion des Abtast- und

Halteglieds.

(3.73)

Wird bei Gleichung (3.73) die Expotentialfunktion ausgeklammert, erhält man

folgende Übertragungsfunktion für das Halteglied.

(3.74)

3.6.1.2 Darstellung kontinuierlicher Systeme als diskretes System

Mithilfe der z-Transformation lässt sich aus einer kontinuierlichen Systembeschreibung eine

diskrete Beschreibung ableiten. Dies wird anhand eines kurzen Beispiels verdeutlicht. Die

Differenzialgleichung des PT1-Glieds soll diskretisiert werden.

Abbildung 3-29: Blockschaltbild des PT1-Glieds




Die Differentialgleichung des PT1-Glieds lautet:

(3.75)

Die Ableitung ist definiert durch:

(3.76)

Wird dies auf die Differentialgleichung (3.66) angewandt, so wird zum Zeitpunkt der

Funktionswert von in gespeichert, der alte Funktionswert von wird in

gespeichert. Dies geschieht über den Zeitraum . Dadurch kann die Ableitung mit Bildung

der Rückwärtsdifferenz beschrieben werden durch:

(3.77)

Wird dieser Zusammenhang (3.77) in Gleichung (3.75) eingesetzt und die Werte von

und zu dem diskreten Zeitpunkt eingefügt, so erhält man folgende Gleichung.

Umgestellt nach ergibt sich die Gleichung:

(3.78)

Die Differenzengleichung hängt somit nur noch vom aktuellen Eingangswert und vom

letzen Ausgangswert ab. Wird auf Gleichung (3.78) die z-Transformation angewandt,

ergibt sich die z-Transformierte:

(3.79)

Durch Umstellen der Gleichung (3.79) in eine Übertragungsfunktion erhält man Folgendes:

(3.80)




Wendet man auf die Übertragungsfunktion aus Gleichung (3.80) den Anfangswertsatz aus

[11] an so erhält man den Anfangswert der diskreten Übertragungsfunkton.

(3.81)

3.6.1.3 Stabilität zeitdiskreter Systeme

Zeitdiskrete Systeme können wie kontinuierliche Systeme stabil bzw. instabil sein.

Kontinuierliche Systeme im Laplacebereich sind stabil, sobald für die Polstelle gilt:

(3.82)

Grenzstabil sind Systeme im Laplacebereich, falls gilt . Grenzstabile Systeme mit der

Polstelle bei eins haben integrierendes Verhalten. Die Polstelle im Laplacebereich setzt sich

aus einem Realteil und einem komplexen Anteil zusammen.

(3.83)

Eine Stabilitätsbedingung wird nun für die Übertragungsfunktion im z-Bereich

abgeleitet.

Es sei die i-te Polstelle im z-Bereich der Übertragungsfunktion Laut Definition der

z-Transformation gilt:

(3.84)

Setzt man nun Gleichung (3.83) in Gleichung (3.84) ein, so erhält man Folgendes:

(3.85)

Betrachtet man den Term so zeigt sich, dass sich dieser durch einen Zeiger der Länge

eins darstellen lässt:

(3.86)

Somit muss der vordere Term für die Stabilitätsbetrachtung relevant sein. Dadurch

ergibt sich:

(3.87)




Durch eine abschnittsweise Betrachtung von Gleichung (3.87) erhält man folgenden

Zusammenhang für die Stabilität im z-Bereich. Sei folgt daraus instabil.

Sei nun folgt daraus stabil. Für grenzstabile Systeme gilt somit .

Der Stabilitätsbereich der z-Transformation lässt sich also beschreiben durch den

Einheitskreis mit Radius eins um null.

(3.88)

3.6.2 Die Testfunktionen im z-Bereich

Zur Analyse von unbekannten Systemen gibt es Testfunktionen. Die beiden wichtigsten sind

die Sprungfunktion

und der Deltaimpuls . Für diese zwei werden nun

beispielhaft die Transformationen hergeleitet.

3.6.2.1 Die Sprungfunktion

Betrachtet man die Sprungfunktion , mit ihrer Sprunghöhe eins, einmal als

kontinuierliche Zeitfunktion und einmal als diskrete Folge, so erhält man folgendes Bild,

Abbildung 3-30.

Abbildung 3-30: Die Sprungfunktion links, die Einheitsfolge rechts

Durch Anwendung der Definition der z-Transformation (3.70) gewinnt man aus den

Folgewerten eine geometrische Reihe für die gilt:

(3.89)




3.6.2.2 Der Dirac-Impuls

Nun soll die z-Transformierte des Einzelimpulses abgeleitet werden. In Abbildung 3-31 ist der

Diracimpuls im Zeitbereich dargestellt (links) und im rechten Teil die zugehörige Folge.

Abbildung 3-31: Der Diracimpuls

Der Diracimpuls lässt sich als Zeitfunktion beschreiben durch:

(3.90)

Durch Transformieren in den Laplacebereich und durch Einsetzten der vorher definierten

Substitution erhält man Folgendes:

(3.91)

Für weitere Transformationspaare sei auf [11] verwiesen.

Tabelle 3-1: Transformationspaare




3.6.3 Zeitdiskrete Regler

Zur Einführung zeitdiskreter Regler wird zu Beginn der Standardregelkreis definiert [12].

Abbildung 3-32: Standardregelkreis der Regelungstechnik

Aus Abbildung 3-32 können einige Eigenschaften des Regelkreises abgeleitet werden. So ist

die Übertragungsfunktion des offenen Regelkreises beschrieben durch:

(3.92)

Die Übertragungsfunktion des geschlossenen Regelkreis lautet somit:

(3.93)

Die beiden Störübertragungsfunktionen der Störung z2 und z1 lassen sich beschreiben durch:

(3.94)

(3.95)

Da die Rechenregeln für Übertragungsfunktionen im z-Bereich identisch mit

Übertragungsfunktionen im Laplacebereich sind, wurde in Gleichungen (3.92) bis (3.95) auf

den Hinweis der Transformationsart verzichtet.

Beim Entwurf von digitalen Reglern kommen die aus der Regelungstechnik bekannten Regler

P-, I-, PI- und PID-Regler zur Anwendung. Diese Typen müssen jedoch in einen diskreten

Algorithmus überführt werden. Für die Besonderheiten bei dieser Diskretisierung (z. B.

Vorwärts-, Rückwärtsdifferenz, Trapezregel) sei auf [12] und [11] verwiesen.




Bei digitalen Reglern kann im Gegensatz zu analogen Reglern das Ziel verfolgt werden, nach

einer endlichen Anzahl von Schritten den Endwert erreicht zu haben. Diese Regler werden

Kompensationsregler für endliche Einstellzeit oder auch Dead-Beat-Regler genannt.

3.6.3.1 Dead-Beat-Regler

Dead-Beat-Regler sind zeitdiskrete Regler, die die Eigenschaft haben, nach einer Anzahl von

n-Schritten bei sprungförmiger Vorgabe der Führungsgröße den Istwert auf den Sollwert

geregelt zu haben. Die Ausregelzeit lässt sich bestimmen durch,

(3.96)

wenn die Abtastzeit ist. Nach der Ausregelzeit ist somit die Regeldifferenz gleich null.

Beim Dead-Beat-Regler handelt es sich um einen Kompensationsregler, bei dem alle Pole der

Strecke kompensiert werden. Aufgrund der Kompensation ist ein Dead-Beat-Regler für

instabile Strecken ungeeignet, da sich Pole nicht exakt kompensieren lassen [12]. Bei der

Ableitung der Formeln für den Reglerentwurf sei auf den Standardregelkreis verwiesen.

Abbildung 3-33: Dead-Beat-Regelkreis

In der Strecke (Abbildung 3-33) ist die Übertragungsfunktion des Abtast- und

Halteglieds und die Übertragungsfunktion der Strecke zusammengefasst. Somit lassen

sich zeitkontinuierliche Strecken mit dem Dead-Beat-Regler regeln.

Abbildung 3-34: Abtast- und Halteglied mit Strecke im Laplacebereich




Die zeitdiskrete Strecke lässt sich laut Abbildung 3-34 beschreiben durch:

(3.97)

Durch Einsetzen der Laplacetransformierten für das Abtast- und Halteglied aus

Gleichung(3.74) erhält man Folgendes:

(3.98)

Der Faktor entspricht im z-Bereich eine Rechtsverschiebung um einen Abtastzeitpunkt.

Somit folgt aus Gleichung (3.98) durch Umstellung Folgendes.

(3.99)

Daraus folgt:

(3.100)

Nun lässt sich aus einer kontinuierlichen Strecke die zeitdisktrete Strecke unter

Berücksichtigung des Abtast- und Halteglieds berechnen. Um die z-Transformierte mit

Transformationstabellen zu berechnen, kann eine Partialbruchzerlegung des Terms

nötig sein [11], [10].

3.6.3.2 Herleitung des Dead-Beat Reglers ohne Stellgrößenvorgabe

Zur Herleitung des Dead-Beat Reglers sei auf Abbildung 3-33 verwiesen. Die

Übertragungsfunktion des Dead-Beat Reglers lässt sich beschreiben durch:

(3.101)

Die Übertragungsfunktion lässt sich somit aus der bekannten Übertragungsfunktion

und der gewünschten Führungsübertragungsfunktion beschreiben.

(3.102)

Der Faktor in Gleichung (3.102) ist gleich null, da eine nicht sprungfähige Strecke

angenommen wird [13].




Nach n-Schritten ist die Ausgangsgröße gleich der Eingangsgröße. Somit gilt bei einer

Führungsgröße von eins für :

(3.103)

Somit kann als Folge beschrieben werden:

(3.104)

Mit der z-Transformation lässt sich die Folge ausdrücken mit:

(3.105)

Die vordere Summe drückt hierbei die Ausgangswerte bis der Folge aus und die

hintere Summe beschreibt das Erreichen der Führungsgröße am Ausgang. Diese Summe lässt

sich in zwei Summen zerlegen, wenn der Index „i“ nicht bei „n“, sondern bei null wie die

vordere Summe startet.

(3.106)

Die mittlere Summe zieht hierbei den Fehler wieder ab, der durch die Erweiterung der

hinteren Summe entsteht. Zusammengefasst gilt somit:

(3.107)

Mit Sprungaufschaltung erhält man die Führungsübertragungsfunktion :

(3.108)

Durch Umstellen von Gleichung (3.108) erhält man Folgendes für :

(3.109)

Somit ist ein Polynom der Ordnung n mit negativen Potenzen. Dieses endliche

Polynom lautet ausformuliert:

(3.110)




Da dieses Polynom stationär genau sein muss, gilt für die Summe der einzelnen

Polynomkoeffizienten:

(3.111)

Für die Stellgröße wird nun ein entsprechendes Polynom ermittelt. Für die Stellgröße

gilt nach n-Schritten:

(3.112)

Die Folge wird beschrieben durch:

(3.113)

Mit der z-Transformation lässt sich die Folge beschreiben:

(3.114)

Wird nun

gebildet, erhält man ebenfalls ein endliches Polynom:

(3.115)

(3.116)

Der Faktor ist die erste Stellgröße des Reglers.

Durch Bildung des Quotienten

erhält man eine weitere Formel für die

Übertragungsfunktion :

(3.117)

Wird nun Gleichung (3.117) durch dividiert, erhält man Folgendes:

(3.118)




Durch Koeffizientenvergleich von Gleichung (3.102) und (3.118) und Einbeziehung von

Gleichung (3.111) erhält man folgende Gleichungen zur Bestimmung der Reglerkoeffizienten.

(3.119)

Die Übertragungsfunktion des geschlossenen Regelkreises ist in (3.110) schon abgeleitet

worden. Somit können in Gleichung (3.101) die Ergebnisse von Gleichung (3.110) und (3.118)

eingesetzt werden und man erhält Folgendes:

(3.120)

Durch Einsetzten erhält man:

(3.121)

Wird nun Gleichung (2.104) in Gleichung (2.95) eingesetzt, ergibt sich Folgendes für den

geschlossenen Regelkreis:

Aus Gleichungen (3.119) werden die Regelparameter für Gleichung (3.121) bestimmt.

Die Auslegung eines Dead-Beat-Reglers wird nachfolgend anhand von zwei Beispielen

demonstriert.

3.6.3.2.1 Beispiel 1: PT1-Strecke

Die PT1-Strecke habe folgende Übertragungsfunktion:

mit den Streckenparametern und der Abtastzeit:




Bei der PT1-Strecke handelt es sich um eine kontinuierliche Übertragungsfunktion vom Grad

eins. Somit handelt es sich im Diskreten um eine Strecke der Ordnung eins, d. h., die

Ausregelzeit ist in diesem Fall laut Gleichung (3.96) eine Abtastzeit lang.

Durch Einsetzen der Strecke in Gleichung (3.102), erhält man im Klammerausdruck

folgenden Term

. Durch Partialbruchzerlegung ergibt sich folgende Gleichung.

(3.123)

Durch Koeffizientenvergleich in Gleichung (3.123), erhält man für die gesuchten Parameter

und folgende Werte:

(3.124)

Durch Einsetzen in Gleichung (3.102) erhält man Folgendes:

(3.125)

Unter Verwendung der Transformationstabellen in [11] erhält man aus Gleichung (3.125):

(3.126)

Durch Ausmultiplizieren erhält man aus Gleichung (3.126) die Übertragungsfunktion für die

diskretisierte PT1-Strecke mit Abtast- und Halteglied.

(3.127)

Die Gleichungen (3.119) liefern folgendes Ergebnis.

(3.128)

Durch Einsetzen von Gleichungen (3.128) in die Übertragungsfunktion des Reglers (3.121)

erhält man folgende Gleichung für den Regler.

(3.129)




Der offene Regelkreis wird durch folgende Gleichung beschrieben.

(3.130)

(3.131)

Da es sich beim Dead-Beat Regler um einen Kompensationsregler handelt, wird die Polstelle

der Streckenübertragungsfunktion gekürzt.

Beim offenen Regelkreis erkennt man das integrale Verhalten der Übertragungsfunktion. Aus

dem offenen Regelkreis lässt sich mittels Gleichung (3.93) die Übertragungsfunktion des

geschlossenen Regelkreises ableiten.

(3.132)

Daraus erkennt man, dass der Regelkreis mit einer Verspätung von einem Abtastschritt den

stationären Endwert erreicht. Dasselbe Ergebnis liefert auch Gleichung (3.122).

Die Regelgrößenfolge des geschlossenen Regelkreises ergibt sich zu:

(3.133)

Die Stellgrößenfolge lässt sich beschreiben mit:

(3.134)

Die Stellgröße des Reglers im stationären Fall ist 0,5. Dies ist aus den Streckenparametern

bereits ablesbar, da die Streckenverstärkung beträgt. Die Simulation des Regelkreises

erfolgte in Matlab/Simulink. Hierbei wurde folgender Simulationsaufbau verwendet.

Abbildung 3-35: Simulationsaufbau in Simulink




Abbildung 3-36: Simulationsergebnisse des Dead-Beat-Entwurfs für die PT1-Strecke

Abbildung 3-36 bestätigt die errechneten Ergebnisse. Im rechten Teil der Abbildung erkennt

man, dass nach einem Sprung das System innerhalb einer Abtastzeit den stationären

Endwert erreicht hat. Im linken Teil erkennt man, dass der Regler sofort auf die

Regeldifferenz reagiert und mit einer Stellgröße von 3,257 reagiert. Einen Takt später ist das

System eingeschwungen und der Regler gibt aufgrund von den Stellgrößenwert 0,5

aus.

3.6.3.2.2 Beispiel 2: I²-Strecke

In diesem Beispiel wird ein Dead-Beat-Entwurf für die I²-Strecke mit der

Übertragungsfunktion

durchgeführt. Die Streckenparameter lauten:

Bei einer Abtastzeit von:




Durch Einsetzen der kontinuierlichen Strecke

in Gleichung (3.102) erhält man

folgenden Zwischenschritt:

(3.135)

Aus der Transformationstabelle in [11] lässt sich die z-Transformierte ablesen zu:

(3.136)

Durch Kürzen und Umstellen von Gleichung (3.136) erhält man:

(3.137)

Aus Gleichungen (3.119) folgt folgendes Ergebnis.

(3.138)

Eingesetzt in die Reglergleichung ergibt sich folgendes Ergebnis.

(3.139)

Durch Einsetzen der Streckenparameter und der Abtastzeit erhält man für Gleichung (3.139):

(3.140)

Aus Gleichung (3.140) kann man bei einem Eingangssprung auf eins die Stellgrößen des

Reglers ablesen.

(3.141)

Da der Regler der Ordnung zwei entspricht, erreicht er nach genau zwei Abtastzeiten den

Endwert, in diesem Beispiel nach . Ist das System im stationären Zustand, so muss die

Stellgröße des Reglers null sein, da sonst das I²-Verhalten der Strecke eine Änderung am

Ausgang zur Folge hätte. Der offene Regelkreis lässt sich beschreiben durch:




(3.142)

Durch Ausmultiplizieren und Einsetzen von Bedingungen aus (3.138) erhält man:

(3.143)

Nach Kompensation der Streckennullstelle erhält man folgende abschließende Gleichung für

den offenen Regelkreis:

(3.144)

Der geschlossene Regelkreis liefert ein endliches Polynom:

(3.145)

Aus dieser Gleichung lässt sich gleich die Regelgrößenfolge des Systems ableiten:

(3.146)

Der Regelkreis wird wie in Beispiel 1 mit Matlab/Simulink simuliert. Der Simulationsaufbau

ähnelt dem in Abbildung 3-35, die Strecke und die Regelparameter sind verschieden.

Abbildung 3-37: Simulationsergebnisse des Dead-Beat-Entwurfs für die I²-Strecke

Die Simulationsergebnisse (Abbildung 3-37) bestätigen, die in den Gleichungen (3.146) und

(3.141) berechneten Werte.

Bei dieser Simulation sind die großen Stellgrößen auffällig. Laut Ableitung ist das Polynom

verantwortlich für die Stellgrößen, das heißt in diesem Fall die Koeffizienten




. Diese Stellgrößen sind im Beispiel bis auf Vorfaktoren von dem Term

abhängig. Wird also die Abtastzeit verkürzt so wirkt sich dieses quadratisch auf die

Stellgrößen aus. Um dieses Problem zu beheben, sind Dead-Beat Regler notwendig, die nicht

auf die kürzeste Einstellzeit ausgelegt sind.

Vergleicht man zum Abschluss der beiden Beispiele die Sprungantworten der Regler, erhält

man folgende Grafiken:

Abbildung 3-38: Sprungantworten der Regler. Links Reglerantwort für PT1-Strecke und Rechts Reglerantwort für I²-Strecke

In Abbildung 3-38, links erkennt man die Sprungantwort des Reglers für die PT1-Strecke. Hier

fällt das integrale Verhalten mit einem Proportionalanteil auf. Es sind Ähnlichkeiten zu einem

PI-Regler aus dem kontinuierlichen Zeitbereich zu erkennen. Im rechten Teil der Abbildung

ist die Sprungantwort des Reglers für die I²-Strecke dargestellt. Es ist die abklingende

Sprungantwort des Reglers zu erkennen. Um dieses Verhalten besser verstehen zu können,

ist eine Betrachtung der Differenzengleichung von der Reglerübertragungsfunktion (3.140)

hilfreich.

(3.147)

In Abbildung 3-38-rechts wurde die Reglerübertragungsfunktion mit einem Sprung getestet,

d. h. . Die Sprungantwort des Reglers lässt sich mit der Differenzengleichung

berechnen.




Tabelle 3-2: Sprungantwort des Dead-Beat Reglers der I²-Strecke

Die Berechnung der Folge wurde nach vier Schritten abgebrochen. Bei der Ausgangsfolge

handelt es sich um eine unendliche Sprungantwort, die jedoch gegen null konvergiert.

Zusammenfassend lässt sich also sagen: Regler für Strecken mit integralem Verhalten haben

kein integrales Verhalten. Umgekehrt lässt sich sagen, dass Regler für Strecken ohne

integrales Verhalten ein integrales Verhalten haben.

3.6.3.3 Dead-Beat-Regler mit Vorgabe des ersten Stellgrößenwerts

Wie im Beispiel 2: I²-Strecke schon festgestellt wurde, können Stellgrößen, je nach Wahl der

Abtastzeit, große Werte annehmen. Bei Dead-Beat-Regler mit Vorgabe des ersten

Stellgrößenwerts lässt sich der erste Stellgrößenwert vorgeben. Dadurch lassen sich

technische Grenzen der Stellglieder, wie z. B. maximaler Strom oder maximale Spannung, bei

der Berechnung des Dead-Beat Reglers berücksichtigen.

Durch Vorgabe von Stellgrößenwerten, erhöht sich die Ordnung des Reglers und somit

auch die Ausregelzeit

(3.148)

Da sich die Ordnung des Reglers um die Anzahl der Stellgrößenvorgaben erhöht, folgt

daraus:

(3.149)

Die endlichen Polynome und enthalten ein gemeinsames Polynom ,

somit ist ein Vergleich mit der Streckenübertragungsfunktion möglich.

(3.150)




Da es sich um eine Stellgrößenvorgabe handelt, erhöht sich die Ordnung um eins. Somit lässt

sich das Polynom beschreiben durch:

(3.151)

Die Stellgrößenvorgabe sei .

Wie bei der Ableitung des Dead-Beat Reglers ohne Stellgrößenvorgabe, ist ein Vergleich der

Streckenübertragungsfunktion notwendig.

(3.152)

(3.153)

Wird nun das Polynom mit betrachtet, erhält man laut Gleichung (3.150) Folgendes:

(3.154)

(3.155)

Koeffizientenvergleich zwischen Gleichung (3.155) und (3.154) liefert die Formeln für und

.

(3.156)

Wird die Gleichung (3.155) mit dem Polynom multipliziert, so erhält man:

(3.157)

Durch Koeffizientenvergleich in Gleichung (3.142) ergibt sich:

(3.158)

(3.159)




In Gleichung (3.159) wird der Koeffizient bestimmt, dieser ist jedoch durch die

Stellgrößenvorgabe gegeben. Daraus lässt sich berechnen:

(3.160)

Zur Bestimmung der Koeffizienten und muss noch der Zusammenhang für die

Hilfsgröße abgeleitet werden. Auch bei diesem Dead-Beat Entwurf gilt Folgendes:

(3.161)

Durch Einsetzen von Bedingungen aus Gleichung (3.158) und (3.160) erhält man für

Gleichung (3.161).

(3.162)

Durch Umstellen von Gleichung (3.162) und Division durch , erhält man Folgendes für

. Zusätzlich wird in Gleichung (3.160) eingesetzt.

(3.163)

(3.164)

Nun hat man alle Grundlagen geschaffen um Gleichungen für , , und

herzuleiten.

(3.165)

(3.166)




Die Ableitung für und erfolgt nach demselben Muster:

(3.167)

(3.168)

Nun sind alle Formeln für den Dead-Beat Regler mit einer Stellgrößenvorgabe abgeleitet.

Abschließend werden noch weitere Zusammenhänge abgeleitet. Für den Regler gilt nun:

(3.169)

Für die Übertragungsfunktion des geschlossenen Regelkreises ist wieder das Polynom

entscheidend.

(3.170)

Für die Stellgrößenfolge des geschlossenen Regelkreises ist das Polynom

ausschlaggebend. Wobei die erste Stellgröße gegeben ist. Die Stellgrößenvorgabe lässt

sich je nach Aufgabenstellung einstellen.

(3.171)

Die Anwendung der abgeleiteten Formeln soll anhand eines weiteren Beispiels demonstriert

werden. In diesem Beispiel soll eine Strecke mit PT1-Verhalten geregelt werden, da sich diese

Strecke beim elektrischen Modell der Synchronmaschine wiederfindet.

3.6.3.3.1 Beispiel 3: PT1-Strecke mit erster Stellgrößenvorgabe

Anhand dieses Beispiels soll die Auswirkung der ersten Stellgrößenvorgabe auf das

Regelverhalten des Gesamtsystems analysiert werden. Die Übertragungsfunktion der Strecke

ist:

Die Streckenparameter sowie die Abtastzeit lauten:




Die erste Stellgrößenvorgabe sei .

Zuerst muss wie in Beispiel 1 die diskrete Streckenübertragungsfunktion unter

Berücksichtigung des Abtast- und Halteglieds berechnet werden. Diese Umrechnung

geschieht mit der bereits bekannten Formel (3.100). Zur besseren Übersicht wird mit

der Substitution

umgeschrieben.

(3.172)

Die und Parameter des Reglers lassen sich durch die Gleichungen (3.165) bis (3.168)

bestimmen und liefern folgende Werte:

(3.173)

(3.174)

(3.175)

(3.176)

Durch Einsetzen der und Parameter in Gleichung (3.169) erhält man:

(3.177)

Der offene Regelkreis lässt sich aus Gleichungen (3.177) und (3.172) berechnen zu:

(3.178)

Wird der Koeffizient der Streckenübertragungsfunktion in die Reglerübertragungsfunktion

multipliziert, ergibt sich:

(3.179)

Zur Kompensation der Streckenpolstelle muss der Faktor noch herausgezogen

werden.




(3.180)

Nach der Kompensation ergibt sich die Übertragungsfunktion des offenen Regelkreises zu:

(3.181)

Daraus ergibt sich der geschlossene Regelkreis zu:

(3.182)

Aus Gleichung (3.182) lässt sich ablesen, dass das Polynom den Regelgrößenverlauf

bestimmt. Zusätzlich lässt sich erkennen, dass im Vergleich zu Beispiel 1 das Polynom um

eine Ordnung höher ist und somit zwei Abtastschritte braucht, bis der Regelgrößenverlauf

stationär ist, wie es durch die Reglerauslegung gefordert ist.

Aus dem geschlossenen Regelkreis lässt sich sofort die Ausgangsfolge bei einem

Eingangswert berechnen.

(3.183)

Der Regelgrößenverlauf ist abhängig vom Stellgrößenwert . Für die im Beispiel

verwendeten Streckenparameter ergibt sich folgende Ausgangsfolge in Abhängigkeit von

(3.184)

Mit dem Stellgrößenwert wird also indirekt auch die Ausgangsgröße beeinflusst. Jedoch

ist hier der Faktor zu berücksichtigen. Stell-und Ausgangsgrößenwert sind somit

voneinander abhängig, d. h., ein geforderter Ausgangsgrößenwert hat einen bestimmten

Stellgrößenwert. Ist

schwingt die Sprungantwort über. Diese Grenze entspricht der

Stellgröße des Dead-Beat Reglers ohne Stellgrößenvorgaben, siehe Kapitel 3.6.3.2.1. Somit

ist der Dead-Beat Regler mit einer Stellgrößenvorgabe auf den Dead-Beat Regler ohne

Stellgrößenvorgabe zurückzuführen. Wird in Gleichung (3.182) für

eingesetzt erhält

man folgendes Ergebnis, was dem Regelgrößenverlauf in Beispiel 1 entspricht.

(3.185)

Im Folgenden soll nun der Einfluss des Stellgrößenwerts auf den nachfolgenden

Stellgrößenwert und auf den Regelgrößenverlauf betrachtet werden. Hierbei werden die




Folgen bei unterschiedlichen mit Matlab/Simulink simuliert. Die Simulationsergebnisse

können anhand von (3.170) und (3.171) im Vorfeld ausgerechnet werden. Hierbei wird wie in

der Simulation mit einer Sprunghöhe von eins gerechnet.

Tabelle 3-3: Stellgrößen und Ausgangsgrößen bei unterschiedlichem y0

1

0,5

1

4

Abbildung 3-39: Sprungantworten bei y0=0,5

In Abbildung 3-39 wurde der Regelkreis mit einem Stellgrößenwert von simmuliert.

Im linken Teil der Abbildung ist die Stellgrößenfolge des Reglers zu sehen. Die Größe des

ersten Folgewerts ist . Durch Vergleich mit Tabelle 3-3 werden die berechneten Werte

bestätigt.

1




Abbildung 3-40: Sprungantworten bei y0=1

In Abbildung 3-40 wurde der Regelkreis mit einer Stellgrößenvorgabe simuliert. Die

Simulationsergebnisse decken sich mit den berechneten Werten aus Tabelle 3-3.

Abbildung 3-41: Sprungantworten bei y0=4

Bei der Simulation mit ist das Überschwingen der Führungsübertragungsfunktion zu

sehen, siehe Abbildung 3-41. Aufgrund des Überschwingens muss der Regler mit einem

negativen Stellgrößenwert reagieren, sodass dieses Überschwingen ausgeregelt wird. Dieses

Verhalten ist je nach Anwendung gewollt oder ungewollt.

3.6.3.4 Dead-Beat Regler mit zwei Stellgrößenvorgaben

In diesem Abschnitt wird der Dead-Beat Regler mit zwei Stellgrößenvorgaben abgeleitet.

Dabei werden die ersten beiden Stellgrößen vorgegeben. Die Stellgrößen seien und




Durch die Vorgabe von zwei Stellgrößen ergibt sich die Ordnung . Dadurch erhält man

aus Gleichung (3.149):

(3.186)

Die endlichen Polynome und enthalten diesmal das Polynom ,

welches die Ordnung hat, also zwei.

(3.187)

Mit:

(3.188)

Wird zuerst die Streckenübertragungsfunktion mit dem Quotienten der Polynome

gleichgestellt ergibt sich dieses:

(3.189)

Wird durch dividiert ergibt sich:

(3.190)

Koeffizientenvergleich innerhalb von Gleichung (3.190) ergibt die folgenden Formeln:

(3.191)

Das Polynom wird jetzt multipliziert:

(3.192)




Koeffizientenvergleich innerhalb von Gleichung (3.192) ergeben folgende Gleichungen für

die Reglerkoeffizienten.

(3.193)

(3.194)

Die beiden Koeffizienten und sind indirekt durch die Stellgrößenvorgabe bestimmt. Für

den ersten Stellgrößenwert gilt:

(3.195)

Für die zweite Stellgrößenvorgabe gilt dieses:

(3.196)

Der Koeffizient ist nicht die zweite Stellgrößenvorgabe. Für die zweite Stellgrößenvorgabe

gilt laut (3.116):

(3.197)

Aus Gleichungen (3.195) und (3.196) können die beiden Koeffizienten und bestimmt

werden.

(3.198)

(3.199)

Jetzt muss noch die unbekannte Hilfsgröße bestimmt werden. Bei diesem Entwurf gilt

ebenfalls:

(3.200)

Werden die Gleichungen aus (3.193) hinzugenommen, so lässt sich die Summe umschreiben

als:

(3.201)




Werden die Summen aus (3.201) auf denselben Startwert korrigiert, so erhält man:

(3.202)

Durch Einsetzen der Bedingung aus (3.191) erhält man Folgendes für Gleichung (3.202).

(3.203)

Wird Gleichung (3.203) durch die bekannten Zusammenhänge vereinfacht, bekommt man

folgende Gleichung:

(3.204)

Wird Gleichung (3.204) nach umgestellt erhält man diese Gleichung:

(3.205)

In Gleichung (3.205) ist nur noch eine unbekannte Hilfsgröße, diese kann jedoch durch

Gleichung (3.199) ersetzt werden. Durch Umstellen erhält man die abschließende Gleichung

für .

(3.206)

Zur Bestimmung der Reglerkoeffizienten und sind nun alle fehlenden Größen berechnet.

Nun werden zuerst die Koeffizienten bestimmt. Die beiden Koeffizienten und sind

durch die Stellgrößenvorgaben schon bestimmt. Aus Gleichung (3.194) kennt man:

Werden die bekannten Gleichungen (3.198), (3.199) und (3.191) in Gleichung (3.194)

eingesetzt, erhält man diese Gleichung:

(3.207)




Durch Vereinfachen und Einsetzten der in Gleichung (3.206) abgeleiteten Formel für ,

erhält man diese Gleichung für

(3.208)

Für die anderen Gleichungen aus (3.194) lässt es sich wie folgt vereinfachen.

(3.209)

(3.210)

(3.211)

Die Ableitung für die Koeffizienten folgt nach demselben Schema wie die Ableitung für die

Koeffizienten. Aus diesem Grund wird darauf verzichtet und nur die fertigen Formeln

angegeben.

(3.212)

(3.213)

(3.214)

Nun sind alle Gleichungen, die für den Dead-Beat Regler mit zwei Stellgrößenvorgaben

relevant sind abgeleitet.




3.7 Raumzeigermodulation

Dieses Kapitel soll in die Raumzeigermodulation einführen. Für tieferes Verständnis sei auf

[14] verwiesen.

Die Raumzeigermodulation ist ein Verfahren um mittels Pulswechselrichter eine dreiphasige

PWM für ein synthetisches Drehspannungssystem zu erzeugen. Dies ist die Grundlage für

eine feldorientierte Regelung von Drehfeldmaschinen. Die Modulation des Zeigers geschieht

durch Pulsweitenmodulation der Endstufen Transistoren in der Leistungselektronik.

U0

V1

V2

V3

V4 V6

V5

L1 L2 L3

U V W

Drehfeldmotor

U1,2 U3,4 U5,6

U12 U23

U31

Abbildung 3-42: Leistungselektronik und Motor

In der oberen Abbildung 3-42 ist die Leistungselektronik mit Motor zu erkennen. Die

Leistungselektronik ist an eine Gleichspannung angeschlossen. Die Elektronik besteht aus

drei Halbbrücken mit Transistoren, die als Schalter wirken. Die Transistoren werden durch

die Steuerspannungen angesteuert. Hierbei ist durch Invertieren der

Steuersignale sichergestellt, dass nie beide Transistoren in einer Halbbrücke gleichzeitig

leitend sind. Dieser Fehlerfall hätte einen Kurzschluss zur Folge. Die Schaltelemente sind in

dieser Abbildung durch Bipolare-Transistoren symbolisiert. Heutzutage werden in der

Leistungselektronik IGBT-Transistoren verwendet.

Die Leistungselektronik kann aufgrund ihres Aufbaus nur die Außenleiterspannungen

zwischen den Ausgängen L1, L2 und L3 realisieren. Ist beispielsweise und




so ist die Spannung . Die Spannung entspricht jedoch der Außenleiter-

spannung.

Der Drehfeldmotor ist durch die drei Spulen dargestellt, diese sind im Stern verschaltet. Der

Motor ist an die Anschlüsse L1, L2, L3 der Leistungselektronik angeschlossen.

Da die Leistungshalbleiter nur als Schalter betrieben werden, können die beiden

Transistoren einer Halbbrücke durch einen Schalter angenähert werden. In Abbildung 3-43

ist diese Näherung dargestellt.

U0

L1 L2 L3

1 1 1

0 0 0

-U0 U0

0

Abbildung 3-43: Leistungselektronik durch Schalter angenähert. Beispielhaft Standardvektor u3 mit Spannungen

Die Schalterstellung ist mit logisch eins und null beschriftet. Diese Beschriftung entspricht

der Beschaltung in Abbildung 3-42. Ist in der ersten Halbbrücke das Spannungssignal

positiv, so ist Transistor V1 leitend und V2 gesperrt, dies entspricht der Schaltstellung 1. Mit

den drei Schaltern und je zwei Schaltstellungen werden 2³ Schaltzustände möglich. Die

Schaltzustände lassen sich in Standardvektoren zusammenfassen. Die Außenleiter-

spannungen ergeben sich aus Gleichung (3.215). Die Strangspannungen lassen sich aus der

Betrachtung des Ersatzschaltbild des Drehfeldmotors in Sternschaltung ableiten.




RL2

RL1 RL3

uL2

uL3uL1

U0

Abbildung 3-44: Ersatzschalt des Drehfeldmotors in Sternschaltung. Beispielhaft für Standardvektor u3

In Abbildung 3-44 ist sind die drei Spulen des Drehfeldmotors durch drei Widerstände

abgebildet, zusätzlich ist Standartvektor geschalten. Dadurch lassen sich die einzelnen

Strangspannungen unter der Annahme das berechnen.

Tabelle 3-4: Die Standardvektoren, ihre logischen Zustände und Spannungen

L1 L2 L3




Die Vektoren und werden als Nullvektoren bezeichnet. Diese beiden Vektoren liefern

keine Spannung am Ausgang der Leistungselektronik, d. h. . Die

Schaltfolge der Vektoren sind mit dem Graycode codiert. Diese Codierung bietet den Vorteil,

dass beim Übergang zum nächsthöheren bzw. niedrigeren Vektor nur ein Schaltvorgang

nötig ist. Das wird ausgenützt, da die Schaltverluste in den Transistoren proportional mit den

Schaltvorgängen steigen. In Abbildung 3-43 sind zusätzlich die Schaltzustände des

Standardvektors mit den Außenleiterspannungen dargestellt. Die Außenleiterspannungen

lassen sich für alle Schaltzustände ableiten. Zusätzlich gilt hierbei noch der Maschenumlauf.

(3.215)

Die Darstellung der Raumzeiger erfolgt im α/β-Koordinatensystem. Aufgrund der begrenzten

Zwischenkreisspannung lässt sich nicht jeder Raumzeiger darstellen. Die Eckpunkte des

Hexagons lassen sich aus den Strangspannungen in Tabelle 3-4 ablesen. Verbindet man die

Eckpunkte erhält man das Hexagon. Soll Beispielsweise der Raumzeiger dargestellt werden,

der sich nur in die β-Richtung erstreckt so sind die beiden Standardvektoren und zur

Bildung des Sollvektors nötig. Aufgrund der PWM können die beiden Vektoren nur die halbe

Pulsperiodendauer geschaltet sein. Geometrisch entspricht das einer Addition der

Standardvektoren mit halber Länge, dabei erreicht man den Schnittpunkt der grauen Linie

mit der β-Achse. Auf diese Art kann der Rand des Hexagons bestimmt werden und somit die

maximal mögliche Stellspannung als Funktion des Winkels, siehe Abbildung 3-45.




Abbildung 3-45: Die Raumzeiger in α/β-Koordinaten

Die räumliche Zuordnung der Raumzeiger ist in Abbildung 3-45 ersichtlich. Die beiden

Nullvektoren wurden vernachlässigt. Die drei Standardvektoren , und sind die Basis

der Standardvektoren. Die restlichen Vektoren ergeben sich somit als Summe aus zwei

Strangspannungen. Die Spannung ergibt sich aus dem Inkreis des Hexagons. Die

Spannung , welche direkt auf der α-Achse liegt, lässt sich laut Gleichung (3.23)

beschreiben durch:

(3.216)

Die Höhe eines gleichschenkligen Dreiecks ist bestimmt durch.

(3.217)

Durch Anpassung an die Aufgabenstellung und Einsetzen von Gleichung (3.216) in (3.217)

erhält man für den Radius des Inkreises die Formel für die maximale Spannung.

(3.218)




ist die angelegte Gleichspannung des Wechselrichters. Die Verwendung der

Innkreisspannung bietet den Vorteil, dass sich der Algorithmus zur Berechnung der

Raumzeiger vereinfacht, da die maximale Stellspannung für jeden Winkel gleich ist. Der

maximale Stellspannungsverlust ergibt sich zu:

(3.219)

Die Standardvektoren teilen das Hexagon in sechs Sektoren auf. Sektor eins befindet sich

zwischen und , Sektor zwei befindet sich zwischen und usw. Diese Aufteilung ist

im folgenden Abschnitt (3.7.1) von Bedeutung.

3.7.1 Berechnung beliebiger Raumzeiger

Um einen rotierenden Raumzeiger mit bestimmter Länge zu erhalten, sind die sechs

Standardvektoren und die beiden Nullvektoren unzureichend. Es muss durch Addition von

drei Vektoren möglich sein, einen Raumzeiger beliebiger Länge und Winkel zu erstellen.

Hierbei wird die aus der Leistungselektronik bekannte Pulsweitenmodulation (PWM)

verwendet.

Abbildung 3-46: Raumvektor in Sektor 1

Der Sollraumvektor lässt sich auf die beiden Standardvektoren und projizieren,

siehe Abbildung 3-46. Dabei grenzen die Randvektoren den Sektor ab.

Ist die Schaltdauer mit gegeben, so lassen sich die Schaltzeiten für und berechnen

durch.

(3.220)




(3.221)

Ist der zu modulierende Vektor kleiner als , so muss für einen gewissen Zeitraum einer

der beiden Nullvektoren geschaltet sein. Diese Zeit lässt sich berechnen aus der Formel:

(3.222)

Welcher Nullvektor geschalten wird, ist abhängig vom jeweiligen Sektor. Es wird der

Nullvektor geschaltet, bei dem die wenigsten Schaltvorgänge nötig sind. Im Sektor eins

lautet die Schaltreihenfolge, wie folgt:

(3.223)

Erfahrungen haben gezeigt, dass ein Hochschalten von nach und ein wieder

Runterschalten zu am besten ist, da Start- und Endpunkt der Modulation identisch sind.

Bei diesem Verfahren handelt es sich um ein symmetrisches Pulsmuster. Beim

symmetrischen Pulsmuster müssen jedoch die Zeiten von und halbiert werden, da

diese zweimal vorkommen.

Mit diesem Verfahren ist es nun möglich, einen rotierenden Raumzeiger mit variabler Länge

zu modulieren.

3.7.1.1 Der Aussteuerungsgrad

Der Aussteuerungsgrad der Leistungselektronik ist eine Ausgangsgröße der

Leistungselektronik. Diese gibt das Verhältnis zwischen der Zwischenkreisspannung und

der Ausgangsspannung an.

(3.224)

Der Aussteuerungsgrad ist eine Größe, die für jede der Phasen einzeln berechnet wird. Da

die Ausgangsspannung der Leistungselektronik eine Außenleiterspannung ist, ergibt sich das

Maximum des Aussteuerungsgrad laut Gleichung (3.218) zu:

(3.225)

Das Simulationsmodell Hochschule Ulm



4 Das Simulationsmodell

Die Simulation des Regelkreises erfolgt in Matlab/Simulink. Die Motorparameter des Modells

werden in einem Skriptfile eingelesen. In dieser Datei werden die für den Reglerentwurf

notwendigen Parameter berechnet.

In diesem Abschnitt wird zuerst das Simulationsmodell aus Simulink näher erläutert. Hierbei

werden nicht alle Systeme des Regelungsmodells erläutert, sondern nur die für das

Verständnis relevanten. Danach werden verschiedene Reglerentwürfe anhand ihrer

Simulationsergebnisse bewertet.

4.1 Modelldaten

Beim simulierten Motor handelt es sich um einen Oberflächenmagnetmotor.

Tabelle 4-1: Modelldaten des Simulationsmodells

Motordaten Wert Kommentar

Polpaarzahl

Trägheitsmoment des Motors

Simulationsparameter

Zwischenkreisspannung

Abtastzeit




4.2 Der Regelkreis

Der vollständige Regelkreis der feldorientierten Regelung besteht aus mehreren

Komponenten. Für den Regelkreis werden die beiden Stromregler als Dead-Beat Regler

implementiert. Im Folgenden gilt: Index „x“ entspricht einem Istwert und Index „w“ einem

Sollwert des Regelkreises.

Abbildung 4-1: Die Struktur der feldorientierten Regelung

Der in Abbildung 4-1 dargestellte Regelkreis zeigt die Struktur der Regelung. Der Flussregler

gibt die beiden Sollstromwerte und für die Stromregelung vor. In der Flussregelung

ist zusätzlich eine Strombegrenzung eingebaut, die den Betrag der beiden Ströme und

auf den maximal zulässigen Strombetrag begrenzt. Ist der Motor im

Ankerstellbereich, so gibt die Flussregelung einen Sollstrom vor. Überschreitet der

Motor die Nenndrehzahl , so gibt die Flussregelung einen flussschwächenden negativen

Strom vor. Die Flussregelung wurde aus einem anderen Motormodell übernommen und

angepasst. Die verwendete Reglerstruktur hat Ähnlichkeiten mit einem kaskadierten

Regelkreis. Jedoch ist die Flussregelung keine überlagerte Regelung zur Stromregelung,




sondern eine Regelung, die aufgrund der Ausgangsspannungen der beiden Stromregler den

Sollstrom und vorgibt.

Das Motormodell ist im Block „PMSM“ (Permanentmagnet Synchron Motor) implementiert.

Das Motormodell ist als kontinuierliches Modell hinterlegt. Dieses Modell ist durch zwei

Subsysteme in ein elektrisches und ein mechanisches Modell strukturiert. Die

Synchronmaschine kann mit der Lastmaschine belastet werden. Hierbei gibt es zwei

mögliche Belastungsarten. Die Synchronmaschine kann mit einer konstanten Drehzahl oder

mit einem konstanten Moment belastet werden. Bei der Belastung mit einem Drehmoment

gibt es die Möglichkeit ein Lastprofil abzufahren. Das verwendete Motormodel wurde

komplett selbst erstellt.

Im Block „Raumzeigermodulation und Leistungselektronik“ wird anhand der Spannungen

und ein Pulsmuster erzeugt, welches die drei Halbbrücken der Leistungselektronik

ansteuert. Die Zwischenkreisspannung der Leitungselektronik ist . Dieser Block wurde

ebenfalls aus einen anderen Modell übernommen.

In Simulink wurde das Simulationsmodell in zwei große Subsysteme gegliedert. Das

Subsystem „engine“ ist das kontinuierliche Modell des Motors. Das Subsystem „control and

power electronic“ ist ein diskretes System. Der Systemtakt in diesem Modell entspricht der

PWM-Frequenz der Leistungselektronik.




Abbildung 4-2: Das Simulationsmodell in Simulink

Das System „engine“ hat zwei Eingangsgrößen, das ist zum einen die Eingangsspannung

und zum anderen das Lastmoment an der Motorwelle. Die Ausgangsgrößen

sind der Iststrom des Motormodells und das Signal des Drehgebers

. Aus diesem Signal kann durch Ableitung die mechanische

Winkelgeschwindigkeit gewonnen werden. Das Winkelsignal des

mechanischen Winkels lässt sich ebenfalls aus diesem Signal gewinnen. Die

restlichen Ausgangsgrößen sind für die Regelung nicht notwendig, jedoch zur

Simulationsüberwachung sehr hilfreich.

Das Subsystem „control and power electronic“ hat eine Motorspannung als

Ausgangsgröße und als Eingangsgrößen den Iststrom und das Drehgebersignal

.

4.2.1 Das Motormodell

Beim Motormodell handelt es sich um ein zeitkontinuierliches Modell. Das Modell ist

aufgeteilt in ein elektronischen Modell und ein mechanisches Modell. Zusätzlich sind noch

Subsysteme nötig, die die Clarke-Park-Transformation bzw. die Inverse-Clarke-Park-

Transformation durchführen. Auf das Subsystem „elektrisches Modell“ wird hier nicht mehr

weiter eingegangen, dieses wurde bereits ausführlich in Kapitel 3.5.2 behandelt.




Abbildung 4-3: Das Simulationsmodell der Synchronmaschine

4.2.1.1 Das mechanische Modell

Im mechanischen Modell des Motors wird aus dem Motormoment , das aus dem

elektrischen Teilsystem kommt, und dem Lastmoment an der Welle die Drehzahl

berechnet. Zusätzlich wird das Drehgebersignal und der mechanische Winkel

berechnet.

Abbildung 4-4: Das mechanische Teilsystem des Motormodells

Im mechanischen Teilsystem kann zwischen den beiden unterschiedlichen Belastungsarten

des Motors gewählt werden. Steht der Schalter auf eins wie in Abbildung 4-4 so kann der

Motor mit dem Lastmoment belastet werden. In der anderen Schalterstellung dreht sich




der Motor mit einer konstanten Drehzahl. Somit kann einmal die Belastung mit einem

bestimmten Moment simuliert werden und zum anderen die Belastung mit konstanter

Drehzahl. Diese beiden Testmodi sind wichtig für die Bewertung der implementierten Regler.

4.2.2 Regelung und Leistungselektronik

Dieses Subsystem vereint die Leistungselektronik sowie die Strom-und Flussregelung.

Bei diesem Subsystem handelt es sich bis auf das Subsystem „speed calc“ um zeitdiskrete

Systeme. In diesem Subsystem wird aus dem Drehgebersignal die

mechanische Winkelgeschwindigkeit berechnet.

Abbildung 4-5: Das innere des Subsystem „control and power electronic"

Die beiden Subsysteme „converter“ und „Control+PWM“ aus Abbildung 4-5 sind diskrete

Systeme. Das Triggersignal ist ein Ausgangssignal des Converters. Da die Leistungselektronik

mit der steigenden und der fallenden Flanke ein Ausgangssignal ausgibt, muss der Trigger

des Subsystem „Control+PWM“ auf beide Flanken reagieren. Das System „converter“

erzeugt aus den beiden Eingangssignalen und dem begrenzten

Aussteuerungsgrad das Pulsmuster der Leistungselektronik. Die

Höhe der Spannung ist abhängig von der Zwischenkreisspannung . Die

Pulsweitenmodulation kann über den Schalter „Pulsing on/off“ aktiviert werden. Das




Subsystem „Control+PWM“ erzeugt die PWM-Zeiten für die drei Phasen.

Zusätzlich ist der begrenzte Aussteuerungsgrad eine Ausgangsgröße.

Abbildung 4-6: Das innere des Subsystem „Control+PWM"

Das Subsystem „Control+PWM“ aus Abbildung 4-5 besteht aus drei Subsystemen siehe

Abbildung 4-6. Das System „three phases“ berechnet aus der Knotengleichung (3.18) die

fehlende nicht gemessene Phase „s“. Das Subsystem „switching_times“ begrenzt den

Aussteuerungsgrad auf seinen Maximalwert und gibt bei Begrenzung einmal ein binäres

Signal und zusätzlich die Differenz aus. In diesem System

werden auch die PWM-Zeiten berechnet.

Im Innern des Blocks „motor control“ ist die Flussregelung und die Stromregelung

abgebildet.




Abbildung 4-7: Das innere des Block „motor control"

Das innere des Subsystem „motor control“ ist in Abbildung 4-7 dargestellt. Die Flussregelung

ist hier vollständig abgebildet. Als Eingangsgröße des Flussreglers „modulation control“ dient

der Aussteuerungsgrad in α/β Koordinaten . Der Flussregler hat als Ausgangsgröße

nur den flussschwächenden Strom . Im Block „current limitation“ wird der

Stromvektor auf seinen maximal zulässigen Wert begrenzt. Der Sollstromvektor

dient als Eingangsgröße für das Subsystem „current control“.

Der Windup-Wert wird in das rotorfeste Koordinatensystem transformiert

und der Spannungswert zurückgerechnet und ist eine Eingangsgröße für

das Subsystem „current control“.




Abbildung 4-8: Das innere des Subsystem „current control"

Das System „current control“ besteht im Inneren aus dem Subsystem „Dead Beat Control“

und der Störgrößenaufschaltung „Control“ (siehe Kapitel 3.2.2.1). Die beiden

Verzögerungsglieder sind nötig, da es sonst eine algebraische Schleife geben würde. Der

aktuelle Wert des Aussteuerungsgrad erzeugt die Signale und .

Da diese Signale erst im nächsten Zeittakt ausgewertet werden dürfen, müssen diese um

jeweils einen Zeittakt verzögert werden.




Abbildung 4-9: Das innere des Subsystem „Dead Beat Control"

In Abbildung 4-9 sind die beiden Dead Beat Regler zu erkennen. Aus den Eingangsgrößen

und wird die Regeldifferenz gebildet. Die Eingangsgröße

wird mit dem Faktor verstärkt und mit der diskreten Übertragungsfunktion „d-plant“ bzw.

„q-plant“ in einen Strom umgeformt. Dieser Stromwert wird von der jeweiligen

Regeldifferenz abgezogen.

4.2.2.1 Störgrößenaufschaltung

Beim Motormodell in d/q-Koordinaten handelt es sich um ein MIMO-System (Multiple Input

Multiple Output). Aufgrund der Kreuzkopplung zwischen und wirkt eine Störgröße auf

die jeweilige Strecke (vergleich Gleichung (3.65) und (3.66)). Die Störgrößenaufschaltung

bietet den Vorteil, dass die d-Strecke und die q-Strecke des Motormodells getrennt

voreinander betrachtet werden können. Dies erleichtert den Reglerentwurf. Es muss also

auf die Spannung und auf die Spannung aufgeschaltet werden. Die

Aufschaltung kompensiert die Kreuzkopplung, dadurch kann diese vernachlässigt werden.

Die Störgrößenaufschaltung ist parallel zu den Dead-Beat Stromregelern, d. h., es wird auf

die Ausgangsspannung des Reglers addiert (Abbildung 4-8). Aus Abbildung 3-26 lassen sich

die Gleichung für die beiden Flüsse und ablesen.

(4.1)

(4.2)




Werden Gleichungen (4.1) und (4.2) in den jeweiligen Summand von (3.65) und (3.66)

eingesetzt, so ergeben sich die folgenden Gleichungen:

(4.3)

(4.4)

Gleichungen (4.3) und (4.4) als Simulink Blockschaltbild ergeben folgendes Bild.

Abbildung 4-10: Störgrößenaufschaltung als Blockschaltbild

In Abbildung 4-10 ist das innere des Subsystem „Control“ aus Abbildung 4-8 dargestellt.

Nun stellt sich noch die Frage, ob der Sollstrom oder der Iststrom als Eingangsgröße für die

Ströme und verwendet wird.

4.2.2.2 Soll- oder Iststrom als Eingangsgröße der Störgrößenaufschaltung

Es gibt die Möglichkeit den Sollstrom oder den Iststrom als Eingangsgröße für die

Störgrößenaufschaltung zu wählen. Um dies praxisnah zu bestimmen, wird die

Pulsweitenmodulation der Leistungselektronik aktiviert. Betrachtet man nur die Signale

und so fällt auf, dass das Sollwertsignal glatter ist als das

Istwertsignal (vergleiche beispielsweise Abbildung 4-41 und Abbildung 4-40).

Aufgrund der PWM ist der Iststromwert mit Strom-Rippeln behaftet. Dieses würde sich auf

die Ausgangsgröße der Störgrößenaufschaltung auswirken.

Aufgrund dieser Beobachtung wird der Sollstromwert als Eingangsgröße für die

Störgrößenaufschaltung verwendet.




4.2.2.3 Regler Windup

In der Realität ist kein Regelkreis linear. Die wohl häufigste Nichtlinearität bei Regelkreisen

ist die Stellgrößenbeschränkung, wie z.B. Ventil (offen/geschlossen), Pumpe (Stillstand/

Maximalleistung). Beim Regler Windup handelt es sich um eine Überreaktion des

Integrierers im Regler [13]. Dies geschieht, sobald die Ausgangsgröße des Reglers begrenzt

wird. Durch die Begrenzung ist das Ausgangssignal kleiner, als das eigentlich vom Regler

erzeugte Signal. Dadurch erreicht die Strecke ihren Endwert verzögert und der Regler stellt

seinen I-Anteil nach. Ein Regler Windup kann die Folge haben, dass der Regelkreis instabil

wird. Es gibt verschiedene Verfahren den Regler Windup zu verhindern. Eine Möglichkeit ist,

beim Überschreiten der Begrenzung den I-Anteil im Regler festzuhalten. Die andere

Möglichkeit ist, den Differenzwert zwischen Stellgröße vor der Begrenzung und Stellgröße

nach der Begrenzung zurückzuführen und von der Regeldifferenz abzuziehen.

Abbildung 4-11: Möglichkeit zur Beseitigung des Regler Windup

In Abbildung 4-11 ist eine Möglichkeit zur Beseitigung des Regler Windup dargestellt. Wird

die Stellgröße des Reglers nicht begrenzt, so ist die Differenz gleich null und es wird nichts

zurückgeführt. Ist die Stellgröße größer als die Begrenzung, so ist die Differenz ungleich null

und der Wert wird verstärkt um den Faktor zurückgeführt und abgezogen. Die Wahl des

Verstärkungsfaktors muss durch Messreihen ermittelt werden.

Im Simulationsmodell sind beide Möglichkeiten zur Beseitigung des Regler Windup

implementiert. Über das Signal kann bei geeigneter Reglerstruktur der

Integralanteil festgehalten werden. Diese Art ist bei Dead Beat Reglern mit

Stellgrößenvorgabe sehr aufwendig, da der Regler in eine Parallelstruktur zerlegt werden

muss. Über das Signal kann die in Abbildung 4-11 gezeigte Struktur mit




einer Anpassung implementiert werden (vergleich Abbildung 4-8). Es muss zuerst noch das

Spannungssignal über die diskrete Übertragungsfunktion der d- bzw- q-

Strecke in ein Stromsignal umgewandelt werden, siehe Abbildung 4-9.




4.3 Dimensionierung der Dead Beat Regler

In diesem Abschnitt werden die beiden Dead Beat Regler für den Strom und den Strom

bestimmt. Da die Berechnung der Dead Beat Parameter, wie sie im Theorieteil 0 beschrieben

wurde, für viele Stellgrößenvorgaben sehr aufwendig ist, wird ab einer Stellgrößenvorgabe

von drei Stellgrößen ein numerisches Verfahren zur Berechnung der Regelparameter

angewandt. Die Regelparameter werden in einem Matlab-Scriptfile berechnet. Aus den

Stellgrößenvorgaben können mithilfe der bekannten Streckenparameter die Koeffizienten

des Polynoms aus Gleichung (3.150) berechnet werden. Ist dieses Polynom bekannt,

so wird mit der Matlabfunktion conv() das fehlende Polynom über die

Polynommultiplikation zwischen den Streckenparametern und dem Polynom

berechnet.

Ziel der Reglerauslegung ist, die Anzahl an zusätzlichen Stellgrößenvorgaben so gering wie

möglich zu halten. Die Analyse des Signals und die Ausgangsspannung des q-

Reglers sind dabei wichtige Größen zur Bewertung des Reglers.

4.3.1 Die Regelstrecke

Bei der zu regelnden Strecke handelt es sich um das elektrische Modell des Synchronmotors,

welches in Abschnitt 3.5.2.1 behandelt wurde. Aufgrund der Störgrößenaufschaltung kann,

wie bereits beschrieben, die Kreuzkopplung im elektrischen Modell der Synchronmaschine

vernachlässigt werden. Somit ergibt sich für die d-Stecke und die q-Strecke dieselbe

Übertragungsfunktion. Die zu entwerfenden Stromregler für die d-Strecke und q-Strecke

sind somit identisch, es muss also nur ein Regler entworfen werden. Aus Abbildung 3-26

folgt somit die Übertragungsfunktion:

(4.5)

Mit den verwendeten Modellparametern aus Tabelle 4-1 ergibt sich:

(4.6)

Die kontinuierliche Übertragungsfunktion wird mit Gleichung (3.100) in eine diskrete

Übertragungsfunktion umgerechnet. Somit ergibt sich:




(4.7)

(4.8)

Die Übertragungsfunktion der Strecke ist somit eine Strecke erster Ordnung.

Nun werden die Pol-und Nullstellen (PST und NST) der Streckenübertragungsfunktion

berechnet.

Abbildung 4-12: Polnullstellendiagramm der Streckenübertragungsfunktion

Aus Abbildung 4-12 ist die Stabilitätsbedingung für den Dead-Beat Entwurf erfüllt, da alle

Polstellen innerhalb des Einheitskreis liegen.

4.3.2 Dead Beat Regler ohne Stellgrößenvorgabe

Der Dead Beat Regler ohne Stellgrößenvorgabe lässt sind anhand der in Abschnitt 3.6.3.2

abgeleiteten Formeln berechnen.




Somit ergibt sich für den Regler folgende Struktur:

(4.9)

Tabelle 4-2: Dead Beat Parameter ohne Stellgrößenvorgabe

Parameter Formel Wert

In die Reglerübertragungsfunktion eingesetzt ergibt sich diese Übertragungsfunktion für den

Dead-Beat Regler ohne Stellgrößenvorgabe.

(4.10)

Das Polnullstellendiagramm des Reglers zeigt Folgendes:

Abbildung 4-13: Polnullstellendiagramm des Dead Beat Reglers ohne Stellgrößenvorgabe




Betrachtet man Abbildung 4-13, so liegt die Polstelle des Integrators bei 1. Vergleicht man

die beiden Polnullstellendiagramme (Abbildung 4-12 und Abbildung 4-13) miteinander, so

erkennt man, dass die Polstelle der Streckenübertragungsfunktion von der Nullstelle des

Reglers kompensiert wird und nur noch die Polstelle des Reglers vorhanden ist.

Betrachtet man in Abbildung 4-9 die Eingangsgröße und die Ausgangsgröße des Reglers, so

ist die Eingangsgröße ein Strom und die Ausgangsgröße eine Spannung. Daraus folgt, dass

die Einheit des Stellgrößenpolynoms ist. Nun ist die maximale Stellspannung der

Leistungselektronik durch Gleichung (3.218) auf begrenzt. Somit ist nach dem

ohmschen Gesetz eine maximale Eingangsgröße von zulässig. Wird dieses Maximum

überschritten, so kann die Leistungselektronik die Stellgröße nicht realisieren und das Signal

ist eins bzw. ist ungleich null.

4.3.2.1 Simulationsergebnisse ohne Stellgrößenvorgabe

Der im vorherigen Abschnitt beschriebene Dead-Beat Regler wird nun in das

Simulationsmodell eingebunden und simuliert. Die Simulationsparameter für alle weiteren

Simulationen sind Folgende:

Sprung des Sollstrom auf

Sprung des Lastmoment auf

Beides geschieht zum Zeitpunkt . Die Simulationsdauer beträgt .

Zuerst wird das Anlaufverhalten des Motors anhand der Spannung betrachtet. Dabei

erkennt man den Beschleunigungsvorgang des Motors. Aus der Frequenz der Spannung

kann die Drehzahl des Motors berechnet werden. Da in Abbildung 4-14 die Frequenz

immer höher wird, nimmt auch die Drehzahl zu. Die Hüllkurve dieser Spannung beschreibt

die Stellspannung der Leistungselektronik.




Abbildung 4-14: Simulationsergebnis des Dead Beat Reglers ohne Stellgrößenvorgabe für die Spannung u[rst]

In Abbildung 4-14 ist ersichtlich, dass im Zeitraum bis die Spannung

die maximalzulässige Spannung überschreitet. In diesem Zeitraum ist das Signal

ungleich null und es wird ein Korrekturwert abgezogen, um ein Regler

Windup zu vermeiden. Das Maximum der Überschreitung beträgt und ist im Vergleich

zu vernachlässigbar klein, da es keinen großen Einfluss hat, ob der Motor mit

oder mit betrieben wird.




Abbildung 4-15: Simulationsergebnis des Dead Beat Reglers ohne Stellgrößenvorgabe für i[dq]

Der Verlauf des Stroms ist aus Abbildung 4-15 ersichtlich. Man erkennt in dieser

Abbildung das Einsetzen der Flussregelung sehr gut. Ab dem Zeitpunkt beginnt

der Flussregler einen negativen feldschwächenden Strom vorzugeben. Zusätzlich beginnt

der Strom leicht zu schwingen, da durch die Schwächung des Flusses der Stromregler für

den q-Strom dagegen arbeiten muss. Ab dem Zeitpunkt ist der maximale Strom

erreicht und der Flussregler verringert den Strom , dadurch nimmt das

Drehmoment ab. Betrachtet man den Momentanwert der beiden Ströme zum Zeitpunkt

, so erkennt man, dass beide Ströme ihren Sollwert nicht erreichen. Der Strom

liegt leicht unterhalb dem Sollwert von , der Strom leicht oberhalb dem

Sollwert . Im stationären Fall wäre die Regeldifferenz aufgrund des I-Anteils im Regler

gleich null. Da sich zu diesem Zeitpunkt die Strecke nicht in einem stationären Zustand

befindet, ergibt sich die Regelabweichung. Diese Regeldifferenz wird akzeptiert, da es sich

beim simulierten Motor um einen Traktionsantrieb handelt, der fast nie in einen stationären

Zustand gerät und dadurch immer eine kleine Regelabweichung zustande kommt.




Abbildung 4-16: Simulationsergebnis des Dead Beat Reglers ohne Stellgrößenvorgabe für die mechanische Leistung

In Abbildung 4-16 ist die mechanische Leistung des Motors dargestellt. Der Verlauf ist bis zur

Simulationszeit linear, da ab diesem Zeitpunkt verringert wird, siehe Abbildung

4-15. Dadurch wird das Drehmoment M des Motors und die Leistung geringer, obwohl die

Winkelgeschwindigkeit laut Abbildung 4-17 steigt.




Abbildung 4-17: Simulationsergebnis des Dead Beat Reglers ohne Stellgrößenvorgabe für omega_mech

Der Beschleunigungsvorgang des Motors ist in Abbildung 4-17 ersichtlich. Bis zu Zeitpunkt

ist die Beschleunigung konstant. Ab diesem Zeitpunkt wird das Moment durch die

Verringerung des Stroms ebenfalls kleiner.




Abbildung 4-18: Simulationsergebnis des Dead Beat Reglers ohne Stellgrößenvorgabe für u_limited

Betrachtet man nun das Signal (Abbildung 4-18) so fällt auf, dass dieses zum

Zeitpunkt auf den Wert eins geht, da die Leistungselektronik in die Begrenzung

gerät. Dies liegt an dem zu hohen Wert für die erste Stellgröße des Dead Beat Reglers, siehe

Tabelle 4-2. Aufgrund des Führungsgrößensprungs von null auf ergibt sich eine

theoretische Stellgröße von , dies ist bei einer maximalen Stellspannung von

nicht möglich.

4.3.2.2 Fazit

Die Simulationsergebnisse sehen plausibel aus. Der Motor beschleunigt, sobald ein Sollstrom

geregelt wird. Leider ist bereits einen Abtastschritt nach dem Führungsgrößensprung die

Leistungselektronik an ihrer Begrenzung. Deshalb ist dieser Entwurf in der Praxis nicht

realisierbar und zu verwerfen. Es muss also ein Entwurf mit mindestens einer

Stellgrößenvorgabe realisiert werden. Dabei wird versucht die Anzahl an Stellgrößen so

gering wie möglich zu halten, da diese das System verlangsamen.




4.3.3 Dead Beat Regler mit erster Stellgrößenvorgabe

Aufgrund des Ergebnisses im vorigen Abschnitt ist ein Dead-Beat Regler mit

Stellgrößenvorgabe zu realisieren. Die Formeln für den Dead Beat Regler wurden im Kapitel

3.6.3.3 bereits hergeleitet. Nun stellt sich nur die Frage, wie groß die Stellgrößenvorgabe

sein soll.

Hierzu wird angenommen, dass die maximale Änderung der Führungsgröße dem

Statorstrom entspricht, d. h. der Motor kann nur von Stillstand auf maximalen Strom

geschaltet werden oder umgekehrt. Dadurch wird ein direktes Umschalten der

Führungsgröße von auf – ausgeschlossen, da dies beim Traktionsantrieb

nicht der Realität entspricht. Aus dem ohmschen Gesetz ergibt sich der erste

Stellgrößenwert somit zu:

(4.11)

Die restlichen Parameter des Dead Beat Reglers ergeben sich aus den Gleichungen (3.165),

(3.166), (3.167) und (3.168).

Tabelle 4-3: Dead Beat Parameter mit einer Stellgrößenvorgabe

Parameter

Formel

Wert

Aufgrund der Stellgrößenvorgabe erhöht sich die Ordnung des Reglers um eins auf zwei. Die

Übertragungsfunktion ergibt sich zu:

(4.12)




Betrachtet man für diesen Reglerentwurf das Polnullstellendiagramm, so erhält man:

Abbildung 4-19: Polnullstellendiagramm des Dead Beat Reglers mit einer Stellgrößenvorgabe

Beim Polnullstellendiagramm in Abbildung 4-19 ist diesmal die Nullstelle bei

auffallend. Die Nullstelle zur Kompensation der Reglerpolstelle ist weiterhin vorhanden. Die

beiden Polstellen des Reglers liegen innerhalb des Einheitskreises, somit ist der Regler stabil.




4.3.3.1 Simulationsergebnisse mit einer Stellgrößenvorgabe

Die Simulationsergebnisse sind ähnlich dem der Ergebnisse ohne Stellgrößenvorgabe. Zur

Bewertung wird nun das Signal analysiert.

Abbildung 4-20: Simulationsergebnis des Dead Beat Regler mit einer Stellgrößenvorgabe für u_limited

In Abbildung 4-20 ist das Signal dargestellt. Dabei ist wieder auffallend, dass zu

Beginn die Begrenzung der Leistungselektronik erreicht wird. Der genaue Zeitpunkt ist durch

Zoomen in Abbildung 4-20 ersichtlich.




Abbildung 4-21: Simulationsergebnis von u_limited gezoomt

Betrachtet man Abbildung 4-21 so erkennt man, dass zum Zeitpunkt , d.h. zwei

Abtastschritte nach der Führungsgrößenvorgabe, das Signal auf eins geht. Daraus

ist ersichtlich, dass die erste Stellgröße klein genug ist, um die Leistungselektronik nicht in

die Begrenzung zu bekommen. Aufgrund des Verzögerungsglied ist das Signal

einen Abtastschritt hinterher. Jedoch ist die zweite Stellgröße noch zu groß und muss

ebenfalls durch eine Stellgrößenvorgabe begrenzt werden.

4.3.3.2 Fazit

Wie in Abbildung 4-21 dargestellt, ist die berechnete erste Stellgröße klein genug um die

Leistungselektronik nicht in die Begrenzung zu bekommen. An dieser berechneten Größe

kann für weitere Reglerentwürfe festgehalten werden. Der Reglerentwurf ist in der Praxis

nicht realisierbar, da die Leistungselektronik beim Anlaufvorgang noch in die Begrenzung

gerät.




4.3.4 Dead Beat Regler mit zwei Stellgrößenvorgaben

In Abschnitt 4.3.3 wurde gezeigt, dass eine Stellgrößenvorgabe nicht ausreichend ist, deshalb

wird die Stellgrößenvorgabe auf zwei erhöht. Die Formeln für die Berechnung der

Stellgrößenvorgaben wurden im Theorieteil in Abschnitt 3.6.3.4 berechnet. Nun sind die

ersten beiden Stellgrößenvorgaben zu wählen. Für die erste Stellgrößenvorgabe wird der im

Abschnitt 4.3.3 berechnete Wert beibehalten. Da es sich bei den Stellgrößenvorgaben um

Delta Werte handelt, beschreiben alle Stellgrößenwerte eine Änderung der aktuellen

Stellgröße. Der Zweite ist durch die Analyse der Simulationsergebnisse für eine

Stellgrößenvorgabe abschätzbar.

Abbildung 4-22: Simulationsergebnis der Regeldifferenz für den q-Regler beim Dead Beat Entwurf mit einer Stellgrößenvorgabe

Betrachtet man in Abbildung 4-22 die Regeldifferenz für den Dead Beat Regler mit einer

Stellgrößenvorgabe, so lässt sich erkennen, dass der zweite Eingangswert des Dead Beat

Reglers auf gesunken ist. Um die Stellgröße nicht weiter auszureizen, wird die zweite

Stellgrößenvorgabe auf gesetzt, damit wird der Stellgrößenwert gehalten. Dadurch wird

sichergestellt, dass selbst bei maximaler Führungsgröße die Leistungselektronik nicht in die

Begrenzung gerät.




Tabelle 4-4: Dead Beat Parameter mit zwei Stellgrößenvorgaben

Parameter Formel Wert

Die Übertragungsfunktion des Dead Beat Reglers ergibt sich somit zu:

(4.13)




Das Polnullstellendiagramm des Dead-Beat Reglers aus Gleichung (4.13) ergibt sich zu:

Abbildung 4-23: Polnullstellendiagramm des Dead Beat Reglers mit zwei Stellgrößenvorgaben

Der Polnullstellenplan Abbildung 4-23 zeigt wieder die bekannte Nullstelle bei 0,926 und die

Polstelle bei 1. Zusätzlich gibt es zwei Polstellen, die konjungiert komplex sind und zwei

konjungiert komplexe Nullstellen. Da alle Polstellen innerhalb des Einheitskreises liegen, ist

dieser Regler stabil.

4.3.4.1 Simulationsergebnisse mit zwei Stellgrößenvorgaben

Der im vorigen Abschnitt abgeleitete Dead Beat Regler wird nun in das Simulationsmodell

eingebunden. Zur Bewertung des Entwurfs sind die Simulationsergebnisse von

und von der Stellspannung des Dead-Beat Reglers für die q-Strecke entscheidend.




Abbildung 4-24: Simulationsergebnis von u_limited für den Dead Beat Entwurf mit zwei Stellgrößenvorgaben

Betrachtet man Abbildung 4-24, so erkennt man, dass zum Zeitpunkt das Signal

zum ersten Mal auf den Wert eins springt. Vergleich man zu diesem Ergebnis die

Stellspannung in Abbildung 4-25 des Reglers für die q-Strecke, so fällt auf, dass die

Stellspannung der Leistungselektronik schon zum Zeitpunkt überschritten wird.

Hier sieht man die Verzögerung um einen Abtastschritt im Signal .




Abbildung 4-25: Simulationsergebnis von u_q für den Dead Beat Entwurf mit zwei Stellgrößenvorgaben

Für den Peak in Abbildung 4-25 zum Zeitpunkt t=0,0502 ist der hohe Wert des

Stellgrößenwerts verantwortlich.

4.3.4.2 Fazit

Mit dem Reglerentwurf für zwei Stellgrößenvorgaben gerät die Leistungselektronik in die

Begrenzung. Das heißt, dieser Entwurf ist in der Praxis nicht realisierbar. Eine Abschätzung

durch den Stellgrößenwert ergibt Folgendes:

(4.14)

Daraus folgt, dass noch fünf weitere Stellgrößenvorgaben nötig sind um ohne ein

Ansprechen des Signals den Motor betreiben zu können.

4.3.5 Dead Beat Regler mit sieben Stellgrößenvorgaben

Für eine Anzahl an Stellgrößenvorgaben größer als zwei, wird ein numerisches Verfahren zur

Berechnung der Reglerparameter verwendet. Die ersten beiden Stellgrößenvorgaben



Bachelorarbeit S e i t e | 1 0 0 Jens Wurster

werden aus dem Reglerentwurf mit zwei Stellgrößenvorgaben übernommen. Die dritte bis

siebte Stellgrößenvorgabe wird ebenfalls auf den Wert 0 gesetzt.

Tabelle 4-5: Regelparameter für den Dead Beat Regler mit sieben Stellgrößenvorgaben

Parameter Wert Parameter Wert

Betrachtet man in Tabelle 4-5 die Parameter des Polynoms so fällt auf, dass der Wert

von eine kleine positive Änderung der Stellgröße bewirkt. Ist der Sollstrom ,

dann reicht diese kleine positive Änderung aus, um die Leistungselektronik in die

Begrenzung zu bekommen. Ist jedoch der Sollstrom kleiner als , so kann die

Stellgröße noch erhöht werden und die Leistungselektronik kommt nicht in die Begrenzung.

Die Übertragungsfunktion des Reglers ergibt sich zu:

(4.15)




Setzt man die Werte aus Tabelle 4-5 in die Gleichung (4.15) ein, erhält man bei Betrachtung

der Pol- und Nullstellen folgendes Diagramm:

Abbildung 4-26: Polnullstellendiagramm für den Dead Beat Regler mit sieben Stellgrößenvorgaben

Das Polnullstellendiagramm in Abbildung 4-26 hat wieder die eine bekannte Nullstelle sowie

die Polstelle bei eins. Alle Polstellen liegen innerhalb des Einheitskreises und deshalb ist

dieser Regler stabil.

4.3.5.1 Simulationsergebnisse mit sieben Stellgrößenvorgaben

Der in Abschnitt 4.3.5 abgeleitete Regler wird nun in das Simulationsmodell eingebunden.

Nun werden zwei Messungen mit unterschiedlichen Simulationsparametern durchgeführt.

Zuerst wird mit den neuen Simulationsparametern simuliert. Diese sind:



Zum Zeitpunkt .




Abbildung 4-27: Simulationsergebnis von u_limited beim Dead Beat Entwurf mit sieben Stellgrößenvorgaben. Dabei sprang der Sollstrom iq_w auf 19,09 A

In Abbildung 4-27 ist zu sehen, dass das Signal u_limited zum Zeitpunkt auf

eins springt. Daraus folgt, dass der Stellgrößenwert zu groß ist, da gilt:

(4.16)

Somit kommt die Leistungselektronik in die Begrenzung, da die Stellgröße um V zu

groß ist.

Wird mit demselben Regler die Simulation mit den Simulationsparametern aus Abschnitt

4.3.2.1 durchgeführt, so erhält man dieses Ergebnis für .




Abbildung 4-28: Simulationsergebnis von u_limited beim Dead Beat Entwurf mit sieben Stellgrößenvorgaben. Dabei sprang der Sollstrom iq_w auf 15 A

Der Verlauf von u_limited ist in Abbildung 4-28 ersichtlich. Dabei ist zu sehen, dass bei

berechnetem Regler die Leistungselektronik bei der Sprungaufschaltung nicht in die

Begrenzung gerät.

4.3.5.2 Simulationsergebnisse mit sieben Stellgrößenvorgaben und aktiver

Pulsweitenmodulation

Bis jetzt wurden die Simulationen ohne Pulsweitenmodulation durchgeführt. Nun soll das

Simulationsergebnis mit aktiver PWM betrachtet werden. Dabei wird die Leistungselektronik

mit einer PWM-Frequenz von angesteuert, was der Abtastfrequenz der zeitdiskreten

Systeme entspricht. Die Simulationsparameter lauten hierfür:



Zum Zeitpunkt bei aktiver PWM und einer Simulationszeit von .




Abbildung 4-29: Simulationsergebnisse für i[dq] bei sieben Stellgrößenvorgaben und PWM aktiv

Die Simulationsergebnisse in Abbildung 4-29 zeigen den Verlauf der Ströme und sowie

den Betrag der Beiden. Da sich der Motor nicht im stationären Zustand befindet, ist die

Regelabweichung von bzw. zu erkennen. Anhand der breiten Linienstärke erkennt man

die Auswirkung der PWM-modulierten Spannung auf die Ströme, die hier mit sogenannten

Strom-Rippeln behaftet sind. Vergleicht man Abbildung 4-29 mit Abbildung 4-15, so fällt auf,

dass der Reglerentwurf mit sieben Stellgrößenvorgaben langsamer ist als der ohne

Stellgrößenvorgabe. Beim Entwurf mit sieben Stellgrößenvorgaben wird der Strom von

der Flussregelung ab dem Zeitpunkt geschwächt, beim Entwurf ohne

Stellgrößenvorgabe jedoch schon bei . Dies liegt zum Einen an der Stellgrößenanzahl

und zum Anderen an der größeren Regelabweichung zwischen Sollwert und Istwert der

beiden geregelten Ströme.




Abbildung 4-30: Simulationsergebnisse für i[rst] bei sieben Stellgrößenvorgaben und PWM aktiv

Der Verlauf des Wechselstroms ist in Abbildung 4-30 zu sehen. An der Hüllkurve kann

man den Betrag der beiden Ströme und sehr gut erkennen. Bis zum Zeitpunkt

wird der Sollstrom von gehalten, dann setzt die Flussregelung ein prägt

einen flussschwächenden negativen Strom ein. Dadurch steigt der Betrag und somit die

Amplitude des Stroms . Wie gut die Stromregler arbeiten, ist daran zu erkennen, dass

diese bis auf eine kleine Regelabweichung den Sollwert halten.

4.3.5.3 Fazit

In diesem Abschnitt ist der erste realisierbare Reglerentwurf abgeleitet worden. Dass bei

maximaler Sprungaufschaltung die Leistungselektronik kurz in die Begrenzung gelangt ist, ist

vernachlässigbar, da es sich dabei um eine Spannung von handelt, die noch

zusätzlich gestellt werden müssten. Ist der Reglerentwurf noch nicht zufriedenstellend, so

kann die Stellgrößenanzahl weiter erhöht werden, dadurch öffnen sich viele Freiheitsgrade

bei der Auslegung der acht Stellgrößenvorgaben.




4.3.6 Dead Beat Regler mit acht Stellgrößenvorgaben

Beim Reglerentwurf mit sieben Stellgrößenvorgaben hat sich gezeigt, dass die

Leistungselektronik nur noch bei maximaler Sollstromvorgabe in die Begrenzung gerät. Um

dies zu beheben, wird die Anzahl an Stellgrößenvorgaben auf acht erhöht. Dadurch ergeben

sich viele Freiheitsgrade, die bei der Wahl der Stellgrößen berücksichtigt werden können. So

kann beispielsweise der erste Stellgrößenwert verringert und der maximale Stellgrößenwert

erst mit der zweiten oder dritten Stellgröße erreicht werden. Oder es kann bereits früher

angefangen werden die Stellgrößen wieder zu verringern um auf den Endwert zu gelangen.

Der Endwert der Stellgrößenfolge beträgt:

(4.17)

n: Ordnung der Strecke m: Anzahl an Stellgrößenvorgaben

Bei der Simulation der Regler werden zwei mögliche Varianten betrachtet. Bei Variante 1

wird die Stellgrößenfolge in zwei Schritten auf ihr Maximum erhöht. Bei Variante 2 wird die

Stellgrößenfolge näherungsweise linear abgebaut.

Tabelle 4-6: Dead Beat Parameter bei acht Stellgrößenvorgaben und Variante 1





Die Stellgrößenfolge ergibt folgende Grafik:

Abbildung 4-31: Stellgrößenverlauf bei acht Stellgrößenvorgaben und Variante 1

Der Stellgrößenverlauf ist in Abbildung 4-31 ersichtlich. Man erkennt wie der Maximalwert

der Stellgröße erst mit der zweiten Stellgrößenwert erreicht wird. Der Maximalwert wurde

mit einem kleinen Sicherheitsfaktor versehen und auf den Wert von verringert.

Werden die Parameter aus Tabelle 4-6 in die allgemeine Übertragungsfunktion des Dead-

Beat Reglers eingesetzt, so ergibt sich dieses Polnullstellendiagramm:




Abbildung 4-32: Polnullstellendiagramm bei acht Stellgrößenvorgaben und Variante 1

In Abbildung 4-32 sind die bekannten Pol- und Nullstellen wieder zu erkennen. Alle

Polstellen liegen innerhalb des Einheitskreis und deshalb ist der Regler stabil.

Für den Dead-Beat Regler aus Variante 2 ergeben sich folgende Parameter:

Tabelle 4-7: Dead Beat Parameter für acht Stellgrößenvorgaben und Variante 2





Betrachtet man bei Variante 2 den grafischen Verlauf der Stellgrößenfolge erhält man:

Abbildung 4-33: Stellgrößenverlauf bei acht Stellgrößenvorgaben und Variante 2

Der Stellgrößenverlauf in Abbildung 4-33 erreicht mit der ersten Stellgröße das Maximum

und nimmt ab der achten Stellgröße bis zum Endwert (Gleichung (4.17)) näherungsweise

linear ab.

Werden die Parameter aus Tabelle 4-7 in die Übertragungsfunktion des Dead-Beat-Reglers

eingesetzt ergibt sich das folgende Polnullstellendiagramm:




Abbildung 4-34: Polnullstellendiagramm bei acht Stellgrößenvorgaben und Variante 2

Im Folgenden werden Simulationsergebnisse mit unterschiedlichen Stellgrößenfolgen

verglichen.

4.3.6.1 Simulationsergebnisse mit acht Stellgrößenvorgaben

In diesem Abschnitt werden beide Varianten zueinander verglichen und Vor- bzw. Nachteile

abgeleitet.

Die Simulationsparameter sind:



Zum Zeitpunkt und einer Simulationszeit von .

Die unterschiedlichen Stellgrößenfolgen sind am besten zum Sprungzeitpunkt zu

erkennen.




Abbildung 4-35: u_q bei acht Stellgrößenvorgaben und Variante 1

Abbildung 4-36: u_q bei acht Stellgrößenvorgaben und Variante 2




Vergleicht man die Simulationsergebnisse aus Abbildung 4-35 und Abbildung 4-36

miteinander erhält man folgendes Ergebnis. Der Spannungsverlauf von ist bei Variante 2

schon zum Zeitpunkt auf den Maximalwert angestiegen. Dieser Wert wird für

sieben Abtastschritte gehalten und danach auf den Endwert abgebaut. Der

Spannungsverlauf von bei Variante 1 hat zum Zeitpunkt nur den halben

Spannungswert und einen Abtastschritt später den Maximalwert erreicht. Dieser Wert wird

wieder für sieben Abtastschritte gehalten und dann auf den Endwert verringert. Variante 2

bietet den Vorteil, dass aufgrund der höheren Stellspannung beim ersten Stellgrößenwert

der Motor schneller beschleunigt.

Abbildung 4-37: Stromverlauf der Strome is[rst] bei acht Stellgrößenvorgaben und Variante 1





Vergleicht man Abbildung 4-37 und Abbildung 4-38 kann man für den Einschaltzeitpunkt

einen wichtigen Vorteil von Variante 1 ableiten. Bei Variante 1 ist die

Stromsteilheit im Einschaltzeitpunkt geringer als bei Variante 2. Die Stromsteilheit im

Einschaltvorgang ist eine wichtige Kenngröße von Halbleiterbauteilen. Abgelesen aus den

Simulationsgraphen ergeben sich folgende Stromsteilheiten im Einschaltvorgang:

Tabelle 4-8: Stromsteilheiten für Variante 1 und Variante 2 im Intervall von t=0,05s bis t=0,0501s

Variante 1

Variante 2

4.3.6.2 Dynamische Betrachtung mit aktiver Pulsweitenmodulation

Bis jetzt wurden alle Simulationsergebnisse gestützt auf konstante Sollwerte abgeleitet. In

diesem Abschnitt werden die dynamischen Eigenschaften des Reglerentwurfs mit acht




Stellgrößenvorgaben und Variante 1 betrachtet. Zusätzlich ist die PWM aktiv. Die

Simulationsparameter sind:

Das Lastmoment als Rechteckpulse mit einer Frequenz von bei einem Duty

Cycle von und einer Amplitude von

Der Sollstrom nach Abbildung 4-39

Die Simulationszeit beträgt .

Abbildung 4-39: Stromprofil für den Strom iq_w bei der dynamischen Betrachtung des Regelkreis

Der Sollstrom aus der Flussregelung ist in Abbildung 4-40 zu erkennen. Die Flussregelung gibt

der Stromregelung den Sollstrom aus Abbildung 4-40 vor. Betrachtet man

Abbildung 4-39 und Abbildung 4-40 so fällt auf, dass bis zum Zeitpunkt die Ströme

aus den beiden Abbildungen identisch sind. Im Zeitraum von bis

weicht der Ausgangsstrom der Flussregelung vom eigentlichen Sollstromprofil ab, da in

diesem Intervall der negative Strom betragsmäßig zu groß ist und der Flussregler

deshalb verringern muss um nicht über den maximalen Strom zu gelangen.




Abbildung 4-40: Sollstrom i[dq]_w nach der Flussregelung bei dynamischer Betrachtung des Regelkreis

Abbildung 4-41: Geregelter Iststrom i[dq]_x bei dynamischer Betrachtung des Regelkreis




Der geregelte Stromverlauf von ist in Abbildung 4-41 erkennbar. Ein Vergleich von

Abbildung 4-40 und Abbildung 4-41 zeigt, wie gut Stromregelung arbeitet. Der

Sollstromverlauf wird sehr exakt abgebildet. Die Überschwinger zu den Zeitpunkten

, und sind aufgrund der hohen Sollwertänderungen von .

Zu Zeitpunkten mit geringerer Sollwertänderungen ( und ) ist kein

Überschwingen zu erkennen.

Abbildung 4-42: Die Winkelgeschwindigkeit omega_m bei dynamischer Betrachtung

Zur dynamischen Betrachtung des Reglerentwurfs ist der Verlauf der Winkelgeschwindigkeit

von Bedeutung, siehe Abbildung 4-42. Bei der Beurteilung des Verlaufs der

Winkelgeschwindigkeit spielt nicht nur der momentbildende und somit beschleunigende

Strom eine Rolle, sondern auch das Lastmoment . So ist z. B. im Intervall von

bis der Momentbildendestrom gleich null. In diesem Zeitraum beschleunigt der

Motor aufgrund des Lastmoments, da dieses bei negativen Drehzahlen beschleunigend

wirkt.




Abbildung 4-43: Die mechanische Leistung P bei dynamischer Betrachtung

Betrachtet man den Leistungsverlauf des Motors in Abbildung 4-43, so sind zwei Bereiche

auffallend. In diesen Bereichen ist die mechanische Leistung negativ, d. h. der Motor gibt

elektrische Leistung ab, er ist also im generatorischen Betrieb. Die Leistung ist in diesen

Bereichen negativ, da der momentbildende Strom ein anderes Vorzeichen hat als die

mechanische Winkelgeschwindigkeit (vergleich Abbildung 4-41 und Abbildung 4-42).

4.3.6.3 Fazit

Bei Dead Beat Entwurf mit acht Stellgrößenvorgaben erhöht sich der Freiheitsgrad bei der

Auslegung der Stellgrößenfolge enorm. Dadurch ist es unmöglich, alle Kombinationen

abzudecken. In diesem Abschnitt wurden beispielhaft zwei Stellgrößenfolgen betrachtet.

Dabei bietet Variante 1 den Vorteil, dass die Stromsteilheit beim ersten Stellgrößenwert

verringert werden kann. Und Variante 2 bietet den Vorteil, dass der Motor schneller

beschleunigt.

Größere Unterschiede zwischen den Simulationsergebnissen der beiden Varianten sind nicht

erkennbar.




Die dynamische Betrachtung des Regelkreis zeigt, wie gut die beiden Stromregler arbeiten.

Die Auswahl der Variante 2 zur Messreihe war aufgrund der Erkenntnisse willkürlich.

Gesamtfazit Hochschule Ulm



5 Gesamtfazit

Die Messreihen in Kapitel 4 haben gezeigt, dass eine Dead-Beat Regelung möglich ist. Bei der

Reglerdimensionierung sind jedoch Stellgrößenvorgaben zu berücksichtigen. Ab einer

Stellgrößenanzahl von sieben ist eine in der Praxis realisierbare Regelung möglich. Bei einer

Anzahl von sieben Stellgrößenvorgaben ist die Stellgrößenfolge fix gegeben. Wird die

Stellgrößenvorgabe auf acht erhöht, so eröffnen sich viele Freiheitsgrade bei der Auslegung

der Stellgrößen. Die Summe der Stellgrößen darf zu keinem Abtastschritt das Maximum

überschreiten.

Die Simulationsergebnisse der unterschiedlichen Stellgrößenfolgen bei acht Stellgrößen

ergaben keine großen Unterschiede. Die Variante 1 bietet den Vorteil, dass die

Stromsteilheit im ersten Abtastschritt verringert und somit ein Parameter aus dem

Datenblatt der Leistungselektronik berücksichtigt werden kann.

Die unterschiedlichen Dead-Beat Entwürfe sind nun am Motorenprüfstand zu bewerten.

Dabei müssen die Motorparameter des Synchronmotors, welcher am Prüfstand verwendet

wird in das Modell eingebunden werden. Die Zwischenkreisspannung ist ebenfalls

anzupassen.

Abbildungsverzeichnis Hochschule Ulm



IV. Abbildungsverzeichnis

Abbildung 3-1: Permanentmagnetiesierte Gleichstrommaschine ............................................ 6

Abbildung 3-2: Eine halbe Umdrehung einer Gleichstrommaschine......................................... 7

Abbildung 3-3: Drehmoment der Gleichstrommaschine mit einer Leiterschleife .................... 8

Abbildung 3-4: Drehmomentverlauf einer Gleichstrommaschine mit zwei Spulen .................. 9

Abbildung 3-5: Eine Leiterschleife im B-Feld ............................................................................. 9

Abbildung 3-6: Ersatzschaltbild der Gleichstrommaschine ..................................................... 11

Abbildung 3-7: Stationäres Ersatzschaltbild der Gleichstrommaschine .................................. 11

Abbildung 3-8: Vereinfachter Signalflussplan des Gleichstrommotors ................................... 12

Abbildung 3-9: Gleichstrom-Nebenschlussmotor .................................................................... 13

Abbildung 3-10: Drehzahl-Drehmomentkennlinie der Nebenschlussmaschine ...................... 14

Abbildung 3-11: Gleichstrom-Reihenschlussmotor ................................................................. 14

Abbildung 3-12: Drehzahl-Drehmomentkennlinie der Reihenschlussmaschine ..................... 15

Abbildung 3-13: Wirkungsplan der Clarke-Park Transformation ............................................. 16

Abbildung 3-14: Wirkungsplan der Inversen-Clarke-Park-Transformation ............................. 17

Abbildung 3-15: Clarke Transformation ................................................................................... 18

Abbildung 3-16: Die Park Transformation ................................................................................ 20

Abbildung 3-17: Das dreiphasige Drehstromnetz mit den Strömen i1, i2 und i3 .................... 23

Abbildung 3-18: Das Drehfeld einer Synchronmaschine ......................................................... 23

Abbildung 3-19: Belasteter Synchronmotor mir Drehwinkeldifferenz .................................... 24

Abbildung 3-20: Der Statorstrom im statorfesten- und rotorfesten Koordinatensystem ....... 25

Abbildung 3-21: Statorfluss im statorfesten- und im rotorfesten Koordinatensystem ........... 25

Abbildung 3-22: Ersatzschaltbild des Statorkreis in erster Näherung ..................................... 26

Abbildung 3-23: Erweitertes Ersatzschaltbild des Stators ....................................................... 26

Abbildung 3-24: Ersatzschaltbild der Synchronmaschine für ud .............................................. 27

Abbildung 3-25: Ersatzschaltbild der Synchronmaschine für uq .............................................. 27

Abbildung 3-26: Signalflussplan der Synchronmaschine aus Simulink .................................... 30

Abbildung 3-27: Abtastung und Abtasthalteglied .................................................................... 31

Abbildung 3-28: Das Halteglied ................................................................................................ 33




Abbildung 3-29: Blockschaltbild des PT1-Glieds ....................................................................... 33

Abbildung 3-30: Die Sprungfunktion links, die Einheitsfolge rechts ........................................ 36

Abbildung 3-31: Der Diracimpuls ............................................................................................. 37

Abbildung 3-32: Standardregelkreis der Regelungstechnik ..................................................... 38

Abbildung 3-33: Dead-Beat-Regelkreis .................................................................................... 39

Abbildung 3-34: Abtast- und Halteglied mit Strecke im Laplacebereich ................................. 39

Abbildung 3-35: Simulationsaufbau in Simulink ...................................................................... 45

Abbildung 3-36: Simulationsergebnisse des Dead-Beat-Entwurfs für die PT1-Strecke ........... 46

Abbildung 3-37: Simulationsergebnisse des Dead-Beat-Entwurfs für die I²-Strecke .............. 48

Abbildung 3-38: Sprungantworten der Regler. Links Reglerantwort für PT1-Strecke und

Rechts Reglerantwort für I²-Strecke......................................................................................... 49

Abbildung 3-39: Sprungantworten bei y0=0,5.......................................................................... 56

Abbildung 3-40: Sprungantworten bei y0=1 ............................................................................. 57

Abbildung 3-41: Sprungantworten bei y0=4 ............................................................................. 57

Abbildung 3-42: Leistungselektronik und Motor ..................................................................... 62

Abbildung 3-43: Leistungselektronik durch Schalter angenähert. Beispielhaft Standardvektor

u3 mit Spannungen ................................................................................................................... 63

Abbildung 3-44: Ersatzschalt des Drehfeldmotors in Sternschaltung. Beispielhaft für

Standardvektor u3 .................................................................................................................... 64

Abbildung 3-45: Die Raumzeiger in α/β-Koordinaten .............................................................. 66

Abbildung 3-46: Raumvektor in Sektor 1 ................................................................................. 67

Abbildung 4-1: Die Struktur der feldorientierten Regelung..................................................... 70

Abbildung 4-2: Das Simulationsmodell in Simulink.................................................................. 72

Abbildung 4-3: Das Simulationsmodell der Synchronmaschine .............................................. 73

Abbildung 4-4: Das mechanische Teilsystem des Motormodells ............................................ 73

Abbildung 4-5: Das innere des Subsystem „control and power electronic" ............................ 74

Abbildung 4-6: Das innere des Subsystem „Control+PWM" .................................................... 75

Abbildung 4-7: Das innere des Block „motor control" ............................................................. 76

Abbildung 4-8: Das innere des Subsystem „current control" .................................................. 77

Abbildung 4-9: Das innere des Subsystem „Dead Beat Control" ............................................. 78

Abbildung 4-10: Störgrößenaufschaltung als Blockschaltbild.................................................. 79

Abbildung 4-11: Möglichkeit zur Beseitigung des Regler Windup ........................................... 80




Abbildung 4-12: Polnullstellendiagramm der Streckenübertragungsfunktion ........................ 83

Abbildung 4-13: Polnullstellendiagramm des Dead Beat Reglers ohne Stellgrößenvorgabe .. 84

Abbildung 4-14: Simulationsergebnis des Dead Beat Reglers ohne Stellgrößenvorgabe für die

Spannung u[rst] ........................................................................................................................ 86

Abbildung 4-15: Simulationsergebnis des Dead Beat Reglers ohne Stellgrößenvorgabe für

i[dq] .......................................................................................................................................... 87

Abbildung 4-16: Simulationsergebnis des Dead Beat Reglers ohne Stellgrößenvorgabe für die

mechanische Leistung .............................................................................................................. 88


omega_mech ............................................................................................................................ 89


u_limited .................................................................................................................................. 90

Abbildung 4-19: Polnullstellendiagramm des Dead Beat Reglers mit einer Stellgrößenvorgabe

.................................................................................................................................................. 92

Abbildung 4-20: Simulationsergebnis des Dead Beat Regler mit einer Stellgrößenvorgabe für

u_limited .................................................................................................................................. 93

Abbildung 4-21: Simulationsergebnis von u_limited gezoomt ................................................ 94

Abbildung 4-22: Simulationsergebnis der Regeldifferenz für den q-Regler beim Dead Beat

Entwurf mit einer Stellgrößenvorgabe ..................................................................................... 95

Abbildung 4-23: Polnullstellendiagramm des Dead Beat Reglers mit zwei

Stellgrößenvorgaben ................................................................................................................ 97

Abbildung 4-24: Simulationsergebnis von u_limited für den Dead Beat Entwurf mit zwei


Abbildung 4-25: Simulationsergebnis von u_q für den Dead Beat Entwurf mit zwei


Abbildung 4-26: Polnullstellendiagramm für den Dead Beat Regler mit sieben

Stellgrößenvorgaben .............................................................................................................. 101

Abbildung 4-27: Simulationsergebnis von u_limited beim Dead Beat Entwurf mit sieben

Stellgrößenvorgaben. Dabei sprang der Sollstrom iq_w auf 19,09 A .................................... 102

Abbildung 4-28: Simulationsergebnis von u_limited beim Dead Beat Entwurf mit sieben

Stellgrößenvorgaben. Dabei sprang der Sollstrom iq_w auf 15 A ......................................... 103




Abbildung 4-29: Simulationsergebnisse für i[dq] bei sieben Stellgrößenvorgaben und PWM

aktiv ........................................................................................................................................ 104

Abbildung 4-30: Simulationsergebnisse für i[rst] bei sieben Stellgrößenvorgaben und PWM

aktiv ........................................................................................................................................ 105

Abbildung 4-31: Stellgrößenverlauf bei acht Stellgrößenvorgaben und Variante 1 .............. 107

Abbildung 4-32: Polnullstellendiagramm bei acht Stellgrößenvorgaben und Variante 1 ..... 108

Abbildung 4-33: Stellgrößenverlauf bei acht Stellgrößenvorgaben und Variante 2 .............. 109

Abbildung 4-34: Polnullstellendiagramm bei acht Stellgrößenvorgaben und Variante 2 ..... 110

Abbildung 4-35: u_q bei acht Stellgrößenvorgaben und Variante 1 ..................................... 111

Abbildung 4-36: u_q bei acht Stellgrößenvorgaben und Variante 2 ..................................... 111


................................................................................................................................................ 112


................................................................................................................................................ 113

Abbildung 4-39: Stromprofil für den Strom iq_w bei der dynamischen Betrachtung des

Regelkreis ............................................................................................................................... 114

Abbildung 4-40: Sollstrom i[dq]_w nach der Flussregelung bei dynamischer Betrachtung des

Regelkreis ............................................................................................................................... 115

Abbildung 4-41: Geregelter Iststrom i[dq]_x bei dynamischer Betrachtung des Regelkreis 115

Abbildung 4-42: Die Winkelgeschwindigkeit omega_m bei dynamischer Betrachtung ........ 116

Abbildung 4-43: Die mechanische Leistung P bei dynamischer Betrachtung ........................ 117

Tabellenverzeichnis Hochschule Ulm



V. Tabellenverzeichnis

Tabelle 3-1: Transformationspaare .......................................................................................... 37

Tabelle 3-2: Sprungantwort des Dead-Beat Reglers der I²-Strecke ......................................... 50

Tabelle 3-3: Stellgrößen und Ausgangsgrößen bei unterschiedlichem y0 ............................... 56

Tabelle 3-4: Die Standardvektoren, ihre logischen Zustände und Spannungen ...................... 64

Tabelle 4-1: Modelldaten des Simulationsmodells .................................................................. 69

Tabelle 4-2: Dead Beat Parameter ohne Stellgrößenvorgabe ................................................. 84

Tabelle 4-3: Dead Beat Parameter mit einer Stellgrößenvorgabe ........................................... 91

Tabelle 4-4: Dead Beat Parameter mit zwei Stellgrößenvorgaben .......................................... 96

Tabelle 4-5: Regelparameter für den Dead Beat Regler mit sieben Stellgrößenvorgaben ... 100

Tabelle 4-6: Dead Beat Parameter bei acht Stellgrößenvorgaben und Variante 1 ............... 106

Tabelle 4-7: Dead Beat Parameter für acht Stellgrößenvorgaben und Variante 2 ................ 108

Tabelle 4-8: Stromsteilheiten für Variante 1 und Variante 2 im Intervall von t=0,05s bis

t=0,0501s ................................................................................................................................ 113

Literaturverzeichnis Hochschule Ulm



VI. Literaturverzeichnis

[1] Porsche. (2011) Porsche. [Online]. http://www.porsche.com/germany/aboutporsche/porschehistory/milestones/

[2] Toyota. (2011) Toyota. [Online]. http://www.toyota.de/index.tmex

[3] Ottmar Beucher, MATLAB und Simulink. Karlsruhe: Pearson Studium, 2005.

[4] Ulrich Riefenstahl, Elektrische Antriebssysteme. Magdeburg: Vieweg+Teubner, 2010.

[5] Eckhard Spring, Elektrische Maschinen. Darmstadt: Springer, 2009.

[6] Rolf Fischer, Elektrische Maschinen. Esslingen: Hanser, 2009.

[7] Peter Bastian et al., Fachkunde Elektrotechnik. Leinfelden-Echterdingen: Verlag Europa-Lehrmittel, 2004.

[8] Gilbert Strang, Lineare Algebra. Cambridge: Springer, 2003.

[9] Dierk Schröder, Elektrische Antriebe - Grundlagen. München: Springer-Verlag, 2009.

[10] Thomas Frey and Martin Bossert, Signal- und Systemtheorie. Ulm: Vieweg+Teubner, 2008.

[11] Frank Dörrscheidt and Wolfgang Latzel, Grundlagen der Regelungstechnik. Stuttgart: Teubner, 1989.

[12] Holger Lutz and Wolfgang Wendt, Taschenbuch der Regelungstechnik. Esslingen: Harri Deutsch, 2007.

[13] Dierk Schröder, Elektrische Antriebe – Regelung von Antriebssystemen. München: Springer Verlag, 2008.

[14] Nguyen Phung Quang, Praxis der feldorientierten Drehstromantriebsregelungen. Dettingen: expert Verlag, 1993.

Documents

Bachelorarbeit Entwurf einer zeitdiskreten Stromregelung ... · PDF fileSimulink ist somit eine von vielen Matlab Toolboxen. Mit Simulink lässt sich der zeitliche Verlauf dynamischer