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! ! ! ! ! ! ! Bachelor!Thesis!!!Vor.!und!Zuname! ! geb.am!! ! in:! ! ! Matr..Nr.:!Marius!Schwarzmann! 12.03.1990! !! Memmingen! ! 20066776!
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Titel:!
„Mehrstufige!Lagerhaltungsmodelle!und!ihre!Anwendbarkeit!in!der!Praxis“!
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Abgabedatum:!28.07.2015!!
Betreuender!Professor:! Prof.!Dr.!Kontny!Zweitprüfer:! ! ! Prof.!Dr.!Bradtke! !!
!!Fakultät!Wirtschaft!und!Soziales!Department!Wirtschaft!!Studiengang:!!Logistik/Technische!Betriebswirtschaftslehre
! II!
Inhalt!
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Tabellenverzeichnis!............................................................................................................................!IV!
Abbildungsverzeichnis!.......................................................................................................................!V!
Abkürzungsverzeichnis!.....................................................................................................................!VI!
Symbolverzeichnis!.............................................................................................................................!VII!
1! Gegenstand!der!Arbeit!.................................................................................................................!1!
2! Grundlagen!des!Bestandsmanagements!...................................................................................!3!
2.1! Einführung!in!die!Lagerhaltung!.........................................................................................!3!
2.2! Grundbegriffe!des!Bestandsmanagements!.......................................................................!5!
2.2.1! Bestandsarten!.................................................................................................................!5!
2.2.2! Lagerkennzahlen!...........................................................................................................!6!
2.2.3! Servicegradorientierte!Kennzahlen!............................................................................!7!
2.2.4! Lager.!und!Logistikkosten!...........................................................................................!8!
2.2.5! Betrachtung!der!Zeitachse!...........................................................................................!9!
2.2.6! Risikozeitraum!und!Wiederbeschaffungszeit!.........................................................!10!
3! Einstufige!Lagerhaltungsmodelle!.............................................................................................!11!
3.1! Klassifizierung!von!einstufigen!Lagerhaltungsmodellen!.............................................!11!
3.1.1! Deterministische!Modelle!..........................................................................................!12!
3.1.1.1! Statische!Modelle!....................................................................................................!12!
3.1.1.2! Dynamische!Modelle!..............................................................................................!14!
3.1.2! Stochastische!Modelle!................................................................................................!15!
3.2! Analyse!einer!ausgewählten!s, q.!Lagerhaltungspolitik!................................................!17!
3.2.1! Problemstellung!und!Annahmen!.............................................................................!17!
3.2.2! Approximation!der!Lösung!.......................................................................................!18!
3.2.3! Exakte!Analyse!............................................................................................................!20!
4! Mehrstufige!Lagerhaltungsmodelle!.........................................................................................!24!
4.1! Klassifizierung!mehrstufiger!Lagerhaltungsmodelle!und!Stand!der!Forschung!......!24!
4.1.1! Klassifizierung!nach!Art!des!Dispositionsverfahrens!...........................................!25!
4.1.2! Unterscheidung!nach!der!Struktur!des!logistischen!Systems!..............................!26!
4.1.3! Kategoriale!Einteilung!nach!verwendetem!Analyseverfahren!............................!27!
4.2! Stand!der!Forschung!...........................................................................................................!28!
! III!
4.3! Vorstellung!ausgewählter!mehrstufiger!Modelle!..........................................................!30!
4.3.1! Vorstellung!des!One.Warehouse.N.Retailer.Problems!........................................!30!
4.3.1.1! Problemstellung!und!Modellformulierung!.........................................................!30!
4.3.1.2! Analytischer!Lösungsansatz!nach!Deuermeyer!und!Schwarz!.........................!32!
4.3.2! Das!Konzept!der!zentralisierten!Disposition!..........................................................!35!
5! Fallbeispiel!zur!Optimierung!einer!One.Warehouse.N.Retailer!Supply!Chain!...............!40!
5.1! Problemstellung!und!Annahmen!.....................................................................................!40!
5.2! Lösungsansatz!.....................................................................................................................!41!
5.3! Vorstellung!eines!MS!EXCEL.Tools!zur!Findung!der!optimalen!Lösung!..................!49!
6! Schlussbetrachtung!.....................................................................................................................!51!
Glossar!...................................................................................................................................................!X!
Literaturverzeichnis!.........................................................................................................................!XIV!
Eidesstattliche!Erklärung!...............................................................................................................!XVII!
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! IV!
Tabellenverzeichnis!
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Tabelle!1:!Konzept!der!zentralen!Disposition!.................................................................................!38!
Tabelle!2:!Wahrscheinlichkeitsverteilung!des!IN&in!Abhängigkeit!von!ID!.................................!44!
Tabelle!3:!Wahrscheinlichkeitsverteilung!des!Nettobestands!IN!.................................................!45!
Tabelle!4:!β.Servicegrad!in!Abhängigkeit!von!s_RL!.......................................................................!46!
Tabelle!5:&β.Servicegrad!in!Abhängigkeit!von!s_ZL!.......................................................................!47!
Tabelle!6:!Iteration!der!optimalen!Verteilung!des!Sicherheitsbestands!......................................!49!
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! V!
Abbildungsverzeichnis!
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Abbildung!1:!Lagervorgänge!in!einem!mehrstufigen!logistischen!System!!.................................!4!
Abbildung!2:!Einstufige!Lagerhaltungsmodelle!............................................................................!12!
Abbildung!3:!One.Warehouse.N.Retailer!Problem!.......................................................................!30!
Abbildung!4:!Konzept!des!systemweiten!Lagerbestands!.............................................................!36!
Abbildung!5:!Eingabefenster!des!MS!Excel.Tools!..........................................................................!50!
Abbildung!6:!Ergebnisfeld!des!MS!Excel.Tools!.............................................................................!50!
Abbildung!7:!Berechnung!von!β_RL!in!Abhängigkeit!von!s_RL!...................................................!50!
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! VI!
Abkürzungsverzeichnis!
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EDDL! ! Modell!der!deterministischen!dynamischen!Lagerhaltung!
FTL! ! Full!Truck!Loads!
RL! ! Regionallager!
SB! ! Sicherheitsbestand!
Sog.! ! Sogenannt(e)!
VDI! ! Verein!Deutscher!Ingenieure!
Vgl.! ! Vergleiche!
VMI! ! Vender.Managed.Inventory!
WBZ! ! Wiederbeschaffungszeit!
WIP! ! Work!in!Process!
ZL! ! Zentrallager!
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!VII!
Symbolverzeichnis!
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-! ! α.Servicegrad!
β& & β.Servicegrad&
89:! ! β.Servicegrad!im!Regionallager!
8;:! ! β.Servicegrad!im!Zentrallager!
8∗& ! Gewünschter!!8.Servicegrad!
c! ! Überwachungsintervall!
=> ! ! Fehlmengenkostensatz!pro!Mengeneinheit!
=?! ! Lagerhaltungskostensatz!pro!Mengeneinheit!
=@9:& ! Lagerhaltungskostensatz!des!Regionallagers!
=@;:& ! Lagerhaltungskostensatz!des!Zentrallagers!
A{C}& ! Erwartungswert!von!X!
F! ! Fehlmenge!
G& ! Aktueller!Wert!des!Nettobestands!
HIJ! ! Disponibler!Bestand!zum!Zeitpunkt!t!
HIJL ! ! Lokaler!disponibler!Lagerbestand!in!Knoten!j&zum!Zeitpunkt!t!
HIJ@! ! Systemweiter!disponibler!Lagerbestand!zum!Zeitpunkt!t!
HFNOP! ! Fehlbestand!am!Anfang!eines!Bestellzyklus!
HFQOR ! ! Fehlbestand!am!Ende!eines!Bestellzyklus!
HFJ! ! Fehlbestand!zum!Zeitpunkt!t!
HF;:! ! Fehlbestand!im!Zentrallager!
HSJ! ! Nettobestand!zum!Zeitpunkt!t!
HTJ! ! Bestellbestand!zum!Zeitpunkt!t!
HU9:V ! ! Physischer!Bestand!im!Regionallager!n!
HUJ! ! Physischer!Bestand!zum!Zeitpunkt!t!
HU;:! ! Physischer!Bestand!im!Zentrallager!
X& ! Aktueller!Wert!des!disponiblen!Lagerbestands!
YZ! ! Variablen!Beschaffungskosten!
[Z! ! Fixen!Bestellkosten!
\! ! Länge!der!Wiederbeschaffungszeit!
]9:^ & ! Bearbeitungs.!und!Transportzeit!im!Regionallagers!
!VIII!
U{C}& ! Wahrscheinlichkeit!des!Ereignisses!X!
q! ! Losgröße/Bestellmenge!
_`aJ! ! Optimale!Losgröße/Bestellmenge!
_J& ! Variable!Losgröße!in!Periode!t!
_9:& ! Bestellmenge!des!Regionallagers!
_;:& ! Bestellmenge!des!Zentrallagers!
bc! ! Risikozeitraum!
d! ! Bestellpunkt!
d`aJ& ! Optimaler!Bestellpunkt!
d9:& ! Bestellpunkt!im!Regionallager!
d;:& ! Bestellpunkt!im!Zentrallager!
e! ! Bestellniveau!
ef`aJ& ! Optimaler!Sicherheitsbestand!
e9:V& ! Bestellniveau!des!Regionallagers!n!
ef! ! Sicherheitsbestand!
g! ! Zeitpunkt/Bestellzyklus/Periode!
T& ! Zeitraum!
i;:& ! Wartezeit!im!Zentrallagers!
ifj9:& ! Wiederbeschaffungszeit!des!Regionallagers!
ifj;:& ! Wiederbeschaffungszeit!des!Zentrallagers!
C! ! Periodennachfragemenge!
C\& ! Nachfragemenge!in!der!Wiederbeschaffungszeitraum!ℓ!
CJ& ! Nachfragemenge!zum!Zeitpunkt!t/Periode!t!
k! ! k.Servicegrad!
lJ! ! Phys.!Lagerbestand!zu!Beginn!der!Periode!t!
m! ! Erwartungswert!der!Nachfrage!(Poisson.Verteilung)!
m9:V& ! Erwartungswert!der!Nachfrage!im!Regionallager!n!(Poisson.Verteilung)!
m;:& ! Erwartungswert!der!Nachfrage!im!Zentrallager!(Poisson.Verteilung)!
τ! ! Bestellzyklus!
n`aJ! ! Optimaler!Bestellzyklus!
o! ! Erwartungswert!
op& ! Erwartungswert!der!Nachfragemenge!(Normalverteilung)!
! IX!
o;& ! Erwartungswert!der!Nachfragemenge!in!der!WBZ!(Normalverteilung)!
o;:& ! Erwartungswert!der!Nachfrage!im!Zentrallager!(Normalverteilung)!
s! ! Standardabweichung!
s;:& ! Standardabweichung!der!Nachfragemenge!im!Zentrallager!
sp& ! Standardabweichung!der!Nachfragemenge!X!
s;& ! Standardabweichung!der!Nachfragemenge!in!der!WBZ!
tu v & ! Dichtefunktion!der!Standardnormalverteilung!
wu v & ! Verteilungsfunktion!der!Standardnormalverteilung!
wux v & ! First.order!loss!function!
wuy v & ! Second.order!loss!function!
zL& ! Knoten!stromabwärts!von&j!
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! 1!
1! Gegenstand!der!Arbeit!
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Die! Strukturveränderungen! in! Politik,! Gesellschaft! und! Wirtschaft! stellen! enorme!
Herausforderungen!an!das!gegenwärtige!Supply!Chain!Management.!Die!Globalisierung!hat!
nicht! nur! eine! Vernetzung! vieler! Bereiche! rund! um! den! Globus! bewirkt,! sie! hat! auch! zu!
einem! Logistikumfeld! mit! ganz! neuen! Dimensionen! geführt.! Neue! Absatzmärkte,!
Freihandelsabkommen! und! eine! größere! Lieferantenauswahl! haben! inzwischen! viele!
Unternehmen!dazu!bewegt,!ihre!wirtschaftlichen!Aktivitäten!und!damit!ihr!wirtschaftliches!
Einflussgebiet! auf! den! gesamten! Globus! auszuweiten.! Dies! hat! einerseits! zu! einem!
bedeutenden!Wirtschaftswachstum!der!einzelnen!Länder!geführt,!anderseits!einen!enormen!
Zuwachs!des!weltweiten!Warenflusses!ausgelöst.!Der!Liberalisierung!der!Märkte!geschuldet,!
ist! der! Konkurrenzdruck! auf! inländische! Unternehmen! durch! ausländische! Akteure!
drastisch!gestiegen.!Folglich!versuchten!in!der!Vergangenheit!viele!Unternehmen,!sich!durch!
eine!hohe!Produktvielfalt!und!eine!hohe!Produktdifferenzierung!von!der!Masse!abzuheben,!
was!zu!einem!drastischen!Anstieg!der!Lagerbestände!und!des!logistischen!Aufwands!führte.!
Das! traditionelle! Bild! der! Logistik! wird! diesem! allgegenwärtigen! Phänomen! nicht! mehr!
gerecht.! Supply!Chains!der!heutigen!Zeit!gehen!weit!über!klassische!Liefersysteme!hinaus!
und!sind!vor!allem!durch!Volatilität!und!Komplexität!des!Logistikumfelds!gekennzeichnet.!
Nicht! nur! deshalb! gewinnt! die! optimale! Gestaltung! von! Logistikknoten! (z.B.!Warenläger)!
immer!mehr!an!Bedeutung.!Hierbei!kommt!es!zu!einem!Zielkonflikt.!Einerseits!gilt!es!durch!
geringe! Lagerbestände! Kosten! einzusparen! und! damit! dem! enormen! Konkurrenzdruck!
gerecht! zu! werden,! andererseits! stellen! Lieferzeit! und! Lieferzuverlässigkeit! heutzutage!
wichtige! Kennzahlen! dar,! mit! dem! viele! Unternehmen! versuchen,! sich! von! anderen!
Marktteilnehmern! abzuheben.! In! der! Wissenschaft! beschäftigen! sich! sogenannte!
Lagerhaltungsmodelle! intensiv!mit! diesem!Zielkonflikt.! Die!meisten!Autoren! beschränken!
sich!hierbei!auf!einstufige!Lagerhaltungsmodelle,!d.h.!Modelle!die!sich!auf!die!Optimierung!
von!einem!alleinstehenden!Lager!beschränken.!Diese!Betrachtungsweise!ist!zwar!auf!Grund!
des!geringen!mathematischen!Aufwands!in!der!Praxis!von!hoher!Bedeutung,!jedoch!werden!
diese!Modelle!der!heutigen!komplexen!logistischen!Realität!oftmals!nicht!gerecht.!Dies!kann!
als! Grund! dafür! angeführt! werden,! warum! sich! einige,! wenn! auch! wenige! Autoren! mit!
sogenannten!mehrstufigen! Lagerhaltungsmodellen! beschäftigen.! Diese!Modelle! betrachten!
nicht! nur! ein! Lager! auf! einer! logistischen! Stufe,! sondern! versuchen! die! Lagerbestände!
! 2!
entlang! der! gesamten! logistischen! Wertschöpfungskette! in! die! Betrachtung!
miteinzubeziehen.! Beschäftigt!man! sich! näher!mit! diesem! Thema,! kommt!man! schnell! zu!
dem!Schluss,! dass! einige!Autoren! zwar!mehrstufige!Modelle! vorstellen,! jedoch!nur! selten,!
wenn!gar!nicht,!praxisrelevante!analytische!Lösungsansätze! liefern,!mit!denen!die!Modelle!
anzuwenden! sind.!Die! vorliegende!Arbeit! soll! diesem!Problem!gerecht!werden! und! einen!
Lösungsansatz!zu!dem!sogenannten!1.Warehouse.N.Retailer!Problem!vorstellen.! Im!ersten!
Teil!der!Arbeit!sollen!die!nötigen!Grundlagen!der!Lagerhaltungstheorie!vermittelt!werden,!
auf! denen! die! Modelle! beruhen.! Im! zweiten! Teil! werden! die! wichtigsten! einstufigen!
Lagerhaltungsmodelle!vorgestellt,!um!darauf!aufbauend!im!dritten!Teil!eine!Klassifizierung!
und! Vorstellung! der! wichtigsten! mehrstufigen! Lagerhaltungstheorien! vornehmen! zu!
können.!Im!abschließenden!Teil!der!Arbeit!wird!an!Hand!eines!selbst!erstellten!praktischen!
Beispiels!die!exakte!Analyse!eines!klassischen!mehrstufigen!Systems!vorgenommen,!um!am!
Ende!die!Praxisrelevanz!des!betrachteten!mehrstufigen!Modells!!prüfen!zu!können.!
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! 3!
2! Grundlagen!des!Bestandsmanagements!
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Im!Folgenden! sollen!die!nötigen!Grundlagen!geschaffen!werden,!um!sich!mit!dem!Thema!
der!Lagerhaltungsmodelle!näher!beschäftigen!zu!können.!Zunächst! findet!eine!Einführung!
in! die! Materie! der! Lagerhaltung! statt.! Darauf! aufbauend! werden! Grundbegriffe! und!
Lagerkennzahlen! vorgestellt,! die! benötigt! werden,! um! eine! quantitative! Beurteilung! von!
Lagerbeständen!vornehmen!zu!können.!
!
2.1! Einführung!in!die!Lagerhaltung!
!
Neben!der!Durchführung!des!klassischen!Transports!von!Gütern!zählt!die!Planung!und!die!
Steuerung! des! Materialflusses! in! einzelnen! Unternehmen,! und! darauf! aufbauend! in!
mehrstufigen!Wertschöpfungsketten!als!eine!der!wichtigsten!Aufgaben!der!Logistik.1!Sobald!
sich! die! zeitliche! oder! quantitative! Struktur! der! Input.! und! Output.Flüsse! von! Gütern!
unterscheidet!oder,!vereinfacht!ausgedrückt,!es!zu!Unterbrechungen!zwischen!den!einzelnen!
logistischen! Stufen! kommt,! werden! Lagerbestände! benötigt.! Die! Lagerhaltung! ermöglicht!
somit! eine! Zeitüberbrückung! zwischen! Materialzufluss! und! Materialabfluss.! Ein! Verzicht!
auf!Lagerhaltung!kann!nur!stattfinden,!wenn!Input.!und!Output.Flüsse!exakt!synchronisiert!
aufeinander! abgestimmt! werden.! Solche! sogenannten! Just.In.Time! Systeme! sind! in! der!
heutigen! Zeit! durchaus! üblich,! jedoch! muss! hierbei! beachtet! werden,! dass! auch! diese!
Systeme! mit! sogenannten! Pufferbeständen! indirekt! von! der! Lagerhaltung! betroffen! sind.2!
Abbildung!1!zeigt!ein!vereinfachtes!vierstufiges!logistisches!System!mit!neun!Lägern.!
!
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!1!Vgl.!Inderfurt,!1996,!S.2!2!Vgl.!Phohl,!1990,!S.98!
! 4!
!Abbildung!1:!Lagervorgänge!in!einem!mehrstufigen!logistischen!System3!
!
Die! einzelnen! Pfeilstriche! stellen! Transport.! oder! Fertigungsvorgänge! dar,! während! die!
Knoten!einzelne!Lagerstufen!repräsentieren.!Bei!den!Knoten!eins!bis!drei!könnte!es!sich!um!
Materialzugänge!des!Beschaffungsvorgangs!handeln,!während!die!darauffolgenden!Knoten!
Fertigungsstätten!beschreiben!könnten.!Die!fertig!produzierten!Produkte!würden!in!diesem!
Fall! gebündelt! in! einem! Zentrallager! (Knoten! sechs)! angeliefert! und! von! dort! aus! an!
verschiedene!Regionallager!(Knoten!sieben!acht!und!neun)!ausgeliefert.!
In! jedem! Knoten! fallen! mehr! oder! weniger! Lagerbestände! an.! Dieses! Phänomen! kann!
mehrere! Gründe! haben,! die! im! Folgenden! kurz! beleuchtet! werden.! Hauptmotiv! für! den!
Aufbau!von!Beständen! ist!die!Absorption!von!Unsicherheit.4!Einerseits!betrifft!dies!Risiken!
bezüglich! der! Nachfragemenge,! jedoch! spielen! auch! Unsicherheiten! bezüglich! der!
Wiederbeschaffungs.! und! Durchlaufzeiten! von! Gütern! hierbei! eine! besondere! Rolle.!
Unvermeidbare!Transportrisiken,!Prognosefehler!bezüglich!der!Nachfragemenge!etc.!führen!
dazu,! dass! sich! Unternehmen! gezwungen! sehen,! Bestände! aufzubauen.! 5 !Ein! weiteres!
wesentliches! Motiv! zur! Lagerung! von! Gütern! ist! die! Erzielung! von! Skaleneffekten.! Aus!
Kosten.!und!Umweltgründen!lohnt!sich!oftmals!die!Realisierung!optimaler!Transport.!und!
Produktionslosgrößen.!Auch! kann! die! Erreichung! von! sog.! „Full! Truck! Loads“! (FTL)! eine!
Rolle! spielen.6!Als! weiterer! Grund! für! Lagerhaltung! ist! die! Möglichkeit! zur! Glättung! der!
Auslastung! anzuführen.! Vorhersehbare! Ereignisse! wie! saisonale! Schwankungen! der!
Nachfrage! oder! die! Durchführung! bestimmter! Marketing.Aktionen! führen! zu! einer!
schwankenden! Auslastung! der! Produktion.! Durch! die!Möglichkeit,! zu! bestimmten! Zeiten!
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!3!In!Anlehnung!an!Inderfurt,!1996,!S.2!4!Vgl.!Tempelmeier,!2012,!S.5f.!5!ebenda!6!Vgl.!Bantel,!2014,!S.5!
1
2
4
3
6
8
7
9
5
! 5!
bestimmte!Güter!lagern!zu!können,!stellt!die!Lagerhaltung!hier!eine!einfache!und!effiziente!
Methode!dar,!um!eine!Glättung!der!Auslastung!zu!erreichen.!7!
!
2.2! Grundbegriffe!des!Bestandsmanagements!
!
Das! vorliegende! Kapitel! erläutert! wichtige! Begriffe! der! Bestands.! bzw.! Lagerhaltung.! Im!
darauffolgenden! Teil! werden! sowohl! Lager.! als! auch! serviceorientierte! Kennzahlen!
vorgestellt.! Die! Bezeichnungen! der! einzelnen! Messgrößen! orientieren! sich! an! dem!
Vorkommen!in!der!Literatur.!
!
2.2.1! Bestandsarten!
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Bestände!liegen!an!vielen!Stellen!im!Materialfluss!einer!Supply!Chain!vor,!insbesondere!im!
Lager.!Der!Verein!Deutscher!Ingenieure!(VDI)!beschreibt!Lagerung!als!das!„geplante!Liegen!
eines! Arbeitsgegenstandes! im! Materialfluss.“ 8 !Darüber! hinaus! können! einzelne!
Lagerbestände! nach! verschiedenen! Kriterien! klassifiziert! werden.! Auf! Grund! der!
Schwerpunktsetzung! der! vorliegenden! Arbeit! eignet! sich! eine! Klassifizierung! nach!
funktionalen!Kriterien!in!besonderem!Maße.!9!
1)! Losgrößenbestand! liegt! vor,! wenn! der! Materialzufluss! losweise! in! Bestell.! oder!
Produktionslosen!erfolgt,!um!den!Bedarf!für!einen!bestimmten!Zeitraum!im!Voraus!
zu!decken.!
2)! Sicherheitsbestand(SB)! dient! dem! Zweck! Unsicherheiten! im! Zu.! und! Abfluss! von!
Gütern! entgegenzuwirken.! Er! dient! beispielsweise! der! Lieferfähigkeit! bei!
Produktionsstörungen!oder!unbekanntem!sporadischem!Bedarf.!
3)! Saisonbestand! ist! notwendig,! wenn! die! Nachfrage! nach! einem! bestimmten! Gut!
zeitweise!höher!als!der!Materialzufluss!ist.!
4)! Work!in!Process!(WIP)!ist!der!Bestand!der!sich!gerade!in!Bearbeitung!befindet.!!
!
!
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!7!Vgl.!Bantel,!2014,!S.5!8!Stölzle!et!al.,!2004,!S.13!9!Vgl.!Fleischmann,!2002,!S.11!
! 6!
2.2.2! Lagerkennzahlen!
!
Lagersysteme! und! Bestandssituationen! können! u.a.! mit! den! folgenden! Kenngrößen! näher!
beschrieben!werden.!Viele!der!in!dieser!Arbeit!vorgestellten!Lagerhaltungsmodelle!beruhen!
auf!diesen!Begrifflichkeiten.!10!
!
•! Physischer! Bestand! HUJ :! Der! physische! Bestand! beschreibt! den! Bestand! einer!
bestimmten!Produktart!den!wir!physisch!am!Ende!einer!Periode!t& im& Lager& vorfinden.&
Er&bildet&die&Grundlage&für&die&Berechnung&der&Lagerkosten.!
!
•! Bestellbestand!HTJ:!Der!Bestellbestand!beschreibt!die!bestellte!Menge!einer!Produktart!
am!Ende!einer!Periode!t,!die!zwar!bestellt!worden!ist,!jedoch!noch!nicht!physisch!im!
Lager!eingetroffen!ist.!!
!
•! Fehlbestand! HFJ :! Der! Fehlbestand! am! Ende! einer! Periode! t& ist& die& kumulierte&
Auftragsmenge,& die& auf& Grund& von& fehlendem& Lagerbestand& nicht& an& den& Kunden&
ausgeliefert&werden&kann.!
!
•! Nettobestand!HSJ:! Der!Nettobestand! ist! gleich! dem! physischen! Bestand!HUJ!abzüglich!
des!Fehlbestands!HFJ!am!Ende!einer!Periode!t.!
! HSJ = HUJ − HFJ! [!1!]!
!
•! Disponibler! Bestand! HIJ :! Der! disponible! Bestand! ist! gleich! der! Summe! aus!
Nettobestand!HSJ!und!dem!Bestellbestand!HTJ.!
! HIJ = HSJ + HTJ! [!2!]!
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•! Sicherheitsbestand! ef :! Der! Sicherheitsbestand! dient! dem! Zweck! Unsicherheiten!
bezüglich!der!Nachfrage!auszugleichen!(vgl.!2.2.1).!
!
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!10!Vgl.!Tempelmeier,!2012,!S.10!
! 7!
•! Fehlmenge!F :! Die! Fehlmenge!F !in! einem! betrachteten! Zeitraum!c !beschreibt! die!
kumulierte!Nachfragemenge!einer!bestimmten!Produktart,!die!nicht!direkt,!sondern!
verspätet!an!den!Kunden!ausgeliefert!wird.!
!
2.2.3! Servicegradorientierte!Kennzahlen!
!
Servicegradorientierte! Kennzahlen! verfolgen! den! Zweck,! die! Lieferfähigkeit! eines!
Lagersystems! zu! beurteilen! und! zu! messen.!11!Die! Autoren! unterscheiden! vor! allem! drei!
verschiedene!Servicegrade,!um!den!Grad!der!Nachfrageerfüllung!eines!Lagers!quantifizieren!
zu!können:!
!
•! αMServicegrad:! Bei! dieser! Messgröße! handelt! es! sich! um! eine! ereignisorientierte!
Kennziffer.! Sie! gibt! die! Wahrscheinlichkeit! dafür! an,! dass! der! Lagerbestand! zu!
Beginn!einer!Periode!t& ausreicht,!um!die!gesamte!in!t!auftretende!Nachfragemenge!zu!
decken.12!
! - = U Só=ℎôöóõúùúûõú&Gû&g ≤ †ℎ°dGd=ℎúö&fúdgóû¢&l£&fúõGûû&v§û&g ! [!3!]!
!
•! βMServicegrad:! Bei! dieser! Messgröße! handelt! es! sich! um! eine! mengenorientierte!
Kennziffer.!Sie!beschreibt!die!Wahrscheinlichkeit!dafür,!dass!eine!bestimmte!Menge!
einer!Gesamtnachfragemenge!in!t!direkt!ausgeliefert!werden!kann.13!
!8 = 1 −
A Fúℎ•ùúûõú&Gû&gA ¶údóùgûó=ℎôöóõúùúûõú&Gû&g
! [!4!]!
!
•! kMServicegrad:!Bei!dieser!Größe!handelt! es! sich!um!eine! zeit.!und!mengenorientierte!
Kennziffer.! Sie! beschreibt! den! durchschnittlichen! Fehlbestand! einer! Periode! t! im!
Verhältnis!zur!durchschnittlichen!Periodennachfragemenge!in!t.!Sie!erfasst!nicht!nur!
die! Fehlmenge! in! t,! sondern! auch! die! als! Wartezeiten! vorgemerkten! Bedarfe! der!
Vorperioden.!Der!Wertebereich!ist!das!Intervall!von! −∞; 1 .14!
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!11!Vgl.!Bantel,!2014,!S.10!12!Vgl.!Tempelmeier,!2012,!S.19!13!Vgl.!a.a.O.,!2014,!S.11!14!Vgl.!a.a.O.,!2012,!S.21!
! 8!
!k = 1 −
A Fúℎ•©údgóû¢&Gû&gA ¶údóùgûó=ℎôöóõúùúûõú&Gû&g
! [!5!]!
!
2.2.4! Lager.!und!Logistikkosten!
!
Nach! Fratzl! sind! es! vor! allem! die! Lagerhaltungskosten,! die! Bestellkosten,! die!
Transportkosten! und! die! Fehlmengenkosten,! welche! die! Kostenstruktur! des! Lagerbetriebs!
beschreiben.15!Auf!die!Transportkosten!soll! im!Folgenden!nicht!näher!eingegangen!werden,!
da!sie!durch!Lagerhaltungsmodelle!nur!schwer!beeinflussbar!sind.16!
!
•! Der! Lagerhaltungskostensatz! pro! Mengeneinheit! =? !ergibt! sich! aus! der! Summe! aller!
Kosten,!die!durch!die!Lagerung!eines!Produkts!anfallen.!Sie!setzen!sich!aus!direkten!
Kosten!der!physischen!Lagerung!(Miete,!Personal!etc.)!und!den!indirekt!anfallenden!
Kosten!der!Lagerung!(Kapitalbindungskosten!etc.)!zusammen.17!
!
•! Der! Fehlmengenkostensatz! pro!Mengeneinheit!=> !beschreibt! alle! Kosten,! die! bei! einem!
Kundenauftrag! anfallen,!wenn!dieser! nicht! oder! nur! teilweise! erfüllt!werden! kann.!
Der! Kostensatz! setzt! sich! sowohl! durch! direkte! Kosten! wie! Vertragsstrafen,!
entgangene!Gewinne!etc.!als!auch!durch!indirekte!Kosten!wie!Verlust!des!Good.Will!
des!Kunden!zusammen.18!
!
•! Die!fixen!Bestellkosten
! 9!
2.2.5! Betrachtung!der!Zeitachse!
!
Lagerhaltungsmodelle! bedienen! sich! verschiedener! Annahmen! bezüglich! der! betrachteten!
Zeitachse! des! Lagerprozesses.! Einerseits! betrifft! dies! die! Bestimmung! des!
Überwachungsintervalls,! andererseits! die! Bestimmung! der! Art! und! Weise,! wie!
Kundenaufträge! im! Lager! eintreffen.! Das! Überwachungsintervall! c! beschreibt! „den!
zeitlichen! Abstand! zwischen! zwei! Bestandserfassungen.“ 21 !Man! unterscheidet! zwischen!
einer! periodischen! und! einer! kontinuierlichen! Lagerüberwachung.! Die! periodische!
Betrachtung!ist!so!zu!verstehen,!dass!der!Lagerbestand!in!regelmäßigen!Abständen!auf!seine!
Höhe!kontrolliert!wird!und! je!nach!Bedarf!eine!neue!Bestellung!ausgelöst!wird.!Das!Risiko!
das!mit!der!auftretenden!Nachfrage!während!des!Überwachungsintervalls!einhergeht,!kann!
nur!durch!eine!entsprechende!Erhöhung!des!Sicherheitsbestands!minimiert!werden.!Bei!der!
Annahme! einer! kontinuierlichen! Überwachung! wird! unterstellt,! dass! zu! jedem! Zeitpunkt!
ausführliche! Informationen! darüber! vorliegen,! welche! Art! und! welche! Menge! eines!
bestimmten! Produkts! im! Lager! vorliegen.! Viele! einstufige! und! mehrstufige!
Lagerhaltungsmodelle! beruhen! auf! dieser! Annahme.! Auf! Grund! der! heute! üblichen!
Verwendung! von! Informationstechnologie! ist! diese! Annahme! jedoch! durchaus! als!
praxisrelevant!einzustufen.22!Ein!weiterer!Punkt,!der!bei!der!Analyse!eines!Lagers!eine!Rolle!
spielt,! ist! die! zeitliche! Abfolge! der! im! Lager! eintreffenden! Kundenaufträge.! Oftmals!wird!!
eine! kontinuierliche! Zeitachse! der! eintreffenden! Aufträge! angenommen.! In! bestimmten!
Fällen!(z.B.!Ersatzteil.Logistik)!kann!man!davon!ausgehen,!dass!die!Abstände!zwischen!den!
aufeinanderfolgenden! Nachfrageeingängen! exponentialverteilt! sind,! d.h.! die!
Nachfragemengen! einer! Poisson.Verteilung! auf! kontinuierlicher! Zeitachse! folgen.23 !Viele!
Autoren! gehen! von! einer! sog.! „compound! demand“! aus.! Hierbei! handelt! es! sich! um! eine!
Nachfrage,! die! sich! „aus! zufällig,! mit! kontinuierlichen! Zwischenankunftszeiten! A!
eintreffenden!Aufträgen!und!jeweils!zufälliger,!von!der!Zwischenankunftszeit!unabhängiger!
Nachfragemenge! pro! Auftrag! bildet.“!24!Einerseits! kann! es! sich! um! eine! sog.! „Compound!
poisson!demand“.! einem! zusammengesetzten! Poisson.Prozess! handeln,! anderseits! um! einen!
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!21!Nach!Tempelmeier,!2012,!S.13!22!Vgl.!a.a.O.,!2012,!S.14!23!ebenda!24!Nach!Tempelmeier,!2012,!S.14!
! 10!
zusammengesetzten!Erneuerungsprozess!(Sog.!„Compound!renewal!demand“).25!Im!Gegensatz!
zu! der! Annahme! einer! kontinuierlichen! Zeitachse! geht! die! Betrachtung! einer! diskreten!
Zeitachse! davon! aus,! dass! sich! die! auftretenden! Nachfragemengen! auf! diskrete! Perioden!
(z.B.! Wochen)! ! beziehen! und! damit! ein! sogenannter! periodischer! Nachfrageprozess!
vorliegt.26!
!
2.2.6! Risikozeitraum!und!Wiederbeschaffungszeit!
!
Die!Wiederbeschaffungszeit!WBZ!beschreibt!jene!Zeit,!die!vom!Zeitpunkt!der!Bestellauslösung!
bis! zum! Zeitpunkt! der! Einlagerung! der! bestellten! Ware! vergeht.! Sie! ergibt! sich! aus! der!
Summation! der! Bestellbearbeitungszeit,! der! Lieferzeit! und! der! Einlagerungszeit. 27 !Der!
Risikozeitraum! RT! beschreibt! den! Zeitraum! bei! dem! auf! Grund! von! unvorhersehbarer!
Nachfrage!das!Risiko!von!Fehlmengen!auftritt.!Bei!kontinuierlicher!Lagerüberwachung!gilt:!
! bc = ifj! [!6!]!
Bei!periodischen!Lagerüberwachung!gilt:28!
! bc = ifj + =! [!7!]!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!25!Vgl.!Glossar!26!Vgl.!a.a.O.,!2012,!S.15!27!Vgl.!Fratzl,!1992,!S.31!28!Vgl.!Tempelmeier,!2012,!S.42!
! 11!
3! Einstufige!Lagerhaltungsmodelle!
!
Lagerhaltungsmodelle! verfolgen! das! Ziel,! logistische! Lagerprozesse! und! deren!
Umwelteinflüsse! so! abzubilden,! dass! eine! fundierte! und! exakte! Analyse! der! einzelnen!
Prozessschritte! stattfinden! kann.! Darauf! aufbauend! versuchen! diese! Modelle!
Lösungsvorschläge! abzuleiten,! wie! eine! optimale! Lagerung! insbesondere! im! Hinblick! auf!
ökonomische!Fragestellungen!aussehen!kann.!29!
In!der!Praxis!dienen!Lagerhaltungsmodelle!vor!allem!als!Entscheidungsunterstützung!in!der!
operativen! Steuerung! von! Güter.! und!Materialflüssen.!30!Die! Literatur! bietet! eine! Fülle! an!
verschiedenen! theoretischen!Modellen!zur!Analyse!und!Optimierung!von!Lagerbeständen.!
Das! vorliegende!Kapitel! soll! eine! strukturierte!Darstellung! der!wichtigsten!Grundmodelle!
einstufiger! Lagerhaltung! geben.! Im! Anschluss! folgt! eine! ausführliche! Analyse! einer!
ausgewählten! Lagerhaltungspolitik.! Die! Auswahl! beruht! auf! der! Schwerpunktsetzung!
dieser!Arbeit!und!untersucht! einen!Fall,!der!oftmals! auch!bei!mehrstufigen!Modellen!zum!
Tragen!kommt.!
!
3.1! Klassifizierung!von!einstufigen!Lagerhaltungsmodellen!
!
Einstufige! Lagerhaltungsmodelle! gehen! von! dem! Fall! aus,! dass! ein! spezifisches! Produkt!
lokal!und!unabhängig!von!anderen!Knotenpunkten! in!der!Supply!Chain!disponiert!wird.31!
Es! liegt!ein!bestimmter!Bestand!des!Produkts!auf!Lager,!mit!dem!eine!nicht!beeinflussbare!
Nachfragemenge! eines! anderen! Knoten! in! der! Supply! Chain! zu! bedienen! ist.! Bei! diesem!
Knoten!kann!es!sich!um!einen!!stromabwärts!gelegenen!Knoten!eines!Produktionsnetzwerks!
handeln,!aber!auch!um!einen!stromaufwärts!gelegenen!Lagerknoten!oder!externen!Kunden.!
Seinen!Nachschub!erhält!das!Lager!von!einem!anderen!Knoten!in!der!Supply!Chain!(Quelle),!
der! in! einer! bestimmten!Wiederbeschaffungszeit! (Bearbeitungs.! und!Transportzeit)! für!die!
Auffüllung! des! Lagers! sorgt.! 32 !Die! Länge! der! Wiederbeschaffungszeit! hängt! von! der!
Entfernung!der!Knotenpunkte!und!von!der!Bearbeitungs.!bzw.!Durchlaufzeit!der!einzelnen!
Produkte! ab,! wobei! in! den! meisten! Fällen! davon! ausgegangen! werden! muss,! dass! die!
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!29!Vgl.!Inderfurt,!1996,!S.2!30!Vgl.!Alicke,!2005,!S.74!31!Vgl.!Kapitel!2.1!32!Vgl.!Tempelmeier,!2012,!S.133ff.!
! 12!
Wiederbeschaffungszeit! zufälligen! Schwankungen! unterworfen! ist. 33 !Einstufige!
Lagerhaltungsmodelle!lassen!sich!wie!folgt!klassifizieren!(vgl.!Abbildung!2):!
!
!Abbildung!2:!Einstufige!Lagerhaltungsmodelle!(Eigene!Darstellung)!
!
3.1.1! Deterministische!Modelle!
!
Deterministische!Modelle! nehmen!den!Fall! an,! dass! alle! betrachteten!Einflussgrößen! exakt!
determinier.!bzw.!vorhersehbar!sind.!Beispielsweise!geht!diese!Art!von!Modellen!davon!aus,!
dass! die! Nachfrage! nach! einem! bestimmten! Produkt! über! eine! bestimmte! Periode! exakt!
bestimmbar!ist.34!
!
3.1.1.1! Statische!Modelle!
!
Sind! die! Einflussgrößen! über! den! kompletten! betrachteten! Zeitraum! konstant! und! ist! der!
Planungshorizont! unbeschränkt,! kommen! sogenannte! deterministische! statische! Modelle!
zum! Einsatz.! Hierunter! fällt! das! Modell! der! klassischen! Losgrößenplanung.! Dieser! Art! von!
Modellen!liegen!die!folgenden!Annahmen!zugrunde:!35!
•! Es!wird!eine!Produktart!disponiert.!
•! Die!Nachfrage!C!ist!zeitunabhängig!(im!betrachteten!Zeitraum!konstant).!
•! Lieferzeit!bzw.!Wiederbeschaffungszeit!ist!vernachlässigbar.!
•! Zeitkontinuierliche!Betrachtungsweise.!
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!33!Vgl.!Tempelmeier,!2012,!S.134!34!Vgl.!Alicke,!2005,!S.50!35!Vgl.!Inderfurt,!1996,!S.352f.!
Einstufige&Lagerhaltungsmodelle
Deterministisch Stochastisch
Statisch Dynamisch
! 13!
•! Es!kann!zu!jedem!beliebigen!Zeitpunkt!ohne!Beschränkungen!beschafft!und!gelagert!
werden.!
•! Alle! bestandsabhängigen! Lagerkosten! sind! mengenproportional,! zeitproportional!
und!zeitinvariant.!
•! Mit!jedem!Bestellvorgang!sind!fixe!Kosten!verbunden.!
•! Auftretender!Bedarf!muss!befriedigt!werden,!Fehlmengen!sind!unzulässig.!
!
Unter! diesen! Prämissen! wird! schnell! ersichtlich,! dass! es! optimal! ist,! immer! gleich! große!
Bestellmengen! q! zu! einem! Beschaffungslos! zusammenzufassen! und! immer! dann! zu!
bestellen,!sobald!der!Lagerbestand!auf!null!gesunken!ist!(HUJ = 0).!Auf!Grund!der!konstanten!
Nachfrage! kann! man! dadurch! von! identischen! Bestellzyklen! τ& ausgehen.! Das! statische!
Losgrößenmodell!beschränkt!sich!daher!auf!die!Bestimmung!einer!optimalen!Losgröße!_`aJ,!
die!für!einen!Zyklus!τ& die!Bestell.!und!Lagerkosten!pro!Zeiteinheit!minimiert.36!Das!Modell!
beschreibt!die!Minimierung!der! folgenden!Kostenfunktion!mit!q!als!variable!Losgröße!und!
YZ!als!variable!Beschaffungskosten!pro!Mengeneinheit![ME]!:!
! ´Gû&¨(_) = [Z ∙C_+ YZ ∙ C + =@ ∙ YZ ∙
_2! [!8!]!
mit!der!Nebenbedingung:!
! _ ≥ 0! [!9!]!
Mit! Hilfe! der! Differentialrechnung! lässt! sich! hieraus! die! optimale! Losgröße!_`aJ ,! auch!
Economic! Order! Quantity! (EOQ)! genannt,! ableiten,! die! sowohl! die! Bestell.! als! auch! die!
Lagerkosten!im!betrachteten!Zeitraum!minimiert:!
!_`aJ =
2 ∙ [Z ∙ C=@ ∙ YZ
! [10]!
Die! optimale! Länge! des! konstanten! Beschaffungszyklus!n`aJ,! auch! Economic!Order! Interval!
(EOI)!genannt,!lautet:!37!
!n`aJ =
2 ∙ [Z=@ ∙ YZ ∙ C
! !![11]!
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!36!Vgl.!Inderfurt,!1996,!S.353!37!ebenda!
! 14!
Basierend! auf! diesem! Grundmodell! gibt! es! zahlreiche! Erweiterungen,! die! einerseits! die!
Lieferzeit,!etwaige!Fehlmengen!und!eine!endliche!Produktionsrate,!als!auch!Mengenrabatte!
und! andere!Bestellmengenrestriktionen!mitberücksichtigen.38!Trotz!der! oben!beschriebenen!
Einschränkungen! (vgl.! Seite! 10)! gibt! das! Modell! doch! einen! guten! Einblick! in! die!
grundsätzlichen! Effekte! von! Kostenstrukturen! auf! die! Lagerpolitik.! Auf! Grund! seiner!
Einfachheit! und! der! guten!Möglichkeit! zu! Erweiterungen! bildet! das!Modell! zur! klassischen!
Losgrößenplanung!oftmals!die!Grundlage!für!weitere!Lagerhaltungspolitiken!und!wird!in!der!
Praxis!durchaus!angewandt.39!
!
3.1.1.2! Dynamische!Modelle!
!
Wenn! die! Nachfrage!C !zeitabhängig! ist,! d.h.! im! betrachteten! Zeitraum! variiert,! können!
statische! Modelle! nur! noch! bedingt! (z.B.! durch! Approximation)! zur! Lösung! der!
Problemstellung!beitragen.!
Möchte!man!eine! exakte!Bestimmung!der!optimalen!Losgröße!vornehmen,!muss!man! sich!
einem! sogenannten! dynamischen! Modell! bedienen. 40 !Die! Literatur! liefert! unzählige!
Vorschläge! für! solche! Modelle,! wobei! das! Modell! der! deterministischen! dynamischen!
Lagerhaltung!(Modell!EDDL)!als!eines!der!Grundmodelle!anzusehen!ist.!Das!Modell!geht!von!
einer! Zeitabhängigkeit! der! Nachfrage! aus,! unterliegt! jedoch! ansonsten! den! gleichen!
Restriktionen! wie! dem! Modell! zur! klassischen! Losgrößenplanung! (vgl.! Seite! 11).! Das!
Grundmodell!ist!wie!folgt!zu!formulieren:41!
!´Gû&¨(_J) = [Z ∙ ± _J + YZ ∙ _J + =? ∙ YZ ∙ lJ≤x
^
J≥x
! [12]!
mit!
! ± _J =1 ôüö _J > 00 ôüö _J = 0! [13]!
Und!den!Nebenbedingungen:!
! lJ≤x = lJ + _J − CJ&&&&&&&&&&ôüö&g = 1, … , c! [14]!
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!38!ebenda!39!Vgl.!Schneeweiß,!1992,!S.232!40!Vgl.!Inderfurt,!1996,!S.354!41!Vgl.!a.a.O.,!1996,!S.355!
! 15!
lx = l^≤x = 0&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&!!!!!!!!!!!!!!!!!!
_J, lJ ≥ 0&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&ôüö&g = 1, … , c!
[15]!
[16]!
Hierbei!beschreibt!lJ!den!Lagerbestand!zu!Beginn!von!Periode!t& ,&CJ&die!Nachfrage!in!Periode&
t& und&_J&die!variable!Losgröße!in!Periode!t.&Die!Zielfunktion![12]!gibt!die!fixen!und!variablen!
Beschaffungskosten! sowie! die! Lagerkosten! über! alle! Perioden! c !wieder.! Die!
Nebenbedingung! [14]! beschreibt! die! Beziehung! zwischen! den! Beständen! der! einzelnen!
Perioden! g .! [15]! und! [16]! geben! die! Randbedingung! bezüglich! des! anfänglichen!
Lagerbestands!und!die!Nichtnegativitätsbedingung!der!Einflussgrößen!wieder.!Das!Modell!
ist!auf!verschiedene!Weisen!zu! lösen.!Einen!einfachen!und!effizienten!Lösungsalgorithmus!
für! das! Problem! liefern! Wagner! und! Within! (1958)! auf! Basis! der! dynamischen!
Programmierung.42!
!
3.1.2! Stochastische!Modelle!
!
In! der! Regel! ist! die! Nachfrage! C !in! einem! Planungszeitraum! nicht! (deterministisch)!
bekannt. 43 !Es! muss! daher! eine! Prognose! der! Nachfrage! für! einen! bestimmten!
Planungszeitraum! stattfinden.! Im!Gegensatz! zu! den! deterministischen!Modellen!muss! auf!
Grund! der! Unsicherheiten! der! Prognoseverfahren! mit! der! Notwendigkeit! von!
Sicherheitsbeständen! gerechnet! werden.! Stochastische! Lagerhaltungsmodelle! werden!
diesem! Problem! der! Unsicherheit! gerecht.! Mit! Hilfe! der! Wahrscheinlichkeitsverteilung!
werden! bestimmte! Lagerszenarien! modelliert! und! darauf! aufbauend! die! kosteneffiziente!
Steuerung! von! Beständen! ermöglicht.! Einerseits! gilt! es! die! Kosten! der! Lagerhaltung! so!
gering!wie!möglich! zu!halten,! andererseits!den!Serviceanforderungen! (z.B.!Lieferfähigkeit)!
des!Kunden!gerecht!zu!werden.!44!Im!ersten!Schritt,!der!Modellbildung,!werden!bestimmte!
Szenarien! entwickelt,! wie! der! Lagerzugang! erfolgen! könnte.! Mit! sogenannten!
Lagerhaltungspolitiken! wird! bestimmt,! wann! und! wie! viel! bestellt! wird.! Die! klassischen!
(stochastischen)! Lagerhaltungspolitiken! sind! dementsprechend! mit! zwei! Dispositions.
parametern! charakterisiert! ó; © .! In! der! Regel! bestimmt! der! erste! Parameter! ó !die!
Bestellauslösung!und!der!zweite!©!die!Höhe!der!Bestellmenge.!Die!Auslösung!der!Bestellung!
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!42!Vgl.!Schneeweiß,!1992,!S.233!43!Vgl.!a.a.O.,!1992,!S.242!44!Vgl.!Fratzl,!1992,!S.54f.!
! 16!
kann! über! einen! sogenannten! Bestellpunkt!d!bestandsabhängig! erfolgen! oder! zeitabhängig!
über! die! Vorgabe! eines! Bestellzyklus!g .! Die! Bestellmenge! kann! entweder! fix! über! eine!
bestimmte! optimale! Losgröße!_`aJoder! variable! über! die! Einführung! eines! sogenannten!
Bestellniveaus!e!stattfinden.!Im!zweiten!Schritt!gilt!es!die!gewählte!Lagerhaltungspolitik!zu!
analysieren! und! die! optimale! Größe! der! Parameter &ó !und!© !zu! bestimmen.! Findet! keine!
kontinuierliche! Bestandsüberwachung! statt,! sondern! wird! der! Überwachung! des!
Lagerbestands! eine! diskrete! Zeitachse! unterstellt! (d.h.! Überwachung! erfolgt! nur! in! einem!
bestimmten! Zyklus!= ),! muss! das! betrachtete! Modell! um! eine! dritte! Dispositionsgröße!=!
erweitert! werden! ó; ©; = . 45 !Die! Bestimmung! der! Parameter! erfolgt! abhängig! von! der!
Wahrscheinlichkeitsverteilung! der! Nachfrage! im! betrachteten! Zeitraum!
(Wiederbeschaffungszeit).! Viele! Autoren! gehen! davon! aus,! dass! die! Nachfrage! in! der!
Wiederbeschaffungszeit! einer! Normalverteilung46!unterliegt.! Sie! begründen! dies! mit! dem!
zentralen! Grenzwertsatz47!,! der! besagt,! dass! die! Summe! einer! ausreichend! großen! Anzahl!
von!unabhängigen!Zufallsvariablen!normalverteilt!ist.48!Die!Modelle!sind!jedoch!genauso!auf!
andere! Wahrscheinlichkeitsverteilungen! wie! die! Gamma! .! und! Poisson 49 .! Verteilung!
anzuwenden.! Auch! eine! diskrete! Verteilung! der! Nachfragemenge! ist! denkbar. 50 !Welche!
Politik! im! Einzelnen! zu!wählen! ist,! hängt! von! vielen! Faktoren! ab! und!muss! im! Einzelfall!
genauer!geprüft!werden.!Ein!ausschlaggebender!Faktor,!welche!Politik!zu!wählen! ist,!stellt!
die!Verteilung!der!Nachfragemengen!im!betrachteten!Zeitraum!dar.51!Im!Folgenden!werden!
die!wichtigsten!grundlegenden!Modelle!kurz!vorgestellt:52!
•! (d, _)MPolitik:!Bei!der!(d, _).Politik!erfolgt!die!Bestellauslösung!durch!den!Bestellpunkt!
d.!Sobald!der!disponible!Lagerbestand!HIJ!eine!bestimmte!Höhe!d!erreicht,!wird!eine!
neue!Bestellung!_!veranlasst.!Die!Bestellmenge!ist!über!den!Zeitablauf!konstant!und!
wird!durch!die!deterministische!Bestimmung!einer!optimalen!Losgröße!beeinflusst.!
Im!Normalfall!erfolgt!eine!kontinuierliche!Lagerbestandsüberwachung.!!
•! (g, _) MPolitik:! Bei! dieser! Politik! erfolgt! die! Bestellung! zeitabhängig! von! dem!
Bestellzyklus&g.! Sobald!das!Ende! eines!Zyklus! erreicht! ist,!wird! eine!Bestellung!der!
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!45!Vgl.!Tempelmeier,!2012,!S.147f.!46!Vgl.!Glossar![1]!47!Vgl.!Glossar![4]!48!Vgl.!Auer!et!al.,!2015,!S.285f.!49!Vgl.!Glossar![2]!50!Vgl.!Tempelmeier,!2012,!S.135!51!Vgl.!Alicke,!2005,!S.59f.!52!Vgl.!Fratzl,!1992,!S.55;!Tempelmeier,!2012,!S.134;!Alicke,!2005,!S.59!
! 17!
Höhe!_ !getätigt.! Die! optimale! Losgröße!_`aJ !kann! ebenso! wie! bei! der! vorherigen!
Politik!deterministisch!errechnet!werden.!
•! (g, e) MPolitik:! Die! Bestellung! erfolgt! zeitabhängig! von! g !und! zu! einer! variablen!
Bestellmenge! (e − HIJ) .! Sobald! das! Ende! eines! Zyklus! erreicht! ist,! wird! eine!
Bestellung!getätigt,!die!gerade!so!hoch!ist,!dass!das!Bestellniveau!e!erreicht!ist.!
•! &(d, e)MPolitik:!Hier! erfolgt! die! Bestellauslösung! durch! den! Bestellpunkt!d !und! die!
Bestellmenge!(e − d) .! Sobald! der! Bestellpunkt!d !erreicht! ist,! wird! eine! Bestellung!
getätigt,!die!gerade!so!hoch!ist,!dass!das!Bestellniveau!e!erreicht!ist.!
•! (=, d, _)MPolitik:! Diese! Politik! entspricht! im! Grunde! nach! einer!(d, _)MPolitik!mit! dem!
Unterschied,! dass! statt! einer! kontinuierlichen! Lagerüberwachung! ein! diskreter!
Überwachungsintervall!=!gegeben!ist.!
!
3.2! Analyse!einer!ausgewählten! s, q .!Lagerhaltungspolitik!
!
Gemäß! der! Schwerpunktsetzung! der! vorliegenden! Arbeit! auf! mehrstufige! Logistikketten,!
beschränkt!sich!die!vorliegende!Analyse!auf!eine!ausgewählte!(d, _).!Politik.!Im!Hinblick!auf!
mehrstufige!Lagerhaltungsmodelle!kann!festgestellt!werden,!dass!es!vor!allem!diese!Art!von!
Politik! ist,! die! oftmals! als! Grundbaustein! in! komplexeren,! mehrstufigen! Systemen! zum!
Tragen!kommt.53!
!
3.2.1! Problemstellung!und!Annahmen!
!
Es! gilt! ein! vorliegendes! Lager! zu! analysieren! und! darauf! aufbauend! die! optimalen!
Parameter!(d, _)!zu!bestimmen.!Dem!Problem!liegen!die!folgenden!Annahmen!zugrunde:54!
•! Die!Auslösung!einer!Bestellung!erfolgt,!sobald!HIJ = d.!
•! Der!zu!Beginn!der!Wiederbeschaffungszeit!(WBZ)!vorhandene!disponible!Lagerbestand!
HIJ!muss!ausreichen,!um!die!gesamte!Nachfrage!der!WBZ!zu!befriedigen.!
•! Die! optimale! Bestellmenge!_`aJ !ist! mit! Hilfe! eines! deterministischen! Modells! (vgl.!
Seite!10f.)!bestimmt!worden!und!kann!als!gegeben!angenommen!werden.!
•! Die!Beurteilung!des!Kundenservicegrades!erfolgt!über!den!βMServicegrad.!
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!53!Vgl.!Bantel,!2014,!S.15!54!Vgl.!Tempelmeier,!2012,!S.136f.!
! 18!
•! Die! Periodennachfrage! C !ist! normalverteilt! mit! dem! Mittelwert! op und! der!
Standardabweichung!sp!(Fall! 1)! bzw.! Poisson.! verteilt!mit! dem!Mittelwert!A C = m!
(Fall!2).!Die!Aufträge!der!Größe!1!treffen!damit!exponentialverteilt!im!Lager!ein.!!
•! Die!Lagerbestandsüberwachung!erfolgt!kontinuierlich.!
•! Die!Wiederbeschaffungszeit!ist!als!deterministisch!anzusehen! ifj = \ .!
•! Kundenaufträge,! die! aus! Bestandsgründen! nicht! direkt! bedient! werden! können,!
werden!als!Rückstandsaufträge!vorgemerkt.!
!
3.2.2! Approximation!der!Lösung!
!
In! der! Praxis! findet! oftmals! eine! Analyse! statt,! die! auf! der! Approximation! der!
durchschnittlichen!Bestandsentwicklung!beruht.!Die! erzielten!Ergebnisse!differieren!nur! in!
geringem! Maße! von! den! exakten! Ergebnissen! und! sind! daher! oftmals! als! gleichwertig!
anzusehen.! 55 !Die! meisten! Autoren! beschränken! sich! bei! der! Approximation! auf! die!
Annahme!einer!Normalverteilung!der!Nachfrage!in!der!Wiederbeschaffungszeit!(Fall!1).!Als!
Gründe! wird! unter! anderem! angeführt,! dass! dies! oftmals! den! Regelfall! in! der! Praxis!
darstellt. 56 !Im! ersten! Schritt! muss! die! Berechnung! des! Erwartungswertes! und! der!
Standardabweichung! der! Nachfrage! in! der! Wiederbeschaffungszeit! erfolgen.! Der!
Erwartungswert! o; !und! die! Standardabweichung! s; !der! Nachfrage! Z! in! der!
Wiederbeschaffungszeit!\!wird!wie!folgt!berechnet:57!
! o; = op ∙ \! [17]!
und!
! s; = sp ∙ \! [18]!
Wird! der! Lieferservicegrad! mit! Hilfe! des! βMServicegrad! beschrieben,! gilt! weiterhin! die!
Annahme,!dass!die!in!einem!Bestellzyklus!auftretende!Fehlmenge!den!Anteil!(1 − 8)!an!der!
Gesamtnachfrage!nicht!übersteigen!darf.!!Die!zu!erwartende!Fehlmenge!kann!demnach!wie!
folgt!beschrieben!werden:!
! A F = (1 − 8) ∙ _`aJ! [19]!
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!55!Vgl.!Tempelmeier,!2012,!S.135!56!Vgl.!a.a.O.,!2012,!S.139!57!Vgl.!a.a.O.,2012,!S.43!
! 19!
Weiter!gilt!der!Zusammenhang,!dass!der!Erwartungswert!der!Fehlmenge!A F !die!Differenz!
zwischen!dem!Fehlbestand!am!Ende!des!Bestellzyklus!und!dem!Fehlbestand!am!Anfang!des!
Beschaffungszyklus!darstellt.!Somit!ergibt!sich:!
! (1 − 8) ∙ _`aJ = A HFQOR − A HFNOP ! [20]!
Tempelmeier! benutzt! diese! Gesetzmäßigkeit! als! Grundstein! dafür,! um! mit! Hilfe! einer!
Approximation!durch!eine!Normalverteilung!folgenden!Zusammenhang!herzuleiten.!Dabei!
ist!die!Nachfragemenge!in!der!ifj!mit!dem!Mittelwert!o;!und!der!Standardabweichung!s;!
normalverteilt:!58!
! 1 − 8 ∙ _`aJ ≥ s; ∙ wux d − o;
s;− s; ∙ wu
x d − o; + _s;
! [21]!
In! der! Literatur! bezeichnet! wux v !die! „FirstMorder! loss! function“! und! stellt! den!
standardisierten! Erwartungswert! der! Fehlmenge! dar.! Genauer! gesagt! beschreibt! sie! „den!
Betrag,! um! den! die! Nachfragemenge! X! in! der! Wiederbeschaffungszeit! einen! Bestand!v!
übersteigt.“!59!60!!
Es!gilt:!
!ϕ∑x v = x − v ∙ φ∑ x ∙ dx =
∫
ª
φ∑ v − v ∙ ϕ∑º v ! [22]!
wobei!
!wuº v = tu Ω ∙ ¢Ω =
∫
æ
1 − wu v ! [23]!
mit! der! Verteilungsfunktion! wu v !und! der! Dichtefunktion! tu v !der!
Standardnormalverteilung.!
Auf!Grund!der! Tatsache,! dass! die! erwartende! Fehlmenge! (vgl.! rechte! Seite! der!Gleichung!
[21])! eine! fallende! Funktion! von!d !ist,! kann! man! nun! den! kleinstmöglichen! Wert! von!d!
ausfindig!machen,!der!die!Gleichung![21]!gerade!noch!erfüllt.!Tempelmeier!nimmt!nun!an,!
dass! bei! normalverteilter! Nachfrage! und! hohem! Servicegrad! der! zweite! Termin! auf! der!
rechten!Seite!von![21]!gleich!null!ist.!61!!
!
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!58!Vgl.!Tempelmeier,!2012,!S.43!59!Vgl.!a.a.O.,!2012,!S.338!60!Vgl.!Glossar![1]!61!Vgl.!Tempelmeier,!2012,!S.338!
! 20!
Damit!gilt:!!
! 1 − 8 ∙ _`aJ ≥ s; ∙ wux d − o;
s;! [24]!
Nun!setzt!man:!
! v? =d − o;s;
! [25]!
Und!erhält!
! 1 − 8 ∙ _`aJs;
≥ wux v? ! [26]!
Nun! gilt! es! den! Wert!v? !zu! bestimmen,! der! die! Gleichung! [26]! gerade! noch! erfüllt.! Wir!
bezeichnen!den!Wert!mit!v`aJ.!Hier!kann!auf!eine!Approximation!der!Inversen!der!Funktion!
wux v? !zurückgegriffen!werden.62!!
Für!den!gesuchten!optimalen!Wert!des!Bestellpunkts!d!bei!vorgegebenen!βMServicegrad!erhält!
man!damit:!
! d`aJ = o; + v`aJ ∙ s;! [27]!
Für!den!optimalen!Sicherheitsbestand!erhält!man:!
! ef`aJ = v`aJ ∙ s;! [28]!
!
3.2.3! Exakte!Analyse!
!
Betrachten!wir!den!gegebenen!Fall,!dass!die!Nachfrage!in!der!WBZ!Poisson!verteilt!ist!(Fall!
2).! Die!Wiederbeschaffungszeit! ist! mit!ifj = \!gegeben.! Die! vorliegende! Analyse! beruht!
auf!der!exakten!Bestimmung!des!disponiblen!Lagerbestands!HIJ.!Dieser! setzt! sich!aus!dem!
Nettobestand!HSJ!und!dem!Bestellbestand!HTJ!zusammen.!63!Für!g ≥ 0!gilt:!
! HIJ = HSJ + HTJ! [29]!
Annahmegemäß! muss! der! disponible! Lagerbestand! zu! einem! Zeitpunkt!g !zwischen!d + 1!!!
und!d + _!liegen:!
! HIJ = d + G&&&&&(G = 1,2, … , _)! [30]!
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!62!Vgl.!Glossar![1]!63!Vgl.!Seite!6!
! 21!
Der! disponible! Lagerbestand! wird! nie! den! Wert! d !annehmen,! da! auf! Grund! der!
kontinuierlichen! Lagerüberwachung! unmittelbar! mit! dem! Erreichen! von! d !eine! neue!
Bestellung! ausgelöst! wird! und! sich! der! Lagerbestand! auf! d + _ !erhöht.! Gemäß! der!
Problemstellung! gilt!ifj = \ .! Alle! Bestellungen! die! vor! dem! Zeitpunkt! g !noch! nicht!
eingetroffen! sind,! müssen! demnach! in! der! Zeit! g + \ !eintreffen! und! damit! in! den!
Nettobestand!HSJ!übergehen.!Alle! Bestellungen,! die! nach! dem!Zeitpunkt!g!getätigt!werden,!
sind!in!der!Zeit!g + \!noch!nicht!eingetroffen.!Folglich!gilt:!
! HSJ≤\ = HIJ − C[J;J≤\]! [31]!
Der! Nettobestand! ergibt! sich! aus! dem! disponiblen! Lagerbestand! abzüglich! der! in! dem!
Intervall![g; g + \]!auftretenden!Nachfrage!C.! Je!nachdem,!ob!der!Nettobestand!positiv!oder!
negativ! ausfällt,! kommt! es! zu! einem! positiven! physischen! Lagerbestand!HUJ !oder! einem!
positiven!Fehlbestand&HFJ.!Dieser!Zusammenhang!kann!wie!folgt!dargestellt!werden:64!
!HUJ≤\ =
HIJ − C[J;J≤\] ôüö HIJ > C[J;J≤\]0 ôüö HIJ ≤ C[J;J≤\]
! [32]!
und!
!HFJ≤\ =
0 ôüö HIJ > C[J;J≤\]C[J;J≤\] − HIJ ôüö HIJ ≤ C[J;J≤\]
! [33]!
Kennen! wir! die! exakte! Größe! der! Zufallsvariable! HIJ ,! können! wir! weitere! wichtige!
Lagerkriterien!wie!den!mittleren!physischen!Bestand,!den!mittleren!Fehlbestand,!aber!auch!
den! βMServicegrad! bezüglich! einem! bestimmten! Bestellpunkt!d !bestimmen.! Wir! betrachten!
zunächst! die! Wahrscheinlichkeitsverteilung! des! disponiblen! Lagerbestands! HIJ !zum!
Zeitpunkt!g ≥ 0 .! Die! Problemstellung! geht! von! einer! Poisson.Verteilung! und! damit! von!
einer!exponentiellen!Verteilung!der!Nachfrage!in!der!Wiederbeschaffungszeit!aus.!Mit!Hilfe!
der!Markov.Kette65!kann! nun! die! Bestandentwicklung!modelliert! werden.!Wir! bezeichnen!
mit!U HIJ = X !die! Wahrscheinlichkeit! dafür,! dass! der! disponible! Lagerbestand! genau! den!
Wert!X!annimmt.!Hier!soll!auf!die!Herleitung!von!Tempelmeier!(2012)!verwiesen!werden,!der!
zu!dem!Ergebnis!kommt,!dass!HIJ!im!stationären!Zustand!einer!diskreten!Gleichverteilung!
mit!den!Werten!(d + 1, d + 2, … , d + _)!folgt.!66!!
!
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!64!Vgl.!Tempelmeier,!2012,!S.192!65!Vgl.!Glossar![5]!66!Vgl.!Herleitung!Tempelmeier,!2012,!S.192f.!
! 22!
Somit!gilt:!
! U HI = X =1_! [34]!
Mit!Hilfe!der!stationären!Wahrscheinlichkeitsverteilung!von!HI!lässt!sich!auf!einfache!Weise!
die! stationäre! Wahrscheinlichkeitsverteilung! des! Nettobestands &HS !ableiten,! die! benötigt!
wird,!um!den!Lieferservicegrad!zu!bestimmen.!
Auf!Grund!der!Beziehung![31]!gilt!für!den!stationären!Zustand:67!
! HS = HI − C\! [35]!
Damit! lässt! sich! der! folgende! Zusammenhang! beschreiben:! Beträgt! der! disponible!
Lagerbestand!HI!bei!der!Auslösung!eines!Kundenauftrags!gleich!X,!dann!ergibt!sich!für!den!
Nettobestand! nach! Eintreffen! des! Kundenauftrags! genau!HS = G&(G ≤ X),! wenn! in! der!WBZ!
eine! Nachfragemenge! von! C\ = X − G !aufgetreten! ist.! Man! erhält! folgende! bedingte!
Wahrscheinlichkeiten:!
! U HS = G HI = X = U C\ = X − G ! [36]!
Betrachtet!man!nun!alle!Ausprägungen!der!Zufallsvariablen!j!des!disponiblen!Lagerbestands!
HI,!die!zu!einem!Nettolagerbestand!HS = G!führen,!erhält!man:!
!U HS = G = U HI = X ∙ U C\ = X − G
?≤¡
L≥¬√ƒ&{?≤x,≈}
! [37]!
!
!&&&&&&&= &&&
1_∙ U C\ = X − G
?≤¡
L≥¬√ƒ&{?≤x,≈}
! [38]!
Die!Untergrenze!der!Summation!berücksichtigt,!dass!der!disponible!Lagerbestand!zu!Beginn!
der!ifj&nicht! kleiner! als! der! Netto.Bestand! am! Ende! der!ifj!sein! darf.! Auf! Grund! der!
Gültigkeit! der! Poisson.Verteilung! kann! keine! negative! Nachfrage! X& auftreten. 68 !Der! βM
Servicegrad! beschreibt! die! Wahrscheinlichkeit! dafür,! dass! eine! bestimmte! Menge! einer!
Gesamtnachfragemenge! in! t! direkt! ausgeliefert! werden! kann. 69 !Eine! Fehlmenge! tritt!
dementsprechend!auf,!wenn!HS ≤ 0!ist.!
!
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!67!Vgl.!a.a.O.,!2012,!S.194!68!ebenda!69!Vgl.!Seite!7!
! 23!
Damit!gilt:!
! 1 − 8 = U{HS ≤ 0}! [39]!
und!
! ⇒ 8 = U{HS > 0}! [40]!
Für!die!Fehlbestandswahrscheinlichkeit!ergibt!sich:!
! U HF ≥ 0 = U{HS ≤ 0}! [41]!
und!damit!für!den!Fehlmengenerwartungswert:!
! A F = m ∙ U HF ≥ 0 ! [42]!
Der! durchschnittliche! Erwartungswert! des! Fehlbestands!A{HF}!lässt! sich! durch! Herleitung!
wie!folgt!beschreiben:70!!
!A{HF} =
1_∙ A [C\ − G]≤ −
∫
≈≥?≤x
A [C\ − (G + _)]≤∫
≈≥?≤x
! [43]!
In!mehrstufigen!Lagerhaltungspolitiken!wird!oftmals!die!diskrete!Poisson.Verteilung!durch!
eine!Normalverteilung!approximiert.!Den!Autoren!nach!zu!urteilen,!empfiehlt!sich!dies!vor!
allem! bei! hoher!Nachfrage! in! der!Wiederbeschaffungszeit.71!Betrachtet!man! die! Beziehung!
[25]!und!setzt!v? =?«»… …
!und!v?≤¡ =?≤¡«»…
…!erhält!man!für!die!Bestimmung!des!Servicegrads:!
! 8 = 1 −sp_∙ wu
x v? − wux v?≤¡ ! [44]!
Für!die!Bestimmung!des!durchschnittlichen!Erwartungswertes!des!Fehlbestands!A{HF}!erhält!
man:!
!A{HF} =
spy
_∙ wu
y v? − wuy v?≤¡ ! [45]!
Wobei!wuy v !die!standardisierte!„SecondMorder!loss!function“!darstellt!für!die!gilt:!72!
! wuy v = 0,5 ∙ 1 + vy ∙ wu
º v − v ∙ tu(v) ! [46]!
! ! !
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!70!Vgl.!Herleitung!Tempelmeier,!2012,!S.196!71!Vgl.!a.a.O.,!2012,!S.240f.!72!Vgl.!Glossar![1]!
! 24!
4! Mehrstufige!Lagerhaltungsmodelle!
!
Der! letzte! Abschnitt! behandelte! vorwiegend! einstufige! Lagerhaltungsmodelle,! d.h.! es!
wurden!Modelle!vorgestellt,!die!sich!auf!die!Betrachtung!von!einem!isolierten!Lagerknoten!
beschränken.! In! heutigen! Supply! Chains! bilden! jedoch! nicht! einstufige,! sondern! vielmehr!
mehrstufige!Logistikketten!die!Regel.73!74!Um!diesem!Phänomen!gerecht!zu!werden,!sollen!in!
diesem!Kapitel!die!wichtigsten!mehrstufigen!Lagerhaltungsmodelle!vorgestellt!werden,!die!
sich!bei!der!Analyse!und!Optimierung!nicht! auf! ein! isoliertes!Lager!beschränken,! sondern!
vielmehr! die! gesamte! Logistikkette! mit! in! Betracht! ziehen.! Mehrstufige! Lagerdisposition!
berücksichtigt! die! Tatsache,! dass! zwischen! den! aufeinander! folgenden! Logistikknoten!
verschiedene! Informations.! und! Lieferbeziehungen! vorherrschen.! 75 !Dies! ist! damit! zu!
begründen,! dass! die! Nachfrageinformationen! beim! liefernden! Knoten! sich! aus! der!
Beschaffungsstrategie!des!abnehmenden!Knoten!ergeben.!Ebenso!kann!man!anführen,!dass!
die!Lagerzugangsmenge!eines!bestimmten!Knotens!der!Liefermenge!eines!anderen!Knoten!
entspricht.!76!Die!Anwendung!bestimmter!Dispositionsregeln!!in!einem!Logistikknoten!(siehe!
Einstufige!Lagerhaltungspolitiken)! hat! demnach!nicht! nur!Auswirkungen! auf! den! eigenen!
Lagerbestand,!sondern!bringt!vielmehr!erhebliche!Effekte!auf!die!gesamte! logistische!Kette!
mit!sich,!die!von!mehrstufigen!Lagerhaltungspolitiken!erfasst!und!gegebenenfalls!gesteuert!
werden!müssen.!Es!gilt,!die!Interdependenzen!zwischen!den!einzelnen!Knotenpunkten!eines!
solchen!Logistiksystems!an!Hand!von!Modellen!zu!erfassen!und!zu!analysieren!und!darauf!
aufbauend!systemweit!gültige!Dispositionsparameter!und!Serviceziele!zu!!bestimmen.!77!
!
4.1! Klassifizierung!mehrstufiger!Lagerhaltungsmodelle!und!Stand!der!
Forschung!
!
Eine!hierarchische!Einordnung!einzelner!Modelle!wie!in!Kapitel!3.1!ist!bei!der!mehrstufigen!
Betrachtung! nicht! mehr! möglich.! Einzelne! Autoren! beziehen! sich! bei! der! Analyse! und!
Optimierung! selten! auf! allgemeingültige! Fälle,! sondern! betrachten! vielmehr! spezielle!
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!73!Vgl.!Phohl,!1990,!S.106ff.!74!Vgl.!Abbildung!1!75!Vgl.!Tempelmeier,!2012,!S.228!76!Vgl.!Inderfurt,!1996,!S.359!77!ebenda!
! 25!
Einzelfallstudien!mit!ganz!eigenen!Restriktionen!und!Annahmen.!Zu!begründen!ist!dies!vor!
allem!mit! der! hohen!Komplexität! einzelner!Modelle.! So! führen! bereits! kleinste!Annahme.!
oder!Parameteränderungen!zur!Ungültigkeit!und!damit!zur!Neuinterpretation!des!gesamten!
Modells.! Das! vorliegende! Kapitel! versucht! die! Fülle! an! verschiedenen! Modellversuchen!
strukturell!einzuordnen!und!einen!Überblick!über!den!Stand!der!Forschung!zu!gewähren.!
!
4.1.1! Klassifizierung!nach!Art!des!Dispositionsverfahrens!
!
Viele! Ansätze! zur! mehrstufigen! Lagerhaltung! lassen! sich! nach! der! Art! des! verwendeten!
Dispositionsverfahrens! einordnen.! Einzelne!Modelle! greifen! bei! der!Bestandsüberwachung!
im! System! auf! verschiedene! Informationen! zurück,! um! eine! Analyse! und! Optimierung!
vornehmen! zu! können.! Generell! lassen! sich! mehrstufige! Lagerhaltungspolitiken!
folgenderweise!kategorisieren:78!
•! Modelle!mit!lokaler!Disposition!(engl.!„Installation!Stock!Policy“):!Lagerhaltungspolitiken,!
die!sich!bei!der!Analyse!auf!die!Methode!der!lokalen!Disposition!stützen,!sehen!eine!
isolierte! Disponierung! jedes! einzelnen! Lagerknotens! vor.! Die! Disposition! greift!
ausschließlich! auf! Informationen! über! den! lokalen! Lagerbestand! zurück.! ! Die!
Bestandssituation!der!stromabwärts!gelegenen!Knotenpunkte!(z.B.!Regionallager)!ist!
den!stromaufwärts!gelegenen!Knotenpunkten!(z.B.!Zentrallager)!unbekannt.!Kommt!
es! beispielsweise! im! Regionallager! zu! einer! außerordentlich! hohen!
Nachfragesteigerung,! erfährt! das! Zentrallager! von! diesem! Umstand! erst! bei! der!
Bestellauslösung! durch! das! Regionallager.! Im! Regelfall! kommt! es! bei! der!
Losgrößenbildung! im! Regionallager! zu! einer! Kumulation! der! Periodennachfrage.
mengen! zu! optimalen! Bestellmengen.! Dies! führt! dazu,! dass! das! Zentrallager!
wesentlich! größeren! Schwankungen! der! Nachfrage! ausgeliefert! ist,! wie! die!
Nachfrage! im! Regionallager! tatsächlich! ist.! Die! bei! der! lokalen! Disposition!
auftretende!Informationsverzerrung!kann!als!eine!der!Ursachen!für!den!sogenannten!
BullwhipMEffekt! angesehen!werden.!79!80!Trotz! dieses!Negativeffekts! beschäftigen! sich!
viele! grundlegende! mehrstufige! Lagerhaltungsmodelle! mit! der! Analyse! dieser! Art!
von! Dispositionspolitiken.! Einerseits! ist! festzustellen,! dass! die! Analyse! unter! dem!
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!78!Vgl.!Tempelmeier,!2012,!S.228!79!ebenda!80!Vgl.!Glossar!6!
! 26!
Gesichtspunkt! der! lokalen! Disposition! auf! verhältnismäßig! einfachem! Wege! zu!
bewerkstelligen! ist,! anderseits! konnte! eine! kostentechnische! Überlegenheit! anderer!
Politiken!nicht!eindeutig!bewiesen!werden.81!!
•! Modelle! mit! zentraler! Disposition! (engl.! „Echelon! Stock! Policy“):! Mehrstufige! Lager.
haltungspolitiken,! die! auf! der! Idee! der! zentralen! Disposition! beruhen,! sehen! eine!
zentrale! Steuerung! des! gesamten! Lagerbestands! der! verschiedenen! Knotenpunkte!
vor.!Der!Disponent!hat!hierbei!die!Möglichkeit,!auf!die!Informationen!bezüglich!der!
Bestandssituation! in! allen! Lagerknoten! zurückzugreifen.! Der! gesamte! Bestand! in!
einem!logistischen!System!mit!mehreren!Stufen!wird!in!diesem!Fall!als!systemweiter!
Lagerbestand! bezeichnet.! Bei! der! zentralen! Disposition! kennt! der! Lagerdisponent!
immer! die! aktuelle! Lagersituation! der! stromabwärts! gelegenen! Knoten.! Kommt! es!
beispielsweise!im!Regionallager!zu!einer!außergewöhnlich!hohen!Nachfrage,!erfährt!
das! Zentrallager! zeitsynchron! von! diesem! Umstand! und! kann! unverzüglich! in!
geeigneter! Weise! reagieren.! Politiken! mit! zentraler! Disposition! bieten! ein! höheres!
Optimierungspotenzial! als!Politiken!mit! lokaler!Disposition,! ! jedoch! ist!die! service.!
und! kostenorientierte! Analyse! erschwert,! da! die! disponiblen! Lagerbestände! der!
einzelnen!Stufen!korrelieren.!Die!Modelle!sind!daher!mit!einem!wesentlich!höheren!
Aufwand!zu!lösen.82!
!
4.1.2! Unterscheidung!nach!der!Struktur!des!logistischen!Systems!
!
Die!Literatur!liefert!eine!Fülle!an!Lagerhaltungsmodellen!für!verschiedene!Arten!von!Supply!
Chains.! Demnach! bietet! sich! eine! Klassifizierung! von! Lagerhaltungsmodellen! nach!
möglichen!Systemstrukturen!und!Anzahl!der!Lagerstufen!an:83!
•! Modelle! für! divergierenden! Materialfluss:! Bei! einem! divergierenden! Materialfluss! hat!
jeder!Lagerknoten!eines!Logistiknetzwerks!genau!einen!Vorgängerknoten,!während!
die!Anzahl!seiner!Folgeknoten!nicht!beschränkt!ist.84!85!Prinzipiell!sind!divergierende!
Systeme! mit! û !Stufen! denkbar.! Jedoch! behandeln! die! meisten! Autoren!
Optimierungsmodelle,!die! sich!mit!dem!sogenannten!„One.Warehouse.N.Retailer“.
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!81!Vgl.!Bantel,!2014,!S.28f.!82!ebenda!83!Vgl.!Inderfurt,!1996,!S.369ff.!84!Vgl.!Tempelmeier,!2012,!S.235!85!Vgl.!Abbildung!1!
! 27!
Problem! beschäftigen.! Hierbei! handelt! es! sich! um! ein! zweistufiges!
Distributionssystem,!bei!dem!ein!Zentrallager!mehrere!Regionallager!beliefert.86!
•! Modelle! für!konvergierenden!Materialfluss:!Optimierungsmodelle! bei! konvergierendem!
Materialfluss! beschäftigen! sich! mit! dem! Fall,! dass! jeder! Lagerknoten! genau! einen!
Nachfolgeknoten,! jedoch!mehrere!Vorgängerknoten!besitzt.! In! jedem!Fall! endet! ein!
konvergierender! Materialfluss! in! einem! einzelnen! Knoten! im! System.! Gemäß! der!
Annahme! tritt! exogene! Nachfrage! nur! in! diesem! Endknoten! auf.!87!Diese! Art! von!
Modellen! findet! oftmals! in! der! industriellen! Beschaffungspraxis! in! Form! von!
„Vendor.Managed.Inventory!(VMI)“!Anwendung.!
•! Modelle!für!Systeme!mit!genereller!Struktur:!Supply!Chains!mit!genereller!Struktur!sind!
dadurch! gekennzeichnet,! dass! sie! sowohl! zusammenfließende! Materialströme!
(konvergent)! als! auch! divergente! Lagerstrukturen! aufweisen.88!Die! Literatur! bietet!
nur! sehr! wenige! Ansätze,! um! eine! Supply! Chain! mit! genereller! Struktur! zu!
analysieren.!!
!
4.1.3! Kategoriale!Einteilung!nach!verwendetem!Analyseverfahren!
!
Die!zentrale!Aufgabe!der!Steuerung!und!Optimierung!von!mehrstufigen!Logistikketten!liegt!
in! der! exakten! Erfassung! von! Informationen! einzelner! Lagerstufen.! ! Es! gilt! die!
Auswirkungen! einer! Änderung! der! lokalen! Dispositionsparameter! auf! das! mehrstufige!
System!zu!erfassen.!Die!Autoren!verwenden!hierbei!verschiedene!Modellierungsansätze!und!
Analyseverfahren,!um!ein!mehrstufiges!System!optimieren!zu!können.!Demnach!lassen!sich!
mehrstufige!Modelle!nach!den!verwendeten!Verfahren!näher!klassifizieren:!
1)! Dekompositionsansatz:! Bei! der! Dekomposition! wird! ein! mehrstufiges! System! in!
unabhängig!zu!analysierende!einstufige!Lagersysteme!zerteilt.!Dies!geschieht!durch!
die! Einführung! zwei! endogener! Größen,! dem! Nachfrageprozess! und! der!
Wiederbeschaffungszeit.! Je! genauer! die! Abbildung! dieser! gegenseitigen!
Abhängigkeiten! der! einzelnen! Systeme! gelingt,! desto! höher! die! Güte! des!
mehrstufigen! Modellansatzes.! Vorteile! des! Dekompositionsansatzes! sind! die!
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!86!Vgl.!Kapitel!5!87!Vgl.!Inderfurt,!1996,!S.360!88!Vgl.!Tempelmeier,!2012,!S.273!
! 28!
Einfachheit! und! Erweiterbarkeit! auf! beliebig! große!Netzwerke,! da! zur!Analyse! die!
Techniker!der!einstufigen!Lagerhaltungsmodelle!zum!Einsatz!kommen.!89!
2)! Fehlmengendisaggregationsansatz:!Eine!Erweiterung!des!Dekompositionsansatzes!stellt!
Graves!(1985)90dar.!Das!vorgestellte!Prinzip!beruht!auf!einer!exakten!Bestimmung!der!
zyklusbezogenen!Fehlmengen.!Im!Gegensatz!zu!anderen!Modellansätzen!werden!die!
Fehlmengen! der! nachfolgenden! Lagerknoten! (z.B.! Regionallager)! nicht! über! die!
Lieferzeit! des! Vorgängerknotens! ! (z.B.! Zentrallager)! berechnet,! sondern! vielmehr!
über!die!zyklusbezogenen!Fehlmengen!des!Vorgängers!abgeleitet.91!
3)! Vollenumeration:! Bei! einer! Vollenumeration! werden! alle! kombinatorisch! möglichen!
Systemzustände! einer! mehrstufigen! Lagerhaltung! ermittelt,! die! bei! der!
Auftragsabwicklung! und! der! Lagerung! entstehen! können.! Jeder! einzelne!
Systemzustand!wird!anschließend!bewertet!und!mit!einer!Eintrittswahrscheinlichkeit!
gewichtet.!Auf!Grund!des!hohen!Rechenaufwands!ist!die!Anwendung!eines!solchen!
Verfahrens!nur!bei!geringen!Nachfragewerten!sinnvoll.92!
!
4.2! Stand!der!Forschung!
!
Clark! und! Scarf! (1960)! können! als! die! ersten! Autoren! angesehen! werden,! die! ein!
mehrstufiges!Modell!vorstellen,!das!auf!der!Idee!der!„Echelon!Stock!Policy“!(Systemweiter!
Lagerbestand)!beruht.!Das!Modell!vernachlässigt!bestellfixe!Kosten,!geht!von!einer!Poisson.
verteilten! Kundennachfrage! aus! und! beruht! auf! einer!(ö, e)!.Politik.! Der! Zeithorizont! ist!
begrenzt.93!Federgruen!und!Zipkin! (1984)! erweitern!diesen!Optimierungsansatz!und!gehen!
von!einem!nicht!beschränkten!Zeithorizont!aus.94!Chen!und!Zheng!(1997)!greifen!das!Modell!
auf! und! leiten! mit! dem! oben! erläuterten! Fehlmengendisaggreagtionsansatz! eine!
approximierte! Lösung! für! zusammengesetzte! Poisson.Nachfragemengen! und! einer! d, _ .
Politik! her.! 95 !Axsäter! (1997)! liefert! schließlich! ein! exaktes! Lösungsverfahren! für! die!
Problemstellung,!indem!er!auf!eine!Vollenumeration!aller!Systemzustände!der!Supply!Chain!
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!89!Vgl.!Bantel,!2014,!S.27!90!Vgl.!Graves,!1985,!S.1247ff.!91!ebenda!92!Vgl.!Bantel,!2014,!S.28!93!Vgl.!Clark!et!al.,!1960,!S.475ff.!94!Vgl.!Federgruen!et!al.,!1984,!S.818ff.!95!Vgl.!Chen!et!al.,!1997,!S.275!
! 29!
zurückgreift. 96 Als! eine! der! ersten! Publikationen! bezüglich! dem! Thema! mehrstufiger!
Modellansätze! mit! „Installation! Stock! Policy“! (Lokale! Disposition)! sind! die! Arbeiten! von!
Sherbooke!(1968)!anzuführen.!97!Sherbooke!stellt!das!sog.!METRIC.Modell!vor,!mit!dem!ein!
zweistufiges! Lagerhaltungssystem! auf! kontinuierlicher! Zeitachse! analysiert! und! optimiert!
werden! kann.! Die! Kundennachfrage! wird! wie! bei! der! zentralen! Disposition! als! Poisson.
verteilt! angenommen.!Als!Dispositionspolitik!wird! eine! e − 1, e !Politik! angenommen,! die!
Wiederbeschaffungszeit!der!Lager!berücksichtigt!zum!ersten!Mal!lagerbedingte!Wartezeiten!
der! Vorgänger.! Sherbooke! greift! bei! seiner! Analyse! auf! ! den! Dekompositionsansatz! (vgl.!
Seite! 25)! zurück! und! unterteilt! das! Gesamtsystem! in! mehrere! einstufige! Systeme.! ! Viele!
Autoren!haben!sich!weiterhin!mit!diesem!Ansatz!beschäftigt.!Zu!nennen!sind!hier!Muckstadt!
und!Thomas!(1980)98,!Hausmann!und!Erkip!(1994)99!und!Axsäter!(1990)100.!Die!Übertragung!
des!METRIC.Modells! auf! andere!Nachfragetypen!und!auf! eine! d, _ .! Lagerhaltungspolitik!
haben! Deuermeyer! und! Schwarz! (1985)! (vgl.! Kapitel! 4.3.1.2)! 101 !in! ihren! Publikationen!
geliefert.!Unzählige!weitere! Erweiterungen! haben! in! den! letzten! Jahren! vor! allem!Axsäter!
(1995)102!und!Kiesmüller! (2006)103!beschrieben.! Tempelmeier! (2000,! 2012)! kann! als! einer! der!
modernen!Autoren!gesehen!werden,!der!neue!Modellansätze!für!eine!diskrete!Zeitachse!und!
nicht! identische! Regionallager! liefert. 104 !Bantel! (2014)! greift! auf! die! Modellansätze!
Tempelmeiers! zurück! und! erweitert! Tempelmeiers! Überlegungen! auf! die! Möglichkeit!
begrenzter!Transportkapazitäten.!105!
!
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!
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!
!
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!96!Vgl.!Axsäter,!1997!97!Vgl.!Craig,!1968!98!Vgl.!Muckstadt,!1980!99!Vgl.!Hausmann!et!al.,!1994!100!Vgl.!Axsäter,!1990!101!Vgl.!Deuermeyer!et!al.,!1981!102!Vgl.!Axsäter,!1995!103!Vgl.!Kiesmüller!et!al.,!2006!104!Vgl.!Tempelmeier,!2000!105!Vgl.!Bantel,!2014,!S.113ff.!
! 30!
4.3! Vorstellung!ausgewählter!mehrstufiger!Modelle!
!
In!diesem!Abschnitt! sollen!wichtige!grundlegende!Modelle!näher! erläutert!und!vorgestellt!
werden.!Die!Auswahl!erfolgt!nach!der!Relevanz!und!Verbreitung!in!der!Praxis.!!
!
4.3.1! Vorstellung!des!One.Warehouse.N.Retailer.Problems!
!
Zunächst!soll!ein!Modell!zur!Lösung!des!klassischen!„One.Warehouse.N.Retailer“!Problems!
vorgestellt! werden.! Es! ist! als! einer! der! grundlegenden! mehrstufigen! Modellansätze!
anzusehen! und! ist! oftmals! auch! in! realen! Systemen! vorzufinden.! Der! große! Vorteil! des!
Modells! besteht! in! dem! Dekompositionsansatz! als! Analysemethode.! Damit! wird! die!
Erweiterbarkeit! auf! andersartige!Modellannahmen!und! Systeme!mit! beliebig! vielen! Stufen!
ermöglicht.!106!
!
4.3.1.1! Problemstellung!und!Modellformulierung!
!
Bei! dem! Modell! des! „One.Warhouse.N.Retailer“! Problems! handelt! es! sich! um! ein!
divergierendes! zweistufiges! System! mit! lokaler! Disposition.! Es! besteht! in! der! Regel! aus!
einem! Lieferanten! L,! einem! Zentrallager! ZL! und! mehreren! Regionallägern! RLn.! Die!
Regionallager!bedienen!verschiedene!Kunden!mit!der!Nachfrage!Xm.!Abbildung!3!zeigt!einen!
Ausschnitt!eines!solchen!Systems.!
!
!Abbildung!3:!OneMWarehouseMNMRetailer!Problem!(Eigene!Darstellung)!
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!106!Vgl.!Bantel,!2014,!S.26!
L
ZL
RL1 RL2 RL3
X2 X6 X3 X4 X5 X1
! 31!
In! einem! ersten! Schritt! soll! die! Grundstruktur! des! Optimierungsproblems! näher! erläutert!
werden.!Es!wird!angenommen,!dass!die!Kundennachfragen!Xm!einem!stochastischen!Prozess!
unterliegen.! Weiterhin! sind! die! Periodennachfragemengen! im! Zeitablauf! stationär! und!
voneinander! unabhängig.! Die! Regionallager! verfolgen! eine! eigene! Lagerhaltungspolitik,!
deren!Parameter!(ó, ©)!unter!Berücksichtigung!eines!festgelegten!Serviceziels!(z.B.!α.!oder!βM
Servicegrad)! festzulegen! sind.! Die! Regionallager! RLn& richten& ihre& Bestellaufträge& an& das&
Zentrallager&ZL.&Die&Aufträge&werden&dort&bearbeitet&und&nach&einer&bestimmten&Bearbeitungs.&
und&Transportzeit&]9:^ &ausgeliefert.&vorausgesetzt&der&Lagerbestand&reicht&aus,&um&die&gesamte&
Bestellmenge& zu& bedienen.& Reicht& der& Bestand& nicht& aus,& kommt& es& zur& Wartezeit&i;:.& Die&
Wiederbeschaffungszeit&der&Regionalläger&beträgt&somit:&
! ifj9: = ]9:^ + i;:! [47]!
Im! Normalfall! werden! die! optimalen! Bestellmengen! bzw.! Bestellzyklen! im! Vornherein!
festgelegt.107!Das! Problem! beschränkt! sich! daher! auf! Ermittlung! der! optimalen! Höhe! und!
Verteilung! des! Sicherheitsbestands! im! gesamten! zweistufigen! System.!Dabei! korreliert! die!
Höhe! des! Sicherheitsbestands! auf! Zentrallagerebene! negativ! mit! der! Höhe! des!
Sicherheitsbestands!auf!Regionallagerebene.! !Verfolgt!man!das!Ziel,!einen!gleichbleibenden!
Servicegrad! zu! erreichen! und! gleichzeitig! den! Sicherheitsbestand! auf! der! Stufe! der!
Zentrallager! zu! reduzieren,! so! ist! man! gezwungen,! den! Sicherheitsbestand! auf!
Regionallagerebene!zu!erhöhen.!!Angenommen,!alle!Regionallager!RLn!verfolgen!eine!(1, e).
Politik.! Am! Ende! eines! jeden! Tages! wird! eine! Bestellung! in! Höhe! der! über! den! Tag!
beobachteten! Nachfragemenge! ausgelöst! und! an! das! Zentrallager! übermittelt.& Das!
Zentrallager! verfolgt! eine! (ö, d, _) .Politik! mit! periodischem! Überwachungszyklus! ö .! Die!
Wiederbeschaffungszeit!des!Zentrallagers!ifj;:!wird!als!deterministisch!angenommen.!Die!
Auslieferung! vom!Zentrallager! an! das!Regionallager!wird!mit! 1! Tag! angenommen,! sofern!
genügend!Lagerbestand!vorhanden!ist.!Bei!ungenügendem!Lagerbestand!kommt!wie!bereits!
erwähnt! eine!Wartezeit! hinzu.!Nun! gilt! es! den! Bestellpunkt!d;:!des! Zentrallagers! und! die!
Bestellniveaus! e9: !der! Regionallager! so! zu! bestimmen,! dass! die! Gesamtkosten! im!
zweistufigen!System!unter!Berücksichtigung!eines!bestimmten!βMServicegrad!mit!der!Höhe!8∗!
minimiert!werden.!
!
!
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!107!Vgl.!Tempelmeier,!2012,!S.236!
! 32!
Das!Problem!lässt!sich!als!das!folgende!nichtlineare!Optimierungsmodell!formulieren:!
!´Gû&¨ d;:, e9: = =@
;: ∙ A HU;: d;: + =@9:V
u
O≥x
∙ A HU9:V ifj9:V d;: , e9:V ! [48]!
unter!der!Nebenbedingung:!
! &89: ifj9: d;: , e9:V ≥ 8∗&&&&&&&&&&ùGg&û = 1,2, … , S! [49]!
Dabei! stellen! =@;: !den! Lagerhaltungskostensatz! des! Zentrallagers! und! =@9:V !den!
Lagerhaltungskostensatz! für! die! Regionallager!b]O !mit!û = 1,2, … , S !dar.!A HU;: !stellt! den!
Erwartungswert! des! physischen! Lagerbestandes! im! Zentrallager! dar,! A HU9:V !den!
Erwartungswert! des! physischen! Lagerbestands! im! Regionallager.! ifj9:V ist! die!
Wiederbeschaffungszeit!des!Regionallagers!b]O!(vgl.! [47])!und!hängt!von!dem!Bestellpunkt!
d;:!des! Zentrallagers! ab.! Der! physische!Durchschnittsbestand!A HU9:V &wird! von! der!Höhe!
des! Bestellniveaus!e9:Vund! von! der!Wiederbeschaffungszeit! bestimmt.! In! der! Praxis! wird!
eine!solche!Optimierung!in!der!Regel!von!Simulations.Software!angenähert.108!
Deuermeyer! und! Schwarz! stellen! einen! analytischen! Lösungsansatz! vor,! der! die! exakte!
Bestimmung!der!systemweiten!Dispositionsparameter!ermöglicht.!
!
4.3.1.2! Analytischer!Lösungsansatz!nach!Deuermeyer!und!Schwarz!
!
In!ihrer!Publikation!„A!model!for!the!analysis!of!system!service!level!in!warehouse.retailer!
distribution!systems“!stellen!Deuermeyer!und!Schwarz!(1981)!einen!Lösungsansatz!vor,!mit!
dem!sich!der!systemweite!Servicegrad!für!bestimmte!Parameter!(ó, ©)!exakt!bestimmen!lässt.!
Die!Autoren!gehen!von!einem!zweistufigen,!divergierenden!System!aus,!das!den!folgenden!
Annahmen!unterliegt:109!
•! Ein! Zentrallager& ZL& beliefert! N! Regionallager!b]O !mit!û = 1,2, … , S .! Die! Wieder!
beschaffungszeit!ifj;: !des! Zentrallagers! ist! als! deterministisch! anzunehmen.! ZL&
verfolgt! eine& (d, _) .Politik! mit! den! Parameter!d;: !und! einer! extern! vorgegebenen!
optimalen!Bestellmenge!_;:.!
!
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!108!Vgl.!Tempelmeier,!2012,!S.237!109!Vgl.!Deuermeyer!et!al.,!1981,!S.167f.!
! 33!
•! Die!Regionallager!müssen!eine!Poisson.!veteilte!Nachfragemenge!mit!dem!Parameter!
m9:V!bedienen.!Die!Zeitachse! ist!als!kontinuierlich!zu!betrachten.!Alle!Regionallager!
verfolgen! eine& (d, _) .Politik! mit! den! Parameter! d9:V !und! einer! einheitlichen!
Bestellmenge!_9: .! Jedes! Regionallager! hat! einen! bestimmten! Servicegrad!89:V !zum!
Ziel.! Die! Wiederbeschaffungszeit!ifj9: !des! Regionallagers! setzt! sich! aus! der!
Bearbeitungs.&und&Transportzeit&]9:^ &und&einer&optionalen&Wartezeit&i;:zusammen.!
!
Deuermeyer! und! Schwarz! bedienen! sich! bei! ihrer! Analyse! auf! den! bereits! erwähnten!
Dekompositionsansatz. 110 !Dabei! bestimmen! sie! für! eine! gegebene! Kombination! von!d;: ,!
_;: , &d9:V !und!_9:die! dazugehörigen! Servicegrade.! Darauf! aufbauend! lässt! sich! dann! die!
optimale!Kombination!für!einen!gegeben!Servicegrad!bestimmen.!Die!Autoren!gehen!hierbei!
in!mehreren!Schritten!vor.!
In! einem! ersten! Schritt! wird! der! Nachfrageprozess! im! Zentrallager! ZL& angenähert.! Dazu!
vernachlässigen! Deuermeyer! und! Schwarz! die! Effekte,! die! durch! die! Bündelung! von!
Bestellmengen!in!den!Regionallagern!entstehen.!Vielmehr!fassen!sie!die!Nachfrageprozesse!
der! Regionallager! als! nur! einen! Posten! zusammen! und! erhalten! damit! einen! aggregierten!
Poisson.Prozess.! Sie! ersetzen! somit! die! Regionallager! durch! ein! zentralisiertes! virtuelles!
Lager!mit!der!Ankunftsrate111!
!&m;: = m9:V
u
O≥x
! [50]!
das! seine! Nachfrage! mit! den! kumulierten! Bestellmengen! _9: ∙ û !aus! dem! Zentrallager!
versorgt.! Die! Abstände! der! Bestellungen! in! den! Regionallagern! sind! mit! dem!
Erwartungswert! ¡œ–—œ–V
!als!Erlang.verteilt!anzunehmen.112!!Die!Auftragsankünfte!des!virtuellen!
Lagers! bilden! somit! einen!Erlang.verteilten!Erneuerungsprozess.!Die!Nachfragemenge!des!
Zentrallagers! in! der! Wiederbeschaffungszeit! ifj;: entspricht! dann! den! kumulierten!
eintreffenden! Auftragsmengen! des! virtuellen! Lagers.! Zur! Approximation! von! Mittelwert!
und! Standardabweichung! greifen! Deuermeyer! und! Schwarz! auf! die! Ergebnisse! der!
Erneuerungstheorie!zurück.113!Für!den!Fall,!dass!Erlang.verteilte!Erneuerungsintervalle!mit!
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!110!Vgl.!Seite!26!111!Vgl.!Deuermeyer!et!al.,!1981,!S.172!112!Vgl.!a.a.O.,!1981,!S.171;!Tempelmeier,!2012,!S.241f.!113!Vgl.!Herleitung!Deuermeyer!et!al.,!1981,!S.172ff.!
! 34!
A C =¡œ–—œ–V
!und!“óö C =¡œ–—œ–V” !vorliegen,! kommen! sie! zu! folgenden! Approximationen! für!
die!Nachfragemenge!im!Zentrallager:114!115!
! &o;: =m;: ∙ ifj;:
_9:+1 − _9:2 ∙ _9:
! [51]!
und!
!&s;: =
m;: ∙ ifj;:_9:y ! [52]!
Die! Nachfragemenge! in! der!ifj;: !wird! nun! durch! eine! Normalverteilung! mit! den!
Parametern!o;:!und!!s;:!approximiert.116!117!
Für!den!mittleren!Fehlbestand!A{HF;:}!in!Abhängigkeit!von!d;:ergibt!sich!damit!(vgl.![45]):!
!A{HF;:} &=
s;:y ∙ _9:_;:
∙ wuy v? − wu
y v?≤¡ ! [53]!
In!einem!nächsten!Schritt!wird!der!Erwartungswert!der!lagerbedingten!Wartezeit!einer!RL.
Bestellung!im!ZL!bestimmt.!Deuermeyer!und!Schwarz!greifen!nun!auf!das!Gesetz!von!Little!118!
zurück!und!kommen!unter!Verwendung!von![53]!zu!folgendem!Ergebnis:!
! A{i;:} &=A{HF;:} ∙ _9:
m;:! [54]!
Nun! lassen!mit!Hilfe!der! exakten!Methode! für! einstufige!Lagerhaltungsmodelle! (vgl.! Seite!
20f.)!unter!Beachtung!eines!angestrebten!Servicegrads!89:V!die!optimalen!Bestellpunkte!d9:V!
bestimmen.! Für! die! Wiederbeschaffungszeit! der! Regionallager! gilt! nun! die! folgende!
Beziehung:!
! ifj9: &= ]9:^ + A{i;:}! [55]!
!
!
!
!
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!114!Vgl.!Herleitung!Deuermeyer!et!al.,!1981,!S.173f.!115!Vgl.!Tempelmeier,!2012,!S.242!116!Vgl.!ebenda!117!Vgl.!Seite!21!118!Vgl.!Glossar![7]!
! 35!
4.3.2! Das!Konzept!der!zentralisierten!Disposition!
!
Modelle!mit!lokaler!Disposition!sind!in!der!Literatur!weit!verbreitet,!eignen!sich!jedoch!nur!
bedingt,! um! dem! sogenannten! BullwhipMEffekt!119!entgegenzuwirken.120!Der! Bullwhip.Effekt!
oder! auch! PeitschenschlagMEffekt! beschreibt! das! Phänomen,! dass! „die! Variabilität! der!
Nachfrage!mit!zunehmender!Entfernung!von!der! letzten!Stufe!der!Endnachfrage!ansteigt.“!
121!Dieser! Effekt! wird! durch! die! Anzahl! der! Lagerstufen! im! System! beeinflusst! und! führt!
ganz! allgemein! zu! höheren! Sicherheitsbeständen.!122!Als! eine! Ursache! für! den! Bullwhip.
Effekt! ist! das! Informationsdefizit! der! stromaufwärtsgelegenen! Stufen!über! die! tatsächliche!
Nachfragemenge! der! Endstufe! anzuführen.! Modelle! mit! einer! zentralisierten! Disposition!
verfolgen! das! Ziel,! durch! einen! kontinuierlichen! Informationsaustausch! zwischen! den!
einzelnen!Lagerstufen!einer!Supply!Chain!eine!Reduktion!dieses!Defizits!zu!erreichen!und!
eine! optimale! Verteilung! der! Sicherheitsbestände! im! logistischen! System! zu! ermöglichen.!
Dies!erfolgt! im!Gegensatz!zu!der! lokalen!Disposition,!bei!der!die!Systemparameter! isoliert!
geplant!werden,! durch! die! Bestimmung! sogenannter! Systemparameter.!Hierbei! handelt! es!
sich!um! systemweite! Planungsgrößen,!mit! denen!die! Bestimmung!und!Optimierung! eines!
systemweiten!Lagerbestands!ermöglicht!wird.!123!Nach!Tempelmeier!erfasst!der!systemweite!
Lagerbestand!HIJ@!eines! Knotens! „den! lokalen! disponiblen! Bestand! des! Knotens! zuzüglich!
aller! Bestandgrößen,! die! den! Knoten! bereits! verlassen! haben,! aber! noch! nicht! an! den!
Endkunden! ! ausgeliefert!worden! sind.“124!Für!den! systemweiten!disponiblen!Lagerbestand!
gilt!die!folgende!Beziehung:!
! HIJ@ &= HIJ
L + HIJ‘& ùGg&Y ∈ zL; &X = 1,2, … , ÷; &g = 1,2, … , c! [56]!
HIJL!beschreibt! den! lokalen! Lagerbestand! im! Knoten! j.!zL!beschreibt! die!Menge! derjenigen!
Knoten! in! einer! Supply! Chain,! die! stromabwärts! von! j& liegen.! Abbildung! 4! zeigt! ein!
zweistufiges! logistisches! System.! Ein! Lieferant! L& beliefert! mit! einer! bestimmten!
Wiederbeschaffungszeit!ifjx!einen!Knoten!1.!Knoten!1& beliefert!wiederum!Knoten!2,& 3!und!
4&mit!einer!spezifischen!Wiederbeschaffungszeit:!
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!119!Vgl.!Glossar![6]!120!Vgl.!Tempelmeier,!2012,!S.278!121!Vgl.!a.a.O.,!S.229!122!ebenda!123!Vgl.!Tempelmeier,!2012,!S.278!124!Nach!Tempelmeier,!2012,!S.278f.!
! 36!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!Abbildung!4:!Konzept!des!systemweiten!Lagerbestands125!
!
Die!grünen!Kästen!beschreiben!die!Bestandssituation!im!System.!Der!systemweite!disponible!
Lagerbestand! im!Knotenpunkt! 1! setzt! sich! also! aus! dem! lokalen! disponiblen! Bestand! in! 1!
und!aus!den!lokalen!Beständen!der!stromabwärtsgelegenen!Knotenpunktes!zusammen.!Der!
lokale!Bestand! in!Knotenpunkt! 1! beträgt! 2!ME,!während!der! systemweite!Bestand! in!dem!
betrachteten!Knotenpunkt!6!ME!beträgt.!Das!Prinzip!der!zentralen!Disposition!sieht!nun!vor,!
den! systemweiten! Lagerbestand! dem! kumulierten! Risikozeitraum! eines! Knotens! in! einem!
logistischen!System!gegenüber!zu!stellen.!Um!dies!zu!verdeutlichen,!betrachte!man!Knoten!1!
und! 2! aus! Abbildung! 4.! Nun! gelte! die! Annahme,! dass! beide! Knoten! eine! bestimmte!
Lagerhaltungspolitik! verfolgen! z.B.! eine! (g, e) .! Politik.! Knotenpunkt! 1! wird! von! dem!
Lieferanten! L! mit! einer! deterministischen! Wiederbeschaffungszeit! WBZ1! beliefert.!
Knotenpunkt! 1!beliefert!Knotenpunkt! 2!mit!WBZ2& .!Da!Knotenpunkt! 2!die! letzte!Stufe!der!
Supply! Chain! darstellt,! beschränkt! sich! in! diesem! Knotenpunkt! die! Disposition! auf! eine!
lokale! einstufige! Lagerhaltungspolitik! (vgl.! Kapitel! 3).! Im! dargestellten! Beispiel! muss! S!
ausreichen,! um! die! auftretende! Nachfrage! im! Risikozeitraum!(g + ifjy) !zu! decken.! Im!
dargestellten!Beispiel!muss!S! ausreichen,!um!die!auftretende!Nachfrage! im!Risikozeitraum!!
zu!decken.!Dagegen!gilt!im!Knotenpunkt!1:126!
! bcx = g + ifjx + ifjy! [57]!
Wenn!Knotenpunkt!1!zum!Zeitpunkt!gº&eine!Bestellung!an!L!auslöst,! steht!diese!Bestellung!
erst!zum!Zeitpunkt! (gº + g + ifjx + ifjy)!zur!Deckung!der!Nachfrage! in!Knotenpunkt!2!
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!125!In!Anlehnung!an!Tempelmeier,!2012,!S.278!126!Vgl.!a.a.O.,!2012,!S.279!
! 37!
zur!Verfügung.!Der!systemweite!disponible!Lagerbestand!in!Knotenpunkt!1!muss!demnach!
ausreichen,! um! die! gesamte! Nachfrage! zu! decken.! Voraussetzung! für! diese! Art! von!
Disposition! ist,! dass! eine! konstante!Aktualisierung!der! Informationen!darüber! erfolgt,!wie!
viel! der! aktuelle! disponible! Lagerbestand! eines! jeden! Knoten! beträgt.! Zudem! ist! es!
unerlässlich,! dass! der! disponierende! Knoten! (in! diesem! Falle! der! Knoten! 1)! exakte!
Informationen!über!den!Nachfrageverlauf!der!stromabwärtsgelegenen!Knoten!erhält.!Um!die!
Idee! der! zentralen! Disposition! zu! verdeutlichen,! soll! das! folgende! Beispiel! betrachtet!
werden:127!
Ein! Lieferant! beliefert! einen! Knotenpunkt! 1! mit! der! Wiederbeschaffungszeit! ifjx .!
Knotenpunkt! 1! sorgt!wiederum! für!Nachschub! in! Knotenpunkt! 2,! dem! eine!wöchentliche!
Endkundennachfragemenge! X! gegenübersteht! (vgl.! Abbildung! 4).! Die! wöchentliche!
Nachfragemenge! X& folge& einer& Normalverteilung& mit! ! o = 15 !und! s = 3,4 .! Der!
Beobachtungszeitraum! betrage! 6! Wochen! mit! {14, 19, 15, 9, 18, 12} .! Beide! Lagerknoten!
verfolgen! eine! (d, _) .! Politik.! Am! Ende! jeder! Woche! wird! jeweils! der! disponible!
Lagerbestand! überprüft.! Sobald! der! disponible! Lagerbestand! den! Bestellpunkt! s! erreicht,!
wird! auf! vorgelagerter! Stufe! eine! Bestellung! ausgelöst.! Die! Informationsübermittlung! der!
Bestandssituation!einzelner!Knoten!erfolgt!simultan,!d.h.!unmittelbar!bei!der!Bedienung!der!
Endkundennachfrage! X.! Im! Knotenpunkt! 1! seien! die! Parameter! mit!dx = 90!und!_x = 110!
vorgegeben.! Knotenpunkt! 2! verfolge! einer! Lagerhaltungspolitik! mit!dy = 4&und!_y = 50 .!!
Eine! am! Periodenende! aufgegebene! Bestellung! eines! Knotens! trifft! nach! spezifischer!
Wiederbeschaffungszeit! am! jeweiligen! Periodenanfang! im! Lager! ein.! Sollte! der! liefernde!
Knoten! nicht! lieferfähig! sein,! kommt! es! zu! einer! zusätzlichen! Wartezeit.! Tabelle! 1!
verdeutlicht!die!buchhalterische!Verbuchung!der!Lagerbestände!und!damit!das!Prinzip!der!
zentralen!Disposition.!
!
!
!
!
!
!
!
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!127!Vgl.!Tempelmeier,!2012,!S.278ff.!
! 38!
t& Knotenpunkt&1& Knotenpunkt&2& &&!IB& IP& F& ID& IB& IP& F& ID& && &&
0& 0& 0& 50& 0& 50& 0& 50& Anfangsbestand&&1& && && && &&
& & &14& Bedarf&Periode&1&
&&& && && && && 0& 36& 0& 36& Bestand1&<&s1?& JA&&& && && && && 50& 36& 0& 86& Auftrag&für&1&auslösen&
!&& 0& 0& 0& 36& && && && && Bestand0<s0?& JA&&& 110& 0& 0& 146& && && && && Auftrag&für&0&auslösen&
!2& && && && &&& & &
19& Bedarf&Periode&2&&&& && && && && 50& 17& 0& 67& Bestand1<s1?& NEIN&
&& && && && && 50& 17& 0& 67& Keinen&Auftrag&für&0&auslösen&!&& 110& 0& 50& 127& && && && && Bestand0<s0?& NEIN&
&& 110& 0& 50& 127& && && && && Keinen&Auftrag&für&0&auslösen&!3& && && && &&
& & &15& Bedarf&Periode&3&
&&& && && && && 50& 2& 0& 52& Bestand1&<&s1?& NEIN&&& && && && && 50& 2& 0& 52& Auftrag&für&1&auslösen&
!&& 110& 0& 50& 112& && && && && Bestand0<s0?&Nein& NEIN&&& 110& 0& 50& 112& && && && && Auftrag&für&0&auslösen&
!4& && && && &&& & &
9& Bedarf&Periode&4&&&& && && && && 50& 0& 7& 43& Bestand1<s1?& JA&
&& && && && && 100& 0& 7& 93& Auftrag&für&0&auslösen&!&& && && && && && && && && Wareneingang&bei&1&&&& && && && && && && && && Auslieferung&an&2&&&& 0& 60& 0& 103& && && && && Bestand0<s0?& NEIN&
&& 0& 60& 0& 103& && && && && Keinen&Auftrag&für&0&auslösen&!5& && && && &&
& & &18& Bedarf&Periode&5&
&&& && && && && && && && && Wareneingang&bei&2&&&& && && && && 50& 25& 0& 75& Bestand1&<&s1?& NEIN&
&& && && && && 50& 25& 0& 75& Auftrag&für&1&auslösen&!&& 0& 10& 0& 85& && && && && Bestand0<s0?& JA&
&& 110& 10& 0& 195& && && && && Auftrag&für&0&auslösen&!6& && && && &&
& & &12& Bedarf&Periode&6&
&&& && && && && 50& 13& 0& 63& Bestand1<s1?& NEIN&
&& && && && && 50& 13& 0& 63& Keinen&Auftrag&für&0&auslösen&!&& 110& 10& 0& 183& && && && && Bestand0<s0?& NEIN&
&& 110& 10& 0& 183& && && && && Keinen&Auftrag&für&0&auslösen&!Tabelle!1:!Konzept!der!zentralen!Disposition!(Eigene!Darstellung)!128!
!
Anfangs! beträgt! der! physische! Bestand! in! Knotenpunkt! 1! gleich! null.! Der! systemweite!
Lagerbestand!in!Knotenpunkt!1!entspricht!daher!dem!lokalen!physischen!Bestand!in!Knoten!
2.! Nach! Bedienung! der! Nachfrage! in! Periode! 1,! erfolgt! eine! Bestellauslösung! sowohl! auf!
Stufe! 1! als! auch! auf! 2.! Da! Knotenpunkt! 1! nicht! genug! Lagerbestand! aufweist,! um! die!
Bestellung!von!2!zu!decken,!wird!bereits!in!Periode!2!eine!Fehlmenge!F!verbucht.!Es!entsteht!
eine! Wartezeit,! wodurch! in! Periode! 4! eine! Fehlmenge! in! Knotenpunkt! 2! auftritt.! Die! in!
Knotenpunkt! 1! bestellte! Menge! trifft! Ende! Periode! 4! im! Lager! ein.! Die! Menge! wird!
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!128!In!Anlehnung!an!Tempelmeier,!2012,!S.281!
! 39!
daraufhin!mit!ifj = 1!direkt! an!Knotenpunkt! 2! umgebucht,! der! damit! seine! entstandene!
Fehlmenge! ausgleichen! kann.! Wie! zu! erkennen! ist,! wird! der! systemweite! disponible!
Lagerbestand! im! Knotenpunkt! 1! simultan! mit! dem! Lagerbestand! in! Knotenpunkt! 2!
bestimmt.!Dadurch!kann!in!Knotenpunkt!1!möglichst!früh!auf!eine!Endkundennachfrage!X!
eingegangen! werden.! Im! gewählten! Beispiel! wurden! die! Bestellpunkte! zu! hoch! gewählt,!
wodurch!es!zu!Fehlmengen!gekommen!ist.!Mit!Hilfe!einstufiger!Lagerhaltungsmodelle!kann!
hier!ein!eventuelles!Optimum!ermittelt!werden.!Tempelmeier!weist!in!seinem!Ausführungen!
nach,! dass! die! Höhe! des! Sicherheitsbestands! in! einem! logistischen! System! durch!
Anwendung!der!zentralen!!Disposition!bedeutend!abnimmt.129!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!129!Vgl.!Tempelmeier,!2012,!S.283ff.!
! 40!
5! Fallbeispiel!zur!Optimierung!einer!One.Warehouse.N.
Retailer!Supply!Chain!
!
Aufbauend!auf!den!Grundlagen!der!einstufigen!und!mehrstufigen!Lagerhaltungstheorie!soll!
im! Folgenden! ein! praktisches! Fallbeispiel! konstruiert! werden! mit! dem! Ziel,! die!
Anwendbarkeit! der! mehrstufigen! Modelle! in! der! Praxis! beurteilen! zu! können.! Betrachtet!
wird! ein! typisches! One.Warehouse.N.Retailer! System,! bei! dem! ein! Zentrallager! mehrere!
Regionallager!beliefert,!denen!eine!bestimmte!Kundennachfrage!gegenübersteht.!!
!
5.1! Problemstellung!und!Annahmen!
!
Betrachten!wir!den!Fall!eines!deutschen!Importeurs!von!alten!„VW.Bullis“!aus!Argentinien.!
Ein!südamerikanischer!Händler!beliefert!ein!Zentrallager!ZL! in!Deutschland.!Von!dort!aus!
sollen!drei!verschiedene!Regionallager!RL!in!der!Schweiz,!!in!Österreich!!und!in!Deutschland!!
beliefert! werden.130!Auf! Grund! der! ähnlich! großen! Absatzmärkte! wird! mit! einer! ähnlich!
großen!Nachfrage! in!den!einzelnen!Regionallagern!gerechnet.! !Weiter!gelten!die! folgenden!
Annahmen:!
•!Der!südamerikanische!Lieferant!beliefert!das!Zentrallager!mit!einer!deterministischen!
Handlings.!und!Transportzeit!von!8!Wochen.!
•!Das!ZL!beliefert!die!RL!mit!einer!Handlings.!und!Transportzeit!von!1!Woche.!
•!Die! Regionallager! RL! haben! jeweils! eine! Kundennachfrage! X! pro! Woche! mit! dem!
Mittelwert! A C = 20 !! zu! bedienen.! Die! Kundennachfragemengen! folgen! einer!
Poisson.Verteilung.!
•!Das! Zentrallager! verfolgt! eine! lokale!(d, _).Politik! mit! !d;: = 300 !.! Mit! Hilfe! eines!
einstufigen!deterministischen!Modells!131!wurde!die! optimale! Losgröße!mit!_;: = 450!
bestimmt.!
•!Die! Regionallager! verfolgen! eine! lokale! (d, _) !.Politik! mit! ! d9: = 20 !und! einer!
optimalen!Losgröße!_9: = 30.!
•!Der!Lagerhaltungskostensatz!des!Zentrallagers!=@;:!betrage!40!€/Woche!
•!Der!Lagerhaltungskostensatz!der!Regionallager!=@9:!betrage!60!€/Woche!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!130!Vgl.!Abbildung!3!131!Vgl.!Kapitel!3.1.1!
! 41!
Auf! Seiten! der! Regionallager! kommt! es! immer! wieder! zu! Lieferengpässen,! da! nicht!
genügend! Fahrzeuge! seitens! des! Zentrallagers! geliefert! werden! können.! Da! immer! mehr!
Kunden!unzufrieden!sind!und!zur!Konkurrenz!wechseln,!setzt!sich!der!Importeur!zum!Ziel,!
in!Zukunft! einen!89:!von! 97%!zu! erreichen.! ! Es! gilt! in!Abhängigkeit! vom!Zentrallager!die!
optimalen! Parameter!d9: !und!_9: !! so! zu! bestimmen,! dass! die! Serviceziele! des! Importeurs!
gewährleistet!sind.!In!einem!weiteren!Schritt!geht!es!um!die!kostenoptimale!Verteilung!der!
Sicherheitsbestände!im!logistischen!System.!
!
5.2! Lösungsansatz!
!
Wir! bedienen!uns! bei! dem!Lösungsversuch!dem!Modell! von!Deuermeyer!und! Schwarz.132!
Zunächst! soll! die! durchschnittliche! Ankunftsrate! der! Nachfragemengen! im! Zentrallager!
berechnet! werden.! Dazu! fassen! wir! nach! Gleichung! [50]! die! Nachfragemengen! der!
Regionallager! als! aggregierten! Poisson.Prozess! zusammen.! Da! die! Regionallager! einem!
gleich!großen!Erwartungswert!der!Nachfrage!gegenüberstehen,!gilt:!
m9:› = m9:” = m9:fi!
m;: = m9:V = 20 + 20 + 20 = 60
fl
O≥x
!
Nun! sollen! mit! Hilfe! der! eben! berechneten! Ankunftsrate! die! Parameter! der! Anzahl! der!
Auftragsankünfte!in!der!Wiederbeschaffungszeit!im!Zentrallager!approximiert!werden.!Aus!
Gleichung![51]!ergibt!sich:!
o;: =60 ∙ 830
+1 − 302 ∙ 30
= 15,51667!
Für!die!Standardabweichung!ergibt!sich!aus![52]:!
s;: =60 ∙ 830y
= 0,73030!
Nun! kann! die! Nachfragemenge! in! der! WBZ! des! ZL! mit! Hilfe! der! Normalverteilung!
approximiert! werden. 133 !In! einem! ersten! Schritt! müssen! der! Bestellpunkt! und! die!
Bestellmenge! im! Zentrallager! in! die! Dimension! tAnzahl! Regionallager.Bestellungent!
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!132!Vgl.!Kapitel!4.3.1.2!133!Vgl.!Kapitel!3.2.3!
! 42!
umgerechnet!werden.!Der!Bestellpunkt!im!Zentrallager!d;: = 285!entspricht!somit!!?‡–¡œ–
= 10!
Bestellungen.! Die! Losgröße! ! entspricht!¡‡–¡œ–
= 15 !Bestellungen.! ! Nun! werden! gemäß! der!
Gleichung![44]!die!Werte!v?!und!!v?≤¡!berechnet:!
v? =10 − 15,51667
0,73030= −7,55398!
v?≤¡ =10 + 15 − 15,51667
0,73030= 12,98553!
Für!die!standardisierte!„second.order!loss!function“!!gilt!(vgl.![46]):!
wuy v = 0,5 ∙ 1 + vy ∙ wu
º v − v ∙ tu(v) !
und!damit!
wuy v? = 0,5 ∙ 1 + 57,06261 ∙ 1 + 7,55398 ∙ 0,00000 ≈ 29,03131!
Möchte!man! den! exakten!Wert! erhalten,! kann!man! auch! auf!MS!Excel! zurückgreifen! und!
kommt!mit!der!Formel!!
=0,5*((1+vs*vs)*(1.NORM.VERT(vs;0;1;WAHR)).vs*NORM.VERT(vs;0;1;FALSCH))&
auf! den!Wert!wuy v? = 29,03151.! Für!v?≤¡!erhält!man!wuy v?≤¡ = 0.!Gemäß!der!Gleichung!
[53]!lässt!sich!nun!der!mittlere!Fehlbestand!im!Zentrallager!berechnen:!
A HF;: =0,73030y ∙ 30
450∙ 29,03151 − 0 = 1,03225!
Nach!Gleichung![54]!lässt!sich!damit!der!Erwartungswert!der!lagerbedingten!Wartezeit!einer!
RL.Bestellung!im!Zentrallager!bestimmen:!
A i;: =1,03225 ∙ 30
60= 0,51613!
Die! Handlings.! und! Transportzeit! des! Zentrallagers! von! 1! Woche! wird! somit! durch! die!
Wartezeit!A i;: !erhöht.!Damit!gilt!für!die!Wiederbeschaffungszeit!der!Regionalläger:!
ifj9: &= 1 + 0,51613 = 1,51613!
Nun! lässt! sich! mit! Hilfe! der! exakten! Methode! aus! Kapitel! 3.2! der! momentane!89:in! den!
Regionallägern! berechnen.! Betrachten! wir! hierzu! die! Wahrscheinlichkeitsverteilung! des!
disponiblen! Lagerbestands!HI9: = X !und! des! Nettobestands!HS9: = G .! Annahmegemäß! hat!
der!disponible!Lagerbestand!zu!einem!Zeitpunkt!g!einen!Wert!zwischen!d + 1!und!d + _,!d.h.!
er! liegt! zwischen! dem! Intervall![21; 50]!.! Der! Nettobestand! muss! zwischen! dem! Intervall!
! 43!
[− d + _ ; d + _ ,! d.h.! zwischen![−50; 50] !liegen.! Gemäß! der! Gleichung! [58]! lassen! sich!
damit!die!folgenden!bedingten!Wahrscheinlichkeiten!berechnen:!
U HS = G HI = X = U C\ = X − G !
Beispielsweise! erhält! man! für! die! Wahrscheinlichkeit! dafür,! dass! der! disponible!
Lagerbestand!sich!genau!auf!49![ME]!und!der!Nettobestand!genau!auf!33![ME]!belaufen:!
U HS = 33 HI = 49 = U C\ = 49 − 33 = U{C\ = 16}!
Die!Nachfrage!in!den!Regionallagern!folgt!einer!Poisson.Verteilung!mit!A C = m.!Damit!gilt!
für!den!Erwartungswert!der!Nachfrage!in!der!Wiederbeschaffungszeit!ifj9::!
A CËZ;œ– = m ∙ ifj9: = m∗ = 20 ∙ 1,51613 = 30,32260!
Mit!Hilfe!der!Wahrscheinlichkeitsfunktion!der!Poisson.Verteilung!lässt!sich!nun!U{C\ = 16}!
berechnen:!
U C\ = 16 =m∗p\
C\!∙ ú«—
∗=30,32260xÍ
16!∙ ú«flº,flyyͺ = 0,00166!
Unter! Verwendung! von! MS! Excel! lässt! sich! nun! die! folgende! Matrix! aller! möglichen!
Wahrscheinlichkeiten!für!U C\ = X − G !berechnen!(siehe!Tabelle!2),!wobei!aus!Platzgründen!
nur! ein! Ausschnitt! gezeigt! werden! kann.! Die! Achsen! beschreiben! die! möglichen!
Wertebereiche! des! disponiblen! Lagerbestands! j! und! des! Nettolagerbestands! i.! Das! grüne!
Feld!kennzeichnet!das!eben!manuell!berechnete!Beispiel.!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
! 44!
&& && j& && && && && && && && &&
&& && 50& 49& 48& 47& 46& 45& 44& 43& ...&
i& 50& 0,000000&& & & & & & & &&& 49& 0,000000& 0,000000&
& & & & & & &&& 48& 0,000000& 0,000000& 0,000000&& & & & & &&& 47& 0,000000& 0,000000& 0,000000& 0,000000&
& & & & &&& 46& 0,000000& 0,000000& 0,000000& 0,000000& 0,000000&& & & &&& 45& 0,000000& 0,000000& 0,000000& 0,000000& 0,000000& 0,000000&
& & &&& 44& 0,000000& 0,000000& 0,000000& 0,000000& 0,000000& 0,000000& 0,000000&& &&& 43& 0,000000& 0,000000& 0,000000& 0,000000& 0,000000& 0,000000& 0,000000& 0,000000&
&&& 42& 0,000001& 0,000000& 0,000000& 0,000000& 0,000000& 0,000000& 0,000000& 0,000000&&&& 41& 0,000004& 0,000001& 0,000000& 0,000000& 0,000000& 0,000000& 0,000000& 0,000000&&&& 40& 0,000012& 0,000004& 0,000001& 0,000000& 0,000000& 0,000000& 0,000000& 0,000000&&&& 39& 0,000034& 0,000012& 0,000004& 0,000001& 0,000000& 0,000000& 0,000000& 0,000000&&&& 38& 0,000086& 0,000034& 0,000012& 0,000004& 0,000001& 0,000000& 0,000000& 0,000000&&&& 37& 0,000199& 0,000086& 0,000034& 0,000012& 0,000004& 0,000001& 0,000000& 0,000000&&&& 36& 0,000432& 0,000199& 0,000086& 0,000034& 0,000012& 0,000004& 0,000001& 0,000000&&&& 35& 0,000873& 0,000432& 0,000199& 0,000086& 0,000034& 0,000012& 0,000004& 0,000001&&&& 34& 0,001655& 0,000873& 0,000432& 0,000199& 0,000086& 0,000034& 0,000012& 0,000004&&&& 33& 0,002952& 0,001655& 0,000873& 0,000432& 0,000199& 0,000086& 0,000034& 0,000012&&&& 32& 0,004972& 0,002952& 0,001655& 0,000873& 0,000432& 0,000199& 0,000086& 0,000034&&&& 31& 0,007936& 0,004972& 0,002952& 0,001655& 0,000873& 0,000432& 0,000199& 0,000086&&&& 30& 0,012031& 0,007936& 0,004972& 0,002952& 0,001655& 0,000873& 0,000432& 0,000199& ...&
&& ...&& & & & & & & & &
Tabelle!2:!Wahrscheinlichkeitsverteilung!des!IN!in!Abhängigkeit!von!ID!(Eigene!Darstellung)!
!
Darauf! aufbauend! wird! nun! gemäß! der! Formel! [38]! die! stationäre!
Wahrscheinlichkeitsverteilung! für!U HS9: = G !berechnet,! um! anschließend! den! aktuellen!
89:.Serviegrad!bestimmen!zu!können.!Betrachten!wir!das!Beispiel! für!HS = 33.!Gemäß!der!
Formel![38]!gilt:!
&&&&&&&U HS = 33 = &&&130
∙ U C\ = 16
κ
yx
= 0,00021!
Berechnet!man!nun!für!alle!möglichen!Werte!mit!U HS = G HI = X !die!Wahrscheinlichkeiten!
U HS9: = G ,!erhält!man!die!in!Tabelle!3!dargestellten!Größen.!
!
!
!
!
! 45!
i& P{IN=i}& i& P{IN=i}& i& P{IN=i}& i& P{IN=i}& i& P{IN=i}&
50& 0,000000& 29& 0,001619& 8& 0,032751& .13& 0,009172& .34& 0,000001&
49& 0,000000& 28& 0,002417& 7& 0,032939& .14& 0,007336& .35& 0,000001&
48& 0,000000& 27& 0,003469& 6& 0,033059& .15& 0,005746& .36& 0,000000&
47& 0,000000& 26& 0,004798& 5& 0,033120& .16& 0,004406& .37& 0,000000&
46& 0,000000& 25& 0,006411& 4& 0,033124& .17& 0,003308& .38& 0,000000&
45& 0,000000& 24& 0,008291& 3& 0,033064& .18& 0,002432& .39& 0,000000&
44& 0,000000& 23& 0,010403& 2& 0,032923& .19& 0,001751& .40& 0,000000&
43& 0,000000& 22& 0,012690& 1& 0,032673& .20& 0,001235& .41& 0,000000&
42& 0,000000& 21& 0,015081& 0& 0,032281& .21& 0,000853& .42& 0,000000&
41& 0,000000& 20& 0,017498& .1& 0,031708& .22& 0,000577& .43& 0,000000&
40& 0,000001& 19& 0,019863& .2& 0,030913& .23& 0,000383& .44& 0,000000&
39& 0,000002& 18& 0,022103& .3& 0,029862& .24& 0,000249& .45& 0,000000&
38& 0,000005& 17& 0,024161& .4& 0,028534& .25& 0,000159& .46& 0,000000&
37& 0,000011& 16& 0,025997& .5& 0,026922& .26& 0,000099& .47& 0,000000&
36& 0,000026& 15& 0,027587& .6& 0,025042& .27& 0,000061& .48& 0,000000&
35& 0,000055& 14& 0,028927& .7& 0,022930& .28& 0,000037& .49& 0,000000&
34& 0,000110& 13& 0,030025& .8& 0,020643& .29& 0,000022& .50& 0,000000&
33& 0,000208& 12& 0,030901& .9& 0,018252& .30& 0,000013& && &&
32& 0,000374& 11& 0,031582& .10& 0,015835& .31& 0,000007& && &&
31& 0,000639& 10& 0,032098& .11& 0,013471& .32& 0,000004& && &&
30& 0,001040& 9& 0,032478& .12& 0,011231& .33& 0,000002& && &&
Tabelle!3:!Wahrscheinlichkeitsverteilung!des!Nettobestands!IN!(Eigene!Darstellung)!
!
Weiß!man!die!exakte!Wahrscheinlichkeitsverteilung!des!Nettobestands!IN,!lässt!sich!nun!auf!
leichte!Weise!der!89:!bestimmen.!Nach!Formel![40]!gilt:!
⇒ 89: = U HS > 0 = U HS = G
κ
≈≥x
= 0,65452 ≈ 65,5%!
Möchte!man!zusätzlich!den!vorliegenden!8;: −&Servicegrad!!im!Zentrallager!beziffern,!lässt!
sich! dies! mit! Hilfe! der! Normalverteilung! bewerkstelligen.! Hierzu! behelfen! wir! uns! einer!
Approximation!der!Poisson.Verteilung!durch!eine!Normalverteilung!(vgl.!Seite!22).!In!einem!
ersten!Schritt!muss!die!„FirstMorder!Loss!Function“!der!Werte!v?!und! !v?≤¡!berechnet!werden.!
Hierfür!erhält!man!(vgl.!Formel![22],![51],![52]):!
wux v? = 7,55401!
und!
wux v?≤¡ = 0!
! 46!
Nun! kann!8;:!mit! Hilfe! von! Formel! [44]! näherungsweise! bestimmt!werden.! Da!s;:!in! der!
Dimension!„Anzahl!RL.Bestellungen“!berechnet!wurde,!muss!zusätzlich!eine!Umrechnung!
auf! die! Dimension! „Gesamtnachfrage“! erfolgen.! Dies! erfolgt! durch! die! einfache!
Multiplikation!der!Standardabweichung!mit!_9::!
8 = 1 −s;: ∙ _9:_;:
∙ wux v? − wu
x v?≤¡ = 1 −0,73030 ∙ 30
450∙ 7,55401 − 0 = 0,63222 ≈ 63,2%!
Der!geringe!RL.Servicegrad!von!rund!66%!kann!als!Erklärung!dafür!angesehen!werden,!dass!
es! in! den! Regionallägern! immer! wieder! zu! Lieferengpässen! kommt.! Möchte! man! einen!
Regionallager! Servicegrad! von! 97%! erreichen,! gibt! es! nun! mehrere! Möglichkeiten! zur!
Auswahl.!Eine!Möglichkeit!ist!den!Bestellpunkt!im!Regionallager!zu!erhöhen!und!damit!für!
größere!Sicherheitsbestände!auf!Regionallagerebene!zu!sorgen.!Eine!andere!Möglichkeit! ist!
den!Bestellpunkt!im!Zentrallager!zu!erhöhen!und!für!einen!höheren!Sicherheitsbestand!auf!
Zentrallagerebene!zu!sorgen.!Damit!reduziert!sich!die!mittlere!Wartezeit!der!Regionallager.
Bestellungen! im!Zentrallager! und!die! Fehlmengenwahrscheinlichkeit! sinkt.! Folglich! gilt! es!
abhängig! von! den! Lagerhaltungskostensätzen!=@9: !und!=@;: ,! den! Sicherheitsbestand! SB! im!
logistischen! System! so! zu! verteilen,! dass! ein! Kostenoptimum! erreicht! wird.! Mit! dem! in!
Kapitel!5.3!vorgestellten!Tool! lassen!sich!die!89:in!Abhängigkeit!von!d9:bestimmen.!Wie! in!
Tabelle!4!ersichtlich!wird,!benötigt!man!für!einen!89: = 97%!einen!Bestellpunkt!d9: = 34!bei!
ansonsten!gleichbleibenden!Parametern.!
!
d9:& 89:& d9:& 89:& d9:& 89:& d9:& 89:& d9:& 89:&
1& 0,085147& 11& 0,358391& 21& 0,686803& 31& 0,937442& 41& 0,997531&
2& 0,105010& 12& 0,390869& 22& 0,718510& 32& 0,950913& 42& 0,998384&
3& 0,127113& 13& 0,423620& 23& 0,749423& 33& 0,962143& 43& 0,998962&
4& 0,151274& 14& 0,456560& 24& 0,779285& 34& 0,971316& 44& 0,999345&
5& 0,177271& 15& 0,489618& 25& 0,807819& 35& 0,978652& 45& 0,999594&
6& 0,204858& 16& 0,522738& 26& 0,834741& 36& 0,984398& 46& 0,999753&
7& 0,233785& 17& 0,555862& 27& 0,859783& 37& 0,988804& 47& 0,999852&
8& 0,263810& 18& 0,588926& 28& 0,882713& 38& 0,992112& 48& 0,999913&
9& 0,294711& 19& 0,621849& 29& 0,903356& 39& 0,994545& 49& 0,999950&
10& 0,326293& 20& 0,654522& 30& 0,921607& 40& 0,996296& 50& 0,999972&
Tabelle!4:!8MServicegrad!in!Abhängigkeit!von!d9:!(Eigene!Darstellung)!
!
!
! 47!
In!diesem!Fall!gilt!für!den!durchschnittlichen!Sicherheitsbestand!im!Regionallager:134!
ef = d9: − A C ∙ ifj9: = 34 − 20 ∙ 1,516 ≈ 4!
Für!die!durchschnittlichen!Lagerkosten!ergibt!sich:!
¨9: = =@9: ∙ ef +
_9:2
= 60 ∙ 4 +302
= 1121€!
Für!das!gesamte!System!ergeben!sich!Lagerkosten!in!Höhe!von!
¨9:≤;: = ¨9:V
u
O≥x
+ =@;: ∙ (d;: − o;: ∙ ifj;: +
_;:2) = 3 ∙ 1121€ + 16035€ = 19397€!
Eine! Alternative! hierzu! stellt! die! Erhöhung! des! Bestellpunkts! auf! Zentrallagerebene! dar.!
Tabelle!5!zeigt!die!89:!in!Abhängigkeit!von!d;:,!wenn!der!Bestellpunkt!d9: = 20!unverändert!
bleibt.!
!
d;:& 89:& d;:& 89:& d;:& 89:& d;:& 89:& d;:& 89:&
100& 0,000553& 200& 0,166433& 300& 0,654522& 400& 0,905143& 500& 0,940717&
110& 0,001356& 210& 0,213838& 310& 0,693158& 410& 0,914994& 510& 0,940760&
120& 0,003065& 220& 0,264679& 320& 0,728873& 420& 0,922818& 520& 0,940773&
130& 0,006402& 230& 0,317325& 330& 0,761557& 430& 0,928846& 530& 0,940776&
140& 0,012399& 240& 0,370358& 340& 0,791128& 440& 0,933301& 540& 0,940776&
150& 0,022336& 250& 0,422684& 350& 0,817549& 450& 0,936419& 550& 0,940776&
160& 0,037574& 260& 0,473537& 360& 0,840840& 460& 0,938447& 560& 0,940776&
170& 0,059275& 270& 0,522415& 370& 0,861081& 470& 0,939653& 570& 0,940776&
180& 0,088118& 280& 0,569004& 380& 0,878415& 480& 0,940294& 580& 0,940776&
190& 0,124086& 290& 0,613092& 390& 0,893028& 490& 0,940595& 590& 0,940776&
Tabelle!5:&8MServicegrad!in!Abhängigkeit!von!d;:(Eigene!Darstellung)!
!
Wie!man!gut!erkennen!kann,!konvergiert!89:!ab!d;: ≈ 480!zu!dem!Grenzwert!von!89: ≈ 94.!
Eine! Servicegraderreichung!von!97%!ist! daher!durch! alleinige!Erhöhung!des!Bestellpunkts!
im!Zentrallager! nicht!möglich.!Da!der!Lagerhaltungskostensatz!des!ZL! jedoch!geringer! ist!
als!im!RL,!wird!ersichtlich,!dass!es!durchaus!Sinn!macht,!sich!nicht!nur!auf!die!Erhöhung!des!
Bestellpunkts! im! RL! zu! konzentrieren.! Es! gilt,! die! Bestellpunkte! im! ZL! und! RL! so! zu!
bestimmen,! dass! unter! Einhaltung! des! gesteckten! Servicegradziels! von! 97%! der!
Sicherheitsbestand! im! System! optimal! verteilt! wird! und! die! Kosten! minimal! sind.! Dieses!
Problem!wurde!bereits!in!Kapitel!4.3.1.1!als!Modell!formuliert.!Es!handelt!sich!hierbei!um!ein!
nichtlineares! Optimierungsmodell,! das! analytisch! nur! mit! sehr! hohem! mathematischem!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!134!Vgl.!Tempelmeier,!2012,!S.287f.!
! 48!
Aufwand! zu! lösen! ist.135!Deiermeier! und! Schwarz! überprüfen! in! ihren! Ausführungen! die!
Güte!der!approximierten!Parameter!ihres!Modells!mit!Hilfe!von!Simulation.!Sie!kommen!zu!
dem!Ergebnis,!dass!die!Bestimmung!des!RL.Servicegrades!mit!ihrem!Modell!zu!recht!guten!
Ergebnissen!führt.136!Jedoch!stellen!sie!auch!fest,!dass!die!Genauigkeit! ihrer!Approximation!
mit!Abnahme!des!Bestellpunkts!d;:rapide!abnimmt.137!Nach!Deiermeier!und!Schwarz!treten!
hohe!Ungenauigkeiten!ab!8;: < 50%&auf.!138!Dies!ist!kaum!verwunderlich,!da!mit!Abnahme!
des! Bestellpunkts! im! ZL! gleichzeitig! der! Servicegrad!8;:!des! Zentrallagers! rapide! absinkt.!
Dem!geringen!Servicegrad!geschuldet!kommt!es!dadurch!zu!einer!drastischen!Zunahme!von!
Fehlmengen,! was! zu! Lieferengpässen! der! Regionallager! führt.! Das! Modell! berücksichtigt!
dies!zwar!durch!die!Berechnung!einer!zusätzlichen!approximierten!Wartezeit!A i;: ,!jedoch!
ist! es! offensichtlich,! dass! die! Güte! der! Abschätzung! mit! der! Zunahme! der! Wartezeit!
abnimmt.!In!dem!betrachteten!Fall!beispielsweise!führen!d9: = 64!und&d;: = 150!zu!deutlich!
geringeren! Gesamtlagerkosten! von! 13987! €.! Jedoch!muss! auf! Grund! des! geringen!8;:!von!
29,9%!angezweifelt!werden,!ob!damit!viel!gewonnen! ist.!Es!gilt!als!unwahrscheinlich,!dass!
die! angenäherte! Wartezeit!A i;: = 1,85 !die! Fehlmengenwahrscheinlichkeit! im! ZL! von!
rund! 70%! realitätsnah! abbildet.! Möchte! man! eine! kostenoptimale! Lösung! finden,! muss!
dieser!Sachverhalt!unbedingt!mitberücksichtigt!werden.!
Im! Folgenden! soll! ein! Versuch! unternommen! werden,! die! Kosten! des! Systems! zu!
optimieren,!wobei!darauf!geachtet!werden!soll,!dass!der!Servicegrad!im!Zentrallager!8;:!die!
Marke! 50%! nicht! unterschreitet.! Auf! Grund! der! Komplexität! des! nichtlinearen!
Optimierungsproblems! bedienen! wir! uns! bei! dem! Lösungsversuch! einer! Iteration.! Das!
vorgestellte! Tool! (vgl.!Kapitel! 5.3)! ermöglicht! eine! einfache!Berechnung!der!Gesamtkosten!
für! jede! beliebige! Kombination! von!d9:!und!d;:,! wodurch! die! exakte! Lösung! des! Modells!
durch!eine!Iteration!angenähert!werden!kann.!Als!Startpunkt!für!die!1.!Iteration!wählen!wir!
d;:!so,!dass!der!Servicegrad!im!ZL!gerade!50%!erreicht.!Mit!Hilfe!des!Excel.Tools!kommen!
wir! mit!d;: = 241 !auf! !8;: = 0,50111 .! Tabelle! 6! zeigt! ein! mögliches! Vorgehen,! um! eine!
optimale!Verteilung!des!Sicherheitsbestands!zu!erreichen.!In!einem!ersten!Schritt!werden!für!
eine! bestimmte! Kombination! von!d9: !und!d;: !die! Gesamtkosten! der! Lagerung! bestimmt,!
wobei! ausschließlich!Kombinationen! zulässig! sind,! für!die! ein!89: ≈ 97%!gewährleistet! ist.!
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!135!Vgl.!Bantel,!2014,!S.86ff.!136!Vgl.!Deiermeier!et!al.,!1981,!Seite!181f.!137!Vgl.!a.a.O.,!1981,!S.182f.!138!Vgl.!a.a.O.,!1981,!S.183!
! 49!
In! einem! zweiten! Schritt! werden! die! Parameter! schrittweise! verändert! und! die! jeweiligen!
Kosten! bestimmt,! wodurch! man! sich! der! optimalen! Lösung! nach! und! nach! annähert.!
Iteration!2!erfüllt!die!Bedingung!89: ≈ 97%!nicht!mehr,!weshalb!ein!Abbruch!erfolgt.!
!
Iteration& d9:& d;:& Kosten& 89:&
1.& 44& 241& &17.303&€&& 0,97505&
&& 43& 243& &17.262&€&& 0,97050&
&42& 249& &17.498&€&& 0,97112&
Abbruch&
&2.& 43& 242& &17.193&€&& 0,96907&
Abbruch&
Tabelle!6:!Iteration!der!optimalen!Verteilung!des!Sicherheitsbestands!(Eigene!Darstellung)!
!
Die! Approximation! der! Lösung! durch! eine! Iteration! zeigt,! dass! unter! den! Prämissen! aus!
Kapitel! 5.1! die! kostenoptimale! Lösung! darin! besteht,! eine&Lagerhaltungspolitik! mit!d;: =
243!und!d9: = 43!!zu!implementieren.!Eine!solche!Politik!führt!zu!einem!!89: = 0,97050,!mit!
dem!das!Serviceziel!von!97%!erreicht!ist.!
!
5.3! Vorstellung!eines!MS!EXCEL.Tools!zur!Findung!der!optimalen!Lösung!
!
Um!die!umfangreichen!Berechnungen!des!vorherigen!Kapitels!bewerkstelligen!zu!können,!
wurde!im!Zuge!dieser!Arbeit!eine!einfache!Softwarelösung!mit!MS!Excel!entwickelt,!mit!der!
die!optimale!Bestimmung!der!Lagerhaltungsparameter!deutlich!vereinfacht!wird.!Der!erste!
Tabellenreiter!„Übersicht“!bildet!den!Kern!des!Tools.!Dort!finden!sich!ein!Dateneingabeblatt,!
eine! Ergebnisübersicht! und! eine! Übersicht! der! wichtigsten! Berechnungen.! Das!
Dateneingabeblatt! erfasst! alle!variablen! systemrelevanten!Parameter! (vgl.!Abbildung!5).! In!
der! jetzigen! Ausführung! lassen! sich! aus! technischen! Gründen! nur! Losgrößen! und!
Bestellpunkte! im! Regionallager! von! jeweils! maximal! 60! erfassen.! Die! Maximalzahl! kann!
jedoch!bei!Bedarf!durch!die!Ergänzung!von!zusätzlichen!Spalten!angepasst!werden.!
!
! 50!
!Abbildung!5:!Eingabefenster!des!MS!ExcelMTools!
Die! Ergebnisübersicht! berechnet! für! die! eingegebenen! Parameter! sowohl! die! momentan!
erreichten!8!–!Servicegrade!im!RL!als!auch!im!ZL.!Zusätzlich!werden!Informationen!zu!dem!
aktuellen!Sicherheitsbestand!der!einzelnen!Lagerstufe,!der!lokalen!Lagerungskosten!und!der!
Gesamtkosten!im!System!zur!Verfügung!gestellt!(vgl.!Abbildung!6).!
!
!Abbildung!6:!Ergebnisfeld!des!MS!ExcelMTools!
!
Der! untere! Teil! bildet! die! Grundlage! für! die! Berechnung! der! einzelnen! Größen.! Die!
Berechnung!orientiert!sich!an!der!Reihenfolge!der!händischen!Berechnungen!aus!Kapitel!5.2.!
Die! Tabellenreiter! „Servicegrade! vs.! s_RL“! und! „Servicegrade! vs.! s_ZL“! ermöglichen! die!
automatisierte! Berechnung! ! aller! Werte! von!89: !in! Abhängigkeit! von! d9: !bzw.! d;: (vgl.!
Abbildung!7).!Eine!Übersicht!der!möglichen!Servicegrade!vereinfacht!die! Suche!nach!dem!
optimalen! Bestellpunkten! erheblich.! Auch! bei! einer! Iteration! der! optimalen!Gesamtkosten!
kann!auf!diese!Übersichten!zurückgegriffen!werden.!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
Abbildung!7:!Berechnung!von!89:!in!Abhängigkeit!von!d9:!
! 51!
6! Schlussbetrachtung!
!
Die!Arbeit!soll!einen!Überblick!über!die!wichtigsten!einstufigen!und!mehrstufigen!Modelle!
der!Lagerhaltung!geben.!Es!hat! sich!gezeigt,! dass! sich! eine!Klassifizierung!der! einstufigen!
Modelle! recht!einfach!gestalten! lässt.!Für!die!alleinige!Betrachtung!eines!Lagers!gibt!es!ein!
überaus! großes! Angebot! an! praxisrelevanten! Ansätzen,! mit! denen! sich! ein! bestimmter!
Servicegrad! oder! bestimmte! Kostenziele! verwirklichen! lassen.! Die! vielen! Optionen! zur!
Erweiterung! ermöglichen! eine! einfache! Anwendbarkeit! für! viele! verschiedene!
Problemstellungen.!Auf!mehrstufiger!Ebene!ist!eine!Einteilung!einzelner!Modelle!nicht!mehr!
ohne!weiteres!möglich.!
Im!Gegensatz! zu! einstufigen!Modellen! lassen! sich!mehrstufige!Modelle! deutlich! schwerer!
spezifischen! Problemstellungen! zuordnen.! Einerseits! gibt! es! nicht! das! Standardmodell! für!
eine!mehrstufige!Problemstellung,!andererseits!sind!die!Modelle!an!sehr!strikte!Annahmen!
und! Restriktionen! gebunden.! Die! Fallstudie! betrachtete! den! speziellen! Fall! einer!
divergierenden!Systemstruktur!mit!identischen!Regionallagern.!Es!hat!sich!gezeigt,!dass!das!
Modell!analytisch!durchaus!zu!lösen!ist.!Es! ist!auf!analytische!Weise!gelungen,!sowohl!auf!
Serviceziele!einzugehen!als!auch!eine!kostenoptimale!Lösung!zu!finden.!Ändert!man!jedoch!
die! Modellannahmen,! z.B.! durch! die! Annahme! verschiedene! Regionallager,! besitzt! das!
Modell!keine!Gültigkeit!mehr.!Während!sich!einstufige!Modelle!leicht!erweitern!lassen!und!
auf!etwaige!Änderungen!der!Restriktionen!reagiert!werden!kann,!führt!bei!den!mehrstufigen!
Modellen! bereits! die! kleinste! Annahmeänderung! zu! einer! Ungültigkeit! des! gesamten!
Modells.!Auch!muss!angezweifelt!werden,!ob!man!in!der!Praxis!tatsächlich!auf!die!Situation!
trifft,! bei! denen! die! Regionallager! zu! gleich! großen! Losgrößen! bestellen! und! eine! gleich!
große! Nachfrage! zu! bedienen! haben.! Zwar! gibt! es! auch! für! den! Fall! nicht! identischer!
Regionallager!spezielle!Modellansätze139,!doch!sind!auch!diese!Modelle!wiederrum!an!neue!
Annahmen! und! Einschränkungen! gebunden.! Ein! Standardmodell! für! die! Lösung!
allgemeiner! mehrstufiger! Modelle! konnte! nicht! gefunden! werden.! Hier! zeigt! sich! das!
Hauptproblem! der! mehrstufigen! Modelle.! Die! Wissenschaft! bietet! zwar! viele! analytisch!
lösbare!mehrstufige!Modellansätze,!doch!muss!man!sich!bewusst!sein,!dass!in!der!Praxis!auf!
Grund! der! vielen! komplexen! logistischen! Vorgänge! mehrere! kombinierte! Modelle! zum!
Einsatz!kommen!müssten.!
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!139!Vgl.!Bantel,!2014,!S.65ff.!
! 52!
Eine!Alternative!zu!den!analytischen!Lösungsansätzen!bildet!die!Simulation.!Mit!Hilfe!von!
Simulation! und! der! heute! üblichen! Informationstechnologie! lassen! sich! viele! mehrstufige!
Systeme!auf!mehr!oder!weniger!einfache!Weise!simulieren!und!gegebenenfalls!optimieren.!
Etwaige! Änderungen! von! Restriktionen! können! hierbei! leicht! berücksichtigt! werden.! Es!
muss!also!hinterfragt!werden,!ob!es!aus!organisatorischen!und!kostentechnischen!Gründen!
Sinn! macht,! auf! analytische! Modelle! statt! auf! Simulation! zurückzugreifen.! Viele! Studien!
haben! zudem! ergeben,! dass! die! Ergebnisse! der! Simulation! nur! unbedeutend! von! den!
exakten! Ergebnissen! der! analytischen! Modelle! abweichen. 140 !Dies! ist! als! Grund! dafür!
anzuführen,! dass! mehrstufige! analytische! Modelle! bisher! nur! selten! in! der! Praxis! zum!
Einsatz!kommen.!!
!
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!140!Vgl.!Tempelmeier,!2012,!S.245f.!
! X!
Glossar!
!
[1]! Die!Normalverteilung:141!
!
Eine! Zufallsvariable! mit! dem! Mittelwert! oÓ !und! der! Standardabweichung! sÓ !heißt!
normalverteilt,!wenn!für!die!Dichtefunktion!gilt:!
ôÓ ° =1
sÓ ∙ 2Ô∙ exp& −
12∙° − oÓsÓy
y
!
Durch! die! Transformation! Ω =«»Ò Ò
!erhält! man! die! Dichtefunktion! der!
Standardnormalverteilung!mit!op = 0!und!sp = 1:!
t Ω =1
2Ô∙ exp& −
12∙ Ωy !
Für!die!Verteilungsfunktion!der!Standardnormalverteilung!gilt:!
w Ω =1
2Ô
Ú
«∫
∙ exp −g2
y
¢g&&&&&!
Zwischen! der! Dichtefunktion! und! der! Verteilungsfunktion! der! Standardnormalverteilung!
gilt!der!folgende!Zusammenhang:!
wº v = 1 − w(v)!
Die! „first.order! loss! function“! (Verlustfunktion)! berechnet! den! standardisierten!
Erwartungswert!der!Fehlmenge.!Sie!ist!wie!folgt!definiert:142!
wx v = &t Ω − v ∙ wº v !
Die! „second.order! loss! function“! berechnet! den! durchschnittlichen! Fehlbestand! am!
Periodenende.!Sie!wird!wie!folgt!berechnet:143!
wy v = 0,5 ∙ 1 + vy ∙ wº v − v ∙ t v !
!
!
!
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!141!Vgl.!Sibbertsen!et!al.,!2015,!S.264ff.!142!Vgl.!Herleitung!Tempelmeier,!2012,!S.338!143!Vgl.!Herleitung!ebenda!
! XI!
[2]! Die!PoissonMVerteilung144!
!
Eine! Zufallsvariable! X,! die! bei! sehr! vielen!(û → ∞)!unabhängigen! Durchführungen! eines!
Bernoulli.Experiments!zählt,!wie!häufig!eine!seltenes!Ereignis!Ù † → ∞ ,! ist!poisson.verteilt!
mit!dem!Paramater!m = û ∙ † > 0.!Sie!besitzt!die!Wahrscheinlichkeitsfunktion!
ô Ω = U C = Ω =mÚ
Ω!∙ ú«—&!
Weiterhin!gilt:!
A C = “óö C = m!
Die! Poisson.Verteilung! lässt! sich! als! Verteilung! eines! seltenen! Ereignisses! in! einem!
bestimmten! Intervall! (z.B.! zeitlich!Periode)!mit!der!Länge!1! interpretieren.!Anwendung! ist!
beispielsweise!die!Berechnung!der!Ankunftsraten!von!Bestellungen.!
!
[3]! Die!ErlangMVerteilung:!
!
Die! Erlang.Verteilung! ist! eine!Wahrscheinlichkeitsverteilung! und! stellt! einen! allgemeinen!
Fall! einer! Exponential.Verteilung! und! einen! Spezialfall! der! Gamma.Verteilung! dar.! Sie!
wurde! ursprünglich! als! Verteilung! für! die! statistische! Auswertung! von! Intervall.Längen!
zwischen! Telefonanrufen! entwickelt.! Die! Erlang.Verteilung! wird! oftmals! in! der!
Warteschlangentheorie!verwendet,!um!die!Verteilung!der!Zeitspanne!zwischen!Ereignissen!
eines! Poisson.Prozesses,! beispielsweise! der! Ankunft! von! Kunden,! zu! erfassen.! Die!
Dichtefunktion!ist!mit!den!Parametern!Anzahl!der!Ereignisse!m!mit!m > 0!und!Ereignis!û!mit!
û ≥ 1!wie!folgt!definiert:145!
ô Ω =mOΩO«x
û − 1 !ú«—Ú ôüö Ω ≥ 0
0 ôüö Ω < 0!
!
!
!
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!144!Vgl.!Sibbertsen!et!al.,!2015,!S.302f.!145!Vgl!Cramer!et!al.,!2014,!S.170f.!
!XII!
[4]! Der!zentrale!Grenzwertsatz!
!
Der! zentrale! Grenzwertsatz! besagt,! dass! sich! die! Verteilung! der! Summe! aus! identisch!
verteilten! und! unabhängigen! Zufallsvariablen!Cx, Cy, Cfl … , CO !mit! dem! Erwartungswert!op!
und! der! Standardabweichung! sp !mit! wachsender! Anzahl! û !immer! mehr! der!
Normalverteilung!
S(û&o, û&s)!
angleicht.!Dies!beschreibt!grob!die!wesentliche!Aussage!des!zentralen!Grenzwertsatzes.!146!
!
[5]! MarkovMKette!
!
Eine!Markov.Kette!ist!ein!spezieller!stochastischer!Prozess.!Sie!wird!darüber!definiert,!dass!
man! davon! ausgehen! kann,! dass! allein! durch! die! Kenntnis! eines! Bruchteils! der! Vor.
geschichte!eines!Prozesses!eine!Abbildung!der!zukünftigen!Prognosen!genauso!möglich! ist!
wie!bei!Kenntnis!der!gesamten!Vorgeschichte!eines!Prozesses.!Ziel!der!Modellierung!eines!
Markov.Kette! ist! die! Bestimmung! der!Wahrscheinlichkeiten! für! das! Eintreten! bestimmter!
zukünftiger!Ereignisse.!Für!mehr!Informationen!wird!auf!Georgii,!2015!verwiesen.!147!
[6]! BullwhipMEffekt!
!
Der!Bullwhip.Effekt,!auch!Peitschenhieb.Effekt!genannt!beschreibt!das!Phänomen,!dass!„die!
Variabilität! der! Nachfrage! mit! zunehmender! Entfernung! von! der! letzten! Stufe! der!
Endnachfrage!ansteigt.“!Anders!ausgedrückt!nehmen!die!Bedarfsschwankungen!mit!Anzahl!
der! logistischen! Lagerstufen! zu.! Hierfür! sind! mehrere! Ursachen! zu! nennen,! z.B.!
Ungenauigkeiten! bei! der! Nachfrage.Prognose! durch! Informationsdefizit! oder! die! Bildung!
von!größeren!Bestellmengen.!Die!lokale!Disposition!ist!als!eine!Möglichkeit!anzusehen,!um!
diesem!Effekt!entgegenzuwirken.148!
!
!
!
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!146!Vgl.!Auer!et.!al.,!2015,!S.285f.!147!Vgl.!Georgii,!2015,!S.167ff.!148!Vgl.!Tempelmeier,!2012,!S.229ff.!
!XIII!
[7]! Gesetz!von!Little!
!
Das! Gesetz! von! Little! beschreibt! eine! Gesetzmäßigkeit! in! der! Warteschlangentheorie.! Es!
besagt,! dass! der! Erwartungswert! der! Anzahl! der! Kunden!]!in! einer! Warteschleife,! gleich!
dem!Produkt!der!durchschnittlichen!Ankunftsrate!m!und!der!durchschnittlichen!Wartezeit!i!
ist.!Das!Gesetz!wird!wie!folgt!formuliert:149!
] = &m&i!
!
[8]! Erneuerungsprozess!
!
Ein!Erneuerungsprozess!ein!ein!stochastischer!Prozess.!Genauer!gesagt,!handelt!es!sich!um!
einen! Zählprozess! nichtnegativer! Zwischenankunftszeiten.! Die! Ankunftszeiten! werden!
durch!unabhängige!und!identisch!verteilte!!Zufallsvariablen!beschrieben.150!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!149!Vgl.!Arnold!et.!al.,!2008,!S.59!150!Mehr!Informationen!vgl.!Arnold!et!al.,!2008,!S.69f.!
!XIV!
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!
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!XVII!
Eidesstattliche!Erklärung!
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Ich!versichere,!dass!ich!die!vorliegende!Arbeit!ohne!fremde!Hilfe!selbstständig!verfasst!und!
nur!die! angegebenen!Quellen!und!Hilfsmittel! benutzt! habe.!Wörtlich! oder!dem!Sinn!nach!
aus!anderen!Werken!entnommene!Stellen!sind!unter!Angabe!der!Quelle!kenntlich!gemacht.!!
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Hamburg,!...........................!! ! ! ! ! .............................................................
! ! ! ! ! ! ! ! ! Marius!Schwarzmann!
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![KISSsoft 03/2017 – Tutorial 8 · PDF filenach DIN 3990 nachrechnen ... Qualität [Q] (DIN 3961) 8 / 8 Flankenlinienkorrektur Endrücknahme Tragbild ohne Nachweis oder ungünstig](https://img.pdfslide.org/doc/110x75/5a9ea6417f8b9a89178ba4c3/kisssoft-032017-tutorial-8-din-3990-nachrechnen-qualitt-q-din-3961.jpg)
![KISSsoft 03/2016 – Tutorial 8 · PDF filenach DIN 3990 nachrechnen ... Qualität [Q] (DIN 3961) 8 / 8 Flankenlinienkorrektur Endrücknahme Tragbild ohne Nachweis oder ungünstig](https://img.pdfslide.org/doc/110x75/5a9ea6417f8b9a89178ba49e/kisssoft-032016-tutorial-8-din-3990-nachrechnen-qualitt-q-din-3961.jpg)
